🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Sổ Tay Đại Số Và Giải Tích 10-11-12
Ebooks
Nhóm Zalo
NGUYỄN THANH TRIỀU
SỔ TAY ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 10 - 11 - 12
Tháng 07 - 2013
Để biết thêm về các tài liệu toán học, độc giả có thể truy cập vào trang web cá nhân của tác giả:
http://nttrieu.wordpress.com
Tôi sưu tầm tài liệu này trên web, nguồn là tệp TeX tôi chỉ định dạng và phông chữ lại cho dễ dùng. Lúc lấy tài liệu quên ghi lại địa chỉ, cám ơn bạn đã soạn ra tài liệu này.
Hà Nội, 23/01/2017
Nguyễn Hữu Điển
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Mệnh đề và tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Các tập hợp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Phần tử của tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Các tập hợp con của R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4. Các phép toán với tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Số gần đúng - Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Khái niệm cơ bản về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3. Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4. Các tính chất cơ bản của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2. Hàm số hằng y = b với b P R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3. Hàm số y = |x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Hàm số bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1. Cơ bản về hàm số bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2. Đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3. Bảng biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.4. Cách vẽ đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 3. Phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1. Đại cương về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1. Các khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả . . 19 3.1.3. Biến đổi tương đương các phương trình . . . . . . . . . . . . . . 20
3
4 Sổ tay đại số và giải tích 10-11-12
3.2. Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất. . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.3. Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.4. Phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.6. Phương trình chứa dấu căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn. . . . . . . . . 24 3.3.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.2. Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.3. Dạng tam giác của hệ 3 phương trình bậc nhất ba ẩn. . 24 3.3.4. Hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.5. Một số hệ phương trình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 4. Bất đẳng thức và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1. Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.2. Các tính chất bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.4. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.5. Bất đẳng thức Bunhiacopski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.6. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số . . . . . . . . . . . . 28 4.2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. . . . . . . . . . 28 4.2.1. Điều kiện của một bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2. Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương . 28
4.2.3. Các phép biến đổi bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.4. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3. Dấu của nhị thức bậc nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4. Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4.1. Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4.2. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4.3. Bài toán tối ưu trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Mục lục 5
4.5. Dấu của tam thức bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5.1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5.2. Một số điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 5. Thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1. Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1.1. Tần số và tần suất của một giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1.2. Tần số và tần suất của một lớp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2. Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2.1. Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2.2. Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2.3. Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2.4. Chọn đại diện cho các số liệu thống kê . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3. Phương sai và độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3.1. Công thức tính phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3.2. Ý nghĩa và cách sử dụng phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3.3. Độ lệch chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 6. Cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.1. Cung và góc lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.1.1. Quan hệ giữa độ và radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.1.2. Độ dài của cung tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.1.3. Số đo của cung lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.1.4. Biểu diễn cung lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2. Giá trị lượng giác của một cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2.1. Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2.2. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2.3. Giá trị lượng giác của các cung đối nhau. . . . . . . . . . . . . . 38 6.2.4. Giá trị lượng giác của các cung bù nhau . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2.5. Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau. . . . . . . . . . . . . 38 6.2.6. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém π. . . . . . . . . . . . 38 6.3. Công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.1. Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.2. Công thức nhân đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.3. Công thức nhân ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.4. Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.5. Công thức tính theo t = tan x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Sổ tay đại số và giải tích 10-11-12
6.3.6. Công thức tổng thành tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.7. Công thức tích thành tổng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.3.8. Một số công thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chương 7. Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.1. Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.1.1. Hàm số sin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.1.2. Hàm số cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.1.3. Hàm số tang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.1.4. Hàm số cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.2. Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.2.1. Phương trình cơ bản theo sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.2.2. Phương trình cơ bản theo cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.2.3. Phương trình cơ bản theo tan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.2.4. Phương trình cơ bản theo cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.3. Phương trình lượng giác thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.3.1. Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số . . . . . . . . . . 46 7.3.2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . . . . . . . . . . . . . . 46 7.3.3. Phương trình chứa tổng (hay hiệu) và tích của sin và cos . . 47
7.3.4. Phương trình đẳng cấp đối với sin va cos . . . . . . . . . . . . . 47 Chương 8. Tổ hợp và xác suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1. Quy tắc đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1.1. Quy tắc cộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1.2. Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.2.1. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.2.2. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.2.3. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.3. Nhị thức Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.3.1. Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.3.2. Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.4. Lý thuyết cơ bản về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.4.1. Phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.4.2. Xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Mục lục 7
Chương 9. Dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9.1. Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9.2. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2.1. Cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2.2. Cách cho một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2.3. Dãy số tăng, dãy số giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.2.4. Dãy số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3. Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.3.1. Cơ bản về cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.3.2. Số hạng tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.3.3. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.3.4. Tổng n số hạng đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.4. Cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.4.1. Cơ bản về cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.4.2. Số hạng tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.4.3. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.4.4. Tổng n số hạng đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 10. Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.1. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.1.1. Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.1.2. Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.1.3. Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.1.4. Định lý về giới hạn hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.1.5. Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và vô cực. . . . . . . . . . . . . 58 10.1.6. Cấp số nhân lùi vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.2. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.2.1. Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.2.2. Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.2.3. Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.2.4. Các định lý về giới hạn hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.2.5. Các quy tắc về giới hạn vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.3. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.3.1. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.3.2. Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Sổ tay đại số và giải tích 10-11-12
Chương 11. Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 11.1. Các lý thuyết về đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 11.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 11.1.2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 62 11.1.3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm . . . . . . . . 62 11.1.4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.1.5. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.2. Các qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.2.1. Các công thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.2.2. Bảng các đạo hàm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.3. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Chương 12. Khảo sát hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 12.1. Tính đồng biến - nghịch biến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 65 12.2. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 12.3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 12.3.1. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn. . 65
12.3.2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng . 66 12.4. Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 12.4.1. Đường tiệm cận đứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 12.4.2. Đường tiệm cận ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 12.5. Các bước khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.5.1. Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.5.2. Tương giao của hai đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Chương 13. Lũy thừa và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13.1. Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13.1.2. Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13.1.3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13.1.4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 13.1.5. Các tính chất lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 13.2. Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 13.2.1. Cơ bản về hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 13.2.2. Tập xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 13.2.3. Đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Mục lục 9
13.2.4. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 13.2.5. Đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13.3. Logarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13.3.1. Cơ bản về logarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13.3.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13.3.3. Các quy tắc tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13.3.4. Logarit thập phân và logarit tự nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . 72 13.4. Hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 13.4.1. Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 13.4.2. Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 13.5. Phương trình mũ và phương trình logarit. . . . . . . . . . . . . . . . 73 13.5.1. Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 13.5.2. Phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 13.6. Bất phương trình mũ và logarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 13.6.1. Bất phương trình mũ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 13.6.2. Bất phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Chương 14. Nguyên hàm và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 14.1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 14.1.1. Nguyên hàm và các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 14.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 14.1.3. Bảng các nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 14.2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 14.2.1. Tích phân và các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 14.2.2. Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 14.2.3. Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Chương 15. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 15.1. Cơ bản về số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 15.2. Các phép toán với số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 15.3. Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 15.4. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . 82 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Chương 1
MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP
1.1. Mệnh đề
1. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
2. Với mỗi giá trị của biến thuộc một tập hợp nào đó, mệnh đề chứa biến trở thành mệnh đề.
3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P, P đúng khi P sai và ngược lại.
4. Mệnh đề kéo theo P ùñ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. 5. Ký hiệu @ (chữ A đảo ngược) đọc là “với mọi” hay “tất cả” xuất phát từ tiếng anh là “All”.
6. Ký hiệu D (chữ E đảo ngược) đọc là “tồn tại” hay “có một” xuất phát từ tiếng anh là “Exists”.
1.2. Tập hợp
1.2.1. Các tập hợp số
1. Tập hợp các số thực ký hiệu là R, viết tắt của từ “Real” có nghĩa là “thực”.
2. Tập hợp các số hữu tỉ ký hiệu là Q, viết tắt của từ “Quotient” trong tiếng Đức có nghĩa là “hữu tỉ” .
3. Tập hợp các số nguyên ký hiệu là Z, viết tắt của từ “Zahlen” trong tiếng Đức có nghĩa là “số nguyên”.
4. Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là N, viết tắt của từ “Natural” có nghĩa là “tự nhiên”.
5. Ký hiệu “” đọc là “chứa trong” hay “tập con”. Khi đó N Z Q R.
1.2.2. Phần tử của tập hợp
1. a là một phần tử của tập hợp A viết là a P A, b không là phần tử của tập hợp A viết là b R A.
2. Tập hợp có thể có hữu hạn hoặc vô hạn phần tử. Tập hợp không có phần tử nào là tập hợp rỗng, ký hiệu là ∅.
10
1.2. Tập hợp 11
1.2.3. Các tập hợp con của R
1. Các khoảng:
(a) (a; b) = tx P R | a x bu
(b) (a; +8) = tx P R | a x +8u
(c) ( 8; b) = tx P R | 8 x bu
2. Đoạn: [a; b] = tx P R | a ¤ x ¤ bu
3. Các nửa khoảng:
(a) [a; b) = tx P R | a ¤ x bu
(b) (a; b] = tx P R | a x ¤ bu
(c) [a; +8) = tx P R | a ¤ x +8u
(d) ( 8; b] = tx P R | 8 x ¤ bu
1.2.4. Các phép toán với tập hợp
1. Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, ký hiệu AB. Như vậy
AB = tx | x P A và x P Bu
Ví dụ 1.2.1. A = t0, 1, 2u và B = t1, 2, 3u, khi đó AB = t1, 2u. Ví dụ 1.2.2. A = ( 1; 1) và B = [0; 2), khi đó AB = [0; 1). 2. Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B, ký hiệu AB. Như vậy
AB = tx | x P A hoặc x P Bu
12 Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
Ví dụ 1.2.3. A = t0, 1, 2u và B = t1, 2, 3u, khi đó AB = t0, 1, 2, 3u. Ví dụ 1.2.4. A = ( 1; 1) và B = [0; 2), khi đó AB = ( 1; 2). 3. Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B, ký hiệu AzB. Như vậy
AzB = tx | x P A và x R Bu
Ví dụ 1.2.5. A = t0, 1, 2u và B = t1, 2, 3u, khi đó AzB = t0u. Ví dụ 1.2.6. A = ( 1; 1) và B = [0; 2), khi đó AzB = ( 1; 0). 4. Khi A B thì AzB gọi là phần bù của B trong A.
5. Quan hệ giữa và
(a) A(BC) = (AB)(AC).
(b) A(BC) = (AB)(AC).
6. Công thức De - Morgan1 AB = AB, và ngược lại AB = AB
1.3. Số gần đúng - Sai số
Cho a là số gần đúng của số chính xác a, khi đó
1. ∆a = |a a| gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. 2. Nếu ∆a ¤ d thì d được gọi là độ chính xác của số gần đúng a và quy ước viết gọn là a = a d.
3. Cách viết quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a = a d), khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì
1Augustus De Morgan (1806-1871) là nhà toán học và lôgic học người Anh sinh trưởng tại Ấn Độ. Định lý De Morgan là tiền đề cơ bản cho sự phát triển của ngành máy tính vì chỉ cần có hai cổng điện toán - cổng đảo dấu (NOT gate) và cổng và (AND gate) chẳng hạn - thì người ta có thể thiết lập nên bất kì một phép toán lô gic nào bằng tổ hợp của hai cổng điện toán trên.
1.3. Số gần đúng - Sai số 13
ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
Chương 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
2.1. Khái niệm cơ bản về hàm số
2.1.1. Ánh xạ
1. Ánh xạ. Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ từ X đến Y (ký hiệu là f) là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một phần tử y của Y.
f : X ÝÑ Y
x ÞÝÑ f(x) = y
• y = f(x) gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f . • X gọi là tập nguồn. • Y gọi là tập đích.
XY f
x y
2. Ánh xạ tích. Cho X,Y, Z là ba tập hợp khác rỗng. Xét hai ánh xạ
f : X ÝÑ Y
x ÞÝÑ f(x) = y P Y
g : Y ÝÑ Z
y ÞÝÑ g(y) = z P Z
Khi đó, ánh xạ biến x P X thành z P Z gọi là ánh xạ tích từ X đến Z qua f và g, ký hiệu là g f , như vậy
g f : X ÝÑ Z
x ÞÝÑ (g f)(x) = g[ f(x)] = g(y) = z P Z
14
2.1. Khái niệm cơ bản về hàm số 15
X
Y
g f
Z
fg
x y z
Ví dụ 2.1.1. f(x) = x2 + x; g(y) = 3y thì (g f)(x) = g[ f(x)] = g(x2 + x) = 3(x2 + x) = 3x2 + 3x.
2.1.2. Khái niệm hàm số
1. Một hàm số là một ánh xạ từ X R đến Y R. Xét hàm số f như sau
f : X ÝÑ Y
x ÞÝÑ f(x) = y P Y
trong đó
• x gọi là biến số hay đối số của hàm f .
• y = f(x) gọi là giá trị của hàm số f tại giá trị x của biến số. • X gọi là tập xác định của hàm f .
• Y gọi là tập giá trị của hàm f .
2. Một hàm số có thể được cho bằng: Bảng; biểu đồ; công thức hay đồ thị.
3. Khi hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước tập xác định D của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các ố thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Ví dụ 2.1.2. Tập xác định của hàm số y = f(x) = 1 x 1là D = Rzt1u.
2.1.3. Đồ thị của hàm số
Trong hệ trục Oxy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm M(a; b), trong đó a thuộc tập xác định của hàm số và b = f(a).
2.1.4. Các tính chất cơ bản của hàm số
1. Tính đơn điệu
16 Chương 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
(a) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b) nếu
@x1, x2 P (a; b) sao cho x1 x2 thì f(x1) f(x2)
(b) Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b) nếu
@x1, x2 P (a; b) sao cho x1 x2 thì f(x1) ¡ f(x2)
2. Tính chẳn lẻ
(a) Hàm số y = f(x) với tập xác định D (viết tắt của từ “domain” nghĩa là “xác định”) gọi là hàm số chẵn nếu
@x P D thì x P D và f( x) = f(x)
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. (b) Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu
@x P D thì x P D và f( x) = f(x)
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Chú ý: Có những hàm số không chẵn mà cũng không lẻ, ví dụ hàm y = x + 1.
2.2. Hàm số bậc nhất
2.2.1. Hàm số bậc nhất
1. Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b với a 0.
2. Tập xác định D = R.
3. Bảng biến thiên
x y
a ¡ 0
8 +8 +8
8
x y
a 0
8 +8 +8
8
2.3. Hàm số bậc hai 17
4. Đồ thị là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa độ.
5. Để vẽ đường thẳng y = ax + b chỉ cần xác định hai điểm khác nhau thuộc đường thẳng đó.
2.2.2. Hàm số hằng y = b với b P R
1. Tập xác định D = R.
2. Hàm số hằng là hàm số chẵn.
3. Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b).
2.2.3. Hàm số y = |x|
1. Tập xác định D = R.
2. Hàm số y = |x| là hàm số chẵn.
3. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +8) và nghịch biến trên khoảng ( 8; 0).
2.3. Hàm số bậc hai
2.3.1. Cơ bản về hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với a 0 có tập xác định D = R.
2.3.2. Đồ thị
Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c là một đường parabol
có
1. Đỉnh là điểm I
b
2a; ∆ 4a
.
2. Trục đối xứng là đường thẳng x = b
2a.
3. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a ¡ 0 (hình 2.1), quay bề lõm xuống dưới nếu a 0 (hình 2.2).
18 Chương 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
y
b
y
∆
∆ 4a
O
2a
x
4a
O b 2a
x
Hình 2.1: Parabol y = ax2 + bx + c với a ¡ 0.
2.3.3. Bảng biến thiên
a 0
8 b
Hình 2.2: Parabol y = ax2 + bx + c với a 0.
a ¡ 0
8 b
x
y
8
2a+8 ∆
4a
8
x y
+8
2a+8 +8
∆
4a
2.3.4. Cách vẽ đồ thị
Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c, a 0 ta thực hiện các bước
sau
1. Xác định tọa độ đỉnh là điểm I
b
2a; ∆ 4a
.
2. Vẽ trục đối xứng là đường thẳng x = b
2a.
3. Xác định giao điểm của parabol với các trục tọa độ (nếu có). Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị. Lập bảng giá trị rồi vẽ parabol.
Chương 3
PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3.1. Đại cương về phương trình
3.1.1. Các khái niệm cơ bản
1. Phương trình ẩn x là một mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức của x.
2. Điều kiện xác định của phương trình là các điều kiện của biến x sao cho các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
3. Nghiệm của phương trình là giá trị x0 của biến số (hay ẩn số) sao cho đẳng thức f(x0) = g(x0) đúng.
4. Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. 5. Giải và biện luận phương trình là xét xem với giá trị nào của tham số (số không được xác định cụ thể) thì phương trình có nghiệm và có bao nhiêu nghiệm.
Ví dụ 3.1.1. Xét phương trình 3x2 (m 1)x + 4 = mx 2 thì • x là ẩn số.
• m là tham số.
3.1.2. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả 1. Hai phương trình f(x) = g(x) và f1(x) = g1(x) gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể rỗng), ký hiệu
f(x) = g(x) ðñ f1(x) = g1(x)
.
2. Nếu mỗi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) cũng là nghiệm của phương trình h(x) = k(x) thì ta nói phương trình h(x) = k(x) là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x), ký hiệu
f(x) = g(x) ùñ h(x) = k(x)
chẳng hạn, với số nguyên dương n tùy ý ta có f(x) = g(x) ùñ [ f(x)]n = [g(x)]n. Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại
19
20 Chương 3. Phương trình và hệ phương trình
lai, không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Muốn loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại vào phương trình ban đầu. 3. Ngoài các phương trình một ẩn còn có các phương trình nhiều ẩn. Nghiệm của một phương trình 2 ẩn x, y là một cặp số thực x0, y0 thỏa mãn phương trình đó, còn nghiệm của một phương trình 3 ẩn x, y, z là một bộ 3 số thực x0, y0, z0 thỏa mãn phương trình đó, ...
3.1.3. Biến đổi tương đương các phương trình Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình mới tương đương:
1. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thức f(x) = g(x) ðñ f(x) + A = g(x) + A
2. Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
f(x) = g(x) ðñ f(x).A = g(x).A (với A 0)
3.2. Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai 3.2.1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất
(3.1) ax + b = 0
1. Nếu a 0 thì phương trình (3.1) gọi là phương trình bậc nhất và nó có nghiệm duy nhất x = ba.
2. Nếu a = 0 ta xét 2 trường hợp
(a) Với b 0 thì phương trình (3.1) vô nghiệm.
(b) Với b = 0 thì phương trình (3.1) nghiệm đúng với mọi x P R. 3.2.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai
(3.2) ax2 + bx + c = 0, (a 0)
3.2. Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai 21
Biệt thức
∆ = b2 4ac
Kết luận
∆ ¡ 0
Phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1,2 = b ?∆ 2a
∆ = 0
Phương trình (3.2) có nghiệm kép x = b2a
∆ 0
Phương trình (3.2) vô nghiệm
3.2.3. Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai
Gọi tắt là định lý Viét 1, phát biểu như sau:
Nếu phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1, x2 thì
$& %
x1 + x2 = ba x1.x2 =ca
Ngược lại, nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x2 Sx + P = 0.
3.2.4. Phương trình trùng phương
Có dạng ax4 + bx + c = 0, a 0, giải bằng cách đặt t = x2, (t ¥ 0) để đưa về phương trình bậc hai.
3.2.5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa
|A| =
"A nếu A ¥ 0 A nếu A 0
1Franc¸ois Viète (1540 - 1603), là một nhà toán học, luật sư, chính trị gia người Pháp, về toán học ông hoạt động trong lĩnh lực đại số. Ông nổi tiếng với đề ra cách giải thống nhất các phương trình bậc 2, 3 và 4. Ông là người sáng tạo nên cách dùng các chữ cái để thể hiện cho các ẩn số của một phương trình. Ông cũng khám phá ra mối quan hệ giữa các nghiệm của một đa thức với các hệ số của đa thức đó, ngày nay được gọi là định lý Viète.
22 Chương 3. Phương trình và hệ phương trình 2. | f(x)| = |g(x)| ðñ f(x) = g(x) hoặc f(x) = g(x)
3. | f(x)| = g(x)Cách 1 ðñ
4. | f(x)| = g(x)Cách 2 ðñ
"f(x) ¥ 0
f(x) = g(x)hoặc "g(x) ¥ 0
f(x) = g(x)hoặc
"f(x) 0
f(x) = g(x) "g(x) ¥ 0
f(x) = g(x)
3.2.6. Phương trình chứa dấu căn thức
1. Phương pháp chung là bình phương 2 vế để khử dấu căn thức, chú ý phải xét điều kiện cả hai vế đều phải không âm.
2. af(x) = ag(x) ðñ "f(x) ¥ 0 f(x) = g(x)hoặc
3. af(x) = g(x) ðñ "g(x) ¥ 0
f(x) = [g(x)]2
4. Phương pháp đổi biến số:
"g(x) ¥ 0 f(x) = g(x)
(a) Có thể biến đổi như chia cả hai vế cho cùng một biểu thức khác 0 rồi mới đổi biến số.
Ví dụ 3.2.1. Giải phương trình x + 1 +?x2 4x + 1 = 3?x. Hướng dẫn.
#
Điều kiện
x2 4x + 1 ¥ 0
x ¥ 0ô
#
x ¥ 2 +?3
0 ¤ x ¤ 2 ?3.
Nếu x = 0 thì thay vào ta thấy không là nghiệm. Nếu x ¡ 0, chia cả hai vế của phương trình cho ?x ta được d
?x +1?x+
x2 4x + 1
x= 3
hay
?x +1?x+cx +1x 4 = 3
Từ đó ta đặt t =?x +1?xvới t ¥ 2, suy ra t2 = x +1x+ 2 hay x +1x= t2 2. Thay vào phương trình đã cho rồi giải tìm t, sau đó tìm x.
(b) Có thể dùng cả hai biến số mới
3.2. Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai 23
Ví dụ 3.2.2. Giải phương trình 2?33x 2 + 3?6x 5 8 = 0. Hướng dẫn.
Điều kiện: x ¥32.
#
Đặt
u =?33x 2
v =?6x 5ta được
#
u3 = 3x 2 v2 = 6x 5
#
hay
2u3 = 6x 4
v2 = 6x 5, trừ từng vế ta được 2u3 v2 = 1. Kết
hợp với phương trình đã cho sau khi thay bằng các biến mới ta
được hệ#
2u + 3v 8 = 0 2u3 v2 = 1
Giải tìm được u, v rồi tìm x.
5. Phương pháp nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất Ví dụ 3.2.3. Giải phương trình ?3x + 1 ?6 x + 3x2 14x 8 = 0.
Hướng dẫn.
Điều kiện: 13 ¤ x ¤ 6. Nhận thấy x = 5 là nghiêm của phương trình nên ta biến đổi làm xuất hiện nhân tử x 5 như sau
(?3x + 1 4) + (1 ?6 x) + 3x2 15x + x 5 = 0
hay
(?3x + 1 4)(?3x + 1 + 4)
?3x + 1 + 4+(1 ?6 x)(1 +?6 x)
1 +?6 x
+(x 5)(3x + 1) = 0
tức là
?3x + 1 + 4+x 5
3x 15
1 +?6 x+ (x 5)(3x + 1) = 0
Rút nhân tử chung và giải tiếp...
24 Chương 3. Phương trình và hệ phương trình
3.3. Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
3.3.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số thực, a, b không đồng thời bằng 0, x, y là 2 ẩn.
3.3.2. Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn
có dạng"a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
trong đó cả hai phương trình đều là phương trình bậc nhất 2 ẩn. Có 2 cách giải
1. Phương pháp thế: Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn qua ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
2. Phương pháp cộng: Biến đổi cho hệ số của một trong hai phương trình là hai số đối nhau rồi cộng từng vế hai phương trình lại.
3.3.3. Dạng tam giác của hệ 3 phương trình bậc nhất ba ẩn
(3.3)
$& %
a1x = d1 a2x + b2y = d2 a3x + b3y + c3z = d3
Cách giải: Từ phương trình đầu của hệ (3.3) tính được x, thay vào phương trình thứ hai tính được y rồi thay vào phương trình thứ ba tính được z.
3.3.4. Hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn
$& %
a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3
3.3. Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 25
Cách giải: Dùng phương pháp Gauss2 khử dần ẩn số bằng cách nhân đại số để đưa về hệ phương trình dạng tam giác.
3.3.5. Một số hệ phương trình khác
1. Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 1:
#
Ví dụ 3.3.1. Giải hệ phương trình
x2y + xy2 = 30 x3 + y3 = 35
Cách giải: Biến đổi xuất hiện tổng S = x + y và tích P = xy đưa về hệ theo S và P để giải.
2. Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 2:
#
Ví dụ 3.3.2. Giải hệ phương trình
x3 = 3x + 8y y3 = 3y + 8x
Cách giải: Trừ từng vế hai phương trình để đưa về phương trình tích.
3. Hệ phương trình hai ẩn đẳng cấp bậc hai:
#
Ví dụ 3.3.3. Giải hệ phương trình
3x2 + 2xy + y2 = 11 x2 + 2xy + 3y2 = 17
Cách giải: Nếu y = 0 thì thử trực tiếp. Nếu y 0 thì đặt y = kx rồi thay vào hệ.
2Carl Friedrich Gauss (1777-1855) là một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, thiên văn học và quang học. Ông được mệnh danh là “hoàng tử của các nhà toán học”. Với ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử.
Chương 4
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
4.1. Bất đẳng thức
4.1.1. Định nghĩa
A ¤ B ðñ A B ¤ 0
A B ðñ A B 0
4.1.2. Các tính chất bất đẳng thức cơ bản
1. Bắc cầu: Nếu a b và b c thì a c.
2. Cộng hai vế bất đẳng thức với một số: a b ðñ a + c b + c 3. Nhân hai vế bất đẳng thức với một số:
- Nếu c ¡ 0 thì a b ðñ ac bc.
- Nếu c 0 thì a b ðñ ac ¡ bc.
4. Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu a b và c d thì a + c b + d.
5. Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu 0 a b và 0 c d thì a.c b.d.
6. Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa: Nếu n nguyên dương thì
a b ðñ a2n+1 b2n+1
0 a b ùñ a2n b2n
7. Khai căn hai vế của một bất đẳng thức
0 a b ðñ ?a ?b
0 a b ðñ ?3a ?3b
4.1.3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. |x| ¥ 0, |x| ¥ x, |x| ¥ x.
2. Với a ¡ 0 thì
|x| ¤ a ðñ a ¤ x ¤ a.
26
4.1. Bất đẳng thức 27
|x| ¥ a ðñ x ¤ a hoặc x ¥ a.
3. |a| |b| ¤ |a + b| ¤ |a| + |b|.
4.1.4. Bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy1phát biểu như sau
1. Cho 2 số không âm:
Với 2 số thực a, b ¥ 0 thì trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng 2¥?ab, có dấu “=” khi a = b.
trung bình nhân, tức là a + b
2. Cho 3 số không âm:
3¥?3abc, có dấu “=” khi a = b = c.
Với a, b, c ¥ 0 thì a + b + c
3. Bất đẳng thức Cauchy có thể mở rộng cho n số thực không âm.
4.1.5. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Bất đẳng thức Bunhiacopski2còn gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwartz3, phát biểu như sau:
1. Cho 2 cặp số:
Với 2 cặp số thực (x1, y1) và (x2, y2) thì
(x1y1 + x2y2)2 ¤ (x21 + x22)(y21 + y22)
dấu “=” xảy ra khi x1
y1=x2
thì y2 = 0.
2. Cho n cặp số:
y2với quy ước x1 = 0 thì y1 = 0, x2 = 0
Với n cặp số thực (x1, y1), (x2, y2) và (xn, yn) thì
(x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn)2 ¤ (x21 + x22 + . . . + x2n)(y21 + y22 + . . . + y2n)
1Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết là Cô-si) là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại Paris. Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp. Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lĩnh vực toán tích phân và toán vi phân. Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học.
2Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) là nhà toán học người Nga. Tác phẩm to lớn của ông là “Cơ sở của lý thuyết xác suất” (1846) trong đó có nhiều phần độc đáo, nhất là phần lịch sử phát sinh và phát triển môn xác suất, phần ứng dụng quan trọng của xác suất trong vấn đề bảo hiểm và dân số.
3Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) là một nhà toán học người Đức, nổi tiếng với công trình về giải tích phức.
28 Chương 4. Bất đẳng thức và bất phương trình dấu “=” xảy ra khi x1
y1=x2
y2= . . . =xn
ynvới quy ước x1 = 0 thì
y1 = 0, x2 = 0 thì y2 = 0,..., xn = 0 thì yn = 0.
4.1.6. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số Xét hàm số y = f(x) với tập xác định D, ta định nghĩa:
1. M = max
xPDf(x) ðñ
2. m = min
xPDf(x) ðñ
"f(x) ¤ M, @x P D Dx0 P D : f(x0) = M
"f(x) ¥ m, @x P D Dx0 P D : f(x0) = m
4.2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
4.2.1. Điều kiện của một bất phương trình
- Là điều kiện mà ẩn số phải thỏa mãn để các biểu thức ở hai vế của bất phương trình có nghĩa.
4.2.2. Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương
- Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
4.2.3. Các phép biến đổi bất phương trình
Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phương trình P(x) Q(x)
1. Phép cộng
Nếu f(x) xác định trên D thì
P(x) Q(x) ðñ P(x) + f(x) Q(x) + f(x)
2. Phép nhân
- Nếu f(x) ¡ 0, @x P D thì
P(x) Q(x) ðñ P(x). f(x) Q(x). f(x)
- Nếu f(x) 0, @x P D thì
P(x) Q(x) ðñ P(x). f(x) ¡ Q(x). f(x)
4.3. Dấu của nhị thức bậc nhất 29
3. Phép bình phương
- Nếu P(x) ¥ 0 và Q(x) ¥ 0, @x P D thì
P(x) Q(x) ðñ [P(x)]2 ¡ [Q(x)]2
4.2.4. Chú ý
Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình, điều kiện của bất phương trình thường bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình đã cho ta phải tìm các giá trị của ẩn đồng thời thỏa mãn bất phương trình mới và điều kiện của bất phương trình đã cho.
4.3. Dấu của nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất ẩn x có dạng f(x) = ax + b trong đó a, b P R, a 0. Dấu của nhị thức bậc nhất như sau
x
ax + b
8 ba+8
trái dấu
với a0cùng dấu
với a
4.4. Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
4.4.1. Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
1. Có dạng
(4.1) ax + by ¤ c
2. Biểu diễn tập nghiệm như sau:
(a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (∆) : ax + by = c. (b) Lấy một điểm M0(x0; y0) R (∆) (ta thường lấy gốc tọa độ O) (c) Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c.
(d) Kết luận:
- Nếu ax0 + by0 c thì nửa mặt phẳng bờ (∆) chứa M0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ¤ c.
- Nếu ax0 + by0 ¡ c thì nửa mặt phẳng bờ (∆) không chứa M0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ¤ c.
30 Chương 4. Bất đẳng thức và bất phương trình
3. Bỏ bờ miền nghiệm của bất phương trình (4.1) ta được miền nghiệm của bất phương trình ax + by c. Miền nghiệm của các bất phương trình ax + by ¥ c và ax + by ¡ c được xác định tương tự.
4.4.2. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
1. Có dạng"a1x + b1y ¤ c1
a2x + b2y ¤ c2
2. Biểu diễn hình học như sau:
(a) Vẽ các đường thẳng (∆1) : a1x + b1y = c1 và (∆2) : a2x + b2y = c2.
(b) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng.
4.4.3. Bài toán tối ưu trong kinh tế
1. Là bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức có dạng F = ax + by, trong đó x, y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn cho trước.
2. Cách giải:
(a) Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. (b) Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác. Tính giá trị của F ứng với (x0, y0) là tọa độ các đỉnh của miền đa giác này rồi so sánh các kết quả từ đó suy ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
4.5. Dấu của tam thức bậc hai
4.5.1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a 0, đặt ∆ = b2 4ac, khi đó
1. Nếu ∆ 0 thì dấu của tam thức như sau
x
ax2 + bx + c
8 +8 cùng dấu với a
4.5. Dấu của tam thức bậc hai 31
2. Nếu ∆ = 0 thì dấu của tam thức như sau
8 b
x
ax2 + bx + c
2a +8
cùng dấu
với a0cùng dấu
với a
3. Nếu ∆ ¡ 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 x2, khi đó dấu của tam thức như sau
x
ax2 + bx + c
8 x1 x2 +8
cùng dấu
với a0trái dấu
với a0cùng dấu
với a
4.5.2. Một số điều kiện tương đương Nếu ax2 + bx + c là một tam thức bậc hai (a 0) thì 1. ax2 + bx + c = 0 có nghiệm ðñ ∆ = b2 4ac ¥ 0. 2. ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu ðñca 0.
$''&
3. ax2 + bx + c = 0 có các nghiệm đều dương ðñ ''%
$''&
∆ ¤ 0 c
a¡ 0 ba¡ 0
4. ax2 + bx + c = 0 có các nghiệm đều âm ðñ ''%
"a ¡ 0
∆ ¤ 0 c
a¡ 0 ba 0
5. ax2 + bx + c ¡ 0, @x ðñ 6. ax2 + bx + c ¥ 0, @x ðñ 7. ax2 + bx + c 0, @x ðñ 8. ax2 + bx + c ¤ 0, @x ðñ
∆ 0
"a ¡ 0 ∆ ¤ 0
"a 0 ∆ 0
"a ¡ 0 ∆ ¤ 0
Chương 5
THỐNG KÊ
5.1. Bảng phân bố tần số và tần suất 5.1.1. Tần số và tần suất của một giá trị
Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau (k ® n). Gọi xilà một giá trị bất kỳ trong k giá trị đó, ta có
1. Số lần xuất hiện giá trị xitrong dãy số liệu đã cho được gọi là tần số của giá trị đó, ký hiệu là ni.
2. Số fi =ninđược gọi là tần suất của giá trị xi.
5.1.2. Tần số và tần suất của một lớp
Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp (k n). Xét lớp thứ i(i = 1, 2, . . . , k) trong k lớp đó, ta có
1. Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i được gọi là tần số của lớp đó.
2. Số fi =ninđược gọi là tần suất của lớp thứ i.
Chú ý: Trong các bảng phân bố tần suất thì tần suất được tính ở dạng tỷ số phần trăm.
5.2. Số trung bình cộng
5.2.1. Số trung bình cộng
1. Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất
x =1n¸k i=1
nixi =¸k i=1
fixi
=1n(n1x1 + n2x2 + . . . + nkxk)
= f1x1 + f2x2 + . . . + fkxk,
trong đó ni, filần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi; n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + . . . + nk = n).
32
5.2. Số trung bình cộng 33 2. Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp
x =1n¸k i=1
nici =¸k i=1
fici,
trong đó ci, ni, filần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + . . . + nk = n).
5.2.2. Số trung vị
Số trung vị Me của một dãy gồm n số liệu thống kê được sắp thứ tự không giảm (hoặc không tăng) là
• Số đứng giữa dãy (số hạng thứ n + 1
2) nếu n lẻ;
• Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy (trung bình cộng của số hạng thứ n2và số hạng thứ n2+ 1 nếu n chẵn.
5.2.3. Mốt
Mốt M0 là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số. Nếu trong bảng phân bố tần số có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của các giá trị khác thì ta có hai giá trị đó là hai mốt.
5.2.4. Chọn đại diện cho các số liệu thống kê
1. Trường hợp tính được cả ba số: trung bình, trung vị, mốt, và các số liệu thống kê là cùng loại đồng thời số lượng các số liệu đủ lớn (n ¯ 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê. Khi đó số trung vị hoặc mốt được sử dụng để bổ sung thêm những thông tin cần thiết.
2. Trường hợp không tính được số trung bình thì người ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê. 3. Những trường hợp sau đây, không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê (có thể dùng số trung vị hoặc mốt): (a) Số các số liệu thống kê quá ít (nhỏ hơn hoặc bằng 10). (b) Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệch nhau quá lớn. (c) Đường gấp khúc tần suất không đối xứng và nhiều trường hợp khác.
34 Chương 5. Thống kê
5.3. Phương sai và độ lệch chuẩn
5.3.1. Công thức tính phương sai
1. Cách 1: Tính theo tần số
(a) Đối vối bảng phân bố tần số
s2x =1n¸k i=1
ni(xi x)2
(b) Đối vối bảng phân bố tần số ghép lớp
s2x =1n¸k
i=1
2. Cách 2: Tính theo tần suất (a) Đối vối bảng phân bố tần suất
ni(ci x)2
s2x =¸k i=1
fi(xi x)2
(b) Đối vối bảng phân bố tần suất ghép lớp
s2x =¸k i=1
fi(ci x)2
Trong đó ni, filần lượt là tần số, tần suất của giá trị xitrong bảng phân bố tần số, tần suất (hay là tần số, tần suất của lớp thứ i trong bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp); n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + . . . + nk = n); x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê; cilà giá trị đại diện của lớp thứ i.
3. Cách 3: Sử dụng công thức s2x = x2 (x)2.
5.3.2. Ý nghĩa và cách sử dụng phương sai
Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi hai số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng ít.
5.3. Phương sai và độ lệch chuẩn 35
5.3.3. Độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn sx là căn bậc hai của phương sai s2x
b
sx =
s2x
Độ lệch chuẩn cũng được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).
Cách sử dụng độ lệch chuẩn hoàn toàn giống như cách sử dụng phương sai. Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn sx (vì sx có cùng đơn vị đo với dấu hiệu X được nghiên cứu).
Chương 6
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
6.1. Cung và góc lượng giác
6.1.1. Quan hệ giữa độ và radian
180 = π rad; 1 =π
180 rad; 1 rad =
180 π
Với π 3, 14 thì 1 = 0, 0175 rad và 1 rad = 57 171452.
6.1.2. Độ dài của cung tròn
Cho một cung tròn có số đo α rad và bán kính R, khi đó độ dài l của cung tròn đó xác định bởi
l = Rα
6.1.3. Số đo của cung lượng giác
Số đo của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B là
sđñ
AB= α + k2π, k P Z.
6.1.4. Biểu diễn cung lượng giác
1. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A(1; 0) làm điểm đầu của cung, chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ, vì vậy ta chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cungñ
AM có sđñ
AM= α.
36
6.2. Giá trị lượng giác của một cung 37 y
M
α
+ A
x
1 1
O
2. Mỗi cung lượng giácñ
CD ứng với một góc lượng giác (OC,OD) và
ngược lại. Số đo của cung lượng giác và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau.
6.2. Giá trị lượng giác của một cung
6.2.1. Các kiến thức cơ bản
Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho cungñ
AM có sđñ
AM= α.
Khi đó
y
sin α
M
α
cos α
+ A
x
1 1
O
• Tung độ của điểm M là sin α.
• Hoành độ của điểm M là cos α. • tan α =sin α
cos αvới cos α 0.
• cot α =cos α
sin αvới sin α 0.
38 Chương 6. Cung và góc lượng giác
• tan α xác định khi và chỉ khi α π2+ kπ, k P Z.
• cos α xác định khi và chỉ khi α kπ, k P Z.
• cos α ¥ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV; cos α ¤ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ II và thứ III.
• sin α ¥ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và thứ II; sin α ¤ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ III và thứ IV.
• Từ dấu của sin α và cos α ta sẽ suy ra được dấu của tan α và cot α. Chú ý: Các biểu thức có mặt ở hai vế của các đẳng thức trong các mục dưới đây đều quy ước là có nghĩa.
6.2.2. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin2α + cos2 α = 1 tan α. cot α = 1
1 + tan2 α =1
cos2 α1 + cot2 α =1
sin2α
6.2.3. Giá trị lượng giác của các cung đối nhau
cos( α) = cos α sin( α) = sin α
tan( α) = tan α cot( α) = cot α
6.2.4. Giá trị lượng giác của các cung bù nhau
sin(π α) = sin α cos(π α) = cos α
tan(π α) = tan α cot(π α) = cot α
6.2.5. Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau
sin
π
2 α
= cos α cos
π
2 α
= sin α
tan
π
2 α
= cot α cot
π
2 α
= tan α
6.2.6. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém π
sin(π + α) = sin α cos(π + α) = cos α
tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α
6.3. Công thức lượng giác 39
6.3. Công thức lượng giác
6.3.1. Công thức cộng
• sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a.
• sin(a b) = sin a cos b sin b cos a.
• cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b.
• cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b.
• tan(a + b) = tan a + tan b
1 tan a tan b.
• tan(a b) = tan a tan b
1 + tan a tan b.
6.3.2. Công thức nhân đôi
• sin 2x = 2 sin x cos x.
• cos 2x = cos2 x sin2x = 2 cos2 x 1 = 1 2 sin2x. • tan 2x =2 tan x
1 tan2 x.
6.3.3. Công thức nhân ba
• cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x.
• sin 3x = 3 sin x 4 sin3x.
6.3.4. Công thức hạ bậc
cos2 x =1 + cos 2x
2 sin2x =1 cos 2x
2
6.3.5. Công thức tính theo t = tan x2 1 + t2 cos x =1 t2
sin x =2t
1 + t2 tan x =2t 1 t2
6.3.6. Công thức tổng thành tích
• sin a + sin b = 2 sin • sin a sin b = 2 cos
a + b 2
a + b 2
cos
sin
a b 2
a b 2
.
.
• cos a + cos b = 2 cos
a + b 2
cos
a b 2
.
• cos a cos b = 2 sin
a + b 2
sin
a b 2
.
40 Chương 6. Cung và góc lượng giác
6.3.7. Công thức tích thành tổng
• cos a cos b =12[cos(a b) + cos(a + b)].
• sin a sin b =12[cos(a b) cos(a + b)].
• sin a cos b =12[sin(a b) + sin(a + b)].
6.3.8. Một số công thức khác
• sin x + cos x =?2 cos x π4 =?2 sin x +π4 . • sin x cos x =?2 cos 3π4 x =?2 sin x π4 . • (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x.
• sin4x + cos4 x = 1 sin22x
2.
• sin6x + cos6 x = 1 3 sin22x
4.
Chương 7
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
7.1. Hàm số lượng giác
7.1.1. Hàm số sin
1. Hàm số y = sin x có các tính chất sau
(a) y = sin x có tập xác định là R và
1 ® sin x ® 1, @x P R
(b) y = sin x là hàm số lẻ;
(c) y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π. 2. Hàm số y = sin x nhận các giá trị đặc biệt như sau • sin x = 0 ô x = kπ, k P Z.
• sin x = 1 ô x =π2+ k2π, k P Z.
• sin x = 1 ô x = π2+ k2π, k P Z.
3. Đồ thị của hàm số y = sin x như sau:
y
1 3π
2
π/2
ππ x
3π/2
7.1.2. Hàm số cos
O
1
π/2
y = sin x
1. Hàm số y = cos x có các tính chất sau (a) y = cos x có tập xác định là R và
1 ® cos x ® 1, @x P R
(b) y = cos x là hàm số chẵn;
(c) y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π. 41
42 Chương 7. Hàm số lượng giác
2. Hàm số y = cos x nhận các giá trị đặc biệt như sau • cos x = 0 ô x =π2+ kπ, k P Z.
• cos x = 1 ô x = k2π, k P Z.
• cos x = 1 ô x = (2k + 1)π, k P Z.
3. Đồ thị của hàm số y = cos x như sau:
y
1
2 π2π2
3π
π π O
1
7.1.3. Hàm số tang
1. Hàm số y = tan x =sin x
cos xcó các tính chất sau
!π
y = cos x x
)
(a) y = tan x có tập xác định là D = Rz (b) y = tan x là hàm số lẻ;
2+ kπ, k P Z .
(c) y = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π. 2. Hàm số y = tan x nhận các giá trị đặc biệt như sau • tan x = 0 ô x = kπ, k P Z.
• tan x = 1 ô x =π4+ kπ, k P Z.
• tan x = 1 ô x = π4+ kπ, k P Z. 3. Đồ thị của hàm số y = tan x trên khoảng
π
2;π2 như sau:
7.1. Hàm số lượng giác 43 y
1
π2π2 π
x
O
4
7.1.4. Hàm số cotang
1. Hàm số y = cot x =cos x
sin xcó các tính chất sau
(a) y = cot x có tập xác định là D = Rz tkπ, k P Zu. (b) y = cot x là hàm số lẻ;
(c) y = cot x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π. 2. Hàm số y = tan x nhận các giá trị đặc biệt như sau • cot x = 0 ô x =π2+ kπ, k P Z.
• cot x = 1 ô x =π4+ kπ, k P Z.
• cot x = 1 ô x = π4+ kπ, k P Z.
3. Đồ thị của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) như sau: y
π
O
2π
x
44 Chương 7. Hàm số lượng giác
7.2. Phương trình lượng giác cơ bản 7.2.1. Phương trình cơ bản theo sin
Xét phương trình lượng giác cơ bản theo sin
(7.1) sin x = a, với a P R
• Nếu |a| ¡ 1 thì phương trình (7.1) vô nghiệm.
• Nếu |a| ® 1, gọi ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn sin ϕ = a. Khi đó phương trình (7.1) trở thành
sin x = sin ϕ ôx = ϕ + k2π x = π ϕ + k2π
(k P Z).
Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện π2® ϕ ®π2và sin ϕ = a thì ta viết ϕ = arcsin a, khi đó
sin x = a ôx = arcsin a + k2π x = π arcsin a + k2π
Nếu dùng đơn vị là độ thì ta có
(k P Z).
sin x = sin β ôx = β + k360 x = 180 β + k360
(k P Z).
Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
7.2.2. Phương trình cơ bản theo cos
Xét phương trình lượng giác cơ bản theo cos
(7.2) cos x = a, với a P R
• Nếu |a| ¡ 1 thì phương trình (7.2) vô nghiệm.
• Nếu |a| ® 1, gọi ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn cos ϕ = a. Khi đó phương trình (7.2) trở thành
cos x = cos ϕ ôx = ϕ + k2π x = ϕ + k2π
(k P Z).
7.2. Phương trình lượng giác cơ bản 45
Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện 0 ® ϕ ® π và cos ϕ = a thì ta viết ϕ = arccos a, khi đó
cos x = a ôx = arccos a + k2π x = arccos a + k2π
Nếu dùng đơn vị là độ thì ta có
cos x = cos β ôx = β + k360 x = β + k360
7.2.3. Phương trình cơ bản theo tan Xét phương trình lượng giác cơ bản theo tan
(7.3) tan x = a, với a P R
(k P Z). (k P Z).
Điều kiện của phương trình (7.3) là x π2+ kπ, k P Z. • Nếu ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn π2 ϕ π2và tan ϕ = a thì ta viết ϕ = arctan a. Khi đó phương trình (7.3) trở thành
(k P Z).
hay
tan x = tan ϕ ô x = ϕ + kπ
tan x = a ô x = arctan a + kπ
• Nếu dùng đơn vị độ thì ta có
(k P Z).
tan x = tan β ô x = β + k180
7.2.4. Phương trình cơ bản theo cot Xét phương trình lượng giác cơ bản theo cot
(7.4) cot x = a, với a P R Điều kiện của phương trình (7.4) là x kπ, k P Z.
(k P Z).
46 Chương 7. Hàm số lượng giác
• Nếu ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn 0 ϕ π và cot ϕ = a thì ta viết ϕ = arccot a. Khi đó phương trình (7.4) trở thành
(k P Z).
hay
cot x = cot ϕ ô x = ϕ + kπ
cot x = a ô x = arccot a + kπ
• Nếu dùng đơn vị độ thì ta có
(k P Z).
cot x = cot β ô x = β + k180
(k P Z).
7.3. Phương trình lượng giác thường gặp
7.3.1. Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số Ví dụ: các phương trình 2 sin x 1 = 0, cos2 x + 2 cos x 3 = 0, tan x 3 = 0, . . . có thể đưa về dạng phương trình đại số bằng cách đổi biến số.
7.3.2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Xét phương trình
a sin x + b cos x = c
với a, b, c P R, a2 + b
?2 0. Chia hai vế của phương trình này cho a2 + b2ta được
a
?a2 + b2sin x +a
?a2 + b2cos x =c
?a2 + b2
Vì
a
?a2 + b2 a
2
+
b
?a2 + b2
2
= 1 nên tồn tại ϕ sao cho cos ϕ =
?a2 + b2và sin ϕ =b
?a2 + b2, khi đó ta có
sin x cos ϕ + sin ϕ cos x =c
?a2 + b2
hay
sin(x + ϕ) = c ?a2 + b2
Đây là phương trình cơ bản theo sin nên giải được.
7.3. Phương trình lượng giác thường gặp 47
7.3.3. Phương trình chứa tổng (hay hiệu) và tích của sin và cos
1. Xét phương trình
a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0
với a, b, c P R, a2 + b2 0. Đặt t = sin x + cos x, khi đó t2 = (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x. Từ đó tính được sin x cos x theo t. Sau đó thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình bậc hai theo t nên giải được.
2. Với phương trình dạng a(sin x cos x) + b sin x cos x + c = 0, với a, b, c P R, a2 + b2 0. ta cũng giải như trên bằng cách đặt t = sin x cos x.
7.3.4. Phương trình đẳng cấp đối với sin va cos Xét phương trình
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d
với a, b, c, d P R. Cách giải như sau
• Nếu cos x = 0 thì thử trực tiếp.
• Nếu cos x 0 thì chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta đưa về phương trình bậc hai theo tan x nên giải được.
Chương 8
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
8.1. Quy tắc đếm
8.1.1. Quy tắc cộng
Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn khác nhau và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với mỗi cách chọn đối tượng Y. Khi đó có m + n cách chọn một trong hai đối tượng ấy.
Giả sử A và B là các tập hữu hạn, không giao nhau. Khi đó (8.1)
n(AB) = n(A) + n(B)
Trong đó: n(A) là ký hiệu cho số phần tử của tập A.
Chú ý: Công thức (8.1) có thể mở rộng theo hai hướng • Nếu A và B là hai tập hữu hạn bất kỳ thì
n(AB) = n(A) + n(B) n(AB)
• Nếu A1, A2, . . . , Am là các tập hữu hạn tùy ý, đôi một không giao nhau thì
n(A1A2. . . Am) = n(A1) + n(A2) + . . . + n(Am)
8.1.2. Quy tắc nhân
Giả sử A, B là hai tập hữu hạn. Kí hiệu A B là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó a P A, b P B. Ta có quy tắc
n(A B) = n(A).n(B)
Quy tắc trên có thể phát biểu như sau:
Giả sử có hai hành động được thực hiện liên tiếp. Hành động thứ nhất có m kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết quả. Khi đó có m n kết quả của hai hành động liên tiếp đó.
Chú ý: Quy tắc nhân ở trên có thể mở rộng ra nhiều hành động liên tiếp.
48
8.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 49
8.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ¯ 1).
8.2.1. Hoán vị
Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của tập A.
Số các hoán vị của tập A được kí hiệu là Pn, khi đó
Pn = n.(n 1). . . 2.1 = n!
8.2.2. Chỉnh hợp
Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1 ® k ® n) và xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Akn, khi đó
Akn =n!
(n k)!
Quy ước: 0! = 1.
8.2.3. Tổ hợp
Một tập con gồm k phần tử của A (1 ® k ® n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Ckn, khi đó
Ckn =n!
k!(n k)!
8.3. Nhị thức Newton
8.3.1. Công thức nhị thức Newton
Khi khai triển nhị thức Newton1(a + b)n, ta nhận được công thức (8.2) (a + b)n = C0nan + C1nan 1b + . . . + Cn 1
nabn 1 + Cnnbn
1Isaac Newton (1642-1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất.
50 Chương 8. Tổ hợp và xác suất
8.3.2. Các tính chất
Trong khai triển công thức (8.2) ta có
1. Số các hạng tử là n + 1.
2. Số hạng (hay hạng tử) thứ k + 1 là Cknan kbk, k = 0, 1, . . . , n (quy ước a0 = 1 với a 0).
3. Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. 4. Các hạng tử cách đều hạng tử đầu và hạng tử cuối có hệ số bằng nhau.
8.4. Lý thuyết cơ bản về xác suất
8.4.1. Phép thử và biến cố
• Tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là Ω. Ta chỉ xét các phép thử với không gian mẫu Ω là tập hữu hạn.
• Mỗi tập con A của Ω được gọi là một biến cố. Tập ∅ được gọi là biến cố không thể, tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
• Nếu khi phép thử được tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra, hay phép thử thuận lợi cho A. • Biến cố A = ΩzA được gọi là biến cố đối của A. Như vậy A và B là
hai biến cố đối nhau ô A = B; A xảy ra ô A không xảy ra. • Biến cố AB xảy ra ô A hoặc B xảy ra.
• Biến cố AB xảy ra ô A và B cùng xảy ra.
• Nếu AB = ∅ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.
8.4.2. Xác suất của biến cố
1. Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn các kết quả đồng khả năng xuất hiện thì tỉ số P(A) = n(A)
n(Ω)được gọi là
xác suất của biến cố A, trong đó kí hiệu n(A) là số phần tử của A. 2. Xác suất có các tính chất sau:
(a) P(A) ¥ 0, @A.
(b) P(Ω) = 1.
(c) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì
8.4. Lý thuyết cơ bản về xác suất 51
P(AB) = P(A) + P(B)
(Công thức cộng xác suất).
Mở rộng: Với hai biến cố A và B bất kỳ cùng liên quan đến phép thử thì
P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)
3. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Người ta chứng minh được rằng, hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B). Ngoài ra, A và B độc lập ô A và B độc lập ô A và B độc lập ô A và B độc lập.
Chương 9
DÃY SỐ
9.1. Phương pháp quy nạp toán học 1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n P N bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước:
(a) Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
(b) Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k (k ¥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ¥ p (p là số tự nhiên) thì:
(a) Ở bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
(b) Ở bước 2: ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k (k ¥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. 3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải là chứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.
Ví dụ 9.1.1. Chứng minh rằng
(9.1)
c
2 +
b
2 + . . . +?2
= 2 cos π
loooooooooooomoooooooooooon
n dấu căn
Giải.
Đặt vế trái của hệ thức (9.1) bằng Cn. Khi n = 1 thì hệ thức (9.1) đúng.
Giả sử hệ thức (9.1) đúng với n = k ¯ 1, tức là Ck = 2 cos π
2k+1
2n+1
Ta phải chứng minh
Ck+1 = 2 cos π 2k+2
52
9.2. Dãy số 53
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
Ck+1 =a2 + Ck =c2 + 2 cos π
c
4 cos2π
2k+1
2k+2= 2 cos π
2k+2(vì cosπ
2k+2¡ 0)
=
Vậy hệ thức (9.1) đã được chứng minh.
9.2. Dãy số
9.2.1. Cơ bản về dãy số
Định nghĩa 9.1. Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
u: N ÝÑ R
n ÞÝÑ u(n)
Trong đó ta gọi u(n) = un là số hạng tổng quát của dãy số (un). Mỗi hàm số u xác định trên tập M = t1, 2, . . . , mu, với m P N , được gọi là dãy số hữu hạn.
9.2.2. Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Khi đó un = f(n) với f là một hàm số xác định trên N . Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được un.
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, không thể tìm ngay được un với n tùy ý. 3. Dãy số cho bằng công thức truy hồi (hay quy nạp)
(a) Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc vài số hạng đầu).
(b) Với n ¥ 2, cho một công thức tính un nếu biết un 1 (hoặc một vài số hạng đứng ngay trước nó). Các công thức có thể là
#
u1 = a
un = f(un 1) với n ¥ 2
54 Chương 9. Dãy số
#
hoặc
u1 = a, u2 = b
un = f(un 1, un 2) với n ¥ 3
9.2.3. Dãy số tăng, dãy số giảm
1. Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un+1 ¡ un với mọi n P N . 2. Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un+1 un với mọi n P N . 3. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu.
(a) Phương pháp 1: Xét hiệu H = un+1 un.
i. Nếu H ¡ 0 với mọi n P N thì dãy số tăng.
ii. Nếu H 0 với mọi n P N thì dãy số giảm.
(b) Phương pháp 2: Nếu un ¡ 0 với mọi n P N thì lập tỷ số un+1
rồi so sánh với 1
i. Nếu un+1
un¡ 1 với mọi n P N thì dãy số tăng.
ii. Nếu un+1
un 1 với mọi n P N thì dãy số giảm.
9.2.4. Dãy số bị chặn
un,
1. Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho un ® M, @n P N
2. Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho un ¯ m, @n P N
3. Dãy số được gọi là bị chặn, nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số m, M sao cho
m ® un ® M, @n P N
Chú ý: Các dấu “=” không nhất thiết phải xảy ra.
9.3. Cấp số cộng
9.3.1. Cơ bản về cấp số cộng
Định nghĩa 9.2. Dãy số (un) là cấp số cộng ô un+1 = un + d với n P N , trong đó d là một hằng số và được gọi là công sai.
9.4. Cấp số nhân 55
Như vậy, công sai của một cấp số cộng (un) xác định bởi: d = un+1 un = un un 1 = . . .
9.3.2. Số hạng tổng quát
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) xác định bởi un = u1 + (n 1)d với n ¯ 2
Suy ra d =un u1
n 1.
9.3.3. Tính chất
uk =uk 1 + uk+1
2với k ¯ 2
hay uk 1 + uk+1 = 2uk.
9.3.4. Tổng n số hạng đầu
Sn =¸n i=1
ui =n(u1 + un)
2với n P N
hay Sn =n[2u1 + (n 1)d]
2.
Chú ý: Khi giải các bài toán về cấp số cộng (un), ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là u1, d, un, n, Sn. Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại.
9.4. Cấp số nhân
9.4.1. Cơ bản về cấp số nhân
Định nghĩa 9.3. Dãy số (vn) là cấp số nhân ô vn+1 = vn.q với n P N , trong đó q là một hằng số và được gọi là công bội.
Như vậy, công bội của một cấp số nhân (vn) xác định bởi: q =vn+1
vn=vn
vn 1. . .
56 Chương 9. Dãy số
9.4.2. Số hạng tổng quát
Số hạng tổng quát của cấp số nhân (vn) xác định bởi vn = v1.qn 1 với n ¯ 2
9.4.3. Tính chất
(vk)2 = vk 1.vk+1 (k ¯ 2)
hay |vk| =?vk 1.vk+1
9.4.4. Tổng n số hạng đầu
Sn =¸n i=1
vi =v1(qn 1)
q 1với q 1
Chú ý: Khi giải các bài toán về cấp số nhân (vn), ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là v1, q, vn, n, Sn. Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại.
Chương 10
GIỚI HẠN
10.1. Giới hạn của dãy số
10.1.1. Giới hạn hữu hạn
Cho các dãy số (un),(vn), khi đó
1. lim nÑ+8un = 0 ô |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
2. lim nÑ+8vn = a ô lim nÑ+8(vn a) = 0 với a P R.
10.1.2. Giới hạn vô cực
1. lim nÑ+8un = +8 ô un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
2. lim nÑ+8un = 8 ô lim nÑ+8( un) = +8.
Chú ý: Thay cho lim nÑ+8un = a, lim nÑ+8un = 8 ta có thể viết tắt lim un = a, lim un = 8.
10.1.3. Các giới hạn đặc biệt
1. lim 1n= 0; lim 1nk= 0; lim nk = +8, với k nguyên dương. 2. lim qn = 0 nếu |q| 1; lim qn = +8 nếu q ¡ 1.
3. lim c = c với c P R.
10.1.4. Định lý về giới hạn hữu hạn
1. Nếu lim un = a và lim vn = b, thì:
lim(un + vn) = a + b lim(un vn) = a b
lim un.vn = ab lim un
vn=ab(với b 0).
2. Nếu un ¯ 0 với mọi n và lim un = a thì a ¯ 0 và lim ?un =?a. 57
58 Chương 10. Giới hạn
10.1.5. Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và vô cực 1. Nếu lim un = a và lim vn = 8 thì lim un
vn= 0.
2. Nếu lim un = a ¡ 0 và lim vn = 0 với vn ¡ 0, @n thì lim un
vn= +8.
3. Nếu lim un = +8 và lim vn = a ¡ 0 thì lim unvn = +8. 10.1.6. Cấp số nhân lùi vô hạn
1. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn |q| 1.
2. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) S = u1 + u2 + . . . + un + . . . =u1
1 q
10.2. Giới hạn của hàm số
10.2.1. Giới hạn hữu hạn
1. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên Kztx0u. Khi đó limxÑx0f(x) = L ô với dãy số (xn) bất kỳ, xn P Kztx0u và xn Ñ x0, ta có lim f(xn) = L.
2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Khi đó xÑx+0f(x) = L ô với dãy số (xn) bất kỳ, x0 xn b và xn Ñ x0, ta
lim
có lim f(xn) = L.
3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Khi đó xÑx 0f(x) = L ô với dãy số (xn) bất kỳ, a xn x0 và xn Ñ x0, ta
lim
có lim f(xn) = L.
4. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +8). Khi đó lim xÑ+8f(x) = L ô với dãy số (xn) bất kỳ, xn ¡ a và xn Ñ +8, ta có lim f(xn) = L.
5. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( 8; a). Khi đó lim xÑ 8f(x) = L ô với dãy số (xn) bất kỳ, xn a và xn Ñ 8, ta có lim f(xn) = L.
10.2.2. Giới hạn vô cực
Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau
10.2. Giới hạn của hàm số 59
1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +8). Khi đó lim xÑ+8f(x) = 8 ô với dãy số (xn) bất kỳ, xn ¡ a và xn Ñ +8, ta có lim f(xn) = 8.
2. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên Kztx0u. Khi đó limxÑx0f(x) = +8 ô với dãy số (xn) bất kỳ, xn P Kztx0u và xn Ñ x0, ta có lim f(xn) = +8.
Chú ý: f(x) có giới hạn +8 ô f(x) có giới hạn 8.
10.2.3. Các giới hạn đặc biệt
1. limxÑx0x = x0 với x0 P R.
2. limxÑx0c = c với c là hằng số.
3. lim xÑ 8c = c với c là hằng số.
4. lim xÑ 8cx= 0 với c là hằng số.
5. lim xÑ+8xk = +8 với k nguyên dương.
6. lim xÑ 8xk = 8 với k là số lẻ.
7. lim xÑ 8xk = +8 với k là số chẵn.
sin x
8. lim xÑ0
x= 1.
10.2.4. Các định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 10.1. Ta chứng minh được các định lý sau 1. Nếu limxÑx0f(x) = α và limxÑx0g(x) = β với α, β P R, thì (a) limxÑx0[ f(x) + g(x)] = α + β.
(b) limxÑx0[ f(x) g(x)] = α β.
(c) limxÑx0[ f(x).g(x)] = α.β.
(d) limxÑx0f(x)
g(x)=αβvới β 0.
2. Nếu f(x) ¥ 0 và Nếu limxÑx0f(x) = α thì α ¡ 0 và limxÑx0
b
f(x) = ?α.
Chú ý: Định lý (10.1) vẫn đúng khi x Ñ +8 hoặc x Ñ 8.
60 Chương 10. Giới hạn
Định lý 10.2. limxÑx0f(x) = α ô lim
xÑx+0f(x) = lim
xÑx 0f(x) = α.
10.2.5. Các quy tắc về giới hạn vô cực
1. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
limxÑx0f(x)
limxÑx0g(x)
limxÑx0f(x)g(x)
α ¡ 0
+8
+8
8
8
α 0
+8
8
8
+8
2. Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)
g(x)
limxÑx0f(x)
limxÑx0g(x)
Dấu của g(x)
limxÑx0f(x) g(x)
α
8
Tùy ý
0
α ¡ 0
0
+
+8
8
α 0
0
+
8
+8
(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x x0).
10.3. Hàm số liên tục
10.3.1. Hàm số liên tục
1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 P K. Khi đó, hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi
limxÑx0f(x) = f(x0)
2. Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
10.3. Hàm số liên tục 61
3. Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim
xÑa+f(x) = f(a), lim
xÑb f(x) = f(b).
Nhận xét: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.
10.3.2. Các định lý
Định lý 10.3. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỷ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lý 10.4. Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó
1. Các hàm số f(x) + g(x), f(x) g(x) và f(x).g(x) cũng liên tục tại điểm x0.
2. Hàm số f(x)
g(x)liên tục tại x0 nếu g(x0) 0.
Định lý 10.5. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a). f(b) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c P (a; b) sao cho f(c) = 0.
Hệ quả 10.6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a). f(b) 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).
Chương 11
ĐẠO HÀM
11.1. Các lý thuyết về đạo hàm
11.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 11.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), x0 P (a, b), x0 + ∆x P (a, b), nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim
∆xÑ0
f(x0 + ∆x) f(x0) ∆x
được gọi là đạo hàm của f(x) tại x0, kí hiệu là f1(x0) hay y1(x0), khi đó f(x0 + ∆x) f(x0)
f1(x0) = lim ∆xÑ0
∆x= limxÑx0f(x) f(x0) x x0
11.1.2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa 1. Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x0, tính
∆y = f(x0 + ∆x) f(x0)
2. Lập tỉ số ∆y
∆x.
3. Tính lim ∆xÑ0
∆y
∆x.
Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x P (a; b).
11.1.3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm
f(x) có đạo hàm tại x0
ñ ö
62
f(x) liên tục
tại x0
11.2. Các qui tắc tính đạo hàm 63
11.1.4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu tồn tại, f1(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x0; f(x0)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là
y y0 = f1(x0)(x x0)
, với y0 = f(x0)
11.1.5. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
v(t) = s1(t) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.
11.2. Các qui tắc tính đạo hàm
11.2.1. Các công thức
1. [ f(x) g(x)]1 = f1(x) g1(x).
2. [ f(x).g(x)]1 = f1(x)g(x) + f(x)g1(x).
3. [k f(x]1 = k f 1(x) với k P R.
4.
f(x) g(x)
1
=f1(x)g(x) f(x)g1(x)
[g(x)]2với g(x) 0.
5. Đạo hàm của hàm hợp
y1x = y1u.u1x với y = y(u), u = u(x).
11.2.2. Bảng các đạo hàm cơ bản
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp u = u(x)
• (c)1 = 0 với c P R
• (xα)1 = α.xα 1
• (uα)1 = α.uα 1u1
1
1
= 1x2
•
x
1
1
= u1
•
u2
u
• (?x)1 =1
2?x
• (?u)1 =u1
2?u
64 Chương 11. Đạo hàm
• (ex)1 = ex
• (eu)1 = eu.u1
• (ax)1 = axln a
• (au)1 = au. ln a.u1
• (sin x)1 = cos x
• (sin u)1 = u1. cos u
• (cos x)1 = sin x
• (cos u)1 = u1. sin u
• (tan x)1 =1
cos2 x
• (tan u)1 =u1
cos2 u
• (cot x)1 = 1
sin2x
• (cot u)1 = u1.1
sin2 u
11.3. Vi phân
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b) và có đạo hàm tại x P (a, b). Giả sử ∆x là số gia của x sao cho x + ∆x P (a, b). Tích f1(x)∆x được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x, ứng với số gia ∆x, ký hiệu là df(x) hay dy. Như vậy dy = df(x) = f1(x)dx.
Chương 12
KHẢO SÁT HÀM SỐ
12.1. Tính đồng biến - nghịch biến của hàm số Giả sử hàm f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b), khi đó: 1. f1(x) ¡ 0, @x P (a, b) thì f(x) đồng biến trên khoảng (a, b). 2. f1(x) 0, @x P (a, b) thì f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b). 3. f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) thì f1(x) ¥ 0, @x P (a, b). 4. f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b) thì f1(x) ¤ 0, @x P (a, b).
12.2. Cực trị của hàm số
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và x0 P (a; b)
#
f1(x) ¡ 0, @x P (x0 h; x0)
1. Nếu #
f1(x) 0, @x P (x0; x0 + h)thì x0 là điểm cực đại của f(x).
2. Nếu 3. Nếu 4. Nếu
f1(x) 0, @x P (x0 h; x0)
f1(x) ¡ 0, @x P (x0; x0 + h)thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
#
f1(x0) = 0
f2(x0) 0thì x0 là điểm cực đại của f(x).
#
f1(x0) = 0
f2(x0) ¡ 0thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
12.3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
12.3.1. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn
Định lý 12.1. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì tồn tại [a;b]f(x) và min
max
[a;b]f(x).
Cách tìm:
• Tìm xi P [a, b], i = 1, 2, . . . , n là các điểm tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Tính f(a), f(b), f(xi), với i = 1, 2, . . . , n.
65
66 Chương 12. Khảo sát hàm số
• So sánh để suy ra
GTLN = max t f(a), f(x1), . . . , f(xn), f(b)u
GTNN = min t f(a), f(x1), . . . , f(xn), f(b)u
12.3.2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), khi đó xét hai trường hợp
x
y1 y
a x0 b +
GTNN
x
y1 y
a x0 b +
GTLN
Trong đó f1(x0) bằng 0 hoặc f1(x) không xác định tại x0. 12.4. Đường tiệm cận
Kí hiệu (C) là đồ thị của hàm số y = f(x).
12.4.1. Đường tiệm cận đứng
Nếu một trong các điều kiện sau xảy ra
xÑx+0f(x) = +8
lim
xÑx+0f(x) = 8
lim
xÑx 0f(x) = +8
lim
xÑx 0f(x) = 8 lim
thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
12.4.2. Đường tiệm cận ngang
Nếu lim xÑ+8f(x) = y0 hoặc lim xÑ 8f(x) = y0 thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C).
12.5. Các bước khảo sát hàm số 67
12.5. Các bước khảo sát hàm số
12.5.1. Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x)
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Sự biến thiên
(a) Chiều biến thiên
i. Tính y1.
ii. Tìm các nghiệm của phương trình y1 = 0 và các điểm tại đó y1 không xác định.
iii. Xét dấu y1 và suy ra chiều biến thiên của hàm số. (b) Tìm các điểm cực trị (nếu có).
(c) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại +8, 8 và tại các điểm mà hàm số không xác định. Suy ra các đường tiệm cận đứng và ngang (nếu có).
(d) Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị: Tính thêm tọa độ một số điểm đặc biệt, lập bảng giá trị và dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị.
Chú ý:
• Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kỳ rồi tịnh tiến đồ thị song song với Ox.
• Để vẽ đồ thị thêm chính xác ta cần
X Tìm thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
X Lưu ý tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm,...) của đồ thị.
12.5.2. Tương giao của hai đồ thị
1. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Giả sử (C1) là đồ thị của hàm số y = f(x) và (C2) là đồ thị của hàm số y = g(x). Khi đó số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) tương ứng với số giao điểm của (C1) và (C2).
2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số.
(a) Dạng 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x): i. Tại một điểm (x0; y0) trên đồ thị.
ii. Tại điểm có hoành độ x0 trên đồ thị.
iii. Tại điểm có tung độ y0 trên đồ thị.
68 Chương 12. Khảo sát hàm số
iv. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
v. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Phương pháp giải: Tìm đủ các giá trị x0; y0 = f(x0) và f1(x0). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại (x0; y0) là
y y0 = f1(x0)(x x0)
(b) Dạng 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng y = ax + b. Phương pháp giải như sau
i. Tính y1 = f1(x).
ii. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng a, tức là giải phương trình f1(x) = a để tìm x0. Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1a, tức là giải phương trình f1(x) = 1ađể tìm x0.
iii. Tính y0 = f(x0).
iv. Thay vào phương trình tiếp tuyến y y0 = f1(x0)(x x0). (c) Dạng 3.
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị hàm số y = f(x). Phương pháp sử dụng điều kiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = g(x) tiếp xúc tại điểm có hoành độ x0 khi x0 là nghiệm của hệ
#
f(x) = g(x)
f1(x) = g1(x)
Chương 13
LŨY THỪA VÀ LOGARIT
13.1. Lũy thừa
13.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên
1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương
Với a P R, n P N ta có
an = loomoon
a.a . . . a
n thừa số
2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm và số mũ 0
(a) Với a 0, n P N ta có
a n =1an
(b) Với a 0 ta có a0 = 1.
(c) Chú ý: 00 và 0 n không có nghĩa.
13.1.2. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n ¯ 2. Khi đó 1. Số a được gọi là căn bậc n của b nếu an = b, ký hiệu a =?nb. 2. Khi n lẻ thì tồn tại duy nhất ?nb với mọi b P R. 3. Khi n chẵn thì
(a) Nếu b 0 thì không tồn tại căn bậc n của b. (b) Nếu b = 0 thì có một căn ?n0 = 0.
(c) Nếu b ¡ 0 thì có hai căn ?nb và ?nb.
13.1.3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Với a ¡ 0, m, n P Z, n ¥ 2, ta có
?
amn =nam
69
70 Chương 13. Lũy thừa và logarit
13.1.4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Cho a ¡ 0, α là một số vô tỉ và (rn) là một dãy số hữu tỉ sao cho lim nÑ+8rn = a, khi đó
aα = lim nÑ+8arn
13.1.5. Các tính chất lũy thừa
Cho a ¡ 0, b ¡ 0, α, β P R, khi đó
1. aα.aβ = aα+β;aα
aβ= aα β.
2. (ab)α = aα.bα; ab α=aα
3. (aα)β = aαβ.
bα.
4. Nếu a ¡ 1 thì aα ¡ aβ ðñ α ¡ β.
5. Nếu 0 a 1 thì aα ¡ aβ ðñ α β.
13.2. Hàm số lũy thừa
13.2.1. Cơ bản về hàm số lũy thừa
Định nghĩa 13.1. Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y = xα với α P R.
13.2.2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số y = xαlà:
• R với α nguyên dương;
• Rzt0u với α nguyên âm hoặc bằng 0;
• (0; +8) với α không nguyên.
13.2.3. Đạo hàm
Hàm số y = xα với α P R có đạo hàm với mọi x ¡ 0 và (xα)1 = αxα 1.
13.2.4. Tính chất
Xét hàm số lũy thừa y = xαtrên khoảng (0; +8), khi đó 1. Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1).
2. Khi α ¡ 0 hàm số luôn đồng biến, khi α 0 hàm số luôn nghịch biến.
13.3. Logarit 71
3. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α ¡ 0. Khi α 0, đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiêm cận đứng là trục Oy.
13.2.5. Đồ thị
y
α ¡ 1
Đồ thị của hàm số lũy thừa
y = xαtrên khoảng (0; +8)
ứng với các giá trị khác
nhau của α.
1
x
α = 1
0 α 1
α = 0
α 0
O 1
13.3. Logarit
13.3.1. Cơ bản về logarit
Định nghĩa 13.2. Cho a ¡ 0, b ¡ 0, a 1, số α thỏa đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu là logab, như vậy
α = logab ðñ aα = b
13.3.2. Các tính chất
loga1 = 0; logaa = 1; alogab = b; logaaα = α
13.3.3. Các quy tắc tính
1. Với các số a, b1, b2 ¡ 0, a 1, ta có
loga(b1b2) = logab1 + logab2
loga
b1 b2
= logab1 logab2
2. Với các số a, b ¡ 0, a 1, α P R, n P N , ta có
72 Chương 13. Lũy thừa và logarit
loga
1 b
= logab;; loga?nb =1nlogab.
logabα = α logab
3. Với các số a, b, c ¡ 0, a 1, c 1, α 0 ta có
logab =logcb
logca; logab =1
logaα b =1αlogab
logba(b 1);
13.3.4. Logarit thập phân và logarit tự nhiên
Với x ¡ 0 ta viết gọn
log10 x = lg x hoặc log10 x = log x; logex = ln x
13.4. Hàm số mũ và hàm số logarit
13.4.1. Hàm số mũ
1. Hàm số y = ax với a ¡ 0, a 1 đươc gọi là hàm số mũ cơ số a. 2. Hàm số y = axcó đạo hàm tại mọi x và (ax)1 = axln a. Đặc biệt (ex)1 = ex.
3. Các tính chất
(a) Tập xác định của hàm số mũ là R.
(b) Khi a ¡ 1 hàm số mũ luôn đồng biến. Khi 0 a 1 hàm số mũ luôn nghịch biến.
(c) Đồ thị của hàm số mũ
y y = ax
Đồ thị của hàm số mũ có
a
tiệm cận ngang là trục Ox
và luôn đi qua các điểm
(0; 1),(1; a) và nằm phía
trên trục hoành.
1
x
13.4.2. Hàm số logarit
O 1
1. Hàm số y = logax với a ¡ 0, a 1 đươc gọi là hàm số logarit cơ số a.
13.5. Phương trình mũ và phương trình logarit 73 2. Hàm số y = logax có đạo hàm tại mọi x ¡ 0 và (logax)1 =1
Đặc biệt (ln x)1 =1x.
3. Các tính chất
(a) Tập xác định của hàm số logarit là (0; +8).
x ln a.
(b) Khi a ¡ 1 hàm số logarit luôn đồng biến. Khi 0 a 1 hàm số logarit luôn nghịch biến.
(c) Đồ thị của hàm số logarit
y
Đồ thị của hàm số log arit có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0),(a; 1) và nằm
y = logax
1
1a
phía bên phải trục tung.x O
13.5. Phương trình mũ và phương trình logarit 13.5.1. Phương trình mũ
1. Phương trình mũ dạng cơ bản
ax = b (a ¡ 0, a 1)
(a) Nếu b ¤ 0 thì phương trình vô nghiệm.
(b) Nếu b ¡ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = logab. 2. Phương trình mũ đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau (a) Đưa về cùng một cơ số.
(b) Đặt ẩn phụ.
(c) Lấy logarit hai vế (logarit hóa).
(d) Phương pháp đồ thị.
(e) Áp dụng các tính chất của hàm số mũ ...
13.5.2. Phương trình logarit
1. Phương trình logarit dạng cơ bản
logax = b (a ¡ 0, a 1)
74 Chương 13. Lũy thừa và logarit
Phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x = ab
2. Phương trình logarit đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau (a) Đưa về cùng một cơ số.
(b) Đặt ẩn phụ.
(c) Mũ hóa hai vế
(d) Phương pháp đồ thị.
(e) Áp dụng các tính chất của hàm số logarit ...
13.6. Bất phương trình mũ và logarit
13.6.1. Bất phương trình mũ
1. Bất phương trình mũ cơ bản
ax ¡ b
(a) Dạng 1: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu b ¤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R. ii. Nếu b ¡ 0 và
• a ¡ 1, tập nghiệm là (logab; +8).
• 0 a 1, tập nghiệm là ( 8; logab).
ax ¥ b
(b) Dạng 2: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu b ¤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R. ii. Nếu b ¡ 0 và
• a ¡ 1, tập nghiệm là [logab; +8).
• 0 a 1, tập nghiệm là ( 8; logab].
ax b
(c) Dạng 3: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu b ¤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅. ii. Nếu b ¡ 0 và
• a ¡ 1, tập nghiệm là ( 8; logab).
• 0 a 1, tập nghiệm là (logab; +8).
ax ¤ b
(d) Dạng 4: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu b ¤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅. ii. Nếu b ¡ 0 và
• a ¡ 1, tập nghiệm là ( 8; logab].
• 0 a 1, tập nghiệm là [logab; +8).
2. Bất phương trình mũ dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổi đưa về bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đại số.
13.6. Bất phương trình mũ và logarit 75
13.6.2. Bất phương trình logarit
1. Bất phương trình logarit cơ bản
logax ¡ b
(a) Dạng 1: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu a ¡ 1 thì tập nghiệm là ab; +8 .
ii. Nếu 0 a 1 thì tập nghiệm là 0; ab .
logax ¥ b
(b) Dạng 2: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu a ¡ 1 thì tập nghiệm là ab; +8 .
ii. Nếu 0 a 1 thì tập nghiệm là 0; ab .
logax b
(c) Dạng 3: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu a ¡ 1 thì tập nghiệm là 0; ab .
ii. Nếu 0 a 1 thì tập nghiệm là ab; +8 .
logax ¤ b
(d) Dạng 3: với a ¡ 0, a 1.
i. Nếu a ¡ 1 thì tập nghiệm là 0; ab .
ii. Nếu 0 a 1 thì tập nghiệm là ab; +8 .
2. Bất phương trình logarit dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổi đưa về bất phương trình logarit cơ bản hoặc bất phương trình đại số.
Chương 14
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
14.1. Nguyên hàm
14.1.1. Nguyên hàm và các tính chất
1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K R. Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng K nếu
F1(x) = f(x), @x P K.
2. Mọi hàm số liên tục trên khoảng K R đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
3. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K R thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Kí hiệu họ tất cả các nguyên
»
hàm của hàm số f(x) là »
f(x) dx, đọc là tích phân bất định của
f(x). Khi đó
f(x) dx = F(x) + C với C P R.
4. Các tính chất cơ bản »
(a)
f1(x) dx = f(x) + C với C là hằng số thực. »
»
(b)
»
k f(x) dx = k
f(x) dx với k là hằng số thực.
(c)
[ f(x) g(x)] dx =
»
f(x) dx
»
g(x) dx.
14.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm »
1. Phương pháp đổi biến số. Nếu là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f(u) du = F(u) + C và u = u(x) »
f(u(x))u1(x) du = F(u(x)) + C.
2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu hai hàm số u = u(x) 76
14.1. Nguyên hàm 77 »
và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì »
u(x)v1(x) du =
u(x)v(x)
u1(x)v(x) du.
14.1.3. Bảng các nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm sơ cấp
Nguyên hàm của hàm hợp u = u(x)
»
0 dx = C
•
»
0 du = C
•
»
1 dx = x + C
•
»
1 du = u + C
•
»
xα dx =xα+1
α + 1+ C
•
»
uα du =uα+1
α + 1+ C
•
»1
xdx = ln |x| + C
•
»1
udu = ln |u| + C
•
»
ex dx = ex + C
•
»
eu du = eu + C
•
»
ax dx =ax
ln a+ C
•
»
au du =au
ln a+ C
•
»
cos x dx = sin x + C
•
»
cos u du = sin u + C
•
»
sin x dx = cos x + C
•
»
sin u du = cos u + C
•
»1
cos2 xdx = tan x + C
•
»1
cos2 udu = tan u + C
•
»1
sin2xdx = cot x + C
•
»1
sin2 udu = cot u + C
•
78 Chương 14. Nguyên hàm và tích phân
14.2. Tích phân
14.2.1. Tích phân và các tính chất
1. Định nghĩa. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b]. Hiệu số F(b) F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên [a, b]) »b
của hàm số f(x). Ký hiệu là a
f(x) dx. Khi đó
»b
ba= F(b) F(a)
f(x) dx = F(x)
a
»a
Trường hợp a = b ta định nghĩa a
f(x) dx = 0. Trường hợp a ¡ b
ta định nghĩa
»b a
f(x) dx =
»a b
f(x) dx.
2. Các tính chất của tích phân.
(a)
»b a
k f(x) dx = k
»b a
f(x) dx với k là hằng số.
(b)
»b
a
»b
[ f(x) g(x)] dx = »c
»b a
f(x) dx »b
»b a
g(x) dx.
(c)
a
f(x) dx = a
f(x) dx + c
f(x) dx với a c b.
(d) Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là
»b a
f(x) dx =
»b a
f(t) dt =
14.2. Tích phân 79
14.2.2. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
(a) Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β] sao cho ϕ(α) = a, ϕ(β) = b và a ¤ ϕ(t) ¤ b, @t P [α, β]. Khi đó
»b
f(ϕ(t))ϕ1(t) dt
a
.
f(x) dx =
»b a
(b) Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] sao cho α ¤ u(x) ¤ β, @x P [a, b]. Nếu f(x) = g(u(x))u1(x), @x P [a, b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α, β] thì
»b
g(u) du
a
.
f(x) dx =
u(b) »
u(a)
2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì
»b
u1(x)v(x) dx
a
hoặc
u(x)v1(x) dx = [u(x)v(x)]
ba »b a
»b
ba »b
u dv = [uv]
v du
a
a
.
14.2.3. Ứng dụng của tích phân 1. Tính diện tích của hình phẳng
(a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox là
80 Chương 14. Nguyên hàm và tích phân
y
y = f(x)
»b
S =
| f(x)| dx
a
x
»b
a
O a b
| f(x)| dx
(b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là y
y = f(x)
»b
S =
| f(x) g(x)| dx
a
O a b
y = g(x)
x
2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay
(a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0 (trục Ox), x = a, x = b khi quay quanh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoay. Thể tích của vật thể đó là
»b
[ f(x)]2 dx
V = π
a
(b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) liên tục với mọi y P [a; b]. Nếu hình giới hạn bởi các đường x = g(y), x = 0 (trục Oy), y = a, y = b quay quanh trục Oy thì thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành xác định bởi
»b
[g(y)]2 dy
V = π
a