Sách Giáo Khoa Hình Học Lớp 10

" Sách Giáo Khoa Hình Học Lớp 10 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Sách Giáo Khoa Hình Học Lớp 10 Ebooks Nhóm Zalo (Tái bản lần thứ mười bốn) Hãy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng cho các em học sinh lớp sau! 1 KÝ hiÖu dïng trong s¸ch Ho¹t ®éng cña häc sinh trªn líp B¶n quyÒn thuéc Nhμ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam − Bé Gi¸o dôc vμ §μo t¹o 01-2020/CXBIPH/579-869/GD M· sè : CH002t0 2 CHÖÔNG I VECTÔ Vect¬ Tæng vμ hiÖu cña hai vect¬ TÝch cña vect¬ víi mét sè To¹ ®é cña vect¬ vμ to¹ ®é cña ®iÓm Trong vËt lÝ ta th−êng gÆp c¸c ®¹i l−îng cã h−íng nh− lùc, vËn tèc, ... Ng−êi ta dïng vect¬ ®Ó biÓu diÔn c¸c ®¹i l−îng ®ã. 3 §1. CAÙC ÑÒNH NGHÓA 1. Kh¸i niÖm vect¬ H×nh 1.1 C¸c mòi tªn trong h×nh 1.1 biÓu diÔn h−íng chuyÓn ®éng cña «t« vμ m¸y bay. Cho ®o¹n th¼ng AB. NÕu ta chän ®iÓm A lμm ®iÓm ®Çu, ®iÓm B lμm ®iÓm cuèi th× ®o¹n th¼ng AB cã h−íng tõ A ®Õn B. Khi ®ã ta nãi AB lμ mét ®o¹n th¼ng cã h−íng. §Þnh nghÜa Vect¬ lμ mét ®o¹n th¼ng cã h−íng. Vect¬ cã ®iÓm ®Çu A, ®iÓm cuèi B ®−îc kÝ hiÖu lμ  AB vμ ®äc lμ "vect¬ AB". §Ó vÏ vect¬  AB ta vÏ ®o¹n th¼ng AB vμ ®¸nh dÊu mòi tªn ë ®Çu mót B (h.1.2a). Vect¬ cßn ®−îc kÝ hiÖu lμ a , b , x , y , ... khi kh«ng cÇn chØ râ ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi cña nã (h.1.2b). H×nh 1.2 1 Víi hai ®iÓm A, B ph©n biÖt ta cã ®−îc bao nhiªu vect¬ cã ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi lμ A hoÆc B. 4 2. Vect¬ cïng ph−¬ng, vect¬ cïng h−íng §−êng th¼ng ®i qua ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi cña mét vect¬ ®−îc gäi lμ gi¸ cña vect¬ ®ã. AB vμ 2 H·y nhËn xÐt vÒ vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña c¸c gi¸ cña c¸c cÆp vect¬ sau :  CD ,  PQ vμ EF vμ RS ,  PQ (h.1.3). §Þnh nghÜa Hai vect¬ ®−îc gäi lμ cïng ph−¬ng nÕu gi¸ cña chóng song song hoÆc trïng nhau. Trªn h×nh 1.3, hai vect¬  AB vμ  tr¸i sang ph¶i. Ta nãi  AB vμ CD cïng ph−¬ng vμ cã cïng h−íng ®i tõ CD lμ hai vect¬ cïng h−íng. Hai vect¬  PQ vμ  RS cïng ph−¬ng nh−ng cã h−íng ng−îc nhau. Ta nãi hai vect¬  PQ vμ RS lμ hai vect¬ ng−îc h−íng. Nh− vËy, nÕu hai vect¬ cïng ph−¬ng th× chóng chØ cã thÓ cïng h−íng hoÆc ng−îc h−íng. NhËn xÐt. Ba ®iÓm ph©n biÖt A, B, C th¼ng hμng khi vμ chØ khi hai vect¬  vμ AC cïng ph−¬ng. AB vμ AB ThËt vËy, nÕu hai vect¬  AC cïng ph−¬ng th× hai ®−êng th¼ng AB vμ AC song song hoÆc trïng nhau. V× chóng cã chung ®iÓm A nªn chóng ph¶i trïng nhau. VËy ba ®iÓm A, B, C th¼ng hμng. 5 Ng−îc l¹i, nÕu ba ®iÓm A, B, C th¼ng hμng th× hai vect¬  AB vμ AC cã gi¸ trïng nhau nªn chóng cïng ph−¬ng. 3 Kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai : AB vμ NÕu ba ®iÓm ph©n biÖt A, B, C th¼ng hμng th× hai vect¬  3. Hai vect¬ b»ng nhau BC cïng h−íng. Mçi vect¬ cã mét ®é dμi, ®ã lμ kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi cña AB ®−îc kÝ hiÖu lμ  vect¬ ®ã. §é dμi cña  AB , nh− vËy  AB = AB. Vect¬ cã ®é dμi b»ng 1 gäi lμ vect¬ ®¬n vÞ. Hai vect¬ a vμb ®−îc gäi lμ b»ng nhau nÕu chóng cïng h−íng vμ cã cïng ®é dμi, kÝ hiÖu a = b . Chó ý. Khi cho tr−íc vect¬ a vμ ®iÓm O, th× ta lu«n t×m ®−îc mét ®iÓm A duy nhÊt sao cho =   OA a . 4 Gäi O lμ t©m h×nh lôc gi¸c ®Òu ABCDEF. H·y chØ ra c¸c vect¬ b»ng vect¬  OA. 4. Vect¬ - kh«ng Ta biÕt r»ng mçi vect¬ cã mét ®iÓm ®Çu vμ mét ®iÓm cuèi vμ hoμn toμn ®−îc x¸c ®Þnh khi biÕt ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi cña nã. B©y giê víi mét ®iÓm A bÊt k× ta quy −íc cã mét vect¬ ®Æc biÖt mμ ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi ®Òu lμ A. Vect¬ nμy ®−îc kÝ hiÖu lμ AA vμ gäi lμ vect¬ - kh«ng. Vect¬  AA n»m trªn mäi ®−êng th¼ng ®i qua A, v× vËy ta quy −íc vect¬ - kh«ng cïng ph−¬ng, cïng h−íng víi mäi vect¬. Ta còng quy −íc r»ng  AA = 0. Do ®ã cã thÓ coi mäi vect¬ - kh«ng ®Òu b»ng nhau. Ta kÝ hiÖu vect¬ - kh«ng lμ0 . Nh− vËy = =    0 AA BB = ... víi mäi ®iÓm A, B... 6 C©u hái vμ bμi tËp 1. Cho ba vect¬  abc , , ®Òu kh¸c vect¬ 0 . C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai ? a) NÕu hai vect¬   b) NÕu   a b, cïng ph−¬ng víi c th× a vμb cïng ph−¬ng. a b, cïng ng−îc h−íng víi c th× a vμb cïng h−íng. 2. Trong h×nh 1.4, h·y chØ ra c¸c vect¬ cïng ph−¬ng, cïng h−íng, ng−îc h−íng vμ c¸c vect¬ b»ng nhau. H×nh 1.4 3. Cho tø gi¸c ABCD. Chøng minh r»ng tø gi¸c ®ã lμ h×nh b×nh hμnh khi vμ chØ khi =   AB DC . 4. Cho lôc gi¸c ®Òu ABCDEF cã t©m O. a) T×m c¸c vect¬ kh¸c 0 vμ cïng ph−¬ng víi  b) T×m c¸c vect¬ b»ng vect¬  AB . OA ; 7 §2. TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ 1. Tæng cña hai vect¬ H×nh 1.5 Trªn h×nh 1.5, hai ng−êi ®i däc hai bªn bê kªnh vμ cïng kÐo mét con thuyÒn víi hai lùc F1 vμF2 . Hai lùc F1 vμF2 t¹o nªn hîp lùc F lμ tæng cña hai lùc F1 vμF2 , lμm thuyÒn chuyÓn ®éng. §Þnh nghÜa Cho hai vect¬ a vμ b . LÊy mét ®iÓm A tuú ý, vÏ =   =   BC b . Vect¬  AB a vμ AC ®−îc gäi lμ tæng cña hai vect¬ a vμ b . Ta kÝ hiÖu tæng cña hai vect¬ a vμ b lμ a + b . VËy = +   AC a b (h.1.6). PhÐp to¸n t×m tæng cña hai vect¬ cßn ®−îc gäi lμ phÐp céng vect¬. H×nh 1.6 8 2. Quy t¾c h×nh b×nh hμnh NÕu ABCD lμ h×nh b×nh hμnh th×    AB + AD = AC . H×nh 1.7 Trªn h×nh 1.5, hîp lùc cña hai lùc F1 vμF2 lμ lùc F ®−îc x¸c ®Þnh b»ng quy t¾c h×nh b×nh hμnh. 3. TÝnh chÊt cña phÐp céng c¸c vect¬ Víi ba vect¬ a , b , c tuú ý ta cã a + b = b + a (tÝnh chÊt giao ho¸n) ; (a + b ) + c = a + ( b + c ) (tÝnh chÊt kÕt hîp) ; + =+=   a aa 0 0 (tÝnh chÊt cña vect¬ - kh«ng). H×nh 1.8 minh ho¹ cho c¸c tÝnh chÊt trªn. 1 H·y kiÓm tra c¸c tÝnh chÊt cña phÐp céng trªn h×nh 1.8. 9 4. HiÖu cña hai vect¬ a) Vect¬ ®èi 2 VÏ h×nh b×nh hμnh ABCD. H·y nhËn xÐt vÒ ®é dμi vμ h−íng cña hai vect¬  vμ CD. AB Cho vect¬ a . Vect¬ cã cïng ®é dμi vμ ng−îc h−íng víi a ®−îc gäi lμ vect¬ ®èi cña vect¬ a , kÝ hiÖu lμ −a .  lμ BA Mçi vect¬ ®Òu cã vect¬ ®èi, ch¼ng h¹n vect¬ ®èi cña AB   AB BA. − = §Æc biÖt, vect¬ ®èi cña vect¬ 0 lμ vect¬ 0 .  , nghÜa lμ VÝ dô 1. NÕu D, E, F lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC (h.1.9), khi ®ã ta cã = −   EF DC , = −   BD EF , = −   EA EC . H×nh 1.9 3 Cho + =    AB BC 0 . H·y chøng tá  BC lμ vect¬ ®èi cña  AB . b) §Þnh nghÜa hiÖu cña hai vect¬ Cho hai vect¬ a vμ b . Ta gäi hiÖu cña hai vect¬ a vμ b lμ vect¬ a + (−b ), kÝ hiÖu a −b . Nh− vËy − = +−    ab a b ( ) . 10 Tõ ®Þnh nghÜa hiÖu cña hai vect¬, suy ra Víi ba ®iÓm O, A, B tuú ý ta cã = −    AB OB OA (h.1.10). H×nh 1.10 4 H·y gi¶i thÝch v× sao hiÖu cña hai vect¬  OB vμ OA lμ vect¬  AB .  Chó ý. 1) PhÐp to¸n t×m hiÖu cña hai vect¬ cßn ®−îc gäi lμ phÐp trõ vect¬. 2) Víi ba ®iÓm tuú ý A, B, C ta lu«n cã : + =    AB BC AC (quy t¾c ba ®iÓm) ; − =    AB AC CB (quy t¾c trõ). Thùc chÊt hai quy t¾c trªn ®−îc suy ra tõ phÐp céng vect¬. VÝ dô 2. Víi bèn ®iÓm bÊt k× A, B, C, D ta lu«n cã +=+     AB CD AD CB . ThËt vËy, lÊy mét ®iÓm O tuú ý ta cã + =−+ −       AB CD OB OA OD OC = −+−     OD OA OB OC = +   AD CB . 5. ¸p dông a) §iÓm I lμ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB khi vμ chØ khi + =    IA IB 0 . b) §iÓm G lμ träng t©m cña tam gi¸c ABC khi vμ chØ khi + + =     GA GB GC . 0 Chøng minh b) Träng t©m G cña tam gi¸c ABC n»m trªn trung tuyÕn AI. LÊy D lμ ®iÓm ®èi xøng víi G qua I. Khi ®ã BGCD lμ h×nh b×nh hμnh vμ G lμ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AD. Suy ra + =    GB GC GD vμ + =    GA GD 0 . Ta cã ++ =+ =       GA GB GC GA GD 0 . H×nh 1.11 11 Ng−îc l¹i, gi¶ sö + + =     GA GB GC 0 . VÏ h×nh b×nh hμnh BGCD cã I lμ giao ®iÓm cña hai ®−êng chÐo. Khi ®ã + =    GB GC GD, suy ra + =    GA GD 0 nªn G lμ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AD. Do ®ã ba ®iÓm A, G, I th¼ng hμng, GA = 2GI, ®iÓm G n»m gi÷a A vμ I. VËy G lμ träng t©m cña tam gi¸c ABC. C©u hái vμ bμi tËp 1. Cho ®o¹n th¼ng AB vμ ®iÓm M n»m gi÷a A vμ B sao cho AM > MB. VÏ c¸c vect¬ +   MA MB vμ −   MA MB . 2. Cho h×nh b×nh hμnh ABCD vμ mét ®iÓm M tuú ý. Chøng minh r»ng +=+     MA MC MB MD . 3. Chøng minh r»ng ®èi víi tø gi¸c ABCD bÊt k× ta lu«n cã a) +++=      AB BC CD DA 0 ; b) − =−     AB AD CB CD . 4. Cho tam gi¸c ABC. Bªn ngoμi cña tam gi¸c vÏ c¸c h×nh b×nh hμnh ABIJ, BCPQ, CARS. Chøng minh r»ng + + =     RJ IQ PS 0 . 5. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh b»ng a. TÝnh ®é dμi cña c¸c vect¬ +   −   AB BC . 6. Cho h×nh b×nh hμnh ABCD cã t©m O. Chøng minh r»ng a) − =    AB BC vμ CO OB BA ; b) − =    AB BC DB ; c) −=−     DA DB OD OC ; d) − + =     DA DB DC 0 . 7. Cho a , b lμ hai vect¬ kh¸c 0 . Khi nμo cã ®¼ng thøc    ab a b ; b) + = −    ab ab . a) += +   a b 0. So s¸nh ®é dμi, ph−¬ng vμ h−íng cña hai vect¬ a vμb . 8. Cho + = 9. Chøng minh r»ng =   AB CD khi vμ chØ khi trung ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng AD vμ BC trïng nhau. 10. Cho ba lùc =   F MA 1 , =   F MB 2 vμ =   F MC 3 cïng t¸c ®éng vμo mét vËt t¹i ®iÓm M vμ vËt ®øng yªn. Cho biÕt c−êng ®é cña F1 , F2 ®Òu lμ 100 N vμ = o AMB 60 . T×m c−êng ®é vμ h−íng cña lùc F3 . 12 ThuyÒn buåm ch¹y ng−îc chiÒu giã Th«ng th−êng ng−êi ta vÉn nghÜ r»ng giã thæi vÒ h−íng nμo th× sÏ ®Èy thuyÒn buåm vÒ h−íng ®ã. Trong thùc tÕ con ng−êi ®· nghiªn cøu t×m c¸ch lîi dông søc giã lμm cho thuyÒn buåm ch¹y ng−îc chiÒu giã. VËy ng−êi ta ®· lμm nh− thÕ nμo ®Ó thùc hiÖn ®−îc ®iÒu t−ëng chõng nh− v« lÝ ®ã ? Nãi mét c¸ch chÝnh x¸c th× ng−êi ta cã thÓ lμm cho thuyÒn chuyÓn ®éng theo mét gãc nhän, gÇn b»ng 12 gãc vu«ng ®èi víi chiÒu giã thæi. ChuyÓn ®éng nμy ®−îc thùc hiÖn theo ®−êng dÝch d¾c nh»m tíi h−íng cÇn ®Õn cña môc tiªu. §Ó lμm ®−îc ®iÒu ®ã ta ®Æt thuyÒn theo h−íng TT' vμ ®Æt buåm theo ph−¬ng BB' nh− h×nh vÏ. Khi ®ã giã thæi t¸c ®éng lªn mÆt buåm mét lùc. Tæng hîp lùc lμ lùc f cã ®iÓm ®Æt ë chÝnh gi÷a buåm. Lùc f ®−îc ph©n tÝch thμnh hai lùc : lùc p vu«ng gãc víi c¸nh buåm BB’ vμ lùc q theo chiÒu däc c¸nh buåm. Ta cã = +    f pq . Lùc q nμy kh«ng ®Èy buåm ®i ®©u c¶ v× lùc c¶n cña giã ®èi víi buåm kh«ng ®¸ng kÓ. Lóc ®ã chØ cßn lùc p ®Èy buåm d−íi mét gãc vu«ng. Nh− vËy khi cã giã thæi, lu«n lu«n cã mét lùc p vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng BB’ cña buåm. Lùc p nμy H×nh 1.12 ®−îc ph©n tÝch thμnh lùc r vu«ng gãc víi sèng thuyÒn vμ lùc s däc theo sèng thuyÒn TT ' h−íng vÒ mòi thuyÒn. Khi psr . Lùc r rÊt nhá so víi søc c¶n rÊt lín cña n−íc, do thuyÒn buåm   ®ã ta cã = + cã sèng thuyÒn rÊt s©u. ChØ cßn lùc s h−íng vÒ phÝa tr−íc däc theo sèng thuyÒn ®Èy thuyÒn ®i mét gãc nhän ng−îc víi chiÒu giã thæi. B»ng c¸ch ®æi h−íng thuyÒn theo con ®−êng dÝch d¾c, thuyÒn cã thÓ ®i tíi ®Ých theo h−íng ng−îc chiÒu giã mμ kh«ng cÇn lùc ®Èy. 13 §3. TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ 1 Cho vect¬ a ≠0 . X¸c ®Þnh ®é dμi vμ h−íng cña vect¬ a + a . 1. §Þnh nghÜa Cho sè k ≠ 0 vμ vect¬ a ≠ 0. TÝch cña vect¬ a víi sè k lμ mét vect¬, kÝ hiÖu lμ k a, cïng h−íng víi a nÕu k > 0, ng−îc h−íng víi a nÕu k < 0 vμ cã ®é dμi b»ng k a. Ta quy −íc 0 a = 0 , k0 = 0 . Ng−êi ta cßn gäi tÝch cña vect¬ víi mét sè lμ tÝch cña mét sè víi mét vect¬. VÝ dô 1. Cho G lμ träng t©m cña tam gi¸c ABC, D vμ E lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña BC vμ AC. Khi ®ã ta cã (h1.13) = −   GA GD ( 2) , =   AD GD 3 ,   1 ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ DE AB . 2 H×nh 1.13 2. TÝnh chÊt Víi hai vect¬ a vμb bÊt k×, víi mäi sè h vμ k, ta cã k + = +    ( ) a b ka kb ; (h + k) = +  a ha ka ; h =   ()() ka hk a ; 1.a = a , (−1). a = −a . 2 T×m vect¬ ®èi cña c¸c vect¬ ka vμ 3a – 4 b . 14 3. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vμ träng t©m cña tam gi¸c a) NÕu I lμ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB th× víi mäi ®iÓm M ta cã    MA + MB = 2MI . b) NÕu G lμ träng t©m cña tam gi¸c ABC th× víi mäi ®iÓm M ta cã     MA + MB + MC = 3MG . 3 H·y sö dông môc 5 cña §2 ®Ó chøng minh c¸c kh¼ng ®Þnh trªn. 4. §iÒu kiÖn ®Ó hai vect¬ cïng ph−¬ng §iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ ®Ó hai vect¬ a vμb ( ≠     k ®Ó = a kb . b ) cïng ph 0 −¬ng lμ cã mét sè a kb th× hai vect¬ a vμb cïng ph−¬ng.   ThËt vËy, nÕu = Ng−îc l¹i, gi¶ sö a vμ b cïng ph−¬ng. Ta lÊy =a kb nÕu a vμ b cïng    a kb nÕu a vμb ng−îc h−íng. Khi ®ã ta cã = h−íng vμ lÊy = − a kb . NhËn xÐt. Ba ®iÓm ph©n biÖt A, B, C th¼ng hμng khi vμ chØ khi cã sè k kh¸c 0 ®Ó =   AB k AC . 5. Ph©n tÝch mét vect¬ theo hai vect¬ kh«ng cïng ph−¬ng     Cho = = a OA b OB , lμ hai vect¬ kh«ng   x OC lμ mét vect¬ tuú cïng ph−¬ng vμ = ý. KÎ CA' // OB vμ CB' // OA (h. 1.14). Khi ®ã == +′ ′     x OC OA OB . V×  OA' vμ a lμ hai vect¬ cïng ph−¬ng nªn cã sè h ®Ó =   OA ha ' . V×  OB' vμb cïng ph−¬ng nªn cã sè k ®Ó =   OB kb ' .   x ha kb . H×nh 1.14 VËy = + 15 Khi ®ã ta nãi vect¬ x ®−îc ph©n tÝch (hay cßn ®−îc gäi lμ biÓu thÞ) theo hai vect¬ kh«ng cïng ph−¬ng a vμb . Mét c¸ch tæng qu¸t ng−êi ta chøng minh ®−îc mÖnh ®Ò quan träng sau ®©y : Cho hai vect¬ a vμ b kh«ng cïng ph−¬ng. Khi ®ã mäi vect¬ x ®Òu ph©n tÝch ®−îc mét c¸ch duy nhÊt theo hai vect¬ a vμ b , nghÜa lμ cã duy nhÊt cÆp sè h, k sao cho = +   x ha kb . Bμi to¸n sau cho ta c¸ch ph©n tÝch trong mét sè tr−êng hîp cô thÓ.  Bμi to¸n. Cho tam gi¸c ABC víi träng t©m G. Gäi I lμ trung ®iÓm cña ®o¹n AG vμ K lμ ®iÓm trªn c¹nh AB sao cho = 15 AK AB . a) H·y ph©n tÝch     AI AK CI CK , ,, theo = =     a CA b CB , ; b) Chøng minh ba ®iÓm C, I, K th¼ng hμng. Gi¶i a) Gäi AD lμ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (h. 1.15). Ta cã =−=−      12 AD CD CA b a . Do ®ã = = =−     1 1 11 AI AG AD b a ; 2 3 63 = = −=−       11 1 ( )( ) 55 5 AK AB CB CA b a ; = + =+ − = +        11 12 CI CA AI a b a b a ; 6363 = + =+ − = +        11 14 CK CA AK a b a b a . 55 55 b) Tõ tÝnh to¸n trªn ta cã =   65 H×nh 1.15 CK CI . VËy ba ®iÓm C, I, K th¼ng hμng. 16 C©u hái vμ bμi tËp 1. Cho h×nh b×nh hμnh ABCD. Chøng minh r»ng : ++=     AB AC AD AC 2 . 2. Cho AK vμ BM lμ hai trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC. H·y ph©n tÝch c¸c vect¬        u AK v BM , . AB BC CA , , theo hai vect¬ = = 3. Trªn ®−êng th¼ng chøa c¹nh BC cña tam gi¸c ABC lÊy mét ®iÓm M sao cho MB MC 3 . H·y ph©n tÝch vect¬  =     AM theo hai vect¬ =   v AC. u AB vμ = 4. Gäi AM lμ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC vμ D lμ trung ®iÓm cña ®o¹n AM. Chøng minh r»ng a) ++ =     2 0 DA DB DC ; b) ++ =     2 4 OA OB OC OD , víi O lμ ®iÓm tuú ý. 5. Gäi M vμ N lÇn l−ît lμ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB vμ CD cña tø gi¸c ABCD. Chøng minh r»ng : =+=+      2MN AC BD BC AD . 6. Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A vμ B. T×m ®iÓm K sao cho + =    32 0 KA KB . 7. Cho tam gi¸c ABC. T×m ®iÓm M sao cho + + =     MA MB MC 2 0 . 8. Cho lôc gi¸c ABCDEF. Gäi M, N, P, Q, R, S lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c MPR vμ NQS cã cïng träng t©m. 9. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã O lμ träng t©m vμ M lμ mét ®iÓm tuú ý trong tam gi¸c. Gäi D, E, F lÇn l−ît lμ ch©n ®−êng vu«ng gãc h¹ tõ M ®Õn BC, AC, AB. Chøng minh r»ng ++=     32 MD ME MF MO . 17 TØ lÖ vμng ¥-clit (Euclide), nhμ to¸n häc cña mäi thêi ®¹i ®· tõng nãi ®Õn “tØ lÖ vμng” trong t¸c phÈm bÊt hñ cña «ng mang tªn “Nh÷ng nguyªn t¾c c¬ b¶n”. Theo ¥-clit, ®iÓm I trªn ®o¹n AB ®−îc gäi lμ ®iÓm chia ®o¹n AB theo tØ lÖ vμng nÕu tho¶ m·n I = A AB I I . (1) B A H×nh 1.16 I I ta cã AB xA =  I vμ A xB =   I §Æt = = A AB xB A I I . Sè x ®ã ®−îc gäi lμ tØ lÖ vμng vμ ®iÓm I ®−îc gäi lμ ®iÓm vμng cña ®o¹n AB. §Ó tÝnh x, ta cã thÓ ®Æt IB = 1. Tõ (1) ta cã + = 1 x x 1 x , hay − − = 2 x x 1 0 , tøc lμ + = ≈ 1 5 1,61803 2 x . Víi tØ lÖ vμng ng−êi ta cã thÓ t¹o nªn mét h×nh ch÷ nhËt ®Ñp, c©n ®èi vμ g©y høng thó cho nhiÒu nhμ héi ho¹ kiÕn tróc. VÝ dô, khi ®Õn tham quan ®Òn P¸c-tª-n«ng ë A-ten (Hi L¹p) ng−êi ta thÊy kÝch th−íc c¸c h×nh h×nh häc trong ®Òn phÇn lín chÞu ¶nh h−ëng cña tØ lÖ vμng. Nhμ t©m lÝ häc ng−êi §øc PhÝt-nª (Fichner) ®· quan s¸t vμ ®o hμng ngh×n ®å vËt th−êng dïng trong ®êi sèng nh− « cöa sæ, trang giÊy viÕt, b×a s¸ch... vμ so s¸nh kÝch th−íc gi÷a chiÒu dμi vμ chiÒu ngang cña chóng th× thÊy tØ sè gÇn b»ng tØ lÖ vμng. H×nh1.17. §Òn P¸c-tª-n«ng vμ ®−êng nÐt kiÕn tróc cña nã. 18 §Ó dùng ®iÓm vμng I cña ®o¹n AB = a ta lμm nh− sau : VÏ tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B, víi = 2a BC . §−êng trßn t©m C b¸n kÝnh 2a c¾t AC t¹i E. §−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AE c¾t AB t¹i I. a vμ AE = AI = ( 5 1) − 2a . Do ®ã + = = Ta cã AC = 5 AB a 5 1 A a . − I 2 ( 5 1) 2 2 H×nh 1.18 H×nh 1.19 Sö dông ®iÓm vμng I ta cã thÓ dùng ®−îc gãc 72o , tõ ®ã dùng ®−îc ngò gi¸c ®Òu còng nh− ng«i sao n¨m c¸nh nh− sau : Ta dùng ®−êng trßn t©m I b¸n kÝnh IA c¾t trung trùc cña IB t¹i F ta ®−îc  = 36o FAB vμ  = 72o ABF (h.1.18). Mét ngò gi¸c ®Òu néi tiÕp ®−êng trßn trªn cã hai ®Ønh liªn tiÕp lμ F vμ ®iÓm xuyªn t©m ®èi A' cña A. Tõ ®ã ta dùng ®−îc ngay ba ®Ønh cßn l¹i cña ngò gi¸c ®Òu. CÇn l−u ý r»ng trªn ng«i sao n¨m c¸nh trong h×nh 1.19 th× tØ sè = I A AK K A chÝnh lμ I I tØ lÖ vμng. Ng«i sao vμng n¨m c¸nh cña Quèc k× n−íc ta ®−îc dùng theo tØ sè nμy. 19 §4. HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ Víi mçi cÆp sè chØ kinh ®é vμ vÜ ®é ng−êi ta x¸c ®Þnh ®−îc mét ®iÓm trªnTr¸i §Êt. 1. Trôc vμ ®é dμi ®¹i sè trªn trôc a) Trôc to¹ ®é (hay gäi t¾t lμ trôc) lμ mét ®−êng th¼ng trªn ®ã ®· x¸c ®Þnh mét ®iÓm O gäi lμ ®iÓm gèc vμ mét vect¬ ®¬n vÞ e . Ta kÝ hiÖu trôc ®ã lμ (O ; e ) (h.1.20) H×nh 1.20 b) Cho M lμ mét ®iÓm tuú ý trªn trôc (O ; e ). Khi ®ã cã duy nhÊt mét sè k sao cho =   OM ke . Ta gäi sè k ®ã lμ to¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi trôc ®· cho. 20 c) Cho hai ®iÓm A vμ B trªn trôc (O ; e ). Khi ®ã cã duy nhÊt sè a sao cho AB ae . Ta gäi sè a ®ã lμ ®é dμi ®¹i sè cña vect¬  =   vμ kÝ hiÖu a = AB . NhËn xÐt. NÕu  AB ®èi víi trôc ®· cho AB cïng h−íng víi e th× AB = AB, cßn nÕu  h−íng víi e th× AB = −AB. AB ng−îc NÕu hai ®iÓm A vμ B trªn trôc (O ; e ) cã to¹ ®é lÇn l−ît lμ a vμ b th× AB = b − a. 2. HÖ trôc to¹ ®é Trong môc nμy ta sÏ x©y dùng kh¸i niÖm hÖ trôc to¹ ®é ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm vμ cña vect¬ trªn mÆt ph¼ng. 1 H·y t×m c¸ch x¸c ®Þnh vÞ trÝ qu©n xe vμ qu©n m· trªn bμn cê vua (h.1.21) H×nh 1.21 a) §Þnh nghÜa HÖ trôc to¹ ®é   ( ;, ) Oij gåm hai trôc  ( ;) O i vμ  ( ;) O j vu«ng gãc víi nhau. §iÓm gèc O chung cña hai trôc gäi lμ gèc to¹ ®é. Trôc  ( ;) O i ®−îc gäi lμ trôc hoμnh vμ kÝ hiÖu lμ Ox, trôc  ( ;) O j ®−îc gäi lμ trôc tung vμ kÝ hiÖu lμ Oy. C¸c vect¬ i vμj lμ c¸c vect¬ ®¬n vÞ trªn Ox vμ Oy vμ i = j = 1. HÖ trôc to¹ ®é   ( ;, ) Oij cßn ®−îc kÝ hiÖu lμ Oxy (h.1.22) 21 a) b) H×nh 1.22 MÆt ph¼ng mμ trªn ®ã ®· cho mét hÖ trôc to¹ ®é Oxy ®−îc gäi lμ mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy hay gäi t¾t lμ mÆt ph¼ng Oxy. b) To¹ ®é cña vect¬ 2 H·y ph©n tÝch c¸c vect¬ a , b theo hai vect¬ i vμj trong h×nh (h.1.23) H×nh 1.23 Trong mÆt ph¼ng Oxy cho mét vect¬ u tuú ý. VÏ  OA = u vμ gäi A1 , A2 lÇn l−ît lμ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn Ox vμ Oy (h.1.24). Ta cã = +    OA OA OA 1 2 vμ cÆp sè duy nhÊt (x ; y) ®Ó =     vËy = + u xi y j . OA xi 1 , =   OA y j 2 . Nh− 22 CÆp sè (x ; y) duy nhÊt ®ã ®−îc gäi lμ to¹ ®é cña vect¬ u ®èi víi hÖ to¹ ®é Oxy vμ viÕt u = (x ; y) hoÆc u (x ; y). Sè thø nhÊt x gäi lμ hoμnh ®é, sè thø hai y gäi lμ tung ®é cña vect¬ u . Nh− vËy u = (x ; y) ⇔ = +   u xi y j H×nh 1.24 NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa to¹ ®é cña vect¬, ta thÊy hai vect¬ b»ng nhau khi vμ chØ khi chóng cã hoμnh ®é b»ng nhau vμ tung ®é b»ng nhau. NÕu u = (x ; y) , u' = (x' ; y') th×  ' x x ⎧ = ′ = ⇔ ⎨⎩ = ′ u uy y Nh− vËy, mçi vect¬ ®−îc hoμn toμn x¸c ®Þnh khi biÕt to¹ ®é cña nã. c) To¹ ®é cña mét ®iÓm Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho mét ®iÓm M tuú ý. To¹ ®é cña vect¬  OM ®èi víi hÖ trôc Oxy ®−îc gäi lμ to¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi hÖ trôc ®ã (h.1.25). Nh− vËy, cÆp sè (x ; y) lμ to¹ ®é cña ®iÓm M khi vμ chØ khi  OM = (x ; y). Khi ®ã ta viÕt M(x ; y) hoÆc M = (x ; y). Sè x ®−îc gäi lμ hoμnh ®é, cßn sè y ®−îc gäi lμ tung ®é cña ®iÓm M. Hoμnh ®é cña ®iÓm M cßn ®−îc kÝ hiÖu lμ xM , tung ®é cña ®iÓm M cßn ®−îc kÝ hiÖu lμ yM . M = (x ; y) ⇔ = +    OM xi y j H×nh 1.25 Chó ý r»ng, nÕu MM Ox 1 ⊥ , MM Oy 2 ⊥ th× x = OM1 , y = OM2 . 23 3 T×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A, B, C trong h×nh 1.26. Cho ba ®iÓm D(−2 ; 3), E(0 ; −4), F(3 ; 0). H·y vÏ c¸c ®iÓm D, E, F trªn mÆt ph¼ng Oxy. H×nh 1.26 d) Liªn hÖ gi÷a to¹ ®é cña ®iÓm vμ to¹ ®é cña vect¬ trong mÆt ph¼ng Cho hai ®iÓm A(xA ; yA) vμ B(xB ; yB). Ta cã =− −  (; ) AB x x y y BA BA . 4 H·y chøng minh c«ng thøc trªn. 3. To¹ ®é cña c¸c vect¬   u+v ,   u v − , ku Ta cã c¸c c«ng thøc sau :  Cho u = (u1 ; u2) , =   + 1 2 vvv (; ) . Khi ®ã : u v = (u1 + v1 ; u2 + v2) ;   − u v = (u1 − v1 ; u2 − v2) ; ku = (ku1 ; ku2 ), k ∈ . 24 VÝ dô 1. Cho a = (1 ; −2), b = (3 ; 4), c = (5 ; −1). T×m to¹ ®é vect¬   u abc 2 . = +− Ta cã 2a = (2 ; −4), + 2a b = (5 ; 0), + −  2abc = (0 ; 1). VËy u = (0 ; 1).   VÝ dô 2. Cho a = (1 ; −1), b = (2 ; 1). H·y ph©n tÝch vect¬ c = (4 ; −1) theo a vμb .  c ka hb = (k + 2h ; −k + h) Gi¶ sö = + Ta cã ⎧ + = ⎨⎩− + =− k h⇒⎧ = ⎨⎩ =21. k h 2 4 1   VËy = + c ab 2 . k h NhËn xÐt. Hai vect¬ u = (u1; u2 ) , v = (v1; v2 ) víi ≠   v cïng ph 0 −¬ng khi vμ chØ khi cã mét sè k sao cho u1 = kv1 vμ u2 = kv2. 4. To¹ ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng. To¹ ®é cña träng t©m tam gi¸c a) Cho ®o¹n th¼ng AB cã A( Ax ; Ay ), B( Bx ; By ). Ta dÔ dμng chøng minh ®−îc to¹ ®é trung ®iÓm I( I x ; I y ) cña ®o¹n th¼ng AB lμ : + + = = , 2 2 xx yy AB AB x y . I I 5. Gäi G lμ träng t©m cña tam gi¸c ABC. H·y ph©n tÝch vect¬  OG theo ba vect¬  OA ,  OB vμ OC. Tõ ®ã h·y tÝnh to¹ ®é cña G theo to¹ ®é cña A, B vμ C. b) Cho tam gi¸c ABC cã A( Ax ; Ay ), B( Bx ; By ), C( xC ; yC ). Khi ®ã to¹ ®é cña träng t©m G( Gx ; Gy ) cña tam gi¸c ABC ®−îc tÝnh theo c«ng thøc : + + ++ = = , 3 3 xxx yyy ABC ABC x y . G G 25 VÝ dô. Cho A(2 ; 0), B(0 ; 4), C(1 ; 3). T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB vμ to¹ ®é cña träng t©m G cña tam gi¸c ABC. Ta cã xI = + = 2 0 1 2 , yI = + = 0 4 2 2 ; xG = 201 + + 3 = 1, yG = + + = 043 7 3 3 . C©u hái vμ bμi tËp 1. Trªn trôc (O ; e ) cho c¸c ®iÓm A, B, M, N cã to¹ ®é lÇn l−ît lμ −1, 2, 3, −2. a) H·y vÏ trôc vμ biÓu diÔn c¸c ®iÓm ®· cho trªn trôc ; b) TÝnh ®é dμi ®¹i sè cña  AB vμ MN . Tõ ®ã suy ra hai vect¬  AB vμ MN ng−îc h−íng. 2. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é c¸c mÖnh ®Ò sau ®óng hay sai ? a) a = (–3 ; 0) vμi = (1 ; 0) lμ hai vect¬ ng−îc h−íng ; b) a = (3 ; 4) vμb = (–3 ; –4) lμ hai vect¬ ®èi nhau ; c) a = (5 ; 3) vμb = (3 ; 5) lμ hai vect¬ ®èi nhau ; d) Hai vect¬ b»ng nhau khi vμ chØ khi chóng cã hoμnh ®é b»ng nhau vμ tung ®é b»ng nhau. 3. T×m to¹ ®é cña c¸c vect¬ sau : a i 2 ; b) = −     a) =  c) = − b j 3 ;   cij 3 4 ; d) = + dij 0,2 3 . 4. Trong mÆt ph¼ng Oxy. C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai ? a) To¹ ®é cña ®iÓm A lμ to¹ ®é cña vect¬  OA ; b) §iÓm A n»m trªn trôc hoμnh th× cã tung ®é b»ng 0 ; c) §iÓm A n»m trªn trôc tung th× cã hoμnh ®é b»ng 0 ; d) Hoμnh ®é vμ tung ®é cña ®iÓm A b»ng nhau khi vμ chØ khi A n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc phÇn t− thø nhÊt. 26 5. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®iÓm M(x0 ; y0). a) T×m to¹ ®é cña ®iÓm A ®èi xøng víi M qua trôc Ox ; b) T×m to¹ ®é cña ®iÓm B ®èi xøng víi M qua trôc Oy ; c) T×m to¹ ®é ®iÓm C ®èi xøng víi M qua gèc O. 6. Cho h×nh b×nh hμnh ABCD cã A(–1 ; –2), B(3 ; 2), C(4 ; –1). T×m to¹ ®é ®Ønh D. 7. C¸c ®iÓm A’(–4 ; 1), B’(2 ; 4) vμ C’(2 ; –2) lÇn l−ît lμ trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA vμ AB cña tam gi¸c ABC. TÝnh to¹ ®é c¸c ®Ønh cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng träng t©m cña c¸c tam gi¸c ABC vμ A’B’C’ trïng nhau. 8. Cho a = (2 ; −2) , b = (1 ; 4). H·y ph©n tÝch vect¬ c = (5 ; 0) theo hai vect¬ a vμb . «n tËp ch−¬ng I I. C©u hái vμ bμi tËp 1. Cho lôc gi¸c ®Òu ABCDEF cã t©m O. H·y chØ ra c¸c vect¬ b»ng  AB cã ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi lμ O hoÆc c¸c ®Ønh cña lôc gi¸c. 2. Cho hai vect¬ a vμb ®Òu kh¸c 0 . C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai ? a) Hai vect¬ a vμb cïng h−íng th× cïng ph−¬ng ; b) Hai vect¬ b vμ kb cïng ph−¬ng ; c) Hai vect¬ a vμ (–2) a cïng h−íng ; d) Hai vect¬ a vμb ng−îc h−íng víi vect¬ thø ba kh¸c 0 th× cïng ph−¬ng. 3. Tø gi¸c ABCD lμ h×nh g× nÕu =   AB DC vμ =   AB BC . 4. Chøng minh r»ng + ≤ +   ab a b . 5. Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O. H·y x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M, N, P sao cho a) = +    OM OA OB ; b) = +    ON OB OC ; c) = +    OP OC OA . 6. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh b»ng a. TÝnh a) +   AB AC ; b) −   AB AC . 27 7. Cho s¸u ®iÓm M, N, P, Q, R, S bÊt k×. Chøng minh r»ng + += + +       MP NQ RS MS NP RQ. 8. Cho tam gi¸c OAB. Gäi M vμ N lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña OA vμ OB. T×m c¸c sè m, n sao cho a) = +    OM mOA nOB ; b) = +    c) = +    AN mOA nOB ; MN mOA nOB ; d) = +    MB mOA nOB . 9. Chøng minh r»ng nÕu G vμ G’ lÇn l−ît lμ träng t©m cña c¸c tam gi¸c ABC vμ A’B’C’ th× =++     3' ' ' ' GG AA BB CC . 10. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai ? a) Hai vect¬ ®èi nhau th× chóng cã hoμnh ®é ®èi nhau ;   a 0 cïng ph−¬ng víi vect¬ i nÕu a cã hoμnh ®é b»ng 0 ; b) Vect¬ ≠ c) Vect¬ a cã hoμnh ®é b»ng 0 th× cïng ph−¬ng víi vect¬ j . 11. Cho a = (2 ; 1), b = (3 ; –4), c = (–7 ; 2). a) T×m to¹ ®é cña vect¬ = + −  uabc 324 ; b) T×m to¹ ®é vect¬ x sao cho + = −   xa bc ; c) T×m c¸c sè k vμ h sao cho = +  c ka hb . 2 u ij , = −     1 5 12. Cho = − v mi j 4 . T×m m ®Ó u vμv cïng ph−¬ng. 13. Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau kh¼ng ®Þnh nμo lμ ®óng ? a) §iÓm A n»m trªn trôc hoμnh th× cã hoμnh ®é b»ng 0 ; b) P lμ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB khi vμ chØ khi hoμnh ®é cña P b»ng trung b×nh céng c¸c hoμnh ®é cña A vμ B ; c) NÕu tø gi¸c ABCD lμ h×nh b×nh hμnh th× trung b×nh céng c¸c to¹ ®é t−¬ng øng cña A vμ C b»ng trung b×nh céng c¸c to¹ ®é t−¬ng øng cña B vμ D. II. C©u hái tr¾c nghiÖm 1. Cho tø gi¸c ABCD. Sè c¸c vect¬ kh¸c 0 cã ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi lμ ®Ønh cña tø gi¸c b»ng : (A) 4 ; (B) 6 ; (C) 8 ; (D) 12. 28 2. Cho lôc gi¸c ®Òu ABCDEF cã t©m O. Sè c¸c vect¬ kh¸c 0 cïng ph−¬ng víi  OC cã ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi lμ ®Ønh cña lôc gi¸c b»ng : (A) 4 ; (B) 6 ; (C) 7 ; (D) 8. 3. Cho lôc gi¸c ®Òu ABCDEF cã t©m O. Sè c¸c vect¬ b»ng vect¬  OC cã ®iÓm ®Çu vμ ®iÓm cuèi lμ ®Ønh cña lôc gi¸c b»ng : (A) 2 ; (B) 3 ; (C) 4 ; (D) 6. 4. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 3, BC = 4. §é dμi cña vect¬  AC lμ : (A) 5 ; (B) 6 ; (C) 7 ; (D) 9. 5. Cho ba ®iÓm ph©n biÖt A, B, C. §¼ng thøc nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) − =    CA BA BC ; (B) + =    AB AC BC ; (C) + =    AB CA CB ; (D) − =    AB BC CA. 6. Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A vμ B. §iÒu kiÖn ®Ó ®iÓm I lμ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB lμ : (A) IA = IB ; (B) =   I I A B ; (C) = −   I I A B ; (D) =   A B I I . 7. Cho tam gi¸c ABC cã G lμ träng t©m, I lμ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC. §¼ng thøc nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) =   GA G2 I ; (B) = −   13 I I G A ; (C) + =    GB GC GI 2 ; (D) + =    GB GC GA . 8. Cho h×nh b×nh hμnh ABCD. §¼ng thøc nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) + =    AC BD BC 2 ; (B) + =    AC BC AB ; (C) − =    AC BD CD 2 ; (D) − =    AC AD CD. 9. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho h×nh b×nh hμnh OABC, C n»m trªn Ox. Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A)  AB cã tung ®é kh¸c 0 ; (B) A vμ B cã tung ®é kh¸c nhau ; (C) C cã hoμnh ®é b»ng 0 ; (D) + − ACB xxx = 0. 29 10. Cho u = (3 ; –2), v = (1 ; 6). Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ?   u v vμa = (–4 ; 4) ng−îc h−íng ; (A) + (B) u vμv cïng ph−¬ng ;   u v vμb = (6 ; –24) cïng h−íng ; (C) −   u v vμv cïng ph−¬ng. (D) 2 + 11. Cho tam gi¸c ABC cã A(3 ; 5), B(1 ; 2), C(5 ; 2). Träng t©m cña tam gi¸c ABC lμ : (A) G1(−3 ; 4) ; (B) G2(4 ; 0) ; (C) G3( 2 ; 3) ; (D) G4(3 ; 3). 12. Cho bèn ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; –1), C(4 ; 3), D(3 ; 5). Chän mÖnh ®Ò ®óng : (A) Tø gi¸c ABCD lμ h×nh b×nh hμnh ; (B) §iÓm G(2 ; 53) lμ träng t©m cña tam gi¸c BCD ; (C) =   AB CD ; (D)  AC ,  AD cïng ph−¬ng. 13. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho bèn ®iÓm A(–5 ; –2), B(–5 ; 3), C(3 ; 3), D(3 ; –2). Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A)  AB vμ CD cïng h−íng ; (B) Tø gi¸c ABCD lμ h×nh ch÷ nhËt ; (C) §iÓm I(–1 ; 1) lμ trung ®iÓm AC ; (D) + =    OA OB OC .   14. Cho tam gi¸c ABC. §Æt =   b AC . a BC , = C¸c cÆp vect¬ nμo sau ®©y cïng ph−¬ng ?   (A) +       2a b vμ + a b2 ; (B) − a b2 vμ −     10 2 a b ; (D) + 2a b ; 5a b vμ − −     (C) + a b vμ − a b . 15. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho h×nh vu«ng ABCD cã gèc O lμ t©m cña h×nh vu«ng vμ c¸c c¹nh cña nã song song víi c¸c trôc to¹ ®é. Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? OA OB = AB ; (B) −   (A) +   OA OB vμ DC cïng h−íng ; (C) = − x x A C vμ = y y A C ; (D) = − x x B C vμ y y C B = − . 30 16. Cho M(3 ; –4). KÎ MM1 vu«ng gãc víi Ox, MM2 vu«ng gãc víi Oy. Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) OM1 = –3 ; (B) OM2 = 4 ; (C) −   OM OM 1 2 cã to¹ ®é (–3 ; –4) ; (D) +   OM OM 1 2 cã to¹ ®é (3 ; –4). 17. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho A(2 ; −3), B(4 ; 7). To¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB lμ (A) (6 ; 4) ; (B) (2 ; 10) ; (C) (3 ; 2) ; (D) (8 ; −21). 18. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho A(5 ; 2), B(10 ; 8). To¹ ®é cña vect¬  AB lμ (A) (15 ; 10) ; (B) (2 ; 4) ; (C) (5 ; 6) ; (D) (50 ; 16). 19. Cho tam gi¸c ABC cã B(9 ; 7), C(11 ; −1), M vμ N lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña AB vμ AC. To¹ ®é cña vect¬  MN lμ (A) (2 ; −8) ; (B) (1 ; −4) ; (C) (10 ; 6) ; (D) (5 ; 3). 20. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho bèn ®iÓm A(3 ; −2), B(7 ; 1), C(0 ; 1), D(−8 ; −5). Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? AB vμ (A)  CD ®èi nhau ; AB vμ (B)  (C)  CD cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc h−íng ; AB vμ CD cïng ph−¬ng vμ cïng h−íng ; (D) A, B, C, D th¼ng hμng. 21. Cho ba ®iÓm A(−1 ; 5), B(5 ; 5), C(−1 ; 11). Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) A, B, C th¼ng hμng ; (B)  AB vμ (C)  AC cïng ph−¬ng ; AB vμ (D)  AC kh«ng cïng ph−¬ng ; AC vμ BC cïng ph−¬ng. 31 22. Cho a = (3 ; −4), b = (−1 ; 2). To¹ ®é cña vect¬ +   a b lμ (A) (−4 ; 6) ; (B) (2 ; −2) ; (C) (4 ; −6) ; (D) (−3 ; −8). 23. Cho a = (−1 ; 2), b = (5 ; −7). To¹ ®é cña vect¬ −   a b lμ (A) (6 ; −9) ; (B) (4 ; −5) ; (C) (−6 ; 9) ; (D) (−5 ; −14). 24. Cho a = (−5 ; 0), b = (4 ; x). Hai vect¬ a vμb cïng ph−¬ng nÕu sè x lμ (A) −5 ; (B) 4 ; (C) 0 ; (D) −1. 25. Cho a = (x ; 2), b = (−5 ; 1), c = (x ; 7). Vect¬ = +   c ab 2 3 nÕu (A) x = −15 ; (B) x = 3 ; (C) x = 15 ; (D) x = 5. 26. Cho A(1 ; 1), B(−2 ; −2), C(7 ; 7). Kh¼ng ®Þnh nμo ®óng ? (A) G(2 ; 2) lμ träng t©m cña tam gi¸c ABC ; (B) §iÓm B ë gi÷a hai ®iÓm A vμ C ; (C) §iÓm A ë gi÷a hai ®iÓm B vμ C ; (D) Hai vect¬  AB vμ AC cïng h−íng. 27. C¸c ®iÓm M(2 ; 3), N(0 ; −4), P(−1 ; 6) lÇn l−ît lμ trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC. To¹ ®é ®Ønh A cña tam gi¸c lμ : (A) (1 ; 5) ; (B) (−3 ; −1) ; (C) (−2 ; −7) ; (D) (1 ; −10). 28. Cho tam gi¸c ABC cã träng t©m lμ gèc to¹ ®é O, hai ®Ønh A vμ B cã to¹ ®é lμ A(−2 ; 2), B(3 ; 5). To¹ ®é cña ®Ønh C lμ : (A) (−1 ; −7) ; (B)(2 ; −2) ; (C) (−3 ; −5) ; (D) (1 ; 7). 29. Kh¼ng ®Þnh nμo trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau lμ ®óng ? (A) Hai vect¬ a = (−5 ; 0) vμb = (−4 ; 0) cïng h−íng ; (B) Vect¬ c = (7 ; 3) lμ vect¬ ®èi cña d = (−7; 3) ; (C) Hai vect¬ u = (4 ; 2) vμv = (8 ; 3) cïng ph−¬ng ; (D) Hai vect¬ a = (6 ; 3) vμb = (2 ; 1) ng−îc h−íng. 30. Trong hÖ trôc (O ; i , j ), to¹ ®é cña vect¬ i + j lμ : (A) (0 ; 1) ; (B) (−1 ; 1) ; (C) (1 ; 0) ; (D) (1 ; 1). 32 T×m hiÓu vÒ vect¬ ViÖc nghiªn cøu vect¬ vμ c¸c phÐp to¸n trªn c¸c vect¬ b¾t nguån tõ nhu cÇu cña c¬ häc vμ vËt lÝ. Tr−íc thÕ kØ XIX ng−êi ta dïng to¹ ®é ®Ó x¸c ®Þnh vect¬ vμ quy c¸c phÐp to¸n trªn c¸c vect¬ vÒ c¸c phÐp to¸n trªn to¹ ®é cña chóng. ChØ vμo gi÷a thÕ kØ XIX, ng−êi ta míi x©y dùng ®−îc c¸c phÐp to¸n trùc tiÕp trªn c¸c vect¬ nh− chóng ta ®· nghiªn cøu trong ch−¬ng I. C¸c nhμ to¸n häc Ha-min-t¬n (W. Hamilton), Grat-sman (H. Grassmann) vμ Gip (J. Gibbs) lμ nh÷ng ng−êi ®Çu tiªn nghiªn cøu mét c¸ch cã hÖ thèng vÒ vect¬. ThuËt ng÷ “Vect¬” còng ®−îc ®−a ra tõ c¸c c«ng tr×nh Êy. Vector theo tiÕng La-tinh cã nghÜa lμ VËt mang. §Õn ®Çu thÕ kØ XX vect¬ ®−îc hiÓu lμ phÇn tö cña mét tËp hîp nμo ®ã mμ trªn ®ã ®· cho c¸c phÐp to¸n thÝch hîp ®Ó trë thμnh mét cÊu tróc gäi lμ kh«ng gian vect¬. Nhμ to¸n häc V©y (Weyl) ®· x©y dùng h×nh häc ¬-clit dùa vμo kh«ng gian vect¬ theo hÖ tiªn ®Ò vμ ®−îc nhiÒu ng−êi tiÕp nhËn mét c¸ch thÝch thó. §èi t−îng c¬ b¶n ®−îc ®−a ra trong hÖ tiªn ®Ò nμy lμ ®iÓm vμ vect¬. ViÖc x©y dùng nμy cho phÐp ta cã thÓ më réng sè chiÒu cña kh«ng gian mét c¸ch dÔ dμng vμ cã thÓ sö dông c¸c c«ng cô cña lÝ thuyÕt tËp hîp vμ ¸nh x¹. §ång thêi h×nh häc cã thÓ sö dông nh÷ng cÊu tróc ®¹i sè ®Ó ph¸t triÓn theo c¸c ph−¬ng h−íng míi. Vμo nh÷ng n¨m gi÷a thÕ kØ XX, trong xu h−íng hiÖn ®¹i ho¸ ch−¬ng tr×nh phæ th«ng, nhiÒu nhμ to¸n häc trªn thÕ giíi ®· vËn ®éng ®−a viÖc gi¶ng d¹y vect¬ vμo tr−êng phæ th«ng. ë n−íc ta, vect¬ vμ to¹ ®é còng ®−îc ®−a vμo gi¶ng d¹y ë tr−êng phæ th«ng cïng víi mét ch−¬ng tr×nh to¸n hiÖn ®¹i nh»m ®æi míi ®Ó n©ng cao chÊt l−îng gi¸o dôc cho phï hîp víi xu thÕ chung cña thÕ giíi. 33 CHÖÔNG II Gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét gãc α víi 0o ≤α≤ 180o TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ VAØ ÖÙNG DUÏNG Gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét gãc bÊt k× tõ 0o ®Õn 180o TÝch v« h−íng cña hai vect¬ vμ øng dông C¸c hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vμ gi¶i tam gi¸c Trong ch−¬ng nμy chóng ta sÏ nghiªn cøu thªm mét phÐp to¸n míi vÒ vect¬, ®ã lμ phÐp nh©n v« h−íng cña hai vect¬. PhÐp nh©n nμy cho kÕt qu¶ lμ mét sè, sè ®ã gäi lμ tÝch v« h−íng cña hai vect¬. §Ó cã thÓ x¸c ®Þnh tÝch v« h−íng cña hai vect¬ ta cÇn ®Õn kh¸i niÖm gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét gãc α bÊt k× víi o0 ≤ α ≤ o 180 lμ më réng cña kh¸i niÖm tØ sè l−îng gi¸c cña mét gãc nhän α ®· biÕt ë líp 9. 34 §1. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KÌ TÖØ 0o ÑEÁN 180o 1 Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc nhän ABC = α. H·y nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa c¸c tØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän α ®· häc ë líp 9. H×nh 2.1 2 Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, nöa ®−êng trßn t©m O n»m phÝa trªn trôc hoμnh b¸n kÝnh R = 1 ®−îc gäi lμ nöa ®−êng trßn ®¬n vÞ (h.2.2). NÕu cho tr−íc mét gãc nhän α th× ta cã thÓ x¸c ®Þnh mét ®iÓm M duy nhÊt trªn nöa ®−êng trßn ®¬n vÞ sao cho xOM = α. Gi¶ sö ®iÓm M cã to¹ ®é (x0 ; y0). y x H·y chøng tá r»ng sinα = y0 , cosα = x0, tanα = 0 x, cotα = 00 0 H×nh 2.2 y . Më réng kh¸i niÖm tØ sè l−îng gi¸c ®èi víi gãc nhän cho nh÷ng gãc α bÊt k× víi o0 ≤ α ≤ 180o, ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y : 35 1. §Þnh nghÜa Víi mçi gãc α ( o0 ≤ α ≤ 180o) ta x¸c ®Þnh mét ®iÓm M trªn nöa ®−êng trßn ®¬n vÞ (h.2.3) sao cho xOM  = α vμ gi¶ sö ®iÓm M cã to¹ ®é M(x0 ; y0). Khi ®ã ta ®Þnh nghÜa : ∙ sin cña gãc α lμ y0, kÝ hiÖu sinα = y0 ; ∙ c«sin cña gãc α lμ x0, kÝ hiÖu cosα = x0 ; y y ∙ tang cña gãc α lμ 0 H×nh 2.3 x (x0 ≠ 0), kÝ hiÖu tanα = 00 0 x x; y (y0 ≠ 0), kÝ hiÖu cotα = 00xy . ∙ c«tang cña gãc α lμ 0 0 C¸c sè sinα, cosα, tanα, cotα ®−îc gäi lμ c¸c gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc α. VÝ dô. T×m c¸c gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc 135o. LÊy ®iÓm M trªn nöa ®−êng trßn ®¬n vÞ sao cho xOM  = 135o. Khi ®ã ta cã yOM  = 45o. Tõ ®ã ta suy ra to¹ ®é cña ®iÓm M lμ⎛ ⎞ 2 2 −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; 2 2 (h.2.4). VËy o 2 sin1352 = ; = − o 2 cos1352 tan o 135 = −1 ; cot o 135 = −1.  Chó ý. ∙ NÕu α lμ gãc tï th× cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0. ∙ tanα chØ x¸c ®Þnh khi α ≠ o 90 , cotα chØ x¸c ®Þnh khi α ≠ o0 vμ α ≠ o 180 . H×nh 2.4 36 2. TÝnh chÊt Trªn h×nh 2.5 ta cã d©y cung NM song song víi trôc Ox vμ nÕu xOM  = α th× xON  = 180o − α. Ta cã = = M N 0 yyy , = − = M N 0 x xx . Do ®ã sinα = sin (180o − α) cosα = − cos (180o − α) tanα = − tan (180o − α) cotα = − cot (180o − α). H×nh 2.5 3. Gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña c¸c gãc ®Æc biÖt Gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña c¸c gãc bÊt k× cã thÓ t×m thÊy trªn b¶ng sè hoÆc trªn m¸y tÝnh bá tói. Sau ®©y lμ gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét sè gãc ®Æc biÖt mμ chóng ta cÇn ghi nhí. B¶ng gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña c¸c gãc ®Æc biÖt α Gi¸ trÞ l−îng gi¸c 0o 30o 45o 60o 90o 180o sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 0 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 −1 tanα 0 1 3 1 3  0 cotα  3 1 1 3 0  Trong b¶ng, kÝ hiÖu "" ®Ó chØ gi¸ trÞ l−îng gi¸c kh«ng x¸c ®Þnh. 37  Chó ý. Tõ gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña c¸c gãc ®Æc biÖt ®· cho trong b¶ng vμ tÝnh chÊt trªn, ta cã thÓ suy ra gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét sè gãc ®Æc biÖt kh¸c. Ch¼ng h¹n : o oo o 3 sin120 sin(180 60 ) sin60 2 = −= = o oo o 2 cos135 cos(180 45 ) cos 45 2 = − =− =− . 3 T×m c¸c gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña c¸c gãc o 120 , o 150 . 4. Gãc gi÷a hai vect¬ a) §Þnh nghÜa Cho hai vect¬ a vμ b ®Òu kh¸c vect¬ 0. Tõ mét ®iÓm O bÊt k× ta vÏ OA a =   vμ OB b =   . Gãc AOB víi sè ®o tõ 0o ®Õn 180o ®−îc gäi lμ gãc gi÷a hai vect¬ a vμ b. Ta kÝ hiÖu gãc gi÷a hai vect¬ a vμ b lμ ( a, b) (h.2.6). NÕu ( a, b) = 90o th× ta nãi r»ng a vμ b vu«ng gãc víi nhau, kÝ hiÖu lμ a ⊥ b hoÆc b ⊥ a. b) Chó ý. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã ( a , b ) = ( b , a ). H×nh 2.6 4 Khi nμo gãc gi÷a hai vect¬ b»ng 0o ? Khi nμo gãc gi÷a hai vect¬ b»ng 180o ? 38 c) VÝ dô. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A vμ cã gãc  o B = 50 (h.2.7). Khi ®ã : o ( , ) 50 BA BC =   , o ( , ) 130 AB BC =   , o ( , ) 40 CA CB =   , o ( , ) 40 AC BC =   , o ( , ) 140 AC CB =   , o ( , ) 90 AC BA =   . H×nh 2.7 5. Sö dông m¸y tÝnh bá tói ®Ó tÝnh gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét gãc Ta cã thÓ sö dông c¸c lo¹i m¸y tÝnh bá tói ®Ó tÝnh gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét gãc, ch¼ng h¹n ®èi víi m¸y CASIO fx − 500MS c¸ch thùc hiÖn nh− sau : a) TÝnh c¸c gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc α MODE Sau khi më m¸y Ên phÝm nhiÒu lÇn ®Ó mμn h×nh hiÖn lªn dßng ch÷ øng víi c¸c sè sau ®©y : Deg Rad Gra 1 2 3 1 Sau ®ã Ên phÝm ®Ó x¸c ®Þnh ®¬n vÞ ®o gãc lμ "®é" vμ tÝnh gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc. ∙ TÝnh sinα, cosα vμ tanα. VÝ dô 1. TÝnh sin 63o 52' 41''. Ên liªn tiÕp c¸c phÝm sau ®©y : ,,, o ,,, o ,,, o = sin 63 52 41 Ta ®−îc kÕt qu¶ lμ : sin 63o 52' 41'' ≈ 0, 897859012. §Ó tÝnh cosα vμ tanα ta còng lμm nh− trªn, chØ thay viÖc Ên phÝm sin b»ng phÝm cos hay tan . 39 b) X¸c ®Þnh ®é lín cña gãc khi biÕt gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc ®ã Sau khi më m¸y vμ chän ®¬n vÞ ®o gãc, ®Ó tÝnh gãc x khi biÕt c¸c gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc ®ã ta lμm nh− vÝ dô sau. VÝ dô 2. T×m x biÕt sinx = 0,3502. Ta Ên liªn tiÕp c¸c phÝm sau ®©y : SHIFT = SHIFT ,,, o sin 0.3502 vμ ®−îc kÕt qu¶ lμ : o x ≈ 20 29'58''. Muèn t×m x khi biÕt cosx, tanx ta lμm t−¬ng tù nh− trªn, chØ thay phÝm sin b»ng phÝm cos , tan . C©u hái vμ bμi tËp 1. Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC ta cã : a) sin A = sin(B + C); b) cos A = −cos(B + C). 2. Cho AOB lμ tam gi¸c c©n t¹i O cã OA = a vμ cã c¸c ®−êng cao OH vμ AK. Gi¶ sö AOH = α . TÝnh AK vμ OK theo a vμ α. 3. Chøng minh r»ng : a) = o o sin105 sin 75 ; b) = − o o cos170 cos10 ; c) = − o o cos122 cos58 . 4. Chøng minh r»ng víi mäi gãc α ( ≤ ≤ α o o 0 180 ) ta ®Òu cã α α + = 2 2 cos sin 1. 5. Cho gãc x, víi = 1 x . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : = + 2 2 P 3sin cos x x . cos3 6. Cho h×nh vu«ng ABCD. TÝnh : cos( AC BA ,   ), sin( AC BD ,  ), cos( AB CD ,  ). 40 §2. TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ Trong vËt lÝ, ta biÕt r»ng nÕu cã mét lùc F t¸c ®éng lªn mét vËt t¹i ®iÓm O vμ lμm cho vËt ®ã di chuyÓn mét qu·ng ®−êng s = OO' th× c«ng A cña lùc F ®−îc tÝnh theo c«ng thøc : A = F OO . cos ′ ϕ   (h.2.8) H×nh 2.8 trong ®ã F lμ c−êng ®é cña lùc F tÝnh b»ng Niut¬n (viÕt t¾t lμ N),  ®é dμi cña vect¬  OO' lμ OO' tÝnh b»ng mÐt (m), ϕ lμ gãc gi÷a hai vect¬  OO' vμF , cßn c«ng A ®−îc tÝnh b»ng Jun (viÕt t¾t lμ J). Trong to¸n häc, gi¸ trÞ A cña biÓu thøc trªn (kh«ng kÓ ®¬n vÞ ®o) ®−îc gäi lμ tÝch v« h−íng cña hai vect¬ F vμ OO' . 1. §Þnh nghÜa Cho hai vect¬ a vμ b ®Òu kh¸c vect¬ 0. TÝch v« h−íng cña a vμ b lμ mét sè, kÝ hiÖu lμ a b.  , ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc sau :    . a b.  = a b ab . cos( , ) Tr−êng hîp Ýt nhÊt mét trong hai vect¬ a vμ b b»ng vect¬ 0 ta quy −íc   a b. = 0.  Chó ý a) Víi a vμb kh¸c vect¬ 0 ta cã     a b. = 0 ⇔ ⊥ a b . b) Khi a = b tÝch v« h−íng a .a ®−îc kÝ hiÖu lμ2 b×nh ph−¬ng v« h−íng cña vect¬ a . o a aa a = = . cos0    . Ta cã 2 2 a vμ sè nμy ®−îc gäi lμ 41 VÝ dô. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh b»ng a vμ cã chiÒu cao AH. Khi ®ã ta cã (h.2.9) AB AC a a a = =   , o 2 1 . . .cos602 AC CB a a a = =−   , o 2 1 . . .cos1202 a AH BC a = =   . 3 o . . .cos90 0 2 H×nh 2.9 2. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch v« h−íng Ng−êi ta chøng minh ®−îc c¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña tÝch v« h−íng : Víi ba vect¬ a , b , c bÊt k× vμ mäi sè k ta cã : a .b = b .a (tÝnh chÊt giao ho¸n) ; a .(b + c ) = a .b + a .c (tÝnh chÊt ph©n phèi) ; (ka ).b = k(a .b ) = a .(kb ) ; ≥ 2 a 0 , 2 a = 0 ⇔ a = 0 . NhËn xÐt. Tõ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch v« h−íng cña hai vect¬ ta suy ra : + =+ +      2 2 2 ( ) 2. a b a ab b ; − =− +      2 2 2 ( ) 2. a b a ab b ;    . + −= −2 2 ( ).( ) abab a b 1 Cho hai vect¬ a vμb ®Òu kh¸c vect¬ 0 . Khi nμo th× tÝch v« h−íng cña hai vect¬ ®ã lμ sè d−¬ng ? Lμ sè ©m ? B»ng 0 ? 42 øng dông. Mét xe goßng chuyÓn ®éng tõ A ®Õn B d−íi t¸c dông cña lùc F . Lùc F t¹o víi h−íng chuyÓn ®éng mét gãc α, tøc lμ (  F AB , ) = α (h.2.10). H×nh 2.10 Lùc F ®−îc ph©n tÝch thμnh hai thμnh phÇn F1 vμF2 trong ®ã F1 vu«ng gãc víi  AB , cßn F2 lμ h×nh chiÕu cña F lªn ®−êng th¼ng AB. Ta cã    FFF 1 2 . C«ng A cña lùc F lμ A = 1 2 F AB F F AB . ( ). = +      = = + = 1 2 F AB F AB . . +     = 2F AB .   . Nh− vËy lùc thμnh phÇn F1 kh«ng lμm cho xe goßng chuyÓn ®éng nªn kh«ng sinh c«ng. ChØ cã thμnh phÇn F2 cña lùc F sinh c«ng lμm cho xe goßng chuyÓn ®éng tõ A ®Õn B. C«ng thøc A = F . AB lμ c«ng thøc tÝnh c«ng cña lùc F lμm vËt di chuyÓn tõ A ®Õn B mμ ta ®· biÕt trong vËt lÝ. 3. BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h−íng Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é (O ; i , j ), cho hai vect¬ a = (a1 ; a2), b = (b1 ; b2). Khi ®ã tÝch v« h−íng a .b lμ : a .b = a1b1 + a2b2. ThËt vËy a .b = +     1 2 ( ) ai a j . + 1 2 ( ) bi b j = ++ +     2 2 11 2 2 12 21 abi a b j ab i j a b j i .. . . . V× =   2 2 i j = 1 vμ =    ij ji . . = 0 nªn suy ra : a .b = a1b1 + a2b2. 43 NhËn xÐt. Hai vect¬ a = (a1 ; a2), b = (b1 ; b2) ®Òu kh¸c vect¬ 0 vu«ng gãc víi nhau khi vμ chØ khi a1b1 + a2b2 = 0. 2 Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ba ®iÓm A(2 ; 4), B(1 ; 2), C(6 ; 2). Chøng minh r»ng ⊥   AB AC . 4. øng dông a) §é dμi cña vect¬ §é dμi cña vect¬ a = (a1 ; a2) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc :  2 2 = + 1 2 a aa . ThËt vËy, ta cã = = = + =+    2 2 2 2 11 2 2 1 2 a a aa aa a a a a . .  2 2 1 2 a aa . Do ®ã = + b) Gãc gi÷a hai vect¬  Tõ ®Þnh nghÜa tÝch v« h−íng cña hai vect¬ ta suy ra nÕu = 1 2 b bb (;) ®Òu kh¸c 0 th× ta cã : 1 2 a aa (;) vμ  =     cos+ = = a b ab a b a b . (, )   11 2 2 . 2222 . . a b aabb + + 1 21 2 VÝ dô. Cho  OM = (−2 ; −1),  ON = (3 ; −1).     OM ON MON OM ON Ta cã cos − + = = = =−   . 61 2 cos( , ). 5. 10 2 . VËy o ( , ) 135 OM ON =   . OM ON 44 c) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A(xA ; yA) vμ B(xB ; yB) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc : AB = − +− 2 2 ( )( ) BA BA xx yy . ThËt vËy, v× =− −  (;) AB x x y y BABA nªn ta cã AB = = − +−  2 2 ( )( ) AB x x y y BA BA . VÝ dô. Cho hai ®iÓm M(−2 ; 2) vμ N(1 ; 1). Khi ®ã  c¸ch MN lμ : = +− =  2 2 MN 3 ( 1) 10 . MN = (3 ; −1) vμ kho¶ng C©u hái vμ bμi tËp 1. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC cã AB = AC = a. TÝnh c¸c tÝch v« h−íng   AB AC . ,   AC CB . . 2. Cho ba ®iÓm O, A, B th¼ng hμng vμ biÕt OA = a, OB = b. TÝnh tÝch v« h−íng   OA OB . trong hai tr−êng hîp : a) §iÓm O n»m ngoμi ®o¹n AB ; b) §iÓm O n»m trong ®o¹n AB . 3. Cho nöa ®−êng trßn t©m O cã ®−êng kÝnh AB = 2R. Gäi M vμ N lμ hai ®iÓm thuéc nöa ®−êng trßn sao cho hai d©y cung AM vμ BN c¾t nhau t¹i I. a) Chøng minh =     A AM A AB I I . . vμ =     B BN B BA I I . . ; b) H·y dïng kÕt qu¶ c©u a) ®Ó tÝnh +     A AM B BN I I . . theo R. 4. Trªn mÆt ph¼ng Oxy, cho hai ®iÓm A(1 ; 3), B(4 ; 2). a) T×m to¹ ®é ®iÓm D n»m trªn trôc Ox sao cho DA = DB ; b) TÝnh chu vi tam gi¸c OAB ; c) Chøng tá OA vu«ng gãc víi AB vμ tõ ®ã tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB. 45 5. Trªn mÆt ph¼ng Oxy h·y tÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a vμ b trong c¸c tr−êng hîp sau : a) a = (2 ; −3), b = (6 ; 4) ; b) a = (3 ; 2), b = (5 ; −1) ; c) a = (−2 ; −2 3 ), b = (3 ; 3 ). 6. Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho bèn ®iÓm A(7 ; −3), B(8 ; 4), C(1 ; 5), D(0 ; −2). Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD lμ h×nh vu«ng. 7. Trªn mÆt ph¼ng Oxy cho ®iÓm A(−2 ; 1). Gäi B lμ ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm A qua gèc to¹ ®é O. T×m to¹ ®é cña ®iÓm C cã tung ®é b»ng 2 sao cho tam gi¸c ABC vu«ng ë C. §3. CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VAØ GIAÛI TAM GIAÙC Chóng ta biÕt r»ng mét tam gi¸c ®−îc hoμn toμn x¸c ®Þnh nÕu biÕt mét sè yÕu tè, ch¼ng h¹n biÕt ba c¹nh, hoÆc hai c¹nh vμ gãc xen gi÷a hai c¹nh ®ã. Nh− vËy gi÷a c¸c c¹nh vμ c¸c gãc cña mét tam gi¸c cã mét mèi liªn hÖ x¸c ®Þnh nμo ®ã mμ ta sÏ gäi lμ c¸c hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c. Trong phÇn nμy chóng ta sÏ nghiªn cøu nh÷ng hÖ thøc ®ã vμ c¸c øng dông cña chóng. §èi víi tam gi¸c ABC ta th−êng kÝ hiÖu : a = BC, b = CA, c = AB. 1 Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®−êng cao AH = h vμ cã BC = a, CA = b, AB = c. Gäi BH = c' vμ CH = b' (h.2.11). H·y ®iÒn vμo c¸c « trèng trong c¸c hÖ thøc sau ®©y ®Ó ®−îc c¸c hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng : 46 = + 2 2 a b 2b a = × 2c a = × = ×′ 2h b ... ... ... ... ah = b × ... H×nh 2.11 1 11 ... = + 2 2 b c ... ... sinB = cosC = a; sinC = cosB = a ... ... tanB = cotC = c; cotB = tanC = b . Tr−íc tiªn ta t×m hiÓu hai hÖ thøc l−îng c¬ b¶n trong tam gi¸c bÊt k× lμ ®Þnh lÝ c«sin vμ ®Þnh lÝ sin. 1. §Þnh lÝ c«sin a) Bμi to¸n. Trong tam gi¸c ABC cho biÕt hai c¹nh AB, AC vμ gãc A, h·y tÝnh c¹nh BC (h×nh 2.12). Gi¶i Ta cã = =− ( )   2   2 2 BC BC AC AB = + −     2 2 AC AB AC AB 2 .     2 2 2 BC AC AB AC AB A 2 . cos . = +− VËy ta cã = +− 2 22 BC AC AB AC AB A 2 . .cos nªn BC = + − 2 2 AC AB AC AB A 2 . .cos . H×nh 2.12 47 Tõ kÕt qu¶ cña bμi to¸n trªn ta suy ra ®Þnh lÝ sau ®©y : b) §Þnh lÝ c«sin Trong tam gi¸c ABC bÊt k× víi BC = a, CA = b, AB = c ta cã : a2 = b2 + c2 − 2bc cosA ; b2 = a2 + c2 − 2ac cosB ; c2 = a2 + b2 − 2ab cosC. 2 H·y ph¸t biÓu ®Þnh lÝ c«sin b»ng lêi. 3 Khi ABC lμ tam gi¸c vu«ng, ®Þnh lÝ c«sin trë thμnh ®Þnh lÝ quen thuéc nμo ? Tõ ®Þnh lÝ c«sin ta suy ra : HÖ qu¶ 222 bca Abc + − = cos ; 2 222 acb Bac + − = cos ; 2 222 abc Cab + − = cos . 2 c) ¸p dông. TÝnh ®é dμi ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh BC = a, CA = b vμ AB = c. Gäi ma , mb vμ mc lμ ®é dμi c¸c ®−êng trung tuyÕn lÇn l−ît vÏ tõ c¸c ®Ønh A, B vμ C cña tam gi¸c. Ta cã : + − =22 2 bc a 2 2( ) m ; 4 a + − =22 2 2 2( ) ac b m ; 4 b + − =22 2 2 2( ) ab c m . H×nh 2.13 4 c 48 ThËt vËy, gäi M lμ trung ®iÓm cña c¹nh BC, ¸p dông ®Þnh lÝ c«sin vμo tam gi¸c AMB ta cã : ⎛ ⎞ =+ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠2 a a mc c B = +2 a 2 2 2 . .cos 2 2 2 a V× cosB = + − 222 acb c − ac cos B 4 ac nªn ta suy ra : 2 m c ac . + − 222 a 2 ac = + − 22 2 2( ) 2 2 = + − 4 a Chøng minh t−¬ng tù ta cã : acb 2 bc a . 4 m + − =22 2 2 2( ) ac b 4 b + − =22 2 2 2( ) ab c m . 4 c 4 Cho tam gi¸c ABC cã a = 7 cm, b = 8 cm vμ c = 6 cm. H·y tÝnh ®é dμi ®−êng trung tuyÕn a m cña tam gi¸c ABC ®· cho. d) VÝ dô VÝ dô 1. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh AC = 10 cm, BC = 16 cm vμ gãc C = o 110 . TÝnh c¹nh AB vμ c¸c gãc A, B cña tam gi¸c ®ã. Gi¶i §Æt BC = a, CA = b, AB = c. Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã : c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = 162 + 102 − 2.16.10.cos110o c2 ≈ 465,44. VËy c ≈ ≈ 465,44 21,6 (cm). H×nh 2.14 49 Theo hÖ qu¶ ®Þnh lÝ c«sin ta cã : 222 2 2 2 10 (21,6) 16 cos A = +− + − ≈ ≈ bca bc 0,7188. 2 2.10.(21,6) Suy ra A ≈ 44o2’,    = −+≈ o o B AC 180 ( ) 25 58' . VÝ dô 2. Hai lùc 1f vμ 2f cho tr−íc cïng t¸c dông lªn mét vËt vμ t¹o thμnh gãc nhän ( ) 1 2 f f , = α   . H·y lËp c«ng thøc tÝnh c−êng ®é cña hîp lùc s . Gi¶i §Æt =   AB f1 , =   AD f2 vμ vÏ h×nh b×nh hμnh ABCD (h.2.15). Khi ®ã AC AB AD f f s 1 2 = + =+ =       .     VËy = =+ 1 2 s AC f f . Theo ®Þnh lÝ c«sin ®èi víi tam gi¸c ABC ta cã =+− 222 AC AB BC AB BC B 2 . .cos , 1 2 12 s f f ff = +− − 2 . .cos(180 ) α      . hay 222o 1 2 12 s f f ff = ++ 2 . .cosα      . Do ®ã 2 2 2. §Þnh lÝ sin H×nh 2.15 5 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A néi tiÕp trong ®−êng trßn b¸n kÝnh R vμ cã BC = a, CA = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc : abc A B C = 2R. = = sin sin sin §èi víi tam gi¸c ABC bÊt k× ta còng cã hÖ thøc trªn. HÖ thøc nμy ®−îc gäi lμ ®Þnh lÝ sin trong tam gi¸c. 50 a) §Þnh lÝ sin Trong tam gi¸c ABC bÊt k× víi BC = a, CA = b, AB = c vμ R lμ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, ta cã : abc ABC= 2R. = = sin sin sin Chøng minh. Ta chøng minh hÖ thøc sinaA = 2R. XÐt hai tr−êng hîp : ∙ NÕu gãc A nhän, ta vÏ ®−êng kÝnh BD cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC vμ khi ®ã v× tam gi¸c BCD vu«ng t¹i C nªn ta cã BC = BD.sin D hay a = 2R.sin D (h.2.16a). Ta cã BAC BDC =  v× ®ã lμ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BC . Do ®ã a = 2R.sin A hay sinaA = 2R. a) b) H×nh 2.16 ∙ NÕu gãc A tï, ta còng vÏ ®−êng kÝnh BD cña ®−êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC (h.2.16b). Tø gi¸c ABDC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O nªn  o  D A = − 180 . Do ®ã sinD = sin( o 180 − A ). Ta còng cã BC = BD.sin D hay a = BD.sin A. VËy a = 2Rsin A hay sinaA = 2R. 51 C¸c ®¼ng thøc sinbB = 2R vμsincC = 2R ®−îc chøng minh t−¬ng tù. VËy ta cã sinaA = sinbB = sincC = 2R. 6 Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh b»ng a. H·y tÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã. b) VÝ dô. Cho tam gi¸c ABC cã B = 20o, C = 31o vμ c¹nh b = 210 cm. TÝnh A , c¸c c¹nh cßn l¹i vμ b¸n kÝnh R cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã. Gi¶i H×nh 2.17 Ta cã A = o oo 180 (20 31 ) − + , do ®ã A = o 129 (h.2.17). MÆt kh¸c theo ®Þnh lÝ sin ta cã : sinaA = sinbB = sincC = 2R (1) Tõ (1) suy ra a = o b A sin 210.sin129 B = ≈ 477,2 (cm). sin sin 20 o c = = b CBo sin 210.sin31 sin sin 20 ≈ 316,2 (cm). o R = = aA o 477,2 2sin 2.sin129 ≈ 307,02 (cm). 52 3. C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c Ta kÝ hiÖu , a b h h vμ ch lμ c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c ABC lÇn l−ît vÏ tõ c¸c ®Ønh A, B, C vμ S lμ diÖn tÝch tam gi¸c ®ã. 7 H·y viÕt c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c theo mét c¹nh vμ ®−êng cao t−¬ng øng. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh BC = a, CA = b, AB = c. Gäi R vμ r lÇn l−ît lμ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, néi tiÕp tam gi¸c vμ p = + + abc lμ nöa chu vi cña tam gi¸c. 2 DiÖn tÝch S cña tam gi¸c ABC ®−îc tÝnh theo mét trong c¸c c«ng thøc sau : S = = = 111 sin sin sin ab C bc A ca B ; (1) 222 S = 4abcR ; (2) S = pr ; (3) S = p( )( )( ) papbpc − − − (c«ng thøc Hª-r«ng). (4) Ta chøng minh c«ng thøc (1). Ta ®· biÕt S = 12 a ah víi ha = AH = ACsinC = bsinC (kÓ c¶ C nhän, tï hay vu«ng) (h.2.18). H×nh 2.18 53 Do ®ã S = 1 sin 2ab C . C¸c c«ng thøc S = 1 sin 2bc A vμ S = 1 sin 2ca B ®−îc chøng minh t−¬ng tù. 8 Dùa vμo c«ng thøc (1) vμ ®Þnh lÝ sin, h·y chøng minh S = 4abcR . 9 Chøng minh c«ng thøc S = pr (h.2.19). H×nh 2.19 Ta thõa nhËn c«ng thøc Hª-r«ng. VÝ dô 1. Tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh a = 13 m, b = 14 m vμ c = 15 m. a) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC ; b) TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp vμ ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Gi¶i a) Ta cã p = 12 (13 + 14 + 15) = 21. Theo c«ng thøc Hª-r«ng ta cã : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) = 84 (m −−− 2). S b) ¸p dông c«ng thøc S = pr ta cã r = = 8421 p = 4. VËy ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC cã b¸n kÝnh lμ r = 4 m. Tõ c«ng thøc S = 4abcR . abc Ta cã R = = 13.14.15 S = 8,125 (m). 4 336 54 VÝ dô 2. Tam gi¸c ABC cã c¹nh a = 2 3 , c¹nh b = 2 vμ  = o C 30 . TÝnh c¹nh c, gãc A vμ diÖn tÝch tam gi¸c ®ã. Gi¶i Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã =+− 2 22 c a b ab C 2 cos = 12 + 4 − 2. 3 2 3.2.2 = 4. VËy c = 2 vμ tam gi¸c ABC cã AB = AC = 2. Ta suy ra   B C= = o 30 . Do ®ã A = o 120 . Ta cã S = 12acsinB = 12 . = 1 2 3.2. 3 2 (®¬n vÞ diÖn tÝch). 4. Gi¶i tam gi¸c vμ øng dông vμo viÖc ®o ®¹c a) Gi¶i tam gi¸c Gi¶i tam gi¸c lμ t×m mét sè yÕu tè cña tam gi¸c khi cho biÕt c¸c yÕu tè kh¸c. H×nh 2.20. Gi¸c kÕ dïng ®Ó ng¾m vμ ®o ®¹c. Muèn gi¶i tam gi¸c ta th−êng sö dông c¸c hÖ thøc ®· ®−îc nªu lªn trong ®Þnh lÝ c«sin, ®Þnh lÝ sin vμ c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c. 55 VÝ dô 1. Cho tam gi¸c ABC biÕt c¹nh a = 17,4 m, B = o 44 30′ vμ  o C = 64 . TÝnh gãc A vμ c¸c c¹nh b, c. Gi¶i Ta cã A = o 180 − ( B + C ) = o 180 − (44o30’ + o 64 ) = 71o30’. abc Theo ®Þnh lÝ sin ta cã = = sin sin sin ABC , do ®ã b = ≈ sin 17,4.0,7009 a B A ≈ 12,9 (m), sin 0,9483 c = ≈ sin 17,4.0,8988 a C A ≈ 16,5 (m). sin 0,9483 VÝ dô 2. Cho tam gi¸c ABC cã c¹nh a = 49,4cm, b = 26,4cm vμ C = 47o20’. TÝnh c¹nh c, A vμ B . Gi¶i Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã c2 = + 2 2 a b − 2ab cosC ≈ (49,4)2 + (26,4)2 − 2.49,4.26,4.0,6777 ≈ 1369,66. VËy c ≈ 1369,66 ≈ 37 (cm). 222 697 1370 2440 0,191 2 2.26,4.37 Ta cã cosA = +− + − ≈ ≈− bca bc . Nh− vËy A lμ gãc tï vμ ta cã A ≈ 101o . Do ®ã B = o 180 − ( A + C ) ≈ o oo o 180 (101 47 20 ) 31 40 −+ ≈ ′ ′ . VËy B ≈ ′ o 31 40 . VÝ dô 3. Cho tam gi¸c ABC cã c¹nh a = 24 cm, b = 13 cm vμ c = 15 cm. TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c vμ b¸n kÝnh r cña ®−êng trßn néi tiÕp. 56 Gi¶i Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã 222 169 225 576 bca cosA = +− + − = bc ≈ − 0,4667, 2 2.13.15 nh− vËy A lμ gãc tï vμ ta tÝnh ®−îc A ≈ 117o49’ ⇒ sinA ≈ 0,88. Ta cã S = 12bcsinA = 12 .13.15.0,88 ≈ 85,8 ( 2 cm ). ¸p dông c«ng thøc S = pr ta cã r = Sp. V× p = 24 13 15 + + 2 = 26 nªn 85,8 3,3 26 r ≈ = (cm). b) øng dông vμo viÖc ®o ®¹c  Bμi to¸n 1. §o chiÒu cao cña mét c¸i th¸p mμ kh«ng thÓ ®Õn ®−îc ch©n th¸p. Gi¶ sö CD = h lμ chiÒu cao cña th¸p trong ®ã C lμ ch©n th¸p. Chän hai ®iÓm A, B trªn mÆt ®Êt sao cho ba ®iÓm A, B vμ C th¼ng hμng. Ta ®o kho¶ng c¸ch AB vμ c¸c gãc CAD , CBD . Ch¼ng h¹n ta ®o ®−îc AB = 24 m,  o CAD = = α 63 , = = o CBD β 48 . Khi ®ã chiÒu cao h cña th¸p ®−îc tÝnh nh− sau : H×nh 2.21 57 ¸p dông ®Þnh lÝ sin vμo tam gi¸c ABD ta cã AD AB β= sin sin D . Ta cã α = D + β nªn D = α β −= − = ooo 63 48 15 . AB o β Do ®ã AD = sin 24sin 48 68,91 sin( ) sin15 . α β = ≈ − o Trong tam gi¸c vu«ng ACD ta cã h = CD = ADsinα ≈ 61,4 (m).  Bμi to¸n 2. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ mét ®Þa ®iÓm trªn bê s«ng ®Õn mét gèc c©y trªn mét cï lao ë gi÷a s«ng. §Ó ®o kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm A trªn bê s«ng ®Õn gèc c©y C trªn cï lao gi÷a s«ng, ng−êi ta chän mét ®iÓm B cïng ë trªn bê víi A sao cho tõ A vμ B cã thÓ nh×n thÊy ®iÓm C. Ta ®o kho¶ng c¸ch AB, gãc CAB  vμ CBA . Ch¼ng h¹n ta ®o ®−îc AB = 40 m,  o CAB = = α 45 ,  o CBA = = β 70 . H×nh 2.22 Khi ®ã kho¶ng c¸ch AC ®−îc tÝnh nh− sau : ¸p dông ®Þnh lÝ sin vμo tam gi¸c ABC, ta cã AC AB B C (h.2.22). = sin sin 58 V× sinC = sin( ) α + β nªn AC = o AB β sin 40.sin 70 α β = ≈ + 41,47 (m). o sin( ) sin115 VËy AC ≈ 41,47(m). C©u hái vμ bμi tËp 1. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A,  = o B 58 vμ c¹nh a = 72 cm. TÝnh C , c¹nh b, c¹nh c vμ ®−êng cao ah . 2. Cho tam gi¸c ABC biÕt c¸c c¹nh a = 52,1 cm, b = 85 cm vμ c = 54 cm. TÝnh c¸c gãc A , B vμ C . 3. Cho tam gi¸c ABC cã  = o A 120 , c¹nh b = 8 cm vμ c = 5 cm. TÝnh c¹nh a, vμ c¸c gãc B , C cña tam gi¸c ®ã. 4. TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c cã sè ®o c¸c c¹nh lÇn l−ît lμ 7, 9 vμ 12. 5. Tam gi¸c ABC cã  = o A 120 . TÝnh c¹nh BC cho biÕt c¹nh AC = m vμ AB = n. 6. Tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh a = 8 cm, b = 10 cm vμ c = 13 cm. a) Tam gi¸c ®ã cã gãc tï kh«ng ? b) TÝnh ®é dμi trung tuyÕn MA cña tam gi¸c ABC ®ã. 7. TÝnh gãc lín nhÊt cña tam gi¸c ABC biÕt a) C¸c c¹nh a = 3 cm, b = 4 cm vμ c = 6 cm; b) C¸c c¹nh a = 40 cm, b = 13 cm vμ c = 37 cm. 8. Cho tam gi¸c ABC biÕt c¹nh a = 137,5 cm,  = o B 83 vμ  = o C 57 . TÝnh gãc A, b¸n kÝnh R cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, c¹nh b vμ c cña tam gi¸c. 9. Cho h×nh b×nh hμnh ABCD cã AB = a, BC = b, BD = m vμ AC = n. Chøng minh r»ng += + 22 22 mn ab 2( ) . 59 10. Hai chiÕc tμu thuû P vμ Q c¸ch nhau 300 m. Tõ P vμ Q th¼ng hμng víi ch©n A cña th¸p h¶i ®¨ng AB ë trªn bê biÓn ng−êi ta nh×n chiÒu cao AB cña th¸p d−íi c¸c gãc  = o BPA 35 vμ  = o BQA 48 . TÝnh chiÒu cao cña th¸p. 11. Muèn ®o chiÒu cao cña Th¸p Chμm Por Klong Garai ë Ninh ThuËn (h.2.23), ng−êi ta lÊy hai ®iÓm A vμ B trªn mÆt ®Êt cã kho¶ng c¸ch AB = 12 m cïng th¼ng hμng víi ch©n C cña th¸p ®Ó ®Æt hai gi¸c kÕ (h.2.24). Ch©n cña gi¸c kÕ cã chiÒu cao h = 1,3 m. Gäi D lμ ®Ønh th¸p vμ hai ®iÓm 1 1 A , B cïng th¼ng hμng víi C1 thuéc chiÒu cao CD cña th¸p. Ng−êi ta ®o ®−îc = o = o 1 1 DB C 35 . TÝnh chiÒu cao CD cña th¸p ®ã. 1 1 DA C 49 vμ H×nh 2.23 H×nh 2.24 60 Ng−êi ta ®· ®o kho¶ng c¸ch gi÷a Tr¸i §Êt vμ MÆt Tr¨ng nh− thÕ nμo ? Loμi ng−êi ®· biÕt ®−îc kho¶ng c¸ch gi÷a Tr¸i §Êt vμ MÆt Tr¨ng c¸ch ®©y kho¶ng hai ngμn n¨m víi mét ®é chÝnh x¸c tuyÖt vêi lμ vμo kho¶ng 384 000 km. Sau ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a Tr¸i §Êt vμ MÆt Tr¨ng ®· ®−îc x¸c lËp mét c¸ch ch¾c ch¾n vμo n¨m 1751 do mét nhμ thiªn v¨n ng−êi Ph¸p lμ Gi«-dep La-l¨ng (Joseph Lalande, 1732-1807) vμ mét nhμ to¸n häc ng−êi Ph¸p lμ Ni-c«-la La-cay (Nicolas Lacaille, 1713-1762). Hai «ng ®· phèi hîp tæ chøc ®øng ë hai ®Þa ®iÓm rÊt xa nhau, mét ng−êi ë Bec-lin gäi lμ ®iÓm A, cßn ng−êi kia ë Mòi H¶o Väng (Bonne EspÐrance) mét mòi ®Êt ë cùc nam ch©u Phi, gäi lμ ®iÓm B (h. 2.25). Gäi C lμ mét ®iÓm trªn MÆt Tr¨ng. Tõ A vμ B ng−êi ta ®o vμ tÝnh ®−îc c¸c gãc A, B vμ c¹nh AB cña tam gi¸c ABC. Trong mÆt ph¼ng (ABC), gäi tia Ax lμ ®−êng ch©n trêi vÏ tõ ®Ønh A vμ tia By lμ ®−êng ch©n trêi vÏ tõ ®Ønh B. KÝ hiÖu α = CAx  , β = CBy . Gäi O lμ t©m Tr¸i §Êt, ta cã : u =  = =  1 xAB yBA AOB . 2 Tam gi¸c ABC cã   A uB u = α+ =β+ , . H×nh 2.25 V× biÕt ®é dμi cung AB nªn ta tÝnh ®−îc gãc AOB vμ do ®ã tÝnh ®−îc ®é dμi c¹nh AB. Tam gi¸c ABC ®−îc x¸c ®Þnh v× biÕt "gãc - c¹nh - gãc" cña tam gi¸c ®ã. Tõ ®ã ta cã thÓ tÝnh ®−îc chiÒu cao CH cña tam gi¸c ABC lμ kho¶ng c¸ch cÇn t×m. Ng−êi ta nhËn thÊy r»ng kho¶ng c¸ch nμy gÇn b»ng m−êi lÇn ®é dμi xÝch ®¹o cña Tr¸i §Êt (≈ 10 × 40 000 km). 61 «n tËp ch−¬ng II i. c©u hái vμ bμi tËp 1. H·y nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña mét gãc α víi ≤ ≤ α o o 0 180 . T¹i sao khi α lμ c¸c gãc nhän th× gi¸ trÞ l−îng gi¸c nμy l¹i chÝnh lμ c¸c tØ sè l−îng gi¸c ®· ®−îc häc ë líp 9 ? 2. T¹i sao hai gãc bï nhau l¹i cã sin b»ng nhau vμ c«sin ®èi nhau ? 3. Nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa tÝch v« h−íng cña hai vect¬ a vμb . TÝch v« h−íng nμy víi a vμ b kh«ng ®æi ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vμ nhá nhÊt khi nμo ? 4. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho vect¬ a = (–3 ; 1) vμ vect¬ b = (2 ; 2), h·y tÝnh tÝch v« h−íng   a b. . 5. H·y nh¾c l¹i ®Þnh lÝ c«sin trong tam gi¸c. Tõ c¸c hÖ thøc nμy h·y tÝnh cos A, cos B vμ cosC theo c¸c c¹nh cña tam gi¸c. 6. Tõ hÖ thøc a2 = b2 + c2 – 2bc cos A trong tam gi¸c, h·y suy ra ®Þnh lÝ Py-ta-go. 7. Chøng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC, ta cã a = 2Rsin , A b = 2Rsin , B c = 2R C sin , trong ®ã R lμ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c. 8. Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng : a) Gãc A nhän khi vμ chØ khi a2 < b2 + c2 ; b) Gãc A tï khi vμ chØ khi a2 > b2 + c2 ; c) Gãc A vu«ng khi vμ chØ khi a2 = b2 + c2. 9. Cho tam gi¸c ABC cã  = o A 60 , BC = 6. TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã. 10. Cho tam gi¸c ABC cã a = 12, b = 16, c = 20. TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c, chiÒu cao ha , c¸c b¸n kÝnh R, r cña c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, néi tiÕp tam gi¸c vμ ®−êng trung tuyÕn ma cña tam gi¸c. 11. Trong tËp hîp c¸c tam gi¸c cã hai c¹nh lμ a vμ b, t×m tam gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt. 62 II. C©u hái tr¾c nghiÖm 1. Trong c¸c ®¼ng thøc sau ®©y ®¼ng thøc nμo lμ ®óng ? (A) = − o 3 sin1502 ; (B) cos150o = 32 ; (C) tan150o = − 13 ; (D) cot150o = 3 . 2. Cho α vμ β lμ hai gãc kh¸c nhau vμ bï nhau. Trong c¸c ®¼ng thøc sau ®©y, ®¼ng thøc nμo sai ? (A) sinα = sin β ; (B) cosα = –cos β ; (C) tanα = –tan β ; (D) cotα = cot β. 3. Cho α lμ gãc tï. §iÒu kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) sin α < 0 ; (B) cosα > 0 ; (C) tan α < 0 ; (D) cotα > 0 . 4. Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y, kh¼ng ®Þnh nμo sai ? (A) cos45o = sin 45o ; (B) cos45o = sin 135o ; (C) cos30o = sin 120o ; (D) sin60o = cos 120o . 5. Cho hai gãc nhän α vμ β trong ®ã α < β. Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ sai ? (A) cos α < cos β ; (B) sinα < sin β ; (C) o α β + = 90 ⇒ cos sin α = β ; (D) tanα + tan β > 0 . 6. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A vμ cã gãc  = o B 30 . Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ sai ? (A) = 1 B ; (B) = 3 sin2 cos3 C ; C ; (D) = 1 sin2 (C) = 1 cos2 B . 7. Tam gi¸c ®Òu ABC cã ®−êng cao AH. Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) sin = 32 BAH ; (B) cos = 13 BAH ; (C) sin = 32 ABC ; (D) sin = 12 AHC . 63 8. §iÒu kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) sinα = sin(180o – α) ; (B) cosα = cos(180o – α) ; (C) tanα = tan(180o – α) ; (D) cotα = cot(180o – α). 9. T×m kh¼ng ®Þnh sai trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y : (A) cos35o > cos10o ; (B) sin60o < sin80o ; (C) tan45o < tan60o ; (D) cos45o = sin45o . 10. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A vμ cã gãc  = o B 50 . HÖ thøc nμo sau ®©y lμ sai ? (A) ( ) =   o AB BC , 130 ; (B) ( ) =   o BC AC , 40 ; (C) ( ) =   o AB CB , 50 ; (D) ( ) =   o AC CB , 120 . 11. Cho a vμb lμ hai vect¬ cïng h−íng vμ ®Òu kh¸c vect¬ 0 . Trong c¸c kÕt qu¶ sau ®©y, h·y chän kÕt qu¶ ®óng. (A) =    ab a b . . ; (B)   a b. = 0 ; (C)   a b. = −1 ; (D) = −    ab a b . . . 12. Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã AB = AC = 30 cm. Hai ®−êng trung tuyÕn BF vμ CE c¾t nhau t¹i G. DiÖn tÝch tam gi¸c GFC lμ : (A) 50 cm2 ; (B) 50 2 cm2; (C) 75 cm2 ; (D) 15 105 cm2. 13. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB = 5 cm, BC = 13 cm. Gäi gãc ABC = α vμ ACB = β . H·y chän kÕt luËn ®óng khi so s¸nh α vμ β : (A) β > α ; (B) β < α ; (C) β = α ; (D) α ≤ β. 14. Cho gãc  = o xOy 30 . Gäi A vμ B lμ hai ®iÓm di ®éng lÇn l−ît trªn Ox vμ Oy sao cho AB = 1. §é dμi lín nhÊt cña ®o¹n OB b»ng : (A) 1,5 ; (B) 3 ; (C) 2 2 ; (D) 2. 64 15. Cho tam gi¸c ABC cã BC = a , CA = b , AB = c. MÖnh ®Ò nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) NÕu b2 + c2 – a2 > 0 th× gãc A nhän ; (B) NÕu b2 + c2 – a2 > 0 th× gãc A tï ; (C) NÕu b2 + c2 – a2 < 0 th× gãc A nhän ; (D) NÕu b2 + c2 – a2 < 0 th× gãc A vu«ng. 16. §−êng trßn t©m O cã b¸n kÝnh R = 15 cm. Gäi P lμ mét ®iÓm c¸ch t©m O mét kho¶ng PO = 9 cm. D©y cung ®i qua P vμ vu«ng gãc víi PO cã ®é dμi lμ : (A) 22 cm ; (B) 23 cm ; (C) 24 cm ; (D) 25 cm. 17. Cho tam gi¸c ABC cã AB = 8 cm, AC = 18 cm vμ cã diÖn tÝch b»ng 64 cm2. Gi¸ trÞ sinA lμ : (A) 32 ; (B) 38 ; (C) 45 ; (D) 89 . 18. Cho hai gãc nhän α vμ β phô nhau. HÖ thøc nμo sau ®©y lμ sai ? (A) sinα = –cos β ; (B) cosα = sin β ; (C) tan = cot α β ; (D) cot = tan α β. 19. BÊt ®¼ng thøc nμo d−íi ®©y lμ ®óng ? (A) o sin 90 < sin150o ; (B) sin 90o15’ < sin 90o30’ ; (C) cos 90o30’ > cos 100o ; (D) cos 150o > cos 120o. 20. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ sai ? (A) <     AB AC BA BC . . ; (B) <     AC CB AC BC . . ; (C) <     AB BC CA CB . . ; (D) <     AC BC BC AB . . . 21. Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4 cm, BC = 7 cm, CA = 9 cm. Gi¸ trÞ cosA lμ : (A) 23 ; (B) 13 ; (C) − 23 ; (D) 12 . 22. Cho hai ®iÓm A = (1 ; 2) vμ B = (3 ; 4). Gi¸ trÞ cña 2 AB lμ : (A) 4 ; (B) 4 2 ; (C) 6 2 ; (D) 8 . 65 23. Cho hai vect¬ a = (4 ; 3) vμb = (1 ; 7). Gãc gi÷a hai vect¬ a vμb lμ : (A) 90o ; (B) 60o ; (C) 45o ; (D) 30o. 24. Cho hai ®iÓm M = (1 ; –2) vμ N = (–3 ; 4) . Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm M vμ N lμ : (A) 4 ; (B) 6 ; (C) 3 6 ; (D) 2 13 . 25. Tam gi¸c ABC cã A = (–1 ; 1) ; B = (1 ; 3) vμ C = (1 ; –1). Trong c¸c c¸ch ph¸t biÓu sau ®©y, h·y chän c¸ch ph¸t biÓu ®óng. (A) ABC lμ tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau ; (B) ABC lμ tam gi¸c cã ba gãc ®Òu nhän ; (C) ABC lμ tam gi¸c c©n t¹i B (cã BA = BC) ; (D) ABC lμ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A. 26. Cho tam gi¸c ABC cã A = (10 ; 5), B = (3 ; 2) vμ C = (6 ; –5). Kh¼ng ®Þnh nμo sau ®©y lμ ®óng ? (A) ABC lμ tam gi¸c ®Òu ; (B) ABC lμ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B ; (C) ABC lμ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A ; (D) ABC lμ tam gi¸c cã gãc tï t¹i A. 27. Tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A vμ néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. Gäi r lμ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC. Khi ®ã tØ sè Rr b»ng : (A) 1 2 + ; (B) 2 2 +2 ; (C) 2 1 −2 ; (D) 1 2 +2 . 28. Tam gi¸c ABC cã AB = 9 cm, AC = 12 cm vμ BC = 15 cm. Khi ®ã ®−êng trung tuyÕn AM cña tam gi¸c cã ®é dμi lμ : (A) 8 cm ; (B) 10 cm ; (C) 9 cm ; (D) 7,5 cm. 66 29. Tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c vμ cã diÖn tÝch S. NÕu t¨ng c¹nh BC lªn 2 lÇn ®ång thêi t¨ng c¹nh CA lªn 3 lÇn vμ gi÷ nguyªn ®é lín cña gãc C th× khi ®ã diÖn tÝch cña tam gi¸c míi ®−îc t¹o nªn b»ng : (A) 2S ; (B) 3S ; (C) 4S ; (D) 6S. 30. Cho tam gi¸c DEF cã DE = DF = 10 cm vμ EF = 12 cm. Gäi I lμ trung ®iÓm cña c¹nh EF. §o¹n th¼ng DI cã ®é dμi lμ : (A) 6,5 cm ; (B) 7 cm ; (C) 8 cm ; (D) 4 cm. Ng−êi t×m ra sao H¶i V−¬ng (Neptune) chØ nhê c¸c phÐp tÝnh vÒ quü ®¹o c¸c hμnh tinh Nhμ thiªn v¨n häc U-banh L¬-ve-ri-ª (Urbain Leverrier, 1811-1877) sinh ra trong mét gia ®×nh c«ng chøc nhá t¹i vïng Noãc-m¨ng-®i n−íc Ph¸p. ¤ng häc ë tr−êng B¸ch khoa vμ ®−îc gi÷ l¹i tiÕp tôc sù nghiÖp nghiªn cøu khoa häc vμ gi¶ng d¹y ë ®ã. ¤ng ®· say s−a thÝch thó tÝnh to¸n chuyÓn ®éng cña c¸c sao chæi vμ cña c¸c hμnh tinh, nhÊt lμ sao Thuû (Mercure). Víi nh÷ng thμnh tÝch nghiªn cøu khoa häc xuÊt s¾c vÒ thiªn v¨n häc, «ng ®−îc nhËn danh hiÖu ViÖn sÜ Hμn l©m Ph¸p khi «ng trßn 34 tuæi. Vμo thêi k× bÊy giê, c¸c nhμ thiªn v¨n ®ang tranh luËn s«i næi vÒ “®iÒu bÝ mËt” 67 cña sao Thiªn V−¬ng (Uranus) v× hμnh tinh nμy kh«ng phôc tïng theo nh÷ng ®Þnh luËt vÒ chuyÓn ®éng cña c¸c hμnh tinh do Gi«-han Kª-ple (Johannes Kepler, 1571-1630) nªu ra vμ kh«ng theo ®óng ®Þnh luËt v¹n vËt hÊp dÉn cña I-s¨c Niu-t¬n (Isaac Newton, 1642-1727). §iÒu bÝ Èn lμ vÞ trÝ cña sao Thiªn V−¬ng trªn bÇu trêi kh«ng bao giê phï hîp víi nh÷ng tiªn ®o¸n dùa vμo c¸c phÐp tÝnh cña c¸c nhμ thiªn v¨n thêi bÊy giê. Nhμ thiªn v¨n häc trÎ tuæi L¬-ve-ri-ª muèn nghiªn cøu t×m hiÓu ®iÒu bÝ Èn nμy vμ tù ®Æt c©u hái t¹i sao sao Thiªn V−¬ng l¹i kh«ng tu©n theo nh÷ng quy luËt chuyÓn ®éng cña c¸c thiªn thÓ. Mét sè nhμ thiªn v¨n thêi bÊy giê ®· dù ®o¸n r»ng con ®−êng ®i cña sao Thiªn V−¬ng bÞ søc hót cña sao Méc (Jupiter) hay sao Thæ (Saturne) quÊy nhiÔu. Khi ®ã riªng L¬-ve-ri-ª ®· nªu lªn mét gi¶ thuyÕt hÕt søc t¸o b¹o, dùa vμo c¸c phÐp tÝnh mμ «ng ®· thùc hiÖn. ¤ng cho r»ng sao Thiªn V−¬ng kh«ng ngoan ngo·n theo tiªn ®o¸n cña c¸c nhμ thiªn v¨n cã lÏ do bÞ ¶nh h−ëng bëi mét hμnh tinh kh¸c ch−a ®−îc biÕt ®Õn ë xa MÆt Trêi h¬n sao Thiªn V−¬ng. Hμnh tinh nμy ®· t¸c ®éng lªn sao Thiªn V−¬ng lμm cho nã cã nh÷ng nhiÔu lo¹n khã cã thÓ quan s¸t ®−îc. L¬-ve-ri-ª ®· kiªn nhÉn tÝnh to¸n lμm viÖc trong phßng suèt hai tuÇn liÒn, víi biÕt bao c«ng thøc, nh×n vμo ai còng c¶m thÊy chãng mÆt. Cuèi cïng chØ dùa vμo thuÇn tuý c¸c phÐp tÝnh, L¬-ve-ri-ª x¸c nhËn r»ng cã sù hiÖn diÖn cña mét hμnh tinh ch−a biÕt tªn. Vμo thêi gian ®ã, ë Ph¸p v× ®μi Thiªn v¨n Pa-ri kh«ng ®ñ m¹nh, nªn kh«ng thÓ nh×n ®−îc hμnh tinh ®ã. Ngay sau ®ã, L¬-ve-ri-ª ph¶i nhê nhμ thiªn v¨n Gan (Galle) ë ®μi quan s¸t Bec-lin xem xÐt hé. Ngμy 23 th¸ng 9 n¨m 1846, Gan ®· h−íng kÝnh thiªn v¨n vÒ khu vùc bÇu trêi ®· ®−îc L¬-ve-ri-ª chØ ®Þnh vμ vui mõng t×m thÊy mét hμnh tinh ch−a cã tªn trªn danh môc. Nh− vËy søc m¹nh cña tμi n¨ng con ng−êi l¹i ®−îc thÓ hiÖn mét c¸ch xuÊt s¾c qua viÖc kh¸m ph¸ ra hμnh tinh míi nμy. Mäi ng−êi ®Òu th¸n phôc, chóc mõng cuéc kh¸m ph¸ thμnh c«ng tèt ®Ñp nμy vμ cho r»ng L¬-ve-ri-ª ®· ph¸t hiÖn ra mét hμnh tinh míi chØ nhê vμo ®Çu chiÕc bót ch× cña m×nh (!). §©y lμ mét bμi to¸n rÊt khã, nã kh«ng gièng bμi to¸n t×m ngμy, giê, ®Þa ®iÓm xuÊt hiÖn nhËt thùc, nguyÖt thùc v× c¸c chi tiÕt chØ biÕt pháng chõng th«ng qua c¸c nhiÔu lo¹n, do t¸c ®éng cña mét vËt ch−a biÕt, ng−êi ta cÇn ph¶i t×m quü ®¹o vμ khèi l−îng cña hμnh tinh ®ã, cÇn x¸c ®Þnh ®−îc kho¶ng c¸ch cña nã tíi MÆt Trêi vμ c¸c hμnh tinh kh¸c v.v... Hμnh tinh míi nμy ®−îc ®Æt tªn lμ sao H¶i V−¬ng (Neptune). Còng vμo thêi ®iÓm ®ã nhμ thiªn v¨n häc ng−êi Anh lμ A-®am (Adam) còng ph¸t hiÖn ra hμnh tinh ®ã vμ ng−êi nμy kh«ng biÕt ®Õn c«ng tr×nh cña ng−êi kia. Tuy vËy, L¬-ve-ri-ª vÉn ®−îc xem lμ ng−êi ®Çu tiªn ph¸t hiÖn ra sao H¶i V−¬ng vμ sau ®ã «ng ®−îc nhËn häc vÞ Gi¸o s− §¹i häc Xoãc-bon ®ång thêi ®−îc nhËn Huy ch−¬ng B¾c ®Èu béi tinh. N¨m 1853 U-banh L¬-ve-ri-ª ®−îc Hoμng ®Õ Na-p«-lª-«ng (NapolÐon) §Ö Tam phong chøc Gi¸m ®èc §μi quan s¸t Pa-ri. ¤ng mÊt n¨m 1877. C¸c nhμ thiªn v¨n häc trªn thÕ giíi ®· ®¸nh gi¸ cao ph¸t minh quan träng nμy cña L¬-ve-ri-ª. 68 CHÖÔNG III PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn Ph−¬ng tr×nh ®−êng elip Trong ch−¬ng nμy chóng ta sö dông ph−¬ng ph¸p to¹ ®é ®Ó t×m hiÓu vÒ ®−êng th¼ng, ®−êng trßn vμ ®−êng elip. §−êng th¼ng §−êng trßn §−êng elip H×nh 3.1 69 §1. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG 1. Vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng 1 Trong mÆt ph¼ng Oxy cho ®−êng th¼ng Δ lμ ®å thÞ cña hμm sè y = 12x. a) T×m tung ®é cña hai ®iÓm M0 vμ M n»m trªn Δ, cã hoμnh ®é lÇn l−ît lμ 2 vμ 6. b) Cho vect¬ u = (2 ; 1). H·y chøng tá  0 M M cïng ph−¬ng víi u . H×nh 3.2 §Þnh nghÜa Vect¬ u ®−îc gäi lμ vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng Δ nÕu u ≠0 vμ gi¸ cña u song song hoÆc trïng víi Δ. NhËn xÐt − NÕu u lμ mét vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng Δ th× k u (k ≠ 0) còng lμ mét vect¬ chØ ph−¬ng cña Δ. Do ®ã mét ®−êng th¼ng cã v« sè vect¬ chØ ph−¬ng. − Mét ®−êng th¼ng hoμn toμn ®−îc x¸c ®Þnh nÕu biÕt mét ®iÓm vμ mét vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng ®ã. 70 2. Ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng a) §Þnh nghÜa Trong mÆt ph¼ng Oxy cho ®−êng th¼ng Δ ®i qua ®iÓm M0(x0 ; y0) vμ nhËn  lμm vect¬ chØ ph−¬ng. Víi mçi ®iÓm M(x ; y) bÊt k× trong mÆt u (u ; u ) = 1 2  = (x − x0 ; y − y0). Khi ®ã ph¼ng, ta cã M M0  cïng ph−¬ng víi u⇔ M M tu = 0 M ∈ Δ ⇔ M M0   ⇔x x tu ⎧ − = ⎪⎨ − = ⎪⎩0 1 y y tu 0 2 ⎧ = + ⎪⎨= + ⎪⎩ (1) x x tu ⇔ 0 1 y y tu 0 2 H×nh 3.3 HÖ ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lμ ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng Δ, trong ®ã t lμ tham sè. Cho t mét gi¸ trÞ cô thÓ th× ta x¸c ®Þnh ®−îc mét ®iÓm trªn ®−êng th¼ng Δ. 2 H·y t×m mét ®iÓm cã to¹ ®é x¸c ®Þnh vμ mét vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh tham sè ⎧ = − ⎨⎩ = + x t 5 6 y t 2 8. b) Liªn hÖ gi÷a vect¬ chØ ph−¬ng vμ hÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng Cho ®−êng th¼ng Δ cã ph−¬ng tr×nh tham sè ⎧ = + ⎪⎨= + ⎪⎩0 1 x x tu y y tu . 0 2 NÕu u1 ≠ 0 th× tõ ph−¬ng tr×nh tham sè cña Δ ta cã x x ⎧ − tu ⎪ = ⎨⎪ − = ⎩ 1 0 y y tu 0 2 71 suy ra y − y0 = u(x x ) u − 20 . 1 §Æt k = uu21 ta ®−îc y − y0 = k(x − x0). H×nh 3.4 Gäi A lμ giao ®iÓm cña Δ víi trôc hoμnh, Av lμ tia thuéc Δ ë vÒ nöa mÆt ph¼ng to¹ ®é phÝa trªn (chøa tia Oy). §Æt α = xAv , ta thÊy k = tanα. Sè k chÝnh lμ hÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng Δ mμ ta ®· biÕt ë líp 9.  víi u ≠1 0 th× Nh− vËy nÕu ®−êng th¼ng Δ cã vect¬ chØ ph−¬ng u (u ; u ) = 1 2 Δ cã hÖ sè gãc k = uu21. 3 TÝnh hÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng d cã vect¬ chØ ph−¬ng lμ = − ; u ( 1 3) . VÝ dô. ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng d ®i qua hai ®iÓm A(2 ; 3) vμ B(3 ; 1). TÝnh hÖ sè gãc cña d. Gi¶i  = (1 ; −2) V× d ®i qua A vμ B nªn d cã vect¬ chØ ph−¬ng AB Ph−¬ng tr×nh tham sè cña d lμ23 2 ⎧ = + ⎨⎩ = − x t y t. u HÖ sè gãc cña d lμ k = 2 u 1 − = = −2. 2 1 72 3. Vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®−êng th¼ng y t vμ vect¬ n = (3 ; −2). H·y 4 Cho ®−êng th¼ng Δ cã ph−¬ng tr×nh ⎧ = − + ⎨⎩ = +5 2 x t 4 3 chøng tá n vu«ng gãc víi vect¬ chØ ph−¬ng cña Δ. §Þnh nghÜa Vect¬ n ®−îc gäi lμ vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®−êng th¼ng Δ nÕu n v 0 μn vu«ng gãc víi vect¬ chØ ph−¬ng cña Δ.   ≠ NhËn xÐt − NÕu n lμ mét vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®−êng th¼ng Δ th× kn (k ≠ 0) còng lμ mét vect¬ ph¸p tuyÕn cña Δ. Do ®ã mét ®−êng th¼ng cã v« sè vect¬ ph¸p tuyÕn. − Mét ®−êng th¼ng hoμn toμn ®−îc x¸c ®Þnh nÕu biÕt mét ®iÓm vμ mét vect¬ ph¸p tuyÕn cña nã. 4. Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng th¼ng Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®−êng th¼ng Δ ®i qua ®iÓm M0(x0 ; y0) vμ nhËn n(a ; b) lμm vect¬ ph¸p tuyÕn. Víi mçi ®iÓm M(x ; y) bÊt k× thuéc mÆt  = (x − x0 ; y − y0). ph¼ng, ta cã : M M0 Khi ®ã : M(x ; y) ∈ Δ ⇔ n⊥ M M0  ⇔ a(x − x0) + b(y − y0) = 0 ⇔ ax + by + (−ax0 − by0) = 0 ⇔ ax + by + c = 0 víi c = −ax0 − by0. H×nh 3.5 73 a) §Þnh nghÜa Ph−¬ng tr×nh ax + by + c = 0 víi a vμ b kh«ng ®ång thêi b»ng 0, ®−îc gäi lμ ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng th¼ng. NhËn xÐt. NÕu ®−êng th¼ng Δ cã ph−¬ng tr×nh lμ ax + by + c = 0 th× Δ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lμ n = (a ; b) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng lμ u = (−b ; a). 5 H·y chøng minh nhËn xÐt trªn. b) VÝ dô. LËp ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng th¼ng Δ ®i qua hai ®iÓm A(2 ; 2) vμ B(4 ; 3). Gi¶i  = (2 ; 1). §−êng th¼ng Δ ®i qua hai ®iÓm A, B nªn cã vect¬ chØ ph−¬ng lμ AB Tõ ®ã suy ra Δ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lμ n = (−1 ; 2). VËy ®−êng th¼ng Δ cã ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t lμ : (−1).(x − 2) + 2(y − 2) = 0 hay x − 2y + 2 = 0. 6 H·y t×m to¹ ®é cña vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh : 3x + 4y + 5 = 0. c) C¸c tr−êng hîp ®Æc biÖt Cho ®−êng th¼ng Δ cã ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t ax + by + c = 0 (1) ∙ NÕu a = 0 ph−¬ng tr×nh (1) trë thμnh by + c = 0 hay y = cb − . Khi ®ã ®−êng th¼ng Δ vu«ng gãc víi trôc Oy t¹i ®iÓm ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 c ; b (h.3.6). H×nh 3.6 74 ∙ NÕu b = 0 ph−¬ng tr×nh (1) trë thμnh ax + c = 0 hay x = ca − . Khi ®ã ®−êng th¼ng Δ vu«ng gãc víi trôc Ox c t¹i ®iÓm ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a; 0 (h.3.7). H×nh 3.7 ∙ NÕu c = 0 ph−¬ng tr×nh (1) trë thμnh ax + by = 0. Khi ®ã ®−êng th¼ng Δ ®i qua gèc to¹ ®é O (h.3.8). H×nh 3.8 ∙ NÕu a, b, c ®Òu kh¸c 0 ta cã thÓ ®−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ d¹ng x y + a b 0 0 víi a0 = ca = 1 (2) − , b0 = cb − . H×nh 3.9 Ph−¬ng tr×nh (2) ®−îc gäi lμ ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng theo ®o¹n ch¾n, ®−êng th¼ng nμy c¾t Ox vμ Oy lÇn l−ît t¹i M(a0 ; 0) vμ N(0 ; b0) (h.3.9). 75 7 Trong mÆt ph¼ng Oxy, h·y vÏ c¸c ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh sau ®©y : d1 : x – 2y = 0 ; d2 : x = 2 ; d3 : y + 1 = 0 ; x y = 1. d4 : + 8 4 5. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng th¼ng XÐt hai ®−êng th¼ng Δ1 vμ Δ2 cã ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t lÇn l−ît lμ a1x + b1y + c1 = 0 vμ a2x + b2y + c2 = 0. To¹ ®é giao ®iÓm cña Δ1 vμ Δ2 lμ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎧ + += ⎪⎨+ + = ⎪⎩ (I) ax by c 111 0 ax by c . 0 222 Ta cã c¸c tr−êng hîp sau : a) HÖ (I) cã mét nghiÖm ( x ;y 0 0 ), khi ®ã Δ1 c¾t Δ2 t¹i ®iÓm Mxy 000 (;). b) HÖ (I) cã v« sè nghiÖm, khi ®ã Δ1 trïng víi Δ2. c) HÖ (I) v« nghiÖm, khi ®ã Δ1 vμ Δ2 kh«ng cã ®iÓm chung, hay Δ1 song song víi Δ2. VÝ dô. Cho ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh x − y + 1 = 0, xÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña d víi mçi ®−êng th¼ng sau : Δ1 : 2x + y − 4 = 0 ; Δ2 : x − y − 1 = 0 ; Δ3 : 2x −2y + 2 = 0. 76 Gi¶i a) XÐt d vμ Δ1, hÖ ph−¬ng tr×nh x y ⎧ −+= ⎨⎩ + − = 1 0 2 40 x y cã nghiÖm (1 ; 2). VËy d c¾t Δ1 t¹i M(1 ; 2) (h.3.10). b) XÐt d vμ Δ2 , hÖ ph−¬ng tr×nh x y ⎧ − + = ⎨⎩ − − = 1 0 H×nh 3.10 x y 1 0 v« nghiÖm. VËy d // Δ2 (h.3.11). c) XÐt d vμ Δ3 , hÖ ph−¬ng tr×nh ⎧ −+= ⎨⎩ − + =(1)(2) 1 0 x y 2 2 20 x y cã v« sè nghiÖm (v× c¸c hÖ sè cña (1) vμ (2) tØ lÖ). VËy d ≡ Δ3 (h.3.12). H×nh 3.11 H×nh 3.12 8 XÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng Δ : x – 2y + 1 = 0 víi mçi ®−êng th¼ng sau : d1 : −3x + 6y − 3 = 0 ; d2 : y = – 2x ; d3 : 2x + 5 = 4y. 77 6. Gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng 9 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m I vμ c¸c c¹nh AB = 1, AD = 3 . TÝnh sè ®o c¸c gãc AID vμ D C I . H×nh 3.13 Hai ®−êng th¼ng Δ1 vμ Δ2 c¾t nhau t¹o thμnh bèn gãc. NÕu Δ1 kh«ng vu«ng gãc víi Δ2 th× gãc nhän trong sè bèn gãc ®ã ®−îc gäi lμ gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng Δ1 vμ Δ2. NÕu Δ1 vu«ng gãc víi Δ2 th× ta nãi gãc gi÷a Δ1 vμ Δ2 b»ng 90o. Tr−êng hîp Δ1 vμ Δ2 song song hoÆc trïng nhau th× ta quy −íc gãc gi÷a Δ1 vμ Δ2 b»ng 0o. Nh− vËy gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng lu«n bÐ h¬n hoÆc b»ng 90o. Gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng Δ1 vμ Δ2 ®−îc kÝ hiÖu lμ (Δ1 2 , Δ ) hoÆc (Δ1, Δ2). Cho hai ®−êng th¼ng Δ1 : a1x + b1y + c1 = 0, Δ2 : a2x + b2y + c2 = 0. §Æt ϕ = ( ) Δ Δ ,1 2 th× ta thÊy ϕ b»ng hoÆc bï víi gãc gi÷a n1 vμ n2  trong ®ã n1, n2  lÇn l−ît lμ vect¬ ph¸p tuyÕn cña Δ1 vμ Δ2. V× cosϕ ≥ 0 nªn ta suy ra   cosϕ = cos(n ,n 1 2 )   = n .n 1 2   . n n 1 2 VËy + cosϕ = aa bb 12 12 22 22 + + ab ab 11 22 . H×nh 3.14 78  Chó ý ∙ Δ1 ⊥ Δ2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0. ∙ NÕu Δ1 vμ Δ2 cã ph−¬ng tr×nh y = k1x + m1 vμ y = k2x + m2 th× Δ1 ⊥ Δ2 ⇔ k1.k2 = −1. 7. C«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét ®−êng th¼ng Trong mÆt ph¼ng Oxy cho ®−êng th¼ng Δ cã ph−¬ng tr×nh ax + by + c = 0 vμ ®iÓm 00 0 M x y . (; ) Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn ® 0 −êng th¼ng Δ, kÝ hiÖu lμ d( ,) M , ® 0 Δ −îc tÝnh bëi c«ng thøc ( ,) ax by c d M + + Δ = 0 0 . Chøng minh 0 2 2 a b + Ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng m ®i qua M (x y ) ; 00 0 vμ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng Δ lμ : x x ta ⎧ = + ⎪⎨ = + ⎪⎩00 y y tb trong ®ã n(a ; b) lμ vect¬ ph¸p tuyÕn cña Δ. H×nh 3.15 Giao ®iÓm H cña ®−êng th¼ng m vμ Δ øng víi gi¸ trÞ cña tham sè lμ nghiÖm t cña ph−¬ng tr×nh : H a(x ta) b(y tb) c + + + += 0 0 0 . Ta cã + + = − + ax by c 0 0 ta b . H 2 2 VËy ®iÓm H = + + H H (x t a y t b) 0 0 ; . 79 """