🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích 11
Ebooks
Nhóm Zalo
(T¸i b¶n lÇn thø b¶y)
11
Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc viÖt nam
KÝ hiÖu dïng trong s¸ch
PhÇn ho¹t ®éng cña häc sinh.
Tuú ®èi t−îng cô thÓ mµ gi¸o viªn sö dông. ■ KÕt thóc chøng minh hoÆc lêi gi¶i.
B¶n quyÒn thuéc Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam − Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o. 01 − 2014/CXB/472 − 1062/GD M· sè : CH101T4
hμm sè l−îng gi¸c
I − ®Þnh nghÜa
Tr−íc hÕt, ta nh¾c l¹i b¶ng c¸c gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña c¸c cung ®Æc biÖt.
Cung
Gi¸ trÞ
l−îng gi¸c
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
2
2
3
2
1
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
tan x
0
3
3
1
3
cot x
3
1
3
3
0
1
a) Sö dông m¸y tÝnh bá tói, h·y tÝnh sin x, cos x víi x lµ c¸c sè sau :
π π
; 6 4 ; 1,5 ; 2 ; 3,1 ; 4,25 ; 5.
b) Trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c, víi ®iÓm gèc A, h·y x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M mµ sè ®o cña z b»ng x (rad) t−¬ng øng ®· cho ë trªn vµ x¸c ®Þnh sin x, cos x (lÊy π ≈ 3,14).
cung AM
1. Hµm sè sin vµ hµm sè c«sin
a) Hµm sè sin
ë líp 10 ta ®· biÕt, cã thÓ ®Æt t−¬ng øng mçi sè thùc x víi mét ®iÓm M duy z b»ng x (rad)
nhÊt trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c mµ sè ®o cña cung AM (h.1a). §iÓm M cã tung ®é hoµn toµn x¸c ®Þnh, ®ã chÝnh lµ gi¸ trÞ sin x.
4
BiÓu diÔn gi¸ trÞ cña x trªn trôc hoµnh vµ gi¸ trÞ cña sin x trªn trôc tung, ta ®−îc H×nh 1b.
a) b) H×nh 1
Quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi sè thùc x víi sè thùc sin x
sin : \ → \
x 6 y = sin x
®−îc gäi lµ hµm sè sin, kÝ hiÖu lµ y = sin . x
TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè sin lµ \ .
b) Hµm sè c«sin
a) b) H×nh 2
Quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi sè thùc x víi sè thùc cos x
cos : \ → \
x 6 y = cos x
®−îc gäi lµ hµm sè c«sin, kÝ hiÖu lµ y = cos x (h.2).
TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè c«sin lµ \.
5
2. Hµm sè tang vµ hµm sè c«tang
a) Hµm sè tang
Hµm sè tang lµ hµm sè ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc
y = sin cos
x
x (cos x ≠ 0),
kÝ hiÖu lµ y = tan . x
V× cos x ≠ 0 khi vµ chØ khi x ≠2π+ kπ (k ∈ ]) nªn tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = tan x lµ
D = \ \ { , . } 2k k π+π ∈ Z
b) Hµm sè c«tang
Hµm sè c«tang lµ hµm sè ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc
x
x (sin x ≠ 0),
kÝ hiÖu lµ y x = cot .
y = cos sin
V× sin x ≠ 0 khi vµ chØ khi x ≠ kπ (k ∈ ]) nªn tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = cot x lµ
D = \ \ {kπ, k ∈ ] }.
2
H·y so s¸nh c¸c gi¸ trÞ sin x vµ sin (−x), cos x vµ cos(−x).
NhËn xÐt
Hµm sè y = sin x lµ hµm sè lÎ, hµm sè y = cos x lµ hµm sè ch½n, tõ ®ã suy ra c¸c hµm sè y = tan x vµ y = cot x ®Òu lµ nh÷ng hµm sè lÎ.
II − TÝnh tuÇn hoµn cña hµm sè l−îng gi¸c
3
T×m nh÷ng sè T sao cho f(x + T) = f(x) víi mäi x thuéc tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè sau : a) f(x) = sin x ; b) f(x) = tan x.
6
Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng T = 2π lµ sè d−¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®¼ng thøc
sin(x + T) = sin x, ∀x ∈ \ (xem Bµi ®äc thªm).
Hµm sè y = sin x tho¶ m·n ®¼ng thøc trªn ®−îc gäi lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2π.
T−¬ng tù, hµm sè y = cos x lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2π. C¸c hµm sè y = tan x vµ y = cot x còng lµ nh÷ng hµm sè tuÇn hoµn, víi chu k× π.
III − Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ cña hµm sè l−îng gi¸c
1. Hµm sè y = sin x
Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy hµm sè y = sin x :
⮹ X¸c ®Þnh víi mäi x ∈ \ vµ −1 ≤ sin x ≤ 1 ;
⮹ Lµ hµm sè lÎ ;
⮹ Lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2π.
Sau ®©y, ta sÏ kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = sin x.
a) Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ hµm sè y = sinx trªn ®o¹n [0 ; π] XÐt c¸c sè thùc x1, x2, trong ®ã 0 ≤ x1 < x2 ≤2π . §Æt = π − 3 2 x x , =π− 4 1 x x . BiÓu diÔn chóng trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c vµ xÐt sin xi t−¬ng øng (i = 1, 2, 3, 4) (h.3a).
a) b)
H×nh 3
⎡ π⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ vµ x1 < x2 th× sin x1 < sin x2.
Trªn H×nh 3 ta thÊy, víi x1, x2 tuú ý thuéc ®o¹n 0 ; 2
Khi ®ã x3, x4 thuéc ®o¹n ; 2⎡π ⎤π ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ vµ x3 < x4 nh−ng sin x3 > sin x4.
7
⎡ π⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ vµ nghÞch biÕn trªn ; 2⎡ ⎤ ππ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.
VËy hµm sè y = sin x ®ång biÕn trªn 0 ; 2
B¶ng biÕn thiªn :
x
0 2ππ
y = sin x
1
0 0
§å thÞ cña hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [0 ; π] ®i qua c¸c ®iÓm (0 ; 0), (x1 ; sin x1), ⎛ ⎞ π
⎜ ⎟ ⎝ ⎠, (x3 ; sin x3), (x4 ; sin x4), (π ; 0) (h.3b).
(x2 ; sin x2), ; 1 2
Chó ý
V× y = sin x lµ hµm sè lÎ nªn lÊy ®èi xøng ®å thÞ hµm sè trªn ®o¹n [0 ; π] qua gèc to¹ ®é O, ta ®−îc ®å thÞ hµm sè trªn ®o¹n [−π ; 0].
§å thÞ hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [−π ; π] ®−îc biÓu diÔn trªn H×nh 4.
H×nh 4
b) §å thÞ hµm sè y = sin x trªn \
Hµm sè y = sin x lµ hµm sè tuÇn hoµn chu k× 2π nªn víi mäi x ∈ \ ta cã sin(x + k2π) = sin x, k ∈ ] .
Do ®ã, muèn cã ®å thÞ hµm sè y = sin x trªn toµn bé tËp x¸c ®Þnh \ , ta tÞnh tiÕn liªn tiÕp ®å thÞ hµm sè trªn ®o¹n [−π ; π] theo c¸c vect¬ = π (2 ; 0) Gv vµ − = −π Gv ( 2 ; 0) , nghÜa lµ tÞnh tiÕn song song víi trôc hoµnh tõng ®o¹n cã ®é dµi 2π.
8
H×nh 5 d−íi ®©y lµ ®å thÞ hµm sè y = sin x trªn \ .
y
1
.
5π π
3π
2 −
−2π
−
2 2 π
3π π 2π 5π
−
−π
O
2
x
2 2
.
−1
2π
H×nh 5
c) TËp gi¸ trÞ cña hµm sè y = sin x
Tõ ®å thÞ ta thÊy tËp hîp mäi gi¸ trÞ cña hµm sè y = sin x lµ ®o¹n [−1 ; 1]. Ta nãi tËp gi¸ trÞ cña hµm sè nµy lµ [−1 ; 1].
2. Hµm sè y = cos x
Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy hµm sè y = cos x :
⮹ X¸c ®Þnh víi mäi x ∈ \ vµ −1 ≤ cos x ≤ 1 ;
⮹ Lµ hµm sè ch½n ;
⮹ Lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2π.
Víi mäi x ∈ \ ta cã ®¼ng thøc
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ x = cos x.
sin2
Gu
⎛ ⎞ π = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Tõ ®ã, b»ng c¸ch tÞnh tiÕn ®å thÞ hµm sè y = sin x theo vect¬ ; 0 2 (sang tr¸i mét ®o¹n cã ®é dµi b»ng 2π , song song víi trôc hoµnh), ta ®−îc ®å thÞ cña hµm sè y = cos x (h.6).
H×nh 6
9
Tõ ®å thÞ cña hµm sè y = cos x trªn H×nh 6, ta suy ra :
Hµm sè y = cos x ®ång biÕn trªn ®o¹n [−π ; 0] vµ nghÞch biÕn trªn ®o¹n [0 ; π]. B¶ng biÕn thiªn :
x
−π 0 π
y = cos x
1
−1
−1
TËp gi¸ trÞ cña hµm sè y x = cos lµ [−1 ; 1].
§å thÞ cña c¸c hµm sè y = cos x, y = sin x ®−îc gäi chung lµ c¸c ®−êng h×nh sin. 3. Hµm sè y = tan x
Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy hµm sè y = tan x :
⮹ Cã tËp x¸c ®Þnh lµ D = \ \ ⎧π ⎫ ⎨ + π, ∈ ⎬ ⎩ ⎭ 2k k Z ;
⮹ Lµ hµm sè lÎ ;
⮹ Lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× π.
V× vËy, ®Ó xÐt sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = tan x, ta chØ cÇn xÐt sù ⎡ π ⎞ ⎢ ⎟ ⎣ ⎠, sau ®ã lÊy ®èi
biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè nµy trªn nöa kho¶ng 0 ; 2
⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠.
xøng qua gèc to¹ ®é O, ta ®−îc ®å thÞ hµm sè trªn kho¶ng ; 2 2
Cuèi cïng, do tÝnh tuÇn hoµn víi chu k× π nªn ®å thÞ hµm sè y = tan x trªn D ⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ −
thu ®−îc tõ ®å thÞ hµm sè trªn kho¶ng ; 2 2
⎝ ⎠ b»ng c¸ch tÞnh tiÕn song
song víi trôc hoµnh tõng ®o¹n cã ®é dµi b»ng π.
⎢ ⎟ ⎣ ⎠ 02π
⎡ ⎞
a) Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ hµm sè y = tan x trªn nöa kho¶ng ; z = x1,
⎡ π ⎞ ⎢ ⎟ ⎣ ⎠, AM1
Tõ biÓu diÔn h×nh häc cña tan x (h.7a), víi x1, x2 ∈ 0 ; 2 z = x2, AT1= tan x1, AT2 = tan x2, ta thÊy :
AM2
x1 < x2 ⇒ tan x1 < tan x2.
10
⎡ ⎞ π
§iÒu ®ã chøng tá r»ng, hµm sè y = tan x ®ång biÕn trªn nöa kho¶ng 0 ; 2 ⎢ ⎟ ⎣ ⎠ .
a) b)
H×nh 7
B¶ng biÕn thiªn :
x
0 4π2π
y = tan x
+∞
1
0
⎡ π ⎞ ⎢ ⎟ ⎣ ⎠ ta lµm nh− sau :
§Ó vÏ ®å thÞ hµm sè y = tan x trªn nöa kho¶ng 0 ; 2
TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè y = tan x t¹i mét sè ®iÓm ®Æc biÖt nh− x = 0, x = 6π , x = 4π , x = 3π , ... råi x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm (0 ; tan 0), ; tan 6 6
⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ; tan 4 4
⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,
⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ... . Ta cã b¶ng sau :
; tan 3 3
x
0
π
6
π
4
π
3
...
y = tan x
0
3
3
1
3
...
⎡ π ⎞ ⎢ ⎟ ⎣ ⎠ ®i qua c¸c ®iÓm t×m ®−îc.
§å thÞ hµm sè y = tan x trªn nöa kho¶ng 0 ; 2
11
NhËn xÐt r»ng khi x cµng gÇn 2π th× ®å thÞ hµm sè y x = tan cµng gÇn ®−êng th¼ng x = 2π (h.7b).
b) §å thÞ hµm sè y = tan x trªn D
V× y = tan x lµ hµm sè lÎ nªn ®å thÞ hµm
sè cã t©m ®èi xøng lµ gèc to¹ ®é O.
LÊy ®èi xøng qua t©m O ®å thÞ hµm sè
⎡ π ⎞ ⎢ ⎟ ⎣ ⎠, ta
y x = tan trªn nöa kho¶ng 0 ; 2
®−îc ®å thÞ hµm sè trªn nöa kho¶ng
⎛ ⎤ π −⎜ ⎥ ⎝ ⎦ .
; 0 2
Tõ ®ã, ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = tan x trªn
⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ −
kho¶ng ; . 2 2
⎝ ⎠ Ta thÊy trªn kho¶ng nµy, hµm sè y x = tan ®ång biÕn (h.8).
H×nh 8
V× hµm sè y = tan x tuÇn hoµn víi chu k× π nªn tÞnh tiÕn ®å thÞ hµm sè trªn ⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠ song song víi trôc hoµnh tõng ®o¹n cã ®é dµi π, ta ®−îc
kho¶ng ; 2 2
®å thÞ hµm sè y = tan x trªn D (h.9).
H×nh 9
⮹ TËp gi¸ trÞ cña hµm sè y = tan x lµ kho¶ng (−∞ ; +∞).
12
4. Hµm sè y = cot x
Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy hµm sè y = cot x :
⮹ Cã tËp x¸c ®Þnh lµ D = \ \ {kπ, k ∈ ] } ;
⮹ Lµ hµm sè lÎ ;
⮹ Lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× π.
Sau ®©y, ta xÐt sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ cña hµm sè y = cot x trªn kho¶ng (0 ; π), råi tõ ®ã suy ra ®å thÞ cña hµm sè trªn D.
a) Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ hµm sè y = cot x trªn kho¶ng (0 ; π) Víi hai sè 1x vµ 2x sao cho 0 < x1 < x2 < π, ta cã 2 1 0 < x x − < π. Do ®ã cos cos
x x
1 2
cot cotsin sin
x xx x −=−
1 21 2
− =
sin cos cos sin
x x xx
2 1 21
sin sin
x x
1 2
sin( ) 0
− = >
x x
2 1
sin sin
x x
1 2
hay 1 2 cot cot . x x >
VËy hµm sè y = cot x nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0 ; π).
B¶ng biÕn thiªn :
x
0 2ππ
y = cot x
+∞
0
−∞
H×nh 10 biÓu diÔn ®å thÞ hµm sè y = cot x
trªn kho¶ng (0 ; π).
H×nh 10
13
b) §å thÞ cña hµm sè y = cot x trªn D
§å thÞ hµm sè y = cot x trªn D ®−îc biÓu diÔn trªn H×nh 11. y
O x
−2π −π π π 2π−π
−3π 3π
2
2 2
2
H×nh 11
⮹ TËp gi¸ trÞ cña hµm sè y = cot x lµ kho¶ng (−∞ ; +∞).
B μ i ®äc thªm
Hµm sè tuÇn hoµn
I − §Þnh nghÜa vµ vÝ dô
1. §Þnh nghÜa
Hµm sè y = f(x) cã tËp x¸c ®Þnh D ®−îc gäi lµ hµm sè tuÇn hoµn, nÕu tån t¹i mét sè T ≠ 0 sao cho víi mäi x ∈ D ta cã :
a) x − T ∈ D vµ x + T ∈ D ;
b) f(x + T) = f(x).
Sè T d−¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt trªn ®−îc gäi lµ chu k× cña hµm sè tuÇn hoµn ®ã.
2. VÝ dô
VÝ dô 1. Hµm sè h»ng f(x) = c (c lµ h»ng sè) lµ mét hµm sè tuÇn hoµn. Víi mäi sè d−¬ng T ta ®Òu cã f(x + T) = f(x) = c. Tuy nhiªn kh«ng cã sè d−¬ng T nhá nhÊt tho¶ m·n ®Þnh nghÜa nªn hµm sè tuÇn hoµn nµy kh«ng cã chu k×.
14
VÝ dô 2. Hµm phÇn nguyªn y = [x] ®· ®−îc nªu trong §¹i sè 10. Ta xÐt hµm y = {x} x¸c ®Þnh bëi : {x} = x − [x]. Nã ®−îc gäi lµ hµm phÇn lÎ cña x. Ch¼ng h¹n, {4,3} = 4,3 − 4 = 0,3 ;
{−4,3} = −4,3 − (−5) = 0,7.
Ta chøng tá hµm y = {x} lµ hµm tuÇn hoµn víi chu k× lµ 1.
ThËt vËy, {x + 1} = x + 1 − [x + 1] = x + 1 − [x] − 1 = x − [x] = {x }.
§å thÞ cña hµm sè y = {x} ®−îc biÓu diÔn trªn H×nh 12. Nh×n vµo ®å thÞ ta thÊy hµm sè cã chu k× b»ng 1.
H×nh 12
3. §å thÞ cña hµm sè tuÇn hoµn
Gi¶ sö y = f(x) lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn D vµ tuÇn hoµn víi chu k× T. XÐt hai ®o¹n X1 = [a ; a + T] vµ X2 = [a + T ; a + 2T] víi a ∈ D. Gäi (C1) vµ (C2) lÇn l−ît lµ phÇn cña ®å thÞ øng víi x ∈ X1 vµ x ∈ X2, ta t×m mèi liªn hÖ gi÷a (C1) vµ (C2) (h.13).
H×nh 13
LÊy x0 bÊt k× thuéc X1 th× x0 + T ∈ X2.
15
XÐt hai ®iÓm M1 vµ M2 lÇn l−ît thuéc (C1) vµ (C2), trong ®ã
⎧ = ⎪⎨⎪ = ⎩
x x
M1(x1 ; y1) víi 1 0
y f x
1 0 ( );
⎧ = + ⎪⎨⎪ = += ⎩
xxT
M2 (x2 ; y2) víi 2 0
y f x T f x
20 0 ( ) ( ).
Ta cã M1 2 M JJJJJJJG = (x2 – x1 ; y2 – y1) = (T ; 0) = vG ( vGkh«ng ®æi). Suy ra M2 lµ ¶nh cña M1 trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ vG. VËy "(C2) lµ ¶nh cña (C1) trong phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ vG".
Tõ ®ã, muèn vÏ ®å thÞ cña hµm sè tuÇn hoµn chu k× T, ta chØ cÇn vÏ ®å thÞ cña hµm sè nµy trªn ®o¹n [a ; a + T], sau ®ã thùc hiÖn lÇn l−ît c¸c phÐp tÞnh tiÕn theo c¸c vect¬
v,G 2 , vG ..., vµ c¸c vect¬ −v,G −2 , vG ... ta ®−îc toµn bé ®å thÞ cña hµm sè.
II − TÝnh tuÇn hoµn cña hµm sè l−îng gi¸c
1. TÝnh tuÇn hoµn vµ chu k× cña c¸c hµm sè y = sin x vµ y = cos x §Þnh lÝ 1
C¸c hµm sè y = sin x vµ y = cos x lµ nh÷ng hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2π.
Chøng minh. Ta chøng minh cho hµm sè y = sin x (tr−êng hîp hµm sè y = cos x ®−îc chøng minh t−¬ng tù).
Hµm sè y = sin x cã tËp x¸c ®Þnh lµ \ vµ víi mäi sè thùc x ta cã x − 2π ∈ \ , x + 2π ∈ \ , (1) sin (x + 2π) = sin x. (2)
VËy y = sin x lµ hµm sè tuÇn hoµn. Ta chøng minh 2π lµ sè d−¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt (1) vµ (2).
Gi¶ sö cã sè T sao cho 0 < T < 2π vµ sin(x + T) = sin x, ∀x ∈ \ . π , ta ®−îc
Chän x = 2
⎛ ⎞ π
⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ sin2T π sin2 = 1 ⇔ cos T = 1.
§iÒu nµy tr¸i gi¶ thiÕt 0 < T < 2π.
VËy 2π lµ sè d−¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n tÝnh chÊt (2), nghÜa lµ 2π lµ chu k× cña hµm sè y = sin x.
16
2. TÝnh tuÇn hoµn vµ chu k× cña c¸c hµm sè y = tan x vµ y = cot x §Þnh lÝ 2
C¸c hµm sè y = tan x vµ y = cot x lµ nh÷ng hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× π.
Chøng minh. Ta chøng minh cho hµm sè y = tan x, (tr−êng hîp hµm sè y = cot x ®−îc chøng minh t−¬ng tù).
Hµm sè y = tan x cã tËp x¸c ®Þnh D = \ \ { } π+π ∈ , . 2k k Z
Víi mäi x ∈ D ta cã x − π ∈ D vµ x + π ∈ D, tan(x + π) = tan x.
VËy y = tan x lµ hµm sè tuÇn hoµn. Ta chøng minh π lµ chu k× cña hµm sè nµy. Gi¶ sö cã sè T sao cho 0 < T < π vµ tan(x + T) = tan x, ∀x ∈ D.
Chän x = 0 th× x ∈ D vµ tan(0 + T) = tan 0 = 0.
Nh−ng tan α = 0 khi vµ chØ khi α = kπ, k ∈ ] , do ®ã ph¶i cã T = kπ, k ∈ ] . §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt 0 < T < π.
VËy chu k× cña hµm sè y = tan x lµ π.
Bµi tËp
⎡ π⎤
1. H·y x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña x trªn ®o¹n 3; 2
−π ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ®Ó hµm sè y = tan x :
a) NhËn gi¸ trÞ b»ng 0 ; b) NhËn gi¸ trÞ b»ng 1 ; c) NhËn gi¸ trÞ d−¬ng ; d) NhËn gi¸ trÞ ©m.
2. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè :
a) + = 1 cos
x
yx; b) + = −
1 cos
x
sin
yx; 1 cos
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ x ; d) y = cot6
c) y = tan3
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ x .
3. Dùa vµo ®å thÞ cña hµm sè y = sin x, h·y vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = sin x .
4. Chøng minh r»ng sin 2(x + kπ) = sin 2x víi mäi sè nguyªn k. Tõ ®ã vÏ ®å thÞ hµm sè y = sin 2x.
17
5. Dùa vµo ®å thÞ hµm sè y = cos x, t×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó cos x = 1 .2
6. Dùa vµo ®å thÞ hµm sè y = sin x, t×m c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña x ®Ó hµm sè ®ã nhËn gi¸ trÞ d−¬ng.
7. Dùa vµo ®å thÞ hµm sè y = cos x, t×m c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña x ®Ó hµm sè ®ã nhËn gi¸ trÞ ©m.
8. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c hµm sè :
a) y = 2 cos 1 x + ;
b) y = 3 2sin . − x
ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n
1
T×m mét gi¸ trÞ cña x sao cho 2sin x − 1 = 0.
Trong thùc tÕ, ta gÆp nh÷ng bµi to¸n dÉn ®Õn viÖc t×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x nghiÖm ®óng nh÷ng ph−¬ng tr×nh nµo ®ã, nh−
3sin 2x + 2 = 0
hoÆc 2cos x + tan 2x − 1 = 0,
mµ ta gäi lµ c¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c lµ t×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña Èn sè tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh ®· cho. C¸c gi¸ trÞ nµy lµ sè ®o cña c¸c cung (gãc) tÝnh b»ng radian hoÆc b»ng ®é.
ViÖc gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c th−êng ®−a vÒ viÖc gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau, gäi lµ c¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n :
sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x = a,
trong ®ã a lµ mét h»ng sè.
18
1. Ph−¬ng tr×nh sin x = a
2
Cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh sin x = −2 kh«ng ? XÐt ph−¬ng tr×nh sin x = a. (1)
Tr−êng hîp |a| > 1
Ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm, v× sin x ≤ 1
víi mäi x.
Tr−êng hîp |a| ≤ 1
VÏ ®−êng trßn l−îng gi¸c t©m O, trôc
hoµnh lµ trôc c«sin, trôc tung lµ trôc sin.
Trªn trôc sin lÊy ®iÓm K sao cho OK = a.
Tõ K kÎ ®−êng vu«ng gãc víi trôc sin, c¾t
®−êng trßn l−îng gi¸c t¹i M vµ M' ®èi
xøng víi nhau qua trôc sin (nÕu a = 1
th× M trïng víi M') (h.14).
z vµ ' AM
H×nh 14
Tõ ®ã ta thÊy sè ®o cña c¸c cung l−îng gi¸c AM cña ph−¬ng tr×nh (1).
z lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm z, ta cã
Gäi α lµ sè ®o b»ng radian cña mét cung l−îng gi¸c AM z = α + k2π, k ∈ ] ;
s® AM
z = π − α + k2π, k ∈ . ]
s® ' AM
VËy ph−¬ng tr×nh sin x = a cã c¸c nghiÖm lµ α
xk k
=+π ∈
2, ;
Z
α
x kk =π− + π ∈
2, . Z
⎧ π π ⎪− ≤ ≤ ⎨⎪⎩ = th× ta viÕt α = arcsin a
α
NÕu sè thùc α tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 2
α
sin a
(®äc lµ ac-sin-a, nghÜa lµ cung cã sin b»ng a). Khi ®ã, c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sin x = a ®−îc viÕt lµ
x = arcsin a + k2π, k ∈ ]
vµ x = π − arcsin a + k2π, k ∈ ].
19
Chó ý
a) Ph−¬ng tr×nh sin x = sin α, víi α lµ mét sè cho tr−íc, cã c¸c nghiÖm lµ
x = α + k2π, k ∈ ]
vµ x = π − α + k2π, k ∈ ] .
Tæng qu¸t,
⎡ = +π ∈
sin f(x) = sin g(x) ⇔() () 2,
f x gx k k ⎢⎣ =π− + π ∈
f x gx k k
]
() () 2, .
]
b) Ph−¬ng tr×nh sin x = sin β o cã c¸c nghiÖm lµ
x = β o + k360o, k ∈ ]
vµ x = 180o − β o + k360o, k ∈ ] .
c) Trong mét c«ng thøc vÒ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c kh«ng ®−îc dïng ®ång thêi hai ®¬n vÞ ®é vµ radian. d) C¸c tr−êng hîp ®Æc biÖt :
⮹ a = 1 : Ph−¬ng tr×nh sin x = 1 cã c¸c nghiÖm lµ
x = 2π+ k2π, k ∈ ] .
⮹ a = −1 : Ph−¬ng tr×nh sin x = −1 cã c¸c nghiÖm lµ
x = 2π − + k2π, k ∈ ] .
⮹ a = 0 : Ph−¬ng tr×nh sin x = 0 cã c¸c nghiÖm lµ
x = kπ, k ∈ ] .
VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) sin x = 12 ; b) 1 sin5
x = .
Gi¶i
a) V× 1 sin
π = nªn sin x = 12⇔ sin sin6π
2 6
VËy ph−¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm lµ
x = .
x = 6π+ k2π, k ∈ ] vµ x = 6π
π − + k2π = 56π+ k2π, k ∈ . ]
20
b) Ta cã sin x = 15 khi 1 arcsin .5
x = VËy ph−¬ng tr×nh 1 sin5
x = cã c¸c
nghiÖm lµ
x = 1 arcsin 2
5+ k π , k ∈ ] vµ x = 1 arcsin 2
π − +π k , k ∈ ] .
5
3
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) 1 sin3
x = ; b) + =− o 2 sin( 45 ) . 2
x
2. Ph−¬ng tr×nh cos x = a
Tr−êng hîp a > 1
Ph−¬ng tr×nh cos x = a v« nghiÖm
v× cos x ≤ 1 víi mäi x.
Tr−êng hîp a ≤ 1
T−¬ng tù tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh
sin x = a, ta lÊy ®iÓm H trªn trôc c«sin
sao cho OH = a. Tõ H kÎ ®−êng
vu«ng gãc víi trôc c«sin, c¾t ®−êng
trßn l−îng gi¸c t¹i M vµ M' ®èi
xøng víi nhau qua trôc c«sin (nÕu a = 1 th× M ≡ M') (h.15).
H×nh 15
z vµ ' AM
Tõ ®ã ta thÊy sè ®o cña c¸c cung l−îng gi¸c AM nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cos x = a.
z lµ tÊt c¶ c¸c
z, ta cã :
Gäi α lµ sè ®o b»ng radian cña mét cung l−îng gi¸c AM z = α + k2π, k ∈ ] ;
s® AM
z = −α + k2π, k ∈ ] .
s® ' AM
VËy ph−¬ng tr×nh cos x = a cã c¸c nghiÖm lµ
x kk = ±+ π ∈ α 2, . Z
21
Chó ý
a) Ph−¬ng tr×nh cos x = cos α, víi α lµ mét sè cho tr−íc, cã c¸c nghiÖm lµ
x = ± α + k2π, k ∈ . ]
Tæng qu¸t, cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 f x gx f x gx k = ⇔ =± + π, k ∈ ]. b) Ph−¬ng tr×nh cos x = cos β o cã c¸c nghiÖm lµ
x = ± β o + k360o, k ∈ . ]
c) NÕu sè thùc α tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn
α
⎧ ≤ ≤ π ⎨⎩ =
0
α
cos a
th× ta viÕt α = arccosa (®äc lµ ac-c«sin-a, cã nghÜa lµ cung cã c«sin b»ng a). Khi ®ã, c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cos x = a cßn ®−îc viÕt lµ
x = ± arccos a + k2π, k ∈ ].
d) C¸c tr−êng hîp ®Æc biÖt :
⮹ a = 1 : Ph−¬ng tr×nh cos x = 1 cã c¸c nghiÖm lµ
x = k2π, k ∈ . ]
⮹ a = −1 : Ph−¬ng tr×nh cos x = −1 cã c¸c nghiÖm lµ
x = π + k2π, k ∈ ].
⮹ a = 0 : Ph−¬ng tr×nh cos x = 0 cã c¸c nghiÖm lµ
x = 2π+ kπ, k ∈ ].
VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) cos x = cos6π ; b) cos 3x = − 22 ;
c) cos x = 13 ; d) cos (x + 60o) = 2 . 2
Gi¶i
a) cos x = cos6π⇔ x = ±6π+ k2π, k ∈ . ]
22
π − = nªn
b) V× 2 3
cos
2 4
cos4π⇔ 3x = ± 34π+ k2π
cos 3x = − 22⇔ cos 3x = 3
π π
⇔ x = ±2
+ k , k ∈ ] ;
4 3
c) cos x = 13⇔ x = ± arccos 13+ k2π, k ∈ ] ;
d) V× 22 = cos 45o nªn
+ =2 cos( 60 ) 2
o x ⇔ cos (x + 60o) = cos 45o ⇔ x + 60o = ± 45o + k360o o o
⎡ =− + ⎢⎢⎣ =− + (k ∈ ] ).
x k
⇔
4
15 360
o o
x k 105 360
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau : a) 1
x = ; c) o 3 cos( 30 ) 2
x = − ; b) 2
cos2
cos3
x + = .
3. Ph−¬ng tr×nh tan x = a
§iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh lµ x ≠2π+ kπ (k ∈ ] ).
C¨n cø vµo ®å thÞ hµm sè y = tan x, ta thÊy víi mçi sè a, ®å thÞ hµm sè y = tan x c¾t ®−êng th¼ng y = a t¹i c¸c ®iÓm cã hoµnh ®é sai kh¸c nhau mét béi cña π
(h.16).
−3π
−π
y
a
−π
3π
π
2
2
2 2
π 2π
−2π x1 x + 2π 1 x x1 − π x1 + π 1 − 2πO x
H×nh 16
23
Hoµnh ®é cña mçi giao ®iÓm lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh tan x a = . π π
−< < x
Gäi x1 lµ hoµnh ®é giao ®iÓm 1 (tan ) x a = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 . 2 2
KÝ hiÖu x1 = arctan a (®äc lµ ac-tang-a, nghÜa lµ cung cã tang b»ng a). Khi ®ã, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh tan x = a lµ
x akk = +π ∈ arctan , . Z
Chó ý
a) Ph−¬ng tr×nh tan x = tan α, víi α lµ mét sè cho tr−íc, cã c¸c nghiÖm lµ
x = α + kπ, k ∈ . ]
Tæng qu¸t, tan ( ) tan ( ) f x gx = ⇒ () () f x gx k = + π, k ∈ . ] b) Ph−¬ng tr×nh tan x = tan β o cã c¸c nghiÖm lµ
x = β o + k180o, k ∈ . ]
VÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) tan x = tan5π ; b) tan 2x = − 13 ; c) tan (3x + 15o) = 3 . Gi¶i
a) tan x = tan5π⇔ x = 5π+ kπ, k ∈ . ]
b) tan 2x = − 13⇔ 2x = arctan ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −
1
3+ kπ
⎝ ⎠
⇔ x = 1 1
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ k k ∈ . ]
arctan ,
2 32
c) V× 3 = tan 60o nªn tan(3x + 15o) = 3 ⇔ tan(3x + 15o) = tan 60o ⇔ 3x + 15o = 60o + k180o ⇔ 3x = 45o + k180o
⇔ x = 15o + k60o, k ∈ . ]
5
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) tan x = 1 ; b) tan x = −1 ; c) tan x = 0.
24
4. Ph−¬ng tr×nh cot x = a
§iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh lµ x ≠ kπ, k ∈ . ]
C¨n cø vµo ®å thÞ hµm sè y = cot x, ta thÊy víi mçi sè a, ®−êng th¼ng y = a c¾t ®å thÞ hµm sè y = cot x t¹i c¸c ®iÓm cã hoµnh ®é sai kh¸c nhau mét béi cña π (h.17).
H×nh 17
Hoµnh ®é cña mçi giao ®iÓm lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cot x = a. Gäi x1 lµ hoµnh ®é giao ®iÓm (cot x1 = a) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 0 < x1 < π. KÝ hiÖu x1 = arccot a (®äc lµ ac-c«tang-a, nghÜa lµ cung cã c«tang b»ng a). Khi ®ã, c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh cot x = a lµ
x akk = +π ∈ arccot , . ]
Chó ý
a) Ph−¬ng tr×nh cot x = cot α, víi α lµ mét sè cho tr−íc, cã c¸c nghiÖm lµ
x = α + kπ, k ∈ ].
Tæng qu¸t, cot ( ) cot ( ) f x gx = ⇒ () () , f x gx k = + π k ∈ . ]
b) Ph−¬ng tr×nh cot x = cot β o cã c¸c nghiÖm lµ
x = β o + k180o, k ∈ ].
25
VÝ dô 4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) cot 4x = cot 27π ;
b) cot 3x = −2 ;
c) cot (2x − 10o) = 1 .3
Gi¶i
a) cot 4x = 2
cot7π⇔ 4x = 27π+ kπ ⇔ x = , 14 4
π π
+ k k ∈ ].
b) cot 3x = −2 ⇔ 3x = arccot(−2) + kπ
⇔ x = 13 arccot(−2) +3π k , k ∈ ].
c) V× 13 = cot 60o nªn
cot(2x − 10o) = 13 ⇔ cot(2x − 10o) = cot 60o
⇔ 2x − 10o = 60o + k180o
⇔ x = 35o + k90o, k ∈ . ]
6
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) cot x = 1 ; b) cot x = −1 ; c) cot x = 0.
Ghi nhí
Mçi ph−¬ng tr×nh
sin x = a (|a| ≤ 1) ; cos x = a (|a| ≤ 1) ; tan x = a ; cot x = a
cã v« sè nghiÖm.
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh trªn lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña chóng.
26
B μ i ®äc thªm
Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n b»ng m¸y tÝnh bá tói
Cã thÓ sö dông m¸y tÝnh bá tói (MTBT) ®Ó gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n. Tuy nhiªn, ®èi víi ph−¬ng tr×nh sin x = a m¸y chØ cho kÕt qu¶ lµ arcsin a víi ®¬n vÞ lµ radian hoÆc ®· ®−îc ®æi ra ®é. Lóc ®ã, theo c«ng thøc nghiÖm ta viÕt c¸c nghiÖm lµ
x = arcsin a + k2π, k ∈ ]
vµ x = π − arcsin a + k2π, k ∈ ].
T−¬ng tù, ®èi víi ph−¬ng tr×nh cos x = a m¸y chØ cho kÕt qu¶ lµ arccos a, ®èi víi ph−¬ng tr×nh tan x = a m¸y chØ cho kÕt qu¶ lµ arctan a.
VÝ dô. Dïng MTBT CASIO fx − 500 MS, gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau : a) sin 0,5 x = ; b) 1
x = − ; c) tan 3. x =
cos3
Gi¶i
a) NÕu muèn cã ®¸p sè b»ng ®é th× bÊm ba lÇn phÝm råi bÊm phÝm ®Ó mµn h×nh hiÖn ra ch÷ D. Sau ®ã bÊm liªn tiÕp
0
Dßng thø nhÊt trªn mµn h×nh hiÖn ra sin−1 0.5 (cã nghÜa lµ arcsin 0,5) vµ kÕt qu¶ ë dßng thø hai lµ 30o0o0 (arcsin 0,5 ®· ®−îc ®æi ra ®é).
VËy ph−¬ng tr×nh sin 0,5 x = cã c¸c nghiÖm lµ
= + o o x k 30 360 , k ∈]
vµ x = 180o − 30o + k360o = 150o + k360o, k ∈] . b) BÊm liªn tiÕp
Dßng thø nhÊt trªn mµn h×nh lµ cos−1 − (1 : 3) (cã nghÜa lµ 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −
arccos3
⎝ ⎠ ) vµ kÕt qu¶
ë dßng thø hai lµ 109o28'16.3'' ( 1
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠ ®· ®−îc ®æi ra ®é).
arccos3
27
VËy ph−¬ng tr×nh 1
x = − cã c¸c nghiÖm lµ x ≈ ± 109o28'16'' + k360o, k ∈].
cos3
c) BÊm liªn tiÕp
dßng thø nhÊt trªn mµn h×nh lµ 1 tan 3 − (cã nghÜa lµ arctan 3 ) vµ kÕt qu¶ ë dßng thø hai lµ 60o0o0 ( arctan 3 ®· ®−îc ®æi ra ®é).
VËy ph−¬ng tr×nh tan 3 x = cã c¸c nghiÖm lµ x = 60o + k180o, k ∈ ].
Chó ý
a) §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh sin 0,5 x = víi kÕt qu¶ lµ radian, ta bÊm ba lÇn phÝm råi bÊm phÝm , mµn h×nh hiÖn ra ch÷ R.
Sau ®ã, bÊm liªn tiÕp 0
ta ®−îc kÕt qu¶ gÇn ®óng lµ 0,5236 (arcsin 0,5 ≈ 0,5236).
VËy ph−¬ng tr×nh sin 0,5 x = cã c¸c nghiÖm lµ
x ≈ 0,5236 + k2π, k ∈]
vµ x ≈ π − 0,5236 + k2π, k ∈].
b) §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh cot x = a b»ng MTBT, ta ®−a vÒ gi¶i ph−¬ng tr×nh 1
tan . xa =
Bµi tËp
1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) sin (x + 2) = 13 ; b) sin 3x = 1 ;
c) 2 sin3 3
⎛ ⎞ x π ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠= 0 ; d) sin (2x + 20o) = − 3 . 2
2. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña x th× gi¸ trÞ cña c¸c hµm sè y = sin 3x vµ y = sin x b»ng nhau ?
3. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) cos (x − 1) = 23 ; b) cos 3x = cos 12o ;
c) 3 1
⎛ ⎞ x π ⎜ ⎟ − =− ⎝ ⎠ ; d) cos 22x = 1 .4
cos24 2
28
4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh = −2cos2 0. x
1 sin 2
x
5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) tan(x − 15o) = 33 ; b) cot(3x − 1) = − 3 ; c) cos 2x tan x = 0 ; d) sin 3x cot x = 0.
⎛ ⎞ π = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ vµ
6. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña x th× gi¸ trÞ cña c¸c hµm sè tan4 y x y = tan 2x b»ng nhau ?
7. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) sin 3x − cos 5x = 0 ; b) tan 3x tan x = 1.
Mét sè ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c th−êng gÆp
I − ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi mét hµm sè l−îng gi¸c
1. §Þnh nghÜa
Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi mét hµm sè l−îng gi¸c lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
at + b = 0, (1)
trong ®ã a, b lµ c¸c h»ng sè (a ≠ 0) vµ t lµ mét trong c¸c hµm sè l−îng gi¸c.
VÝ dô 1
a) 2sin x − 3 = 0 lµ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin x.
b) 3 tan x + 1 = 0 lµ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi tan x.
1
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh trong VÝ dô 1.
29
2. C¸ch gi¶i
ChuyÓn vÕ råi chia hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (1) cho a, ta ®−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n.
VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) 3cos x + 5 = 0 ; b) 3 cot x − 3 = 0. Gi¶i
a) Tõ 3cos x + 5 = 0, chuyÓn vÕ ta cã
3cos x = − 5. (2)
Chia hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (2) cho 3, ta ®−îc cos x = − 53.
5 1
V× − <−
3 nªn ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
b) Tõ 3 cot x − 3 = 0, chuyÓn vÕ ta cã
3 cot x = 3. (3)
Chia hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (3) cho 3 , ta ®−îc cot x = 3 . V× 3 cot6π = nªn cot 3 x = ⇔ cot cot6π
x = ⇔6π x k = + π , k ∈ ] .
3. Ph−¬ng tr×nh ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi mét hµm sè l−îng gi¸c
VÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) 5cos x − 2sin 2x = 0 ; (4) b) 8sin x cos x cos 2x = −1. (5) Gi¶i
a) Ta cã 5cos x − 2sin 2x = 0 ⇔ 5cos x − 4sin x cos x = 0 ⇔ cos x(5 − 4sin x) = 0 ⇔⎡ =
cos 0
x
⎢⎣ − =
5 4sin 0.
x
⮹ cos x = 0 ⇔ x = 2π+ kπ, k ∈ . ]
30
⮹ 5 − 4sin x = 0 ⇔ 4sin x = 5 ⇔ sin x = 5 ,4 v× >
5 1
4 nªn ph−¬ng tr×nh nµy
v« nghiÖm.
VËy ph−¬ng tr×nh (4) cã c¸c nghiÖm lµ x = 2π+ kπ, k ∈ ] . b) Ta cã
8sin xcos xcos 2x = −1 ⇔ 4sin 2 cos2 1 x x = − ⇔ 2sin 4x = −1
⇔ sin 4x = − 12⇔
⎡ π = −+ π ⎢⎢⎢ π = + π ⎢⎣4 2
x k
6
7 4 2
x k
6
⎡ π π =− + ⎢ 24 ⎢⎢ π π
x k
⇔ 2 7
= + ⎢⎣
x k
24 2
( ). k ∈ ]
II − Ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l−îng gi¸c
1. §Þnh nghÜa
Ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l−îng gi¸c lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
at2+ bt + c = 0,
trong ®ã a, b, c lµ c¸c h»ng sè (a ≠ 0) vµ t lµ mét trong c¸c hµm sè l−îng gi¸c.
VÝ dô 4
a) 2sin 2x + 3sin x − 2 = 0 lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi sin x. b) 3cot2x − 5cot x − 7 = 0 lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi cot x.
2
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) 3cos 2x − 5cos x + 2 = 0 ;
b) 2 3tan 2 3 tan 3 0 x x − += .
2. C¸ch gi¶i
§Æt biÓu thøc l−îng gi¸c lµm Èn phô vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn phô (nÕu cã) råi gi¶i ph−¬ng tr×nh theo Èn phô nµy. Cuèi cïng, ta ®−a vÒ viÖc gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n.
31
VÝ dô 5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x x
2 2sin 2 sin 2 0
+ − = .
2 2
Gi¶i. §Æt sin2x = t víi ®iÒu kiÖn
−1 ≤ t ≤ 1 (*),
ta ®−îc ph−¬ng tr×nh bËc hai theo t
+ − = 2 2 2 20 t t . (1)
Ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 1t = − 2 vµ 222
t = nh−ng chØ cã
2
t = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*). VËy ta cã
2
2
2 sin2 2
x π =
x = ⇔ sin sin
2 4
⎡ π = + π ⎢⎢⎢ π = + π ⎢⎣⇔4
⇔
x k 2 4
⎡ π = + π ⎢⎢⎢ π = + π ⎢⎣ ( ). k ∈ ]
2
x k
2
3 2
x k 2 4
3 4
x k 2
3. Ph−¬ng tr×nh ®−a vÒ d¹ng ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l−îng gi¸c
3
H·y nh¾c l¹i :
a) C¸c h»ng ®¼ng thøc l−îng gi¸c c¬ b¶n ;
b) C«ng thøc céng ;
c) C«ng thøc nh©n ®«i ;
d) C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng vµ tæng thµnh tÝch.
Cã nhiÒu ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c mµ khi gi¶i cã thÓ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l−îng gi¸c. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô.
VÝ dô 6. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
6cos 2x + 5sin x − 2 = 0. (2)
32
Gi¶i. BiÕn ®æi cos2x = 1 − sin2x, ta ®−a ph−¬ng tr×nh (2) vÒ d¹ng − 6sin2x + 5sin x + 4 = 0.
§Æt sin x = t víi ®iÒu kiÖn −1 ≤ t ≤ 1, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh bËc hai theo t − 6t2+ 5t + 4 = 0. (3) Ph−¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm t1 = 43 vµ t2 = 12 − nh−ng chØ cã = − 212
t
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy ta cã
= − 1 sin2
⎛ ⎞ π = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x
x ⇔ sin sin6
⎡ π = −+π ⎢⎢⎢ π = + π ⎢⎣ ( ). k ∈ ]
⇔
x k 6
2
7 2
x k
6
VÝ dô 7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
3 tan x − 6cot x + 2 3 − 3 = 0. (4)
Gi¶i. §iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh (4) lµ cos x ≠ 0 vµ sin x ≠ 0. V× cot x = 1
tan x nªn ph−¬ng tr×nh (4) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng
6 3 tan 2 3 3 0
− + −=
xx ,
tan
hay 3 tan2x + (2 3 − 3)tan x − 6 = 0.
§Æt tan x = t, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh bËc hai theo t
3 t2+ (2 3 − 3)t − 6 = 0. (5)
Ph−¬ng tr×nh (5) cã hai nghiÖm : t1 = 3 , t2 = −2.
xπ = ⇔ x = 3π+ kπ, k ∈ . ]
Víi = 1t 3 ta cã tan x = 3 ⇔ tan tan3
33
Víi t2 = −2 ta cã tan x = −2 ⇔ x = arctan(−2) + kπ, k ∈ ]. C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªu trªn nªn chóng lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (4).
4
Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3cos26x + 8sin 3x cos 3x − 4 = 0.
VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2sin 2x − 5sin x cos x − cos 2x = − 2. (6)
Gi¶i. Tr−íc hÕt, ta thÊy nÕu cos x = 0 th× ph−¬ng tr×nh (6) cã vÕ tr¸i b»ng 2, cßn vÕ ph¶i b»ng −2, nªn cos x = 0 kh«ng tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (6). VËy cos x ≠ 0. V× cos x ≠ 0 nªn chia hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (6) cho cos 2x, ta ®−îc 2tan2x − 5tan x − 1 = 22
− x⇔ 2tan2x − 5tan x − 1 = −2(1 + tan2x).
cos
Ta ®−a ®−îc ph−¬ng tr×nh (6) vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai theo tan x 4tan2x − 5tan x + 1 = 0
⎡ =
x
tan 1
⇔
⎢⎢ = ⎢⎣ x
1
tan .4
⮹ tan x = 1 ⇔ x = 4π+ kπ, k ∈ ].
⮹ tan x = 14⇔ x = arctan14+ kπ, k ∈ . ] VËy ph−¬ng tr×nh (6) cã c¸c nghiÖm lµ π = + π
x k
4
vµ 1 arctan ( ). 4 x kk = +π ∈ Z
34
III − Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin x vµ cos x
1. C«ng thøc biÕn ®æi biÓu thøc asin x + bcos x
5
Dùa vµo c¸c c«ng thøc céng ®· häc :
sin (a + b) = sin acos b + sin bcos a ; cos (a + b) = cos acos b − sin asin b ; sin (a − b) = sin acos b − sin bcos a ; cos (a − b) = cos acos b + sin asin b π π = = 22 , h·y chøng minh r»ng :
vµ kÕt qu¶ cos sin
4 4
x⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠.
x⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ; b) sin x − cos x = 2 sin4
a) sin x + cos x = 2 cos4
Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, víi a2+ b2≠ 0, ta cã
sin cos a b ab x x
asin x + bcos x = ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + +
2 2
.
22 22
ab ab
2 2
22 221 a b
V×
⎛ ⎞⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ + +
ab ab
nªn cã mét gãc α sao cho
a
+ 2 2 a b
= cos α,
b
+ 2 2 a b
= sin α.
Khi ®ã asin x + bcos x = + + ( ) α α 2 2 ab x x sin cos cos sin = + + α 2 2 ab x sin( ).
VËy ta cã c«ng thøc sau
asin x + bcos x = 2 2 ab x + + sin( ), α (1)
a
víi cos α2 2
=
a b
+
b
vµ sin α2 2
=
.
a b
+
2. Ph−¬ng tr×nh d¹ng a sin x + b cos x = c
XÐt ph−¬ng tr×nh asin x + bcos x = c, (2) víi a, b, c ∈ \ ; a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0 (a2+ b2≠ 0).
35
NÕu a = 0, b ≠ 0 hoÆc a ≠ 0, b = 0, ph−¬ng tr×nh (2) cã thÓ ®−a ngay vÒ ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n. NÕu a ≠ 0, b ≠ 0, ta ¸p dông c«ng thøc (1).
VÝ dô 9. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
sin x + 3 cos x = 1.
Gi¶i. Theo c«ng thøc (1) ta cã
+ =+ + α 2 sin 3 cos 1 ( 3) sin( ) xx x = 2sin (x + α),
trong ®ã cos α = 12 , α = 3 sin2 . Tõ ®ã lÊy 3
απ = th× ta cã
⎛ ⎞ π
sin 3 cos 2sin3
+ =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x xx .
Khi ®ã
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ x ⇔1 sin3 2
sin 3 cos 1 x x + = ⇔ 2sin 1 3
x⎛ ⎞ π π ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠
⇔ sin sin
3 6
⎡ π π
+=+π ⎢⎢⎢ π π
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ x
⎡ π
=− + π ⎢⎢⎢ π
⇔
x k 3 6
2
⇔
x k 6
2
+ =π− + π ⎢⎣
=+π∈ ⎢⎣ ] x kk
x k
2
3 6
6
2 ( ). 2
Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 sin3 cos3 2. x x − =
Bµi tËp
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
sin 2x − sin x = 0.
2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) 2cos2x − 3cos x + 1 = 0 ; b) 2sin 2x + 2 sin 4x = 0.
36
3. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
x x ; b) 8cos2x + 2sin x − 7 = 0 ;
a) − += 2 sin 2cos 2 0
2 2
c) 2tan2x + 3tan x + 1 = 0 ; d) tan x − 2cot x + 1 = 0. 4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) 2sin 2x + sin x cos x − 3cos2x = 0 ;
b) 3sin 2x − 4sin x cos x + 5cos2x = 2 ;
c) sin2x + sin 2x − 2cos2x = 12 ;
d) 2cos2x − 3 3 sin 2x − 4sin2x = − 4.
5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) cos x − 3 sin 2 x = ; b) 3sin 3x − 4cos 3x = 5 ; c) 2sin x + 2cos x − 2 = 0 ; d) 5cos 2x + 12sin 2x − 13 = 0. 6. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
x x⎛ ⎞ π
a) tan(2 1)tan(3 1) 1 x x + −= ; b) tan tan 1. + ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠
4
B μ i ®äc thªm
BÊt ph − ¬ng tr×nh l − îng gi¸c
Ta chØ xÐt c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n. §ã lµ nh÷ng bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng sin x > a (hoÆc sin x ≥ a, sin x < a, sin x ≤ a), trong ®ã a lµ mét sè thùc tuú ý. Ta còng xÐt nh÷ng bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng tù ®èi víi c¸c hµm sè cos x, tan x, cot x.
i − BÊt ph−¬ng tr×nh sin x > a
NÕu a ≥ 1 th× bÊt ph−¬ng tr×nh sin x > a v« nghiÖm, v× sin x ≤ 1 víi mäi x.
NÕu a < −1 th× mäi sè thùc x ®Òu lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh sin x > a, v× sin x ≥ −1 víi mäi x.
37
Ta xÐt tr−êng hîp −1 ≤ a < 1 th«ng qua vÝ dô sau. sin
VÝ dô 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
B
sin x >22 . (1)
Gi¶i. VÏ ®−êng trßn l−îng gi¸c t©m O. Trªn trôc sin lÊy ®iÓm K sao cho
22
OK = (h.18).
KÎ tõ K ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi trôc sin, c¾t ®−êng trßn t¹i hai ®iÓm M vµ M'.
z cã sè ®o tho¶ m·n
Râ rµng, nÕu cung AD
bÊt ph−¬ng tr×nh (1) th× D ph¶i n»m trªn cung MqBM' vµ ng−îc l¹i.
z = 4π+ k2π, k ∈ ] vµ
Ta cã s® AM
s® AM' z = 34π+ k2π, k ∈ ].
VËy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh sin x >22 lµ k x π π
3 2
M' K M 4 43π π
2
2
A' A O
B'
H×nh 18
+ π< < + k2π, k ∈ ].
4 4
Chó ý. §iÓm cuèi cña cung cã sè ®o lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh sin x ≤22 ph¶i n»m trªn cung Mq' ' B M vµ ng−îc l¹i (h.18). Khi ®ã, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ
34π+ k2π ≤ x ≤ 2
⎛ ⎞ π
⎜ ⎟ + π ⎝ ⎠ + k2π
4
hay 34π+ k2π ≤ x ≤ 94π+ k2π, (k ∈ ). ]
ii − BÊt ph−¬ng tr×nh cos x ≤ a
NÕu a < −1 th× bÊt ph−¬ng tr×nh cos x ≤ a v« nghiÖm.
NÕu a ≥ 1 th× mäi sè thùc x ®Òu lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh cos x ≤ a. Ta xÐt tr−êng hîp −1 ≤ a < 1 th«ng qua vÝ dô sau ®©y.
38
VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
cos x ≤2 . 2 − (2)
Gi¶i. Trªn trôc c«sin lÊy ®iÓm H cã hoµnh ®é lµ 2 . 2 − KÎ tõ H ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi trôc c«sin, c¾t ®−êng trßn l−îng gi¸c t¹i hai ®iÓm M vµ M' (h.19).
M
3π
4
H
− 2
sin B
A' A
z cã sè ®o tho¶ m·n
Râ rµng, nÕu cung AE
bÊt ph−¬ng tr×nh (2) th× E ph¶i n»m trªn cung MqA M' ' vµ ng−îc l¹i. VËy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ
M'
5π42
O
B'
π+ k2π ≤ x ≤ 54π+ k2π, k ∈ . ] H×nh 19 3
4
Chó ý. BÊt ph−¬ng tr×nh cos x > 22 − cã nghiÖm lµ π+ k2π < x < 3 2
5
4
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ + π ⎝ ⎠ + k2π 4
hay 54π+ k2π < x < 114π+ k2π, k ∈ . ]
iii − BÊt ph−¬ng tr×nh tan x ≥ a
Víi mäi sè thùc a, bÊt ph−¬ng tr×nh tan x ≥ a lu«n cã nghiÖm. Ta xÐt vÝ dô sau ®©y.
VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
tan x ≥ 1. (3)
Gi¶i. LÊy trªn trôc tang ®iÓm I sao cho AI = 1.
Nèi OI c¾t ®−êng trßn l−îng gi¸c t¹i M vµ M'
z cã sè ®o tho¶ m·n bÊt
(h.20). NÕu cung AE
ph−¬ng tr×nh (3) th× ®iÓm E ph¶i n»m trªn mét
trong hai cung MqB vµ Mq' ' B vµ ng−îc l¹i.
VËy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh (3) lµ
π+ kπ ≤ x < 2π+ kπ (k ∈ ] ). H×nh 20 4
39
Chó ý. NghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh tan x < 1 lµ π − + kπ < x < 4π+ kπ, k ∈ . ]
2
iv − BÊt ph−¬ng tr×nh cot x ≤ a
Víi mäi sè thùc a, bÊt ph−¬ng tr×nh cot x ≤ a ®Òu cã nghiÖm.
Ta xÐt vÝ dô sau ®©y.
VÝ dô 4. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
cot x ≤1 .3 (4) Gi¶i. LÊy ®iÓm J trªn trôc c«tang sao cho 1
BJ = . Nèi JO c¾t ®−êng trßn l−îng gi¸c t¹i 3
hai ®iÓm M vµ M ' (h.21).
H×nh 21
z cã sè ®o tho¶ m·n bÊt ph−¬ng tr×nh (4) th× ®iÓm F ph¶i n»m trªn mét
NÕu cung AF
trong hai cung MqA' vµ Mq' A vµ ng−îc l¹i.
VËy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh (4) lµ
π+ kπ ≤ x < π + kπ, k ∈ . ]
3
Chó ý. NghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh 1
x > lµ
cot3
kπ < x < 3π+ kπ, k ∈ . ]
¤n tËp ch−¬ng I
1. a) Hµm sè y = cos 3x cã ph¶i lµ hµm sè ch½n kh«ng ? T¹i sao ? ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ x cã ph¶i lµ hµm sè lÎ kh«ng ? T¹i sao ?
b) Hµm sè y = tan5
2. C¨n cø vµo ®å thÞ hµm sè y x = sin , t×m nh÷ng gi¸ trÞ cña x trªn ®o¹n ⎡ ⎤ π
3 ; 2 2
− π ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ®Ó hµm sè ®ã :
a) NhËn gi¸ trÞ b»ng −1 ; b) NhËn gi¸ trÞ ©m.
40
3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c hµm sè sau :
a) y x =+ + 2(1 cos ) 1 ; b) ⎛ ⎞ π = ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 3sin 2.
6 y x
4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) + =2 sin( 1) 3
x ; b) sin 22x = 12 ;
x ; d) tan 12 3.
c) = 2 1
cot2 3
5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ + =− ⎝ ⎠ x 12
a) 2cos2x − 3cos x + 1 = 0 ; b) 25sin2x + 15sin 2x + 9cos2x = 25 ; c) 2sin x + cos x = 1 ; d) sin x + 1,5 cot x = 0.
Bµi tËp tr¾c nghiÖm
Chän ph−¬ng ¸n ®óng :
6. Ph−¬ng tr×nh cos x = sin x cã sè nghiÖm thuéc ®o¹n [− π ; π] lµ : (A) 2 ; (B) 4 ; (C) 5 ; (D) 6.
xx
7. Ph−¬ng tr×nh cos 4 tan 2
⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ lµ :
cos2
x = cã sè nghiÖm thuéc kho¶ng 0 ; 2
(A) 2 ; (B) 3 ; (C) 4 ; (D) 5. 8. NghiÖm d−¬ng nhá nhÊt cña ph−¬ng tr×nh sin x + sin 2x = cos x + 2cos2x lµ : (A) 6π ; (B) 23π ; (C) 4π ; (D) .3π 9. NghiÖm ©m lín nhÊt cña ph−¬ng tr×nh 2 2 tan 5tan 3 0 x x + + = lµ : (A) 3π − ; (B) 4π − ; (C) 6π − ; (D) 56π − . ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ − π ⎝ ⎠ lµ :
10. Ph−¬ng tr×nh 2 tan 2cot 3 0 x x − − = cã sè nghiÖm thuéc kho¶ng ; 2 (A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4.
41
quy t¾c ®Õm
Trong §¹i sè tæ hîp, cã nhiÒu tËp hîp h÷u h¹n mµ ta kh«ng dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc sè phÇn tö cña chóng. §Ó ®Õm sè phÇn tö cña c¸c tËp hîp h÷u h¹n ®ã, còng nh− ®Ó x©y dùng c¸c c«ng thøc trong §¹i sè tæ hîp, ng−êi ta th−êng sö dông quy t¾c céng vµ quy t¾c nh©n.
Sè phÇn tö cña tËp hîp h÷u h¹n A ®−îc kÝ hiÖu lµ n(A). Ng−êi ta còng dïng kÝ hiÖu A ®Ó chØ sè phÇn tö cña tËp A. Ch¼ng h¹n :
a) NÕu A = {a, b, c} th× sè phÇn tö cña tËp hîp A lµ 3, ta viÕt n(A) = 3 hay A = 3 .
b) NÕu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
B = {2, 4, 6, 8} (tËp hîp c¸c sè ch½n cña A),
th× A \ B = {1, 3, 5, 7, 9}.
− Sè phÇn tö cña tËp hîp A lµ n(A) = 9.
− Sè phÇn tö cña tËp hîp B lµ n(B) = 4.
− Sè phÇn tö cña tËp hîp A \ B lµ n(A \ B) = 5.
I − Quy t¾c céng
VÝ dô 1. Trong mét hép chøa
s¸u qu¶ cÇu tr¾ng ®−îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 6 vµ ba qu¶ cÇu ®en ®−îc ®¸nh sè 7, 8, 9 (h.22). Cã bao nhiªu c¸ch chän mét trong c¸c qu¶ cÇu Êy ?
7 8 9
1 2 3 4 H×nh 22
5 6
Gi¶i. V× c¸c qu¶ cÇu tr¾ng hoÆc ®en ®Òu ®−îc ®¸nh sè ph©n biÖt nªn mçi lÇn lÊy ra mét qu¶ cÇu bÊt k× lµ mét lÇn chän. NÕu chän qu¶ tr¾ng th× cã 6 c¸ch chän, cßn nÕu chän qu¶ ®en th× cã 3 c¸ch.
Do ®ã, sè c¸ch chän mét trong c¸c qu¶ cÇu lµ 6 + 3 = 9 (c¸ch).
43
Quy t¾c
Mét c«ng viÖc ®−îc hoµn thµnh bëi mét trong hai hµnh ®éng. NÕu hµnh ®éng nµy cã m c¸ch thùc hiÖn, hµnh ®éng kia cã n c¸ch thùc hiÖn kh«ng trïng víi bÊt k× c¸ch nµo cña hµnh ®éng thø nhÊt th× c«ng viÖc ®ã cã m + n c¸ch thùc hiÖn.
1
Trong VÝ dô 1, kÝ hiÖu A lµ tËp hîp c¸c qu¶ cÇu tr¾ng, B lµ tËp hîp c¸c qu¶ cÇu ®en. Nªu mèi quan hÖ gi÷a sè c¸ch chän mét qu¶ cÇu vµ sè c¸c phÇn tö cña hai tËp A, B.
Quy t¾c céng ®−îc ph¸t biÓu ë trªn thùc chÊt lµ quy t¾c ®Õm sè phÇn tö cña hîp hai tËp hîp h÷u h¹n kh«ng giao nhau, ®−îc ph¸t biÓu nh− sau :
NÕu A vµ B lµ c¸c tËp hîp h÷u h¹n kh«ng giao nhau, th×
n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Chó ý
Quy t¾c céng cã thÓ më réng cho nhiÒu hµnh ®éng.
VÝ dô 2. Cã bao nhiªu h×nh vu«ng trong H×nh 23 ?
Gi¶i. Râ rµng, chØ cã thÓ cã c¸c h×nh vu«ng c¹nh 1 cm vµ 2 cm. KÝ hiÖu A lµ tËp hîp c¸c h×nh vu«ng cã c¹nh 1 cm vµ B lµ tËp hîp c¸c h×nh vu«ng cã c¹nh 2 cm.
1cm
1cm
H×nh 23
V× A ∩ B = ∅, A ∪ B lµ tËp hîp c¸c h×nh vu«ng trong H×nh 23 vµ n(A) = 10, n(B) = 4 nªn n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 10 + 4 = 14.
VËy cã tÊt c¶ 14 h×nh vu«ng.
a
II − Quy t¾c nh©n
VÝ dô 3. B¹n Hoµng cã hai ¸o mµu kh¸c nhau vµ
ba quÇn kiÓu kh¸c nhau. Hái Hoµng cã bao nhiªu
c¸ch chän mét bé quÇn ¸o ?
Gi¶i. Hai ¸o ®−îc ghi ch÷ a vµ b, ba quÇn
b
®−îc ®¸nh sè 1, 2, 3.
§Ó chän mét bé quÇn ¸o, ta ph¶i thùc hiÖn liªn
tiÕp hai hµnh ®éng :
Hµnh ®éng 1 − chän ¸o. Cã hai c¸ch chän (chän a hoÆc b).
1
2
3
1
2
3
H×nh 24
a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3
44
Hµnh ®éng 2 − chän quÇn. øng víi mçi c¸ch chän ¸o cã ba c¸ch chän quÇn (chän 1, hoÆc 2, hoÆc 3).
KÕt qu¶ ta cã c¸c bé quÇn ¸o nh− sau : a1, a2, a3, b1, b2, b3 (h.24). VËy sè c¸ch chän mét bé quÇn ¸o lµ 2 . 3 = 6 (c¸ch).
Tæng qu¸t, ta cã quy t¾c nh©n sau ®©y.
Quy t¾c
Mét c«ng viÖc ®−îc hoµn thµnh bëi hai hµnh ®éng liªn tiÕp. NÕu cã m c¸ch thùc hiÖn hµnh ®éng thø nhÊt vµ øng víi mçi c¸ch ®ã cã n c¸ch thùc hiÖn hµnh ®éng thø hai th× cã m.n c¸ch hoµn thµnh c«ng viÖc.
2
Tõ thµnh phè A ®Õn thµnh phè B cã ba
con ®−êng, tõ B ®Õn C cã bèn con
®−êng (h.25). Hái cã bao nhiªu c¸ch ®i tõ A ®Õn C, qua B ?
Chó ý
A B CH×nh 25
Quy t¾c nh©n cã thÓ më réng cho nhiÒu hµnh ®éng liªn tiÕp. VÝ dô 4. Cã bao nhiªu sè ®iÖn tho¹i gåm :
a) S¸u ch÷ sè bÊt k× ?
b) S¸u ch÷ sè lÎ ?
Gi¶i
a) V× mçi sè ®iÖn tho¹i lµ mét d·y gåm s¸u ch÷ sè nªn ®Ó lËp mét sè ®iÖn tho¹i, ta cÇn thùc hiÖn s¸u hµnh ®éng lùa chän liªn tiÕp c¸c ch÷ sè ®ã tõ 10 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Cã 10 c¸ch chän ch÷ sè ®Çu tiªn.
T−¬ng tù, cã 10 c¸ch chän ch÷ sè thø hai ;
...
Cã 10 c¸ch chän ch÷ sè thø s¸u.
VËy theo quy t¾c nh©n, sè c¸c sè ®iÖn tho¹i gåm s¸u ch÷ sè lµ
= 6 10 = 1 000 000 (sè).
10 .10 . ... .10
6 thõa sè
b) T−¬ng tù, sè c¸c sè ®iÖn tho¹i gåm s¸u ch÷ sè lÎ lµ 56 = 15 625 (sè).
45
Bµi tËp
1. Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn gåm : a) Mét ch÷ sè ? b) Hai ch÷ sè ? c) Hai ch÷ sè kh¸c nhau ? 2. Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn bÐ h¬n 100 ? 3. C¸c thµnh phè A, B, C, D ®−îc nèi víi nhau bëi c¸c con ®−êng nh− H×nh 26. Hái :
a) Cã bao nhiªu c¸ch ®i tõ A ®Õn D mµ qua B vµ C chØ mét lÇn ? b) Cã bao nhiªu c¸ch ®i tõ A ®Õn D råi quay l¹i A ?
A B CD
H×nh 26
4. Cã ba kiÓu mÆt ®ång hå ®eo tay (vu«ng, trßn, elip) vµ bèn kiÓu d©y (kim lo¹i, da, v¶i vµ nhùa). Hái cã bao nhiªu c¸ch chän mét chiÕc ®ång hå gåm mét mÆt vµ mét d©y ?
Ho¸n vÞ − chØnh hîp − tæ hîp
I − Ho¸n vÞ
1. §Þnh nghÜa
VÝ dô 1. Trong mét trËn bãng ®¸, sau hai hiÖp phô hai ®éi vÉn hoµ nªn ph¶i thùc hiÖn ®¸ lu©n l−u 11 m. Mét ®éi ®· chän ®−îc n¨m cÇu thñ ®Ó thùc hiÖn ®¸ n¨m qu¶ 11 m. H·y nªu ba c¸ch s¾p xÕp ®¸ ph¹t.
Gi¶i. §Ó x¸c ®Þnh, ta gi¶ thiÕt tªn cña n¨m cÇu thñ ®−îc chän lµ A, B, C, D, E. §Ó tæ chøc ®¸ lu©n l−u, huÊn luyÖn viªn cÇn ph©n c«ng ng−êi ®¸ thø nhÊt, thø hai, ... vµ kÕt qu¶ ph©n c«ng lµ mét danh s¸ch cã thø tù gåm tªn cña n¨m cÇu thñ. Ch¼ng h¹n, nÕu viÕt DEACB nghÜa lµ D ®¸ qu¶ thø nhÊt, E ®¸ qu¶ thø hai, ... vµ B ®¸ qu¶ cuèi cïng.
46
Cã thÓ nªu ba c¸ch tæ chøc ®¸ lu©n l−u nh− sau :
C¸ch 1 : ABCDE.
C¸ch 2 : ACBDE.
C¸ch 3 : CABED.
Mçi kÕt qu¶ cña viÖc s¾p thø tù tªn cña n¨m cÇu thñ ®· chän ®−îc gäi lµ mét ho¸n vÞ tªn cña n¨m cÇu thñ.
§Þnh nghÜa
Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n ≥ 1).
Mçi kÕt qu¶ cña sù s¾p xÕp thø tù n phÇn tö cña tËp hîp A ®−îc gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö ®ã.
1
H·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c sè gåm ba ch÷ sè kh¸c nhau tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3. nhËn xÐt
Hai ho¸n vÞ cña n phÇn tö chØ kh¸c nhau ë thø tù s¾p xÕp.
Ch¼ng h¹n, hai ho¸n vÞ abc vµ acb cña ba phÇn tö a, b, c lµ kh¸c nhau.
2. Sè c¸c ho¸n vÞ
VÝ dô 2. Cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp bèn b¹n An, B×nh, Chi, Dung ngåi vµo mét bµn häc gåm bèn chç ?
Gi¶i. §Ó ®¬n gi¶n, ta viÕt A, B, C, D thay cho tªn cña bèn b¹n vµ viÕt ACBD ®Ó m« t¶ c¸ch xÕp chç nh− H×nh 27.
a) C¸ch thø nhÊt : LiÖt kª.
C¸c c¸ch s¾p xÕp chç ngåi ®−îc liÖt kª nh− sau : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DACB, DABC, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
ACBDH×nh 27
47
Nh− vËy cã 24 c¸ch, mçi c¸ch cho ta mét ho¸n vÞ tªn cña bèn b¹n vµ ng−îc l¹i.
b) C¸ch thø hai : Dïng quy t¾c nh©n.
− Cã bèn c¸ch chän mét trong bèn b¹n ®Ó xÕp vµo chç thø nhÊt.
− Sau khi ®· chän mét b¹n, cßn ba b¹n n÷a. Cã ba c¸ch chän mét b¹n xÕp vµo chç thø hai.
− Sau khi ®· chän hai b¹n råi cßn hai b¹n n÷a. Cã hai c¸ch chän mét b¹n ngåi vµo chç thø ba.
− B¹n cßn l¹i ®−îc xÕp vµo chç thø t−.
Theo quy t¾c nh©n, ta cã sè c¸ch xÕp chç ngåi lµ
4 . 3 . 2 . 1 = 24 (c¸ch).
KÝ hiÖu Pn lµ sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö. Ta cã ®Þnh lÝ sau ®©y. §Þnh lÝ
P ( 1) ... 2.1. = − n n n
Chøng minh. §Ó lËp ®−îc mäi ho¸n vÞ cña n phÇn tö, ta tiÕn hµnh nh− sau : Chän mét phÇn tö cho vÞ trÝ thø nhÊt. Cã n c¸ch.
Sau khi chän mét phÇn tö cho vÞ trÝ thø nhÊt, cã n − 1 c¸ch chän mét phÇn tö cho vÞ trÝ thø hai.
...
Sau khi ®· chän n − 2 phÇn tö cho n − 2 vÞ trÝ ®Çu tiªn, cã hai c¸ch chän mét trong hai phÇn tö cßn l¹i ®Ó xÕp vµo vÞ trÝ thø n − 1.
PhÇn tö cßn l¹i sau cïng ®−îc xÕp vµo vÞ trÝ thø n.
Nh− vËy, theo quy t¾c nh©n, cã n.(n − 1) ... 2.1 kÕt qu¶ s¾p xÕp thø tù n phÇn tö ®· cho.
VËy
Pn = n (n − 1) ... 2.1.
48
chó ý
KÝ hiÖu n (n − 1) ... 2.1 lµ n! (®äc lµ n giai thõa), ta cã
P ! n = n
2
Trong giê häc m«n Gi¸o dôc quèc phßng, mét tiÓu ®éi häc sinh gåm m−êi ng−êi ®−îc xÕp thµnh mét hµng däc. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp ?
II − ChØnh hîp
1. §Þnh nghÜa
VÝ dô 3. Mét nhãm häc tËp cã n¨m b¹n A, B, C, D, E. H·y kÓ ra vµi c¸ch ph©n c«ng ba b¹n lµm trùc nhËt : mét b¹n quÐt nhµ, mét b¹n lau b¶ng vµ mét b¹n s¾p bµn ghÕ.
Gi¶i. Ta cã b¶ng ph©n c«ng sau ®©y.
QuÐt nhµ
Lau b¶ng
S¾p bµn ghÕ
A
A
C
...
C
D
B
...
D
C
E
...
Mçi c¸ch ph©n c«ng nªu trong b¶ng trªn cho ta mét chØnh hîp chËp 3 cña 5. Mét c¸ch tæng qu¸t, ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y.
§Þnh nghÜa
Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n ≥ 1).
KÕt qu¶ cña viÖc lÊy k phÇn tö kh¸c nhau tõ n phÇn tö cña tËp hîp A vµ s¾p xÕp chóng theo mét thø tù nµo ®ã ®−îc gäi lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ®· cho.
3
Trªn mÆt ph¼ng, cho bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D. LiÖt kª tÊt c¶ c¸c vect¬ kh¸c vect¬ − kh«ng mµ ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña chóng thuéc tËp ®iÓm ®· cho.
49
2. Sè c¸c chØnh hîp
Trë l¹i VÝ dô 3, ngoµi c¸ch tÝnh sè c¸ch ph©n c«ng trùc nhËt b»ng ph−¬ng ph¸p liÖt kª, ta cßn cã mét c¸ch kh¸c lµ sö dông quy t¾c nh©n. §Ó t¹o nªn mäi c¸ch ph©n c«ng, ta tiÕn hµnh nh− sau :
− Chän mét b¹n tõ n¨m b¹n ®Ó giao viÖc quÐt nhµ. Cã 5 c¸ch.
− Khi ®· chän mét b¹n quÐt nhµ råi, chän tiÕp mét b¹n tõ bèn b¹n cßn l¹i ®Ó giao viÖc lau b¶ng. Cã 4 c¸ch.
− Khi ®· cã c¸c b¹n quÐt nhµ vµ lau b¶ng råi, chän mét b¹n tõ ba b¹n cßn l¹i ®Ó giao viÖc s¾p bµn ghÕ. Cã 3 c¸ch.
Theo quy t¾c nh©n, sè c¸ch ph©n c«ng trùc nhËt lµ
5 . 4 . 3 = 60 (c¸ch).
Nãi c¸ch kh¸c, ta cã 60 chØnh hîp chËp 3 cña 5 b¹n.
KÝ hiÖu Akn lµ sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (1 ≤ k ≤ n). Ta cã ®Þnh lÝ sau ®©y.
§Þnh lÝ
A ( 1) ... ( 1) = − −+ kn nn n k .
Chøng minh. §Ó t¹o nªn mäi chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö, ta tiÕn hµnh nh− sau :
Chän mét trong n phÇn tö ®· cho xÕp vµo vÞ trÝ thø nhÊt. Cã n c¸ch. Khi ®· cã phÇn tö thø nhÊt, chän tiÕp mét trong n − 1 phÇn tö cßn l¹i xÕp vµo vÞ trÝ thø hai. Cã n − 1 c¸ch.
...
Sau khi ®· chän k − 1 phÇn tö råi, chän mét trong n − (k − 1) phÇn tö cßn l¹i xÕp vµo vÞ trÝ thø k. Cã n − k + 1 c¸ch.
Tõ ®ã theo quy t¾c nh©n, ta ®−îc
A ( 1)...( 1) = − −+ kn nn n k .
VÝ dô 4. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm n¨m ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc lËp tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, ..., 9 ?
Gi¶i. Mçi sè tù nhiªn cã n¨m ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc lËp b»ng c¸ch lÊy n¨m ch÷ sè kh¸c nhau tõ chÝn ch÷ sè ®· cho vµ xÕp chóng theo mét thø tù
50
nhÊt ®Þnh. Mçi sè nh− vËy ®−îc coi lµ mét chØnh hîp chËp 5 cña 9. VËy sè c¸c sè ®ã lµ
5 A 9 = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 15 120.
Chó ý
a) Víi quy −íc 0! = 1, ta cã
! A 1. , ( )!
knn k n
= ≤≤ −
n k
b) Mçi ho¸n vÞ cña n phÇn tö còng chÝnh lµ mét chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö ®ã. V× vËy
P . = n
n n A
III − Tæ hîp
1. §Þnh nghÜa
VÝ dô 5. Trªn mÆt ph¼ng, cho bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D sao cho kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng. Hái cã thÓ t¹o nªn bao nhiªu tam gi¸c mµ c¸c ®Ønh thuéc tËp bèn ®iÓm ®· cho ?
Gi¶i. Mçi tam gi¸c øng víi mét tËp con gåm ba ®iÓm tõ tËp ®· cho. VËy ta cã bèn tam gi¸c ABC, ABD, ACD, BCD.
Mét c¸ch tæng qu¸t, ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y.
§Þnh nghÜa
Gi¶ sö tËp A cã n phÇn tö (n ≥ 1). Mçi tËp con gåm k phÇn tö cña A ®−îc gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ®· cho.
Chó ý
Sè k trong ®Þnh nghÜa cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 ≤ k ≤ n. Tuy vËy, tËp hîp kh«ng cã phÇn tö nµo lµ tËp rçng nªn ta quy −íc gäi tæ hîp chËp 0 cña n phÇn tö lµ tËp rçng.
4
Cho tËp A = {1, 2, 3, 4, 5}. H·y liÖt kª c¸c tæ hîp chËp 3, chËp 4 cña 5 phÇn tö cña A.
51
2. Sè c¸c tæ hîp
KÝ hiÖu Ckn lµ sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö (0 ≤ k ≤ n). Ta cã ®Þnh lÝ sau ®©y.
§Þnh lÝ
! C .
knn
!( )! = −
kn k
Chøng minh. Víi k = 0, c«ng thøc hiÓn nhiªn ®óng.
Víi k ≥ 1, ta thÊy mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ®−îc thµnh lËp nh− sau : − Chän mét tËp con k phÇn tö cña tËp hîp gåm n phÇn tö. Cã Ckn c¸ch chän. − S¾p thø tù k phÇn tö chän ®−îc. Cã k! c¸ch.
VËy theo quy t¾c nh©n, ta cã sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö lµ A C.! = k k
n n k
k
Tõ ®ã A ! C! !( )! = = −
k n
n
k kn k . n
VÝ dô 6. Mét tæ cã 10 ng−êi gåm 6 nam vµ 4 n÷. CÇn lËp mét ®oµn ®¹i biÓu gåm 5 ng−êi. Hái :
a) Cã tÊt c¶ bao nhiªu c¸ch lËp ?
b) Cã bao nhiªu c¸ch lËp ®oµn ®¹i biÓu, trong ®ã cã ba nam, hai n÷ ? Gi¶i
a) Mçi ®oµn ®−îc lËp lµ mét tæ hîp chËp 5 cña 10 (ng−êi). V× vËy, sè ®oµn ®¹i biÓu cã thÓ cã lµ
51010! C 252.
5!5! = =
b) Chän 3 ng−êi tõ 6 nam. Cã 3 C c¸ch chän. 6
Chän 2 ng−êi tõ 4 n÷. Cã 2 C c¸ch chän. 4
Theo quy t¾c nh©n, cã tÊt c¶ 3 2 C .C 20.6 120 6 4 = = c¸ch lËp ®oµn ®¹i biÓu gåm ba nam vµ hai n÷.
5
Cã 16 ®éi bãng ®¸ tham gia thi ®Êu. Hái cÇn ph¶i tæ chøc bao nhiªu trËn ®Êu sao cho hai ®éi bÊt k× ®Òu gÆp nhau ®óng mét lÇn ?
52
3. TÝnh chÊt cña c¸c sè Ckn
Tõ ®Þnh lÝ vÒ c«ng thøc tÝnh sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y.
a) TÝnh chÊt 1
C C − = k nk
n n (0 ≤ k ≤ n).
Ch¼ng h¹n, 3 4 C C 35. 7 7 = =
b) TÝnh chÊt 2 (c«ng thøc Pa-xcan)
1 CCC 1 1
−− − + = kk k
nn n (1 ≤ k < n).
Ch¼ng h¹n, 34 4 C C C 70. 77 8 +==
VÝ dô 7. Chøng minh r»ng, víi 2 ≤ k ≤ n − 2, ta cã
− −
C = kn2 1 C 2C C 2 22
− − − + + k kk
n nn .
Gi¶i. Theo TÝnh chÊt 2, ta cã
n n1 C 1−−
− − + = k k
− −
2 1 C C 2 2
kn , (1)
−− − − + = kk k
1 CCC 221
nn n . (2)
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña (1) vµ (2) vµ theo TÝnh chÊt 2, ta cã
− −
2 1 C 2C C 2 22
−− − + = k k
n nn1 C C 1 1
− −− + + = k kk
B μ i ®äc thªm
n n Ckn .
tÝnh sè c¸c ho¸n vÞ vµ sè c¸c tæ hîp b»ng m¸y tÝnh bá tói
Cã thÓ sö dông m¸y tÝnh bá tói ®Ó tÝnh sè c¸c ho¸n vÞ n! vµ sè c¸c tæ hîp Ckn .
53
1. TÝnh sè c¸c ho¸n vÞ b»ng m¸y tÝnh bá tói
Dïng m¸y tÝnh bá tói CASIO fx − 500MS ®Ó tÝnh n!, ta Ên c¸c phÝm theo tr×nh tù sau :
Ên sè n, Ên phÝm , Ên phÝm , Ên phÝm . Khi ®ã, kÕt qu¶ sÏ hiÓn thÞ ë dßng thø hai.
VÝ dô 1. TÝnh 10!.
Ta bÊm liªn tiÕp c¸c phÝm sau :
0
Dßng thø hai hiÖn ra 3,628,800.
VËy 10! = 3 628 800.
2. TÝnh sè c¸c tæ hîp b»ng m¸y tÝnh bá tói
Dïng m¸y tÝnh bá tói CASIO fx − 500 MS ®Ó tÝnh Ckn , ta Ên c¸c phÝm theo tr×nh tù sau : Ên sè n, Ên phÝm , Ên sè k, Ên phÝm . KÕt qu¶ hiÓn thÞ ë dßng thø hai. VÝ dô 2. TÝnh 512 C .
Ta Ên liªn tiÕp c¸c phÝm sau :
Dßng thø hai hiÖn ra 792.
VËy 512 C = 792.
Bµi tËp
1. Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, lËp c¸c sè tù nhiªn gåm s¸u ch÷ sè kh¸c nhau. Hái :
a) Cã tÊt c¶ bao nhiªu sè ?
b) Cã bao nhiªu sè ch½n, bao nhiªu sè lÎ ?
c) Cã bao nhiªu sè bÐ h¬n 432 000 ?
2. Cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp chç ngåi cho m−êi ng−êi kh¸ch vµo m−êi ghÕ kª thµnh mét d·y ?
3. Gi¶ sö cã b¶y b«ng hoa mµu kh¸c nhau vµ ba lä kh¸c nhau. Hái cã bao nhiªu c¸ch c¾m ba b«ng hoa vµo ba lä ®· cho (mçi lä c¾m mét b«ng) ?
54
4. Cã bao nhiªu c¸ch m¾c nèi tiÕp 4 bãng ®Ìn ®−îc chän tõ 6 bãng ®Ìn kh¸c nhau ?
5. Cã bao nhiªu c¸ch c¾m 3 b«ng hoa vµo 5 lä kh¸c nhau (mçi lä c¾m kh«ng qu¸ mét b«ng) nÕu :
a) C¸c b«ng hoa kh¸c nhau ?
b) C¸c b«ng hoa nh− nhau ?
6. Trong mÆt ph¼ng, cho s¸u ®iÓm ph©n biÖt sao cho kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng. Hái cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu tam gi¸c mµ c¸c ®Ønh cña nã thuéc tËp ®iÓm ®· cho ?
7. Trong mÆt ph¼ng cã bao nhiªu h×nh ch÷ nhËt ®−îc t¹o thµnh tõ bèn ®−êng th¼ng song song víi nhau vµ n¨m ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi bèn ®−êng th¼ng song song ®ã ?
NhÞ thøc Niu-t¬n
i − C«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n
Ta cã :
(a + b)2 = a2+ 2ab + b2 = 0 2 1 11 2 2 CC C 22 2 a ab b + + ,
(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 = 03 121 212 33 CC C C 33 3 3 a a b ab b +++ .
1
Khai triÓn biÓu thøc (a + b)4 thµnh tæng c¸c ®¬n thøc.
Tæng qu¸t, ta thõa nhËn c«ng thøc khai triÓn biÓu thøc (a + b)n thµnh tæng c¸c ®¬n thøc nh− sau :
0 11 1 1 ( ) C C ... C ... C C . − − −− + = + ++ ++ + n n n knkk n n nn nn n n n a b a a b a b ab b (1) C«ng thøc (1) ®−îc gäi lµ c«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n.
55
HÖ qu¶
Víi a b = = 1, ta cã 0 1 2 C C ... C . n n
nn n = + ++
Víi 1 a = ; 1 b = − , ta cã
0 1 0 C C ... ( 1) C ... ( 1) C . kk nn
nn n n = − + +− + +−
Chó ý
Trong biÓu thøc ë vÕ ph¶i cña c«ng thøc (1) :
a) Sè c¸c h¹ng tö lµ n + 1.
b) C¸c h¹ng tö cã sè mò cña a gi¶m dÇn tõ n ®Õn 0, sè mò cña b t¨ng dÇn tõ 0 ®Õn n, nh−ng tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi h¹ng tö lu«n b»ng n.
c) C¸c hÖ sè cña mçi h¹ng tö c¸ch ®Òu hai h¹ng tö ®Çu vµ cuèi th× b»ng nhau.
VÝ dô 1. Khai triÓn biÓu thøc (x + y)6.
Gi¶i. Theo c«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n ta cã
(x + y)6 = 06 1 5 242 333 CC C C 66 6 6 x xy xy xy ++ + + 424 5 5 66 C CC 6 66 x y xy y + + = x6+ 6x5y + 15x4y2+ 20x3y3+ 15x2y 4+ 6xy5+ y6.
VÝ dô 2. Khai triÓn biÓu thøc (2x − 3)4.
Gi¶i. Theo c«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n ta cã
(2x − 3)4 = 0413 222 C (2 ) C (2 ) ( 3) C (2 ) ( 3) 44 4 xx x + −+ − + 3 344 C 2 ( 3) C ( 3) 4 4 x − + − = 16x4 − 96x3+ 216x2 − 216x + 81.
VÝ dô 3. Chøng tá r»ng víi n ≥ 4, ta cã
024 C C C ... nnn + + + = 1 3 C C ... n n + + = 2n−1.
Gi¶i. KÝ hiÖu A = 0 2 C C ... n n + +
B = 1 3 C C ... n n + +
Theo HÖ qu¶ ta cã 2n = A + B,
0 = A − B.
Tõ ®ã suy ra A = B = 2n−1.
56
ii − Tam gi¸c Pa-xcan
Trong c«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n ë môc I, cho n = 0, 1, ... vµ xÕp c¸c hÖ sè thµnh dßng, ta nhËn ®−îc tam gi¸c sau ®©y, gäi lµ tam gi¸c Pa-xcan.
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
nhËn xÐt
Tõ c«ng thøc Ckn = 1 C C 1 1
k k
−− − + suy ra c¸ch tÝnh c¸c sè ë mçi
n n
dßng dùa vµo c¸c sè ë dßng tr−íc nã. Ch¼ng h¹n
2 C 5 = 1 2 C C 4 4 + = 4 + 6 = 10.
2
Dïng tam gi¸c Pa-xcan, chøng tá r»ng :
a) 1 + 2 + 3 + 4 = 25 C ;
b) 1 + 2 + ... + 7 = 28 C .
Bµi tËp
1. ViÕt khai triÓn theo c«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n :
a) (a + 2b)5 ; b) 6 ( 2) a − ; c)13 1
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ .
xx
57
2. T×m hÖ sè cña 3x trong khai triÓn cña biÓu thøc : 6
⎛ ⎞ 2
+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
xx .
2
3. BiÕt hÖ sè cña 2
x trong khai triÓn cña (1 3 )n − x lµ 90. T×m n.
8
4. T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn cña
3 1 . ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ xx
5. Tõ khai triÓn biÓu thøc (3x − 4)17 thµnh ®a thøc, h·y tÝnh tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®−îc.
6. Chøng minh r»ng :
a) 1110 − 1 chia hÕt cho 100 ;
b) 101100 − 1 chia hÕt cho 10 000 ;
c) 100 100 10 (1 10) (1 10) ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + −− lµ mét sè nguyªn.
b¹n cã biÕt ?
Pa-xcan (Pascal)
Pa-xcan lµ nhµ to¸n häc, vËt lÝ häc vµ triÕt häc ng−êi
Ph¸p. Pa-xcan lóc nhá lµ mét cËu bÐ thÇn ®ång. Cha cËu
nhËn thÊy ®iÒu nµy. Kh«ng muèn sím lµm mÖt ãc con,
«ng cÊm cËu bÐ Pa-xcan häc to¸n. Song ®iÒu nµy cµng
kÝch thÝch tÝnh tß mß cña cËu. N¨m 12 tuæi, mét h«m cËu
hái cha "H×nh häc lµ g× ?". Cha cËu gi¶i thÝch s¬ qua cho
cËu hiÓu. Pa-xcan rÊt lÊy lµm thÝch thó. CËu liÒn b−íc
theo con ®−êng ®óng lµ thiªn h−íng cña m×nh. Kh«ng cÇn
s¸ch vë, mét m×nh cËu tù chøng minh ®−îc r»ng tæng c¸c
gãc trong mét tam gi¸c b»ng hai gãc vu«ng. ë tuæi 16, Pa-xcan viÕt c«ng tr×nh ®Çu tiªn cña m×nh vÒ c¸c thiÕt diÖn c«nic.
Blaise Pascal (1623 − 1662)
Pa-xcan viÕt hµng lo¹t c«ng tr×nh vÒ c¸c chuçi sè vµ c¸c hÖ sè nhÞ thøc. Pa-xcan ®· ®−a ra b¶ng c¸c hÖ sè cña sù khai triÓn cña (a + b)n d−íi d¹ng mét tam gi¸c, ngµy nay gäi lµ "Tam gi¸c Pa-xcan". Pa-xcan ®· t×m ra c¸c hÖ sè nhÞ thøc b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc, ®ã lµ mét trong nh÷ng ph¸t minh quan träng cña «ng. §iÒu míi mÎ ë ®©y lµ Pa-xcan ph¸t hiÖn ra r»ng c¸c hÖ sè nhÞ thøc chÝnh lµ
58
sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö vµ Pa-xcan ®· dïng chóng ®Ó gi¶i nh÷ng bµi to¸n cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt.
Mét cèng hiÕn lín n÷a cña Pa-xcan lµ viÖc khëi th¶o phÐp tÝnh c¸c ®¹i l−îng v« cïng bÐ.
VÒ mÆt kÜ thuËt, ngay tõ n¨m 1642, lóc míi 19 tuæi, Pa-xcan ®· s¸ng chÕ ra mét m¸y tÝnh ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sè häc. Nguyªn t¾c cña m¸y nµy ®· lµ xuÊt ph¸t ®iÓm cho viÖc chÕ t¹o m¸y tÝnh ®iÖn tö vÒ sau nµy.
§Ó ghi nhí c«ng lao cña ng−êi ®Çu tiªn ®· s¸ng chÕ ra m¸y tÝnh, c¸c nhµ tin häc ®· ®Æt tªn cho mét ng«n ng÷ m¸y tÝnh rÊt phæ biÕn lµ ng«n ng÷ Pa-xcan.
VÒ vËt lÝ, Pa-xcan ®· nghiªn cøu ¸p suÊt cña khÝ quyÓn vµ c¸c vÊn ®Ò thuû tÜnh häc. Tªn cña Pa-xcan ®· ®−îc ®Æt cho mét miÖng nói löa trªn MÆt Tr¨ng.
phÐp thö vμ biÕn cè
I − PhÐp thö, kh«ng gian mÉu
1. PhÐp thö
Mét trong nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt lµ phÐp thö. Mét thÝ nghiÖm, mét phÐp ®o hay mét sù quan s¸t hiÖn t−îng nµo ®ã, ... ®−îc hiÓu lµ phÐp thö.
Ch¼ng h¹n, gieo mét ®ång tiÒn kim lo¹i (gäi t¾t lµ ®ång tiÒn), rót mét qu©n bµi tõ cç bµi tó l¬ kh¬ (cç bµi 52 l¸) hay b¾n mét viªn ®¹n vµo bia, ... lµ nh÷ng vÝ dô vÒ phÐp thö.
Khi gieo mét ®ång tiÒn, ta kh«ng thÓ ®o¸n tr−íc ®−îc mÆt ghi sè (mÆt ngöa, viÕt t¾t lµ N) hay mÆt kia (mÆt sÊp, viÕt t¾t lµ S) sÏ xuÊt hiÖn (quay lªn trªn). §ã lµ vÝ dô vÒ phÐp thö ngÉu nhiªn.
Mét c¸ch tæng qu¸t :
PhÐp thö ngÉu nhiªn lµ phÐp thö mµ ta kh«ng ®o¸n tr−íc ®−îc kÕt qu¶ cña nã, mÆc dï ®· biÕt tËp hîp tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ cã thÓ cã cña phÐp thö ®ã.
§Ó ®¬n gi¶n, tõ nay phÐp thö ngÉu nhiªn ®−îc gäi t¾t lµ phÐp thö. Trong To¸n häc phæ th«ng, ta chØ xÐt c¸c phÐp thö cã mét sè h÷u h¹n kÕt qu¶.
59
2. Kh«ng gian mÉu
1
H·y liÖt kª c¸c kÕt qu¶ cã thÓ cña phÐp thö gieo
mét con sóc s¾c.
TËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña mét phÐp thö ®−îc gäi lµ kh«ng gian mÉu cña phÐp thö vµ kÝ hiÖu lµ Ω (®äc lµ «-mª-ga).
VÝ dô 1. Gieo mét ®ång tiÒn (h.28).
§ã lµ phÐp thö víi kh«ng gian mÉu
Ω = {S, N}. ë ®©y, S kÝ hiÖu cho kÕt
qu¶ "MÆt sÊp xuÊt hiÖn" vµ N kÝ hiÖu
cho kÕt qu¶ "MÆt ngöa xuÊt hiÖn".
VÝ dô 2. NÕu phÐp thö lµ gieo mét
®ång tiÒn hai lÇn th× kh«ng gian mÉu gåm bèn phÇn tö : Ω = {SS, SN, NS, NN},
Hai mÆt ®ång tiÒn H×nh 28
trong ®ã, ch¼ng h¹n, SN lµ kÕt qu¶ "LÇn ®Çu ®ång tiÒn xuÊt hiÖn mÆt sÊp, lÇn thø hai ®ång tiÒn xuÊt hiÖn mÆt ngöa", ...
VÝ dô 3. NÕu phÐp thö lµ gieo mét con sóc s¾c hai lÇn, th× kh«ng gian mÉu gåm 36 phÇn tö : Ω = {(i, j) ⎪ i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, ë ®ã (i, j) lµ kÕt qu¶ "LÇn ®Çu xuÊt hiÖn mÆt i chÊm, lÇn sau xuÊt hiÖn mÆt j chÊm" (h. 29).
H×nh 29
60
II − BiÕn cè
VÝ dô 4. Gieo mét ®ång tiÒn hai lÇn. §©y lµ phÐp thö víi kh«ng gian mÉu Ω = {SS, SN, NS, NN}.
Ta thÊy sù kiÖn A : "KÕt qu¶ cña hai lÇn gieo lµ nh− nhau" cã thÓ x¶y ra khi phÐp thö ®−îc tiÕn hµnh. Nã x¶y ra khi vµ chØ khi mét trong hai kÕt qu¶ SS, NN xuÊt hiÖn. Nh− vËy, sù kiÖn A t−¬ng øng víi mét vµ chØ mét tËp con {SS, NN} cña kh«ng gian mÉu. ChÝnh v× lÏ ®ã, ta ®ång nhÊt chóng víi nhau vµ viÕt A = {SS, NN}. Ta gäi A lµ mét biÕn cè.
T−¬ng tù, biÕn cè B : "Cã Ýt nhÊt mét lÇn xuÊt hiÖn mÆt ngöa" ®−îc viÕt lµ B = {SN, NS, NN}.
Ng−îc l¹i, tËp con C = {SS, SN} lµ biÕn cè cã thÓ ph¸t biÓu d−íi d¹ng mÖnh ®Ò : "MÆt sÊp xuÊt hiÖn trong lÇn gieo ®Çu tiªn".
C¸c biÕn cè A, B vµ C ë trªn ®Òu g¾n liÒn víi phÐp thö gieo mét ®ång tiÒn hai lÇn nªn ta nãi chóng liªn quan ®Õn phÐp thö ®· cho.
− Mét c¸ch tæng qu¸t, mçi biÕn cè liªn quan ®Õn mét
phÐp thö ®−îc m« t¶ bëi mét tËp con cña kh«ng gian
mÉu (h.30). Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y.
BiÕn cè lµ mét tËp con cña kh«ng gian mÉu.
H×nh 30
Nh− vËy, mét biÕn cè liªn quan ®Õn phÐp thö lµ mét tËp hîp bao gåm c¸c kÕt qu¶ nµo ®ã cña phÐp thö.
− CÇn chó ý r»ng biÕn cè ®«i khi ®−îc cho d−íi d¹ng mét mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh tËp hîp nh− ®· thÊy trong VÝ dô 4, hoÆc trong phÐp thö gieo con sóc s¾c, biÕn cè A : "Con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt ch½n chÊm" ®−îc cho d−íi d¹ng mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh tËp con A = {2, 4, 6} cña kh«ng gian mÉu Ω = {1, 2, ..., 6}.
Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu c¸c biÕn cè b»ng c¸c ch÷ in hoa A, B, C, ...
− Tõ nay vÒ sau, khi nãi cho c¸c biÕn cè A, B, ... mµ kh«ng nãi g× thªm th× ta hiÓu chóng cïng liªn quan ®Õn mét phÐp thö.
TËp ∅ ®−îc gäi lµ biÕn cè kh«ng thÓ (gäi t¾t lµ biÕn cè kh«ng). Cßn tËp Ω ®−îc gäi lµ biÕn cè ch¾c ch¾n.
Ch¼ng h¹n, khi gieo mét con sóc s¾c, biÕn cè : "Con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 7 chÊm" lµ biÕn cè kh«ng, cßn biÕn cè : "Con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm kh«ng v−ît qu¸ 6" lµ biÕn cè ch¾c ch¾n.
− Ta nãi r»ng biÕn cè A x¶y ra trong mét phÐp thö nµo ®ã khi vµ chØ khi kÕt qu¶ cña phÐp thö ®ã lµ mét phÇn tö cña A (hay thuËn lîi cho A).
61
Nh− vËy, biÕn cè kh«ng thÓ (tøc lµ ∅) kh«ng bao giê x¶y ra, trong khi ®ã, biÕn cè ch¾c ch¾n Ω lu«n lu«n x¶y ra.
Trong VÝ dô 4, nÕu xuÊt hiÖn kÕt qu¶ SS th× A x¶y ra cßn B kh«ng x¶y ra. Trong khi ®ã, nÕu xuÊt hiÖn kÕt qu¶ SN th× B x¶y ra cßn A kh«ng x¶y ra.
III − phÐp to¸n trªn c¸c biÕn cè
− Gi¶ sö A lµ biÕn cè liªn quan ®Õn mét phÐp thö. TËp Ω \ A ®−îc gäi lµ biÕn cè ®èi
cña biÕn cè A, kÝ hiÖu lµ A (h.31).
A AH×nh 31
Do ω ∈ A ⇔ ω ∉ A, nªn A x¶y ra khi vµ chØ khi A kh«ng x¶y ra.
Ch¼ng h¹n, nÕu phÐp thö lµ gieo mét con sóc s¾c th× biÕn cè B : "XuÊt hiÖn mÆt ch½n chÊm" lµ biÕn cè ®èi cña biÕn cè A : "XuÊt hiÖn mÆt lÎ chÊm", nghÜa lµ B A = .
− Gi¶ sö A vµ B lµ hai biÕn cè liªn quan ®Õn mét phÐp thö. Ta cã ®Þnh nghÜa sau : TËp A ∪ B ®−îc gäi lµ hîp cña c¸c biÕn cè A vµ B.
TËp A ∩ B ®−îc gäi lµ giao cña c¸c biÕn cè A vµ B.
NÕu A ∩ B = ∅ th× ta nãi A vµ B xung kh¾c.
Theo ®Þnh nghÜa, A ∪ B x¶y ra khi vµ chØ khi A x¶y ra hoÆc B x¶y ra ; A ∩ B x¶y ra khi vµ chØ khi A vµ B ®ång thêi x¶y ra. BiÕn cè A ∩ B cßn ®−îc viÕt lµ A.B.
A vµ B xung kh¾c khi vµ chØ khi chóng kh«ng khi nµo cïng x¶y ra (h. 32).
Ta cã b¶ng sau :
KÝ hiÖu
Ng«n ng÷ biÕn cè
A ⊂ Ω
A lµ biÕn cè
A = ∅
A lµ biÕn cè kh«ng
A = Ω
A lµ biÕn cè ch¾c ch¾n
C = A ∪ B
C lµ biÕn cè : "A hoÆc B"
C = A ∩ B
C lµ biÕn cè : "A vµ B"
A ∩ B = ∅
A vµ B xung kh¾c
B = A
A vµ B ®èi nhau.
H×nh 32
62
VÝ dô 5. XÐt phÐp thö gieo mét ®ång tiÒn hai lÇn víi c¸c biÕn cè : A : "KÕt qu¶ cña hai lÇn gieo lµ nh− nhau" ;
B : "Cã Ýt nhÊt mét lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp" ;
C : "LÇn thø hai míi xuÊt hiÖn mÆt sÊp" ;
D : "LÇn ®Çu xuÊt hiÖn mÆt sÊp".
Ta cã :
A = {SS, NN} ; B = {SN, NS, SS} ; C = {NS} ; D = {SS, SN}. Tõ ®ã,
C ∪ D = {SS, SN, NS} = B ;
A ∩ D = {SS} lµ biÕn cè "C¶ hai lÇn ®Òu xuÊt hiÖn mÆt sÊp".
Bµi tËp
1. Gieo mét ®ång tiÒn ba lÇn.
a) M« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) X¸c ®Þnh c¸c biÕn cè :
A : "LÇn ®Çu xuÊt hiÖn mÆt sÊp" ;
B : "MÆt sÊp x¶y ra ®óng mét lÇn" ;
C : "MÆt ngöa x¶y ra Ýt nhÊt mét lÇn".
2. Gieo mét con sóc s¾c hai lÇn.
a) M« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) Ph¸t biÓu c¸c biÕn cè sau d−íi d¹ng mÖnh ®Ò :
A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ;
B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)} ;
C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
3. Mét hép chøa bèn c¸i thÎ ®−îc ®¸nh sè 1, 2, 3, 4. LÊy ngÉu nhiªn hai thÎ. a) M« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) X¸c ®Þnh c¸c biÕn cè sau :
A : "Tæng c¸c sè trªn hai thÎ lµ sè ch½n" ;
B : "TÝch c¸c sè trªn hai thÎ lµ sè ch½n".
63
4. Hai x¹ thñ cïng b¾n vµo bia. KÝ hiÖu Ak lµ biÕn cè : "Ng−êi thø k b¾n tróng", k = 1, 2.
a) H·y biÓu diÔn c¸c biÕn cè sau qua c¸c biÕn cè A1, A2 :
A : "Kh«ng ai b¾n tróng" ;
B : "C¶ hai ®Òu b¾n tróng" ;
C : "Cã ®óng mét ng−êi b¾n tróng" ;
D : "Cã Ýt nhÊt mét ng−êi b¾n tróng".
b) Chøng tá r»ng A D = ; B vµ C xung kh¾c.
5. Tõ mét hép chøa 10 c¸i thÎ, trong ®ã c¸c thÎ ®¸nh sè 1, 2, 3, 4, 5 mµu ®á, thÎ ®¸nh sè 6 mµu xanh vµ c¸c thÎ ®¸nh sè 7, 8, 9, 10 mµu tr¾ng. LÊy ngÉu nhiªn mét thÎ.
a) M« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) KÝ hiÖu A, B, C lµ c¸c biÕn cè sau :
A : "LÊy ®−îc thÎ mµu ®á" ;
B : "LÊy ®−îc thÎ mµu tr¾ng" ;
C : "LÊy ®−îc thÎ ghi sè ch½n".
H·y biÓu diÔn c¸c biÕn cè A, B, C bëi c¸c tËp hîp con t−¬ng øng cña kh«ng gian mÉu.
6. Gieo mét ®ång tiÒn liªn tiÕp cho ®Õn khi lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn mÆt sÊp hoÆc c¶ bèn lÇn ngöa th× dõng l¹i.
a) M« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) X¸c ®Þnh c¸c biÕn cè :
A : "Sè lÇn gieo kh«ng v−ît qu¸ ba" ;
B : "Sè lÇn gieo lµ bèn".
7. Tõ mét hép chøa n¨m qu¶ cÇu ®−îc ®¸nh sè 1, 2, 3, 4, 5, lÊy ngÉu nhiªn liªn tiÕp hai lÇn mçi lÇn mét qu¶ vµ xÕp theo thø tù tõ tr¸i sang ph¶i. a) M« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) X¸c ®Þnh c¸c biÕn cè sau :
A : "Ch÷ sè sau lín h¬n ch÷ sè tr−íc" ;
B : "Ch÷ sè tr−íc gÊp ®«i ch÷ sè sau" ;
C : "Hai ch÷ sè b»ng nhau".
64
x¸c suÊt cña biÕn cè
I − §Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt
1. §Þnh nghÜa
Mét ®Æc tr−ng ®Þnh tÝnh quan träng cña biÕn cè liªn quan ®Õn mét phÐp thö lµ nã cã thÓ x¶y ra hoÆc kh«ng x¶y ra khi phÐp thö ®ã ®−îc tiÕn hµnh. Mét c©u hái ®−îc ®Æt ra lµ nã cã x¶y ra kh«ng ? Kh¶ n¨ng x¶y ra cña nã lµ bao nhiªu ? Nh− vËy, n¶y sinh mét vÊn ®Ò lµ cÇn ph¶i g¾n cho biÕn cè ®ã mét con sè hîp lÝ ®Ó ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng x¶y ra cña nã. Ta gäi sè ®ã lµ x¸c suÊt cña biÕn cè.
VÝ dô 1. Gieo ngÉu nhiªn mét con sóc s¾c c©n ®èi vµ ®ång chÊt. C¸c kÕt qu¶ cã thÓ lµ (h.33)
H×nh 33
Kh«ng gian mÉu cña phÐp thö nµy cã s¸u phÇn tö, ®−îc m« t¶ nh− sau Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Do con sóc s¾c lµ c©n ®èi, ®ång chÊt vµ ®−îc gieo ngÉu nhiªn nªn kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn tõng mÆt cña con sóc s¾c lµ nh− nhau. Ta nãi chóng ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. VËy kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña mçi mÆt lµ 1 .6
Do ®ã, nÕu A lµ biÕn cè : "Con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt lÎ" (A = {1, 3, 5}) th× kh¶ n¨ng x¶y ra cña A lµ
111
+ + =3 1
666
6 2 = ,
sè nµy ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A.
65
1
Tõ mét hép chøa bèn qu¶ cÇu ghi ch÷ a, hai qu¶ cÇu ghi ch÷ b vµ hai qu¶ cÇu ghi ch÷ c (h.34), lÊy ngÉu nhiªn mét qu¶. KÝ hiÖu :
A : "LÊy ®−îc qu¶ ghi ch÷ a" ;
B : "LÊy ®−îc qu¶ ghi ch÷ b" ;
C : "LÊy ®−îc qu¶ ghi ch÷ c".
Cã nhËn xÐt g× vÒ kh¶ n¨ng x¶y ra cña c¸c biÕn cè A, B vµ C ? H·y so s¸nh chóng víi nhau.
a a a a b b c c
H×nh 34
Mét c¸ch tæng qu¸t, ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y.
§Þnh nghÜa
Gi¶ sö A lµ biÕn cè liªn quan ®Õn mét phÐp thö chØ cã mét sè h÷u h¹n kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. Ta gäi tØ sè ( )
n A
n
lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A, kÝ hiÖu lµ P(A).
( ) P( ) ( ) = ⋅ Ω
n A An
Chó ý
( ) Ω
n(A) lµ sè phÇn tö cña A hay còng lµ sè c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi cho biÕn cè A, cßn n(Ω) lµ sè c¸c kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö.
2. VÝ dô
VÝ dô 2. Gieo ngÉu nhiªn mét ®ång tiÒn c©n ®èi vµ ®ång chÊt hai lÇn. TÝnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau :
a) A : "MÆt sÊp xuÊt hiÖn hai lÇn" ;
b) B : "MÆt sÊp xuÊt hiÖn ®óng mét lÇn" ;
c) C : "MÆt sÊp xuÊt hiÖn Ýt nhÊt mét lÇn".
66
Gi¶i (h.35). Kh«ng gian mÉu Ω = {SS, SN, NS, NN} gåm bèn kÕt qu¶. V× ®ång tiÒn c©n ®èi, ®ång chÊt vµ viÖc gieo lµ ngÉu nhiªn nªn c¸c kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. Ta cã
a) A = {SS}, n(A) = 1, n(Ω) = 4, theo ®Þnh nghÜa ta cã P(A) = ( )
*SS *SN *NS *NN
n= 14. H×nh 35
n A
( ) Ω
b) B = {SN, NS}, n(B) = 2 nªn
P(B) = ( )
n = 2 1
n B
( ) Ω
c) C = {SS, SN, NS}, n(C) = 3 nªn
4 2 = .
n = 34.
P(C) = ( )
n C
( ) Ω
VÝ dô 3. Gieo ngÉu nhiªn mét con sóc s¾c c©n ®èi vµ ®ång chÊt. TÝnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau :
A : "MÆt ch½n xuÊt hiÖn" ;
B : "XuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm chia hÕt cho 3" ;
C : "XuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm kh«ng bÐ h¬n 3".
H×nh 36
Gi¶i. Kh«ng gian mÉu cã d¹ng : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, gåm s¸u kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn (h.36). Râ rµng
A = {2, 4, 6}, n(A) = 3,
B = {3, 6}, n(B) = 2,
C = {3, 4, 5, 6}, n(C) = 4.
Tõ ®ã, theo ®Þnh nghÜa ta cã
P(A) = () 3 1
n A
n ,
() 6 2 = = Ω
67
P(B) = ( ) n B
2 1
6 3 = ,
n
( ) = Ω
P(C) = ( ) n C
4 2
6 3 = .
n
( ) = Ω
VÝ dô 4. Gieo ngÉu nhiªn mét con sóc s¾c c©n ®èi vµ ®ång chÊt hai lÇn. TÝnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau :
A : "Sè chÊm trong hai lÇn gieo b»ng nhau" ;
B : "Tæng sè chÊm b»ng 8".
Gi¶i. Nh− ®· biÕt (xem VÝ dô 3, §4), Ω = {(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ 6}, gåm 36 kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. Ta cã b¶ng (xem thªm H×nh 29) :
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}, n(A) = 6, n(Ω) = 36. Tõ ®ã, theo ®Þnh nghÜa ta cã
P(A) = ( )
n= 6 1
n A ( ) Ω
36 6 = .
T−¬ng tù, B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}, n(B) = 5, n(Ω) = 36 nªn P(B) = () 5
n B
( ) 36 = ⋅ Ω
n
II − tÝnh chÊt cña x¸c suÊt
1. §Þnh lÝ
Gi¶ sö A vµ B lµ c¸c biÕn cè liªn quan ®Õn mét phÐp thö cã mét sè h÷u h¹n kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. Khi ®ã, ta cã ®Þnh lÝ sau ®©y.
68
§Þnh lÝ
a) P(∅) = 0, P(Ω) = 1.
b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, víi mäi biÕn cè A.
c) NÕu A vµ B xung kh¾c, th×
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (c«ng thøc céng x¸c suÊt).
2
Chøng minh c¸c tÝnh chÊt a), b) vµ c).
HÖ qu¶
Víi mäi biÕn cè A, ta cã
P( ) A = 1 − P(A).
Chøng minh. V× A ∪ A = Ω vµ A ∩ A = ∅ nªn theo c«ng thøc céng x¸c suÊt ta cã
1 = P(Ω) = P( ) P A + ( A ).
Tõ ®ã ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
2. VÝ dô
VÝ dô 5. Tõ mét hép chøa ba qu¶ cÇu
tr¾ng, hai qu¶ cÇu ®en (h.37), lÊy ngÉu
nhiªn ®ång thêi hai qu¶. H·y tÝnh x¸c
suÊt sao cho hai qu¶ ®ã :
a) Kh¸c mµu ; b) Cïng mµu. H×nh 37
Gi¶i. Mçi lÇn lÊy ®ång thêi hai qu¶ cÇu cho ta mét tæ hîp chËp hai cña n¨m phÇn tö. Do ®ã, kh«ng gian mÉu gåm c¸c tæ hîp chËp hai cña n¨m phÇn tö vµ n(Ω) = 25 C = 10.
V× viÖc lÊy qu¶ cÇu lµ ngÉu nhiªn nªn c¸c kÕt qu¶ ®ã ®ång kh¶ n¨ng. KÝ hiÖu A : "Hai qu¶ kh¸c mµu", B : "Hai qu¶ cïng mµu".
V× chØ cã hai mµu ®en hoÆc tr¾ng nªn ta thÊy ngay B = A .
a) Theo quy t¾c nh©n, n(A) = 3 . 2 = 6.
69
Do ®ã
P(A) = ( )
n = 610 = 35.
n A
(Ω)
b) V× B = A nªn theo hÖ qu¶ ta cã
P(B) = P( ) A = 1 − P(A) = 25.
VÝ dô 6. Mét hép chøa 20 qu¶ cÇu ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 20. LÊy ngÉu nhiªn mét qu¶. TÝnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau :
a) A : "NhËn ®−îc qu¶ cÇu ghi sè ch½n" ;
b) B : "NhËn ®−îc qu¶ cÇu ghi sè chia hÕt cho 3 ;
c) A ∩ B ;
d) C : "NhËn ®−îc qu¶ cÇu ghi sè kh«ng chia hÕt cho 6".
Gi¶i. Kh«ng gian mÉu ®−îc m« t¶ lµ Ω = {1, 2, ..., 20} gåm 20 kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng, n(Ω) = 20.
a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, n(A) = 10 nªn
P(A) = ( ) 10 1
n A
n .
( ) 20 2 = = Ω
b) B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, n(B) = 6.
Tõ ®ã
P(B) = () 6 3 . ( ) 20 10 = = Ω
n B
n
c) V× A ∩ B = {6, 12, 18}, n(A ∩ B) = 3 nªn
P(A ∩ B) = ( )
n = 3 . 20
nA B
∩
( )
Ω
d) V× A ∩ B = {6, 12, 18}, nªn A ∩ B lµ biÕn cè : "NhËn ®−îc qu¶ cÇu ghi sè chia hÕt cho 6". Do ®ã, C lµ biÕn cè ®èi cña biÕn cè A ∩ B, ta cã C = A B ∩ vµ
P(C) = 1 − P(A ∩ B) = 1 − 3 17
20 20 = .
70
III – C¸c biÕn cè ®éc lËp, c«ng thøc nh©n x¸c suÊt
VÝ dô 7. B¹n thø nhÊt cã mét ®ång tiÒn, b¹n thø hai cã con sóc s¾c (®Òu c©n ®èi, ®ång chÊt). XÐt phÐp thö "B¹n thø nhÊt gieo ®ång tiÒn, sau ®ã b¹n thø hai gieo con sóc s¾c" (h.38a).
a) M« t¶ kh«ng gian mÉu cña phÐp thö nµy.
b) TÝnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau :
A : "§ång tiÒn xuÊt hiÖn mÆt sÊp" ;
B : "Con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm" ;
C : "Con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt lÎ".
c) Chøng tá P(A.B) = P(A).P(B) ; P(A.C) = P(A).P(C).
Gi¶i
a) Kh«ng gian mÉu cña phÐp thö cã d¹ng
Ω = {S1, S2, S3, S4, S5, S6, N1, N2, N3, N4, N5, N6}.
Theo gi¶ thiÕt, Ω gåm 12 kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng
xuÊt hiÖn (h.38b).
a) b)
H×nh 38
b) Ta thÊy A = {S1, S2, S3, S4, S5, S6}, n(A) = 6 ;
B = {S6, N6}, n(B) = 2 ;
C = {N1, N3, N5, S1, S3, S5}, n(C) = 6.
Tõ ®ã () 6 1 P( ) ( ) 12 2 = = = Ω
n A An ;
() 2 1 P( ) ( ) 12 6 = = = Ω
n B Bn ;
() 6 1 P( ) . ( ) 12 2 = = = Ω
n C Cn
71
c) Râ rµng A.B = {S6} vµ (.) 1 P( . ) . ( ) 12 = = Ω
n AB A Bn
Ta cã
1 11 P( . ) . P( )P( ). 12 2 6
AB A B == =
T−¬ng tù, AC S S S . { 1, 3, 5} = ;
(.) 3 1 11 P( . ) . P( )P( ). ( ) 12 4 2 2 = = == = Ω
n AC AC A C
n
Trong VÝ dô 7, ta nhËn thÊy x¸c suÊt xuÊt hiÖn mçi mÆt cña con sóc s¾c lµ 16, kh«ng phô thuéc vµo viÖc ®ång tiÒn xuÊt hiÖn mÆt "sÊp" hoÆc "ngöa". NÕu sù x¶y ra cña mét biÕn cè kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn x¸c suÊt x¶y ra cña mét biÕn cè kh¸c th× ta nãi hai biÕn cè ®ã ®éc lËp. Nh− vËy, trong VÝ dô 7, c¸c biÕn cè A vµ B ®éc lËp vµ còng vËy, A vµ C ®éc lËp.
Tæng qu¸t, ®èi víi hai biÕn cè bÊt k× ta cã mèi quan hÖ sau :
A vµ B lµ hai biÕn cè ®éc lËp khi vµ chØ khi
P( . ) P( ).P( ). A B AB =
B μ i ®äc thªm
Më réng quy t¾c céng vµ
c«ng thøc céng x¸c suÊt
Quy t¾c céng cßn ®−îc më réng ®èi víi c¸c tËp hîp h÷u h¹n, cã giao kh¸c rçng. Cã thÓ chøng minh ®−îc r»ng, víi hai tËp hîp h÷u h¹n A vµ B bÊt k×, ta cã n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) (quy t¾c bao hµm vµ lo¹i trõ).
VÝ dô 1. Mét tæ m−êi ng−êi sÏ ®−îc ch¬i hai m«n thÓ thao lµ cÇu l«ng vµ bãng bµn. Cã n¨m b¹n ®¨ng kÝ ch¬i cÇu l«ng, bèn b¹n ®¨ng kÝ ch¬i bãng bµn, trong ®ã cã hai b¹n ®¨ng kÝ ch¬i c¶ hai m«n. Hái cã bao nhiªu b¹n ®¨ng kÝ ch¬i thÓ thao ? Bao nhiªu b¹n kh«ng ®¨ng kÝ ch¬i thÓ thao ?
72
Gi¶i. KÝ hiÖu X lµ tËp hîp c¸c häc sinh trong tæ ; A lµ tËp hîp c¸c häc sinh ®¨ng kÝ ch¬i cÇu l«ng, B lµ tËp hîp c¸c häc sinh ®¨ng kÝ ch¬i bãng bµn (h.39), thÕ th× n(X) = 10, n(A) = 5, n(B) = 4, n(A ∩ B) = 2. Nh− vËy :
5 2 4
A ∪ B lµ tËp hîp c¸c b¹n ®¨ng kÝ ch¬i thÓ thao. V× n(A ∩ B) = 2 nªn sè b¹n ®¨ng kÝ ch¬i thÓ thao lµ
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 5 + 4 − 2 = 7 (b¹n).
A
X
B
Tõ ®ã, sè b¹n kh«ng ®¨ng kÝ ch¬i m«n thÓ thao nµo lµ n(X) − n(A ∪ B) = 10 − 7 = 3 (b¹n).
H×nh 39
Nhê quy t¾c céng më réng, ta cã c«ng thøc céng x¸c suÊt më réng sau ®©y.
Víi hai biÕn cè A vµ B bÊt k× cïng liªn quan ®Õn mét phÐp thö, ta cã
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A.B).
VÝ dô 2. Gieo ngÉu nhiªn mét con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt hai lÇn. TÝnh x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau :
A : "LÇn thø nhÊt xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm" ;
B : "LÇn thø hai xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm" ;
C : "Ýt nhÊt mét lÇn xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm" ;
D : "Kh«ng lÇn nµo xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm".
Gi¶i. Ta cã Ω = {(i, j) ⎪1 ≤ i, j ≤ 6}, trong ®ã i lµ sè chÊm xuÊt hiÖn trong lÇn gieo thø nhÊt, j lµ sè chÊm xuÊt hiÖn trong lÇn gieo thø hai, n(Ω) = 36. Nh− vËy A = {(6, j) ⎪ 1 ≤ j ≤ 6}, n(A) = 6 ;
B = {(i, 6) ⎪ 1 ≤ i ≤ 6}, n(B) = 6 ;
C = A ∪ B, D = C , A ∩ B = {(6, 6)}, n(A ∩ B) = 1. Tõ ®ã, theo ®Þnh nghÜa ta cã
n A An6 1
n B Bn6 1
( ) P( ) ( ) = = Ω
36 6 = , ( ) P( ) ( ) = = Ω
36 6 = ,
nA B A Bn136 .
( ) P( . ) ( )
∩ = = Ω
Theo nhËn xÐt ta cã
P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A. B) = 11 1
+ − = 11 . 36
6 6 36
Theo hÖ qu¶ ta cã
P(D) = P( ) C = 1 − P(C) = 11 136 − = 2536 .
73
Bµi tËp
1. Gieo ngÉu nhiªn mét con sóc s¾c c©n ®èi vµ ®ång chÊt hai lÇn. a) H·y m« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) X¸c ®Þnh c¸c biÕn cè sau :
A : "Tæng sè chÊm xuÊt hiÖn trong hai lÇn gieo kh«ng bÐ h¬n 10" ; B : "MÆt 5 chÊm xuÊt hiÖn Ýt nhÊt mét lÇn".
c) TÝnh P(A), P(B).
2. Cã bèn tÊm b×a ®−îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 4. Rót ngÉu nhiªn ba tÊm. a) H·y m« t¶ kh«ng gian mÉu.
b) X¸c ®Þnh c¸c biÕn cè sau :
A : "Tæng c¸c sè trªn ba tÊm b×a b»ng 8" ;
B : "C¸c sè trªn ba tÊm b×a lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp".
c) TÝnh P(A), P(B).
3. Mét ng−êi chän ngÉu nhiªn hai chiÕc giµy tõ bèn ®«i giµy cì kh¸c nhau. TÝnh x¸c suÊt ®Ó hai chiÕc chän ®−îc t¹o thµnh mét ®«i.
4. Gieo mét con sóc s¾c c©n ®èi vµ ®ång chÊt. Gi¶ sö con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt b chÊm. XÐt ph−¬ng tr×nh x2+ bx + 2 = 0. TÝnh x¸c suÊt sao cho :
a) Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ;
b) Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm ;
c) Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn.
5. Tõ cç bµi tó l¬ kh¬ 52 con, rót ngÉu nhiªn cïng mét lóc bèn con. TÝnh x¸c suÊt sao cho :
a) C¶ bèn con ®Òu lµ ¸t ;
b) §−îc Ýt nhÊt mét con ¸t ;
c) §−îc hai con ¸t vµ hai con K.
6. Hai b¹n nam vµ hai b¹n n÷ ®−îc xÕp ngåi ngÉu nhiªn vµo bèn ghÕ xÕp thµnh hai d·y ®èi diÖn nhau. TÝnh x¸c suÊt sao cho :
a) Nam, n÷ ngåi ®èi diÖn nhau ;
b) N÷ ngåi ®èi diÖn nhau.
74
7. Cã hai hép chøa c¸c qu¶ cÇu. Hép thø nhÊt chøa 6 qu¶ tr¾ng, 4 qu¶ ®en. Hép thø hai chøa 4 qu¶ tr¾ng, 6 qu¶ ®en. Tõ mçi hép lÊy ngÉu nhiªn mét qu¶. KÝ hiÖu :
A lµ biÕn cè : "Qu¶ lÊy tõ hép thø nhÊt tr¾ng" ;
B lµ biÕn cè : "Qu¶ lÊy tõ hép thø hai tr¾ng".
a) XÐt xem A vµ B cã ®éc lËp kh«ng.
b) TÝnh x¸c suÊt sao cho hai qu¶ cÇu lÊy ra cïng mµu.
c) TÝnh x¸c suÊt sao cho hai qu¶ cÇu lÊy ra kh¸c mµu.
B μ i ®äc thªm
§Þnh nghÜa thèng kª cña x¸c suÊt
Mét ®ång tiÒn c©n ®èi vµ ®ång chÊt ®−îc gieo n lÇn. KÝ hiÖu S n lµ sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp S trong n lÇn gieo ®ã.
Ta gäi tØ sè ( ) = S nn
f Sn lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp trong n lÇn gieo.
B»ng thùc nghiÖm ta thÊy, tÇn suÊt thay ®æi khi ta thùc hiÖn lo¹t n lÇn gieo kh¸c còng nh− khi t¨ng sè lÇn gieo.
Tuy nhiªn víi n kh¸ lín, tÇn suÊt nµy cã tÝnh æn ®Þnh, nghÜa lµ nã dao ®éng xung quanh sè 12 vµ khi n t¨ng, tÇn suÊt ngµy cµng gÇn sè 12.
Ta cã thÓ h×nh dung ®iÒu ®ã qua b¶ng c¸c kÕt qu¶ gieo ®ång tiÒn cña c¸c nhµ to¸n häc Buýp-ph«ng (Buffont) vµ PiÕc-s¬n (Pearson) sau ®©y.
Ng−êi gieo
Sè lÇn gieo
Sè lÇn xuÊt hiÖn mÆt S
TÇn suÊt
Buýp-ph«ng
4040
2048
0,5069
PiÕc-s¬n
12000
6019
0,5016
PiÕc-s¬n
24000
12012
0,5005
Sè 12 mµ tÇn suÊt fn(S) dao ®éng quanh nã ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè S theo quan ®iÓm thèng kª.
75
Mét c¸ch tæng qu¸t :
KÝ hiÖu nA lµ sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè A trong mét d·y n phÐp thö ®−îc lÆp ®i lÆp l¹i (d·y c¸c phÐp thö lÆp). TØ sè Ann gäi lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A.
Khi n t¨ng, Ann ngµy cµng gÇn mét sè P(A) x¸c ®Þnh. Ng−êi ta gäi sè P(A) ®ã lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A theo quan ®iÓm thèng kª.
Trong tr−êng hîp phÐp thö chØ cã mét sè h÷u h¹n kÕt qu¶ ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn th× sè P(A) trong ®Þnh nghÜa nµy trïng víi sè P(A) trong ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt. Do ®ã, ®Þnh nghÜa thèng kª cña x¸c suÊt lµ mét sù më réng thùc sù cña ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt.
Nhµ to¸n häc Thuþ SÜ J.BÐc-nu-li (Jacob Bernoulli) lµ ng−êi ®Çu tiªn ph¸t hiÖn ra tÝnh æn ®Þnh thèng kª cña d·y tÇn suÊt Ann .
Po¸t-x«ng (Poisson) lµ ng−êi ®Çu tiªn gäi quy luËt æn ®Þnh cña tÇn suÊt lµ luËt sè lín.
¤n tËp ch−¬ng II
1. Ph¸t biÓu quy t¾c céng, cho vÝ dô ¸p dông.
2. Ph¸t biÓu quy t¾c nh©n, cho vÝ dô ¸p dông.
3. Ph©n biÖt sù kh¸c nhau gi÷a mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö vµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö.
4. Cã bao nhiªu sè ch½n cã bèn ch÷ sè ®−îc t¹o thµnh tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho :
a) C¸c ch÷ sè cã thÓ gièng nhau ?
b) C¸c ch÷ sè kh¸c nhau ?
5. XÕp ngÉu nhiªn ba b¹n nam vµ ba b¹n n÷ ngåi vµo s¸u ghÕ kª theo hµng ngang. T×m x¸c suÊt sao cho :
a) Nam, n÷ ngåi xen kÏ nhau ;
b) Ba b¹n nam ngåi c¹nh nhau.
6. Tõ mét hép chøa s¸u qu¶ cÇu tr¾ng vµ bèn qu¶ cÇu ®en, lÊy ngÉu nhiªn ®ång thêi bèn qu¶. TÝnh x¸c suÊt sao cho :
a) Bèn qu¶ lÊy ra cïng mµu ;
b) Cã Ýt nhÊt mét qu¶ mµu tr¾ng.
76
7. Gieo mét con sóc s¾c ba lÇn. TÝnh x¸c suÊt sao cho mÆt s¸u chÊm xuÊt hiÖn Ýt nhÊt mét lÇn.
8. Cho mét lôc gi¸c ®Òu ABCDEF. ViÕt c¸c ch÷ c¸i A, B, C, D, E, F vµo s¸u c¸i thÎ. LÊy ngÉu nhiªn hai thÎ. T×m x¸c suÊt sao cho ®o¹n th¼ng mµ c¸c ®Çu mót lµ c¸c ®iÓm ®−îc ghi trªn hai thÎ ®ã lµ :
a) C¹nh cña lôc gi¸c ;
b) §−êng chÐo cña lôc gi¸c ;
c) §−êng chÐo nèi hai ®Ønh ®èi diÖn cña lôc gi¸c.
9. Gieo ®ång thêi hai con sóc s¾c. TÝnh x¸c suÊt sao cho :
a) Hai con sóc s¾c ®Òu xuÊt hiÖn mÆt ch½n ;
b) TÝch c¸c sè chÊm trªn hai con sóc s¾c lµ sè lÎ.
Bµi tËp tr¾c nghiÖm
Chän ph−¬ng ¸n ®óng :
10. LÊy hai con bµi tõ cç bµi tó l¬ kh¬ 52 con. Sè c¸ch lÊy lµ : (A) 104 ; (B) 1326 ; (C) 450 ; (D) 2652.
11. N¨m ng−êi ®−îc xÕp vµo ngåi quanh mét bµn trßn víi n¨m ghÕ. Sè c¸ch xÕp lµ :
(A) 50 ; (B) 100 ; (C) 120 ; (D) 24.
12. Gieo mét con sóc s¾c hai lÇn. X¸c suÊt ®Ó Ýt nhÊt mét lÇn xuÊt hiÖn mÆt s¸u chÊm lµ :
(A) 1236 ; (B) 1136 ; (C) 636 ; (D) 8 . 36
13. Tõ mét hép chøa ba qu¶ cÇu tr¾ng vµ hai qu¶ cÇu ®en lÊy ngÉu nhiªn hai qu¶. X¸c suÊt ®Ó lÊy ®−îc c¶ hai qu¶ tr¾ng lµ :
(A) 930 ; (B) 1230 ; (C) 1030 ; (D) 6 . 30 14. Gieo ba con sóc s¾c. X¸c suÊt ®Ó sè chÊm xuÊt hiÖn trªn ba con nh− nhau lµ : (A) 12
216 ; (B) 1216 ; (C) 6216 ; (D) 3 . 216
77
15. Gieo mét ®ång tiÒn c©n ®èi vµ ®ång chÊt bèn lÇn. X¸c suÊt ®Ó c¶ bèn lÇn xuÊt hiÖn mÆt sÊp lµ :
(A) 416 ; (B) 216 ; (C) 116 ; (D) 6 . 16
b¹n cã biÕt ?
BÐc-nu-li
BÐc-nu-li (Jacob Bernoulli) sinh ngµy 27 th¸ng 2 n¨m
1654 ë Ba-xl¬ (Basle) Thuþ SÜ. ¤ng lµ ng−êi nghiªn
cøu To¸n ®Çu tiªn trong dßng hä BÐc-nu-li cã nhiÒu
nhµ to¸n häc. Cha «ng, Ni-co-la BÐc-nu-li (1623 − 1708)
muèn «ng trë thµnh môc s−. MÆc dï ph¶i häc
ThÇn häc, «ng vÉn say mª nghiªn cøu To¸n häc.
Mét sè c«ng tr×nh quan träng nhÊt cña «ng ®−îc
c«ng bè trong cuèn s¸ch NghÖ thuËt pháng ®o¸n n¨m 1713, bao gåm c¸c lÜnh vùc cña ®¹i sè tæ hîp : ho¸n vÞ, tæ hîp, c¸c sè BÐc-nu-li vµ lÝ thuyÕt x¸c
Bernoulli
(1654 − 1705)
suÊt. §Æc biÖt, luËt sè lín ®èi víi d·y phÐp thö BÐc-nu-li ®−îc c«ng bè trong cuèn s¸ch ®ã. Cuèn s¸ch cña «ng ®−îc coi lµ sù më ®Çu cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt. BÐc-nu-li b¾t ®Çu gi¶ng TriÕt häc tù nhiªn, C¬ häc ë tr−êng §¹i häc Tæng hîp Ba-xl¬ n¨m 1682 vµ trë thµnh Gi¸o s− to¸n n¨m 1687. ¤ng tiÕp tôc lµm viÖc ë ®ã cho ®Õn khi mÊt (ngµy 10 th¸ng 8 n¨m 1705).
78