🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Sách Giáo Khoa Đại Số 10 Nâng Cao
Ebooks
Nhóm Zalo
ÑAÏI SOÁ
NAÂNG CAO
10
(T¸i b¶n lÇn thø m−êi bèn)
nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc viÖt nam
H·y b¶o qu¶n, gi÷ g×n s¸ch gi¸o khoa ®Ó dµnh tÆng cho c¸c em häc sinh líp sau !
Mét sè l−u ý khi sö dông s¸ch gi¸o khoa 1) Nh÷ng kÝ hiÖu dïng trong s¸ch :
Hn PhÇn ho¹t ®éng cña häc sinh.
KÝ hiÖu kÕt thóc mét chøng minh hoÆc vÝ dô. 2) Kh«ng nªn viÕt vµo s¸ch ®Ó s¸ch cã thÓ dïng l©u dµi.
3) Ngoµi m¸y tÝnh bá tói CASIO fx − 500 MS ®· ®−îc giíi thiÖu trong s¸ch, häc sinh cã thÓ dïng c¸c lo¹i m¸y tÝnh bá tói kh¸c cã cïng tÝnh n¨ng nh−
SHARP EL − 506W, SHARP EL − 509W,…
ChÞu tr¸ch nhiÖm xuÊt b¶n : ChÞu tr¸ch nhiÖm néi dung :
Biªn tËp lÇn ®Çu :
Biªn tËp t¸i b¶n :
Biªn tËp kÜ thuËt :
Tr×nh bµy b×a vµ minh ho¹ : Söa b¶n in :
ChÕ b¶n :
Chñ tÞch Héi ®ång Thµnh viªn nguyÔn ®øc th¸i Tæng Gi¸m ®èc hoµng lª b¸ch
Tæng biªn tËp phan xu©n thµnh
ph¹m b¶o khuª – hoµng xu©n vinh
nguyÔn träng thiÖp
nguyÔn kim toµn _ TrÇn thanh h»ng
bïi quang tuÊn
hoµng viÖt
c«ng ty cæ phÇn dÞch vô xuÊt b¶n gi¸o dôc hµ néi
B¶n quyÒn thuéc Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam - Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o
®¹i sè 10 - N©ng cao
M· sè : NH001T0
In .......... cuèn (Q§ in sè : ...........), khæ 17 × 24 cm.
§¬n vÞ in : ...................... ®Þa chØ ...................
C¬ së in : ....................... ®Þa chØ ....................
Sè §KXB : 01 - 2020/CXBIPH/734 - 869/GD
Sè Q§XB : ... / Q§-GD ngµy ... th¸ng ... n¨m ...
In xong vµ nép l−u chiÓu th¸ng ... n¨m ...
M· sè ISBN : 978-604-0-19013-0
3
§ 1
MÖnh ®Ò vμ mÖnh ®Ò chøa biÕn
1. MÖnh ®Ò lµ g× ?
Trong khoa häc còng nh− trong ®êi sèng hµng ngµy, ta th−êng gÆp nh÷ng c©u nªu lªn mét kh¼ng ®Þnh. Kh¼ng ®Þnh ®ã cã thÓ ®óng hoÆc sai.
VÝ dô 1. Chóng ta h·y xÐt c¸c c©u sau ®©y.
(a) Hµ Néi lµ thñ ®« cña ViÖt Nam.
(b) Th−îng H¶i lµ mét thµnh phè cña Ên §é.
(c) 1 + 1 = 2.
(d) 27 chia hÕt cho 5.
C¸c c©u (a) vµ (c) lµ nh÷ng c©u kh¼ng ®Þnh ®óng. C¸c c©u (b) vµ (d) lµ nh÷ng c©u kh¼ng ®Þnh sai. Ng−êi ta gäi mçi c©u trªn lµ mét mÖnh ®Ò l«gic.
Mét mÖnh ®Ò l«gic (gäi t¾t lµ mÖnh ®Ò) lµ mét c©u kh¼ng ®Þnh ®óng hoÆc mét c©u kh¼ng ®Þnh sai. Mét c©u kh¼ng ®Þnh ®óng gäi lµ mét mÖnh ®Ò ®óng. Mét c©u kh¼ng ®Þnh sai gäi lµ mét mÖnh ®Ò sai. Mét mÖnh ®Ò kh«ng thÓ võa ®óng võa sai.
Chó ý
C©u kh«ng ph¶i lµ c©u kh¼ng ®Þnh hoÆc c©u kh¼ng ®Þnh mµ kh«ng cã tÝnh ®óng - sai (tÝnh hoÆc ®óng, hoÆc sai) th× kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò. Ch¼ng h¹n, c©u "H«m nay trêi ®Ñp qu¸ !" lµ mét c©u c¶m th¸n do ®ã kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò.
2. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh
VÝ dô 2. Hai b¹n An vµ B×nh ®ang tranh
luËn víi nhau.
B×nh nãi : "2003 lµ sè nguyªn tè".
An kh¼ng ®Þnh : "2003 kh«ng ph¶i lµ sè
nguyªn tè".
NÕu kÝ hiÖu P lµ mÖnh ®Ò B×nh nªu th×
mÖnh ®Ò cña An cã thÓ diÔn ®¹t lµ
"Kh«ng ph¶i P" vµ ®−îc gäi lµ mÖnh ®Ò
phñ ®Þnh cña P.
4
Cho mÖnh ®Ò P. MÖnh ®Ò "Kh«ng ph¶i P" ®−îc gäi lµ mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña P vµ kÝ hiÖu lµ P . MÖnh ®Ò P vµ mÖnh ®Ò phñ ®Þnh P lµ hai c©u kh¼ng ®Þnh tr¸i ng−îc nhau. NÕu P ®óng th× P sai, nÕu P sai th× P ®óng.
Chó ý
MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña P cã thÓ diÔn ®¹t theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n, xÐt mÖnh ®Ò P : " 2 lµ sè h÷u tØ". Khi ®ã, mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña P cã thÓ ph¸t biÓu lµ P : " 2 kh«ng ph¶i lµ sè h÷u tØ" hoÆc P : " 2 lµ mét sè v« tØ".
H1
Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau ®©y vμ x¸c ®Þnh xem mÖnh ®Ò
phñ ®Þnh ®ã ®óng hay sai.
(a) Pa-ri lμ thñ ®« cña n−íc Anh.
(b) 2002 chia hÕt cho 4.
3. MÖnh ®Ò kÐo theo vµ mÖnh ®Ò ®¶o
VÝ dô 3. XÐt mÖnh ®Ò "NÕu An
v−ît ®Ìn ®á th× An vi ph¹m
luËt giao th«ng".
MÖnh ®Ò trªn cã d¹ng "NÕu P
th× Q" trong ®ã P lµ mÖnh ®Ò
"An v−ît ®Ìn ®á", Q lµ mÖnh
®Ò "An vi ph¹m luËt giao
th«ng". Ta gäi ®ã lµ mÖnh ®Ò
kÐo theo.
Cho hai mÖnh ®Ò P vµ Q. MÖnh ®Ò "NÕu P th× Q" ®−îc gäi lµ mÖnh ®Ò kÐo theo vµ kÝ hiÖu lµ P ⇒ Q. MÖnh ®Ò P ⇒ Q sai khi P ®óng, Q sai vµ ®óng trong c¸c tr−êng hîp cßn l¹i.
Tuú theo néi dung cô thÓ, ®«i khi ng−êi ta cßn ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P ⇒ Q lµ "P kÐo theo Q" hay "P suy ra Q" hay "V× P nªn Q"...
Ta th−êng gÆp c¸c t×nh huèng sau :
− C¶ hai mÖnh ®Ò P vµ Q ®Òu ®óng. Khi ®ã P ⇒ Q lµ mÖnh ®Ò ®óng. − MÖnh ®Ò P ®óng vµ mÖnh ®Ò Q sai. Khi ®ã P ⇒ Q lµ mÖnh ®Ò sai. VÝ dô 4. MÖnh ®Ò "V× 50 chia hÕt cho 10 nªn 50 chia hÕt cho 5" lµ mÖnh ®Ò ®óng. MÖnh ®Ò "V× 2002 lµ sè ch½n nªn 2002 chia hÕt cho 4" lµ mÖnh ®Ò sai.
5
H2
Cho tø gi¸c ABCD. XÐt mÖnh ®Ò P : "Tø gi¸c ABCD lμ h×nh ch÷ nhËt" vμ mÖnh
®Ò Q : "Tø gi¸c ABCD cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau". H·y ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P ⇒ Q theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau.
Cho mÖnh ®Ò kÐo theo P ⇒ Q. MÖnh ®Ò Q ⇒ P ®−îc gäi lµ mÖnh ®Ò ®¶o cña mÖnh ®Ò P ⇒ Q.
VÝ dô 5. Cho tam gi¸c ABC. MÖnh ®Ò ®¶o cña mÖnh ®Ò "NÕu tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu th× nã lµ tam gi¸c c©n" lµ mÖnh ®Ò "NÕu tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c c©n th× nã lµ tam gi¸c ®Òu".
4. MÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng
VÝ dô 6. Cho tam gi¸c ABC. XÐt mÖnh ®Ò P : "Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c c©n" vµ mÖnh ®Ò Q : "Tam gi¸c ABC cã hai ®−êng trung tuyÕn b»ng nhau". MÖnh ®Ò R : "Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c c©n nÕu tam gi¸c ®ã cã hai ®−êng trung tuyÕn b»ng nhau vµ ng−îc l¹i" cßn cã thÓ ph¸t biÓu lµ : "Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c c©n nÕu vµ chØ nÕu tam gi¸c ®ã cã hai ®−êng trung tuyÕn b»ng nhau", mÖnh ®Ò ®ã cã d¹ng "P nÕu vµ chØ nÕu Q". Ta gäi R lµ mét mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng.
Cho hai mÖnh ®Ò P vµ Q. MÖnh ®Ò cã d¹ng "P nÕu vµ chØ nÕu Q" ®−îc gäi lµ mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng vµ kÝ hiÖu lµ P ⇔ Q.
MÖnh ®Ò P ⇔ Q ®óng khi c¶ hai mÖnh ®Ò kÐo theo P ⇒ Q vµ Q ⇒ P ®Òu ®óng vµ sai trong c¸c tr−êng hîp cßn l¹i.
§«i khi, ng−êi ta cßn ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P ⇔ Q lµ "P khi vµ chØ khi Q". MÖnh ®Ò P ⇔ Q ®óng nÕu c¶ hai mÖnh ®Ò P vµ Q cïng ®óng hoÆc cïng sai. Khi ®ã, ta nãi r»ng hai mÖnh ®Ò P vµ Q t−¬ng ®−¬ng víi nhau.
H3
a) Cho tam gi¸c ABC. MÖnh ®Ò "Tam gi¸c ABC lμ mét tam gi¸c cã ba gãc b»ng nhau nÕu vμ chØ nÕu tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau" lμ mÖnh ®Ò g× ? MÖnh ®Ò ®ã ®óng hay sai ?
b) XÐt c¸c mÖnh ®Ò P : "36 chia hÕt cho 4 vμ chia hÕt cho 3" ;
Q : "36 chia hÕt cho 12".
i) Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P ⇒ Q, Q ⇒ P vμ P ⇔ Q.
ii) XÐt tÝnh ®óng - sai cña mÖnh ®Ò P ⇔ Q.
6
5. Kh¸i niÖm mÖnh ®Ò chøa biÕn
VÝ dô 7. XÐt c¸c c©u sau ®©y.
(1) "n chia hÕt cho 3", (víi n lµ sè tù nhiªn).
(2) "y > x + 3", (víi x vµ y lµ hai sè thùc).
Mçi c©u trªn ®Òu lµ mét c©u kh¼ng ®Þnh chøa mét hay nhiÒu biÕn nhËn gi¸ trÞ trong mét tËp hîp X nµo ®ã. TÝnh ®óng - sai cña chóng tuú thuéc vµo gi¸ trÞ cô thÓ cña c¸c biÕn ®ã. NÕu cho c¸c biÕn nh÷ng gi¸ trÞ cô thÓ trong tËp X th× ta ®−îc nh÷ng mÖnh ®Ò. Ch¼ng h¹n, nÕu kÝ hiÖu c©u (1) lµ P(n) th× P(6) lµ "6 chia hÕt cho 3", ®ã lµ mÖnh ®Ò ®óng ; nÕu kÝ hiÖu c©u (2) lµ Q(x ; y) th× Q(1 ; 2) lµ "2 > 1 + 3", ®ã lµ mÖnh ®Ò sai. C¸c c©u kiÓu nh− c©u (1) vµ c©u (2) ®−îc gäi lµ nh÷ng mÖnh ®Ò chøa biÕn.
H4
Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P x( ): 2 " " x x > víi x lμ sè thùc. Hái mçi mÖnh ®Ò P(2)
vμ 12
P⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ®óng hay sai ?
6. C¸c kÝ hiÖu ∀ vµ ∃
a) KÝ hiÖu ∀
Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P( ) x víi x ∈ X. Khi ®ã kh¼ng ®Þnh
"Víi mäi x thuéc X , () P x ®óng" (hay "P(x) ®óng víi mäi x thuéc X") (1) lµ mét mÖnh ®Ò. MÖnh ®Ò nµy ®óng nÕu víi 0x bÊt k× thuéc X, 0 P( ) x lµ mÖnh ®Ò ®óng. MÖnh ®Ò nµy sai nÕu cã 0x X ∈ sao cho 0 P( ) x lµ mÖnh ®Ò sai. MÖnh ®Ò (1) ®−îc kÝ hiÖu lµ
" , () ∀ ∈x X Px " hoÆc " : ( ) ∀ ∈x X Px ".
KÝ hiÖu ∀ ®äc lµ "víi mäi".
VÝ dô 8
a) Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P( ) x : " 2
x x − +> 2 20" víi x lµ sè thùc. Khi ®ã
mÖnh ®Ò "∀ ∈x Px , () " ®óng v× víi bÊt k× x ∈ ta ®Òu cã
2 2
xx x − + = − +> 2 2 ( 1) 1 0.
b) Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn ( ) :"2 1 n P n + lµ sè nguyªn tè" víi n lµ sè tù nhiªn. Khi ®ã, mÖnh ®Ò "∀n ∈ , P(n)" sai v× víi n = 3 th× P(3) : "23 + 1 lµ sè nguyªn tè" lµ mÖnh ®Ò sai.
H5
Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P n( ) : " n n( 1) + lμ sè lÎ" víi n lμ sè nguyªn. Ph¸t biÓu
mÖnh ®Ò "∀n ∈ , P(n)". MÖnh ®Ò nμy ®óng hay sai ?
7
b) KÝ hiÖu ∃
Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn ( ) P x víi . x X ∈ Khi ®ã, kh¼ng ®Þnh "Tån t¹i x thuéc X ®Ó ( ) P x ®óng" (2) lµ mét mÖnh ®Ò. MÖnh ®Ò nµy ®óng nÕu cã 0x X ∈ ®Ó 0 P( ) x lµ mÖnh ®Ò ®óng. MÖnh ®Ò nµy sai nÕu víi 0x bÊt k× thuéc X, 0 P( ) x lµ mÖnh ®Ò sai (nãi c¸ch kh¸c lµ kh«ng cã 0x nµo thuéc X ®Ó 0 P( ) x lµ mÖnh ®Ò ®óng). MÖnh ®Ò (2) ®−îc kÝ hiÖu lµ
"∃x ∈ X, ( ) P x " hoÆc "∃x ∈ X : ( ) P x ".
KÝ hiÖu ∃ ®äc lµ "tån t¹i".
VÝ dô 9
a) Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn ( ) P n : " 2 1 n + chia hÕt cho n" víi n lµ sè tù nhiªn. Khi ®ã, mÖnh ®Ò "∃n ∈ , ( ) P n " ®óng v× víi n = 3 th× (3) P : " 3 2 1 + chia hÕt cho 3" lµ mÖnh ®Ò ®óng.
b) Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn 2 Px x ( ) : "( 1) 0" − < víi x lµ sè thùc. Khi ®ã, mÖnh ®Ò "∃x ∈ , P(x)" lµ mÖnh ®Ò sai v× víi bÊt k× 0x ∈ , ta ®Òu cã 2
0 ( 1) 0. x − ≥
H6
Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn Q(n) : " 2 1 n − lμ sè nguyªn tè" víi n lμ sè nguyªn
d−¬ng. Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò "∃n ∈ *, Q(n)". MÖnh ®Ò nμy ®óng hay sai ?
7. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò cã chøa kÝ hiÖu ∀, ∃ VÝ dô 10. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "Víi mäi sè tù nhiªn n, 2 2 1 n+ lµ sè nguyªn tè" lµ "Tån t¹i sè tù nhiªn n ®Ó 2 2 1 n+ kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè".
Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x) víi x ∈ X. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "∀x ∈ X, P(x)" lµ
"∃x ∈ X, P( ) x ".
VÝ dô 11. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "Trong líp em cã b¹n kh«ng thÝch m«n To¸n" lµ "TÊt c¶ c¸c b¹n trong líp em ®Òu thÝch m«n To¸n".
Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(x) víi x ∈ X. MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "∃x ∈ X, P(x)" lµ
"∀x ∈ X, P( ) x ".
H7
Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò "TÊt c¶ c¸c b¹n trong líp em ®Òu cã
m¸y tÝnh".
8
C©u hái vμ bμi tËp
1. Trong c¸c c©u d−íi ®©y, c©u nµo lµ mÖnh ®Ò, c©u nµo kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò ? NÕu lµ mÖnh ®Ò th× em h·y cho biÕt nã ®óng hay sai.
a) H·y ®i nhanh lªn ! ; b) 5 + 7 + 4 = 15 ; c) N¨m 2002 lµ n¨m nhuËn.
2. Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau vµ x¸c ®Þnh xem mÖnh ®Ò phñ ®Þnh ®ã ®óng hay sai.
a) Ph−¬ng tr×nh x2 − 3x + 2 = 0 cã nghiÖm.
b) 210 − 1 chia hÕt cho 11.
c) Cã v« sè sè nguyªn tè.
3. Cho tø gi¸c ABCD. XÐt hai mÖnh ®Ò :
P : "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng",
Q : "Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc".
Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P ⇔ Q b»ng hai c¸ch vµ cho biÕt mÖnh ®Ò ®ã ®óng hay sai.
4. Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(n) : "n2 − 1 chia hÕt cho 4" víi n lµ sè nguyªn. XÐt xem mçi mÖnh ®Ò P(5) vµ P(2) ®óng hay sai.
5. Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau :
a) ∀n ∈ *, n2 − 1 lµ béi cña 3 ; b) ∀x ∈ , x2 − x + 1 > 0 ; c) ∃x ∈ , x2 = 3 ; d) ∃n ∈ , 2n + 1 lµ sè nguyªn tè ; e) ∀n ∈ , 2n ≥ n + 2.
Em coábiïët
c¸c sè PhÐc-ma
C¸c sè 2 2 1 n
Fn = + ®−îc gäi lµ c¸c sè PhÐc-ma. MÖnh ®Ò F : "∀n ∈ , 2 2 1 n+ lµ sè nguyªn tè" do nhµ to¸n häc lçi l¹c PhÐc-ma (P. Fermat, 1601 − 1665) nªu ra khi «ng nhËn xÐt thÊy c¸c sè F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537 ®Òu lµ sè nguyªn tè. Nhµ to¸n häc thiªn tµi ¥-le (L. Euler, 1707 − 1783) ®· chøng tá mÖnh ®Ò F sai b»ng c¸ch chØ ra víi n = 5 ta cã F5 = 32 2 1 + = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 chia hÕt cho 641, kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè.
9
§ 2
¸p dông mÖnh ®Ò vμo suy luËn to¸n häc
1. §Þnh lÝ vµ chøng minh ®Þnh lÝ
VÝ dô 1. XÐt ®Þnh lÝ "NÕu n lµ sè tù nhiªn lÎ th× n2 − 1 chia hÕt cho 4".
§Þnh lÝ nµy ®−îc hiÓu mét c¸ch ®Çy ®ñ lµ "Víi mäi sè tù nhiªn n, nÕu n lµ sè lÎ th× n2 − 1 chia hÕt cho 4".
Trong to¸n häc, ®Þnh lÝ lµ mét mÖnh ®Ò ®óng. NhiÒu ®Þnh lÝ ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng
"∀x ∈ X, P(x) ⇒ Q(x)", (1) trong ®ã P(x) vµ Q(x) lµ nh÷ng mÖnh ®Ò chøa biÕn, X lµ mét tËp hîp nµo ®ã.
Chøng minh ®Þnh lÝ d¹ng (1) lµ dïng suy luËn vµ nh÷ng kiÕn thøc ®· biÕt ®Ó kh¼ng ®Þnh r»ng mÖnh ®Ò (1) lµ ®óng, tøc lµ cÇn chøng tá r»ng víi mäi x thuéc X mµ P(x) ®óng th× Q(x) ®óng.
Cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ d¹ng (1) mét c¸ch trùc tiÕp hoÆc gi¸n tiÕp. • PhÐp chøng minh trùc tiÕp gåm c¸c b−íc sau :
− LÊy x tuú ý thuéc X mµ P(x) ®óng ;
− Dïng suy luËn vµ nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc ®· biÕt ®Ó chØ ra r»ng Q(x) ®óng. VÝ dô 2. H·y chøng minh trùc tiÕp ®Þnh lÝ nªu ë vÝ dô 1.
Chøng minh. Cho n lµ sè tù nhiªn lÎ tuú ý. Khi ®ã, n = 2k + 1, k ∈ . Suy ra n2 − 1 = 4k2 + 4k + 1 − 1 = 4k(k + 1) chia hÕt cho 4.
§«i khi viÖc chøng minh trùc tiÕp mét ®Þnh lÝ gÆp khã kh¨n. Khi ®ã, ta dïng c¸ch chøng minh gi¸n tiÕp. Mét c¸ch chøng minh gi¸n tiÕp hay ®−îc dïng lµ chøng minh b»ng ph¶n chøng.
• PhÐp chøng minh ph¶n chøng gåm c¸c b−íc sau :
− Gi¶ sö tån t¹i x0 thuéc X sao cho P(x0) ®óng vµ Q(x0) sai, tøc lµ mÖnh ®Ò (1) lµ mÖnh ®Ò sai ;
− Dïng suy luËn vµ nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc ®· biÕt ®Ó ®i ®Õn m©u thuÉn.
10
VÝ dô 3. Chøng minh b»ng ph¶n chøng ®Þnh lÝ "Trong mÆt ph¼ng, cho hai ®−êng th¼ng a vµ b song song víi nhau. Khi ®ã, mäi ®−êng th¼ng c¾t a th× ph¶i c¾t b".
Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i ®−êng th¼ng c c¾t a nh−ng song song víi b. Gäi M lµ giao ®iÓm cña a vµ c. Khi ®ã, qua M cã hai ®−êng th¼ng a vµ c ph©n biÖt cïng song song víi b. §iÒu nµy m©u thuÉn víi tiªn ®Ò ¥-clÝt.
H1
Chøng minh b»ng ph¶n chøng ®Þnh lÝ "Víi mäi sè tù nhiªn n, nÕu 3n + 2 lμ sè lÎ
th× n lμ sè lÎ".
2. §iÒu kiÖn cÇn, ®iÒu kiÖn ®ñ
Cho ®Þnh lÝ d−íi d¹ng
"∀x ∈ X, P(x) ⇒ Q(x)". (1) P(x) ®−îc gäi lµ gi¶ thiÕt vµ Q(x) lµ kÕt luËn cña ®Þnh lÝ.
§Þnh lÝ d¹ng (1) cßn ®−îc ph¸t biÓu :
P(x) lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó cã Q(x)
hoÆc
Q(x) lµ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó cã P(x).
VÝ dô 4. XÐt ®Þnh lÝ "Víi mäi sè tù nhiªn n, nÕu n chia hÕt cho 24 th× nã chia hÕt cho 8".
Khi ®ã, ta nãi "n chia hÕt cho 24 lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó n chia hÕt cho 8" hoÆc còng nãi "n chia hÕt cho 8 lµ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó n chia hÕt cho 24".
H2
§Þnh lÝ trong vÝ dô 4 cã d¹ng "∀n ∈ , P(n) ⇒ Q(n)". H·y ph¸t biÓu hai mÖnh ®Ò
chøa biÕn P(n) vμ Q(n).
3. §Þnh lÝ ®¶o, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ
XÐt mÖnh ®Ò ®¶o cña ®Þnh lÝ d¹ng (1)
"∀x ∈ X, Q(x) ⇒ P(x)". (2) MÖnh ®Ò (2) cã thÓ ®óng, cã thÓ sai. NÕu mÖnh ®Ò (2) ®óng th× nã ®−îc gäi lµ ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ d¹ng (1). Lóc ®ã ®Þnh lÝ d¹ng (1) sÏ ®−îc gäi lµ ®Þnh lÝ thuËn. §Þnh lÝ thuËn vµ ®¶o cã thÓ viÕt gép thµnh mét ®Þnh lÝ
" , () () ∀∈ ⇔ x X Px Qx ".
Khi ®ã, ta nãi
P(x) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó cã Q(x).
11
Ngoµi ra, ta cßn nãi "P(x) nÕu vµ chØ nÕu Q(x)" hoÆc "P(x) khi vµ chØ khi Q(x)" hoÆc "§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó cã P(x) lµ cã Q(x)".
H3
2
XÐt ®Þnh lÝ "Víi mäi sè nguyªn d−¬ng n, n kh«ng chia hÕt cho 3 khi vμ chØ khi
n chia cho 3 d− 1".
Sö dông thuËt ng÷ "®iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ trªn.
C©u hái vμ bμi tËp
6. Ph¸t biÓu mÖnh ®Ò ®¶o cña ®Þnh lÝ "Trong mét tam gi¸c c©n, hai ®−êng cao øng víi hai c¹nh bªn th× b»ng nhau". MÖnh ®Ò ®¶o ®ã ®óng hay sai ? 7. Chøng minh ®Þnh lÝ sau b»ng ph¶n chøng :
"NÕu a, b lµ hai sè d−¬ng th× a b ab + ≥ 2 ".
8. Sö dông thuËt ng÷ "®iÒu kiÖn ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "NÕu a vµ b lµ hai sè h÷u tØ th× tæng a + b còng lµ sè h÷u tØ".
9. Sö dông thuËt ng÷ "®iÒu kiÖn cÇn" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "NÕu mét sè tù nhiªn chia hÕt cho 15 th× nã chia hÕt cho 5".
10. Sö dông thuËt ng÷ "®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu ®Þnh lÝ "Mét tø gi¸c néi tiÕp ®−îc trong mét ®−êng trßn khi vµ chØ khi tæng hai gãc ®èi diÖn cña nã lµ 180o".
11. Chøng minh ®Þnh lÝ sau b»ng ph¶n chøng :
"NÕu n lµ sè tù nhiªn vµ n2 chia hÕt cho 5 th× n chia hÕt cho 5".
Em coábiïët
§«i nÐt vÒ Gioãc-gi¬ Bun
ng−êi s¸ng lËp ra l«gic to¸n
Gioãc-gi¬ Bun sinh ngµy 2-11-1815 ë Lu©n §«n. ¤ng lµ con trai mét nhµ b¸n t¹p ho¸ nhá. V× nhµ nghÌo nªn tõ n¨m 16 tuæi «ng ®· ph¶i t×m viÖc lµm ®Ó kiÕm tiÒn ®ì ®Çn cha mÑ. ¤ng b¾t ®Çu d¹y häc tõ khi ®ã. N¨m 20 tuæi, «ng më mét tr−êng t− ë quª nhµ. Võa cÆm côi d¹y häc, «ng võa ra søc tù häc, tÝch luü vèn kiÕn thøc to¸n häc.
12
Gioãc-gi¬ Bun
(George Boole, 1815 − 1864)
Hoµn toµn b»ng c¸c kiÕn thøc tù häc, «ng ®· b¾t tay vµo nghiªn cøu víi mét niÒm say mª lín lao trong hoµn c¶nh kinh tÕ khã kh¨n thiÕu thèn. Víi n¨ng khiÕu, sù th«ng minh vµ niÒm say mª to¸n häc, «ng ®· ®¹t ®−îc mét sè kÕt qu¶ vµ b¾t ®Çu næi tiÕng nhê nh÷ng c«ng tr×nh cña m×nh nh− : "Gi¶i tÝch to¸n häc cña l«gic", "C¸c ®Þnh luËt cña t− duy". Nhê ®ã, «ng ®−îc bæ nhiÖm lµm Gi¸o s− to¸n cña tr−êng N÷ hoµng ë Ai-len (lreland) tõ n¨m 1849 cho ®Õn cuèi ®êi. Mét ®iÒu kh¸ thó vÞ lµ ng−êi con g¸i cña «ng chÝnh lµ n÷ v¨n sÜ £-ten Bun (Eten Boole), t¸c gi¶ cña cuèn tiÓu thuyÕt "Ruåi tr©u" rÊt næi tiÕng.
¤ng mÊt ngµy 8-12-1864, thä 49 tuæi. Cuéc ®êi vµ sù nghiÖp
cña «ng lµ mét tÊm g−¬ng s¸ng ®¸ng ®Ó chóng ta noi theo vÒ tinh thÇn kh¾c phôc khã kh¨n, lao ®éng cÇn cï, kiªn nhÉn häc tËp vµ say mª nghiªn cøu, s¸ng t¹o.
LuyÖn tËp
12. §iÒn dÊu "×" vµo « thÝch hîp trong b¶ng sau :
C©u
Kh«ng lµ mÖnh ®Ò MÖnh ®Ò ®óng
MÖnh ®Ò sai
24 − 1 chia hÕt cho 5.
153 lµ sè nguyªn tè.
CÊm ®¸ bãng ë ®©y !
B¹n cã m¸y tÝnh kh«ng ?
13. Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau :
a) Tø gi¸c ABCD ®· cho lµ mét h×nh ch÷ nhËt ;
b) 9801 lµ sè chÝnh ph−¬ng.
14. Cho tø gi¸c ABCD. XÐt hai mÖnh ®Ò
P : "Tø gi¸c ABCD cã tæng hai gãc ®èi lµ 180o" ;
Q : "Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp".
H·y ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P ⇒ Q vµ cho biÕt mÖnh ®Ò nµy ®óng hay sai.
13
15. XÐt hai mÖnh ®Ò
P : "4686 chia hÕt cho 6" ; Q : "4686 chia hÕt cho 4".
H·y ph¸t biÓu mÖnh ®Ò P ⇒ Q vµ cho biÕt mÖnh ®Ò nµy ®óng hay sai.
16. Cho tam gi¸c ABC. XÐt mÖnh ®Ò "Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A nÕu vµ chØ nÕu AB2 + AC2 = BC2". Khi viÕt mÖnh ®Ò nµy d−íi d¹ng P ⇔ Q, h·y nªu mÖnh ®Ò P vµ mÖnh ®Ò Q.
17. Cho mÖnh ®Ò chøa biÕn P(n) : "n = n2" víi n lµ sè nguyªn. §iÒn dÊu "×" vµo « vu«ng thÝch hîp.
a) P(0) §óng Sai
b) P(l) §óng Sai
c) P(2) §óng Sai
d) P(−1) §óng Sai
e) ∃n ∈ , P(n) §óng Sai
g) ∀n ∈ , P(n) §óng Sai .
18. Nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò sau :
a) Mäi häc sinh trong líp em ®Òu thÝch m«n To¸n ;
b) Cã mét häc sinh trong líp em ch−a biÕt sö dông m¸y tÝnh ; c) Mäi häc sinh trong líp em ®Òu biÕt ®¸ bãng ;
d) Cã mét häc sinh trong líp em ch−a bao giê ®−îc t¾m biÓn.
19. X¸c ®Þnh xem c¸c mÖnh ®Ò sau ®©y ®óng hay sai vµ nªu mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mçi mÖnh ®Ò ®ã :
a) ∃x ∈ , x2 = 1 ;
b) ∃n ∈ , n(n + 1) lµ mét sè chÝnh ph−¬ng ;
c) ∀x ∈ , (x − 1)2 ≠ x − 1 ;
d) ∀n ∈ , 2
n +1 kh«ng chia hÕt cho 4.
14
20. Chän ph−¬ng ¸n tr¶ lêi ®óng trong c¸c ph−¬ng ¸n ®· cho sau ®©y. MÖnh ®Ò "∃x ∈ , x2 = 2" kh¼ng ®Þnh r»ng :
(A) B×nh ph−¬ng cña mçi sè thùc b»ng 2.
(B) Cã Ýt nhÊt mét sè thùc mµ b×nh ph−¬ng cña nã b»ng 2.
(C) ChØ cã mét sè thùc cã b×nh ph−¬ng b»ng 2.
(D) NÕu x lµ mét sè thùc th× x2 = 2.
21. KÝ hiÖu X lµ tËp hîp c¸c cÇu thñ x trong ®éi tuyÓn bãng ræ, P(x) lµ mÖnh ®Ò chøa biÕn "x cao trªn 180 cm".
Chän ph−¬ng ¸n tr¶ lêi ®óng trong c¸c ph−¬ng ¸n ®· cho sau ®©y. MÖnh ®Ò "∀x ∈ X, P(x)" kh¼ng ®Þnh r»ng :
(A) Mäi cÇu thñ trong ®éi tuyÓn bãng ræ ®Òu cao trªn 180 cm.
(B) Trong sè c¸c cÇu thñ cña ®éi tuyÓn bãng ræ cã mét sè cÇu thñ cao trªn 180 cm.
(C) BÊt cø ai cao trªn 180 cm ®Òu lµ cÇu thñ cña ®éi tuyÓn bãng ræ. (D) Cã mét sè ng−êi cao trªn 180 cm lµ cÇu thñ cña ®éi tuyÓn bãng ræ.
§ 31. TËp hîp
TËp hîp vμ c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp
ë líp d−íi, chóng ta ®· lµm quen víi kh¸i niÖm tËp hîp. Nhí l¹i r»ng
TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña to¸n häc. Ta hiÓu kh¸i niÖm tËp hîp qua c¸c vÝ dô nh− : TËp hîp tÊt c¶ c¸c häc sinh líp 10 cña tr−êng em, tËp hîp c¸c sè nguyªn tè,... . Th«ng th−êng, mçi tËp hîp gåm c¸c phÇn tö cïng cã chung mét hay mét vµi tÝnh chÊt nµo ®ã.
15
NÕu a lµ phÇn tö cña tËp hîp X, ta viÕt a ∈ X (®äc lµ : a thuéc X). NÕu a kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña X, ta viÕt a ∉ X (®äc lµ : a kh«ng thuéc X). §Ó cho gän, ®«i khi "tËp hîp" sÏ ®−îc gäi t¾t lµ "tËp".
Ta th−êng cho mét tËp hîp b»ng hai c¸ch sau ®©y.
1) LiÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp.
H1
ViÕt tËp hîp tÊt c¶ c¸c ch÷ c¸i cã mÆt trong dßng ch÷ "Kh«ng cã g× quý h¬n
®éc lËp tù do".
2) ChØ râ c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr−ng cho c¸c phÇn tö cña tËp hîp.
H2
a) XÐt tËp hîp A = {n ∈ | 3 ≤ n ≤ 20}. H·y viÕt tËp A b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö cña nã.
b) Cho tËp hîp B = {−15 ; −10 ; −5 ; 0 ; 5 ; 10 ; 15}. H·y viÕt tËp B b»ng c¸ch chØ râ c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr−ng cho c¸c phÇn tö cña nã.
Nãi chung, khi nãi ®Õn tËp hîp lµ nãi ®Õn c¸c phÇn tö cña nã. Tuy nhiªn, ng−êi ta còng xÐt c¶ tËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo. TËp hîp nh− vËy gäi lµ tËp rçng vµ ®−îc kÝ hiÖu lµ ∅.
2. TËp con vµ tËp hîp b»ng nhau
a) TËp con
TËp A ®−îc gäi lµ tËp con cña tËp B vµ kÝ hiÖu lµ A ⊂ B nÕu mäi phÇn tö cña tËp A ®Òu lµ phÇn tö cña tËp B.
A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B).
NÕu A ⊂ B th× ta cßn nãi tËp A bÞ chøa trong tËp B hay tËp B chøa tËp A vµ cßn viÕt lµ B ⊃ A.
Tõ ®Þnh nghÜa tËp con, dÔ thÊy tÝnh chÊt b¾c cÇu sau
(A ⊂ B vµ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C).
Còng dÔ thÊy mçi tËp hîp lµ tËp con cña chÝnh nã.
Ng−êi ta coi ∅ lµ tËp con cña mäi tËp hîp, tøc lµ ∅ ⊂ A víi mäi tËp A.
16
H3
Cho hai tËp hîp A = {n ∈ | n chia hÕt cho 6} vμ B = {n ∈ | n chia hÕt
cho 12}. Hái A ⊂ B hay B ⊂ A ?
b) TËp hîp b»ng nhau
Hai tËp hîp A vµ B ®−îc gäi lµ b»ng nhau vµ kÝ hiÖu lµ A = B nÕu mçi phÇn tö cña A lµ mét phÇn tö cña B vµ mçi phÇn tö cña B còng lµ mét phÇn tö cña A.
Tõ ®Þnh nghÜa nµy, ta cã
A = B ⇔ (A ⊂ B vµ B ⊂ A).
Hai tËp hîp A vµ B kh«ng b»ng nhau (hay kh¸c nhau) ®−îc kÝ hiÖu lµ A ≠ B. Nh− vËy, hai tËp hîp A vµ B kh¸c nhau nÕu cã mét phÇn tö cña A kh«ng lµ phÇn tö cña B hoÆc cã mét phÇn tö cña B kh«ng lµ phÇn tö cña A.
H4
XÐt ®Þnh lÝ "Trong mÆt ph¼ng, tËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai mót cña mét
®o¹n th¼ng lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng ®ã".
§©y cã ph¶i lμ bμi to¸n chøng minh hai tËp hîp b»ng nhau kh«ng ? NÕu cã, h·y nªu hai tËp hîp ®ã.
c) BiÓu ®å Ven
C¸c tËp hîp cã thÓ ®−îc minh ho¹ trùc quan b»ng h×nh
vÏ nhê biÓu ®å Ven do nhµ to¸n häc ng−êi Anh Gi«n
Ven (John Venn) lÇn ®Çu tiªn ®−a ra vµo n¨m 1881.
Trong biÓu ®å Ven, ng−êi ta dïng nh÷ng h×nh giíi h¹n
bëi mét ®−êng khÐp kÝn ®Ó biÓu diÔn tËp hîp.
Ch¼ng h¹n, h×nh 1.1 thÓ hiÖn tËp A lµ tËp con cña tËp B.
H×nh 1.1
VÝ dô 1. Chóng ta ®· biÕt tËp hîp sè nguyªn d−¬ng *, tËp hîp sè tù nhiªn , tËp hîp sè nguyªn , tËp hîp sè h÷u tØ vµ tËp hîp sè thùc .
Ta cã c¸c quan hÖ sau
* ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ .
H5
VÏ biÓu ®å Ven m« t¶ c¸c quan hÖ trªn.
17
3. Mét sè c¸c tËp con cña tËp hîp sè thùc
Trong c¸c ch−¬ng sau, ta th−êng sö dông c¸c tËp con sau ®©y cña tËp sè thùc .
Tªn gäi vµ kÝ hiÖu
TËp hîp
BiÓu diÔn trªn trôc sè (phÇn kh«ng bÞ g¹ch chÐo)
TËp sè thùc (−∞ ; +∞) §o¹n [a ; b]
Kho¶ng (a ; b)
Nöa kho¶ng [a ; b) Nöa kho¶ng (a ; b] Nöa kho¶ng (−∞ ; a] Nöa kho¶ng [a ; +∞) Kho¶ng (−∞ ; a)
Kho¶ng (a ; +∞)
{x ∈ | a ≤ x ≤ b} {x ∈ | a < x < b} {x ∈ | a ≤ x < b} {x ∈ | a < x ≤ b} {x ∈ | x ≤ a}
{x ∈ | x ≥ a}
{x ∈ | x < a}
{x ∈ | x > a}
Trong c¸c kÝ hiÖu trªn, kÝ hiÖu −∞ ®äc lµ ©m v« cùc, kÝ hiÖu +∞ ®äc lµ d−¬ng v« cùc ; a vµ b ®−îc gäi lµ c¸c ®Çu mót cña ®o¹n, kho¶ng hay nöa kho¶ng.
H6
H·y ghÐp mçi ý ë cét tr¸i víi mét ý ë cét ph¶i cã cïng mét néi dung thμnh cÆp.
a) x ∈ [1 ; 5] ; 1) 1 < x ≤ 5 ;
b) x ∈ (1 ; 5] ; 2) x < 5 ;
c) x ∈ [5 ; +∞) ; 3) x ≥ 5 ;
d) x ∈ (−∞ ; 5) ; 4) 1 ≤ x ≤ 5 ;
5) 1 < x < 5.
18
4. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp
a) PhÐp hîp
Hîp cña hai tËp hîp A vµ B, kÝ hiÖu lµ A ∪ B, lµ tËp hîp bao gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc A hoÆc thuéc B.
A ∪ B = {x | x ∈ A hoÆc x ∈ B}.
Trªn biÓu ®å Ven (h.1.2), phÇn g¹ch chÐo biÓu
diÔn hîp cña hai tËp hîp A vµ B.
VÝ dô 2. Cho ®o¹n A = [−2 ; 1] vµ kho¶ng B = (1 ; 3).
Ta cã
A ∪ B = [−2 ; 3 ). b) PhÐp giao
H×nh 1.2
Giao cña hai tËp hîp A vµ B, kÝ hiÖu lµ A ∩ B, lµ tËp hîp bao gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc c¶ A vµ B.
A ∩ B = {x | x ∈ A vµ x ∈ B}.
Trªn biÓu ®å Ven (h.1.3), phÇn g¹ch chÐo biÓu
diÔn giao cña hai tËp hîp A vµ B.
NÕu hai tËp hîp A vµ B kh«ng cã phÇn tö chung,
nghÜa lµ A ∩ B = ∅ th× ta gäi A vµ B lµ hai tËp
hîp rêi nhau.
H×nh 1.3
VÝ dô 3. Cho nöa kho¶ng A = (0 ; 2] vµ ®o¹n B = [1 ; 4]. Ta cã A ∩ B = [1 ; 2].
H7
Gäi A lμ tËp hîp c¸c häc sinh giái To¸n cña tr−êng em, B lμ tËp hîp c¸c häc
sinh giái V¨n cña tr−êng em. H·y m« t¶ hai tËp A ∪ B vμ A ∩ B.
c) PhÐp lÊy phÇn bï
Cho A lµ tËp con cña tËp E. PhÇn bï cña A trong E, kÝ hiÖu lµ CEA(1), lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña E mµ kh«ng lµ phÇn tö cña A.
(1) C lµ ch÷ ®Çu tiªn cña tõ tiÕng Anh "complement" cã nghÜa phÇn bï, bæ sung.
19
Trªn biÓu ®å Ven (h.1.4), phÇn g¹ch chÐo biÓu diÔn phÇn bï cña tËp A trong E.
VÝ dô 4. PhÇn bï cña tËp c¸c sè tù nhiªn trong tËp c¸c sè nguyªn lµ tËp c¸c sè nguyªn ©m. PhÇn bï cña tËp c¸c sè lÎ trong tËp c¸c sè nguyªn lµ tËp c¸c sè ch½n.
H8
a) PhÇn bï cña tËp sè h÷u tØ trong lμ tËp nμo ?
H×nh 1.4
b) Gi¶ sö A lμ tËp hîp c¸c häc sinh nam trong líp em, B lμ tËp hîp c¸c häc sinh trong líp em vμ D lμ tËp hîp c¸c häc sinh nam trong tr−êng em. H·y m« t¶ c¸c tËp hîp : CBA ; . CD A
Chó ý
Víi hai tËp hîp A, B bÊt k×, ng−êi ta cßn xÐt hiÖu cña hai tËp hîp A vµ B.
HiÖu cña hai tËp hîp A vµ B, kÝ hiÖu lµ A \ B, lµ tËp hîp bao gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö thuéc A nh−ng kh«ng thuéc B.
A \ B = {x | x ∈ A vµ x ∉ B}.
Trªn biÓu ®å Ven (h.1.5), phÇn g¹ch chÐo biÓu diÔn
hiÖu cña hai tËp A vµ B.
VÝ dô 5. Cho nöa kho¶ng A = (1 ; 3] vµ ®o¹n B = [2 ; 4].
Khi ®ã, A \ B = (1 ; 2).
Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy, nÕu A ⊂ E th×
CEA = E \ A.
C©u hái vμ bμi tËp
22. ViÕt mçi tËp hîp sau b»ng c¸ch liÖt kª c¸c phÇn tö cña nã : a) A = {x ∈ | (2x − x2)(2x2 − 3x − 2) = 0} ;
b) B = {n ∈ * | 3 < n2 < 30}.
H×nh 1.5
23. ViÕt mçi tËp hîp sau b»ng c¸ch chØ râ c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr−ng cho c¸c phÇn tö cña nã :
20
a) A = {2 ; 3 ; 5 ; 7} ; b) B = {−3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} ; c) C = {−5 ; 0 ; 5 ; 10 ; 15}.
24. XÐt xem hai tËp hîp sau cã b»ng nhau kh«ng :
A = {x ∈ | (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0} vµ B = {5 ; 3 ; 1}.
25. Gi¶ sö A = {2 ; 4 ; 6}, B = {2 ; 6}, C = {4 ; 6} vµ D = {4 ; 6 ; 8}. H·y x¸c ®Þnh xem tËp nµo lµ tËp con cña tËp nµo.
26. Cho A lµ tËp hîp c¸c häc sinh líp 10 ®ang häc ë tr−êng em vµ B lµ tËp hîp c¸c häc sinh ®ang häc m«n TiÕng Anh cña tr−êng em. H·y diÔn ®¹t b»ng lêi c¸c tËp hîp sau :
a) A ∩ B ; b) A \ B ; c) A ∪ B ; d) B \ A.
27. Gäi A, B, C, D, E vµ F lÇn l−ît lµ tËp hîp c¸c tø gi¸c låi, tËp hîp c¸c h×nh thang, tËp hîp c¸c h×nh b×nh hµnh, tËp hîp c¸c h×nh ch÷ nhËt, tËp hîp c¸c h×nh thoi vµ tËp hîp c¸c h×nh vu«ng. Hái tËp nµo lµ tËp con cña tËp nµo ? H·y diÔn ®¹t b»ng lêi tËp D ∩ E.
28. Cho A = {1 ; 3 ; 5} vµ B = {1 ; 2 ; 3}. T×m hai tËp hîp (A \ B) ∪ (B \ A) vµ (A ∪ B) \ (A ∩ B). Hai tËp hîp nhËn ®−îc lµ b»ng nhau hay kh¸c nhau ? 29. §iÒn dÊu "×" vµo « trèng thÝch hîp.
a) ∀x ∈ , x ∈ (2,1 ; 5,4) ⇒ x ∈ (2 ; 5) §óng Sai
b) ∀x ∈ , x ∈ (2,1 ; 5,4) ⇒ x ∈ (2 ; 6) §óng Sai
c) ∀x ∈ , −1,2 ≤ x < 2,3 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3 §óng Sai
d) ∀x ∈ , −4,3 < x ≤ −3,2 ⇒ −5 ≤ x ≤ −3 §óng Sai
30. Cho ®o¹n A = [−5 ; 1] vµ kho¶ng B = (−3 ; 2). T×m A ∪ B vµ A ∩ B.
LuyÖn tËp
31. X¸c ®Þnh hai tËp hîp A vµ B, biÕt r»ng :
A \ B = {1 ; 5 ; 7 ; 8}, B \ A = {2 ; 10} vµ A ∩ B = {3 ; 6 ; 9}.
32. Cho A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9}, B = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9} vµ C = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}. H·y t×m A ∩ (B \ C) vµ (A ∩ B) \ C. Hai tËp hîp nhËn ®−îc b»ng nhau hay kh¸c nhau ?
21
33. Cho A vµ B lµ hai tËp hîp. Dïng biÓu ®å Ven ®Ó kiÓm nghiÖm r»ng : a) (A \ B) ⊂ A ; b) A ∩ (B \ A) = ∅ ; c) A ∪ (B \ A) = A ∪ B. 34. Cho A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n kh«ng lín h¬n 10, B = {n ∈ | n ≤ 6} vµ C = {n ∈ | 4 ≤ n ≤ 10}. H·y t×m :
a) A ∩ (B ∪ C) ; b) (A \ B) ∪ (A \ C) ∪ (B \ C).
35. §iÒn dÊu "×" vµo « trèng thÝch hîp.
a) a ⊂ {a ; b} §óng Sai
b) {a}⊂{a ; b} §óng Sai .
36. Cho tËp hîp A = {a ; b ; c ; d}. LiÖt kª tÊt c¶ c¸c tËp con cña A cã : a) Ba phÇn tö ; b) Hai phÇn tö ; c) Kh«ng qu¸ mét phÇn tö. 37. Cho hai ®o¹n A = [a ; a + 2] vµ B = [b ; b + 1]. C¸c sè a, b cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó A ∩ B ≠ ∅ ?
38. Chän kh¼ng ®Þnh sai trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau :
(A) ∩ = ; (B) * ∩ = *.
(C) ∪ = ; (D) ∪ * = .
39. Cho hai nöa kho¶ng A = (−1 ; 0] vµ B = [0 ; 1). T×m A ∪ B, A ∩ B vµ CA. 40. Cho A = { | 2, } n n kk ∈= ∈ ;
B lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 ; C = { | 2 2, } n nk k ∈ =− ∈ ;
D = { | 3 1, }. n nk k ∈ =+ ∈
Chøng minh r»ng A = B, A = C vµ A ≠ D.
41. Cho hai nöa kho¶ng A = (0 ; 2] , B = [1 ; 4). T×m C(A ∪ B) vµ C(A ∩ B).
42. Cho A = {a, b, c}, B = {b, c, d}, C = {b, c, e}.
Chän kh¼ng ®Þnh ®óng trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau :
(A) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C ; (B) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; (C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; (D) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ B) ∩ C.
22
Em coábiïët
TiÓu sö nhµ to¸n häc Can-to
Can-to sinh ngµy 3-3-1845 t¹i Xanh Pª-tec-bua trong mét gia
®×nh cã bè lµ mét th−¬ng gia, mÑ lµ mét nghÖ sÜ. Tµi n¨ng vµ
lßng say mª to¸n häc cña «ng h×nh thµnh rÊt sím. Sau khi tèt
nghiÖp phæ th«ng mét c¸ch xuÊt s¾c, «ng «m Êp hoµi b·o ®i
s©u vµo to¸n häc. Bè cña «ng muèn «ng trë thµnh mét kÜ s−
v× nghÒ nµy kiÕm ®−îc nhiÒu tiÒn h¬n. Nh−ng «ng ®· quyÕt
t©m häc s©u vÒ to¸n vµ cuèi cïng, «ng thuyÕt phôc ®−îc cha
b»ng lßng cho «ng theo häc ngµnh To¸n. ¤ng viÕt th− cho
Ghª-oãc Can-to
(Georg Cantor, 1845 − 1918)
cha ®¹i ý nh− sau : "Con rÊt sung s−íng v× cha ®· ®ång ý cho con theo ®uæi hoµi b·o cña con. T©m hån con, c¬ thÓ con
sèng theo hoµi b·o Êy". ¤ng b¶o vÖ luËn ¸n TiÕn sÜ t¹i tr−êng ®¹i häc Bec-lin vµo n¨m 1867. Tõ n¨m 1869 ®Õn 1905, «ng d¹y ë tr−êng ®¹i häc Ha-l¬ (Halle). ¤ng lµ ng−êi s¸ng lËp nªn lÝ thuyÕt tËp hîp. Ngay sau khi ra ®êi, lÝ thuyÕt tËp hîp ®· lµ c¬ së cho mét cuéc c¸ch m¹ng trong viÕt s¸ch vµ gi¶ng d¹y to¸n. Nh÷ng c«ng tr×nh to¸n häc cña «ng ®· ®Ó l¹i dÊu Ên s©u s¾c cho c¸c thÕ hÖ c¸c nhµ to¸n häc líp sau. N¨m 1925, Hin-be (D. Hilbert), nhµ to¸n häc lçi l¹c cña thÕ kØ XX ®· viÕt : "T«i ®· t×m thÊy trong c¸c c«ng tr×nh cña «ng vÎ ®Ñp cña hoa vµ trÝ tuÖ. T«i nghÜ r»ng ®ã lµ ®Ønh cao cña ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña con ng−êi". Tõ n¨m 40 tuæi, tuy cã nh÷ng thêi k× ®au èm ph¶i n»m viÖn nh−ng «ng vÉn kh«ng ngõng s¸ng t¹o. Mét trong nh÷ng c«ng tr×nh quan träng cña «ng ®· ®−îc hoµn thµnh trong kho¶ng thêi gian gi÷a hai c¬n ®au. ¤ng mÊt ngµy 6-1-1918 t¹i mét bÖnh viÖn ë Ha-l¬, thä 73 tuæi.
23
§ 4
1. Sè gÇn ®óng
Sè gÇn ®óng vμ sai sè
Trong nhiÒu tr−êng hîp, ta kh«ng biÕt ®−îc gi¸ trÞ ®óng cña ®¹i l−îng ta ®ang quan t©m mµ chØ biÕt gi¸ trÞ gÇn ®óng cña nã. C¶ hai kÕt qu¶ ®o chiÒu dµi chiÕc bµn ë h×nh bªn chØ lµ c¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng víi chiÒu dµi thùc cña chiÕc bµn.
H1
Theo Tæng côc Thèng kª, d©n sè n−íc ta t¹i thêi ®iÓm ngμy 1-4-2003 lμ 80 902,4
ngh×n ng−êi, trong ®ã sè nam lμ 39 755,4 ngh×n ng−êi, sè n÷ lμ 41 147,0 ngh×n ng−êi ; thμnh thÞ cã 20 869,5 ngh×n ng−êi vμ n«ng th«n cã 60 032,9 ngh×n ng−êi. Hái c¸c sè liÖu nãi trªn lμ sè ®óng hay sè gÇn ®óng ?
2. Sai sè tuyÖt ®èi vµ sai sè t−¬ng ®èi
a) Sai sè tuyÖt ®èi
Gi¶ sö a lµ gi¸ trÞ ®óng cña mét ®¹i l−îng vµ a lµ gi¸ trÞ gÇn ®óng cña a Gi¸ trÞ . |a − a| ph¶n ¸nh møc ®é sai lÖch gi÷a a vµ a. Ta gäi |a − a| lµ sai sè tuyÖt ®èi cña sè gÇn ®óng a vµ kÝ hiÖu lµ Δa, tøc lµ Δa = | a − a |.
Trªn thùc tÕ, nhiÒu khi ta kh«ng biÕt a nªn kh«ng thÓ tÝnh ®−îc chÝnh x¸c Δa. Tuy nhiªn, ta cã thÓ ®¸nh gi¸ ®−îc Δa kh«ng v−ît qu¸ mét sè d−¬ng d nµo ®ã.
VÝ dô 1. Gi¶ sö a = 2 vµ mét gi¸ trÞ gÇn ®óng cña nã lµ a = 1,41. Ta cã : (1,41)2 = 1,9881 < 2 ⇒ 1,41 < 2 ⇒ 2 1,41 0 − > ;
(1,42)2 = 2,0164 > 2 ⇒ 1,42 > 2 ⇒ 2 1,41 0,01 − < .
Do ®ã
Δa = a a −= − < 2 1,41 0,01.
VËy sai sè tuyÖt ®èi cña 1,41 kh«ng v−ît qu¸ 0,01.
24
NÕu Δa ≤ d th× ad a ad −≤ ≤+ . Khi ®ã, ta quy −íc viÕt
a = a ± d.
Nh− vËy, khi viÕt a = a ± d, ta hiÓu sè ®óng a n»m trong ®o¹n [a − d ; a + d]. Bëi vËy, d cµng nhá th× ®é sai lÖch cña sè gÇn ®óng a so víi sè ®óng a cµng Ýt. Thµnh thö d ®−îc gäi lµ ®é chÝnh x¸c cña sè gÇn ®óng.
H2
KÕt qu¶ ®o chiÒu dμi mét c©y cÇu ®−îc ghi lμ 152 m ± 0,2 m. §iÒu ®ã cã nghÜa
nh− thÕ nμo ?
b) Sai sè t−¬ng ®èi
VÝ dô 2. KÕt qu¶ ®o chiÒu cao mét ng«i nhµ ®−îc ghi lµ 15,2 m ± 0,1 m. Ta muèn so s¸nh ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o nµy víi phÐp ®o chiÒu dµi c©y cÇu
H2
nãi trong .
Tho¹t nh×n, ta thÊy d−êng nh− phÐp ®o nµy cã ®é chÝnh x¸c cao h¬n phÐp ®o
H2
xÐt trong .
§Ó so s¸nh ®é chÝnh x¸c cña hai phÐp ®o ®¹c hay tÝnh to¸n, ng−êi ta ®−a ra kh¸i niÖm sai sè t−¬ng ®èi.
Sai sè t−¬ng ®èi cña sè gÇn ®óng a, kÝ hiÖu lµ δa, lµ tØ sè gi÷a sai sè tuyÖt ®èi vµ |a|, tøc lµ
. Δ = a a a
δ
NÕu a = a ± d th× Δa ≤ d. Do ®ã . ada
δ ≤
NÕu da cµng nhá th× chÊt l−îng cña phÐp ®o ®¹c hay tÝnh to¸n cµng cao. Ng−êi ta th−êng viÕt sai sè t−¬ng ®èi d−íi d¹ng phÇn tr¨m.
∙ Trë l¹i vÝ dô 2 ë trªn, ta thÊy : Trong phÐp ®o chiÒu dµi c©y cÇu th× sai sè t−¬ng ®èi kh«ng v−ît qu¸ ≈ 0,2 0,13%. 152 Trong phÐp ®o chiÒu cao ng«i nhµ th× sai sè t−¬ng ®èi kh«ng v−ît qu¸ ≈ 0,1 0,66%. 15,2
Nh− vËy, phÐp ®o chiÒu dµi c©y cÇu cã ®é chÝnh x¸c cao h¬n.
H3
Sè a ®−îc cho bëi gi¸ trÞ gÇn ®óng a = 5,7824 víi sai sè t−¬ng ®èi kh«ng v−ît
qu¸ 0,5%. H·y ®¸nh gi¸ sai sè tuyÖt ®èi cña a.
25
3. Sè quy trßn
Trong thùc tÕ ®o ®¹c vµ tÝnh to¸n, nhiÒu khi ng−êi ta chØ cÇn biÕt gi¸ trÞ gÇn ®óng cña mét ®¹i l−îng víi ®é chÝnh x¸c nµo ®ã (kÓ c¶ khi cã thÓ biÕt ®−îc gi¸ trÞ ®óng cña nã). Khi ®ã ®Ó cho gän, c¸c sè th−êng ®−îc quy trßn. Tuú møc ®é cho phÐp, ta cã thÓ quy trßn mét sè ®Õn hµng ®¬n vÞ, hµng chôc, hµng tr¨m, ... hay ®Õn hµng phÇn chôc, hµng phÇn tr¨m, hµng phÇn ngh×n, ... (gäi lµ hµng quy trßn) theo nguyªn t¾c sau :
• NÕu ch÷ sè ngay sau hµng quy trßn nhá h¬n 5 th× ta chØ viÖc thay thÕ ch÷ sè ®ã vµ c¸c ch÷ sè bªn ph¶i nã bëi 0.
• NÕu ch÷ sè ngay sau hµng quy trßn lín h¬n hay b»ng 5 th× ta thay thÕ ch÷ sè ®ã vµ c¸c ch÷ sè bªn ph¶i nã bëi 0 vµ céng thªm mét ®¬n vÞ vµo ch÷ sè ë hµng quy trßn.
VÝ dô 3. NÕu quy trßn sè 7216,4 ®Õn hµng chôc th× ch÷ sè ë hµng quy trßn lµ 1, ch÷ sè ngay sau ®ã lµ 6 ; do 6 > 5 nªn ta cã sè quy trßn lµ 7220. VÝ dô 4. NÕu quy trßn sè 2,654 ®Õn hµng phÇn tr¨m (tøc lµ ch÷ sè thø hai sau dÊu phÈy) th× ch÷ sè ngay sau hµng quy trßn lµ 4 ; do 4 < 5 nªn sè quy trßn lµ 2,65. Ta thÊy trong vÝ dô 3 vµ vÝ dô 4, sai sè tuyÖt ®èi lÇn l−ît lµ
| 7216,4 − 7220 | = 3,6 < 5 ;
| 2 ,654 − 2,65 | = 0,004 < 0,005.
NhËn xÐt. Khi thay sè ®óng bëi sè quy trßn ®Õn mét hµng nµo ®ã th× sai sè tuyÖt ®èi cña sè quy trßn kh«ng v−ît qu¸ nöa ®¬n vÞ cña hµng quy trßn. Nh− vËy, ®é chÝnh x¸c cña sè quy trßn b»ng nöa ®¬n vÞ cña hµng quy trßn.
H4
Quy trßn sè 7216,4 ®Õn hμng ®¬n vÞ, sè 2,654 ®Õn hμng phÇn chôc råi tÝnh sai
sè tuyÖt ®èi cña sè quy trßn.
Chó ý
1) Khi quy trßn sè ®óng a ®Õn mét hµng nµo th× ta nãi sè gÇn ®óng a nhËn ®−îc lµ chÝnh x¸c ®Õn hµng ®ã. Ch¼ng h¹n, sè gÇn ®óng cña π chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn tr¨m lµ 3,14 ; sè gÇn ®óng cña 2 chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn ngh×n lµ 1,414.
2) NÕu kÕt qu¶ cuèi cïng cña bµi to¸n yªu cÇu chÝnh x¸c ®Õn hµng 1
10n th× trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n, ë kÕt qu¶ cña c¸c phÐp tÝnh trung 1
10n+ .
gian, ta cÇn lÊy chÝnh x¸c Ýt nhÊt ®Õn hµng 1
26
3) Cho sè gÇn ®óng a víi ®é chÝnh x¸c d (tøc lµ a ad = ± ). Khi ®−îc yªu cÇu quy trßn sè a mµ kh«ng nãi râ quy trßn ®Õn hµng nµo th× ta quy trßn sè a ®Õn hµng thÊp nhÊt mµ d nhá h¬n mét ®¬n vÞ cña hµng ®ã.
Ch¼ng h¹n, cho a = 1,236 ± 0,002 vµ ta ph¶i quy trßn sè 1,236. Ta thÊy 0,001 < 0,002 < 0,01 nªn hµng thÊp nhÊt mµ d nhá h¬n mét ®¬n vÞ cña hµng ®ã lµ hµng phÇn tr¨m. VËy ta ph¶i quy trßn sè 1,236 ®Õn hµng phÇn tr¨m. KÕt qu¶ lµ a ≈ 1,24.
4. Ch÷ sè ch¾c vµ c¸ch viÕt chuÈn sè gÇn ®óng
a) Ch÷ sè ch¾c
Cho sè gÇn ®óng a cña sè a víi ®é chÝnh x¸c d. Trong sè a, mét ch÷ sè ®−îc gäi lµ ch÷ sè ch¾c (hay ®¸ng tin) nÕu d kh«ng v−ît qu¸ nöa ®¬n vÞ cña hµng cã ch÷ sè ®ã.
NhËn xÐt. TÊt c¶ c¸c ch÷ sè ®øng bªn tr¸i ch÷ sè ch¾c ®Òu lµ ch÷ sè ch¾c. TÊt c¶ c¸c ch÷ sè ®øng bªn ph¶i ch÷ sè kh«ng ch¾c ®Òu lµ ch÷ sè kh«ng ch¾c.
VÝ dô 5. Trong mét cuéc ®iÒu tra d©n sè, ng−êi ta b¸o c¸o sè d©n cña tØnh A lµ 1 379 425 ng−êi ± 300 ng−êi.
V× 100 1000 50 300 500
=< < = nªn ch÷ sè hµng ngh×n (ch÷ sè 9) lµ ch÷ 2 2
sè ch¾c. VËy c¸c ch÷ sè ch¾c lµ 1, 3, 7 vµ 9 b) D¹ng chuÈn cña sè gÇn ®óng
Trong c¸ch viÕt a ad = ± , ta biÕt ngay ®é chÝnh x¸c d cña sè gÇn ®óng a (tøc lµ ad a ad −≤ ≤+ ). Ngoµi c¸ch viÕt trªn, ng−êi ta cßn quy −íc d¹ng viÕt chuÈn cña sè gÇn ®óng vµ khi cho mét sè gÇn ®óng d−íi d¹ng chuÈn, ta còng biÕt ®−îc ®é chÝnh x¸c cña nã.
∙ NÕu sè gÇn ®óng lµ sè thËp ph©n kh«ng nguyªn th× d¹ng chuÈn lµ d¹ng mµ mäi ch÷ sè cña nã ®Òu lµ ch÷ sè ch¾c.
VÝ dô 6. Cho mét gi¸ trÞ gÇn ®óng cña 5 ®−îc viÕt d−íi d¹ng chuÈn lµ 2,236 ( 5 ≈ 2,236). ë ®©y, hµng thÊp nhÊt cã ch÷ sè ch¾c lµ hµng phÇn ngh×n nªn ®é chÝnh x¸c cña nã lµ 1 3 .10 2− = 0,0005. Do ®ã, ta biÕt ®−îc : 2,236 − 0,0005 ≤ 5 ≤ 2,236 + 0,0005.
27
∙ NÕu sè gÇn ®óng lµ sè nguyªn th× d¹ng chuÈn cña nã lµ .10 , k A trong ®ã A lµ sè nguyªn, 10k lµ hµng thÊp nhÊt cã ch÷ sè ch¾c (k ∈ ).
(Tõ ®ã, mäi ch÷ sè cña A ®Òu lµ ch÷ sè ch¾c).
VÝ dô 7. Sè d©n cña ViÖt Nam (n¨m 2005) vµo kho¶ng 83.106 ng−êi (83 triÖu ng−êi). ë ®©y, k = 6 nªn ®é chÝnh x¸c cña sè gÇn ®óng nµy lµ 1 6 .10 500000. 2 = Do ®ã, ta biÕt ®−îc sè d©n cña ViÖt Nam trong kho¶ng tõ 82,5 triÖu ng−êi ®Õn 83,5 triÖu ng−êi.
Chó ý
C¸c sè gÇn ®óng trong "B¶ng sè víi bèn ch÷ sè thËp ph©n" (b¶ng Bra-®i-x¬) hoÆc m¸y tÝnh bá tói ®Òu ®−îc cho d−íi d¹ng chuÈn.
VÝ dô 8. Dïng m¸y tÝnh bá tói ®Ó tÝnh 2 3, + ta ®−îc kÕt qu¶ lµ 3,146 264 37. Ta hiÓu sè gÇn ®óng nµy ®−îc viÕt d−íi d¹ng chuÈn, nã cã ®é chÝnh x¸c lµ 1 8 .10 . 2−
(§èi víi mét sè lo¹i m¸y tÝnh nh− Casio fx − 500 MS, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng ®Þnh tr−íc ®é chÝnh x¸c cña kÕt qu¶ ®· ®−îc cµi s½n trong m¸y).
Chó ý
Víi quy −íc vÒ d¹ng chuÈn sè gÇn ®óng th× hai sè gÇn ®óng 0,14 vµ 0,140 viÕt d−íi d¹ng chuÈn cã ý nghÜa kh¸c nhau. Sè gÇn ®óng 0,14 cã sai sè tuyÖt ®èi kh«ng v−ît qu¸ 0,005 cßn sè gÇn ®óng 0,140 cã sai sè tuyÖt ®èi kh«ng v−ît qu¸ 0,0005.
5. KÝ hiÖu khoa häc cña mét sè
Mçi sè thËp ph©n kh¸c 0 ®Òu viÕt ®−îc d−íi d¹ng α.10n, trong ®ã 1 ≤ |α| < 10, n ∈ . (Quy −íc r»ng nÕu n = −m, víi m lµ sè nguyªn d−¬ng th× 1 1010
− = ).
m
m
D¹ng nh− thÕ ®−îc gäi lµ kÝ hiÖu khoa häc cña sè ®ã. Ng−êi ta th−êng dïng kÝ hiÖu khoa häc ®Ó ghi nh÷ng sè rÊt lín hoÆc rÊt bÐ. Sè mò n cña 10 trong kÝ hiÖu khoa häc cña mét sè cho ta thÊy ®é lín (bÐ) cña sè ®ã.
28
VÝ dô 9. Khèi l−îng cña Tr¸i §Êt viÕt d−íi d¹ng kÝ hiÖu khoa häc lµ 5,98.1024 kg.
Khèi l−îng nguyªn tö cña Hi®r« viÕt d−íi d¹ng kÝ hiÖu khoa häc lµ 1,66.10−24 g.
C©u hái vμ bμi tËp
43. C¸c nhµ to¸n häc cæ ®¹i Trung Quèc ®· dïng ph©n sè 227 ®Ó xÊp xØ sè π. H·y ®¸nh gi¸ sai sè tuyÖt ®èi cña gi¸ trÞ gÇn ®óng nµy, biÕt 3,1415 < π < 3,1416.
44. Mét tam gi¸c cã ba c¹nh ®o ®−îc nh− sau : a = 6,3 cm ± 0,1 cm ; b = 10 cm ± 0,2 cm vµ c = 15 cm ± 0,2 cm. Chøng minh r»ng chu vi P cña tam gi¸c lµ P = 31,3 cm ± 0,5 cm.
45. Mét c¸i s©n h×nh ch÷ nhËt víi chiÒu réng lµ x = 2,56 m ± 0,01 m vµ chiÒu dµi lµ y = 4,2 m ± 0,01 m.
Chøng minh r»ng chu vi P cña s©n lµ P = 13,52 m ± 0,04 m. 46. Sö dông m¸y tÝnh bá tói :
a) H·y viÕt gi¸ trÞ gÇn ®óng cña 3 2 chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn tr¨m vµ hµng phÇn ngh×n.
b) ViÕt gi¸ trÞ gÇn ®óng cña 3 100 chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn tr¨m vµ hµng phÇn ngh×n.
47. BiÕt r»ng tèc ®é ¸nh s¸ng trong ch©n kh«ng lµ 300 000 km/s. Hái mét n¨m ¸nh s¸ng ®i ®−îc trong ch©n kh«ng lµ bao nhiªu (gi¶ sö mét n¨m cã 365 ngµy) ? (H·y viÕt kÕt qu¶ d−íi d¹ng kÝ hiÖu khoa häc).
48. Mét ®¬n vÞ thiªn v¨n xÊp xØ b»ng 1,496.108 km. Mét tr¹m vò trô di chuyÓn víi vËn tèc trung b×nh lµ 15 000 m/s. Hái tr¹m vò trô ®ã ph¶i mÊt bao nhiªu gi©y míi ®i ®−îc mét ®¬n vÞ thiªn v¨n ? (H·y viÕt kÕt qu¶ d−íi d¹ng kÝ hiÖu khoa häc).
49. Vò trô cã tuæi kho¶ng 15 tØ n¨m. Hái Vò trô cã bao nhiªu ngµy tuæi (gi¶ sö mét n¨m cã 365 ngµy) ? (H·y viÕt kÕt qu¶ d−íi d¹ng kÝ hiÖu khoa häc).
29
Loµi ng−êi ®· sö dông c¸c hÖ ®Õm
c¬ sè nµo ?
§a sè c¸c d©n téc trªn thÕ giíi dïng hÖ ®Õm thËp ph©n ®Ó biÓu diÔn c¸c sè. Tuy nhiªn, ngoµi hÖ thËp ph©n cßn cã c¸c hÖ ®Õm c¬ sè kh¸c.
Cho b lµ mét sè nguyªn d−¬ng lín h¬n 1. Khi ®ã, mäi sè nguyªn d−¬ng n cã thÓ biÓu diÔn duy nhÊt d−íi d¹ng 1
k k n ab a b ab a − = + ++ + −
1 10 ... , k k
ë ®©y k ∈ , 0 a , 1a , ..., k a lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m nhá h¬n b vµ ak ≠ 0. Ng−êi ta kÝ hiÖu 1 0 ( ... ) k b n a aa = vµ gäi ®ã lµ biÓu diÔn cña n trong hÖ ®Õm c¬ sè b.
HÖ ®Õm sím nhÊt cña loµi ng−êi kh«ng ph¶i lµ hÖ ®Õm thËp ph©n mµ lµ hÖ ®Õm c¬ sè 60 cña ng−êi Ba-bi-lon. Vµo thêi cæ ®¹i, còng cã c¸c bé téc dïng hÖ ®Õm c¬ sè 5. Ng−êi Mai-a ë Nam MÜ cã mét nÒn v¨n ho¸ kh¸ ®éc ®¸o tõng sö dông hÖ ®Õm c¬ sè 20. T¹i §an M¹ch ngµy nay, ng−êi ta vÉn cßn dïng hÖ ®Õm c¬ sè 20. Ng−êi Anh rÊt thÝch dïng hÖ ®Õm c¬ sè 12, ng−êi ta tÝnh 12 bót ch× lµ mét t¸ bót ch×, 24 bót ch× lµ hai t¸ bót ch×.
§Õn khi cã m¸y tÝnh ®iÖn tö th× hÖ nhÞ ph©n l¹i ®−îc −a chuéng. Trong hÖ nhÞ ph©n ®Ó ghi c¸c con sè, ta chØ cÇn hai ch÷ sè 0 vµ 1. Cã thÓ dïng sè 1 biÓu diÔn viÖc ®ãng m¹ch, sè 0 biÓu diÔn viÖc ng¾t m¹ch ; hoÆc 1 biÓu diÔn tr¹ng th¸i bÞ tõ ho¸, 0 lµ tr¹ng th¸i kh«ng bÞ tõ ho¸, ... . Tõ ®ã cho thÊy hÖ nhÞ ph©n rÊt thÝch hîp cho viÖc biÓu diÔn c¸c th«ng tin trªn m¸y tÝnh.
Ch¼ng h¹n, do 620 69 2 2 2 =++ nªn 69 ®−îc viÕt trong hÖ nhÞ ph©n lµ 2 (1000101) . Sè 351 cã biÓu diÔn trong hÖ nhÞ ph©n lµ (101011111)2 v× 2 (101011111) = = 86432 2 2 2 2 2 21 + + + + ++ = 351. Sè 100 000 ®−îc viÕt d−íi d¹ng nhÞ ph©n lµ 2 (11000011010100000) .
Nh−îc ®iÓm cña hÖ nhÞ ph©n lµ c¸c sè viÕt trong hÖ nhÞ ph©n ®Òu dµi vµ khã ®äc. §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy trong m¸y tÝnh, ng−êi ta dïng hai hÖ ®Õm bæ trî lµ hÖ ®Õm c¬ sè 8 vµ hÖ ®Õm c¬ sè 16. §é dµi mét sè viÕt ra trong hÖ ®Õm c¬ sè 8 chØ b»ng kho¶ng 1
3 ®é dµi viÕt trong hÖ nhÞ ph©n vµ kh«ng kh¸c mÊy so víi viÕt trong hÖ thËp ph©n. T−¬ng tù nh− vËy, ®é dµi mét sè viÕt ra trong hÖ ®Õm c¬ sè 16 chØ b»ng kho¶ng 14 ®é dµi viÕt trong hÖ nhÞ ph©n. ViÖc chuyÓn ®æi gi÷a hÖ nhÞ ph©n sang hÖ ®Õm c¬ sè 8 hay 16 vµ ng−îc l¹i rÊt ®¬n gi¶n. V× thÕ, hÖ ®Õm c¬ sè 8 vµ 16 ®· trî gióp ®¾c lùc cho viÖc giao tiÕp gi÷a ng−êi vµ m¸y tÝnh.
30
Em coábiïët
LÞch sö cña viÖc tÝnh gÇn ®óng sè π
Sè π lµ sè v« tØ, nã cã biÓu diÔn thËp ph©n lµ sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn. Trong lÞch sö to¸n häc ®· xuÊt hiÖn mét "cuéc ®ua" nh»m ®¹t kØ lôc vÒ viÖc tÝnh gÇn ®óng sè π víi nhiÒu ch÷ sè (nghÜa lµ víi ®é chÝnh x¸c cµng cao). Ng−êi ®Çu tiªn tÝnh sè π tíi b¶y ch÷ sè lµ T« Xung Chi, nhµ to¸n häc Trung Quèc (thÕ kØ V). Nhµ to¸n häc Ru-®«n-ph¬ (C. Rudolff, 1499 − 1545) ng−êi §øc ®· tÝnh sè π tíi 35 ch÷ sè. ¤ng rÊt tù hµo vÒ ®iÒu nµy vµ ®Ó l¹i di chóc kh¾c 35 ch÷ sè nµy trªn bia mé cña «ng. Ngµy nay víi sù trî gióp cña m¸y tÝnh, c¸c kØ lôc vÒ tÝnh sè π víi nhiÒu ch÷ sè liªn tiÕp bÞ v−ît qua trong mét thêi gian ng¾n. Chóng ta xem b¶ng sau ®©y sÏ râ.
N¨m
Quèc tÞch ng−êi tÝnh sè π
Sè ch÷ sè cña sè π
1957
1973
1983
1986
1987
1989
2002
MÜ
Ph¸p
NhËt
MÜ
NhËt
MÜ
NhËt
100 265
1 triÖu
16 triÖu
30 triÖu
1335 triÖu
4 tØ
1241 tØ
C©u hái vμ bμi tËp «n tËp ch−¬ng I
50. Chän ph−¬ng ¸n tr¶ lêi ®óng trong c¸c ph−¬ng ¸n ®· cho sau ®©y. Cho mÖnh ®Ò "∀x ∈ , x2 > 0". MÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò trªn lµ : (A) ∀x ∈ , x2 < 0 ; (B) ∀x ∈ , x2 ≤ 0 ;
(C) ∃x ∈ , x2 > 0 ; (D) ∃x ∈ , x2 ≤ 0.
51. Sö dông thuËt ng÷ "®iÒu kiÖn ®ñ" ®Ó ph¸t biÓu c¸c ®Þnh lÝ sau ®©y. a) NÕu tø gi¸c MNPQ lµ mét h×nh vu«ng th× hai ®−êng chÐo MP vµ NQ b»ng nhau.
31
b) Trong mÆt ph¼ng, nÕu hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi mét ®−êng th¼ng thø ba th× hai ®−êng th¼ng Êy song song víi nhau. c) NÕu hai tam gi¸c b»ng nhau th× chóng cã diÖn tÝch b»ng nhau.
52. Sö dông thuËt ng÷ "®iÒu kiÖn cÇn" ®Ó ph¸t biÓu c¸c ®Þnh lÝ sau ®©y. a) NÕu hai tam gi¸c b»ng nhau th× chóng cã c¸c ®−êng trung tuyÕn t−¬ng øng b»ng nhau.
b) NÕu mét tø gi¸c lµ h×nh thoi th× nã cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. 53. H·y ph¸t biÓu ®Þnh lÝ ®¶o (nÕu cã) cña c¸c ®Þnh lÝ sau ®©y råi sö dông thuËt ng÷ "®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ" hoÆc "nÕu vµ chØ nÕu" hoÆc "khi vµ chØ khi" ®Ó ph¸t biÓu gép c¶ hai ®Þnh lÝ thuËn vµ ®¶o.
a) NÕu n lµ sè nguyªn d−¬ng lÎ th× 5n + 6 còng lµ sè nguyªn d−¬ng lÎ. b) NÕu n lµ sè nguyªn d−¬ng ch½n th× 7n + 4 còng lµ sè nguyªn d−¬ng ch½n. 54. Chøng minh c¸c ®Þnh lÝ sau ®©y b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng. a) NÕu a + b < 2 th× mét trong hai sè a vµ b ph¶i nhá h¬n 1. b) Cho n lµ sè tù nhiªn, nÕu 5n + 4 lµ sè lÎ th× n lµ sè lÎ.
55. Gäi E lµ tËp hîp c¸c häc sinh cña mét tr−êng trung häc phæ th«ng. XÐt c¸c tËp con sau cña E : tËp hîp c¸c häc sinh líp 10, kÝ hiÖu lµ A ; tËp hîp c¸c häc sinh häc TiÕng Anh, kÝ hiÖu lµ B. H·y biÓu diÔn c¸c tËp hîp sau ®©y theo A, B vµ E.
a) TËp hîp c¸c häc sinh líp 10 häc TiÕng Anh cña tr−êng ®ã. b) TËp hîp c¸c häc sinh líp 10 kh«ng häc TiÕng Anh cña tr−êng ®ã. c) TËp hîp c¸c häc sinh kh«ng häc líp 10 hoÆc kh«ng häc TiÕng Anh cña tr−êng ®ã.
56. a) Ta biÕt r»ng | x − 3| lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm x tíi ®iÓm 3 trªn trôc sè. H·y biÓu diÔn trªn trôc sè c¸c ®iÓm x mµ | x − 3| ≤ 2.
b) §iÒn tiÕp vµo chç cßn trèng (...) trong b¶ng d−íi ®©y.
x ∈ [1 ; 5]
1 ≤ x ≤ 5
| x − 3 | ≤ 2
x ∈ ...
1 ≤ x ≤ 7
| x − ... | ≤ ...
x ∈ ...
... ≤ x ≤ 3,1
| x − ... | ≤ 0,1
32
57. §iÒn tiÕp vµo chç cßn trèng (...) trong b¶ng d−íi ®©y.
2 ≤ x ≤ 5
x ∈ [2 ; 5]
−3 ≤ x ≤ 2
x ∈ ...
...
x ∈ [−1 ; 5]
...
x ∈ (−∞ ; 1]
−5 < x
x ∈ ...
58. Cho biÕt gi¸ trÞ gÇn ®óng cña sè π víi 10 ch÷ sè thËp ph©n lµ π ≈ 3,141 592 653 5.
a) Gi¶ sö ta lÊy gi¸ trÞ 3,14 lµm gi¸ trÞ gÇn ®óng cña π. Chøng tá sai sè tuyÖt ®èi kh«ng v−ît qu¸ 0,002.
b) Gi¶ sö ta lÊy gi¸ trÞ 3,1416 lµm gi¸ trÞ gÇn ®óng cña π. Chøng tá sai sè tuyÖt ®èi kh«ng v−ît qu¸ 0,0001.
59. Mét h×nh lËp ph−¬ng cã thÓ tÝch lµ V = 180,57 3 cm ± 0,05 3 cm . X¸c ®Þnh c¸c ch÷ sè ch¾c cña V.
60. Cho hai nöa kho¶ng A = ( ;] −∞ m vµ B = [5 ; +∞). T×m A ∩ B (biÖn luËn theo m).
61. Cho hai kho¶ng A = (m ; m + 1) vµ B = (3 ; 5). T×m m ®Ó A ∪ B lµ mét kho¶ng. H·y x¸c ®Þnh kho¶ng ®ã.
62. H·y viÕt kÝ hiÖu khoa häc cña c¸c kÕt qu¶ sau :
a) Ng−êi ta coi trªn ®Çu mçi ng−êi cã 150 000 sîi tãc. Hái mét n−íc cã 80 triÖu d©n th× tæng sè sîi tãc cña mäi ng−êi d©n cña n−íc ®ã lµ bao nhiªu ? b) BiÕt r»ng sa m¹c Sa-ha-ra réng kho¶ng 8 triÖu km2. Gi¶ sö trªn mçi mÐt
vu«ng bÒ mÆt ë ®ã cã 2 tØ h¹t c¸t vµ toµn bé sa m¹c phñ bëi c¸t. H·y cho biÕt sè h¹t c¸t trªn bÒ mÆt sa m¹c nµy.
c) BiÕt r»ng 1 mm3 m¸u ng−êi chøa kho¶ng 5 triÖu hång cÇu vµ mçi ng−êi cã kho¶ng 6 lÝt m¸u. TÝnh sè hång cÇu cña mçi ng−êi.
33
34
§ 1
§¹i c−¬ng vÒ hμm sè
1. Kh¸i niÖm vÒ hµm sè
a) Hµm sè
ë líp d−íi, chóng ta ®· lµm quen víi kh¸i niÖm hµm sè. Sau ®©y, ta nh¾c l¹i vµ bæ sung thªm vÒ kh¸i niÖm nµy.
§Þnh nghÜa
Cho mét tËp hîp kh¸c rçng D ⊂ .
Hµm sè f x¸c ®Þnh trªn D lµ mét quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi sè x thuéc D víi mét vµ chØ mét sè, kÝ hiÖu lµ f(x) ; sè f(x) ®ã gäi lµ gi¸ trÞ cña hµm sè f t¹i x.
TËp D gäi lµ tËp x¸c ®Þnh (hay miÒn x¸c ®Þnh), x gäi lµ biÕn sè hay ®èi sè cña hµm sè f.
§Ó chØ râ kÝ hiÖu biÕn sè, hµm sè f cßn ®−îc viÕt lµ y = f(x), hay ®Çy ®ñ h¬n D
lµ f :
→
x y f x = ( )
VÝ dô 1. TrÝch b¶ng th«ng b¸o l·i suÊt tiÕt kiÖm cña mét ng©n hµng :
Lo¹i
k× h¹n
(th¸ng)
VND (%/ n¨m)
lÜnh l·i cuèi k×,
¸p dông tõ 08 − 11 − 2005
1
6,60
2
7,56
3
8,28
6
8,52
9
8,88
12
9,00
35
B¶ng trªn cho ta quy t¾c ®Ó t×m sè phÇn tr¨m l·i suÊt s tuú theo lo¹i k× h¹n k th¸ng. KÝ hiÖu quy t¾c Êy lµ f , ta cã hµm sè s = f(k) x¸c ®Þnh trªn tËp T ={1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12}.
b) Hµm sè cho b»ng biÓu thøc
NÕu f x( ) lµ mét biÓu thøc cña biÕn x th× víi mçi gi¸ trÞ cña x, ta tÝnh ®−îc mét gi¸ trÞ t−¬ng øng duy nhÊt cña f x( ) (nÕu nã x¸c ®Þnh). Do ®ã, ta cã hµm sè y fx = ( ). Ta nãi hµm sè ®ã ®−îc cho b»ng biÓu thøc f(x). Khi cho hµm sè b»ng biÓu thøc, ta quy −íc r»ng :
NÕu kh«ng cã gi¶i thÝch g× thªm th× tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c sè thùc x sao cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc f(x) ®−îc x¸c ®Þnh.
H1
Víi mçi hμm sè cho ë phÇn a) vμ b) sau ®©y, h·y chän kÕt luËn ®óng trong c¸c
kÕt luËn ®· cho.
x
x x − − lμ :
a) TËp x¸c ®Þnh cña hμm sè y = ( 1)( 2)
(A) + ; (B) {x | x ≠ 1 vμ x ≠ 2} ; (C) + \{1 ; 2} ; (D) (0 ; +∞). ⎧− < ⎪⎨ =
1 nÕu 0
x
b) TËp x¸c ®Þnh cña hμm sè (hμm dÊu) d(x) =
0 nÕu 0
x
⎪ > ⎩ 1 nÕu 0 x
lμ :
(A) − ; (B) ; (C) + ; (D) {−1 ; 0 ; 1}.
Chó ý
Trong kÝ hiÖu hµm sè ( ), y fx = ta cßn gäi x lµ biÕn sè ®éc lËp, y lµ biÕn sè phô thuéc cña hµm sè f. BiÕn sè ®éc lËp vµ biÕn sè phô thuéc cña mét hµm sè cã thÓ ®−îc kÝ hiÖu bëi hai ch÷ c¸i tuú ý kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n, y = x2 − 2x − 3 vµ u = t2 − 2t − 3 lµ hai c¸ch viÕt biÓu thÞ cïng mét hµm sè.
c) §å thÞ cña hµm sè
Cho hµm sè y = f x( ) x¸c ®Þnh trªn tËp D. Ta ®· biÕt : Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, tËp hîp (G) c¸c ®iÓm cã to¹ ®é ( ) x fx ; () víi x ∈ D, gäi lµ ®å thÞ cña hµm sè f . Nãi c¸ch kh¸c,
M(x0 ; y0) ∈ (G) ⇔ x0 ∈ D vµ y0 = f(x0).
Qua ®å thÞ cña mét hµm sè, ta cã thÓ nhËn biÕt ®−îc nhiÒu tÝnh chÊt cña hµm sè ®ã.
36
VÝ dô 2. Hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn ®o¹n [−3 ; 8] ®−îc cho b»ng ®å thÞ nh− trong h×nh 2.1.
H×nh 2.1
Dùa vµo ®å thÞ ®· cho, ta cã thÓ nhËn biÕt ®−îc (víi ®é chÝnh x¸c nµo ®ã) : − Gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i mét sè ®iÓm, ch¼ng h¹n f (−3) = −2, f(1) = 0 ; − C¸c gi¸ trÞ ®Æc biÖt cña hµm sè, ch¼ng h¹n, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn ®o¹n [−3 ; 8] lµ −2 ;
− DÊu cña f(x) trªn mét kho¶ng, ch¼ng h¹n nÕu 1 < x < 4 th× f(x) < 0.
2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè
a) Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn
• Khi nghiªn cøu mét hµm sè, ng−êi ta th−êng quan t©m ®Õn sù t¨ng hay gi¶m cña gi¸ trÞ hµm sè khi ®èi sè t¨ng.
VÝ dô 3. XÐt hµm sè f(x) = x2. Gäi x1 vµ x2 lµ hai gi¸ trÞ tuú ý cña ®èi sè. Tr−êng hîp 1 : Khi x1 vµ x2 thuéc nöa kho¶ng [0 ; +∞), ta cã
2 2 0 () () 12 1 2 1 2 ≤<⇒ <⇒ < x x x x fx fx .
Tr−êng hîp 2 : Khi x1 vµ x2 thuéc nöa kho¶ng (−∞ ; 0], ta cã
2 2 x x x x x x fx fx 12 1 2 1 2 1 2 < ≤⇒ > ⇒ > ⇒ > 0 () () .
H2
ë vÝ dô 3, khi ®èi sè t¨ng, trong tr−êng hîp nμo th× :
a) Gi¸ trÞ cña hμm sè t¨ng ? b) Gi¸ trÞ cña hμm sè gi¶m ?
37
Tõ ®©y, ta lu«n hiÓu K lµ mét kho¶ng (nöa kho¶ng hay ®o¹n) nµo ®ã cña .
§Þnh nghÜa
Cho hµm sè f x¸c ®Þnh trªn K.
Hµm sè f gäi lµ ®ång biÕn (hay t¨ng) trªn K nÕu
∀ x1, x2∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ;
Hµm sè f gäi lµ nghÞch biÕn (hay gi¶m) trªn K nÕu
∀ x1, x2∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
∙ Trong vÝ dô 3, ta thÊy hµm sè y = x2 nghÞch biÕn trªn nöa
kho¶ng (−∞ ; 0] vµ ®ång biÕn trªn nöa kho¶ng [0 ; +∞).
Qua ®å thÞ cña nã (h. 2.2) ta thÊy : Tõ tr¸i sang
ph¶i, nh¸nh tr¸i cña parabol (øng víi x ∈ (−∞ ; 0] ) lµ
®−êng cong ®i xuèng, thÓ hiÖn sù nghÞch biÕn cña hµm sè ; nh¸nh ph¶i cña parabol (øng víi x ∈ [0 ; +∞)) lµ ®−êng cong ®i lªn, thÓ hiÖn sù ®ång biÕn cña hµm sè. Tæng qu¸t, ta cã :
H×nh 2.2
NÕu mét hµm sè ®ång biÕn trªn K th× trªn ®ã, ®å thÞ cña nã ®i lªn ; NÕu mét hµm sè nghÞch biÕn trªn K th× trªn ®ã, ®å thÞ cña nã ®i xuèng.
(Khi nãi ®å thÞ ®i lªn hay ®i xuèng, ta lu«n kÓ theo chiÒu t¨ng cña ®èi sè, nghÜa lµ kÓ tõ tr¸i sang ph¶i).
H3
Hμm sè cho bëi ®å thÞ trªn h×nh 2.1 ®ång biÕn trªn kho¶ng nμo, nghÞch biÕn
trªn kho¶ng nμo trong c¸c kho¶ng (−3 ; −1), (−1 ; 2) vμ (2 ; 8) ?
Chó ý
NÕu f(x1) = f(x2) víi mäi x1 vµ x2 thuéc K, tøc lµ ( ) fx c = víi mäi x ∈ K (c lµ h»ng sè) th× ta cã hµm sè kh«ng ®æi (cßn gäi lµ hµm sè h»ng) trªn K.
Ch¼ng h¹n, y = 2 lµ mét hµm sè kh«ng ®æi x¸c ®Þnh trªn . Nã cã ®å thÞ lµ ®−êng th¼ng song song víi trôc Ox (h.2.3).
H×nh 2.3
38
b) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè lµ xÐt xem hµm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn, kh«ng ®æi trªn c¸c kho¶ng (nöa kho¶ng hay ®o¹n) nµo trong tËp x¸c ®Þnh cña nã.
∙ §èi víi hµm sè cho b»ng biÓu thøc, ®Ó kh¶o s¸t sù ®ång biÕn hay nghÞch biÕn cña hµm sè ®ã trªn mét kho¶ng (nöa kho¶ng hay ®o¹n) K , ta cã thÓ dùa vµo ®Þnh nghÜa (xem vÝ dô 3), hoÆc dùa vµo nhËn xÐt sau :
§iÒu kiÖn "x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)" cã nghÜa lµ x2 − x1 vµ f(x2) − f(x1) cïng dÊu. Do ®ã
Hµm sè f ®ång biÕn trªn K khi vµ chØ khi
fx fx () ()
−
∀x1, x2 ∈ K vµ x1 ≠ x2, 2 1
− > 0.
x x
2 1
Hµm sè f nghÞch biÕn trªn K khi vµ chØ khi
fx fx () ()
−
∀x1, x2 ∈ K vµ x1 ≠ x2, 2 1
− < 0.
x x
2 1
Nh− vËy, ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè f trªn K, ta cã thÓ xÐt dÊu cña tØ fx fx () ()
−
sè 2 1
− trªn K.
x x
2 1
VÝ dô 4. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè f(x) = ax2 (víi a > 0) trªn mçi kho¶ng (−∞ ; 0) vµ (0 ; +∞).
Gi¶i. Víi hai sè x1 vµ x2 kh¸c nhau, ta cã
f(x2) − f(x1) = 2 2
2 1 2 12 1 ax ax a x x x x −= − + ( )( ),
() () ( ). fx fx ax x
− = + −
suy ra 2 12 1
x x
2 1
Do a > 0 nªn :
− NÕu 1x < 0 vµ 2x < 0 th× 2 1 ax x ( )0 + < ; ®iÒu ®ã chøng tá hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞ ; 0) ;
− NÕu 1x > 0 vµ 2x > 0 th× 2 1 ax x ( )0 + > ; ®iÒu ®ã chøng tá hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (0 ; +∞).
39
∙ Ng−êi ta th−êng ghi l¹i kÕt qu¶ kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña mét hµm sè b»ng c¸ch lËp b¶ng biÕn thiªn cña nã. Hµm sè trong vÝ dô 4 cã b¶ng biÕn thiªn nh− sau :
x
−∞ 0 +∞
f(x) = 2
ax
(a > 0)
+∞
+∞
0
Trong b¶ng biÕn thiªn, mòi tªn ®i lªn thÓ hiÖn tÝnh ®ång biÕn, mòi tªn ®i xuèng thÓ hiÖn tÝnh nghÞch biÕn cña hµm sè.
Cô thÓ h¬n, hµng thø hai trong b¶ng ®−îc hiÓu nh− sau : f(0) = 0 vµ khi x t¨ng trªn kho¶ng (0 ; +∞) th× f(x) nhËn mäi gi¸ trÞ trong kho¶ng (0 ; +∞) theo chiÒu t¨ng, cßn khi x t¨ng trong kho¶ng (−∞ ; 0) th× f(x) còng nhËn mäi gi¸ trÞ trong kho¶ng (0 ; +∞) nh−ng theo chiÒu gi¶m.
H4
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hμm sè 2 f ( ) x ax = (víi a < 0) trªn mçi kho¶ng
(−∞ ; 0) vμ (0 ; +∞) vμ lËp b¶ng biÕn thiªn cña nã.
3. Hµm sè ch½n, hµm sè lÎ
Cã nh÷ng hµm sè cã mét sè tÝnh chÊt ®Æc biÖt, dÔ nhËn thÊy mµ ta cã thÓ lîi dông ®Ó viÖc kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña nã ®¬n gi¶n vµ dÔ dµng h¬n. TÝnh chÊt ch½n - lÎ cña hµm sè lµ mét vÝ dô.
a) Kh¸i niÖm hµm sè ch½n, hµm sè lÎ
§Þnh nghÜa
Cho hµm sè y = f(x) víi tËp x¸c ®Þnh D.
Hµm sè f gäi lµ hµm sè ch½n nÕu víi mäi x thuéc D, ta cã −x còng thuéc D vµ f(−x) = f(x).
Hµm sè f gäi lµ hµm sè lÎ nÕu víi mäi x thuéc D, ta cã −x còng thuéc D vµ f(−x) = −f(x).
VÝ dô 5. Chøng minh r»ng hµm sè f(x) = 1 1 +− − x x lµ hµm sè lÎ.
40
Gi¶i. TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ ®o¹n [−1 ; 1] nªn dÔ thÊy
∀x, x ∈ [−1 ; 1] ⇒ −x ∈ [−1 ; 1] vµ
f(−x) = 1 1 ( 1 1 ) ( ). − − + =− + − − =− x x x x fx VËy f lµ hµm sè lÎ.
H5
Chøng minh r»ng hμm sè 2
g x ax a ( ) ( 0) = ≠ lμ hμm sè ch½n.
b) §å thÞ cña hµm sè ch½n vµ hµm sè lÎ
Gi¶ sö hµm sè f víi tËp x¸c ®Þnh D lµ hµm sè ch½n vµ cã ®å thÞ (G). Víi mçi ®iÓm M(x0 ; y0) sao cho x0 ∈ D, ta xÐt ®iÓm ®èi xøng víi nã qua trôc tung lµ M'(−x0 ; y0).
Tõ ®Þnh nghÜa hµm sè ch½n, ta cã −x0 ∈ D vµ f(−x0) = f(x0). Do ®ã M ∈ (G) ⇔ y0 = f(x0) ⇔ y0 = f(−x0) ⇔ M' ∈ (G).
§iÒu ®ã chøng tá (G) cã trôc ®èi xøng lµ trôc tung.
NÕu f lµ hµm sè lÎ th× lÝ luËn t−¬ng tù, ta suy ra (G) cã t©m ®èi xøng lµ gèc to¹ ®é O.
VËy ta ®· chøng minh ®−îc ®Þnh lÝ sau ®©y.
§Þnh lÝ
§å thÞ cña hµm sè ch½n nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng.
§å thÞ cña hµm sè lÎ nhËn gèc to¹ ®é lµm t©m ®èi xøng.
H×nh 2.4a cho h×nh ¶nh ®å thÞ cña mét hµm sè ch½n. H×nh 2.4b cho h×nh ¶nh ®å thÞ cña mét hµm sè lÎ. Tuy nhiªn, cã nhiÒu hµm sè kh«ng ch½n vµ kh«ng lÎ. Ch¼ng h¹n, hµm sè 1 y x = + (h.2.4.c) kh«ng ch½n vµ kh«ng lÎ.
H×nh 2.4
41
H6
Cho hμm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (−∞ ; +∞) cã ®å thÞ nh− trªn h×nh 2.5. H·y ghÐp
mçi ý ë cét tr¸i d−íi ®©y víi mét ý ë cét ph¶i ®Ó ®−îc mét mÖnh ®Ò ®óng.
1) Hμm sè f lμ
2) Hμm sè f ®ång biÕn 3) Hμm sè f nghÞch biÕn
a) Hμm sè ch½n
b) Hμm sè lÎ
c) Trªn kho¶ng (−∞ ; 0)
d) Trªn kho¶ng (0 ; +∞)
e) Trªn kho¶ng (−∞ ; +∞)
4. S¬ l−îc vÒ tÞnh tiÕn ®å thÞ song song víi trôc to¹ ®é a) TÞnh tiÕn mét ®iÓm
H×nh 2.5
Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é, xÐt ®iÓm M0(x0 ; y0). Víi sè k > 0 ®· cho, ta cã thÓ dÞch chuyÓn ®iÓm M0 :
− Lªn trªn hoÆc xuèng d−íi (theo ph−¬ng cña trôc tung) k ®¬n vÞ ; − Sang tr¸i hoÆc sang ph¶i (theo ph−¬ng cña trôc hoµnh) k ®¬n vÞ.
Khi dÞch chuyÓn ®iÓm M0 nh− thÕ, ta cßn
nãi r»ng tÞnh tiÕn ®iÓm M0 song song víi
trôc to¹ ®é.
H7
Gi¶ sö 123 MMM , , vμ M4 lμ c¸c ®iÓm
cã ®−îc khi tÞnh tiÕn ®iÓm 00 0 Mx y (;) theo thø tù lªn trªn, xuèng d−íi, sang ph¶i vμ sang tr¸i 2 ®¬n vÞ (h.2.6).
H·y cho biÕt to¹ ®é cña c¸c ®iÓm 123 MMM , , vμ M4 .
b) TÞnh tiÕn mét ®å thÞ
H×nh 2.6
Cho sè k > 0. NÕu ta tÞnh tiÕn tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña ®å thÞ (G) lªn trªn k ®¬n vÞ th× tËp hîp c¸c ®iÓm thu ®−îc t¹o thµnh h×nh (G1). §iÒu ®ã ®−îc ph¸t biÓu lµ :
42
TÞnh tiÕn ®å thÞ (G) lªn trªn k ®¬n vÞ th× ®−îc h×nh (G1), hoÆc H×nh (G1) cã ®−îc khi tÞnh tiÕn ®å thÞ (G) lªn trªn k ®¬n vÞ.
Ta còng ph¸t biÓu t−¬ng tù khi tÞnh tiÕn (G) xuèng d−íi, sang tr¸i hay sang ph¶i.
VÊn ®Ò lµ : NÕu (G) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) th× (G1) cã lµ ®å thÞ cña mét hµm sè kh«ng ? NÕu cã th× (G1) lµ ®å thÞ cña hµm sè nµo ?
§Þnh lÝ sau ®©y sÏ tr¶ lêi c©u hái ®ã (ta thõa nhËn ®Þnh lÝ nµy). §Þnh lÝ
Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, cho ®å thÞ (G) cña hµm sè y = f(x) ; p vµ q lµ hai sè d−¬ng tuú ý. Khi ®ã :
1) TÞnh tiÕn (G) lªn trªn q ®¬n vÞ th× ®−îc ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) + q ;
2) TÞnh tiÕn (G) xuèng d−íi q ®¬n vÞ th× ®−îc ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) − q ;
3) TÞnh tiÕn (G) sang tr¸i p ®¬n vÞ th× ®−îc ®å thÞ cña hµm sè y = f(x + p) ;
4) TÞnh tiÕn (G) sang ph¶i p ®¬n vÞ th× ®−îc ®å thÞ cña hµm sè y = f(x − p).
VÝ dô 6. NÕu tÞnh tiÕn ®−êng th¼ng (d) :
y = 2x − 1 sang ph¶i 3 ®¬n vÞ th× ta ®−îc ®å
thÞ cña hµm sè nµo ?
Gi¶i. KÝ hiÖu f(x) = 2x − 1. Theo ®Þnh lÝ
trªn, khi tÞnh tiÕn (d) sang ph¶i 3 ®¬n vÞ, ta
®−îc (d1), ®ã lµ ®å thÞ cña hµm sè
y = f(x − 3) = 2(x − 3) − 1,
tøc lµ hµm sè y = 2x − 7 (h.2.7). H×nh 2.7
43
VÝ dô 7. Cho ®å thÞ (H) cña hµm sè y = 1x. Hái muèn cã ®å thÞ cña hµm sè y = 2 1 xx
− + th× ta ph¶i tÞnh tiÕn (H) nh− thÕ nµo ?
− + = −2 +1x = g(x) − 2. VËy muèn cã ®å
Gi¶i. KÝ hiÖu g(x) = 1x, ta cã 2 1 xx
− + , ta ph¶i tÞnh tiÕn (H) xuèng d−íi 2 ®¬n vÞ.
thÞ cña hµm sè y = 2 1 xx
H8
H·y chän ph−¬ng ¸n tr¶ lêi ®óng trong c¸c ph−¬ng ¸n ®· cho sau ®©y :
Khi tÞnh tiÕn parabol y = 2x2 sang tr¸i 3 ®¬n vÞ, ta ®−îc ®å thÞ cña hμm sè : (A) y = 2(x + 3)2 ; (B) y = 2x2+ 3 ; (C) y = 2(x − 3)2 ; (D) y = 2x2 − 3.
C©u hái vμ bμi tËp
Hµm sè
1. T×m tËp x¸c ®Þnh cña mçi hµm sè sau :
yx x+ = − + ; b) 22
a) 23 51 x
yx x− = − + ;
x
3 2
yx− = − ; d) 2 2 . c) 12
x
2. BiÓu ®å h×nh 2.8 cho biÕt sè triÖu tÊn g¹o xuÊt khÈu cña ViÖt Nam trong c¸c n¨m tõ 2000 ®Õn 2005. BiÓu ®å nµy cho ta mét hµm sè. H·y cho biÕt tËp x¸c ®Þnh vµ nªu mét vµi gi¸ trÞ cña hµm
− = + +
x
yx x ( 2) 1
sè ®ã. H×nh 2.8
44
Sù biÕn thiªn cña hµm sè
3. H×nh 2.9 lµ ®å thÞ cña mét hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ . Dùa vµo ®å thÞ, h·y lËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè ®ã.
4. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña mçi hµm sè sau vµ lËp b¶ng biÕn thiªn cña nã :
a) y = x2 + 2x − 2 trªn mçi kho¶ng (−∞ ; −1) vµ (−1 ; +∞) ; b) y = −2x2 + 4x + 1 trªn mçi kho¶ng (−∞ ; 1) vµ (1 ; +∞) ; c) y = 2
x − 3 trªn mçi kho¶ng (−∞ ; 3) vµ (3 ; +∞).
Hµm sè ch½n, hµm sè lÎ
5. Mçi hµm sè sau lµ hµm sè ch½n hay hµm sè lÎ ? a) y = x4 − 3x2 + 1 ; b) y = −2x3 + x ;
H×nh 2.9
c) y = | x + 2 | − | x − 2 | ; d) y = | 2x + 1 | + | 2x − 1 |.
TÞnh tiÕn ®å thÞ
6. Cho ®−êng th¼ng (d) : y = 0,5x. Hái ta sÏ ®−îc ®å thÞ cña hµm sè nµo khi tÞnh tiÕn (d) :
a) Lªn trªn 3 ®¬n vÞ ? b) Xuèng d−íi 1 ®¬n vÞ ?
c) Sang ph¶i 2 ®¬n vÞ ? d) Sang tr¸i 6 ®¬n vÞ ?
LuyÖn tËp
7. Quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi sè thùc d−¬ng víi c¨n bËc hai cña nã cã ph¶i lµ mét hµm sè kh«ng ? V× sao ?
8. Gi¶ sö (G) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ A lµ mét ®iÓm trªn trôc hoµnh cã hoµnh ®é b»ng a. Tõ A, ta dùng ®−êng th¼ng (d) song song (hoÆc trïng) víi trôc tung.
a) Khi nµo th× (d) cã ®iÓm chung víi (G) ? (H−íng dÉn. XÐt hai tr−êng hîp a thuéc D vµ a kh«ng thuéc D) ;
45
b) (d) cã thÓ cã bao nhiªu ®iÓm chung víi (G) ? V× sao ? c) §−êng trßn cã thÓ lµ ®å thÞ cña hµm sè nµo kh«ng ? V× sao ? 9. T×m tËp x¸c ®Þnh cña mçi hµm sè sau :
3 1
x
a) y = 2 x
+
− ; b) y = 2 1xx
x − − − ;
9
c) y = 3 22
x x
− −
+ ; d) y = 1 4 . ( 2)( 3)
x x
−+ −
x x
x
⎧− − −≤ < ⎪⎨⎪⎩ − ≥
2( 2) nÕu 1 1
x x
− −
10. Cho hµm sè f(x) = 2
x x
1 nÕu 1.
a) Cho biÕt tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè f.
b) TÝnh f(−1), f(0,5), f( 22 ), f(1), f(2).
11. Trong c¸c ®iÓm A(−2 ; 8), B(4 ; 12), C(2 ; 8), D(5 ; 25 + 2 ), ®iÓm nµo thuéc, ®iÓm nµo kh«ng thuéc ®å thÞ cña hµm sè f(x) = x2 + x − 3 ? V× sao ?
12. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña c¸c hµm sè sau :
a) y = 1
x − 2 trªn mçi kho¶ng (−∞ ; 2) vµ (2 ; +∞) ;
b) y = x2 − 6x + 5 trªn mçi kho¶ng (−∞ ; 3) vµ (3 ; +∞) ;
c) y = x2005 + 1 trªn kho¶ng (−∞ ; +∞).
13. Hµm sè y = 1x cã ®å thÞ nh− h×nh 2.10.
a) Dùa vµo ®å thÞ, h·y lËp b¶ng biÕn thiªn
cña hµm sè ®ã.
b) B»ng tÝnh to¸n, h·y kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña
hµm sè trªn mçi kho¶ng (−∞ ; 0) vµ (0 ; +∞)
vµ kiÓm tra l¹i kÕt qu¶ so víi b¶ng biÕn thiªn
®· lËp. H×nh 2.10
46
14. TËp con S cña tËp sè thùc gäi lµ ®èi xøng nÕu víi mäi x thuéc S, ta ®Òu cã −x thuéc S. Em cã nhËn xÐt g× vÒ tËp x¸c ®Þnh cña mét hµm sè ch½n (lÎ) ? Tõ nhËn xÐt ®ã, em cã kÕt luËn g× vÒ tÝnh ch½n - lÎ cña hµm sè y = x ? T¹i sao ?
15. Gäi (d) lµ ®−êng th¼ng y = 2x vµ (d') lµ ®−êng th¼ng y = 2x − 3. Ta cã thÓ coi (d') cã ®−îc lµ do tÞnh tiÕn (d) :
a) Lªn trªn hay xuèng d−íi bao nhiªu ®¬n vÞ ?
b) Sang tr¸i hay sang ph¶i bao nhiªu ®¬n vÞ ?
16. Cho ®å thÞ (H) cña hµm sè y = 2x − .
a) TÞnh tiÕn (H) lªn trªn 1 ®¬n vÞ, ta ®−îc ®å thÞ cña hµm sè nµo ? b) TÞnh tiÕn (H) sang tr¸i 3 ®¬n vÞ, ta ®−îc ®å thÞ cña hµm sè nµo ? c) TÞnh tiÕn (H) lªn trªn 1 ®¬n vÞ, sau ®ã tÞnh tiÕn ®å thÞ nhËn ®−îc sang tr¸i 3 ®¬n vÞ, ta ®−îc ®å thÞ cña hµm sè nµo ?
¸nh x¹
¸nh x¹ lµ mét kh¸i niÖm rÊt quan träng. Còng nh− tËp hîp, kh¸i niÖm ¸nh x¹ cã mÆt trong tÊt c¶ c¸c lÜnh vùc to¸n häc. Kh¸i niÖm hµm sè thùc chÊt còng chØ lµ mét tr−êng hîp riªng cña kh¸i niÖm ¸nh x¹ mµ th«i.
1. §Þnh nghÜa
Cho hai tËp hîp tuú ý kh¸c rçng X vµ Y.
• Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lμ mét quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi phÇn tö x cña X víi mét vμ chØ mét phÇn tö x¸c ®Þnh cña Y. PhÇn tö x¸c ®Þnh Êy gäi lμ ¶nh cña x qua ¸nh x¹ f, vμ kÝ hiÖu lμ f(x).
• TËp hîp X gäi lµ tËp nguån, tËp hîp Y gäi lµ tËp ®Ých cña ¸nh x¹.
¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y ®−îc viÕt lμ f : X → Y
x fx ( ).
47
VÝ dô 1. Cho X = {a ; b ; c ; d } vµ Y = {0 ; 1}.
Gäi f lµ quy t¾c cho ë h×nh bªn. Ta cã
¸nh x¹
f : X → Y
a 0
b 1
c 1
d 1.
VÝ dô 2. Cho X lµ tËp hîp c¸c líp häc cña mét tr−êng phæ th«ng, Y lµ tËp hîp c¸c gi¸o viªn cña tr−êng ®ã vµ f lµ quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi líp häc víi gi¸o viªn chñ nhiÖm líp ®ã. Ta cã ¸nh x¹ f : X → Y.
VÝ dô 3. Cho X lµ tËp hîp c¸c häc sinh cña mét tr−êng häc, Y lµ tËp hîp c¸c sè thùc vµ f lµ quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi häc sinh víi sè ®o chiÒu cao (tÝnh b»ng xentimet) cña häc sinh ®ã. Khi ®ã, f lµ mét ¸nh x¹ tõ X ®Õn Y.
2. Chó ý
1) NÕu cho ¸nh x¹ f : X → Y th× :
− Mçi phÇn tö x ∈ X ®Òu ph¶i cã ¶nh cña nã trong Y vµ ¶nh ®ã lµ duy nhÊt ;
− Mçi phÇn tö thuéc Y cã thÓ lµ ¶nh cña mét hay nhiÒu phÇn tö cña X, nh−ng còng cã thÓ kh«ng lµ ¶nh cña phÇn tö nµo c¶.
2) Tr−êng hîp X ⊂ vµ Y = th× mçi ¸nh x¹ tõ X ®Õn Y lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn X.
§ 2
Hμm sè bËc nhÊt
1. Nh¾c l¹i vÒ hµm sè bËc nhÊt
∙ Ta ®· biÕt : Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®−îc cho b»ng biÓu thøc cã d¹ng y = ax + b, trong ®ã a vµ b lµ nh÷ng h»ng sè víi a ≠ 0.
Hµm sè bËc nhÊt cã tËp x¸c ®Þnh lµ .
Khi a > 0, hµm sè y = ax + b ®ång biÕn trªn .
Khi a < 0, hµm sè y = ax + b nghÞch biÕn trªn .
48
B¶ng biÕn thiªn :
x
−∞ +∞
y = ax + b
(a > 0)
+∞ −∞
x
−∞ +∞
y = ax + b (a < 0)
+∞
−∞
§å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a ≠ 0) lµ mét ®−êng th¼ng gäi lµ ®−êng th¼ng y = ax + b. Nã cã hÖ sè gãc b»ng a vµ cã ®Æc ®iÓm sau :
− Kh«ng song song vµ kh«ng trïng víi c¸c trôc to¹ ®é ;
− C¾t trôc tung t¹i ®iÓm B(0 ; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm A(− ba; 0). VÝ dô 1. §å thÞ cña hµm sè y = 2x + 4 lµ ®−êng
th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(−2 ; 0) vµ B(0 ; 4).
Tõ ®¼ng thøc 2x + 4 = 2(x + 2) dÔ suy ra r»ng
®−êng th¼ng y = 2x + 4 cã thÓ thu ®−îc tõ ®−êng
th¼ng (d) : y = 2x b»ng mét trong hai c¸ch sau
(h. 2.11) :
− TÞnh tiÕn (d) lªn trªn 4 ®¬n vÞ ;
− TÞnh tiÕn (d) sang tr¸i 2 ®¬n vÞ.
H×nh 2.11
∙ Cho hai ®−êng th¼ng (d) : y = ax + b vµ (d ') : y = a'x + b', ta cã : (d) song song víi (d ') ⇔ a = a' vµ b ≠ b' ;
(d) trïng víi (d') ⇔ a = a' vµ b = b' ;
(d) c¾t (d ') ⇔ a ≠ a'.
2. Hµm sè y = |ax + b|
a) Hµm sè bËc nhÊt trªn tõng kho¶ng
XÐt hµm sè y = f(x) =
x x ⎧ + ≤<
1 nÕu 0 2 ⎪⎪⎨− + ≤≤
1 4 nÕu 2 4
2
x x
⎪⎪ − <≤ ⎩
2 6 nÕu 4 5.
x xH×nh 2.12
49
Râ rµng, hµm sè trªn kh«ng ph¶i lµ hµm sè bËc nhÊt. Nã lµ sù "l¾p ghÐp" cña ba hµm sè bËc nhÊt kh¸c nhau. Hµm sè nµy lµ mét vÝ dô vÒ hµm sè bËc nhÊt trªn tõng kho¶ng.
Muèn vÏ ®å thÞ cña hµm sè bËc nhÊt trªn tõng kho¶ng, ta vÏ ®å thÞ cña tõng hµm sè t¹o thµnh. Ch¼ng h¹n, ®å thÞ cña hµm sè nªu trªn lµ ®−êng gÊp khóc ABCD (h.2.12), trong ®ã :
AB lµ phÇn ®−êng th¼ng y = x + 1 øng víi 0 ≤ x < 2 ;
BC lµ phÇn ®−êng th¼ng y = − 12x + 4 øng víi 2 ≤ x ≤ 4 ;
CD lµ phÇn ®−êng th¼ng y = 2x − 6 øng víi 4 < x ≤ 5.
H1
Cho biÕt tËp x¸c ®Þnh, lËp b¶ng biÕn thiªn cña hμm sè nãi trªn vμ t×m gi¸ trÞ lín
nhÊt cña nã.
b) §å thÞ vµ sù biÕn thiªn cña hµm sè y = | ax + b | víi a ≠ 0
Sau ®©y, ta sÏ t×m hiÓu tÝnh chÊt cña c¸c hµm sè d¹ng y = | ax + b | th«ng qua ®å thÞ cña nã. Hµm sè y = | ax + b | vÒ thùc chÊt còng lµ hµm sè bËc nhÊt trªn tõng kho¶ng.
VÝ dô 2. XÐt hµm sè y = |x|.
DÔ thÊy hµm sè y = |x| x¸c ®Þnh víi mäi x vµ lµ
mét hµm sè ch½n. Theo ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, ta cã
|x| = nÕu 0
⎧ ≥ ⎨⎩− <
x x
x x
nÕu 0.
H×nh 2.13
Do ®ã, ®å thÞ cña hµm sè nµy lµ sù "l¾p ghÐp" cña hai ®å thÞ : ®å thÞ cña hµm sè y = x (chØ lÊy phÇn øng víi x ≥ 0) vµ ®å thÞ cña hµm sè y = −x (chØ lÊy phÇn øng víi x < 0). §ã lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc phÇn t− I vµ II (h.2.13). DÔ thÊy chóng ®èi xøng víi nhau qua Oy.
H2
Dùa vμo ®å thÞ, h·y lËp b¶ng biÕn thiªn cña hμm sè y = |x| vμ t×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña nã.
50
VÝ dô 3. XÐt hµm sè y = |2x − 4|.
Theo ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, ta cã :
− NÕu 2x − 4 ≥ 0, tøc lµ x ≥ 2 th× |2x − 4| = 2x − 4 ;
− NÕu 2x − 4 < 0, tøc lµ x < 2 th× |2x − 4| = −(2x − 4) = −2x + 4. Do ®ã, hµm sè ®· cho cã thÓ viÕt lµ
y⎧ = ⎨⎩
2x − 4 nÕu x ≥ 2
−2x + 4 nÕu x < 2.
H3
H·y nªu c¸ch vÏ ®å thÞ cña hμm sè cho trong vÝ dô 3 råi lËp b¶ng biÕn thiªn
cña nã.
Chó ý
Qua hai vÝ dô trªn ®©y, ta thÊy cã thÓ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = | ax + b | b»ng mét c¸ch kh¸c ®¬n gi¶n h¬n nh− sau : VÏ hai ®−êng th¼ng y = ax + b vµ y = − ax − b
råi xo¸ ®i hai phÇn ®−êng th¼ng n»m ë phÝa d−íi trôc hoµnh. (H×nh 2.14 lµ ®å thÞ cña hµm sè cho trong vÝ dô 3).
C©u hái vμ bμi tËp
Hµm sè bËc nhÊt
H×nh 2.14
17. T×m c¸c cÆp ®−êng th¼ng song song trong c¸c ®−êng th¼ng sau : a) y = 1 1
2x + ; b) y = − 12x + 3 ;
c) y = 22x + 2 ; d) y = 2 x − 2 ; ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −
e) y = 12x − 1 ; g) y = − 2 1 .
2
x
⎝ ⎠
51
Hµm sè y = |ax + b|
2x + 4 nÕu −2 ≤ x < −1
18. Cho hµm sè y = f(x) = −2x nÕu −1 ≤ x ≤ 1
x − 3 nÕu 1 < x ≤ 3.
a) T×m tËp x¸c ®Þnh vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ®ã.
b) Cho biÕt sù biÕn thiªn cña hµm sè ®· cho trªn mçi kho¶ng (−2 ; −1), (−1 ; 1) vµ (1 ; 3) vµ lËp b¶ng biÕn thiªn cña nã.
19. a) VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè y = f1(x) = 2| x | vµ y = f2(x) = | 2x + 5 | trªn cïng mét mÆt ph¼ng to¹ ®é.
b) Cho biÕt phÐp tÞnh tiÕn biÕn ®å thÞ hµm sè f1 thµnh ®å thÞ hµm sè f2.
PhÐp tÞnh tiÕn hÖ to¹ ®é
Ta biÕt r»ng ®å thÞ cña mét hµm sè bao giê còng g¾n víi mét hÖ to¹ ®é nhÊt ®Þnh. VÝ dô, ®å thÞ cña hµm sè y = x lµ ®−êng ph©n gi¸c (d) cña gãc phÇn t− I vµ III trong hÖ to¹ ®é Oxy. Ta h·y xÐt mét hÖ to¹ ®é míi O'XY, trong ®ã gèc O' cña nã, ®èi víi hÖ to¹
®é Oxy, cã to¹ ®é (x0 ; y0) ; c¸c trôc X'X vµ Y'Y song song cïng h−íng vµ cïng ®¬n vÞ theo thø tù víi trôc x'x vµ y'y (h.2.15). C©u hái ®Æt ra lµ trong hÖ to¹ ®é míi Êy, liÖu (d) cã cßn lµ ®å thÞ cña hµm sè Y = X n÷a hay kh«ng ? NÕu kh«ng th× nã sÏ lµ ®å thÞ cña hµm sè nµo ?
Cã thÓ thÊy r»ng : NÕu O' ∉ (d), cã nghÜa lµ
(d) kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é míi th× (d) kh«ng
thÓ lµ ®å thÞ cña hµm sè Y = X. Tuy nhiªn,
trong tr−êng hîp tæng qu¸t, muèn biÕt (d) lµ
®å thÞ cña hµm sè nµo, ta cÇn t×m hiÓu mèi quan hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é cò vµ míi cña mçi ®iÓm trong mÆt ph¼ng.
Gäi M lµ mét ®iÓm tuú ý. §èi víi hÖ to¹ ®é Oxy, M cã to¹ ®é lµ (x ; y). §èi víi hÖ to¹ ®é O'XY, to¹ ®é cña M lµ (X ; Y). Ta cÇn t×m mèi quan hÖ gi÷a (x ; y) vµ (X ; Y). §Ó ý
OM OO O M = +' ' . H×nh 2.15
52
VÒ to¹ ®é, tõ ®¼ng thøc vect¬ ë trªn, ta cã
xXx
⎧ = +
0
⎨= + ⎩ (*)
yYy
0.
§ã lµ c«ng thøc ®æi to¹ ®é bëi phÐp tÞnh tiÕn hÖ to¹ ®é theo vect¬ OO' .
Gi¶ sö (G) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) ®èi víi hÖ to¹ ®é Oxy. Muèn biÕt (G) lµ ®å thÞ cña hµm sè nµo ®èi víi hÖ to¹ ®é O'XY, ta ph¶i t×m quan hÖ gi÷a X vµ Y. Muèn vËy, thay thÕ x vµ y trong hÖ thøc y = f(x) bëi c«ng thøc (*), ta cã
Y + y0 = f(X + x0) hay Y = f(X + x0) − y0.
VËy ®èi víi hÖ to¹ ®é O'XY, (G) lµ ®å thÞ cña hµm sè Y = f(X + x0) − y0.
LuyÖn tËp
20. Cã ph¶i mçi ®−êng th¼ng trong mÆt ph¼ng to¹ ®é ®Òu lµ ®å thÞ cña mét hµm sè nµo ®ã kh«ng ? V× sao ?
21. a) T×m hµm sè y = f(x), biÕt r»ng ®å thÞ cña nã lµ ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm (−2 ; 5) vµ cã hÖ sè gãc b»ng −1,5 ;
b) VÏ ®å thÞ cña hµm sè t×m ®−îc.
22. T×m bèn hµm sè bËc nhÊt cã ®å thÞ lµ bèn ®−êng th¼ng ®«i mét c¾t nhau t¹i bèn ®Ønh cña mét h×nh vu«ng nhËn gèc O lµm t©m ®èi xøng, biÕt r»ng mét ®Ønh cña h×nh vu«ng nµy lµ A(3 ; 0).
23. Gäi (G) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = 2| x |.
a) Khi tÞnh tiÕn (G) lªn trªn 3 ®¬n vÞ, ta ®−îc ®å thÞ cña hµm sè nµo ? b) Khi tÞnh tiÕn (G) sang tr¸i 1 ®¬n vÞ, ta ®−îc ®å thÞ cña hµm sè nµo ? c) Khi tÞnh tiÕn liªn tiÕp (G) sang ph¶i 2 ®¬n vÞ, råi xuèng d−íi 1 ®¬n vÞ, ta ®−îc ®å thÞ cña hµm sè nµo ?
24. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè sau trªn cïng mét mÆt ph¼ng to¹ ®é vµ nªu nhËn xÐt vÒ quan hÖ gi÷a chóng :
a) y = | x − 2 | ; b) y = | x | − 3.
53
25. Mét h·ng taxi quy ®Þnh gi¸ thuª xe ®i mçi kil«mÐt lµ 6 ngh×n ®ång ®èi víi 10 km ®Çu tiªn vµ 2,5 ngh×n ®ång ®èi víi c¸c kil«mÐt tiÕp theo. Mét hµnh kh¸ch thuª taxi ®i qu·ng ®−êng x kil«mÐt ph¶i tr¶ sè tiÒn lµ y ngh×n ®ång. Khi ®ã, y lµ mét hµm sè cña ®èi sè x, x¸c ®Þnh víi mäi x ≥ 0.
a) H·y biÓu diÔn y nh− mét hµm sè bËc nhÊt trªn tõng kho¶ng øng víi ®o¹n [0 ; 10] vµ kho¶ng (10 ; +∞).
b) TÝnh f(8), f(10) vµ f(18).
c) VÏ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ lËp b¶ng biÕn thiªn cña nã.
26. Cho hµm sè y = 3| x − 1 | − | 2x + 2 |.
a) B»ng c¸ch bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, h·y viÕt hµm sè ®· cho d−íi d¹ng hµm sè bËc nhÊt trªn tõng kho¶ng. (H−íng dÉn. XÐt c¸c kho¶ng hay ®o¹n (−∞ ; −1), [−1 ; 1) vµ [1 ; +∞)).
b) VÏ ®å thÞ råi lËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè ®· cho.
§ 3
1. §Þnh nghÜa
Hμm sè bËc hai
Hµm sè bËc hai lµ hµm sè ®−îc cho b»ng biÓu thøc cã d¹ng y = ax2 + bx + c, trong ®ã a, b, c lµ nh÷ng h»ng sè víi a ≠ 0.
TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè bËc hai lµ .
Hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) mµ chóng ta ®· häc ë líp d−íi lµ mét tr−êng hîp riªng cña hµm sè bËc hai vµ cã ®å thÞ lµ mét parabol.
Trong bµi nµy, chóng ta sÏ thÊy r»ng : NÕu tÞnh tiÕn parabol y = ax2 mét c¸ch thÝch hîp th× ta sÏ ®−îc ®å thÞ cña hµm sè y = ax2 + bx + c. Do ®ã, ®å thÞ hµm sè y = ax2 + bx + c còng gäi lµ mét parabol.
54
2. §å thÞ cña hµm sè bËc hai
a) Nh¾c l¹i vÒ ®å thÞ hµm sè y = ax2 (a ≠ 0)
Ta ®· biÕt, ®å thÞ hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) lµ parabol (P0) cã c¸c ®Æc ®iÓm sau : 1) §Ønh cña parabol (P0) lµ gèc to¹ ®é O ;
2) Parabol (P0) cã trôc ®èi xøng lµ trôc tung ;
3) Parabol (P0) h−íng bÒ lâm lªn trªn khi a > 0 vµ xuèng d−íi khi a < 0. Ch¼ng h¹n, h×nh 2.16 lµ parabol y = 2x2, h×nh 2.17 lµ parabol y = 1 2. 2
− x
H×nh 2.16 H×nh 2.17 b) §å thÞ hµm sè y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Ta ®· biÕt
2 2
⎛ ⎞
bbb ax bx c a x x c
2 2
+ += + + − + ⎜ ⎟
2 22 4 4
a a a
⎝ ⎠
2 2 4 . 2 4
⎛ ⎞ − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
=
Do ®ã, nÕu ®Æt
b b ac
a xa a
Δ = b2 − 4ac, p = 2ba − vµ q = 4aΔ − th× hµm sè y = ax2 + bx + c cã d¹ng y = a(x − p)2 + q.
Gäi (P0) lµ parabol y = ax2. Ta thùc hiÖn hai phÐp tÞnh tiÕn liªn tiÕp nh− sau :
H×nh 2.18
55
− TÞnh tiÕn (P0) sang ph¶i p ®¬n vÞ nÕu p > 0, sang tr¸i |p| ®¬n vÞ nÕu p < 0, ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = a(x − p)2. Gäi ®å thÞ nµy lµ (P1).
− TiÕp theo, tÞnh tiÕn (P1) lªn trªn q ®¬n vÞ nÕu q > 0, xuèng d−íi |q| ®¬n vÞ nÕu q < 0, ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = a(x − p)2 + q. Gäi ®å thÞ nµy lµ (P). VËy (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = ax2 + bx + c.
Ta nhËn thÊy (P1) vµ (P) ®Òu lµ nh÷ng h×nh "gièng hÖt" parabol (P0) (h×nh 2.18 øng víi tr−êng hîp p > 0, q > 0).
H1
BiÕt r»ng trong phÐp tÞnh tiÕn thø nhÊt, ®Ønh O cña (P0) biÕn thμnh ®Ønh I1 cña
(P1). Tõ ®ã, h·y cho biÕt to¹ ®é cña I1 vμ ph−¬ng tr×nh trôc ®èi xøng cña (P1).
H2
Trong phÐp tÞnh tiÕn thø hai, ®Ønh I1 cña (P1) biÕn thμnh ®Ønh I cña (P). T×m to¹
®é cña I vμ ph−¬ng tr×nh trôc ®èi xøng cña (P).
KÕt luËn
§å thÞ cña hµm sè y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) lµ mét parabol cã ®Ønh b Ia a
⎛ ⎞ Δ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ nhËn ®−êng th¼ng x = − 2ba lµm trôc ®èi xøng vµ
; , 2 4
h−íng bÒ lâm lªn trªn khi a > 0, xuèng d−íi khi a < 0.
Trªn ®©y, ta ®· biÕt ®å thÞ cña hµm sè y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) còng lµ mét parabol "gièng" nh− parabol y = ax2, chØ kh¸c nhau vÒ vÞ trÝ trong mÆt ph¼ng to¹ ®é. Do ®ã trong thùc hµnh, ta th−êng vÏ trùc tiÕp parabol y = ax2 + bx + c mµ kh«ng cÇn vÏ parabol y = ax2. Cô thÓ, ta lµm nh− sau :
− X¸c ®Þnh ®Ønh cña parabol ;
− X¸c ®Þnh trôc ®èi xøng vµ h−íng bÒ lâm cña parabol ;
− X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm cô thÓ cña parabol (ch¼ng h¹n, giao ®iÓm cña parabol víi c¸c trôc to¹ ®é vµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi chóng qua trôc ®èi xøng) ;
− C¨n cø vµo tÝnh ®èi xøng, bÒ lâm vµ h×nh d¸ng parabol ®Ó "nèi" c¸c ®iÓm ®ã l¹i.
56
3. Sù biÕn thiªn cña hµm sè bËc hai
Tõ ®å thÞ cña hµm sè bËc hai, ta suy ra b¶ng biÕn thiªn sau ®©y.
x
−∞ 2ba − +∞
y = ax2+bx+c (a > 0)
+∞ +∞ −4aΔ
Nh− vËy :
x
−∞ 2ba − +∞
y = ax2+bx+c (a < 0)
− 4aΔ
−∞ −∞
Khi a > 0, hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−∞ ; −2ba), ®ång biÕn trªn kho¶ng (−2ba ; +∞ ) vµ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ −4aΔ khi x = −2ba. Khi a < 0, hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (−∞ ; −2ba), nghÞch biÕn trªn kho¶ng (−2ba ; +∞ ) vµ cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ −4aΔ khi x = −2ba.
VÝ dô. ¸p dông kÕt qu¶ trªn, h·y cho biÕt sù biÕn thiªn cña hµm sè y = − x2 + 4x − 3.
VÏ ®å thÞ cña hµm sè ®ã.
Gi¶i. Ta tÝnh ®−îc −2ba = 2 vµ − 4Δa = 1.
VËy ®å thÞ cña hµm sè y = − x2 + 4x − 3 lµ parabol cã ®Ønh I(2 ; 1), nhËn ®−êng th¼ng x = 2 lµm trôc ®èi xøng vµ h−íng bÒ lâm xuèng d−íi. Tõ ®ã suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (−∞ ; 2), nghÞch biÕn trªn kho¶ng (2 ; +∞).
Ta cã b¶ng biÕn thiªn :
x
−∞ 2 +∞
y
1
−∞
−∞
B¶ng biÕn thiªn nµy cho thÊy hµm sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 1 khi x = 2.
57
§Ó vÏ ®å thÞ, ta lËp b¶ng to¹ ®é cña mét sè ®iÓm thuéc ®å thÞ nh− sau
x
0 1 2 3 4
y
−3 0 1 0 −3
"Nèi" c¸c ®iÓm ®ã l¹i, ta ®−îc parabol 2
yx x =− + − 4 3 nh− h×nh 2.19.
NhËn xÐt. Ta còng cã thÓ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2 y ax bx c = ++ t−¬ng tù nh− c¸ch vÏ ®å thÞ cña hµm sè y ax b = + .
Ch¼ng h¹n, ®Ó vÏ ®å thÞ hµm sè y = |−x2 + 4x − 3|, ta lÇn l−ît lµm nh− sau (h.2.20) :
• VÏ parabol (P1) : y = −x2 + 4x − 3 ; • VÏ parabol (P2) : y = −(−x2 + 4x − 3) b»ng c¸ch lÊy ®èi xøng (P1) qua trôc Ox. • Xo¸ ®i c¸c ®iÓm cña (P1) vµ (P2) n»m ë phÝa d−íi trôc hoµnh.
H×nh 2.19
H×nh 2.20
H3
Cho hμm sè y = x2 + 2x − 3 cã ®å thÞ lμ parabol (P).
a) T×m to¹ ®é ®Ønh, ph−¬ng tr×nh trôc ®èi xøng vμ h−íng bÒ lâm cña (P). Tõ ®ã suy ra sù biÕn thiªn cña hμm sè y = x2 + 2x − 3.
b) VÏ parabol (P).
c) VÏ ®å thÞ cña hμm sè y = |x2 + 2x − 3|.
C©u hái vμ bμi tËp
27. Cho c¸c hµm sè :
a) y = −x2 − 3 ; b) y = (x − 3)2 ;
c) y = 2 x2 + 1 ; d) y = − 2 (x + 1)2.
Kh«ng vÏ ®å thÞ, h·y m« t¶ ®å thÞ cña mçi hµm sè trªn b»ng c¸ch ®iÒn vµo chç trèng (...) theo mÉu :
58
− §Ønh cña parabol lµ ®iÓm cã to¹ ®é ...
− Parabol cã trôc ®èi xøng lµ ®−êng th¼ng ...
− Parabol cã bÒ lâm h−íng (lªn trªn / xuèng d−íi) ...
28. Gäi (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = ax2 + c. T×m a vµ c trong mçi tr−êng hîp sau : a) y nhËn gi¸ trÞ b»ng 3 khi x = 2, vµ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ −1 ; b) §Ønh cña parabol (P) lµ I(0 ; 3) vµ mét trong hai giao ®iÓm cña (P) víi trôc hoµnh lµ A(−2 ; 0).
29. Gäi (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = a(x − m)2. T×m a vµ m trong mçi tr−êng hîp sau :
a) Parabol (P) cã ®Ønh lµ I(−3 ; 0) vµ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm M(0 ; −5) ; b) §−êng th¼ng y = 4 c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A(−1 ; 4) vµ B(3 ; 4). 30. ViÕt mçi hµm sè cho sau ®©y thµnh d¹ng y = a(x − p)2 + q. Tõ ®ã h·y cho biÕt
®å thÞ cña nã cã thÓ ®−îc suy ra tõ ®å thÞ cña hµm sè nµo nhê c¸c phÐp tÞnh tiÕn ®å thÞ song song víi c¸c trôc to¹ ®é. H·y m« t¶ cô thÓ c¸c phÐp tÞnh tiÕn ®ã :
a) y = x2 − 8x + 12 ; b) y = −3x2 − 12x + 9. 31. Hµm sè y = −2x2 − 4x + 6 cã ®å thÞ lµ parabol (P).
a) T×m to¹ ®é ®Ønh vµ ph−¬ng tr×nh trôc ®èi xøng cña (P).
b) VÏ parabol (P).
c) Dùa vµo ®å thÞ, h·y cho biÕt tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho y ≥ 0.
LuyÖn tËp
32. Víi mçi hµm sè y = − x2 + 2x + 3 vµ y = 1 2 4
2x x + − , h·y
a) VÏ ®å thÞ cña hµm sè ;
b) T×m tËp hîp c¸c gi¸ trÞ x sao cho y > 0 ;
c) T×m tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho y < 0.
59
33. LËp b¶ng theo mÉu sau ®©y råi ®iÒn vµo « trèng c¸c gi¸ trÞ thÝch hîp (nÕu cã).
Hµm sè
Hµm sè cã gi¸ trÞ
lín nhÊt / nhá nhÊt khi x = ?
Gi¸ trÞ lín nhÊt
Gi¸ trÞ nhá nhÊt
y = 3x2 − 6x + 7
y = −5x2 − 5x + 3
y = x2 − 6x + 9
y = −4x2 + 4x − 1
34. Gäi (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè bËc hai y = ax2 + bx + c. H·y x¸c ®Þnh dÊu cña hÖ sè a vµ biÖt sè Δ trong mçi tr−êng hîp sau :
a) (P) n»m hoµn toµn ë phÝa trªn trôc hoµnh ;
b) (P) n»m hoµn toµn ë phÝa d−íi trôc hoµnh ;
c) (P) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ ®Ønh cña (P) n»m phÝa trªn trôc hoµnh.
35. VÏ ®å thÞ råi lËp b¶ng biÕn thiªn cña mçi hµm sè sau :
a) 2
yx x = + 2 ; b) 2
yx x =− + + 2| | 3 ;
c) 2
y xx = − −+ 0,5 | 1| 1.
36. VÏ ®å thÞ cña mçi hµm sè sau :
1 2 ( 3) nÕu 1,
⎧⎪− + ≤−
x x
a) y = 21 nÕu 1
⎨⎪⎩− + >− b) y = x x
3 nÕu 1 ;
37. Bµi to¸n bãng ®¸
⎧⎪ + ≤− ⎨⎪⎩ > −
x x
2
2 nÕu 1. x
Khi mét qu¶ bãng ®−îc ®¸ lªn, nã sÏ ®¹t ®Õn ®é cao nµo ®ã råi r¬i xuèng. BiÕt r»ng quü ®¹o cña qu¶ bãng lµ mét cung parabol trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oth, trong ®ã t lµ thêi gian (tÝnh b»ng gi©y), kÓ tõ khi qu¶ bãng ®−îc ®¸ lªn ; h lµ ®é cao (tÝnh b»ng mÐt) cña qu¶ bãng. Gi¶ thiÕt r»ng qu¶ bãng ®−îc ®¸ tõ ®é cao 1,2 m. Sau ®ã 1 gi©y, nã ®¹t ®é cao 8,5 m vµ 2 gi©y sau khi ®¸ lªn, nã ë ®é cao 6 m (h.2.21).
60
a) H·y t×m hµm sè bËc hai biÓu thÞ ®é cao h theo thêi gian t vµ cã phÇn ®å thÞ trïng víi quü ®¹o cña qu¶ bãng
trong t×nh huèng trªn. b) X¸c ®Þnh ®é cao lín nhÊt cña qu¶ bãng (tÝnh chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn ngh×n).
H×nh 2.21
c) Sau bao l©u th× qu¶ bãng sÏ ch¹m ®Êt kÓ tõ khi ®¸ lªn (tÝnh chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn tr¨m) ?
38. Bµi to¸n vÒ cæng Ac-x¬ (Arch)
Khi du lÞch ®Õn thµnh phè Xanh Lu-i (MÜ), ta sÏ thÊy mét c¸i cæng lín cã h×nh parabol h−íng bÒ lâm xuèng d−íi, ®ã lµ cæng Ac-x¬. Gi¶ sö ta lËp mét hÖ to¹ ®é Oxy sao cho mét ch©n cæng ®i qua gèc O nh− trªn h×nh 2.22 (x vµ y tÝnh b»ng mÐt), ch©n kia cña cæng ë vÞ trÝ (162 ; 0). BiÕt mét ®iÓm M trªn cæng cã to¹ ®é lµ (10 ; 43).
a) T×m hµm sè bËc hai cã ®å thÞ chøa cung parabol nãi trªn. b) TÝnh chiÒu cao cña cæng (tÝnh tõ ®iÓm cao nhÊt trªn cæng xuèng mÆt ®Êt, lµm trßn kÕt qu¶ ®Õn hµng ®¬n vÞ)
Cæng Ac-x¬ ë MÜ
H×nh 2.22
61
Em coábiïët
Mét sè h×nh ¶nh ®−êng parabol trong thùc tÕ
Parabol lµ mét ®−êng cong ®¬n gi¶n nh−ng rÊt ®Ñp. Bëi vËy, chóng ta cã thÓ thÊy nã xuÊt hiÖn trong nhiÒu c«ng tr×nh kiÕn tróc ë ViÖt Nam vµ trªn thÕ giíi.
Ngoµi ra, parabol cßn cã nhiÒu tÝnh chÊt lÝ thó mµ chóng ta sÏ nghiªn cøu trong H×nh häc.
CÇu treo B×nh Thµnh trªn tuyÕn quèc lé 19 nèi thµnh phè HuÕ víi huyÖn miÒn nói A-l−íi. ¶nh VNTTX.
Thî hµn.
BÓ phun n−íc ë TuÇn Ch©u, CÇu A-ra-bi-®a ë Poãc-t« Bå §µo Nha. tØnh Qu¶ng Ninh.
62
C©u hái vμ bμi tËp «n tËp ch−¬ng II
39. Víi mçi c©u hái sau ®©y, h·y chän phÇn kÕt luËn mµ em cho lµ ®óng. a) Trªn kho¶ng (−1 ; 1), hµm sè y = −2x + 5
(A) §ång biÕn ; (B) NghÞch biÕn ; (C) C¶ hai kÕt luËn (A) vµ (B) ®Òu sai. b) Trªn kho¶ng (0 ; 1), hµm sè y = x2 + 2x − 3
(A) §ång biÕn ; (B) NghÞch biÕn ; (C) C¶ hai kÕt luËn (A) vµ (B) ®Òu sai. c) Trªn kho¶ng (−2 ; 1), hµm sè y = x2 + 2x − 3
(A) §ång biÕn ; (B) NghÞch biÕn ; (C) C¶ hai kÕt luËn (A) vµ (B) ®Òu sai.
40. a) T×m ®iÒu kiÖn cña a vµ b, sao cho hµm sè bËc nhÊt y = ax + b lµ hµm sè lÎ.
b) T×m ®iÒu kiÖn cña a, b vµ c, sao cho hµm sè bËc hai y = ax2+ bx + c lµ hµm sè ch½n.
41. Dùa vµo vÞ trÝ ®å thÞ cña hµm sè y = ax2 + bx + c, h·y x¸c ®Þnh dÊu cña c¸c hÖ sè a, b, c trong mçi tr−êng hîp d−íi ®©y (h.2.23) :
H×nh 2.23
42. Trong mçi tr−êng hîp cho d−íi ®©y, h·y vÏ ®å thÞ cña c¸c hµm sè trªn cïng mét mÆt ph¼ng to¹ ®é råi x¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña chóng : a) y = x − 1 vµ y = x2 − 2x − 1 ;
b) y = −x + 3 vµ y = −x2 − 4x + 1 ;
c) y = 2x − 5 vµ y = x2 − 4x − 1.
43. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, b vµ c ®Ó cho hµm sè y = ax2 + bx + c ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 34 khi x = 12 vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng 1 khi x = 1. LËp b¶ng biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè ®ã.
63
44. VÏ ®å thÞ cña c¸c hµm sè sau råi lËp b¶ng biÕn thiªn cña nã : 2 nÕu < 0
x x
a) 3 2
⎧⎪⎨⎪⎩ − ≥
2 y x = − ; b) y = 2
xx x
nÕu 0 ;
c) y = 1 3 2
x x + − ; d) y = x |x| − 2x −1.
2 2
45. Trªn h×nh 2.24, ®iÓm M chuyÓn
®éng trªn ®o¹n th¼ng AX. Tõ M, kÎ
®−êng th¼ng song song víi AB, c¾t
mét trong ba ®o¹n th¼ng BC, DE,
FG t¹i ®iÓm N. Gäi S lµ diÖn tÝch
cña miÒn t« ®Ëm n»m ë bªn tr¸i MN.
Gäi ®é dµi ®o¹n AM lµ x (0 ≤ x ≤ 9).
Khi ®ã, S lµ mét hµm sè cña x. H·y
nªu biÓu thøc x¸c ®Þnh hµm sè S(x).
46. Bµi to¸n tµu vò trô
Khi mét con tµu vò trô ®−îc phãng lªn MÆt Tr¨ng, tr−íc hÕt nã bay vßng quanh Tr¸i §Êt. Sau ®ã, ®Õn mét thêi ®iÓm thÝch hîp, ®éng c¬ b¾t ®Çu ho¹t ®éng ®−a con tµu bay theo quü ®¹o lµ mét nh¸nh parabol lªn MÆt Tr¨ng (trong hÖ to¹ ®é Oxy nh− trªn h×nh 2.25, x vµ y tÝnh b»ng ngh×n kil«mÐt). BiÕt r»ng khi ®éng c¬ b¾t ®Çu ho¹t ®éng, tøc lµ khi x = 0 th× y = −7. Sau ®ã, y = −4 khi x = 10 vµ y = 5 khi x = 20.
H×nh 2.24
H×nh 2.25
a) T×m hµm sè bËc hai cã ®å thÞ chøa nh¸nh parabol nãi trªn. b) Theo lÞch tr×nh, ®Ó ®Õn ®−îc MÆt Tr¨ng, con tµu ph¶i ®i qua ®iÓm (100 ; y) víi y = 294 ± 1,5. Hái ®iÒu kiÖn ®ã cã ®−îc tho¶ m·n hay kh«ng ?
64
65
§ 1
§¹i c−¬ng vÒ ph−¬ng tr×nh
ë líp d−íi, ta ®· lµm quen víi kh¸i niÖm
ph−¬ng tr×nh, ch¼ng h¹n, 2x − 1 = x lµ
mét ph−¬ng tr×nh. §Ó cã mét c¸ch hiÓu
míi, ta xem "2x − 1 = x " lµ mét mÖnh ®Ò
chøa biÕn. Gi¸ trÞ cña biÕn x lµm cho mÖnh
®Ò ®ã ®óng chÝnh lµ nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh. Sau ®©y, chóng ta sÏ ®Þnh nghÜa
ph−¬ng tr×nh theo quan ®iÓm ®ã.
1. Kh¸i niÖm ph−¬ng tr×nh mét Èn
§Þnh nghÜa
Cho hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) cã tËp x¸c ®Þnh lÇn l−ît lµ Df vµ Dg. §Æt D = Df ∩ Dg.
MÖnh ®Ò chøa biÕn "f(x) = g(x)" ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh mét Èn ; x gäi lµ Èn sè (hay Èn) vµ D gäi lµ tËp x¸c ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh. Sè x0 ∈ D gäi lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x) nÕu "f(x0) = g(x0)" lµ mÖnh ®Ò ®óng.
Chó ý 1
§Ó thuËn tiÖn trong thùc hµnh, ta kh«ng cÇn viÕt râ tËp x¸c ®Þnh D cña ph−¬ng tr×nh mµ chØ cÇn nªu ®iÒu kiÖn ®Ó x ∈ D. §iÒu kiÖn ®ã gäi lµ ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh, gäi t¾t lµ ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh.
§Ó ®¬n gi¶n, ta coi c¸c hµm sè ®−îc nãi ®Õn trong bµi nµy ®Òu ®−îc cho b»ng biÓu thøc. VËy theo quy −íc vÒ tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè cho bëi biÓu thøc, ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh bao gåm c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó gi¸ trÞ cña f(x) vµ g(x) cïng ®−îc x¸c ®Þnh vµ c¸c ®iÒu kiÖn kh¸c cña Èn (nÕu cã yªu cÇu).
66
VÝ dô 1
a) §iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh 3 2 x x − + 2 1 = 3 lµ x3 − 2x2 + 1 ≥ 0. b) Khi t×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh 2 − 1x = x , ta hiÓu ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh lµ x ∈ , x ≠ 0 vµ x ≥ 0 (hay x nguyªn d−¬ng).
Chó ý 2
1) Khi gi¶i mét ph−¬ng tr×nh (tøc lµ t×m tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh), nhiÒu khi ta chØ cÇn, hoÆc chØ cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ gÇn ®óng cña nghiÖm (víi ®é chÝnh x¸c nµo ®ã). Gi¸ trÞ ®ã gäi lµ nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh.
Ch¼ng h¹n, b»ng m¸y tÝnh bá tói, ta tÝnh nghiÖm gÇn ®óng (chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn ngh×n) cña ph−¬ng tr×nh x3 = 7 lµ x ≈ 1,913.
2) C¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x) lµ hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm cña ®å thÞ hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x).
2. Ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
Ta ®· biÕt : Hai ph−¬ng tr×nh (cïng Èn) ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiÖm. NÕu ph−¬ng tr×nh f1(x) = g1(x) t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh f2(x) = g2(x) th× ta viÕt
f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x).
H1
Mçi kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai ?
a) x x −= − 1 21 ⇔ x − =1 0.
b) x x + −= 2 1 + −x 2 ⇔ x = 1.
c) x = 1 ⇔ x = 1.
∙ Khi muèn nhÊn m¹nh hai ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp x¸c ®Þnh D (hay cã cïng ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh mµ ta còng kÝ hiÖu lµ D) vµ t−¬ng ®−¬ng víi nhau, ta nãi − Hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi nhau trªn D, hoÆc
− Víi ®iÒu kiÖn D, hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi nhau.
Ch¼ng h¹n víi x > 0, hai ph−¬ng tr×nh x2 = 1 vµ x = 1 t−¬ng ®−¬ng víi nhau.
67
∙ Trong c¸c phÐp biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh, ®¸ng chó ý nhÊt lµ c¸c phÐp biÕn ®æi kh«ng lµm thay ®æi tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. Ta gäi chóng lµ c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. Nh− vËy
PhÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng biÕn mét ph−¬ng tr×nh thµnh ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi nã.
Ch¼ng h¹n, viÖc thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt ë mçi vÕ cña mét ph−¬ng tr×nh vµ kh«ng thay ®æi tËp x¸c ®Þnh cña nã lµ mét phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng.
D−íi ®©y lµ ®Þnh lÝ vÒ mét sè phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng th−êng dïng.
§Þnh lÝ 1
Cho ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã tËp x¸c ®Þnh D ; y = h(x) lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn D (h(x) cã thÓ lµ mét h»ng sè). Khi ®ã trªn D, ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi mçi ph−¬ng tr×nh sau :
1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ;
2) f(x) h(x) = g(x) h(x) nÕu h(x) ≠ 0 víi mäi x ∈ D.
Chøng minh. Ta chøng minh cho kÕt luËn thø nhÊt. KÕt luËn thø hai ®−îc chøng minh t−¬ng tù.
ThËt vËy, c¶ ba hµm sè f, g, vµ h ®Òu x¸c ®Þnh trªn D nªn nÕu x0 thuéc D th× f(x0), g(x0) vµ h(x0) lµ nh÷ng sè x¸c ®Þnh. Do ®ã, ¸p dông tÝnh chÊt cña ®¼ng thøc sè, ta cã :
f(x0) = g(x0) ⇔ f(x0) + h(x0) = g(x0) + h(x0).
§iÒu ®ã chøng tá r»ng nÕu x0 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy th× còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia vµ ng−îc l¹i. VËy hai ph−¬ng tr×nh f x gx () () = vµ f x hx gx hx () () () () +=+ t−¬ng ®−¬ng víi nhau.
Tõ ®Þnh lÝ trªn, ta dÔ thÊy : Hai quy t¾c biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh ®· häc ë líp d−íi (quy t¾c chuyÓn vÕ vµ quy t¾c nh©n víi mét sè kh¸c 0) lµ nh÷ng phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng.
H2
Mçi kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai ?
a) Cho ph−¬ng tr×nh 2 3 2. xx x + −= ChuyÓn x − 2 sang vÕ ph¶i th× ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng.
68
b) Cho ph−¬ng tr×nh 3 2 x x + − = 2
x x + − 2. L−îc bá x − 2 ë c¶ hai vÕ cña
ph−¬ng tr×nh th× ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng.
3. Ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶
VÝ dô 2. XÐt ph−¬ng tr×nh
x = 2 − x. (1) B×nh ph−¬ng hai vÕ, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh míi
x = 4 − 4x + x2. (2)
TËp nghiÖm cña (1) lµ S1 = {1}, cña (2) lµ S2 = {1 ; 4}. Hai ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) kh«ng t−¬ng ®−¬ng. Tuy nhiªn, ta thÊy S2 ⊃ S1 ; trong tr−êng hîp nµy, ta nãi (2) lµ ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph−¬ng tr×nh (1).
Tæng qu¸t,
f1(x) = g1(x) gäi lµ ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph−¬ng tr×nh
f(x) = g(x) nÕu tËp nghiÖm cña nã chøa tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x).
Khi ®ã, ta viÕt
f(x) = g(x) ⇒ f1(x) = g1(x).
Tõ ®Þnh nghÜa nµy, ta suy ra : NÕu hai ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng th× mçi ph−¬ng tr×nh ®Òu lµ hÖ qu¶ cña ph−¬ng tr×nh cßn l¹i.
Trong vÝ dô 2, gi¸ trÞ x = 4 lµ nghiÖm cña (2) nh−ng kh«ng lµ nghiÖm cña (1). Ta gäi 4 lµ nghiÖm ngo¹i lai cña ph−¬ng tr×nh (1).
H3
Mçi kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai ?
a) x − = 2 1 ⇒ x − = 2 1. b) ( 1) 1
x x
x
− = − ⇒ x = 1. 1
Trong c¸c phÐp biÕn ®æi dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶, ta th−êng sö dông phÐp biÕn ®æi ®−îc nªu trong ®Þnh lÝ sau ®©y.
§Þnh lÝ 2
Khi b×nh ph−¬ng hai vÕ cña mét ph−¬ng tr×nh, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph−¬ng tr×nh ®· cho.
f(x) = g(x) ⇒ [f (x)]2 = [g(x)]2.
69
Chó ý
1) Cã thÓ chøng minh ®−îc r»ng : NÕu hai vÕ cña mét ph−¬ng tr×nh lu«n cïng dÊu th× khi b×nh ph−¬ng hai vÕ cña nã, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng.
2) NÕu phÐp biÕn ®æi mét ph−¬ng tr×nh dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶ th× sau khi gi¶i ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶, ta ph¶i thö l¹i c¸c nghiÖm t×m ®−îc vµo ph−¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ph¸t hiÖn vµ lo¹i bá nghiÖm ngo¹i lai.
VÝ dô 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh |x − 1| = x − 3.
Gi¶i. B×nh ph−¬ng hai vÕ, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶
x2 − 2x + 1 = x2 − 6x + 9.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy, ta ®−îc x = 2. Thö l¹i, ta thÊy 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho. VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
4. Ph−¬ng tr×nh nhiÒu Èn
Trong thùc tÕ, ta cßn gÆp nh÷ng ph−¬ng tr×nh cã nhiÒu h¬n mét Èn. §ã lµ c¸c ph−¬ng tr×nh d¹ng F = G, trong ®ã F vµ G lµ nh÷ng biÓu thøc cña nhiÒu biÕn. Ch¼ng h¹n,
2x2 + 4xy − y2 = −x + 2y + 3 (3)
lµ mét ph−¬ng tr×nh hai Èn (x vµ y) ;
x + y + z = 3xyz (4)
lµ mét ph−¬ng tr×nh ba Èn (x, y vµ z).
NÕu ph−¬ng tr×nh hai Èn x vµ y trë thµnh mÖnh ®Ò ®óng khi x = x0 vµ y = y0 (víi x0 vµ y0 lµ sè) th× ta gäi cÆp sè (x0 ; y0) lµ mét nghiÖm cña nã. Ch¼ng h¹n, cÆp sè (1 ; 0) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (3).
Kh¸i niÖm nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ba Èn, bèn Èn,... còng ®−îc hiÓu t−¬ng tù. Ch¼ng h¹n, bé ba sè (1 ; 1 ; 1 ) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (4). §èi víi ph−¬ng tr×nh nhiÒu Èn, c¸c kh¸i niÖm tËp x¸c ®Þnh (®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh), tËp nghiÖm, ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng, ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶,... còng t−¬ng tù nh− ®èi víi ph−¬ng tr×nh mét Èn.
70
5. Ph−¬ng tr×nh chøa tham sè
Chóng ta cßn xÐt c¶ nh÷ng ph−¬ng tr×nh, trong ®ã ngoµi c¸c Èn cßn cã nh÷ng ch÷ kh¸c. C¸c ch÷ nµy ®−îc xem lµ nh÷ng sè ®· biÕt vµ ®−îc gäi lµ tham sè.
Ch¼ng h¹n, ph−¬ng tr×nh m(x + 2) = 3mx − 1 (víi Èn x) lµ mét ph−¬ng tr×nh chøa tham sè m.
H4
T×m tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh mx m + =− 2 1 (víi m lμ tham sè) trong mçi
tr−êng hîp : a) m = 0 ; b) m ≠ 0.
Râ rµng nghiÖm vµ tËp nghiÖm cña mét ph−¬ng tr×nh chøa tham sè phô thuéc vµo tham sè ®ã. Khi gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa tham sè, ta ph¶i chØ ra tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh tuú theo c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cña tham sè. §Ó nhÊn m¹nh ý ®ã, khi gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa tham sè, ta th−êng nãi lµ gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh.
C©u hái vμ bμi tËp
1. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña mçi ph−¬ng tr×nh sau råi suy ra tËp nghiÖm cña nã : a) x x = − ; b) 3 22 6 xx x − −= −+ ; − =+ − − ; d) x + x x −=− 1 .
xx x
c) 3 3
x
3
2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
a) x + x −1 = 2 + x −1 ; b) x + x −1 = 0,5 + x −1 ; c) 3
x x = − − ; d) 2 .
x
25 5
3. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
x
x x = − −
25 5
a) x +1
−
xx x− + = − − ;
x −1 = 2 11
x
− ; b) 1 23 x
x
2 2
c) (x2 − 3x + 2) x − 3 = 0 ; d) (x2 − x − 2) x +1 = 0. 4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch b×nh ph−¬ng hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh : a) x − 3 = 9 2 − x ; b) x −1 = x − 3 ; c) 2| x − 1 | = x + 2 ; d) | x − 2 | = 2x − 1.
71
§ 2
Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vμ bËc hai mét Èn
Ta ®· biÕt c¸ch gi¶i :
− Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt (Èn x) lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a vµ b lµ hai sè ®· cho víi a ≠ 0) ;
− Ph−¬ng tr×nh bËc hai (Èn x) lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0 (a, b vµ c lµ ba sè ®· cho víi a ≠ 0) ; Δ = b2 − 4ac gäi lµ biÖt thøc, Δ' = b'2 − ac (víi b = 2b' ) gäi lµ biÖt thøc thu gän cña ph−¬ng tr×nh bËc hai. Trong bµi nµy, chóng ta sÏ nghiªn cøu c¸ch gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai cã chøa tham sè.
1. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0
KÕt qu¶ gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0 ®−îc nªu trong b¶ng sau ®©y.
1) a ≠ 0 : Ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = − ba. 2) a = 0 vµ b ≠ 0 : Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.
3) a = 0 vµ b = 0 : Ph−¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ .
VÝ dô 1. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh sau theo tham sè m
m2x + 2 = x + 2m. (1)
Gi¶i. Ta biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng
(1) ⇔ m2x − x = 2m − 2
⇔ (m2 − 1)x = 2(m − 1). (1a)
XÐt c¸c tr−êng hîp sau ®©y.
1) Khi m ≠ ± 1 (tøc lµ m ≠ 1 vµ m ≠ −1), ta cã m2 − 1 ≠ 0 nªn (1a) cã nghiÖm − = − +
2( 1) 2
m .
x = 2
m m
1 1
§ã lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh ®· cho.
72
2) Khi m = 1, ph−¬ng tr×nh (1a) trë thµnh 0x = 0 ; ph−¬ng tr×nh nµy nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ nªn ph−¬ng tr×nh (1) còng nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ .
3) Khi m = −1, ph−¬ng tr×nh (1a) trë thµnh 0x = −4 ; ph−¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn ph−¬ng tr×nh (1) còng v« nghiÖm.
KÕt luËn
m ≠ ±1 : (1) cã nghiÖm x = 2 m +1
⎛ ⎞ ⎧ ⎫ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ +2 tËp nghiÖm lµ = 1
S .
m
m = −1 : (1) v« nghiÖm (tËp nghiÖm lµ S = ∅).
m = 1 : (1) nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ (tËp nghiÖm lµ S = ). 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c = 0
KÕt qu¶ gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c = 0 ®−îc nªu trong b¶ng sau ®©y.
1) a = 0 : Trë vÒ gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh bx + c = 0.
2) a ≠ 0 :
∙ Δ > 0 : ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (ph©n biÖt)
−− Δ vµ x = 2
b
x = 2 a
−+ Δ ;
b
a
H1
∙ Δ = 0 : ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm (kÐp) x = −2ba ; ∙ Δ < 0 : ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.
Trong tr−êng hîp nμo th× ph−¬ng tr×nh 2 ax bx c + += 0 :
a) Cã mét nghiÖm duy nhÊt ?
b) V« nghiÖm ?
VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh sau theo tham sè m mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0. (2)
Gi¶i. Víi m = 0, ph−¬ng tr×nh (2) trë thµnh 4x − 3 = 0 ; nã cã nghiÖm x = 34. Víi m ≠ 0, (2) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai víi biÖt thøc thu gän lµ Δ' = (m − 2)2 − m(m − 3) = 4 − m.
73
Do ®ã :
− NÕu m > 4 th× Δ' < 0 nªn (2) v« nghiÖm ;
− NÕu m = 4 th× Δ' = 0 nªn (2) cã mét nghiÖm x = 2 12
m
− = ; m
− NÕu m < 4 vµ m ≠ 0 th× Δ' > 0 nªn (2) cã hai nghiÖm x = m m 2 4
−− − vµ x = m m 2 4 . m
−+ −
m
KÕt luËn.
m > 4 : (2) v« nghiÖm ;
m = 0 : (2) cã nghiÖm 34 x = ;
0 ≠ m ≤ 4 : (2) cã hai nghiÖm m m 2 4
−± − =
xm
(hai nghiÖm nµy trïng nhau vµ b»ng 12 khi m = 4).
H2
Gi¶i vμ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh ( 1)( 2) 0 x x mx − − += theo tham sè m.
VÝ dô 3. Cho ph−¬ng tr×nh
3x + 2 = − x2 + x + a. (3) B»ng ®å thÞ, h·y biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (3) tuú theo c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a.
Gi¶i. Tr−íc hÕt, ta ®−a ph−¬ng tr×nh (3) vÒ d¹ng
x2 + 2x + 2 = a. (4)
Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (3) còng lµ sè nghiÖm
cña ph−¬ng tr×nh (4) vµ b»ng sè giao ®iÓm cña parabol
(P) : y = x2 + 2x + 2 víi ®−êng th¼ng (d) : y = a. Quan
s¸t ®å thÞ (h.3.1), ta thÊy ®Ønh cña parabol (P) lµ ®iÓm M(−1 ; 1), khi a thay ®æi th× ®−êng th¼ng (d) còng thay ®æi nh−ng lu«n song song (hoÆc trïng) víi trôc hoµnh. Tõ ®ã, ta suy ra :
H×nh 3.1
− Víi a < 1, ph−¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm (®−êng th¼ng (d) vµ parabol (P) kh«ng cã ®iÓm chung) ;
− Víi a = 1, ph−¬ng tr×nh (3) cã mét nghiÖm (kÐp) (®−êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi parabol (P)) ;
− Víi a > 1, ph−¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm (®−êng th¼ng (d) c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt).
74
Chó ý
Khi viÕt ph−¬ng tr×nh (3) d−íi d¹ng x2 + 3x + 2 = x + a, ta thÊy kÕt qu¶ trªn cßn cho biÕt sè giao ®iÓm cña parabol y = x2 + 3x + 2 víi ®−êng th¼ng y = x + a.
3. øng dông cña ®Þnh lÝ Vi-Ðt
∙ ë líp d−íi, chóng ta ®· häc ®Þnh lÝ Vi-Ðt ®èi víi ph−¬ng tr×nh bËc hai.
Hai sè x1 vµ x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai
2 ax bx c + += 0
khi vµ chØ khi chóng tho¶ m·n c¸c hÖ thøc
+ =− vµ 1 2 . c
1 2b x xa
x xa =
§Þnh lÝ Vi-Ðt cã nhiÒu øng dông quan träng, ch¼ng h¹n nh− :
1) NhÈm nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai ;
2) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö :
NÕu ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th× nã cã thÓ ph©n tÝch thµnh nh©n tö f(x) = a(x − x1)(x − x2) (xem bµi tËp 9) ;
3) T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng :
NÕu hai sè cã tæng lµ S vµ tÝch lµ P th× chóng lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x2 − Sx + P = 0.
H3
Cã thÓ khoanh mét sîi d©y dμi 40 cm thμnh
mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch S cho tr−íc trong
mçi tr−êng hîp sau ®©y ®−îc hay kh«ng ?
a) S = 99 cm2 ; b) S = 100 cm2 ; c) S = 101 cm2.
∙ Sau ®©y, ta sÏ t×m hiÓu mét øng dông quan
träng kh¸c cña ®Þnh lÝ Vi-Ðt lµ xÐt dÊu c¸c
nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai.
§Þnh lÝ Vi-Ðt cho phÐp ta nhËn biÕt dÊu c¸c nghiÖm cña mét ph−¬ng tr×nh bËc hai mµ kh«ng cÇn t×m c¸c nghiÖm ®ã. Ta cã nhËn xÐt sau ®©y.
75
NhËn xÐt
Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1 vµ x2 (x1 ≤ x2). §Æt S = − ba vµ P = ca. Khi ®ã :
− NÕu P < 0 th× x1 < 0 < x2 (hai nghiÖm tr¸i dÊu) ;
− NÕu P > 0 vµ S > 0 th× 0 < x1 ≤ x2 (hai nghiÖm d−¬ng) ; − NÕu P > 0 vµ S < 0 th× x1 ≤ x2 < 0 (hai nghiÖm ©m).
VÝ dô 4. Ph−¬ng tr×nh ( ) ( ) 2 1 2 21 2 2 0 − −+ += x x cã a = 1 − 2 < 0 vµ c = 2 > 0 nªn P < 0.
VËy ph−¬ng tr×nh ®ã cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
Chó ý
Trong vÝ dô 4, c¶ hai kÕt luËn ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ hai nghiÖm ®ã tr¸i dÊu ®Òu ®−îc suy ra tõ P < 0.
Tr−êng hîp P > 0, ta ph¶i tÝnh Δ (hay Δ') ®Ó xem ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm hay kh«ng råi míi tÝnh S ®Ó x¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm.
VÝ dô 5. XÐt dÊu c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau (nÕu cã) ( ) 2 3 − x2 + 2( ) 1 3 − x + 1 = 0. (*) Gi¶i. Ta cã
a = 2 3 − > 0 vµ c = 1 > 0 ⇒ P > 0 ;
Δ' = ( )2
1 3 − −( ) 2 3 − = 2 3 − ⇒ Δ' > 0 (vËy (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt) ; a = 2 3 − > 0 vµ −b' = −( ) 1 3 − = 3 − 1 > 0 ⇒ S > 0.
Do ®ã, ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm d−¬ng.
H4
Víi mçi ph−¬ng tr×nh cho trong a) vμ b) d−íi ®©y, h·y chän kh¼ng ®Þnh ®óng
trong c¸c kh¼ng ®Þnh ®· cho.
a) Ph−¬ng tr×nh 2 −0,5 + 2,7 + 1,5 = 0 x x
76
(A) Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ; (B) Cã hai nghiÖm d−¬ng ; (C) Cã hai nghiÖm ©m ; (D) V« nghiÖm.
b) Ph−¬ng tr×nh ( ) 2
x x − + 2 3 + = 6 0
(A) Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ; (B) Cã hai nghiÖm d−¬ng ; (C) Cã hai nghiÖm ©m ; (D) V« nghiÖm.
∙ ViÖc xÐt dÊu c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai gióp ta x¸c ®Þnh ®−îc sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng.
Ta ®· biÕt, ®èi víi ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng
ax4 + bx2 + c = 0, (4) nÕu ®Æt y = x2 (y ≥ 0) th× ta ®i ®Õn ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi y ay2 + by + c = 0. (5)
Do ®ã, muèn biÕt sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (4), ta chØ cÇn biÕt sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5) vµ dÊu cña chóng.
H5
Mçi kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai ?
a) NÕu ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm th× ph−¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm ; b) NÕu ph−¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm th× ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm.
VÝ dô 6. Cho ph−¬ng tr×nh
4 2x − 2 2( 2 3) 12 − − x = 0. (6) Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh, h·y xÐt xem ph−¬ng tr×nh (6) cã bao nhiªu nghiÖm ?
Gi¶i. §Æt y = x2 (y ≥ 0), ta ®i ®Õn ph−¬ng tr×nh
2 2y − 2( 2 3) 12 − − y = 0. (7)
Ph−¬ng tr×nh (7) cã a = > 2 0 vµ c =− < 12 0 nªn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. VËy ph−¬ng tr×nh (7) cã mét nghiÖm d−¬ng duy nhÊt, suy ra ph−¬ng tr×nh (6) cã hai nghiÖm ®èi nhau.
77
C©u hái vμ bμi tËp
5. Xem c¸c bµi gi¶i sau ®©y vµ cho biÕt mçi bµi gi¶i ®ã ®óng hay sai. V× sao ? a) ( 2)( 1) 0
x x
− − = − ⇔ 21
x
−
− (x − 1) = 0 ⇔ 21
x
−
x
1
x
− = 0 hoÆc x − 1 = 0. x
Ta cã 21
x
−
− = 0 ⇔ x = 2 ; x − 1 = 0 ⇔ x = 1. x
VËy tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ S = {1 ; 2}.
b) 2 x x − =− 2 1 ⇔ ( ) 2 2
x x −= − 2 1 ⇔ x2 − 2 = 1 − 2x + x2
⇔ 2x = 3 ⇔ x = 32.
VËy ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 32.
6. Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph−¬ng tr×nh :
a) (m2 + 2)x − 2m = x − 3 ; b) m(x − m) = x + m − 2 ; c) m(x − m + 3) = m(x − 2) + 6 ; d) m2(x − 1) + m = x(3m − 2). 7. Dùa vµo h×nh 3.1 (trang 74), t×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó ph−¬ng tr×nh (3) cho trong vÝ dô 3 cã nghiÖm d−¬ng. Khi ®ã, h·y t×m nghiÖm d−¬ng cña (3).
8. Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph−¬ng tr×nh :
a) (m − 1)x2 + 3x − 1 = 0 ;
b) x2 − 4x + m − 3 = 0.
9. a) Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã hai nghiÖm lµ x1 vµ x2. Chøng minh r»ng ta cã thÓ ph©n tÝch ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). b) ¸p dông. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :
f(x) = −2x2 − 7x + 4 vµ g(x) = 2 ( 2 1) 2( 2 1) 2. + − ++ x x 10. Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 − 2x − 15 = 0, h·y tÝnh :
a) Tæng c¸c b×nh ph−¬ng hai nghiÖm cña nã ;
b) Tæng c¸c lËp ph−¬ng hai nghiÖm cña nã ;
c) Tæng c¸c luü thõa bËc bèn hai nghiÖm cña nã.
H−íng dÉn. 4 4 2 22 2 2
1 2 1 2 12 x x x x xx += + − ( )2 .
78
11. Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y, cã duy nhÊt mét kh¼ng ®Þnh ®óng. H·y chän kh¼ng ®Þnh ®óng ®ã.
Ph−¬ng tr×nh ( ) ( ) 4 2 3 1 21 3 0 − ++ − = x x :
(A) V« nghiÖm ;
(B) Cã hai nghiÖm x = ± ( )( ) 1 1 3 33 16 3 1
2+ −− ;
(C) Cã bèn nghiÖm x = ± ( )( ) 1 1 3 33 16 3 1
2+ −− vµ x = ± 3 ;
(D) Cã hai nghiÖm x = ± 3 .
gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc hai
b»ng m¸y tÝnh casio fx - 500MS
M¸y tÝnh CASIO fx - 500MS cã thÓ gióp ta t×m nghiÖm ®óng hoÆc nghiÖm gÇn ®óng (víi chÝn ch÷ sè thËp ph©n) cña ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 ax bx c + += 0 víi c¸c hÖ sè b»ng sè.
§Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 ax bx c + += 0, tr−íc hÕt ta Ên c¸c phÝm
MODE
MODE
1
2
®Ó vµo ch−¬ng tr×nh gi¶i. Sau ®ã, ta nhËp tõng hÖ sè b»ng c¸ch Ên phÝm t−¬ng øng víi hÖ sè ®ã vµ phÝm .
=
• §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2 5 3 0, x x − −= ta Ên lÇn l−ît c¸c phÝm sau : 2 5 3
MODE
MODE
1
2
=
( ) −
=
( ) −
=
Khi ®ã, kÕt qu¶ lµ 1x = 3. Ên tiÕp phÝm , ta ®−îc 2x = − 0,5.
=
• §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 9 12 4 0 x x − += , ta Ên lÇn l−ît c¸c phÝm sau : 9 12 4
MODE
MODE
1
2
=
( ) −
=
=
Khi ®ã, kÕt qu¶ lµ x ≈ 0,666 666 666. Ên tiÕp hai phÝm , ta ®−îc x = 23.
SHIFT
§ã lµ nghiÖm kÐp cña ph−¬ng tr×nh.
d/c
79