🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Phương Pháp Giải Toán Hình Học Giải Tích Trong Không Gian Ebooks Nhóm Zalo LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỬU TRÍ PHƯƠNG PHÁP GIAI TOÁN GỒM 36 CHỦ ĐẾ CHO 58 DẠNG TOÁN VỚI 146 ví DỊ 119 BÀI TOÁN CHỌN LỌC VÀ 218 BÀI TẬP ĐỄ NGHỊ Giải hình không gian bằng phương pháp tọa độ trong khôn? gian Đ 2 CpGỈ Hã NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ n n lM G P I I Í P G I Ả I T O Á N I I Ì N I I H Ọ C G I Ả I T Í C H I T U H M Ỉ H l lt a G I M NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BIỆN SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH CHỈNH LÝ HỢP NHẤT HIỆN HÀNH CỦA Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO Hưởng ứng lời kêu goi đối mới phương pháp day và hoc LẤY HỌC TRÒ l.ÀM TRUNG TÂM T à i liệ u n à y x in d à n h tặ n g ngươi Cha đáng kín h của các tá c g iả . LỜI GIỚI THIỆU Xin trán trọng giới tihiộu tới l\ìti ítỉk lx) tiìi iiộu P 1I I 0 \<, PHÁI* GIẢI TOÁN T R lT iW H Ọ C P H Ổ T IIÔ M Ỉ do Thạc sĩ 7 (kín học Lô Hổm; Dứcchỉì Nôn. Bỏ tài iiôu gồm 10 tập: Tập 1. Phương phap giãi Toón LưỢng giác. Tâp 2. Phương pháp giài Toán Hình học Giai tích trong Măt phảng. Tâp 3. Phướng pháp giài Toán Hình học Giài tích trorg Khổng gian. Tâp 4. Phương pháp giài Toán Hình học Không gian Tâp 5. Phương pháp giải Toán Véctơ. Tâp 6. Phương pháp giài Toán Dại số. Tâp 7. Phương pháp giài Toan Hàm sổ. Tảp 8. Phương pháp giài Toán Tích phân. Tập 9. Phương pháp giải Toán Tổ hợp. Tập 10. Ôn tập Toán thi Tốt nghiộp Trung học phổ thông Với mục LĨ ích giúp các Thả V, Cổ giáo cỏ dược bài giiìng có hiệu quà hơn và các em có dược cái nhìn tông quan, hiểu dược bàn chài cúđ môi vấn dề đặt ra, từ đó dưđ ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với nhừng đòi hỏi của một bài thi, nên mỗi trong môi tập tài liệu chúng tỏi sắp xếp, hộ thông các kiến thức dược dề cập trong chương trình Toán Trung học Phô thông thành các Chủ dề. Mỏi Chủ dể liươc chia thành ba mục: I. Kiến thức cơ bần: Gồm phương pháp giẩi cho mỗi dạng toán cơ bản dược trình bày dưới dạng các bdi toán và các ví dụ vẻ giải toán. II. Các bài toán chọn lọc: Gồm các bài toán được tuyển chọn có chọn lọc từ các bài tập trong cuốn Bộ dề thi tuyển sinh môn Toán và từ cấc Dề thi tuỵôn sinh môn Toán vào các trường Đại học kẽ từ năm 1994 tới nay. III. Bài tập để nghị Như vậy ở mỗi chủ dề: 1. Với việc trình bày dưới íỉiìĩlỊĩ các bái toán cơ hìn óìng ví dụ minh hoạ ngay sau dó, sẽ giúp tăng chílt lượng bài giàng cho các Thày, Cô giáo và với cấc em học sinh sè hiểu và biết cách trình bày bài. 2. Tiếp dó tới các bài toán chọn lọc dược lây ra từ các dề thi vào các ưường Dại học, sè giúp các Thàv, Cô giảo dẫn dát các em học sinh tiếp cận nhanh chóng với những đòi hòi của thực tế 3. Đặc biột là nội dung của các chú ý sau một vài ví dụ h(Jăc bài toán chọn lọc sè giúp các Thảy, Cô giáo củng cố những hiêu biết chưa thật thâu dáo, cùng với cách ruhìn nhận vấn dỏ dặt ra cho các em học sinh, đô trả lời một cách thoà dáng câu hòi " Tại sao Ịại nghĩ và làm ỉĩhư vậy ? 4. Ngoải ra có rât nhiều bài toán dược giải bắng nhiều cách khắc nhau sẽ giúp các học sinh trờ lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giai. Bộ tài liệu được viết trôn một tư tường hoàn toàn mới mè, có tính sư phạm, có tnh tông hợo cao, giai quvẽt tưitng dôi triệt LỈé các vấn đố cùa toán học sơ cấp. Bộ 5 tải liệu này ('hắc chăn phù hợp với nhiều dôi tượng bạn dọc từ các Thcìỵ, Cô giáo đến cắc em Học sinh lớp 10, 11, 12 vả các em chuân bị dự thi môn Toán Tốt nghiệp PTTH hoăc vào cắc Trường Đại học. Cuốn IMIIÍOỈNG PHẤP GIẢI TOẢN II ì MI HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAM được việt dựa trôn việc rút kinh nghiệm và tiếp thu ỷ kiến dórtg góp của bạn dọc từcuôh Tuyên tập cấc Chuyên dề Luyện thi Đại học Môn Toắn - Hình học Giẩi tích của Lê'Hồng Đức và Trán Phương, dã được Nhà xuất bản Hà Nội âh hành quý II năm 2002. Cuôh tài liệu dược chia ứìành 5 phần: Phẩn I. Mặt phăng Phẩn II. Đường thăng trong không gian Phẩn III. Các bải toán về điểm, đường thăng vả mặt phăng Phần IV. Mătcầu Phẩn V. Các bài toán hình học không gian giải bàng phương pháp toạ độ trong không gian bao gồm 36 chủ dề, miêu tả chi tiết phương pháp giải cho hơn 60 dạng toán hình học giải tích trong không gian thường gặp. Và đ ể giúp bạn đọc tiện tra cứu, chúng tôi mạnh dạn tíìay dổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cù bằng việc liệt kê các bài toán thay cho đáu mục. Thay mặt nhóm tác giả, tôi xừỉ bày tỏ tại đđỵ lời cảm ơn đến người học trò của mình là Lẽ Bích Ngọc đã vui lòng nhận kiêm tra lại từng phán của bản thảo cùng với việc cộng tác viết cuốn " Phương pháp giãi Toán Tích phân " Xùi dược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp dờ động viên từìh thấn của những người Thảy mà tôi hàng kmh trọng, gồm: GS. TS Trần Mạnh Tuâh nguyên Phó Giấm Đốc Trung Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên Hiệu Trưởng Trường PTTH Hà Nội - Amsterdam, PCS. TSKH Đinh Quang Lưu, GS. TSKtì Nguyễn Văn Thu và người Thày thủa thiếu thời của tôi Bấc Ngô Lâm. Cuối cùng, cho dù đả rđt cổ gắng bằng việc tham khảo m ột lượng rât lớn các tài liệu hiện naỵ đ ể vừa viết, vừa mang đì giảng dạy ngay cho các học sinh của mình từ đó kiêm nghiệm và bô’xung thiếu sót cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến của các bạn dồng nghiệp đ ể hoàn thiện bộ tài liệu này.; nhưng thát khó tránh khỏi nhùng thiêu sót bởi nhùng hiểu biết và kừứi nghiệm cỏn hạn chế, tác giả Tất mong nhận dược nhùng ý kiến dóng góp quý báu của bạn đọc gần xa. Mọi ý kiến xin liên hệ trực tiếp hoặc gửi về theo địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Mồn Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hò - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 E-maiỉ: cumon@)hn.vnn.vn hoặc lehongduc39(&yahoo.com Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trương vào ngày 31/10/2004) Hà nội, ngày 1 ữiắng 1 năm 2003 LÊ HỔNG ĐỨC 6 MỤC LỤC LỜIGIỚI THIỆU MỞ DẦU................................................................................................................................... 1 PHẨN I MẶT PHẢNG Chủ đế 1. Phương trình măt phăng .........................................................................15 Bài toán 1. Phương trình măt phăng đi qua 1 điếm cỏ vtpt n .........................16 Bài toán 2. Phưưng trình mặt phảng đi qua 1 điểm có vtcp ă và b ...............17 Bài toán 3. Phương trình mặt phăng đi qua 3 điêYn khỏng thăng hàng...........18 Bải toán 4. Phương trình măt phăng theo đoạn chán.......................................19 Chủ để 2. Chuyển dạng phương trình măt phăng....................................................21 Bầi toán 1. Tìm một căp vtcp của măt phăng....................................................21 Bài toán 2. Tìm một vtpt của mặt phăng.......................................................... 22 Bải toán 3. Chuyển phương trình tổng quát của măt phăng về dạng tham số............................................................................ 23 Bài toán 4. Chuyển phương trình tham sô của mặt phăng vẻ dạng tông quát..........................................................................24 Chủ đế 3. Vị trí tương đối của hai măt phăng.......................................................... 31 Chù để 4. Chùm mặt phăng..................................................................................... 35 Chủ để 5. Khoảng cách từ một diêm đến một mặt phăng........................................49 Bải toán 1. Khoảng cách hình học từ một điểm đến một măt phăng................49 Bài toán 2. Viết phương trình mảt phăng cách mặt phăng (p) một khoảng băng h vầ thoả mản điểu kiện K................................50 Bài toán 3. Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc tạo bởi (Pj), (Pị) chứa điêm Mfl hoặc của góc đối đỉnh với nó....................51 Bài toán 4. Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc nhị diện............. 52 PHẨN II ĐƯỜNG THẢNG t r o n g k h ô n g g i a n Chủ để 1. Phương trình đường thăng ......................................................................55 Chủ đế 2. Chuyển dạng phương trình đường thăng................................................59 Bài toán 1. Tim một vtcp của đường thâng (d) cho trước.................................59 Bàỉ toán 2. Chuyển dạng phương trinh tổng quát của đường thăng sang dạng phương trình tham số hoặc chính tắc...........................60 Bài toán 3. Cách chuyển dạng phương trình tham số của đường thăng sang dạng phương trình tổng quát................................................61 Chủ để 3. Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng......................................67 Bài toán 1. Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng...........................67 Bài toan 2. Giả sử (d)r\(P)={A|. Lâp phương trình đường tháng (d,)) qua A vuông góc với (d) và năm trong mẫt phing (P)................ 75 Bài toán 3. Bải toán về họ đường thăng (đm) ......................................................71 Chủ đê 4. Vị trí tương đối của hai đường thăng...................................................... 77 Bàỉ toán 1. ứng dụng tích hổn tạp xét vị trí tương đôi của hai đườnjg thăng .77 Bàỉ toán 2. Xét vị trí tương đô'i của hai đường thăng......................................... 78 Bài toản 3. Viết phương trình măt phăng (P) song song và cách đểu hai đường thảng (đ,), (dj) chéo nhau.............................................79 Bài toán 4. Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đéu hai đường thăng song song (dj), (dj) và thuộc măt phăng chiứa hai đường thăng (dị), (d j.................................................................79 Bài toán 5. Viết phương trình đường phân giác của hai đường thăn$ cắt nhau (dị), (cU)..............................................................................80 Chủ để 5. Hai đường thăng đổng phăng và các bài toán lièn quan............................ 83 Bài toán 1. Xác định toạ độ giao điôm của hai đường thăng.............................83 Bài toán 2. Viết phương trình mặt phăng (P) chứa hai đường tháng đổng phảng (dt) và (dj)....................................................................84 Chủ để 6. Hai đường thăng chéo nhau vả các bài toán liên quan.............................. 93 Bài toán 1. CMR hai đường thăng chéo nhau...................................................93 Bài toán z Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thăng chéo nhau................................................................... 94 Bài toán 3. Tính khoảng cách giừa hai đường thăng chéo nhau....................... 98 PHẦN IU ĐIỂM, ĐƯỜNG THĂNG VÀ MẶT PHĂNG w • Chủ để 1. Đường thăng đi qua một điểm cắt cả hai dường thăng cho trướtc....... 109 Chủ đế 2. Đường tháng đi qua một điôm vuông góc với hai đường thăng cho trước................. ......................................................... 119 Chủ để 3. Đường thăng đi qua một điôm vuông góc với một đường thãng vả cắt một đường tháng khác...................................... 123 Chủ để 4. Hình chiêu vuông góc của điểm lên mặt phăng.......................................129 Bài toán 1. Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lên một măt phăng.............. 129 Bài toán 2. Tìm điểm đối xứng của điểm A qua măt phăng (P).......................129 Bài toán 3. Xác định phương trinh đường thăng đối xứng với một đường thing cho trước qua một mặt phăng cho trước......... 130 Chủ đ í 5. Hình chỉéíi vuông góc của đường thing lén măt phăng......................137 Chủ để 6. Hình chiếu vuổng góc cùa điểm lên đường thăng.............................. 147 Bái toán 1. Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lén một đường thăng;.....147 Bái toán 2. Tìm điểm đôì xứng của điểm A qua đường thing (d)...................147 Bài toán 3. Xác định phương trình đường thảng đối xứng với một đường thăng cho trước qua một đường thăng cho trước.........147 8 Chúi đề 7. DiCrn và một phàn>; ...............................159 Chúi đế 8. Diổm và đườn^ th c ln ^ ............................... .................................. lf>7 Bài toán 1. Tìm trOn đưnin^ thãnp, (li) vliõm M(xN„ VM, /A1) thoti mãn tính chất K ............................. 167 Bai toán 2. Tim tròn đường tilling (li) đh'm \1(xM, yu, /v.,) sao cho xịt + V\1 + nhỏ nhát ...................................................168 Bai toán 3. Cho htii điốm A, B vá đưỏng thàng (lỉ) Tim itiôm Me(d) sao cho MA+MB nho nhát................................................................ 168 Chủ đê 9. Góc trong không gian................................................................................173 Bài toán 1. Xác định góc giữa hai đưỡnj; thăn^.................................................. 173 Bài toán 2. Góc giữa đường thân}' va mặt phănj;............................................... 174 Bài toán 3. Xác dinh góc giữa 2 măt piling................................................... 175 Chủ để 10. Tam giác trong không gian.................................................................... 181 PHẦN IV M ẶTCẦU Chủ đế 1. Phương trình một cẩu...........................................................................189 Chủ đê 2. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phăng................................................................ 197 Chủ đê 3. Măt cầu cắt mặt phàng.........................................................................203 Chủ để 4. Măt cầu tiếp xúc với đường tháng.............................................................. 207 Bài toán 1. Lập phương trình mặt cầu (S) cỏ tâm I(a, b, c) và tiếp xúc với đường thăng (đ) cho trước......................................207 Bài toán 2. Lâp phương trình mặt cấu (S) tiỏp xúc voi dường thăng (d) tại điỏm H(x(l/ V(í/ /-(») và thoả mán điều kiên K................................ 208 Bài toán 3. Lâp phương trình măt câu (S) tiêp xúc với 2 đường thăng cắt nhau (đj), (d2) cho trướr và thoa mãn điổu kiộn K.................. 209 Bải toán 4. Lập phương trình mặt cảu (S) tiếp xúc với 2 đường thăng (đ,), (d j song song với nhau cho trước và thoà mân điểu kiện K......210 Bài toán 5. Lâp phương trinh mặí c ầu (S) tiôp xúc vơi 2 dường thăng chéo nhau (đ |), (d:) cho trước và thoà màn điõu kiộn K................2i2 Chủ để 5. Mặt cầu cắt đường thỉỉng...................................................................... 219 Chu để 6. Mặt cầu ngoại tiếp khỏi đa diện...................................................................223 Chủ đê 7. Măt cầu nội tiếp khối đa điện................................................................. 231 Chủ đê 8. Vị trí tương đối cùa diêm và mặt c ầ u ......................................................... 237 Bài toán 1. Xác định vị trí tương đỏi cùa mạt câu (S) và điôm A cho trước. .237 Bài toán 2. Cho mặt cầu (S) và đỏm A khồng trùng với tâm ỉ của (S). Tìm toạ độ đi ỏm M thuộc (S) sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất............................................................ 237 Chù đế 9. Vị trí tương đối của đường thăng và măt c ầ u ............................................239 Bài toán 1. Xae định vị trí tương đối của mặt cầu (í- 'à đường thăng (đ) . ..239 0 Báỉ toán 2. Tìm toạ độ điếm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đỏn (d) đạt giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhất................................................. .. . 241 Chủ đế 10. Vị trí tương đối của mặt phăng vả mặt cầu............................................ 245 Bái toán 1. Xác định vị trí tương đối của măt cầu (S) và mặt pháng ( P)......245 Bài toán 2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách tử M <đẻn (P) đạt giá trị lớn nhâ*t, nhỏ nhâ't.........................................................246 Bài toán 3. Chùm măt cầu dạng 1....................................................................248 Chủ đ í 11. Vị trí tương đối của hai măt cầu.............................................................253 Bảỉ toán 1. Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu (S,) và (Sj).................... 253 Bài toán 2. Chùm mặt cầu dạng 2.................................................................... 254 Chủ để 12. Tiếp tuyến của mặt cầu, tiếp diện của măt cầu........................................257 PHẦN V CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chù đế 1. Giải bải toán định lượng trong hình học không gian...............................263 Chủ để 2. Giải bài toán định tính trong hình học không gian..................................279 Chủ để 3. Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian.................287 Chủ đế 4. Giải bài toán cực trị trong hình học khổng gian............................................ .. 291 TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................302 10 MỞ ĐẨU Cho hệ toạ độ Oxyz. Vectơ Cho hai điểm Mj(xj, y u Zị) và Mị(x^ yy z2) thì: M1M2 = ( x 2- x „ y2-y1, Z2’ Z\) Các phép toán Vectơ Nếu c ó h a i v e c t ơ Vj (x „ y u Zj) v à v 2 ( x 2/ y 2/ z2) thì: (i ) . V 1 4* v 2 = ( x , + x 2/ y , + y 2, z , + z 2) (ii) V, - V, = ( x r x2, y r y 2, z r z 2) ( i i i ) . k V, (Xj, y „ Z j)= ( k x „ k y v k z j ) , k e R . Khoáng cách đ giữa hai điêm M^Xj, y u Zj) s p,( ?!) và Mj(x2/ y2, z2) s P2( r2) là đ ộ d ài củ a v ectơ M ịM 2 d = | M,M: I = >/(x1 - X,)2 + (y, - y2): + (z, - Z,)2 Chia một đoan thăng theo một tĩ số cho trưởc. Điểm M(x, y, z) chia đoạn thăng M,M2 theo một tỉ sốk: MMj =k MM, được xác định bởi các công thức: X = kx2 1 - k v = Z i z M 7 l - k Zị - kz2 z =1 - k (1) Đặc biệt nếu k=-l, thì M là trung điểm của đoạn thảng MịM2 , khi đó toạ độ của M được xác định bởi: v = L lU ± (2) y 2 Zt + z , z = — - Góc a g i ữ a h a i v e c t ơ Vj (Xj, y t, Zị) v à v 2 ( x 2, y2/ Z2) xác đ ịn h bởi: *Ị-*2 + yi-y2 + *i-*2 cosa= (3) V* 1 +yi + Z 1 Vxí + y* +z* Các Em hoc smh hãv tham gia hoc tâp theo phưưng pháp" LJv hoc trò lit unetim" Dưới sự hỗ trợ cùa NhómCựlvtòn doThs. Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đào Thiớn Khái phụ trach. 11 Hình hoc Giài tích troiift Mionfi friian Côsin chĩ phương. Côsin của các góc giừa vectơ V (x, y, z) và hướng dương của các trục Ox, Oy, Oz được gọi ỉà Côsin chĩ phương cosax, cosay/ cosa, được xác định bởi: c o s a ,X I 2 2 2 ' + y + z COSCL. L y ~ 1 2 2 2 ' yx +y +z c o s a , 2 2 / y X + y + z c o s : a v+ c o s 2a + c o s 3a ?= l . (4.1) (4.2) (4.3) (4-4) Ba điểm thăng hàng. Ba diêm A(x„ y„ Z j ) , B(x-,, Vj, z2) và C(xv yv Zj) thăng hàng nếu (điểu kiện cần và đủ) AC = kAB X, - X1 = 11211 o X j - X , y2-y. *2 Yi Z1 1 z , X, 1 X1 y i 1 y , Z , 1 = z2 x2 1 = x 2 Y’ 1 o yj z3 1Zj Xj 1 *3 yj 1 =0. (5) (6) Bốn điếm đổng phỉng. Bốn điêrn A(x„ y„ Z | ) , B(xj, yy Zj) và C(xv yv Zj) và D(x4, Ỵị, z4) đồng phăng nếu (diều kiện cần và đủ) X, y , Zj 1 X , y , Zj 1 x 3 y 3 Zj 1 x 4 y 4 z 4 1 =0. (7) Tích vỏ hưởng giữa hai vectơ V, (Xj, y„ Zj) và V, (Xj, yj, Zj) xác định bời: v ,.v 2-x , .x,+ y, .y2+ Z, .Zj. (8) Tích vectơ (hay tích có hướng ) của hai vectơ Vj (X|, y„ Zị) và v2 (x:, y„ Zj) kí hiệu [ V , , V , ] là một vectơ V được xác định bởi: [ v ,,v ,] = v yi h y 2 C ic tin h c h ít z, X, z 2 X, *1 yi x 2 Ỹ2 (9) (i). V j,v2 cộng tuyến <=> [Vj ,v 2]=õ, (ii). V |l [ v 1/v2], v2l [ v j , v : ], (iii). |[ v , , v , ] |= | V, |. | V; l-sina, trong đó a là góc giữa hai vectơ V) và v2. 12 (iv). [ Vj # v2 ]=-[ v2 , Vj ]. (v). [ÀV, , v : ] = | V, ,x v 2 ]=/ h K (vi). [ V , V, + v 3 ] = [ V, Vj J + l \ Dỉẽn tích tam giác. Diện tích cù tì tam 1.11 < .ì < M cỉii.lì A(a,, y,, Z |), B(x., y2, z2) và C(xv Vv z0 được cho bởi công thm S aabc = ị |[ÃB,AC]| ■-< 1 y: 1 y5 1 N1J N+ i 1 x' - x 1 1*2-*1 >'2 -yi NỊ/.,-/ 1 ^-*1 ỵ3“ y 1(10) '< 1 N Tích hổn tap của ba vectcl Vj (Xị, V,, Zị), V. (x:, y:, z:) và V, (xv Vv z ì) được kí hiệu là D( Vị, V,, v3) được xác định bời: *1 Vi 1 1 D (V,, v ,,v 3)= Các tính chất. |v- /-I / > \ n Ị V-, X, y. = ' i.\ị + Vị + " ■ / , x ,j X, V, X3 y* 7 3 (11) (i). D( Vj , Vọ , )=-D( v 2 , V, , V ; ) = -D( V Ị , V *> , V 2 )=-D ( V „ V 2 ,V j) . (ii). D(X Vj, v2,v 3 )=D( Vj ,k V 2 , V, )=D( Vj, v: )=XD( Vj, v2, v3), ẰeR. (iii). D( Vj ,ả + b, v3 )=D(ã , V 2,V, )+D( b, v 2, V , ) , D( Vj ,ã + b / v,)=D( Vị ,ã, Vi )+D( Vị h, V,), D( V j, v 2 ,ẩ + b )= D ( v , , v 2,ã )+D( V j, v : , b ). Ba vectơ đổng phăng. Điéu kiện cán và đù để 3 vectơ Vị (Xj, y v z1)( v2 (x2/ y2/ z2) và v3 (xv y3, z3) đồng phảng là: X1 >'! Z] D (v j, v2/v3)= T hể tích x 2 Y : 7 2 *3 y* Zj =0. (12) (a). Thể tích V của tứ diện có các đỉnh A(Xị, y„ Zị) , B(x2, y2, Z2)/ C (xv y> zj) và D(x4/ y4/ z4) được cho bởi công thức: X-, - Xj V 2 - Yl z 2 " z l V = I I D( AB, AC, AD ) I = - X ,-X j 1 N 1 N (13) x4 - x , 1 N-r 1 p T (b). Thê tích V c ủ a h ì n h h ộ p d ự n g trên ba v e c t ơ Vj (Xj, y „ Zj), v 2 (x 2, y:, z2) Các Em hcx' sinh hãy tham gia học tập theo phưttng pháp" U y hoc trò làm trung tám" ^•rới sư hỗ trợ cùa Nhóm Cư Môn do Tlìs. Ịjô Ị ỉóny; Dm và Nhíì £Ìáo Ifu tú Đao Thiên Khtìi phu trai h Hình hoc Giải tích trong Khổng gian và v3 (X3, Ỵy, Zy) được cho bởi cổng thức: *1 yi *1 (14) V=|D(ÃB,à C,ÃD)| = 14 x2 y2 z2 *5 y 3 P H Ẩ N I MẶT PHẲNG C H Ủ Đ Ể 1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG I. KIẾN T H Ứ C C ơ BẢN 1. CẶP VECTƠCHỈ PHƯƠNG VÀ VECTƠ PHÁP TUYẾN Đ ịnh nghĩa 1: Hai vectơ ấ ,b gọi là cặp vectơ ch ỉ phương (vtcp) củ a măt phăng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thăng chứa chúng đểu song song với (P) (hoăc nằm trẽn (P)). Các tính chất của căp vectơ chỉ phương của măt phăng (i). Mỗi mặt phăng có nhiều cặp vectơ chỉ phương. (ii). Hai mát phăng phân biệt có cùng một cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau. (iii). Một mặt phăng (P) được hoàn toàn xác định nếu biết một điẽm M và cặp vectơ chỉ phương ( ã , b ) của nó. Định nghĩa 2: Vectơ n là vtpt của mặt phăng (P) Ịn l(P ) Nhân x é t fi là vtpt của (P) thì mọi vectơ k n với k*0 đều là vtpt của măt phăng đó. Chú ý . Toạ độ của vectơ fi vuông góc với hai vectơ không cùng phương ă (a,, a->, a3) và b (b|, b2, bj) cho trước, được xác định bời: n = [ã , b ]= Ví dụ 1: /3i a3 a3 ai ai a:\ Vbi b, /b, b,/b, b2/ a. Xác định toạ độ của vectơ n vuông góc với hai vectơ ă (2, -1, 2) và 6(3,-2,1). b. Tìm một vtpt của mặt phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ã (2, 1, 2) và b (3, 2,1). Giải. a Ta có: n i 3 _ - ^ , o n * [ã, b]= n lb -1 2 - 2 1 2 2 1 3 2 -1 3 - 2 - n (3, 4, -1). b Gọi n là vtpt cần tìm của (P). Ta có: nia _ - ^ r o n * [ ã ,b Ị ’ a lb /1 2 2 2 2 1 \ lh n ('3 ,4 ,1 ). V2 191 3 /3 2 / Vây mặt phăng (P) có mổt vtpt là n (-3,4,1). Cic Em học sóih hảy tham gia học tậổ ứieo phương pháp" Lầy hoe ệứ lim ừvrur Um" r ưóí sư tó trơ cùa Nhóm Cự Mòn <ỉ>Ths. Lê Hổng Đúc và Nhà gi4o ưu tú Đào Thiện Khải phụ trách. 15 Phcìn 1: Mat phàntt 2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẢNG Măt phăng (P) trong không gian Oxyz có phướng trình tông q u á t: (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 (1) nhận vectơ n (A, B, C) làm vtpt. M ồt s ố trường hơp đăc b iê t của phư ơng trình (1) • Nếu D=0, mặt phăng (P) đi qua gốc toạ độ. • Nếu A=0, B*0, o o , măt phăng (P) có dạng (P): By+Cz+D=0 sẽ chứa hoăc song song với trục x'Ox. Thật vây, vtpt của (P) trong trường hdp này là n (0, B, C), do đó: n . ĩ =0 <=> n -L ĩ <=> n vuông góc với trục x'Ox. Vậy (P) song son^ với trục x'Ox. Tương tự, mặt phăng ^P) có dạng (P): Ax+Cz+D=0 sẽ chứa hoặc song song với trục y'Oy, mặt phăng (P) có dạng (P): Ax+By +D=0 sè chứa hoăc song song với trục z'Oz. • Nếu A=0, B=0, o o , mặt pháng (P) có dạng (P): Cz+D=0 sè chứa hoăc song song với trục x'Ox và y'Oy nên nó song song hoặc trùng với mặt phăng xOy. Tương tự, mặt phăng (P) có dạng (P): Ax+D=0 sè song song hoặc trùng với mặt phăng yOz, măt phăng (P) có dạng (P): By +D=0 sè song song hoặc trùng với mặt phăng xOz. Đặc biệt các phương trình x=0, y=0, z=0 theo thứ tự là phương trình của các mặt phăng toạ độ yOz, xOz, xOy. • Nếu A*0, B*0, o o , D*0 thì bằng cách đăt a=- — , b=- —, c=- — ta đươc: 6 • A B c (P): £ + £ + £ - ! (2) a b c Phương trình (2) gọi ià phương trình đoạn chăn của măt phăng (p). • Chia hai vế của phương trình (1) cho M= Va: + B2 + c 2 . Khi đó, đặt A A n B _ c ^ D A0- — Ị Bn3 — /C0- — f D()= — M M M M ta được: (P): AoX+B0y+CoZ+Do= 0 với Aổ + Bổ + C5 =1 (3) Phương trình (3) được gọi là phương trình pháp dạng cùa mặt phăng (P). PHƯƠNG PHÁPCHUNG Ta có: [qua M0(x0,y0,z0) [vtpt n(n1/n2/n3) a. Phương trhứi vectơcủa m ặtphãng lị ị Điêm M(x, y, z)€(P) o M ()M ln o M0M . n *=0 (1) Ị V b. Phương trình tông quát Ciifi m ặt phăng Ị (P)7n1(x-x0)+n2(y-y0) K ( Z-*0) *0 16 • '■* ìn ẵ u ' ...» ( hu lie I Phương tnnh mjit plì.^n^ C hú ý : 1. Mạt phăng (p) có vtpt ri (11,, n , n^), luôn ró đcỉiH': (P): n,x+ n:y+n^z+m =0 Đẽ xác địn h (P), ta cần đi XtH định m. 2. Mạt phăng (P )//(Q): Ax+By+Cz+D=0, luôn có dạng: (P): Ax+By+Cz+E=0 Dê xác định (P), ta cần đi xả< định E. Ví dụ 2: Láp phương trình tồng quát của mặt phăng (P) biết: a. (P) đi qua điểm M(l, 3, -2) và nhận ri (2, 3, 1) làm vtpt. b. (P) đi qua điểm M(l, 3, -2) và song song với (Q): x+y+z+l=0. Giãi. a. Ta có: jquaM (U.-2) 2(x-l)+3(y-3)+z+2=0 <=> (P): 2x+3y+z-9=0. Ịvtpt n(2,3,l) Vậy phường trình tổng quát cùa mặt phăng (P) là: (P): 2x+3y+z-9=0. b. Ta có: íquaM (U,-2) ' ; [(P)//(Q ):x + y + z+ l=0 • Vì (P)//(Q ): x+y+z+1=0, có dạng: x+y+z+E=0. • Vì M(í, 3,-2) e(P), ta có 1 +3+2.(-2)+E=0 Cv E=0. Vậy phương trình tông quát của mặt phăng (P) có dạng: x+y+z=0. Bài toán 2 Lập pluíiTg trình măt ỊÌiàng (F) đi qua điêm M, , y,> và oó ựip vtLp la ă (&i,AyA^ và b PHƯONGPHÁPCHUNG Ta có: (P): qua M(x0,y 0,z„) hai vtcp ã (a ,. a%,a,) o (P): b(bj/ b 2 / b,) X = x0 + a J11 + bịt-, y = y0 + a2tj + b2t2, (tị, t2eR). ỉ. = /.() + ‘V j + (1) Phương trình (1) chính là phương trình tham sốcủa mặt phăng (P) Ngược lại: nếu (P) có pỉhương trình (1), ta có nhận xét: • Măt phăng (P) đi qua điêỉn Mofxjv y0/ z0). • Măt phăng (?) có căp vtcp ă (alr a2, a3) và b (bị, b2/ by). Ví du 3: Lập phương trìr\h tham số của măt phăng (?) đi qua điểm M(l, 3, 2) vả c ó c ặ p v t c p là ã (2, -1, 2 ) v à b (3, -2,1). Giải. Ta có: [qua M(l,3,2) (P): ' r ^ ( p)- Ịhai vtcpã(2,-l,2)&b(3,-2,l) X = 1 + 2tj + 3t, y = 3 -t/-2 t* ------------ z = t2 V 2 f{ K t,Q iiO C G ỈA HA INỤ! Đo chính là phương trình tham số của mặt pháng (p).1 iiỉj.ụ,.v im . u < y í ặ ế L17 Phần 1: MAI phủny Ví dụ 4: Lập phương trình tham sô của mạt phăng đi qua hai điếm A(4, -1, 1), B(3,1, -1) và cùng phương với trục Ox. Giai. Ta có: ỊquaA(4,-l,l)& B(3,1,-1) jquaA(4,-U ) ' [cung phuongOx Ịhai vtcp AB(-l,2,-2) & 0x(l,0,0) X = 4 - t J + u o ( P ) : • y = - l + 2 t, / (t„ t2€R) z - 1 - 2 t , Đó chính là phương trình tham sô' của măt phỉing (P). — — . . . — - - - - - - - - - - - - - - I T — — -- - - - - —n m r — ~ n i - - - - - - - - - - - - - - - - ■ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - — - - - - - - - - - - — - - - - - - I M - - - - - - - - - - - - T I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■ ! ÌIIIIII— I - - - - - - - - — — I Bài toán 3: ĩhương ùùứì n ứ tph ăn g (F) đ i qua 3 điếm A(xj, y v Zj), B(xy Ỵy Zo) và Cịxy yv 7ý không thăng hảng Gố dạng; _ _ _ _ _ _ _ _ PHƯƠNG PHÁP CHlỉNr, Ta có thẽ lựa chọn m ột trong ba cách trình bày sau: Cách 1: Áp dụng bài toán 2, thực hiện theo các bước: Bước ĩ: Ta có AB, AC là một cặp vtcp của mặt phăng (P), ta được: AB(x2~ x l,y2- y 1/z2 - z 1) AC(x5 - x 1/y3 - y 1/z3 - z 1) Bước 2. Khi đó phương trÌẳih mặt phăng (P) được cho bởi: m í q u a Ă í x , , ^ ) (p):r — [2 vtcp AB k AC Cách 2. Áp dụng bài toán 1, thực hiện theo các hước: Bước 1: Gọi ĩị là vtpt của mặt phăng (P), ta được: n =[ AB, AC ]. Bước2. Khi đó phương trình mặt phăng (P) được cho bởi: (Pvíqua (vtpt n Cách 2. Thực hiện theo các bước: Bước 1: Giả sử (P ): Ax+By+Cz+D=0 Bước2. Vì A, B, Ce(P), ta được: AX| + Byị +CZ| + D = 0 A = k|D Ax2 ♦ By2 + Cz2 ♦ D = 0 => - B = k2D . Ax* + By^ + Czj + D = 0 c = k Bước 3: Khi đó: (P): k 1Dx+k2Dy+k:iDz+D,BS0 « (P): l^x+k-iy+kjZ+lK). Chủ ỷ. 1. sử dụng cách 1 ta nhận được phương trình tham số của mặt phăng (P). 2 . sử dung cách 2 , 3 ta nhận được phương trình tổng quát của mặt phăng (P) 3. Phương trình m ặt p h ă n g theo các đoạn chắn. Mặt phăng (P) cắt trục Ox tại A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình ( P ) :Ị + J Ù 4 - 1 . a b c 18 Ví du 5: Lập phương trình mạt pỉuiiy, đi LỊUcì bcì đk‘ 111 a. A(l, l! 0), B(l, 0, 0) vã c (0, 1, 1) b. A(1,0, 0), B(0,2,0) và( Ịiựi.h). Chìị a. Cáclì /: Ta có AB,AC la một v/.ìp vkp của mật pluìn^ (ĩ>), ta được: ! Khi đó phương trình mặt phăn^ (P) được cho bời: í X : I t 2 <=> (P). y = I t ị , (tị, t:eR) / = t , Cách 2 Gọi lĩ là vtpt của mật phăng (P), ta đước: n=[à B ,à C ]=(-l,0,-l) Khi itó phương trình mặt pỉìáng (P) dược cho bời: b. Nhện xét ràng A, B, c theo thứ tư thuộc b c ì trục toa độ, do đó: (ABC): - + X + - =1 <=> (ABC): 6x+3v+7.-f»=0. 1 2 6 II.CÁC BÀI TOÁN C H Ọ N LOC Bài 1 Gv> hai điẩìi A(l, z 3); B((3,4> -1) ktàìg gian Gnhận fi| (1, 0, 0) làm một vtpt. vlạt phăng (Q) vuông góc với (yOz) nhận iĩ I (1, 0, 0) làm một vtcp. vlăt phảng (Q) vuông góc với (P) => nhân AB (2, 2, 4) làm một vtcp. "bây ràng n Ị, AB không cùng phương. Vậy X = 1 +1J + 2ti ° (Q):< y = 2t: , tj, t2eR. / = 4t~ Đó chính là phương trình tham số của (Q). 19 Phán I: Mat phàntt c. Ta có: Măt phăng (R) qua A và song song với (P) =s> (R) nhân AB (2, 2, 4) làm vtpt. Vây: [qua A(l,2,3) (R): 21 »(R):2(x-l)+2(y-2)-4(z-3)=0(R):x+y-2z+6=0. [vtpt AB{2,2,-4) Đó chính là phương trình tông quát của (R). / Bài2 (ĐHCĐ/chua phân ban-99): ViêtphutlTg trình mặt phăng tnnTgtnxcủdđoạntììăpg AB vớiA£l,4);B(-l,A5). HƯỚNG DAN GIẢI ™ Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm toạ độ trung điểm I là trung điểm của AB, bởi công thức: .. _ XA + * B „ Y a + Y b T _ * A + * B XI = — 2— / yI - — 2— / ZI - — 2— Bước 2: Gọi (P) là mặt phăng trung trực đoạn AB, khi đó: qua I (P): <=> (P): 6x+8y-2z+ll=0. vtpt AB Đó chính là phương trình tông quát của (P). III.BÀI TẬP ĐÊ NGHỊ Bài tâp 1. Lập phương trình tham số của mặt phăng (P) đi qua M(2, 3, 2) và có cặp vtcp là ã (2,1, 2) và b (3, 2,-1). Bài tâp 2. Lập phương trình tham số của mặt phăng (P) đi qua M (l, 1,1) và a. Song song với các trục Ox và Oy. b. Song song với các trục Ox và Oz. c. Song song với các trục Oy và Oz. Bài tập 3. Lập phươne trình tham số của các mặt phăne đi qua hai điêm A (l,-1,1),B (2,1 ,1 )và: a. Cùng phương với trục Ox. b. Cùng phương với trục Oy. c. Cùng phương với trục Oz. Bài tập 4. Xác định toạ độ của vectơ ii vuông góc với 2 vectơ ã (6, -1, 3) và b (3,2,1). Bàỉ tâp 5. Tìm một vtpt của mật phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ẳ (2, 7, 2), 6 (3 / 2* 4). Bài tâp 6. Lập phương trình tổng quát của mặt phăng (P) biết: a. (P) đi qua điểm M(-l, 3, -2) và nhận n (2, 3, 4) làm vtpt. b. (P) đi qua điểm M(-l, 3, -2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. Bài tập 7. Lập phương trình tổng quát của các mặt phăng đi qua 1(2, 6, -3) và song song với các mặt phăng toạ độ. Bài tập 8. (ĐHL-99): Trong không gian Oxyz cho điểm A(-l, 2, 3) và hai mặt phăng (P): x-2=0; (Q): y-z-l=0. Viết phương trình mặt phăng (R) đi qua A và vuông góc với hai mặt phăng (P), (Q). 20 CHUYÊN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHĂNG I. KIẾN m ứ c C ơ BẢN y > Bài toán 1: Tìm niộtcặp vkpcua niặt plỲíi(í 'VI ’ trutv.□ PHƯONíỉ PHAP( III N<» a. N ôít ĩĩhỉtphăng (P) cho dưới íỉiìỉịíỊ thiìiìì sỏ X = x() + a,t| + bịt2 (P): ' y = y« + a2*i + b2{2, (t|, t:eR). 7 = z0 + , + b-^ụ thì một cặp vtcp của (P) là: â(a I, , a 3 ) b ( b |,b 2, b 3) b. N ếu m ặt phăng cho dưới dạng tổng L/Ucìt (P): Ax+By+Cz+D=0 với A:+B:+C:>0 (1) thì một cặp vtcp ã (aj, a-», a3) và b (b|, b:, bo của (P) được xác định bởi: nã = 0 (2) - n.b = 0 (3) , trong đó n (A, B, C) là vtpt của (P). ã//b (4) Đê tìm ả (a„ a:, a3) và b (bv b2/ bi) thoả mần (2), (3), (4) ta có: Từ (2) o Aa1+Ba2+Ca3=0 (5) - Từ (3) o Ab1+Bb2-*'Cb3=0 (6) Từ (5), (6) ta chọn ă (aj, a2, a 3) v à b (bị, b 2, b^) sao cho thoả mãn (4). Vậy ta có một cặp vtcp của (P) là: ã (a,, a2, a,) và b (bị, b2, b3). Chú ý. Ta có thê chọn ba điểm không thăng hàng A, B, c thuộc (P). Khi đó, cặp vtcp cần tìm là A B , A C . Ví dụ 1: Tìm một cặp vtcp của các mặt phăng sau: X = 1 + 11 + t-> a. (P): a l+2a: +3aì=0 (1) ■ Ta đi tìm bộ ba thứ nhất (a„ a2, a3) thoà mãn (1) Cho a3=0 thì (1) có dạng aị+2a*>=0 (2) Cho aj*2 thì từ (2) ta có a2*-l. Ta được vtcp thứ nhât ã (2, -1, 0). ■ Ta đi tìm bộ ba thứ hai (a|, a-V a3) thoả màn (1) Cho a,=0 thì (1) có dạng a!+3a3=0 (3) Cho a,=3 thì từ (3) ta có a3=-l. => Ta được vtcp thứ hai b (3, 0, -1). Nhận thây ã , b không cùng phương. Vậy một cặp vtcp của (P) là: íã(2,-l,0) |b(3,0,-l) Bải toán 2 Tim mộtvtptcủa mặt phăng (P) cho tmớc PHƯƠNG PHÁP CHUNG a. Nêu m ặt phăng cho dư ới dạng tông quát (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 thì n (A, B, Q là vtpt của (P). b. N ếu Iììặ tphă ng cho dư ớ i dạng tham s ố X = x0 + ajtj + bjto (P): Íã(àì,a2 ,à?í) C/u J I - ..................... H b,,b: ,b ,) Khi đó vtpt n của (P) được xác định bởi: n = [ ã ,b ] ' /a-, a J «3 al a, a2 \ Vbị b j/*>3 b,9bj b2/ a. (P): 2x+y-4z-5=0. X = l - 2 t , + 3 t , b. (P): y = 3 + 2tj - 3 t2 , (t„ t2eR) z = 2 + tj +2t, Giải. a. Mặt phăng (P) sẽ có m ột vtpt là: n (2,1, -4). b. Mặt phăng (P) có một cặp vtcp là: ịi<-2,2,ì) Ịb(3,-3,2) ' Khi đó vtpt n của ( P) được xác định bởi: n =[ã , b ] “ i I ? 1 - n (7,7,0). 22 ( hi! do 2 Chuvi/n v-ỉan^ phưi;đạiì£thunisô PHI om ; PHAP niUN(i Gici sứ m ặt phăng (P) có phương trin lì tong quát dưới dcing: (P): A x+By+C z+D =0 VỚI V *B :+( *>() (1) Đ ê c h u v é n phương trình cu LÌ (p) Ncin^ LỈạng tham ' íd chọn m ột trong các cách sau: Cách Ị. Thực hiện theo các bưỏv sau Bước /: Chọn ba điểm thuộc mạt phảng (ỉ5) bcHng várh: Cho x=v=(), Um /., ta có đièm A Cho x=z=(), tìm V, ta có điểm B. Cho y=z=0, tim X, ta có điếm c. Bước 2. Kiểm tra lạ i:" AB không cùng phương với AC Bước 3: Viết phương trình tham số của (P) đi qua A và nhận AB, AC làm cặp vtcp. Cách 2. Thực hiện theo các bước sau: Bước 1\ Tìm một điểm A thuộc (P). Bước 2. Dựa vào bài toán 3/b tìm một cặp vtcp của (P). Từ đó suy ra được phương trình tham sô của (p). Cách 3. Đặt x=f(t1), y=g(t2), thay vào (1), suy ra z=h(tj, t2). Tập X, y, z chính là phương trình tham số của (P). Ví dụ 3: Chuyển dạng phương trình của (P): x+2y+3z-6=0 sang dạng tham số. G iải. Cách 1\ Chọn ha điêm A, B, c mặt phăng (P) băng cách: - Cho x^y^o, suy ra z=2, ta cỏ điòni A(0, 0, 2). - Cho x=z=0, suy ra y=3, ta có điỏm B(0, 3, 0). - Cho y=z=0, suy ra x=6, ta có điểm C(6, 0, 0). ■ Ta có: AB (0,3, -2) và AC (6, 0, -2) —r* AB, AC không cùng phương. ■ Từ đó: qua A(0,0,2) (P ):r ' — — _ o ( P ): hai vtcp AB(0,3,-2)& AC(6,0,-2) \ = 6t-> y = 3tị ,(tì f t2eR) z = 2 - 2t ị - 2t3 Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P). Cách 2 Lấy điểm A(0, 0, 2)e(P). Mặt phăng (P): x+2y+3 z-6=0 có một vtpt là: n (1, 2, 3). Gọi ã (aj, a2/ a^) là một vtcp của (P), ta có: ẫ . n = 0 o a|+2a2+3aý=0 (1) ■ Ta đi tìm bộ ba thứ nhất (aj, a2/ a^) thoả màn (1) Cho a^=0 thì (1) có dạng a,+2a2=0 (2) Cho aj=2 thì tử (2) ta có a,=-l. ^ Ta được vtcp thứ nhất ã (2, -1,0). 23 Phán 1: MtV. phÃn^Ị ■ Ta đi tìm bộ ba thứ hai (aj, a2, a3) thoả mân (1) (3) Cho av=0 thì (1) có dạng aj+3a^=0 Cho aj=3 thì từ (3) ta có a3=-l. Ta được vtcp thứ hai b (3, 0, -1). ■ Nhận thấy ã , b không cùng phương. Vậy ă , b là một cặp vtcp của (P) ■ Khi đ ó : ỊquaA(0,0,2) (P ):r : r « (P ): hai vtcp a(2 -1,0) & 0(3,0 -1) X = 2tj + 3 t 2 y = " t i , (t„ t2eR) z = 2 - 12 Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P). Cách 3: Đăt x=3tj, y=3t>, thay vào (1), suy ra z=2-tr 2t>. Ta được: X = 3tj y = 3t2 , (tj, t:eR) z = 2 - tj - 2 t : Đó chính là phương trình tham số của (P). Bài toán4: Chuyên phưttTg trình tham sốcủa mặt phăng (P) về dạng lớng quát PHƯƠNG PHÁP CHUNG Giả sử mặt phăng (P) có phương trình tham số dưới dạng: x = x0+a1t1+ b 1t2 (P): - y = y0 + a,tJ + b ,to , tj, t2eR. z = z0 + a3tỊ + b3t2 Đế’ chuyển phương trình của (P) sang dạng tham số, ta lựa chọn Iĩìột trong các cách sau: Cách 1: Khử các tham số t|, t2 giữa các phương trình tham số trên. Cách 2 Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Ta có ã (aỉ7 ay a3) và b (bj, bj) là một cặp vtcp của (P). Bước 2. vtpt n của (P) đươc xác đinh bởi: fi = *2 t 1 ' L1 ti v b 2 b 3 b 3 t>1 b I v Bước 3: Lập phương trình của (P): đi qua M(xo, Ỵo, zo) có vtpt iĩ. Ví dụ 4: Cho mặt phăng (P) có phương trình tham số: X = 1 - 2 t j + 3 u (P): < y - 3 + 2ti - 3tj , (t„ t2eR). z « 2 + tj +2t2 Chuyển phương trừih tham số của (P) sang dạng phương trình tổng quát. Giải. Cách 1: Khử các tham số tj, t2 từ hệ phương trình tham số của (P) ta được: x+y-4*0. Vậy phương trình tổng quát của mặt phăng (P) là: x+y-4=0. 24 ( hu dó 2 ( IniNvn J.iid : ['hư' 'lit; tnnh W.M plUnn Ccii li 2. Mạt p h ả n g (P) c ó m ộ t I lip vtcp 1.1 p(-2,2,l) I b(3,-3,2) Khi đó vtpt n của (P) đ UXK cho bơi: n = [ã , b]= ■ Khi đó: /2 1 1 - 21 - 2 2 n (7, 7, 0), chon ri (1,1, 0). v - .w c .1 I , - ^ J V- 3 2 92 3 1 3 - 3 > ^ [qua Mil,3,2) p)-i . - ' ;o (P ):x -l+ y -3 = 0 o (P ):x + v -4 = 0 . v ; [vtpt 11(1 ,1 ,0 ) v ' • v ' ' Vậy phương hình tổng quát của Iiìăt phăng (P) la: x+v-4=0. II.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài 1 Lộp ỊTỈìUũhg tành thain sốvà phưtt ìg trình \LXìg quát a u lìvỊt pỉứiìg (T) đi qua A(3,4, -5) và oócặpvteplà ă (3,1,-1) và b (1,-2,1). BÀI GIẢI ~ ™ ■ Ta có: [qua A(3,4,-5) (p): - o (P ): hai vtcpa(3,!,-!)& b(l -2,1) X = 4 + 3t ị + u (1) y = 4 + tj - 212 ( 2 ) ,( t 1/t2€R) / = -5 - tị + t : (3) Đó chính là phương trình tham sô của mặt phăng (P). Từ (2) và (3) ta tính được 1*1- y 2z 6 v£ơ /|S j ược: x+4y+7z+16=0. Ịt2 = -y - z - 1 ay v v ' Đó chính là phương hình tông quát của mặt phăng (P). Bài 2Trong không gian Ocyz, cho hi điẢm A(1 AU); Bfl2ífcC(2ft2). & Vỉêt phưciTg trình tham sỏ mặt (ABC), h Viêtpỉìiiaigiáìgquátcủa mătplìãiig(AĐC). ” BÀI C.IẢI a Phương trình tham số mặt phăng (ABC) • Ta có: íquaA(lAO) (ABC): ỊỊỊ O(ABC): 2 vtcp AB(-1,2,0)& AC(1,0,2) X = 1 -t, + t2 y = 2tj ,(t„ t2€R) / = 2ụ Đó chính là phương trình tham số của mặt phàng (ABC), b. Phương tổng quát của mặt phăng (ABC) Cách 1: Từ phương trình tham số của (ABC) ■ Thay phương trình 2, 3 vào 1, ta đươc x=l- — y + - z o 2x+y-z-2=0. 2 L. Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC). 25 Phàn í: Mat phảng Cách 2 Gọi fi là vtpt của (P). Khi đó: n = [ã ,b ]= Khi đó: 2 0 0 2 0 -1 2 1 - 1 2 1 0 - n (4, 2, -2) (ABC): | qua A(1'0,0) o (ABC): 2x+y-z-2=0. v ’ Ịvtpt n(2,l,-l) v ’ y ĐÓ chính là phương trình tông quát của mặt phăng (ABC). Cách 3: Phương trình tông quát của (ABC) có dạng: ax+by+cz+d=0. (1) ■ Vì A, B, c nằm trẽn (P) nên ta có hệ: a + d = 0 a = —li 2b + d = 0 => « b = - d / 2 . 2a + 2c + đ = 0 [c = d / 2 Thay a, b, c vào (1) được: 2x+y-z-2=0. Đó chính là phương trình tông quát của (ABC). Cách 4: sử dụng tích hỗn tạp. M(x, y, x)e(ABC) <=> D( AM, AB, AC)=0 X - 1 y z 2 0 0 -1 -1 2 o - 1 2 0 =0 <=> 0 2(x -l) + 2 1 •y + 1 0 1 0 2 Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC). Bài 3 Viáphưt*E trình tham sốvà 4ỐỈng quát của mặtphẳng (P) a QìúaOxvàđiquaA(l/*i3). b. GiifcOyvadiquaBflA-Z). c Chúa Cte và đi qua (1(1,0,-2). BÀI GIẢI z = 0 o 2x+y-z-2=0. a. Mặt phăng (P) chứa Ox => Oe(P) và (P) có một vtcp là ã (1,0, 0). v7ậj: ■ Phương trìiĩỉĩ thà 111 sô' í qua 0(0,0,0) (P):< ^ — o (P): [hai vtcp ă(l,0,0)&OA(l,-2,3) 'x = t , + t 2 (1) y = -2ụ (2) , t „ t 2€R. 7. = 312 (3) Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P). ■ Phương trìiứì tông quát Cách 1: Khử các tham số tj, t2 giửa các phương trình tham số trên. Từ (2), (3), ta được 3y+2z=0. Đó chính là phương trình tông quát của (P). 26 C h u Ị t ò 2 : ( h u V Ò I ) V i *. Ccìi /ì 2. CjỌ! li 111 vtpt c ủti (P) Khi đó: 1 ()Ị 1 - 2in (0, -2) Khi đỏ lì =0 0 -2 3 0 1 3 1 ( P ) : f c T M,). 3 v +2x=0 ' ; ì v t p t 1 Ì ( 0 ,- .V 2 ) 1)6 chính là phương trình tony; LjUcit cùa (P) Cách sử dụng tích hỏn tạp M(x, y, x)e(P) o D(OM(a,OA)=0 X y /0 0 10 1 11 0 1 n CO 1 0 0 = 0 o N + y + / = 0 o (*) -2 3 P 1 1 - 2 1 -2 3 1 Đó chính là phương trình tổng quát của (P). b. và c. làm tương tự câu a. Bài 4 Viêt phưctìg trình tham sỏ và tờng LỊiút của mật plttiig (P) đi CỊILÌ A(l, 0,1); B(2, 1, 2) và viỉông góc với mặt phăng (Q): x+2y+3z+3=0. BÀI GIẢI Vectơ AB (1,1,1) là một vtcp của (P). Gọi r i I là vtpt của (Q) => n I (1, 2, 3) củng là một vtcp của (P). Nhận thấy rằng AB, lì Ị klìồng cùng phương. Phương trìiìh tlicim sÔ L Ucì (P) íquaA (lA l) (PH ' — „ ~ ( p): hai vtcp n,(l,2,3)&AB(1,1,1) • Phương trình tồng LỊuátciuì (P) X = 1 + t I + t-> (1) y = 2tj + u (2) , (tẳ, t2eR) / = 1 + 3tj + u (3) Cách h Khử các tham số t„ t: giửd c ác phương tỉ ình tham sô của (P). Lấy (l)-(2) suy ra x-y=l~tj (4Ì Lấy (2)-(3) suy ra y-z=-l-tị (5) Lây (4)-(5) suy ra x-2v+z=2 o x-2y+z-2=0. Đó chính là phương trình tông quát của (P). Ciich 2. Gọi n là vtpt của (P). Khi đó: lì = Khi đó: 2 3 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1= rì (-1,2, -1) (P): ~ (P): (x-1)-2y+(z-1)=0 ~ x-2y+z-2- 0. Đó chính là phương trình tổng quát của (P). 27 Phán 1: Mat ghflng Cách 3: sử đụng tích hỗn tạp. M(x, y, x)€ (P) <=> D( AM, n ị, AB )=0 X- 1 y z - 1 2 3 1 1 y +1 2 <=> 1 2 3 * 0 » 1 1 1 <=> x-2y+z-2=0. 1 1(x -l) + 3 1 1 1 (z - 1) =0 Đó chính là phương trình tông quát của (P). Bài £ (ĐHDLr97):Viêt phuttTg trình đìtim số và tâng quát của mặt phăng (P) chúa gốc taạ độ và vuông góc với hai mặt phàng cỏ plutohg trình (PJ: x-y+z-7=0 và (R): 3x+2y-12z^3=€. ~~ BÀI GIẢI — — ~ Gọi fi| # ÍÌ2 theo thứ tự là vtpt của mặt phăng (Pj), (PJ, ta có: n |( l , - l , l ) ; n2 (3, 2, -12). Gọi (P) là mặt phăng chứa gốc toạ độ và vuông góc với (Pj) và (P2) Phương trình tham sô Í4ua0(0.0 0) X = t J + 3 t 2 (1) y = -tj+ 2 t2 (2) , tj, t2e R v ' Ị hai vtcp nj(l,-l,l)ổc n2(3,2,-12) v }z = t| - 12t2 (3) • Phương irìiứt tổng quát Cách 1: Klìử các tham số tj, t2 giữa các phương trình tham số trên. Láy (l)+(2) suy ra x+y=5t2 (4) Lấy (2)+(3) suy ra x+z=-10t2 (5) Thay (4) vào (5), ta được x+z=-2(x+y) o 3x+2y+z=0. Đó chính là phương trình tổng quát của (P). Cách 2 Gọi fi là vtpt của (P). Khi đó: n = Khi đó: -1 1 2 -12 1 1 12 3 1 -1 3 2= 11(10,15, 5) (P): qua 0(0,0,0)o (P): 3x+2y+z=0. vtpt íi(2,3/l) Đó chính là phương trình tổng quát của (P). Cách 3: sử dụng tích hỗn tạp. M(x, y, x)g(P) « D(OM,a, OA )=0 X y z-1 1 =0 01 1 1 - 1 o 1 - 1 1 X + V + .z =0<=> 3x+2y+z=:0. 3 2 -12 2 - 1 2 -12 3 3 2 Đó chính là phương trình tổng quát của (P). 28 c h u lir 2 ( _hu\vn J.mj,: p liưưne trinh mat phflnt! III. T ổ N G KẾT PHƯ ƠN G PHÁP 'MKT m ư ơ N C TRÌN H MẶT 1’H Ả N G t r o n g k h ô n c ; C!AN Bài tnán: Lập phudhg trình niặtỊÌVÍI K': z: *3 y 5 .(z-z,)= 0 d. Phương trình m ặt phăng theo Ciiy (loạn íihín: mặt phăng (P) cắt trục Ox tại A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình e. Phương trình chuân tắc Ctỉcì m ật phăng: Giả sử p>0 là chiều đài đường vuông góc OH hạ từ gốc toạ độ lên mặt phăng (P); giả sử cosax/ coscty, cosaz là cosin chỉ phương của vectơ OH, khi đó phương trình chuẩn tắc của mặt phăng (P) có dạng: (P): x.cosax+ y.cosav+ zcosaz-p=0 29 Phán 1: Mat phàng IV.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tâp 1. Tìm một cặp vtcp của các mặt phăng sau: X = 1 + 11 + t 1 2 b. (I y = 2t| + ụ , (t|, t:eR). a. (P): y = 2tị + t2 b. (P): x-2y-l=0. (P): x+4y+7z+16=0. Bài tập 2. /. = l + 3t, + ụ c- ơ Tìm một vtpt của các mặt phăng sau: x « l + t , + t 2 b (ĩ \r — Ik f £Zĩ?\ a- (P)'' y = I + 12 / (ti/ ti€R). k (P): x-2y-l=0. z = 1 + 3t 1 + 12 c- (P): x+4y+7z+16=0. Bài tâp 3. Chuyên dạng phương trình tổng quát của (P) sang dạng phương trình tham số trong các trường hợp sau: a. (P): x+2y+3z-12=0. c. (P): x+2y-4=0. b. (P): 3x+2y+z-6=0. d. (P): 2y+3z-6=0 Bài tâp 4. Chuyến dạng phương hình tham số của (p) sang dạng phương trình tông quát trong các trường hợp sau: X = 1 - t j + t 2 a. (P):HAIM ỈU \<; Cho hai một phăng (Pị): AjX + B|y+C|Z+D|=0 t ó một tpt ri (Aj, Bị, Cị). (I\): A:x + B->y+C\z+D.=0 co mót \’tpt 111 (A., B,, c ). O n cữ vao sỏ đường thăm; V. iunu; i'll tì (P|), (p ) tcì co 3 truoiu; h ọ p sau: a. (Pj) và (py UiôiìíỊ có LỶitoni! t/hhiiỊ chum?, til nói (Pị)// (P-). Vậy ( P ,) / / ( Pj) o ^ ^ = C-:: (ti.v la n / / m và (P,)n( I\)= 0 ) A-. U-. c -V D-, Chủ ý: K hoảng cách el t; i ũ cì hai mặt plìãm; song song voi nhau (Pj): Ax+By+Cz+D,=0 và (P:) :Ax+Bv+Cz+D:=0 đước cho bởi công thức: IỈ= Dị - D: J a : \ : - Ĩ3: + e : b. Hải m ặt p/hìiHỊ ( P ị ) V*1 (P-J chi có một tỉiĩửmĩ thiim; clìunq ( có hai diêm chung ): ta nói (Pi) va (ĩ\) càt nhau. Đường thăng chung được gọi là giao tuyến của (Pị) va (I\), co phương trình là: ÍAịX + Blv + C |/ + D| = 0 Ịa^x + B^y + c \/ + D, = 0 Vậy (P|) cắt (P2) o AịiBịiC,* A::B::C: (tức là ri , m không cồng tu y ến ) h o ặ c m ộ t trong bi\ định thức sau đâv plnii khác khôn g: Bị c I c I A Ị A I Bị B, c. A, A, B, B ị C, 9C, A :/A: Khi đó số đo góc' ư (Oíat 1 ) tạo bcVi hfii nifit phảng (Pj) và (P2) được tính theo công tluiv: I A.An + B,B, 4 c , ( \ I + H| + c Ị yjA’ + Bĩ + c i Trường hợp đặc biệt (P|) 1( P:) o ĩ ì l r h <=> 11.111 =0 cr> Aị +B,B^ +C|C:=0. H ai m ặt phăng (Pj) Vtì (PJ có /hì ỉ íỉườníỊ thầm; i hung phân biệt (có ba c. điểm chung không tháng hàng): ta nói (p|)=( P;). Vậy (P,)=( p:) o ^ - = -^- = -ặ- = D| ............... A : B: C: D; (tức là iì / / rh và (Pj), (P.) cỏ một điểm chung). Các Em học sinh hày tham gicì học tip tJu\> phương pháp" ƯVỈUK trò Ị.im tn m ẹ tâm" rưởi sự hổ trợ của Nhóm Cư Môr do Ths. 1JÙ Hổng Dức va Nhà fliáo ưu tú Dào TI ì lên Khái phụ trách 31 Phần ỉ: Mat phảng đ . MỜ rộng. (i). Nếu ba mặt phăng (P1): AjX+Bjy+Qz+D^O, (P2): A2x+B2y+C:z+D2=0, (Pi): A^x+B3y+C3z+Dỹ=0 di qua cùng một đường thăng, thì: A| B| C| A= A2 B: C2 =0. A~ bỊ c ’ (ii). Giao điểm (nếu có, tức A*0) của ba mặt phăng (Pj): A ^+BjY+CjZ+D^O, (Pn): A2x+B^y+C^z+D2=0/ (P3): A}X+B,v+C*z+D^=0 có toạ độ cho bởi: 1 x=- — AA, D, c, D, B, c A, B I Dj D2 B2 C2 Dị b, c , (iii). Nếu bốn mặt phăng A 2 D, C, a ’ Dj" Cj' 1 z=- — A Bo A 3 B , d 3 (Pj): AiX+BjY+CjZ+Di^O, (P2): A2x+B:v+C2z+D2=0, (P3): AjX+Btf+Qz+Dj^O, (P4): A4x+B4y+C4z+D4=0 đi qua cùng một điểm, thì: A, B, c , Dị a 2 b2 c 2 d 2 a ’ B3 c ‘ dI a 4 b4 c 4 d 4 =0. Chú ý: Trong trường hợp (P^, (P^) cho bởi: \ = x0 -h a |t! + bjt2 (Pt): AjX+BjY+Qz+D^O và (P2): y = y0 + *2*1 + b2*2 / ũĩ' *26 R) z = Z.Q + 3jt| + bjti Đế xét vị trí tương đối của (Pị) và (P:) ta lựa chọn một trong haii phương pháp sau: P hươiigplìấp 1. Thực hiện theo các bước: Bước T. Chuyển phương trình (P2) vể dạng tổng quát. Bước 2. Kết luận. P hươiigpháp 2. Thực hiện theo các bước: Bước T. Thay phương trình tham số của (P2) vào (Pj), ta được: At1+Bt:+C=0 (1) Bước 2. Xét các khả năng sau: ■ Nếu A=B=C=0 o (1) luôn đúng o (Pj)=(P2). ■ Nếu A=B=0 & C^O <=> (1 ) vô nghiêm o ( P j) //(P2). ■ Nếu A:+B2>0 o (Pj)n(P2)=(d). N hân x é t: Với các bài toán chứa tham số cần giải và bện luận thông tlhường ta chọn phương pháp 2. 32 C h ù đ ề Vi tri t ư ơ n g d ô i r ủ ạ hái ì m à * p h À n n II.CÁC v í DỤ Ví d ụ 1 Cho hai mặt phăng: X = 1 + t , + [ -> (P,): x-2y+z-2=0/ (P;): CMR (P,)=(P,). Giai. Cách 1 y = 2 t , + t ; , (t,, t;eR) /. = 1 + 3t, + t Chuyên phương trình (P;) vể dạng tống quát. ■ Gọi lĩ là vtpt của (P;), ta có: 2 3 3 1 1 2 1 1' 1 1 ' 1 1 ■ Khi đó: - ii (-1, 2,-1). (I í qua A(1,0,1) vtpt n(l,-2,l) <=> (P,): l(x-l)-2(y-0)+l(z-l)=0 c=> (P,): x-2y+z-2=0. Vậy (p,)*(pj. Cách 2. Thay phương trình tham số của (P:) vào (Pj), ta được: ( l + t |+ t > ) - 2 ( 2 t 1+ t , ) + ( l + 3 t 1+ t^)-2= 0 <=> 0 = 0 l u ô n đ ú n g . Vậy (P,)*(PỈ. C hú ý : Cùng có thê chứiig minh, bằng cách khăng định (Pj), (P2) có cùng một vtpt và có một điêm chung. Ví dụ 2: Cho hai măt phăng: X = 1 + t J — t2 (P|): x-3y+2z+8=0, (P2): - y = -1 + tị + t2, (tj, t>eR). z * 1 + t| + 2t2 CMR (P])/ / (P2)' tù đó xác định khoảng cách giửa (Pị) và (P2). G iải Cách 1. Chuyên phương trình (P2) vể dạng tông quát. • Gọi n là vtpt của (Po), ta có: 1 1 -1 1 «(1,-3, 2). 1 1 1 1 1 2 ■ Khi đó: 2 - 1 (qua A (l,-l,l) (P ^ 1 -V <=> (p2): x-l-3(y+l)+2(z-l)«0 o (P:): x-3y+2z-6=0. [vtpt n(l,-3,2) V ây(P,)//(P;). Khi đó khoảng cách giửa (Pj) và (P2) được cho bởi: d— — i i l Ị Ị — -V ĩ4. ự l 2 + (-3)2 + 22 Cách 2. Thay phương trình tham sô' của (P2) vào (P,), ta được: (l+t1-t2)-3(-l+t1+t>)+2(l+t|+2t.)+8=0 o 14=0 mâu thuẫn. Vậy ( P , ) / / ^ : 33 Phân 1: Mat phảnị! Khi đó khoang cách giừa (Pj) và (P2) được cho bởi: d«d(A, (P,))« = V ũ . ^1 + ( - 3 ) + 2 Ví dụ 3: Cho hai măt phăng: X = 1 — 2t I + 3 u (P|): x-2y+z-2=0, (P:): • y = 3 + 2 t,- 3 t: , t;eR). z = 2 + t J + 2t, CMR (Pj) và (P->) cắt nhau, từ đó xác định góc giữa (Pj) và (P2). Giải. Chuyển phương trình (P->) vể dạng tổng quát, ta được: x+y-4=0. Vậy (P,)n(P,)=(d). Khi đó số đo góc a (00, biểu diễn mọi mặt phăng của chùm tạo bời (Pị) và (P2). N hặn xét: Nếu x=0 |>1*0, (1) chính là phương trình măt phăng (P2). Nếu ^1==0 => (1) chính là phương trình mặt plìăng (Pị). Nếu và Ị.1^0, (1) cho phương trình của một mặt phăng khác hai mặt phảng (Pị) và (P-,). Trong trường hợp nàv, có thể đạt m = ~ và (1) trở thành: AjX+Djy+CjZ+Dj* m(A2x+B:y+C2Z+D2)=0 (2) hoặc (Aị+ mA‘»)x+(Bl+mB«.)v+(C|+mC2)z+(D|+mD-,)=0 (2 ) Khi đó ta có vtpt n (Aj+ mA:, Bj+mB:, Cẳ+niC2). Chú ý . Như vậy để xác định phương trình của chùm mặt phảng xác định bởi: a. Hai mặt phăng cơ sở (Pj) và (P:), thì nhât tlìiêt phái đưa phương trình của (P,) và (P^) vể dạng tổng quát. b. Trục (d), thì nhất thiết phải đưa phương trình của (đ) vể dạng tổng quát. Ví dụ 1: Lâp phương trình chùm mặt phăng xác định bởi (P), (Q) biết: \. (P): 2x+y+z+4=0 và (Q): x-y+3z-l=0. X = 1 - 2t ị + 3t2 b. (P): x+y+z+l=0 và (Q):< y = 3 + 2tị - 3 t 2 . 7. = 2 + 11 + 2t: C iii. a. Chùm mặt phăng xác định bởi hai mặt phăng (P) và (Q) có dạng: n(2x+y+z+4)+m(x-y+3z-l)=0 o (P): (?.n+m)x+(n-m)y+(n+3m)z+4n-m=0 Cái Em h (n+m)x+(n+m)y+nz+n-4m=0. Ví du 2: Lập phương trình chùm măt phăng có trục là đường thăng (d) biiết: X = 2 + t (1) c. (d): y = l - 2 t (2),(teR). z = t - 3 (3) Giải. a. Chùm mặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng: n(2x-y+z-4)+m(x+y-3z-l)=0 o (P): (2n+m)x-(n-m)y+(n-3m)z-4n-m=0 b. Chuyên phương trình (d) vể dạng tổng quát: Khi đó chùm mãt phăng xác định bởi trục (d) có dạng: n(x+y-2)+m(4y+z-2)s 0 <=> (P): nx+(n+4m)y+mz-2n-2m=0 c. Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát. ■ Rút t từ phương trình (1), ta được t=x-2. ■ Thay giá trị của t*x-2 vào (2), (3), ta được: 2x + y - 5 = 0 x - z - 5 = 0 Khi đó chùm mặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng: n^x+y-SJ+m ix-z-S)^ o (P): (Zn+mJx+ny-mz-Sn-Sm^O 3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bai toán 1 Onmnìătphỉngủxyă iránđiỀu kiện Kcho trước PHƯƠNG PHÁP CHUNG Đê xác định môt mặt phảng của chùm cho bởi (2) hoăc (2'), ta cần xác định giá trị tham 9Ố m dựa vào một giả thiết nào đó được thiết lập cho mặt phăng. Các giả thiết thường gãp: 3.1. Măt p h ỉn g củ i chủm đỉ qua một điếm M cho trưởc Khi đó, thay toạ đô của M vào (2) hoặc (2') ta nhận được m. 36 Chu lỊo 4 I hum mjjt phan}'. Ví dụ ì: Lập phương trình niăt pỉnìiH' đi LỊUcì M(l, 0, 1) va I hứa đường tháng (ti) cho bíỉi: a. (J):2 x - y + 7. - 4 = 0 X + y - 3 / - 1 = 0 b. (d ):2 L ll = y i l , £ l i - 1 1 - 4 X = 2 + t (1) y = 1 “ 2t (2).(teR). / = t - 3 (3) Giải. (J): a. Mảt phăng (P) chứa đường thang (d) => (?) thuộc chùm mặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng: 2x-y+z-4+m(x+y-3z-l)=0 o (P): (2+m)x-(l-m)y+(l-3m)z-4-m=0 (1) Điểm M(l, 0 ,1 )€ (P) o (2+m).l-(l-m).0+(l-3m).l-4-m=0 co m=- — . Thay m =-— vào (1), ta được (P): 5x-4v+6z-13=0. b. Chuyên phương trình (d) về dạng tông quát: (d):x + y - 2 = 0 4 y + z - 2 = 0 Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) (P) thuộc chùm mặt phăng xác địrh bởi trục (d), có dạng: x+y-2+m(4y+z-2)=0 <=> (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0 (2) Điểm M(l, 0, l)e(P) o l+(l+4m).0+m.l-2-2m=0 co I1Ì=-1. Thay m=-l vào (2), ta được (P): x-3y-z=0. c. Chuyển phương trình (d) về dạng tỏng quát bằng cách: - Rút t từ phương trình (1), ta được t=x-2. - Thay giá trị của t=x-2 vào (2), (3), ta được : Í2x + y - 5 = 0 Ịx - z - 5 = 0 Đó chính là phương trình tổng quát của đường thăng (đ). Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) => (P) thuộc chùm mặt phăng xác đnh bởi true (đ) có dạng: 2x+y-5+m(x-z-5)=0 CO (P): (2+m)x+y-mz-5-5m=0 (4) Điểm M(l, 0, l)e(P) o (2+m).l+0-m.l-5-5m=0 o ITĨ=- — . Thay m=- — vào (4), ta được (P): 7x+5v+3z-10=0. 37 Phán I: Mot 1'ì làng 3.2. Măt phăng của chùm song song vởỉ môt măt phăng (Q) cho trưởc Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định một vtpt n j(A, B, C) của (Q). Bước 2. Mặt phăng của chùm song song với mặt phăng (Q) <=> Aj + mA, Bj + mB: _ Cị + mC\ A B từ đây ta nhận được m. Ví du 4: Lập phương hình mặt phăng chứa đường thăng (d) và soing song với mặt phăng (Q) b iết: íiU . fx + y - 2 = 0 |4y + z - 2 = 0 và (Q) có phương trình: a. (Q): x-3y-z+2=0. X = t J + 3N b. (Q): Giải. y = -tj +2t2, (t|# t2eR). z = t, - 12t2 Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) (P) thuộc chùm măt phăng xác định bởi trục (d) có dạng: x+y-2+m(4y+z-2)=0 o (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0. (1) a. Vì (P)//(Q ): x-3y-z+2=0 o - = Ỉ Ị Í H l = — c=> m=-l. Thay m =-l vào (1), ta được (P): x-3y-z=0. b. Gọi n là vtpt của (Q). Khi đó: -1 1 1 1 1 -1 2 -12 12 3 3 2 n = n (10,15, 5), chọn n (2, 3,1) 1 1 + 4m m 2 3 1 Vậy không tồn tại mặt phăng chứa (d) và song song với (Q). 3.3. Măt phăng của chùm vuông góc với môt măt phăng (Q) cho trước Khi đó, thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định một vtpt n j(A, B, C) của (Q). Bước 2. Mặt phăng của chùm vuông góc với măt phảng (Q) o n . f i !=() (với n là vtpt của mặt phăng (2')) <=> (Aj+ mAiJA+iBj+mB^B+fQ+mC^OO, từ đây ta nhận được m. 38 C hù dé 4: C hũm lnflt phflng Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phàng chứa đường thăng (d) và vuỏng góc với mặt pháng (Q) biết (X + y - 2 = 0 (dy v 7 [4 y + / - 2 = 0 và mạt pháng (Q) có phương tiinh: a. (Q): x+y-3z+2=0. X = 1 + 11 + t b. (Q): Ciai. y = 2 tJ + t 2 , (tj, t: €R) z = 1 + 3t ị + t-> Măt phăng (P) chứa đường thăng (d) => (P) thuộc chùm mặt phăng xác địiìh bdi trục (d) có dạng: x+y-2+m(4y+z-2)=0 o (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0 (1) Gọi m là vtpt của (P), ta có m (1, l+4m, m). a. Gọi fi là vtpt của (Q), ta có n (1,1, -3). Vì (P)l(Q) » m i n o m . n =0 co l.l+(l+4m ).l+ m(-3)=0 o m=-2. Thay m=-2 vào (1), ta được (P): x-7y-2z+2=0. b. Gọi n là vtpt của (Q), ta có: n =2 3 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1= 2, -1). Vì (P)l(Q) o m l n o 111 . fi =0 o l.(-l)+(l+4m ).2+m .(-l)=0 o m = - i . Thay m=- — vào (1), ta được (P): 7x+3y-z-12=0. 3.4. Mặt phăng của chùm song song với một đường thăng (A) cho trước Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước h Xác định một vtcp ã (aj, a2, a5) của (A). Bước 2. Mặt phăng của chùm song song với một đường thăng (A) » ã . n =0 o (Aj+ mA2)a1'»-(B1+mB2)a2+(C|-*'mC2)a3=0/ từ đây ta nhận được m. Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phảng chứa đường thăng (d) và song song với đường thăng (A) biết: v m9 [4y .?y"2a0 + z - 2 = 0 và đường thăng (A) có phương trình: 39 Phàn M M p h ia g a. (d):X - 2y + 3 z - 4 = 0 3x + 2 y - ' 5 z - 4 = 0 1 , JV X - 1 _ y + 2 z +1 b. (d): = — — — v 7 3 4 3 X = - t c. (d): Giải. y = 2 + 2 t/ (t€R). z = 1 + 2t Mặt phăng (P) chứa đường thẳng (đ)=>(P) thuộc chùm mặt phăng xáiC định bởi trục (đ) có dạng: x+y-2+m(4y+z-2)=0 <=> (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0 (1) Gọi fi là vtpt của (P), ta có n (1,l+4m, m). a. Gọi ã là một vtcp của (d), ta có: ã =- 2 3 2 - 5 3 1 - 5 3 1 - 2 3 2= ã (4 ,14, 8), chọn ã (2,7,4). Vì (P)//(A ) o a l i i <=> ã . n =0 <=> 1.2+(l+4m).7+m.4*0 <=> m=- — . Thay m = -— vào (1), được (P): 32x-4y-9z-46=0. 32 b. Gọi ã là một vtcp của (d), ta có: ẫ (3,4, 3). Vì (P)/ /(A) o ã l n o ã . n *0 o 1.3+(l+4m).4+m.3*0 <=> m=- — . Thay iTi*- — vào (1), ta được (P): 19x-9y-7z-24=0. c. Gọi ã là một vtcp của (d), ta có: ã (-1,2, 2). Vì (P)/ /(A) o ă l n <=> ã . n =0 o l.(-l)+(l+4m).2+m.2=0 o m =-— . Thay iri* -— vào (1), ta được (P): 10x+6y-z-18=0. * 3.5. Mặt p»hăng của chủm vuông góc vởi môt đường thăng (A) cho trưởc Khi đó,, ta thực hiện theo các bước sau: 1 • • Bước 1: Xác định một vtcp ã (a1# a2, a3) của (A). Bước 2. iVlăt phăng của chùm vuông góc với đường thăng (A) Aj + mA, _ B, + mBi __C| + mC, o —1— 1— *- = * —*- = — —- , ai a2 a í từ đây ta nhận được m. 40 ( 111! ilo 4 c hum miU plu’im: VÍ du 7: C ho hai đườ ng thăng (d) và (A) có phương trình: (3x - 2y + z - 3 = 0 (d): 2/‘J Q ;(A): y = 2 + 2 t , ( t e R ) . |x ' [z = 1 - 5t Lập phương trình mặt phăng chứa (d) và vuông góc với (A). Giải. Mãt plìăng (P) chứa đường thăng (đ)=>(p) thuộc ^ ù m mặt plìăng xát' định bơi trục (d) có tlạng: 3x-2y+z-3+m(x-2z)=0 <=> (3+m)x-2y+(l-2m)z-3=0 (1) Gọi ri ỉà vtpt của (p), ta có n (3+m, -2, l-2m), Gọi á là một vtcp của (d), ta có: ả (-1, 2, -5). Mặt phăng (P)l(A) c=> - —— = — = — — CC’ m=-2 Thay m=-2 vào (1), ta được (P): x-2y+5z-3=0. 3.6. Măt phăng của chùm tao với một măt phăng (Q) môt góc a bất kỳ Khi đó, thực hiện theo các bước sau: Bước 1\ Xác định một vtpt n j(A, B, C) của (Q). Bước 2. Mặt p h ă n g của chùm tạo với mặt phăng (P) một góc a ______I A(A] + n iA ;) + B(Bị + mB.Ị-t- C(Cị + mC%)|_____ J a 2 + B: + c : .^(A ị + m A ,)2 + (Bj + m B,): + (Cj + m C \)2 từ đây ta nhận được m. Ví du 8: Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng (li) và tạo với mặt phăng (Q) một góc bằng 60° biết: íx + y -2 = 0 (d);|y + z - 2 = 0 và (Q): x+2y -2z+2=0 Giải. Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) I^> (P) thuộc chùm mặt phăn& xác định bời trục (d) (P) có dạng: x+y-2+m(y+z-2)=0 <=> (P): x+(l+m)y+mz-2-2m=0 (1). Gọi n là vtpt của (P), ta có n (1, 1+m, m), Gọi m là vtpt của (Q), ta có fi (1, 2, -2). Vì g((P),(Q))=60° o H-» + q+™)-2+™-(-2)l =cos60° Vl + 4 + 4>/l + (1 + m)2 + m2 ^ ^ ^ - 1 ± Vd <=> m +m-l=C) c=> m. -.=---- ------. 2 Phán I: Mat phtinn ■ Với m,, thay vào (1), ta được (Pi): x^(l+m l)y+iìì1z-2-2ml=0. ■ Với m=-2, thay vào (1), ta được (P:): x+(l + m:)y+in:z-2-2m>=G). Kết luận: tồn tại hai mặt phăng (Pị) và (P2) till điều kiện đầu bài. 3.7. Măt phăng của chùm tạo với môt đường thiing (A) iriôt góc a bỉất kỷ Khi cịó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước ĩ: Xác định một vtcp ă (aj, a:, a^) của (A). Bước 2. Mặt phăng lẾa chùm tạo với đường thăng (A) một góc a sina = I (AJ + mA^aj +(Bj -I- mB^a-i + (C, + mC‘i)a:tt| Ja] + aTT -^(Aỵ + mAì)2 + (B| + inB,): + (Cị + im (P) thuộc chùm mặt piháng xác định bởi trục (d) có dạng: x+y-2+m(y+z-2)=0 c=> (P): x+(l+m)y+mz-2-2m=0 (1) Gọi fi là vtpt của (P), ta có fi (1 ,1+m, m), Gọi a là vtcp của (A), ta có a (2, 1, -1). Vì g((A),(P))=60° _ • |2.1+(l + m).l + m . ( - l ) | ____, ___n _ r m = ~1 <=> sin6ơ = .■■! — - J==L= = JLL c=> nr+m =0 co VĨTTTTVl + (1 + m)2 + m2 Lm = 0 ■ Với m=-l, thay vào (1), ta được (Pj): x-z=0. ■ Với m=0, thay vào (1), ta được (P2): x+y-2=0. Kết luận: tồn tại hai mặt phăng (Pj) và (P:) tni điều kiện đầu bài. Bm toán 2 ChứTgnÚTh( hoặc tìm điều kiện cỉtt mặt phăng (PJ cho trước PHƯONG PHÁP CHUNG — Giả sử: (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Pm): A(m)x+B(m)y+C(m)z+D(m)=*0. 1. Với bài toán chứng minh (P)c(Pm), xét hệ phương trình: A(m) = A B(m) = B C(m) = c D(m) = D hoặc A(m) = -A B(m) = -B C(m) = -C D(m) = -D => nghiệm n v Vậy, (P) thuộc một chùm mặt phảng (Pm) ứng với m=mo. 42 ( hu đõ 4: O u jm mjU pht^nn 2.. Với bcìi toán tìm điều kiên t ủíi tluun sô di’ (p)c (Pm), tci tlìực hiện theo các bươc: Bước 1. Xác định phương tnnh ciia trục (li). Lấy hai điẽm phân biệt A, Be(J) Bước 2. Đe (P)cz(Pm) co A, Be(p) ==> gia trị aiti tinim sổ. Ví dụ 10: ƠÌO chùm mặt piling (P,n): (m + 2)x + (m+l)y + (m-l)z-3m-l=0. a. Chứng minh răng mát phảng (P): y+3z-5=0 thuộc chùm (Pm). b. Xác định a, p để mãt piling (Q) : otx+Py-(«+ l)z+2=0 thuộc chùm (Pm). Gùìi. a. Xét hệ phươiìg trình: m + 2 = 0 m + 1 = 1 m - 1 = 3=> vỏ nglìiệm. - 3 m - 1 = 2 m + 2 = 0 m +1 = -1 m - 1 = -3=> nghiệm m=-2. - 3m - 1 = - 2 Vậy, (P) thuộc một chùm mặt phăng (Pm) ứng với m=-2 b. Viết lại phương trình chùm (Pm) dưới dạng: 2x+y-z-3+m(x+y+z-l=0. Vậy, chùm mặt phăng (Pm) dược tạo bởi trục (d) có phương trình: Lây hai điểm phân biệt A(0, 2, -1), B(2, -1, 0)€(J). Đê (Q )c(P J o A, Be(Q), ta dược: ía.o + p.2 - (a +1).(—1) = 0 íu =-1 ịa.2 + p .(-l)-(a + l).0 = 0 ^ |(U 0 Vậy với a=-l vả p=0 ta được (Ọ)c(Pm). II. C Á C BÀI TOÁN C H Ọ N LỌC Bài 1 (ĐHKT-97): Chođiểm A(l, 2, 1) va duờng thăng (đ): — = V-~ - =z+3. 3 4 & Viêtphutrgtrìnhmặtphăiig điqucì Avdđiúađuừngthăiig(đ). b. Tnih khoảng cáđì từAđên đuờng tJ Tẩng (tỉ). BÀI GIẢI a. Gọi ã là một vtcp của (d), ta có ẵ (3, 4, 1). Lây điểm B(0,1, -3)e(d). Cách 1: Theo giả thiết, ta có x = l + 3tj + t 2 cc> (p); < y ■" 2 + 4tI + t«> , t|, t-íẽR. ỉ » + t, + 4to BA(1,1,4) 43 'han 1: Mat phAntt Cách 2. sử dụng tích hỏn tạp: M(x, y, x)e(P) o D( AM, BA,a )=0 X - 1 y - 2 z - 1 cc> 1 1 4 = 0 o1 4 4 1 1 1 3 4 14 1( x - l ) +1 3 •(y - 2) + 3 4. ( Z - 1 ) = (0 o -15x+lly+z-5=0. Cách 3: Chuyên phương trình (đ) về dạng tổng quát Từ phương trình (d) suy ra: Í4 x -3 y + 3 = 0 |x - 3z - 9 = 0 Gọi (P) là mặt phăng qua A và chứa (d) (P) thuộc chùm tạo bcởi (d) có dạng: (P): 4x-3y+3+m(x-3z-9)=0 <=> (P): (4+m)x-3y-3mz+3-9m=0 (1) Điểm Ae(P) o (4+m)-3.2-3m+3-9m=0 <=> m= — . Thay m= — vào (1) ta được (P): 15x-lly-z+8=0. b. Khoảng cách từ A đến (đ) được cho bời: 2-1 1+3-*+1 + 3 1+12-1 d(A, (d))= 4 1 1 3 3 4 ylĩ- + 4 + 1 =V 26 Bài 2 (ĐHCS^T): Cho điản M(l, 0,5) và hai mặt phăng (Pị: 2x-y+3z+l=Q; (Q): x+y-z+5= (2+m)x-(l-m)y+(3-m)z+l+5nn=0 (1) ■ Khi đó (R) có vtpt fi (2+m, -1+m, 3-m). ■ Vì (R) vuông góc mặt phăng 3x-y+l=0 o (2+m).3 +(-l+m).(-l)+(3-m).0 =0 o m = - - . Thay m=- — vào (1), ta được (R): 3x+9y-13z+33=0. 44 O iu do 4j Chum mjU phAn^: Bài3(l )HNN ỉ-%):Qiohũđi lừng tikin^ (dj)và (dJcophuUi^tiTiili la: a Với adX) tnitV, XÁ' đhìỉi phutlig tiinh mặt pháng (T^ chiii (đ|) và song smg với (dj. h Với a d k) trut*;, XcV ctịiilì phuttTg till ill mặt phảng (T^ đ ìiii (d j Vci v u â góc với (d). BÀKỈIẢI Gọi â là một vtcp củd (tin), khi đó ã (a, 2, -3). (P) chửa (dị) => (P) thuộc chùm mặt phảng xác định bởi (đ|), có dạng: (P): x+2y-3z+l+m(2x-3y+z+l)=0 (P): (l+2m)x+(2-3m)y+(m-3)z+l+m=0 (1) Khi đó (P) có vtpt ri |(l+2m, 2-3m, m-3). a . Vì ( P ) //( d ;) « íì ,l ã Thay 111= —— vào (1), ta được (P): 35x-(ll+7đ)v+7(a-2)z+22-a=0. 9 — 2h b. Vì (P)X(d-.) o n , và ả cộng tuyến 1 + 2m _ 2 - 3m _ m - 3 ___A co —— — = ------— = —------m =0. a 2 -3 Thay 111=0 vào (1), ta được (P): x+2y-3z+l=0. Bài 4 (DHTLrW): Viêt phufchg trình mặt phảng dìikì đuờng thang (đ) và voicing gpc với mặt phăng ( Q l t ó BÀI GIẢI Gọi (P) là mặt phăng cần xác định, ta có: í(d)c(P) Ị(P)1(Q) • (P) chứa (đ) => (P) thuộc chùm mặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng: 3x-2y+z-3+m(x-2y)=0 o (3+m)x-(2+2m)y+z-3=0 (1) Khi đó (P) có vtpt n (3+m, -2-2m, 1). Gọi n ị là một vtpt của (Q), khi đó n j(l, -2, 1). Mặt phăng (P)l(Q) o n . n 1=0 o (3+m).l+(-2-2m)(-2)+l.l =0 o . m = -ị . Thay m =-— vào (1) được (P): 7x+6y+5z-15=0. 45 Phần 1: Mat phàng Bái 5 (ĐHBK -95): Cho họ mặt pỉìăiig (P J: 2x+y+z-l +ni(x+yf Z+1 )=0, I1Ì Lì tham Hố. a C lVlR với mọi n\ mặt phcíng (Pni) luồn đi qua mộtđilờhg tháng (ci) oốđịnk h Tuiì mặt rliăiig (PJ vưủng gpc với niặt phảng (P(). Tình khoảng cáđì từ gộc tr.*i độ liên _______ duửiTK thang (d). BÀI GIẢI a. Gọi (d) là đường thắng có phương trình: (!): | 2x + y + z - 1- 0 '' Ịx + y + z + l= 0 Dẻ thấy, mặt phăng (Pm) thuộc chùm mặt phàng tạo bởi trục (d). Vậy (Pm) luôn đi qua một đường thăng (d) cố định. b. Mãt phẲng (P0): 2x+y+z-l=0 có một vtpt n0 (2, 1, 1). Chuyển phương trình (Pm) về dạng: (Pm): (2+m)x+(l+m)y+(l+m)z-l+m =0 (1) Khi đó (Pm) có một vtpt nm (2+m, 1+m, 1+m). Vì (Pm)l(P 0) <=> fim . fi0 =0 c=> 2(2+m)+l+m+l+m=0 o m=- — . Thay m=- — vào (1), ta được ( p ^ ): x-y-z-5=0. ■ T/iiỉì khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thăng (d). Gọi ã là một vtcp của (d), ta có: ã = /1 1 1 2 2 1 \ V1 í /1 1 /1 1 / -5 (0 , -1,1). được cho bởi: MA, (d))- 0 - 3*»+- 3 2*>+2 0 - 1 1 1 0 0 - 1 Vh ): + ! : 2 Bài6(ĐHIOT-95):XácđỊrứìgiátrịcửacáctỉìanìsố n, m đê nìăt phăng (Ị*): 5xtny+v4z+m=0 thuộc chùm mặt phăng (Q^: o(3x-7y+zr3)+p(x-9y-2z+5)=0. —~ B À I GIẢI Chùm măt phăng (Qap) được tạo bởi trục (d) có phương trình: MV f3x- 7y + z - 3 * ° ' } Ịx - 9y - 2z + 5 = 0 Lấy hai điểm phân biệt A( — , — , 0), B( — , 0, — )€ (d). Đê (P)c(Qup) o A, Be(P), ta được: ^1 9 5.— + n.— + 4.0 + m = 0 r___11 10 10 ^ J m = -11 < o < U 1 n ^ 18 |n = -5 5.-T + n.0 + 4.— + m = 0 1 7 7 Vậv với m =-ll và n=-5 ta được (P)c(Qa(i). 46 Chù đó 4: C lnim nuM plì^m i Bàii7 (ỊX* tỉìi l>ại 1XX Khỏỉ A - 2LXJ2): TmikỉÌỎI'ự;girtiì CXy/, dÌOI ku điiờng ti\Ì1yụ 1 +t X - 2v + /. - 4 = 0 X + 2y - 2/ + 4 = 0 ,(Ạ* (.ụ ' - 2 + t / * U 2 t ti. Lập phuủligtrnih mặt plVHigỢ^diúa (Aị) Vci sung NUi^; với (cV). K Cho drill M(2, 1,4). lìm tụi đỏ điíỲn H thuÔL (Aj S.UKÌX) đô liai MH lifflii nlìât BAI (ỈIAI a. 1 tì ro : ■ (P) chứa (Aj) co (P) thuộc chùm tạo bởi (A|), cỏ LỈạng: (P): x-2y+z-4+m(x+2y-2z+4)=0 co (P): (m+l)x+2(m -l)v+(l-2m )z-4+4m =0 => vtpt r»p (m+1, 2m-2, l-2m). Gọi CÌ-, là vtcp củd (A:), ta được: a2 (1, 1, 2). ■ (P)//(A2) <=> np l a i o np .a 7=0 co l.(m+l)+1.2(m-l)+2.(l-2m)=0 co 111=1 . Vậy phương trình của (P) có tiạng: 2x-z=0. b. He(A:):M H M„, CO H là hình chiếu vuông góc của M lên (A^) co H*(Q)n(A2) tron^ đó: < Q ) ': | r ,W ~ < Q ) : | ' l'“ ' “ (2; ' - 4) |(Q )1 ( A 2) vv/ |v t p t a 2(U .2 ) <=> (Q): x=y+2z-ll=0. Bằng cách thay phương trình tham số của (A;) vào phương h ình của (Q), ta được: t=l => H(2, 3, 3). III. BÀI TẬP DỀ NGHỊ Bải tâp 1. Lập phương trình mặt phăng đi qua M(2, 1, 3) và chứa (d) biết: a. (cl): b. (d): 2 x -y + 3 z-5 = 0 X - 2 y + z - 1 - 0 X = - t y = 2 + 2t . z = 1 + 2t Bài tập 2. Lập phương trình măt phăng đi qua điểm M(2, 1, -1) và qua giao tuyên của hai mặt phăng (Pj) và (P2) có phương trình: (P,): x-y+z-4=0 và (P2): 3x-y+z-l=0. Bài tâp 3. Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng f \\ p x - 2 y - f z - 3 = 0 |x " 2z = 0 và song song với mặt phăng (Q) có phương trình: llx-2y-15z-6=0. Bài tâp 4. Lập phương iTÌnh mặt phăng ljua giao tuyến của (Pj): y+2z-4=0 và (P:):x+v-z-3=0 và song song với mặt phăng (Q): x+y+z-2=0. Phán 1: Mclt phàn}! Bà ỉ tâp 5. Lập phương trình măt phăng chứa đường thăng (d): P * 2y + z 3 = 0 ' ' | x - 2/. = 0 và vuông góc với mặt phăng (Q) cỏ phương trình: a. (DHNN I - 95): (Q) : x-2y+z+5=0. X = 4 + 3tj + t-, b. (Q)‘ < y *4 + 1, - 2 t2 , (tị, t:eR) z = -5 - 11 + t Bải tập 6. Lập phương trình của mặt phăng qua giao tuyến của 2 mặt phảng (Pj): 3x-y+z-2=0 và (P-*): x+4y-5=0 và vuông góc với mặt phăng 2x-z+7-0. Bàỉ tâp 7. Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng n v p x - 2 y + z - 3 = 0 ịx - 2 / = 0 và song song với đường thắng (A) có phương trình: /A\ p x - y + 2 z - 7 = 0 x - 2 y - 3 z + 5 a. (A): < - " ^ . b. (A): ------ = - ------= — — . v ' [x + 3y-2z + 3 = 0 v 1 - 2 4 5 Bài tâp 8. Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng .l):íx ' 2r ° [3x - 2y + z - 3 = 07 và vuông góc với đường thăng (A) có phương trình: °- K ( 4 ) : Ì = Ị . ^ . i Ị Í . v ' | x + 3 y - 2 z + 3 = 0 v - 2 4 5 Bàỉ tâp 9. Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng (d) và tạo với mặt phăng (Q) một góc bằng 6Ơ} biết: í3x-2y + z - 3 = 0 _ {d):|x - 2 z = 0 và (Q): 3x+4y-6=0 Bài tâp 10. Lập phương trình mặt phăng chứa đường thăng (d): f X - 3z - 2 = 0 l: | y + 5/. - 1 = 0 và có khoảng cách đến điếm A(l, -1, 0) bằng 1. Bài tâp 11. Cho đường thăng (d) và hai mặt phăng (Pj), (P2) có phương trình: (d):|y + Z - 1=0' *p,): 5x+5y-3z*2=0' (p:): 2x-y+z-6=0. Lập phương trình mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) và sao cho (P)n(Pj) ih măt phăng (Pì chứa đườne thăne ích và sao cho và (P)n(P-,) là hai đường thăng trực giao. Bài tập 12. (ĐHKT - 93): Cho hai đường thăng (dị), (d2) có phương trình: (A V Jx-8z + 23ss0 íủì V jx“ 2z-3 = 0 ^ ^ | y - 4 z + l =0 ' ^ ịy + 2z + 2 = 0 ■ a. Viết phương trình các mặt phảng (Pị), (P^) song song với nhau và lần lượt chứa (dị), (d->). b. Tính khoảng cách giữa (dj), (d:). c. Lập phương trình đường thăng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thăng (dj), (d2). 48 CH Ủ Đ Ể 5 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHANG • • • I. KIẾN TH Ứ C C ơ BẢN 1. KI IOẢNG CÁCH HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP CHUNG Cho diêm M ( xM/ yM/ ZM) và mặt phăng (P): Ax+Bỵ+Cz+D=0. Khoảng hình học từ M đến (P) được tính bởi công thức: d(M.(P))-i ^ i ^ i a . (,) VA2 + B2 + C : Vậy, đẽ xác định khoàng cách từ điểm M tới mặt phăng (P) cho trước, ta chia làm hai trường hợp: Trường hợp ỉ: Nếu (P) cho dưới dạng tông quát, ta áp dụng công thức (1). Trưởng hợp 2. Nếu (P) cho dưới dạng tham số, ta di thực hiện theo các bước: Bước /: Chuyên phương trình (P) vể dạng tông quát. Bước 2. Áp dụng công thức (1). Ví du 1: Tính khoảng cách từ điểm M(l, 2, 3) đến mặt phăng (P) trong các trường hợp sau: a. (P): x+y+z+3-O. X = 1 - t , + t 2 (1) b. (P): y = 2t, (2) ,(t„ t2€R). b. (P):jy = 2t1 z = 2t, z = 2t2 (3) Giải. a. Khoảng từ M đến (P) được tính bởi: b. Chuyên phương trình của (P) về dạng tổng quát. Từ phương trình tham số của (P) thay (2)/(3) vào (1), ta được x=l- — y+ — z o 2x+y-z-2=0. Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC). • Khoảng từ M đéíì (P) được tính bởi: Các Em học sinh hãy tham gia học típ theo phương pháp" Lắvhoc trò lim trunm tím " Dưứi sự hỏ trợ cùa NhKHTi Cư MAn đo Ths. Lô Hổng Dứ: và Nhà giát) ưu tú Đào Thiện Khài phu trách 49 man 1. Mat ptiftnft 2. KHOẢNG CACH DẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LlfiN QU AN Cho điểm M(xm, yM, ZM) vả mãt phăng (P): Ax+By+Cz+D=0. Khoảng đ.ại số từ M đến (P) được tính bởi công thức: t _ Ax0 + By0 ♦ Cy() + p >/a 2 + b2 + c 2 • Gọi n là vtpt của (P), ta có nhận xét sau: - Nêu t>0 Axo+Byo+Cyo+D^ => vectơ n và điểm M cùng phía với mặt phăng (P). - Nếu t<0 o Ax0+By0+Cy0+D <0 vectơ n và điém M khác phía với mặt phăng (P). • Cho hai điểm M|(X|, y,) và M:(x2, y:), ta có nhận xét sau: Nếu (Ax1-»*By1-»'Q(Ax2-»-By2-»'C)>0 => Mj và M: cùng phía với (P). Nêu (Ax1+Byl+C)(Ax2+By2+C)<0 => M| và M2 khác phía với (P). Nhận xét trén cho phép ta giải được một lớp bàitoán sau: Bài toán 2: Cho rrát phảng (F): Ax+By+Cz+EM) và điểm yơz^g(fy Vỉêt phuohg tiĩình mặt phăng cádì môtprapg (F) một khoang hồngh và (hoả màn: a. Thuộc phần r»kikhôr^ gian g tt hại bởi (I^kỈTÔiTgchOÈiN^. h ThiẠrỊÌiầnnikkhỗnggiangiớihạnbầỢ^điú&M). PHƯƠNG PHÁP CHUNG a. Gọi (Pj) là mặt phăng thoả mần điều kiện đầu bài. Khi đó, điểm M(x, y, z)€(Pj) ÍM & M0 khacphiavoi (P) ° Ịd(M,(P))=h (Ax + By + Cz + D)(Ax0 + By0 + Cz0 4- D) < 0 I Ax + By + Cz + D Ị _ k (I) fA2 + B2 + C2 = Từ hệ (I) ta có được phương trình m ặt phăng (Pj). b. Gọi (P2) là măt phăng thoả màn điều kiện đầu bài. Khi đó, điểm M(x, y, z)€(P2) {M k M0 cung phia voi (P) o d(M,(P)) = h 0 I Ax + By + Cz + D I _ J Va * + Bj + C2 (II) Từ hệ (II) ta có được phương trình m ăt phăng (Pj). 50 C hù dft 5: K hoáng cách từ niỏt itiòm riOn iĩVH m at pht’ini! Ví dụ 2 : Chí) măt phăng (P): 3x+4y+z+l:a:0 và điểm M0(l, 2, 0). Viết phương trình màt phăng cách mặt phănẹ (P) một khoảng bằng 4 và thoả mân: a. TỈÌUỘI phần nửa măt phăng giới hạn bởi (P) không chứa M(). b. Thuộí plìần nửa măt phăng giới hạn bời (P) chứa M0. Giải. a. Gọi (P,) ]à mặt p h c í n g thoà màn điểu kiện đáu bài. Khi lí ó, điểm M(x, y, z)e(Pj) Ị M Ắc M0 khacphiavoi (P) f(3x + 4y + / + 1)(3.1 + 4.2 + 1) < 0 ~ jti(M ,(P)) = 43x + 4y + z + 1 1 - r ■ • ' - 4 7 7 7 7 7 ? Í3x + 4y + z + 1 <0 o i _ c=> 3x+4y+z+l+4 V26 =0. [I 3x + 4y + z + 1 1= 4V26 Đó chính là phương trình tông quát của mặt phăng (dị), b. Tương tư, td có: (p,): 3x+4y+z+l-4 >/26 =0. Bài toán 3 : ƠIO hai măt phăng (Pị): Apc+B1y+C1=0/ (R): Aọc+B>y+0=0 cắt nhau và điản y(> AÌ khôiìg thưộc (Pị) và (P). Viêt phuủlìg trình một phảng phân giác của góc tao bởi (PJ, (P) chúa điẽm N^)hoăc của góc đổi đỉnh với ITÓ. PHƯƠNG PHÁP CIUỈNG — Gọi (P) là măt phăng thoả mãn điều kiện đầu bài. Khi đó, M(x, y, z)e(P) M & M0 cung pĩiia voi (P|) M & M0 cungphia voi (Pt) o d(M,(P|)) = d(M,(P2)) (A jX + B ị y + C ị Z + D ị ) (A ị X0 + B j y 0 + C ị Z() + D ị ) > 0 <=> (A2x + B2y + C 2z + D2 )(A2x0 + B2y(, + C 2Z0 + D2 ) > 0 A ịX + BịỴ + C ịZ + Dị I _ I A 2x + B i y + CiZ + Ị T à ỊTbĩT c f ỰẴỊTbĨ + cI Từ hệ trên ta có được phương trình m ăt phăng (P). Ví dụ 3: Cho hai mặt phăng (P|): Zx+Sy+z-Hl^O, (P2): 3x+2y-z-3*0 và điểm Mo(0, 1, 0). Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi (P,), (P2) chứa điểm M0 hoăc của góc đối đỉnh với nó. Giải Gọi (P) là măt phăng thoả màn điểu kiện đầu bài. Khi dó, điểm M(x, y, z)€(P) <=> M & M0 cungphỉa voi (Pj) M ổr M0 cung phia voi (P2 ) <=> < d(M,(P1)) = d(M/(P2)) 2x + 3y + z + l >0 • (2x + 3y + z + 1 )(2.0 + 3.1 + 0 +1) > 0 (3x + 2y - z - 3)(3.0 + 2.1 - .0 - 3) > 0 Ị 2x + 3y + z ♦ í I 13x + 2y- z-3 1 '22 + 32 + l 2 O 43x + 2y-z- 3<0 2x + 3y + z + 1 = - ( 3x + 2y - z - 3) o 5x+5y-2=0. Đó chính là phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). 51 Phán 1: Mat phảng Bàitaán4:Vổ]^ìiầ*ìgtjỳỉiiTổtphâng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Gọi (P) là măt phăng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D). Khi đó, điểm M(x, y, z)e(p) M k A cungphia voi (BCD) M & D cungphia voi (ABC) (I) d(M,(ABC)) = đ(M,(BCD)) Từ hệ (I) ta có được phương trình măt phăng (P). Ví dụ 4: Trong mặt phăng toạ độ Oxyz cho tứ điện ABCD biết A(3, 1, 0); B(l, 0, -1); C(3, -2, 0); D(0, 2, -2). Viết phương trình mặt phăng pháìn giác của góc nhị diện (A, BC, D). Giải: • Phương trình măt phăng (ABC) được xác định bởi: [qua A(3,l,0) [qua A(3,l,0) (ABC): - Z _ o ( A B C ) : _1 o (ABC)i: x-2z-3=0. [capvtcp AB & AC [ vtpt rij(l,0#-2) • Phương trình mặt phăng (BCD) được xác định bởi: íqua B(l,0,-1) ___ íqua B(l,0,-1) (BCD): ỊL _ o (BCD): o (BCD): y+2z+2=0. [capvtcpBC & BD [ vtpt n2(0.1,2) • Gọi (P) là măt phăng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D). Khii đó, điêYn M (x,y)e (P)' M & A cungphia voi (BCD) (y + 2z + 2)(1 + 2) > 0 M & Dcungphia voi (ABC)» (x - 2 z-3)(4-3) > 0 d(M,(ABC)) * d(M,(BCD)) I |x - 2 z - 3 | _ |y + 2z + 2| Vi 2"+22 Vi 2 + 22 y + 2z + 2 > 0 x - 2 z - 3 > 0 o x-y-4z-5=0. y + 2z + 2 * X - 2z - 3 Đó chính là phương trình tổng quát của mặt phăng (P). II. CÁC BÀI TO ÁN C H Ọ N LỌC Bài 1 (ĐHD99* Cho Hnh tứ cbỄn ABCD biỂt toạ độ các Jkh A £ 3,1); B(4, X -2);; C(6,3,7ị D(A4,^T&iid)tlađuờngcaohìrhtứđiỀnxuătpháttừD. BÀI GIẢI Phương trình tổng quát của (ABC) cho bởi: qua A(2,3,l) (ABQ:hai vtcp AB(2,-2,-3) & AC(4,0,6) 1 vtpt n (-1.2,-24,8) (ABC): -3(x-2)-6(y-3)+2(z-l)=0 c* (ABC): 3x+6y-2z-22=0. Độ đài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D chính là kc(D, (ABC)), ta có: J-d(D . (A B Q ). ^ -11. >/3ỉ +(-6)J +22 7 52 Chu đổ 5: Khoáng aw h tu mòt iliftm divn mót mat plì^nr. ------.------- — ----------- ------------- — ------- ------------ ---------------------— ------ ■ — — — — <1 Bài X. (I )HQG/B-yK): Timg khỏtìg £kHì với Ịìệ tnạ eiộ trự: thuan Oxyz. Xft tem giá: đều OAB tronm IIứt pỉứn£ (x<^>y') cóauìlì hầiiga, Iìứt pỉứiì£ AB SCIT£ Sdìg với trục CV, ctòiì A thua; $óc pliầr \ tư duiiìlùt eủd nứt ỊÌứng (xOy). Xét đìan 5(0,0, — ). a Mày XcìL' độ ill tnạ độ của các ttiêỉn A, B và trưng đÌLỶn E c u ~V\m OA, sau đo viêt plufclTg trình của niặt ptáng (H đúii SE và sang SGIT£ vớìGh K Tnìlì klxvìi Tg c á d ì từO dái (ĩ^ tư đo suy ra khoàiyaÍLÌ 1 giùa Ox va SE I BÀI GIẢI a. Xác định toạ độ điêm A, B: • T ừ giả thiết: AOAB đều, AB/ /O y, điểm A thuộc góc phần tư thứ nhất của m ặt phăng (xOy). Suy ra: x a= x b= O M = O A .cosA O M = — . yB=y x=ON=OA.sinAOM=a/2. zA=zB=0. Vậy, A ( ^ , | , 0 ) và B ( ^ ĩ , - | , 0 ) . • Điểm E là ữung điểm OA, vậy: E( , 0). > M ặt phăng (P) chứa SE và song song với Ox, ta có: (P): quaS(0,0,-)3 /T ______. hai vtcp SE(— 0x(l,0,0) 4 4 3 » ( P ) : qua S(0,0,—)3 o (P): 4y+3z-a=0. b. Khoảng cách từ o đến (P) được xác định bởi: + « p . < n r 1g - - i Từ đó suy ra khoảng cách giừa hai măt phăng Ox và SE bằng — III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1. Tính khoảng cách từ điểm M(2, 2, 1) đến mặt phăng (P) trong các trường hợp sau: a. (P): 2x+y-3z+3=0. X = 4 + 3t I + to b. (P): < y = 4 + tj - 2t: , (tị, t: eR). z = “5 - t J + t 53 Ehấnii MM jibing Bải tập 2. Trong không gian với hệ toạ độ trực chuân Oxyz, cho tứ diện có bốn đính A(54,3); B(l,6,2); C(5,0,4) và D(4,0,6). a. Lập phương trình tổng quát mặt phăng (ABC). b. Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện. c. Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc nhị điện (A, BC, D). Bài tâp 3. Trong không gian với hệ toạ độ trực chuân Oxyz, cho tứ diện có bốn đính A(l, 1,1); B(-2, 0, 2); C(0,1, -3) vả D(4, -1,0). a. (ĐHL/D-96): Tính chiểu dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện đó. b. Viết phương trình măt phăng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D). S4 PHẨN II ĐƯỜNG TllẲNG IRO^ti KHÔNG GIAN CHỦ ĐỂ 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TH \NG I.KIẾN THỨC C ơ BẢN 1. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA DƯỜNG THẢNG Đ ịnh nghĩa: Vectd ã là vtcp của đường thăng (d) ° Is'0..- Ịã//(d) N hận xét: ã là vtcp của đường thảng (d) thì mọi vectơ k ả với k*0 đểu là vtcp của đường thăng đó. 2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA DƯỜNG THẢNG 2.1. Phương trình tống quát của đường thăng Vì đường thăng (d) trong không gian có thể xem la giao tuyến của hai mặt phăng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình tông quát của (d) có dạng: í A lX + Riy * Cf ' z + r*1 - n n \ với Av.Bv.C2. v ' ỊA2x + B2y + C2Z + D2 = 0 (2) J 1 1 2 2 2 trong đỏ (1), (2) theo thứ tự là phương trình của mặt phăng (P), (Q). 2.2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thăng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Đường thăng (đ) đi qua điểm Mo(xt)/ y(V Zu), nhận ã (aj, a2/ a3) làm vtcp. a. Phương trình vectơcủa dường thắng: M € (d )o 3 te R : M0M = tă (1) b. Phương trình tham sô của dường thảng kua M (x0,y „ Zl) o Ivtcp ă(a,,a2,aj) X = x0 + a! t y = y0 + a2t,(t€ R ). (2) z = z0 + a3t Ngược lại: nếu (d) có phương trình (2), ta có nhận xét: Đường thăng (d) đi qua điểm M0(x0/ y0, z0) . Đường thăng (d) có vtcp ã (aj, a2/ a3). Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phương phãp" Lây hoc trò lảm trung tâm" Dướ sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Ljè Hổng DÚI’ vả Nhà giáo U\1 tú Đào Thiộn Khải phụ trách. 55 Phần II: PvrttpẸ tháng tronn khỏng gian c. Phương trùứi chính tắc cùa dường thđng ị q u a M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ^ X - Xọ _ y - y Q _ z - z 0 ‘ |vtcpã(aj,a2,a3) a, a2 a3 Ngược lại: nếu (d) có phương trình (3), ta có nhận xét: Đường thăng (d) đi qua điểm MoÍXo, Ỵo, Zo). Đường thăng (đ) có vtcp ã (aj, a%). Ví dụ 1. Lập phương trình đường thăng (d) đi qua điểm M0(l, 1„ 1), nhận ã (1, 2,3) làm vtcp. Giải. Ta có: íqua M0(l,l,l) 1 Ịvtcp ã(l,2,3) Phương trình vectơ: Điểm M e(d) <=> 3t€R: M0M =tã Phương trình tham s ố cò dạng X = 1 + t (d): y = 1 2 t, (teR). z = 1 + 3t Phương trình chính tắc có dạng (d): — = ỵ^l = ĩ-l 1 3 ILCÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài 1 (ĐHI5/B Phân bar>98): Viêt phiấtTg trình chính tắc của đràng thăng qua điỂ!niM(l, 1,2) và 90ng90Hg với đưòng thăng (d) biêt 3x - y + 2z - 7 * 0 X + 3y - 2z + 3 = 0 BÀI GỈẢI Nhận xét rằng điểm Mg(d). Gọi ã là một vtcp của (d), được: 2 3 -1 2 3 - 1 3 - 2 - 2 1 1 3 = ă(-4, 8,10) chọn ã (-2, 4,5). Gọi (A). là đường thẳng qua điểm M và song song với đường thămg (d). Ta có: X — 1 1 Z - 2 56 qua M vtcp ã ( h n it ọ 1 P h m *nr t r in h i t ư ơ r n ’ thcjmg Bài 2 (ỉ )H Hik>99); Traig khồnggun (J\A7I i V»nVU Ị Ị kiì 1); (I *) đi I fikì I lì (to ll A(l, 3,2), B(l, £ 1) và C(l, 1, 3). Viêt phuUìg trình thani NÓ vùi dufiy, liking (J) đi qihí tâm của AABC' và vuông góc với irtìt pliàng chúa tam gkk đ(»() BAI <;iAI GọI G(xc / yC/ zt ) là trọng tâm AABC , klìi ío 3xc = X A + X B 4- xc Ịx(i - 1 G: *yc = y* + y« + y<> C:>G; -2 C*G(1,2,2). 3zc =ZA + / B + / ( /,. 2 Gọi á là một vtcp của đường thăng (d), khi đỏ: ălAB _ , trong đó alAC |AC(0,-2,1) Vậy: 1 - 1 2 1 - 1 0 1 0 0 -1 0 - 2 = ẩ (-3, 0, 0), chọn á (-1, 0, 0). Vị Đường thăng (d) đi qua trọng tâm G của AABC và vuông góc với mặt phăng chứa AABC, được xác định bởi: X = 1 - t (d): f ^ U ! | o ( J ) : ' Ịvtcp ã(-l,0,0) ' y = 2 teR. / = 2 Đó chính là phương trình tham số của (d). Bải 3 (ĐHTCKT-99): Viêt phutehg tin ill liúìh tác ảiả đuùii£ tỉiản^ (A) đi qua điểm A(l, 1, -2) SŨH£ sang với mặt phảng (P) và vuôiìg gá' với đuờn£ thăng (đ). t ó / * x + ly-l_x-2 /T> t __r\ (cộ: = ỉ-y- = - ; (P)x-y-z-l=0. BÀI (ÌIÁI Gọi ã , b , n theo thứ tự là vtcp của (li), vti-p c ủa (A) và vtpt của (P), ta có: ă (2,1, 3), n (1, -1, 1). Theo gỉa thiết; MV Í(A )//(P )^ (4): K i ° bln - f ^ b bla I 1 3 1-1 3 2 -1 1 2 1 1 -1 = b(2, 5, -3). Vảy, phương trình (A), được xác định bởi: /A\ í 1! 113 A ( l, l, - 2 ) x-1 V - 1 z + 2 (A): < r _ <=> (A): ----- = ------- = —— . Ịvtcp £>(2,5,-3) 2 5 -3 Chú V. Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tông quái của (A), ta có thê lựa chọn cách sau: 57 . I Phán 11: Dươne thănp trong khổng gịan Phân tích. Theo gỉa thiết: ÍA€(Q) A 6(A) (A)c- (Q): Ị ^ H ( Q / / ( P ) ..................... (A):. (A)//(P)C*. 1 (A)±(d) (A)C(R): [ A 6 (R) (R)ì(đ) Gọi ã , s theo thứ tự là vtcp, vtpt của (d), (P), ta có: ả (2,1, 3), n (1, -1, -1). Phương trình mặt phăng (Q), được xác định bởi: ■{ (Q): ^t*pt n(l -l - l ) ^ (Q):x-l-(y-l)-(z+2)=0 c=> (Q):x-y-z-2=0. Phương trình mặt phăng (R), được xác định bởi: (R): (R):2(x-l)+(y-l)+3(z+2)=0 « (R):2x+y+3z+3-0. Phương trìnlì đường thăng (A) là giao tuyến của (Q) và (R), có dạng: í x - y - 7 - 2 = 0 [2x + y + 3z + 3 = 0 ầ Đó chính là phương trình tổng quát của đường thăng (A). III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tâp 1. Lập phương trình đường thăng (đ) trong các trường hợp sau: a. (d) đi qua điểm Mo(l, 0,1), nhận ă (3, 2, 3) làm vtcp. b. (d) đi qua hai điểm A(l, 0, -1) và B(2, -1, 3). Bải tập z Tron^ không gian Oxyz lập phương trình tông quát của các giao tuyến của mặt phăng (P): x-3y+2z-6*0 với các mặt phăng toạ độ. Bảỉ tâp 3. (Đề 54-Va): Viết phương trình chính tắc của đường thăng đi qua điểm M(2, 3, -5) và song song với đường thăng (d) có phương trình: ídv í3x- y + 2z- 7 = 0 { } Ịx + 3y - 2z + 3 = 0 * Bải'tâp 4. Cho đường thăng (d) và mặt phăng (P) có phương trình là: , Í3x-y + 4z + l= 0 ^ (đ): r n n ' (P):x+y+z+l-0. v 7 [2 x + 3 y + z + 7 = 0 v 7 7 Tìm phương trình chính tắc của đường thăng (A) đi qua điểm A(l, 1, 1) song song với mặt phăng (P) và vuông góc với đường thăng (d). Bải tập 5. Cho mặt phăng (P) đi qua ba điểm A(3, 0, 0), B(0, 6, 0) và 0(0, 0, 9). Viết phương trình tham số của đường thăng (d) đi qua trọng tâm của AABC và vuông góc với mặt phăng chứa tam giác đó. 58 CHỦ Đ Ể 2 CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG I.K1ẾN THỨC C ơ BẢN Bài toán 1: Tnrimộtvtrpcua đuờng thang (tỉ) đio truớc PHƯƠNG PHÁP CHUNG a. N êu đường thăng cho dư ới dạng t/icìĩìi sớ: X = x 0 + a J t (d): • y = y„ +a:t , (teR ), z = /.0 + a , t thì m ột vtcp là: ã (aj, a^, a 3). b. Nêu dường thẢng cho dư ới dạng chính tắc:: (d). x *0 - y - yp - z - z0 cl J 3 ■> 3 ^ thì một vtcp là: ã (aìf a:, a3). c. N ếu dường thăng cho dưới dạng tông quát: / j y fA jX + B jy + C jZ + D j = 0 ( 1 ) I A->x + B^y + c ,z + D: = 0 (2) với điều kiện A^BjrCj* A2:B2:Cì. thì một vtcp ă của đường thăng đó được xác định bởi: ã = /B, c , c, A, A, B, \ Vc 2/c 2 a2 A ; B; / d. N êu biết toạ độ hai điểm khác lứiau A, Be(d) thì một vtcp của đường thăng là AB. Vi dụ 1: Tìm vtcp của các đường thăng sau: X = 2 + t a. (d): y = 1 - 2 t, (teR). z = t - 3 x - 3 g y + 1 _ z - 4 b. (d): ?—ì = L l ± = ỉ — v - 2 3 5 Í3x-y + 4z + l =0 c ^ [2x + 3y + z + 7 = 0 - Giải a. Đường thăng (d) có vectơ chỉ phương là: ã (1, -2,1). b. Đường thăng (d) có vectơ chỉ phương là: ẵ (-2, 3, 5). c. Gọi ã (aj, a2, a^) là một vtcp của (d), ta có: a =- 1 4 3 1 4 3 1 2 3 - 1 2 3« i (-13,5,11): c«k Em học sinh hãy tham pa hix' tâp theo phương pháp" Lây hoc trò làm truiỉỊĩ tâm" D ư ớ i sự hỏ trợ của Nhóm c ư N lòn lit Ths. Lổ Hổng Đúc và Nhà giáo ư u tú Đào Thiộn Khài phụ trách. 59 I Phan II: P ườn^ thclng trong khỏnn nian Bài loán 2 Qìuyổi dạng phuttTg trinh lôỉìg quát của đuờng dìiiig sang dạng phưt* )ị\ tiình tham sốlvổc dúnh tắc. — — “ “ PIHJONG PHÁP CHUNG ““ ~ ~ Giả sử đường thăng (d) có phương trình tông quát dưới dạng: ( A .x .lJ .y .C y .D .- O 0 ) (Jiều k iên A ,;B1:Cl.A ,:B ,:C !) v } Ị a 2x + B2y + C2Z + D: = 0 (2) v 1 1 1 2 2 27 Đê chuyến phương trình của (d) sang dạng tham số, ta lựa chọn một trong ba cách sau: Cách /. Thực hiện theo các bước: Bước 1\ Xác định một vtcp ă của đường thăng (d). Chọn một đếm A6(d). Bước 2. Lập phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thăng (d) qua A và có vtcp ầ . Cách 2: Chọn hai điểm khác nhau A, Be(d), từ hệ phương trình (1), (2), sau đó viết phương trình tham sô của hoặc chính tắc của đường thăng (đ) (chính là đường thăng qua A hoặc B có vtcp là AB). Cách 3 (C hỉáp dụng cho phương trình tham sô): Thực hiện theo các bước: Bước 1: Đặt một trong các ẩn X, y, z là t. Chăng hạn x=t. Bước 2. Thay x*t vào (1) và (2) rồi giải hệ đó với ẩn là y, z. Bước 3: Tập hợp các phép biêu diên của X, y, z theo t đã tìm được chính là phương trình tham số của (d). Ví du 2: Cho đường thăng (d) có phương trình: ÍấÍV |2x + y - z - 3 = 0 |x + y + z - l = 0 Hảy viết phương trình tham sô của đường thăng đó. Giải. Cách ỉ\ Đặt x*2t, ta có: í4t + y - z - 3 = 0 j y = - 3 t + 2 Ị2t + y + z - l = 0 ° Ịz = t - 1 Vậy phương trình tham số của đường thăng (d) có dạng: 'x = 2t y = -3t + 2,(teR ). z = t - 1 Cách 2. Chọn hai điểm A(0, 2, -l)e(d) và B(2, -1,O)e(d). Khi đó íqua A(0,2,-l) íqua A(0,2,-l) = 2t Ịqua B{2(-1,0) ° Ịvtcp ÃB(2,-.\1) Đó chính là phương trình tham số của đường thăng (d) 60 y = 2 -3 t,(te R ). z = -1 + 1 Chu dj$ 2: (Tniyõn lỉ.ni^ phưnn^ trinh i1ư<*n^ tlìAnvi V 1 liu 3: Cho đường thăng (li) l ò phương trinh tỏng quát: IX + y - 1 — 0 ì 4 V + /. + 1 =0 1 lôy viét phương trình chính tắc c ủa đường th in g đó. Chù Cđi/i Ị Chọn điếm A(l, 0, - l)e(d). Gọi ii là một vtcp của (cl), ta có: a =1 0 4 1 0 1 1 1 1 on 0 4 = à ( 1 , - 1 , 4). Khi đỏ phướng trình chính tác của đường tlìăng (d) được xác định bởi: Ịqua A(l,0,-1) X - 1 _ V _ 7. + 1 (d): - <=> ((.I): — — = ^ - = — . Ịvtcp ỏ(l,-l,4) 1 - 1 4 Đó chính là phương hình chính tắc cùa đường tilling (li). Cách 2. Chọn hai điểm A(l, 0, -l)e(d) và B(0,1, -5)e(d). Khi đó: , 1% [qua A(l,0,-1) , 14 (qua A(l,0,-1) (d): <Ị . <=> ((.1): \ — Ịqua B(0,l,-5) Ịvtcp AB(-l,1,-4) o (d ):x-l_yz+l -1 1 - 4 Đó chính là phương trình chính tắc của đường thăng (đ). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Giả sử đường thăng (đ) có phương trình tham số: x = x0 + ajt (1) (đ): y = y„ + a2t (2) , (teR). z = z0 + a,t (3) Đe chuyến phương trình của (d) sang dạng tổng quát, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Rút t từ phương trình (ì). Bước 2. Thay giá trị của t vào (2), ta được (4). Bước 3: Thav giá trị của t vào (3), ta được (5). Bước 4: Hệ tạo bởi (4), (5) là phương trình tổng quát của (d). C hủ ý. Trong trường hợp đường thăng (đ) cho dưới dạng chính tắc, ta tách phương trình đó thành hai phương trình con và hệ tạo bởi hai phương trình đó chính là phương trình tông quát của đường tháng (d) 61 PhÀn 11: D ườnị! thảnn trone khỏnẸ }nan Ví du 4: Cho đường thăng (d) có phương trình: X = 2 + t (1) y = 1 - 2t (2),(teR). Z.I-3 (3) Hây lập phương trình tông quát của đường thăng đó. Giải. Rút t từ phương trình (1), ta được t=x-2. Thay giá trị của t=x-2 vào (2) và (3), ta được: j2x + y - 5 = 0 ịx - z - 5 = 0 * Đó chính là phương trình tông quát của đường thăng (d). Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz lập phương hình tổng quát của các giao tuyến của mặt phăng (P): 5x-7y+2z-3=0 với các mặt phăng toạ độ. Giải. Các măt phăng (xOv), (xOz), (yOz) lần lượt có phương trình z=0, y/=0, *=€). a. Giao tuyến của (P) với (xOy) có phương trình: Í5x - 7y + 2z - 3 = 0 | 5 x - 7 y - 3 = 0 |z = 0 ° Ịz = 0 b. Giao tuyến của (P) với (xOz) có phương trình: í5 x -7 y + 2 z - 3 = 0 f5x + 2 z - 3 = 0 ịy = o ^ ịy = o c. Giao tuyên của (P) với (yOz) có phương trình: Í5x - 7y + 2z - 3 = 0 f - 7 y + 2 z - 3 = 0 |x = 0 <=>|x = 0 II.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài 1 Lập phuctTg trình tham sô' chính \ắc và tâng quát của đuờhg thăng (d) đi qia útón va vuỡng góc với irổt phăng (ỉ^:2x-3y+5z-H)l b a Tg ỉ a Ĩ Gọi n là vtpt của mặt phăng (P), ta có n (2, -3, 5). Vậy, đường thắng (d) thoả mãn: . í qua A(2,0,-3) [qua A(2,0,-3) |(d)l(P) ° ^ ì' ịvtcp n(2,-3,5) ■ a. Phương trình tham 5d'của đường thắng (d) là: X = 2 + 2t (d): y = -3t ,(teR ). z = -3 + 5t b. Phương trình chính tác của đường thăng (d) là : , Jx X - 2 y Z + 3 (d): -:— . w 2 - 3 5 c. Phươìig trìnỉì tông quát của đường thăng (d) là: (d): I ? * * 2' - 6 * 0 . v ’ [5y + 3z + 9 = 0 62 Chù đổ 2: c huvôn phương trinh ilưon^ thAny Bài 2 1 IXTT^ klìồn^ ptUi CVyz lập ỊTỈiuttig trình tfiain sỏ' đìính tác và tủỉìg cỊikit của đuừn£ tìứiì^ ( d ) đ i L ỊI k ỉ t t ò n A(2, 0, -3) và s o n g s o n g V(Vi đùHì^ t h ă i ì g (A) c ó ^ l u t * ì £ t r h ì h : í2x + y - z - 3 = 0 X + y + / - l =0 — > BÀI (ỈIAI Gọi á là một vtcp cua đường thăng (A), ta cỏ: a -1 -1 -1 2 2 1 \ V1 1 /1 1'1 1 /= ã(2, -3,1). qua A(2,0/-3) Ị vtcp n(2,-3,l) a. Phường trình tham .sôcủa đường thảng (d) là: X = 2 + 2t (d): • V = -3t , (teR). Ị/ = -3 + t b. Phương till'd ì chúứt tít'củ a đường thăng (d) là: ( d : 2 L z ! « X - i L ± 2 . v 2 -3 1 c. Phương trìiih tông quát của đường thăng (d) là: 3x + 2y - 6 = 0 (d):y + 3z + 9 = 0 Bài 3 Lập phi&iig trình tỉiam sô' dhính tắc và lâng quát của đuờng tiiảng (cỉ) đi qua điêm A(£0,-3) và vuông góc với hai dutftTg thăng (Av l x + y - 1 =0 ÍẩịlV l 3x - y + 4z +1 = 0 ° [4y + /. + 1=0 J [2x + 3y + z + 7 = 0 * BÀI GIẢI Gọi ã , ã J, ã3 theo thứ tự là vtcp của các đường thăng (d), (d,), (d2), ta có: 1 0 4 1 0 1 1 01 1 1 04 ãj (1,-1,4); a, = ã2 (-13,5,11) Kii đó: -1 4 3 1 4 3 1 2 3 -1 2 3 í m a , ) |(ci)X(d2)oaJLai ^ « ♦ ala: c=> ã =-1 4 5 11 4 1 11-13 1 -1 -13 5ã (-31, -63, -8). \ ây, đường thăng (d) thoả mãn: Ịqua A(2,0,-3) Ịvtcp ã(-31,-63,-8) 63 Phân jjh D ường thăng trone khỏnt! gian a. Phương trìiiỉi thanì sd của đườny; thăng (ủ) là: X = 2 - 311 (d) y = -6 3 t , (teR). z = -3 - 8t b. Phương trhĩh chính tăccủở đường thăng (d) là: (d): = -31 - 6 3 - 8 c. Phương trình tổng quát của đường thăng (d) là: (d): 6 3 x -3 1 y -126 = 0 8 y -6 3 z- 189 = 0 Bài 4 (Đề 55-Va): Vìêt phudìg trình đìính tắc của đưởlìg thăng (đ) biêt: Jx - 2v + 3z- 4 = 0 [3x + 2y - 5z - 4 = 0 BÀI GIẢI Lấy điểm M(2, -1, 0)€(d). Gọi ã là một vtcp của (d) ta có: ã =- 2 3 2 - 5 Từ đó 3 1 -5 3 1 - 2 3 2= ă ( 4 ,14, 8 ). (d):|qua M(2'~1,0)o (d): ĩzl-nl.ỉ. v ’ Ivtcp ă(2,7,4) w 2 7 4 III.TổNG KẾT PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THĂNG TRONG KHÔNG GIAN Bàifcoán4^pphưtlTgtrìrhđiJÈrigứTăngtrũngkiìồnggiaii PHƯƠNG PHÁP CHUNG a. Đê xắc dinh phươiig trình tham sô' hoặc phương trình chinh tắc cùa dường thăng (d) thực hiện theo các bước sau: Bước h Xác định một điểm M()(x0/ Ỵo, Zo)e(d). Bước 2. Xác định vtcp ã (aj, a3) của (d). Bước 3: Khi đó: ■ Phương trình tham sd của (d) có dạng: X = x 0 + a j t (d): y = yo+a:t,(teR ), z = z0 + a3t • Phương trinJi chính tít’của (d) có dạng: X-Xọ - y-yọ - z -*0 64 c h u lie 2 C h u y c n pinion^: trinh đưÙ ỊUliI)i?ILC b. Dc Xiìi ctịnh phương trình tỏng í/Ufit cùcì ít ườn í,; thăng (d) ta có thỏ lưa chọn mót trong ba cách sau: Cách I. Coi (d) la giao tuyến của hai măt phàng (P) và (Q). Ta đi xác định phương trình tông quát của (P) và (Q). c 'Àclì 2: Thực hiện theo các bước Bước /: Xác định phướng trình tham số của (đ). Bước 2. Khử t giữa X, V, z của phương trình tham sô suy ra phương trinh tỏng quát. Cách 3: Thực hiện theo các bước Bước /: Xác định phương trình chính tắc của (đ). Bước 2. T ừ phương trình chính tắc suy ra phướng trình tong quát. C hú ý. Một đường thăng có vô sô phương trình tham số, phướng trình chính tắc và phương trình tông quát. IV.BÀI T Ậ P ĐỀ n g h ị Bài tâp 1 . Tìm vtcp của các đường thăng sau: /IX x-l_y + 2 z + l a. (d): ----= i _ = —L_ 3 4 3 b. (d): x - y + 4z + 10 = 0 2 x - 4 y - z + 6 = 0 Bài tâp 2. Cho đường thăng (d) có phương trình: ị X - y + 4z + 10 = 0 [2x - 4y - z + 6 = 0 Hãy viết phươiìg trình tham sô của đường thăng đó. Bài tâp 3. Cho đường thăng (đ) có phương trình: íx - y + 4z + 10 = 0 [2x - 4y - z + 6 = 0 ■ Hây viết phương trình chính tắc của đường thăng đó. Bài tâp 4. Cho đường thăng (d) có phương trình: X = - t b. (P): ]y = 4 + t, - 2 t2 , (tj, t2eR). z = -5 - tj + t2 X = -1 + t J c. (P): ]y = 2 + t2 ,(t„ t2eR). / = 3 - t-, 65 Phán 11: Dườny thiipA tronil khòng gian Bài tầp 6. Lập phương trình tham số, chính tắc và tông quát của đường thăng (d) đi qua điểm A(l, 2, 3) và song song với đường thăng (A) cho bởi: x * 2 + 2t a. (A): W ; * „ . o Bàỉ tập 7. Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thăng (d) đi qua điểm A(l, 2, 3) và vuông góc với hai đường thăng: (AY J2x + y 2 = 0 /.I V j x y + 4 / + 10 = 0 ^ ^ [2x + z - 3 = 0 [2x - 4y - z + 6 = 0 Bài tập 8 . Trong khổng gian Oxyz lập phương trình tham số, chính tắc và tông quát của dường thăng (d) đi qua điểm A(3, 2, 1 ), song song với m ặt phăng (P) và vuông góc với đường thăng (A) biết: (P): x+y+z-2=0 và (A): J x + y - l = 0 [ 4 y + Z + 1 = 0 CHU ĐE 3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CÚA ĐƯỜNG THANG v à m ặ t p h a n g I.KIẾN THỨC C ơ BẢN 1 . VỊ TRÍ TƯƠNG DỐI c ú A DƯỜNG TI IANG v ả m ặ t p h a n g CTho đường thàng (d) có một vk p á va mặt phăng (P) có một vtpt iĩ và cặp vtcp ã ị , ã: . Cần cử vào sô điểm chung của (d) và (P) ta cỏ ba trường hợp sau đây: a. Đường thăng (ti) và m ặtphãng (P) không có diêm chung, ta nói (đ)//(P ). Vậy (ci)//(P) khi một trong các điều kiện sau được thoả mãn: (i). Hệ phương trình tạo bởi đường thăng và mặt phăng vô nghiệm. (ii) ã l n & tồn tại một điểm Ae(đ) nhưng Ag(P). (iii). ã là một vtcp của (P) & tồn tại một điểm Ae(đ) nhưng Aể (P).. Khi đó: khoảng cách từ mặt phăng (P) đến đường thăng (d) bàng khoàng cách từ điểm Ae(d) đến (P). b. Đường thăng (d) và m ặt phăng (P) có hai diêm chung phân b iệt ta nói (d)c:(P) (hoặc măt phăng (P) chứa đường thăng (d)). Vậy (P) ZD (d) khi một trong các điều kiện sau được thoá mãn: (i). Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng và măt phăng vổ số nghiêm. (ii). (P) đi qua hai điểm phân biệt A, B thuộc (d). (iii). (P) đi qua điểm A thuộc (d) và nhận ã làm một vtpt. c. Đường thăng (d) vả m ặt phăng (P) có 1 điếm chung A: ta nói (d)n(P)={AỊ. Vậy (d) n(P) =|A| Hệ phương trình tạo bởi (d) và (P) có nghiệm duy nhâ't. Trường hợp đặc biệt: (d)l(P) f ã / / n (1) BàitoảnlVịtótưtt^dCỉcủađilờngthăiT^ và mătpỈYỈng, PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta chia làm hai trường hợp cơ bản sau: Trường hợp 1: Đường thăng có phương trình tham số, mặt phăng có phương trình tổng 4 uát. Khi đó ta thưc hiện theo các bước sau: Bước T. Thay (x, y, z) từ phương trình tham số của (d) vào phương trình tổng quát của (P), ta được phương trình: At+B=0. (1) Các Em học sinh hăy tham gia học tập theo phương pháp" Ư vhoc trò làm trunẹ tJm " Dưới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths Lổ Hổng Dứt' và Nhà giáo ưu tú Dào Thiện Khài phụ trách. Phan 11: D irờn^ thAn^i trone khống Ilian Bước 2 Biện luận. ■ Nếu (1) vô nghiệm, khi đó (d)n(P)= 0 o (ti)//(P). ■ Nếu (1 ) có nghiệm duy n h ấ t, khi đó (d)n(P)=(AỊ có toạ độ băng cách thay t vào phương trình tham sô của (d) ■ Nếu (1 ) có vô sô nghiệm, khi đó (d)c(P). Trường hợp 2. Đường thăng, màt phăng đều có phương h ình tỏng quát. Khi đó ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bời (d) và (P) theo các ẩn X, y, z. Bước 2. Biện luận: ■ Nếu hệ vô nghiệm, khi đó (d)n(P)= 0 o (đ)//(P ). ■ Nếu hệ có nghiệm duy n h ấ t, khi đó (d)n(P)={A| có toạ độ là nghiệm của hệ ■ Nếu hệ có vô số nghiệm, khi đỏ (d)c(P). Chủ ỷ. a. Các trường hợp khác nên đưa vể một trong hai trường lìỢp trên. b. Với bài toán chứa tham số cần giải và biện luận, nên đưa về trường hợp 1 . c. Cũng có thê tuân thủ theo nguyên tắc: Bước í: (P) có vtpt n (A, B, C). Chuyển phương trình đường thăng (đ) về dạng tham số: X = x 0 + a 11 y = y<) + a2t , teR => vtcp a (a„ a2, a3) và điểm M(x()/ y0, Zo)e(d). (d): z = Zo + a^l Bước2. Tuỳ thuộc yêu cầu của bài toán ■ Đế chứng minh (d )//(P ) ta khăng định f a in Ịm *(P)’ ■ Để chứng minh (đ)c(P) ta khăng định f a i n Ịm €(P)’ ■ Đe chứng minh (d)l(P) ta khăng định a và n cùng phương. ■ Đê chứng tỏ (d)n(P)={ AỊ, ta /hay (x, V, z) từ phương trình của (đ) vào phương trình (P), ta được Et+F=0 => t Thay t vào phương trình tham số của (d) ta được toạ độ của điểm A 68 c h u đó V V j tn tươm : tjổỊ HI.I iluơnt: thđni: va nnlt ph.ìin; Vi dụ 1 Xrt vị tri tướng đối cùcì đường thcing (li) và mát phcing (P) biết: [x = - 1 +t cì. (ti): I V = 3 - t , (teR), (P): x-2v-z+3=0. Ị z = - 2 -r t b. (d) Cũn. r A + / - i = 0 V - 2 = 0 a. Thtìv X, V, z từ phương trình của (đ) vào phương ( Uíi (p) ta được: (-l + t)-2(3-t)-(-2+t)+3=0 c^> t=l => (d)n(P)={AỊ. ThdV t= l vào phương trình tham sỏ cua (đ) ta tim đưọY: A(0, 2, -1). b Xét hệ phương trình tiỉo bời (đ) va (P), ta có: X 4 / - 1 = 0 y - 2 = 0 <=> V - / = 0 X — — 1 y = 2 . 7 = 2 Vậy (d)o(P)»A(-l, 2, 2). Ví dụ 2 (DHTCKT TP.HCM - 95): Cho mặt phăng (P) và đường thăng (d) có phương trình : Í5x - 3y + 2/ - 5 = 0 (P): 4x-3y+7z-7=0 và (d)Í5x - 3y + 2/. - 5 = | 2 x - y - z - 1 = 0 Chứng tỏ răng (đ)cz(P). Giải. Cách 1\ Xét hệ phương trình tạo bời (d) và (P) là: 5x - 3y + 2/ - 5 = 0 2 x - y - - 1 = 0 o 4 x “ 3y + 7z - 7 = 0 5x - ?>y + 2z - 5 = 0 9x - 5y - 7 = 0 <=> 18x - lOy - 14 = 0 5x - 3y + 2z - 5 = 0 9x - 5y - 7 = 0 (I) Hệ (I) có vô số nghiệm, do đó: (d)c(P). Ciích 2. Lấy hai điểm phân biệt A( , 0, — ), B(0, - —, — )e (d) Thay toạ độ của A, B vào phương trình của măt phăng (P), ta được: í 7 ' . „ 5 „ „ 4.-“ - 3.0 + 7.— - 7 = 0 9 9 4.0 - 3.(-—) + 7.— -7 = 0 5 5 co0 = 0 0 = 0A, Bg(P) => (d)c(P). Cách 3: Xác định vtcp a của đường thăng (d ), ta được: a (4, -3, 7). Xác định vtpt n của mặt phăng (P), ta được: n (4, -3, 7). LâV điểm A( —, 0, — )€(d). Nhận xét rằng: a l n A€(P)(d)c(P). 69 Phần II: Dtíờnii thi nu trong khỏniiiiian Ví dụ 3: Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của m át phăng (P) và đường thăng (d) biết: (P): nrx+2y+z+l-3m=0, X = t y = l - t ,(t€R). z = 3 -2 t Giải. (d): Thay X, y, z từ phương trình của (d) vào phươiìg trình của (P) ta d^rợc: m2t+2(l-t)+3-2t+l-3m*0 o nrt-4t+6-3m=0 <=> (m24)x=3m-6. (1 ) a. Nếu m2-4=0 o m=±2. • Với 111=2 , phương trình (1) o 0x=0. Vậy, phương trình nghiệm đúng với VteR <=> (d)c(P). • Với m=-2, phương trình (1 ) co 0 .t=-1 2 . Vậy, phương trình vô nghiêm « (đ)//(P ). b. Nếu m2-4*0 o m*2 và m*-2 3 Phương trình (2) <=> t= —-— , là nghiệm duy nhất. m + 2 Vậy, (d)n(P)={AỊ có toạ độ: A( — ). m + z m + z m + Z Kết luận: . Với m*±2, thì (d)n(P)=A( - J - " i z i , J E - ). m + 2 m + Z m + 2 • Vái m * 2 , thì (d)c(P). • Với m*-2, thì ( d ) // (P). Bàitoán2Gẻsừ(d)n(I^=^.I4pphiJ^trìiỶiđư^ứTăr^(dJqua A vi^^gócvới (lộ vả nằm trong măt phăng (F). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định toạ độ giao điếm A của (d) và (P). Xác định vtcp à của (d). Bước 2. Lập phương trình măt phăng (Q) thoà mân : ,^ v [qua A ,^ v [qua A <® :| « u ( d ) ° ! \V) va Jij'fng thcìng (đ) có phương trinh (P): x+y+z=0, , 1V íx + 2y - 3 = 0 |3 x -2 /.-7 =.-(>■ c\. Tim toạ độ giao điểm A cua (d) va (P) l>. Lập phương trình đường th^iì>; (dị) qua A vuong goc với (d) và nằm trong mặt phăng (P). Gicìi a. Xét hệ phương trình tạo bởi (d) Vcì (p) la: X + 2y -3 = 0 3x - 2 / - 7 = 0 <=> A(l, 1, -2). X + y + / = 0 Vậy (đ)n(P)=A(l, 1,-2). b Gọi a là vtcp của đường thăng (d), ta được: tì (2, -1, 3). Gọi (Q) là mặt phăng thoả mãn : fquaA „ [qua A(l,l,-2) (Q): 4 CI> (Q): J o (Q): 2x-y+3z+5=0. VV;|(Q )l(d ) Ịvtpt a(2,-U) y Khi đó, đường thăng (dị) chính là giao tuyến của (P) và (Q).có phương trình cho bởi: (di)X + y + z = 0 2 x - y + 3z + 5 = 0 Bài toán iChữhợđuờng thăng (đjcóphưt1 ìg trình đio IxtL iA^mJx + Bj(m)y + C|(m)z+ Dị(m) = 0 [A2(m)x + B2(m)y + c 2(m)z + D2(m) = 0 a Tìm ctiản oốđịnh của họ đười thăn^ (d,J. b. CMR các đường tlìăng trciì£ lìo (4,) luồn thuộc một mặt phărỊgróđịrih. PHƯƠNG PHÁP CHUNG a. Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Giả sử M(X0, Y o, z 0) là điểm cố định của họ (dm), ta được: ÍAj(m)x0 + Bj(m)y0 + Cj(m)z0 + Dj(m) = 0 y I A2(m)x0 + B-,(m)ỵ() + c\(m )z0 + D->(m) = 0 ' Bước 2 Viết lại (II) dưới dạng phương trình theo ẩn số m. Bước 3. Cho các hệ số bằng 0, ta được: (x0/ y(), z0). b. Ta lựa chọn một trong hai cách lập luận sau: Cách 1: Khử m từ hệ (í), ta được: Ax+By+Cz+D=0 (1) Khi đó (1) chính là phương trình của mặt phăng cố định (p) chứa các đường thắng của họ (d„). 71 EbAn 111 thường thÀng tron^ khòn^ gian Cách 2. Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Chùm mặt phăng tạo bởi trục (dm) có phương trình: a[A 1(m)x+BỊ(m)y+C1(m)z+Dl(m)]+p[A2(m)x+ +B2(m)y+C2(m)z+D2(m)]=0. (2) Bước 2. Lựa chọn các giá trị thích hợp của a, p, đưa (2) về dạng: Ax+By+Cz+D=0 (3) Khi đỏ (3) chính là phương trình của măt phăng cô định (P) chứa cìác đường thăng của họ (dm). Ví dụ 5 (ĐHTCKT - 94): Cho họ đường thăng (đm) có phương trình: , . J x + m z-m = 0 |(1 - r n ) x - m y = 0 ( I ) a. Tìm điểm cố định của họ đường thảng (dm). b. CMR các đường thăng trong họ (đm) luôn thuộc một mặt phăng tcố định. Giải. a. Giả sử M(xq, y0, z0) là điểm cố định của họ (đm), ta được: [x0 + mz0 -m = Ó [m(z0 - l ) + x0 = 0 < y v . V m o < , Vm I (1 - m)x0 - my0 = 0 [-m (x0 + y0) + x0 = 0 on ‘ ° » • - « x 0 = 0 _ „ o x0 + y0 = 0yo = 0 x 0 = 0 z0 = 1 Vậy họ (dm) luôn đi qua điểm cố định M(0, 0 ,1 ). b. Ta lựa chọn một trong hai cách lập luận sau: Cách 1: Từ hệ (I), ta được: mx+my+mz-m= 0 o x+y+z-l=0. (1) Khi đó (1 ) chính là phương trình của mặt phăng cố định (P) chứa aác đường thẳng của họ (đm). Cách 2. Chùm mặt phăng tạo bởi trục (dm) có phương trình: a(x+mz-m)+p[(l-m)x-my]~0 » (a+P-Pm)x-Pmy+amz-am=0. (2) Lựa chọn các giá trị thích hợp của 01=1 , P®-1, đưa (2) về dạng: x+y+z-l*0 (3) Khi đó (3) chính là phương trình của mặt phăng cố định (P) chứa cáíc đường thẳng của họ (djJ. 7 2 t_ hu ti' Ị t iI tiK'ii^j.ipi V H I UjAlui vạ mủi 12lìảr& 2. GÓC'GIỮA DƯỜNG THẢnc, VẢ MẢ I IM lANCJ I Bài bún 4: Qx jỤiíì đ u ữ )d king \ a nvM Ịt|ũi 1} ............................ PIII O V , l>H\P< IU \<; Clìo đ ư ờ n g thăng (d) có một vU p a (aJ, a :, a ) Cho m ặt p h án g (p) có một \ tpt n (A, B, c ) Sỏ đo góc « (0 + c <1 ; I V sina = ------ — 1 — Ỷ ==== = = ( ) vA + B-fC'.-ytij + cl ^ ^ Hê quá: a=0 Aa,+Bavi*Car=0. Khi đo (Ù)//(P) hoặc (d) năm trong (P). (d)l(P) cx> aji a:: a3=A:B:C Ví du 6: Tính góc giữa đường thăng (đ) và mặt phăng (P) biết: X = 5 + t y = -2 + t , (teR); (P): X-V+ yfĩ z-7=0. 7. = 4 + >/2t G iãi (d): Gọi a là góc giữa (d) và (P), áp dụng công thức (*) ta có: _ | 1 . 1 + ( - 1 ) . 1 + V 2 . 7 2 | _ 1 It sina = .V .- ■ = 1 = - o a= — . Vl + 1 + 2 .V1 +I + 2 2 6 II.C Á C BÀI T O Á N C H Ọ N LỌC Bài 1 (ĐHGTVT - 95): Cho niặt phăiìg (P) và đườiìg thing (d) oó phưuhg trình: _ _ /fv |3x + v + 2z-4 = 0 (P):2xwz-5=0,(d):|x _ y + 2; ; 7 = 0 . Tull giá tncủa m để a (d)//(P). b (4UH-__________________ ________ _ BÀI (ỈIẢI Gọi a là vtcp của đường tlìẩng (d), ta được: ữ (-1, 1, 1). Gọi n là vtpt của mặt phăng (P), ta được: n (2, m, 1). a. (d )//(P ) <=> a_Ln <=> a . n =0 o - 1 . 2 + l . n ì + l . l = 0 o n i = l . b. (d)l(P) " / / “* ^ 2 _ m _ 1 . . - a / / n <=> —- - — = - mâu thuân. - 1 1 1 Vậy không tồn tại m để (đ)l(P). 73 Phán lí: Dưòng thâni! tronn khỏnt; jiian Bài 2 Biài luận thứo a, bvị trí tuttig đốỉ của mặt phăng (ĩ^ và đường thăiig (đ) biêí: X = t (d): y = b + t /(t€R)/(T):a:x«xỉy+2r»-2 =0 . z = b - 2 BÀI GIẢI Thay X, y, z từ phương trình của (d) vào phương trình của (P) ta được:: a(a-l)t=b(a-l). (1 ) a. Nếu a:-a=0 o a = 0 a = 1 a.l. Với a=0, phương trình (1) <=> 0.t=-b. • Với b=0 , phương trình nghiệm đúng với mọi ieR <=> (d)c(P). • Với b*0, phương trình vô nghiệm o (d )//(P ). a.2. Với a*l, (1) <=> o.t^o, luôn đủng với VteR <=> (d)c(P). b. Nếu a2-a*0 o a * 0 a * 1 Phương trình ( l ) o t = - : phương trình có nghiệm duy nhất. a Vậy, (d)n(P)=| A} có toạ độ: A( - , > 2 ). a a Kết luận: • Với a=b= 0 hoặc a=l, thì (d)c(P). • Với a^O và b*0, thì (d )//(P ). • Vái 3*0 và a*l, thì (d)n(P)=A(- , > 2 ). a a Bài3^MIL-98):Q»ữrnătpỉ>ăng(I^vàđitóTglhăng(d)oóphưíigtnnh _ _ _ Í3x-y + 4z-27 = 0 & Tìm tạitộgiaođiỂni A của (d) và (1Ạ h I^pphutlig trình đúiAỊg thăng (đ,) di qua điẩTt Avuổnggócvới (d)vànằmbonpgmăt Fhfos(P).____________________ BÀI GIẢI a. Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P) là: 3x - y + 4z - 27 = 0 • 6x + 3 y -z + 7 = 0 <=> A(2,-5,4). 2x + 5y + z+ 17 = 0 Vậy (d)n(P)=A(2,-5,4). b. Gọi ã là vtcp của đường thăng (d), ta được: ã (-11, 27,15). Gọi (Q) là mặt phăng thoà mãn : íqua A _ [qua A(2,-5,4) (Q): ;J" , , JV o (Q): - <=> (Q): -llx+27y+15z+97=*0. '[(Q)_L(d) Ịvtpt ã(-ll,27,15) 74 Vlm >tv \ \ I t! I hrợnn dõi I ti.i jUrilLUl ihủmi v<ì IBủl IlhAO^ Khi đó, đường thảng (d|) chính Lì p a r tuv'(»n cùa (í’) và (Q).có phương trình cho bởi: (d|):2 x + 5y + / + 17 = 0 - I 1 x + 27y + l5z + 97 = (ỉ Bài 4 (ĐH ỉ^èi Năn^ - 99): Qìo lụ) đuùiìg tl\ii Ig (đ,,) u > ỊTÌurt * ÍN1 ìh „ [x + 4mz - 3m = 0 _ (dH . (I) v 7 [ ( l - m ) x - m y = 0 w a. Tìm điảrtcốđịnh của họ đuờiìg thing id, b. CMR các đusng thăng trang họ(dj luôn tlui(vnụtntitpliăng(I^irfdịnh. c Tbìh the tídì khôi tử điện giới hạiì bởi n vỊt ỊTỈiăng (ĩ5) và các mặt [^'lăiìg taạ độ. BAI GIAI a. Già sử M(x0/ y0, z0) là diêm cô định của họ (đm), ta được: [x0 + 4m/.() - 3m = 0 [m(4z0 -3)+x„ = 0 ^ , Vm <=> { , Vm (1 - m)x0 - my0 =0 I- m(x0 + y„) + X,1 = 0 4/.„ - 3 = 0 o _ n *<> = ° ° . „ • Xo + y« = 0 x0 = 0 y(> = ‘> Z() = 3/4 Vậy ho (dm) luôn đi qua điểm cô định M(0, 0, — ). 4 b. Ta lựa chọn một trong hai cách lập luận sau: Cách ĩ : Từ hệ (I), ta được: mx+my+4mz-3m=0 <^> x+y+4z-3=0. (1 ) Khi đó (1 ) chính là phương trình của mặt phăng cố định (P) chứa các đường thăng của họ (dm). Cách 2. Chùm mặt phăng tạo bởi trục (dm) có phương trình: a(x+4mz-3m)+P[(l-m)x-my]=0 o (ư+P-[hn)x-Pmy+4otmz-3am=0, (2) Lựa chọn các giá trị thích hợp của a=l, p=-l, đưa (2) về dạng: x+y+4z-3=0 (3) Khi đó (3) chính là phương trình của mặt phăng cố định (P) chứa các đường thăng của họ (dm). c. Ta có: (P)nOx=A(3, 0, 0); (P)o0 y=B(0, 3,0); (P)n0z=c(0, 0, - ). Thê tích khối tứ diện OABC được cho bởi: V =ỈO A .S.V)B( = — OA. — OB.OC = iOA.OB.C --.3 .3 . - = - (đvtt). 3 3 2 6 6 4 8 75 % 1 Phàn 11: Dườnn thang, trong không eiiin III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tap 1. Xét vị trí tương dối của đường thăng (ti) và mặt phăng (P) biết: X = 1 + t a. (d): b. (d): y = 3 - 1 , (teR ), (P): x-y-z+3=0. z = 2 + t x = 12 + 4t y = 9 + 3t , (teR) và (P): y+4z+17=0. z = 1 + t c. (d): 2x + 3y+ 6z-10 = 0 x + y + z+ 5 = 0 [x + y + z - 3 = 0 và (P): y+4z+17=0. d. (d): y - 1 = 0và (P): X + V -2 -0 . Bải tầp 2. Hãy tính số đo góc tạo bởi đường thăng (d) và mặt phăng (P) cho bởi: ’ a. (d): X = 12 + 4t y = 9 + 3t , (teR) và (P): z = 1 + t 2x + 3y + 6 z - 10 = 0 X — — 1 + t J y = 2 + t: ,(tj, t:eR). z = 3 - t , X = 2 - tj + 1-> b. (d): x + y + z+ 5 = 0 và (Q): X = l + V2t y = - l + 2 t: ,(tu t2eR). z = -t, c. (d): < y = - 2 + 1 , (teR) và (P): x-2y+2z+3=0. z = 2 + V2 t Bải tâp 3. (ĐHNN & TH - 98): Cho măt phăng (P) và đường thăng (cT) có phương hình (P): 2x+y+z=0 và (d); ~ = Ị = ~ . a. Tìm toạ độ giao điểm A của (đ) và (P). b. Lập phương trình đường thắng (dj) qua A vuông góc với (đ) va niằm trong mặt phăng (P). Bài tâp 4. (Đề thi Đại học Khối A - 2002 ): Trong không gian Oxyz, cho Illic it phăng (P) và đường thăng (dm) có phương trình : /p\ 'i 4.1=0 n \ J(2 m + l)x + (l-m )y + m - l = 0 (P): 2x-y+2=0, (d„,): - 0 ■ Xác định m đê’ (dm)//(P ). 76 CHỦ ĐỂ 4 VỊ TRÍ TRƯƠNG Đ ố i CỦA HAI ĐƯỜNG THANG í.KIẾN m ứ c C ơ BẢN Tcì biốt rằng: k ci| ịtì > bi t. ■>I —(ii11^">C c\-1HỊi. J a^bjL'.)-(chb-,L ị + d->j. ja3 b3 c3| Cui trị của định thức cấp ^ bãng tổng của ba đường chéo chính trừ đi tổng ba đường chóo phu. Một troniỊ các ứng dụng quan trọng của định thức cấp ba là việc xác định giá tri của tk'h hỗn tạp của ba vectơ, từ đó có tlìê két luận được vị trí tướng itối của hai đường thắng trong không gian. Ta có bai toán sau: PHI ONG PHÁP CHUNG Cho 2 đường thẳng phân biệt (dị) và (đ:) theo thứ tự có vtcp là: *Ì| (*|, yJ/ Zị), ã2 (x2/ y:, z:). Láy A(x,v y.v zA)€(d|) và B(x„, yB, zB)e(đ :) (lưu ý A*B). Xét tíc h hỗn tạp của ba vectơ a I , ã2, AB là: *1 V| z, D (ã |, ã2 / AB)= X y 1 /ì XB “ x.\ Yb ‘".Va zb “ / \ ■ Nếu D (ã ị, ã: , AB)=() thì (dj) và (d2) đồng phăng. ■ Nếu D (ã ị, ã: , AB)*0 thì (dị) và (d:) chéo nhau. Ví du 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thăng (dj) và (d;) có phương trình cho bởi: x = -l + t y = -t z = -2 + 3t b. (d,): Giãi. x = 2 t + l y = t + 2 và (d:): / = 3t - 3 X = u + 2 y = -3 + 2u z = 3u + 1 a. Gọi ã 1, ă 2 theo thứ tự là vtcp của (dị), (đ:), ta có: ã |(-2,1, 3), ã 2(1, -1/ 3). Lấy A(l, -2, 4)6 (đ ị) và B(-l, 0, -2)€(d:) (lưu ý A*B), suy ra AB (-2, 2, -6 ). Các Em học sinh hãy tham gia hoc tập theo phưitng pháp" Lầy hoc trò lảm trung tânì" Dưửi sự hồ tri* cùa Nhóm Cư Môn do Ths. Lt> Hỏng DÚI' vả Nhà giáo ưu tú Dào Thiện Khai phụ trách. 77 Phần 11: Pườnvi thảng tron^i khỏng gian Xét tích hỗn tạp của ba vectơ , ã 2 , AB là: - 2 13 D (ã |, ã ,, AB): 1-13 - 2 2 - 6 = 0 Vậy, hai đường thăng (dj) và (d:) đổng phăng (và vì ẩ j , á2 không cùrng phương => (d|) & (d^ cắt nhau). b. Gọi ã !, ã ^ theo thứ tự ỉà vtcp của (dị) và (d2), ta có: ã j(2, 1, 3), ă :(1, 2, 3).. Lấy A(l, 2, -3)g(J|) và 8(2, -3, l)€ (d 2) (lưu ý A*B), suy ra AB (1, -5, 4). Xét tích hỗn tạp của ba vectơ ă ị , ã2, AB là: 2 1 3 D ( a j , ữ->, AB)- =24*0. 1 2 3 1 - 5 4 Vậy, hai đường thăng (dj) và (d j chéo nhau. Bài toán 2 Xétvị trí tuclTg đổi của hai đườhg thảng. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các hước: ■ Xét hệ phương trình tạo bởi (dị) & (d2). Khi đó có 3 khả năng xảy ra: K liả năng 1. Hệ có nghiệm duy nhâ't o (dị), (d2) cắt nhau và khi đíó nghiệm X, y, z của hệ là toạ độ giao điểm. K hảnãng2. Hệ có vô số nghiêm o (dj)s(d2). Khả năng 3. Hệ vô nghiệm, khi đó ta đi xác định hai vtcp ã ị , ă2 của (djj) và (d2). Ta có : Nếu ă |, ã 2 cùng phương o (J,)//(ci2). Nếu ă |, ã 2 khỏng cùng phương o (dị) và (dn) chéo nhau. Ví du 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thăng (dj) và (ds), cho bởi: a. (dj): X = 2t + 1 y = t + 2 ,(d 2): z = 3t -1 X = u + 2 y = 1 + 2 u . z = u + 1 b. (d,):x + y + z -3 = 0 (1 ) y + 7.-1 = 0 (2 ) Giải. /.IV / x - 2 y - 2 z + ' ^ |y - z + l = 0 9 = 0 (3) (4) a. Xét hệ phương trình tạo bởi (dj) và (d-.), ta có: 2 t + 1 = u + 2 t + 2 = l + 2 u <=> t=u=l. 3t -1 = u + 1 Thay t=l vào phương trình của (dị), ta được 1(3, 3, 2). 78 (_h11 vli' 4 VI hi t ưn I J o rna hai itiftjng th^nr. Vậy (d,)n(d:)=I(3,3, 2 ). b. Giải hệ phương trình till) bừi (1), (2), (4). tci đươi X-2. V 0, z=l. Thav vào (4), ta đ ư Ợ i: 2-2.0-2.1+(M ) mầu thu,'in Vậy (dị) và (d:) không I/O điì*m chun).’. co I 1II 1 1 1 1 ị1 0 90 1ã .(0,-1, 1) 2 - 2 I - 1 -2 1 - 1 0.> - )M = a :(4, 1/1) =3 ã |, ã Ị không cùng phưòng. Két kuận: hai đư ờ ng tlìcinv; (dị) \\\ (ii;) chéo nỉì. Bái toán 3: Gìo 1 vù đuờng thii dvo III VUI (d ị) và (JJ. Viêt phublitf hình mặt y ỉtfng (P) sen NI* và axil tVki (d j), (dj. PHI o m ; riỉAIM III N<; Ta thực hiện theo các bước: Bước ỉ. Xác định ã ị, a <* theo thu tư là vtcp củii (dị), (d-). Lấy Ae(đj) và Be(d>) => toạ độ trung đièm I cỉm AB. Bước 2 Khi đó: (P):qun 1 cap vtcp a J & a-» Ví du 3: Cho hai đường thăng chéo nhau (dị) và (đ:), ^ h° Ihỉì Ví dụ l.b. Viết phương trình mặt phắng (P) song song và cáclì đều (cỉị), (d2). Gicìi. Gọi ã !, ã 2 theo thứ tự là vtcp của (dị) và (d2), ta co: á ị(2, 1 , 3), ã 2(1, 2, 3). Lấy A(l, 2, -3)g(cỉj) và B(2, -3, l)e(d:). Goi I là điểm I của AB I ( - — ,-1 ) 2 2 Khi đỏ: X = V 2 + 2t| + ỉ 2 (qua I cap vtcp aj & a 2y = -1/2 f t| + 2 t 2 , (t„ t2€R). / = — 1 -f 311 + 31 •) Bải toán 4’ Qio toi đirèng thẩiig SI nig sm (đ j) và (ci). VtípầutìTghừihđuàĩìgtív^^(ci)soi^st)iì^rád\t1ổu (il|),(d) va thuộc mặt prang chúa hai PIIIĨONC. PIIẢPCIItiNíỉ Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Xác định ti là vtcp của (d,), (d:). Lây A e(d |) và Be(d:) => toạ độ trung diem I của AB. Bước 2. Khi đó: [qua I vtcp a 79 Phàn 11: PirơnẸ thán£ tronn khổng gian Ví dụ 4: Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đểu (di|), (đ->) và thuộc mặt phàng chứa hai đường thăng (dị), (d2) có phương trình chơ bởi: (dị): l - n i - * ± L . 3 -1 4 3 - 1 4 Giài. Gọi ă là vtcp của (d|), ta có: ã (3, -1,4). Lấy A(-2, 5 ,9)e(d|) và B(0, -3, -7)e(d:) => trung điểm của AB là I(-l, 1 ,1). Khi đó: {qun I 7 - « (J ): vtcp a X = -1 + 3t y = l - t ,(teR ). 7. = 1 + 4t PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Xác định tạo độ giao điêm I của (d|) và (J 2). Lấy Ae(dj) (A*I). Bước 2 Gọi Bg(cU) thoả màn AI=BI => toạ độ hai điểm Bj, B2. Bước 3: Ta có: ■ Với Bj => toạ độ trung điểm Ij của ABj. XV Klìi đó phương trình đường phân giác thứ nhất được xác định bởi: Í qua ỉ ■ Với B2 => toạ độ trung điêm ĩ> của AB:. Khi đó phương trình đường phân giác thứ hai được xác định lbởi: (A;): Lưu ỷ. qua ỉ vtcp II2 1. Để giảm độ phức tạp cho bài toán, tốt nhâ't nên chọn (d2) cho dưới dạng phương trình tham số. 2. Ta có kết quả: a. Nếu IA.IBị >0 thì (Aj) và (A:) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù của góc tạo bởi (dị), (d-,). b. Nếu IA.IBj <0 thì (Aj) và (A2) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc tù, góc nhọn của góc tạo bởi (dj), (d->). 3. Nếu bài toán yêu cầu lâp phương trình mặt phăng phân giác (P) của góc tạo bởi (dj), ((J2), ta có: c hu ito ị Vt tn tưộny ±u I V ùa h«M ri ườn K thăn^Ị v í du 5: Cho hai đường tliăni’ (li ) và (il;), t ho hời. ỊX 2 u - 2 X = 0 [x , 2u-2 (d,): y = l , (tfc R)v.i (d:) ' V = 1 , (ueR). z = 1 I / () a CMR(d,) v à (d 2) căt nhau. Xác định toa độ giao điêin của chúng, b Viết phương trình đường phân giác của (dị), (đ2). Giai a. Xét hệ phương trình tạo bởi (cl() và (đ:), ta có: Í0 = 2 u - 2 1 = 1 <=> t=u=l. 1 - t = 0 Thay t=l váo phương trình của (đ|), ta được 1(0, 1, 0). Vậy b. Lấy A (0,1, 2)6 (đj), (A*I). Gọi B(2u-2, 1 , 0)e(đ:) thoả màn: AI=BI <=> AI2*BI2 co 4=(2u-2): <^> u=0 V 11=2. Vậy tồn tại hai điểm : Bị(-2, 1, 0) & B:(2, 1, 0) thoá mãn. Ta có: ■ Với Bj(-2,1, 0) => toạ độ trung điểm I| của ABị là: I|(-l, 1,1). Khi đó phương trình đường phân giác thứ nhất được xác định bởi: X = ■ Với B'»(2/ 1, 0) toạ độ trung điếm Ị> của AB: là: I:(l, 1 , 1 ). Khi đó phương trình đường phân giác thư hai được xác định bởi: II.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bảỉ tâp 1 . sử dụng tích hỏn tạp xác định vị trí tương đối của hai đường thăng (dj) và (d j có phương trình cho bởi: X = - 3 + 2t X = 2t +1 X = u + 2 b. (dj):