🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Phương Pháp Giải Toán Đồ Thị Ebooks Nhóm Zalo CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN NGUYỄN NAM TRUNG NGUYỄN MINH TUẤN NGUYỄN QUANG PHÁT NGUYỄN THỊ KIM ANH NGUYỄN TIẾN DŨNG MA TRUNG HIẾU PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ OMATHS Blog của Fanpage lovetoan.wordpress.com Phone 0343763310 Contact [email protected] TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC C C Ọ H ỆU TOÁN ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T LỜI GIỚI THIỆU Với kỳ thi THPT Quốc Gia hiện nay, các bài toán luôn có một chỗ đứng nhất định và ngày càng biến hóa ra thành nhiều dạng, điều này làm cho nhiều bạn học sinh tỏ ra vô cùng lúng túng khi đối mặt với các dạng toán này, một phần chưa có phương pháp làm và đồng thời cũng chưa được tiếp xúc nhiều với dạng bài tập này. Với tư cách là những người đã trải qua kỳ thi THPT Quốc Gia và nhiều kỳ thi thử khác bọn mình quyết định viết nên cuốn ebook này nhằm gửi tới cho các sĩ tử ôn thi THPT Quốc Gia năm nay có thể tổng ôn tập lại và tiếp xúc với nhiều bài toán hơn để chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc Gia đang đến rất gần. Các bài toán trong ebook này chủ yếu được trích từ các đề thi thử của các trường, một số bọn mình tự sáng tác, một số sưu tầm từ các thầy cô trên mạng. Xin gửi lời cảm ơn tới 1. Thầy Nguyễn Đăng Ái – Thuận Thành Bắc Ninh 2. Thầy Đào Văn Tiến – THPT A Nghĩa Hưng 3. Thầy Đỗ Văn Đức 4. Anh Phạm Minh Tuấn – ĐH Bách Khoa Đà Nẵng 5. Anh Nguyễn Quang Huy – ĐH Sư phạm Thái Nguyên 6. Bạn Ngô Nguyên Quỳnh – ĐH Sư Phạm Quy Nhơn C 7. Thầy Nguyễn Chiến Ọ 8. Bạn Tạ Công Hoàng – THPT Chuyên Lê Khiết H Đã giúp mình đồng thời viết ra những tài liệu hay để bọn mình tham khảo. Thay mặt nhóm C tác giả gồm Ọ ∙ Nguyễn Minh Tuấn – ĐH FPT Hà Nội H ∙ Nguyễn Thị Kim Anh – THPT Chuyên Nguyễn Trãi ∙ Nguyễn Quang Phát – THPT Chuyên Nguyễn Trãi ∙ Nguyễn Nam Trung ∙ Nguyễn Tiến Dũng – THPT Đô Lương 3 – Nghệ An ∙ Ma Trung Hiếu – THPT Trịnh Hoài Đức Cảm ơn mọi người đã theo dõi fanpage. Chúc các bạn có một mùa thi thành công! Mọi ý kiến đóng góp vui lòng gửi về địa chỉ NGUYỄN MINH TUẤN – K14 ĐẠI HỌC FPT EMAIL: [email protected] PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Tạp chí và tư liệu toán học I. LÝ THUYẾT. Trước khi vào các bài toán cụ thể chúng ta cần nắm chắc các kiến thức sau. Cách vẽ và tịnh tiến đồ thị đặc biệt – Thầy Nguyễn Chiến ĐỒ THỊ CÁCH VẼ y f x = −( )Lấy đối xứng đồ thịy f x = ( )qua trục Oy . y f x = − ( )Lấy đối xứng đồ thịy f x = ( )qua trục Ox . + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oycủa đồ thịy f x = ( ) . y f x = ( ) y f x = ( ) + Bỏ phần đồ thị bên trái Oycủa y f x = ( ), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy . + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Oxcủa đồ thịy f x = ( ) . + Bỏ phần đồ thị phía dưới Oxcủa y f x = ( ), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox . ỤC OLYMPIC TOÁN y f x = ( )Thực hiện liên hoàn biến đổi đồ thịy f x = ( )thành đồ thịy f x = ( ) , sau đó biến đổi đồ thịy f x = ( )thành đồ thịy f x = ( ) . y u x v x = ( ) . ( )với (C y u x v x ) : . = ( ) ( ) y f x m = + ( )với + Giữ nguyên phần đồ thị trên miềnu x( ) ≥ 0của đồ thịy f x = ( ) . + Bỏ phần đồ thị trên miềnu x( ) < 0củay f x = ( ), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox . CHINH PH m > 0Dịch chuyển đồ thị lên trênmđơn vị y f x m = − ( )với m < 0Dịch chuyển đồ thị xuống dưới mđơn vị. y f x n = + ( )với n > 0Dịch chuyển đồ thị sang tráinđơn vị. y f x n = − ( )với n < 0Dịch chuyển đồ thị sang phải nđơn vị. y f px = ( )với p > 1Co đồ thị theo chiều ngang hệ sốp . y f px = ( )với 0 1 < < pGiãn đồ thị theo chiều ngang hệ số1p. y qf x = ( )với q > 1Giãn đồ thị theo chiều dọc hệ sốq . 1 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y qf x = ( )với q <1Co đồ thị theo chiều dọc hệ số 1q. y f x m = + ( )Vẽy f x = ( )trước sau đó tịnh tiến đồ thị lên trên hoặc xuống dưới tùy theo m . Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theomsau đó lấy đối xứng qua y f x m = + ( ) y f x m = + ( ) trục Ox(Giữ nguyên phần trênOx, bỏ phần dướiOx, lấy đối xứng phần bị bỏ qua Ox). Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theomsau đó lấy đối xứng qua trục Oy(Giữ nguyên phần bên phảiOy, bỏ phần bên tráiOy, lấy đối xứng phần được giữ nguyên qua Oy). C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T y f x m = + ( )Vẽy f x = ( )trước sau đó tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc phải tùy theo m. Số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối – Thầy Nguyễn Chiến. ∙ Gọimlà số điểm cực trị của hàm sốy f x = ( )và klà số giao điểm giữa đồ thị y f x = ( )với trụcOx . ⇒Số điểm cực trị của đồ thị hàm sốy f x = ( )là m k + . ∙ Gọimlà số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số của hàm sốy f x = ( ) . ⇒số điểm cực trị của đồ thị hàm sốy f x = ( )là 2 1 n + . Bài toán chứa tham số: Cho hình vẽ đồ thị hàm sốy f x = ( )có n1điểm cực trị. Tìm giá trị của tham sốmđể hàm sốy f x k f m = + + ( ) ( )có n2điểm cực trị. + Khi tịnh tiến sang trái hoặc sang phải đơn vị thì số điểm cực trị hàm sốy f x k = + ( )vẫn bằng số điểm cực trị hàm sốy f x = ( ). + Để tìm số giao điểmy f x f m = + ( ) ( )với trụcOxta chuyển về dạng tìm số giao điểm của đồ thịy f x = ( )và đường thẳng y f m = − ( ) . Lưu ý: số giao điểm này không tính giao tại điểm cực trị của hàm y f x = ( ) . Phương pháp giải toán đồ thị tìm khoảng đồng biến và nghịch biến Đây là dạng toán vô cùng đơn giản, cách làm bài nào cũng như bài nào, ta sẽ có 3 bước là đạo hàm →Tìm nghiệm →Lập bảng biến thiên! Khi vào ví dụ cụ thể ta sẽ hiểu được mấu chốt của bài toán này Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Phương pháp giải toán đồ thị chứa tham số. Ở đây ta sẽ xét dạng toán f u x f m ( ( )) = ( )trong đó u x( )là bất kì hàm gì đó liên quan tới x và f m( )là hàm theo biến m và đề bài yêu cầu tìm giá trị của m để thỏa mãn điều kiện gì đó. Khi đó ta làm như sau: ∙ Bước 1. Chặn giá trị x, u x f u x ( ), ( ( )) ∙ Bước 2. Đặt t u x = ( ), lập bảng biến thiên cho hàm f t( ) ∙ Bước 3. Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện của hàm f m( ), từ đó suy ra điều kiện của m Với những bạn nào cảm thấy khó hiểu thì có thể tham khảo các làm sau của bạn Sơn Hoàng. Link https://www.youtube.com/channel/UCiduEKtcZZO8Yei-XBUq9lQ Ví dụ đơn giản để hiểu, ta có thể lấy một đề bài kiểu như sau Cho hàm sốf x( )liên tục trên có đồ thị như hình vẽ, hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m đề phương trình ( − = + )2 2 f x m 4 1có 2 nghiệm phân biệt. Vậy ở đây ta sẽ làm theo 3 bước trên, dễ thấy = − ∈[ ] 2 u x 4 0; 2, chuyển bài toán về tìm giá trị nguyên của tham số M để phương trình f u M ( ) =có 2 nghiệm phân biệt, đây là bài toán cơ bản! ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 3 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể phương trình f f x m ( 2 cos ( )) =có nghiệm ⎡ ⎞ π x y 2 1 −2 x 1 ∈ π ⎢ ⎟ ⎣ ⎠ ; . 2 −1 C O 2 −1 −2 Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI A. 5.B. 3.C. 2.D. 4. Câu 2. Cho hàm sốf x( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: y 3 1 −2 1 O 2 −1 x T Số các giá trị nguyên của tham sốmkhông vượt quá 5để phương trình 210 ( )− x m f có hai nghiệm phân biệt là π − = 8 A. 5.B. 4.C. 7.D. 6. Câu 3. Cho hàm sốf x( )liên tục trên [0; 5]và có đồ thị như hình vẽ dưới. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y 4 3 2 1 O x 1 2 3 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình ( − + ) ( ) ( ) − ≥ + − 2 2019 1 m f x f x 3 10 2 x x Nghiệm đúng với mọi x ∈[0; 5]? A. 2014B. 2015C. 2016D. 2017 Câu 4. Cho hàm sốf x( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. y −1 O 1 2 x −2 −3 −4 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ( )( ( )) ( )( ) + − ≤ − + 2 2 9.6 4 .9 5 .4 f x f x x f x m m Đúng với mọi x ∈là? A. 10.B. 4.C. 5D. 9 Câu 5. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị hàm sốy f x =′( )như hình vẽ bên. Xét hàm số g x f x x x m 2 2 4 3 6 5với mlà số thực. Đểg x( ) ≤ 0 ∀ ∈ −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ x 5; 5thì điều ( ) = + − − − ( )3 kiện của mlà ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 5 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA f x '( ) y 2 25 − 5 5 x O B −13 A 25 m fB.≤ ( ) A. ≥ ( ) 3 20 2 5 m f 3 25 4 5 m fD. ≥ − − ( ) C Ọ C. ≤ − ( ) 3 m f 3 ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T Câu 6. Cho 0 1 1 < − < − < a b avà hàm số( )( ) f x y g xf xcó đạo hàm trên = =+2 (( ) ) 1 [0;+∞). Biết đồ thị hàm sốy f x = ( )như hình vẽ dưới. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi ∈ − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ x a b 1; 1 y y f x = ( ) n m O a b x g xmB. ( )( − ) A. ( )( − ) ≥f b 1 C. ( )( − ) ≤f b 1 ≤f a 1 g xn g xmD. − ≤ ≤ 10 0 g x( ) Câu 7. Cho hàm sốf x( )có đạo hàm f x '( ). Hàm sốy f x ='( )liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc đoạn [1; 4]của phương trình f x f ( ) = (0)là? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ −1 y O 1 4x 2 A. 4.B. 3.C. 2.D. 1. Câu 8. Cho đồ thị của hàm sốf x F x f x ( ), , ' 1 ( ) ( + )như hình vẽ. Tính giá trị của tích phân f f ( )+ ( ) 0 1.5 ∫ f F ' 1 1.5 − + ( ) ( ) 3 sin .cos x xdx? y 2 (3) −1 ỤC OLYMPIC TOÁN O x (2) −3 1 3 2 2 3 (1) CHINH PH A. 0B. 1C. 3D. 4 Câu 9. Cho hàm sốf x( )có đạo hàm trên \{b}và hàm sốg x( )có đạo hàm trên . Biết đồ thị của hai hàm sốy f x y g x = = ' , ' ( ) ( )như hình vẽ dưới. Đặt h x f x g x ( ) = − ( ) ( )và 2 2 2 2 S h x b h b x h c h c 1 2với a,b,c là các số thực đã biết. Khẳng định ( ) ( )( ( )) ( ) = − + + + + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ đúng với mọi x ≠ 0là? y y f x =′( ) y g x =′( ) O a b c x A. ∈ + ⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ S h c h a c ;B. S h c ≤ ( ) 7 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA C. ≤ + ⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ S h c h a b ;D. ∈⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ S h a h c ; Câu 10. Cho hàm số f x( )liên tục và xác định trên và có đồ thị f x '( )như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số = + ( ) 2 y f x x? y O x − 1 4 C Ọ ỆU TOÁN H A. 10B. 11C. 12D. 13 Câu 11. Cho hàm sốf x( )có đạo hàm và xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ dưới. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham sốm∈ −[ 20; 20]để hàm số y f x m = + ( )có 5 điểm cực trị? x = −2 ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T y 3 3 O 1 x −2 A. −210B. −212C. −211D. −209 Câu 12. Cho hàm số bậc ba f x( )và ( ) = + + ∈ ( )( ) 2 g x f mx nx p m n p , ,có đồ thị như hình dưới, trong đó đường nét liền là đồ thị hàm f x( ), đồ thị hàm nét đứt là đồ thị hàm g x( ) , đường = −12 xlà trục đối xứng hàm g x( ). Giá trị của biểu thức P n m m p p n = + + + ( )( )( 2 ) bằng bao nhiêu? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 8 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y g x( ) f x( )2 O 1 2 x −2 − 1 2 A. 6B. 24C. 12D. 16 Câu 13. Giả sử hàm sốy f x = ( )có đạo hàm là hàm sốy f x ='( )có đồ thị được cho như hình vẽ dưới đây và f f f f f (0 1 2 2 4 3 . ) + − = − ( ) ( ) ( ) ( )Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x = ( )trên [0; 4]. y ỤC OLYMPIC TOÁN O 2 4 x CHINH PH A. m f = (4 .)B. m f = (0 .)C. m f = (2 .)D. m f = (1 .) Câu 14. Cho hàm sốf x( )có đồ thị như hình vẽ đồng thời f x f x x x x ( + − = + + 1 2 2 1 1 * ) ( ) ( )( )( )Biết rằng ( ) = + + 4 2 f x ax bx c;( ) = + + 2 g x mx nx p và( ) = − ( ) 2 f x g x 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốg x( ) y 11 O x −1 2 A. −12B. −14C. −2D. −4 9 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Câu 15. Cho hai hàm sốy f x = ( ), y g x = ( )có đạo hàm là f x ′( ), g x ′( ). Đồ thị hàm số y f x =′( )và g x ′( )được cho như hình vẽ bên dưới. y f x '( ) g x '( ) O 2 6 x C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T Biết rằng f f g g (0 6 0 6 ) − < − ( ) ( ) ( ). Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x g x ( ) = − ( ) ( )trên đoạn [0; 6]lần lượt là: A. h h (2 , 6 . ) ( )B. h h (6 , 2 . ) ( )C. h h (0 , 2 . ) ( )D. h h (2 , 0 . ) ( ) Câu 16. Cho 2 hàm sốf x g x ( ), ( )có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng x x = = 1, 6 đều là các điểm cực trị của 2 hàm sốf x g x ( ), ( )đồng thời f g f g (1 6 ,2 6 1 3 ) = = + ( ) ( ) ( )và 2 5 16 3 5 9 1 * f x g x (− + = − − ) ( ) ( ).Gọi M,m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 = − + + + ( )( ( ) ( ) ) ( ) ( ) S f x f x g x g x g x 2 1. Tính tổng P M m = +? y g x( ) f x( ) O 1 6 x A. 274B. 234C. 92D. 112 Câu 17. Cho hàm sốy f x = ( )có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Đặt g x f f x ( ) = − ( ( ) 1). Tìm số nghiệm của phương trình g x ' 0 ( ) = . Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 10 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ − −1 y 1 3 1 −2 −3 2 x A. 8.B. 10.C. 9.D. 6. Câu 18. Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: y f x = ( )được cho như hình vẽ bên. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số= = − ( ) ⎡ ⎤ ′ ′′ ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎦2 y g x f x f x f x . và trục Ox . y O x A. 4.B. 0.C. 2.D. −4. Câu 19. Cho hàm sốf x( )có đồ thị như hình vẽ y ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 5 =175 y 3 =32 y 1 O x Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu? + − + ⎛ ⎞ 3 2 2 7 5 1 ln f x f x f x e f x m ( ) ( ) ( )( )( ) + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f x? 11 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA A. 3B. 4C. 5D. 6 Câu 20. Cho hàm sốf x( )liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị x x f f m mcó nghiệm? ⎛ − − ⎞= + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + 3sin cos 1 24 4 nguyên của tham số m để phương trình ( ) 2 cosx sinx 4 y −4 16 3 O y f x = ( ) x C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI A. 4.B. 5.C. Vô số D. 3. Câu 21. Cho hàm sốf x( )liên tục và có đồ thị như hình vẽ. y 4 1 x O 3 3 6 m m f x 43 += + 2 Các giá trị của tham sốmđể phương trình ( )( ) f xcó 3nghiệm phân biệt 2 2 5 + là: mC. =37. mD. ± T A. ± =37. mB. =3. m 2 =3 3. 2 2 2 Câu 22. Cho hàm số= = + + + + ( )4 3 2 y f x ax bx cx dx evới ( , , , , ) a b c d e∈. Biết hàm số y f x =′( )có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm O(0; 0)và cắt truc hoành tại A(3; 0). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên [−5; 5]để phương trình (− + + =) 2 f x x m e 2có bốn nghiệm phân biệt. y 1 3 O 1 2x A. 0.B. 2.C. 5.D. 7. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 12 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Câu 23. Cho hàm sốf x( )liên tục và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 sin2m của tham sốmđể phương trình ( )⎛ ⎞ f x fcó đúng 12nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π ;2 ]? y 3 2 O −2716 x 2 A. 4.B. 5.C. 3.D. 2. Câu 24. Cho đồ thị hàm số là nguyên hàm của f x( )có dạng ( ) = + + + 3 2 F x ax bx x d 5. Tính diện tích tạo bởi f x( )và trục hoành? y 4 ỤC OLYMPIC TOÁN −4 3B. 20. O x CHINH PH A.80. 3C. 50. 3D. 70. 3 Câu 25. Cho hàm số y f x = ( )liên tục trên đoạn [−2; 2]và có đồ thị trên đoạn [−2; 2]như 2 3f x f x f x 2 9 2 3có bao nhiêu nghiệm hình vẽ dưới. Hỏi phương trình ( ) − + = − + ( ) ( ) thực trên đoạn [−2; 3]? y f x = ( ) −1 −2 1 x y O 1 2 −1 A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 26. Cho hàm sốf x( )có đồ thị như hình vẽ dưới 13 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI y 6 −2 4 O 2 x −2 −4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để⎛ π ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 4 sin sin f x mcó nghiệm? 3 3 3 A. 2B. 3C. 4D. 5 Câu 27. Cho đồ thị hàm số là nguyên hàm củaf x( )có dạng ( ) = + + + 3 2 F x ax bx x d 5. Tính diện tích tạo bởi f x( )và trục hoành? y 4 T 3B. 20. −4 O x A.80. 3C. 50. 3D. 70. 3 Câu 28. Cho hàm sốf x( )xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( − − = − )2 2 3 4 6 9 3 f x x mcó nghiệm. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 14 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ −4 −3 −2 −1 −1 −5 y 3 1 O x 1 3 4 5 A.13B. 14C.15D.16 Câu 29. Cho hai đồ thị ( ) = = + + ( )4 2 1 C y f x x ax b :và đồ thị hàm số ( ) = = + + + ( )3 2 2 C y g x x mx nx p :như hình vẽ. Gọi B, D là hai điểm cực trị của (C1 ) , A và C lần lượt là hai điểm cực đại và cực tiểu của (C2 ), (A và C đối xứng nhau qua điểm U Oy ∈. Biết hoành độ A và B bằng nhau, hoành độ của C và D bằng nhau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để AB ≤ 3? y A I 1 x 2 x O x ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH B D C A.2B. 5C.6D.7 Câu 30. Cho hàm sốf x( )liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. 15 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI y 1 −1 O x 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của n để phương trình ( + − = + ) ( ( )) f x x f n n 16 cos 6 sin 2 8 1 có nghiệm x ∈? A.10B. 4C.8D.6 Câu 31. Cho 2 sốx y,thỏa mãn + = + 2 2 x y xy 5 1 4và hàm số bậc 3 y f x = ( )có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ⎛ ⎞ − − x y P fx y. 233 = ⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ 4 4 Tích Mm. ? y 2 1 −1 T O x −2 A.1436 1331C.1438 1333B. 1436 1331D.1436 1335 Câu 32. Cho f x( )là một đa thức hệ số thực có đồ thị hàm sốy f x ='( )như hình vẽ bên dưới . Hàm số ( ) = − + − ( )2 g x m x m 1 3 (m∈ )thỏa mãn tính chất : mọi tam giác có độ dài là ba cạnh là a b c , ,thì có các sốg a g b g c ( ), , ( ) ( )là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định = + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦2 1 nào sau đây đúng về hàm số( )+ 1mx y f mx m e Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 16 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y y f x ='( ) O 1 4 x 4; 1 A. Hàm số đồng biến trên khoảng ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 3 1;0 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 3 ⎝ ⎠ C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 2)và đồng biến trên khoảng (4; 9) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 4)và đồng biến trên khoảng (4; 9) Câu 33. Cho f x( )liên tục trên và có đồ thị hàm sốy f x =′( )như hình vẽ y O x −2 2 −4 Bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x∈ −( 1; 2)khi và chỉ khi : ( ) ( )( ) + + 3 4 5 2 5 + ≤ + + f x m f x m f x m A.− − < < − f m f ( 1 1 2 ) ( )B.− < < − − f m f (2 1 1 ) ( ) C.− < < − − f m f (2 1 1 ) ( )D.− ≤ ≤ − − f m f (2 1 1 ) ( ) 3 2 f x ax bx cx d a b c d , , ,có đồ thị như hình vẽ : Câu 34. Cho hàm số( ) = + + + ∈ ( ) ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 17 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI y y f x = ( ) 4 O 1 3 4 x Phương trình f f f f x ( ( ( ( )))) = 0có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt A. 12B. 40C. 41D. 16 1 4 1 4 3 2 Câu 35. Cho hàm số( ) = − − + f x x x xcó đồ thị như hình vẽ. 3 3 3 3 y 1 −1 O T 1 4 x Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2] 2 2 2019 15 30 16 15 30 16 0 f x x m x x m ( − + − − + − = ) A. 1513B. 1512C. 1515D. 1514 Câu 36. Cho hàm sốy f x = ( )có đạo hàm f x '( ). Hàm sốy f x ='( )liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 18 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y 4 2 x −1 O 1 2 13 1 , 2 6 Biết rằng (− = = ) ( ) f f. Tổng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 4 g x f x f x 3trên [−1; 2]bằng? ( ) = − ( ) ( ) 3 A. 1573 64B. 198C. 374D. 14245 64 Câu 37. Cho hàm sốf x( )có đồ thị như hình vẽ. y 1 3 ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH x O −4 Bất phương trình( ) < + (3 2019) x x f e m ecó nghiệm x∈(0; 1)khi và chỉ khi mD. ( ) A. > −4 meC. > −2 >3 2019 +f e mB. ≥+4 me 1011 3 2019 1011 Câu 38. Cho hàm sốy f x = ( ). Hàm sốy f x ='( )có đồ thị như hình vẽ y 1 −1 O 1 x 19 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bất phương trình( ) + − f x xm 3 2 xđúng với mọi x∈(0; 1)khi và chỉ khi + > 36 1 − A.( ) + mB.( ) + ≤1 9 f 36 m <1 9 f 36 C.( ) mD.( ) f 1 1 f 1 1 ≤ ++ 36 3 2 m < ++ 36 3 2 C Ọ Câu 39. Cho hàm sốy f x = ( )có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ. y 3 1 ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI −1 O −1 Đặt hàm số= = + − + ( ) ( ) 1 2 x y g x f x x m 2 1. Tìm mđể[ ]( ) = − 3 max 10 g x . 0;1 A. m = −13B. m = 3C. m = −12D. m = −1 Câu 40. Cho hàm sốf x g x ( ), ( )có đồ thị như hình vẽ. Đặt ( )( ) =f x h xg x. Tính h' 2( ) ( ) T y 7 6 2 g x( ) f x( ) O 2 4 10 x hB. ( ) = −4 hD. ( ) = −2 A. ( ) =4 hC. ( ) =2 h ' 27 ' 249 ' 249 ' 27 Câu 41. Hình vẽ là đồ thịy f x = ( ). Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 20 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y −3 O 1 x −3 −6 Tập hợp tất cả các giá trị của mđể phương trình 2 2 f x f x f x m f x f x 1 1 3 1 2 1 2 1 1 − + + + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Có nghiệm trên [− − 4; 2]là đoạn [a b; ]. Khi đó2 3 a b +bằng? A. 4B. 5C. 6D. 7 Câu 42. Cho hàm số= + − + ≠ ( ) 3 2 y ax bx cx d a 3 2 0có đồ thị như hình vẽ. y 1 ỤC OLYMPIC TOÁN O −3 2 x CHINH PH a 4 3 2 3 2 2019 Hàm số= + + + − + − + − ( ) ( ) ( ) y x a b x b c x d c x dnghịch biến trên khoảng nào 4 sau đây ? A. (−∞;0)B. (0; 2)C. (1; 2)D. (2;+∞) Câu 43. Cho hai hàm đa thức y f x y g x = = ( ), ( )có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ bên. 21 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y O A y f x = ( ) y g x = ( ) B x C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T Biết rằng đồ thị hàm sốy f x = ( )có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm sốy g x = ( )có đúng một điểm cực trị là Bvà =74 AB . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmthuộc khoảng (−5; 5)để hàm sốy f x g x m = − + ( ) ( )có đúng 5điểm cực trị? A. 1B. 3C. 4D. 6 Câu 44. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên và hàm sốy f x ='( )có đồ thị như hình vẽ y −2 3 4 x O f x m f x m m ( )− − ( ) + − + Bất phương trình( ) ≥2 5 2 27 f xnghiệm đúng với x∈ −( 2; 3) 27 A.f m f (3 3 1 ) ≤ ≤ + ( )B.f m f (− + ≤ ≤ 2 1 3 ) ( ) C.f m f (− − ≤ ≤ 2 2 3 ) ( )D.f m f (3 2 2 ) ≤ ≤ − − ( ) Câu 45. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên và có đồ thị như hình bên dưới: Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 22 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y 2 −1 x O 1 −2 Biết rằng trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( )+ 2log 2 4m f xcó hai nghiệm dương phân biệt. =4 A. 0 2. < < mB. 0 1. < < mC. 1 < mD. m < 0. Câu 46. Cho hàm sốf x( )có đạo hàm liên tục trên Rvà có đồ thị củay f x ='( )như hình vẽ bên dưới. y y f x ='( ) −1 O 5 x y f x x 2 6 3đồng biến với mọi x m m R > ∈ ( )thì π ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH Để hàm số= − + ( ) 3 ≥ sin b m actrong đó a b c c b , , , 2và bclà phân số tối giản). Tổng S a b c = + − 2 3bằng * ∈ > A. 7B. −9.C. −2.D. 5. Câu 47. Cho hàm số( ) = + + + 3 2 f x x bx cx dvà g x f mx n ( ) = + ( )có đồ thị như hình vẽ : y f x( )g x( ) 1 x O 1 −2 23 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Hàm sốf x( )đồng biến trên khoảng có độ dài bằng k, hàm sốg x( )đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 2k. Giá trị biểu thức 2m n +là A. 3B. 0C. −1D. 5 Câu 48. Cho hàm số bậc ba f x( )và g x f mx n m n ( ) = − + ∈ ( ), ; ( )có đồ thị hàm số như hình vẽ : y g x( ) 3 C Ọ ỆU TOÁN H −1 O 2 f x( ) x Hàm sốg x( )nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 5. Giá trị biểu thức 3 2 m n +là A. −5B. −135C. 165D. 4 ẠP CHÍ VÀ TƯ LI Câu 49. Cho hai hàm sốf x( )và g x( )có đồ thị như hình vẽ y g x( ) T f x( ) −1 2 x O 1 Biết rằng hai hàm sốy f x = − + ( 2 1)và y g ax b = + 3 ( )có cùng khoảng đồng biến. Giá trị biểu thức a b + 2là A. 3B. 4C. 2D. 6 Câu 50. Cho hàm số( ) = + + 4 2 f x ax bx cvà g x f mx n p m n p ( ) = + + ∈ ( ) , ; ; ( )có đồ thị như hình vẽ Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 24 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y 2 3 2 f x( ) Giá trị biểu thức m n p + − 2là −1 O 1 x g x( ) A. 4B. 2C. 5D. 6 Câu 51. Cho hai hàm sốf x( )và g x( )có đồ thị như hình vẽ: y ỤC OLYMPIC TOÁN f x( ) g x( ) −2 1 x −1 O CHINH PH Biết rằng hai hàm sốy f x = − 3 3 1 ( )và y f ax b = + 2 ( )có cùng khoảng đồng biến. Giá trị biểu thức 2a b +là A. 5B. 2C. 4D. −6 2 Câu 52. Cho hàm số( ) = + + 4 2 f x ax bx cvà ( ) = + + + ∈ ( ) ( ) g x f mx nx p q m n p q , ; ; ;có đồ thị như hình vẽ: 25 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y 1 x f x( ) −1 O 1 −1 −2 g x( ) C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI Giá trị của biểu thức m n p q + + − 2 3 4là A. 4B. −2C. 8D. 6 Câu 53. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trìnhf x m ( 4 − =)có nghiệm thuộc nửa khoảng 2; 3) ⎡−⎣là y 3 1 T −2 −1 O −1 2 x ⎡ ⎤ −⎣ ⎦ 1; 2 fC. ( ( ) − ⎤⎦ A. [−1; 3]B. ( ) 1; 2 fD. (−1; 3] Câu 54. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f f x (2 0 − = ( ))có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 26 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ −1 −2 y 1 O −3 1 2 x A. 4B. 5C. 6D. 7 Câu 55. Cho hàm sốf x( ). Đồ thị hàm sốf x '( )trên [−3; 2]như hình vẽ (phần cong là 1 y ax bx c). Biếtf (− = 3 0 ). Giá trị của f f (− + 1 1 ) ( )bằng bao nhiêu? phần của Parabol = + + 2 y 2 1 −3 −2 −1 O 2 x A. 236B. 316C. 353D. 92 Câu 56. Cho hàm sốy f x = ( )lên tục trên và có f (0 0 ) =và có đồ thị hàm sốy f x ='( ) như hình vẽ. Hàm số = − ( )3 y f x x 3đồng biến trên khoảng nào? y 4 1 O 1 2 x A. (2;+∞)B. (−∞;2)C. (0; 2)D. (1; 3) ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 27 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Câu 57. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Gọi Mvà mtương ứng là GTLN và GTNN của hàm sốy f x = − (1 cos )trên ⎡ ⎤ π 3 0;2. Giá trị của M m+bằng : ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y 2 −1 O 1 2 3 x C −32 −1 Ọ ỆU TOÁN H A. 2B. 1C. 12D. 32 Câu 58. Cho hàm số bậc ba ( ) = + + + 3 2 f x ax bx cx dcó đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm 2 số( )( ) x x x − + − 3 2. 1 g xx f x f xcó bao nhiêu đường tiệm cận =⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T . 2 ( ) ( ) y 1 O 1 2 x A. 3B. 4C. 5D. 6 Câu 59. Cho hàm sốy f x = ( )lên tục trên có đồ thị như hình vẽ dưới. Phương trình f f x ( ( ) − = 1 0 )có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 28 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ −2 y 1 O 1 x −1 2 −3 A. 4B. 5C. 6D. 7 Câu 60. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị hàm sốy f x = − ' 1 ( )như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số = π2 ( ) 4 f x x yđạt cực tiểu tại điểm nào − y 2 ỤC OLYMPIC TOÁN −1 O 1 2 x −2 CHINH PH A. x = 1B. x = 0C. x = −1D. x = 2 Câu 61. Cho hàm sốy f x = ( )lên tục trên . Hàm sốy f x ='( )có đồ thị như hình vẽ. Hàm số( ) ( )− = − +2019 2018 12018x g x f xđồng biến trên khoảng nào dưới đây y 1 −1 O 1 2 x −1 29 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA A. (2; 3)B. (0; 1)C. (−1; 0)D. (1; 2) Câu 62. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ. Tổng các giá trị nguyên của tham số mđể phương trình f f x m ( ( ) + = 1)có 3 nghiệm phân biệt bằng y 14 2 C Ọ O −11 −13 2 3 x ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI A. 15B. 14C. 13D. 11 Câu 63. Cho 2 điểm A, B thuộc đồ thị hàm sốy x = sintrên [0;π], các điểm C D,thuộc trục Oxsao cho tứ giác ABCDlà hình chữ nhật là π =23 CD . Độ dài cạnh BClà? y A B O D C x T A. 22B. 12C. 1D. 2 4 3 2 f x mx nx px qx r r 0có nghiệm. Hàm sốy f x ='( )có Câu 64. Cho hàm số( ) = + + + + > ( ) đồ thị như hình vẽ dưới. Số nghiệm của phương trình f x r ( ) = −là? y x 1 x O x 0 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 30 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ A. 2.B. 4.C. 3.D. 1. = ∫4 f x dx '' 60. Giá trị của f f (− − 2 2 ) ( )là ? Câu 65. Chof x( )như hình vẽ. Biết ( ) − 1 3 A. 10. 3B. −31. y O x −2 3C. −12. 3D. −32. 3 Câu 66. Cho f x( )liên tục trên có đồ thị hàm số như sau. Tìm số điểm cực trị của = ∫21 ỤC OLYMPIC TOÁN x − ( ) ( ) g x f t dt 2019 y f x( ) O x −3 −1 2 CHINH PH A. 1B. 3C. 5D. 7 Câu 67. Cho đồ thị hàm g x( )hàm bậc 4 như hình vẽ, biết g x f x f x ( ) = + − ( ) (1 )và f g (0 0 ) = ( ) . Tính tích phân⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫20'2x xf dx? y O 1 x 31 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA A. 1B. −110C. 5D. −15 Câu 68. Cho đồ thị hàm số là nguyên hàm của f x( )có dạng ( ) = + + + 3 2 F x ax bx x d 5 . Tính diện tích tạo bởi f x( )và trục hoành ? y 4 −4 3B. 20. O x A.80. C 3C. 50. 3D. 70. 3 Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T Câu 69. Cho đồ thị hàm số f x '( )như hình vẽ. Biết diện tích 2 hình 1 2 S S,lần lượt là 3,2, 1 1 x x e f x dx e f x dx? f (1 5 ) =. Tính giá trị của tích phân ( ) + ( ) ∫ ∫ ' 0 0 y 2 −2 O 1 x 3 A. e − 3.B. 2 2. e − C. 4 3. e − D. 5 3. e − 9, 3 S a bvà f ' 0 1 ( ) = −. Tính Câu 70. Cho đồ thị hàm số bậc 3 f x( )như hình vẽ. Biết = − = 4 = ∫2a ( ) I f x dx b a − y f x( ) S b a O x Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 32 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ A. 56B. 76C. 712D. 512 Câu 71. Cho hàm sốf x( )có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [1; 4]thỏa mãn và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tính giá trị của tích phân = − − ( )( )( ) ∫51 I f x x x dx '' 1 5? y 2 1 3 4 O x 5 −1 1 2 A. −4B. −5C. −6D. −7 Câu 72. Cho đồ thị hàm sốf x( )như hình vẽ. Biết S S S S 2 4 3 1 − = −(hình vẽ chỉ mang tính 22 chất tương đối). Tính ( ) ( ) ( ) = − + − − ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ I f x x f x x dx 5 5 5 4 2 4 0 y S3 ỤC OLYMPIC TOÁN −5 S1 S2S4 −4 2 3 x O CHINH PH A. 0B. 1C. 235D. 65 Câu 73. Cho hàm sốf x( )có đạo hàm cấp hai f x ''( )liên tục trên và đồ thị hàm số f x( )như hình vẽ bên dưới. Biết rằng hàm sốf x( )đạt cực đại tại điểm x = 1. Đường thẳng Δtrong hình vẽ là tiếp tuyến của đồ thị hàm sốf x( )tại điểm có hoành độx = 2 . x Tính giá trị của tích phân ⎛ ⎞ + x e 1 = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ln 3 I e f dx? 0 ''2 33 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y y f x = ( ) Δ C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T O 1 2 x −3 A. 0B. 1C. 6D. 7 Vted.vn 42 Câu 74. Cho đồ thị hàm sốf x( )như hình vẽ. Biết ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ( − + − = − + ) ( ) ∫⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f x m dx f x 2 3 1 12. 2 Giá trị của m là ? y 1 O 2 x A. 4.B. 0.C. 1.D. 2. Câu 75. Cho đồ thị hàm sốf x( )như hình vẽ, biết f ' 1 2 ( ) =. Tính giá trị của biểu thức tích 2 ∫ phân( ) f x '? − 2 y O x −2 2 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 34 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ 3 3B. 25 A. 64. 3 3C. 14. 3 3D. 2. Câu 76. Cho đồ thị của hàm sốf x( )như hình vẽ bên dưới. Tính giá trị của biểu thức tích phân = ( ) ∫32 I x f x dx '? 0 y O x −3 3 A. 1B. 0C. 3D. 4 ỤC OLYMPIC TOÁN x − = + ∫22 Câu 77. Cho đồ thị hàm sốf x( − 2)như hình vẽ. Đồ thị hàm số( ) y f t dtcắt trục 2 x − 4 Ox tại nhiều nhất mấy điểm phân biệt ? y CHINH PH −3 O 1 4 x A. 0B. 1C. 3D. 4 11 4;2(lần lượt là các đoạn thẳng và nửa Câu 78. Cho đồ thị hàm sốf x '( )trên đoạn ⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ π 0 1 6 = + + − + + ∫ ∫ ∫ S f x dx f x dx x f x dx ' 2 3 ' 2 2 cos . ' 5sin 3? parabol ). Tính giá trị( ) ( ) ( ) − − 3 1 0 2 35 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y 5 x −4 −2 O 3 11 2 A. 1.2B. 149. 6C. 154. 4D. 109. 3 Câu 79. Cho hàm số ( ) = + + + + 4 3 2 f x ax bx cx dx a 4. Đồ thị của f x '( )như hình vẽ. Tính 22 ⎡ ⎤ + ∫ ⎣ ⎦ tích phân ( ) ( ) ( ) f x f x f x dx '' . '? C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI − 1 y O x −102 10 2 A. 2.B. 1.C. 0.D. 3. Câu 80. Cho đồ thị hàm sốf x '( )như hình vẽ. Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình F x( ) = 0, với F x( )là nguyên hàm của f x( ). Biết x = 1đều là nghiệm của T của f x( ) = 0và F x( ) = 0 .? y O x −1 1 A. 0B. 10.C. 12.D. 17. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 36 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Câu 81. Cho đồ thị hàm sốf x( )trên đoạn [−3; 13]như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị m m f x e f x f m dxcó 1 nghiệm duy nhất. nguyên không âm để phương trình ( ) − − = ( ) ( ) ∫ 2 0 y 4 O 3 9 13 x −3 A. 15.B. 12.C. 13.D. 17. Câu 82. Cho đồ thị hàm sốf x '( )và g x '( )như hình vẽ. Đặt h x f x g x ( ) = − ( ) ( ). Biết g g f f (− + > > − + 3 4 3 3 4 ) ( ) ( ) ( ), hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? y ỤC OLYMPIC TOÁN 1 −1 g x '( ) O x CHINH PH −3 4 f x '( ) A. h x( )đạt min là h h (− − < 1 , 1 0 ) ( )B. h x( )đạt min là h h (− − > 1 , 1 0 ) ( ) C. h x( )đạt max là h h (− − < 1 , 1 0 ) ( )D. h x( )đạt max là h h (− − > 1 , 1 0 ) ( ) Câu 83. Cho đồ thị hàm sốf x '( )như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng vể biểu thức ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))9 S f 0 cos f 0 f 1 cos f 12 = + − − + . 37 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y 6 4 3 −1 O 1 x −1 C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI A. Không xác định B. nhỏ hơn 0.C. bằng 0.D. lớn hơn 0. x + = ∫sin cos Câu 84. Cho đồ thị hàm sốf x( )như hình vẽ. Tìm m để( ) f x x dx mxcó nhiều π nghiệm nhất có thể trên đoạn [−π π; ]? y 4 −π x T 2 −1 O 1 π −4 A. 0 4 ≤ < m . B. 0 4 < < mC. m > 0 . D. − < ≤ 4 0 m . Câu 85. Cho đồ thị hàm sốf x( )như hình vẽ, đồ thị hàm sốf x '( )và tiếp tuyến của f x( ) 2 45. Tính giá trị của tích phân ⎡ ⎤ ( ) + ( ) ∫⎣ ⎦ tạo với nhau một góc 0 0 f x f x dx '' '? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 38 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ f x( ) f x ''( ) −1 y 3 O 2 x 45 0 −3 A. 4.B. 3.C. 1.D. 2. Câu 86. Cho đồ thị hàm sốf x '( )liên tục trên đoạn [−3; 3]như hình vẽ. Đặt hàm số 2 ⎡ ⎤ + − = ∫ ⎣ ⎦ ỤC OLYMPIC TOÁN ( ) = + ( )2 g x m m dx 0m thuộc đoạn [−1;1]. Khẳng định nào dưới g x f x x 2. Biết( ) đây là đúng ? − 2 f x '( ) y 3 O 1 3 CHINH PH −3 x −1 −3 A.4 1 4 3 . g m g ( ) < < −( )B.3 1 3 3 . g m g ( ) < < −( ) C.2 1 2 3 . g m g ( ) < < −( )D.g m g (1 3 . ) < < −( ) Câu 87. Cho đồ thị hàm sốf x '( )như hình vẽ. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số( ) = − + ( ) ( )2 g x f x x 1là a và b trên đoạn [−1; 3]. Biết − = ∫0.5 3 = ∫ − ∫0.5 ( ) f x dx d '. Tính giá trị của tích phân ( ) xf x dx c 'và( ) f x dx? − 1 − 1 − 1 39 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA 1 1. A. − + − − y 10 1 −1 −0, 5 O 4 x 1 1 2 . a b dB. − + − − C Ọ 2 8 C. − + − −1.8 a b d 2 4 12 . ỆU TOÁN H a b dD. − + − 2a b d − 1 2 π = ∫ Câu 88. Cho hàm số bậc 4 có đồ thịf x '( )như hình vẽ. Biết f (0 0 ) = , ( ) − − 1 1 f x dx. Tính '6 ẠP CHÍ VÀ TƯ LI 2 ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ sin . ' . f x f x f x dx? giá trị của tích phân ( ) ( ) ( ) − 1 y 1 O − + x − − 1 5 T A. − π − 3 1 1 5 2 − 2 2 2 2.B. − π3. + 2 12 2. D. −12. C. − π − 3 1 + Câu 89. Hàm sốf x( )có dạng ( ) = + > ( ) f x ax b a 0. Đồ thị hàm sốf x( )được cho như 2 hình vẽ. Gọi diện tích hình tạo bởi f f x ( ( ))và f x( )là S. Tính giá trị của biểu thức tích 11 a + 1 1 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 − − − + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ a x x x x dx phân ( ) ( ) − − 11 a a a? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 40 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y m 3 6 O x 2 m − 5 A. S.B. aS.C. 2 a S.D. 2 S. 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ f x f x '' ' Câu 90. Cho đồ thị hàm sốf x '( )như hình vẽ. Biết ( )( ) ( ) = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ F x dx ∫ f x f x. Phương ỤC OLYMPIC TOÁN ( ) ( ) trình f x F x ( − − = 4 . 4 0 ) ( )có tổng các nghiệm là bao nhiêu, biết F (3 0 ) =? y f x( ) x −1 O 1 3 CHINH PH A. 15.B. 8.C. 20.D. 17. Câu 91. Anh Tuấn có một con diều hình con cá chim. Con diều này được giới hạn bởi 2 Parabol ( ) − − 1 P x x : 3 ,( ) − +2 2 2 P x x : 3và 2 tiếp tuyến 1 d , 2 dđối xứng qua trục tung sao cho BAC = 120(hình vẽ). Tính chính xác diện tích của con diều (làm tròn đến 2 chữ số thập phân). 41 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y A B C 2 d 2 d 1 C Ọ ỆU TOÁN H −3 −2 −1 O 1 2 3 x (P1 ) (P2 ) A. 3, 81B. 3, 82C. 4, 31D. 4, 32 Câu 92. Cho thiết diện mặt cắt một chiếc đĩa bay của người ngoài hành tính như hình vẽ (phần tô đậm). Cho biết các đường cong trong hình vẽ đều là một phần của các Parabol. Tính diện tích thiết diện đó. y ẠP CHÍ VÀ TƯ LI 2, 5 2 (P1 ) (P3 ) (P4 ) 1 O x − 11 2 −5 −2 2 5 11 6 2 −1, 5 (P2 ) A. 556B. 596C. 553D. 593 T Câu 93. Cho hàm sốf x( )liên tục trên có dạng ( ) = + + 4 2 f x ax bx 1. Biết đồ thị hàm số xlà nghiệm của f x( ), f x "( )tiếp xúc đồ thị hàm sốf x( )tại 1 điệm trên trục tung. Gọi ± 1 xlà nghiệm của f x "( ) (x x 1 2 , 0 > ). Biết x x 1 2 = 3, tính diện tích phần tô đậm (hình vẽ). ± 2 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 42 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y x 1 x 1 −x 2 −x 2 O x f x '( )f x( ) A. 152 15B. 7315C. 152 45D. 7345 Câu 94. Cho diện tích phần tô đậm bằng a, f b ' 1( ) =. Biết 2 1 1 3 f f f (− = + ) ( ) ( )và f x( )là một hàm bậc 3, tính f f ' 1 ' 3 ( ) + ( )theo avà b yf x( ) f x ''( ) A −3 −1 O 1 x A. 2b a − B. b a +C. bD. b a − Câu 95. Cho đồ thị hàm số là đa thức bậc 3 f x( )như hình vẽ. Biết 1 dvà 2 dlà tiếp tuyến =và ( ) =2 ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH của f x( )tại x = 1và x 1 = −; OA 1 1 −+ ∫ f. Tính ( ( ) ( )) OB 4 05 1f x f ' x dx 43 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA 2 d y 1 −1 2 − 3 C Ọ O x B 1 d A ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T A. 1B. 710C. 79D. 78 Câu 96. Cho đồ thị hàm số( ) = + + 2 f x ax bx cnhư hình vẽ, 1 dlà đồ thị hàm sốf x '( ). Gọi S 1 2 S S,là các diện tích tạo bởi 1 2 d d,với đồ thị hàm sốf x( ). Tính gần đúng tỉ số1 S 2 y 1 O x −1 3 2 d −4 A. 1, 35B. 1, 36C. 1, 37D. 1, 38 Câu 97. Cho đồ thị hàm sốf x( )và f ' x( )như hình vẽ. Diện tích tạo bởi f ' x( )và f x( )gần nhất ? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 44 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y O x −2 3 −5 A. 23.B. 65.C. 50.D. 43. f x ax b. Đồ thị hàm sốf f x ( ( ))được cho như hình Câu 98. Hàm sốf x( )có dạng ( ) = +2 vẽ. Gọi diện tích hình tạo bởi f f x ( ( ))và f x( )là S,1 2 t , tlà hoành độ giao điểmf f x ( ( ))và f x( ) (t t 1 2 . 0 > )sao cho + + = 2 2 2 2 1 2 1 2 t t t t 2 9. Tính S ? y 5 / 3 43 / 27 O x 203B. 42. ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH A. 50. 305C. 32. 405D. 65. 203 Câu 99. Cho đồ thị hàm sốf x( ). 1 2 S S,là diện tích hình phẳng được giới hạn như hình vẽ. x 2 sin 11cos 5 3sin cos 1 . f x x x x dx + + − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ − + ∫102 Tính giá trị lớn nhất của ( ) x x x x? 2 cos sin 4 2 cos sin 4 x 45 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA − 9 11 y S1 O x 1 13 S2 4 A. S S 1 2 +B. S1C. S2D. 1 2 +23 S S Câu 100. Cho đồ thịf x '( )như hình vẽ. Diện tích 2 hình tạo bởi f x '( )và trục hoành là ∫4 9 5,8 4, f (1 3 ) = . Tính giá trị của tích phân ( ) ( ) C f x f x dx ' .? Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI − 1 y 9 8 −1 O 1 4 x 5 4 A. 0B. 1C. 3D. 4 T Câu 101. Cho đồ thị hàm sốf x( )như hình vẽ. y 2 −2 O 2 6 x 15 4 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 46 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ 2− + − 8 x x n m h xf f x mcó số tiệm cận đứng là lớn nhất là n ( với m,n nguyên Để hàm số ( )( ( ) ) =+ dương). Tính giá trị nhỏ nhất của S =2 2 m n + A. 14B. 74C. 50D. 3 Câu 102. Chof x f x ( ), ''( )và d là tiếp tuyến của f x( ) dưới hình vẽ. Hàm sốf x( ) có dạng3 2 mx nx p − +. Tính 43 45 n p − y (d) 26 5 O x 1 6 ỤC OLYMPIC TOÁN A. 2853 f x( ) 5 f x ''( ) − B. 450C. 201D. −182 Câu 103. Cho đồ thị hàm sốf x '( ) như hình vẽ. Tổng các giá trị nguyên của m∈[3; 20]để CHINH PH hàm sốg x f x m ( ) = + ( )có 4 cực trị. Biết tử số của f x( )có hệ số tự do dương. x = −1 y O x y = −2 −13 A. 64B. −58C. 75D. 88 Câu 104. Cho 3 hàm sốy f x y g x y h x = = = ( ), , ( ) ( ). Đồ thị của 3 hàm số ′ ′ ( ), ( ) , y h x =′( )có đồ thị như hình vẽ dưới, trong đó đường đậm hơn là đồ y f x y g x = = 47 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA ⎛ ⎞ thị của hàm sốy f x =′( ). Hàm số( ) ( ) ( )3 = + + + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k x f x g x h xđồng biến trên 7 5 1 42 khoảng nào dưới đây y 10 5 O 3 4 8 y g x ='( ) y f x ='( ) x C Ọ ⎝ ⎠B. 1; . y h x ='( ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠D. 3; . ỆU TOÁN H A. 15 ; 0 . ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠C. 3; 1 . ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +∞ ⎝ ⎠ 4 4 8 8 Câu 105. Cho hình vẽ của đồ thị các hàm số = = = ; ; a b c y x y x y xcó đồ thị như hình bên. Khi đó hãy tìm tổng của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 2 3 2 a b a c + + + Ta c ac? =+ + ẠP CHÍ VÀ TƯ LI 2 2 5 4 y 2m m 0, 5 x c x a x b T O α x A. 31B. 32C. 33D. 34 y xvày f x = ( ) . Đồ thị của chúng Câu 106. Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số= loga đối xứng với nhau qua đường thẳngy x = − − 1 .Tínhf (log 2018 a ) Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 48 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y y x = loga y f x = ( ) A. (log 2018 1 )2018 a= − −a O 1 x y x = − − 1 fB. ( )1 fa= − −a log 2018 12018 fD. ( )1 C. (log 2018 1 )2018 a = − +a fa = − +a log 2018 12018 Câu 107. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình( + − + + ≥ ) ( ) 2 2 mx m x m f x 5 2 1 0có nghiệm đúng với mọix∈ −[ 2; 2 .] y −2 −1 O 1 3 x A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. Câu 108. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình( ) + > + 2 2 4 f x x x mcó nghiệm đúng với mọix∈ −( 1; 3) y ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH O −3 2 x A. m < −3.B. m < −10. 49 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA C Ọ ỆU TOÁN H C. m < −2.D. m < 5. Câu 109. Cho hàm sốf x( )có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Để đồ thị của hàm số ( ) = + + ( ) ( ) 2 h x f x f x mcó số điểm cực trị ít nhất thì giá trị nhỏ nhất của tham sốmlàm0. Tìm mệnh đề đúng? y O 1 3 x A. m0 ∈(0; 1 .)B. m0 ∈ −( 1; 0 .)C. m0 ∈ −∞ − ( ; 1 .)D. m0 ∈ +∞ (1; .) Câu 110. Cho hàm sốf x( )có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M m,lần lượt là giá trị lớn 3 7; . y f x x2trên⎡ ⎤ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số= − ( ) 2 −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau? ẠP CHÍ VÀ TƯ LI y 5 4 2 T −1 O 5 x A. M m+ < 7.B. Mm > 10.C. M m− > 3.D. > 2. Mm Câu 111. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trênRvà có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể phương trìnhf x m ( − + − = 2 1 0 )có 8 nghiệm phân biệt trong khoảng(−5; 5) Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 50 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y 1 −3 −1 O 3 x A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. Câu 112. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trìnhf x m m ( + =)có 4 nghiệm phân biệt là? y 3 ỤC OLYMPIC TOÁN 4 O −1 −3 x CHINH PH A. 0.B. 1.C. 2.D. Vô số Câu 113. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số( ) ( ) = − 2 3 f x f x y 51 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI y O x −1 A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Câu 114. Cho đồ thị hàm sốy f x = ( )xác định và có đạo hàm trên .Hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm nhiều nhất của phương trình ( ) = 2 f x m(m là tham số thực) là? y x −2 O 1 3 A. 2.B. 3.C. 4.D. 5. Câu 115. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f f x ( (cos 0 )) =trong đoạn [0; 2019 ]là T y 1 x −1 O 1 A. 642.B. 1002.C. 1003.D. 643. Câu 116. Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên 2 của tham số m để phương trình ( ) + − + − = ( ) ( ) f x m f x m cos 2018 cos 2019 0có đúng 6 nghiệm thuộc[0; 2π]là? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 52 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y 1 O 3 x −1 1 −1 A. 5.B. 3.C. 2.D. 1. Câu 117. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ y 1 ỤC OLYMPIC TOÁN O −1 −1 −3 1 x CHINH PH Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f x m ( − = 1)có 4 nghiệm phân biệt A. 2.B. 1.C. 3.D. 4. Câu 118. Cho hàm sốy f x = ( )có đạo hàm tại∀ ∈x R,hàm số( ) = + + + 3 2 f x x ax bx c 'có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số= ⎡ ⎤ ( ) ⎣ ⎦ y f f x 'là? y −1 O 1 x A. 7.B. 11.C. 9.D. 8. Câu 119. Cho hàm số= = + + + ( )3 2 y f x ax bx cx d ( a b c a , , , 0 ∈ ≠ )có đồ thị(C). Biết rằng đồ thị(C) tiếp xúc với đường thẳng y = −9 tại điểm có hoành độ dương và đồ thị 53 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA hàm sốy f x =′( ) cho bởi hình vẽ bên. Phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị(C) và trục hoành là? y −1 O 1 3 −4 x C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T A. 2B. 27C. 29D. 35 Câu 120. Cho hàm số= = + + + ( )3 2 y f x ax bx cx d ( a b c a , , , 0 ∈ ≠ )có đồ thị(C). Biết rằng đồ thị(C)tiếp xúc với đường thẳng =23 ytại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số y f x =′( )cho bởi hình vẽ bên. Giá trị3 2 a b c d + + −là? y 4 −2 O 2 x A. 0.B. 2C. 3.D. 4 4 2 y f x ax bx c a 0có đồ thị(C), đồ thị hàm sốy f x =′( ) Câu 121. Cho hàm số= = + + > ( ) ( ) như hình vẽ bên. Biết đồ thị hàm sốy f x =′( )đạt cực tiểu tại điểm ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 3 8 3 ; 3 9. Đồ thị ⎝ ⎠ hàm sốy f x = ( )tiếp xúc với trục Oxtại 2 điểm. Diện tích Scủa hình phẳng giới hạn bởi đồ thị(C) và trục hoành là? Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 54 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y −1 O 1 x A. 715B. 815C. 1415D. 1615 ax b y f xcx d⎛ ⎞ − Câu 122. Cho hàm số( )+ = =+ ⎜ ⎟ ∈ ≠ ⎝ ⎠ , , , , 0 d a b c dccó đồ thị(C), đồ thị hàm số y f x =′( )như hình vẽ bên. Biết đồ thị hàm sốy f x = ( )cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Phương trình tiếp tuyến của (C)tại giao điểm của (C)với trục hoành có dạng ? y 2 ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 1 3 O 1 3 1 2 x y xC. − 1 3 A. = − y xD. − 12 y xB. = + = + y x 2 2 2 2 2 2 = + 2 Câu 123. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ và cắt trục hoành tại 5 điểm như hình vẽ sao cho điểm C là tâm đối xứng của đồ thị. 55 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y 6, 2 2, 8 x O C −2, 8 −6, 2 C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI Xét các cặp số( a b; )với a b, ∈và a b ( ) max 2min g x g x 0;1 0;1 A. m > 4B. m < 3C. 0 5 < < mD. m < 2 Câu 131. Cho hàm sốy f x x = = ( ), y g ( )liên tục trên có đồ thị hàm sốy f x =′( )là đường cong nét đậm và y g x =′( )là đường cong nét mảnh như hình vẽ. 59 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y g x '( ) O x BC A f x '( ) ′ ′ ( ), ( )trên hình vẽ lần lượt có hoành độ C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI Gọi ba giao điểm A B C , ,của đồ thịy f x y g x = = a b c , ,. Giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng A. h (0)B. h a( )C. h b( )D. h c( ) Câu 132. Cho hàm sốf x( )liên tục trên có đồ thị như hình vẽ: y 5 3 1 T Ký hiệu ( ) = − + + + ( ) O 1 2 3 x 3 2 g x f x x x m 2 3, với mlà tham số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu 2 thức [ ]( )[ ] = + + + ( ) P m g x g x m 3max 4min 0;1 0;1 A. −105B. −102C. −50D. 4 Câu 133. Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị như hình vẽ y f x( ) 4 O 1 x Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 60 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m∈[1; 5]để bất phương trình f m m f x ( − + ≥ − 1 5 ) ( )nghiệm đúng với mọi x ∈[1; 4] A. 2B. 1C. 4D. 3 y x P 1lấy hai điểm A B (1; 2 . 3; 10 ) ( )gọi M là điểm di động Câu 134. Trên parabol = + ( ) 2 trên cung ABcủa (P) , Mkhác A B, . y 102 A M B ỤC OLYMPIC TOÁN O D E F x Gọi S1là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và , gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và 2 2 Gọi là tọa độ điểm khi đạt giá trị nhỏ nhất. Tính + 0 0 x y A. 29B. 11C. 7D. 5 Câu 135. Cho hàm số liên tục trên đoạn [−1; 9]và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ CHINH PH dưới đây y 2 x O −1 −4 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể bất phương trình 2 2 ( )( ) ( )( )( )( ) − + − ≥ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 16.3 2 8 .4 3 .6 f x f x f x f x f x m m Nghiệm đúng với mọi giá trịx∈ −[ 1; 9]? A. 22B. 31C. 5D. 6 61 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Câu 136. Cho hai hàm sốf x( )và g x( )có đồ thị các đạo hàm cho như hình vẽ với f x '( ) (màu xanh) và g x '( )(màu hồng) có đồ thị như hình vẽ. y 4 −2 1, 5 3 2 −1, 5 −1 O 1 x C Ọ ỆU TOÁN H Hỏi hàm sốh x f x g x ( ) = − − ( 1 2 ) ( )đồng biến trên khoảng nào sau đây? 0;2C. ⎛ ⎞ − 1 1 5 A. (−1; 0)B. ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1;2D. ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2;2 Câu 137. Cho hai hàm số f x( )và g x( )có đồ thị biểu diễn đạo hàm f x ′( )và g x ′( )như hình vẽ. Biết rằng hàm số y f x g x = − + ( ) ( 2)đồng biến trên khoảng (α β; )và giá trị lớn ẠP CHÍ VÀ TƯ LI nhất của biểu thức (β − α =) 8; phương trình tiếp tuyến với đồ thị y g x = ( )tại điểm có hoành độ x1 = 11là y x = + 3 2và phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x = ( )tại điểm có hoành độ x2 = 9là y ax = + 1Giá trị của f (9)bằng y f x '( ) g x '( ) T O x 1 3 21 2 A. 13B. 28C. −26D. 22 Thầy Nguyễn Đăng Ái Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 62 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ VẬN DỤNG CAO ÔN THI THPT QG 2019 Bài toán 1 Cho hàm sốy f x = ( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể phương trình f f x m ( 2 cos ( )) =có nghiệm ⎡ ⎞ π x y 2 1 −2 x 1 ∈ π ⎢ ⎟ ⎣ ⎠ ; . 2 −1 O 2 −1 −2 ỤC OLYMPIC TOÁN A. 5.B. 3.C. 2.D. 4. Lời giải Đặt t x = cos, do ⎡ ⎞ π xnên suy ra t ∈ −( 1;0 .] ∈ π ⎢ ⎟ ⎣ ⎠ ;2 Trên khoảng (−1;0)hàm số nghịch biến nên suy ra Với t ∈ −( 1;0]thì f f t f (0 1 ) ≤ < − ( ) ( )hay 0 2. ≤ < f t( ) Đặt u f x = 2 cos ( )thì u f t u = ∈ 2 , 0;2 . ( ) [ )Khi đó bài toán trở thành: Tìm mđể phương trình f u m ( ) =có nghiệm u∈[0;2 .) Quan sát đồ thị ta thấy rằng với u∈[0;2)thì f u m ( )∈ − ⇒ − ≤ < [ 2;2 2 2. ) Vì m m ∈ ⇒ ∈ − − { 2; 1;0;1 . }Vậy có 4 giá trị của m. Chọn ý D. CHINH PH 63 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 2 Cho hàm sốf x( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: y 3 1 −2 1 O 2−1 x C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T Số các giá trị nguyên của tham sốmkhông vượt quá 5để phương trình 210 ( )− x m f có hai nghiệm phân biệt là π − = 8 A. 5.B. 4.C. 7.D. 6. Lời giải Đặt = π > , 0. x t tPhương trình đã cho trở thành: 2 2 1 1 0 , 0 m m f t f t t . − − − = ⇔ = > ( ) ( ) ( ) 8 8 Quan sát đồ thị đã cho của hàm sốy f x = ( )ta thấy rằng Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 21 2 mm m − − < < ⇔ − < < ⇔ − < < 1 1 7 9 3 3 8 Mà m m ∈ ⇒ ∈ − − { 2; 1;0;1;2 . } Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của m. Chọn ý A. Nhận xét. Không khó để nhận ra phương pháp bài này giống với bài toán 1, gồm 3 bước như ở lý thuyết mình đã nêu, các bạn chú ý làm theo nhé! Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 64 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Bài toán 3 Cho hàm sốf x( )liên tục trên [0; 5]và có đồ thị như hình vẽ dưới. y 4 3 21 O x 1 2 3 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình ( − + ) ( ) ( ) − ≥ + − 2 2019 1 m f x f x 3 10 2 x x Nghiệm đúng với mọi x ∈[0; 5]? A. 2014B. 2015C. 2016D. 2017 Lời giải Để bất phương trình đúng với mọi x ∈[0;5]thì ta cần có ⎛ ⎞ + − 3 10 2 2019 max2 1 ỤC OLYMPIC TOÁN x x Theo Cauchy – Schwarz ta có − ≥ ⎜+ − −⎟ mf f x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0;5 2 [ ]( ) ( ) x CHINH PH 3 10 2 3 2 5 3 2 5 5 x x x x x x + − = + − ≤ + + − = ( )( ) Dấu ”=” xảy ra khi x = 3. Nhìn vào đồ thị ta thấy rằng f x( ) ≥ 1dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi x x x = ∨ = ∨ = 315 . 3 1 2 5 x x 0 5 +≤ − ≤ Ta có ( ) + − ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x ⇒ ≤ m 2014 2 2 1 + − 1 Chọn ý A. 65 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI T Bài toán 4 Cho hàm sốf x( )liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. y −1 O 1 2 x −2 −3 −4 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ( )( ( )) ( )( ) + − ≤ − + 2 2 9.6 4 .9 5 .4 f x f x x f x m m Đúng với mọi x ∈là? A. 10.B. 4.C. 5D. 9 Lời giải Đặt t f x = ( ). Quan sát đồ thị ta thấy f x x t ( ) ≤ − ∀ ∈ ⇒ ≤ − 2 2 Bất phương trình đã cho được viết lại như sau ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − ≤ − + ∀ ≤ − ⇔ ⋅ + − ≤ − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 t t 2 2 2 2 3 3 9.6 4 .9 5 .4 , 2 9 4 5 t t t t m m t t m m ( ) ( ) ( ) 2 2 t t 2 3 3 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Xét hàm số( ) ( ) g t t = ⋅ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 4 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 t t t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + − ≥ ∀ ≤ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ g t t t t ' 9. ln 2 . 2 4 l . . n 0, 2 Có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 Từ đó suy ra ( ]( ) ( ) max 2 4 g t g = − = −∞ − ; 2 Yêu cầu bài toán tương đương với − + ≥ ⇔ ≤ ≤ 2 m m m 5 4 1 4 Vì m m ∈ ⇒ ∈{1;2;3; 4}nên tổng tất cả các giá trị của tham sốmlà 10. Chọn ý A. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 66 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Bài toán 5 Cho hàm sốy f x = ( )có đồ thị hàm sốy f x =′( )như hình vẽ bên. Xét hàm số g x f x x x m 2 2 4 3 6 5với mlà số thực. Đểg x( ) ≤ 0 ∀ ∈ −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ x 5; 5thì điều ( ) = + − − − ( )3 kiện của mlà y f x '( ) 2 − 5 5 x O B −13 A 25 A. ≥ ( ) 25 ỤC OLYMPIC TOÁN m fB. ≤ ( ) 3 20 2 5 m f 3 25 4 5 m fD. ≥ − − ( ) C. ≤ − ( ) 3 Lời giải m f 3 3 3 g x g x f x x x m m f x x x 0 2 2 4 3 6 5 0 3 2 2 4 6 5 Ta có ( ) ≤ ⇔ = + − − − ≤ ⇔ ≥ + − − ( ) ( ) ( ) Đặt ( ) = + − − ( )3 h x f x x x 2 2 4 6 5. Ta có ′ ′ ( ) = + − ( )2 h x f x x 2 6 4 . ⎧ ′ ′ − = − + − = ⎪⎪ ′ ′ = + − = ⎪⎪⎨ ′ ′ = + − = h f 5 2 5 6.5 4 0 ( ) ( ) h f 5 2 5 6.5 4 0 ( ) ( ) h f CHINH PH Suy ra 0 2 0 0 4 0 ( ) ( ) ⎪′ ′ = + − > ⎪⎪ ′ ′ − = − + − > ⎪⎩ h f 1 2 1 6.1 4 0 ( ) ( ) h f 1 2 1 6.1 4 0 ( ) ( ) Từ đó ta có bảng biến thiên x − 5 0 5 h′ − 0 − h (− 5 ) h (0) h h ( 5 ) 67 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA 25 Từ bảng biến thiên ta có 3 5 m h ≥ ( ) ⇔ ≥ ( ) m f . 3 Chọn ý A. Bài toán 6 Cho 0 1 1 < − < − < a b avà hàm số( )( ) f x y g xf xcó đạo hàm trên [0;+∞). Biết = =+2 (( ) ) 1 đồ thị hàm sốy f x = ( )như hình vẽ dưới. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi ∈ − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ x a b 1; 1 y y f x = ( ) n C Ọ m ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI O A. ( )( − ) a b x g xmB. ( )( − ) ≥f b 1 C. ( )( − ) ≤f b 1 ≤f a 1 g xn T g xmD. − ≤ ≤ 10 0 g x( ) Lời giải Ta có ( ) [ ] ∈ − − ⇒ + ∈ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦2 x a b x a b 1; 1 1 ;, dựa vào đồ thị ta có 1 1 1 11 2 m f x nn m f x ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ (( ) )(( ) ) + 2 Mặt khác 0 1 1 < − < − < a b adựa vào đồ thị ta thấy f x( )đồng biến trên ⎡ ⎤ − − ⎣ ⎦ a b 1; 1 1 1f b nên ta có ( ) ( ) ( ) ( )( − ) − ≤ ≤ − ⇒ ≤1 f a f x f b g xm Chọn ý C. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 68 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Bài toán 7 Cho hàm sốf x( )có đạo hàm f x '( ). Hàm sốy f x ='( )liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc đoạn [1; 4]của phương trình f x f ( ) = (0)là? y −1 O 1 4x 2 A. 4.B. 3.C. 2.D. 1. Lời giải Từ đồ thị của hàm sốf x( )ta có bảng biến thiên của hàm số (đa thức nội suy): x −∞ −1 1 2 4 +∞ y ' − 0 + 0 − 0 + 0 + y f (1) f (4) f (2) f (−1) Mặt khác quan sát hình vẽ ta thấy: 1 2 ( ) > ⇔ − > − ⇔ > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ f x dx f x dx f f f f f f ' ' 1 0 1 2 2 0 0 1 Vậy trong đoạn [−1; 4]phương trình f x f ( ) = (0)có 1 nghiệm. Chọn ý B. ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 69 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 8 Cho đồ thị của hàm sốf x F x f x ( ), , ' 1 ( ) ( + )như hình vẽ. Tính giá trị của tích phân f f ( )+ ( ) 0 1.5 ∫ f F ' 1 1.5 − + ( ) ( ) 3 sin .cos x xdx? y 2 (3) −1 O x C Ọ ỆU TOÁN H (2) −3 1 3 2 2 3 (1) A. 0B. 1C. 3D. 4 Lời giải Đồ thị hàm số(1)cực đại khi x = 2nên 2 là đồ thị của đạo hàm hàm số(1) . ẠP CHÍ VÀ TƯ LI Chuyển dịch đồ thị hàm số(3)sang phải 1 đơn vị ta thấy có cắt trục Ox tại x = 1, đồng thời tại đó đồ thị hàm số(2)cực đại 3 là đồ thị của đạo hàm (2). Suy ra đồ thị hàm số(1) , (2), (3)lần lượt là đồ thị hàm sốF x f x f x ( ), , ' 1 ( ) ( + ). f f ( )+ ( ) 0 1.5 3 T Ta có f f f F (0 1.5 ' 1 1.5 ) + = − + ( ) ( ) ( ) Chọn ý A. ⇒ = ∫ sin .cos 0 x xdx f F ' 1 1.5 − + ( ) ( ) Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 70 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Bài toán 9 Cho hàm sốf x( )có đạo hàm trên \{b}và hàm sốg x( )có đạo hàm trên . Biết đồ thị của hai hàm sốy f x y g x = = ' , ' ( ) ( )như hình vẽ dưới. Đặt h x f x g x ( ) = − ( ) ( )và 2 2 2 2 S h x b h b x h c h c 1 2với a,b,c là các số thực đã biết. Khẳng ( ) ( )( ( )) ( ) = − + + + + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ định đúng với mọi x ≠ 0là? y y f x =′( ) y g x =′( ) O a b c x ỤC OLYMPIC TOÁN A. ∈ + ⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ S h c h a c ;B. S h c ≤ ( ) C. ≤ + ⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ S h c h a b ;D. ∈⎡ ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ S h a h c ; Lời giải ' ' ' ; ' 0 ' 'x a Từ đồ thị đã cho ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎡ = h x f x g x h x f x g xx c = − = ⇔ = ⇔ ⎢= ⎣ Lập bảng biến thiên ta có x −∞ a b c +∞ h x '( ) − 0 + + 0 − h x( ) h c( ) h a( ) 2 2 2 2 S h b x h c h b x h x b h c Lại có = − + − + + ≤ + ≤ ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) Chọn ý B. CHINH PH 71 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 10 Cho hàm số f x( )liên tục và xác định trên và có đồ thịf x '( )như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số = + ( ) 2 y f x x? y O x − 1 4 C Ọ A. 10B. 11C. 12D. 13 Lời giải ỆU TOÁN H Ta có = + + ( ) ( ) 2 x x mcó nghiệm khi và chỉ khi ≥ −14 y x f x x ' 2 1 ' , + = 2 m . Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f x '( )cắt trục hoành tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn −14và có một tiệm cận. ẠP CHÍ VÀ TƯ LI Khi đó ứng với mỗi giao điểm có hoành độ lớn hơn −14và 1 điểm không xác định thì y ' 0 =có 2 nghiệm Từ đây dễ dàng suy ra hàm = + ( ) 2 y f x xcó 11 cực trị! Chọn ý B. T Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 72 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Bài toán 11 Cho hàm sốf x( )có đạo hàm và xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ dưới. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham sốm∈ −[ 20;20]để hàm số y f x m = + ( )có 5 điểm cực trị? x = −2 y 3 3 O 1 x −2 ỤC OLYMPIC TOÁN A. −210B. −212C. −211D. −209 Lời giải Chúng ta có thể tính nhanh theo công thức là hàm sốy f x m = + ( )có 5điểm cực trị khi và chỉ khi hàm sốy f x m = + ( )có 2điểm cực trị dương và hàm số phải liên tục tại x0 = 0 . CHINH PH Dựa vào đồ thị của hàm số ta suy ra ⎧ ⎧ − > < ⎨ ⎨ ⇔ ⇒ ∈ − − − − − 1 0 120, 19, 18,..., 3, 1,0 m mm − − ≠ ≠ − ⎩ ⎩ 2 0 2 m m Suy ra tổng S các giá trị nguyên m: S = −210. Chọn ý A. { } 73 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 12 Cho hàm số bậc ba f x( )và ( ) = + + ∈ ( )( ) 2 g x f mx nx p m n p , ,có đồ thị như hình dưới, trong đó đường nét liền là đồ thị hàm f x( ), đồ thị hàm nét đứt là đồ thị hàm g x( ) , đường = −12 xlà trục đối xứng hàm g x( ). Giá trị của biểu thức P n m m p p n = + + + ( )( )( 2 )bằng bao nhiêu? y g x( ) f x( ) 2 O 1 2 x C Ọ −2 − 1 2 ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI A. 6B. 24C. 12D. 16 Lời giải 3 2 2 f x ax bx cx d f x ax bx c ' 3 2. Hàm số đạt cực trị tại x x = = 0; 2và Ta có ( ) = + + + ⇒ = + + ( ) đồ thị đi qua điểm (1;0 , 0;2 ) ( )nên ta có ' 0 0 1 ⎧ = ⎧ = f a ( ) ⎪ ⎪ ' 2 0 33 2 ⎪ ⎪ = = − ⎨ ⎨ ⇒ ⇒ = − + f bf x x x T ( ) 1 0 0 = = ⎪ ⎪ f c ( ) ⎪ ⎪ = = ⎩ ⎩ 0 2 2 f d ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 g x mx nx p mx nx p 3 2. Hệ số tự do bằng − + 3 2 p p3 2. Đồ thị Ta có ( ) = + + − + + + ( ) ( ) hàm sốg x( )đi qua điểm (0;0)nên − + = ⇒ = 3 2 p p p 3 2 0 1 . g x f mx nx pcó trục đối xứng = −12 Đồ thị hàm số( ) = + + ( ) 2 xnên đồ thị hàm số = + + 2 1 1 n y mx nx pcũng có trục đối xứng = − ⇒ − = − ⇒ = x m n m. 2 2 2 Đồ thị hàm sốg x( )đi qua điểm (−2; 2)nên ( ) ( ) ( ) ( )⎡ = = m n 3 21 g g x m mm n ⎢ − = ⇒ = + − + + = ⇒ ⎢ = = − ⎣ 2 0 2 1 3 2 1 2 2 1 2 Do đồ thị có hướng quay lên trên nên ta suy ra m m n p > ⇒ = = = 0 1 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 74 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Chọn ý C. Bài toán 13 Giả sử hàm sốy f x = ( )có đạo hàm là hàm sốy f x ='( )có đồ thị được cho như hình vẽ dưới đây và f f f f f (0 1 2 2 4 3 . ) + − = − ( ) ( ) ( ) ( )Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x = ( )trên [0; 4]. y O 2 4 x A. m f = (4 .)B. m f = (0 .)C. m f = (2 .)D. m f = (1 .) Lời giải Quan sát đồ thị hàm sốy f x ='( )ta thấy: ∙ Trên khoảng (0; 2)thì f x ' 0. ( ) > ∙ Trên khoảng (2; 4)thì f x ' 0. ( ) < Bảng biến thiên: x 0 1 2 3 4 f x '( ) + + − − f (2) ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH f x( ) f (1) f (3) f (0) f (4) Từ bảng biến thiên ta nhận thấy GTNN của hàm số đạt được bằng f (0)hoặc f (4 .) Ta lại có f f f f f f f f f f (0 1 2 2 4 3 0 4 2 2 1 3 ) + − = − ⇔ − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ( ) − + − > ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f f f f 2 1 2 3 0(do f f f f (2 1 , 2 3 ). ) > > ( ) ( ) ( ) Do vậy f f f f (0 4 0 0 4 . ) − > ⇔ > ( ) ( ) ( ) Vậy m f = (4 .) Chọn ý A. 75 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 14 Cho hàm sốf x( )có đồ thị như hình vẽ đồng thờif x f x x x x ( + − = + + 1 2 2 1 1 * ) ( ) ( )( )( ) g x mx nx pvà( ) = − ( ) Biết rằng( ) = + + 4 2 f x ax bx c;( ) = + + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốg x( ) y 11 2 f x g x 1 O x 2 −1 C Ọ ỆU TOÁN H ẠP CHÍ VÀ TƯ LI A. −12B. −14C. −2D. −4 Lời giải Từ(*)ta thayx f f = ⇒ = 0 1 0 ( ) ( ) Ta có ⎧ + = a b = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⎨= − ⎩0 x y ccvà= = ⇒ = − − ( )4 2 x y f x x x 2, 11 1 0 1 11 2 4 2 2 2 2 x x g x m x n x p 1 1 1 1 = − + + − + 4 2 2 mx mx m nx n p 2 Mặt khác − − = − = − + − + ( ) ( ) ( ) ⎧ = ⎪ ⇒ − + = − ⎨⎪− = − + ⎩1 ⎧ = m 11 m 2 1 n ⎪ ⇒ = ⇒ = + = + = ⇔ = − ⎨⎪ = ⎩2 n g x x x g x x g x x 1 ; ' 2 1; ' 02 ( ) ( ) ( ) T 1 n p p 0 Vậy giá trị nhỏ nhất( ) = −14 g x Chọn ý B. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton 76 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Bài toán 15 Cho hai hàm sốy f x = ( ), y g x = ( )có đạo hàm là f x ′( ), g x ′( ). Đồ thị hàm sốy f x =′( ) và g x ′( )được cho như hình vẽ bên dưới. y f x '( ) g x '( ) O 2 6 x Biết rằng f f g g (0 6 0 6 ) − < − ( ) ( ) ( ). Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x g x ( ) = − ( ) ( )trên đoạn [0;6]lần lượt là: A. h h (2 , 6 . ) ( )B. h h (6 , 2 . ) ( )C. h h (0 , 2 . ) ( )D. h h (2 , 0 . ) ( ) Lời giải Có h x f x g x ' ' ' ( ) = − ( ) ( ) Từ đồ thị đã cho ta có bảng biến thiên của hàm sốh x( )trên [0;6] x 0 2 6 h x '( ) − 0 + h (0) h (6) h x( ) h (2) Do đó [ ]( ) = ( ) min 2 h x h 0;6 Giả thiết ta có f g f g h h (0 0 6 6 0 6 ) − < − ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy nên [ ]( ) = ( ) max 6 h x h 0;6 Chọn ý B. ỤC OLYMPIC TOÁN CHINH PH 77 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor