🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Phát Triển Tư Duy Sáng Tạo Giải Toán Hình Học 8 Ebooks Nhóm Zalo MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ 1. TỨ GIÁC . ............................................................................................................................................... 2 CHUYÊN ĐỀ 2. HÌNH THANG. HÌNH THANG CÂN. DỰNG HÌNH THANG . ........................................................ 5 CHUYÊN ĐỀ 3. ĐƢỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG. ................................................. 11 CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH BÌNH HÀNH.............................................................................................................................. 17 CHUYÊN ĐỀ 5. HÌNH CHỮ NHẬT ............................................................................................................................... 22 CHUYÊN ĐỀ 6. HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG ....................................................................................................... 28 CHUYÊN ĐỀ 7. ĐỐI XỨNG TRỤC – ĐỐI XỨNG TÂM............................................................................................ 35 CHUYÊN ĐỀ 8. VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN........................................................................................................ 41 1 CHƢƠNG I: TỨ GIÁC CHUYÊN ĐỀ 1. TỨ GIÁC A. Kiến thức cần nhớ 1. Tứ Giác ABCDlà hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA,trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. B C B C D A C D A B a) b) Hình 1.1 Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1a) và tứ giác lõm (h.1.1b). Nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta A hiểu đó là tứ giác lồi. D A 2. Tổng các góc của tứ giác bằng 360° . a) A B C D + + + = ° 360 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD, A B− = ° 40. Các tia phân giác của góc Cvà Dcắt nhau tại O. Cho biết COD = ° 110. Chứng minh rằng AB BC ⊥ . Giải (h.1.2) ∙ Tìm cách giải Muốn chứng minh AB BC ⊥ta chứng minh B = ° 90 . Đã biết A B− = ° 40, ta tính tổng A B+ AB O 121 2 D C ∙ Trình bày lời giải Hình 1.2 C D COD C D + Xét tam giác ΔCODcó 180 180 ( 2 2 )2 = ° − + = ° = =; D D 1 2 (vì C C 1 2 =). Xét tứ giác ABCDcó C D A B + = ° − + 360 ( ), do đó A B A B COD° − + + 360 ( ) = ° − = ° − ° + 180 180 180 2 2 =. Theo đề bài COD = ° 110nên A B+ = ° 220 . A B COD + Vậy 2 2 Mặt khác A B− = ° 40nên B = ° − ° = ° (220 40 : 2 90 ). Do đó AB BC ⊥ . Ví dụ 2. Tứ giác ABCDcó AB BC =và hai cạnh AD DC ,không bằng nhau. Đường chéo DBlà đường phân giác của góc D.Chứng minh rằng các góc đối của tứ giác này bù nhau. Giải (h a b .1.3 , ) ∙ Tìm cách giải Để chứng minh hai góc Avà Cbù nhau, ta tạo ra một góc thứ ba làm trung gian, góc này bằng góc A chẳng hạn. Khi đó chỉ còn phải chứng minh góc này bù với góc C . ∙ Trình bày lời giải Xét trường hợp AD DC <(h.1.3a) Trên cạnh DClấy điểm Esao cho DE DA = . Δ = Δ ADB EDB c g c ( . . ) ⇒ = AB EBvà A E =1 A B D1 2 CD E1 Mặt khác, AB BC =nên BE BC =. Vậy ΔBEC cân C E =2. Ta có: 1 2 E E A C + = °⇒ + = ° 180 180 . .Do đó B D A C + = ° − + = ° 360 180 ( ) . A B Xét trường hợpAD DC >(h.1.3b). Trên tia DAlấy điểm Esao choDE DC =Chứng minh tương tự như trên, ta được A C+ = ° 180 ,. A E12 a) bB D1 2 C D C a) b) Hình 1.3 B D+ = ° 180 . Ví dụ 3. Tứ giác ABCDcó tổng hai đường chéo bằng a. Gọi Mlà một điểm bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MA MB MC MD + + + . Giải (h.1.4) ∙ Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MA MB MC MD + + +ta phải chứng minh MA MB MC MD k + + + ≥(klà hằng số). Ghép tổng trên thành hai nhóm (MA MC MB MD + + + ) ( ). ∙ Trình bày lời giải Xét ba điểm M A C , ,có MA MC AC + ≥ (dấu “=” xảy ra khi M AC ∈). Xét ba điểm M,B,Dcó MB MD BD + ≥ (dấu “=” xảy ra khi M BD ∈). Do đó MA MB MC MD AC BD a + + + ≥ + = Vậy min(MA MB MC MD a + + + =)khi M 3 trùng giao điểm Ocủa hai đường chéo ACvà BD. A B B A O M C D C Hình 1.4 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG ∙ Tính số đo góc 1.1 Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tai hai đỉnh còn lại. 1.2. Cho tứ giác ABCDcó A B+ = ° 220. Các tia phân giác ngoài tại đỉnh Cvà Dcắt nhau tại K. Tính số đo của gócCKD. 1.3. Cho tứ giác ABCDcó A C=. Chứng minh rằng các đường phân giác ngoài của góc Bvà Dsong song hoặ trùng với nhu. 1.4. Cho tứ giác ABCDcó AD DC CB = = ; C = ° 130 ; D = ° 110. Tính số đo góc góc A, góc B (Olympic Toán Châu Á – Thái Bình Dương 2010). ∙ So sánh các độ dài 1.5. Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1,3,5,10? 1.6. Tứ giác ABCDcó hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6.Tính đọ dài AD . 1.7. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi tứ giác. 1.8 Cho bốn điểm A B C D , , ,trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14. ABCD 1.9. Cho tứ giác có độ dài các cạnh là a b c d , , ,đều là các số tự nhiên. Biết tổng S a b c d = + + +chia hết cho a,cho b,cho c, chod. Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau. ∙ Bài toán giải bằng phƣơng trình tô màu 1.10. Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại một nhóm bốn người quen nhau. 4 1 B D C 1 2D C D D1 2 C a) D C b) D a)b) CHUYÊN ĐỀ 2. HÌNH THANG. HÌNH THANG CÂN. DỰNG HÌNH THANG A. Kiến thức cần nhớ A 1. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song (h.2.1). A B E12 A B Đặc biệt: hình thang vuông là hình thang có một góc vuông (h.2.2). A B A B A B A B A B D C D1 2 C D1 2 D C D C D D C a)b) a) C Hình 2.1 Hình 2.2 2. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (h.2.3). 3. Trong hình thang cân: - Hai cạnh bên bằng nhau - Hai đường chéo bằng nhau (h.2.4). A B A B A A B D C D C D C D Hình 2.3 Hình 2.4 4. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. - Hình thang có hai góc đối bù nhau là hình thang cân. - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 5. Dựng hình ∙ Dụng cụ dựng hình: thước và compa ∙ Các bước giải một bài toán dựng hình - Phân tích; - Cách dựng; - Chứng minh; - Biện luận. CD D Đối với một bài toán dựng hình đơn giản ta có thể không trình bày bước phân tích. TRANG 7-8 ∙ Để dựng hình thang ta cần biết bốn yếu tố của nó, trong đó số đo góc cho trước không quá hai. B. Một số ví dụ 5 Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD AB CD ( / / ), các tai phân giác của góc A,góc Dcắt nhau tại Mthuộc cạnh BC.Cho biết AD cm 7 ,Chứng minh rằng một trong hai đấy của hình thang có độ dài nhỏ hơn 4 . cm Giải(h.2.5) *Tìm cách giải Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm ta có thể xét tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn 8cm, khi đó tồn tại một đáy nhỏ hơn 4 . cm *Trình bày lời giải Gọi Nlà giao điểm của tia AMvà tia DC. Ta có : 2 AB CD A N / /(so le trong) Mặt khác, A A A N DAN 1 2 1cân tại D 1 DA DN(1) A 1 2 2 B M Xét DANcó D D 1 2nên DM đồng thời là đường trung tuyến: MA MN ABM NCM c g c AB CN ( . . ) . C D Hình 2.5 N Ta có: DC AB DC CN DN DA cm 7 .Vậy AB CD cm 8 . Vậy một trong hai đáy AB CD ,phải có độ dài nhỏ hơn 4cm Ví dụ 2. Tứ giác ABCDcó AC BD AD BC , .Chứng minh rằng tứ giác này là hình thang cân. Giải(h.2.6) *Tìm cách giải Tứ giác ABCDcó hai đường chéo bằng nhau nên để chứng minh nó là hính tháng cân, chỉ cần chứng minh AB CD / / . Muốn vậy ta chứng minh một cặp góc so le trong bằng nhau. *Trình bày lời giải ADC BCD c c c C D A B 1 2 O 1 1 D CHình 2.6 ( . . ) 1 1 DAB CBA c c c B A ( . . ) 1 1 Mặt khác: 1 1 1 1 COD AOB C A C A AB CD 2 2 / / Vậy tứ giác ABCDlà hình thang. Hình thang này có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân. Ví dụ 3. Một hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên và góc kề với đáy lớn bằng 60 Biết chiều cao của hình thang cân này là a 3.Tính chu vi của hình thang cân. 6 Giải(h.2.7) *Tìm cách giải Ta đã biết hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Từ đó vẽ thêm hình phụ để tìm sự liên hệ giữa đáy lớn và ba cạnh còn lại. Ta vẽAM BC M CD / / ( ).Mặt khác, đề bài có cho góc 60, gợi ý cho ta vận dụng tính chất của tam giác đều để tính độ dài một cạnh theo chiều cao của nó. *Trình bày lời giải Ta đặt: AD AB BC x VẽAM BC M CD / / ( ),ta được AM BC x MC AB x , VẽAH CDthì AHlà đường cao của hình thang cân, cũng là đường cao của tam giác đều: 3 AD AH. Vì 2 AH a 3nên 33 2 . xa x a 2 Do đó chu vi của hình thang cân là: 2 .5 10 . a a A B D C H M Hình 2.7 Nhận xét: Qua một đỉnh vẽ đường thẳng song song với một cạnh ben của hình thang là một cách vẽ hình phụ để giải bài toán về hình thang. Ví dụ 4. Dựng hình thang ABCD AB CD ( / / )biết: AB cm CD cm C D 2 , 5 , 40 , 70 . Giải(h.2.8) A a)Phân tích Giả sử ta đã dựng được thang ABCD AB CD ( / / )thỏa mãn đề bài. Vẽ AE BC E CD / / ( )ta được B 70° x 40° AED C EC AB cm 40 ; 2 ; DE DC EC cm 5 2 3 ADEdựng được ngay (g.c.g) D C E Hình 2.8 Điểm Cthỏa mãn điều kiên: Cnằm trên tia DEvà Ccách Dlà 5cm . Điểm Bthỏa mãn điều kiên: Bnằm trên tia Ax DE //( hai tia Ax DE ;cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD) và Bcách Alà 2cm b)Cách dựng Dựng ADEsao cho DE cm D E 3 ; 70 ; 40 . Dựng tia Ax DE //( hai tia Ax DE ;cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD). Trên tia AxđặtAB cm3. Trên tia DEđặt DC cm 5 7 Nối BC ta được hình thang ABCDphải dựng. c) Chứng minh Theo cách dựng tứ giác ABCDcó AB CD //nên nó là hình thang. Xét hình thang ABCEcó CE 5 – 3 2(cm); AB 2cm nên AB CEdo đó AE BC // BCD AED 40 . Như vậy hình thang ABCDcó AB 2cm; CD 5cm; D 70và C 40 d) Biện luận Bài toán có một nghiệm hình. Ví dụ 5. Dựng tam giácABC, biếtA 70 , BC 5cm và AC AB – 2cm. Giải (h.2.9) a) Phân tích Giả sử ta đã dựng được tam giác ABCthoả mãn đề bài. Trên tia ACta lấy điểm Dsao choAD AB . Khi đó DC AC AD AC AB – – 2cm. ABDcân, A ADB BDC 70 35 125 . - DBCxác định được (CD 2cm; D 125;CB 5cm). Hình 2.9 - Điểm Athoả mãn hai điều kiện: Anằm trên tia CDvà Anằm trên đường trung trực củaBD. b) Cách dựng - Dựng DBCsao cho D 125;DC 2cm và CB 5cm. - Dựng đường trung trực của BDcắt tia CDtại A . - Nối ABta được ABCphải dựng. c) Chứng minh ABCthoả mãn đề bài vì theo cách dựng, điểm Anằm trên đường trung trực của BDnênAD AB . Do đó AC AB AC AD DC – – 2cm; BC 5cm và ADB 180 125 55 BAC 125 2.55 70 . 8 d) Biện luận Bài toán có một nghiệm hình. Nhận xét: Đề bài có cho đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có đoạn thẳng nào như vậy. Ta đã làm xuất hiện đoạn thẳng DC 2cm bằng cách trên ACta đặtAD AB. Khi đó DCchính là hiệuAC AB – . Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng 2cm bằng cách trên tia ABta đặt AE AC(h.2.10). Khi đó BE AE AB AC AB – – 2cm. AECcân, có A E 70 (180 70 ) : 2 55 . BECxác định được. Khi đó điểm Athoả mãn hai điều kiện: Anằm trên tia EBvà Anằm trên đường trung trực củaEC . C. Bài tập vận dụng ∙ Hình thang Hình 2.10 2.1. Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác của góc A, góc Dcắt nhau tại M. Các tia phân giác của góc B, góc Ccắt nhau tại N. Cho biết AMD 90 , chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCDlà hình thang; b) NB NC . 2.2. Cho hình thang ABCDvuông tại Avà D. Gọi Mlà trung điểm của AD. Cho biếtMB MC . a) Chứng minh rằngBC AB CD; b) VẽMH BC. Chứng minh rằng tứ giác MBHDlà hình thang. 2.3. Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương của hai đường chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy. 2.4. Cho hình thang ABCDvuông tại Avà D. Cho biếtAD 20 , AC 52và BC 29. Tính độ dài AB . ∙ Hình thang cân 2.5. Cho tam giác đều ABC, mỗi cạnh có độ dài bằng a. Gọi Olà một điểm bất kì ở trong tam giác. Trên các cạnh AB BC CA , ,lần lượt lấy các điểm M N P , , sao choOM BC //; ON CA //vàOP AB // . Xác định vị trí của điểm Ođể tam giác MNPlà tam giác đều. Tính chu vi của tam giác đều đó. 2.6. Cho hình thang ABCD(AB CD //), ADC BCD. Chứng minh rằngAC BD . 9 2.7. Cho góc xOycó số đo lớn hơn60nhưng nhỏ hơn180. Trên cạnh Oxlấy điểm A, trên cạnh Oy OA OC AC . lấy điểm C. Chứng minh rằng 2 2.8. Tứ giác ABCDcóAC BD; C DvàBD BC. Hỏi tứ giác ABCDcó phải là hình thang cân không? ∙ Dựng hình 2.9. Dựng hình thang ABCD(AB CD //) biết AD 2cm; BD 3cm; AC 4cm và góc nhọn xen giữa hai đường chéo bằng70 . 2.10. Dựng hình thang ABCD(AB CD //) biết A 120;AB 2cm, BD 4cm vàBC a . 2.11. Dựng tứ giác ABCDbiết AB 2,5cm; CD 4cm; A 120;B 100và C 60 . 2.12. Dựng tam giác ABCvuông tại Bcó chu vi bằng 8cm và C m . 10 CHUYÊN ĐỀ 3. ĐƢỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đĩnh nghĩa ∙ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h3.1) ∙ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang (h3.2) (hình 3.1) (hình 3.2) 2. Tính chất ∙ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Trên hình 3.1 thì MN BC //và 2BC MN . ∙ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đấy AB CD Trên hình 3.2 thì AB EF CD // //và 2 EF . 3. Định lý ∙ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. ∙ Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi Mvà Nlần lượt là trung điểm của ABvà CD. Gọi Glà trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh AGchia đôi MN . Giải (hình 3.3) ∙ Tìm cách giải 11 Kết luận của bài toán gợi ý cho ta dùng định lý đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Gọi Hlà trung điểm của BGthì ta có thể dùng định lý đường trung bình để chứng minh. ∙ Trình bày lời giải Gọi Olà giao điểm của AGvà MN Gọi Hlà trung điểm của BG Theo tính chất của trọng tâm, ta có: BH HG GN Xét ABGcó MH là đường trung bìnhMH AG / / (Hình 3.3) Xét HMNcó AG MH / /và NG GHnên ON OM Vậy AGchia đôi MN Nhận xét: Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng là cách vẽ hình phụ thường dùng để vận dụng định lý đường trung bình của tam giác. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCDcó chụ vi là 4a. Gọi E F G H , , ,lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC , , , CD DA. Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EGvà HFcó một đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a . Giải (hình 3.4) ∙ Tìm cách giải Để chứng minh một trong hai đoạn thẳng EGvà HFcó một đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn ata chứng minh tổng hai đoạn thẳng này không lớn hơn 2a. Khi đó một trong hai đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a . ∙ Trình bày lời giải Gọi Mlà trung điểm của BD Xét ABDcó HMlà đường trung bình nên 2AB HM Xét BDCcó MFlà đường trung bình nên 2CD MF AB CD HF MH MF Xét ba điểm M , H , Fcó 2 AD BC EG . Chứng minh tương tự, ta được: 2 AB CD AB CD a HF EG a Vậy 42 2 2 (Hình 3.4) Suy ra một trong hai đoạn HF EG ,có độ dài không lớn hơn a . 12 Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này vẫn là vẽ trung điểm của đoạn BD. Cũng có thể vẽ trung điểm của cạnh ACthay cho trung điểm của đoạn thẳng BD. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , BC cm 6. Trên cạnh ABlấy điểm Dsao cho 13 AD AB. Vẽ DE BC E AC / /. Tính độ dài DE Giải (hình 3.5) ∙ Tìm cách giải Vì 12 AD DBnên ta vẽ trung điểm Fcủa DB. TừFvẽ đường thẳng song song với BCthì DEchính là đường trung bình của tam giác. Từ đó sẽ tính được độ dài của nó. ∙ Trình bày lời giải Gọi Flà trung điểm của DB. Khi đó: AD DF FB VẽFH BC H AC / / Xét AFHcó DE FH / /và AD DFnên AE EH Xét hình thang DECB có FH BC / /và DF FBnên EH HC Ta đặt DE x(Hình 3.5) Ta có DElà đường trung bình của AFH 12 DF FH FH x2 DE BC x FH x x cm Ta có FHlà đường trung bình của hình thang DECB 6 2 2 2 2 Vậy DE cm 2 . Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này là ngoài việc vẽ trung điểm của một đoạn thẳng ta còn thêm một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác. Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD, ABlà đáy nhỏ. Gọi M N P Q , , ,lần lượt là trung điểm của AD BC , , BDvà AC . a) Chứn minh rằng bốn điểm M N P Q , , ,thẳng hàng. CD AB PQ b) Chứng minh PQ CD / /và 2 c) Hình thang ABCDphải có điều kiện gì đểMP PQ QN Giải (hình 3.6) ∙ Tìm cách giải 13 Trong hình vẽ có nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng nên có thể vận dụng tiên đề Ơ – clit để chứng minh thẳng hàng. ∙ Trình bày lời giải a) Xét ABDcó MPlà đường trung bình MP AB MP CD / / / / Xét ADCcó MQlà đường trung bình MQ CD / / Xét hình thang ABCDcóMNlà đường trung bình MN CD / / (Hình 3.6) Qua điểm Mcó các đường thẳng MP MQ MN , ,cùng song song với CDnên các đường thẳng trùng nhau, suy ra bốn điểm M N P Q , , ,thẳng hàng. CD AB CD AB PQ MQ MP b) Ta có MN CD / /nên PQ CD / /; 2 2 2 AB AB CD AB MP NQ MP PQ c) Ta có ; 2 2 2 AB CD AB AB CD 2(đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ) Nhận xét: Đường trung bình MNcủa hình thang và đoạn thẳng PQnối trung điểm của hai đường chéo có tính chất giống nhau là cùng song song với hai đáy, có tính chất khác nhau là MNbằng nửa tổng hai đáy còn PQbằng nửa hiệu hai đáy. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG ∙ Đƣờng trung bình của tam giác 3.1. Cho tứ giác ABCD, đường chéo BDlà đường trung trực của AC. Gọi Mvà Nlần lượt là trung điểm của ADvà AB. VẽME BCvà NF CD E BC F CD ,. Chứng minh rằng ba đường thẳng ME NF ,và ACđồng quy. 3.2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh ABlấy điểm D, trên cạnh AClấy điểmE. Gọi M N,lần lượt là trung điểm của BEvà CD. Đường thẳng MNcắt tia ABvà AClần lượt tại Pvà Q. Hoi hai điểm Dvà Ephải có điểm kiện gì để tam giác APQcân tại A? 3.3. Cho tam giác ABC. Gọi Bxvà Cylần lượt là các đường thẳng chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh Bvà C. Gọi Hvà Klần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên Bxvà Cy . a) Chứng minh rằng tứ giác BCKHlà hình thang b) Tam giác ABCcần điều kiện gì để hình thangBCKHlà hình thang cân? 3.4. Cho tam giácABC, trực tâmH. Gọi Olà giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từOtớiBCbằng nửa độ dàiAH . 14 3.5. Cho tam giácABCcân tạiA, đường caoAHvà đường phân giácBD. Biết rằng 12 AH BD. Tính số đo các góc của tam giác ABC . 3.6. Cho tam giácABCcân tại A. Lấy điểm Dở trong tam giác. Vẽ tam giácADEvuông cân tạiAsao cho DvàEthuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờAC. Gọi M , N , Plần lượt là trung điểm của BC , CDvà DE. Tính số đo các góc của tam giácMNP . 3.7. Cho hình thang cân ABCD AB CD / / , Olà giao điểm của hai đường chéo. Gọi G , E , Flần lượt là trung điểm của OA, ODvà BC. Cho biết 0 COD 60. Tính số đo các góc của tam giácGEF . 3.8. Cho tam giác ABC,góc Anhọn. Vẽ về phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ABM và CANtheo thứ tự có cạnh đáy là ABvà AC.Gọi Olà trung điểm của BC.Chứng minh rằng tam giác OMNlà tam giác vuông cân. 3.9. Tam giác ABC AB AC , .