🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Những Điều Cần Biết Luyện Thi Quốc Gia Theo Cấu Trúc Đề Thi Mới Nhất Của Bộ GD&ĐT – Kỹ Thuật Giải Nhanh Hệ Phương Trình
Ebooks
Nhóm Zalo
⇔ ( )( ) =− − =− = + − =⇔ − + =⇔ ⇔ ⇔ = −= =
42 2 2 t 1 x4 1 x3 t 24t 25 0 t 1 t 25 0t1 x41 x5 Vaäy phöông trình coù hai nghieäm laø x 3,x 5 = = .
3. Phöông trình daïng ( )( )( )( ) xaxbxcxd m + + + += vôùi adbc +=+ . Ñaët t xaxd =+ + ( )( ) hoaëc t xbxc =+ + ( )( ) ñöa veà phöông trình baäc hai vôùi aån t .
Ví duï 2. Giaûi phöông trình x x 1 x 2 x 3 24 ( )( )( ) − − −= .
Lôøi giaûi
Ñaët = − = − ⇒ − − = − + =+ ( ) ( )( ) 2 2 t x x 3 x 3x x 1 x 2 x 3x 2 t 2 phöông trình trôû thaønh: ( ) =− − =− =− + = ⇔ + − =⇔ ⇔ ⇔ = − = = 2
t 6 x 3x 6 x 1 t t 2 24 t 2t 24 0t 4 x 3x 4 x 4 .
2
2
Vaäy: phöông trình coù hai nghieäm laø x 1, x 4 =− = .
4. Phöông trình daïng ( )( )( )( ) + + + += 2 x a x b x c x d ex vôùi ad bc m = = . Vieát laïi phöông trình döôùi daïng: ( )( ) ( )( ) + + + += 2 x a x d . x b x c ex . ⇔ ++ + ++ + = ( ( ) )( ( ) ) 22 2 x a d x ad x b c x bc ex .
Xeùt tröôøng hôïp x 0 = xem thoûa maõn phöông trình hay khoâng.
Vôùi x 0 ≠ chia hai veá cuûa phöông trình cho 2 x , ta ñöôïc:
+ ++ + ++ =
ad bc x ad x bc e
x x .
ad bc
Ñaët =+ =+
x xñöa veà phöông trình baäc hai vôùi aån t .
tx x
Ví duï 3. Giaûi phöông trình ( )( )( )( ) + + + += 2 x 2 x 3 x 4 x 6 30x . Lôøi giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
( )( ) ( )( ) ( )( ) + + + + = ⇔ ++ ++ = 22 2 2 x 2 x 6 . x 3 x 4 30x x 8x 12 x 7x 12 30x Nhaän thaáy x 0 = khoâng thoûa maõn phöông trình.
Xeùt x 0 ≠ chia hai veá cuûa phöông trình cho 2 x , ta ñöôïc:
++ ++=
12 12 x 8 x 7 30
x x .
Ñaët =+ ≥ ( ) 12 t x ,t 43
xphöông trình trôû thaønh:
( )( ) = − + + = ⇔ + + =⇔ = −
2 t 2 t 8 t 7 30 t 15t 26 0t 13 .
12 t 13 x 13
Ñoái chieáu vôùi ñieàu kieän chæ nhaän nghieäm =− ⇔ + =− x .
= − ⇔ + + =⇔ = −
2 x 1
x 13x 12 0x 12 .
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm laø x 12,x 1 =− =− .
5. Phöông trình daïng + + + += 432 ax bx cx dx e 0 vôùi = 2 e d
a b .
TH1: Neáu e 0 = ñöa veà phöông trình:
+ + + = + ++= ( ) 432 32 ax bx cx dx x ax bx cx d 0 , phöông trình tích coù chöùa phöông trình baäc ba daïng toång quaùt ñaõ bieát caùch giaûi.
TH2: Neáu e0 x0 ≠⇒= khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình.
Xeùt x 0 ≠ chia hai veá phöông trình cho 2 x ta ñöôïc:
ed e d ax bx c 0 a x b x c 0
2 2
x x ax bx .
+ + + +=⇔ + + + +=
2 2
2
d d d ed tx t x 2 x 2
2 2 2
Ñaët =+ ⇒ = + + = + +
bx b x b ax b ñöa veà phöông trình
2 2 2
baäc hai vôùi aån t .
Ví duï 4. Giaûi phöông trình + − + += 432 x 3x 6x 6x 4 0 .
Lôøi giaûi
Nhaän thaáy x 0 = khoâng thoûa maõn phöông trình.
Xeùt x 0 ≠ chia hai veá phöông trình cho 2 x , ta ñöôïc:
2
64 2 2 x 3x 6 0 x 3 x 10 0
2
x xx x .
+ −+ + =⇔ + + + − =
2
xphöông trình trôû thaønh: = + − =⇔ = −
2 t x ,t 2 2 Ñaët =+ ≥
2 t 2 t 3t 10 0t 5
Ñoái chieáu vôùi ñieàu kieän chæ nhaän nghieäm:
− ±
2 2 5 17 t 5 x 5 x 5x 2 0 x x 2 .
=− ⇔ + =− ⇔ + + = ⇔ =
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm laø − ± = 5 17
x2 .
6. Phöông trình daïng = ++ 4 2 x ax bx c .
TH1: Neáu ∆= − = 2 b 4ac 0 bieán ñoåi ñöa phöông trình veà daïng:
4 b
2
x ax2a .
= +
TH2: Neáu ∆= − ≠ 2 b 4ac 0 ta choïn soá thöïc m sao cho: ( ) ( ) ( ) = − + = − + − + = ++ 2 2 4 2 2 2 22 x x m m x m 2m x m m ax bx c . ⇔ − = − + ++ ( ) ( ) 2 2 22 x m a 2m x bx c m .
Ta choïn m sao cho: −− + = ( )( ) 2 2 b 4 a 2m c m 0 .
Ví duï 5. Giaûi phöông trình = −− 4 2 3 x 7x 3x4 .
Lôøi giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
±
1 33 x 1 3x x 1 2 2 x 1 3x2 1 3 7 x 1 3x x 2 2.
2 2 2 2
+= − =
+= − ⇔ ⇔ − ± + =− + =
( )
2
Vaäy phöông trình coù boán nghieäm laø ± −± = = 33 37 x ,x 2 2 .
7. Phöông trình baäc boán toång quaùt + + + += 432 ax bx cx dx e 0 . b
4a ñöa veà phöông trình daïng: =α +β +λ 4 2 t tt .
Caùch 1: Ñaët =− +
x t
Caùch 2: Vieát laïi phöông trình döôùi daïng:
+ + + += 24 3 2 4a x 4bax 4cax 4dax 4ae 0
⇔ + =− − − ( ) ( ) 2 2 22 2ax bx b 4ac x 4adx 4ae .
Theâm vaøo hai veá cuûa phöông trình ñaïi löôïng ( ) + + 2 2 2y 2ax bx y (vôùi y laø
haèng soá tìm sau).
Khi ñoù: ( ++ = − + + − − + ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2ax bx y b 4ac 4ay x 2 by 2ad x 4ae y . Ta choïn y sao cho: ∆= − − − + − = ( ) ( )( ) 2 2 2 x' by 2ad b 4ac 4ay y 4ae 0 .
Ví duï 6. Giaûi phöông trình − + − −= 432 x 16x 57x 52x 35 0 . Lôøi giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
− + = + +⇔ − = + + ( )2 4 3 22 2 2 x 16x 64x 7x 52x 35 x 8x 7x 52x 35 . Ta theâm vaø haèng soá y thoûa maõn:
( ) ( ) − + − += + ++ − + ( ) 2 2 2 22 2 2 x 8x 2y x 8x y 7x 52x 35 2y x 8x y . ⇔ −+ = + + − ++ ( ) ( ) ( ) 2 222 x 8x y 2y 7 x x 52 16y 35 y .
Ta choïn y sao cho ∆= − − + + = ( ) ( )( ) 2 2
x' 26 8y 2y 7 35 y 0 .
⇔ − − + =⇔= ( )( ) 2 y 1 2y 55y 431 0 y 1.
Vaäy phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
− = − += +
11 141
x x 8x 1 3 x 2 2 x 8x 1 9 x 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
−+ = + ⇔ ⇔ − + =− + + = .
2
( )
x 8x 1 3 x 2 11 141
x2
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm laø − + = = 11 141 11 141 x ,x 2 2 .
2 2
x 5x 3 x 4x 3 184
Ví duï 2. Giaûi phöông trình ++ ++ x 7x 3 x 5x 3 119 .
+ =−
2 2
−+ ++
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: + +≠ − +≠ 2 2 x 5x 3 0,x 7x 3 0 .
Nhaän thaáy x 0 = khoâng thoûa maõn phöông trình.
3 3 x 5x 4
++ ++
Xeùt x 0 ≠ vieát laïi phöông trình döôùi daïng: Ñaët =+ ≥ ( ) 3 t x ,t 23
x x 184 .
+ =−
3 3 119 x 7x 5
+− ++
x x
xphöông trình trôû thaønh:
= = += + + + =− ⇔ ⇔ ⇔ = − + =− + =− − ± = x 2 7 37
t x t 5 t 4 184 2 x2 3
.
x
t 7 t 5 119 971 3 971 2
y x 211 x 211 971 408589
x422
Chuû Ñeà 5: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN COÙ CHÖÙA PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT 1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån: ( ) + =
ax by c , a b 0,a b 0 ax by c .
111 22 22 +> +>
+ = 222
11 22
Ñaây laø heä phöông trình cô baûn ñeå giaûi chuùng ta coù theå thöïc hieän pheùp theá, söû duïng maùy tính boû tuùi hoaëc söû duïng ñònh thöùc Crame(hay ñöôïc duøng trong bieän luaän).
a b c b a c
= = = 11 11 11
D ,D ,D a b c b a c .
x y
22 22 22
Caùc tröôøng hôïp
Keát quaû
D 0 ≠
Heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát: ( )
Dx Dy x;y ; D D .
=
= = = DD D 0
x y
Heä phöông trình coù voâ soá nghieäm.
D 0 = nhöng ≠ D 0 x hoaëc ≠ D 0 y
Heä phöông trình voâ nghieäm.
+ += + + = ++>
ax by cz d
1 111
2 22
2. Heä phöông trình baäc nhaát ba aån: ( ) .
ax by cz d ,a b c 0
2 2 2 2i i i
+ +=
ax by cz d
3 333
Heä naøy duøng pheùp theá ñöa veà heä baäc nhaát hai aån hoaëc duøng maùy tính boû tuùi. 3. Heä phöông trình hai aån goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai: + =
mx ny a
ax bxy cy d .
++= 2 2
Ruùt x theo y hoaëc ruùt y theo x töø phöông trình ñaàu cuûa heä theá vaøo phöông trình thöù hai cuûa heä ñöa veà giaûi phöông trình baäc hai.
Chuû Ñeà 6: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI HAI AÅN DAÏNG TOÅNG QUAÙT
A. NOÄI DUNG PHÖÔNG PHAÙP
Heä phöông trình baäc hai hai aån laø heä coù daïng:
2 2
+ + + + +=
a x b y c xy d x e y f 0 (1)
1 1 1 1 11
+ + + + +=
2 2
a x b y c xy d x e y f 0 (2)
2 2 2 2 22
a) Neáu moät trong hai phöông trình laø baäc nhaát thì deã daøng giaûi heä baèng phöông phaùp theá.
a b
a b baèng caùch loaïi boû +2 2 x y ñöa veà heä phöông trình baäc hai coù
b) Neáu = 1 1
2 2
moät phöông trình baäc nhaát vaø giaûi heä baèng phöông phaùp theá. c) Neáu moät trong hai phöông trình laø thuaàn nhaát baäc hai(chaúng haïn = = 1 11 def )khi ñoù phöông trình ñaàu laø ++= 2 2
1 11 a x b y c xy 0 phöông trình
naõy cho pheùp ta tính ñöôïc = x
ty .
d) Heä ñaúng caáp baäc hai neáu = = = = 112 2 ded e 0 heä trôû thaønh heä ñaúng caáp baäc hai. Baèng caùch khöû ñi heä soá töï do ta ñöa veà moät phöông trình thuaàn nhaát baäc hai cho pheùp ta tính ñöôïc = x
ty .
Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät
e) Ñöa veà heä baäc nhaát baèng caùch ñaët y tx = vaø ñaët = 2 z x giaûi heä vôùi hai aån laø ( ) x;z luùc sau giaûi phöông trình = 2 z x .
f) Trong nhieàu tröôøng hôïp ta coù theå aùp duïng phöông phaùp tònh tieán nghieäm. Baèng caùch ñaët = + = +
xua
yvb (vôùi u,v laø caùc aån vaø a,b laø hai nghieäm cuûa heä
phöông trình). Ñeå tìm a,b coù hai caùch thöïc hieän ta cho caùc haïng töû baäc nhaát sau khi khai trieån trieät tieâu töø ñoù ta coù heä ñaúng caáp baäc hai vôùi hai aån u,v caùch giaûi töông töï tröôøng hôïp c) hoaëc ñaïo haøm moät phöông trình laàn löôït theo bieán x ,theo bieán y giaûi heä phöông trình thu ñöôïc ta ñöôïc nghieäm ( ) 0 0 x ;y khi ñoù = = 0 0 a x ,b y .
g) Duøng heä soá baát ñònh(xem theâm chuû ñeà heä soá baát ñònh).
Caùch 1: Laáy (1) k.(2) + ñöa veà moät phöông trình baäc hai vôùi aån t ax by c =++ ta tìm k hôïp lyù sao cho phöông trình baäc hai coù Delta laø soá chính phöông.
Caùch 2: Tìm hai caëp nghieäm cuûa heä phöông trình. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm ñoù. Laáy moät ñieåm khaùc hai ñieåm treân thay vaøo hai veá caùc phöông trình cuûa heä töø ñoù suy ra heä soá baát ñònh caàn tìm.
h) Ñaïo haøm laàn löôït theo bieán x hoaëc theo y ñoái vôùi moät trong hai phöông trình cuûa heä tìm ra nghieäm x a,y b = = khi ñoù ñaët aån phuï = − = −
uxa
vyb ñöa veà heä
phöông trình ñaúng caáp.
B. BAØI TAÄP MAÃU
Baøi 1. Giaûi heä phöông trình .
Lôøi giaûi
Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp theá. Tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôïc: 5x 4y xy 15 −−= . Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
− −−= = ⇔ + ≠ −
5x 15 5x 4y xy 15 y x 4 x 4
2 22 2
x y 4x 2y 3 x y 4x 2y 3
+ − + =− + − + =−
( )
− = +
5x 15
y x 4
⇔ − − + − + += + + 2
5x 15 5x 15 2
x 4x 2. 3 0
x4 x4
− = ⇔ +
5x 15
y x 4
++ − += 43 2
x 4x 22x 180x 153 0
− = = = − ⇔ ⇔ + = = − − ++ = 2
5x 15
y x 1,y 2 x 4
x 3,y 0 x 1 x 3 x 8x 51 0.
( )( )( )
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 3;0 ; 1; 2 = − . Caùch 2: Ñöa veà heä baäc nhaát
Nhaän thaáy x 0 = khoâng thoûa maõn heä phöông trình. Xeùt x 0 ≠ ñaët y tx = heä phöông trình trôû thaønh:
+ + − =− −+ + − = 2 2
( ) ( )
1 t x 2t 2x 3
2 2
( ) ( ) t t 1 x 1 2t x 12
.
+ + − =− −+ + − = 2
Ñaët = 2 z x khi ñoù heä trôû thaønh: ( ) ( )
1 t z 2t 2x 3
.
2
( ) ( )
t t 1 z 1 2t x 12
Ta coù caùc ñònh thöùc:
23 2
+ − = =− + − +
1 t 2t 4
D 4t 7t 8t 5
2
t t 1 1 2t
−+ −
.
22
− − + −
3 2t 4 1 t 3
D 18t 45;D 15t 3t 15 = =− + = = − + − − +
z x 2
12 1 2t t t 1 12
Neáu = ⇔− + − + = ⇔ − − + = ( )( ) 3 2 2 D 0 4t 7t 8t 5 0 t 1 4t 3t 5 0 ⇔=⇒ = ≠ z t 1 D 27 0 neân heä voâ nghieäm.
= ⇒= ⇔ =
D
x
Xeùt t1 D0 ≠⇒ ≠ khi ñoù
xD z x D .D D
2 2
.
=
D
z x
z
zD
( ) − + − + −+= −+ ( ) ( )2 3 2 2 18t 45 4t 7t 8t 5 15t 3t 15
⇔ + += 4 3 153t 216t 360t 0 ⇔ + −+ = ( )( ) 2 9t t 2 17t 10t 20 0 . = ⇔ = −
t 0
t 2
D
TH1 : Neáu =⇒ = = ⇒= =⇒= x t 0 D 5,D 15 x 3 y 0 D .
x
TH2 : Neáu =− ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =− x xD
t 2 D 81,D 81 x 1 y 2 D . Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 3;0 ; 1; 2 = − . Caùch 3 : Ñaët aån phuï ñöa veà heä ñaúng caáp
Ñaët = + = −
x u1
yv2 heä phöông trình trôû thaønh:
+ + − − + + − =− + + − − + − + +− − = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )
u 1 v 2 4u 1 2v 2 3
.
2 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) u 1 v 2 u 1 v 2 u 1 2 v 2 12
2 2
+−−=
u v 2u 2v 0
.
⇔ −++−=
2 2
u uv v 5u 7v 0
Caùch 4: Heä soá baát ñònh(2 höôùng xöû lyù). 2 2
Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng: + − + =− + − +− =
x y 4x 2y 3 (1)
2 2
x y xy x 2y 12 (2)
Laáy (1) k.(2) + theo veá ta ñöôïc:
( ) ( ) + − ++ + − − + + += ( ) 2 22 k 1 x ky k 4 x k y 2y 12 y 2y 3 0 . Ta coù: ∆= + + − + − − + + + ( ) ( )( ( ) ) 2 2 2 x ky k 4 4 k 1 k y 2y 12 y 2y 3
=− − − + + − + + + = ( ) ( ) 2 22 2 3k 8k 4 y 10k 8k 8 y 49k 44k 4 0 .
Ta choïn k sao cho ∆x laø soá chính phöông muoán vaäy cho ∆ =
y' 0 .
2 2 22
⇔ + − −− − − + + = ( ) ( )( )
5k 4k 4 3k 8k 4 49k 44k 4 0 .
432
⇔ + + + + = ⇒ =− 43k 141k 134k 44k 8 0 k 1
Töùc laø tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä nhö lôøi giaûi 1 ôû treân.
2 2
Baøi 2. Giaûi heä phöông trình + + − − += + + +− + =
x 3y 4xy 18x 22y 31 0
.
2 2
2x 4y 2xy 6x 46y 175 0
Lôøi giaûi
Caùch 1: Ñaët = + = +
xua
yvb khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
+ + + + + +− +− ++= + + + + + ++ +− ++ = 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
u a 3 v b 4 u a v b 18 u a 22 v b 31 0 .
2 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 u a 4 v b 2 u a v b 6 u a 46 v b 175 0
2 2
+ + + +− + +− ++ + − − +=
( ) ( )
u 3v 4uv 2a 4b 18 u 6b 4a 22 v
2 2
a 3b 4ab 18a 22b 31 0
⇔ + + + ++ + +−
2 2
( ) ( )
2u 4v 2uv 4a 2b 6 u 8b 2a 46 v
+ + + +− + =
2 2
2a 4b 2ab 6a 46b 175 0
Ta seõ choïn caùc heä soá ( ) a;b sao cho heä treân trôû thaønh heä ñaúng caáp baäc hai. + −= + − = =−
2a 4b 18 0
6b 4a 22 0 a 5 .
⇔ ⇔
+ += =
4a 2b 6 0 b 7 +−=
8b 2a 46 0
Thay vaøo heä treân ta ñöôïc:
2 2 2 2
+ + = +− = = ⇔ ⇔
u 3v 4uv 1 u v 2uv 0 u v 2u 4v 2uv 1 2u 4v 2uv 1 8u 1.
2 2 2 2 2 ++= ++= =
=− − = = − =− + ⇔ ⇔ = = = − = + 1 x 5
2 2
1 1
u v y 7 2 2 2 2
.
1 1
u v x 5 2 2 2 2
1 y 7
2 2
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø:
( )
1 1 11
22 22 22 22 .
x;y 5; 7 ; 5; 7
=− − − + − +
Nhaän xeùt: Vieäc ñaët aån phuï thöïc hieän baèng thuû thuaät nhanh nhö sau : Ñaïo haøm theo bieán x vaø ñaïo haøm theo bieán y moät trong hai phöông trình cuûa heä(ta löïa choïn phöông trình ñaàu cuûa heä)ta ñöôïc:
+ − = =− = + ⇔ ⇒
2x 4y 18 0 x 5 u x 5
6y 4x 22 0 y 7 v y 7 .
+ − = = =−
Caùch 2: Laáy (2) k.(1) + ta ñöôïc:
( ) ( + + ++ − + + − + − + = ) 2 2 2 k 2 x 2 y 3 2ky 9k x 4y 3ky 46y 175 22ky 31k 0 . Coi ñaây laø phöông trình baäc hai vôùi aån laø x.
Ta coù:
2 2 2
( ) ( )( )
∆ = + +− − + + − + − +
' 2k 1 y 3 9k k 2 4y 3ky 46y 175 22ky 31k x
2 22 2
( ) ( )
= −− − −− + − −
k 6k 7 y 14 k 6k 7 y 50k 291k 341
Choïn k 1 = − thì ∆ = x' 0 suy ra ( ) + +− = − = − +
2k 1 y 3 9k
x y 12 k 2 .
Lôøi giaûi
Laáy (2) (1) − theo veá ta ñöôïc: + − +− + = ( ) 2 2 x 2 12 y x y 24y 144 0 . ⇔ + − =⇔=− ( )2 x 12 y 0 x y 12 .
Thay vaøo phöông trình ñaàu cuûa heä ta ñöôïc:
( ) − + + − − − − += ( ) ( ) 2 2 y 12 3y 4y y 12 18 y 12 22y 31 0 .
1 11 y 7 x 5,y 7
= − =− − =− +
22 22 22 8y 112y 391 0 111 y 7 x 5,y 7
⇔
2
− + =⇔ ⇒
.
=+ = − = +
22 22 22
C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
2 2
Baøi 1. Giaûi heä phöông trình + − − ++= + ++−=
2x xy y 5x y 2 0
.
2 2
x y xy40
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
( )( ) = − +− −− = ⇔ = −
y2x x y 2 2x y 1 0 y 2x 1
.
2 22 2
+ ++−= + ++−=
x y xy40 x y xy40
= − = = + ++−=
y2x
x 1,y 1 x y xy404 13 y 2x 1 x ,y 5 5
⇔ ⇔ = − =− =− + ++−= 2 2
.
2 2
x y xy40
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) = −−
4 13 x;y 1;1 ; ; 5 5 .
2 2
Baøi 2. Giaûi heä phöông trình − − + += − + +=
x y 2x 2y 3 0
.
2
y 2xy 2x 4 0
Lôøi giaûi
Nhaän thaáy y 1 = khoâng thoûa maõn heä phöông trình.
2 y 4 x2y 2 töø phöông trình thöù hai thay vaøo phöông trình thöù
Xeùt y 1 ≠ ruùt + = −
nhaát cuûa heä ta ñöôïc:
+ + − − + += − − 2 2 2 y4 y4 2 y 2. 2y 3 0 2y 2 2y 2 .
⇔ − − + − =⇔ − + − − = ( )( ) 4 32 2 2 3y 12y 4y 32y 44 0 y 2y 2 3y 6y 22 0 .
=− =− =−
5 45 y 1 x 1 ,y 1
3 33 3y 6y 22 0 5 45 y 1 x 1 ,y 1
⇔ − − =⇔ ⇒
2
.
=+ =+ =+
3 33
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø:
( )
45 45 x;y 1 ;1 ; 1 ;1
33 33 .
=− − + +
2
Baøi 3. Giaûi heä phöông trình − ++= − + +=
x 2xy 2y 15 0
.
2
2x 2xy y 5 0
Lôøi giaûi
Nhaän thaáy x 1 = khoâng thoûa maõn heä phöông trình.
2 x 15
Vôùi x 1 ≠ ruùt + = −
y 2x 2 thay vaøo phöông trình thöù hai cuûa heä ta ñöôïc:
2 2 2 x 15 x 15 2x 2x. 5 0
+ +
2x 2 2x 2 .
− + += − −
⇔ − + − − =⇔ − − − + = ( )( ) 432 2 2 3x 12x 26x 28x 245 0 x 2x 7 3x 6x 35 0 . =− =− =− ⇔ − −=⇔ ⇒
2 x 1 2 2 x 1 2 2,y 1 3 2 x 2x 7 0
.
=+ =+ =+
x 1 2 2 x 1 2 2,y 1 3 2
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø:
( ) x;y 1 2 2;1 3 2 ; 1 2 2;1 3 2 =− − + + ( ) ( ) .
2 2
+ +− =
x y x 2y 2
x y 2 x y 11.
Baøi 4. Giaûi heä phöông trình ( )
++ +=
2 2
Lôøi giaûi
Caùch 1 : Tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôïc x 4y 9 + = . Khi ñoù heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2 2 2 2 x y x 2y 2 9 4y y 9 4y 2y 2
( ) + +− = − + +− − = ⇔
x 4y 9 x 9 4y.
+ = = −
= =
2 x 1,y 2 17y 78y 88 0 23 44
− += = − =− =
x 9 4y x ,y 17 17.
⇔ ⇔
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) = −
23 44 x;y 1;2 ; ; 17 17 .
Caùch 2 : Nhaän thaáy x 0 = khoâng thoûa maõn heä phöông trình. Xeùt x 0 ≠ ñaët y tx = khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh: + +− = + ++= 2 2
( ) ( )
1 t x 1 2t x 2
.
2 2
( ) ( )
1 t x 2 1 t x 11
+ +− = + ++= 22
Ñaët = 2 z x heä phöông trình trôû thaønh: ( ) ( )
1 t z 1 2t x 2
( ) ( )
1 t z 2 1 t x 11
Tính ñöôïc =+ + = + = − ( )( ) ( ) 2 2 D 4t 1 t 1 ,D 9 t 1 ,D 26t 7 x z . 1 27 D0 t D 0
4 2 heä phöông trình voâ nghieäm.
Neáu = ⇔ =− ⇒ =− ≠ z
= ≠ ⇔ ≠− ⇒ ⇒ = ⇔ = = 2 2
Dx
Neáu
x 1 D D 0 t z x D .D D .
4 D
z
z x
zD
=
2 2 2 2t 2 ⇔ + = − + + ⇔ − − =⇔ = −
( ) ( )( )( )
t23.
81 t 1 26t 7 4t 1 t 1 23t 2t 88 0 44
D
TH1 : Neáu =⇒ = = ⇒ = =⇒ = x
t 2 D 45,D 45 x 1 y 2 D .
x
44 23 44
TH2 : Neáu =− ⇒ =− =
t x ,y 23 17 17 .
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) = −
23 44 x;y 1;2 ; ; 17 17 .
2 2
Baøi 5. Giaûi heä phöông trình + − + += + − −+ − =
x 4y 4x 12y 11 0
2 2
x 4y 2xy x 4y 12 0
Lôøi giaûi
Tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôïc:
( ) − + + − =⇔=+
3x 23 2x 8 y 23 3x 0 y 2x 8 (do x = −4 khoâng thoûa maõn heä phöông trình). 3x 23
Thay − = +
y 2x 8 vaøo phöông trình ñaàu cuûa heä ta ñöôïc :
2
− − + − + += + +
2 3x 23 3x 23 x 4 4x 12. 11 0
2x 8 2x 8 .
⇔+ + − + = 43 2 x 4x 22x 180x 153 0 .
= = − = ⇔ − − + + =⇔ ⇒ = = = −
x 1,y 2 x 1 x 1 x 3 x 8x 51 0 12 x 3 x 3,y 7.
2
( )( )( )
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) =− − 12 x;y 1; 2 ; 3; 7 .
2 2
Baøi 6. Giaûi heä phöông trình + + + − =− − − + + =−
x 2y xy x 10y 12
.
2 2
3x y xy 15x 4y 8
Lôøi giaûi
Ñaët u x 2,v y 3 =+ =− heä phöông trình trôû thaønh:
− + + + − + + − − + =− − − + − − + + − + + =− 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )
u 2 2 v 3 u 2 v 3 u 2 10 v 3 12 .
2 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3 u 2 v 3 u 2 v 3 15 u 2 4 v 3 8
( ) ++ = ++ = −− ⇔ ⇔ 2 2 2 22 2
u uv 2v 4 u uv 2v 4 3u uv v .
2 2 2 2
−−= −−=
3u uv v 1 3u uv v 1
= −−= ⇔ ⇔ = −
u v
2 2
11u 5uv 6v 0 6v
u
−−= −−=
2 2
3u uv v 1 11
2 2
3u uv v 1
=− =− =− = = = = =− = −−=
u 1,v 1 x 3,y 2 u vu 1,v 1 x 1,y 4 3u uv v 16 11 6 11 u ,v x 2,y 3 6
2 2
⇔⇔ ⇔ =− = =− − = + = − −−= = =− = − =− +
.
u v 53 53 53 53 11 6 11 6 11
2 2
3u uv v 1 u ,v x 2,y 3 53 53 53 53
Vaäy heä phöông trình coù boán nghieäm laø:
( ) ( ) ( )
6 11 6 11 x;y 3;2 ; 1;4 ; 2; 3 ; 2; 3 53 53 53 53 .
=− − − − + − − +
Nhaän xeùt: Caùch ñaët aån phuï nhö treân xuaát phaùt töø thuû thuaät. Ñaïo haøm moät trong hai phöông trình cuûa heä theo bieán x vaø theo bieán y ta ñöôïc(ôû ñaây ta löïa choïn phöông trình ñaàu cuûa heä).
+ + = =− = + ⇔ ⇒
2x y 1 0 x 2 u x 2
4y x 10 0 y 3 v y 3 .
+− = = =−
+ = − + + += 2 2
x y 1 (1)
Baøi 7. Giaûi heä phöông trình ( )
2 2
48 x y 28xy 21x 3y 69 (2)
Lôøi giaûi
Laáy 50.(1) (2) + theo veá ta ñöôïc:
+ + + +− = 2 2 98x 28xy 21x 2y 3y 119 0 .
= −
⇔ +− + + =⇔ + = − y 7 7x
( )( )
y 2.
7x y 7 14x 2y 17 0 14x 17
Heä phöông trình coù hai nghieäm laø: ( ) ( ) =
24 7 x;y 1;0 ; ; 25 25 .
2 2
Baøi 8. Giaûi heä phöông trình + += − − + +=
x y x3
.
2 2
x 2y xy y 1 0
Lôøi giaûi
Laáy 2.(1) (2) + theo veá ta ñöôïc:
+ −− + =⇔ − +− = ( )( ) 2 3x 2x 5 xy y 0 x 1 3x 5 y 0 .
Xeùt tröôøng hôïp tìm ñöôïc caùc nghieäm cuûa heä phöông trình laø: ( ) ( ) ( ) ( ) = − −− −
11 17 x;y 1;1 ; 1; 1 ; 2; 1 ; ; 10 10 .
CHÖÔNG 2. CAÙC KYÕ THUAÄT VAØ PHÖÔNG PHAÙP
GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
Chöông naøy laø noäi dung chính cuûa cuoán saùch. Toâi trình baøy theo caùc daïng toaùn ñieån hình phaân theo caùc chuû ñeà. Moãi chuû ñeà cung caáp caùc phöông phaùp cuõng nhö kyõ thuaät giaûi nhanh ñoàng thôøi laø moät soá löu yù ñoái vôùi baïn ñoïc trong quaù trình xöû lyù töøng baøi toaùn cuï theå.
Chuû ñeà 1. KYÕ THUAÄT SÖÛ DUÏNG
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN
A. NOÄI DUNG PHÖÔNG PHAÙP
+ =
ax by c
Ta ñaõ bieát moät heä phöông trình baäc nhaát hai aån 111 + = luoân giaûi
ax by c
222
ñöôïc baèng pheùp theá hoaëc thoâng qua coâng thöùc Ñònh thöùc Dx Dy x ,y D D = = vôùi a b c b a c
D 0 ≠ , trong ñoù: 11 11 11
D ,D ,D a b c b a c = = = .
x y
22 22 22
Neáu tinh yù quan saùt heä phöông trình ta coù theå ñöa 1 heä phöông trình phöùc taïp veà heä baäc nhaát hai aån nhö treân vaø ta söû duïng coâng thöùc nghieäm ñeå giaûi. Daáu hieän nhaän bieát phöông phaùp:
+ Caùc phöông trình cuûa heä chæ laø phöông trình baäc nhaát hoaëc baäc 2 cuûa moät aån x vaø y.
+ Coù 1 nhaân töû laëp laïi ôû caû 2 phöông trình cuûa heä vaø caùc thaønh phaàn coøn laïi chæ coù daïng baäc nhaát cuûa x vaø y(1 caên thöùc; 1 bieåu thöùc cuûa x vaø y). + Coù 2 nhaân töû laëp laïiôû caû 2 phöông trình cuûa heä(coù 2 caên thöùc; 2 bieåu thöùc cuûa x vaø y).
Ñeå roõ hôn baïn ñoïc theo doõi caùc ví duï trình baøy döôùi ñaây chaéc chaén seõ hình thaønh kyõ naêng nhaän dieän heä phöông trình ñöôïc giaûi baèng kyõ thuaät naøy. Chuù yù. Trong chöông 1 caùc baøi toaùn veà heä phöông trình baäc hai hai aån daïng toång quaùt toâi ñaõ trình baøy kyõ thuaät naøy.
Caàn nhaán maïnh theâm raèng phöông phaùp naøy giuùp ta giaûi quyeát ñöôïc baøi toaùn khi nhaän bieát ñöôïc heä baäc nhaát hai aån. Tuy nhieân coù 1 thöïc teá raèng ñoái vôùi 1 soá heä phöông trình seõ yeâu caàu baïn ñoïc tính toaùn khaù naëng. Do vaäy muïc ñích cuûa baøi vieát laø cung caáp theâm cho baïn ñoïc 1 kyõ thuaät ñeå giaûi heä. Nhìn heä phöông trình döôùi con maét linh hoaït hôn vaø tö duy suy nghó ta seõ coù theâm caùc caùch giaûi hay khaùc nhau.
B. BAØI TAÄP MAÃU
2 2
+ − + =− + − +− =.
x y 4x 2y 3
Baøi 1. Giaûi heä phöông trình
2 2
x y xy x 2y 12
Lôøi giaûi
Phaân tích tìm lôøi giaûi:
Caû hai phöông trình cuûa heä coù daïng phöông trình baäc 2 cuûa x hoaëc cuûa y. Vì vaäy ta coù theå ñöa veà heä phöông trình baäc nhaát 2 aån. Ta coù theå coi x laø tham soá hoaëc y laø tham soá. Lôøi giaûi döôùi ñaây ta coi x laø tham soá.
Ñaët 2 a y ,b y = = heä phöông trình trôû thaønh:
2
+ =− + −
a 2b x 4x 3
− + =− − + .
( )
2
a x 2 b x x 12
Coi ñaây laø phöông trình baäc nhaát hai aån a vaø b khi ñoù Heä naøy heä soá cuûa a vaø b khaù ñôn giaûn neân ta duøng phöông phaùp theá: Tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä suy ra: ( ) ( ) x 4b 5x 3 +=− 5x 3 ( ) bx 4− ⇒ =+(vì x 4 = − khoâng thoaû maõn heä phöông trình). ( ) x 3x 18 3 5x 3
−+ + − = = + + .
a ;b x4 x4
2 3
−+ + −
Maët khaùc
2 x 3x 18 x 3 a b 25 =⇔ = + + . x4 x4
= = = − ⇔ − − + + =⇔ ⇒ = = = .
( )( )( ) 2 x 1 x 1,y 2 x 1 x 3 x 8x 51 0x 3 x 3,y 0
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 1; 2 ; 3;0 = − .
Coøn nhieàu giaûi khaùc cho 1 heä phöông trình baäc hai hai aån daïng toång quaùt ñaõ trình baøy trong chöông tröôùc.
4 22
+ +−= + +=.
x 4x y 4y 2
Baøi 2. Giaûi heä phöông trình
2 2
x y 2x 6y 23
Lôøi giaûi
Nhaän xeùt. Coi x laø tham soá vaø y laø aån thì roõ raøng caû 2 phöông trình cuûa heä coù daïng baäc 2 vaø baäc 1 cuûa y.
4 2
− =− − + =− .
t 4y 2 x 4x
Ñaët 2 t y = heä phöông trình trôû thaønh: ( )
2 2
x 6 y 23 2x
Ta coi heä phöông trình trình treân laø heä phöông trình baäc nhaát hai aån t vaø y ta ñöôïc: 2 642 2 D x 6;D x 10x 30x 104;D 23 2x t y = + =− − − + = − . 22 2 t y 2 642 2 D D
Suy ra: ( )( ) ( ) = ⇒ = ⇔ + −− − + = −
t y x 6 x 10x 30x 104 23 2x D D
=⇒ =
24 2 x1 y3 (1 x)(1 x)(1 x )(x 16x 95) 0 x 1 y3
⇔ − + + + + =⇔ =− ⇒ = . Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 1;3 ; 1;3 = − . Nhaän xeùt. Ta hoaøn toaøn duøng pheùp theá cho heä phöông trình treân baèng caùch
23 2x
2
− = +töø phöông trình thöù hai cuûa heä vaø theá vaøo phöông trình ñaàu
ruùt
yx 6
2
cuûa heä ta coù keát quaû töông töï.
Baøi 3. (TSÑH Khoái A 2008) Giaûi heä phöông trình:
+ + + + =− + + + =− .
5
2 32
x y x y xy xy 4
5 x y xy 1 2x 4
4 2
( )
Lôøi giaûi
Nhaän xeùt. Lôøi giaûi tham khaûo vaø ñaùp aùn chính thöùc söû duïng aån phuï khaù ñôn giaûn. Nhìn nhaän caû 2 phöông trình cuûa heä laø phöông trình baäc 2 cuûa y. Vì vaäy theo daáu hieäu ñaõ bieát ta hoaøn toaøn ñöa ñöôïc heä veà heä phöông trình baäc nhaát hai aån.
+ + + =− − + + =− − .
5 xy x x 1 y x 4
2 3 2
Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng ( )
5 y 2x x y x 4
22 4
( )
+ + + =− − + + =− − .
5 xa x x 1 b x4
3 2
Ñaët 2 a y ,b y = = heä phöông trình trôû thaønh: ( )
5 a 2x x b x4
2 4
( )
Coi ñaây laø heä phöông trình baäc nhaát hai aån cuûa x vaø y; u laø tham soá ta ñöôïc: ( )
2 u u 3
− − + = =++ − − + .
D u 5u 3
( )
1 u 7 2u
Töông töï ta coù: ( ) 2 D u u 5u 3 , x = ++ ( )( ) 2 D u 3 u 5u 3
y=− ++ .
Vôùi D 0 = heä phöông trình voâ nghieäm.
Vôùi ( ) Dx Dy D 0 x u,y u 3 xy u u 3 D D
≠⇒ = = = =−⇒ = − .
2 u 5 2 u 1 u u 3 u 6u 5 0
− = ⇔ = − ⇔ − +=⇔ = .
( )
2 u 5
Thay ngöôïc laïi coâng thöùc nghieäm ta coù caùc nghieäm laø:
( ) ( ) ( ) x;y 1; 2 ; 5;2 = − thoaû maõn ñieàu kieän.
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 1; 2 ; 5;2 = − . Caùch 2:Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng:
+ += − + + += +− − .
( )
x y 2xy 5 4xy 3y 1 (1)
( )
x 2y 2xy 5 6xy x 7y 6 (2)
Laáy 2.(1) (2) − vaø 3.(1) 2.(2) − theo veá ta ñöôïc:
+ =− − + +
x 2xy 5 2xy x 4y 7
− + =− + +
( )
x y 2xy 5 2x 5y 15
−−= +− + ⇔ −− ++ = − +
x y 3 2xy 5 x 2xy 5
( )( ) ( )
x y 3 2xy 5 5 3 x 2xy 5
−−= +− + ⇔ +− + ++ = − + .
x y 3 2xy 5 x 2xy 5
( )( ) ( )
2xy 5 x 2xy 5 2xy 5 5 3 x 2xy 5
−−= +− + ⇔ − + ++ ++ = .
x y 3 2xy 5 x 2xy 5
( )( )
x 2xy 5 2xy 5 5 2xy 5 3 0
−−= +− + −−= − ⇔ ⇔
2 2 x y 3 2xy 5 x 2xy 5 xy3x x .
x 2xy 5 x 2xy 5 = + = +
+
3x y 3x y 8
−+ = − ∈ − ++ = − .
2 2
x y , x,y 3x y 3x y 7
Baøi 7. Giaûi heä phöông trình: ( )
2 2
x y
Lôøi giaûi
Phaân tích tìm lôøi giaûi:
1
Nhìn nhaän caû 2 phöông trình cuûa heä coù chung 2 2
x y − vaø neáu coi ñaïi löôïng
naøy laø tham soá thì heä trôû thaønh heä baäc nhaát 2 aån vôùi x vaø y.
Ñieàu kieän: 2 2 xy0 − ≠ .
+ −− =
1 1 3x 1 y 1 8
22 22
− − + +− = − − .
Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng:
xy xy
1 1 3x 1 y 1 7 22 22
xy xy
= − heä phöông trình trôû thaønh: ( ) ( ) + −− = + +− = .
1
Ñaët 2 2 mx y
31 m x 1 m y 8 ( ) ( )
31 m x 1 m y 7
Coi ñaây laø heä phöông trình baäc nhaát vôùi hai aån x,y vaø m laø tham soá. Ta coù: ( )( ) ( ) ( ) D 6 m 1 1 m ,D 15 1 m ,D 3 m 1 x y
= + − = − =− + .
=⇒ =
m1 D 0
Vôùi ( )( ) x
=⇔ + − =⇔ =− ⇒ = heä phöông trình voâ nghieäm.
D 0 m 11 m 0m 1D 0
y
= = +
D 5
x
xD 2m 1
Vôùi ( )
≠ ⇒ = = − .
D 0D 1
y
y D 2m 1
( )
− =
2 2
3 5
m 15 11 2 x ym m 2m 1 2m 1 3 5
2 2
−=⇔ − =⇔
Maët khaùc: ( ) ( )
+ − + = .
m2
Thay ngöôïc laïi coâng thöùc nghieäm ôû treân ta coù
+ + = = −
55 15
x ,y 4 4 − −+ = = .
55 15
x ,y 4 4
Caùch 2:Coäng theo veá vaø tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôïc: + = − −+ = −.
6x 6x 15
2 2
x y
2y 2y 1
2 2
x y
Nhaän thaáy x 0 = hoaëc y 0 = khoâng thoûa maõn heä phöông trình. Xeùt xy 0 ≠ vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng:
+ = − = − ⇔ ⇒−= ⇔=
2 5 5 1 2 4
x y x x y 25 1 16 x 5y (1) 2 1 51 4 x y xy 2x y y x y x y
2 22 2 .
2 2 22
− −+ = + =
2 2 2 2
− −
Thay 2 2 x 5y = vaøo phöông trình thöù hai ta ñöôïc:
+ ++ = − == −
15 55 15
y x ,y 2 1 4 44 2 8y 4y 2 0
2
−+ = ⇔ + − = ⇔ ⇒ − + − −+ = = = .
2
4y y 15 55 15 y x ,y 4 44
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø:
+ + − −+ = − .
( ) 5 51 5 5 51 5
x;y ; ; ; 4 4 44
Ghi chuù. (1) xem theâm kyõ thuaät coäng, tröø laáy tích hai phöông trình cuûa heä. Ngoaøi ra ta coù theå giaûi heä phöông trình treân baèng soá phöùc.
2 2
+ += + + + − =− + + .
( )
5x y 1 y y x 6x 1
Baøi 8. Giaûi heä phöông trình
1 y y 1 10x 25x 1
2 2
( )
x
Lôøi giaûi
Phaân tích tìm lôøi giaûi: Roõ raøng caû hai phöông trình cuûa heä laø phöông trình baäc hai cuûa y. Do vaäy neáu ñaët 2 a y ,b y = = heä trôû thaønh moät heä phöông trình baäc nhaát 2 aån.
Ñieàu kieän: x 0 ≠ .
Ñaët 2 a y ,b y = = khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
2 2 3 2
− + − + += + −+ = ⇔ −− ≠
( )
x.a 5x 1 b 5x 6x 1 0 25x 15x x 1
a , x 5x x 1 0 x
2
( ) ( ( ) )
2 3
+ − + − −= = +
x.a x 10x b 25x x 1 0 b 5x 2
3 2 2 2 25x 15x x 1 a b 5x 2
+ −+ = ⇔ = + .
Ta coù ( )
x
+ ++ =− =− =−
5 35 5 35 35 1
x x ,y 10 10 2 5x 5x 1 0
2
⇔ + −= ⇔ ⇒ − −− =− =− = .
5 35 5 35 35 1
x x ,y 10 10 2
= ⇒ − ±−
x 0 VN
1 21 1 21 x 5x x 1 0 x y 10 2
Neáu ( ) 2
.
−− =⇔ = ⇒= + −
1 21 21 1
= ⇒=
x y 10 2
Vaäy heä phöông trình coù 5 nghieäm laø:
+ +− − =− − −
( ) 5 35 35 1 5 3535 1
x;y ; ; ; ; 10 2 10 2 − ±− + − .
1 21 1 21 1 21 21 1
; ;; 10 2 10 2
Caùch 2: Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng:
− + − + += + − + − −= .
22 2
( )
y x 5x 1 y 5x 6x 1 0
2 23
( )
xy x 10x y 25x x 1 0
Tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôïc:
− ±− = ⇒=
1 21 1 21
x y 10 2
+ −
1 21 21 1 5x x 1 5x y 2 0 x y 10 2
( )( ) 2
⇔ −− −+ =⇔ = ⇒= = + . y 5x 2
+ Vôùi y 5x 2 = + thay vaøo phöông trình ñaàu cuûa heä ta ñöôïc:
( ) ( )( ) 2 2 2 5x 2 x 5x 1 5x 2 5x 6x 1 0 + − + + − + += .
+ ++ =− =− =−
5 35 5 35 35 1
x x ,y 10 10 2 5x 5x 1 0
2
⇔ + −= ⇔ ⇒ − −− =− =− = .
5 35 5 35 35 1
x x ,y 10 10 2
Vaäy heä phöông trình coù 5 nghieäm laø
+ +− − =− − −
( ) 5 35 35 1 5 3535 1
x;y ; ; ; ; 10 2 10 2
− ±− + − .
1 21 1 21 1 21 21 1
; ;; 10 2 10 2
3 2
+ =− − ∈
x y (x y)(xy 1), x,y
Baøi 9. Giaûi heä phöông trình ( )
.
3 2
− + += − +
x x y 1 xy(x y 1)
Nhaän xeùt. Cuõng töông töï baøi toaùn treân coi x laø tham soá vaø y laø bieán thì caû 2 phöông trình cuûa heä neáu vieát laïi ñeàu laø phöông trình baäc 2 cuûa y. Do vaäy hoaøn toaøn söû duïng ñöôïc phöông phaùp treân.
322 2
+ = − +− − + += − +.
Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng:
x y x y xy y x 32 2 2 x x y 1 x y xy xy
+ − + + += ⇔ − + − + − += .
22 3
( ) ( )
x 1 y x 1 y x x 0 (1)
2 2 3 2
( )
xy x x 1 y x x 1 0 (2)
Nhaän thaáy töø heä treân ta hoaøn toaøn giaûi baèng phöông phaùp theá baèng caùch löôïc boû ñi nhaân töû 2 y töø hai phöông trình cuûa heä.
Do vaäy ta laáy x.(1) (x 1).(2) − + theo veá ta ñöôïc:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 3 2 − + + + + + +− − + − + = xx 1y xx x x 1 x x 1y x 1 x x 1 0 .
= −
1
x2
( )( )( )
⇔ + − + =⇔ = = − .
2x 1 x 1 y 1 0 x 1 y 1
+ TH1: Neáu 1
x2 = − thay vaøo phöông trình ñaàu cuûa heä ta ñöôïc:
±
1 5 5 2 2 5 35 y y 0 4y 10y 5 0 y
− − =⇔ − −=⇔ = .
2 48 4
+ TH2: Neáu x 1 = thay vaøo phöông trình ñaàu cuûa heä ta ñöôïc:
2
2 1 3 2y 2y 2 0 2 y 0
− +=⇔ − + = voâ nghieäm.
2 2
+ TH3: Neáu y 1 = − thay vaøo heä ta ñöôïc:
3 2
+ + += + =(heä voâ nghieäm).
x x 2x 2 0
3
x 2x 0
−+ −− =
Vaäy heä ñaõ cho coù hai nghieäm laø 15 3 5 15 3 5 (x;y) ; , ; 24 24
.
Caùch 2: Duøng heä hai phöông trình baäc nhaát
Chuù yù neáu ñaët 2 2 a y ,b y a b = =⇒= vaø heä phöông trình trôû thaønh: + − + + += − + − + − += .
2 3
( ) ( )
x 1 a x 1 b x x 0
2 3 2
( )
xa x x 1 b x x 1 0
Thì roõ raøng ñaây laø heä phöông trình hai aån baäc nhaát vaø ta coi x laø tham soá. Luùc naøy chæ caàn tìm a vaø b theo x roài giaûi phöông trình 2 a b = ta ñöôïc 1 phöông trình cuûa x vaø ta coù ngay keát quaû cuûa baøi toaùn.
Thaät vaäy ta coù: ( )( ) ( ) 2 22 D x 1 x x 1 x x 1 2x x 1 =− + + − + + =− + + . ( )( ) 22 2 D x 1 2x x 1 ,D 2x x 1 a b = + −− = −− .
= − = ⇔ =thay laïi vaøo heä ta tìm ñöôïc nghieäm nhö caùch 1. 1
+ Neáu
x D 0 2 x 1
+ Neáu Da 2 D0 a x 10
≠ ⇒ = =− − < voâ lyù.
D
− + = − −
Vaäy heä coù hai nghieäm laø ( ) 15 35 15 35 .
x;y ; ; ; 24 24
Caùch 3: Heä soá baát ñònh.
Laáy − + 1.(1) 2.(2)ta ñöôïc: 2 2 (x 1)(x y x 3y xy 2) 0 − + −− − − = . = ⇔ + −− − −=
x 1
2 2
x y x 3y xy 2 0
Vôùi x 1 = thay vaøo heä ta ta ñöôïc:3 2
+ + += + =(heä voâ nghieäm).
x x 2x 2 0
3
x 2x 0
Vôùi 2 2 x y x 3y xy 2 0 (3) + −− − −= .
Laáy 2.(1) (3) − ta ñöôïc: 2 2 (2x 1)(x y x y xy 2) 0 + + −+− + = = − ⇔ + −+− +=.
1
x2
2 2
x y x y xy 2 0
Vôùi 1 5 35
− ±
= ⇒= .
x y 2 4
Vôùi 2 2 x y x y xy 2 0 (4) + −+− += .
Laáy (4) (3) − ta ñöôïc: y 1 = − thay vaøo (3) thaáy voâ nghieäm. −+ −− =
Vaäy heä ñaõ cho coù hai nghieäm laø 15 3 5 15 3 5 (x;y) ; , ; 24 24
.
+ −− + = ∈
2 2
3x x 7 y 24 3, x,y
Baøi 10. Giaûi heä phöông trình: ( )
.
2 2
−− + =
4 x 7 y 24 3y
Lôøi giaûi
Phaân tích tìm lôøi giaûi: Khi baét gaëp heä xuaát hieän hai caên thöùc laëp laïi trong hai phöông trình cuûa heä treân yù töôûng ñaàu tieân laø ruùt töøng caên thöùc theo x vaø y. Roõ raøng khi bieåu dieãn ñöôïc moãi caên thöùc theo x vaø y roài chæ caàn thöïc hieän pheùp bình phöông ta ñöa veà heä phöông trình baäc 2 hai aån daïng toång quaùt. Vaø theo kyõ thuaät heä phöông trình baäc nhaát hai aån ta hoaøn toaøn giaûi ñöôïc heä môùi sinh ra.
Ñieàu kieän: x 7 ≥ .
Heä phuông trình tuwong ñöông vôùi:
−− + =− −=+− ⇔
2 2 2
x 7 y 24 3 3x x 7 xy1 .
2 2 2
−− + = + = +− 4 x 7 y 24 3y y 24 4x y 4
Nhaän xeùt. Ñaây laø moät baøi toaùn hay vaø khoù caû 2 lôøi giaûi cho baøi toaùn heát söùc ñeïp maét. Vôùi lôøi giaûi 1 töï nhieân vaø deã nghó ñeán hôn tuy nhieân lôøi giaûi 2 cho ta 1 loái tö duy giaûi heä ñöa veà aån phuï giöõa 2 aån raát hay.
C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1. Chöùng minh raèng vôùi moïi m heä phöông trình sau coù nghieäm 2 2 x y + − = + + =
2x my m
khoâng ñoåi: 2
3m 4
mx ym 4
2
+
Lôøi giaûi
2
4m 4 m
Deã tính ñöôïc
− = = + + .
x ,y
2 2
m4 m4 2 2 2
Khi ñoù ( ) 16m 4 m
2 2
+ −
.
+ = =
x y 1 2 2
( )
m 4
+
42 2
− − − =− + + =−.
x y 8x 6y 2
Baøi 2. Giaûi heä phöông trình
2 2
xy y y 1
Lôøi giaûi
2
−=+−
a 8b y 6y 2 a x ,b x
Ñaët
4 2
= = ⇒ =− − −.
2
by y y 1
3 2 2 y 2y 10y 8 y y 1 a ,b
Deã tính ñöôïc
− − − ++ = = − . y y
2 3 2 2
Maët khaùc
− − − ++ = ⇔ = 2 y 2y 10y 8 y y 1 a by y
.
( )( ) 2 ⇔ + + += y 1 4y 9y 1 0
=± =− = − + −+
x 1,y 1
y 1 3 65 9 65 ⇔ ⇒ =− = − ± = − +
x ,y 9 65
y 4 8 8 3 65 9 65 =± =−
x ,y 4 8
Vaäy heä phöông trình coù 5 nghieäm laø
+ −+ − +
( ) ( ) 3 65 9 65 3 65 9 65 x;y 1; 1 ; ; ; ; 48 4 8 =± − − ± − .
+ += − + ∈
Baøi 3. Giaûi heä phöông trình ( )
( ) ( ) y x 2xy 8 4xy 3y 7, x,y
.
+ +=− + +
x 2y 2xy 8 x 7y 6xy 3
Lôøi giaûi
Ñaët ( )2 u 8 u 2xy 8, u 0 xy 2− = + ≥⇒ = .
Heä phöông trình trôû thaønh:
2
− − + =− + − −+ =− .
( )
ux u 3 y 2u 9
2
( ) ( )
1 u x 7 2u y 21 3u
Coi ñaây laø heä phöông trình baäc nhaát hai aån cuûa x vaø y; u laø tham soá ta ñöôïc: ( )
2 u u 3
− − + = =++ − − +
D u 5u 3
( )
1 u 7 2u
Töông töï ta coù: ( ) 2 D u u 5u 3 , x = ++ ( )( ) 2 D u 3 u 5u 3
y=− ++ .
Vôùi D 0 = heä phöông trình voâ nghieäm.
Vôùi ( ) Dx Dy D 0 x u,y u 3 xy u u 3 D D
≠⇒ = = = =−⇒ = − .
2 u 8 2 u 2 u u 3 u 6u 8 0
− = = − ⇔ − +=⇔ = .
Ta coù phöông trình: ( )
2 u 4
Thay ngöôïc laïi coâng thöùc nghieäm ta coù caùc nghieäm laø:
( ) ( ) ( ) x;y 2; 1 ; 4;1 = − thoaû maõn ñieàu kieän.
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 2; 1 ; 4;1 = − .
+ + + += + + + + += − .
22 2
Baøi 4. Giaûi heä phöông trình ( )
x y x 7 y 2y 1 xy 2y
2 22
( )
2x x 7 x y 2y 1 3xy x
Lôøi giaûi
Ñaët ( ) 2 2 a x 7,b 2y 1, a,b 0 = += + > heä phöông trình trôû thaønh: 2
+ +=+ ++ = − .
( )
x y a yb xy 2y
2
( )
2xa x y b 3xy x
Ta coù ( ) ( ) 22 22 2 2 D x y ,D 2y x y ,D x x y a b = + = + =− + .
+ Neáu 2 2 x y 0 xy0 + =⇔== thoaû maõn.
= = + = = − ⇔ ⇔ = + =− = = − .
D
a 2
+ Neáu 2 2 xy0 + > ta coù
a 2y D x 7 2y x 3 D y 2 2y 1 x b x
2 b
D
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 0;0 ; 3;2 = − .
+ ++ −= + ++ + −= − .
Baøi 5. Giaûi heä phöông trình ( )( )22
x y x y y x y xy 2y
2x x y x y x y 3xy x
Lôøi giaûi
Ñaët a x y,b x y, a,b 0 =+ =− ≥ ( ) heä phöông trình trôû thaønh: 2
+ +=+ ++ = − .
( )
x y a yb xy 2y
2
( )
2xa x y b 3xy x
Ta coù ( ) ( ) 22 22 2 2 D x y ,D 2y x y ,D x x y a b = + = + =− + . + Neáu 2 2 x y 0 xy0 + =⇔== thoaû maõn.
= = + = ⇔
D
a
+ Neáu 2 2 xy0 + > ta coù
a 2y D x y 2y D xy x b x
− =− = = −
b
D
(heä voâ nghieäm).
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 0;0 = .
+ −− + = ∈
2 2
x x 7 y 24 2, x,y
Baøi 6. Giaûi heä phöông trình ( )
.
2 2
−− + =
4 x 7 y 24 7y
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: x 7 ≥ .
−− + =− −− + = .
2 2
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
−= +−
2
3 x 7 7y x 2
⇔ +=+− .
2
3 y 24 4x 7y 8
x 7 y 24 2 x 2 2
4 x 7 y 24 7y
+−≥ + −≥ .
Ñieàu kieän tröôùc tieân: 7y x 2 0
4x 7y 8 0
Bình phöông hai veá cuûa heä phöông trình baäc hai toång quaùt: 2 2
+− − + − = + − + − −= .
( )
8x 4 14y x 49y 28y 67 0
2 2
( )
2x 7y 8 x 5y 14y 19 0
Ñaët 2 2 a x ,b x,a b = = = heä phöông trình trôû thaønh: 2
+− − + − = + − + − −= .
( )
8a 4 14y b 49y 28y 67 0
( )
2
2a 7y 8 b 5y 14y 19 0
3 2 2 91y 124y 301y 204 23y 28y 3 a ,b
− + − − ++ = = − − .
Töông töï ta tính ñöôïc ( ) ( ) 4 7y 6 2 7y 6
2
− ++ 2
2 2 23y 28y 3 b x 7 7 (1) 2 7y 6
= ≥⇔ ≥ − .
Maët khaùc do ( )
2
− + − − ++ = ⇔ = − − .
3 2 2
2 91y 124y 301y 204 23y 28y 3 a b4 7y 6 2 7y 6
Maët khaùc ( ) ( ) 43 2 ⇔ − + − += 12y 14y 245y 378y 135 0 .
( )( ) 3 2 (1) ⇔ − − + − = ←→ = ⇒ = y 1 12y 2y 243y 135 0 y 1 x 4 . Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 4;1 = . =+ − − +=− > ⇒
2 2 22
ux x 7 u 2ux x x 7 ,v 0
Caùch 2: Ñaët ( )
.
2 2 22
=+ + − +=+
v y y 24 v 2vy y y 24
2 2
+ − = = ⇒ − +
u 7 v 24
x ;y 2u 2v
.
2 2
u 7 v 24 x 7 ; y 24 2u 2v
2 2
−= + =
(Do u 0 = khoâng thoûa maõn heä phöông trình).
2
+ − = −+ − − = .
v 24 u 2
Khi ñoù, heä phöông trình trôû thaønh:
2v
22 2
u 7 v 24 v 24 4. 7. 2u 2v 2v
2
+ + = + + =
v 4v 24
u2v v 4v 24
2
u2v v 4v 24 7
2 2
⇔ ⇔ + + − − − − = = + +
.
2 2 2 u 7 4v 72 2v 4v 72 2. 2. u v v 4v 24 v
2
2
2v
+ + = + + = ⇔ ⇔
v 4v 24
2
u v 4v 24 2v u2v
2 2 23 2
( ) ( )( ) ++ − − + ++= = − + +
v 4v 24 28v v 6 3v 26v 144v 384 0 4v 72
2
2
v 4v 24
> = + −= = ←→ ⇔ ⇔
2
v 0
u 7 x x 77 x 4 = = + += .
v 6 y 1 y y 24 1 2
Vaäy: heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát: ( ) ( ) x;y 4;1 = .
Nhaän xeùt. Vôùi pheùp ñaët aån phuï nhö treân ta xöû lyù toaøn boä nhöõng heä phöông + ++ + +=
2 2 2 2
ax b ax b cy d cy d e
trình coù daïng:
11 11
+ ++ + += .
2 2 2 2
ax b ax b cy d cy d f
22 22
=+ + =+ + laø pheùp ñaët aån phuï khöû caên thöùc daïng 2 2
Pheùp ñaët aån phuï
u ax a x b 2 2
v cy c y d
Euler (xem theâm chuû ñeà heä phöông trình chöù caên thöùc).
+ − + =− ∈
2 2
2x 3 2y 5 y, x,y
Baøi 7. Giaûi heä phöông trình ( )
.
2 2
+− +=
3 x 3 y 5 3x
Lôøi giaûi
+> + > += + ⇔ += + +
6x y 0,6x 3y 0
222 2
4 x 3 6x y 16 x 3 36x 12xy y
Tìm ñöôïc ( )
.
2
+= + += + +
4 y 5 6x 3y
22 2 ( )
16 y 5 36x 36xy 9y
Ñöa veà giaûi heä phöông trình:
2 2
+ +−= − − +=.
20x 12xy y 48 0 (1) 2 2
7y 36xy 36x 80 0 (2)
Laáy (2) 7.(1) − theo veá ta ñöôïc:
2
2 416 176x 120xy 176x 426 0 y 120x
− + − =⇒= .
Thay vaøo phöông trình (1) ta ñöôïc:
2 2 2
− −
2 416 176x 416 176x 20x 12x. 48 0 .
+ + − = 120x 120x
= ± ==
x 1 x 1,y 2
⇔ − − = ⇔ →
( )( ) 2 2 DK
= ± == − .
x 1 64x 169 0 13 13 1
x x ,y 8 84
= − .
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) 13 1 x;y 1;2 ; ; 8 4 Nhaän xeùt. Ñeå saùng taïo ra caùc heä phöông trình daïng nhö treân ta xuaát phaùt töø += + +
2
x a cx dy e
caùc ñaúng thöùc
111
+= + + .
2
y b cx dy e 222
Ta chæ vieäc laáy toång baát kyø 2 2
1 2 kx ak y b ++ + ñöôïc 1 phöông trình cuûa heä.
2
+ − += ∈
x y xy 2 y 1 0, x,y x 4 2y y 9 0
Baøi 8. Giaûi heä phöông trình ( ) ( ) − + −= .
2 22
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: y 0 ≥ .
Ñaët 2 2 a x ,b x a b = =⇒= heä phöông trình trôû thaønh:
2
− =
y 9 a2y 4 ya yb 2 y 1 0
2
− + − += ⇔ − − + −= − − − − − = = − −
2
y 9 a 4 2y y 9 0 2 y 1 y.2y 4 2y 1 y 9 by y 2y 4 2 2
( )
(do y 2 = khoâng thoaû maõn heä phöông trình) .
2 2 2
2
− − − =⇔ = −
2 2
y9 y9 2y 1 a b2y 4 y 2y 4
Maët khaùc
2
− − . 2 2
+++
11 5 4 7
y 10y 16y 24 y y 2 0 ⇔ − =
( )
3 52 3
− + −− +− +
40y 28 y 8y 45 y 54y 28 y 8 .
1 y2 y4 x 2
⇔ =⇔=⇒=
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát 1 ; ;4 2 x y .
Chuû ñeà 2. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG LOAÏI I Noäi dung chuû ñeà naøy toâi ñeà caäp ñeán phöông phaùp chung giaûi heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I vaø moät soá heä ñöa ñöôïc veà heä ñoái xöùng loaïi I thoâng qua caùc pheùp ñaët aån phuï cô baûn. Ngoaøi ra ñeà caäp öùng duïng cuûa heä ñoái xöùng loaïi I trong giaûi phöông trình voâ tyû vaø chöùng minh baát ñaúng thöùc.
A. NOÄI DUNG PHÖÔNG PHAÙP
Ña thöùc ñoái xöùng: Xeùt ña thöùc hai bieán x y, laø P xy ; .
Neáu P xy P yx ; ; vôùi moïi x y, thì ta noùi P xy ; laø ña thöùc ñoái xöùng.
Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I laø heä phöông trình coù daïng: .
Fxy
(, ) 0
Gxy
(, ) 0
trong ño:ù Fxy Gxy ( , ); ( , ) laø caùc ña thöùc ñoái xöùng vôùi x y, .
- Heä ñoái xöùng loaïi I laø heä maø vai troø cuûa x y, trong moãi phöông trình cuûa heä laø nhö nhau.
- Neáu 0 0 x y, laø nghieäm cuûa heä thì 0 0 y x, cuõng laø nghieäm cuûa heä. .
2 2
Ví duï 1. Heä phöông trình
x y xy x y
xy x y
1
Vôùi heä naøy ñoåi vay troø cuûa x y, thì heä khoâng thay ñoåi.
Phöông phaùp chung:
= + = vôùi ñieàu kieän 2 S 4P ≥ tìm ñöôïc S,P .
Ñaët Sxy
P xy
Khi ñoù theo ñònh lyù Vi-eùt x, y laø hai nghieäm cuûa phöông trình: 2t St P 0 − += .
Löu yù: Moät soá tröôøng hôïp ta phaûi ñaët S x y,P xy =− = vaø luùc naøy ta phaûi coù 2 S 4P ≥ − thöïc chaát laø heä ñöôïc suy ra töø heä ñoái xöùng loaïi 1 khi thay y bôûi −y . Moät soá baøi toaùn ñôn giaûn maø khi bieán ñoåi S,P chæ coù daïng baäc nhaát hoaëc daïng baäc hai ta coù theå khoâng caàn ñaët aån phuï vaø cöù theá tieán haønh bieán ñoåi töông ñöông. Khi tìm ñöôïc S,P vieäc tìm x,y khoâng caàn chi tieát maø chæ ra chæ ra nghieäm ( ) x;y baèng bao nhieâu.
Moät soá haèng ñaúng thöùc hay ñöôïc söû duïng:
2 2 2 2
( )
+ =+ − =−
x y x y 2xy S 2P
2 2 2 2
( )
−+ =+ − =−
x xy y x y 3xy S 3P
.
2 2 2 2
( )
+ + =+ − =−
x xy y x y xy S P 2 3 3 2 +=+ + − = −
( ) ( ) ( ) x y x y x y 3xy S S 3P
2 2 2 4 4 22 2 2 += + − − = − −
( ) ( )
x y x y 2xy 2x y S 2P 2P 2 4 4 22 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )
x y x y x y xy x y xy S 2P P
++ = +− ++ = − − .
1 1 xy S
+
+= =
x y xy P
22 2
1 1 x y S 2P
+ −
+= =
2 2 22 2
x y xy P
Ñaëc ñieåm cuûa daïng toaùn naøy laø ñoâi khi soá nghieäm cuûa heä thì chæ coù nghieäm duy nhaát hoaëc coù soá nhieäm chaün vaø ñoâi khi raát nhieàu nghieäm coù khi ñeán 8 hoaëc 16 nghieäm.
B. BAØI TAÄP MAÃU
2 2 x y xy4
+ ++= ++ + + = .
Baøi 1. Giaûi heä phöông trình ( ) ( )
xx y 1 yy 1 2
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2 2 2 2
+ ++= + ++= ⇔
x y xy4 x y xy4 2 2
+ +++ = = −
x y x y xy 2 xy 2
⇔ = −( )2 xy xy0 ( )2 x y 2xy x y 4
+ − ++= xy 2
+ = + =−
xy0 xy 1 ⇔ ∨ =− =− .
xy 2 xy 2
+ ++= ⇔ = −
xy 2
= =− = =−
x 2 x 2 x1 x 2
⇔ ∨ ∨∨ =− = =− = .
y 2y2 y 2 y1
Vaäy heä phöông trình coù boán nghieäm laø:
( ) x;y 2; 2 ; 2; 2 ; 1; 2 ; 2;1 = − − −− ( ) ( ) ( ) ( ) .
++ =
x y 2xy 2
Baøi 2. Giaûi heä phöông trình 3 3
+ =
xy8
Lôøi giaûi
= + ≥
Ñaët ( ) Sxy 2 , S 4P
= . Khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
P xy
− + = = + −−= ⇔ ⇔ − − = − = − = .
2 S
3 2
S 2P 2 P 2S 3S 6S 16 0 22 S S S 3P 8 6 3S P SS 8 2 2
( )
22
− + += = += = = ⇔⇔ ⇔∨ − = = = = =
( )( ) 2 S 2 2S 7S 8 0 S2 xy2 x2 x0 ⇔
2 S P 0 xy 0 y 0 y 2 P2
Vaäy: heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x,y 2,0 ; 0,2 = .
3 3 x y 19
+ = + += .
Baøi 3. Giaûi heä phöông trình ( )( )
x y 8 xy 2
Lôøi giaûi
= + ≥
Ñaët ( ) Sxy 2 , S 4P
= . Khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
P xy
3 2
+ −= − = = − ⇔ ⇔ − + = −−= = . S S 3P 19 S 24S 25 0 SP 2 8S
( )
3
2 8S
( ) ( )
S8 P 2 S 3 2 8S 19 PS
− ++ = = +=
( )( ) 2 S 1 S S 25 0 S1 xy1
⇔ ⇔ ⇔ − =− =− =
2 8S P 6 xy 6 PS
= = − ⇔ ∨ =− = .
x3 x 2
y 2 y3
Vaäy: heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x,y 3, 2 ; 2,3 =− − .
+= + + = .
Baøi 4. Giaûi heä phöông trình ( ) 3 3 2 2
2 x y 3 x y xy
3 3
x y6
Lôøi giaûi
Ñaët 3 3 x a, y b = = khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh trôû thaønh: += + + =.
( ) ( ) 33 2 2 2a b 3ab ba
ab6
= + ≥
Ñaët ( ) Sxy 2 , S 4P
= . Khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
P xy
− = = += ⇔ ⇔ = = =.
( ) 2 2S S 3P 3SP S6 ab6
P 8 ab 8 S 6
= = = = ⇔∨⇔ ∨ = = = = .
a 4 a 2 x 64 x 8
b 2 b 4 y 8 y 64
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x,y 64,8 ; 8,64 = .
++ = + = .
2 2 x y 2xy 8 2
Baøi 5. Giaûi heä phöông trình
x y4
Lôøi giaûi
=∨ = ⇔ +− = 5 xy 2 xy 2
+ =± + =± ⇔ ∨ = = xy 3 xy 35 xy 2 xy 2
( )
2
Với
xy x y 2xy 10 = = + =± = =
x 1;y 2
x y 3 x 2;y 1 ⇔ = =− =− =− =−
.
xy 2 x 1;y 2 x 2;y 1
+ =± = xy 3
2 x y 4xy neân voâ nghieäm.
Vôùi
xy 2tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn ( ) + ≥ 5
Vaäy: heä coù boán nghieäm laø ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x;y 1;2 ; 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 = −− −− . Caùch 2: Nhaän thaáy hai phöông trình cuûa heä veá traùi ñeàu cuøng baäc 4. Ta ñöa veà phöông trình:
( ) ( ) ( )
4 4 22 41 2 2 2 2 8 x y 6x y xy x y 2x y x 2y x xy y 0 10 5 .
++ = + ⇔ − − − + = Do ≠⇒ − + > 2 2 8 xy 0 x xy y 0 5 .
Do ñoù hoaëc y 2x = hoaëc x 2y = .
Chæ vieäc theá vaøo moät trong hai phöông trình cuûa heä ta tìm ñöôïc ( ) x;y .
++ = + +=
1 x y 1 49
2 2
( )
2 2
x y
Baøi 7. Giaûi heä phöông trình
1 xy1 5
( )
xy
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän xy 0 ≠ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2 2
++ + = + ++ = ⇔
1 1 1 1 x y 49 x y 53
2 2
2 2
x y x y
1 1 1 1 xy 5 xy 5 x y x y.
++ + = ++ + =
2 11 1 1 1 1
+ ++ − + + = + + =−
x y 2 x y 53 x y 14 xy x y x y
⇔ ⇔
.
1 1 1 1
xy 5 xy 5
++ + = ++ + = x y x y
1 1 x 7x 2 x 1 7 35
+ = + =− = − ± = ⇔∨⇔ ∨ ± = + =− + = = −
x x x
7 35 2 1 1 y y 2y 7 2 y 1 y y.
Vaäy heä phöông trình coù boán nghieäm laø ( ) ± ± = − −
7 35 7 35 x;y 1; ; ; 1 2 2 .
+ += ++ = 2 2 22 22
Baøi 8. Giaûi heä phöông trình ( ) ( )
x y 1 xy 18xy
x y 1 x y 208x y .
( )( )
Lôøi giaûi
Nhaän xeùt: Heä phöông trình naøy töông töï baøi toaùn treân khi khöû ñi xy vaø 2 2 x y beân veá phaûi cuûa phöông trình cuûa heä.
Nhaän thaáy ( ) ( ) x;y 0;0 = laø nghieäm cuûa heä phöông trình.
Xeùt vôùi xy 0 ≠ khi ñoù heä phöông trình töông ñöông vôùi:
+ += ++ + = ⇔ ++ = ++ + = 2 2 2 2
1 1 1 x y 1 18 x y 18 xy x y
( )
.
1 1 1
x y 1 208 x y 208
( )
2 2 2 2 x y x y
1 1 1 1 x y 18 x y 18
++ + = ++ + =
x y x y
⇔ ⇔
2 2 2
+ + + = + ++ − + + =
1 1 11 1 1 x y 212 x y 2 x y 212 x y xy x y
++ + = += += ⇔ ⇔∨ + += += +=
1 1 1 1 x y 18 x 14 x 4
x y x x
.
1 1 1 1
x y 56 y 4 y 14 x y y y
=± =±
x 7 43 x 2 3 .
⇔ ∨
=± =±
y2 3 yy 3
Vaäy: heä phöông trình coù nghieäm laø:
( ) ( ) x;y 0;0 ; 7 4 3;2 3 ; 2 3;7 4 3 = ± ± ±± ( ) ( ).
Baøi 9. Giaûi heä phöông trình (TSÑH Khoái A 2006) +− = ++ += x y xy 3
.
x1 y1 4
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän : ≥ ≥ −
xy 0
x,y 1 .
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy . Khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
=
= = = 2 23 34 4 A B ,A B ,A B ,... ( ) = − ++ 3 x1 x 21
2
− = +− =
1 y 4xy
24 3
4x y 4xy 1
+− + − −≥ 2 23 4 x 1 x y 3y 2 0
3
y
= ++
2
y x x1
2
=− ≥ − = ⇔
( )
P S 3 ,S 3 S P3
2
S 2 2 S P 1 16 2 S S 3 1 14 S ++ + += + − += −
( )
2 2
=− ≥ =− ≥ ⇔ ⇔
( ) ( )
P S 3 ,S 3 P S 3 ,S 3
.
2 2 2
( )
−+ =− + −+=−
4 S 5S 10 S 28S 196 2 S 5S 10 14 S 2
+− = = += =
3S 8S 156 0 S6 xy6 x3 P S 3 ,S 3 P 9 xy 9 y 3 .
⇔ ⇔⇔ ⇔ 2
=− ≥ = = =
( )
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 3;3 = .
−+ −= + + =
2 2
x 1 y 1 xy 2
Baøi 10. Giaûi heä phöông trình
.
1 1 1
2 2
x y
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: x 1, y 1,xy 2 0 ≥ ≥ +≥ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
( )( ) −+ − − + −= +
2 22 2
x 1 2 x 1 y 1 y 1 xy 2 .
+ =
2 2 22
x y xy
+ − −+ − − += 2 2 22 2 2
x y xy 4 2 x y x y 1 0 .
⇔ + =
2 2 22
x y xy
Ñaët = + = ≥ ≥− ( ) 2 2 u x y ,v xy, u 2,v 2 heä phöông trình trôû thaønh: −−+ −+= = = − ⇔ = = =2
u v 4 2v u 1 0 u 1,v 1
u 4,v 2 u v.
2
Ñoái chieáu vôùi ñieàu kieän suy ra = + = =− =− ⇔ ⇔
2 2 u 4 xy4 x 2,y 2
v 2 xy 2 x 2,y 2.
= = = =
Vaäy: heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) x;y 2; 2 ; 2; 2 =− − ( ) ( ).
Baøi 11. Giaûi heä phöông trình (TSÑH Khoái A,A1 2012):
− −+=+ − + −+= 32 32
x 3x 9x 22 y 3y 9y
x y xy 2.
1
2 2
Lôøi giaûi
− + −−= − − + − −+ = 2
1 x y 2xy x y 2
Heä phöông trình töông ñöông vôùi:( ) ( )
33 22
( ) ( ) ( )
x y 3 x y 9 x y 22 0
− + −−= ⇔ − − + − − + − −+ =
1 x y 2xy x y 2
2
( ) ( )
.
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) x y x y 3xy 3 x y 2xy 9 x y 22 0
Khi ñoù ta ñaët = − =
axy
b xy heä phöông trình trôû thaønh:
+ −= + − + −+= 22 2
1 a 2b a2
.
( ) ( )
a a 3b 3 a 2b 9a 22 0
=+−
2
1aa b42 2
⇔ + + − − + +− − + =
.
2
3 3a 3a 1
2 2 2
a a 3 a a a 9a 22 0 42 2 2
2 2
= =+− =+− ⇔⇔ ⇔ 1aa 1 aa a 2 b b 42 2 42 2 3 b
= − 3 2 2
( )( )
2a 6a 45a 82 0 a 2 2a 2a 41 0 4 − + − += − − +− =
Do phöông trình: − +−= 2 2a 2a 41 0 coù ∆ =− < ' 81 0 neân voâ nghieäm. = −= =+ ⇔ ⇔
a2 xy2 xy2
Vôùi ( )
33 3 b xy y y 2 44 4
=− =− + =−
= + = = − ⇔ ⇔
3 1 xy2 x ;y 2 2 .
1 y 1 1 3
( )
2
+ = = = −
4 x ;y 2 2
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) =− −
31 13
x;y ; ; ; 22 22 .
Caùch 2: Vieát laïi heä döôùi daïng ( ) ( ) ( ) ( ) − − −= + − + + −+= 3 3 x 1 12 x 1 y 1 12 y 1
2 2
1
.
x y xy 2
Ñeán ñaây ñaët u x 1;v y 1 =− =+ vaø ñöa veà heä phöông trình ( )( ) − =− − ++− = ⇔
3 3 2 2
u 12u v 12v (1) u v u uv v 12 0 1 1 u1 v1 u1 v1 u v 2u 2v 0 (2) 2 2 .
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − − ++ −= + + − −= Caùch 3: Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng:
( ) ( ) ( ) ( ) 3 3
− − −= + − + − ++ = .
x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 (1)
2 2
1 1 x y 1 (2) 2 2
− ≤ − ≤ ≤ − ≤ −≤ ⇔ ⇔
Töø (2) ta coù:
1 13 3 1 x 1 x x 1 2 22 2 2 1 31 1 3
+ ≤ − ≤ ≤ − ≤ +≤
y 1 y y 1 2 22 2 2
3 3 x 1,y 1 ; 2 2 .
⇒ − +∈−
Xeùt haøm soá = −3 f(t) t 12t treân
3 3;2 2ta coù:
−
2 3 3 f '(t) 3 t 4 0, t ; 2 2töùc f(t) laø haøm nghòch bieán treân
( ) = − < ∀∈ −
3 3;2 2 .
−
Do ñoù (1) f(x 1) f(y 1) x 1 y 1 x y 2 ⇔ − = + ⇔ −= +⇔ = + . Thay vaøo phöông trình thöù hai cuûa heä ta ñöôïc:
=− = =− + + − − + = ⇔ + + = ⇔ ⇒ =− = =−
1 31
y x ,y 1 3 2 22 y 2 y y 2 y 2y 4y 0 2 2 3 13
( )
2 2 2
y x ,y 2 22
.
Baøi 12. (VMO 2005) Cho x,y laø hai soá thöïc thoûa maõn x 3x 1 3y 2 y − += + − . Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc Pxy = + .
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän : x 1,y 2 ≥− ≥− .
Ta caàn tìm taäp giaù trò cuûa P , xeùt heä phöông trình :
− += + − + =
x 3x 1 3y 2 y
xyP .
Nhöõng giaù trò cuûa P ñeå heä treân coù nghieäm chính laø taäp giaù trò cuûa P . Vieát laïi heä döôùi daïng : ( ) + = ++ + + =
xy3 x1 y2
.
xyP
Ñaët ( ) = + ≥
u x1, u,v 0 = +
v y2
2 2
khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
( ) ( ) + −= + + = ⇔
u v 3 3u v 3u v P 2 2 2 2 + −= + =+
u v 3P u v P3
+ =
P
u v3
⇔ +−+ = = −−
2 2 2 2
( ) ( )
uv u v 1 P
uv P 3
2 29
2
Khi ñoù u,v laø hai nghieäm cuûa phöông trình: 2 P 1P t t P 3 0 (1) 3 29 .
− + −− =
Heä phöông trình coù nghieäm ⇔ (1) coù hai nghieäm khoâng aâm.
∆= − − − ≥ +
2 2
P P 2 P3 0
9 9
P 9 3 21 0 P 9 3 15 .
⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤+ 3 2
−− ≥
2
1 P P3 0
2 9
Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa P baèng 9 3 15 + , giaù trò nhoû nhaát cuûa P baèng 9 3 21 +2 .
Baøi 13. (TSÑH Khoái A 2006) Cho x,y laø hai soá thöïc x, y 0 ≠ thoûa maõn 1 1 A
( ) += −+ 2 2 xy x y x xy y . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc = +
.
3 3
x y
Lôøi giaûi
Theo giaû thieát ta coù :
( ) + − +
2 2
xy x y x xy y 1 1 1 1 1
xy xy x y xy x y.
= ⇔+= − +
22 22 2 2
Ñaët = = ≠ ( ) 1 1 u ,v , u,v 0
x ykhi ñoù += − + 2 2 u v u uv v ;
Vaø =+=+ −+ =+ ( )( ) ( )2 33 2 2 A u v u v u uv v u v .
+= − + + = 2 2
u v u uv v
Xeùt heä phöông trình:( )
.
2
uv A
Khi ñoù giaù trò lôùn nhaát cuûa A ñeå heä treân coù nghieäm chính laø giaù trò lôùn nhaát cuûa A .
Tröôùc tieân ta phaûi coù A 0 ≥ vaø ñeå yù :
+= − + = − + >∀ ≠ 2 2
2 2 v 3v
u v u uv v u 0, u,v 0 2 4
Vieát laïi heä phöông trình döôùi daïng:
2 2
( ) ( ) + −+ − += + − = = ⇔ ⇔ uv uv A A u v u v 3uvuv uv
( ) 2
.
3 3
+ = + = + =
( )
uv A uv A uv A Khi ñoù u,v laø hai nghieäm cuûa heä phöông trình :
2 A A t At 0 (1) 3− −+ = .
Heä coù nghieäm thoûa maõn yeâu caàu treân⇔ (1) coù nghieäm u,v 0 ≠ . − ∆= − ≥ < ≤
A A A 4. 0
3 0 A 16
.
⇔ ⇔ − ≠ = ≠
A A A 1
P 0
3
Khi = ⇒==1 A 16 x y 2. Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa A baèng 16 .
Baøi 14. (TSÑH Khoái B 2009) Cho caùc soá thöïc x,y thay ñoåi thoûa maõn: 3 x y 4xy 2 .
( ) ++ ≥
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc = ++ − + + ( ) ( ) 4 4 22 2 2 P 3x y xy 2x y 1.
Lôøi giaûi
2 x y 4xy keát hôïp vôùi giaû thieát suy ra :
Ta coù ( ) + ≥
323 x y x y x y 4xy 2
( ) ( ) ( ) + ++ ≥+ + ≥
2 x y 1 x y 2x y 2 0 x y 1.
( ) ( ) ( ) ⇔ +− + + + + ≥⇔+≥
Ta coù:
4 4 22 2 2
( ) ( )
P 3x y xy 2x y 1
= ++ − + +
2 22 44 22
3 3 x y x y 2x y 1 2 2
( ) ( ) ( )
= + + +− ++
2 2 2 22 22 22 22 22 3 3 9 x y x y 2x y 1 x y 2x y 1 2 4 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≥ + + + − + += + − + + tx y xy 2 2khi ñoù ≥ −+ 9 2 P t 2t 1
Ñaët =+≥ + = ( )2 2 2 1 1
4 .
9 2 f(t) t 2t 1 4treân
Xeùt haøm soá = −+
1;2 , ta coù : +∞
= − > ∀≥ ⇒ = = 1
9 1 1 9 f '(t) t 2 0, t min f(t) f 2 2 2 16 . ∈ +∞
t ; 2
Vaäy P ñaït giaù trò nhoû nhaát baèng 916khi = = 1 x y 2.
DANG 3: ÖÙng duïng heä ñoái xöùng loaïi I giaûi phöông trình voâ tyû
+ =−
xy 4
⇔ + =
xy2
++=
xy x y 0
= − = − + = = = − ⇔ ⇔ + = = + = − = +
x 2
y 2 xy4
xy 4 x1 3 .
xy2 y1 3 xy 2 x1 3 = −
y1 3
Vậy hệ phương trình coù ba nghiệm laø:
( ) ( ) x;y 2; 2 ; 1 3;1 3 ; 1 3;1 3 =− − − + + − ( ) ( ) .
2 2 x xy y 3
Baøi 2. Giaûi heä phöông trình ++= + +=
x xy y 3 .
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2 2 x y xy 3 x y xy 3
+ −= + −= ⇔
( )
( )
( )
( )
=− + =− +
xy 3 x y xy 3 x y
2 xy xy60 + ++−=
( )
⇔ =− +
( )
xy 3 x y
+ = = = ⇔ ⇔ + =− = = xy2
xy 1 x 1
.
xy 3 y 1
xy 6
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 1;1 = .
+ ++= ++ + + = 2 2 x y xy4
Baøi 3. Giaûi heä phöông trình (Döï Bò Khoái A 2005) ( ) ( ) xx y 1 yy 1 2
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2 2 2 2
+ ++= + ++= ⇔
x y xy4 x y xy4
2 2
+ +++ = = −
x y x y xy 2 xy 2
⇔ = −( )2 xy xy0 ( )2 x y 2xy x y 4
+ − ++= xy 2
+ ++= ⇔ = −
xy 2
+ = = = −
xy0 x 2,y 2
xy 2 x 2,y 2
⇔ ⇔ = − =− = + =− =− = = − = = −.
xy 1 x 2,y 1
xy 2 x 1,y 2
Vaäy heä phöông trình coù boán nghieäm laø:
( ) x;y 2; 2 ; 2; 2 ; 1; 2 ; 2;1 = − − −− ( ) ( ) ( ) ( ).
2 2 x y xy 2
Baøi 4. Giaûi heä phöông trình + = ++ =
x y xy 3 .
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
( ) ( )( )
+ = −− + = ⇔
xy x y 2 3xyxy 2
++ = =− + .
( )
x y xy 3 xy 3 x y
2 x y 3x y 2 0 + − + +=
( ) ( )
⇔ =− +
( )
xy 3 x y
+ = = = ⇔ ⇔ + = = = xy2
xy 1 x 1
.
xy1 y 1
xy 2
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 1;1 = .
Ñaùp soá: ( ) ( ) x;y 1;1 = .
− + =+ + −= − 2 2
x xy y x y
Baøi 5. Giaûi heä phöông trình
x y x y xy 4.
1
3 3 22
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2 2 2 2
− + =+ − + =+
x xy y x y x xy y x y
2 2 2 2 2 2 2
.
⇔ + −+ = − −+ = −
1 1
( )( ) ( )
x y x xy y xy x xy y xy 2 2
2 2
− + =+ − + =+ ++ = −+=− ⇔ ⇔⇔
x xy y x y 1 2 2
2 2
1 x xy y x y x y xy
x xy y xy 2 .
2 1
2 2 2 2
x y 1
+ = + = − + =− +
2 2
1 x y 2
x xy y xy 2 2
+ = + = 3 3 xy2
3. Giaûi heä phöông trình ( )
xy x y 2 .
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ +− = + = += = ⇔ ⇔⇔ 2 3 x y x y 3xy 2 xy 8 xy2 x1
( ) ( )
( )
xy 1 y 1 xy x y 2 xy x y 2. + = = = + =
( )
( )
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 1;1 = .
+ =−− ++ + = 2 2 x y 8xy
xy x y xy 1 12 .
4. Giaûi heä phöông trình ( )
Lôøi giaûi
+ ++− = ++ + = 2 x y x y 2xy 8
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi: ( )
.
( )
xy x y xy 1 12
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy heä phöông trình trôû thaønh:
=
2
+ − = +− = ⇔+− +− ++ = + +=
2
S S8 P
S S 2P 8 2
.
( )
2 2
P S P 1 12 S S8 S S8 . S 1 12 2 2
2
+ − = + − = ⇔
S S8 P S S8 2 P2
2
+− +− + += − + += .
⇔
2 2
S S8 S S8 . S 1 12 S S 3 S 2 S 5 0
2 2
( )( )( )
+ = = = − = − =− = = = − = + = = = = = = = ⇔ ⇔⇔ =− =− + =− =− = =− = =− = =− + =− =− =− = =− =− .
xy0 x 2,y 2
xy 4 x 2,y 2
S 0,P 4 xy3 x 2,y 1 S 3,P 2 xy 2 x 1,y 2 S 2,P 3 xy 2 x 3,y 1 S 5,P 6 xy 3 x 1,y 3 xy 5 x 2,y 3
xy 6 x 3,y 2
Vaäy heä phöông trình coù taùm nghieäm laø
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x;y 1;2 ; 2;1 ; 1; 3 ; 3;1 ; 2;2 ; 2; 2 ; 2; 3 ; 3; 2 = − − − − −− −− .
+++=+ +− = 4 3
5. Giaûi heä phöông trình ( ) ( ) ( )
x y 2x y 3x y
.
2 2
( )
5 x y 8xy 18
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ =
xy0 x y x y 1 x y 3x y 3 0 xy1
2
( )( ) ( ) ( )
+ +− + + + + = ⇔ + =
.
2 2 2 2
+− = +− =
( ) ( )
5 x y 8xy 18 5 x y 8xy 18
=− = + = = = − + = = − + = − + ⇔ ⇔⇔ + = = = x 1,y 1 xy0 x 1,y 1 xy0 xy 1
xy1 3 35 3 35 xy1 x ,y 6 6 .
( )
2
+− = = − + − = =
5 x y 18xy 18 13
xy 3 35 3 35 18 x ,y 6 6
Vaäy heä phöông trình coù boán nghieäm laø:
( ) ( ) ( ) −+ +− =− −
3 35 3 35 3 35 3 35 x;y 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ; 66 66 .
Baøi 7. Giaûi caùc heä phöông trình sau:
+ =− + = 2 2
11 1
xy 2
1. Giaûi heä phöông trình
.
xy5
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
=− + =− + ⇔
( )
( )
xy 2 x y xy 2 x y
( )
( ) ( ) 2 2
+ − = + + + −=
x y 2xy 5 x y 4 x y 5 0
+ = = − = = − ⇔ ⇔ + =− =− = = .
xy1
xy 2 x 2,y 1
xy 5 x 1,y 2
xy 10
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 1;2 ; 2; 1 =− − .
2. Giaûi heä phöông trình + =−
x y 1 2xy
xy1 .
+ = 2 2
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ =− + =− + =−
x y 1 2xy x y 1 2xy x y 1 2xy
x y 2xy 1 1 2xy 2xy 1 4x y 6xy 0 .
⇔ ⇔
2 2 2 2
( ) ( )
+− = − − = − =
+ = = = = ⇔ ⇔ + =− = = = xy1
xy 0 x 1,y 0 .
xy 2 x 0,y 1 3
xy 2
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 0;1 ; 1;0 = .
++ + = ++ + = 2 22 2
1 1 xy 5
x y
3. Giaûi heä phöông trình
.
1 1 xy 9
x y
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: xy 0 ≠ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1 1 1 1 xy 5 xy 5
++ + = ++ + =
x y x y
.
⇔
2 2 2
+ + + = + ++ − + + =
1 1 11 1 1 x y 13 x y 2 x y 13 x y xy x y
+ = =
3 5 x 1,y 2
− ++ + = += += = = ⇔ ⇔⇔ − + += += += = = + = =
1 1 1 1 3 5 xy 5 x 2,y 3 x 1,y x y x y 2
.
1 1 1 1 3 5 xy 6 x 3,y 2 x ,y 1 x y x y 2 3 5 x ,y 1 2
Vaäy heä phöông trình coù boán nghieäm laø:
( ) − +− + =
35 3535 35 x;y 1; ; 1; ; ;1 ; ;1 2 22 2 .
+ = + + += 2 2 x y 13
3 x y 2xy 9 0 .
4. Giaûi heä phöông trình ( )
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2
+ − +− = = ⇔
( )
x y 13 x y 2xy 13 xy 2
( )
2
.
( )
3 x y 2xy 9 0 3 x y x y 13 9 0 + + += + + + − +=
2
( ) ( )
+ = = − = = −
xy1
xy 6 x 3,y 2
⇔ ⇔ =− = + =− −± − = = =
.
x 2,y 3 xy 4
3 4 10 4 10
xy x ,y 2 2 2
Vaäy heä phöông trình coù boán nghieäm laø:
( ) ( ) ( ) −± − =− −
4 10 4 10 x;y 2;3 ; 3; 2 ; ; 2 2 .
2 2 x y xy2
5. Giaûi heä phöông trình + −+= + − =−
xy x y 1 .
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2
−− +− = − + −−= ⇔
( ) ( )
2 xy xy
xy x y 2xy x y 2 2
2
( ) ( )
.
2
( )
xy x y 1 2 xy xy xy 1 2 + − =− −− +− + − =−
( ) ( ) ( )
− =− −− +− = = =− = ⇔ ⇔ ⇔ − = = = − − − −= = −
xy 1 2 xy xy
2
( ) ( )
xy xy 0 x 1,y 0 2xy4 x 0,y 1
.
2
( ) ( )
x y 3x y 4 0 xy 5
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 1;0 ; 0;1 = − .
6. Giaûi heä phöông trình ++ =
x y xy 5
x y x y xy 3.
+ − − =− 2 2
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
++ = =− + ⇔
( )
x y xy 5 xy 5 x y
x y xy x y 3 xy xy5 xy 3 .
( )
+ − + =− + − + − + =−
( ) ( )
+ =
xy1
=− + = = = ⇔ ⇔ ⇔ + − + += + = = = =
( )
xy 5 x y xy 4 x 1,y 2 .
2
xy3 x 2,y 1 x y 4x y 3 0
( ) ( )
xy 2
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 1;2 ; 2;1 = .
3 3 xy8
7. Giaûi heä phöông trình + = ++ =
x y 2xy 2 .
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
( ) ( ) ( ) ( ) − − + +− = + − + −= ⇔
2 3 2xy x y x y 3xy 8 x y 3. x y 8 0 2
.
++ = ++ =
x y 2xy 2 x y 2xy 2
( ) ( ) ( ) +− + + + + = += = =
2 x y 2 2x y 7x y 8 0 x y 2 x 0,y 2 ⇔ ⇔ ⇔ = = = ++ =
xy 0 x 2,y 0 x y 2xy 2. Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 2;0 ; 0;2 = .
8. Giaûi heä phöông trình + = + = 2 2
xy yx 6
.
x y y x 20
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: x 0,y 0 ≥ ≥ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ = ++ = + = ⇔ ⇔
( )
( )
xy x y 6 xy x y 2 xy 36 20 2xy xy 36 xy x y 20 xy x y 20 xy x y 20 .
( ) ( )
+ = + = + =
( )
= += = =
⇔ ⇔⇔ + = = = = xy 4 x y 5 x 1,y 4
xy x y 20 xy 4 x 4,y 1 .
( )
Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø ( ) ( ) ( ) x;y 1;4 ; 4;1 = .
++ = ++ += 2 2
x y xy 11
x y 3 x y 28 .
9. Giaûi heä phöông trình ( )
Lôøi giaûi
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy heä phöông trình trôû thaønh:
=
+ = = − ⇔
S P 11 P 11 S
S 2P 3S 28 S 2 11 S 3S 28 .
−+= − −+ = 2 2
( )
= − =− = = − ⇔ ⇔ ⇔∨ +−= = ∨ =− = = 2
P 11 S P 11 S S 5 S 10
S 5S 50 0 S 5 S 10 P 6 P 21 .
Ñaùp soá.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x;y 2;3 ; 3;2 ; 3; 7 ; 7; 3 = −− −− .
10. Giaûi heä phöông trình + =
xy2
x y 34 .
+ = 4 4
Lôøi giaûi
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh
=
= = = ⇔ ⇔ − −= − −= = ∨ =− 2 2 2 2
S 2 S 2 S 2
S 2P 2P 34 2P 16P 18 0 P9P 1. ( )
Ñaùp soá. ( ) x;y 1 2;1 2 ; 1 2;1 2 =− + + − ( ) ( ) .
+ = + += 4433
xy4
11. Giaûi heä phöông trình ( )( )
x y x y 280
Lôøi giaûi
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
=
= −− −=
S 4
( ) ( ) 2 2 22
S 2P 2P . S S 3P 280
= ⇔ −+ − = .
S 4
( ) 2
2P 64P 256 . 4 16 3P 280
Lôøi giaûi
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh:
=
2 2
− = − = = ± ⇔ ⇔
S P7 S P7 S 3
S 2P 2P P 21 7 P P 21 P 2 .
2 2 2 22 2
− − += − −= =
( ) ( )
Ñaùp soá. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x;y 1;2 ; 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 = −− −− .
2 2
14. Giaûi heä phöông trình ++= ++ =
x y xy 13
.
4 4 22
x y x y 91
Lôøi giaûi
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy khi ñoù heä phöông trình trôû thaønh
=
2
− = = ± ⇔
S P 13 S 4
S 2P 2P P 91 P 3 .
2 2 22
− − += =
( )
Ñaùp soá. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x;y 1;3 ; 3;1 ; 1; 3 ; 3; 1 = −− −− .
2 2
+ =
xy5
15. Giaûi heä phöông trình ( )
x y 11 x y .
+= +
5 5
Lôøi giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ = + −+ −+= + 2 24 3 22 3 4
xy5
x y x x y x y xy y 11 x y .
( )( ) ( )
2 2
+ = ⇔ + − + − +− = .
xy5
4 3 22 3 4
( )( )
x y x x y x y xy y 11 0
+ = + =
2 2
xy5 (1)
xy0
⇔ + =
2 2
xy5 (2)
− + − + −=
4 3 22 3 4
x x y x y xy y 11 0
( ) + += +
1 xy1 4
xy
17. Giaûi heä phöông trình
.
2 2
1xy xy 4
++ =
xy xy
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: xy 0 ≠ .
Heä phöông trình töông ñöông vôùi:
1 1 1 1
xy 4 x y4
++ + = + ++ = ⇔ + ++= + + += .
x y x y
1 xy 1 11
xy 4 x y y 4
xy y x y xy
+ ++ =
1 1 x y4
+ = − += =
x y
1 x 2
2
⇔ + +=
1 1 xy 4 x y
x x 2x 1 0 x 1 .
⇔⇔ ⇔ 1 y 2y 1 0 y 1 y 2
2
− += = + = y
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 1;1 = .
+ +=
1 xy1 6
( )
xy
.
18. Giaûi heä phöông trình
2
1 x y 1 18
2 2
( )
+ +=
xy
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: xy 0 ≠ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1 1 1 1
xy 6 xy 6
++ + = ++ + = ⇔ ++ + + + = + ++ =
x y x y
xy 1 1 1 1 x y 2 18 x y 18 y x x y y x.
2 2
2 2
2 2
++ + = ++ + = ⇔ ⇔ + ++ − + + = + += 2
1 1 1 1 xy 6 xy 6 x y x y .
11 1 1 1 1
x y 2 x y 18 xy 9 yx y x y x
− − + = = = + = = ⇔⇔ ⇔ ⇔
1 35 35 x 3 x ,y y xy 1 3y x y 2 2 .
2
+ = − += + + 1 xy 1 3x x 3x 1 0 35 35 y 3 x ,y + = = =
x 2 2 Vaäy heä phöông trình coù hai nghieäm laø:
( ) −− ++ =
3 53 5 3 53 5
x;y ; ; ; 22 22 .
+ += + += 2
1 xy1 8
2 2
( )
xy
19. Giaûi heä phöông trình
.
3
1 x y 1 16
3 3
( )
xy
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: xy 0 ≠ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ ++ = + + ++ =
2 1 xy1 8
2 2
( )
2 2
xy x y
331 x y 1 16 3 3
( )
22 33 xy xy xy
2 2
++ + + + = ⇔ ++ + + + + + = + ++ = ⇔ + ++ =
1 1 2x 2y x y 8
2 2
2 2
x y y x
2 2
3x 3y 3x 3y 1 1 x y 16
3 3
2 2 3 3
y x y x x y
= + = + 1
1 1 x y8 y x
3 3
1 1 x y 16 y x
Ñaët
u xy 1
v yx
heä phöông trình trôû thaønh:
2 2 2 2 2 + = + = +− = ⇔ ⇔ + = + +− = + −=
uv8 uv8 u v 2uv 8
( )
u v 16 u v u v uv 16 u v 8 uv 16. 3 3 2 2
( )( )
( )( )
2
+ − = + − = ⇔ ⇔ + − +− = + − ++ = ( )
uv 8
2
uv uv 8 2 uv2 ( )
2
( ) ( )
.
uv 8
3
u v 8 16 u v 24 u v 32 0 2 ( ) ( )
+ ++ = + += + = = + + + =− − + =− −
1 1 xy4
y x
1 1 xy 4 uv4 y x
uv 4 1 1 x y 2 23 u v 2 23 y x
⇔ ⇔
= + + + =+ + =− +
uv 4 4 3 1 1 x y 4 43
y x u v 2 23
= − + + + =− + + + =−
1 1 uv 8 4 3 x y 2 23
y x
1 1 x y 4 43
y x
= = + + =− + ⇔ + =− .
x 1,y 1
xy 1 x y. 2 2 3
( )
xy
1 xy 2 4 3
xy
Baïn ñoïc töï giaûi tieáp heä phöông trình coù naêm nghieäm.
+ ++= ++ + = 2 22 2
x y x y 4xy
.
20. Giaûi heä phöông trình
11 y x 4
x y x y
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: xy 0 ≠ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2 2 2 2
+ ++= + ++=
x y x y 4xy x y x y 4xy
xy x y x y 4x y xy x y x y 4x y .
⇔
3 3 22 3 3 22
( ) ( )
+++ = +++ =
2 2 2 2
+ ++= + =
x y x y 4xy x y 2xy
⇔ ⇔
2 2 22
( )( )
x y x y 4x y x y 2xy
+ += + =
= = = ⇔ ⇔ = = = .
x y x 0,y 0
2
2x 2x x 1,y 1
Ñoái chieáu vôùi ñieàu kieän suy ra ( ) ( ) x;y 1;1 = .
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát ( ) ( ) x;y 1;1 = .
+ +=
x y xy 4
( )
y x
+ +=
.
21. Giaûi heä phöông trình
2 22 2
x y xy 4
( )
2 2
y x
Lôøi giaûi
Ñieàu kieän: xy 0 ≠ .
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ +=
x y xy 4
y x
( )
+ − +− =
22
x y 2 . x y 2xy 4
y x
+ +=
( )
x y xy 4
y x
( )
⇔
2 2
x y x y x y 2 x y 4xy 2xy 4
2 2
( ) ( )
+ + −++ − + =
y x y x
2 2
+ + += + = x y x y xy 4 .x y 4
( )
y x xy ⇔ ⇔
( )
.
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
x y x y
+ +
2 2 2 2
x y 6 x y 6 ++ = ++ =
xy xy
Ñaët ( ) = + ≥
Sxy 2 , S 4P
P xy hệ phương trình trở thaønh:
=