🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Những câu chuyện lý thú về phương trình Ebooks Nhóm Zalo i Y Ễ N B Á Đ Ô /^ỉtữnỹ cãu chuiịện Uị thú vế t W e ci)- NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ NGUYỄN BÁ ĐÔ NH0NG CÂU CHUYỆN LÝ THÚ VÊ PHUDNG TRlNH ị - % Ị T { . ụ - - - ‘ ■ vAi ítil !ỉAí I l i l X G a M n y C L ị Ị U NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ HÀ NÔI - 2012 Cùng một tác giả NGUYỄN BÁ ĐÔ 1. Những câu chuyện lý thú về xác suất 2. Những câu chuyện lý thú về phương trình 3. Những câu chuyện lý thú về logic 4. Những câu chuyện lý thú về giói hạn 5. Những câu chuyện lý thú về hàm số 6. Những câu chuyện lý thú về hình học 7. Một số vấn đề to"an học chưa giải quyết được LỜI NÓI ĐẨU Cuốn sách nàv kè \hũ7tg càu chuyện lý thú vế phương trình. Tuy \-ậy. chúns tỏi khôns có ý đinh %'à cũna khôna thê’ mỏ tả một cách hoàn chỉnh, liền mạch từna N'ah đề của ỊAưcms trình. E)ó là nhiệm yụ của sách aiáo khoa. Trong quá trình từ dạy đến học, từ bọc đến hiểu, từ hiểu đến áp dụng, từ áp dụng đến sáng tạo đòi hỏi mỗi người phải lìm lòi. nàng động. Sách giáo khoa chì cung cấp những điều cốt vếu cho nên muốn hiểu dầy đủ và sâu sắc hơn từng vấn đề cần đọc các sách bổ khuvếL Và đáy là cuốn sách bổ khuvết như vậy ^ ề phương trình. Sách phục \ụ học sinh, giáo \iên phổ thòng và những người vêu thích toán. Nguyễn Bá Đó 1. KHÁM PHÁ Bỉ MẬT CỦA "VỤ ÁN CHIẾC VƯƠNG MIỆN" ơ nơi có kinh tuvến o đi qua, có một \TÌng rất nổi tiếng nằm giữa ba châu lục, đó là Địa Trung Hải, phía Bắc Địa Trung Hải có một bán đảo hình mũi giày, đó là nước Italia. Từ bán đảo này nhìn ra Địa Trung Hải có hòn đảo lớn nhất Địa Trung Hải, đó là đảo Sicilia (Xixin). Thời cổ Đại, đảo này là một quốc gia, nay thuộc Cộng hoà Italia. Đảo Siciha có diện tích 25.708km^, có ngọn núi lửa nổi tiếng Etna cao 3.263m. Chứứi hòn đảo này là quê hương của các tổ chức mafia. Trên đảo có thành Syracuse (Xiraca) quê hương của một trong các nhà toán học vĩ đại nhất cùa mọi thời đại và chắc chắn là vĩ đại nhất cùa thời cổ Đại, đó là Archimedes (287 - 212 trước Công nguyên). Năm 241 trước Công nguyên, đội quân viễn chinh La Mã đã chiếm đóng toàn bộ đảo Sicilia, sau đó bị đánh đuổi. Đến năm 214 trước Công nguyên, tướng Marcellus của La Mã lại đưa quán chiếm đóng đảo này. Archimedes đã có nhiều sáng kiến giúp \Tia Hieron (Hêrổng) bảo vệ thành Svracuse, chống lại quân địch. Óng đã dựa vào các nghiên cứu của mình %'ề đòn bẩy để hướng dẫn chế tạo ra những chiếc máy phóng đá khổng lồ có thể phóng được các lảng đá rất lớn và điều chỉnh để đá lăng xa - gần, các móc cực lớn rứiờ hệ thốngArchimedes ròng rọc kép có thể nsoạm chặt và nâng tàu thuyền cùa địch lên cao rồi đập xuống nước cho vỡ tan, hoặc dùng những chiếc gương quay được trên bản lề để hứng ánh nắng Mặt Trời rồi tập trung hướng về địch phía xa làm tàu thuyền của chúng bốc cháy... Với những vũ khí lợi hại nàv quân địch đã khiếp sợ đến nỗi chúng chỉ trông thấy một sợi dây thừng hay một đoạn gỗ trẽn tường đã tưcmg là Archimedes đang quay những chiếc máy về phía mình, la hét thất thanh va bỏ chạy thục mạng. Khi quân La Mã đã hoàn hồn. chúng mới hiểu ra rằng, đâv không phải là sự trừng phạt của Trời - Đất, mà chỉ là trí tuệ của một nhà khoa hệ)c. Tướng Marcellus đã kinh hoàng thốt lên: "Chúng ta đang đánh nhau với một nhà toán học!". , Nhà \’ăn Pluytac thời Hy Lạp cổ đại đã \iết: "Khi quân La Mã bắt đầu những cuộc tiến công từ trên đất liền cũng như trẽn biển, nhiều người Svracuse cho rằng khó có thể chống lại được một đội quân hùng mạnh như vậy. Archimedes liền cho mở các máy móc và các vũ khí do ông sáng tạo ra. Thế là những tảng đá lớn bay đi với tốc độ nhanh phi thường, phát ra những liếng động khủng khiếp, tới tấp giáng xuống đầu các đội quân đi bằng đưcmg bộ. Cùng lúc đó. có những thanh xa nặng uốn cong giống hình chiếc sừng khổng lồ được phóng từ pháo đài ra. liên tiếp rơi xuòng tàu địch... Tướng La Mã phải ra lệnh rút lui. Nhưng bọn xàm lược vẫn không thoát khỏi tai hoạ. Khi các đoàn tàu địch chạy gần đến (cách khoảng một mũi tên bav) thì ỏng già Archimedes ra lệnh mang đến tâm gưcmg sáu mặt, cách tâin gương này một khoảng, ông đặt các tám gương khác nhỏ hơn. quay trên các bàn lề \'à điều chiiứi các tám gương hứng các tia sáng của Mặt Trời. Các tia sáng từ gương chiếu ra đã gãy nên những đám cháy khủng khiếp trẽn các con tàu. Ekĩàn tàu biến thành đám ưo tàn...". "... Marcellus V vào %ii khí nhiều và tối tân. lại cậv mình thông nũnh, mưu lược, nhưng hắn đã bất lực trước sự chông đỡ của Archimedes và những %ữ khí đặc biệt của ông...". Với những %ữ khí đặc biệt đó. thành S>Tacuse đã cố thủ đưqx: hai năm nhưng cuối cùng, đến mùa thu năm 212 trước Công nguyên, do bị nội phản, quàn La Mã đã bất ngờ chiếm được thành ưong khi -Archimedes đang mài mê suv nghĩ về một sơ đồ vẽ trên cát. Khi bóng tên lứih La Mã ngả ưên hình vẽ của -Archimedes, ông liền kêu lèn: "Không được đụng đến hình ưòn của tôi!". Ngav tức thì một mũi kiếm đã xuvên qua ông già tội nghiệp. Ông ngã xuống bèn canh sơ đồ ờ tuổi 75. -Archứnèdes có khả năng tập trung tư tưởng rất cao. Người đời đã kể chuvện rằng, khi phải suv nghĩ về một vãn đề gì đó thì ông chẳng còn để V gì đến xung quanh. Càu chuyện điển hìiứi thường được nhắc đến là càu chuvện về "Vụ án chiếc \ương miện". Truvền thuvết kể rằng, vua Hieron đã cho thợ kim hoàn làm một chiếc vương miện bằng vàng ròng (vàng nguvên chất) trông đẹp tuyệt vời và nhà vua rất vừa ý. Nhưng trong số cận thần của nhà vua, những ai đã từng đích thân sờ được vương miện đều có cảm giác hết sức kỳ lạ là hình như nó không phải được làm bằng vàng ròng. Như mọi người cũng biết, dựa vào cảm giác của bàn tay thì có thể phân biệt nhôm và sắt, vì cùng một thể tích thì sắt nặng hơn nhôm rất nhiều. Bảng 1-1 cho tỷ trọng của một số chất thường gặp. Bảng 1-1 Chất Tỷ trọng (g/cm^) ở nhiệt độ bình thường 1. Nước (H2O) 1,00 2. Nước biển 1,03 3. Gỗ: -Tùng 0,6 - 0,8 - Mềm 0,22 - 0,26 4. Dầu hoả 0,8 5. Xăng 0,899 6. Thuỷ tinh 2,4 - 2,8 7. Thuỷ ngân (Hg) 13,6 8. Nhôm (Al) 2,7 9. Sắt (Fe) 7,8 10. Đồng (Cu) 8,9 11. Thiếc (Sn) 13,34 12. Bạc (Ag) 10,5 13. Vàng (Au) 19,3 Từ bảng 1-1 chúng ta thấv. cùng một thể tích như nhau nhưng vàng nặng hơn bạc gần 2 lần. sắt nặng hơn nhôm hơn 2 lần. Các cận thần thường đã quen với \iưig. bạc. do %3 V chì cần nhấc qua %'Uơng miện là họ biết ngav có phải bằng vàng ròng hav không. Nhưng các cận thần lại không dám nói thing điều đó N’Oi nhà \-ua, họ sợ bị ữim diu như chơi, nên bọ chi hàn lán “sau lưng". "Cái kim trong bọc làu ngàv rồi cũng tòi ra”, lời đàm tiếu "sau lung" cuối cùng nhà \-ua cũng biết được. NTià N'ua tức lắm. lập túc cho gọi các thợ kim hoàn lại trách mắng. Các thợ kim hoàn phàn bua: \nng mà bệ hạ đưa cho đã làm Norơng miện bẽL không tin cho càn thử mà xem thì mọi \iệc sẽ rõ. Chiếc \-ương miện đã đucc càn lẻn N'a trọng lượng hoàn toàn hằng só ^■àng nhà W13. đã giao cho họ. Lúc đó. các cận thần hồn NÍa lèn mãy. nếu thợ kim hoàn thàiứi thục thì các cận thần sẽ bị mát chúc, thậm chí phải chém đầu. Cho nên. các cận thần lại tham tấu: "Khổ lòng có sự đổi chác gì đây. các thợ kim hoàn đã làm đứng trọng lượng 1". NTià \"ua tháv có K nhưng ^■in nửa tin nửa ngờ. Thẻ là Niia hạ lệiứi trong 3 ngàv với điều kiện không được phá bòng \ircmg miện, phải xác minh sự NÌệc này. Các cận thần suv nghi mãi. không tìm đưọc cách nào. Cuóĩ cùng có người nghĩ ra cách là nhò đẽn .\rchimèdes, ỏng được coi là người thòng minh nhát dào Sicilia lúc đó. là niềm tự hào của mọi người. Archimedes xin một tuần để suy nghĩ. Đén lúc này ông cũng thấy khó xử. ồng cho rang, phải phá NOíơng miện để xem xét, nhưng lệnh của nhà vua là khổng được phá vương miện. Thế thì những điều đã biết trở thành vô ích. Vậy làm sao để có thể tìm cái đã biết trong cái chưa biết dâyl ông đã phải thức trắng hai đêm nhưng vẫn chưa tìm được cách gì tốt hơn. Vừa lúc đó thì vợ ông khuyên ông nên đi tắm cho người thoải mái. Trên đường đi đến nhà tắm, Archimedes vẫn không sao quên được câu chuyện chiếc vương miện. Một tuần gần trôi qua. Nhưng khi ông bước vào bồn tấm thì nước bắn tung toé, còn khi ông ngồi vào bồn tắm thì nước tràn ra ngoài. Càng ngập sâu thì ông càng cảm thấy trọng lượng cơ thể càng nhẹ đi, tựa hổ như có một sức lực thần kỳ nào đó kéo ông lên mặt nước. Bỗng nhiên, trong đầu nhà thông thái này loé lên một tia sáng. Thế là cái nút rối đã được tháo gỡ, hai vật bằng vàng, bằng bạc có trọng lượng như nhau sẽ có thể tích khác nhau, nếu nhúng trong nước thì bị nước đẩy lên theo hai lực khác nhau. Do đó, chỉ cần lấy một trọng lượng vàng đúng bằng trọng lượng chiếc vương miện rồi thả cả hai trong nước là có thể xác đinh được vương miện có bị pha thêm bạc hay không. Archimedes không cầm lòng được, liền nhảy ra khỏi bồn tắm với tư thế khoả thân chạy ra phố, hét tướng lên: "Eureka eureka!" (Ta đã tìm thấy rồi, ta đã tìm thấy rồi!). 10 Vậy cái gì đã làm cho Archimedes sướng điên lên như vậy? Thì ra, ông đã có được ý tưởng như sau: Có thể đo được thể tích của vương miện bằng cách thả nó vào bể nước, nếu vương miện có chứa bạc (nhẹ hơn vàng) thì thể tích nước tràn ra sẽ hơn thể tích nước do vương miện chỉ bằng vàng ròng tràn ra. Từ ý tưởng đó, về sau Archimedes đã tiếp tục làm thí nghiệm và tìm ra định luật nổi tiếng mang tên ông (định luật thứ nhất của thuỷ tĩnh học): "Một vật được nhúng trong chất lỏng thì bị chất lỏng đó đẩy lên theo phương thẳng đứng, với một lực đúng bằng trọng lượng của thể tích chất lỏng đã bị vật chiếm chỗ". Nhưng Archimedes đã dựa vào ý tưởng đó để khám phá bí mật về "Vụ án chiếc vương miện" như thế nào? Trong cuốn "Bàn về kiến trúc" đã nói rõ; "Thế là Archimedes đã thả vương miện vào bồn nước và biết được trọng lưcmg của nước tràn ra nhiều hơn trọng lượng nước do khối vàng ròng làm tràn ra. Như vậy, ông đã biết được vương miện không phải được làm bằng vàng ròng". Không cần nói thêm thì ai cũng biết là các thợ kim hoàn đã bị trừng phạt đích đáng. Thế nhưng để làm chiếc vương miện này, các thợ kim hoàn đã lấy cắp bao nhiêu vàng? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy xem các mục sau đây. ở nước ta cũng có câu chuyện tương tự; Đỗ Hữu được cha cho theo đi thăm bạn cha ở làng bên. Hai ông ngồi trên bộ phản vừa trà thuốc vừa hàn huyên, lũ trẻ mau chóng quen nhau và bày trò ngoài sân. Ông bạn có chiếc điếu bát bằng sứ rất đẹp, men xanh lam, khảm bạc, chạm trổ rồng mây xung quanh. 11 Cha của Vũ Hữu tra thuốc vào nõ, ngắm nghía chiếc điếu rồi nói: - Chiếc điếu bát này thật đẹp, tiếc là nõ của nó bằng đồng chứ mà bằng bạc thì càng hay. Chủ nhà tâm đắc: - Đúng vậy, tôi đã định nhờ thợ đúc chiếc nõ bạc để thay, song chưa biết phân lượng bao nhiêu để giao cho thợ. Nghĩ một lát, chủ nhà tiếp: - À mà này, tôi nghe đồn thằng bé Hữu tmh toán giỏi lắm, hay ta thử hỏi nó xem. Được gọi vào, Vũ Hữu lắng nghe cha yêu cầu, tay cầm bát nước chủ nhà mời. Cậu suy nghĩ trong khi vô tình nước trà sóng ra tay. Cậu bất ngờ reo lên: - Cháu túứi được rồi! Vũ Hữu đặt bát nước vào chiếc đĩa khô và rót đầy nước vào bát đó, từ từ bỏ nõ điếu vào bát nước, nước tràn xuống đĩa. Cậu giải thích: - Thể tích bạc để đúc chiếc nõ điếu đúng bằng thể tích nước đã trào ra trong đĩa. Như vậy, từ thế kỷ XV, Vũ Hữu đã tìm ra cách đo thể tích các vật phức tạp, như chiếc nõ điếu này. 12 2. THE GIỚI CỦA CÁC KỶ HIỆU PHÉP TÍNH TOÁN HỌC Ngày nay, từ lớp Một, học sinh đã biết một số kv hiệu Ị^ép únh toán học như cộng (+), trừ (-). bằng nhau (=)... Nhưng nhân loại đã phải mất hàng nghìn năm mới có được các ký hiệu đơn giản mà cần thiết đó. Trước khi có các ký hiệu Ị ^ p túứi. người ta đã phải dùng lời. dùng chữ để diễn tả quan hệ số lượng \’à hình dạng. Ví dụ, để diễn tà (a + b) - c người ta Ị^ải \iết: "a cộng với b, rồi lấy kết quả trừ đi c". Đây là cách mà người Hy Lạp còn dùng mãi về sau. Nguời Ai Cập N'ao nhũng năm 1700 trước Còng nguyên dùng cách đánh dấu bằng hai cẳng chân nằm cùng chiều để chi phép cộng và hai cẳng chân nàm ngược chiều đê chỉ phép trừ. Người Hy Lạp cổ đại và người Ấn E)ộ cổ đại đểu coi NÌệc viết hai sô' liền nhau là Ị^ép công. du 3 — có nghĩa là 3 công — \'à 4 4 \iết hai sô' xa nhau là phép trừ. \ í dụ 6 - có nghĩa là 6 trừ - . 5 - 5 Người Hindu thì phép cộng được thể hiện bằng cách ghép, còn phép trừ thê hiện bằng \iệc đặt một chấm lên số bị trừ. NTtà toán học Lý Thiện Lan người Trung Quốc đã dùng ký hiệu "T" và "T" để chi phép cộng và phép trừ. LPasoli (khoảng 1445 - 1569) người Italia, đã dùng ký hiệu chữ Laiinh p từ chữ "plus" (nghĩa là cộng) hoặc P thay cho phép cộng. \í dụ 5 p 3. nghĩa là 5 cộng 3 NÌ chữ m. từ chữ "minus" (nghĩa là trừ) hoặc in ứiay cho phép ttừ, ví dụ 7 m 5, nghĩa là 7 trừ 5. 13 Cuối thời Trung cổ, thương nghiệp châu Âu khá phát đạt, một số nhà buôn thường vạch dấu "+" và dấu lên thùng hàng để đánh dấu "trọng lượng hơi thừa" và "trọng lượng hơi thiếu". Thời Phục Hưng (thế kỷ XV - thế kỷ XVI), Leonardo de Vinci (Lêônađôđa Vinxi) (15/4/1452 - 2/5/1519) người Italia, bậc thầy của nghệ thuật, nhất là hội hoạ, L.de Vinci nhưng rất mê toán, đã dùng ký hiệu và trong một số tác phẩm của mình. Năm 1489, Johnn Widman (sinh năm 1460 ở Bohemia) người Đức, đã dùng dấu "+" và dấu để chỉ "phần dư" và "phần khuyết". Cũng năm 1489, trong một cuốn sách số học của J. w. d'Eges người Đức, xuất hiện dấu "+" và dấu để chỉ phép cộng và phép trừ. Sau đó, đến năm 1514, nhà toán học Van der Hoecke người Hà Lan, nãm 1524 Christoffel Rudolff (khoảng 1500 - 1545) và năm 1544 Michael Stifel (1486 - 1567) người Đức, đã dùng lại dấu "+" và dấu thay cho phép cộng và phép trừ. Về sau, nhờ đóng góp tích cực của nhà toán học Francois Viète (1540 - 13/12/1603) người Pháp thì dấu "+" và dấu mới được phổ cập và đến năm 1630 mới được mọi người công nhận Do vậy, ông được coi là ông tổ của ký hiệu toán học. Hiện nay, các ấn phẩm của nhiều nước đểu dùng dấu và dấu để chỉ phép cộng và phép trừ. Cần chú ý là, người châu Âu lục địa đã từ lâu lại dùng dấu "+" để chỉ phép trừ. 14 Đõi \-ới phép nhản, người HŨKÌU đã dùng cách \iêt bha (ám tiố đầu của từ bha\ita là tích) sau các nhân tử. Nãm 1631 William Oughtred (1574 - 1660) nguời Anh, đã dùng dấu "x" trong tác phẩm của mình N'a người ta đã dùng nó cho đến ngàv nav. Dâu thav cho phép nhân đã được Thomas Harriot (1560 - 1621) dùng nhưng G.w.von Leibniz sau đó người ta ít dùng, chi đến khi (năm 1684) Gottửied Wilhelm von Leibiuz (1/7/1646 - 4/11/1716) người Đức chấp nhận nó thì người ta mới dùng nhiều. Hiện nav vẫn được dùng cho phép nhân trong sách giáo khoa cùa một số nước. Dấu "H" được G.W. von Leibniz dùng cho phép nhãn và ngày nav dấu này đưọc dùng đê chỉ phép giao trong lý thuvết tập hợp. Đôì với phép chia, người Hindu thể hiện bằng cách NÌết số chia dưới số bị chia. Nhà toán học Mohammed Ibn Mùsâ? ,\1 - Khowarizmi (khoảng 780 - khoảng 850) người UdơbèkLxtan. đã dùng **3/4" hoặc — để chỉ 3 chia cho 4. Đến năm 1630. John Péll (1/3/1610 - 12/12/1685) người ,\nh đã dùng dấu "-Ỉ-" và sau đó năm 1659 Johann Heừuich Rahn (1622 - 1676) người Thụy Sĩ. năm 1684 G.w.von Leibniz cũng dùng dấu "-Ỉ-" để chi phép chia. Trong các ân phẩm của Nga và Đức thì dấu "-Ỉ-" rất ít thấy để chỉ phép chia, mà lại dùng dấu (so sánh). Đối với phép khai căn. trước khi có dấu “V * thì người ta dùng R.q ứtay cho " V ", R.c thay cho " ". 15 Người Hindu thể hiện phép khai căn bằng cách viết ka (âm tiết đầu của từ karana là vô tỷ) trước đại lượng lấy căn. Đến năm 1525, trong cuốn "Die Cross", Ch.Rudolff đã đưa ra dấu " Sở dĩ được ông ký hiệu như vậy vì có lẽ nó giống chữ r trong từ radical là dấu căn. Dp/dt là bút danh của nhà vật lý nổi tiếng J.C.Maxwell (1831 - 1379) người Anh, người sáng lập ra ngành điện động lực học cổ điển và là một trong những người sáng lập ra khoa vật lý thống kê. Thế nhưng mấy ai biết ông còn là nhà thơ khá nổi tiếng về cả khả năng thơ ca và bút danh kỳ quặc này. ô n g làm thơ từ nhỏ đến cuối đời. Sở dĩ ông lấy bút danh Dp/dt vì, theo Wham Tomxon và Pite Tet trong tác phẩm "Luận văn về triết học tự nhiên" đã diễn đạt nguyên tắc thứ hai của nhiệt động học J bằng công thức toán — = JCM đó chứứi là viết tắt của tên ông: dp J.C.Maxwell. Tất nhiên, là còn nhiều ký hiệu phép tính toán học nữa. Sau đây là một ví dụ về các ký hiệu phép tính toán học lấy trong cuốn sách công bô' năm 1572 của nhà toán học Raffaello Bombelli (1530 - 1572): R.c.L.R.q 4352 p 16 J m.R.c L R.q. 4532m l6j Diễn đạt theo ký hiệu ngày nay là: ^V4352+16-ỰV4352-16 16 3. CẮC KÝ HIỆU TOÁN HỌC KHÁC ơ mục 2 chúna ta đã nói về các ký hiệu phép túứi toán học. ờ mục này ta nói \ ề các ký hiệu toán học khác. Người nguyên thuỳ chi mới có khái niệm "có" và "khôns" (không có). Đày là khái niệm cổ nhất về số. Sau đó. họ biết thêm hai sô 1. và 2. từ 3 trờ lên là nhiều. Nliư vậy. họ đã biết khái niệm ít và nhiêu . Do sản xuất phát triển, con nsười có nhu cầu ưao đổi nên nảy siiứi \iệc đếm số. Nsười ta dùns các nsón tay. nsón chân, hòn cuội, rồi khắc lèn cột nhà (sỗ), thân càv... hoặc kết nút ưèn dày... để đếm. Các cách đếm thỏ sơ này hiện vẫn còn tồn tại. nhát là đỏ~i với các dân tộc ít nsười (ờ nước ta và các nước). Đên thời kv Còns xã nsuvèn ihuv. con nsười biết dùns vãn tự đế shi lại các số. đó là buổi đầu của số học. ơ Tâv .-\n (Tnms Quốc) nsười ta đã đào được đồ sốm và bans 2ốm có shi s hình tròn .xếp thành hình một tam siác đều. dims iOO hình NTiõns để xếp thành một hình Miỏns. ở Truns Quốc, côns cụ túứi toán sóm nhất là "thẻ lứửi". Ban đầu các "thẻ tứửi" được làm bans cành cây thins, về sau là các thanh sỗ (hoặc ưe. xươns thú. đá hoặc sắt) nhỏ. thưcns dài khoàns 13 - 14cm. bó 271 thanh thành một nắm. có thể cho vào ốns. túi hoặc buộc vào lưns. Các thanh nhỏ được sọi là "thẻ tứứì toán" hay "thẻ toán". Người ta đã khai quật được nhiều loại "thè tứih". Ví dụ. khi khai quật nsôi mỏ £0 thời Tày Hán (thế k>- n - thế kỹ I trước Côn 2 nguyên) tại huyện Thiên Dươns tình 17 Thiểm Tây tháng 8-1971 người ta thấy một loại "thẻ tính" có thanh đường kứưi khoảng 0,3cm, dài 20cm, có hai màu (hình 3-1) được đặt bên hông xác chết. "Thẻ túứi" được dùng để ghi số, ghi phép túih, tiến hành các Hình 3-1 phép tính về số, kể cả việc giải các phương trình bậc cao. "Thẻ tínlệ' trên thực tế là một loại thuật toán, nó là công cụ tính toán rất hữu hiệu, đã thúc đẩy cho số học của Trung Hoa phát triển từ thời Cổ Đại đến đời Nguyên (thế kỷ XIV), trước khi xuất hiện bàn túih. Vào thời Xuân Thu, việc dùng "thẻ tmh" làm dụng cụ tính toán là phổ biến. Tác dụng của "thẻ túứi" trước hết là để biểu diễn (ghi) số. Có hai kiểu biểu diễn số: kiểu ngang và kiểu dọc (bảng 3-1). Trong thực tế người ta thường dùng hàng đơn vị theo kiểu dọc, sau đó xen kẽ, số 0 được để cách (bỏ trống). Ví d ụ :'1 1 ^ ư = I là 330721 Bảng 3-1 Hai kiểu biểu diễn sô 18 Thời Xuân Thu Ờ Trung Hoa đã có khái niệm số ảm. nên nsười ta dims thẻ màu đen để chi sô âm. màu đỏ để chi sô dương, hoặc thaiứi có thiết diện chữ nhật là sô âm. thiết diện tam siác là sô dương, hav đật xiên thè toán đê chi sỏ âm (nếu thẻ cùng màu). Khi tứứi toán nsười ta dims các bans Zu Chong Zhi sỗ ghi các số \à gọi là bans xếp sô. siỏns như bàn tính sau này. Phươns pháp tính bans thẻ được để cập trons bộ sách 'Tôn Từ toán kinh" sồm 3 quvển. %iết Nào thê' kỳ' in. Khi dùns "thẻ tính", nẽư nsuời quen dùns thì có thê tíhh được với tốc độ rất nhanh, đến múc nsười khác khôis theo dõi kịp. Nhà toán học NĨ đại Zu Chong Zhi (Tổ Xuns Chi) (429 - 500) thời Nam Bắc Triều (thế k>' V) đã dùns phươns pháp "thẻ tính" (hình 3-2) đã tíhh đưạ: số n nằm giữa sỏ 3.1415926 N'a số 3.1415927. Điều này có đề cập đến trcxis cuốn 'Tans thuật" (Xuyết thuật) do ôns biên soạn. Kết quâ nà>' hoàn toàn phù hcỊ) với kết quả tíhh toán của các nhà toán học Ịhươns Tây. nhưns sớm hơn đến 1000 năm! Trons các kv hiệu toán học thì dấu bans nhau "=" là quan trọns hơn câ. Người Babilon và nsười Ai Cập đã dims nhiều loại kv hiệu đè biểu thị sự bans nhau, nhưng được còns nhận sớm nhài là cách của Diophanius; esti và isas. \iết tắt là is Nà i. Thời Truns cổ ký hiệu để biểu thị sự bans nhau ràt hòn loạn. 19 Ký hiệu "=" hiện nay đang sử dụng, được dùng lần đầu tiên trong cuốn "Cái kích thích trí thông minh" (The Whetstone of Witte) của Robert Recorde (khoảng 1510 - 1558) công bố năm 1557- Trong cuốn sách đó, tác giả giải thích rằng, ông đã dùng hai đoạn thẳng song song bằng nhau làm ký hiệu cho một đẳng thức là vì "không có hai vật nào có thể bằng nhau hơn thế". Nhưng mãi F.Viete đến thế kỷ x v n i ký hiệu này mới đưctc dùng phổ biến (với hai vạch rất dài). Dùng chữ để biểu đạt số là một sáng tạo quan trọng, nó càng làm cho lý luận đại số học trở nên sâu sắc hơn. Muốn có được điều này loài người đã phải mất hàng nghìn năm. Công lao này thuộc về nhà toán học xuất sắc Francois Viète (còn gọi là Franneis Vieta) (1540 - 13/12/1603) người Pháp, và ông được xem là người cha của cách dùng chữ thay số trong đại số. Trong cuốn "In artổm" nổi tiếng nhất của P.Viète, ông đã phát triển nhiều ký hiệu đại số. ô n g đã dùng nguyên âm để biểu thị các đại lượng chưa biết và các phụ âm để biểu thị các đại lượng đã biết. Còn hiện nay chúng ta lại dùng các chữ cái phía cuối (x, y, z...) cho những đại lượng chưa biết và các chữ cái phía đầu (a, b, c...) cho những đại lưcmg đã biết. Đây là công lao của nhà triết học René Descartes (31/3/1596-11/1/1650) người Pháp đưa ra năm 1637.R. Descartes 20 Viiư các bạn đã bĩẽi. a. ịỉ. y. ơ. 8... là nhữna cliữ cái đầu tiên ưong vãn tự Hy Lạp cổ đại. Trên đầu các chữ cái đó người la cho ihêrn một nét nsans đc biểu ihị một sỏ. Qiữ sỗ này tươna đương với ihứ tự trong bàng chữ cái Hy Lạp. Như ã có thể thay cho 1. p ihav cho 2. V thay cho 3. ỗ thay cho 4. 8^ thav cho 5... Thời Hy Lạp cổ đại. \'ào thè kv m. đại sò học đã phát triển mạnh, tuv \-ậv cũng chưa có được một hệ thống ký hiệu đại sỏ hoàn chình. Diophantus đã sừ dụng kv hiệu khá phức tạp để biểu thị só chưa biết: AK'->x' K'K-»x" và ông đã dùng "p" để chỉ sự pđiàn cách. M để chi là trước sỏ hạng tự do. Ví dụ: K 'K ã A K 'ã tA 'A ẽ Ịỹ M p biểu thị biểu thức đại sỏ sau đây: X* + x' - 5x^ - 3x - 2. Do chưa có một hệ thống ký hiệu toán học đầv đủ mà các nhà toán học thời cổ Đại ờ châu .Âu và các nước Arập đã cảm thấy 1 Hllll IT 1111® — 15x^ —► Ô6x ^ -360 lúng lúng đõì với mòi Ị>hương trình đơn giản như ax + b = 0. N ìn /ì 3 -3 21 Để diễn đạt một phương trình, trong bộ sách "Sách toán chín chương" của Trần Sanh, xuất hiện vào thế kỷ II (thời Đông Hán), người ta gọi số hạng có chứa ẩn số là "nguyên", số hạng tự do (không chứa ẩn số) là "thái". Ví dụ ở hình 3-3 là cách biểu thị phương trình bậc 3 một ẩn: -t- 15x^ -I- 66x - 360 = 0. Đối với phương trình phức tạp thì vẫn dùng ký hiệu như ở trên nhưng có thay đổi chút ít. Hình 3-4 biểu thị phương trình bậc 1 bốn ẩn. X - 2y + 2z -I- 3w - 5 = 0. w Nguyên Nguyên Thai Nguyên Nguyên Hình 3-4 3 -2 -5 2 •1 Hình 3-5 còn phức tạp hơn, biểu thị phương trình bậc 3 hai ẩn: 2y^ - 8y^ - xy^ + 28y -I- 6xy - x^ - 2x -I- thái = 0. Hình 3-6 biểu thị hệ phương trình bậc 1 ba ẩn: "x-i-2y-i-3z = 26 2x-i-3y-i-z=24 13x + 2y-i-z=39 2 -8 28 Thái 0 -1 6 -2 0 0 0 -1 1 2 3 (X) 2 3 2 (y ) 3 1 1 (z) 26 24 39 Hình 3-5 Hình 3-6 22 Sau đày là niên giám một số ký hiệu toán học: - Dấu lớn hem nhỏ hem khác nhau 'V", gần bằng do Th.Harriot đưa ra nãm 1631. Cần chú ý là sự khác nhau thì P.Viète lại dùng ký hiệu - Vuông góc ± được P.Erigon đưa ra năm 1634. - Số mũ (luỹ thừa) thì P.Viète \iết là A quadratum. A cubum, còn các tác giả khác \'ề sau thì viết gọn hơn: Aq, Ac, tức là A^, A^; ký hiệu a', a',... a" được R.Descartes đưa ra năm 1637 và năm 1656 John WaUis (23/11/1616 - 28/10/1703) người ,Anh đưa ra các ý tường về các số mũ âm. J.WalUs Johann Bernoulli L.Eiiler C.F.Gauss 23 - Dấu ngoặc kép " " do người thợ in Guillaume người Pháp đưa ra năm 1670. - Dấu song song "//" được Oughtred đưa ra năm 1677. - Dấu đồng dạng " ^ " được G.w.von Leibniz đưa ra. - Hàm số f(x) được Johann Bernoulli (27/7/1667 - 1/1/1748) người Thụy Sĩ đưa ra năm 1718, viện sĩ Leonard Euler (Ole) (15/4/1707 - 18/9/1783) người Pháp gốc Thụy Sĩ (nhưng làm việc ở Nga 31 năm, ở Đức 25 năm) đưa ra năm 1734. - Dấu đồng nhất ’ được Carl Friedrich Gauss (30/4/1777 - 23/2/1855) ngưòi Đức đưa ra năm 1801. Dù cho hệ thống ký hiệu phát triển chậm, người ta vẫn phải thừa nhận những cột mốc được dựng lên trên con đường lịch sử phát triển của toán học. 24 4. BẮC NHỮNG NHỊP CẦU HƯỨN6 TỚI NHỮNG ĐIÊU Đà BIẾT Chúng ta đang sống trong nhiều điều chưa biết. Trí tuệ cùa loài người đã bắc rất nhiều nhịp cầu để đi từ thế giới cùa những điều chưa biết sang những điều đã biết. Biết bao phưcmg trình \ầ lời giải của nó là những nhịp cầu như \ ậv. Ngày nay. người ta đã quen với việc dùng các đại lượng y... để chì những điều chưa biết và dấu "=" để nối hai vế của phưctng irìiứi. Như vậy. la sẽ có một phương trình gồm các ký hiệu, ưong đó có những điều đã biết và những điều chưa biết (ẩn số). Tên gọi phương trình bắt đầu có trong bộ sách "Sách toán chm chương". Lý thuyết lập và giải phương trình đã được người thời cổ Đại ờ Babilon. Trung Hoa. Ai Cập... xây dựng từ hơn 2000 nãm trước Cõng nguvẽn. Các bài toán cụ thể vầ cách giải phương trình bậc 1; ax + b = 0 (a 0) (4-1) đã được một tác phẩm của người Ai Cập đề cập đến vào khoảng năm 1700 năm trước Công nguyên và ngày nay học smh lóỊ) 3, lớp 4 đã được học. Phương trìnli (4-1) có 1 nglnệm duy nhất. _ _ b a(4-2) Tuy vậy ngày xưa người ta đã tốn rất nhiều công sức và thời gian mới tìm được cách giải. Đáu liên, đế giải (4-1) người ta phải dùng "phương pháp 25 hai lần thử". Nội dung của phương pháp này như sau: Giả sừ gi và g2 là hai giá trị thử của x; h, và hj là hai giá trị tương ứng. Ta có: gia + b = h| (4-3) g2a + b = h2 (4-4) Lấy (4-3) trừ (4-4): a (gi - gĩ) = h, - h2 (4-5) Nhân hai vế của (4-3) với g2 và (4-4) với g, ta được: g,g2 a -t- bg2 = h,g2; (4-6) g2g, a 4- bg, = h2g, (4-7) Lấy (4-6) trừ (4-7): b(g2-gi) = h,g2-h2g,. (4-8) Từ (4-8) và (4-5) ta được: h,g2 -h2gj a =h ,-h 2 b = - (4-9) gl-g2 Từ (4-9) và (4-1) ta có: h ,-h 2 g)-g2 (4-10) Đây là giá trị c ầ n tìm c ủ a X. Cách thử này thấy trong các tác phẩm toán học Ai Cập vào thế kỷ IX với tên là "Phép toán Kitay", nghĩa là "Phép toán Trung Hoa", từ "phép thừa - thiếu" của người Trung Hoa cổ đại. Tất nhiên, để giải các bài toán số học ngày nay người ta dùng các kiến thức đại số, khổng cần dùng "phép thừa - thiếu" nữa. Thời Cổ Đại ở châu Âu, trình độ hinh học đã vượt xa trình độ 26 đại sò học. Mặc dù có sự còng hiến của Diophantus (246 - 330) thcã Hv Lạp cổ đại ưong lĩnh NTỊC đại sô. nhưng sau đó lại không có người kê thừa, vì thê đại sô học phưoíng Tâv ờ thời Trung cổ đã gần như không phát triển. Mãi đến thế kỳ XVI khi ờ châu Âu có những cuộc tranh luận nảy lừa trong giới toán học thì đại số học mới bắt đầu phát triển. Tinh hình ờ Trung Hoa thì ngược lại. đại số học thời Trung Cổ lại rất phát triển. Trong bộ sách "Qiúi chưcmg về nghệ thuật tứih toán" .xuất hiện khoảng năm 200 trước Công nguvên đã có những dụ về cách giải hệ phưctng trình vô định bậc 1. Trong bộ sách "Sắch toán chứi chưcmg" đã đề cập đến \iệc dùng ma trận để giải hệ phương trìiứi vô đirứi. kể cả hệ có chứa các hệ số âm. Trong cuốn 'Trương Khâu Kiện toán kinh" sưu tập ờ thế kv vn i cũng trình bày \ ề phương trình ^•ô đinh. Không giống như Điophantus là người đã tìm được mọi nghiệm hữu tỷ cùa phương trình vô định, người Hindu muôn tìm tất cà các nghiệm nguyên có thể có Aiyabhata (476 - khoảng 550) và Brahmagspta (598 - khoảng 660) đã tìm được các nghiệm nguyên cùa phương trùứi vô địiứi: ax + by = c. trong đó a, b. c là các sô nguyên. Trong bộ sách "Sổ thư cửu chương” cùa Tần Cửu Thiểu xuất bản nãm 1247 có một bài toán rất thú vị; Có một cái hồ rộng 1 trượng, một cày lau mọc nhô lên trẽn măt nước 1 thước, nếu kéo cây lau này vào bờ thì vừa chạm bờ hồ (hình 4-1). Hỏi nước hồ sâu bao nhiêu? (4-11) 27 Bài toán này đã được truyền sang Trung Á, Ấn Độ, rồi sang châu Âu. Đến thế kỷ III, bài toán này được giải thích trong bộ sách "Tôn Tử toán kinh" bằng phương trình vó định bậc 1. Đến thê kỷ V, Zu Chongzhi đã chỉ rõ cách giải bài toán này bằng phương pháp tìm trị số gần đúng của phân số. Đến thế kỷ XIII (thời Nam Tống) bài toán này được Tần Cửu Thiều hoàn chỉnh rõ ràng cả về lý luận và cách tính toán, được gọi là "Đại diễn cầu nhất thuật" (Giảng giải về phép tính toán). Năm 1801 nhà toán học kiệt xuất C.F.Gauss cho ra đời cuốn "Nghiên cứu toán học", trong đó có cách giải các phương trình vô định bậc 1 cả về lý luận và cách tính toán, do vậy người châu Âu gọi đó là "Định lý Gauss". Năm 1876 Madesan người Đức đã chỉ ra rằng, "Định lý Gauss" như cách giải của người Trung Hoa trong "Bài toán Hàn Tín điểm quân" nên các học giả châu Âu gọi định lý này là "Định lý dư Trung Hoa", còn trong sách toán Trung Quốc ngày nay lại gọi là "Định lý Tôn Tử". Phương trình vó định bậc 1 hai ẩn: xy = ax + by + c (4-12) đã được người Hindu giải và sau đó L.Euler cũng lại tìm ra cách giải. 5. CÓ MẤY CÁCH GIẢI PHưUNG TRÌNH BẬC 2 Lịch sử phưcmg trinh bậc 2 bắt nguồn từ nển vãn minh Babilon cổ đại (khoảng 18(X) nãm trưófc Còng nguyên). Lúc đó. họ đã biết cách giải tất cả các phương trình bậc 2 nhưng không diễn đạt trong tập hợp sò thực. Vào khoảng năm 15(X) trước Công nguyên, trong một lác pham của người .Ai Cập về các bài toán cụ thể đã có những ví dụ về giài phương trình bậc 2. Trường phái P>thagoras (thế kỳ VI trước Công nguvên) đã giải phương trình bậc 2 bằng hình học \’à \ề sau người la gọi là phương pháp íẠihagoras. ờ thế kv III trước Công nguvên. người Hy Lạp cổ đại đã biến ^ iệc giải phương trmh bậc 2 thành cơ sờ cho toàn bộ hình học của họ và đẽ có thể làm việc ưong tập hợp sô thực, họ đã thay thế các tính toán của người Babilon bằng các phép dựng hình bằng thước thẳng \'à compa. Tuy vậy. họ chì lứih toán tập hợp sô hữu tv dương, cho nên có nhiều phương trình bậc 2 họ không giải được. Phài chờ đến thê kỳ XVI. khi .xuất hiện sô phức thì mófi giải được tất cà các phương trình bậc 2. ở Trung Hoa cổ đại. cách giải phương trình bậc 2 cũng được trình bàv ưong bộ sách "Sách toán chm chương", trong cuốn 'Trương Khâu Kiện toán kinh" và ưong cuốn "Sổ thư cừu chương". Người Hindu thừa nhận một phương trình bậc 2 có lời giải thực thì có hai nghiệm hình thức. Họ thống nhất phép giải đại sò các phương trình bậc 2 bằng phương pháp bổ sung bìrứt phương quen thuộc, do \'ậv ngày nay phương pháp nàv thường được gọi là phương pháp Hindu. NTiư vậv. ớ thời Cổ Đại người Babilon. người .Ai Cập. người Hv Lạp. người Trung Hoa... đã biết cách giài phương trình bậc 2. nhưng công thức nghiệm thì mãi đến nãm S25 nhà toán 29 học M.I.M.Al - Khowarizmi mới lập được. Ong đã giải phương trình bậc 2 băng đại số và hình học. Ong viết; X + px + q = 0 thành: X-I-- Từ (5-2) ông đã tìm được nghiệm X = -P±, -q 2 V 4 về sau ông lại giải theo cách khác, ông đặt; z = X + -2 j Thay (5-4) vào (5-1) được: - -q =0 Việc giải (5-5) trở thành đơn giản. (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) (5-5) Trong chương trình đại số lớp 9 đã có công thức tính nghiệm của phương trình bậc 2 dạng chính tắc (đầy đủ hay hoàn chỉnh); ax^ -I- bx -I- c = 0 bằng cách đặt A = b^ - 4ac Nếu A < 0 thì (5-6) vô nghiệm. Nếu A = 0 thì (5-6) có nghiệm kép: b X,=X2=-2a Nếu A > 0 thì (5-6) có hai nghiệm phân biệt: -b +Và 2 ^ / - - b-Và (5-6) (5-7) (5-8) (5-9) ^^0 >^2=- 2a F.Viete đã đưa ra hệ ứiức cùa hai nghiệm này; Ix , + x , = - - = - p c x ,x ,= - = q a a (5-10) Hệ thức (5-10) về sau được mang tên õng (hệ thức Viète) và được đưa vào chưcmg trinh đại số lớp 9. Ngoài ra, còn các cách giải phưcmg trình bậc 2 bằng hình học sau đây: - Cách của Sừ John Leslie (1766 - 1832) người Anh ưong cuốn "Các cơ sờ của hlrứi học". - Cách cùa Thomas Carlyde (1795 - 1881) người .Aiứi. học trò của SJ. Leslie. - Cách cùa Karl George Christian von Siaudt (1798 - 1867) ngưcã Đức. Phương trình võ địrứi bậc 2 hai ẩn: >" = ax' + 1, trong đó a là sỏ nguvên dương không chúứi phương^'\ đã được Brahmagupta (thè kx' VU) và Bhàskara (1114 - 1185) người Ăn Độ giải. Người la thường gọi (5-11) là phương trìrứi Pell (J.Pell). Lý thuyết đầy đù về phương trình (5-11) được Joseph - Louis Lagrange (25/01/1736 - 10/4/1813) người Pháp (5-11) hoàn tất vào 1766 - 1769. ,J-L.Lũ grange (ULà một sô ạr nhiên không phải là bình phưcT.g của một sõ' tự nhiên khác. 6. CUỘC THÁCH ĐÔ CHẤN ĐỘNG GIỚI TOÁN HỌC Như chúng ta đã biết, việc tìm lời giải cho phương trình bậc 3 là khá phức tạp và công thức của nghiệm là khá cồng kềnh. Trong một bản Babilon'” tìm thấy có các giá trị của n^ + n^ với n = 1 đến n = 30 và như vậy chúng ta cũng tìm được nghiệm của 30 phương trình bậc 3 đặc biệt. Nhà toán học O.Neugebauer (sinh 1899) tin rằng, người Babilon hoàn toàn có thể quy một phương trình bậc 3 tổng quát về dạng "chuẩn" = c. ở Trung Hoa, bộ sách "Chức cổ toán kinh" của Vương Hiến Chương viết vào đầu đời Đường (thế kỷ VII) có nêu cách giải phương trình bậc 3 tổng quát bằng đại số. Trong bộ sách "Số thư cửu chương" Tần Cửu Thiều (thế kỷ XIII) cũng đưa ra phương trình bậc 3. Người Trung Hoa đã quá chú ý đến phương pháp đại số trên bàn tính, mà ít chú ý sử dụng các ký hiệu đại số như đang dùng, do vậy từ thế kỷ VII nền toán học Trung Hoa bắt đầu lạc hậu so với phương Tây. Omar Khayyam (16/5/1048 - 4/12/1122) ở Khorâsân đã giải phương trình bậc 3 bằng hình học một cách độc đáo. Sau M.I.M.Al-Khowarizmi đã có nhiều nhà toán học đi tìm cách giải phương trình bậc 3 một cách miệt mài. Nhưng trải qua suốt 7 thế kỷ, ngoài việc tìm được cách giải của những phương trình khác thì không có bước tiến nào cho việc giải phương trình bậc 3. Vì vậy, đã có người tỏ ra chán nản, cho rằng phương trình ( 1) Xem ở mục 1. 32 bậc 3 có thể không có thực. Nhưng giáo sư Scippionel del Feưo (Phêro) (1465 - 1526) người Italia, ờ Trường đại học Tổng hợp Bologna thì không như vậv. ống vẫn tiếp tục con đường của mình là đê tâm miệt mài nghiên cứu vấn đề hóc búa lúc bây giờ là giải phương tiiiứi bậc 3. Trời đã không phụ ỏng, vào một ngày "không thê ũn được", ổng đã tìm ra bước đột phá và đến năm 1505 ông tuyên bò' đã tìm ra cách đặc biệt để giải Ị^ương trìiứi. x’ + mx = n. (6-1) với m, n > 0. Vào thời đó, mọi người đểu giữ bí mật cách giải cùa mình. vậy \iệc s.del Ferro giữ kín bảo bối của mình cũng là điều không có gì lạ. NTiưng đáng tiếc là, ông đã không có dịp nào để công bó' ihàiứi tựu của mìiứi. Mãi đến khi sắp qua đời. ông mới để lại bí mật này cho người con rể tin can là Anabel Nova. Miưng về sau, một môn sirứi cùa s. del Feưo là Antonio Fior (Phiorê) đã lấy cắp được bảo bốì của ông. Trong trường phái Italia thì N.Fontana (khoảng 1500 - 1557) cũng đi tiên phong ưong \iệc tìm cách giải phương ữìiứi bậc 3. Báv giờ lại nói đến một nhà toán học khác, đó là Niccolo Tartaglia (1499 - 1557). Thời thơ ấu cùa õng ưôi qua thật nặng nề. Òng sinh ra ờ Brescia miền Bắc Italia nên được gọi là Niccolo của Brescia và thường được gọi là Tartagli (người nói lắp). \ì lúc nhỏ ông bị quân Pháp dã man làm hại. Câu chuyện thương tâm kể lại rằng: Lúc ông 13 tuổi thì quân Pháp tràn vào Brescia, ông cùng với người cha (lúc đó là người đưa thư) và dân chúng chạy trốn vào ngôi nhà thờ để tìm ncri ẩn náu nhưng quân lúứi Pháp đã rượt theo và thảm họa đã xảv ra: Người cha bị chết, còn cậu bé bị chém vào hàm và miệng. Lúc sau người me tìm thấv cảu con trai còn sõng, vôi mang đi. Không có 33 tiền lo thuốc thang điều trị vết thưcmg cho con, bà đã nhớ lại là khi con chó bị thương nó thường liếm vào vết thương và thê là với cách chữa này mà N.Tartaglia đã bình phục. Vết thương ở vòm miệng đã làm ông suốt đời nói năng thật khó khăn. Roi người mẹ lại qua đời. ông phải tự đi tìm đường sống cho mình. Ông có tư chất thông minh, lại ham học. ông học vật lý, toán học và tỏ rõ tài năng rất sớm. N.Tartaglia tự học thành tài, được nhiều người thời đó kính phục. Vào năm 1530 một nhà toán học đã đưa ra cho ông hai câu hỏi mang tính thách thức, nhằm hạ uy tín của ông: 1. Tìm một số mà lập phương cùng với 3 lần bình phương thì bằng 5; 2. Tim ba số mà trong đó số thứ hai lớn hơn số thứ nhất là 2, số thứ ba lớn hơn số thứ hai là 2 và tích của chúng là 1000. Đây thực chất là tìm nghiệm của phương trình bậc 3. Với câu hỏi 1, phương trình sẽ là: + 3x^ = 5 hay: x^ + 3x^ - 5 = 0 và câu hỏi 2: x(x + 2) (x + 4) = 1000 hay: x"* + 6x^ + 8x - 1000 = 0. Ông đã tìm được nghiệm của cả hai phương trình bậc 3 này và vì vậy ông càng nổi tiếng. Các môn sinh của s.del Feưo cũng tuyên bố giải được phương trình bậc 3. Không ai chịu ai, nên cuối cùng các nhà toán học Italia quyết định mở một cuộc thách đô' giữa hai bên, mỗi bên đưa ra 30 đề toán làm trong 2 giờ. Sắp đến ngày thi, N.Tartaglia cảm thấy nao núng, vì ông chỉ là người tự học, sợ không bảo vệ được cách giải của mình. Ông suy nghĩ rất nhiều và đưa ra nhiều phương án khác nhau 34 Trưóc khi ihi 8 nsàv. òns đã tìm được phưcms pháp mới để 2Ìài phưcmg trình bậc 3. Ong học thuộc cách siài mới và nahĩ ra 30 để toán mà chi có cách giải mới này mới thực hiện được. Vào ngày 22/2/1535. các nhà toán học và nhữna người hãm mộ cùa Italia \à nhiều nước châu Âu kéo về thành phò Milan đẽ dự cuộc thi tài. Cả hội iruờng vò cùng náo nhiệt, mọi người nóng lòng chờ đợi giờ phút thi đấu. Bắt đầu cuộc thi. người la tháv một người trè tuổi, đi khập khiễng, lại nói lắp nhưng có đôi mắt sáng, đó là N.Tartagha. giáo NÌèn toán ờ Brescia. Ba chục đề toán mà mỗi bẽn đưa ra đéu là phương trình bậc 3. Người la thấv N.Tartaglia rất bìiứi tĩrứi. lự tin. Òng đã giải xong 30 đề toán đổì phương đưa ra trước giờ quv định. Ngược lại. rủióm môn sinh của s.del Ferro đã không giải được bài nào trong 30 để toán mà ông đưa ra. NTiư vặv. cuộc thi kết thúc với tv sỏ 0 : 30. phần thắng tuvệt đõi thuộc về N.Tanagha. Tm tức được truvền đi. làm chán động cả giới toán bọc. ơ thành phó Milan, có một người đứng ngồi khổng vèn. đó là Girolamo Cardanơ (24;9/1501 - 21/9/1576). Òng không chỉ là thẩv thuốc nổi tiếng khắp châu .Âu. mà còn là một nhà toán học tài ba. dạv toán và có rứiiều còng trình nghiên cứu về toán học. ông chuyên tâm nghiên cứu phương trình bậc 3. G.Cardano nhưng chưa có kẽi quả. Cho nên khi nghe tin N.Tartaglia đã giải đưcíc phương trình bậc 3. ông hy vọng rằng sẽ được hường một phần thành lựu của N.Tartaglia. 35 Lúc này, N.Tartaglia đã nổi tiếng khắp châu Âu, nhưng ông lại không muốn công bố rộng rãi công trình của mìiứi. Ong chỉ viêt lại trong tác phẩm "Nguyên tắc hình học", cho nên trong tủ sách của nhiều người khó lòng có được tác phẩm của N.Tartaglia. G.Cardano hành nghề y nhưng rất quan tâm đến toán học. Với thái độ chân tình, hiếu học, sau nhiều lần G.Cardano đề nghị, năm 1539 N.Tartaglia đã đồng ý truyền lại những bí quyết cho G.Cardano. Nhưng G.Cardano đã không tôn trọng lời hứa, nãm 1545 đã giới thiệu cách giải phương trình bậc 3 với lời giải thích của mình trong cuốn "Ars magna". G.Cardano viết: "Khoảng 30 năm trước, s.del Ferro đã tìm được phương pháp giải này, đã truyền lại cho người khác và đã từng tranh luận với N.Tartaglia, N.Tartaglia cũng phát hiện được phương pháp này. Tôi đã nhiều lần đề nghị thiết tha và cuối cùng N.Tartaglia đã truyền đạt cho tôi phương pháp giải nhưng lại không chỉ cho tôi phương pháp chứng minh, vì vậy buộc tôi phải tìm ra nhiều cách chứng minh. Vì nó rất khó, tôi xin mô tả nó như sau...". Sau đó, cuộc tranh cãi về bản quyền cách giải này đã nổ ra gay gắt nhưng cuối cùng lẽ phải đã chiến thắng và người ta công nhận lời giải đó là của N.Tartaglia. Tuy vậy, G.Cardano vẫn nổi tiếng nhờ công bố cách giải này. Về sau G.Cardano còn đưa ra cách giải khác. Đặt; X = u + V (6-2) Thay (6-2) vào (6-1) được: u^ -f- v^ + (3uv -I- m) (u + v) + n = 0. (6-3) 36 V iệc siả i (6 -3 ) iươna đươna với \iệ c 2Ìâi hệ P>hươn2 trình hoặc: Í3uv-*-m = 0 Ịu'V v' + n = 0 : nv" - o -t-n c o -^ = 0 27 (6-4) (6-5) Tron2 một cuốn sách của Tnm2 Quốc lại nói rằn2, sau 2 nãm G.ílardano còn2 bò cách 2Ìải phưcfn2 trinh bậc 3 thì ưon2 bài "Nhữn2 càu hỏi và phát minh", N.Tarta2lia đã phê phán thái độ thiêu tnm2 thực cùa G.Cardano và vêu cầu thàrứi phô Milan tổ chức tranh luận còn2 khai với G. Cardano. E)ến n2ày 2ập rứiau để traiứi luận thì khòn2 phải là G.(2ardano mà lại là một học trò lài ba cùa G.Cardano. được Ồn2 rất ưu ái. đó là Lodovico Ferrari (1522 - 1565). LJ^errari khõne nhữn2 nắm được cách 2Ìải phươnơ trìrứi bậc 3. mà còn 2Ìài được phươn2 trình bậc 4 nên N.Tartaơlia đã chịu thất bại. Từ đó N.Tana2ha như bị vết thươn2 lòn2 N'à ôm hận đến lúc chét. Trone cuốn "Lịch sừ toán học" cùa Howard Eves n2ười Mv .xuát bàn năm 1969 lại NÌèi; "... Nhữn2 lòi phàn đốì mãiứi liệt cùa N.Tarta£lia đến tai L. Ferrari nẽn neười này đã lập luận cho thầv của mình rằne. G.Cardano có được thòng tin cần cho mìrứi từ s.del Ferro qua một n2ười thứ ba và lẽn án N.Tarta2lia là ãn cắp V tứ cùn2 một nsuổn đó...". Cho dù các lời đổn thổi như ihế nào rứiưn2 cuối cùn2 lời 2Ìài 37 được lưu truyền đến ngày nay với tên gọi chung là cóng thưc Cardano - Tartaglia: x = Cũng cần nói thêm rằng, (6-6) là công thức nghiệm của phương trình bậc 3 chưa đầy đủ (6-1). Tuy nhiên, từ phương trình bậc 3 đầy đủ (chỉnh tắc hay hoàn chỉnh): ax’ + bx^-I-cx 4-d = 0 (6-7) đến phương trình (6-1) chỉ cần đặt; 3a(6-8) y = x-i- — Năm 1572, R.Bombelli cho công bố một cuốn sách đại sô' góp phần đáng kể vào việc giải phương trình bậc 3. Trong các sách giáo.khoa về lý thuyết các phương trình cho biết rằng, nếu í m V J y là âm thì phương trình (6-1) có ba nghiệm thực. Nhưng trong trường hợp này, theo công thức (6-6), các nghiệm đó được biểu thị bằng hiệu của hai căn bậc 3 của các số phức liên họp. Điều tưởng chừng bất thường này gọi là "trường hợp bất khả quy của phương trình bậc 3" đã làm bận tâm đáng kể các nhà đại số học thời xưa. R.Bombelli đã chỉ ra tính thực của các nghiệm thoạt nhìn là không thực trong trường hợp bất khả quy. Trong cuốn "Canon mathematicus seu ad triangula" cùa P.Viète xuất bản năm 1579, tác giả có gợi ý một cách giải bằng 38 lượng giác cho trường hợp bất khả quv cùa các phưcmg trình bậc 3. Trong luận văn cùa P.Viète thấv có cách siải rất đẹp sau đàv cho phưcnag trình bậc 3: x' + 3ax = 2b (6-9) Phưcmg trìrứi (6-9) là một dạng mà phưcmg ưình bậc 3 nào cũng có thể quy vể được. Nếu đặt: X = (6- 10) /. Newton thì (6-9) ườ thàrứi \^ + 2hỳ' = a \ (6-11) Phưctng irìrứ t (6-11) là phương iTÌiứi b ậc 2 c ủ a y’. Ta c ó thể tìm ỳ \ rồ i V. sau đ ó là X. vể phương trìrứi (6-9) đù Isaac Newton (25/12/1642 - lO /y n iJ ) người .Anh cũng có cách giải. 39 7. NHỮNG VINH QUANG SAU KHi Đà QUA ĐỜI ở châu Âu đến thế kỷ XVI khoa học tự nhiên đã phát triển rất nhanh chóng. Truyền thuyết tôn giáo cho ràng, Thượng Đế sinh ra thế giới và Trái Đất có hình vuông. Những phát kiến về địa lý của Christophe Columb (1451 - 20/5/1506), Fernand de Magellan (1480 - 1521) và những người khác đã chứng minh đầy đủ rằng, Trái Đất có dạng hình cầu, đó là điều G.Galilei không thể chối cãi được. Phát minh về vật lý của Galileo Galilei (16/2/1564 - 8/1/1642) người Italia đã đưa lại cho nhân loại những nhận thức mói về vũ trụ. Toán học được suy tôn là "nữ hoàng" của khoa học tự rứiiên. Từ thế kỷ XVI đến thế kỷ XVIII, đã xuất hiện hàng loạt nhà toán học kiệt xuất, họ đã đưa nền toán học lên một đỉnh cao mới. Sự xuất hiện phương pháp tọa độ, ứng dụng của số phức, sáng tạo ra vi - tích phân... đã kết hợp nghiên cứu thế giới khách quan trong trạng thái tĩnh và động. Vào thời gian đó, cả châu Âu gần như đã bỏ lại đằng sau sự trì trệ của thời Trung cổ. Trong tiến trình phát triển đó, toán học luôn đi tiên phong. Nhưng ở nhánh phương trình đại số thì tình hình lại không hoàn toàn như vậy. Như ở mục 6 đã nói, do cuộc thách đố chấn động cả giới toán học vào đầu thế kỷ XVI nên người ta đã tìm được cách giải phương trình bậc 3, bậc 4. Từ giữa thế kỷ XVI trở đi, người ta bắt đầu đi sâu nghiên cứu phương trình bậc 5. Các nhà toán học đã phân tích tỉ mỉ cách giải phương trình từ bâc 2 40 đẽn bậc 4. Nếu một phươne trình có nahiệm NÌết được bằna công thúc đại sõ' cùa các hệ số thì được 2ỌÌ ià phươna trình siải được bằng căn thức. Trước thời R.Bombelli P.Viète nsười ta đã .xác định được còng thức tổng quát để túứi nghiệm của Ị>hương trình từ bậc 1 đến bậc 4. Không bao lâu. sau khi giải được phương trìiứi bậc 3 thì phương trình bậc 4 tổng quát cũng có cách giải đại số. Việc phương trình bậc 4 tổng quát quy về \iệc giải một phương trình bậc 3 liên kẽL Năm 1540. Zuaruie de Tonini da Coi người Italia đã đề nghị G.Cardano giải bài toán dẫn đến phương trình bậc 4 nhưng G.Cardano không giải được, mà học trò là L.Ferrari lại giải được và sau đó G.Candano đã cõng bố cách giải này ưong cuốn "Ars magna" cùa ông. Cách giải của L.Ferrari \iết gọn theo cách ký hiệu hiện nav như sau: Biến đổi đơn giản sẽ quv một phương trinh bậc 4 chính tắc (đầy đủ) về dạng: X* + px* + qx + r = 0. (7-1) Từ (7-1) biến đổi được: .X' -i- 2px‘ -i- P' = px' - qx - r -i- P‘. (7-2) hoăc: (.X- -i- p)‘ = px* - qx -t- p- - r. (7-3) Với y bất kỳ', từ (7-3) ta có: (X- p + y)‘ = px' - qx p’ - r -t- 2y (x* + p) + >" = (p + 2y) X- - qx -I- (p- - r * 2py -(- ỳ ). (7-4) Bây giờ ta chọn y đẽ' vẻ' phải cùa (7-4) là một bình Ị^ương. E>âv là trường hợp khi; -kp ^ 2y) (P* - r -t- 2py -t- >-^) - q- = 0. (7-5) 41 Phương trình (7-5) là phương trình bậc 3 cùa V đã có các cách giải như đã nói ở mục 6. Một giá trị cùa y như vậy sẽ quy phương trình bậc 4 lúc đầu về việc chỉ phải lấy các căn bậc 2. Một cách khác bàng đại số giải phương trình bậc 4 được P.Viète đề xuất và một cách nữa được R.Descartes đưa ra năm 1637, nhưng trong nhiều giáo trình đại hc)c đã có thì cách giải của P.Viète cũng giống như cách giải của L.Peưari. Nhà toán học Vanmec người Tây Ban Nha cũng đã giải được phương trình bậc 4 nhưng tên bạo chúa Tuocmacvada đã thiêu chết ông, vì theo hắn, ông đã làm trái ý Trời: phương trình bậc 4 không hợp với khả năng của người trần tục - đó là ý muốn của Trời! Vì việc giải phương trình bậc 4 tổng quát được thực hiện tùy thuộc vào việc giải một phương trình bậc 3 liên kết, nên nãm 1750 L.Euler đã cố gắng làm điều tương tự là quy việc giải phương trình bậc 5 tổng quát về phép giải phương trình bậc 4 liên kết nhưng đã thất bại. Rất nhiều nhà toán học cũng đã vắt óc tìm kiếm cách giải phương trình bậc 5 nhưng không đi đến kết quả. Trước tình hình đó, người ta bắt dầu hoài nghi là liệu có tồn tại hay không một công thức tính nghiệm của phương trình bậc 5 tổng quát! Năm 1778, nhà toán học J.L.Lagrange đã mở được một đầu mối quan trọng, ông đã tập trung tìm kiếm công thức chung để giải các phương trình từ bậc 2 đến bậc 4, vì ông cho rằng, nếu tìm được công thức chung đó thì sẽ suy luận để tìm được cách giải phương trình bậc 5. Nhưng cuối cùng ông đã phát hiện thấy nghiệm của một phương trình đã biết có thể được biểu thi bằng một hàm số đối xứng của một phương trình hỗ trợ khác 42 Phương ưình hỗ ượ nàv được òns gọi là "cách giải dự kiến". Dùng cách giải dự kiến này, ông đã sử dụng để giải được Ị^ương ưình bậc 3. bậc 4 nhưng khi đến phương trình bậc 5 thì ông đành chịu. Một lia sáng lại lóe ương đầu ông: còng thức như vậv là không thể tồn tại được, nhưng ông lại không thể chứng rmnh được điều này. Riương pháp tổng quát biến đổi một phương trình đa thức bậc n đối với thành một phương trình bậc n đối với y, ưong đó các hệ sô' của y°'- đều bằng 0 được E.w.von Tschữnhausan (1651 - 1708) đưa ra. v ề sau phép biến đổi phương trình bậc 5 như \’ậy. ưong đó các hệ số của y"*. đều bằng 0 đã được E.S.Biings (1736 - 1798) đưa ra nãm 1786. Điều này đóng vai ưò quan ưọng trong \iệc giải phương trình bậc 5 bàng các hàm eliptic. Năm 1834, G.B.Jeirard (mất 1863) lại chứng minh được hệ số cùa ^•^■’cũng bằng 0. Trong các năm 1803, 1805, 1813. nhà vật lý Paolo Ruffini (1765 - 1822) người Italia đã đưa ra một cách chứng rrúnh về một điều mà lúc bấy giờ được coi là một sự kiện, đó là nghiệm của phương trình tổng quát bậc 5 hoặc bậc cao hơn đều không thê biểu thị được bằng các căn thức theo các hệ số của phương trình đó. Loài người đứng trước sự thách thức \ể trí tuệ hết đời nà>' đến đời khác, cho đến khi xuất hiện nhà toán h(x: ưẻ tuổi Niels Henrik .\bel (5/8/1802 - 6/4/1829) người Na Uy. ông là người rất can đảm. Ngay từ thuở nhỏ, ông đã bắt đầu tìm lòi giải cho phương trình bậc 5. Nhờ quyết tàm chiến thắng đến cùnơ. cho nên vào nãm 1824 (lúc ôn*^ "*2 luỏi). ông đã chưng minh N.HAbel 4': được một cách tổng quát rằng, phưcmg trình bậc từ 5 trở lên là không thể có cách giải kiểu căn thức. Với trí tuệ của tuổi trẻ, ông đã tuyên bố với thế giới một chân lý: Trí tuệ của con người là bất khả chiến thắng. Nhưng con đường thành công của N.H.Abel hết sức gập ghềnh, khúc khuỷu. Tuy có những thành công trong thời gian ngắn ngủi, nhưng những gì là đau khổ còn nặng nề hơn. Những vinh quang của ông hầu hết đến sau khi ông đã qua đời. Ông sinh ra trong một gia đình mục sư ở nông thôn. Cha mẹ của ông lại đông con và nghèo. Trong số 7 anh chị em, ông là người anh thứ 2. Lúc nhỏ ông bị ốm nhưng không có tiền để chữa bệnh. Năm 13 tuổi, ông được đưa vào học trong tnrcfng dòng. Ngay từ đầu ông đã rất hứng thú với toán học. Năm 1817, trong trường đã xảy ra một sự kiện đặc biệt, trong một đêm đã thay đổi cả cuộc đời ông. Thầy dạy toán của ông, do đã ngược đãi học trò nên đã bị sa thải. Thay thầy giáo cũ là thầy giáo Holmboe (sinh năm 1795) mới 22 tuổi. Thầy Holmboe đã nhanh chóng phát hiện tài năng toán học của N.H.Abel. Lúc đầu thầy Holmboe đưa cho N.H.Abel một số sách tham khảo, tự học. Sau đó Holmboe lại họp tác nghiên cứu với N.H.Abel. Khi N.H.Abel nêu ra quyết tâm tấn công vào phương trình bậc 5 thì nhiều người cười chế giễu, cho rằng: "Êch nhái làm sao lại đòi ăn thịt thiên nga". Vậy mà Holmboe lại rất ủng hộ N.H.Abel, động viên ông cố gắng vươn lên. Năm 1821, N.H.Abel thi đậu vào trường đại học. Để thực hiện ý tưcmg của mình, ông theo học thầy C.F.Gauss. Ban đầu ông học theo cách của những người đi trước, đi tìm cách giải đáp một cách chứih diện. Sau nhiều ngày tháng miệt mài, năm 1824 ông đã chứng minh là phương trình tổng quát bậc 5 khống thể có công thức tính nghiệm bằng căn thức. 4 4 Điéu làm bận lâm buộc loài nsưòfi phải suv nehĩ suốt 2 thê kỷ cuối cùng đã được mội thanh niên khòns có tiếns tăm £Ìải quyêt. Tuy nhiên, điều N.H.Abel nêu ra đã khỏns được các tạp chí toán học đãng tải. buộc òna phải lự bỏ tiển ra in án. Nhưns những đau khổ của õng không vì thê mà giảm bói. Năm 1825. N.H.Abel đến nhiểu nước châu .Âu và đã gõ cữa nhiều nơi nhưng không ờ đãu coi ông ra gì cả, kể cà rứiững nơi đưcíc gọi là "Vương quốc toán học". Cuối cùng, ông đến Berlin. Rất mav mắn. ờ đây ông đã được kỹ sư Klaye hiểu được ý tường của ông. Tuy Klaye không hiểu hết nội dung mà N.H. .Abel đã ưìrứi bày. nhưng Klaye lại hiểu được năng lực to lớn cùa N.H.Abel. Năm 1826 Klaye đã giúp N.H.Abel cho ra đời Tạp chí "Lv luận và toán học". Ba số đầu cùa lạp chí đã đãng 22 bài phát biểu cùa N.H.Abel, giói thiệu các công trùứi nghiên cứu toán học cùa N.H.Abel. Những ihàrứi tựu xuất sắc cùa N.H..Abel dần dần đã thu hút sự chú ý cùa giới toán học châu Âu. Chứứi vì vậv. mà tạp chí này nổi tiếng cho đèn tận ngàv nay. Tháng 5-1827. với tấm lòng thương nhớ què hương Tổ quốc. N.H.Abel trờ về thù đô Otslo. Tuv nhiên, ỡ què hương thì ỏng lại không tìm được công việc gì thích hợp. Tháng 9-1828. bôn viện sĩ hàn làm khoa học Pháp đã vèu cáu uia Salơ .XIV giúp đỡ vật chất, tạo điều kiện đè’ N.H..Abel nghiên cứu khoa học. Nhưng do vất và quá độ mà bệnh lao của ông lại tái phát, đe doạ đến tính manơ cùa ông. Ngàv 6-4-1829. ngòi sao sáng rực trẽn báu trời toán học đã tắt lặn. N^àv 9-4-1829. người thân trong gia đình đã nhận được một bức thư từ Berlin gữi đến với nội dung: 45 "ông N.H.Abel kính mến! Trường chúng tôi quyết định tôn vinh ông là giáo sư toán học trường. của trường Chúc mừng vinh dự đó của ông! Trường Đại học Berlin” Nhưng bức thư này đã đến chậm, ông đã qua đời trước đó 3 ngày. Ngày 28-6-1830, Viện Hàn lâm khoa học Pháp đã trao giải thưởng lớn cho N.H.Abel. Đó là những vinh quang sau khi ông đã qua đời. Tất nhiên, N.H.Abel không chỉ có công lao đối với việc giải phương trình bậc 5. Lại có câu chuyện về việc giải phương trình có bậc rất lớn như sau: Vị đại sứ Hà Lan có lần đã nói dóc với vua Henry VI rằng, nước Pháp không có nhà toán học nào có thể giải được bài toán do Adrianus Romanus (1561 - 1615) người Hà Lan đật ra nãm 1593, vì bài toán này đòi hỏi phải biết cách giải một phương trình bậc 4, 5. P.Viète được triệu đến. Sau khi xem xét bài toán, chỉ vài phút sau ông nhận ra mối liên hệ lượng giác đặc biệt và đưa ra 2 nghiệm, sau đó thêm 21 nshiệm nữa. Trong cuốn "De numerosa", P.Viète đã trình bày một quá trình có hệ thống nói chung để tìm xấp xỉ liên tiếp một nghiệm của một phương trình. Phưcmg pháp này sẽ rất mất còng sức khi giải các phương trình bậc cao nhưng đã được dùng cho đến hết thê kỷ XVI. 46 8. HAI NGỒI SAO SÁNG CHỚI TRÊN BẦU TRỜI LỊCH sử TOÁN HỌC Trong 2 thế kỷ XIX và XX, lịch sử toán học châu Âu đã xuất hiện hai ngôi sao toán học mới. Một ngôi sao vừa được giới thiệu ờ mục 7, đó là N.H.Abel. Một ngôi sao khác là nhà toán học tài ba Évariste Galois (Galoa) (26/10/1811 - 31/5/1832) người Pháp. Năm 1824, với tài ba của mình, N.H.Abel đã mở cánh cửa bí mật kéo dài suốt 2 thế kỷ. Ông đã chứng minh được É.Galois rằng phưcmg trình bậc 5 tổng quát là không thể giải được bans căn thức. Tuy vậy, có những phương trình bậc 5 đặc biệt, ví dụ: x '-3 2 = 0; (8-1) X- + X 1 = 0, (8-2) thì có thể giải được. Phương trình (8-2) tuy không thể dễ nhìn ra, nhưng chỉ cần biến đổi: x^ + X 1 = ( x ’ - x^ -I- 1) (x “ -I- X + 1) (8-3) thì thấy được. Như vậy, phương trình bậc 5 chỉ giải được với nhữns điều kiện nhất định. N.H.Abel trong mấy năm ngắn ngủi của đời mình đã miệt mài nohiên cứu, nhưng rất tiếc là chưa kịp thực hiện được ý đồ thì ônơ đã không còn nữa. Trả lời câu hỏi này lại phải chờ đến tài ba của É.Galois. 47 Năm 1828 người thanh niên É.Galois chỉ ra được khi nào thì một phưcmg trình cụ thể không thể giải được bằng căn thức. Lúc đó, ông chỉ là một học sinh trung học ở tuổi 17. Cả É.Galois và N.H.Abel có nhiều điểm giống nhau rất đáng kinh ngạc, đó là đều ở cảnh nghèo khổ, đều cùng nghiên cứu phương trình bậc 5, đều chịu ảnh hưởng rất sâu sắc cùa thầy giáo, đều đạt được thành tựu trong cảnh ngộ bi đát, đều qua đời lúc còn rất trẻ và cũng đều có được vinh quang sau khi đã qua đời. É.Galois ra đòi ở một thị trấn ngoại ô Paris. Năm 12 tuổi ông vào học trung học. Lúc đầu, nhiều thầy giáo cho rằng, ông "không có trí khôn", là "khúc gỗ khó đẽo". Nhưng không vì thế mà É.Galois lấy làm khó chịu. Ba năm sau, ỏng được giáo sư H.J.Vemier dạy toán. Dưới sự dìu dắt của H.J.Vemier, É.Galois đã được tiếp cận với nhiều tác phẩm toán học nổi tiếng. Năm 16 tuổi (1827) É.Galois bắt đầu đi sâu vào nghiên cứu lý luận phương trình, ông cho rằng, tuy N.H.Abel đã có những thành tựu nổi tiếng thế giới nhưng chưa giải quyết được vấn đề: Khi nào thì một phương trình giải được bằng căn thức. Do vậy, É.Galois đã đi sâu nghiên cứu vấn đề này. Năm 1828, É.Galois lại được một thầy giáo toán học tài ba giúp đỡ và nhờ vậy mà ông đã có những phát minh mang tứih thời đại. Ồng đã giải quyết triệt để vấn đề điều A-L.Caiichy 48 kiện đẽ phương ừình đại sô giải được bằng căn ứiức. É.Galois đã MŨ sướng prfiát điên lên. ông đã tập hợp thành quả đó gùi đến Viện Hàn lâm khoa học Pháp để thẩm đinh. Ngày 01/6/1828. Viện Hàn lâm khoa học Pháp đã họp để xem .xét luận văn cùa É.Galois. Qiù trì Viện Hàn lâm khoa hex: Pháp là giáo sư Augustin - Louis Cauchy (Cosi) (21/8/1789 - 23/5/1857). Khi A.L.Cauchy mở túi hồ sơ của É.Galois ra thì không thấv tài liệu đâu nữa. Tháng 1-1830, sau thời gian cặm cụi thu thập lại. É.Galois lại gùi luận văn của mìiứi cho Viện Hàn làm khoa học Pháp. Lần này, Viện Hàn lâm khoa học F1ìáp đã nhường tư cách thẩm điiứi cho Mện sĩ Jean - Baptiste - Joseph Baron Fourier (Phuriê) (21/3/1768 - 16/5/1830). Đáng tiếc là không chờ đến cuộc họp, NÌ tuổi cao sức yếu J.B - J.B.Fourier đã qua đời. Người ta chưa biết đưcx: đárứi giá của J.B - J.B. Fourier ra sao. N'a lại không tìm được luận ván của É.Galois ở đàu nữa. Đã hai lần bất hạnh đến với É.Galois nhưng ông không nàn chí. Năm 1831, lần thứ ba ông lại gừi luận văn của minh đi. Lần này lại do giáo sư Siméon - Denis Baron Poisson (21/6/1781 - 25/4/1840) Ị^ụ trách đáiủi giá luận văn. Sau 4 tháng xem xét, cuối cùng S.D.B.Poisson Mốt mấy chữ trên bìa luận văn: "Hoàn toàn không thể hiểu được". NTiư vậy, là toàn bộ luận văn lại bị đưa vào kho rư liệu và lãng quèn. Lúc đó É.Galois lại bắt đầu dấn thân vào cuộc cách mạng tư sản Pháp. Tháng 5/1831 ông bị bắt bỏ tù với tội daiứt mưu sát nhà Mia. \'ể sau chứng cứ không đầy đủ. ông được thả. Ngày 14/7 năm đó. ông lại bị bắt. đến ngày 29/4 nãm sau lại được thả. 49 É.Galois vào trận đấu vì tranh chấp tình yêu. Sáng sófm ngày 30/5/1832 trên thảm cỏ cạnh bờ hồ, ông đã phải nhận một viên đạn vào bụng. Sau 24 giờ, nhà toán học thiên tài chưa đầy 21 tuổi đã từ giã cõi đời. Trước ngày đấu súng, É.Galois đã kịp tập hợp toàn bộ công trìiứi toán học của mình giao lại cho ngưcri bạn thân là Auguste Chevalier, ông viết: "Về lý luận phương trình, tôi đã nghiên cứu điều kiện có thể giải phương trmh bằng căn thức. Điều này đã giúp tôi phát triển lý luận và mô tả tất cả mọi thay đổi đối với phương trình làm cho phương trình này không thể dùng căn thức để giải được. Tất cả những nội dung này đều có thể tìm thấy trong luận văn của tôi". ..."Hoàn toàn không cần thẩm định tứih đúng đắn của định lý mà cần hiểu tầm quan trọng của nó. Từ nay, tôi hy vọng rằng, sẽ có người phát hiện, chỉnh lý những điều đó để biến nó thành điều có ích". Nhưng rồi luận văn của ông cũng lại không được đưa đến nơi ông mong muốn. Theo nguyện vọng của É.Galois, A.Chevalier đã đăng bức thư của ông trên "Bình luận bách khoa". J.Liouville Năm 1846, nhà toán học Joseph LiouviUe (24/3/1809 - 8/9/1882) người Pháp, trong khi chỉnh lý lại những di cảo của É.Galois đã rất kinh ngạc khi phát hiện ra luận vãn của ông và J.Liouville liền đưa nó lên tạp chí toán học của mình. Nhờ đó đã làm sống lại đóa hoa toán học đầy trí tuệ của loài người đã bị vùi dập 14 năm trời. 50 Thành tựu cùa É.Galois đã mờ ra một lĩnh vực mới cho đại sỏ học: Lý thuyết nhóm". Đáv là một ngành toán học đầy sức sống. Thẻ nào gọi là "nhóm"? Nhóm là một khái niệm được định nghĩa chính .xác. Sau đáv, chúng ta giới thiệu khái quát về nhóm; Giả sừ a. p. 7 là một phép thế cùa 1, 2. 3, tức là X a thay cho X,, Xp thay cho Xj. X-, thay cho X-.. Ta có: X, X, X,(8-4) VI phép thế vừa nêu phụ thuộc thứ tự các đại lượng nên có thể viết: X.. ĩ;" (8-5) X, X3 ■y ‘‘CI y V ? ■ p CI y Với ba số hạng (ba cột) thì được 6 loại: X2 X3];a = 'x , X2 X,' ; b - f x , X2 X3 1 = Ix, xỉ X3j .X2 x j 1 X3 X, X2 \ fx, X, X3I; d = fx, X, X3]; e - í 'X2 X3 c = Ix, X3 X2J 1 X3 xỉ x j 1 x 2 X, X3 3? J (8-6) Mỗi phép thế gọi là phán tử. Phần tử không đổi thứ tự gọi là phấn tử đơn vị, đó chính là (I) ờ (8-6). Biến đổi liên tiếp hai lần thì gọi là "tích", được ghi là Ví dụ: a.c =JX, X-, Ị X, X, X3 x J - U l xí X3 X2 , X3 X31 ^ 1 X3 X, X, J Tích hai phần từ là phần tử đcm vị (I) thì phần lử thứ hai gọi là phần tử nghịch đảo. Như chúng ta dễ thấy: a.b = I. thì b chính là phán từ nghịch đảo của a và có thể ghi là b = a' Rõ ràno, các phép thế ba số hạng sẽ có tính chất như sau: 51 1. Tích của hai phán tử bất kv vản là một phân tử. Điểu nay có thế biểu thị như bảng 8-1. Bàng 8-1 Tích của hai phần tử 2. Tích của phần tử thoả mãn với tính chất kết hợp: a.(b.c) = (a.b).c. 3. Tổn tại phần tử đơn vị I. 4. Đối với bất cứ phần tử nào cũng tổn tại phần tử nghịch đảo: a ' = b, b ' = a, c ' = c, d ‘ - d, e ' = e. Phép kếí họp các phần tử thoả mãn 4 tính chất vừa nêu, đó chính là "tích" xác định một nhóm. É.Galois đã bị thu hút bởi khái niệm nhóm này và nhờ đó, ông đã phát hiện ra rằng, mỗi phưcmg trình đại sô có một nhóm biến đổi phản ánh đặc trưng của nó. 52 9. DIẾU NGHI NGỜ VẺ “VỤ ÁN CHIẾC VƯƠNG MIỆN" \ ụ á n c h iẽ c \ ư ơ n g m iệ n " đ ã trờ th à n h c à u c h u v ệ n lịc h sừ. £ )è n n ã m 1 5 S 1 . tứ c là sa u IS th ế k v k ể từ k h i x â v ra \ Ị 1 án . G .G a lile i n g ư ò i Ita lia (lú c n à v m ó i 1~ tuổi') c ũ n s đ ã c ó h ứ n s th ú đ ỏ i N ói 'N ụ án c h iẽ c NTiơns m iệ n " . Ò n e rãt n e ư ỡ n s m ộ h ọ c s iã .A r c h im e d e s . O n e đ ã đ ọ c n h iể u s á c h c ủ a A r c h im e d e s \ à c ó th á i d ộ h ọ c tậ p rãt c ẩ n th ậ n . M ộ t h ò m . õ n s d ọ c c u ố n "B àn \ ể lự c n ổi" c ú a A r c h im e d e s , ir o n s đ ó c ó rất n h iể u tran h m in h h o ạ , k h iế n ò n s rãt n s ạ c n h iê n . T h ì ra. ir o n s s á c h .A r c h im e d e s đ ã m õ tá đ ịn h lu ậ t c ú a m ìn h b a n s h in h \'ẽ. S ự k iệ n trẽn d ã v d ã là m c h o G .G a lile i c ó n h ử n s h o à i n s h i \ ề " \'ụ án c h iẽ c \ ư o n s m iệ n " . Ò n s c â m th á v n h à to á n h ọ c s u v n s h ĩ ch ặ t c h ẽ n h ư .A r c h im e d e s q u v ẽ t k h ô n s th è c h i d ù n s lạ i o k ế t lu ậ n n ò n s cạ n : " .\ư ó c m à c h iế c N'UOns m iệ n là m tràn ra n h ié u h o n n ư ớ c m à k h ô i \ à n s r ò n s là m tràn ra", n h ư \ ậ v ! .A r c h im e d e s n h át d ịn h sẽ tìm ra ir o n s N ư ơ n s m iè n p h a trộn h a o n h iê u b a c . S o n s , n ê u th e o c á c h d ã n ó i I r o n s c â u c h u v ệ n ỡ m ụ c 1 th ì p h ả i đ o thât c h ín h x á c th ể tic h n ư ó c m à \ ư c n s m iê n N'à k h ô i %àns r ò n s là m tràn ra. Đ à v c ó th ế là \ i ệ c là m c ự c k v k h ó k h ă n . G .G a lile i c h o r ằ n s. .A r c h im e d e s đ ã là m c á c h k h á c lin h \ i h ơ n n h iể u N'à d ã x á c d ịn h d ư ơ c th à n h p h a n b ạ c c ó ir o n s c h iẽ c N ư ơ n s m iê n . \ ' ã \ . n êu tõ i là .A r c h im e d e s th ì tò i p h ã i là m g ì? TTiè là G .G a lile i đ ã d ù n s " n s u v ẽ n lý đ ò n b áv" \ à " n s u v ê n K lư c đ a v c ủ a n ư ớ c" c ủ a .A r c h im e d e s là m c ơ s ỡ đ ế tìm ra p h ư ơ n s p h á p c h ín h x a c h c n . T r ò i k h õ n s p h ụ n s ư ò i c ó c ô n s . c u õ i c ù n s G .G a lile i d ã th à n h c õ n g , ô n g d ã m õ la c á c h s u y n s h ĩ c u a m 'm h s A trong bài "Chiéc cân nhỏ". Trong bài \’iết nàv lần đáu tién tnê hiện thiên tài của ỏng. Chắc bạn đọc muốn biết "Chiếc cân nhỏ" của G.Galilei là thê nào? Hình 9-1 mỏ tả điều mà ông đã viết. Nhìn bể ngoài nó rất giống một cái cân thiên bình, chỉ khác là trên đoạn XY ở cánh tay đòn có chia những độ ngắn. Quả cân có thê chuyển động trên đoạn có chia độ (XY) và chúng ta có thể đọc được \'Ị trí cùa nó. Tuy nói là "Chiếc cân nhỏ" nhưng sự thực khổng phải là nhỏ, bởi vì cánh tay đòn dài hom 1 mét, chỉ có đoạn chia độ (XY) là bé, chỉ có 2 - 3mm. Hình 9-ì — w Nước Hình 9-2 54 \ ’ã v đ o ạ n c h ia đ ộ ( X V ) n h ư t h ế n à o ? H ã v x e m h ìn h 9 - 2 . T r u ó c h ẽ t tạ i đ iể m B ta ư e o m ộ t m a u \ à n s c ó ư ọ n s lư ợ n s sa u đ ó tr e o q u ã c â n ờ đ iể m A s a o c h o n ó c â n b a n s v ớ i m ẩ u v à n g ) (h ìn h 9 - 2 a ) . R ồ i ih ã m a u v a n s v à o n ư ớ c (h ìn h 9 - 2 b ) . L ú c đ ó m a u \ à n g c h ịu tá c d ụ n s c ù a lự c đ ẩ v c ù a n ư ớ c , là m c h o lự c tá c d ụ n g l ẽ n B n h ẹ d i m ộ t ít. M ứ c c à n b a n s b ị p h á v ỡ . Đ ể s i ữ đ ư ợ c m ứ c c à n b a n g m ớ i. tát n h iê n p h i i đ ư a q u ã c à n \ ể b ẽ n p h ả i đ iể m tứ c là đ iể m X . D ư ớ i đ à v c h ú n s la s ẽ n ó i rõ . \ i ệ c x á c đ ịn h đ iể m X k h ò n s c ó liê n q u a n s ì đ ế n m á u v a n s . Đ ã v là c h ỗ tu v ệ t v ờ i c ù a c h iế c c â n G .G a lile i. T r ê n th ự c t ế s i à đ ừ ih th ể tíc h m ẩ u \ à n s là \ ’q. c ò n tv ư ọ n s ( ư ọ n s lư ợ n s c ủ a m ộ t đ c n v ị th ể tíc h ) c ú a \ à n s là d<3 . \ ' ậ v ư ọ n s lư ợ n s m á u \ à n s có th ể tứ ih đ ư ợ c: \v , = d,-.\v (9-1) K h i m ẩ u v a n s đ ư ọ c th ã v à o n ư ớ c , d o c h ịu sứ c đ ẩ v c ủ a n ư ó c . lự c lá c d ụ n s lẽ n B s iã m m ộ t lư ọ n s b a n s ư ọ n s lư ợ n s c ù a th ể tíc h n ư ớ c m à m a u \ à n s c h iế m c h ỗ ( b a n s th ể tíc h m ẩ u v à n s C h o n ê n tai B c h ịu m ộ t lự c là ( d - - T ừ t ' - í - l ' \ à t h e o n s u v ẽ n Iv đ ò n b á \‘. từ h a i lá n c à n ta c ó ; w . (Ãà - w , .ÕB = d - . . Õ B ' \ v , õ x = id_-. -D V . T ừ h ệ p h ư o n s tr ìn h ( 9 - 2 ) ta có : O X = 1— ^ .O A (9-21 d-( 9 - 3 ) 55 T ừ ( 9 - 3 ) tháy Fằng, vị trí X c h ỉ liên quan đến tỷ trọng d o cúa vàng và vị trí c ủ a A , m à hai đ ạ i lượng này không thav đ ổ i. v ậ y vị trí c ủ a X là c ố định. N ê u ta đ ổ i m ẩ u v à n g là m ẩ u b ạ c \'à c ũ n g là m n h ư tr ê n th ì c h ú n g ta đ ư ợ c v ị tr í c ủ a đ iể m Y c ũ n g c ô đ ịn h . B â y g i ờ ta c ũ n g là m n h ư v ậ y đ ố i v ớ i c h i ế c v ư ơ n g m iệ n s ẽ x á c đ ịn h đ ư ợ c đ iể m z ở g iữ a đ iể m X v à đ iể m Y ( h ìn h 9 - 3 ) . T r o n g b à i " C h iế c c â n n h ỏ " c ủ a G .G a lile i c ó n ó i " Đ ộ d à i Z Y s o v ớ i đ ộ d à i z x c h ín h là tỷ lệ tr ọ n g lư ợ n g g iữ a v à n g v à b ạ c tr o n g c h iế c v ư ơ n g m iệ n " . P h é p c h ứ n g m in h c ủ a G .G a lile i k h ô n g c ó g ì k h ó h iể u đ ố i v ớ i h ọ c s in h tr u n g h ọ c . G iả th iế t, v ư ơ n g m iệ n c ó tr ọ n g lư ợ n g w^. 56 irons đó Irons lượns phán \ àns là u \ à phán hạc là \. dung d, NU d;^ để chi IV irons cùa bạc và cùa \ ưcfns miện. \ ậ) iheo quan hẹ tưcms đưcms irons lượns và thể tích ta có: u - \ = \ \ ; {9-4) i d - d . d Đ â v là h ệ p h ư ơ n s tr in h b ậ c 1 h a i án n è n d ẻ d à n g g iã i đ ư ọ c ; , 1 _ M u = - 1 í 1 1 l9-5'i 1 1 ; v = 1 1 U'. g'o I M à IV lệ t r ọ n s lư ợ n s s iữ a N à n s ^ à b a c là: J ___ J ________ 1_' V V r ĩ ' d.-. ^ 5 \ V ’ V T ư ơ n s tư 1,9-3') ta c ó : .O A I0V = 1 1 - V Õz= 1 - ^ O A ị U’ t^-6' (9--) V ậ y : Z Y : Z X = \ 1 1 - Ad. 1 1 ĩ " ( 9 - 8 ) ■'k / V “ G ‘k y T ừ ( 9 - 8 ) v à ( 9 - 6 ) ta c ó : u : v = Z Ỹ : Z X (9 -9 ) Đ â y là k ế t lu ậ n c ủ a G .G a lile i. " V ụ á n c h iế c v ư ơ n g m iệ n " 1 8 0 0 n ă m v ề tr ư ớ c đ ã đ ư ợ c G .G a lile i k ế t lu ậ n . T ừ đ ó . n ế u a i m u ố n b iế t tr o n g v ư ơ n g m iệ n c ó b a o n h iê u b ạ c th ì c ũ n g đ ã c ó c á c h tìm đ ư ợ c . N h ư v ậ v . h ẳ n m ọ i n g ư ờ i đ ã m ã n n g u y ệ n . T u y n h iê n , lú c đ ó A r c h im e d e s c ó là m n h ư v ậ v h a v k h ô n g , h o ặ c ỏ n g c h ư a là m n h ư n g c ó n g h ĩ n h ư v ậ y h a y k h ô n g th ì đ ế n n ay v ẫ n k h ô n g th ể k iể m tra đ ư ợ c . C h ỉ b iế t r a n g , tà i b a c ủ a G .G a lile i đ ã n ổ i t iế n g q u a " C h iế c c á n n h ỏ " . 58 10. CÁC BIỂU TƯỢNG KHẮC TRẼN BIA MỘ T ừ c ổ c h í k im , h ầ u n h ư c h ỉ c ó trên b ia m ộ c ủ a c á c n h à to á n h ọ c m ớ i k h ắ c n h ữ n g đ iề u đ ơ n g iả n n h ư n g ý n g h ĩa sâ u sắ c . T rên b ia m ộ c ủ a h ọ th ư ờ n g c h ỉ k h ắ c m ộ t h ìn h h o ặ c m ộ t c o n s ô n h ư n g đ ó là b iể u tư ợ n g s á n g c h ó i m à n h à to á n h ọ c đ ã th e o đ u ổ i su ố t đ ờ i. N h à to á n h ọ c L u d o lp h v a n C e u le n ( 2 8 / 1 / 1 5 4 0 - 3 1 / 1 2 / 1 6 1 0 ) n g ư ờ i Đ ứ c đ ã rất tự h à o v ề v iệ c ô n g tìm đ ư ợ c g iá trị c ủ a 71 v ớ i 3 5 s ố th ậ p p h â n (n ã m 1 6 1 0 ) n ê n đ ã d i c h ú c là k h ắ c lê n b ia m ộ c ủ a ô n g 3 5 s ố th ậ p p h â n n à y . Hình ỉ 0-1 N h à to á n h ọ c W illia m S h a n k s ( 1 8 1 2 - 1 8 8 2 ) n g ư ờ i A n h đ ã tìm ra g iá trị c ù a 7T v ớ i 7 0 7 s ố th ậ p p h â n n ê n sa u k h i ô n g q u a đ ờ i n ơ ư ờ i ta đ ã k h ắ c lê n b ia m ộ c ủ a ô n g c â u k ế t tin h tâ m h u y ế t c ả đ ờ i ỏ n g : 7 0 7 s ố th ậ p p h â n c ủ a 71 (h ìn h 1 0 -1 ). N h à to á n h ọ c A r c h im e d e s tr o n g c â u c h u y ệ n " V ụ á n c h iế c v ư ơ n g m iệ n " đ ã n ó i ớ m ụ c 1 th ì tr ên b ia m ộ c ủ a ô n g c ó k h ắ c m ộ t h ìn h trụ tr ò n c ó c h iề u c a o b à n g đ ư ờ n g k ín h v à tr o n g lò n g h ìn h 59 trụ đ ó c ó c h ứ a m ộ t h ìn h c ầ u m à đ ư ò ìig k ín h c ủ a n ó đ ú n a b ằ n g c h iê u c a o h ìn h trụ (h ìn h 1 0 - 2 ) . B iể u tư ợ n g n à v th ể h iệ n p h á t m in h sa u đ â y c ủ a A r c h im e d e s . T ỉ s ô g iữ a th ể tíc h c ủ a h ìn h c ầ u v à c ủ a h ìn h trụ b ằ n g tỷ s ô g iữ a d iệ n tíc h c ủ a h ìn h c ầ u v à d iệ n tíc h to à n p h ầ n c ủ a h ìn h trụ v à 2 , b ằ n g - , tứ c là; 3 2 V. s. 7( 10- 1) ớ h ìn h h ọ c ló p 9 ta đ ã b iế t th ể tíc h v à d iệ n tíc h (t o à n p h ầ n ) c ủ a h ìn h trụ tr ò n th ẳ n g đ ứ n g (h ìn h 1 0 - 3 ) tín h t h e o c ô n g th ứ c: |V^=7TR'h ỊsT.-27ĩR(R + h) ( 10-2) tr o n g đ ó R là b á n k ín h đ á y ; h là c h iề u c a o . T ừ ( 1 0 - 1 ) , ( 1 0 - 2 ) v à c h ú ý là h = 2 R , ta đ ư ợ c : ' V ẹ , Vc , Vc ^ 2 . 7iR-h 2ttR’ 3 ( 1 0 - 3 ) V ậ y : / ' s, ^ s, _ 2 S t 2 n R ( R + h ) ó tiR - 3 V ,= -7 tR' c -)J =47iR" ( 1 0 - 4 ) ■' R ' \\1 Đ â y là c ô n g th ứ c tín h th ể t íc h v à d iệ n líc h h ìn h c ầ u s u y ra từ p h á t m in h c ù a A r c h im e d e s . 60 Hình 10-3 Đ ié u bát n£Ờ ỡ đ ã v là. tâ m b ia trẽn m ộ c ủ a A r c h im e d e s la i k h ỏ n e p h ả i d o n g ư ò i th â n h a v b a n b è c u a ỏ n e k h ã c lẽ n . m à c h ín h là d o k ê th ù c ù a õ n £ . d ó là tưóTìg M a r c e llu s c ủ a L a M ã đ ã từni: k in h h o à n g k h i n e h e đ ẽ n tẽ n ò n e n h ư n s lại c ũ n e rãi k ín h p h u c õ n e . N h à to á n h ọ c n o t t iẽ n s J a co b B ern o u lli ( , 2 7 / 1 2 ' l 6 õ 4 - 16 s l ~ 0 õ ) n e ư ò i T h ụ v Sĩ th ì c ó n h ữ n s c ỏ n s h iế n q u a n tr ọ n a t r o n e rãt n h iể u n s à n h to á n h ọ c . N h ư n s đ iề u m à ỏ n s s a v m ê n h á t \ ả n là tín h c h ấ t k v lạ c ú a đ ư ờ n s .xoắn ố c x u ô i v à n s ư ợ c th in h 1 0 - 4 ) . T rư ớ c k h i q u a đ ò i. ò n s v ẽ u c ầ u s a u k h i ô n s k h ô n g c ò n n ữ a h ã v k h ã c lè n b ia m ộ ỏ n s đ ư ờ n g x o ă n õ c n à v \'à g h i d ò n g ch ữ : 'E a d e m m u ta ta Jacob Bcrnouỉỉi Hìuh ỉ 0-4 r e s u r g o ’ tD ừ t ô i đ ã m á t n h ư n g N Ìn c ò n n g u v è n n h ư c ũ ). T r ẽ n b ia m ộ c ủ a n h à to á n h ọ c đ ư ợ c g ọ i là " T h u v tổ c ủ a đ ạ i s ố h ọ c " D i o p h a n t u s lạ i đ ư ợ c g h i h ế t s ứ c k v lạ . n h ư m ộ t h à i to á n d d ; ' H õ ì n g ư ò ì q u a đ ư ờ n g ! o đ ã v đ ã c h ô n n ã m x ư o n g tà n c u a D io p h a n tu s . N T iữ ng c o n s ỏ d ư ó i đ ã v s ẽ c h o c á c b ạ n b iế t m ộ t p h i n c u ộ c đ ò i ô n g ; " - c u ố c đ ò i là tu ổ i ấ u th ơ h ạ n h p h ú c . 6 ' — c u ộ c d ò i tiẽ p th e o d ã m .ọc lơ th ơ n h ữ n g sợ i ria. 61 "P h ải trải qua - cuộc đ ờ i nữa ông mới lấy \’Ợ. "Sau đ ó , là 5 n ã m đ ầ y h ạ n h p h ú c v à c ó đ ư ợ c m ộ t đ ứ a c o n tra i, " N h ư n g đ ứ a trẻ n à y , c u ộ c s ố n g đ ẹ p đ ẽ c ủ a n ó c h ì b ă n g m ộ t n ử a b ố n ó . " S au k h i đ ứ a c o n q u a đ ờ i, n g ư ờ i b ố s ố n g tr o n g 4 n ă m đ ầ y đ a u b u ồ n sâ u lắ n g , rồ i k ế t th ú c c u ộ c đ ờ i ở trầ n th ế" . X in h ỏ i: D io p h a n tu s s ố n g b a o n h iê u t u ổ i, lấ y v ợ v à s in h c o n k h i n à o ? D io p h a n tu s s in h ra, lớ n lê n v à th à n h đ ạ t tạ i th à n h p h ố c ả n g A lê c h x a n d r ia (n a y th u ộ c C ộ n g h o à A r ậ p A i C ậ p ). B à i to á n đ ố k h ắ c tr ên b ia m ộ c ủ a ỏ n g là 1 tr o n g 4 6 b à i to á n d ư ớ i d ạ n g th ơ tr à o p h ú n g c ó tr o n g b ộ sư u tậ p c á c b à i to á n đ ạ i s ò th ờ i H y L ạ p c ổ đ ạ i " H ợ p tu y ể n P a la tin e " (H ợ p t u y ể n H y L ạ p ) c ủ a n h à n g ữ p h á p M e tr o d o r u s , x u ấ t b ả n \ ’à o k h o ả n g n ã m 5 0 0 . 62 Trờ lại bài toán trẽn bia mộ Diophantus. Nếu 2ỌÌ X là tuổi cùa ông. ta có phưcma tiìrứi: - — - : - - - 4 (10-5) Giải phương ưình bậc 1 (10-5) ta được X = 84. tức là Diophanius thọ 84 tuổi. Ngoài ra, còn biết thêm một sỏ chi tiết về cuộc đời õng: - Tuổi thơ trong 14 năm Ị — = — = 14 I. u 6 j - Đến 21 tuổi thì mọc lơ thơ những sợi ria 14 + — = 14 + — = 21 12 12 - Láy vợ năm 33 tuổi 21 + - = 21 + — = 33 7 7 - Có con lúc 38 tuổi (33 + 5 = 38). - Con cùa ông sống được 42 tuổi í = ^ ^. = ^ = 42' i^2 2 J Trong "Hợp tuvển Hy Lạp" cũng có bài toán tương tự để tứứì tuổi Dimochares. Diophantus còn đẽ lại cho đời bộ sách "Phép làm toán". Bộ sách này đã có ảnh hường rất lớn vể sau. là tác phẩm về đại sô' vào loại sớm nhất \à có tầm cỡ ngang với bộ sách "Nguyên lý" của Euclide (.330 - 275 trước Cõng nguyên) sinh ờ Athens tHy Lạp) nhưng sòng chù vếu ỡ .Ai Cập. Eucỉide 63 11. AI Đà TỈM RA ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS? Trong hình học lớp 8 định lý Pythagoras được phát biểu như sau: "Diện tích của hình vuông dựng trên cạnh huyền của tam giác vuông bằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông" (hình 11-1), tức là: a' + b' = c^ (11-1) trong đó a, b là hai cạnh góc vuông; c là cạnh huyền. Đinh lý Pythagoras có thể phát biểu dạng khác: "Trong tam giác vuông, bình phương độ dài canh huyền bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông". Nhà toán học Pythagoras smh năm 569 trước Công nguyên tại đảo Samos thuộc Hy Lạp cổ đại, sống ở nhiều nơi (thành Miletus, miền Nam ỉtalia...) và trong một cuộc bạo động của dân chúng năm 489 trước Công nguyên người ta phát hiện được thi thể của ông trong ngôi trường bị cháy ở Metapontum. ông được xem là người đã chứng múih định lý này sớm nhất (hình 11-2). Có nhiều phỏng đoán về cách chứng minh của ông nhưng nhiều người cho rằng, có lẽ ông đã chứng mirủi bằng cách tách ra từng phần. Pythagoras 64 Theo truyền thuvết, những người theo trường phái FNthagoras đã \-ui mừng khòn xiết khi ông chứng ưúnh được định lý nàv \ à họ đã giết 100 con bò đê ăn mùng. \ì vậv đứứi Iv nàv còn có tên là "Đinh lÝ 100 con bò”. Nhưng đàv là bò được nặn bằng bột, \ì những người theo trường phái nàv có điều lệ cám kị mọi cuộc đổ máu (sát sinh). Tuv Hình 11-: \'ị\, họ lại ràt bí mật điều đã chứng minh được, cho nên cách chứng minh xua nhát %'ề định Iv này còn tmvền lại đến ngày nav là cách chứng minh được nêu trong bộ sách "Nguvèn Iv" của Euclide. Cần nhàn mạnh là. định lÝ Pxthagoras còn có tên là "Định Iv tam giác". Và như đã nói ở ưẽn. cho đến nav \iệc khẳng định ai đã chứng minh định Iv nàv đầu tièn vẫn chưa có càu trà lời chữứì xác. Theo thói quen người ta van cho là của Euclide. Xem xét kỹ các tư liệu ngưòd ta cho rằng, người Bahilon cổ đại thời Hammomurabi (khoảng thế kv XVI trước Công nguvèn) đã biết dùng "Đựứi Iv tam giác" khi tứih chiều dài đường chéo hình chữ nhật. Nhưng có thể phép chứng minh tổng quát đầu tiên là do Pxihagoras thực hiện. ỏ Trung Hoa cổ đại. khoảng thế kv XI trước Công nguvẽn ngưcũ ta đã biết tam giác ba cạnh 3. 4 và 5 là tam giác Miông (Trần Hạo) ^ à đèn thế kỷ VI trước Công nguvên người ta đã biết trường hợp lổng quát của "Định lý tam giác” (Seng Xư). Trong bộ sách "Qiu bễ toán kinh" ra đời \ào khoảng đầu thế kỹ- n trước Còng nguvèn đã có càu: "Càu phương cộng cổ phương bằng huvển phương" và ghi lại đoạn đốỉ thoại giữa Qiu Công và 65 Cao Thương ở thế kỷ XI trước Công nguyên: "Cạnh ngắn 3, cạnh dài 4, phù hợp với cạnh 5" và đề cập đến cách sử dụng "Định lý tam giác". Trong bộ sách này còn nói đến hình 11-3 (gọi là "Huyền đồ") khắc trên đá về chứng minh định lý này và việc Trần Tỷ thế kỷ VII trước Công nguyên đã giải thích "Định lý tam giác" như sau: "Từ một điểm kéo nghiêng đến Mặt Trời, từ Mặt Trời hạ xuống ta gặp cạnh ngắn. Chiều i 1 / I ' X J ___ ^___ ---- 1 i T T 1 1 A / r I X L l i Z /1^ r'/ i r " / ■ cao của Mặt Trời là cạnh dài. Lấy Hình 11-3 tổng bình phương của cạnh ngắn và cạnh dài đem khai phương ta sẽ được đường xiên Mật Trời. Trong chương IX của bộ sách kiệt xuất "Sách toán chứi chương" của Trần Sanh cũng nói đến "Định lý tam giác" dưới dạng quy tắc "câu - cổ" ("câu" là cạnh ngang, thường là cạnh ngắn hơn, "cổ" là cạnh đứng) "Câu 3, cổ 4, huyền 5" (cạnh đáy 3, cạnh đứng 4, cạnh huyền 5) và ông đưa ra hình 11-4 để chứng minh "Định lý tam giác". Vào thế kỷ III, học giả Triệu Quân Khanh (Triệu Hiệp) người nước Ngổ (thời Tam Quốc) đã chú giải bộ sách "(3hu Lễ toán kinh" và đã giải thích "Định lý tam giác" bằng hình vẽ. Đây có lẽ là chứng minh "Định lý tam giác" sớm nhất ờ Trung Hoa còn lưu truyền đến ngày nay. 66 Các nhà toán hc)c .Ân Độ biết "Định lý tam siác” trước thế kv vin trước Cõng nguvẽn với nội dung là: "Diện lích hình \Tjỏng dựng trên đường chéo của hìrứi chữ nhật bằng tổng diện tích hai hình Miỏng dựng trẽn cạnh ngang \à cạnh dọc" hoặc ngắn gọn hơn: "Cái tạo ra trẽn hai canh bang cái tạo ra trẽn đường chéo". Nhà toán học Bhàskasa đã chứng minh Hình 11-5 "Định lý tam giác" đơn giản hơn người Trung Hoa (hình 11-5). Cách chứng minh "Định Iv tam giác" ưong sách giáo khoa hình học 8 hiện nav (vẽ chiều cao lẻn caiứi huvền) là chứng minh của Bhàskasa. Thế kv vn trước Cõng nguvên người .\i Cập cổ đại cũng đã biết dùng sợi dâv có các nút đánh dấu 12 đoạn cách đểu nhau để dựng góc \aiòng. Họ đã đo ba canh ứng với 3. 4 và 5 đoạn rồi đóng ba cọc ấn địrứi ba đinh tam giác (hình 11-6). Khi đó. trên mặt đất góc Naiông được tạo bời hai cạnh có độ dài 3 \à 4 đoạn ^■à họ đã dùng cách dựng nàv khi làm đàn harpe. "Đinh K tam giác" ờ đâv được dùng nhiều trong .xãv dựng và gọi là "Tam giác .Ai Cập". Như vậv. là có rát nhiểu cách chứng minh "Đmh Iv tam giác". Trong cuốn "Mệnh để P\ihagoras" xuất bản lần thứ hai (1994) E.S.Loomis đã thu thập và phàn loại được gần 370 cách chứng mừih định Iv nổi tiếng này. "Định lý tam giác" là định Iv hình học đầu tiên của nhàn loại nhưng là một ưong hai định lý quan ưọng nhất của hình hc>c. N*hờ định lý này mà người ta đã tìm được nhiều hệ thức trong các hìiứi. tính các cạnh, chiều cao. trung luvến của tam giác, đường chéo, hình bưứi hanh. 67 Hình 11-6 "Định lý tam giác" đơn giản nhưng lý thú, đến mức nhiều nhà toán học cam đoan rằng, nếu có con người ở các hành tinh khác thì một trong những định lý hình học đầu tiên có giá trị mà họ tìm ra cũng sẽ chính là "Định lý tam giác". Do vậy, đã có dự án đề nghị xây dựng các công trình hoặc tường cây xanh tạo thành tam giác vuông có ba cạnh 3, 4 và 5 khổng lổ trên cánh đồng lớn để liên lạc với người ngoài Trái Đất. Thật là một dự án ít tốn kém. Còn trong các thông điệp mà hai trạm thăm dò Voyager 1 và 2 của Mỹ phóng lên vũ trụ ngày 8/9/1977 cũng có một bức vẽ biểu diễn "Định lý tam giác" (hình 11-7). 68 12. DIOPHANĨUS VÀ BỘ BA sô TAM GIÁC Liên hệ mật thiết với "Đinh lý tam giác" là bài toán tìm các số nguyên dương (x, y, z) thoả mãn điều kiện (định lý) (11-1): = ( 12- 1) để chúng có thể là ba cạnh của tam giác vTiông, đó là bộ ba số tam giác. (12-1) là phương trình vô định bậc 2 ba ẩn. E)ể giải phương trình này, chỉ cần xét trường hợp X, y và z nguyên tố cùng nhau tùng đôi một, các trường hợp khác có thể quy về trường hợp này. Bộ ba số tam giác có giá trị bé nhất là 3, 4, 5 mà người Ai Cập cổ đại đã biết từ thế kỷ x x in trước Công nguyên. Có những sự kiện bị che đậy mãi về sau ngưcri ta mới phát hiện được. Công lao đầu tiên thường là nhờ vào các nhà khảo cổ học. Như các tấm đất sét nung (như sành) có chữ của người Babilon cổ đại được khắc bằng mũi dao nhọn có từ thế kỷ XIX đến thế kỷ XVI trước Công nguyên, tức là trước rất lâu so \’ới thời Pythagoras nhưng mới tìm được vào năm 1945. Người ta đã tìm thấy khoảng 50 vạn bản, trons đó có 150 bản với các bài toán có lời giải và 200 bảng số. Người ta đã đọc được một phần bản thảo kỳ lạ trên các tấm đất sét này. Một sô tấm đất sét này đang được lưu giữ ờ Trường đại học Colombia (Mỹ) có ghi 15 bộ ba số tam 2Ìác (15 dòng) mà người ta thường gọi là bản Plimpton 322 (bảng 12-1). Đây là bảng số đáng chú ý nhất trong các bảng toán học Babilon. Bảng này được mang tên nhà toán học G.A. Plimpton (1855 - 1936). Chữ số 322 là số thứ tự 69 mục nhập trong bộ. Bảng 12-1 được O.Neugebaner và A.J Sach (sinh năm 1914) mô tả năm 1945. Bảng 12-1 Bản Plimpton 322 Trong bảng 12-1 thì cột bên phải là số thứ tự, d ể đếm số hàng (dòng), ba cột còn lại là ba cạnh của tam giác vuông. Các số trong ngoặc đơn là những ngoại lệ trong nguyên bản, còn các số bên trái nó là số liệu đã được chỉnh lý. Một bộ ba số tam giác không chứa một thừa số chung nguyên nào ngoài đơn vị thì đó là bộ ba sô'tam giác nguxên thiiỷ. Hiện nay, vẫn chưa ai có thể giải thích được là tại sao 70 người Babilon cổ đại lại có thể tìm ra được các con sô đó. Với các số rất lớn có trong bảng 12-1 thì có lẽ còn lâu mới có người hiểu được. Hiện còn rất nhiều tấm đất sét đặc biệt này chưa được giải mã, thậm chí chưa ai đọc đến. Trưóc thế kỷ VI trước Công nguyên, tức là sau niên đại của bản Plimpton hơn 10 thế kỷ người Hy Lạp cổ đại đã chỉ ra rằng, bộ ba số tam giác nguyên thuỷ được tính theo công thức; x = 2mn y = m ' - n ' (12-2) z = m^ -t-n^ ưong đó m, n là các số nguyên dương, có tứủi chẵn lẻ khác nhau và m > n. Ví dụ, nếu m = 2, n = 1 thì ta được bộ ba số tam giác nguyên thuỷ có giá trị bé nhất (3, 4, 5). Từ (12-2) người ta tìm được bảng một số bộ ba số tam giác nguyên thuỷ ở bảng 12-2. Pythagoras đã đưa ra công thức sau đây để tìm bộ ba số tam giác; x = m y = i ( m '- l ) Z = ^(m^-|-1) trong đó m là số nguyên dương lẻ. (12-3) 71 Bảng 12-2 Một số bộ ba số tam giác nguyên thuỷ X y z m n 120 119 169 12 5 3456 3367 4825 64 27 4800 4601 6649 75 32 13500 12709 18541 125 54 ■ 72 65 97 9 4 360 319 481 20 9 2700 2291 3541 54 25 960 799 1249 32 15 600 481 769 25 12 6480 4961 8161 81 40 2400 1679 2929 48 25 240 161 289 15 8 2700 1771 3229 50 27 Pythagoras còn đưa ra cách tìm sau đây: Lấy một số lẻ tuỳ ý, đem bình phương, rồi phân thành hai số chênh nhau 1 đơn vị. Ví dụ, lấy 2m + 1, ta có: (2 m + l)' = w + 4 m + 1 (12-4) Phân vế phải của (12-4) thành hai số: 2m^ + 2m và 2m^ + 2m + 1. Ta được: x = 2m + l y = 2m^+2m = 2m(m + l) (12-5) I z = 2m^ + 2m +1 = 2m (m +1) +1 72 Chẳng hạn. lấy 67, ta có: 67- = 4489. Phàn thành hai sò; 2244 và 2245. Ta được: 67; 2244 và 2245. Các môn sữứi cùa P\ihagoras lại đưa ra công thức: r x = m f v =m* -1( 12-6) z =m^+lV V - trong đó m là số lẻ bất kỳ'. Platon (427 - 347 trước Công nguyên) người Athen (Hy Lạp) là nhà toán học nổi tiếng cũng đã tìm được (12-3) NÌ nám 380 trước Công nguyên ông đã tìm được công thúc tương tự (12-6): x = (2m)- y = (m - -l) ' z = (m' +1)- (12-7)p ỉ at on trong đó m là sò lẻ hoặc số chẵn bất kỳ’. ở Trung Hoa. vào khoảng thế kỳ XI trước Công nguvèn nhà toán học Cao Thương cũng đã đề cập đến bộ ba sò tam giác 3. 4. 5 và ữong bộ sách "Sách toán chm chương" cũng đã đưa ra bộ ba sô tam giác và cách tìm k>' diệu hơn; N ếu ch o hai số m, n thì: x = mn y = ^ (m ^ -n ^ ) z = —(m^ +n^) 2 ( 12-8) Nhà toán học Liu Hui (Lưu Huy) (khoảng 225 - 295) người Trung Hoa đã dùng phương pháp hình học cũng tìm được (12-8) vào năm 263. Diophantus đã phát hiện ra rằng, các công thức đã có để tìm các bộ ba số tam giác đều chưa tìm được tất cả các bộ ba số tam giác, ví dụ bộ ba số (8, 15, 17) thì không thể dùng (12-3) để tìm được. Tuy nhiên, cùng một bộ ba số tam giác thì có thể tìm theo các công thức khác nhau, ví dụ bộ ba số (20, 21, 29) có thể tìm theo (12-8) nếu cho m = 7, n = 3 hoặc theo (12-2) nếu cho m = 5, n = 2. Thế là ông đã bỏ công sức để tìm cách tạo nên tất cả các bộ ba số tam giác. Trong bộ sách "Phép làm toán" Diophantus đã đưa ra các bộ ba số tam giác (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (20, 21, 29)... và cũng đã tìm được (12-2). Sau đó, ông tìm được cách sau đây: Nếu m và n là các số nguyên dương mà V2mn có thể thực hiện được thì: x = m +V2mn y = n-t-V2mn (12-9) z = m-i-n + V2mn 74 Dùng công ửiức (12-9) la có thể tìm được tất cả các bộ ba số lam giác (hay tất cả các nghiên cứu của phương trình (12-1)). Một số bộ ba số tam giác trong số đó như bảng 12-3. Bảng 12-3 Một sòi bộ ba sỏ tam giác tìm được theo (12-9) m nn ■> -1 1 X ỳ = z r 1 0 3- + 4- = 5- 1 8 5- + 12- = 13' 2 4 6 '+ 8 '= lo' 1 18 7' + 24' = 25' 2 9 8'+ 15'= 17' 3 6 9 '+ 12'= 15' 1 32 9^+ 40'= 41' 2 16 lo' + 24' = 26' ... ... ... 75 13. NƯỚC PHÁP VÀ NƯỚC ĐỨC ĐỂU TREO GlẢl THƯỞNG Phương trình (12-1) chỉ là trường hợp riêng khi n = 2 của phương trình tổng quát; x" + y" = z", (13-1) trong đó n là số nguyên dương. Phương trình (13-1) được rất nhiều nhà toán học nghiên cứu. Năm 1621, nhà toán học thiên tài, nổi tiếng nhất châu Âu thế kỷ x v n , Pieưe de Fermat (Phecma) (3/8/1601 - 15/1/1665) người Pháp đã mua được bộ sách "Phép làm toán" của Diophantus ở cửa hàng sách Paris bằng tiếng Latinh. Bộ sách này đã gây sự hấp dẫn đặc biệt đối với ông. Hơn’ 10 năm sau đó, ông thường xuyên đọc đi đọc lại bộ sách này và mỗi lần đọc ông đều có những lời bình phẩm ghi bên lề sách. p.de Fermat rất có sở trường nêu vấn đề, có nhiều cống hiến trong nhiều lĩnh vực. ông vốn là quan toà, chỉ làm toán rứiư một thú vui, hơn nữa thời đó chưa có các tạp chí toán học, nên nhiều tác phẩm của ông được tập hợp lại từ các sách mà ông đã đọc và ghi chép bên lề sách. Đến năm 1665, ông ốm chết, chỉ lưu lại nhiều bản thảo và ghi chép. Năm 1670, khi sắp xếp lại các tài liệu còn lại của ông, con ông đã tình cờ phát hiện được một đoạn chú thích bằng tiếng Latinh của ông viết năm 1637: "Biểu thị lập phương (luỹ thừa 3) của một số nguyên dương thành tổng lập phương của hai số P-de Fermat 76 nguyên dương; biểu thị luỹ tìiừa 4 (mũ 4) của một số nguyên dương thành tổng luỹ thừa 4 của hai sô nguyên dương; hoặc nói chung là biểu thị luỹ thừa nguyên dương lớn hơn 2 (số mũ nguyên dương lớn hơn 2) của một số nguyên dương thành tổng luỹ thừa cùng bậc (cùng số mũ) cùa hai số nguyên dương là điều không thể được. Tôi tin rằng, có thể tìm được một chứng minh rất đáng ngạc nhiên, nhưng vì lề sách quá chật, tôi không làm sao \iết ra được". Đoạn chú thích này được p.de Fermat \iết bên lề tập n, quyển 8 của bộ sách "Phép làm toán". Chúng ta có thể \iết điều này đơn giản như sau: "Khi số mũ n > 3 thì phương trình vô địiứi (13-1) không thể có nghiệm nguyên dương được". Đây là "Đinh lý Fermat" nổi tiếng N'a thường được gọi là "Điiứi lý lớn Fermat" (để phân biệt với "Đinh lý nhỏ Fermat") hay "Đinh lý cuôl cùng cùa Fermat". Đáng lẽ phán đoán này phải được chúng miiứi mới gọi là định lý được nhưng người ta quen gọi đây là định lý và cũng không ai thấy cần phải cải chúih nữa. "Đinh lý lớn Fermat" đã gây sự chú ý của nhiều ngưèri. Con của ông đã cô tìm kiếm kho tài liệu của ông, hv vọng tìm được cách chứng miiứi đinh lý này, nhưng cuối cùng vẫn không sao tìm được. Nhiều nhà toán học nổi tiếng cũng đã tìm cách chứng minh "Định Iv lớn Fermat" nhưng đều không thành công. Sau hàng loạt thất bại \ à mất thời gian, người ta bắt đầu ngờ \-ực, cho rằng liệu có phải p.de Fermat đã chứng mmh được định lý này hay không? Việc p.de Fermat đã chứng miiứi được "Định lý lớn Fermat" hay không thì chẳng bao giờ chúng ta biết được, chi biết rằng. 77 từ khi ông viết lên lề sách (năm 1637) đến khi ông mất (năm 1665), không khi nào ông nói thêm điều gì nữa về định lý này. Nhưng chính ông đã sử dụng phưcmg pháp tài tình mà ông gọi là "phương pháp giảm vô hạn" để chỉ ra rằng, với n = 3 và n = 4 thì không tồn tại các số nguyên dương X, y, z thoả mãn (13-1). Sau khi p.de Fermat qua đời, rất nhiều nhà toán học đã dành cả cuộc đời để cố chứng minh "ĐỊiứi lý lớn Fermat". Bước đột phá đầu tiên là vào năm 1770, nhà toán học L.Euler đã chứng minh thành công khi số mũ n = 3 và n = 4 thì "Định lý lớn Fermat" đúng. Năm 1816 Viện Hàn lâm khoa học Pháp đã treo giải thưởng cho bất cứ ai chứng minh được "Định lý lớn Fermat". Mãi đến năm 1823, nhà toán học Adrien Marie Legendre (18/9/1752 - 10/1/1833) người Pháp và năm 1828 nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichler (13/2/1805 - 5/5/1859) người Đức đã chứng minh được rằng, không có bộ ba số nguyên dương nào thoả mãn (13-1) với số mũ n = 5. P.G.L Dỉrichlet A.M. Legendre Sophie Germain (1776 - 1831), một phụ nữ Pháp tự học thành tài (cố lúc mang tên "Ngài Leblanc") đã nêu ra định lý (về sau mang tên bà): "Nếu nghiệm của (13-1) với n = 5 tổn tại thì cả X, y, z phải chia hết cho 5". Nãm 1831 bà lại đưa ra định lý 78