🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác
Ebooks
Nhóm Zalo
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)
Gửi tặng: www.Mathvn.com
Bỉm sơn. 08.05.2011
www.mathvn.com
1
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông Ví dụ như các công thức sau
2 2 sin cos 1 x x + =
2 2 cos 2 2cos 1 1 2sin x x x = − = −
sin 2 2sin cos x x x =
3
sin 3 3sin 4sin x x x = − …
Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay không
2 2 sin 2 cos 2 1 x x + =
2 2 cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2 x x x = − = −
sin 4 2sin 2 cos 2 x x x =
3
sin 9 3sin 3 4sin 3 x x x = − …Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau Với k > 0 ta có
2 2 sin cos 1 kx kx + =
2 2 cos 2 2cos 1 1 2sin kx kx kx = − = −
sin 2 2sin cos kx kx kx =
3
sin 3 3sin 4sin kx kx kx = −
1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung
Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào
Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 7 4.sin
⎛ ⎞
+ = − ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ −
x
sin 4 3
xx
sin2
⎝ ⎠
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hai cung 32
− mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một
x
− và 74x
cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc đặc biệt
Giải:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
www.mathvn.com
2
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎛ ⎞
Ta có 3 3 3 sin sin .cos cos .sin cos
⎜ ⎟ − = − = ⎝ ⎠
x x x x
2 2 2
⎛ ⎞
7 7 7 2 sin sin cos cos .sin sin cos
( ) ( ) ( )
⎜ ⎟ − = − − − = − + ⎝ ⎠
x x x x x
4 4 4 2
Sử dụng công thức về các góc đặc biệt
Ta có 3 3 sin sin 2 sin cos
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = + − = + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x x
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = + − = + = ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Hoặc 3
sin sin 2 sin cos
x x x x
2 2 2
7 7 2 sin sin 2 sin sin cos
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −
( )
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = − + − = − + = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x x x 4 4 4 2
7 2 sin sin 2 sin sin cos ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = − + = − + = + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Hoặc ( )
x x x x x 4 4 4 2
⎪ + = ⎩ và ( )
Chú ý: ( )
⎧⎪ + =
sin 2 sin,
x k xk
⎨ ∈ ( )
cos 2 cos
x k x
⎧⎪ + + = −
sin 2 sin,
x k xk
⎨ ∈ ⎪ + + = − ⎩ ( )
cos 2 cos
x k x
Điều kiện: sin 0sin 2 0 ,
⎧ ≠
xx x k k
⎨ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
⎩ ≠ cos 0 2
x
Phương trình 1 1 4sin
⎛ ⎞
⇔ + = − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
x
sin cos 4
x x
⇔ + = − + sin cos 2 2 sin .cos sin cos x x x x x x ( ) ⇔ + + = (sin cos 2 2 sin .cos 1 0 x x x x )( ) ⎡ = − ⎡ + =
tan 1 sin cos 0
x
x x
⇔ ⇔ ⎢
⎢⎢
2
⎣ + = = − ⎢⎣ 2 2 sin .cos 1 0 sin 22
x x x
⎡ ⎡
= − + = − + ⎢ ⎢
x k x k
4 4
⇔ = − + ⇔ = − + ∈ 2 2 ,
x k x k k
4 8
5 5
= + = + ⎣ ⎣
2 2
x k x k
4 8
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x k
x k
x k
= − + ;58
= − + ;8 4
www.mathvn.com
= + với k ∈
3
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x k x k x k k
5
Đs: ( )
= − + = − + = + ∈
, , ,
4 8 8
Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos3 cos 2 – cos –1 0 x x x + =
Giải:
Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức nhân ba và nhân đôi của hàm cos
Phương trình 3 2 ⇔ − + − − − = 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 x x x x
2 ⇔ + − = 2cos 1 cos 1 0 x x
3 2 ⇔ + − − = 2cos cos 2cos 1 0 x x x ( )( )
1
⎡= − ⇔ + = ⇔ ⎢⎢⎣ =
cos 2cos 1 sin 0 2
( )2 x x
22
x
sin 0 x
⎡= ± +
x kk
⇔ ∈ ⎢⎢⎣ =
x k
3 ;
( )
x k x k k
22 ,
Đs: ( )
= ± + = ∈
3
Cách 2:
Nhận xét:
Ta có 32x xx
−= và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích
2
( ) ( )
cos3 cos – 1 cos 2 0 2sin 2 .sin 2sin 0 x x x x x x − − = ⇔ − − =
2
( )
⇔ + =
2sin 2cos 1 0
x x
… tương tự như trên
Chú ý:
Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó Công thức nhân ba 3 3 cos3 4cos 3cos , sin 3 3sin 4sin x x x x x x = − = −
Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi
Ta có
2 2
( ) ( )
cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin
x x x x x x x x x x x
= + = − = − −
2 2 3
( ) ( )
= − − − = −
2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos
x x x x x x
Tương tự cho sin 3x
Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 6 2 3cos 4 – 8cos 2cos 3 0 x x x + + =
Giải:
Nhận xét 1:
Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau
www.mathvn.com
4
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2 2 4 2 cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1 x x x x x = − = − − = − +
( )
Cách 1:
Phương trình 6 4 2 4cos 12cos 11cos 3 0 x x x − + − = (pt bậc 6 chẵn)
Đặt 2
t x t = ≤ ≤ cos , 0 1
⎡ =
t
1
⎢ − + − = ⇔ ⎢ =
Khi đó ta có 3 2
x k k k = + ∈
4 12 11 3 0 1 t t tt
… bạn được giải tiếp được nghiệm , , 4 2
⎣
2
Nhận xét 2:
Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi
Cách 2:
Phương trình
3
2 2 1 cos 2 1 cos 2 3 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2cos 2 3cos 2 2 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + +
x x
( ) ( ) x x x x
− − + + = ⇔ − + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2
⎡
cos 2 04 2 ,
⎡ = = +
x x kk
⇔ ⇔ ∈ ⎢
⎢= ⎢
cos 2 1
xx k
⎣⎣ = Nhận xét 3:
Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình tích
Cách 3:
2 4 2 2 2 2 ⇔ + x − x x − = ⇔ x − x x + x − =
3(1 cos 4 ) 2cos (4cos 1) 0 6cos 2 2cos (2cos 1)(2cos 1) 0 2 2 2 2 2 ⇔ − + = ⇔ − + = 6cos 2 2cos (2cos 1)cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1) x x x x x x x x ⎡ ⎤ 0 ⎣ ⎦
⎡
k
cos 2 04 2
x x
= ⇔ = +
⇔ ⎢⎢⎢⎣ − − − =
2 4 2
3(2cos 1) 2cos cos 0
x x x
2
⎡ = ⇔ = ⇔ =
cos 1 sin 0
x x x k
⇔ − + − = ⇔ ⎢⎢ =
4 2
2cos 5cos 3 0 3
Phương trình
x xx loai 2
⎢⎣
x k k k
= + ∈
Đs: , ,
4 2
cos ( ) 2
Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos x x x x ( + + = + )
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
Phương trình 2 ⇔ + = + 4sin .cos 2sin .cos 1 2cos x x x x x
⇔ + = + 2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos x x x x
www.mathvn.com
5
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⇔ + − = (1 2cos )(sin 2 1) 0 x x
22
⎡ − = ⇔ ⎢⎢⎣ =
1
⎡= ± + ⎢ x k
cos2
x
sin 2 1 x
3
⇔ ⎢⎢ = + ⎢⎣
x k
4
x k x k k
22 , ,
Đs: ( )
= ± + = + ∈
3 4
Bài 5: Giải phương trình 3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 x x x − = +
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos
3 ⇔ − − = ⇔ − = 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1 sin 9 3 cos9 1 x x x x x
⎡= + ⎢ x k
2
1 3 1 1 18 9 sin 9 cos9 sin 9
⎛ ⎞ ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈ ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ = + ⎢⎣
x x x k
2 2 2 3 2 7 2
x k
54 9
Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình sin 5 1
x
x=
5sin
Giải:
Điều kiện: sin 0 x ≠
Phương trình ⇔ = ⇔ = sin 5 5sin sin 5 5sin x x x x
Nhận xét:
Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai
⇔ − = ⇔ =
sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin
x x x x x x
⇔ = ⇔ =
4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1
x x x x x x
3
⎡= − ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ ⎢⎢⎣ =
cos ( )
x loai
2
cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 2
x x x x
cos 2 1
x
2 ⇔ − = ⇔ = ⇔ = 1 cos 2 0 2sin 0 sin 0 ( ) x x x loai
Vậy phương trình vô nghiệm
Hướng 2: Phân tích cung 5 2 3 x x x = + , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba
( )
sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin
x x x x x x x x
+ = ⇔ + =
( )( ) ( ) ( )2
3 2 2 3 2 2
⇔ − − + − = + 3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos x x x x x x x x x x x 5 3 3 2 2 ⇔ + = ⇔ + = 12sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0 x x x x x … vô nghiệm
www.mathvn.com
6
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm x ∈[0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3 – 4cos 2 3cos 4 0 x x x + − =
Giải:
3 2 ⇔ − − − + − = 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 x x x x
Phương trình ( )
3 2 2 ⇔ − = ⇔ − = cos 2cos 0 cos (cos 2) 0 x x x x
x x k
⇔ = ⇔ = +
cos 02
Vì x ∈[0;14] nên 0 14
≤ + ≤
2k
Đs: 3 5 7
x x x x
= = = =
; ; ;
2 2 2 2
Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình sin 3 sin 5
x x
=
3 5
Giải:
2
Phương trình ( ) ( ) ( ) 5sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos 4 cos sin 4 x x x x x x x x x = + ⇔ − = +
2 2
( ) ( )
⇔ − = +
5sin 3 4sin 3sin cos 4 4cos cos 2
x x x x x x
⎡ = ⇔ = sin 0
x x k
⎢− = + ⎢⎣
2 2
( ) ( ) ( ) 5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos 2 * x x x x
2
Phương trình ( ) ( ) ( ) * 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos 2 cos 2 ⇔ − − = + + ⎡ ⎤ x x x x ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 5 1 cos 26 2 12cos 2 4cos 2 5 01
⎡ ⎡ = = ± + ⎢ ⎢
x x k
2
⇔ − − = ⇔ ⇔ ⎢ ⎢
x x
⎢ ⎢ = − = ± + ⎢ ⎢ ⎣ ⎣
x x k cos 22 3
Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0 x x x x − − =
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5 x x x + = ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý
Phương trình ⇔ − − − = 3 cos5 sin 5 sin sin 0 x x x x
3 1 cos5 sin 5 sin
⇔ − = x x x
2 2
www.mathvn.com
7
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡= − ⎢
x k
⎛ ⎞ ⇔ − = ⇔ ∈ ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ = − − ⎢⎣
12 3 sin 5 sin
x x k
3
x k 6 2
x k x k k
Đs: , , ( )
= + = − + ∈
18 3 6 2
Chú ý:
- Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là a x b x c sin cos + = học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu gặp phương trình a x b x a kx b kx k sin cos 'sin 'cos , 0,1 + = + ≠ thì làm thế nào, cứ bình tĩnh nhé, ta coi như hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự - Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau
3
Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình: ( ) sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin x x x x x x + + = +
Giải:
Phương trình
2 ⇔ − + + = sin 1 2sin cos .sin 2 3cos3 2cos4 x x x x x x
( )
1 3 sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4
⇔ + = ⇔ + = x x x x x x
2 2
⎛ ⎞
x x k
⎛ ⎞ ⇔ = ± − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⇔ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 3 2 cos 4 cos 36
x x
6
⎡= − + ⎢
x k 6
2
( )
⇔ ∈ ⎢⎢ = + ⎢⎣
k
x k
2
Hoặc:
42 7
1 3 1 sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 )
( )
⇔ + + + = + − x x x x x x x
2 4 4
1 3 3 1 sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3
⇔ + + = + − x x x x x x
2 2 2 2
1 3 sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4
⇔ + = ⇔ + = x x x x x x
2 2
x x k k
2, 2 ,
k
Đs: ( )
= + = − − ∈
42 7 6
sin sin 2=
x x
−
Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình: 3
cos cos 2
x x
−
HD:
Điều kiện: 32
k
cos cos 2 0 2
x − x ≠ ⇔ x ≠ k ∧ x ≠
www.mathvn.com
8
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
3
1
3
1
⇔ sin − sin 2 = 3 cos − 3 cos 2 ⇔ − = − x x x x x x x sin x
2
cos2
2
sin 2
2
cos
2
k
⎜⎝⎛ ⇔ +
⎞
⎜⎝⎛
⎞
2
cos 2
x x ⎟ ⇔ x = k ∨ x = − + ⎟ = +
6
⎠
cos
6
⎠
2
9
3
4 4 sin 2 cos 2 4
x xx
+=
cos 4
Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
tan tan
x x
4 4
Giải:
Nhận xét:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ nên tan tan 1
x x
Từ tổng hai cung 4 4 2 bằng công thức nhân đôi
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ và cung 2x có thể đưa về cung 4x
x x
4 4
Điều kiện:
⎧ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ≠ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎨ ⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cos 0
x
4 1
cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0 x x x x
+ ≠ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠ cos 0
4 4 2 2
4
x
Phương trình 4 4 4 2 2 4 2 4 1 ⇔ + = ⇔ − = ⇔ − = x x x x x x x x
sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4 2
2
⎡ =
cos 4 1 1
x
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ ⎢⎢ = − ⎢⎣
2 4 4 2
( )( )
1 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0 1
x x x xx loai
2
2 sin 42
sin 2 0
⎡ =
x k
⇔ = ⇔ ⇔ = ∈ ⎢= ⎣
sin 4 0 ,
x x k
( )
cos 2 0 2
x loai
Chú ý:
- Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà quy đồng và biến đổi thì…ra không
- Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác có dạng phân thức như trên nếu không khôn khéo thì rất … phức tạp.
- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau
(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: 4 4 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
sin cos cot cot
x x x x
+ = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 3 6
www.mathvn.com
9
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x k
k
Đs: ,
= ± + ∈
12 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình: 3 1 3 sin sin
10 2 2 10 2
Giải:
Nhận xét:
Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế
x
khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung 310 2
x
− và 3
+ có mối quan hệ với nhau như thế nào
10 2
x x x x
Thật vậy 3 3 9 3 3 sin sin sin sin 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = − − = − = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ từ đó ta đặt 310 2x
t
10 2 10 2 10 2 10 2
dụng công thức nhân ba là ngon lành
1 1 sin 0 ⎡ =
= − và sử
t
3 2
Phương trình ( ) ( ) sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0
t t t t t t tt = ⇔ = − ⇔ − = ⇔ ⎢⎣ − =
2
2 2 1 sin 0 t t k x k k
TH 1: 3
= ⇔ = ⇔ = − ∈
sin 0 2 ,
5
t t t k x k k TH 2: 2 1 cos 2 1 3 1 sin 0 1 0 cos 2 2 4 ,
−
t
Chú ý:
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± + ⇔ = ± − ∈ 2 2 6 5 6
- Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau 3 3 3 2
x x
= − ⇒ = − ⇒ + = −
t x t t
10 2 5 10 2
- Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau
a. (BCVT – 1999) Giải phương trình: )4
sin(3
x − = x x +
4
đặt 4
t x
= +
Đs: 4 2k
) sin 2 sin(
x
= − +
b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình: 3
⎛ ⎞
8cos cos3
⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠
x x
3
đặt 3
t x
= +
www.mathvn.com
10
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡= + ⎢⎢⎢ = − + ∈ ⎢⎢=
x k 6
Đs:
2,
x k k 3
⎢⎢⎣
x k
2 sin (3+ =
c. (PVBCTT – 1998) Giải phương trình: x ) 2sin x 4
đặt 4
t x
= +
x k k
= + ∈
Đs: ,
4
sin (3− =
d. (QGHCM 1998) Giải phương trình: x ) 2 sin x 4
Bài tập tự giải:
2(
Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm ;3 )
x∈ của phương trình sau
5
7
sin(2 + − − = + x x ) 1 2sin x
2
) 3cos(
2
Đs: 13 5 17 ,2 , , ,
x
=
6 6 6
Bài 2: (ĐHYTB – 1997) Giải phương trình
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x x x
2 3 2 cos 6 sin 2sin 2sin
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − = + − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 12 5 12 5 3 5 6
x k x k x k k
Đs: 5 5 5 5 , 5 , 5 ,
= + = − + = − + ∈
4 12 3
2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại
Bài 1: Giải phương trình : sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0 x x x x x x + + + + + =
Giải:
Nhận xét:
Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau
Phương trình ⇔ + + + + + = (sin 6 sin sin 5 sin 2 sin 4 sin 3 0 x x x x x x ) ( ) ( )
www.mathvn.com
11
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⇔ + + = ⇔ + = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
7 5 3 7 3 2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos 1 0
x x x x x xx
2 2 2 2 2 2
7 2
x k
⎡ ⎡
= =
( )
sin 0
⎢ ⎢
x
2 7
⎢ ⎢
3 2 cos 0 ; x k x k Z
⇔ = ⇔ = + ∈ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
2 3 3
⎢ ⎢
+ = ⎢ ⎢ = ± + ⎢⎣ ⎢⎣
2cos 1 0 22
xx k
3
Bài 2: Giải phương trình : 3 3 2 3 2 cos3 cos sin 3 sin8
x x x x−
− =
Giải:
Nhận xét:
Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
1 1 2 3 2 2 2 cos cos 4 cos 2 sin cos 2 cos 4
x x x x x x− ⇔ + − − =
Phương trình ( ) ( )
2 2 8
− − ⇔ + + − = ⇔ + = 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 cos 4 cos sin cos 2 cos sin cos 4 cos 2 ( ) ( )
x x x x x x x x
4 4
x x x x k Z
2
k
( ) ( )
⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈
4cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos 42 16 2
Cách khác:
Sử dụng công thức nhân ba
3 3 1 3 3 3 1 3 cos3 cos sin 3 sin cos3 cos3 cos sin sin sin 3 cos 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x x x x x x x x x − = + − − = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 4 4 4 4
Bài tập tự giải:
Bài 1: (HVQHQT – 2000) Giải phương trình: cos cos3 2cos5 0 x x x + + =
⎡= + ⎢⎢⎢= ± + ⎢⎣với 1,21 17
Đs:
x k 2
1,2
±
cos8 =
x k
2
Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trình: 9sin 6cos – 3sin 2 cos 2 8 x x x x + + =
x k
= +
Đs: 2
2
Bài 3: (ĐHNTHCM – 2000) Giải phương trình: 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2 + + = + + x x x x x
www.mathvn.com
12
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡⎢ =
x k
⎢⎢ = ± + ⎢⎢⎢ = − + 2 = + 2 ⎣
Đs: 2
x k 3
7
x k x k
,
6 6
Bài 4: (ĐHYN – 2000) Giải phương trình: sin 4 tan x x =
x k ⎡ =
⎢⎢ = ± + ⎣ với 1 3
− +
cos2
Đs:
x k 2
=
Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trình: (cos – sin cos sin cos cos 2 x x x x x x ) =
⎡= + ⎢⎢⎢ = + ⎢⎣
x k
Đs: 2
x k
4
Bài 6: (ĐHHH – 2000) Giải phương trình: ( )( )2
2sin 1 3cos 4 2sin – 4 4cos 3 x x x x + + + =
⎡= − + ⎢⎢⎢ = + ⎢⎢⎢ =
x k 6
2
Đs:
72
x k 6
x
k
⎢⎣
2
Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: 3 3 cos – sin sin – cos x x x x = x k
= +
Đs: 4
Bài 8: (ĐTTS – 1996) Giải phương trình: 3 3 cos sin sin – cos x x x x + = x k
= +
Đs: 2
Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình: 3 3 cos sin sin 2 sin cos x x x x x + = + +
Đs: 2k
x
=
Bài 10: (HVQY – 2000) Giải phương trình: 2 3 cos sin cos 0 x x x + + =
⎡ = +
x k
2
⎢⎢ = ± + ⎣với 1 = −
Đs:
cos 1
x k 4
2
2
Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trình: 3 2 cos cos 2sin – 2 0 x x x + + =
www.mathvn.com
13
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Đs:
⎡= + ⎢⎢⎢ = − + ⎢⎢=
x k 2
2
x k 2
2
⎢⎢⎣
x k
2
Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trình: 2 3 sin sin cos 0 x x x + + =
⎡ = +
x k
2
⎢⎢ = ± + ⎣ với 1 = −
Đs:
cos 1
x k 4
2
2
Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trình: 2
cos – 4sin cos 0 x x x =
⎡= + ⎢⎢⎣ = + với 1
x k
Đs: 2
=
tan4
x k
Bài 14: (HVKTQS – 1999) Giải phương trình: 3 3 2sin – sin 2cos – cos cos 2 x x x x x = +
⎡= − + ⎢⎢⎢ = + ⎢⎢= + ⎢⎢⎣
x k 4
2
Đs:
x
k
4 2
x k
2
Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình: 3
4cos 3 2 sin 2 8cos x x x + =
Đs:
⎡= + ⎢⎢⎢ = + ⎢⎢⎢ = + ⎢⎣
x k 2
x k 4
3
2
x k
4
3. Sử dụng công thức hạ bậc
Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản
Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình 2 2 2 3
sin sin 2 sin 32
x x x + + =
Giải:
Nhận xét:
www.mathvn.com
14
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung 6 2 4
x xx
+= mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng
2
công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích ⇔ + + = ⇔ + = cos 2 cos 4 cos 6 0 cos 4 (2cos 2 1) 0 x x x x x
cos 4 0
⎡ =
xk
⇔ ⇔ = + ∨ = ± + ⎢⎢ = − ⎣
x x k 1
cos 2 8 4 3
x
2
Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x − = −
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng thành tích đưa về phương trình tích
Phương trình 1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
− + − + x x x
⇔ − = −
2 2 2 2
⇔ + − + = (cos12 cos10 cos8 cos 6 0 x x x x ) ( )
⇔ − = 2cos11 .cos 2cos 7 .cos 0 x x x x
⇔ − = cos cos11 cos 7 0 x x x ( )
⇔ = ⇔ = cos .sin 9 .sin 2 0 sin 9 .sin 2 0 x x x x x
⎡=
x k x x kk
= = ⎢ ⎡ ⎡
sin 9 0 9 9, ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ = = ⎢ =
sin 2 0 2
x x k x k
⎢⎣
2
x k x k k
Đs: ; , ( )
= = ∈
9 2
Chú ý: Có thể nhóm (cos12 cos8 cos10 cos 6 0 x x x x − + − = ) ( )
⎛ ⎞
x x
Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0
⎜ ⎟ − − = ⎝ ⎠
x
2 4 2
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích
Điều kiện: cos 0 x ≠
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 2
Phương trình
⎢ ⎥ − − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ +
1 cos tan
x xx
2 1 cos 0
⇔ − = 2 2
2 2 2 3 ⇔ − − − = ⇔ − − − = 1 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos cos 0 x x x x x x x
[ ] [ ]
www.mathvn.com
15
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⇔ + − + − =
(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0
x x x x x x
⎡ + =
sin cos 0
x x
⇔ ⎢⎣ − + − =
1 sin cos cos sin 0
x x x x
x x x x k k
−
Khi sin cos 0 tan 1 ;
+ = ⇔ = − ⇔ = + ∈ 4
Khi 1 sin cos cos sin 0 − + − = x x x x
2
t x x x x− cos sin sin cos2t
Đặt
1
= − ⇒ =
Ta được 2
t t + + = 2 1 0 ⇔ = − t 1
x⎛ ⎞ − ⇔ + = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2 3
cos cos
4 2 4
⎡= +
x k
3 2
⇔ + = ± + ⇔ ⎢⎢⎣ = − +
x k
2 2
4 4 2
x k
So với điều kiện ta chỉ nhận x k = − + 2 Cách 2:
2
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 sin 1 1 cos (1 cos ) (1 sin )sin (1 cos ) cos
x
2 2
⇔ − − = + ⇔ − = + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
x x x x x x 2
2 2 2 cos
x
⎡= +
= ⎢ ⎡⎢
x k
2
sin 1 2
x
⇔ − + + = ⇔ = − ⇔ = + ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ = − ⎢ = − + ⎣
(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 cos 1 2 x x x x x x k
tan 1
xx k
4
Kết hợp với điều kiện ta được x = + k ∨ x = − + k
2
4
x k
= +
Chú ý: Vì cos 0 sin 1 x x ≠ ⇔ ≠ ± nên ta loại ngay được 2
2
x k x k k
Đs: 2 , , ( )
= + = − + ∈
4
Bài 4: (ĐH – A 2005) Giải phương trình: 2 2 cos 3 .cos 2 – cos 0 x x x =
Giải:
Cách 1:
Phương trình 1 cos 6 1 cos 2 .cos 2 0
+ +
x x
⇔ − =
x
2 2
1cos8 cos 4 1 0
⇔ − = cos6 .cos 2 1 0 x x ( )
⇔ + − = x x
2
2 ⇔ − + − = 2cos 4 1 cos 4 2 0 x x
www.mathvn.com
16
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
cos 4 1
⎡ =
x
⇔ + − = ⇔ ⎢⎢ = − < − ⎣
2
2cos 4 cos 4 3 0 3
x xx loai
x k x k k
4 2 ( )
⇔ = ⇔ = ∈ 2
Cách 2:
cos 4 1 2
( )
3 4 2 ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − = cos 6 cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 .cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0 x x x x x x x
( )
x k
k
Đs: ( )
= ∈
2
Cách 3:
⇔ = cos 6 cos 2 1 x x
⎡ = ∧ =
cos 2 1 cos 6 1
x x
⇔ ⎢⎣ = − ∧ = −
cos 2 1 cos 6 1
x x
Khi cos 2 1 x = thì
3
cos6 4cos 2 3cos 2 x x x = − =1
Khi cos 2 1 x = − thì
3
cos6 4cos 2 3cos 2 1 x x x = − = −
x k
Vậy hệ trên tương đương sin 2 0 x = cho ta nghiệm 2
=
Chú ý: Một số kết quả thu được − ≤ ≤ 1 sin ,cos 1 x x
⎡ = ∧ =
sin 1 cos 1
a b
sin .cos 1sin 1 cos 1
a ba b
= ⇔ ⎢⎣ = − ∧ = −
⎡ = ∧ =
sin 1 sin 1
a b
sin .sin 1sin 1 sin 1
a ba b
= ⇔ ⎢⎣ = − ∧ = −
⎡ = ∧ =
cos 1 cos 1
a b
cos .cos 1cos 1 cos 1
a ba b
= ⇔ ⎢⎣ = − ∧ = −
Tương tự cho trường hợp vế phải là −1
⎡ = ∧ = −
sin 1 cos 1
a b
sin .cos 1sin 1 cos 1
a ba b
= − ⇔ ⎢⎣ = − ∧ =
⎡ = ∧ = −
sin 1 sin 1
a b
sin .sin 1sin 1 sin 1
a ba b
= − ⇔ ⎢⎣ = − ∧ =
⎡ = ∧ = −
cos 1 cos 1
a b
cos .cos 1cos 1 cos 1
a ba b
= − ⇔ ⎢⎣ = − ∧ =
www.mathvn.com
17
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x x⎛ ⎞
Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình 4 4 cos sin 1
+ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
4
Giải:
Phương trình
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ + ⎝ ⎠ ⇔ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
2 1 cos 2
x
1 cos 2 21
x
2 2
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2 2 (1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 1 ⇔ + + + = ⇔ + = − ⇔ − = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
x x x x x 2
x x k x k k
1
⎛ ⎞ ⇔ − = − ⇔ = + ∨ = − + ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
cos 2 ,
2 2 4 2
x
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
( )
2 3 cos 2sin 2
− − −
x
2 4
Bài 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:
=
1
2cos 1
x
−
Giải:
Điều kiện: 21
cos x ≠
Phương trình
(2 3) cos 1 cos =⎟⎟⎠⎞
⎢⎣⎡⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
= − ⇔ − + = ⇔ − ⎥⎦⎤
1
3
⎜⎝⎛ ⇔ − x − − x − x x x x x
2cos 1 3 cos sin 0 2 2
2
sin
2
cos 0
⎪⎪⎨⎧
x k = +
(2 1)
⎜⎝⎛ ⇔ − x n
⎞
3
2sin ⇔ = + + x x k
⎟ = ⇔ − = ⇔
3
⎠
0
3
⎪⎪⎩
cos
x
≠
1 2
3
x k k
= + ∈
Đs: ,
3
Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình 2 2 2 sin cos 2 cos 3 x x x = +
Giải:
Phương trình 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 cos 2 cos 4 1 cos 6 0
− + +
x x xx x x
⇔ = + ⇔ + + + =
2 2 2
2 ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = 2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos3 cos 2 co x x x x x x x x x s 0
⎡= + ⎢⎢
x k
6 3
⇔ = + ∈ ⎢⎢⎢⎢ = + ⎢⎣
x k k
4 2
,
x k 2
www.mathvn.com
18
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
+ ⎛ ⎞
3(1 sin ) 3tan tan 8cos 0
x x
Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 2
x x x
− + − − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2
cos 4 2
x
Giải:
3 2 ⇔ − + + + − + = 3tan tan 3(1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0 x x x x x
Phương trình ( ) ( )
3 2
( ) ( )
⇔ − + + − + =
3tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0
x x x x x
2
( ) ( )
3tan 1 sin tan 1 sin tan 0
x x x x x
+ + − + + =
2
( )( )
⇔ + + − =
1 sin tan 3tan 1 0
x x x
x x k k
TH 1: 1
= ± ⇔ = ± + ∈
tan ,
3 6
TH 2: 1 sin tan 0 sin cos sin cos 0 + + = ⇔ + + = x x x x x x (pt đối xứng với sin và cos) = ± + ∈ với 2 1
x k k
Giải phương trình này ta được 2 , 4
−
cos2 =
Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sin x x x + − =
Giải:
Nhận xét:
x xx
Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và 72.2
+= chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công
2
thức biến đổi tổng thành tích
2 ⇔ − − − = sin 7 sin 1 2sin 2 0 x x x
Phương trình ( )
⇔ − = 2cos 4 .sin 3 cos 4 0 x x x
cos 4 0
⎡ =
x
⇔ − = ⇔ ⎢⎢ =
( )
cos 4 2sin 3 1 0 1
x xx
⎣
sin 32
⎡ ⎡
= + = + ⎢ ⎢
x k x k
42 8 4
⎢ ⎢
2
⇔ = + ⇔ = + ∈ ⎢ ⎢
3 2 ,
x k x k k
⎢ ⎢
6 18 3
⎢ ⎢
5 5 2 3 2
⎢ = + = + ⎢
x k x k
⎢⎣ ⎢⎣
6 18 3
x k x k k
2 5 2
Đs: ( )
= + = + ∈
; ,
18 3 18 3
www.mathvn.com
19
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Bài tập tự giải:
Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x + 89
sin (4 4
x x
+ + − =
4
= ± + ∈ với 2 6
) sin (
)4
x k k
Đs: , 2
− +
cos2 =
Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình: 2 2 2 sin cos 2 cos 3 x x x = +
k
⎡= + ⎢⎢ ∈
x
Đs: 6 3,
k
⎢ = + ⎢⎣
k
x
4 2
⎛ ⎞
Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình: 2 2 17 sin 2 – cos 8 sin 10 x x x
= + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2
k
⎡= + ⎢⎢ ∈
x
Đs: 20 10,
k
⎢ = + ⎢⎣
k
x
6 3
2 2 sin 4 – cos 6 sin 10,5 10 x x x = +
Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình: ( )
k
⎡= + ⎢⎢ ∈
x
Đs: 20 10,
k
⎢ = + ⎢⎣
x k 2
Bài 5: (TCKT – 2001) 2 2 2 sin sin 3 3cos 2 0 x x x + − = = ± + = ± + với 5 1
x k x k
Đs: ,
3 2
k −
∈ =
,cos2
Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trình: cos3x + sin7x = 29
2sin (2 x 2 x
5
+ −
4
2
k
⎡= + ⎢⎢⎢ = + ∈ ⎢⎢⎢ = − + ⎢⎣
) 2cos
x
12 6
Đs:
x k k
4
x
,
k
8 2
Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: 8 8 2 17 sin cos cos 2
x x x + =
16
x k
k
Đs: ,
= + ∈
8 4
Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình: 8 8 17 sin cos32
x x + =
www.mathvn.com
20
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x k
k
Đs: ,
= + ∈
8 4
Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình: 8 8 1
sin 2 cos 28
x x + =
x k
k
Đs: ,
= + ∈
8 4
Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trình
x x x⎛ ⎞
2 2 7
x
sin sin 4 sin 2 4sin4 2 2
− = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ thỏa mãn điều kiện x − < 1 3
Đs: 7;6 6
x
= −
Bài 11: (ĐHSP HCM – A 2000) Giải phương trình:
x x⎛ ⎞
x x x
2 2 sin sin cos sin 1 2cos
− + = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2 2 4 2
Đs: x k k = ∈ ,
Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình: 2 2 2 2cos 2 cos 2 4sin 2 cos x x x x + =
x k
k
Đs: ,
= + ∈
8 4
5. Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số đẳng thức quan trọng
2 2 2
( )
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos + = + + = + x x x x x x x
2 2 2 1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos ) − = + − = − x x x x x x x
sin 2 sin cos2x
x x =
3 3 2 2 sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos x x x x x x x x x x x x + = + − + = + −
( )( ) ( )( )
3 3 2 2 sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos x x x x x x x x x x x x − = − + + = − +
( )( ) ( )( )
2
+ = , cot tan 2cot x x x − =
tan cotsin 2
x xx
4 4 2 2 2 2 1 1 1 3 1 sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
x x x x x x x + = − = − = + = +
2 2 2 4 4
4 4 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin cos 2 x x x x x − = + − =
( )( )
6 6 4 4 2 2 2 3 3 5 sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 4
x x x x x x x x + = + − = − = +
4 8 8
6 6 4 4 2 2 cos sin cos 2 (sin cos sin cos ) x x x x x x x − = + +
www.mathvn.com
21
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
sin cos 2 sin 2 cos
x x x x
± = ± = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 4
x
1
1 tan .tan2 cos
+ =
xx
2
cos cos 1 sin x x x
Mối quan hệ giữa cos x và 1 sin − x là
= =
+
1 sin cos (1 sin ) cos
− −
x x x x
2
x xx
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + = ⎝ ⎠
Bài 1: (ĐH – D 2007) Giải phương trình:
sin cos 3 cos 2
2 2
Giải:
x x x x
Phương trình 2 2 sin 2sin cos cos 3 cos 2
⇔ + + + = x
2 2 2 2
⇔ + = sin 3 cos 1 x x1 3 1 sin cos
⇔ + = x x
2 2 2
x⎛ ⎞
⇔ + =1
1
sin .cos cos .sin x x
⇔ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ sin3 2
3 3 2
⎡ ⎡
+ = + = − + ⎢ ⎢
x k x k
2 2
3 6 6
( )
⇔ ⇔ ∈ ⎢ ⎢
k
52 2
⎢ ⎢ + = + = + ⎢ ⎢ ⎣ ⎣
x k x k
3 6 2
x k x k k
Đs: 2 , 2 , ( )
= + = − + ∈
2 6
x x xsin 22
Bài 2: (ĐH – B 2003) Giải phương trình: x
cot − tan + 4sin 2 =
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hiệu cot tan x x − và sin 2x ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung hay cung một cung 2x hay không
2 2 cos sin cos 2 2cos 2
x x x x
Ta có
−= = từ đó ta định hướng giải như sau sin cos sin cos sin 2
x x x x x
sin 0
⎧ ≠
Điều kiện:
xk
⎪⎨ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
cos 0 sin 2 02
x x x
⎪⎩ ≠
sin 2 0
x
www.mathvn.com
22
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2 2 cos sin 2 cos 2 1 4sin 2 2sin 2
x x x
− ⇔ + = ⇔ + =
x x
sin cos sin 2 sin 2 sin 2
x x x x x
2 2 ⇔ + = ⇔ − − = cos 2 2sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 0 x x x x
cos 2 1
⎡ =
x
⇔ ⎢− ⎢ =
1
⎣
cos 22 x
Khi cos 2 1 x = thì sin 0 x = không thỏa ĐK Khi 1
x−
= thì 2 1
cos 22
= thỏa mãn điều kiện
cos x4
x x k
Vậy ta nhận 1
−
cos 22 3
= ⇔ = ± +
x k k
Đs: , ( )
= ± + ∈
3
Chú ý:
Từ mối quan hệ giữa tan x và cot x , giữa tan x và sin 2x ta có thể làm như sau
⎧= ⎪⎪
1
cot
xt
Đặt
2
t xt = ⇒ ⎨⎪ =
tan2 sin 21
xt
⎪⎩ +
2
1 2 1 4 2
t t
− + =
+
t
Ta được phương trình
+ … bạn đọc giải tiếp nhé 2
t t t
1 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Bài 3: (ĐH – D 2005) Giải phương trình: 4 4 3 cos sin cos .sin 3 0
x x x x
+ + − − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 4 2
Giải:
Nhận xét:
Từ đẳng thức 4 4 2 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x + = − và hiệu hai cung 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sin cos 1 sin 2
2
Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
x x x 4 4
Phương trình 2 2 1 1 2sin cos sin 4 sin 2 0
⇔ − + − + − = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
x x x x
2 2 2
2 ⇔ − − + − = sin 2 cos 4 sin 2 1 0 x x x
2 ⇔ + − = sin 2 sin 2 2 0 x x
www.mathvn.com
23
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x x k k
⇔ = ⇔ = + ∈
sin 2 1 ;
4
x k k
Đs: , ( )
= + ∈
4
Bài 4: Giải phương trình 6 6 2 13 cos sin cos 2
x x x − =
8
Giải:
Nhận xét:
Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu 6 6 cos sin x x − có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung hay không ta làm như sau
2 3 2 3 2 13 (cos ) (sin ) cos 2
⇔ − = x x x
8
2 2 4 4 2 2 2 13 (cos sin )(cos sin sin cos ) cos 2
⇔ − + + = x x x x x x x
8
1 1 13 2 2 2 2 2 cos 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 2
⎛ ⎞ ⇔ − + = ⇔ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
x x x x x x x
2 4 8
⎡ ⎡ ⎡ = = =
cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0
x x x
⇔ ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ ⎣ − = − − = − + =
2 2 2
8 2sin 2 13cos 2 8 2(1 cos 2 ) 13cos 2 2cos 2 13cos 2 6 0
x x x x x x
cos 2 0
⎡ = ⎡
xx k
⎢ ⇔ = + ⎢
1 4 2 cos 2 (k )
⇔ = ⇔ ∈ ⎢ ⎢
⎢ ⎢ = ± + ⎢ = ⎢⎣ ⎣
x
2
x k x loai cos 2 6 ( ) 6
Bài 5: (GTVT – 1998) Giải phương trình tan cot 2(sin 2 cos 2 ) x x x x + = +
Giải:
Điều kiện cos 0sin 2 0
⎧ ≠
xx
⎨ ⇔ ≠
sin 0
⎩ ≠
x
sin cos tan cot 2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )
x x
x x x x x x
+ = + ⇔ + = +
cos sin
x x
1 2 2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )
⇔ = + ⇔ = +
x x x x
sin cos sin 2
x x x
2 ⇔ = + ⇔ = + 1 sin 2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 cos 2 x x x x x x
2cos 2 0
x k k x x x x x k
⎡ =
⇔ = ⇔ ⇔ = + ∨ = + ∈ ⎢⎣ =
cos 2 sin 2 cos 2 ,
tan 2 1 4 2 8 2
x
Bài 6: (QGHN – 1996) Giải phương trình 3
tan cot 2cot 2 x x x = +
Giải:
www.mathvn.com
24
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
cos 0
⎧ ≠
Điều kiện
xk
⎪⎨ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
sin 0 sin 2 02
x x x
⎪⎩ ≠
sin 2 0
x
sin cos tan cot 2cot 2 2cot 2
x x
3 3
x x x x
= + ⇔ − =
cos sin
x x
2cos 2 2cot 2 cot 2 cot 2 xx x x
3 3
⇔ − = ⇔ − =
sin 2
x
cot 2 02 ,
⎡ =
x k
⇔ ⇔ = + ⇔ = + ∈ ⎢⎣ = −
x k x k
2
cot 2 1 ( ) 2 4 2
x loai
2(cos sin ) sin cos 6 6=
x x x x
+ −
Bài 7: (ĐH – A 2006) Giải phương trình: 0
2 2sin
−
x
Giải:
Điều kiện: 1
sin2
x ≠
Phương trình 4 4 2 2 ⇔ + − − = 2(cos sin sin cos ) sin cos 0 x x x x x x
2 2 ⇔ − − = 2 6sin cos sin cos 0 x x x x2 ⇔ + − = 3sin 2 sin 2 4 0 x x
x x k
⎡= + ⎢ x k
2
⇔ = ⇔ = +
4;
⇔ ∈ ⎢⎢ = + ⎢⎣
sin 2 14
52
k
x k 4
x k k
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 52 ;
= + ∈
4
⎛ ⎞
(1 sin cos 2 sin )4 1cos
+ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠=
x x x
x
Bài 8: (ĐH – A 2010) Giải phương trình:
1 tan 2
+
x
Giải:
Điều kiện: tan 1
⎧ ≠ − ⎨⎩ ≠
x
cos 0
x
⎛ ⎞
Phương trình 2sin 1 sin cos2 1 tan .cos ( ) ( )
⇔ + + + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
x x x x x
4
⇔ ( )( )sin cos sin cos 1 sin cos2 .cos
x x
+
x x x x x
+ + + =
⇔ + = sin cos 2 0 x x
www.mathvn.com
cos
x
25
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
sin 1
( )
⎡= − + ⎢
x loai
⎡ =
x k 6
2
⇔ − − = ⇔ ⎢⎢ = − ⎢⎣( )
2
2sin sin 1 0 1
x xx
⇔ ∈ ⎢⎢ = + ⎢⎣
sin2
72
k
x k
6
x k x k k
Đs: 7
= − + = + ∈
2 , 2 ,
6 6
sin cos 4 4= −
x x
+
1
1
cot 2
x
Bài 9: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: x
5sin 2
x
2
8sin 2
Giải:
Điều kiện: sin 2 0 x ≠
Phương trình
2 2
1
−
1
2
sin 2
x
− ⇔ x x x 1 2sin .cos 2
x x
1
1
2
1
1
9
= − ⇔
cos 2
x
= − ⇔ − + =
5
9
2
8
5
2
cos 2
8
cos 2 5cos2
4
0
⎢⎢⎢⎢⎣⎡= ⇔ = ± +
cos 2
x loai
=
⇔
2 1
( )
cos 2
x x k 2 6
Bài 10: (ĐH – B 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 cos 2 0 + + + + = x x x x
Giải:
Phương trình ( )2 2 2 ⇔ + + + + − = sin cos sin cos cos sin 0 x x x x x x
⇔ + + = (sin cos )(1 2cos ) 0 x x x
⎡ ⎛ ⎞ ⎡
⎢ ⎜ ⎟ + = = − + ⎢
sin 0
x x k
4 4;
⎝ ⎠ ⇔ ⇔ ∈ ⎢ ⎢
k
1 2
⎢ ⎢
= − = ± + ⎢ ⎢
x x k
cos 2
2 3
⎣ ⎣
x k k
22
Đs: ( )
= ± + ∈
3
tan cos – cos sin (1 tan .tan )2x
Bài 11: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: 2
x x x x x + = +
HD:
⎪⎨⎧≠≠0
cos 0
x
Điều kiện: ⎪⎩
cos
x 2
www.mathvn.com
26
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x x x x
sin .sin cos .cos sin .sin cos
x x x
Ta có:
x
1 tan .tan 1
+
2 2 2 2 1
+ = + = = = xx x x x
2 cos cos .cos cos .cos cos .cos
x x x
2 2 2
Phương trình
sin
x
tan cos cos2x x x x x k cos (1 cos ) 0 cos 1(cos 0) 2
⇔ x + x − x = ⇔ − = ⇔ = ≠ ⇔ =
cos
x
Đs: x k k = ∈ 2 ;
x
Bài 12: (ĐH – B 2006) Giải phương trình: cot sin (1 tan tan ) 4
x x x + + =
2
Giải:
⎧⎪ ≠
sin 0
x
⎪⎨ ≠ ⇔ ≠ ∈
cos 0 ,2
Điều kiện:
x x k k ⎪⎪ ≠
x
⎩
cos 0 2
x
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ sin sin 2
Phương trình
x
⇔ + + = ⎜ ⎟ cot sin 1 . 4 x xx x
coscos2
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x x
⎛ ⎞
cos .cos sin .sin
x x
+ ⎜ ⎟
2 2 cot sin 4 ⇔ + =
x xx
cos .cos2
x
⎝ ⎠
x
cos2
⇔ + =
cot sin . 4
x xx
cos .cos2
x
cos sin 4
x x
⇔ + = ⇔ =1 4sin .cos x x sin cos
x x
⎡ ⎡
2 2 1 6 12 sin2 ,
= + = + ⎢ ⎢
x k x k
⇔ = ⇔ ⇔ ∈ ⎢ ⎢ x k
2 5 5 2 2
⎢ ⎢ = + = + ⎢⎣ ⎢⎣
x k x k
6 12
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x k
x k
= + ;512
12
= + với k ∈
www.mathvn.com
27
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x k x k k
5
Đs: ( )
= + = + ∈
; ,
12 12
Bài 13: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2cos 4
cot tansin 2x
x xx
= +
HD:
Điều kiện: sin 2x ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ 1
Phương trình
cos 2
x
sin
x
cos4
x
⇔ − = ⇔ = ⇔ − − = cos2 cos4 2cos 2 cos2 1 0
sin
x
cos
x
sin .cos x x
x x x x
⇔
cos 2 1 ( )
x loai
=
⎢⎢⎣⎡= − ⇔ = ± +
cos 2
1
x x k
2 3
x k k
Đs: 2;
= ± + ∈
3
Bài 14: (ĐH – A 2009) Giải phương trình: ( )
1 2sin cos3
x x
−=
+ −.
( )( )
1 2sin 1 sin
x x
Giải:
sin 1
⎧ ≠
x
Điều kiện:
⎪⎨≠ − ⎪⎩
1
sin2
x
Phương trình ⇔ − = + − (1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x ) ( )( )
2 ⇔ − = + − cos 2sin cos 3 3 sin 2 3 sin x x x x x
2 ⇔ − = + − cos 3 sin sin 2 3 1 2sin x x x x
( )
⇔ − = + cos 3 sin sin 2 3 cos 2 x x x x1 3 1 3 cos sin sin 2 cos 2
⇔ − = + x x x x
2 2 2 2
⇔ − = +
cos .cos sin .sin sin2 .sin cos2 .cos
x x x x
3 3 6 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ + = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cos cos 2
x x
3 6
⎡= + ⎢ x k
2
⎛ ⎞ ⇔ − = ± + + ⇔ ∈ ⎜ ⎟ ⎢
2
2 2 ; x x k k ⎝ ⎠ ⎢ = − + ⎢⎣
6 3 2
x k
18 3
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x k k
2,
( )
= − + ∈
18 3
x k k
2,
Đs: ( )
= − + ∈
18 3
www.mathvn.com
28
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2
cos cos 1 sin
x x x
Hoặc:
= =
+
1 sin cos (1 sin ) cos
− −
x x x x
Phương trình thành:
(1 2sin )(1 sin ) sin cos 2 3 3
− + − +
x x x x
= ⇔ =
(1 2sin )cos cos sin2x
+ +
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
( 3 cos sin 3 sin 2 cos 2 0 sin sin 2 0 ) ( )3 6
⇔ + + − = ⇔ + + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x
3
⇔ + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2sin cos 0
2 12 2 4
Hoặc là:
x x k x k
3 3 2 sin 0
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = ⇔ + = ⇔ = − + ⎝ ⎠ (biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các
2 12 2 12 18 3
− , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)
cung là 11 23
, ,
18 18 18
Hoặc là:
x x l x l
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⇔ − = + ⇔ = + ⎝ ⎠
cos 0 3 2
2 4 2 4 2 2
(khi đó sin 1 x = − thỏa điều kiện ban đầu)
Bài tập tự giải:
Bài 1: (HVCTQG – 1999) 6 3 4 8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0 x x x x + − − =
x k k
= ± + ∈
Đs: ,
8
1 2 48 1 cot 2 .cot 0
Bài 2: (ĐHMĐC – 2001) Giải phương trình: ( ) 4 2
− − + =
cos cosx x
x x
x k
k
Đs: ,
= + ∈
8 4
6. Sử dụng các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về các các phương trình đơn giải đối với một hàm lượng giác
a. Đưa về phương trình đẳng cấp
3 3 2 2
Bài 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x − = −
Giải:
Nhận xét:
x x k k
= ⇔ = + ∈ vào phương trình ta được 3
Thay cos 0 ,( ) 2
www.mathvn.com
sin 0 sin 0 x x = ⇔ =
29
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x k k
nên ( )
= + ∈ không phải là nghiệm của phương trình
2
Khi cos 0 x ≠ chia cả hai vế của phương trình cho 3
cos x ta được
3 2 2 2 tan 3 tan 3.tan tan tan 1 3 tan 1 0 x x x x x x − = − ⇔ − + − =
( ) ( )
2tan 1
⎡ = ±
x
( )( )
⇔ − + = ⇔ ⎢⎣ = − tan 1 tan 3 0tan 3
x xx
⎡= ± + ⎢ x k
4;
⇔ ∈ ⎢⎢ = − + ⎢⎣
x k 3
k
x k x k k
Đs: ; , ( )
= + = − + ∈
4 2 3
Bài 2: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình 1 3tan 2sin 2 + = x x
Giải:
Cách 1: Điều kiện: cos 0 x ≠
Phương trình sin 2
xx x x x x x
1 3 4sin cos cos 3sin 4sin cos
+ = ⇔ + =
cos
x
Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho 3 cos x
Ta được
1 tan 3 4 tan 1 tan 3tan 1 tan 4 tan
xx x x x
2 2
( )
+ = ⇔ + + + =
2 2
cos cos
x x
3 2 2
( )( )
⇔ + − + = ⇔ + − + =
3tan tan tan 1 0 tan 1 3tan 2 tan 1 0
x x x x x x
x x k k
⇔ = − ⇔ = − + ∈ vì 2
tan 1 , 4
Chú ý:
3tan 2 tan 1 0 x x − + = vô nghiệm
- Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho 2
cos x
- Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng 2sin cos
x x
2sin cos 2 tan sin 2sin cos 1 tan
x x x
cos 2 tan sin 2 2sin cos 1 1 tan x x
+ + hoặc 22
= =
xx x x 2 2 2
= = =+ từ đó ta x x xx
2
cos
x
đặt t x = tan
Cách 2:
www.mathvn.com
30
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
tan sin 21t
2
Đặt 2
t x xt
= ⇒ =+
4
t
Khi đó ta được 3 2 2 1 3 3 1 0 ( 1)(3 2 1) 0 + = ⇔ + − + = ⇔ + − + =
t t t t t t t
1
+
t
2
t x x k
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − +
1 tan 14
⎛ ⎞
Bài 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình 3
sin 2 sin
⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠
x x
4
Giải:
Nhận xét:
Từ phương trình ta nhận thấy bước đầu tiên phải phá bỏ 3
x⎛ ⎞
x⎛ ⎞
sin4 ⎜ ⎟ −
⎜ ⎟ −
x x x⎛ ⎞
từ công thức sin cos 2 sin4
⎝ ⎠ để đưa cung 4
⎝ ⎠ về cung x
− = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠… đến đây rùi là ra cùng một cung x rùi
Cách 1:
⎛ ⎞
Ta có 2 sin sin cos
⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠
x x x
4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 3 3 3 1
⇔ − = − ⇔ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 sin (sin cos ) sin (sin cos )
x x x x x x
4 4 2 2
Phương trình
1 3 3 (sin cos ) 2 sin (sin cos ) 4sin *
( )
⇔ − = ⇔ − = x x x x x x (pt đẳng cấp bậc ba) 2 2
Vì cos 0 x = không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho 3
cos x
Ta được
3 2 2 (tan 1) 4 tan (1 tan ) (tan 1)(3tan 1) 0
x x x x x
− = + ⇔ + + =
x x k
⇔ = − ⇔ = − + ∈
tan 1 (k )
4
Cách 2:
Từ phương trình (*)
3 2 (*) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sin ⇔ − = ⇔ − − = x x x x x x x x 2 2 ⇔ − − = ⇔ − − − + = (sin cos )(1 2sin cos ) 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x x cos 0 2 2 ⇔ − − + − = ⇔ − + − = cos ( 2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (cos 2 2) sin (cos 2 2 x x x x x x x x ) 0 cos 2 2 (loai)
⎡ = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = − + ∈ ⎢⎣ = −
x
(cos 2 2)(cos sin ) 0 (k Z)
x x x x k
tan 1 4
x
Bài 4: (HVQY – B 2001) Giải phương trình 3sin 2cos 2 3tan x x x + = +
Giải:
⇔ + = + ⇔ + = + 3tan cos 2cos 2 3tan cos (3tan 2) 2 3tan x x x x x x x
www.mathvn.com
31
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡
2
⎡ ⎡ + = = + = − = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ⎢
3tan 2 0 tan tan
x x k xk ⎣ ⎣ ⎣ =
3 ,
⎢ ⎢
= = ⎢
cos 1 2 cos 1
x x k x
Bài tập tự giải:
3 3
Bài 1: (BCVT – 2001) Giải phương trình: 4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos4 3
x x + x x + x =
k
⎡= − + ⎢⎢ ∈
x
Đs: 24 2
k
⎢ = + ⎢⎣
k
x
8 2
Bài 2: (ĐHNT – 1996) Giải phương trình: 3 3 2 cos – 4sin – 3cos sin sin 0 x x x x x + =
⎡= − + ⎢⎢ ∈
x k
4
Đs: ( )
⎢ = ± + ⎢⎣
x k 6
k
Bài 3: (ĐHH – 1998) Giải phương trình: 3 2 cos sin – 3sin cos 0 x x x x + =
⎡= + ⎢⎢⎢ = + ∈
x k 4
Đs: 1 ( )
x k k
⎢ = + ⎢⎣
x k
2
với 1 2 tan 1 2; tan 1 2 = + = −
Bài 4: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: 3 3 cos – sin sin – cos x x x x = x k k
Đs: ( )
= + ∈
4
Bài 5: (HVKTQS – 1996) Giải phương trình: 3
2cos sin 3 x x =
⎡= + ⎢ ∈
x kk
Đs: 4 ( )
⎢⎣ = + với tan 2 = −
x k
Bài 6: (ĐHD HCM – 1997) Giải phương trình: 3
sin sin 2 sin 3 6cos x x x x + =
⎡ = +
x k
⎢ ∈
Đs: ( )
⎢ = ± + ⎣ với tan 2 =
x k 3
k
Bài 7: (ĐHYHN – 1999) Giải phương trình: 3
sin cos 4sin 0 x x x + − =
x k k
Đs: ( )
= + ∈
4
Bài 8: (ĐHQGHN – 1996) Giải phương trình: 1 3sin 2 2 tan + = x x
www.mathvn.com
32
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡= − + ⎢ ∈
x nn
⎢⎢ = + ⎣ với 1,23 17
Đs: ( )
4
x n
1,2
±
tan4 =
2
Bài 9: (ĐHNN I – B 1999) Giải phương trình: ( ) ( )
sin tan 1 3sin cos – sin 3 x x x x x + = +
⎡= − + ⎢⎢ ∈
x k
4
Đs: ( )
⎢ = ± + ⎢⎣
x k 3
k
b. Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, bậc 4… của một hàm lượng giác
Bài 1: Giải phương trình 2 2 2sin tan 2 x x + =
Giải:
Cách 1:
Điều kiện: cos 0 x ≠
2
2 tan tan 2 2 tan tan tan 2 2 tan
xx x x x x
2 2 2 4 2
Phương trình
⇔ + = ⇔ + + = +
2
1 tan
+
2
x
⎡ = ⎛ ⎞ ⇔ + − = ⇔ ⇔ = ± = ± ⇔ = ± + ∈ ⎢ ⎜ ⎟ tan 1
4 2
x
tan tan 2 0 tan 1 tan (k ) x x x x k = − ⎝ ⎠ ⎣
2
tan 2 (loai) 4 4
x
Cách 2:
2
sin 2sin 2 2sin cos sin 2cos
x
2 2 2 2 2
⇔ + = ⇔ + =
x x x x x
cos
2
x
2 2 2 2 2 4 2 2 ⇔ − + − = ⇔ − + − = 2(1 cos )cos 1 cos 2cos 2cos 2cos 1 cos 2cos x x x x x x x x
2
⎡ = −
cos 1 (loai)
x
⇔ + − = ⇔ ⇔ − = ⎢⎢ =
4 2 2
2cos cos 1 0 2cos 1 0 1
x x x
2
cos2
⎢⎣
x
x x k x
k
⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
cos 2 0 2 (k Z)
2 4 2
Chú ý:
Đối với phương trình 2 1
x = ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm khi kết hợp và so sánh
cos2
với điều kiện phức tạp nên ta hạ bậc là tối ưu nhất
Bài 2: Giải phương trình 8 8 1
sin cos8
x x + =
Giải:
4 2 4 2 4 4 2 4 4 1 1 (sin ) (cos ) (sin cos ) 2sin cos
⇔ + = ⇔ + − = x x x x x x
8 8
www.mathvn.com
33
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2 4 1 1 1 1 1 2 4 2 4 1 sin 2 2(sin cos ) 1 sin 2 sin 2 2 sin 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ − − = ⇔ − + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x x x x
2 8 4 2 8
2 4 4 2 4 4 1 1 1 1 sin 2 sin 2 sin 2 8 8sin 2 2sin 2 sin 2 1
⇔ − + − = ⇔ − + − = x x x x x x
4 8 8
4 2 2 2 ⇔ − + = ⇔ = ∨ = > sin 2 8sin 2 7 0 sin 2 1 sin 2 7 1 (loai) x x x x
x x k x k
k
⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
cos 2 0 2 ,
2 4 2
Chú ý:
Có thể dùng công thức hạ bậc và đặt t x = cos 2
Bài 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình: ( )2
5sin – 2 3 1 sin tan x x x = −
Giải:
Phương trình 2 2 2 3 ⇔ − − − = − 5sin (1 sin ) 2(1 sin ) 3sin 3sin x x x x x
3 2 ⇔ + − + = 2sin sin 5sin 2 0 x x x
Đặt t x = sin với t ∈ −[ 1;1]
3 2 2 ⇔ + − + = ⇔ − + − = 2 5 2 0 1)(2 3 2) 0 t t t t t t
⎡ =
⎢
t
1
1
⇔ = ⎢⎢⎢= − ⎣
t
2
( )
t loai
2
x k x k
⇔ = + ∨ = +
2 2
2 6
x k x k k
5
Đs: ( )
= + = + ∈
2 ; 2 ,
6 6
Bài 4: (QGHN – 1996) Giải phương trình 2
tan tan .tan 3 2 x x x − =
Giải:
Điều kiện:cos 0
⎧ ≠
x
⎨⎩ ≠
cos3 0
x
2
2 sin sin 2 2sin cos tan tan .tan 3 2 tan (tan tan 3 ) 2 2 2
− −
x x x x
x x x x x xx x x x x x
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = cos cos cos3 cos cos cos3
2 2 4 2 4 2 ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − + = sin cos cos3 cos 1 4cos 3cos 4cos 4cos 1 0 x x x x x x x x x x x k x k
k
2 2 (2cos 1) 0 cos 2 0 2 ,
⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
2 4 2
Bài 5: Giải phương trình 1
2 tan cot 2 2sin 2sin 2
x x xx
+ = +
Giải:
www.mathvn.com
34
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Điều kiện:cos 0sin 2 0
⎧ ≠
xx
⎨ ⇔ ≠
sin 2 0
⎩ ≠
x
sin cos 2 1 sin sin 2 2
x x x x
2 2sin 2 2 cos 2 2sin 2 1 0
+ = + ⇔ + − − =
x x x
cos sin 2 sin 2 cos
x x x x
2 2 2 ⇔ + − − − = ⇔ − + − + = 4sin cos 2 2(1 cos 2 ) 1 0 2(1 cos 2 ) cos 2 3 cos 2 0 x x x x x x ⎡ = =
cos 2 1 ( ) ( sin 2 0)1
x loai vì x
⇔ − − = ⇔ ⇔ = − ⎢⎢ = − ⎣
2
2cos 2 cos 2 1 0 cos 2 1
x x x
cos 2 2
x
2
x k x k k ⇔ = ± + ⇔ = ± + ∈
2
2 2 , 3 3
Bài 6: Giải phương trình 1 1 sin2 sin 2cot2
x x x
+ − − =
2sin sin 2
x x
Giải:
Điều kiện: sin 0, cos 0 x x ≠ ≠
Phương trình 2 ⇔ + − − = sin 2 sin 2 .sin cos 1 2cos2 x x x x x
2 2 2 2 ⇔ + − + − = 4cos sin 2cos .sin cos 1 4cos 0 x x x x x x
2 2 2 2 ⇔ − + − − + − = 4cos (1 cos ) 2cos (1 cos ) cos 1 4cos 0 x x x x x x
4 3 ⇔ + + − = 4cos 2cos cos 1 0 x x x
3 2 ⇔ + − + − = (cos 1)(4cos 2cos 2cos 1) 0 x x x x
2 ⇔ + − + = (cos 1)(2cos 1)(2cos 1) 0 x x x
⎡ = − ⎡⇔ = +
x x k
cos 1 2
⇔ ⇔ ∈ ⎢ ⎢
⎢ = ⎢ = ± + ⎣ ⎣
1
k
x x k
cos 2
2 3
Bài 7: (ĐH – A 2002)Tìm nghiệm x ∈ (0;2 ) của phương trình: cos3 sin 3 5 sin cos 2 3
x x
⎛ ⎞ +
⎜ ⎟ + = + ⎝ ⎠ +
x x
1 2sin 2
x
Giải:
Ta có: 3 3 cos3 sin 3 4cos 3cos 3sin 4sin x x x x x x + = − + − =
4(cos sin )(1 sin cos ) 3(cos sin ) (cos sin )(1 4si x x x x x x x x x x − + − − = − + n cos )
Và 1 2sin 2 1 4sin cos + = + x x x
Khi đó phương trình thành:
x x k k ⇔ = ⇔ = ± + ∈
5sin 5cos 5sin cos 2 3 x x x x + − = + 2 ⇔ − + = 2cos 5cos 2 0 x x1
cos 2 ;
2 3
< + < 1 5 0
Xét 0 2 2
k k − ⇔ < < ⇔ = vì k ∈ ta được 3
3k
6 6
x
=
< − + < 1 7 1
Xét 0 2 2
⇔ < < ⇔ = k k vì k ∈ ta được 53
3k
Đs: 5 x x
= =
;3 3
www.mathvn.com
6 6
x
=
35
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Cách 2: Quy đồng hai vế… bạn đọc tự giải
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHNN – 2000) Giải phương trình: 1
2cos 2 – 8cos 7cos
x xx
+ =
x k ⎡ =
2
⎢ ∈
Đs: ( ) ⎢ = ± + ⎣
x k 3
2
k
Bài 2: (ĐHL – 2000) Giải phương trình: 4 sin 3 – cos 2 5 sin –1 ( x x x ) = ( )
⎡= + ⎢⎢⎢ = + ∈
x k 2
2
với 1
Đs: ( )
x k k
2
⎢ = − + ⎢⎣
= −
sin4
x k
2
c. Đưa về các dạng phương trình đối xứng
Chú ý một số dạng đối xứng bậc chẵn với sin va cos
4 4 a x x b x c sin cos sin 2 0 + + + =
Dạng 1: ( )
Đặt 4 4 2 1
t x t x x x = ≤ ⇒ + = −
sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2
2
4 4 a x x b x c sin cos cos 2 0 + + + =
Dạng 2: ( )
4 4 2 2 1 1 cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 Đặt ( )
t x t x x x x = ≤ ⇒ + = − = − − 2 2
6 6 a x x b x c sin cos sin 2 0 + + + =
Dạng 3: ( )
Đặt 6 6 2 3
t x t x x x = ≤ ⇒ + = −
sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2
4
6 6 a x x b x c sin cos cos 2 0 + + + =
Dạng 4: ( )
6 6 2 2 3 3 cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 Đặt ( )
t x t x x x x = ≤ ⇒ + = − = − − 4 4
Dạng 5: a x x b x x c (sin cos sin cos 0 + + + = )
21
t x x t x x−
t
= + ≤ ⇒ =
Đặt
sin cos , 2 sin cos2
Dạng 6: a x x b x x c (sin cos sin cos 0 − + + = ) 2
t x x t x x− sin cos , 2 sin cos2t
Đặt
1
= − ≤ ⇒ =
Dạng 7: 4 4 a x b x c x d sin cos .cos 2 0 + + + = www.mathvn.com
36
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎧ −
2
= ⎪⎪
1
t
Đặt
sin2
x
t x tt = ≤ ⇒ ⎨+ ⎪ =
cos 2 , 11 2
cos2
⎪⎩
x
Bài 1: (ĐHSP HCM – 2000) Giải phương trình 4 4 4(sin cos ) 3 sin 4 2 x x x + + =
Giải:
1 2
⎛ ⎞ ⇔ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
4 1 sin 2 3 sin 4 2
2x x
2 ⇔ − = − ⇔ + = − 3 sin 4 2sin 2 2 3 sin 4 cos 4 1 x x x x
⎡= + ⎢
x k
2 4 2 cos 4 cos (k ) ⎛ ⎞ ⇔ − = ⇔ ∈ ⎜ ⎟ ⎢ x
⎝ ⎠ ⎢ = − + ⎢⎣
3 3
x k 12 2
Bài 2: (ĐHXD – 1994) Giải phương trình 6 6 sin cos sin 2 x x x + =
Giải:
3 2 2 1 sin 2 sin 2 3sin 2 4sin 2 4 0
⇔ − = ⇔ + − = x x x x
4
⎡ = − ⇔ ⇔ = + ∨ = − + ∈ ⎢⎣ = =
sin 2 2 ( )2 2 ,
x loaix k x k k
sin 2 2 / 3 sin x
2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 + + + = + x x x x x
Bài 3: (ĐH – A 2007) Giải phương trình: ( ) ( )
Giải:
Nhận xét:
Phương trình có tính chất đối xứng, điều đó gợi ý cho ta biến đối về phương trình đối xứng với sin và cos bằng cách đặt t x x = + sin cos
Phương trình 2 2 2 ⇔ + + + = + cos sin cos sin cos sin (sin cos ) x x x x x x x x
2 ⇔ + + + = + cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos ) x x x x x x x x
⇔ + + − − = (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0 x x x x x x
⎡ ⎛ ⎞
sin 0
⎜ ⎟ + =
x
⇔ ⎢⎝ ⎠ ⎢⎢⎣ + − − =
4
sin cos sin cos 1 0
x x x x
x k k
= − + ∈
Với phương trình thứ nhất ta có ;
4
Với phương trình thứ hai đặt t x x = + sin cos ta được
x⎛ ⎞
x k ⎡ =
2
t t t − + = ⇔ = 2 1 0 1 1
⇔ ∈ ⎢⎢ = + ⎣
2
www.mathvn.com
⇔ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ sin4 2
x k 2
2
;
k
37
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x k x k x k k
Đs: , 2 , 2 ( )
= − + = + = ∈
4 2
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHH – D 2000) Giải phương trình: sin cos 2sin 2cos 2 x x x x + + =
x k ⎡ =
2
⎢ ∈
Đs: ( ) ⎢ = + ⎣
x k 2
2
k
Bài 2: (ĐHM – 1999) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sin + = x x
⎡= + ⎢⎢⎢ = − + ∈ ⎢⎢⎢ = + ⎢⎣
x k 4
2
52
Đs: ( )
x k k
12
11 2
x k 12
Bài 4: (HVCTQG HCM – 2000) Giải phương trình: 2sin 2 – 2 sin cos 1 0 x x x ( + + = )
⎡= − + ⎢ ∈
x kk
2
Đs: ( )
⎢⎣ = +
2
x k
2
b. Phương trình đối xứng với tan và cot
Bài 1: Giải phương trình: 2 2 tan cot 2(tan cot ) 6 (*) x x x x + + + =
Giải:
k
Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k Z) x x x x
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
2
2
(*) (tan cot ) 2 2(tan cot ) 6 ⇔ + − + + = x x x x
2 ⇔ + + + − = (tan cot ) 2(tan cot ) 8 0 x x x x
⇔ + = ∨ + = − tan cot 2 (1) tan cot 4 (2) x x x x
1 2 2 (1) tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0 ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − = x x x x
tan
x
x x k
⇔ = = ⇔ = + ∈
tan 1 tan (k Z)
4 4
sin cos 2 2 (2) 4 sin cos 4sin cos
x xx x x x
⇔ + = − ⇔ + = −
cos sin
x x
1
⇔ − = ⇔ = − = −
2sin 2 1 sin 2 sin( )
x x
2 6
x k x k x k x k
7 7 2 2 2 2 (k Z)
⇔ = − + ∨ = + ⇔ = − + ∨ = + ∈
6 6 12 12
www.mathvn.com
38
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
x k x k x k
Vậy nghiệm của phương trình là: 7
= + ∨ = − + ∨ = + ∈
(k Z)
4 12 12
Cách 2:
đặt 2 2 2 2 2 2 t x x t x x x x x x x x = + ⇒ = + = + + = + + tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cot tan cot 2 2 2 2 2
x x t tt⎡ ≥
t
≥ + = ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇔ ⎢⎣ ≤ −
2 tan cot 2 4 4 22
- Khi t x x = ⇔ + = 2 tan cot 2 1 2 2 tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0 ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − =
x x x x
tan
x
x x k
⇔ = = ⇔ = + ∈
tan 1 tan (k Z)
4 4
- Khi t x x = − ⇔ + = − 4 tan cot 4 sin cos 2 2 4 sin cos 4sin cos
x xx x x x
⇔ + = − ⇔ + = −
cos sin
x x
x x⎛ ⎞
1
⇔ − = ⇔ = − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2sin 2 1 sin 2 sin
2 6
x k x k x k x k
7 7 2 2 2 2 (k Z)
⇔ = − + ∨ = + ⇔ = − + ∨ = + ∈ 6 6 12 12
x k x k x k
Vậy nghiệm của phương trình là: 7 = + ∨ = − + ∨ = + ∈
(k Z)
4 12 12
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHCĐ – 1997) Giải phương trình: 2 sin cos tan cot ( x x x x + = + ) x k k
Đs: 2 ( )
= + ∈
4
Bài 2: (ĐHNN – 1997) Giải phương trình: cot – tan sin cos x x x x = + = − ± + ∈ với 2 1
x k k
Đs: 2 ( ) 4
−
cos2 =
Bài 3: (ĐHCT – D 1999) Giải phương trình: 3 tan cot 2 2 sin 2 ( x x x + = + ) ( ) x k k
Đs: ( )
= + ∈
4
Bài 4: (ĐHGTVT – 1995) Giải phương trình: 2
tan 2 cot 8cos x x x + =
k
⎡= + ⎢⎢⎢ = + ∈ ⎢⎢⎢ = + ⎢⎣
x
2 2
k
Đs: ( ) x k
24 2
x
5
k
24 2
Bài 5: (ĐHQGHN – B 1996) Giải phương trình: 3
tan cot 2cot 2 x x x = +
x k
k
Đs: ( )
= + ∈
4 2
www.mathvn.com
39
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Bài 6: (DLĐĐ – 1997) Giải phương trình: tan cot 2 sin 2 cos 2 x x x x + = + ( )
k
⎡= + ⎢⎢ ∈
x
4 2
Đs: ( )
k
⎢ = + ⎢⎣
k
x
8 2
Bài 7: (DLĐĐ – 1998) Giải phương trình: cot tan 2 tan 2 x x x = + x k
k
Đs: ( )
= + ∈
8 4
Bài 8: (Đề 97 II) Giải phương trình: 6 tan 5cot 3 tan 2 x x x + =
⎡= ± + ⎢⎢ ∈
x k
với 1 1
2
Đs: ( )
= = −
⎢ = ± + ⎢⎣
x k 2
k
cos ;cos
3 4
Bài 9: (ĐHYHN – 1998) Giải phương trình: 2 cot 2 – cot 3 tan 2 cot 3 ( x x x x ) = + Phương trình vô nghiệm
Bài 10: (QGHN – 1996) Giải phương trình: 2
tan – tan tan 3 2 x x x =
x k
k
Đs: ( )
= + ∈
4 2
Bài 11: (ĐHTH – 1993) Giải phương trình: 2
3tan 2 – 4 tan 3 tan 3 tan 2 x x x x =
x kk
⎡ =
⎣ = ± + với 3
Đs: ( )
⎢ ∈
x k
= ±
tan5
Bài 12: (CĐHQ – 2000) Giải phương trình: 2 2 3tan 4 tan 4cot 3cot 2 0 x x gx x + + + + = x k k
Đs: ( )
= − + ∈
4
Bài 13: (ĐHDHN – 2001) Giải phương trình: 2 2 2 2 tan .cot 2 .cot 3 tan – cot 2 cot 3 x x x x x x = +
⎡= + ⎢⎢ ∈
x k
4
Đs: ( )
⎢ = ± + ⎢⎣
x k 6
k
Bài 14: (CĐGT – 2001) Giải phương trình: 2 2 2 2 tan .tan 3 .tan 4 tan – tan 3 tan 4 x x x x x = +
x k ⎡ =
⎢ ∈
Đs: ( ) ⎢ = + ⎣
k k
x
4 2
2
Bài 15: (ĐHNT HCM – 1997) Giải phương trình: 2tan x + cot x = sin x
3 +
x k k
Đs: ( )
= + ∈
3
c. Phương trình dạng thuận ngịch
www.mathvn.com
40
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + + + + = ⎢ ⎥
k k A f x B f x C
2
Dạng 1: ( )( )( )( )
20
f x f x
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Với ( ) sin ,cos
f x x x
⎧⎪ =
⎨⎪⎩ ≥
k
1
2
k k t f x f x t k
2 2
Đặt ( )( )( )( )
= + ⇒ + = − (tùy từng trường hợp cụ thể để tìm điều kiện của tham số t) 2
f x f x
Ta được phương trình 2 At Bt C Ak + + − = 2 0
2 2 2 2 A a x b x B a x b x C tan cot tan cot 0 + + + + =
Dạng 2: ( ) ( )
Đặt 2 2 2 2 2 t a x b x a x b x t ab = + ⇒ + = − tan cot tan cot 2
Thay vào phương trình ban đầu ta được một phương trình bậc 2 theo t
Bài 1: Giải phương trình 221 1 4 sin 4 sin 7 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x
sin sin
x x
Giải:
Điều kiện: sin 0 x ≠
2 2 1 1 1 1 4 sin 2 4 sin 7 0 4 sin 4 sin 15 0 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ + − + + − = ⇔ + + + − = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
x x x x
sin sin sin sin
x x x x
1 3 1 5 sin (1) sin (2)
⇔ + = ∨ + = − .
x x
sin 2 sin 2
x x
2
(1) 2sin 3sin 2 0 ⇔ − + = x x (vô nghiệm)
⎡ = −
sin 2 (loai)
x
⇔ + + = ⇔ ⎢⎛ ⎞ ⎢ = − = −⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠
2
(2) 2sin 5sin 2 0 1
x xx
sin sin
2 6
x k x k
7
⇔ = − + ∨ = + ∈
2 2 (k )
6 6
1 1 cos 2 cos 2 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
x x 2
cos cos
x x
Điều kiện: cos 0 x ≠
2 2 1 1 1 1 cos 2 2 cos 2 cos 2 cos
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ + − = + − ⇔ + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x x
cos cos cos cos
x x x x
1 1 cos 0 (1) cos 2 (2)
⇔ + = ∨ + =
x x
cos cos
x x
2 2 (1) 1 cos 0 cos 1 ⇔ + = ⇔ = − x x (vô nghiệm)
2 2 (2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ( ) ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∈ x x x x x k k
22 tan 5(tan cot ) 4 0 (1)
Bài 2: (ĐHTM – 2001) Giải phương trình 2
sinx x x
x+ + + + =
2
www.mathvn.com
41
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Giải:
Nhận xét:
Từ phương trình thấy xuất hiện 21
cot x ta nghĩ đến công thức 221
sin x và 2
được một phương trình đối xứng với tan và cot
k
+ = , sau khi thay vào ta 1 cotsin
xx
Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k )
x x x x
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
2
2 2 (1) 2(1 cot ) 2 tan 5(tan cot ) 4 0 ⇔ + + + + + = x x x x
2 2 2 ⇔ + + + + = ⇔ + − + + + = 2(tan cot ) 5(tan cot ) 4 0 2 (tan cot ) 2 5(tan cot ) 4 x x x x x x x x ⎡ ⎤ 0
⎣ ⎦
2 ⇔ + + + = 2(tan cot ) 5(tan cot ) 0 x x x x (*)
Đặt:2 2 2 2 2 2 t x x t x x x x x x x x = + ⇒ = + = + + = + + tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cot tan cot 2 2 2 2 2
x x t tt⎡ ≥
t
≥ + = ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇔ ⎢⎣ ≤ −.
2 tan cot 2 4 4 22
5
⎡= − ⇔ + = ⇔ ⎢⎢⎣ =
t
Phương trình 2
(*) 2 5 0 2 t t
t
0 (loai)
Khi 5 sin cos 5 1 2 2 2(sin cos ) 5sin cos sin 2 sin
x x
= − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = − =
t x x x x x
2 cos sin 2 5
x x
⎡ = +
2 2 (k )
x kx k x k
⇔ ⇔ = + ∨ = − + ∈ ⎢⎣ = − +
2 2 2 2 2
x k
33cot 4(tan cot ) 1 0 (1)
Bài 3: Giải phương trình 2
x+ + + − = .
cosx x x
2
Giải:
Nhận xét:
Từ phương trình thấy xuất hiện 21
tan x ta nghĩ đến công thức 221
cos x và 2
ta được một phương trình đối xứng với tan và cot
+ = , sau khi thay vào 1 tancos
xx
k
Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k ) x x x x
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
2
3
2 2 2
(1) 3cot 4(tan cot ) 1 0 3(1 tan ) 3cot 4(tan cot ) 1 0 ⇔ + + + − = ⇔ + + + + − = cosx x x x x x x
2
x
2 2 2 ⇔ + + + + = ⇔ + − + + + = 3(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0 3 (tan cot ) 2 4(tan cot ) 2 x x x x x x x x ⎡ ⎤ 0
⎣ ⎦
2 ⇔ + + + − = 3(tan cot ) 4(tan cot ) 4 0 x x x x (*)
Đặt:2 2 2 2 2 2 t x x t x x x x x x x x = + ⇒ = + = + + = + + tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cot tan cot 2 2 2 2 2
x x t tt⎡ ≥
t
≥ + = ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇔ ⎢⎣ ≤ −.
2 tan cot 2 4 4 22
www.mathvn.com
42
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2 2
(*) 3 4 4 0 2 (loai)
⇔ + − = ⇔ = − ∨ = t t t t 3
Khi : sin cos 2 2 2 2 sin cos 2sin cos sin 2 1
x x
t x x x x x
= − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = −
cos sin
x x
x k x k
⇔ = − + ⇔ = − + ∈
2 2 (k )
2 4
7. Đưa về phương trình tích
Xu hướng trong đề thi đại học các năm gần đây giải phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách nhóm, đặt nhân tưt chung… quan sát các bài sau đây
a. Môt số bài toán cơ bản
Bài 1: (ĐHNT – D 1997) Giải phương trình 2
2 tan cot 3sin 2
x xx
+ = +
Giải:
Điều kiện: sin 0
⎧ ≠
x
sin cos 0cos 0
x xx
≠ ⇔ ⎨⎩ ≠
2sin cos 1 3
x x
⇔ + = + .
cos sin sin cos
x x x x
2 2 2 2 ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ = 2sin cos 3 sin cos 1 1 sin 3 sin cos 1 sin 3 sin cos x x x x x x x x x x sin 0 ( )tan 3 ,
x loaix x k k
⎡ =
⇔ ⇔ = ⇔ = + ∈ ⎢⎣ =
sin 3 cos 3
x x
Bài 2: (GTVT – 1995) Giải phương trình 2
tan 2 cot 8cos x x x + =
Giải:
Điều kiện: cos 2 0
⎧ ≠
x
⎨⎩ ≠
sin 0
x
Phương trình sin 2 cos 2
x xx
⇔ + = cos 2 sin
x x
8cos
2 2 sin 2 sin cos 2 cos cos 0 + ⎡ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⎢⎣ =
x x x x x
8cos cos 8cos cos 2 sin
x x x x x
cos 2 sin 8cos cos 2 sin 1
x x x x x cos 0 cos 0 cos 01
⎡ =
x
⎡ ⎡ = = ⇔ ⇔ ⇔ ⎢ x x
⎢ ⎢ ⎣ ⎣ = = ⎢ =
4cos 2 sin 2 1 2sin 4 1 sin 42
x x x x
⎣
k k x k x x k
5,
⇔ = + ∨ = + ∨ = + ∈
2 24 2 24 2
Bài 3: (GTVT – 1996) Giải phương trình 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2 x x x x − − − =
Giải:
www.mathvn.com
43
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Điều kiện cos 0
⎧ ≠
x
⎨⎩ ≠
sin 0
x
cos sin 3(cot cos 1) 5(tan sin 1) 0 3 cos 1 5 sin 1 0
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ − + − − + = ⇔ − + − − + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x x x x
sin cos
x x
cos sin cos sin sin sin cos cos 3 5 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − +
x x x x x x x x
⇔ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sin sin
x x
⎡ − + = ⎛ ⎞ ⇔ − + − = ⇔ ⎢
cos sin cos sin 0 (1)
x x x x
3 5 (cos sin cos sin ) 0 3 5 sin cos (2)
x x x xx xx x
⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ =
⎣
sin cos
⎡ = − ⎛ ⎞ ⇔ − − = ⇔ = + = + ⇒ ≤ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ = + ⎝ ⎠ ⎣
21 2
t
(1) 2 1 0 ( sin cos 2 sin 2)
t t t x x x t
1 2 ( ) 4
t loaïi
x x k x k k
1 2 3 sin sin 2 2 ,
⎛ ⎞ − ⇔ + = = ⇔ = − + + ∨ = − + ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
4 4 4 2
3 5 3 (2) tan tan ,
⇔ = ⇔ = = ⇔ = + ∈
x x k k
sin cos 5
x x
⎛ ⎞
Bài 4: (QGHN – 1997) Giải phương trình 1 1 2 2 sin4 sin cos
⎜ ⎟ + = + ⎝ ⎠
xx x
Giải:
Điều kiện:cos 0sin 2 0
⎧ ≠
x k
⎨ ⇔ ≠ ⇔ ≠
x x
sin 0 2
⎩ ≠
x
Phương trình sin cos sin cos 0 tan 1
x x x x x
+ ⎡ ⎡ + = = −
⇔ + = ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ = =
2(sin cos )sin cos sin 2 1 sin 2 1
x xx x x x
⎡ ⎡
= − + = − + ⎢ ⎢
x k x kn
4 4,
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
x n
4 2 2 2
= + = + ⎣ ⎣
x m x m
2 4
Bài 5: (ĐHTCKT – 1997) Giải phương trình (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan − + = + x x x
Điều kiện: cos 0 x ≠
2
(cos sin )(cos sin ) cos sin
x x x x x x
− + +
⇔ =
cos cos
x x
2
⇔ − + = +
(cos sin )(cos sin ) cos sin
x x x x x x
⎡ + = ⎡ = − ⇔ ⇔ ⇔ = − + ∨ = ∈ ⎢ ⎢
cos sin 0 tan 1,
x x xx k x k k
− = ⎣ = ⎣
2 2
cos sin 1 cos 2 1 4
x x x
⎛ ⎞
Bài 6: Giải phương trình 1 1 2 2 sin4 sin cos
⎜ ⎟ + = + ⎝ ⎠
xx x
Giải:
www.mathvn.com
44
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2 sin
⎛ ⎞ + ⎜ ⎟
x
sin cos 4
x x
+ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⇔ + = ⇔ + =
2 2 sin( ) 2 2 sin
x x
4 sin cos 4 sin cos
x x x x
⎡ ⎡
+ = = − + ⎢ ⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧ ⎧ ≠ ≠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ = = ⎣ ⎣
sin( ) 0
x x k
1 4 4
2 sin 2 0
xx x x x x
4 sin cos sin cos 0 sin 2 0 2sin cos 1 sin 2 1
x x x
⎡ ⎛ ⎞
= − + ⇒ = − = − ≠ ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ ⇔ = ± + ∈ ⎢⎢= ⇔ = + ⇔ = + ⎢⎣ x k x
sin 2 sin 1 0
4 2 (k Z)
sin 2 1 2 2
x x k x k
2 4
x k 4
Bài 7: Giải phương trình : 2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos x x x x + + = +
Giải:
Cách 1:
2 ⇔ + = + ⇔ + − = 2sin 2cos 2sin cos 1 2cos 2cos 1 2sin cos 1 0 x x x x x x x x
Phương trình ( )( )
⎡= − ⇔ ⎢⎢⎣ =
1
cos2
x
sin 2 1
x
Cách 2:
Phương trình ⇔ − − − − = 2sin os2 (1 sin 2 ) 2(cos sin ) 0 xc x x x x
2
( )( ) ( ) ( )
⇔ − + − − − − = 2sin x cos sin cos sin cos sin 2 cos sin 0 x x x x x x x x
2 ⇔ − + − + − = cos sin 2sin cos 2sin cos sin 2 0 x x x x x x x
( )( )
2 ⇔ − − − + = cos sin 2sin cos 2cos cos sin 0 x x x x x x x
( )( )
Bài 8: Giải phương trình : cos 2 3sin 2 5sin 3cos 3 x x x x + + − =
Giải:
2
⇔ − − − + =
(6sin cos 3cos ) (2sin 5sin 2) 0
x x x x x
⇔ − − − − =
3cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0
x x x x
⇔ − − + =
(2sin 1)(3cos sin 2) 0
x x x
Bài 9: Giải phương trình: 2
3tan 3 cot 2 2 tansin 4
x x xx
+ = +
Giải:
os3x 0
⎧ ≠ ⎧
c k
⎪ ≠ +
x
≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⇔ ∈
Điều kiện :
sin2x 0 6 3, k
(*)
cos 0
≠ ⎪ ⎪ ≠ x k
⎪ ≠ ⎪⎩ ⎩
x
sin 4 0 4
x
www.mathvn.com
45
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Phương trình ( ) ( )2 2sin 2 cos 2 2 tan 3 tan tan 3 cot 2sin 4 cos3 cos cos3 sin 2 sin 4
x x
⇔ − + + = ⇔ + =
x x x xx x x x x x
⇔ + = ⇔ + + =
4sin 4 sin 2cos 2 cos 2cos3 4sin 4 sin cos3 cos 2cos3
x x x x x x x x x x
⇔ = − ⇔ = −
( )
4sin 4 sin cos3 cos 8sin 2 cos 2 sin 2sin 2 sin (*)
x x x x x x x x x do
1 1 cos 2 ,
x x m m Z
⇔ = − ⇔ = ± + ∈
4 2
nghiệm này thoả mãn ĐK
3 2
Bài 10: Giải phương trình : ( ) ( ) 4cos 2cos 2sin 1 sin 2 2 sin cos0
x x x x x x
+ − − − +=
2
2sin 1
x
−
Giải:
x x x k
Điều kiện : 2
k
2sin 1 0 cos 2 0 ,
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈
4 2
2 ⇔ + − + − + = 4cos sin cos 2cos sin cos 2 sin cos 0 x x x x x x x x
Phương trình ( ) ( ) ( )
⎡= − + ⎢⎢
( )( )( )
x m 4
⇔ + − + = ⇔ = ∈ ⎢⎢⎢ = ± + ⎣
2 sin cos cos 1 2cos 1 0 2 ,
x x x x x m m
22
x m
3
x m Z
Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm 2,
m
= ∈
3
Bài 11: Giải phương trình: 6 3 4 8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0 x x x x + − − =
Giải:
Phương trình 3 3 3 ⇔ − + − = 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0 x x x x x
2 2
⇔ + =
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
x x x x x x x
⇔ + + + − − =
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
x x x x x x
2
⇔ + = ⇔ + =
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )2
x x x x x
2 2 cos 2 .cos 2 cos 2 ,( )
2
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈
x x x x kπ k
4 2 8
Bài 12: Giải phương trình 1 2 cos sin ( )
x x
−
=
tan cot 2 cot 1
x x x
+ −
Giải:
Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 ( )
⎧⎪ + ≠ ⎨⎪⎩ ≠
x x x x x
cot 1
x
Phương trình 1 cos .sin 2 2 cos sin ( )2 sin sin cos 2 cos cos 1
x x x xx
− ⇔ = ⇔ =
x x x x
+ −
cos sin 2 sin
x x x
www.mathvn.com
46
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⇔ = 2sin .cos 2 sin x x x
⎡= + ⎢
x k
2 4
2
( )
⇔ = ⇔ ∈ ⎢⎢ = − + ⎢⎣
x k
cos22
x k 4
x k k
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )
= − + ∈
4
3
Bài 13: Giải phương trình: ( ) ( ) sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos sin 3 3 0 x x x x x x + − − + − − =
Giải
3
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
+ − − + − − =
2 3 2
⇔ + − − + + − − = 2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x x x
2 ⇔ − x x − x − x x − x + x − x =
2cos ( 3 cos sin ) 6.cos ( 3 cos sin ) 8( 3 cos sin ) 0
2
⇔ − − − + =
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
x x x x
⎡ =
tan 3
x
⎡ − = ⎢
3 cos sin 0cos 1
x xx
⇔ ⇔ = ⎢ ⎢ 2
⎢⎣ + − = ⎢ =
cos 3cos 4 0 cos 4 ( )
x x x loai ⎣
⎡= +
x kk
⇔ ∈ ⎢⎢⎣ = 3 ,
x k
2
cos2
x
1
cot 12
Bài 14: (ĐH – A 2003) Giải phương trình: x x
x sin 2
− =
+ −
sin
1 tan
+
x
2
Giải:
Điều kiện: cos 0,sin 0, tan 1 x x x ≠ ≠ ≠ −
2 2
( )
cos cos sin cos sin sin sin cos
x x x x xx x x
− −
2
⇔ = + − sin cos sin
x x x
+
cos sin 2 2 cos sin cos sin sin cos x xx x x x x x − ⇔ = − + −
sin
x
cos sin 1 2sin cos x xx x − ⇔ = −
sin
x
2 2 ⇔ − = − ⇔ − − + = cos sin sin (cos sin ) (cos sin )(1 sin cos sin ) 0 x x x x x x x x x x 2 ⇔ − − + = ⇔ − = ⇔ = (cos sin )(2 tan tan 1) 0 cos sin 0 tan 1 x x x x x x x x k
⇔ = + (thỏa mãn điều kiện) (vì 2
4
x k k
Đs: ( )
= + ∈
4
www.mathvn.com
2 tan tan 1 0 x x − + = vô nghiệm)
47
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Bài 15: (ĐH – D 2004) Giải phương trình: (2cos – 1 2sin cos sin 2 – sin x x x x x )( + =)
Giải:
⇔ − + = − (2cos 1 2sin cos sin 2cos 1 x x x x x )( ) ( )
1
⎡
⎡ − = = ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⎢
2cos 1 0 cos
x x
(2cos 1)(sin cos ) 0 2 x x xx xx
⎢+ = ⎢
sin cos 0 tan 1
⎣⎣ = −
⎡= ± + ⎢ x k
2
3;
⇔ ∈ ⎢⎢ = − + ⎢⎣
x k 4
k
x k x k k
Đs: 2 , , ( )
= ± + = − + ∈
3 4
2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 + + + = + x x x x x
Bài 16: (ĐH – A 2007) Giải phương trình: ( ) ( )
Giải:
Phương trình 2 2 2 ⇔ + + + = + cos sin cos sin cos sin (sin cos ) x x x x x x x x
2 ⇔ + + + = + cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos ) x x x x x x x x
⇔ + + − − = (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0 x x x x x x
⎡ ⎛ ⎞
sin 0
⎜ ⎟ + =
x
⇔ ⎢⎝ ⎠ ⎢⎢⎣ + − − =
4
sin cos sin cos 1 0
x x x x
x k k
= − + ∈
Với phương trình thứ nhất ta có ;
4
Với phương trình thứ hai đặt t x x = + sin cos ta được
x⎛ ⎞
x k ⎡ =
2
t t t − + = ⇔ = 2 1 0 1 1
⇔ ∈ ⎢⎢ = + ⎣
2
⇔ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
sin4 2
x k x k x k k
x k 2
2
;
k
Đs: , 2 , 2 ( )
= − + = + = ∈
4 2
Bài 17: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sin x x x + − =
Giải:
2 ⇔ − − − = sin 7 sin 1 2sin 2 0 x x x
Phương trình ( )
⇔ − = 2cos 4 .sin 3 cos 4 0 x x x
cos 4 0
⎡ =
x
⇔ − = ⇔ ⎢⎢ =
( )
cos 4 2sin 3 1 0 1
x xx
⎣
www.mathvn.com
sin 32
48
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡ ⎡
= + = + ⎢ ⎢
x k x k
42 8 4
⎢ ⎢
2
⇔ = + ⇔ = + ∈ ⎢ ⎢
3 2 ,
x k x k k
⎢ ⎢
6 18 3
⎢ ⎢
5 5 2 3 2
⎢ = + = + ⎢
x k x k
⎢⎣ ⎢⎣
6 18 3
x k x k k
2 5 2
Đs: ( ) = + = + ∈
; ,
18 3 18 3
Bài 18: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos x x x x ( + + = + )
Giải:
Phương trình 2 ⇔ + = + 4sin .cos 2sin .cos 1 2cos x x x x x
⇔ + = + 2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos x x x x
⇔ + − = (1 2cos )(sin 2 1) 0 x x
22
⎡ − = ⇔ ⎢⎢⎣ =
1
⎡= ± + ⎢ x k
cos2
x
sin 2 1 x
3
⇔ ⎢⎢ = + ⎢⎣
x k
4
x k x k k
22 , ,
Đs: ( )
= ± + = + ∈
3 4
Bài 19: (ĐH – B 2010) Giải phương trình: (sin 2 cos 2 cos 2cos 2 – sin 0 x x x x x + + = )
Giải:
Phương trình 2 ⇔ − + + = 2sin .cos sin cos 2 .cos 2cos 2 0 x x x x x x
2 ⇔ − + + = sin 2cos 1 cos 2 cos 2 0 x x x x
( ) ( )
⇔ + + = cos 2 sin cos 2 0 x x x ( )
⎡ ⎡ = =
cos 2 0 cos 2 0
x x
⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = − + = − < −
x x loai
2 sin 2 sin 2 1 4 4
⎣ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x k x k k
⇔ = + ⇔ = + ∈
2 ,
2 4 2
x k k
Đs: ,
= + ∈
4 2
( )
Bài 20: (ĐH – D 2010) Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 1 0 x x x x − + − − =
Giải:
Phương trình 2 ⇔ − + + − − = 2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0 x x x x x
2
⇔ − + + − =
cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0
x x x
⇔ − + − + =
cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0
x x x x
⇔ − + + =
(2sin 1)(cos sin 2) 0
x x x
www.mathvn.com
49
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
⎡ π
1 2
⎡ = + π
= ⎢
x k
sin 6
xk ⇔ ⇔ ∈ ⎢⎢ 2 ,
⎢⎢ π
5
⎣ + = − = + π ⎢⎣
cos sin 2( ) 2
x x VN x k
6
Bài 21: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 3 – tan tan 2sin 6cos 0 x x x x ( + + = )
HD:
Điều kiện: cosx ≠ 0
Phương trình
sin 32 2 3
x
⎜⎝⎛ +
sin 2sin cos x x x
⎞
⇔ − x x x x x ⎟ + = ⇔ − + + =
cos
x
cos
x
6cos 0 3cos sin (1 2cos ) 6cos 0 ⎠
2 2 2 2 ⇔ x + x − x + x = ⇔ + x x − x = 3cos (1 2cos ) sin (1 2cos ) 0 (1 2cos )(3cos sin ) 0
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
1
cos
2
x
= −
2
1
1
1
⇔2 3
⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ± +
cos
x x x x k
1
cos
4
2
x
4
1 cos2
2
cos 2
x k k
= ± + ∈
Đs: ;
3
2
Bài 22: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: ( )
cos 2 cos 2 tan – 1 2 x x x + =
HD:
Điều kiện: cosx ≠ 0
Phương trình
2 2
sin sin cos 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 1 2sin
x x
2
⇔ + − = ⇔ − = − = +
x x x x x cos cos
x x
1
⎛ ⎞ ⇔ − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2
2sin 1 1 cos
x x
cos
x
2 2 ⇔ − x − x = + x x ⇔ + x − x − x =
2(1 cos )(1 cos ) (1 cos )cos (1 cos )[2(1 cos ) cos ] 0 ⎢⎢⎣⎡== −
cos 1
cos 1
x
⇔
⎡
x
= −
⎢ ⇔
1
2x
2cos 5cos 2 0 x x
− + =
⎣
cos
2
x k k k
= ± + + ∈
Đs: 2 , 2 ,
3
2
cos (cos 1)
x x= +
−
Bài 23: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2(1 sin )
x
sin cos
x x
+
HD:
⎜⎝⎛
⎞
Điều kiện: 0 sin cos 2 sin ⎟ ≠
x x x
+ = +
4
⎠
www.mathvn.com
50
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
Phương trình 2 ⇔ − − = + + (1 sin )(cos 1) 2(sin cos )(1 sin ) x x x x x
⇔ + − − − + = (1 sin )[(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )] 0 x x x x x
⎡
⎡ ⎡ = − = − = − + sin 1 sin 1 2
x x x k
⇔ ⇔ ⇔ ⎢
2
⎢ ⎢ + + = = − ⎢
(1 cos )(1 sin ) 0 cos 1 2
x x x x k
⎣ ⎣ ⎣ = +
x k x k k
= − + = + ∈
Đs: 2 , 2 ;
2
b. Một số bài toán đặc biệt
Bài 1: (QGHN – B 1999) Giải phương trình 6 6 8 8 sin cos 2(sin cos ) x x x x + = +
Giải:
6 8 8 6 ⇔ − = − sin 2sin 2cos cos x x x x
6 2 6 2 6 6 ⇔ − = − ⇔ = sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2 x x x x x x x x
⎡= + ⎡ ⎡ = = = ⎢ ⎡
x m
cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0 4 2 (m Z) x x xx m
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
6 6 6
= = ⎣ = ± ⎣ ⎣ ⎢ = ± + ⎢⎣ sin cos tan 1 tan 1 4 2
x x x xx k
4
Bài 2: (ĐHNT – D 2000) Giải phương trình 8 8 10 10 5
sin cos 2(sin cos ) cos 2
x x x x x + = + +
4
Giải:
10 8 8 8 5
⇔ − + − + = x x x x x
2cos cos 2sin sin cos 2 0
4
8 2 8 2 8 8 5 5 cos (2cos 1) sin (1 2sin ) cos 2 0 cos cos 2 sin cos 2 cos 2 0
⇔ − − − + = ⇔ − + = x x x x x x x x x x 4 4
cos 2 0
⎡ =
xk
5
⎛ ⎞ ⇔ − + = ⇔ ⇔ = + ⎢
8 8
cos 2 cos sin 0 5
x x x x
⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ = + > ⎣
8 8
4 4 2 sin cos 1
x x VN
4
Bài 3: (ĐHQGHN – D 1998) Giải phương trình 3 3 5 5 sin cos 2(sin cos ) x x x x + = +
Giải:
Cách 1:
3 5 5 3 ⇔ sin − sin = cos − cos
x 2 x 2 x x
3 2 3 2 3 3 ⇔ sin ( − sin ) = cos ( cos − ) ⇔ sin cos = cos cos
x 1 2 x x 2 x 1 x 2x x 2x
⎡ ⎡ = = ⎡ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∨ = + ⇔ = + ∈ ⎢ ⎢ ⎢ cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0 (m Z) x x xx m x k x m
3 3 3
sin cos tan 1 tan 1 4 2 4 4 2 = = ⎣ = ⎣ ⎣
x x x x
Cách 2:
3 3 5 5 sin cos 2(sin cos ) x x x x + = +
3 3 2 2 5 5 ⇔ + + = + (sin cos )(sin cos ) 2(sin cos ) x x x x x x
3 2 3 2 5 5 3 2 2 3 2 2 ⇔ + = + ⇔ − = − sin cos cos sin sin cos sin (cos sin ) cos (cos sin ) x x x x x x x x x x x x
www.mathvn.com
51
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2 2 2 2
⎡ − = ⎡ − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ cos sin 0 cos sin 0 (cos sin )(cos sin ) 0cos sin 0 cos sin
2 2 3 3
x x x x
x x x xx x x x
3 3
− = ⎣ = ⎣
2 2 cos sin 0 2 2 cos sin 0 cos 2 0 (k Z)
⎡ − =
x x x x x x k
⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ ⎢⎣ =
cos sin 4 2
x x
LỜI KẾT
Lượng giác và ứng dụng của lượng giác là một phần không thể thiếu trong các đề thi đại học, chính vì thể ngoài việc nắm bắt các công thức và vận dụng linh hoạt đòi hỏi các bạn học sinh phải thuần thục các kĩ năng, kĩ sảo, quan sát một cách tinh tế mới có thể làm được
Hi vọng qua chuyên mục nhỏ này sẽ giúp các em vững tin hơn khi bước vào phòng thi, tài liệu không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế vì tuổi đời còn trẻ kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế rất mong các bạn bỏ qua
Góp ý theo địa chỉ Email: [email protected] hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa
“Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao… chào thân ái”
www.mathvn.com
52