🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Không gian n chiều là gì Ebooks Nhóm Zalo • NGUYEN C~NH TON L ------,------ CHI~U L~ Gi? NM~ XU~T BN GI~9 DUE HA.N0I -- 1963 T SCH HAI TT 7 + NGUYEN CANH TOAN bi~n son KNG GIAN N CI~U Li cl ? Tai li~u tam kho cho cc gio vi~n Toan c~p II v~ e~p III - [email protected] - NIH~ XU~T B~N GIA0 DUC HA-NQI -- 1963 LI N~I BU « Khong gian n chi~u » l: m~t trong nh~ng sing tao quan trong v~o bc nht ca cc nh ton hoc. Nh c~ n~ m khoa hoc c~ th~m mt con cu nghi~n ciru dlc le. Bon duy tm ph~n t@ng tht d ting lei dung th~nh tuu khoa hoc ny ad~ nbi d~n nhing « chi~u » mi chi cd c~ dng th~n linh m~i nh~n thrc dugc. Con nh~ng ngu&ri hi~u bi~t it ve to~n hoc thi, tuy khong tin bon duy t~m, nhung c~ng thtrrng bn khon v~ cic «chi~u » th tu, tht n~m v.v... Bari viy, chng toi vi~t quyen s~ch nh~ nay nh~m ph bi~n th:nh tru khoa hoc ni tr~n cho nh~rung ngu~i e trinh d ton lip 10. Quyen s~ch cd th~ phue vu cc d6i tung sau day: -- C~c dng chi gi~o vi~n ton c?p I e6 th~ doc n~ db n&ng cao th~m hi~u bi~t vi do d~ s~u sic hon Iron vi~c hoc t?hp v? gi~ng day ton hoc. Cc dng chi gio vi~n to~n cp III c~ng c~ the tim thy G d~y nhirng ki~n th~re m~i m le ~ tr~ng Dai hoc king c~ thi gii trinh by; nggoii ra, c~c d~ng chi cd mn? sir dung l:m t:i li~u ngoai kh~a cho hoc sinh gi~i l~p 10. -Cc d~ng chi lhm c~ng tic tri~t hoc c~ trinh d~ ton khong I~p 10, c the qua quyen sch nh n~y m~ hi~u them v~n d~ «kh~ng gian v~ th~i gian». Ph~ bi~n mt ki~n th~rc ton hoc hi@n dai b~ng cc cong cu so c?p l mt di~u kh~ kh~n. B~i v~y, quyen sch n~y chic kh~ng tr~nh khi c~ nhi~u thi~u st. Mong r~ng doc gi~ s~ 6ng gp nhi~u y ki~n cho tc gi~. Hi-n~i, ng~y 20-8-1963 ) NGUYEN CANH TOAN . . . f I. SO LU'QC HiNH HQC GI~I T[CH O' cp hoc ph~ thong, hoc sinh di khi quen v~i mon hinh hoe. V~ noi dung, hoc sinh bu~c d~u l~m quen vi uh~rng tiuh ch~t c~a khong gian thong th~n, tic l~ khong gian O-clit ba chi~n. V~ phurong php, c~c em du@c thy day cho phuong php tong hop, tic l~ phong ph~p chrng minh khong ding d~n toa d. N6i ding hon thi cc em c~ng d~ l~m quen it nhi~u v~i phong phap gi~i tich, t~c l~ phuong php ding toa do, nhurng khong ph~i trong mon hinh hoc, m~ trong mon dai s6, chuon bi~u di~n c~c ham s6. C6 lE cc em khong ng th~ n~i l~ c~ch mang trong ljch s~ to~n hoc v~ chinh n~ r~ng phuong ph~p toa do d~ lai dong mot vai tr~ c~ s~ d~n chng ta d~n ch6 nm dugc b~n ch~t khong gian n chi~u l~ gi. B&i v~y, tru~c khi di v~o trinh b~y khon gian n chi~u, cbing ta hay nhc lai v~ b~ sung th~m mt s6 kin tbc v~ hinh hoc gi~i tich. Tr~c h~t ta h~y nbi v~ hiuh hoc ph~ng. Phong trinh c~a mot dung thing. Troung mit ph~ng, hi~t ~ chong trinh ~p b~y, phupng trinh c~a mt dong khi ta d~ chon mot h~ truc toa do vuong g~c thi, nuhu di th~ng c~ dang: ax +by == c (1) N~u a == 0 thi dong th~ng song song vii truc ho~nh, con n~u b ==0 thi no song song v~i true tung. N~u c== 0 thi du~ng th~ng di qua g~c toa d~. 3 bwvrng th~nq ring nhan. Hai during th~ng ax -t by =c a'x4-by=c' g ·> ,e. a b c s? tring! vi nlau n~u -= ==-, a' h' c' (1 (2) vi n~u ta dem nh~n c~ hai v~ c~a phong trinh () vii a 1' h c ) · -· -z/hay . hay --] thi ta s? c~ phtong trinh (1). ' ' c ' I) . l " '"... a h � e I h won@ thn son on@. Neu -= f Lhi hai · · · · a' h' c' du~ng; th~ng (I) v~ (2) s~ song song v~i nha vi, n~u ta dem gii h~ g~m hai phurong trinh be nh~t (1) v~ () thi h~ s~ khon c nghi~m (vi ab' ba'=0 m~ bc'-- cb'± 0, ac' - ca'=± 0) nghia l~ hai du~ng th~ng khong c~t nhau. Duong th~ng vuong g~c. Ta hy x~t xem trong dieu ki~n n~o thi hai du~ng thug (1) v~.(2) vuong goc v~i nha. Mu~n v~y, ta chi c~n x~t xem hai du~ng th~pg ax+by =0.(3) a'x Lb'y==0 (4) c~ vuong g~c v~i nhau khong vi hai du~ng nay theo th~r tur song song v~i hai dung (1) va (2). Ta ly during th~ng x=1, c~t truc Ox ~ H, c~t c~c dong th~ng (3) v~ (4) theo th tr ~ A v~ B. Trong phuoug trinh (3), n~u ta cho x = 1 thi ta s~ c~: 4 I Hinh 1 v =Ii# =- ! • b Ding phuon trinh (4) thi s~ tinh durore H --- a' =­ h' Di~u ki~n t cd vi d d? OA vuong gbc vii OB Ii, G trong tam gi~c 0AB, ta c~: HA.HB = -- OH (h¢ thc lugng trong tam giic vuong). s (-$)(-$)-­ hay aa' = -bh' hay aa' 4 bb' =0 Ba drng thng dong quy. Ta h~y x~t xem khi nAo thi ba du~ng thng ax +by =c (5) a'x lb'y =c' (6) ax4by =c" (7) s~ d~ng quy. Trude ht ta tim toa d c~a giao di~m hai dung (5) v~ (6). Mu6n v~y ta giii h¢ hai phuong trinh (5) vi (6) vii gii thi~t rang ab' --ha' =±0 (trc l~ hai durorng khong song song vii nhau): cb' -- hc' ac' --ca' ¢ LL ab'--ba' · ah-ba' Di~u kien ~t c v~ d d~ ba dung (5), (6), (7) dng quy l~ giao dim n6i tren nm tren du~ng (7) t~c l~ cc toa d ca giao di~m d6 th~a m~n phurong trinh 7: (s- e )w(es)-e 8 ab' ba' ab'--ba' hay: a(cb' -bc') 4- b"(ac' - ca')--c(ab' --ha')= 0 2--KG 5 Kho~ny cch qi~a hi dim vi phurong trinh vong tr~bn. lax.y ~ x', y'. Theo dinh Pitago, ta cb: (i s~ ta c~ hai di~m A vi 1 theo thr tu cb toa do ¥ 'Y - ------------------- B u, A� c d i i : : ; I I I I 0 2c Hh 2 ¥' hay: do d~ AB = AC 4 BC AB =(x -x? +(y' -y)° AB = /(x' -:)'+-(y'-y? Bay gi~ gi~ s~ ta c~ mt vong tron bhn kinh R v~ tam l~ mt di~m cb toa do l~ a v~ b. Nhur v~y n~u M l~ mot di~m cb toa d l x, y, thi di~u ki&n ~t c6 v~ d d M nm tr~n vong tron d6 l~: (x --a)° +(y --b? = R? D6 l~ phuong trinh vong tr~n. Dem khai tri~n ra v~ chuyn tt c~ c~c s6 hang v~ v& th nht, ta c6: x? 4y --2ax -2by 4a 4- b? - R ?= 0 Ta ch r~ng v~ th nht c~a phuong trinh c6 dang nhu sau: n~ l~ tong binh phuong c~a x v~ y cng vi 6 mt dn thc bc nh~t ddi vdi x v~ y. Nguoc lai, n~n ta c~ mt phuong trinh dang (D). x°4-y42ax 42by 4-c =0 vbi a? 4- b --c2> 0, thi d6 l~ phong trinh mt vbng tron. Qu~ v@y, phuong trinh tren cb the vi&t lai nhu sau: (x +- a)' + (y +b)? =(¥ a?T- b i -c). Ta thy ngay r~ng d~y l~ phuong trinh c~a vong tron bn kinh b~ng / ~? Tb' c v~ t~m c~ toa d l~ - a v~ --b. B~y gi~ ta n~i qua mot ti v& hinh hoc gi~i tich trong khong gian. Phuong trinh ca mt m~t ph~ng trong khong gian cb dang: ax ]- by + cz ==d N6 gi~ng vii phuong trinh du~ng th~ng trong mt ph~ng, chi kh~c l~ cd th~m v~o mt bi~n s th ba z. C~ch thi~t lRp thi c~ng khong kh6 lm nhung cn nh~ng ki~n thc phu m~ dua v~o d~y thi them ruom r~, nen ch~ng toi xin mi~n trinh b~y. Hai mt ph~ng: ax +- by + cz == d a'x + b'y + c'z = d' s~ song song vbi nhau n~u e ?£! a' b' c' d v~ s~ vuong gbc v~i nhau n~u aa' 4- bb' 4-cc' = 0 (1) Ta vi~t 2ax + 2by + c m~ kh~ng vi~t ax + by + c v! 1y do ti~n lgi sau kh~i ph~i chia d~i a v~ b, con a hay 2a tht c~ng chl l h~ s6 c~a x th~i. Vi du n~u ta cd 4x thl a = 4 n~u vi~t ax v~ a ·-2 n~u vi~t 2ax. 7 Ta khong gi~i thich tai sao mi chi nhn x~t ring cie di~n kin song song v~ vuong gc d~ c~ng na n~ cdc di~u kin song song v vuong goc c~a c~c dung th&ng trong mt phng. Ta c6 th? xem mi dung th~ng trong khong gian nhu l~ turong giao cia hai mt ph~ng. Bi v&y, ~ng vii mi during th~ng, khong ph~i ta chi cb mt phuong trinh mi mot h~ hai phuong trinh bAc nht. l ax + by + cz == d )a'x+by +c'z=d' Nhng di~m m~ cc toa d (x, y, z) c~a n~ th~a min cl hai phuong trinh thi n~m c~ tr~n hai mt ph&ng, tc l~ nm tr~n tuong giao c~a hai mt ph~ng d6. C~ng dng dinh ly Pitago, ta s thy r~ng binh phuong khoing c~ch gi~a hni di~m . A(x,,z) va&B(x'.y', z') l: -9 AB =(x' x) +(y'--y)? 4(z' --z)? v~ do d~, mt mit cu c~ ban kinh R v~ toa d¢ ca tm lh a, b, c thi s~ c~ phuong trinh l: (x --a)' 4 (y --b? + (-c) = R hay : x? 4 y4 z --2ax -2by - 2cz 4a 4- b! 4-c --R?==0 V~ th nh~t l~ tbng binh phuong c~a x, y, z cng vii mot da th~rc bhc nht d6i bi x, y, z. Ngoc li, m~t phuong trinh dang: x° 4y 4z? 4 2ax 4 2by +- 2cz 4-d = 0 vbi a? 4- b 4- c--d > 0 s~ l~ phuong trinh c~a mt cu cb bin kinh bng /@T-5Tc? d vh cb t~m li dim mi toa d b~ng -a, --b, -- c, & Ta tam dirngg ~ d~y v~ pl~in kin th~c hinh hoc gi~i tich v~ dua ra mot v~i nhn x~t. Qna ph~n tr~n, ta th5v rng nho phuong php toa d~, c~c trong quan hinh hoc (song song, vuong gc v.v...) l~ cc tuong quan khong gian d~u duoc di~n ra b~ngg c~c phuron trinh tic l~ c~c turong quan s~ Iron. Nh~n x~t n~y dic bi~t quan trong v~ s~ dan ch~ng ta di xa. $ 2. KHONG GIAN THC T~ V~ KHONG GIAN TOAN HQC Khong gian thong throng trong d~ ch~ng ta s~ng vi lam vi~c c ba chi~u. Hien mt c~ch nom na thi ba chi~u l~: tr~n du~i ph~i -tr~i trurc -sa Hi~u mot c~ch to~n hoc thi ha chi~u c~ nghia l ~: tr mi di~m di ra chi c~ th~ c~ ba phurong vuong gbc di mt v~i nhau. C~ng do d~ ma c~ mt c~ch hi~u kh~c: s di ta nbi khong gian thrc t~ c~a ta la khong gian bn chi~u vi mun x~c dinh mt di~m ~ trong khong gian d6 ta c~n d~n ba toa d tirc l~ ba s6 do cc kho~ng c~ch (dai s6) tr di~m d cho d~n ba mt ph~ng toa do. C~oh hi~u n~y lai rt quan trong vi chinh n~ s~ d~n ch~ng ta d~n vi~c m~ r~ng khi ni~m « khong gian » v~ kh~i nipm v~ «s6 chi~u c~n khong gian ». Ta h~y git lai y ki~n « mt di~m dugc x~c dinh h~i ba s6 ». Dy khong ph~i l~ mt d~c di~m ring c~a cc di~m hinh hoc vi c~ r~t nhi~u kh~i nipm kh~c c~ng du@e x~c dnh b~i ba s6 (1). (1) Ba s~ nay d~c lp d~i vii nhau. $ Vi du: trong mt ph~ng thi mot v~ng tron c~ng duqc x~¢ diuh bGi ba s~: hai toa d c~a tam v b~n kinh. Ho~c nhu mot m~u s~c c~ng duoc x~c dinh bi ba s~ vi ngu~i ta bi~t r~ng b~t k mhu gi cfng c~ th~ pha ch~ t~r ba m~au co b~n m~ ra; tiy theo li~u long c~a ba m~u co ban d6 m~ ta pha ch~ duroc m~u n~y hay m~u kia. Vy m~i m~n duoe x~c diuh b~i ba s6 chi li~u lung ba m~u co b~n ding d~ ch ra n6. Mot ph~p quay trong mt ph~ng c~ng duoc x~c dinh b~i ba s~: hai toa d c~a t~m quay v~ g~c quay. Con c~ th~ k~ ra nhi~u thi du kh~c trong d~ ta c~ mot kh~i nim (to~n hoc, v~t l, ha hoc v.v...) duoc x~c dinh bi ha s~. Ban doc nn th tim th~m. By gi~ ta ch~ y th~m d~n mt s vi~c kh~c: cho mt tap hop d~i tuqng trong d~ m~i d6i tong duqcx~c dinh bi ba s~ doc lp di vbi nhau; gia c~c d~i tong c~a (~p hop d~ cd th~ c~ nh~ng tuong quan dugc di~n ra b~ng uh~ng phuong trinh ging nhu c~c phuong trinh di~n t~ c~c tuong quan gi~a c~c di~m hiuh hoc. Ta hy x~t kj vi du sau day. Nhur tr~n d~ nbi, trong mt mt ph~ng thi mot vong tr~n duqc x~c dinh b~i ba s6: hai toa d c~a t~m v~ b~n kinh. Nhung ta c~ng c~ th~ chon ba s~ kh~c d~ x~c djnh mot vong tron. Qu~ v~y, nhu tr~n d~ n~i, phuong trinh tong qu~t c~a mot vong tron c~ dang: x? 4 y 4 2ax + 2by + c =0 Ta th~y r~ng n~u bi~t durc ba h¢ s~ a, b, c thi vong tron ho~n to~n x~c dinh. Ngugc lai, nu cho tru~c vong tr~n thi ba s~ a, b, c, c~ng x~c dinh. B~y gi~ ta h~y x~t tp hop vo s~ vong tron di qua hai di~m c6 dinh A v~ B cho tru~c (tc l~ mt chum vong tron nhn A, B l~m hai di~m c~n cr, do d6 nh~n du~ag thing AB 10 lm truc d~ng phuong). Gi~ s~ c~c toa d¢ c~a A l~ x,= 1,y%==3 v~ c~a B l~ x,= 1,y== 2. Vi tt c~ c~c vong tr~n ca chum den di qua A vi B nen d~i v~i t~t c~ c~c vong tron d~, ta d~u c~: xi+yi+2ax% +2byo +c= 0 x; +y;+2ax +-2by +c =0 hay, dem thay xo, Yo» 8, y b~g c~c toa do c~a A v~ B: ( 2a + 6b +c+ 10=0 -2a 44b 4c- 5 =0 Mi vong tron c~a mt ph~ng ing v~i m~t bd ba s~ a, b, c. Hai phong trinh vra vi~t ra di~n t~ quan h¢ gia ba s6 a, b, c db c~a nh~ng vong tron di qua hai diem A, B. Ta th x~t xem hai phuong trinh d6 c~ dang nhur th~ n~o. D~ th~y r~, ta h~y thay dbi ky hi~u: dang le di:g ba ch~ a, b, c thi ta ding ba ch~ x, y, z (ch l~m v~i x, y, z trong phuong trinh c~a vong tr~n). Th~ thi hai phuong trinh tr~n s l~: 2x + 6y +-z 4- 10 = 0 - 2x + 4y + z + 5 = 0 Ta th~y r~ng quan h~ gia c~c vong ton trong mot ch~m dugc di~n t~ ra b~ng nh~ng phuong trinh gi6ng cc phuoug trinh di~n t~ quan h gi~a c~c di~m hiuh hoc tr~n mt du~ng th~ng ca khong gian thong thong. Ti d6 di nhi~n ngu~i ta n~y ra kin l~ xem m~i « vong tron c~a mt ph~ng nhu mot « di~m » ca mot khong gian ba chi~u vbi chc toa d¢ l~ a, b, c (m~ sau ta d~ thay b~ng x,y, z) v~ ta nbi: « khong gian ckc vong tr~n c~a mt m~t ph~ng thong thu~ng l~ mt khong gian ba chi~u ; trong khong gian d6 m~i du~ng th~ng l~ m~t ch~m vong tr~n ». T nay tr di, d~ phan biet c~c khi ni¢m hinh hoc trong khong gian thuc t~ (di~m, du~ng 11 ti ;•• ! v) ya· i eae khi'1i nit'\m cto hi�n Lheo nghia ..... au' . ··· . .s. 't rong (hr xem mi vong tron li mot dim), ta s~ d6n du ngoc k~p d~i vdi cc khi ni~m m~ r?ng. Dc gi; cin nhd ly d~ sau nay kh~i ln ln. kicn xem mi vong tr~n l~ mot « di~m » c~ li gi? Tr~c h~t ta th~y r~ng kin d~ cho ph~p ta quy vi~¢ nghi~n cu ce ch~m von tr~n trong mt mit ph~ng v~ vi~c ughi~n cru cc « during th~ng »trong mt « khong gian » ha chi~u v~ ngugc lai. Vi du: cho hai cp diem A, B vi C, D tronug mt ph~ng; n~u t~ gi~c \BCD n6i ti~p duoc thi chum c~c v~ng tr~n di qua A, I vi chum cic vong tr~n di qua C, D s~ co mt v~ng tr~n chung, d~ l~ vong tr~n ABCD. Tuong irng v~i sur kin niy, trong khong gian ba chi~u, ta c~ hai « du~ng th~n» (irng vii hai ch~m vong tron) c~ mot « di~m » chung. Nhu v~y vi~c nghi~n cru cc ti gic ni ti~p trong mot mit pl~ng c~ th~ quy v~ vi~c nghi~n c~ru sur g?p nhau ca cc « du~ng th~ng » trong «khong gian » ba chi~n kia. Nh~n d~y ta thy them doc nh~ng di~u r~t s~u sc: mt b~n l~ c~c t gic n~i ti~p trong mt ph~ng, mt ben l~ cc du~ng th~ng c~t nhau trong khong gian; tru~c d~y ta du c~ th~y mot su li~n quan nho gi~a hai ben, nhung by gi~ ta thy r~ng, tuy b~ ngo~i hai ben khong dinh liu gi v~i nhan, nhung b~n trong thi c hai hen c~ cing mt c~u tr~c v~ tuong quan s~ long (nghia l~ vi~c mt tr gi~c noi tip duoyc v~ vi~c hai du~ng th~ng trong khong gian ct nhau d~u duoc di~n t~ ra b~ng nh~ng phuong trinh to~n hoc nhr nhau). Ta l~y mot vi du kh~c: chum v~ng tr~n di qua hai dim A, B durqc xc dinh bi b6n s6 doc l~p vbi nha: hai toa do ca A vi hai toa do ca B. Nhur v~y ch~n 12 «it cong gi cho l~m m~ ta bit dugc r~ng mt du~ng th~ng trong khong gian ba chi~u dugc x&c dinh bi b6n s doc lp vii uhau. Di~u n~; hoi kh6 nh~n th~y trurc tip trn h~ phuong trinh ca mt dr~ng th~ng: [ ax + by + cz == d Nhung ' ki~n tr~n con quan trong hon n~a l~ ch~ ) a'x +b'y4c'z=d' n~ dua ta d~n khomg gian nhi~u chi~u. N~u ta chi han ch& lni trong khong gian thc t~ thi qu~ tht khong gian chi c~ ba chi~u. Nhung n~u ta hi~u « khong gian » rng nlur tr~n thi ta e~ th~ c6 c~c « khong gian » qu~ ba chi~u. Mu~n v~y chi vic tim ra nh~ng t~p hop d6i turong trong d6 m~i di turgng dugc xc dinh b~i qu~ ba s6 dc lAp vbi nhau. Vi du ta c~ mt h¢ vat ch~t dang v&n dong. Trng l~c nhu v~y, trang th~i c~a he v~t cht d6 (vi tri, t6c do, nhiet d, &p lrc v.v...) dugc xdc dinh bbi nhibu s6 m~ nguoi ta thu~ng goi l~ chc thng s ca h¢. Nu ta xem m~i trang th~i c~a h¢ l~ mt «di~m » v~ cc gii tri c~a c~c thong s6 ng v~i trang thdi d6 l~ c~c «toa d¢ » ca «di~m » thl ta c~ mot khong gian nhi~u chi~u (s6 chi~u bng s~ c~c thong s6 doc lAp d6i vbi nhau). Nhu v&y, qu~ trinh van dng c~a h¢ vAt cht g~m v s6 trang th~i lien ti~p s dugc bi~u di~n thanh mt cbu~i « dibm » lien ti~p tc l~ mot « dtong cong b trong khong gian nhi~u chi~u nbi tren. Do d6 vi¢c nghien cru su v~n dug ca he v~t oh~t chuy~n th~nh viec nghien cru mot du~ng cong trong mt khong gian nhi~u chi~u. Mot vi du kh~c v~khong gian qu& ba chi~u l~ t~p hop t~t c~ c~c mt c~u c~a khong gian thyc t~; d6 l~ mot « khong gian b6n chi~u » vi m~i mt c~u duqc xdc djnh b&i bn s6 dc l¢p v~i nhau: ba toa d ca tAm v~ bin 3--KG 13 kinh, ho~c b6n s6 a, b, c, d trong phuong trinh t~ng qua c~a mt m~t cu. x? 4-y 4z? 42ax 12by + 2cz Id =0 Mot thi du n~a v~ « khong gian b~n chi~u » la « khn kho "· b: ha, gian c~c dung th~ng c~a ng guan a cteu » vi, nh d n~i ~ tr&n. mi drug th~ng c~a khong gian ba chi duorc x~c dinh b&i b6n s dc l~p v~i nhau. Trong mot « khong gian b6n chi~u » nhu v~y, t~p hop t~t c~ cc « di~m» cd toa d x, y, z, t th~a m~n mot phuoag trinh b~c nht: ax +by ]- cz -}- dt =e s~ goi l~ mt « mt ph~ng ba chi~u » hay mt « sien ph~ng ». S~ di goi nb l~ « m~t ph~ng» vi phuong trinh vira vi~t gi~ng v~i phuong trinh mt ph~ng trong khong gian thurc t~ chi kh~c l~ ~ dy c~ them mt bi~n s6 th tr t. Con s~ si goi n~ l~ « ba chi~u » vi m~i « di~m » ca n~ ho~n to~n doc x~c dinh bi ba s~ doc l~p v~i nhau. Ch~ng han, ta c6 th~ cho ba s~ x, y, z con s6 t thi khong c~in ph~i cho m~ ta c~ th~ tinh ra tr phuong trinh tr~n (sau khi d~ bi~t x, y, z): t_°(ax I by + cz) d Nhu trong thi du v~ « khong gian b~n chi~u » c~a c~c mt cu thi tap hop t~t c~ c~c mt c~u di qua mot di~m cho true l~ mt « si~u ph~ng ». N~u di~m cho truc cb toa do l~ x% =1,y%=2, zo = -1 thi d6i ~i phuo8 trinh c~c mt cu di qua di~m d6 ta d~u c~: ; +y;;+zl;+2ax, + 2by, + 2cz, + d =0 hay 1 44 41 42a 4-4b -2c +d =0 hay 'a 1 4b -2c +d +6 =0 14 ~u thay cic ky hi~u a, b, c, d b~ng chc ky hi~u x, y, z, t thi ta c~: 2x }- 4y --2z +t +6 =0; d6 l~ phuong trinh ca « si~u phng ». Hai « si~u ph~ng» nbi chung c&t nhau theo mt mt ph~ng hai chi~u (thung goi vn t~t l~ « mt ph~ng». Ba « si~u ph~ag» nbi chung ct nhau theo mt « duong th&ng ». H~ phuong trinh c~a mt « mt ph~ng » g~m hai phong trinh b~c nh~t: ( ax +by + cz + dt = e } a'x +b'y1c'z +d't =e' con c~a mQt « dung th~ng » thi gom ba phuong trinh b~c nh~t: ! ax + by + cz + dt = e . a'x + b'y 1 c'z + d't = e' a'x 4by 4 c'z 4d't =e" hi mu6n cho bi~t mt « di~m » trong mt « m~t ph~ng hai chi~u » thi chi c~n hai s6, vi du x v~ y, con z v~ t thi s~ tinh duoc tr h¢ phuong trinh c~a « mt ph~ng» (vi v~y m~ goi l~ hai chi~u). Con mu6n cho bi~t mt « di~m » tr~n mt « du~ng th~ng» tht r~ rang l~ chi c~n cho bi~t mt s6. B&i v~y « dung th~ng » con goi l~ « m~t phlng mt chi~u ». Trong vi du cu th~ vb «khong gian b6n chi~u» ca cc mt c~u thl thp hop tt c~ c~c mt cu di qua hai di~m cho tr6c l~ mot « mit ph~ng» v~ tdp hop t~t c~ cc mt cu di qua ba di~m cho trubc l~ mt a« dung th~ag ». Cu nbi: « hai si~u ph~ng c~t nhau theo m~ mt phng » dem &pdung vho day thi cb nghia cu th~ l~: « hai t~p hop mt c~u theo th tu di qua hai di~m - [email protected] - cho trudc thi c~ chung mt t~p hop con, d l~ tp hop t~t c c~c mt cu di qua c~ hai diem d~ ». Mt c~ch tong qu~t, trong mot khong gian n chi~u, t~rc li mt t~p hop d6i tong trong d~ m~i d6i tuqng duoc x~c dinh b~i n s6 doc l~p x, a...., x, thi ta s~ c~ c~c siu ph~ng hay m~t ph~ng n --1 chi~u). Hai sieu phng n~i chung c~t nha theo mot mt ph~ng n-2 chi~u m~ ngu~i ta thuong goi vn t~t l~ (n -2)-ph~ng. Ba si~u ph~ng nbi chung s~ c~t nhau theo mt (n -3) ­ ph~ng. Mot c~ch t~ng qu~t thi p sin ph~ng se c~t nhau theo mot (n -p) -ph~ng. n --1 sin ph~ng n~i chung ct nhau theo mt « du~ng th~ng ». C~c « khong gian » m~ ta vra mi dua v~o nhu khong gian c~c vong tr~n, chc m~t cu v.v... thong goi l~ cc khong gian ton hoc d~ phan bit v~i khng gian thc t~. Trong l~c khong gian thrc te chi c~ ba chi~u thi cc khong gian to~n hoc cd th~ c~ qu~ ba chi~u. Sur thrc v~ khong gian nhi~u chi~u l~ nhu vy; y th~ m~ bon duy tm d~ trng lam c~i tro « mp m~ dhnh l~n con den», dem l~n In khong gian thurc t~ v~i khong gian to~n hoc d~ tuyen truy~n cho mt c~i « chi~u th tu » m~ chi c c~c dng th~n linh mdi nh~n thc doc con ngu~i tr~n m~t thit thi khong sao nh~n thy. Cho den nay, c6 l€ c6 doc gi~ nghi r~ng c~c khong gian to&n hoc ba chi~u ch~c c~ng l~ nh~ng khong gian O-clit nhu khong gian thuc t. Ta h~y x~t van d~ nay d6i vi khong gian c~c vong trn. Mu6n x~t xem n~ co ph~i l~ khong gian O-clit hay khong, ta h~y x~t xem trong khong gian d6 tien de O-clit v~ dung song son c nghim hay khong. Mu6n v&y, ta h~y ly & trong « khong gian » d6 mt « mt ph~ng» P tc l mot t#P 16 hop song tr~n di qua mt di~m A n~o d~. Trong « mt phing » P d6 ta l~y mot « during th~ng » D tc l~ trong tp hop cc v~ng tron di qua A ta ly ra mt tp hop con c~c vong tron di qua m~t diem thr hai n~o d6 B. Trong « mt ph~ng » d~ ta lai liy mot « di~m »M khong n~m tren « du~ng th~ng » D v~ra ni tc l l~y mot vong tron di qua A nhung khong di qua B (hinh 3). Bay :id ta l~y mot di~m C tren vong tron via nbi. T~p hop tt c~ c~c vong trn di qua A v~ Cs l~ mot «du~ng th~ng » di qua A « di~m » M v~ n~m trong « mt phdng» P. ~ng v~i m~i di~m g C tr~n vong tron ta se c6 mt « « dung th~ng » nhu v~y. Du dim C vi tri n~o tr~n vong trn thi ch~m vong tron di qua A, C v~ chum vong tron di qua Hlnh 3 A, B c~ng co mot vong tron chung, d~ l~ vong tron ABC (c6 th~ suy bi~n th~nh dung th~ng). V~y ta k~t luan r~ng: t~t c~ c~c « dong th~ng » di qua « di~m » M v~ n~m trong « mt ph~ng» P du c~t « du~ng th~ng » D. Nhur v~y « khong gian c~c v~ng tron » khong ph~i l~ khong gian O-clit, c~ng khong ph~i l~ khong gian Lobasepki. Dc gi~ c6 l~ nghi r~ng n~ l~ khong gian Rioman. C~ng khong ph~i. Tren day ta d~ don gi~n h~a v~n de b~ng c~ch chi x~t c~c chum vong tr~n di qua hai di~m thrc m~ b~ qua khong x~t c~c tru~ng hop m~ hai di~m d6 l~ ~o hoc tr~ng nhau (ba loai ch~m vong tr~n). Bi v~y, the ra, trong « khong {ian c~c vong tr~n » m~ ta dang x~t, cb d~n ba loai du~ng th~ng kh~c nhau (ng vii ba loai·chum vong 17 tron) v~ khong gian d6 li khong gian xa ~nh v~ n~u ta coi g~c gi~a hai vong tron l~ « kho~ng c~ch » gia hail « di~m » thi n6 tr~: th~nh khong gian hypebolic cd do cong dtong(). N6i chnng thi c~c khong gian ton hoe ba chi~n hay nhi~u chi~u hon n~a r~t it khi l~ khong gian O-clit mi la nh~ng khong gian phi O-clit. Di~u d6 n6i le~n t~m quan trong c~a cc khong gian phi O-clit. $ 8. MT VAI SU KI~N TRONG KHONG GIAN O-CLIT BON CHI~U Muc dich c~a cu~n s~ch n~y chi nh~m gi~i thiu d~ do¢ gi~ bi~t qua th~ n~o l~ khong gian n chi~u v~ loi ich ca khong di su v~o c~c su ki~n ~ trong chc khong gian d6. vi&c da khi nim db v~o trong khoa hoc, cho n~en V~ ch~ng c~ng khong th~ n~o di su v~o dugc vi c~c khong gian tht l~ muon mu muon v~: 4 chi~u, 5 chi~u, 6 chi~u, ..., O-clit, gi~ O-clit, phi O-clit, ioman v.v... Lo~i nguoi d~ vi&t nen khong bi~t bao nhi~u pho s~ch v~ cc khong gian d6. Tuy nhien, d~ cho kh~i ni~m khong gian n chi~u duoc r~ n~t hon trong nhan thc c~a dc gi~, ch~ng ti th~y c~ng c~n gibi thi~u mt v~i sr kien trong mt khong gian c~ s6 chi~u lbn hon ba. Chung toi chon truong hop don gi~n nht. D6 l~ tru~ng hop c~a khong gian O-clit b~n ohi~u. Vi chi han ch~ lai trong pham vi kin th~c l&p 10 v~ vi c~ng chi nh~m muc dich gidi thi~u, n~n ch~ng toi s~ khong tinh b~y th~nh h¢ th6ng I lu~n ch~t chE. Ch (1) D~ ht~u d¢ cong duong l th~ nAo, in xem quyen « Hinh hoc Rioman, l~ gt?» c~a c~ng t~c gi~. 18 n~o ch~ng minh duroc m~ khong phi~n ph~c lm thi sE chrng miuh; ch~ no khong ch~ng minh dugc thi s~ c~ gng gi~i thich, cb khi khong duoc chinh x~c l&m. Tr&n kia, doc gi~ d~ hibu th~ n~o l~ mt khong gian b6n chi~u, th~ no l~ siu phng, th~ n~o l~ mt ph~ng, th~ n~o l du~ng th~ng. Nhung th~ n~o l~ O-clit? c6 th~ n~i dai kh~i rng « O-clit » nghia l~ trong khong gian d6 tien d~ O-clit duoc th~a m~n. C~ng c~ th~ tr~ loi c~ch khc: ta bi~t r~ng trong hinh hoc O-clit ba chi~u, nh~ c6 tin d~ O-clit nn mi cd tam gi~c dong dang, do db m~i c~ dinh ly Pitago. Nguc lai n~u cong nh~n dinh ly Pitago l~m tin d~ thi s~ ch~ng minh dugc tien d~ O elit. Nho dinh l Pitago m~ ta tinh duoc binh phuong khong c~ch gi~ra hai di~m c~ toa d ()(x, yz) v~ (x', y',z) la: d=(x' --x) +(y' -y)'4-(z' -z) Cho n~n c~ng cd th~ nbi r~ng d~ng thrc tren day tuong duong v~i tin d~ O-clit. Tr~n co s~ db, ta c~ the nbi r~ng mot khong gian b6n chi~u s~ goi l~ O-clit nu trong khong gian db ta c~ dinh l Pitago, hay l~ trong db binh phuong kho~ng c~ch gi~ra hai di~m (x, y, z, u) vh (x', y', z', u) duge cho b~i cong th~c: d? =(x' --x)? +(y' --y) +-(z' -z)+(u' --u) Bay gi~ ta di v~o mot s~ sur kin trong khong gian O-clit b6n chi~u. Duong th~ng vuong gc. Ta h~y ly ba di~m A (a, a~» as, a) B (b. b,, bs, b), C(c, c, , c?) v~ x~t xem khi n~o thl AB v~ AC vuong gbc vi nhau. Mu6n vdy, ta ph~i co: (1) Trong mt h¢ toa D~cc vu~ng g~c 19 hay: (c, --b,)' 4(c, --b, +-(ca -bay +(c--b = (b,--a, +(b,--a,) +(ba,-a)+(b, -a, +(c,--a,)+ (ca,) +(c%-aa + (c--a) hay, sau khi khai tribn cc binh phuong v~ x~a c~c s~ hang c~ mt c~ hai & ri chia c~ hai v~ cho --2 v~ chuy~n t~t c~ c~c s~ hang ve v& th nht: brc, +bacs I baca +bc -(ab; + agb, + aabg +ab+ I 2 2 2 2) arr + aacn + agcg t a4cg, I a la +a Fa =0 ) . 1 2 3 4 hay: (b, -a)(c;-a,) +(b,-an)(c% -aa,)1(ba-a@)(ca-a9)+ (b -a) (c-a)== 0 Nu di~m Al~ di~m (0.0, 0, 0) thi di~u kin tren th~nh: b;c, + b,ca + bgca + bc=0 th~ng v~ mot si~u ph~ng thic6 th~ ~y ra ba truing hop: Drong th~ng v~ si~u ph~ng vu~ng g~c. Cho m~t du~ng b) Duong th~ng c~t sieu ph~ng ~ mot di~m, a) Duong th~ng ho~n to~n n~m trong si~u ph~ng, c) Du~ng th~ng khong ct si~u ph~ng (song song v~i sin ph~ng). Qu th~, mt si~u ph~ng ing v~i mot phurong trinl bc nht: ax + by + cz + du = e (1) l, a1x + h�y + c1z -} du = e1 v~ mt du~ng th~ng ~ng v~i mt h¢ ba phong trinh b~c nht (coi nhu giao tuy~n c~a ba si~u ph~ng) agx + bay + caz + dgu = e% agx + bay + cgz I dgu = e% (2) (3) (4) Tim cc giao di~m ca si~u ph~ng v~ du~ng th~ng nbi tr~n tc l~ tim c~c nghim ca h b~n phuong trinh bAc nh~t (1), (2), (3), (4). C~ng gi~ng nhu trong trudng hp 20 gi~i h¢ hai phuong trinh b~c nht, khi gi~i m~t h~ b~n phurong triuh b~c nh~t, ta c~ th~ gp cc truong hop: - nghi~m vo dinh (do gp ph~p chia") ttc l~ c6 vo 0 s~ nghi~m (du~ng th~ng n~m ho~n to~n trong si~u phing); - nghim x~c djnh duy nh~t (mot giao di~m); -- khong nghim (gp ph~p chia cho 0) (song song). D&i vbi mt dung th~ng c~t mt si~u ph~ng ~ mot di~m thi cd th~ x~y ra truong hop l~ dung th~ng d6 vuong gbc vbi t~t c~ cc du~ng th~ng di qua ch~n nd v~ n~m trong sieu ph~ng. Mt du~ng th~ng nhu v#y s~ goi l~ vu~ng gc vdi sieu phdng. Vi du nhu du~ng th~ng di qua dim (0, 0, 0, 0) v~ di~m (a, b, c, d) l~ vuong gbc vbi sieu ph~ng ax +- by + cz +- du = e. Qu~ v@y, nh~ng di~m n~m tren du~ng th~ng d6 l~ nh~rng di~m c dang (at, bt, ct, dt) tc l~ b6n s6 rng v~i mot di~m n~m tren du~ng th~ng d6 bao gio c~ng ti l¢ vii a, b, c, d(D) (a, b, c, d nhan len vbi c~ng mot h¢ s6 ti l¢ t; h~ s~ n~y thay di khi di~m chay tren du~ng th~ng). Giao di~m c~a dung th~ng d6 vbi sieu phhng s~ ~rng vbi mt gi~ tri ca h s6 ti l¢ t sao oho phuong trinh c~a si~u ph~ng dugc nghi@m: a(at) + b(bt) + c(ct) + d(dt) = e do db: 1) C~ng gi~ng nhu trong mt ph~ng tht chc di~m n~m tr~n du~rng th~ng OP (hlnh 4) s~ c6 toa d dang at v~ bt trong dd a vi bl toa d¢ c~a ibm P vat la h¢ s ti le (_ 9l, • 'y OP 21 t = e a? - b?4- c? 4- d? V~y giao di~m ca du~ng th~ng v~ siu ph~ng rng vii b6n s~ a', b',c', d' theo th~ tu l i : e e 9'g h'=p$ a? +b?1-e?+-d?' a?-j-b4-c-+d c' =c. e d'=d.-__th.- a4b?-4-c?pd' a?1-b-4-c4-d Ta s~ goi giao di~m nay l~ H. By gi~ ta l~y mot dim M bt ky (xo, yo, zo, uo) n~m tr~n si~u ph~ng trc l~ 1y b6n s~ xo, yo, Zo, uo sao cho : axo +- byo l czo +- duo = e ri ch~rag minh r'ng dung th~ng c~a ch~ng ta vuong gbc v~i MH. Theo tren (ph~n « du~ng th~ng vuongge ») thi ta ph~i ch~ng minh r~ng: (O --a) (x% -a)4+(0--b) (x% --b)+(0 --c') (x, -c')+(0 --d)(x% -d)=0 hay: a' 4b? 4c? 4d --(a'x, +b'x, +c'x, Id'x,)== 0. Ta c6: l,t -------- . -----------. M t 0 Hinh 4 22 a? +- b 4 c 4- d Vi ax, +by% + cz +duo= e nen a'x% +b'y% +c'z, +d'u,= .__" a? b? 4-c? 4-d' V&y qu~ l: a"3 4-b 4c? 4d--(a'x, +b'x, +c'x, +d'x,)=0 Siu ph~ng vung gc vi nhau. Hai si~u ph~ng s goi l~ vuong goc vbi nhau n~u ch~ng vuong g~c theo thr tu vi hai du~ng th~ng vuong gbc v~i nhau. Bay gio gi~ s cho hai sieu ph~ng: ax + by + cz + du = e a'x +b'y +-c'z4du=e' Ta h~y x~t xem trong di~u kien n~o thi hai sieu ph~pg db vuong g~c vi nhau. Nhu tr~n d~ chng minh, hai si~u ph~ng db theo th tu vuong gc vi hai dung th~ng n6i hai di~m (a, b, c, d), (a', b', e', d') vi di~m (0, 0, 0, 0). Hai du~ng th~ng n~y s~ vuong g~c n~u: aa' +- bb' +- cc' 4 dd' =0 M@t ph~ng ho~n to~n vung g~c vi nhau. Ni chung thi hai m~t ph~ng c~a khong gian b~n chi~u chi c6 mt giao di~m. Di~u n~y c~ng d~ hi~u vi mt mt ph~ng irng v~i mot h¢ hai phuong trinh bc nh~t; ng vbi hai mt ph~ng ta s~ c6 b~n phuong trinh b&c nh~t, m~ nbi ohung thi mt h¢ b6n phuong trinh bc nht vdi b6n an s6 cb mot nghi@m. N~u hai mt ph~ng ct nhau tai mt di~m sao cho moi du~ng th~ng di qua di~m d6 ca mt ph~ng nay d~u vuong gbc vii moi dung th~ng .di qua di~m d c~a m~t ph~ng kia, thi ngu~i ta n~i r~ng hai mt ph~ng d~ hon ton vu~ng gc vi nhau. Ta cd th? «drag nn hai m~t ph~ng ho~n to~n vuong gbc vii nhau nhu sau: trong mot siu ph~ng (t~c l~ mot khong gian O-elit ba chi~u), ta chon mt tam di~n ba gc vuong Ox, Oy, Oz xong ta dung du~ng th~ng Ot vuong gc v~i sien phng (v~ do db vuong g~c v~i Ox, 0y, Oz). Nu th& % trong khong gian b~n chin ta c~ b~n du~ng th~ng doi mot vuong g~c vdi nhau. Ta khong th~ v~ hinh dugc vi t day l~ mt skien trong khong gian b~n chi~u, khong % cd trong khong gian thtc t~. Tuy nhien db d~ theo d~i, ta ctr tam v€ ra nhu ~ hinh 5. Ta h~y x~t hai m~t ph~ng xOy va z0t. Trubc h~t ta h~y chng minh r~ng ngo~i di~m O ra Hinh 5 ch~ng khong con di~m chung nho kh~c. Qu~ v~y, gi~ s chng con c them mt di~m chung P. Th& thi ch~ng s~ c~ chung to~n th~ dung th~ng OP (vi mt du~ng th~ng m~ cd hai di~m chung vii mt mt ph~ng thi ho~n to~n n~m trong mit ph~ng d6). Duong th~ng OP, vi n~m trong mt ph~ng zOt n~n s~ vu~ng go° vi c O vu Og (vi Ox v~ Oy d~u vuong g~c vii m~t ph~ng zOt) nhurng mt kh~c, vi OP nm trong m~t phhng xOy nen n~ khng the vu~ng gc vi c~ O vd cd vi 0 24 (ta dn bi&t r'ng n~n n6 vuong bc v&i Ox thi nb s~ song song v~i Oy). MAu thun n~y ch~ng t~ rng hai m~t ph~ng khong th~ c~ them mt di~m chung th hai P. Bay gi~ ta hiiy ly mt du~ng th~ng bt ky Ou trong m&t ph~ng xOy v~ mt dung th~ng bit ky Ov trong m~t phng zOt v~ chng minh r~ng ch(ng vuong g~c vii nhau. Qu~ v~y, Ou vuoug g~e ~i Ot vi 0t vuong g~c v~i m~t ph~ng xOy; Ou cing vuong gbc v~i Oz vi ly do tong tr. V~y Ou vuong g~c v~i m~t ph~ng zOt v~ do d~ vuong gbc v&i Ov. Mt phng paratctic. Hai m~t ph~ng chi c~ mot dibm chung s? goi l~ parat@ctic n~u t~t c~ c~c du~ng th~ng di qua di~m d~ c~a m~t ph~ng n~y l~m v~i mt ph~ng kia nh~rng g~c bing nhau. Khi t~t c~ c~c gdc n~y d~u vuong thi hai m~t ph~ng parat~ctic tr& th~nh hai mt ph~ng hon to~n vuong gbc. Ta c6 th~ drng n~n hai m~t ph~ng parat~ctic nhu sau : ta ly mt m~t ph~ng P v~ mt du~ng th~ng x c~t. P & mdt di~m O. Ta chi~u x xu6ng P thhnh x' (h. 6) r~i dung m~t ph~ng P' di qua O v~ ho~n to~n vuong gbc ~i mt ph~ng xOx. M~t ph~ng P' ch~c ch~n l~ cha dong th~ng Oy' n~m trong mt ph~ng P v~ vuong gbc v~i Ox' (Oy' chinh l~ giao tuy~n c~a P v~ P). Trong mt ph~ng P' ta l~y mot du~ng th~ng Oy (c6 th~ l~y duoc hai du~ng di xng v~i nhau qua Oy') lm vbi Oy' mot g~c b~ng g~c c~a Ox va Ox'. Th thi mt phng xOy v~ m~t ph~ng P s~ l~ parat~ctic. Ta khong chrng minh tai sao lai nhu vy. Ta tam dirng ~ day v~ cc sieu phhng v~ mt phtng. Ta th~y r~ng ~ trong khong gian O-clit bn chi~u, c~ng cb nh~ng sur kin tuong t nhu trong khopg gian ba chi~u, nhung do s6 chi~u nhi~u hon nen c~ them nhi~u su kin kh~c m~ trong khong gian ba chi~u khong co 25 chi gi turong tr nlr mt ph~ng parat~ctic). D~c gi~ c6 th~{tu tim hi~u so iugc v~ cc hi¢n tugng song song b trong khoag gian b~n chi~u. Mu6n vy, luon Iuon c~n nm ly bin cht vin de bng c~ch quay v~ c&c s6 v~ Hinh G cc phong trinh, vi du nhu hai si~u ph~ng song song thtrc chit l~ hai phuong trinh bAc nh~t: ax + by +cz 4 d =0 a'x 4b'y4cz4-d'=0 khong co nghi¢m chung n~o h~t (d~ thy r~ng lc d6 thi a ==r b c _p d.Tat • kh .4¢ . 'ri tung tuqng k'tong gian gip a' b' c' d' ich cho ch~ng ta r~t nhi~u nhung chi mot minh n~ thi khong d. Trong nhi~u truing hop, n~u khong quay ve cc s6, cc phuong trinh m~ chi ding tri tu~ng tung khong gian thi rt kh6 hi~u. Vi du, trong khong gian thong thuong ta hinh dung mt mt ph~ng nhu mot t~m gi vo c~ng m~ng (trong chc hinh v~ ta v~ ra du~i dang mt hinh binh h~nh) do db ta hinh dung rt r6 r~ngvi~c mot du~ng th~ng ct mt mt ph~ng tai mot di~m. Trong khong gian b~n chi~u, ta phi hinh dung mt si~u phdng nlr mot chi gi cb b~ d~y vi n ba chi~u (n~u mu6n vE inh thi phi v~ sicu ph~ng du~i dang hinh hop) nhung nhur v~y th~t kh~ m~ hinh dung duroyc mt during th~ng ehi ct nd ~ mt di~m. D6 l vi ta d~ dung tri tu~ng turong troug khong gian thong thu~ng v~o mt vn de thvrc ch~t khong ph~i l~ khong gian m~ chi mang ten « khong gian » m~ thoi. Trong nh~ng truing hop nhu v~y ph~i quay v~ g~c r~ ca cc khong gian nhibu chi~u, trc l~ v~ c~c s6, c~c phuong trinh. Tr~c khi chuy~n qua ph~n sau, ta h~y n~i them mt it v~ cc si~u c~u ~ trong khong gian b6n chi~u. Mt siu cn l~ quj tich cc dim c~ch d~u mot di~m cho true goi l~ t~m siu cu. Ve the ch~t thi mt sieu cu tAm (a, b, c, d,) v~ bn kinh la tap hop t~t c~ c~c b~ b6n s6 s~p thr tu (x, y, z, u) sao cho: (x--a)4-(y--b)+-(z--c)+-(u--d)?=RR Ban th~n sicu c~u l~ mt khong gian ba chi~u vi r~ng mu6n x~c dinh mt di~m (x, y, z, u) tr~n d~ thi chi can cho bi~t ba trong b~n s6x, , z, u con s~ th~ tr thi s~ tinh ra ti phuong trinh c~a si~u c~u. O ph~n sau ta s~ th~y khong gian ba chi~u d6 l~ khong gian gi? Mt si~u ph~ng di qua tam thi c~t si~u c~u th~nh mot m~t cu b~n kinh • Di~u n~y r~t d~ hi~u vi c~c di~m chung cho si~u cu v~ si~u ph~ng thi mot m~t n~m trong mot khong gian bachi~u (si~u ph~ng), mt kh~c c~ch d~u mot di~m c~ dinh mt khong R (vi n~m tr~n sieu cu). Mt m~t cu nh v~y goi l~ mt m@t c~u lbn c~a sieu cu. Mt m~t ph~ng di qua tam thi c~t si~u c~u theo mot Yong tron bn kinh R. Mot vong tron nhu v~y goi l~ mt vong tron lin c~a si~u c~u. Mt dung th~ng di qua tm thi c~t sien cu ~ hai di~m xuy~n tAm d6i. 27 5 4. BA MO HINH C~A KHONG GIAN RIO'MAN BA CHI~U ( Trong cu6n « Hinh hoc Rioman l~ gi? », ta d~ dra r b6n mo hinh c~a hiuh hoc ioman ph~ng. By gii, ddc gi~ d~ l~m quen vdi khong gian O-clit b~n chi~u, ch~ng toi xin gi~i thi~u qua ba mo hinh c~a khoug gian Rio man ba chi~u. Mo hinh th nh~t. Trong khong gian O-clit bn chi~u, ta chon mot di~m O (di~m hi~u theo nghia l~ mt b b6n s6 s~p thr tr) r~i hi~u c~c kh~i nim co ban « di~m », « du~ng th~ng», « m~t ph~ng » trong h¢ tin d~ c~a hinh hoc Rioman nhu sau : -Mi du~ng th~ng(2) (hi~u l~ mot he ba phuong trinh b~c nh~t) di qua O l~ mot « di~m » c~a khong gian Rioman. - M~i mt phng di qua O l~ mt « dung th~ng » cia khong gian Rioman. -- M~i sieu phng di qua O la mt « m~t ph~ng » c~a khong gian Rioman. Con kh~i ni¢m co ban « thu~c » thi hi~u nhu sau : mt « di~m » A s~ coi l~ «thuoc » mt « du~ng th~ng» a n~u du~ng th~ng A n~m trong mt ph~ng a. C~c kh~i nim: (1 Ph~n nay d~nh ri~ng cho c~c dc gi~ d~ doc xong cu~n « Hlnh hoc ioman l~ gt » c~a c~ng t~c gi~(Nh~ xu~t b~n Gi~o duc -- n~m 1963). (2) Trong ph~a n~y, nh~ng kh~i ni~m ca kh~ng gian O-clit b~n chi~u thl kh~ng dong ngoc k~p con c~c kh~i ni~m 'ca khng gian Rioman thl 6ng ngoc k~p. Dc gi~ can ch y d~ pbsn bi&t. 28 « dim » « thuc » « m:t ph~n », « dung th~ng » « th~c » «mt ph~ng » c~n s~ hi~u tong tr. Hai during th~ng di qua O chia mt ph~ng do ch~ng x~c nh~n ra lm hai cp g~c d6i dinh. M~i c~p g~c d6i dinh d~ li mt « doan th~ng » Rioman. Hai « doanth~ng » s~ coi l~ « htng nhau» khi hai cp ~c d6i dinh turong rng b~ng nhau. Hien nhu th~ thi «d~ d~i» c~a mot «doan th~ng » s@ li do lin c~a cp g~c d6i dinh tuong irog. Ta s@ khong ch~rng minh rng m hinh tr~n dy th~a mn h¢ ti~n d~ c~a hinh hoc ioman m~ s~ ding mo hinh n~y d~ gi~i thiu thm vii d~c gii mQt v~i s kin trong khong gian Rioman. Dr@ng th~ng d~i ctc. Trong mo hinh, ta h~y x~t hai mit phng ho~n to~n vuong g~c vii nhau. Hai mt phng d~ bi~u di~n hai « du~ngth~ng » khong c~ « di~m» chung (vi hai mt ph~ng d~ khong c~ du~ng th~ng n~o chuug). Nhung hai « du~ng th~ng » d6 khong cng n~m trong mot « mit ph~ng» vi hai m~t ph~ug tong ing khong cng nm trong mot sin ph~ng. Hai « du~ng th~ng » nhu trn c~ dc tinh l~: moi « doan th~ng » n~i ml « di~m »b~t kc~a «du~ngth~ng » n~y vii m~t « di~m » b~t ky ca « du~ng th~ng » kia d~u vuong g~c vii c~ hai «du~ng th~ng» v~ d~u c~ d d~i bing -". Ly do l~ vi n~n hai mit phing hoan toin vuong g~c v~i nhau thi moi du~ng th~ng (di qua giao di~m) c~a mt ph~ng n~y d~u vuong gbc vi moi du~ng th~ng (di qua giao di~m) c~a mit phlng kia, v~ mt ph~ng tao h~i hai du~ng th~ng d~ vuong g~c ~i ci hai mit phlng di cho. Hai « dong th~g » Rioman nhu tr~n goi l~ hi drong thng d~i crc. Nu ta quay khong gian Rioman rung quanh mot trong hai du~ng d~i crc thi du~ng th hai s~ trut tren chinh n~. Qu~ v~y, m~i di~m tr~n du~n '111 th~ hai n~y d~u c~ch truc quay mt kho~ng b~ng do db khi quay nb vach n~n mot vng tron Rioman c~ b~n kin " ttc l~ mot during th~ng. Dur~ng th~ng niy 2 '· ? chinh l~ during th~ng th hai n~i tr~n. Dr~ng song song Caliphooc (Clifford). Trong mo hinh ta h~y x~t hai mt ph~ng parat~ctic. Hai mt ph~ng d~ bi~u di~n hai « du~ng th~ng » khong eing n~m tong mot « mt ph~ng » c~a khong gian Rioman. Dc tinh c~a hai « du~rng th~ng » n~y l~:t~t c~ c~c « di~m » c~a « dong th~ng » n~y c~ch d~u « du~ng th~ng » kia. Tinh chit n~y gi~ug tinh ch~t c~a hai du~ng th~ng song song trong khong gian O-clit n~n hai « duong th~ng » nhtr tr~n goi l~ hai « du~ng th~ng song song » Coliphooc (theo t~n nh~ to~n hoc d~ ph~t hin ra str kin d d~u tin. N&u ta quay mot trong hai « du~ng song song » Coli phooc xung quanh du~ng kia thi du~ng th~ nht s~ sinh ra mot m~t tron xoay goi l~ m~t Coliphooc.Tt c~ c~c vi tuy~n c~a mt tron xoay n~y l~ nh~ng vong tr~n b~ug nhau (vi cc « di~m » tr~n « durong th~g » th~r nht c~ch d~u « du~ng th~ng » th hai). Tiuh ch~t n~y gi~ng tinh ch~t c~a mt tr tron xoay trong khong gian O-clit. Nhung mt Coliphooc kh~c mt tru tr~n xoay ~ ch~ truc ca n~ dbng kin (vi du~ng th~ng trong khong gian Ri oman d~ng kin) v~ vi v~y lai ph~i hinh dung mt Coli phooc nhu ki~u mt mt xuy~n c~a khong gian O-clit. X~t nhu mt mt xuy~n thi mt Coliphooc con c~ mt 30 - [email protected] - truc tron xoay khdc, d l~ « du~ng th~ng » di cc vbi truc tron xoay kia. Ngu~i ta ch~ng minh r~ng hinh hoc ni b c~a mt Coliphooc l~ hinh hoc O-clit. Mo hinh th hai. Ta l~y lai mo hinh ~ tr~n r~i c~t b6 dong th~ng tam O b~ng mt si~u cu. L~m nhu v&y, ta s~ cd str tong irng sau dy gi~a c~c phn t~ c~a hai mo hinh. Khong gian M6 hnh th M6 hinh th~ Riouan nh~t hal Diem Du~ng th~n; qua O Cp diem xuy~n tam 6i c~a si~u .cu During th~ng ·Mt ph~ag qua 0 Mt pb~ng Si~u ph~ng qua O Vong tron l~n c~a si~u cu M~t c~u l&n c~a si~u cau '" Nhu vy, ta th~y r~ng, vii sr d~ng nh~t h~a hai di~m xuyen t~m di thi hinh hoc ni b tr~n mt si~u cu c~a khopg gian O-clit b6n chi~u l~ hinh hoc Rioman ba chi~u. MO hinh th ba. Ta l~y lai mo hinh th nhdt v~ c~t b~ dung th~ng tm O b~ng mot si~u ph~ng P khong di qua O. C~c si~u ph~ng c~a b~ d~u ct si~u ph~ng P theo mt mt ph~ng tr~ si~u ph~ng di qua O v~ song song v~i P. D loai tr~ ngoai l n~y, ta coi nhu si~u phug P cb mt mt ph~ng ~ xa vo t~n v~ n~. l~ tuoog giao c~a P v&i si~u ph~ng di qua O v~ song song vii-P. M~i dong th~ng ca b~ c~t P ~ mt di~m. Di~m n~y s~ nm tr~n mt phng xa vo tAn n~u du~ng th~ng ca b~ song 31 song v~i P. M~i mt ph~ng e~a b~ ct P theo mt during thng. Dur~rng n~y n~m trn mit phng xa vo tn nu mt ph~ng d~ cho song song v~i P. Nhur v~y, sau khi d coi sicu ph~ng P c~ mot mit ph~ng xa vo tin thi ta c~ mt lin h mot d~i mot gira cc dong thing c~a b O v~ c~c di~m c~a P, gi~a cc mit ph~ng ca bi 0 v~ cc du~ng th~ng c~a P, gira c~c si~u ph~ng cia b~ O v~ c~c mt ph~ng c~a P. Vi si~n ph~ng P l~ mt khong gian O-clit ba chi~u n~n ta xy dung duqc mo hinh sau d~y: Ta coi nh khong gian O-clit ha chi~u (khong gian thc t~) c~ mot mt ph~ng ~ xa vo t~n v~ quy u~c hi~u c the c~c kh~i nim co h~n trong h~ tin d~ c~a hinh hoc « Dim » l~ di~m thong thong hoc di~m ~ v tin Rioman nhu sau: c~a khong gian O-clit; « Dur~ng th~ng » l~ dr~ng th~ng thong throng ho~c vo tn c~a khong gian O-clit; « Mt ph~n » l~ m~t ph~ng thong th~ng ho~c ~ vo tin c~a khong gian O'-clit. U dim c~a mo hinh ny l~ ~ ch c~c «di~m», «du~ng th~ng » « mt ph~ng » hu ht li di~m, du~ng th~ng, mit phng thong thong. Chi c~ kh~i ni~¢m « b~ng nhat », thi khong th~ hi~n cu th~ nhur thong thong ta v~n hi~u. Trong mo hinh n~y, ta mu~n hi~u th~ n~o l~ hai « doan thng » (n~i chung c~ng l~ doan th~ug thong thong) « b~ng nhau », thi hoc l~ ph~i ding d~n khong gian b~n chi~u (hai «doan » s~ coi l~ « bng nhau » ncu tr mt di~m O chon tru~c ~ ngo~i khong gian O-clit ba chi~u ta nhin hai doan d~ du~i hai gbc bng nham) hoc phi ding d~n cic phn tr o. Ta sc khong di sdu vho vn de n~y. 32 'ii mo hinh tren dy ta c~ng th~y r5 Ii du«mg th&u. dug kin vi n~u tr mt di~m nio d6 trn dung th~g, hi dong t~ di v& hai phin khAc nhau thi chng s~ gp nhau ~ « di~m xa vo t~n ». Di nhien dy l~ mt c&ch n6i cho c~ hinh ~nh ch lim gi c6 th di d&n mt di~m ~ xa vo tin theo nghia nom na ca m~v ch~ niv. . . 45. KHONG -THI GIAN B~N CHI&U CA THUY~T TUONG BI Db doc gi~ th~y r~ hon tRm quan trong c~a c~c khong gian ton hoc, sau d~y ch~ng ti xin n~u them mt thi du lay trong v~t l ly thuy~t: d6 l~ Khong--thoi gian bn chi~u c~a thuy~t tong d6i. Ta h~y tu~ng tugag hai chi~c xe chay nguoc chi~u tr~n mt con du~ng n~o d6, chi~c thr nht v~i t6c d 30 cy s6/gi~ v~ chi~c th hai vbi t6c d 40 c~y s~/gi~, v~ hai nu~i h~nh kh~ch ng~i tren hai ci xe d6. Di nhin hai h~nh kh~ch d6 s~ thy cir m~i gi~ hai xe lai xa nhau th~m 70 c~y s6, t~rc l~ t6c d c~a chi~c xe n~y di v~i chi~c xe kia l~ 70 cAy s6/gi~. Trong tru~g hop m~ hai chi~c xe d6, v~n vbi c~c t~c d nhu tr~n nhung chay cing chi~u thi t6c do c~a xe n~y d6i vi xe kia r~ r~ng l~ 10 c&y s~/gi~. Ta bi~t r~ng Qu~ dt xoay xung quanh Mt tri ~i t6c d 30 c~y s~/giy v~ ~nh sing thi c6 t6c d 30 an c&y s6/gidy. Nu er l Iu~n theo ki~u hai chi~c xe ~ tr~n thi ta ph~i di den k~t lun l~: n~u ~nh sing tr mot ngoi sao d~n Qui d~t theo chi~u quay ca Qn~ dt quanh Mt troi thi t6c do c~a n6 d6i ~i ch~ng ta ~ tr~n Qu~ d~t.sE l 299 970 cay s6/gi~y, con n~u n6 d~n Qu~ d~t ngugc chi~u quay ca Qui dt thi t6c d c~a n6 s~ l~ 300030 cAy 33 s~/giy. Nhng nhi thi nhi~m l~o luyen di lhm di lhm lai rt nhi~u thi ngh'~m, nhung d~u th?y ring k~t luin tr~n l~ sai: ho th~y r~ng di &nh sing d~n Qu~ dt theo chi~u n~o thi tc d c~a n6 vn li 30 van cy s@/giy. Khoa hoc tr~i qua mt con kh~ng ho~ug vi mu thu~n gi~a l lu~n v~ thrc ti~n. Nm 1905, Anhxtanh (Einstein) db ra mt gi~ thuyet d gi~i quy~t m~u thu~n d6. Anh xtanh xut ph~t tr k~t qu~ c~a thc nghim n~i tr~n v~ db ra gi~ thuy~t l~: hai ngubi chuy~n dong thng d~u di &i nhau thi khi do t6c do ~nh shng s~ tim thy c~ng mt k~t qu~. Db hinh dung cho cn th~, ta h~y tu~rg tugng hai ngu~i c~ng do t6c d ~nh sing tr mt ngoi sao n~o d~ t&i; nhung mot ngu~i ding tr~n Qu~ dit, mt ngu~i ng~i tr~n mt ten l~a quang t~; th~ thi, theo gi~ thuy~t c~a Anhxtanh, hai ngu~i s~ thy k~t qu~ nhu nhau. Ta h~y di~n th di~u d6 ra th~nh phuong trinh to~n hoc. Mu6n v&y, ta h~y hinh dung m~i ngu~i do d~u c6 mt c~i d~ng h~ chay rt chinh x~c v~ tr~n Qu~ dt c~ng nhu tr~n t~n la mi noi d~n c~ chon mt tam dien ba gc vuong l~m h¢ toa d. Ta cing hinh dung l~ hai ngu~i d~u cng theo d~i mt hat ~nh sing (quang tr) v~ d~u ghi lai hai vi tri A v~ B nho d~y tren dung di c~a hat v~ cdc thi di~m l~c hat d~n hai vi tri d6. Gi~ s~ vi tri A c~ ton d l~ x, , z, d6i bi h¢ toa d tr~n Qu~ dt v~ cb toa d l~ x», '%. za, di vi h¢ ton d tr~n ten l~a, con vi tri B thi c~ toa d theo th~ tr l~ x';y' z' vi xi, y'a, z', d6i v~i hai h¢ nbi tren. Gi~ sr c~c th~i di~m c hat ~nh sang d~n A v d~n B ii h~ tren ten l~a l~ t' v~ t'%. Nhu v~y, di v~i gu~i do t, v~ t, d6i ~i dong h~ tren Qu~ dt, con d6i vbi d~ng dac tr~n Qu dt thi t~c d inh sng s~ l~: 34 $ t, t $ 1 Theo gi~ thuyet thi hai tc d¢ d6 ph~i nhu nhau. Ta s~ ky hi&u gi& tri chung d6 ca t6c d &nh s~ng l~ c. Vy.: V(%, -xT@-yFT,--z?=e(t,-t,) hay (x% -x)° 4 (y-y' +(z%-z,--c(t,--t,)' =0 tong tu nhu v&y, ta c: • g 2 $ (X - X ) 2 + (v - y ) 2 + (z - z ) --c (t --t ) = 0 $ 1 2 1 $ 1 2 I Hai v~ th nht nhu v~y l bng nhau vi cung b~ug s6 khong. N~u ta chon c~c th&i dibm khong ph~i v~o cc lc hat hnh sing d~n A v~ B m~ d~n cAc vj tri kh~c thi hai v~ th nht s~ kh~c s6 khong. Anhxtanh d~ them gi~ thuy~t r~ng trong truong hop d6 hai v~ th nhlt v~n b~ng nhau: (%¢ -,) + (y,-y) +(z%--z, --c(t,--t,)' = » » 9 » 9 • 2 2 9 (X - X ) + (y - y ) + (z - Z ) -c (t, -t,) 2 1 2 1 2 1' 9 1 • Phuong trinh n~y gi nh~ng di~u co b~n nh~t trong gi~ thuy~t c~a Anhxtanh. N6 di~n t~ m~i quan h¢ gi~a khong gian (kho~ng c~ch, toa d v.v...) v~ thoi gian di v~i h th~ng quy chi~u () nay (tren Qu~ d~t) v~ khong gian v~ th~i gian d6i ~i h¢ th6ng quy chi~u (D) kia (tr~n ten lra). Phuong trinh d~ nbi ngay ln mt di~u l~ su (1) H th~ng quy chi~u d d~y g~m mt h toa d khong gian vi mt thi dim g6c d~ tinl th~i gian. 35 quan h xon xuyt khong th~ t~ch r~i gira khong gian vi th~i gian. Theo thuyet c di~n thi di khong gian thay dbi nhv th¢ no, thri gian vn th~, ngha l~ ta luon Iuon c~: t. t. =t' t 2 1 2 1 Theo phuong trinh trn thi n~i chung ', t ,±t,, -t, vi hai khong thri ginn d6 khong chi quan he rieng vbi nhan m~ trong quan h~ gi~a ch~ng, cc y~u t6 khong gian (x,yr,h v.v...) c~ng xen v~o. Nguc lai trong quan h¢ gira cc y~u t~ khong gian thi cic y~n t6 th~i gian cing xen v~o. De d@ tinh to~n vbi phuong trinh tren, ngr~i ta nhn x~t nhu sau : Phuong triuh tren, v~ phong di~n hinh th~c, gi~ng v~i mt s kien hinh hoc. Qu~ v&y, trong mt ph~ng O-clit ta h~y l~y hai dibm A, B vh quy chng v~ hai h¢ ton d vong gc kh~c nhau: gi~ s~ A v~ B theo th tu ,,,,y, di v~i he th hai. Quan h¢ gi~a x,,y». xi. ya cd toa d lh x, y; 1%, y% di vi h¢ thr nht vi vbi x,y,, x',,y% nhu th nao? Cn h~i niy rt d~ tr~ ~ =(1% --x) + (y%-y (trong h? th nht) 1 ·I g l~i. Ta chi vi~c tinh binh phong d d~i c~a doan AB trong hai h toa d n~i tr~n. Ta c6: A' == (x, x( y) (ronghe th ha) VAy: 2 1 1' t' (X - X ) + (v --y) = (x - X ) + (y V ) 2 I ·2 ·1 2 I 2 1 • $ $ » » 2 » 2 Db l phuoag trinh di~n ti quan h gi~a toa d mi vi toa do c khi ta thay di h¢ toa d. N&n li trong khong gian ba chi~n thi ta s~ c~: 36 (, -x,)+(y, -y)±(z,-z' 2 1 2 - · I ( , ' ,) ' 2 +(-y,) · ' '· 2 +( ' z,) , � ·2 I Trong khong gin O-clit b~n chi~u thi quan h giira toa d mi vi toa do c~ trong mt ph~p bi&n dbi tou d (% -x) 4 (y-y? +(z, -z + (u --u, = s~ l: + s. $ + $ + g (,) +0,) +(,-) +,-,) Trong phuong trinh co b~n tren kia, n~n ta d~t n== ct tli ta s? c~: (± -) + (y--y) +(zs -z) --(u -m) == ( , ') 2 - ' , I • , 2 , ' 'l ,, +0,-) +(,-) -(,, N~ r~t gi~ng v~i phurong trinh ~ tr~n, chi kh~c li trong c~ hai v& c~ mt du cong (-+- d~ duec thay h~n du tr~r (-). Trong khong gian O-clit b~n chi~u thi binh phuong kho~ng c~ch gira hai dim (x, 1, z, u,) v~ (x, 2, (2 -x0° + (y» -y +(z --z, +(u, -- u,'. Viy zo, 1,») l~: n~n ta c~ mot khong gian hon chi~u trong d~ binh phurong kho~ug c~ch gi~a hai di~m (, sz. u) v~ (x», » Za, ug) l~: ( x)' +(y -s? + ( z,) --(u% -u,) thi phuong trinh co bin di~n ti gi~ thuy~t c~a Anhxtanh s~ l~ phurong trinh di~n t~ quan h? gi~a toa d mi v~ toa do c~ trong mot ph~p bi~n di toa d~ c~a khong gian d~. M~t khoug gian nhu vy s? goi l~ khong gian gi 0-clit b~n chi~n chi s~ mt (vi c~ mdt d?u trir) T~m lai, n~u ta x~y dung mot khong gian toin hoc gi~ (-clit h~n chi~u trong d~ ba toa d¢ du l~ ha toa d 37 khong gianthtre t~ c~n to do thr tu l~ th~i gian ( == ct), thi quan h gira khong gian, th~i gian d~i v~i h~ quy chi~u niy v~ khong gian, th~i gian di vii h~ quy chi~n kia s c~ th~ gi~i thich th~nh quan h gi~a toa do m~i v~ toa do c~ trong mot php bi&n dbi toa dd c~a khong khong -th~i gian b~n chi~n c~ Iy thuy~t tuong d~i gian gi~ O-clit d6. Khong gian gi~ 0-clit niy goi l~ (nghi hep). Tir diy tr& di, viin de xy dung thuy~t tong d6i (nghia hep) quy ve b~i ton hinh hoc: nghi~n ciru cc ph~p bin di toa do trong khong gian gi~ O-clit b6n chi~n. Tr sur nghi~n ciru d~ ta s~ r~t ra nhin k~t luin quen bi~t ve thny~t tuong d~i nghia hep (D). Trong pham vi c~c ki~n th~rc c~a l~p X, khong th~ trinh b~y s nghie~n ciru d~ duc. +8. KET LUAN Khong gian n chi~u khong ph~i l~ m~t di~u gi bi hi~m. N6 I~ mt sing tao c~a c~c nh~ to~n hoc d~ l~m mt cong cu d~c Irc trong vic nghi~n cru cAc tuong quan s6 luonug c~a th~ gi~i kh~ch quan. Cong cu n~y d~c luc ~ ch~ n~ dong vi~n dupc tri tung tu@ng khong gian c~a cc nh b~c hoc v~o vi~c sang tao, nghi~n ctru. Tuy r~ng v~i s6 chi~u l~n hon ba. nh~t l~ khi gip ph~i uh~ng khong gian phi -O-clit, thi cc ki~n th~c ve hinh hoc thong thong c~u ch~ng ta khong p dung vho dupe, (1) em « Thuy~t tong di l g i ? » c~a Landao, bn dieh ti~ng Viet (Nh xuit b~n Khoa hoc). nhung ching e~ng gip ch~ng ta phong don duoc nhirng tinh ch~t mii vi do dd de ra cho ch~ng ta phurung hurbng nghien cru. Gp nh~rng khong gian khc vii khong gian O-clit ba chi~u, nguroi ta thong xut ph~t tr cc tinh ch~t cn khong gian O-clit ba chi~u r~i dt nh~mg cu h~i nht: C~c tinh cht d6 cb con dng hay c~ con na n~ nhut vy trong khong gian dang nhi~n cru khong? Hoc chc ttih chit d6 s~ duree mo rng nhr th~ n~o trong khong gian dang nghi~n cu? .r... Nh~ng cu h~i nhu vy d xut cho ch~ng ta d~ ti nghi~n er. Khi ta n6i khong gian n chi~u l~ mt sing tao cin c~c nh~ to&n hoc thi ph~i d~ phong quan di~m duy tam cho ring d6i tuong nghi~n cru nhy c~a ton hoc li mot sin ph~mi thun tiy c~a tri 6c cc nh~ to~n hoc. Qua cc bl du tren, ta thy ngay ring kh~i ni¢m « khong gian n chi~u » ciing chi l~ phin ~nh nh~rng turong quan s6 luqng trong th~ gi~i kh~ch quan. Vai tr~ ca ctc nh~ ton hoc chi l~ bi~t khon kh~o di~n t~ chc tuong quan s~ hung db th~nh ngon ng~ hinh hoc d~ nAng cao hi~u sut nghi~n cru ca minh. V~ ch~ng c~ng khong ph~i dt nhien, khong dua tr~n co s~ the t~ n~o, m~ cc nh~ to~n hdc nghi ra duoc kh~i nijm « Khong gian n chi~u ». Ph~i qua c mt qua trinh lu d~i nh~n x~t r@ng c uhi~u tuong quan s6 lugng trong th~ gii kh~ch quan durgc di~n t~ ra b~ng nh~ng phong trinh ton hoc c~ it nhibu ph~n gi~ng vii cc phtong trinh din t~ cac turong quan hinh hoc, c~c nh~ to~n hoc mbi bit rt kinh nghi¢m r~i d~ len th~nh cdi ly luin ve « Khong gian n chi~u ». Di~n n~y c~ng c~ th~ vi phRn no bi cong vi¢c c~a ngu~i kf st, sau mt qu trinh nghi~ft ciru cdc quy lit c~a thin nhi~n, mbi de rt kinl nghim, suy nghi nghi~n crn ch~ ra mt chi my d ning cao hi~u sut lao dong. Vi cc « Khong gian n chi~u » c~ mot vai tr quan trong nhu tren d~ nbi, n~n cc nh~ to&n hoc khong dirng lai d6. Trong to~n hoc ngu~i ta d~ thy xu~t hi&n khong gian vo s~ chi~u. Dc gi~ c~ th~ c6 mot kh~i nim ve khong gian vo s~ chi~ nhu sau: Ta d~u bi~t ring mt cp s~ nhn: a, aq, aq, ....., aq", ..... vi[qI < 1 thi hoi tu v~ cd tong bing ,". Nuoe -q lai, ta c6 th~ di@n t~ mt s dnng-"vdi[qI < 1 -q th~nh t~ng ca mot c~p s~ nh~n hi tu. Tr~n co s& db, ta cd th~ vi~t du@c nhiu h~m s6 dudi dang nhug c~p s6. Vi du vii[x] < I thi cc hhm s6 sau dyed th~ di8n ra th~nh cp s6: -=l l +x Ix4 r" 4......, +yl....s., ..,..·· 1--x __' 1-x4x'--x°4.....+(--1)°xw+....+.... 1-+-x ' 1 =l4y?Ix-Ax"+.....-, gMn 4-.....+..... 1--x 1 =Ix4-x'--y"4-....4(--1)ya4....+..., 14-x° Mi cip s~ nhu v#y du@c x~c dinh b&i c~c h¢ s~ ca clc l~y th~ra c~a x. T db ngu~i ta n~y ra cii y xem m~i ham s~ l~ mot « di~m » v~ cc he s c~a c~e Iv thira w c~a x trong cp s di@n t~ h~m s~ dd lh cc « toa d¢ ca « di~m » d~. 40 Vi ta c vo s6 he s6 n~n ta eb mt khong gian vo s6 ehibu. B6n ham s6 n~u ra lam thi d ~tren l b6n «di~m » theo th t co toa do l~: (1, 1, 1, 1,...........1, 1,....·........) (I,--I, 1,-1, ...........1,-1.............) (1, 0, 1, 0, 1, 1,0, 1, .) (1,0, -1,0, 1,0, --1,....,1,0, --1,0, 1,0,--1,....) Cc khoug gian vo s~ chi~u dugc ding nhi~u trong mon giii tich ham. Nh& corg cu db m~ mon giai tich hin dai dat duroc nhieu th~nh turu m~ b~ng chc phuong ph~p c~ di~n kh6 lag ho&c khong th~ dat duqe. Sur ph~t tri~n c~a khi ni¢m « hong gian nhi~u chi~u » di doi vii su ph~t tri~n c~a phuong ph~p tie~n d~(1) d~n t~i nhng khong gian rt tr~u tugng v~ khi~n cho hinh hoc c~ng ngy chug xm nh~p v~o cc b mon khoa hoc khie (khong chi ri.g ton hoc), phuc vu cho chc khoa hoc nay nhu l mot phuong phAp nghien cu cb nhi~u hin le. Viet ong ngiy 15.8-1963 (1) Xem « Phuong pl~p ti~n d~ l~ gl?» c~a cbng t~c gi Nhi xu't ban Gi~o duc -- 1962). MC LUC Lbi ndi ddu: Tang $ 1. So luge v~ htnh hoc gt~i tich 3 5 2. Khong gian the td v~ khong gian to~n hoc 9 $ 3. Mt vAl st kl~n trong kh~ng gian O-cllt b~n chi~u. 18 4. Ba mo hlnh c~a khong gian Rioman Ia chi~a. 28 · 4 $ 5. Khong-th~i gian b6n chi~u c~a thuy~t tuong di. 33 5 6. K~t luan. 39 - [email protected] - Ia 1.100 cun ti Li~n ruing ia CTHD Di2a.b3ng -- Hi-ti K5 13 3¢ T9. 85 X8 64/TK. 36 10. Xag nay 10-12-63 Np lu chi&u thin 12 nl 1963 ----------- s4CH Mo1 -- DUNG D~ THI NIU TH~ Ni0? - VjN TI~ IIOC PH THONG - DINH LY HiNH HOC Vi Cic PHUONG PHP CH~NG MINH -- CONG TAC KI~M TIRA KI~N TH~C CHO HOC SIII TONG CC Gt~ TO.i d TU~NG UNG IHOC -- NiG CAO IIU Qt~ Gt~NG DAY TO~N HOC - GP oC SIN LT ; GI~I -- PHUONG PHiP DAY TOAN ~ TOiN « ciP 1 - L THUT PHUONG TRINI DA1 S~ Gid. 0d18