🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1: Đại số tuyến tính Ebooks Nhóm Zalo Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN B Ộ M Ô N T O A N C ơ B A N HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP T O Á N C Ạ O C Ấ P CHO CÁC NHÀ KINH TÊ (Phần i: Đại sô tuyên tính) NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN LỜI NÓI ĐẤU Tiếp theo cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế*, do Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên soạn cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”. Mục đích cùa cuốn sách nhảm giúp cho sinh viên có thể tự bọc tốt môn học, hoặc dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào Sau đại học. Kết CẨU cuốn sách gổm hại phẩn chính tương úng vói nội dung của giáo trình lý thuyết v& cuốn bài tập. Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu. Hướng dán phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và đáp số hoặc gợi ý để các bạn tự rèn luyện. Hy vọng cuốn sách sẽ giúp các bạn tự học và ôn tạp tót môn học 'Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”. Lần đẩu biẽn soạn, cuốn sách khổng tránh k h a thiếu sót, rát mong nhân được sự góp ý của bạn dọc và đổng nghiệp aể lẩn xuỉt bản sau được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân. ĐT/Fax: (04) 6283007. Email: [email protected] Xin chân thành cảm ơn! Trường Bộ môn Toán Ca bản, ĐH KTQD. NGUYỄN HUY HOÀNG Phấn 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tái bản lần thứ 3 (C ó sửa chữa bổ sung) C h u ơ n g 1 K H Ô N G GIAN VECTƠ §1. H ệ phương trình tuyến tính tổng quát A. Tóm tá t lý thuyết và các ví dụ m ẫu Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn: a„x, + al2x2 + — + aInx„ = b, a 2lx, + au x 2 + - + a2nxn = b2 a„,x, + am2x2 + - + a „ x , = bm Hệ tam giác: an x, + a,jX2 + — + alnx„ = b, a22x2 + + a2nxD = bj annxo = bn ơđó, * 0 và ajj = 0 với i> j. Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất. Cách giải: Từ phương trình cuối cùng giải được ẩn x„, thay ngược lên các phương trình ưên tìm các ẩn còn lại, nghiệm của hệ phưcmg trình là duy nhất. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: |2 x ,+ x j- X, =5 X j + 3 X j = 7 5x, =2 Giải. Lần luợt tìm giấ tĩị của ẩn x ,,x 2,x,. Hẹ phuơng trình đă cho có nghiẹm duy nhít: Hệ Müh thang: aMx, + a,jX2 + - + a ^ x , + - + alax„ = b, a H x 2 + - + a 2« x . + + a 2 . \ , = + a^x, b. ở đó, ai 5tO,Vi = l,2,...,m ;m j. Cách giải: + Chọn là các ẩn chính (sổ ẩn chíoh báng sổ phnơng trình); là ẩn tự do. + Chuyển các ẩn tự do sang VẾ phải và gán cho chiỉog nhũng giá a ị tnỳ ý: x»*l ~ a B»l> xm»2 - x« - CT| Khi dó, la thu đuợc hẹ mới có dạng tam giác với các ẩn chinh, giải hệ này ta đuợc: vạy ta cố nghiệm cùa hệ phương trình dã cho có dạng: (O p « i..... Vì các giá trị m ì ta gán cho các ẩn tự do là tuỳ ỷ nên bệ hình thang có vở số nghiệm . Ví dụ 2: Giải hệ phuơng trình: 2x, + 3 x 2 - X, + x 4 = 5 Xj - X, -2x„ = -2 2 x , - X, = 3 Giải: Chọn x,,x2,x, là các ẩn chính; x4 là ẩn cự do, x4 * a, a e R. Hệ phutmg trình ds cho tương dưong: Ì2 x , + 3 x j ’ - X, = 5 - a Kj - X , = - 2 + 2 a X, = 3 + a = -8 a + 8 X, = - 8 ( a - l) Xj = ị ( a + 3) + 2 a - 2 o ■ x2 = ị ( 5 a - l ) * j = ỉ ( a + 3) [x, = i ( a + !) Nghiệm tổng quát: ( ^ ( a - l ^ ị ^ a - l ^ ^ a + l),«*). Phương pháp khử ẩn liỀn tiếp Các phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính: • Đổi chỗ hai phuơng trình trong hệ cho nhau; • Nhan hai vế của một phuong trình ưong hẹ với một số khác khổng; • Cộng v&o hai vế của một phuơng trinh hai vé tương úng của một phương trinh khỉc sau khi dã nhãn với một số. Bây giờ chung tôi Ún giới thiệu phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss dể giải hệ phuơng trình tuyến tính tổng quát Nội đủng: Chuyển hộ phương trình tuyến tính tổng quát vổ hệ tam giác hoặc hệ hình thang, bằng các phép biến dổi tuơng dương dối với hệ phutmg trình tuyến tính. Chú ý: Để giải hệ phương trình tuyến tính ta thường biên đổi ữên ma trận mờ rộng tương ứng của hệ phương ưình đó. Cách giải: Tương ứng với hệ phương ưình tuyến tính tổng quát ta có ma trận mờ rông và khổng mất tính tổng quát giả sử a,, * 0. Bước 1: Khử ẩn X, bàng cách lấy dòng một nhân với và cộng ®II vào dòng i, i = 2,3,...,m. a!2 ■•• »1. b ,' '»II _ ■ a,n A = *22 ••• a2„ b2->0 »'» • a'í„ t>; *aml a»2 • • a^, oa«i Bước 2: Khử ẩn Xj (giả sử a'^ * 0) bằng cách lấy dòng hai nhân với â* - — rồi công vào dòng i, i = 3,4,...,m. »á Cứ tiếp tục quá trình ưên ta đưa được hê phương ưìiih đã cho vé hệ tam giác hoặc hẹ hình thang. Trong quá trình sừ dụng các phép biến đổi tưong đương nếu thấy trong hẹ phương trình xuất hiện phương trình dạng: • 0x, + 0x2 +... + 0xn = b * 0 thì kết luận hẹ phương trình đã cho vô nghiệm; • 0x, + Ox, +... + 0xn = 0 thì có thể bỏ phưcmg trình này. Ví dụ 3: Giải hệ phuơng trình: X + 2 y - 3z = 1 2 x - 3 y + z = 2 3 x - y - 2 z = 4 '1. 2 3 r '\ 2 -3 f '1 2 -3 r 2 -3 1 2 -¥ 0 -7 7 0 -> 0 -7 7 0 ,3 -1 - 2 4J ,0 -7 7 K ,0 0 0 K Hệ phương trình ưẻn tương đương với hệ phương trình: X + 2y - 3z = 1 - l y + 72 = 0 Oz = 1 Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vi dụ 4\ Giải hệ phương trình: IX + y + z = 6 2x + y - z = 1 3x - y + 2 = 4 Giải: ' 1 1 1 6 ' ' 1 1 1 6 ^ ' 1 1 1 6 ' 2 1 - 1 1 —> 0 1 1ũ» 1-» 0 -1 - 1 -11 ,3 - ! 1 4 0 - 4 - 2 -14 0 0 10 30 Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau: x + y + z = 6 X = 1 - y - 3z = -1 1 o • y = 2 10z = 3 0 [z = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhát (1,2,3). Vi dụ 5: Giải hệ phương trình: -4x, - Xj + lOx, - 5x, = 0 X, + 2x, - 2x, + X, = 0 - 2 x , + 3X j + 7 x , - 2 x 4 = 0 Giải: '-4 -1 10 -5 ' ' 1 2 -2 1 ' 1 2 -2 1 —►-4 -1 10 -5 ,-2 3 7 -2, ,-2 3 7 -2 , 1 2 -2 1 " 1 2 -2 1 1 -♦ 0 7 2 -1 —* 0 7 2 -1 .0 7 3 0 , ,0 0 I ' Hẹ phuong trình đ a cho tuong đương với hệ phương trình sau: X, + 2X j - 2Xj + X, = 0 7 X j + 2 x , - * 4 = 0 Xj + x4 = 0 Chọn x ,,x,,x, làcácẩncMnh; x.làấntựdo.gánchox,, =a, VaeR. Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau: ix , + X , - 2 k , = - a X, = - a - 2a - - ậ a X, « - f a 7 x , + 2 x , = a O ' K2 = | a <=> *2 *= - f a [ *» ậ -« X, = - a * - a ( 27 3 ^ Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình là. I - — 0 , - 0 , - a , a l , o e E . Chú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thuán nhất cỗ sỗ phuong trình ít hơn sổ ẩn đểu có vô stf nghiệm (có nghiệm không tầm tliuùDg). B. BỒI tập IểĐỂb&l Giải các bệ pbuơng trình tuyến tính sau bằng phương pháp kbử ẩn liên úếp Gaus«: 2x+ 3 y * 5 3 x - y — 9 * +2y=4 X - 2 v * 3 2 x - y = 1 3 x -3 y =5 8x - y =10 X + y + z =6 1 0 * -9 * =19 4. 2 x + y -z = 1 3. II 1 9 00J x - y + z =4 X -6 y + 8 z = 0 * + 2 y -3 z = 1 5. 3 x -4 y + 5 z =18 6. 2 * -3 y + z =2 2 * + 4 y -3 z =26 3 x - y -2 z =4 2 x -3 y + 2z = 1 X -2 y + 3z =0 7. J x - 5 y - 4 z =2 8. 2 x + 3 y -3 z =0 3 x -4 y + 1 0 z =1 4 x -3 y + 5z =0 9. 2x+ y -3 * =0 3x+2y+ z = 0 4x + 3y+5z = 0 10. X - y - z = -2 2x +3y + 2z = 1 3x - 5 y - 4 z = -8 -2x + 2y + 3z = 4 l l ể 13. X + y + z = 3 X, +X, = 4 X +2y+3z « 212.2x3 + X, = 1 i 2x+ 3y+ 2z = 0 3 x ,+ x ' =22 3x+ y +2z =4 4x, + X, =29 x ,+ k , + x, = 6 x,+x,-x,+x. =-2 X, + x4 + X| =814.X,-X ,-X, J-X, = 0 x , + x ,+ x 4 =9 X,+Xj+X,-X4 = 2 x4 + x, +Kj =7 X, -Xj +x, -X, = 4 15. X, - 2x, + 3xj - X, =2 2x, + X, - X, +3x4 » 1 4x, - 3 *j + SXj + x 4 =3 16. X, - 4 x ¡ + 6 x , - 4 Xj = - 1 0 -2x,+3x, - 4 x, + 5x 4 = 7 3x, + 2 X j - 5 \ , - 3 Xj = 7 17. 19. X, - 2 x 2 + 3 X j - 4 x 4 = 1 2 x , - 3 x , + 4 x , - x 4 = 2 3 x , - 5 x 2 + 7 x , - 5 x 4 = 3 4 x ,- 6 x 2 + 8 x ,- 2 x 4 =4 X, +3x2 -3 x , - 2x< = 0 X, - 3 X j + 2 X j - 3 x 4 = 0 2x, +3x2 - Xj - 5x4 = 0 4 x , - 3 x 2 - 2 x 3 - 1 0 x 4 = 0 18. 20. X, + 2 x 2 + 3 x , + 4 x4 = 0 2x, +3Xj +4x3 + x4 =0 3x, + 4 X j + X , + 2 x 4 = 0 4 x , + Xj + 2 x j + 3 x 4 = 0 X, - Xj + 2x, -3 x 4 =0 2x, - 3 x j - X, + x 4 = 0 - X , + 2 x 2 + 3 x , - 4 x 4 = 0 3x, - 4 x 2 + X, - 2 x „ = 0 II. Đáp số I. (x = -2, y = 3). 2. Vô nghiộm. 3. (x = 1, y = -2, z = -1). 4. (x = 1, y = 2, z = 3). 5. (x = 8, y = 4, X = 2). 6. Vô nghiệm. 7. (x = -2 2 cc-l, y = - 1 4 a - l , z = a ). 8. (x = 0, y = 0, z = 0). 9. (x = 7 a , y = - l l a , z = a ) . 10. (x = - l , y = l, z = 0). I I . Vô nghiệm. 12. (x, =1, x2 =3, Xj =5, x4 =7). 13. (x, = 1, Xj = 2, Xj = 3, x4 = 4). 14. (x, =1, x2 =-1, X, =2 + a, x4 = a). 15. Vô nghiệm. 16. (x, =2a, x2 = a +1, X, = a -1, x4 = a ). 17. (x, = l + a - 1 0 p , Xj = 2 a - 7 p , X, = a , x4 = (3). 18. (x, =Xj = x , = x 4 =0). 19.(x, =13a, x2 =0, X, = a , x4 =5a). 20. (x, = - 7 a + ìop, Xj = -5 a + 7ị3, X, = a , x4 =p). A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mãu Định nghĩa: + Phép cộng hai véc tơ cùng chiểu: X = (x „ x 2,...,x„); Y = (y „y 2.....y„). => X + Y = (x, + y„Xj + y2,...,x„ + y„ ). + Phép nhân một số với véc tơ: X = (x ,,x ,.....x„), a € R. s a x = (ax,,axj.... ax„). + Véc tơ không: 0. = (0,0,—,0) n + Véc tơ đối: Cho véc tơ X = (x ,,x 2,...,x„), ta có -X = (-x l,- x J,...,-x„). là véc tơ đối của véc tơ X. Tính chát: Với X, Y, z e R’ ; a , p 6 R, ta có các tính chất sau: * X + Y = Y + X; * (X + Y) + Z = X + (Y + Z); « X + 0„=X; . X + (-X ) = 0„; * 1.x =X; * a(X + Y )-a X + a Y ; * (a + 0)X = aX + ßY; * (a ß )x = a (p x ) = ß (ax). Ví dụ 1 : Xác dịnh véc tơ X biết a. X = 2X, -X ,; b. 3X - 2X, + Xj = Oj. Giải: -x--BA-ĩ) v ty; X . 2 X . - X , w-i) b. 3X - 2X, + X, = 0 o 3X =2X, - X j Khống gian con Đính nghĩa: Một tập hợp khổng rống L c RỆ duợc gọi là không gian con của khống gian R° nếu nó thoả mãn: i. L đóng kín đối với phép cộng các véc tơ (V X,Y eL thì X + Y eL); ii.L dóng kúi đổi với phép nhân véc tơ với sđ (V X eL ,V o eE thì aX € L). Ví dụ 2: Chứng minh rằng: L, = {X = (xÉ,Xj):Xj =oỊ !à khôog gian con cùa khổng gian R 2. Giải: Hiển nhiên L, * 0 vỉ 0j e L,. Ltfy X=(x,,Jtj),Y=(y„yj) bất kì 6 L, nen 3«j= (\y,= 0i> xi+ yi= 0 =>X +Y =(x, + y ,,X j+ y ,)e L l. Mặt khác, V X = (x„xI) c L „ a e E =>€LX=(otx1)axJ)e L | vì 0tXj =0. Vậy theo định nghĩa L, là khổng gian con của kbổng gian RJ. Ví dụ 3: Tập véc ta sau dây có phải là không gian con của khổng gian véc tơ R 3 khổng? L = | x = ( x 1, X j , X j ) e R ’ : X, + X j + x , = l | c R 5 Oiải: Hiển nhiên L * 0 vì X = (l,0 ,0 )e L . Lấy X = (x ,,x „ x 3),Y = (y,,y2,y5) b ắ tk ìc L tức là: x ,+ x ,+ * ,= l, y i+ y j + y} = 1 =>X + Y = (x, + y „ x 2+ y j,x ,+ y ,), ta có: (x1+ y1)+ (x J + yJ)+ (x , + yJ) = (x1+x2 + x ,)+ (y ,+ y J + y ,)= 2 5íl. =»X + Y&L. Vây theo định nghía thì L khổng là khống gian con của không gian R3. B. Bài tập I. Đề bài Xác định véc tơ X từ các phương trình sau: 21. X = 2X, -3X j 22. X = 3X, + 2Xj 23. 2X = 3X, +Xj 24. X = 3X, - 2Xj + 3X, 25. X = 2X, +3Xj -2 X j với X, = (1 ,-2 ),x 2 =(-2,1). với X, = (l,-4 ),X 2 =(-3,6). với X, =(l,2),X j =(-1,4). với X, = (l,0 ,-l), x 2 =( - 2,0,2), X, =(-1,1,0). với X, =(1.3,—1), X, =(-2,0,2), X, =(-2,3,2). 26. 3 X - 2 X ,- X j + 2 X , = 0 n . Đáp số với X, =(-1,1,2), X, =(3,5,7), X, =(2,-1,4). 21. X = (8,-7). 22. X = (-3,0). 23. x = (l,5). 24. x = (4,3,-7). 25. x = (0,0,0). 26. x = (-1,3,1) A. Tóm tát lý thuyết và các vt dụ mẫu Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Véc tơ X e R" được gọi là biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ n chiểu XI,X 2,...,X1I1 nếu nó biểu diễn duới dạng: x = a ,x , +a,Xí +...+a„X„. ờ d ó a , , a 2, . . . , a 111 6 R . Vi dụ 1: Tìm X để véc tơ X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại. x = ( 2 , - u ) , X, =(4,3,2), X2 = (-1 ,-2 ,-3 ). Giải: Giảsửtồntại k,,kj sao cho: X = k,X |+ k2X2. Để X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ c% lại thì hệ phuơng trình: 4k, - k, = 2 • 3k, - 2kj = -1 2k, - 3kj = X phải có nghiệm. Ma trận mở rộng tương ứng là: 4 - 1 2 ' '4 -1 2 ' '4 - 1 2 ' 3 - 2 -1 - > 0_ 5 452- » 054s2 , 2 -3 52X - l J , 0 0 X + 4 Hệ phương ttình tương đương với hệ phương trình ữên là: 4k, - k3 = 2 - 4 k = - ị 4 2 2 0k2 = X + 4 Hệ phuơng ttình chi có ngtịiệtn khí-1 diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại thì ỉ«í=>A- Tổng quáL Để giải bài toán như trẾn la xét hê phương irình có ma trận hệ só với các CỘI là tọa độ cấc véc tơ còn lại và CỘI he số tụ do là tọa độ cùa véc tơ X. Nếu hệ phucmg trình này có nghiíím 'thì X biểu dién luyến tính qua các véc lơ còn lại, ngược lại thì không. Ví du 2: Tim X dể X biểu dién tuyén tính qua các véc tơ còn lại. X = (X>2,5),X ,=(3,2,6), x 2 =(7,3,8), X, =(5,1,3). Giải: Xét hệ phưcmg trình có ma trận hệ số mở rộng sau: '3 7 5 X' '2 3 1 2 ' '2 3 1 2 ' 2 3 1 2 6 8 3 5 -* 0 - 1 0 -1 6 * 3 5 , 3 7 s \ © 1 '2 3 1 2 ' '2 3 1 2 ' -» 0 -1 0 -1 —►0 -1 0 -1 ,0 5 7 2 X -6 0\0 7 2A.-11, Hệ phương trình luôn c ó nghiệm với mọi giá lộ c ủ a X. Vậy VỚI mọi X thì X đéu biếu diẻn tuyến tính qua các véc tơ còn lạt Sạ phụ thuộc tuyến tính và đỏc lập tuyên tímh của n ội hệ véc tơ Cho một hệ góm m véc tơ n chiéu: X „X 2,...,XỄ (1) Xét hệ thức: k,x, +lc,X,+... + kmXm=0, (2) Nếu hệ thức (2) viết dưới dạng thinh phin, theo đinh nghĩa hai véc tơ bảng nhau ta được hệ gổm n phưcmg trìnb tuyến tính thnín nhái với mẩn k)1k2,...,kj-. Nếu hệ phuong trình tuyín tính chuín nhất có vữ số nghiệm (tức có nghiệm không tầm thuờng) thì hí: véc tơ phụ thuộc tuyến tính, còn nếu hệ phương trình chì có nghiệm duy áhẳt là lám thường thì hệ véc tơ độc lập tuyến tínk Vi dụ 3: Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc tơ sau: X ,= (l,-!,0 ), X2 = (-2,1,-1), X, =(-3,2,-1). Giải: Xét hệ thức: k,x, + k,Xj + lc,x, = 0, Hệ phương trình tuơng úng là: (k, - 2 k 2-3 k , =0 -k , + k3 +2kj =0 -k j - kj =0 ' 1 - 2 - 3 > 'ỉ - 2 - 3 ' -2 -3 ' - 1 1 2 -» 0 -1 -1 —> 0 1 1 © 1 1 0 1 10 0 0 , Hệ phương trình tương dương: Jk 1- 2 k ,- 3 k , =0 ị - k , - k , =0 Hệ hình thang có vô sô' nghiệm. Vậy hệ véc tơ đã cho phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Để giải bài toán xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ véc tơ, ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ sổ với các cột tương ứng là các véc tơ này viết theo dạng cột. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trỄn ma trân này, nếu ma trân cuối cùng có dạng hình thang thì hẹ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, nếu có dạng tam giác thì hẹ véc tơ độc lập tuyến tính. Vi dụ 4: Xét sự độc lạp tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc tơ sau: X, = ( - 1,1, 2) ’ X2 = ( - 2,1 - 1), X, = (3, - 1,1). Giải: Xét hê thức; k,x, + k ,x , + k ,x , = 0,. Ma ưận hệ số tương ứng: '~ \ -2 3 ' -1 -2 3 ' '-1 -2 3' 1 1 -1 —► 0-12 -» 0 - 1 2 T 'S (N o «n 1 1 -> o o Ma ưận cuổi có dạng tam giác nên hệ véc tơ trẽn độc lập luyến tính. Chú ý: Trên dây mới chi là phương pháp giải bài toán theo định nghĩa, ờ các phán sau ta có thể xét bài toán này theo phuơng pháp hạng cùa hệ véc tơ thõng qua hạng của ma trận hay phương pháp dịnh thức (nếu số véc tơ bằng số chiều cùa véc tơ). Vi dụ 5: Tun X. để hộ véc tơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: X, = (l,-2 ,- l), X, =(-1,1,2), X, =(2,-3,*.). Giải: ' \ -1 2 ' '\ -1 2 ' 1 - 1 2 ' -2 1 -3 —► 0 -1 1 -» 0 -1 1 - \ 2 X, ,0 > X + 2 0 0 X + 3 Nếu X + 3 = 0 o X = -3 thì ma trận dạng hình thang, do đó hệ véc ta ưén là phụ thuộc tuyến tính. Nếu X + 3 * 0 <=> X * -3 thì ma trận có dạng tam giác nên hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Ví dụ 6: Chứng minh rẳng hệ véc tơ Xp X ,, Xj phụ thuộc tuyến tính mà Xj không thể biểu diễn tuyến tính qua X ,,X ; thì các véc tơ X,, x : tỳ lẹ với nhau. Giải. Do X ,,X ,,X 3 phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại kr k ,,k j không đổng thời bằng không sao cho: k,x, + k2X2 + k,X3 = 0 (*) Mặt khác, ta có kj = 0, vì nếu k, * 0 thì từ (*) ta có : Nghĩa là, X, biểu diễn tuyên tính qua X,, X2 mâu thuản với già thiếl, suy ra k,x, + k ,x , =0 với k,,k, không đổng thời bằng lchồng, » k không mất tính tổng quát già sử k, * 0=> X, = - — X,. *1 B. Bài tập I. Đề bài Tun sổ X để véc tơ X biểu diẻn tuyến tính qua các véc tơ còn lại: 27. X = (2,-1,X), X, =(4,3,2), X, = (-1,-1,-3). 28. x = (1,2,3), X, =(-!,2,X ), X, =(3,-2,-3). 29. X = (1,3,5), X, =(3,2,5), X, =(2,4,7), x ,= (5 ,6 ,x ). 30. x = (2,5,x), X, =(3,2,6), x ,= (7,3,9), X, =(5,1,3). Các hệ véc tơ sau là dộc lập tuyến tính hay là [¿ụ thuộc tuyến tính: fx , = (2 .-1 .3 ) 1X, = (1.-2.3) x ' = ( - 4 , 2 , - 6 ) x 2 = (3 -2 ,1 ) X, = (1,-1, 0) X, = ( -1 ,1 ,-2 ) X , = (-2 ,1 ,-1 ) 34. X , = (-2 ,1 ,-1 ) X, = (-3 ,2 ,-1 ) X, = (3,-1,1) X, = (1 ,2 ,3 ,4 ) X, - ( 1 ,- 1 ,1 ,- 1 ) x j = (2,3,4,1) 36. x 2 = (2,1,0,-1) X, = (3.4.1,2) X, = ( 3 ,- 6 ,5 ,- 4 ) X, = (1,2,3,4) X, = (1,1,1,1) X , = (2,3,4,1) X , = (1 ,-1 ,-1 ,1 ) X , = (3,4,1,2) X , = (1 ,-1 ,1 ,-1 ) x 4 = (4,1,2.3) x ’ = (1,1, - 1, - 1) Biện luận theo X »ụ độc lạp tuyên tính, phụ thuồc la yên tinh cùa hệ véctơ sau: X, = (1.-2.-1) 41. | x 2 =(-1,1,2) X, = (2,-3, x) X, = (2 ,-3 ,-2 ,3 ) 42. X, = (-3,2,1, -2) X, = (1,-4 ,-3,X) 43. Chứng minh rằng nếu hệ véc tơ độc lập tuyén tính còn hệ véc tơ {X|t X,,...,Xk,X} với l < k í m phụ ihuộc tuyến tính thì véc tơ X là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ II. Đáp số 27. X = -24. 28. x = 3. 29. X *12. 3 0 . Khỏng tổn tại X. 31. Phụ thuộc. 32. Độc lập. 33. Phụ thuộc. 34. Độc lập. 35. Độc lập. 36. Phụ thuộc. 37. Độc lập. 38. Độc lập. 39. Phụ thuộc tuyến tính với X = -6. 40. Phụ thuộc tuyến tính với X = 4. 41. Phụ thuộc tuyến tính với X = -3. 42. Phụ thuộc tuyến tính VỚI X = 4. §4. C ơ sờ của không gian véc tơ A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẩu Cơ sờ của một không gian véc tơ, toạ độ của véc tơ trong một cơ sờ + Hệ gôm n véc tơ n chiếu, độc lập tuyến tính đuợc gọi là cơ sỡ cùa thống gian R \ + Nếu PpP,,...,?,, là một C Dẻ thấy hệ cố nghiệm là k, = k, = k, = k4 = 0. Suy ra hê bđn véc tơ p, =(0,1,3,4),P2 =(1,0,2,3), p, = (-3 ,-2 ,0 ,-5 ),P4 =(4,3,-5,0) độc lập tuyến tính. Do dó nó là cơ sở cùa khồng gian R‘. * Toạ độ cùa véc tơ X trong cơ sờ p,, P2> p,, p, là hẹ thđng bốn sổ thực thoả mãn hộ phương trình: a , - 3a, + a 4 = -5 a, - 2a, + a 4 = -4 3a, + 2 a; + a , = 12 4a, + 3(Xj - 5a, = 5 Giải hệ bầng phương pháp khử ân liên tiếp: 'o 1 - 3 4 - 5 ' '1 0 - 2 3 - 4 ’ '1 0 - 2 3 - 4 ' 1 0 - 2 3 - 4 0 1 - 3 4 -5 0 1 - 3 4 -5 —» —> 3 2 0 - 5 12 3 2 0 - 5 12 0 2 6 - 1 4 2 4 4 3 - 5 0 5 .4 3 - 5 0 5 , ^ 0 3 3 - 1 2 21> '\ 0 3 - 4 ' 0 - 2 3 - 4 ' 0 1 - 3 4 - 5- >0 1 - 3 4 - 5 0 0 12 - 2 2 3 4 0 0 12 - 2 2 3 4 0 12 - 2 4 3 6 ; 0 0 - 2 2/ Từ ma trận cuối này ta dẽ thấy hộ phương ưình đã cho có nghiệm duy nhất là (a, = 1, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = -1). Vậy toạ độ của véc tơ X trong cơ sờ p,, P,, p,, P4 ớ ư ê n là (1,2,1,-1). Cơ sở của không gian con Định nghĩa: Một hẹ véc tơ PpP,,...,Pr cùa không gian con L duợc gọi là cơ sờ của nó nếu nó thoà mãn hai điều kiện sau: i. p,,p,,...,p độc lập tuyến tính; ii. Mọi véc tơ X e L đểu biểu diễn tuyến tính qua hệ véc to p p p I * 2ĩ ’ Ẻ"**T' Chú ý: Với mỏi không gian con L, nó có thể có nhiều cơ sờ khác nhau, luy nhiên số véc tơ ưong mỗi cơ sở đều bằng nhau. Trên cơ sớ đó chúng ta có định nghĩa sau. Định nghĩa: Số véc tơ ưong một cơ sờ của không gian con được gọi là số chiều của không gian con dó. Ví dụ 3: Các tập véc tơ sau dây có phải là không gian con của khổng gian véc tơ tương ứng hay không? Nếu đúng hãy tìm một cơ sò cùa khòng gian con đó. a. L| = Ị x = ( x,,Xj ) : x2 = o c R 2; b. Lj =ỊX = ( X | , x 2>x 3) : x 2 = 2 xp x 3 = 3 x i c R ỉ . Giải: a. Dỉ dàng chứng minh được L, là không gian con cùa không gian R- theo định nghĩa ưong §]. Bây giờ ta tìm một co sờ cùa không gian con này. Xét véc tơ X = (x,,xj )e L, bát kì. Khi đó, X = (xl,xj) = (x,,0) = x,(l,0) Vx, € R , nghĩa là véc tơ X = (x ,,)tj)eL, bất kì luôn biểu diẻn tuyến tính quí véc lơ p = (1,0). Mặt khác, hệ chì gổm một véc tơ p = (lắ0) luổn Hộc lập tuyến tính. Vậy cơ sở cùa khững gian L, là Ịp = (l,0 )j. b. Lj là khổng gian con xin dàr.h cho bạn đọc tự chứng minh. Bây giờ chúng ta tìm một cơ sờ của không gian con đó. Xét véc tơ X=(x,,x,,x,)eL, bất ki. Khi đó, X=(x1,xj,x,)=(x1,2x1,3x,) = x1(l,2,3) Vx, e R, nghĩa là véc tơ X = (x ,,x j,x ,)e Lj bất kì luôn biểu diễn tuyến tính qua véc tơ p = (1,2,3). Mặt khác, hệ chì gổm một véc tơ p = (1.2,3) luôn độc lập tuyến tính. Vậy cơ sờ cùa không gian L, là Ịp = (1,2,3)Ị. B. Bài tộp I. Đế bài Chứng minh tằng các véctơ p,, P,,...,Pề tạo thành cơ sỡ cùa không gian R" và tìm toạ độ của véc tơ X trong cơ sờ đó: 45. p, =(2,-1); ps = 1,-2); x = (4,l). 46. p, =(3,-2); p2 = -4,5); x = (2 ,l). 47. p, =(1,1,0); p2 = 1,0,1); p, =(0,1,1); x = (1,5,2). 48. p, =(1,2,3); p,= -2,1,-1); p, =(-1,3,4); x = (6,-3,l) 49. p, = (1,0,1,1); p2 = 1,1,0,1); Pj =(1,1,1,0); p.= 0,1,1,1); X = (6,9,8,7 ). SO. p, =(1,0,0,1); p2 = 1,2,0,0); p, =(0,1,3,0); p.= 0,0,i,4); X =(4,11,22,29). 51Ể p, =(0,1,3,4); p2 = 1,0,2,3); p, =(-3,-2,0,-5); P, =(4,3,-5,0); X =(-5,-4,12,5). Các tập véc lơ sau đây có phài là khổng gian con cùa khổng gian véc tơ tương ứng hay không? Nếu đúng hãy tìm mộl cơ sò không gian con đó. 52. L, = ịx = (x ,,x ,): Xj = oỊ c R*. 53. Lj = { x = (x ,.x j): Xj =2x,Ị c R2. 54. Lj = {x = (x ,,x 2): X,XJ = 0 } c KJ. 55. L, = { X = (x „x 2): x ,= x * } c R 2. 56. Lj = |x = (xp x2) : X, =ax, + b Ị c R : . 57. L6 = { X = ( x,, x,): x, + x2=1}c R 2. 58. L, = { x = (x ,,x 2,x ,): Xj=aX|,Xj =ax2} c l ĩ 5. 59. L , = { x = ( x , , x j , x , ) : Xj = 2 x , , X, = 3 x , ) c R 5. 60. L, = {x = (x ,,x j.x ,): X, + Xj + X, =0} c RJ. 61. L,0 = Ịx = (x,,xj,x,): X, +Xj +x, = |Ị c K]. 62. L|| = { x = (x ,.x ,,x ,): Xj = XjX,Ị <= R5. 63. L,2 = {x = (x„xj,x,): x,x2x3 =oỊ c R3. n . Đáp số 45ệ X = (3,-2). 46. x = (2,l). 47. x = (2,-1,3). 48. X = (l,-2 ,-l). 49. X =(1,2,3,4). 50. X = (1,3,5,7). 51. X = (1,2,1,-1). 52. Phải, x = (1,0). 53. Phải, X = (1,2). 54. Không 55. Không. 56. b = 0, Phải, X = (l,a); b * 0, Không 57. Không. 58. Phải, x = (l,a,a:). 59. Phải, x = (1,2,3). 60. Phải, {x, =(0,1,-1), Xj =(1,0,-1)}. 61. Không. 62. Không. 63. Không. §5. H ạng cùa m ột hệ véc tơ A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẫu Cho một hệ gổm m véc tơ n chiểu x ,,x ,..... Xm. (1) Định nghĩa: Cơ sờ cùa một hệ véc tơ là một hệ con của nó thoả mãn hai diều kiện sau: 1. Độc lặp tuyến tính; 2. Mọi véc tơ của hệ đã cho biểu diễn tuyến tính qua hệ con đó. Nhận xét: Một hệ véc tơ có thể có nhiỂu cơ sở khác nhau, tuy nhiên sđ véc tơ trong mỗi cơ sờ cùa một hệ véc tơ là bằng nhau. Định nghĩa: Hạng cùa một hệ véc tơ là số véc tơ ữong một cơ sờ cùa hệ véc tơ dó. Một sô' tính chát về hạng của hệ véc tơ Gọi r là hạng của hộ (1), khi đó ta có: • r < m, r < n; (hạng không vuợt quá số véc tơ và sở' chiéu cùa véc tơ) • Mọi hệ con gổm r véc tơ độc lập tuyến tính đểu là cơ sờ của hệ véc tơ đã cho. • Nếu r = m (số véc tơ bằng hạng của hệ véc tơ) thì hệ véc tơ (1) độc lập tuyến tính^i • Nếu r < m (hạng nhò hơn sô' véc tơ) thì hệ véc tơ (1) phụ thuộc tuyến tính. Để tìm hạng của một hệ véc tơ ta có thể làm như sau: Cách 1. Tìm một cơ sò bất kì cùa hộ véc tơ đó, hạng của hệ véc tơ là số véc tơ ưong cơ sờ dó. Cách 2. Tim một hệ con lớn nhất cùa hệ véc tơ dó ma dọc lặp tuyẾn tính, số véc tơ ưong hệ con đó là hạng cùa hệ véc tơ đã cho Các phép biến đổi không làm thaj dổi hạng của một bệ véc tơ Phép biến dổi thèm, bớt véc tơ: Xét hai hệ véc tơ: {X,,XJt...,X ề } (■) {x „ x 2,...,x .,x } (b) Trong đó x = ^ a ,x ,,k h i đó hai hệ (a) và (b) có hạng bảng i-l nhau. Phép biến đổi sơ cáp: 1. Đổi chỗ hai véc tơ trong hệ;. 2. Nhận một véc tơ cùa hệ với một số k * 0; 3. Công vào một véc to cùa hệ tích của một véc tơ khác ữong cùng hệ với một số bất kì. Ví dụ I: Tìm hạng của hệ véc tơ : X, = (2,-3) • = (-4 ,6 ) X, = (-3,4) Giãi: Cách 1. Dễ dàng tháy hệ hai véc tơ X,, X, độc lập tuyến tính do chúng khổng tỷ lệ. Mạt khác, X, = X ,+ 0X „ X, = ox, + X3, X, = -2X, + 0X j. Vậy hệ hai véc tơ X,,X, là cơ sở cùa hệ ba véc tơ X ,,X ,,X j. Vậy hạng của hẽ véc tơ trên băng 2 Cách 2. Ta cũng de dàng thấy rằng hệ 3 véc tơ hai chiéu X ,,X ,,X j là phụ thuộc tuyến tính vì só véc tơ trong hệ lớn hơn sổ' chiểu. Mạt khác, hệ hai véc tơ X,,Xj độc lập tuyến tính do chúng không tỳ lẹ và nó là hệ véc tơ con có SÖ véc tơ Iđn nhất độc lập tuyến tính. Vây hạng của hẹ cùa véc tơ đã cho bầng 2. Ví dụ 2ế. Tìm hạng cùa hệ véc tơ sau: X, = (2,-1,3,1) X, = (4,-2,6,2) X, = (6 -3,9,3) x ’ = (1,1,1,1) Giải: Dễ tháy hê hai véc tơ X,, X ầ độc lập tuyến tính do chúng không tỳ lệ. Mặt khác ta lại có, X| = X, + 0X4, X, = ox, + X4, Xj = 2X, + 0X4, X, =3X, + 0X„. Theo định nghĩa suy ra hệ hai véc tơ X,,X4 là mội cơ sở của hệ véc tơ đã cho. Vây hạng cùa hệ véc tơ XpXj.XjjX,, dã cho bẳng hai. Chú ý: Trong chương này mới chi giới thiệu cách giải bài toán tìm hạng của hệ véc tơ bằng định nghĩa, ờ chương sau chúng ta có thể giải bài toán này dẻ dàng hem thông qua hạng cùa ma ưận. Ví dụ 3: Biện luân theo k hạng cùa hệ véc tơ: fx , = (1,2,-3) X ,= ( 0 ,- l ,- 2 ) [x, = (2,3, k) Giải: Xét hỂ thúc: k,x, + k ,x , + kjX, = 0j. Ma ưận hệ số tương ứng: ' 1 0 2' 1 0 2 ' 1 0 2 ' 2 - 1 3 - > 0 -1 -1 - * 0 -1 -1 -3 -2 k; ,0 -2 k + 6 0 k + 8 Dễ thấy với k * -8 thì hệ ba véc tơ X,,Xj,X, độc lập luyến tính. Với k = -8 thì hộ ba véc tơ X pXị.X, phụ thuộc tuyến tính. Do đó, nếu k * -8 thì X pX j.X , độc lập tuyến tính vă nó là hệ lớn nhất độc lập tuyến tính nên hạng cùa hệ véc tơ dã cho bẳng 3, nếu k = -8 thì X pX j.X , phụ thuộc tuyến tính mà hệ hai véc tơ X,,X2 luôn độc lập tuyến tính với mọi k và dây cũng là hệ véc tơ lớn nhất dộc lạp tuyến tính Dân hạng cùa hệ véc tơ là 2. Kết luận, k * -8 thì r(X „X 2,X ,) = 3; k = -8 thì r(X l,X j,X ,) = 2. Ví dụ 4: Cho 2 hệ véc tơ n chiéu s và S’ có hạng tuơng úng r(s) và r(s'). Chứng minh rẳng néu S c S ' thì r ( s )s r (s '). Giải: Gọi cơ sờ của hộ véc tơ Slà: ỊxỊ,Xj,...,X|„Ị và cơ sỡ cùa hộ véc tơ S' là |x f,X j,...,X p |. Già sù r(S )>r(S ') = > p< m , mặt khác vì S c S ' nên hệ ỊxỊ,X !,,...,XỊnỊ c S ' suy ra mọi véc tơ trong hẹ Ịx Ị,X j,...,X ^ Ị déu biểu diên tuyến tính qua cơ sờ Ịx f,X Ị,...,X 'Ị cùa S', theo định lý về sự phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ |X ¡,X 2,...,X¡n| là phụ thuộc tuyên tính, điểu này mâu thuán với {x|,xj,...,x^ ,} là một cơ sở của hộ véc tơ s, (dpcm). BẾ Bài tập I. Đẻ bài Tìm hạng của các hẹ véc tơ sau và chi ra mốt cơ sỏ cùa nó: X, = (2 ,-3 ) X, = (-1,3,-2) 64Ế X, = (-4,6) X, = (-3,4) X, =(1,2,3,4) ếííí ■X, = (2,3,4,5) ooểX, = (3,4,5,6) X. = (4,5,6,7) X, = (1.-2.3) 68. Xj = (-1,3,2) X, = (2,-3,1) 65. 67. 69. X, = (2,-4,2) X, = (3, -7.4) X, = (1 ,2 ) x2 =(3,4) X, = (5 ,6 ) X, = (2-1,3,1) Xj = (4,-2,6,2) X, = (6,-3,9,3) x ' = (1,1,1,1) Biện luận theo k hạng của các hẹ véc tơ sau: X, = (1,2,-3) [X, = (2,-1,3) 70. X, = (0,-1,-2) 71. X, = (-4,2,-6) X, = (2,3,1c) [x, = (-2,k,-3) 72. Cho 2 hệ véc tơ n chiéu và s và S’ có hạng tương úng r(s) và r(S'). Chứng minh rằng r{S,S'} £r(S ) + r(S'). n. Đáp số 64. r = 2. Các cơ sỡ là {x „ x ,}; { x ,,x ,} . 65. r = 2. Các cơ sở là {X,,Xj} ; {Xj.X,}; { x „ x ,}. 66. r = 2. Các cơ sờ là {X,,X2}; {X2,X,}; {x ,,x ,}. J 67. r = 3. Mọt cơ sờ là {X„X2,XjỊ 68. r = 2. Các cơ sở là bít kỳ hai véctơ nào của hê 69. r = 2. Cáccơsởlà { x „ x 4}; {X2,X„}; { x „ x ,} . 70. k = -8 ,r = 2; k * - 8 ,r = 3. 71. k = l,r = l; k * l,r = 2. 72. Gợi ý: chứng minh tuơng tự nhu ví dụ 4. Chương 2 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC § ỉ. Các khái niệm cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ mẫu Định nghĩa: Ma trận là một bảng số dược xếp có thứ tự theo dòng và cột. Một ma trận có m dòng và n cột đuục gọi là ma trận cấp m X n . a M a !2 ' • a in \ A = a 2l a 22 ■ • ® 2n =KL ^ ữ i í ^ m 2 ®i»n J Ma (rận đ ã : Ma trận đối của ma ưận A là ma trận cùng cấp m ì mỗi phán tử của nó là số đối của phẩn tử tưcmg ứng của ma trâo A. -A = (- a J ' ^/niKn Ma tràn chuyển vị: Ma trận chuyển vị cùa ma trận A cấp m X n là mỏi ma ưận cấp n X m mà các dòng cùa nó là các CỘI tuơng ứng của ma trận A (hoặc ngược lại). Ma trận bằng nhau: Hai ma trận được gọi lì bằng nhau thi và chi khi chúng cùng cấp và các phần tử các VỊ trí tuơng úng cùa chúng đôi một bằng nhau. A - ( Ề< L ,: B = K L fa =b A = B o | _ _ [ i = l , m ; j = l , n Phép cộng ma trẠn và phép nhân ma trận với một số Định nghĩa: Cho hai ma trận cùng cấp A b = KL và a là một số thực bít kì, • Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cùng cáp m X n, dươc kí hiệu và xác định như sau: A + B = (a,J + bs) _ (công các phần tủ tương ứng với nhau') • Tích cùa số thực a với ma trận A là một ma trận cùng cấp m X n, được kí hiệu và xác định nhu sau: a A = ( a ¡ ü ' v'mxn (nhân tất cả các phần tủ của ma trận với số thực a ) Chú ý: Hiệu hai ma ưận A và B được tính nhu sau: A -B = A + (-B) = A + (-l)B Ví dụ 1: Cho hai ma ưận (2 -1 5^ (7 4 -10'| Ho 3 .J^-U « , j Tính A + B, 3A, 2A -3B . Giải: A + B =í2+7 - 1 + 4 5 + H ° ) ì = í 9 3 - 5Ì; (0 + 6 3 + 8 1 + 1 J {6 11 2 y B. Bài tập L ĐỂ bài 1. Thực hiện phép cộng các ma trận và nhân ma trän với một số '\ 2 3' 9 87ĩ ' 1 oo 1 o b. 4 5 6 + 2 5 -5 + 3 -4 5 -6 00Os'V ■3 2 - 1J -2 3 , -1 3 6 ' '\ 0 0' -1 -2 ' c. 6 2 -3 - 0 1 0 + 3 2 0 1 -3 -3 2 , ,0 0 1, \ ' 0 , II. Đáp sỏ (0 o o 4 - 6 16 1 0 0' l ỗ a. : b. 4 10 - 4 0 I 0 lo o o ,4 6 16 §2. Đ ịn h thứ c n n I A. Tóm tat lý thuyết và các ví dụ mầu Hoán vị của n số tự nhiên dầu tiên • Có n! hoán vị của tập hợp Ịl,2 ,...,n }, mỗi hoán vị được biếu diễn dưới dạng trong đó a (i = l,n) là số tự nhiên đứng ờ vị trí thứ i ưong hoán vị ( 1 £ a , < n,Oị * a , nếu i * j ). • Nếu i< j mà 0L,> a1 thì ta nói hai số a ,a tạo thành một cặp nghịch thế. • Hoán vị chẩn là hoán vị có sô' nghịch thế chấn, hoán vị lè là hoán vị có sô' nghịch thế lẻ. Định lý: Nếu từ một hoán VỊ, ta dổi chõ hai số và giữ nguyên vị tri các số còn lại thì tính chẵn - lẻ cùa hoán vị thay đổi. Vi dụ 1: Tìm số nghịch thê cùa hoán vị 1, 3, 5, 2, 4. Giải: Các hoán vị có trong nghịch thế trên là: (3, 2),(5, 2).(5, 4). Vậy hoán vị ưẽn có sô nghịch thê là 3. / a ll a .3 » 2 , “ 22 • • “ 2n , a n. • Lập tích ( - l) h ala a3ai ...a , trong đó a ,,a 2,...,a„ là một hoán vị của n sô' tự nhiên đầu tiên và h là sô' nghịch thế cùa hoán vị dó. Tổng cùa n ! tích trên được gọi là định thức cấp n của ma trận A. Kí hiệu: |a |, detA. Ví dụ 2: Xác định dấu cùa các tích sau a. ana,Ja „ a J,aw; b. a„a:,a33aiJa„; c. a,saMa„aJ3a5l. Giải: a. Xét dấu của tích bằng cách tính số nghịch thế cùa hoán vị theo ch! số cột 1, 3, 5, 2, 4. Theo Ví dụ 2, ta tính được hoán vị này có 3 nghịch thế, vậy dấu cùa tích là dấu (-). b. Tương tự, hoán vị 1, 2,3, 4, 5 có 0 nghịch thế, vậy dấu của tích là dấu (+). c. Hoán vị 5, 4, 3, 2,1 có các nghịch thế ( 5 , 4 ) . ( 5 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , l ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , l ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , l ) , ( 2 , l ) Số nghịch thế là 10, vậy tích mang dấu (+). Quy tấc tính định thức • Định thức cấp 1: A = (a) => det A = |A| = |a| = a. Định thức cấp hai bẵng tích hai phấn lủ trên đường chéo chính trứ di tích hai phẩn lử trên đường chéo phụ. • Định thức cấp3: = ana 22a » + a i2a 23a5l + a i5an a3J -aijajjBji -a ,2a21a„ -a |,a a a,j Quy lắc đường chéo: - Các Ihành phẩn mang dấu (+) gỗm: tích các phán tủ nằm trin đường chéo ehính; tích các phắn tử nằm trẽn các đường song song với đường chéo chính với phán tử nằm ở góc dối diện. - Các thành phẩn mang dấu (-) gốm: tích các phán tứ nám trén đường chéo phụ; tích các phần tủ nẳm trên các đường song song với dường chéo phụ với phẩn tủ nằm ở góc đôĩ diện. Ví dụ 3: A = ( - 3 ) => det A = - 3 = 4 + 10 = 14 1 2 3 3 4 - 1 1 6 -1 1.4.(-l) +1.2.(-l) + 3.6.3-3.4.1 - J .6 .(-l)-2 .3 .(-l) = - 4 - 2 + 54-12 + 6 + 6 = 48. « II »13 • • « I . a Jl a „ • ■ a i . ■ • » 1 . * ềl “ ¡J • • a , • ■ » - * . l a . 2 ■ • a „ • - Phương pháp khai triển: + Phẩn bù cùa aa : «II «II • • «VH aljíl ■ Ổl. «J| aij-i ai.)*i • aJ. ^iễl. j*l ■ »i-u ai*ư ■ *itlH ■ *1*1 «.I ».2 • • aw-. + Phẩn bù dại sổ cùa at : A r ( - f M , + Công thúc khai triển: d = a„All+ajJAàí + ... + a^Ail (cóng thức khai triển theo dòng i) d = alJAlj + aJJAJj + ... + a,,Al, (công thức khai triển theo cột j) Phuơng pháp biên dổi về dạng tam giác: Dùng các tính chất cùa định thức dể biến đổi dinh thức vé dạng tam giác, sau đó áp dụng công thức: a n a 2; d = 0 a, 0 0 - 1 Ví dụ 4: Tính định thúc sau bằng hai phương pháp: 3 5 7 2 1 2 3 4 - 2 - 3 3 2 1 3 5 4 Giải: d = Phương pháp khai triển: Để việc tính toán dơn giản hon, truớc khi áp dụng cõng thức khai triển, ca cứ thể dùng các tính chất của định Ihức để biến đổi định thức: + Nhân dòng 2 với (-3) rổi cộng vào dòng 1; + Nhân dòng 2 với 2 rói cộng vào dòng 3; + Nhân dòng 2 với (-1) rổi cộng vào dòng 4; d = 0 -1 -2 -10 1 2 3 4 0 1 9 10 = ( 0 1 2 0 -2 9 2 -10 10 0 = -(-2 0 - 20 + 90 + 20) = -70. Phương pháp biến đôi về dang tain giác: + Đổi chỗ dòng 1 và dòng 2: d = - I 2 3 4 3 5 7 2 - 2 - 3 3 2 1 3 5 4 + Nhân dòng 1 lần luọt với (-3), 2,(-I) rồi cộng vào dòng 2, 3, 4: 1 2 3 4 d = - 0 -1 - 2 -1 0 0 1 9 10 0 1 2 0 + Cộng lẩn lượi dòng 2 với dòng 3,4: 1 2 3 4 d = - 0 -1 -2 - 1 0 0 0 7 0 0 0 0-10 • Nhân một dòng/cột cùa định thức với một số ct thì định thức mới nhận được báng dinh thức cũ nhan a; • NẾU ta cộng vào một dòng/cột cùa định thức tích cùa một dòng/cột khác với môt sô' a tuỳ ý thì định thức khổng thay đổi; • Nếu ta đổi chỗ hai dòng/cột cùa định thức cho nhau thì định thức dổi dấu; • Nếu hệ véc tơ dòng/cột cùa dinh thức phụ thuộc tuyến tính thì định thức bằng 0. Nhận xét: Từ tính chất CUỐI ta suy ra nếu định thức khác khỗng ihì hệ véctơ dòng/cột cùa nó độc lập tuyến tính. 246 427 327 1014 543 443 -342 721 621 Giải: 246 427 327 246 427 327 -427 246 427 -100 1014 543 443 = 1014 543 443 -543 = 1014 543 -100 -342 721 621 -342 721 621 -721 -342 721 -100 246 427 I 246 427 1 = -100 1014 543 1 = -100 1014-246 543 - 427 0 -342 721 1 -342-246 721-427 0 768 116 = -100.294 "4ON00 s . -588 294 -2 1 1 = -29400(768 + 232) = -29400000. Ví dụ 6: Chúng minh dinh thức 2 0 9 3 4 7 1 3 3 chia hết cho 19, biết rằng 209,347,133 chia hết cho 19. Giải: Ta nhan 100 vào cột 1,10 vào cột 2 rổi cộng vào cột 3 2 0 200 + 9 2 0 209 3 4 300 + 40 + 7 = 3 4 347 1 3 100 + 30 + 3 1 3 133 Trong định thức sau khi biỂh đổi có cột 3 gồm các phần tử đểu chia hết cho 19 (theo giả thiết), đo đó định thức chĩa hết cho 19. D = Giải: Nếu X = 0 => D = 0. Giả sử X * 0, nhân dòng 1 và cột 1 với X được: 1 1 X X X X X X X X X X X X o X X 0 Cộng các cột 2,3,....n vào cột đẩu tiên ta được: 1 3 XX X ẽ X X 1 X X . . X X (n -l)x 0 X X X 1 0 X ể . X X 1 (n - l)x X 0 . X X n -1 1 X 0 . X X X2 X (n -l)x X X . 0 X 1 X X ẳ . 0 X (n - l)x X X X 0 1 X X . X 0 1 0 0 . 0 0 1 - X 0 . . 0 0 n - 1 1 0 - X . . 0 0 D = - X 1 0 0 . . - X 0 1 0 0 . . 0 - X Bế Bài tập I. Đề bài 2. Tim số nghịch thế trong các hoán vị sau a. 2,1, 3 , 5 , 4 ; b. 5, 2 , 3, 4 , 1, ớ, c. 9, 1, 8, 2, 7. 3, 6, 4, 5; d. 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1; e . 1, 3 , 5 , . . . , 2 n - l , 2 , 4 , 6 , . . . , 2 u ; f. 2, 4, 6,...,2n, 1, 3, 5.... . 2 n -I. 3. Trong các hoín vị của n sổ tụ nhiên đẩu tiâo a. Hoán vị nào có sđ nghịch thế nbò nhã. Tĩnh sớ đó, b . H o á n v ị n à o c ó s đ n g b ị c b r t h ế l ớ n n h ỉ t . T ĩ n h s d đ ó . 4. Xác định dấu của các ưch sau dể ifcb đó là thành phẩn của định thức cấp tương ứng a ai3aMajia45aj2> b- aiìa2«ai3a«a!i; c' ai6a 25a ]Ja43a s2a4iỉ d. au a Da J,a<ỉa S6â6!, e. aNaMa,,a4Ja„aM. 5. Xác định i, j, k dể các tích sau là thành phấn của các định ihức cấp tương ứng với díu dạt ở ưước 1 (+)aiia25a32a4jajji b' (_)aDa2ia>ia45a5j> c - ( + ) a u a 22a 3ia í , a s5a M Ì d . ( ~ ) a iia 2ja )5a 4»a s ia 6k 6. a. Tun tất cả chành phẩn cùa định thức cấp 5 mang díu (+) có chúa các phẩn tử ai:a Maa!; b. Tun tát cả các thành phẩn của dinh thức cấp 4 chứa phẩn tử a 32 và mang đấu (+). 7. Trong định thức cấp n, xác định đấu cùa a. Tích các phán tử nàm trên đường chéo chính; b. Tích các phần (ử nằm ưên dường chéo phụ. 8. Tỉnh các định thức cấp 2 sau 1 2 Ä b b. ' ; c. 3 41 c d cosa sin a a + b a — bl sin a -sin ß 9Ìna cosa»a - b a + b|’ cosa cosß ' cosa sin a; b.tg a1-ễL1 log^a sinß cosß 1 tg o | log8b 1 9. Tính các định thức cấp 3 sau 0 1 1 1 2 3 J - I -1 aố 1 0 1 ; b. 4 5 6 ; . c- -1 l -1 1 1 0 7 8 9 -1 - I I a b c a X X X a a d. b c a ; e. X b X ; f. i X a ; c ¡\ b X X c a a X X a a 1 s in a c o s a g- - a X a ; h. a sin p cosp ; i. - a - a X 1 siny COSỴ x + y z y + z X z+x y a + x X X a1 +1 ab ac j- X b + x X k. ab b' + 1 bc X X c + x ac bc 10ể Chúng minh các đổng nhất thức bf +c, e,+ a, a, + b, b, c, a. b2+ c2 c ,+ a , a, + b2 = 2 a2 ba » b ,+ c, c, + a3 8, + b, b, c, a, + b,x C| a, b, c, b. a2 + b2x a ,- b j X <=2 = -2x b. » a, + b,x a ,- b ,x c, a> b3 Cj a, + b,x ajX + b. CI ai bỂ c» c. a 2 + bjX a,x + bj c2 = ( > - *’ ) a, b, C2 a, +.b,x ajX + bj c) »3 b, c, X a a a a X a a a a X a a a a X = (x + 3 a )(x -a )3; X a a a - a X a a - a - a X a - a - a - a X I a bc b ca = (b - a i c ab = x 4 + 6 a 2x 2 + a 4; 11. Rút gọn định thúc am + bp an + bq cm + dp cn + dq 12. Chứng minh rằng 1 1 1 y X' y1 i chia hết cho X - y, y - z, z - X. 13. Chúng minh rằng 2 0 4 5 2 7 2 5 5 chia hê't cho 17 biết rằng các số 204, 527,255 đều chia hết cho 17. 14. Nếu các số a,a2a,, b,bjb,, c,c,c, chia hết cho 7 thì b, c, cũng chia hết cho 7. b, c, 15. Dùng các tính chất của định thức đổ tính các định thức sau 9 ¡8 27 13547 13647 42 8412 15 •18 ; b- ; c. 28423 28523 45 6014 16 18 0 3 3 d. 2 0 2 ; 4 4 0 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 2 1 3 4 6 10 10 20 1 i 1 1 1 2 3 4 g- 1 4 9 16 1 8 27 64 1 2 3 4 1 2 2 2 - 1 0 3 4 2 2 2 2 ; h. ; i. -1 -2 0 4 2 2 3 2 -1 -2 -3 0 2 2 2 4 1 4 4 4 1 1 1 1 4 2 4 4k.1 2 2* 2’ ì- 4 4 3 4 1 3 31 3’ 4 4 4 4 1 4 42 4J 16. Dùng khai triển theo dòng hoặc theo cột tính định thức B 1 0 2 3 2 0 - 1 3 0 5 3 4 ’ -2 0 - 1 7 2 1 0| -2 3 1 5 0 61 2 5 oi 0 -1 -1| -1 -1 1 b c d 1-1 -1 1 0 2 1 1 a| 1 2 1 b| 1 1 2 c| 1 1 1 1 1 2 2 1 0 1 0 2| 2 0 1 1 0 2 0 1 b. h. 1 2 3 4 2 0 1 0 3 4 1 2 4 1 2 3 -3 1 0 0 4 9 ; 1 2 0 ỉ ’ 3 0 2 1 a 1 1 1 b 0 1 1 c 1 0 1 d 1 1 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1* 0 0 1 2 X y 0 0 0 0 X y 0 0 0 0 X y 0 0 0 0 X y y 0 0 0 X 0 1 2 - 1 a. - 3 - 1 2 3 3 1 6 1 1-112 1 3 - 1 - 3 c' -1 -1 4 3 ’ -3 0 -8 -13 1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 e.1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999 1 2 3 4 5 -1 0 3 4 5 f. -1 -2 0 4 5 -1 -2 -3 0 5 -1 -2 -3 -4 0 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 h. 1 1 4 1 1 ; 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 i 0 1 2 1 0 ; 0 0 1 2 ! 0 0 0 1 2 1 2 3 4 -3 2 -5 13 1 -2 10 4 -2 9 -8 25 30 20 15 12 20 15 12 15 15 12 15 20 12 15 20 30 1 1 1 f 1 l 2 1 1 1 g- 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 5 I 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i. 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 k. 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 I 2 3 4 18. Tính định thức cấp n biếl a. au = m m íi. j) ; 19. Tính các dụih thức cíĩp 0 sau d9y 1 2 3 - 1 0 3 - I - 2 0 -1 -2 -3 1 - n I I ! - n ! 1-11 1 -p 1 n n n 2 n n n 3 n n ri ũ 1 1 i 0 I í I 0 I 1 I 20. Pịoh ihúc cấp 11 thay đổi iiiC tiào ỊỊẺU đổi đáu tất cả các phần tử cũa nó? 21. E>ịnh thức cáp n thay đói thế nào nếu viỗt các cột theo íhiỉ tự Iigược lại. 2Z Các phần tử cùa một định thức cífp 3 chi nhâa các giá trị 0 vã+l. •á trị lớn nhất cùa định thức đó c phẩn từ cùa một định ỉhúc cãp 3 chi nhận các giá tjị 1 và -1. minh rằng dịnh thức đó chia ìlỂt cho 4. Các phần lừ của một định thúc cắp ỉ chi «hân các giá 111 1 và -1 d trị lớn nhất cùa định thức loại đó 25. Biết A là ma trân vuông câp n iẻ iỉioa mãn A' = -A , hãy tính định thúc cùa A. 26. Bi. 1 Irận vuồng câp ¡1 tUoá uiãn |A |-ỊkA |, hãyúnh k ÏÏ- t)áp sôi 2.a. N = 2, b. N = 7; c. N = 20; d. N = 36; n ( ĩ i - l ) n ( n + l) e. N = —i — _Z; f 2 2 3. a. i,2,3,...,n; số ỉtghịdi thế là'N = 0; b n , n 2,1; sốnghichthếlả N = ũ íĩL ll!li 2 4. a. dấu ( - ) ; b. dấu (+ ); c. dấu ( - ) , & dấu (+); e. đấu (-). 5. 3. ì = 1, j = 4; b. i = 4, j = 2; c. i = 3, j = 6; d. (i = 6, j = 2,fc = 3)>(i=2, j = 3, k = 6),(i = 3, j = 6 ,k = 2 ). Ể. a. 8 ,2 8 2 4 8 5 ,8 4 5 *5 5 ; b. ịa,I&2«a n a4i )»(e i Js 3>*xza ai )«(ai4a » a jja 4i )• t. &. Dấu (+); b. Dấu ( - 1 ) ^ . 8. a. d = -2; b. d = *d - bc; c. d = 1; d . d = COS 2 a ; e. d = 4 a b ; í. d = s in ( a + ß ) ; p. đ - c o s ía + B); li. d = — ;— ; i. d = 0 . ' ' cos a 9 .a. d = 2 ; b. d = 0 ; c. d = - 4 ; d. đ = 3abc- as - b1 - c 3; e. d = 2x3 - (a + b + c)x’ +abc; f. d = x’ - 3 a Jx + 2as; g. d = x’ +3asx; h. d = sin (a - p) + sin (p - y) + a sin (y - a ); i. d = 0; j d = abc + (ab + bc + ca)x; k. d = 1 + a¡ + bJ + c2. 10. Hướng dần: dùng các tính chất của định thức để biến dổi vé trái. Tham khảo ví dụ 3 (trang 120 - giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần 1). a b l l ế (mq - np)c d 12,13,14. Hướng dấn. dùng các tính chất của định thức để biến dổi định thức vể dạng có một dòng/cột là bội của nhân tử càn chia hết. 15. a. d = -1487600; b.d = -1260; c. d = 0; d. d = 48; g. d = 12; j. d = -24; 16. a. 280; c. 275; e. d = 3 a - b + 2c + d; g . d = 4 - a - b - c ; i. d = 9; 17. a. d = 0; e. d = 48; h. d = 24; k. d = 12. b. d = 301; f. d = l; i. d = -4; b. 52; d. 277; f. d = 2 a - b - c - d ; h. d = 5; j. d = x5 +>■’. c. d = -107 d. d = -2639; g. d = 24; j. d = 6; e. d = -18016; h. d = 394; k. d = 1875. f. d = 120; i. d = — 12; 18. a. d„ = 1; b. d„ =(-1) n. 19. a. d„=n!; b. d„ = (-1)" 1 n!; c. d =0; d- d = n -1 nêu n lẻ; d = 1 - n nếu n chẵn. n ( n - l) 21. Sai khác hẹ số (-1) 2 . “ II “ 12 ° n 22. Già sử A : a 2l a u a„ a„ a, “ 31 “ J2 “ 3 3 / .a.j =0;1, khi dó ta có: d = a„as an + a,ja,3a,, + a,,a,_,an — al3a„a3l -an a^ a,, — al2a2la„ < 3; Từ biểu thức cùa d ta dẻ suy ra: Maxd = 2. 23. Hướng dần: tham khảo Ví dụ 1 (trang 118 - giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phán 1) chúng minh trong trường hợp tổng quát. 24. Maxd = 4. 25. d = 0. 26. +) Với mọi k nếu |a | = 0; +) k = 1 nếu |A| * 0 và n lẻ; +) k'=±l nếu |A |* 0 vàn chẩn. A. Tóm tát lý thuyét và các ví dụ m ẫu Định nghĩa: Cho hai ma trận A = (a,j) và B ^ b ^ ) Tích của hai ma ưận A và B là ma trân c = AB có tấp m X p, với các thinh phẩn dược xác định như sau: c.i = Ẻ aúbji. = a„b,k + a.,brl, + ... + , ■ (i = 1,m; k = l,p). Chú ý: - Phép nhân chỉ thục hiện dược khi số CỘI của ma trạn đúng tnlúc bằng sđ dòng cùa ma ưậri dứng sau; - Cấp của ma ưận tích: số dòng bằng sá dòng cùai ma uạu đứng trước, sổ cột bằng sđ cột của ma trận đứng sau: - Phép nhân hai ma trận không có tính Chat giao hoán. Ví dụ 1: Tính AB và BA: (2 1 ' a. A = -2 3 0 b. A = Giải: ( \ 2 1 3 l ì 0 4 2 3 và B = '2 1 0' 1 -1 2 ,3 2 1, a. AB = '2 r . 3 -2 0 4 jv / 2.1 + 1.: 2.5+ 3.6 ' ' 4 ; Ì 6 10 4 13 5 7 i BA - 2 1 0 ! - ï 2 n 2 o 4 1 Ị ■» 1 p .S + ! 2 * 0 ! 2.3 + ! .0 + 0.2 2.1 + i .4 + 0.3 ị = ị i.l-ỉ.2-1-2.! î.3 -1 .0 + 2.2 ¡.1—1.4 + 2 3 ị b . í i-J.i-i i.i Ị.3 + 2.0 + 1.2 3.!+ 5.4 4 !.3 ! ¡4 6 J . 7 ! H i í Ví đa 2: Tĩ<ỉ3 a 1 ucag ííó Ả = - i i ĩ J c lã: Hiến n h iê n rằng lchi tinh toán các số nguyên tò khó nhẩm hơn khi tính cắc sô hữu tỷ. vì lý do đó nén ta có: B = 6A = = > A = -B = > A Ỉ =-Í-B J. 36 và B2 : í 3 4 9) 2 - 3 4 -9 9 2 ( 3 4 9 2 - 3 4 -9 9 2 ' 3.3 + 4.2-9.9 3.4-4.3+ 9.9 3.9+ 4.4+ 9.2 ' -64 81 61’ 2 .3-3.2-4.9 2.4+ 3.3+ 4.9 2.9-3.4 + 4.2 = -36 53 14 -9.3+ 9.2-2.9 -9.4-9.3+ 2.9 -9 9 + 9.4 + 2.2^ -27 -45 -4\ '-64 81 61 ' '-2 24 Do đó A2 = — 36 -36 53 14 = -1 5336 -27 -45 -41; 3*- L4 Ví dụ 3: Tính c !)■ Giải: Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh Thật vậy ta có 1 1 0 1 1 n 0 1 + Vdd n = 1 thì (i n :> + Với n = 2 thì :1 1 0 I : :: 1 n 0 1 + Giả sử mệnh đé dũng tới n = k > 3 ,k e Z nghĩa là c n ĩ) chứng mình 1 1 0 1 Thật vậy ta có: I k + 1 c ' H K X Kr) !)Ể(i"} Ma trận nghịch đảo: Định nghĩa: Cho ma trận A vuỏng cíp n. Nếu tổn tại ma trân cùng cấp X sao cho AX = XA = E (E là ma trận đơn vị), thl X được gọi là ma trận nghịch đảo cùa ma trận A. Ma trận nghịch đảo, nếu có, là duy nhất. Kí hiệu: A"1. Ma trận phụ hợp: Ma trận phụ hợp của ma trận A vuông cấp n A = cũng là ma ưận vuỡng cấp n dược kí hiệu và xác định như sau: A’ = ÍA„ A„ A* A„ - Anlì ... A ưong đó Au là phần bù đại số của nhái: lủ a„ >: ũa .na '.rận A (i = ! ,m : j = t,i ìj . Định lý: AA* = A'A - a |E Điều tìiiện ỉổn tại ma trận ülgMcb đảo; ca» và «m «tổ một UM tíSn vuông A có ma ưận nghịch đảo là ỊaỊ (/. K.ÍỈS đó ma Iiâa íìgiiịctt đáo của A duợc xác định bằng côag thóc: Các p k m ! ipâíáp tìm asa írậa aàữ - Phuongpháp!: I * 0 : 3 A 1 + Buức 2: Tinh các A„ và !ậĩ> n » OỆS a ”, 4 ỈSíĩỉíVc '3: L.âp A . “ PỊhĩíCữig ‘pháp 2: + Lap mà tiện c ìà ghép càâ «S3 lĩ.Vi Á và asa urậí! tìte £ + Nếu «sa u ạa A cố ma ÈTậB ĩigỉậch «iả> 'đỉỉ ìvầaị: các jtó p biến íỉổs S0 cấp dối vói bê véc lơ đòBg cãa ma íỉ&n H có íf ■? osé* -3ổ! ma Uậtt c vá dạííg Khi đó ma ííặiỉ B ỉà m.i ưạn nghịch đáo của ỉm a-ặ» A Chú ý: Phương phấp 2 chi ilbu ắị> dựBg cho cáe ma Erạa œà Vỉệc bỉén đổi sơ cấp trên (ỉòiig cửi iió diễn ra dễ iikn<¿, còa ”hüng truene bợp bién ƠÕ1 sơ cáp Irên nk aạn phức lạp him (tác phấn tử cùa ma iraõ gôm các phân số, số lớn...) thì ta khổng dùng phương pháp này. ề'z 2 2s A = | 1 3 ] I s 3 X, 8. Tira tham số X sao cho A có roa trận nghịch đào; b. Với Ằ = 4, hầy tìm ma trận aghịcti đảo của ma trận A. Giải: 3 2 2 a. Ta có a Ị = = 9Ằ + 6 + i 0 - 30 - 9 - 2A. = -23 + 7X; 2 3 Ma trận A có nghịch đảo khi và chỉ khi ỊaỊ * 0 o ỹt — ty. Với X - 4 thì IA| = -23 + 7,4 = 5 t- 0 nên tổn iại ma &ận nghịch đào A Tínỉỉ các phán bù dai số: 2 2| A„ =(--»)" í-« r E ; P 4 .2 ỉ 1 5 4 1 5 3 - 9 = 1 = -1 2 A2, = í - i f Aa = ( - f Aa = ( - ! ) “ 3 3 2 5 4 3 2 5 3 = 2 A „ = ( - i f AB = (-Ộ * A„ = ( - ') " 2 2 3 1 3 2ị 1 l| = -4 Lập ma trân phụ hợp A ': A* = Vậy ma ưận nghịch đảo A"1 = — 5 9 - 2 - 4 1 2 -1 -12 1 7 Một số tính chất của ma trận nghịch đảo: . (A-’)-'= A ; • |A -|= |A |-; • (AB)~' = B ',A‘i. Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu det(A) lì một số nguyên và |det(A)| ¿2 thi A~' khống thể có toàn bộ các phỉn tử là sổ nguyên. Giải: Giả sử A~' cố tất cả các phẩs tử dẻu 1& số nguyên. Khi dó theo định nghĩa của định thúc, |a _1| cũng lì một số nguyên. Mạt khác theo giả thiết, |A| là sổ nguyên nên A = 1 |A| không thể là sổ nguyên =s> mâu thuỉn. Vậy trong A"1 phải tổn tại các phán lử khổng phải u sổ nguyên. Phương trình ma trận. AX = B và YA = B. AX = B: YA = B : . x = >Y = A B; BA” ; TH2: Nếu A khống có ma trận nghịch đảo thì đưa vể giải hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số là các phấn tù của ma trận phải tìm (B có bao nhiêu phắn từ thì hệ cố bấy nhieu phương trình). Ví dụ 6: Giải phương trình ma ưận '3 2 2' 2 3' 1 3 1 x = 4 5 6 ,5 3 4 J8 9, Giải: Ta có ma ưận nghịch đảo của ma trận (3 2 7.\ 1 5 là ma trận - 0 -I 7 Vậy 9 I -12 X-Ị5 ' 9 -2 - 4 ' '\ 2 3> '-21 -24 -21' 1 2 -1 4 5 61 = 52 4 6 -12 1 1 , J8 9; ,41 37 33, Vi dụ 7; Gjjd phương trình ma ữân '\ 2' '1 10' 3 4 x = 15 22 5 6, ,23 34, 'x + 2z y + 2t ' '7 10' 3ỉi í 4z 3y+ 4t = !5 22 v5x + 6z Sy + 6t, 34 Phương ¡.¡inh ¡na Hận trên tho ta hệ phươnt' Utah tuyến imh 4 Alt sau: X +2z = 7 3x + 4z =15 i;t + 6z =23 y <-2t -1 0 3y + 4t =22 5 y t 6t =.-3'í DÈ thấy hẹ Ute» eỗ «Ìghiệni (x = l,y 3, < 4 1, vay phuopg ¡rình ma ôện tríia cô nghîÇip !à: X = ?'«. Eàỉ tập ỉ. ¡Đề l>àí 27. Thực hiện phép nhan các ma trận sau 2 c. (5 0 -2 ) 2 ; d. b a l 1 1 1. (1 a c' 1 b b 1 c a 1 2 2 4 -2 -4 1 2 Tcosa -sin a Ỵ c o sp -sin p '| (s in a cosa J[sinp cosp s ? " j: 0 ‘(1 1 0 1 (3 1 2 1 1 0 '3 -4 5' '3 29' '3 1 r '1 1 - f j ■ 2 -3 2 18 » k. 2 1 2 2 -1 I ,3 -5 1, ,0 -* ễ ,1 2 3, , 1 0 1 , '1 2 f /2 3 r ị \ 2 1' 1. 0 1 2 -1 1 D 0 1 2 ; 3 1 »> \1 2 --1, 3 1 1, ( 2 2 3Ì 1 -1 0 - I 2 1 f 1 —4 -3^ 1 -5 -3 - 1 6 4 ( ì 2 3^ 2 4 6 3 6 9 ( - ] -2 —4^ -1 -2 1 2 4 28. Thực hiện phép toán sau: -3 3 3 r 3 0 fl 1 1 1 N2 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1-1-1 1 ‘ Cễ ẵj' 1(: :)■ 29. Tính AB-B A biết: a. Af l 2 ì l = u -K 1)_Ậ 1 1 O -1 « feos a -sin a tesina cosa 2 -3} B =[-4 1 I b. A = C. A : I 2 -1 -1 ( 1 3 1 -1 1 0 ( 2 2i B = ; l - l o j \{ \ 2 r B = 0 1 2 ,3 1 1; ■Ó ' 2 1 0 ' "3 1-2' < II.1 1 2 B = 3 - 2 4 2 1, 1 a. A = '3 1 0' d. A = 0 3 1 ,0 0 3, 31. Chiíng minh làng nếu các ma trân A và B có tích AB, BA cùng tổn tại và AB = BA thì A, B là 2 ma trận vuông cùng cáp và ta có các dẳng thúc a. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2; b. A - - B 2 = (A -B )(A + B). 32. Tích AB cùa các ma trận A và B sẽ thay đổi như thế nào nếu a. Đổi chỗ dòng i và dòng j của ma ưạn A; b. Nhân dòng j của ma ữân A với số k rổi cộng vào dòng i của nó; c. Đổi chỗ cột i và cột j cùa ma trận B; d. Nhân cột j của ma trận B với số k rói cộng vào cột i của nó. 33. Chứng minh đẳng thức AB - BA = E không thể thoả mãn với bất kỳ ma trận A, B nào. 34. Chứng minh rằng ma trận X = X2 - (a + d)X + (ad - bc)E = 0, trong đó E là ma trận đơn vị, 0 là ma ữận không cấp 2. 35. Cho X là ma ưận vuỏng cấp 2. Chúng minh ràng nếu x ’ = 0 thì X 2 = 0. 36 Tim ma ưận nghịch dào (nếu có) của ma ưận sau d.( cosa 1 sina \1 2 - 3 ' ' 2 2 3 ' - s in a ^ ]; e. 0 1 2 ; f. 1 -1 0 '1 2 4 5 J 8 eosa J’ ) 3 'ì 6 9 o © h. (\ 2 2 'l 2 1 -2 2 -2 1 f l I 1 1 1 1-1-1 1 - 1 1-1 1-1-1 1 (1 3 - 5 0 1 2 - 3 0 0 12 0 0 0 1 37. Chúng minh rằng nếu A = A*1 thì A2" = E; A2“*1 = A 38. Chúng minh rằng nếu AB = BA và |A| * 0 thi A ''B = BA'1. 39. Chúng minh rằng nếu I A| = 2 thì các phẩn tử cùa ma trận nghịch đảo A"' không thể góm toàn các số nguyên. 40. Cho A là ma trận vuông cấp n có |a | = 2. Hãy tính |a ếỊ. 41. Giải các phương trình ma ưận sau ': )- (? / b. * ( - ; * Kỉ M ỉ) ‘ ỉ :k : g- X0 0 0 0 ‘G K :} ‘-(ỉ :;h ỉ :h » 42. Giải các phuơng trinh ma ưận sau ' 2 2 3> 'ì 0 0' aỀ 1 -1 0 x = 0 1 0 -1 2 1, ,0 0 », '5 3 1 '- 8 3 0' b. X 1 -3 -2 = -5 9 0 ,-5 2 1 J -2 15 0, '3 1 f '6 2 - r c. 2 1 2 x = 6 1 1 2 3, ,8 -1 4 , ' 2 -3 -1 4 5 ' -2 = í 614 -2> ,3 -1 Klio -19 1 7 / '2 2 3' r 1 r e. 1 -1 0 x = -1 0 -1 2 1 V / 1 -1 (2 1 0 ( 9 3Ì 8- X = : ,3 0 lj ự o 3J n. Đáp số 27. a.5 1 3 10 3 6 ( a + 12c b + 12d Ỵ đ'ụ9a-14c 39b-14dJ; '6 8 - 2' 3 4-1; ,9 12 -3, a + b + c a2+b2+c! b: +2ac a + b + c b2+2ac a2+b2+c2 3 a + b + c a + b + c f cos(a + P) -sin(a + P)'} * (sin(a + p) cos(a + P) )' O O O O í 8 ~6\ ^-21 24 J 9 3 10 3 ' i 9 15^ -5 j 9 12 26 32 1 0 ' 2 r 0 1 » k. 6 1 -1 8 -1 'l 0 0' '0 0 0' 0 1 0 ; n. 0 0 0 ,0 0 0 o, O O f 15 20\ 28. a. ; b. ^20 35 J O 'l 4 4^ o o o c. 9 4 3 ; d. 0 1 0 ,3 3 4j o K (4 0 0 O'l 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 1 na O 1 1 x -1néu n lé; " 2 f r i o^i h. néu n lé; - 3 2/ lo 0 néu n chin; néu n chán; . 1"a" nan_l>l . 1^ c o sn a - s i n na^j a" j ; j - l ^ s i n n a eos na J ' 4 -1 8 ' '0 0 0 ' c. - 2 - 6 3 ; d. 0 0 0 - 5’- 9 2 , , 0 0 30.X y 0 x - yb . í x 2yJ ; { - y x - 2 y j X 2 y 3y x + 3 y j’ d. X y z 0 X y 0 0 X 33. Hướng dẫn: Chứng minh rẳng tổng các phần tử trên đường chéo chính cùa AB - BA bằng 0. 35. Huớng dẩn: sử dụng bài 34, ta có |x| = a d -b c = 0 cho nên X2 = (a + d)X. Lập luận còn lại giành cho bạn đọc. 36. a. c. 3A-'; 5 - 2 -2 1 [co sa sinoA - sin o t cosa) ' 1-2 7 ' ( 1 - 4 - 3 ' e . 0 1 - 2 ; f. 1 - 5 - 3 0 0- 1 6 4 , ( 1 2 2 } g. 3A-'; 2 1 - 2 2 -2 1 ì 1 1 1 ' '1 -3 11 -38' 1 1 - 1 - 1 0 1 -2 ■ 7 1 -1 -Ị -1 ề. j- 0 0 1 -2 \ỉ -1 - i -1, ,0 0 0 1 , 40. Ịa‘| = 2"-'. (11 3 'l b- (-24 -? } • c. vô nghiệm; e. p b ì; \-2 a ị- 2 b ) >'(:S ử d vô nghiệm; 0 0 \ 0 0 / í; ả '1 -4 -3> '1 2 3^ ri 1 -=r 42. a. 1 -5 -3 cr4 5 6 ; c. 2 -1 1 -1 6 4 , 7 8 9) ,1 0 í 2 4 'ì (ỉ -3 ĩ) với a2 + bc = 0; 3 4 -3 -5 a b a -1 b 10 -3a 3 -3 b , h. ±b- avói a ; +bc = l. §4. Hạng của ma trận A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mảu Định nghĩa: Hạng của ma ưận A lì hạng cùa hệ véc ta cột cùa nó. Kí hiệu: r(A). Chú ý: Phép chuyển vị lchỡng làm thay đổi hạng của ma trận. Do đó hạng của ma trận A =(a,;) bằng hạng của hẹ véc tơ cột và cũng bằng hạng của hệ véc tơ dòng của nó r(A) = r(A f.A Í....,A J„) = r(A Í,A Ỉ,...,A:). Đinh thúc con của ma trận: Trong ma trận A = (a u) , chúng ta xác định một ma trận vuông cấp s bằng cách lấy cíc phẩn từ nằm ở giao của s dòng và s cột bất kì (s <. min(m,n)). Định thức của ma trận này đuợc gọi là định thức con cíp s của ma trận A. Kí hiệu: D^h 1, trong đó ik là các chì số dòng và jk là các chi số cột dã chọn Ịk = l,s). Định lý: Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 cùa ma trận A bằng bạng của nó. Các phép biẻn đổi S0 cấp đòi với ma trận: • Đổi chỗ hai dòng/cột cùa ma trận cho nhau; • Nhan một dòng/cột với một số thực khác 0; • Cộng vào mộc dòng/cột tích cùa mội dòng/cột khác vói mộc sổ thục. Kết quà: Các phép biến đổi sơ cấp (trên dòng hoặc cột) khững làm thay đổi hạng cùa ma trận. Các phương pháp tìm hạng của ma trận - Phương pháp dinh thức bao quanh: Xuíl phát tù mội dịnh thúc con D * 0 cấp s cùa ma ưận (thường bắt đầu với s = 2), ta xét các định thức con cíp s +1 bao quanh D. NẾU khổng tổn tại các định thức này, hoặc tát cả các dịnh thúc này déu bằng 0, thì hạng của ma trận bằng s. Ngược lại nếu tổn tại một định thúc con D cỉp s +1 bao quanh D khác 0 thỉ ta lặp lại cách làm trên với D. - Phương pháp biến đổi ma ưận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dể biến dổi ma ữận ban đẩu vé dạng ma ttân: X a,2 • ■ alằ . 0 a22 • . a* . B = 0 0 • • a» • 0 0 • • 0 • • 0 ,0 0 • • 0 • • 0 , hạng cùa ma trận B và bằng s. Chú ý: • Nếu m < n thì B có dạng hình thang; • Nếu A là ma trận vuông cấp n thì: ■ r(A) = n <=> IA| 5* 0; • r(A ) '\ 2 3 4 ' (2)r2 3 4 ' 5 6 7 8 0 -4 -8 -12 0 -4 -8 -12 9V10 u 12/0<-8 -16 -24/0 0 0 0 / (1) Nhân lần lượt dòng 1 với (-5), (-9) rồi cộng vào dòng 2 và 3; (2) Nhân dòng 2 với (-2 ) rổi cộng vào dòng 3. Ma trận sau khi biến đổi cố hạng bằng 2, do đố r(A ) = 2. Ví dụ 2: Biện luận theo k hạng cùa ma ưận sau: (1 1 k' A = 1 k 1 y- 1 1, Giải: Trước hết ta biến đổi ma trận A: n 1 k' / 0) 1 k 1 —► 1 k W i 1 k 0 k - l 1 -k -> 0 k -1 1 -k 0 1 -k 1 - k 2J [o 0 (k + 2 )( l-k ) 1 V (1) Nhân lần lượt dòng 1 với (—1),(—k) rồi cộng vào dòng 2 và 3; (2) Công dòng 2 vào dòng 3. Biện luân: Gọi ma trận sau khi biến đổi là B. Ta có r(A) = r(B). 1 1 k B = 0 k -1 1 -k 0 (k + 2)(l - k)J TH ,:k = l: B = ( \ 1 l ì 0 0 0 0 0 0 => r(B) = I => r(A) = I; TH ,:k = -2 : B = ( \ 1 - 2 Ì 0 - 3 3 0 0 0 >r(B) = 2 ^ r ( A ) = 2; TH3:k * l ,- 2 : k - l * 0 ,( k + 2 ) ( l- k ) * 0 ^ r ( B ) = 3=>r(A) = 3. ứng dụng khấo sát hệ VẾC tơ Cho hệ gổm m véc tơ n chiéu Đế khảo sát hệ véc tơ này ta thực hiện như sau: 1. Lập ma trận A với các cột (dòng) lần lượt tà các véc tơ 2. Tìm r(A) bằng phương pháp tìm hạng cùa ma ưận. Hạng của hẹ véc tơ dã cho bằng hạng cùa ma trận A. 3. Kết luận: • Nếu r < m thì hộ véc tơ phụ thuộc tuyến tính. • Nếu r = m thì hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Khi đã tìm duợc hạng r(A) cùa ma trận thì ta cũng có thể tìm được cơ sờ của hệ véc tơ qua việc xác định một dinh thức con cơ sờ. Cụ thể ta có cơ sở của hệ véc tơ này gổm các véc tơ có chi sỗ là các chi sô' cột (dòng) của định thức con cơ sở tuỳ theo cách lập ma trận Ấ theo cột hay dòng. X, = (1,-2, 1, 3) x 2 = (2, 3 ,-4 ,-1 ) X, = (5 ,-3 .-1 , 8) a. Tìm bạng của hệ véc tơ trên, từ đó kết luận hệ véc tơ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: b. Chl ra một cơ sở của hệ véc tơ và biểu diễn các véc tơ còn lại (nếu có) theo co sở đó. Giải. Lập ma trận A nhận hẹ véc tơ dã cho làm hẹ véc tơ cột ( ỉ 2 5 \ ' 1 2 5 ' rl 2 5 ' 1 2 5' '1 2 5' -2 3 -3 0) 0 7 7 (J> 0 1 1 <>) 0 1 1 — -> 1 -4 -1 0 -6 -6 0 1 1 0 0 0 ,3 8 -9 , 0 -7 -1. 0 1 K ,0 0 0, (l) Nhân lẩn luợt dòng 1 VỚI 2 ,(-l),(-3 ) rổi cộng vào dòng 2,3,4; (2 ) Nhân lẩn lượt dòng 2, 3, 4 với —, (3) Nhân đòng 2 với (-1) rói cộng vào dòng 3,4. ễ. r(X 1,X j,X j,X 4) = r(A ) = r(B) = 2. Do số véc tơ của hệ véc tơ bẳng 3 > 2 nên hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính. b Định thức con cơ sở cùa ma trân A nên {X,, X J} lập thành mọt cơ sờ cùa hệ véc tơ; Ta tìm t)iểu diẽn cùa các véc tơ X, theo cơ sờ trỄn thông qua việc giải hệ phương trình: fa, +2ct, =5 a ,= 3 a , =1X, =3X, + x 2. I « 2 =1 - - Ví dụ 4: Tìm hạng cùa hộ véc tơ sau: X, = (3, 0, 8) x 2 = (2,-3,4) X, = ( 5 ,- U ) Giải: Lập ma trận A nhận các véc tơ này làm các véc tơ dòng ta duợc: ( 3 0 A = 2 - 3 4 5 -3 X 3 0 Tacó Diỉ = = -9 * 0 , D¡“ = |A| = -9X +108. Vậy ta có: 2 -3 Nếu x. = 12 thì IA| = D|g = 0, do đó r(A) = 2; NẾU >.*12 thì (Ai = DỊ“ ^ 0, do đó r(A) = 3. Ví dụ 5: Tim giá trị của tham số X sao cho véc tơ X viểu diên tuyến tính qua các véc tơ còn lại của hệ: X = (2, 3, X) X, = (1, 0, - 2 ) x 2 = (-2,1,-3) X, = (1, 1,-9) Giải: Ta xét riêng hệ véc tơ X,,Xj,Xj, trước hết ta đi tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ này: ' 1 -2 1 ’ 1 -2 1 thì D|ị1 -2 Với A = 0 1 1 -2 -3 -9 0 1= 1*0,|A| = 0 1 1 -2 -3 -9 Vậy Xp Xj là một cơ sờ cùa hệ véc tơ đã cho. Để véc tơ X biổu diễn tuyến tính qua hộ x ,,x ,,x , thì cẩn và đủ là nó biểu diẻn tuyến tính qua hệ cơ sờ X,,X2, nghĩa là cẩn và đù để hạng của ma trận sau bằng 2: ' \ -2 2'Ị B = (x, X, x ) = 0 1 3 -2 -3 X Ta có D " =1 -2 0 1= l* 0 ,D ¡“ =|B| = X + 25, Cho nẽn: r(B) = 2 o X = -25. Vây đáp số là X = -25. B. Bài tập L Đé bài 43. Tìm hạng của các ma trận sau '1 2 3 ' '1 2 3 0 -1 ' 4 5 6; b- 0 1 1 1 0 7 8 91 3 4 1 -1 ,10 11 12.V / '1 2 3 4' ,'2 0 2 0 2' 2 3 4 1; d.0 1 0 1 0 3 4 1 2 2 1 0 2 1 4 1 2 3, 0 1 0 1 0 '2 1 11 2 ' 14 12 6. 8 2 ' 1 0 4 -1; f.6 104 21 9 17 11 4 56 5 7 6 3 4 1 ,2 -1 5 -6 ; ,35 30 15 20 * ậ ị 2 1 1 1 1 n'\ 1 0 0 0 0" 0 1 1 0 0 0 1 3 1 1 2 1; h. 0 0 1 1 0 0 1 1 4 1 3 10 0 0 1 1 0 1 1 1 5 4 1/0 0 0 1 K 44. Tim hạng cùa các ma trận sau tuỳ theo giá trị cùa X ' l - x -12 6 '\ X -1 2' a. 10 -1 9 -X 10 ; b. 2 -1 X 5 12 -24 13-A. \ 10 -6 \ / v K '\ \ -1 2''X 1 1 1' 1 X 1 ! 2 - 1 X 5 đ.1 1 X 1 \ / 1 10 -6 XJ1 1 \ 1 2 3 4 1' -X 1 2 3 11 X 2 3 4 1 1 -X 3 2 1; f 1 2 X 3 4 1 2 3 -A. 1 11 2 3 k 4 1 3 2 1 -X 1/2 3 4 * 1, 45. Chúng minh rằng nếu A, B là hai ma trận cùng cáp thì r(A + B )£ r(A ) + r(B). 46. Chứng minh rằng nếu A, B có cùng sô' dòng thì r(A|B)á r(A) +r(B). 47. Cho A là ma trận vuông cấp n, nil. Hãy tfnh hạng cùa A trong các trường hợp sau: a.'r(A ) = n; b. r(A )sn-2; c. r(Á ) = n - l . 48. Cho A vì B là 2 ma trận thoả mãn diều kiện AB = BA. a. Chúng minh A và B là 2 ma trận vuống cùng cấp; b. Chứng minh nếu các dòng của AB dốc lập tuyến tính thì các dòng của ma trận A cũng dộc lập tuyến tính; c. Chúng minh n£u các cột cùa ma trận B phụ thuốc tuyến tính thì các cột của ma trận AB cũng phụ chuộc tuyến tính. ứng dụng hạng ma trận khảo sát hệ VỂC lơ 49. Xét sự dộc lập tuyến tính và phụ (huộc tuyến tính của hộ véc tơ X, = (1,-2,3,-4,1) j x j = (2,-3,4 -1,2) ể'' X, - (3,-5,7,-5,3) x ’ = (4,-6,8,-2,4) X, = (1,-2,3,-4) X, = (2,-3,4,-1) X, = (3,-5,7,-5) x 4 = (4, -6,8, -2) 50. Với nhQng giá trị nào của X thì véc tơ X là tổ hợp tuyến tính của các véc ta còn lại X = (7 ,-2 ,X) X, = (2,3,5) *- X, = 3,7,8) X, = (1.-6.1) X = (l,8,5,x) C. X, = (-6 ,7 ,3 ,-2 ) x 2 = (1.3.2,7) X =(1,3,5) b X, =(3,2,5) ■ x 2 = (2,4,7) X, = (5.6A)