🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Hình Học Hoạ Hình Tập Một Ebooks Nhóm Zalo BỌ GIAO DỤC VÁ ĐAO TẠO Dự ÁN ĐÁO TẠO GIAO VIÊN THCS LOAN No 1718-VIE (SF) VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG ĐỐ MẠNH HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG Đ ỏ MẠNIỈ HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI HÌNH HỌC Sơ CẤP ■ VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN ■ NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC s ư PHẠM M ã số: 01.01.126/411 -Đ H 2 0 0 5 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẨU..........................................................................................................7 Chương 1. ĐA GIÁC VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC §1. Đa g iá c ............................................................................................................................... 9 1.1. Các định nghĩa.............................................................................................. 9 1.2. Miền trong, điểm trong của đa giác........................................................... 10 1.3. Cốc tính chất của đa giác............................................................................ 13 1.4. Phân hoạch - Sự đồng phân của các đa giác.............................................15 1.5. Diện tích đa giác...........................................................................................18 1.6. Diện tích và tính đồng phân....................................................................... 23 §2. Diện tích của các hình phẳng................................................................................... 25 2.1. Hình và diện tích của hình......................................................................... 25 2.2. Hình khả diện.............................................................................................. 26 2.3. Các tính chất của diện tích......................................................................... 27 §3. Một sô chủ dể seminar................................................................................................28 Bai tập chương 1......................................................................................................................28 Chương 2. ĐA DIỆN - KHỐI ĐA DIỆN - THỂ t í c h §1. Đa diện - Khối đa d iện ................................................................................................. 31 1.1. Định nghĩa....................................................................................................31 1.2. Dịnh lí J ord an.......................................................................................................33 1.3. Đa giác lồi......................................................................................................33 1.4. Sơ đồ phang của hình đa diện.....................................................................33 1.5. Đặc sô’ Euler của đa diện đơn liên..............................................................36 1.7. Da diện nửa đều........................................................................................... 39 §2 Thê’ tích của các khối đa diện.....................................................................................41 2.1. Phân hoạch của khối đa diện...................................................................... 41 2.2. Thể tích của khôi đa diện........................................................................... 41 §3 Một số chủ để Sem inar................................................................................................46 Bai tập chuơng 2 ..................................................................................................................... 46 3 Chương 3. MỘT s ố VẤN ĐỂ VỀ ĐƯỜNG TRÒN VÀ MẶT CẨU J §1. Phương tích của một điểm đối vối đường tròn........................................................... 5| 1.1. Phương tích..... ....................................................................................................3 1.2. Trục đẳng phương...............................................................................................3 1.3. Tâm đẳng phương...............................................................................................5 §2. Góc giữa hai đường tròn. Hai đường tròn trực g iao.................................................5 2.1. Góc giữa hai đường trò n .................................................................................... 5 2.2. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao........................ .................. 5' §3. Chùm đường tròn................................................................................................................. 51 3.2. Các tính c h ấ t.......................................................................................................51 3.3. Các loại chùm đường tròn............................................................... ..................'r>! 3.4. Hai chùm đường tròn liên hợp.........................................................................51 §4. Phép nghịch đảo .................................................................................................................. 6( 4.1. Định nghĩa.......................................................................................................... 6( 4.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo.......................................... ................. 6( 4.3. Biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo............................................................HI 4.4. Ánh của đường thẳng qua phép nghịch đảo................................................... 6Í 4.5. Anh của đường tròn qua phép nghịch đảo..................................................... 6í 4.6. Tính bảo giác của phép nghịch đảo.................................................................6Í §5. Mặt cẩu.................................................................................................................................... 6í 5.1. Phương tích của một điểm đối vói mặt cầu....................................................(ÌS 5.2. Góc giữa hai mặt cầu. Hai mặt cầu trực giao................................................65 5.3. Chùm mặt cầu...................................................................................................6Ể 5.4. Các loại chùm mặt cầu..................................................................................... 6G 5.5. Phép nghịch đảo trong không gian................................................................ 67 5.6. Phép chiếu nổi...................................................................................................6fl §6. Độ dài đường tròn. Diện tích của hình trò n ................................................................69 6.1. Độ dài đường tròn.......................................................................... .................. 69 6.2. Tính chất của độ dài đường trò n .................................................................... 70 6.3. Diện tích hình tròn........................................................................................... 71 §7. Một số chủ để Seminar về đường tròn và mặt c ầ u ................................................ 73 Bài tập chương 3 .........................................................................................................................74 4 Chương 4. QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH §1. Bà toán quỹ tích ......................................................................................................... 77 1.1. Khái niệm về quỹ tích................................................................................ 77 1.2. Bài toán quỹ tích có dạng chứng m inh.................................................... 78 ] .3. Bái toán tìm quỹ tích................................................................................. 80 1.4. Một sô quỹ tích cơ b ả n ............................................................................... 83 1.5. Ap dụng các phép biến hình đê giải bài toán quỹ tích.............................83 1.6. Dùng phương pháp tọa độ đê giải bài toán quỹ tích......................... . 86 §2. Dựng h ìn h ......................................................................................................................89 2.1. Khái niệm về dựng hình............................................................................ 89 2.2. Các tiên để của phép dựng hình (bằng thước và compa)........................ 90 2.3. Bài toán dựng hình.................................................................................... 90 2.4. Các bài toán dựng hình cơ bản.................................................................. 92 2.5. Các bước giải một bài toán dựng hình...................................................... 92 2.6. Áp dụng quỹ tích đê giải các bài toán dựng hình.....................................95 2.7. Áp dụng các phép biến hình đê giải bài toán dựng hình........................ 98 2.8. Dựng hình bằng phương pháp đại sô’.......................................................101 2.9. Điều kiện giải được bài toán dựng hình bằng thưâc và compa..............106 §3. Một sô'chủ để sem inar............................................................................................ 110 Bài tập chương 4 ................................................................................................................ 111 Chương 5. MỘT s ố BÀI TOÁN Nổl TIẾNG §1. Một số bài toán dựng hinh cổ................................................................................ 117 1.1. Bài toán gấp đôi khối lập phương........................................»................117 1.2. Bai toán cảu phương hinh tròn................................................................118 §2. Các bài toán k h á c .....................................................................................................119 2.1. Bài toán Copernic......................................................................................119 2.2. Tam giác Morley. Định lí Morley.............................................................120 2.3. Bài toán Fermat. Điểm Fermat................................................................122 2.4. Bài toán Torricelli.....................................................................................123 2.5. Bài toán Napoléon.....................................................................................124 §3. Một số chủ đế sem inar và bài tậ p ........................................................................ 127 3. !. Tâm tỉ cự............................................................................... ................. 127 3.2. Tọa độ tỉ cự ................................................................................................ 129 5 Chương 6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HỈNH HỌC §1. Các phương pháp suy luận trong giải toán hình học..............................................13 1.1. Phương pháp suy luận diễn dịch.....................................................................12 1.2. Những suy luận có lí thường gập trong giải toán hình học...........................] 4 §2. Các bưỏc giải một bài toán hình học...........................................................................15 2.1. Tìm hiểu đề to á n .............................................................................................. 15 2.2. Tìm tòi lòi giải của bài toán............................................................................ 15 2.3. Trình bày lòi giải của bài to án ...................................................... ................ 16 2.4. Nhìn lại bài toán và lời giải............................................................................16 §3. Seminar giải toán hình học............................................................................................17 3.1. Công tác chuẩn bị.............................................................................................IV 3.2. Tiến hành buổi seminar........................................................................ ....... 17 §4. Một sô chủ đề sem inar....................................................................................................17 Chương 7. MỘT sô' DẠNG TOÁN HÌNH HỌC §1. Bài toán chứng m inh....................................................................................................... 17: 1.1. Chứng minh các hình bằng nhau..................................................................17: 1.2. Chứng minh hai đưòng thẳng vuông góc với n h au ...................................... 1K( 1.3. Cốc bài toán liên quan đến đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường trcòm.....18i 1.4. Chứng minh các hệ thức hình học................................................................ 19! 1.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đưòng thẳng đồng quy hoặc song song................................................................................................ 20ị §2. Tính toán trong hinh học...............................................................................................22 3) AịẨ2...A n *, sao cho đỉnh đầu Aj và đỉnh cuối A„ + J trùng nhau, cạnh đầu A[Ẩ2 và cạnh cuối AnA„ + ! (cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trêi một đưòng thẳng. Đa giác như thế kí hiệu là AtA2...A„. Đa giác n cạnh còn gọi là n-giác. Các điểm A, gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng AiAj 1 1 gọi là các cạnh của đa giác. Góc Ai_, AịAị», gọi là góc đa giác ở đỉnh A, (hình 2). 9 / a) b) c) d) e) Hình 2. Các đa giác Đ a giác đơn. Đa giác đơn là đa giác mà bất kì hai cạnh khõmg? liên tiếp nào cũng không có điểm chung. Trong hình 2, các đa giác d, e không phải là đa giác đơn, các đỉa 1 giác còn lại đều là đa giác đơn. „ Đ a giác lồ i. Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đìô'3i với đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó. Hiển nhiên các đa giác lồi là những đa giác đơn. Trong hình 2, đa giác b là đa giác lồi, các đa giác còn lại đểu IkHiông phải là đa giác lồi. 1.2. Miền trong, diêm trong của da giác Đ ịn h lí J o rd a n . Cho H là đa giác nằm trong m ặt phẳng p. Kỉhn đó tập hợp P\H là hợp của hai tập hợp H° và H*, có các tính chất sau đây: i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đ ó đều có thê nôì với nhau bang một đường gấp khúc không có điểm chung vớti IH. ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập H° ivcà H* thì luôn có điếm chung với H. iii) Tập H° không chứa đường thắng nào, tập H* có chứa mhiững đường thẳng. 10 Đinh n g hĩa. Tập H° nói trong định lí Jordan được gọi là miền trong DỦađc giác H. Tập H* được gọi là miền ngoài của đa giác H. yiỗi điểm của H° gọi là điểm trong của đa giác H. VIỗi điếm thuộc H* gọi là điểm ngoài của đa giác H Tập H° u H = P\H* gọi là miền đa giác H. Miền đa giác H được kí hiệu là [H] (hình 3). Chứng minh định lí Jordan: Chứng minh định lí Jordan cho trường hợp teng quát khá phức tạp. Sau đây ta chỉ trình bày chứng minh trong trưmg hợp H là đa giác lồi. Giả sử H là đa giác lồi n cạnh. Ta kí hiệu Si (i = 1, 2,... n) là n đường thẳigchứa mỗi cạnh của H. Vì H là đa giác lồi nên H nằm về một phía đôi với mỗi Sị. Ta kí hiệu Sj° là nửa mặt phang mở với bờ là Si, và chứa tập H\Sị, còn Si* là nửa mặt phẳng mở đối của nửa mặt phẳng Sj° qua bờ chung là díờng thẳng s„ tức là p = SịViSịUSị* (hình 4). Ta đặt: H " = n s » ; H* = ủ s ;. 1=1 i=l 11 Hình 4 Dễ chứng minh rằng P \H = H° u H*, và H° n H’ = 0 , nên ta chÊhỉ còn phải chứng minh các tính chất i), ii), iii). i) Xét trường hợp A, B là hai điểm thuộc H°, tức là A và B đểu tl thuộSj°, với mọi i = 1, 2,..., n. Như vậy đoạn thẳng AB c Si° với mọi i = 1, 2,..., n. Suy ra AB c c H°, và do đó AB chính là đường gấp khúc không có điểm chung với H. Bây giờ xét trường hợp A, B l à hai điểm thuộc H*. Theo định nỊ nghĩa của H*, có i và j để A e Sj* và B 6 Sj‘. Nếu i = j thì hiển nhiên đoạn tbthắng AB c Si* tức AB c H*, và AB là đường gấp khúc nối A với B (hình 5). Hình 5 12 Nếu i * j, chẳng hạn j = i + k > i. Ta lấy điểm A1 s Sị‘nS'j + A2 6 s*i ♦ ! n s*ị 1 Ak 6 s*j _ , n s*j. Chú ý rằng s*m 'I s ’m ,,*0 nên có thể lấy được các điểm như thế. Khi đó hiển nhiên ta có cLròng gấp khúc AA,A2...AkB nằm trong H* và nối A với B (hình 5). ii) Giả sử A e H° còn B 6 H \ ta phải chứng minh rằng mọi đường gấp khú: nối A và B đều phải có điểm chung với H. Trước hết ta chứng tỏ rằng đoạn thẳng AB phải cắt H. Ta xét các góc AịAA, + I với i = 1, 2,..., n + 1. Điểm B phải thuộc một trong những góc đó và vì B thuộc H" nên đoạn thẳng AB phải cắt một trong các cạnh củađa giác. Bây giờ để chứng minh ii) ta giả sử ngược lại, có một đường gấp khú: AiAa- .An không có điểm chung với H, trong đó Aj trùng A và An trùig B. Vì đoạn thẳng A,A2 không cắt H và A, thuộc H°, nên theo chứng mirh trên A2 cũng phải thuộc H°.... tiếp tục suy ra Anl tức B cũng thuộc H°, liều đó là vô lí. iii) Trong mặt phảng p lấy điểm o và xét đường tròn (O, R) với bán kíni R đủ lớn sao cho mọi đỉnh của đa giác lồi H đều nằm trong (0, R). Khi đó cễ chửng minh rằng miên trong H° cũng nằm trong đường tròn đó. Từ đó aiy ra không có đường thẳng nào nằm trong H°, và mọi đưòng thẳng khôig cắt đưòng tròn (O, R) đều nằm trong H". 1.3. Các tính chất của da giác Trong mặt phang cho điểm A và một sô' e > 0, tập hợp tất cả những đ iể n c ác h A m ộ t k h o ả n g n h ỏ hơn c được goi là lâ n cậ n c c ủ a điôm A. Nói khá: đi lân cận 8 của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đưòng tròn tâmA bán kính E. Lân cận đó được kí hiệu là (A, e). a) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm trong của đa giác H là có một lân cận e của A chứa trong H°, nói khác đi có £ > 0 sao cho (A, s) c H°. Thật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta chọn E là số dương, sao cho E < AM với mọi điểm M e H. Khi đó nếu điểm B e (A, e) thì hiển nhiên đoại thẳng AB cũng không cắt H. Vì A là điểm trong nên B cũng là điển trong. Ngược lại nếu điểm A có lân cận (A, e) c H° thì cô nhiên A 6 H°, tức A là đ ểm trong của H. 13 b) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là có) rnrnột lâi cận e của A chứa trong H*: (A, e) c H*. Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh tính chất ía).). . Từ đí suy ra: c) Nếu A e H thì mọi lân cận (A, e) đều có chứa điểm trong vvàà điêiT ngoài của H. Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác đơn H, và hai cạnh củảaa H có chung đỉnh A là AB và AC. Khi đó lân cận (A, e) (không kể nhữínigg điểm thuộc AB, AC) được phân thành hai phần: một phần nằm trong ịgcóoc BAC mà ta kí hiệu là phần I, và phần kia nằm ngoài góc BAC mà ta kíí } hhiệu là phần II. Hiển nhiên nếu một trong hai phần đó chứa một điểimn trong (tương ứng một điểm ngoài) của H thì mọi điểm của phần đó đều llàà điểm trong (tương ứng là điểm ngoài) của H. Vì lân cận (A, s) phải chứa cả điểm ngoài và cả điểm trong nêmi t ta suy ra: Một trong hai phần đó chứa trong H°, và phần kia chứa trong HI*.. Đ ịnh n g h ĩa. Đỉnh A được gọi là đỉnh lồi nếu phần I chứa tiroonng H". và được gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong H‘. Trên hình 6 ta có các đỉnh lồi là A), A2, A4, Ae, A, và các đỉnlh lđõm là •A-3, A5. a 2 A7 Hình 6 14 DỊnh lí. Mỗi đa giác đơn có ít nhất là một đỉnh lòi. Chứng minh: Giả sử H là một đa giác đã cho (hình 7). M m Qua các đỉnh của H ta vẽ các đưòng thẳng song song với nhau. Giả sử các tưòng thẳng đó nằm ngang thì ta hãy chọn đường thẳng cao nhất, gọi nó li dường thẳng a và gọi đỉnh của H nằm trên a là A. Kí hiệu hai cạnh của tỉ xuất phát từ A là AB và AC. Mọi điểm M nằm cao hơn đường thẳng a đẩi ]à điểm ngoài của H, vì nếu gọi m là đưòng thẳng đi qua M và song sont vái a thì m không cắt H nên nó nằm ngoài H, và do đó M là điểm ngoii. Từ đó ta suy ra trong lân cận đủ bé của đỉnh A, phần I phải nằm dưóĩđường thẳng a tức là nằm trong góc BAC. Nói khác đi A là đỉnh lồi. 1.4. Phân hoạch - Sự đống phân của các da giác Phân ho ạch của đa giác. Đa giác H gọi là được phân hoạch thành các (agiác H,, H„ nếu: i) Các đa giác Hị đôi một không có điểm trong chung, túc là Hị° n Hj° = 0 nếu i * j. ii) Miền đa giác H là hợp của cốc miền đa giác H,: i=l 15 Nếu đa giác H được phân hoạch thành các tam giác th ì cáiclchh phâ| hoạch đó gọi là tam giác phản. Đ ường chéo củ a d a giác. Một đoạn thẳng nối hai đỉnh khháông ki nhau của một đa giác gọi là một đường chéo của đa giác đó. Đ ịnh lí. Bằng một đường chéo thích hợp mọi n-giác đơn có tthháê phâi hoạch thành hai đa giác có sô'cạnh bé hơn n. Chứng minh: Giả sử H là một n - đa giác đã cho (n > 3). Ta lââjïy BA( là một góc nào đó của H sao cho A là đỉnh lồi. Nếu miền tam giác ABC ngoài ba đỉnh A, B, c không còn ehuứứa mội đỉnh nào nữa của H thì dễ thấy rằng bằng đường chéo BC ta phân hao.oạch Ü thành hai đa giác mà một trong chúng là tam giác ABC, còn đa giácc : kia CC n - 1 cạnh, (hình 8a). B Hình 8a Nếu miền tam giác ABC có chứa các đỉnh của H khác với A, Bỉ, , c thì ta hãy vẽ qua các đỉnh đó những đường thẳng song song với BC và g?ọpi p là một trong các đỉnh đó nằm trên đường thẳng song song vối BC gần /A \ nhất (hình 8b). Ta chứng minh rằng đường chéo AP không có điểm chumpg nào với H ngoài hai đỉnh A và p. Thật vậy, giả sử có điểm M nằm giữa /A\ và p và M thuộc H. Vì M không phải là đỉnh của H nên M thuộc cạnh KL nnào đó của H. Có ít nhất một trong hai đưòng thẳng đi qua K, L và song sronng với BC nằm cao hơn đường thẳng đi qua p mà ta đã chọn. Suy ra có lít t nhất một trong hai đỉnh K, L nằm ngoài tam giác ABC, do đó một trompg hai cạnh AB hoặc AC phải cắt cạnh KL, trái với giả thiết H là đa giác đơm.i. 16 Hlnh 8b Từ định lí trên, bằng phương pháp quy nạp theo sô cạnh n của đa giát, ta suy ra: Dịnh li. Mọi đa giác đơn bất ki đều có tam giác phân. Các đa giác đổng phân. Hai đa giác đơn Hi và H2 được gọi là đồrq phân nếu chúng được phân hoạch thành các đa giác đôi một tương ứng bằn; nhau. {Chú ý: Hai đa giác gọi là bằng nhau nếu có phép đắng cự biến đa giá( này thành đa giác kia). Ví dụ: Một hình chữ nhật luôn có tam giác đồng phân với nó. Ngược lại noi ta m g iác lu ô n lu ô n có K ình ch ữ n h ậ t đ ồ n g p h â n vổi nó. Thật vậy, đối với hình chữ nhật ABCD ta lấy C’ là điểm đối xứng vói điển c qua điểm B thì hình chữ nhật đó đồng phân vói tam giác ACC’, (hìih 9a). A D C' B c Hình 9a 17 Ngược lại, cho tam giác ABC bất kì. Giả sử BC là cạnh lón m lnhhất tb đưòng cao AH sẽ có chân là H nằm giữa hai điểm B và c. Gọi E, F llàlàà truni điểm hai cạnh AB và AC. Kẻ BB’ và CC’ vuông góc vói đường th ẳ n g Ị ỉ EF th ta dễ thấy tam giác ABC đồng phân với hình chữ nhật BCC’B’, (hìnlh h 1 9b). A 1.5. Diện tích đa giác 1.5.1. Hàm diện tích Kí hiệu 2) là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong m ặt phăng. Ánh xạ S: ă -» R+ (R+ là tập hợp cấc sô’ thực dương) gọi là hảnm n diện tích nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây: i) Nếu hai đa giác H[ và H, bằng nhau thì S(H,) = S(H2). ii) Nếu đa giác H được phân hoạch thành các đa giác Hi, Hỉ„tn thì: s(H) = £s(H,). i=l iii) Nếu V là hình vuông có cạnh bằng 1 thì S(V) = 1. Nếu có ánh xạ s như th ế th ì giá trị S(H) sẽ gọi là diện tíc :h h của đa giác H. 1.5.2. Sau đây với giả thiết tạm thời là hàm diện tích tồn tại, xét mộ)t t hàm s như thế, ta tìm cách tính diện tích các hình đa giác. a) Đ ịnh lí. Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước c.ủủa nó (tức là tích độ dài hai cạnh liên tiếp). Chứng m inh: Trước hết ta có nhận xét sau đây: Với N là sô' nígiỊuyên dương, mỗi hình vuông có cạnh bằng 1 có thể phân hoạch thành N Ä 1 hình 18 vuôig có cạnh bằng 1/N. Theo tính chất i) của hàm diện tích các hình vuôig đó đều bằng nhau, theo tính chất ii) tổng các diện tích đó phải bằng diệi tích hình vuông lớn, tức là bằng 1 (tính chất iii). Từ đó suy ra diện tích mỗi hình vuông bé bằng 1/N2. B, B B2 Hình 10 Bây giò giả sử cho hình chữ nhật ABCD, với AB = a và AD = b. Ta kí hiệv q = 1/N, thì theo tiên đề Archimedes, ta có các số nguyên m và n sao '.ho: mq < a < (m + l)q và nq < b < (n + l)q (1) Trên tia AB ta đặt các đoạn thẳng AB, = mq và AB2 = (m + l)q Trên tia AD đặt các đoạn thẳng AD, = nq và AD2 = (n + l)q. Nếu ta dựng các hình chữ nhật A B ^ D , và AB2C2D (hình 10), thì từ các inh chất của hàm diện tích, ta suy ra: S(AB,C,D,) < S(ABCD) < S(AB2C2D2). Cũng từ các tính chất của hàm diện tích ta có: S(AB,C,D,) = mnq2, S(AB2CD2) = (m + l)(n + l)q2 Như vậy là: mnq2 < S(ABCD) < (m + l)(n + l)q2 (2) Mặt khác từ các bất đẳng thức (1) ta suy ra: 19 mnq2 ắ ab < (m + l)(n + l)q2 Từ (2) và (3) ta suy ra: I S(ABCD) - ab I < (m + l)(n + l)q2 - mnq2 = mq2 + nq2 + q2. Với chú ý rằng mq < a, nq < b, và q = 1/N ta suy ra: I S(ABCD) - ab I < aq + bq + q2 = — + — + - L . N N N Lấy N đủ lớn thì bất đẳng thức cuối cùng sẽ cho ta kết t < quả 1 S(ABCD) = ab. b) Đ ịn h lí. Diện tích của tam giác bằng nửa tích sô'của một C( ccạnh UI chiều cao ứng với cạnh đó. Chứng minh: Giả sử tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, ABB3 = c vi các chiều cao tương ứng là ha, hb, hc. Bằng cách xét các tam giác đồngigg dạng dễ dàng chứng minh rằng a.h„ = b.hb = c.ỉv Bây giờ giả sử BC là cạnh lốn nhất, ta đã biết rằng tam giáiádc ABC đồng phân với hình chữ nhật BCC’B’ có BC = a và BB’ = — h . Theieeo tính chất của hàm diện tích thì hai tam giác đồng phân cố nhiên có diệiệện tích bằng nhau. Vậy: S(ABC) = S(BCC’B’) = i a . h 8. c) D iện tíc h d a g iác đơn. Ta dă biết ràng mỗi da giác dơn có í ítít nhất là một tam giác phân. Theo tính chất của hàm diện tích th ì diện t tẾích đa giác bằng tổng diện tích các tam giác trong tam giác phân đó. Từ các định lí trên đầy ta cũng suy ra: Đ ịn h lí. Nếu hàm diện tích tồn tại thì nó là duy nhất. 1.5.3. Sựtồn tại của hàm diện tích Đ ịn h lí. Hàm. diện tích là tồn tại. Ta sẽ chứng minh rằng có ánh xạ S: 2) -> IR¡+ thoả m ãn các tínhhh chất i), ii) và iii) của hàm diện tích. 20 Tí xây dựng hàm s như sau: + '■íếu A là tam giác vói một cạnh là a và chiều cao tương ứng là ha, thì ta đit S(A) = -a.h .,. (Chú ý rằng định nghĩa đó là đúng đắn bởi vì đối với các tam giác ta luôn lum có đẳng t h ứ c a . h a = b . h b = C .h c). + 'ỉếu H là một đa giác đơn thì ta chọn một tam giác phân nào đó của nó và đit S(H) bằng tổng các S(Aị) với A| là tấ t cả các tam giác của tam giác phân đ(. A Đt định nghĩa đó là đúng đắn ta phải chứng minh rằng giá trị S(H) như thékhông phụ thuộc vào cách tam giác phân của H. Chứng minh được tiến hàih bởi các bước như sau: Niu tam giác ABC được phân hoạch thành các tam giác ABD,, AD,I>.....AD„C như trên hình 11 thì: S(ABC) = S(ABD,) + S(AD,Ds) +... + S(ADnC). Đểu đó dễ dàng suy ra từ định nghĩa của hàm s đối với tam giác. Clo tam giác A!A2A3 và một điểm A tuỳ ý, ta luôn có: S(A,A2A3) = e,S(AA2A3) + e2S(AA3A,) + e3S(AA,A2). Tong đó £ị bằng 1, -1 hoặc 0, được xác định như sau: e, = 1 nếu hai điểm Aj và A nằm cùng phía đối với đường thẳng A2A3. E, = -1 nếu hai điểm ấy nằm khác phía đối với đường thẳng A2A3. E; = 0 nếu điểm A nằm trên đường thẳng A2A3. 21 Đối với s2, £ 3 cũng xác định tương tự. Chứng m inh điều đó không gặp khó khăn, ta chỉ cần dựíựđa vàơ nghĩa hàm s đối với tam giác. S au đây ta nêu một sô" trư ờ n g hợpipp theo của điểm A, (hình 12a,b). Hinh 12a Hình 12b J S(A,A2A3) = S(A,A2A3) - = -S(A A ,A ị) + S(AA,A,) + + 1- S(AA = S(AA2A3) + S(AA3A 1) + S(AAiA2) S(A™ - S W A n G iả sử tam giác ABC được p h â n hoạch th à n h các ta m ggi,'iác A, i=l, 2,..., n. T a luôn luôn có th ể giả sử rằ n g hai ta m g iác k h á á á c nh í và Aj hoặc không có điểm chung, hoặc có m ột đ ỉnh c h u n g , hooạặc có cạnh chung. Ta chứng minh: ^ S (A .) = S(ABC) i=l Mỗi tam giác Aj là m ột tam giác A!A2A3 nào đó với các đỉm hh A, tl miổn tam giác ABC. Ta dùng công thức S(A[A^A3) = EiSÒOÍAA^A e2S(AA3A1) + e3S(AA,A2) để thay vào vế bên trái của (*). N ếu cạnh nào đó là cạnh chung của hai tam giác vèà I Aj thì trị S(AA!A2) sẽ x u ất hiện hai lần với dấu đổi nhau (nếu A không? I nằm I đưòng th ẳn g AjA2) hoặc đều bằng 0 (nếu A nằm trê n AjA2), v ậ jy / tổng chúng luôn luôn bằng 0. N ếu cạnh nào đó nằm trê n c ạ n h A1B8 hoặc củạ tam giác ABC th ì hiển nhiên giá trị SíAAịA ^ bằng 0. N hư vậy trong tổng của chúng ta chỉ còn lại các giá tr ị s o A:\AjAv) đoạn th ẳn g AjA2 nằm trê n cạnh BC, và do đó theo m ục a) tổrụg? đó b S(ABC), tộm lại (*) đã được chứng m inh. 22 c) Bâv giò giả sử H có hai cách tam giác phân: cách thứ n h ấ t ifhành (ác tam giác Aj, i = 1, 2,..., s, và cách thứ hai gồm các tam giác W’, với = 1, 2,..., s’. T; chứng m inh rằng: ¿ S (A ,) = £ S ( A ') (1) 1=1 j=l Tí chú ý rằng với hai giá trị i và j (1< i < s, 1< j < s’), giao của miền tam giæ Aị và miền tam giác A’j là một miền đa giác lồi có số cạnh là 3, hoặc 4, ìoặc 5, hoặc 6. Ta phân hoạch các đa giác đó thàn h các tam giác Ak. Khư vậ’ ta được tam giác phân thứ ba thành các tam giác Ak, có tính chất: nỗi tan giác Aị hoặc A’j đều được phân hoạch thành một sô' nào đó các tam pác Ak.Từ đó, chú ý đến kết quả ở c) ta suy ra đắng thức (*) vì hai vế của lócùngbằng S(Ak ). Niư vậy là với mỗi đa giác đơn H ta có một giá trị dương S(H) hoàn »àn xái định, tức là đã có hàm S: -» Ki*. Vặc chứng m inh hàm s là diện tích (tức là thoả mãn các tính chất i), i) và iii không gặp phải khó khăn gì. Chúng tôi dành cho bạn đọc. 1.6. Dện tích và tính đồng phân Tí đã biết rằng hai đa giác đồng phân thì có diện tích bằng nhau. Prong jhần tiếp theo ta sẽ chứng minh mệnh đề đảo: Hai đa giác đơn có liện LÍC1 b ằ n g n h a u t h ì đ ồ n g p h â n . ĩti đê. Nôn đn giác H , đồng phân với đn giác Ha, đa giác H. đỏng than vá. đa giác H t thi đa giác H , đồng phản với đa giác H 3. Ciứng minh: Giả sử các đa giác HjVà H2 cùng được phân hoạch hành (ác đa giác G¡, i = 1, 2..... n, các đa giác H2 và H.1 cùng được phân loạch tiành các đa giác G’j, j = 1, 2,..., m. Ta hãy xét tập hợp các đa giác ỉ, n G’j(i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m). Hen nhiên chúng làm thành một phân hoạch mới của H2. Niưng với mỗi i cố định, đa giác Gj được phân hoạch thành các đa iác G¡n G’jtj = 1, 2,..., m) cho nên đa giác H, cũng được phân hoạch thành ác đa íiác Gị n G’j. Tương tụ, với mỗi j cố định, đa giác H3 được phân 23 hoạch th àn h các đa giác G¡ n G’j, (i = 1, 2,..., n), cho nên đa giác: } H;ị cq được phân hoạch th à n h các đa giác G ¡n G ’j. Vậy H, đồng phân với ? H j. Đ in h lí. H ai hình chữ nhật có cùng diện tích th ì đồng phân. Chứng m inh: Giả sử hình chữ n h ậ t OADB và OA’D ’B’ có c OA = OB = b, OA’ = a, OB’ = b’ với ab = a’b’. Ta dễ dàng chứng m inh rằ.npg: A'E AB’ // DD’. T hật vậy, vì ab = a’b’ nên a:a’ = b : b’, suy ra: A’B//A1BB’. Lại (a — a’) : a’ = (b’ - b) : b nên DD’ // AB’, (hình 13). B’___________________ D' \ f\ G 0 A' A Hình 13 Nếu đoạn th ẳn g AB’ cắt hai cạnh BO’ và 0 ’A’ của h ìn h (Chhữ nh. OBO’A’ lần lượt tại F và G thì dễ thấy hai hình chữ n h ậ t đã ichho đồt phân: H ình chữ n h ậ t OADB được phân hoạch th àn h h ìn h th a n g <0)BFA \ tam giác FAD còn hình chữ n h ậ t OA’D’B’ được phân hoạch th ân n h hìr thang OA’GB’ và tam giác B’GD’, và rõ ràng là hai h ình th a n g trêên đồr phân và hai tam giác trên bằng nhau. Trưòng hợp trê n xảy ra khi* điểm nằm trên đoạn thẳng BO’ tức là BO' + FD > BD hay là 2a’ > a. Bây giờ ta xét trường hợp 2a’ < a. Ta có sô’ nguyên dương m sao cho 2ma’ < a < 2m + V , và đ ặ t aa¡ = 2‘s bi = i b', i = 1, 2,..., m. Khi đó ta có a¡b¡ = a’b’ = ab. Nếu gọi Ci là những hình chữ n h ậ tt có kíc thước là ai và bị thì theo trường hợp đã chứng m inh trên ta có: h ìn h clhũ nhỆ OA’D’B’ đồng phân với Cl, c, đồng phân với C2... Cm đồng p h ân wới hin chữ n h ật OADB từ đó suy ra hai hình chữ n h ật đã cho là đồng phân. 24 Đ .nh lí. Hai đa giác đơn có cùng diện tích thi đồng phân. Cì.ửng minh: Giả sử H là một đa giác bất kì, ta phân hoạch H thành các tam giác Aj, i = 1, 2,... , k. Ta biết rằng mỗi tam giác luôn đồng phân với một hình chữ nhật. Ta gọi Hị là hình chữ nhật đồng phân với tam giác Aj. Chọn rrột giá trị dương a cố định, và với mọi i ta kí hiệu H’j là hình chữ nhật có một cạnh bằng a, cạnh kia bằng bị sao cho diện tích của nó bằng diện tíci Hị. Khi đó hai hình chữ nhật Hị và H’ị đồng phân và do đó tam giác Aị ¿ồng phân với H’ị. Vì các hình chữ nhật H’ị đều có một cạnh bằng a nên ta (ó thể xếp chúng để được một hình chữ nhật H’ có một cạnh bằng a còn cạm kia là b = bj + b2 +... + bk. Hiển nhiên khi đó đa giác H đồng phân với hình chữ nhật H’. Bây giò nếu có đa giác G thì cũng chứng minh như trên ta có hình chữ nhật G' đồng phân với G và một cạnh của G’ bằng a. Nếu hai đa giác H và G có diện tíci bằng nhau thì hai hình chữ nhật H’ và G’ có cùng diện tích và có một c ạn h bằng nhau, do đó phải bằng nhau. Từ đó suy ra H và G đồng phân. §2. DIỆN TÍCH CỦA CÁC HÌNH PHANG 2.1. Hhh và diện tích của hỉnh a. Ta đã biết định nghĩa tông quát của hình: đó là một tập hợp các điếm. Các đa giác, miền đa giác là những ví dụ đơn giản vê hình. Ngoài ra có n h ữ r g h ì n h p h ứ c t ạ p h ơ n n h iề u . Đ ;nh n g h ĩa . Điểm A được gọi điểm trong của hình X nếu có một lân cận 8 của A chứa trong X: (A, e) c X. Cố nhiên khi đó điểm A cũng thuộc X. Tập hớ) các điểm trong của hình X gọi là phần trong của X, kí hiệu là Int.x. Đêm B được gọi là điếm biên của hình X nếu mọi lân cận e của điếm B đều (ó chứa các điểm của X và các điểm không thuộc X. Tập hợp các điêm bièn của X gọi là biên của hình X, kí hiệu là 5X. CIlú ý rằng điểm biên của X có thể thuộc X hoặc không thuộc X. 25 b. H ìn h đ ơ n g iả n . Một hình H được gọi là h ìn h đơn g iả n I I nếu r hợp của m ột số hữu h ạn m iền tam giác, đôi m ột không có đđiềiểm ti chung. Khi đó ta nói rằn g hình H được phân hoạch th à n h các tarrm n giác. Theo định nghĩa đó một miền đa giác hoặc m ột số hữu hạnn n miềi giác đôi m ột không có điểm chung đều là hình đơn giản. Hình 14 Trong hình 14 (phần có gạch chéo) là những h ìn h đơn giản Itituy nh chúng không phải là m iền đa giác. Đ ịn h n g h ĩa . Nếu hình đơn giản H được phân hoạch th àn lh ti các t giác A, th ì tổng diện tích của các tam giác đó được gọi là diệni s tích ( h ình H , kí hiệu là S(H): S (H )= X SíA i). Để định nghĩa đó đúng đắn ta phải chứng m inh rằn g giái trị Sl không phụ thuộc vào cách phân hoạch H th àn h tam giác. C h ứ n g ! minh hoàn toàn tương tự như chứng m inh cho trường hợp H là đa giác (đđơn. 2.2. Hình khả diện Đ ịn h n g h ĩa . Một hình X gọi là khả diện (có diện tích) nếiu i với n e > 0 cho trước, luôn luôn có các h ình đơn giản G và H sao cho GccXc và S(H) - S(G) < E. 26 Diện tíc h c ủ a h ìn h k h ả diện : Cio X là một hình khả diện. Ta lấy tấ t cả các hình đơn giản G„ mà G„ C X và tấ t cả các hình đơn giản Hm mà X C Hm. Vì hình X khả diện nên có ít nhít một G„ và ít nhất một Hm. Cố nhiên với mọi i và j ta đều có Gị C H, và do đ) S(G,) < S(Hj). Như vậy tập hợp các giá trị S(G„) bị chặn trên nên có cận trêi đúng, kí hiệu là S(X). Tập hợp các giá trị S(H„,) bị chặn dưới nên có cận cưới dũng, kí hiệu là S(X). Ti chứng m inh rằng S(X) = S(X). T iậ t vậy, nếu không như thê thì S(X )- S(X) = E > 0. Khi đó với mọi h ìth đơn giản G và H sao cho G ç X ç H ta đều có S(G) < S(X) và S(H ) > S(X ), nên: S(H) - S(G) > E, là điểu vô lí. Đinh n g h ĩa: Diện tích S(X) của hình X là giá trị S(X) = S(X) = S(X) Đ nh nghĩa trên cho các hình bất kì có thê áp dụng cho trường hợp hìnli X là hình đơn giản và khi đó diện tích của hình đơn giản theo định nghĩa úng quát trên cũng chính là diện tích đã biết của nó. 2.3. Cic tính chất của diện tích a.H ai hình bằng nhau có diện tích bằng nhau. T iật vậy, giả sử X và Y là hai hình bằng nhau, tức là có phép đẳng cự ỉ : p -> p sao cho f(X) = Y. Khi đó nếu có hình đơn giản G và H sao cho [G] c X c [H], thì ta có f(G) c Y c f(H). Niưng vì G và f(G) có diện tích bằng nhau, H và f(H) cũng vậy nên S(X) = S(Y). b.Nếu X và Y là các hình khả diện thi các hình X u Y , X n Y , X \In tY là nhữ)g hình khả diện và: S (X u Y) = S(X) + S(Y) - S(X n Y). Ciúng ta thừa nhận không chứng minh tính chất này. 27 §3. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ SEMINAR 1. Sưu tầ m , p h â n loại và giải các bài to á n có liê n qiuaaan đéi giác và diện tích đa giác. 2. Sử dụng diện tích trong giải toán hình học. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1. Chứng minh rằng nếu đường thẳng a không đi qua đỉnh nào của n—ggigiác (đơ thì số cạnh của Đ cắt a là một số chẩn. Đường thẳng a có thể cắt moooi cạnh Đ hay không? Tại sao lại phải đặt điều kiện a không đi qua đỉnh nào (CCÙa Đ9 2. Cho đa giác lồi L và đường thẳng a không đi qua đỉnh nào của L. CCEhứng r rằng a cắt L tại nhiều nhất là hai điểm. 3. Chứng minh rằng nếu đoạn thẳng AB cắt đa giác Đ tại điểm c nằm cgiãiữa A V và c không phải là đỉnh của Đ, thì một trong hai điểm A, B là điểm i trtrong , điểm kia là điểm ngòai của Đ. 4. Cho hai điểm A, B thuộc đa diện Đ và các điểm nằm giữa A và B đđếu khi thuộc Đ. Chứng minh rằng mọi điểm nằm giữa A và B đểu lâ (điĩiểrn tri hoặc đều là điểm ngoài của Đ. Nếu Đ là đa giác lồi thì kết luận cđđó thay như thế nào? 5. Cho tia Ox với điểm gốc o nằm trong đa giác Đ, và tia Ox không (đíĩi qua c nào của Đ. Chứng minh rằng có một sô' lẻ các cạnh của Đ cắt tia 0)X.:. Nếu í đa giác lồi, kết luận đó thay đổi như thế nào? 6. Chứng minh rằng mọi đỉnh cùa đa giác lồi đều là đỉnh nhọn. Ỷ 7. Chứng minh rằng tổng số đo các góc ở đỉnh của một n - giác lồi bằng (n - 2). 180°. •8. Mệnh đề ở bài toán 7, không đúng đối với đa giác không lồi. Hãy nêu I một ví về một tứ giác có tổng các góc bằng 4°. 28 Cl-ứng minh rằng mỗi đa giác có ít nhất là ba đỉnh lồi. Hãy nêu những thí dụ về cáz n - giác có ba đỉnh lồi, mọi đỉnh còn lại đều lõm. CPứng minh rằng nếu đa giác lồi L, nằm trong đa giác lồi L2 thì chu vi của L, bé hcn chu vi của L2. Cl-ứng minh rằng mỗi đa giác Đ luôn luôn có một đa giác lối L duy nhất sao cho moi đỉnh của L là một đình nào đó của Đ và [Đ] c [L]. Đa giác lối L được gọi là bao lồi của đa giác Đ. Cíứng minh rằng đưàng trung tuyến của tam giác chia tam giác đó thành hai tan giác đồng phân. Héy dựng những hình vuông đồng phân với mỗi đa giác dưới đây (hinh 15). Hình 15 Clứng tỏ rằng hai hình bình hành có đáy bằng nhau và chiếu cao bằng nhau thì đãg phân. Clứng tỏ rằng hai tam giác có đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì đởig phân. H 3) ii) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của q cạnh (q > 3). Mỗi h ìn h đa diện đều như vậy gọi là đa diện đều loại {p, q}. Tứ diện đều là đa diện đều loại {3, 3}, h ìn h lập phương là đa diện đều loại {4, 3}. 36 Đ ịn h lí. Có không quá 5 loại hình đa diện đều. Chứng minh: Ta kí hiệu Đ, c , M lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số m ặt pủa đa diện đều loại {p, q) thì ta luôn có: q.Đ = 2C = p.M (1) Thật vậy ta có Đ đỉnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của q cạnh, vậy có qĐ bạnh nếu mỗi cạnh được tính hai lần (vì mỗi cạnh có hai đỉnh), tức là qĐ = 2C. Tương tự, ta có M mặt, mỗi m ặt có p cạnh, vậy có pM cạnh nếu mỗi ;ạnh được tính hai lần (vì mỗi cạnh là cạnh chung cho hai mặt), tức là pM = 2C. Từ (1) và với chú ýĐ-C + M = 2ta suy ra: Đ c M Đ - c + M 2 4pq I ~ Ĩ ~ T ~ Ĩ 7 I ỉ ~ ỉ Ỉ _ I - 2p + 2 q - p q ' q 2 p q 2 p q p 2 Vậy: Đ = — ^ — , c = — ạa— ,M = — Ịhs__ 2p + 2q - pq 2p + 2q - pq 2p + 2q - pq Vì Đ, c, M là những sô' dương nên: 2p + 2q - pq > 0 hay L - 2)(q - 2) < 4. Như vậy, p - 2 và q - 2 là những số nguyên dương có tích nhỏ hơn 4. bác Lích dó chỉ có thể là 1.1, hoậc 2.1, hoậc 3.1 hoặc 1.3. Tóm lại, ta có 5 loại sau đây; {3, 3}; {4, 3}; {3, 4}; {5, 3}; {3, 5}. Cụ thể là (hình 21): Loại {3, 3} gọi là hình tứ diện đều, có 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt. Loại {4, 3} gọi là hình lập phương, có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt. Loại {3, 4} gọi là hình tám m ặt đều, có 6 đỉnh, 12 cạnh, 8 mặt. Loại {5, 3} gọi là hình 12 m ặt đều, có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 m ặt. Loại {3, 5} gọi là hình 20 m ặt đều, có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt. 37 Loại {3, 5}: Hinh 20 mật đều Hình 21 38 Định lí trên cho thấy có không quá 5 loại hình đa diện đêu, bằng cách dựng từng loại mặt, ta thấy có đủ 5 loại m ặt đó. Chẳng hạn, lấy các đỉnh của hình 8 m ặt đều là tâm các m ặt của một hình lập phương, dựng các cạnh bằng cách nối các đỉnh liền kề (tự chứng minh). Ngược lại, lấy tâm của các m ặt của một hình 8 m ặt đêu làm đỉnh ta được một hình lập phương. Tương tự, hình 20 m ặt đểu có 12 đỉnh và 20 m ặt bạn đọc có thể tự dựng như hình vẽ xuất p h át từ một hình trụ đứng có chiều cao h thích hợp, rồi dựng hai ngũ giác đểu nội tiếp đáy trên và đáy dưới lệch nhau một góc — và chon chiều cao h thích hơp để khi nối các đỉnh của hai ngũ giác đó ta 5 được các tam giác đều,...). Tâm của 20 m ặt đó là các đỉnh của một hình 12 m ặt đều (và ngược lại). Platon, nhà triế t học Hi Lạp (khoảng từ năm 428 đến 348 trước Công nguyên), là người đầu tiên đã chứng minh chỉ tồn tại 5 loại hình đa diện đều lồi như trên. Thời đó, người ta lấy hình tứ diện để tượng trưng ;ho lửa, hình lập phương - đất, hình 8 m ặt đều — không khí, hình 12 m ặt âều - vũ trụ. 1.7. Đa diện nửa đểu Archimedes (287 — 212. TCN) là nghiên cứu các hình đa diện nửa đều. Đ ịn h n g h ĩa . H ình đa diện nửa đều Archimedes là hình đa diện tạo bởi 2 hoặc 3 dạng đa giác đều có độ dài các cạnh bằng nhau được sắp xếp theo cùng một cách và cùng một thứ tự xung quanh mỗi đỉnh. 39 Hình 24 Ví dụ: Hình đa diện nửa đều trên (hình 23) tạo bởi các tam giác đều và các hình vuông: Khai triển hình trên ta có 8 m ặt là tam giác đều, 6 mặt là hình vuông. 40 §2. THỂ TÍCH CỦA CÁC KHÔI ĐA DIỆN 2.1. Phân hoạch của khôi đa diện a) Đ ịn h n g h ĩa . Hình đa diện D gọi là được phân hoạch thành các hình đa diện D b D2,.., Dn nếu: i) Các đa diện D, không có điểm trong chung, nghĩa là nếu i * ị thì D°;OD°j = 0 . ii) [D] = ỊJ[D,] i = l b) Đ ịn h n g h ĩa . Hai đa diện được gọi là đồng phân nếu chúng được phân hoạch thành các hình đa diện đôi một bằng nhau. c) Các tín h chất Người ta chứng minh được các tính chất sau đây, tương tự như đối với các đa giác: i) Bất k ì đa diện nào đều có phân hoạch thành các hình tứ diện. ii) Hai đa diện cùng đồng phân với đa diện thứ ba thi đồng phản với nhau. 2.2. Thể tích của khôi đa diện a) Hàm th ể tích Gọi n là tập hợp nár đa diện trong không gian, hàm V: n —> [3*gọi là hàm thê tích nếu V thỏa mãn các tính chất sau đây: i) Nếu D và D’ là hai đa diện bằng nhau (tức là có phép đẳng cự biến D thành D’) th ì V(D) = V(D’). ii) Nếu đa diện D được phân hoạch thành các đa diện Dj, D2,.., D„ thì V(D) = V(D1) + V(D2) + ...+ V (D n). iii) Nếu u là hình lập phương có cạnh bằng 1 thì V(U) = 1. Khi đó giá trị V(D) được gọi là thể tích của đa diện D, hoặc là thể tích của khối đa diện [D]. 41 Người ta cũng chứng m inh được định lí sau: Đ in h lí. H àm th ể tích là tồn tại và duy nhất. b) T h ể tíc h củ a h ìn h h ộp ch ữ n h ật H oàn toàn tương tự như chứng m inh công thức về diện tích hình chữ nhật, ta có th ể chứng m inh sau: Đ in h lí. T h ể tích của h ìn h hộp ch ữ n h ậ t với K ích thước a, b, c là V = abc. c) T h ể tíc h củ a h ìn h hộp đứng H ình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc vói m ặt đáy. Độ dài cạnh bên khi đó bằng khoảng cách giữa hai đáy nên nó bằng chiểu cao của hình hộp đó. Đ in h lí. T h ể tích của hình hộp đứng bằng tích của chiều cao và diện tích đáy. C hứng m inh: Giả sử A B C D A ^C ^D ] là hình hộp đứng (AA, vuông góc với m ặt đáy ABCD). Ta lấy một hình chữ n h ậ t A ^ Ơ D ^ /B /C Y D ,’ với Ă’A,’ = AA, và S(A’B’C’D’) = S(ABCD). Khi đó hình bình hành ABCD và hình chữ n h ậ t A’B’C’D’ đồng phân vì có diện tích bằng nhau. Nhưng mỗi phân hoạch của hình bình hành ABCD th àn h các đa giác sẽ sinh ra một phân hoạch h ình hộp đứng A B C D A ^C ^D , th à n h các h ình lăng trụ đứng. Tương tự, mỗi phân hoạch của hình chữ n h ậ t A’B’C’D’ cũng sinh ra một phân hoạch của hình hộp chữ n h ậ t A ^C T^A /EV CV D ị’ th à n h các hình lảng trụ đứng. Từ đó suy ra hình hộp đứng đã cho đồng p h ân vối hình hộp chữ nhật, và do đó chúng có cùng thể tích. Vậy: VCABCDA.BAD,) = V tA ^C T C A /B /C /D ,’) = A’A;. S(A’B’C’D’) = AA,.S(ABCD). d) T h ể tíc h h ìn h h ộp bất kì Đ ịn h lí. Thế tích của h ìn h hộp bằng tích sô' của diện tích một m ặt đáy và chiều cao tương ứng. Chứng m inh: Cho hình hộp A B C D A ^C ^D ,. Gọi s là diện tích đáy ABCD và chiều cao tương ứng là h (h là khoảng cách giữa hai m ặt phẳng ABCD và A A C .D ,). Ta dựng một m ặt phang đi qua BC và vuông góc với m ặt phang ABCD, nó c ắt hai đường th ẳn g AịBị và CịD, lần lượt tạ i B2 và C2 (hình 25). 42 A B Hình 25 Dựng một m ặt phẳng đi qua AD và vuông góc với m ặt phẳng ABCD, nó cắt A,B] và C^Dj lần lượt tại A2D2. Dễ dàng thấy rằng hai hình hộp A B C D A jB ^D , và ABCDA2B2C2D2 đồng phân và do đó thể tích của chúng bằng nhau. Dựng một m ặt phẳng đi qua AB và vuông góc với m ặt phẳng ABCD, nó cắt B2C2 và A2D2 lần lượt tại B3 và A3. Dựng m ặt phẳng đi qua CD vuông góc với m ặt phẳng ABCD, nó cắt B2C2 và A2D2 lần lượt tại C3 và D3. Tương tự như trên hai hình hộp ABCDA2B2C2D2 và ABCDA3B3C3D3 có thể tích bằng nhau. Nhưng ABCDA3B3C3D3 là hình hộp đứng nên thể tích của nó bằng AA3.S(ABCD) = h .s. Tóm lại VíABCDA.BAD,) = h.s. e) T hể tích h ìn h lăn g trụ Đ in h lí. Thế tích hình lăng trụ bằng tích sô của diện tích đáy và chiều cao. Chứng minh: Trước hết ta hãy xét hình lăng trụ tam giác A B C A jB jC ]. L ấy D v à D) là c ác đ iổ n i s a o c h o A B D C v à là n h ữ n g hình bình hành. Khi đó ta được hai lăng trụ bằng nhau ABCA^jC] và D B C D ^iC j và tổng thể tích của chúng bằng thể tích hình hộp ABDCA.B.D.C,. Vậy: VíABCAjBjC]) = ỉh.S(A B C D ) = h.S(ABC). Đối vối hình làng trụ tùy ý, ta phân hoạch nó thành các hình lăng trụ tam giác thì hiển nhiên định lí được chứng minh, (hình 26). 43 B D Hình 26 f) T hê tích h ìn h chóp Ta nhớ lại rằng ta đã lập được công thức tìm diện tích tam giác bằng cách chứng m inh rằng tam giác luôn đồng phân với m ột hình chữ nhật. Nói tống quát hơn, ta có thể chứng m inh rằng: "Hai đa giác có diện tích bằng nhau thi đồng p h ả n ". Vấn đê tương tự được nêu ra, đó là "Bài toán thứ ba" dưới đây trong 23 bài toán của nhà toán học Hilbert: "Phải chăng hai khôi đa diện có cùng th ể tích thì đồng phân?". Nhà toán học Deln đã đưa ra câu trả lòi phủ định. Ông đã chứng m inh được rằng: "Tồn tại hai khối đa diện có cùng th ể tích nhưng không đông phân". Bởi vậy, iể tìm công thức t í n h thê tích của hình chóp, ta không thể dùng phương pháp đồng phân, mà phải viện đến phương pháp giới hạn. Dưói đây ta trìn h bày chi tiết. Đ in h lí. T h ể tích hình chóp bằng một phần ba tích sô của chiều cao và diện tích đáy. Chứng minh'. Giả sử cho hình chóp c có đỉnh s, đáy là đa giác H với diện tích s , có chiều cao h. Ta gọi SA là một cạnh bên của hình chóp. Chia cạnh SA thành n phần bằng nhau: SAj = A,A2 = ... = An_1A bởi các điểm chia Ai, A2,..., An_|. Qua mỗi điểm chia Aj ta vẽ m ặt phang song song với m ặt đáy, cắt hình chóp theo thiết diện là đa giác H, đồng dạng vâi đa giác H. Ta kí hiệu điểm A là An và đa giác H là H„, (hình 27). 44 B Hình 27 Vối mồi i = 1, 2,..., n — 1, gọi Lj là hình lăng trụ có đáy là đa giác Hi và có cạnh bên là AịAị + J. Khi đó [L¡] c [C], và các Lị không có điểm trong chung. Bởi vậy: V(C) > V(Lj) + V(L,) + ... + V(Ln_j). Đa giác H, đồng dạng với đa giác H theo tỉ sô' —, bởi vậy S(H¡) = n ( — )2S(H), ngoài ra chiều cao của mỗi Lj đểu bằng —. Như vậy: n n V(C) > -SK -)2 + <-)2 + ... + <— » = ^ (l2 + 2‘ + ... + (n- 1«. n n n n n Với mỗi i = 1, 2,..., n gọi K ị là lăng trụ có đáy là H, và cạnh bên là A¡Ai_, (xem s là Ao). Khi đó hợp các H¡ sẽ chứa [C] và do đó: V(C) < V(K,) + V(K2) +... + V(K„) = ^ (l2 + 22 +... + n2). n Chú ý rằng: l 2 + 22 +.. + n2 < — + — + 3 2 6 45 Ta đi đến: — + Ạ f ) < V ( C )< S h (- + — + — 7 3 2n 6n 3 2n 6n2 Cho n tăng lên vô cùng ta đươc V(C) = Ỉ S h , là điều phải 3 chúng m inh. §3. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ SEMINAR 1. Đ ịnh nghĩa góc đa diện, góc đa diện lồi. Góc phảng của m ột góc đa diện lồi. Nghiên cứu góc đa diện của các đa diện đều. 2. Đ ịnh nghĩa đa diện đều, nêu các định nghĩa tương đương. N ghiên cứu về các đa diện đều (đa diện Platon): tín h đối xứng, trọng tâm của hệ các đỉnh của mỗi đa diện đều, m ặt cầu nội ngoại tiếp, và tín h b án k ín h của chúng; nhóm các phép dời h ìn h giữ b ấ t biến mỗi đa diện đều; các đa diện đốì ngẫu: loại (p, q) và (q, p). 3. Đa diện nửa đều, đa diện Archim edes: định nghĩa, số’ lượng, các tín h chất. 4. Sưu tầm và giải các bài toán có liên quan tói thể tích của hình lăng trụ, hình chóp. Sử dụng thể tích trong giải toán hình học. 46 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Chứng minh rằng mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh và đỉnh chung của ít nhất ba mặt. 2. Chứng minh rằng nếu hình đa diện có các mặt đều là tam giác thì số mặt của nó là số chẩn. Hãy chỉ ra một đa diện như thế với số mặt lả 2n. 3. Chứng minh rằng nếu mỗi đỉnh của hình đa diện đều là đỉnh chung của ba cạnh thì sô' đinh phải là số chắn. 4. Hãy chỉ ra một hình đa diện có các mặt là hình bình hành nhưng không phải là hình hộp. 5. Hãy xày dựng một đa diện có các mặt đều là hình vuông bằng nhau mà không phải là hình lập phương. 6. Chứng minh rằng mặt của đa diện lối là những đa giác lối. Điều ngược lại có đúng không? 7. Chứng minh rằng hình lăng trụ là đa diện lồi khi và chl khi đáy của nó là đa giác lối. Phát biểu và chứng minh kết quả tương tự đối với hình chóp. 8. Chứng minh rằng mặt của đa diện lồi là những đa giác lồi. Điều ngược lại có đúng không? 'S. Hãy dựng sơ đồ phẳng của các đa diện dưói đây (hình 8): a) 47 Hình 28 ‘ 10. Hãy tìm đặc số Euler của các đa diện dưới đây, từ đó chỉ ra những đa diện không đơn liên (hình 29): Hình 29 '11. Hãy vẽ sơ đổ phẳng của 5 loại khối đa diện đều. ’VI 2. Chứng minh rằng số cạnh c của đa diện đều loại {p, q} được tính theo công thức: 1-1 1-1 D ” p+q 2 ^ 3 . Chứng minh rằng: a) Tâm các mặt của hình lập phương là đỉnh cùa một hình 8 mặt đều. b) Tâm các mặt của một hình 8 mặt đều là đỉnh của m ột hình lập phương. Phát biểu và chúng minh các kết quả tương tự đối với các hình đa diện đều khác. ^ 1 4 . Chứng minh rằng các hình đa diện đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp, mặt cấu nội tiếp, và mặt cầu tiếp với các cạnh , hơn thế ba mặt cẩu đó đổng tâm. 48 15. Hãy phân hoạch một hinh hộp thành một số ít nhất các hình tứ diện. 16. Bằng một số ít nhất mặt phẳng, hãy phân hoạch một hinh tứ diện thành 20 hình tứ diện. 17. Hãy chỉ ra một hinh lăng trụ xiên và một hình lăng trụ đứng đổng phân với nhau. 18. \ Hình chóp cụt (đã định nghĩa à Phổ thõng) có diện tích hai đáy là s và S', chiều cao h. Chứng minh rằng thể tích của nó là: V = — h(S + S' + x/sTs7). 3 H$. Hinh đa diện ở hình 30 gọi là lăng trụ cụt, đáy tam giác. Trong đa diện đó các cạnh bên AA', BB' và CC' song song nhưng không bằng nhau. Một mặt phảng nào đó vuông góc với cạnh bên và cắt các đường thẳng chứa các cạnh bẽn tại A,, 8,. c, thì tam giác A ^ c , được gọi là thiết diện thẳng của hình .lăng trụ cụt. Chứng minh rằng nếu AA’ = a, BB' = b, CC’ = c và S(A,B,C,) = s thì thể tích của hình lăng trụ cụt sẽ là: V = — (a + b + c)s. 3 20. Chứng minh rằng: a) Hai hình hộp chữ nhật có thể tích bằng nhau thì đổng phân. b) Hai hình hộp có thể tích bằng nhau thì đồng phân. c) Hai hình lăng trụ có thể tích bằng nhau thì đồng phân. 49 Chương 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN VÀ MẶT CẦU §1. PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIEM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRON 1.1. Phương tích Đ ịn h lí. Cho đường tròn (O, R) và một điềm M cô định. Một cát tuyến thay đôi đi qua M căt đường tròn tại A, B thi tích vô hướng M A.M B không phụ thuộc vào cát tuyến đó, nó được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O, R) và k í hiệu là: ■JPMnoRl. Chứng minh: Gọi AC là đường kính của đường tròn (O, R) (hình 31). Đặt MO = d. Ta có: MA.MB = MA(MC + CỂ) = MẤ.MC + MẤ.CB = = MA.MC = (MO + ÕÃ)(MO + ÕC) = (MÕ + ÕÃ)(MÕ - ÕA) = = MÕ2 - Õ Ã 2 = d 2 - R 2. 51 N hư vậy, phương tích của điểm M đối với đường tròn (O, R) luôn được tính theo công thức: -^M/(OR> = MO2 - R2. Từ đó suy ra: a) Điểm M nằm trê n đường tròn (O, R) khi và chỉ khi R) = 0. b) Điểm M nằm ngoài đường tròn (0, R) khi và chỉ khi '^M/(0 R) > 0. c) Điểm M nằm trong đưòng tròn (0, R) khi và chỉ khi '^M/(OR) < 0. 1.2. Trục đẳng phương Đ ịn h lí. Cho hai đường tròn (O, R) và (O', R') với o không trùng O’. Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn đó là một đường thẳng. Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròr, đó. C hứng m inh: Gọi M là điểm nào đó, H là hình chiếu của M trên OO’, gọi [ là tru n g điểm của 0 0 ’ (hình 32). Ta có: '^M/(o.R) = '^M/(0\R•) ^ M O - R 2 = M O ’ - R '2 « MÕ2 - M O '2 = R2 - R ’2 o (MO + M Õ ')(M Õ - M O’) = R2 - R '2 <=> 2MỈ.Õ70 = R 2 - R '2 <=> 2(MH + HĨ).Õt Õ = R2 - R '2 (*) <=> 2H Ĩ.Õ rÕ = R2 - R'2 M 52 Từ biểu thức (*) suy ra H là một điểm cố định. Vậy quy tích M chính là đường thẳng vuông góc với 0 0 ’ tại điểm H. D ựng tr ụ c đ ắ n g p h ư ơ n g : Đê dựng trục đắng phương của hai đường tròn ta chỉ cần xác định hai điếm của nó hoặc chỉ một điếm với chú ý rằng trục đắng phương luôn vuông góc với đường nốì tâm . Từ đó suy ra: Nếu (0, R) và ( 0 \ R’) cắt nhau tại hai điểm A, B thì trục đẳng phương của chúng là đường thẳng AB. Nếu (O, R) và ( 0 \ R’) tiếp xúc với nhau tại A thì trục đẳng phương của chúng là tiếp tuyến chung của hai đưòng tròn đó tại A. 1.3. Tâm đẳng phương Đ in h lí. Cho ba đường tròn (O!, R ị), (0 2, R J, (0 3, R ị) có tâm không thắng hàng. Khi đó ba trục đắng phương của ba cặp đường tròn đó đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. Chứng minh: Gọi dj là trục đắng phương của (O,, và (ơ 2. Rị); d2 là trục đẳng phương của (0 2, R2) và (0 3, R3). Vì 0 „ 0 2, 0 3 không thẳng hàng n ê n d , , d 2 c ắ t n h a u t ạ i đ i ể m I. N h ư v ậ y , R ) = '^*1/(0 . R ) = ' ^ 1/(0 , K,)> từ đó suy ra I cũng nằm trên trục đẳng phương d3 của hai đường tròn (0 „ R,) và (0 3, R3). §2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG TRÒN. HAI ĐƯỜNG TRÒN TRỰC GIAO 2.1. Góc giữa hai dường tròn Cho hai đường tròn (O, R) và (0 ’, R’) có điểm chung A. Gọi t và t’ là hai tiếp tuyến của hai đường tròn đó tại điểm A. Góc giữa hai tiếp tuyến t và t’ được gọi là góc giữa hai đường tròn đó. Khi t và t’ trùng nhau thì góc của hai đường tròn bằng không. Đó là khi hai đưòng tròn tiếp xúc với nhau tại A. Khi t và t’ vuông góc với nhau ta nói rằng hai đường tròn đó trực giao với nhau. 53 2.2. Điểu kiện cần và dủ để hai đường tròn trực giao a) Hai đường tròn (O, R) và (0\ R’) trực giao với nhau tại A khi và chỉ khi tiếp tuyến tại A của đường tròn này đi qua tăm của đường tròn kia. b) Hai đường tròn (O, R) và (ơ, R') trực gian khi và chỉ khi OOứ= R2 + R’2. c) Hai đường tròn (O, Ri và (O', R’) trực giao khi và chỉ khi Ỷoiựi R', = R hoặc >Jf(y no,R) = R 2’ Các tính chất trên đều có thể chứng minh dễ dàng. d) Hai đường tròn (0,R) và (0\ R’) trực giao khi uà chỉ khi một đường thăng qua tăm của một đường tròn cắt cả hai đường tròn theo hai cặp điếm liên hợp điều hòa. Chứng minh: Giả sử đường thẳng đi qua O’ cắt (O, R) tại A và B, cắt (0’, R’) tại c và D (hình 33). . / 0 /(0 ' R-> = R ’ 2 nên ÕrA.Õ7B = (VC* = Õ 'D \ suy ra A, B, c, D là hàng điểm điểu hòa. Hình 33 Đ inh lí. Quỹ tích tâm các đường tròn trực giao với hai đường tròn không đồng tăm (O, R) và (0\ R’J là tập hợp những điểm thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn nhưng nằm ngoài hai đường tròn đó. Chứng minh: Đưòng tròn (M, r) trực giao với cả hai đưòng tròn (0, R) và (0 \ R’) khi và chỉ khi: m/(0 .R) = r2và 'ý*M,';()■.m = r2 hay là ip M/(0,R) = M/(0',RT > 0 Từ đó suy ra M nằm trên trục đẳng phương của (0, R) và (0’, R’) đồng thòi nằm ngoài cả hai đường tròn đó. 54 §3. CHÙM ĐƯỜNG TRÒN 3.1. Định nghĩa Chùm đường tròn là tập hợp tấ t cả những đường tròn nằm trong cùng một m ặt phang sao cho có một đường thắng Á là trục đắng phương của bất kì hai đường tròn phân biệt nào của tập hợp đó. Đưòng thẳng A gọi là trục đẳng phương của chùm đường tròn. Vì A vuông góc với đường nối tâm của các cặp đường tròn của chùm nên tâm của tấ t cả các đường tròn đó phải nằm trên một đường thang. Đường thẳng đó gọi là đường nối tâm của chùm. 3.2. Các tính chất a) Nếu r là một tập hợp những đường tròn trong m ặt phẳng sao cho có hai điểm A, B phân biệt mà phương tích của mỗi điểm A và B đôi với mọi đường tròn thuộc r bằng nhau, thì T là tập hợp con của một chùm đường tròn nào đó. Chứng m inh: Theo giả thiết thì đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của mọi cặp đường tròn thuộc T. Từ đó suy ra ĩ là tập con của một chùm đường tròn. b) Nếu T là tập hợp những đường tròn có tăm nằm trên một đường thắng d và có một điêrn A có cùng phương tích đối với mọi đường tròn thuộc r, tìiì clà tập hợp con của m ột ch ù m đường tròn nào đó. Chứng m inh: Theo giả thiết, đường thẳng đi qua A và vuông góc với d chính là trục đẳng phương của mọi cặp đường tròn thuộc T. Từ đó suy ra T là tập con của một chùm đường tròn. 3.3. Các loại chùm đường tròn Lấy một cặp đường tròn bất kì của một chùm đường tròn. Ba trường hợp có thể xảy ra: chúng cắt nhau, chúng tiếp xúc với nhau, chúng không cắt nhau. 55 a) G iả sử hai đường trò n (0 , R) và ( 0 \ R ’) của chùm đường trò n nhau tạ i A và B (hình 34). Khi đó trụ c đ ẳng phương của chùm là đường th ẳ ig AB. H iển nhiên khi đó mọi đường tròn của chùm đều phải đi qua hai điển A và B. Một chùm đường tròn như thê được gọi là chùm eliptic. Có th ê nói ngắn gọn: chùm eliptic là tập hợp tất cá các đường tròn đi qua hai điểm ph ân biệt A, B. Đường nối tâm của chùm eliptic chính là tru n g trự c của đoạn th a n g AB. H ai điểm A, B được gọi là hai điếm cơ S Ở c ủ a c h ù m . b) Giả sử hai đường tròn (0, R) và (O’, R’) của chùm tiếp xúc vnhau tại điểm A (hình 35). Khi đó trục đẳng phương của chùm là đường thắng A, tiếp với hai đưòng tròn đó tại A. Hiển nhiên khi đó mọi đường tròn của chùm đều tiếp vói A tại A. Một chùm như thê gọi lò chùm parabolic. Có thể nói ngắn gọn: C hùm parabolic là tập hợp tất cả các đường tròn cùng tiếp với đường thắng A tại điểm A. 56 c) Giả sử hai đường tròn (O, R) và (0 \ R’) của chùm đường tròn không cắt nhau (hình 36). Khi đó trục đẳng phương A của chùm không cắt hai đường tròn đó và do đó không cát bất cứ đường tròn nào của chùm. Nếu ta gọi H là giao điểm của A và đường tròn nối tâm 0 0 ’, thì các tiếp tuyến HT kẻ từ H tới bất kì đường tròn nào cũng bằng nhau. Xét đường tròn (H, r) vói r = HT thì hiến nhiên mọi đường tròn của chùm đều trực giao với (H, r) Một chùm như vậy gọi là chùm hypebolic. 57 Hai giao điểm p, Q của đường tròn (H, r) với đường nối tâm d của chùm hypebolic gọi là hai điểm tới hạn của chùm. C húng có tên gọi như vậy là vì tâm của mọi đường tròn thuộc chùm hypebolic đều nằm trê n d nhưng nằm ngoài đoạn thẳng PQ. Rõ ràng là chùm hypebolic được hoàn toàn xác định nếu biết h ai điểm tới hạn p và Q. Mọi đường tròn của chùm đều phải có tâm nằm trê n đường thẳng PQ và ngoài ra phải trực giao với đường tròn đường k ính PQ. 3.4. Hai chùm đ ư ờ ng tròn liên hợp Đ in h lí. Cho chùm đường tròn c. Xét tập hợp C’ gồm tất cả các đường tròn trực giao với hai đường tròn ( 0 I, Rị) và ( 0 2, Rí) của chùm c. Khi đó: a) C' là một chùm đường tròn. b) Mỗi đường tròn của chùm C’ đều trực giao với mọi đường tròn của chùm c. Hai chùm đường tròn c và C’ như thê gọi là liên hợp với nhau. Chứng m inh: a) Phương tích của điểm 0 , đôi với các đường tròn C’ đều bằng Rj2, và phương tích của điểm 0 2 đối với các đường tròn C’ đều bằng Rg. Suy ra C’ là một chùm. Trục đẳng phương của C’ là đường thẳng OjOj tức là đường nôi tâm của chùm c . Ngược lại tâm của các đường tròn C’ là những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn (O l r o và (0 2, R2) nên đường nối tâm của chùm C’ chính là trục đẳng phương của chùm c. b) Giả sử (O’, R’) là một đường tròn của chùm c \ còn (O, R) là một đường tròn của chùm c . Vì (O’, R’) trực giao với (0 „ Ri) nên 0 ,/ ( 0 R J = R’2. Nhưng vì O’ nằm trên trục đẳng phương của chùm c nên 0 V ( 0 R j R|. Vậy '-f 0 ./ ( 0 R) = R’2, từ đó suy ra hai đường tròn (O’, R’) và (0, R) trực giao với nhau. Đ in h lí. C hùm liên hợp với chùm eliptic là chùm hypebolic; chùm liên hợp với chùm hypebolic là chùm eliptic, chùm liên hợp với chùm parabolic là chùm parabolic. 58 Chứng minh: Giả sử c là chùm eliptic với hai điểm cơ sỏ là A và B. Gọi I là đường tròn đường kính AB thì E thuộc chùm c (hình 37). Chùm liên hợp với c là chùm C’ gồm các đường tròn có tâm nằm trên AB và vuông góc vói đường tròn I. Vậy C’ chính là chùm hypebolic với hai điểm tới hạn là A và B. Tương tự: nếu C’ là chùm hypebolic với hai điểm tới hạn là A và B thì đường tròn £ thuộc chùm liên hợp c, mà vì AB là trục đẳng phương của chùm liên hợp, cho nên mọi đường tròn của chùm c phải đi qua A, B. Vậy c là chùm eliptic với hai điểm cơ sở là A và B. Bây giờ nếu c là chùm parabolic, gồm cấc đường tròn tiếp xúc với trục đẳng phương A của nó tại A (hình 38). Khi đó các đường tròn của chùm liên hợp C’ phải có tâm nằm trên A và đi qua A. Vậy C’ là chùm parabolic có trục đẳng phương là d, đường nối tâm của chùm c. 59 Hình 38 §4. PHÉP NGHỊCH ĐẢO 4.1. Định nghĩa Trong m ặt phẳng ơ clit cho một điểm o cô’ định, một số k * 0 . Với mỗi điểm M, (M * O) ta cho tương ứng vỏi điểm M’ nằm trên đường OM sao cho: OM.OM’ = k . Phép tương ứng như vậy được gọi là phép nghịch đảo. Điểm 0 được gọi là cực của phép nghịch đảo, k gọi là tỉ số hay phưcing tích của phép nghịch đảo. Phép nghịch đảo cực o tỉ số k được kí hiệu là f(0 ,k). 4.2. Một sô tính chất của phép nghịch đảo a) Điểm o không có điểm tương ứng qua phép nghịch đảo. Ta hãy sung thêm vào m ặt phang ơ clit một điểm duy n h ất gọi là điểm vô tận và quy ưóc nó là ảnh của điểm 0 qua phép nghịch đảo f(0 , k), đồng thời là tạo ảnh của 0 qua f(0, k). Ngoài ra, ta còn quy ưóc rằng mọi đường thẳng đều đi qua điểm vô tận. 60 b) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: nếu điểm M biến thành điếm M’ thì ngược lại điểm M’ biến thành điểm M. c) Nếu k > 0, thì những điềm M nằm trên đường tròn (O, \fk ) sẽ biến thành chính nó. Đường tròn (0, Vk) trong trường hợp đó được gọi là đường tròn nghịch đảo. 4.3. Biêu thức tọa độ của phép nghịch đảo Cho phép nghịch đảo f(0, k). Ta hãy chọn một hệ tọa độ trực chuẩn có gốc tọa độ trùng với cực 0 của phép nghịch đảo. Giả sử điểm M = (x, y) có ảnh là M’ = (x\ y’) (hình 39). Hình 39 Ta có: o, M , M ’ t h ẳ n g h à n g n ô n x’ = A.X, y ’ = Xy. M ặ t k h á c O M .O M ’ — k h a y xx’ + yy’ = k nên ta suy ra: Xx2 + Xy2 = k hay a = — —-. X 2+ y2 kx 2 2 X + y Tóm lại: " ■ y = 2ky - L y X2 + y 2 (k * 0 ) (*) 61 Trong biếu thức trên ta phải có điều kiện X 2 + y2* 0 tức là M * o . Nếu M = o tức X 2 + y2 = 0 ta xem x’ = 00, y’ = 0 0 và (oo, oo) là tọa độ của điểm vô tận mà ta đã bố sung vào m ặt phang ơclit. 4.4. Ảnh của dường thẳng qua phép nghịch đảo Cho phép nghịch đảo có biểu thức tọa độ (*). Ta xét một đường thẳng a có phương trình Ax + By + c = 0. A2 + B" * 0 (1) Chú ý rằng phép nghịch đảo có tính chất đối hợp nên từ (*) ta suy ra: kx’ _ ky’ y = ---y — (**) x'~ + y’ 2 ' x'" + y'1 Ta thay giá trị X , y vào phương trìn h ảnh của đường th ẳn g a: Akx’ Aky' ■ „ . ^ > + C = 0 X " ’ + y'1 X'2 + y ’; hay Akx’ + Bky’ + C(x’" + y’-) = 0 ( 1 ’) Bởi vậy: Nếu c * 0, phương trình ( 1 ’) trỏ th àn h í Ak . Bk X + V + — — X + —— y = 0 . • c c y -A k -B k là một đường tròn đi qua gốc tọa độ, tâm I(———,---- —), bán kính R = \lA2 + B“ . Điểm vô tận của đường thẳng (1) biến th àn h điểm 0 ’ 20 của đường tròn ( 1 ’). Nếu c = 0, phương trìn h (1’) cho ta một đường thắng trù n g với đường thẳng a. Tóm lại: a) Một đường th ẳn g không đi qua cực của phép nghịch đảo có ảnh là một đường tròn di qua cực nghịch đảo. b) Một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo biến th àn h chính nó. 4.5. Ảnh của đường tròn qua phép nghịch dảo Giả sử ta có đường tròn (C): X-+ y - + 2Ax + 2By + c = 0. A" + B-> c (2) 62 Qua phép nghịch đảo có biểu thức (*) hoặc (**) ta có phương trình ảnh của (C) là: k X k y 2Akx' 2Bky’ - 0 — 5— — , ■ - 7 - , + T — r + 7 , + c = 0 ( x ’ + y’ ) ( x ’2 + y ’2 )2 X’2 + y ’ X-2 + y ’2 hay k 2 + 2Akx’ + 2Bky’ + C(x’ 2 + y’2) = 0 (2’) Khi c = 0, phương trình (2’) cho ta một đường thẳng. Khi c * 0, phương trình (2’) cho ta một đường tròn. Thực vậy, do c *■ 0 nên (2') viết được là: ,2 ,2 2Ak , 2Bk , k 2 „ X + V + — — X + — — V + — — = 0 c c c và vì A~ + B' > c => ( - ^ ) 2 + ( ^ ^ ) 2 > — nên ta có (2') là phương trình Ak Bk đường tròn tâm ( — — ,— — ) với bán kính R = c cV a 2 + B2 - C . Tóm lại: a) Một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường tháng không đi qua cực nghịch đảo. b) Một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo biến thành đường tròn không đi qua cực nghịch đảo. 4.6. Tinh bảo giác của phép nghịch đảo Cho hai đường cong và 'C2 cắt nhau tại điếm A. Giả sử '(• Ị và '& 2 có tiếp tuyến tại A là các đưòng thẳng t, và t2. Khi đó ta gọi góc hợp bỏi t, và t2 là góc giữa hai đường cong và tại điểm A. Đ ịn h lí. Góc giữa hai đường cong tại giao điếm của chúng không thay đoi qua phép nghịch đảo. Chứng minh: Giả sử hai đường cong Y'i và cắt nhau tại A. Phép nghịch đảo f(0 , k) biến Vị, lần lượt thành hai đường cong 'f 'f \ cắt nhau tại A’; cố nhiên A’ là ảnh của A qua phép nghịch đảo đó. Qua 0 ta vẽ 63 một đưòng th ẳn g A sao cho nó c ắ t Vị và % lẳn lượt tạ i B, c và c ắ t 'S V V ’ 2 lẳn lượt tạ i B \ C’ là ản h của B và c, (hình 40). Hình 40 Từ đẳng thức OẤ.OA' = OB.OB' và OẤ.OA' = OC.O C' ta suy ra hai tứ giác AA'B'B và AA'C'C đểu là tứ giác nội tiếp, và do dó: BAA + Ấ^KB = 188°; CAA’ + Ấ rrc = 188“. T rừ từ ng v ế h ai đẳng thức ta được: BÃÃ' - ỖÃÃ' = ÂCCC - ÃlÍB hay: B à C ^ E rà Ĩ'. Khi cho đường th ẳ n g A tiến dần tới đường th ẳ n g OAA’, th ì các đường th ắn g AB, AC tiến đến tiếp tuyến t| và t2 của và /v. còn các đường thẳn g AB. AC tiến đến các tiếp tuyến t | , tjc iia 'f 't V T ừ đó suy ra điểu phải chứng m inh. 64 §5. MẶT CẦU Các vấn đê trình bày dưới đây vê m ặt cầu hoàn toàn tương tự như đã trình bày đối với đường tròn. Bởi vậy chúng tôi sẽ bỏ qua các chứng minh, bạn đọc xem như là bài tập. 5.1. Phương tích của một điểm đôi với mặt cầu a) Cho m ặt cầu (O, R) (túc là m ặt cầu có tâm 0, bán kính R) và một điểm M nào đó. Khi đó một cát tuyến đi qua M cắt m ặt cầu tại A, B thì tích vô hưống MA.MB = MO2 - R2 là một số không phụ thuộc vào cát tuyến. Nó được gọi là phương tích của điếm M đôi với m ặt cầu (O, R), kí hiệu là: Như vậy ./’m/io.r) = MO2 - R2. b) Quỹ tích tấ t cả các điểm có cùng phương tích đối với hai m ặt cầu không đồng tâm (0, R) và (O’, R’) là một m ặt phẳng. M ặt phang đó được gọi là m ặt đắng phương của hai m ặt cầu đã cho. M ặt đẳng phương là m ặt phang vuông góc với đưòng tròn nôi tâm 0 0 ’ tại điểm H được xác định bởi: 2H Ï.0 0 = R2 - R’ 2 (trong đó I là trung điểm của 0 0 ’) c) Cho ba m ặt cầu (O,, R,), (0 2, R») và (0 :i, R3) có tâm không thẳng hàng. Khi đó ba m ặt đẳng phương của các cặp m ặt cầu đó cắt nhau theo một đường thắng, gọi là trục đắng phương của ba m ặt cầu đã cho. Trục đắng phương chính là quỹ tích tấ t cả những điểm có cùng phương tích đôi với cả ba m ặt cầu. d) Cho bốn m ặt cầu (0,, Ri), (0.,, lỊi), (0 :J, R;j), (0 |, R4) có tâm không cùng nằm trên một m ặt phẳng. Khi đó có một điểm duy nh ất có cùng phương tích đối với cả 4 m ặt cầu. Điểm đó gọi là tăm đẳng phương của bốn mặt cầu đã cho. 5.2. Góc giữa hai mặt cầu. Hai mặt cầu trực giao a) Nếu hai m ặt cầu (0, R) và (O’, R’) có điềm chung, thì góc giữa ham ặt phang tiếp xúc của hai m ặt cầu tại các điểm chung đó là bằng nhau và gọi là góc giữa hai m ặt cầu. 65 Khi góc đó bằng 90°, ta nói rằng hai m ặt cầu đó trực giao với nhau. Hai m ặt cầu (0, R) và (O’, R’) trực giao vối n h au khi và chỉ khi có một trong các điều kiện sau: *) M ặt tiếp tuyến của m ặt cầu này tại điểm chung đi qua tă m của m ặt cầu kia. *) OO’2 = R2 + R’2; *) &OKƠ.R) = R 2 hoặc ¿PơKO.R) = R 2- *) M ột đường thắng đi qua tâm của một m ặt cầu cắt cả hai m ặ t cầu theo hai cặp điểm liên hợp điều hòa. b) Quỹ tích tâm m ặt cầu trực giao với hai m ặt cầu không đồng t(O, R) và (O’, R’) là tập hợp những điểm thuộc m ặt đẳng phương của hai m ặt cầu và nằm ngoài hai m ặt cầu đó. 5.3. Chùm mặt cầu a) Chùm m ặt cầu là tập hợp tấ t cả các m ặt cầu sao cho có m ột m ặt phang a là m ặt đẳng phương của hai m ặt cầu b ất kì trong tập hợp đó. M ặt phang a được gọi là m ặt đẳng phương của chùm . Tâm các m ặt cầu của chùm phải thuộc một đường thẳng d gọi là đường nối tâm của chùm . b) M ột tập hợp T những m ặt cầu là tập con của một chùm m ặt cầu khi và chỉ khi có ba điểm không thẳng hàng A, B, c mà phương tích của mỗi điểm đối vối các m ặt cầu của T đều bằng nhau. c) Một tập hợp X những m ật cầu là tập con của một chùm m ặt cầu khi và chỉ khi tâm của các m ặt cầu đó nằm trên m ột đường th ẳn g và có hai điểm phân biệt A, B m à phương tích của mỗi điểm đổi với các m ặ t cầu của T đều bằng nhau. 5.4. Các loại chùm mặt cầu a) Nếu hai m ặt cầu nào đó của chùm cắt theo một đường tròn ĩ. mọi m ặt cầu khác của chùm đều đi qua E. Một chùm như thê gọi là chùm eliptic. Đường tròn £ gọi là đường tròn cơ sở của chùm eliptic. 6 6 b) Nếu hai m ặt cầu nào đó của chùm tiếp xúc với nhau tại A thì m ặt đắng phương a là m ặt phang tiếp xúc chung của hai m ặt cầu đó tại điểm A. Khi đó mọi m ặt cầu khác của chùm đều tiếp xúc với (X tại A. Chùm như thê gọi là chùm parabolic. c) Nếu hai m ặt cầu nào đó của chùm không cắt nhau, thì m ặt đẳng phương cx không cắt mọi m ặt cầu của chúng. Nếu gọi H là giao điểm của a và đường nối tâm d của chùm và £ là m ặt cầu tâm H bán kính r = HT, (HT là tiếp tuyến từ H đến một m ặt cầu nào đó, chúng đều bằng nhau) thì I trực giao vỏi mọi m ặt cầu của chùm. Chùm như th ể gọi là chùm hypebolic. Giao điểm của I và đường nối tâm d của chùm được gọi là hai điểm tới hạn của chùm m ặt cầu hypebolic. Chùm m ặt cầu hypebolic được hoàn toàn xác định khi biết hai điểm tới hạn của chùm đó. 5.5. Phép nghịch đảo trong không gian a) Trong không gian cho một điểm o cố định, cho một sô’ k * 0 không đổi. Với mỗi điểm M * 0 ta cho tương ứng điểm M’ sao cho ba điểm o , M, M’ thẳng hàng và OM.OM’ = k. Phép tương ứng như vậy gọi là phép nghịch đảo, 0 gọi là cực nghịch đảo, k gọi là tỉ sô" hay phương tích của phép nghịch đảo. Điểm o không có điềm tương ứng, vì vậy ta bố sung vào không gian một điểm mổi gọi là điếm vô tận và xem nó là điểm tương ứng vói 0 . Ta cũng xem là điểm vô tân thuôc moi đường thẳng và moi m ăt phang. . . . . . b) Nếu chọn một mục tiêu trực chuẩn gốc là o . Thì phép nghịch đảo cực 0 , phương tích k sẽ có biểu thức tọa độ: ( kx x’ = 2 - 2 2 X + y + z y’ = ky X2 + y + z kz z o ọ ọ X + y + z 67 c) Qua phép nghịch đảo trong không gian. — Một m ặt phăng đi qua cực nghịch đảo biến th à n h chính nó. — Một m ặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo biến th à n h một m ặt cầu đi qua cực nghịch đảo. — Một m ặt cầu đi qua cực nghịch đảo biến th à n h m ột m ặt phang. — Một m ặt cầu không đi qua cực nghịch đảo biến th àn h m ột m ặt cầu. — Một đường th ẳn g đi qua cực nghịch đảo biến th à n h chính nó. — Một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo biến thành m ột đường tròn đi qua cực nghịch đảo. — Một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến th à n h một đường thẳng. — Một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo biến th àn h một đường tròn. 5.6. Phép chiêu nổi a) Đ ịn h n g h ĩa . Cho một m ặt cầu đường kính 0 0 ’ và một m phang a tiếp xúc với m ặt cầu tại điểm 0 ’. Vối mỗi điểm M của m ặt cầu (tf, khác vối o , ta cho tương ứng vói điểm M’ của a sao cho o , M, M’ thẳng hàng (hình 41). 6 8 Khi đó ta có một song ánh: f :^ \{ 0 } - > a , M h M’(M ^ O). Song ánh nói trên thường được gọi là phép chiếu nổi từ m ặt cầu lên m ặt phẳng a. Phép chiếu nổi được dùng trong cách vẽ bản đồ Trái Đất. b) Các tính chất của phép chiếu nôi: - Qua phép chiếu nôi, các kinh tuyến của ty (tức các đường tròn lớn đi qua o và O’) biên thành các đường thắng của a đ i qua O'. - Các vĩ tuyến của (tức là giao của với các m ặt phang vuông góc với 0 0 ’) biến thành các đường tròn trên a có tâm O’. - Các đường tròn trên 'ý không đi qua o biến thành các đường tròn trên a. - Các đường tròn trên ty đi qua 0 biến thành các đường thắng trên a. Để chứng minh các tính chất trên, ta hãy gọi f là một phép nghịch đảo trong không gian có cực nghịch đảo là 0 và phương tích nghịch đảo là k = OO’2. Khi đó m ặt cầu ctf sẽ biến thành m ặt phang a qua f. Điểu đó chứng tỏ rằng phép chiếu nổi chính là hạn chế của phép nghịch đảo f trên mặt cầu '(?. Từ đó do các tín h chất của phép nghịch đảo f mà ta suy ra các tính chất nói trên của phép chiếu nổi. §6. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH TRÒN 6.1. DỘ dãi đường trò n Đường tròn (0, R) là tập hợp những điểm cách điểm 0 cố định một khoảng không đổi R. Một đa giác gọi là nội tiếp đường tròn nếu các đỉnh của nó đều nằm trên đường tròn, và gọi là ngoại tiếp đường tròn nếu các cạnh của nó đều tiếp xúc vói đường tròn vói tiếp điểm thuộc cạnh đó. Tổng độ dài các cạnh của một đa giác gọi là chu vi của đa giác đó. Hiển nhiên là chu vi của một đa giác nội tiếp đường tròn đều bé hơn chu vi của đa giác ngoại tiếp đường tròn đó. £9 Hình 42 Nếu cho trước một đa giác Đ nội tiếp đường tròn (O, R) thì luôn luôn có đa giác Đ’ nội tiếp đường tròn đó sao cho chu vi của Đ’ lớn hơn chu vi của Đ. T h ật vậy, giả sử AB là m ột cạnh của đa giác Đ nội tiếp đường tròn (0, R). Gọi AB là một trong hai cung của đường tròn, trên đó không chứa đỉnh nào của Đ. T rên cung đó ta lấy một c khác với A và B và th ay cạnh AB bởi hai cạnh AC và CB thì ta được đa giác mới Đ’ và hiển nhiên Đ ’ có chu vi lớn hơn chu vi của Đ. Chu vi của mọi đa giác nội tiếp đường trò n (0 , R) luôn bé hơn chu vi của một đa giác ngoại tiếp nào đó, chẳng h ạn bé hơn 8 R (là chu vi của hình vuông ngoại tiếp). Từ đó suy ra tập hợp các chu vi của tấ t cả các đa giác nội tiếp có cận trên đúng bằng. sup(Đ) = l. Đ ịn h n g h ĩa . Cận trên đúng l nói trên gọi là độ dài của đường tròn (0, R). 6.2. Tính chất của độ dài dường tròn a) Độ dài của đường tròn lớn hơn chu vi của mọi đa giác nội tiếp. T hật vậy, nếu có đa giác nội tiếp Đ có chu vi bằng độ dài l của đường tròn thì sẽ có đa giác nội tiếp Đ’ với chu vi lớn hơn l, như vậy / không phải là cận trên đúng. b) Cho trước một s ố £ > 0, luôn tồn tại m ột đa giác nội tiếp đường tròn (O, R) có chu vi p sao cho l - p < e. Tính ch ất này suy từ tính ch ất a) và tín h ch ất l là cận trên đúng. 70 c) Đôi với mọi đường tròn, tỉ s ố giữa độ dài đường tròn và đường kính là một hăng số, m à ta k í hiệu là K. T h ật vậy, giả sử hai đường tròn (0, R) và (O’, R’) lần lượt có độ dài là l và l'. Ta phải chứng minh ràng / : 2R = /’ : 2R’ hay là l : /’ = R : R’. Xét trường hợp l : 1' > R : R’. Đ ặt k = R: R’ thì / : r > k hay l > k L ấ y một đa giác Đ nội tiếp (O, R) sao cho chu vi p của nó thỏa m ãn điều kiện: l - p < l - kl' (tính chất b). N hư vậy p > k/’.»Gọi Đ’ là đa giác đồng dạng với đa giác Đ và nội tiếp (O’, R’), nếu p’ là chu vi của đa giác Đ’ thì cô' nhiên là p = kp’. Vì p > kV nên kp’ > k i hay p’ > l\ điểu đó trái với tính chất l’ là cận trên đúng. Tương tự, trường hợp l : l’ < R : R’ cũng không xảy ra. Tính chất c) đã được chứng minh. d) Người ta chứng m inh được rằng số n là một s ố vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là: 71 = 3,1415926535... Kí hiệu 71 do nhà toán học người Anh là Johnson dùng từ năm 1706, sau đó được lấy làm quy ưâc chung từ năm 1736, với công thức Euler e2"' = 1 . Nhà toán học người Đức Lam bert và nhà toán học người Pháp Legendre đã chứng minh số 7t là sô vô tỉ, và vào năm 1882 nhà toán học người Đức Lindem an đã chứng m inh 71 là sô’ siêu việt (không thỏa m ãn một phương trình đại số với hệ sô' hũu tỉ nào cả). Như vậy ta có công thức tính độ dài đường tròn bán kính R là l = 27iR. 6.3. Diện tích hinh tròn H ình tròn (O, R) là tập hợp các điểm cách điẻm o một khoảng không lớn hơn R, tức là tập hợp những điểm M sao cho OM < R. Sau đây ta chứng minh rằng hình tròn là hình khả diện, đồng thời tìm công thức đê tính diện tích của hình tròn. a) Đ ịn h lí. Hình tròn là hình khả diện. C hứng minh'. Gọi G„ là n - giác đều nội tiếp đường tròn (O, R), vối các đỉnh liên tiếp là Aj, A2,..., An. Các tiếp tuyến của đường trò n tạ i các đỉnh Ai tạo th à n h một đa giác đều ngoại tiếp B,B2 ...Bn mà ta gọi là đa giác Hn (hình 43). Diện tích S(G„) của đa giác G„ bằng n lần diện tích 71 tam giác cân OA,A2 có đáy là và chiều cao h = OH. Vậy nếu gọi p là chu vi của Gn thì: S(Gn)= | A A . h = ip .h . Diện tích của H„ bằng n lần diện tích tứ giác OAjBjAj, nên nếu đặt h ’ = OB, thì: S(H n) = |A ,A 2 .h’ - ì p . h ’ Từ đó suy ra S(H„) - S(Gn) = — p(h’ - h) < 7iR(h’ - h) Có bất đẳng thức CUỐI cùng là vì chu vi đa giác nội tiếp đường tròn bé hơn độ dài đưrtng tròn. Khi sô’ n tăng lên vô hạn góc A,OA2 tiên dền tới 0 , góc A1B1A2 tiến tới 180°, do đó h’ - h tiến tới 0. N hư vậy cho trước ỉố E > 0 ta có sô" n đủ lớn sao cho S(H„) - S(G„) < e. Chú ý rằng: [G„] c (0,R) c [Hn], ta suy ra cách tính diện tích cia hình tròn (O, R). Đ ịn h lí. Diện tích hình tròn (O, R) bằng nR2. Chứng minh'. Trước hết ta phải chứng m inh rằn g nếu G là đa giác sao cho [G] c (O, R) thì S(G) < 7iR2. 72 Hiển nhiên là chỉ cần chứng minh cho trường hợip G là đa giác nội tiếp đường tròn. Giả sử đó là đa giác A,A2...A„. Gọi ht, h2.,..., h„ là chiều cao của tam giác OA1A2, OA2A3,..., OAnA,. Vì h¡ < R với mọi i nên ta có: S(G) — —(A,A2.h, + A2A3.IÌ2 + ... + < — (AịA.í +■ A2A3+... + AjjA^R. => S(G) < — pR < rcR2. 2 Bây giờ ta chứng m inh rằng cho trước sô' £ > 0 luôn có đa giác G mà [G] c (O R) và 7tR2 - S(G) < e Giả sủ a là một sô mà 0 < a < R. Ta có đa giác G, nội tiếp (O, R) sao cho G, có chu vi p > 27tR - 2a. Gọi G2 là đa giác nội tiếp (O, R) sao cho khoảng cách từ 0 tới các cạnh đểu lớn hơn R - a. Gọi G là đa giác lồi nội tiếp (0, R) có đỉnh là đỉnh của G, và G2. Khi đó rõ ràng: S(G) > - p(R - a) > (ttR - a)(R - a) = TtR2 - (JT - l)Ra + a2. Như vậy: 7tR2 — S(G) < - a 2 + (jt — l)Ra. Bằng cách chọn giá trị a sao cho - a 2 + (n - l)Ra < E, ta suy ra: t:R2 -S (G )< s . Định lí được chứng minh. §7. MỘT SỐ CHỦ ĐỂ SEMINAR VỂ ĐƯỜNG TRÒN VÀ MẶT CẦU 1. Sưu tầm và giải các bài toán về hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa. 2 . Sưu tầm và giải các bài toán về hệ thức lượng trong đường tròn: phương tích của một điểm đối vối đường tròn, trục đẳng phương của hai đưòng tròn, tâm đẳng phương của ba đường tròn. 73 3. Sưu tầm và giải các bài toán về hệ thức lượng trong m ặt cầu: phương tích của một điểm đối với m ặt cầu, m ặt đẳng phương của hai m ặt cầu, trục đẳng phương của ba m ặt cầu, tâm đẳng phương của bốn m ặt cầu. 4. Sưu tầm và giải các bài toán về hai đường tròn trực giao, chùm đường tròn. 5. Sưu tầm và giải các bài toán về hai m ặt cầu trực giao, chùm m ặt cầu. 6 . Sưu tầm và giải các bài toán về phép nghịch đảo. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Cho hai điểm A, B và đường tròn (O, R). Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O, R) tại M và N. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN luôn đi qua một điểm cố định. Gọi AH, BI, CK là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng BC và IK, CA và KH, AB và HI cắt nhau thì ba giao điểm thẳng hàng. Gọi (O, R) và (O,, r) là các đưòng tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC chứng minh rằng o o ^ = R2 - 2Rr. Cho bốn điểm phân biệt thẳng hàng A, B, c, D. Đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A, B, đường tròn (O ) thay đổi nhưng luôn đi qua c , D. Chứng minh rằng trục đậng phương của hai đường tròn đó đi qua một điểm cố định khi và chì khi AD * ỚB. Cho điểm A không nằm trên đường tròn (O, R). Một điểm O' di động trên đường tròn (O, R), a là trục đẳng phương của (O, R) và (O', 0 ’A). Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến a là không đổi. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cùng trực giao với đường tròn (C, r). Chứng minh rằng trục đảng phương của (O, R) và (O1, R') đi qua điểm c. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn. N7. Cho tam giác ABC, các điểm M, N thuộc AB và AC sao cho MN và BC song song. Xác định trục đảng phương của hai đường tròn có đường kính BN và CM. 8. Chứng minh rằng tập hợp các đường tròn đi qua điểm A cô' định và trực giao với đường tròn (C, r) đã cho lặp thành một chùm đường tròn. 9. Cho chùm dường tròn có trục đảng phương A và cho một đường tròn (O, R) của chùm. Hãy dựng đường tròn của chùm đi qua điểm A cho trước. 10. Dựng đường tròn của chùm trực giao với một đường tròn cho trước. 11. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O) ở M và N. Chứng minh: 1) Các đường tròn (BMN) đi qua điểm cô' định. 2) Các đường tròn (BMN) thuộc một chùm đường tròn. Xác định loại chùm đường tròn đó. 12. Cho hai đường tròn (O, R) và (0 \ R’). Đường nối tâm OO' cắt hai đường tròn đó tại các cặp điểm A, B và A', B \ Một điểm M di động trên đường thảng a 1 0 0 '. Đường thảng MA cắt (O) tại c, đường thẳng MA' cắt (O’) tại C'. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp AMCC' làm thành một chùm. 13. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB thay đổi của đường tròn đó và một điểm p cố định. H4.0) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp APAB làm thành một chùm. tíL ị i Gọi A', B’ tương ứng là giao điểm của (O, R) với PA và PB. Chứng minh rằng các đường thảng A’B' đi qua điểm cố định. 16. Cho hai đường tròn (O) và (O'). Tim quỹ tích tâm c các đường tròn bị hai đường tròn đã cho chia thành các nửa đường tròn. 17. Cho mạt cáu (O) vá một điém M. Một mạt cáu thay đổ! luổn luồn qua M va có tâm c thuộc măt cầu (O). Chứng minh rằng mãt phảng đảng phương của (O) và (C) luôn luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. 18. Hai mặt cầu thay đổi (O, r) và ( 0 \ r') tiếp xúc vối nhau và nội tiếp trong bán cầu (C, R). Chứng minh rằng mặt phảng tiếp xúc của hai mặt cầu (O, r) và (O', r') tại tiếp điểm của chúng luôn luôn đi qua một điểm cố định. 19. Cho phép nghịch đảo cực o , có hai điểm tương ứng là A và A' (cố nhiên o , A, A' thảng hàng). 'v 1) Dựng ảnh của một điểm M tùy ý. 75 2) Dựng ảnh của một đường thẳng tùy ý . 3) Dựng ảnh của một đường tròn tùy ý. 20. Cho đường tròn ( 0 \ R') là ảnh của đường tron (O, R) qua phép nghịch đảo f. 1) Xác định cực của phép nghịch đảo f. 2) Lấy hai điểm M, N trên (O, R) và ảnh M’, N’ của chúng (trên (O', R')). 3) Chứng minh rằng giao điểm MN và M'N' nếu có sẽ nằm trên trục đảng phương của hai đường tròn (O, R) và (O', R'). 4) Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O, R) tại M và tiếp tuyến của (O’, R') tại M' cầt nhau tại một điểm nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn. 21. Cho phép nghịch đảo cực o có phương tích k = R2. Chứng minh rằng các đường tròn trực giao với đường tròn (O, R) đéu biến thành chính nó. 22. Chứng minh rằng nếu cho trước hai đường tròn không cắt nhau thi luôn có phép nghịch đảo biến chúng thành hai đường tròn đổng tâm. 23. Chứng minh rằng qua phép nghịch đảo, một chùm đường tròn có thể biến thành một chùm đường tròn, hoặc một tập hợp các đường tròn đồng tâm. hoặc tập hợp các đường thẳng đồng quy, hoặc tập hợp các đưởng thẳng song song. \24. Giả sử phép nghịch đảo cực o tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’. N'. Chứng minh rằng: OM.ON ^ 5 . Chứng minh rằng điều kiện cấn và đủ để tứ giác lồi ABCD nội tiếp là AC.BD = AB.CD + AD.BC {định li Ptôlêmê). 76 Chương 4 QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH §1. BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 1.1. Khái niệm về quỹ tích Ta biết rằn g hình là một tập hợp điểm nào đó. Để cho một tập hợp, ta có thế có nhiều cách. Một trong các cách đó là chỉ ra tập hợp đó gồm những điểm nào. Chẳng hạn có thể nói về tập hợp các đỉnh của một đa giác đã cho. Hoặc có thê cho một tập hợp điểm bằng cách chỉ ra nhũng tính chất đặc trư ng cho các điểm đó. Chẳng hạn ta có thể nói về tập hợp các điểm cách đều hai điểm A và B cho trưóc. Khi hình X được xác định như là tập hợp tấ t cả những điểm có tính chất a, thì ta nói “X là quỹ tích của những điểm có tính chất d ' hay “Quỹ tích những điếm có tính chất a là hình X '. Theo lí thuyết tập hợp điểu đó có nghĩa là: — Nếu điểm M có tính chất a thì MeX, — Nếu M 6 X thì M có tính chất a. Ví dụ: Khi ta nói “quỹ tích những điểm M trong m ặt phăng cách đều hai điểm A, B là đường trung trực của đoạn thẳng AB” thì ở đây tính chất a của điểm M là “MA = MB”, “hình X” ỏ đây là đưòng trung trực của đoạn thẳng AB,hay có thể viết: {M I MA = MB} = X. Như vậy có nghĩa là: 1) Nếu MA = MB thì M e X 2) Nếu M e X thì MA = MB 77 1.2. Bài toán quỹ tích có dạng chứng minh a) Bài toán loại này được phát biểu dưới dạng: “Chứng m in h rằnquỹ tích những điểm M có tính chất a là hình X ”. Để giải bài toán này, như trên đã nói ta phải chứng m inh hai phần: Phần thuận và phần đảo. 1) Nếu điểm M có tính chất a thi M e X (phần thuận). 2) N êu M e X thì M có tính chất a (phần đảo). Có thể thay phần thuận 1 ) bằng m ệnh đề tương đương: 1’) Nếu M i X thì M không có tính chất a. Có thề thay phần đảo 2 ) bằng m ệnh đề tương đương: 2’) Nếu M không có tính chất a thì M Ể X. Ví dụ: Trong m ặt phẳng cho hai đường tròn (0 „ R) và (0 2, R), và o , * 0 2. Gọi c là tru n g điểm của đoạn thẳng 0 ^ 2 - Trên hai đường tròn đó lần lượt lấy hai điểm A và B và gọi M là tru n g điểm AB. Chứng m inh rằng quỹ tích điểm M khi A, B th ay đổi là hình tròn tâm c bán kính R (chú ý phân biệt hình tròn và đường tròn, hình tròn gồm đường tròn và những điển nằm ỏ phía trong đường tròn). Lời giải: Phần thuận: Gọi M là tru n g điểm đoạn thẳng AB (trong đó A, B lẳn lượt nằm trên đường tròn (O,, R) và (0 2, R), (hình 44). Ta phải chứng minh rằng CM < R. T hật vậy, nếu ta gọi N là trung điểm của 0 2A, thì MN = — 0 2B = — , CN = — 0,A = — . Từ đó suy ra: CM < MN + CN = R. 2 2 78 I Phần đảo: Giả sử M là một điểm thuộc hình tròn tâm c bán kính R (tức là CM < R). Ta phải chứng minh rằng M là trung điểm của một đoạn thẳng AB nào đó, với A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đã cho. Ta gọi (O3, R) là đường tròn đôi xứng với (O,, R) qua điểm M (hình 45). Hai đưòng tròn (02, R) và (03, R) cắt nhau vì 0 20 3 = 2CM < 2R. Nếu gọi B là một điếm chung của chúng và A là điếm đôi xứng của B qua M thì rõ ràng M là trung điểm của AB và A e (0], R) còn B 6 (02, R). b) Phần thuận và phần đảo nhiều khi có thể trình bày gộp lại thành một phần nếu chúng ta dùng phép lập luận tương đương. Ví dụ: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Chứng minh rằng quỹ tích các điểm M trong mặt phẳng sao cho MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải: G ợi o là tâ m d ư ờ n g tr ò n n g o ạ i Liếp ta m g iác A B C , b á n k ín li c ủ a đường tròn đó là R : ayÍ3 , — -— . Với môt điểm M tùy ý ta có: MA2 + MB2 + MC2 = MÃ2 + MẼ2 + MC2 = = (Õ Ã -Õ M ) 2 + (-Õ M ) 2 + (ÕC - ÕM) 2 = 3R2 + 3ÕM2 - 2 ÕM .(ÕẤ + ÕB + ÕC) = 3R2 + 30M2 (vì ÕẴ + ÕẼ + ỒC = ỏ ) = a2 + 30M2. 79 A