🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình Vật Lý Đại Cương - Tập 2 Ebooks Nhóm Zalo LUÔN G DUYÊ N BÌN H • %ẩằỉ ĩ - ^ " ' •'•'•^•'•.••' ;t:^ỹ'~'':Vy" :: GIÁ O TRÌN H LƯƠN G DUYÊ N BÌN H GIÁ O TRÌN H VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG Tập hai DÙN G CH O SIN H VIÊ N CÁ C TRƯ Ờ N G CA O ĐAN G (Tái bản lần thứ nhất) DẠI HỌC THÁI NGUYỄN TRUNG TÂM HỌC LIỆU ĩ • N H À XUẤ T BẢ N GIÁ O DỤ C Bản quyền thuộc HEVOBCO - Nhà xuất bản Giáo dục 04 - 2008/CXB/389 - 1999/GD Mã số : 7K618y8 - DAI X ơ i nối đau Bộ giáo trình Vật lý đại cương gồm hai tập được biên soạn cho sinh viên các trưầng Cao đẳng. Tập hai của cuốn giáo trình này trình bày sâu hem các phần Điện, Điện từ... và trình bày khái quát các phần còn lại của Vật lý (Quang, Nguyên tử...)- Đố i với các ngành kỹ thuật, các phần Điện, Điện từ... có tác dụng trực tiếp quan trọng làm cơ sở cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật như kỹ thuật Điện, kỹ thuật Điện từ, Điều khiển và Điều khiển tự động,... Sinh viên ngành kỹ thuật cần nắm thật vững để có điều kiện đi sâu các ngành kỹ thuật đó hem là đi vào các lĩnh vực không có ứng dụng trực tiếp. Giống như ở tập một, các phần lý thuyết, bài tập có dấu * dành cho các yêu cầu cao hem sau này - chẳng hạn dành cho các sinh viên học chuyển tiếp từ Cao đẳng lên Đại học và có thể bỏ qua khi thấy chưa cần thiết. Các bài tập ở đây chia làm 3 loại: a) Bài tập ví dụ (có lầi giải); b) Bài tập tự giải (có lầi giải trong sách bài tập); c) Bài tập mở rộng: Trình bày những hiện tượng, hiệu ứng... những định luật, quy tắc không trình bày trong phần lý thuyết, nhưng có ứng dụng, lý giải... trong thực tế. TÁC GIẢ 3 Chương Ì ĐIỆN TRƯỜNG TỈNH • § 1 . ĐI Ệ N TÍC H 1.1. Hai loại điện tích Từ lâu ngưầi ta đã biết một số vật khi đem cọ xát vào len, dạ, lụa, lông thú... sẽ c ó khả năn g hút được các vật nhẹ. Ta nói các vật ấy đã tích đi ệ n . Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong tự nhiên chỉ có hai loạ i đi ện tích: đi ện tích dươn g và đi ệ n tích âm. Thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng các vật tích đi ệ n có tương tác với nhau: các đi ệ n tích cùn g dấu đẩy nhau, cá c đi ệ n tích trái dấu hút nhau. Lực tương tác giữa các vật tích điện đứng yên gọi là lực tĩnh điện hay lực Culông. Ì .2. Lượng tử hoa điện tích Các vật xung quanh ta đều cấu tạo bởi các phán tử, nguyên tử,... ; trong m ỗ i nguyê n tử c ó hạt nhâ n và cá c electron... trong hạt nhâ n có proton và neutron... Cá c hạt đ ó nếu tích đi ện thì đi ện tích ấy là một số nguyê n của đi ện tích nguyê n tố: - e = -l,6.10" l 9 C Ta nói rằng đi ệ n tích bị lượng tớ hóa. 1.3. Bảo toàn điện tích Trong các quá trình biến đổi của một hệ (biến đổi phân tử, nguyên tử, hạt nhân...) ngư ầ i ta nhận thấy rằng: Tổng đại số các điện tích của hệ trước và sau quá trình biến đổi là không thay đổi. 5 V í d ụ mộ t h ệ gồm hai vật A và B ban đ ầ u khôn g mang đi ệ n : nếu A tích đi ệ n dươn g nghĩa là đã mấ t đi mộ t số X electron thì số electron nà y lạ i nhập vào vật B và vật B trở thàn h tích đi ệ n âm. Đi ệ n tích của A và B sau khi biến đ ổ i lầ n lượt là +xe và x(-e ) = -xe . Tổ n g đ ạ i số cá c đi ệ n tích của A và B là: (+xe) + (-xe ) = 0 (1.1) N ó i cá c khác : điện tích không tự sinh ra và không tự mất đi, nó chỉ truyền từ vật này sang vật khác. Phá t biể u trên đâ y là nộ i dung của định luật bảo toàn điện tích, một trong những định luậ t c ơ bản của cá c qu á trình biế n đ ổ i v ề đi ệ n . §2. ĐỊNH LUẬT CULÔNG Năm 1785, nhà Vật lý học Culông đã làm thí nghiệm thiết lập được định luật mang tên ôn g v ề lực tương tác giữa hai đi ệ n tích đi ể m . Theo định nghĩa, điện tích điểm (hay hạt đi ệ n tích) là mộ t vậ t tích đi ệ n c ó kích thước nh ư mộ t chất đi ểm (một hạt). 2. Ì. Phát biểu định luật Culông Lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích điểm Ọj và q2 đặt cách nhau một khoảng r: - Có phương nằm trên đường thẳng nối qj và q2; -Có chiều như hình Lia khi qị,qi cùng dấu, hoặc có chiều như hình ỉ Ab khi qỊt q2 trái dấu; - Có độ lớn tỷ lệ thuận với tích các độ lớn của hai điện tích và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách r; - Phụ thuộc vào môi trường xung quanh. T ừ phá t biểu trên đây , có thể viế t ra đ ộ lớ n của hai lực tươn g tá c Fị (lực tác dụng lên q,) và F2 (lực tác dụng lên q 2 ): F F khl^l (L2) Sĩ 6 b) - Ọ -ọ - - 0 H/nh f.í a) Trong côn g thức trên, k là một h ệ số tùy thuộc và o cá c đơn vị đo . Trong h ệ SI, đi ệ n tích đ o bằng culôn g (C), đ ộ dà i đ o bằng mé t (m), đ ộ lớn của cá c lực đ o bằng niutơn (N) kh i đó : k =9.10 9 N .m 2\ Ngư ầ i ta cũng k ý hiệ u k = Ì 47te(> trong đó , hằng số 6 0 được gọ i là hằng số điện: Ì Ì e„ = 47ĩk 471.9.lo9 Ta c ó th ể viết: Fi =Ì \<\m ( c2> N.m 2 (1.3) (1.4) (1.5) 47te„ er (1.6) b) Hằ n g số e trong côn g thức trên là mộ t đ ạ i lượng tùy thuộc và o mô i trưầng xung quanh (mô i trưầng các h đi ện); 6 c ó gi á trị > Ì được gọ i là hằng số điện môi của mô i trưầng. Môi trưầng E Chân không 1 Không khí 1,0006 Thủy tinh 5 -ỉ-10 Nước 81 7 Theo côn g thức (1.6) ta c ó thể k ế t luận: Lực tương tác tĩnh điện giữa các điện tích đặt trong môi trường cách điện giảm đi s lần so với lực tương tác đó khi đặt trong chân không. 2.2. Biểu thức vectơ của định luật Culông Gọi: r 1 2 là vectơ bá n kín h nố i từ q j đ ế n q 2; r 2 1là vectơ bá n kín h nố i từ q 2 đ ế n q i. dễ dàng thấy rằng biểu thức vectơ của lực Culông tác dụng lên qi và q 2 có dạng: F 1 Sii& Ị ỉ L (1.7) 47T80 er r F2 = _! _ Siâ L ĩ k (18 ) 47ie 0 8 r r trong đ ó r 2 1 = ĩ\2 = r và — = ũ 2 l : vectơ đơn vị n ằm theo r 2 I (1.9) r — = n 1 2 : vectơ đơn vị n ằm theo r 1 2 (1-10) r Bài tập ví dụ 1.1 Nguyê n tử hydro được tạo thành bởi mộ t hạt proton khố i lượng l,67.10~2 7 kg, đi ệ n tích bằng +e = +1,6.10" 19 c và mộ t hạt electron khố i lượng 9,1.10 31 k g , đi ệ n tích bằng - e = -1,6.10 19 c . Hạ t electron c ó th ể coi là chuyển động xung quanh hạt proton (gi ả thiế t là đứng yên ) theo mộ t quỹ đạo tròn, c ó tâm trùng vớ i vị trí hạt protọn, có bá n kín h r = 5,3-10 1 'm . ' 1. Xá c định cưầng đ ộ lực tương tác tĩnh đi ệ n giữa hai hạt đó . 2. Xá c định cưầng đ ộ lực tương tác hấp d ẫ n giữa hai hạt đó . 3. Tín h vận tốc của electron chuyển động trên quỹ đạo tròn ấy. Giải ỉ. Cưầng đ ộ lực hút tĩnh đi ệ n tác động lên hạt electron: .2\ F = Ị |(+e)(-e)| 9.10 9 Nm ' ì(l,6.10" , 9 c ỵ (5,3.10~"m) 2 8 4718., r 2 F = 8,2.10~8N. c2 , 2. Cưầng đ ộ lực hấp d ẫ n tác dụng lên hạt electron: m„.m„ Fhd = G -Ì Ì 6,67.10 = 3,6.10 47 N . m _3 > kg.s 2 (9,1.10'")(l,67.1Q- 2 7 )(kg ) (5,3 10 _lí m ) 2 3. Ta nhận thấy rằng lực hấp d ẫ n có cưầng đ ộ rất nhỏ so với lực tĩnh đ i ệ n , vì vậy c ó thể coi là electron chuyển động xung quanh proton theo quỹ đạo tròn dư ớ i tác dụng của lực tĩnh đi ện. Lực này đón g vai trò là lực hướng tâm: .2 mv • hi V ớ i V là vận tốc electron trên quỹ đạo. Ta có: ÍFr V = (8,2.10" xN)(5,3.10""m) 9,l.icr 3 1 k g 8,2.5,3 1Q6 m ' 9,1 s v = 2,18.10' ,6 m Bài tập ví dụ 1.2 Ha i quả cầu nh ỏ giống nhau, khố i lượng riêng là D cùn g mang đi ện tích q gắn và o hai đ ầ u A và B của hai dây mảnh cùn g đ ộ dài O A và OB c ó chung đ ầ u o c ố định. K h i mô i trưầng xung quanh là chân khôn g và ở trạng thái cân bằng thì A và B n ằm trên đưầiíg thẳng ngang sao cho góc AO B = 2a . K h i mô i trưầng xung quanh là một chất đi ện mô i đồng chất có khố i lượng riêng D 0 (< D), hằng số đi ện môi e thì ở trạng thái cân bằng, góc A O B v ẫ n bằng 2a . X á c định mố i liên hệ giữa D, D 0 và 8. Giải Trong mô i trưầng châ n không : m ỗ i quả cầu nhỏ chịu tác dụng của ba lực: Trọng lực p thẳng đứng hướng xuống, lực đẩy tĩnh đi ệ n F0 n ằm theo phương A B (nghĩa là nằm ngang) và lực căng ĩ của dây (nằm theo A O và BO). 9 K h i cân bằng: p + Fơ + ĩ = õ Nghĩa là: Q = p + F 0 = - T N ó i các h khá c lực tổng hợp ộ = p + F„ phả i trực đ ố i vớ i lực căn g T . Từ đ ó suy ra góc giữa phươn g của p và phươn g của Q là gó c giữa phươn g thẳng đứng O H (vuôn g gó c với phươn g n ằm ngang AB ) và phươn g O A của dây = a (hình 1.2). Trong đ ó trọng lực của quả cầu p = mg = DV g ( V là th ể tích qu ả cầu). K h i nhún g trong đi ệ n môi, gó c AO B v ẫ n khôn g đ ổ i do đ ó khoảng các h A B khôn g đ ổ i: cưầng đ ộ lực tĩnh đi ệ n F trong đi ệ n mô i gi ảm đi 6 lần so vớ i trong châ n không : F F = — suy ra F0 = eF e M ặ t khá c kh i nhún g trong đi ệ n môi, m ỗ i quả cầu chịu thêm lực tác dụng của lực đ ẩ y Acsimet c ó phươn g thẳng đứng, c ó chiều đi lên và c ó cưầng đ ộ : P0 = m 0 g = D 0 V g m 0 = D 0 V là khố i lượng đi ệ n mô i c ó thể tích bằng th ể tích qu ả cầu. 10 N h ư vậy, có thể coi là khi nhúng vào trong đi ện môi, trọng lượng của mỗ i quả cầu bị gi ảm đi và có cưầng đ ộ bằng: P' = P-P 0 = (D-D 0 ) V g Ta v ẫ n có: , _ F tga = — p V ậ y Z = L hay (D-Dọ)V g = DV g F F„ F sF D c D Suy ra 8 = 3. Ì. Khái niệm điện truồng D-D . § 3 . ĐI Ệ N TRƯ Ờ N G Để giải thích sự xuất hiện lực tương tác giữa các vật tích điện đặt cách xa nhau, ngưầ i ta quan niệm rằng xung quanh một hệ vật tích đi ện, tồn tạ i một dạng vật chất gọ i là đi ện trưầng. Đặc tnỡĩg của điện trường là gây ra lực điện tác dụng lên mọi vật tích điện khác đặt trong khoảng không gian có điện trường. 3.2. Vectơ điện trưỗng Đặt một điện tích điểm q0 tại một điểm M trong khoảng không gian có đi ện trưầng. Trên q 0 xuất hiện lực điện F tác dụng. Thực nghiệm chứng tỏ F rằng, t ỷ số — là mộ t đ ạ i lượng không phụ thuộc q 0 mà chỉ phụ thuộc vào q<> các đi ện tích gây ra đi ện trưầng và vị trí đi ểm M . Theo định nghĩa, đ ạ i lượng này được gọ i là vectơ diện trường* tạ i M , ký hiệu là: Ẽ = — (1.11) q 0 * Nói chính xác là vectơ điện trưầng tĩnh. 11 Đ ộ lớn của vectơ đi ệ n trưầng được gọ i là cường độ điện trường. Trong hệ đơn vị Sỉ, đơn vị đ o cưầng đ ộ đi ệ n trưầng là vò n trên mé t (V/m). Từ (1.11) có thể viế t biểu thức của lực đi ệ n F tác dụng lên đi ệ n tích đ i ểm q 0 F = q u Ẽ (1.12) 3.3. Đi ệ n trư ầ n g củ a h ệ đi ệ n tíc h đi ể m Cho một hệ điện tích điểm q,, q2, q3,..., qn(ký hiệu là (q)) đặt tại các vị trí xá c định O ị, 0 2, 0 3,... , O n. N ế u tạ i một vị trí M , đặt đi ệ n tích đi ểm q 0 thì lực đi ệ n F tác dụng lên q 0 là tổng hợp các lực đi ệ n do từng đi ện tích đi ểm q; (i = Ì, 2, 3,..., n) tác dụng lên q 0: Ì q„qi r i i 4TO„S i f lị trong đ ó ĩ. = OiM* 0 ( i = 1,2, 3,..., n) Ì q; ị ?4ns0£ i f Tị ,2 i *I (1.13) F = q„ s Theo định nghĩa, vectơ đi ệ n trưầng do hệ đi ệ n tích đi ể m (q) gâ y ra tạ i M cho bởi: Ễ - Ị . Ì q ; r i i 47ce0s- Ij 2 Tị (1.14) Trường hợp riêng: hệ (q) gồm một đi ệ n tích đi ểm q đặt tạ i o , kh i đ ó vectơ đi ệ n trưầng do q gây ra tạ i M (O M = ĩ * 0) cho bởi: Ì - f E = 47ĨS s rn r = - (1.15a) Ta nhận thấy rằng E cùn g hướng với ĩ k h i q > 0 và ngược hướng vớ i f khi q < 0. Cưầng đ ộ đi ệ n trưầng do q gây ra tạ i M cho bởi: E = —^ 47XS,, sr 12 (1.15b) q > 0 q E q < 0 ẹ -~ — ồ : q M E M Hình 1.3 3.4. Nguyên lý chồng chất điện trưòng Côn g thức (Ì. 14) c ó thể viết: Ẽ = ẸẼj (1.16) i Ì q ĩ trong đó: Eị = — : — , là vectơ điên trưầng do qị gây ra tai M . 47ĩe()s r{ Tị V ậ y côn g thức (1.16) có thể di ễ n tả như sau: Vectơ điện trường tại M do một hệ điện tích điểm gây ra bằng tổng hợp các vectơ điện trường do từng điện tích điểm gây ra tại M. Phá t biểu trên đâ y được gọ i là nguyên lý chổng chất điện trường. K ế t quả này c ó thể á p dụng cho trưầng hợp hệ đi ện tích được phân bố liên tục (chẳng hạn mộ t vật tích đi ện có kích thước bất k ỳ ). Thực vậy, ta tưởng tượng chia vật tích đi ện thành nhiều phần nhỏ sao cho đi ệ n tích dq mang trên m ỗ i phần đ ó có thể coi l à đi ệ n tích đi ể m. Nh ư vậy, một vật tích đi ệ n bất k ỳ được coi như một hệ vồ số đi ện tích đi ể m. N ế u gọ i dE là vectơ đi ệ n trưầng gây ra bởi đi ệ n tích dq tạ i đi ểm M , thì vectơ đi ệ n trưầng do vật tích đi ện gây ra tạ i M được xá c định bởi (1.14) có dạng: Ế° Lể=li^' (U7) toàn bộ vật toàn bộ vạt o ( ở đâ y ta thay dấu tổng X trong (1.14) bằng dấu tích phân ị, thay Ẽ bằng đ ẽ ; phé p tích phâ n được thực hiện đ ố i với toàn bộ vật tích đi ện). • N ế u vật tích đi ệ n là một dây c tích đi ện thì đi ện tích trên một phần tử chiều dài di của dâ y cho bởi: dq = Xái, trong đ ó X = — là mát đô điên dài di của dây , biểu thị lượng điện tích trên một đơn vị dài của dây. Kh i đó : 13 Ê - í Ì Xải = — 2 " r C 47I£ ( ) er (1.17a) N ế u vật tích đi ệ n là mộ t mặt s tích đi ệ n thì đi ệ n tích trên mộ t phần tử diệ n tích dS của má t s cho bởi dq = ơdS, trong đ ó ơ = — là mát đô điên dS mặt của s biể u thị lượng đi ệ n tích trên mộ t đơn vị diệ n tích của s. Kh i đó : Ẽ-ír-^a. (117b) N ế u vật tích đi ệ n là mộ t khố i X tích đi ệ n thì đi ệ n tích trong mộ t phần tử thể tích dx của vát cho bởi dq = pdx, trong đ ó p = — là mát đô điền dx khối của vật biể u thị lượng đi ệ n tích chứa trong mộ t đơ n vị th ể tích của vật. K h i đó : Ê - Ị Ì pdT _ 47Ĩ8„ er2nr(1.17C) D ư ớ i đâ y ta xé t mộ t vài ví dụ ứng dụng nguyê n lý chồng chất đi ệ n trưầng đ ể xá c định vectơ cưầng đ ộ đi ệ n trưầng gâ y ra bởi mộ t h ệ đi ệ n tích. Bài tập ví dụ 1.3 Cho đo ạ n dâ y thẳng A B n ằm thẳng theo trục z tích đi ệ n đ ề u , mậ t đ ộ đ i ệ n dà i bằng X. Xá c định vectơ đi ệ n trưầng tạ i đi ể m M các h trục z mộ t đ o ạ n M H = r và HM A = Vị/ị, HM B = n/ 2 (hình 1.4). Giải G i ả thiế t X > 0. Trưầng hợp hai đi ểm A , B ở cùn g mộ t bê n đ ố i vớ i H . Xé t mộ t phần tử đi ệ n tích trên A B c ó đ ộ dà i dz, c ó đi ệ n tích: dq = Xdz Phần tử nà y các h H mộ t đo ạ n : z = rtgiị/, và các h M mộ t đoan : r , = dz = r di|/ cos Vị/ ) COSVị/ Vect ơ đi ệ n trưầng do dq gâ y ra tạ i M là dE cùn g hướ n g vớ i vectơ bá n kính ĩ| (nố i từ vị trí dq đ ế n M ) , c ó cưầng đ ộ : 14 Xr d\ị) _ 1 dq _ Ị cos" VỊ/ 47i60e rị 47ĩ£0 e r2 cos 2 Vị/ 4TCS0S r Vectơ đi ện trưầng dE có thể phân tích ra hai thành phần là dE r (nằm theo H M ) và dE z (nằm theo trục z), có cưầng đô: d Er = dEcosvị/ = 47t£0 er cos xụ dvị/ d Ez = dEsinxị/ = 47i60 sr sin VỊ/ d\Ị/ Ta tính E r và E z bằng cách lấy tích phân theo \ụ từ Vị/ị đ ế n vị/2: X E. = 47is„er K=—L1— 47!6,>er (sin Vịí2 - sin Vị/ị) (cosiị/) - COSV|/2) (1.18a) Trưầng hợp A , B ở hai bên đi ểm H : Hình 1.4 X E r = 47ie„er E, = (sin lị/2 + sin Vị/1) (cosvị/ị - cos\|/2) (1.18b) TI TI Đ ố i với dâ y tích đi ện dài vô hạn, cho VỊ/2 - » — và VỊ/ J - » - — trong 2 2 (1.18a), ta được: E r =— — 27ĩ£0 sr E z = 0 (1.19) 15 V ậ y trong trưầng hợp này: E=—— (1.19a) 27is u 8r Bài tập ví dụ 1.4 Vòn g tròn tâm o , bán kính R, mang đi ện tích q phâ n b ố đ ề u . X á c định vectơ đi ện trưầng tạ i một đi ểm M nằm trên trục vòn g dâ y các h tâm o một đoạn O M = z (hình 1.5). Giải G i ả sử q > 0. Chia vòng dâ y thàn h những phần tử nhỏ dq, vị trí s. Vect ơ đi ệ n trưầng dE do dq gây ra tạ i đi ểm M cùn g hướng với ĩ = SM nếu q > 0 (và ngược hướng với ĩ nếu q < 0). Cưầng đ ộ của d Ẽ : dE = -!-4a 4TĨ£ 0 £ r Vect ơ đi ệ n trưầng tổng hợp tạ i M cho bởi Ị d ê cả vòng dây Vì lý do đ ố i xứng nên vectơ E nằm dọc theo trục của vòn g dây . Do đ ó nếu chiếu đẳng thức vectơ trên đây lên trục của vòn g dâ y ta được: E = ị dEcos a = Ị —-—^y-cos a cà vòng dây 47ĨS()8 r V ớ i a = OMS. Trong qu á trình tích phâ n vì r và oe khôn g đ ổ i nên: _ Ì cosa Ị E = _ . . d q 47te 0 £ r , J J A " cá vòng dây _ Ì qcos a E = —- — n 47ts 0 8 r Với OM = z ta có thể viết: r = Ậ 2 + R 2 16 cos a = vã V z 2+ R 2 q z (1.20) 47teo8 (Z 2+ R 2)3 / 2 a) Khi z » R có thể viết gần đúng: 2x3/2 47t8()e (z z) E--L. 47ĨS0£Z b) K h i q < 0, trong (1.20) ta phải viế t Iql thay cho q. Hình 1.5 Bài tập ví dụ 1.5 M ộ t đĩa tròn t âm o , bán kính R, tích đi ện đều, mậ t đ ộ đi ệ n mặt ơ. Xá c đin h vectơ đi ệ n trưầng tạ i đi ểm M trên trục của đĩa, các h t âm o mộ t đoạn O M = z. DẠI HỌC THA I NGUYỄN TRƯNG TÂM HÓC LIẾU*17 2.GT VẬT Lí ĐAI CƯƠNG TÁ 3 Giải Chia đĩa tròn thành những phần tử nhỏ hình vành khă n n ằm giữa hai vòn g tròn (O, r) và (O, r + dr) (0 < r < R). Đ i ệ n tích của m ỗ i phần tử nhỏ ấy: dq = ơd S = ơ27trdr M ỗ i phần tử nhỏ ấy c ó thể coi là mộ t vòn g dâ y tròn tâm o bán kín h r. Vòn g dâ y nà y gây ra t ạ i M vectơ đi ệ n trưầng d Ẽ n ằm dE M dọc theo trục Oz, c ó cưầng đ ộ cho bởi (gi ả sử ơ > 0): dq z dE = ơ27ĩrdr 47ie 0 6 Ị z2+ r 2 j 3 / 2 4TCS„E í^2 Hình 1.6 3/2 oe (z 2+ r 2) Vì cá c vectơ dE cùn g hướng nên đẳng thức vectơ: Cho: E = I dE í . toàn bộ đĩa tròn R B-J . ơ27trdr 3/2 (z khôn g đ ổ i) 047t8 oe( z 2+ r 2) 2rdr 4s„ e os (í(z 2+ r 2) Vì I 2rdrv 2 =-2(z 2+ r 2) - J( z 2+ r2)3 / 2 1 ; 1/2 + c n ê n ơ z 4e 0 s 2(z 2+ r 2) 18 -1/2 ^ r = R r = 0 E = 2s 0 s Ì -Si (1.21) / z z+ R 2 Khi R -» 00, đĩa tròn trở thành một mặt phang vô hạn tích điện đều, mật đ ộ đi ện mặt ơ. Trong điều kiệ n đó: E = ơ 2s„£ (1.22) N ế u ơ < 0 thì trong (1.22) phải viết lơi thay cho ơ. Nhận xét về đi ện trưầng của mặt phang vô hạn tích đi ện đều: vectơ Ẽ t ạ i m ỗ i bên của mặt phang ấy có phương, chiều và cưầng độ khôn g đ ổ i. Chún g hướng từ mặt phang tích điện đi ra khi ơ > 0 và có hướng ngược lạ i khi ơ < 0. + + + + + + + + + + a) b) Hình 1.7 Bài tập ví dụ 1.6 Hai mật phang vô hạn song song tích điện đều, mậ t đ ộ đi ệ n mặt lần lượt bằng +ơ, - ơ (ơ > 0). Xá c định đi ện trưầng của hai mặt đi ện tích ấy (hình 1.8). Đáp số ỉ. Trong khoảng khôn g gian giữa hai mặt phang; đi ện trưầng đều, hướng từ mặt điện tích dương sang đi ện tích âm, cưầng độ bằng: „ ơ 2. Ngoà i khoảng khôn g gian giữa hai mặt phảng E = 0. E = 0 -*• - -+• - E = 0 Hình 1.8 19 3.5. Đư ò n g s ứ c đi ệ n trư ò n g Trong mộ t đi ệ n trưầng bất k ỳ , vectơ đi ệ n trưầng Ẽ c ó th ể thay đ ổ i từ đ i ểm nà y sang đi ểm khá c về hướng và đ ộ lớn . Vì thế , đ ể c ó được mộ t hình ảnh cụ th ể về sự thay đ ổ i ấy, ngưầ i ta dùn g khá i niệm đưầng sức đi ệ n trưầng. Theo định nghĩa, đường sức điện trường là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với phương của vectơ điện trường tại điểm đó; chiều của đường sức điện trường Hin h 1 9 Đư ầ n g s ứ c đi ệ n trư ầ n g tại một điểm là chiêu của vectơ điện trường tại dó (hình 1.9). T ậ p hợp cá c đưầng sức đi ệ n trưầng gọ i là điện phổ. Có th ể làm thí nghiệm đ ể xá c định đi ệ n phổ của mộ t đi ệ n trưầng (tương tự nh ư thí nghiệm v ề từ phổ). Hìn h 1.10 m ô tả đi ệ n phổ của mộ t đi ệ n tích đi ểm (a), hai đi ệ n tích đ i ểm bằng nhau (b), hai đi ệ n tích đi ểm đ ố i nhau (c). Các đường sức điện trường có những tính chất chung sau: a) Qua mộ t đi ểm trong khôn g gian chỉ v ẽ được mộ t đưầ n g sức đ i ệ n trưầng. b) Cá c đưầ n g sức đi ệ n trưầng là những đưầng khôn g khé p kín: chún g giới hạn ở hai đ ầ u hoặc giớ i hạn ở mộ t đ ầ u cò n đ ầ u ki a v ô hạn. c) Cá c đưầng sức đi ệ n trưầng c ó chiều đi ra từ cá c đi ệ n tích dươn g và đi vào cá c đi ệ n tích âm. ả) Ngư ầ i ta quy ước v ẽ số cá c đưầng sức đi ệ n trưầng đi qua mộ t đơn vị bề mặt vuôn g gó c vớ i cá c đưầng sức t ỷ l ệ vớ i cưầng đ ộ đi ệ n trưầng tạ i đ ó . Nh ư vậy, chỗ nà o đi ệ n trưầng mạnh, cá c đưầng sức dày ; cò n ch ỗ nà o đ i ệ n trưầng yếu , c á c đưầng sức thưa. Điện trường đều là điện trường trong đó vectơ điện trường tại mọi điểm đều có cùng hướng và cùng cường độ. Điện trường đều có điện phổ là những đường thẳng song song, cùng chiều và cách đều nhau. 20 d) Hình 1.10. Điện phổ § 4 . ĐI Ệ N T H Ế 4.1 . Côn g củ a lự c tĩn h đi ệ n . Tính ch ấ t t h ế củ a trư ò n g tĩn h đi ệ n à) Công của lực tĩnh điện G i ả sử đi ệ n tích q 0 dịch chuyển trong đi ệ n trưầng của mộ t đi ệ n tích đ i ểm q. Ta hãy tính côn g của lực tĩnh đi ện trong sự dịch chuyển đi ệ n tích q 0 từ đi ểm M tới đi ểm N trên mộ t đưầng cong (C) bất k ỳ (hìn h 1.11) ứng v ới trưầng hợp q và q G là đi ệ n tích dương . Theo côn g thức (1.12), lực tác dụng lên đi ệ n tích q 0 bằng F = q 0 Ẽ trong đ ó E là vectơ đi ệ n trưầng gây bởi đi ệ n tích đi ểm q tạ i vị trí của q 0. Vect ơ Ẽ được xá c định bởi côn g thức (1.15). N Hình 1.11. Công của lực tĩnh điện Công của lực tĩnh điện trong chuyển dầi vô cùng nhỏ ds bằng: . dA = F.ds = q 0 E.ds hay dA = q u 47te„er 3 r.ds = 47te,.sr •dscosa trong đ ó a là gó c giữa vectơ bá n kính ĩ và d ỗ . T ừ hình vẽ (1.11) ta thấy rằng ds cosa = hìn h chiếu của ds lên vectơ bán kín h ĩ , c ó đ ộ lớ n xấp xỉ bằng dr « ds cosa: dA = 47te„e r 2 (1.23) 22 V ậ y côn g của lực tĩnh đi ện trong sự chuyển dầ i đi ện tích q 0 từ M tới N là: N rN J = KẼd i - Ù a * M qọqĨ N f dĩ _ q 0 q ị-ar _ (1.24) 4TĨ8„E MN q«q 4ĩte 0 er M 4TCS„8 q(>q 47te„sr N (1.25) Công thức (1.25) chứng tỏ rằng: công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích q() trong điện trường của một điện tích điểm không phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của chuyển dời. D ễ dàng thấy (1.25) v ẫ n đúng khi q 0 và q có dấu bất k ỳ . N ế u ta dịch chuyển đi ện tích q 0 trong điện trưầng của một hệ đi ện tích đ i ể m, kế t quả trên v ẫ n đúng . Thực vậy, trong trưầng hợp này, lực điện trưầng tổng hợp tác dụng lên đi ện tích q 0 bằng: n F = V Fj trong đ ó F| là lực tác dụng của điện tích qị lên điện tích i=l dịch chuyển q 0. Côn g của lực đi ện trưầng tổng hợp trong chuyển dầi M N là: N N n n N A M N = jF.ds = 1X ^ = 2 ; pVds ; M M i=l i=l M nhưng theo (1.25) thì: jF,d s = . M i 47r8„er;N 47t60 eri N M ()"1iM trong đ ó r i M và r i N lầ n lượt là khoảng cách từ điện tích qị tới đi ểm M và N , từ đó, ta có: q(,qi i=i 4 ^ (,er i M i -l 4TO «S r i N (1.26) = z Trong trưầng hợp tổng quát, nếu ta dịch chuyển điện tích q 0 trong một đi ện trưầng bất k ỳ thì ta có thể coi điện trưầng này gây ra bởi hệ vô số đi ện tích đi ểm và bằng lý luận tương tự như trên, ta đi tới kế t luận sau: 23 Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích điểm q() trong một điện trường không phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của chuyển dời. b) Tính chất thế của trường tĩnh điện Theo kế t quả trên, nếu ta dịch chuyển q 0 theo mộ t đưầng cong kí n bất k ỳ thì côn g của lực tĩnh đi ệ n trong dịch chuyển đ ó sẽ bằng khôn g (vì khi đ ó đi ểm cuối trùng vớ i đi ểm đầu). Vậ y trường tĩnh diện là một trường thế. Ta c ó thể di ễ n tả tính chất t h ế của trưầng tĩnh đi ệ n bằng mộ t côn g thức toán học. Thực vậy, theo (1.24) côn g của lực tĩnh đi ệ n trong dịch chuyển M N bằng: A M N = Ị F-ds = Ị q0Ẽ.ds NÍN MN Trong trưầng hợp dịch chuyển là mộ t mạch kín (mộ t đưầ n g cong kín có định hướng): A = cfq 0Ẽ.d s = 0 hay cỊẼ.ds = 0 (1.27) Tích phân (|Ẽ.ds được định nghĩa là hiu số vectơ điện trường dọc theo mạch kín. Vậ y (1.27) được phá t biểu nh ư sau: Lim số của vectơ điện trường (tĩnh) dọc theo một mạch kín bằng không. Phá t biể u trên đâ y và biể u thức (Ì .27) đặc trưn g cho tính chất t h ế của trưầng tĩnh đi ệ n . 4.2. Thế nàng của một điện tích trong điện truồng Trong cơ học chúng ta đã nghiên cứu trưầng lực thế. Ta biết rằng công của lực tác dụng lên vật chuyển độ ng trong trưầng lực t h ế bằng đ ộ gi ảm t h ế năn g của vật đ ó trong trưầng lực. Tươn g tự nh ư vậy, côn g của lực tĩnh đ i ệ n tác dụng lên đi ệ n tích chuyển động trong đi ệ n trưầng cũng bằng đ ộ g i ảm t h ế năn g w của đi ệ n tích đ ó trong đi ệ n trưầng. Trong mộ t chuyển dầ i nguyê n t ố ds ta có : d A = -d W vớ i dA = q0Ẽ.ds và trong chuyển dầ i bất k ỳ từ đi ểm M tới đi ểm N ta có : N N A M N = Jd A = J-d W = W M - W N M M 24 N N hay A M N = ỊdA = Jq0Ẽ.ds = W M - W N (1.28) M M trong đó : W M - W N là đ ộ gi ảm t h ế năn g của đi ệ n tích đi ểm q G trong sự dịch chuyển đi ệ n tích đ ó từ đi ểm M tới đi ểm N trong đi ệ n trưầng. Đ ể cụ thể , trước hết ta xét trưầng hợp đi ệ n tích q 0 dịch chuyển trong đ i ệ n trưầng của mộ t đi ệ n tích đi ểm q. Theo côn g thức (1.25) ta có : qt,q q(,q 4íi8 0 s r M 47CE0erN So sán h côn g thức nà y vớ i côn g thức (1.28) ta được: WWĨ loi lo^l M ~ W N =4ra 0 e r M 47ie 0 er N T ừ đ ó suy ra biể u thức t h ế năn g của đi ện tích đi ểm q 0 đặt trong đi ện trưầng của đi ệ n tích đi ểm q và các h đi ệ n tích này mộ t đo ạ n r. w = + c (ị 29) vói c là hằng số tùy ý, w còn được gọi là thế năng tương tác của hệ điện tích q 0 và q. Biể u thức (Ì .29) chứng tỏ t h ế năng của đi ệ n tích đi ểm q 0 trong đi ệ n trưầng được xá c định sai khá c mộ t hằng số cộng c . Tuy nhiên gi á trị của c khôn g ảnh hưởng gì đ ế n phé p tính trong thực tế, vì trong những phé p tính đ ó ta chỉ gặp cá c hiệ u t h ế năng . Vì vậy, ngư ầ i ta thưầng quy ước chọn t h ế năn g của đi ệ n tích đi ể m q 0 bằng khôn g kh i n ó ở các h xa q vô cùng ; kh i đ ó theo (1.29) ta có : w„ = q"q + c 47Ĩ6()600 suy ra: c = Woo = 0 V ớ i quy ước đó , côn g thức (1.29) trở thành: W = -^- (1.30) 47ĩ8()er T ừ đó , ta thấy rằng nếu q 0, q cùng dấu (lực tương tác là lực đ ẩ y ), t h ế năn g tương tác của chún g là dương còn nếu q 0, q khá c dấu (lực tương tác là lúc hút) thì t h ế năn g tương tác của chún g là âm. 25 Sự phụ thuộc của t h ế nân g tương tác của hệ hai đi ệ n tích và o khoảng cách giữa chún g được biểu di ễ n trên hìn h (1.12). N ế u so sán h (1.28) vớ i (1.26) ta d ễ dàn g suy ra biể u thức t h ế năn g của đi ện tích q 0 trong đi ệ n trưầng của hệ đi ệ n tích đi ể m: w=ẳw , = Ỉ - M i=l t í 4ro>0eri (1.31) trong đ ó ĩj là khoảng các h từ đ i ệ n tích q 0 đ ế n đi ệ n tích qj. V ớ i quy ước t h ế năn g của đi ện tích q 0 ở v ô cùn g bằng khôn g (Woo = 0), dựa và o (1.28) ta cũng suy ra biểu thức t h ế năn g của đi ệ n tích đ i ểm q 0 trong mộ t đi ệ n trưầng bất k ỳ : w M = j q 0 Ẽ.d s (1.32) M Vậy : Thế năng của điện tích điểm q() tại một điểm trong điện trường là một đại w 0 ĩ ỵSq0q<0 Hình 1.12. Đồ thị t h ế năng tương tác của hệ hai điện tích điểm lượng có giá trị bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích đó từ điểm đang xét ra xa vô cùng. Ghi chú: Những k ế t quả nà y chỉ đún g trong trưầng hợp đi ệ n trưầng ở xa vô cùn g bằng 0 (nghĩa là cá c đi ệ n tích chỉ n ằm trong mộ t khoảng khôn g gian hữu hạn). 4.3. Điện thế a) Định nghĩa _ w Từ cá c côn g thức (1.30), (1.31) và (1.32) ta c ó nhận xé t t ỷ số — q 0 khôn g phụ thuộc và o đ ộ lớ n của đi ệ n tích q 0 mà chỉ phụ thuộc và o cá c đi ện tích gây ra đi ệ n trưầng và vào vị trí của đi ểm đan g xét trong đi ệ n trưầng. Vì vậy, ta c ó th ể dùn g t ỷ số đ ó đ ể đặc trưng cho đi ện trưầng tạ i đi ể m đan g xét. Theo định nghĩa, t ỷ số: 26 v = - (1.33) q 0 được gọ i là điện thế tại điểm đang xét. Đ i ệ n t h ế gây ra bởi một điện tích đi ểm q tạ i đi ểm cách đi ện tích đó một khoảng r cho bởi: v = — ỉ — (1.34) 47is()sr Trong (1.34) với hệ đơn vị SI, r tính ra mét; q tính ra culông và điện t h ế V tính ra vòn (V). Đ i ệ n t h ế gây ra bởi một hệ đi ện tích đi ểm q ) 5 q2,..., q n tạ i một đi ểm nào đ ó trong đi ệ n trưầng bằng: tí tí *™<&i với ĩj là khoảng cách từ đi ểm đang xét tới điện tích qj. Côn g thức (1.35) di ễ n tả tính chất cộng (nguyên lý chồng chất) của điện thế: đi ện t h ế tạ i m ỗ i đi ểm do một hệ đi ện tích gây ra bằng tổng (đạ i số) các đi ện t h ế do từng đi ện tích gây ra tạ i đi ểm ấy. Trong trưầng hợp nếu có một hệ điện tích được phân bố liên tục trong không gian thì ta c ó thể coi hệ đi ện tích đó như một hệ vô số điện tích đ i ểm dq và đi ện t h ế gây ra bởi điện tích tạ i một đi ểm nào đ ó trong điện trưầng được tính theo côn g thức sau: v= í dV= í —— ^ (1.35a) J • 4-718 £ r hệ điện tích hệ điện tích o trong đ ó r là khoảng các h từ dq đến đi ểm đang xét. Chú ý rằng công thức (1.35a) chỉ đún g khi cá c điện tích nằm trong một khoảng không gian hữu hạn. Đ i ệ n t h ế tạ i một đi ểm M trong điện trưầng bất k ỳ có biểu thức dựa vào (1.32): 00 V M = ỊẼ.ds (1.36) M N ế u ta thay giá trị của V ở (1.33) vào (1.28) ta có: A M N = W M - W N = q (,(V M - V N ) (1.37) 27 Vậy : Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích điểm q„ từ điểm M tới điểm N trong điện trường bằng tích số của điện tích q0 với hiệu điện thế giữa hai điểm M và N đó. b)Ý nghĩa của điện thế và hiệu điện thế T ừ (1.37) ta suy ra: VM-VN=^- (1.37a) q„ N ế u l ấy q 0 = +1 đơ n vị đi ệ n tích thì V M - V N = A M N . Vậy : Hiệu điện thế giữa hai điểm M và N trong điện trường là đại lượng có giá tri bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm M tới điểm N. Trong cá c côn g thức (1.37), (1.37a), vớ i h ệ đơ n vị SI, A M N tính ra j u n (J), q 0 tính ra culôn g (C) và đi ệ n t h ế tính ra v ò n (V) . N ế u l ấy q 0 = + Ì đem vị đi ệ n tích và chọn đi ểm N ở xa v ô cùn g thì: V M - Voo = A M 00 (nhưng ta quy ước Woo = 0) do đó : Vx= — = 0 vàVM=AMoo Vậy: Điện thế tại một điểm trong điện trường là đại lượng có giá trị bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm đó ra xa vô cùng. Qua trên ta thấy, do quy ước Woo = 0 nê n Voo = 0. Nh ư vậ y tương tự với t h ế năng , đi ệ n t h ế được xá c định sai khá c mộ t hằng số cộng. Gi á trị của hằng số cộng nà y phụ thuộc và o mức điện thế không m à ta chọn. Tuy nhiên, sự lựa chọn mức đi ệ n t h ế khôn g khôn g ảnh hưởng đ ế n c á c phé p tính trong thực t ế vì trong c á c phé p tính đ ó ta chỉ gập hiệ u đi ệ n thế . Trong nhiều trưầng hợp thực tế , ngư ầ i ta cũng thưầng quy ước đi ệ n t h ế của trái đấ t bằng không . Kh i nghiê n cứu tính chất của vật d ẫ n câ n bằng tĩnh đi ệ n ta sẽ thấy rằng đi ệ n t h ế tạ i mọ i đi ểm trên cùn g mộ t vật d ẫ n đ ề u bằng nhau. Do đó , nếu ta nố i mộ t vật d ẫ n nà o đ ố i vớ i đất (bằng mộ t vật dẫn) thì đi ệ n t h ế của vật d ẫ n đ ó cũng sẽ bằng không . Kh i đ ó đi ệ n t h ế của vật d ẫ n được coi nh ư khôn g đ ổ i. 28 Bài tập ví dụ 1.7 Vòn g dây tâm o bán kính R, tích điện q phân b ố đều. Xá c định điện t h ế tạ i đi ểm M nằm trên trục của vòng dây: O M = z. Đáp số ±- q (1.38) V 47ĩ£ . » s 2+ z 2 trong đ ó V R 2 + z2 = Tị = khoảng cách từ một đi ểm của vòng dây đến M . Bài tập ví dụ 1.8* Đ o ạ n dâ y A B = a, tích đi ện đều, mật đ ộ đi ện dài X. Xá c định đi ện t h ế tạ i đ i ểm M (M A = Tị, M B = r 2 ). Giải H ạ đưòng M H _L A B và đặt M H = h. Phần tử đi ện tích dq tạ i vị trí o trên A B gây ra đi ệ n t h ế tạ i M là: dV = Ì da ^ (1.34a) 47TS()e r trong đó O M = r (hình 1.13). Đặ t HM Õ = Vị/, HO = z = htgxự ; h r = —- — COSVỊ/ dq = Ấdz = -— và cos Vị/ Hình 1.13 V ậ y (1.34a) thành ra: dV = X cosiị/di|/ 47i80e cos 2 xụ Đ i ệ n t h ế tổng cộng tạ i M cho bởi: X cos Vị/ d\ịí v = i . đ() ạnAB 4TO 0 E COS2l(/ mỉ (•cosiỊ/dvị/ p d (sin Vị/) 1 , 1 + sin VƯ trong đó: rcosv|/avỊ/ _ r COS2V|/ M - ,. 2 ,„ - õ l n T — ~ ~ . + ( const ) sin xụ 2 Ì - sin lị/ 29 V ậ y V - *• Ị ln ( l + sinvị/ 2 )(l + sinvị/^ ( 1 39 ) 47Ĩ8()8 2 (Ì - sin VỊ/ 2 )(1 - sin v]/j) Trong đó : AM H = xụ ị, HM B = xụ 2 (Vị/ị, v|/2 > 0) và gi ả sử H n ằm trong khoảng AB . Chú ý rằng: h = r 2 cos\Ị/ 2 = ĨỊCOsvị/ị 2 2 2 2 r 2 cos xụ 2 = r, cos VỊ/ ị vị (Ì - sin v|/ 2 ) = r, (Ì - sin Vị/ị) Nghĩa là: r2(l + sinv|/2) _ rj(l + sinVỊ/j) rj( l - sinvị/,) r 2 ( l - sinv|/ 2 ) Biể u thức (1.39) c ó th ể viết: v = - L l n jj(L±jM^ii(i±ii!i ỵ i ) (139a ) 47ĩ£( )e 2 r, (Ì — sin Vị/,) r 2 ( l - sin vị/ 2 ) Vậy : v m _J_ l n r 2 ( l + siny 2 ) = _J_ ỉnh ( l + sìn^ ) ( 1 40a ) 47iee(, rj (Ì - sin\ịfJ) 47Ĩ660 r 2 ( l - sinv|/ 2 ) N ế u H n ằm ngoà i khoảng A B thì d ễ dàn g thấy rằng: V = -A_ l n r2( l + sinvl/ 2 ) = J^ĩi ịz^Ú . (I.40b) 471880 rL (Ì + sin \j/ị) 47Ĩ86(, r 2 ( l — sin\ị/ 2 ) Cũng c ó th ể biế n đ ổ i (1.39a) dư ớ i mộ t dạng khá c dựa và o nhận xét: r 2 ( l + sin vị/ 2 ) _ r,( l + sin Vị/,) _ r 2 + r 2 sinvị/ 2 rj( l - sinV|/j) r 2 ( l - sinvị/ 2 ) Tị - ĩ]sinV|/j r, + Tị sin VỊ/, _ r 2 + H B _ Tị + H A _ r 2 - r 2 sin VỊ/2 r, - H A r 2 - H B Tị + r 2 + (H B + HA ) lì + r 2 + A B ~ rị + T2 - (H A + HB)r j + r 2 - A B X/. w _ ^ ì r l + r2 í A B V â y V =—-—I n ' z 4TĨ8(,S Tị + r 2 - A B Ta nhận thấy rằng V chỉ phụ thuộc vào tổng Tị + r 2. 30 Bài tập ví dụ 1.9* Cho mộ t mậ t cầu (O, R) tích đi ệ n đ ề u , mậ t đ ộ đi ệ n mặt ơ. Xá c định đ i ệ n t h ế tạ i đi ểm M các h O: O M = r. Xét trưầng hợp r > R và r < R. Giải Chia mặt cầu thàn h những phần tử đ ớ i cầu có chung trục OM . M ộ t phần tử đ ớ i cầu bất k ỳ n ằm giữa hai mặt phang vuôn g góc với O M , các h o những khoảng z và z + dz (-R < z < R). z dz Hình 1.14 Diệ n tích phần tử đ ớ i cầu ấy: dS = 27iRdz và đi ệ n tích của phần tử đ ớ i cầu ấy: dq = ơd S = 2ơ7iRdz trong đó : z = RcosG (0 < e < Tí) C á c phần tử đi ệ n tích n ằm trên đ ớ i cầu ấy cách đi ểm M một khoảng Tị với: r,2 = R 2 + r 2 - 2Rr COS0 = R2 + r 2 - 2rz (hình 1.14) Theo (1.38) đi ệ n t h ế do đi ệ n tích dq nằm trên đ ớ i cầu vi phân gây ra t ạ i M là: 31 d V Ì dq Ì 27ĩơRdz 47ie u 6 r, 4TĨ£ 0 8 7 R 2 + r2- 2rz Đ i ệ n t h ế V cho toàn mặt cầu tích đi ệ n gây ra tạ i M cho bởi tích phân: ơ R R f dz V Ị d v = ^ í J le c J toàn mặt cầu 2s G e _JR ỰR2 + r 2 - 2rz V = ơ R -VR 2+ r 2-2r z 2s,.s -R V = ơ R VR 2+ r 2+2r R - VR 2+ r 2-2r R 2e 0 e r Ơ R R + r - I R - r i 2E„ 8 N ế u r > R: V = V =ơ R R + r - (r - R) ơR 2Ì 4TĨ Ơ R 2 2e 0 e r S0S r 47ts( )£r Trong đ ó 47ĩơR2 = q = đi ệ n tích của cả mặt cầu. Vậy : V = 47i£„£r (1.41) Ta thấy rằng: Đi ệ n t h ế do mặt cầu tích đi ệ n đ ề u q gâ y ra tạ i mộ t đi ểm M ở ngoà i mặt cầu giống như đi ệ n t h ế do đi ệ n tích đi ểm q đặt tạ i tâm 0 của mặt cầu gâ y ra tạ i M . N ế u r < R: V = ơ R R + r - (R - r) ơ R 4TCƠR2 Hay: V = 2e H e q 47ĩ8„eR 8E„ 47ĩ8„eR = hằng số (1.41a) V ậ y kh i M n ằm bên trong mặt cầu tích đi ện đ ề u thì đi ệ n t h ế tạ i M là một hằng số khôn g phụ thuộc vị trí M . Sự phụ thuộc của V theo r được di ễ n tả theo hình 1.15. 32 V Hình 1.15 Kết quả trên đây được áp dụng cho những quả cầu kim loại tích điện đều. Bài tập ví dụ 1.10 Đĩa tròn (O, R) tích điện đều q, mật độ điện mặt ơ. Xác định điện thế tại điểm M trên trục của đĩa cách tâm O: OM = z. Giải M \ \ Ị\ \ \ V \ \ 1 \ Hình 1.16 Chia đĩa tròn thành những phần tử điện tích hình vành khăn tâm o. Một phần tử diện tích bất kỳ nằm trong hai vòng tròn bán kính r và r + dr chứa điện tích: dq = ơdS = ơ27ĩrdr 3 GT VẬT Li ĐẠI CƯƠNG TẬP 2 33 g â y ra tạ i M đi ệ n thế : d V =Ì dq Ì ơ2ĩtrdr 4 ™ o S V r 2+ Z 247re0e 777 7 2rdr 4 e o S V r 2+ Z 2 (0 8r 1 3 47ts 0 sr 2 3 Hay: v = 2 q'v' + ì^ 2 + 2 ^ Tổng quá t nâng lượng tương tác tĩnh điện của hệ n đi ện tích đi ểm qj, <Ỉ3»— % cho bởi : w=4ẳ

0. Ta tính đi ệ n t h ế V A - V B giữa hai đi ểm A và B cùn g nằm trên đưầng O r vuôn g gó c vớ i dâ y (OA = l y OB = r B ) V A -V B = Ị Ễ I s = ỊE. Ĩ S AB AB Vì E.d r = jEd r trong đ ó theo (1.19a): 36 E = r"f X dr Xr n fdr V A - Vo• í V A - V B = 27te n e r 27ĩE„e u o r -—In-8 - Jr 2TĨS0S r A Ta có thể viết: V A V B =2718„£ (-lnr A + lnr B ) x ì Ả •In — x ..„ 1 (ì Mã) 27I£0S r A 27ie 0 8 r B Từ (1.44a) có thể suy ra hiệu đi ện t h ế tạ i A và tạ i B: V A = V B = k , 1 ^ •In — + c 27IS0S r A . 1 •In — + c 27t80 e r B T ạ i một đi ểm M cách dây một khoảng r: V = -*-ln ! + C 27ĨS„S r D ễ dàn g chứng minh rằng công thức này v ẫ n đúng khi X < 0. Bài tập ví dụ 1.12 (1.45) Ha i mặt phảng vô hạn song song tích đi ện đều, mật đ ộ đi ện mặt lần lượt là + ơ và - ơ (ơ > 0), cách nhau một khoảng d. Giữa hai mặt phang ấy là hai lớp đi ện môi, hằng số đi ện môi lần lượt là Si và e 2, bề dày lần lượt là dị và d 2 (dị + d 2 = d). Tính hiệu điện t h ế giữa hai mặt phang ấy. Giải Chọn A x là trục vuôn g góc với các mặt tích điện và hướng theo chiều đi ện trưầng. Ta có: V A - V B = |Edx = |E,dx + jE 2 d x = AB AD DB d,+d2 J p F. J c o r. 0 e OSl (I, eoe2 ' Ỉ L + ỉ l (1.46) 37 N ế u toàn bộ khoảng khôn g gian giữa hai t ấm là mộ t chất đi ệ n môi (đồng chất và đẳng hướng) có hằng số đi ệ n mô i s thì: ơ d V - V = (1.46a) Hình 1.18 5.2. Xá c đ ị n h vect ơ đi ệ n truồn g the o đi ệ n t h ế Xé t một chuyến dầ i v i phâ n M N = ds n ằm dọc theo phươn g s, ta đặt V M = V ; V N = V + dV . Theo (1.44): V M - V N = V - (V + dV ) = -d V = E.ds = Eds cosa trong đó : Ecosa = E s là hìn h chiếu của E lên phươn g s. Vậy : -d V = Esds nghĩa là d V Hình 1.19 E.. = - - ds (1.47) d V Ờ v ế phả i, —— đươc gói là đa o hà m của V theo phươn g s. Ta có thể ds phát biểu: Hình chiếu của vectơ điện trưởng lên một phương nào đó bằng ị với dấu trừ) đạo hàm của điện thế theo phương ấy. Trong trưầng hợp tổng quát, vectơ đi ện trưầng E (Ex, Ey, Ez ) và đi ện t h ế V đ ề u phụ thuộc vào toa đ ộ (x, y, z) của đi ểm đan g xét. Á p dụng hệ 38 thức (Ì .47) lầ n lượt cho ba phươn g X, y, z và chú ý rằng cá c đạo hàm của V l ầ n lượt theo X, y, z phả i là đạo hà m riêng phần, ta được: E = -ẼL. E =.Ẽ1, E =-Ẽ 1 (1.47a) Người ta gọi vectơ có ba toa độ —; —; —- là grad của V, ký hiệu là: B & õx õy õz "av ổx ỔV grad V (1.48) ày ỔV . ổz Do đ ó ta c ó th ể viết: Ẽ = -g^d V (1-49) C hú ý h ệ thức (1.47) (và những hệ thức tương tự) chứng tỏ rằng cưầng đ ộ đi ệ n trưầng c ó thứ nguyê n là hiệu đi ệ n t h ế trên đ ộ dài, do đ ó đơn vị cưầng đ ộ đi ệ n trưầng là vò n trên mé t (V/m). ứng dụng: Cá c h ệ thức (1.47), (IMã), (1.48) cho ta mộ t phươn g phá p tính cưầng đ ộ đi ệ n trưầng kh i biế t được biểu thức của đi ệ n t h ế theo X, y, z. Bài tập ví dụ 1.13 Vàn h tròn (O, R) tích đi ệ n đ ề u q (q > 0). X á c định cưầng đ ộ đi ệ n trưầng tạ i M trên trục vòn g dâ y các h tâm O: O M = z. Giải Đ i ệ n t h ế tạ i M cho bởi (1.38) V = Ì q 2+ z 2 Ở đâ y V chỉ phụ thuộc z, vậy theo (1.47a): E = E , = = Ì qz ổz 4TO 0 S (R Z + z ) .2x3/2 trùng vớ i (1.20) 39 Bài tập ví dụ 1.14 Đĩa tròn (O, R) tích đi ện đều, mật đ ộ đi ện mặt ơ (> 0). Xá c định cưầng đ ộ đi ện trưầng tạ i M trên trục đĩa O M = z. Giải Đi ện t h ế tạ i M cho bởi: V = ơ 2e n e R2 + z2 - z Vậy , áp dụng (1.47a) ta suy ra: f E . = 0 E„ = 0 < y a v ơ ổz 2s 0 6 Ì -7 R 2 _2 + z tập ví dụ 1.15 trùng với (1.21) Mặ t cầu (O, R) tích đi ện đều q (q > 0). Xá c định cưầng đ ộ đi ệ n trưầng tạ i M cách O: O M = r. Hình 1.20 Giải Áp đụng (1.47) cho các kế t quả tìm được của bài tập ví dụ 1.9*, ta suy ra: E = 0 khi r < R E = —í— 4 khi r > R 47C808 ĩ 40 Bài tập ví dụ 1.16* L ư ỡ n g cực đi ệ n là mộ t hệ hai đi ện tích đi ểm đ ố i nhau +q và - q (q > 0) đặt các h nhau mộ t khoảng / nhỏ (so với những khoảng các h m à ta khảo sát). Xé t mộ t lưỡng cực đi ệ n tạo bởi đi ệ n tích - q đặt tạ i A và đi ện tích +q đạ t tạ i B (A B = /). Xá c định đi ệ n t h ế và vectơ đi ện trưầng tạ i đi ểm M cách trung đi ểm o của A B mộ t khoảng O M = r và MO B = 0. Giải Chọ n trục o n ằm dọc theo A B và c ó chiều dương là chiều A B . Đặ t M B = r +, M A = r_. Ta c ó đi ệ n t h ế tạ i M : r_ - r V = k vr+ r_ = kq^—^;( k = (4TO0 8)-') 2 2 r = r + 2 2 rị - r + í I\ + lĩ - lĩ í - ì , 2 , cos6 cosG (1.50) trong đó : xi - vi = 2r/cos 6 (r_ - r + )(r_ + r + ) = 2r/cos e Hình 1.21 Vì / « r n ê n c ó thể viế t gần đúng : r_ + r + = 2r r_r + = r 2 /cose V ậ y V = kq^J - 41 Ngư ầ i ta định nghĩa vectơ: p = qA B = q/ (p e = q/) là môme n điện của lưỡng cực đi ệ n . Kh i đ ó đi ệ n t h ế V tạ i M cho bởi: V = Ì Pe cos0 4TĨ£„ £ r2 (1.51) Từ biểu thức của V c ó thể suy ra vectơ đi ệ n trưầng Ẽ theo (1.47): E = -gra d V ; trong toa đ ộ Đềcá c (x, y, z): a v ôx grad V ỔV ày ỔV { ôz Trong toa đ ộ cầu (r, 0, (p): X = rsin0cos(p; y = rsinGsinọ; z = rcosG, dễ dàng suy ra: ổr 1 ỠV grad V (1.52) r ÕQ Ì ỔV rsin ô ổcp Vect ơ E xá c định bởi: E. = -a v Ì 2p e cos 0 É = - grad V Ị ÕV Ì Pe sin 9 Ca — - — r Ổ0 47Ĩ8„S r E q' > 0) đ ặ t tạ i hai đi ểm A , B (A B = a). Giải Đ i ệ n t h ế tạ i M (M A = r, M B = r') cho bởi: V = k ( k = (4 7 ĩE0 e)- 1) Ù T'J V ậ y phươn g trình của mặ t đẳng t h ế là: q q ' _ ' t — - — = const(1.55) Hình 1.22 43 Trường hợp riêng: const = 0: M ặ t đẳng t h ế là quỹ tích của những đi ểm có đi ệ n t h ế bằng khôn g cho bởi: a - Ị - 0 r r Suy ra: r 7 M A _ q _ ì AẨ- —-— = — = khôn g đ ỗ i M B q ' (1.56) (1.56) chứng tỏ mặt đẳng t h ế phả i tìm là quỹ tích những đi ể m M sao cho t ỷ số hai khoảng các h từ M đ ế n hai đi ểm c ố định A và B là khôn g đ ổ i. Đ ó là mặt cầu c ó đưầng kính CD với c, D là hai đi ể m chia trong và chia ngoà i đo ạ n A B theo t ỷ số: . q_ CA D A CB ~ DB D ễ dàn g tính được: CA CB q + q D A D B q - q q_ q ' CA = CB = DA = DB = aq q + q aq q + q aq q-q ' aq' q-q " (1.57) (1.58) (1.59) Và suy ra đ ộ dài đưầng kín h của mặt cầu nói trên: C D = 2R = D A - CA = aq aq 2aqq' (1.60) q - q q + q q - q " Trường hợp q = q': Mậ t cầu trên đâ y trở thàn h mậ t phảng trung trực của AB . Bài tập ví dụ 1.19* Cùn g câu h ỏ i nh ư bài tập trên đ ố i vớ i đi ệ n trưầng của đo ạ n dâ y thẳng A B = a, tích đi ệ n đ ề u , mậ t đ ộ đi ệ n dà i X. Giải Đ i ệ n t h ế tạ i đi ểm M (M A = r, M B = r') cho bởi (1.40a): 44 V = In r'( l + sin(p2 )In r ( l + sincpi) 4TĨ£ 0S ríl-sincp! ) 47I80 £ r'(l-sincp 2 ) Phươn g trình mặ t đẳng t h ế V = const cho là: Nghĩa là: r'( l + sin(p2 ) _ r( l + sin Ọ]) rCl-sirKPị) r'(l-sin(p 2 ) = c Trong đó: Vậy: Suy ra: r + r' + (rsincpị + r'sin(p2) r + r' - (rsinỌ) + r'sinọ 2 ) rsinỌị + r'sin(p2 = A B = a r + r + a r + r' - a = c r + r' + a = (r + r') c - aC , c + Ì r + r = — a = const c - Ì = c (1.61) (1.61) chứng tỏ rằng: h ọ cá c mặt đẳng t h ế trong đi ệ n trưầng của dây đ i ệ n tích A B là cá c mặ t ellip tròn xoay có tiêu đi ểm là A , B. 2. Tính chất của mặt đẳng thế Dễ dàng suy ra các tính chất sau: a) Các mặt đẳng thế không cắt nhau, vì tạ i m ỗ i đi ểm c ó mộ t giá trị xá c định của đi ệ n thế . R + b) Công của lực điện trong sự dịch chuyển điện + tích q() trên một mặt đẳng thế bằng 0. + c) Vectơ điện trường tại mộrđiểm luôn trực giao + với mặt đẳng thế đi qua điểm ấy. + + Q u ả vậy , n ế u xé t vectơ đi ệ n trưầng E tạ i một + đ i ểm M n ằm trên mộ t mặt đẳng t h ế và A là mộ t + đ i ểm bất k ỳ rất gần M trên mặt đẳng t h ế ấy thì + ta có : + A V M - V A =E.M A 0 d ẫ n tớ i A V < 0, nghĩa là chiều của E là chiều gi ảm đi ệ n t h ế (hình 1.25). T ó m lại: Vectơ điện trường cố phương trực giao với các mặt đẳng thế, có chiều là chiều giảm điện thế và có độ lớn bằng độ giảm điện thế trên đơn vị độ dài dọc theo đường sức. 46 M V + AV N Hình 1.25 § 6 . Đ Ỉ N H LÝ GAU-X O 6. Ì. Mộ t s ố côn g c ụ toá n /. Mặt có định hướng a) Xé t mộ t phần s của một mặt trên đ ó ta c ó thể phâ n biệt: mặt dưới (hoặc mặ t trái) thưầng quy ước là mặt - và mặt trên (hoặc mặt phải) thưầng quy ước là mặt +. Mộ t phần tử dS chứa đi ểm M thuộc s được đặc trưng bởi vectơ: d ã = ndS (1.64) trong đ ó n là vectơ phá p tuyến đơn vị tạ i M của s hướng từ mặt - sang mặt + (còn gọ i là phá p tuyế n dương). N ế u s là mặt kín ta thưầng quy ước mặt trong là mặ t - và mặ t ngoà i là mặt +. b) Mạch kín là mộ t đưầng cong kín có định hướng. Xét một mặt s giới hạn bởi một mạch kín ( Q (ta cũng nói s tựa trên (C)). Sự định hướng mặ t s thưầng dựa vào quy tắc sau đâ y gọ i là quy tắc Stokes: M ộ t cái v ặ n nút chai kh i xoay theo chiều của (C) sẽ xuyê n qua s từ mặt - sang mặt +. dS a) b) Hình 1.26 2. GÓC khối Cho một diện tích vi phân dS thuộc một mặt s có định hướng và một đ i ểm o ngoà i dS; M là mộ t đi ểm bất k ỳ thuộc dS, các h o mộ t đoạn O M = r. Ta gọ i n là vectơ phá p tuyến dương của dS (có đ ộ dà i đơn vị); G i ả sử A là gó c tạo bởi hai vectơ ĩỉ và O M = ĩ , ta định nghĩa góc khố i từ o nhì n diệ n tích dS là đ ạ i lượng: 47 dQ dScosct (1.65) V ớ i định nghĩa này, g ó c khố i dQ là một đ ạ i lượng v ô hướng : dQ > 0 k h i oe nhọn và dQ < 0 kh i a tù. D ễ dàn g nhận thấy: (1.66) Hình 1.27. Định nghĩa góc khối N ế u vẽ mặt cầu ^ (tâm o , bá n kín h đơn vị) và gọ i là phần diệ n tích mặt cầu V n ằm trong hình nó n đỉnh o tựa trên đưầng chu vi của dS, ta thấy d V và dSn c ó thể coi là hai mặt đ ồ n g dạng phố i cảnh đối v ới tâm o . Do đó : nghĩa là Ị dQ I = (1.67) + N ế u chọn chiều phá p tuyến dương , hướng ra ngoà i o thì dQ > 0 và dQ = +d]T ; N ế u chọn chiều phá p tuyến dương , hướng và o trong o thì dQ < 0 và dQ = -d]T . (1.68) Đ ơ n vị gó c khố i là stêradian (sr). Gó c khố i trong khôn g gian là sự mở rộng khá i niệm gó c phang trong mặt phảng. Đ ể xá c định gó c khố i từ o nhìn mộ t mặt s bất k ỳ , trước hết ta chia s thành những diệ n tích v i phâ n dS rồ i xá c định góc khố i dQ từ o nhìn dS sau đ ó tích phâ n cho cả mặt S: r , _ ị-dScosa (1.69) 48 Gi á trị tuyệt đ ố i IQ I chính là phần diện tích mặt cầu (tâm o , bán kính 1) n ằm trong mặ t nó n đỉnh o tựa trên chu v i của s. Đặ c biệ t nếu s là mộ t mặt kín bao quanh 0 thì góc khố i Q từ o nhìn s c ó gi á trị tuyệ t đ ố i bằng diệ n tích cả mặt cầu 2 ] (tâm o , r = 1). I Q I = 4nl 2 = 47T (1.70) N ế u chọn phá p tuyến dươn g n hướng vào trong mặt s thì: Q = +471. 6.2. Vectơ điện cảm - Điện thông ì. Định nghĩa T ạ i mộ t đi ểm trong khôn g gian c ó đi ện trưầng, vectơ đi ệ n c ảm ký hiệu là D được định nghĩa bởi: D=6 0 E Ẽ (1.71) Côn g thức (1.71) thực ra chỉ đún g đ ố i vớ i cá c mô i trưầng đẳng hướng. Trong cá c mô i trưầng dị hướng côn g thức ấy được viế t lạ i dư ớ i dạng phức tạp hơn (dạng tenxơ). T ừ (1.71) suy ra: Ẽ = — (1.71a) T ạ i m ỗ i đi ểm trong mô i trưầng đẳng hướng, hai vectơ D và Ẽ luôn cùn g hướng. Ví dụ: Đi ệ n c ảm D gâ y bởi: a) Đi ệ n tích đi ểm q (> 0) tạ i mộ t đi ểm các h vị trí đặt q mộ t khoảng r: D = -^ r (1-72) 4nr2 b) Dâ y dà i v ô hạn tích đi ệ n đ ề u mật đ ộ dài X ( > 0) tạ i mộ t đi ểm cách d â y mộ t khoảng r: D = -^ r (1.73) 2nr N h ư vậy , tạ i m ỗ i đi ểm trong đi ệ n trưầng, D chỉ phụ thuộc q, tức là nguồn sinh ra đi ệ n trưầng m à khôn g phụ thuộc vào tính chất của mô i trưầng. Theo (1.72, 1.73) trong hệ đơn vị SI, đi ện c ảm được đ o bằng đơn vị culôn g trên mé t vuôn g (C/m2). 4 GT VÁT LÍ ĐAI CƯƠNG TẬP 2 49 Ngư ầ i ta cũng định nghĩa đưầng đi ệ n c ảm giống nh ư đưầ n g sức điện trưầng: Đường điện cảm là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với phương của vectơ D , chiều của đường điện cảm là chiều của D . Số đưầng đi ệ n c ảm vẽ qua mộ t đơ n vị diệ n tích đặt vuôn g gó c vớ i đưầng đi ện c ảm t ỷ l ệ với gi á trị của đi ện c ảm D (tạ i nơi đặt đi ệ n tích). 2. Điện thông G i ả sử ta đ ặ t mộ t diệ n tích s trong mộ t đi ệ n trưầng bất k ỳ (hình 1.28a). Ta chia diệ n tích s thành những diệ n tích vô cùn g nh ỏ dS sao cho vectơ đi ệ n c ảm D tạ i mọ i đi ểm trên diệ n tích dS ấy c ó th ể coi là bằng nhau (đều) (hình 1.28b). a) b) Hình 1.28. Định nghĩa điện thông Theo định nghĩa, đi ệ n thôn g gửi qua diệ n tích ds bằng: d(D e =Dd S (1.74) trong đ ó D là vectơ đi ệ n c ảm tạ i mộ t đi ểm bất k ỳ trên ds. d ỗ là vectơ diệ n tích hướng theo phá p tuyến dươn g n : d ỗ = n dS. Đ i ệ n thôn g gửi qua toàn bộ diệ n tích s bằng: O e = |d(D e = Jõ.d s (1.75) (S) (S) N ế u gọ i a là gó c hợp bói ĩi và D , ta có: d O e = DdS = DdScosa = Dn dS (1.76) 50 O e = Jõ.d s = |D n d S (1.77) (S) (S) trong đ ó D n = Dcosa chính là hình chiếu của D trên phá p tuyến n . Từ các biểu thức trên ta nhận thấy đi ệ n thông là một đ ạ i lượng đ ạ i số, dấu của nó phụ thuộc và o góc ct (nhọn hay tù), nghĩa là phụ thuộc vào sự chọn chiều của phá p tuyến n . Đ ố i với mặt kín, ta luôn luôn chọn chiều của n là chiều hướng ra phía ngoài mặt đó. Vì thế , tạ i những nơi mà vectơ đi ện c ảm D hướng ra ngoà i mặt kín, đi ệ n thôn g dO e tương ứng là dương; tạ i những nơi D hướng vào trong mặt kín, đi ệ n thôn g dO e tương ứng là âm (hình 1..29). Hình 1.29. Xét dấu của điện thông d0 e qua các phần tử diện tích dS của mặt kín M ặ t khá c qua hìn h vẽ 1.29 ta thấy, số đưầng đi ệ n c ảm qua dS cũng bằng số đưầng đi ệ n c ảm qua dSn - hình chiếu của diện tích dS trên mặt phang vuôn g gó c vớ i cá c đưầng đi ệ n cảm. Theo quy ước vẽ số đưầng đi ện c ảm thì DdSn c ó đ ộ lớ n t ỷ l ệ vớ i số đưầng đi ện c ảm qua dSn (tức qua dS). Vì vậy: Điện thông qua diện tích dS có độ lớn tỷ lệ với số đường diện cảm vẽ qua diện tích đó. 6.3. Thiết lộp định lý Gau-xơ 1. Điện thông xuất phát từ một điện tích điểm q a) Cho một đi ệ n tích đi ểm q đặt tạ i vị trí o cố định; trong khoảng khôn g gian xung quanh q t ổ n tạ i đi ện trưầng của q. Xét mộ t diệ n tích v i phân dS và gọ i n là vectơ phá p tuyến dương (độ dài đơn vị) của dS, c ó chiều hướng ra ngoài 0 . Tạ i một đi ểm M của dS 51 ( O M = r) vectơ đi ệ n c ảm D có phương nằm theo O M = r , c ó chiều từ 0 đi ra nếu q > 0, đi vào o nếu q < 0 và có đ ộ lớn: D=J-M 471 r 2 Đ i ệ n thôn g qua diện tích v i phân dS cho bởi: . _ ^ ,„ q dScos a d o = DdScos a = 111—~i— 47T r 2 hay theo định nghĩa của góc khố i (1.65): dOe = Li! dQ e 4n dQ là góc khố i từ o nhìn dS; ta có thể viết: dO>e=-^-dQ (1.78) 4n và d ễ dàn g nghiệm lạ i rằng đẳng thức trên đún g trong cả hai trưầng hợp q > 0 và q < 0. b) Bây gi ầ ta tính đi ệ n thông đi qua một mặt kín s bao quanh q: điện thông ấy bằng tích phân O e = [dO e = — [dQ tích phâ n theo toàn mát s H H s kín s bao quanh o với quy ước phá p tuyến dươn g hướng ra ngoà i S: trong đi ều kiệ n ấy theo kế t quả (Ì .70) ta có Ị d Q = 471. s V ậ y đi ệ n thôn g qua mặt kín s (với quy ước phá p tuyến dươn g hướng ra ngoà i S) do đi ệ n tích q chứa trong s gây ra c ó giá trị: # e = q (1.79) D ễ dàn g nghiệm lạ i rằng hệ thức này đún g trong cả hai trưầng hợp q > 0 và q < 0. c) Trong trưầng hợp đi ện tích q nằm ngoà i mặt kín s, đi ện thôn g qua s cho bởi: 0 khôn g đ ổ i. Xá c định cưầng đ ộ đi ệ n trưầng tạ i M : O M = r. Xét r > R và r < R. Giải Đ i ệ n trưầng ở đây có tính chất đ ố i xứng cầu: vectơ đi ệ n c ảm tạ i M c ó phươn g n ằm theo O M và có cưầng đ ộ chỉ phụ thuộc r. V ẽ mặ t cầu s (O, r) n hư hình 1.33; đi ệ n thôn g qua s cho bởi: o = Ị õ d S = |DdScosO ° = D ỊdS = DS = D47ir 2 ỉ s S (vì trên mặt s, đ ộ lớn của D khôn g đ ổ i ). Theo định lý Gau-x ơ thì O e = q với q là tổng đi ệ n tích chứa bên trong mặt s. 4 3 a) N ế u r > R thì q là đi ệ n tích của cả khố i cầu (O, R) q = - f 7iR p và D 4nr2 = q 55 D T ừ đ ó suy ra cưầng đ ộ đi ện trưầng E = — tạ i M (O M = r) q 47ĩ£( )sr pr 3e 0 s 4ĨIS..ER3 (r > R ) r (r 0). Xá c định cưầng đ ộ đi ệ n trưầng tạ i M các h trục z mộ t đoạn r. Giải Đ i ệ n trưầng ở đâ y c ó tính chất đ ố i xứng trụ xung quanh trục z. V ẽ mặt trụ kín s trục z đi qua M , có đ ộ dà i bằng /, đi ệ n thôn g qua mặ t kín s bằng: O e = đi ệ n thôn g qua hai đá y + đi ệ n thôn g qua mặt bên; trong đ ó điện thông qua hai đá y bằng 0 (vì vectơ D // mặt đáy), cò n đi ệ n thôn g qua mặt bên = 27ir/D. Vậy : O e = 27ir/D. Theo định lý Gau-xơ: O e = q = tổng điện tích chứa trong s. D ễ dàng thấy: ữ jr> R q = Xl 2-Kĩl Đ = kl 2nr b)r R ) r (r 0). (2.2) Bài tập ví dụ 2.1 Thiế t lập định lý Culông . Giải L ấ y mộ t mặ t c ó diệ n tích Sj đủ nhỏ chứa đi ểm M và song song với mặt vật d ẫ n . Ta vẽ mặ t trụ kín c ó đá y Sj, có cá c đưầng sinh vuôn g góc với mặt vật d ẫ n và đá y thứ hai n ằm trong vật d ẫ n . Vect ơ đi ệ n c ảm D vuôn g góc vớ i đáy Sị, song song vớ i mặt bên của hình trụ và bằng 0 ở bê n trong vật d ẫ n . Đi ệ n thôn g qua mặt kín s cho bởi: e = ^quaS, + ^quamặtbên + °qua đáy thứ hai = S,D + 0 + 0 M ặ t khá c đi ệ n tích chứa trong mặt kín s là đi ệ n tích chứa trên diện tích Sị của mặ t d ẫ n : q = Sịơ. Theo định lý Gau-xơ : S,D = Sịơ => D = ơ và e„e e„E Hệ quả: hiệu ứng mũi nhọn Lý thuyết và thực nghiệm đã chứng tỏ sự phân b ố đi ệ n tích trên mặt vát d ẫ n chỉ phụ thuộc vào hình dạng của mặt vật đó . Vì lý do đ ố i xứng, trên những vật d ẫ n có dạng mặt cầu, mặt phang vô hạn, mặt trụ dài vô 61 hạn... đi ệ n tích được phâ n b ố đ ề u . Đ ố i với những vật d ẫ n c ó hìn h dạng bất k ỳ , sự phâ n b ố đi ệ n tích trên mặt vật dần sẽ khôn g đ ề u . Hình 2.2. Sự phân bố điện tích trên vật dẫn Hìn h 2.2 biểu di ễ n sự phâ n b ố đi ệ n tích và đi ệ n phổ của vật dẫn có dạng lồ i lõm khá c nhau. Qua hình vẽ ta thấy: ở những ch ỗ lõm (a), điện tích hầu như bằng không , ở những chỗ lồ i hơ n (b) đi ệ n tích được phân bố nhiều hơn; đặc biệt, đi ệ n tích được tập trung ở những chỗ c ó m ũ i nhọn (c). Vì vậy, tạ i vùng lân cận m ũ i nhọn đi ệ n trưầng rất mạnh. Dư ớ i tác dụng của đi ện trưầng này, một số lon dươn g và electron c ó sẵn trong kh í quyển (do tác dụng ion hoa của các tia vũ trụ, tia phón g xạ...) chuyển độ ng c ó gia tốc và nhanh chón g đạt vận tốc lớn . Chún g va chạm vào cá c phâ n tử không khí, gây ra hiệ n tượng lon hoa: số ion này sinh ra ngà y càn g nhiều. Cá c hạt mang đi ệ n trái dấu vớ i đi ệ n tích trên m ũ i nhọn sẽ bị m ũ i nhọn hút vào, do đ ó đi ệ n tích trên m ũ i nhọn mất dần (vì bị trung hoa bởi cá c đi ệ n tích trái dâu). Trá i lại, các hạt mạng đi ệ n cùn g dâu với đi ệ n tích của m ũ i nhọn sẽ bị đ ẩ y ra xa; chún g ké o theo cá c phâ n tử khôn g khí, tạo thành mộ t luồng gió và được gọ i là gió điện. Hiệ n tượng m ũ i nhọn bị mất dần đi ệ n tích và tạo thành gió đi ệ n được gọ i là hiệu ứng mũi nhọn. 62 Trong mộ t số má y tĩnh đi ệ n làm việc với đi ệ n t h ế cao, đ ể tránh mất đ i ệ n tích do hiệ u ứng m ũ i nhọn sinh ra, ngưầ i ta thưầng làm mộ t số bộ phận ki m loạ i của má y khôn g ở dạng m ũ i nhọn mà ở dạng mặt có bán kính cong lớn , hoặc mặt cầu... Ngược lại, trong nhiều trưầng hợp ngư ầ i ta sử dụng hiệ u ứng m ũ i nhọn đ ể phón g nhanh đi ệ n tích tập trung trên vật ra ngoà i kh í quyển. Chẳng hạn, kh i bay qua những đám mây , má y bay thưầng bị tích đi ệ n . Do đó , đi ệ n t h ế của thân má y bay thay đ ổ i, ảnh hưởng đ ế n việc sử dụng cá c thiế t bị đi ệ n trên má y bay. Vì vậy, trên thân má y bay (đặc biệt má y bay c ó vận tốc lớn) ngưầ i ta thưầng gắn một thanh ki m loạ i nhọn (hoặc dâ y ki m loại). Do hiệu ứng m ũ i nhọn, đi ện tích trên thân má y bay sẽ mất đi nhanh chóng . 1.4. Điện dung của một vạt dân cô lộp Trong phần này ta xét một vật dẫn ở xa các vật dẫn khác (vật dẫn cô lập). Lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng kh i mộ t vật d ẫ n cô lập tích đi ện thì đi ệ n tích q và đi ệ n t h ế V của vật d ẫ n ấy luôn t ỷ l ệ vớ i nhau. Ví dụ: Xé t mặt quả cầu ki m loạ i (O, R) cô lập tích đi ệ n đ ề u q. Vì đi ện tích chỉ tập trung ở trên mặ t vật d ẫ n (tích đi ệ n cân bằng) nên quả cầu ấy tương đươn g vớ i mặt cầu (O, R) tích đi ện đ ề u . Đi ệ n t h ế V tạ i mộ t đi ểm bất k ỳ bên trong và trên mặ t cầu cho bởi (1.41): V=-S— 47ĩ8HeR nghĩa là q = (47TS0eR)V (2.3) Đ ị n h nghĩa: Tỷ số không đổi giữa điện tích và điện thế của một vật dần cô lập được gọi là điện dung của vật dẫn ây. Đ i ệ n dung của vật d ẫ n được ký hiệu là c . c = -3- (2.4) V Trong h ệ SI, đi ệ n dung c tính ra đơn vị fara (F). M ộ t vài ước số của fara: microíara : lfj.F = 10 6 F nanoíara : ln F = 10 9 F picofara: lp F = 10 H 2 F 63 (2.5) Nói chung, đi ệ n dung của mộ t vật d ẫ n phụ thuộc hìn h dạng, kích thước vật d ẫ n ấy, đồng thầ i phụ thuộc mô i trưầng xung quanh. § 2 . HIỆ N TƯ Ợ N G ĐI Ệ N HƯ Ở N G 2.1 . Hiệ n tư ợ n g đi ệ n hư ở n g K h i đật mộ t vật d ẫ n chưa mang đi ệ n (BK) trong đi ệ n trưầng ngoài (hình vẽ 2.3) do mộ t quả cầu kim loạ i mang đi ệ n dươn g gây ra) thì dưới tác dụng của lực đi ệ n trưầng cá c electron trong vật d ẫ n B K sẽ chuyển dầi có hướng ngược chiều đi ệ n trưầng. K ế t quả là trên cá c mặt giớ i hạn BK của vật d ẫ n xuất hiệ n cá c đi ệ n tích trái dấu. Cá c đi ệ n tích nà y được gọi là các điện tích cảm ứng. Hình 2.3. Hiện tượng điện hưởng Cá c đi ệ n tích c ảm ứng gây ra bên trong vật d ẫ n mộ t đi ệ n trưầng phụ ngày càn g lớn và ngược vớ i đi ệ n trưầng ngoà i làm cho đi ệ n trưầng tổng hợp yếu dần. Cá c electron tự do trong vật d ẫ n chỉ ngừng chuyển động có hướng kh i cưầng đ ộ đi ệ n trưầng tổng hợp bên trong vật d ẫ n bằng khôn g và đưầng sức đi ệ n trưầng ở ngoà i vuôn g gó c vớ i mặt vật d ẫ n , nghĩa là khi đi ều kiệ n cân bằng tĩnh đi ệ n được thực hiện . K h i đ ó cá c đi ệ n tích c ảm ứng sẽ có đ ộ lớn xá c định. D ễ dàn g thấy rằng đi ệ n tích c ảm ứng âm (do thừa electron ở B), và đi ệ n tích c ảm ứng dương (do thiếu electron ở K ) c ó giá trị tuyệt đ ố i bằng nhau. 64 Hiện tượng các điện tích cảm ứng xuất hiện trên vật dẫn (lúc đầu khôn g mang đi ện) khi đặt trong điện trường ngoài được gọi là hiện tượng điện hưởng. Do hiệ n tượng đi ệ n hưởng, đi ệ n phổ của đi ện trưầng ngoà i đã bị thay đ ổ i. Hìn h 2.3 cho thấy: mộ t số đưầng sức đi ện trưầng bị gián đo ạ n trên vật d ẫ n ; chún g bị cong lạ i và tận cùng trên mặt B có đi ệ n tích c ảm ứng âm, rồ i l ạ i xuấ t phá t từ mặt K c ó đi ệ n tích c ảm ứng dương . Rõ ràng đi ệ n tích trên vật mang đi ệ n A và đi ệ n tích c ảm ứng có quan hệ vớ i nhau. Quan hệ đ ó được di ễ n tả trong định lý các phần tớ tương ứng. 2.2. Định lý các phần tử tương ứng Xé t mộ t ống đưầng sức tạo bởi tập hợp đưầng đi ệ n c ảm tựa trên chu vi của mộ t phần tử diệ n tích AS trên vật mang đi ện A . Gi ả sử tập hợp đưầng đi ện c ảm nà y tới tậ n cùn g trên chu v i của phần tử diệ n tích AS' trên mặt vật d ẫ n B K (hình 2.3). Cá c phần tử diệ n tích AS' chọn nh ư trên được gọ i là các phần tớ tương ứng. Ta tưởng tượng v ẽ mộ t mặ t kín (S) hợp bởi ống đưầng đi ệ n c ảm ứng nói trên và hai mặ t X ' É ' lâ ' y tron S cá c vậ t A v à (BK)- M ặ t 2 tlJa trê n chu v i của AS, mặ t tựa trên chu v i của AS'. Theo định lý Gau-xơ, đi ện thông qua mặ t kín (S) bằng: (De = |D n d S = Xq i = Aq +Aq ' (2.6) (S) trong đ ó Aq và Aq' lầ n lượt là đi ệ n tích trên AS và AS\ Tạ i mọ i đi ểm trên ống đưầng đi ệ n c ảm ứng D n = 0, còn tạ i mọ i đi ểm trên X v à Z ' tron ỗ cá c vật A và (BK): D = 0, do đ ó (2.6) cho: (De = Aq + Aq' = 0 (2.6a) Vậy : Điện tích cảm ứng trên các phẩn tớ tương íùig cố độ lớn bằng nhau và trái dấu. Đ ó chín h là nộ i dung của định lý các phần tớ tương ứng. 2 3 Điện hưỏng một phần và điện hưỏng toàn phần Gói q và q' lần lượt là điện tích tổng của vật A và độ lớn của điện tích c ảm ứng xuất hiệ n trên cá c phần tử tương ứng của vật d ẫ n (BK). 5 GT VÁT Li ĐAI CƯƠNG TÁP 2 65 Trong trưầng hợp hình 2.3 ta nhận thấy chỉ c ó một số đưầng đi ệ n cảm ứng xuất phát từ A tới tận cùng trên vật d ẫ n (BK), còn một số đưầng điện cảm khá c xuất phát từ A lạ i đi ra vô cùng. Trưầng hợp này được gọ i là hiện tượng điện hưởng một phần. Á p dụng định lý về các phần tử tương ứng cho tập hợp các đưầng đi ện cảm xuất phát từ A và tận cùng trên (BK), ta dễ dàng rút ra: q' < q (2.7) Vậy : Trong trường hợp điện hưởng một phẩn, độ lớn của điện tích cảm ứng nhỏ hơn độ lớn điện tích n ên vật mang điện bơn đầu. • Trong trưầng hợp hình 2.4, vật dẫn (BK) bao bọc hoàn toàn vật mang điện A . Vì vậy, toàn bộ đưầng đi ện cảm xuất phát từ A đ ề u tới tận cùng trên vật d ẫ n BK: ta có hiện tượng điện hưởng toàn phần. Trong trưầng hợp này, áp dụng định lý về các phần tử tương ứng, ta d ễ dàng suy ra: q' = q Hình 2.4. Điện hưởng toàn phần (2.8) Vậy : Trong trường hợp điện hưởng toàn phần, độ lớn của điện tích cảm ứng bằng độ lớn điện tích trên vật mang điện ban đẩu. § 3 . H Ệ VẬ T D N TÍC H ĐI Ệ N C N BĂN G TỤ ĐI Ệ N 3. Ì. Điện dung và độ điện hưởng G i ả sử c ó hai vật dãn tích đi ện ở trạng thái cân bằng, giá trị đi ện tích và đi ện t h ế của chún g lần lượt bằng qj, q 2 và Vj , v 2 (hình 2.5). Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi điện tích (hoặc đi ện thế) của một trong ba vật thay đ ổ i thì sẽ ảnh hưởng đến điện tích và đi ện t h ế của cả hai vật kia (hiện tượng đi ện hưởng). Nói cách khác , các giá trị đi ện tích và điện t h ế của các vật d ẫ n ấy có m ố i liên hê xác đinh. 66 Đ ố i vớ i mộ t vật d ẫ n c ô lập, liên h ệ giữa đi ện tích và đi ệ n t h ế là một liên hệ tuyế n tính: q = c v Hình 2.5. Hệ vật dẫn tích điện cân bằng Lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng đ ố i vớ i hệ vật dẫn nói trên, liên hẹ giữa cá c gi á trị đi ệ n tích và đi ệ n t h ế cũng là những liên h ệ tuyến tính được viế t dư ớ i dạng: q i = c n v 1 + c 1 2 v 2 q 2 = C 2 1 V,+C 2 2 V 2 _ (2.9) Cá c h ệ số Cu , c> 2, được gọ i là đi ệ n dung của cá c vật d ẫ n Ì, 2 cò n cá c hệ s ố c,2 CH được gọ i là cá c đ ộ đi ệ n hưởng. Giữa cá c hệ số này ngưầ i ta đã chứng minh : Cj J, C22 > 0 và c 1 2 = c 2 1 (hệ thức đ ố i xứng) (2.10) Cá c h ệ thức (2.9) trên đâ y d ễ dàn g m ở rộng cho trưầng hợp hệ gồm n vật d ẫ n . 3.2. Tụ điện M ộ t trưầng hợp riêng của hệ vật d ẫ n là tụ đi ệ n . Đin h nghĩa: T ụ đi ệ n là mộ t hệ hai vật d ẫ n A và B sao cho vật d ẫ n B bao bọc hoà n toàn vật d ẫ n A (A, B thưầng được gọ i là hai tấm hoặc hai bản của tụ đi ện). Ta nó i rằng kh i đó hai vật d ẫ n A , B ở trạng thái đi ện hưởng toàn phần. Gi ả sử vật d ẫ n A tích đi ệ n q, (ở mặt ngoài), trên mặt 67 trong của vật d ẫ n B xuấ t hiệ n đi ệ n tích q 2 và trên mặ t ngoà i của vậ t d ẫ n B xuất hiệ n đi ệ n tích q' 2. Tính chất ỉ. qt + q2 = 0, nghĩa là khi hai vật dẫn A, B ở nạng thái điện hưởng toàn phần thì điện tích xuất hiện trên hai mặt đối diện có giá trị đ ố i nhau. Chứng minh: L ấ y một mặt kín s bất kỳ nằm hoàn toàn trong thể tích của vật dẫn B và bao bọc vật d ẫ n A . Hình 2.6. Tụ điện Đ i ệ n trưầng tạ i mọ i đi ểm trên s đ ề u bằng 0 (đi ện trưầng bê n trong vật d ẫ n tích đi ệ n câ n bằng), vậy đi ệ n thôn g qua mặ t s bằng 0. Nhưn g trong mặt kín s c ó chứa đi ệ n tích q j + q 2, vậy theo định lý Gau-xơ : q, +q 2 = 0 Tính chất 2. Gọ i V ị và v 2 lầ n lượt là đi ệ n t h ế của vậ t d ẫ n A và B của tụ đi ệ n , ta c ó thể viế t những h ệ thức tuyến tính dạng (2.9). (Chú ý đi ệ n tích của vật B là q 2 + q' 2 ) q,=c n v,+c 1 2 v 2 q 2 + q ,2 = C 2 1 V,+C 2 2 V 2 (*) Ha i phươn g trình nà y luô n nghiệm vớ i mọ i gi á trị c ó thể của đi ệ n tích và đi ệ n thế . a) N ế u ta nố i vật d ẫ n B vớ i đất thì đi ệ n tích q' 2 chạy xuống đất và v 2 = v đ ấ t. Chọn v đ ấ t = 0 (gốc đi ệ n thế), h ệ phươn g trình (*) trở thành : q2 = C21V1 68 Do q, + q 2 = (C, I + C2|)V , = 0 (tính chất 1). Suy ra hệ thức: c , , + c 2 1 = 0 b) Thôn g thưầng khi sử dụng tụ đi ện, hai bản thưầng được nố i với nguồn hay với các vật d ẫ n khác , nên nói chung q' 2 khôn g xuất hiện, vậy ta có các hệ thức sau: q 1 = C 1 1 V 1 + C 1 2 V 2 (2.11) q 2 = c 2,v,+c 2 ~ V 2 do q, + q 2 = (C,, + C 2 1 ) V , + (C,2 + C 2 2 ) V 2 = 0 c,,+c 2 1 = 0 nên suy ra hệ thức: C I 2 + c 2 2 = 0 K ế t hợp với tính chất đ ố i xứng của các độ điện hưởng ta có hệ thức sau: C| Ì = c 2 2 =- C | 2 =-Q i (2.12) Đặt Cj ị = c 2 2 = c > 0 c 1 2 = c 2 1 =-c< 0 Cá c hệ thức (2.11) thành ra: q,=C(V 1 - V 2 ) q 2 = -C(Vj-V 2 ) (2.13) c được gọ i là điện dung của tụ điện. Tính chất 3. H ệ thức trên đây chứng tỏ (vì c > 0) khi q, > 0 thì V , > v 2: Trong tụ điện, điện thế của bản tích điện dương cao hơn điện thế của bản tích điện âm. Đị n h nghĩa. Gi á trị đi ện tích: q = qi =-<ỉ2 được gọ i là điện tích của tụ điện. Theo trên ta có thể viết: q = c u (2.14) với Ư = Vị - v 2 = U| 2 = U A B là hiệu điện t h ế giữa bản tích đi ện dương và bản tích đi ện âm. 3.3. Tính điện dung của một số tụ điện Đ i ệ n dung của một tụ đi ện là đ ạ i lượng đặc trưng cho khả năng tích đi ện của tụ đi ện ấy: nó phụ thuộc vào cấu tạo, hình dạng, kích thước của 69 hai bản, mô i trưầng các h đi ện giữa hai bản tụ đi ệ n và khôn g phụ thuộc vào cá c vật d ẫ n bên ngoài. Dư ớ i đây ta tính đi ệ n dung của mộ t số tụ điện đơn gi ản. a) Tụ điện phang + Q + Hình 2.7. Tụ điện phang Ha i bản tụ đi ệ n là hai mặt phang kim loạ i c ó cùn g diệ n tích s đặt song song các h nhau mộ t khoảng d (hình 2.7). N ế u khoảng các h d giữa hai bản rất nhỏ so vớ i kích thước của m ỗ i bản thì ta c ó thể coi đi ệ n trưầng giữa hai bản nh ư đi ệ n trưầng gâ y ra bởi hai mặt phảng song song v ô hạn mang điện có mật đ ộ đi ệ n bằng nhau nhưn g trái dấu. Theo côq g thức (1.46a) hiệu đ i ệ n t h ế giữa hai bản bằng: V , v 2 = ơ d Qd s 0 e trong đ ó ơ = — là đ ô lớn của má t đ ô điên má t trên m ỗ i bản, e là hằng số s đ i ệ n mô i của mô i trưầng l ấp đ ầ y khoảng khôn g gian giữa hai bản. T ừ đ ó suy ra đi ệ n dung của tụ đi ệ n phang: c = E0 eS V, -v 2 (2.15) s là diệ n tích mộ t bản, d là khoảng các h giữa hai bản và 8 là hằng số đi ệ n mô i của mô i trưầng l ấp đ ầ y khoảng khôn g gian giữa hai bản tụ đi ệ n . b) Tụ điện cầu Trong tụ đi ệ n cầu, hai bản tụ là hai mặt cầu ki m loạ i đ ồ n g tâm bá n kính Rj và R2 (bao bọc l ẫ n nhau) (hình 2.8). 70 Hình 2.8. Tụ điện cẩu Bài tập ví dụ 2.2 Chứng min h rằng đi ệ n dung của tụ đi ệ n cầu bằng: Q 47ĩe 0 sRlR2 V, - v 2 Ro — R,(2.16) c = ^21 X 1 c) Tụ điện trụ Ha i bản của tụ đi ệ n là hai mặt trụ ki m loạ i đồng trục bá n kín h lầ n lượt bằng Rị và R2 và có chiều cao bằng / (hình 2.9). Bài tập ví dụ 2.3 Ro Chứng min h rằng đi ệ n dung của tụ đi ện trụ bằng: c = V, -v 2 27ts 0 e/ R, (2.17) Qua cá c k ế t quả trên ta c ó thể chứng minh rằng nếu khoảng các h giữa hai bản tụ đi ện rất nhỏ so với kích thước của cá c bản thì đi ệ n dung Hình 2.9. Tụ điện trụ của mộ t tụ đi ệ n bất k ỳ t ỷ l ệ thuận với đi ệ n tích của m ỗ i bản, vớ i hằng số đi ện mô i của mô i trưầng l ấp đ ầ y khoảng khôn g gian giữa hai bản và t ỷ l ệ nghịch vớ i khoảng các h giữa hai bản đó . 3.4. Tính điện dung của một hệ hai vạt dân Trong trưầng hợp hai vật dẫn tích điện đối nhau: q = q, = -q2 có thể tính được đi ệ n dung của h ệ hai vật ấy theo công thức: c = V, -v 2 Bài tập ví dụ 2.4 Ha i qu ả cầu ki m loạ i nhỏ cùn g bán kính (0| , R) (0 2, R) hai tâm đặt các h nhau mộ t khoảng a. Tín h đi ện dung của hệ hai quả cầu đó . Giải: G i ả sử hai quả cầu được tích đi ệ n qi = q > 0; q 2 = - q < 0 và kích thước của chún g đ ủ nhỏ đ ể c ó thể v ẫ n coi đi ệ n tích được phân b ố đ ề u ở trên m ỗ i m á t cầu. 71 Hình 2.10 G ọ i A và B là hai đi ểm nằm trên 0| , 0 2 của hai mặt cầu đó . Á p dụng những kế t quả của bài tập ví dụ Ì .9 ta có thể tính được đi ệ n t h ế tạ i A và B. Vị = V A là điện t h ế do qj + đi ện t h ế do q 2 a - R = k R a - R (k = (47re 0 8)"') R vã V 2 = V B = k a - R í + k^ - = k R a - R R j 2kq(a -2R ) Suy ra: V,-V 2 = 2kq Điện dung c của hệ cho bởi R R R( a - R) c = q R(a-R ) Vị - v 2 ~ 2k(a-2R ) _ 27TS0sR(a - R) c = a -2 R (2.18; § 4 . PHƯƠN G PHÁ P ẢN H ĐI Ệ N * 4.1. Ý tưởng cơ bản của phương pháp ảnh điện Ta thưầng phải giải bài toán khảo sát điện trưầng của một hệ vật dẫn trong một miề n khôn g gian (D) nào đ ó ở ngoài các vật dẫn. Phương pháp ảnh đi ện cho phé p ta gi ả i bài toán này một cách nhanh gọn. Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là xác định những đi ện tích đi ểm thích hợp đặt tại những vị trí thích hợp sao cho đi ện trưầng của hệ đi ện tích này có các mặt đẳng t h ế trùng với các mật của các vật dẫn với những giá trị đi ện thế tương ứng bằng nhau. Kh i đó, đi ện trưầng của vật dẫn trong miề n (D) trùng với điện trưầng của hệ điện tích điểm (xác định như trên) trong miền (D). 72 Ví dụ: Khảo sát đi ện trưầng gây bởi một điện tích đi ểm q và một vật dân (C) trong khoảng không gian (D) ngoài vật dẫn. Ta xá c định một điện tích đi ểm (q') có đ ộ lớn thích hợp đặt tạ i một vị trí thích hợp sao cho điện trưầng của hệ (q, q') có một mặt đẳng t h ế trùng với mặt vật d ẫ n (C) với cùng giá trị của đi ện thế. K h i đó điện trưầng của hệ (q, q') trong miền (D) chính là đi ệ n trưầng của hệ q và vật dẫn (D). Đi ệ n tích (q') xác định như trên gọi.là ảnh điện của q. 4.2. Bài tạp ví dụ về phương pháp ảnh điện Bài tập ví dụ 2.5* Cho đi ện tích đi ểm (q) đặt cố định tạ i o trước một vật dẫn (C), vật dẫn này lấp đầy toàn bộ một nửa không gian giới hạn bởi mặt phang (P) và được gi ả thiết luôn nố i đất. a) Xá c định lực tĩnh đi ện tác dụng lên q, biết khoảng cách từ (q) đến (P) là O H = a. b) Xá c định mật đ ộ đi ện mặt tạ i đi ểm M trên (P): O M = r > a. Giải M ặ t phang (P) của vật v ẫ n là một mặt đẳng t h ế với đi ện t h ế V = 0 (vì vật dẫn luôn nố i đất) (hình 2.5a). Do điện hưởng, trên mặt (P) xuất hiện những đi ện tích trái dấu với q. K ế t quả điện tích q chịu tác dụng của lực điện F hướng về (P), vì lý do đ ố i xứng F hướng theo O H vuông góc VỚ1(P). D ễ dàng thấy rằng, nếu ta lấy điện tích q' = - q đặt tạ i vị trí O' đ ố i xứng với o qua mặt phang (P) thì điện trưầng của hệ (q, q' = -q ) có (P) là mặt đẳng t h ế với V = 0 (Bài tập ví dụ 1.18): điện tích q' là ảnh điện của q đ ố i với (P) (tương tự như ảnh của một vật qua một gương phang). a) Kh i đ ó đi ện trưầng của hệ q, vật dẫn (C) trong miề n (D) cũng là điện trưầng của hệ (q, q') trong miền (D). lực điện F do (C) tác đụng lên (q) cũng là lực do q' tác dụng lên q: Ì Iqq'I F = —=— 1 ri? - f (O ơ = 2a) 4ra 0 e oo* 2 F = —-í— -— 47ĨS0E 4a 2 73 (D) o (P) (P) (D) M è -(C) o ẽ - q a) b) Hình 2.11 ơ - é q'= -q b) Tạ i mộ t đi ểm ngoà i vật d ẫ n (C), rất gần M , vectơ đi ệ n trưầng Ẽ có phương vuôn g gó c vớ i (P) và có đ ộ lớn: ơ E = (Định lý Culông ) ơ là mậ t đ ộ đi ệ n mặt tạ i M trên (P). Vé c tơ đi ệ n trưầng Ẽ cũng là vectơ đi ệ n trưầng tạ i M gây bởi h ệ (q, q'). E = Ẽ+ + Ẽ _ ; trong đ ó Ẽ + và Ẽ _ lầ n lượt là cá c vectơ đi ệ n trưầng do q và q' gây ra tạ i M . q E , = O M (P) - É = 47ie 0 6 r 3 - q (V M 47ĨS()S r3 Ì q t= + \ \ \ M \ \ m/ / về đ ô lớn: E + = E_ = 47ĩ8()8 r D ễ dàn g thấy hìn h bình hàn h tạo r / X / a / / 0 bởi hai veẹtơ Ẽ + và Ẽ _ là mộ t hình thoi (hình 2.1 le). Vect ơ đi ệ n trưầng tổng hợp E c ó phươn g vuôn g gó c vớ i (P) và c ó đ ộ lớn: E = 2E+ cos a trong đ ó cosa = — r 74 3 H ơ Hình 2.11c V ậ y và E = Ì aq 27IE„£ r 3 ơ = 80 eE = —- -2. 1 0 27Ĩ r3 ơ = aq 2TCĨ3 § 5 . NAN G LƯ Ợ N G H Ệ VẬ T D N NĂN G LƯ Ợ N G TỤ ĐI Ệ N • • • (2.19) (2.20) 5. Ì. Nâng lượng của một vạt dẫn tích điện Theo (1.43a) năng lượng (tương tác) tĩnh điện của một hệ điện tích đ i ểm (gọi tắt là năng lượng của hệ đi ện tích điểm) cho bởi: Xét một vật dẫn (cô lập) tích điện và có điện thế V (V là điện thế chung của mọ i đi ểm trong vật dẫn). Ta chia vật d ẫ n thành những phần tử điện tích nhỏ dq: năng lượng của vật d ẫ n là năng lượng của hệ các phần tử . điện tích dq đó: w = — ^ Vdq (lấy tổng cho cả vật dẫn) Ì _ = — V^d q (V không đ ố i cho cả vật dẫn) hay W=-VQ Chú ý rằng: Q = cv (theo (2.4)). V ậ y có thể viế t biểu thức năng lượng của vật d ẫ n (cô lập) tích đi ện: Ì cv 2 Ì o 2 W= ^ V Q = ^T - = ^T T (2.21) 2 2 2 c 5.2. Nâng lượng của hệ vạt dẫn Hệ n vật dẫn lần lượt tích điện: Qj, Q2, Q3,..., Qn và có điện thế tương ứng V ị, v 2, v 3,... , v n thì năng lượng (tương tác tĩnh điện) của hệ cho bởi: 75 w=|ẳQi vi (2-2 2 > 2 i=i • 5.3. Nân g lư ợ n g t ụ đi ệ n Tụ đi ệ n là hệ hai vật d ẫ n ở trạng thái điên hưởng toàn phần, tích điện +Q và -Q , c ó đi ệ n t h ế lầ n lượt là V ị và v 2. Năn g lượng của tụ đi ệ n cho bởi: w = — VịQ + — V 2 (-Q ) w = -Q(Vj - v2) trong đó Q = C(V, - v2) với c là điện dung của tụ đ i ệ n . Vậ y c ó thể viế t biể u thức năn g lượng của tụ đi ệ n nh ư sau: W=ÌQ(V 1 - V 2 ) = ic(V,-V 2 )2= i ^ (2.23) Như vậy tụ điện mang năng lượng: năng lượng này được tích lũy trong tụ điện và sẽ được giải phóng khi tụ điên phóng điên. I I Có thể thấy rõ hiệ n tượng đ ó qua thí nghiệm vẽ trên hình 2.12. Khi khoa K ở vị trí a tụ đi ệ n được tích đi ệ n nghĩa là được tích lũy năng lượng do nguồn cung cấp. Khi chuyển khoa K sang vị I 1 trí b tụ đi ệ n phón g đi ệ n : kh i đ ó năn g lượng tích l ũ y trong tụ đi ệ n Hình 2.12 được gi ả i phón g chuyển hoa thàn h nhiệ t lượng toa ra trên đi ệ n trở R. Bài tập ví dụ 2.6 Trong thí nghiệm trên đây : 1. Thiế t lập biể u thức di ễ n tả sự biến thiên theo thầi gian t của điện tích tụ đi ệ n trong qu á trình tích đi ệ n và phón g đi ệ n . 2. Bằng tính toán, chứng tỏ rằng kh i phón g đi ệ n , năn g lượng tích lũy trong tụ đi ệ n được chuyển hoa thành nhiệt lượng toa ra trên đi ệ n trầ R. 76 Jiái Quá trình tích điện: Trong quá trình tích điện, có dòn g điện chạy theo :hiêu từ cực dương của nguồn điện đi ra đến tấm dương của tụ điện. Gọ i i [à cưầng đ ộ dòn g đi ện. Gi ả sử trong khoảng thầi gian dt, lượng đi ện tích đi tới (bản dương) của tụ đi ện là dq; khi đó ta có thể viết: dq Ì = dt (2.24) Ta viế t hiệu đi ện t h ế giữa hai cực của nguồn bằng hiệu điện t h ế qua hai bản tụ đi ện: ị » hay d(4C - q) _ ỹc-q ri = -ậ trong đó i = — . Vậ y 1 - r — = — c 5 dt . s dt c rcậ=4C-q. dt — tích phân hai vế: ln(ệC - q) = —— + const rC rC ịC - q = Ae «c Đ ể tính A ta dựa vào đi ều kiệ n t = 0 ịC = A _J_ Cuối cùng ta được: - q = ệCe l C í t "\ q = 0 Nghĩa là: q = 4C Ì - e «c (2.25) Ta thấy rằng: khi t - > 00 thì q -> ịc Quá ninh phóng điện: Kh i K chuyển sang vị trí b, tụ đi ện phóng điện: ác đó ta có dòn g đi ện chạy theo chiều từ bản dương của tụ điện qua điện rở R. Cưầng đ ô i trong mác h bây gi ầ cho bởi: i = - — (dq < 0). dt Ta biết hiệu đi ện t h ế giữa hai bản tụ điện bằng hiệu đi ện t h ế giữa hai tầu đi ện trở R: Ì = Ri =-Ri a di Nghĩa là: dq q dt Re 77 Tíc h phâ n hai vế : lnq = - —— + const RC q = BeR C Chú ý: Lúc ban đầu t = 0 thì q = q0 = £C (theo (2.25)), vậy B = q0 và ta có : q = ệCe R C (2.26) Sự biến thiên của q theo t khi tích điện và khi phóng điện được diễn tả bằng các đồ thị trên hình 2.13. • a) Tích điện b) Phóng điện Hình 2.13 Từ phươn g trình — = Ri, ta c ó thể viết: — dq = Ridq trong đó dq = -id t (i = -^ ) dt Vậy: Tích phân hai vế: Ta đươc : ị d q = Ri 2d t c <•> _ J _ 0 0 lo 2 00 = |Ri 2d t (2.27) 2C V ế trái của (2.27) là năn g lượng tích l ũ y được trong tụ đi ệ n kh i tích điện. Phương trình (2.27) chứng tỏ rằng khi phóng điện, năng lượng tích 78