Giáo trình lý thuyết trường điện từ

🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình lý thuyết trường điện từ Ebooks Nhóm Zalo TS. ĐẶNG DANH HOẢNG (Chủ biên) PGS.TS. LẠI KHẤC LÃI, TS. LÊ THỊ HUYÊN LINH, ThS. TRẦN THỊ THANH HẢI GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ‘ ** VJ ị \ < s : JL MU NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN GÍÁO TRĨNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TS. ĐẶNG DANH HOẦNG (Chủ biên) PGS.TS. LẠI KHẮC LÃI, TS. LÊ THỊ HUYÈN LINH, ThS. TRÀN THỊ THANH HẢI GIÁO TRÌNH LÝ THUYÉT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ (Dùng cho sinh viên ngành Điện, Điện tử) NHÀ XUÁT BẢN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NĂM 2017 02-146 MÃSÓ:---------------- ĐHTN-2017 MỤC LỤC LỜI NÓI Đ À U ......................................................................................................... 11 Chương 1. Sự hình thành và phát triên bài toán trưòng điện từ ................. 12 1 I Sự hình thành điện động lực học Maxwell ............................................ 13 1.2. Sự phát triển điện động lực học cổ điển sau Maxwell..........................21 1.3. Khái quát về mô hình bài toán mạch và mô hình bài toán trường...... 25 Chương 2. Các khái niệm CO’ bản về truÒTig điện từ và môi trưòng chất.... 27 2.1 Khái niệm chung về Trường điện từ và môi trường chất.................... 27 2 11 Định nghĩa Trường điện từ....................................................................27 2.1.2. Trường điện từ là một dạng vật chất, một thực thể vật lý .................27 2.1.3. Trường điện từ là một dạng vật chất cơ b ả n .......................................28 2.1.4. Mô hình tương tác cùa Trường điện từ - môi tmờng ch ất................29 2.1.5. Phương thức tương tác cùa Trường điện từ và môi trường mang điện.... 30 2.1.6. Hai mặt thể hiện Điện và Từ cùa Truờng điện từ .............................. 30 2.2. Các thòng số trạng thái động lực học cơ bản cùa Trường điện từ và môi trường chất.......................................................................................................... 31 2 .2 .1. B icn trạng thái động lực h ọ c co bản cù a v ậ t m ang điện - đ iện lícli q .... 32 2.2.2. Các biến trạng thái cơ bản của Trường điện từ E, Ẽ .......................32 2.2.3. Tính tương đối cùa Ê và B ..................................................................34 2.3. Các thông số khác về trạng thái, hành vi của trường và môi truờng.... 36 2.3.1. Các thông số trạng thái và hành vi về phân cực điện...........................36 2.3.2. Các thông số trạng thái và hành vi về phân cực từ .............................. 38 2.3.3. Các thông số trạng thái và hành vi về dòng điện trong vật dẫn....... 40 2.4. Năng luợng, khối lượng và động lượng của trường điện từ ...................41 2.4.1. Mật độ năng lượng cùa Trường điện từ (J/m3)............................................. 41 2.4.2. Mật độ khối lượng cùa Truờng điện từ (kg/m3)........................................... 42 2.4.3. Mật độ động lượng cùa Trường điện từ (kg/m2s).........................................42 Chương 3. Mô tả toán học quy luật tưong tác của hệ truòng điện từ - môi trường chất liên tục..........................................................................................44 3.1. Hệ phương trình Maxwell và bài toán bờ có sơ kiện............................... 44 3.1.1. Một số toán tử về giải tích vector........................................................... 44 3.1.2. Hệ phương trình Maxwell và bài toán bờ có sơ kiện...........................47 3.1.3. Quan hệ giữa hệ phương trinh Maxwell và các luật Kirchhoff.........48 3.2. Dẩn ra hệ phương trình Maxwell............................................................50 3.2.1. Dần ra phương trình Maxwell 2 ..............................................................50 3.2.2. Dan ra phương trình Maxwell 1..............................................................51 3.2.3. Dan ra phương trình Maxwell 3 ..............................................................54 3.2.4. Dần ra phuơng trình Maxwell 4 ...........................................................54 3.3. Ý nghĩa hệ phuơng trình Maxwell.......................................................55 3.3.1. Hai phương trình Maxwell 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện và từ cùa Trường điện từ biến thiên................................................ 55 3.3.2. Hai phương trình Maxwell 3 và 4 mô tả hỉnh học của hai mặt thể hiện điện trường và từ trường................................................................................. 56 3.3.3. Các phương trình Maxwell miêu tả quan hệ khăng khít giữa Trường điện từ và môi trường chất........................................................................56 3.4. Các phương trình cùa Trường điện tù tĩnh - thế vô hướng................... 58 3.4.1. Hệ phương trinh Maxwell đối với Trường điện từ tĩn h ........................58 3.4.2. Khái niệm điện thế vô huớng............................................................... 59 3.4.3. Điện truờng tính và khái niệm điện thế vô hướng...........................59 3.4.4. Từ trường tĩnh và từ thế vô hướng..........................................................62 3.5. Phuơng trinh cùa Trường điện từ dừng - hàm thế vô hướng và hàm thế vector..................................................................................................................... 62 3.5.1. Điện trường dừng......................................................................................63 3.5.2. Tù trường dừng.........................................................................................64 6 3.6, Trường điện từ biến thiên - khái niệm hàm thế vector A ..................... 65 3.6,1 Hệ phương trình Maxwell.......................................................................65 3.6.2. Khái niệm từ the vector Ã , biểu diễn Ẽ qua từ the vector Ã ........ 66 3.6.3. Phương trình truyền song D’Alembert đối với tù the vector Ả ......67 3.7. Hiện tượng lan truyền Trường điện từ biến thiên...................................69 3.8 Dòng năng lượng điện từ và vector Poyntinh......................................... 70 Chương 4. Các khái niệm và luật CO' bản về điện truòng tĩnh.........................73 4 I. Các luật cơ bản cùa điện trướng tĩnh........................................................ 73 4 11. Luật Coulomb.......................................................................................... 73 4.1.2. Luật Gauss............................................................................................... 75 4.1.3. Luật bảo toàn điện tích...........................................................................76 4.2. Một số hỉnh thái phân bố điện tích cùa điện trường..............................76 4.2.1. Các hình thái phân bố điện tích thường gặp.......................................76 4.2.2. Phân bố điện tích trong vật dẫn và điện môi......................................80 4.3. Hàm thế ứng với một điện tích điểm - hàm Green............................... 80 4.4. Bài toán bờ và điều kiện bờ cùa điện trường tĩnh................................ 82 4.4.1. Phương trình Laplace - Poisson và điều kiện bờ............................... 82 4.4.2. Điều kiện bờ Dirichlet và Neumann.................................................. 83 4.4.3 Điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt s ngăn cách hai môi trường.............84 4.5 Mô tả hinh học cùa điện trường - mặt đăng thé và ống sức.................89 4.5.1. Mặt đẳng thế......................................................................................... 89 4.5.2. Đường sức và ống sức..........................................................................91 4.6. Điện dung, thông số về điện của các vật dẫn......................................92 Chirtrng 5. Một số phirơng pháp giải bài toán điện trường tĩnh thưòng gặp (phương trình Laplace - Poisson)..............................................................96 5.1. Phương pháp vận dụng trực tiếp luật Gauss..........................................96 5.1.1. Điện trường đối xứng xuyên tâm hình cầu........................................... 97 5 1.2. Điện trướng đối xứng xuyên trục hình trụ .........................................98 7 5.1.3. Điện truờng ứng với hai trục dài thẳng song song mang điện........... 100 5.2. Phương pháp hàm Green tối giản.......................................................... 103 5 .2.1. Nội dung phương pháp.........................................................................103 5.2.2. Điện trường cùa những đoạn dây mang điện................................... 104 5.3. Phương pháp thay thế bờ - phương pháp soi gương............................ 105 5 3 1 Khái niệm.............................................................................................105 5.3.2. Soi gương điện tích qua một mặt phang dẫn.................................... 105 5.3.3. Soi gương qua một góc dẫn................................................................107 5.3.4. Soi gương qua mặt tiếp giáp giữa 2 môi trường điện môi £| , E2 .... 109 5.3.5. Soi gương hai mạt trụ tròn dẫn mang điện....................................... 112 5.3.6. Soi gương qua mặt dẫn hình cầu....................................................... 115 5.4. Phương pháp phân ly biến số Fourier..................................................118 5 4 1 Nội dung phương pháp....................................................................... 118 5.4.2. Bài toán ngoại vật hỉnh trụ tròn nằm ngang trong điện trường đều .... 120 5.4.3. Bài toán ngoại vật hình cầu trong điện trường đều......................... 124 5.5. Phương pháp vẽ lưới đường sức - đẳng th ế ........................................ 126 5.5.1. Trướng hợp điện trường song phẳng...................................................126 5.5.2. Trường hợp điện trường kinh tuyến....................................................128 5.6. Phương pháp lưới tính gần đúng...........................................................129 Chương 6. Trường điện từ dừng...................................................................... 133 6.1. Khái niệm................................................................................................ 133 6.2. Điện truờng dùng trong vật dẫn............................................................133 6.2.1. Điều kiện duy trì điện truờng dừng trong vật dẫn............................133 6.2.2. Các tính chất của điện trường dừng..................................................134 6.2.3. Phuơng trình cho thế cp và điều kiện b ờ ...........................................135 6.2.4. Thông số về tiêu tán cùa một vật dẫn ở điện trường dừng.............. 135 6.2.5. Sự tương tự giữa điện trường dừng với điện trường tĩnh.................136 6 3. Điện trờ cách điện.................................................................................. 136 8 6.4 Điện trường các vật nối đất.................................................................. 137 6.5. Từ trường dứng..................................................................................... 138 6.5.1. Phương trình và điều kiện bờ............................................................ 139 6.5.2 Sự tương tự giữa Từ trường dừng với Điện trường tĩnh và Điện trường dừng........................................................................................................... 139 6.5.3. Khái niệm về từ trở (từ dẫn).............................................................. 140 6.5.4. Kết luận............................................................................................... 141 6.6. Bài toán ngoại vật trụ tròn và hình cầu trong từ trường đều - hệ số khư từ - màn che từ .............................................................................................. 141 6.6 1. Bài toán ngoại vật hình trụ tròn và hỉnh cầu đặt trong từ trường đều. 141 6.6.2. Hệ số khử từ ........................................................................................143 6.6.3. Màn che từ........................................................................................... 144 6.7. Xét từ trường dừng bằng từ the vector A .......................................... 145 6.7.1. Phương trình và điều kiện b ờ ............................................................145 6.7.2. Biểu thức của Ả theo J , i .............................................................. 147 6.7.3 Điện cảm, hỗ cảm các cuộn dây....................................................... 147 6.7.4. Dùng Ã để tính từ thòng.................................................................. 148 6.8. Từ trường song phẳng - tù truờng của đường dây............................. 148 6 8 I. Từ trường song phang...................................................................... 148 0.8.2. Từ trường cùa đương dáy................................................................. 149 6.9. Lục từ truờng tác dụng lên dòng điện................................................. 150 6.9.1 Khái niêm............................................................................................. 150 6.9.2. Lực từ trường tác dụng lên một dây dẫn có dòng...........................151 Chương 7. Trưòngđiện từ biến thiên.............................................................155 7 1. Phương trình Laplace đến điện trường biến thiên.............................. 155 7.1.1. Phương trinh Laplace của điện truờng biến thiên trong điện môi thuần tuý................................................................................................................ 155 9 7.1.2. Phuơng trình Laplace của Điện trường biến thiên ờ môi trường dẫn thuần tuý.................................................................................................................. 158 7.1.3. Phương trình Laplace cùa Điện trường biến thiên ờ môi trường bán dẫn.... 159 7.2. Phương trình Laplapce cùa Truờng điện từ biến thiên............................... 160 7.3. Các phương trinh truyền sóng cùa Trường điện từ biến thiên.................. 161 7.4. Các phương trình truyền sóng cùa Trường điện từ biến thiên dưới dạng phức... 163 TÀI LIỆU THAM KHẢO 167 10 LÒÌ NÓI ĐÀU Cuốn giáo trình được biên soạn dựa trên đề cương chi tiết môn học Cơ sờ !ý thuyết Trường điện từ hiện đang dùng cho sinh viên ngành điện Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp, đồng thời có tham khảo và điều chinh cho phù hợp với chương trinh đào tạo phần kiến thức cơ sở bắt buộc đối với khối các trường kỹ thuật ngành Điện đã được thông qua hội đồng ngành. Giáo trinh gồm 7 chương với 2 tín chi, nội dung chương 1 đề cập đến sự hinh thành và phát triển của Trường điện từ, Điện động lực học Maxwell, Điện động lực học cổ điến sau Maxwell, khái quát về mô hình bài toán Mạch và bài toán Trường; Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bàn của Trường điện từ và môi trường chất; Chương 3 mò tả toán học quy luật tương tác động lực học giữa Truờng điện từ và môi trường chất - hệ phương trình Maxwell; Chương 4 đề cập đến các khái niệm và luật cơ bản cùa điện trường tĩnh; Chương 5 trinh bày một số phuơng pháp giải bài toán điện trường tĩnh (phương trình Laplace - Poisson); Chương 6 và 7 đề cập đến những vấn đề cơ bản cùa Trường điện từ dừng và Trường điện từ biến thiên Cuốn sách do TS. Đặng Danh Hoang chù biên và biên soạn chương 1, chương 2 và các câu hỏi ờ cuối mỗi chương; PGS.TS. Lại Khắc Lãi biên soạn chương 3, chương 4; TS. Lê Thị Huyền Linh biên soạn chương 5, chương 6; ThS. Trần Thị Thanh Hải biên soạn chương 7. Chúng tôi chân thành cảm ơn lãnh đạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đai hoc Kỹ thuât công nghiêp. Bô mòn Kỹ thuât Điên - Khoa Điên và các bạn đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên và đóng góp những ý kiến quý báu để chúng tôi hoàn thành cuốn giáo trình này. Trong quá trình biên soạn không tránh khỏi còn nhũng thiếu sót, chúng tôi mong muốn nhận đuợc mọi sự góp ý cùa bạn đọc và đồng nghiệp để giáo trình được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau. Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ Email: [email protected] Xin chân thành cảm ơn! Nhóm tác giả 11 Chương I SỤ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIẺN BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Chưtmg này giới thiệu về sự hình thành và phát triển cùa Trirờng điện từ, Điện động lực học Maxwell, Điện động lực học cồ điển sau Maxwell, khải quát về mô hình bài toán Mạch và bài toán Trường. Tù những năm 1660, Isaac Newton đã nghiên cứu và cho ra nhận xét: lực làm cho các hành tinh và các ngôi sao chuyển động là cùng loại lực làm cho các vật trên Trái đất rơi xuống đất - đó là lực vạn vật hấp dẫn mà giữa hai vật chỉ phụ thuộc vào khối lượng của chúng và khoảng cách giữa chúng. Như vậy các hành tinh ờ gần Trái đất bị hút với những tốc độ khác nhau bời lục hấp dẫn của Mặt trời, còn những ngôi sao ở xa vẫn tương đối cố định với nhau. Nhận thức đó của Newton đã thong nhất thế giới vũ trụ giữa bầu tròi và mặt đất mà trước đó được xem là hoàn toàn độc lập và không thể hợp nhất. Tập hợp gồm những phương trình có giá trị vạn vật của ông đã tạo nên một khuôn mẫu cho các thế hệ các nhà vật lí kế tiếp phát triển, đồng thời cho phép các kĩ sư tính ra các lực và moment quay cho các động cơ tạo nên cuộc Cách mạng Công nghiệp. Hơn 200 năm sau, vào thập niên 1860 James Clerk Maxwell cũng dựa trên những lý thuyét mà Newton xây dựng đa chứng minh ràng lực điện và lực từ là hai mặt thể hiện của cùng một lục, đó là lực điện từ. Tập hợp các phương trình thống nhất của Maxwell còn cho thấy ánh sáng là một dạng bức xạ điện từ, một nhận thức làm khai màn cho thời đại điện khí mà chúng ta đang sống ngày nay. Từ hệ phương trinh mà Maxwell xây dựng cho phép chúng ta lý giải mọi hoạt động và các mối quan hệ cùa Trường điện từ và môi trường chất, từ truyền thanh vô tuyến đến điện thoại thông minh... Để hiểu rõ hơn về những đóng góp của Maxwell trong việc tìm ra lý thuyết Trường điện từ và ảnh huờng cùa nó ta cần có cái nhìn tổng quát về lịch sử phát triển trường điện từ. 12 1.1. s ụ HÌNH THÀNH ĐIỆN ĐỘNG L ự c HỌC MAXWELLĐôi nét về James Clerk Maxwell James Clerk Maxwell (1831 - 1879) là nhà bác học nguời Anh. ông đã tạo ra Điện động lực học vĩ mô cổ điển, được viết bang những phương trình toán học thuần túy để đưa ra một học thuyết mới về điện từ và ánh sáng, trở thành nhà cách mạng trong Vật lý học, tạo nên bức tranh Điện động lực của thế giới, thay cho búc tranh Cơ học thống trị từ thời Newton. Năm 10 tuổi, ông được cha gửi vào học ở Viện hàn lâm Edinburg, ông ham hiểu biết, có khả năng toán học rất lớn, đặc biệt say mê môn hỉnh học. Năm 14 tuổi, viết bài báo đầu tay về việc vẽ các đường cong Oval và các đường cong Oval nhiều tiêu điểm, được báo cáo và đăng tóm tằt trong tập công trình của Hội Hoàng gia Edinburg. Năm 1847 (16 tuổi), ông nhập học tại Đại học tồng hợp Edinburg, được nhà Toán học và Vật lý học nổi tiếng Hammilton (1805 - 1865) chăm sóc đặc biệt về toán học và logic học. Năm 1849 (18 tuổi), Maxwell đã công bố một tác phẩm nghiên cứu lý thuyết cân bằng cùa vật đàn hồi, chứng minh một định luật rất quan trọng trong lý thuyết đàn hồi và cơ học xây dựng, về sau gọi là định luật Maxwell. Năm 1854, tốt nghiệp xuất sắc Đại học Tổng hợp Cambridge, ờ lại trường để chuẩn bị phong danh hiệu Giáo sư. Nghiên cứu tự lập về điện học. Đọc các công trình về điện của Michael Faraday. Năm 1857, sau khi đọc kỹ công trình “Những khảo sát thực nghiệm trong lĩnh vực điện học” cùa Faraday, Maxwell đã tìm thấy trong đó nhũng ý tưởng sâu sắc. Ông cho rằng muốn những tu tuờng đó thẳng lợi phải xây dụng cho nó một ngôn ngữ to án học c h ín h xác. D o đó tro n g thời g ian 3 n ăm (1854 - 1857) ô n g đE hoàn thành công trình “Ve nhũng đường sức của Faraday”, trong đó ông đã xây dựng ngôn ngữ toán học chính xác cho lý thuyết điện từ của Faraday bằng các định luật toán học. Ông đã gửi công trình này tới Faraday, khiến Faraday rất cảm động và đánh giá rằng đó chính là sự ủng hộ lớn lao của Maxwell đối với mình. Năm 1856 - 1859, đăng công trinh về tính ổn định bền vững cùa vòng đai Satum (hành tinh sao Thổ). Công trình được đánh giá là kết quả ứng dụng toán học xuất sắc nhất trong Vật lý học và được trao Giải thường Adam (1857). Năm 1860, là Giáo sư vật lý Đại học tổng hợp London nghiên cứu động học chất khí, thiết lập định luật phân bố thống kê các phân tử khí theo vận tốc mang tên gọi phân bố Maxwell Từ năm 1861 đến năm 1862, Maxwell tiếp tục phát triền lý 13 thuyết cùa mình về Trường điện từ và ông đã công bố một loạt bài báo dưới tiêu đề chung “v ề các đường sức vật lý”. Trong công trình này, Maxwell đã xây dựng mô hỉnh phức tạp hơn cho Truờng điện từ và đi đến hệ phuơng trình nổi tiếng mang tên hệ phuơng trình Maxwell, trong đó thể hiện chính xác mối quan hệ giữa sự biến đổi tù trường và suất điện động do nó gây ra. Ông cũng đã đưa vào điện học một khái niệm rất quan trọng là khái niệm dòng điện chuyển dịch, tuy không phải là dòng điện thực sự nhưng nó cũng tạo ra từ trường nhu dòng điện dẫn. Maxwell cho rằng Trường điện từ cũng mang năng lượng và ông đã tính được mật độ năng lượng tại từng điểm. Ông cũng tìm ra rằng trong môi trường đàn hồi của Trường điện từ, có nhũng sóng ngang truyền đi với vận tốc bằng với vận tốc ánh sáng. Do đó, theo ông khó mà không kết luận rằng ánh sáng cũng là một dao động ngang cùa cùng một môi truờng sinh ra các hiện tượng điện tù. Từ năm 1864 đến năm 1865, ông công bố công trinh “Lý thuyết động lực học cùa Truờng điện từ”. Trong công trinh này ông cũng nêu rõ: “Lý thuyết mà tôi đề nghị có thể đuợc gọi là lý thuyết Trường điện từ vỉ rằng nó nghiên cứu không gian bao quanh các vật điện và từ. Nó cũng có thể được gọi là lý thuyết động lực học vì nó thừa nhận rằng trong không gian đó có vật chất đang chuyển động, nhờ nó mà diễn ra các hiện tượng điện từ quan sát được”. Trong tác phẩm này khái niệm Trường điện từ được ông định nghĩa một cách cụ thể. Ông cho rằng: “Trường điện từ là một bộ phận cùa không gian chứa đựng và bao bọc các vật ở trạng thải điện hoặc trạng thái từ”. Cũng trong công trình này Maxwell đã khẳng định rằng Trường điện từ là có thật và mang năng luợng. Như vậy lần đầu tiên trong Vật lý học, khái niệm Trường đã được Maxwell xây dựng một cách trọn vẹn. Năm 1873, ông công bố “Giáo trình điện học và từ học”. Đó là một giáo trình rất cơ bản, trong đó ông tổng kết và hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết của mình thể hiện rõ hai luận điểm cơ bàn. Luận điểm thứ nhất: tại một điểm bất kỉ trong vùng không gian, nếu có từ truờng biến thiên theo thời gian thì vùng không gian đó sẽ xuất hiện điện trường biến thiên và điện truờng này mang tính chất xoáy. Luận điểm thú hai: bất kỳ một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng sinh ra một từ trường biến thiên và từ trường này mang tính chất xoáy. Như vậy lý thuyết của Maxwell cho ta thấy rằng tại một điểm trong không gian có từ trường biến thiên theo thời gian thi vùng không gian đó phải xuất hiện điện truờng biến thiên và ngược lại. Cứ như 14 vậy điện từ trường luôn tồn tại đồng thời, chuyển hóa lẫn nhau và lan truyền trong không gian dưới dạng sóng, gọi là sóng điện từ. Trong công trinh này, Maxwell đã so sánh hai phương hướng trong lý thuyết các hiện tượng điện và từ: phương hướng dựa trên nguyên lý tác dụng xa cùa Newton và phương hướng dựa trên nguyên lý tác dụng gần, tức là phương pháp Faraday. Ỏng tự nhận mình là luật sư biện hộ cho phương pháp Faraday, theo quan điểm thuyết tác dụng gần và lấy khái niệm Trường làm cơ sở. Cũng trong công trình này, ông đã trinh bày ti mỉ hơn lý thuyết điện từ về ánh sáng Ông đã rút ra kết luận rằng “Ánh sáng là một loại sóng điện từ do sự kết hợp của vector điện truờng và vector từ trường vuông góc với nhau, biến thiên hình sin theo thời gian”. Chính kết luận này đã góp phần thắng lợi cùa lý thuyết sóng ánh sáng ờ thế kỷ XIX. Ông còn chi ra rằng “ánh sáng sẽ gây áp suất trên các bề mặt vật thể khi nó truyền qua”. Ông lưu ý rằng có the kiểm tra kết luận bằng thực nghiêm. Những năm cuối đời, Maxwvell gan bó với việc tạo dựng Phòng thí nghiệm Cavendish, biên soạn tuyển tập các công trinh cùa Cavendish (1731 - 1810) về điện học, giảng dạy vật lý, thiết kế chế tạo nhiều loại máy dụng cụ thí nghiệm, viết nhiều loạt bài phổ biến khoa học cho bộ sách kinh điển Encyclopaedia Britanica (Bách khoa toàn thư tổng hợp xuất bản ờ London)... Lý thuyết Trường điện từ mà Maxwell đưa ra đã đi trước khá xa so với thực nghiệm lúc bấy giờ. Vì vậy sau khi nó ra đời, phải đợi một phần tư the kỷ nữa nó mới được thực nghiệm khẳng định một cách trọn vẹn. Những bằng chứng thực nghiệm khăng định sự đúng đắn của Điện động lực học Maxwell Trong lịch sử phát triển của Vật lý học, bất kỉ một lý thuyết mới nào khi ra đời cũng vấp phải sự chống đối khá mạnh mẽ. Lý thuyết cũ không bao giờ dễ dàng nhường chỗ cho lý thuyết mới. Lý thuyết mới muốn đi đến thắng lợi cần phải trải qua quá trình đấu tranh để khẳng định mình. Chúng ta nhớ lại rằng, từ trước công nguyên đến thế ki XVII và bước sang thế ki XVIII là một chặng đường dài mà điện - từ không phát triển được gi đáng kể. Có thể coi đây là thời kỉ tiến hóa yên tĩnh trong lĩnh vực Điện học, thời gian này không có khám phá nào được coi là cách mạng để có thể thay đổi bức tranh điện - từ. Nhưng sau đó, tù năm 1820 thì hàng loạt các công trình, đầu tiên là của Oersted, Ampere, 15 Faraday và cuối cùng là của Maxwell đã làm cho lĩnh vực điện từ có những bước nhảy vọt. Giai đoạn này có thể coi như là thời ki biến đổi cách mạng trong lĩnh vực điện, từ vì các kết quả nghiên cứu đã làm thay đổi hẳn bức tranh điện từ. Bẳt đầu từ thí nghiêm cùa Oersted đến thí nghiệm cảm ứng điện từ của Faraday, vi có cái nhìn tiến bộ, ông không đi theo lối mòn cùa các nhà bác học trước đó để giải thích hiện tượng. Cuộc cách mạng về phương pháp ông thể hiện ở chỗ ông đã ngoảnh mặt với nguyên lý tác dụng xa, một nguyên lý mà trong vòng suốt 200 năm luôn được coi là kim chi nam để giải thích các hiện tượng vật lý. Ông dựa trên nguyên lý tác dụng gần để xây dụng hình ảnh đường sức điện, đường sức từ, khái niệm Trường (dù đó vẫn còn là tư tường). Điều khó khăn cho “phương pháp Faraday” là những người bênh vực nguyên lý tác dụng xa lại là những nhà khoa học rất nổi tiếng. Ví dụ như Coulomb, là nhà bác học đã xây dụng định luật về sự tương tác giữa hai điện tích điểm đứng yên là hoàn toàn dựa trên nguyên lý tác dụng xa. Trong lúc khó khăn ấy, chi có Maxwell là nguời đã ùng hộ Faraday. Maxwell đã hoàn toàn dựa trên nguyên lý tác dụng gần trong môi trường giả định để thành lập phương trình cùa trường điện từ. Trong “Giáo trình điện học và từ học” Maxwell đã phân tích lý thuyết tác đụng xa và nêu lên rằng thuyết tác dụng xa không thể trả lời câu hỏi: “Nếu có một cái gi đó truyền từ xa, từ một hạt này đến một hạt khác, thì khi đã rời khỏi một hạt và chưa đi tới hạt khác, nó sẽ ờ trạng thái nào?”. Ông cho rằng câu ừả lời hợp lý duy nhất là giả thuyết về một môi trường trung gian truyền tác dụng từ hạt này sang hạt khác. Ông cảm thấy quan niệm mới về Trường điện từ sẽ nâng sự hiểu biết về các hiện tượng điện từ lên một mức độ cao hơn. Nhưng múc độ mới đòi hỏi phải chấp nhận khái niệm Trường là một khái niệm không rõ ràng, không cảm giác trực tiếp được và quá xa so với hiểu biết thông thường của chúng ta. Chính điều đó làm cho các nhà khoa học thiếu tin tưởng vào lý thuyết cùa ông. Vì thế năm 1879, đúng vào năm mất của Maxwell, các nhà khoa học đã đánh giá lĩnh vực Điện động lực học như một hoang mạc không có đường đi. Trong bối cảnh đó, Heinrich Rudolf Hertz (1857 - 1894) là một nhà Vật lý người Đức, là người làm sáng tỏ và mờ rộng lý thuyết điện từ của ánh sáng đã được đề ra bời Maxwell. Ông là người đầu tiên chúng minh thỏa đáng sự tồn tại của sóng điện từ bằng cách chế tạo một thiết bị để phát và thu sóng vô tuyến VHF hay UHF. Tên của ông đuợc dùng đặt tên cho đơn vị đo tần số Hertz viết 16 tắt là Hz. Hertz luôn có một sự quan tâm sâu sắc đến khí tượng học có lẽ bắt nguồn từ mối quan hệ giữa ông với Wilhelm Von Bezold (giáo sư của Hertz trong một phòng thí nghiệm tại Đại học Kỹ thuật Munich trong mùa hè năm 1878). Tuy nhiên, Hertz đă không đóng góp nhiều đến lĩnh vực này ngoại trừ một số bài báo đầu tay như là một trợ lý cùa Helmholtz tại Berlin. Trong nghiên cứu Điện: Hertz đã giúp thiết lập hiệu ứng quang điện (mà sau này được giải thích bởi Albert Einstein) khi ông nhận thấy rằng một vật nhiễm điện âm khi được chiếu sáng bời tia cực tím thì bị giảm bớt điện tích âm. Năm 1887, ông đã nghiên cứu các hiệu ứng quang điện cùa việc phát và thu sóng điện từ, đuợc xuất bản trong tạp chí Annalen der Physik. Máy thu cùa ông bao gồm một cuộn dây với một khe phát tia lửa điện, và rồi một tia lửa sẽ được nhìn thấy khi thu sóng điện từ. Ông đặt bộ máy trong một hộp tối để quan sát tia lửa tốt hơn. Ông thấy rằng các tia lùa có chiều dài tối đa đã được giảm khi trong hộp. Một ô kính đặt giữa nguồn phát ra sóng điện từ và máy thu nhận được tia cực tím để đẩy các điện tử nhảy qua khe hờ. Khi loại bò ô kính, các tia lửa có chiều dài tăng lên. Ông quan sát thấy không có sự giảm chiều đài tia lửa khi ông thay thế thuỷ tinh bằng thạch anh. Sau đó ông không tiếp tục theo đuổi nghiên cứu ve hiệu ứng này, và không hề thực hiện bất kỳ nỗ lực nào nhằm giải thích hiện tượng quan sát được. Đầu năm 1886, Hertz đã phát triển thiết bị thu sóng angten Hertz. Đây là tập hợp các thiết bị đầu cuối mà không xây dựng trên các hoạt động điện cùa nó. Ông cũng phát triển một loại hinh truyền cùa lưỡng cực angten, một phần tử chù đạo trong việc phát sóng vô tuyến UHF. Các angten này xuất phát từ một quan điểm lý thuyết đơn giản. Năm 1887, Hertz thử nghiệm với sóng vô tuyến trong phòng thí nghiêm cùa ông Hertz đã sừ d u n g một cuộn dây cảm ứng (cuộn dây Ruhmkorff) - hướng khe phóng tia lửa điện và một dâu kim loại dài lm như một bộ tản nhiệt. Công suất các phần tử được điều chỉnh sao cho có cộng hưởng điện. Máy thu cùa ông, một tiền thân của angten lưỡng cực, đơn giản là một nửa của angten lưỡng cực dùng để thu sóng ngắn. Qua thử nghiệm, ông đã chứng minh rằng sóng điện từ là sóng ngang và có thể truyền được trong chân không với tốc độ ánh sáng. Điều này đã được dụ đoán bời Maxwell và Faraday. Với cấu tạo thiết bị của ông, điện từ trường sẽ thoát ra khòi dây, lan truyền vào không gian. Hertz đã gây một dao động khoảng 12m đến một tấm kẽm để tạo sóng dừng. Mỗi làn sóng khoảng 4m. Sử dụng máy dò, ông ghi lại biên độ, hướng của các sóng thành phần. Hertz cũng đo sóng Maxwell và chứng minh rằng vận tốc của sóng vô tuyến bằng vận tốc ánh sáng. Hertz cũng thấy rằng sóng vô tuyến có thể được truyền qua các loại vật liệu, và được phàn xạ bời những vật thể khác, tiền thân của rada. Hertz đã không nhận ra tầm quan trọng trong các thí nghiệm của ông. ông cho rằng nó không hữu dụng, các thí nghiệm chỉ để chứng tỏ là Maxwell đã đúng. Năm 1892, Hertz đã bắt đầu thử nghiệm và chúng minh rằng tia âm cực có thể xâm nhập lá kim loại rất mòng (như nhôm). Philipp Lenard, một học sinh của Hertz, tiếp tục nhũng nghiên cứu về hiệu ứng tia sáng, ông đã phát triển một loại ống catod và nghiên cứu sự xâm nhập cùa tia X vào các vật liệu khác nhau. Tuy nhiên, Philipp Lenard đã không nhận ra rằng ông đã tạo ra được tia X. Sau đó, Hermann Von Helmholtz xây dựng phương trình toán học cho tia X, trước khi Wilhelm Conrad Rontgen phát hiện được và thông báo về loại tia mới này. Nó đuợc hình thành trên cơ sở lý thuyết điện từ của ánh sáng . Tuy nhiên, ông đã không làm việc một cách thực tế với tia X. Đơn vị quốc tế SI Hertz (Hz) được thành lập để vinh danh ông bởi IEC vào năm 1930 cho tần số - một phép đo số lần mà lặp đi lặp lại cùa một sự kiện xảy ra trên một đơn vị thời gian hay tần số là số chu kỳ biến thiên trong thời gian một giây. Hertz cho rằng muốn kiểm tra lại thuyết Maxwell với dòng điện dịch cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn thì cần phải sử dụng một dòng điện biến thiên rất nhanh. Để tạo ra những dao động điện rất nhanh đó Hertz đã kế thừa những nghiên cứu của các nhà bác học trước đó và kết hợp với các nghiên cứu của mình. Tới năm 1887, Hertz đã chế tạo máy phát dao động điện cao tần, còn gọi là “Bộ rung Hertz”, dùng sự phóng điện tạo ra những dao động điện với tần số khoảng 100 triệu Hz trong mạch điện. Bộ rung Hertz gồm hai dây dẫn thẳng, ờ mỗi đầu dây dẫn có một vật dẫn hình cầu hoặc hình thon dài, ờ đầu kia có một hòn bi kim loại nhỏ. Giữa hai hòn bi là một khe nhỏ để phóng tia điện. Hai dây dẫn được nối với cuộn cảm ứng và khi phóng tia lửa điện ở hai khe nhỏ thì trong mạch xuất hiện những dao động điện có tần số cao. Để phát hiện những dao động điện đó, ông dùng một bộ cộng hường là một dây dẫn được uốn thành hinh chữ nhật hoặc hình tròn có khe nhỏ để phóng điện. Khi cho tia điện phóng ở khe của bộ rung thì khe ở bộ cộng hường cũng xuất hiện các tia điện. Độ lớn của các tia điện ờ bộ cộng hường phụ thuộc vào kích thước và vị trí của hai mạch điện. Khi tần số riêng của bộ cộng hưởng bằng tần số dao động của bộ rung thì có hiện tượng cộng hường và các tia điện là lớn nhất, dễ quan sát nhất. Với thiết bị 18 như trên, ông đã phát hiện ra dòng điện dịch và quá trình cảm ứng do dòng điện dịch gây ra ông cũng nghiên cứu được sự ảnh hưởng cùa điện môi đối với quá trình cảm ứng và xác lập được mối quan hệ giữa các lực điện động lực học và sự phân cực điện môi đúng như lý thuyết Maxwell đã dự đoán. Như vậy lần đầu tiên lý thuyết Maxwell đã được thực nghiêm khẳng định. Tuy nhiên cho đến thời điểm này Hertz vẫn chưa phát hiện ra sóng điện từ trong các thí nghiệm cùa minh. Vì vậy, năm 1888 ông tiếp tục các thí nghiệm cùa mình với bộ nang và bộ cộng hưởng ờ những khoảng cách lớn hơn và lần này ông đã quan sát được sóng điện từ trong các thí nghiệm. Trong quá trình thí nghiệm, ông thấy rằng nếu bộ thu đặt cách bộ phát dưới lm thì sự phân bố các lực điện tương tự như đối với Truờng cùa một lưỡng cục điện. Nhưng với khoảng cách lớn hơn 3m thì Truờng giảm chậm hơn và theo các phương khác nhau thì biến đổi khác nhau. Theo phương cùa trục bô rung, nó giảm nhanh hơn và ở khoảng cách 4m đã là rất yếu. Theo phương vuông góc nó giảm chậm hơn và ở khoảng cách 12m vẫn còn quan sát được. Nhũng kết quả trên hoàn toàn trái ngược với thuyết tác dụng xa. Sau đó, ông phân tích những kết quả thực nghiệm đó trẽn cơ sở lý thuyết cùa Maxwell và ông đă viết lại các phương trình Maxwell theo dạng gần giống với dạng thường dùng hiện nay. Khi giải hệ phương trình này, ông tim ra kết quả là ờ gần bộ rung Truờng tạo ra giống như Trường tĩnh điện của một luỡng cực và từ trường của một nguyên tố dòng. Nhưng ở khoảng cách xa Trường là một trường sóng, cường độ cùa nó giảm ti lệ với binh phương khoảng cách. Trường đó lan truyền trong không gian với vận tốc bằng vận tốc của ánh sáng trong chân không. Lưỡng cực bức xạ mạnh nhất theo phương vuông góc với trục cùa nó và không bức xạ theo phương cùa trục Những kết quả nghiên cứu lý thuyết đó hoàn toãn phu hợp VỚI két qua mã óng đã thu dược bằng thực nghiệm. Cuòi năm 1888, ông công bố một công trình miêu tả các thí nghiệm về sự lan truyền, phân cực, phản xạ, khúc xạ sóng điện từ. Năm 1891, ông đã tổng kết toàn bộ công trình nghiên cứu cùa mình và khẳng định sự đúng đắn của lý thuyết Trường điện từ do Maxwell xây dựng. Như vậy Hertz đã xây dựng cơ sờ thục nghiệm vững chắc cho lý thuyết cùa Maxwell. Ông đã tạo ra sóng điện từ như lý thuyết Maxwell tiên đoán và đã chứng minh rằng sóng điện từ và sóng ánh sáng chỉ là một. Ông đã tạo ra cho phương trình Maxwell một hình thức thuận tiện hơn và bổ sung cho lý thuyết Maxwell bằng lý thuyết bức xạ điện từ. Những công trình nghiên cứu của Hertz chính là những bằng chứng thực nghiệm khẳng định sự thắng lợi rực rỡ của lý thuyết Maxwell. Những thí nghiêm cùa Hertz có tiếng 19 vang mạnh mẽ và thúc đẩy nhiều nhà khoa học khác tiếp tục những khảo sát thực nghiệm để khẳng định lý thuyết Maxwell. Đặc biệt Lebedev (1866 - 1912), nhà bác học người Nga đã có nhũng đóng góp quan trọng. Năm 1895, Lebedev hoàn thành phuơng pháp của Hertz và tạo ra được sóng điện từ rất ngắn khoảng 6mm. Lebedev cũng là nguời đầu tiên đo được bằng thục nghiêm áp suất ánh sáng mà Maxwell đã tiên đoán. Năm 1901, Lebedev đã công bố công trinh “Khảo sát thục nghiệm về áp suất ánh sáng”. Công trinh này đã gây ra một ấn tượng rất mạnh mẽ đối với Thomson. Ông nói: “Tôi suốt đời đã chống lại Maxwell, không công nhận áp suất ánh sáng của Maxwell, thế mà giờ đây Lebedev đã bắt tôi phải quy hàng trước thí nghiệm của ông ta”. Cũng cần nói thêm rằng khi tạo ra được sóng điện từ, Hertz không hề nghĩ rằng nó có thể có một ứng dụng nào đó trong kĩ thuật. Nguời đầu tiên nhìn thấy khả năng ứng dụng sóng điện từ vào trong kĩ thuật là Popov (1895 - 1906), nhà khoa học người Nga. Năm 1895, Popov đã biểu diễn chiếc máy thu vô tuyến điện đầu tiên cùa minh trước một cuộc họp của phân ban vật lý Hội Lý Hoá nước Nga. Năm 1896, ông biểu diễn buổi truyền và nhận tin vô tuyến điện đầu tiên với dòng chữ: HEINRICH HERTZ được truyền và nhận trên khoảng cách 250m. Năm 1897, ông đạt được khoảng cách 5km và năm 1899 đạt tới 50km. Năm 1896, Marconi (1874 - 1937) nhà khoa học người Ý đã đăng kí phát minh về máy phát và thu tín hiệu vô tuyến điện, một năm sau ông được cấp bằng phát minh sáng chế ở Anh. Năm 1901, Marconi đã thực hiện đuợc nhũng cuộc truyền tin vô tuyến điện xuyên qua Đại Tây Dương và năm 1909 ông đã nhận được giải Nobel về những phát minh của mình Mặc dù Popov là người phát minh ra máy truyền tin vô tuyến điện trước, nhưng ông chi thông báo phát minh cùa mình trong một phạm vi hẹp mà không xin đăng kí phát minh. Do đó về mặt pháp lý thì quyền phát minh thuộc về Marconi. Tuy nhiên các nhà khoa học đã thừa nhận Popov là người đầu tiên phát minh ra kĩ thuật thông tin bằng vô tuyến điện. Sự phát minh ra vô tuyến điện và việc sử dụng sóng điện từ trong kĩ thuật là tiêu chuẩn tối cao - tiêu chuẩn thực tiễn, khẳng định dứt khoát sự toàn thắng cùa Điện động lực học Maxwell. Với phát minh vĩ đại của mình, Maxwell đã hoàn thành sứ mạng vinh quang là người hoàn thiện Vật lý học cổ điển, chuẩn bị mảnh đất cho sự phát triển của Vật lý học hiện đại, Vật lý học cùa thế ki XX. 20 1.2. SỤ PHÁT TRIẺN ĐIỆN ĐỘNG Lực HỌC CỎ ĐIÊN SAU MAXWELL Điện động lực học cổ điền sau Maxwell đã phát triển theo nhiều hướng, trong đó có hai hướng cơ bản: Hoàn chỉnh khía cạnh toán học cùa lý thuyết Maxwell Khi xây dựng lý thuyết cùa mình, Maxwell không dùng những ký hiệu như hiện nay, vì vậy các phương trinh cùa ông còn phức tạp và chưa tạo thành một hệ hoàn chỉnh. Các công thức của Maxwell vào năm 1865 bao gồm 20 phuơng trình với 20 ẩn số, nhiều phương trình trong đó được coi là nguồn gốc của hệ phương trình Maxwell ngày nay. Các phương trình của Maxwell đã tổng quát hóa các định luật thực nghiệm cùa nhũng người đi truớc phát hiện ra: chình sửa định luật Ampere (3 phương trình cho 3 chiều (x, y, z)), định luật Gauss cho điện tích (1 phương trình), mối quan hệ giữa dòng điện tổng và dòng điện chuyển dịch (3 phương trình (x, y, z)), mối quan hệ giữa từ trường và thế năng vector (3 phương trình (x, y, z), chỉ ra sự không tồn tại của từ tích), mối quan hệ giữa điện trường và thế năng vô hướng cũng như the năng vetor (3 phương trình (x, y, z), định luật Faraday), mối quan hệ giữa điện trường và truờng chuyển dịch (3 phương trình (x, y, z)), định luật Ohm về mật độ dòng điện và điện trường (3 phương trình (x, y, z)X và phương trinh cho tính liên tục (1 phương trinh). Oliver Heaviside (1850 - 1925) là một nhà Khoa học, nhà Toán học, nhà Vật lý và kỹ sư điện người Anh. Ông đã phát triển các kỹ thuật toán học phức tạp để phân tích mạch điện và giải phuơng trình vi phân. Oliver Heaviside là người đã phát minh ra kỹ thuật toán học khi giải quyết các khác biệt của phương trin h v à trình bày lại ph ư ơ n g trìn h T rư ờ n g M ax w ell v ề điện. Ó n g đã xây d ự n g cách phân tích tính vector. Mặc dù mâu thuẫn với các cơ sờ khoa học trong suốt cuộc đời cùa mình, nhưng Heaviside đã làm thay đổi bộ mặt của toán học và khoa học thế giới trong suốt quá trình ông sống và cả sau khi ông đã qua đời. Các phương trình nguyên bản cùa Maxwell được viết lại bởi Oliver Heaviside và Willard Gibbs vào năm 1884 dưới dạng các phương trình vector. Sự thay đồi này diễn tả được tính đối xứng cùa các Truờng trong cách biểu diễn toán học. Những công thức có tính đối xứng này là nguồn gốc hai bước nhảy lớn trong vật lý hiện đại đó là thuyết tương đối hẹp và vật lý lượng tử. Sau này Heaviside đã nghiên cứu các phương trình của Maxwell trong trường hợp tổng quát nhất và 21 năm 1888 ông đã viết các phương trinh Maxwell dưới dạng gần giống như hệ phương trình Maxwell hiện nay. Các phương trình Maxwell bao gồm 4 phương trình, đề ra bời James Clerk Maxwell, dùng để mô tả Truờng điện từ cũng như những tuơng tác cùa chúng đối với vật chất. Bốn phương trinh Maxwell mô tả lần lượt hệ phương trình Maxwell dưới dạng vi phân, tích phân: Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere); Từ trường tạo ra điện truờng như thế nào (định luật cảm ứng điện từ Faraday); Sự không tồn tại cùa vật chất từ tích; Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss). Đây cũng chính là nội dung cùa thuyêt Điện từ học Maxwell. Thống nhất lý thuyết Trưòng điện từ vói lý thuyết cấu tạo vật chất Việc thống nhất lý thuyết Truờng điện từ với lý thuyết cấu tạo vật chất đã dẫn đến sự ra đời cùa thuyết electron - thuyết dựa vào sụ cư trú và di chuyển cùa electron để giải thích các hiện tượng điện và các tính chất điện cùa các vật gọi là thuyết electron. Ngay từ đầu thế kỷ XIX, khi nghiên cứu hiện tượng điện phân, nhiều nhà bác học như Faraday, Helmholtz... đã đi đen ý nghĩ cho rằng nguyên tử vật chất đều mang điện tích và điện tích của các vật bao gồm những lượng điện tích nguyên tố như nhau, đóng vai trò như những nguyên từ điện Trong một công trinh công bố năm 1881 về việc lựa chọn các đơn vị vật lý cơ bản, Stoney - một nhà vật lý người Anh, đã đề nghị một hệ đơn vị tụ nhiên với các đơn vị cơ bản là: vận tốc ánh sáng, hằng số hấp dẫn và điện tích nguyên tố. Theo ông phải có một điện tích nguyên tố nhỏ nhất không thể phân chia được, gắn liền với nguyên tử vật chất. Ông đề nghị gọi tên nó là “electron”. Như vậy tên gọi của electron đã được ra đời truớc khi Vật lý học phát hiện ra nó bằng thực nghiệm (vào năm 1911 bới Millikan, nhà bác học Mỹ). Năm 1909, Robert Millikan thực hiện thí nghiêm để đo điện tích điện tử. Sử dụng một máy phun hương thơm, Millikan đã phun các giọt dầu vào một hộp trong suốt. Đáy và đỉnh hộp làm bằng kim loại đuợc nối vào nguồn điện một chiều với một đầu là âm (-) và một đầu là dương (+). Millikan quan sát từng giọt rơi một và cho đặt vào điện áp lớn giữa hai tấm kim loại rồi ghi chú lại tất cả những hiệu ứng. Ban đầu, giọt dầu không tích điện, nên nó rơi dưới tác dụng của trọng lực. Tuy nhiên sau đó, Millikan đã dùng một chùm tia Rontgen để ion hóa giọt dầu này, cấp cho nó một điện tích. Vỉ thế, giọt dầu này đã rơi nhanh hơn, vi 22 ngoài trọng lực, nó còn chịu tác dụng của điện trường. Dựa vào khoảng thời gian chênh lệch khi hai giọt dầu rơi hết cùng một đoạn đường, Millikan đã tính ra điện tích cùa các hạt tích điện. Xem xét kết quả đo được, ông nhận thấy điện tích cùa các hạt luôn là số nguyên lần một điện tích nhỏ nhất, được cho là tương ứng với 1 electron, e = —1,63.10“ l9C . Năm 1917, Millikan lặp lại thí nghiêm trên với thay đổi nhỏ trong phương pháp, và đã tim ra giá trị điện tích chính xác hơn là e = —1,59.10“ 19c . Những đo đạc hiện nay dựa trên nguyên lý cùa Millikan cho kết quả là e = —1,602.10 l9C. Lorentz (1853 - 1928) nhà bác học nguời Hà Lan đã bắt đầu xây dựng thuyết electron từ những năm 1870. ông cho rằng cần phải bồ sung thêm lý thuyết cùa Maxwell vì trong đó chưa xét đến cấu trúc vật chất. Theo ông, muốn hiểu sâu các hiện tượng điện phải đề ra một giả thuvết về cơ cấu của các hiện tuợng đó. Lorentz cho rang thế giới gồm các ete là một mòi trường không trọng lượng và các vật thể vật chất có trọng lượng. Các phân từ vật chất bao gồm những điện tích nguyên tố. Các vật thể do rất nhiều các hạt mang điện tích dương và âm tạo thành. Tương tác giữa ete và các vật thể làm các hạt điện tích dịch chuyển và sự dịch chuyền đó làm phát sinh các hiện tượng điện. Khi có sóng điện từ truyền tới, chúng có thể bị phân cực và thực hiện những dao động. Năm 1892, ông công bố lý thuyết tổng quát về các hiện tuợng điện từ và quang dựa trên thuyết Maxwell và giả định rằng có những hạt điện tích cơ bản gắn với các hạt vật chất. Các hạt điện tích cơ bản này đuợc gọi là “electron” và lý thuyết của Lorentz được gọi là “thuyết electron”. Thuyết electron cùa Lorentz đã đạt được nhiều thành công trong việc giải thích cơ cấu cùa hiệu ứng Zeeman về sự tách vạch phổ trong từ trường, trong việc xây dựng iý thuyết cùa các hiện tượng thuận từ, nghịch từ và trong việc giải thích hiện tượng tán sắc ánh sáng. Các phương trinh cùa Maxwell cho phép đoán trước được sự tồn tại của sóng điện tù, có nghĩa là khi có sự thay đổi cùa một trong các yếu tố như cường độ dòng điện, mật độ điện tích..., sẽ sinh ra sóng điện từ truyền đi được trong không gian. Vận tốc cùa sóng điện từ là c, đuợc tính bời phương trình Maxwell, bằng với vận tốc ánh sáng đuợc đo trước đó bằng thực nghiêm. Điều này cho phép kết luận rằng ánh sáng là sóng điện từ. Lý thuyết điện từ cùa Maxwell đã giải thích sự xuất hiện cùa sóng điện từ như sau: mọi 23 điện tích khi thay đổi vận tốc (tăng tốc hay giảm tốc), hoặc mọi từ trường biến đổi, đều là nguồn sinh ra các sóng điện từ. Khi từ trường hay điện trường biến đổi tại một điểm trong không gian, theo hệ phương trình Maxwell, các từ truờng hay điện truờng ờ các điểm xung quanh cũng bị biến đổi theo, và cứ như thế sự biến đổi này lan toả ra xung quanh với vận tốc ánh sáng. Biểu diễn toán học về từ trường và điện truờng sinh ra từ một nguồn biến đổi chứa thêm các phần mô tả về dao động của nguồn nhưng xảy ra sau một thời gian chậm hơn so với tại nguồn. Đó chính là mô tả toán học của búc xạ điện từ. Tuy trong các phương trình Maxwell, bức xạ điện từ hoàn toàn có tính chất sóng, đặc trung bời vận tốc, bước sóng (hoặc tần số), nhưng nó cũng có tính chất hạt theo thuyết lượng tử, với năng lượng liên hệ qua buớc sóng. Các nghiên cứu về ánh sáng và sóng điện từ, tiêu biểu là các nghiên cứu cùa Max Planck về vật đen và cùa Heinrich Hertz về hiện tượng quang điện đã cho ra đời lý thuyết lượng tử. Khi xem xét các hiện tượng điện từ, nhà vật lý người Hà Lan Hendrik Lorentz đã điều chỉnh phép biến đổi Galileo sao cho phù hợp với tính bất biến cùa các phương trinh Maxwell đối với các hệ quy chiếu quán tính. Chính Einstein đã biến phép biến đổi trên - còn gọi là phép biến đổi Lorentz, trở thành phép biến đổi hệ toạ độ cơ sở cho thuyết tương đối hẹp và dựa vào đó đưa ra những hệ quả nổi tiếng. Sụ không phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào chiều và hệ quy chiếu - những kết luận được rút ra từ phương trinh Maxwell - là nền tảng của thuyết tương đối. Chú ý rằng khi ta thay đổi hệ quy chiếu, những biến đổi Galileo cổ điển không áp đụng được vào các phương trinh Maxwell mà phải sử dụng một biến đổi mới, đó là biến đổi Lorentz. Einstein đã áp dụng biến đổi Lorentz vào cơ học cổ điển và cho ra đời thuyết tuơng đối hẹp. Tổng kết Lý thuyết Trường điện từ của Maxwell thống nhất giữa điện tnrờng và từ trường (công bố vào những năm đầu thập niên 60 của thế ki XIX), là một bước phát triển hoàn thiện những hiểu biết của con nguời về điện, từ. Trước đó, những hiểu biết của con người về điện, từ còn rời rạc; người ta quan niệm rằng điện và từ là hai lĩnh vực không liên quan nhau. Maxwell đã phát triển các ý tưởng của Faraday về điện, từ một cách sâu sắc và đã xây dựng lý thuyết thống 24 nhất giữa điện và từ - lý thuyết Trường điện từ - một cách hoàn hảo Thuyết Maxwell không những giải thích triệt để các hiện tượng điện từ đã biết mà nó còn cho phép tiên đoán sự tồn tại của sóng điện từ (mà gần 30 năm sau thực nghiệm mới xác định được). Nghiên cứu bằng lý thuyết về các tính chất của sóng điện từ. Maxwell đã khẳng định ánh sáng cũng là sóng điện từ. Với những đóng góp to lớn của mình, Maxwell được đánh giá là một trong những nhà vật lý đi tiên phong, mở ra bước ngoặt trong lịch sử nhận thức cùa nhân loại. 1.3. KHÁI QUÁT VÈ MÔ HÌNH BÀI TOÁN MẠCH VÀ MÔ HÌNII BÀI TOÁN TRƯỜNG Mô hình bài toán Mạch và mô hình bài toán Trường Theo những đặc điểm về Toán học và Vật lý ta tạm chia những mô hình cùa các lớp hiện tượng vật lý thành hai loại: mô hỉnh bài toán Mạch và mô hình bài toán Trường. Sự khác nhau giữa mô hình Mạch và mò hinh Trường: ở mô hình Mạch, các thòng số chỉ phân bố theo thời gian, còn ở mô hình Trường các thông số phân bố trong không gian theo thời gian, song giữa chúng có quan hệ khăng khít với nhau thông qua biểu thức: u = ị E d l, i = ^)Hdl 1 I Trong thực tế, phần lớn các thiết bị ve kỹ thuật điện, điện tử và viễn thõng..., đều có thể mô tả theo mô hình Mạch. Cả những thiết bị thuộc các ngành khác nhir truyền nhiêt. truyền âm . cũng có thể mô tả hời những mô hình Mạch và những phương trình giống cùa mạch điện. Vì vậy lý thuyết mạch điện có tính chất thực tiễn, phổ biến và là cơ sờ lý luận chung cho các ngành về điện cũng như nhiều ngành khác. Tuy nhiên để khảo sát những thiết bị điện, trong nhiều trường hợp lại phải dùng mô hình Trường. Đó là khi cần xét sự phân bố không gian cùa quá trình tác động trường điện từ lên thiết bị điện, như xét phân bố các trạng thái E, B, Jphân bố sóng điện từ trong không gian, trong ống dẫn sóng..., bắt buộc phải dùng những mô hinh Truờng thích hợp. Nội dung giáo trình này là nghiện cứu và vận dụng mô hình Trường cùa Trường điện từ theo Lý thuyết Maxwell Đe đơn giản ta có thể lập bảng để thấy được sự khác biệt cùa mô hình bài toán Mạch và mô hình bài toán Trường như sau: Mô hình bài toán Mạch Mô hình bài toán Triròng Các thông số trạng thái chỉ phụ thuộc vào thời gian (t) Các phần tử phân bố tập trung có kết cấu cụ thể: số nút, nhánh, mạch vòng, mắt lướt xác định Các thông số trạng thái phụ thuộc vào cả thời gian và không gian (t, X , y, z) Các phần từ rải khắp trong không gian (không đồng đều) và không xác định đuợc kết cấu Mô hình toán sử dụng các luật Kirchhoff Mô hinh toán sử dụng hệ phưong trinh Maxwell Vậy qua bảng so sánh cho thây bài toán Mạch chỉ là trường hợp riêng của bài toán Trường và trong giáo trình này chúng ta sẽ chứng minh được luật Kirchhoff 1, 2 được dẫn ra từ phương trình Maxwell 1, 2. 26 Chương 2 CÁC KHÁI NIÊM CO BẢN VÈ TRƯỜNG ĐIỆN TÙ VẢ MÔI TRƯỜNG CHÁT Chương này trình bày khái niệm CƯ bán về Trưỉmg điện từ và môi trường chắt; các thông so biến trụng thái cơ hán, hiến trạng thái động lực học và hành vi khác của Trường điện từ và môi trưừnỊỊ chất; năng lượng, khối lượng, động lưọttỊỊ của Trường điện từ. 2.1. KHÁI NIỆM CHUNG VÈ TRƯỜNG ĐIỆN TÙ VÀ MÔI TRƯỜNG CHÁT 2.1.1. Định nghĩa Truông điện từ Trường điện từ là một dạng vật chất cơ bản, mội thực thể vật lý chuyển động với vận tốc ánh sáng c trong mọi hệ qui chiếu quán tính đặt trong chăn không; nó thể hiện sự tồn tại và vận động thông qua những tirottg tác vói một dạng vật chất khác là những hạt hoặc những môi trường chất mạng diện. Như vậy: - Bản chất Trường điện từ là một dạng vật chất, một thực thể vật lý. - Mô hình tuơng tác cùa Trường điện từ là theo hệ thống tương tác trường - hạt hoặc trường - môi trường chất. 2.1.2. Tr«rò'ng đ iện từ là m ỗ t d a n g v ậ t ch ất, m ố t thirc thể v ậ t lý Ngay ờ Triết học Mác - Lênin đã nêu lên hai thuộc tính cơ bản cùa vật chất là tồn tại khách quan và vận động khách quan. Nếu xét dạng vật chất ờ thế giới vô tri ta gọi chúng là các thực thể vật lý. Mà những dạng vật chất thuộc thế giới vật lý phải đảm bảo có 2 thuộc tính tồn tại khách quan và vận động khách quan. Trong khi Trường điện từ là dạng vật chất thuộc thế giới vật lý, vậy ta cần phải chứng minh Trường điện từ có 2 thuộc tính nêu trên. - Tính tần tại khách quan: Thuộc tính tồn tại khách quan trong không gian và thời gian đuợc hiểu là có khà năng tuơng tác, trước hết là tương tác động lực học. Tức là ta có thể gắn với một thục thể vật lý các biến trạng thái động lực học như năng lượng, động luợng, khối lượng, điện tích, Spin, moment từ... Các thông số này biểu diễn quá trình động lực học và xác định khách quan trong không gian và thời gian Như ta đã biết trong Kỹ thuật Điện, Trường điện từ có khả năng tương tác động lực học lên các vật thể khác. Suy ra nó có năng lượng (w), động lượng (g) là hoàn toàn khách quan. Vậy nó tồn tại khách quan (thông qua các biến trạng thái Ẽ; Ẽ và các hàm thế Ã ; cp). - Tính vận động khách quan: Thuộc tính vận động khách quan cùa Truờng điện từ được hiểu là Trường điện từ tương tác một cách có qui luật theo những luật như nhau trong những điều kiện như nhau. Cụ thể trong hệ qui chiếu quán tính tương tác đó phải được mô tả bời những phương trình như nhau. Ở Trường điện từ thuộc tính vận động thể hiện ở những tác dụng động lực học cùa Trường với các vật thể, môi trường và sự lan truyền những tác dụng ấy. Vì Trường điện từ lan truyền tương tác với vận tốc là hữu hạn suy ra để có động lượng (g) thi Trường điện từ phải có khối lượng (m) phân bố và chuyển động trong không gian với mọi hệ qui chiếu quán tính đều được mô tả bời hệ phương trình Maxwell hoặc hệ phương trinh đối với các hàm thế. Hơn nữa khi chuyển động trong chân không thì nó chuyển động với vận tốc ánh sáng c (bất biến) suy ra nó vận động khách quan. 2.1.3. Trường điện từ là một dạng vật chất cơ bản Dạng vật chất cơ bản là dạng vật chất không thể phân chia được nữa. Thực té cho thấy, tương tác động lực học cùa Trường điện tư được phàn làm hai loại, theo hai qui luật ứng với hai mặt Điện và Từ cùa Trường điện từ. Vậy Trường điện từ là một thực thể vật lý có hai mặt thể hiện là điện trường và từ trường. Song hai mặt điện trường và từ trường cùa Trường điện từ là hoàn toàn tương đối. Trong các hệ qui chiếu khác nhau, chúng có giá trị khác nhau, thậm chí chuyển hoá qua lại lẫn nhau. Nếu tách riêng rẽ hai mặt đó thì sẽ không miêu tả và cắt nghĩa được phần lớn các hiện tượng trong thục tế, ngay cả các hiện tượng thường gặp như: năng lượng, động lượng, lực điện từ,... Vì vậy, phải coi Trường điện từ như một thực thể thống nhất không chia cắt được tức là một thực thể cơ bản mới cắt nghĩa được các điều trên. 28 Ví dụ: Trường điện từ có tính tương đối trong việc thể hiện hai mặt là ở hệ quy chiếu này thì có E và B nhưng ờ hệ quy chiêu khác thi lại chi có B. Tuy nhiên, cũng cần nói thêm rằng, ở những tương tác cực nhanh hoặc ở dải tần cực cao ngoài dải tần vô tuyến điện, thực nghiệm và lý thuyết cho thấy rõ nét một sự đồng nhất giữa hai vận động sóng và hạt photon của Trường điện từ bức xạ, mô tả bời lý thuyết Điện động lực học lượng từ, một sự mờ rộng cùa lý thuyết Maxwell về Trường điện từ. 0 đó ta coi các hạt photon là cấu trúc cơ bản của Trường điện từ bức xạ, tuy nhiên, vẫn tồn tại các khái niệm E, B nhưng chúng tuân theo luật thống kê. Trong giáo trinh này ta quan niệm rằng Trường điện từ là một dạng vật chất có cấu trúc cơ bản. 2.1.4. Mô hình tuong tác của Truòng điện từ - môi trưòng chất Để hiểu rõ cơ chế tương tác cùa một thực thể vật lý cơ bàn ta cần xét nó trong sự tuơng tác với các thục thể khác. Trong thực tế Trường điện từ tuơng tác được với nhiều dạng vật chất khác như các vật thể, môi trường, hạt mang điện theo hai hệ thống cơ bàn: - Hệ thống trường - hạt lượng tử - Hệ thống trường - môi trường chất liên tục Trong giáo trình này ta không nghiên cứu Trường điện từ theo mô hình hệ tuơng tác lượng từ hoá truờng - hạt mà nghiên cứu hệ truờng - môi trường chất liên tục. Theo mô hình này ta chấp nhận quan niệm liên tục hoá môi trường chất và Trương điện từ trong không gian và thời gian, tức là "dàn đều" các hạt chất ra miền lân cận thành một mô hình chất liên tục hoá và trung bình hoá địa phương. Ta gọi mô hình phân bố đó là môi trường chất. Vì theo cấu trúc thực tế thì: Hạt có kích thước « Khoáng cách các hạt « Kích thuớc thuờng dùng trong Kỹ thuật Điện. Mà cấu trúc luợng tử cùa Truờng và môi trường chất là gián đoạn, trong khi Kỹ thuật Điện thường lấy giá trị trung bình trong một vùng đù lớn so với kích thước hạt, hơn nữa ờ mỗi vùng đù lớn đó lại sử dụng mô hình hóa có thể khác nhau. Vì vậy trong giáo trình này ta khảo sát chúng dưới dạng mô hình liên tục hoá, tức là liên tục hoá Trường và môi trường chất theo không gian và thời 29 gian với nghĩa địa phương hay nói cách khác là liên tục hoá trung bình địa phương theo không gian và thời gian. Vậy ta có định nghĩa Truờng (theo quan điểm vật lý) như sau: Trường điện từ là một dạng vật chất có cảu trúc không giống những môi trưcmg chắt thường gặp nhưng tồn tại và có năng lực tương tác động lục học trong không gian và thời gian. 2.1.5. Phuo’ng thức tưo'ng tác của Trường điện từ và môi trưòng mang điện Theo mô hình xây dựng ờ trên, cặp tương tác chủ yếu là Trường - mỏi trường chất, đo đó chúng phải tương tác theo phương thức địa phương tức ờ lân cận những điểm chúng cùng tồn tại. Do Trường điện từ lan truyền với vận tốc hữu hạn nên ờ mỗi thời điểm không phải toàn bộ Trường điện từ tương tác với mỗi miền cùa môi trường chất, mà chi một phần của Trường vừa lan tới đó tương tác mà thôi. Đó là phucmg thức "tương tác tiếp cận" hoặc "từ gần đến xa", không có tương tác gián cách hoặc tức thời với vận tốc vô cùng lớn. 2.1.6. Hai mặt thể hiện Điện và Từ của Trường điện từ Trong hệ qui chiếu quán tính, Trường điện từ có hai mặt tương tác lục với hạt hoặc vật nhỏ mang điện (q) tuỳ thuộc cách chuyển động cùa vật trong hệ. Ta gọi Fe là lực điện trường, lực này chỉ tuỳ thuộc vị trí của vật, không phụ thuộc vận tốc của vật. Ta gọi Fm là lực từ trường, lực này chi tác động khi vận tốc của vật khác không ( V5*0 ). Lực này hướng theo chiều vừa vuông góc với V vừa vuông góc với ẽB (vector đơn vị chi phương vuông góc vói V) nào đó tuỳ thuộc từng điểm trong hệ qui chiếu. Các lực này được gọi là các lực Lorentz cùa Trường điện từ tác động lên vật. F = "*"Pm (2 1 ) Ta định nghĩa hai mặt thể hiện ấy là điện trường và từ truờng cùa trường điện từ. Năng lượng ứng với PE gọi là năng lượng điện trường và năng lượng ứng với Fm gọi là năng luợng tù trường của Trường điện từ. 30 Dễ thấy rằng các lực Lorentz, điện trường, từ trường và năng lượng cùa chúng chi là nhũng khái niệm tương đối vì sụ chuyển động của vật mang điện chì là tương đối và chi xác định cho một hệ qui chiểu cụ thế. Các lực Lorentz được thể hiện như Hỉnh 2.1: V Hình 2.1: Các lực điện trường và lừ trường 2.2. CÁC THÔNG SÓ TRẠNG THẢI ĐỘNG Lự c HỌC c o BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ MỎI TRƯỜNG CHÁT Để biểu diễn và mô tả sụ tương tác động lực học cùa Trường điện từ - môi trường chất người ta đưa ra 2 loại thòng số: thông số biến trạng thái và thông số biến hành vi (hay còn gọi là thông số đặc trung). - Thông số biến trạng thái: Là những biến định nghĩa ra để trực ticp hoặc gián tiếp biểu diễn, đo trạng thái và quá trình động lục học của hệ, hoặc đo, biểu diễn năng lực tương tác cùa các thành viên trong hệ, ví dụ mật độ năng luợng, động lượng... Các biến trạng thái thường là những số, những hàm hoặc vector liên tục trong không gian và thời gian. Thông số biến trạng thái gồm 2 loại: Thông số biến trạng thái cơ bản và thông số biến trạng thái dẫn xuất. + Thông số trạng thái cơ bản cùa vật mang điện là điện tích q. Các thông số trạng thái cơ bản của Trường điện từ là vector cường độ điện trường Ẽ và vector cuờng độ từ cảm Ẽ . + Thông số biến trạng thải dẫn xuất: Đe miêu tả đầy đủ hơn người ta đưa ra các biến trạng thái khác gọi là biến trạng thái dẫn xuất và lập thành các nhóm: + Nhóm: P; M; D ; H; J . + Nhóm m, g, w. + Nhóm các hàm thế Ẫ,(p. 31 - Thông số về hành vi: Biểu diễn tính qui luật cùa các hoạt động, hành vi của một thực thể trong quá trình tương tác với thực thể khác, ví dụ hệ số phân cực biểu diễn và đo phản ứng phân cực cùa điện môi duới tác dụng của điện trường tĩnh. Trong trường hợp tĩnh thông số hành vi thường là hệ số, hoặc hàm số, trường hợp động nói chung là các toán tử. Ví dụ: Kp hệ số phân cục điện cùa điện môi. Km là hệ số phân cực từ cùa từ môi. e; Ị! hằng số điện m ôi và độ từ thẩm của từ m ôi. 2.2.1. Biến trạng thái động lực học CO’ bản của vật mang điện - điện tích q Điện tích q cùa vật mang điện được định nghĩa là một biến trạng thái, nó đo khả năng tương tác lực của vật đối với Trường điện từ, một thuộc tính của vật mang điện. Thực nghiệm thấy rằng các lực Lorentz không ưu tiên một chiều hay một trục riêng nào của vật mang điện, vậy ta lấy q là số thực. Mặt khác ờ cùng một điều kiện về trường, về vị tri và chuyển động, các hạt, vật mang điện chịu lực Lorentz theo hai chiều ngược nhau. Do đó ta chia các hạt, vật mang điện làm hai loại có thông số điện tích trái dấu. Điện từ và những hạt, vật có tính điện tương tự đuợc quy ước có thông số điện tích âm ( q < 0 ) . Loại còn lại có điện tích dương ( q > 0 ) . Vật không tương tác lực với Trường điện tù, có điện tích zero ( q = 0 ) hay nói cách khác vật đó không mang điện. Vậy điện tích là một số thực gắn với một vật hoặc hạt để đo khà năng tư ơ n g tác lự c của T rư ờ n g đ iện từ. Trong hệ SI, đơn vị điện tích là Coulomb (C) với điện tích của điện tử: e=-l,6.10 19c 2.2.2. Các biến trạng thái cơ bản của Trường điện từ Ẽ , 6 a. Vector cường độ điện trường Ẽ Xét một vật nhỏ mang điện tích Aq đặt tĩnh (đứng yên) ở điểm M trong một hệ qui chiếu quán tính mà ta xét, chịu tác động của một lực a Fe , ta nói rằng ờ lân cận điểm M tồn tại một nguồn năng lượng điện trường. Để biểu diễn và đo 32 khả nâng lực Lorentz tác động về điện ở lân cận điểm M của Trường điện ta sừ dụng biến trạng thái gọi là vector cường độ điện trường E được xác định: Ẽ = hoặc AF = Aq. E (2.2) Aq Theo quan niệm liên tục hoá, cường độ điện trường ở điểm M là: Ẽ = —-— hay dFE = dq.É (2.3) 3q Vậy cuờng độ điện trường tại điểm M trong một hệ qui chiếu quán tính đuợc xác định bằng lực điện trường tác dụng lên một đơn vị điện tích thử duơng (q = 1C) đặt tĩnh ở điểm đó. Đơn vị: [E ] = ! £ ! = N = 1 ÍE = v/m [q] c Cm h. Vector cưừnịỊ độ từ cảm tì Xét một vật nhỏ mang điện tích dq chuyển động với vận tốc V trong một hệ qui chiếu quán tính mà ta xét, nếu nó chịu một lực Lorentz về từ <ì F m, khi đó ta nói rằng ở iân cận vật đó tồn tại một từ truờng, một mặt biểu hiện cùa Trường điện từ. Vật mang điện chuyển động cũng tương đương với dòng điện chảy trong một đoạn dây. Vì vậy, dây dẫn có dòng điện chảy qua, lân cận dây cũng tồn tại một từ trường. Nam châm đặt ờ vùng đó cũng chịu lực Lorentz về từ. Lực d FM hướng theo chiều vừa vuông góc với vận tốc vcủa vật vừa vuông góc với ẽ B xác định cho mỗi điểm trong hệ qui chiếu. Ta thấy chiều ẽ B trùng chiều lực Lorentz tác dụng lèn cực bắc kim nam châm, vậy nó là chiều đặc trưng riêng cùa Truờng điện từ về mặt tác dụng lục Lorentz từ. Ta biểu diễn và đo khả năng lục Lorentz từ tác dụng cùa Trường điện từ ở lân cận mỗi điểm trong hệ qui chiếu bàng một vector trạng thái gọi là cường độ từ cảm Ẽ được xác định: dFM = d q ( v A Ẽ ) = d q ( v A ẽ B) B (2.4) 33 (dấu A là phép nhân tích có hư ớng cùa hai vector) Ta biết lượng dq V cùa vật mang điện đồng nhất với idl của đoạn dây dẫn dq . dĩ có dòng. Vỉ dòng 1 = — ; vân tôc chảy các hat trong đoan dây V = —— do đó: dt dt dqv=idĩ —> dFM = i(d ĩ a B) = i.B.l.(cfel A eB) (2.5) Chiều cùa B xác định tiện nhất bằng cách dùng nam châm thừ. Độ lớn cùa Ẽ bằng lực tác dụng lên một đoạn dày có idl = 1 Am hoặc một vật chuyển động có tích dqv = 1 Am với chiều V hoặc chiều dòng thừ vuông góc với chiều s . „ . [o l_ ÍF1 _ N _N m s_V s 4 Đơn vị: l.BJ = 7qT = - 7— = 77~T = G [i.l] Am Cm m Trong Kỹ thuật Điện còn dùng Gauss (G): IT = 104 G 2.2.3. Tính tương đổi của Ẽ và Ẽ Việc định nghĩa điện trường, từ trường cũng như các biến trạng thái E , Ẽ theo vận tốc chuyển đ ộn g trong hệ qui chiếu xét khiến chúng là những khái niệm tương đối tuỳ thuộc hệ qui chiếu. Thật vậy, giả thiết trong hệ qui chiếu K, có một hạt điện tích q chuyển động thẳng đều với vận tốc V. Nó sẽ chịu những lực Lorentz: F = F E+ F M = q ( Ẽ + V A B) Giả sử cho hệ qui chiếu K ’ chuyển động bằng vận tốc V so với hệ K. Trong K’ vận tốc hạt sẽ triệt tiêu V ’ = 0. Giả sừ V « c , để có thể bỏ qua lực quán tính và dùng nguyên lý Galileo cho đơn giàn. Khi đó trong hệ K ’ hạt vẫn chịu lực F ’ = F nhưng vì vận tốc V ’=0 nên chi còn lực Lorentz điện. F ’ = F ’E = q.Ẽ’ (2.6) Vì F ’ = F Nên Ẽ ’= Ẽ + VAẼ (2.7) 34 Cũng có thể dẫn ra biểu thức từ cảm B ’ xác định trong hệ K ’ là: (2.8) Từ (2.7) và (2 8) suy ra nếu trong hệ K chi thể hiện khía cạnh từ trường Ẽ (E = 0) thì trong K’ thể hiện cả từ trường B ’ và E \ Hoặc nếu trong hệ K chỉ thể hiện điện trường Ẽ (Ẽ = 0) thì trong K’ cũng có cả điện và từ Ẽ \ B V à nói chung, náu hệ K thề hiện Evà B thì trong hệ K’ sẽ thể hiện Ẽ \ B ’ khác. Từ đó suy ra rằng, điện trường và từ trường là những thể hiện tương đối cùa Trường điện từ Sự thề hiện riêng một minh điện trường hoặc tù trường trong hệ quy chiếu xét là cá biệt. Sự tồn tại Trường điện từ thong nhất là tuyệt đối và phổ biến. Quan hệ có quy luật giữa những thể hiện Ẽ ,B và E ’, Ẽ ’ là khách quan và tuyệt đối. Hình 2.2 nêu rõ những điều trên. Hình 2.2: Tính tồn tại độc lập lương đối cùa Êvà B 35 2.3. CÁC THÔNG SÓ KHÁC VẺ TRẠNG THÁI, HÀNH VI CỦA TRƯỜNG VÀ MỎI TRUỜNG 2.3.1. Các thông số trạng thái và hành vi về phân cực điện ÍL Vector phân cực điện p Trong nhiều chất điện môi (tức là môi trường chỉ có những hạt mang điện ràng buộc), dưới tác dụng cường độ điện trường Ẽ các điện tử ràng buộc nhận năng luợng dịch chuyển ra khỏi vị trí cân bằng, tâm quỹ đạo điện tử bị kéo ra xa nút có điện tích dương với một đoạn trung bình địa phương 1 nào đó, lấy theo chiều từ tâm quỹ đạo đến nút hình thành những lưỡng cực điện. Khi đặt điện môi nằm trong điện trường Ẽ thì sẽ xảy ra hiện tượng phân cực điện trong chất điện môi và hình thành các lưỡng cực điện Đó là hiện tượng phân cực điện môi. Sụ phân cực này đặc trưng bời điện tích q và dịch chuyển 1, nên có thể đo bang vector pgọi là vector moment phân cực điện cùa lưỡng cực. p = q ĩ (2.9) Neu ở lân cận mỗi điểm số lưỡng cực tính trung bình cho một đơn vị thể tích là N, tuỳ thuộc từng chất điện môi cụ thể, ta định nghĩa đo trạng thái phân cực ở mỗi điểm bang moment điện tổng cùa chúng, gọi là vector phân cực điện, ký hiệu p : p = N qĩ hoặc P = (2.10) AV Theo môi trường liên tục hoá: - 5p p = — (2.11) av Như vậy, một cách gián tiếp p nói lên trạng thái thế năng đàn hồi, liên quan với sự dịch chuyển cùa các quỹ đạo điện tử. b. Hệ số phân cực (tiện Kp Để đo mức độ phân cực của từng chất điện môi ta đưa ra khái niệm hệ sổ phân cực của điện môi Kp. Hệ số phân cực điện thể hiện mối quan hệ giữa p và Ẽ so với môi tniờng chân không: 36 p =K p.£oẼ ; K p=-L e.Ẽ s„ là hằng số điện môi trong chân không, có đơn vị là (-—•) m (2.12) Kp là thông số riêng của môi trường, dùng để đo năng lực phân cục nhiều ít dưới tác dụng cùa điện trường tĩnh. Do đó Kp là thông số hành vi của điện môi về mặt phân cực điện. c. Vector dịch chuyển điện D Để biểu diễn quá trình phân cực điện phụ thuộc vào p và Ẽ, ta định nghĩa vector dịch chuyển điện D, được xác định theo biểu thức: D = S o Ẽ + P (2.13) Từ (2.12) ta suy ra: D = S o ( l +Kp) E=s0erẼ =eÊ (2.14) Trong đó: Er =1+Kp là hằng số điện môi tuơng đối cùa môi trường so với môi trường chân không. £ = SoEr là hằng số điện môi tuyệt đối cùa môi trường. Đối với trường tĩnh thì D có ý nghĩa qua biểu thức sau: |)DdS = qul (thông lượng D chảy qua mặt kín s bất kỳ thì bằng điện tích s tự do). Hay DivD = ptd (mật độ phân bô điện tích). d. Đoit vị cùa các đại lượng [D] = c/m2 c = _F — = [eo] M = — = T77ZT = T7Z = [Efll [E] v/m V m m [E] v/m V m m 37 Bằng thực nghiệm người ta đã tính được: e0= - 5- ^ — T = ------77-}----------r = 8,85.10_l2F /m 0 c 471.10 9.10 .4.3,14.10 2.3.2. Các thông số trạng thái và hành vi về phân cực từ (L Vector phân cực từ Iví Chất từ môi là những môi trường có dòng phân tử ràng buộc. Trong chất từ môi dưới tác dụng từ trường Ẽ , các spin và các dòng phân tử Ampere, giống những thanh nam châm thường xoay trục lại nhiều ít theo từ cảm B hình thành những cực từ nhỏ có chiều thuận hoặc ngược với chiều cùa Ẽ “tức là có sự định hướng lại của các mômen từ spin”. Có thể nói hiện tượng phân cực từ trong từ m ôi tương tự như phân c ụ c điện. Đổi với các chất thuận từ, khi bị phân cực các cục từ đó phụ trợ làm tăng từ trường B , túc làm tăng năng lượng từ trường. Đối với các chất nghịch từ, hiện tuợng phân cực từ làm giảm từ trường B, tức làm giảm năng lượng từ trường. Vậy để đặc trưng cho hiện tượng phân cực từ người ta đưa ra các khái niệm vector mômen từ của cực từ (hay được gọi là mômen từ spin): Có trị số: m = i.s (2.15) Trong đó: i là dòng điện chạy theo một vòng có tiết diện bề mặt s của vật liệu từ. Có ch iều đ ư ợ c x ác đ ịn h th e o q u y tẳc v ặ n n ú t chai thuận theo hướng của s và chiều dòng điện i và được biểu diễn như Hình 2.3: Nếu ta xét trong một miền thể tích V có Hmh 2 3: Véc tơ mô men từ N cực từ và có các ffi bằng nhau, thi nguời ta định nghĩa: M = N.m = N.i.S hoặc M = (2.16) AV 38 hoặc M = —— (theo quan điểm liên tục hoá) (2.17) Vector phân cực từ Ivĩbiểu diễn và đo trạng thái phân cực môi trường từ môi ở mỗi điểm, do đó một cách gián tiếp nó liên quan đến trạng thái môi trướng trao hoặc nhận năng lượng với từ trương h. Vector cường độ từ trường n Đế tiện biểu diễn và khảo sát, người ta còn định nghĩa một biến trạng thái hỗn hợp là tổ hợp của trạng thái trường B và trạng thái phân cực từ môi M , gọi là cường độ từ trường H . Õ fì = ------M hay Ẽ = Ịi0(íĩ+lVf) (2.18) Ho H Ho gọi là hệ số từ thẩm trong chân không đơn vị có là ( — ) m c. Hệ số phân cực từ K\1 Giống như phân cực điện, ta định nghĩa hệ số phân cực từ của từ môi ờ trạng thái tĩnh là tỷ số cùa trạng thái phân cự c từ M v à cư ờ n g độ trường n . Km = M hay IVf=KM fl (2.19) H Km gọi là hệ số phân cực tù cùa từ môi. Nó là thông số riêng của môi trư ờ n g đ è đo n ă n g lự c phân cự c nhiêu ít dirới tác d ụ n g c ủ a từ trư ờ n g tĩn h D o đó Km là thông số hành vi của từ môi và mặt phân cực từ. Thay vào biểu thức cùa Ẽ ta có: B = Mo(fl+IVO = Mo(l+KM)fl = Mo^r H = ^ H (2.20) Trong đó: |ir = 1+Km là hằng số từ môi (hệ số từ thẳm) tương đối cùa môi trường so với môi trường chân không. Ịi = HtìHr là hằng số từ môi tuyệt đối cùa môi trường. 39 (L Đim vị của các đại lượng [M] = [H] = £ĩOỈ = í —ỉ = = A/m [V] [V] m3 r 1 _ [B1 _ Vs.m Vs .___r [ịi,] = _[yì không thứ nguyên, suy ra Km cũng không có thứ nguyên. [R,] Bằng thực nghiệm người ta đã tính đuợc: |io = 471.10"7 H/m Chú ý: thông thường đối với các môi truờng ịi, * 1, riêng đối với vật liệu sắt tù ịi, tuơng đối lớn (1 0 3 - 104) và có hiện tượng từ trễ. 2.3.3. Các thông số trạng thái và hành vi về dòng điện trong vật dẫn Khi có nguồn nào đó cung cấp năng lượng điện từ một cách liên tục để có thể duy trì được điện trường Ẽ trong vật dẫn hiểu theo nghĩa là Trường điện từ tác dụng lực và tiếp năng lượng cho các điện tích tự do khiến chúng chuyển động thành dòng. Dòng điện tử chày và va chạm với mạng tinh thể vật dẫn truyền động năng cho mạng lưới, chuyển thành nhiệt năng tiêu tán đi, không hoàn lại năng lượng nữa. Đối với vật dẫn, thông thường hiện tượng tiêu tán Trường điện từ là chù yếu Do đó để đơn giản, ta thường chấp nhận mô hinh vật dẫn thuần túy, bỏ qua hiện tượng tàng trữ, phân bố năng lượng điện, túc bỏ qua hệ số điện mòi chân không. Trong một dải tần khá rộng, đến 1012 Hz điều đó không gây ra những sai lệch đáng kể. Mô hình ấy dẫn đến 2 hệ quả: - Kèm với dòng điện tử chảy trong vật dẫn, có hiện tượng tiêu tán, không có sự tàng trữ năng lượng điện trường như trong điện môi và chân không. - Do có tiêu tán nên dưới tác dụng lực của điện trường không đổi E, dòng điện tử xác lập ở một vận tốc V nào đó tùy thuộc lực Lorentz qẼ và tính chất của môi trường dẫn. Ta có thể đo trạng thái dòng chảy trong vật dẫn bằng vector mật độ dòng dẫn Jd. Ở mỗi điểm Jd có chiều ngược với chiều chuyển động của điện tử tự do và độ lớn bằng lượng điện tích chạy trong một giày, qua một mặt có diện tích 40 Im2 đặt vuông góc với dòng chảy. Đe đo trạng thái dòng điện chuyển động trong vật dẫn người ta đira ra khái niệm vector mật độ dòng dẫn Jd được tính theo biẻu thức: Jd với r = ậ = -N.|e|.AS.v (2.21) AS dt Trong đó: N là so điện tứ tự do trong một đơn vị thể tích e là điện tích của I điện từ V là vận tốc cùa điện từ dưới tác dụng của điện trường AS là tiết diện ngang của vật dẫn Vậy Jd=-N.|ej.v (2.22) Khi truờng là không đổi thi: v = - K r.Ẽ suy ra Jj = N.|eỊ.Ky.Ẽ = yẼ (2.23) (Ky; y là hệ số tỷ lệ và độ dẫn điện cùa vật dẫn) - Đou vị của các đại lượng: Đơn vị cùa Jdvà Y : [Jd] = — = A/m2 [S] [y] = — = - ^ r ~ = — 3 = 7 - (Simen/m) [E] m .V n.rri m 2.4. NĂNG LƯỢNG, KHỐI LƯỢNG VÀ ĐỘNG LƯỢNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Sự tồn tại và vận động cùa truờng điện từ được đặc trưng bời các thông số dẫn suất w, m, g. 2.4.1. Mật độ năng lượng của Trường điện từ (J/m3) Như ta đã biết Trường điện từ có năng luợng phân bố và chuyển động trong không gian, nhờ đó nó có thể trao đổi năng lượng với các môi trường và vật thể đế tác động lực hoặc làm chuyển đổi chúng. Khi xét Trường trong điện 41 môi và từ môi, ta quan tâm đến năng lượng của Trường tàng trữ trong không gian và phần năng lượng gắn với trạng thái phân cực của môi trường chất. Ta biểu diễn và đo trạng thái năng lượng đó bằng mật độ năng luợng, ký hiệu w. Ở mỗi thời điểm, nó bằng năng lượng qui về tàng trữ trong một đơn vị thể tích. Vậy w là một thông số trạng thái động lực học cùa Trường và môi truờng chất. Mật độ năng luợng điện từ gồm 2 thành phần: Mật độ năng lượng điện trường W e , m ật độ năng lượng từ trường WM tàng trữ trong m ôi trường chất và được tính theo công thức: ẼD ... WE= 2 ; WM= 2 (2.24) Mật độ năng lượng điện từ bằng tổng của chúng: w = WE + WM (2.25) 2.4.2. Mật độ khối lượng của Trưòng điện từ (kg/m3) Theo Einstein, trường có năng lượng w bao giờ cũng kèm theo có một khối lượng m theo hệ thức: w = mcJ (2.26) Điều này phù hợp với hiện tượng Trường điện từ gây áp suất khi va chạm vói vận tốc hữu hạn c trên những mặt kim loại. Vậy Trường điện từ cCng có khối lượng (khối lượng động) phân bố trong không gian với mật độ: m = 4 (2 27) c 2.4.3. Mật độ động lượng của Trường điện từ (kg/m2s) Mặt khác Trường điện từ lan truyền với khối lượng và vận tốc hữu hạn, hình thành dòng động lượng. Ta đo dòng đó bằng một vector mật độ động lượng g . Ở mỗi thời điểm, nó có độ lớn bằng tích mật độ khối lượng m và vin tốc chuyển động và có chiều trùng với chiều chuyển động của Trường: i = m e = ^ (2.28) C 42 Ngoài ra người ta còn dùng thông số đo trạng thái phân bố công suất cùa Trường điện từ trong không gian gọi là mật độ công suất Truờng điện từ P0. Tại mỗi điểm nó bang năng lượng Trường điện từ đưa vào một đơn vị thể tích không ỡw gian trong mòt giây Đươc xác đinh băng biêu thức: p„ = ---- ổt CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 2 2.1. Các thông số biến trạng thái và hành vi về phân cực điện? 2.2. Các thông số biến trạng thái và hành vi về phân cực từ? 2.3. Các thông số biến trạng thái và hành vi trong vật dẫn? 2.4. Cho Trường điện từ có cường độ điện trường E =180 (V/m), hằng số điện môi tương đối so với chân không là I0m. Hỏi dòng dịch chuyển điện trong môi trường chất đó có giá trị bằng bao nhiêu? 2.5. Cho trường điện từ có cường độ điện trường E = 150 (V/m), cường độ tò cảm B = 1Ơ7C (T) tác động vào môi trường chất có hằng số điện môi tuơng đối so với chân không là 1010 và độ từ thẩm tương đối so với chân không là 105. Hỏi cuờng độ từ trường có giá trị bằng bao nhiêu? 2.6. Đặt một điện trường có E = 200V/m vào một vật dẫn có tiết diện ngang AS = 0.1 m 2, biết số điện tử tụ do trong 1 đơn vị thề tích cùa vật dẫn là 1020, vận tốc cùa điện tử tự do dưới tác dụng của điện trường là v=50m/s. Hỏi mật độ dòng điện qua vật dẫn có giá trị bằng bao nhiêu? Hỏi dòng điện qua vật dẫn có giá trị bằng bao nhiêu? Hòi độ dẫn điện của vật dẫn có giá trị bằng bao nhiêu? 2.7. Cho trường điện từ có cuờng độ điện trường E = 900 (KV/m), cường độ từ cảm B = 107C (T) tác động vào m ôi trường chất có hệ số phân cực điện của điện môi bằng 99. Hỏi dòng dịch chuyển điện trong môi trường chất đó có giá trị bằng bao nhiêu? 2.8. Hãy viết công thức tính năng lượng, khối lượng, động lượng cùa trường điện từ trong miền không gian có thể tích V. Chưong 3 MÔ TẢ TOÁN HỌC QUY LUẬT TƯƠNG TÁC CỦA HỆ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - MÔI TRƯỜNG CHÁT LIÊN TỤC Chưtmg này mô tả toán học quy luật tưtmg tác của hệ Trường diện từ và môi trưừng chất liên tục; ý nghĩa của hệ phương trình Maxwell; các phương trình mô tả Trường điện tù tình, Trường điện từ dừng, TrưìrtiỊỊ điện từ biến thiên; các khái niệm hàm thế vô hướng và thế vector. 3.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ BÀI TOÁN BỜ CÓ s ơ KIỆN 3.1.1. Một số toán tử về giải tích vector a. Toán íử Nahla fỌ ) Xét trong hệ tọa độ Descartes: Một vector F nào đó trong không gian có các thành phần (Fx; Fy; Fz) thỉ được biểu diễn dưới dạng: p = ẽxFx + ẽyFy + ẽzFz Toán tử Nabla là một vector tượng trung có các thành phần là các đạo hàm , , yơK dy dz) õ õ d Biểu thức cùa toán tử Nabla trong không gian: Ỹ = ẽ -----1-ẽv-----1- ẽ —- dx y dy dz - Hàm Gradient (Grad): Là một phép tích vô hướng (toán tử Nabla 9 và hàm vô hướng (p). Hàm Grad tính độ biến thiên cùa vector. 44 - Hàm Divergence (Div): Là một phcp tích vô hướng của 2 vector (toántử Nabla K' và hàm vector F nào đó). Hàm Div tính độ tản (độ phân kỳ) cùa vector DivF = ^.F = ' d 5 _ a V - r -r, -c\_3F„ 5F d ĩ ẽ — + e — + e, — (e F, + e F + ẽ F ) = — + — + — * ÕK y õy ' õ z j [ * x y y ' ÕK dy ỞL - Hàm Rotational (Rot): Là một phép tích có hướng cùa 2 vector (toán từNabla Ỹ và hàm vector p nào đó). Hàm Rot tính độ xoáy cùa vector. ẽx ẽy ẽz õ 5 5 ÕK õy õz F* F> Fz Xét trong hệ toạ độ trụ: ftp ap ap ' õỉ “ da z ổz lỡ(r.Fr) + iaFa-+ Ễ L r õr ĩ da1dz 1 , , 1 -5 , 2» - 8, r r RotF = h. Toán tử Laplace (A) õ õ õ Dt Da Dz. Fr rFa Fz Xét trong hệ tọa độ Descartes: Toán từ Laplace là toán tử vi phân có các thành phần là các đạo hàm riêng ổ2 õ2 d2 ' bậc 2 trong không gian:^3x dy dz 45 Biểu thức cùa toán tử Laplace trong không gian: ổx dy dí _ . ổ2(p ổ2cp ổ2cp DivGradọ =Acp = —J + — 7 + —— ổx ổy ổz DivRotF = 0 RotGradcp = 0 RotRotP = GradDivf - DivGradF _ . 1 d ,_ỞD. 1 ổ2(p ổ2

= J B d§ S - Định luật cảm úng điện từ: e„ =(f)Edl = —— L ă - Định luật dòng điện toàn phần: ^)fldĩ = I JddS = L S - Định luật về dòng dẫn: (f) JjdS = ỉ dí - Định luật Gauss: (Ị)DdS = qtd = JpudV 3.1.2. Hệ phưong trình Maxwell và bài toán bờ có SO’ kiện (L Hệ phương trình Maxwell Ờ chương 1 ta đã biết có thể đo trạng thái của Trường điện từ bằng hai biến trạng thái cơ bản Ẽ ,Ẽ liên hệ với các biến khác của hệ là D,H, J qua các thông số hành vi (trường hợp đơn giản nhất là hệ số ụ., 8, y). Các vector cường độ E, B lập thành các Trường vector trong không gian, theo thời gian. Do đó có thể biểu diễn hệ phương trinh Maxwell dưới dạng các phép tính cơ bản đối với các Trường vector, đó là các phép Div, Rot trong không gian, phép — theo thời gian. dí Ta có hệ phương trình Maxwell gồm 4 phương trinh: Phương trinh Maxwell 1: Rotfl = Jd+ — d ă(3.1) Phuơng trinh Maxwell 2: RotÉ =dt(3.2) Phương trình Maxwell 3: DivB = 0 (3.3) Phương trình Maxwell 4: D ivD =ptd (3.4) Các biến trạng thái liên hệ với nhau thông qua phương trình mỏ tà mối quan hệ hành vi của Trường điện tù và môi trường chất là: B - C Ẽ ; B —|i f t ; J d —ỴẼ ( 3 -5 ) Với ptdgọi tà mật độ điện tích khối tự do (C/m3). Mọi hiện tượng trong các thiết bị điện đều thể hiện sự vận động của Tnrờng điện từ, do đó về nguyên tẳc việc phân tích tính toán các hiện tượng đó đều có thể dựa trên hệ phương trình Maxwell, đó là hệ phương trình cơ bản nhất phản ánh những qui luật của Trường điện từ theo mô hình liên tục hoá. Hệ phương trình Maxwell giữ vị tri quan trọng đối với Lý thuyết Trường điện từ giống như các luật Kirchhoff với Lý thuyết Mạch (các luật KirchhoiTchi là trường hợp riêng cùa hệ phương trình Maxwell). 47 h. Hài toán bờ có sơ kiện Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trinh đạo hàm và tích phân theo không gian và thời gian, do đó bài toán Trường điện từ là một bài toán bờ có sơ kiện cả không gian và thời gian. Muốn giải được bài toán này ta phải lập ra điều kiện cho bài toán (các sơ kiện ban đầu để bài toán có nghiệm trên bờ s và mốc thời gian đang xét tức sự phân bố, lan truyền nghiệm bài toán trong không gian và thời gian tuỳ thuộc vào những giá trị nghiệm ờ trên bờ của miền xác định bài toán và ờ gốc thời gian). Điều đó được giải thích như sau: Vi các nghiêm Ẽ,D,Ẽ,H, J liên quan nhau qua hệ phương trình đạo hàm riêng trong không gian, thời gian và ở một môi trường chất cụ thể. Vi vậy giá trị nghiệm ở mỗi điểm (M, t) phải tuỳ thuộc lân cận điểm M, tại một lân cận thời gian trước t và tuỳ thuộc phản ứng địa phương của môi trường chất quanh M. Suy ra nghiệm trong miền V bao bởi bờ s và ờ một thời điểm t phải tuỳ thuộc hình dáng bờ, sự phân bố nghiệm trên bờ ờ những thời điểm trước t, kể cho đến thời điểm t và tuỳ thuộc sụ phân bố môi trường chất trong miền xét các quan hệ trên phản ánh quan hệ giữa Trường và môi trường chất. Đó là quan hệ nhân quả trong không gian và thời gian. Ví dụ: Đối các bài toán quá độ thì việc tỉm các sơ kiện là rất quan trọng vi nghiệm của bài toán phụ thuộc vào các sơ kiện đó. 3.1.3. Quan hệ giữa hệ phương trình Maxwell và các luật Kirchhoff C ác p h ư ơ n g trin h M ax w ell m ô tả qui lu ật củ a T rư ờ n g đ iệ n từ ncn ch ú n g phải bao quát cả các luật Kirchhoff của Mạch, vì mô hình Mạch được coi là mô hình của Truờng trong những điều kiện riêng. Tù các phương trình Maxwell ta có thể dẫn ra các luật Kirchhoff. a. Dẩn ra luật Kirchhoff ỉ Để dẫn ra luật Kirchhoff 1 ta xuất phát từ phương trình Maxwell 1: Lấy Div 2 vế với chú ý DivRotH = DivJy = 0 , do đó: Div J V = 0 hay I divIvdV = 0 (3.7) V Áp dụng định lý Ostrogradski - Gauss cho (3.7) ta có: jd iv J ^ d V = ^ )J^ d S = 0 (3.8) V S Theo điều kiện mạch hoá bỏ qua dòng rò và dòng dịch ta được luật Kirchhoff 1 đối với một nút (hoặc 1 mặt kín): £ id = 0 hay ^)JddS = ^ ij= 0 (3.9) S b. Dẩn ra luật Kirchhoff 2 Để dẫn ra luật Kirchhoff 2 ta xuất phát từ phương trình Maxwell 2: RotÊ = - — õt Lấy tích phân 2 vế theo một mặt s giới hạn bời một vòng kín đứng yên trong hệ qui chiếu, s không bị biến dạng theo thời gian nên ta có: [ RotẼdS = ■- (■^ d ẵ = [ BdS ỉ s 91 91 s Mà theo biểu thức xác định cùa từ thông: ệ = ỊBdS với (ị) là từ thông chảy S qua mặt s. Do đó: íRotẼdS = - [ ^ d S = - — ÍBdS=- ỂẾ (3.10) s S a a S dt Theo luật Lenz - Faraday, đó là sức điện động cảm ứng trên vòng kín L bao lấy mặt s. Áp dụng định lý Green - Stokes cho vế trái (3.10) ta có: I RotẼdS = (j)Ẽdĩ s L Vậy: £ Ẽ d T + ặ = 0 (3.11) L ă Các số hạng trong (3.11) trên chính là những điện áp kể cả các sức điện động cảm ứng lấy theo vòng kín L. Vậy ta được luật Kirchhoff 2 cho vòng kín: £u = 0 (3.12) Tương tụ từ phuơng trình Maxwell 1 và 3 dẫn ra được phương trình liên tục cùa từ thông và cân bằng từ áp trong m ạch từ (Bạn đọc tự dẫn ra các phương trình này). 3.2. DÂN RA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL Khi đưa ra các phương trình mô tả quy luật tuơng tác cùa Trường điện từ, Maxwell đã kết hợp một cách tài tỉnh giữa các thực nghiệm của các nhà vật lý và đua ra lý thuyết dòng điện chuyển dịch. Với giả thiết như vậy Maxwell dẫn ra các phương trinh như sau: 3.2.1. Dần ra phuong trình Maxwell 2 Phương trinh này được dẫn ra từ định luật cảm ứng điện từ Lenz - Faraday. Thật vậy khi từ thông (J) biến thiên xuyên qua một vòng kín L đứng yên trong không gian thì trong vòng sẽ cảm ứng ra một sức điện động e„: ea = ị M = - ặ (3 13) L a Ờ đây Ẽ là cường độ điện trường cảm ứng. Theo định lý Green - Stokes lưu số Ẽ theo vòng kín L bằng thông lượng vector RotẼ chảy qua mặt s bao bời đuờng kín L nên ta có: I RotẼdS = ^)Ẽdĩ (3 .14) S í Mặt khác từ thông <|> bằng thông lượng tù cảm Ẽ chảy qua mặt s theo biểu thức: ộ = JBdS nên kết hợp (3.13) và (3.14) trờ thành: S í RotẼdS = - — = - —(f)BdS = —[— ds (3.15) ì ă at ĩ s 91 Với mặt s lấy đù nhò ta suy ra phương trình Maxwell 2: R o t E = ~dí 50 3.2.2. Dẩn ra phương trình Maxwell 1 ÍL I)ãn ra phuroriỊỊ trình Phương trình Maxwell 1 được dẫn ra từ định luật dòng điện toàn phần kèm theo sự đề xuất tiên đề về dòng điện dịch của Maxwell Theo định luật dòng điện toàn phần Biot - Savart - Ampere thì lưu số vector cường độ từ trường dừng theo một vòng kín L bằng tổng các dòng điện dẫn chảy xuyên qua vòng kín đó. (ị)Hdĩ= jjjd S = L S (3.16) Trong đó đã thay dòng dẫn id bằng vector mật độ dòng dẫn J a qua mặt s bao bời vòng L. Áp dụng định lý Green - Stokes cho ve trái ta có: t0 dòng điện dẫn không liên tục, tức là (3.17) và ,- ' ++4- +I+ + +~-p -„ (3.18) không đúng. Ta hãy xét trường hợp đơn __________ giản nhất là một tụ đang phóng điện như Hình 3.1. j = 0 Lay mặt kín s bao lấy một bản cực tụ điện, dòng dẫn chỉ chảy ra khòi mặt s ( id ^ 0 ) mà i. * 0 không có d ò n g chảy vào mặt s (id = 0), tức thông Hinh 3 J. Tu phăng ếíỀn lượng dòng dẫn chày ra khỏi mặt s không liên tục như biểu thức (3.18). Vì vậy ta đi hiệu chinh chúng: 51 Theo định nghĩa dòng điện dẫn, thông lượng dòng dẫn chảy ra khỏi một mặt kín s bằng tốc độ giảm điện tích tụ do bao trong m ặt ấy, tức: Nếu ta lấy một miền V bao bời mặt s thì theo định luật Gauss ta có: |)ŨdS = qtd= J p ldđV s V Vì s và V không bị biến dạng theo thời gian nên ta có: ệ j ddS = - ^ = - | j PuldV = - j ^ d V (3.19) Trong đó Ptd là mật độ điện tích tự do trong V. Áp dụng định lý Ostrogradski - Gauss cho vế trái, ta có: 4> JddS = J DivJjdV = - { i p a d v (3.20) s V V ^ Với V không suy biến, ta thu được: DivJd (3.21) ơt về mặt toán học cần phải giả thiết rằng vế phải cùa (3.17) ngoài 1 i còn phải thêm một lượng nào đó mà Maxwell gọi là dòng điện chuyển dịch sao cho tổng =Jd+ thoả mãn điều kiện chảy liên tục và thoả mãn (3.17), túc là: RotH = = Jd + (3.22) Khi đó: DivJ^- =DivJd+D ivJod= 0 hay DivJd= — DivJ^ (3.23) So sánh (3.21) và (3.23) ta có: D iv Jcd= - Ễ E ii (3.24) d í 52 Đen đây, Maxwell đã mờ rộng luật Gauss đối với trường tĩnh và giả thiết nó vẫn đúng với Trường biến thiên. Từ đó áp dụng định lý Ostrogradski - Gauss vào định luật Gauss tạo tiền đê Maxwell về dòng điện chuyển dịch ^ D d S ^ D iv Ũ d V ^ p y d V hayDivD=ptd (3.25) s V V Thay (3 25) vào (3.24) ta được: n, 7 _ dPtd _ ^D ivD _ r>; ỠD ị _ 5 D ravJ^= a = at v at hay a Từ đó Maxwell bổ xung vào (3.17) mật độ dòng điện chuyển dịch Ể 5 và Õt khẳng định rằng mật độ dòng điện toàn phần: Js=Jd+Jcd (3 .2 7 ) Khi đó (3.17) trở thành dạng phương trình Maxwell 1: RotH = :ỵ =ĩề + ^ = l ẩ+^ . hay Rotfl = 5D h. Y nghĩa niãt đô dòng dich ——ổt Pliương trình Maxwell I khẳng định rằng dòng điện toàn phần l ỵ (3.27) là một lượng vật lý tồn tại gắn liền với từ trường biến thiên, nó cũng nói lên rằng J cj có vai trò như Jd và là m ột thành phần mật độ dòng điện. Thay D = e0E + P v à o biểu thức của ĩcdtađược: , aD ôE ap 7 7 dt ~ E° 3t ^ õt ~ (^-28) — ỔẼ - Vector mât đô dòng JE = e o— không biếu thi sư chuyến đông của hat dt mang điện nào, mà chi ứng với một điện trường biến thiên E. Tuy nhiên trong thực tiễn thì người ta đều thấy nó có tính chất hoàn toàn giống với mật độ dòng dẫn. 53 , , « ,, __f ỠP ỔNB J - Vector mat đô dong Jp = — = —— nen Jp dt 5t Từ các biểu thức cho ta thấy thành phần mật độ dòng điện này là sự chuyển động cùa các điện tích quanh vị trí cân bằng với vận tốc V. Vậy bản chất giống như J d tuy nhiên ở đây là sự chuyển động của các điện tích giàng buộc của lưỡng cực còn ờ J d là của các điện tích tự do. Vậy tóm lại dòng điện chuyển dịch j cd hoàn toàn giống với J d và là một phần tạo lên mật độ dòng tổng. Thực tiễn đã chứng minh tiên đề về dòng điện chuyển dịch cùa Maxwell là đúng. 3.2.3. Dẩn ra phưong trình Maxwell 3 ỔB Từ phương trinh Maxwell 2 ta có: RotẼ = ——— ổt Tác động phép Div vào hai vế ta được: DivRotẼ = -D iv — = 0 suy ra DivRotẼ = _ 0 hay — Di VẼ = 0 dí a dí Ta lấy tích phân hai vế theo thời gian t với chú ý DivẼ là hàm cùa không gian (x, y, z) không phụ thuộc vào thời gian. Div B = f(x, y, z), qui luật này phải đúng cho cả khi trường chưa thành lập trong hệ qui chiếu, tức là khi có s = 0 và D ivẼ = 0. Cuối cùng ta có phương trinh Maxwell 3: DivẼ = 0 3.2.4. Dấn ra phưong trình Maxwell 4 Khi dần ra phuơng trình Maxwell 1 ta đã chấp nhận phương trình Maxwell 4, tức tiên đề Maxwell về dòng điện dịch, có nghĩa là phương trinh Maxwell 4 phải cùng với phương trình Maxwell 1 làm thành một hệ thống. Song không có nghĩa là phương trình Maxwell 1 chứa phuơng trình Maxwell 4 như một hệ quà. Thật vậy, tác động phép Div vào hai vế của phương trinh Maxwell 1: DivrotH = Div Jd + Div— = 0 õ t 54 do Ta đã chứng minh được biểu thức: DivJd = — —— khi dẫn ra phương trình dt Maxwell I nên: ——Ptd +-— DivD = 0 (3.29) õt dt d d Vây ta có: — DivD = — Py. Ta tích phân 2 vế theo thời gian và cũng chú dí dt ý DivD chi phụ thuộc vào không gian mà không phụ thuộc thời gian. DivŨ = p1(J + f(x,y,z), qui luật này phải đúng cả khi trường chua thành lập trong hệ qui chiếu và không có phân bố điện tích pid = 0; DivD = 0 Suy ra hàm f(x,y, z) triệt tiêu, ta được phương trình Maxwell 4: l)ivD = puj 3.3. Ý NGHĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL Hệ phương trình Maxwell có ý nghĩa cơ bản và quan trọng bậc nhất trong lý thuyết trường điện từ. Nó mô tả đầy đù quan hệ giữa các biến cùa hệ, mô tả hình học cùa Truờng điện từ và mối quan hệ giữa Truờng và môi trường chất trong một hệ qui chiếu quán tính ờ mọi chế độ: tĩnh, dừng và biến thiên. 3.3.1. Hai phương trình Maxwell 1 và 2 mô tả mối quan Kệ giữa hai mặt thể hiện điện và từ của Triròng điện từ biến thiên Thật vậy phuơng trinh Maxwell 1 nêu rõ ờ những vùng có điện trường biến thiên tới mật độ dòng điện Jd + — biến thiên, ờ đó có từ trường biến thiên a và từ trường đó có tính chất xoáy (R otH * 0). Mặt khác phương trình Maxwell ỔB 2 nêu rõ ờ vùng nào có từ trường biến thiên — * 0, thì ờ đó có điện trường biến ỡt thiên (vì RotẼ biến thiên) và điện trường đó có tính chất xoáy. ỡE Đối với Trường điện từ dừng nghĩa là Jd * 0, — = 0 ta thay từ truờng vẫn ổt phụ thuộc sự phân bố dòng Jd; nhưng quan hệ điện và từ trường đã bót mật thiết; RotE= 0 —» điện trường có tính chất thế. Còn R otR = Jd từ trường vẫn có tính chất xoáy ờ vùng có dòng điện và có tính thế ở vùng không có dòng điện. Đối với Trường điên từ tĩnh RotẼ= 0; R o tfi= 0 (do — = 0; Jd = 0) đó là Õt trường của nam châm vĩnh cửu và vật mang điện tĩnh. Ờ đây điện trường và từ trường không phụ thuộc nhau và đều có tính chất thế. 3.3.2. Hai phưong trình Maxwell 3 và 4 mô tả hình học của hai mặt thể hiện điện trưòng và từ trường Thật vậy phương trinh Maxwell 3 có dạng: DivẼ = 0 hoặc ^)BdS = 0 nêu S rõ dòng vector từ cảm luôn chảy liên tục, không có vùng nào xuất phát và không có tận cùng, đó là dạng hình học của B . Còn phương trình Maxwell 4: DivD= P(d hoặc ^)DdS = qtlịnói lèn rằng S thông lượng vector D chảy ra khỏi một mặt kín s bằng lượng điện tích tụ do bao trong mặt ấy. Vậy với trường vector Dcó thể có những vùng xuất phát là vùng có phân bố ptd > 0 và vùng tận cùng là nơi có phân bố Ptd < 0. Đó là hỉnh học của trường vector D. Cũng có thể D chảy liên tục và khép kín giống như s khi Ptd = 0 .. 3.3.3. Các phưong trình Maxwell miêu tả quan hệ khăng khít giữa Trưòng điện từ và môi trường chất Phương trình Maxwell 1 nêu rõ độ xoáy cùa từ trường RotHgắn liền với dòng điện, đường sức R xoáy quanh những dòng điện là một dạng chuyển động củ a chất. Phuơng trinh Maxwell 4 nêu rõ sự gắn bó giữa điện trường D và sự phân bố các hạt mang điện. Đường sức D toả ra từ những hạt mang điện ptd tựa như đó là “nguồn” điện trường (đổi với tù truờng Ẽ không có như vậy). Nhìn chung sự gắn bó Trường - chất thể hiện thông qua những hệ số của phương trình |1, 8, y, p là những biến và thông số hành vi của môi truờng phản ánh quy luật tuơng tác. Ví dụ i: Một điện trường biến thiên có dạng Ẽ= ẽ x EmSÍn (cot - Pz) hãy tìm từ trường B ? 56 Giãi: Vì Ẽ cho trong bài chi có thành pliẩn Ex= Emsin (cot - Pz) phụ thuộc Ồ õ riêng z nên 2 thành phần còn lai: — = — = 0; Ey = E, = 0 ổx dy Từ trường B được xác định thông qua phương trình Maxwell 2 ta có: RotẼ = ------ => B = —J RotEdt. Thay trực tiếp vào bài toán ta có: ẽ„ ẽ„ R otE 0 0Õ_ d í E 0 0 = ẽ v — Ex ổz RotẼ = —— = ẽ y — En,sin (cot - Pz) = - ẽ yPEmSĨn (cat - Pz + —) ổt ỡz 2 Tích phân hai vế theo thời gian ta có: B = ẽy Ế En, sin (cot- Pz) + F(x, y, 2) Cừ Ở đây F(x, y, z) là một hàm không gian ứng với một trường tĩnh. Nếu không tồn tại trường tĩnh thỉ F (x, y, z) = 0. VI du 2: Môt điên trường có dang D=eE = — —r(e x t e y ). Tlm phàn X + y v ’ bố điện tích trong không gian? Giải: Để tìm phân bố điện tích, ta dùng phương trình Maxwell 4: P lJ= d i v D . ^ + S L = ^ - ^ | x ; t y ‘ - 2 y i )+ (x1 + y 1 - 2 x i )]=0 Vậy điện tích có thể phân bố trên trục X = 0, y = 0 còn khắp nơi đều không có phân bố điện tích. 57 3.4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH - THÉ VÔ HƯỚNG Trường điện từ tĩnh là Trường của các hạt, các vật mang điện đặt tĩnh tại trong không gian ở hệ quy chiếu quán tính mà ta xét. Nó có một số tính chất cơ bản sau: - Trường điện từ tĩnh không tồn tại dòng điện dẫn tức là không có mật độ dòng dẫn Jj = 0 => Jd = yẼ = 0=>Y = 0 Vậy Trường điện từ tĩnh không tồn tại trong môi trường vật dẫn. - Các thông số biến trạng thái không phụ thuộc vào thời gian = o j - Mật độ điện tích khối 5* 0 là ở những môi trường chất mang điện ngư ợc lại P u = 0 là ờ những m ôi trường không m ang điện. 3.4.1. Hệ phương trình Maxwell đối với Trường điện từ tĩnh Từ các tính chất Jj = 0; = o j và pld, ta có hệ phương trinh Maxwell như sau: Rotfl = 0 (1) RotE = 0 (2)(3.30) DivB = 0 (3) D i v õ ^ (4) Vói: B - n ĩ ì ; D - BẼ Nhận xét: - Từ phương trình Maxwell 1 và 2 ta thấy điện trường tĩnh và từ trường tĩnh có quan hệ độc lập với nhau, không có liên hệ gi với nhau. Nghĩa là có từ truờng nhưng không sinh ra điện tnrờng và nguợc lại. - Từ trường tĩnh và điện trường tình đều mang tính chất thế (vỉ cóRotfỉ= 0 và RotẼ=0). - Trường điện từ tĩnh chỉ tồn tại ờ hai môi trường điện môi và môi trường từ môi. 58 3.4.2. Khái niệm điện thế vô huóng Từ hai phương trình RotH = 0 và RotẼ = 0, chứng tỏ điện trường tĩnh và từ trương tĩnh đều có tính chất thế. Vi vậy người ta sử dụng một biến trạng thái để mô tả tính chất này gọi là các hàm thế vô hướng (p, tương ứng của điện trường và từ tarờng là (|)E và ỌM 3.4.3. Điện triròng tĩnh và khái niệm diện thế vô huóng ÍL Hệ phương trình Maxwell (3.31) Với D = eE b. Khái niện điện thế vô hướng Ọy Giả sử ta có một vật nhò mang điện tích q đặt trong một miền có điện trường tĩnh sẽ chịu tác động của một lực điện trường: FE=qE Vậy muốn dịch chuyển vật nhò mang điện này (với tốc độ đù chậm để bỏ qua lực quán tính) thì vật nhò này phải chịu tác động một lực -FE suy ra phải cần một công A có giá trị: (3.32) L L Đối với trường tĩnh nó có tính chất là công dịch chuyển một điện tích từ điếm này đền điểm khác là xác định, và chi phụ thuộc vào vị trí 2 điém mà không phụ thuộc vào đường đi suy ra công dịch chuyển một điện tích theo một vòng khép kín L bằng không. Thật vậy, nếu dịch chuyển vật đó theo một vòng kín L thì công: A = -q^)Ẽdĩ L Theo định lý Green - Stokes: (|)Ẽdl = |R otẼ dS với chú ý RotẼ = 0 suy L s ra: A = = 0 với s là mặt được bao bởi vòng kín L. s 59 Từ đặc điểm trên nếu chọn một điểm Mo nào đó làm mốc thi còng di chuyển một đơn vị diện tích (q = 1C) từ Mo đến mọi điểm M sẽ có giá trị xác định và chi tuỳ thuộc vị trí điểm Mo và M Ta định nghĩa gọi công dịch chuyển điện tích 1C từ M0 tới M là thế năng ứng với điểm M(x, y, z) thay đồi là: M cpE(x,y,z) = cp(M) = A|(q_1C)= :-J Ẽ d ĩ= |Ẽ d ĩ (3.33) Mo L Vậy hàm thế cpE(x,y,z) là một biến trạng thái của điện trường tĩnh về phương diện năng lượng. Neu điện tích là dq thì công: dA = 2 = - j Ẽ .d ĩ- - J Ẽ.dĩ Mo \ H / H , M, M, <=>UI2 = j Ẽ d ĩ + [ Ẽ d ĩ = [ Ẽ d ĩ (3 35) M , M „ M , Vậy điện áp U n bằng công dịch chuyển 1C điện tích từ Mi đến M2. c. B iếu diễn Ẽ qua Ọe M Từ biểu thức (3.33) ta có: cpK = — I Ê dĩ = -jẼ d T ta lấy đạo hàm riêng theo Mo L phương 1 ta được: dtpF = — E,.ổl => E, (3.36) 51 Trong đó: E| là thành phần cường độ Trường theo chiều dl suy ra: 60 Từ công thức (3.36) có thể tìm được các thành phần trực giao của vector E trong toạ độ Descartes có: E =ẽ„E . +ẽ,.E„ +ẽ,E„ = - « i T L- S y - ễ Ặ ỡx dy ởz(3.37) p = _ẺPg. F ■ p - % ỡx ; y _ ẻy z ổz Vậy: E = — Do đó (3.37) được viết thành: E = —Grad(pE = —V(pE (3.38) Tức là (3.38) nêu rõ cường độ điện trường ở mỗi điểm bằng vector tốc độ tăng nhanh nhất cùa hàm thế (grad ọ e ) lấy theo chiều ngược lại. Vậy điện trường tĩnh, thoả mãn RotẼ = 0 là một trường thế. Nó có thể mô tả bằng m ột biến trạng thái ỌE, gọi là hàm thế vô hướng, từ đó có thể xác định được Ẽ theo biểu thức (3.38). íL Phương trình Laplace - Poisson đoi với điện thế Trong trường tĩnh điện ta thường dùng hàm thế v ô hướng ỌE vi nó gọn và đơn giản hơn các phương trinh Maxwell viết cho Ẽ và D Đe dẫn ra phương trình đ ố i với gọi là từ thế vô hướng tương tự như q>E, nó nói lên Trường điện từ tĩnh có phân bố năng luợng từ trong không gian. Vì trong môi trường đồng nhất, tuyến tính và đẳng hướng, cũng có (1 = const nên phương trình Laplace - Poisson cho từ trường tĩnh có dạng: Acpm - 0 (3.45) 3.5. PHƯƠNG TRÌNH CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG - HÀM THÉ VỎ HƯỚNG VÀ HÀM THÉ VECTOR Truờng điện từ dừng là Trường gắn với phân bổ dòng dẫn J d không đổi theo thời gian (trường hợp riêng J d = 0 xẩy ra khi cho trường dừng tác động 62 vào tụ điện) Do đó phản bố trường Ẽ ,D ,R ,R ,j cũng không đổi theo thời gian ( — = 0), hệ phương trình Maxwell như sau: a RotH = Jj RotẼ = 0 DivB = 0 DivD = 0 (1) (2) (3) (4) (3.46) Với: B = n fì ; D =EẼ; Jd = yẼ Để thấy được điện truờng dừng tồn tại trong môi trường vật dẫn và khi đó dòng dẫn là liên tục được thể hiện qua biến J (1. Ta cần dẫn ra phương trình mô tả tính chất này bằng cách lấy phép tính Div hai vế phuơng trình RotH = Jd: DivRotíì = Div J d Mà theo tính chất toán giải tích vector ta luôn có DivRotÃ= 0 (với Ẫ là vector bất kỳ), nẻn suy ra: DivRotH= 0. Vậy từ phương trinh trên ta được phương trình (có thể được gọi là Maxwell 5): Div J d = 0 (3.47) Vậy ta có thể tách các phương trình trên thành hệ riêng đo điện trường Ẽ, D, J <1 Tức là điện trường dừng độc lập với từ trường dừng. 3.5.1. D iện trirrm g H ùng a. Hệ phương trình Maxwell RotE = 0 (2) DivD =0 (4) 3ỉ* II c(5) Với: D =SẼ ; Jd = yẼ. - Trong vật dẫn, bỏ qua hiện tượng phân cực: Y * 0 tức 8 = 0. - Trong điện môi, bỏ qua hiện tượng dẫn: E * 0 tức Y = 0 (3.48) 63 Ta có thể tách ra hai vùng: Vùng dẫn có phân bố dòng J(i, Ẽ và vùng điện môi có phân bố D , Ẽ . Các phương trình cho các vùng này là: -V ậtdẫn: RotẼ = 0 ; D ivJd = 0 ; J d=ỴẼ (3.49) -Điện môi: RotẼ = 0 ; D iv D = 0 ; D = e Ẽ (3.50) b. PhưtrtìỊỊ trình điện thế g>ic Từ phương trình RotẼ = 0, ta có thể đo điện trường dừng trong cả vùng dẫn và điện môi bằng một hàm thế vô hướng ỌE với quan hệ: Ẽ = -G rad cp E (3.51) Ý nghĩa về công và thế năng của Ọe giống trong trường tĩnh điện. Viết từ hệ phương trình Maxwell điện trường dừng qua hàm thế r2i = r2ir2i các vector chi phương. Từ Hình 4 1 ta thấy r12= r21 =M ,M 2, suy ra F |, F 2 bằng nhau nhưng ngược chiều và có tính chất đối xúng xuyên tâm. Từ luật Coulomb suy ra các hệ luận sau: + Hệ luận 1: Trong chân không, cường độ điện trường tại điểm M 2 ứng với một điện tích điểm q đặt đứng yên tại điểm Mị có giá trị: M, M2 q E = — 3— r° E > Hoặc tổng quát: (4.2) E (M,) + Hệ luận 2: Trong chân không và môi truờng tuyến tính thì cường độ điện trường tại một điểm M do n điện tích điểm qi, q2, ... q„ tác động bằng xếp chồng các cuờng độ điện trường do từng điện tích điểm gây ra: (4.3) Đối với trường phân bố điện tích khối có mật độ phân bố điện tích trên một đơn vị thể tích là p thỉ: Ịpdv (4.4) Với r ° là vector đơn vị chi phương cùa điểm M so với điểm đặt điện tích khối pdv. 74 + Hệ luận 3: Điện trường tĩnh có tính chất thế và có thể mô tả bởi phương trinh Maxwell 2, dạng Rot Ê = 0. 4.1.2. Luật Gauss a Phứt biểu I Thông lượng của vector cường độ điện trường E chảy trong một mặt kín s bất kỳ đặt trong môi trường chân không, bằng tổng các điện tích (tự do và ràng buộc) nằm trong mặt s đó chia cho So. (4.5) h. Phát biểu 2 Thông lượng cùa vector dịch chuyển điện D chảy trong một mặt kín s bất kỳ đặt trong môi trường chân không, bằng tổng các điện tích tự do qtd nằm trong mặt kín s đó: (4.6) s s V Dạng (4.6) hay dùng hơn (4.5) vì D liên hệ trực tiếp với các điện tích tự do nên dễ xác định hơn. Luật Gauss dạng tích phân tiện dùng khi trường đối xứng qua trục hoặc đối xứng xuyên tâm. Khi không có điều kiện này, ta dùng dạng vi phân, muốn vậy ta coi mặt s đủ nhò quanh điểm xét, khi đó từ (4.6) ta có: |)D d S = j p kidV = pulAV Chia hai vê cho AV; theo định nghĩa phép Div, có: (4.7) —X, p y Tuơng tự từ (4.5) ta rút ra: D ivE = - — So Biểu thức (4 7) chính là phương trình Maxwell 4 (4.8) 75 4.1.3. Luật bảo toàn điện tích Điện tích cùa một hệ cô lập luôn luôn được bảo toàn không đổi (Hệ cô lập là hệ không có trao đổi chất hay năng lượng với bên ngoài). Hệ luận: Nếu trong một hệ cò lập vốn không có Trường và điện tích, nay thành lập một điện trường thì tổng các điện tích cùa hệ phải triệt tiêu. Ví dụ: Khi đặt lên tụ một điện áp thì điện tích ở hai bản cực của tụ phải bằng nhau và trái dấu nhau. Cũng vậy nếu trong không gian xuất hiện một số điện tích đơn độc có điện luợng +q thì trong không gian (ke cả xa vô cùng) cũng phải xuất hiện điện tích - q. 4.2. MỘT SÓ HÌNH THÁI PHÂN BÓ ĐIỆN TÍCH CỦA ĐIỆN TRƯỜNG Phân bố Trường gắn liền với phân bố môi trường mang điện. Vi vậy để xét Truờng trước hết ta phải xét phân bố điện tích và các mô tả toán học cùa chúng. 4.2.1. Các hình thái phân bố điện tích thường gặp IL Phân bố điện tích khối Là dạng phân bố đơn giàn nhất trong không gian với mật độ khối p là hữu hạn p = ^ (4.9) dv Hiểu là mật độ trung bình hoá địa phương của điện tích các hạt coi là dàn đều và liên tục trong miền lân cận các hạt. Ví dụ phân bố điện tích trong các đèn điện tử... h. Phân hố điện tích mặt Trong Trường tĩnh điện, khi tích điện lên vật dẫn, điện tích sẽ phân bố trên lớp mặt ngoài, thường là rải ra trên mặt vật dẫn với mật độ mật hữu hạn. o - | (4.10) Nếu quan niệm điện tích này phân bố trên một lớp mỏng An (cỡ kích thước điện tử 10'15m) như Hình 4.2, với mật độ khối p nào đó, sao cho trong thể tích dày An, đáy s = 1 (túc AV = An. 1) chứa một lượng điện tích ơ tức: 76 An Hình 4.2: Phân bố điện lích mặt pAn. ] = ơ thì mật độ đó khá lớn, bằng: (ơ / An trong lop mong p |o ngoai lop mong (4.11) Lý tường hoá coi An —> dn, ta có khái niệm mật độ điện tích mặt ứng với khái niệm này ta có khái niệm phân bố điện tích khối tương ứng. Mật độ này có cỡ vô cùng lớn phân bố trong lớp vô cùng mỏng dn một cách nào đó sao cho tổng lượng lấy theo chiều pháp tuyến n, qui về một đơn vị mặt s = 1 (tức dv = dn. 1) vừa bằng ơ. Cách phân bố như vậy gọi là phân bố Dirac õ(n) với định nghĩa: Dùng ký hiệu phân bố Dirac õ(n) vào biểu thức cùa p ta có: p(n) = ơô(n); Với ị pdv= ị p(n). 1 .dn= Jơ.ỗ(n)dn = ơ (4.12) c. Phăn hố điện tích đường Trong thực te thường gặp các dây dẫn mang điện với mật độ điện tích lấy trên mỗi đơn vị dài là: dq dl(4.13) Xét một đoạn dây có tiết diện AS và có độ dài I = 1 như Hình 4.3: 77 1=1 Hình 4.3: Phân bố điện lích đường Nếu bán kính khá nhỏ, ta có phân bố điện tích khối tuơng đương p rất lớn trong lân cận một trục cỡ: Ít / AS trong tiet dien day p = -i ..... ; AS là tiêt diên dây [0 ngoai tiet dien day Cho AS —» dS thì: í° s * ° . r P