Als,... Akc,Aks...) = 0
Trong đó: ) là hệ số các điều hòa bậc k của hàm sinkcot; Q ( i \ CsAJS,...AkC,AkS...) là hệ số các điều hòa bậc k của
hàm coskcot. Giải hệ phuơng trình (10.13) ta tỉm được biên độ của các thành phần điều hòa.
ìSl. Các bước:
Từ những phân tích trên ta rút ra các bước để giải mạch bằng phương pháp cân bằng điều hòa nhu sau:
31
Chương 10: Mạch phi tuyến ớ chế độ xác lập
© Viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch theo các luật Kirhof, ữong đó đặc tính phi tuyến phải được thay bằng biểu thức giải tích gần đúng.
® Đặt nghiệm dưới dạng tổng các điều hòa với tần số khác nhau như biểu thức (10.12); thay vào hệ phương trình và áp dụng nguyên lý cân bằng điều hòa, ta thu được hệ phương trình đai sô có dạng (10.13).
@ Giải hệ phương trình đại số (10.13) để tìm biên độ các hàm điều hòa.
*■ Chú ý: Khi số hàm điều hòa trong biểu thức (10.13) chọn cáng nhiều thì kết quả càng chính xác, song việc tính toán càng phức tạp. Mật khác, ta thấy rằng các hàm điều hòa bậc càng cao có biên độ càng nhỏ. Vì vậy, trong tính toán gân đúng ta thường chi lây một vài điêu hoà kê từ điều hoà cơ bản đến điều hoà thứ k nào đó.
L
■a. Ví dụ: Cho mạch như hình 10.13. Biết: L = L 0,5(H); điện cảm phi tuyến có đặc tuyến Wb-A • -------- được biểu diễn gần đúng: ¥ = ai - bi3 = 2i - [ 0,5i3 trong đoạn có I = [-1 1] A; u = v(i)
v(i)
lOOsinlOOt (V). Tìm thành phần điều hoà cơ u(t) 'P
u(t)
bản của dòng điện. _______________ G iải Hình 10.13: Sơ đồ mạch Phương trình viết cho mạch:
T di dv|/ di dvị/ di _ T di , I 2 \ di _
L — + —-i- = L - —+ - r I- - ^ = L— a-3bi )— = u
dt dt dt ôi dt dt ' ' dt
Thay số liệu và biến đổi ta được:
0 ,5 i' + (2 - l ,5 i2) i ' = 2 .5 i' — 1,5 i2i' = 100 sin 1 OOt (1 0 .1 4 )
Đặt dòng điện dưới dạng: i(t) = Ilccosl00t + IisSĨnlOOt
Vi mạch thuân tuý điện cảm nên điều hòa bậc 1 của dòng điện và áp vuông pha nhau. Do đó Iis = 0, dòng điện trong mạch có dạng:
i(t) = IicCOslOOt = IMcosl00t (10.15) Thay (10.15) vào (10.14) ta được:
- 2 ,5 .1 0 0 IMsin lo o t + 1,5.1 O O .I^cos21 OOt. sin 1 OOt = 1 OOsin 1 OOt -2 5 0 Im sinlOOt + 1501^ (1 — sin2100t).sinl00t = lOOsinlOOt
- 2 5 0 I m sinlO O t + 1501^ sin lOOt - 1 5 0 1 ^ sin 3 lOOt = 100 sin 100: 32
Chương JO: Mạch phi tuyến ớ chế độ xác lập
-250Im sin 1 OOt +1501^ sin lOOt -1501^ sm loot - - sm 300t j = 1 OOsm 1 OOt -250Im sin 1 OOt + 3 7,51^ sin 1 OOt + 3 7,51^ sm 300t = 100 sin 1 OOt
Cân bằng hệ số của hàm sinlOOt ta được phương trinh:
37,51*. - 250Im - 1 0 0 = 0
Giãi phương trình ta được các nghiệm:
I® =-0,92; I $ = - 2 ; 1®=-:2,92;
Theo bài ra:
I = [-1 1], do đó lấy IM =-0,92 (A)
Vậy dòng điện trong mạch là: i(t) » -0,92cosl00t (A)
10.2.4. Phương pháp tuyến tính hóa qui ước
Phương pháp tuyến tính hóa qui ước còn có các tên gọi khác như: Phương pháp quán tính hóa; phương pháp tuyến tính đối với giá trị tức thời; phương pháp điều hòa tương đương.
Ta đã biết rằng, trên phần tử có quán tính, quan hệ giữa 2 trị hiệu dụng của kích thích và đáp ứng là phi tuyến còn quan hệ giữa 2 trị tức thời của chúng là tuyến tính. Do đó nếu có kích thích là hinh sin thì đáp ứng cũng là hàm hình sin cùng tân số với kích thích. Với mạch điện có kích thích và đáp ứng đều là những hàm hình sin có cùng tần số thỉ có thể dùng phương pháp số phức để giải.
Nội dung của phương pháp tuyển tính hóa qui ước là coi các phần tử trong mạch đều có quán tính và dùng phương pháp sổ phức để giải mạch.
Làm như vậy, ta đã chuyển việc giải hệ phương trinh vi phân phi tuyên sang giải hệ phương trình đại sô phi tuyên đôi với ảnh phức.
♦ Trình tự tính toán:
© Lập hệ phương trình vi phân mô tả mạch theo các luật Kirhof, ta được hệ phương trình vi phân phi tuyến.
® Chuyển hệ phương trình sang biểu diễn dưới dạng số phức ta được hệ phương đại số phi tuyến.
© Giải hệ phương trình đại số phi tuyến bằng các phương pháp đã trinh bày ở mục 10.1. Thông thường ta sử dụng phương pháp dò.
Chương 10: Mạch phi tuyến ơ chế độ xác lập
Ví dụ: Cho mạch điện như hinh 10.14a. Biết: R = 50(fì); điện cảm phi tuyen có quan hệ giữa các trị hiệu dụng là: Ỹ(I) = 21 - 0,5I3; điện áp đặt vào mạch: u(t) = 150^cos(100t+30°). Tinh dòng điện trong mạch.
Giải
Phương trình viết cho mạch là:
R] + ^ - = u
dt
Chuyển sang biểu diễn dưới dạng số phức ta có: Ri + j<0Ỷ = ỪR + Ũ L = Ũ
R
Ỹ(I) lJ ù
. u(t) ' Ị
a) b)
Hình 10.14 a,b: Sơ đồ mạch và đồ thị véc tơ điện áp
(10.16) (10.17)
Biêu thức (10.17) là phương trình đại sô phi tuyến đối với ảnh phức của dòng điện, từ thông và điện áp, ta sẽ giải chúng bằng phương pháp dò, tiến trình tính dò như sau:
Giả thiết trị hiệu dụng dòng điện I(1)= 1(A); trị hiệu dụng của điện áp trên điện trờ là: U r(1) = RI(I) = 50.1 = 50(V); trị hiệu dụng của điện áp trên điện cảm là: UL(1) = ca'F(1) = 100(2.1(1) - 0,5I3(1)) = 150(V)' trị hiệu dụng của điện áp toàn mạch là:
U (I) = ^ / u (1)2+ u ' ,)2 = n/5 0 2 + 1502 = 158,1159 (V)
Giá trị được áp tinh được lớn hơn điện áp đã cho là 150V do đó ta chọn lại giá trị dòng I(2^ = 0,9(A). Kết quả tính toán được liệt kẽ trong bảng 10.3.
Góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện là: cp =arctg— . U r
34
Chưcmg 10: Mạch phi tuyến ở chế độ xác lập
Chú ý rằng góc lệch pha này chỉ cần tính ờ bước cuối củng (khi ta đã có trị hiệu dụng của điện áp tính được xấp xì bằng trị hiệu dụng của điện áp đã cho là 150V).
Bang 10.3: Kết quá tính toán các bước dò
n I U r = R . I UL= ©(2I-0.5I3)U , (p=arctg-Tk
u ự u = + u £
R
1 1 50 150 158.1139
2 0.9 45 143.55 150.438 ___ 3 0.896 44.8 143.2338 150.0766 72.64531367 Từ kết quả ở bảng 10.3 ta có trị hiệu dụng và góc pha của dòng điện trong mạch là: I = 0,896(A); V|/i = \ị/u - c
Thành phần xoay chiều của dòng điện các nhánh là:
Ẻ
IlR R + (Zl //Z c ) 20Z30
= 0(A)
= 0,4Z-60°(A)
z,
J50
20Z30° -J50
= 0,4Z120°(A)
37
Chương 10: Mạch phi tuyến ớ chế độ xác lập
10.3 Sơ ĐỔ THAY THẾ TRANSISTOR ĐỐI VỚI TÍN HIỆU BIẾN THIÊN NHÒ, TẦN s ố THẤP
Xét Transistor loại pnp, ta có thể coi nó như mạng 2 cửa3 có thông số trạng thái ờ các cửa là (Hình 10.17):
U ll = U i + Ui = Ì2 l)
U2X = Ư2 + U2 = £2(121, Í2 l)
IX = I I + i ú Ỉ 2X = I 2 + Í 2
*1X
u „ Q 5 U 2V ib
B
Hĩnh 10.17: Transistor pnp
Khai triển Taylo UIY và U2^ ở lân cận điểm làm việc ứng với thành phần 1 chiều (lân cận điểm có I], I2) ta được:
u ,v = u , + u , = u , + ^ l s - ( I „ I j ) d i lz + ^ - ( I , J j ) d i : I
(10.19)
UJS = u 2 + u 2 = u 2 + ^ ( I I:I2)d i1I + ^ ( I , J 2)d i: I
^21
Vì thành phần biến thiên có giá trị nhò nên ta coi gần đúng: d i I X ~ i i ; d i 2 1 * i 2
Từ hệ hệ phương trinh (10.14) ta rút ra thành phần biến thiên của các điện áp là:
COIjy , . . C’UjE / Ỵ Ỵ \.
ƠIjy ^21
c u 2 y /T Ỵ Ỡ L Ỉ2 v / t t V u2 “ ~ ( 1: 2 )11 + T ( ^ ^ 2)^2
(10.15)
Với những giá trị I], I2 nhất định, khi ii, ' \ Ị là những lượng biến thiên nhỏ, các đạo hàm riêng sẽ là những hằng số tuỳ thuộc các giá tri một chiêu li, I2 và có thứ nguyên điện trờ, ta ký hiệu:
Ơ1,V n 2S
ã 2T
3 Xem chương 12.
38
Chương 10: Mạch phi tuyến ở chế độ xác lập
Ta có hệ phương trinh: ( 10.20)
R b
Ỵ u^R qi, 2
Hình 10.18: S ơ đồ thay thể
Tranĩistor nối cực gốc chung
Do tính phi tuyến, đặc biệt do tính dẫn điện một chiều của Transistor nên các điện trờ tương hỗ Ri2, R-21 không bằng nhau, thuờng R.21 » Ri2 .
Đặt Ro; = R.21 - Ri2
Hoặc R-21 = Ri2 + R v(t) = 0,685sin(100t- 75,57°)+ Ae'25’8'
Với sơ kiện: v|/(0) = 0 = 0.685 sin(- 83,5 0 ) + A
Ta tính được: A = 0,663. Vậy từ thông quá độ là:
v (t)= 0,685sin(100t- 75,57°)+ 0,663e258t
Từ giá trị Vị/(t) ứng với mỗi thời điểm t, dựa vào quan hệ Vị/(i) ta tìm được i(t). Các đường cong đáp ứng được chỉ ra trên hình 11.5.
11.3. PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN
Phương pháp nhiễu loạn là một phương pháp gần đúng chung cho phần lớn các bài toán mạch phi tuyến nhất là khi mức độ phi tuyến yếu. Phương trình mạch phi tuyến có thề viết dưới dạng:
f (x ,x ,x ...t) = ncp(x,x,x...) (11.4)
Trong đó, vế ừái là các số hạng tuyến tính (tóc là những số hạng bậc nhất đối với ẩn và các đạo hàm của nó) kể cả nguồn ngoài, vế phải là các số hạng phi tuyến, |i là một hằng số (khác không) tùy ý.
■&. Ví dụ: Đối với mạch cuộn dây lõi thép (Hình 11.3) có đặc tính phi tuyến Vịf(i) = ai - bi3, ta có phương trình:
e = uR +UL =Ri + ^ p = Ri + ^ " í - = Ri + (a-3bi2)i'
dt ôi dt v ’
Chương 11: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
Sau khi biến đổi ta được:
ai' + Ri - e = 3bi^i' = |JÌ^i' (n = 3b)
= n b i2i' (n = 3)...
Khi ịi = 0 ta sẽ có phương trình vi phân tuyến tính suy biến: f(x ,x ,x ...t) = 0 (11.5)
Phương trình này có nghiệm Xo(t) thỏa mãn sơ kiện bài toán.
Khi |i * 0 phương trình (11.4) sẽ có nghiêm x(t) nào đó khác với Xo(t). Đối với nhiều bài toán mạch sự sai khác giữa Xo và x(t) nhiêu hay ít tuỳ thuộc một cách liên tục vào hệ số ụ.. Từ đó suy ra nghiêm cân tìm phải có một quan hệ giải tích nào đó đối với |i.
Tức là: X = x(t,n) sao cho khi |i = 0 ta có X = Xo chính là nghiệm thoả mãn sơ kiện của bài toán tuyến tính suy biên (11.5). Khai triên nghiệm x(t,ịi) theo thông số n như sau:
a. 2 ^2
\ / \ CTí Ll c X /1 1
X = x(t-fi) = x0(t) + n-^— + ^ (11.6) ôn 2! ,5 ^
Trong đó, các đạo hàm riêng là một hàm nào đó của biến t, ký hiệu c h ú n g là X ](t), X 2(t)... v à g ọ i c h ú n g là n h ữ n g h à m h iệ u c h ìn h (vcn ý n gh ĩa h iệu ch ìn h để n g h iệm Xo(t) gần lại vớ i n g h iệm đ ú n g x(t)).
Kết quả có khai triển của nghiệm x(t) như sau:
x(t) = x0(t) + (iXi(t) + |i2x2(t) + .... (11.7)
Trong đó Xo(t) là nghiêm của phương trình tuyến tính suy biến thoà m ãn sơ k iện của bài toán , Xo (t) đ ư ợ c tín h b ằ n g các p h ư ơ n g p h á p đ ã nêu trong phần quá độ mạch tuyến tính4. Nếu ta tim được các hàm hiệu chỉnh thì nghiêm của bài toán hoàn toàn xác định. Đẻ tìm các hàm hiệu chinh, thay (11.7) vào (11.4) và cân bằng hệ số của các lũy thừa cùng bậc đối với n, ta sẽ rút ra hệ phương trình cho phép tìm các hàm hiệu chinh. Từ đó ta rút ra nội dung phương pháp gồm các bước sau:
^ Các bước tính:
4 Xem thêm chương 7
52
Chương 11: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
© Viết phương trình vi phân mô tả mạch sau tác động đóng mờ, chuyển phương trình về dạng (11.4);
® Giải phương trình vi phân tuyến tính suy biến, cho thỏa mãn sơ kiện củ a b ài to á n đ ể tìm n g h iê m Xo(t);
® Đật nghiệm dưới dạng (11.7), thay vào phương trinh mạch và cân bằng hệ số của các lũy thừa cùng bậc đối với |I, ta rút ra hệ phương trình vi phân cho phép tìm các hàm hiệu chinh;
0 Giải hệ phương trinh vi phân để tìm các hàm hiệu chinh. *■ Nhận xét:
- Khi số hàm hiệu chinh chọn càng nhiều thì kết quả càng chính xác, song việc tính toán phức tạp. Vì vậy, trong thực tế tính gần đúng, ta thường chi làm với một, vài hàm hiệu chinh.
- Trong nghiệm (11.7) do Xo(t) đã thỏa mãn sơ kiện của bài toán nên các hàm hiệu chinh chi cần thòa mãn sơ kiện không.
■S. Ví dụ: Giải bài toán trong ví dụ 1 ờ mục trên trên bằng phương pháp loạn với với một hàm hiệu chình. Biết: Vị/ = ai - bi3 = 2i - 0,5i3
Giải:
2 2 Phương trình viêt cho mạch là: ai’ + R i-e = 3bi i' = |ii i' (n = 3b) Phương trình tuyến tính suy biến là:
ai’o + Rio - e = 0
2i’o + 50 io - 25 = 0
Với sơ kiện i(0) = 0 ta tìm được nghiệm:
io = 0,5 (1 - e‘25t) = Io(l - e'at). Trong đó lo = 0,5; I, hệ số - n (1-x2) dương khiến biên độ dao động nhỏ dần lại. Kết quả trong mạch sẽ hình thành tự dao động xác lập.
II.5.2. Phương pháp biên, pha biến thiên chậm
Có thể giải phương trình Vanderpol bằng các phương pháp khác nhau như: phương pháp sai phân, phương pháp nhiễu loạn... Song do tính tự kích dần dao động nên rất tiện giải bằng phương pháp biên - pha nhưng chậm, do Vanderpol đề xuất (vào năm 1927).
Nghiệm của phương trình có tính dao động, song vì là dao động phi tuyên nên có dạng khác hình sin. Vê toán học, có thể mô tã những dao động không sin tự kích băng những hàm điêu hoà có biên độ và góc pha biến thiên.
x(t) = A(t) cos[Wot + 0(t)] (11.18a) Hoặc: x(t) = B(t) sincoot + C(t) Cùot (11.18b)
58
Chương 11: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
Khi dao động điều hoà các hàm A, 0 , B, c là hằng số, trường hợp gần điều hoà chúng biến thiên đủ chậm. Nghĩa là các tốc độ tăng
đủ nhỏ. Ta sẽ sử dụng
(11.18a) để dẫn ra phương pháp tính.
Giả thiết rằng nghiệm x(t) chuyển biến dần từ nghiêm dao động điều hòa của phương trình tuyến tính suy biến:
x0(t) = AoCOs((Dot +0o) (1119)
Ta sẽ tỉm nghiệm của phương trình dao động phi tuyến dưới dạng:
I của phương trình dao động phi tuy<
0 1 r t
c(t) =
A0 +jẢ (t)dt COS (3ot + 0o + Ịé(t)dt
0 J L 0( 11.20)
Trong đó Ao và 00 được xác định từ sơ kiện của bài toán, vấn đề đặt ra là cần xác định tốc độ biến thiên của biên độ và góc pha (Ả, 0). Muốn vậy ta đặt nghiệm (11.18a) dưới dạng:
x(t) = Acos\ị/ (11.21)
Với: A = A(t) và \ụ = \ị/(t) = (Dot + 0(t)
Lấy đạo hàm x(t) và giả thiết bò qua số hạng nhỏ, ta được: x ( t ) = Ácos\Ị/-Asinv|/.\ị/ = Á cos\(/-A (cí>0 + ồ)sin \ị/ *-C D 0A sm vf/
x (t)« -co 0Asin\)/ (11.22)
Đạo hàm cấp 2 của x(t) là:
x ( t ) = Ăcos\ị/-Á(a>0 + 8 )s m \ị/-c o 0Á sm \ịí-a> 0A (® 0 + 0 ) c o s \|/- -(Ả 0 + A ỗ jsin \)/-A 0 (cdo +Ồ)cosvị/
Bỏ qua những số hạng nhỏ (bao gồm gia tốc và lũy thừa của tốc độ ta được:
x (t) e -2ffi>0Ásin\ị/ - cDjAcosv)/ - 2cũ0Aỏcos\ị/ (11.23) Thay (11.21), (11.22), (11.23) vào phương trình (11.15) ta có:
-2ca0Ảsin\ị/ - coồ Acosx)/ - 2ffloA0cos\(/ + lùị Acosy = (x. x)
= nf ( Acos\|/.-ffl0 A sin \ị/)
59
Chương 11: Quá trình quá độ trong mach phì tuyến___________________
- 2o 0Ảsin\|/-2r>«e
• Ị5- Com m only Used Blocks
- ±fc! Continuous
ifc Discontinuities
- 2k Discrete
Ò-. Logic end Bit Operations
- Lookup T ab le
- M ath Operations
±K Model Verification
Ò - Model-Wide utilities =
■ Ports & Subtyĩtem s
- Signal Attributes
Signal Routing
& Sinks
- Sources
User-Defined functions
: iw Additional Math 6i Discrete
I' A erospace Blockset
fc CDMA Reference Blockset — t C om m unications Blocksel
Control System Toolbox
ạ f
Commonry UaeC Btocta
Dweontmute*
Decrete
Log*: and Bit
Operations
Lookuc Tat»e*
Math Operations
Mooei Verification Model-Wiòe UtttiM Ports t Subsystems
tuyến tính và phi tuyến với độ phúc tạp tùy ý, với điều kiện có thể mô tả được bằng hệ
9» Bầ B' S - B ffi mrn-ms »
Embedded T arget for Infineon Q | Embedded Terget for Motorola® Embedded Target for M otorola'S Embedded Target for OSEK/VDXt Embedded Target for 71 C2000 DS Embedded Target for TI C6000 D5 Fuzzy Logic Toolbo*
s = ■ V * /
s«gn»: A ttràut« Routing
phương trình.
Để giải bài toán mạch bằng phương pháp mô phỏng,
s ft ffi-Ww8
Gauges Blockset
Im age Acquisition Blocioet Instrum ent Control Blockset
>?v
Saws
U*e»-Dc4in«
STT Ký hiệu khối Nguồn Chức năng
Tín hiệu ờ đầu ra khối bằng đạo
1
hàm tín hiệu vào
Tín hiệu ở đầu ra khối bằng tích
2
phân tín hiệu vào
Tín hiệu ra bằng tổng hoặc hiệu
các tín hiệu vào. Muốn có nhiều
3
đầu vào, ta kích đúp phím ữái
chuột vào khối và thiết lập dấu
(+) hoặc dấu (-)
Tín hiệu ra bằng tích hoặc
4
thương các tín hiệu vào. muốn
62
Derivative
1
> S > Integrator
> - >- > Add
> X N i > Divide
Math
Operations
Math
Operations
Math
Operations
Math
Operations
Chương 11: Quá trình quá độ ừ ong mạch phi tuyến
STT Ký hiệu khối Nguồn Chức năng có nhiêu đâu vào, ta kích đúp
phím trái chuột vào khối và thiết
lập dấu (*) hoặc dấu (ỉ)
5
> eu >
Math
Function
Math
Operations Tạo hàm số mũ
Tín hiệu đầu ra là hàm số (do
6
> f(u) > Fcn1
> Ị > >
User
Difined Functions
người dùng định nghĩa) của các tín hiệu vào. Đe có nhiều tín hiệu vào ta cần đưa thêm vào sơ đồ khối dồn kênh (MUX)
Tín hiệu ra tì lệ với tín hiệu vào
GainMath
7
Operations
1 >
8
Constant Sources
qua hệ số k (do người sử dụng chọn)
Khối này cho đầu ra một hằng số tùy ý
Đầu ra là một hàm bậc nhất có
9y >
Ramp Sources
O C ~ >
độ dốc tùy chọn
Máy phát tín hiệu, có thể phát ra
10
Signal
Generator
Sources
tín hiệu hình sin, răng cưa, tam giác,...
11
>
Pulse
Generator
SourcesMáy phát xung
12 Clock Sources Phát xung nhịp đồng hồ 13 fSignal
Routing Khối dồn kênh
63
Chương 11: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
STT Ký hiệu khối Nguồn Chức nâng
14 \Signal
Routing Khối phân kênh
0.00
15 Sinks Khối hiển thị số, có chức nâng
Display
như một đồng hồ vạn năng số
16 XY Graph Sinks Khối vẽ đồ thị
17
Scope
simout
Sinks Máy hiện sóng, có chức năng như một máy hiện sóng nhiều tia
Ket quả mô phỏng được cất vào
19
To W orkspace
Sinks
vùng làm việc phục vụ cho việc vẽ đồ thị và các hoạt động khác
Ts. Ví dụ 1: Dùng phương pháp mô phòng để giải phương trình Valdecpol, sau đó khảo sát nghiêm khi hệ số của số hạng phi tuyến thay
đổi: X + 1 0 0 x - ụ .( l - x 2)x = 0
Gain2
Hình 11.10: Sơ đồ mó phỏng trên Matlab-Simulink
64
Chương 11: Ouá trình quá độ trong mạch phi tuyến
Giải:
Từ phương trình ta có: X = -lO O x + ụ.x - JJ.X2X = 0 (11.26)
Mô hình mô phỏng như hình 11.10. Sau khi chạy mô phỏng với các hệ số của số hạng khác nhau ta thu đuợc các nghiêm như hình 11.11.
3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- d a ta l
Thoi gian
Hình 11.11: Các đường cong nghiệm khi ịx íhav đỗi
"a. Ví dụ 2: Lập phuơng trình và mô phông điện áp quá độ U3( t ) ứong mạch điện hình 11.12. Biết mạch gồm 2 bộ khuếch đại thuật toán lắp thành 2 tầng: Tầng 1 là bộ tích phân, tầng 2 là bộ tỉ lệ.
Tín hiệu vào tầng 1 gồm 2 thành phần ngược chiều nhau: U] và a u 3 .
_ Ị , 1 fU, - au , Điện áp ra tâng 1 là: u 2 = — I —--------
C J0 Rũ
Chương 11: Quớ Ưình quá độ trong mạch phi tuyến
rv- ■ or- _ R 2 „ ru, -au, Điện áp ra tâng 2 là: u3 = —- u 2 = — — I —--------
R, CRj ị R 0
T i , , , * ~ í i __ R , u, - a u , Lây tích phân 2 vê ta được: Uj = — 1--------
CR, R 0
Sau khi biến đổi và thay số ta được: CR,R0U3 = R ; (Uj - a u 3) 10^.100.150U3 = 3 0 0 u , - 1 5 0 u 3 = l,5 u j
u3 = 200u, -100u3 (11.27)
Sơ đồ mô phỏng cho phương trình (11.27) được biểu diễn tên hình 11.13. Sau khi chạy mô phòng ta thu được điện áp ra biêu diên trên hình 11.14.
Hình 11.13: Sơ đồ mô phỏng
u
1
-0 .5
0 1 2 3 4
Hình 11.14: Đường cong quá độ
CÂU HÒI ÔN TẬP CHƯƠNG 11
1) Nội dung phuơng pháp tuyến tính hóa đối vói lượng nhò phi tuyến, cho ví dụ minh họa.
2) Nội dung phương pháp nhiễu loạn, cho ví dụ minh họa. 3) Nội dung phương pháp sai phân, cho ví dụ minh họa. 4) Nội dung phương pháp biên độ và góc pha biến thiên chậm, cho ví dụ minh họa.
5) Nội dung phương pháp mô hình, cho ví dụ minh họa. 6) So sánh các phương pháp tính quá trình quá độ mạch phi tuvến trinh bày trong chương.
Chương 12: M ạng bốn cực tưcmg hỗ
Chương 12
MẠNG BỐN c ự c TƯƠNG HỎ
12.1. KHÁI N Ệ M CHUNG VỀ MẠNG BỐN c ự c
1 2 . 1 . 1 . Định nghĩa m ạng bốn c ự c
Trong thực tế thường gặp những thiết bị điện hoặc động lực làm nhiệm vụ truyền đạt và biến đổi năng lượng, động lượng hoặc tín hiệu từ một cửa ngõ sang cửa ngõ khác. Ví dụ một đường dây truyền tải điện nãng, đường dây truyên tín hiệu, máy biên áp, bộ khuêch đại, Các hệ thống đo lường điều khiển thường gồm một số khối ghép lại, mỗi khối thường có hai cửa thực hiện một phép (toán tử) tác động lẽn tín hiệu vào để cho một tín hiệu khác ở cửa ra, v.v... Những thiết bị ấy có cấu trúc bên trong rất khác nhau, nhưng điều ta quan tâm chung là các thông số trạng thái ở 2 cửa và mối quan hệ giữa các thông số đó. Để mô tả những quan hệ ấy ta đưa ra khái niệm, mạng bốn cực hay mạng hai cửa.
M ạ n g bon c ự c là m ộ t k ế t c ấ u s ơ đ ồ m ạ c h c ó h a i c ử a n g õ d ù n g đ ể t r u y ề n đ ạ t h o ặ c t r a o đ ổ i n ă n g lư ợ n g , đ ộ n g lư ợ n g h o ặ c t ín h iệ u đ iệ n từ v ó i c á c m ạ c h k h á c .
Ký hiệu mạng bốn cực như hình 12.1. Các quá trình năng lượng trên các cửa được đo bởi các cặp biến trạng thái Ui, iX, U2 Ỉ2 .
Mạng bốn cực thường được dùng để truyền đạt năng lượng hay tín hiệu từ cửa 1 sang của 2 nên ta qui ước chọn chiều dòng và áp các cửa như hình 12.1 cửa 1 nối với nguồn gọi là cửa vào, cửa
ll 12 | u , u2 ]
2 nối vói tải goi là cửa ra. TT> , . . . _ __ , I ° Hình 12.1: Ký hiệu mạng bôn 1 2 . 1 . 2 . P h â n l o ạ i m ạ n g b ố n c ự c
Mạng bốn cực được phân loại theo các quan điểm sau:
+ T h e o t í n h c h ấ t c á c p h ầ n t ử c ấ u t h à n h m ạ n g b ố n c ự c ta phân mạng bốn cực thành bốn cực tuyến tính và bốn cực phi tuyến:
o Mạng bốn cực tuyến tính là mạng bốn cực chi chứa các phần tử tuyến tính.
o Mạng bốn cực phi tuyến có chứa ít nhất một phần tử phi tuyến. 67
Chương 12: Mạng bốn cực tương hổ
+ Theo quan điểm năng lượng ta phản mạng bốn cực thành bốn cực có nguồn và bốn cực không nguôn:
o Mạng bốn cực có nguồn (tích cục): là mạng bôn cực có chứa phần từ tích cực (phần tử tích cực là phần tử thường đòi hòi nguồn nuôi) và có khả năng đưa năng lượng ra ngoài.
o Mạng bốn cực không nguồn (thụ động): là mạng bốn cực không có khả nâng đua năng lượng ra ngoài. (Chúý răng bén ữong mạng bốn cực không nguồn vẫn có thê tôn tại nguôn, nhưng nguồn đó không có khá năng đưa năng lượng ra ngoài).
+ Theo tính chất truyền đạt tín hiệu giữa các cửa ta phân ra mạng bốn cực tuơng hỗ và bốn cực không tương hỗ:
o Mạng bốn cực tương hỗ nếu nó chi chứa các phân từ tuơng hỗ. Thông thường mạng bốn cực tương hỗ là mạng bốn cực tuyến tính không nguồn.
o Mạng bốn cực không tương hỗ nếu trong mạng có chứa phần tử không tương hỗ, thường là các phần từ phi tuyến hoặc các nguồn phụ thuộc.
Trong chương này ta chi nghiên cứu mạng bốn cực tương hỗ (hay còn gọi là bốn cực tuyến tinh không nguồn.
12.2. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI DẠNG A CỦA 4 c ự c 12.2.1. Phương trình
ở chế độ xác lập điều hoà, ta có thể biểu diễn các trạng thái trên hai cừa của mạng bốn cực bằng số phức5: Ủ 1,Ì 1,Ủ 2 ,Ì 2- Nếu coi bài toán mạng bốn cực tuyến tính là bài toán một hệ thống có hai phần tử biến động đật ỡ hai cửa thi theo tính chất tuyến tính ta viết được biểu thức quan hệ tuyến tính của mỗi biến với hai biến tuỳ chọn khác, ứng với mỗi cặp quan hệ đó ta có hệ phương trình trạng thái tương ứng.
Hệ phương trình trạng thái dạng A biểu diễn quan hệ của các biến Ủ],ỈJ ờ cửa 1 theo cặp biến ủ 2, i 2 à cừa hai.
5 Trường hợp chung, ta ký hiệu trạng thái các cứa là U i.il, U;, I; gọi là các toán tư tồng q u át hiêu theo nghĩa chứng có thê là túi hiệu một chiêu, ánh phức của tm hiệu xoay chiêu . ành Laplace hoặc ánh Furie.
68
Chưcmg 12: M ạng bốn cực tưcmg hỗ
lu, - A nU2+A12I2+A13
Ị ij = a 21u 2 + A 22I2 + A 23
Trong đó Aik là các hệ số phức, chúng chi phụ thuộc vào thông số của các phần tò bên trong mạng và kết cấu (cách ghép nối) của chúng mà không phụ thuộc tín hiệu ờ các cửa. Do đó, chúng là những thông số đặc trưng của mạng bốn cực.
Đối với mạng bốn cực tuyến tính không nguồn các hệ số A 13 = A23 =
0 vì khi ngắn mạch các cửa U i = Ư 2 = 0. Ta cỏ li = I2 = 0. Vậy hệ phương trình ơạng thái dạng A của mạng bốn cực tuyến tính không nguồn có dạng.
| Ủ J - A uủ 2 + A n i 2
[lj — A 21ư 2 + A 22I2
Viết dưới dạng ma trận, ta có:
(12.la)
u ,
‘ủ ,
t= [A]ỉ,
Trong đó: 'Ũ ,' u /
>
_ ỉ2 _
là ma trận cột, [A] là ma trận vuông
[A] = A n A 12
A 2j ả 22( 12.2)
12.2.2. Ý nghĩa các thông số Aik
Các thông số Aik đặc trưng cho sự truyền đạt của bốn cực, khi biết
chúng ta có thê tim được hai trong bôn đại lượng U i , u 2 , l i , Ỉ2 theo hai đại luợng còn lại. Hai mạng bốn cực có cấu trúc hoàn toàn khác nhau, nhưng nếu chúng có các thông số Aik tương ứng bằng nhau thì chúng tương đương nhau về mặt truyền đạt nâng lượng và tín hiệu.
Các thông số Aik phụ thuộc vào kết cấu của bốn cực, chúng là những hàm phức của tần số.
Để thấy rõ ý nghĩa định lượng và thứ nguyên của Aik ta xét một số chế độ đặc biệt sau:
+ Hở mạch cửa 2 (I2 = 0) phương trình dạng A có dạng: 69
Chưcmg 12: Mạng bốn cực tương hỗ
Ũ, = A Ã =* An 3
I, - a 21u 2ũ,
(12.3) (12.4)
Ta thấy An không có thứ nguyên, nó đặc trưng cho khả năng truyền đạt tín hiệu điện áp từ cửa 1 đến cửa 2 khi cửa 2 hờ; A21 có thứ nguyên của tổng dẫn (đơn vị là S), nó đặc trưng cho phản ứng điện áp ờ cừa 2 khi kích thích là nguồn dòng ờ cửa 1 khi cửa 2 hở.
+ Ngắn mạch cửa 2 (Ư 2 = 0), ta có:
Ũ, Ũ, =AUÍĨ => Aj2 =-t-l (12.5)
ỉ, = A :2ủ 2 ( 12.6)
ỬJ=0
A)2 có thứ nguyên của tổng trờ (đơn vị là Q), nó đặc trưng cho phản ứng dòng điện ờ cừa hai với kich thích điện áp ờ cửa 1 khi cửa hai ngắn mạch; A22 không có thứ nguyên nó đặc trưng cho khả năng truyền đạt tín hiệu dòng điện từ cửa 1 đến cửa 2 khi cửa 2 ngắn mạch.
về ý nghĩa ứng dụng, ma trận [a] được sử dụng tiện lợi đối với các mạng bốn cực nối xâu chuỗi (chúng ta sẽ khảo sát chi tiết trong mục ghép nối các mạng bốn cực).
12.2.3. Tính chất ma trận [A]
Định thức ma trận [A] của mạng bốn cực tuyến tính không nguồn luôn luôn bằng 1
A — A11A22 - A 12 A21 — 1 (12.7)
Thật vậy, xét mạng- bốn cực tuyến tính không nguồn giả thiết đặt điện áp ủ ở cửa 1 và cửa 2 đuợc nối ngắn mạch (hình 12.2a), ta có:
Ú = Ai2 Ỉ2ng hoặc ỉ 2ngứ
a 12( 12.8)
70
Chương 12: M ạng bốn cực tương h ễ
^lng Tuvên tính
không
^2ng lng
Tuyên
ánh không
, ủ nguồn Ũ nguồn
a) b)
Hình 12.2a,b: Bốn cực tuyến tính không nguồn
Bây giờ chuyển nguồn áp u sang cửa 2 và giả thiết ngắn mạch cửa 1 (hình 12.2b), từ phương trình trạng thái dạng A ta có:
(12.9)
Theo tính chất tương hỗ, với mạch điện hình 12.2 có:
= hay - ị L = - ( A 21- U ^ ) ủ
A jj A j2
Từ đó rút ra biểu thức (12.7): A 11A22 - A 12A21 = 1 (đpcm).
Từ tính chất của ma trận [A] ta thấy rằng, trong bộ các thông số A* chì có 3 thông số là độc lập.
12.2.4. Cách xác định ma trận [A]: Có 2 cách xác định [A]
a. Cách 2: Từ sơ đồ mạch, viết quan hệ u 1, I] theo u 2, I2 sau đó dựa vào phương trình chính tắc để rút ra các Afc.
ìa. Ví dụ: Tính ma trận A của mạng bốn cực hình T (hình 12.3).
Giải:
ỉ, zd] Zd2 I,. ■ »
V
ú. z„ ủ . Hình 12.3: Bốn cực hình T
Gọi các tổng trờ dọc và tổng trù ngang của mạng là Zdi, zđ2, zn. Từ sơ đồ hình 12.3 ta có: Ỉ 1 = h + I3
71
Chương 12: M ạng bốn cực tương hỗ
T A- i - ũ2+i,zdl Trong đó: ]3 = - _ - 01
Zn
: ủ + ỉ z Vậy: ii = Ỉ2 U2 _ 2 d2
n
il = J - Ù 2 + ( l + ^ ) Ỉ 2 ( 12.10)
Viết phương trình Kirhof 2 cho vòng như hình 12.3, ta có: ỦI = Zdi Ỉ2 + Zd2 í 2 + Ủ2 thay i, từ biểu thức (12.10) vào phương trinh, ta được:
Ú! = (l + Ặ L ) Ủ2 + (Zdi + Zd2+ ^ 1 ) Ỉ 2 (12.11)
So sánh (12.10), (12.11) với hệ phương trình chinh tắc dạng A (12.la), ta rút ra các thông số của ma trận [A]
[A] =
l + ĨẼẩL 1
Z đl + Z d2 + 1 + ^
z, zdl d2
(12.12)
D n
ỉ>. Cách 2: Dựa vào các chế độ đặc biệt của mạng như neắn mạch, hờ mạch ờ cửa 2 để tìm các thông số của [A].
A„ Ạủ . u.
An —u, A 22=-
(12.13)
- I2=u * Lj=u
ìs, Ví dụ: Tính Ajk của bốn cực hinh n (hinh 12.4). Gọi tổng trờ dọc và ngang của mạng là Zd, z ni, z n2, ta thấy: + Khi hờ mạch cừa 2: (I2 = 0):
TT = ~ u 2h -+ ^nl
J
Zn2L
Từ biểu thức (12.17) ta có: - 1 + A .
ũ,
z„,L J
• 1 r ủ»-
11 Ũ Hinh 12.4: Bốn cực hình n
7
I:=0 n:
72
Chương 12: M ạng bốn cực tương hỗ Mặt khác ủ 2b còn được tính theo biểu thức: 7 7 ni - ^ 1*2
u 2h = ilh do đó:
Z d + Z nl + Z n2
A->1 —Ịủ ,
_ Z d + Z n l + Z n 2 Z..-Z.2
+ Khi ngắn mạch cửa 2: ( ù 2 = 0) ta có: Ỉ2n = ủ 1 ---- do đó Aí2 = ■ = z d
Mật khác ta có: Ỉ2n = — — •lln
A „= ị 22 I
- Zd + Z„ _ H z d Zm z al
Vậy, các thông số của ma trận [A] của mạng bốn cực hình n là:
Z A
■'d
[A] = + znl + z 2 □_______ n i _______ n / z z
( 12.14)
l 3 -z„
12.3. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG B, z, Y, H VÀ G CỦA MẠNG 4 CỰC
12.3.1. Hệ phương trình dạng B
Hệ phương trình trạng thái dạng B mô tả quan hệ giữa các cặp thông sô (U 2 J 2 ) ờ cửa 2 theo cặp thông sô ( U I,li) ờ cửa 1.
| u 2 - B n U] + B 12l!
= B 2]U ị + B 71I(12.15a)
22 1
73
Chương 12: M ạng bốn cực tương hỗ
hay'Ú , i,
®1I ®I2 B- B
t= [B]U , I
Ũ,
t
(12.15b)
Trong đó: Các thông số B* là các thông số đặc trưng của bốn cực nó có quan hệ với Ajk theo biểu thức:
B] 1 “ A22 Bi2 = -Ai2
B21 = - A21 B22 = An
Thật vậy, từ hệ phương trình trạng thái dạng A giải u 2, I2 giãi theo U ị , Iị , ta có:
ủ , A]2
ỦJ =
i, a 22 A„ a12 AS1 A 22
A„ Ũ,
= a 22 ủ i - a )2 i,
i 2 =
A:l Ị A„ a,2 A21 a 22
- - A 21 ủ 1 + A „ li
Hệ phương trình trạng thái dạng B tiện dùng để tính trạng thái ờ cứa 2 theo trạng thái cửa 1 và sử dụng cho các mạng bốn cực nối xâu chuỗi. 12.3.2. Hệ phương trình dạng z
Hệ phương trinh trạng thái dạng z mô tả quan hệ giữa cặp thông số (u 1, u 2) theo cặp thông sô (]], I2)
Ử1 'Zuh + ^12^2
I u ■) — Z jjl] +Zo-)I J 2212
hay u ,ủ ,z z ^ìì 12
z :] z 22 = [Z]
(12.lóa) (12.16b)
Các hệ sô Zik có thứ nguyên của tổng trờ (đơn vị là Q), chúna chinh là các tông trớ vào (Zn, Z22) và các tông trở tương hỗ (Z12, Z21). Hệ
74
Chương 12: M ạng bốn cực tương h ễ
phương trinh dạng z tiện dùng tính mạng bốn cực hợp bời các mạng bốn cực ghép nối tiếp.
12.3.3. Hệ phương trình dạng Y
Hệ phương trinh trạng thái dạng Y mô tả quan hệ giữa cặp dòng điện (li, lí) theo cặp điện áp ( U i, U 2) .
ì ,(12.17a)
y „ ũ 1 + y 12ủ 2
y 21ủ 1 + y 22ữ 2
hay
'Y„ V "ứ ; y 21 y 22_ ũ :.
ũ ,
ủ ,(12.17b)
Các hệ số Yik là những thông số đặc trưng của bốn cực, chúng có thứ nguyên của tổng dẫn (đơn vị là S) và chính là các tổng dẫn vào ờ các cửa và tổng dẫn tương hỗ giữa 2 cửa. Hệ phương trình Y tiện dùng cho các mạng bốn cực nối song song nhau.
12.3.4. Hệ phương trình dạng H
Hệ phương trình trạng thái dạng H mô tả quan hệ giữa cặp thông số u 112 theo cập số li Ư 2 .
hay
[ ủ ] = H n ỉj + H 12ủ 2
[ l2 — H 2iI] +H 22U2
Uj _ Hn H 12 Ij
ỉ, ■ H „ H „ ủ , = [H] ủ ,
(12.18a) (12.18b)
Hệ phương trình H tiện dùng cho các mạng bốn cực mắc nối tiếp - song song.
12.3.5. Hệ phương trình dạng G
Hệ phương trình trạng thái dạng Mô tả quan hệ giữa cấp I ] , ủ 2 theo tiũi.
fỉi - G ị ịU ị + g 12i 2 I ủ 2 = g 21u , +G 22I2
(12.19a) 75
Chương 12: Mạng bốn cực tương hỗ
(12 19b)
Hệ phương trinh dạng G tiện dùng cho nhữna mạn2 bôn cực song song - nối tiếp.
Tóm lại: Một mạng bốn cực tuyến tính không nguồn bất kỳ được đặc trưng bởi một trong các ma trận [A], [B], [Z], [Y], [H], [G], ta gọi chúng là các ma trận đặc trưng cùa bốn cực. Các ma trận này hoàn toàn tương đương nhau, việc chọn dùng ma trận nào là tùy trường họp cụ thể.
Khi biết ma trận nào đó của bốn cực ta dễ dàng tìm được các ma trận còn lại.
12.3.6. Quan hệ giữa các ma trận [B], [Z], [Y], [H], [G] vói ma trận [A] của bốn cực
Mạng bốn cực tuyến tính không nauồn có 6 ma trận đặc trưng là các ma trận [A], [B], [Z], [Y], [H] và [G]. Khi biêt một ma trận đặc trưng nào đó, ta dẻ dàng tim được các ma trận khác.
Sau đây chúng ta sẽ biếu diễn các phần tử cúa ma trận [B], [Z], [Y], [H] và [G] thông qua các phân tử của ma trận [A]. Đẻ làm được điều này, ta chi cân xuât phát từ phương trình trạng thải dạng A:
U j - A „ U 2 + A n I 2
Ij = A 21I j 2 + A 22I 2
Nếu coi (Ú -, i , ) là ẩn số ta có: U 2 —A 22U j A 12Ịj
I 2 — —A 21U j + A nIj
Vậy các phần tử của ma Ưận [B] là:
Tượng tự ta tìm được các phần tử của các ma trận khác theo các thông số Aiic cùa ma trận [ A].
76
Chương 12: M ạng bốn cực tương hỗ A „ 1
[z] = [Y] = [H] = [G] =
A 21 A 21 1 a 22
a 21 A 21. ' a 22 1 a I2 A 12 1 A „
a 12 A n . ' a 12 1 a 22 ĂI 1 A 21 A 22 A 22.
' a 21 1 A „ A „
1 •^■12
A „ A n .
(12.20b) (12.20c) (12.20d) (12.20e)
*■ Nhận xét: Từ các biểu thức 12.20 ta thấy rằng: Các ma trận đặc trưng dạng z, Y, H và G của mạng bốn cực tuyến tính không nguồn có các phần từ Z12 = -Z21; Y12 = -Y21; H12 = H21; G12 = G21, đồng thời định thức của ma trận đặc trưng dạng A và dạng B bằng 1. Ta gọi đó là mạng bốn cực tương hỗ. Vậy, điều kiện mạng bốn cực tương hỗ là:
z ,2 = -Z21; Y12= -Y2 1; H12 = H21; Gi2 = G2i ||A||= 1 ; ||B||= 1 (12.21a)
*■ Chú ý: Nếu đổi chiều dòng điện Í2 ờ cửa 2 thì điều kiện tương hỗ của mạng bốn cực trở thành:
z,2= Zj i; Y 12= Y21; H n = -H21; Gi2= -G21 ||A|| = -1; ||B[| = -1 (12.21b)
12.4. GHÉP NỐI CÁC MẠNG BỐN c ự c
Trong thực tế, ta thường phải ghép nối các mạng bốn cực với nhau, có 5 cách ghép nối các mạng bôn cực, đó là: Ghép xâu chuỗi, ghép nối tiếp, ghép song song, ghép nối tiếp - song song và ghép song song - nối
77
Chưcmg 12: Mạng bốn cực tương hỗ
tiếp. Trong mục này chúng ta sẽ khảo sát cụ thể các phương pháp ghép nối đó. Đông thời chi ra ma trận đặc trưng cụ thể được sử dụng tiện lợi cho từng phương pháp ghép nối. Trong mỗi phương pháp 2 hép nối, chi khảo sát cho trường hợp có 2 mạng bốn cực, từ kết quả này có thê suy ra cho trường hợp có nhiều mạng bốn cực được ghép nối với nhau.
12.4.1. Ghép xâu chuỗi
Hai mạng bốn cực ghép xâu chuỗi nếu cửa ra của mạng thứ nhất được nối với cửa vào của mạng thứ hai (hình 12.5).
I, I, ì; L
lú , [A1] ù ị| lữ ; [A2]t U
Hình 12.5: Hai mạng bốn cực ghép xâu chuôi
Điều kiện nối xâu chuỗi 2 mạng bốn cực là:
u f u ; '
à . X
Hệ phương trình trạng thái dạng A của mạng thứ nhất là:
’ú i" í li ư 2' i= A
_ Ỉ1 . L Jj 2 .
Hệ phương trình trạng thái dạng A của mạng thứ hai là: U','= [a 2]u 2'
( 12.22) (12.23a) (12.23b)
L J
K»
Trọng đó [A1] và [Ạ2] là các ma trận đặc trưng dạng A của mạng thứ nhât và thứ 2. Từ điều kiện nối xâu chuỗi (12.22) và các biểu thức (12.23a), (12.23b) ta rút ra:
- 1 J 2 _
Vậy, hai mạng bốn cực nối xâu chuỗi tương đương với mạng bốn cực có ma trận [A] bằng tích hai ma trận
78