🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình hình học sơ cấp Ebooks Nhóm Zalo ĐAO TAM Giáo trình HÌNH HỌC SO CẪP ■ w NHÀ XUẤT BẤN ĐẠI HỌC s u PHẠM PGS.TS ĐÀO TAM Giáo trình HÌNH HỌC S ơ CẤP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM Mã sô':01.02.253/411 ĐH - 2005 MỤC Lực Trang Lòi nói đầu 5 Phần thứ nhất: Các hệ tiên đề xây dựng hình học phổ 7 thông và thực hành ứng dụng Chương I: Các hệ tiên đề xây dựng hình học ỏ trường phổ thông 7 §1. Một số yêu cầu cơ bản của việc xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề 7 §2. Hệ tiên đề Hinbe của hình học ơclit 8 §3. Hệ tiên đề Pogorelov của hình học ơclit 24 §4. Hệ tiên đề Waylơ của hình học ơclit 27 §5. Mối quan hệ giữa các hệ tiên đề 31 §6 . Hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông Việt Nam 32 Hướng dẫn học chương I 39 Chương II: Sự liên thuộc giữa các hình quan hệ song song, quan hệ vuông góc 40 §1 . Các bài toán về sự liên thuộc giữa các hình 41 §2. Quan hệ song song, phép chiếu song song 56 §3. Quan hệ vuông góc 65 §4. Seminar về chủ đề: Các bài toán aphin và xạ ảnh vận dụng vào giải bài toán hình học sơ cấp 70 Hướng dẫn học chương II 80 3 P hần th ứ hai: Hình đa diện, hình lồi. Biến hình. Dựng hình 81 Chương III: Hình đa diện và hình lồi 81 §1 . Góc nhị diện và góc tam diện 81 §2. Góc đa diện 88 §3. Hình đa diện 90 §4. Hình lồi 95 Hướng dẫn học chương III 102 Chương IV: Các phép biến hình 108 § lế Phép dòi hình 108 §2. Phép đồng dạng 142 §3. Seminar: Tích các phép biến hình 154 Hướng dẫn học chương TV 157 Chương V: Dựng hình 165 §1. Các tiên đề của hình học dựng hình 165 §2. Các phép dựng cơ bản 166 §3. Các nội dung cơ bản của lí thuyết dựng 168 §4. Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao 177 §5. Dựng hình bằng phương pháp đại số 181 Hướng dẫn học chương V 187 Tài liệu tham khảo 191 4 Giáo trình hình học sơ cấp, chi tiết hơn là các cơ sỏ lý thuyết và thực hành hình học phổ thông được biên soạn dành cho sinh viên khoa Toán Trường đại học sư phạm. Mục đích của giáo trình nhằm: Trang bị cho sinh viên các cơ sở xây dựng hình học. Với mục đích này chúng tôi trình bày một số tiên đề của hình học ơclit và hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông. Thông qua phương pháp tiên đề sinh viên nắm được các phương pháp suy diễn chứng minh trong hình học. Cung cấp cho sinh viên các phương pháp khác nhau giải toán hình học: phương pháp tổng hợp, phương pháp véctơ, sử dụng các phép biến hình để giải toán. Ngoài các cơ sở lý thuyết nhằm giúp sinh viên nhìn nhận các vấn đề của hình học phổ thông, các tuyến kiến thức cơ bản của hình học phổ thông sâu sắc hơn, tổng quát hơn, chúng tôi còn chú trọng khai thác, các con đường định hướng giải toán nhờ khai thác các bất biến các ảnh xạ trong hình học. Trong giáo trình này, một số cơ sở của hình học giải tích được vận dụng thông qua thực hành giải toán và trình bày một sô vấn để lý thuyết khác. 5 Giáo trình được chia làm hai phần bao gồm năm chương, một số chương có hưống dẫn giúp cho học sinh tự học, tự nghiên cứu tốt hơn và kèm theo một sô seminar dành cho sinh viên. P h ầ n I: Các hệ tiê n đề xây dựng h ìn h học p h ổ th ô n g và th ự c h à n h ứng dụng. P h ầ n II: H ình đ a diện, h ìn h lồi, b iến h ìn h , dự ng hình. Để nâng cao tay nghề sư phạm cho sinh viên, chúng tôi cho rằng cần thực hiện giáo trình này kết nối vối các giáo trình phương pháp dạy học đại cương, đặc biệt là phương pháp dạy học hình học. 6 PHẦN THỨ NHẤT CÁC HỆ TIÊN ĐỂ XÂY DựNG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG VÀ TH ựC HÀNH ỨNG DỤNG CHƯƠNGI CÁC HỆ TIÊN ĐỂ XÂY DựNG HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG §1. M ột sô' yêu cầu cơ b ản củ a việc xây dựng h ìn h học b ằn g phư ơng p h á p tiê n để Khi xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có các khái niệm cơ bản (là những khái niệm đầu tiên không định nghĩa), và các tiên đề (là những mệnh đề xuất phát, được thừa nhận là đúng). Tuy nhiên hệ thống các tiên đề cần phải được đảm bảo các điều kiện sau: a. Điều kiện phi mâu thuẫn: điều kiện này có nghĩa là những điều nói trong các tiên đề và những kết quả suy ra từ chúng không có hai cái nào trái ngược nhau. b. Điều kiện độc lập: mỗi tiên đề của hệ phải độc lập (đối với các tiên đề khác), nghĩa là không thể suy ra được nó từ các tiên đề còn lại. c. Điều kiện đầy đủ', hệ tiên đề phải đủ để xây dựng môn học bằng suy diễn lôgíc. Trong hình học, ứng với mỗi hệ tiên đề lại có một không gian hình học trừu tượng, sở dĩ gọi là “trừu tượng” vì các khái 7 niệm cơ bản trong hệ tiên đề không được định nghĩa, do đó mỗi thuật ngữ chỉ một khái niệm cơ bản, ta có thể hiểu là cái gì cũng được miễn là hệ tiên đề được nghiệm đúng. Một tập hợp những cái cụ thể như vậy được gọi là một thể hiện hoặc một mô hình của hệ tiên đề ấy. ứng vói một tiên đề có thể có nhiều mô hình khác nhau. §2. Hệ tiê n đề H inbe củ a h ìn h học ơ c lít Aệ Hệ tiê n đề H inbe tro n g k h o a học h ìn h học Nhà toán học Hinbe (ngưòi Đức, 1862 - 1943) lần đầu tiên công bố hình học tiên đề (năm 1899) sau khi phát hiện ra hình học phi ơclít. Công trình này được giải thưởng Lôbasepski năm 1930. Sau đó, phương pháp tiên đề thịnh hành và xuất hiện nhiều hệ tiên đề khác. Nhiều công trình nghiên cứu tiếp tục về cơ sở hình học cũng đã bổ sung, tạo ra nhiều hệ tiên đề tương đương vối hệ tiên đề Hinbe. ở đây, ta trình bày hệ tiên đề Hinbe có sửa đổi chút ít. Hệ tiên đề Hinbe gồm 20 tiên đề với 6 khái niệm cơ bản. S áu k h á i niệm cơ b ả n gồm: “Điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” (gọi chung là các “đối tượng cơ bản”). “Thuộc”, “ở giữa ”, “bang'’ (gọi chung là các “tương quan cơ bản”). Các tiê n đề củ a H inbe c h ia làm n ăm nhóm : Nhóm I chứa tám tiên để về “liên thuộc”. Nhóm II chứa bốn tiên đề về “thứ tự”. Nhóm III chứa năm tiên đề về “bằng nhau”. Nhóm IV chứ hai tiên để về liên tục. 8 Nhóm V chứa một tiên đề về song song. 2 ẵl. N hóm I- Các tiê n để vể liên thuộc Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “thuộc”, có khi gọi là đi qua. Các tiên đề trong nhóm này là: Ix. Với hai điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua. 12. Với hai điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua. 13. Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm không cùng thuộc một đưòng thẳng. 14. Cho bất cứ ba điểm A, B, c nào, bao giờ cũng có một mặt phẳng a thuộc mỗi điểm đó. Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm. 15. Cho bất cứ ba điểm A, B, c nào không cùng thuộc một đưòng thẳng, không bao giờ có quá một mặt phang thuộc mỗi điểm đó. 16. Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng thuộc một m ặt phẳng a thì mọi điểm nào khác thuộc đường thẳng a cũng sẽ thuộc mặt phang a. 17. Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng sẽ cùng thuộc ít nhất một điểm thứ hai B. 18. Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Sau đây chúng ta sẽ nêu ra một sô các định nghĩa và định lý có liên quan tới “ nhóm I Đ ịnh n g h ĩa 1: Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng a thì ta nói rằng đường thẳng a thuộc mặt phẳng a hoặc mặt phẳng a thuộc đường thẳng a. C hú ý: Chỉ có tương quan thuộc giữa điểm với đường thẳng, giữa điểm với mặt phẳng là tương quan cơ bản (còn các tương quan khác đều được định nghĩa). 9 Các đ ịn h lý: Đ ịnh lý 1: Hai đường thẳng phàn biệt có nhiều nhất là một điểm chung. Chứng minh: Nếu hai đường thẳng phân biệt có hai điểm chung thì theo tiên đề 2 chúng phải trùng nhau nghĩa là chúng không phải là hai đường thẳng phân biệt nữa và điều này trái vối giả thiết. Đ ịnh lý 2: Một mặt phẳng và một đường thẳng không thuộc mặt phẳng đó có nhiều nhất là một điểm chung. Chứng minh: Nếu đường thẳng và m ặt phẳng có hai điểm chung thì theo tiên đề 6, đường thẳng đó sẽ thuộc m ặt phang. Điều này trái với giả thiết và do đó chúng có nhiều nhất là một điểm chung. Đ ịnh lý 3: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phang. Đ ịnh n g h ĩa 2: - Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu hai đường thẳng chỉ có một điểm chung, và điểm chung đó gọi là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. - Đường thẳng và mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu đường thẳng và m ặt phẳng chỉ có một điểm chung. Điểm chung đó gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đã cho. - Hai mặt phẳng gọi là cắt nhau nếu hai mặt phẳng chỉ có một đường thẳng chung và đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước. 10 Đ ịnh lý 4: Qua một đường thắng và một điểm không thuộc đường thắng đó hoặc qua hai đường thắng cắt nhau bao giờ cũng có một mặt phang và chỉ một mà thôi. Đ ịnh lý 5: Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất ba điểm không thẳng hàng. 2ẵ2ế N hóm I I - Các tiê n đề vể th ứ tự ở đây có thêm tương quan cơ bản “ở giữa”. IIj. Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm c thì A, B, c là ba điểm khác nhau cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa c và A. 112. Cho bất cứ hai điểm A, c nào bao giờ cũng có ít nhất một điểm B trên đường thẳng AC sao cho c ở giữa A và B. 113. Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giò có quá một điểm ở giữa hai điểm kia. Đ ịnh n g h ĩa 3: Một cặp điểm A và B gọi là một đoạn thẳng. Ký hiệu AB hay BA. Các điểm ở giữa A và B gọi là các điểm tr o n g của AB hay thuộc đoạn AB. Hai điểm A, B gọi là hai đ ầ u mút của đoạn thẳng đó. Tất cả các điểm còn lại của đường thẳng AB mà không thuộc đoạn AB và hai đầu mút được gọi là các điểm ngọài của đoạn AB. 114. Tiên đề Pát. Cho ba điểm A, B, c không cùng thuộc một đường thẳng và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong ba điểm A, B, c cả. Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó còn có một điểm chung nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC. 11 Chú ý: a) Tiên đề II! cho biết tương quan “ỏ giữa” chỉ đặt ra đối với ba điểm khác nhau thẳng hàng và tương quan này không phụ thuộc vào thứ tự của hai đầu mút. b) Tiên đề II2 cho biết bao giờ cũng có một điểm B ở ngoài đoạn AC, nghĩa là mỗi đoạn thẳng có ít ra là một điểm ở ngoài. Do tiên đề này ta biết thêm mỗi đường thẳng có ít ra là ba điểm. c) Tiên đề II3 cho biết rằng trong ba điểm thẳng hàng thì có nhiều nhất là một điểm ở giữa hai điểm kia. Các đ ịn h lý: Đ ịnh lý 6 : Bất kỳ một đoạn thẳng AB nào, bao giờ cũng có ít nhất một điểm ở giữa hai điểm A và B đó. Chứng minh: Theo tiên đề I3 có một điểm D không thuộc đường thẳng AB. Theo tiên đề II2 trên đường thẳng AD có một điểm E sao cho D ở giữa A và E. Cũng theo tiên đề II2 trên đường thảng EB có một điểm F sao cho B ở giữa E và F. Theo tiên đề II4 (tiên đề Pát) E đối với ba điểm A, B, E không thẳng hàng, đường thẳng FD có điểm chung với đoạn AE tại D nên nó phải có điểm chung với đoạn AB hoặc vói đoạn EB. Nếu đường thẳng FD có điểm chung với đoạn EB thì đường thẳng FD và đưòng thẳng EF phải trùng nhau theo tiên đề I2 và đó là điều vô lý, vì D và E là hai điểm khác nhau. 12 Vậy đường thẳng FD phải có một điểm chung c vối đoạn AB. Ta nói rằng FD cắt AB tại c và như vậy c ở giữa A và B. Đ ịnh lý 7: Trong bất cứ ba điểm A, B, c nào trên một đường thắng bao giờ củng có một điểm ở giữa hai điểm kia. Hệ quả: Với các tiên đề IỈ2, II3 kết hợp với định lý 6 và 7 ta có: a). Với bất cứ đoạn thẳng AC nào bao giờ trên đường thẳng AC ta củng có những điểm ở trong và ngoài đoạn AC. b). Với ba điểm trên một đường thẳng hao giờ cũng có một và chỉ một điểm ở giữa hai điểm kia. Đ ịnh lý 8 : Nếu điểm B ở giữa AvàC, điểm c ở giữa B và D thì các điểm B và c đều ở giữa A và D. Đ ịnh lý 9: Nếu điểm c ở giữa A và D, điểm B ở giữa AvàC thì điểm B ở giữa A v à D và điểm c ở giữa B và D. Đ ịnh lý 10: Nếu B là một điểm của đoạn AC thì đoạn AB và đoạn BC đều thuộc đoạn AC, nghĩa là mỗi điểm của đoạn AB hoặc của đoạn BC đều thuộc đoạn AC. Đ ịnh lý 11: Nếu B là một điểm của đoạn AC thì mỗi điểm của đoạn AC khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là đoạn BC. Đ ịnh lý 12: Nếu mỗi điểm B và c đều ở giữa AvàD thì mọi điểm của đoạn BC đều thuộc đoạn AD. Đ ịnh lý 13: Mỗi đường thẳng có vô sô'điểm. Đ ĩnh ng h ĩa 4: Cho ba điểm 0, A, B cùng thuộc một đường thẳng. Nếu điểm o không ở giữa A và B thì ta nói rằng A và B ở cùng phía đối với o. Nếu điểm 0 ở giữa A và B thì ta nói rằng A và B ở khác phía đối với 0. 13 Đ ịnh lý 14: Một điểm o của đường thẳng a chia tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó ra làm hai lớp không rỗng sao cho bất cứ hai điểm nào thuộc cùng một lớp thì ở cùng phía đối với o và bất^cứ hai điểm nào khác lớp thì ở khác phía đối với o . Đ ịnh n g h ĩa 5: Một điểm o trên đường thẳng a chia tập hợp các điểm trên đường thẳng này ra làm hai lốp (theo định lý 14). Mỗi lốp là một nửa đường thẳng hay một tia nhận o làm gốc. Hai nửa đưòng thẳng hay hai tia gọi là bù nhau nếu chúng có chung gốc và tạo nên một đường thẳng. Định nghĩa 6: Trên một tia gốc 0 , điểm A gọi là đi trước điểm B nếu A thuộc đoạn OB. Đ ịnh n g h ĩa 7: Cho ba điểm A, B, c không cùng thuộc một đường thẳng. Khi đó ba đoạn thẳng AB, BC, CA tạo nên một hình gọi là một tam giác. Các điểm A, B, c gọi là các đỉnh và các đoạn AB, BC, CA gọi là các cạnh của tam giác. Trong một tam giác, một đỉnh và một cạnh không thuộc nhau gọi là một đỉnh và một cạnh đối diện. Đ ịnh lý 15: Mỗi đường thẳng a của mặt phẳng a chia tất cả các điểm không thuộc a của a ra hai lớp không rỗng sao cho hai điểm A, B bất kỳ thuộc hai lớp khác nhau nếu đoạn AB chứa một điểm của đường thắng a, cbn hai điểm A, A ’ bất kỳ thuộc cùng một lớp nếu đoạn AA’ không chứa điểm nào của a cả. Đ ịnh n g h ĩa 8 : Mỗi lốp của mặt phẳng a trong định lý 15 là một nửa mặt phẳng có đường biên là đường thẳng a. Hai điểm Mi và M2 thuộc cùng một nửa m ặt phẳng gọi là cùng phÚL đối với đường thẳng a. Hai điểm M,N thuộc hai nửa m ặt phẳng khác nhau gọi là khác phía đối với a. 14 Đ ịnh n g h ĩa 9: Một cặp tia h, k có cùng gốc o gọi là một góc và được ký hiệu là (h,k). Điểm o gọi là đỉnh và các tia h, k gọi là cạnh của góc. Nếu A, B là haúđiểm lần lượt lấy trên tia h, k thì ta có thể dùng ký hiệu góc AOB thay cho góc (h,k). Đ ịnh lý 16: Nếu A, B là hai điểm nằm trên hai cạnh h, k của một góc thì mọi tia xuất phát từ gốc o và thuộc miền trong của góc đều cắt đoạn AB. Ngược lại, mọi tia nối đỉnh của góc với một điểm bất kỳ của đoạn AB đều thuộc miền trong của góc. 2.3. N hóm III - Các tiê n để bằng n h au Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “bằng” của một đoạn thẳng vối một đoạn thẳng khác và của một góc với một góc khác. Các tiên đề: IIIlề Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A’ bao giò cũng có một điểm B’ sao cho đoạn thẳng A’B’ bằng đoạn thẳng AB và được ký hiệu là A’B’ s AB. Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có AB = BA. 1112. Nếu A’B’ = AB và A”B”= AB thì A’B’ s A”B”. 1113. Cho ba điểm A, B, c thẳng hàng với B ở giữa A và c và ba điểm Ả ’, B \ C’ thẳng hàng vói B’ ở giữa A’ và c \ Nếu AB * A’B \ BC = B’C’ thì AC = Ă’C\ 1114. Cho một góc (h,k) và một nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng chứa tia h \ Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có một và chi một tia k’ cùng gốc với ti^ h ’ sao cho góc (h\Ĩ^Jìằng góc (h,k) và được kí hiệu là (h,k). Đối với mọi góc (h,k) ta đều có (h,k) s (h,k) và (h,k) = (k,h). 15 III5. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Nếu AB = AC s A’C’, và BAC EE B’A’C’ thì bao giờ ta cũng có ABC s A’B’C’ và ACB = A’C’B’. Các đ ịn h lí: Đ ịnh lí 17: 1). Nếu AB = A ’B ’ thì AB = B ’A \ 2). Mọi đoạn thẳng AB đều bằng chính nó, nghĩa là AB = AB (phản xạ). 3). Nếu AB = A ’B’ thì A ’B ’ = AB (đối xứng). 4). Nếu AB = A'B' và A ’B ’ = A ”B ” thì AB = A"B" (bắc cầu). Chứng minh: 1). Theo giả thiết, AB = A’B’. Theo tiên đê ni], ta có B’A’ = A’B’. Do đó, theo tiên đề III2 ta có AB = B’A’. 2). Theo tiên đề IIIj, ta có AB = BA và áp dụng phần 1 định lý 17 ta có: AB = AB. 3). Theo phần 2 của định lý 17 ta có A’B’ = A’B’ và theo giả thiết ta có AB = A’B’. Do áp dụng tiên đề III2 ta có A’B’ = AB. 4). Theo giả thiết A’B’ = A”B” và theo phần 3 của định lí 17 ta có A”B” = A’B’. Mặt khác theo giả thiết ta có AB = A’B’ và áp dụng tiên đề III2 ta suy ra AB = A”B”. Đ ịnh lí 18: Nêu cho một đoạn thẳng AB thì trên nửa đường thẳng gốc A ’ có duy nhất một điểm B ’ sao cho A ’B' =AB. Đ ịnh n g h ĩa 10: Tam giác ABC gọi là bằng tam giác A’B’C’ nếu AB = A’B\ AC s A’C’, BC s B’C’ và Â = Â’,B = B ',c s C ếTa kí hiệu AABC s AA’B’C’. Đ ịnh lý 19: Nếu hai tam giác ABC và A ’B ’Ơ có A B = A ’B \ AC = A ’C’ và A = Ä thì tam giác ABC bằng tam giác A B C. 16 (Ta thường kí hiệu trường hợp này là (c.g.c)). Đ ịnh lý 20: Nếu hai tam giác ABC và A'B’Ơ có AB = A ’B’, A = A ', B = Ể' thì tam giác ABC bằng tam giác A ’B ’Ơ. (Ta thường kí hiệu trường hợp này là (g.c.g)). Đ ịnh lý 21: Nếu tam giác ABC có AC = CB thì CAB = CBA và Ú B Ă= ỈAB . Đ ịnh n g h ĩa 11: Tam giác ABC có AC = CB gọi là tam giác cân tại c và theo định lí 21 trong tam giác này ta có hai góc B và A bằng nhau. B và A gọi là hai góc đáy của tam giác cân ABC. Đ ịnh lý 22: Cho hai bộ ba tia (h,k,l) và (h\k',V), mỗi bộ nằm trong một mặt phẳng và xuất phát từ hai điểm o và O’. Nếu sự sắp thứ tự của các tia tronß hai bộ giống nhau (chang hạn l thuộc miền trong củaßoc (h,k) và ỉ' thuộc miền trong của góc (ỉì,k’), thi nếu (h,l) = (h',V), (l,k) = (l',k') ta suy ra (h,k) = (h\k’). Đ ịnh lí 23: Nếu hai tam giác ABC và A ’B ’C’ có AB = A'B\ AC = A'C\ BC = B ’C' thì tam giác ABC bằng tam giác A ’B ’Ơ. (Trường hợp này ta thường kí hiệu là (c .c x )^ Đ ịn h lí 24: Nếu ta có (h,k) = (h’,k ’), (h,k) = (h”,k ”) thi (h \V ) = (V \V ')- Đ ịnh n g h ĩa 12: a) Hai góc có chung đỉnh và một cạnh, còn các cạnh thứ hai là hai tia bù nhau gọi là hai góc bù nhau. b) Hai góc có chung đỉnh còn các cạnh của chúng là các tia bù nhau gọi là hai góc đối đỉnh. c) Một góc bằng góc bù của nó gọi là góc vuông. Đ ịnh lí 25: Nếu hai góc mà bằng nhau thì các góc bù của c h ú n g c ủ n g b ằ n g n h a u . —— r.TT® — i I| 1 NGUYỄN a tó M H Ọ C L lỆ ũ 1 7 Đ ịnh lí 26: Hai góc đối đỉnh bằng nhau. Đ ịnh lí 27: Tất cả các góc vuông đều bằng nhau. Đ ịnh lí 28: Một đoạn thẳng có một điểm duy nhất chia nó thành hai đoạn bằng nhau. Đ ịnh n g h ĩa 13: Cho hai đoạn thẳng AB và A’B\ Nếu trên đoạn AB ta có một điểm c sao cho AC = A’B’ thì ta nói rằng đoạn AB lớn hơn đoạn A’B’ hay đoạn A’B’ bé hơn đoạn ABẽ Ta kí hiệu AB > A’B’ hay A’B’ < AB. Đ ịnh n g h ĩa 14: Cho hai góc (h,k) và (h’,k’). Nếu xuất phát từ gốc o của góc (h,k) ta có một tia / nằm trong góc đó sao cho (hjl) - (h’,k’) thì nói rằng góc (h,k) lớn hơn góc hay góc (h’,k’) bé hơn góc (h^k)- Kí hiệu là tO o > (h^kO hay (h’.kO < ^ k ) . Đ ịnh lí 29: Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. Đ ịnh lý 30: Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn có góc lớn hơn và ngược lại đối diện với góc lớn hơn có cạnh lớn hơn. Đ ịnh n g h ĩa 15: Cho hai tập hợp T và T . Nếu giữa các điểm của hai tập hợp đó có một liên hệ 1 - 1 (song ánh) sao cho với bất cứ hai điểm A, B nào của T và hai điểm tương ứng A’, B’ của T’ ta cũng có AB = A’B’, thì ta nói rằng có một phép dời hình f biến T thành T’ (và phép dòi hình đảo ngược f _1 biến T thành T). 2.4. Nhóm IV- Tiên để liên tục 1. Tiên đề Đơ đơ kin hay tiên đề IV Nếu tất cả các điểm của một đưòng thẳng được chia thành hai lớp không rỗng sao cho: - Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lốp và chỉ một mà thôi. 18 - Mỗi điểm của lớp thứ nhất đểu đi trưốc mỗi điểm của lớp thứ hai. Khi đó có một điểm luôn luôn ở giũa hai điểm bất kỳ thuộc hai lớp. Có thể coi điểm này là điểm cuối cùng của lốp thứ nhất hoặc là điểm đầu tiên của lốp thứ hai. Đ ịnh n g h ĩa 16: Người ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm trên một đường thẳng thành hai lớp trong tiên đề Đơđơkin là một lát cắt Đơđơkin của đưòng thẳng. 2ệ Các đ ịn h lý: / Đ ịnh lý 31: Nếu tập hợp các điểm trên một đường thẳng có một lát cắt Đơđơkin thì điểm đó là duy nhất. Chứng minh: Giả sử trên đường thẳng có hai lát cắt Cj và C2 . Khi đó ta có ______^ ___________ thể lấy một điểm p thuộc đoạn CjCa- Theo tiên đề Đơđơkin điểm p chỉ có thể thuộc một và chỉ một lốp mà thôi. Nếu có hai lát cắt Cl và C2 thì khi đó vì p ở giữa C] và C2 nên p vừa thuộc lớp thứ nhất đồng thời lại vừa thuộc lớp thứ hai. Điều này trái với giả thiết. Đ ịnh lý 32: Trên một đường thẳng a bất kỳ nếu ta có một d ã y v ô h ạ n c á c đ o ạ n th ẳ n g A ịB ¡ , A2B2... A nB n¡......s a o ch o : -M ỗi đoạn sau đều nằm trong đoạn trước đó (AịBịC:Aì-ịBì-ị) - Cho trước bất cứ đoạn thẳng AB nào ta củng có một số tự nhiên n để cho đoạn A nB n của dãy bé hơn đoạn AB thì khi đó có một điểm c duy nhất thuộc tất cả các đoạn A ß i của dãy. Đ ịnh lý 33: (Tiên để Acsimét) 19 Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kỳ. Khi đó có một số hữu hạn các điểm Aj, A2......An thuộc đưòng thẳng AB sắp xếp sao cho Ai ở giữa A và A2 , A2 ở giữa A 1 và A3...., A,-! ở giữa A„-2 và An, B ở giữa An_! và A„ và sao cho các đoạn AAU AiAi, \-iA n đều bằng đoạn CD. 2.5. N hóm V - T iên đề về song song Đ ịnh n g h ĩa 17: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu a, b là hai đường thẳng song song vối nhau ta ký hiệu a // b. Đ ịnh lý 34: Cho a, b, c là ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và nếu c cắt a, b tạo nên hai góc so le trong trong bằng nhau thì avàb song song với nhau. Hệ quả: Trong mặt phẳng hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thi song song với nhau. Đ ịnh lý 35: Qua một điểm không thuộc một đường thẳng cho trước bao giờ cũng có một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước đó. Tiên đề V hay tiên đề về song song: Cho một đưòng. thẳng a bất kỳ và một điểm A không thuộc a. Khi đó trong mặt phang xác định bởi điểm A và đưòng thẳng a có nhiều nhất là một đường thẳng đi qua A và không cắt a. C hú ỷ: Tiên đề này chỉ nêu lên sự duy nhất của đường thẳng đi qua A và không cắt a. Các định lý và hệ quả ỏ phần trên đây tuy có đề cập tới khái niệm song song của hai đường thẳng nhưng chưa cần dùng tối tiên đề về song song. Đ ịnh lý 36: Hai đường thẳng song song tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau. 20 Chứng minh: Giả sử đưòng thẳng c cắt hai đường thẳng song song a, b ------------------ lần lượt tại A và B. Theo định lý 35 qua điểm B b__________B có đường thẳng b’ song song với a và theo định lý 34 thì c tạo b’ vối a và b’ các góc so le trong bằng nhau. Theo tiên đề V thì b’ trùng vối b và định lý được chứng minh. Đ ịnh lý 37: Trong mỗi tam giác tổng các góc bằng hai góc vuông. 2.6. Đo độ dài, d iện tích , th ể tích a. Độ dài Đ ịnh n g h ĩa 18: Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất một hàm số'f(AB) thoả mãn các điều kiện sau đây: 1). Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(AB) > 0 2). Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ bằng nhau thì f(AB) = fCA’B’) 3). Nếu có một điểm c ở giữa hai điểm A và B thì f(AC) + f(CB) = f(AB) 4). Có một đoạn OE sao cho f(OE) = 1 Hàm số f(AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB. Đoạn OE gọi là đơn vị dài hay là đoạn thăng đơn vị. C hú ý: Bôn điều kiện nêu trong định nghĩa trên thực chất là các tiên đề về độ dài đoạn thẳng. Như vậy là ứng với một đoạn thẳng AB ta có một số thực dương xác định gọi là độ dài của đoạn thẳng đó. 21 Đ ịnh lý 38: Với mỗi đơn vị dài cho trước, mỗi đoạn thẳng có một độ dài duy nhất. Đ ịnh lý 39: Với bất cứ số thực dương a cho trước, bao giờ ta cũng có một đoạn thẳng có độ dài bằng a. bẾ Toạ độ của một điểm Dựa vào việc đo đoạn thẳng ta xây dựng được khái niệm toạ độ trên một đường thẳng bằng cách chọn trên đó một điểm 0 làm gốc và chọn một trong hai tia được tạo nên làm tia dương, tia còn lại là tia âm. Với mỗi điểm A trên đường thẳng đó khác với 0 ta cho ứng với một số thực a dương là độ dài của đoạn OA. Ta lấy dấu cộng cho số a nếu điểm A thuộc tia dương và lấy dấu trừ cho số a nếu điểm A thuộc tia âm. s ố a sau khi thêm dấu cộng hoặc trừ gọi là toạ độ của điểm A trên đường thẳng. Điểm 0 được chọn với toạ độ bằng 0. Ngược lại vối một sô" thực b (số âm hay dương) ta tìm được một điểm B duy nhất trên đường thẳng đó. Như vậy giữa tập hợp các điểm trên đường thẳng và tập hợp các số thực ta xây dựng được một song ánh. CỀ Xây dự ng k h ái n iệm to ạ độ tro n g m ặ t p h ẳ n g hoặc tro n g k h ô n g gian ta cần thiết lập song ánh giữa các tập hợp sau đây: - Tập hợp các điểm của một m ặt phẳng với tập hợp các cặp số thực sắp thứ tự có dạng (x,y). - Tập hợp các điểm của không gian với tập hợp các bộ ba số thực sắp thứ tự có dạng (x, y, z). 22 d. Đo góc Độ lớn của một góc cũng được xac định tương tự như độ dài của một đoạn thẳng, nghĩa là ta có: Đ ịnh ng h ĩa 19: S ố đo của góc (h,k) là một hàm sô'

0. 2) Nếu hai góc (huk) và (h’,k’) bằng nhau thì cp(h,k) = (p(h’,k’). 3) Nếu có một tia / ở giữa hai tia h, k của góc (h,k) thì ẹ ị h , ì j + ẹ f í , k j = cp(h,k). 4) Có một góc (h0,k0) sao cho (p(h0,k0) = l ể Sự tồn tại và duy nhất của số đo của góc hay còn gọi là độ lớn của góc cũng được chứng minh tương tự như đối với độ dài của đoạn thẳng. e. D iện tíc h củ a các đa giác đơn tro n g m ặt phẳng Đ ịnh ng h ĩa 20: Giả sử có hàm số f xác định trên tập hợp tất cả các đa giác đơn của mặt phẳng sao cho các điều kiện sau được thoả mãn: 1 ) Giá trị của hàm f luôn dương. 2) Nếu hai đa giác bằng nhau thì giá trị của f ứng với chúng cũng bằng nhau. 3) Nếu p, P1; p 2 là các đa giác mà p = p, + P2 thì f(P) = f(Pj) + f(P2). 4) ứ ng với hình vuông có cạnh bằng đơn vị đo độ dài đoạn thẳng thì giá trị của hàm f bằng 1 . Khi đó giá trị của hàm f tại mỗi đa giác (đơn) p, tức là số f(P) được gọi là diện tích của p theo đơn vị diện tích là hình vuông nói trong điều kiện 4. 23 f. Thể tích của các hình đa diện đơn Theo sơ đồ tương tự như việc xây dựng lý thuyết về diện tích của các đa giác đơn trong mặt phẳng, người ta đã xây dựng được lý thuyết về thể tích của các hình đa diện đơn trong không gian. Kết luận: Không gian ơclit xác định bởi một hệ tiên đề đã cho là tập hợp các đối tượng và các tương quan giữa các đối tượng đó thoả mãn các yêu cầu nêu ra trong một hệ tiên đề. Không gian vật lý thông thường mà chúng ta đang sống là một mô hình của hình học ơclit trừu tượng. Vối hệ tiên đề của hình học ơclit người ta có thể xây dựng sự thể hiện của hình học đó bằng các mô hình. Việc trừu tượng hoá hình học bằng phương pháp tiên đề đã mở rộng được phạm vi áp dụng của hình học, và tạo điều kiện cho sự ra đời của nhiều môn hình học mới. §3. Hệ tiên để Pogorelov của hình học ơ c lit Trong cuốn sách giáo khoa “Cơ sở hình học” viết cho sinh viên toán các trường Đại học và Đại học Sư phạm ở Nga, Viện sĩ Pogorelov đã trình bày hệ tiên đề của mình với các khái niệm cơ bản là điểm, đường thẳng, m ặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, một điểm đi trưốc một điểm khác và phép dòi. Hệ tiên đề này gồm có 5 nhóm tiên đề. l ề Nhóm I: Nhóm tiên đề về liên thuộc gồm 8 tiên đề và được trình bày hoàn toàn giống như hệ tiên đề của Hinbe với tương quan cơ bản là điểm thuộc đưòng thẳng và điểm thuộc mặt phang. 2. Nhóm II: Nhóm tiên đề về thứ tự gồm 5 tiên để. Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “đi trước”. Thí dụ: Điểm A đi trước điểm B trên một đường thẳng có hưống xác định và được ký hiệu A < B. Nhóm tiên đề này gồm có: IIX. Nếu A < B theo một hướng nào đó thì B < A theo hướng ngược lại. 112. Trên một đường thẳng với một trong hai hướng đã được xác định nếu có A < B thì không có B < A. 113. Trên một đường thẳng với một trong hai hướng đã được xác định nếu có A < B và B < c thì A < c. 114. Vói một trong hai hướng đã được xác định trên một đường thẳng, mỗi điểm B thuộc đường thẳng đó có hai điểm A và c sao cho A < B < c . 115. Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng a chia mặt phẳng này ra hai phần, mỗi phần là một nửa mặt phang sao cho nếu X và Y là hai điểm thuộc cùng một nửa mặt phang thì đoạn XY không cắt đường thẳng a, còn nếu X và Y thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau thì đoạn XY cắt đường thẳng a (có điểm chung với a). 3. N hóm III: Nhóm tiên đề về phép dời hình. Khái niệm cơ bản được đưa vào nhóm này là “phép dời hình”. IIIJ. Mỗi phép dòi hình H bảo toàn tương quan liên thuộc. 1112. Mỗi phép dời hình H bảo toàn tương quan thứ tự trên đường thẳng. 1113. Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm. 1114. Nếu với phép dòi hình H tia Ox biến thành chính nó vối điểm o được giữ nguyên (là điểm bất động) thì tất cả các điểm của tia Ox cũng biến thành chính nó. 25 1115. Với mỗi cặp điểm A và B, có một phép dời hình H biến A thành B và biến B thành A. 1116. Vối mỗi cặp tia h, k có chung gốc, có một phép dời hình H biến tia h thành tia k và biến tia k thành tia h. 1117. Cho a và ß là hai mặt phẳng bất kỳ. Trên đường thẳng a bất kỳ thuộc a ta lấy một điểm A tuỳ ý và trên đường thẳng b bất kỳ thuộc ß ta lấy một điểm B tuỳ ý. Khi đó có một phép dời hình duy nhất biến điểm A thành điểm B, biến nửa đường thẳng cho trước xác định bởi điểm A trên a thành nửa đường thảng cho trước xác định bởi điểm B trên b và biến nửa mặt phẳng cho trước xác định bởi đường thẳng a trên a thành nửa m ặt phẳng cho trưốc xác định bởi đường thẳng b trên ß. 4. Nhóm IV: Nhóm tiên đề về liên tục. Nhóm này chỉ có một tiên đề là tiên đề Đơđơkin: IV. Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lốp không rỗng sao cho vối một trong hai hướng đã được xác định trên đưòng thẳng, mỗi điểm của lớp thứ nhất luôn luôn đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai thì khi đó hoặc ở lớp thứ nhất có một điểm mà tất cả các điểm còn lại của lớp này đều đi trưốc điểm đó hoặc là ở lớp thứ hai có một điểm và điểm này đi trước tấ t cả các điểm còn lại của lốp thứ hai đó. 5. N hóm V: Nhóm tiên đê vê song song. Nhóm này chỉ có một tiên đề và được trình bày giống như cách trình bày trong hệ tiên đề của Hinbe. 26 §4. Hệ tiên đề Waylơ của hình học ơ clit Hệ tiên đề này do Waylơ (1885-1955) đưa ra năm 1918. Ông là nhà toán học Đức, nhưng từ năm 1933 sống ở Mỹ. Đối tượng cơ bản được đưa ra trong hệ tiên đề này là điểm và vectơ. Chính vì vậy hệ tiên đề Way lơ còn có tên gọi là “hệ tiên đề điểm - vectơ”. Các tương quan cơ bản là phép cộng vectơ, nhân vectơ với số, tích vô hướng của hai vectơ và phép đặt vectơ từ các điểm. Hệ tiên đề này gồm có 5 nhóm: I. Các tiên để 1. Nhóm I: Nhóm tiên đề vể phép cộng vectơ Nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ: V X V V là phép cộng vectơ. Phép toán này đặt tương ứng giữa hai vectơ X , ỹ bất kỳ của không gian vectơ V vối một vectơ thứ ba của V gọi là tổng của hai vectơ đó và được kí hiệu là X + ỹ . Phép toán này thoả mãn 4 tiên đề sau đây: Ij. Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán nghĩa là vối hai vectơ X , ỹ bất kỳ của V ta đều có: X + ỹ = ỹ + x (V X, V ỹ e V ) 12. Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp nghĩa là với ba vectơ X, ỹ , Z bất kì của V ta luôn có: (x + ỹ) + z = X + (ỹ + z)(V X, V ỹ , V z e V) 13. Có một vectơ 0 sao cho với vectơ X bất kì của V ta có: X + ỗ = X (V X eV) 14. Với vectơ X bất kì của V ta luôn luôn có vectơ X ’ sao cho X + x ’ = ỗ . Chú ý: vectơ 0 gọi là vectơ không và vectơ X ’ gọi là vectơ đối của vectơ X. 27 2. Nhóm II: Nhóm tiên đề về phép nhân vectơ với sô' Nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ V X R -> V là phép nhân vectơ với số (vối R là trường số thực). Vối mỗi vec tơ X e V và với mỗi X € R ta có vectơ Ằx gọi là tích của vectơ X với số thực X. Phép toàn này thoả mãn 4 tiên đề sau: II,. Phép nhân vectơ với số có tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ nghĩa là với hai vectơ X, ỹ bất kì và với số thực X bất kì ta luôn có: Ầ.( X + ỹ ) = A.X + A. ỹ ( V X, V ỹ e V và V À. e R) 112. Phép nhân vectơ vối số có tính chất phân phối đối với phép cộng số, nghĩa là với vectơ X bất kì và với hai sô" thực X, n bất kì ta luôn có: (A. + |i) X = X X + n X 113. Phép nhân vectơ vối số có tính chất kết hợp, nghĩa là với vectơ X bất kỳ và với hai số thực X, n bất kì ta luôn có A,(|i X ) = (A-n) X 114. Phép nhân vectơ với số đơn vị không làm thay đổi vectơ đó, nghĩa là với vectơ X bất kỳ ta luôn có 1. X = X . 3Ể Nhóm III: Nhóm tiên để về số chiểu Đ ịnh n g h ĩa 1: Những vectơ X !, x 2, ... x k gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức X 1+Ằ^x2+....+A.kx k=Ỗ ta suy ra X I = X2 = ...= Ằk = 0 với x u X2.....Ầk eR. Đ ịnh n g h ĩa 2: Những véctơ x „ x 2, x k gọi là phụ thuộc tuyến tính (nghĩa là không độc lập tuyến tính) nếu trong các hệ sô Ầj, Ằ2 Ầk có ít nhất một hệ sô" khác không sao cho A.] X j+^2 X 2+... .+^k X k= 0 . 28 Nhóm tiên đề về số chiều này có hai tiên đề: IIIj: Có ba vectơ độc lập tuyến tính ẽ ị, ẽ2, ẽ3 . III2. Bất kì bốn vectơ nào cũng phụ thuộc tuyến tính. 4ế Nhóm IV: Nhóm tiên đề về tích vô hướng Nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ: V X V R là phép toán về tích vô hướng của hai vectơ. Phép toán này đặt tương ứng giũa hai vectơ X, ỹ bất kì của V với một số thực xác định duy nhất được kí hiệu là X ỹ . Người ta gọi số thực X ỹ này là tích vô hướng của hai vectơ X, ỹ nếu thoả mãn các tiên để sau đây: IVt. Tích vô hướng của hai vectơ có tính chất giao hoán, nghĩa là với hai vectơ X, ỹ bất kì của V ta có X ỹ = ỹ X rv2. Tích vô hướng của các vectơ có tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ, nghĩa là với ba vectơ X, ỹ , Z bất kì của V ta có: (x + ỹ )z = X Z + ỹ Z IV3. Tích vô hướng của hai vectơ kx và ỹ là số thực kx ỹ với X, ỹ là các vectơ bất kì của V và k là số thực bất kì. IV4. Vối vectơ X bất kì của V ta có X X > 0 - Nếu X * 0 thì X X > 0 (hay có thể viết X2 > 0). - Nếu X = õ thì X2 = 0. 5. Nhóm V: Nhóm tiên để về đăt vectơ Với hai điểm bất kì A, B ta có thể đặt được vectơ Ạồ\ Gọi T là tập hợp điểm, nhóm tiên đề này mô tả ánh xạ: T X T -» V là phép toán đặt vectơ. Phép toán này đặt tương ứng giũa hai điểm A, B bất kì của T với một vectơ A Ế = X của V. Điểm A gọi là 29 điểm đầu, điểm B gọi là điểm cuối. Phép đặt vectơ thoả mãn hai tiên đề sau đây: v\: Với mỗi điểm cố định A thuộc tập hợp T và vectơ X bất kì thuộc V thì khi đó trong tập hợp T có điểm B duy nhất sao cho: A B = X V2: Tiên đề tam giác: với bất cứ ba điểm A, B, c ta có: -9 AB + BC = AC . Sau đây là một số định nghĩa của hình học phẳng ơclit xây dựng theo hệ tiên đề Waylơ. Định nghĩa 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AB là tập hợp điểm M sao cho AM và AB phụ thuộc tuyến tính. Đ ịnh n g h ĩa 2: Cho hai điểm phân biệt A , B . Đoạn thẳng AB là tập hợp điểm M sao cho AM = m AB với 0 < m < 1. Định nghĩa 3: Cho hai điểm phân biệt A, B. Tia AB là tập hợp điểm M sao cho AM = t AB vối t > 0. Đ ịnh n g h ĩa 4: Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu với cặp điểm A, B bất kì trên đường thẳng thứ nhất và cặp điểm c, D bất kì trên đường thẳng thứ hai, ta luôn có: AB CD =0Ỗ Đ ịnh n g h ĩa 5: Khoảng cách giữa hai điểm A và B là: d(A, B) = AB 2 30 §5. Mối quan hệ giữa các hệ tiên đề A. Sự khác nhau giữa các hệ tiên đề là ở nhóm tiên đề về toàn đẳng (bằng nhau) về phép dòi hình hoặc về khoảng cách, tức là khác nhau về các “mêtric hoá” không gian ơclit, tuy các cách làm đó tương đương. Thật vậy, nếu lấy một trong ba khái niệm cơ bản đó làm xuất phát điểm, ta có thể định nghĩa các khái niệm còn lại. Nếu lấy khái niệm toàn đẳng (bằng nhau) làm xuất phát điểm thì phép dòi hình là ánh xạ một đôi một biến cặp điểm A, B thành cặp điểm A’, B’ sao cho AB toàn đẳng với A’B’, còn khoảng cách (hay độ dài đoạn thẳng) là số không âm sao cho độ dài đoạn thẳng bằng tổng độ dài của các đoạn thẳng th àn h phần. Nếu lấy dòi hình làm khái niệm ban đầu thì hai hình là toàn đẳng nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia, còn khoảng cách được xem như một bất biến của phép dời hình. Nếu xuất phát từ khái niệm khoảng cách thì phép dời hình là ánh xạ một đối một bảo toàn khoảng cách còn hai đoạn thẳng toàn đẳng (bằng nhau) được xem là hai đoạn chẳng có khoảng cách (độ dài) bằng nhau. B. a. Hiện nay ở trường đại học và phổ thông nhiều nước trên thế giói, người ta không còn dùng hệ tiên đề Hinbe để trình bày hình học ơclit vì: - Gặp nhiều khó khăn không khắc phục nổi trong việc mở rộng số chiểu của không gian, mà việc nghiên cứu hình học nhiều chiều là đòi hỏi của thực tiễn. - Hinbe chưa sử dụng kiến thức về trường số thực nên gặp nhiều khó khăn khi trình bày tính liên tục. 31 - Không làm nổi bật cấu trúc bên trong của hình học ơclit, có thể nói hệ tiên đề Hinbe là hệ tiên đề cổ truyền của hình học ơclít. b. Sử dụng khái niệm cơ bản là phép dòi hình để trình bày hình học ơclít tuy còn những nhược điểm như hệ tiên đề Hinbe, nhưng lại có hai ưu điểm sau: - Thể hiện được quan điểm nhóm trong hình học, đặc biệt là nhóm dời hình. - Chứng minh một cách thống nhất các định lý của hình học sơ cấp bằng phép dòi hình. c. Sử dụng hệ tiên đề Waylơ thì có ưu điểm: - Học sinh nắm được mô hình của không gian vectơ. - Mở rộng số chiều của không gian một cách dễ dàng. - Thuận tiện trong việc xây dựng các loại không gian khác. Tuy nhiên cũng có nhược điểm là kém phát triển trí tưởng tượng không gian và trực giác hình học. Có thể nói hệ tiên đề Waylơ là hệ tiên đề hiện đại nhất để xây dựng hình học ơclít. §6. Hệ tiên để xây dựng hình học phổ thông V iệt Nam 6.1. Hệ tiên đề Pogorelov trong sách giáo khoa phổ thông Trong cuốn sách giáo khoa hình học viết cho học sinh phổ thông ở Nga, Viện sĩ Pogorelov đã nghiên cứu các hệ tiên để có trước đó và cải tiến sắp xếp trình bày lại cho phù hợp với trình độ tiếp thu của học sinh. Đây là hệ tiên để được làm căn cứ chủ yếu cho sự ra đòi của các cuốn sách giáo khoa hình học viết theo chương trình CCGD ở Việt Nam. 32 Hệ này gồm có 6 nhóm như sau: 1Ẻ Nhóm tiên đề về liên thuộc giữa điểm và đưòng thẳng trong mặt phẳng: Ij. Với một đường thẳng bất kì, có những điểm thuộc và có những điểm không thuộc đưòng thẳng đó. I2. Qua hai điểm phân biệt bất kì có một và chỉ một đường thẳng. 2. Nhóm tiên đề về vị trí tương đối của điểm trên đường thẳng và trên mặt phẳng: Nhóm này gồm có hai tiên đề: Hj. Với ba điểm thuộc một đưòng thẳng thì có một và chỉ một điểm ở giữa hai điểm còn lại. II2. Đưòng thẳng chia mặt phẳng ra làm hai nửa mặt phẳng. 3. Nhóm tiên để về đo đoạn thẳng và đo góc: III]. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định lốn hơn 0. Nếu điểm c ở giữa hai điểm A, B thì độ dài đoạn thẳng AB bằng tổng độ dài của các đoạn AC và CB. III2. Mỗi góc có một số đo độ xác định lón hơn 0. Góc bẹt có sô' đo bằng 180°. Nếu tia Oc ở giữa hai tia Oa, Ob thì số đo của góc aồb bằng tổng số’ đo của các gôc'aOc và'cOtr. 4. Nhóm tiên đề về đặt đoạn thẳng có độ dài cho trước và đặt góc có số đo cho trước: x IVj. Trên nửa đường thẳng Ox bất kì ta có thể đặt được một và chỉ một đoạn thẳng OA có độ dài cho trước (điểm A được xác định duy nhất). IV2. Trong nửa m ặt phẳng xác định bởi đường thẳng chứa nửa đường thẳng Ox ta có thể đặt được một và chỉ một góc 33 xOy có sô' đo cho trước (nửa đường thẳng Oy được xác định duy nhất). rv3. Cho tam giác ABC bất kì và tia AjX có một và chỉ một tam giác AxBiCi bằng tam giác ABC sao cho cạnh A1B1 nằm trên tia AjX và điểm C] thuộc nửa m ặt phang xác định bởi đường thẳng chứa tia AjX. 5. Nhóm tiên đề về song song: V. Trong m ặt phẳng cho một đường thẳng a bất kì và một điểm A bất kì không thuộc a có nhiều nhất là một đường thẳng đi qua A và không cắt a. 6 . Nhóm tiên đề về hình học không gian: yij. Với một m ặt phẳng bất kì có những điểm thuộc và không thuộc m ặt phẳng đó. VI2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường thẳng. VI3ử Nếu hai đường thẳng phân biệt có một điểm chung thì có một và chỉ một m ặt phẳng đi qua các đưòng thẳng đó. 6.2. Hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông Việt N am A. Hệ tiên đề hình học phẳng Hai hình cơ bản: Điểm, Đường thẳng. Hai quan hệ cơ bản: Điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa hai điểm khác. - Hai sô' đo cơ bản: Độ dài đoạn thẳng , số đo (độ) của góc. Iẵ Nhóm tiên để về liên thuộc Ij. Mỗi đường thẳng có những điểm thuộc đường thẳng và có những điểm không thuộc đường thẳng đó. I2. Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đưòng thẳng IIỄ Nhóm tiên đề liên quan tới khái niệm nằm gỉữa IIJằ Trong ba điểm thẳng hàng có một và chỉ một điểm nằm ặiữa hai điểm còn lại. 112. Bất kì đường thẳng a nào trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau. Đường thẳng a cắt đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai nửa mặt phang đối nhau (và không nằm trên a), đưòng thẳng a không cắt đoạn thẳng có hai đầu nằm trên cùng một nửa mặt phẳng và không nằm trên a. 113. Bất kì điểm 0 nào trên đường thẳng cũng là gốc chung của hai tia đối nhau. Điểm o nằm giũa hai điểm thuộc hai tia đối nhau (và phân biệt với điểm 0 ). III. Nhóm tiên để có liên quan đến khái niệm độ dài đoạn thẳng III !■ Mỗi đoạn thẳng có độ dài xác định lớn hơn 0. m 2ẵ Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì MA + MB = AB. III3. Với bất kì số m lốn hơn 0 nào, trên tia Ox cũng xẩc định được một điểm và chỉ một điểm M sao cho OM = ra. IV. Nhóm tiên để có liên quan đến khái niệm số đo góc rVj. Mỗi góc có sô" đo xác định lốn hơn 0; số đo (độ) của góc bẹt là 180°. rv2- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz thì xOy + yOz = xOz. IV3. Với bất kì sô" m nào sao cho 0 < m < 180 trên một mặt phẳng đã cho có bò là đường thẳng chứa tia Ox cũng xác định được một tia và chỉ một tia Oy sao cho'xOy = m ° . • V. Tiên đề về h a i ta m giác b ằn g n h au Nếu hai tam giác ABC, A’B’Ơ có Ằ=Ằ’, AB = A’B’, AC = A’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau. 35 VI. Tiên đề ơ clit Cho điểm A ngoài đường thẳng a. Đường thẳng qua A song song với đường thẳng a là đường thẳng duy nhất. Bề Hệ tiên đề của hình học không gian Khái niệm cơ bản giống như trong hình học phẳng, ngoài ra còn thêm khái niệm cơ bản “m ặt phẳng”. Hình học không gian được xây dựng trên 6 tiên đề sau đây: 1 . Có ít nhất bôn điểm không cùng thuộc một m ặt phẳng. 2. Có một và chỉ một m ặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. 3. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc m ặt phang đó. 4. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. 5. Trên mỗi m ặt phẳng các kết quả đã biết của hình học phẳng đểu đúng. 6. Mỗi đoạn thẳng trong không gian đều có một độ dài xác định. 6.3. Một số đặc điểm của giáo trình hình học phổ thông V iệt Nam A. Hình học phẳng 1 . Giáo trình hình học phẳng biên soạn theo quan điểm coi hình hình học là một tập hợp điểm. M ặt phẳng là tập hợp điểm cho trước. Các hình hình học phẳng khác là những tập hợp con của mặt phang. Những kiến thức (quan hệ, phép toán) về lí thuyết tập hợp được vận dụng coi như đã biết. Ngôn ngữ và một số kí hiệu của lí thuyết tập hợp được sử dụng. 36 2. Vì lí do sư phạm để tránh hệ thống kí hiệu cồng kềnh trong sách giáo khoa hình học nhiều khi một kí hiệu được dùng để chỉ nhiều khái niệm khác nhau. Vì vậy phải nắm vững nội dung chứa đựng trong kí hiệu. 3. Tuy có sử dụng kiến thức số (độ dài đoạn thẳng, số đo góc) để định nghĩa quan hệ hình học nhưng hệ thống kiến thức hình học vẫn mang tính độc lập (tương đối). Không gian toán học của hệ thống kiến thức là không gian động; các hình hình học được định nghĩa theo phương pháp kiến thiết; một nội dung quan trọng của hình học là nghiên cứu các phép biến hình. 4. Hình học phẳng ở THCS tự nó là một hệ thống tương đối hoàn chỉnh. Tất nhiên không thể đòi hỏi ở đây một cấu trúc lôgic chặt chẽ, thoả mãn các yêu cầu của một hệ tiên đề. Vì lí do sư phạm phải công nhận một sô" khái niệm, tuy rằng các khái niệm này có thể định nghĩa được (chẳng hạn: quan hệ “nằm giữa”, “số đo góc”...). Hình học phẳng ở THCS được xây dựng trên nền tảng lí thuyết tập hợp và lôgic toán, có sự công nhận trường sô" thực, với dụng ý nếu lắp ráp thêm đối tượng mới (là “ mặt phẳng ”) cùng với các tiên đề mới liên quan tối mặt phang thì có hình học không gian. Vì vậy hình học phẳng có vị trí quan trọng, đó là cơ sở ban đầu cho toàn bộ kiến thức hình học phổ thông. B. Hình học không gian 1. Kết hợp việc nghiên cứu quan hệ không gian vối hình không gian. Sau khi học quan hệ liên thuộc học sinh được học khái niệm hình tứ diện, hình chóp. Việc củng cô' kiến thức và rèn kĩ năng về quan hệ liên thuộc được gắn với việc nghiên cứu định nghĩa, 37 tính chất hình chóp. Với mô hình hình chóp, ta có chỗ dựa trực quan để giảng dạy hai đưòng thẳng chéo nhau, đường thắng và m ặt phẳng cắt nhau, hai m ặt phẳng cắt nhau, thiểt diện hình chóp tạo bỏi mặt phẳng nào đó. Sau khi học về quan hệ song song, học sinh được học khái niệm hình lăng trụ và hình hộp. Sau khi học về quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng học sinh được học khái niệm hình lăng trụ đứng, hình chóp đều. Cái lợi chủ yếu của việc kết hợp này là học sinh có điều kiện nhận thức sâu tính chất các quan hệ không gian và vận dụng các tính chất ấy trong nghiên cứu các hình không gian đơn giản. Nhược điểm của câu trúc này là học sinh khó thấy hệ thống các tính chất các hình lăng trụ, hình chóp. 2. Quan hệ vuông góc được trình bày dựa trên phương pháp tổng hợp ở lốp 1 1 và phương pháp véctơ ở lớp 1 2 : - Hai đường thẳng gọi là vuông góc nếu các vectơ chỉ phương của chúng vuông góc với nhau. - Một đường thẳng gọi là vuông góc vối một m ặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc vói cặp vectơ chỉ phương của m ặt phẳng. - Hai m ặt phẳng gọi là vuông góc nếu các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc. 38 Hướng dẫn học chương I Khi nghiên cứu chương I, để hiểu sâu sắc các tiên đề của các hệ tiên đề xây dựng hình học ơclit độc giả cần quan tâm nghiên cứu các thể hiện khác nhau của các hệ tiên đề (Hình học lơp 11, vectơ va các khái niệm về phép toán véctơ ỏ lớp 10 và lớp 12 THPT). Đặc biệt cần xét các dạng toán sau: - Tìm giao tuyến của hai m ặt phăng. - Tìm giao của một đường thẳng và mặt phăng. - Các bài toán thiết diện. Các bài toán của các dạng trên được vận dụng các tiên đề của hệ tiên đề Hinbe. Các dạng toán này được xét kĩ ở chương II. 39 CHƯƠNG n s ự LIÊN THUỘC GIỮA CÁC HÌNH QUAN HỆ SONG SONG, QUAN HỆ VUÔNG GÓC Cơ sở lí thuyết của chương này đã được trình bày trong chương I, trong toán học phổ thông và hình học giải tích ở các trường Đại học sư phạm. Mục đích của chương trình này bao gồm việc khai thác sâu một sô" trọng điểm của toán học phổ thông, giúp sinh viên phát triển năng lực định hướng tốt hơn khi giải toán. Đặc biệt trong chương trình này chú trọng nhấn mạnh các cơ sở của việc lựa chọn các công cụ để giải các dạng toán hình học ở trường phổ thông, đồng thời chú trọng các dạng toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giải toán. Ngoài các mục đích cơ bản trên, nội dung được xét trong chương này nhằm tạo sự nối khớp và khắc sâu các ứng dụng của phương pháp tiên đề đã được nêu ở chương I. Để nhằm mục đích trên chúng tôi chú trọng: - Khai thác sâu vai trò của các bất biến, của phép chiếu song song, đặc biệt là phép chiếu vuông góc trong giải toán. - Phát triển cho sinh viên năng lực chuyển đổi ngôn ngữ trong các ngôn ngữ giải toán hình học: ngôn ngữ của hình học tổng hợp, ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toạ độ. - Tuỳ từng trường hợp có thể chúng tôi quan tâm các định hướng của toán học cao cấp, toán học hiện đại sau đó chuyển tải sang ngôn ngữ của toán học phổ thông. 40 Từ những lí do nêu trên cấu trúc chương này bao gồm: §1. Các bài toán về sự liên thuộc. - Các bài toán về sự thẳng hàng (điểm thuộc hai mặt phẳng cắt nhau), các bài toán đồng phang, các điểm thuộc mặt cầu. - Các bài toán đồng quy. §2. Quan hệ song song, phép chiếu song song. - Một số cơ sở định hướng. - Các bất biến của phép chiếu song song. - ứng dụng giải toán. §3. Quan hệ vuông góc. - Một số quy trình giải toán. - ứng dụng. §4. Seminar (dành cho sinh viên). Chủ đề: Định hưống cao cấp giải các bài toán sơ cấp. §1. Các bài toán về sự liên thuộc giữa các hình Để giải các bài toán về sự thẳng hàng, các điểm' thuộc mặt phẳng, các đường thẳng đồng quy, các mặt phẳng đi qua một điểm, tập hợp điểm thuộc mặt cầu chúng ta quan tâm cơ sở lí thuyết về các quy trình cụ thể sau: l ế Để chứng minh ba điểm A, B, c thuộc một đường thẳng chúng ta có thể sử dụng một trong các quy trình thường dùng sau (được phát biểu dưới dạng thu gọn): a) A, B, c thẳng hàng <=> AB, BC cùng song song với đường thẳng A nào đó (Tiên đề ơclít). 41 b) A, B, c thẳng hàng o A, B, c thuộc hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q) (các tiên đề liên thuộc). c) A, B, c thẳng hàng e> AB = k AC (Có thể thay bằng các điểm chung B, C). d) A, B, c thẳng hàng <=> Phương trình đường thẳng AB (trong mặt phẳng hay không gian) nghiệm đúng toạ độ của c. Ngoài các quy trình trên, chúng ta có thể sử dụng định lí Talét, định lí Mênêlauýt, sử dụng tính chất của góc đối đỉnh hoặc góc kề bù. Xem là bài tập, hãy xây dựng quy trình dùng định lí Talét. 2. Chứng minh tập hợp điểm thuộc một m ặt phẳng: Trưốc hết chúng ta quan tâm mệnh đề: “Nếu cho n điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nếu mọi bộ 4 điểm thuộc một m ặt phẳng thì n điểm thuộc một mặt phẳng (đồng phang)”; Đề nghị bạn đọc tự chứng minh. Chúng ta có thể tiến hành theo các quy trình sau để chứng minh (được phát biểu dạng thu gọn các bước): a) A, B, c thuộc một m ặt phẳng <=> AB, AC, AD cùng song song với m ặt phẳng a hoặc vuông góc với đường thẳng (A) nào đó, hoặc AB cắt CD (AC cắt BD). b) A, B, c, D thuộc một mặt phẳng <=> Các vectơ AB , AC , AD đồng phẳng. c) A, B, c, D thuộc một m ặt phẳng <=> Phương trình mặt phang ( a ) qua ba điểm A, B, c trong hệ toạ độ trực chuẩn không gian nghiệm đúng toạ độ của D. 42 d) A, B, c, D thuộc một mặt phẳng <=> A, B, c, D là ảnh của 4 điểm Aj, A2, A3, A4 thuộc một mặt phẳng qua phép vị tự V0k. Chú ý: Ngoài các quy trình đã nêu, để nhằm khai thác các phương pháp khác nhau giải một bài toán chúng ta có thể sử dụng định lý Mênêlauýt áp dụng cho tứ giác ghềnh sau đây: “Bốn điểm A, B, c, D lần lượt thuộc các cạnh MN, NP, PQ, QM của tứ giác ghềnh MNPQ đồng phẳng khi và chỉ khi AM BN CP DQ „ A N ' B P ễCQệDM~ Bạn đọc tự chứng minh mệnh đề trên, lưu ý thêm ỏ điểu kiện cần vẽ thêm các đường thẳng vuông góc từ M, N, p, Q đến mặt phẳng (ABCD) và sử dụng định lí Talét. 3. Chứng minh các đường thẳng đồng quy Để chứng minh n đưòng thẳng trong mặt phẳng hay trong không gian đồng quy chúng ta sử dụng các các mệnh đề sau: a) Cho n đường thẳng, nếu ba đường thẳng bất kỳ trong chúng đồng quy thì n đường thẳng đồng quy. b) n đường thẳng bất kì đôi một cắt nhau, nếu chúng không đồng phẳng thì đồng quy. c) Chỉ ra một điểm xác định mỗi đường qua điểm đó. Chú ý: Có thể sử dụng một số định lí quen thuộc: Định lý Xêva, định lý về đường đối cực. 4. Chứng minh n mặt phẳng cùng đi qua một điểm: Để chứng minh có thể sử dụng các mệnh đề sau: a) Nếu n m ặt phảng sao cho bốn m ặt phẳng bất kỳ trong chúng chỉ có một điểm chung duy n hất thì n m ặt phẳng đồng quy. 43 b) Chỉ ra một điểm xác định để mọi m ặt phẳng đi qua. Dưới đây là các ví dụ minh hoạ cho các dạng toán và các quy trình trên: B à i to á n 1: Cho tam giác ABC. Gọi o , G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng ba điểm o , G, H thuộc một đường thẳng (đường thẳng ơle). Chứng minh: (Xem H .l) ^ Cách T. Sử dụng góc đôì đỉnh. Ta đã có A, G, M thẳng hàng. / h \ N ——— = —, OMG — HAG (Các GM 1 r \T u ír ^ -x i\ñ ^ n ^ / / K \ n K GA 2 góc so le trong), trong đó M, N B lần lượt là trung điểm của BC và CA. Để chứng minh A, G, M thẳng hàng ta chứng minh OGM ^ ÌÌG A .^ T ừ đó dẫn tới chứng minh A GHA~ A GOM. V- ° \ M (H.l) Bài toán dẫn tới chứng minh: OM = — AH. 2 Gọi K là điểm xuyên tâm đối của B. Từ tính chất đường trung bình suy ra OM = -C K . Tứ giác AHCK là hình bình hành, nên AH=CK=2.0M. Từ đó suy ra điểu phải chứng minh. Cách 2. A, G, M thẳng hàng o GH = k. GO , tìm k. Chú ý: AH= KC và từ đó OM = - . AH . 2 44 Ta có: GH = GA + AH = - 2 GM +20M = -(2GM +M 0 )= -2 GO , suy ra điều phải chứng minh. Cách 3: Thực hiện phép vị tự Vc ~ 2 . Khi đó, ảnh của các _L „ _ điểm A, B, c tương ứng qua VG 2 là M, N, p (P là trung điểm I cạnh AB). Trực tâm H có ảnh qua VG ~2 là trực tâm H’ của tam giác MNP. Dễ thấy H’ = o , suy ra điều phải chứng minh. Bài toán 2: Chứng minh rằng trong một tứ diện trực tâm thì trực tâm H, trọng tâm G và tâm 0 mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó thẳng hàng và GH = GO. Chứng minh: (Xem H.2) Giả sử ABCD là tứ diện trực tâm (các đường cao đồng quy). Gọi G là trọng tâm, khi đó G là trung điểm của đoạn MK nối các trung điểm các cạnh CD và AB. Tâm 0 mặt cầu ngoại tiếp thuộc trục của đường tròn B ngoại tiếp ABCD và mặt phẳng trung trực của CD. AG n (BCD) = G1; khi c đó Gt là trọng tâm ABCD. 2) Theo tính chất tứ diện trực tâm, Aj = (BCD) n AH là trực tâm của ABCD. Khi đó, theo bài toán 1 , suy ra Aj, Gj, Oj thẳng hàng. Mặt phẳng (A A ^ ) chứa A.G, nên chứa OlẾ Do 0 )0 // AAj vì cùng vuông góc với (BCD) nên ta suy ra o thuộc mặt phẳng (AA^O,). Lạp luận tưdng tự H, G, o thuộc mặt phẩng (BB,G2) trong đó B, là trực tâm AACD, G2 là trọng tâm AACD. Vậy H, G, o thuộc giao tuyến của hai m ặt phẳng trên, suy ra điểu phải chứng minh. Gọi I là giao của đường thẳng vẽ qua G, song song với AH và Aịơ !. Theo đinh lí Talét ta có ^5- = — . GO IOị Ta lại có: IAị GA 3 IAị _ 3 IAị 3 IAị 3 IGj " GG1 ~ 1 ° IAj + IGj " 4 ° AịG j ” 4 ° 2 ô ~ 4 ° 3 '■ 1 4 3 2 suy ra điều phải chứng minh. Chú ý: Có thể lập luận chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của H, o , G lên hai mặt phẳng chứa hai mặt của tứ diện có ảnh là các điểm thẳng hàng. Bài toán 3: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (s). Các đường thẳng song song vẽ qua A, B, c lần lượt cắt (s) tại các điểm Als Bj, Cj tương ứng khác A, B, c. Gọi Hj, H2, H3 lần lượt là các trực tâm của các tam giác A ^ c , BtCA, C^AB. Chứng minh rằng các điểm H, Hj, H2, H3 cùng thuộc một đường thẳng. Chứng minh: (Xem H.3). Tníốc hết cần chứng minh: ÕH = ÕA + ÕB + õc 46 trong đó o , H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực t â m của (e). Thật vậy, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó: ÕH = 3. ÕG (1 ) Mặt khác, G là trọng tâm suy ra: OG = — (ÕA + ÕB + ÕC) (2) 3 Thay (2) vào (1 ) suy ra: ÕH = ÕA + ÕB + õ c (3) Tương tự ta cũng có: 05*! = ÕÃÌ + ÕB + õ c (4) ỏ ĩĩ2 = ÕBÌ +ÕA + õ c (5) ÕĨỈ3 = õc*! +ÕA + ÕB (6) Từ (3), (4) suy ra: HIỈ! = A A 1 . Từ (3), (5) suy ra: HH2 = BBj . Do AAj // BIỈ! nên BBj = X. AAX , suy ra HH2 = X. HIỈ! . Do đó, H, Hj, H2 thẳng hàng. Tương tự H, H 1; H3 thẳng hàng. Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. Bài toán 4: Qua các đỉnh A, B, c, D của hình bình hành dựng các đường thẳng a, b, c, d tương ứng song song với nhau và trên chúng lần lượt lấy các điểm tương ứng A,, Bj, Cj, Dj. 1 ) Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm các đoạn và trung điểm luôn đi qua một điểm cô định. 47 2) Aj , Bi , Cj , D, thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi trung điểm của A ^ ! và trung điểm B ^ ! trùng nhau. Chứng minh: (Xem H.4) 1 ) Gọi I, J, 0 lần lượt là các trung điểm các đoạn AiC1; và trung điểm các đường chéo hình bình hành ABCD. Áp dụng định lý Talét suy ra 01, 0 J cùng song song với phương AAj. Từ đó, 01 = 0 J, suy ra IJ đi qua điểm o điểm cố định. 2) Giả sử A1; Bj, Ci , Dj thuộc m ặt phẳng (a). Từ các định lý về đường thẳng và mặt phẳng song song suy ra AịI^CịD! là hình bình hành. Từ đó, I trùng J. Mệnh đề ngược lại hiển nhiên. Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các chân đường vuông góc hạ từ D lên các mặt phân giác trong và ngoài của các góc nhị diện có cạnh AB, BC, CA của tứ diện thuộc một m ặt phẳng. Chứng minh: (Xem H.5). Giả sử Hj, H2 là hình chiêu của D lên các m ặt phân giác trong và ngoài của nhị diện cạnh AB; H3, H4 là hình chiếu của D lên các mặt phân 48 (H.5) giác trong và ngoài của nhị diện cạnh BC; H5, H6 tương ứng là hình chiếu của D lên các mặt phân giác trong và ngoài của nhị diện cạnh CA. Giả sử DHj cắt mặt phẳng (ABC) tại Dị. Khi đó, a b nên mặt phẳng qua DDj vuông góc với AB tại I và DIDj là góc phẳng của nhị diện. Từ đó, Ổ JD , = HjID, suy ra A HJDj = A HjID nên HjÜ! = HjD. Do vậy, DH, = — DD, . Tổng quát: DH¡ = — DD¡ , i = 1,6, suy ra H¡ là ảnh của D¡ _____ 2 thuộc mặt phẳng (ABC) qua phép vị tự: VD2 . Bài toán 6: Một m ặt cầu tiếp xúc vối các cạnh AS, BS, BC, AC của hình chóp tam giác SABC tại các điểm K, L, M, N tương ứng. Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N thuộc một mặt phẳng. Giải: (Xem H.6) Dựng mặt phẳng (SEF) song song vối m ặt phẳng (LMN), E e AC; F G BC. Khi đó EF // MN. Do CM = CN (các đoạn tiếp tuyến vẽ từ điểm C) suy ra tam giác CEF cân. Từ đó NE = MF (1 )Ể Do tam giác ^ BLM cân nên tam giác BSF cân. Từ đó MF = LS (2). Vì SL = SK suy ra MF = SK. Từ (1), (2) suy ra NE = KS (3). Do AK = AN (4). Từ (3), (4) suy ra KN // SE suy ra K, L, M, N đồng phẳng. 49 Chú ý: Có thể sử dụng định lí Mênêlaúyt trong không gian để giải bài toán trên như sau: Ta có các đoạn tiếp tuyến vẽ từ một điểm tới mặt cầu bằng nhau. Từ đó, KS NA MC LB w M ĩ 2 r-— - = 1 <=>K,L,M.N đống phăng. KA NC MB LS N h ă n x é t. Bài toán chứng minh tập hợp điểm thuộc mặt cầu được xét cùng tuyến với dạng toán trên, chú ý cần sử dụng các đinh nghĩa tương đương về mặt cầu theo tâm, bán kính hoặc theo đường kính: Mặt cầu đường kính AB là tập hợp {M / AMB = 90 }. Ngoài ra có thể xem tập hợp cần chứng minh thuộc m ặt cầu là ảnh của tập hợp điểm tương ứng thuộc m ặt cầu qua phép dời hình hoặc phép đồng dạng xác định. Ngoài các nhận xét trên để chứng minh tập hợp điểm thuộc m ặt cầu ta có thể sử dụng mệnh đề: “Hai đường tròn cắt nhau lần lượt thuộc hai mặt phẳng cắt nhau nằm trên một m ặt cầu”; Bạn đọc tự chứng minh mệnh để trên. Sau đây là các ví dụ minh hoạ. Bài to á n 7: Cho tứ diện ABCD có các đường cao AAj, BBj, CCj, DDj đồng quy tại H, bốn trọng tâm M, N, p, Q của bốn mặt tương ứng đối diện với các đỉnh A, B, c , D và bốn điểm I, J, K, F thuộc các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD sao cho i ẩ : ẩ ¥ - 5 ■" '■ « I, J, K, F thuộc một m ặt cầu (mặt cầu 12 điểm). 50 Chứng minh: (Xem H.7) Giả sử s là điểm đối xứng của A qua tâm o của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện đã cho; H là trực tâm, G là trọng tâm của tứ diện đó. Gọi E là điểm sao cho HE = 3HA, (1) Trước hết chứng minh HM = - HS ẵ 3 Theo bài toán 2, các điểm G, M thuộc mặt phang (HAO) và HM = HG + GM = = -H O + - A G = = 2 3 - HO + - (Äo + OG) = 2 3 = — HO + — AO - — GO = 2 3 3 = - (HO + A O ) = - (HO + 3 3 Từ các hệ thức (1 ), (2) suy hay E thuộc mặt cầu (0). A A,M // ES và từ đó AES = chứng tỏ các điểm I, Al5 M là ảnh của các điểm A, E, s thuộc m ặt cầu (O) qua phép vị tự VH , suy ra đpcm. Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nối tâm o của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD vối đỉnh A, cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm tương ứng M, N, p thì sáu điểm B, c, D, M, N, p thuộc một mặt cầu. Chứng minh: (Xem H.8) Trước hết cần chứng minh mệnh đề sau trong hình học phẳng: “Nếu đường thẳng vuông góc vối đoạn thẳng nối tâm vòng tròn ngoại tiếp với đỉnh A của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC tại các điểm M, N tương ứng thì bốn điểm B, c, N, M thuộc một đường tròn”. Ta gọi Oj là hình chiếu của o lên mặt phẳng (ABC). Do OA = OB = o c suy ra các hình chiếu OjA = OiB = OjC hay o 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ giả thiết và từ OOi± (ABC) suy ra MN _L OjA và từ đó B, c, N, M thuộc một đường tròn. Lập luận tương tự PNCD là tứ giác nội tiếp. Hai đường tròn (BMNC) và (CNPD) thuộc hai m ặt phẳng cắt nhau và chúng cắt nhau tại hai điểm c , N. Do hai đường tròn trên thuộc m ặt cầu, ta suy ra 6 điểm B, c, D, M, N, p thuộc một mặt cầu. 52 Bài toán 9: Cho một hình đa diện có sáu mặt, tất cả các mặt đều là tứ giác. Biết rằng 7 trong 8 đỉnh của nó thuộc một mặt cầu. Chứng minh rằng đỉnh thứ tám cũng thuộc mặt cầu đó. Chứng minh: (Xem H.9). Giả sử trừ đỉnh c, các đỉnh còn lại thuộc mặt cầu (0). Gọi Ci là giao điểm của KC với mặt cầu. Ta cần chứng minh Cl trùng c. Ký hiệu FEL là số đo nhị diện (E, F0, L), các nhị diện còn lại được kí hiệu tương tự. Khi đó có thể chứng minh được các đẳng thức sau nhò định lý hàm số Côsin trong góc tam diện: 'FEÍ + fîa ; =1fK + ÎSLK A E F+^B F^ÍSA B +"EFB 'AEL +ẤDL =1ÍLD +EAD fK C j + fB C , = KFB + K C Ỉ ÍK ồ ! + LDC, = KLD + K cJ) (H.9) Cộng theo vê và sử dụng tổng ba góc nhị diện bất kì có chung cạnh bằng 2n suy ra: ABC + I d Cj = RAD + BC]D nên OA, OB, OD, OC! là các đường sinh của hình nón. Do đó C] thuộc mặt phẳng (ABD), suy r a C s Cj. 53 Bài toán 10: Đường cao của hình chóp bằng 2, đáy của hình chóp là hình thoi diên tích bằng 8, góc nhon ở đáy bằng — . Môt măt 6 cầu tiếp xúc với các mặt bên tại các điểm thuộc cạnh đáy. Chứng minh rằng đưòng nối tâm mặt cầu và đỉnh hình chóp đi qua giao điểm các đường chéo đáy và tính bán kính của mặt cầu nói trên. Giải: (Xem H.10) Giả sử mặt cầu tâm o tiếp xúc vối các mặt SAD, SAB, SBC, SCD tại các điểm El, E2, E3, E4. Khi đó, OEj = OE2 = OE3 = OE4 bằng bán kính của (0). Do các tiếp tuyến của mặt cầu xuất phát từ s bằng nhau nên SE, = SE2 = sẾ3 = SE4. s Từ đó, ASE,0 = ASE20 = =ASE30 = ASE40 nên các đường cao vẽ từ Ej, E2, E3i E4 có chân trùng nhau tại H. Do HEi, HE2, HE3, HE4 cùng vuông góc vối s o nên E1; E2, E3, E4 cùng thuộc mặt phẳng (ABCD). Do H cách đều các cạnh nên H là giao các đường chéo của hình thoi, hay AC, BD, s o đồng quy. Cạnh của hình thoi là X được tính theo công thức x 2sin — = 8 <^> X = 4. Ta lại có: (H.10) 2HE, = - S - 2 => SE, = *JsH2 + HEf = . 54 Từ hệ:|SE? +OEf =SOz [se? = SH.SO, suy ra OE|. Bài to án 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, AB//CD, AB > CD. Mặt phẳng (P) quay quanh AD cắt SB, s c lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng đưòng thẳng qua giao điểm của AE, DF và giao điểm các đường chéo AF, DE của tứ giác AEFD luôn đi qua một điểm cố định. Chứng minh: Giả sử N là giao điểm các đường chéo AF, DE của tứ giác AEFD, o là giao hai đường chéo của hình thang. Khi đó s o qua N. Gọi M = AE r> DF, khi đó MN thuộc mặt phẳng (SOK), trong đó SK là đường thẳng song song với DC, (SOK) cố định, MN cắt AD tại H. Khi đó H là điểm cố định vì giao của một đường thẳng và mặt phẳng cố định. Bài toán 12: Chứng minh A rằng 6 mặt phẳng, mỗi m ặt đi qua trung điểm mỗi cạnh của tứ diện và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy (qua một điểm chung duy nhất). Chứng minh: (Xem H .ll). Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, khi đó G là trung điểm MN (M, N là trung điểm của AB và CD tương ứng), o là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Khi đó, o thuộc mặt phang trung trực của CD. 55 Như vậy mặt phẳng qua M vuông góc với CD tại K song song với mặt phẳng trung trực của CD. Hai m ặt phang này cắt mặt phẳng (OGN), trong đó N là trung điểm CD, theo hai giao tuyến song song MH và NO. Hai tam giác GON và GHM bằng nhau theo dấu hiệu (g.c.g) suy ra GO = GH, nghĩa là H là điểm đối xứng của o qua G. Lập luận tương tự cho 5 m ặt phẳng còn lại qua các trung điểm các cạnh AC, AD, BC, BD, CD và vuông góc với cạnh đối diện cũng đi qua H cố định. Chú ý: Mệnh để trên đúng vói mọi tứ diện. Riêng đối vối tứ diện trực tâm thì điểm H chính là trực tâm của tứ diện đó và sáu mặt phẳng nói trên là sáu m ặt phẳng lần lượt chứa mỗi cạnh và vuông góc vối cạnh đối diện của tứ diện đó. Bạn đọc xét tiếp các trường hợp tứ diện gần đều và các tứ diện đặc biệt khác. §2. Quan hệ song song, phép chiếu song song Trong mục này nhằm khai thác vai trò của định lý Talét (thuận, đảo); các bất biến của phép chiếu song song và đặc biệt là phép chiếu vuông góc: 1 . Định lí Talét đảo: “Nếu hai bộ ba điểm (A.B.C) và (A\B\Ơ) theo thứ tự đó thuộc hai đường chéo nhau sao cho BA: BC = B’A : B’C thì tồn tại duy nhất ba m ặt phẳng (P), (R), (Q) lần lượt qua AA’, BB’, CC’ và (P)//(Q) // (R) Chứng minh: (Xem H.12) 56 Do AA’ và CC’ chéo nhau nên tồn tại cặp mặt phẳng (P), (Q) duy nhất chứa AA’ và CC’ sao cho (P)//(Q) (sử dụng phương pháp phản chứng). Dựng mặt phẳng (R) qua B sao cho (R) // (P); khi đó (R) phải cắt A’C’ tại B,\ Từ định lí thuận suy ra BA : BC = B^A’ : B/C’, kết hợp vối đẳng thức trên dẫn tới Bj’ = B’, suy ra điều phải chứng minh. 2. Các đọc giả cần thông qua thực hành giải toán để nắm vững các bất biến sau đây của phép chiếu song song (đặc biệt là phép chiếu vuông góc). Có thể phép chiếu song song thích hợp để xác định các bất biến sau: a. Ba điểm thẳng hàng (không thuộc đường thẳng song song với phương chiếu). b. Đường thẳng, đoạn thẳng, tia, tam giác, tứ giác... c. Tỉ số của hai đoạn cùng phương (khác phương chiếu A lên mặt phẳng (P)). Từ đó, trung điểm là bất biến qua phép chiếu song song. d. Hai đưòng thẳng song song (không thuộc m ặt phẳng song song với phương chiếu). e. Hình bình hành. f. Độ dài đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu (P)./N ’ y Riêng đối với phép chiếuO’ M’ X’ vuông góc chú ý các bất biến sau: - Góc vuông biến thành góc 57 vuông khi và chỉ khi có một cạnh song song với m ặt phẳng chiếu hoặc thuộc mặt phẳng chiếu và cạnh kia không vuông góc với m ặt phẳng chiếu. 1 ). Giả sử Ox // (P) (mặt phẳng chiếu) hoặc Ox c (P) (xem H.13) và Oy không vuông góc với (P). Khi đó, 0 ’x’ // (P). Do 0 ’ x’ vuông góc với phương chiếu, 0 ’x’ // Ox (hoặc trùng) nên 0 ’x’ vuông góc với Oy và NN\ Từ đó, 0 ’x’ vuông góc với m ặt phẳng (Oy, 0 ’y’) nên 0 ’x’ -L 0 ’y’. song song hoặc thuộc m ặt phẳng chiếu thì bài toán được giải. Giả sử ngược lại, ta có Ox và Ox’ cắt nhau tại một điểm thuộc (P) xác định m ặt phẳng (Ox, Ox’). Do 0 ’x’ _L 0 ’y’ và 0 ’x’± 0 0 ’ nên 0 ’x’ JL Oy; M ặt khác, do Oy 1 Ox và từ trên suy ra Oy J_ (Ox, 0 ’x’). Mặt phẳng (Ox, 0 ’x’) JL (P) và Oy -L (Ox, 0 ’x’) nên Oy // (P). Chú ý: Phép chiếu vuông góc có mọi bất biến của phép chiếu song song và bất biến quan trọng vừa nêu. Ngoài ra, đối vối phép chiếu vuông góc cần chú ý đến mệnh đề: “Nêu đa giác lồi D có diện tích s thuộc m ặt phẳng (R) tạo với m ặt phẳng (P) một góc a thì diện tích S’ của hình chiếu D’ của D được tính theo công thức S’ = s cos a Khi đó, nếu (R) // (P) thì S’ = s, (R) 1 (P) thì S’ = 0. 58 Các b ài to á n ứng d ụ n g đ ịn h ỉí T alét Bài to á n 13: Một đường thẳng chuyển động luôn luôn song song với mặt phẳng (a) cố đỉnh và tựa trên hai đường thang chéo nhau a, b tại hai điểm M, N. Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho — = k (k là số dương cho trước). Giải: (Xem H.14) Không làm m ất tính tổng quát giả sử a, b cắt (a) tại hai điểm M], N! và Ỉ! là điểm giới hạn của quỹ tích. Theo định lí đảo của định lí Talét thì I, Ij thuộc m ặt phẳng song song với a, b đó là mặt phẳng (lo, Ej, Ỉ!) với lo e MqNo sao cho: IíiMíL = Jc ệ Trong m ăt phẳng IoNo “ (H.14) này ta sẽ chứng minh lo, I, I, thẳng hàng. Như vậy, chúng ta chuyển về bài toán phẩng; trong đó lo, E, Ẽ! thuộc đường thẳng song song với a, Ej e (a) và M K //M 1K1////M 0N0. Theo đinh lí Talét phẳng: ---- - = — (1 )_ IoE, N0K, K,N, Măt khác, ta cóKN MK 59 Từ (1), (2) suy ra: = -Ỉ2ỈL nên lo, I, I, thẳng hàng, vậy I E,I, I0E, thuộc I0Ii Ngược lại, chúng ta chứng minh được, nếu I thuộc đoạn I0Ij thì tồn tai đoan MN sao cho MN // (a), M G a, N G b và — = k. IN Vậy tập các điểm I là đường thẳng I0Ii (trừ điểm li). Bài to á n 14: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC sao cho các điểm A, B, c di động lần lượt thuộc các đường thẳng a, b, c chéo nhau đã cho. Giải: Giả sử M là trung điểm cạnh AB, khi đó = 1. sử dụng MB định lí Talét đảo ta có tập điểm M là mặt phẳng (a) song song cách đều a, b. Vối mỗi Co cô" định thuộc c, nếu G là trọng tâm tam giác — > 2 ----- * ABCo thì C0G = —C0M . Suy ra G thuộc m ặt phẳng (a’) ảnh 2 của (a) qua phép vị tự V(ỉ . Từ đó, nếu c // (a) thì quỹ tích là mặt phẳng (a’) song song vói (a); nếu c Ti (a) thì quỹ tích là tập hợp tất cả các m ặt phẳng (ex’) ảnh của (a) qua phép vị tự tâm là ■) v 9 2 điêm thuộc đưòng thăng c tỉ sô bằng —. Bài to á n 15: Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC sao cho A, B, c lần lượt thuộc ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c và mặt phang (ABC) song song với m ặt phẳng (a) cho trước. Lòi giải tóm tắt: Giả sử M là trung điểm đoạn AB khi đó quỹ tích của M sao cho AB // (a) và = 1 là đường A theo bài 4 3 MB toán 13. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó = —, do đó GC 2 quỹ tích G là đường thẳng 6 (theo bài toán 13), với c e c, M e A. Bài to án 16: Cho hình lập phương ABCDA^iCịD!- Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AD, BBj sao cho AM = BN. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn song song với một mặt phang cố định. Giải: Do nên theo định lí Talét đảo suy ra MN // (CDĨỈ!). MD NB, Các bài toán ứng dụng phép chiếu song song Chú ý: Đối với các bài toán Aphin (chứa đựng các bất biến Aphin) chúng ta thường chọn các phép chiếu song song thích hợp để chuyển các bài toán về bài toán phang. Bài to á n 17: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c. Dựng đường thẳng A cắt a, b, c lần lượt tại A, B, c sao cho BA— = k (k > 0 cho trưóc). BC Giải: (Xem H.15). 61 Giả sử I, J, K là ba điểm thuộc ba đường thẳng đã cho xác định mặt phẳng (P). Bài toán trên chỉ chứa các bất biến Aphin cũng là bất biến của phép chiếu song song: đường thẳng, thẳng hàng, tỉ số các đoạn cùng phương. Sử dụng phép chiếu song song theo phương (H.15) b lên m ặt phẳng (P) dẫn tới bài toán phang sau: “Cho góc xOy và điểm J nằm trong góc đó. Dựng qua J cát JA' tuyến A’C’ sao cho — r = k JC Bài toán phẳng được giải nhò sử dụng phép vị tự V jk. Bạn đọc hãy giải bài toán phẳng và chuyển sang bài toán không gian với chú ý: Ox s a’; Oy s b’ là ảnh của a, b lên m ặt phẳng (P) qua phép chiếu trên. Bài to á n 18: Tứ diện ABCD có diện tích các m ặt bằng nhau. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện đó bằng nhau từng đôi một. Chứng minh: (Xem H.16). Trước hết chứng minh mệnh đề: “ Nếu tứ diện có các mặt có diện tích bằng nhau thì đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đi qua trung điểm của mỗi cạnh đó Giả sử MN là 62 đường vuông góc chung của AB, CD. Vẽ các đường cao CH, DK. Từ giả thiết suy ra DK = CH và DK, CH, MN cùng song song với mặt phang (P) vuông góc với đường thẳng AB. Thực hiện phép chiêu vuông góc lên mặt phẳng (P): các điểm A, K, M, H, B có ảnh là O; DK song song với (P) có ảnh là OD’ và oư = KD; CH song song với (P) có ành là o c và ÓC’ = CH. Từ đóOD' = o c . Do ANM = 90° nên MN // (P), DC không vuông góc với (P) nen ONT)’ = 90°. Từ tam giác cân OD’Ư suy ra N' là trung điểm C’D\ Từ đó N là trung điểm CD. Lập luận tương / (H.16) tự cho phép chiếu vuông góc phương CD lẽn mặt phang (Q) J_ CD ta có M là trung điểm canh AB. và từ đó các đường vuông góc chung của các cặp cạnh khác cũng đỉ qua trung điểm của chứng. Thực hiện phép đốì xứng trục MN (Đyx) . Đxcõ A H B. D c suy ra AD = BC Đyp,-: B H A. D H c suy ra BD = AC. 63 Tương tự đối xứng qua trục khác suy ra: AB = CD. Bài to á n 19: Chứng minh rằng tổng các bình phương các hình chiếu các cạnh của hình lập phương cạnh bằng a lên mặt phẳng nào đó bằng một đại lượng không đổi 8a2. Chứng minh: (Xem h.17) Nếu chiếu lên một mặt phẳng chứa một m ặt của hình lập phương kết quả hiển nhiên. Giả sử đường thẳng A song song vối phương chiếu qua đỉnh A của hình lập phương và g mặt phẳng chiếu (P) vuông góc với A. Khi đó, các hình chiếu của các cạnh AB, AD, AAj chính bằng các đoạn BH, DI, AjK vuông góc với A tại H, I, K; (H-17) BH = asina; DI = asiny ; KAj = asinP; trong đó a, p, y là góc tạo bởi AB, AD, AAị với A. Ta có: BH2 + DI2 + KA2) = a2(sin2a+ sin2p + sin*y) = 2a2. Trong hình lập phương theo phương AB có bốn cạnh, tương tự đối với AAj và AD. Vậy tổng tấ t cả các bình phương các hình chiếu cạnh của hình lập phương bằng: 4.2a2 = 8a2. B ài to á n 2 0: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD; SA, SB, s c, SD lần lượt là diện tích các mặt đối diện các đỉnh A, B, c, D; A|, A2, A3, A4 là các hình chiếu của G lên các m ặt BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng: 64 SA2. GA, + SB2. GB, + Sc2 - GCị + SD2. GD, = 0 . Hướng dẫn giải: Sử dụng công thúc S’ = s cosa và sử dụng G là trọng tâm thì: GA, = —h ;GB, = - h . ;GC, = - h ;GD, = -h.. 1 4 a 1 4 b 1 4 c 1 4 d Chứng minh rằng véctơ vế trái vuông góc với các vectơ GAị, GBj, GCị . §3. Quan hệ vuông góc Quan hệ vuông góc nói riêng, các bài toán lượng nói chung trong toán học cao cấp được xây dựng từ tích vô hướng, vổi các tiên đề bổ sung tương ứng sẽ biến không gian aphin thành không gian véctơ ơclít, hoặc từ hình học đồng dạng. Những điều nói vẫn gọn ở trên chứa đựng một ý tưởng lớn trong giải toán. Độ dài đoạn thẳng MN được tính theo công Điều này chứng tỏ rằng đối với các dạng toán liên quan đến độ dài chúng ta thường sử dụng tích vô hướng. Tích vô hướng cho phép giải nhiều dạng toán. Chẳng hạn, để chứng minh đưòng thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta chứng minh ũ.v = 0 trong đó Ũ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và V là véctơ chỉ phương của b. Mệnh đề khác tương tự: “M ặt phẳng (P) vuông góc với m ặt phẳng (Q) khi và chỉ khi tích vô hướng của hai véctơ m ,n tương ứng của hai m ặt phẳng (P), (Q) bằng không”. 65 Việc sủ dụng toán học cao cấp, toán học hiện đại nhằm giúp định hướng giải các bài toán phổ thông rấ t phong phú. Trong mục này chúng tôi chỉ quan tâm các phương pháp khác nhau giải quyết các bài toán về quan hệ vuông góc. Để nghiên cứu mục quan hệ vuông góc sinh viên cần quan tàm hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ: ngôn ngữ hình học tổng hợp, ngôn ngữ véc tơ và ngôn ngữ toạ độ. Bài to á n 21: Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh 0 là tam diện vuông, OA = OB = o c =1. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các cạnh AB, OA. Tính khoảng cách giữa hai đường thảng OM, CN. 1 ). Bằng phương pháp tổng hợp có thể giải bài toán trên bằng các cách sau: a) Dựng đường vuông góc chung EF của OM và CN. Tính EF. b) Khoảng cách cần tìm bàng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường than OM (ví dụ O) đến mặt phẳng (a): (a) // OM và chứa CN; ị (a) chính là m ặt phẳng (CKI) (Hình 18). trong đó O K / / AB và K I// OM. Khi đó, OKBI là hình (H-18) chữ nhật và dễ dàng chứng minh nếu OH _L CK thì OH ± mp(CKT). 66 B A /? Tính OH từ tam giác vuông COK, có OK = — và o c = 1. 4 Sử dụng công thức diện tích suy ra: OH = —.3 c) Xem khoảng cách cần tìm là đường cao của hình chóp có đáy thuộc mặt phẳng chứa CN và song song với OM và đỉnh của i> V hình chóp là điểm thuộc OM, ta có OH = 3 — . s 2) Giải toán theo phương pháp véctơ: Quy trình giải bằng phương pháp véctơ như sau: - Dịch sang ngôn ngữ véctơ. + EF là đường thẳng vuông góc chung khi và chỉ khi: OE = xOM __* __> CF = yCN __» __» EF ■ OM = 0 __>__> EF .CN =0 _> __> OB = b, o c = c . Ẽ F = Ẽ O + ÕC + C F = Õ C + C F - Õ E = c + yCN - lức EF = Ị] ——> 1 -» 1 -*• -* :OM = — (y - x)a - - x b + (1- y)c . 2 w 2 + Tính EF theo công thức EF , ta có: 67 EF * = — (y-x)2 + - X2 + (1-y)2 (1) 4 4 ẼF .OM = 0 <=> - (y-x) - -X = 0 <=> -2x + y = 0 (2) 4 4 Ẽ F .C N = 0o5y-x-4 = 0 (3) T ừ(l), (2), (3) suy ra: EF=|.3 3). Giải bằng phương pháp toạ độ: Chọn hệ trục tạo độ sao cho 0(0,0,0) ; A(1,0,0); B (0,1,0); C(0,0,1). Khi đó, véctơ chỉ phương của đường thẳng OM là Q = (1 .1 ,0 ): véctơ chỉ phương của đường thẳng CN là 2 2 V = (— ,0,-1); véctơ nối hai điểm của đường thẳng trên là: 2 o c = (0, 0, 1). Khi đó khoảng cách cần tìm: 68 Bài toán 22: Cho góc tứ diện lồi SABCD. Chứng minh rằng ắt 'ó và đủ để mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD) là: cosASB. costíSD = cosBSCĨ. cosẤSD. Giải: (Xem H.19) Đặt từ s trên các tia SA, SB, s c , SD các véctơ đơn VI 6 ^ 62*6 3^6 4 . Giả sử p là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Ta có: (SAC) 1 (SBD) o p, ẽ2, ẽ4 đồng phẳng o p = xẽ2 +yẽ4 r p.ẽẼ =0 f(xẽ2 + >^4)8! =0 íxcosASB +ycosASD = 0 ^^ J ^^ > _ _ _ ^^ j \ Ộ1G1) [p.ẽ3 = 0 [(xẽ2 + ye4 )ẽ3 = 0 [xcosBSC + ycosCSD = 0 X, y không đồng thời bằng 0 là nghiệm của hệ (1) khi và chỉ khi: cosẤSÌT coấẤSD cosBSC cosCSỈ) = 0 <=> cosASB.cosCSD = cosBSC.cosASD Bài toán 23: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD; Aj, Bj, Ci, Dj lần lượt là hình chiếu của G lên các mặt BCD, CAD, ABD, ABC. Chứng minh rằng: Si2.GAị + s 22. g b | + s 32.g c Ì + s 42.g d ,= 0 trong đó S1; s2, S3, S4 là diện tích các mặt đôi diện các đỉnh A, B, c, D. 69 Hướng dẫn giải: (H. 20) Gọi Ơ! là trọng tâm của tam giác BCD. Khi GG, 1 đó:AG, 4 GA, 1 ___ Từ đó —— = trong đó h 4 a h„ là độ dài đường cao vẽ g từ A. Đế chứng minh S)2. GA ị + S22. GBị + + S;f .GC^ + S/.G D , = 0 , —> đặt véctơ vế trái bằng a , ta chứng minh: à . GA! = a ỗ GB, = a . GCj = 0 . c (H.20) §4. S em in ar về chủ đề: Các bài to á n afin và xạ ảnh vận d ụ n g vào giải b ài to á n h ìn h học sơ cấp. 1 ) Sử d ụ n g hệ to ạ độ afin đ ể giải to á n Bài toán 24: Cho hình hộp ABCDA^jC^!- Gọi M là ảnh đối xứng của Dj qua A; N là ảnh đối xứng của D qua Cf, I là trung điểm của cạnh BBj. Chứng minh ba điểm M, I, N thảng hàng. Định hướng cao cấp: 70 . Hình hộp là 3-hộp trong không gian afin ba chiều mà hộp à khái niệm afin. • Đối xứng, trung điểm quy về tỉ sô đơn bằng - 1 mà tỉ sô đơn à khái niệm afin. . Thẳng hàng là tính chất afin. Như vậy, bài toán chứa đựng hoàn toàn các bất biến afin. Do đó, có thể sử dụng hệ toạ độ afin trong không gian afin ba chiều để giải. Chẳng hạn, chọn hệ toạ độ {A; AB , AD , AAj }. Biểu thị các réctơ MN , IM qua hệ toạ độ rồi tìm k trong hệ thức MN = k. IM . 2) Sử dụ n g tâm tỉ cự, to ạ độ trọ n g tâm Trong không gian afin n chiều An, xét hệ n+1 điểm độc lập \ q, A], A2, An . Khi đó, {AojA^A^.-.AJ là một mục tiêu afin ìng với cơ sở afin {AoAị , A0A2 A0An }. Ta có: Với mọi điểm M, A0M = A0AI = (AoM + MAị ) = i=i i=i = ( £ t , )A 0M + Y Jt i MA, , suy ra MAị = 0 , i=l 1=1 i=0 n n với to = 1 -V tj hay = 1, nên M là tâm tỉ cự của hệ điểm i=l 1=0 n V A„ A,, A„ gắn với họ hệ số t0, t1; tỵ, tn, trong đó t, = 1 . 1=0 71 Khi đó, t0, tj, ta, tn là toạ độ trọng tâm của M dối vâil* Ao, Aj, A2, A„. Như vậy, nếu to, t u t2,ỗ.., tn là toạ độ trọng tâm của Mđốìvỉi hệ Ao, A u A2, ,ằ., A„ thì tj, ta, tn là toạ độ trọng tâm củaMđỗ n vối mục tiêu afin {AoỉA^Aa, ...,An}, với y^.ti = 1 . i=0 Từ nhận xét này ta có thể định hướng giải một số bài toái về chứng minh đẳng thức véctơ. B ài to á n 25: Cho tứ diện ABCD, o là điểm bất kì trong tù diện. Gọi Vj, V2, V3, V4 lần lượt là thể tích của các tứ diện OBCD, OCAD, OABD và OABC. Chứng minh rằng; VlệÕA + V2.ÕB + V3. 0 C + V4.ÕD = 0 (1) Định hướng cao cấp: Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD. Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: V 1—> V — * V — » V — * -* — . OA + — . OB + . o c + - Í - . OD = 0 . V V V V Điều này chứng tỏ 0 là tâm tỉ cự của hệ bốn điểm độc lập {A,B,C,D} trong A3 ứng với họ hệ số { — , — , — , — }, suy ra V V V V ____ V V V toạ độ của o trong mục tiêu afin {A;B,C,D} là , — ), tức là ta có biểu diễn: — V, — -* V — V — * AO= — AB + — AC + — AD V V V 72 V V V — * Do đó, ta cần chứng tỏ (— , —ỉ-, — ) là hệ sô' của AO trong V V V hai triển đối vối cơ sở {A B, A C , AD}. Giải: B Giả sử: AO =x AB +y AC +z A D . Cần chứng minh = ^2 V3 = x=— , y=— , z=— . V V V Thật vậy, dựng hình D nộp MNOQAPRS nhận AO làm đường chéo chính, ba cạnh kề nằm trên ba cạnh .•của tứ diện xuất p hát từ A (hình 2 1 ). AM (H.21) Ta có: X = —— . AB Gọi 0 ’ là giao điểm của BO và mặt phẳng (ACD). Hạ các đưòng cao BH, OK. Gọi L là giao điểm của BN và AD. m , V, OK OO' NL AM V BH BO' BL—— - X, suy ra X = —- . - - v 2 Ta có: — = —— AB V _ V, _ V. Tương tự ta cũng có: y = —J , z - 73 3) Sử dụng tương đương afin Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh hình H có tính chất a , trong đó a là một tính chất afin. Khi ấy, ta thực hiện các bưốc sau đây: Bước 1: Chọn trong tập hợp các hình tương đương afin với hình H một hình H’ mà trên đó tính chất afin dễ chứng minh hơn. Có thể xem H’ là ảnh của H qua một phép afin f nào đó. Ta có f(H) = H\ Bước 2: Ta chứng minh tính chất a trên hình H \ Trong quá trình chứng minh có thể sử dụng thêm các kiến thức của hình học ơclit và do đó việc chứng minh sẽ được thực hiện một cách dễ dàng và nhanh gọn. Bước 3: Sau khi chứng minh được tính chất a trên hình H’ ta thực hiện phép afin r 1 biến hình H’ thành hình H, tức là r'(H ’) = H. Và như vậy ta đã chứng minh được tính chất afin a trên hình H. Bài to á n 26: Cho tam giác ABC. Mỗi cạnh của nó được chia làm ba phần bằng nhau. Nối các điểm chia với đỉnh đối diện của cạnh đó ta sẽ được sáu đường thẳng tạo nên một hình lục giác. Chứng minh rằng các đường chéo của hình lục giác đó đồng quy tại một điểm. Định hướng cao cấp: . Tam giác là 2 — đơn hình trong mặt phẳng afin 2—chiều thông thường nên là khái niệm afin. . Cạnh chia làm ba phần bằng nhau quy về tỉ số đơn bằng —. Tỉ số đơn là khái niệm afin. 74 . Đồng quy và cắt nhau cũng là các khái niệm afin. Do đó, bài toán chứa hoàn toàn các bất biến afin. Vì tam giác thường và tam giác đều là hai khái niệm tương đương afin trong m ặt phẳng afin 2-chiều thông thường nên ta có thể giải bài toán cho tam giác đều. A Giải: Chọn tam giác đều A’B’C’ làm hình tương đương với tam giác ABC đã cho qua một phép afin f. Theo giả thiết, trên các cạnh B’C’, C’A’, A’B’ ta lần lượt có các 3 ' điểm chia là Aj , A2; Blf B,; Cj, c 2 sao cho: B’Ai = A,A2 = A2C’ = C’Bj = B,B2 = B2A’ = A'Cl = .ClCi =CiB^. Ta có lục giác DEFGHI (như hình 22). (H.22) Cần chứng minh các điểm D, G nằm trên đưòng trung trực của đoạn B’C’ và dễ thấy đường trung trực này đi qua điểm A’ (do tam giác A’B’C’ đều). Thật vậy, hai tam giác B’C’Cj và C’B’B, bằng nhau vì có B’ơ chung, z A’B’C = 60 = Z A ’C’B’ và B’C, = ƠB,. Do đó, z B jB C - Z CjC’B’, suy ra tam giác GB’C’ cân ở G nên đỉnh G thuộc đưòng trung trực của đoạn B’ơ . Mặt khác, hai tam giác B’C’B2 và C’B’C2 bằng nhau vì có B’C’ chung, Z A B’C = 60 = Z A ’C’B’ và B’C2 = C’B2. Do đó, 75 z B,B’C’= z C2C’B\ suy ra tam giác DB’C’ cân ở D nên đỉnh D thuộc đường trung trực của đoạn B’C’. Tương tự, ta chứng minh được hai đỉnh E, H thuộc đường trung trực của đoạn A’C’ và hai đỉnh F, I thuộc đường trung trực của đoạn A’B\ Trong tam giác đều A’B’C’ các đường trụng trực này đồng quy, do đó các đường chéo của hình lục giác DEFGHI đồng quy tại một điểm. Thực hiện phép afin r 1 biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC ta được kết quả cần chứng minh trong tam giác ABC. 4) Sử d ụ n g h ìn h học xạ ảnh Đối với các bài toán afin trong mặt phẳng, ta có thể sử dụng mô hình afin của không gian xạ ảnh để giải. Bài to án 27: Cho tam giác ABC cố định. Một parabol (P) biến thiên tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự tại A’, B\ ơ . Chứng minh rằng mỗi một trong ba đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’ đều đi qua một điểm cô định. Giải: Trong mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh p 2, đường parabol là đường cônic tiếp xúc với đường thẳng vô tận. Do 76 đó, ta có thể đưa bài toán trên về bài toán xạ ảnh sau đây: “Trong p 2 cho tam giác ABC cô" định và một đường thẳng d không đi qua đỉnh nào của tam giác đó. Một cônic (S) biến thiên luôn tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB, d lần lượt tại A’, B’, c \ D. Chứng minh rằng các đưòng thẳng B’C’, C’A’, A’B’ đều đi qua một điểm cố định”. Chứng minh bài toán xạ ảnh: (hình 23). Gọi E = d n AC, F = d n AB. Áp dụng định lí Brianchon cho lục giác BCB’EFC’ ngoại tiếp cônic (S) ta có BE, CF, B’C’ đồng quy. Vậy B’ơ luôn đi qua điểm cố định I = BE r ì CF. Chọn d là đường thẳng vô tận và xét mô hình xạ ảnh của mặt phang A2 = p2 \ d, trong bài toán ban đầu ta có B’C’ luôn đi qua điểm cố định I = BE Pi CF, trong đó BE là đường thẳng song song vối AC và CF là đường thẳng song song với AB. Hoàn toàn tương tự ta thu được kết quả: A’C’ luôn đi qua điểm cố định H = AG p 1 CF, trong đó AG là đường thẳng song song vối BC. A’B’ luôn đi qua điểm cố định K = AG n BE. Bài to á n 28: Cho hình bình hành ABCD có các cạnh song song vối các đường tiệm cận của hyperbol (H) cho trước và có hai đỉnh đối diện A, c nằm trên (H). Chứng minh rằng hai đỉnh còn lại của hình bình hành thẳng hàng vối tâm 0 của (H). Giải: Trong mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh p 2, đường hyperbol là đường cônic cắt đường thẳng vô tận tại hai điểm I, J. Tiếp tuyến của cônic tại hai điểm vô tận I, J chính là các 77 đường tiệm cận của hyperbol. Giao điểm o của hai tiếp tuyến chính là tâm của hyperbol. Do đó, ta có thể chuyển bài toán đi cho sang bài toán xạ ảnh sau đây: ‘Trong p 2 cho một cônic (S) và một đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm I, J. Trên cônic (S) ta lấy hai điểm A, c và gọi B = AI o CJ, D = AJ o CI; các tiếp tuyến của cônic tại I và J căt nhau ỏ o . Chứng minh răng ba điểm B, D, 0 thuộc một đường thẳng”. Chứng minh bài toán xạ ảnh: (hình 24). Áp dụng định lí Pascal cho lục giác IICJJA nội tiếp cônic (S) ta có các giao điểm sau thẳng hàng: o là giao điểm của hai tiếp tuyến tại I và J của cônic, B = A InC J, D = A JnC I. Chọn d là đường thẳng vô tận và xét mô hình xạ ảnh của mặt (H.24) phẳng afin A2 = p2 \ d, khi đó bài toán xạ ảnh trỏ lại bài toán afin ban đầu và ta được kết quả cần chứng minh. 5) Sử dụng Hình hoc cao cấp đ ể định hướng và giải các bài toán sau: Bài 1 : Trong tam giác ABC vẽ đường trung tuyến CD. Từ các trung điểm E và F của các đoạn thẳng AD và BD vẽ các đường thăng song song vối đưòng trung tuyến CD, chúng cắt 78 các cạnh AC và BC tại các điểm K và L. Chứng minh rằng LK song song với AB. Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a IA + b. IB + C. IC = 0 . Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ba đưòng trung tuyến đồng quy. Bài 4: Trong mặt phẳng, một tiếp tuyến bất kì tiếp xúc với một hyperbol cho trước tại một điểm c và cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng c là trung điểm của AB. Bài 5: Một đưòng tròn được vẽ không có tâm trên mặt phẳng. Hãy lấy một điểm tuỳ ý của nó và dựng tiếp tuyến tại đó bằng cách chỉ dùng thước kẻ. Tài liệu th a m khảo [1 ] Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân, Bài tập hình học cao cấp, Tập II, Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục, 1984. [2] Phan Đức Chính, Các bài giảng luyện thi môn toán, NXBGDằ [3] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục, 1999. [4] Văn Như Cương, Tạ Mân, Hình học Afin và Hình học ơclít, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998. [5] Hàn Liên Hải, Toán bồi dưỡng học sinh Hình học 10, Hà Nội, 1994. [6] Trương Đức Hinh, Hà Văn Sơn, Bài tập hình học xạ ảnh, Đại học Sư phạm Vinh, 1989. 79