🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình giải tích II Ebooks Nhóm Zalo GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH II mm, NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM HỘI ĐÒNG XÉT DUYỆT GIÁO TRÌNH GS.TSKH. NGUYÊN XUÂN TẤN PGS.TS. NGUYÊN XUÂN VIÊN PGS.TS. LÊ BÁ LONG TS. NGUYỄN ĐỨC NỤ TS. CUNG THẾ ANH Chủ tịch Uỷ viên phản biện Uỷ viên phản biện Uỷ viên phản biện Thư ký, uỷ viên phản biện MỤC LỤC Trang LỜI NÓI Đ Ầ U .........................................................................................................................7 CÁC KÝ HIỆU HAY SỪ DỤNG...................................................................9 Chương 1. HÀM NHIÊU BIÉN SÓ........................................................... 11 §1.1. GIÓI HẠN-LIÊN TỤC................................................ 11 1.1.1. Tập hợp trong Rn ................................................ 11 1.1.2. Hàm nhiều biến số................................................ 15 1.1.3. Giới hạn của hàm nhiều biến................................18 1.1.4. Sự liên tục của hàm số.......................................... 20 §1.2. ĐẠO HÀM - VI PHÂN................................................. 22 1.2.1. Đạo hàm riêng...................................................... 22 1.2.2. Vi phân của hàm nhiều biến.................................24 1.2.3. Đạo hàm riêng của hàm hợp.................................30 1.2.4. Đạo hàm hàm số ẩn.............................................. 34 1.2.5. Đạo hàm theo hướng - Gradient..........................38 1.2.6. Đạo hàm và vi phân cấp cao.................................42 1.2.7. Công thức Taylor.................................................. 45 §1.3. cực TRỊ.........................................................................47 1.3.1. Cực trị địa phương của hàm nhiều biến...............47 1.3.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cùa hàm số....... 53 1.3.3. Cực trị có điều kiện.............................................. 56 § 1.4. MỘT SỐ VÍ DỤ TÓNG HỢP........................................ 62 1.4.1. Các ví dụ vận dụng kỹ năng tổng hợp..................62 1.4.2. Các ví dụ và bài tập thực tiễn...............................70 § 1.5. Sơ LƯỢC VỀ HÌNH HỌC VI PHÂN...........................77 1.5.1. Đường cong phẳng............................................... 77 1.5.2. Đường cong trong không gian..............................83 1.5.3. Mặt cong................................................................88 TÓM TẮT CHƯƠNG 1............................................................90 EXERCISES - BÀI TẬP..........................................................93 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI.....................................................................109 §2.1. TÍCH P H Â N K É P .........................................................................109 2.1.1. Mờ đầu.................................................................109 2.1.2. Cách tính trong toạ độ Descates.........................112 2.1.3. Đổi biến số với tích phân kép............................. 116 2.1.4. ứng dụng của tích phân kép............................... 124 §2.2. TÍCH PHÂN BỘI BA.................................................... 128 2.2.1. Mờ đầu................................................................ 128 2.2.2. Cách tính tích phân bội ba trong toạ độ Descates... 130 2.2.3. Đổi biến số trong tích phân bội ba.....................135 2.2.4. ửng dụng của tích phân bội ba...........................142 §2.3. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ.......................146 2.3.1. Tích phân thường phụ thuộc tham số.................146 2.3.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số... 149 2.3.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham s ố ..............150 §2.4. MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TOÁN TÓNG HỢP.......... 155 TÓM TẮT CHƯƠNG 2.......................................................... 166 EXERCISES - BÀI TẬP........................................................ 169 Chương 3ễ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT........................184 §3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT.............................184 3ếl.l.MỞ đầu................................................................184 3.1.2. Cách tính............................................................. 187 §3.2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI...............................188 3.2.1. Mở đầu................................................................ 138 3.2.2. Mối liên hệ giữa tích phân đường loại một và loại hai................................................................. \)2 3.2.3. Cách tính............................................................. 1)2 3.2.4. Công thức Green.................................................D5 3.2.5. Sự độc lập của tích phân đối với đường lấy tích phân.............................................................. 1 >9 §3.3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT...................................2*9 3.3.1. Mờ đầu................................................................2»9 3.3.2. Ý nghĩa................................................................ 2 0 3.3.3. Cách tính.............................................................2 0 4 §3.4. TÍCH PHẢN MẶT LOẠI HAI..................................... 212 3.4.1. Mặt định hướng.................................................. 212 3.4.2. Tích phân mặt loại hai........................................ 215 3.4.3. Ý nghĩa...............................................................218 3.4.4. Cách tính............................................................ 218 3.4.5. Công thức Stokes................................................ 222 3.4.6. Công thức Ostrogradski - Gauss........................223 §3.5. LÝ T H U Y Ế T T R Ư Ờ N G ..........................................................225 3.5.1. Trường vô hướng................................................ 225 3.5.2. Trường vectơ...................................................... 228 3.5.3. Toán tử vi phân................................................... 237 §3.6. MỘT SỐ VÍ DỤ TÓNG HỢP...................................... 242 TÓM TẮT CHƯƠNG 3..........................................................251 E X ER C ISES - BÀI T Ậ P ..................................................................... 253 Chuơng 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN................................................. 267 §4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÁP MỘT....................267 4.1.1. Các khái niệm mở đầu........................................ 267 4.1.2. Dạng tổng quát của phương trinh vi phân cấp một................................................................268 4.1.3. Phương trinh với biến số phân ly (Phương trình tách biến)..................................... 271 4.1.4. Phương trình thuần nhất..................................... 273 4.1.5. Phương trình tuyến tính...................................... 276 4.1.6. Phương trình Bemoulli....................................... 281 4.1.7. Phương trình toàn phần...................................... 282 4.1.8. Trường hệ số góc................................................ 284 4.1.9. Quỹ đạo trực giao............................................... 286 §4.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI......................287 4.2.1. Mở đầu................................................................288 4.2.2. Các phương trình vi phân giảm cấp được......... 289 4.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính.........................291 4.2.4. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange....... 293 4.2.5. Phuơng trình tuyến tính với hệ số hằng số và vế phải đặc biệt....................................................295 5 §4.3. Sơ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHẢN....... 308 4.3.1. Định nghĩa - Bài toán Cauchy Các loại nghiệm...................................................308 4.3.2. Giải hệ phương trình vi phân.............................. 309 4.3.3. Hệ phương trình vi phân thuần nhất hệ số hằng số................................................................. 314 §4.4. MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TOÁN TỔNG H ộ p.......... 320 TÓM TẮT CHƯƠNG 4 .......................................................... 333 EXERCISES - BÀI TẬP........................................................ 335 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................350 6 X ò L n ó i c ta u Sự vật và hiện tượng vốn có nhũng mối liên hệ chằng chịt theo lối mạng nhện, yếu to này phụ thuộc vào những yếu tố khác trong một tông thê chuyển động. Đê thây bán chất của hiện tượng cũng như mở rộng khả năng đi vào cuộc song của toán học, chúng ta cần nghiên cứu giải tích trong phạm vi nhiều biến. Với hàm nhiều biến, nhiều khái niệm và kết quả của hàm một biên không còn bảo toàn mà có những biên thê tinh vi, uyên chuyên và hứa hẹn những ứng dụng vô cùng rộng lớn. Giáo trình Giải tích 11 - một sự tiếp tục của Giáo trình Giải tích I - hướng chù yếu vào phép tính vi phân, phép tính tích phân của hàm nhiều biến. Trong chương đầu giới thiệu vài nét về tập hợp trong không gian R n / về giới hạn, liên tục, đạo hàm riêng, vi phân của hàm nhiều biến. Chúng ta thay ứng dụng cùa các kiến thức này trong việc tìm cực trị, cực trị với ràng buộc vờ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cùa hàm sô. Đôi điều về hình học vi phân - một ngành của toán học dừng giải tích để nghiên cứu các đối tượng hình học - cũng được trình bày. Chương 2 dành cho phép tính tích phân bội trong R2, ]R3 và tích phân phụ thuộc tham số, vốn là công cụ đắc lực đế nghiên cừu các hàm đặc biệt và Lý thuyết xác suất. Tích phân đường, tích phân mặt trong không gian được tìm thay ở Chưong 3, ở đó các ứng dụng vật lý, những khái niệm tối cần thiết cho nhà kỹ thuật tương lai được trang bị: lực, công, thông lượng, hoàn lưu,... Chương cuối cùng dành cho phương trình vi phân, là điều thiết yếu đê nghiên ciru sự vật trong sự chuvên động. Ở đây ta thay những két quả quan trọng nhất và cô đọng vể phương trình vi phân cấp một, cấp cao và hệ phương trình vi phân. Các vỉ dụ và bài toán điến hình thường ở cuối mỗi chương được chọn lựa kỳ càng từ các lĩnh vực vật lý, cơ học, hoá học, sinh học, dược học, cỏ sinh vật học cho đến môi trường, âm thanh học, 7 thiên văn, kinh tế, nghề cá, kinh doanh,... cho thấy màng ứng dụng vô tiền khoáng hậu của lý thuyết, đảm bảo sự trường tồn của toán học. Đe cổ vũ phong trào học và sử dụng tiếng Anh, chúng tôi viết phần bài tập dưới dạng song ngữ có tinh giản công thức. Hy vọng điều này mang đến hương vị riêng, làm cho những điều huyền bí của toán học trên thế giới trở nên gần gũi. Với mong muốn tạo sự d ễ dàng cho việc tiếp nhận, các khái niệm, định lý, tính chất,... thường được phát biểu bằng lời và kết hợp với công thức. Sau các thuật ngữ, kỷ hiệu chủ đạo thường có thuật ngữ, ký hiệu đi kèm; điều này giúp độc già dề dàng SO sánh, tiếp thu các tài liệu khác. Cuối moi chương là phần tóm lược nhũng kết quà chính, điều này giúp ta hình dung khái quát và d ề dàng nhớ những ỷ chính. Chúng tôi cũng nhắc lại rằng, những mục, phần, đoạn nâng cao, cổ tính chất tham khảo có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên được in nhỏ ham và bắt đầu bởi (■&), kết thúc bởi (££). Tác giả tỏ lòng cám ơn chân thành đến Hội đồng xét duyệt giáo trình đã đọc kỹ bàn thào, cho những đóng góp quý báu về cẩu trúc, loi trình bày, nội dung chi tiết,... để cuốn sách được hoàn thiện. Trong quá trình soạn thào, các đồng nghiệp như ThS. Vũ Anh Mỹ, ThS. Tô Văn Đinh, ThS. Đào Trọng Quyết, ThS. Nguyễn Thị Quyên, ThS. Phan Thu Hà, ThS. Nguyễn Thị Thanh Hà, ThS. Bùi Văn Định, TS. Nguyễn Trọng Toàn, ThS. Tạ Ngọc Ảnh cùng nhiều đồng nghiệp khác ở Đại học Mỏ - Địa chất, Đại học Hải Phòng và đặc biệt là ở Bộ môn Toán - Học viện Kỹ thuật Quán sự đã cổ vũ, động viên, đọc kỹ bản thảo và cho /thững góp ỷ, chinh lý thiết thực, có giá trị; lãnh đạo Khoa Công nghệ thông tin, lãnh đạo Học viện Kỹ thuật Quân sự đã tạo mọi điều kiện để cuốn sách sớm ra mắt bạn đọc; các biên tập viên ở Nhà xuất bàn Giáo dục Việt Nam đã làm cho cuốn giảo trình có một chất lượng mới. Những sự co vũ, ủng hộ ấy khó có thể nói hết bằng một lời cảm ơn chân thành cùa tác giả. Hà Nội, tháng 5 -2 0 1 2 TÁC GIẢ 8 C Á C K Ý HIỆU HAY s ử DỤNG Ký hiệu Y nghĩa R, Kn Tập các số thực, không gian Euclide n chiều. d (M ,N ) Khoảng cách giữa hai điểm M, N. u e(a) Hình cầu mở tâm a, bán kính e. MaxA, MinA Phần từ lớn nhất, nhỏ nhất cùa tập A. G TLN,G TNN Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. f(x), f(X|,...,Xn ) Hàm số một biến, hàm số n biến. lim f(x ,y ) (x,y)->(xo,yo) Giới hạn của hàm hai biến. , d ĩ d ĩ X’ ổ x ’ y’ ổy Đạo hàm riêng cấp một. ổ 2f ỡ2f x ’ ỡx2 ’ Xy’ dxổy Đạo hàm riêng cấp hai. D(u, v) D (u ,v ,w ) D (x ,y ) ’ D (x ,y ,z) Định thức Jacobi (Jacobian). ỡu ã ĩĐạo hàm theo hướng vectơ í . df, d2f,... Vi phân cấp một, cấp hai,... của hàm f. gradu Vectơ gradient cùa hàm (trường vô hướng) u. J |f dxdy, j j j f dxdydz D VTích phân bội hai, bội ba. J f ( M ) d s , Jfds AB L |p d x + Q d y + Rdz Tích phân đường loại một. LTích phân đường loại hai. 9 Ký hiệu Ý nghĩa jJf(M)dS , jjfdS s s JJ p dydz + Q dzdx + R dxdy s F(M), F(x,y,z) divF rot(F) V PTVP 0*v, Oa V. □ # <*),<«*)) 10 Tích phân mặt loại một. Tích phân mặt loại hai. Trường vectơ. Divergence của trường F. Vectơ xoáy cùa trường F. Toán tử del (toán tử nabla, toán tử Haminton). Phương trình vi phân. Tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ ũ, V. Ket thúc chứng minh. Kết thúc ví dụ. Bắt đầu (kết thúc) mục, phần,... có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên. Chương 1 H À M N H I È U B I É N S Ó §1.1. GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 1.1Ế1. Tập h ợ p trong Mn a. Không gian Mn Xét V là tập hợp các bộ n số thực có thứ tự X = (X |,..., xn), Xị eM (Hiện thời ta viết đậm các phần tử của V). Trong V đưa vào phép cộng và phép nhân với vô huớng: x = ( x l , . . . , x n ) , y = ( y i , . . . , y n ) ; Xj, Yi e M ; x + y = (xl + y l, . . . , x n + yn); a x = (aX ị,, a x n ) , a e K . Khi đó V trở thành không gian vectơ trên R , phần tử của V gọi là vectơ, đôi khi gọi là điếm. • Tích vô hướng. Tích vô hướng của hai vectơ X và y là một số thực, ký hiệu là x.y (có tài liệu viết là < x,y >), xác định bởi: x .y = x ,y ,+ ... + x nyn. • Không gian Euclide Mn. Không gian vectơ V có trang bị tích vô hướng vừa nêu gọi là không gian Euclide n chiều, ký hiệu là Kn. Tích vô hướng nêu trên có các tính chất sau: - Tính đổi xứng: x .y = y .x . 11 - Tính tuyến tính: Với Ằ e R; x,y,z € V thì (Ằ\).y = x.(Ằy) = Ằ(x.y); x.(y + z)= x .y + x .z . - Tính xác định dương: x .x > 0 ; x.x=0<=>x = 0 . Khi x ẻy = 0 , ta nói hai vectơ X và y là trực giao với nhau, và viết X-Ly. • Khoảng cách. Khoảng cách giữa X = (xị,..ử,x n) và y =( yt y nký hiệu bời d(x, y), được xác định theo công thức d(x, y) = V ( * - y M x - y ) - Rõ ràng là d(x, y) = V ( ỹ ĩ - * ĩ ? + - + (yn ~ xn)2 • í 1-1) Khoảng cách này còn gọi là khoảng cách Euclide, có các tính chất sau: d (x,y) = d(y ,x) : tính đối xứng; d(x, y) > 0, d(x, y) = 0 o x = y : tính xác định dương; d(x,y) + d(y,z) > d(x,z) : bất đẳng thức tam giác. Trong ]R2 , điểm hay được ký hiệu là (x, y), trong R3 ký hiệu là (x, y, z). Cho không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz nào đó và các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là 1, J, k (bộ vectơ cơ sở). Mỗi điểm M trong không gian ứng với bộ số có thứ tự (x ,y ,z ) là luạ độ của điẻm này trong cơ sớ đã chọn. Phép tương ứng này là song ánh giữa không gian với 1R3, nên ta có thể đồng nhất không gian với R 3. Như vậy, có thể đồng nhất điểm M với bộ số (x ,y ,z); thay cho điểm M ta viết (x ,y ,z ), hay đầy đủ hơn là M (x ,y ,z ). Khoảng cách (1.1) chính là khoảng cách thông thường. Tương tự, cũng có thề đồng nhất mặt phẳng (với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy) với không gian M2 . Điểm M có thể đồng nhất với toạ độ (x, y) của nó; thay cho điểm M ta viết (x, y), hay đầy đủ hơn là M(x, y). 12 b. Phân loại tập họp trong Mn • Lân cận. Cho a e R " ; 8 -lâ n cận của điểm a (còn gọi là hình cầu mờ tâm a, bán kính e), ký hiệu Ue(a ), là tập hợp xác định bởi: ư E(a) = {x e R n : d(x,a) < 8}. Điểm a được gọi là điếm trong của tập hợp E c R n nếu E chứa một hình cầu mở nào đó tâm a: 3U £(a) c E (s > 0). Đồng thời, tập E gọi là một lân cận cùa điểm a. • Tập mở. Tập hợp E được gọi là tập mờ nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của nó. Dễ nhận thấy rằng, tập hợp Ue(a) là tập mở. • Điểm biên. Điểm X gọi là điểm biên của E nếu trong một e - lân cận bất kỳ của X đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E . Tập các điểm biên của E ký hiệu là Ổ(E), gọi là biên của E. Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E; điểm biên của E có thể thuộc E, có thể không thuộc E. • Tập đóng. E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó: E đóng o E = E u ổ (E ). C h ă n g h ạn , cá c tập sa u đ â y là đ ó n g (x e m H ỉn h 1.1): - Hình cầu đóng tâm a, bán kính s: ƯE(a) = {x e R n : d(x,a) < e}, - Mặt cầu đóng tâm a, bán kính e : s e(a) = {x G Mn : d(x,a) = 8}. Tinh chất. E đóng <=> R n \ E mở; E mở <=> R n \ E đóng. • Tập bị chặn. Tập E được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình cầu mở nào đó chứa nó <=> 3 hình cầu đóng nào đó chứa nó <=> 3 hình cầu đóng tâm o chứa nó <=>3R>0; d (0 ;x ) < R, Vx e E . 13 H ình 1.1. (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng, (d) mặt cầu (tập đóng) trong R2 • Tập compăc. Tập đóng và bị chặn được gọi là tập compact. • Miền. Mỗi tập mở là một miền mở. - Miền mở cùng với biên của nó gọi là miền đóng. - Miền mở, miền đóng gọi chung là miền. - Miền mà từ hai điểm bất kỳ của nó có thể nối với nhau bởi một đường gẫy khúc nằm hoàn toàn trong miền đó gọi là miền liên thông. Vi dụ 1.1. Cho các tập hợp sau đây trong 1R2 (xem Hình 1.2): Di = { ( x ,y ) : a < x < b , c < y < d } ; D2 = { ( x ,y ) : a < x < b , c < y < d } ; D3 = {(x, y ) : a < X < b, c < y < d}. Người ta còn dùng ký hiệu tích Descartes (Đề-các) để chỉ các hỉnh chữ nhật đó: Dị được ký hiệu bởi (a, b) X (c, d ); D2 bởi [a, b) X [c, d) Đường gấp khúc ABCD là biên của mỗi hình này. D| không chứa biên cùa nó: D| là tập hợp mở. D2 chỉ chứa một phần biên của nó là đoạn thắng AD và DC: Dt không mở, cũng không đóng. D3 bao gồm cả biên của nó: D3 là tập hợp đóng. # y y ' y ' A B A B d H ( D , ) c ■ «>’> " ‘õ '1c>11” ỏ'11c '11 a b X a b X Hình 1.2. Hình chữ nhật trong R 2 Sau đây, khi đã quen, ta không còn phải viết chữ đậm cho phần tử của R n nữa. Trong phần còn lại của chương này các kết quả được trình bày chủ yếu trong . Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho R n. 1.1.2. Hàm nhiều biến số aẽ Định nghĩa Cho D c R " . Ánh xạ f : D —» K x = (x l,Ếế.,x n)i-» f(x ) = f(x l,.ề.,x ll) € R được gọi là hàm SO trên D. D: tập xác định, f: hàm so; x: biến số (hay đối số). Lưu ý rằng, biến số có n thành phần, mồi thành phần xem như một biến độc lập (cho nên hàm số trên R n được gọi là hàm nhiều biển). Trong ứng dụng của toán học, người ta còn xét các loại biến khác, như biến định danh (Hà Nội, Hải Phòng,...); biến định tính: tôn giáo (Phật giáo, Thiên Chúa giáo,...); giới tính (nam, nữ); trình độ học vấn (phổ thông, cao đẳng, đại học,...);... Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta chỉ xét các hàm, các biến nhận giá trị số, và do đó nhiều khi có thể gọi đơn giản hàm số là hàm, biến số là biến và luôn hiểu chúng là hàm số, biến số. b. Các phương pháp biểu diễn hàm số ($ ) • Biểu diễn bằng biểu thức g iả i rích. Đây là cách thông dụng nhất, có thể dùng một hoặc một vài biểu thức; chẳng hạn, hàm sau cho bởi hai biểu thức: - r ẵ i ln(x + y 2). x + y2 >0 z = f ( x >y) = \ , [0, X + y1 < 0 Quy ước. Nếu hàm số u cho bới biểu thức giải tích u = f ( x |,...,x n) mà không nói gì đến tập xác định thì ta hiểu rằng, tập xác định là tập các điểm X = (x j,...,x n) mà biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1.2. Tìm tập xác định của hàm số _ X u = ự 4 - x 2 - y 2 - z 2 ' Giải. Hàm số xác định o 4 - (x 2 + y 2 + z2) > 0 <=> X2 + y 2 + z 2 < 4 . Như vậy, tập xác định là hình cầu mờ tâm 0 (0 , 0, 0), bán kính 2. # Khi n = 2 , ta hay viết z = f ( x , y ) ; n = 3, ta hay viết u = f( x ,y ,z ). Để cho gọn. hàm số u = f ( x |,x 2..... x a ) cũng hay đirợc viết là u - f ( M ) với ngụ ý rằng, điểm M trong không gian có toạ độ (x 1,x 2,...,x n) . • B iểu diễn bằng đồ thị. Đỏ thị hàm số z = z(x, y), (x ,y ) 6 D c K 2 là tập hợp (S) = {(x ,y ,z (x ,y )): ( x ,y ) e D ) (xem Hình 1.3). Từ mỗi điểm ( x ,y ) e D kẻ đường song song với trục Oz, cắt mặt (P) tại điểm M; cao độ của điểm M là giá trị z(x, y) của hàm tại điểm (x, y). Đồ thị (S) là một mặt cong. Ta nói mặt cong (S) có phương trình z = f(x ,y ), (x,y)e D , gọi tắt là mặt cong z = f ( x , y ) . Đồ thị là hình ảnh trực quan để hiểu về hàm hai biến. 16 „■ sin x sin y Hình 1.3. Đô thị hàm sô z = ----- ------— xy • S ử dụng các đường (đồng) mức. Đối với hàm z = f ( x , y ) , các đường cong phăng {(x ,y ): f(x ,y ) = C} gọi là các đường (đồng) mức. Cho c chạy trên một lưới điểm cách đều, ta nhận được một lưới các đường mức, còn gọi là bàn đả đồng mức. Chúng thường được đánh số theo giá trị cùa hàm (xem Hình 1,4b). Dáng điệu của hàm số cũng rất dễ hình dung thông qua các đường này. Người ta hay dùng các đường múc để chi độ cao, nhiệt độ, mật độ,... Các đường mức khi đó gọi là các đường bình độ, các đường đẳng nhiệt,... Với hàm nhiều biến hơn, người ta cũng dùng các mặt mức. Chẳng hạn, với n = 3, xét các mặt mức {(x ,y ,z ): f( x ,y ,z ) = C } . Vi dụ 1.3. Xét hàm số z = 7e_<(x+l)2+(y+l)2) - l,5 (x 4 + y 4 + 4 x y ). Đây là hàm khá phức tạp. Tuy nhiên, sẽ rất dễ hình dung hàm này thông qua dạng đồ thị của nó ờ Hình 1.4a, từ đây ta dễ dàng nắm được dáng điệu biến thiên, các điểm cực trị,... Dù sao, cần chọn góc quan sát tốt, dáng điệu của hàm này còn dễ hình dung hơn thông qua các đường đồng mức cách đều (Hình 1.4b). # H ình 1.4. Đ ồ thị và các đường đồng mức cùa hàm ở Ví dụ 1.3 2-GiAlHCHN-A 17 1.1.3ễ Giới hạn của hàm nhiều biến a. Giói hạn của dãy điểm Ta nói dãy điểm {un} = {(xn,y n)} c ]R2 hội tụ đến u0 = ( x 0,y 0) nếu lim d(un,u 0) = 0 . ( 1.2) n—>00 Khi đó ta viết lim (x n,y n) = (x0,y 0), hay đon giản lim un = u0 n-> 0 0 n-»co hoặc un —> u0 (khi n —> 00 ). Vì d(un,u 0) = 00 n —>00 Như vậy, giới hạn của dãy điểm tương đương với giới hạn cùa từng toạ độ: lim x n = x0 lim (xn,y n) = (x 0,y 0) » n^°° (1.3) lim y„ = yo Điếm giới hạn (điếm tụ). Điểm a được gọi là điểm giới hạn của tập D c E n nếu có một dãy {un} các phần tử khác a của D hội tụ đến a. b. Giói hạn của hàm sổ Định nghĩa. Cho hàm số f(u) xác định trên Đ c R 2 và a = (x0,y 0) là một điểm giới hạn của D. Ta nói hàm f(u) có giới hạn ể e M khi u dần đến a nếu: Ve > 0,3Ổ > 0 , sao cho u e D , 0 < d (u ,u0) < 5 = > |f( u ) -^ |< e . (1.4) Khi đó ta viết lim f(u) = i hay f(u) —> t khi u —>a. u-»a Đẻ đầy đủ, ta còn viết lim f(x ,y ) = £ (hay f(x ,y ) —> l khi ( x ,y ) - > ( x 0,y 0» . ( l ệ5) (x,y)-K x0 ,yo) Định lý 1.1. Hàm f(u) có giới hạn £ khi u dần đến a khi và chỉ khi V{un}c= D ;u n * a ; lim un = a = > lim f(u n) = ^. (1.6) n—>cc n—>ỌD 18i2 GỉAlTtCHH-B Chứng minh định lý này tương tự như trường hợp một biến, chúng ta sẽ không dẫn ra ở đây. Hệ quả. Neu lim f(u) = ể thì u —>a với u = (x ,y ) dần đến a = (x0,y 0) theo một đường cong tuỳ ý trong D, f(u) dần đến e.. Lưu ỷ. Các kết quá thông thường đối với giới hạn cùa hàm một biến như giới hạn cũa tống, hiệu, định lý kẹp,... vẫn còn đúng cho giới hạn cùa hàm nhiều biến. Vi dụ 1.4. Tìm các giới hạn: i) lim (x2 + y 2)sin (X, y)—>(1,0) 2 2 X + y 2 2 1 ii) lim (x + y )sin (X, y)->(0,0) x 2 + y2 Hình 1.5. Điểm dần đến (x 0 ,y 0 ) theo những đường khác nhau iii) lim f ( x ,y ) , trong đó f(x ,y ) = (X, y)-»(0,0) ío khi y = 0 cos(x / y) khi y * 0. Giai, i) lim (x + y )sin 2 2 X + y ( x .y H U O ) = sin 1. ii) Hàm sô xác định trên \{(0 ,0 )}. Ta có 0 < |f(x ,y )|< X2 + y 2 —» 0 (khi (x, y )-> (0 ,0 )). Theo định lý kẹp, lim f|(x,y)| = 0=> lim f(x ,y )= 0 . (X, y H K 0 ,0 ) (x, y)->(0,0) iii) Hàm số xác định trên M2 . Cho ( x ,y ) —>(0,0) theo parabol y = kx2 (x * 0) (k cố định, k * 0 ), ta được 2 X2 1 1 f(x ,y ) = f(x,k x ) = cos—y = cos— —> cos— (x —> 0). kx k k 19 Vậy, khi (x ,y )-» (0 ,0 ) theo những đường khác nhau, giá trị tương ứng của hàm số dần đến những giới hạn khác nhau, từ đó giới hạn đã cho không tồn tại. # Định nghĩa giới hạn vô hạn tương tự như với hàm một biến. V Chăng hạn: > +00 khi (x ,y ) —> (0,3); e +1 —r-----5--»+00 khi (x ,y ,z) -> (0,0,0). y + z 1ề1ẽ4. S ự liên tục của hàm số Cho hàm số f(x ,y ), (x ,y ) e D , trong đó D là tập tuỳ ý của R 2 và (x0,y „ ) e D là điểm giới hạn của D. Ta nói f(x, y) liên tục tại (x0,y 0) nếu lim f(x ,y ) = f(x 0,y 0). (1.7) (x,y)->(x0,yo) Giả sử a = (x 0,y 0) e D , u = (x ,y ) = (x0 + A x,y0 + Ay) e D . Đặt Af = f(x 0 + A x,y0 + A y ) - f ( x 0,y 0). Khi đó hàm số f(x, y) liên tục tại (x0,y 0) khi và chi khi lim Àf = 0 . (A x,A y)->(0,0) ( 1.8) Hàm f(x, y) được gọi lò liên tục trên miền D nốu nó liên tục tại mọi điểm (x0,y 0) e D . Lưu ỷ. Các định [ý về tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hàm hợp của các hàm liên tục; định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục cùa chúng; các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến gần như vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến. Chẳng hạn: Định lý 1.2. Hàm f(x, y) liên tục trên tập đóng, giới nội D, thì bị chặn trên đó và đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tức là 3 (x i,y i), (x 2,y 2) 6 D để 20 f(X |,y ,) = m = Min f(x,y); f(x 2,y 2) = M = Max f(x ,y ). (x ,y )e D (x ,y )e D Định lý 1.3. Hàm f(x, y) liên tục trên tập đóng, giới nội thì liên tục đều trên đó; tức là với mọi E > 0 , tìm được số 5 sao cho với (x,y), (x',y') e D mà d((x,y), (x ',y'))< ô thì |f (x ,y ) -f ( x ',y ')|< 8 . Định lý 1.4. Giả sử hàm f(x, y) liên tục trên D là miền kín, giới nội, liên thông; và giả sử M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất cùa hàm trên miền này. Khi ấy, với c là số bất kỳ nằm trong đoạn [m, M], có tồn tại điểm (x0,y 0) e D để f(x 0,y 0) = c . <ỵT Ví dụ 1.5. Cho hàm số z = f (x ,y ) = < x2 + y 2( x ,y ) * ( 0, 0) 0 (x,y) = (0,0). Rõ ràng, hàm liên tục tại mỗi điểm (x0,y 0) * (0,0) (vì nó là thương hai hàm liên tục, mẫu khác 0). Tại (x 0,y 0) = (0,0), theo bất đẳng thức Cauchy ứ < Ịx y |< ^ i ^ |xy|° s i ì ỉ ± ỵ ĩ > I = ( ĩ ỉ ± g ĩ > ! í 2 X + y 2 2“ (x 2 + y 2) 2“ ■ - Trường hợp 1: a > 1 lim f(x ,y ) < lim — [d(u,0)] (0,0) u->0 2 a Vậy f(x, y) liên tục tại (0, 0). - Trường hợp 2: a < 1 Xét (x, y) —> (0,0) theo đường y = x: f ( x ,y ) = f ( x ,x ) = | 4 = - 2|,_-a) - » ° ° ( ^ 0 )khi x - > 0 . Vậy f(x, y) không liên tục tại (0, 0). # 1 Vi dụ 1.6. Xét tính liên tục của hàm u = x2 + y 2 21 Hàm z = X2 + y2 là đa thức của X, y; nên nó liên tục. Hàm u = 1 / Vz là hàm liên tục theo z trên miền z > 0. Hàm u là hợp của hai hàm liên tục, từ đó u liên tục trên miền {(x,y) ± (0 ,0)}. Tại (x0,y 0) = (0,0) dễ thấy không tồn tại lim f(x ,y ). (x,y)-»(0,0) Vậy hàm đã cho gián đoạn tại (0, 0) (gián đoạn loại hai). # §1.2ễ ĐẠO HÀM - VI PHÂN 1.2.1. Đạo hàm riêng Định nghĩa. Cho hàm số z = f(x ,y ) xác định trong tập mở D e l 2 , lấy điểm M0(x0,y 0) 6 D . Khi cổ định y = y0 thì f(x ,y 0) là hàm một biến X. Neu hàm này có đạo hàm tại X = x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z = f ( x ,y ) theo biến X (biến thứ nhất) tại điểm M0(x0,y 0) , ký hiệu bởi một trong các cách sau: f;, * % ã > . ỡx ỡx Hình 1.6. Cách lập số gia riêng của hàm số Như vậy, cho Ax đủ nhỏ sao cho (x 0 + Ax, y0) e D . Đặt Axz = f (x 0 + A x,y0) - f ( x 0,y 0) 22 gọi là số gia riêng cùa hàm số z = f ( x ,y ) đối với biến X tại (x 0,y 0). Khi đó df(xọ>yo) = |im õx Áx->0 Ax Tương tự có thể định nghĩa đạo hàm riêng của hàm z = f(x, y) theo biến y tại (x0,y 0), ký hiệu là r , z ' y(x0,y 0), Ỉ M hay 3 ’ ôy ỡy Các đạo hàm riêng của hàm n biến ( n > 3) được định nghĩa tương tự. Quy tắc. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, chi việc coi các biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến. Vi dụ 1.7. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số: i) z = x y (x > 0). ii) z = arctan— ( y * 0 ) . y Giải, i) — = y x y_1; — = x y lnx. ổx õy . õ z _ 1 1 y ô z _ 1 - X _ - X ^ ổx 1 + ( x / y)2 y x 2 + y2 ’ổy l + ( x /y ) 2 y2 x2 + y 2 Ỷ nghĩa. Gọi s là đồ thị hàm số z = f(x ,y ) . Khi đó: - Đao hàm riêng dz(Mo) lả sô g^c ^ ng v^j truc Qx) taj điềm ỡx M0 của đường cong c là giao của mặt phang y = y0 với mặt s. - Đạo hàm riêng dz(Mo) thê hiện tốc độ biến thiên của hàm z tại lân cận điểm M0 đối với biến X, các biến còn lại cố định. Hoàn toàn tương tự cho các đạo hàm riêng khác. 23 1.2.2ế Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa • Cho hàm số z = f(x ,y ) xác định trong tập mờ D. Trong D lấy các điểm (x0, y0), (x, y) = (x0 + Ax, y0 + A y). Biểu thức Af = f(x 0 + A x ,y 0 + A y ) - f ( x 0,y 0) được gọi là so gia toàn phần của hàm f(x, y) tại (x0,yo) • Nấu số gia Af có thể biểu diễn dưới dạng Af = AAx + BAy + aAx + PAy, (1-9) trong đó: A, B là những hằng số không phụ thuộc vào Àx, Ay (chỉ phụ thuộc vào (x0,y 0)); a = a (x ,y ) -» 0, p = P(x,y) —> 0 khi Ax —> 0 v à Ay —» 0 thì ta nói: - Hàm số f(x, y) khả vi tại (x0,y 0) ; - Biểu thức AAx + BAy gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại (x0,y 0) ứng với số gia Ax, Ay của đối sổ X, y tương ứng, ký hiệu là dz(x0,y 0) hay d f(x0,y 0). Như vậy, dz(x0,y 0) = A Ax+ B A y. • Hàm z = f(x ,y ) gọi là khả vi trên D nếu nó khả vi tại mọi điểm của D. Tính chất. Nếu f(x, y) khả vi tại (x0,y 0) thì liên tục tại đó. Thực vậy, vì hàm số khả vi tại điểm (x0,y 0) nên Af = AAx + BAy + aÀx + p Ay - » 0 khi Ax, Ay —> 0. Vậy, hàm liên tục tại (x0, y0) . □ v ề mối quan hệ giữa sự tồn tại các đạo hàm riêng và tính khả vi, ta có định lý sau: Định lý 1.5. Cho hàm f(x, y) xác định trong tập mở D e l 2 và (x0,y 0) e D . 24 i) Điêu kiện cần đê hàm khả vi. Nếu f(x, y) khả vi tại điểm (x0,y 0) thì tồn tại các đạo hàm riêng f;(x 0,y 0), fý(x0,y 0). Các hằng số A, B trong định nghĩa vi phân cho bởi A = f^(x0,y 0), B = fý(x0,y 0); nói cách khác, df(x0,y0) = fx(x0,yo)Ax + fị ( xo>yo)Ay • ii) Điểu kiện đù để hàm khá vi. Neu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận của điểm (x0,y 0) thì khả vi tại đó và d z(x0,yo) = fx ( x o>yo)Ax + fý(x o>yo)Ay- (1-10) Chứng minh i) Từ giả thiết, Af = AAx + BAy + aÀx + pAy. Xét y = y0 = const thì Ay = 0 và Af = Axf = A Ax + a A x. Do đó c< í 1_ Axf _ AAx + aAx fx(xo>yo)= lim ~~r~ ~ lim ------T"------ = A - Ax—>0 A x Ax->0 A x Tương tự, fý(x0,y 0) = B. ii) Với Ax, Ày đủ nhỏ thì Af = f(x 0 + A x,y0 + A y ) - f( x 0,y 0) = [f(x 0 + Ax,y0 + A y ) - f( x 0,y 0 +Ay)] + [f(x o ,y o + A y )-f(x 0,y 0)]. Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến dẫn đến Af = f; (x0 + e, Ax, y0 + Ay)Ax + fý (x0, y0 + e 2Ay)Ay trong đó 0 < 0| < 1; 0 < 02 < 1. Vì f*, fy liên tục tại (x0,y 0) nên Af = [f x ( x o>yo)+ a ] A x + [ fý(x o > y o ) + P ] Ay> trong đó: a -> 0, p -> 0 khi Ax -> 0, Ay -> 0. Vậy Af = f ; ( x 0,y 0)Ax + aA x + fý (x 0,y 0)Ay + pAy (đpcm). □ 25 Chú ý. Giống như trường họp một biến, nếu X, y là biến độc lập thì dx = Ax; dy = A y. Từ đó, df(xo>yo) = fx(x o-yo)d x + fị ( xo>yo)dy Hệ quả. Neu hàm số z = f(x ,y ) có các đạo hàm riêng f^ (x,y), fý(x,y) liên tục trong tập mở D thì vi phân cúa nó xác định theo công thức Vi dụ 1.8. Xét sự khả vi và tính vi phân dz(x, y), dz(0, 1) (nếu có) của hàm số z = X3 + y3 - 3xy. Ổ õ Giải. — = 3x2 - 3y, — = 3y2 - 3 x , là những hàm liên tuc trên R 2 . ổx õy Vậy, hàm z khả vi trên R2 và: dz = 3[(x2 - y)dx + (y 2 - x)dy]; dz(0,l) = -3d x + 3dy = 3 (-d x + d y ). # Chú ý. Với hàm một biến y = f ( x ) , sự tồn tại đạo hàm (hữu hạn) f'(x 0) tại X = x0 tương đương với hàm f(x) khả vi tại X = x0. Đối với hàm nhiều biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng chưa đủ để hàm khả vi tại đó. Xét ví dụ sau: Ví dụ 1.9. Xét sự khả vi tại (0, 0) của hàm số 0, (x,y) = (0,0)Ễ Giải: Dễ thấy f^(0,0) = fý (0 ,0 ) = 0. Tuy nhiên, theo Ví dụ 1.5, hàm này không liên tục tại (0, 0). Vậy nó không khả vi tại (0, 0). # Ngoài ra, có thể xây dựng được những ví dụ về hàm hai biến f(x> y) mà: 26 - Liên tục tại (x 0,y 0) , không khả vi tại (x0, y0) ; - Tồn tại các đạo hàm riêng f^(x,y), fý (x ,y ), chúng gián đoạn tại (x 0,y 0), nhưng hàm f(x, y) vẫn khả vi tại (x0,y 0). ửng dụng vi phân đế tính gần đúng. Neu đặt x = x0 +Ax, y = y0 + Ay (hay Ax = X - x0, Ay = y - y 0), từ định nghĩa vi phân ta có Az = f ( x ,y ) - f ( x 0,y 0) = fx(x O’yo)(x - x o) + fị ( x ( b y o ) ( y - y o ) + a (x - x o ) + P ( y - y o ) * f x ( x o>yo)(x - x o) + fý(x o>yo)(y-yo)- Dần đến công thức xấp xỉ f ( x 0 + Ax, yo + A y ) « f ( x 0, y 0) + f ' ( x 0, y 0)Ax + fy(x0, y 0)Ay ( = f ( x 0,y 0) + d f(x 0,y 0)). ( 1.12) Công thức này cho phép tính giá trị gần đúng của hàm số dùng vi phân. v ế phài là biểu thức tuyến tính của các biến X, y; nên công thức cũng có tên là xấp xỉ tuyến tính của hàm f tại lân cận điểm (x0,y 0) . Sau này ta biết rằng (xem (1.78)), z = f ( x o ’y o ) + fx (x o>yo)(x - x o ) + f ị ( x o > y o )(y-yo ) là phương trình mặt phảng tiếp xúc với mặt cong z = f(x,y) tại điểm M0(x0,yo,f(xo,yo))- Từ đó ta nói: Có thế xấp xỉ mặt cong tại lân cận điềm M0 bởi mặt phẳng tiếp xúc của nó tại điểm này. Hình 1.7 mô tả ba chiều của vi phân dz và số gia Az ; dz biểu thị biến thiên cao độ của mặt phang tiếp xúc, trong khi đó Az biểu thị biến thiên cao độ của mặt cong z = f(x ,y ) khi (x, y) biến thiên từ (x 0,y 0) đến (x0 + A x,y0 + Ax). Giống như trường hợp một biến, khi áp dụng công thức (1.12) đế tính giá trị xấp xi của biểu thức A nào đó phải: 27 - Xác định dạng hàm f; - Xác định điểm (x0,y 0) ở đó dễ tính (hoặc có sẵn) f (x 0,y 0) và các đạo hàm riêng f ;( x 0,y 0), fý(x0,y 0); - Xác định các số gia Ax, A y; các số gia này phải đủ bé. Hình 1.7ẻ Ỷ nghĩa hình học cùa vi phân Nhận xét. Theo công thức (1.12): Chọn Ax = 1, Ay = 0 => Af = f (x 0 +1, y0) - f(x 0, y0) « f; (x 0,y 0); Chọn Ax = 0, Ay = 1 => Àf = f (x 0,y 0 + l ) - f ( x 0,y 0) « fý(x0,y 0). Như vậy, nếu biến u là hàm số cùa n biến độc lập, thì đạo hàm riêng của u theo biến thứ i xấp xỉ bằng biến thiên của u khi biến thứ i biến thiên 1 đom vị đo, các biến khác giữ không đổi. Tuy xấp xi trên có thể khá lớn, vì chẳng hạn ẢXj = 1 là khá lớn, song nó giúp ta trong một số trường hợp - nhất là khi 1 đom vị đo có thể xem là không lớn - hình dung tốt sự biến thiên của hàm quanh lân cận điểm xem xét. 28 1 02 Vi dụ 1.10. Tính xâp xỉ A = arctan _ _ _ ■ 0,95 Nhận xét: cần chọn (x0,y 0) gần 1,02; 0,95. 1+0,02 Vì A = arctan - chắc chắn ta sẽ chọn (x0,y 0) là (1, 1). Khi 1-0,05 đó Ax = -0 ,0 5 * Ay = 0,02. Vậy ở đây cần đến hàm hai biến. y Giải. Xét hàm sô z = arctan— tại lân cận điêm (1, 1): z'x(w ) =- y (1.1) (1.0 Suy ra 2 2 X + y 2 2 X + y A = z (l-0 ,0 5 ;l + 0 ,0 2 )« z (l,l) + ( -l/2 ) ( -0 ,0 5 ) + (l/2 )(0 ,0 2 ) = - + 0,035 « 0,785 + 0,035 = 0,820(Giá trị đúng A = 0,8209). # 4 Công thức (1.12) được áp dụng hiệu quả để tính sai số cùa đại lượng đo. Vi dụ 1.11. Đối với một hình nón tròn xoay người ta đo được bán kính đáy là lOcm và chiêu cao là 20cm với sai số tôi đa của mỗi phép đo là 0,1 cm. Dùng vi phân để ước lượng sai số cực đại của thể tích hình nón tính toán được. Giải. Ta có V = rtr2h / 3 . Vì r, h là các biến độc lập, vi phân của V là ... _ ỔV ỔV 2nrh 7ir2 d v = —- dr + —-dh = — — dr + - — dh . ổr ỡh 3 3 Sai số cực đại cùa mỗi phép đo là 0,1 cm, ta có |Ar| < 0,1; IAhl < 0,1. Thực tế, Ar không hẳn là ±0,1; chẳng hạn, Ar = 0,06 29 hay Ar = -0 ,0 8 . Tương tự với Ah . Tuy nhiên, để tìm sai số lớn nhất có thế, ta lấy sai số lớn nhất của phép đo h và r, như vậy ta lấy dr = dh = 0,1 tại r = 10, h = 20. Điều này dẫn đến dv = í ^ < 0 , l ) +í ^ ( 0 , l ) = í “ĩ * 5 2 . 3 3 3 Như vậy, sai số cực đại trong thể tích tính toán được là 52cm3. Có thề bạn nghĩ sai số này là lớn, song SO với thể tích thực, nó chi đạt 0,83% (sai số tương đối là 0,83%), vì thế nên coi nó là nhỏ! # 1.2.3. Đạo hàm riêng của hàm hợp Cho hàm hai biến w = f(u ,v) xác định trên tập mở A. Bây giờ giả sứ u, V lại là hàm của hai biến X, y khác trong một tập mở D nào đó: u = u(x,y), V = v(x,y), ( x ,y ) e D . Ngoài ra giả sử rằng, khi (x,y) biến thiên trong D thì các điểm (u(x,y),v(x,y)) không ra khỏi A. Thay giá trị của u, V vào hàm w ta thu được hàm hợp F(x,y) = f(u(x, y),v(x, y)), (x, y) e D . Tinh chất. Hợp cùa các hàm liên tục là hàm liên tụcế Định lý 1.6. Giả sử hàm f(u, v) có các đao hàm riêng —ỡu ỡv liên tục trong A; các hàm u(x,y), v(x,y) có các đạo hàm riêng ôu ỡu ổv ổv ... _ _ X . — ,— liên tuc trong D. Khi đó trong D tôn tai các đao hàm ổx ổy ổx ỡy ỠF ỠF . riêng và ỡx ỡy ỠF _ ỔF ỡu ỔF ổv (1.13) 30 ổx Ou ổx ỡv ổx ỠF _ ỔF ỡu ỠF ỡv õy õu õy õv dy Để cho tiện, ta không phân biệt f và F khi tính đạo hàm riêng, vậy ổ f _ ổ f ỡ u ổ fỡ v . ỡf _ ổ f ổ u ổ fổ v ỡx ỡu ổx ổv ổx ’ ỡy ỡu ổy ôv ôy Chimg minh. Chứng minh đăng thức thứ nhất cua (1.13). Giả sứ (x0,y 0), (x0 + Ax,y0) e D . Xét số gia AxF = F(x0 + A x ,y0) - F ( x 0,y 0) = F(u(x0 + A x,y0), v(x0 + Ax,y0))-F (u (x 0,y 0),v(x0,y 0)). Ký hiệu: u0 = u(x0,y 0), v0 = v(x0,y 0), U| = u(x0 + Ax,y0), V, = v (x 0 + Ax,y0). Từ công thức số gia giới nội cho hàm một biến dẫn đến AxF = F(u1,v 1) -F ( u 0,v 0) = (F(u1,v 1) -F ( u 0,v 1)) + (F(u0,v 1) - F ( u 0,v 0)) _ af(u'„Vi) af(u0,vi) - - l ul u0j+ “ (V! v0), Ỡu Ỡv trong đó: u'j = u0 + 0|( U |- u 0); v'| = v0 + 02(V! - v0), o < 0ị,02 < 1. v â y A XF . d f ( u j , V | ) Uị - U q | d f ( U o , v j ) Vị - V q Ax ỡu Ax ỡv Ax Chuyển qua giới hạn, sử dụng tính liên tục cùa hàm hợp ta được: dF(x0,y 0) _ Ịjm AXF = df(u0,v 0) du(x0,y 0) | df(u0,v 0) dv(x0,y Q) ỡx h-»õ Ax ổu ổx ỡv ổx Đăng thức thứ nhất cùa (1.13) được chứng minh. Đắng thức thú hai của (1.13) chứng minh tương tự. Chú ý. i) Trường hợp z = f(u(x,y)) thì õz df(u(x,y)) du(x,y) õz df(u(x,y)) du(x,y) ổx du ỡx ’ ỡy du ổy ii) Trường họp z = f(x ,y ), y = y(x) => z = f(x ,y (x )) (hàm một biến) thì <ịz = 9 f + afd y (|15) dx ổx ổy dx 31 iii) Trường hợp z = f (x , y), X = x(t), y = y(t) => z = f (x(t), y(t)) thì dz õ í dx õf dy — = ( 1. 16) dt ỡx dt õy dt iv) Trường hợp z = f(u ,v ,w ) thì f = f(u (x ,y ),v (x ,y ),w (x ,y )). Khi đó: õf_ õx õfâu õfõv õ £ ô w Õu Õx Õv Õx Ỡw ổx (1.17) ổ f _ ỡ f ổ u ổ fô v ôf_dw õy õu õy ỡv ổy ổw ỡy v) Cho phép đổi biến u = u(x,y), v = v(x,y) biến mỗi điểm (x, y) e D thành điểm ọ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) e A , ma trận / ổu ỠVA J = õx õx ổu ỡv .ày õ y ỵ gọi là ma trận Jacobi của phép đổi biến u = u(x, y), V = v(x, y ) . Định thức của ma trận J gọi là định thức Jacobi hay Jacobian của D(u,v) D (x ,y )Ễ ỡu Ôu D (u,v) = det D (x ,y ) Õx dy Õ\ ỡv ổx õy (1.18) 2 X 32 Ví dụ 1.12. Tính đạo hàm của các hàm số hợp i) z = ln(u2 + V2 ) với u = xy, V = X / y ; ii) z = exy ln(x2 + y2) . .. õz õz ỡu õz Ỡv Giãi, i) — = ---------1--------- = ỡx ỡu ỡx ôv ổx2u 2v 2 2 '^ 2 2 ' u + v u + v y ổz _ ổz ổu õz ôv _ 2u 2v ổy ổu ổy d v ỡ y _ u2 + v2 u2 + v2 2(y -1) y(y4 +i)' ii) Thực ra, khi đạo hàm không cần viết ra các hàm trung gian u, V, nên viết trực tiếp theo các biến cuối cùng X, y, z,... Từ đó: ôz= exyyln(x + y ) + exy _2 2 X + y2x = e = exy X ln(x2 + y2) + exy - T J- T 2y = exy X + y • 5(T bất biến dạng của vi phân yln(x2 + y 2)+ - 2x^ X + y xln(x2 + y2)+ 2y X + y Xét hàm z = f (u, v) với u, V là hai biến độc lập. Đã biết rằng _ ổ f ,4 A dz = — du + — d v . (*) ỡu ỡv Bây giờ vẫn xét z = f (u, v) nhưng với u, V là biến phụ thuộc: u = u(x,y); V — v(x, y). Thế thì z = f(u(x, y), v(x, y)). Áp dụng (*) ta có - . t t A A dz = — dx + — d y . ổx õy Theo công thức đạo hàm hàm hợp: _ị_ ___ __ỔVNdx + 'õ f ỡu d ĩ dz = ' d ĩ ỡu Õf _1________õ v' Õf_ du ỡx Ỡv ỡ x, kổu ổy õv ỡy,dy ổu , ỡu , — dx + — dy ổx õyõ ỉ { ỡv ỡv — — dx + — dy ỡv 1 ỡx õy - t t - A Õ f A = — du + — d v . ỡu ôv Như vậy, công thức (**) cùng dạng với (*). (**) 3 GíẢITlCH II- 33 Ta nói vi phân cấp một bất biến dạng (có cùng dạng (*) dù là biến độc lập hay biến phụ thuộc). • Áp dụng. Áp dụng thú vị của điều này là quy tắc vi phân với cphép toán. Neu u = u(x,y), V = v(x,y) là các hàm khả vi thì: d (u ± v ) = du±dv; d(uv) = udv±vdu; udv d ——; df(u) = f'(u)du . (1.19) Các công thức này đúng cho u, V là biến độc lập nên đúng cho u, V là biến phụ thuộc. Vi dụ 1.13. Tính vi phân cùa các hàm số sau: • y i) z = arcsin — ; X Giải. ii) z = arctan(xy2). i) dz -|x| 2 x y d y - y 2dx y(-ydx + 2x dy) 1.2.4ẵ Đạo hàm hàm số ẩn a. Khái niệm***. Cho trước một hệ thức giữa hai biến X và y: F(x, y) = 0. ( 1.20) (,) Xem thêm ờ Chương 2, Giáo trình Giải tích I ([2]). 34 ỉ GiAlTlCHII Nếu với mọi giá trị x0 trong một khoảng nào đó có một (hoặc một số) giá trị y0 sao cho F(x0,yo) = ° thì ta nói ràng, hệ thức ( 1.20) xác định một (hoặc một số) hàm ẩn y theo x: y = y(x) trong khoảng ấy. Vậy, hàm số y = f(x ) được xác định một cách ấn bơi hệ thức ( 1.20) nếu khi thế y = f(x ) vào ( 1.20), ta được đồng nhất thức: f(x ,y (x )) = 0 . 2 2 X y V í du, cho —— + = 1, nhân đươc a b ^ í 2 2" ^ / 2 2" y = — V a - X v à y = — Va - X , x e ( - a , a ) . b b 2 2 Vậy, hệ thức “ r* •+■ — 1 xác định hai hàm ẩn trong khoáng a b (-a , a). Không phải lúc nào cũng tìm được biếu thức tường minh. Chẳng hạn, không thế giải X qua y hay y qua X từ biểu thức x y = y x +1 (x, y > 0), mặc dù tồn tại mối quan hệ hàm (ấn) từ ràng buộc này. Tương tự, hệ thức giữa ba biến dạng F (x,y,z) = 0 (1.21) có thể xác định một (hoặc một số) hàm ẩn z của biến X, y: z = z(x, y ) . B â y giờ xét hệ hai phương trình ÍF (x ,y ,z,u ,v )= 0 ị r , \ J n (L22) ỊG (x,y,z,u,v) = 0 Neu từ đây có thể giải ra được một (hoặc một số) cặp hàm íu = u(x,y,z) . . . . (1.23) lv = v (x,y,z) 35 xác định trong một miền G c l 2 nào đó, sao cho khi thay vào (1.22) ta nhận được những đồng nhất thức, thì ta nói ( 1.22) xác định một (hoặc một sổ) cặp hàm ẩn u, V của ba biến X, y, z. Cứ thế ta định nghĩa được hàm ẩn trong các trường họp nhiều biến hơn, nhiều ràng buộc hơn. Nói chung, khi n biến độc lập được liên kết với nhau bởi m ràng buộc (0 < m < n) thì có nhiều nhất m biến trong chúng là hàm của các biến còn lại. b. Cách tính đạo hàm hàm ẩn Định lý 1.7. Xét hệ thức F(x,y) = 0 , trong đó F(x,y) là hàm hai biến xác định trên tập mở G c R 2, (x 0,y 0) e G : F(x0,y 0) = 0. Nếu F*, Fý liên tục tại lân cận (x0,y 0), Fý(x0,y 0) * 0 thì hệ thức ( 1.20) xác định một hàm ẩn duy nhất y = y(x) trong lân cận x 0, liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận x 0 và y(x0) = y0 . Giả sử các điều kiện của Định lý 1.7 thoả mãn, thay y = f(x) vào (1.20) thì F(x, y(x)) = 0 với mọi X đủ gần x 0 . Lấy đạo hàm hai vế theo x: Fx(x,y(x)) + Fy(x,y(x))y'(x) = 0 => y'(x) = , F;(x,y(x)) hay viết gọn: d y (x )_ ôĩ/õx dx ÔF / õy Định lý 1.8. Cho F(x, y, z) là hàm ba biến xác định trên tập mở G c R 3, (x0,y 0,z 0) e G , sao cho F(x0,y 0,z 0)= 0. Giả sử rằng, hàm F liên tục và có các đạo hàm riêng F*, Fý, ¥'z liên tục tại lân cận (x0,y 0,z 0). Hom nữa, giả sừ ràng Fz(x0,y 0,z 0) * 0. Khi đó tồn tại hàm ẩn z = z(x,y) tại một lân cận của (x 0,y 0), liên tục, khả vi liên tục tại lân cận (x0,y 0) và z(x 0,y 0) = z0 . 36 Đế tính các đạo hàm riêng của z(x, y), thay z = z(x,y) vào (1.21): F (x,y,z(x,y)) = 0 với mọi (x, y) trong lân cận (x 0,y0) . Lấy đạo hàm hai vế theo biến X, rồi theo biến y ta được ỠF ỔF ổz — — = 0 ỡx õz ổx ỔF ỔF õz — + — — = 0. ổy õz õy Do * 0 , điều này dẫn đến ỔF ỔF = ẼỈ. = - È L ôx ỔF ’ dy ỔF' ỡz ổz (1.25) Khi tính các đạo hàm riêng ở vế phải của các công thức trên, coi X, y, z là những biến độc lập. Ví dụ 1.14. Tính các đạo hàm riêng của hàm ấn z = z(x,y) xác định từ phương trình F(x,y,z) = ez + xy + X2 + z3 -1 = 0. Giải.õz _ F' _ y + 2x X Ổx F' Â z e7 + 3 z ỡx ez + 3z Định lý 1.9. (■$) Giả sử F = F (x ,y ,z ,u ,v ), G = G (x ,y ,z ,u ,v ) là h a ih à m số của 5 biến xác định và liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trong một lân cận của điểm (x n,y n,z n,u n,v n) e G . N goài ra, tại M „(x0,y n,z n,u n, vn) thì D(F,G) K K D(u,v) M0 G'u G'v Mo*0. Khi đó hệ phương trình [F (x ,y ,z ,u ,v ) = 0 [G (x ,y ,z ,u ,v ) = 0 xác định duy nhất một hệ hàm ẩn Ịu = u(x,y,z) Ịv = v(x,y,z) (1.26) (1.27) 37 trong lân cận nào đó của (x 0,y 0,z 0) và thoả mãn ịu(x0,y0,z0) = u0 Ịv(x0,y 0,z0) = v0. Hai hàm u, V này liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận vừa nêu. Đe tính đạo hàm hàm ẩn, thay u = u (x ,y ,z ), v = v (x ,y ,z ) vào(1.26): ÍF(x,y, z, u(x,y,z), v(x,y,z)) = 0 [G(x,y, z, u(x,y,z), v(x,y,z)) = 0, rồi đạo hàm riêng hai vế theo X ta được: F' + F X + F X =0 G 'x + G ú U'x + G ÝV'x = ° - Đây là hệ hai phương trình đại số tuyến tính với ẩn uỊ(,v'x . Từ giả thiết, định thức Cramer của hệ không triệt tiêu: D (F,G ) (u,v) K K G' G'„* 0 , vậy tồn tại nghiệm duy nhất tính theo công thức: K K K K u'„ = - G'x G'v vl = —Gú G'x D (u ,v) D (u ,v ) ( 1.28) Tương tự, có thể tính được u'y,vý; u^,v'z . 1.2.5Ệ Đạo hàm theo hướng - Gradient (ữ) Bổ đề. Cho vectơ l = (a,b,c) khác không trong M3; a , p, Y lần lượt là góc hợp bởi l với các tia Ox, Oy, O z . Khi đó / \ (cosa, cosp, cosy) = , \ĩ\= Va2 + b2 + c 2 . ý \ ’ K r KL Ta gọi: a , p, y là các góc định hướng cùa vectơ t ; cosa, cosp, COSỴ là các cosin chi phương của vectơ i . 38 Rõ ràng là cos2 a +COS2 p + COS2 Y = 1. Vậy (cosa, cosp, cosy) là vectơ đơn vị. Trái lại, nếu p. là vectơ đơn vị thì e = (cosa, cosp, cosy). Bây giờ ta muốn biết hàm biến thiên thế nào theo một hướng nào đó. Muốn vậy, qua điểm M0(x 0,y 0,z 0) e D kẻ đường thăng định hướng với vectơ đơn vị ỉ. - (a ,b ,c ). Giả sử điếm M(x, y, z) luôn nằm trên đường thăng này. Khi đó có số thực t đế M0M = t.ĩ « (x ,y ,z) = (x0 + ta,y0 + tb,z0 + tc) ( t = M0M là độ dài đại sô của vectơ M0M : ------- M0M nếu M0M cùng chiều M0M = < _ [-M 0M nếu M0M ngược chiều ĩ). Ty số Au = u (M )-u (M 0) = u(x0 + ta,y0 + tb,z0 + tc )-u (x 0,y 0,z0) t t t là tốc độ biến thiên trung bình cùa hàm u theo hướng ỉ trên đoạn M0M độ dài t. Cho qua giới hạn khi t —» 0 ta được đạo hàm theo hướng. Mặt khác, giới hạn của tỷ số ở vế phải khi t —> 0 là đạo hàm của hàm F(t) = u(x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) tại t = 0 ỗ Ta đưa ra định nghĩa sau: Định nghĩa. Cho hàm u(x, y, z) xác định trong tập mớ D c R3, M0(x0,y 0,z 0) G D , t = (a,b,c) là vectơ đơn vị. Nếu hàm một biến F(t) = u(x0 + ta,y0 + tb,z0 + tc) có đạo hàm tại t = 0 thì F'(0) được gọi là đạo hàm theo hướng l của hễm u(x, y, 2) tại Mo, ký hiệu là ^ Í M Ọ 1 Ĩ Ọ > (hay * # > ) . d ì d ĩ 39 Bây giờ lấy i - \ =(1,0,0) là vectơ đơn vị của trục Ox thì F(t) = u(x0 + t,y 0,z0), F'(0) = u'x(x0,y 0,z 0). Vậy, đạo hàm theo hướng i bằng đạo hàm riêng theo biến x: ổu _ ôu ỔĨ ổx _____ ổuôuổuổu Tương tự, ^ = ^ = T7 - ỡj ỡy ổk ỡz Lưu ý rằng, t —> 0 <=> M —» M0 theo hướng ĩ . Vậy, đạo hàm theo hướng ĩ biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số theo hướng đó. _ J Định nghĩa. Nêu í không là vectơ đơn vị (I ỉ 1), gọi ỈQ = .ì , . , ổu là vectơ đơn vị của £; đặt — = . õ ĩ õ ĩ0 Ta có thể tự hiểu đạo hàm theo hướng trong R 2 . Định lý 1.10. Nếu hàm số u = u(x,y,z) khả vi tại điểm M0(x0,y 0,z 0) thì tại đó có đạo hàm theo mọi hướng í và ổu(M0) ỡu(M0) ổu(M0) _ ổu(M0) — &^cosa+— — ^c o s P + — — ^COSỴ, (1.29) õ t õx dy õz trong đó a, p, Ỵ là góc tạo bời Ế với các trục Ox, Oy, Oz . Chimg minh Vì u(x, y, z) khả vi tại M0 nên F (t)-F (0 ) 1 r , -------- ----- = - [u(x0 + 1 cos a , y0 + 1 cos p, z0 + 1 cos y) - u(x0, y0, z0) j = -[u'x(M0)tc o s a + u'x(M0)tcosP + u'x(M0)tcosy + P tc o sa + Q tcosp + R tcosy] trong đó p, Q, R -> 0 khi t —> 0. Qua giới hạn khi t —> 0 ta được đpcm. □ 40 . . . , ổu Ỡu Hệ quả. — . õ ( - ĩ ) d ĩ • Gradient Định nghĩa. Giá sử u(M) = u (x,y,z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M0(x0,y 0,z 0). Ta gọi gradient cùa hàm u tại Mo là vectơ, ký hiệu bới gradu(M0), xác định như sau ^ổuCMq) Ou(M0) ổu(M0) n ôx ' ôy ’ ổz gradu(M0) = (1.30) Vậy, i^ d u (M 0) = * Í M í > ĩ + M 4 ) ) i . õx õy ôz Hệ quá. Cho u(x,y,z) khả vi tại M0(x0,y 0,z 0). Khi đó: i) = g r a d u ( M 0 )» ĩ ; o i ii) -|gradu(M 0)| < — (M.p) < |gradu(M0)| ■ (1.31) Chứng minh. I = (cos a, cos p, cos y) . i) Trực tiếp suy ra từ (1.29). Ta nhận được (ii) từ gradu(M0) * ĩ= gradu(M0)|p| cos(gradu(M 0), i y n H ệ quả. Cho u là hàm khả vi tại M0 . Giá trị cực đại của đạo hàm theo hướng là |gradu(M0)| = ự(u'x)2 +(u'y)2 + (u'z)2 , xảy ra khi 1 cùng chiều với gradu(M0). gradu(M0) là hướng mà theo đó tại Mo hàm số biến thiên nhanh nhất: Theo hướng grad u : hàm tăng nhanh nhât; 41 - Theo hướng - grad u : hàm giảm nhanh nhât. Chăng hạn, nêu u(x, y, z) là nhiệt độ của chât điêm M(x, y, z) thì khi di chuyển theo hướng gradu, chất điểm sẽ đến chỗ ấm hơn nhanh nhất; nếu theo hướng ngược lại, sẽ đến chồ lạnh hơn nhanh nhất. Ồw Vi dụ 1.15. Cho hàm s ổ u = X3 + y3 + z3 + 3xyz. Tính grad u , — Ô i và Maxổutại M0 (1 ,2 -1 ) biết l là vectơ đơn vị của M0M| với ô i Mị = (2, 0, 1). Giải. u'x = 3x2 +3yz u'y=3y +3zx =>gradu = 3(x + yz, y + zx, z + x y ). u'z = 3 z2 +3xy gradu(M0) = 3(—1,3,3). M0M, = (1,-2,2) => ĩ = = 2’2K M0M| ỉ _ 2 2 _ ? _ 5 _ 3 3 3 — ọ- = ĩ*grad u(M 0) = 3 — 1.— h3. — + 3 . — , 1 J 2) , 2 3 1 3 3 du(Mọ) d i < |grad U(M0)| |ể| = |grad U(M0)| = 3VI9 . Dấu "=" xảy ra khi ĩ = ±gradu(M 0). # 1.2ễ6Ề Đạo hàm và vi phân cấp cao Định nghĩa. Giả sử các đạo hàm riêng cấp một f'(x ,y ), fý(x,y) tồn tại trong tập mở D e l 2 . Như vậy, các đạo hàm riêng cấp một là những hàm số. 42 Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một, nếu tồn tại, gọi là đạo hàm riêng cấp hai. Có 4 đạo hàm riêng cấp hai: JL{Ẽ L ổx t ổx dy l^ổx ổ2f ổx2: ô2f ôxdy C (x ,y ); = f'y(x,y); õ_ Õx _õ_ õy õy ẼL õy õ 2f ÕỴÕX õy = fỊx(x.y); Cứ như thế ta định nghĩa các đạo hàm riêng cấp cao hơn. Vi dụ 1.16. Tính các đạo hàm riêng cấp hai cua hàm số z = X2 ln(x + y ) . v2 -2 X + y9 ể z' = *-• yx + y Giải. z'x = 2xln (x + y) + - 21n(x + y)+ - (x + y) Zyy - (x + y Y ” (x + y) Định lý 1.11 (Schwarz). Neu trong một lân cận của điếm (x0,y 0) tồn tại các đạo hàm riêng hỗn hợp f"y(x,y), fỹx(x,y) và các đạo hàm riêng này liên tục tại (x0,y 0) thì chúng bằng nhau tại (x0,y 0): fxy(xo,yo) = í yx(x o>yo)- (L32) Như vậy, với các điều kiện của định lý, đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Định lý còn đúng cho trường hợp số biến n > 3 cũng như cấp các đạo hàm riêng hồn hợp cấp cao hơn hai. • Vi phân cấp cao. Giả sử đã tính được vi phân cấp một df = dx + fý d y. Vi phân của df khi coi dx, dy là những hằng số - nếu tồn tại, được gọi là vi phân cấp hai cùa z, ký hiệu d 2f : d f = d(df) = d(f; dx + f; d y). Cứ như vậy, ta định nghĩa vi phân cấp cao hơn: d3f = d(d2f ) , . -., dnf = d(dn_1f ) ị (1.33) 43 • Công thức tính. Khi X, y là những biến độc lập, các số gia dx = Ax, dy = Ay không phụ thuộc vào X, y. Giả sử tồn tại d2f thì d2f = d(df) = d(fxdx + fýdy) = (f ' dx + fý dy)'x dx + (f* dx + fý dy)'y dy = fx’x(dx)2 + (f^ + f ; y)dxdy + f^ (d y)2. Giả sử f" liên tục, khi đó chúng bằng nhau. Vậy ề2f = f xx (dx)2 + 2 f x y d x dy + (dy)2 • Viết lại (1.34) dưới dạng công thức tượng trưng như sau d2f = — dx + — dy Õ A 8 A ổx ổy Tương tự, chứng minh được dnf = ' ô , 0 , — dx + — dy ổx ổy f . (1.34) (1.35) (1.36) Xảy ra công thức tương tự cho hàm nhiều biến hơn, chẳng hạn \2 d f(x ,y ,z ) = — dx + — dy + — dz õ A 5 A 8 A ỡx õy õz _ ỡ2f , 2 ỡ2f , 2 = —4-dx + —4-dy ỡx^ ổ y -dz + 2 - 2 dxdy + 2 ■ dxdz + 2 õ 2f dydz. õzL ỡxổy ổxổz ỡyỡz õxõz Nếu X, y không là biến độc lập thì giống trường hợp một biến, bất biến dạng không còn đối với vi phân cấp cao. Vi dụ 1.17. Cho z là hàm của X, y xác định từ — = ln — + 1. Tính z y dz,d z. Giải. Có thể tính các đạo hàm riêng rồi thay vào công thức tính vi phân. Song cách sau đơn giản hơn. 44 Giả sư y z > 0 , vi phân hai vế phương trình đã cho, dùng (1.19) thu được: zdx - xdz _ y f ydz - zdy A 12 <=> yzdx - xydz = yzdz - z dy ^ d z = z(ydx + zdy) , 0 z) y(x + z) ' 2 í z ) Vi phân hai vê (*) được d z = d ——— dx + d u + z j dụng (*) dẫn đến d2z = _ *2(y d * -» d y )2 y 2(x + z )3 1.2.7. Công thức Taylor z2 ' y(x + z) (*) dy, sử # Định l ý 1.12. Giả sử hàm z = f(x ,y ) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n + 1 trong một E -lân cận nào đó của điểm M0(x0,y 0). Giả sử M (x0 + Ax, y0 +Ay) cũng thuộc e - lân cận đó. Khi đó xảy ra đẳng thức I 1 2 f(x 0 + A x ,y 0 +Ay) = f(x 0,y 0) + d f(x 0,y 0) + ^ d f(x 0,y 0) + .. ể + -j-dnf(x 0,y 0) + — - ■■ d(n+1)f(x 0 +fìA x,y0 + 9Ay), n! (n + 1)! (0 < 0 < 1). (1.37) Khi dùng luỹ thừa tượng trưng, có thể viết lại (1.37) dưới dạng f(M ) = f(M 0) + Ế ^ - £ í k! — Ax + — Ay Í a ỡx ổy f(M 0) 1 ( r) Y +1 f(M i)(1.38) 45 ( M| thuộc đoạn M0M ]). Hay viết phần dư dạng Peano: a(Ax,Ay).ỤAx2 + Ay2 I (1.39) với lim a(Ax,Ay) = 0. (A x,A y)—»(0,0) Đặc biệt, với n = 0 ta được công thức số gia giới nội cho hàm nhiều biến (1.40) Do f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp (n + 1) trong lân cận của M0 nên F(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp (n + 1) trên đoạn [0, l] ắ Áp dụng công thức Taylor cho hàm F(t) ta được f(M ) - F(l) = F(0) + I2 + -Jể + — Fn(0). 1" + F(n+1)(9) 1! n! (n + 1)! Tính toán cụ thể, ta có: F(0) = f(x 0,y 0); F'(t) = f '( x 0 + tA x,y0 + tAy)Ax + f ị( x 0 + tA x ,y 0 + tAy)Ay, F'(0) = f;(x 0,y 0)Ax + fý(x0,y 0) Ay = d f(x0,y 0); F'(t) = fxx(x0 + 1 A x,y0 + 1 Ay) Ax2 + 2f;y(...)AxAy + f£y(...)Ay2, F*(0) = fxx(x0,y 0)Ax2 +2fxy(x0,y 0) AxAy + f^y(...) Ay2 = d2f(x 0,y 0); F(n)(0) = dnf (x 0) y0); F(n+1)(0) = dnf (x 0 + 0Ax, y0 + 0Ay). Thay vào ta được đpcm. □ 46 Lưu ỷ. Đề có công thức Taylor với phần dư dạng Peano (1.39) điều kiện sẽ nhẹ hơn một chút: Hàm u = f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n trong một lân cận của M0(x0, y0) , xem chứng minh trong [11], tập 4, tr. 285. §1.3. CỤC TRỊ 1.3.1. C ự c trị địa phương của hàm nhiều biến Định nghĩa. Cho hàm số z = f(x ,y ), ( x , y ) e D c R 2 , M0(x0,y 0) là một điếm trong cùa D. Giả sử Ư là một lân cận đú nhỏ cùa M0 . i) Nêu VM e u mà f(M )> f(M 0) thì M0 gọi là điểm cực tiểu của hàm f(x, y); hàm f(x, y) được gọi là đạt cực tiếu tại M0 ; f(M 0) gọi là giá trị cực tiếu. ii) Nếu VM e u mà f(M )< f(M 0) thì M0 gọi là đi êm cực đại cúa hàm f(x, y); hàm f(x ,y ) được gọi là đạt cực đại tại M0 ; f(M 0) gọi là giá trị cực đại. iii) Điếm cực tiểu, X cực đại gọi chung là đ iể m c ự c t r ị' g iá trị c ự c H ình 1.8. Cực trị địa phương cùa hàm hai biến đại, giá trị cực tiếu gọi chung là cực trị. Lưu ý rằng, cực tiểu, cực đại ở đây chỉ mang tính cục bộ, địa phương. Ví dụ ì . 18. Xét cực trị của hàm số z = X2 + 2x + y2 - 4y + 7. 47 Ta thấy z = (x + 1)2 + ( y - 2)2 + 2 > 2 . Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi X = -1, y = 2. Vậy (-1, 2) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho, ZCT = z ( - l,2 ) = 2 . # Định lý 1.13 (Điểu kiện cần của cực trị). Giả sử hàm số z = f(x ,y ) đạt cực trị tại M0(x0,y 0) và tại đó tồn tại các đạo hàm (1.41) Chứng minh. Hàm một biến f(x ,y 0) đạt cực trị tại X = x 0 , vậy fx(x o>yo) = 0 - Tương tự fý(x0,y 0) = 0. □ Chú ý. i) Điều ngược lại không đúng. Cụ thể là: Có thể tại (x0,y 0) cả hai đạo hàm riêng triệt tiêu (f"x = fý = 0 ), nhưng hàm số không đạt cực trị tại (x0, y0) . ii) Từ định lý, ta chỉ việc tìm cực trị tại những điểm tại đó: - Hoặc là cả hai đạo hàm riêng tồn tại và triệt tiêu (điểm dừng): ỡx ổy - Hoặc là ít nhất một trong hai đạo hàm riêng không tồn tại. Những điểm thuộc một trong hai loại vừa nêu gọi là điểm tới hạn (hay điểm nghi ngờ cực trị). Định lý 1.14 (Điểu kiện đù cùa cực trị). Cho D là một tập mở của R 2 . Giả sử hàm hai biến z = f(x ,y ), (x ,y ) e D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng (x0, y0) e D . Coi vi phân cấp hai là dạng toàn phương của các biến dx, dy. 48 i) Nếu d2f(x 0,y 0) xác định dương thì f đạt cực tiểu tại M0 . ii) Nếu d2f(x 0,y 0) xác định âm thì f đạt cực đại tại M0 . iii) Nếu d2f(x 0,y 0) đổi dấu thì M0 không là điểm cực trị. Lưu ý. Nếu d2f(x 0,y 0) suy biến (tồn tại dx, dy không đồng thời bằng 0 để d2f(x 0,y 0) = 0 ) thì chưa có kết luận. Chứng minh (-Ộ-). Lấy h, k đủ nhỏ; không đồng thời bằng 0. Vì (x 0,y 0) là điểm dừng, với (x ,y ) = (x 0 + h , y 0 + k ) , theo công thức Taylor (1.39) ta có: ởx ởỵ 2 +a(h,h).(h2 + k2) =-Q(h,k) + a(h,k).(h2 + k2), (*) trong đó: ổx lim a (h ,k ) = 0. (h,k)-K0,0) Viết lại (*) dưới dạng Af ÕKÕy õy (**) h +k ■ = t Q + a(h ,k ). .Vh2 + k 2 V h 2 + k 2 J (***) i) Giả sừ d2f( x 0,y 0 ) xác định dương. Hàm hai biến Q (u ,v) liên tục trên mặt càu đưn vị lâm lại góc Loạ độ S| là tập đóng và bị chặn, nân I1Ỏ đạt giá trị Iiliủ nhất m: 3(ui. vi) £ S| :Q (u ,v )> m = Q (u1,v 1) > 0 (Bất đăng thức sau cùng xảy ra do tính xác định dương của Q(h, k)). Từ (**), với h, k đù nhỏ, thì I a (h ,k ) |< — , từ đó 4 h2 + k 2 ,Vh2 + k 2 \lh2 + k2 V ậy, M0 là điểm cực tiểu. 4 -GlAlHCHN-A 49 ii) Áp dụng phần i) cho hàm -f(x,y). iii) Giả sừ d2f( x 0 ,y 0 ) đổi dấu. Khi đó tồn tại hai điểm ( u ,, V ,),(u2,v 2 ) trên S| để Q ( U | , V j ) > 0 , Q ( u2 , v2)< 0 . V ì l i m a ( tU j, tV j) = 0, i = l , 2 . T ừ ( ***) với t—>0 mọi t đù nhỏ thì: f|>c ^ „ y o t .v ,)-f(» 0,y0) s l ( (1U r 2 f ( , a t ,u ; .y a t l v ; ) - f ( x 0.y 0 ) 1 (|u itVi)<0 r 2 Vậy, (x G,y 0 ) không là điểm cực trị. !!(■&) Nhận xét. Đặt A _ g2f(M ọ) d2f(M 0) a 2f(M 0) ổx2 ’ õxõy ’ ổy2 ’ A = B2 -A C . (1.42) Ma trận của dạng toàn phuơng d2f(x 0,y 0) là A B B c Từ Đại số tuyến tính ta biết rằng, dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó dương; xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính đổi dấu, định thức con chính thứ nhất âm. Từ đó ta nhận được định lý sau rất thuận lợi trong thực hành: Định lý 1.14'. Giả sử xảy ra các giả thiết của Định lý 1.14. Khi đó: i) Nếu A < 0, A > 0 ( o c > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0 ; ii) Nếu A < 0, A < 0 (<=> c < 0) thì f đạt cực đại tại M0 ; iii) Nếu A > 0 thì M0 không là điểm cực trị. (Có thể xem chứng minh trực tiếp trong [5], tr. 224). Lưu ỷ. Khi A = 0 chưa có kết luận: Hàm f có thể đạt, cũng có thể không đạt cực trị tại M0 . Đẻ tiện lợi, người ta gọi điểm M0 ở trường hợp iii) là điểm yên ngựa (saddle point) (Hình 1.9a, b), dù rằng thực ra tình huống như ở Hình 1,9a mới đáng gọi là như thế. 50 4 GIẢI TÍCH M- Hình 1.9. Điếm yên ngựa Định lý 1.14 được tổng quát cho trường hợp số biến lớn hơn hai. Chẳng hạn, với hàm ba biến ta có định lý sau. Định lý 1.15. Cho D là một tập mở trong R3. Giả sử hàm z = f(x , y,z), (x, y ,z ) e D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó cùa điêm dừng M0(x0 ,y 0,z 0)e D, tại đó d f(x 0 ,y 0,z 0) d f(x 0 ,y 0,z 0) a f ( x 0 ,y 0,z 0) 0 ổx ỡ y õ z Xét dạng toàn phương của các biến dx, dy, dz: d2t \x 0 ,y 0,z 0): —-dx + — dy + — dz õx õy ôz n * o ,y o ’zo)- Khi đó: - Nếu d2f(x 0 ,y 0,z 0) xác định dương thì (x0 ,y 0,z 0) là điểm cực tiểu; -N ế u d2f(x 0 ,yo>Zo) xác định âm thì (x 0 ,y 0,z 0) là điểm cực đại; - Nếu d2f(x 0 ,y 0,z 0) không xác định thì (x0 ,y 0,z 0) không là điểm cực trị. 51 Lưu ỷ. Nếu d2f(x 0,y 0,z 0) suy biến thì thủ tục chưa có kết luận: Có thể (x0 ,y 0,z 0) là điểm cực trị, có thể đó là điểm yên ngựa. Vi dụ 1.19. Xét cực trị của hàm số z = X 3 + y3 - 3 x y . Giải. z'x = 3x2 - 3 y = 0 ÍMo(0,0) , => J là các điểm dừng. z'y = 3y - 3 x = 0 [M ,(l,l) 6xj ^xy 3 5 Z y y 6y. - Tại M0 :A = 0;B = -3 ;C = 0 = > A = 9 > 0 : không đạt cực trị. -T ạ i M j: A = 6; B = -3; c = 6=> A = 9 - 3 6 = - 2 7 < 0. Vậy, Mị là điểm cực tiểu của z (z đạt cực tiểu tại Mi), ZC T = Z (1 ,1 ) = - 1 . # Vi dụ 1.20. Tìm cực trị của hàm số y2 z 2 2 u = x + — + — + — ( x ,y ,z > 0). 4x y z Giải. Điểm dừng của hàm số xác định từ hệ ..2 u 'x = l 4x= 0 Uy = — -----—~T — 0 M 2x y - 2 z _ Á - n u z 2 y .2 (điểm dừng duy nhất). i ’u u' = — u* = — — u" = 0 u xx - í » u xy _ 2 ’ ’ 2x 2x J > “ xy 1 2z , 2z , 2 4 í 2 ,3 Uyy ■ 2x + y3 ’ Uyz " y 2 ’ Uzz " y + z3 ■ Tính các đạo hàm riêng cấp hai này tại M, dẫn đến 52 d2u(M ) = 4dx2 +3dy2 + 6dz2 - 4dxdy - 4dydz. Đây là dạng toàn phương cùa các biến dx, dy, dz. Ma trận của '4-2 0 ■ dạng toàn phương này là A = -2 3 - 2 0-2 6 Xét các định thức con chính của nó: Aj = 4 > 0, A 2 =4 - 2 ■ 4 - 2 -2 3= 8 > 0, A3 = -20 3 - 2 = 32 > 0 . Vậy, A là ma trận xác định dương, từ đó d u(M) xác định dương. (Đe chứng tỏ tính xác định dương của d2u(M) ta còn có thể dùng cách sơ cấp hơn sau đây: d2u(M) = 4dx2 +3dy2 + 6dz2 -4 d x d y -4 d y d z = 4(dx2 - 2 . —dxdy + —dy2) + 2(dy2 -2dydz + dz2) + 4dz2 í 1 Ỷ = 4 Ỉ d x - —dy + 2 (d y -d z )2 +4dz2 > 0). Vì vậy hàm u đạt cực tiểu tại M, ucx = u(M) = 4 . # 1.3.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa. Cho hàm số f(x ,y ), (x,y) ẽ D c ! 2 . Nếu f(M )< f(M 0), V M e D , giá trị A = f(M 0) được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) - hay cực đại toàn cục cùa hàm f trên D. Tương tự, ta định nghĩa giả trị nhỏ nhất (GTNN) - hay cực tiểu toàn cục. Khi đã tìm được các điểm cực trị (địa phương), cần làm thêm các lý luận phụ để kiểm tra xem đấy có phải là điểm cực trị toàn cục hay không. 53 Trường hợp / ề‘ miền đóng, giới nội Ta biết rằng, nếu hàm f liên tục trên miền đóng, giới nội D thì đạt GTLN, GTNN trên đó. Vậy, nếu GTLN, GTNN đạt tại một điểm trong cùa D thì điểm trong đó phải là điểm tới hạn. Cũng có thể GTLN, GTNN đạt được trên biên. Dần đến quy tắc sau. Quy tắc tìm GTLN-NN của hàm liên tục trên miền đóng, giới nội - Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: M |,...,M k; - Tìm những điêm tới hạn trên biên của D (thường là điêm nghi ngờ cực trị điều kiện, sẽ xét kỹ ở mục 1.3.3): N ị,...,N ^ ; - Tính giá trị hàm số tại các điếm này: f(M j),ề.ẽ, f(M k), f(N ]),ỗỗ., f(N ^); - Kết luận: GTLN (GTNN) của hàm là Max (Min) các giá trị nhận được. H ình 1.10. Các điếm tới hạn bên trong và trên biên của miền đóng, giớ i nội Trường hợp 2: miền không giới nội hoặc không đóng Nhìn chung, không có quy tắc tổng quát trong trường hợp này. Ta có thể dùng các điểm cực trị, các bất đẳng thức để suy ra lời giải. Các nhận xét sau là có ích trong một số trường hợp: - 3 ( x 0,y 0): lim z(x ,y ) = +00: Hàm số không đạt GTLN; (x,y)-»(x0,yo) 54 - 3(x0, y 0) : lim z(x, y) = - 00: Hàm số không đạt GTNN. (x,y)-»(x0 ,yo) (Chỉ cần (x ,y )—>(x0,y 0) theo một đường cong (L) nào đó). - z(x, y) liên tục trên R 2 , (x 0,y 0) là điếm dừng duy nhất, z(x,y) -» +00 khi ijx2 + y 2 —>00: (x0,y 0) là điểm cực tiểu. Ví dụ 1.21. Tìm GTLN, GTNN cùa hàm số z = x 2y + xy2 -3 x y trong miền D = {0 < X < 2, 0 < y < 2}. Giải. Hàm đã cho liên tục. Điểm dừng xác định từ hệ z' = 2xy + y2 - 3 y = 0=> M ị(l,l), M2(0,0), M3(3,0), M4(0,3). z'y = X + 2xy - 3 x = 0 Tuy nhiên chỉ có điểm M j(l,l) là điểm trong của D, z(l, 1) = —1. - y = 0, X € [0, 2] => z = 0. - y = 2, X 6 [0, 2] => z = 2x2 - 2x, z' = 4x - 2; = ~ , z(2) = 4, z(0) = 0 . 2 , Vai trò X, y như nhau, SO sánh mọi giá trị đã tính, ta thấy: Maxz = M ax{-1,- 1 /2 , 0, 4} = 4 , đạt được tại (2, 2); Minz = M in{-1, - 1 /2 , 0, 4} = - 1 , đạt được tại (1, 1). # Ví dụ 1.22. Chứng tó rằng hàm số f(x ,y )= X2 (1 + y)3 + y 4 có một điểm dừng duy nhất, cũng là điểm cực tiểu địa phương, nhưng hàm số không đạt được giá trị nhỏ nhất. Giải. Hệ = fỳ = 0 cho nghiệm X = y = 0. Vậy (0, 0) là điểm dừng duy nhất. Có thể xét dấu của A và A để khẳng định (0, 0) là cực tiểu địa phương, nhưng còn có thể giải sơ cấp hom như sau: f(x ,y )-f(0 ,0 )= X2 (1 -I- y)3 + y 4 > 0, Vx và Vy > - 1 . Vậy, (0, 0) là điểm cực tiểu địa phương. 55 Mặt khác, lim f (x ,x ) = lim X ——00, nên f X -> -0 0 X -> -0 0 không có GTNN. + — X Rõ ràng hàm f cũng không có GTLN. # 1.3.3ẵ C ự c trị có điều kiện Cực trị nói ở mục trên là cực trị không điều kiện (hay cực trị không ràng buộc), tức là không có ràng buộc nào lên các biến. Để mở rộng phạm vi ứng dụng, người ta còn xét bài toán cực trị có điều kiện (hay có ràng buộc), tức là đặt thêm một hay một số ràng buộc lên các biến dưới dạng đẳng thức. Dưới đây giới thiệu ba bài toán và chi nêu các phương pháp giải chúng mà bỏ qua chứng minh chi tiết. Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm u = f(x ,y ,z ) với điều kiện F(x,y,z) = 0. • Cách I: Nếu tò điều kiện F(x, y, z) = 0 có thể giải ra z = z(x, ythì chỉ việc thế vào hàm đã cho ta được u = f(x ,y ,z (x ,y )), trở về bài toán cực trị với hàm hai biến đã biết. Phải lưu ý giá trị hàm thu được trên biên của tập xác định (mới). Ví dụ 1.23. Tìm cực trị của hàm số z = - 6x + 2xy2 +1 với điều kiện X + 2y2 = 2 . Giái. Từ điều kiện thi 2 y2 = 2 - x > 0 = > x < 2 . Thế vào hàm đâ cho được: z = - 6x + x(2 - x) +1 = - X 2 - 4x +1; z' = -2 x - 4, z' = 0 » X = - 2 . X —0 0 - 2 2 z’ + 0 - 5 z —0 0 \ - 1 1 H S i0 56 y ± 0 0 Như vậy: - Cực đại điều kiện là 5, đạt được tại (-2 , ± 4Ĩ) ; - Cực tiểu điều kiện là -11, đạt được tại (2, 0). • Cách II ị.Phương pháp nhân tử Lagrange) i) Lập hàm Lagrange (x,y,z,Ầ) = f(x ,y ,z ) + ÀF(x,y,z). ii) Đây là hàm của bốn biến x ,y ,z ,^ . Ta tìm các điểm dừng (thông thường) của hàm này. Muốn vậy, giải hệ (D'x = fx (x ,y ,z) + Ầ.F*(x,y,z) = 0 ^(x, y ,z ) ở (1.46) ta được (Nj) là một dạng toàn phương của hai trong ba biến dx, dy, dz. vi) Kết luận: - d20^. (Nj) > 0 => Nj(Xj, yẤ, Zj) là điểm cực tiểu điều kiện; - d2^ . (Nj) < 0 => Ni(Xj,y|,Zj) là điểm cực đại điều kiện; - d20^. (Nj) không xác định => N iíX pY i^i) không là điểm cực trị có điều kiện. 57 Khi cần tìm GTLN, GTNN có điều kiện, nếu tập {(x,y,z): F(x,y,z) = 0} là compact (đóng và giới nội) thì không cần thực hiện bước iv) - vi), chỉ cần so sánh giá trị của hàm f(x, y, z) tại các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện Nj(Xj,yj,Zj). Bài toán 2ế Tìm cực trị của hàm z = f (x, y) với điều kiện F(x, y) = 0. Tiến hành các bước như ở Bài toán 1 với một chút thay đổi về ký hiệu. Các bài toán trên được tổng quát sang trường hợp có nhiều biến hơn, và (hoặc) có nhiều ràng buộc hơn. Chẳng hạn, khi có ba biến và hai ràng buộc thì xét: Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm u = f(x ,y ,z ) với hai ràng buộc ÍG (x,y,z) = 0 ị (1.48) |H (x ,y ,z) = 0 ta tiến hành tương tự Bài toán 1, cụ thể như sau: i) Lập hàm Lagrange của 5 biến: 0 (x , y, z X |i) = fI(x, y, z) + A,F(x, y, z) + |iG(x, y, z ) . (1.49) ii) Tìm điểm dừng của hàm ® thoả mãn: y>z ) + *-Fx (*’ y .z) + ^G'x (x, y ,z ) = 0 Oy = fý (x, y, z) + A.Fý (x, y, z) + jiGý (x, y, z) = 0 ^ 2 = fz (x >y»z) + ^rz(x >y>z) + MG z(x >y»z) = 0 (1.50) o [ = F ( x ,y ,z ) = 0 = G (x,y,z) = 0 iii) Giải ra ta tìm được x,j, và các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện Nj(Xi,yi,Zi). iv) Coi X, cố định, lập hàm ba biến X, y, z: (x, y, z) = f (x, y, z) + XF(x, y, z) + |iG(x, y, z ) . 58 Tính vi phân cấp hai của hàm này: d2cD>M(x ,y ,z) = d2f(x ,y ,z ) + A.d2F(x,y,z) + |!d2G (x ,y ,z). (1.51) V) Thay X = Xị, = ịiị, (x ,y ,z) = (x i,y i,z i) và dx, dy, dz thoả mãn: ídF(N ị) = F^(Nj)dx + Fý(N|)dy + F^(Nị )dz = 0 I dG (Nị) = G'x(Nj)dx + G'y(Nj)dy + G'z(Nj)dz = 0(1.52) vào biểu thức cùa d2^(x,y,z) ở (1.51) ta được d2®; (Nj) là dạng toàn phương cũa một trong ba biến dx, dy, dz. vi) Ket luận tương tự như đã làm ở Bài toán 1. Vi dụ 1.24. Tìm cực trị điều kiện của các hàm số với điều kiện chỉ ra: i) z = X + y, X2 + y2 = 1; 2 2 2 ii) u = x 2 + y 2 + z 2, Ĩ + ^ T + ~ T = 1 ( a > b > c ) . a b c Giải, i) Đặt (Ị)(x,y,>.) = X + y + X(\2 + y2 - 1 ) , ta có 'X = 1 + 2 Ả X = 0 - À,2 = 1/2 <=> = 1 / \Í2, x 2 = - I / V 2 . Điếm dừng điều kiện tương ứng là (Xi,yj) = -1 - n \íĩ' \Í2 và (x 2,y 2) = Đặt 0 ^ (x ,y ) = x + y + X.(x2 + y 2). => d2a>x(x,y) = ?i(dx2 + dy2) ; dx, dy: d(x2 + y2 -1 ) = 0<=>xdx + ydy = 0. -V ớ i \ = \ ì = - j= , (x1,y 1) = ■ 4 4 1 s í ĩ ' 4 2 ) 59 Vậy, là cực tiểu điều kiện (CTĐK): ZCTĐK = z(Xị, Ỵị) = -yfĩ 1 1 \Ỉ2 \Í2là Với X, = x 2 = —!=, làm tương tự trên, (x 2,y 2) = ỉ='~r điểm cực đại điều kiện và z(x2,y 2) = V2 . Nếu chi cần tìm GTLN, GTNN điều kiện, vì đường tròn X2 + y 2 = 1 là đóng và giới nội nên sau khi tìm được các giá trị A.ị 2, (X j,y|), (x 2,y 2) ta thực hiện như sau: f(* i,y i) = -V 2 ; f (x 2,y 2) = V2 ; GTLN điều kiện = M ax(V 2,- yíĩ) = yjĩ ; GTNN điều kiện = M in (V 2,-V 2 ) = -yỊĨ. ii) Đặt 'y = 2y + 2X y /b z = 0 (D ;= 2 z + 2A.z / c2 = 0 2 2 2 a b c 2 2 2 ^ X y z , 7 + 2 + 2 _ a b c, ta có: II II 1 II Từ ba phương trinh đầu ta được: X 0 << 0 (N N 0 0K) X = - a 2 1 II 1 II V 1 V ớ i: À, = Ằ.I = -c M, 2 =(0, 0, ±c); x = x 2 = - b z Ằ. = Ả.3 = - a 2 •M3 4 = ( 0,± b , 0); M56 = (±a, 0, 0). Đặt 0 Ả(x ,y ,z) = X2 + y2 + z2 + XX" y z 2 + 2 2 a b2 c2 , , suy ra: d20 ^(x,y,z) =... = 2dx2 + 2dy2 + 2dz2 + 2X.^dx2 dy2 dz2N + - V + V a2 b2 c2 , n , 2 / dx +\ / \ _ \ = 21+"2 V V a J Xác định dx, dy, dz từ ràng buộc: dy2 + /v1+ 5 , V c y dz2 / dF(x,y,z) = dV y2 z2 x 2 + . 2 + 2 v a b c = 2xdx ydy zdz V a u2 2 b c = 0 . (*) - Tại X. = Àị = —c và M = Mị 2, ràng buộc (*) trở thành: CỎ7 ±2 -Up _ Q dz = 0 . Khi đó d20 Ằ|(O,O,±c) = 2 1 + - cdx2 + 1 +—cdy2 > 0 . Vậy (0, 0, ± c) là điểm cực tiểu điều kiện và z(0, 0, ± c ) = c2 . - Làm tương tự, suy ra (±a, 0, 0) là điếm cực đại điều kiện và z(±a, 0, 0) = a2 . vv 1+í dx2 + 1 +-bdz - Với X = x 2 = - b 2, M = M34 = (0, ± b, 0)), tương tự trên, phải f f _k2 > có dy = 0 => d 0 Ằ2 (0,± b ,0) = 2 J ) Vì a > b > c nên đây là dạng toàn phương không xác định. Vậy, hàm số không có cực tiểu điều kiện tại điểm này. # 61 §1.4. M Ộ T S Ố V Í D Ụ T Ó N G H Ợ P 1.4.1. Các ví dụ vận dụng kỹ năng tổng hợp x3 + y 4 Vỉ dụ 1.25. Tìm giới hạn I = lim — T— . (x,y)-»(0,0) 2 x + y 2 2 x .• 2 y Giải. I = lim X. -+ m y . (x,y)-K 0,0) 2x + y (x,y)->(0,0)' 2x z + y 2 ề ..2 Il + I 2- Ta thấy: < —, lim X = 0=> I, = lim X. 2x 2 + y2 2 (x,y)-X0,0)= 0 . (x,y)-X 0,0) 2 x + y Tương tự, I2 = lim (x,y)->(0,0) 2x 2 + y 2 = 0 =>I = I, + I2 = 0. Kí 0 x->0 X - k X 1 - k Giới hạn trên thay đổi theo k, vậy không tồn tại lim f(x , y ) . (x,y)-K 0,0) Suy ra f(x, y) gián đoạn (loại hai) tại (0,0). Cách II: Do lim f (x, 0) = 1, lim f (0, y) = 0 x->0 y-»0 =>3 lim f ( x ,y ) , tức là f ( x ,y ) không liên tục tại (0, o ) . (x,y)->0 62 ii) Do l im f(x ,0 ) = l, lim f(0,y) = -1 =>3 lim f ( x ,y ) . X—>0 y—»0 (x,y)—>(0,0) Vậy f(x, y) không liên tục tại (0, 0). # Ví dụ 1.27. Cho z = arccos(x ln y ). Tính dz; dz(0,l). Giải. dz= -d (x ln y ) = -1 í —dy + ln yd xì; dz(0,l) = 0. V l- ( x ln y )2 yjì-(x\n y)2 U Tuy nhiên, nếu cần tính d2z(0,l), ta nên tính các đạo hàm riêng cấp hai sẽ thuận lợi hơn. Kết quả nhận được là d2z(0,1) = -dx d y . # Ví dụ 1.28. Tính vi phân dz(x, y), z là hàm ẩn của X, y xác định từ phương trình z - X = arctan -z - X Giải. Vi phân hai vế, sử dụng quy tắc vi phân với các phép toán dẫn đến d z -d x1 1 + y _ z - X z - x / ( z - x ) ( z - x ) d y - y ( d z - d x ) dz = dx + ( z - x )2 + y2 (z -x )d y ( z - x )2 + y 2 + y ( z - x ) Ví dụ 1.29. Tính gàn đúng: A = ln20'01 + 3 - 3 1’02 + sin 0,04 ; B = V40 + 2,072 + 5cos0,02. Giải. Xét hàm u = Ln 2X + 3 - 3 y l + sinz tại lân cận điểm M0( 0 ,1, 0) Ễ u = ln(2x + 3 - 3 y) -ln ( l + s in z ); Ax = 0,01, Ay = 0,02, Az = 0,04, u(M0) = 0; 63 1 2X + 3 - 3 y 2* ln 2 => u'x (M 0) = ln 2, = -(-3 y)ln3 => u'y(M0) = -31n3, y 2X + 3 -3 y u'z = - - c o sz = > u'z (M 0 ) = -1 ; I « u(M0) + u'x(M 0)Ax + u'y(M0)Ay + u'z(M0)Az = 0,01. In 2 + 0,02.(-3) ln 3 - 0,04 = -0,0990. Kết quả này thống nhất với kết quả -0,1008 khi bấm máy tính. Tương tự ta có B « 7,020. (Khi bấm máy ta được 7,0208). # Ví dụ 1.30. Cho u = ln(x + yjx2 + y2 + z 2 ) và điểm A (l,2 ,-2 ). Tính đạo hàm của u tại điểm A theo hướng OA . Tìm max . Giải. u'v =■ x + yịx2 + y2 + z 2 1 + í X2 + y 2 + z 2 y < ( A ) = Ì; uý(A) = ^; y = X + y f\2 + y2 + z2 ^/x2 + y2 + z2 x + \Ịx2 + y2 + z2 -y/x2 + y2 + z2 ■u'(A) = ~0 g ra d u (A ) = (u'x (A ), u ý (A ), u'z (A )) = ị j , - ì , - ^ N; i = õ Ậ = i (1, 2, - 2) = f i Ẳ ± ì O A 3 ( 3 3 3 J >> 1 2 - 1 -2 1 => 1 = g r a d u ( A W = — —1 = - . d ĩ 3 3 6 3 6 3 3 M ax = |gradu(A )| = -g yj22 + l 2 + ( - l ) 2 = - j = . 64 Vi dụ 1.31. Vẽ vectơ gradient gradf(4,6) cho hàm f với các đường đồng mức cho trên Hình 1.11. Hãy giải thích cách chọn hướng và độ iài của vectơ này thế nào. ỉ-ướng dẫn Vidụ 1.32. Xác định cực trị địa phương và toàn cục của hàm Gài. Vì M = x 2 + y2 + 2 x + 4 = (x + 1)2 + y2 +3 > 3 > 0 Vx,y nên hàn số xác định trên ]R2 . Lại có T = x 2 + y 2 - 2 x + 4 = ( x - l )2 + y 2 +3 > 0 nên f (x,y) > 0 V x,y. Gni hệ fx = f y = 0 cho ta hai nghiệm x 1 = 2 , y 1 = 0 và x2 = - 2 , y2 = 0 . VỊy, có hai điểm dừng (2, 0) và ( - 2, 0) với f ( 2,0) = - , f ( - 2 ,0 = 3 . Tasẽ chứng tỏ (2, 0) là điểm cực tiểu toàn cục. Việc tính các đạo hàm c;p hai không giúp ta thực hiện điều đó. Ta có 5 - GiẢl TlCH n 65 r< \ m m . x + y - 2 x + 4 1 2 (x - 2) + y w f(x,y)-f(2,0)= 7 7 — 7- 7 = í 72— 2 : - ° ’ Vx>y X + y + 2 x + 4 3 3 X + y + 2 x + 4 Dấu bằng đạt được tại X = 2, y = 0. Vậy, M in f(x ,y )= f(2 ,0 )= l/3 . Mătkhác, f ( - x ,y ) = — ỉ— > 0 nên M axf(x,y) = f(-2 ,0 ) = 3. f(x ,y ) (Hiển nhiên (±2, 0) cũng là các điểm cực trị địa phuơng). # Ví dụ 1.33. Xét cực trị, GTLN, GTNN của hàm f(x ,y ) = 4xy+ — . X y Giải. Ta có: = 4 y -----f ị = 4 x - 4 r . X y = fý = 0 = > x 0 = y 0 = 1 / ^ 4 . Hơn nữa, A = fx'x(x0,y 0) =8 > 0; c = f£y(x0,y 0)= 8; B = fx'y(x0,y 0) = 4; A = B2 - AC = - 4 8 < 0. Vậy, (x0,y 0) là điểm cực tiểu địa phương. ■> 2 Tuy nhiên ta thấy f(x ,x )= 4 x + — X lim f(x,x)=+oo; lim f ( x ,x ) = —00. x - > + °0 X -> o Vậy, hàm sổ không nhận GTLN, GTNN. # Ví dụ 1.34. Xét cực trị, GTLN, GTNN của hàm f(x ,y ) = (x + y)2 - ( x 4 + y4). Hưởng dẫn: Giải hệ = fy = 0 cho ta ba điểm dừng (-1 ,-1 ), (0,0), (1,1). -T ạ i ±(1,1): A = c = - 1 0 < 0 ; B=2; A = - 9 6 < 0 . 66 5 - GIẢI TlCH II - 8 Suy ra ±(1,1) là điểm cực đại địa phương; fCĐ = f (±(1,1) = 2 . - Tại (0, 0), A= 0 chưa có kết luận gì. Tuy nhiên, f ( x , 0 )-X2 - X4 > 0 với 0 < I X |< 1; f ( x ,- x ) = - 2 x 4 < 0 V x * 0 . Vậy (0,0) không là cực trị địa phương (là điểm yên ngựa). -L ạ i có: f(x ,y )= X2 +2xy + y 2 -X 4 - y4 < 2 x 2 + 2 y 2 - X 4 - y 4 = 2 - ( x 2 - l ) 2 - ( y 2 - 1 ) 2 ( * ) = > f(x ,y )< 2 V (x,y) 6 R 2 . Vậy M axf(x,y) = 2, đạt được tại ±(1,1). Cũngtừ(*), lim f(x ,y ) =-00 nên không có GTNN. # (x,y)->(oo,co) Ví dụ 1.35. Cho hàm hai biến z = x2y3(6 - X - y ) . a) Tìm các điểm cực trị (địa phương) trên miền (0, 6) X (-1, 6). b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền [o, 6] X [o, 6]. Giải. À) z'x = x y3(1 2 -3 x -2 y ); z'y = x 2y 2 ( 1 8 - 3 x - 4 y ) jz'x =0 fx = 2, y =3; Ịzy =0 [ y = 0, X tùy ý. -T ạ i (2, 3) thì A = 4 X(2,3) = -1 6 2 ; B = z ;y (2 ,3 ) = -1 0 8 ; C=z"yy(2 ,3 )= - 1 0 4 ; A = B 2 - A C < 0 . Suy ra (2,3) là điếm cực đại, tại đó z(2,3) = 108. - Tại (x0, 0) với x0 G (0, 6) ta có z (x 0, 0) = 0. Tuy nhiên, tại đó các đạo hàm riêng cấp hai của z bằng không nên ta phải dùng cách khác. Với £ > 0 đủ bé thì: 67 z(x0,s) = xổe3(6 - x 0 - e ) > 0 = z (x 0, 0); z(x0, - e ) = - xịỊe3 (6 - x 0 - 8) < 0 = z(x 0, 0). Vậy, (x0,0) không là điểm cực trị với Vx0 e(0, 6). b) Như đã thấy ờ câu a), (2, 3) là điểm dừng duy nhất. Bây gxét hàm z trên biên của miền đã cho. * x = 0 => z (0,y ) = 0 . * y —0 => z (x ,0) = 0 . * x =6 => z (6,0) = - 62y4 e [ - 66, 0] ẳ * y = 6 => z ( x , 6 ) = - 6 3 x 3 g [ - 6 6,0] . Vậy: Maxz = M a x { -66, 0,108} =108= z(2,3); M inz = M in { - 66, 0, 108} = - 66 = z (6, 6). # Vỉ dụ 1.36. Tìm cực trị địa phương và toàn cục của hàm số u = u (x,y) = y x (y > 0). Hướng dẫn: Có một điểm dừng duy nhất M(0,1). * A = 0, B = 1,C = 0= > A = B2 -A C = 1 > 0 : Không đạt cực trị tại M(0,1). * lim u(x,2) = +00: Không có GTLN. X-M-00 * lim u(x,2) = 0; 0 < u ( x ,y ) : Không có GTNNễ # X—►—00 Vi dụ 1.37. Tìm cực trị của hàm số: f(x,y,z) = X3 + y 2 + z2 - 3x2 - 2 y . Giải. f; = 3x2 - 6x = 0 * fý = 2 y - 2 = 0 => hai điểm dừng M ị(0,1,0), M2(2 ,l,0 ). f ' = 2z = 0 C = 6x - 6, fx'y = f ^ = f ^ = 0, f^y = 2, c = 2. 68 -T ạ i M |: d2f(M ị) = - 6dx2 + 2d y2 + 2d z2 đối dấu nên Mi không phái là điểm cực trị. -T ạ i M2 : d2f(M 2) = 6dx2 + 2dy2 + 2dz2 > 0. Vậy fCT = f(M 2) = - 3 . # Ví dụ 1.38. Tìm GTLN, GTNN của hàm số u = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 trong D : X 2 + y2 + z 2 < 100. Giài. Tìm điểm dừng trong miền {x + y + z < 100}: 'u'x = 2x =0 u'y = 4y = 0 o u'z = 6z = 0 x = 0 y = 0 => M0(0,0,0) => z(M 0) = 0. z = 0 Tìm điểm dừng trên biên {x2 + y2 + z2 =100}. Cách I: Lập hàm Lagrange: 0 'x = 2x -2Ằ.X = 0 Ầ = 1 M34(0,±10,0) <-> À = 2 M5 6(0,0,±10) <-> X. = 3 u(M0) = 0, u(M| 2 ) = 100, u(M34) = 200, u(M56) = 300. Vậy: Maxu = Max {0,100, 200, 300} = 300, đạt được tại M5 6 ; Minu =M in{0. 100. 200. 300} = 0 , đạt được tại Mo. Cách II (Hướng dẫn): X2 + y2 + z 2 = 100 <=> z2 = 100 - X2 - y 2 . Đưa về bài toán tìm điểm nghi ngờ cực trị u = - 2 x 2 - y 2 +300 với điều kiện x2 + y 2 < 100. Với bài toán này, ta lại phải tìm điểm nghi ngờ cực trị bên trong hình tròn và trên biên. Ở trên biên thỉ x2 + y2 = 100» y 2 = 100- x 2 = > u = 2 0 0 - X 2 , X 2 < 1 0 0 < = > - 1 0 < x < 1 0 . ... tại mút X = ± 10. Rõ ràng lời giải theo hướng này khá cồng kềnh. # 69 Vi dụ 1.39. Tìm cực trị cua hàm số u = xy + yz với các điều kiện: Giải. Lập hàm Lagrange o = xy + yz + Xịx2 + y2 - 2) + n(y + z - 2). Điêm dừng xác định từ hệ: 2 = y + |i = 0 =>. = —1 /2 , (0. = —1, M (l,l,l): dx = -d y = d z . Suy ra = -d x 2 - dy2 + 2dxdy + 2dydz = -d x 2 - 5dy2 = - 6dx2 < 0. Vậy, hàm sổ đạt cực đại tại M và UCĐ = u(M) = 2 . # 1.4ẵ2ẵ C ác ví dụ và bài tập thực tiễn Ví dụ 1.40. Áp suất p (theo kilopascal (kPa)), thể tích V (theo lít (/)) và nhiệt độ T (theo kelvin (°K)) của một mol chất khí lý tưởng liên quan với nhau theo phương trình PV = 8 ,3 1T. Tìm vận tốc thay đổi áp suất khi nhiệt độ là 300 °K và tăng theo vận tốc 0,1 °K/giây (s); còn thể tích là 100 / và tăng theo vận tốc 0,2 //s. 70 Giai. Gọi t là thời gian (tính theo giây). Theo đề ra, T = 300; dT/dt =0,1; v = 100; d v / d t = 0,2; p = 8,31— . Theo quy tăc đạo hàm hàm hợp, Vi dụ 1.41. Vận tốc âm thanh trong nước biển được mô hình hoá bới hàm V = 1449,2 + 4 ,6T - 0 ,055T2 + 0 ,00029T3 + (1,34 - 0 ,0 1T)(N - 35) + 0,16S, trong đó: V là vận tốc âm (m/s), T là nhiệt độ nước biển (°C ), N là nồng độ muổi theo phần nghìn (số gam muối rắn trong 1 lít dung dịch), s là độ sâu dưới mực nước biển (m). ?ị\ỉ cN Tính , — tại T = 10°c, s = lOOm và N = 35%0. ỠT 5N ỠS Giải thích ý nghĩa vật lý cúa các đạo hàm riêng này. Hướng dẫn: av(10,100, 35) ÕS= 0,16; thế hiện tốc độ gia tăng vận tốc âm khi lặn sâu thêm, các yếu tố khác như nhiệt độ, nồng độ muối không đôi. ơ đièu kiộn hiệu tại, khi nhiệt độ, nồng độ muối không đối, nếu lặn sâu thêm 1 m thì tốc độ âm thanh tăng lên 0,16 m/s. Vi dụ 1.42. Nghiên cứu quá trình nhiễm lạnh người ta thấy rằng, nhiệt độ T tại thời điểm t (tính theo ngày trong năm) tại độ sâu X (theo mét) có thể được mô hình hoá bởi hàm T(t,x) = T0 +T1e-X'x sin((0t-X ,x ), 2 tc trong đó: T0, Tị biêt trước; co = —— ; Ả > 0. 365 71 a) Tính các đạo hàm riêng T ', Tt' . b) Chứng tỏ rằng T thoả mãn phương trình truyền nhiệt Tt' = kT'x . ỔT Hướng dẫn: — = coTị e~Xx cos (cot - Ầx); ổt — = -X.Tị e_x,x (sin(ft>t-Xx) + cos(cot-A ,x)); õx = A.2T, e~Xxcos(cot - Ă.x). Õx2 Chọn k = . # X Vi dụ 1.43. Gọi V(x, y) là điện thế đặt tại điểm (x, y) trong mặt phẳng Oxy. Các đường đồng mức của V gọi là các đường đẳng thế. Vẽ một số đường đẳng thế của hàm V = c / \Ịr2 - X2 - y 2 (c > 0). ' ổV(x y) ' Chứng tỏ răng — với r = (x, y) là như nhau với moi (x, y) năm ổr trên đường tròn tâm o , bán kính a cho trước. Vỉ dụ 1.44. Chì số lạnh - gió đo mức tác động của nhiệt độ băng giá lên cơ thể con người khi có thêm tác động của gió. Nó được mô hình hoá bởi hàm w = 13,12 + 0,6215T - 11,37 V0’16 + 0,3965 T V0’16 , trong đó: T là nhiệt độ (°C ); V là vận tốc gió (k m /h ); hiện thời, T = -1 5 ° c , V = 30 k m /h . a) Nhiệt độ tác động là bao nhiêu? b) Sẽ cảm thấy nhiệt độ tác động giảm xuống bao nhiêu néu nhiệt độ thực giảm đi 1 ° c ? c) Tương tự, sẽ ra sao nếu vận tốc gió tăng lên 1 km / h ? Đáp số: a )-1 6 ,4 8 °C ; b )-l,3 0 5 °C ; c)-0,159°C . # 72 Vi dụ 1.45. Vận tốc truyền âm trong nước biển chứa 35%0 muối được mô hình hoá bởi phương trình c = 1444,9 + 4,6T - 0,055T2 + 0,00029T3 + 0,16 D , trong đó: c là vận tốc truyền âm (m/s), T là nhiệt độ (°C), D là độ sâu dưới mực nước biển (m). Một thợ lặn khí nén đang ở độ sâu 15 m và lặn xuống với vận tốc 0,5 m/s, nhiệt độ nước biển tại đó là 10 °c và tốc độ tăng nhiệt là 0,2 ° c / s . Hãy ước lượng vận tốc biến đối cùa tốc độ âm thanh qua nước biển cảm nhận được bởi người thợ lặn tại thời điểm đó. Đáp so: 0,8 m/s. # Ví dụ 1.46. Đã biết rằng, điện trớ toàn phần cùa đoạn mạch mắc song song của ba điện trở R |, R->, R3 là ± - _ L JL _L R R| R-) Rj Giả sử rằng, R] =25Í2, R2 = 4 0 Q , R3 = 50Í2, mồi điện trở được đo với sai số tương đối là 5%. Hãy ước lượng sai số cực đại mắc phải khi tính toán giá trị của R. Đáp số: 0.588 Q. # Vi dụ 1.47 (Hàm sản xuất Cobb - Douglas). Trong khi có rất nhiều yếu tố ảnh hưởng đến tăng trưởng kinh tế, Cobb và Douglas đã mô hình hoá p - tổng sản lượng (giá trị bằng tiền của tất cả hàng hoá sáng tạo ra trong năm) như là hàm của L - số lượng lao động (tổng số giờ lao động trong năm) và K - số lượng tư bản đầu tư (giá trị bằng tiền của tác cả máy móc, thiết bị, nhà xưởng). Mô hình các ông lựa chọn là P(K,L) = bLaKp (b > 0; 0 < a , p < 1). (*) Dựa vào số liệu kinh tế của Mỹ trong những năm 1899 - 1922, nhận được: P(K,L) = 1,01L°’75K°’25. Phương trình (*) được sử dụng rộng rãi ở nhiều cấp độ và lĩnh vực khác nhau, từ những hãng đom lẻ đến phạm vi toàn cầu. Nó trở thành nổi tiếng và biết đến với tên gọi là hàm sản xuất Cobb - Douglas. Đồ thị của p với K và L biến thiên từ 0 đến 300 cho ở Hình 1.12a. Như ta dự đoán, p tăng lên theo cả K và L. 73 p 300 200 100 Ọ. 300 L (a) 300t K 100 200 300 (b) Hình 1.12. Đồ thị và bản đỗ các đường đòng mức cùa hàm Cobb - D oglas ĐỒ thị và các đuờng đồng mức (còn gọi là bản đồ đẳng mức) của hàm sản xuất Cobb - Douglas cho ở Hình 1.12b. Trường hợp này cũng như nhiều trường hợp khác, bản đồ đồng mức tiện lợi hơn đồ thị, nhất là khi cần ước lượng giá trị hàm. a) Ước lượng giá trị của sản phẩm làm ra nếu L = 110, K = 20đơn vị. ỠL và nêu ý nghĩa của nó. c) Sản lượng tổng cộng p của một loại sản phẩm phụ thuộc vào lượng L các lao động sử dụng và vào số lượng K của đầu tư tư bản theo mô hình Cobb - Douglas p = bLa K l-ct trong những điều kiện kinh tế nhất định, trong đó 0 < (X < 1. Nấu giá một đơn vị lao động là m, giá một đơn vị tư bàn là n và công ty chỉ có thế dùng p đồng cho dự toán tổng thể; hãy cực đại hoá lượng sản phẩm p với ràng buộc mL + nK = p . Chỉ ra rằng, sản phẩm cực đại đạt được khi # Vỉ dụ 1.48. Ngôi nhà hình hộp chữ nhật được thiết kế để cực tiểu hoá lượng nhiệt mất mát. Mỗi ngày, các bức tường phía đông và tây mất nhiệt với vận tốc 10 đom vị/m 2; các bức tường phía nam và bắc 74 với vận tốc 8 đơn vị/m 2; trần với vận tốc 1 đơn vị/rrT; sàn với vận tốc 5 đơn vị/m 2. Mỗi bức tường phái dài ít nhất 30 m, cao ít nhất 4 m và thể tích nhà phải đúng 4000 m3 . a) Tìm và vẽ miền xác định của lượng nhiệt hao hụt như là hàm cúa độ dài các cạnh. b) Tìm kích thước làm cực tiểu lượng nhiệt hao hụt. c) Bạn hãy thiết kế ngôi nhà với kích thước lượng nhiệt hao hụt còn nho hơn nữa nếu bo qua độ dài cua các bước tường. Hướng dan: Đặt X - chiều rộng, y - chiều dài, z - chiều cao. Lượng nhiệt hao hụt: H = 20yz + 16xz + 6x y . # Vi dụ 1.49. Điều lệ bưu điện quy định rằng, tông của chiều cao và chu vi xung quanh cua bưu kiện không được quá L đơn vị chiều dài. Tìm thế tích cực đại cùa bưu kiện hình hộp chừ nhật thoà mãn đòi hỏi này. # Vi dụ 1.50. Vật liệu làm đáy hình hộp chữ nhật có giá cao gấp đôi so với giá cua vật liệu làm các mặt xung quanh cũng như nắp. Tìm kích thước cua hình hộp có thể tích V để giá vật liệu nhỏ nhất. Trà lời: X = y = (2V / 3)1/3, z = V 1/3(3 / 2)2/3 (~ x = -(9 6 / V)1/3). # Vi dụ 1.51. Tim thể tích lớn nhất cùa hình hộp có các mặt song 2 2 2 song với các mặt toạ độ sao cho nó nội tiép elipsoid + ^Y = \ . a Đáp sổ: 8ab c/(3\/3), đinh (a / yfĩ,b/y/3,c / -v/3) . # ■> 2 2 Ví dụ 1.52. Nhiệt độ tại các điêm trên hình tròn X + y < 1 cho bởi T = (x + y)e x y . Tìm nhiệt độ cực đại và cực tiểu. # Vi dụ 1.53. Hai nhà máy bia ở cùng một địa phương cùng hoạt động nên mức bán ra của mồi nhà máy ánh hưởng xấu đến lợi nhuận của nhà máy kia. Neu mỗi tháng nhà máy A sản xuất X lít và nhà máy 75 B sản xuất y lít, thì lợi nhuận của nhà máy A là p đôla, của nhà máy B 2 x2 + V2 _ 4v2 + X2 là Q đỏla, với: p = 2 x - / , Q = 2 y - y 10° ' ■ 2x10° Tìm tổng lợi nhuận của hai nhà máy nếu mồi nhà máỵ đặt mức sản xuất để cực đại hoá lợi nhuận của riêng họ và giả sử rằng không hề có liên minh nào giữa họ. Tìm tổng của các lợi nhuận nếu hai nhà máy liên kết với nhau để định mức sản xuất phù hợp làm cực đại hoá tổng này. # Giải. T = P + Q = 2x + 2 y -5x2 + 6y2 2. 10° Trường hợp I: Mỗi nhà máy đặt kế hoạch sản xuất theo riêng mình. 2x2 + v2 _ 4x * p = 2x - / , p' = 2 - — r = 0 . 106 106 Dễ thấy đạt cực đại tại X = x0 = —106 . * Q = 2 y _ v ± | ĩ , Q'y = 2 _ 4 = 0 . 2 x 10 y 106 Dễ thấy đạt cực đại tại y = y0 = — 1 o6 . T ,= T (x 0,y 0) = 625000. Trường hợp II: Cả hai nhà máy đặt kế hoạch tổng thể. T' == 2 - 4 X t: = 0 IU . 1 ‘ X - v 1 0 * x = Xị = 400000 T' = 6 ỵ ; | t; = 0 y = y, = — .100000 y1 0 6 I r>6 rr>lt 5 Axx ^xy = 0 1 0 6 6 „ 30 =>A = B2 -A C = - ^ r < 0 . 12 10 Ẽ y y1 0 6 Vậy, T đạt cực đại tại (x^Ỵị) và TMax = T íx ^ y ,) = 733 000. # 76 Vi dụ 1.54. Hiệu ứng thuốc có thể cho bới hàm R (u,t) = u2( C - u )t 2e-t, 0 < u < c , 0 < t , trong đó: u là số đơn vị thuốc, t là thời gian theo giờ, hằng số c > 2 / 3 cho trước. Tìm liều u và thời gian t tại đó R cực đại. # Đáp số: u = V 2C /3, t = 2. Vi dụ 1.55. Một công ty sử dụng nhôm, sắt, magiê để sản suất một loại hợp kim chất lượng cao. Chất lượng hợp kim khi sừ dụng X tấn săt, y tân nhôm, z tân magiê là Q = ----- —-----Ỵ. Giá của sắt, nhôm, (x + y + z) magiê lần lượt là 5, 7 và 10. Hỏi, cần bao nhiêu tấn mỗi loại kim loại để sản xuất 1000 tấn hợp kim với chất lượng Q cho trước và với mức giá thấp nhất có thể? § 1 .5 ễ S ơ L Ư Ợ C V È H Ì N H H Ọ C V I P H Â N Hình học vi phân là bộ môn Toán học riêng biệt, ở đó người ta dùng các phương pháp của phép tính vi phân để nghiên cứu hình học. Trong cuốn sách này chỉ giới thiệu những kết quả quan trọng đầu tiên. 1.5.1. Đường cong phẳng a. Tiếp tuyến, pháp tuyến Ở phổ thông chúng ta biết rằng, nếu đường cong c là đồ thị của hàm số y = f(x ) thì phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0, y0) (y0 = f(x 0)) trên đường cong là y = f'(x 0) ( x - x 0) + y0 . Bây giờ giả sử đường cong c có phương trình tham số 77 Ta luôn giả thiết rằng, các hàm x(t), y(t) liên tục. Neu x(t), y(t) là những hàm khả vi liên tục trên [a, p] và các đạo hàm của chúng không đồng thời bằng không tại mỗi điểm t e [a, p] thì ta nói c là đường cong trơn. Nếu tại điểm t0 e [a , P] nào đó mà x'(t0) = y'(t0) = 0 thì điểm tương ứng M0(x(t0),y (t0)) trên c gọi là điểm kỳ dị. Chúng ta sẽ không xét trường hợp đường cong có điểm kỳ dị. Bây giờ lấy t0 e [a, P] và giả sử điểm tương ứng trên đường cong là M0(x0,y 0) . Ta đã biết hệ số góc của tiếp tuyến tại M0 là k - y x - # 1 - *■(<„> Vậy, phương trình tiếp tuyến có dạng y - y . = ^ H < x - x „ ) h a y ^ = ^ . (1.53) x ( t 0) x ( t 0) y ( t 0) Vectơ chỉ phương của tiếp tuyến là í ( t 0) = (x'(t0), y'(t0» - Đây cũng là vectơ pháp của pháp tuyến, vậy phương trình pháp tuyến là x'(t0)(x - x0) + y'(t0)(y - y0) = 0 • 0 -54) b. Độ cong Xét một đường cong như Hình 1.13. Giả sử đây là đường cong trơn, tại mỗi điểm của nó chi có một tiếp tuyến. Khi điềm M di chuyến trên đường cong một đoạn dài As đến M \ tiếp tuyến của đường cong sẽ quay đi một góc A a . Đối với đường thẳng, Aa = 0 . Đối với đường , , * , — , ể « , X Aa Aa 1 tròn, Às càng lớn thì Aa càng lớn. Tuy nhiên, tỳ sô — = — — = — As RAa R không đổi, thể hiện "mức cong" của đường tròn đã cho. Trong trường hợp tổng quát, tỷ số — gọi là đô cong trung bình của đường cong As trên cung MM' Ế 78 Độ dài As càng nhỏ thi độ cong trung bình càng đại diện sát thực "mức cong" cùa đường tại M. Từ đó, người ta lấy giới hạn cùa độ cong trung bình làm độ cong cùa đường tại điểm M và ký hiệu là KM : Hình ỉ. 13. Sự quay của tiếp tuyến Cách tính độ cong: - Đường cong cho dưới dạng phương trình y = f(x) thì (1.55) (1 + y ) - Đường cong cho dưới dạng tham số : X = x(t), y = y(t) thì c. Dường tròn mật tiép Cho trước điểm M trên đường cong. Nhiều khi cần phải xấp xỉ đường cong tại lân cận điểm M bằng một cung tròn nào đó. Đường tròn chứa cung tròn đó phải tiếp xúc với đường cong tại M, có cùng bề lõm với đường cong và có độ cong bằng độ cong của đường cong tại M (Hình 1.14). Đường tròn đó gọi là đường tròn mật tiếp (còn gọi là đường tròn chính khúc) với đường cong tại điểm M. Bán kính của đường tròn mật tiếp gọi là bản kính cong, tâm của đường tròn mật tiếp gọi là tâm cong của đường cong tại điểm M. 79 M H ình 1.14. Đường tròn mật tiếp, tâm cong, bán kinh cong d. Bán kính cong Theo trên, bán kính cong bằng nghịch đảo của độ cong. Vậy, nếu đường cong cho dưới dạng phương trinh y = f (x) hay tương ứng phương trình tham số, thì bán kính cong được tính lần lượt theo công thức: (l + y '2)3/2 R = R = e. Toạ độ tâm cong 1/1 * (x'2 + y '2)3/ lx'y “ x y'| (1.57) (1.58) Theo định nghĩa, tâm cong phải nằm trên pháp tuyến với đường cong tại M. Cùng với các yếu tố khác, công thức tính toạ độ tâm cong I(x0,y 0) trong trường hợp đường cong cho dưới dạng phương trình y = f(x ) hay phương trình tham số lần lượt là: (1.59) (1.60) 80 Xn = x - yo = y+ = x - yo = y+ (1+ y )y' 1 + y (x + y )y' x Y - x Ỵ (x'2 + y ' V x y - x ý