🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình giải tích đa trị Ebooks Nhóm Zalo BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐÔNG YÊN GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ SÁCH Đà IN TRONG BỘ NÀY: 2000: Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 1) Trần Đức Vân 2001: Giáo trình Đại số tuyến tính Ngô Việt Trung Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 2) Trần Đức Vân Nhập môn Lý thuyết ₫iều khiển Vũ Ngọc Phát 2002: Giải tích các hàm nhiều biến Đ.T. Lục, P.H. Điển,T.D. Phượng Lý thuyết Hệ ₫ộng lực Nguyễn Đình Công 2003: Lôgic toán và Cơ sở toán học Phan Đình Diệu Giáo trình Đại số hiện ₫ại Nguyễn Tự Cường Lý thuyết không gian Orlicz Hà Huy Bảng Đại số máy tính: Cơ sở Groebner Lê Tuấn Hoa Hàm thực và Giải tích hàm Hoàng Tụy Số học thuật toán H.H. Khoái, P.H. Điển 2004: Mã hóa thông tin: Cơ sở toán học và ứng dụng P.H. Điển, H.H. Khoái Lý thuyết Tổ hợp và Đồ thị Ngô Đắc Tân Xác suất và Thống kê Trần Mạnh Tuấn 2005: Giải tích Toán học: Hàm số một biến Đ.T. Lục, P.H. Điển, T.D. Phượng Lý thuyết Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Toàn tập) Trần Đức Vân Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trình Hamilton-Jacobi Trần Đức Vân Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập Lê Tuấn Hoa Lý thuyết Galois Ngô Việt Trung 2007: Lý thuyết tối ưu không trơn N.X. Tấn, N.B. Minh Giáo trình Giải tích ₫a trị Nguyễn Đông Yên Có thể đặt mua sách trực tiếp tại Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội Điện thoại 84-4-7563474/205 (Văn phòng); 84-4-7563474/302 (Thư viện) Fax: 84-4-7564303 E-mail: [email protected] (VP), [email protected] (TV) Lời giới thiệu T rong những năm gần đây, nhu cầu sách tham khảo tiếng Việt về toán của sinh viên các trường Ðại học, nghiên cứu sinh, cán bộ nghiên cứu và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt. Bộ sách "Toán cao cấp" của Viện Toán học ra đời nhằm góp phần đáp ứng yêu cầu đó, làm phong phú thêm nguồn sách tham khảo và giáo trình đại học vốn có. Bộ sách Toán cao cấp sẽ bao gồm nhiều tập, đề cập đến hầu hết các lĩnh vực khác nhau của toán học cao cấp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hướng đang phát triển mạnh của toán học hiện đại, có tầm quan trọng trong sự phát triển lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Các tác giả của bộ sách này là những người có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy đại học và sau đại học, đồng thời là những nhà toán học đang tích cực nghiên cứu. Vì thế, mục tiêu của các cuốn sách trong bộ sách này là, ngoài việc cung cấp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất, còn cố gắng hướng họ vào các vấn đề thời sự liên quan đến lĩnh vực mà cuốn sách đề cập đến. Bộ sách Toán cao cấp có được là nhờ sự ủng hộ quý báu của Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là sự cổ vũ của Giáo sư Ðặng Vũ Minh và Giáo sư Nguyễn Khoa Sơn. Trong việc xuất bản Bộ sách, chúng tôi cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của Nhà xuất bản Ðại học quốc gia Hà Nội và của Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và Công nghệ. Nhiều nhà toán học trong và ngoài Viện Toán học đã tham gia viết, thẩm định, góp ý cho bộ sách. Viện Toán học xin chân thành cám ơn các cơ quan và cá nhân kể trên. Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toán cao cấp chắc chắn còn rất nhiều thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để bộ sách được hoàn thiện hơn. Chủ tịch Hội ₫ồng biên tập GS-TSKH Hà Huy Khoái BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP Hà Huy Khoái (Chủ tịch) Ngô Việt Trung Phạm Huy Ðiển (Thư ký) GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ Nguyễn Đông Yên Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Môc lôc Lêi nãi ®Çu 3 C¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t 6 1 TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 9 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh x¹ ®a trÞ 18 1.3 §Þnh lý Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 C¸c qu¸ tr×nh låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5 C¸c tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ . . . . . . . . . . . . . 45 2 §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 47 2.1 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Nãn tiÕp tuyÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 §¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 77 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3 L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4 TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke . . . . . . . 98 4 §èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 103 4.1 Sù ph¸t triÓn cña lý thuyÕt ®èi ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña lý thuyÕt ®èi ®¹o hµm . . . . . . . . . 106 4.3 VÊn ®Ò ®¸nh gi¸ d−íi vi ph©n cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . . . . . . . 116 4.4 TÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . . . . . . . . . . . 120 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . . . . . . . . 136 4.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n . . . . . . 148 1 2 5 HÖ bÊt ®¼ng thøc suy réng 153 5.1 Giíi thiÖu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2 C¸c ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.3 TÝnh æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.4 Quy t¾c nh©n tö Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.5 TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u . . . . . . . 178 5.6 Chøng minh MÖnh ®Ò 5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L . . . . . . . . . 186 5.8 §èi ®¹o hµm Mordukhovich vµ Jacobian xÊp xØ . . . . . . . . . 194 Phô lôc A 201 Phô lôc B 203 Tµi liÖu tham kh¶o 205 Danh môc tõ khãa 215 3 Lêi nãi ®Çu Gi¶i tÝch ®a trÞ lµ mét h−íng nghiªn cøu t−¬ng ®èi míi trong To¸n häc, mÆc dï tõ nh÷ng n¨m 30 cña thÕ kû XX c¸c nhµ to¸n häc ®· thÊy cÇn ph¶i nghiªn cøu ¸nh x¹ ®a trÞ, tøc lµ ¸nh x¹ nhËn gi¸ trÞ lµ c¸c tËp hîp con cña mét tËp hîp nµo ®ã. Sù ra ®êi cña t¹p chÝ quèc tÕ “Set-Valued Analysis” vµo n¨m 1993 lµ mét mèc lín trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña h−íng nghiªn cøu nµy. Vai trß cña gi¶i tÝch ®a trÞ trong To¸n häc vµ c¸c øng dông to¸n häc ®· ®−îc c«ng nhËn réng r·i. Gi¶i tÝch ®a trÞ cã nhiÒu øng dông trong lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng, bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ ph−¬ng tr×nh suy réng, lý thuyÕt tèi −u, lý thuyÕt ®iÒu khiÓn, tèi −u ®a môc tiªu, khoa häc qu¶n lý, vµ to¸n kinh tÕ. HiÖn nay hÇu nh− tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ tÝnh æn ®Þnh vµ ®é nh¹y nghiÖm cña c¸c bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè vµ cña c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n phô thuéc tham sè ®Òu ®−îc viÕt b»ng ng«n ng÷ gi¶i tÝch ®a trÞ. Nh÷ng ng−êi ViÖt Nam ®Çu tiªn ®i s©u nghiªn cøu gi¶i tÝch ®a trÞ lµ Gi¸o s− Hoµng Tôy (víi nh÷ng c«ng tr×nh vÒ ®iÓm bÊt ®éng cña ¸nh x¹ ®a trÞ, tÝnh æn ®Þnh cña hÖ bÊt ®¼ng thøc suy réng, ¸nh x¹ ®a trÞ låi, ¸nh x¹ tíi h¹n), Gi¸o s− Ph¹m H÷u S¸ch (víi nh÷ng c«ng tr×nh vÒ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ vµ øng dông trong lý thuyÕt tèi −u vµ ®iÒu khiÓn) vµ cè Gi¸o s− Phan V¨n Ch−¬ng (víi nh÷ng c«ng tr×nh vÒ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, lý thuyÕt bao hµm thøc vi ph©n). Sau ®©y lµ danh s¸ch kh«ng ®Çy ®ñ nh÷ng ng−êi ViÖt Nam ®· hoÆc ®ang cã c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ gi¶i tÝch ®a trÞ vµ c¸c øng dông: Th.S. Ph¹m Ngäc Anh, Th.S. L©m Quèc Anh, Th.S. Tr−¬ng Quang B¶o, Th.S. NguyÔn Huy Chiªu, TS. Lª V¨n Chãng, GS. TSKH. Phan V¨n Ch−¬ng, TS. TrÞnh C«ng DiÖu, TS. Ph¹m C¶nh D−¬ng, PGS. TSKH. Ph¹m Huy §iÓn, TS. NguyÔn H÷u §iÓn, PGS. TS. Tr−¬ng Xu©n §øc Hµ, Th.S. NguyÔn Xu©n H¶i, TS. TrÇn Ninh Hoa, PGS. TS. Lª V¨n Hèt, TS. NguyÔn §×nh Huy, TS. NguyÔn Quang Huy, GS. TSKH. Phan Quèc Kh¸nh, TS. Bïi Träng Kiªn, GS. TSKH. §inh ThÕ Lôc, TS. Lª Minh L−u, TS. NguyÔn B¸ Minh, GS. TSKH. Lª Dòng M−u, TS. NguyÔn MËu Nam, TS. Huúnh V¨n Ng·i, GS. TSKH. Van Hien Nguyen, PGS. TS. TrÇn HuÖ N−¬ng, GS. TSKH. Vò Ngäc Ph¸t, GS. TSKH. Hoµng Xu©n Phó, PGS. TS. Huúnh ThÕ Phïng, TS. T¹ Duy Ph−îng, GS. TSKH. Ph¹m H÷u S¸ch, GS. TSKH. NguyÔn Khoa S¬n, TS. NguyÔn N¨ng T©m, PGS. TSKH. §ç Hång T©n, PGS. TSKH. NguyÔn Xu©n TÊn, GS. TSKH. NguyÔn Hång Th¸i, TS. Hoµng D−¬ng TuÊn, TS. Lª Anh TuÊn, Th.S. NguyÔn §×nh TuÊn, GS. Hoµng Tôy, PGS. TSKH. NguyÔn §«ng Yªn. Gi¸o tr×nh nµy ®−îc so¹n trªn c¬ së c¸c bµi gi¶ng cña t¸c gi¶ vÒ gi¶i tÝch ®a trÞ cho häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh ë ViÖn To¸n häc, cho líp sinh viªn 4 chän cña tr−êng §¹i häc S− ph¹m Thµnh phè Hå ChÝ Minh, vµ cho líp cao häc ë Khoa To¸n øng dông thuéc §¹i häc Quèc gia T«n Trung S¬n (The National Sun Yat-Sen University), Cao Hïng, §µi Loan. Môc ®Ých chÝnh cña chóng t«i lµ giíi thiÖu víi c¸c b¹n sinh viªn, häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña gi¶i tÝch ®a trÞ. Ngoµi ra, chóng t«i còng cè g¾ng tr×nh bµy mét vµi vÊn ®Ò ®ang ®−îc quan t©m trong lý thuyÕt nµy. TËp s¸ch gåm 5 ch−¬ng: TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ, §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ, TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ, §èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ, vµ HÖ bÊt ®¼ng thøc suy réng. Ba ch−¬ng ®Çu t−¬ng øng víi 3 phÇn chÝnh cña gi¶i tÝch ®a trÞ. Ch−¬ng 4 giíi thiÖu mét vµi nÐt vÒ lý thuyÕt vi ph©n do B. S. Mordukhovich ®Ò xuÊt - mét lý thuyÕt hiÖn ®ang thu hót ®−îc sù quan t©m ®Æc biÖt cña nhiÒu nhãm nghiªn cøu trªn thÕ giíi. Ch−¬ng 5 ®−îc dµnh ®Ó nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña hÖ bÊt ®¼ng thøc suy réng cho bëi hµm vÐct¬ liªn tôc, vµ c¸c øng dông. C«ng cô chÝnh ë ®©y lµ kh¸i niÖm Jacobian xÊp xØ theo nghÜa V. Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc. Jacobian suy réng theo nghÜa F. H. Clarke cho hµm vÐct¬ Lipschitz ®Þa ph−¬ng lµ mét tr−êng hîp riªng cña kh¸i niÖm nµy. (Chóng ta l−u ý lµ c¸c kh¸i niÖm ®èi ®¹o hµm, Jacobian xÊp xØ, vµ Jacobian suy réng Clarke n»m ngoµi khu«n khæ cña lý thuyÕt vi ph©n tr×nh bµy trong Ch−¬ng 2.) Trong mçi môc th−êng cã mét sè vÝ dô minh häa vµ bµi tËp gióp b¹n ®äc cñng cè kiÕn thøc. ë cuèi s¸ch cã hai phô lôc giíi thiÖu c¸c ®Ò thi hÕt m«n gi¶i tÝch ®a trÞ ë hai líp häc. C¸c ®Ò thi nµy gióp häc viªn cñng cè kiÕn thøc trong ph¹m vi hai ch−¬ng ®Çu cña gi¸o tr×nh. C¸c ®Þnh nghÜa, bæ ®Ò, mÖnh ®Ò, ®Þnh lý, nhËn xÐt, vÝ dô vµ bµi tËp ®−îc ®¸nh sè b»ng ba chØ sè. VÝ dô nh− §Þnh lý 1.2.3 lµ ®Þnh lý thø 3 ë môc thø 2 trong Ch−¬ng 1. C¸c c«ng thøc ®−îc ®¸nh sè b»ng hai chØ sè. VÝ dô nh− (2.5) lµ c«ng thøc thø 5 ë môc thø 2 (trong mét ch−¬ng nµo ®ã). §Ó hiÓu s©u h¬n lý thuyÕt ¸nh x¹ ®a trÞ vµ c¸c øng dông, b¹n ®äc cã thÓ tù m×nh nghiªn cøu thªm c¸c cuèn s¸ch chuyªn kh¶o cña Aubin vµ Ekeland (1984), Aubin vµ Frankowska (1990) - mét trong nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o chÝnh cña chóng t«i khi so¹n c¸c bµi gi¶ng vÒ gi¶i tÝch ®a trÞ, Rockafellar vµ Wets (1998), Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a,b). Hy väng r»ng tËp s¸ch nhá nµy cã thÓ gióp b¹n ®äc cã c¶m høng b¾t ®Çu viÖc tù häc gian nan nh−ng thó vÞ ®ã. B¹n ®äc quan t©m ®Õn øng dông cña gi¶i tÝch ®a trÞ trong tèi −u vÐct¬ cã thÓ tham kh¶o c¸c cuèn s¸ch chuyªn kh¶o cña GS. TSKH. §inh ThÕ Lôc (1989), cña PGS. TSKH. NguyÔn Xu©n TÊn vµ TS. NguyÔn B¸ Minh (2006). Xin ch©n thµnh c¸m ¬n GS. TSKH. Ph¹m H÷u S¸ch vµ PGS. TSKH. Ph¹m Huy §iÓn, nh÷ng ng−êi thÇy tËn tôy ®· truyÒn cho chóng t«i niÒm say mª nghiªn cøu gi¶i tÝch ®a trÞ, gi¶i tÝch kh«ng tr¬n, lý thuyÕt tèi −u vµ øng dông. Xin ch©n thµnh c¸m ¬n GS. TSKH. TrÇn §øc V©n vµ GS. TSKH. Lª TuÊn Hoa ®· lu«n ®éng viªn, khÝch lÖ chóng t«i v−ît qua sù tr× trÖ trong qu¸ tr×nh viÕt l¸ch kÐo 5 dµi. C¶m ¬n hai Gi¸o s− ph¶n biÖn ®· ®äc kü b¶n th¶o, gãp nhiÒu ý kiÕn bæ Ých, vµ giíi thiÖu cho cuèn s¸ch ®−îc xuÊt b¶n. Xin ®−îc bµy tá lßng biÕt ¬n c¸c bËc ®µn anh cïng c¸c b¹n ®ång nghiÖp ë Héi To¸n häc ViÖt Nam nãi chung, vµ ë ViÖn To¸n häc nãi riªng, ®· chia sÎ víi chóng t«i nh÷ng nçi vui buån cña ng−êi lµm to¸n. C¶m ¬n c¸c b¹n sinh viªn, häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh ®· nhiÖt t×nh tham dù c¸c bµi gi¶ng ®−îc lÊy lµm c¬ së ®Ó so¹n gi¸o tr×nh nµy. C¶m ¬n Th.S. NguyÔn Huy Chiªu ®· th«ng b¸o cho chóng t«i mét sè kÕt qu¶ nghiªn cøu ®Ó giíi thiÖu trong hai môc ë Ch−¬ng 3 vµ Ch−¬ng 4. TËp s¸ch nµy ®−îc dµnh ®Ó t−ëng nhí Kü s− kinh tÕ NguyÔn ThÞ Minh T©m (1963–2001), biªn tËp viªn T¹p chÝ Con sè vµ Sù kiÖn, ng−êi em g¸i th©n yªu cña t¸c gi¶. MÆc dï chóng t«i ®· cè g¾ng, viÖc biªn so¹n ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. Chóng t«i mong nhËn ®−îc ý kiÕn phª b×nh, gãp ý cña quý b¹n ®äc göi vÒ hép th− email [email protected], hoÆc göi vÒ ®Þa chØ ViÖn To¸n häc, ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, 18 Hoµng Quèc ViÖt, Hµ Néi. Ch©n thµnh c¸m ¬n TS. T¹ Duy Ph−îng, TS. NguyÔn Quang Huy, TS. NguyÔn MËu Nam vµ Th.S. NguyÔn Huy Chiªu ®· dµnh thêi gian ®äc b¶n th¶o cña tËp s¸ch nµy vµ gãp nhiÒu ý kiÕn bæ Ých. §Æc biÖt, xin c¸m ¬n TS. NguyÔn Quang Huy ®· vÏ l¹i toµn bé c¸c h×nh vÏ b»ng ch−¬ng tr×nh ®å häa trªn m¸y tÝnh. Ngµy 25 th¸ng 4 n¨m 2007 T¸c gi¶ 6 C¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t TNTA ThuËt ng÷ tiÕng Anh F : X ⇒ Y ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y dom F miÒn h÷u hiÖu cña F rge F miÒn ¶nh cña F gph F ®å thÞ cña F ker F tËp c¸c kh«ng ®iÓm cña F F −1 : Y ⇒ X ¸nh x¹ ng−îc cña F [x, y] ®o¹n th¼ng {(1 − t)x + ty : 0 t 1} nèi hai ®iÓm x, y trong kh«ng gian vÐct¬ X IN tËp sè nguyªn d−¬ng Q tËp sè h÷u tØ IR tËp sè thùc C tËp sè phøc ∅ tËp rçng IR = IR ∪ {−∞, +∞} tËp sè thùc suy réng [0, 1] tËp sè thùc {t ∈ IR : 0 t 1} (0, 1) tËp sè thùc {t ∈ IR : 0 0 sao cho (1.5) F(b , d ) ⊂ F(b, d) + (b , d ) − (b, d) B¯IRn víi mäi (b, d) vµ (b , d ) thuéc tËp låi ®a diÖn dom F = {(b, d) : F(b, d) = ∅}, 5Trong c«ng thøc (1.3) còng nh− trong c¸c phÐp tÝnh ma trËn sÏ gÆp vÒ sau, vÐct¬ thuéc c¸c kh«ng gian Euclide h÷u h¹n chiÒu ®−îc biÓu diÔn nh− nh÷ng cét sè thùc. Tuy thÕ, ®Ó cho ®¬n gi¶n, trªn c¸c dßng v¨n b¶n th«ng th−êng chóng ta sÏ biÓu diÔn c¸c vÐct¬ cét ®ã nh− nh÷ng vÐct¬ hµng. 1.1. ¸nh x¹ ®a trÞ 13 ë ®ã (b , d ) − (b, d) = ( b − b 2 + d − d 2)1/2 m i=1(b i − bi)2 + sj=1(d j − dj )2 1/2 = víi mäi b = (b1,...,bm), d = (d1,...,ds), vµ ⎧⎨ n 1/2 ⎫⎬ B¯IRn = ⎩x = (x1,...,xn) ∈ IRn : x = x2i i=1 1 ⎭ lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong IRn. TÝnh chÊt (1.5) cho thÊy r»ng F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz trªn dom F víi h»ng sè > 0. H»ng sè nµy phô thuéc vµo cÆp ma trËn (A, C) ®· cho. C¸c tÝnh chÊt liªn tôc Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ sÏ ®−îc kh¶o s¸t chi tiÕt h¬n ë trong Môc 5. NÕu X, Y lµ hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, th× ta dïng c¸c ký hiÖu F¯ vµ co F ®Ó chØ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc cho bëi c¸c c«ng thøc F¯(x) = F(x) ∀x ∈ X vµ (co F)(x) = co (F(x)) ∀x ∈ X, ë ®ã M lµ bao ®ãng t«p« cña M vµ co M lµ bao låi cña M. (Tøc lµ co M lµ tËp låi nhá nhÊt chøa M.) HiÓn nhiªn F¯ lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ ®ãng vµ co F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ låi. Tuy thÕ, F¯ cã thÓ kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®ãng vµ co F cã thÓ kh«ng lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi! VÝ dô 1.1.2. Cho F(x) = {sin x, cos x} (∀x ∈ IR). Ta cã (co F)(x) = co {sin x, cos x} lµ ¸nh x¹ ®a trÞ kh«ng låi tõ IR vµo IR víi ®å thÞ lµ tËp cã g¹ch säc trong H×nh 1. VÝ dô 1.1.3. Cho F(x) = (0, 1) nÕu x = 0 {0} nÕu x = 0. 14 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Râ rµng F¯(x) = kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®ãng. [0, 1] nÕu x = 0 {0} nÕu x = 0 H×nh 1 Bao ®ãng vµ bao låi cña ¸nh x¹ F : X ⇒ Y , ë ®ã X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«, lµ c¸c ¸nh x¹ cl F vµ conv F ®−îc cho t−¬ng øng bëi c¸c c«ng thøc sau cl F(x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F} ∀x ∈ X vµ conv F(x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F)} ∀x ∈ X. DÔ thÊy r»ng nÕu F lµ ¸nh x¹ trong VÝ dô 1.1.2 th× (cl F)(x) = {sin x, cos x} vµ (conv F)(x)=[−1, 1] (∀x ∈ IR). Víi F lµ ¸nh x¹ trong VÝ dô 1.1.3 ta cã (cl F)(x) = [0, 1] (∀x ∈ IR) vµ (conv F)(x) = (0, 1) nÕu x = 0, [0, 1) nÕu x = 0. §Þnh nghÜa 1.1.3. Cho F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z lµ hai ¸nh x¹ ®a trÞ. ¸nh x¹ ®a trÞ G ◦ F : X ⇒ Z 1.1. ¸nh x¹ ®a trÞ 15 cho bëi c«ng thøc (G ◦ F)(x) = x∈X G(F(x)) = x∈X ⎛ ⎝ y∈F(x) G(y) ⎞ ⎠ , víi mäi x ∈ X, ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ hîp (hay tÝch) cña F vµ G. Bµi tËp 1.1.5. Cho X, Y , Z lµ c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh, F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z lµ hai ¸nh x¹ ®a trÞ låi. Chøng minh r»ng G ◦ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi. øng víi mçi hµm sè thùc ϕ : X → IR, ë ®ã IR = [−∞, +∞] = IR ∪ {−∞} ∪ {+∞} lµ tËp sè thùc suy réng, ta cã hai ¸nh x¹ ®a trÞ sau ®©y: (1.6) epi ϕ : X ⇒ IR, (epi ϕ)(x) = {µ ∈ IR : µ ϕ(x)} ∀x ∈ X, vµ (1.7) hypo ϕ : X ⇒ IR, (hypo ϕ)(x) = {µ ∈ IR : µ ϕ(x)} ∀x ∈ X. Nh¾c l¹i r»ng ϕ ®−îc gäi lµ hµm låi nÕu nh− ϕ((1 − t)x1 + tx2) (1 − t)ϕ(x1) + tϕ(x2) víi mäi x1, x2 ∈ dom ϕ := {x ∈ X : ϕ(x) < ∞}. Ta nãi ϕ lµ hµm lâm nÕu nh− −ϕ lµ hµm låi. (Theo ®Þnh nghÜa, (−ϕ)(x) = −ϕ(x) víi mäi x ∈ X.) Bµi tËp 1.1.6. Cho X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Chøng minh r»ng hµm sè ϕ : X → ¯IR lµ låi khi vµ chØ khi epi ϕ : X ⇒ IR lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, ϕ lµ hµm lâm khi vµ chØ khi hypoϕ : X ⇒ IR lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi. Chóng ta kÕt thóc môc nµy víi mét vµi vÝ dô vÒ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ liªn quan ®Õn c¸c bµi to¸n tèi −u. VÝ dô 1.1.4. Cho X, Y, Z lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Cho f : X × Z → IR ∪ {+∞} lµ hµm sè thùc, g : X × Z → Y lµ hµm vÐct¬, K ⊂ Y lµ h×nh nãn låi, ®ãng; ∆ ⊂ X lµ tËp hîp bÊt kú. XÐt bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè (Pz) min{f(x, z) : x ∈ ∆, g(x, z) K 0}, ë ®ã y1 K y2 ⇐⇒ y2 − y1 ∈ K. 16 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ TËp hîp G(z) := {x ∈ X : x ∈ ∆, g(x, z) K 0} ®−îc gäi lµ tËp rµng buéc (hay tËp h¹n chÕ, tËp chÊp nhËn ®−îc) cña (Pz). Hµm sè ϕ(z) := inf{f(x, z) : x ∈ G(z)} ®−îc gäi lµ hµm gi¸ trÞ tèi −u (hay hµm marginal) cña (Pz). TËp F(z) := {x ∈ G(z) : f(x, z) = ϕ(z)} ®−îc gäi lµ tËp nghiÖm cña (Pz). TËp hîp c¸c nghiÖm ®Þa ph−¬ng cña (Pz) ®−îc ký hiÖu lµ F0(z). Nh− vËy, x¯ ∈ F0(z) khi vµ chØ khi tån t¹i δ > 0 sao cho f(x, z) f(¯x, z) víi mäi x ∈ G(z) ∩ B(¯x, δ), ë ®ã B(¯x, δ) := {x ∈ X : x − x¯ < δ} ký hiÖu h×nh cÇu më cã t©m t¹i x¯ vµ b¸n kÝnh δ. Hµm gi¸ trÞ tèi −u ϕ(·), ¸nh x¹ G(·), vµ c¸c ¸nh x¹ nghiÖm F(·), F0(·) lµ nh÷ng ®èi t−îng nghiªn cøu chÝnh trong lý thuyÕt æn ®Þnh trong tèi −u ho¸; xem Bonnans vµ Shapiro (2000) vµ nh÷ng tµi liÖu dÉn trong ®ã. Trong lý thuyÕt ®ã ng−êi ta ®−a ra nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ϕ, G, F vµ F0 liªn tôc (theo mét nghÜa nµo ®ã) hoÆc kh¶ vi (theo mét nghÜa nµo ®ã), tïy thuéc vµo cÊu tróc cô thÓ cña líp bµi to¸n (Pz) ®−îc xÐt. Trong c¸c ch−¬ng sau chóng ta sÏ kh¶o s¸t mét sè ®iÒu kiÖn kiÓu ®ã. Mét tr−êng hîp riªng cña bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè xÐt trong VÝ dô 1.1.4 lµ bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng phô thuéc tham sè. VÝ dô 1.1.5. Cho c¸c ma trËn A ∈ IRm×n, C ∈ IRs×n vµ ma trËn ®èi xøng D ∈ IRn×n. XÐt bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng (1.8) min 1 2x Dx + c x : x ∈ IRn, Ax b, Cx = d phô thuéc vµo tham sè z = (c, b, d) ∈ IRn × IRm × IRs. ë ®©y ký hiÖu phÐp chuyÓn vÞ ma trËn vµ vÐct¬. Ký hiÖu hµm gi¸ trÞ tèi −u, tËp h¹n chÕ, tËp nghiÖm vµ tËp nghiÖm ®Þa ph−¬ng cña (1.8) t−¬ng øng bëi ϕ(c, b, d), G(b, d), Sol(c, b, d) vµ loc(c, b, d). TÝnh chÊt cña hµm ϕ vµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ Sol(·), loc(·) phô thuéc kh¸ nhiÒu vµo tÝnh chÊt cña ma trËn D. VÝ dô nh−, nÕu D lµ ma trËn x¸c ®Þnh d−¬ng (tøc lµ v Dv > 0 víi mäi v ∈ IRn \ {0}) th× Sol(·) lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ, liªn tôc trªn tËp dom G = {(b, d) ∈ IRm × IRs : G(b, d) = ∅}. Ngoµi ra, loc(c, b, d) = Sol(c, b, d) víi mäi (c, b, d) ∈ IRn × IRm × IRs. Chóng ta l−u ý r»ng tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ G(·) ®· ®−îc chØ ra trong §Þnh lý 1.1.1. Cã thÓ ®äc mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng trong Lee, Tam vµ Yen (2005). 1.1. ¸nh x¹ ®a trÞ 17 Trong vÝ dô sau ®©y chóng ta xÐt bµi to¸n quy ho¹ch låi. VÝ dô 1.1.6. Cho ∆ ⊂ X lµ mét tËp låi vµ ϕ : X → IR ∪ {∞} lµ mét hµm låi, ë ®ã X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. XÐt bµi to¸n quy ho¹ch låi (P) min{ϕ(x) : x ∈ ∆}. Nãn tiÕp tuyÕn T∆(¯x) cña ∆ t¹i x¯ ∈ ∆ ®−îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc T∆(¯x) = {t(x − x¯) : x ∈ ∆, t 0}. Nãn ph¸p tuyÕn N∆(¯x) cña ∆ t¹i x¯ ∈ ∆ ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau N∆(¯x) = {x∗ ∈ X∗ : x∗, v 0 ∀v ∈ T∆(¯x)} = {x∗ ∈ X∗ : x∗, x − x¯ 0 ∀x ∈ ∆}, ë ®ã X∗ ký hiÖu kh«ng gian ®èi ngÉu cña X vµ x∗, v ký hiÖu gi¸ trÞ cña phiÕm hµm tuyÕn tÝnh x∗ ∈ X∗ t¹i v ∈ X. NÕu x / ¯ ∈ ∆, th× ta ®Æt N∆(¯x) = ∅. Cã thÓ chøng minh r»ng x¯ ∈ ∆ lµ nghiÖm cña (P) khi vµ chØ khi (1.9) 0 ∈ ∂ϕ(¯x) + N∆(¯x), ë ®ã ∂ϕ(¯x) := {x∗ ∈ X∗ : x∗, x − x¯ ϕ(x) − ϕ(¯x) ∀x ∈ X} lµ d−íi vi ph©n (subdifferential) cña ϕ t¹i x¯ ∈ dom ϕ = {x ∈ X : ϕ(x) ∈ IR}; xem Ioffe vµ Tihomirov (1979). §Æt (1.10) F(x) = ∂ϕ(x) + N∆(x) ∀x ∈ dom ϕ, vµ F(x) = ∅ víi mäi x /∈ dom ϕ. Khi ®ã bao hµm thøc (1.9) trë thµnh 0 ∈ F(¯x). VËy viÖc gi¶i bµi to¸n (P) ®−îc quy vÒ viÖc t×m nh÷ng ®iÓm x¯ ∈ X tháa m·n bao hµm thøc 0 ∈ F(¯x), tøc lµ viÖc t×m c¸c ®iÓm c©n b»ng (c¸c kh«ng ®iÓm) cña ¸nh x¹ F cho bëi (1.10). HiÓn nhiªn (1.10) lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ låi. Tuy thÕ, nã kh«ng nhÊt thiÕt lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi. 18 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ VÝ dô 1.1.7. Cho X = IR, ∆=[−1, 1], ϕ(x) ≡ 0. Khi ®ã ¸nh x¹ ®a trÞ ⎧⎪⎪⎨ F(x) := ∂ϕ(x) + N∆(x) = N∆(x) = ⎪⎪⎩ ∅ nÕu x /∈ ∆ (−∞, 0] nÕu x = −1 {0} nÕu x = (−1, 1) [0,∞) nÕu x = 1 cã ®å thÞ lµ tËp ®iÓm t« ®Ëm trong H×nh 2. HiÓn nhiªn gph F kh«ng ph¶i lµ tËp låi. H×nh 2 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh x¹ ®a trÞ Nh¾c l¹i r»ng mét hä c¸c tËp con τ ⊂ 2X cña tËp hîp X ®−îc gäi lµ mét t«p« trong X nÕu (i) ∅ ∈ τ , X ∈ τ ; (ii) giao cña mét hä h÷u h¹n tuú ý c¸c tËp thuéc τ l¹i lµ mét tËp thuéc τ ; (iii) hîp cña mét hä tuú ý c¸c tËp thuéc τ lµ mét tËp thuéc τ . C¸c tËp thuéc τ ®−îc gäi lµ c¸c tËp më. PhÇn bï trong X cña mét tËp më ®−îc gäi lµ tËp ®ãng. TËp X ®−îc trang bÞ mét t«p« τ ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian t«p«, vµ ®−îc ký hiÖu bëi (X, τ ). Thay cho (X, τ ), ®Ó cho ®¬n gi¶n, nhiÒu khi ta chØ viÕt X, nÕu t«p« τ ®· ®−îc x¸c ®Þnh theo mét c¸ch nµo ®ã. NÕu (X, d) lµ mét kh«ng gian mªtric th× ta ký hiÖu bëi B hä c¸c h×nh cÇu më B(x, ε) := {y ∈ X : d(y, x) < ε} (x ∈ X, ε > 0). 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi 19 XÐt c¸c tËp lµ giao cña mét sè h÷u h¹n c¸c tËp thuéc B, vµ ký hiÖu bëi τ hä c¸c tËp cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng hîp cña mét hä tuú ý c¸c tËp giao nh− vËy. Ta cã τ lµ mét t«p« trªn X; ®ã chÝnh lµ t«p« t−¬ng øng víi mªtric d ®· cho trªn X. NÕu (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ M ⊂ X lµ mét tËp con tïy ý th× τM := {U ∩ M : U ∈ τ} lµ mét t«p« trªn M. T«p« τM ®−îc gäi lµ t«p« c¶m sinh cña M. TËp UM := U ∩ M ®−îc gäi lµ vÕt 6 cña U trªn M. Ta ®· biÕt r»ng nÕu f : X → Y lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y , th× f ®−îc gäi lµ liªn tôc t¹i x¯ ∈ X nÕu víi mçi tËp më V chøa f(¯x) (V lµ l©n cËn më cña f(¯x) trong t«p« cña Y ) tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho f(x) ∈ V ∀x ∈ U. Ta nãi f lµ liªn tôc ë trªn X nÕu nã lµ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc X. DÔ thÊy r»ng f lµ liªn tôc ë trªn X nÕu, víi mçi tËp më V ⊂ Y , ¶nh ng−îc f −1(V ) := {x ∈ X : f(x) ∈ V } cña V lµ tËp më trong X. Cã thÓ më réng kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®¬n trÞ liªn tôc sang cho ¸nh x¹ ®a trÞ theo hai c¸ch kh¸c nhau. KÕt qu¶ lµ ta thu ®−îc hai kh¸i niÖm cã néi dung hoµn toµn kh¸c nhau: ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn vµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi. Theo Aubin vµ Frankowska (1990), hai kh¸i niÖm nµy ®· ®−îc B. Bouligand vµ K. Kuratowski ®−a ra n¨m 1932. Ngµy nay, nhiÒu khi ng−êi ta dïng c¸c côm tõ “¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn theo Berge” vµ “¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi theo Berge” ®Ó chØ hai kh¸i niÖm nµy, v× chóng ®−îc kh¶o s¸t kh¸ kü trong mét cuèn chuyªn kh¶o cña C. Berge (1959). Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y . §Þnh nghÜa 1.2.1. Ta nãi F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x¯ ∈ dom F nÕu víi mäi tËp më V ⊂ Y tháa m·n F(¯x) ⊂ V tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho F(x) ⊂ V ∀x ∈ U. NÕu F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F, th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X. 6TNTA: trace. 20 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ §Þnh nghÜa 1.2.2. Ta nãi F lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯ ∈ dom F nÕu víi mäi tËp më V ⊂ Y tháa m·n F(¯x) ∩ V = ∅ tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho F(x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ dom F. NÕu F lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F, th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X. §Þnh nghÜa 1.2.3. Ta nãi F lµ liªn tôc t¹i x¯ ∈ dom F nÕu F ®ång thêi lµ nöa liªn tôc trªn vµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯. NÕu F lµ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F, th× F ®−îc gäi lµ liªn tôc ë trªn X. VÝ dô 1.2.1. ¸nh x¹ ®a trÞ F(x) = ⎧⎨ ⎩ {0} nÕu x < 0 [−1, 1] nÕu x = 0 {1} nÕu x > 0 tõ IR vµo IR lµ nöa liªn tôc trªn ë trong IR, nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯ = 0. Nh− vËy, F kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR. H×nh 3 VÝ dô 1.2.2. ¸nh x¹ ®a trÞ F(x) = [0, 1] nÕu x = 0 {0} nÕu x = 0 kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR, v× F chØ lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯ = 0, chø kh«ng lµ nöa liªn tôc trªn t¹i ®iÓm ®ã. 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi 21 VÝ dô 1.2.3. ¸nh x¹ ®a trÞ F(x) = [0, 1] nÕu x lµ sè h÷u tû [−1, 0] nÕu x lµ sè v« tû kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR; h¬n thÕ, F kh«ng lµ nöa liªn tôc trªn vµ còng kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i bÊt cø ®iÓm x¯ ∈ IR nµo. Bµi tËp 1.2.1. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ ®¬n trÞ f : X → Y tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y lµ liªn tôc t¹i x¯ khi vµ chØ khi ¸nh x¹ F : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F(x) = {f(x)} lµ nöa liªn tôc trªn (hoÆc nöa liªn tôc d−íi) t¹i x¯. H×nh 4 Bµi tËp 1.2.2. Cho ¸nh x¹ ®a trÞ F : X → Y , ë ®ã X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«. Chøng minh r»ng: (a) F lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X khi vµ chØ khi nh©n F −(V ) := {x ∈ dom F : F(x) ⊂ V } cña mét tËp më bÊt kú V ⊂ Y lµ tËp më trong t«p« c¶m sinh cña domF. (b) F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X khi vµ chØ khi ¶nh ng−îc F −1(V ) := {x ∈ dom F : F(x) ∩ V = ∅} cña mét tËp më bÊt kú V ⊂ Y lµ tËp më trong t«p« c¶m sinh cña dom F; xem H×nh 4. Bµi tËp 1.2.3. H·y chøng tá r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ F(x) = co {sin x, cos x} tõ IR vµo IR lµ liªn tôc ë trªn IR. 22 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Nh¾c l¹i r»ng hµm sè ϕ : X → IR ∪ {+∞} x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯ ∈ dom ϕ, ë ®ã (2.1) dom ϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞} ký hiÖu miÒn h÷u hiÖu cña ϕ, nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho ϕ(x) ϕ(¯x) − ε ∀x ∈ U. Hµm ϕ ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x¯ ∈ dom ϕ nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho ϕ(x) ϕ(¯x) + ε ∀x ∈ U. NÕu X lµ kh«ng gian mªtric, th× ®iÒu kiÖn thø nhÊt cã thÓ viÕt d−íi d¹ng x→x¯ ϕ(x) ϕ(¯x), lim inf ë ®ã lim inf x→x¯ ϕ(x) := inf γ ∈ IR : ∃xk → x, ¯ lim k→∞ ϕ(xk) = γ . T−¬ng tù, ®iÒu kiÖn thø hai cã thÓ viÕt d−íi d¹ng ϕ(x) ϕ(¯x), ë ®ã lim sup x→x¯ lim sup x→x¯ ϕ(x) := sup γ ∈ IR : ∃xk → x, ¯ lim k→∞ ϕ(xk) = γ . Bµi tËp 1.2.4. Cho ϕ : X → IR ∪ {+∞} lµ hµm sè thùc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian t«p« X. Chøng minh r»ng: (a) ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯ ∈ dom ϕ (xem (2.1)) khi vµ chØ khi ¸nh x¹ ®a trÞ epi ϕ (®· ®−îc ®Þnh nghÜa trong Môc 1.1) lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯. (b) ϕ lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x¯ ∈ dom ϕ khi vµ chØ khi ¸nh x¹ ®a trÞ hypoϕ (®· ®−îc ®Þnh nghÜa trong Môc 1.1) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x¯. §Þnh lý c¬ b¶n vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña c¸c bµi to¸n tèi −u ®−îc ph¸t biÓu nh− sau. §Þnh lý 1.2.1 (§Þnh lý Weierstrass). Cho X = ∅ lµ kh«ng gian t«p« comp¾c. NÕu ϕ : X → IR lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi ë trong X, th× bµi to¸n (2.2) min{ϕ(x) : x ∈ X} cã nghiÖm. NÕu ϕ lµ hµm sè nöa liªn tôc trªn ë trong X, th× bµi to¸n (2.3) max{ϕ(x) : x ∈ X} 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi 23 cã nghiÖm. Chøng minh. Ta chØ cÇn chøng minh kh¼ng ®Þnh thø nhÊt, v× hµm ϕ lµ nöa liªn tôc trªn khi vµ chØ khi hµm (−ϕ)(x) := −ϕ(x) lµ nöa liªn tôc d−íi, vµ x¯ lµ nghiÖm cña (2.3) khi vµ chØ khi x¯ lµ nghiÖm cña bµi to¸n min{(−ϕ)(x) : x ∈ X}. Nh¾c l¹i r»ng kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ comp¾c nÕu tõ mçi phñ më {Uα}α∈A cña X cã thÓ trÝch ra mét phñ con h÷u h¹n, tøc lµ tån t¹i c¸c chØ sè {α1,...,αs} ⊂ A sao cho X = s i=1 Uαi . Gi¶ sö X lµ kh«ng gian comp¾c, X = ∅, ϕ : X → IR lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi ë trong X. Ta cÇn chøng minh r»ng (2.2) cã nghiÖm, tøc lµ tån t¹i x¯ sao cho (2.4) ϕ(¯x) = min{ϕ(x) : x ∈ X}. Gi¶ sö ph¶n chøng: Kh«ng cã x¯ nµo tháa m·n (2.4). §Æt γ = inf{ϕ(x) : x ∈ X}. NÕu γ = −∞ th× ta ®Æt Ωk = {x ∈ X : ϕ(x) > −k} (k = 1, 2, 3,...). Do ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X nªn, víi mäi k, Ωk lµ tËp më. DÔ thÊy r»ng X = ∞ k=1 Ωk. VËy {Ωk}k∈IN lµ phñ më cña X. Do X lµ kh«ng gian comp¾c vµ do {Ωk} lµ hä tËp lång nhau, nªn tån t¹i ¯k ∈ IN sao cho X = Ωk¯. Khi ®ã ta ph¶i cã γ −¯k, tr¸i víi gi¶ thiÕt γ = −∞. B©y giê ta xÐt tr−êng hîp γ ∈ IR. Víi mçi k ∈ IN ta ®Æt Ωk = x ∈ X : ϕ(x) > γ +1k . DÔ thÊy r»ng {Ωk}k∈IN lµ phñ më cña X (do kh«ng cã x¯ ∈ X nµo tháa m·n (2.4)) mµ tõ ®ã ta kh«ng thÓ trÝch ra mét phñ con h÷u h¹n nµo. VËy X kh«ng lµ kh«ng gian t«p« comp¾c, tr¸i víi gi¶ thiÕt. §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh. ✷ Nh¾c l¹i r»ng kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ liªn th«ng (hay liªn th«ng t«p«) nÕu kh«ng tån t¹i hai tËp më U, V kh¸c rçng nµo trong X sao cho U ∪ V = X, U ∩ V = ∅. Ta biÕt r»ng ¸nh x¹ ®¬n trÞ liªn tôc b¶o tån tÝnh liªn th«ng. Cô thÓ h¬n, ta cã ®Þnh lý sau. §Þnh lý 1.2.2. Cho f : X → Y lµ ¸nh x¹ liªn tôc tõ kh«ng gian t«p« liªn th«ng X vµo kh«ng gian t«p« Y . Khi ®ã rge f = {f(x) : x ∈ X}, 24 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ xÐt víi t«p« c¶m sinh tõ t«p« cña Y , lµ kh«ng gian liªn th«ng. Chøng minh. LËp luËn b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng, ta gi¶ sö r»ng M := rge f kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian liªn th«ng. Khi ®ã tån t¹i c¸c tËp më U, V trong Y sao cho (2.5) UM ∪ VM = M, UM ∩ VM = ∅, UM = ∅, VM = ∅, ë ®ã UM := U ∩ M vµ VM := V ∩ M lµ c¸c vÕt cña c¸c tËp U vµ V trªn M. §Æt X1 = f −1(U) = {x ∈ X : f(x) ∈ U}, X2 = f −1(V ) = {x ∈ X : f(x) ∈ V }. Ta cã: (i) X1, X2 lµ c¸c tËp më trong X; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = X; (iv) X1 ∩ X2 = ∅. ThËt vËy, do f lµ liªn tôc, U vµ V lµ më, nªn X1 vµ X2 lµ më. V× UM = U ∩ rge f = U ∩ {f(x) : x ∈ X} kh¸c rçng, nªn tån t¹i x ∈ X sao cho f(x) ∈ U. VËy X1 = ∅. T−¬ng tù, X2 = ∅. LÊy tuú ý x ∈ X. Do f(x) ∈ rge f = M vµ do UM ∪ VM = M, ta cã f(x) ∈ UM hoÆc f(x) ∈ VM. NÕu f(x) ∈ UM th× f(x) ∈ U; do ®ã x ∈ X1. NÕu f(x) ∈ VM th× x ∈ X2. Ta ®· chøng minh r»ng (iii) nghiÖm ®óng. NÕu tån t¹i x ∈ X1 ∩ X2 th× ta cã f(x) ∈ U vµ f(x) ∈ V . HiÓn nhiªn lµ f(x) ∈ M. Do ®ã f(x) ∈ UM vµ f(x) ∈ VM. VËy ta cã UM ∩ VM = ∅, m©u thuÉn víi (2.5). TÝnh chÊt (iv) ®· ®−îc chøng minh. Tõ (i)–(iv) suy ra r»ng X kh«ng liªn th«ng, tr¸i víi gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý. VËy rge f ph¶i lµ kh«ng gian liªn th«ng. ✷ §Þnh lý sau ®©y chØ ra r»ng c¶ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn lÉn ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi ®Òu b¶o tån tÝnh liªn th«ng. Mét tËp con cña kh«ng gian t«p« ®−îc gäi lµ liªn th«ng nÕu, khi xÐt víi t«p« c¶m sinh, nã lµ kh«ng gian t«p« liªn th«ng. §Þnh lý 1.2.3 (xem Warburton (1983)). Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a c¸c kh«ng gian t«p« sao cho, víi mäi x ∈ X, F(x) lµ tËp liªn th«ng (cã thÓ rçng). Khi ®ã: (a) NÕu F lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn ë trªn X vµ nÕu dom F lµ tËp liªn th«ng, th× rge F lµ tËp liªn th«ng. (b) NÕu F lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc d−íi ë trong X vµ nÕu dom F lµ tËp liªn th«ng, th× rge F lµ tËp liªn th«ng. 1.2. TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi 25 Chøng minh. (a) Gi¶ sö r»ng F lµ nöa liªn tôc trªn ë trong X, dom F lµ liªn th«ng, vµ F(x) lµ liªn th«ng víi mäi x ∈ X. §Ó chøng minh b»ng ph¶n chøng, ta gi¶ sö r»ng M := rge F kh«ng lµ liªn th«ng. Khi ®ã tån t¹i c¸c tËp më U, V cña Y tháa m·n (2.5), ë ®ã UM := U ∩ M vµ VM := V ∩ M. §Æt X1 = F −(U) = {x ∈ dom F : F(x) ⊂ U}, X2 = F −(V ) = {x ∈ dom F : F(x) ⊂ V }. C¸c tÝnh chÊt sau nghiÖm ®óng: (i) X1, X2 lµ c¸c tËp më trong t«p« c¶m sinh cña dom F; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = dom F; (iv) X1 ∩ X2 = ∅. ThËt vËy, tÝnh chÊt (i) ®−îc suy ra tõ kh¼ng ®Þnh (a) trong Bµi tËp 1.2.2. Do UM = U ∩ rge F = U ∩ x∈X F(x) kh¸c rçng, tån t¹i x ∈ X sao cho F(x) ∩ U = ∅. NÕu F(x) ∩ V = ∅ th× tõ (2.5) suy ra F(x), xÐt víi t«p« c¶nh sinh tõ t«p« cña Y , kh«ng lµ kh«ng gian liªn th«ng; tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy F(x) ∩ V = ∅ . Do F(x) ⊂ M vµ do UM ∪ VM = M, ta cã F(x) ⊂ U; tøc lµ x ∈ X1. Ta ®· chøng tá r»ng X1 = ∅. T−¬ng tù, X2 = ∅. LÊy tuú ý x ∈ dom F. Do F(x) = ∅ vµ F(x) ⊂ M, ta cã F(x) ∩ UM = ∅ hoÆc F(x) ∩ VM = ∅. NÕu tr−êng hîp thø nhÊt x¶y ra, th× do lý luËn ®· tr×nh bµy ë trªn, ta cã x ∈ X1. NÕu tr−êng hîp thø hai x¶y ra th× ta cã x ∈ X2. VËy dom F ⊂ X1 ∪ X2, tøc lµ (iii) nghiÖm ®óng. NÕu tån t¹i x ∈ X1 ∩ X2 th× ta cã F(x) = ∅, F(x) ⊂ U, F(x) ⊂ V. Do F(x) ⊂ M, ta cã F(x) ⊂ UM vµ F(x) ⊂ VM. V× F(x) = ∅ nªn UM ∩VM = ∅, tr¸i víi (2.5). VËy ta cã X1 ∩ X2 = ∅. C¸c tÝnh chÊt (i)–(iv) ®· ®−îc chøng minh. Tõ ®ã suy ra dom F, xÐt víi t«p« c¶m sinh tõ t«p« cña X, kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian liªn th«ng; tr¸i víi gi¶ thiÕt. Tãm l¹i, rge F lµ kh«ng gian liªn th«ng. (b) Gi¶ sö r»ng F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X, dom F lµ liªn th«ng, vµ F(x) lµ liªn th«ng víi mäi x ∈ X. NÕu M := rge F kh«ng liªn th«ng, th× tån t¹i c¸c tËp më U, V cña Y tháa m·n (2.5), ë ®ã UM := U ∩M vµ VM := V ∩M. §Æt X1 = F −1(U) = {x ∈ dom F : F(x) ∩ U = ∅}, X2 = F −1(V ) = {x ∈ dom F : F(x) ∩ V = ∅}, ta cã thÓ chøng tá r»ng c¸c tÝnh chÊt (i)–(iv) liÖt kª trong phÇn chøng minh trªn nghiÖm ®óng. Tõ ®ã suy ra r»ng dom F kh«ng liªn th«ng, tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy rge F lµ tËp liªn th«ng. ✷ 26 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Bµi tËp 1.2.5. Tr×nh bµy chøng minh chi tiÕt kh¼ng ®Þnh (b) cña ®Þnh lý trªn. X©y dùng vµi vÝ dô ®¬n gi¶n ®Ó chøng tá r»ng mçi mét gi¶ thiÕt (i) dom F lµ tËp liªn th«ng vµ (ii) F(x) lµ tËp liªn th«ng víi mäi x ∈ X trong kh¼ng ®Þnh (b) cña §Þnh lý 1.2.3 lµ kh«ng thÓ bá ®−îc (trong khi c¸c gi¶ thiÕt kh¸c vÉn ®−îc gi÷ nguyªn). Bµi tËp 1.2.6. Cho F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z t−¬ng øng lµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi ë trong X vµ ë trªn Y , ë ®ã X, Y vµ Z lµ c¸c kh«ng gian t«p«. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ tÝch G ◦ F lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X. Bµi tËp 1.2.7. Cho F : X ⇒ Y vµ G : X ⇒ Y lµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«. Chøng minh r»ng nÕu F vµ G lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X, th× ¸nh x¹ F + G : X ⇒ Y ®−îc cho bëi c«ng thøc (F + G)(x) = F(x) + G(x) (∀x ∈ X) còng lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X. Bµi tËp 1.2.8∗. Kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− nh÷ng tÝnh chÊt nãi trong c¸c Bµi tËp 1.2.6 vµ 1.2.7 ®èi víi ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn. Bµi tËp 1.2.9. Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë trong X. Chøng minh r»ng nÕu F cã gi¸ trÞ comp¾c (tøc lµ F(x) lµ comp¾c víi mäi x ∈ X) vµ dom F lµ tËp comp¾c, th× rgeF lµ tËp comp¾c. Bµi tËp 1.2.10∗. Kh¶o s¸t tÝnh chÊt “b¶o toµn tÝnh comp¾c” nãi trong Bµi tËp 1.2.9 ®èi víi ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi. Ngoµi kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn nãi trong §Þnh nghÜa 1.2.1, ng−êi ta cßn xÐt kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff. ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian mªtric Y ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff t¹i x¯ ∈ dom F nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho F(x) ⊂ B(F(¯x), ε) ∀x ∈ U, ë ®ã B(F(¯x), ε) := {y ∈ Y : d(y,F(¯x)) < ε} víi d(y,F(¯x)) := inf z∈F(¯x)d(y, z) ký hiÖu kho¶ng c¸ch tõ y ®Õn F(¯x). NÕu F lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F, th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff ë trªn X. Râ rµng lµ tÝnh nöa liªn tôc trªn theo Berge (xem §Þnh nghÜa 1.2.1) kÐo theo tÝnh nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff. §iÒu ng−îc l¹i kh«ng ®óng. 1.3. §Þnh lý Kakutani 27 Bµi tËp 1.2.11. §Æt X = IR, Y = IR2, F(x) = {(x, 1|x|)} nÕu x = 0 vµ F(x) = {0} × [0, +∞) nÕu x = 0. H·y chøng tá r»ng F : X ⇒ Y lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff ë trªn X, nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc trªn (theo Berge) ë trªn X. H×nh 5 TÝnh liªn th«ng cña miÒn h÷u hiÖu nãi chung kh«ng ®−îc b¶o toµn qua ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff. VÝ dô sau ®©y sÏ chøng tá ®iÒu ®ã. VÝ dô 1.2.4 7. §Æt X = IR, Y = IR2, F(x) = (x, 1x) nÕu x = 0 vµ F(x) = {0} × IR nÕu x = 0. Khi ®ã, F : X ⇒ Y lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorf ë trªn X, dom F = IR lµ kh«ng gian liªn th«ng, F(x) lµ liªn th«ng víi mäi x, nh−ng rge F = x,1x : x < 0 ∪ {0} × IR ∪ x,1x : x > 0 kh«ng lµ tËp liªn th«ng (nã gåm 3 thµnh phÇn liªn th«ng). 1.3 §Þnh lý Kakutani §Þnh lý Kakutani (1941) lµ mét ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng quan träng ®−îc thiÕt lËp cho ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn. Chóng ta t×m hiÓu chøng minh chi tiÕt cña ®Þnh lý nµy ®Ó hiÓu s©u h¬n ý nghÜa cña c¸c tÝnh chÊt nöa liªn tôc trªn vµ nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc xÐt trong môc tr−íc. 7VÝ dô nµy thuéc vÒ NguyÔn MËu Nam. HiÖu qu¶ t−¬ng tù còng ®¹t ®−îc víi ¸nh x¹ ®a trÞ nãi trong Bµi tËp 1.2.11, mét d¹ng c¶i biªn cña ¸nh x¹ F ë ®©y. 28 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Ph©n ho¹ch ®¬n vÞ: Cho ψ : X → IR lµ hµm sè thùc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian t«p« X. Gi¸ (support) cña ψ ®−îc ký hiÖu bëi supp ψ, vµ ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc supp ψ = {x ∈ X : ψ(x) = ∅}, ë ®ã M ký hiÖu bao ®ãng cña tËp M. §Þnh lý 1.3.1 (xem Rudin (1976), tr. 251). Cho K lµ kh«ng gian mªtric comp¾c, {Vα}α∈A lµ mét phñ më cña K. Khi ®ã tån t¹i c¸c hµm liªn tôc ψi : K → IR (i = 1, 2,...,s) sao cho (a) 0 ψi(x) 1 ∀x ∈ K, ∀i ∈ {1,...,s}; s (b) i=1 ψi(x)=1 ∀x ∈ K; (c) Víi mçi i ∈ {1,...,s} cã tån t¹i α ∈ A sao cho supp ψi ⊂ Vα. Hä hµm liªn tôc {ψi}i=1,...,s cã c¸c tÝnh chÊt (a)–(c) ®−îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch ®¬n vÞ t−¬ng thÝch víi phñ më {Vα}α∈A. Tõ §Þnh lý 1.3.1 ta rót ra hÖ qu¶ s©u ®©y. HÖ qu¶ 1.3.1. Gi¶ sö {ψi}i=1,...,s lµ mét ph©n ho¹ch ®¬n vÞ t−¬ng thÝch víi phñ më {Vα}α∈A. Víi mäi hµm liªn tôc f : K → IR ta cã s ψi(x)f(x), ë ®ã c¸c hµm f(x) = i=1 fi(x) := ψi(x)f(x) (i = 1,...,s) lµ liªn tôc trªn K vµ víi mçi i ∈ {1,...,s} tån t¹i α ∈ A sao cho gi¸ cña hµm fi n»m trong Vα. Chøng minh §Þnh lý 1.3.1: Víi mçi x ∈ K ta chän ®−îc chØ sè αx ∈ A sao cho x ∈ Vαx. Do Vαx lµ tËp më, tån t¹i ρx > 0 sao cho B¯(x, ρx) ⊂ Vαx . Hä c¸c h×nh cÇu më B(x, ρx2 ) x∈K lµ mét phñ më cña K. Do K lµ kh«ng gian comp¾c, tån t¹i c¸c ®iÓm x1, x2,...,xs ∈ K sao cho (3.1) K ⊂ B(x1,ρx1 2 ) ∪ ... ∪ B(xs,ρxs 2 ). 1.3. §Þnh lý Kakutani 29 Do B¯(xi,ρxi 2 ) ⊂ B(xi, ρxi ) ⊂ B¯(xi, ρxi ), tån t¹i hµm liªn tôc ϕi : K → [0, 1] sao cho ϕi(x)=1 ∀x ∈ B¯(xi,ρxi 2 ) vµ ϕi(x)=0 ∀x ∈ K \ B(xi, ρxi ). (Chóng ta nh¾c l¹i r»ng nÕu M1 vµ M2 lµ hai tËp ®ãng kh«ng giao nhau trong kh«ng gian mªtric comp¾c X th× tån t¹i hµm sè liªn tôc ϕ : X → [0, 1] sao cho ϕ(x)=1 víi mäi x ∈ M1 vµ ϕ(x)=0 víi mäi x ∈ M2. Kh¼ng ®Þnh ®ã suy ra tõ Bæ ®Ò Urysohn (xem Kelley (1957), Ch−¬ng 4). §Æt ψ1 = ϕ1 vµ ψi+1 = (1 − ϕ1)...(1 − ϕi)ϕi+1 (∀i = 1, 2,...,s − 1). HiÓn nhiªn c¸c tÝnh chÊt (a) vµ (c) nghiÖm ®óng víi hä hµm {ψi}i=1,...,s võa chän. Râ rµng ®¼ng thøc (3.2) ψ1 + ... + ψi = 1 − (1 − ϕ1)...(1 − ϕi) ®óng víi i = 1. NÕu (3.2) ®óng víi chØ sè i 0 tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ ∈ X sao cho CF (p, x) CF (p, x¯) + ε ∀x ∈ U. Do F(¯x) lµ comp¾c yÕu vµ kh¸c rçng, tån t¹i y¯ ∈ F(¯x) sao cho CF (p, x¯) = p, y¯ . §Æt V = {y ∈ Y : p, y < p, y¯ + ε}. Ta cã V lµ l©n cËn më yÕu chøa F(¯x). V× F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x¯ (Y ®−îc xÐt víi t«p« yÕu), tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho F(U) ⊂ V . Khi ®ã, víi mçi x ∈ U ta cã CF (p, x) = sup{ p, y : y ∈ F(x)} p, y¯ + ε (do F(x) ⊂ V ) = CF (p, x¯) + ε. MÖnh ®Ò ®· ®−îc chøng minh. ✷ §Þnh nghÜa 1.3.1. ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y tõ kh«ng gian mªtric X vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn Y ®−îc gäi lµ hªmi liªn tôc trªn t¹i x ∈ dom F nÕu víi mçi p ∈ Y ∗ hµm sè Cp(p, ·) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x. Ta nãi F lµ hªmi liªn tôc trªn ë trong X nÕu nã lµ hªmi liªn tôc trªn t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F. MÖnh ®Ò 1.3.1 ®· chØ ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét ¸nh x¹ ®a trÞ lµ hªmi liªn tôc trªn. 1.3. §Þnh lý Kakutani 31 BÊt ®¼ng thøc Ky Fan: Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland (1974) vµ ®Þnh lý sau ®©y lµ nh÷ng c«ng cô m¹nh ®Ó nghiªn cøu nhiÒu vÊn ®Ò trong gi¶i tÝch phi tuyÕn vµ tèi −u ho¸. §Þnh lý 1.3.2 (BÊt ®¼ng thøc Ky Fan, 1972). Cho K lµ tËp låi, comp¾c trong kh«ng gian Banach X, ϕ : K × K → IR lµ hµm sè tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (i) ∀y ∈ K, ϕ(·, y) lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi; (ii) ∀x ∈ K, ϕ(x, ·) lµ hµm lâm; (iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) 0. Khi ®ã, tån t¹i x¯ ∈ K sao cho ∀y ∈ K, ϕ(¯x, y) 0. NhËn xÐt 1.3.1 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 80). §Þnh lý 1.3.2 vÉn ®óng nÕu thay cho kh«ng gian Banach X ta xÐt mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«, låi ®Þa ph−¬ng, Hausdorff. (VÝ dô nh− X lµ mét kh«ng gian Banach xÐt víi t«p« yÕu.) Chøng minh §Þnh lý 1.3.2: Tr−íc hÕt, chóng ta chøng minh ®Þnh lý cho tr−êng hîp X lµ kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. Ta sÏ chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng. Gi¶ sö r»ng kÕt luËn cña ®Þnh lý kh«ng ®óng, tøc lµ (3.4) ∀x ∈ K ∃y ∈ K sao cho ϕ(x, y) > 0. Víi mçi y ∈ K, ®Æt Uy = {x ∈ K : ϕ(x, y) > 0}. V× ϕ(·, y) lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi, nªn Uy lµ tËp më trong t«p« c¶m sinh cña K. Râ rµng tõ (3.4) suy ra r»ng {Uy}y∈K lµ mét phñ më cña K. Do K lµ comp¾c, tån t¹i y1, y2,...,yk ∈ K sao cho K ⊂ k j=1 Uyj . Theo §Þnh lý 1.3.1, tån t¹i ph©n ho¹ch ®¬n vÞ {ψi}i=1,...,s cña K t−¬ng thÝch víi phñ më {Uyj }j=1,...,k. Tøc lµ ψ : K → [0, 1] (i = 1,...,s) 32 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ s lµ nh÷ng hµm liªn tôc, i=1 ψi(x)=1 víi mäi x ∈ K vµ víi mçi i ∈ {1,...,s} tån t¹i j(i) ∈ {1,...,k} sao cho supp ψi ⊂ Uyj(i) . XÐt ¸nh x¹ f : K → K cho bëi c«ng thøc s f(x) = i=1 ψi(x)yj(i) (∀x ∈ K). (V× K lµ tËp låi, yj(i) ∈ K víi mäi i, ψi(x) 0 víi mäi i, vµ si=1 ψi(x)=1, nªn f(x) ∈ K víi mäi x ∈ K.) Do ψi(·) (i = 1,...,s) lµ c¸c hµm liªn tôc, f(x) lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Theo §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer, tån t¹i y¯ ∈ K sao cho y¯ = f(¯y). Do gi¶ thiÕt (ii), ϕ(¯y, y¯) = ϕ(¯y,f(¯y)) (3.5) §Æt s V× i=1 = ϕ y, ¯ si=1 ψi(¯y)yj(i) si=1 ψi(¯y)ϕ y, y ¯ j(i) . I(¯y) = {i ∈ {1,...,s} : ψi(¯y) > 0}. ψi(¯y)=1 nªn I(¯y) = ∅. Ngoµi ra, ta cã s (3.6) i=1 ψi(¯y)ϕ(¯y,yj(i)) = i∈I(¯y) ψi(¯y)ϕ(¯y,yj(i)) > 0; bëi v× nÕu i ∈ I(¯y) th× ψi(¯y) > 0, do ®ã y¯ ∈ supp ψi ⊂ Uyj(i) = {x ∈ K : ϕ(x, yj(i)) > 0}. (Tõ tÝnh chÊt viÕt ë dßng trªn suy ra ϕ(¯y,yj(i)) > 0.) KÕt hîp (3.6) víi (3.5) ta ®−îc ϕ(¯y, y¯) > 0, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt (iii). B©y giê ta xÐt tr−êng hîp X lµ kh«ng gian Banach bÊt kú vµ K lµ tËp con låi, comp¾c, kh¸c rçng cña X. Ta cã §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Schauder (xem Holmes (1974), tr. 101) sau ®©y: “Cho A lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn X, f : A → K lµ ¸nh x¹ liªn tôc tõ A vµo tËp con comp¾c K ⊂ A. Khi ®ã f cã ®iÓm bÊt ®éng trong K”. LÆp l¹i chøng minh trªn vµ ¸p dông §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Schauder thay cho §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer, 1.3. §Þnh lý Kakutani 33 ta sÏ chØ ra ®−îc sù tån t¹i cña ®iÓm x¯ ∈ K cã tÝnh chÊt ϕ(¯x, y) 0 víi mäi y ∈ K. ✷ §Þnh lý vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng: Ta nh¾c l¹i r»ng nÕu K lµ mét tËp låi trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« X th× nãn tiÕp tuyÕn TK(x) cña K t¹i x ∈ K ®−îc cho bëi c«ng thøc TK(x) = {t(y − x) : y ∈ K, t 0} = cone (K − x), ë ®ã cone M := {tz : z ∈ M} lµ h×nh nãn sinh bëi M vµ M lµ bao ®ãng cña M. Nãn ph¸p tuyÕn NK(x) cña K t¹i x lµ nãn ®èi ngÉu ©m cña TK(x), tøc lµ NK(x) =(TK(x))∗ = {x∗ ∈ X∗ : x∗, v 0 ∀v ∈ TK(x)} . §Þnh nghÜa 1.3.2. Cho F : X ⇒ X, ë ®ã X lµ kh«ng gian Banach, lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ ®ãng (cã thÓ rçng). TËp låi K ⊂ dom F ®−îc gäi lµ mét miÒn v÷ng8 cña F nÕu F(x) ∩ TK(x) = ∅ ∀x ∈ K. §Þnh lý 1.3.3 (The Equilibrium Theorem - §Þnh lý vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng). Cho X lµ kh«ng gian Banach vµ F : X ⇒ X lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trªn ë trong X, cã gi¸ trÞ låi ®ãng. NÕu tËp låi comp¾c kh¸c rçng K ⊂ dom F lµ mét miÒn v÷ng cña F th× K chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm c©n b»ng cña F, tøc lµ ∃x¯ ∈ K sao cho 0 ∈ F(¯x). NhËn xÐt 1.3.2. NÕu ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ X lµ hªmi liªn tôc trªn ë trong K vµ cã gi¸ trÞ låi ®ãng, th× ¸nh x¹ F : X ⇒ X cho bëi c«ng thøc F(x) = F(x) nÕu x ∈ K ∅ nÕu x /∈ K còng cã nh÷ng tÝnh chÊt ®ã. V× thÕ §Þnh lý 1.3.3 ¸p dông ®−îc c¶ cho nh÷ng ¸nh x¹ ®a trÞ chØ x¸c ®Þnh ë trªn K. Chøng minh §Þnh lý 1.3.3: §Ó chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng, ta gi¶ sö r»ng F : X ⇒ X lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tháa m·n c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý, K ⊂ dom F lµ mét miÒn v÷ng låi, comp¾c, kh¸c rçng cña F, nh−ng víi mäi x ∈ K ta ®Òu cã 0 ∈/ F(x). 8TNTA: viability domain. 34 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Víi mçi x ∈ K, do F(x) lµ låi ®ãng vµ 0 ∈/ F(x), sö dông §Þnh lý t¸ch c¸c tËp låi (xem Rudin (1991), §Þnh lý 3.4) ta t×m ®−îc p ∈ X∗ sao cho p, y < 0, hay sup y∈F(x) CF (p, x) < 0. Víi mçi p ∈ X∗ ta ®Æt Up = {x ∈ K : CF (p, x) < 0}. Do lËp luËn trªn, ∀x ∈ K ∃p ∈ X∗ sao cho x ∈ Up. VËy hä {Up}p∈X∗ lµ mét phñ më cña K. (Chóng ta nhËn xÐt r»ng v× F lµ hªmi liªn tôc trªn ë trong X nªn CF (p, ·) lµ hµm sè nöa liªn tôc trªn ë trong X. Do ®ã Up lµ tËp më trong t«p« c¶m sinh cña K.) V× K lµ comp¾c, tån t¹i c¸c phÇn tö p1, p2,...,pk ∈ X∗ sao cho Upj j=1,...,k lµ mét phñ më h÷u h¹n cña K. Theo §Þnh lý 1.3.1, tån t¹i ph©n ho¹ch ®¬n vÞ {ψi}i=1,...,s trªn K t−¬ng øng víi phñ më Êy. Khi ®ã, víi mçi i ∈ {1,...,s} tån t¹i j(i) ∈ {1,...,k} sao cho supp ψi ⊂ Upj(i) . XÐt hµm sè ϕ : K × K → IR cho bëi c«ng thøc s ψi(x) pj(i), x − y . Râ rµng lµ: ϕ(x, y) = i=1 (i) ∀y ∈ K, ϕ(·, y) lµ hµm sè liªn tôc; (ii) ∀x ∈ K, ϕ(x, ·) lµ hµm sè aphin (do ®ã lµ hµm lâm); (iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y)=0. VËy c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 1.3.2 ®−îc tháa m·n. Do ®ã tån t¹i x¯ ∈ K sao s cho víi mäi y ∈ K ta cã ϕ(¯x, y) 0. §Æt p = i=1 s ψi(¯x)pj(i) vµ ®Ó ý r»ng 0 ϕ(¯x, y) = i=1 ψi(¯x)pj(i), x¯ − y = p, x¯ − y 1.3. §Þnh lý Kakutani 35 víi mäi y ∈ K. V× p, y − x¯ 0 ∀y ∈ K nªn ta cã (3.7) −p ∈ (TK(¯x))∗ = NK(¯x). V× K lµ miÒn v÷ng cña F, nªn tån t¹i v ∈ F(¯x) ∩ TK(¯x). Do ®ã, l−u ý ®Õn (3.7) ta cã (3.8) CF (p, x¯) p, v 0. §Æt I(¯x) = {i ∈ {1,...,s} : ψi(¯x) > 0}. s V× i=1 ψi(¯x)=1 vµ ψi(¯x) 0 víi mäi i, nªn I(¯x) = ∅. Víi mçi i ∈ I(¯x), do ψi(¯x) > 0 nªn x¯ ∈ supp ψi ⊂ Upj(i) . Tõ ®ã suy ra CF (p, x¯) = sup si=1 ψi(¯x)pj(i), y : y ∈ F(¯x) i∈I(¯x) ψi(¯x)CF (pj(i), x¯) < 0. §iÒu nµy m©u thuÉn víi (3.8). §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh. ✷ NhËn xÐt 1.3.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 84). §Þnh lý 1.3.3 vÉn ®óng khi X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«, låi ®Þa ph−¬ng, Hausdorff. §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Kakutani: §Þnh lý sau lµ d¹ng më réng cña ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Kakutani (xem §Þnh lý 1.3.5 d−íi ®©y) tõ tr−êng hîp c¸c kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu sang tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu. §Þnh lý 1.3.4 (§Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Ky Fan, 1972). Cho K lµ tËp låi, comp¾c, kh¸c rçng trong kh«ng gian Banach X. Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trªn ë trong K, cã gi¸ trÞ låi, ®ãng, kh¸c rçng. Khi ®ã, tån t¹i x¯ ∈ K sao cho x¯ ∈ G(¯x). Chøng minh. §Æt F(x) = G(x) − x. Tõ c¸c gi¶ thiÕt ®Æt trªn G suy ra r»ng F : K ⇒ X lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trªn, cã gi¸ trÞ låi, ®ãng, kh¸c rçng. Ngoµi ra, ta cã (3.9) F(x) = G(x) − x ⊂ K − x ⊂ TK(x) 36 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ víi mäi x ∈ K. V× F(x) = ∅ víi mäi x ∈ K, nªn tõ (3.9) suy ra tËp låi K lµ miÒn v÷ng cña F. Theo §Þnh lý 1.3.3, tån t¹i x¯ ∈ K sao cho 0 ∈ F(¯x). Tøc lµ tån t¹i x¯ ∈ K sao cho x¯ ∈ G(¯x). ✷ KÕt qu¶ sau ®©y suy ra trùc tiÕp tõ §Þnh lý 1.3.4 vµ MÖnh ®Ò 1.3.1. §Þnh lý 1.3.5 (§Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Kakutani, 1941). Cho K ⊂ IRn lµ tËp låi, comp¾c, kh¸c rçng. Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë trong K, cã gi¸ trÞ låi, ®ãng, kh¸c rçng. Khi ®ã, tån t¹i x¯ ∈ K sao cho x¯ ∈ G(¯x). Bµi tËp 1.3.1. §Æt K = [0, 1] ⊂ IR. H·y x©y dùng c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ K thÝch hîp ®Ó chøng tá r»ng nÕu trong khi ph¸t biÓu §Þnh lý 1.3.5 ta bá ®i mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn ba ®iÒu kiÖn cßn l¹i), th× kÕt luËn cña ®Þnh lý kh«ng cßn ®óng n÷a: (i) G lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn ë trong K; (ii) G cã gi¸ trÞ låi; (iii) G cã gi¸ trÞ ®ãng; (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng. (Gîi ý: XÐt c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ G1(x) = ⎧⎨ {1} nÕu 0 x 12 {0} nÕu 12 < x 1, {x + 12 } nÕu 0 x < 12 G2(x) = ⎩ {0, 1} nÕu x = 12 {x − 12 } nÕu 12 < x 1, G3(x) = (x, 1) nÕu 0 x < 1 (0, 1) nÕu x = 1, G4(x) = ⎧⎨ ⎩ [ 12 , 1] nÕu x = 0 ∅ nÕu 0 0. VÝ dô 1.4.1. C¸c tËp hîp sau ®©y lµ nh÷ng h×nh nãn trong IRn: K1 := IRn+ = {x = (x1,...,xn) ∈ IRn : xi 0 ∀i = 1, 2,...,n}, K2 := {x = (x1,...,xn) ∈ IRn : xi > 0 ∀i = 1, 2,...,n}∪{0}. C¸c tËp hîp sau ®©y lµ nh÷ng h×nh nãn trong C[a, b] (kh«ng gian gåm c¸c hµm sè f : [a, b] → IR liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] ⊂ IR): K3 = {f ∈ C[a, b] : f(t) 0 ∀t ∈ [a, b]}, K4 = {f ∈ C[a, b] : f(t) > 0 ∀t ∈ [a, b]}∪{0}. Bµi tËp 1.4.1. Chøng minh r»ng gph F lµ mét h×nh nãn khi vµ chØ khi 0 ∈ F(0) vµ F(λx) = λF(x) víi mäi x ∈ X vµ λ > 0. 9TNTA: convex process. 10TNTA: closed convex process. 38 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ §Þnh nghÜa 1.4.2. Cho F : X ⇒ Y lµ mét qu¸ tr×nh låi ®ãng. ChuÈn F cña F lµ sè thùc suy réng ®−îc cho bëi c«ng thøc d(0, F(x)) (4.1) F = sup x∈(dom F)\{0} x , ë ®ã d(a, M) := inf x∈M a − x lµ kho¶ng c¸ch tõ a ®Õn M. Trong phÇn cßn l¹i cña môc nµy, nÕu kh«ng nãi g× thªm th× X, Y ®−îc gi¶ thiÕt lµ c¸c kh«ng gian Banach. Tõ §Þnh nghÜa 1.4.1 suy ra r»ng nÕu F lµ qu¸ tr×nh låi ®ãng th× F−1 còng lµ mét qu¸ tr×nh låi ®ãng. §Þnh lý sau ®−a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó F−1 lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz. §Þnh lý 1.4.1 (TÝnh Lipschitz cña qu¸ tr×nh ng−îc). Cho F : X ⇒ Y lµ qu¸ tr×nh låi ®ãng. NÕu rge F = Y th× F−1 lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz, tøc lµ tån t¹i > 0 sao cho (4.2) F −1(y1) ⊂ F −1(y2) + y1 − y2 B¯Y víi mäi y1, y2 ∈ Y . §Ó thiÕt lËp (4.2) d−íi gi¶ thiÕt qu¸ tr×nh låi ®ãng F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ trµn (tøc lµ rge F = X), chóng ta cÇn sö dông kÕt qu¶ sau. §Þnh lý 1.4.2 (§Þnh lý Robinson-Ursescu). Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, ®ãng. Gi¶ sö r»ng y¯ ∈ F(¯x) vµ y¯ ∈ int(rge F). Khi ®ã tån t¹i > 0 vµ γ > 0 sao cho víi mçi y ∈ B¯(¯y, γ) tån t¹i x ∈ F −1(y) tháa m·n (4.3) x − x¯ y − y¯ . Chøng minh. Chøng minh ®Çy ®ñ cña ®Þnh lý nµy kh¸ phøc t¹p (xem Ursescu (1975), Robinson (1976a), Aubin vµ Ekeland (1984)). Chóng ta sÏ chØ xÐt tr−êng hîp X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹. §Æt (4.4) ϕ(y) = d(¯x, F −1(y)) (∀y ∈ Y ). Kh¼ng ®Þnh 1: ϕ lµ hµm låi. ThËt vËy, do F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi nªn F−1 còng lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi. Do ®ã, víi mäi y, y ∈ Y vµ víi mäi t ∈ (0, 1) ta cã F −1((1 − t)y + ty ) ⊃ (1 − t)F −1(y) + tF −1(y ). 1.4. C¸c qu¸ tr×nh låi 39 V× vËy, nÕu y ∈ rge F vµ y ∈ rge F th× ϕ((1 − t)y + ty ) = d x, F ¯ −1((1 − t)y + ty ) d x, ¯ (1 − t)F −1(y) + tF −1(y ) = inf x¯ − [(1 − t)u + tv] : u ∈ F −1(y), v ∈ F −1(y ) inf (1 − t)(¯x − u) + t(¯x − v) : u ∈ F −1(y), v ∈ F −1(y ) = (1 − t) inf u∈F −1(y) x¯ − u + t inf v∈F −1(y ) x¯ − v = (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ). DÔ thÊy r»ng ϕ(y) < +∞ khi vµ chØ khi y ∈ rge F. Ta ®· chøng minh r»ng víi mäi y, y ∈ domϕ = {y : ϕ(y) < +∞} ta cã ϕ((1 − t)y + ty ) (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ) ∀t ∈ (0, 1). NÕu y /∈ domϕ hoÆc y ∈/ domϕ th× bÊt ®¼ng thøc cuèi lµ hiÓn nhiªn. Tãm l¹i, ϕ lµ hµm låi. Kh¼ng ®Þnh 2: ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong Y . §Ó chøng minh kh¼ng ®Þnh nµy ta chØ cÇn chøng tá r»ng c¸c tËp møc levϕ(λ) (λ ∈ IR) lµ ®ãng (xem Bµi tËp 1.4.2 ë d−íi ®©y). LÊy λ ∈ IR. Gi¶ sö {yk} ⊂ levϕ(λ), yk → y. Ta sÏ chøng tá r»ng y ∈ levϕ(λ). Do X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹, c¸c h×nh cÇu ®ãng trong X lµ comp¾c yÕu (§Þnh lý Banach-Alaoglu). Víi mçi k, F−1(yk) lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng. Theo Bæ ®Ò Mazur (“TËp låi ®ãng trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ tËp ®ãng yÕu”), F−1(yk) lµ tËp låi ®ãng yÕu, kh¸c rçng. Do ®ã tån t¹i xk ∈ F −1(yk) sao cho (4.5) xk − x¯ = inf x∈F −1(yk) x − x¯ . ThËt vËy, lÊy x ∈ M, ë ®ã M := F−1(yk). §Æt ρ = x¯ − x vµ Mρ = {x ∈ M : x − x¯ ρ}. Ta cã Mρ lµ tËp comp¾c yÕu, kh¸c rçng. V× ψ(x) := x − x¯ lµ hµm låi, liªn tôc, nªn tõ Bæ ®Ò Mazur suy ra r»ng ψ lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X theo t«p« yÕu. Theo §Þnh lý Weierstrass, tån t¹i xk ∈ Mρ tháa m·n (4.5). Ta cã xk − x¯ = d(¯x, F −1(yk) = ϕ(yk) λ ∀k ∈ IN. VËy {xk} ⊂ B¯(¯x, λ). Suy ra {xk} cã d·y con héi tô theo t«p« yÕu. Gi¶ sö r»ng xk w→ x ∈ B¯(¯x, λ). Do (xk, yk) ∈ gph F, (xk, yk) w→ (x, y), vµ gph F lµ tËp låi ®ãng yÕu, ta cã (x, y) ∈ gph F. Do ®ã x ∈ F−1(y). V× xk − x¯ λ víi mäi k ∈ IN, ta cã x − x¯ λ. Suy ra ϕ(y) = d(¯x, F −1(y)) x − x¯ λ. 40 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ VËy ta cã y ∈ levϕ(λ). Kh¼ng ®Þnh 3: ϕ lµ liªn tôc ë trªn int(rge F). ThËt vËy, lÊy y0 ∈ int(rge F) vµ ε > 0 sao cho B¯(y0, ε) ⊂ rge F. XÐt hä c¸c tËp møc cña hµm ϕ: levϕ(k) = {y : ϕ(y) k} (k ∈ IN). Trong khi chøng minh Kh¼ng ®Þnh 2 ta ®· chØ ra r»ng levϕ(k) lµ ®ãng víi mçi k ∈ IN. Ta cã (4.6) B¯(y0, ε) = ∞ k=1 levϕ(k) ∩ B¯(y0, ε) . ThËt vËy, lÊy y ∈ B¯(y0, ε) ⊂ rge F. Do ϕ(y) ∈ IR, tån t¹i k ∈ IN ®Ó ϕ(y) k. Khi ®ã, y ∈ levϕ(k). §Ó tiÕp tôc chøng minh, chóng ta cÇn sö dông §Þnh lý Baire: “NÕu M lµ mét kh«ng gian mªtric ®ñ, th× M kh«ng thÓ biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng hîp cña mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp ®ãng cã phÇn trong rçng”. Do X lµ kh«ng gian Banach, B¯(y0, ε) lµ kh«ng gian mªtric ®ñ. Do ®Þnh lý Baire vµ do (4.6), tån t¹i ¯k ∈ IN sao cho int levϕ(¯k) ∩ B¯(y0, ε) = ∅. V× vËy tån t¹i yˆ ∈ Y vµ ρ > 0 sao cho B¯(ˆy, ρ) ⊂ levϕ(¯k) ∩ B¯(y0, ε), tøc lµ 0 ϕ(y) ¯k ∀y ∈ B¯(ˆy, ρ). Do ϕ lµ låi vµ bÞ chÆn ë trªn B¯(ˆy, ρ), nªn ϕ lµ liªn tôc ë trªn B(ˆy, ρ) ⊂ int(rge F) (xem Ioffe vµ Tihomirov (1979)). Khi ®ã ϕ lµ liªn tôc trªn int(rge F). V× y¯ ∈ int(rge F) vµ hµm ϕ liªn tôc trªn int(rge F), ta cã ϕ lµ Lipschitz ®Þa ph−¬ng t¹i y¯, tøc lµ tån t¹i γ > 0 vµ 0 > 0 sao cho |ϕ(y ) − ϕ(y)| 0 y − y ∀y, y ∈ B¯(¯y, γ) (xem Ioffe vµ Tihomirov (1979)). Suy ra (4.7) |ϕ(y) − ϕ(¯y)| 0 y − y¯ ∀y ∈ B¯(¯y, γ). §Æt = 2 0 vµ l−u ý r»ng ϕ(¯y)=0 v× y¯ ∈ F(¯x). Víi mçi y ∈ B¯(¯y, γ), do (4.7) tån t¹i x ∈ F −1(y) sao cho (4.3) nghiÖm ®óng. §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh. ✷ 1.4. C¸c qu¸ tr×nh låi 41 Bµi tËp 1.4.2. Cho hµm sè thùc suy réng ϕ : X → IR∪ {+∞}, ë ®ã X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Chøng minh r»ng ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi ë trong X khi vµ chØ khi c¸c tËp møc levϕ(λ) := {x ∈ X : ϕ(x) λ} (λ ∈ IR) lµ ®ãng. Chøng minh §Þnh lý 1.4.1: §Æt x¯ = 0, y¯ = 0. Do F lµ qu¸ tr×nh låi ®ãng, ta cã y¯ ∈ F(¯x). Tõ gi¶ thiÕt rge F = Y suy ra y¯ ∈ int(rge F). Theo §Þnh lý 1.4.2, tån t¹i > 0 vµ γ > 0 sao cho víi mçi y ∈ B¯(¯y, γ) tån t¹i x ∈ F −1(y) tháa m·n (4.3). Víi mçi y ∈ Y tån t¹i t > 0 sao cho ty ∈ B¯(¯y, γ) = B¯(0, γ). Do (4.3), tån t¹i x ∈ F−1(ty ) sao cho x − 0 ty − 0 . V× F −1 lµ qu¸ tr×nh låi, nªn ta cã x ∈ tF−1(y ) vµ x t y . §Æt x = 1t x, ta cã x ∈ F −1(y ) vµ x y . Cè ®Þnh hai ®iÓm y1, y2 ∈ Y . LÊy tïy ý x1 ∈ F −1(y1). Do tÝnh chÊt ®· chøng minh ë ®o¹n trªn, ta chän ®−îc u ∈ F−1(y2 − y1) sao cho u y2 − y1 . §Æt x2 = x1 + u, ta cã (4.8) x2 − x1 = u y2 − y1 . Ta l¹i cã x2 ∈ F −1(y2). ThËt vËy, do u ∈ F −1(y2 − y1), x1 ∈ F −1(y1), vµ do F −1 lµ qu¸ tr×nh låi ®ãng, ta cã 1 2x1 + 12u ∈ 12F −1(y1) + 12F −1(y2 − y1) ⊂ F −1( 12 y1 + 12 (y2 − y1)) = F −1( 12 y2) = 12F −1(y2). Tõ ®ã suy ra x1 + u ∈ F −1(y2), hay x2 ∈ F −1(y2). Do (4.8), tån t¹i v ∈ B¯X sao cho x1 − x2 = y1 − y2 v. VËy x1 ∈ F −1(y2) + y1 − y2 B¯Y . Ta ®· chøng tá r»ng (4.2) nghiÖm ®óng víi mäi y1, y2 ∈ Y . ✷ MÖnh ®Ò 1.4.1 (§Þnh lý ¸nh x¹ më). Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, ®ãng. NÕu rge F = Y th× F lµ ¸nh x¹ më; nghÜa lµ víi mäi tËp më U ⊂ X, tËp F(U) = ∪x∈U F(x) lµ më trong Y . Chøng minh. Gi¶ sö F tháa m·n gi¶ thiÕt cña mÖnh ®Ò. Gi¶ sö U ⊂ X lµ tËp më. LÊy y¯ ∈ F(U) vµ gi¶ sö x¯ ∈ U lµ ®iÓm tháa m·n bao hµm thøc y¯ ∈ F(¯x). Do rge F = Y , ta cã y¯ ∈ int(rge F). Theo §Þnh lý 1.4.2, tån t¹i γ > 0 vµ > 0 ®Ó víi mçi y ∈ B¯(¯y, γ) tån t¹i x ∈ F −1(y) sao cho (4.3) nghiÖm ®óng. Chän γ ∈ (0, γ) ®ñ bÐ ®Ó cã (4.9) B¯(¯x, γ ) ⊂ U. 42 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Khi ®ã, víi mçi y ∈ B¯(¯y, γ ) tån t¹i x ∈ F −1(y) tháa m·n x − x¯ y − y¯ γ . VËy x ∈ B¯(¯x, γ ) ⊂ U. Do y ∈ F(x) vµ do (4.9), tõ ®ã ta cã y ∈ F(U). V× bao hµm thøc cuèi ®óng víi mäi y ∈ B¯(¯y, γ ), nªn B¯(¯y, γ ) ⊂ F(U). Ta ®· chøng tá r»ng F(U) lµ tËp më. ✷ NhËn xÐt 1.4.1. C¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më cã vai trß quan träng trong gi¶i tÝch vµ gi¶i tÝch øng dông. VÝ dô nh− mét sè ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ (trong lý thuyÕt tèi −u) hay ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh ®iÒu khiÓn ®−îc cña c¸c hÖ ®éng lùc (trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn) cã thÓ ®−îc dÉn ra nh− nh÷ng hÖ qu¶ trùc tiÕp cña cña c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më. §Þnh lý ¸nh x¹ më trong MÖnh ®Ò 1.4.1 chØ ¸p dông ®−îc cho c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ cã ®å thÞ lµ tËp låi ®ãng. §ång thêi víi c¸c nghiªn cøu cña c¸c t¸c gi¶ n−íc ngoµi, Gi¸o s− Ph¹m H÷u S¸ch, Gi¸o s− Phan Quèc Kh¸nh vµ Phã Gi¸o s− Ph¹m Huy §iÓn ®· cã nhiÒu ®ãng gãp trong viÖc x©y dùng c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më vµ ®Þnh lý hµm ng−îc tæng qu¸t; xem Sach (1988a,b), Khanh (1986, 1988, 1989), Dien vµ Sach (1991). Trong c¸c c«ng tr×nh ®ã, c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc xÐt kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i cã ®å thÞ låi. Nãi riªng ra, trong ba bµi b¸o nãi trªn, b»ng c¸ch sö dông kh¸i niÖm kh«ng gian tùa mªtric (quasi-metric space) t¸c gi¶ Phan Quèc Kh¸nh ®· thu ®−îc c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më tæng qu¸t, mµ tõ ®ã ta cã thÓ thu ®−îc §Þnh lý Ljusternik quen biÕt, §Þnh lý quy n¹p cña V. Pt¸k (Pt¸k’s induction theorem, 1974), mét kÕt qu¶ tr−íc ®ã cña Ph¹m H÷u S¸ch, vµ nhiÒu kÕt qu¶ kh¸c. C¸c kÕt qu¶ trong Khanh (1986, 1988, 1989) ®· thu hót ®−îc sù chó ý cña nhiÒu chuyªn gia trong ngµnh. NhËn xÐt 1.4.2. Trong Ch−¬ng 5 cña gi¸o tr×nh nµy cã tr×nh bµy mét ®Þnh lý ¸nh x¹ më ®Þa ph−¬ng (xem §Þnh lý 5.4.1) vµ ®Þnh lý hµm ng−îc (xem §Þnh lý 5.4.2) cho ¸nh x¹ ®a trÞ cã d¹ng ®Æc biÖt: F(x) = f(x) + K, ë ®ã F : IRn → IRm lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ vµ K ⊂ IRm lµ tËp låi. NhËn xÐt 1.4.3. C¸c t¸c gi¶ Huúnh ThÕ Phïng vµ Ph¹m Huy §iÓn (xem Phung vµ Dien (1991)) ®· chØ ra r»ng ®iÓm c©n b»ng (kh«ng ®iÓm) cña mét ¸nh x¹ ®a trÞ låi ®ãng, nÕu tån t¹i, cã thÓ tÝnh ®−îc b»ng mét thuËt to¸n gåm h÷u h¹n b−íc. Bµi tËp 1.4.3. Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. Chøng minh r»ng A lµ liªn tôc khi vµ chØ khi ¸nh x¹ F cho bëi c«ng thøc F(x) = {Ax} (x ∈ X) lµ ¸nh x¹ ®ãng. Bµi tËp 1.4.4. Chøng minh r»ng §Þnh lý ¸nh x¹ më Banach “Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. NÕu A(X) = Y th× A lµ ¸nh x¹ më (tøc lµ víi mäi tËp më U ⊂ X, A(U) lµ tËp më trong Y )” lµ hÖ qu¶ cña MÖnh ®Ò 1.4.1. 1.4. C¸c qu¸ tr×nh låi 43 VÝ dô 1.4.1 (Qu¸ tr×nh låi ®ãng). Cho K ⊂ Y lµ h×nh nãn låi ®ãng vµ cho f ∈ C1(X, Y ). Víi mçi x0 ∈ X ta ®Æt Fx0 (v) = f (x0)v + K (v ∈ X). Khi ®ã, Fx0 (·) lµ mét qu¸ tr×nh låi ®ãng phô thuéc vµo tham sè x0. MÖnh ®Ò 1.4.2 (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét qu¸ tr×nh låi ®ãng cã chuÈn h÷u h¹n). Cho F : X ⇒ Y lµ qu¸ tr×nh låi ®ãng. NÕu dom F = X, th× sè F ®−îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc (4.1) lµ h÷u h¹n. Chøng minh. XÐt qu¸ tr×nh ng−îc F −1 : Y ⇒ X, F −1(y) = {x ∈ X : y ∈ F(x)}. V× F lµ qu¸ tr×nh låi ®ãng, nªn F−1 còng lµ qu¸ tr×nh låi ®ãng. Ta cã rge F −1 = {x ∈ X : ∃y ∈ Y sao cho x ∈ F −1(y)} = {x ∈ X : ∃y ∈ Y sao cho y ∈ F(x)} = {x ∈ X : F(x) = ∅} = dom F. Do gi¶ thiÕt dom F = X, ta cã rge F−1 = X. ¸p dông §Þnh lý 1.4.1 cho ¸nh x¹ F −1, ta t×m ®−îc hÖ sè > 0 sao cho (4.10) (F −1)−1(x ) ⊂ (F −1)−1(x) + x − x B¯Y (∀x, x ∈ X). Víi mäi x ∈ X, (F −1)−1(x) = {y ∈ Y : x ∈ F −1(y)} = {y ∈ Y : y ∈ F(x)} = F(x). Do ®ã (F −1)−1 = F. VËy tõ (4.10) ta cã (4.11) F(x ) ⊂ F(x) + x − x B¯Y (∀x, x ∈ X). (§iÒu ®ã chøng tá F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz trªn X.) ¸p dông (4.11) cho x = 0 vµ l−u ý r»ng 0 ∈ F(0), ta cã 0 ∈ F(x) + x B¯Y (∀x ∈ X). Khi ®ã, víi mäi x ∈ X \ {0}, tån t¹i y ∈ F(x) vµ v ∈ B¯Y sao cho 0 = y + x v. Suy ra y x v x . VËy x x d(0, F(x)) x = ∀x ∈ X \ {0}. 44 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Tõ ®ã ta cã F = sup x =0 MÖnh ®Ò ®· ®−îc chøng minh. ✷ d(0, F(x)) x . VÝ dô 1.4.2. §Æt F(x) = {y ∈ IR : y x2} víi mäi x ∈ IR. Ta cã F : IR ⇒ IR lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi ®ãng, v× gph F = {(x, y) ∈ IR2 : y x2} lµ tËp låi ®ãng. a) LÊy x¯ = 0, y¯ = 0. V× rge F = IR+, nªn y / ¯ ∈ int(rge F). Do ®ã gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 1.4.2 kh«ng ®−îc tháa m·n víi bé ba {F, x, ¯ y¯} ®· chän. NhËn xÐt r»ng kÕt luËn cña ®Þnh lý ®ã kh«ng cßn ®óng. ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i γ > 0 vµ > 0 víi tÝnh chÊt (4.12) ∀y ∈ B¯(¯y, γ) ∃x ∈ F −1(y) sao cho x − x¯ y − y¯ . Khi ®ã ∀y ∈ [−γ, γ] ∃x ∈ IR sao cho y x2, |x| |y|. Chän y = −γ, ta thÊy ngay r»ng kh«ng tån t¹i x ∈ IR sao cho y x2. VËy kh«ng tån t¹i γ > 0 vµ > 0 víi tÝnh chÊt (4.12). b) B©y giê ta lÊy x¯ = 0, y¯ = 1. HiÓn nhiªn y¯ ∈ int(rge F). Do §Þnh lý 1.4.2, γ > 0 vµ > 0 víi tÝnh chÊt (4.12). H×nh 6 Bµi tËp 1.4.5. Víi x¯, y¯ nh− trong phÇn b) cña VÝ dô 1.4.2, h·y chØ ra c¸c sè γ > 0 vµ > 0 tháa ®iÒu kiÖn (4.12). 1.4. C¸c tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ 45 1.5 C¸c tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ Trong môc nµy, nÕu kh«ng nãi g× thªm th× X, Y lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn tïy ý vµ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y . §Þnh nghÜa 1.5.1. Gi¶ sö x¯ ∈ int(dom F). Ta nãi F lµ Lipschitz ®Þa ph−¬ng11 t¹i (hoÆc ë gÇn) x¯, nÕu tån t¹i > 0 vµ δ > 0 sao cho (5.1) F(x2) ⊂ F(x1) + x2 − x1 B¯Y víi mäi x1, x2 ∈ B¯(¯x, δ). Trong tr−êng hîp F(x) = {f(x)} lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ, bao hµm thøc (5.1) trë thµnh f(x2) ∈ f(x1) + x2 − x1 B¯Y . NÕu tån t¹i > 0 vµ δ > 0 sao cho tÝnh chÊt ®ã nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ B¯(¯x, δ), th× ta nãi ¸nh x¹ ®¬n trÞ f lµ Lipschitz ®Þa ph−¬ng t¹i x¯. §Þnh nghÜa 1.5.2 (Robinson (1979)). Ta nãi F lµ Lipschitz trªn ®Þa ph−¬ng12 t¹i (hoÆc ë gÇn) x¯ ∈ dom F nÕu tån t¹i > 0 vµ δ > 0 sao cho (5.2) F(x) ⊂ F(¯x) + x − x¯ B¯Y víi mäi x ∈ B¯(¯x, δ). Trong tr−êng hîp F(x) = {f(x)} lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ, bao hµm thøc (5.2) trë thµnh f(x) ∈ f(¯x) + x − x¯ B¯Y . NÕu tån t¹i > 0 vµ δ > 0 sao cho tÝnh chÊt ®ã nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ B¯(¯x, δ), th× ta nãi ¸nh x¹ ®¬n trÞ f lµ Lipschitz trªn ®Þa ph−¬ng t¹i x¯. §Þnh nghÜa 1.5.3 (Robinson (1981)). Cho X = IRn, Y = IRm. Ta nãi F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®a diÖn13 nÕu tån t¹i mét sè h÷u h¹n c¸c tËp låi ®a diÖn ∆1, ∆2,..., ∆s trong kh«ng gian tÝch IRn × Rm sao cho gph F = s i=1 ∆i. §Þnh lý 1.5.1 (Robinson (1981)). NÕu F : IRn ⇒ IRm lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®a diÖn th×, víi mäi x¯ ∈ dom F, F lµ Lipschitz trªn ®Þa ph−¬ng t¹i x¯. §Þnh lý nµy ®−îc chøng minh b»ng c¸ch ¸p dông §Þnh lý 1.1.2. B¹n ®äc cã thÓ xem chøng minh chi tiÕt trong Ch−¬ng 7 cuèn chuyªn kh¶o cña G. M. Lee, NguyÔn N¨ng T©m vµ N. §. Yªn (Lee, Tam vµ Yen (2005)). 11TNTA: locally Lipschitz at x¯, locally Lipschitz near x¯. 12TNTA: locally upper-Lipschitz. 13TNTA: polyhedral multifunction. 46 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ §Þnh nghÜa 1.5.4 (Aubin (1984)). Ta nãi F lµ gi¶-Lipschitz 14 ë gÇn ®iÓm (¯x, y¯) ∈ gph F nÕu tån t¹i > 0, δ > 0 vµ µ > 0 sao cho F(x2) ∩ B(¯y, µ) ⊂ F(x1) + x2 − x1 B¯Y víi mäi x1, x2 ∈ B¯(¯x, δ). NhËn xÐt 1.5.1. NÕu F lµ gi¶-Lipschitz ë gÇn ®iÓm (¯x, y¯) ∈ gph F, th× ta ph¶i cã x¯ ∈ int(dom F). NhËn xÐt 1.5.2. TÝnh chÊt gi¶-Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ cã vai trß quan träng gi¶i tÝch phi tuyÕn vµ lý thuyÕt tèi −u (xem Rockafellar vµ Wets (1998), Mordukhovich (2006a,b)). §Ó ghi c«ng cña J.-P. Aubin trong viÖc ®Ò xuÊt kh¸i niÖm nµy, Donchev vµ Rockafellar (1996) ®Ò nghÞ gäi tÝnh chÊt gi¶-Lipschitz lµ tÝnh liªn tôc Aubin (Aubin continuity). Trong Ch−¬ng 5 chóng ta sÏ ®−a ra nh÷ng ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó ¸nh x¹ nghiÖm cña mét hÖ bÊt ®¼ng thøc phô thuéc tham sè lµ liªn tôc Aubin theo tham sè. Sö dông kÕt qu¶ ®ã, còng trong Ch−¬ng 5, ta sÏ ®−a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm gi¸ trÞ tèi −u cña mét bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc phô thuéc tham sè lµ Lipschitz ®Þa ph−¬ng. Bµi tËp 1.4.5. Cho x¯ ∈ X. Chøng minh r»ng nÕu F : X ⇒ Y lµ gi¶- Lipschitz ë gÇn mçi ®iÓm (¯x, y¯) ∈ {x¯} × F(¯x) th× F lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯. Kh¼ng ®Þnh ng−îc l¹i cã ®óng kh«ng? 14TNTA: pseudo-Lipschitz. Ch−¬ng 2 §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Tay nµo cÇm ®−îc khãi s−¬ng Míi mong gi÷ næi yªu th−¬ng cho m×nh (TrÇn M¹nh H¶o, “Ru em Thóy KiÒu”) Ch−¬ng nµy giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ mét sè ®Þnh lý chÝnh vÒ ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ. C¸ch x©y dùng ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ th«ng qua nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña ®å thÞ ë ®©y ®−îc J.-P. Aubin (1981) ®Ò xuÊt. «ng ®· sö dông c¸ch tiÕp cËn nµy ®Ó nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña nghiÖm cña bao hµm thøc vi ph©n. 2.1 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland §−îc I. Ekeland ®Ò xuÊt n¨m 1974, nguyªn lý biÕn ph©n sau ®©y lµ mét c«ng cô hiÖu qu¶ ®Ó thiÕt lËp c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më, hµm Èn, hµm ng−îc trong gi¶i tÝch kh«ng tr¬n. Ngoµi ra, ngay tõ n¨m 1976, F. H. Clarke ®· sö dông nguyªn lý nµy ®Ó thiÕt lËp quy t¾c nh©n tö Lagrange cho c¸c bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc trong kh«ng gian Banach víi d÷ liÖu lµ c¸c hµm sè kh«ng tr¬n. Trong lý thuyÕt ®èi ®¹o hµm (xem Mordukhovich (2006a,b)), nguyªn lý biÕn ph©n cña Ekeland còng ®ãng mét vai trß hÕt søc quan träng. Nguyªn lý nµy lµ c«ng cô chÝnh ®Ó thu ®−îc c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më, hµm Èn, hµm ng−îc cho ¸nh x¹ ®a trÞ trong ch−¬ng nµy vµ trong Ch−¬ng 5. §Þnh lý 2.1.1 (Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland). Cho (X, d) lµ kh«ng gian mªtric ®ñ, ϕ : X → IR ∪ {+∞} lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi, bÞ chÆn d−íi ë trong X. Khi ®ã, nÕu x¯ ∈ X tháa m·n x∈X ϕ(x) + ε (1.1) ϕ(¯x) inf 47 48 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ víi ε > 0 vµ nÕu λ > 0 lµ sè thùc cho tr−íc, th× tån t¹i x ∈ X sao cho (i) ϕ(x ) ϕ(¯x); (ii) d(x, x¯) λ; (iii) Víi mäi x ∈ X \ {x }, ϕ(x ) < ϕ(x) + ελd(x, x ). Chøng minh. Trong chøng minh nµy chóng ta sÏ sö dông kiÓu thø tù bé phËn do Bishop vµ Phelps ®−a ra n¨m 1963. Víi mçi α > 0, ta ®Þnh nghÜa thø tù “ α” trong tÝch X × IR nh− sau: (1.2) (x1, y1) α (x2, y2) ⇔ y2 − y1 + αd(x1, x2) 0. Thø tù “ α” lµ ph¶n x¹, ph¶n xøng vµ b¾c cÇu. • TÝnh ph¶n x¹: HiÓn nhiªn ta cã (x, y) α (x, y) víi mäi (x, y) ∈ X × IR. • TÝnh ph¶n xøng: Gi¶ sö r»ng (x1, y1) α (x2, y2) vµ (x2, y2) α (x1, y1). Ta cÇn chøng tá r»ng (x1, y1)=(x2, y2). Do (1.2), (x1, y1) α (x2, y2) ⇔ d(x1, x2) y1 − y2 α . Theo gi¶ thiÕt, (1.3) d(x1, x2) y1 − y2 αvµ d(x2, x1) y2 − y1 α . Suy ra 2d(x1, x2) 0. V× thÕ x1 = x2. Tõ (1.3) ta cã y1 y2 vµ y2 y1. Do ®ã (x1, y1)=(x2, y2). • TÝnh b¾c cÇu: Gi¶ sö r»ng (x1, y1) α (x2, y2) vµ (x2, y2) α (x3, y3). Khi ®ã Suy ra d(x1, x2) y1 − y2 αvµ d(x2, x3) y2 − y3 α . d(x1, x2) + d(x2, x3) y1 − y3 α . Do d(x1, x3) d(x1, x2) + d(x2, x3), nªn ta cã d(x1, x3) y1 − y3 α . Tõ ®ã suy ra (x1, y1) α (x3, y3). Kh¼ng ®Þnh 1: NÕu (x1, y1) ∈ X × IR, th× Ω := {(x, y) ∈ X × IR : (x1, y1) α (x, y)} 2.1. Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland 49 lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö d·y {(xk, yk} ⊂ X × IR tháa m·n (x1, y1) α (xk, yk) (k = 2, 3, 4,...) vµ xk → x, yk → y. Do d(x1, xk) (y1 − yk)/α víi mäi k ∈ IN, nªn ta cã d(x1, x) (y1 − y)/α; tøc lµ (x1, y1) α (x, y). VËy (x, y) ∈ Ω. Ta ®· chøng minh r»ng Ω lµ tËp ®ãng. Kh¼ng ®Þnh 2: Cho M ⊂ X × IR lµ tËp ®ãng sao cho tån t¹i γ > 0 ®Ó y γ víi mäi (x, y) ∈ M. Khi ®ã, víi mçi (x1, y1) ∈ M tån t¹i (¯x, y¯) ∈ M sao cho (x1, y1) α (¯x, y¯) vµ (¯x, y¯) lµ mét phÇn tö cùc ®¹i trong M theo thø tù “ α” (tøc lµ, nÕu (x, y) ∈ M vµ (¯x, y¯) α (x, y) th× (x, y) = (¯x, y¯)). B¾t ®Çu tõ (x1, y1) ∈ M ta x©y dùng d·y {(xk, yk)} nh− sau: Gi¶ sö (xk, yk) ®· ®−îc x¸c ®Þnh. §Æt Mk = {(x, y) ∈ M : (xk, yk) α (x, y)}. Theo Kh¼ng ®Þnh 1, Mk lµ tËp ®ãng. Ngoµi ra, v× (xk, yk) ∈ Mk nªn Mk = ∅. §Æt γk = inf{y : ∃x ∈ X, (x, y) ∈ Mk}. HiÓn nhiªn γk γ vµ γk yk. Chän (xk+1, yk+1) ∈ Mk sao cho (1.4) yk+1 γk + yk 2 . (NÕu γk = yk th× ®Æt (xk+1, yk+1)=(xk, yk). Gi¶ sö γk < yk. Do γk < (γk + yk)/2, tån t¹i (x, y) ∈ M sao cho γk y < (γk + yk)/2. §Æt (xk+1, yk+1) = (x, y), ta thÊy r»ng (1.4) nghiÖm ®óng.) D·y {Mk} lµ c¸c tËp ®ãng lång nhau: Mk+1 ⊂ Mk víi mäi k ∈ IN. (ThËt vËy, nÕu (x, y) ∈ Mk+1 th× (xk, yk) α (xk+1, yk+1) α (x, y). Do ®ã (x, y) ∈ Mk.) §Æt d((x, y),(x , y )) = d(x, x ) + |y − y |. Víi mäi k, ta cã γk γk+1 yk+1 vµ |yk+1 − γk+1| 12|yk − γk| 2−k|y1 − γ|. (ThËt vËy, do (1.4) ta cã yk+1 − γk+1 yk+1 − γk 12(yk − γk) = 12|yk − γk|. V× yk+1 − γk+1 0, tõ ®ã suy ra |yk+1 − γk+1| ... 2−k|y1 − γ1| 2−k|y1 − γ|). 50 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Víi mäi (x, y) ∈ Mk+1 ta cã |yk+1 − y| |yk+1 − γk+1| 2−k|y1 − γ|. V× (xk+1, yk+1) α (x, y), nªn 0 d(xk+1, x) yk+1 − y α . Do ®ã Tõ ®ã suy ra 0 d(xk+1, x) yk+1 − y α 2−k α |y1 − γ|. diam Mk+1 := sup{d((x, y),(x , y )) : (x, y) ∈ Mk+1,(x , y ) ∈ Mk+1} → 0 khi k → ∞. VËy {Mk} lµ d·y tËp ®ãng lång nhau, cã ®−êng kÝnh gi¶m tíi 0. V× X ×IR lµ kh«ng gian mªtric ®ñ, nªn tån t¹i duy nhÊt phÇn tö (¯x, y¯) ∈ X ×IR tháa m·n ∞ k=1 Mk = {(¯x, y¯)}. Do (¯x, y¯) ∈ M1, ta cã (¯x, y¯) ∈ M vµ (x1, y1) α (¯x, y¯). Gi¶ sö (x, y) ∈ M tháa m·n (1.5) (¯x, y¯) α (x, y). Do (1.5) vµ do (¯x, y¯) ∈ Mk víi mäi k ∈ IN, ta cã (xk, yk) α (¯x, y¯) α (x, y). VËy (x, y) ∈ Mk víi mäi k ∈ IN. Tõ ®ã suy ra (x, y) = (¯x, y¯). Ta ®· chøng minh r»ng (¯x, y¯) lµ phÇn tö cùc ®¹i trong M. Kh¼ng ®Þnh 2 ®· ®−îc chøng minh. §Æt M = epi ϕ = {(x, y) ∈ X × IR : ϕ(x) y}. Do hµm sè ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi, M lµ tËp ®ãng trong X × IR. ThËt vËy, ta sÏ chøng minh r»ng Ω := (X × IR) \ M lµ tËp më. Gi¶ sö (¯x, y¯) ∈ Ω. Do (¯x, y¯) ∈/ M, ta cã ϕ(¯x) > y¯. LÊy ε ∈ 0, ϕ(¯x)−y¯ 2 . V× ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯, tån t¹i l©n cËn më U cña x¯ sao cho ϕ(x) ϕ(¯x) − ε ∀x ∈ U. 2.1. Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland 51 §Æt V = (¯y − ε, y¯+ ε), ta cã W := U × V lµ l©n cËn më cña (¯x, y¯) vµ W ⊂ Ω. ThËt thÕ, víi mäi (x, y) ∈ W ta cã ϕ(x) ϕ(¯x) − ε. NÕu (x, y) ∈ M, th× y ϕ(x) ϕ(¯x) − ε. Do y ∈ V , y < y¯ + ε. V× thÕ, y¯ + ε>y ϕ(¯x) − ε. Suy ra ε > (ϕ(¯x) − y¯)/2, m©u thuÉn víi c¸ch chän ε. VËy (x, y) ∈/ M. §iÒu ®ã chøng tá r»ng W ⊂ Ω. VËy Ω lµ tËp më, do dã M lµ tËp ®ãng. Ta cã (¯x, ϕ(¯x)) ∈ M. §Æt (x1, y1) = (¯x, ϕ(¯x)). Do Kh¼ng ®Þnh 2, tån t¹i (x, y ) sao cho (1.6) (x1, y1) α (x, y ) vµ (x, y ) lµ phÇn tö cùc ®¹i trong M theo thø tù “ α”. §Æt α = ελ. Do (1.6), y − y1 + αd(¯x, x ) 0, hay (1.7) y − ϕ(¯x) + αd(¯x, x ) 0. Ta cã y = ϕ(x ). ThËt thÕ, gi¶ sö y>ϕ (x ). Khi ®ã d(x, x ) < (y − ϕ(x ))/2. Suy ra (x, y ) α (x, ϕ (x )) vµ (x, y ) = (x, ϕ (x )). §iÒu ®ã chøng tá r»ng (x, y ) kh«ng thÓ lµ phÇn tö cùc ®¹i; m©u thuÉn. VËy (1.8) y = ϕ(x ). ThÕ (1.8) vµo (1.7), ta cã (1.9) ϕ(x ) − ϕ(¯x) + αd(¯x, x ) 0. Suy ra ϕ(x ) − ϕ(¯x) 0, tøc lµ tÝnh chÊt (i) trong kÕt luËn cña ®Þnh lý nghiÖm ®óng. Do ®ã x∈X ϕ(x) + ε ϕ(x ) + ε. ϕ(¯x) inf Tõ (1.9) ta cã αd(¯x, x ) ϕ(¯x) − ϕ(x ) ε. Do ®ã d(¯x, x ) εα = ελε. VËy tÝnh chÊt (ii) nghiÖm ®óng. §Ó kiÓm tra tÝnh chÊt (iii), ta lÊy tïy ý x ∈ X \ {x }. NÕu ϕ(x)=+∞ th× bÊt ®¼ng thøc chÆt trong (iii) lµ ®óng. Gi¶ sö ϕ(x) ∈ IR. V× (x, ϕ(x)) ∈ M, (x, ϕ(x)) = (x, ϕ (x )) vµ (x, ϕ (x )) lµ phÇn tö cùc ®¹i trong M, nªn bÊt ®¼ng thøc (x, ϕ (x )) α (x, ϕ(x)) lµ sai. Do ®ã ϕ(x) − ϕ(x ) + αd(x, x ) > 0, 52 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ hay ϕ(x) − ϕ(x ) + ελd(x, x ) > 0. VËy tÝnh chÊt (iii) nghiÖm ®óng. §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh. ✷ Trong qu¸ tr×nh chøng minh ë trªn, chóng ta ®· thu ®−îc c¶ d¹ng sau ®©y cña nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland. §Þnh lý 2.1.2 (xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho (X, d) vµ ϕ nh− ë §Þnh lý 2.1.1. Khi ®ã, víi mäi x¯ ∈ dom ϕ vµ víi mäi α > 0, tån t¹i x ∈ X sao cho (i) ϕ(x ) − ϕ(¯x) + αd(x, x¯) 0; (ii) Víi mäi x ∈ X \ {x }, ϕ(x ) < ϕ(x) + αd(x, x ). NhËn xÐt 2.1.1. Chøng minh nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland tr×nh bµy ë trªn ®−îc lÊy tõ cuèn chuyªn kh¶o cña Clarke (1983). Cã nh÷ng chøng minh ng¾n gän h¬n cho ®Þnh lý nµy; xem, vÝ dô nh−, Ekeland (1974), Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a; Theorem 2.26). NhËn xÐt 2.1.2. §iÓm x¯ ∈ X tháa ®iÒu kiÖn (1.1) ®−îc gäi lµ ®iÓm ε-cùc tiÓu1 cña hµm ϕ trªn tËp X. NhËn xÐt 2.1.3. NÕu X lµ kh«ng gian Banach th× tõ tÝnh chÊt (iii) trong kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1 suy ra ϕ(x ) + ελ x − x ϕ(x) + ελ x − x ∀x ∈ X. §Æt f(x) = ϕ(x) + ελ x − x , ta cã f(x ) f(x) víi mäi x ∈ X; tøc lµ x lµ cùc tiÓu toµn côc cña hµm f (mét xÊp xØ cña ϕ). VËy, nãi mét c¸ch th« thiÓn, nguyªn lý Ekeland kh¼ng ®Þnh r»ng víi mçi ®iÓm ε-cùc tiÓu cña hµm sè thùc nöa liªn tôc d−íi trªn mét kh«ng gian mªtric ®ñ, tån t¹i ®iÓm cùc tiÓu toµn côc cña mét hµm sè xÊp xØ cña hµm sè thùc ®ã, sao cho ®iÓm míi nµy c¸ch ®iÓm ®· cho “kh«ng xa l¾m” vµ gi¸ trÞ cña hµm sè thùc ban ®Çu t¹i ®ã kh«ng lín h¬n gi¸ trÞ cña hµm sè xÊp xØ t¹i ®iÓm ε-cùc tiÓu ®· cho. Bµi tËp 2.1.1. H·y chøng tá r»ng nÕu ϕ(¯x) = inf x∈X ϕ(x), th× phÇn tö x trong kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1 cã thÓ lÊy b»ng x¯. Bµi tËp 2.1.2. Cho X = [1, +∞) ⊂ IR, ϕ(x) = 1x, x¯ = 100, ε = 1100, λ = 110. H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm xˆ ∈ X tháa m·n kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1. (KÕt qu¶: x ∈ [¯x, x¯ + 110 ].) 1TNTA: ε-minimum. 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 53 2.2 Nãn tiÕp tuyÕn §¹o hµm cña hµm sè thùc cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ. XÐt hµm sè f : IR → IR vµ ®iÓm x¯ ∈ IR. §Æt α = limx→x¯f(x) − f(¯x) x − x¯ (nÕu giíi h¹n nµy tån t¹i th× ®ã chÝnh lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn d víi ®å thÞ {(x, f(x)) : x ∈ IR} t¹i ®iÓm (¯x, f(¯x))) vµ ®Æt f (¯x)(v) = αv ∀v ∈ IR. (§èi víi c¸c hµm sè thùc, ng−êi ta th−êng ®ång nhÊt ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f (¯x) : IR → IR víi sè α.) §å thÞ cña ¸nh x¹ ®¹o hµm trïng víi ®−êng th¼ng d − (¯x, f(¯x)) ®i qua gèc täa ®é. H×nh 7 N¨m 1981, J.-P. Aubin (xem Aubin (1981)) ®Ò nghÞ x©y dùng ®¹o hµm DFz(·) cña ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y , ë ®ã X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach, t¹i z = (x, y) ∈ gph F nh− ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y cã ®å thÞ trïng víi nãn tiÕp tuyÕn Bouligand 2 cña ®å thÞ cña F t¹i z. §Ó x©y dùng kh¸i niÖm ®¹o hµm 2Nãn tiÕp tuyÕn nµy cã vai trß quan träng trong h×nh häc vi ph©n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n, vµ ®Æc biÖt lµ trong lý thuyÕt tèi −u. Nã th−êng ®−îc gäi lµ contingent cone hay Bouligand tangent cone, mÆc dï kh¸i niÖm nµy ®−îc G. Bouligand vµ F. Severi ®−a ra ®ång thêi trong hai bµi b¸o c«ng bè trªn cïng mét sè t¹p chÝ; xem Mordukhovich (2006a; tr. 14, 133), Bouligand (1930), Severi (1930). Trong viÖc sö dông c¸c tªn gäi ®«i khi cã thÓ x¶y ra nh÷ng sù “bÊt c«ng” nh− vËy. Theo thãi quen chung, chóng ta sÏ tiÕp tôc gäi tiÕp tuyÕn Bouligand-Severi nµy lµ nãn tiÕp tuyÕn Bouligand. 54 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ cña ¸nh x¹ ®a trÞ, ngoµi nãn tiÕp tuyÕn Bouligand ng−êi ta cßn sö dông nãn tiÕp tuyÕn Clarke (do F. H. Clarke ®−a ra n¨m 1975) vµ nãn tiÕp tuyÕn trung gian (do H. Frankowska ®−a ra). Cho Γ ⊂ Z lµ mét tËp con cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn Z, vµ z ∈ Γ. Ta nãi vÐct¬ v ∈ Z lµ mét vÐct¬ tiÕp tuyÕn cña Γ t¹i z¯ khi ®¹i l−îng (2.1) d(z + tv, Γ) t héi tô ®Õn 0 khi t → 0+. Tïy thuéc vµo kiÓu c¸ch héi tô cña ®¹i l−îng (2.1) mµ ta cã c¸c kh¸i niÖm tiÕp tuyÕn kh¸c nhau. H×nh 8 Tr−íc hÕt, chóng ta tr×nh bµy kh¸i niÖm nãn tiÕp tuyÕn Bouligand vµ mét sè tÝnh chÊt cña h×nh nãn tiÕp tuyÕn nµy. Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand: §Þnh nghÜa 2.2.1. Cho M lµ tËp con trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn X, vµ x¯ lµ mét ®iÓm thuéc bao ®ãng M cña M. Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña M t¹i x¯, ®−îc ký hiÖu bëi TM (¯x), lµ tËp hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn d(¯x + tv,M) (2.2) lim inf t→0+ t= 0. y∈M x − y . Nh¾c l¹i r»ng d(x,M) = inf V× d(x,M) 0 víi mäi x, ®¼ng thøc (2.2) cã nghÜa lµ (2.3) ∃{tk} ⊂ IR+ \ {0} sao cho lim d(¯x + tkv,M) tk = 0, tk → 0 khi k → ∞. k→∞ 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 55 NhËn xÐt 2.2.1. TM(¯x) lµ h×nh nãn chøa 0, tøc lµ 0 ∈ TM (¯x) vµ λv ∈ TM(¯x) ∀v ∈ TM(¯x), ∀λ > 0. MÖnh ®Ò 2.2.1. Ta cã: (i) (2.4) TM(¯x) = {v : ∃{tk} ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∃{vk} ⊂ X, vk → v, x¯ + tkvk ∈ M ∀k ∈ IN}; (ii) TM(¯x) lµ nãn ®ãng; (iii) (2.5) TM(¯x) ⊂ cone(M − x¯). Chøng minh. (i) Ký hiÖu vÕ ph¶i cña (2.4) bëi V . LÊy v ∈ TM(¯x). Chän {tk} ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, sao cho giíi h¹n trong (2.3) b»ng 0. §Æt εk = d(¯x + tkv,M) tk , ta cã εk → 0+. Víi mçi k, d(¯x + tkv,M) = tkεk < tkεk +1ktk. Do ®ã tån t¹i xk ∈ M ®Ó (¯x + tkv) − xk < tkεk +1ktk. §Æt vk = xk − x¯ k , ta cã v − vk = v − xk − x¯ tk < εk +1k. VËy vk → v khi k → ∞. V× x¯ + tkvk = xk ∈ M víi mäi k, nªn v ∈ V . Ng−îc l¹i, gi¶ sö v ∈ V . Chän {tk}, {vk}, tk → 0+, vk → v, sao cho x¯ + tkvk ∈ M víi mäi k. Ta cã d(¯x + tkv,M) tk (¯x + tkv) − (¯x + tkvk) tk = v − vk → 0. Do ®ã (2.3) nghiÖm ®óng. Suy ra v ∈ TM(¯x). 56 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ (ii) Gi¶ sö {wk} ⊂ TM(¯x), wk → w. Víi mçi k ∈ IN, do tÝnh chÊt (i), tån t¹i tk ∈ 0,1k!vµ vk ∈ X sao cho vk − wk <1k, x¯ + tkvk ∈ M. Ta cã tk → 0+ khi k → ∞, vµ vk − w vk − wk + wk − w <1k + wk − w → 0. Theo (i), tõ ®ã ta cã w ∈ TM(¯x). (iii) LÊy v ∈ TM(¯x). Chän {tk}, {vk}, tk → 0+, vk → v, sao cho x¯ + tkvk ∈ M víi mäi k. Khi ®ã, vk ∈1tk (M − x¯) ⊂ cone(M − x¯) ⊂ cone(M − x¯). V× vk → v, nªn ta cã v ∈ cone(M − x¯). ✷ Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand kh«ng nhÊt thiÕt lµ nãn låi. VÝ dô 2.2.1. §Æt M = {x = (x1, x2) : x2 = |x1|} ⊂ IR2. Víi x¯ := (0, 0), ta cã TM (0) = M = cone(M − 0). Nãi chung, ta kh«ng cã ®¼ng thøc trong (2.5). H×nh 9 VÝ dô 2.2.2. §Æt M = {x = (x1, x2) : x2 = x21} ⊂ IR2. LÊy x¯ = (0, 0), ta cã cone(M − x¯) = {v = (v1, v2) : v2 0}, TM(¯x) = {v = (v1, 0) : v1 ∈ IR}. 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 57 DÔ thÊy r»ng cone(M − x¯) = {v = (v1, v2) : v2 > 0}∪{(0, 0)}. Do ®ã cone(M − x¯) kh«ng ph¶i lµ nãn ®ãng; xem H×nh 9. MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta c«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp nghiÖm cña hÖ bÊt ®¼ng thøc cho bëi c¸c hµm kh¶ vi FrÐchet. MÖnh ®Ò 2.2.2 (C«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand). Gi¶ sö gi : X → IR (i = 1,...,m) lµ c¸c hµm sè thùc liªn tôc trªn kh«ng gian ®Þnh chuÈn X. §Æt M = {x ∈ X : gi(x) 0 ∀i = 1,...,m}. Gi¶ sö x¯ ∈ M. §Æt I(¯x) = {i : gi(¯x)=0} 3. Khi ®ã, (i) NÕu I(¯x) = ∅, th× TM(¯x) = X; (ii) NÕu I(¯x) = ∅ vµ gi(·) (i = 1,...,m) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x¯, th× TM(¯x) ⊂ {v ∈ X : g i(¯x)(v) 0 ∀i ∈ I(¯x)}; (iii) NÕu I(¯x) = ∅, gi(·) (i = 1,...,m) kh¶ vi FrÐchet t¹i x¯, vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy 4 sau ®−îc tháa m·n (2.6) ∃v0 ∈ X ®Ó g i(¯x)(v0) < 0 ∀i ∈ I(¯x) th× (2.7) TM(¯x) = {v ∈ X : g i(¯x)(v) 0 ∀i ∈ I(¯x)}. Chøng minh. (i) Gi¶ sö r»ng I(¯x) = ∅. Khi ®ã, gi(¯x) < 0 víi mäi i = 1,...,m. Do c¸c hµm sè gi(·) lµ liªn tôc, tån t¹i δ > 0 sao cho gi(x) < 0 ∀i = 1, . . . , m, ∀x ∈ B¯(¯x, δ). Tõ ®ã suy ra B¯(¯x, δ) ⊂ M. V× vËy, TM(¯x) = X. (ii) Gi¶ sö r»ng I(¯x) = ∅ vµ gi(·) (i = 1,...,m) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x¯. LÊy tïy ý v ∈ TM(¯x). Do MÖnh ®Ò 2.2.1(i), ta chän ®−îc {tk}, tk → 0+, {vk}, vk → v, sao cho x¯ + tkvk ∈ M víi mäi k ∈ IN. Víi mçi i ∈ I(¯x), ta cã1 tk (gi(¯x + tkvk) − gi(¯x)) 0. LÊy giíi h¹n khi k → ∞, tõ bÊt ®¼ng thøc cuèi ta thu ®−îc g i(¯x)(v) 0. §ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. 3I(¯x) ®−îc gäi lµ tËp chØ sè ho¹t (the active index set) øng víi ®iÓm x¯ ∈ M. 4§iÒu kiÖn chÝnh quy (regularity condition) kiÓu nµy cßn ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn chuÈn hãa rµng buéc (constraint qualification), nÕu nh− M ®ãng vai trß tËp rµng buéc trong mét bµi to¸n tèi −u. 58 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ (iii) Gi¶ sö r»ng I(¯x) = ∅, gi(·) (i = 1,...,m) kh¶ vi FrÐchet t¹i x¯, vµ tån t¹i v0 ∈ X tháa c¸c bÊt ®¼ng thøc chÆt trong (2.6). LÊy tïy ý mét phÇn tö v thuéc tËp hîp viÕt ë vÕ ph¶i cña (2.7). Ta ph¶i chøng minh r»ng v ∈ TM(¯x). LÊy µ ∈ (0, 1) vµ ®Æt vµ = (1 − µ)v + µv0. Khi ®ã, g i(¯x)(v) 0 ∀i ∈ I(¯x) vµ (2.8) g i(¯x)(vµ) = (1 − µ)g i(¯x)(v) + µg i(¯x)(v0) < 0 ∀µ ∈ (0, 1). (BÊt ®¼ng thøc cuèi nghiÖm ®óng bëi v× g i(¯x)(v)=0 vµ g i(¯x)(v0) < 0.) Ta cã vµ ∈ TM(¯x) ∀µ ∈ (0, 1). ThËt vËy, víi mäi i ∈ I(¯x), v× gi(·) kh¶ vi FrÐchet t¹i x¯ nªn gi(¯x + tvµ) − gi(¯x) = tg i(¯x)(vµ) + o(t), o(t) víi lim t→0+ t= 0. Tõ ®ã suy ra t(gi(¯x + tvµ) − gi(¯x)) = g i(¯x)(vµ) + o(t)t . 1 Do vËy, l−u ý ®Õn (2.8), ta chän ®−îc δi > 0 sao cho gi(¯x + tvµ) − gi(¯x) 0 ∀t ∈ (0, δi). Do gi(¯x)=0 víi mäi i ∈ I(¯x), nªn víi δ := min{δi : i ∈ I(¯x)} ta cã gi(¯x + tvµ) 0 ∀t ∈ (0, δ), ∀i ∈ I(¯x). V× gi(¯x) < 0 víi mäi i /∈ I(¯x), b»ng c¸ch lÊy δ > 0 bÐ h¬n (nÕu cÇn) ta sÏ cã gi(¯x + tvµ) 0 ∀t ∈ (0, δ), ∀i = 1, . . . , m. Do vËy, x¯ + tvµ ∈ M ∀t ∈ (0, δ). Tõ ®ã suy ra vµ ∈ TM(¯x). Cho µ → 0+ vµ sö dông tÝnh ®ãng cña h×nh nãn TM(¯x), ta cã v ∈ TM(¯x). ✷ Bµi tËp 2.2.1. Sö dông MÖnh ®Ò 2.2.1(iii) ®Ó tÝnh nãn T M (¯x) víi M := {x = (x1, x2) : x1 + x2 2, x2 x31} ⊂ IR2 vµ x¯ = (1, 1). (KÕt qu¶: TM(¯x) = {v = (v1, v2) : v1 + v2 0, v2 3v1}; xem H×nh 10.) 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 59 Bµi tËp 2.2.2. H·y x©y dùng mét vÝ dô ®¬n gi¶n ®Ó chøng tá r»ng ®¼ng thøc (2.7) cã thÓ kh«ng ®óng nÕu nh− I(¯x) = ∅, g i(·) (i = 1,...,m) kh¶ vi FrÐchet t¹i x¯, nh−ng ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.6) kh«ng ®−îc tháa m·n t¹i x¯. Bµi tËp 2.2.3. Chøng minh c¸c kh¼ng ®Þnh sau: (a) NÕu M1 ⊂ M2 vµ x¯ ∈ M1, th× TM1 (¯x) ⊂ TM2 (¯x). (b) NÕu M1 ⊂ X, M2 ⊂ X, x¯ ∈ M1 ∩ M2, th× TM1∩M2 (¯x) ⊂ TM1 (¯x) ∩ TM2 (¯x). Bµi tËp 2.2.4. B»ng mét vÝ dô thÝch hîp, h·y chøng tá r»ng chøng tá r»ng bao hµm thøc trong kh¼ng ®Þnh (b) ë bµi tËp trªn cã thÓ lµ mét bao hµm thøc chÆt (tËp hîp bªn vÕ tr¸i lµ tËp con thùc sù cña tËp hîp bªn vÕ ph¶i). H×nh 10 NhËn xÐt 2.2.2. Trªn c¬ së MÖnh ®Ò 2.2.2, ta cã thÓ ®Æt vÊn ®Ò x©y dùng c«ng thøc tÝnh h×nh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cho mét tËp hîp cã cÊu tróc x¸c ®Þnh, vÝ dô nh− tËp nghiÖm cña mét hÖ hçn hîp c¸c ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc, hoÆc tËp nghiÖm cña mét bµi to¸n nµo ®ã. Nãi chung, ®ã lµ mét vÊn ®Ò nan gi¶i5. Chóng ta sÏ cßn trë l¹i chñ ®Ò nµy sau khi t×m hiÓu c¸c kh¸i niÖm nãn tiÕp tuyÕn trung gian vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke. 5Míi ®©y, NguyÔn Huy Chiªu ®· thu ®−îc mét kÕt qu¶ thó vÞ vÒ nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña c¸c tËp hîp trong IR2 cã thÓ biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng tÝch cña hai tËp d·y (sequencial sets) trong IR; xem Chiªu (2006b). 60 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Nãn tiÕp tuyÕn trung gian vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke: §Þnh nghÜa 2.2.2. Cho X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Nãn tiÕp tuyÕn trung gian 6 hay nãn kÒ 7 cña tËp M ⊂ X t¹i x¯ ∈ M, ®−îc ký hiÖu bëi TbM(¯x), lµ tËp hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.9) lim t→0+ §iÒu kiÖn (2.9) cã nghÜa lµ d(¯x + tv,M) t= 0. ∀ε > 0 ∃δ > 0 sao cho d(¯x + tv,M) t ε ∀t ∈ (0, δ). §Þnh nghÜa 2.2.3. Cho X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Nãn tiÕp tuyÕn Clarke8 hay nãn tiÕp tuyÕn lµm trßn9 cña tËp M ⊂ X t¹i x¯ ∈ M, ®−îc ký hiÖu10 bëi CM(¯x), lµ tËp hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.10) lim t→0+,x M−→x¯ ë ®©y xM d(x + tv,M) t= 0. −→ x¯ ký hiÖu giíi h¹n trong M ∪ {x¯}. §iÒu kiÖn (2.10) cã nghÜa lµ ∀ε > 0 ∃δ > 0 sao cho d(x + tv,M) t ε ∀t ∈ (0, δ) ∀x ∈ M ∩ B(¯x, δ). MÖnh ®Ò 2.2.3. Ta cã: (i) CM(¯x) ⊂ TbM (¯x) ⊂ TM (¯x) ⊂ cone(M − x¯); (ii) TbM (¯x) = {v ∈ X : ∀{tk} ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∃{vk}, vk → v, x¯ + tkvk ∈ M ∀k ∈ IN}; (iii) CM(¯x) = {v ∈ X : ∀{tk} ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∀{xk} ⊂ M, xk → x, ¯ ∃{vk}, vk → v, xk + tkvk ∈ M ∀k ∈ IN}; 6TNTA: the intermediate tangent cone. 7TNTA: the adjacent cone. 8TNTA: the Clarke tangent cone. 9TNTA: the circatangent cone. 10Ch÷ C trong ký hiÖu CM(¯x) ®−îc Aubin vµ Frankowska (1990) sö dông ®Ó vinh danh F. H. Clarke, nhµ to¸n häc ng−êi Cana®a, mét trong sè nh÷ng ng−êi ®i tiªn phong trong viÖc x©y dùng gi¶i tÝch kh«ng tr¬n. Clarke sinh n¨m 1948 ë Montreal. ¤ng viÕt luËn ¸n TiÕn sÜ ë University of Washington d−íi sù h−íng dÉn cña R. T. Rockafellar, nhµ to¸n häc næi tiÕng ng−êi Mü. 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 61 (iv) TbM (¯x) lµ nãn ®ãng; (v) CM(¯x) lµ nãn låi, ®ãng; (vi) CM(¯x) + TbM(¯x) ⊂ TbM(¯x); (vii) CM(¯x) + TM (¯x) ⊂ TM (¯x). Chøng minh. C¸c tÝnh chÊt (i)-(iv) cã thÓ chøng minh t−¬ng tù nh− c¸c tÝnh chÊt (i) vµ (ii) trong MÖnh ®Ò 2.2.1. §ã lµ mét bµi tËp kh«ng khã, nh−ng bæ Ých, ®−îc dµnh cho b¹n ®äc. (v) Ta cÇn chøng tá r»ng v1 + v2 ∈ CM(¯x) víi mäi v1, v2 ∈ CM(¯x). Gi¶ sö r»ng v1, v2 ∈ CM(¯x). Gi¶ sö {tk} ⊂ IR+ \ {0} vµ {xk} ⊂ M lµ c¸c d·y tháa m·n tk → 0, xk → x¯. Do v1 ∈ CM(¯x) vµ do (iii), tån t¹i {v1,k}, v1,k → v1, sao cho x"k := xk + tkv1,k ∈ M ∀k. HiÓn nhiªn x"k → x¯. V× v2 ∈ CM(¯x), tån t¹i {v2,k}, v2,k → v2, x"k + tkv2,k ∈ M ∀k. Ta cã xk + tk(v1,k + v2,k) = x"k + tkv2,k ∈ M ∀k. Do v1,k + v2,k → v1 + v2, ta kÕt luËn r»ng v1 + v2 ∈ CM(¯x). (vi) Cho tïy ý v1 ∈ CM(¯x) vµ v2 ∈ TbM(¯x). Gi¶ sö r»ng {tk} ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0. Do (ii) vµ do v2 ∈ TbM(¯x), tån t¹i {v2,k}, v2,k → v2, sao cho x"k := ¯x + tkv2,k ∈ M ∀k. Do x"k M −→ x¯ vµ do v1 ∈ CM(¯x), tån t¹i {v1,k}, v1,k → v1, sao cho x"k + tkv1,k ∈ M ∀k. Ta cã x¯ + tk(v1,k + v2,k) = x"k + tkv1,k ∈ M ∀k, v1,k → v1 vµ v2,k → v2. VËy v1 + v2 ∈ TbM (¯x). (vii) Chøng minh t−¬ng tù nh− (vi). ✷ VÝ dô 2.2.3 (TbM(¯x) = TM(¯x)). §Æt ⊂ IR. Víi x¯ := 0 ∈ M, ta cã M = 1 2i : i = 1, 2,... TM (¯x) = IR+, TbM(¯x) = {0}. 62 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Tr−íc hÕt, ta sÏ chøng tá r»ng v = 1 ∈ TM (¯x). §Æt tk = 12k , vk = v víi mäi k ∈ IN. V× nªn v ∈ TM(¯x). Suy ra x¯ + tkvk = 12k ∈ M ∀k, IR+ ⊂ TM(¯x) ⊂ cone(M − x¯) = IR+. VËy TM(¯x) = IR+. Do MÖnh ®Ò 2.2.3(i), TbM (¯x) ⊂ TM(¯x) = IR+. NÕu ta chøng minh ®−îc r»ng v = 1 ∈/ TbM(¯x), th× TbM(¯x) = {0}. Gi¶ sö ph¶n chøng: v = 1 ∈ TbM(¯x). Khi ®ã d(¯x + tv,M) (2.11) lim t→0+ t= 0. LÊy Do (2.11), tk = 12 12k +1 2k+1 ! (k = 1, 2,...). (2.12) limk→∞d(¯x + tkv,M) tk = 0. V× d(¯x + tkv,M) ####12 12k +1 ! − 1 #### tk = d(tk, M) 1 2k+1 2k+1 tk = = 1 1 2 1 2k+1 2k +1 2k+1 = 13, ! 2k +1 2k+1 nªn (2.12) lµ sai. VËy ta ph¶i cã v = 1 ∈/ TbM(¯x). VÝ dô 2.2.4 (TbM(¯x) = CM(¯x)). LÊy x¯ = (0, 0) ∈ IR2 vµ M = {x = (x1, x2) : x1 0, x2 = 0}∪{x = (x1, x2) : x1 = 0, x2 0}. Ta cã TbM (¯x) = TM (¯x) = M, CM(¯x) = {0}. ThËt vËy, c¸c ®¼ng thøc TbM(¯x) = TM(¯x) = M lµ hiÓn nhiªn. V× CM(¯x) ⊂ TbM(¯x), nªn ®Ó chøng minh r»ng CM(¯x) = {0} ta chØ cÇn chøng tá r»ng v1 := (1, 0) ∈/ CM(¯x) vµ v2 := (0, 1) ∈/ CM(¯x). NÕu v1 ∈ CM(¯x), th× d(x + tv1, M) (2.13) lim t→0+, x M−→x¯ t= 0. 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 63 LÊy tk = 1/k, xk = (0, 1/k) (k = 1, 2,...). V× tk → 0+ vµ xk M −→ x¯, nªn tõ (2.13) ta suy ra lim k→∞ d(xk + tkv1, M) tk = 0. §¼ng thøc nµy kh«ng thÓ x¶y ra, bëi v× d(xk + tkv1, M) tk = d((0, 1k ) + 1k (1, 0), M) = d 1k , 1k , M 1 k = 1 k 1 k 1 k = 1 víi mäi k ∈ IN. VËy v1 ∈/ CM(¯x). Do tÝnh ®èi xøng, ta còng cã v2 ∈/ CM(¯x). TËp m−ît, tËp cã tÝnh chÊt kh¶ vi, tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn: §Þnh nghÜa 2.2.4. 1. Ta nãi M lµ m−ît 11 t¹i x¯ ∈ M nÕu ¸nh x¹ ®a trÞ TM(·) : X ⇒ X, x → TM (x), lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯. (Ta ®Æt TM(x) = ∅ víi mäi x /∈ M. Khi ®ã, dom TM(·) = M.) 2. Ta nãi M lµ cã tÝnh chÊt kh¶ vi12 t¹i x¯ ∈ M nÕu TbM(¯x) = TM(¯x). 3. Ta nãi M lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn13 t¹i x¯ ∈ M nÕu CM(¯x) = TM(¯x). 4. Ta nãi M lµ tËp m−ît (t−¬ng øng, tËp cã tÝnh chÊt kh¶ vi, tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn) nÕu M lµ m−ît (t−¬ng øng, cã tÝnh chÊt kh¶ vi, chÝnh quy tiÕp tuyÕn) t¹i mçi ®iÓm thuéc M. Ta sÏ quay l¹i víi c¸c kh¸i niÖm nãi trong §Þnh nghÜa 2.2.4 sau khi chøng tá r»ng nãn tiÕp tuyÕn Bouligand (nãn tiÕp tuyÕn trung gian, nãn tiÕp tuyÕn Clarke) cã thÓ biÓu diÔn nh− giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski cña mét hä tËp hîp. Nãn tiÕp tuyÕn vµ giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski cña hä tËp hîp: §Þnh nghÜa 2.2.5 (Giíi h¹n theo PainlevÐ-Kuratowski). Cho {Ωµ}µ∈M lµ hä tËp hîp phô thuéc vµo tham sè µ ∈ M, M lµ kh«ng gian mªtric, Ωµ ⊂ X víi mäi µ, X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Gi¶ sö µ¯ ∈ M. TËp hîp (2.14) Lim sup µ→µ¯ Ωµ := {x ∈ X : lim inf µ→µ¯ d(x, Ωµ)=0} ®−îc gäi lµ giíi h¹n trªn theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä {Ωµ}µ∈M khi µ → µ¯. TËp hîp µ→µ¯ Ωµ := {x ∈ X : lim (2.15) Lim inf 11TNTA: sleek. 12TNTA: derivable. 13TNTA: tangentially regular. µ→µ¯d(x, Ωµ)=0} 64 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc gäi lµ giíi h¹n d−íi theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä {Ωµ}µ∈M khi µ → µ¯. Do (2.14), x ∈ Lim sup µ→µ¯ Do (2.15), Ωµ ⇔ ∃{µk}k∈IN ⊂ M,µk → µ, ¯ lim k→∞ d(x, Ωµk )=0 ! . µ→µ¯ Ωµ ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : d(x, Ωµ) < ε ∀µ ∈ B¯(¯µ, δ) . x ∈ Lim inf Nãi c¸ch kh¸c, x ∈ Lim inf µ→µ¯ Ωµ ⇔ ∀{µk}k∈IN ⊂ M,µk → µ, ¯ lim k→∞ d(x, Ωµk )=0 ! . µ→µ¯ Ωµ ⊂ Lim sup Ωµ. NhËn xÐt 2.2.3. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra Lim inf µ→µ¯ Bµi tËp 2.2.5. Chøng minh r»ng Lim sup µ→µ¯ ®ãng trong X. (Chøng minh: Gi¶ sö r»ng Ωµ vµ Lim inf µ→µ¯ Ωµ lµ nh÷ng tËp {xj} ⊂ Lim sup µ→µ¯ Ωµ, xj → x. ¯ Víi mçi k ∈ IN, lÊy j(k) ∈ IN sao cho xj(k) − x¯ <1k. V× xj(k) ∈ Lim sup µ→µ¯ Ωµ, nªn tån t¹i µk ∈ M sao cho d(µk, µ¯) <1k, d(xj(k), Ωµk ) <1k. Do ®ã ta chän ®−îc yk ∈ Ωµk tháa m·n ®iÒu kiÖn xj(k) − yk < 1k . Víi c¸c d·y {xj(k)}, {µk} vµ {yk} ®ã, ta cã µk → µ¯, xj(k) → x¯ (khi k → ∞), vµ víi mçi k: d(¯x, Ωµk ) x¯ − yk x¯ − xj(k) + xj(k) − yk <1k +1k = 2k. VËy lim k→∞ d(¯x, Ωµk )=0. Do ®ã x¯ ∈ Lim sup µ→µ¯ Lim inf Ωµ. §Ó chøng minh µ→µ¯ Ωµ lµ ®ãng, ta gi¶ sö ph¶n chøng r»ng Lim inf µ→µ¯ Ωµ kh«ng ®ãng. µ→µ¯ Ωµ, xj → x¯, x / ¯ ∈ Lim inf Khi ®ã tån t¹i {xj} ⊂ Lim inf ε > 0 vµ {µk}, µk → µ¯ sao cho (2.16) d x, ¯ Ωµk ε ∀k ∈ IN. µ→µ¯ Ωµ. VËy tån t¹i 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 65 µ→µ¯ d(xj , Ωµ)=0 Do xj → x, ¯ tån t¹i j ∈ IN sao cho xj − x¯ < ε4 . Do lim vµ do µk → µ¯, tån t¹i k ∈ IN tháa ®iÒu kiÖn d(xj , Ωµk ) <ε4. Ta cã d(¯x, Ωµk ) x¯ − xj + d(xj , Ωµk ) <ε4 +ε4 = ε2, m©u thuÉn víi (2.16).) Bµi tËp 2.2.6. Cho M ⊂ X lµ tËp con trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn, x¯ ∈ M. Chøng minh r»ng M − x¯ (a) TM(¯x) = Lim sup t→0+ t , (b) T bM(¯x) = Lim inf t→0+M − x¯ t , M − x (c) CM (¯x) = Lim inf t→0+, x M−→x¯ t . (Chøng minh: (a) Theo ®Þnh nghÜa, v ∈ TM(¯x) khi vµ chØ khi d(¯x + tv, M) lim inf t→0+ t = 0; tøc lµ tån t¹i {tk} ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, {vk} ⊂ X, vk → v sao cho x¯ + tkvk ∈ M víi mäi k ∈ IN. Râ rµng lµ x¯ + tkvk ∈ M khi vµ chØ khi vk ∈M − x¯ tk . VËy v ∈ TM(¯x) khi vµ chØ khi tån t¹i {tk} ⊂ IR+ \ k→∞ d(v,M − x¯ M − x¯ {0}, tk → 0, sao cho lim tk )=0; tøc lµ v ∈ Lim sup t→0+ t . C¸c kh¼ng ®Þnh (b) vµ (c) ®−îc chøng minh hoµn toµn t−¬ng tù.) Quan hÖ gi÷a tËp m−ît vµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn: §Þnh lý sau chøng tá r»ng, d−íi nh÷ng ®iÒu kiÖn kh¸ tæng qu¸t, mét tËp m−ît ph¶i lµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn. §Þnh lý 2.2.1 (xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho X lµ kh«ng gian Banach, M ⊂ X lµ tËp con ®ãng. NÕu M lµ m−ît t¹i x¯ ∈ M (tøc lµ ¸nh x¹ ®a trÞ x → TM(x) lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯) th× M lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i x¯ (tøc lµ CM(¯x) = TM(¯x)). TËp hîp M = 12i : i = 1, 2,... ⊂ IR xÐt trong VÝ dô 2.2.4 lµ tËp ®ãng, kh«ng lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i x¯ = (0, 0). Theo §Þnh lý 2.2.1, M kh«ng thÓ lµ m−ît t¹i x¯. 66 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Quan hÖ gi÷a hä nãn Bouligand {TM(x)}x∈M vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke CM(¯x): §Þnh lý sau cho thÊy r»ng giíi h¹n d−íi theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä nãn tiÕp tuyÕn Bouligand {TM (x)}x∈M (khi x → x¯) lµ mét bé phËn cña nãn tiÕp tuyÕn Clarke CM(¯x). §Þnh lý 2.2.2 (B. Cornet 1981, J. S. Treiman 1983; xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho X lµ kh«ng gian Banach, M ⊂ X lµ tËp con ®ãng. Khi ®ã, víi mäi x¯ ∈ M, Lim inf x M−→x¯ TM (x) ⊂ CM(¯x). Khi X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu, th× bao hµm thøc cuèi trë thµnh ®¼ng thøc. Cô thÓ h¬n, ta cã ®Þnh lý sau. §Þnh lý 2.2.3 (B. Cornet 1981, J. S. Treiman 1983; xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Cho X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu, M ⊂ X lµ tËp con ®ãng. Khi ®ã, víi mäi x¯ ∈ M, Lim inf x M−→x¯ TM(x) = Lim inf x M−→x¯ co(TM (x)) = CM(¯x). B¹n ®äc cã thÓ t×m hiÓu chøng minh cña hai ®Þnh lý trªn trong cuèn chuyªn kh¶o cña Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 128-138. C¸c h×nh nãn TM(¯x), TbM(¯x) vµ CM(¯x) lµ trïng nhau nÕu M lµ tËp låi hoÆc M lµ tËp nghiÖm cña hÖ bÊt ®¼ng thøc/®¼ng thøc cho bëi c¸c hµm tr¬n tháa m·n mét ®iÒu kiÖn chÝnh quy nµo ®ã. MÖnh ®Ò 2.2.4. NÕu M lµ tËp låi trong gian ®Þnh chuÈn X vµ x¯ ∈ M, th× (2.17) CM(¯x) = TbM(¯x) = TM(¯x) = cone(M − x¯). Chøng minh. Ta ®· chøng minh r»ng CM(¯x) ⊂ TbM(¯x) ⊂ TM(¯x) ⊂ cone(M − x¯). VËy ®Ó thu ®−îc (2.17) ta chØ cÇn chøng tá r»ng cone(M − x¯) ⊂ CM(¯x). V× CM(¯x) lµ tËp ®ãng, nªn chØ cÇn chøng minh r»ng cone(M − x¯) ⊂ CM(¯x). 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 67 LÊy tïy ý v ∈ cone(M − x¯), vµ lÊy t > 0, x ∈ M ®Ó cã biÓu diÔn v = x − x¯ Gi¶ sö xk M t . −→ x¯, tk → 0+. Chän ¯k ∈ IN sao cho tk ∈ (0, t) víi mäi k ¯k. §Æt 0 nÕu k < ¯k x − xk tnÕu k ¯k. Ta cã vk → x − x¯ vk = t = v khi k → ∞. NÕu k < ¯k, th× xk + tkvk = xk ∈ M. NÕu k ¯k th× tkt ∈ (0, 1) vµ ta cã xk + tkvk = xk + tk x − xk t = 1 − tkt!xk +tktx ∈ M (do M lµ tËp låi). Theo MÖnh ®Ò 2.2.3, ®iÒu ®ã chøng tá r»ng v ∈ CM(¯x). ✷ Tõ mÖnh ®Ò võa ®−îc chøng minh suy ra r»ng tËp låi trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn. §Þnh lý 2.2.1 nãi r»ng nÕu mét tËp con ®ãng trong kh«ng gian Banach lµ tËp m−ît, th× nã lµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn. Nh− vËy tÝnh m−ît (sleekness) nãi chung m¹nh h¬n tÝnh chÝnh quy tiÕp tuyÕn (tangential regularity). MÖnh ®Ò tiÕp sau ®©y cho thÊy r»ng ®èi víi c¸c tËp låi ®ãng trong kh«ng gian Banach th× hai tÝnh chÊt ®ã lµ t−¬ng ®−¬ng. MÖnh ®Ò 2.2.5. Mäi tËp con låi ®ãng trong kh«ng gian Banach ®Òu lµ tËp m−ît. Chøng minh. Ta cã thÓ chøng minh mÖnh ®Ò nµy b»ng c¸ch sö dông §Þnh lý t¸ch c¸c tËp låi. Gi¶ sö M lµ tËp låi ®ãng trong kh«ng gian Banach X. ¸nh x¹ ®a trÞ nãn ph¸p tuyÕn NM(·) : X ⇒ X∗ (x → NM(x) ∀x ∈ X), ë ®ã X ®−îc xÐt víi t«p« cña chuÈn vµ X∗ ®−îc xÐt víi t«p« yÕu∗, lµ ®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö {pα} vµ {xα} lµ c¸c d·y suy réng sao cho pα ∈ NM(xα) víi mäi α, xα → x¯, vµ pα w∗ −→ p¯. Ta sÏ chØ ra r»ng p¯ ∈ NM(¯x). Do NM(x) = ∅ víi mäi x /∈ M, nªn ta cã thÓ gi¶ sö r»ng xα ∈ M víi mäi α. Víi mäi y ∈ M vµ víi mäi α, ta cã 0 pα, y − xα = pα, y − x¯ + pα, x¯ − xα . LÊy giíi h¹n theo α (l−u ý r»ng v× pα w∗ −→ p¯, nªn { pα } lµ d·y giíi néi), ta ®−îc 0 p, y ¯ − x¯ . V× bÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng víi mäi y ∈ M, nªn p¯ ∈ NM (¯x). TÝnh ®ãng cña ¸nh x¹ nãn ph¸p tuyÕn ®· ®−îc chøng minh. 68 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ LÊy x¯ ∈ M. Ta kh¼ng ®Þnh r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ nãn tiÕp tuyÕn TM(·) : X ⇒ X lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯. (Ta cã dom TM(·) = M.) NÕu kh¼ng ®Þnh ®ã lµ sai, th× tån t¹i v¯ ∈ TM(¯x), ε > 0 vµ d·y {xk} sao cho xk M −→ x¯ sao cho víi mçi k ∈ IN ta cã TM(xk) ∩ B¯(¯v, ε) = ∅. Do ®ã, víi mçi k, sö dông §Þnh lý t¸ch c¸c tËp låi (xem Rudin (1973), §Þnh 3.4), ta t×m ®−îc pk ∈ X∗, pk = 1 sao cho pk, v inf sup v∈TM (xk) v∈B¯(¯v,ε) pk, v . V× TM(xk) lµ h×nh nãn, ®iÒu ®ã kÐo theo sup v∈TM (xk) pk, v 0, tøc lµ pk ∈ NM(xk). V× 0 ∈ TM(xk), nªn tõ nh÷ng ®iÒu nãi trªn ta cã v∈B¯(¯v,ε) pk, v = pk, v¯ − ε pk 0 inf = pk, v¯ − ε. Do h×nh cÇu ®¬n vÞ trong X∗ lµ comp¾c yÕu∗ (theo §Þnh lý Banach-Alaoglu), d·y {pk} cã d·y con héi tô theo t«p« yÕu∗. Kh«ng gi¶m tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng pα w∗ −→ p¯. Do pk ∈ NM(xk) víi mäi k vµ do xk → x¯, tõ tÝnh ®ãng cña ¸nh x¹ NM(·) suy ra p¯ ∈ NK(¯x). V× vËy p, v¯ 0. MÆt kh¸c, cho k → ∞, tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc ε pk, v¯ (k ∈ IN), ta thu ®−îc ε p, v¯ . Ta ®· ®i ®Õn m©u thuÉn. VËy ¸nh x¹ ®a trÞ TM(·) lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x¯. V× x¯ ∈ M ®−îc lÊy tïy ý, ta kÕt luËn r»ng M lµ tËp m−ît. ✷ MÖnh ®Ò 2.2.2 ®· thiÕt lËp c«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp nghiÖm hÖ bÊt ®¼ng thøc cho bëi c¸c hµm sè kh¶ vi FrÐchet. TiÕp sau ®©y chóng ta sÏ t×m hiÓu c«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp nghiÖm hÖ hçn hîp c¸c bÊt ®¼ng thøc vµ ®¼ng thøc vµ cho bëi c¸c hµm tr¬n (tøc lµ c¸c hµm sè kh¶ vi FrÐchet liªn tôc). Cho X lµ kh«ng gian Banach, ∆ ⊂ X lµ tËp con ®ãng, Ω ⊃ ∆ lµ tËp më, gi : Ω → IR (i = 1,...,m) vµ hj : Ω → IR (j = 1,...,s) lµ c¸c hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc. §Æt (2.18) M = {x ∈ ∆ : gi(x) 0 ∀i = 1, m, hj (x)=0 ∀j = 1, s}. 2.1. Nãn tiÕp tuyÕn 69 Ta cã M ⊂ X lµ tËp ®ãng. Víi mçi x ∈ M, ta ®Æt I(x) = {i : gi(x)=0} vµ gäi I(x) lµ tËp chØ sè ho¹t øng víi ®iÓm x ∈ M. §Ó cho gän, ta ®Æt h(x)=(h1(x),...,hs(x)) , ë ®ã dÊu chØ phÐp chuyÓn vÞ ma trËn. Nh− vËy, h lµ ¸nh x¹ tõ Ω vµo IRs. MÖnh ®Ò 2.2.6 (C«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand; xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Gi¶ sö M ®−îc cho bëi (2.18). Gi¶ sö x¯ ∈ M vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy sau ®−îc tháa m·n: (2.19) (a) h (¯x)(C∆(¯x)) = IRs (b) ∃v0 ∈ X ®Ó h (¯x)(v0)=0, g i(¯x)(v0) < 0 ∀i ∈ I(¯x). Khi ®ã, v ∈ TM(¯x) khi vµ chØ khi v ∈ T∆(¯x) vµ (2.20) g i(¯x)(v) 0 ∀i ∈ I(¯x) h j (¯x)(v)=0 ∀j = 1, s. Nãi mét c¸ch h×nh ¶nh, ®iÒu kiÖn (a) trong (2.19) nãi r»ng phÇn h¹n chÕ cña to¸n tö ®¹o hµm h (¯x) : X → IRs trªn nãn CM(¯x) lµ trµn. Ta sÏ cßn trë l¹i víi kiÓu ®iÒu kiÖn nµy khi xÐt kh¸i niÖm to¸n tö trµn trªn nãn trong Ch−¬ng 5. §iÒu kiÖn (b) trong (2.19) nãi r»ng cã tån t¹i vÐct¬ v0 nµo ®ã trong kh«ng gian tiÕp xóc 14 cña ®a t¹p {x ∈ X : h(x)=0} t¹i ®iÓm x¯ h−íng vµo phÇn trong cña h×nh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp hîp {x ∈ X : g(x) 0 ∀i = 1,...,m}. MÖnh ®Ò 2.2.7 (C«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Clarke; xem Aubin vµ Frankowska (1990)). Gi¶ sö M ®−îc cho bëi (2.17) víi ∆ = X. Gi¶ sö x¯ ∈ M vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.19) ®−îc tháa m·n (víi CM(¯x) ®−îc thay bëi X). Khi ®ã, víi mäi v ∈ X, v ∈ CM(¯x) khi vµ chØ khi ®iÒu kiÖn (2.20) ®−îc tháa m·n. Tõ c¸c mÖnh ®Ò 2.2.6 vµ 2.2.7 vµ tÝnh chÊt CM(¯x) ⊂ TbM(¯x) ⊂ TM(¯x), ta rót ra ®iÒu kiÖn ®ñ sau ®©y cho tÝnh chÝnh quy tiÕp tuyÕn cña tËp nghiÖm cña (2.18) t¹i mét ®iÓm cho tr−íc. HÖ qu¶ 2.2.1. D−íi c¸c gi¶ thiÕt cña MÖnh ®Ò 2.2.7, ta cã CM(¯x) = TbM(¯x) = TM(¯x) = {v ∈ X : g i(¯x)(v) 0 ∀i ∈ I(¯x), h j (¯x)(v)=0 ∀j = 1, s}. 14Lµ tËp hîp {v ∈ X : h (¯x)(v)=0}. 70 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Bµi tËp 2.2.7. Cho ∆ = X. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn (a) trong (2.19) t−¬ng ®−¬ng víi ®ßi hái “hÖ vÐct¬ h 1(¯x),...,h s(¯x)} [cña kh«ng gian X ∗] lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh”. NhËn xÐt 2.2.4. Trong tr−êng hîp ∆ = X = IRn, ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.19) trë thµnh ®iÒu kiÖn chuÈn hãa rµng buéc Mangasarian-Fromovitz15- nãi gän lµ ®iÒu kiÖn MFCQ16, v× nã ®−îc ®−a ra trong bµi b¸o cña Mangasarian vµ Fromovitz (1967). NhËn xÐt 2.2.5. §iÒu kiÖn MFCQ vµ c¸c d¹ng më réng cña nã ®ãng vai trß hÕt søc quan träng trong c¸c nghiªn cøu vÒ tÝnh æn ®Þnh, æn ®Þnh vi ph©n, vµ ®é nh¹y nghiÖm cña c¸c bµi to¸n tèi −u (xem, vÝ dô nh−, Gauvin vµ Dubeau (1981), Mordukhovich (2006a,b), Ch−¬ng 4 vµ Ch−¬ng 5 gi¸o tr×nh nµy). H×nh 11 VÝ dô ®¬n gi¶n sau ®©y cho thÊy r»ng nÕu ®iÒu kiÖn MFCQ bÞ vi ph¹m, th× kÕt luËn cña c¸c mÖnh ®Ò 2.2.6, 2.2.7 vµ HÖ qu¶ 2.2.1 nãi chung kh«ng cßn ®óng n÷a. VÝ dô 2.2.5. §Æt ∆ = X = IR2, m = s = 1, g1(x) = x2 + x21, h(x) = x2 víi mäi x = (x1, x2) ∈ IR2, vµ x¯ = (0, 0). XÐt tËp M cho bëi (2.18). Ta cã M = {x¯} vµ CM(¯x) = TbM(¯x) = TM(¯x) = {(0, 0)}. Trong khi ®ã, {v ∈ X : g i(¯x)(v) 0 ∀i ∈ I(¯x), h j (¯x)(v)=0 ∀j = 1, s} = IR × {0}. 15TNTA: the Mangasarian-Fromovitz Constraint Qualification. 16TNTA: the MFCQ condition. 2.3. §¹o hµm 71 L−u ý r»ng, ®èi víi vÝ dô ®ang xÐt, ta kh«ng thÓ t×m ®−îc vÐct¬ v0 ∈ X = IR2 nµo tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong (2.19). Bµi tËp 2.2.8. Cho ∆ = X = IR2, x¯ = (1, 1), vµ M = x = (x1, x2) : x21 + x22 2, x2 = x31 . TÝnh c¸c h×nh nãn tiÕp tuyÕn TM(¯x), T bM (¯x) vµ CM (¯x). (KÕt qu¶: CM (¯x) = T bM(¯x) = TM (¯x) = {v = (v1, v2) : v1 0, v2 = 3v1}; xem H×nh 11 ë trang tr−íc.) 2.3 §¹o hµm Cho X, Y lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ. §Þnh nghÜa 2.3.1 (§¹o hµm contingent, ®¹o hµm Bouligand). §¹o hµm con tingent17, hay ®¹o hµm Bouligand, DFz¯(·) : X ⇒ Y cña F t¹i ®iÓm z¯ = (¯x, y¯) ∈ gph F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã ®å thÞ trïng víi h×nh nãn tiÕp tuyÕn Bouli gand Tgph F (¯z), tøc lµ DFz¯(u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tgph F (¯z) ∀u ∈ X. NÕu F ≡ f lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ, th× ta viÕt Dfx¯(·) thay cho DF(¯x,f(¯x))(·). §Þnh nghÜa 2.3.2 (§¹o hµm kÒ). §¹o hµm kÒ DbFz¯(·) : X ⇒ Y cña F t¹i ®iÓm z¯ = (¯x, y¯) ∈ gph F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã ®å thÞ trïng víi h×nh nãn tiÕp tuyÕn trung gian Tbgph F (¯z), tøc lµ DbFz¯(u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tbgph F (¯z) ∀u ∈ X. NÕu F ≡ f lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ, th× ta viÕt Dbfx¯(·) thay cho DbF(¯x,f(¯x))(·). §Þnh nghÜa 2.3.3 (§¹o hµm Clarke). §¹o hµm Clarke18 CFz¯(·) : X ⇒ Y cña F t¹i ®iÓm z¯ = (¯x, y¯) ∈ gph F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã ®å thÞ trïng víi h×nh nãn tiÕp tuyÕn Clarke Cgph F (¯z), tøc lµ CFz¯(u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Cgph F (¯z) ∀u ∈ X. 17Chóng t«i ch−a t×m ®−îc tõ thÝch hîp ®Ó dÞch thuËt ng÷ nµy ra tiÕng ViÖt. Trong vai trß mét tÝnh tõ, ch÷ “contingent” cã nghÜa lµ bÊt ®Þnh, tïy chän, ngÉu nhiªn... Cã ng−êi ®· dÞch “contingent derivative” thµnh “®¹o hµm tiÕp liªn”. C¸ch dÞch nµy cã lÏ kh«ng ®¹t, v× trong tiÕng ViÖt d−êng nh− kh«ng cã ch÷ “tiÕp liªn” (kh«ng râ nghÜa, kh«ng cã trong Tõ ®iÓn tiÕng ViÖt cña Gi¸o s− Hoµng Phª vµ c¸c ®ång t¸c gi¶). 18§¹o hµm Clarke CFz¯(·) cßn ®−îc gäi lµ ®¹o hµm tiÕp tuyÕn lµm trßn19. 72 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ NÕu F ≡ f lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ, th× ta viÕt Cfx¯(·) thay cho CF(¯x,f(¯x))(·). Ba kh¸i niÖm ®¹o hµm nªu trªn ®−îc x©y dùng nhê c¸c cÊu tróc h×nh häc - ®ã lµ c¸c nãn tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc xÐt t¹i mét ®iÓm cho tr−íc. Trong Ch−¬ng 4 cña gi¸o tr×nh nµy, chóng ta sÏ nghiªn cøu kh¸i niÖm ®èi ®¹o hµm, lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ tõ kh«ng gian ®èi ngÉu Y∗ vµo kh«ng gian ®èi ngÉu X∗, l−u gi÷ c¸c th«ng tin ®· ®−îc m· hãa trong ng«n ng÷ cña c¸c kh«ng gian ®èi ngÉu vÒ tèc ®é thay ®æi cña ¸nh x¹ ®a trÞ trong c¸c kh«ng gian nÒn. §èi ®¹o hµm ®−îc x©y dùng nhê c¸c nãn ph¸p tuyÕn cña ®å thÞ cña ¸nh x¹ ®a trÞ t¹i mét ®iÓm cho tr−íc. Ngoµi hai c¸ch x©y dùng xÊp xØ bËc nhÊt ®ã, ng−êi ta cßn cã thÓ sö dông thñ thuËt v« h−íng hãa: thay viÖc xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y tõ kh«ng gian ®Þnh chuÈn X vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn Y b»ng viÖc xÐt hµm tùa CF (y∗, x) := sup{ y∗, y : y ∈ F(x)} (x ∈ X, y∗ ∈ Y ∗). NÕu F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ låi ®ãng, th× hä hµm sè thùc CF (y∗, ·) : X → IR (y∗ ∈ Y ∗) ®−îc ®Þnh nghÜa nh− vËy l−u gi÷ ®Çy ®ñ c¸c th«ng tin vÒ F. ThËt vËy, khi ®ã dùa vµo hä hµm sè {CF (y∗, ·)}y∗∈Y ∗ ta cã thÓ t×m l¹i ®−îc F b»ng c«ng thøc F(x) = {y ∈ Y : y∗, y CF (y∗, x) víi mäi y∗ ∈ Y ∗}. Kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña hä hµm sè thùc {CF (y∗, ·)}y∗∈Y ∗ , ta cã ®−îc c¸c th«ng tin vÒ tèc ®é thay ®æi cña F. Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p hµm tùa. Mét sè c«ng tr×nh cña Phã Gi¸o s− Ph¹m Huy §iÓn vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c (xem Dien (1982, 1985), Dien vµ Sach (1989), Dien vµ Yen (1991), Thibault (1991)) vÒ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tèi −u víi rµng buéc ®a trÞ, tËp nghiÖm cña bao hµm thøc ®a trÞ phô thuéc tham sè, c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña hµm gi¸ trÞ tèi −u..., ®· cho thÊy tÝnh hiÖu qu¶ cña c¸ch tiÕp cËn nµy. Kh¸i niÖm s¬ ®¹o hµm20 cña ¸nh x¹ ®a trÞ do Gi¸o s− Ph¹m H÷u S¸ch ®Ò xuÊt còng sö dông hµm tùa, nh−ng ®ã lµ hµm tùa cña ¸nh x¹ ®¹o hµm. Cô thÓ h¬n, s¬ ®¹o hµm cña F : X ⇒ Y t¹i z¯ = (¯x, y¯) ∈ gph F lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ T : X ⇒ Y , Lipschitz ®Þa ph−¬ng t¹i 0 ∈ X, sao cho víi mäi ε > 0 tån t¹i l©n cËn U cña x¯ tháa m·n: ∀x ∈ U ∃y ∈ F(x) víi tÝnh chÊt sup y∗∈B¯Y ∗ y∗, y − y¯ − [CT (y∗, x − x¯) − CT (y∗, 0)] ε x − x¯ , ë ®ã CT (y∗, x) ký hiÖu hµm tùa cña T; xem Sach (1988a), tr. 220. XuÊt ph¸t tõ kh¸i niÖm nµy ta cã thÓ ®−a ra c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më, hµm Èn, hµm ng−îc, ®Þnh 20TNTA: prederivative. 2.3. §¹o hµm 73 lý vÒ ®¹o hµm cña hµm hîp, ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh, quy t¾c nh©n tö Lagrange, nguyªn lý tùa d¹ng tæng qu¸t (xem, vÝ dô nh−, Sach (1988a,b), Dien vµ Sach (1989), Yen (1987)). Nghiªn cøu míi nhÊt mµ chóng t«i ®−îc biÕt vÒ ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ dùa trªn kh¸i niÖm hµm tùa lµ c«ng tr×nh cña Gorokhovich vµ Zabreiko 21 (2005). Dùa trªn c¸c kh¸i niÖm ®¹o hµm contingent vµ ®¹o hµm Clarke trong c¸c ®Þnh nghÜa 2.3.1 vµ 2.3.3, ng−êi ta cã thÓ ®Æc tr−ng tÝnh låi vµ tÝnh låi theo nãn cña ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y th«ng qua tÝnh ®¬n ®iÖu vµ tÝnh ®¬n ®iÖu theo nãn cña c¸c hä ¸nh x¹ ®¹o hµm {DFz(·)}z∈gph F vµ {CFz(·)}z∈gph F . C¸c kÕt qu¶ theo h−íng nµy cã thÓ xem trong Sach (1996), Sach vµ Yen (1997), vµ c¸c tµi liÖu ®−îc dÉn trong c¸c bµi b¸o ®ã. ë ®©y chóng ta chØ nh¾c l¹i hai kh¸i niÖm chÝnh lµ tÝnh låi theo nãn vµ tÝnh ®¬n ®iÖu theo nãn. Cho K ⊂ Y lµ nãn låi. Ta nãi F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi theo nãn K, nãi gän lµ K-låi, nÕu víi mäi x1, x2 ∈ X vµ t ∈ (0, 1) ta cã (1 − t)F(x1) + tF(x2) ⊂ F((1 − t)x1 + tx2) + K. (Trong tr−êng hîp ®Æc biÖt, khi K = {0} vµ F lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ ®ãng, kh¸i niÖm nµy trïng víi kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ låi ®· xÐt trong Ch−¬ng 1.) Ta nãi hä ¸nh x¹ ®¹o hµm contingent {DFz(·)}z∈gph F lµ ®¬n ®iÖu theo nãn K, hay K-®¬n ®iÖu, nÕu víi mäi ®iÓm z1 = (x1, y1) vµ z2 = (x2, y2) thuéc gphF ta cã $ 0 ∈ co DFˆz1(x2 − x1) + DFˆz2(x1 − x2)%, ë ®ã Fˆ(x) = F(x) + K lµ ¸nh x¹ më réng cña F theo nãn K. TÝnh låi theo nãn K cña hä ¸nh x¹ ®¹o hµm Clarke {CFz(·)}z∈gph F ®−îc ®Þnh nghÜa hoµn toµn t−¬ng tù. Cã thÓ sö dông ®¹o hµm contingent ®Ó x©y dùng c¸c ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ trong c¸c tèi −u vÐct¬ ®a trÞ (xem D. T. Luc (1989), D. T. Luc vµ C. Malivert (1992)). Bµi tËp 2.3.1. XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR ⇒ IR cho bëi c«ng thøc F(x) = y ∈ IR : x2 + y2 2, y = x3 . TÝnh c¸c ¸nh x¹ ®¹o hµm DFz¯(·), DbFz¯(·) vµ CFz¯(·), ë ®ã z¯ = (1, 1). (Gîi ý: §Ó ý r»ng gph F trïng víi tËp M trong Bµi tËp 2.2.8 vµ sö dông kÕt qu¶ tÝnh c¸c h×nh nãn tiÕp tuyÕn cña M t¹i ®iÓm x¯ = (1, 1).) 21Gi¸o s− Petr Petrovich Zabreiko (Belarus State University, Minsk, Belarus) lµ mét chuyªn gia næi tiÕng vÒ Gi¶i tÝch hµm. GS. TSKH. NguyÔn Hång Th¸i (University of Szczecin, Ba Lan) vµ PGS. TSKH. NguyÔn V¨n Minh (§¹i häc Quèc gia Hµ Néi; University of West Georgia, Mü) lµ c¸c häc trß ViÖt Nam cña «ng. 74 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Trong gi¶i tÝch cæ ®iÓn (xem Rudin (1976)), sö dông kh¸i niÖm ®¹o hµm FrÐchet ng−êi ta ®· x©y dùng c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më, hµm Èn, hµm ng−îc - nh÷ng kÕt qu¶ ®−îc sö dông réng r·i trong h×nh häc vi ph©n, t«p« vi ph©n, lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n, lý thuyÕt bËc, vµ trong nhiÒu lý thuyÕt to¸n häc kh¸c. Hoµn toµn t−¬ng tù, dùa vµo c¸c kh¸i niÖm ®¹o hµm võa ®−îc tr×nh bµy ë trªn, ng−êi ta ®· ®−a ra c¸c ®Þnh lý ¸nh x¹ më, hµm Èn, hµm ng−îc cho ¸nh x¹ ®a trÞ. ë ®©y chóng ta sÏ xem xÐt hai ®Þnh lý hµm ng−îc tiªu biÓu thuéc vÒ Aubin vµ Frankowska (1984). §Þnh lý thø nhÊt sö dông gi¶ thiÕt vÒ tÝnh më ®Òu cña hä ®¹o hµm contingent. §Þnh lý thø hai sö dông gi¶ thiÕt vÒ tÝnh trµn cña ®¹o hµm Clarke. C¸c ®Þnh lý nµy ®Òu ®−îc chøng minh b»ng nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland. V× c¸c chøng minh lµ kh¸ cång kÒnh, phøc t¹p, nªn sÏ kh«ng ®−îc tr×nh bµy ë ®©y. §Þnh lý 2.3.1 (§Þnh lý hµm ng−îc cho ¸nh x¹ ®a trÞ sö dông ®¹o hµm contingent; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 204-205). Gi¶ sö X, Y lµ c¸c kh«ng gian Banach, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, z¯ = (¯x, y¯) ∈ gph F. Gi¶ sö tån t¹i c¸c h»ng sè c > 0, δ> 0 vµ α ∈ [0, 1) sao cho ∀(x, y) ∈ (gphF) ∩ B(¯z, δ), ∀v ∈ Y, ∃u ∈ X, ∃w ∈ Y ®Ó v ∈ DF(x,y)(u) + w, u c v , w α v . Khi ®ã y¯ ∈ int(rge F) vµ ta cã F−1 lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi¶-Lipschitz t¹i (¯x, y¯). §Þnh lý 2.3.2 (§Þnh lý hµm ng−îc cho ¸nh x¹ ®a trÞ sö dông ®¹o hµm Clarke; xem Aubin vµ Frankowska (1984, 1990)). Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Banach, Y lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®ãng, z¯ = (¯x, y¯) ∈ gph F. NÕu rge (CFz¯) = Y , th× y¯ ∈ int(rge F) vµ ta cã F−1 lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi¶-Lipschitz t¹i (¯x, y¯). Bµi tËp 2.3.2. (a) Ph¸t biÓu §Þnh lý 2.3.1 cho tr−êng hîp F = f lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ kh¶ vi FrÐchet t¹i mäi ®iÓm trong mét l©n cËn cña ®iÓm x¯ ∈ X. (b) Cho X = Y = IR, F(x) = {f(x)}, f(x) = x3. H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm x¯ ∈ IR sao cho §Þnh lý 2.3.1 ¸p dông ®−îc víi z¯ := (¯x, f(¯x)).