🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình đại số đại cương Ebooks Nhóm Zalo TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT 🖞 🖮 🖟 GIAÙO TRÌNH ÑAÏI SOÁ ÑAÏI CÖÔNG ÑOÃ NGUYEÂN SÔN 2000 Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 2 - MUÏC LUÏC muïc luïc ..........................................................................................................................2 CHÖÔNG 1: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ ................................................7 1. Taäp hôïp - AÙnh xaï - Quan heä..................................................................................7 1.1 Taäp hôïp. ...........................................................................................................7 1.2 AÙnh xaï..............................................................................................................8 f A B f A f B ....................................................................8 ( ) ( ) ( ) ∪ = ∪ A, B ⊂ X ⇒⎩⎨⎧∩ ⊂ ∩ f A B f A f B ( ) ( ) ( ) − − − 1 1 1 U, V ⊂ Y ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧∩ = ∩ ∪ = ∪ f U V f U f V .........................................................9 ( ) ( ) ( ) − − − 1 1 1 f U V f U f V ( ) ( ) ( ) 1.3 Taäp höõu haïn - voâ haïn - ñeám ñöôïc....................................................................9 1.4 Quan heä hai ngoâi. ...........................................................................................9 1.5 Quan heä töông ñöông. ...................................................................................10 1.6 Meänh ñeà.........................................................................................................11 1.7 Quan heä thöù töï ...............................................................................................12 2. Caáu truùc ñaïi soá.....................................................................................................13 2.1 Pheùp toùan ñaïi soá .............................................................................................13 2.2 Caùc tính chaát cuûa pheùp toaùn ñaïi soá...............................................................14 2.3 Caùc phaàn töû ñaëc bieät......................................................................................15 2.4 Caáu truùc ñaïi soá...............................................................................................15 2.5 Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn.............................................................................16 BAØI TAÄP......................................................................................................................18 CHÖÔNG 2: SOÁ HOÏC TREÂN 9..............................................................................21 1. Soá töï nhieân ...........................................................................................................21 1.1 Xaây döïng soá töï nhieân .....................................................................................21 1.2 Pheùp coäng treân ∠...........................................................................................21 1.3 Ñònh lí.............................................................................................................22 1.4 Pheùp nhaân treân ∠...........................................................................................23 1.5 Ñònh lí..............................................................................................................23 1.6 Quan heä thöù töï treân taäp hôïp soá töï nhieân.......................................................23 1.7 Ñònh lí: ............................................................................................................23 2. Vaønh soá nguyeân ...................................................................................................24 2.1 Xaây döïng taäp soá nguyeân ................................................................................24 2.2 Pheùp coäng ......................................................................................................25 2.3 Pheùp nhaân .....................................................................................................25 2.4 Ñònh lí.............................................................................................................26 2.5 Quan heä thöù töï treân 9....................................................................................27 3. Söï chia heát treân taäp soá nguyeân...........................................................................27 3.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................27 3.2 Tính chaát ( a, b, c, d laø caùc soá nguyeân)........................................................27 3.3 Ñònh lí ( pheùp chia Euclide) ..........................................................................28 3.4 Öôùc chung lôùn nhaát (ÖCLN).........................................................................28 3.5 Ñònh líù ............................................................................................................28 3.6 Heä quaû...........................................................................................................29 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 3 - 3.7 Ñònh líù ............................................................................................................29 3.8 Ñònh lí..............................................................................................................30 3.9 Thuaät toaùn tìm ÖCLN cuûa hai soá.................................................................30 4. Soá nguyeân toá cuøng nhau. ....................................................................................30 4.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................30 4.2 Ñònh lí (Bezout) ..............................................................................................31 4.3 Ñònh lí (Gauss)...............................................................................................31 4.4 Ñònh lí.............................................................................................................31 5 Boäi chung nhoû nhaát (BCNN) ...............................................................................32 5.1 Ñònh nghóa :.....................................................................................................32 5.2 Meänh ñeà.........................................................................................................32 5.3 Meänh ñeà..........................................................................................................33 6. Soá nguyeân toá .......................................................................................................33 6.1 Ñònh nghóa......................................................................................................33 6.2 Ñònh lí..............................................................................................................33 6.3 Ñònh lí..............................................................................................................33 6.4 Ñònh lí.............................................................................................................34 6.5 Ñònh líù .............................................................................................................34 6.6 Ñònh lí.............................................................................................................34 6.7 Saøng Eratostheøne...........................................................................................34 6.8 Ñònh lí ( cô baûn cuûa soá hoïc) ..........................................................................35 6.9 Daïng phaân tích chính taéc...............................................................................36 6.10 Ñònh lí...........................................................................................................36 6.11 Caùch tìm ÖCLN vaø BCNN........................................................................36 7 Ñoàng dö.................................................................................................................37 7.1 Ñònh nghóa......................................................................................................37 7.2 Lôùp ñoàng dö..................................................................................................37 7.3 Tính chaát ........................................................................................................38 BAØI TAÄP......................................................................................................................39 CHÖÔNG 3: NHOÙM...................................................................................................42 1 Nöûa nhoùm - Vò nhoùm ............................................................................................42 1.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................42 1.2 Tích cuûa n phaàn töû trong nöûa nhoùm ..............................................................42 1.3 Ñònh lí..............................................................................................................42 1.4 Ñònh lí..............................................................................................................43 2 Nhoùm.....................................................................................................................44 2.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................44 2.2 Caùc tính chaát cô baûn cuûa nhoùm.....................................................................45 3. Nhoùm con ............................................................................................................47 3.1 Ñònh nghóa......................................................................................................47 3.2 Ñònh lí (tieâu chuaån ñeå nhaän bieát moät nhoùm con)..........................................47 3.3 Nhoùm con sinh bôûi moät taäp con cuûa nhoùm ...................................................48 4. Nhoùm con chuaån taéc - Nhoùm thöông..................................................................49 4.1 Lôùp keà - Quan heä töông ñöông xaùc ñònh bôûi moät nhoùm con .......................49 4.2 Meänh ñeà.........................................................................................................50 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 4 - 4.3 Ñònh lí (Lagrange) .........................................................................................51 4.4 Nhoùm con chuaån taéc......................................................................................51 4.5 Nhoùm thöông .................................................................................................52 5. Ñoàng caáu nhoùm....................................................................................................54 5.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................54 5.2 AÛnh vaø nhaân cuûa ñoàng caáu ...........................................................................55 5.3 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu nhoùm.................................................................55 5.4 Ñònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu nhoùm).............................................................57 5.5 Heä quaû.............................................................................................................58 6. Nhoùm cyclic .........................................................................................................58 6.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................58 6.2 Caáp cuûa moät phaàn töû trong nhoùm .................................................................58 6.3 Ñònh lí ( phaân loaïi nhoùm tuaàn hoaøn)..............................................................59 7. Taùc ñoäng cuûa moät nhoùm leân moät taäp hôïp...........................................................59 7.1 Ñònh nghóa:......................................................................................................59 7.2 Nhoùm con oån ñònh cuûa moät phaàn töû..............................................................60 7.3 Quyõ ñaïo cuûa moät phaàn töû..............................................................................60 8. Nhoùm ñoái xöùng ....................................................................................................60 8.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................60 8.2 Ñònh lí (Ceyley)..............................................................................................61 8.3 Nhoùm ñoái xöùng Sn..........................................................................................61 8.4 r - chu trình....................................................................................................61 8.5 Tính chaát .........................................................................................................62 8.6 Ñònh lí.............................................................................................................62 8.7 Ñònh liù .............................................................................................................62 8.8 Heä quaû.............................................................................................................63 BAØI TAÄP......................................................................................................................65 CHÖÔNG 4: VAØNH VAØ TRÖÔØNG..........................................................................70 1. Vaønh vaø tröôøng ....................................................................................................70 1.1 Ñònh nghóa......................................................................................................70 1.2 Caùc tính chaát.................................................................................................71 2. Vaønh con – Tröôøng con........................................................................................72 2.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................72 2.2 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät vaønh con).................................................73 2.3 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät tröôøng con)............................................73 3. Ideal - Vaønh thöông .............................................................................................74 3.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................74 3. 2 Ideal chính.....................................................................................................75 3. 3 Vaønh thöông..................................................................................................75 4. Ñoàng caáu vaønh .....................................................................................................76 4.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................76 4.2 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu vaønh...................................................................77 4.3 Ñònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu vaønh).............................................................78 4.4 Heä quaû............................................................................................................78 4.5 Ñaëc soá cuûa vaønh .............................................................................................78 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 5 - 5. Caùc ñònh lí nhuùng ñaúng caáu.................................................................................78 5.1 Ñònh lí (nhuùng ñaúng caáu moät vò nhoùm)..........................................................78 5.2 Ñònh lí ( nhuùng ñaúng caáu moät vaønh nguyeân).................................................80 6. Soá hoïc treân vaønh nguyeân - Vaønh chính - Vaønh Euclide - Vaønh Gauss............82 6.1 Caùc ñònh nghóa ................................................................................................82 6.2 Caùc tính chaát.................................................................................................83 6.3 Vaønh chính.....................................................................................................84 6.4 Ñònh líù .............................................................................................................84 6.5 Ñònh lí..............................................................................................................85 6.6 Vaønh Euclide ................................................................................................86 6.7 Ñònh lí..............................................................................................................86 6.8 Thuaät toùan tìm ÖCLN....................................................................................86 6.9 Vaønh Gauss (Vaønh nhaân töû hoùa)...................................................................87 6.10 Ñònh lí............................................................................................................88 6.11 Ñònh lí............................................................................................................89 BAØI TAÄP......................................................................................................................91 CHÖÔNG 5: VAØNH ÑA THÖÙC.............................................................................96 1 Vaønh ña thöùc moät bieán .........................................................................................96 1.1 Ñònh nghóa......................................................................................................96 1.2 Ñònh lí.............................................................................................................97 1.3 Ñònh lí..............................................................................................................97 1.4 Ñònh lí..............................................................................................................98 1.5 Khoâng ñieåm cuûa ña thöùc ...............................................................................99 1.6 Ñònh lí............................................................................................................100 1.7 Caáp cuûa khoâng ñieåm ..................................................................................100 1.8 Ñònh lí............................................................................................................100 1.9 Ñònh lí............................................................................................................100 1.10 Ñònh lí..........................................................................................................101 1.11 Haøm ña thöùc................................................................................................101 1.12 Ñònh lí..........................................................................................................102 1.13 Ñònh lí.........................................................................................................103 2. Vaønh ña thöùc nhieàu bieán ...................................................................................104 2.1 Ñònh nghóa.....................................................................................................104 2.2 Caùch saép xeáp ña thöùc theo loái töï ñieån .......................................................105 2.3 Ñònh lí...........................................................................................................105 2.4 Ña thöùc ñoái xöùng ........................................................................................106 2.5 Ñònh lí...........................................................................................................106 2.6 Ñònh lí...........................................................................................................107 3. Caùc ña thöùc treân tröôøng soá ................................................................................108 3.1 Ñònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................108 3.2 Ñònh lí............................................................................................................108 3.3 Ñònh lí ( tieâu chuaån Eisenstein) ..................................................................109 BAØI TAÄP....................................................................................................................110 PHUÏ LUÏC..................................................................................................................112 1. Tröôøng soá thöïc ..................................................................................................112 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 6 - 1.1 Laùt caét höõu tæ................................................................................................112 1.2 Caùc quan heä treân 3 .......................................................................................112 1.3 Pheùp coäng .....................................................................................................113 1.4 Pheùp nhaân .....................................................................................................113 2. Tröôøng soá phöùc ..................................................................................................113 2.1 Xaây döïng soá phöùc.........................................................................................113 2.2 Ñònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................115 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 7 - CHÖÔNG 1: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ 1. Taäp hôïp - AÙnh xaï - Quan heä. 1.1 Taäp hôïp. • Taäp hôïp laø moät khaùi nieäm ban ñaàu. Taäp hôïp ñöôïc moâ taû nhö moät toøan theå naøo ñoù bao goàm nhöõng ñoái töôïng naøo ñoù coù cuøng moät daáu hieäu hay moät tính chaát nhaát ñònh. Caùc ñoái töôïng laäp neân taäp hôïp goïi laø phaàn töû. Ta thöôøng kí hieäu caùc taäp hôïp baèng caùc chöõ caùi A, B, X, Y.... coøn caùc phaàn töû cuûa chuùng baèng caùc chöõ caùi nhoû a, b, x, y… Coù hai caùch ñeå xaùc ñònh moät taäp hôïp, moät laø lieät keâ ra taát caû caùc phaàn töû cuûa noù, A = {a1 ,a2 ,…an }; hai laø mieâu taû ñaëc tính caùc phaàn töû taïo neân taäp hôïp, ∈ X = {x : x coù tính chaát E }. Neáu a laø phaàn töû cuûa taäp hôïp A thì ta vieát a A. Neáu a khoâng laø phaàn töû cuûa taäp hôïp A thì ta vieát a ∉A. Taäp hôïp khoâng chöùa moät phaàn töû naøo ñöôïc goïi laø taäp hôïp roãng vaø kí hieäu laø ∅. Ví duï, caùc taäp hôïp soá maø ta ñaõ quen bieát : taäp caùc soá töï nhieân (khoâng coù soá 0) ∠ = {1, 2, 3, …, n,…}; taäp soá töï nhieân (vôùi soá 0), ∠0 = {0,1, 2, …, n,…}; taäp caùc soá nguyeân 9 = {0,±1, ±2,…, ±n,…}; taäp caùc soá höõu tæ Θ = { nm : m∈9, n∈∠}; taäp caùc soá thöïc 3; taäp caùc soá phöùc ∀ = {a + bi : a,b ∈ 3}. • Neáu moïi phaàn töû cuûa taäp hôïp A ñeàu laø caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp B thì ta noùi A naèm trong B, hay B chöùa A, hay A laø taäp con cuûa B , vaø kí hieäu laø A ⊂ B hoaëc B ⊃ A. • Hôïp cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû thuoäc ít nhaát moät trong caùc taäp hôïp ñaõ cho. Hôïp cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A∪ B. Hôïp cuûa hoï caùc taäp hôïp {A } laø moät taäp hôïp B goàm taát caû caùc phaàn töû thuoäc ít nhaát moät α α ∪ α trong caùc taäp hôïp A vaø ñöôïc kí hieäu laø B = A α ∞ • n=1 n1 ] = [0, 1) VÍ DUÏ: ∪ [0, 1 – • Giao cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû ñoàng thôøi ôï eäu laø A B. thuoäc taäp hôïp A vaø taäp hôïp B. Giao cuûa hai taäp hôïp ñö c kí hi ∩ • Giao cuûa hoï caùc taäp hôïp {A } laø moät taäp hôïp B goàm taát caû caùc phaàn töû ñoàng α thôøi thuoäc vaøo moïi taäp hôïp A ∩ Aα . α vaø ñöô ∞ • VÍ DUÏ: =∩n 1[– ïc kí hieäu laø B = α n , 1n ] = {0} 1 • Hôïp vaø giao caùc taäp hôïp coù caùc tính chaát 1) A∪ = B∪ ∩ B = B∩ A (Giao hoùan) B A A 2) A∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C A∩ (B∩ C) = (A∩ B)∩ C (Keát hôïp) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 8 - ∪ α ∪ ∩ α ∪ ( ∩ Aα ) = α∩(A A ) (Phaân phoái) 3) A∩ ( A ) = (A A ) A α α α ∪ α • Hieäu cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp A maø khoâng phaûi laø phaàn töû cuûa taäp hôïp B. Hieäu cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A \ B hay A – B • Hieäu ñoái xöùng cuûa hai taäp hôïp ∪ A vaø B laø taäp hôïp (A – B) (B – A). Hieäu ñoái xöùng cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A∆B. Roõ raøng raèng A ∆ B = B∆ A. • Tích tröïc tieáp hay tích Descartes cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm moïi caëp (x,y) ôû ñaây x∈A vaø y∈B, vaø ñöôïc kí hieäu laø A ⋅ B. Tích Descartes cuûa hoï caùc taäp hôïp {A α} laø moät taäp hôïp goàm caùc hoï α∈.I (a α ) α∈.I , vôùi a α ∈ Aα vôùi moïiα ∈ I, vaø ñöôïc kí hieäu laø ∏α∈IA α. • Neáu B laø taäp con cuûa taäp hôïp A thì A – B ñöôïc goïi laø phaàn buø cuûa taäp hôïp B ñoái vôùi taäp hôïp A vaø ñöôïc kí hieäu laø C B. Ñoái vôùi phaàn buø ta coù luaät ñoái ngaãu A C(α∪ αα∩( α (α∩Aα ) = CA ). α∪( α 1.2 AÙnh xaï A ) = CA ) C • Cho hai taäp hôïp X vaø Y. Moät aùnh xaï töø X vaøo Y laø moät qui luaät f naøo ñoù cho töông öùng moät phaàn töû x∈X vôùi duy nhaát moät phaàn töû y ∈ Y . X ñöôïc goïi laø taäp nguoàn hay mieàn xaùc ñònh coøn Y laø taäp ñích hay mieàn giaù trò. Phaàn töû y ñöôïc goïi laø aûnh cuûa x, coøn x ñöôïc goïi laø ta aûnh cuûa y qua aùnh xaï f, khi ñoù ta vieát y = f(x). Ñeå ïo chæ moät aùnh xa töø X vaøo Y thöôøng duøng kí hieäu f : X → Y, x a y = f(x) • Cho aùnh xaï f : X Y vaø U, V laàn löôït laø caùc taäp con cuûa X va → ø Y. Taäp hôïp f : x uûa taäp hôïp U qua aùnh xaï f – ) = {f(x) ∈U} ñöôïc goïi laø aûnh c , coøn taäp hôïp f (U 1(V) = {x ∈ : f x) ∈ V } ñöôïc goïi laø nghòch aûnh cuûa taäp hôïp V. X ( • AÙnh xaï f U :U→ Y, xaùc ñònh bôûi f U (x) = f(x) vôùi moïi x ∈U, ñöôïc goïi laø haïn cheá cuûa aùnh xaï f treân U ñoàng nhaát treân X. • Ta coù caùc tính chaát sau . AÙnh xaï idX : X X, idX(x) = x, ñöôïc goïi laø aùnh xaï → f(A B) f(A) f(B) A, B ∪ = ∪ ⊂ X ⇒⎩⎨⎧∩ ⊂ ∩ f(A B) f(A) f(B) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 9 - ⎧ ∪ = ∪ ⎨⎩1 1 1 − − − U, V ⊂ Y ⇒f U V f U f V ( ) ( ) ( ) − − − 1 1 ( ) ∩ = ( ∩ V 1 ) ( ) f U V f U f CHUÙ YÙ : Ñaúng thöùc f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) noùi chung khoâng ñuùng. Chaúng haïn, xeùt aùnh xaï f : 3 → 3 , f(x) = sinx; vaø A = [0, 43π ], B 2π , 23π = [ ]. • Hai aùnh xaï f1 : X1→ Y1 vaø f2 : X2 → Y2 ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu X1 = X2 vaø f1(x) = f2(x) vôùi moïi x ∈ X1, khi ñoù ta vieát f = f . 1 2 • Cho hai aùnh xaï f : X → Y vaø g : Y → Z . Hôïp cuûa f vôùi g, kyù hieäu laø gof, laø aùnh xaï töø X vaøo Z, ñöôïc xaùc ñònh bôûi (gof)(x) = g(f(x)). Neáu h : Z → T laø moät aùnh xaï khaùc thì ta coù ho(gof) = (hog)o f. • AÙnh xaï f : X→ Y ñöôïc goïi laø ñôn aùnh neáu aûnh cuûa hai phaàn töû khaùc nhau trong X laø hai phaàn töû khaùc nhau trong Y. AÙnh xaï f ñöôïc goïi laø toøan aùnh neáu f(X) = Y, töùc laø ñoái vôùi moãi phaàn töû y ∈ Y toàn taïi moät phaàn töû x ∈ X sao cho y = f(x). Moät aùnh xaï vöøa ñôn aùnh vöøa toøan aùnh ñöôïc goïi laø song aùnh. • Neáu f : X→ Y laø moät song aùnh thì ñoái vôùi moãi y thuoäc Y coù duy nhaát moät x thuoäc X sao cho y = f(x). Ñieàu naøy cho pheùp xaùc ñònh moät aùnh xaï f –1 töø Y vaøo vôùi f –1(y) := x neáu f(x) = y. AÙnh xaï f –1 X ñöôïc goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa aùnh xaï f o f–1 . Hieån nhieân raèng f = idY. Ta cuõng coù theå deã kieåm –1o f = idX vaø f tra raèng, neáu f : X → Y, g : Y → Z laø caùc song aùnh thì f –1 : Y → X, (g o f) : X → Z cuõng laø caùc song aùnh vaø (g o f)–1 = f –1 o g–1. 1.3 Taäp höõu haïn - voâ haïn - ñeám ñöôïc Neáu coù moät song aùnh f : X → Y töø taäp hôïp X vaøo taäp hôïp Y thì ta noùi X vaø Y coù cuøng löïc löôïng. Taäp hôïp X goïi laø ñeám ñöôïc neáu noù cuøng löïc löôïng vôùi taäp hôïp caùc soá töï nhieân ∠. Noùi caùch khaùc, taäp hôïp ñeám ñöôïc laø taäp hôïp maø caùc phaàn töû cuûa noù coù theå ñaùnh soá thaønh daõy voâ haïn x1, x2, …, xn,…. Moät taäp hôïp X goïi laø höõu haïn neáu noù cuøng löïc löôïng vôùi taäp hôïp {n∈ ∠:1 ≤ n ≤ ko } (vôùi ko laø moät soá töï nhieân naøo ñoù). Taäp hôïp khoâng höõu haïn goïi laø voâ haïn. • VÍ DUÏ:Taäp hôïp caùc soá nguyeân coù cuøng löïc löôïng vôùi taäp soá töï nhieân vì ta coù song aùnh f : 9 → ∠, ñöôïc xaùc ñònh bôûi f(n) = 2n +1 neáu n ≥ 0, vaø f(n) = 2 n neáu n < 0. 1.4 Quan heä hai ngoâi. • Quan heä (hai ngoâi) treân taäp X laø moät taäp con R cuûa X ⋅ X. Neáu caëp phaàn töû (x, y)∈ R thì ta noùi x coù quan heä R vôi y, v aø vieát x R y. • Moät quan heä R treân taäp X ñöôïc goïi laø ù tính ch át co a Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 10 - 1) phaûn xaï neáu x R x, ∀x ∈ X ùng neáu x R y y R x. 2) ñoái xö ⇒ 3) phaûn xöùng neáu x R y vaø y R x ⇒ x = y. 4) baéc caàu neáu ⇒ x R y vaø y R z x R z. • VÍ DUÏ: a) Quan heä beù hôn '' ≤ '' thoâng thöôøng treân taäp ∠ laø pha ûn xaï, khoâng ñoái xöùng, phaû n xöùng, baéc caàu. b) Quan heä vuoâng goùc trong taäp hôïp caùc ñöôøng thaúng cuûa maët phaúng laø ñoái xöùng, khoâng phaûn xaï, khoâng phaûn xöùng, khoâng baéc caàu. 1.5 Quan heä töông ñöông. • Quan heä R treân taäp X ñöôïc goïi laø quan heä töông ñöông neáu noù coù caùc tính chaát: phaûn xaï, ñoái xöùng vaø baéc caàu. Ngöôøi ta thöôøng kí hieäu quan heä töông ñöông R ba èng daáu '' ~ '' vaø ñoïc '' a ~ b'' laø a töông ñöông vôùi b. • Cho R laø moät quan heä töông ñöông treân X. Ñoái vôùi moãi x thuoäc X, taäp hôïp con { y ∈ X : x } cuûa X ñöôïc goïi laø moät lôùp töông ñöông cuûa x (modulo R) R y vaø ñöôïc kí hieäu laø [x] , h aëc [x , h R x hoaëc ∧x . Moãi phaàn töû cuûa [x] ñöôïc goïi laø moät ñaïi dieän cuûa [x o ] oaëc ] R . , R • Taäp hôïp X R := { [x] : x ∈ X } ñöôïc goïi laø taäp thöông cuûa X ñoái vôùi quan heä töông ñöông R . AÙnh xaï π : X → X R , π (x) = [x], laø moät toøan aùnh vaø ñöôïc goïi ø toøan caáu chính taéc. la VÍ DUÏ: a) Q uan heä baèng nhau trong moät taäp hôïp baát kì X laø moät quan heä töông ñöông. Vôùi moãi x thuoäc X, ta coù [x] = {x} vaø X R = {{x}, x ∈ X}. b) Vôùi moãi n ∈ ∠, quan heä ñoàng dö modulo n treân 9, kí hieäu x ≡ y(mod n) vaø ñoïc laø '' x laø ñoàng dö vôùi y modulo n '', ñöôïc xaùc ñònh bôûi: x ≡ mod n) ⇔ x – y chia heát cho n y( laø moät quan heä töông ñöông Lôùp öôn ñö . t g ông cuûa x ñöôïc goïi laø lôùp ñoàng dö modulo n cuûa x , vaø thöôøng ñöôïc í h eäu x = {x + kn, k ∈ 9 }. k i laø • Moät hoï P = {X } α∈I cacù taäp con cuûa X goïi laø moät ph ân α a lôùp (hay phaân hoaïch) cuûa 1) X X neáu α ≠ ∅ , ∀ α ∈ I. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 11 - ∪ Xα 2) X = α∈I 3) Xα ∩ Xβ ≠ ∅ ⇒ Xα = Xβ . 1.6 Meänh ñeà a) Neáu R laø moät quan heä töông ñöông trong X thì taäp thöông X R laø moät phaân lôùp cuûa X. b) Neáu P = {X } laø moät phaân lôùp cuûa X thì R(P) = {(x α α∈I ,y)∈X ⋅ X : toàn taïi Xα ∈ P ñeå x, y∈ Xα } laø moät quan heä töông ñöông treân X, vaø P = X R(P) . Chöùng minh: a) Giaû söû R laø moät quan heä töông ñöông trong X. Vì neáu x thuoäc X thì x thuoäc [x] neân [x] ≠ ∅ vaø X = x∈X • ∪ [x]. • Neáu [x]∩ [y] ≠ ∅, töùc laø toàn taïi z ∈ [x]∩ [y]. Khi ñoù zRx vaø zRy. Vì vaäy xRy (do tính ñoái xöùng vaø baéc caàu cuûa R). Töø ñoù, [x]= [y]. b) Giaû söû P = {X α } α∈I laø moät phaân lôùp cuûa X vaø R(P) laø quan heä treân X xaùc ñònh bôûi : x R(P) y Xα ∈ P, x, y ∈ Xα . ⇔ ∃ • Tính phaûn xaï vaø tính ñoái xöù g c ûa R(P) ø roõ r øng. Giaû söû x, y, z ∈ X sao cho x n u la a ∈ X vaø y, z ∈ X α β α β . R(P) y vaø y R(P) z. Khi ñoù toàn taïi X vaø X sao cho x, y Nhö vaäy, Xα ∩ Xβ ≠ ∅ vaø do P laø phaân lôùp cuûa X neân Xα = Xβ . Töø ñoù, x, z thuoäc Xα = Xβ , töùc laø x R(P) z. Ñieàu naøy suy ra tính baéc caàu cuûa R(P). • Ta coù nhaän xeùt raèng, neáu x ∈ X α thì [x] R(P) = X α. Thaät vaäy, neáu laáy baát kì y thuoäc [x] R(P) thì y R(P) x neân toàn taïi Xβ ∈ P sao cho y, x ∈ X . Nhöng khi ñoù, vì β Xβ vaø X αcoù chung phaàn töû x neân truøng nhau; töùc laø y cuõng laø phaàn töû cuûa α X , . Ngöôïc laïi, neáu laáy baát kì y thuoäc X α ñieàu naøy suy r ] R(P) α a [x ⊂ X thì do x cuõng thuoäc X neân x R(P) y, töùc laø y ∈ [x] . Töø ñoù, X [x] R(P) α⊂ R(P) . α • Nhaän xeùt treân suy ra phaàn coøn laïi cuûa meänh ñeà. • NH AÄN XEÙT : a) thì vôùi moïi x, y thuoäc X ta coù Neáu R laø moät quan heä töông ñöông trong X, x R y ⇔ [x] = [y] ⇔ x ∈ [y] ⇔ y ∈ [x] b) Meänh ñeà 1.6 cho thaáy moät söï töông öùng 1 – 1 giöõa taäp caùc quan heä töông ñöông treân X vaø taäp caùc phaân hoaïch cuûa X. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 12 - 1.7 Quan heä thöù töï • Quan heä 2 ngoâi R treân taäp X ñöôïc goïi laø quan heä thöù töï khoâng chaët neáu noù coù c aùc tính chaát phaûn xaï, phaûn xöùng vaø baéc caàu, vaø ñöôïc goïi laø quan heä thöù töï chaët neáu n baéc caàu où chæ coù caùc tính phaûn xöùng vaø . • Cho R laø ∈ X ñöôïc goïi laø so saùnh ñöôïc quan heä thöù töï treân X. Hai phaàn töû a, b ái a ño vôùi R neáu luoân luoân coù R b hoaëc b R a. Moät quan heä thöù töï R treân X goïi laø quan heä thöù töï toøan phaàn neáu moïi caëp phaàn töû khaùc nhau cuûa X ñeàu so saùnh ñöôïc, coøn traùi laïi thì ñöôïc goïi laø quan heä • VÍ DUÏ: thöù töï boä phaän. a) Quan heä beù hôn ≤ thoâng thöôøng trong 3 laø moät quan heä thöù töï khoâng chaët, toøan phaàn. b) Quan heä chia heát trong ∠, ñöôïc kí hieäu laø a ξ b vaø ñoïc laø a chia heát b, laø moät quan heä thöù töï khoâng chaët, boä phaän. c) Quan heä bao haøm ⊂ trong taäp caùc taäp con cuûa X laø moät quan heä thöù töï boä phaän. • Neáu R laø moät quan heä thöù töï trong X thì ta thöôøng kí hieäu R baèng daáu ≤ vaø ñoïc '' a ≤ b '' laø '' a beù hôn b''. Ta xem kí hieäu b ≥ a laø ñoàng nghóa vôùi a ≤ b vaø ñoïc laø '' b lôùn hôn a ''. • Taäp hôïp X ñöôïc goïi laø ñöôïc saép thöù töï ( hay ñöôïc saép) (chaët, khoâng chaët, boä p haän, toøan phaàn) neáu trong noù coù xaùc ñònh moät quan heä thöù töï (chaët, khoâng chaët, boä phaän, toøan phaàn) ≤ , vaø vieát (X, ≤ ). • Giaû söû (X, ≤ ) laø moät taäp ñöôïc saép. Phaàn töû a ∈ X goïi laø phaàn töû cöïc tieåu (töông öùng: cöïc ñaïi ) cuûa X khi vaø chæ khi neáu coù quan heä x≤ a (töông öùng: x ≥ a ) thì keùo theo x = a . Phaàn töû a ∈ X goïi laø phaàn töû beù nhaát ( töông öùng: phaàn töû lôùn nhaát ) cuûa X khi vaø chæ khi a ≤ x ( a ≥ x) vôùi moïi x ∈ X. • NHAÄN XEÙT: a) Neáu taäp ñöôïc saép (X, ≤ ) coù phaàn töû beù nhaát ( phaàn töû lôùn nhaát ) a thì a laø phaàn töû beù nhaát (töông öùng: lôùn nhaát ) duy nhaát. Thaät vaäy, giaû söû coøn coù b laø phaàn töû beù nhaát thì ta suy ra a ≤ b vaø b ≤ a, töø ñoù, do tính phaûn xaï, a = b. b) Moät boä phaän A cuûa taäp ñöôïc saép (X, ≤ ) coù theå coù hoaëc khoâng coù phaàn töû ôùn nhaát hoaëc beù nhaát. Chaúng haïn trong (3 , ≤ ), taäp ∠0 coù phaàn töû beù nhaát laø 0, l nhöng khoân où phaàn töû lôùn nhaát. g c c) Moät boä phaän A cuûa taäp ñöôïc saép (X, ≤ ) coù theå khoâng coù phaàn töû cöïc ñaïi, cöïc tieåu hoaëc coù moät, hoaëc coù nhieàu. Chaúng haïn: Trong (3 , ≤ ) boä phaän ∠0 khoâng coù phaàn töû cöïc ñaïi, ñoaïn [0, 1] coù moät phaàn töû cöïc ñaïi vaø chæ moät, ñoù laø 1 ñoù cuõng Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 13 - laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa [0,1]; trong (∠ – {1}, ξ ) coù voâ soá phaàn töû cöïc tieåu, ñoù laø caùc soá nguyeân toá. d) Neáu (X, ≤ ) ñöôïc saép thöù töï toaøn phaàn thì X coù nhieàu nhaát moät phaàn töû cöïc ñaïi, ñoù cuõng laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa X. Thaät vaäy, neáu a laø phaàn töû cöïc ñaïi cuûa X. Laáy ≤ ≤ ≤ baát kì x thuoäc X , vì laø quan heä thöù töï toaøn phaàn neân ta coù x a hoaëc a x. Trong tröôøng hôïp a ≤ x ≤ , vì a laø cöïc ñaïi neân suy ra a = x. Vaäy, ta luoân coù x a vôùi moïi x ∈ X, töùc laø a laø phaàn töû lôùn nhaát. • Ta noùi moät taäp hôïp X laø saép thöù töï toát neáu noù laø saép thöù töï vaø moïi boä phaän khaùc roãng cuûa X coù moät phaàn töû beù nhaát. Chaúng haïn, (∠, ≤) laø taäp ñöôïc saép toát. 2. Caáu truùc ñaïi soá 2.1 Pheùp toùan ñaïi soá • Cho X vaø Y laø hai taäp khaùc ∅. Pheùp toùan trong ( hay luaät hôïp thaønh trong) treân X laø moät aùnh xaï F : X x X → X. Pheùp toùan ngoøai(hay luaät hôïp thaønh ngoøai) treân X vôùi taäp toùan töû Y laø aùnh xaï G : Y x X → X. Phaàn töû F(x,y), G(x,y) ñöôïc goïi laø caùi hôïp thaønh cuûa x vaø y. • Ngöôøi ta thöôøng vieát caùi hôïp thaønh cuûa x vaø y baèng caùch vieát x vaø y theo moät thöù töï nhaát ñò nh vôùi moät daáu ñaëc tröng cho pheùp toaùn ñaët giöõa x vaø y. Chaúng haïn, F(x,y) = x + y, F(x,y) = x.y, F(x,y) = x* y, F(x,y) = x ⊥ y, …. Pheùp toaùn trong kí hieäu baèng daáu + ñöôïc goïi laø pheùp coäng, caùi hôïp thaønh x + y luùc naøy ñöôïc goïi laø toång cuûa x vaø y. Pheùp toaùn trong kí hieäu baèng daáu • ñöôïc goïi laø pheùp nhaân, caùi hôïp thaønh x • y (ñoâi khi cuõng ñöôïc • VÍ DUÏ: vieát xy) luùc naøy ñöôïc goïi laø tích cuûa x vaø y. a) Treân 9 caùc aùnh xaï (x a a ,y) xy; (x,y) x + y ( pheùp nhaân vaø coäng thoâng th a öôøng) laø caùc pheùp toaùn trong. AÙnh xaï (x,y) x * y = 2x + 6xy + 5y cuõng laø pheùp toaùn trong treân 9. Tuy nhieân aùnh xaï (x,y) a xy khoâng phaûi laø pheùp toaùn treân 9, vì noùi chung xy khoân g thuoäc 9. b) Treân P(X) = {A : A ⊂ X }, caùc aùnh xaï (A, B) a A ∪ B, (A, B) a A B ∩ laø caùc pheùp toaùn trong. c) Treân taäp M(X) = {f : X → X}, caùc aùnh xaï töø X vaøo X, aùnh xaï (f, g) a f o g laø pheùp toaùn trong d) Ñoái vôùi moãi soá thöïc x vaø soá töï nhieân n, caùc aùnh xaï (n, x) a nx, (n,x) a xn laø c aùc heùp toaùn ngoøai treân 3 vôùi taäp toaùn töû ∠. p Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 14 - • M 2, …, xn} thöôøng ñöôïc cho baèng oät pheùp toaùn * treân moät taäp höõu haïn X = {x1, x c aùch trình baøy döôùi daïng moät baûng. Trong baûng , ngöôøi ta vieát caùc phaàn töû cuûa X ôû beân treân vaø beân traùi cuûa baûng, daáu * cuûa pheùp toaùn ñöôïc ñaët ôû goùc traùi phía tr eân. T rong phaàn giao cuûa haøng thöù i vaø coät thöù j, ngöôøi ta vieát caùi hôïp thaønh xi * xj. x ... x ... x * 1 j n 1 1* 1 1* j x1*xn x x x ... x x ... : : : : : : i i* 1 i* j i* n x x x ... x x ... x x : : : : : : n n* 1 n* j xn*xn x x x ... x x ... 2.2 Caùc tính chaát cuûa pheùp toaùn ñaïi soá Moät pheùp toaùn * treân taäp X coù theå thoûa maõn moät soá trong caùc tính chaát sau ñaây: • Tính keát hôïp : (a * b) * c = a * (b * c) vôùi moïi a, b, c ∈ X • Tính giao hoaùn : a * b = b * a vôùi moïi a, b ∈ X • Tính phaân phoái : Giaû söû ⊥ laø moät pheùp toaùn khaùc treân X. Khi ñoù pheùp toaùn * ñöôïc goïi laø a ∀ a, b, c ∈ X ) phaân phoái traùi ñoái vôùi ⊥ neáu a * (b ⊥ c) = a * b ⊥ a * c, b) phaân phoái phaûi ñoái vôùi ⊥ neáu (b ⊥ c) * a = b * a ⊥ c * a,∀ a, b, c ∈ X c) phaân phoái ñoái vôùi pheùp toaùn ⊥ neáu noù phaân phoái traùi laãn phaân phoái phaûi. • T ñöôïc goïi laø thoûa maõn hoûa luaät giaûn öôùc : Pheùp toùan * a ∈ X, töø a * b = a * c keùo theo b = c ) luaät giaûn öôùc traùi neáu vôùi moïi a, b, c b) luaät giaûn öôùc phaûi neáu vôùi moïi a, b, c ∈ X, töø b * a = c * a keùo theo b = c c ) luaät giaûn öôùc neáu noù thoûa luaät giaûn öôùc traùi laãn luaät giaûn öôùc phaûi. • VÍ DUÏ: 1) Trong taäp caùc soá töï nhieân ∠, pheùp coäng vaø pheùp nhaân thoâng thöôøng coù tiùnh k eát hôïp, giao hoaùn, pheùp nhaân phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng; pheùp toaùn muõ hoùa (m, n) a mn khoâng giao hoaùn ( 21 ≠ 12), khoâng keát hôïp ( (21)2 ≠ 2 (1 ) 2 ). 2) Trong taäp hôïp caùc aùnh xaï töø X vaøo X, pheùp toa ùn hôïp g o f coù tính keát hôïp, khoâng giao hoaùn ( neáu X c ù nhieàu hôn moät phaàn töû o ) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 15 - 2.3 Caùc phaàn töû ñaëc bieät Cho taäp hôïp X vaø treân ñoù coù moät pheùp toaùn * . • Phaàn töû e ∈ X ñöôïc goïi laø – phaàn töû ñôn vò traùi ñoái vôùi pheùp toaùn * neáu e * a = a, vôùi moïi a ∈ X. – phaàn töû ñôn vò phaûi ñoái vôùi pheùp toaùn * neáu a * e = a, vôùi moïi a ∈ X. – phaàn töû ñôn vò ñ ∈ oái vôùi pheùp toaùn * neáu e * a = a * e = a, vôùi moïi a X. • Giaû söû e laø phaàn töû ñôn vò ñoái vôùi pheùp toaùn * treân X. Phaàn töû a' ∈ X ñöô ïc goïi laø – nghòch ñaûo traùi cuûa x ∈ ∈ X neáu a' * a = e – nghòch – nghòch ñaûo phaûi cuûa x X neáu a * a' = e ñaûo cuûa x ∈ X neáu a' * a = a * a' = e • CHUÙ YÙ: 1) Neáu ñoái vôùi pheùp toaùn * treân X coù phaàn töû ñôn vò traùi e' vaø phaàn töû ñôn v ò phaûi e'' thì e' = e''. Ñieàu naøy suy ra töø e' = e'* e'' = e'' ( ñaúng thöùc thöù nhaát do e'' l vò phaûi, ñaúng thöùc thöù hai do e' laø ñôn vò traùi). aø ñôn Töø ñieàu treân suy ra g n ay laäp töùc raèng, ñoái vôùi moät pheùp toaùn trong coù nhieàu moät phaàn töû ñôn vò. nhaát laø 3 ) Phaàn töû ñôn vò ñoái vôùi pheùp coäng thöôøng ñöôïc kí hieäu baèng 0, vaø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x ñöôïc kí hieäu laø – x. Phaàn töû ñôn vò ñoái vôùi pheùp nhaân thöôøng ñöôïc kí hieäu baèng 1, vaø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x ñöôïc kí hieäu laø x–1. • VÍ DUÏ: 1) Trong taäp P(X) caùc taäp con cuûa X, phaàn töû ñôn vò cuûa pheùp toaùn ∪ laø e = ∅, phaàn töû ñôn vò cuûa pheùp toaùn ∩ laø e = X. 2) Trong 9, phaàn töû ñ ôn vò cuûa pheùp toaùn coäng thoâng thöôøng laø soá 0, phaàn töû ñ ôn vò cuûa pheùp toaùn nhaân thoâng thöôøng laø soá 1. 3) Ñoái vôùi phe toaùn hôïp treân taäp caùc ùnh xaï öø X vaøo X, phaàn töû ñôn vò laø ùp a t a h ùn xaï ñoàng nhaát idX. 2.4 Caáu truùc ñaïi soá • M 2, ⊥2, ..., Ym, ⊥m ) bao goàm taäp hôïp X khaùc oät boä (X, T1, T2, ...,Tn ; Y1, ⊥1, Y ∅ ≤ i ≤ n), caùc pheùp toùan ngoøai ⊥j treân X vôùi , caùc pheùp toùan trong Ti treân X ( 1 taäp toùan töû Yj ( 1 ≤ j ≤ m ) ñöôïc goïi laø moät caáu truùc ñaïi soá. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 16 - • Giaû söû (X, T1, T2, ...,Tn ; Y1, ⊥1, Y2, ⊥2, ..., Ym, ⊥m ) vaø (X ', T'1, T'2, ...,T'n ; Y1, ⊥'1, Y2, ⊥'2, ..., Ym, ⊥'m ) laø hai caáu truùc ñaïi soá coù cuøng soá löôïng caùc pheùp toaùn trong, coù cuøng soá löôïng caùc pheùp toaùn ngoøai vôùi cuøng caùc taäp toaùn töû. Khi ñoù aùnh xaï f : X X' ñöôïc goïi laø moät ñoàng caáu giöõa hai caáu → tr uùc ñaïi soá naøy neáu : a) f(a Ti b) = f(a) T ∈ X, vôùi moïi i = 1, 2, …, n. 'i f(b), vôùi moïi a, b ) f( j b) = ⊥' b α ⊥ α j f(b), vôùi moïi α ∈ Yj, b ∈ X, vôùi moïi j = 1, 2, …, m. • Ñoàng caáu f ñöôïc goïi laø ñôn caáu, toøan caáu, ñaúng caáu neáu aùnh xaï f töông öùng laø ñ ôn aùnh, toaøn aùnh, song aùnh. 2.5 Caùc caáu truùc ñaïi soá cô b aûn • Caáu truùc ñaïi soá (X, ), trong ñoù laø pheùp toaùn trong treân X, ñöôïc goïi laø * * a) nöûa nhoùm neáu pheùp toaùn * coù tính chaát keát hôïp. b) vò nhoùm neáu pheùp toaùn coù tính keát hôïp, coù phaàn töû ñôn vò * c) nhoùm neáu pheùp toaùn ñeàu coù nghòch ñaûo. * coù tính keát hôïp, coù phaàn töû ñôn vò, vaø moïi phaàn töû cuûa X Neáu pheùp toaùn * coù tính giao hoaùn thì (X, *) ñöôïc goïi laø nhoùm ( vò nhoùm, nöûa nhoùm) giao hoaùn. • Caáu truùc ñaïi soá (X, +, • ), trong ñoù + vaø • laø hai pheùp toaùn trong treân X, ñöôïc goïi laø moät vaønh neáu: a) (X, +) laø moät nhoùm giao hoaùn. b) (X, • ) laø moät vò nhoùm. c) Pheùp toaùn • phaân phoái ñoái vôùi pheùp +. Phaàn töû ñôn vò ( kí hieäu laø 1) cuûa v ò nhoùm (X, • ) cuõng ñöôïc goïi laø phaàn töû ñôn vò cuûa vaønh. Neáu pheùp toaùn • coù tính giao hoaùn o . gia hoaùn thì vaønh (X, +. • ) ñöôïc goïi laø vaønh Cho (X, +, • ) laø moät vaønh, noù coù theå xaûy ra tröôøng hôïp raèng, toàn taïi caùc phaàn töû a, b ∈ X sao cho a ≠ 0, b ≠ 0 ( 0 laø phaàn töû ñôn vò cuûa nhoùm (X,+)) nhöng xy = 0. Nhöõng phaàn töû nhö theá ñöôïc goïi laø öôùc cuûa khoâng. Moät vaønh giao hoaùn, khoâng coù öôùc cuûa khoâng vaø 1 ≠ 0 ñöôïc goïi laø vaønh nguyeân hoaëc mieàn nguyeân. • Vaønh (X, +, • ) ñöôïc goïi laø moät tröôøng neáu noù laø giao hoaùn, phaàn töû ñôn vò 1 khaùc 0, vaø moïi ph aàn töû khaùc 0 deàu coù nghòch ñaûo ñoái vôùi pheùp toaùn • . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 17 - • Cho (A, +, • ) laø moät vaønh vôùi pha 1. Caáu truùc ñaïi soá (M, +, • ), trong àn töû ñôn vò laø ñ où + laø pheùp toaùn trong treân M vaø • laø pheùp toaùn ngoøai treân M vôùi taäp toaùn töû A, ñöôïc goïi laø moät modul treân vaønh A neáu : a) (M, +) laø moät nhoùm giao hoaùn. b) Pheùp toaùn ngoøai • thoû a caùc ñieàu kieän sau α α α α ∈ A, vôùi moïi x,y ∈ M. i) (x + y) = x + y vôùi moïi ii) (α +β)x = α x + β x (α β α (β α , β ∈ A, vôùi moïi x ∈ M. )x = x) vôùi moïi iii) 1x = x vôùi moïi x ∈ X. • Moät modul treân moät tröôøng ñöôïc goïi laø laø moät khoâng gian vector hay khoâng gian tuyeán tính . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 18 - BAØI TAÄP 1. Chöùng minh raèng : 1) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A vaø A ∪ B = B 2) A ∩ B = A ⇒ A ⊂ B 3) A ∪ B = B ⇒ A ⊂ B 2. Cho X, Y laø hai taäp con cuûa Z, haõy chöùng toû 1) Z – X ⊂ Z – Y ⇔ Y ⊂ X 2) (Z –Y) ∪ Y = X ⇔ Y ⊂ X ∪ Ak) – 1n nk=1 n 3. Chöùng minh raèng : ( k=1 k= ( ∪ Bk) ⊂ ( (Ak – Bk). ∪ Cho ví duï chöùng toû noùi chung daáu ' = ' khoâng xaûy ra. 4. Chöùng minh raèng vôùi caùc ta äp hôïp baát kì A, B, C thì 1) A × (B ∪ C) = (A ×B) ∪ (A ×C) 2) (A ∪ B)×C = (A ×C) ∪ (B ×C) 3) A ×(B∩ ∩ C) = (A ×B ) (A ×C) 4) ( ∩ B) ×C = (A ×C) ∩ (B ×C) A 5. Xeùt taäp hôïp {A1,A2 ,…….,A } maø caùc phaàn töû A ,A ,…….,A laø nhöõng taäp hôïp. n 1 2 n Chöùng minh raèng coù ít taäp hôïp coøn laïi. nhaát moät taäp hôïp Ai khoâng chöùa moät taäp hôïp naøo trong caùc 6. Cho n0 laø moät soá töï nhieân. Xeùt tính ñôn aùnh, toøan aùnh, song aùnh cuûa aùnh xaï f : ∠ ∠, f(n) := n − n 0 n n → 7 → → ⎨⎧ khi < 0 ⎩n + n 0 khi 0 n ≥ n . Cho f : X Y, g : Y Z laø caùc aùnh xaï vaø h = go f laø hôïp cuûa f vaø g, chöùng minh: h 1) Neáu h ñôn aùnh thì f ñôn aùn ) Neáu h ñôn aùnh vaø f toøan aùnh thì g ñôn aùnh. 2 oøan ù ø toøan aùnh. 3) Neáu h laø t anh thì g la n aùn aùnh thì f toøan aùnh. 4) Neáu h toøa h vaø g ñôn 8. Cho ba aùnh xaï f : X → Y vaø g1, g → 2 : A X, haõy chöùng minh ) Neáu f ñôn aùnh vaø f o g1 = f o g2 thì g1 = g2. 1 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 19 - 2) Neáu vôùi moïi g1, g2 maø töø fo g1 = fo g2 keùo theo g1 = g2, thì f laø ñôn aùnh. 9. Cho ba aùnh xaï f : X → → Y vaø g1, g2 : Y A, haõy chöùng minh 1) Neáu f toøan aùnh va ø g1 o f = g2 o f thì g = g‘. 2 ) Neáu vôùi moïi g1, g2 maø g1 o f = g2 o f keùo theo g1 = g2, thì f laø toøan aùnh. 10. Haõy thieát laäp caùc song aùnh giöõa caùc taäp hôïp sau 1) Taäp hôïp c ùc so a á töï nhieân vaø taäp hôïp caùc soá töï nhieân chaün. 2 ) Taäp hôïp caùc soá töï nhieân vaø taäp hôïp caùc soá nguyeân chaün. 3) Taäp hôïp caùc soá höõu tæ ôû trong ñoïan [0, 1 ] vaø taäp hôïp caùc soá töï nhieân . 4 ) Ñoaïn [0, 1 ] vaø ñoaïn [a, b ] 5 ∞ ], a > 0. ) Ñoaïn [0, 1 ] vaø nöûa truïc [a, + 6 ) Ñoaïn [0, 1 ] vaø khoaûng (0, 1 ) 1 1. Chæ ra raèng caùc taäp hôïp ∠ vaø ∠ ×∠ , trong ñoù ∠ laø taäp hôïp caùc soá töï nhieân, coù uøng löïc luôïng. c 1 2. Cho E laø moät taäp hôïp, R laø moät quan heä phaûn xaï trong E sao cho vôùi ∈ moïi x, y, z E, töø xRy vaø yRz keùo theo zRx. Chöùng toû R laø moät quan heä töông ñöông. 14. Cho E laø moät taäp hôïp, R laø moät quan heä phaûn xaï vaø baéc caàu trong E. S laø moät quan heä trong E xaùc ñònh bôûi x S y ⇔ (xRy vaø yRx). Chöùng toû R laø moät quan heä töông ñöông. 14. Cho aùnh xaï f : 3 3 , f(x) = x2 – x. Treân 3 xaùc ñònh moät quan heä S nhö sau x → Sy ⇔ f(x) = f(y). Chöùng toû R laø moät quan heä töông ñöông, vaø xaùc ñònh lôùp töông ñöông chöùa phaàn töû x: [x]S . 15. Cho moät ñôn aùnh f : X ∠. Treân X xaùc ñònh moät quan heä R nhö → ≤ sau xRy ⇔ f(x) f(y). Chöùng toû R laø quan heä thöù töï toaøn phaàn. 16. Xeùt tính keát hôïp, giao hoaùn, toàn taïi phaàn töû ñôn vò traùi - phaûi cuûa pheùp toaùn * treân taäp hôïp X. 1) a* b = 2a + b – a2, X = 9 ⎩⎨⎧ + a b khi b 0 ≥ 2) a* b = , X = 9 a khi b 0 < 3) a* b = 2 2 a + b , X = (0, +∞ ). Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 20 - 4) a* b = a + b – ab, X = 3 5) a* b = ex + y, X = 3 6) a* b = ab, X = ∠ 1 7. Cho X laø moät taäp hôïp maø treân ñoù coù hai pheùp toaùn trong * vaø ⊥ vôùi phaàn töû ñôn vò töông öùng laø e0 vaø e. Ngoøai ra pheùp toaùn * phaân phoái traùi ñoái vôùi pheùp ⊥ vaø pheùp toaùn ⊥ phaân phoái traùi ñoái vôùi pheùp * . Chöùng minh raèng a * a = a vaø a ⊥ a = a vôùi m ïi a ∈ o X. 18. heùp nhaân caùc soá voâ tæ coù phaûi laø pheùp toùan tron P g treân taäp caùc soá voâ tæ khoâng? Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 21 - CHÖÔNG 2: SOÁ HOÏC TREÂN 9 1. Soá töï nhieân 1.1 Xaây döïng soá töï nhieân • Ta xaây döïng taäp soá töï nhieân baèng phöông phaùp tieân ñeà, ñoù laø taäp hôïp ∠ cuøng vôùi ùnh xaï σ : ∠ → ∠ thoûa maõn caùc tieân ñeà (goïi laø tieân ñeà Peano) sau ñaây : a 1) Coù moät phaàn töû kí hieäu laø 1∈ ∠ . ) σ : ∠ → + 2 ∠ := {n ∈ ∠ : n ≠ 1} laø moät song aùnh. 3) Neáu ⎪⎨⎧ . . S 1 ⊂ ∈ IN S thì S = ∠ . ⎪⎩ . σ ∈ (n) S khi n ∈S Taäp ∠ vôùi aùnh xaï σ thoûa maõn caùc tieân ñeà treân ñöôïc goïi laø taäp soá töï nhieân, moãi phaàn töû cuûa noù ñöôïc goïi laø moät soá töï nhieân. N σ σ σ(3) = 4, σ(4) = 5, … göôøi ta kí hieäu (1) = 2, (2) = 3, • NHA ÄN XEÙT: + + a) Neáu ta kí hieä σ(n) baèng n vaø hình dung n nhö laø '' phaàn töû ñöùng lieàn sau u phaàn töû n '' t hì tieân ñeà 2) noùi raèng: - σ(n) ≠ 1, n, töùc laø, soá 1 khoâng ñöùng lieàn sau baát kì soá töï nhieân naøo. + - ∀ n ∈ ∠ , ∃! m ∠ : σ(m) = m+ = n, töùc laø moãi soá töï nhieân khaù sau khoâng uaù m q oät soá töï nhieân. c 1 ñeàu ñöùng lieàn naïp. b) Tieân ñeà 3) cho moät phöông phaùp chöùng minh goïi laø pheùp chöùng minh qui eáu muoán chöùng minh moät tính chaát E naøo ñoù ñuùng vôùi moïi soá töï nhieân, thì tröôùc N n où ñuùng cho soá töï nhieân 1, sau ñoù chöùng minh noù ñuùng heát ta chöù g minh tính chaát ñ ho soá n+ ( soá ñöùng lieàn sau soá n ), vôùi '' giaû thieát qui naïp'' raèng tính chaát E ñuùng c cho soá n. + c) m = n ⇔ m+ = n 1.2 Pheùp coäng treân ∠ • Pheùp coäng treân ∠ laø aùnh xaï (n, m) a n + m thoûa maõn caùc tính chaát sau + a) n + 1 = n vôùi moïi n ∈ ∠ + + b) n + m = (n + m) vôùi moïi n, m ∈ ∠ . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 22 - • Ñeå ñònh nghóa pheùp coäng ñöôïc ñuùng ñaén, caàn phaûi chæ ra raèng toång cuûa hai soá töï n hieân toàn taïi vaø ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát. a oàn taïi. Ñaët S = {n ∈ ∠ : ∀ m ∈ ∠, ∃ aùnh xaï (n,m) n + m thoûa a) vaø b)} Söï t Vôùi n = 1, ñaët 1 + m = m+ thì roõ raøng raèng 1 - ∈ S. - Giaû söû n ∈ S, töùc laø xaùc ñònh ñöôïc n + m vôùi moïi m thoûa a) vaø b). Vôùi n+ neáu ta ñaët n+ + m = (n + m)+ thì n+ + 1 = (n + 1)+ = (n+)+ vaø n+ + m+ = (n + m+)+ - Töø ñoù, n+ ∈ S, vaø theo tieân ñeà 3) thì S = ∠ . Söï duy nhaát. Giaû söû coøn coù phe )a = ((n + m)+)+ = (n+ + m)+ ùp toaùn (m,n n * m thoûa maõn caùc tính chaát * 1 = n+ vaø n m+ = (n * m)+. Ñaët S = {m * ∀ ∈ n * ∈ ∠ : n + m = n m, n ∠}. Vì n +1 = n+ = n * 1 neân 1∈ S . Giaû söû m ∈ S, töùc laø n + m = n * m, khi ñoù n * m+ = (n * m)+ = (n + m)+ = n + m+, suy ra m+ ∈ S. Töø ñoù, theo tieân ñeà 3) ta coù S = ∠. • NHAÄN XEÙT Trong chöùng minh söï toàn taïi cuûa pheùp toaùn +, ngöôøi ta ñaõ ñònh nghóa 1 + m := m+. 1.3 Ñònh lí (∠, +) laø nöûa nhoùm giao hoaùn, thoûa luaät giaûn öôùc. Chöùng minh: • Tính keát hôïp: Ñaët S = {k ∈ ∠ : m + (n + k) = (m + n) + k ∀n, m ∈∠ }. Ta coù 1 ∈ S G ∈ , vì m + (n + 1) = m + n+ = (m + n)+ = (m + n) + 1. iaû söû k S, khi ñoù m + (n + k+) = m + (n + k+) = m + (n + k)+ = (m + (n + k))+ = ((m + n) + k)+ = (m + n) + k+. Suy ra k+∈ S. Töø ñoù S = ∠ . • Tính g ∈ ∠ : m + n = n + m, ∀ n ∈ ∠} iao hoaùn : Neáu ñaët S = {m Ta coù 1∈S, vì 1 + n = n+ = n + 1 G ∈ iaû söû m S, khi ñoù n + m+ = (n + m)+ = (m + n)+ = m + n+ = m + (1 + n) = (m + 1) + n = m+ + n. Suy + où S = ∠ . ra m ∈ S. Töø ñ • Thoûa luaät giaûn öôùc : S = {k ∈ ∠ : neáu n + k = m + k thì n = m }. Ta coù 1∈S, vì neáu n + 1 = m + 1 thì n+ = iaû söû k S vaø n + k+ = m + k+ G ∈ m+, töø ñoù n = m. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 23 - khi ñoù (n + k)+ = (m + k)+ n + k = m + k n = m ⇒ ⇒ Suy ra k+ ∈ S. Töø ñoù S = ∠ . 1.4 Pheùp nhaân treân ∠ • Pheùp nhaân treân ∠ laø aùnh xaï (n, m) a n • m thoûa maõn caùc tính chaát sau : a) n • 1 = n vôùi moïi n ∈ ∠ b) n • m+ = n • m + m vôùi moïi n, m ∈ ∠ • Ñeå ñònh nghóa pheùp nhaân ñöôïc ñuùng ñaén, caàn phaûi chæ ra raèng tích cuûa hai soá töï nhieân toàn taïi vaø ñöôïc xaùc ñònh duy nha át. Ñieàu naøy ñöôïc laøm baèng caùch töông töï n hö ñaõ laøm ñoái vôùi pheùp coäng. 1.5 Ñònh lí a) (∠, • ) laø vò nhoùm giao hoaùn, thoûa luaät giaûn öôùc. b) Pheùp nhaân phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng Chöùng minh baèng phöông ph ùp qui naïp töông töï nhö ñoái vôùi pheùp Chöùng minh: a coäng. Phaàn töû ñôn vò laø soá 1. 1.6 Quan heä thöù töï treân taäp hôïp soá töï nhieân • Neáu vôùi hai soá m vaø n cho tröôùc , coù moät soá k ∈ N raèng m lôùn hôn n vaø vieát > n, khi ñoù ta cuõng noùi sao cho m = n + k thì ta noùi m aèng n beù hôùn m vaø vieát n < r m. Neáu m lôùn hôn hoaëc baèng n thì vieát m ≥ n , neáu n beù hôn hoaëc baèng m thì vieát n ≤ m . • Caùc quan heä ≤ , < laø caùc quan h thöù töï treân taäp eä soá töï nhieân ∠. • Ta noùi moät nöûa nhoùm (vò nhoùm, nhoùm) (X, * ) laø nhoùm (vò nhoùm, nhoùm) saép thöù töï (boä phaän, toøan phaàn, toát, chaët, khoâng chaët) neáu treân taäp X ñaõ xaùc ñònh moät quan heä thöù töï (boä phaän, toøan phaàn, toát, chaët, khoâng chaët), < , sao cho ∈ töø x < y keùo theo x * a < y * a vaø a * x < a * y vôùi moïi a X. vaø X ñöôïc goïi laø nhoùm (vò nhoùm, nhoùm) saép thöù töï maïnh neáu theâm tính chaát töø x * a < y * a hoaëc a * x ∈ < a * y keùo theo x < y, vôùi moïi a X. 1.7 Ñònh lí: Vôùi caùc quan heä thöù töï ≤ , < nöûa nhoùm coäng (∠ ,+) vaø vò nhoùm nhaân (∠ , •) laø ñöôïc saép thöù töï toøan phaàn, toát vaø maïnh. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 24 - C höùng minh: (chæ chöùng minh cho quan heä ≤ , ñoái vôùi quan heä < cuõng töông töï ) • Saép thöù töï toaøn phaàn: ∈ ∠, ñaët S = {n ∈ ∠ : n ≤ m hoaëc m n}. Vôùi moïi m ≤ Tr ∈S, thaät vaäy, neáu m =1 thì ñieàu ñoù laø roõ raøng, neáu m ≠ 1 thì m = öôùc heát ta coù 1 k+ = k +1 vôùi k ∈ ∠ naøo ñoù, töùc laø 1 < m, töø ñoù 1∈S. söû n ∈ S. Coù ba kh Giaû aû naêng xaûy ra : ≤ n+, töùc laø n+ - ∈ S. Neáu n = m thì n+ = m + 1, töø ñoù m - Neáu n < m thì m = n + k vôùi k ∈ ∠ naøo ñoù, theá thì m = n + 1 = n+ hoaëc = n + h+ = (n + h)+ = n+ + h (vôùi h+ = k), töø ñoù n+ ≤ m, töùc laø n+ m ∈ S. - Neáu m < n thì n = m + k vôùi k ∈ ∠ naøo ñoù, suy ra n+ = (m + k)+ = m + k+, ø ñoù m < n+, töùc laø n S. + tö ∈ Toùm laïi, trong moïi tröôøng hôïp ñeàu coù n+∈ S. Vaäy theo tieân ñeà 3) thì S = ∠. • Saép thöù töï toát: Vôùi moïi A ⊂ ∠, ñaët S = {a ∈ ∠ : a ≤ x vôùi moïi x ∈ A } Tröôùc heát ta coù 1 ∈ S vaø S ≠ ∠ ( vì neáu x ∈ A thì do x+ > x neân x+ ∉ S). Ta luoân tìm ñöôïc moät soá b ∈ S sao cho b+ ∉ S, vì neáu khoâng, töùc laø vôùi moïi b∈ S suy ra b+ ∈ S, thì do tieân ñ ) ta coù S = ∠ . Soá b naøy phaûi thuoäc A. Thaät vaäy, neáu b eà 3 ∉ ∈ ∈ A. Töø ñoù b+ ≤ x vôùi moïi x thuoäc A, A thì do b S neân ta coù b < x vôùi moïi x ieàu naøy maâu thuaån b+ töùc laø b+ ∈ S. Nhöng ñ vôùi ∉ S. Nhö vaäy, ta ñaõ chæ ra raèng, toàn taïi soá b∈A sao cho b ≤ x vôùi moïi x∈A, nghóa laø b laø phaàn töû beù nhaát cuûa A. • Saép thöù töï maïnh: Ta seõ chöùng minh caùc khaúng ñònh sau a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c , vôùi moïi c ∈ ∠ a ≤ b ⇔ ac ≤ bc , vôùi moïi c ∈ ∠ - Giaû söû a ≤ b. Neáu a = b thì roõ raøng a + c = b + c, ac = bc. Neáu a < b thì ta coù b = a + k vôùi k ∈ ∠ naøo ñoù. Khi ñoù b + c = (a + k) + c = (a + c) + k ⇒ a + c < b + c bc = (a + k )c = ac + kc ⇒ ac < bc. - Giaû söû a + c ≤ b + c (töông öùng ac ≤ bc). Neáu b < a thì theo chöùng min h chieàu thuaän, b + c < a + c (töông öùng bc < ac). Ñieàu naøy daãn ñeán maâu 2. Vaønh soá nguyeân 2.1 Xaây döïng taäp soá nguyeân thuaån. • Xeùt taäp ∠ ×∠ = {(m, n) : m, n∈∠} goàm moïi caëp soá töï nhieân. Treân taäp ∠ ×∠ ñöa vaøo moät quan heä töông ñöông nhö sau: (m, n) ~ (p, q) ⇔ m + q = n + p. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 25 - • Ta kí hieäu [m, n] laø lôùp töông ñöông cuûa (m,n) vaø 9 laø taäp thöông cuûa ∠ x∠ ñoái ôùi quan heä ~ . 9 ñöôïc goïi laø laø taäp caùc soá nguyeân, moãi phaàn töû cuaû noù goïi laø moät v soá nguyeân. 2.2 Pheùp coäng • Pheùp coäng giöõa hai soá nguyeân [m, n] vaø [p, q] ñöôïc xaùc ñònh bôûi [m, n ] + [p, q] = [m + p, n + q] • Ñeå ñònh nghóa ñöôïc hôïp lí, caàn phaûi chæ ra raèng ñònh nghóa treân khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc choïn ñaïi dieän cuûa [m, n]vaø [p, q], töùc laø phaûi chöùng minh raèng, neáu (m, n) ~ (m', n') vaø (p, q) ~ (p', q') thì (m + p, n + q) ~ (m' + p', n' + q'). Thaät vaäy, theo ñònh nghóa: m + n' = n + m' vaø p + q' = q + p', töø ñoù, (m + p) + (n' + q') = (n + q) + (m' + p'). Laïi töø ñònh nghóa suy ra ñieàu phaûi chöùng minh. 2.3 Pheùp n haân • Pheùp nhaân giöõa hai soá nguyeân [m, n] aø [p, q] ñöôïc xaùc ñònh bôûi v [m, n ]•[p, q] = [ m p + n q, m q + n p] • Ñeå ñònh nghóa ñöôïc hôïp lí, cuõng caàn phaûi chæ ra raèng ñònh nghóa treân khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc choïn ñaïi di eän cuûa [m, n]vaø [p, q] . Giaû söû (m, n) ~ (m', n') vaø (p, q) ~ (p', q'). Khi ñoù m + n' = n + m' (1) vaø p + q' = q + p' (2) Nhaân (1) vaø (2) veá theo veá: mp + mq' + n'p + n'q' = nq + np' + m'q + m'p' Nhaân (1) vôùi q nq + m'q = mq + n'q Nhaân (2) vôùi n nq + np' = np + nq' Nhaân (1) vôùi q' m'q' + nq' = mq' + n'q' Nhaân (2) vôùi n' n'p' + n'q = n'p + n'q' Coäng caùc ñaúng thöùc vöøa tìm ñöôïc veá theo veá ta coù: mp + nq + m'q' + n'p' = mq + np + m'p' + n'q', laø (mp + nq, mq + np) ~ ( Töùc m'p' + n'q', m'q' + n'p'). Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 26 - 2.4 Ñònh lí ( 9 , +, • ) laø moät vaønh, hôn nöõa laø moät mieàn nguyeân . Chöùng minh: • Ñoái vôùi pheùp coäng phaàn töû ñôn vò laø lôùp coù daïng [a, a], phaàn töû nghòch ñaûo cuûa [m , n] laø [n, m]. Ñoái vôùi pheùp nhaân phaàn töû ñôn vò coù daïng [1 + a, a]. Caùc tính chaát khaùc cuûa pheùp toùan coäng vaø nhaân ñeå laøm cho ( 9 , +, • ) laø moät vaønh chæ laø moät söï kieåm tra ñôn giaûn nhôø ñònh nghóa cuûa caùc pheùp toù ñoái vôùi taäp soá töï nhieân. an vaø caùc tính chaát ñaõ bieát • Giaû söû [m, n]• [p, q] = 0 = [a, a], töùc laø (mp + nq, mq + np) ~ (a, a). Khi ñoù ta coù mp + nq + a = mq + np + a, hay mp + nq = mq + np (1). Neáu [m, n] ≠ 0, töùc laø m ≠ n, thì ta seõ chæ ra [p, q] = 0. Giaû söû m < n (ñoái vôùi m > n cuõng töông töï), khi ñoù n = m + k vôùi k ∈ ∠ naøo ñoù vaø ñaúng thöùc (1) trôû thaønh mp + (m + k)q = mq + (m + k)p hay mp + mq + kq = mq + mp + kp, tö ø ñoù, do luaät giaûn öôùc ñoái vôùi pheùp coäng vaø pheùp nhaân caùc soá töï nhieân ta coù q = p, âng coù öôùc cuûa khoâng. töùc laø [p, q] = 0. Ñieàu naøy suy ra treân 9 kho • N HAÄN XEÙT: a) Neáu ñaët 9> 0 = { [n + a, a] : a, n∈ ∠} ⊂ 9 thì ( 9> 0 , +) laø moät nöûa nhoùm coäng vaø töø ñaúng caáu ϕ : ∠ → 9> 0 , n a [n + a, a], coù theå ñoàng nhaát ∠ vôùi 9> 0, töùc laø moät soá töï nhieân n∈ ∠ ñöôïc ñoàng nhaát vôùi lôùp taát caû caùc caëp daïng (n + a, a) vôùi a chaïy qua taäp hôïp ∠ . ) Moät soá nguyeân baát kì [m, n] ñeàu coù theå vieát döôùi daïng : b ⎧ [ ] n k, n + khi m < n [m, n] = ⎪⎨ + [ ] ⎪⎩ m,m l [ ] m,m khi khi m n > m n = Nhö vaäy, caùc soá nguyeân coù theå chia laøm ba loïai : soá khoâng ( laø lôùp töông ñöông cuûa caùc caëp daïng (a, a) , khi ñoù ta vieát [a, a] = 0 ), soá nguyeân döông (laø lôùp coù át [m, n] > 0 ), soá nguyeân aâm (laø lôùp coù daïng daïng [m, n] vôùi m > n, khi ñoù ta vie [m, n] vôùi m < n, khi ñoù ta vieát [m , n] < 0). Neáu ñaët – n = [a, n + a] thì vaønh soá nguyeân coù theå vieát döôùi daïng 9 = {.... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,.....} . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 27 - 2.5 Quan heä thöù töï treân 9 • Treân 9 coù theå xaùc ñònh pheùp toùan tröø nhö sau : [a, b] – [c, d] = [a, b] + (– [c, d]) = [a, b] + [d, c]) = [a + d, b + c] ' hö sau • Baây giôø treân vaønh soá nguyeân ta xaùc ñònh moät quan heä thöù töï lôùn hôn ' > '' n [a, b] > [c, d] ⇔ [a, b] – [c, d] > 0. ⇔ [a + d, b + c] > 0 ⇔ a + d > b + c Ta coù theå kieåm tra deã daøng ñoù laø moät quan heä thöù töï treân . 9 ÔÛ treân ta ñaõ trình baøy caùch xaây döïng taäp soá nguyeân töø taäp soá töï nhieân. Töø ñònh nghóa caùc pheùp toaùn vaø quan heä thöù tö ï coù theå thaáy laïi caùc qui taéc cuõng nhö caùc tính chaát thoâng thöôøng cuûa soá nguyeân maø ta ñaõ quen bieát. 3. Söï chia heát treân taäp soá nguyeân 3.1 Ñònh nghóa • Cho a, b laø hai soá nguyeân . Ta noùi raèng a chia heát b (hoaëc a laø öôùc cuûa b, hoaëc b chia heát cho a, hoaëc b laø boäi cuûa a), kyù hieäu a | b neáu toàn taïi moät soá nguyeân c sao cho b = ac. • Roõ raøng laø a | 0 vôùi moïi soá nguyeân a, vaø 0 | a khi vaø chæ khi a = 0 3.2 Tính chaát ( a, b, c, d laø caùc soá nguyeân) 1) ± a | a vaø ±1 | a. 2) Neáu a | 1 thì a = ± 1 3) Neáu a | b vaø b | a thì a = ± b. 4 ) Neáu a | b vaø b | c thì a | c 5) Neáu a | b thì a | bc 6 ) Neáu a | b vaø a | c thì a | b + c 7) | d thì ac | bd Neáu a | b vaø c 8) Neáu a | b thì an | bn ( n laø soá töï nhieân) n i 1i i 9) Neáu a | bi , m b ∀ ∑ i = 1, 2, …, n thì a | (bi, mi laø caùc soá nguyeân) = Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 28 - Chöùng minh: Vieäc chöùng minh chæ laø söï kieåm tra ñôn giaûn töø ñònh nghóa. 3.3 Ñònh lí ( pheùp chia Euclide) Cho a, b laø hai soá nguyeân vôùi b ≠ 0. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät caëp soá nguyeân q, r sao cho a = b q + r vôùi 0 ≤ r < |b| . (q goïi laø thöông vaø r goïi laø dö cu ûa pheùp chia a cho b) Chöùng minh: • Söï toàn taïi. Ñaët S = {n∈9 : n|b| ≤ a} ⊂ 9, khi ñoù S khaùc ∅ vì – |a| ∈ S . S bò chaën treân neân coù phaàn töû lôùn nhaát k. Do k |b | ≤ a neân a = k | b | + r ; vôùi r ≥ 0. Maët khaùc, vì k = max S neân k+ 1 | b | + | b | > k | b | + r hay r < | b |. ∉ S, töùc laø, (k+1) | b | > a. Töø ñoù suy ra k Neáu> thì k | b | = qb, vaø töø nhöõng ñieàu ñaõ trình baøy ôû ñaët q = ⎨⎧ k khi b 0 ⎩− k khi b < 0 ùi 0 ≤ r < | b |. treân ta coù a = bq + r vô • Söï duy nhaát. Giaû söû a = bq + r ; a = bq’+ r’ vôùi 0 ≤ r, r' < | b | . Khi ñoù ta coù r – = b(q’– q). Vì | r – r’| < | b | neân | b || q’– q | < | b | hay | q’ - q | < 1. Töø ñoù q’ = q r’ vaø r = r' . 3 .4 Öôùc chung lôùn nhaát (ÖCLN) • Soá nguyeân c ñöôïc goïi laø öôùc chung cuûa n soá nguyeân a , a , ..., a neáu c laø öôùc 1 2 n cuûa ai vôùi moïi i = 1, 2, …, n. • Soá nguyeân c ñöôïc goïi laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa n soá nguyeân a1, a2, ..., an khi vaø chæ khi d laø öôùc chung cuûa a1,...,an vaø neáu c laø öôùc chung baát kyø cuûa a1,...,an thì c laø öôùc d. • NHAÄN XEÙT: a) Neáu d1 vaø d2 laø caùc öôùc chung lôùn nhaát cuûa a1, a2, ..., an thì d1 = ± d2 . Ngöôøi ta thöôøng vieát (a1, a2, ..., an ) ñeå chæ öôùc chung lôùn nhaát khoâng aâm cuûa n soá nguyeân a1, a2, ..., an . b) Roõ raøng raèng ÖCLN cuûa 0 vaø b laø b. 3.5 Ñònh líù Öôùc chung lôùn nhaát cuûa n soá nguyeân baát kì a1, a2, ..., an luoân luoân toàn taïi. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 29 - Chö ùng minh : Neáu a1 = a2 = ... = an = 0 thì roõ raøng (a1, a2, ..., an ) = 0. Giaû söû a1, a2, ..., an khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng. ∈9 ∑n Ñ x a , x ∈ 9 , i =1,2,…,n} vaø J = {| y | : y ∈ aët I = {y : y = i 1i i i I}– {0}. = Vì a1, a2, ..., an khoâng ñoàng thôøi baèng 0 neân I ≠ {0} vaø töø ñoù J ≠ ∅. Do J bò haën döôùi, neân J coù soá nhoû nhaát. Giaû söû | d | = min J vôùi d =n i 1i i x a I. Ta seõ c ∑ ∈ = chöùn n . Thaät vaäy, vôùi moãi i ta coù ai = g minh d laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa a1,..., a d qi + ri ; 0 ≤ ri < | d |. Suy ra ri = ai – dqi = (–x1qi )a1 +...+ (– xi–1qi )ai –1 + (1– xi qi )ai +...+(– xnqi )an. Töø ñoù ri ∈ I vôùi moïi i = 1, 2, …, n. Ta phaûi coù ri = 0 vì neáu khoâng thì ri ∈ J vaø ñieàu naøy maâu thuaån vôùi | d | laø soá nhoû nhaát cuûa J. Töø ñoù suy ra d laø öôùc chung cuûa n i 1i i a1 n 1 n x a ∑ ,...,a . Maët khaùc neáu c laø öôùc chung baát kyø cuûa a ,...,a thì c laø öôùc cuûa = töùc laø c laø öôùc cuûa d. Vaäy d laø ÖCLN cuûa a1,..., an . 3.6 Heä quaû a) Neáu e laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa a1, a2,..., an thì toàn taïi x1, x2, ...,xn ∈ 9 sao cho = x1a1 + x2a2 +...+ xnan. e b) Neáu e laø öôùc chung cuûa a1, a2,..., an vaø toàn taïi x1, x2, ...,xn ∈ 9 sao cho e = 1a1 + x2a2 +...+ xnan thì e laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa a1, a2,..., an. x Chöùng minh: a) Xeùt öôùc chung lôùn nhaát d cuûa a1, a2,..., an trong chöùng minh ñònh lí 1.5. Vì e ± = d neân ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. n i 1i i b) Giaû söû c laø öôùc chung baát kyø cuûa a1,...,a x a ∑ n thì c laø öôùc cuûa töùc laø c = laø öôùc cuûa e. Vaäy e laø ÖCLN cuûa a1,..., an . 3.7 Ñònh líù d laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa a1, a2, ..., an khi vaø chæ khi d laø öôùc chung lôùn nhaát c uûa (a1,...,an-1) vaø an . C höùng minh : Giaû söû d = (a1 ,. . ., an), d1 = ((a1 ,. . ., an-1), an) vaø m = (a1 ,. . ., an-1). Vì d laø öôùc cuûa ai vôùi moïi i = 1, 2, …, n neân d laø ÖC cuûa m vaø an ; nhöng d1 laø ÖCLN cuûa m vaø a neân d laø öôùc cuûa d1. Maët khaùc d1 laø ÖC cuûa m vaø an neân d1 laø ÖC cuûa cuûa n ai vôùi moïi i = 1, 2, …, n vaø do d laø laø ÖCLN cuûa ai vôùi moïi i = 1, 2, …, n neân d1 la ø öôùc d. Töø ñoù d1 = d. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 30 - 3.8 Ñònh lí Giaû söû a, b, q, r laø nhöõng soá nguyeân thoûa maõn heä thöùc a = bq + r. Khi ñoù ÖCLN uûa a vaø b cuõng laø ÖCLN cuûa b vaø r. c Chöùng minh: Neáu ñaët d = (a, b) thì d | a vaø d | b, nhöng vì r = a – bq neân ta cuõng coù d | r vaø d | b. Giaû söû c laø moä t ÖC baát kì cuûa b vaø r, khi ñoù vì a = bq + r neân c cuõng laø ÖC cua b vaø a, aäy c phaûi laø öôùc cuûa d. Töø ñoù d = (b, r). û v 3.9 Thuaät toaùn tìm ÖCLN cuûa hai soá Giaû söû muoán tìm ÖCLN cuûa hai soá nguyeân a vaø b. Neáu a = 0 thì roõ raøng ÖCLN cuûa a vaø b laø b, vì vaäy ta chæ xeùt cho tröôøng hôïp caû a laãn b ñeàu khaùc 0. Thuaät toaùn laø m oät quaù trình thöïc hieän lieân tieáp caùc pheùp chia: • Böôùc 1: Chia a cho b a = bq0 + r0 vôùi 0 ≤ r0 < | b |. Neáu r0 = 0 thì döøng. Neáu r0 ≠ 0 thì ñi ñeán böôùc 2 • Böôùc 2: Chia b cho r0 b = r1 r0q1 + vôùi 0 ≤ r1 < r0 . Neáu r1 = 0 thì döøng. Neáu r2 ≠ 0 , thì ñi ñeán böôùc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Böôùc n : Chia rn – 1 cho rn rn–1 = rn qn+1 + rn+1 vôùi 0 ≤ rn+1 < rn . • Quaù trình chia nhö vaäy phaûi chaám döùt sau moät soá höõu haïn böôùc vì daõy caùc soá töï nhieân | b | > r0 > … > ri >… ≥ 0 khoâng theå giaûm voâ haïn. Giaû söû ñeán böôùc n n n+1 n ≠ n aøo ñoù ta coù r = 0 vaø r 0, thì theo ñònh lí 3.8 suy ra ÖCLN cuûa a vaø b laø r . • VÍ DUÏ: Tìm ÖCLN cuûa 9100 vaø 1848 G iaûi: Ta saép xeáp caùc pheùp chia lieân tieáp nhö sau: 4 1 12 5 9100 : 1848 : 1708 : 140 : 28 1708 140 28 0 Töø ñoù (9100, 1848) = 28. 4. Soá nguyeân toá cuøng nhau. 4.1 Ñònh nghóa • Caùc soá nguyeân a1, a2, ..., an ñöôïc goïi laø nguyeân toá cuøng nhau neáu chuùng nhaän soá 1 laøm ÖCLN. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 31 - • Ta noùi raèng caùc soá nguyeân a1, a2, ..., an nguyeân toá cuøng nhau töøng ñoâi neáu vaø chæ neáu (ai, aj) = 1 vôùi moïi i ≠ j. • NHAÄN XEÙT: 1) Neáu caùc soá nguyeân a1, a2, ..., a â á au töøng ñoâi thì chuùng laø n nguyen to cuøng nh nguyeân toá cuøng nhau, vì khi ñoù (a , a , , ..., a ) = ((a , a ), a , ..., a ) = (1, a , ..., a ) = 1 1 2 a3 n 1 2 3 n 3 n Ñieàu ngöôïc laïi noùi chung khoâng ñuùng, c haúng haïn a1 = 3, a2 = 10, a3 = 15. 2) Neáu (a, b) = 1 vaø c | b thì (a, c) = 1. Thaät vaäy, neáu d th ì (d | a, d | b), vaäy d = 1. Töø ñoù suy ra (a, c) = 1. ∈ ∠ vaø (d | a, d | c) 4.2 Ñònh lí (Be zout) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå caùc soá nguyeân a1, a2, ..., an nguyeân toá cuøng nhau laø toàn taïi caùc soá nguyeân x1, xn∑ 2, ..., xn sao cho i 1i i x a = 1. = Chöùng minh: Suy ra tröïc tieáp töø heä quaû 1.6 4.3 Ñònh lí (Gauss) Neáu caùc soá nguyeân a, b, c thoûa maõn a | bc vaø (a, b) = 1 thì a | c. Chö vaø a | bc. Theo ñònh lí Bezout, toàn taïi hai soá nguyeân x ùng minh: Giaû söû (a, b) = 1 vaø y sao cho ax + by = 1. Suy ra = c axc + byc. Vì a | axc vaø a | byc neân a | c. 4.4 Ñònh lí Cho x, a1, a2, …, an laø caùc soá nguyeân khaùc 0. Khi ñoù ((x, ai) = 1, vôùi moïi i∈ {1, 2, …, n}) ⇔ ( x, ∏n a ) = 1 i 1i = Chöùng minh: (⇒) Ta chöùng minh baèng caùch qui naïp theo n. Vôùi n = 1 thì khaúng ñònh laø hieån nhieân. Ñoái vôùi n = 2, giaû s öû (x, a1) = (x, a2). Theo ñònh lí Bezout, toàn taïi u1, v1, u2, v ∈ 9 sao cho xu + a v = 1 vaø xu 2 1 1 1 2 + a2v2 = 1. Khi ñoù (x, a1 a2) = 1 vì 1 = (xu1 + a1v1)(xu + a v ) = x(x u u + a v u + u a v ) + (a a )(v v ) 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 32 - Vaäy, khaúng ñònh ñuùng vôùi n = 2. Baây giôø, giaû thieát khaúng ñònh ñuùng vôùi n vaø giaû söû a1, a2, …, an+1 ∈ 9 sao cho (x, ai) = 1, vôùi moïi i∈ {1, 2, …, n, n +1}. Theá thì (x, ai) n i 1i = 1, vôùi moïi i∈ {1, 2, …, n} vaø theo giaû thieát qui naïp a ∏ , ( x, ) = 1, roài theo keát = quaû khaûo saùt cho tröôøng hôïp n = 2 ta coù ∏n+1∏n ( x, a ) = ( x, a .an+1) = 1 i 1ii 1i = = (⇐) Neáu ( x, ∏n i=1i a ) = 1 thì theo nhaän xeùt 2) trong muïc 4.1 suy ra (x, ai) = 1. 5 Boäi chung nhoû nhaát (BCNN) 5.1 Ñònh nghóa : • Soá nguyeân c ñöôïc goïi laø moät boäi chung cuûa n soá nguyeân a1,...,an neáu ai | c vôùi moïi i = 1, 2, … , n. • Soá nguyeân d ñöôïc goïi laø boäi chung nhoû nhaát (BCNN) cuûa n soá nguyeân a1,...,an khi vaø chæ khi d laø boäi chung cuûa a a1,...,an thì d | c. • NHAÄN XEÙT: 1,...,an vaø neáu c laø moät boäi chung baát kì cuûa ) Neáu d , d laø caùc boäi chung nhoû nhaát cuûa a ,...,a thì d = d . Vaäy boäi chung 1 1 2 1 n 1 ± 2 nhoû nhaát cuûa a1,...,an laø duy nhaát theo nghóa sai khaùc daáu. Ta duøng kiù hieäu [a 1,...,an] ñeå chæ boäi chung nhoû nhaát khoâng aâm cuûa a1,...,an . CNN cuûa 0 vaø 2) B b laø 0. 5.2 Meänh ñeà (a, b)[a, b] = | ab | vôùi moïi a, b ∈ 9 Chöùng minh: Neáu a = 0 hoaëc b = 0 thì hieån nhieân. Vaäy ta chæ chöùng minh cho tröôøng hôïp a vaø b ab ñeàu khaùc 0, khi ñoù (a,b) ≠ 0. Neáu ñaët m = thì m laø moät boäi chung cuûa a (a,b) vaø b. Goïi t laø moät boäi chung baát kì cuûa a vaø b. Vì a | t neân toàn taïi c ∈ 9 sao cho t | , vaø do t =(a, b) b cuõng laø öôùc cuûa (a, b) t = ac, töø ñoù(a, b) ac . Vì b t neân (a, b) b laø öôùc cuûa (a, b) ac . Nhöng (a, ) a vaø (a, b) ñoù (a, b) b laø nguyeân toá cuøng nhau neân b Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 33 - b laø öôùc cuûa c. Vaäy (a, b) theo ñònh lí Gauss(4.3) suy ra(a, b) ñoù m | töùc laø m = [a, b] t, ab laø öôùc cuûa ac = t, töø • NHAÄN XEÙT: Töø meänh ñeà 5.2 suy ra neáu a vaø b laø nguyeân toá cuøng nhau thì ab laø BCNN cuûa a vaø b. 5.3 Meänh ñeà BCNN cuûa n soá nguyeân a1,...,an luoân luoân toàn taïi vaø [a1,...,an] = [[a1,...,an-1], an] . Chöùng minh (Ta chöùng minh baèng quy naïp.) • n = 2 (do 5.2) • Giaû söû toàn taïi mn–1 = [a1,...,an–1] . Ñaët m = [mn–1, an]. Vì m laø boäi chung cuûa mn–1 vaø an neân m laø boäi chung cuûa a1,...,an. Giaû söû t laø boäi chung cuûa a1,...,an . Hieån nhieân t laø boäi chung cuûa a1,...,an-1 , do ñoù t laø boäi cuûa mn-1 vaø an . Vì m laø BCNN cuûa mn-1 vaø an neân t laø boäi cuûa m. Vaäy m = [a1 ...,an] , 6 . Soá nguyeân toá Ñeå ñôn giaûn, caùc khaùi nieäm vaø keát quaû trong phaàn naøy ta chæ trình baøy treân taäp caùc so á nguyeân döông ∠. Caùc khaùi nieäm vaø keát quaû ñoù cuõng coù theå chuyeån leân taäp caùc soá n guyeân 9. 6.1 Ñò n nh ghóa • Moät soá töï nhieân khaùc 1 goïi laø soá nguyeân toá neáu noù chæ chia heát cho 1 vaø cho chính noù . Moät soá töï nhieân khaùc 1 vaø khoâng phaûi laø soá nguyeân toá ñöôïc goïi laø hôïp soá. Ta coù theå noùi soá nguyeân n laø soá nguyeân toá neáu | n | laø soá nguyeân toá. • CHUÙ YÙ : Soá 1 khoâng phaûi laø soá nguyeân toá cuõng khoâng phaûi laø hôïp soá. 6.2 Ñònh lí Öôùc soá döông nhoû nhaát khaùc 1 cuûa moät soá töï nhieân lôùn hôn 1 laø moät soá nguyeân toá. Chöùng minh: Xeùt a ∈ ∠ vaø a >1. Goïi p laø öôùc soá döông nhoû nhaát khaùc 1 cuûa a. Neáu p khoâng phaûi laø nguyeân toá thì p laø hôïp soá, neân p coù moät öôùc soá laø p1 p1 < p. Nhöng khi ñoù p1 cuõng laø öôùc soá cuûa a, va vôùi :1 < ø ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi tính nhoû nhaát cuûa p. 6.3 Ñònh lí Taäp caùc soá nguyeân toá trong ∠ laø voâ haïn . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 34 - Chöùng minh: Giaû söû ngöôïc laïi, ∠ chæ coù moät soá höõu haïn caùc soá nguyeân toá laø p1 ,..., pn . Töø 6.3 suy ra soá töï nhieân M = p1 ...pn + 1 coù öôùc soá döông nhoû nhaát khaùc 1 laø moät soá nguyeân toá p. Nhö theá toàn taïi j ∈ {1, 2, …, n} sao cho p = pj, do ñoù p | p1 ...pn. Töø ñoù p | (M – p1 ...pn) hay p | 1 (maâu thuaån) 6.4 Ñònh lí Cho a ∈ ∠ vaø p laø soá nguyeân toá. Khi ñoù hoaëc (a, p) = 1 hoaëc p | a. C höùng minh: Vì (a, p) laø moät öôùc cuûa p, neân noù chæ coù theå laø p hoaëc laø 1. Neáu ) ≠ 1 thì (a, p) = p , nhöng khi ñoù p | a (a, p . 6.5 Ñònh líù Giaû söû a1,...,an ∈ ∠ vaø p laø soá nguyeân toá. Khi ñoù hai ñieàu sau ñaây laø töông ñöông cuûa ∏n 1) p laø öôùc a i 1i = 2) Toàn taïi i∈ {1, 2, …, n} sao cho p | ai . Chöùng minh: (1 2) Giaû söû p n i 1i a i moïi thì h ⇒ | ∏ . Neáu p khoâng laø öôùc cuûa caùc a , vôùi = n suy ra (p, ai) =1, vôùi moïi i. Töø ñoù, theo ñònh lí 4.4, (p, ∏ i a ) =1, vaäy i 1 = ñoù daãn ñeán maâu thuaãn. i, t eo 6.4 p =1, vaø ñieàu 2 ⇒ 1) laø hieån nhieân ( 6.6 Ñònh lí Öôùc soá döông nhoû nhaát khaùc 1 cuûa moät hôïp soá a >1 laø moät soá nguyeân toá nhoû hôn hoaëc baèng a . Chöùng minh: Giaû söû öôùc soá ñoù laø p, khi ñoù p laø nguyeân toá vaø a = pa1.Vì a1 laø moät öôùc döông khaùc cuûa a neân a1 ≥ p, theá thì a = pa1 ≥ p2.Vaäy p ≤ a 6.7 Saøng Eratostheøne Ñeå laäp baûng soá nguyeân toá khoâng vöôït quaù moät soá nguyeân döông n, ta coù theåâ aùp d uïng moät phöông phaùp goïi laø saøng Eratosthen. Noäi dung cuûa phöông phaùp naøy nhö sau : Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 35 - • Laäp daõy soá 1, 2, 3, 4, …, n (Soá thöù nhaát lôùn hôn 1 cuûa daõy soá treân laø 2, hieån nhieân 2 laø soá nguyeân toá) • Trong daõy soá treân, ta xoùa taát caû caùc boäi cuûa 2. (Soá thöù nhaát ñöùng sau 2 khoâng bò xoùa laø 3. Hieån nhieân 3 laø soá nguyeân toá) Tieáp tuïc ta xoùa taát caû caùc boäi cuûa 3. • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cöù tieáp tuïc theo caùch ñoù, ta xoùa taát caû caùc boäi soá cuûa caùc soá nguyeân toá nhoû hôn • moät soá nguyeân toá p, thì taát caû caùc soá khoâng bò xoùa nhoû hôn p2 ñeàu nguyeân toá. Thaät vaäy, moïi hôïp soá a nhoû hôn p2 ñeàu ñaõ bò xoùa vì laø boäi cuûa öôùc soá döông nhoû nhaát cuûa noù, uôùc soá naøy, theo 6.6, nhoû hôn a < p. Suy ra raèng : 2. 1) Khi xoùa caùc boäi cuûa moät soá nguyeân toá p, thì soá ñaàu tieân bò xoùa laø p 2 n thì hoaøn thaønh vieäõc laäp baûng. ) Khi ñaõ xoùa caùc boäi cuûa caùc soá nguyeân toá ≤ • VÍ DUÏ: Neáu n = 50 thì ta chæ xoùa caùc boäi cuûa caùc soá nguyeân toá 2,3,5,7. 6.8 Ñònh lí ( cô baûn cuûa soá hoïc) Moïi soá töï nhieân lôùn hôn 1 ñeàu phaân tích ñöôïc thaønh tích nhöõng thöøa soá nguyeân toá, vaø söï phaân tích naøy laø duy nhaát n áu khoâng å ñe th caùc n aân e ke án öù töï h töû. Chöùng minh 1 ) Söï toàn taïi. Xeùt a ∈ ∠ vaø a > 1. Goïi p1 laø öôùc soá nguyeân toá nhoû nhaát cuûa a. Ta coù a = p1a1 vôùi 1 ≤ a1 < a. Neáu a1 = 1 thì a = p1 ( chöùng minh xong). Neáu a1 > 1, goïi p2 laø öôùc soá nguyeân toá nhoû nhaát cuûa a1 . Ta coù a1 = p2a2 vôùi 1 ≤ a2 < a1 . Neáu ). a2 = 1 thì a = p1p2 ( chöùng minh xong Neáu 2 sau . . . . . . . . . . a > 1, laëp laïi lyù luaän treân cho caùc böôùc Quaù trình naøy phaûi keát thuùc sau moät soá höõu haïn böôùc vì ta coù : a > a1 > a2 > . . . > 1. Giaû söû quaù trình keát thu thö n, vôùi a ùc ôû böôùc ù n = 1. Khi ñoù a = p1p2...pn. 2) Söï duy nhaát. Giaû sö p1 = q1q2 û p2...pn = a ...qm , trong ñoù, caùc pi , qj laø caùc soá n ∈ {1, 2, …, m} sao cho p1 = qj (xem 6.5). guyeân toá. Khi ñoù p1 | q1...qm vaø toàn taïi j Baèng caùch ñaùnh soá laïi, ta coù theå giaû söû p1 = q1 . Giaûn öôùc ta coù p2...pn = q2...qm. Neáu m > n thì baèng caùch thöïc hieän tieáp tuïc quaù trì nh treân . ta ñöôïc 1 = q ...p , nhöng ñieàu naøy khoâng theå xaûy ra ñöôïc vì caùc q laø caùc soá nguyeân toá. Vaäy n+1 m j Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 36 - phaûi coù m ≤ n . Vì vai troø cuûa m vaø n laø nhö nhau, neân ta cuõng coù n ≤ m .Töø ñoù m = n vaø pi = qi vôùi moïi i. Vaäy phaân tích laø duy nhaát theo ng thöù töï caùc nhaân töû. 6.9 Daïng phaân tích chính taéc. hóa sai khaùc nhau veà • Khi phaân tíc h moät soá töï nhieân a > 1 thaønh tích caùc nhaân töû nguyeân toá, moät vaøi hoaëc taát caû caùc nhaân tö û nguyeân toá ñoù coù theå gioáng nhau. Keát hôïp caùc nhaân töû gioáng nhau laïi vaø bieåu dieãn tích cuûa chuùng döôùi daïng luõy thöøa thì seõ daãn ñeán daïng sau goïi 1 pk2 k1 km la m . ø daïng phaân tích chính taéc a = p ….p 2 • VÍ DUÏ: 9100 = 22.52.7.13 ; 128 = 27. 6.10 Ñònh lí 1 pk2 Cho moät soá töï nhieân a vôí daïng phaân tích chính taéc a = p k1 km 2 ….p m . Kh ñ , moät soá töï nhieân d laø öôùc cuûa a khi vaø chæ khi d coù daïng : i où 1r 2r r 1 2 m ≤ ri ≤ ki , i = 1, 2, …, m. d = p p …. p m vôùi 0 Chöùng minh: • Giaû söû d | a, töùc laø a = dq. Ñaúng thöùc naøy chöùng toû moïi öôùc soá nguyeân toá cuûa d ñeàu coù maët trong a vôùi soá muõ cuûa noù trong d khoâng vöôït quaù soá muõ cuûa noù trong a. Giaû söû a vaø d coù daïng nhö treân, ta coù • k1 k2 m1r12r2rm m1 1 k r − 2 2 k r 1 p 2km − km rm m − a = p ….p = p p …. p ( p p …. p ) 1 2 Ñaúng thöùc naøy chöùng toû d | a. • VÍ DUÏ: Cho a = 60 = 22 x y z . 3. 5. Caùc öôùc cuûa a coù daïng d = 2 . 3 . 5 . Cho x laàn ôït caùc giaù trò 0, 1, 2; cho y laàn löôït caùc giaù trò 0,1 vaø z laàn löôït laø 0, 1 thì ta seõ lö ñöôïc tatá caû caùc öôùc cuûa a, chaúng haïn vôùi x = 2, y = 1, z = 0 ta coù moät öôùc cuûa a = 60 laø d = 4. 6.11 Caùch tìm ÖCLN vaø BCNN • Cho hai soá töï nhieân a vaø b coù khai trieån thöøa soá nguyeân toá daïng chính taéc : = pk1 k….pkm a vaø b = p 1 p 2 m1t1 p 2t2tm 2 ….p , trong ñoù ki vaø ti coù theå baèng 0, khi ñoù m 11 1 min(k ,t ) min(k ,t ) 22 2 min(k ,t ) m m m (a, b) = p × p ×.. . × p Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 37 - [a, b] = p max(k ,t ) 1 1 × p max(k ,t ) 2 2 ×.. . × p m x(km ,tm ) 1 2 ma • VÍ DUÏ: 9100 = 22. 52 . 7 .13 = 22. 30 . 52 . 71 . 110 . 131 1848 22. 3. 7 11 2. 31 . 50 . 71 . 111 . 130 = . = 2 (9100, 1848) = 22 × 30 × 50 × 71 . 110 . 130 = 28 [9100, 1848] = 22 × 31 × 52 × 71 × 111 ×131 7 Ñoàng d ö 7.1 Ñònh nghóa ho m laø moät soá töï nhieân lôùn hôn 1, vaø a, b laø hai soá nguyeân. Noùi raèng a laø ñoàng • C ö modulo m vôùi b (hoaëc a ñoàng dö vôùi b theo modulo m) neáu trong pheùp chia a d vaø b cho m ta ñöôïc cuøng moät soá dö. Neáu a ñoàng dö vôùi b theo modulo m thì ta vieát a ≡ b (mod m) vaø goïi heä thöùc naøy laø ñoàng dö thöùc m dulo m. o • Ta coù caùc daïng töông ñöông khaùc cuûa ñò 1 ≡ ) a b (mod m) ⇔ m | (a – b) nh nghóa ñoàng dö: 2 ≡ ∈ 9 ) a b (mod m) ⇔ a = b + mk vôùi k Thaät vaäy, ta chöùng minh chaúng haïn 1). Neáu a ≡ b (mod m) thì theo ñònh nghóa ta coù a = m q1 + r vaø b = m q2 + r. Töø ñoù, a – b = m(q1 – q2), töùc laø m |(a – b). Ngöôïc laïi, neáu m | (a – b), töùc laø a – b = m q. Giaû söû b = mq1 + r vôùi 0≤ r < m khi ñoù ta coù a = mq + b = mq + mq1 + r = m(q + q1) + r. Ñieàu naøy chöùng toû khi chia a vaø b cho m thì coù cuøng soá dö r. 7.2 Lôùp ñoàng dö • Quan heä ñoàng dö modulo m laø moät quan heä töông ñöông treân 9. Thaät vaäy, tính phaûn xaï vaø ñôùi xöùng laø hieån nhieân. Giaû söû a≡ b(mod m) vaø b≡ c(mod m), khi ñoù m ≡ | (a –b) vaø m | (b – c), suy ra m | (a – b) + (b – c), töùc laø m | (a – c), vaäy a c (mod m) vaø do ñoù coù tính baéc caàu. • Ta kí hieäu 9/m9 laø taäp thöông cuûa 9 theo quan heä (töông ñöông) ñoàng dö modulo m. Vôùi moïi x 9, ta kí hieäu lôùp töông ñöông chöùa cuûa x trong 9/m9 laø ∈ x hay [x]. Nhôø pheùp chia Euclide cho m : x = mq + r, 0 ≤ r ≤ m –1, ta thaáy raèng moãi soá nguyeân x ñeàu ñoàng dö modul m vôùi r ∈ {0, 1, 2, …, m –1}. Hôn nöõa caùc soá thuoäc {0, 1, 2, …, m –1} khoâng ñoàng dö vôùi nhau theo modulo m, do ñoù coù ñuùng m lôùp Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 38 - ñoàng dö theo modulo m, maø ta coù theå choïn caùc soá treân laøm ñaïi dieän cho moãi lôùp, m9 = { 0 , 1, 2 , …, m −1 9/ }. 7.3 Tính chaát Tính chaât 1: Coù theå coäng, tröø, nhaân veá theo veá caùc ñoàng dö thöùc cuûa cuøng modulo: k Neáu ai ≡ bi (mod m), i = 1, 2,…, k thì ∑ a = i 1 k k i ≡ ∑ b = i 1 k i (mod m) Neáu ai ≡ bi (mod m), i = 1, 2,…, k thì ∏ ai = i 1 ≡ ∏ = i 1 bi (mod m) Chöùng minh: Theo ñònh nghóa a úng ñònh ñöôïc suy ra töø i = bi + mti, vaø kha k ∑ a k i = ∑ b k i + m ∑ t k i vaø ∏ a k i = ∏ b i + m Q. i = 1 = i 1 = i 1 i=1 = i 1 Tính chaát 2: Caùc khaúng ñònh dö ôùi ñaây laø heä quaû tröïc tieáp cuûa tính chaát 1 a) Neáu a ≡ b (mod m) ± ≡ b ± c (mod m) thì a c b) Neáu a ≡ b (mod m) thì a + km ≡ b (mod m) n ≡ bn c) Neáu a ≡ b (mod m) thì a (mod m) • VÍ DUÏ: Tìm taát caû caùc so nguyeân ≥ 2 sao cho á p p vaø 2p + p2 laø nhöõng soá nguyeân to á. iaûi: Roõ raøng p = 2 khoâng thích hôïp vaø p = 3 laø thoûa maõn yeâu caàu ñeà ra. Neáu p laø G soá nguyeân toá ≥ 5 thì ta coù 2p –1)p ≡ (mod 3) ≡ 1(mod 3). Töø ñoù suy ra 2p + ( vaø p2 0 (mod 3). Vì 2 + p laø nguyeân toá neân ta coù Vì 2p + p2 = 3, nhöng ñieàu naøy laø 2 p 2 p ≡ khoâng theå. Nhö vaäy soá p caàn tìm laø p = 3. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 39 - BAØI TAÄP 1. Chöùng minh raèng neáu k laø moät soá nguyeân döông vaø a1, a2, … ,an laø n soá n guyeân thì (ka1, ka2, … ,kan) , 2, = k(a1 a … ,an) 2 . Chöùng minh raèng neáu soá nguyeân döông c laø öôùc chung cuûa n soá nguyeân a1, a2, … , an thì (ca1 ,ca 2 , …., cac n 1 ) = (a1, a2, … ,an) 3 Cho a, b, c laø ba soá nguyeân, chöùng minh raèng . a) Neáu (a, c) = 1 vaø (b, c) = 1 thì (ab, c) = 1 b) (a, b) = 1 ⇔ (an, n) = ∈ ∠ b 1 vôùi n c) (an, bn) = (a, b)n vôùi n ∈ ∠ 4. Chöùng minh raèng n2 ≡ 0 (mod 8) hoaëc n2 ≡ 4 (mod 8) neáu n laø soá nguyeân chaün n2 ≡ 1 (mod n 8) neáu n soá nguyeân leû 5. Chöùng minh raèng neáu n ≥ 1 ì 2 2≡ 1(mod 3) th 6. Cho a laø moät soá nguyeân leû vaø n ≥ 3 laø moät soá töï nhieân. Chöùng minh raèng a n 1 2 −≡ 1 (mod 2n) 7. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì ∑2n ( n)! la 2 ø moät soá nguyeân chia heát k=1k cho 2n + 1. 8. Tìm taát caû caùc soá nguyeân n sao cho a) 21 | (22n + 2n + 1) n 2 n b) 7 | (2 + 2 + 1) d) 10 | n 2 +(n2 + 1)2 + (n2 + 3)2 e ) 8 | 3n + 4n + 1 9. a) Cho a, x1, x2, …, xn ∈ 9 . Chöùng minh raèng, neáu x1, x2, …, xn laø nguyeân toá cuøng n i 1i nhau töøng ñoâi vaø x x ∏ i | a vôùi moïi i = 1, 2, …, n thì | a. = b) Neáu x1, x , …, x 2 n laø nguyeân toá cuøng nhau töøng ñoâi thì Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 40 - n xi [x1, x2, …, xn] = | ∏ | i 1 = 10. Ñònh lí Trung hoa veà phaàn dö n i 1i a ∈ ∏ a) Cho a1, a2, … , an ∠ laø nguyeân toá cuøng nhau töøng ñoâi vaø a = . Chöùng = minh raèng vôùi moïi soá nguyeân b1, b2, … , bn toàn taïi moät soá nguyeân x b (mod a ) i i ≡ ≡ β (mod a) ⎩⎨⎧x Z,i 1,2,..., n ⇔ x ∈ = b) Giaûi trong 9 phöông trình sau x 4(mod5) β sao cho ⎪⎨⎧ ⎪⎩ ≡ x 3(mod 6) ≡ x 2(mod 7) ≡ 11. Chöùng minh raèng caùc soá nguyeân sau laø hôïp soá. a) n4 – n2 + 16 vôùi n 9 ∈ b) 4n3 + 6n2 + 4n + 1 vôùi n ∠ ∈ c) 24n +2 + 1 vôùi n ∠ ∈ ∈ ≥ d) 5n– 3n vôùi n ∠ vaø n 2. e) an + bn + cn + dn vôùi a, b, c, d ∈ ∠ vaø ab = cd ≥ 12. Tìm taát caû caùc soá nguyeân n 2 sao cho n vaø n3 + n2 + 11n + 2 laø nhöõng soá nguyeân toá. ≥ ∈ ∠. Chöùng minh raèng 13. Cho p 3 laø soá nguyeân toá, n (1 + p) n p ≡ 1 + pn+1 (mod pn+2) 14. Cho a, b ∈ ∠ sao cho 21 (a3+ b3) laø moät soá nguyeân toá. Chöùng toû a = b = 1. ∈ ≥ 15. Cho n ∠ sao cho n 11. Chöùng minh raèng neáu n – 10, n + 10, n + 60 laø nhöõng soá nguyeân toá thì thì n + 90 cuõng laø soá nguyeân toá. n 2∈ ∠. 16. Tìm taát caû caùc soá nguyeân toá coù daïng 2 + 5, n 17. Ñònh lí nhoû Fermat :Cho p laø soá nguyeân toá a) Chöùng minh : Vôùi moïi n 9, np ∈ ≡ n(mod p) b) Suy ra: Vôùi moïi n 9, ( p | n ⇒ np– ∈ 1 ≡ 1(mod p) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 41 - 18. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n, soá 7n7 + 5n535 23n + laø moät soá nguyeân. ∈ 19. 9 Chöùng minh, vôùi moïi n a) 4 2 | n 7 – n b ) 2730 | n13 – n c) 215–23 | n15 – n3 20. Chöùng minh raèng a ≥ ) Vôùi moïi soá nguyeân leû n 15, 21840 | n12–1 b) Vôùi mo ≥ ïi soá nguyeân toá p 19, 16320 | p16–1. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 42 - CHÖÔNG 3: NHOÙM 1 Nöûa nhoùm - Vò nhoùm 1.1 Ñònh nghóa • Caáu truùc ñaïi soá (X, *) vôùi * laø pheùp toaùn trong treân X coù tính chaát keát hôïp ñöôïc goïi laø nöûa nhoùm. Moät nöûa nhoùm coù phaàn töû ñôn vò ñöôïc goïi laø vò nhoùm. Mo ät nöûa nhoùm laø giao hoaùn neáu pheùp toaùn treân noù coù tính giao h • VÍ DUÏ: oaùn. 1 ) Taäp soá töï nhieân ∠ vôùi pheùp toaùn coäng thoâng thöôøng laø moät nöûa nhoùm giao hoaùn. Taäp soá töï nhieân(vôùi soá 0) ∠0 vôùi pheùp toaùn coäng thoâng thöôøng laø m oät vò n hoùm giao hoaùn. 2) Taäp soá töï nhieân ∠ vôùi pheùp toaùn a* b = (a, b) (ÖCLN cuûa a vaø b ) laø moät n öûa nhoùm giao hoaùn. 3 ∩ ) laø vò nhoùm ) Taäp P(X) caùc taäp con cuûa X cuøng vôùi pheùp toaùn ∪ ( hoaëc giao hoaùn. 4) Taäp M(X) caùc aùnh xaï töø X vaøo X vôùi pheùp toùan hôïp caùc aùnh xaï laø moät vò nhoùm khoâng giao hoaùn. 1.2 Tích cuûa n phaàn töû trong nöûa nhoùm • Trong nöûa nhoùm (X. • ) tích cuûa n phaàn töû a uûa X ñöôïc xaùc ñònh 1, a2, …, an c b aèng qui naïp nhö sau: a1 • a2 • a3 = (a1 a2) 3 • • a a1 • a2 • a3• a4 = (a1 • a2 • a3) • a4 . . . . . . . . . . . . . . . a1 • a2 • … • an–1 • a n = (a1 • a2 • … • an–1) • an. n • Tích cuûa n phaàn töû a1, a2, , an coøn ñöôïc kí hieäu laø i ∏a … i 1 = ñöôïc vieát theo loái coäng thì ta vieát daáu toång thay vì daáu tích: n . Neáu nöûa nhoùm (X,+) i 1i a = a1 + a2 + … + an–1 n = (a1 + a n–1) + an ∑ = 1.3 Ñònh lí + a 2 + … + a Giaû söû a1, a2, …, an laø n phaàn töû baát kì cuûa nöûa nhoùm (X, •). Khi ñoù Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 43 - a • a • … • an–1 • an = (a1• … • ai) • (a i+1• … • aj) • … • (am+1• … • an) 1 2 C höùng minh: Ta seõ chöùng minh ñònh lí treân baèng phöông phaùp qui naïp theo n. Vì (X, •) laø nöûa nhoùm neân khaúng ñònh ñuùng vôùi n = 3. Giaû söû khaúng ñònh ñuùng cho k phaàn töû ,vôùi 3 ≤ k ≤ n –1, ta phaûi chöùng minh khaúng ñònh ñuùng vôùi n phaàn t öû phaàn töû . Xeùt tích x = (a1• … • ai) • (a i+1• … • a j) • … • (am+1• … • an) ta coù x = (a1• …• a )•(am+1• …• an) (giaû thieát qui naïp) m = (a1• …•am)• [(am+1• …•an–1)• an] (ñònh nghóa cuûa tích nhieàu phaàn töû ) = [(a1• … •am)•(am+1• …•an–1)] • an (tính keát hôïp) = (a1• …•am • am+1• …• an–1) • an (giaû thieát qui naïp) = a1 • a2 • … • an–1 • an (ñònh nghóa cuûa tích nhieàu phaàn töû ) Töø ñoù khaúng ñònh ñuùng vôùi n phaàn töû . • Trong nöûa nhoùm (X. • ) ta goïi tích cuûa n phaàn töû ñeàu baèng a laø luõy thöøa n cuûa û a vaø kí hieäu laø an. Töø ñònh lí 1.2 suy ra ngay caùc qui taéc: phaàn tö am an = am + n vaø (am)n = am n 1.4 Ñònh lí Trong moät nöûa nhoùm giao hoaùn (X, •) tích a1• a2 • … • an–1 • an khoân g phuï thuoäc v aøo thöù töï caùc nhaân töû. Chöùng minh: Ta seõ chöùng minh ñònh lí treân baèng phöông phaùp qui naïp theo n. Vì (X, •) laø nöûa nhoùm giao hoaùn neân khaúng ñònh ñuùng vôùi n = 2. Giaû söû khaúng ñònh ñuùng cho k phaàn töû ,vôùi ≤ k ≤ n –1, ta pha chöùng minh khaúng ñònh ñuùng vôùi n 2 σ ûi phaàn töû. Ta seõ chæ ra (vôùi laø hoaùn vò baát kì cuûa 1, 2, …, n ) a N σ(k) 1• a2 • … • an–1 • an = a σ(1) • a σ(2) • … • a σ(n) eáu an = a thì ta coù theå vieát veá phaûi cuûa ñaúng thöùc treân nhö sau nhôø ñònh lí 1.3 vaø tính giao hoaùn cuûa pheùp toaùn • : a σ(1) …a σ(k−1) a σ(k) a σ(k+1)… a σ(n) = (a σ(1) …a σ(k−1) ) [a σ(k) (a σ(k+1)… a σ(n) )] o hoaùn) = (a …a ) [(a … a )an] (do an = a σ(k) vaø tính gia (1) (k 1) (k 1) (n) σ σ − σ + σ ( do tính keát hôïp) = [(a σ(1) …a σ(k )(a … a )]a n. 1) σ(k+1) σ(n) − σ(1) σ(k−1) a σ(k+1) σ(n) ( do ñònh lí 1.3) = (a …a … a )an. ( theo giaû thieát qui naïp) = (a1.a2 . … . an–1).an = a1.a2 . … . an–1.an Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 44 - 2 Nhoùm 2.1 Ñònh nghóa • Vò nhoùm (X, *) ñöôïc goïi laø moät nhoùm neáu moãi phaàn töû cuûa X ñeàu toàn taïi phaàn töû ngh á (X, *) ñöôïc goïi laø moät nhoùm neáu : òch ñaûo. Hay noùi caùch khaùc, caáu truùc ñaïi so a ∈ X ) (x * y) * z = x * (y * z) vôùi moïi x, y, z b) Toàn taïi phaàn töû e ∈ X sao cho e * x = x * e = x vôùi moïi x ∈ X c) Vôùi moïi x ∈ X toàn taïi y ∈ X sao cho x y = y x = * * e. • VÍ DUÏ: 1) Taäp caùc soá höõu tæ Θ vôùi pheùp coäng thoâng thöôøng laø moät nhoùm. Taäp caùc soá * aùc soá höõu tæ khaùc 0, kí hieäu Θ , vôùi pheùp nhaân thoâng thöôøng laø moät nhoùm. Taäp c thöïc vaø soá phöùc 3 , ∀ vôùi pheùp coäng thoâng thöôøng laø caùc nhoùm. Taäp caùc soá thöïc vaø * * soá phöùc khaùc 0, kí hieäu 3 , ∀ , vôùi pheùp nhaân thoâng thöôøng laø caùc nhoùm. 2) Taäp hôïp caùc soá phöùc coù modul baèng 1 vôùi pheùp nhaân thoâng thöôøng laø moät nhoùm. 3) Taäp hôïp goàm hai soá 1 , –1 vôùi pheùp nhaân laø moät nhoùm. Taäp hôïp goàm boán soá 1, –1, i, – i vôùi pheùp nhaân laø moät nhoùm. 4) Vôùi X ≠ ∅, taäp S(X) caùc song aùnh töø X vaøo X laø moät nhoùm döôùi pheùp toaùn h p caùc aùnh xaï. Nhoùm na ñöôïc go laø nhoùm caùc hoaùn vò cuûa taäp X. ôï øy ïi ) Cho {(X , •)} laø moät hoï caùc nhoùm. Ñaët X = i∈I ∏i∈IXi = {(xi : xi Xi } laø ) 5 i∈I ∈ I h Descartes cuûa hoï {Xi} .Vôùi (xi vaø (yi laø hai phaàn töû cuûa X, ta xaùc tíc i∈I )i∈I )i∈I )i∈I )i∈I )i∈I ñ ònh tích cuûa chuùng bôûi : (xi • (yi = (xI • yi . Khi ñoù (X, • ) laø moät nhoùm, Xi i∈I )i∈I tr ong ñoù phaàn töû ñôn vò laø 1 = (1 ) vaø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa (xi laø 1i− (x )i∈I •)} . i∈I . Ta goïi X laø tích Descartes hay tích tröïc tieáp cuûa hoï caùc nhoùm {(Xi, • Moät nhoùm goàm chæ moät phaàn töû ñöôïc goïi laø n oùm h taàm thöôøng. Moät nhoùm noùi chung coù theå coù voâ haïn hoaëc höõu haïn phaàn töû . Neáu X coù höõu haïn phaàn töû thì ta noùi X laø nhoùm höõu haïn, vaø soá phaàn töû cuûa X ñöôïc goïi laø caáp cuûa nhoùm X trong ví duï 3) laø caùc nhoùm höõu haïn caáp hai vaø caáp 4. Ne . Caùc nhoùm áu pheùp toaùn treân X coù tính giao hoaùn thì ta noùi X laø nhoùm g ao oaùn hay nhoùm abel i h . Nhoùm trong ví duï 4) laø nhoùm khoâng giao hoaùn. • Trong moät nhoùm nhaân (X, • ) ngöôøi ta coù theå noùi ñeán luõy thöøa cuûa moät phaàn töû vôùi soá muõ laø moät soá nguyeân baát k ì baèng caùch ñaët: Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 45 - ⎪⎨⎧ n a k i n > h 0 an = ⎪⎩ 1 − − 1 n (a ) khi khi = n 0 < n 0 2.2 Caùc tính chaát cô baûn cuûa nhoùm Tính chaát 1: Phaàn töû ñôn vò cuûa moät nhoùm laø duy nhaát. Chöùng minh: Giaû söû nhoùm (X, • ) coù hai phaàn töû ñôn vò laø 1 vaø 1* thì 1 = 1•1* = 1*. Tính chaát 2: Moãi phaàn tö û cuûa nhoùm chæ coù duy nhaát moät phaàn töû nghòch ñaûo. Chöùng minh: Giaû söû phaàn töû a cuûa nhoùm (X, • ) coù hai phaàn töû nghòch ñaûo laø b vaø b* thì b = 1• b = (b*• a) • b = b* • (a • b) = b*• 1 = b*. T ính chaát 3: Trong moät nhoùm luaät giaûn öôùc thöïc hieän ñöôïc vôùi moïi phaàn töû, töùc laø töø ñaúng thöùc a • b = a • c hoaëc b • a = c • a keùo theo b = c. a b Chöùng minh: Giaû söû a, b, c laø caùc phaàn töû cuûa nhoùm (X, •) thoûa maõn ñaúng thöùc = a c. Nhaân beân traùi hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy vôùi a–1, ta coù a–1(a b) = a–1(a c), hay (a–1a) b = (a–1a) c, hay 1b = 1c, töùc laø b = c. Tính chaát 4: Trong nhoùm (X,• ) ta coù … a–1 = a −1a1112− a11− , a ) −− …a 1) (a b)–1 = b–1 a–1, hoaëc toång quaùt hôn, (a1 a2 n–1 n n n n –1 –1 n ∈ ∠ . vaø ñaëc bieät, (a ) = (a ) , trong ñoù n 2) an am = an+m vaø (an)m = an m vôùi moïi n, m ∈ 9 . Chöùng minh: 1) Vì (ab)(b–1a–1) = a(bb–1)a–1 = aa–1 = 1 (b–1a–1)(ab) = b–1(a–1a)b–1 = b–1b = 1 2) Neáu n = 0 hoaëc m = 0 laø hieån nhieân. Neáu n, m > 0 , caùc coâng thöùc ñöôïc suy ra röø ñònh lí 1.2. Neáu m , n < 0 thì n am = (a–1)–n(a–1)– m = (a–1)(–n) + (–m) = (a–1)– (n + m) = an+m a Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 46 - (an)m = [(a–1)– n] m = [(a–n)–1]m = (a–n) – m = an m . Neáu m < 0 < n thì (an)m = ((an)–1 )– m = ((a–1)n)– m = (a–1)n (– m) = (a–1) – n m = an m n m a a (a ) + − − − ⎧ ≥ n m m m 1 khi n + m 0 = a . a a = ⎩⎨ n 1 n 1 m n a (a ) (a ) − − − − khi n + m < 0 Tính chaát 5: n + m C ho (X, • ) laø moät nöûa nhoùm. Khi ñoù ba ñieàu sau ñaây laø töông ñöông: 1) (X, • ) laø moät nhoùm. 2) Vôùi moïi ph aàn töû a, b cuûa X, phöông trình ax = b cuõng nhö phöông trình ya = b coù nghieäm duy nhaát. 3) Trong X toàn taïi phaàn töû ôn vò traùi ( öông öùng: ñôn vò haûi) ñ t p vaø moïi phaàn töû tö aûi). cuûa X ñeàu coù nghòch ñaûo traùi( ông öùng: nghòch ñaûo ph Chöùng minh: (1 ⇒ 2) Ta thaáy ngay giaù trò x = a–1b laø nghieäm cuûa phöông trình. Ñoù laø nghie äm duy nhaát vì neáu c cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình, töùc laø ac = ax = b thì c = x. (2 ⇒ 3) Goïi e laø nghieäm cuûa phöông trình ya = a. Ta seõ chæ ra e laø phaàn töû ñôn vò traùi. Thaät vaäy, v ôùi moïi phaàn töû b baát kì cuûa X , neáu goïi c laø nghieäm cuûa höông trình ax = b, thì ta coù eb = e(ac) = (ea)c = ac =b. p Giaû söû a laø moät phaàn töû baát kì cuûa X, khi ñoù phaàn t öû nghòch ñaûo traùi cuûa a laø nghieäm cuûa phöông trình ya = e. (3 ⇒ 1) Giaû söû trong X toàn taïi phaàn töû ñôn vò traùi e vaø moïi phaàn töû cuûa X ñeàu coù nghòch ñaûo traùi. Laáy moät phaàn töû baát kì a cuûa X. goïi a–1 laø nghòch ñaûo traùi cuûa a vaø (a–1)–1 laø nghòch ñaûo traùi cuûa a–1. Khi ñoù ta coù aa–1 = e(aa–1) = ((a–1)–1 a–1) (aa–1) = (a–1)–1(a–1 a)a–1 = (a–1)–1(ea–1) –1 = (a–1) a–1 = e. –1 M aët khaùc, vôùi moïi phaàn töû b cuûa X, goïi b laø nghòch ñaûo traùi (vaø cuõng laø nghòch ñaûo phaûi) c uûa b thì ta coù : be = b(b–1b) = (bb–1)b = eb = b. –1 Vaäy, e laø phaàn töû ñôn vò cuûa X vaø a laø phaàn töû ngh moät nhoùm. òch ñaûo cuûa a vaø do ñoù X laø Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 47 - 3. Nhoùm con 3.1 Ñònh nghóa • Cho (X • ) laø mo , ät nhoùm , vaø H laø moät taäp con cuûa X. H ñöôïc goïi laø oån ñònh (ñoái v ∈ H vôùi moïi a, b∈ H. Khi ñoù ngöôøi ta ôùi pheùp toaùn • trong X) neáu vaø chæ neáu a • b cuõng noùi raèng, pheùp toaùn treân X caûm sinh moät pheùp toaùn treân H. • Ta noùi moät boä phaän oån ñònh H cuûa nhoùm X laø moät nhoùm con cuûa X neáu H cuøng v ôùi pheùp toaùn caûm sinh laø moät nhoùm. CHUÙ YÙ: Neáu H laø n hoùm con cuûa nhoùm (X, • ) thì phaàn töû ñôn vò cuûa X laø 1X naèm tr H ong H. Thaät vaäy, goïi 1 laø phaàn töû ñôn vò cuûa nhoùm (H,• ). Khi ñoù ta coù 1H • 1H = 1H vaø 1H • 1X = 1H , töø ñoù suy ra 1H • 1H = 1H • 1X , vaø d luaät giaûn öô o ùc trong nhoùm ta coù 1X = 1H ∈ H. 3.2 Ñònh lí (tieâu chuaån ñeå nhaän bieát moät nhoùm con) Giaû söû H laø moät taäp con khaùc ∅ cuûa moät nhoùm (X, • ). Khi ñoù ba ñieàu sau ñaây laø töông ñöông: 1) H laø moät nhoùm con cuûa X. 2) ab ∈ H vaø a–1 ∈ H vôùi moïi a, b ∈ H . 3) ab–1 ∈ H vôùi moïi a, b ∈ H. Chöùng minh: (1 ⇒ 2) Vì H laø boä phaän oån ñònh cuûa nhoùm X neân ab∈H vôùi moïi a, b H. Xeùt a laø ∈ moät phaàn töû baát kì cuûa H , giaû söû a 1H− laø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa a trong H va1X− ø a laø nghòch ñaûo cuûa a trong X. Khi ñoù a H .a = 1 −1H = 1X = a X a, vaø do luaät giaûn öôùc 1 − trong nhoùm ta coù a 1X− = a1H− ∈ H. (2 ⇒3) Ñieàu naøy laø roõ raøng. (3 ⇒1) Vì H ≠ ∅ neân toàn taïi phaàn töû a∈H, töø ñoù theo giaû thieát 1X = aa–1∈ H. Vôùi moïi b ∈ H, goïi b 1X− laø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa b trong X, töø 1X ∈ H vaø töø giaû thieát suy ra b 1X− =1X .b 1X− ∈ H. Baây giôø vôùi moïi a, b∈H, khi ñoù b–1 ∈ H vaø do giaû thieát –1 –1 (b ) ∈ ab = a H. Ñieàu naøy chöùng toû • cuõng laø pheùp toaùn treân H, vaø do pheùp toaùn ñaõ cho trong X coù tính keát hôïp neân (H. • ) laø nöûa nhoùm. N goøai ra H coù phaàn töû ñôn 1H− := a1X− ø 1H :=1X vaø phaàn töû a ∈ H coù phaàn töû nghòch ñaûo la . Töø ñoù (H, vò la ø a • ) laø moät nhoùm. • VÍ DUÏ: ) Cho nhoùm (X, • ). Boä phaän {1X} vaø X laø hai nhoùm con cuûa nhoùm X, chuùng 1 ñöôïc goïi laø caùc nhoùm con taàm thöôøng cuûa nhoùm X Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 48 - 2) (Θ ,+) laø nhoùm con cuûa (3 , +). Nhoùm caùc soá phöùc coù modul baèng 1 laø nhoùm con cuûa nhoùm nhaân (∀*, • ). Nhoùm ({1, –1}, •) laø nhoùm con cuûa nhoùm ({1, –1, i, –i}, •). 3) Cho (G,• ) laø moät nhoùm. Khi ñoù Z(G) = {x ∈ G : xg = gx, vôùi moïi g ∈ G} laø moät nhoùm con giao hoaùn cuûa nhoùm G. Thaät vaäy, vôùi moïi a, b ∈ Z(G) vaø vôùi moïi g∈G ta coù (ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b = g(ab), töùc laø ab ∈ Z(G). ø ag = ga suy ra a–1 (ag)a–1 = a–1 (ga)a–1 Maët khaùc, tö (a–1a)(ga–1) = (a–1g)(aa–1) ga–1 = a–1g, ùc laø a–1 Z(G). Tính giao hoaùn cuûa (ZG) laø roõ raøng. Nhoùm con Z(G) ñöôïc goïi laø tö ∈ taâm cuûa nhoùm G. 4) Cho (9, +) laø nhoùm nhaân caùc soá nguyeân. Ñaët n9 = {nk : k ∈ 9}. Khi ñoù ùm con cuûa (9, +) ñeàu coù n9 laø moät nhoùm con cuûa (9, +). Hôn nöõa, moïi nho daïng m 9 vôùi m laø moät soá nguyeân naøo ñoù. ät vaäy, n9 laø nhoùm con vì nx – ny = n(x – y)∈ n9. Baây giôø, goïi H laø moät nhoùm Tha on baát kì cuûa nhoùm (9, +). Neáu H ={0} thì H = 09. Neáu H ≠ {0} thì toàn taïi soá c nguyeân k ∈ H vôùi k ≠ 0. Khi ñoù – k cuõng thuoäc H do H laø nhoùm con. Nhö vaäy, trong H coù ít nhaát moät soá döông. Goïi m laø soá döông nhoû nhaát trong H. Ta seõ chæ ra H = m9 . Tröôùc heát H ⊂ m9, thaät vaäy, l mo aáy x laø ät phaàn töû baát kì cuûa H. Töø pheùp c 9 ≤ r < m. Neáu 0 < r < m thì töø r = x – mq ∈ hia trong ta ñöôïc x = mq + r, vôùi 0 H daãn ñeán maâu thuaãn vôùi vieäc m laø soá döông nhoû nhaát cuûa H, vaäy ta phaûi coù r = 0. Töø ñoù x = mq ∈ m9. Bao haøm thöùc ngöôïc laïi m9 ⊂ H laø roõ raøng. 4) Giao cuûa moät hoï baát kì caùc nhoùm con cuûa moät nhoùm G cuõng laø moät nhoùm con cuûa nhoùm G. Thaät vaäy, xeùt moät hoï baát kì {Xi} i∈I caùc nhoùm con cuûa (G, • ) vaø X laø giao cuûa chuùng. Laáy hai phaàn töû baát kì x, y cuûa X, khi ñoù x,y ∈ Xi vôùi moïi i∈I. Vì Xi laø caùc nhoùm con neân xy–1 ∈ Xi vôùi moïi i∈I, do ñoù xy–1 ∈ X. Töø ñònh lí 3.2 suy ra X laø moät nhoùm con cuûa G. • NHAÄN XEÙT: Neáu A laø moät taäp con cuûa nhoùm G, thì A seõ chöùa trong ít nhaát moät nhoùm con cuûa G , chaúng haïn G. Theo ví duï 4) giao cuûa taát caû caùc nhoùm con cuûa G chöùa A cuõng laø moät nhoùm con chöùa A. Coù theå kieåm tra deã daøng raèng ñoù laø nhoùm con beù nhaát chöùa A, töùc laø noù chöùa trong moïi nhoùm con chöùa A cuûa G. 3.3 Nhoùm con sin bôûi moät taäp co cuûa h n nhoùm Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 49 - • Coù moät con ñöôøng toång quaùt ñeå thu ñöôïc caùc nhoùm con töø moät nhoùm. Xeùt S laø moät taäp con khaùc ∅ cuûa nhoùm (G, •). Ñaët: ε … a n < S > = {a 11ε a 2 2 nε: ai∈ S, i ε = ± 1, n∈ ∠} Khi ñoù, < S > laø nhoùm con cuûa G vaø laø nhoùm con beù nhaát chöùa S. Thaät vaäy, neáu x, y ∈ < S > thì roõ raøng xy–1∈ < S >, töùc laø < S > laø moät nhoùm con c ao uûa G. Goïi H laø gi cuûa taát caû caùc nhoùm con cuûa G chöùa S. Vì nhoùm con H chöùa moïi phaàn töû a ∈ S neân < S > ⊂ H. Vì < S > hieån nhieân chöùa S neân < S > = H. Vaäy, < S > laø nhoùm con beù nhaát cuûa G chöùa S. • < S > ñöôïc goïi laø nhoùm con sinh bôûi S. Ta cuõng noùi raèng S taäp caùc phaàn töû sinh cuûa < S >. • Neáu S = {a} thì < S > goàm taát caû caùc phaàn töû coù daïng an vôùi n ∈ 9 . Trong tröôøng h ôïp naøy ta thöôøng vieát (a) thay cho < {a}> vaø goïi noù laø nhoùm con cyclic cuûa G si nh bôûi a. • VÍ DUÏ: 1) Xeùt nhoùm coäng caùc soá nguyeân (9 , +). Khi ñoù (1) = 9. 2) Xeùt nhoùm nhaân caùc soá phöùc ( ∀, • ). Kh ñoù i ( i ) = {1, –1, i, – i }. 4 . Nhoùm con chuaån taéc - Nhoùm thöông 4.1 Lôùp keà - Quan heä töông ñöông xaùc ñònh bôûi moät nhoùm con • Cho (G, • ) laø moät nhoùm, H laø moät nhoùm con cuûa noù vaø a laø phaàn töû cuûa G. Taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû ax vôùi x ∈ H ñöôïc goïi laø lôùp keà traùi ( hay lôùp gheùp traùi) cuûa H trong G. Ta kí hieäu noù bôûi aH. • Cho (G, • ) laø moät nhoùm, H laø moät nhoùm con cuûa noù. Tr eân G ta xaùc ñònh moät q uan heä ~ nhö sau x ~ y ⇔ x–1y ∈ H Quan heä ~ xaùc ñònh ôû treân laø moät quan heä töông ñöông. Thaät vaäy, vì H laø nhoùm con neân x–1x = 1∈ H , töùc laø x ~ x (tín h phaûn xaï). Giaû söû x vaø y laø hai phaàn töû baát kì cuûa –1 H. Vì H laø nhoùm con neân ta coù (x–1 –1 –1 G sao cho x ~ y, töùc laø x y y) = y x ∈ H, ∈ töùc laø y ~ x. Vaäy ~ coù tính ñoái xöùng. Cuoái cuøng, giaû söû x, y, z laø ba phaàn töû baát kì cuûa G sao cho x ~ y vaø y ~ z, töùc laø x –1y, y–1z ∈ H. Töø H laø nhoùm con suy ra (x– 1y)( y–1z) = x–1(y y–1)z = x– 1z ∈ H. Vaäy ~ laø baéc caàu. • NHAÄN XEÙT: Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 50 - 1) Quan heä töông ñöông ~ noùi ñeán ôû treân chia G thaønh caùc lôùp töông ñöông. Kí hieäu a seõ ñöôïc duøng ñeå chæ lôùp töông ñöông chöùa phaàn töû a, khi ñoù a = aH = {ax : x ∈ H} Thaät vaäy, giaû söû b laø moät phaàn töû baát kì thuoäc lôùp töông ñöông a , khi ñoù a~b, töùc laø a–1b ∈ H, töø ñoù b = a (a–1b) ∈ aH. Vaäy a ⊂ aH. Ngöôïc laïi, giaû söû b laø moät phaàn töû baát kì thuoäc aH, khi ñoù toàn taïi moät phaàn töû x thuoäc H sao cho b = ax hay x = a–1b, töùc laø a–1b ∈ H. Vaäy a ~ b vaø töø ñoù aH ⊂ a . Töø nhaän xeùt 1) suy ra raèng, ñoái vôùi hai lôùp keà baát kì aH vaø bH cuûa H trong G thì hoaëc laø chuùng truøng nhau hoaëc laø chuùng rôøi nhau. 2) Lôùp keà aH truøng vôùi H khi vaø chæ khi a∈H. Thaät vaäy, giaû söû coù aH = H. Goïi e laø phaàn töû ñôn vò cuûa G, do H laø nhoùm con neân e∈H, töø ñoù a = ae∈ aH = H. Ngöôïc laïi, giaû söû a∈H, ta seõ chæ ra aH = H. Vì H laø nhoùm con neân töø a∈H suy ra ax ∈ H vôùi moïi x ∈ H vaø ñieàu naøy coù nghóa laø aH ⊂ H. Baây giôø giaû söû b laø moät phaàn töû baát kì cuûa H. Vì H laø nhoùm con neân a–1∈ H vaø a–1b ∈ H, töø ñoù b = (a a–1)b = a(a–1b) ∈ aH. Vaäy H ⊂ aH. • Hoaøn toaøn töông töï, ta kí hieäu Ha laø lôùp keà phaûi cuûa H trong G, noù goàm taát caû caùc phaàn töû xa vôùi x ∈ H, vaø truøng vôùi lôùp töông ñöông a chöùa phaàn töû a trong quan heä töông ñöông ñöôïc xaùc ñònh bôûi x ~ y ⇔ xy–1 ∈ H Trong caùc phaàn sau, neáu khoâng chæ roõ, ta noùi lôùp keà coù nghóa laø lôùp keà traùi. • Neáu duøng daáu + ñeå kí hieäu pheùp toaùn trong nhoùm G, thì lôùp keà traùi vaø phaûi cuûa H trong G seõ ñöôïc vieát laø a + H = {a + x : x ∈ H}; H + a = {x + a : x ∈ H} Coøn caùc quan heä töông ñöông seõ ñöôïc vieát laø x ~ y ⇔ (– x )+ y ∈ H ; x ~ y ⇔ y + (– x) ∈ H ) 4.2 Meänh ñeà Cho G laø moät nhoùm, vaø H laø moät nhoùm con. Khi ñoù soá caùc phaàn töû cuûa moät lôùp keà aH baèng soá caùc phaàn töû trong H. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 51 - Chöùng minh: Xeùt aùnh xaï H → aH, x a ax. AÙnh xaï naøy laø moät song aùnh, thaät vaäy roõ raøng noù laø toøan aùnh, hôn nöõa noù laø ñôn aùnh vì töø ax = ax' suy ra x = x' (luaät giaûn öôùc trong nhoùm). Vì G höõu haïn neân H cuõng höõu haïn, töø ñoù soá phaàn töû cuûa H phaûi baèng soá phaàn töû cuûa aH. • Cho G laø moät nhoùm, vaø H laø moät nhoùm con. Soá caùc lôùp keà rôøi nhau cuûa H trong G ñöôïc goïi laø chæ soá cuûa H trong G. Chæ soá naøy taát nhieân coù theå laø voâ haïn. Neáu G laø nhoùm höõu haïn, thì chæ soá cuûa moät nhoùm con baát kì laø höõu haïn. Chæ soá cuûa moät nhoùm con H trong G seõ ñöôïc kí hieäu laø (G : H). 4.3 Ñ ònh lí (Lagrange) Cho G laø moät nhoùm höõu haïn vaø H laø moät nhoùm con. Khi ñoù (caáp cuûa G) = (G : H) × (caáp cuûa H) Chöùng minh: Vì G höõu haïn neân soá caùc lôùp keà (G : H) la höõu haïn ø , khi ñoù G ñöôïc phaân hoaïch aønh (G : H) lôùp, soá phaàn töû cuûa moãi lôùp, theo meänh ñeà 5.3, baèng caáp cuûa H. th Töø ñoù suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh. • NHAÄN XEÙT: 1 ) Ñònh lí Lagrange cuõng chæ ra raèng caáp cuûa moät nhoùm con cuûa moät nhoùm höõu haïn laø öôùc cuûa caáp cuûa nhoùm ñoù. 2 ) Sau ñaây laø moät öùng duïng cuûa ñònh lí Lagrange. Giaû söû G laø moät nhoùm höõu aá ù, xn haïn c p n. Khi ño vôùi moïi x ∈ G ta coù = e. c cl cuûa G sinh bôûi x : H =(x) = {xk, k Thaät vaäy, xeùt nhoùm con y ic ∈ 9}.Vì H höõu haïn hö c aû g haïn xk = xm (vôùi k > m). Khi neân toàn taïi nhöõng luõy t øa u x baèng nhau, chaún ù, xk –m xm – m a0 = e. aäy to t öõng oá muõ n yeân ö g sao ño = = V àn aïi nh s gu d ôn l cho xl = e. o o ân n a co tín a 0 = G ïi s laø s á nguye döông hoû nh át ù h ch át aáy. Ta chæ ra raèng caùc phaàn töû x x, x2, …, xs – 1 laø khaùc nhau, vaø moïi phaàn töû cu H e baèn e, ûa ñ àu g moät trong caùc phaàn tö aáy. Tr ôùc heát ùc phaàn öû noùi ôû treân laø khaùc nhau, vì neáu x ≤ û ö ca t k = xm vôùi 0 m < k ≤ s –1, thì ta coù xk –m = e vôùi 0 < k – m < s, nhöng ñieàu naøy maâu thuaån vôùi giaû thieát veà s. Baây giôø, giaû söû a laø moät phaàn töû baát kì cuûa H, töùc laø a = xk vôùi k laø moät soá nguyeân naøo ñoù. Chia k cho s ta ñöôïc k = sq + r vôùi 0 ≤ r < s. Khi ñoù a = xk = sq + r = (xs)qxr = exr = xr x . Töø ñoù suy ra caáp cuûa H baèng s. Theo ñònh lí Lagrange thì s laø öôùc cuûa n, töùc laø n = sp.Töø ñoù xn = xsp = (xs)p = ep = e. 4.4 Nhoùm con chuaån taéc • Moät nhoùm con H cuûa moät nhoùm G ñöôïc goïi laø nhoùm con chuaån taéc neáu vaø chæ neáu xH = Hx vôùi moïi x ∈ G Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 52 - • Coù theå phaùt bieåu ñònh nghóa nhoùm con chuaån taéc döôùi daïng töông ñöông: Moät nhoùm con H cuûa nhoùm G laø chuaån taéc khi vaø chæ khi x–1a x ∈ H vôùi moïi a ∈ H vaø moïi x ∈ G. Ta seõ chæ ra raèng hai ñònh nghóa neâu ôû treân laø töông ñöông. Thaät vaäy, giaû söû coù xH = Hx vôùi moïi x ∈ G. Goïi a laø phaàn töû baát kì cuûa H, khi ñoù toàn taïi a' ∈ H sao cho xa = a'x, suy ra a = x–1a' x ∈ H. Ngöôïc laïi, giaû söû coù x–1a x ∈ H vôùi moïi a H vaø ∈ m ∈ ∈ G ta chæ caàn chæ ra toàn taïi hai oïi x G. Vôùi phaàn töû a baát kì thuoäc H, vaø x phaàn töû a' vaø a'' ∈ H sao cho xa = a''x vaø ax = xa', vì khi suy ra ngay xH = Hx. ñoù C pha a, ∈ H vaø a'' = (x–1)–1ax–1 = x ax–1 où theå thaáy hai àn töû a'' caàn tìm laø a' = x–1a x ∈ H. • CHUÙ YÙ: Ñieàu kieän vôùi moïi x ∈ X : xH = Hx khoâng coù nghóa laø vôùi baát kì a thuoäc H thì phaûi coù xa = ax maø ñieàu kieän naøy chæ coù nghóa laø vôùi moãi a ∈ H seõ toàn taïi a'∈ H sao cho xa = a'x. • VÍ DUÏ: 1 ) Moïi nhoùm con cuûa moät nhoùm giao hoaùn ñeàu chuaån taéc. Chaúng haïn n9 laø nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm ( 9 , +). 2) Taâm cuûa nhoùm G, Z(G) = {x ∈ G : gx = xg, vôùi moïi g∈G}, laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Thaät vaäy, vôùi moïi x∈ G, vôùi moïi h ∈ Z(G) ta coù x–1h x = x–1 (h x) = x–1 (x h) = (x–1 x) h = h ∈ Z(G). 3) Neáu S vaø T laø caùc nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm G thì S∩ T cuõng laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Thaät vaäy, vôùi moïi x∈ G, vôùi moïi h∈ S ∩ T, vì h ∈ S vaø h ∈ T neân x–1h x ∈ S vaø x–1h x ∈ T, töø ñoù x–1h x ∈ S∩ T. 4) Xeùt nhoùm caùc pheùp theá S3 = {song aùnh σ: {1, 2, 3} {1, 2, 3}} vôùi pheùp → toaùn hôïp caùc aùnh xaï σ = (σ(1) (2) (3))): maø caùc phaàn töû laø (ôû ñaây, kí hieäu σ σ σ1 σ2 = (132), σ3 = (213), σ4 = (231), σ5 = (312), σ6 = (321) = (123), σ1,σ4,σ5 Khi ñoù nhoùm con H = { } laø chuaån taéc vì σ1 σ1 σ2H = Hσ2 = {σ2,σ3,σ6}; σ3H = Hσ3 = {σ3,σ2,σ6}; H = H = H, σ4H = Hσ4 = H, σ5H = Hσ5 = H, σ6H = Hσ6 = {σ6,σ3,σ2}. 4.5 Nhoùm thöông • Cho (G, •) laø nhoùm vaø H laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Xeùt taäp G/H goàm caùc Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 53 - lôùp keà traùi aH (cuõng laø keà phaûi do H laø chuaån taéc), chuù yù raèng noù cuõng laø taäp thöông ñoái vôùi quan heä töông ñöông ñaõ noùi trong 5.1 T a seõ xaây döïng moät caáu truùc nhoùm treân taäp G/H baèng caùch xaùc ñònh pheùp toùan nhaân treân G/H nhö sau aH • bH = abH h bH = a'b'H ( do (ab)–1 Vôùi moïi a, a', b, b' ∈ G, neáu (aH, bH) = (a'H, b'H) t ì a –1 –1 –1 –1 –1 a ' b' = b (a a') b' = (b (a a') b)(b b') ∈ H ). Vaäy • thöïc söï laø moät pheùp toùan trong treân G/H. Noù coù tính keát hôïp , phaàn töû ñôn vò laø 1GH, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa aH laø a–1H. Khi ñoù (G/H, •) laø moät nhoùm vaø ñöôïc goïi laø nhoùm thöông cuûa G treân H. • Neáu G la nhoùm ø coäng thì pheùp toùan treân taäp thöông G/H seõ ñöôïc vieát (a + H) + (b + H) = (a + ) + H b H àn töû nghòch ñaûo cuûa a + H vaø nhoùm thöông (G/H, + ) coù phaàn töû ñôn vò laø 0 + , pha la ø (–a) + H • VÍ DUÏ: Xeùt (9 , +) laø nhoùm coäng caùc soá nguyeân, (m 9 ,+) laø nhoùm con chuaån taéc do (9 ,+) giao hoùan. aâp thöông 9 /m 9 = { T a = a + m 9 : 0 ≤ a ≤ m –1} cuøng vôùi pheùp toùan (a + m9) + (b + m9) = (a + b) + m9 vaø laø taïo thaønh nhoùm thöông (9 /m 9 , +), coøn ñöôïc kí hieäu 9m , vaø ñöôïc goïi laø nhoùm caùc soá nguyeân modulo m . Phaàn töû ñôn vò laø 0 = 0 + m9, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa a laø − a . • CHUÙ YÙ: Treân 9m , xeùt pheùp toaùn nhaân a b = ab . Neáu m laø soá nguyeân toá thì 9m – { 0 } laø nhoùm giao hoaùn vôùi phaàn töû ñôn vò laø 1 phaàn töû nghòch ñaûo cuûa a laø b vôùi ab ≡ 1( mod m) • Minh hoïa trong 95 Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 54 - + 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 0 3 4 0 1 4 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 4 0 0 0 0 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1 5. Ñoàng caáu nhoùm 5.1 Ñònh nghóa • * ⊥ Cho (G, ) vaø (H, ) laø hai nhoùm. AÙnh xaï f : G H ñöôïc goïi laø moät ñoàng caáu → (nhoùm) neáu noù baûo toaøn caù heùp to ùn cuûa nhoùm c p a , töùc laø f(a * b) = f(a) ⊥ f(b) vôùi moïi a, b ∈ G. • Moät ñoàng caáu f ñöôïc goïi laø ñôn caáu, toaøn caáu, ñaúng caáu neáu aùnh xaï f töông ö ùng laø ñôn aùnh, toaøn aùnh, song aùnh. Neáu G = H thì ñoàng caáu f ñöôïc goïi laø moät töï g caáu cuûa G. Moät töï ñoàng caáu song ñoàn aùnh ñöôïc goïi laø moät töï ñaúng caáu. Trong tr → öôøng hôïp f : G H laø moät ñaúng caáu thì ta cuõng noùi nhoùm G ñaúng caáu vôùi nhoùm ≅ H, vaø vieát G H. • KÍ HIEÄU: Hom(G, H) = {ñoàng caáu f: G → H} End(G) {töï ñoàng aáu f : G G} = c → Aut(G) = {töï ñaúng caáu f : G → G} • VÍ DUÏ: 1) (3*+ , •) ≅ (3 , +) vì coù moät ñaúng caáu f : (3*+ , •) → (3 , +), f(x) = lnx, ôû ñaây * 3 laø taäp caùc soá thöïc döông vaø • vaø + laø caùc pheùp toaùn nhaân vaø coäng thoâng thöôøng. + 2) Hai nhoùm (Θ, +) vaø (Θ*+ , •) vôùi caùc pheùp toaùn nhaân vaø coäng thoân g thöôøng treân taäp soá höõu tæ khoâng theå ñaúng caáu vôùi nhau. Thaät vaäy, giaû söû coù moät ñaúng ca áu f : Θ → Θ + • + ( * ∈ * ∈ Θ ( , +) , ). Xeùt soá 2 Θ , vì f song aùnh neân toàn taïi a sao cho 2 = f(a) = f( a + 2a ) = f( 2a )f( 2a ) = [f( 2a )]2, nhöng ñieàu naøy daãn ñeán maâu thuaãn vì khoâng 2 coù soá höõu tæ naøo maø bình phöông cuûa noù baèng 2. 3) Cho (G, •) laø moät nhoùm vaø S(G) laø nhoùm caùc hoaùn vò cuûa taäp G. Vôùi moãi a thuoäc G, xeùt aùnh xaï Ta : G → G, Ta (x) = ax. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 55 - Ta thaáy raèng, Ta laø moät song aùnh, thaät vaäy, noù laø ñôn aùnh vì neáu ax = ay thì x = y (luaät giaûn öôùc trong moät nhoùm); noù laø toaøn aùnh vì vôùi moïi x ∈ G ta coù x = Ta(a– 1x). Töø ñoù Ta ∈ S(G). Ngöôøi ta goïi Ta laø pheùp tònh tieán traùi bôûi a. Baây giôø xeùt aùnh xaï a a Ta töø nhoùm (G, • ) ñeán nhoùm (S(G), o) caùc hoùan vò cuûa hôïp G. Coù theå chæ ra noù laø moät ñôn c taäp aáu. Thaät vaäy, noù laø ñoàng caáu vì vôùi moïi a ∈ , b G ta coù Tab(x) = abx = Ta(Tb(x)), noù laø ñôn aùnh vì neáu Ta(x) = Tb(x), töùc laø ax = bx, th ì do luaät giaûn öôùc ta coù a = b. 2 hình Teân goïi cuûa aùnh xaï Ta ñöôïc laáy töø hình hoïc Euclide. Ñaët G = 3 = 3 × 3 , ta dung G nhö moät maët phaúng vaø ãi phaàn töû cuûa G laø moät vector. Khi ñoù vôùi A ∈3 × mo 3 , aùnh xaï TA : G → G, TA(X) = X + A chính laø pheùp tònh tieán theo vector A thoâng thöôøng. 4) Cho (G, +) vaø (H,+) laø hai nhoùm giao hoaùn. Ta coù theå laøm Hom(G, H) trôû thaønh moät nhoùm nhö sau. Neáu f, g ∈ Hom(G, H) ta xaùc ñònh f + g : G → H laø aùnh xaï ñöôïc cho bôûi (f + g)(x) = f(x) + g(x) vôùi moïi x ∈ G. Vieäc kieåm tra noù laø moät nhoùm laø khoâng khoù, phaàn töû ñôn vò laø ñoàng caáu x a 0, phaàn töû nghòch ñaûo cuûa f laø ñoàng caáu x a – f(x). 5) Cho H laø moät nhoùm con cuûa nhoùm G. Khi ñoù aùnh xaï i : H → G, i(x) = x laø moät ñôn caáu, goïi laø ñôn caáu chính taéc. 6) Cho H laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa nhoùm G. Khi ñoù aùnh xaï π : G → G/H, π (x) = xH, π h ùm thöông G/H. Thaät vaäy, vì ta coù (xy) laø moät ñoàng caáu nhoùm töø nhoùm G ñeán n o = π π x yH = xH yH = (x) (y). Hôn nöõa, ñoàng caáu naøy laø moät toaøn caáu, goïi laø toøan caáu chính taéc . 5.2 AÛnh vaø nhaân cuûa ñoàng caáu • Cho f : G → H laø moät ñoàng caáu töø nhoùm (G, •) ñeán nhoùm (H, •), caùc phaàn töû ñôn vò cuûa G vaø H ñöôïc kí hieäu laàn löôït laø 1 G vaø 1H. Ta seõ goïi caùc taäp hôïp Imf = f(G) = {f(x), x ∈ G} vaø Kerf = f –1(1H) = ∈ G : f(x) = 1H} laàn löôït laø aûnh vaø {x nhaân cuûa ñoàng caáu f. 5.3 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu nhoùm • Tính chaát 1 Hôïp cuûa hai ñoàng caáu nhoùm laø moät ñoàng caáu nhoùm. Hôn nöõa, hôïp cuûa hai ñaúng caáu laø moät ñaúng caáu. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 56 - Chöùng minh: Giaû söû f : (X. •) (Y, •) vaø g : (Y, •) (Z, •) laø hai ñoàng caáu → → m. Goïi a, b laø hai phaàn töû baát kì cuûa X. Khi ñoù g nhoù o f laø moät ñoàng caáu vì (go f)(ab) = g(f(ab)) = g [f(a)f(b)] = g(f(a))g(f(b f)(a) (go f)(b) )) = (go • Tính chaát 2: Cho f : (G, •) → (H, •) laø moät ñoàng caáu nhoùm; 1G ,1H laàn löôït laø phaàn töû ñôn vò cuûa G vaø H. Khi ñoù a) f(1 ) = 1H. G b) f(a– 1) ∈ = [f(a)]–1 vôùi moïi a G. C höùng minh: a) Ta coù f(1G)1H = f(1G) = f(1G1G) = f( 1G)f(1G), töø ñoù f(1G) = 1H (luaät giaûn öôùc) uy ra töø f(a)f(a– 1) = f(aa– 1) = f(1G) = 1H. b) S • Tính chaát 3: Giaû söû f : (G, •) → (H, •) laø moät ñoàng caáu nhoùm. Khi ñoù a) Neáu A laø moät nhoùm con cuûa G thì f(A) laø moät nhoùm con cuûa H. Hôn nöõa neáu A chuaån taéc thì f (A) cuõng chuaån taéc. –1 cuûa G. Hôn nöõa neáu b) Neáu B laø moät nhoùm con cuûa H thì f (B) laø moät nhoùm con B chuaån taéc thì f –1(B) cuõng chuaån taéc. Ch ùng minh: ö a) Vì A laø nhoùm con neân 1G ∈A, do ñoù f(1G) = 1H ∈ f(A), töùc laø f(A) ≠ ∅. Giaû söû y1, y2 laø hai phaàn töû baát kì cuûa f(A). Khi ñoù, toàn taïi x1, x2 ∈ A sao cho − − − y1 = f(x1), y2 = f(x2). Ta coù y1y 2 = f(x 11) [f(x2)]–1 = f(x1) f(x 2 ) = f(x 11x 2 ). Maët 1 1x12− ∈ A, do ñoù y1y = f(x1x ) f(A). Vaäy khaùc, vì A laø nhoùm con cuûa G neân x 12− 12− ∈ f( A) laø nhoùm con. b) Vì B laø nhoùm con neân 1H ∈ B, do ñoù f(1G) = 1H ∈ B, suy ra 1G ∈ f (B), –1 töùc ø f –1(B) ≠ ∅. Giaû söû x1, x2 laø hai phaàn töû baát kì cuûa f –1 la (B). Khi ñoù f(x1), f(x2)∈ B. Ta coù f(x1x ) = f(x1) f(x ) = f(x1) [f(x2)]–1. Maët khaùc, vì B laø nhoùm con cuûa H 12− 12− neân f(x1) [f(x2)]–1 = f(x1x12− ) ∈ B. Töø ñoù x1x12− ∈ f –1(B). Giaû söû B laø chuaån taéc. Vôùi moïi a∈ f –1(B) vaø x∈ G, do f laø ñoàng caáu neân ta coù f(x– –1)f(a)f(x) = [f(x)]–1f(a)f(x). Vì f(a) 1ax) = f(x ∈ B vaø B chuaån taéc neân [f(x)]–1f(a)f(x) thuoäc B. Töø ñoù suy ra x–1ax thuoäc f –1(B), töùc laø f –1(B) laø chuaån taéc. • NHAÄN XEÙT: Töø tính chaát 3 suy ra ngay raèng, Ker f = f –1(1H) vaø Im f = f(G) laàn löôït laø caùc nhoùm con cuûa G vaø H, hôn nöõa Ker f laø nhoùm con chuaån taéc. • Tính chaát 4: Giaû söû f : (G, •) → , •) laø moät ñoàng caáu nhoùm (H . Khi ñoù ) f laø ñôn caáu khi vaø chæ khi Kerf = {1G}. a b) f laø toaøn caáu khi vaø chæ khi Imf = H Chöùng minh: a) • Giaû söû f laø ñôn caáu. Tröôùc heát ta coù {1G} ⊂ Kerf vì f(1G) = 1 H. Vôùi x baát Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 57 - kì thuoäc Kerf, ta coù f(x) = 1H = f(1G), do f ñôn aùnh neân suy ra x =1 {1 }. G G, töø ñoù Kerf ⊂ ∈ • Baây giôø giaû thieát Kerf = {1G} vaø giaû söû f(x1) = f(x2) vôùi moïi x1, x2 G. 12− 12− Khi ñoù ta coù f(x1)[f(x2)] ∈ –1 =1H, suy ra f(x Kerf = {1G}, töùc 1x ) =1H, töø ñoù x1x 12− la ø x1x = 1G hay x1 = x2. Vaäy f laø ñôn aùnh. b) Suy ra tröïc tieáp töø ñònh nghóa cuûa toaøn aùnh. • T û f : (G, •) (H, •) laø moät ñoàng caáu nhoùm. Khi ñoù ính chaát 5: Giaû sö → f(an) = [f(a)]n vôùi moïi n ∈ 9 C ∈ höùng minh: Qui naïp cho n ∠, coøn laïi söû duïng ñònh nghóa luõy thöøa aâm. 5.4 Ñ ònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu nhoùm) Cho f laø moät ñoàng caáu töø nhoùm G ñeán nhoùm H vaø π : G → G/Kerf laø toaøn caáu chính taéc töø nhoùm G ñeán nhoùm thöông G/kerf . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñoàng caáu f* : G/kerf → H sao cho f = f*o π , töùc laø bieåu ñoà sau giao hoaùn: f G H π f* G/Kerf * * Hôn nöõa, f laø moät ñôn caáu vaø Im f = f(G) = Imf Chöùng minh: Ñaët K = Kerf vaø seõ chæ ra ñoàng caáu caàn tìm laø * * f : G/K → H, f (xK) = f(x) • Tröôùc heát f* laø ñöôïc xaùc ñònh ñuùng ñaén, thaät vaäy giaû söû xA = yA thì ta coù x– 1y∈A = Kerf, töø ñoù f(x–1y) = f(x–1)f(y) = [f(x)]–1f(y) = 1H, hay f(x) = f(y). • f* = f(x)f(y) = f*(xA)f*(yA) laø moät ñoàng caáu vì f*(xA.yA) = f*(xyA) = f(xy) * * • → f laø duy nhaát, thaät vaäy giaû söû coù moät ñoàng caáu khaùc g : G/A H sao cho f = g*o π . Khi ñoù vôùi moïi xA ∈ G/A ta coù * * (x)) = (g o )(x) = f(x) = (f*o * π π )(x) = f* ( π ( π (x)) = f*(xA) g (xA) = g * * tö ùc la ø g = f . * * * • f la ñôn aùnh, aä ø th t vaäy giaû söû coù f (xA) = f (yA), suy ra f(x) = f(y), töø ñoù f(x–1y) = (x–1)f(y) = [f(x)]–1 f f(y) = 1 ∈ Kerf = A, vaäy xA = yA. H, töùc laø x–1y Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 58 - * • Vì π laø toaøn caáu neân f(G) = (f o π )(G) = f*( π (G)) = f*(G/K) = Im f* 5.5 Heä quaû 1) Vôùi moïi ñoàng caáu nhoùm f : G → H ta coù f(G) ≅ G/Kerf 2) Vôùi moïi toaøn caáu nhoùm f : G → H ta coù H ≅ G/Kerf • VÍ DUÏ: 2kπ + isinm Vôùi coù m∈∠ f : (9, +) ∀* , xeùt ñoàng caáu → ( , •), f(k) = cos m 2kπ + isin m 2kπ , khi ñoù ta Imf = f(9 ) = { cos m 2kπ , k = 0, 1, 2,…, m –1} = m1 2kπ + isin m Kerf = {k ∈ 9 : cos m 2kπ = 1} = {km, m ∈ 9 } = m9 Theo heä quaû 5.5 thì f(9 ) ≅ 9m = 9 /m 9 6. Nhoùm cyclic 6.1 Ñònh nghóa • Moät nhoùm G ñöôïc goïi laø cyclic, neáu vaø chæ neáu toàn taïi moät phaàn töû a ∈ G G = (a) = {an, n 9}, khi ñoù a goïi laø phaàn töû sinh cuûa G. ∈ sao cho Neáu nhoùm cyc ic G ñöôïc vieát eo loái coäng thì mo phaàn ∈ G ñeàu coù daïng x = l th ïi töû x ∈ na, n 9. • VÍ DUÏ: 1) Nhoùm ( 9, +) laø nhoùm cyclic vôùi phaàn töû sinh laø 1 hay –1. Ñoù cuõng laø phaàn töû sinh duy nhaát cuûa 9, vì giaû söû coù a ≠ ±1 laø moät phaàn töû sinh thì do na ≠ 1 voùi moïi n ∈ 9 neân 1 ∉ 9. 2) Nhoùm (9m , +) laø nhoùm cyclic vôùi phaàn töû sinh laø 1. Chuù yù raèng nhoùm naøy laø höõu haïn caáp m. 6.2 Caáp cuûa moät phaàn töû trong nhoùm • Cho (G, •) laø moät nhoùm. Moät phaàn töû a ∈ G ñöôïc goïi laø coù caáp höõu haïn neáu toàn taïi moät soá nguyeân k > 0 sao cho ak = 1G. Trong tröôøng hô ïp naøy ta goïi soá nguyeân döông nhoû nhaát m sao cho am = 1 caáp cuûa phaàn töû a, vaø kí hieäu m = ord(a) G laø Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 59 - • Phaàn töû a∈ G ñöôïc goïi laø coù caáp voâ haïn neáu vaø chæ neáu vôùi moïi soá nguyeân k ≠ k 0 ta coù a ≠ 1G. 6.3 Ñònh lí ( phaân loaïi nhoùm tuaàn hoaøn) Giaû söû G = (a) laø nhoùm cyclic vôùi phaàn töû sinh laø a. Khi ñoù a) ≅ ( Neáu a coù caáp n thì G 9n , +) ≅ (9 b) Neáu a coù caáp voâ haïn thì G , +) Xeùt toaøn caáu f : (9, +) G, f(k) = ak. Chöùng minh: → a) Neáu a coù caáp n thì Kerf = n9, vaø theo he ä quaû 5.5 cuûa ñònh lí ñoàng caáu ta 9n = 9 /n . coù G ≅ 9 b) Neáu a coù caáp voâ haïn thì roõ raøng Kerf = {0}, vaø cuõng theo heä quaû 5.5 cuûa ñònh lí ñoàng caáu ta coù G ≅ 9 /{0} ≅ (9, +). NHAÄN XEÙT: Töø ñònh lí 6.3 suy ra moïi nhoùm cyclic G maø phaàn töû sinh cuûa noù coù caáp n thì G laø nhoùm höõu haïn caáp n, cuï theå G = {a0 2, …, an–1}; coøn neáu = e, a, a p haàn töû sinh coù caáp voâ haïn thì G laø nhoùm voâ haïn. 7. Taùc ñoäng cuûa mo ät nhoùm leân moät taäp hôïp 7.1 Ñònh nghóa: • Cho moät taäp hôïp X vaø moät nhoùm G. Noùi raèng nhoùm G taùc ñoäng leân taäp hôïp X neáu vaø chæ neáu toàn taïi moät aùnh xaï G × X → X, (g, x) a g.x sao cho a) e.x = x vôùi moïi x ∈ X, vaø e laø phaàn töû ñôn vò cuûa G b) (g.h).x = g.(h.x), vôùi moïi g, h ∈ G, vôùi moïi x ∈ X. • VÍ DUÏ: 1) Coù theå cho nhoùm G taùc ñoäng leân chính noù theo caùc caùch sau a) Pheùp tònh → a tieán traùi G × G G, (g, x) g.x b) Pheùp tònh tieán phaûi G × G → G, (g, x) a xg–1 ) Pheùp lieân hôïp G × G G, (g, x) gxg–1 c → a Ta chæ ra, chaúng haïn pheùp lieân hôïp laø moät taùc ñoäng nhoùm, thaät vaäy roõ raøng ta coù e.x = exe –1 = x vaø (g.h).x = (gh)x(gh)–1 = g(hxh–1)g–1 = g(h.x)g–1 = g.(h.x). 2) Nhoùm G coù theå taùc ñoäng lieân hôïp leân taäp caùc taäp con P(G) cuûa noù theo caùch sau: G × P(G) → P(G), (g, A) a gAg–1 = ∈A}. { gag–1, a Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 60 - 7.2 Nhoùm con oån ñònh cuûa moät phaàn töû • Cho nhoùm G taùc ñoäng treân taäp X vaø x ∈ X. Khi ñoù, taäp hôïp G = {g ∈ G : g.x = x} x laø moät nhoùm con cuûa G, thaät vaäy vì ∈ Gx neân Gx ≠ ∅. Maët khaùc, vôùi moïi g, h ∈ e Gx ta coù x = g.x = g.(h–1.h.x) = (g.h–1)(h.x) = (g.h–1)x, töùc laø h.g–1 ∈ Gx. Ta seõ goïi Gx laø nhoùm con oån ñònh cuûa phaàn töû x ∈ G • VÍ DUÏ: 1) Neáu nhoùm G taùc ñoäng leân chính noù baèng lieân hôïp thì Gx G : g.xg–1 ∈ = x} = {g∈ G : g.x = x.g}. = {g Taäp hôïp naøy âm hoùa cuûa x. ñöôïc goïi laø caùi ta 2) Neáu nhoùm G taùc ñoäng leân taäp P(G) c thì aùc taäp con cuûa noù noù baèng lieân hôïp GA = {g ∈ G : g.Ag–1 = A} = {g∈ G : g.A = A.g}. Taäp hôïp naøy ñöôïc goïi laø caùi chuaån hoùa cuûa A. 7.3 Quyõ ñaïo cuûa moät phaàn töû • Cho nhoùm G taùc ñoäng treân taäp X vaø x∈X, khi ñoù taäp G.x = {g.x, G} ñöôïc g∈ goïi laø quõi ñaïo cuûa phaàn töû x ñoái vôùi nhoùm G. • NHAÄN XEÙT: Hai quõi ñaïo cuûa hai phaàn töû x, y cuûa X hoaëc rôøi nhau nhau. Thaät vaäy, neáu s ∈ ∩ hoaëc truøng Gx Gy thì s = gx = g'y vôùi g, g' laø hai phaàn töû naøo ñoù cuûa G. Do ño G.s = G.g.x = G.g'.y. Vaäy, Gx = Gy = Gs. i Nhö vaäy taäp X laø hôïp cuûa caùc quõi ñaïo rôøi nhau X = UG.x i∈I , trong ñoù xi laø caùc phaàn töû cuûa caùc quõi ñaïo khaùc nhau, vaø I laø moät taäp chæ soá. 8 . Nhoùm ñoái xöùng 8.1 Ñònh nghóa • Neáu X laø taäp khaùc roãng, S(X) laø taäp caùc song aùnh töø X leân X thì ñoái vôùi pheùp hôïp caùc aùnh xaï, S(X) laø moät nhoùm maø ta thöôøng goïi laø nhoùm ñoái xöùng (hoaëc coøn goïi laø nhoùm hoaùn vò) treân X. Moät tính chaát lyù thuù cuûa nhoùm ñoái xöùng laø keát quaû sau ñaây Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 61 - 8.2 Ñònh lí (Ceyley) Moïi nhoùm (G, •) ñeàu laø nhoùm con cuûa nhoùm ñoái xöùng S(G). Chöùng minh: Xeùt ñôn caáu f : G → S(G), f(a) = fa vôùi fa(x) = ax ∀x G ∈ 8.3 Nhoùm ñoái xöùng Sn ≥ • Neáu X = {1,2,...,n}, n 2, thì nhoùm S(X) ñöôïc goïi laø nhoùm ñoái xöùng baäc n vaø kí laø Sn . Moãi σ ∈ hieäu phaàn töû Sn ñöôïc goïi laø moät pheùp theá, hay hoùan vò cuûa {1,2,...,n}, thöôøng ñöôïc vieát döôùi daïng : 1 2 ... n σ ⎟⎟⎠⎞σ = (σ(1) σ(2) . . .σ(n) ). ⎜⎝σ (1) σ =⎜⎛(2) ... (n) σ 8.4 r - chu trình hay ñôn giaûn hôn • Moät hoùan vò σ ∈ Sn goïi la ø r-chu trình neáu coù moät taäp con {j ,1 ..., jr} goàm r phaàn töû cuûa {1,2,...,n} sao cho ( 1 ⎨ ∀ = − σ = σ (j )i = ji+1 , j 1,2,...,r 1, j ) j ⎩⎧(m) r , m j , j ,..., j σ = m ∀ ≠ 1 2 r Taäp hôïp {j1,..., jr • } ñöôïc goïi laø giaù cuûa r - chu trình σ, vaø thöôøng kí hieäu laø σ = (j1,..., jr) hay j 2 → ... 1. 1→ j → jr→ j ⎜⎜⎛1 2 3 4 5 laø 3 - chu trình (2,5,3) • VÍ DUÏ: ⎟⎟⎞ ⎝1 5 2 4 3 ⎠ • Moät 2-chu trình ñö goïi chuyeån vò. ôïc laø • Hai chu trình (j1,..., jr) vaø (h1,..., hs) ñöôïc goïi laø rôøi nhau neáu vaø chæ neáu {j ,..., j } 1 r ∩ {h ,..., h } = 1 s ∅ • NHAÄN XEÙT: 1) Ta xem σ = id laø 1-chu trình, id = (i), vaø thöôøng vieát id = (1). 2) Neáu σ laø moät chuyeån vò thì σ = σ–1. 3) Tích caùc chu trình rôøi nhau coù tính chaát giao hoaùn. 4) Trong r-chu trình σ = (j1 r k+1 ,..., j ) ta coù j = σk (j1 ), k = 1, 2, ..., r –1. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 62 - 8.5 Tính chaát 1) (j1, j2, .., jr) = (j2, j3, .., jr, j1) = … = (jr, j1, .., 2 jr– ) , jr–1 j j .... j ⎞ 2, .., j m ⎛ 1 2 r 2) (j1, j r) = ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ m+1 m+2 m+r j j . . j , .. ôû haøng döôùi j r + h = jk ne h ≡ k( mod r) áu 3) ord (j1, j2, .., jr) = r. Chö ra töø ñònh nghóa, 2) chöùng minh baèng qui naïp vaø 3) suy ra tröïc ùng minh: 1) suy tieáp töø 2 ) 8.6 Ñònh lí Moïi σ ∈ Sn luoân coù theå phaân thaønh tích moät soá höõu haïn caùc chuyeån vò. Chöùng minh : Ta chöùng minh baèng quy naïp theo n Vôùi n = 2 laø hieån nhieân, giaû söû ñònh lí ñuùng vôùi n – σ ∈ Sn vaø giaû söû σ(n) = 1. Xeùt k. Goïi ρ laø chuyeån vò (k, n). Suy ra : (ρ σ)(n) = n, töùc laø ρσ xem nhö laø phaàn töû cuûa Sn–1. Theo giaû thieát quy naïp ρσ laø tích cuûa nhöõng chuyeån vò ρ σ = . . . . –1 . Vì ρ= ρ neân : σ = ρ σ1 . . σk. 8.7 Ñònh liù σ1 σk Moïi phaàn töû cuûa Sn ñeàu coù theå phaân tích thaønh tích caùc chu trình ñoâi moät rôøi nhau, söï phaân tích treân laø duy nhaát (sai khaùc veà thöù töï caùc chu trình). Chöùng minh : 1) Söï toàn taïi Ta baét ñaàu vôùi daõy 1,σ(1), σ2(1), …., σk(1),… (1) ì n + 1 soá töï nhieân 1,σ(1), σ (1), …., 2 σn V (1) ñeàu thuoäc {1, 2, …, n} neân toàn taïi s, t ∈ {0,1, 2, …, n} sao cho s < t vaø σs(1) = σt(1). Neáu ñaët m = t – s ∈ {1, 2, …, n} thì ta coù σ (1) = 1. Vaäy taäp hôïp {q m ∈{1, 2, …, n} : σq(1) = 1} laø khaùc roãng vaø do ñoù coù soá beù nhaát p. Khi ñoù p soá töï nhieân 1,σ(1), ….,σp–1(1) laø khaùc nhau töøng ñoâi oät, vì neáu toàn taïi s, t s m ∈{0,1, 2, …, p –1} sao cho s < t vaø σ (1) = (1) thì seõ coù σt σ m(1) = 1 vôùi m = t – s ∈ {1, 2, …, p –1}, traùi vôùi tính chaát cuûa p. Nhö vaäy töø daõy (1) ta tìm ñöôïc moät p - chu trình → σ(1) → σ2(1) → …→ σp–1(1) → 1 1 (1, (1), 2(1), …., p–1 . Neáu 2 (1)) thì xeùt daõy 2, 2 ∉ σ σ σ σ(2), σ (2), …,σ (2),… vaø k Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 63 - laäp luaän töông töï nhö treân, töø daõy naøy tìm ñöôïc moät q - chu trình 2→ σ(2) → σ (2) …. 2 → → σq–1(2) 1 → . Baèng caùch naøy, sau moät soá höõu haïn böôùc hôïp cuûa chuùng laø σ. , ta tìm ñöôïc caùc chu trình rôøi nhau maø 2)Söï duy nhaát. Giaû söû σ = c1 o c2 o … o cr = d1 o d2 o … o ds laø hai daïng phaân tích cuûa σ thaønh caùc chu trình töøng ñoâi moät rôøi nhau. Neáu σ = id thì khaúng ñònh laø roõ raøng. Giaû söû σ ≠ id, khi ñoù toàn taïi i∈{1, 2, …, n} sao cho σ(i) ≠ i va ø m {1, ∈ 2, …, r}, k ∈ {1, 2, …, s} sao cho i thuoäc giaù cuûa chu trình c vaø giaù cuûa chu m trình dk. Do ta coù theå hoaùn vò voøng quanh caùc phaàn töû trong moät chu trình maø khoâng laøm noù thay ñoåi vaø cuõng nhö trong 1) toàn taïi soá töï nhieân p sao cho cm = dk = ( i,σ(i), ….,σ (i)). Laëp laïi lí luaän töông töï cho caùc ch p–1 i, u trình coøn laï ta suy ra r = s vaø { c1, c 2, … ,cr } = {d1, d2, … ,ds} 1 2 3 4 5 6 7 8 .VÍ ⎜⎜⎝⎛2 3 7 4 8 5 1 6 ⎟⎟⎠⎞ DUÏ: Xeùt σ = = (1,2,3,7)o(5,8,6) T →2→ → → a baét ñaàu ôû 1 vaø tìm ñöôïc chu trình ñaàu tieân 1 3 7 1, sau ñoù baét ñaàu vôùi soá nhoû nhaát coøn laïi , tron →8→ g tröôøng hôïp naøy laø 5, vì 4 khoâng thay ñoåi, 5 6→ 5. • σ σ ∈ σ(i),σ(j)) laø moät nghòch theá trong hoaùn vò (hoaëc Cho Sn. Ta noùi raèng caëp ( la σ σ(i) >σ(j). Ta kí hieäu soá caùc nghòch theá ø moät nghòch theá cuûa ) neáu coù i < j vaø cuûa σ laø I(σ), vaø goïi ε (σ) = (–1) laø kí soá cuûa I(σ) σ. Ta noùi raèng hoaùn vò laø σ ε (σ ε (σ) = –1). haün(töông öùng: leû) neáu ) = 1(töông öùng: c 8.8 Heä quaû Giaû söû σ ∈ Sn vaø t1, t2, …, tN laø nhöõng chuyeån vò cuûa {1, 2, …,n} N sa σ ε (σ) = (–1) . Nhö theá moät hoaùn vò chaün o cho = t1 o t2 o … o tN . Khi ñoù, (töông öùng: leû) chæ coù theå phaân tích thaønh moät soá chaün (töông öùng: leû) nhöõng chuyeån vò. Chöùng minh: Do 8.7, giaû söû ñöôïc raèng σ phaân tích moät caùch duy nhaát thaønh tích höõng chu trình ñoâi moät khoâng giao nhau nhö sau n σ = (i1 i2 . . . ir)(j1 j2 . . . js). . .(m1 m2 . . .mk). (1) Xeùt aùnh xaï ϕ : S → 9 , ϕ(σ) = (r – 1) + (s – 1) + …+ (k – 1). n ϕ ϕ ϕ(σ) Hieån nhieân laø (1) = (id) = 0. Ta chöùng minh raèng tính chaát chaün, leû cuûa Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 64 - cuõng laø tính chaát chaün, leû cuûa soá nhöõng chuyeãûn vò trong moïi caùch phaân tích σ thaønh tích nhöõng chuyeån vò. Ta coù nhaän xeùt raèng, neáu {a, c1 2 h , c . . .c }∩ {b,d1,. . . dk}ø = ∅ thì (a c1 c2 …ch b d1 … dk )(ab) = (a d1… dk)(b c1 c2 …ch) (ad1 …dkb c1c2 …ch vaø (a c ) , 1c2 …ch)(b d1 … dk)(ab) = Töø ñoù suy ra ϕ(σo(ab)) = ϕ(σ) ± 1 (2) trong ñoù daáu + hay – phuï thuoäc vaøo vieäc a, b ôû trong hai chu trình khaùc nhau, hay ôû trong cuøng moät chu trình cuûa (1). Baây giôø, giaû söû σ laø tích cuûa m chuyeån vò sau ñaây : σ = (ab)(cd). . .(pq) (khi ñoù –1 ϕ(σ) laø soá caùc chuyeån vò trong phaân tích).Vì (ab) = (ab) neân σ o(pq) . . . (cd)(ab) = 1. (3) Töø (2) vaø (3) suy ra : ϕ(σ) 14 24 4 34 ±1±1± ... ±1. = 0 m Nhö vaäy, tính chaün, leû cuûa ϕ(σ) laø tính chaün, leû cuûa m • VÍ DUÏ: Ñaët An = {σ ∈Sn : ε (σ) = 1}, khi ñoù An laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa Sn vaø caáp cuûa An baèng nöûa caáp cuûa Sn. Thaät vaäy, xeùt aùnh xaï ε : (Sn, o) → ({–1, 1}. • ),σ a ε (σ). Khi ñoù ε laø moät toaøn caáu nhoùm vaø Ker ε = An. Vaäy An laø moät nhoùm con ch aån taéc cuûa u Sn vaø do Sn/An ≅ {–1, 1} neân (S : A ) = 2. Töø ñoù theo ñònh lí Lagrange, caáp cuûa A n n n baèng nöûa caáp cuûa Sn. Nhoùm An coøn ñöôïc goïi laø nhoùm luaân phieân. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 65 - BAØI TAÄP 1. Cho G = { a,b} va ø caùc pheùp toaùn trong treân G ñöôïc xaùc ñònh bôûi + a b ⋅ a b a a b a b b a b a) Chöùng minh ra b a a b èng (G,+),(G,.) laø caùc nhoùm giao hoaùn. b ) AÙnh xaï ñoàng nhaát id : (G,+)→ (G, .) coù phaûi laø ñaúng caáu nhoùm? 2. Cho G = { 1,2,3,4 } vaø pheùp toaùn trong * treân G ñöôïc xaùc ñònh bôûi * 1 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 1 4 3 3 3 4 1 2 4 4 3 2 1 Chöùng minh raèng (G,*) laø nhoùm giao hoaùn. 3. Cho G = {1, 2, 3} vaø * laø moät pheùp toùan trong treân G. Bieát raèng caáu truùc ñaïi soá (G, *) laø moät nhoùm. Haõy xaùc ñònh pheùp toùan * . 4 . Cho 9 laø taäp caùc soá nguyeân vaø treân noù xaùc ñònh pheùp toaùn trong * nhö sau : m * n = m ∈ 9 . + n – 1 vôùi m, n a) Chöùng minh raèng ( 9 ,+) laø nhoùm giao hoaùn. b) AÙnh xaï ñoàng nhaát id : (9,+) → (9,*) coù phaûi laø ñaúng caáu nhoùm ? 5. Cho G = 3* × 3 vaø * pheùp toaùn trong treân G xaùc ñònh bôûi (x, y) (x', y') = (xx', xy' + y) * a) Chöùng minh raèng ( G ,*) laø nho khoâng g ùm iao hoaùn. b *+ *+ ) Chöùng minh raèng 3 × 3 laø moät nhoùm con cuûa G. ( 3 laø taäp caùc soá thöïc döông) . Cho G = 3* × 3 vaø pheùp toaùn trong treân G xaùc ñònh bôûi 6 * Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 66 - (x, y) * (x', y') = (xx', xy' + x'y ) a ) Chöùng minh raèng ( G ,*) laø nhoùm. b ∈ G : ag = ga vôùi moïi g ∈ G} cuûa G. ) Haõy xaùc ñònh taâm Z(G) = {a ) Chöùng minh raèng 3*×{0}, {1} × 3, Θ* ×Θ laø caùc nhoùm con cuûa G. c d) Chöùng mi h raèng vôùi k ∈3 x–1 , taäp hôïp Hk = {(x, k(x – )), x ∈ 3*} laø moät nhoùm n con giao hoaùn cuûa G. 7. Cho (G,.) laø nhoùm sao cho moïi x nhoùm giao hoaùn. ∈ G ñeàu coù x2 = 1. Chöùng minh raèng G laø 8. Giaû söû (G,.) laø nhoùm coù tính chaát laø toàn taïi ba soá nguyeân döông lieân tieáp i sao cho (ab)i = ai bi . Chöùng minh raèng G laø nhoùm giao hoaùn. 9 3 : a,b ∈ Q }. Chöùng minh raèng . Cho E = {a + b a) (E,+) laø nhoùm con cuûa (R,+). ) (E*, •) laø nhoùm con cuûa (R*, •), ôû ñaây E* = E – {0} b 10. Cho (G, •) laø moät nhoùm, x ∈ G vaø C(x) = {g ∈ G : gx = xg }. C C(x) laø nhoùm con cuûa G. höùng minh raèng 1. Cho (G, •) laø moät nhoùm, x G. Chöùng toû taäp xGx–1 = {xgx-1, g G} 1 ∈ ∈ laø nh oùm con cuûa G. oät nhoùm con cuûa nhoùm (∀, +) thoûa maõn : x + ix2 12. Cho G laø m ∈ G vôùi moïi x ∈[0,1]. Chöùng minh raèng G = ∀. 3. Cho moät nhoùm G höõu haïn caáp 4 sinh bôûi S ={x, y} sao cho x2 = y2 = e 1 vaø xy = yx. Haõy xaùc ñònh taát caû caùc nhoùm con cuûa G. Chæ ra raèng G = {e, x, y, xy} 4. Cho moät nhoùm G caáp 8 sinh bôûi caùc phaàn töû x, y sao cho x4 = y2 = e 1 vaø xy = yx3. Chæ ra raèng caùc phaàn töû xiyj ,vôùi i = 0, 1, 2, 3 vaø j = 0,1 laø caùc phaàn töû phaân bieät cuûa G vaø töø ñoù chuùng l aø taát caû caùc phaàn töû cuûa G. Xaùc ñònh taát caû caùc n hoùm con cuûa G. 15. Cho moät nhoùm G caáp 8 sinh bôûi caùc phaàn töû i, j, k sao cho ij = k, jk = i, ki = j, i2 = j2 = k2. í hieäu i2 bôûi m. Chæ ra raèng e, i, j, k, m, mi, mj, mk laø caùc phaàn töû phaân bieät cuûa G. K Xaùc ñònh taát caû caùc nhoùm con cuûa G. (Nhoùm G nhö theá ñöôïc goïi laø nhoùm quater nion, ngöôøi ta vieát – 1, – i, –j, – k thay cho m, mi, mj, mk ) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 67 - 16. Cho moät nhoùm G caáp 12 sinh bôûi caùc phaàn töû x, y sao cho x6 = y2 = e vaø xy = x5. Chæ ra raèng caùc phaàn töû xiyj , vôùi i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 vaø j = 0,1, laø caùc phaàn töû y phaân bieät cuûa G. Xaùc ñònh taát caû caù c nhoùm con cuûa G. 17. Cho (G, • ) laø moät nh oùm. a ) Chöùng minh raèng (Aut(G), o) laø nhoùm.( o laø pheùp toùan hôïp caùc aùnh xaï) b)Vôùi a ∈ G , xeùt aùnh xaï fa : G → G, fa (g) = aga–1, g ∈ G . Chöùng minh raèng fa ∈ Aut(G). c) Chöùng minh raèng Int(G) = {fa : a ∈G} laø nhoùm con cuûa Aut(G). d) Chöùng minh raèng moät nhoùm con H cuûa G laø chuaån taéc neáu vaø chæ neáu fa(H) = H ∈ vôùi moïi fa Int(G). e) Chöùng minh raèng aùnh xaï ϕ : G → Int(G), a a fa laø moät ñoàng caáu vaø Ke ϕ r = Z(G) = taâm cuûa G (xem baøi 6.b) f) Chöùng minh raèng aùnh G/Z(G) ≅ Int(G). 18. Cho f : ( 9 ,+) → ({–1, 1},• ) , f(n) = (–1)n. Chöùng minh raèng f laø toaøn caáu 9/ . nhoùm. Haõy xaùc ñònh Kerf vaø Kerf ⎛a b 19. V = { ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝0 d : a,b,d ∈ 3 ⎞ vaø ad ≠ 0 } a) Chöùng minh raèng (V, .) laø nhoùm con cuûa (GL3(2), •) Chöùng minh raèng f : (V,•) (3*, •), a a, laø toaøn caáu nhoùm. b ⎜⎜⎝⎛0 d b) a → ⎟⎟⎠⎞ 20. Cho (G, • ) laø moät nhoùm vaø a laø n a) → moät phaàn töû cuûa G. Chöùng toû raèng: f : (9, +) (G, • ), f(n) = a , laø moät ñoàng caáu nhoùm. b) Moïi ñoàng caáu f: (9, +) → (G, • ) thoûa f(1) = a ñeàu coù daïng f(n ) = an. c) Haõy xaùc ñònh taäp End(9,+) = {töï ñoàng caáu f : (9 +) → (9 ,+ )} , 21. Cho (G, • ) laø moät nhoùm sao cho f : G → G, f(x) = x3, laø moät toaøn caáu nhoùm. Chöùng toû raèng G laø nhoùm giao hoùan. 2. Cho (G, • ) laø moät nhoùm sao cho toàn taïi soá töï nhieân n thoûa maõn tính chaát fn : G 2 → G, fn(x) = xn, laø moät toaøn caáu nhoùm. Chö ùng toû raèng xn–1y = yxn–1, vôùi moïi x, y ∈ G 23. Cho (G,+) laø nhoùm giao hoaùn. Goïi End(G) taäp caùc töï ñoàng caáu cuûa G. Treân End(G) xaùc ñònh pheùp toaùn coäng nhö sau (f + g)(x) = f(x) + g(x) : a) Chöùng minh ra g (En èn d(G),+) laø nhoùm giao hoaùn. b ) Chöùng minh raèng End(9,+) ñaúng caáu vôùi (9,+). 24. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 68 - a) Chöùng minh raèng taäp con A = {2n3m , m, n ∈ 9} laø nhoùm con cuûa nhoùm (Θ, •). b) Chöùng minh raèng A ñaúng caáu vôùi nhoùm con B = {a + bi, a, b ∈ 9} cuûa nhoùm (∀, +). 2 5. Chöùng minh raèng moïi nhoùm con cuûa moät nhoùm cyclic laø nhoùm cyclic. 26. Chöùng toû raèng aûnh ñoàng caáu cuûa moät nhoùm cyclic laø moät nhoùm cyclic 2 ∈ ∠ laø moät öùôùc cuûa n. Chöùng minh raèng 7. Cho (G,•) laø nhoùm cyclic caáp n vaø m G coù ñuùng moät nhoùm con caáp m. ùng 2 phaàn töû sinh. Tìm taát caû 28. Chöùng minh raèng moïi nhoùm cyclic voâ haïn coù ñu caùc phaàn töû sinh cuûa nhoùm tuaàn hoaøn caáp n. 29. Tìm taát caû caùc töï ñoàng caáu nhoùm cuûa nhoùm cyclic caáp n . 3 ∈ End(G). Chöùng minh 0. Cho (G, • ) laø nhoùm; a, b laø hai phaàn töû cuûa G vaø f ra èng a) ord(ab) = ord(ba) b) ord(a) = ord(a-1 ). c) ord(a) laø boäi cuûa ord(f(a)). 31. Tìm taát caû caùc nhoùm con cuûa a) Nhoùm cyclic caáp 6. b) Nhoùm cyclic caáp 24. 32. Chöùng minh raèng moïi nhoùm coù caáp ≤ 5 ñeàu giao hoaùn . 33. Chöùng minh raèng moïi nhoùm giao hoaùn caáp 6 coù chöùa moät phaàn töû caáp 3 ñeàu laø nhoùm cyclic. 34. Chöùng minh raèng nhoùm thöông cuûa moät nhoùm cyclic laø moät nhoùm cyclic. ∈ 35. Giaû söû (G, • ) laø nhoùm cyclic voâ haïn coù phaàn töû sinh laø x. Vôùi m ∠ ñaët Hm = { xkm : k ∈ 9 }. Chöùng minh raèng a) Hm laø nhoùm con cuûa G. b) Neáu m ≠ n thì Hm ≠ Hn . c) Moïi nhoùm con cuûa G ñeàu coù daïng Hm vôùi m laø moät soá töï nhieân naøo ñoù. 36. Chöùng minh raèng Int(G) (xem baøi 13.) laø chuaån taéc trong Aut(G) . 37. Cho (G, • ) laø moät nhoùm; A vaø B laø caùc nhoùm con chuaån taéc sao cho A B = ∩ {1}. Chöùng minh raèng ab = ba , vôùi moïi a ∈ A , b∈ B. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 69 - 38 a) Cho (G, • ) laø moät nhoùm cuûa G. Chöùng giao hoaùn, vaø H laø nhoùm con m o hoaùn. inh raèng G/H laø nhoùm gia b) Cho (G, • ) laø moät nh oùm, vaø H laø nhoùm con chuaån taéc cuûa G. Chöùng o neáu vaø chæ neáu xyx–1y–1 toû raèng G/H laø nhoùm gia ∈ H, vôùi moïi x, y G. ∈ )Ta goïi C(G) = { xyx–1y–1, x, y c ∈ G} laø nhoùm con caùc hoaùn töû cuûa G, caùc phaàn töû cuûa noù ñöôïc goïi laø caùc hoaùn töû. Chöùng toû raèng C(G) laø moät nhoùm con chuaån taéc cuûa G. d) Chöùng minh raèng G/C(G) laø giao hoaùn. 39. Cho (G,•) laø nhoùm; A, B laø caùc nhoùm c a ∈ A ; b ∈ B }. Chöùng minh raèng a) AB laø nhoùm con cuûa G. on chuaån taéc trong G. Ñaët AB = { ab : b) A laø nhoùm con chuaån taéc cuûa AB, A∩ B laø nhoùm con chuaån taéc cuûa B. c) AB/A ≅ B/A ∩ B . 40. Cho (∀,+) laø nhoùm coäng caùc soá phöùc, (3,+) laø nhoùm coäng caùc soá thöïc vaø aùnh xaï f : (∀ ,+) ⎯→ (3, +), f(a + bi) = b ; a,b ∈ 3. a) Chöùng minh raèng f laø toaøn caáu nhoùm. b) Xaùc ñònh Kerf, ∀/Ker(f) c) Chöùng minh raèng ∀/3 41. Moät pheùp ñoái xöùng cuûa moät hình hình hoïc laø moäõt pheùp theá cuûa taäp hôïp X caùc ñieåm cuûa hình ñoù vaø baûo toaøn khoaûng caùch. Chöùng minh raèng taäp hôïp caùc pheùp ñoái xöùng cuûa caùc hình hình hoïc laø moät nhoùm ñoái vôùi pheùp hôïp caùc aùnh xaï. 4 2. Kí hieäu ∆3 laø nhoùm ñoái xöùng cuûa moät tam giaùc ñeàu vaø goïi laø nhoùm tam giaùc ñeàu. a) Chöùng minh raèng : ∆3 = {1, R, R2, D1, D2, D3 }. Trong ñoù : - R laø pheùp quay taâm O, goùc quay 1200. - Di laø pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng cao ñi qua ñænh thöù i. b) Haõy laäp aûng b toaùn cho ∆3 . Suy ra raèng : ∆3 ≅ S3 . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 70 - CHÖÔNG 4: VAØNH VAØ TRÖÔØNG 1. Vaønh vaø tröôøng 1.1 Ñònh nghóa • Caáu truùc ñaïi soá (X, +, • ), trong ñoù + vaø • laø hai pheùp toaùn trong treân X, ñöôïc goïi laø moät vaønh neáu: d) (X, +) laø moät nhoùm giao hoaùn. e) (X, • ) laø moät vò nhoùm. f) Pheùp toaùn • phaân phoái ñoái vôùi pheùp +. • Phaàn töû ñôn vò cuûa nhoùm (X,+) thöôøng ñöôïc kí hieäu 0X. Phaàn töû ñôn vò ( kí hieäu laø 1X) cuûa vò nhoùm (X, • ) cuõng ñöôïc goïi laø phaàn töû ñôn vò cuûa vaønh. Moät vaønh maø 0X = 1X ñöôïc goïi laø vaønh taàm thöôøng. Neáu pheùp toaùn • coù tính giao hoaùn thì vaønh (X, +. ) ñöôïc goïi laø vaønh giao hoaùn. • ho (X, +, • ) laø moät vaønh • C , noù coù theå xaûy ra tröôøng hôïp raèng, toàn taïi caùc phaàn töû a ∈ , b X sao cho a ≠ 0, b ≠ 0 ( 0 laø phaàn töû ñôn vò cuûa nhoùm (X,+)) nhöng ab = 0. Nhöõng phaàn töû nhö theá ñöôïc goïi laø öôùc cuûa khoâng. Moät vaø h khoâng taàm thöôøng n , giao hoaùn, khoâng coù öôùc cuûa khoâng ñöôïc goïi laø vaønh nguyeân mieàn nguyeân. hoaëc • Vaønh (X, +, • ) ñöôïc goïi laø vaø moïi phaàn töû khaùc 0 deàu co moät tröôøng neáu noù laø khoâng taàm thöôøng, giao hoaùn ù nghòch ñaûo ñoái vôùi pheùp toaùn • . Nhö vaäy neáu (X, +, •) laø moät tröôøng thì (X – {0}, • VÍ DUÏ: • ) laø moät nhoùm. 1) (9 ,+, • ) laø vaønh giao hoaùn, (Θ ,+,•),(3,+,•),(∀ ,+,•) laø caùc trö ôøng, vaø taát caû ñeàu laø vaønh nguyeân. 2) Cho (G,+) laø nhoùm giao sau, vôùi x ∈ G (g + f (x) hoaùn. Treân End(G) xaùc ñònh hai pheùp toaùn + vaø o nhö ) = g(x) + f(x) vaø (f o g )(x) = f(g(x)). Khi ñoù (End(G),+, o) laø moät vaønh. haät vaäy, deã kieåm tra raèng (End(G),+) laø nhoùm T giao hoùan vôùi phaàn töû ñôn vò laø ñoàng caáu x a 0; (End(G), o) laø vò nhoùm vôùi phaàn a töû ñôn vò laø aùnh xaï ñoàng nhaát x x. Tính phaân phoái cuûa pheùp o ñoái vôùi pheùp + ñ öôïc suy ra töø : (fo(g + h))(x) = f((g + h)(x)) = f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x)) Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 71 - = (f o g)(x)) + (f o h)(x). 3) Cho (X,+, •) laø moät vaønh vaø A laø taäp hôïp khaùc roãng. Goïi M(A,X) laø taäp taát caû caùc aùnh xaï töø A ñeán X. Treân M(A,X), xaùc ñònh hai pheùp toaùn coäng vaø nhaân nhö sau, vôùi moïi x ∈ A (f + g)(x) = f(x) + g(x) vaø ( f.g )(x) = f(x).g(x). K a 1 hi ñoù (M(A, X), +, • ) laø moät vaønh vôùi phaàn töû ñôn vò laø aùnh xaï x X, hôn nöõa noù laø giao hoaùn neáu X giao hoaùn. 4) MatK(n) laø moät vaønh ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân m 5) (9n ,+, •) laø moät vaønh giao hoaùn, vôùi caùc pheùp toaùn m + k = m + k vaø m . k = m.k a traän. Vaønh naøy ñöôïc goïi laø vaønh caùc soá nguyeân modulo n. Vaønh 96 khoâng phaûi laø vaønh nguyeân vì 2 .3 = 0 . Vaønh 93 laø moät vaønh nguyeân. 1.2 Caùc tính chaát Tính chaát 1 Cho (X,+, •) laø moät vaønh. Khi ñoù, vôùi moïi x, y∈ X vaø n 9 ta coù ∈ a) x0 = 0 = 0x. b) (– x).y = –x.y = x.(– y). c) (– x).(– y) = xy d) n(x.y) = (nx).y = x.(ny). Chöùng minh : a) Vì x0 = x (0 + 0) = x0 + x0 neân x0 = 0. Töông töï 0x = 0 b ) Vì 0 = 0.y = (– x + x).y = (– x).y + xy neân (– x).y = – xy Vì 0 = x.0 = x.(– y + y) = x.(– y) + xy neân x(–y) = – xy c) Töø b) suy ra (– x).(– y) = x.[– (– y)] = xy d) . Vôùi n = 0 laø roõ raøng. + ⋅⋅⋅ + = a.(b b) a.(nb). . Vôùi n ∈ ∠ :⎪⎪⎧n 1424 434 n(a.b) = a.b +...+ a.b = ⎨ + ⋅⋅⋅ + = (a a).b (na).b. ⎪⎪⎩ n 1424 434 . Vôùi n = – k , k ∈ ∠ − = − = − = [(ka)b] [ (ka)b] [( k)a]b (na)b. ⎩⎨⎧− = − = − = n(a.b) = (– k)(a.b) = – [k(a.b)] = [a(kb)] a[ (kb)] a[( k)b] a(nb). Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 72 - • NHAÄN XEÙT: Neáu (X, +, • ) laø vaønh taàm thöôøng thì X = {0}. Thaät vaäy vì vôùi moïi x ∈ X ta coù x = 1.x = 0.x = 0. ính chaát 2: Trong moät mieàn nguyeân (X, + ) pheùp toaùn • thoûa maõn luaät giaûn öôùc T , • ( töùc laø, töø a ≠ 0 vaø ab = ac keùo theo b = c) Chöùng minh: Giaû söû coù a ≠ 0 vaø ab = ac, khi ñoù a (b – c) = 0. Do a ≠ 0 vaø trong X k hoâng coù öôùc cuûa 0 neân b – c = 0 hay b = c ( ôû ñaây pheùp tröø b – c coù nghóa laø b + (– c)). Tính chaát 3: Moïi tröôøn ñeàu laø vaønh guy g n eân. Chöùng minh: G iaû söû coù hai phaàn töû a, b cuûa tröôøng X sao cho ab = 0. Neáu a khaùc 0 thì do X laø tröôøng neân a coù nghòch ñaûo a–1. Töø a–1 .a.b = a–1.0 = 0 ta suy ra b = 0 do luaät giaûn öôùc trong nhoùm nhaân (X – {0}, • ). • NHAÄN XEÙT: Moät vaønh nguyeân coù theå khoâng phaûi laø moät tröôøng, chaúng haïn vaønh nguyeân (9, +, •). Tí nh chaát 4: Moïi vaønh nguyeân höõu haïn ñeàu laø tröôøng. höùng minh: Giaû söû vaønh nguyeân X coù n phaàn töû a1, a2, …, a3. Xeùt phaàn töû a ≠ 0 C b → aát kì cuûa X, vaø aùnh xaï fa : X X, fa(x) = ax. Ta coù fa laø ñôn aùnh vì neáu coù fa (x) = X laø höõu haïn neân fa fa (x') töùc laø ax = ax' thì x = x' do luaät giaûn öôùc trong X. Vì c ∈ X toàn taïi b ∈ X sao cho fa(b) = ab = 1x, töùc laø b uõng laø song aùnh. nhö vaäy vôùi 1x laø nghòch ñaûo cuûa a. 2. Vaønh con – Tröôøng con 2.1 Ñònh nghóa • Cho (X,+,• ) laø moät vaønh. Taäp con S khaùc roãng cuûa X ñöôïc goïi laø moät vaønh con cuûa X neáu a) S laø taäp con oån ñònh cuûa X, töùc laø, 1X ∈ S vaø neáu x, y∈ S thì x + y vaø x.y cuõng thuoäc S. b) (S, +, •) laø moät vaønh. • Cho (X,+,• ) laø moät tröôøng. Taäp con S khaùc roãng cuûa X ñöôïc goïi laø moät con cuûa X neáu a) S laø taäp con oån ñònh cuûa X, töùc laø, neáu x, y∈ S thì x + y vaø x.y cuõng thuoäc S. tröôøng Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 73 - b) (S, +, •) laø moät tröôøng. • NHAÄN XEÙT: 1) Neáu S laø tröôøng con cuûa tröôøng X thì 1X ∈ S vì khi ñoù (S,+) laø nhoùm con cuûa (X,+) vaø (S – {0}, • l ø moät nhoùm con c ûa nhoùm (X – {0}, • . ) a u ) 2 thöôøng laø baûn thaân noù vaø ) Baát kì moät vaønh X naøo cuõng coù hai vaønh con taàm vaønh khoâng( chæ goàm phaàn töû 0 cuûa X) 2.2 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät vaønh con) Taäp con S ≠ ∅ cuûa vaønh X laø vaønh con neáu vaø chæ neáu a) 1X ∈ S b) Neáu a, b ∈ S thì a – b ∈ S. c) Neáu a, b ∈ S thì a.b ∈ S. C höùng minh : (⇒ ) : Hie ån nhieân ( ⇐ ) : Töø b) suy ra (S, +) laø nhoùm con cuûa (X,+) vaø do ñoù S laø taäp con oån ñò nh cuûa X. Maët khaùc, vì pheùp • trong X coù tín tö h keát hôïp neân noù cuõng keát hôïp trong S; phaàn û ñôn vò cuûa X naèm trong S neân noù cuõng laø ñôn vò cuûa A. Vaäy (A – {0} , •) laø vò nhoùm. Cuoái cuøng luaät phaân phoái coù hieäu löïc trong X taát nhieân cuõng coù hieäu löïc trong A. Hoøan toaøn töông töï ta cuõng coù 2.3 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät tröôøng con) Taäp con S chöùa nhieàu hôn moät töû cuûa tröôøng X laø tröôøng con neáu vaø chæ neáu a) Neáu a, b ∈ S thì a – b ∈ S. b) Neáu a, b ∈ S thì a.b ∈ S. c) Neáu a S vaø a ≠ 0 thì a–1 ∈ ∈ S. • CHUÙ YÙ: Ñieàu kieän a), b) vaø c) trong ñöông: ñònh lí 2.3 coù theå thay bôûi ñieàu kieän töông ') Neáu a, b ∈ S thì a – b ∈ S. a b') Neáu a, b ∈ S vaø b ≠ 0 thì a.b 1 – ∈ S. • VÍ DUÏ: 1) 9 laø vaønh con cuûa Θ, 3, ∀; Θ vaø 3 tröôøng con cuûa ∀. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 74 - 2) 9[ 2 ] = {a + b 2 : a, b ∈ 9} laø moät vaønh con cuûa (3 , +, •). 2 2 : a, b Θ } laø moät tröôøng con cuûa (3 , +, •). 3) Θ [ ] = {a + b ∈ 4) Caùc haøm khaû vi f : 3 → 3 taïo thaønh moät vaønh con cuûa vaønh caùc haøm lieân tuïc ( vôùi pheùp coäng vaø pheùp nhaân caùc ha øm soá thoâng thöôøng). ∩ Ai cuõng laø vaønh con cuûa X. 5) Neáu {Ai , i ∈ I} laø hoï caùc vaønh con cuûa X thì i∈I ∩ Ai . Giaû söû x, y ∈i∈I Thaät vaäy, roõ raøng 1X ∈i∈I ∩ Ai , khi ñoù x, y ∈ Ai , vôùi moïi i ∈ I. Do Ai laø vaønh con neân x – y vaø xy ∈ Ai, vôùi moïi i∈ I. Töø ñoù suy ra x – y vaø xy ∩ Ai. Vaäy, theo 2.2, i∈I ∈ i∈I ∩ Ai cuõng laø vaønh con cuûa X. 3. Ideal - Vaønh thöông 3.1 Ñònh nghóa • Cho (X,+, •) laø moät vaønh vaø A laø moät taäp con khaùc roãng cuûa X. Khi ñoù A ñöôïc goïi laø ideal cuûa X neáu ba ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa maõn: 1) (A,+) laø nhoùm con cuûa (X,+). 2) ax∈ A vaø xa ∈ A vôùi moïi a ∈ A, vôùi moïi x ∈ X. • VÍ DUÏ: 1) Cho (X,+, •) laø vaønh, khi ñoù {0} vaø X laø caùc ideal cuûa X, chuùng ñöôïc goïi laø caùc deal taàm thöôøng cuûa X. i 2 ) Cho (X,+, •) laø moät vaønh giao hoaùn vaø b laø moät phaàn töû cuûa X. Khi ñoù taäp hôïp Xb = { xb : x ∈ X } laø ideal cuûa X. 3 ) Xeùt C [0,1] laø vaønh caùc haøm lieân tuïc treân ñoïan [0,1]. Ñaët J laø taäp taát caû caùc haøm ∈ C [0,1] sao cho f( 21 ) = 0. Khi ñoù J laø moät ideal cuûa C [0,1]. f ø moät 4) Xeùt vaønh soá nguyeân (9, +, •) vaø J laø taäp caùc soá nguyeân chaün. Khi ñoù J la ideal cuûa 9. Taäp caùc soá nguyeân leû coù phaûi laø ideal cuûa 9 khoâng? Taäp hôïp m 9 goàm caùc boäi soá cuûa m laø moät ideal cuûa 9. 5) Neáu A vaø B laø caùc ideal cuûa vaønh X, thì taäp A + B = ∈A, b B} ∈ la ø moät ideal cuûa X. {a + b : a 6) Neáu A, B laø caùc ideal cuûa vaønh X, thì AB = { ∑n: a i i a b i∈A, bi∈B, n∈∠} laø i=1 moät ideal cuûa X Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 75 - ∩ Ai cuõng laø ideal cuûa X. 7) Neáu {Ai , i∈I} laø hoï caùc ideal cuûa X thì A = i∈I Thaät vaäy, tröôùc heát A ≠ ∅ vì coù ít nhaát phaàn töû 0 cuûa vaønh X thuoäc taát caû caùc ideal A , vaø do ñoù noù thuoäc A. Giaû söû x, y ∈ A, khi ñoù x, y ∈ Ai ,∀ i I. Do Ai laø i ∈ nhoùm con n ∈ ∈ I, töø ñoù x – y ∈ A. Vaäy (A,+) laø moät nhoùm eân x – y Ai, vôùi moïi i con. Baây giôø giaû söû a laø moät phaàn töû baát kì c uûa A vaø x laø moät phaàn töû cuûa X, ta coù a ∈ A neân a ∈ Ai ,∀ i ∈ I, maø Ai laø ideal neân xa vaø ax thuoäc Ai, vôùi moïi xa vaø ax thuoäc A. Nhö vaäy A laø moät ideal. • CHUÙ YÙ: i, töø ñoù 1) Neáu ideal A cuûa vaønh X chöùa phaàn töû ñôn vò 1 thì A = X. Thaät vaäy, vì vôùi moïi X x ∈ X ta coù x = x.1 ∈ A, töùc laø X ⊂ A. 2 ) Giaû söû X laø moät vaønh giao hoaùn khoâng taàm thöôøng. Khi ñoù X laø moät tröôøng khi vaø chæ khi X khoâng coù i eal ngoïai tröø cac idea d naøo ù l taàm thöôøng. Thaät vaäy, giaû söû X laø moät tröôøng. Neu I laø i khaùc {0} h I ch ùa á deal t ì ö moät phaàn töû a ≠ 0, do X laø ∈ X. Vì 1 = a.a–1 tr ∈I neân theo chuù yù 1) ôû öôøng neân toàn taïi phaàn töû nghich ñaûo a–1 treân I = X. Ngöôïc laïi, giaû söû X khoâng coù ideal naøo ngoïai tröø caùc ideal taàm thöôøng. Goïi a laø moät phaàn töû k ∈ haùc 0 baát kì cuûa X. Deã kieåm tra raèng taäp hôïp X.a = {xa, x X} laø moät ideal cuûa X. Vì X.a ≠ {0} neân X.a = X, töø ñoù vôùi 1∈X, toàn taïi a' X sao ∈ ho ø a' = a–1. c a' a = a a' = 1, töùc la 3. 2 Ideal chính • Cho X laø moät vaønh giao hoùan , S laø moät taäp con cuûa X. Khi ñoù, giao cuûa caùc ideal cuûa X chöùa S laø moät ideal chöùa S, v aø noù laø ideal nhoû nhaát cuûa vaønh X chöùa taäp S. Ideal naøy seõ ñöôïc goïi laø ideal sinh ra bôûi taäp S vaø kyù hieäu < S >. • Neáu S = {a1, a2,...., an } thì < S > ñöôïc goïi laø ideal sinh ra bôûi caùc phaàn töû a1, a2,...., an. Coù theå chæ ra raèng 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n ∈ X } < a , a ,...., a > = {x a + x a +....+x a : x , x , ...,x • Neáu S chæ goàm moät pha àn töû a thì ideal sinh bôûi moät phaàn töû a ñöôïc goïi laø ideal c hính. 3. 3 Vaønh thöông • Giaû söû (X,+, •) laø moät vaønh vaø I laø moät ideal cuûa X. Khi ñoù, (I,+) laø nhoùm con giao hoùan cuûa (X,+). Nhoùm thöông X / I = {x + I | x ∈ X } cuõng laø nhoùm giao hoùan (xem muïc nhoùm thöông), vôùi pheùp toùan coäng xaùc ñònh nhö sau (x + I) + ( y + I) = (x + y) + I. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 76 - Baây giôø ta muoán trang bò treân X / I moät pheùp toùan nhaân ñeå noù trôû thaønh moät vaønh. Giaû söû x + I vaø y + I laø hai phaàn töû baát ì cuûa X / I, k ta ñònh nghóa pheùp nhaân giöõa ch uùng nhö sau (x + I).( y + I) = x.y + I. eã thaáy raèng qui taéc naøy khoâng phuï thuoäc ñaïi dieän cuûa caùc lôùp x + I, y + I, noù coù D tín h keát hôïp, phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng vaø coù phaàn töû ñôn vò laø 1 + I. Vaäy (X / I,+, g cuûa X treân I. • ) laø moät vaønh, noù ñöôïc goïi laø vaønh thöôn • VÍ DUÏ: 1) Neáu I = {0} thì X /{0} = {x + {0}} = X. 2) Neáu I = X thì X / X = {x + X : x ∈ X} = {X}, vaønh thöông trong tröôøng h ôïp naøy laø vaønh taàm thöôøng, noù chæ chöùa coù moät phaàn töû ñôn vò laø X. 3) Xeùt vaønh caùc soá nguyeân 9 v treân m 9 laø aø m 9 laø ideal cuûa 9. Vaønh thöông cuûa 9 9 = 9 / = { 0 , 1, …, m −1} m m 9 vôùi caùc pheùp toaùn p + q = p + q vaø p .q = p.q 4. Ñoàng caáu vaønh 4.1 Ñònh nghóa • Cho (X,+, • ),(Y,+, • ) laø caùc vaønh. AÙnh xaï f : X → Y ñöôïc goïi laø moät ñoàng caáu vaønh neáu vôùi moïi a, b∈ X, caùc ñieàu sau ñöôïc thoûa maõn 1) f(a + b) = f(a) + f(b) 2) f(a.b) = f(a). f(b) 3) f(1X) = 1Y • Ñoàng caáu vaønh f ñöôïc goïi laø ñôn caáu, toøan caáu, ñaúng caáu neáu f laàn löôït laø ñôn , toøan aùnh, song aùnh. Neáu giöõa (X,+,•) vaø (Y,+ aùnh ,•) toàn taïi moät ñaúng caáu vaønh, thì ta noùi chuùng ñaúng caáu vôùi nhau, vaø vieát X ≅ Y. • NHAÄN XEÙT: Neáu f : (X,+, ) → (Y,+,•) laø moät ñoàng caáu v • aønh thì f : (X,+) → (Y ,+) laø ñoàng caáu nhoùm. • VÍ DUÏ: 1) Cho (X, +, •) khi ñoù aùnh xaï ñoàng nh aát id :X → X laø moät ñaúng caáu vaønh. Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 77 - 2) AÙnh xaï f : (9 ,+, •) → (9n,+, •) , f(m) = m , laø toaøn caáu vaønh. 3) Cho (X, +, • ) laø moät vaønh vaø End(X) laø vaønh c aùc ñoàng caáu cuûa nhoù → a f (X,+). Khi ñoù aùnh xaï f : (X, +, • ) (End(X), +, •), a a vôùi fa(x) = a.x laø moät ñoàng caáu vaønh. 4) Giaû söû I laø moät ideal cuûa vaønh X. Xeùt aùnh xaï π : X → π (x) = x + I X / I, π laø moät toaøn caáu vaønh, goïi laø toaøn caáu chính taéc. 4.2 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu vaønh Caùc tính chaát sau ñaây laø töông töï nhö trong nhoùm maø vieäc chöùng minh noù laø töông töï hoaëc ñöôïc tröïc tieáp suy ra töø keát quaû veà ñoàng caáu nhoùm. • Tính chaát 1 Hôïp cuûa hai ñoàng caáu vaønh laø moät ñoàng caáu vaønh. Hôn nöõa hôïp cuûa hai ñaúng caáu laø moät ñaúng caáu. • Tính chaát 2 Cho (X,+, •) vaø (Y,+, •) laø caùc vaønh vaø ï f : X → Y laø moät ñoàng caáu vaønh. Khi ñoù a) Neáu A laø vaønh con (töông öùng : ideal ) cuûa X thì f(A) laø vaønh con (töông öùng : ideal ) cuûa Y. –1 (B) laø vaønh con b) Neáu B laø vaønh con (töông öùng : ideal ) cuûa Y thì f (töô ng öùng : ideal ) cuûa X. Ñaëc bieät ta coù Ker f = {x ∈ X : f(x) = 0Y} laø moät ideal cuûa X . • Tính chaát 3 Cho (X,+, •) vaø (Y,+, •) laø caùc vaønh vaø ï f : X → Y laø moät ñoàng caáu vaønh. Khi ñoù c) f laø ñôn caáu khi vaø chæ khi Kerf = {0 }. X d) f laø toaøn caáu khi vaø chæ khi Imf = Y. Töông töï nhö tröôøng hôïp ñoàng caáu nhoùm, ôû ñaây cuõng coù ñ h lí òn cô baûn cuûa ñoàng caáu vaønh nhö sau: Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 78 - 4.3 Ñònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu vaønh) Cho f laø moät ñoàng caáu töø vaønh X ñeán vaønh Y vaø π : X → X/Kerf laø toaøn caáu chính taéc töø vaønh X ñeán vaønh thöông X / kerf . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñoàng caáu f* : X / kerf → Y sao cho f = f*o π , töùc laø bieåu ñoà sau giao hoaùn: X f Y π f* X/Kerf Hôn nöõa, f* laø moät ñôn caáu vaø Im f* = f(X) = Imf 4.4 H eä quaû 3) Vôùi moïi ñoàng caáu vaønh f : X → Y ta coù f(X) ≅ X/Kerf 4) Vôùi moïi toaøn caáu nhoùm f : X → Y ta coù Y ≅ X/Kerf. 4.5 Ñaëc soá cuûa vaønh • Moät vaønh khoâng taàm thöôøng X ñöôïc goïi laø coù ñaëc soá m neáu vaø chæ neáu m laø soá n guyeân khoâng aâm nhoû nhaát sao cho m.1 = 0. • VÍ DUÏ: Vaønh soá nguye où ña soá h 9 / ù ña soá m. ân 9 c ëc 0, vaøn m 9 co ëc • NHAÄN XEÙT: Neáu vaønh khoâng taàm thöôøng X coù ñaëc soá m thì caáp cuûa moïi phaàn töû cuûa nhoùm (X, +) laø moät öôùc cuûa m. Thaät vaäy, vôùi moïi a ∈ X vaø n laø caáp cuûa noù, khi ñoù ta coù m.a = m(1.a) = (m.1)a = 0.a = 0. Chia m cho n ta ñöôïc m = nq + r, 0 ≤ r < n. Neáu r > 0 thì töø ma = (nq + r)a = (nq)a + ra = 0 suy ra ra = 0, nhöng ñieàu naøy m aâu thuaån vôùi tính chaát beù nhaát cuûa n. Vaäy phaûi coù r = 0, töùc laø n | m. • CHUÙ YÙ: Ta hieåu moät ñoàng caáu f (ñôn caáu, toøan caáu, ñaúng caáu) töø tröôøng X ñeán tröôøng Y nhö laø moät ñoàng caáu (ñôn caáu, toøan caáu, ñaúng caáu) vaønh. Vì trong tröôøng khoâng coù ideal naøo khaùc ngoøai caùc ideal taàm thöôøng neân ta coù hoaëc kerf = {0} hoaëc kerf = X. Tröôøng hôïp kerf = {0} thì f laø moät ñôn caáu. Coøn tröôøng hôïp kerf = X thì f laø ñoàng caáu khoâng. Vaäy ïi ñoàng caáu tröôøng mo hoaëc laø ñôn caáu hoaëc laø ñoàng caáu khoâng. 5. Caùc ñònh lí nhuùng ñaúng caáu 5.1 Ñònh lí (nhuùng ñaúng caáu moät vò nhoùm) Giaû söû X laø moät vò nhoùm giao hoaùn vôùi phaàn töû ñôn vò laø e. S laø taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû chính qui cuûa X ( moät phaàn töû a ∈ X goïi laø phaàn töû chính qui neáu vôùi moïi Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 79 - b, c ∈ X sao cho ab = ac hoaëc ba = ca thì b = c). Khi ñoù coù moät vò nhoùm giao hoaùn X vaø moät ñôn caáu f töø X ñeán X thoûa caùc tính chaát sau a) Moïi phaàn töû cuûa f(S) ñeàu coù nghòch ñaûo trong X . b) Caùc phaàn töû cuûa X coù daïng f(x).[f(a)]–1 vôùi x ∈ X vaø a ∈ S. Chöùng minh: 1) Xaây döïng vò nhoùm X . Treân taäp tích X × S, ta xaùc ñònh moät quan heä töông ñöông R nhö sau (x, a) R (y, b) ⇔ xb = ay T ính phaûn xaï, ñoái xöùng laø roõ raøng. Giaû söû coù (x, a)R(y, b) vaø (y, b)R(z, c), töùc laø xb = ay vaø yc = bz, töø ñoù xbc = abz. Vì b chính qui neân suy ra xc = az, töùc l a)R(z, c). Vaäy R laø baéc caàu. aø (x, Ñaët X laø taäp thöông (X × S)/R maø caùc phaàn töû cuûa noù ñöôïc kí hieäu laø (x, a). Treân X ta xaùc ñònh pheùp toaùn trong nhö sau (x, a).(y, b) = (xy, ab) Ñònh nghóa khoâng phuï thuoäc vaøo ñaïi dieän cuûa caùc lôùp töông ñöông. Thaät vaäy, giaû söû (x,a y' thì suy ra xya'b' = x'y' ) R (x',a') vaø (y,b) R (y',b'), töùc laø xa' = ax' vaø yb' = b a (xy, ab) = (x' y', a'b') . b, töùc laø Khi ñoù coù theå kieåm tra raèng X laø vò nhoùm giao hoaùn, vôùi phaàn töû ñôn vò laø (e, e) . 2) Ñôn caáu f : X → X ñöôïc xaùc ñònh bôûi f(x) = (x, e). f laø ñoàng caáu vì f(xy) = (xy, e) =(x, e) (y, e) = f(x)f(y), f laø ñôn aùnh vì töø f(x) = f(y) suy ra (x, e) = (y, e), töø ñoù (x, e)R(y, e) hay xe = ye, suy ra x = y. 3) Caëp (X , f) thoûa maõn caùc tính chaát neâu trong ñònh lí. Thaät vaäy, vôùi x∈S phaàn töû nghòch ñaûo cuûa f(x) = (x, e) laø (e, x) vì (x, e).(e, x) =(x, x) = (e, e) . Ngoøai ra moãi phaàn töû (x, a) cuûa X coù theå vieát –1 .[f(a)] (x, a) = (x, e).(e, a) = (x, e) ((a, e)) = f(x) –1. • NHAÄN XEÙT: 1) Neáu moïi phaàn töû cuûa v ùm ñeà X ò nho X u laø chính qui thì taát caû caùc phaàn töû cuûa ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo neân X laø moät nhoùm. Maët khaùc , vì f : X → X laø moät ñôn caáu neân X ≅ f(X) = { (x, e), x ∈ X} ⊂ X , trong tröôøng hôïp naøy ta cuõng noùi Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 80 - raèng vò nhoùm X ñöôïc nhuùng ñaúng caáu vaøo nhoùm X , vaø coù theå ñoàng nhaát phaàn töû x ∈ X vôùi phaàn töû f(x) = (x, e) ∈X . Moïi phaàn töû cuûa X do ñoù vieát ñöôïc döôùi – 1 daïng x. y vôùi x, y ∈ X. 2) Ta coù theå chöùng minh ñöôïc raèng caëp ( X , f) laø duy nhaát theo nghóa sai khaùc nhau moät ñaúng caáu, nghóa laø neáu coù moät caëp (Y, g) khaùc thoûa maõn a) vaø b) trong ñònh lí thì coù moät ñaúng caáu ϕ : X → Y vaø g = ϕ o f. Thaät vaäy ta xeùt töông öùng t = f(x).[f(a)]–1 a g x).[g( ( )]–1. Töông öùng naøy laø moät aùnh xaï vì neáu coù f(x).[f(a)]–1 = a –1 x').[f(a')] , töùc laø f(x)f(a' do f laø ñoàng caáu, f(xa') = f(x'a), töø ñoù f( ) = f(x')f(a), hay, xa' = x'a (vì f ñôn aùnh) vaø do g laø ñoàng caáu ta suy ra g(xa') = g(x'a), g(x)g(a') = g(x')g(a), g(x).[g(a)]–1 = g(x').[g(a')]–1. Deã daøng chæ ra ϕ laø moät ñaúng caáu vaø g = ϕ o f. • AÙP DUÏNG: 1) Soá nguyeân. AÙp duïng ñònh lí treân cho X = (∠0, +). Vì moïi phaàn töû cuûa ∠0 ñeàu chính qui neân X laø moät nhoùm maø ta kí hieäu noù 9. Caùc phaàn töû cuûa 9 coù daïng (n,m), vôùi m, n ∈ ∠0, ñöôïc goïi laø caùc soá nguyeân vaø pheùp coäng treân 9 ñöôïc xaùc ñònh bôûi (n,m) + (p,q) = (n + p,m + q) Moãi soá nguyeân coù theå vieát döôùi daïng m – n := m + (–n), vôùi m, n ∈ ∠0. 2) Soá höõu tæ döông. AÙp duïng ñònh lí treân cho X = (∠, •). Vì moïi phaàn töû cuûa ∠ ñeàu chính qui neân X laø moät nhoùm maø ta kí hieäu noù Θ+ . Caùc phaàn töû cuûa Θ+ coù daïng (n,m), vôùi m, n ∈ ∠, ñöôïc goïi laø caùc soá höõu tæ döông vaø pheùp nhaân treân Θ+ ñöôïc xaùc ñònh bôûi (n,m).(p,q) = (np,mq) Moãi soá höõu tæ döông coù theå vieát döôùi daïngqp := p.q– 1 , vôùi p, q ∈ ∠. 5.2 Ñònh lí ( nhuùng ñaúng caáu moät vaønh nguyeân) Giaû söû X laø moät vaønh nguyeân vôùi phaàn töû ñôn vò laø 1. X* laø taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû khaùc 0 cuûa X. Khi ñoù coù moät tröôøng X vaø moät ñôn caáu (vaønh) f töø X ñeán X thoûa caùc tính chaát sau a) Moïi phaàn töû cuûa f(X*) ñeàu coù nghòch ñaûo trong X . X coù daïng f(x).[f(a)]–1 vôùi x ∈ X vaø a ∈ X* b) Caùc phaàn töû cuûa . Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin