🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình chuyên đề rèn kĩ năng giải toán ở tiểu học Ebooks Nhóm Zalo TRẦN DIÊN HIẾN GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỀ RÈN Kỉ NĂNG, GIẢI TOÁN TIỂU HỌC ' \ / ' \ § f ! / N H À XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Sư PHẠM PGS. TS. TRẦN DIÊN HIỂN GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỀ RÈN Kĩ NĂNG GlẢl TOÁN TIỂU HỌC■ (Tái bản lần thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẨU............................................................................................... 7 C hương 1. PHƯƠNG PHÁP sơ Đổ ĐOẠN THẲNG............................. 9 A. Nội dung bài giảng.............................................................................. 9 1. Đại cương vê' giải toán tiểu học................................................... 9 2. Khái niệm về phương pháp SĐĐT......................................... 12 3. ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải toán đơn.................. 12 4. ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải toán hỢp..................37 5. Một sô'ứng dụng khác của phương pháp SĐĐT.................... 50 B. Hướng dẫn tự học...............................................................................57 C hương II. PHƯƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐƠN VỊ VÀ TỈ s ố ................. 58 A. Nội dung bài giảng.............................................................................58 1. Khái niệm về phương pháp rút về đơn vị và tỉ số.................. 58 2. ứ ng dụng phương pháp RVĐV và TS để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch......................................................................62 3. Các bài toán về tỉ lệ kép............................................................. 66 B. Hướng dẫn tự học ..............................................................................70 C hương III. PHƯƠNG PHÁP CHIA TỈ L Ệ ........................................... 71 A. Nội dung bài giảng............................................................................. 71 1. Khái niệm về phương pháp chia tỉ lệ......................................71 2. ứ ng dụng phương pháp CTL để giải các bài toán về tìm hai sô"khi biết tổng và tỉ sô" của chúng.............................71 3. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán về tìm hai số khi biết hiệu và tỉ sô' của chúng.....................................................76 4. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán vê' cấu tạo sô'..... 79 5. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán có lời văn điên hình vê phân số......................................................86 6. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán có nội dung hình học....................................................................... 90 7. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán về chuyển động đều.........................................................................93 8. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán về tìm ba số khi biết tổng và tỉ sô" hoặc hiệu và tỉ số của chúng................. 96 9. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán vui và toán cổ ở tiểu học..........................................................................................99 B. Hướng dẫn tự học ........................................................................... 101 C hương IV. PHƯƠNG PHÁP THỬ CHỌN......................................... 102 A. Nội dung bài giảng ........................................................................102 1. Khái niệm về phương pháp thử chọn.....................................102 2. ứng dụng phương pháp TC để giải toán sô'học...................102 3. ứng dụng phương pháp TC để giải toán có lòi v ă n ............ 108 4. ứng dụng phương pháp TC để giải toán có nội dung hình học.................................................................... 111 5. ứng dụng phương pháp TC để giải toán về suy luận........114 B. Hướng dẫn tự học............................................................................115 Chương V. PHƯƠNG PHÁP KHỬ....................................................... 116 A. Nội dung bài giảng..........................................................................116 1. Khái niệm về phương pháp khử.............................................116 2. ứng dụng phương pháp khử để giải to án ............................ 116 B. Hướng dẫn tự học............................................................................120 C hương VI. PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM...............................121 A. Nội dung bài giảng..........................................................................121 1. Khái niệm về phương pháp giả thiết tạm .............................121 2. ứng dụng phương pháp giả thiết tạm để giải to án ............ 121 B. Hướng dẫn tự học............................................................................125 C hương VII. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ c u ố i ............... 126 A. Nội dung bài giảng..........................................................................126 1. Khái niệm về phương pháp tính ngưbc từ cuối....................126 2. ứng dụngphương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán số học.............................................................................................. 126 3. ứng dụngphương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán có lời v ă n ....................................................................................... 127 4. Các bài t oán vê' tính ngưỢc từ cuô'i gộp................................130 5. ứng dụng phương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán vui và toán cổ ỏ tiểu học.....................................................................133 B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 137 Chương VIII. PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ...................................... 138 A. Nội dung bài giảng.........................................................................138 1. Khái niệm về phương pháp thay th ế ....................................138 2. ứng dụng phương pháp thay thế để giải toán.....................138 B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 142 Chương EX. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH.........................................143 A. Nội dung bài giảng.........................................................................148 1. Khái niệm về phương pháp diện tích.................................... 143 2. ứng dụng phương pháp diện tích để giải to án ....................143 B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 148 Chương X. PHƯƠNG PHÁP Đổ THỊ.................................................. 149 A. Nội dung bài giảng......................................................................... 149 1. Khái niệm vể phương pháp đồ thị..........................................149 2. ứng dụng phương phốp đồ thị để giải toán sô' học.............149 3. ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán có văn.............150 4. ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán vè suy luận lõgíc............................................................................152 B. Hướng dẫn tự học............................................................................156 Chương XI. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI s ố ................................................ 157 A. Nội dung bài giảng..........................................................................157 1. Khái niệm về phương pháp đại sô’.........................................157 2. ứng dụng phương pháp đại số để tìm thành phần chưa biết của phép tín h ................................................................................157 3. ứng dụng phương pháp đại sô' để giải toán về diền chữ số vào phép tín h ................................................................................163 4. ứng dụng phương pháp đại số để giải toán có lời văn....... 165 B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 166 C hương XII. PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ..................................................................... 167 A. Nội dung bài giảng.........................................................................167 1. Khái niệm về nguyên lí Đi-rích-lê........................................167 2. ứng dụng nguyên lí Đi-rích-lê để giải to á n ........................167 B. Hướng dẫn tự học...........................................................................170 TRẢ LÒI HOẶC HƯỚNG DẪN GIẢI b à i t ậ p T ự LUYỆN........... 171 Chương 1................................................................................................171 Chưdng I I ..............................................................................................173 Chương III............................................................................................ 174 Chương IV ............................................................................................ 176 Chương V ............................................................................................. 177 Chương V I............................................................................................ 177 Chương VII........................................................................................... 178 Chương V III......................................................................................... 179 Chương IX............................................................................................ 179 Chương X.............................................................................................. 180 Chương XI............................................................................................ 181 Chương XII........................................................................................... 181 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình “Rèn kĩ năng giải toán tiểu học” được biên soạn theo chương trình đào tạo Cử nhân giáo dục tiểu học hệ chính quy, vừa học vừa làm và hệ từ xa. Nội dung giáo trình được chia thành 12 chương : Trong mỗi chương, tác giả trình bày một phương pháp giải toán ỏ tiểu học. Nội dung mỗi chương được chia thành hai phần : Phần thứ n hấ t: Nội dung bài giảng được trình bày theo trình tự sau : - Khái niệm về phuung pháp giải toán đuọc trình bày trong chuông đó. - Các bước giải toán khi dùng phương pháp trình bày trong chương. - Lần lượt nèu các ứng dụng của phương pháp đó để giải các dạng toán thường gặp ỏ tiểu học thông qua các ví dụ minh họa. - Giới thiệu hệ thống bài tập tự luyện để củng cố kĩ nàng giải toán bằng phương pháp đó. Phần thứ h a i: hướng dẫn học viên một số vấn đề về nội dung cũng như phương pháp tự học lí thuyết và vận dụng giải quyết các dạng bài tập điển hình trong chương. Phần cuối của giáo trình là hướng dẫn giải các bài tập tự luyện. Vì giáo trình được biên soạn để dùng chung cho cả ba hệ đào tạo: chính quy, vừa học vừa làín và hệ từ xa nôn khi sử dụng cho mõl đốl tượng cần lựa chọn những nội dung và hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho từng loại dối tượng đã được xác định trong chương trình đào tạo của hệ đó. Tác giả chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc để nội dung và hình thức của giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn. Tác giả Chương 1 PHƯƠNG PHÁP S ơ ĐỔ ĐOẠN Th Ẳ n G A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG 1. Đại cương về giải toán tiểu học 1.1. Vai trò, vị tri vá tầm quan trong của hoat dộng g iả i toán trong dạy và học toán ở tiểu học Trong dạy học toán nói chung, ở tiểu học nói riêng, giải toán có vị trí đặc biệt quan trọng. Trong giải toán, học sinh phải tư duy một cách tích cực và linh hoạt, phải biết suy nghĩ năng động, sáng tạo. Vì vậy có thể coi giải toán là một trong những biểu hiện nămg động nhất của hoạt động trí tuệ của học sinh. Thông qua hoạt động giải toán, học sinh biết cách vận dụng các khái niệm, quy tắc, công thức đã được học trong sách giáo khoa để xử lí những tình huống đặt ra trong môn Toán, trong các môn học khác và trong thực tê đời sống lao động sản xuất. Đồng thòi thông qua hoạt động giải toán, giáo viên có thể phát hiện những ưu điểm cũng như thiếu sót của học sinh về kiến thức, kĩ năng và tư duy để có biện pháp kịp thòi giúp các em phát huy hoặc khăc phục. Mặt khác, cũng thông qua hoạt động giải toán, học sinh tự rút ra những ưu điểm và hạn chế của bản thân để có cách khắc phục, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán. Qua hoạt động giải toán, học sinh rèn luyện những đức tính và phong cách làm việc trong khoa học như ý chí khắc phục và vượt qua khó khăn, lòng say mê và tìm tòi, sáng tạo trong học tập. Đồng thời, thông qua hoạt động giải toán hình thành cho học sinh thói quen xét đoán vấn đề có căn cứ, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuôì cùng, từng bưóc hình thành và rèn cho học sinh thói quen suy nghĩ độc lập, linh hoạt. Từ đó hình thành khả năng trình bày, diễn đạt một vấn đề một cách chặt chẽ và mạch lạc. Qua hoạt động giải toán, học sinh được củng cố kiến thức và rèn kĩ năng sử dụng Tiếng Việt, tự nhiên và xã hội, giáo dục môi trường,... Khi giải toán, ta quan tâm đến hai vấn đề lớn : nhận dạng bài toán và lựa chọn phương pháp thích hỢp d ể giải. Thực hành giải toán là rèn kĩ năng cho hai hoạt động trên đây. 1.2. P h ả n d ạ n g các bài toán ở tiểu học Các bài toán ở tiểu học có thể chia thành hai loại : các bài toán 3ố học và các bài toán có lời văn. Các bài toán có lòi văn có thể phân thành ba nhóm : Nhóm thứ nhất gồm bốn dạng toán đơn : 1. Các bài toán đơn với một phép tính cộng 2. Các bài toán đơn vói một phép tính trừ 3. Các bài toán đơn với một phép tính nhân 4. Các bài toán đơn vói một phép tính chia Nhóm thứ hai gồm các bài toán hỢp : Các bài toán hỢp đưỢc phân chia thành các mẫu, chẳng hạn o a + (a + b) o a + (a - b) o (a + b) + c o a + a X n o a + a : n o (a + b) X n o (a + b) : n o Nhóm thứ ba gồm 8 dạng toán có lời văn điển hình : 1. Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng 2. Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng 4. Tìm sô' trung bình cộng 5. Toán về đại lượng tỉ lệ thuận 6. Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch 7. Toán về chuyển động đều 8. Toán vể tỉ số phần trăm 10 Ngoài ra, trong nhóm thứ ba gồm một sô'dạng toán khác 1. Tìm giá trị phân sô’ của một sô 2. Toán về tỉ lệ bản đồ 1.3. Các phư ơ n g p h á p g iả i toán ở tiêu học Về sô' lượng các phương pháp giải toán ỏ tiểu học cũng có những ý kiến rất khác nhau (tuỳ theo quan điểm của tác giả). Đa sô' các tác giả cho rằng để giải các bài toán đại trà trong sách giáo khoa toán tiểu học chỉ cần 5 - 6 phương pháp là đủ. Đê giải các bài toán phát triển, toán nâng cao ỏ tiểu học thì ngoài 5 - 6 phương pháp nêu trên ta cần bổ sung thêm các phương pháp khác nữa. Đương nhiên, tuỳ mức độ và phạm vi các bài toán nâng cao đưỢc đề cập tới mà số lượng phương pháp được bổ sung nhiều hay ít. Trong tài liệu này, chúng ta đề cập tối 16 phưdng pháp giải toán sau đây : 1. Phương pháp sơ dồ đoạn thẳng (SĐĐT) 2. Phương pháp rút về dơn vị và tỉ sô' 3. Phương chia tỉ lệ 4. Phương pháp thử chọn 5. Phương pháp khử 6. Phương pháp giả thiết tạm 7. Phương pháp tinh ngược từ cuối 8. Phương pháp thay thế 9. Phương pháp diện tích 10. Phương pháp đồ thị 11. Phương pháp đại sô' 12. Phương pháp ứng dụng nguyên lí Đi-rích-Lê 13. Phương pháp biêu đồ Ven 14. Phương pháp lập bảng 15. Phương pháp suy luận đơn giản 16. Phương pháp lựa chọn tinh huống 11 2. K hái niệm về phương pháp SĐĐT Phương pháp SĐĐT là một phương pháp giải toán ở tiểu học, trong đó, môì quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài toán được biểu diễn bởi các đoạn thẳng. Việc lựa chọn độ dài của các đoạn thẳng đề’ biểu diễn các đại lượng và sắp xếp thứ tự các đoạn thẳng trong sơ đồ một cách hỢp lí sẽ giúp học sinh đi đến lòi giải một cách tường minh. Phương pháp SĐĐT được dùng thường xuyên và rộng rãi trong môn Toán ở tiểu học. Nó được ứng dụng để giải các bài toán đơn, các bài toán hỢp, một số dạng toán có văn điển hình, dạy hình thành khái niệm vê' sô' trung bình cộng và xây dựng công thức tìm số trung bình cộng của hai hay nhiều số. 3. ứ n g d ụ n g phương ph áp SĐĐT đ ể giải to án đơn 3.1. G iải toán đơn với m ột ph ép tin h cộng Bài toán đơn vối một phép tính cộng xuất hiện trong tất cả các lóp ở bậc tiểu học (ở các lớp khác nhau được phân biệt bởi các vòng số khác nhau). Sau khi được trang bị những kĩ năng cần thiết về thực hành phép cộng trong một vòng số mối, học sinh thực hành vận dụng kĩ năng vừa học để giải toán đơn trong vòng sô” này. Càn cứ vào cấu trúc của sơ đổ đoạn thẳng dùng trong lòi giải của bài toán, ta có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu dưới đây : M ẩu 1.1. Sơ đồ có dạng : H Hoặc V c"" 12 Ví dụ 1.1. Nhà An nuôi được 15 con gà trông và 28 con gà mái. Hỏi nhà An nuôi được tất cả bao nhiêu con gà? Giải. Ta có sơ đồ sau : . 15 con Gà trong : I-------- ---------1 >■ ? con gà 28 con Gà mái ; I--------------------- Sô’ gà nhà An nuôi được là : 15 + 28 = 43 (con) Đáp sô' : 43 con gà Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này, thay cho SĐĐT, ta có thể tóm tắt đê toán như sau : Gà trống ; 15 con Gà mái : 28 con Tất cả có : ... con gà? Ví dụ 1.2. Lớp 2A tuần trước đạt được 24 điểm 10, tuần này đạt đưỢc 18 điểm 10. Hỏi cả hai tuần lớp đó đạt được bao nhiêu điểm 10? Giải. Ta có sơ đồ sau : 24 điểm 18 điểm ? điểm Số điểm 10 lớp 2A đạt được trong hai tuần là : 24 + 18 = 42 (điểm) Đáp số : 42 điểm Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể tóm tắt để toán như trong ví dụ 1.1. 13 Ví dụ 1.3. Đặt thành đê toán theo sơ đồ sau rồi giải; a) Gạo nếp : Gạo tẻ : 48kg 85kg ?kg b) 76 cây chanh 33 cây cam H ::::;; -1^ ? cây H ưởng d ẫn : Bằng hệ thông câu hỏi phát vấn, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh đặt đề toán theo những văn cảnh khác nhau. Mau 1.2. Sơ đồ có dạng : h Hoặc Ví dụ 1.4. Lan hái đưỢc 12 bông hoa, Cúc hái được nhiều hơn Lan 5 bông hoa. Hỏi Cúc hái được bao nhiêu bông hoa? Giải. Ta có sơ đồ sau: 12 bông Lan ị-' - ............. 5 bông Cúc ? bông 14 Sô’ bông hoa Cúc hái được là : 12 + 5 = 1 7 (bông) Đáp số : 17 bông hoa Ví dụ 1.5. Hà cao 102cm, Hùng cao hơn Hà 8cm. Hỏi Hùng cao bao nhiêu xăng-ti-mét? Giải. Ta có sơ đồ sau : 102cm Hà I- — " ..................... 8cm Hùng ?cm Hùng cao là : 102 + 8= 110 (cm) Đáp sô : llOcm Ví dụ 1.6. Hà cao 102cm và thấp hơn Hùng 8cm. Hỏi Hùng cao bao nhiêu xăng-ti-mét? Giải. Ta có sơ đồ sau ; Hà I----- Hùng Ị— Hùng cao là : 1 0 2 c m 8om 102 + 8= 110 (cm) Đáp số : llOcm Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này ta có thể tóm tắt đề toán như sau : Hà cao : 102cm Hùng cao hơn Hà : 8cm Hùng cao : ...cm? 15 H oặc: Hà cao : 102cm \ Hà thấp hơn Hùng : 8cm Hùng cao : Ví dụ 1.7. Đặt đề toán theo sd đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : a) 98cm Bích : h' - ............................ 13cm Phượng: b) Hoặc .... h H ướng d ẫ n : - Đề toán dạng này nkằm nâriK cao một bước năng lực của sinh viên trong hoạt động giải toán. - Bằng hệ thông câu hỏi phát vấn, dẫn dắt học sinh đến vối đề toán ; + Theo sơ đồ trên thì bài toán giải bằng phép tính gì? + Trong để toán giải bằng phép tính cộng ta có thể dùng những cách diễn đạt nào? + Một số học sinh đặt đề toán với nhiều hơn và một số học sinh đặt đề toán vổi ít hơn; + Học sinh thảo luận và giáo viên tổng kết. Chú ý. ở lớp dưới, SĐĐT được coi là phương tiện cần thiết để dẫn dắt học sinh đi đến lời giải của bài toán. Song ở các lớp trên (lớp 4 và lốp 5) khi giải bài toán bằng phép tính cộng, ta có thế bỏ qua bước tóm tắt bằng SĐĐT. 16 M au 1.3. Sơ đồ có dạng : Ví d ụ 1.8. Một ô tô khỏi hành từ A đi về phía B. Giò thứ nhất đi 2 3 được - quãng đưòng, giờ thứ hai đi đưỢc — quãng đường. Hỏi sau 2 7 8 giờ ô tô đó đi đưỢc mấy phần quãng đường? Giải. Ta có sơ đồ sau : — qđ — qđ 2 ^ 3 ^ 7 8 ? qđ Sau hai giờ ô tô đi được ; 2 3 37 — + — = — (quãng đưòng) 7 8 50 37 Đáp sô' : — quãng đường 56 Ví dụ 1.9. Hai vòi nưóc cùng chảy vào một bể. Mỗi giò vòi thứ 1 2 T nhất chảy đươc — bể, vòi thứ hai chảy đươc — bê. Hỏi sau giò đầu cả 6 11 hai vòi chảy đưỢc bao nhiêu phần bể nước? Giải. Ta có sơ đồ sau : 1 2 . - bễ — bể 6 11 ?b ể 17 Sau giờ đầu hai vòi chảy được ; i . A = ^ (bể) 6 11 66 Đáp so : —— bê. 66 B ài tập tự luyện 1.1. Trên cây có một đàn cò đang đậu. Nghe tiếng động, 8 con bay đi và trên cây còn lại 3 con. Hỏi đàn cò có tất cả bao nhiêu con? 1.2. Lớp 3A có 18 học sinh nữ và 22 học sinh nam. Hỏi lóp 3A có tất cả bao nhiêu học sinh? 1.3. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : a) Lan : Huệ: 12 cái 8 cái H >- ? cái b) 214 cây 148 cây ? cây 1.4. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : a) b) 18 1.5. Hồng có 6 cái nhãn vở, chị có nhiều hơn Hồng 2 cái nhãn vỏ. Hỏi chị có mấy cái nhãn vỏ? 1.6. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc một tá khăn mặt, buổi sáng bán được ít hơn buổi chiều 7 cái. Hỏi buổi chiều cửa hàng đó bán đưỢc bao nhiêu cái khăn mặt? 1.7. Quãng đường từ nhà Quang sang nhà Cưòng dài 350m và gần hơn quãng đưòng sang nhà Bắc 120m. Hỏi quãng đưòng từ nhà Quang sang nhà Bắc dài bao nhiêu mét? 1.8. Khoảng cách từ lớp 2A tới văn phòng nhà trường đo được 48m, từ Iđp 3A tới văn phòng dài hơn khoảng cách từ lớp 2A tới văn phòng 15m. Tính khoảng cách từ lóp 3A tối văn phòng. 1.9. Hương năm nay 9 tuổi, Hương kém chị 4 tuổi. Hỏi chị của Hương năm nay bao nhiêu tuổi? 1.10. Ngân năm nay 8 tuổi, mẹ hơn Ngân 24 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mẹ. 1.11. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : a)275 tấn Đội 1 : h' ' — ----—..... ............I 54 tấn Đội 2 : ? tấn b) „ 17 pnn ß con Trâu : I--------------- LL£9n------- Bò: Ị _____________________ I_I ? con 1.12. Đặt đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó ; 54.... .... : Ị., ................................. 13„. 9 19 b) ...... I----------------- 1.13. Một đội công nhân được giao đắp một đoạn đưòng, ngày đầu 2 ' 1 đắp đưỢc — đoạn đường và ngày thứ hai đăp được — đoạn đường. 15 9 Hỏi cả hai ngày đội đó đắp được bao nhiêu phần đoạn đường? 1.14. Ba vòi cùng chảy vào một bể nước. Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy 1 2 1 đươc — bể, vòi thứ hai chảy đưỢc — và vòi thứ ba chảy được — bể 6 ' 7 5 nước. Hỏi sau một giờ ba vòi chảy đưỢc bao nhiêu phần bể nước? 1.15. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : - qđ ệ qđ 4 7 o __-r__________ ? quãng đường b) c) 3.2. Giải các bài toán đơn với một phép tính trừ Bài toán đơn vối một phép tính trừ xuất hiện trong tất cả các lóp ở cấp Tiểu học (ở các lớp khác nhau đưỢc phân biệt bởi các vòng số 20 khác nhau). Sau khi được trang bị những kĩ năng cần thiết vể thực hành phép trừ trong một vòng sô' mói, học sinh thực hành vận dụng kĩ năng vừa học để giải toán đơn trong vòng số này. Căn cứ vào cấu trúc của SĐĐT dùng trong lời giải của bài toán, ta có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu dưói đây : M ẩu 2.1. Sơ đồ có dạng : Vi dụ 1.10. Nhà An nuôi đưỢc 43 con gà, trong đó có 28 con gà mái, còn lại là gà trông. Hỏi nhà An nuôi đưỢc bao nhiêu con gà trông? Giải. Ta có sơ đồ sau : 28 ? con 43 con Sô' gà trống nhà An nuôi đưỢc là : 43 - 28 = 15 (con) Đáp sô' : 15 con Chú ý. Bài toán có thể tóm tắt như sau : Tất cả : 43 con Số gà mái : 28 con Số gà trông: ...con? Ví dụ 1.11. Đặt để toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : 572... ?... 896... 21 H ướng dẫ n ; 1. Trước hết chọn vàn cảnh cho bài toán; 2. Đặt thành đề toán theo văn cảnh đã chọn; 3. Giải bài toán vừa thiết lập. Ví dụ 1.12. Đặt để toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó : H ướng d ẫ n : 1. Chọn văn cảnh cho bài toán; 2. Chọn số liệu phù hỢp vổi văn cảnh đã chọn; 3. Đặt thành đề toán theo văn cảnh đã chọn; 4. Giải bài toán đó. M ẩu 2.2. Sơ đồ có dạng : 9 Hoặc 7 ........... ....^ I------------------= -------------- 22 Ví dụ 1.13. Lan gấp được 17 cái thuyền, Cúc gấp đưỢc ít hơn Lan 5 cái thuyền. Hỏi Cúc gấp được bao nhiêu cái thuyền? Giải. Ta có sơ đồ sau : 17 cái Lan f- — -------------------- 15 cái Cúc ? cái Số thuyền Cúc gấp đưỢc là : 17 - 5 = 12 (cái) Đáp sô' : 12 cái thuyền Ví dụ 1.14. Hà cao 122cm, Hà cao hơn Hùng 8cm. Hỏi Hùng cao bao nhiêu xăng-ti-mét? Giải. Ta có sơ đồ sau : 122cm Hà : h- - " - ............. 8cm Hùng h*--— ---------------- ?cm Hùng cao là ; 1 2 2 -8 = 114(cm) Đáp sô' : 114cm Ví dụ 1.15. Hoan cao 120cm và Cường thấp hơn Hoan 8cm. Hỏi Cường cao bao nhiêu xăng-ti-mét? Giải. Ta có sơ đồ sau : 'cm Cường : I--------------------- Hoan : I .----------------- 120cm 8cm 23 Cường cao là ; 1 2 0 -8 = 110 (cm) Đáp sô’ : 110cm Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này ta có thể tóm tắt đề toán như sau : Hà cao : 122cm Hà cao hơn Hùng : 8cm Hùng cao: ...cm? Hoặc : Hoan cao : 120cm Cưòng thấp hơn Hoan : 8cm Cường cao : ...cm? Ví d ụ 1.16. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : a) ?cm Bích : |->................. ....................~-| 13cm Phượng : lllc m ?........ .... I------------- = ---------- I ■....................................................I H ướng d ẫ n : - Đề toán dạng này nhằm nâng cao một bước năng lực của học sinh trong hoạt động giải toán. - Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, dẫn dắt học smh đến với đề tx)án : + Theo sơ đồ trên thì bài toán giải bằng phép tính gì? + Trong đề toán giải bằng phép tính trừ ta có thể dùng nhủng cách diễn đạt nào? + Một số học sinh đặt đê' toán với ít hơn và một số học sinh đặt đê toán vói nhiều hơn; 24 + Học sinh thảo luận và giáo viên tổng kết. Chú ý. ở lớp dưới, SĐĐT được coi là phương tiện cần thiết để’ dẫn dắt học sinh đi đến lời giải của bài toán. Song ở các lớp trên (lóp 4 và lớp 5) khi giải bài toán bằng phép tính trừ, ta có thể bỏ qua bước tóm tắt bằng SĐĐT. M ẩu 2.3. Sơ đồ có dạng : Ví dụ 1.17. Tuần trước Lan đọc được 210 trang sách. Tuần này Lan đọc được 178 trang. Hỏi tuần này Lan đọc đưỢc ít hơn tuần trước bao nhiêu trang sách? Giải. Ta có sơ đồ sau : 210 trang Tuần trưóc : 178 trang • trang Tuần này : Ị _________________________________________________________ - | Số trang sách tuần này đọc được ít hơn tuần trước là : 2 1 0 - 178 = 32 (trang) Đáp s ố : 32 trang sách Ví dụ 1.18. Trong phong trào thi đua lập thành tích chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, lớp 3A đạt đưỢc 125 điểm giỏi, lớp 3B đạt đưỢc 94 điểm giỏi. Hỏi lớp 3A đạt đưỢc nhiều hơn lớp 3B bao nhiêu điểm giỏi? Giải. Ta có sơ đồ sau : 125 điểm Lốp 3A : ?điểm 94 điêm Lớp 3B : Ị-— .................................---------------------------------------1 25 Sô’ điểm giỏi lốp 3A đạt được nhiều hơn lớp 3B là : 1 2 5 -9 4 = 31 (điểm) Đáp số : 31 điểm giỏi Ví dụ 1.18’. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : a) 124... Sdn: 116... ?■•••■ Mạnh : h* ---------------------- b) h H ướng dẫn ; 1. Chọn văn cảnh cho bài toán; 2. Chọn sô' liệu phù hỢp với văn cảnh đã chọn; 3. Đặt thành đế toán theo văn cảnh đã chọn; 4. Giải bài toán đó. Mau 2.4. Sơ đồ có dạng : Ví dụ 1.19. Một máy bơm vào một bể chứa nước trong hai giò 4 Je — bê nưóc. Giò thứ nhấ đưỢc — bể nưóc. thứ nhất bơm được — bể nưóc. Hỏi giò thứ hai 7 9 bơm được mấy phần bể nưóc? 26 Giải. Ta có sơ đồ sau 9- bể ? bể - bề’ 7 Giò thứ hai máy bơm được : 4 2 _ 22 _ , _ - _ = ^ (bê nưóc) 7 9 63 22 Đáp số : — bê nưóc 63 Bài tập tự luyện 1.16. Cành trên có 7 con chim đang đậu. Số chim ỏ cành trên nhiều hơn số chim ỏ cành dưói 2 con. Hỏi cành dưói có bao nchim đang đậu? 1.17. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc 56 tạ gạo, buổi chiều bán được ít hơn buổi sáng 9 tạ gạo. Hỏi buổi chiểu cửa hàng đó bán được bao nhiêu tạ gạo? 1.18. Tấm vải hoa dài 30m, Cô bán hàng đã bán 24m. Hỏi tấm vải còn lại bao nhiêu mét? 1.19. Chị năm nay 15 tuổi, Hải kém chị 6 tuổi. Tính tuổi của Hải hiện nay. 1.20. Mẹ năm nay 33 tuổi và hơn Thuỷ 26 tuổi. Tính tuổi Thuỷ hiện nay. 1.21. Một người đi xe máy từ A về B. Lúc 10 giờ ngưòi ấy dừng lại 4 nghỉ giải lao và nhâm tính đã đi đưỢc — quãng đường. Hỏi sau khi 0 giải lao ngưòi ấy phải đi mấy phần quãng đường nữa đế đến B? 1.22. Đặt thành để toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : 180 con ? con 350 con 27 28... 9 -------- ------------- ------ ..............................T 50... ?m --------- III-------- ^ 85m 1-=^:^--------------------------- 300m ?đ ^ ^ị ... đ --------------------------- đ 1250m 915m ?m ị-‘^ -------------------------- 1 6 28 b) c) Đội 2: d) e) Tuần 2: h) 3.3. G iải các bài toán đơn với m ột p h ép tín h n h ả n Bài toán đơn với một phép tính nhân xuất hiện từ lớp 2 tói lốp 5. Sau khi được trang bị những kĩ năng cần thiết về thực hành phép nhân trong một vòng số mới, học sinh thực hành vận dụng kĩ năng vừa học để giải toán đơn trong vòng số này. Căn cứ vào cấu trúc của SĐĐT dùng trong lời giải của bài toán, ta có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu dưói đây ; Mẩu 3.1. Sơ đồ có dạng : 9 Ví d ụ 1.20. Tùng hái đưỢc 6 bông hoa. An hái đưỢc gấp 3 lần sô' bông hoa của Tùng. Hỏi An hái đưỢc mấy bông hoa? Giải. Ta có sơ đô sau : _ 6 bông Tùng : I----- ---------- 1 ? bông An: ......T..................... Số bông hoa An hái đưỢc là : 6x3=18 (bông) Đáp sô' : 18 bông' Ví dụ 1.21. Đội văn nghệ lóp 2A có 5 bạn nam, sô' bạn nam kém số bạn nũ 4 lần. Hỏi đội văn nghệ của lớp 2A có bao nhiêu bạn nữ? Giải. Ta có sơ đồ sau : 29 5 bạn Nam : I— —— I ? bạn Nữ: k " " I---------- 1----------í Số bạn nữ trong đội văn nghệ của lóp 2A là ; 5 X 4 = 20 (bạn) Đáp sô' : 20 bạn Ví d ụ 1.22. Gia đình bác Năm có hai thửa ruộng. Thửa thứ nhất thu hoạch được 360kg thóc và bằng — số thóc thu hoạch đưỢc trên 5 thửa thứ hai. Hỏi gia đình bác Năm thu hoạch đưỢc bao nhiêu tấn thóc trên thửa ruộng thứ hai? G iải. Ta có sơ đồ sau ; 360kg Thửa 1 : Ị---------1 ?kg Thửa 2 : ............ ĩ ĩ~....... T~— 'H Số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng thứ 2 là : 360 X 5 = 1800 (kg) 1800kg = 1,8 tấn Đáp sô' : 1,8 tấn thóc Nhận xét : 1. Qua các ví dụ 2.20 - 2.22 ta rút ra nhận xét : cả ba bài đều giải bằng một phép tính nhân. Cấu tạo SĐĐT giống nhau, nhưng diễn dạt theo ba cách khác nhau : - Sô'bông hoa của An gấp 3 lần sô'bông hoa của Tùng; - Sô'hạn nam kém số bạn nữ 4 lần; - Sô'thóc thu hoach trên thửa ruông thứ nhất bằng ỉ thủa ruông 5 thứ hai. Từ đó rút ra cách nhận dạng bài toán để đi đến lời giải. 30 2. Khi giải bài toán bằng một phép tính nhân, SĐĐT dưỢc biểu diễn bằng sô phần bang nhau tương ứng với mỗi đại lượng trong bài toán (hãy so sánh với SĐĐT dừng trong khi giải toán dơn với một phép tính cộng hoặc phép trừ). M au 3.2. Sơ đồ có dạng: ------------- h................................. ■ I 9 Ví dụ 1.23. Trong ngày chủ nhật, một cửa hàng bán đưỢc 32 tạ gạo. Hỏi trong tuần lễ đó, cửa hàng bán được bao nhiêu tạ gạo? Biết rằng số gạo bán đưỢc trong cả tuần gấp 5 lần sô gạo bán đưỢc trong ngày chủ nhật. Giải. Ta có sơ đồ sau : Số gạo bán được trong cả tuần lễ đó là : 32 X 5 = 160 (tạ) 160 tạ = 16 tấn Đáp sô' : 16 tấn gạo Ví dụ 1.24. Một người đi xe máy từ nhà lên tỉnh. Trong giờ đầu đi đ ư ơ c 3 5 k m v à b ằ n g ^ q u ă n g đ ư ờ n g p h ả i đi. T ín h q u ã n g đ ư ò n g từ 3 nhà lên tỉnh. Giải. Ta có sơ đồ sau : 35km ^ .........I ?km Quãng đường từ nhà lên tỉnh dài là : 35 X 3 = 105 (km) Đáp số : 105km Chú ý. Hãy rút ra nhận xét về các cách diễn đạt khác nhau trong đê toán giải bằng mẫu 3.2. 31 Ví dụ 1.25. Đặt thành đê' toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó : 13 con a) ^----------------i--------------J . . — - I ? con ---------- 1-............................I ?" B ài tập tự luyện 1.23. Vườn nhà Mạnh có 7 cây cam, sô' cây ổi gấp 6 lần số cây cam. Hỏi vưòn nhà Mạnh có bao nhiêu cây ổi? 1.24. Một cửa hàng có 8 cuộn vải xanh và một số cuộn vải hoa. số cuộn vải xanh kém số cuộn vải hoa 4 lần. Tính số cuộn vải hoa của cửa hàng đó. 1.25. Năm nay con lên 6 tuổi và kém tuổi mẹ 6 lần. Hỏi mẹ nàm nay bao nhiêu tuổi? 1.26. Năm nay tuổi chị gấp 3 lần tuổi Cúc. Tìm tuổi chị, biết rằng Cúc năm nay lên 5 tuổi. 1.27. Tàu đánh cá Thắng lợi trong quý 1 đánh bắt được 125 tấn cá và bằng — số cá đánh bắt đươc trong quý III. Hỏi quý III năm đó tàu 4 đánh bắt đưỢc bao nhiêu tấn cá? 1.28. Hưởng ứng tết trồng cây gây rừng, lớp 5A trồng đưỢc 30 cây và bằng — số cây của toàn trường trồng đươc. Hỏi toàn trường trồng 8 được bao nhiêu cây? 1.29. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó : a)15 con Gà ; I---------1 9 con V ịt: \.r........í '------- ^ ^ -------I p 32 b) 540... I---------19 c) 65 trang ---------- \-----------1---------- h— 1 ? trang d) K-'-V.V:l---------- ^---------- 1 ........--I 9 3.4. G iải các bài toán đơn với m ột ph ép tin h ch ia Bài toán đơn vói một phép tính chia xuất hiện từ lớp 2 tđi lớp 5. Sau khi đưỢc trang bị những kĩ năng cần thiết về thực hành phép chia trong một vòng sô' mới, học sinh thực hành vận dụng kĩ năng vừa học để giải toán đơn trong vòng sô' này. Căn cứ vào cấu trúc của SĐĐT dùng trong lời giải của bài toán, ta có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu dưới đây : M a u 4 .1 . S d đồ có d ụ n g ; I------ 1 Ví d ụ 1.26. Tùng hái đưỢc 24 bông hoa. Số hoa An hái đưỢc bằng — sô' bông hoa của Tùng. Hỏi An hái được mấy bông hca? O Giải. Ta có sơ đồ sau : 24 bông Tùng : ---------h 33 Sô' bông hoa An hái được là : 24 : 3 = 8 (bông) Đáp số : 8 bông hoa Ví dụ 1.27. Lốp 3A có 24 bạn nam. Số bạn nam gấp hai lần sô’ bạn nữ. Hỏi lóp 3A có bao nhiêu bạn nữ? Giải. Ta có sơ đồ sau : 24 bạn N am : Y ' - " " — -j-----H ? bạn Nữ: I----- —^ Sô’ bạn nữ lớp 3A là ; 24 : 2 = 12 (bạn) Đáp sô' ; 12 bạn nữ Ví dụ 1.28. Nhà Lan nuôi đưỢc 40 con vịt và một số gà. Sô' gà kém sô' vịt 5 lần. Hỏi nhà Lan nuôi được bao nhiêu con gà? Giải. Ta có sơ đồ sau : 40 con Số vịt : .........................ĩ ' Ị--h ? con Số gà : I---------1 Số gà nhà Lan nuôi được là : 40 : 5 = 8 (con) Đáp số : 8 con gà Ví dụ 1.29. Phòng khách nhà Tâm lát hết 420 viên gạch. Số gạch lát phòng ăn bằng — sô' gach lát phòng khách. Hỏi phòng ăn nhà 4 Tâm lát hết bao nhiêu viên gạch? 34 Giải. Ta có sơ đồ sau ; 420 viên Phòng khách : ---- 1----------1----------1— ^ ? viên Phòng ăn : I------------1 Số viên gạch lát phòng ăn là ; 420 : 4 = 105 (viên) Đáp số : 105 viên gạch Chú ý. Từ bốn ví dụ trên hãy rút ra nhận xét về các cách diễn dạt khác nhau (bằng, gấp, kém) trong các đề toán loại này. Mau 4.2. Sơ đồ có dạng : Ví dụ 1.30. Đường bộ từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Bạc Liêu dài 280km, gấp 4 lần từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Mỹ Tho. Tính q u ã n g đ ư ờ n g từ T h à n h phô’ n ồ C h í M in h đ i M ỹ T h o . Giải. Ta có sơ đồ sau : 280km TP. ------------■+--------~~7 ........IBạc Liêu Quãng đưòng từ Thành phô' Kồ Chí Minh đến Mỹ Tho dài là : 280 : 4 = 70 (km) Đáp sô' : 70km Ví d ụ 1.31. Một cửa hàng lương thực trong tháng 3 bán đưỢc 260 tấn gạo. Số gạo bán được trong tuần đầu bằng — sô' gạo bán 5 35 được trong tháng đó. Hỏi tuần đầu cửa hàng đó bán đưỢc bao nhiêu tấn gạo? Giải. Ta có sơ đồ sau : 260 tấn Tháng 3 : " ĩ ....................... I------- h ? tấn Tuần đầu : I------------1 Sô' gạo cửa hàng bán đưỢc trong tuần đầu là : 260 : 5 = 52 (tấn) Đáp s ố : 52 tấn gạo Bài tập tự lu yện 1.30. Vườn nhà Mạnh có 30 cây chanh, sô' cây chanh gấp 5 lần sô' cây cam. Hỏi vườn nhà Mạnh có bao nhiêu cây cam? 1.31. Một cửa hàng có 28 cuộn vải hoa. Sô' cuộn vải trắng kém vải hoa 4 lần. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu cuộn vải trắng? 1.32. Năm nay bà 66 tuổi và gấp 11 lần tuổi cháu. Tìm tuổi cháu hiện nay. 1.33. Trong quý III tàu đánh cá Thắng Lợi đánh bắt được 34 tấn cá. Sô' cá đánh bắt đươc trong quý I bằng — quý III. Hỏi quý I tàu 4 đánh bắt được bao nhiêu tạ cá? 1.34. Hưỏng ứng Tết trồng cây, khôi Năm trồng đưỢc 120 cây. số cây lớp 5A trồng đưỢc bằng — sô' cây của cả khối. Hỏi lóp 5A trồng 5 được bao nhiêu cây? 1.35. Đặt để toán theo sơ đồ dưổi đây rồi giải bài toán đó : a) ... cây C hanh: ..............ĩ I I 1.........H ?cây B ưỏi: I--------1 36 b) c) d) 9 í I 620. 4. ứ ng dụng phương pháp SĐĐT đ ể giải toán hỢp Bài toán hỢp là những bài toán khi giải phải sử dụng từ hai phép tính trở lên. ở tiểu học, người ta phân chia các bài toán hỢp thành những mẫu tiêu biểu. Dưói đây ta lần lượt nghiên cứu những mẫu giải được bằng SĐĐT. 4.1. G iải các bài toán hỢp vôi h a i p h ép tin h cộng hoặc trừ M au 1.1. a + (a - b) Sơ đồ có dạng : a h Ví dụ 1.32. Nhà Hải nuôi đưỢc 24 con gà mái. Số gà trống ít hơn gà mái 5 con. Hỏi nhà Hải nuôi được mấy con gà? Giải. Ta có sơ đồ sau : 24 con Gà mái : h 5 con Gà trông : h 37 Số gà trống là : 24 - 5 = 19 (con) Sô' gà nhà Hải nuôi đưỢc là : 24 + 19 = 43 (con) Đáp s ố : 43 con gà Ví dụ 1.33. Một cửa hàng lương thực buổi sáng bán đưỢc 950kg gạo, buổi sáng bán được nhiều hơn buổi chiều 2 tạ gạo. Hỏi cả ngày cửa hàng đó bán được bao nhiêu tạ gạo? Giải. Đổi 2 tạ = 200kg Ta có sơ đồ sau ; 950kg Buổi sán g : h 2ÕÕkg ?kg Buổi chiểu : h Số gạo buổi chiểu bán đưỢc là : 950 - 200 = 750 (kg) Sô’ gạo cả ngày cửa hàng đó bán được là : 950 + 750 = 1700 (kg) 1700kg= 17 tạ Đáp sô': 17 tạ gạo Chú ý. Trong lời giải ví dụ 2.32 ta có thể ghép lại như sau : 24 + (24 - 5) = 43 (con) Tương tự trong ví dụ 2.33 : 950 + (950 - 200) = 1700 (kg) Ví dụ 1.34. Tấm vải trắng dài 35m. Tấm vải trắng dài hơn tấm vải xanh 7m. Hỏi cả hai tấm dài bao nhiêu mét? Giải. Ta có sơ đồ sau ; 35m Vải trắng : 7m Vải xanh : h H 38 cả hai tấm vải dài là : 35 + (35 - 7) = 63 (m) Đáp s ố : 63 mét vải Ví dụ 1.35. Đặt đề toán theo sơ đồ dưói đây, rồi giải bài toán đó : 45 chiếc Xe t ả i : Xe khách : h H ướng dẫn : ? chiếc 7 chiếc H ? chiếc a) Theo sơ đồ thì bài toán có hai câu hỏi, vì vậy lòi giải phải chia thành hai bưóc. b) Từ sơ đồ trên, có thể đặt thành đề toán vói hai cách diễn đạt : nhiều hơn và ít hơn. Ví dụ 2.35’. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó :248... 53... H H ướng dẫn : Xem hưóng dẫn trong tiểu chủ đề 1. M ẩu 1.2. a + (a + b) Sd đồ có dạng : H l-T 39 Hoặc : h H Ví dụ 1.36. Lớp 3A có 18 học sinh nữ. Sô' học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ 4 em. H ỏi: a) Lóp 3A có bao nhiêu học sinh nam? b) Lớp 3A có tất cả bao nhiêu học sinh? Giải. Ta có sơ đồ sau : 18 học sinh Học sinh nữ : __ II— 4 Học sinh nam : [-c;:---------------------- ? học sinh a) Sô' học sinh nam của lớp 3A là : 18 + 4 = 22 (học sinh) b) Sô’ học sinh của lớp 3A là : 18 + 22 = 40 (học sinh) Đáp sô': a) 22 học sinh >■ ? học sinh b) 40 học sinh Ví dụ 1.37. Một đội tàu đánh cá trong tháng giêng đánh được 1750kg. Tháng giêng đánh được ít hơn tháng hai 500kg. Hỏi cả hai tháng đội tàu đánh được bao nhiêu tấn cá? 1750kg Tháng giêng : Ị.- '- ''----- 500kg ^ ?kg Tháng h a i : I------------------------- Sô' cá đánh được trong tháng hai là : 1750 + 500 = 2250 (kg) 40 Sô cá đội tàu đó đánh bắt đưỢc trong hai tháng là : 1750 + 2250 = 4000 (kg) 4000kg = 4 tấn Đáp sô : 4 tấn cá Chú ý. Trong lời giải bài toán trên có thể kết hỢp như sau : 1750 + (1750 + 500) = 4000 (kg) Ví dụ 1.38. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : 350 tấn Tuần 1 : ----II— 115 tấn Tuần 2 : 1-^;^---------------------- 1 ^ ? tấn 32.... 14... H ướng d ẫ n : Xem hưóng dẫn trong tiểu chủ đề 2.1. Bài tập tự luyện 1.36. Cành trên có 7 con chim đang đậu. Số chim ở cành trên nhiều hơn sô' chim ở cành dưới 2 con. Hỏi cả hai cành có bao nhiêu con chim đang đậu? 41 1.37. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc 56 tạ gạo, buổi chiểu bán đưỢc ít hơn buổi sáng 9 tạ gạo. Hỏi cả ngày cửa hàng đó bán được bao nhiêu tạ gạo? 1.38. Tấm vải hoa dài 30m. Tấm vải trắng ngắn hơn tấm vải hoa 4m. Hỏi cả hai tấm vải dài bao nhiêu mét? 1.39. Lớp 3B có 20 học sinh nam, sô' học sinh nữ ít hơn học sinh nam 5 em. Hỏi lớp 3B có bao nhiêu học sinh? 1.40. Quãng đường từ nhà đến trường dài 3km và dài hơn quãng đường từ trường đến chợ 500m. Hỏi quãng đường từ nhà đến chợ (qua trường) dài bao nhiêu ki-lô-mét? 1.41. Đặt đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó : a) Đội 1 : Đội 2 ; b) c) ?m > h- " ' " " H 85m - 3Õ'o'm ?đ > ...đ 1250m rm ► ?m d) 42 Tuần 1 : h Tuần 2 : h 250m 1.42. Hồng có 6 cái nhãn vở, chị có nhiều hơn Hồng 2 cái nhãn vở. Hỏi cả hai chị em có mấy cái nhãn vở? 1.43. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc một tá khăn mặt, buổi sáng bán đưỢc ít hơn buổi chiều 7 cái. Hỏi cả ngày cửa hàng đó bán được bao nhiêu cái khăn mặt? 1.44. Quãng đường từ nhà Quang sang nhà Cường dài 350m và gần hơn quãng đường sang nhà Bắc 120m. Hỏi quãng đưòng từ nhà Cường sang nhà Bắc dài bao nhiêu mét? Biết rằng từ nhà Cường sang nhà Bắc phải qua nhà Quang. 1.45. Khoảng cách từ lóp 2A tối văn phòng nhà trường đo đưỢc 48m, khoảng cách từ lớp 3A tới vàn phòng dài hơn khoảng cách từ lớp 2A tới văn phòng là 15m. Tính tổng khoảng cách từ văn phòng nhà trường tói hai lóp 3A và 2A. 1.46. Hương năm nay 9 tuổi, Hương kém chị 4 tuổi. Tìm tổng số tuổi của hai chị em. 1.47. Hưởng ứng tết trồng cây, các bạn khôi Ba trồng được 135 cây, các bạn khối Bốn trồng được nhiêu hơn khối Ba 36 cây. Hỏi cả hai khối trồng đưỢc bao nhiêu cây? 1.48. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó ; a) 275 tấn H 54 tấn ► ? tấn b) Đội 1 1 ^ Đôi 2 : (.=— ? tấn Trâu : ị. BÒ : 17 con 6 con : con 43 1.49. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó : a) 54.... 13... k r - b) + 4.2. G iải toán hợp với h ai p h ép tin h cộng và n h â n hoặc cộng và chia Mẩu 2. 1. a + a X n Sơ đồ có dạng ; h-" 1 I------^------ Hoặc H------ h H Ví dụ 1.39. Tùng hái được 6 bông hoa. An hái đưỢc gấp 3 lần sô' bông hoa của Tùng. H ỏi: 44 a) An hái đưỢc mấy bông hoa? b) Cả hai bạn hái được mấy bông hoa? Giải. Ta có sơ đồ sau : 6 bông Tùng : I 1 ? bông An : 1^ + a) Số bông hoa An hái đưỢc là : 6 X 3 = 18 (bông) b) Số bông hoa cả hai bạn hái được là : 6 + 18 = 24 (bông) Đáp sô': a)18 bông hoa b)24 bông hoa ? bông Ví d ụ 1.40. Đội văn nghệ lơp 2A có 5 bạn nam, số bạn nam kém số bạn nữ 4 lần. Hỏi đội văn nghệ của lớp 2A có tất cn bao nhiêu bạn? Giải. Ta có sơ đồ sau : 5 bạn Nam : Nữ : I — H? hạn Số bạn nữ trong đội văn nghệ của lớp 2A là : 5 X 4 = 20 (bạn) Số bạn nam và nữ trong đội vàn nghệ là : 20 + 5 = 25 Đap so : 25 bạn Ví dụ 1.41. Gia đình bác Năm có hai thửa ruộng. Thửa thứ nhất thu hoach đươc 450kg thóc và bằng — sô' thóc thu hoach đươc trên 4 thủa thứ hai. Hỏi gia đình bác Năm thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc trên cả hai thửa ruộng đó? 45 Giải. Ta có sơ đồ sau : 450kg Thửa 1 : I-----------1 Thửa 2 : |- + + + H ?kg Số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng thứ 2 là : 450 X 4 = 1800 (kg) Số thóc thu hoach trên cả hai thửa ruộng đó là 450 + 1800 = 2250(kg) 2250kg = 2,25 tấn Đáp s ố : 2,25 tấn thóc Chú ý. Khi giải các bài toán hợp dạng này, ta có thể kết hỢp các bước tính như sau 450 + 450 X 4 = 2250 (kg) Mau 2.2. a a : n Sơ đồ có dạng : ..... h " T I-------h-------- -'-'-P -H Ị, ?, 9 .... I—H Hoặc I h------- >■ Ví dụ 1.42. Tùng hái được 24 bông hoa. Sô' hoa An hái được bằng — số bông hoa của Tùng. H ỏ i: 3 a) An hái được mây bông hoa? b) Cả hai bạn hái đưỢc bao nhiêu bông hoa? 46 Giải. Ta có sơ đồ sau : 24 bông Tùng ; An :? bông a) Số bông hoa An hái được là ; 24 : 3 = 8 (bông) bông b) Số bông hoa cả hai bạn hái được là : 24 + 8 = 32 (bông) Đáp s ố : a) 8 bông hoa b) 32 bông hoa Vi dụ 1.43. Lổp 3A có 24 bạn nam. Số bạn nam gấp hai lần số bạn nữ. Hỏi lớp 3A có bao nhiêu học sinh? Giải. Ta có sơ đồ sau : 24 HS Nam : Nữ : h? HSH ? HS Số học sinh nữ lớp 3A là ; 24 : 2 = 12 (bạn) Số học sinh lớp 3A là : 12 + 24 = 36 (học sinh) Đáp s ố : 36 học sinh Ví dụ 1.44. Nhà Lan nuôi đưỢc 40 con vịt và một sô' gà. Số gà kém sô’ vịt 5 lần. Hỏi nhà Lan nuôi được tất cả bao nhiêu con gà và vịt? Giải, ta có sơ đồ sau : 40 con Số vịt : -1--------h Số gà : I----------1 H 47 Số gà và vịt nhà Lan nuôi được là : 40 + 40 : 5 = 48 (con) Đáp sô”: 48 con gà và vịt Ví dụ 1.45. Phòng khách nhà Tâm lát hết 420 viên gạch. Số gạch lát phòng ăn bằng ỉ số gach lát phòng khách. Hỏi nhà Tâm lát cả 4 hai phòng hết tất cả bao nhiêu viên gạch? Giải. Ta có sơ đồ sau : 420 viên Phòng khách; Y" " " I---------- 1---------- 1 — --I ? viên Phòng ăn; Số viên gạch lát phòng ăn là : 420 : 4 = 105 (viên) Số viên gạch dùng để lát hai phòng là : 420+ 105 = 525 (viên) Đáp s ố : 525 viên gạch Bài tập tự lu yện 1.50. Vườn nhà Mạnh có 7 cáy cam, sô' cây ổi gấp 6 lần số cây cam. Hỏi vườn nhà Mạnh có tất cả bao nhiêu cây cam và ổi? 1.51. Một cửa hàng có 8 cuộn vải xanh và một sô' cuộn vải hoa. Số cuộn vải xanh kém sô" cuộn vải hoa 4 lần. Tính sô" cuộn vải xanh và vải hoa của cửa hàng đó. 1.52. Tùng đạt được 8 điểm 9, số điểm 10 gấp 3 lần sô' điểm 9. Hỏi Tùng đạt được bao nhiêu điểm giỏi? 1.53. Mỗi ngày Quân học ỏ trường 4 giò và thòi gian ngủ gấp 2 lần thời gian học ở trường. Hỏi mỗi ngày Quân dành bao nhiêu thời gian để ngủ và học ở trường? 1.54. Tàu đánh cá Thắng Lợi trong quý I đánh bắt đưỢc 125 tấn cá và bằng i số cá đánh bắt đươc trong quý III. Hỏi trong quý I và 4 quý III năm đó tàu đánh bắt đưỢc tất cả bao nhiêu tấn cá? 48 1.55. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưối đây rồi giải bài toán đó : a) 15 con G à: Ị . I ? con b) 540... + + 1.56. Vườn nhà Mạnh có 30 cây chanh, số‘cây chanh gấp 5 lần số cây cam. Hỏi vườn nhà Mạnh có tâ't cả bao nhiêu cây chanh và cam? 1.57. Một cửa hàng có 28 cuộn vải hoa. Sô' cuộn vải trắng kém vải hoa 4 lần. Hỏi cửa hàng đó có tất cả bao nhiêu cuộn vải hoa và trắng? 1.58. Lóp 4A thu gom được 28kg giấy vụn. Sô' giấy vụn lóp lA thu g om ctưdc b ằ n g ^ lớ p 4A , H ỏ i c ả h a i lớ p t h u g o m đ ư ơ c t ấ t c ả b a o 4 nhiêu ki-lô-gam giấy vụn? 1.59. Trong quý III tàu đánh cá Thắng Lợi đánh bắt được 11 tấn cá. Số cá đánh bắt đưỢc trong quý I bằng — quý III. Hỏi trong quý I và quý III tàu đánh bắt đưỢc tất cả bao nhiêu tạ cá? 1.60. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó : ... cây Chanh : Bưởi : H----------h + ? cây ? cây 49 b) .......: h- " " " r ..........I---------^ 9 Ị ?... 5. M ột số ứng d ụ n g kh ác của phương p h áp SĐĐT 5.1. ứ n g d ụ n g SĐ Đ T đ ể h ìn h th à n h k h á i niêm s ố tru n g bình cộng và xây dựng quy tắc tìm số tru n g b ìn h cộng Người ta dùng SĐĐT đế dạy hình thành khái niệm số trung bình cộng và xây dựng quy tắc tìm số trung bình cộng của hai hay nhiều số cho học sinh. Khi giải toán về tìm số trung bình cộng, ta áp dụng công thức chứ không dùng SĐĐT nữa! Ví dụ 1.46. (Bài toán 1-SGK Toán 4). Rót vào can thứ nhất &l dầu, rót vào can thứ hai Al dầu. Hỏi nếu số lít dầu đó đưỢc rót đều vào hai can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu? B à i giải. ^ - . . Ị ------- 1--------^------- 1------- I------------------------1------ 1— ^ ' " ẽ ĩ " " 4Ỉ Sô' lít dầu có trong hai can là : 6 + 4 = 10 (0 Số lít dầu rót đểu vào mỗi can là : 10 : 2 = 5 (/) Đáp sô' : 5 lít dầu Qua ví dụ này, ta hình thành cho học sinh khái niệm số trung bình cộng của hai số : - Ta gọi sô'5 là sô'trung binh cộng của hai s ố 6 và 4. - Ta nói : trung bình mỗi can có 51 dầu. - T a c ó : 5= (6 + 4): 2. 50 Ví dụ 1.47. (Bài toán 2-SGK Toán 4). Số học sinh của 3 lớp lần lượt là 25 học sinh, 27 học sinh, 32 học sinh. Hỏi trung bình mỗi lóp có bao nhiêu học sinh? B ái giải. 25 học sinh 27 học sinh 32 học sinh i-rrr:-------- ? học sinh ? học sinh ? học sinh Tổng số học sinh của ba lớp là : 25 + 27 + 32 = 84 (học sinh) Trung bình mỗi lớp có : 84 : 3 = 28 (học sinh) Đáp số : 28 học sinh Qua ví dụ này ta hình thành khái niệm trung bình cộng của ba sô' ; - Sô'28 là trung bình cộng của ba sô'25, 27, 32; - Ta có : 28 = (25 + 27 + 32)-.3 Từ đây ta rút ra quy tắc : Muốn tim số trung bình cộng của nhiều sô' lu tìm Cổng cúc s ổ dú, rỏi chia chu sô' các s ố hạng. Bài tập tự luyện 1.61. Một đội xe vận tải huy động 2 xe mỗi xe chỏ đưỢc 5 tấn và 3 xe mỗi xe chở được 4 tấn để chỏ một lô hàng. Hỏi trung bình mỗi xe chở đưỢc bao nhiêu tạ hàng? 1.62. Trên cây có 10 con chim đậu. Sau khi cành dưới có 2 con bay đi và 1 con ở cành trên bay xuông đậu ở cành dưói thì số chim đang đậu ỏ cành trên gấp 3 lần sô' chim đậu ỏ cành dưói. Hỏi lúc đầu mỗi cành có bao nhiêu con chim đậu? 1.63. Trung bình cộng của 5 số tự nhiên liên tiếp bằng 20. Tìm 5 số đó. 1.64. Trung bình cộng của 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp bàng 41. Tìm ba số đó. 51 5.2. ứ n g d ụ n g SĐ Đ T đ ể g iả i toán về tìm hai số, k h i biết tổng và hiệu của chúng Người ta dùng SĐĐT để xây dựng công thức tìm sô' lớn (hoặc số bé) khi giải toán về tìm hai số, biết tổng và hiệu của chúng. Khi giải toán về tìm hai số, biết tổng và hiệu của chúng, ta áp dụng công thức chứ không dùng SĐĐT nữa! Ví dụ 1.48. (Bài toán mẫu trang 47-SGK Toán 4). Tổng của hai sô' là 70, hiệu của hai sô' đó là 10. Tìm hai sô' đó. G iải : Cách thứ nhất : SỐ lổn: h 10 70 SỐ bé : Hai lần số bé là : 70 - 10 = 60 Số bé là: 60 : 2 = 30 SỐ lớn là: 30 + 10 = 40 Hai sô' cần tìm là : 30 và 40. Từ đây rút ra công thức : Số bé = (Tổng-Hiệu) : 2 Cách thứ hai : Số Iđn : H ĩ ố SỐ bé: h 52 Hai lần số lớn là ; 70 + 10 = 80 SỐ lớn là : 80 : 2 = 40 SỐ bé là : 40 - 10 = 40 Hai số cần tìm là : 30 và 40. Từ đây rú t ra công thức : Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2 5.3. ứ n g d ụ n g SĐ Đ T đ ể g iả i toán n ă n g cao Ví dụ 1.49. Đi từ xã A đến xã B phải qua xã c và xã D. Quãng đường AC dài 900m, quãng đường CD dài gấp đôi quãng đưòng AC và quãng đường DB ngắn hơn quãng đưòng CD 500m. Tính chiều dài quãng đường AB. G iải. Ta có thể mô tả bài toán bằng sơ đồ sau : + c D B 900m 500m CD h DB H H----ì H Quãng đường CD dài là : 900 X 2 = 1800 (m) Quãng đường DB dài là : 1800 - 500 = 1300 (m) 53 Quãng đường AB dài là ; 900 + 1800 + 1300 = 4000 (m) 4000iĩi = 4km Đáp số : 4km Ví dụ 1.50. Trong rổ có 22 quả vừa cam, vừa quýt, vừa chanh. Nếu tăng số cam gấp hai lẩn thì tấ t cả có 27 quả; nếu tăng sô' quýt gấp hai lần thì tất cả có 29 quả. Hỏi trong rổ lúc đầu có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải. Ta có sơ đồ sau : 22 quả Cajoir'''' Quýt CĩTđTih., ......... " + " ............ 27 quả 29 quả Sô" cam lúc đầu là : 27 - 22 = 5 (q u ả) Sô' quýt lúc đầu là ; 29 - 22 = 7 (quả) Số chanh là : 22 - 5 - 7 10 (quả) Cam Quýt Đáp sô' : 5 quả cam; 7 quả quýt và 10 quả chanh Ví dụ 1.51. Sáu năm về trước tuổi của ba cha con cộng lại bằng 45. Sáu năm sau cha hơn con lân 26 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi. Tìm tuổi mỗi ngưòi hiện nay. Giải. Vì hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian nên hiện nay cha hơn con Iđn 26 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi. Sáu năm trước tuổi của ba cha con cộng lại bằng 45. Như vậy cho đến nay, mỗi ngưòi thêm 6 tuổi. 54 Tổng số tuổi của ba cha con hiện nay là : 45 + 6 X 3 = 63 (tuổi) Ta có sơ đồ sau : 34 tuổi Con nhỏ : I— 26 tuổi Conlón: 63 tuổi Cha ; h ? tuổi Tuổi cha hiện nay là : (63 + 34 + 26) : 3 = 41 (tuổi) Tuổi con Iđn hiện nay là ; 4 1 -2 6 =15 (tuổi) Tuổi con nhỏ hiện nay là : 41 - 34 = 7 (tuổi) Đáp s ố : Cha 41 tuổi, Con lớn 15 tuổi, Con nhỏ 7 tuổi. Ví dụ 1.52. Giá một con gà và một con vịt là 45 000 đồng, giá một con vịt và một con ngỗng là 65 000 đồng, giá một con ngỗng và một con gà là 70 000 đồng. Tính giá tiền một con mỗi loại. Giải. Ta có sơ đồ sau : 45 OOOđ ' ” Gà 'v ị t 65 OOOđ Vịt Ngỗng _____ 7(l£)0Ọđ____ Gà Ngỗng 55 Giá tiền hai con gà, hai con vịt và hai con ngỗng là : 45 + 65 + 70 = 180000 (đ) Giá tiền một con gà, một con vịt và một con ngỗng là : 180000 : 2 = 90000 (đ) Giá tiền một con ngỗng là ; 90000 - 45000 = 45000(d) Giá tiền một con gà là : 90000 - 65000 = 25000(d) Giá tiền một con vịt là : 45000 - 25000 = 20000(d) Đáp sô' : Gà : 25000đ một con Vịt : 20000đ một con Ngỗng : 45000đ một con. Bài tập tự luyện 1.65. Một ôtô chỏ khách từ A đến E phải qua ba bến đỗ B, c, D. Biết quãng đường AB dài 40km và gấp bốn lần quãng đường BC. Quãng đường CD dài hđn quãng đưòng BC 12km và bằng nửa quãng đường DE. Tính chiều dài quãng đường từ A đến E. 1.66. Trong đợt thi đua chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam 20 tháng 11, lớp 4A đạt được 105 điểm 8, 9 và 10. Nếu tâng sô' điểm 8 gấp 2 lần thì tổng số sẽ là 125 điểm; nếu tăng số điểm 9 gấp 3 lần thì tổng sô' sẽ là 165 điểm. Hỏi lớp 4A đã đạt mỗi loại bao nhiêu điểm? 1.67. Ba năm trưđc, cha hơn con lớn 28 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi. Năm năm sau, tuổi ba cha con cộng lại bằng 76. Tìm tuổi mỗi ngưòi hiện nay. 56 B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC 1. Yêu cầu về lí thuyết : Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc : - Các dạng toán có lời văn trong chương trình môn Toán tiểu học; - Các phương pháp giải toán thường dùng để giải toán ở tiểu học; - Khái niệm về phương pháp SĐĐT và các dạng toán tiểu học có thể giải bằng phương pháp SĐĐT; - Các bước giải toán khi dùng SĐĐT, 2. Yêu cầu về bài tậ p : Về phưđng diện bài tập, học viên cần nắm được : - ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải 4 dạng toán đơn : + Cách nhận dạng bài toán; + Mẫu SĐĐT tiêu biểu cho từng dạng; + Cách trình bày lời giải chuẩn cho từng mẫu sơ đồ; + Có kĩ năng thiết kê đê toán đơn dựa theo một mẫu SĐĐT đã cho. - ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải 4 mẫu toán hỢp : + Cách nhận dạng bài toán; + Mẫu SĐĐT tiêu biểu cho từng dạng; + Cách trình bày lời KÌải chuẩn cho từriE mẫu Sri đồ: + Có kĩ năng thiết kế đê' toán hỢp dựa theo một mẫu SĐĐT đã cho. - Một số ứng dụng khác của phương pháp SĐĐT : + ứng dụng phương pháp SĐĐT để hình thành khái niệm về trung bình cộng và xây dựng quy tắc tìm số trung bình cộng của hai hay nhiều số; + ứng dụng phương pháp SĐĐT để xây dựng công thức tìm số lớn (hoặc số bé) khi giải toán về tìm hai số biết tổng và hiệu của chúng; + ứng dụng phưdng pháp SĐĐT để giải toán nâng cao ỏ tiểu học; Dành thời gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải theo mỗi dạng. 57 Chương II PHƯƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐƠN VỊ VÀ TỈ s ố A. NỘI DUNG BÀI GẢNG 1. Khái niệm về phương pháp rút về đơn vị và tỉ số Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số (RVĐV-TS) là hai phương pháp giải toán, dùng để giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch. Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường xuất hiện ba đại lượng, trong đó có một đại lượng không đổi, hai đại lượng còn lại biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch). Trong hai đại lượng biến thiên, người ta thường cho biết hai giá trị của đại lượng này và một giá trị của đại lượng kia và yêu cầu tìm giá trị còn lại của đại lượng thứ hai. Khi giải bài toán bằng phương pháp rút về đơn vị, ta thưòng tiến hành theo các bước dưói đây : Bước 1 : Rút về đơn vị. Trong bưóc này, ta tính một đơn vị của đại lượng này tương ứng với bao nhiêu đơn vị của đại lượng kia. Bước 2 : Tim g iá trị chưa biết của dại lượng ihứ hai. Khi giải bài toán bằng phương pháp tỉ sô', ta thường tiến hành theo các bước dưới đây : Bước 1 : Tim tỉ số. Trong bưóc này, ta xác định trong hai giá trị đã biết của đại lượng thứ nhất, giá trị này gâ'p hoặc kém mấy lần giá trị kia. Bước 2 : Tim giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai 2. ứng dụng phương pháp RVĐV và phương pháp TS để giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận Ví dụ 2.1. Bốn bao gạo như nhau cân nặng 200kg. Hỏi 30 bao gạo như thế cân nặng bao nhiêu tạ? Phãn tích : Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng : - Khối lượng gạo đựng trong mỗi bao là đại lượng không đổi; 58 - Sô bao gạo và tổng khổi lượng của các bao gạo là hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận. Ta thấy : - 4 bao gạo cân nặng : 200kg - 1 bao gạo cân nặng : ...kg? - 30 bao gạo cân nặng: ...kg? Từ phân tích trên đây ta đi đến lời giải sau : SỐ lượng gạo có trong một bao là : 200 : 4 = 50 (kg) Số lượng gạo có trong 30 bao là : 50 X 30 = 1500 (kg) 1500kg = 15 tạ gạo Đáp sô' ; 15 tạ gạo Ví d ụ 2.2. Lát nền nhà hết 100 viên gạch. Hỏi lát 36m'^ nền nhà cùng loại gạch đó thì hết bao nhiêu viên? Phân tích : Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng : - Một đại lượng không đổi là sô' viên gạch dùng để lát Im^nền nhà. - Hai đại lượng còn lại là diện tích nền nhà và sô’ viên gạch cần dùng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận. T a th ấ y ; D iệ n Lích 3 6 m ’ g ấ p 4 lá n d iệ n Lích 9 iii’ , vì vộy a ố g ạ c h cần dùng để lát 36m^ gấp 4 lần sô' gạch cần dùng để lát 9m^. Từ phân tích trên đây ta đi đến lòi giải của bài toán như sau : Diện tích 36m^ gấp 9m^ số lần là : 36 : 9 = 4 (lần) Sô' gạch cần để lát 36m'^ nền nhà là : 100 X 4 = 400 (viên) Đáp sô : 400 viên Ví dụ 2.3. Dùng 16m vải may được 4 bộ quần áo như nhau. Hỏi có 200m vải cùng loại thì may đưỢc bao nhiêu bộ quần áo như thế? Giải. Sô' mét vải cần để may một bộ quần áo là : 16 : 4 = 4 (m) 59 Dùng 200m vải may được sô’ bộ quần áo là : 200 : 4 = 50 (bộ) Đáp số : 50 bộ quần áo Ví dụ 2.4. Một đơn vị bộ đội chuẩn bị đưỢc 5 tạ gạo để ăn trong 15 ngày. Sau khi ăn hết 3 tạ thì đơn vị mua bổ sung thêm 8 tạ nữa. Hỏi sau khi mua bổ sung, đơn vị đó ăn bao nhiêu ngày nữa thì hết gạo? Biết rằng mức ăn của mọi người trong một ngày là như nhau. Giải. Cách 1 : Thòi gian để đơn vị đó ăn hết một tạ gạo là ; 1 5 :5 = 3 (ngày) Số gạo đơn vị hiện có là : (5 - 3) + 8 = 10 (tạ) Thòi gian để đơn vỊ ăn hết sô' gạo hiện có là ; 3 X 10 = 30 (ngày) Cách 2 : Sô' gạo đơn vị hiện có là : (5 - 3) + 8 = 10 (tạ) 10 tạ gấp 5 tạ số lần là : 1 0 :5 = 2 (lần) Thời gian để đơn vị đó ăn hết sô' gạo hiện có là ; 15 X 2 = 30 (ngày) Cách 3 : Thòi gian để đơn vị ăn hết 1 tạ gạo là : 15 : 5 3 (ngày) Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo còn lại là : (5 - 3) X 3 = 6 (ngày) Thòi gian để đơn vị ăn hết sô’ gạo mối bổ sung là : 3 X 8 = 24 (ngày) Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo hiện có là : 6 + 24 = 30 (ngày) Đáp số' : 30 ngày 60 Nhận xét. Qua 4 ví dụ trên ta thấy ; 1. Bài toán trong ví dụ 2.1 và 2.3 chỉ giải được bằng phương pháp RVĐV mà không giải đưỢc bằng phương pháp TS. 2. Bài toán trong ví dụ 2.2 chỉ giải đưỢc bằng phương pháp TS mà không giải đưỢc bằng phương pháp RVĐV. 3. Bài toán trong ví dụ 2.4 có thể giải đưỢc bằng cả hai phương pháp : RVĐV và TS. 4. Ngoài hai phương pháp RVĐV và TS nêu trên, ta còn có thể giải bằng "Quy tắc tam suất thuận "như sau, chẳng hạn : Cách 2 của ví dụ 2.1 : 4 bao gạo cân nặng : 200kg 30 bao gạo cân nặng : ...kg? Sô' lượng gạo có trong 30 bao là : 200 X 30 : 4 = 1500 (kg) 5. Hãy nhận xét cách diễn đạt đại lượng không đổi trong mỗi ví dụ trên. B ài tập tự luyện 2.1. Một người mua 7 gói bánh hết 28 OOOđ. Hỏi mua 30 gói bánh cùng loại thì hết bao nhiêu tiền? 2.2. Các bạn học sinh khối BôVi được giao nhiệm vụ trổng cây trên một đoạn đường dài 1440m, các bạn trồng hết 361 cây. Hỏi các bạn khối Năm được giao nhiệm vụ trồng cây trên một đoạn đưòng dài 2100m thì hết bao nhiêu cây? Biết rằng khoảng cách giữa hai cây là như nhau. 2.3. Một người rào xung quanh một khu vưòn hình chữ nhật có chiều dài 28m, chiều rộng 20m hết 192 chiếc cọc. Hỏi người đó rào xung quanh một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 56m và chiều rộng 40m thì hết bao nhiêu chiếc cọc? Biết rằng khoảng cách giữa hai cọc là như nhau. 2.4. Dùng 50m vải may được 25 chiếc áo như nhau. Hỏi dùng lOOOm vải cùng loại thì may đưỢc bao nhiêu chiếc áo như thế? 2.5. Trung bình một ca làm việc 8 giờ một công nhân may đưỢc 24 bộ quần áo. Hỏi vói cùng năng suất làm việc như nhau thì một đội 61 công nhân gồm 18 ngưòi trong 10 giò sẽ may được bao nhiêu bộ quần áo cùng loại? 2.6. Xây 15m^ tường nhà hết 1000 viên gạch. Hỏi xây 180m^ tưòng nhà bằng cùng loại gạch đó thì hết bao nhiêu viên? 2.7. Một người đi xe máy trên quãng đường 60km hết 2 giò. Hỏi cùng vận tốc như trên thì người đó đi hết quãng đường dài 180km hết bao nhiêu thòi gian? 2.8. Trong đợt tham gia trồng cây hai bên đường làng, các bạn khối Bốn trồng trên đoạn đưòng dài 402m thì hết 404 cây. Hỏi các bạn khối Năm được giao 806 cây thì trồng trên đoạn đường dài bao nhiêu mét? Biết rằng khoảng cách giữa hai cây là như nhau. 2.9. Trong chiến dịch chuyển hàng cứu trỢ ủng hộ đồng bào bị bão lụt, một đơn vị vận tải huy động 14 xe chuyển đưỢc 210 tấn hàng. Hỏi nếu đơn vỊ được giao vận chuyển 840 tấn hàng thì phải huy động bao nhiêu xe? Biết rằng trọng tải các xe là như nhau. 2. ứng dụng phương pháp RVĐV và TS để giải toán về đại Iượng tỉ lệ nghịch Ví dụ 2.5. Hai bạn An và Cường đưỢc lớp phân công đi mua kẹo về liên hoan. Hai bạn nhẩm tính nếu mua loại kẹo 4000 đồng một gói thì mua đưỢc 21 gói. Hỏi cùng số tiền đó, hai bạn mua loại kẹo 7000 đồng một gói thì mua được bao nhiêu gói? Phân tích. Trong bài toán này có 3 đại lượng ; - Một đại lượng không đổi là số tiền mua kẹo; - Sô' tiền mua kẹo và giá tiền một gói kẹo là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Từ phân tích trên ta đi đến lời giải bài toán như sau : Cách 1 : Nếu giá lOOOđ một gói thì số gói kẹo mua được là ; 21 X 4 = 84 (gói) Nếu giá tiền 7000 đồng một gói thì sô’ gói kẹo mua đưỢc là : 84 : 7 = 12 (gói) Cách 2 : Nếu giá tiền 1 đồng một gói thì sô' gói kẹo mua đưỢc là : 21 X 1000 = 84000 (gói) 62 Nếu giá tiền 7000 đồng một gói thì số gói kẹo mua đưỢc là : 84000 : 7000= 12 (gói) Cách 3 : Số tiền hai bạn mang đi mua kẹo là : 4000 X 21 = 84000 (đ) Số gói kẹo loại 7000 đồng mua đưỢc là : 84000 : 7000 = 12 (gói) Đáp số : 12 gói kẹo Ví dụ 2.6. Một đội công nhân chuẩn bị đủ gạo cho 40 người ăn trong 15 ngày. Sau 3 ngày có 20 ngưòi được điều đi làm việc ở nơi khác. Hỏi số công nhân còn lại ăn hết sô' gạo trong bao nhiêu ngày? Biết rằng mức ăn của mọi ngưòi trong một ngày là như nhau. Phân tích, trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng : - Một đại lượng không đổi là số gạo cho một người ăn trong một ngày. - Số người ăn và số ngày ăn hết số gạo là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Sau khi ăn 3 ngày thì sô' gạo còn lại đủ cho 40 người ăn trong 12 ngày. Do có 20 người chuyển đi nên chỉ còn 20 ngưòi ăn số gạo còn lại. Vậy bài toán có thể đưa về dạng : 40 ngưòi ăn trong: 12 ngày 20 ngưòi ăn trong: ? ngày Giải. Cách 1 : Số gạo còn lại đủ cho 40 ngưòi ăn trong số ngày là : 1 5 - 3 = 12 (ngày) Sô công nhân còn ở lại là : 40 - 20 = 20 (người) Một ngưòi ăn hết sô' gạo còn lại trong số ngày là ; 12 X 40 = 480 (ngày) Thòi gian để số công nhân còn lại ăn hết số gạo là : 480 : 20 = 24 (ngày) Cách 2 : Câu trả lời 1 và 2 giông như cách 1. 40 người gấp 20 người số lần là : 40 : 20 = 2 (lần) 63 Thời gian để số công nhân còn lại ăn hết số gạo là : 480 : 20 = 24 (ngày) Đáp số : 24 ngày Ví dụ 2.7. Lúc 7 giò kém 10 phút sáng, một người đi xe máy từ A vói vận tốc 36km/giò và đến B lúc 10 giò sáng. Hỏi người đi ôtô vối vận tốc 72km/giờ phải xuất phát từ A lúc mấy giò để tới B cùng lúc vói người đi xe máy? Giải. Cách 1 : ' Đổi 7 giò kém 10 phút = 6 giờ 50 phút Thòi gian người đi xe máy từ A đến B là : 10 giờ - 6 giờ 50 phút = 3 giò 10 phút Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 36km/giò là : 19 3 giò 10 phút = — giò 6 Quãng đưòng đi từ A đến B là : 19 — X 3 6 = 114 (km) 6 Thời gian ôtô đi từ A đến B là : 1Ç) 114: 72= — (giờ) X2 — giò = 1 giờ 35 phút Thòi điểm người đi ôtô xuất phát từ A là : 10 giò - 1 giờ 35 phút = 8 giò 25 phút Đáp sô' : 8 giờ 25 phút Cách 2 : Tương tự như cách 1, riêng bưốc 1 và 2 thay bằng các câu trả lòi sau: Vận tổc ngưòi đi ôtô gấp vận toc người đi xe máy số lần là: 72 : 36 = 2 (lần) Thòi gian để ngưòi đi ôtô từ A đến B là : 3 giò 10 phút : 2 = 1 giò 35 phút Cách 3 : Tương tự như cách 1, riêng bước thay bằng câu trả lòi sau : 64 Quãng đường AB dài là : 1 í) 36 X — 114 (km) 6 Nhận xét : Qua các ví dụ trên ta thấy : 1. Các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch đều có thể giải bằng phương pháp RVĐV. 2. Bài toán trong ví dụ 3.5 chỉ giải được bằng phương pháp RVĐV. 3. Bài toán trong ví dụ 3.6 và 3.7 có thể giải được bằng cả hai phương pháp : RVĐV và TS. 4. Ngoài hai phương pháp RVĐV và TS nêu trên, ta còn có thể giải bằng “quy tắc tam suất nghịch " như sau : Chẳng hạn, lời giải của ví dụ 3.5 : Giá 4000đ một gói thì mua đưỢc: 21 gói Giá 7000 đ một gói thì mua được: ? gói Số gói kẹo loại 7000đ một gói mua được là : 21 X 4000 : 7 0 0 0 = 12 (gói) 5. Hãy nhận xét cách diễn đạt đại lượng không đổi trong các bài toán trên. Bài tập tự luyện 2.10. Một đơn vị vận tải vận chuyển một lô hàng, ban chỉ huy đội tính rằng nếu huy động loại xe chỏ đưỢc 4 tấn một chuyên thì cần 21 xe. Hỏi nếu huy động loại xe chở đưỢc 7 tấn một chuyến thì cần bao nhiêu xe để chở hết lô hàng đó? 2.11. Cô giáo chủ nhiệm lớp 5A mua một sô' vở vê' phát thưỏng cho học sinh. Cô nhẩm tính nếu cô mua loại 3000đ một quyển thì sẽ mua đưỢc 15 cuốn. Hỏi nếu cô mua loại 5000đ một cuôn thì sẽ được bao nhiêu cuôn? 2.12. Một đơn vỊ bộ đội chuẩn bị đủ gạo cho 70 người ăn trong 30 ngày. Sau khi ăn được 6 ngày, có 10 người đưỢc điều đi nơi khác. Hỏi số gạo còn lại đủ cho đơn vị đó ăn trong bao nhiêu ngày nũa? Biết ràng mức ăn của mỗi người trong một ngày là như nhau. 65 2.13. Cô Nhật đi xe đạp từ nhà đến trường với vận tốc 12km/giờ thì hết 15 phút. Hỏi nếu cô đi bằng xe máy với vận tốc 36km/giờ thì hết bao nhiêu thòi gian? 2.14. Lúc 7 giò kém 18 phút, một ngưòi đi xe đạp từ trường vói vận tốc 12km/giò để tới huyện lúc 8 giò 30 phút. Hỏi người đi xe máy vói vận tốc 36km/giờ thì phải xuất phát từ trường lúc mấy giò để tới huyện cùng lúc vói người đi xe đạp? 2.15. Một đội công nhân được giao nhiệm vụ chôn cột để kéo đường dây điện từ tỉnh về xã. Ban chỉ huy đội tính rằng, nếu khoảng cách giữa hai cột là 50m thì hết 201 cột. Hỏi nếu khoảng cách giữa hai cột là 25m thì cần bao nhiêu cột? 2.16. Bác Hoan dự định chôn cọc rào xung quanh một khu vưòn hình chữ nhật. Bác nhẩm tính nếu khoảng cách giữa hai cọc là 3,6m thì hết 120 chiếc cọc. Hỏi nếu khoảng cách giữa hai cọc là l,2m thì cần bao nhiêu cọc? 3. Các bài toán vể tì lệ kép Toán về tỉ lệ kép là những bài toán có thể phân tích thành hai bài toán về đại lượng tỉ lệ (thuận hoặc nghịch). Ví dụ 3.8. Một công ti thuê 24 xe vận chuyển trên quãng đưòng dài lOOkm phải trả 3 200 000 đồng tiền cước phí vận chuyển. Hỏi với cùng giá cước vận chuyển như trên thì một đơn vỊ thuê 36 xe vận chuyển trên quãng đường dài 80km phải trả bao nhiêu tiền? Phân tích. Trong bài toán trên xuất hiện 4 đại lượng : - Sô' tiền phải trả cho 1 xe vận chuyển trên quãng đưòng Ikm (là đại lượng không đổi). - Sô' ô tô tham gia vận chuyển. - Quãng đường phải vận chuyển. - Sô' tiền phải trả. Ta có thể phân tích bài toán trên thành hai bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận như sau : 24 xe chỏ trên quãng đường dài lOOkm hết : 3 200 000 đồng 24 xe chỏ trên quãng đưòng dài 80km hết : ? đồng (giải ra ta đưỢc A đồng) 66 Và : 24 xe chỏ trên quãng đường dài 80km hết ; A đồng 36 xe chở trên quãng đường dài 80km hết : ? đồng Hoặc : 24 xe chỏ trên quãng đường dài lOOkm hết : 3 200 000 đồng 36 xe chở trên quãng đường dài lOOkm hết ; ? đồng (giải ra ta đưỢc B đồng) Và : 36 xe chở trên quăng đưòng dài lOOkm hết : B đồng 36 xe chở trên quãng đưòng dài 80km hết ; ? đồng Giải. Cách 1 : Sô' tiền phải trả cho 24 xe vận chuyển trên quãng đường 80km là: 3200000 X 80 : 100 = 2560000 (đ) Số tiền phải trả cho 36 xe vận chuyển trên quãng đường 80km là: 2560000 X 36 : 24 = 3840000 (đ) Cách 2 : Số tiền phải trả cho 36 xe vận chuyển trên quãng đưòng lOOkm là: 3200000 X 36 : 24 = 4800000 (đ) Sô tiễn phải trả cho 36 xe vận chuyên trên quãng đưòng 80km là; 4800000 X 80 ; 100 = 3840000 (đ) Đáp số : 3840000 đồng Chú ý. Ta thường gọi dạng toán trên là tỉ lệ thuận kép Ví dụ 2.9. Một đội vận tải được giao vận chuyển một lô hàng. Nêu huy động 12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn thì sẽ chở xong lô hàng trong 24 giò. Hỏi nếu huy động 18 xe, mỗi xe chỏ một chuyến được 8 tấn thì cần thòi gian bao lâu sẽ chỏ hết lô hàng đó? Phân tích. Trong bài toán trên xuất hiện 4 đại lượng : - Khôi lượng hàng phải chỏ (là đại lượng không đổi). - Sô' ô tô tham gia vận chuyển. - Sô' hàng mỗi xe chỏ đưỢc trong một chuyến. - Thời gian chở xong lô hàng. 67 Ta có thể phân tích bài toán trên thành hai bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch như sau : 12 xe, mỗi xe chở một chuyên đưỢc 5 tấn : chở xong trong 24 giò 12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 8 tấn : chỏ xong trong ? giò (giải ra ta được A giò) Và : 12 xe, mỗi xe chỏ một chuyên được 8 tấn : chở xong trong A giờ 18 xe, mỗi xe chỏ iriột chuyến đưỢc 8 tấn : chỏ xong trong ? giờ Hoặc ; 12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn : chỏ xong trong 24 giò 18 xe, mỗi xe chở một chuyên đưỢc 5 tấn : chỏ xong trong ? giò (giải ra ta đưỢc B giò) V à: 18 xe, mỗi xe chở một chuyến đưỢc 5 tấn : chở xong trong B giò 18 xe, mỗi xe chỏ một chuyên đưỢc 8 tấn : chở xong trong ? giò Giải. Cách 1 : Thời gian để 12 xe loại 8 tấn/chuyến chồ xong lô hàng là: 24 X 5 : 8 = 15 (giờ) Thời gian để 18 xe loại 8 tấn/chuyến chở xong lô hàng là: 15 X 12 : 18 = 10 (giò) Cách 2 : Thời gian để 18 xe loại 5 tấn/chuyến chỏ xong lô hàng là: 24 X 12 : 18 = 16 (giò) Thời gian để 18 xe loại 8 tấn/chuyến chở xong lô hàng là : 16 X 5 : 8 = 10 (giờ) Đáp sô' : 10 giờ Chú ý. Ta thường gọi dạng toán trên là tỉ lệ nghịch kép Ví d ụ 2.10. Một đội công nhân gồm 20 ngưòi được giao nhiệm vụ đắp một con đường dài 800m trong 10 ngày. Hỏi với cùng năng suất làm việc như nhau thì một đội công nhân gồm 50 ngưòi đắp xong đoạn đưòng dài 1200m trong bao nhiêu ngày? Giải. Thời gian để 20 người đắp xong đoạn đường dài 1200m là: 10 X 1200 : 800 = 15 (ngày) 68 Thời gian để 50 ngvíòi đắp xong đoạn đường dài 1200m là: 15 X 20 : 50 = 6 (ngày) Đáp sô'; 6 ngày Chú ý. Ta thường dạng toán trên là tỉ lệ thuận-nghịch Nhận xét. Qua các ví dụ trên ta thấy, để giải bài toán tỉ lệ kép ta thường phân chia thành hai bài toán về tỉ lệ đơn, bằng cách tạm giả thiết một trong hai đại lượng biến thiên không dổi. Bài tập tự luyện 2.17. Một tốp gồm 8 ngưòi thợ mộc trong 6 ngày đã đóng đưỢc 120 bộ bàn ghế. Hỏi một tốp thợ gồm 12 người đóng xong 360 bộ bàn ghế cùng loại trong thòi gian bao lâu? Biết rằng năng suất làm việc của mọi người là như nhau. 2.18. Một phân xưỏng may có 30 người được giao nhiệm vụ may một lô hàng trong 8 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giò. Sau khi làm việc đưỢc 2 ngày thì có 18 ngưòi được điều đi làm việc ở nơi khác và số còn lại tăng thòi gian làm việc mỗi ngày thêm 2 giò. Hỏi phân xưởng đó hoàn thành khôi lượng công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm việc của mọi ngưòi là như nhau. 2.19. Một công ti thuê 15 tàu thuỷ vận chuyển một lô hàng trên quãng đưòng dài 120km, phải trả 18 000 000 đồng tiền cưổc vận chuyển. Hỏi vói cùng giá cước vận chuyển như trên, công ti đó thuê 25 tàu vận chuyển hàng trên quãng 50km thì phải trả bao nhiêu tiền? 2.20. Một đội công nhân có 120 ngưòi được giao nhiệm vụ đắp một đoạn đường dài 4km. Ban chỉ huy đội tính rằng để hoàn thành đúng kế hoạch thì mỗi ngày phải làm việc 8 giò. Trước khi khởi công, đội đưỢc điều thêm 30 ngưòi vê cùng làm và được giao đắp thêm Ikm đường. Hỏi để hoàn thành đúng kế hoạch thì mỗi ngày phải làm việc mấy giò? Biết rằng năng suất làm việc của mọi người là như nhau. 2.21. Một đội công nhân có 30 ngưòi được giao đắp một đoạn đường trong 20 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giò. Sau khi làm việc đưỢc 5 ngày thì được bổ sung thêm 10 ngưòi và ban chỉ huy đội quyết định tăng thòi gian làm việc lên 10 giò một ngày. Hỏi đội công nhân đắp xong đoạn đường đó trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm việc trong một giò của mọi người là như nhau. 69 B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC 1. Yêu cầu về li th u yết : Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc : - Khái niệm về tương quan tỉ lệ thuận và tương quan tỉ lệ nghịch, - Khái niệm về phương pháp rú t vể đơn vị, phương pháp tỉ số và các dạng toán tiểu học có thể giải bằng hai phương pháp này. - Các bưóc giải toán khi dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tì số. - Khái niệm về quy tắc tam suất (thuận và nghịch). 2. Yêu cầu về bài tập : Về phương diện bài tập, học viên cần nắm được : - ứng dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số để giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận (chú ý phân biệt các trường hỢp khác nhau) : + Cách nhận dạng bài toán. + Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp. + Biết vận dụng quy tắc tam suất thuận để giải toán nâng cao. + Có kĩ năng thiết kế đề toán về đại lượng tỉ lệ thuận theo từng trưòng hỢp. - ứ n g d ụ n g p h ư ơ n g p h á p r ú t v ể đ ơ n v ị v à tỉ Rố đ ể g iả i t o á n v ề đ ạ i lượng tỉ lệ nghịch : + Cách nhận dạng bài toán. + Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp. + Biết vận dụng quy tắc tam suất nghịch để giải toán nâng cao. + Có kĩ năng thiết kế đề toán về đại lượng tỉ lệ nghịch theo từng trường hỢp. - Biết giải 3 dạng toán vê' tỉ lệ kép : + Biết phân tích cấu trúc một để toán về tỉ lệ kép (tì lệ thuận kép, tỉ lệ nghịch kép và tỉ lệ thuận nghịch). + Biết vận dụng quy tắc tam suất để giải toán về tỉ lệ kép. + Có kĩ năng thiết kế đề toán về tỉ lệ kép. Dành thời gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải theo mỗi dạng. 70 Chương III PHƯƠNG PHÁP CHIA TỈ LỆ A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG 1. Khái niệm về phương pháp chia tỉ lệ Phương pháp chia tỉ lệ (phương pháp CTL) là một phương pháp giải toán, dùng để giải các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ sô hoặc hiệu và tỉ sô' của chúng. Phương pháp chia tỉ lệ đưỢc dùng để giải các bài toán về cấu tạo số tự nhiên, cấu tạo phân số, cấu tạo số thập phân, các bài toán có nội dung hình học, các bài toán về chuyển động đều,... Khi giải các bài toán về tìm ba sô', biết tổng và tỉ số hoặc hiệu và tỉ số của chúng, người ta cũng dùng phương pháp CTL. Khi giải bài toán bằng phương pháp CTL, người ta thường tiến hành theo các bưốc dưới đây : 1. Tóm tắt đề toán bằng SĐĐT : dùng các đoạn thẳng để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm. Sô' phần bằng nhau của các đoạn thẳng trên sd đồ tương ứng với tỉ sô' của các số cần tìm. 2. Tìm tổng hoặc hiệu sô' phần bằng nhau trên sơ đồ. 3. Tìm giá trị của một phần. 4. Xác định mồi sô' cần tìm. Để cho lời giải được ngắn gọn, người ta thường kết hớp các bưốc 2, 3 và 4 (xem các ví dụ ở phần sau). 2. ứ ng dụng phương pháp CTL để giải các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng Ví d ụ 3.1. Trong vườn nhà Nam có 68 cây chanh và cam. Sô'cây chanh gấp 3 lần sô' cây cam. Hỏi vườn nhà Nam có bao nhiêu cây mỗi loại? 71 Giải. Ta có sd đồ sau : 0 -' - ? cây Số cây cam : I Sô' cây chanh ; I- ? cây 'l p 68 cây Tổng số phần bằng nhau là : 1 + 3 = 4 (phần) Số cây cam là : 68 : 4 = 17 (cây) Số cây chanh là ; 17 X 3 = 51 (cây) Đáp sô' : 17 cây cam 51 cây chanh Ví d ụ 3.2. Một cửa hàng bán được 252m vải trắng và vải hoa. số mét vải trắng bằng — số mét vải hoa. Hỏi cửa hàng đó bán được bao 6 nhiêu mét vải mỗi loại? Giải. Ta có sơ đồ sau : ỉm Số vải hoa : >■ 252m Sô' vải trắng : h H Sô' mét vải trắng là : 252 : (6 + 1) = 36 (m) Sô' mét vải hoa là : 36 X 6 = 216 (m) Đáp số ; 36m vải trắng 216m vải hoa 3 Ví d u 3.3. Lóp lA có 35 hoc sinh, sô' hoc sinh nữ bằng — số hoc 4 sinh nam. Tính số học sinh nam, học sinh nữ của lớp đó. 72 Giải. Nếu chia số học sinh nam thành 4 phần bằng nhau thì sô' học sinh nữ chiếm 3 phần như thế. Ta có sơ đồ sau : ? HS Sô' học sinh nam : y- " " — I-----------1------------1— H > 35 HS Số học sinh nữ : I- ? HS Sô' học sinh nữ là : 35 : (4 + 3) X 3 = 15 (học sinh) Số học sinh nam là : 35 - 15 = 20 (học sinh) Đáp s ố : 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Ví d ụ 3.4. Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay bằng 22. Khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp 4 lần tuổi em. Tính tuổi mỗi người hiện nay. G iải. Vì hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau : Tuổi em trước đây : I-------1 Tuổi anh trưóc đây : I-------\---- 1-------1------1 ? tuổi Tuổi em hiện nay ; Tuổi anh hiện nay : Y" - \ ----- 1- Tuổi em hiện nay là H ? tuổi I I )■ 22 tuổi 22 : (4 + 7) X 4 = 8 (tuổi) Tuổi anh hiện nay là : 22 - 8 = 14 (tuổi) Đáp sô': anh : 14 tuổi em : 8 tuổi 73 Ví d ụ 3.5. Năm nay tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi hai cha con cộng lại bằng 109. Tìm tuổi mỗi người hiện nay. Giải. Vì tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi, nên nếu ta biểu thị tuổi con là 1 phần thì tuổi cha sẽ là 7 phần như thế và thêm một đoạn ứng vđi 3 tuổi. Đồng thời hiệu sô' tuổi của cha và con không thay đổi theo thời gian. Ta có sơ đồ sau : Tuổi con hiện nay : I— I Tuổi cha hiện nay : Y ''\' I— I— I— |—^3 tuổi Tuổi con sau này : I— I— I— I— I— I— I— 109t Tuổi cha sau này : I— I— I— I— I— I— I— I— h I I Tuổi con hiện nay là : (109 - 3 X 3) : (7 + 7 + 6) = 5 (tuổi) Tuổi cha hiện nay là : 5 X 7 + 3 = 38 (tuổi) Đáp sô': con 5 tuổi cha 38 tuổi Ví d ụ 3.6. Năm nay tổng số tuổi của hai mẹ con bằng 45. Biết rằng hai lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con. Tìm tuổi mỗi ngưòi hiện nay. Giải. Ta nhận xét : hai lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con suy ra tỉ , , , , . 7 sô của tuôi me và tuôi con bằng —. 2 Ta có sơ đồ sau : ? tuổi TuổiII m ẹ : ? tuổi >- 45 tuổi Tuổi con : 74 Tuổi mẹ hiện nay là : 45 : (7 + 2) X 7 = 35 (tuổi) Tuổi con hiện nay là : 45 - 35 = 10 (tuổi) Đáp số ; mẹ 35 tuổi con 10 tuổi Ví dụ 3.7. Hai đội vận tải vận chuyển đưỢc 680 tấn hàng. Biết 2 - 4 rằng — số hàng của đôi 1 bằng — sô' hàng của đôi 2. Hỏi mỗi đội đã 5 7 vận chuyển đưỢc bao nhiêu tấn hàng? Giải. Tỉ số hàng của đội 1 và đội 2 vận chuyển đưỢc là : 4 _2 ^10 7 ' 5 7 Ta có sơ đồ sau : ? tấn Đội 1 : ------------------ —__________ ____- I Đội 2 ; I 10 phần ? tấn 7 phần 680 tấn SỐ hàng đội 1 vận chuyển đưỢc là ; 680 : (10 + 7) X 10 = 400 (tấn) Sô' hàng đội 2 vận chuyển đưỢc là : 680 - 400 = 280 (tấn) Đáp số : Đội 1 : 400 tấn Đội 2 : 280 tấn Bài tập tự luyện 3.1. Một cửa hàng vật liệu xây dựng trong một ngày đã bán đưỢc 280 bao xi măng, trong đó sô' xi măng bán đưỢc trong buổi sáng bằng 3— số xi măng bán được trong buổi chiều. Tính số xi măng cửa hàng 5 đã bán đưỢc trong mỗi buổi. 75 3.2. Nhân dịp khai giảng đầu năm học, mẹ đưa Hà đi mua sách 2 và vở hết 147000 đồng, trong đó sô" tiền mua vở bằng — sô" tiền mua 5 sách. Hỏi Hà đã mua mỗi loại hết bao nhiêu tiền? 3.3. Tuổi hai anh em năm nay cộng lại bằng 16. Đến khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tuổi anh bằng — tuổi em. Tìm tuổi mỗi 3 người hiện nay. 3.4. Năin nay tuổi cô gấp 6 lần tuổi cháu. Đến khi tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay thì tuổi hai cô cháu cộng lại bằng 68. Tính tuổi mỗi người hiện nay. 3.5. Năm nay tuổi chị hơn 3 lần tuổi em là 3 tuổi. Đến khi tuổi em bằng tuổi chị hiện nay thì tuổi của hai chị em cộng lại bằng 49. Hỏi năm nay chị bao nhiêu tuổi? 3.6. Năm nay mẹ 73 tuổi. Khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện nay thì tuổi mẹ hơn 7 lần tuổi con lúc đó là 4 tuổi. Tính tuổi con hiện nay. 3. ư n g dụng phương pháp CTL để giải toán về tim hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng Ví d ụ 3.8. Số cây đào trong vưòn nhà Lan gấp 4 lần số cây mận v à n h iề u h ơ n s ố c â y m ậ n 12 c ây , H ỏ i v ư ờ n n h à L a n có b a o n h iê u c â y mỗi loại? Giải. Ta có sơ đồ sau : ? cây Đ ào: ........ 12 cây Mận : | - - . ! ỵ I Số cây mận là : 12 : (4 - 1) = 3 (cây) Số cây đào là : 12 + 3 = 15 (cây) Đáp sô': 15 cây đào; 3 cây mận. 76 Ví dụ 3.9. Hai đội vận tải được huy động vận chuyển xi măng phục vụ một công trình thuỷ lợi. Đội thứ nhất chỏ nhiều hơn đội thứ hai 124 9 tấn và số xi mảng đôi thứ nhất chở đưỢc bằng — sô' xi măng của đội 5 thứ hai đã chở. Hỏi mỗi đội đã chở được bao nhiêu tấn xi măng? Giải. Ta có sơ đồ sau : ? tấn Đội thứ nhất : -----1------ 1------ 1--------------------1 r.V-H ? tấn Đội thứ hai : I------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1 Số xi măng đội thứ hai chở được là : 124 : (9 - 5) X 5 = 155 (tấn) Số xi măng đội thứ nhất chồ được là : 155 + 124 = 279 (tấn) 124 tan Đáp sô' ; Đội thứ nhất : 279 tấn Đội thứ hai : 155 tấn Vi d ụ 3.10. Mẹ sinh con năm 32 tuổi. Hỏi năm mẹ bao nhiêu tuổi thì ba lần tuổi mẹ bằng bảy lần tuổi con? Oiải. Ba lần tuổi mẹ bàng bảy lần tuổi con cỏ nghla là tuổi C O I I 3 ^ bằng — tuổi mẹ. Ta có sđ đồ sau : ? tuổi Tuổi mẹ ; Ị- - " 'f -WzTit-----1----Á*- 32 tuổi Tuổi con : I------ 1------1------ 1 Tuổi mẹ khi ba lần tuổi mẹ bằng bảy lần tuổi con là : 32 : (7 - 3) X 7 = 56 (tuổi) Đáp số’: 56 tuổi Ví d ụ 3.11. Sáu năm trước, con lên 6 tuổi và kém cha 35 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi cha hơn ba lần tuổi con là 3 tuổi? 77 Giải. Vì hiệu sô' tuổi của cha và con không thay đổi theo thòi gian nên ta có sơ đồ sau biểu diễn tuổi của hai cha con khi tuổi cha hơn 3 lần tuổi con là 3 tuổi : 3 tuổi Cha: I--------- kz:-----^ 35 tuổi ? tuổi Con : I--------- 1 Tuổi con lúc đó là : (35 - 3) : (3 - 1) = 16 (tuổi) Tuổi con hiện nay là : 6 + 6 = 12 (tuổi) Thòi gian từ nay cho đến khi tuổi cha hơn 3 lần tuổi con 3 tuổi là : ) 16 - 12 = 4 (năm) Đáp số : 4 năm Ví dụ 3.12. Một cửa hàng đồ sắt có hai loại đinh 3 phân và 5 phân. Sô' đinh 3 phân nhiều hơn sô' đinh 5 phân 45kg. Hỏi cửa hàng 3 đó có bao nhiêu ki-lô-gam đinh mỗi loại? Biết rằng — số đinh 3 phân 8 bằng — số đinh 5 phân. Giải. Tỉ số giữa số đinh 3 phân và số đinh 5 phân là : 6 . 3 ^ 16 7 ■ 8 7 Ta có sơ đồ sau : 16 phần Đinh 3 phân : h........... Đinh 5 phân : 78 ?kg 'ke k " ° 7 phần 45kg