🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giáo trình chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học Ebooks Nhóm Zalo TRẦN DIÊN HIẼN .0000026382 G GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐÊ BỒI DUÕNG HỌC TOÁN TIỂU HÓC I NGUYÊN ÍOC LIEU NH À X U Ấ T BẢN ĐẠI H Ọ C s ư PHẠM PGS.TS. TRẦN DIÊN HIEN GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI l í ~ I’ TOÁN TIEU HỌC (Tái bản lần tliứ năm) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM SPI U N I V E R S IT Y OF EDUCATION PU B L ISH IN G HOUSE GIAO TRlNH CHUVÊN ĐỂ: BỐI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC Tác giá: PGS.TS. TRẤN DIÊN HIỂN Dơn vị: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Sách được xuát bảin theo chi đao biẻn soạn của Trường Đại học Sư phạm Hầ NỘI phục vụ đầ-o Mo cù rthôn giáo dục tiếu học các trường dại học sư phạm Má sách quốc tế: ISBN 978-304-54-0543-7 Bản quyén xuáf bàn thuộc vé Nhà xuất bán Đại học Sư phạm. Mọi hlnh thửc sao chép hay phát hành mà không có sự cho phép bâng văn bản của Nhà \uât bán Đại học Sư phạm đéu lằ vi phạm pháp luật. Chúng tôi luôn mong muốn nhận đươc những ý kiến đóng góp của quý vị độc già đề sách ngày càng hoàn ĩhiện hơn. Mọi góp ý vé sách, liên hệ vé bàn thào và dịch vụ bàn quyên xin vui lòng gùi vế đìa chi email: kehoach@nxbdhíp.edu. vn Mã SỐ: 01.01. 52/1095. ĐH 2014 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu............................................................................................................................ 5 Chương 1. CÁC BÀI TOÁN VỂ s ố VÀ CHỮ s ố ......................................................................7 A. Nội dung bài giảng...................................................................................................... 7 I. Những kiến thức cần lưu ý ..................................................................................... 7 II. Một số dạng toán điển hinh..................................................................................7 Bài tập tự luyện............................................................................................................... 20 B. Hướng dẫn tự học chương 1 .................................................................................... 23 Chương 2. CÁC BÀI TOÁN VỂ DÃY s ố .................................................................................25 A. Nội dung bài giảng....................................................................................................25 Bài tập tự luyện............................................................................................................... 37 B. Hướng dẫn tự học chương 2 .....................................................................................41 Chương 3. CÁC BÀI TOÁN VỂ ĐIỂN s ố VÀO PHÉP TÍNH................................................43 A. Nội dung bài giảng....................................................................................................43 Bài tập tự lu y ệ n .............................................................................................................. 58 B. Hướng dẫn tự học chương 3 .................................................................................... 64 Chương 4. CÁC BÀI TOÁN VỂ CHIA HẾT..............................................................................65 A. Nội dung bài giảng....................................................................................................65 I. Những kiến thức cần lưu ý ................................................................................... 65 II. MỌt 5)0 dạng loãn điển (linh................................................................................65 Bài tập tự luyện............................................................................................................... 74 B. Hướng dẫn tự học chương 4 .................................................................................... 76 C hương 5. CÁC BÀI TOÁN VỂ PHÂN s ố VÀ s ố THẬP PHÂN......................................... 77 A. Nội dung bài giảng .....................................................................................................77 I. Phân số ....................................................................................................................77 II. SỐ thập p h ân .........................................................................................................90 Bài tập tự luyện............................................................................................................106 B. Hướng dẫn tự học chương 5 ...................................................................................113 3 Chương 6. MỘT s ố DẠNG TOÁN CÓ LỜI VĂN ĐlỂN HÌNH.............................................. 115 A. Nội dung bài giảng....................................................................................................115 I. Các bài toán về tính tuổi.......................................................................................115 II. Các bài toán về ti lệ ............................................................................................. 127 III. Toán về trung bình cộng.....................................................................................130 Bài toán tự luyện.......................................................................................................... 133 B. Hướng dẫn tự học chương 6 .....................................................................................136 Chương 7. CÁC BÀI TOÁN VỂ CHUYỂN ĐỘNG...................................................................138 A. Nội dung bài giảng....................................................................................................138 I. Những kiến thức cần lưu ý ....................................................................................138 II. Một số dạng toán điển hình................................................................................ 139 Bài tập tự luyện...............................................................................................................156 B. Hướng dẫn tự học chương 7 .....................................................................................160 Chương 8. CÁC BÀI TOÁN VỂ SUY LUẬN LÔGIC............................................................... 161 A. Nội dung bài giảng.................................................................................................... 161 Bài tập tự luyện...............................................................................................................167 * B. Hướng dẫn tự học chương 8 .....................................................................................172 Chương 9. CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC....................................................... 173 A. Nội dụ/ig bài giảng....................................................................................................173 Bài tập tự luyện...............................................................................................................196 B. Hướng dẫn tự học chương 9 .....................................................................................201 Chương 10. CÁC BÀI TOÁN VUI VÀ TOÁN c ổ ở TIỂU HỌC........................................... 203 A. Nội dung bài giảng....................................................................................................203 Bài tập tự luyện...............................................................................................................210 B. Hướng dẫn tự học chương 10.................................................................................. 216 Phẩn thứ hai. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP Tự LU Y ỆN........................................... 217 4 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình chuyên đề “Bổi dưỡng ÌĨỌC sinh giỏi toán tiểu h ọ c” được biên soạn theo chương trình đào tạo cừ nhân giáo dục tiểu học hệ chính quy, hệ vừa học vừa làm và hệ từ xa. Giáo (rình gồm 10 chương: Trong 5 chương đầu, tác giả trình bày các bài toán vể số, so sánh số, các phép tính về số tự nhiên, phân số và sỏ thập phân; các bài toán về dãy số và chia hết. Trong 5 chương cuối, tác giá trình bày về các bài toán có lời văn (gồm các dạng toán có vãn điên hình, toán vể chuyển động đều), toán suy luận về lôgic và toán có nội dung hình học. Sau mỗi chương là hệ thống bài tập tự luyện, nhằm giúp cho người học củng cô' kĩ năng giải các dạng toán đã học. Phđn cuối cùa giáo trình là hướng dẫn giải các bài tập tự luyện. Nội dung mỗi chương được chia thành hai phần: - Phần thứ nhất: Nội dung bài giảng. - Phán thứ hai: Hướng dẫn học viên một sò vấn đề về nội dung cũng như phương pháp tự học lí thuyết và vận dụng lí thuyết đê giải các dạng bài tập. Giáo trình được biên soạn để dùng chung cho cả ba hệ đào tạo: chính quy, vừa học vừa làm và hệ từ xa nôn khi sử dụng cần lựa chọn những nội dung và hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho từng loại dối tượng đã được xác định trong chương trình đào tạo cùa hệ đào tạo dó. Tác giả chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc dê nội dung và hình thức cùa giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn. TÁC GIẢ 5- CHƯƠNG 1 CÁC BÀI TOÁN VẾ SỖ VÀ CHỮ sô A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG I. NHÙNG KIẾN THỨC CAN LUU Ý 1. Có mười chữ sô lù 0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Klii viết một sô' tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. Chữ s ố đầu tiên k ể từ bên trái của một sô tự nhiên plidi khác 0. 2. Phân tích cấu tạo một s ố tự nliiên: ab = 10xa + b abc = axlO O + bxlO + c = abxlO + c = axlOO + bc abed = ax 1000 + bx ÌOO + CX 10 + d = abcx 10 + d = ax 1000 + bed =... 3. Quy tắc so sánh liai số tự nlúên a) Trong lìai số tự nhiên, s ố lĩào có s ố chữ sô nhiều hơn sẽ lớii hơn. b) Nếu hai sô' có s ố chữ s ố bàng nhau thì sô' nào có chữ số đầu tiên k ể từ trái sang phải lớn hơn sẽ lớti hơn. 4. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0 ,2 ,4 , 6 hoặc 8 là s ố chẵn. Số chẵn có tận cùng bâng 0, 2, 4, 6 hoặc 8. 5. Số tự nhiên có tận cùng bằng 1 ,3 ,5 , 7 hoặc 9 lù các số lẻ. Sô'lẻ có tận cùng bằng 1 ,3 ,5 ,7 hoặc 9. 6. Hai scứự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hui s ố tự nhiên hơn (kém) nhau 1 đơn vị lù hai số tự nhiên liên tiếp. 7. Hai s ố chán liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hui s ố chẵn hơn (kém) nhau 2 đơri vị lù hai sô'chẵn liên tiếp. 8. hai sô lè liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai s ố lẻ hơn kém nhau 2 đơn vị là hai sô lè liên tiếp. II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐIEN h ìn h Dạig 1. Viết sỏ tự nhiên từ những chữ sô cho trước Ví iụ 1.1. Cho bốn chữ số 0, 1,2, 3. a) Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho? b) Tìm số lớn nhất, số nhó nhất có .bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã clo. 7 c) Tim số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có bốn chữ sô khác nhau viết điợc từ bốn chữ sô' đã cho. Giải: a) Cách 1 (Sơ đổ hình cây). Chọn số 1 làm chữ số hàng nghìn ta được các số: Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy: từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 só có chữ số hàng nghìn bằng 1 thỏa mãn các điều kiện của đề bài. Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy số các số thỏa mãn điều kiện của đề bài là: 6 x 3 = 1 8 (số). Cách 2. Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau: - Có 3 cách chọn chữ sô' hàng nghìn cùa số thỏa mãn điều kiện cùa đề bài (vì số 0 không thể đứng ờ vị trí hàng nghìn). - Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ sô hàng nghìn đã chọn). - Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là hai chữ số còn lại khác chữ sỏ hàng nghìn và hàng trăm). - Có 1 cách chọn chư so hang đơn V Ị (đó là chữ sò còn lại khác chữ só hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị). Vậy số các sỏ' viết được là: 3x3x2x1 = 18 (số). b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phài có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong các chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn cùa số phái tìm là 3. - Chữ số hàng trăm phái là số lớn nhát trong ba chữ sô còn lại. Váy chữ số hàng trăm bằng 2. 8 - Chữ số hàng chục phải là sỏ lớn nhất trons các chữ số còn lại. Vậy chữ sỏ hàngchục là 1. Nậy sỏ phái tìm là: 3210. lưcmg tự như trên ta tìm được sô bé nhất tlióa mãn điều kiện của để bài là: 1023 c) Số lé lớn nhất thoa mãn điều kiện của để bài phái có chữ sô hàng nghìn là sô lứi nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ sỏ hàng nghìn của sỏ phái tìm bằng 3. - Sô phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 3 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải >ằng 1. - Chữ sô hàng trăm phủi là số lớn nhất trong hai số còn lại nên chữ số hàng trăm 3ằng 2. vậy, sô phải tìm là 3201. lương tự, số chẵn nhỏ nhất cần tìm là: 1032. \í dụ 1.2. Cho 5 chữ số 0, 1,2, 3, 4. Tìr năm chữ số đã cho: í) Có thể viết được bao nhiêu sô có bốn chữ số? I) Có thê viết được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà chữ sô hàng trăm bằng2? (im : íl Có 4 cách chọn chữ sô hàng nghìn của số thòa mãn điều kiện của đề bài (vì chữ S3 0 khôn? thê đứng ớ vị trí hàng nghìn). Mỗi chữ số hàng trâm, hàng chục, hàng đơn vị đểu có 5 cách chọn. Vậy số các fđ có bôn chữ số viết được từ 5 chữ số đã cho là: 4x5x5x5 = 500 (số). 1) Số cần tìm có chữ số hàng trăm bằng 2. Vây ta phái xác định các chữ số h à n g n g h ìn , h à n g c h u c và h à n g đ ơ n vị n ữ a. - Có 4 cách chọn chữ sô hàng nghìn; - Có 5 cách chọn chữ số hàng chục; - Sô cần tìm là số chẵn nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. 'ậ y số các số thóa mãn điều kiện của đề bài là: 4 X 5 X 3 = 60 (số). Tí dụ 1.3. Viết liên tiếp 15 số ]ẻ đẩu tiên đế được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 clữ số cùa số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự cúa các chữ số còn hi để được: a) Sô' lớn nhất; b) Sô' nhỏ nhất; Giải: Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29. Để sau khi xoá 15 chữ sô' ta nhận được số lốn nhất thì chữ sô' giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy là I, 3, 5, 7. 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29. Ta phải xoá tiếp 15 - 4 = 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá ta nhận được sô' lớn nhất thì chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải là chữ sô' 9. Vậy ta phải xoá tiếp những chữ sô' viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11 13 15 17 1. 9 X y f / 9 21 23 25 27 29 Số còn lại là: 9 9 21 23 25 27 29. Ta phải xoá tiếp 11 - 9 = 2 chữ số từ sô' còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2. Để được sô' lớn nhất sau khi xoá 2 chữ sô ra phải xoá sô' 12 hoặc 21, tức là 99 X 23 25 27 29 hoặc 99 2/ 23 25 27 29. Sô' còn lại là: 99 23 25 27 29. Vậy sô' lớn nhất cần tìm là: 9 923 252 729. b ) L ộ p lu ân tư ơ n g tự c âu a. Sô' cđ n tìm là 1 111 111 122. Dạng 2. Các bài toán giải bằng phàn tích cấu tạo sô Loại 1. Viết thêm một số chữ sô' vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa một số tự nhiên. Ví dụ 1.4. Khi viết thêm số 12 vào bên trái một sô' tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần. Tìm sổ có hai chữ số đó. • Giải: Gọi sô' cần tìm là ab . Viết thêm sô' 12 vào bên trái ta được số 12ab . Theo bài ra ta có: 10 12ab = ab X 26 ] 200 + ab = ab X 26 Cách I: abx 26 - a b = 1200 a b x (2 6 -l) = 1200 ă b X 25 = 1200 ãb = 1200:25 ab = 4.8 Thử lại: 1248 : 48 = 26. Vậy số cần tìm là 48. Cách 2. Sau khi phân tích bước 1 và 2 trong cách 1, ta có sơ đồ sau: ab t:,_- J 1 phần 1200 12ab k — 26 phẫn Số cần tìm là: 1200 : ( 2 6 - 1 ) = 48. V í dụ 1.5. Khi viết thêm chữ sô' 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 4106 đơn vị. Tim sổ có ba chữ số đó. Giải: Cácli 1. Gọi sô' cần tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số abc2. Theo bài ra ta có: abc2 = abcx 10 + 2 abc2 = abc + 4106 abc X 10 + 2 = abc + 4106 abc X 10 - abc = 4106 - 2 ãbcx (10-1) = 4104 abcx9 = 4104 V abc = 4104 :9 abc = 456. Thử lại : 4562 - 4 5 6 = 4106. Vậy số cần tìm là 456. Cách 2. Khi viết thêm chữ sô' 2 vào bên phái một số tự nhiên thì số đó lăng gấp 10 lần và 2 đơn vị. Ta có sơ đồ sau: Sô' cần tìm: t-----d 1 phần Sô mới: k H Sô' cần tìm là: (4 1 0 6 -2 ) : ( 1 0 - 1) = 456. 4 10 6 10 phần Ví dụ 1.6. Tìm một sô' có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ sô' hàng chục và hàng đơn vị thì số đó tãng gấp 10 lần. Khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì số đó tăng gấp 3 lần. Giải: Gọi số cần tìm là ab . Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa ta được số aOb. Theo bài ra ta có: abx 10 = aOb. Suy ra b = 0. Sô cẩn tìm có dạng aO. Viết thêm số 1 vào bên trái 3Ố aOO ta được sô' laOO. Theo bài ra ta có: ĩãõõ = 3 X ãõõ. Tương tự ví dụ 1.1 ta tìm được a = 5. Vậy sô' phải tìm là 50. Loại 2. Xoá đi một sô chữ sô của một số tự nhiên Ví dụ 1.7. Khi xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị cùa một sô tự nhiên có 4 chữ sô' thì sô' đó giám đi 4455 đơn vị. Tìm sô’ có bốn chữ sô' đó. Giải: Cách 1. Gọi sô' cần tìm là abcd. Xoá đi chữ sô' hàng chục và hàng đơn vị ta được sô' ab . Theo bài ra ta có: a b cd -ab = 4455 * ab X 100 + cd - ab = 4455 cd + ã b x l0 0 - ã b = 4455 cd + ãbx (100-1) = 4455 12 cd + ab X 99 = 4455 cd = 45 X 99 - ab X 99 cd = (4 5 -a b )x 9 9 Ti nhận xét tích cúa 99 với một sô tự nhiên là sỏ tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 4) - ab phải bằng 0 hoặc 1. -N ếu 45 - ab = 0 thì ab = 45 và cd = 00. -N ếu 45 - ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99. Sí cần tìm là 4500 hoặc 4499. Cícli 2. Ta viết lại phép tính như sau: 4455 + ab abcd 7i nhận xét: -N ếu phép cộng hàng chục không nhớ thì ab = 44 /à abed = 4455 +44 = 4499. -N ếu phép cộng hàng chục có nhớ thì ab = 45 và S c d = 4455 + 55 = 4500. Gc số cần tìm là 4499 hoặc 4500. V dụ 1.8. Khi xoá đi chữ số hàng trâm cùa một số có ba chữ sô' thì sô' đó giảm đi 7 1ji. Tim số có ba chữ số đó. Gài: Cọi sft' cẩn tìm là a h c X o á đi chfr s ố h à n g trăm ta (tirợr số' ho tír li 1. Theo để bài ta có: a00 + bc = 7x bc aOO = 7 X bc - bc ãõõ = ( 7 - l)xbc a00 = 6xbc. Tr đó suy ra a < 6 và a chia hết cho 3. Vậy a = 3. liay vào ta tính được bc = 50. Số cần tìm là 350. 13 Cách 2. Ta có: abc = be X 7. Vì 7 X c là số có tận cùng là c nén c bằng 0 hoặc 5. - Nếu c = 5, thay vào ta có: ab5 = b5x7. Vì 7 X 5 = 35 nên 7 X b + 3 = ab . Nếu b chẵn thì vế trái là số'lẻ mà vế phải là số chẵn. Nếu b lẻ thì vế trái là số chẩn mà vế phải là số lẻ. Vậy trường hợp c = 5 bị loại. - Nếu c = 0, thay vào ta có: abO = b0x7 ab = bx7. Suy ra b = 0 hoặc 5, nhưng b không thé bằng 0. Vậy b = 5 và ab = 35 . Sô' cần tìm là 350. Loại 3. Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó Ví dụ 1.9. Tim một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. Giải: Cách 1. Gọi sô' phải tìm là a b . Theo bài ra ta có: ab = 5x(a + b) 10xa+b=5xa+5xb 10xa-5xa=5xb-b ( 1 0 - 5 ) x a = (5 - 1) X b 5 X a = 4 X b. Tìr đay ta suy ra h chia hết cho 5. Vậy h bằng 0 hoặc 5. - Nếu b = 0 thì a = 0 (loại) - Nếu b = 5 thì 5 X a = 20, vây a = 4. Sô' phải tìm là 45. Cách 2. Gọi sô' phải tìm là a b . Theo bài ra ta có: ab = 5x(a + b). Vì 5 X (a + b) có tận cùng bằng 0 hoăc 5 nên b bằng 0 hoặc 5. - Nếu b = 0, thay vào ta có a0 = 5xa. 14 vậy loại vì không có giá trị khác 0 nào của a thoả mãn. - Nếu b = 5, thay vào ta có: a5 = 5x(a + 5) 10 X a + 5 = 5 X a + 25. 'Inh ra ta được a = 4. "hử lại: 45 : (4 + 5) = 5. vậy số phải tìm là 45. loại 4. Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ sô của nó Ví dụ 1.10. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số cùa ló được thương bằng 28 dư 1. Ciùi: Cọi sô' phải tìm là a b . Theo bài ra ta có: ab = c X 28 +1. vậy c = 1; 2 hoặc 3. - Nếu c = 1 thì ab = 29. Tiử lại: 9 - 2 = 7 ; 29 : 7 = 4 (dư 1) (loại). - Nếu c = 2 thì ab = 57. Tiử lại: 7 - 5 = 2; 5 7 :2 = 28 (dư 1). - Nếu c = 3 thì ab = 85. "hửlại: 8 - 5 = 3; 8 5 :3 = 28 (dư 1). Tậy sô' phải tìm là 57 hoặc 85. toại 5. Các bài toán vê sô tự nhiên và tích các chữ sô của nó ĩí dụ 1.11. Tìm một sô' tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các ciữ sỏ' của nó (idi: (ách 1. Gọi sô' phải tìm là ab c . Theo bài ra ta có: abc = 5 x a x b x c . 1 5 X a X b X c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5. V ậy c = 0 hoặc 5. Nhưig c không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab5. 'hãy vào ta có: 100 X a + 10 X b + 5 = 25 X a X b. 20xa+2xb+l=5xaxb 15 Vì 5 X a X b chia hết cho 5 nên 20xa + 2xb + 1 chia hết cho 5. Suy ra 2 X b có tận cùng là 4 hoặc 9. Vì 2 X h là sô chẵn nên nó có tận cùng bàng 4. Suỵ ra b = 2 hoặc b = 7. - Nếu b = 2 thì a25 = a X 2 X 5. Vế trái là sô lẻ mà vế phải là số chẩn. Vậy ta loại b = 2. — Nếu b = 7 thì ta có 20 X a + 15 = 35 X a. Tính ra ta được a = 1. Thử lại: 175 = 5 X 1x7x5. Vậy số cần tìm là 175. C á c li 2. Tương tự cách 1 ta có: ab5 = 25 X a X b. Vậy vế trái chia hết cho 25. Suy ra b bằng 2 hoặc 7. Vì 25 X a X b là số lẻ nên b = 7. Tiếp theo, tương tự cách 1 ta được a = I. Số cần tìm là 175. Dạng 3. Những bài toán giải bằng phương pháp thứ chọn Ví dụ 1.12. Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị cùa số lé có hai chữ số bàng 3. Nếu thèm vào số đó 3 đơn vị ta được số có hai chữ số giống nhau. Tim sô' đó. Giải: Cácli I . Những số lẻ có hai chữ số mà hiệu giữa các chữ số cùa nó bằng 3 là : 41, 25, 6 3 ,4 7 , 85 v à 69. Ta có bảng sau: ab ab + 3 K ết luận 41 41 + 3 = 44 Chọn 25 25 + 3 = 28 Loại 63 63 + 3 = 66 Chọn 47 47 + 3 = 50 Loại 85 85 + 3 = 88 Chọn 69 69 + 3 = 72 Loại Các số cần tìm là 41, 63 và 85. Cách 2. Những số có hai chữ số giống nhau là: 11, 22, 33. 44, 55, 66, 77, 88, 99. Bớt mỗi số trên 3 đơn vị ta được các số: 8, 19, 30,41, 52, 63, 74, 85, %. 16 Lậ} bàng thử chọn như trên ta tìm được ba số 4 1, 63 và 85. Vidụ 1.13. Chữ sò hàng chục của một số lự nhiên có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần chữ sô hàng đơn vị. Nếu lấy tích của chữ sô hàng chục và hàng đơn vị chia cho chr số hàng trăm ta được thirơng bằng 8. Tim số dó. Giii: Sôcán tìm có dạng a21, a42, a63, a84. Tacó báng sau: abc (b + c) : 8 K ết lu ậ n a2Ĩ 2x1:8 Loại 042 4 X 2 : 8 = 1 Chọn 063 6x3:8 Loại 084 8 X 4 : 8 = 4 Loại Sôcđn tìm là 142. Vidụ 1.14. Tim một số có bốn chữ số, biết ràng, tổng các chữ số của nó bằng 18, tíci các chữ số cùa nó bằng 64 và viết các chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì sô' (ó không thay đổi. Giii. Theo để bài (hì số cần tìm có dạng abba. Tủig hai chữ số a và b là: 18 : 2 = 9. Sỡ? có thể phân tích thành tổng của nhũng cặp số sau: 0 và 9; 1 và 8; 2 và 7; 3 và 6; 4 và4. Ca sócán lìm cú llié là 9009; 1881, 81 18; 7227; 2772; 6330, 3003; 4444. TíCÓ bảng sau: abba a X b X b X a K ết lu ậ n 9009 0 < 64 Loại 1881 64 = 64 Chọn 8118 64 = 64 Chọn 7227 196 > 64 Loại 2772 196 > 64 Loại 6336 324 > 64 Loại 3663 324 > 64 Loại 4444 256 > 64 Loại Sô' cần tìm là 1881 và 8118. Dạng 4. Những bài toán về chữ sô tận cùng của một sò tự nhiên \ MỘT SỐ KIẾN THỨC CAN LUU Ý 1. Chữ số tận cùng của một tổng bâng chữ số tận cùng của tổng các chữ sâ liàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó. 2. Chữ sô tận cùng của một tícli bằng chữ số tận cùng của tícli cúc chữ sô hàng đơri vị của các thừa sô trong tích đó. 3. Tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 có chữ sô'tận cùng bằng 5. 4. T ích 1 X.5 X 5 X 7 X 9 ró chữ s ố tận cùng bằng 5. 5. T ích a X a không thể có tận cùng bằng 2; 3 ; 7 lioặc 8 Ví dụ 1.15. Không thực hiện phép tính hãy cho biết chữ sô' hàng đơn vị cúa mỗi kết quả sau: a) (2001 + 2 0 0 2 + 2003 + ... + 2 0 0 9 )-(2 1 + 32 + 43 + ... + 98 + 19). b) (12 + 23 + ... + 89 + 91) X 91 X 73 X 55 X 37 X 19. c) 123 X 235 K 347 X 459 X 561 - 71 X 73 X 75 X 77 X 79. Giải: a) Chữ số hàng đơn vị của tổng 2001 + 2002 + ... + 2009 và tổng 21 + 32 + ... ... + 9 8 + 1 9 đểu bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + ... + 9 và bằng 5. Cho nên hiộu trên có chữ số hàng đơn vị bằng 0. b ) Suy lu ân tư ơ n g tư câu a ta c ó tổ n g 12 + 2 3 + ... + 89 + 91 v à tíc h 91 X 73 X 55 X 37 X 19 đểu có chữ sô' hàng đơn vị bằng 5. Suy ra chữ số hàng đơn vị của kết quả dãy tính bằng 5. c) Tương tự ta có chữ số hàng đơn vị của hiệu bằng 0. Ví dụ 1.16. Có thể thay a, b trong phép tính sau bởi chữ sô' thích hợp đế được một phép tính đúng hay không? Tại sao? a) 12a X 12a - a53b8 = 0. b) 17a7 - 3b X 4b = 0. c) 9a X 9a - 8643 = 0. 1S Ciùi: I hòng thể thay mỗi chữ trong mỗi phép tính trên bời chữ sô thích hợp để được phéplính đúng vì: í) Tích 12ax 12a không thê có tận cùng bằng 8; b Tích 3bx3b không thể có tận cùng bằng 7; C) Tích 9ax9a không thể có tận cùng bằng 3. \í dụ 1.16. Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0? I) 13 X 14 X 15 X ... X 22; b) 1 X 2 X 3 X ... X 50. (iài: II Trong tích 13 X 14 X ... X 22 có thừa số 20 tròn chục. Thừa sô 15 khi nhân với nột số chần cho một chữ số 0 ở tích. Vậy tích có tận cùng bầng hai chữ số 0. b Tích 1 X 2 X 3 X ... X 50 có thể phân ra thành 5 nhóm: - Nhóm thứ nhất I X 2 X 3 X ... X 9 X 10, thứ hai 11 X 12 X 13 X ... X 20; nhóm thứ tf 31 X 32 X 33 X ... X 40 (lập luận tương tự càu a) mỗi nhóm có tận cùng cùa tích li hai chĩr số 0; - Nhóm thứ ba 21 X 22 X 23 X ... X 30 và nhóm thứ năm 41 X 42 X 43 X ... X 50 m>i nhóm có tận cùng của tích là ba chữ số 0. 'ậ y số chữ số 0 tận cùng ở tích đã cho là: 2 x 3 + 3 x 2 = 12 (chữ số 0). lạng 5. Các bài toán trác nghiệm khách quan về cáu tạo sô tự nhiên ỉhoanh vào chữ đặt trước câu trả lòi đúng: lài 1. Số các số tự nhicn gồm năm chữ số mà tổng các chữ sô’ của mỗi sỏ đó bằngĩ là: A. 12 số B. I3»ố c . 15sO' D. 14 >ố lài 2. a Sỏ' các số tự nhiên gồm hai chữ số mà trong mỗi số đó có chứa chữ sô 4 là: A. 18 số B. 10 số c .9 s ố D. 19 số b Số các số có hai chữ sô' viết được từ ba chữ số 0; 1; 2 là: A. 2 sô’ B. 4 số c. 6 sổ D. 9 số lài 3. A. 0; 1; 2; 3; 4; 5;.....1000;..... là dãy sô tự nhiên chẵn. B. 0; 2; 4; 6; 8;; 1 (XX); là dãy số tự nhiên chẵn. 19 c. 1; 3; 5; 7; 9;....; 1001;.....là dãy sô tự nhiên chẵn. D. 2; 6; 10; 14; 18;....là dãy số tự nhiên chẵn. Bài 4. Đúng ghi Đ, sai ghi s vào ô trống: a) Hai số tự nhiên liên tiếp thì hơn hoặc kém nhau 1 đơn vị b) Hai sô' tự nhiên thì hơn kém nhau 1 đơn vị c) Hai số chẵn liên tiếp hon hoặc kém nhau 2 đơn vị d) Hai số lẻ liên tiếp hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị e) Hai số chẵn hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị g) Hai sô' lẻ hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị h) Không có sô' tự nhiên bé nhất i) Không có số tự nhiên lớn nhất k) 0 là số tự nhiên bé nhất 1) Không có số tự nhiên nào liền trước số 0 Bài tập tự luyện 1. Cho năm chữ sô'0, 1, 2, 3, 4. a) Có thê viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho? Trong các số viết được có bao nhiêu số chẵn? b) Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ sỏ khác nhau được viết từ 5 chữ sô' đã cho. 2. Có thế viết được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng: a) C ác c h ữ sô' c ủ a c h ú n g đ ều là s ố lẻ? b) Các chữ số của chúng đều là số chẵn? 3. Tim: ‘ a) Sô' tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số được viết từ 3 chữ số khác nhau. b) Sô' tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số khác nhau được viết từ 3 chữ số khác nhau. 4. Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15 ta được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số của số vừa nhận dược mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chĩr số còn lại đê được: a) Số lớn nhất; 20 b) Sô nhò nhất. Viết các số đó. 5. Viết liên tiếp 10 số chẩn khác 0 đầu tiên ta được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số của số vừa nhận đirợc mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại đê đirợc: a) Sô' lớn nhất; b) Số nhỏ nhất. Viết các số đó. 6. Tim một số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta đirợc một sô' lớn gấp 31 lần số cần tìm. 7. Tun một số có ba chữ số, biết rằng viết thêm chữ số 9 vào bên trái sô’ đó ta sẽ được một số lớn gấp 26 lần số cần tìm. 8. Tim một số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bèn ohải số đó thì nó tăng thêm 230 đơn vị. 9. Khi viết thêm sô 12 vào bên phài một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 53 769 đơn vị. Tim số có ba chữ số đó. 10. Khi viết Ihêm số 65 vào bên phái một số tự nhiên thì số đó tăng thêm 97 778 đơn vị. Tim số đó. 11. Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng trăm của một số tự nhiên có 3 chữ số thì số đó tãng gấp 7 lần. Tìm số có 3 chữ số đó. 12. Khi xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một sô tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 3663 đơn vị. Tim số có 4 chữ số đó. 13. Khi xoá đi chữ số hàng trăm cùa số có 3 chữ số thì số đó giảm đi 5 lần. Tìm số có b a c h ữ SỐ đó . 14. Tìm sô' có 4 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số lơn gap 5 làn so nhạn được khi viéi them chư số 1 vào ben trái so' phải lìm. 15. Khi xoá đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ sô' thì số đó giảm đi 9 lần. Tim số có 3 chữ số đó. 16. Khi xoá đi chữ số hàng nghìn của một số tự nhiên có 4 chữ số thì số đó giám di 9 lần. Tim số có bốn chữ sô đó. 17. Tim số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: a) Số đó lớn gấp 6 lần tổng các chữ sỏ' của nó; b) Sỏ đó lớn gấp 7 lần tổng các chữ số của nó; c) Sô đó lớn gấp 8 lần tống các chữ số của nó; 21 d) Sô' đó lớn gấp 9 lần tổng các chữ sô' của nó. 18. Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ sô của nó ta được thương bằng 5 dư 12. 19. Tìm sô' có hai chữ số, biết rằng nếu lấy sô' đó chia cho hiệu của chữ sô' hàng chục và hàng đơn vị của nó ta được thương là 26 dư 1. 20. Tim mội số có 3 chữ số, biết ràng khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta được thương bằng 11. 21. Tìm sỏ' có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị. 22. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng sô' đó gấp 3 lần tích các chữ số cúa nó. 23. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu chia số đó cho tích các chữ số của nó ta được thương là 5 dư 2, chữ số hàng chục của số đó lớn gấp 3 lần chữ sô' hàng đơn vị. 24. Tìm số có 4 chữ số, biết rằng số đó cộng với sô' có hai chữ sò' tạo bời chữ số hàng nghìn và hàng trăm, và số có hai chữ số tạo bởi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó ta được tổng là 7968. 25. Cho số tự nhiên X. Cộng các chữ số của X ta được số tự nhiên y. Cộng các chữ số của y ta được số tự nhiên n. Tổng của ba số X, y, n bằng 69. Tìm X. 26. Các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có 4 chữ số theo thứ tự là 4 số tự nhiên liên tiếp. Số này sẽ thay đổi thế nào, nếu ta viết các chữ sô’ cùa nó theo thứ tự ngược lại? 27. Cũng hỏi như bài 26 trong Irường hợp là 4 chữ số lẻ liên tiếp. 28. Tim một số có ba chữ số khác nhau, biết rằng số đó bằng tổng các số có hai chữ số khác nhau lập được lừ 3 chữ số cùa số cần tìm. 29. Tim sô' tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tích các chữ số của số đó là số tròn chục có hai chữ số. Nếu bớt số đó đi 3 đơn vị ta được một số có hai chữ số giống nhau. 30. Các chữ số hàng chục và hàng đơn vị cúa một số tự nhiên có hai chữ số là hai số lẻ liên tiếp. Khi chia số đó cho tống các chữ số cùa nó ta được thương bằng 4 dư 9. Tìm số có hai chữ số đó. 31. Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số có 3 chữ số theo thứ tự là ba số lẻ liên tiếp. Khi bớt số đó đi 24 đơn vị ta được số có ba chữ sô giống nhau chia hết cho 5. Tìm số đó. 32. Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên chẵn có ba chữ số theo thứ tự là ba sô tự nhiên liên tiếp. Tống các chữ số cùa nó bằng 9. Tim số đó. 22 33. Tổng các chữ số cùa một số tạ nhiên chẵn có 4 chữ số bằng 22, tích các chữ số của nó là sô' tròn chục. Khi đổi chỗ chữ số hàng trăm với hàng đơn vị hoặc hàng nghìn với hàng chục thì số đó không thay đổi. Tìm số đó. 34. Không làm phép tính, hãy cho biết kết quá cùa mỗi phép tính sau có tận cùng bằng chữ số nào? a) (1999 + 2378 + 4545 + 7956) - (315 + 598 + 736 + 89); b) I X 3 X 5 X ... X 99; c) 6 x 1 6 x 116 X 1216 X 11996; d) 31x41x51x61x71x81x91; e) 11 X 13 X 15 X 17 + 23 x 25 x 27 x 29 + 31 X 33 x 35 x 3 7 + 45 X 47 X 49 X 51; g) 5 6 x 6 6 x 7 6 x 86-51 X 61 X 71 X 81. 35. Tích 1 X 2 X 3 X ... X 98 X 99 X 100 có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0? 36. Mỏi tích sau đây có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0? a) 85 X 86 X 87 X ... X 94 ; b) 1 X 12 X ...,x 20 X 53 X 54 X ... X 62. 37. Không làm phép tính, hãy xét xem các kết quả sau đây đúng hay sai? Giải thích tại sao? a) 16358 - 6 X 16x 4 6 x 5 6 = 120; b) ãbc X ãbc - 85 3467 = 0; c) 11 X 21 X 31 X 41 - 19 X 25 X 37 = 110. 38. Có thể thay mỗi chữ trong phép tính sau bời chữ sô' thích hợp để được một phép tính đúng hay không? Tại sao? a) 7958 : 3b = a3b; b) a2303: b5cd = 2d. B. HƯÓNG DẪN T ự HỌC CHƯƠNG 1 1. YÉU CẦU VỀ LÍ THUYẾT Đc tiếp thu kiến thức của chương này, học viên cần nắm được — Những khái niệm cơ bán về số tự nhiên: f Sô và chữ số; f Hàng và lớp của một số lự nhiên; 23 + Số chẵn và số lẻ; + Sô tròn chục, Iròn trăm; + Số tự nhiên liền trước, liền sau, hai số tự nhiên liên tiếp; + Số chẵn hoặc lẻ liền trước, liền sau, hai sô' chẩn hoặc lẻ liên tiếp,... - Các phương pháp phân tích một số tự nhiên theo hàng, theo số chục, sô trăim,... - Các tính chất về chữ sô tận cùng của một tổng, hiệu, tích, thương,... - Nắm được một số phương pháp giải toán thường dùng: + Phương pháp Sơ đồ đoạn thẳng; + Phương pháp Chia ti lệ; + Phương pháp Thử chọn; + Phương pháp Đại số (dùng chữ thay số); + Phương pháp Sơ đồ hình cây,... 2. YÊU CẦU VỀ BÀI TẬP - Nắm được 5 dạng bài tập cơ bản của chương: 1) Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước; 2) Các bài toán giải bằng phàn tích cấu tạo số; 3) Các bài toán giải bằng phương pháp thử chọn; 4) Các bài toán vể xét chữ số tận cùng; 5) Toán trắc nghiệm khách quan về câu tạo số. - Đối với mỗi dạng toán cần nắm được: + Những kiến thức cần củng cố và bố sung đế giải toán; + Cách nhận dạng bài toán; + Cách lựa chọn phương pháp giải; + C ách trình hày lời giải ch o lừ n g d ạ n g ticu biểu; + Cách phát triển bài toán từ mội bài toán vừa giải; + Dành thời gian giải các bài tập tự luyện ở cuối chương đổ củng cố kĩ năng giải theo mỗi dạng. 24 CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY sô A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG Các bài toán về dãy số ở tiểu học, ta thường gặp các dạng sau: Dạng 1. Điền thêm sô' hạng vào sau, giữa hoậc trước một dãy sỏ' Cách giải: Trước liết ta cần xác định quy luật của dãy sô. Những quy luật thườitg ẹặp cùa dãy sô'lủ: ì. Mỗi sốliạnq (kể từ sô'hạng tliứ hai) bằnẹ tổnẹ của sõ liạitẹ đínig liên trước nó cộng (lioặc) trừ với một số tự nliiên tl; 2. Mối số hạng (kể từ sô' liạng tliứ liui) bằng sô' hạn ẹ dímq liền trước nó lìliâii với một số tự nhiên q khúc 0; 3. Mối số hạng (kể tử số liụnẹ tliứ bu) bằng tổng cùa hai số hạ 11 <Ị dímq liên trước IIÓ; 4. Mỗi số liạng (kể từ số liạng tliử tư) bằng tổng của ba số hạng đímg liền trước IIÓ; 5. M ối s ố liạng (k ể từ s ố hạng tliứ hai) bung tổng của s ố hạng đidìg liền trước nó cộng YỚi thứ tự cùa số hạng đó rồi cộng với một s ố tự nhiên d; 6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của liai số liụng đứng liền trước nó; 7. Mỗi s ố hạng (kểtừsốliụnẹ tliứ tư) bằng tích cùa ba sốliụnq đíứig liền trước nó; 8. Mỗi s ố lìạiiíỊ (kể từ s ố hạng tliứ liai) bằiHỊ tiíli cùa sôliụnẹ đứiiẹ liên trước n ó nhừn vớ i th ứ tự í lỉu ốÚ /iụ iiiỊ d ó , 9. Mỗi s ổ liạn ẹ bằng tícli của tliứ tự sốhụng ctó nhân với số liên sau cùa nó; 1C. Mỗi sốhạnẹ (kể từ sốliụng thứ hai) bằnq tícli của sỏ'liạng đímg liên trước nó nhân \ới tổng cùa một sô'tự Iiliiên íl vù thử tự của sốliựnẹ đó; v.v... Ví dụ 2.1. Viết tiếp ba số hạna vào dãy số sau: a) 1. 2, 3 ,5 ,8 ,... b)(). 2 , 4 , 6 , 12, 22, ... c)2 . 7, 13, 2 0 .... 25 Giải: a) Ta nhận xét: - Số hạng thứ ba của dãy là 3 — 1 + 2. - Số hạng thứ tư của dãy là 5 = 2 + 3. - Sô' hàng thứ năm của dãy là 8 = 3 + 5. Vậy quy luật cùa dãy số là: Mỗi số hạng, kê từ số hạng thứ ba, bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó. Áp dụng quy luật này ta có: - Số hạng thứ sáu của dãy là: 5 + 8 = 13. - Số hạng thứ bảy của dãy là: 8 + 13 = 21. - Sô' hạng thứ tám của dãy là: 21 + 13 = 34. Dãy số cần tìm là: 1,2, 3,5, 8, 13,21,34,... b) Ta nhận xét: - Số hạng thứ tư cùa dãy là: 6 = 0 + 2 + 4. - Số hạng thứ năm của dãy là: 12 = 2 + 4 + 6. - Sô' hạng thứ sáu của dãy là: 22 = 4 + 6 + 12. Vậy quy luật của dãy sô' là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ tư, bằng tổng của ba sô' hạng đứng liền trước nó. Áp dụng quy luật này ta có: - Sô' hạng thứ bảy của dãy là: 6 + 12 + 22 = 40. - Sô' hạng thứ tám của dãy là: 12 + 22 + 40 = 74. - Sô' hạng thứ chín của dãy là: 22 + 4 0 + 7 4 = 136. Dãy số cần tìm là: 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136,... c) Tương tự ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kẽ từ số hạng thứ hai, bằng sô' hạng đứng liền trước nó cộng với thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3. 26 Af dụng quy luật này ta có: Sốhạng thứ năm của dãy là: 20 + 5 + 3 = 28. Sốhạng thứ sáu của dãy là: 28 + 6 + 3 = 37. Số iạng thứ bảy của dãy là: 37 + 7 + 3 = 47. Dã/ số cần tìm là: 2, 7, 13,20, 28,37, 47,... V ílụ 2.2. Viết tiếp ba số hạng vào dãy sô' sau: a) ,2 ,6 ,2 4 , .... b) , 2 ,2 , 4 , 8,.... c ):,6 , 12,.... Giá: a) "a nhận xét: - s hạng thứ hai là: 2=1x2. - s hạng thứ ba là: 6 = 2 X 3. - s> hạng thứ tư là: 24 = 6 X 4. Vậ' quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kê từ sô hạng thứ hai, bằng số hạng đứng liin trước nó nhân với thứ tự của số hạng đó. Áp dụng quy luật này ta có: Sô lạng thứ năm cùa dãy là: 24x5 = 120. Sô' lạng thứ sáu của dãy là: 120x0 = 720. Số lạng thứ bảy của dãy là: 7 20 X 7 = 5040. Dã’ sô' cần tìm là: 1,2,6, 24, 120,720,5040,... b) 'ương tự, ta tìm ra quy luật của dãy sô' là: Mỗi sô' hạng, kê từ sô' hạng thứ ba, bằn tích của hai số hạng đứng liền trước nó. Áp lụng quy liiật này ta tìm được dãy số là: 1,2.2, 4.8,32, 256,8192,.... 27 c) Tương tự, ta tìm được quy luật của dãy sô là: Mỗi số hạng bằng tích cùa thứ tư sô' hạng đó với số liền sau nó. Ap dụng quy luật này ta được dãy số cần tìm là: 2, 6, 12, 20, 30,42,.... Ví dụ 2.3. Tim số hạng đầu tiên của dãy số sau: a ) . . . . 2 4 , 27, 30. b) __ ,47,52,57. c) ...,64, 81, 100. Biết ràng mỗi dãy đểu có 10 sỏ' hạng. Giải: a) Ta nhận xét: — Số hạng thứ mười của dãy là: 30 = 10 X 3; — Sô' hạng thứ chín của dãy là: 27 = 9x3; — Số hạng thứ tám của dãy là: 24 = 8 X 3. Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng thứ tự của nó nhân với 3. Áp dụng quy luật này ta có: Sô' hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 3 = 3. b) Tương tự, ta tìm ra quy luật của dãy sô' là: mỗi số hạng của dãy bằng thứ tự của nó nhân với 5 rồi cộng với 7. Áp dụng quy luật này ta tìm được số hạng đầu của dãy là: 1 X 5 + 7 = 12. c) Tương tự ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng tích của thứ tự số hạng đó nhân với chính nó. Vậy số hạng đẩu tiên của dãy là: 1 x 1 = 1 Ví dụ 2.4. Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe đạp từ A về B. Đến 11 giờ trưa, người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngược gió, cho nên tốc độ của người đó mỗi giờ lại giám đi lkm. Tìm tốc độ của người đó khi xuất phát, biết rằng tốc độ đi trong giờ cuối của quãng đường là lOkm/giờ. Gi di: Đổi 3 giờ chiều = 15 giờ. Thời gian người đó đi trên quãns đường là: 15-7-1 = 7 (giờ)! 28 Ti nhận xét: Tie độ của người đó đi trong tiếng thứ bảy là: 10 (km/eiờ) =10+1x0. Tíc độ của người đó đi trong tiếng thứ 6 là: 1 I (km/giờ) = 10+lxl. Tr đó rút ra tốc độ người đó đi trong giờ đầu là: 10+1x6=16 (km/giờ). Đáp số: 16km/giờ. V dụ 2.5. Điển sô thích hợp vào ô trống sao cho tổng của các số ở ba ô lièn tiếp d u bằng 1996: 496 996 Gài: Ti đánh số các ô theo thứ tự như sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 496 996 Tieo đề bài ta có: 496 + 07 + ô8 = 1996 07 + Ô8 + Ỏ9 = 1996 Viy ô9 = 496. Từ đó ta tính đirợc: ô8 = ô5 = ô2 = 1996 - (496 + 996) = 504 Ô7 = ô4 = Ô6 = 496. Đ e n vào ta đ ư ợ c d ã y số: 996 504 496 996 504 496 996 504 496 996 V dụ 2.6. Tim sô' hạng thứ năm mươi của dãy số sau: a 1 ,4 ,7 , 10, ... b 390, 395, 400. (Biết rằng dãy có 80 số hạng). Gủi: a Ta nhận xét: Si hạng thứ hai là 4 = 1 + 3 X (2 — 1); 29 Sô' hạng thứ ba là 7 = 1 + 3 X (3 - 1); Số hạng thứ tư là 10 = 1 + 3 X (4 - 1). Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai bằng sô hạng thứ nhất cộng với tích của 3 nhân với thứ tự cùa số hạng đó trừ 1. Số hạng thứ 50 cùa dãy là: 1 + 3 X ( 5 0 - 1) = 148. b) Tương tự, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bang thứ tự cùa nó nhân với 5. Vậy số hạng thứ năm mươi của dãy là: 50 X 5 = 250. Dạng 2. Xác định sỏ a có thuộc dãy dã cho hav khòng Cácli giải: - Xác địnli quy luật cùa dãy - Kiểm tra sô a có thỏa mãn quy luật dó hay klìônq. Ví dụ 2.7. Em hãy cho biết: a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,.... hay không? b) Số 1996 có thuộc dãy 2, 5, 8, I hay không? c) Số nào trong các sô' 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,...? Giải thích tại sao? Giải: a) Cả hai số 50 và 133 đểu không thuộc dãy đã cho, vì: - Các số hạng của dãy đều lớn hơn 50; - Các số hạng của dãy đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5. b) Sô' 1996 không thuộc dãy đã cho, vì các số hạng của dãy chia cho 3 đều dư 2 mà 1996 ch ia cho 3 dư 1. c) Cả ba số 666, 1 OCX) và 9999 đều không thuộc dãy đã cho, vì: - Các số hạng của dãy, kể từ số hạng Ihứ hai, bằng số hạng dứng liền trước nó nhân với 2. Cho nên các số hạng của dãy, kể từ số hạng thứ ha, có sô hạng đứng liền trước nó đều là số chẵn, mà 666 : 2 = 333 là sô' lẻ; - Các số hạng của dãy đểu chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3; - Các số hạng của dãy, trừ số đầu tiên, đều là số chẵn mà 9999 là số lẻ. 30 Dạng 3. Tìm sỏ sô hạng của dãy Cách giải: Đối với các bùi toán dụng này, ta thườn ạ sử dụng công tliức vê toán trổng cây. Cụ tliê lù: Sô các sô'hạng của dãy = sô'klioánq cách + 1 Đ ặ c biệt, nếu quy luật của tlãy s ố là : M ỗi sô liạnẹ, k ể từ sô liạng thứ lia i bằng sốhạntỊ đibig liền trước nó CỘMỊ với một số tự nhiên (I thì: S ố cúc s ố liạng của dãy = (số hạng đầu - sốliạnẹ cuối): íl + I Ví dụ 2.8. Cho dãy số 11, 14, 17, 20,68. a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng? b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy thì số hạng thứ 2007 là số nào? Giải: a) Ta nhận xét: Sô' hạng thứ hai là 14 = 11 + 3; Sô' hạng thứ ba là 17 = 14 + 3; Số hạng thứ tư là 20 = 17 + 3. Vây quy luật của dãy trên là: mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng sô' hạng liền trước nó cộng với 3. Sô' các số hạng của dãy đó là: (68 - 11): 3 + 1 = 20 (số hạng). b) Ta nhận xét: - Số hạng thứ hai là 14 = 11 + 3 X (2 - 1); - Sô’ hạng thứ ba là 17 = 11 + 3 X (3 - 1); - Số hạng thứ tư là 20 = 11 + 3 X (4 - 1). Vạy so hạng thư IUO / cùa day la: 11 + 3 X ( 2 0 0 7 - 1) = 6029. Ví dụ 2.9. Trong các số có ba chữ số: a) Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9? b) Có bao nhiêu sô' chia cho 4 dư 1? Giải: a) Các sô' chẵn có 3 chữ số chia hết cho 9 lập thành dãy số cách đểu có số hạng đầu tiên là 108, số hạng cuối cùng là 990 và khoảng cách giữa hai sô' là 18. 31 Sô' các số chẵn có 3 chữ số chia hết cho 9 là: (9 9 0 - 108): 18+1 = 50 (số). b) Các số có ba chữ số chia cho 4 dư 1 lập thành dãy số cách đều có sô' hạng đầu tiên là 101, số hạng cuối cùng là 997 và khoáng cách giữa hai số là 4. Sô' các số có 3 chữ số chia cho 4 dư 1 là: (9 9 7 - 101): 4 + 1 = 225 (số). Ví dụ 2.10. Người ta viết liên tiếp các sô' tự nhiên từ 1 đến 2007. Hỏi người đó đã viết bao nhiêu lượt chữ số? G iả i: Dãy sô' người đó viết ra là: 123456789 101112-99 100101102....999 100010011002...2007 Nhóm 1 nhóm 2 nhóm -3 nhóm 4 Số lượt chữ số trong nhóm 1 là: (9 - 1) + 1 = 9 (lượt). Số lượt chữ số trong nhóm 2 là: ( ( 9 9 - 1 0 ) + 1) X 2 = 180 (lượt). Số lượt chữ số trong nhóm 3 là: ((9 9 9 - 100)+ l)x3= 1700 (lượt). Số lượt chữ số trong nhóm 4 là: ((2007 - 1000) + I) X 4 = 4 0 3 2 (lượt) Sô' lượt chữ số người ấy đã viết là: 9+180+ 1700 + 4032 = 5921 (lượt). D á ị) sô : 5921 lượt c h ữ số . Dạng 4. Tìm tổng các sổ hạng của dãy sô Cách giải: Nếu là dãy s ố cách đều thì tổng của liai sô' hạng cách đều số hạng đầu rà sôlìựnq cuôl bàn ọ nhan. Vì vậy: Tổn ạ cức s ố hạitíỊ của dãy sô hằníỊ tổMỊ của sô hunt’ đầu cộ/iq sô licinq cuối nhân với sô sô hạnq rồ i chia cho 2. s = (í/| + «„) X // : 2 32 Ví dụ 2.11. Tính tone của 100 số lé đầu tiên. Giời: Dãy 100 số lc đầu tiên là: I. 3, 5, 7,199. Ta có tổng phải tìm là: (I + 199) X 1(X): 2 = 10 000. V í du 2.12. Cho một số lự nhiên gồm các số tự nhiên lièn tiếp từ I đến 1983 dược viết ihco (hứ tự liền nhau như sau: I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13...1980 1981 1982 1983. Hãy tính tổng tất cà các chữ số cùa số đó. (D ề tlii học sinh lỊÌói toan i/nốt núm I9H3) Giời: Cách /.T a nhận xét: +) 0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28. + ) I và 1998 có tổng các chữ sò’ là: 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28. +) 2 và 1997 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 9 + 9 + 7 = 28. +) ....... +) 998 và 1 (X) I có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 8+1+0 + 0 + 1 = 2 8 . +) 999 và 1000 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 9 + I + 0 + 0 + 0-28. Như vậy dãy số 0; 1; 2; 3; 4; .... 1997; 199X; 1999. có tính chất: Hai số hạng cách déu số hạng đầu và sô hạng cuối đểu có tống các chữ số bàng 28. Có I (XX) cập nhu vậy. Do đó tổng các chữ số tạo nên dãy số trên là: 28 X 1000 = 28000. Sô lự nhicn tạo thành bằng cách viết liên tiếp các sò tự nhiên từ 1984 đến 1999 là: 198419851986 ... 1999. 33 Số đó có tổng các chữ số là: (1 + 9 + 8 + 4) + (1 + 9 + 8 + 5 ) + . . . ... + (1 + 9 + 8 + 9 ) + (l + 9 + 9 + 0) + ... ... + (1 + 9 + 9 + 8) + (l + 9 + 9 + 9) = 22 + 23 + ... + 27 + 19 + ... + 27 + 28 = 382. Vậy tổng các chữ sô' của sô' đã cho là: 2 8 0 0 0 - 382 = 27618. Cách 2. Ta lần lượt tính sô' chữ sô' 1, sô' chữ số 2, sô' chữ số 3,..., số chữ số 9 trong dãy sô' tự nhiên 1; 2; 3; 1998; 1999. - Sô' chữ số 1: +) Trong 100 số đẩu (từ 0 đến 99) có 20 chữ sô' 1; +) Trong các số từ 100 đến 199 có 100 + 20 = 120 chữ sô' 1; +) Trong các sô' từ 200 đến 299 có 20 chữ sô' 1; +) Trong các sô' từ 900 đến 999 có 20 chữ số 1. Vậy trong các số từ 0 đến 999 có: 20 X 9 + 120 = 300 (chữ số 1). • Từ 1000 đến 1999 có: 1000 + 3 0 0 = 1300 (chữ số 1). Vậy số chữ số 1 của dãy từ 1 đến 1999 là: 1300 + 3 0 0 = 1600 (chữ sô' 1). Lí luân tương tự ta có: - Trong dãy có 600 chữ số 2; - Trong dãy có 600 chữ số 3; - Trong dãy có 600 chữ số 9. Vậy tổng các chữ số trong dãy trên là 1 X 1600 + 2 X 6 00 + 3 X 600 + ... + 9 X 6 00 = 28000. Bằng cách tương tự cách 1, ta tính được tổng các chữ sô' của dãy 1984; 1985; 1986; 1999 là 382. Vậy tổng các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 2 8 0 0 0 -3 8 2 = 27618. 34 Ch'll 3. Ta có : 123..9 1011 12...99 100101102. ..999 100010011002-1999 nhóm I nhóm 2 nhóm 3 nhóm 4 Táng các chữ số của nhóm 1 là: I + 2 + 3 + . . . + 9 = 45. Tíng các chữ số trong nhóm 2 là: 10 X (1 + 2 + 3 +...+ 9) + 9 X 45 = 19x45. Ting các chữ số của nhóm 1 và 2 là: 45 + 19 X 45 = 400. Ting các chữ số trong nhóm 3 là: l()0x(l + 2 + 3 + ...+ 9) + 900 X 9 = 4500 + 8100 = 12600. T>ng các chữ số cùa nhóm 1, 2 và 3 là: 900+ 12600= 13500. Ting các chữ số trong nhóm 4 là: 13500+ 1000 = 14500. Ting các chữ số trong dãy sô trên là: 13500+ 14500 = 28000. Tíng các chữ cùa dãy sô trên là: 2 8 0 0 0 - 3 8 2 = 27618. lạng 5. Dãy chữ V dụ 2.13. Một người viết liên tiếp nhóm chữ TO QUOC VIET NAM thành dãy: TDQUOCVIETNAMTOỌUOCVIETNAM... a Chữ cái thi'r 2(X)7 trong Hãy là chữ gì? b Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ o ? B.0 nhiêu chữ I? c Bạn An đếm được trong dãy có 2007 chữ o . Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Giải hích tại sao? d Người ta tô m àu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đó, tím, vàng, xanh, đó, tín, vàng,... Hói chữ cái Ihứ 2007 trong dãy được tô màu gì? (iải: a Nhóm chữ TOQUOCVIETNAM có 13 chữ cái. 35 2007 : 13 = 154 (dir 5) Như vậy, chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ nãm cùa nhóm chữ thứ ! 55 Chữ đó là chữ o . b) Mỗi nhóm chữ TOQUOCVIETNAM có 2 chữ T; 2 chữ o và I chữ í. Vì vậy nếu người ta đếm được 50 chữ T thì trong dãy đó cũng có 50 chữ o và 25 chữ I. c) Bạn đó đếm sai, vì số chữ o trong dãy phải là số chẵn. d) Ta gọi mỗi nhóm chữ liền nhau trong dãy được tô màu: xanh, đò, tím, vàng là một nhóm màu. Ta có: 2007 : 4 = 501 (dư 3) Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ 3 của nhóm màu thứ 502. Chữ đó tò màu tím. Dạng 6. Các bài toán trắc nghiệm khách quan vé dãy sỏ Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng: Bài 1. Cho dãy số: I; 2; 3; 4; 5;...; Đê dãy sô có lất cả 2442 chữ số thì số thích hợp đién vào ò trống là: A .850 B. 851 Bài 2. Cho dãy số: I; 3; 5; 7;...; Để dãy số có tất cả 1665 chữ số thì số thích hợp điền vào ô trống là: A. 1665 B. 1109 Bài 3. Cho nãm chữ số: 0, 1, 3, 5, 7. Nếu viết tất cả các sô' có ba chữ số khác nhau lừ nám chữ số trẽn thì ta viết được: A. 60 sô' B 48 sô' Bài 4. Cho dãy số: 2. 5. X, II, Số hạng thứ 150 của dãy sô là số: A. 449 B. 447 Bài 5. Cho dãy số: 3; 6; 12; 24;... Số thuộc số hạng của dãy số trên trong các số: 90; 275; 384; 49 là: A. 90 B. 275 c. 384 D. 49 Bài 6. Cho dãy số: 12 3 4 5... 1542 1543 a) Dãy số trên có: 36 A. 5056 chữ số c. 5065 chữ sỏ' b) Chữ số thứ 2987 cùa A. Chữ số 1 c. Chữ số 2 Bài 7. Cho dãy số chẵn a) Dãy trên có tất cá là: A. 3372 chữ số c. 1962 chữ số b) Chữ số thứ 1999 là: A. Chữ số 1 c. Chữ sô 7 Bài tập tự luvện B. 5061 chữ số D. 1543 chữ số dãy sỏ là: B. Chữ số 0 D. Chữ số 4 liên tiếp: 2 4 6 8... 1962 B. 3365 chữ số D. 336S chữ số B. Chữ số 2 D. Chữ số 4 1. Viết liếp hai số hạng của dãy số sau: a) 100; 93; 85; 7 6 ,... b ) 10; 13; 18; 26;.... c) 0; 1; 2; 4; 7; 12;... d) 0; 1; 4; 9; 18;.... e )5 ;6 ;8 ; 10;.... 0 1; 6; 54; 648;.... g) ]; 3; 3; 9; 27;.... h) 1; 1; 3; 5; 17;.... 2. Tìm hai số hạng đầu của dãy số sau: a) 39; 42; 45. b) 4; 2; 0. c) 23; 25; 27; 29. R iết rằ n g m ỗ i rlíiy c ó 1 s s ổ h ạ n g 3. Tìm sô' hạng thứ 10 cùa dãy sô' sau: a) 1; 5; 9; 13;.... b) 2; 6; 12;.... c) 54; 57; 60. Biết rằng dãy này có 20 sô' hạng. d) 92; 96; 100. Biết rằng dãy này có 25 số hạng. 4. a) Đién các số thích hựp vào ỏ trống sao cho tích các số của ba ô liên tiếp déu bàng 2000: 50 1 37 b) Điền các số Ihích hợp vào các ô trống sao cho tống các số của 4 ô liên tiếp đều bằng 12 (hình 1): Hình 1 c) Cho 9 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9. Hãy điền mỗi số vào một ô tròn sao cho tổng của ba số ờ ba ô thảng hàng nhau đều chia hết cho 5. Hãy giài thích cách làm (hình 2): Hình 2 d) Hãy điền các số vào ô tròn sao cho tổng cùa ba ô liên tiếp đểu bằng nhau. Hãy giải thích cách làm (hình 3): 38 H ìn h .? e) £ iển đủ 9 chữ sô' từ 1 đến 9 vào các ô tròn để: - Tíng các số trên mỗi cạnh của tam giác đều bàng 20 (hình 4). - Ting các số trên mỗi đường kính của đường tròn đểu bằng 15 (hình 5) 5. Đièi thêm 7 sô' hạng vào tổng sao cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn sô' hại^ đứng trước nó: 49 + ........................................= 420. Già thích cách tìm. 6. Chi dãy các số chẩn liên tiếp: 2; 4; 6; 8;.... Hỏi số 1996 là số hạng thứ bao nhiu cùa dãy này? Giái thích cách tìm. 39 7. Cho dãy các số lẻ lién tiếp: 1; 3; 5; 7;....Hỏi số hạng thứ 2007 trong dã) là số nào? Giải ihích cách tìm. 8. Có bao nhiéu số: a) Có ba chữ số khi chia cho 5 dư I ? Dư 2? b) Có 4 chữ sô' chia hếl cho 3? c) Có ba chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4? 9. Trong một rạp hát, hàng đầu có 18 ghế. Mỗi hàng sau nhiều hưn hàng kể Irước nó một ghế. Nếu rạp hát đó có 16 hàng ghế thì nó có bao nhiêu chỗ ngồi? 10. Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùna các số lé liên tiếp: 1, 3, 5,... đê đánh số dãy thứ nhất, các số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6.... đé đánh số dãy thứ hai. Hòi nhà cuối cùng trong dãy chẩn cùa dường phố dó là sỏ mấy? Biết rằng khi đánh số dãy này người ta đã dùng iất cá 769 lượt chữ số. 11. Tìm tổng của: a) Các số có hai chữ số chia hết cho 3. b) Các số có hai chữ số khi chia cho 4 dư 1. c) 100 số chẩn đầu tiên. d) 10 số lè khậc nhau lớn hơn 20 và nho hơn 40. 12. Sách giáo khoa Toán 5 dày 220 trang. Hỏi người ta đã dùng bao nhiêu lưưt chữ số đê đánh sô' thứ tự các trang của cuốn sách dó? 13. Để đánh số thứ tự các Irang của một cuốn sách, người ta đã dùng 216 lượt chữ số. Hỏi cuốn sách đó dày bao nhiêu trang? 14. Cho hình vuóng có cạnh là 4cm. Nối trung diếm cùa các cạnh ta được hình vuông Ihứ nhất. Nối trung điếm các cạnh của hình vuông thứ nhất ta được hình vuông thứ hai; từ hình vuông thứ hai ta cũng làm như thê đê dược hình vuóng thứ ba, v.v... Cứ như thế đế được hình vuóng thứ năm thì dìmg lại. (Xem hình ve dưới) Tim lòng diện lích cùa 5 hình vuòng đó. 40 15. Mọl chiếc canô đi xuôi dòng từ A lúc 6 giờ sáng và đến B lúc 18 giờ cùng ngày. Trong giữ dầu canô đi được 12km và cứ mỗi giờ sau đi nhanh hơn so với giờ trước đó lkm. Hói quãng đường từ A đến B dài bao nhiêu ki-lô-mét? 16. Một người viết liên tiếp nhóm đũrCHAM HOC CHAM LAM thành dãy: CHAMHOCCHAMLAMCHAMHOCCHAMLAM... a) Chữ cái thứ lơoo trong dãy là chữ gì? b) Nếu người ta dếm được trong dãy có 1200 chữ H thì dem được bao nhiéu chữ A? c) Mội người dếm dược tron" dãy có 1996 chữ c , người dó đếm đúng hay sai? Giái thích tại sao? d) Người ta tò màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đò, tím, vàng, nâu. Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy đưực tô màu gì? 17. Tim hiệu cùa: a) Hai số lé mà giữa chúng có 1(X) số chẩn. b) Hai số lé mà giữa chúng có lơo số lè. 18. Người ta trổng cây hai bẽn của một đoạn đường. Nếu khoáng cách giữa hai cây là 4m thì hết 602 cây. Hỏi nếu người ta rúi ngắn khoáng cách giữa hai cây còn 3m thì trồng hết bao nhiêu cây? B. HƯỚNG DẪN TỤ HỌC CHƯƠNG 2 1. YÊU CẦU VỀ LÍ THUYẾT Đé tiếp thu kiến thức của chương này, học viên cần nắm dược: - Những quy luật thường gập của dãy sô' ở tiêu học; - Cách xác định quy luật cúa một dãy số bằng phương pháp suy luận quy nạp; - C á ch vận d ụ n g í|u y lu ật r ủ a ílĩĩy KÔ' (tẽ xác đ ịn h m ộ t sô' h:ing c ủ a d ã y sô' c ần tìm . 2. YÊU CẦU VỀ BÀI TẬP - Nắm đưực 6 dạng bài tập cơ bán của chương: 1) Viết thèm một số số hạng vào inrớc, sau, hoặc giữa một dãy sô' cho trước; 2) Kiểm tra một số tự nhiên cho trước có thuộc dãy sô' đã cho hay không; 3) Tìm số số hạng của một dãy số và ứng dụng trong giiii toán trổng cây; 4) Tun tổng các sỏ hạng cùa dãy số: 5) Cúc bài toán về dãy chữ: 41 6) Toán trắc nghiệm khách quan về dãy số. - Đối với mỗi dạng toán cần nắm được: + Những kiến thức cần cùng cô' và bổ sung để giải toán; + Cách nhận dạng bài toán; + Cách lựa chọn phương pháp giải; + Cách trình bày lời giải cho từng dạng tiêu biểu; + Cách phát triển bài toán từ một bài toán vừa giải; + Dành thời gian giải các bài tập tự luyện ở cuối chương để củng cố kĩ nãng giải theo mỗi dạng. 42 CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀN sô VÀO PHÉP TÍNH A. NỘI DUNG BÀI GIÁNG Dạng 1. Các bài toán về vận dụng quy tắc thực hành bón phép tính Ví dụ 3.1. Tủ sách nhà An có hai giá đựng sách, mỗi giá có năm ngăn và số sách đựng trong mỗi ngăn như sau: Ngăn Giá s a c l i '^ ^ ^ 1 2 3 4 5 Thứ nhất 117 41 63 58 92 Thứ hai 61 47 98 112 53 Không làm phép tính, hãy cho biết giá sách nào đựng nhiểu sách hơn? Gi ủi: Các chữ số hàng đơn vị của các số chỉ số sách đựng trong 5 ngăn của hai giá sách là như nhau (đều là các chữ sô' 1, 2, 3, 7 và 8). Các số chỉ sô' chục cũng như nhau (đều là 4, 5, 6, 9 và 11). Cho nên tổng số sách trong hai giá sách là như nhau. Ví dụ 3.2. Khi cộng một sô tự nhiên với 305, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên chữ số 0 của số hạng thứ hai nên nhận được kết quả bằng 380. Tim kết quả đúng của phép tính đó. Giải: Khi hò quên chữ sỏ' 0 của số hạng thứ hai thì thưc chất hoc sinh đó đã cộng số hạng thứ nhất với 35. Sò' hạng thứ nhất là: 380 - 35 = 345. Kết quả đúng cùa phép tính đó là: 345 + 305 = 650. Ví dụ 3.3. Khi trừ một số tự nhiên đi 208, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên chir sò 0 của số trừ, đồns thời chép nhầm dấu trừ thành dấu cộng nên nhận được két 'á bằng 1250. Tim kết quá dũng cùa phép tính đó. 43 Giải: Do sơ suất, thực chất học sinh đó đã cộng số bị trừ với 28. Sô' bị trừ (hay số hạng thứ nhất trong phép tính chép nhầm) là: 1 0 5 0 - 2 8 = 1022. Kết quả đúng của phép tính đó là: 102 2 -2 0 8 = 814. Ví dụ 3.4. Khi cộng 1234 với một số có hai chữ số, do sơ suất, một học sinh đã đật phép tính như sau: 1234 +ab Vì vậy kết quả của phép tính tăng thêm 414 đơn vị. Tim kết quả đúng của phép tính đó. Giải: Theo cách đặt phép tính, thì học sinh đó dã cộng số hạng thứ nhất với 10 lần số hạng thứ hai. Theo để bùi ta có sơ đồ sau: 1234 7 __________ ab Phép tính đúng: —I 1234 414 Phép tính chép nhầm: ------------- ~ V - < 10 lần ab Sô' hạng thứ hai Irong phép cộng đó là: 414 : (10-1) = 46. Kél quá dũng cùa phép tính đó là: 1234 + 4 6 = 1280. Ví dụ 3.5. Khi nhân một số tự nhién với 104, do sơ suất, một học sinh đã bò quên chữ số 0 của thừa số thứ hai nên nhận được kết quả bằng 455Ơ. Tìm tích đúng của phép nhân đó. Giải: Khi bỏ quên chữ số 0 của thừa sô' thứ hai thì thực chất học sinh đó đã nhân thừa sô' thứ nhất với 14. Thừa số thứ nhất là: 44 4550 : 14 = 325. Tích đúng cùa phép nhân đó là: 325 X 104 = 33800. Ví dụ 3.6. Khi nhàn một số tự nhiên với 218, do sơ suất, một học sinh đã đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị. Vì vậy kết quả của phép tính đã tăng thêm 20475 đơn vị. Tìm tích đúng cùa phép nhàn đó. Giải: Khi đổi chỗ chữ sô hàng chục và hàng đơn vị, thừa số thứ hai tăng là: 281 -218 = 63. Như vậy tích sẽ tăng thêm 63 lần thừa số thứ nhất. 'rhừ a số thứ nhất là: 20475 : 63 = 325. Tích đúng của phép nhân đó là: 325 X 218 = 70850. Ví dụ 3.7. Khi nhàn một số tự nhiên với 6789, bạn Mận đã đặt tất cà các tích riêng thảng cột với nhau như trong phép cộng nên được kết quả là 296 280. Hãy tìm tích đúng của phcp nhãn đó. Giải: Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng, tức là Mận đã lây thừa số thứ nhất lần lươt nhân với 9, 8, 7 và 6 rói cộng kct quá lại. Do: 9 + 8 + 74-6 = 30. Nên tích sai lúc này bằng 30 lần thừa số thứ nhất. Thừa số thứ nhất là: 296280 : 30 = 9876. Tích đúng cùa phép nhàn đó là: 9876 X 67X9 = 67048164. Ví dụ 3.9. Khi nhân một số tự nhicn với 106. do sơ suất, mội học sinh đã đặt phép tính như sau: abc X106 * *** * * * 45 Vì vậy nhận được kết quả bằng 3408. Tìm tích đúng của phép nhân đó. Giải: Theo cách đặt phép tính thì học sinh đó đã nhân thừa số thứ nhất với 16. Thừa số thứ nhất là: 3408 : 16 = 213. Tích đúng cùa phép nhân đó là: 213 X 106 = 22 578. Ví dụ 3.10. Khi chia một số tự nhiên cho 41, một học sinh chép nhầm chữ số hàng trăm của số bị chia là 3 thành 8 và chữ số hàng đon vị là 8 thành 3 nên được thương là 155, dư 3. Tìm thương gần đúng và sô' dư trong phép chia đó. Giải: Số bị chia trong phép chia chép nhầm là: 41 X 155 + 3 = 6358. Sô' bị chia trong phép chia đúng là 6853. Phép chia đúng là: 6853:41 = 167 (dư 6). Ví dụ 3.11. Tìm sô' bị chia và số chia cùa một phép chia, biết rằng số bị chia gấp 11 lần thương và thuơng bằng 5 lần số chia. Giải: Số bị chia gấp 11 lần thương, suy ra số chia bằng 11. Thương gấp 5 lẩn số chia. Vậy thương cùa phép chia đó là: 11x5 = 55. Sô bị chia trong phép chia đó là: 11 X 55 = 605. Vậy số bị chia và số chia trong phép chia cần tìm là 605 và 11. Dạng 2. Các bài toán về điền chữ sôi thay cho các chữ trong phép tính Klii giải các bài toán dụnq này ta cẩn lull ỷ: 1. Nêu đề bài cho pliép trừ, ta thườiig viết lại tliủnh plìép cộng; 2. Nến đê bùi cho phép chia, ta thường viết lại tliùnli plìép nhân; 3. Nếu đề bài clio phép tính theo hàng Hgcinẹ, ta thường viết lạ i thành cột dọc; 46 4. K h i đã tìm dượt một chữ sô nào đó, ta tlnỉờiiq thay vào phép tínli dé đưa vê bùi toán mới dơn qiàn Iiơ ii; 5. N êu dề hủi yêu cầu cúc cliữ kliác nhau dược thay bài các sô kliác nhau tliì klii giả i ta ph ả i kiếm tra điều kiện Iiủy. NqiỉỢi lạ i, cúc chữ kliủc nhau vẫn có tliể tliuy hằnq các sô'giống nhau. Vi dụ 3.12. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp: a) bccb - abc = ab b) c) v ab d) X_bb ab ab bccb G iả i: a) Ta viết lại phép tính theo cột dọc: abc + ab bccb = dad : 5 abcd cd cd bed hc de bed bed Theo cách đặt phép tính thì phép cộng các chữ số hàng chục phải nhớ 1 sang chữ sô' hàng trăm của sô' hạng thứ nhất. Vây phép cộng chữ sô' hàng trãm là a + 1 = bc . Suy ra a = 9; b = 1 và c = 0. Thay vào ta được phép tính cần tìm là: v io + yi = 10U1. b),Ta viết lại phép tính về dạng: abc X 5 = d a d . 5 nhân với một số có 3 chữ sô' là một số có 3 chữ số, vậy chữ số hàng trăm a = 1. 5 nhân với c có tận cùng là 0 hoặc 5. Vì vậy d = 0 hoặc d = 5. Nhưng d không thế bằng 0, vậy d = 5. Thay a = 1; d = 5 vào phép tính, ta tính được: ãbc = 515 : 5 = 103. 47 Thay vào ta được phcp tính cần tìm là: 103 = 515 : 5. c) Xét tích riêng thứ nhất b X ab = a b , suy ra b = 1. Xét phép cộng các chữ số hàng trăm của các tích riêng: a + I = bc :, suy ra a = 9 và c = 0. Thay vào ta được phép tính cần tìm là: 91 X11 91 91__ 1001 d) Theo tích riêng thứ nhất ta có: bx cd = cd. Vây b = 1. Thay vào ta có phép tính: _ alcd cd dc de _ led led Õ~ cd led 3, 5 hoặc 6. 48 Nhìn vào tích riêng cuối cùng ta thấy d x c d = led d x c d = 100 + cd d X cd - cd = 1 uơ ( d - l)xcd = 100 Vì I(X) = 2 X 50 = 4 X 25 = 5 X 20 nên d — 1 = 2; 4 hoặc 5. Suy ra d = - Nếu d = 3 thì cd = 50 (loại) - Nếu d = 5 thì cd = 25. Thay vào ta được a = 3. - Nếu d = 6 thì cd = 20 (loại) Thay vào ta được phép tính: _ 3125 25 62 50 _ 125 125 0 25 125 V i dụ 3.13. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bời chữ số thích hợp: a) 30abc: abc = 241; b) 1326-abab = ab . Gi di: a) Ta viết lại thành phép nhân: b) Ta có: abc X 241 = 30abc ____ _ ãbc X 241 = 3 0 0 0 0 + ãbc ãbc X 24 l- ã b c = 30000 ã b c x (2 4 1 -0 = 30000 ãbcx 240 = 30000 ãbc = 3 0 0 0 0 : 2 40 ãbẽ = 125 Thay vào ta được phép tính cần tìm là: 1 3 2 6 - 1313 = 13. abab = abx 101 ãb + ãbx 101 = 1326 ãbx(IOI + l) = 1326 ãbx 102 = 1326 ãb = 1326:102 ãb = 13 Dạng 3. Các bài toán về điền chữ sò thay cho các dàu sao trong phép tính Ví dụ 3.14. Đién chữ số thích hợp thay cho dấu * trong phép tính sau: n) 432* * 30** * * * Giải: h)* * * * * * * * **2 a) Trước hết ta xác định chữ sô hàng đơn vị của sô nhân: * X 432 = 30** - Nếu * = 6 thì 6 X 432 = 2592 < 30** (loại) - Nếu * = 8 thì 8 X 432 = 3456 > 30** (loại) S) - V ậ y * = 7. Tiếp theo ta xác định chữ số hàng chục của số nhân: * X 432 = ***. Vậy * = 1 hoặc 2. - Nếu * = 1, thay vào phép nhân thì kết quả không thể là số có 5 chữ số. Vậy * = 2. Thay vào ta được phép nhân : 432 X27 3024 864 11664 b) Trước hết ta xét tích riêng 2 X ** = *** Từ đây ta suy ra chữ số hàng trăm phải bằng 1 và chữ số hàng chục của số chia lớn hơn 4. Thay vào ta có phép tính: $ $ $ 9)c 3|e ** Ị * * ĩ ** 0 Ta xét số dư trong lần chia thứ nhất: * * * - * * = 1. Phép trừ đó phải là 1 0 0 - 9 9 = 1 100* * 99 Thay vào ta có phép tính: I** j** 0 Xét tích riêng thứ nhất * X ** = 99 mà chữ số hàng chục lớn hơn 4 nên sô' chia bằng 9. Suy ra tích riêng cuối cùng là: 2 X 99 = 198. Thay vào ta có phép chia: 99 102 50 10098 99 198 198 V í dụ 3.15. Xác định dấu của phép tính sau, sau đó điền chữ số thích hợp thay cho dấu * : a) 9*247* b) *57*8*9 c) 325 *8** 6 4 861*7* ** *3575*2 *0*364 13** 2 * * * *4 * * * G i á i: a) Theo hình thức đặt phép tính thì đây là phép cộng hoặc trừ. Kết quá cùa phép toán là sô có 7 chữ số, lớn hơn số thứ nhất cũng như số thứ hai cùa phép tính 1 chữ số. Vậy đây là phép cộng: 9 * 247 * + *8**64 *3 5 7 5 * 2 Phép cộng chữ sô' hàng đơn vị: * + 4 có tận cùng bằng 2. Vậy * = 8. Phép cộng chữ số hàng chục: 7 + 6 + I có tận cùng bằng *. Vậy * = 4. Phép cộng chữ số hàng trăm: 4 + * + 1 có tận cùng bằng 5. Vậy * = 0. Phép cộng chữ số hàng nghìn: 2 + * có tận cùng bằng 7. Vậy * = 5. Phép cộng chữ số hàng chục nghìn: * + 8 có tận cùng bằng 5. Vậy * = 7. Phép cộng chữ số hàng trăm nghìn: 9 + * + 1 có tận cùng bằng 3. Vậy * = 3. Thay vào ta được phép tính: 972478 + 385064 1357542 b) Suy luạn tương lự cau a la dược pliep tinh: _ 1570839 861475 709364 c) Theo hình thức đặt phép tính thì đây phải là phép nhân: - Xét tích riêng thứ nhất: 325 X * = 13** Nếu * nhỏ hon 4 thì tích riêng có 3 chữ số, nếu * lớn hơn 4 thì tích riêng có số chục lớn hơn 13. Vậy chữ số hàng đơn vị có số nhân bằng 4. 51 Xét tích riêng thứ hai: 325 X * = 2*** - Nếu số nhân nhỏ hơn 7 thì chữ số hàng nghìn của tích là 1 hoặc 0. vạy chữ số hàng chục cùa số nhân phải lớn hơn 6. - Bằng thử chọn ta tìm được chữ số hàng chục của số nhàn bằng 7. Thay vào ta được phép tính: 325 X74 1300 2275 24050 Dạng 4. Các bài toán về điền dấu vào phép tính Trong dạng toán này, người ta thường cho một dãy các chữ số, ta phải điển d ấ u c á c p h é p tín h , X , :) v à d ấ u n g o ặ c x en g iữ a các c h ữ số đ ể đư ợ c p h é p tính có kết quả cho trước. Các ví dụ dưới đây minh họa các phương pháp giải thường sử dụng. Ví dụ 3.16. Hãy điển dấu phép tính và dấu ngoặc để có: a) 1 2 3 = 1 b) 1 2 3 4 = 1 c) 1 2 3 4 5 = 1 d) 1 2 3 4 5 6 = 1 e) 1 2 3 4 5 6 7 = 1 g) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1 h) 1 23456789=1 Giải: a) Giữa sỡ' 1 và sớ 2 chi có thé đién dâu + (công) hoặc X (nhân). - Nếu điền dấu X thì giữa 2 và 3 cũng phải điền dấu + hoặc X . Như thế kết quá lớn hơn 1. Vậy giữa 1 và 2 phải điền dấu + , nên ta có: 1 + 2 = 3. - Để được kết quả bằng 1 thì giữa 2 và 3 ta điền dấu : (chia), ta được: (1 + 2 ) : 3 = 1 b) Có nhiều cách điền, chẳng hạn: 1 X 2 + 3 - 4 = 1 1 X (2 + 3 - 4) = 1 1 : (2 + 3 - 4) = 1 52 Sử đụng kết quả trên ta có thể điền vào câu d, g như sau: d) ( l X 2 + 3 - 4 + 5 ) : 6 = 1 (1 X (2 + 3 - 4) + 5) : 6 = 1 (1 : (2 + 3 - 4) + 5) : 6 = 1 g )(((l X 2 + 3 - 4) + 5 ) : 6 + 7 ): 8 = 1 ((1 X (2 + 3 - 4) + 5 ) : 6 + 7) : 8 = 1 ((1 : ( 2 + 3 - 4 ) + 5): 6 + 7): 8 = 1 e )((l + 2 ): 3 + 4 ): 5 = 1 d)(((l + 2) : 3 + 4) : 5 + 6 ) : 7 = 1 h) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 1 ((((1 + 2): 3 + 4 ): 5 + 6 ): 7 + 8): 9 = 1 Ví dụ 3.17. Hãy điền thêm dâu phép tính và dấu ngoặc vào dãy số sau: 6 6 6 6 6 Để được biểu thức có giá trị lần lượt bằng 0, 1,2, 3 ,4 , 5 và 6. Giải: a) Biểu thức có giá trị bằng 0, chẳng hạn: (6 - 6) X (6 + 6 + 6) = 0 ( 6 - 6 ) : (6 + 6 +6) = 0 b ) B iểu th ứ c c ó g iá trị b ằ n g 1, c h ẳ n g h ạn : 6 + 6 - 6 6 : 6 = 1 6 - (66 : 6 - 6) = 1 c) Biểu thức có giá trị bằng 2, chẳng hạn: (ồ + b ) : 6 x 6 : 6 = 2 (6 + 6):6 + 6 - 6 = 2 (6x6:6 +6) : 6 = 2 6 : (6 X 6 : (6 + 6)) = 2 d) Biếu thức có giá trị bằng 3, chẳng hạn: (6 + 6 ) : 6 + 6 : 6 = 3 6 - (6 X 6 : (6 + 6) = 3 6 : 6 + (6 + 6): 6 = 3 6 : (6 : 6 + 6 : 6) = 3 e) Biểu thức có giá trị bằng 4, chắng hạn: 6 — ( 6 : 6 + 6 : 6) = 4 (6 + 6 + 6 + 6):6 = 4 g) Biểu thức có giá trị bằng 5, chẳng hạn : 6 - 6 : 6 x 6 : 6 = 5 6 - 6 x 6 : 6 : 6 = 5 h) Biểu thức có giá trị bằng 6, chẳng hạn: 6 - 6 + 6 - 6 + 6=6 6 + 6 - 6 + 6 - 6=6 6 x 6 — 6 x 6 + 6 = 6 6 : 6 - 6:6 + 6 = 6 Dạng 5. Vặn dụng tính chát của các phép toán đê tìm nhanh giá trị của biêu thức Những tính cliất cần Ill'll ỷ: 1. Tính chất qiao hoán: a + b = b + a và a X b = b X a 2. Tính chất kết hợp: (u + b) + c = a + (b + c) và (a X b) X (■ = a X (b X (■) 3. N liủn với 1 và chia clio I : a X 1 = a ; a : a = I vù a : 1 = a 4. Cộng vù nliân với 0: a + 0 = a và a X 0 = 0 5 Nhân một sô vớị một tổng hoặc một lìiện: a X (b + c) = a X b + a X í' và a X (b - c) = a X b - a X c Ví dụ 3.18. Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất: . a ) 1996 + 3992 + 5988 + 7984 ; b) 2 x 3 x 4 x 8 x 50 x 25 x 125; c) (45 X 4 6 + 47 X 48) X (51 X 52 - 49 X 48 ) X (45 X 128 - 90 X 6 4 ) X (1995 X 1996+ 1997 X 1998); d 1988x1996+1997x11 + 1985 1997x1996-1995x1996 54 Giỏi: a) Ta có: 19% + 3992 + 5988 + 7984 = 1 X 1996 + 2 X 1996 + 3 X 1996 + 4 X 1996 = ( 1 + 2 + 3 + 4 ) X 1996 = 10 X 1 9 9 6 = 19960 b ) 2 x 3 x 4 x 8 x 5 0 x 25 x 125 = 3 x 2 x 4 x 5 0 x 25 x 125 = 3 X (2 X 50) X (4 X 25 ) X (8 X 125) = 3 X 100 X 100 X 1000 = 30000000 c) Ta nhận xét: 45 X 128 - 90 X 64 = 45 X (2 X 64) - 90 X 64 = (45 X 2) X 64 - 90 X 64 = 90 X 64 - 90 X 64 = 0. Trong một tích có một-thừa số bằng 0. Vậy tích đó bằng 0, tức là (45 X 46 + 47 X 48) X (51 X 52 - 49 X 48) X (45 X 128 - 90 X 64) X X (1995 X 1996+ 1997 X 1998) = 0. 1988x1996 + 1997x11 + 1985 1997x1996-1995x1996 1988x 1 99 6+ (1 9 9 6 + l)x 11 + 1985 1 9 8 8 x 1 9 9 6 + 1 9 9 6 x 1 1 + 11 + 1985 (1997-1995)x 1996 “ 2x1996 _ (1988 + 11)X 1996 + G 1 + 1985) _ 1999x1996 + 1996 2x1996 " 2x1996 (1999+ l)x 1996 2000x1996 _ 1000 2x1996 ~ 2x1996 Dạng 6. Tìm thùnh pliun chưa bict trung day tínli Khi giải các bài toán dạng này, ta dựa vào quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính để tìm kết quả. Ví dụ 3.19. Tim X, biết rằng: a) X + 40 X 25 = 2000; b) (X + 40) X 25 = 2000; < c)(x- 10) X 5 = 1 0 0 - 2 0 x 4 ; d) (X + 2) + (X + 4) + ... + (X + 1996) = 998000. 55 Giải: a) Ta có: b) (X + 40) X 25 = 2000 X + 40 X 25 = 2000 x + 1000 = 2000 X = 2 0 0 0 -1 0 0 0 X = 1000. c ì(x - 10)x5 = 1 0 0 - 2 0 x 4 (X - 10) X 5 = 1 0 0 - 8 0 (X - 10) X 5 = 20 X - 10 = 20: 5 X - 10 = 4 x = 4 + 10 X = 14. X + 40 = 2000 : 25 X + 40 = 80 X = 8 0 - 4 0 X = 40. d) Các số hạng x + 2 ; x + 4;...;x + 1996 lập thành một dãy số cách đềiu với khoảng cách bằng 2. Từ X + 2 đến X + 1996 có: (1996 - 2): 2 + 1 = 998 (số hạng). Tống các sô' hạng ở vế trái là: (X + 2) + (x + 4) + ... + (X + 1996) = (X + 1996 + X + 2) X 998 : 2 = (2 X X + 1998) X 998: 2. Vậy ta có: (2 X X + 1998) X 998 : 2 = 998000 (2 X X + 1998) X 998 = 998000 X 2 2 X X + 1998 =998000x 2:998 2 x x t 1998 = 2 0 0 0 2 X X = 2000 - 1998 2 X X = 2 X = 2 : 2 X = 1. Dạng 7. Một số phép tính có két quà đặc biệt Ví dụ 3.20. a) Phái nhân 19 với sô nào đẽ được kết quá là: 1919; 9 I9 I9 I9 ? b) Phải nhân 123 với số nào đề được kết quả là: 123123; 12312 3 123? c) Phái nhãn 1996 với sô nào đê được kết quá là: 199619%? 56 Giải: a) Bài toán có thè hiếu như sau: 19 X ? = 1919 ? = 1919 : 19 ?= 101. Vậy phái nhàn 19 với 101 để được kết quá bàng 1919. Và: 19 X ? = 19191919 ? = 19191919 : 19 ? = 1010101. Vậy phải nhân 19 với I01Ơ101 đế clươc kết quà bằng 19191919. Tương tự ta có: b) Phải nhân 123 với 100! và 1001001 để được kết quả bằng 123123 và 123123123. c) Phái nhân 1996 với 10001 để được kết quả bằng 19961996. Ví dụ 3.21. Phái nhân 9 với số nào để được một số viết bàng 9 chữ số I ? Giải: Bài toán có thế hiểu như sau: 9x7=111111111 7=111111111:9 ? = 12345679. Vậy phải nhân 9 với 12 345 679 đế được một số viết bằng 9 chữ sô' 9. Dạng 8. Các bài toán trác nghiệm khách quan vé phép tính Bàì 1. Tổng của tất cả các sô' có bốn chữ số khác nhau viết bởi các chữ sô' 1; 2; 3; 4 là: A. 66 660 I___I B. 44 440 Ị_ Bàĩ 2. Tổng của tất cả các số có bốn chữ số khác nhau viết bời các chữ số 0; 1; 3; 6 là: A. 66 660 Q ] B. 64 440 LSài 3. a) Tổng cúa tất cà các số có bốn chữ số khác nhau được viết bời bốn chữ số I; 2; 5; 7 mà chữ số hàng nghìn bằng 5 là: A. 32 220 Q ] B. 96 660 Q h) Cho: 0 : X = 0. 57 A. Tất cả các số tự nhiên thích hợp có thê thay vào X là: 0, 1,2, 3, 4, 5 , ............... B. Tất cả các số tự nhiên thích hợp có thể thay vào X là: 1,2, 3,4, 5, 6, ............... Klioanli vào chữ đặt trước câu trả lời đúng: Bài 4. Cho : X = 11111 + 33333 + 55555 + 77777 + 99999 Y = 13579 + 35791 +57913 +79135 + 91357 z = 51397 + 93175 + 37511 + 15933 + 79759 Ta có: A. X < Y < z B. X = Y = z c. X > Y > Z D. Y < X < z E. z < Y < X Bài 5. Cho N = 238 : (51 - 34) X 15 Giá trị của biểu thức N chia hết cho: A. 2 và 3 B. 2 và 9 c . 3, 5 và 7 D. 5 và 9 Bài 6. Sô' tự nhiên thích hợp có thể thay vào X để (X + 1952) X 665 = (412 + 886) X 1995 là: A. 1236 B. 1942 c . 3894 D. 2658 Bài 7. Lan đã viết 450 số tự nhiên liên tiếp kể từ số 51. Như vậy, Lan đã viết tất cả là: A. 1200 chữ số B. 1242 chữ số c . 1301 chữ sô' D. 1304 chữ số Bài tập tự luyện 1. Sổ lượng bao xi mãng bán dược cùa ba cứa hàng vật liệu xây dựng trong một tuần lễ được ghi lại như sau: Không làm phép tính, hãy cho biết trong tuần đó cửa hàng nào bán được nhiều xi măng hơn? 58 2. Khi cộng một số tự nhiên có 5 chư số với 25, do sơ suất, một học sinh đã đặt phép tính Iilur sau: abcde +25 Bạn hãy so sánh tổng đúng và tổng sai cúa phép tính đó. 3. Khi cộng một sô tự nhiên với 107, một học sinh đã chép nhầm sô hạng thứ hai thành 1007 nên được kết quả là 1996. Tìm tổng đúng của hai số đó. 4. Khi trừ một số tự nhiên đi 11 một học sinh đã đặt phép tính như sau: abcd 1 1 Hãy so sánh kết quả đúng và kết quả sai trong phép tính đó 5. Khi chép lại một phép tính cộng vào vờ, bạn Minh đã chép đúng kết quả, nhưng chép nhầm vị trí hai chữ số của một sổ hạng: 85324 52132 + 1231 28244 31195 194166 Hãy xác định số hạng bạn Minh đã chép nhầm. Viết lại phép tính đó cho đúng. 6. a) Khi trừ một số tự nhiên với 223, do sơ suất, một học sinh chép nhầm sô' trừ là 23 đồng thời chép nhầm dấu trừ thành dấu cộng nên nhận được kết quả bằng 1462. Tìm kết quà đúng của phép tính đó. b) Khi trừ 2108 với một số tự nhiên, một học sinh đã chép nhầm chữ số hàng chục cùa số trừ là 3 thành 8, chữ số hàng đơn vị là 8 thành 3 đòng thời chép nhầm dấu trừ thành dấu cộng nên nhận được kết quả bằng 2754. Tìm kết quả đúng của phép tính đó. 7. a) Khi cộng 3054 với một số tự nhiên có hai chữ số, do sơ suất, một học sinh đã đặt phép tính như sau: _ 3054 ab Vì vây kết quả của phép tính giảm đi 1313 đơn vị. Tim kết quả đúng của phép lính đó. 59 b) Khi trừ 4012 với một số tự nhiên có ba chữ số, một học sinh đã đặ< phép tính như sau: 4012 +abc Vì vậy kết quả của phép tính đã tăng thêm 2981 đơn vị. Tìm kết quả đúng của phép tính đó. 8. a) Khi cộng một số tự nhiên với một số tự nhiên có hai chữ số, do sơ suất, một học sinh đã đặt phép tính như sau: abcd + ed Và nhận được kết quả bằng 3375. Tìm hai số đó, biết rằng kết quà của phép tính đúng bằng 3132. b) Khi trừ một sô' tự nhiên với một số tự nhiên có hai chữ số, do sơ suất, một học sinh đã đặt nhđm phép tính như sau: abcd +eđ và nhận được kết quả bằng 3226. Tìm hai số đó, biết rằng kết quà của phép tính đúng bầng 2709. 9. Khi nhân một số có ba chữ số với 207, một học sinh đã đặt phép tính như sau: abc X207 deg hmk và được kết quả bằng 3861. Tìm tích đúng của phép nhân đó. 10. T ổng của hai sồ' tư nhiên hằng 1073. N ếu tăng số hạng thứ nhất lân 5 láii vù tăng số hạng thứ hai lên 8 lần thì được tổng là 7948. Tim hai sô' đó. 11. Một học sinh khi làm phép nhân, đáng lẽ phải nhân vói 103 nhưng quên viết sô' 0 ở số nhân nên tích giảm đi 37 080 đơn vị. Hỏi bạn đó định nhân sô' nào với 103? 12. Khi chia một sô' tự nhiên cho 101, một học sinh đã đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị của số chia, nên nhân được thương là 65 và dư 100. Tìm thương và số dư của phép chia đó. 13. Khi nhân 234 với một số tự nhiên, do sơ suất, một học sinh đã đổi chỗ chữ số hàng nghìn với hàng chục và chữ số hàng đơn vị với hàng trăm của số nhân nén được kết quà là 2 250 846. Tìm tích đúng của phép nhân đó. 60 14. Tim thương của hai số, biết rằng số lớn gấp 5 lần thương và thương gấp 3 lấn số nhỏ. 15. Điển chữ số thích hợp thay cho dấu * trong phép tính sau: a) c) **b 23* **94 * * * * Ị *** *** 8 * b) 1* ** * * * ** d) 3|e * * % 9fc % * * * * * * * * * * * * * e) 542 * * 32** * * * * ỊQ * * * g) sje j|c :je 5|e * * * * * * * * * k*2 16. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bời chữ số thích hợp: a) abcd + abc = bddbc b) bccb - a b = abc c) cbaba + abcaa = bdbaO d) ab Xbb ab ab e) abb Xcc cdd cdd bccb 40bd g) (a + b + c)xl 1 =abc 17. Hãy thay vào T, H, A, N chữ số thích hợp trong phép tính sau: THÂN + THÂ + TH + T = 4321. 18. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bời chữ số thích hợp: 61 a ) 8ab:ab = 17; b ) 6ab = abx41; c) 15abc : abc = 121; d) abed X 81 = 33abcd; e) abcabc + abc = 321642; g) abab + ab = 2550; h) abxaba = abab 19. Cho abxaba = 28355. Thay a, b bời chữ số thích hợp đê được phép tính đúng, biết rằng ab lớn hơn tổng các chữ số của nó 45 đơn vị. 20. Thay a, b, c, d, e bời những chữ số thích hợp trong các phép tính sau: a) abcde X 9 = edcba; b) cdebc - abcd - acac = 0. 21. Cho một số có hai chữ số. a) Nếu viết thêm vào bên phải số đó một sô' có hai chữ số thì ta đuợc số mới lớn hơn số ban đầu 1956 đơn vị. Tìm số ban đầu và sô' mới viết thêm. b) Nếu viết thêm hai chữ số vào bên phải số đó ta được một số lớn gấp 103 lần số ban đầu. Tìm số ban đầu và số mới viết thêm, biết rằng số ban đầu có chữ số hàng chục lớn gấp ba lần chữ số hàng đơn vị. 22. Xác định dấu của phép tính sau, sau đó điển chữ sô thích hợp thay cho dâu *: a) 861*7* d) *3575*2 * 0*364 *8**64 *57*8*9 9*247* c) * * * d) ** 318 *8 9** * * * * * * *g ** ọ 1 *** * * * * * 23. Hãy điền thèm dấu + xen giữa các chữ sô' 88888888 Để được dãy tính có kết quả bằng: a) 208 b) 1000 24. Hãy điền thêm dấu các phép tính vào mỗi dãy số sau để được dãy tính có kết quả lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5: a) 3 3 3 3 3 b) 4 4 4 4 4 c) 5 5 5 5 5 62 25. Thục hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất: 99 7 5 + 11970 + 13965 + 1 5 9 6 0 + 17955 + 1 9 9 5 0 1995 + 3990 + 5985 + 7980 + 9975 b) 1 2 3 4 x 5 6 7 8 x (6 3 0 -3 1 5 x 2 ): 1996; 399x45 + 55x399 c) 1995x1996-1991x1995 1996x1995-996 d) 1000+1996x1994’ (l + 2 + 4 + 8 + ... + 512)x(101xl02-101xl01-50-51) e) 2 + 4 + 8+16 + ... + 1024 + 2048 26. Tim X trong dãy tính sau: a) (x - 21 X 13) : 11 = 39; b)(x-21)x 13 : 11 = 39; c ) (X - 5 ) X (1995 X 1 9 9 6 + 1996 X 1997) = 1234 X 5678 X ( 6 3 0 - 3 1 5 X 2 ): 1996; d) (18 X 38 + 16 X 76 - 1) = (36 X 19 + 64 X 20 - 65) X X. 27. a) Phải nhàn 23 với sỏ nào đề được kết quả là 232 323? b) Phải nhân 253 với số nào đê được số 253 253? 28. Phải nhân: a) 3 với số nào để được sô viết bằng 9 chữ số 5? b) 7 với số nào đê được số viết bằng 6 chữ số 2? 29. Phải nhân 12 345 679 với số nào để được tích là một số có 9 chữ sô: a) đều là chữ số 2? b) đểu là chữ số 3? c) đểu là chữ số 4? d) đều là ch'7. 3Ố 5? e ) đ ề u là c h ữ s ố 6 ? g) đ ề u lù c h ữ s ố 7 ? h) đều là chữ SỐ 8? i) đểu là chữ số 9? 30. Lấy số có hai chữ số ab nhân với 101 được kết quả là số abab. Hãy đọc nhanh kết quả khi nhân số ab với: a) 10101; b) 1010101. và giải thích tại sao? 31. Hãy rút ra quy tắc nhân nhẩm: a) một số có hai chữ số với 101; b) một số có ba chữ số với 1001. 63 32. Điền vào ô trống dấu các phép tính , X ,:) thích hợp: a)63 □ 3 = 6 Q 3 Q 3 ; b )9 5 □ 5 = 9 Q 5 Q 5 ; c) 85 □ 63 = 8 □ 5 □ 6 Q 3 ; d) (2 Q 7) Q 2 Q 16 = 272 □ 16. Đúng ghi Đ, sai ghi s vào ô trống. B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC CHƯƠNG 3 1. YÊU CẦU VỀ LÍ THUYẾT Để tiếp thu kiến thức của chương này, học viên cần nắm dược: - Các quy tắc thực hành bón phép tính:.cộng, trừ, nhân, chia trong tập số tự nhiêm; - Các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối,-tính chất của số 0, tính chát icủa số 1 khi thực hành các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia trong tập số tự nhicn. - Các quy tắc tìm thành phần chưa biết cùa bốn phép tính: cộng, trừ, nhân, chia. - Quy tắc tính giá trị của biểu thức có dấu ngoặc và không có dấu ngoặc. 2. YÊU CẦU VỀ BÀI TẬP - Nắm được 7 dạng bài tập cơ bản của chương: 1) Các bài toán về vận dụng quy tắc thực hành bốn phép tính; 2) Các bài toán về điển chữ số thay cho các chữ trong phcp tính; 3) Các bài toán về điền chữ số thay cho dấu * trong phép tính; 4) Các bài toán về điền dấu phép tính; 5) Vận dụng tính chất của các phép tính để tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiộn nhất; 6) Tìm thành phẩn chưa biết trong dãy tính; 7) M ột số p h cp tín h c ó kô't quù đục b iệt; 8) Ngoài ra, dạng toán trắc nghiệm khách quan về phép tính. - Đối với mỗi dạng toán cần nắm được: + Những kiến thức cần củng cô' và bổ sung để giải toán; + Cách nhân dạng bài toán; + Cách lựa chọn phương pháp giải; + Cách trình bày lời giải cho từng dạng tiêu biểu; + Cách phát triển bài toán từ một bài toán vừa giải; + Dành thời gian giải các bài tập tự luyện ờ cuối chương đê củng câ' !;ĩ năng giải theo mỗi dạng. 64 CHƯƠNG 4 CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG I. NHŨNG KIẾN THỨC CAN NHỚ: /. Dấu hiện chia hết c lio 2: - Những số có tận cùnq bần ẹ 0, 2, 4, 6 lioặc 8 thì cliiu hết cho 2; - Nlĩữiìg s ố chia hết cho 2 thì có tận cùng bâng 0, 2, 4, ô hoặc 8. 2. Dấu hiệu chiu hết clio 5: - Nliững sô'có tận cùng bằng 0 lioặc 5 thì chia hết clio 5; - Những sô chia liết clio 5 thì ró tận cùnẹ bằn % 0 hoặc 5. 3. Dấu hiệu cliiu hết clio 3: - Nhữiìg sô có tổng cúc cliữ s ố chia hết clio 3 thì chiu hết cho .ỉ; - Nliững sô chia liết clio 3 thì tổng các chữ số của nó chiu hết clio 3; 4. Dấu hiệu chiu hết clio 9: - Những sô'có tổng t ức chữ sô chia hết ( ho 9 tliì chia hết clio 9; - Nhữiiq s ố chia hết cho 9 thì tôn (Ị các chữ s ố của nó cliia liết cho 9. 5. Dấu hiệu chia liết clio 4: - Những sô có hai chữ sô tận cùng tạo thủnli s ố chia hết cho 4 tliì liìia liết cho 4; - Những sô'chia hết cho 4 tlù hai chữ sô tận cùng của nó tạo thành sô c hiu hét L hu 4. II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Dạng 1. Vận dụng dấu hiệu chia hết đè viết các sô tự nhiên V í dụ 4.1. Cho ba chữ số 2, 3, 5. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số: a) chia hết cho 2; b) chia hết cho 5 từ ba chữ số đã cho. 65 Giải: a) Số viết được từ ba chữ số đã cho chia hết cho 2 phải có tận cùng bằng 2. Các số viết được là: 222 232 252 322 332 352 522 532 552 b) Số viết được từ ba chữ sô' đã cho chia hết cho 5 phải có tận cùng bằng 5. Các số viết được là: 225 235 255 325 335 355 525 535 555 V í dụ 4.2. Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5, 9 thỏa mãn điều kiện: a) Chia hết cho 2; b) Chia hết cho 4; c) Chia hết cho 2 và 5. Giải: a) Các sô' chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0 hoặc 4. Mặt khác, mỗi sô' đẻu có các chữ sô' khác nhau, nên các sô' thiết lập được là: 540 504 490 940 904 590 450 954 950 694 b) Tương tự câu a, ta có các sô' có ba chữ sô' chia hết cho 4 viết được là: 5 4 0 , 5 0 4 , 9 4 0 , 904. c) Sô' chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng bằng 0. Vậy các số cần tìm là: 540 450 490 940 950 590* Ví dụ 4.3. a) Có thể viết được bao nhiêu sô' chẵn có ba chữ số mà các chữ số của nó đểu là số chẵn? b) Có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà các chữ số của nó đều là số lẻ? 66 Giải: a) Mỗi số cần tìm có dạng abc . Ta nhận xét: - Có 4 cách chọn a; - Có 5 cách chọn b; - Có 5 cách chọn c. Vậy sô các số chẵn có ba chữ số mà các chữ sô' của nó đểu là sỏ chẵn là: 4x5x5= 100 (số). b) Mỗi sô cần tìm có dạng abc5 . Ta nhận xét: - Có 4 cách chọn a; - Có 4 cách chọn b; - Có 3 cách chọn c. Vây sô' các số có bốn chữ sô' khác nhau mà các chữ số của nó đều là số !é là: 4 X 4 X 3 = 48 (số). Dạng 2. Vận dụng dấu hiệu chia hết đẻ xác định các chữ sô chưa biết của một sô tự nhiên Chú ý: - Nếu sổ phâi tìm chia hết cho 2 hoặc 5 tliì trước hết ta dựa vào dâu hiệu chiu hết clio 2 hoặc 5 đ ể xúc định chữ s ố hàng đơìi vị. - Tiếp đó dùng phương pháp thử cliọn kết hợp với cúc dấu hiệu chia liết đê xác định các chữ s ố còn lại. Ví dụ 4.4. Thay X, y bời chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên a = 1996xy chia hết cho 2, 5 và 9. Giải: - a chia hết cho 5, vậy y phái băng ơ hoặc 5; - Mặt khác, a chia hết cho 2 nên y = 0. Thay vào ta được a = 1996x0. Vì a chia hết cho 9 nên: 1 + 9 + 9 + 6 + x + 0 = X + 25 chia hết cho 9. Suy ra X = 2. Sô' phải tìm là 199 620. Ví dụ 4.5. Cho n = a378b là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tim tất cả những chữ sồ' a, b để thay vào ta được số n chia hết cho 3 và 4. 67 Giải: - n chia hết cho 4 thì 8b chia hết cho 4. Vậy b = 0, 4 hoặc 8. - n có 5 chữ sô' khác nhau nên b = 0 hoặc 4; - Thay b = 0 ta có n = a3780. + Vì n chia hết cho 3 nên a + 3 + 7 + 8 + 0 = a + 18 chia hết cho 3. Suy ra a = 3, 6 hoặc 9. Mặt khác, n có 5 chữ sô' khác nhau nên a = 6 hoặc a = 9. Thay vào ta được các số 63 780 hoặc 93 780. - Thay b = 4 ta có n = a3784. + Vì n chia hết cho 3 nên a + 3 + 7 + 8 + 4 = a + 22 chia hết cho 3. Suy ra a = 2, 5, 8. Mặt khác, vì n có 5 chữ sô' khác nhau nên a = 2 hoặc a = 5. Thay vào ta được các số 23 784; 53 784. Vậy các số cần tìm là 63 780; 93 780; 23 784; 53 784. Ví dụ 4.6. Hãy viết thêm vào bên trái sô' 123 một chữ sô' và bên phải 2 chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 5 và 9. Giải: Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a, bên phải là b, c. Sô' cẩn tìm có dạng n = al23bc. Vì n chia hết cho 5 nên c = 0 hoặc 5. - Nếu c = 0 thì n = al23b0. + Vì n chia hết cho 9 nên a+l+2 + 3 + b + 0 = a + b + 6 chia hết cho 9. Suy ra a + b = 3 hoặc a + b = 12. • Nếu a + b = 3. Số 3 có thể phân tích thành tổng của 0 và 3; 1 và 2. Vì n có 6 chữ sô' khác nhau nồn ta loại trường hợp này. • Nẽu n = 12. í>ô 12 có thế phân tích thành tống cúa 3 và 9; 4 và 8; 5 và 7; 6 và 6. Kết hợp vói điều kiện n có 6 chữ sô' khác nhau ta được các số: 412 380 và 812 340. Số nhỏ nhất cần tìm là 412 380. Dạng 3. Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu Các tínli chất thường sử dụng - Nêu mỗi số hạng của tổng đêu chia lìết cho 2 thì tổng của c luing cũng chia hết cho 2; 68 - Nếu s ố trừ vù sở'bị trừ đều chiu hết cho 2 thì hiệu chia hết clio 2. - Nếu một sô hạng klìông chia hết clio 2 và các s ố hạng còn lụi đêu chia hết clio 2 thì tổng không chiu hết cho 2. - Hiệu giữa ruột s ổ chia hết cho 2 vù một số không chiu hết cho 2 lù một sô không chia liết clio 2. Cũng có tính chất tươiig tự đôi với vác tnỉờiig liợp chia hết cho 3, 4 ,5 vù 9. Ví dụ 4.7. Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiộu sau đây có chia hết cho 3 hay không? a) 2 4 0 + 1 2 3 ; b) 2 4 0 -1 2 3 ; c) 459 + 690+ 1236; d) 2454 + 374; e) 2454 - 374; 0 541 + 690 + 1236. Giải: Vì 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên: a) 24 0 + 123 b) 2 4 0 -1 2 3 đéu chia hết cho 3. c) Các số 459; 690; 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chia hết cho 3. Số 2454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên d) 2454 + 1236 e) 2 4 5 4 - 1236 đều không chia hết cho 3. g) 541 không chia hết cho 3; 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 541 + 690 + 1236 không chia hết cho 3. Ví dụ 4.8. Tổng kết nãm học 2005 - 2006, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi. Ban Giám hiệu dự định thường cho mỗi học sinh giói nhiều hơn một học sinh tiên tiến 2 quyến vở. Cô văn phòng nhẩm tính phải mua 2006 quyển thì vừa đủ phát thưởng. Hỏi cô văn phòng tính đúng hay sai? Giải thích tại sao? Giải: Ta nhận xét: Số học sinh tiên tiến và số học sinh giỏi đều là những sô' chia hết cho 3, vì vậy số vờ thường cho mỗi loại học sinh phải là số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vỏ phát thường cũng là một số chia hết cho 3, mà số 2006 không chia hết cho 3. Vây cô vãn phòng đã tính sai. 69 Dạng 4. Các bài toán về phép chia có dư Những tinh chất vần liíit ỷ: 1. Nếu a chia cho 2 dư l thì chữ sô tận cùng cùa nó bằng ]', 3, 5, 7 hoục 9. 2. Nếu a cilia cho 5 dư ì thì chữ sỏ tận cùng của nó bâng 1 hoặc 6; dư 2 thì bằng 2 hoặc 7; dư 3 thì bằng 3 hoặc 8 và dư 4 thì bảng 4 hoặc 9. 3. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của cluing cilia hết cho 2. Tương tự trường hợp khi chia cho 3 ,4 ,5 hoặc 9. 4. Nếu a chiu cho b dư b - 1 till a + 1 chia hết clio b. 5. Nếu a chia cho b dư 1 thì a - 1 sẽ chia hết cho b. Ví dụ 4.9. Thay X và y bời chữ số thích hợp để nhận được sô' tự nhiên n = x459y khi chia cho 2, 5 và 9 đều dư 1. Giải: - n chia cho 5 dư 1 nên y = 1 hoặc 6. - Mật khác, n chia cho 2 dư 1 nên y = 1. Thay vào ta được n = x4591 - n chia cho 9 dư 1 nên X + 4 + 5 + 9 + 1 = X + 19 chia cho 9 dir 1. Suy ra X = 0 hoặc 9. Mà X không thể bằng 0 nên X = 9. Thay vào ta được số cần tìm là 94 591. V í dụ 4.10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia số đó cho 3, 4, 5 và 7 đều dư 1. Giải: Cách 1. Gọi số phải tìm là a. Theo đề bài, a chia cho 3, 4, 5 và 7 đểu dư 1 nên b = a - 1 chia hết cho 3, 4, 5 và 7. - a chia hết cho 2 và 5 nên b có tận cùng bằng 0; - Trường hợp b có một chữ số: b có tận cùng bằng 0 nên b = 0. Suy ra a = 1 (loại vì sô' phải tìm lớn hơn 1); - Trường hợp b có hai chữ số: b có tận cùng bằng 0 và chia hết cho 7 nên b = 70 (loại vì 70 không chia hết cho 3); - Trường hợp b có ba chữ số: b có tận cùng là 0, vậy b = xyO; - Vì b chia hết cho 4 nên y = 2, 4, 6 hoặc 8; - Số xyO chia hết cho 7 nên b có thể là 140, 280, 420, 560 700, 840 hoặc 980. 70 - Trong các số trên chỉ có 420 và 840 chia hết cho 3 nên b bằng 421 hoặc 840. Suy ra a = 421 hoặc a = 8 4 1. Vậy số nhó nhất khi chia cho 3, 4, 5 và 7 đều dư 1 là 421. Cách 2. Theo lập luận ờ cách I thì b chia hết cho 3, 4, 5 và 7. - Nếu b chia cho 7 = c thì c chia hết cho 3, 4 và 5; - Nếu c : 5 = d thì d chia hết cho 3 và 4; - Nếu d : 4 = m thì m chia hết cho 3; - Sô' tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho 3 là 3, vậy m = 3. Suy ra d = 4 X 3 = 12; c = 5 X 12 = 60 và b = 7 X 60 = 420. Vậy a = 420+ 1 =421. Ví dụ 4.11. Tim số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 2; cho 4 đư 3, cho 5 dư 4 và cho 7 dư 6. Giải: Gọi số phải tìm là a. Đặt b = a + 1. Theo đề bài ta có số b chia hết cho 3, 4, 5 và 7. Lập luận tương tự bài trên ta được b = 420. Vậy a = 419. V í dụ 4.12. Hãy viết thêm vào bên trái và bên phải số 35 mỗi bên một chữ số đê nhận được số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau khi chia cho 3 dư 2, cho 5 đư 3. Giải: Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a, bên phải là b. Số cần tìm có dạng n = a35b. Vì n chia cho 5 dư 3 nên b = 3 hoặc 8. Mặt khác, n có 4 chữ số khác nhau nên b = 8. Thay vào ta được n = a358 . Vì a chia cho 3 dư 2 nên a + 3 + 5 + 8 = a + 16 chia cho 3 dư 2. Suy ra a = 1,4 hoặc 7. S ố lớ n n h ấ t c án tìm là 7 3 5 8 . Ví dụ 4.13. Có thể thay mỗi chữ trong phép tính sau bời chữ sô' thích hợp để được phép tính đúng hay không: TOAN - (T + o + A + N) = 1236? Tại sao? Giủi: Số TOAN và tổng các chữ số của nó (là tổng trong dấu ngoạc) luôn có cùng số dư khi chia cho 9 nên biểu thức ờ vế trái luôn chia hết cho 9. Số 1236 không 71 chia hết cho 9. Vì vậy không thể thay mỗi chữ trong phép tính trên bời chữ số thích hợp để được một phép tính dúng. Dạng 5. Vận dụng dâu hiệu chia hết và phép chia có dư đẻ giải toán có lời văn Ví dụ 4.14. Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ thành 4 mảnh. Lấy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ. Sau đó lại lấy một số mảnh xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ và cứ tiếp tục như thế đến khi dừng lại một người đếm được 2006 mảnh lớn nhỏ cả thảy. Hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải: Khi xé một mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh mới tăng thêm là 3. Lúc đầu có 3 mảnh, sau mỗi đợt xé số mảnh tãng thêm chia hết cho 3 nên tổng sổ mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt xé phải chia hết cho 3. Số 2006 không chia hết cho 3 nên người đó đã đếm sai. Ví dụ 4.15. Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lẩn lượt là 104, 115, 132, 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi lúc đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Giải: Tổng số cam và chanh của cửa hàng đó là: 104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả). Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam cho nên tổng số quả còn lại phải chia hết cho 5. Suy ra số cam đã bán phải chia hết cho 5. Trong số 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là số chia hết cho 5. Vậy cửa hàng đó đã bán rổ đựng 115 quả cam. Sô' cam còn lại bàng — số quả chưa bán. Mặt khác: (104 + 132 + 135 + 148): 5 = 104 (quả). Suy ra rổ đựng 104 quả là rổ cam còn lại và 3 rổ đựng 132, 136 và 148 quả là các rổ chanh. Số cam lúc đẩu của cửa hàng đó là: 115 + 104 = 219 (quả). Số chanh lúc đầu là: 6 3 5 -2 1 9 = 416 (quà). Đáp sô: 2 19 quà cam và 416 quả chan 72 V í dụ 4.lổ. Mội cửa hàng thực phám có 7 rố đựng trứng gà và trứng vịt (mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng). Số trứng trong mỗi rổ theo thứ tự lần lượt là: 47, 54, 60, 66, 75, 85, 92 quả. Sau khi bán hết 6 rổ, chi CÒ11 lại I rổ trứng gà, ngirời bán hàng thấy ràng Irong sô trứng đã bán: số trứng vịt gấp 3 lần trứng gà. Hòi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu irứng mỗi loại? Giải: Tổng sô trứng cứa hàng có là: 47 + 54 + 60 + 66 + 75 + 85 + 92 = 479 (quả). Sỏ trứng gà đã bán gấp 3 lần số trứng vịt nên tổng số trứng đã bán chia hết cho 4. Như vậy tổng số trứng lúc đầu (là 479 quả) chia cho 4 dư 3 mà số trứng đã bán chia hết cho 4. Suy ra số trứng còn lại chia cho 4 dư 3. Trong 7 rổ chỉ có rổ đựng 75 quả là chia cho 4 dư 3. Vậy còn lại rổ đựng 75 quả trứng gà. Sô trứng gà đã bán bằng — sô trứng đã bán. Măt khác: 4 (47 + 54 + 60 + 66 + 85 + 92): 4 = 101 (quả) Suy ra hai rố đựng 47 và 54 quả là các rổ trứng gà đã bán và bốn rổ đựng 60, 66, 85 và 92 quả là các rổ đựng trứng vịt. Sô' trứng gà lúc đầu của cửa hàng đó là: 75 + 47 + 5 4 = 176 (quá). Sô trứng vịt lúc đẩu cúa cửa hàng đó là: 4 7 9 - 176 = 303 (quả). Đáp số: 176 quả trứng gà và 303 quả trứng vịt. Ví dụ 4.17. Tổng kết năm học 2005-2006 trường tiêu học Ngô Quyền có 279 học sinh tiên tiến và 432 học sinh giỏi. Cô hiệu trưởng dự định phát thường cho mỗi học sinh giỏi nhiều gấp 2 lần một học sinh tiên tiến. Có vãn thư nhẩm tính phái mua /yyt) quyén vờ thi dù phat thường. HÓI co ay tinh dung hay sai? Tại sao? Gi ủi: Sỏ học sinh giỏi và học sinh tiên tiến đều chia hết cho 9. Vì vậy tổng số vờ phát thưởng phải chia hết cho 9. Số 2996 không chia hết cho 9 nên cô văn thư đã tính sai. Ví dụ 4.18. Tổng số học sinh khối Một của một trường tiêu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trãm bằng 3. Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không dư. Tính sô' học sinh khối Một cùa trường đó. 73 Giải: Theo đề bài, sô' học sinh khối Một của trường đó có dạng 3ab. Các em <ếp hàng 10 dư 8, vậy b = 8. Thay vào ta được số 3a8 . Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8 nên số 3a8 - 8 = 3a0 phải chia hết cho 12. Suy ra a = 0 hoặc a = 6. Nhưng 308 không chia hết cho 8. Vậy sô' học sinh khối Một của trường đó là 368 em. Đáp số: 368 em Bài tập tự luyện 1. Cho 4 chữ số 0, 1, 5 và 8. Hãy thiết lập các sô' có 3 chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện: a) Chia hết cho 6; b) Chia hết cho 15. 2. Hãy tìm sô' tự nhiên nhỏ nhất có 7 chữ số khác nhau chia hết cho 5. 3. Tìm số chẵn lớn nhất có 4 chữ sô' khác nhau. 4. Hãy viết thêm vào bên phải và bên trái sổ 1996 mỗi bên một chữ số để được sô' chia hết cho 2, 5 và 9. 5. Hãy xác định các chữ sô' a, b để thay vào ta được số 6a49b : a) Chia hết cho 2, 5 và 9; b) Chia hết cho 2 và 9. 6. Tìm một số có bốn chữ số chia hết cho 2, 3 và 5. Biết rằng khi đổi vị trí các chữ sô' hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì sô đó không thay đổi. 7. Tìm một sô' có 5 chữ sô' chia hết cho 25, biết rằng khi đọc các chữ sô' của nó theo thứ tự ngược lại hoặc khi đổi chỗ chữ sô' hàng trăm và hàng đơn vị thì số đó không thay đổi. 8. Không làm phép tính hãy xét xem các tổng và hiệu dưỏi đây có chia hết cho 3 hay không? a) 693 + 459; c) 92616 + 48372; e) 1236 + 2155 + 42702; b) 3693 - 459; d) 92616-48372; g) 3216 + 6552 + 70242. 9. Cho a là số tự nhiên có ba chữ số. Viết các chữ số của a theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên b. Hỏi hiệu hai sô' đó có chia hết cho 3 không? Tại sao? 10. Hai bạn Minh và Nhung đi mua 9 gói kẹo và 6 gói bánh để lớp liên hoan. Nhung đưa cho cô bán hàry* hai tờ giấy 50 000 đồng và cô trả lại 36 (XX) đồng. Minh nói ngay: “Cô tính sai rồi!” Bạn hãy cho biết Minh nói đúng hay sai? Giải thích tại sao? Biết rằng giá tiền mỗi gói bánh, kẹo là một số nguyên dồnp. 74 11. Chứng tỏ rằng khống thè điền dấu + hoặc dấu - vào mỗi ô trống sau để được mội phép tính có kết quà là một số chẵn: 15 □ 14 □ 13 □ 12 □ 11 12. Cno a = 5xly . Hãy thay X, y bới các chữ số thích hợp để nhận được số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 2, 3 và chia cho 5 dư 4. 13. Tim số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3, 4, 5 đều dư 1 và số đó chia hết cho 7. 14. Hãy viết thêm 3 chữ sô vào bên phải số 567 để được một số lẻ có 6 chữ số khác nhau, khi chia sô' đó cho 5 và 9 đều dư 1. 15. Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 2754 đê được một số chẵn có 7 chữ số khác nhau, sao cho khi chia số đó cho 5 và 9 đểu dư 1. 16. Hãy viết thêm hai chữ số vào bên phải, một chữ số vào bên trái sô' 54 để được số lớn nhất có 5 chữ số thỏa mãn tính chất: chia sô đó cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 9 dư 8. 17. Có 30 que. Độ dài mỗi que theo thứ tự lần lượt là lcm, 2cm, 3cm,..., 30cm. Hỏi có thể xếp các que đó để: a) thành một hình vuông; b) thành một hình chữ nhật, dược hay khòng? Tại sao? Biết rằng khi xếp ta dùng tất cả 30 que và không làm thay đối độ dài mỗi que. 18. Một cửa hàng đổ sắt có 7 thùng đụng hai loại đinh 5 phân và 10 phân (mỗi thùng chí dụng một loại đinh). Sò đinh trong mỗi thùng theo thứ tự là 24kg, 26kg, 30kg, 37kg, 41kg, 55kg và 58kg. Sau khi bán hết 6 thùng và chỉ còn lại một thùng đinh 10 phân, người bán hàng thấy rằng trong số đinh đã bán, số dinh 10 phân gấp 3 lần số đinh 5 phân. Hỏi lúc đầu cửa hàng đó có bao nhiêu ki-lô-gam đinh mỗi loai? 19. Công ti A có một số công nhân hường mức lương 1 260 000 đổng. Một số khác hưởng mức lương 1 890 (XX) đồng. Sau khi phát lương tháng 7 cho công nhân, cô kế toán cộng sổ hết 573 810 000 đổng. Hòi cô kế toán cộng đúng hay sai? Giải thích tại sao? 20. Có thê thay mỗi chữ Irong phép tính sau bời chữ số thích hợp đê được một phép tính đúng hay không? Tại sao? a) HOC HOC HOC b) HOC HOC HOC TOT TOT TOT TOT TOT TOT 1234 567 891 12 345 671 75 B. HƯỚNG DẪN TỤ HỌC CHƯƠNG 4 1. YÊU CẦU VỀ LÍ THUYẾT Để tiếp thu kiến thức của chương này, học viên cần nấm được: - Các dấu hiệu chia hêì cho 2, 3, 4, 5, 9 và 25; - Các tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích, thương; - Các tính chất của phép chia có dư. 2. YÊU CẦU VỀ BÀI TẬP - Nắm được 5 dạng bài tập cơ bản của chương: 1) Vận dụng dấu hiệu chia hết để viết các sò' tự nhiên; 2) Vận dụng dấu hiệu chia hết đá tìm các chữ sô' chưa biết của một số tự nhiên; 3) Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu; 4) Các bài toán về phép chia có dư; 5) Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải toán có lời vãn - Đối với mỗi dạng toán cần nắm được: + Những kiến thức cần cùng cố và bổ sung để giải toán; + Cách nhận dạng bài toán; + Cách lựa chọn phương pháp giải; + Cách trình bày lời giải cho từng dạng tiêu biểu; + Cách phát triển bài toán từ một bài toán vừa giải; + Dành thời gian giải các bài tập tự luyện ờ cuối chương để củng cố) kĩ năng giải theo mỗi dạng. 76 CHƯƠNG 5 CÁC BÀI TOÁN VẾ PHÂN s ỗ VÀ s ô THẬP PHÂN A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG I. PHÂN SỐ Dạng 1. Các bài toán về cấu tạo phàn sô Một sô kiến tliức cần lưu ỷ: 1. Đê kí hiệu một phân sô' có tử sô bàng a, mẫu sô bằng b (với a lù sô tụ nhiên, b là s ố tư nhiên khúc 0) tu viết —. b - Mấu sô b chỉ sô'phần đơn vị được chia ru, tử sô'a chỉ sốplìần đượi lấy đi. . a f - Phân sô — còn dược hiếu là thương của phép chia cho b. b 2. Mỗi sô tự nhiên a có thể coi lù một pliủn xô có mẫn s ố bằng / : a = —. 3. Pliâii sô'có tử s ố nhỏ lìơii mẫu sô thì Iilìỏ lìơn 1; có tử SỐIỚII Iiơii mẫu số thì lớn lìơn 1 và có tử sô'bằng mẫu số thì bằng 1. 4. Nếu nhún cả tử sô vù mẫu sô'cùa một phân số với cùng một số tự nhiên kliác 0 thì được một phân sô'bâng phân số đ ã cho: — = (n k h ácơ ). bx n b 5. Nếu chia củ từ vù mẫu của một pliân sô' cho cùng một sô tự nhiên khúc 0 (gọi lủ rút ẹọn phân sô) thì được một phân s ố bâng phân sỏ' đã cho: — = - (n khác 0). b : n b 6. Phân sô có mẫu s ố bàng 10, 100, 1000,... gọi là plìún s ố thập phân. 7. Nếu ta l ộng thêm vào cà tử vù mẫu cùa một phân sô' với cùng một sô' tự nhiên thì liiệu cùa tủ s ố và mẫu số cùa phân sô đó không thay đổi. 8. Nếu tu trừ củ tử vù mẫu của một phùn s ố với cùng m ột sô' tự nliiẻn thì hiệu giữa tử sô vù mẫu sô' của phún số đó không thay đổi. 9. Nếu ta cộng thêm vào tử đồnq thời bớt đi ở mẫu s ố cùa mật phân số với cùng một sô'tự nhiên tliì tổng của tử sô vù mẫu s ố cửa phún s ố đó khónq tliay đổi. 77 10. Nếu ta bớt đi ỏ tử sô' đồng tliời thêm vào mẫu số của một pliân sô với l ùng một số tự nhiên thì tổiiq của từ sô và mầu sô của plưhi sổ đó kliônq tliay dổi. 3 Ví dụ 5.1. Cho phân sô' —. Cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân sô' đó vói , . 7 . cùng một sô tự nhiên ta được một phân sô bằng —. Tìm sô tự nhiên đó. Giải: 3 Hiệu giữa tử sô' và mẫu sô' của phân số — là: 7-3=4. Khi ta cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu số của phân sô' đó không thay đổi. Ta có sơ đổ sau biểu diễn tử số và mẫu số của phân sô' mới: Tử số: K Mầu số: (— Tử số mới là: 4 : ( 9 - 7 ) X 7 = 14. Sô' cộng thêm vào là: 1 4 - 3 = 11. .. 11 Ví du 5.2. Cho phân sô' — . Tim môt phân sô' bằng phân số đã cho, biết rằng 14 mẫu số cùa phân sô' đó lán hơn tử số cùa nó 1995 đơn vị. G iãi: Theo đề bài ta có sơ đồ sau: 11 phẩn T ử số: ^ 1995 Mẫu số: hrr 14 phấn Tử số cùa .phân số cần tìm là: 1995 : ( 1 4 - 11) X 11 =7315. 78