xm) - (Xn(i), ..., Xn(m)) 59 dn(yi,..., ym)= Với ft' 1 là phép thế ngược của 71. Ví dụ 2.3. m = 6 và rl 2 3 4 5 61 b 5 1 6 4 2J Cần mã thông báo: hoofchisminh Trước tiên, ta gom thành nhóm 6 phần tử; hoofch isminh Xi = h, x2 = o, x3 = o, x4 = f, X5 = c, x 6= h Khi đó nhóm thứ nhất đuợc mã thành X3X5X1X6X4X2 = o ch h fo Tương tự, bản mã cùa nhóm thứ hai là: mnihis Vậy thông báo mã toàn bộ là: ochhfo mnihis Ta có: , 1 1 2 3 4 5 61 13 6 1 5 4 2 I Áp dụng 7T 1 cho thông báo mã toàn bộ “ochhfo mnihis”, sẽ thu lại đuợc thông báo rõ ban đầu. Thật ra, ta có thể mã nhanh hơn như sau: đặt dòng thứ hai của 7Ĩ"1 dưới bản rõ: hoofch isminh 361524 361524 Sau đó ta sắp xếp lại trong từng nhóm theo thứ tự số tăng dần và được: ochhfo mnihis Bây giờ việc dịch chì đặt hàng thứ hai của 71 dưới bản mã: 60 ochhfo mnihis 351642 351642 rồi sấp theo thứ tự tăng dần: hoofch isminh 2.2.4. M ã Affine Trong mã Affine, ta giới hạn chỉ xét các hàm mã có dạng: e(x) = ax + b mod 26 .a, b e z 26 Các hàm này được gọi là các hàm Affine (chú ý rằng khi a = 1, ta có MDV). Đe việc giải mã có thể thực hiện được, yêu cầu cần thiết là hàm Affine phải là đơn ánh. Nói cách khác, với bất kỳ y £ z 26, ta muốn có đồng nhất thức sau: ax + b = y (mod 26) phải có nghiệm X duy nhất. Đồng dư thức này tương đương với: ax = y — b (m od 26) Vì y thay đổi trên z 26 nên y - b cũng thay đổi trên z 26. Bởi vậy, ta chì cần nghiên cứu phương trinh đồng dư: ax = y (mod 2 6 ) y G z 26 Ta biét làng, pliưung tiỉnli này có một nghiệm duy nhất đối với mỗi y khi và chi khi UCLN(a,26)=l (ờ đây hàm UCLN là ước chung lớn nhất của các biến của nó). Trước tiên ta giả sử rằng, UCLN(a,26)= d >1. Khi đó, đồng dư thức ax = 0 (mod 26) sẽ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong z 26 là x=0 và ,x=26/d Trong truờng hợp này, e(x)=ax + b mod 26 không phải là một hàm đơn ánh và bởi vậy nó không thể là hàm mã hoá hợp lệ. Ví dụ 2.4. Do UCLN(4,26)=2 nên 4x + 7 không là hàm mã hoá hợp lệ: X và 4x + 13 sẽ mã hoá thành cùng m ột giá trị đối với bất kì X E z 26 Ta giả thiết. UCLN(a,26)=l Giả sừ với Xị và X2 nào đó thoả mãn: 61 aXj = ax2 (mod 26) Khi đó: a(xt — x2) = 0 (mod 26) bởi vậy 261 a(xj - x 2) Bây giờ ta sẽ sử dụng một tính chất của phép chia sau: Nếu UCLN(a,b)=l và a I b c thì a I c . Vì 26 I a(xj - x 2 ) và UCLN(a,26) =1 nên ta có: 261 ( x j - x 2) tức là Xj = x2 (mod 26) Tới đây ta đã chứng tỏ rằng, nếu UCLN (a,26) = 1 thì một đồng dư thức dạng ax = y (mod 26) chì có (nhiều nhất) một nghiệm trong. z 26 Do đó, nếu ta cho X thay đổi trên z 26 thỉ ax(mod 26) sẽ nhận được 26 giá trị khác nhau theo modulo 26 và đồng dư thức ax = y (mod 26) chỉ có một nghiệm y duy nhất. Không có gì đặc biệt đối với số 26 trong khẳng định này. Bởi vậy, hằng cách tirorng tự, ta có thể chứng minh được kết quả sau: Định lý 2.1. Đổng dư thức ax = b (mod m) chỉ có một nghiệm duy nhất X 6 z m với mọi b e z m khi và chi khi ,UCLN(a, m) =1 Vì 26 = 2 x 13 nên các giá trị a e Zm thoả mãn UCLN(a,26)=l là a = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 và 25. Tham số b có thể là một phần từ bất kỳ trong. z 26 Như vậy , mã Affine có 1 2 x 2 6 = 312 khoá có thể (dĩ nhiên, con số này là quá nhỏ để bảo đảm an toàn). Bây giờ, ta sẽ xét bài toán chung với modulo m. Ta cần một định nghĩa khác trong lý thuyết số. 62 Định nghĩa 2.1. Giả sư a > 1 và m > 2 là các số nguyên. ƯCLN(a,m)=l thì ta nói rang a vàm là nguyên to cùng nhau . số các so nguyên trong Zm nguyên to cùng nhau với m thường được kỳ hiệu là (p(m) (hàm này được gọi là hàm phi-Euler) . Một kết quả quan trọng trong lý thuyết số cho ta giá trị của <ị)(m) theo các thùa số trong phép phân tích theo luỹ thừa các số nguyên tố của m. Mọi số nguyên m > 1 có thể phân tích được thành tích của các luỹ thùa các số nguyên tố theo cách duy nhất. Ví dụ 60 = 23x3x5 và 98 = 2 X 72). Ta sẽ ghi lại công thức cho ộ (m ) trong định lí sau: Định lý 2.2. n Già sử m = Ị - Ị p ° ‘ i=i (2.1) Trong đó các số nguyên tố Pi khác nhau và e, > 0,1 < i < n. Khi đó : (m) = J - Ị ( p f ễ - p f i_1) i=l (2.2) Định lý này cho thấy rằng, số khoá trong mã Affine trên Zm bằng m(|)(m), trong đó <ị>(m) được cho theo công thức trên. (Số các phép chọn của b là m và số các phép chọn của a là <ị)(m) với hàm mã hoá là e(x ) = ax + b ) Ví dụ, khi m -60, 4»(60) = 2x2x4 = 16 và số các khoá trong mã Affine là 960. Bây giờ, ta sẽ xét xem các phép toán giải mã trong mật mã Affine với modulo m = 26. Giả sử UCLN(a,26)=l. Để giải mã cần giải phương 63 trình đồng dư y = ax + b (mod 26) theo X. Từ thảo luận trên thấy rằng, phương trình này có một nghiệm duy nhất trong. z26 Tuy nhiên, ta vẫn chưa biết một phương pháp hữu hiệu để tìm nghiệm. Điều cần thiết ờ đây là có một thuật toán hữu hiệu để làm việc đó. Rất may là một số kết quả tiếp sau v ề số h ọ c m o d u lo sẽ cu n g cấ p m ộ t th uật to án g iả i m ã hữu h iệu cần tìm. Bằng các lý luận tương tự như trên, có thể chứng tỏ rằng a có nghịch đảo theo modulo m khi và chi khi, UCLN(a,m)=l và nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó phải là duy nhất. Ta cũng thấy rằng, nếu b = a 1 thì a = b 1 . Nếu p là số nguyên tố thỉ mọi phần tử khác không của . Zp đều có nghịch đảo. Một vành trong đó mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo được gọi là một trường. Trong [3] có một thuật toán hữu hiệu để tính các nghịch đảo cùa . zm với m tuỳ ý. Tuy nhiên, trong . z26 chi bằng phương pháp thử và sai cũng có thể tìm được các nghịch đảo của các phần từ nguyên tố cùng nhau với 26: 1 =1, 3"1 =9, 5"1 =21, 7_1 =15, ì r 1 = 1 9 ,17-1 =23, 25"1 =25. (Có thể dễ dàng kiểm chứng lại điều này, ví dụ: 7 x 5 = 105 = 1 (mod 26) hỏi vậy 7_1 = 15 Xét phương trình đồng dư y = ax + b (mod 26). Phương trình này tương đương với ax = y - b (mod 26) Vì UCLN (a,26) = 1 nên a có nghịch đảo theo modulo 26. Nhân cả hai vế của đồng dư thức với a , ta có: a _1( a x ) s a _1( y - b ) (mod 26) Áp dụng tính kết hợp của phép nhân modulo: 64 Kết quả là x = a ’(y -b )(m o d 26) Đây là một công thức tường minh cho X . Như vậy hàm giải mã là: d(y) = a -1 (y - b) mod 26 Hình 2.3 cho mô tả đầy đù về mã Affine. Cho

0, B <-» 1, ...,z «-» 25 mô tả ở trên, ta có thể gắn cho mỗi khoá k một chuỗi ký tự có độ dài m, được gọi là từ khoá. Mật mã Vigenère sẽ mã hoá đồng thòi m ký tự: mỗi phần tử cùa bản rõ tư ơ ng đ ư ơ n g vớ i m k ý tự. Ta có thể mô tả mật mã Vigenère như sau: Cho m là một số nguyên dương cố định nào đó. Ta định nghĩa P = c = -K = ( z 26r Với khóa k = (k x, k 2, ..., km) ta xác định được: (^1> *2' I XỵjÌ) + /Cị, ■+■ kii ... > x m + km) và dk = (y !.y 2..... ym) = ừ i - k lty2 - k2,...,y m - km) Trong đó tất cả các phép toán được thực hiện trong z 25 Hình 2.4. Mã Vigenère 66 Ví dụ 2.5. in = 6, từ khoá k = CIPHER = (2, 8, 15, 7, 4, 17) Thông báo rõ: thiscryptosystemisnotsecure Ta hãy chuyển thành số: 19 7 8 18 2 17 24 15 19 14 18 2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 21 15 23 25 6 8 0 23 8 21 22 18 19 4 12 8 18 13 14 19 18 4 2 20 17 4 2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17 2 8 15 20 1 19 19 12 9 15 22 8 25 8 9 22 25 19 Lại đưa về chữ: VPXZGI AXIVWP UBTTMJ PWIZIT WZT Thông thường, người ta lập bảng để giúp cho việc mã hoá, giải mã được dễ dàng. Bảng này được gọi là bảng Vigenere (xem bảng dưới đây). Khi đó quá trình mã và dịch không cần số hoá nữa. ĩữ X Y T u V u X u V u X Y U V W X Y Z A B ct> KF G H I J K L M N O P V W X Y Z A B C D K F G H I J K L M N O p Q W X Y Z A B CD B F G H I J K L M N O P Q R Hình 2.5. Bảng mã Vigenère 67 Lưu ỷ Để giải mã, ta có thể dùng cùng từ khoá nhưng thay cho cộng, ta trừ nó theo modulo 26. Ta thấy rằng, số các từ khoá có thể với độ dài m trong mật mã Vigenère là26m Bởi vậy, thậm chí với m khá nhỏ, phương pháp tìm kiếm vét cạn cũng yêu cầu thời gian khá lớn. Ví dụ, với m = 6 thỉ không gian khoá cũng có kích thước lớn hơn 3 .108 khoá. 2.2.6. Hệ mật Hill Trong phần này sẽ mô tả một hệ mật thay thế đa biểu khác được gọi là mật mã Hill. Mật mã này do Lester S.Hill đưa ra năm 1929. Giả sứ m là một số nguyên dương, đặt

yỉ). Ở đây, yj cũng như đều là một tổ hợp tuyến tính của X| và *2 Chẳng hạn, có thể lấy: yj = 1 lxj + 3x 2 y 2 = 8 x j + 7 x 2 Tất nhiên có thể viết gọn hơn theo ký hiệu ma trận như sau: •>ym) = ( x .>" •>x m) k 2 m, z... k mm,m J 68 Nói cách khác, y = xk Chúng ta nói rằng bản mã nhận được từ bản rõ nhờ phép biến đổi tuyến tính. Ta sẽ xét xem phải thực hiện giải mã như thế nào, tức là làm thế nào để tính X từ y. Bạn đọc đã làm quen với đại số tuyến tính sẽ thấy rằng phải dùng ma trận nghịch đảo k-1 để giải mã. Bản mã được giải mã bằng công thức X = y k - 1 . Sau đây là một số định nghĩa về những khái niệm cần thiết lấy từ đại số tuyến tính. Nếu A = (Xj j) là một ma trận cấp 1X m và B = (b j k) là một ma trận cấp m.n thì tích ma trận AB = (cj k) được định nghĩa theo công thức : m j=i với 1 < i < 1 và 1 < k < 1 Tức là các phần tử ở hàng i và cột thứ k cùa AB được tạo ra bằng cách lấy hàng thứ i của A và cột thứ k của B, sau đó nhân tuơng ứng các phần tử với nhau và cộng lại. cần để ý rằng AB là một ma trận cấp 1X n . Theo định nghĩa này, phép nhân ma trận là kết hợp (túc (A B )C = a (b c )) nhưng nói chung là không giao hoán (không phải lúc nào A B=B A , thậm chí đối với ma trận vuông A và B). Ma trận dưn vị m X 111 (ký hiệu là Im) là ma trận cấp m X m có các Số ] nằm ờ đường chéo chính, và các số 0 ở vị trí còn lại. Như vậy, ma trận đơn vị 2x2 là: Imđược gọi là ma trận đơn vị vì AIm = A với mọi ma trận cấp 1X m và BIm = B với mọi ma trận cấp m X n Ma trận nghịch đảo của ma trận A cấp m xm (nếu tồn tại) là ma trận A~x sao cho AA~1=A~1.A = Im. Không phải mọi ma trận đều có nghịch đảo, nhưng nếu tồn tại thì nó duy nhất. 69 Với các định nghĩa trên, có thể dễ dàng xây dựng công thức giải mã đã nêu: Vỉ y = x k , ta có thể nhân cả hai vế của đẳng thức y k -1 = (x k )k -1 = x(kk_1)= x lm = X (Chú ý: sừ dụng tính chất kết hợp) Có thể thấy rằng, ma trận mã hoá ở trên có nghịch đảo trong Z26 - 1 í 11 8Ì 00 u^23 l l j VI 00' 7 18' "11x7 + 8x23 l l x l 8 + 8 x i r u 1) ,23 11, ^ 3 x 7 + 7x23 3 X18 + 7 X11 ^ "261 2 8 6 ' ' l 0" 00 k_1 = (l 1 24) Như vậy, Bob đã nhận được bản đúng. Cho tới lúc này, ta đã chỉ ra rằng có thể thực hiện phép giải mã nếu k có một nghịch đảo. Trên thực tế, để phép giải mã là có thể thực hiện được, điều kiện cẩn là k phải có nghịch đảo. (Điều này dễ dàng rút ra từ đại số tuyến tính sơ cấp, tuy nhiên sẽ không chứng minh ở đây). Bởi vậy, ta chì quan tâm tới các ma trận k khả nghịch. Tính khả nghịch của một ma trận vuông phụ thuộc vào giá trị định thức của nó. Để tránh sự tổng quát hoá không cần thiết, ta chỉ giới hạn trong trường hợp 2x2. Định nghĩa 2.3. Định thức cùa ma trận A = (a, j ) cấp 2 X 2 là giá trị det A = a tj a 2 2 -ai 2^2,1 Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cap m X m có thể được tín h th e o c á c p h é p to án h à n g sơ c ấ p (h ã y x e m m ộ t g iá o trình b ất kỳ về đai số tuyến tính). Hai tính chất quan trọng của định thức là d e t\m = 1 và quy tắc nhân det(AB)=detA X detB. Một ma trận thực k là có nghịch đảo khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhớ là ta đang làm việc trên Z26Kết quả tương ứng là ma trận k có nghịch đảo theo modulo 26 khi và chi khi ƯCLN(detk, 26)= 1. Sau đây sẽ chứng minh ngắn gọn kết quả này. Trước tiên, giả sử rằng UCLN(detk, 26)= 1. Khi đó detk có nghịch đảo trong. z 26 Với 1 < i < m , 1 < j < m , định nghĩa k jj là ma trận thu được từ k bằng cách loại bỏ hàng thứ i và cột thứ j. Và định nghĩa ma 71 trận k có phần từ (i, j)của nó nhận giá trị (- lý +^ det kjj (k được gọi là ma trận bù đại số cùa k). Khi đó, có thể chứng tỏ rằng: k -1 = (d e tk )- 1 k* Bời vậy k là khả nghịch. Ngược lại, k có nghịch đảo k *. Theo quy tắc nhân của định thức: 1 = det I = d e t(k k -1)= det k det k _1 Bời vậy detk có nghịch đảo trong. z 26 Nhận xét Công thức đối với /í-1 ở trên không phải là một công thứ c tín h to án c ó h iệ u q u ả trừ c á c trư ờ n g hợp m n h ỏ (c h ẳ n g h ạn m = 2, 3). Với m lớn, phương pháp thích hợp để tính các ma trận nghịch đảo phải dựa vào các phép toán hàng sơ cấp. Trong trường hợp 2 X 2, ta có công thức sau: Định lý 2.3. Già sử A = (a ,j) là một ma trận cấp 2 x 2 trên . z 26 sao cho det A = aj ja 2 2 - a l 2a 2 1 rá nghịch đào. Khi đó: A _1 = (det A )_1a 2,2 - a 2,l - a l,2 a l,l Trở lại ví dụ đã xét ở trên. Trước hết ta có: det11 8 >3 7 V J ' J= 11x7-8x3 mod 2 = 7 7 - 2 4 mod 26 = 53 mod 26 = 1 Vì 1 1 m od 26 = 1 nên ma trận nghịch đảo là: 72 ^11 8 A 1 3 7 ' 7 18^ 23 11 Đây chính là ma trận đã có ở trên Bây giờ ta sẽ mô tả chính xác mật mã Hill trên Z26 (hình 2.6). Cho m là một số nguyên dương cố định. Cho (P = c = ( Z 26) m và cho: 7C = {các ma trận khả nghịch cấp m x m trên z 26} Với một khóa k 6 % ta xác định: ek(x) = x k Hình 2.6. Mật mã Hill 2.2.7. Hệ mật mã Playfair Mật mã Playfair hay hinh vuông Playfair là một kĩ thuật mã hoá đối xứng thù công và là thuật toán thay thế chữ ghép đầu tiên. Hệ mật này được Charles Wheatstone phát minh ra năm 1854 nhưng lại được gọi theo tên của Lord Playfair người đã phổ biến để sử dụng làm mật mã. Kĩ thuật này mã hoá từng cặp kí tự (bộ ghép) thay cho các kí tự đơn trong m ã hoá thay the đơn và cách sử dụng phức tạp hơn mã hoá Vigenere. Tấn công Playfair khó vì việc phân tích tần suất vẫn thường sử dụng cho mật mã thay thế đơn không dùng được, tuy nhiên phân tích tần suất các bộ chữ ghép thì vẫn có thể nhưng khó hơn nhiều và nói chung phải cần số lượng bản mã rất lớn. Cách dùng Playfair Playfair dùng một bảng 5 x 5 chứa từ hoặc cụm từ khóa. Ta cần phải nhớ từ khóa và 4 quy tắc thực hiện. Tạo bảng khóa chứa 25 chữ cái khác nhau (bỏ chữ “Q” trong bảng chữ cái hoặc phiên bản khác thì coi chữ ‘T ’ và chữ “J” thuộc cùng một ô trong bảng khóa), trước tiên lấp đầy bảng bởi các chữ cái của từ khóa (bỏ các chữ cái lặp lại) rồi lấp các chữ cái còn lại của bảng chữ cái vào các chỗ trống của bảng khóa theo thứ tự. Khóa có thể đuợc viết ở các hàng đầu của bảng, từ trái qua phải. Mã hóa thông điệp, tách thông điệp thành các nhóm gồm 2 kí tự rồi ánh xạ chúng vào bảng khóa. Bổn quy tắc: 1) Xen chữ “X” vào giữa hai chữ cái giống nhau (hoặc chèn vào sau nếu chỉ còn lại một chữ cái cuối cùng) của bản rõ rồi mã hóa cặp mới và tiếp tục thực hiện. Chú ý: Phiên bàn khác thì chèn chữ “Q” thay cho chữ “X”. 2) Nếu hai chữ cái của một cặp xuất hiện trên cùng một hàng của khóa thì thay thế chúng bằng các chữ cái ở ngay bên phải tương ứng (nếu chữ cái nằm ở tận cùng bên phải của hàng thì thay bằng chữ cái đầu tiên c ủ a hàng đó) 3) Nếu hai chữ cái của cặp xuất hiện trên cùng một cột của khóa thì thay thế chúng bởi các chữ ở ngay dưới tương ứng (nếu chữ cái nằm ở tận cùng bên dưới của cột thỉ thay thế bởi chữ cái đầu tiên cùa cột đó) 4) Nếu hai chữ cái của cặp không cùng hàng và cột thì thay thế chúng bởi các chữ cái trên cùng hàng tương ứng và ở các góc cùa hình chữ nhật mà hai chữ cái cùa cặp này tạo nên trên khóa. Ví dụ 2.7. Dùng khóa “playfair example” để mã hóa bản rõ “Hide the gold in the tree stump”. Khóa sẽ được bố trí nhu sau: PLAYF IREXM BCDGH JKNOS T U V W Z 74 ớ đây các kí tự lặp lại sẽ bị bỏ đi, sau đó thêm các chữ cái trong bảng chữ cái mà chưa xuất hiện trong khóa sau khi đã bỏ các chữ lặp lại vào để lấp đầy ô trống của bảng khóa 5x5. Bán rõ được tách như sau: HI DE TH EG OL DI NT HE TR EE ST UM p Nhưng có cặp EE thì ta phải xen chữ X vào giữa, kết quả được là: HI DE TH EG OL DI NT HE TR EX ES TU MP M ã hóa: Chiếu từng cặp của bản rõ sau khi đã tách vào bảng khóa theo các quy tác mã hóa ta được: HI-> BM (Khác hàng, khác cột) DE->ND (Cùng cột) TH->ZB (Khác hàng, khác cột) EG-^XD (Khác hàng, khác cột) OL->KY (Khác hàng, khác cột) DI->BE (Khác hàng, khác cột) NT->JV (Khác hàng, khác cột) HE->DM (Khác hàng, khác cột) TR->UI (Khác hàng, khác cột) EX-»XM (Cùng hàng) ES->MN (Khác hàng, khác cột) TU->UV (Cùng hàng) MP->IF (Khác hàng, khác cột) Vậy bản mã là: "BMNDZBXDKYBEJVDMUIXMMNUVIF” Giải mã: vẫn dùng khóa giống như mã hóa còn 4 quy tắc thì thay thế theo chiều ngược lại. Thám mã Playfair Việc lấy được khóa là tương đối dễ nếu biết cà bản rõ và bản mã. Nếu chỉ biết bản mã thì phương pháp giải mã theo vét cạn bao gồm việc tìm kiếm qua không gian khóa và phân tích tần suất của các chữ ghép trong ngôn ngữ giả định của thông điệp gốc. 75 Giải mã Playfair dựa vào sự liên quan của các chữ cái nên việc xác định các xâu bản rõ ứng cử viên dễ dàng hơn. Đặc biệt là chữ ghép Playfair và ngược của chữ ghép đó (ví dụ AB và BA) sẽ giải mã thành cùng một kiểu mẫu chữ cái trong bản rõ (Ví dụ RE và ER). Trong tiếng Anh, có rất nhiều tò chứa những bộ chữ ghép ngược này như REceivER và DEpartED. Việc xác định những bộ chữ ghép ngược mà gần nhau trong bản mã và ghép kiểu mẫu thành một danh sách các từ rõ đã biết chứa kiểu mẫu là đơn giản từ đó đưa ra được các xâu bản rõ có thể rồi sẽ xác định khóa. Một cách tiếp cận khác là phương pháp Shotgun hill climbing. Bắt đầu với hình vuông các chữ cải ngẫu nhiên sau đó thực hiện những sự thay đổi nhỏ (ví dụ nhu chuyển các chữ cái, các hàng hay phản xạ toàn bộ hình vuông) để thấy được nếu bản rõ ứng cử viên giống bản rõ chuẩn hơn so với trước khi thay đổi (có thể bằng cách so sánh các nhóm ba thành lược đồ tần suất đã biết). Neu hình vuông mới có sự cải tiến thi nó sẽ đ u ợ c ch ấp nhận và sau sẽ đượ c b iến đ ổi thêm đ ể tìm ra m ộ t ứ n g cử viên tốt hơn. Cuối cùng là dù chọn phương pháp phân loại nào thì cũng tìm ra bản rõ hoặc một văn bản rất gần bản rõ với khả năng đúng là lớn nhất. Máy tính có thể chấp nhận thuật toán này để phá các mật mã Playfair với số lượng văn bản tương đối nhỏ. Phuơng pháp Playfair thường được áp dung trong việc giải các trò chơi đố các ô chữ. 2.3. Mã dòng Trong các hệ mật trên, các phần tử rõ được mã hoá bằng cách dùng cùng một khoák: y = yi y2 ... yn = ek(xi) ek(x2) ... eic(xn) Ở đây X , có thể là một hoặc một dãy ký tự. Hệ mật loại này đuợc gọi là mật mã khối, hay đơn giản là mã khối.Bây giờ ta nghiên cứu mật mã dòng. Ý tưởng cơ bản là sinh dòng khoá: z = Z\ z2 ... và mã hóa dòng rõ X = Xi X2 ... theo cách: 76 y = y. y2... = eIx ( x ,K 2(x2)... Mật mã dòng hoạt động như sau: + Giả sử k là khoá và Xi X2 ... là dòng rõ, fj là hàm của k và i - 1 đặc trưng rõ: Zj = fi(k, Xi,, Xi+i), Xiđược chọn trước bởi hai bên. y,= ^ (*,),! = 2,3,... D o đó để mã hóa dòng rõ Xi x 2..., ta tính liên tiếp: Z|, yi, z2, y2... Việc giải mã được làm tương tự: Zl, Xi, z2, x 2... Nếu Zj = k với mọi i, thỉ ta có thể nghĩ mật mã khối như trường hợp đặc biệt của mật mã dòng. Sau đây là một số trường hợp đặc biệt nhưng quan trọng của mật mã dòng: - Mật mã đồng bộ: Zj = fj(k) i = l , 2 , ... - Mật mã tuần hoàn với chu kỳ d: Zj+d = Zj, với mọi i >= 1 Mật mã dòng được chú ý nhiều là trường hợp p = c = Z2 Khi đó phép mã hoá và giải mã là cộng theo modulo 2: ez(x) = X + z mod 2 d z(x) = y + z m o d 2 Khoá được sinh theo phương pháp ghi dịch phản hồi. - Mật mã khoá tự động: p = c = K = z 26 Zi = k, Zj = Xj_Ị (i > = 2) ez(x) = X + z mod 2 dz(x) = y - z mod 2; với X, y e z 26 Ví dụ: K = 8, thông báo cần mã là: hairphongf 77 Trước tiên, chuyển thông báo rõ thành dãy số nguyên: 7 0 8 17 15 7 14 13 6 5 Dòng khoá như sau: 8 7 0 8 17 15 7 14 13 6 5 Cộng dãy khoá và dãy rõ theo qui tắc: yj =Xj + Zi mod 26 i = 1, 2,... ta đuợc: 15 7 8 25 6 22 21 1 19 11 và chuyển thành chữ: phizgwvbtl Với bản mã này và k = 8, ta giải mã như sau: - Chuyển dãy mã thành số và trừ lần luợt 15 7 8 25 6 22 21 1 19 11 8 7 0 8 17 15 7 14 13 6 7 0 8 17 15 7 14 13 6 3 - Chuyển dãy số thành dãy chữ: hairphongf 2.4. Mã khối 2.4.1. Giới thiệu chung Các hệ mật khóa bí mật thường đuợc chia thành các hệ mã khối và hệ mã dòng. Đối với mã khối bản rõ có dạng các khối "lớn" (chẳng hạn 128-bit) và dãy các khối đều được mã bởi cùng một hàm mã hóa, tức là bộ mã hóa là một hàm không nhớ. Trong mã dòng, bản rõ thuờng là dãy các khối "nhỏ" (thường là 1 -bit) và được biến đổi bới một bộ mã hóa có nhớ. Các hệ mã khối có ưu điểm là chúng có thể được chuẩn hóa một cách dễ dàng, bởi vì các đơn vị xử lý thông tin hiện này thường có dạng block như bytes hoặc words. Nhược điểm lớn nhất cùa mã khối là phép mã hóa không che giấu được các mẫu dữ liệu: các khối mã giống nhau sẽ suy ra các khối rõ cũng giống nhau. Tuy nhiên nhược điểm này có thể được khắc phục bằng cách 78