🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giải tích các hàm nhiều biến Ebooks Nhóm Zalo bé s¸ch to¸n häc cao cÊp - viÖn to¸n häc §inh ThÕ Lôc Ph¹m Huy §iÓn T¹ Duy Ph−îng Gi¶i tÝch c¸c hµm nhiÒu biÕn Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ tÝnh to¸n thùc hµnh nhµ xuÊt b¶n ®¹i häc quèc gia hµ néi Héi §ång biªn tËp Hµ Huy Kho¸i (Chñ tÞch) Ng« ViÖt Trung Ph¹m Huy §iÓn (Th− ký) Gi¶i tÝch c¸c hµm nhiÒu biÕn Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ tÝnh to¸n thùc hµnh §inh ThÕ Lôc Ph¹m Huy §iÓn T¹ Duy Ph−îng Bé s¸ch To¸n häc cao cÊp - ViÖn To¸n häc C Lời nói đầu uốn sách này có thể xem là tập tiếp theo của giáo trình giải tích các hàm số một biến, đã được Nhà xuất bản Giáo dục ấn hành năm 1998, với tựa đề "Giải tích Toán học: Những nguyên lý cơ bản và tính toán thực hành". Trong giáo trình đó chúng ta đã khảo sát dãy số, chuỗi số, hàm số và các phép tính vi tích phân trong không gian một chiều (trục số thực). Trong tập tiếp theo này các đối tượng trên sẽ được khảo sát trong không gian nhiều chiều, và đó chính là sự khác biệt cơ bản giữa hai giáo trình. Để xây dựng các phép tính vi tích phân trong không gian nhiều chiều, trước hết phải hiểu rõ cấu trúc của những không gian này. Chương 1 đề cập tới hai cấu trúc quan trọng nhất của không gian nhiều chiều, cấu trúc tuyến tính và cấu trúc khoảng cách, thông qua một ví dụ điển hình là không gian n \ . Để giáo trình mang tính độc lập nhất định, không gian này được xây dựng trực tiếp, mà không dựa vào khái niệm không gian tuyến tính tổng quát trong giáo trình Đại số tuyến tính. Để tránh cồng kềnh, các khái niệm và kết quả của chương này được chọn lọc tới mức tối thiểu từ 3 môn Đại số tuyến tính, Tôpô và Giải tích hàm, vừa đủ sử dụng cho những chương sau, đồng thời dẫn dắt người học làm quen với những bộ môn quan trọng đó. Các chương từ 2 đến 7 không chỉ thiết lập trong không gian nhiều chiều những gì đã biết trong Giải tích một biến mà còn đưa ra những khái niệm mới chỉ xuất hiện trong không gian nhiều chiều. Chương 8 trình bày các kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và phép biến đổi tích phân Fourier. Chương cuối cùng giới thiệu sơ lược về hệ phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng. Hai chương sau này nhằm mục đích củng cố những kiến thức về vi tích phân đã học trong những chương trước, rèn luyện kỹ năng tính toán thực hành và trang bị kiến thức để học viên tìm hiểu các môn học khác như Vật lý, Cơ học, Sinh học,... Nếu như các khái niệm, kết quả chứng minh trong Giải tích một biến có tính trực quan cao, dễ hiển thị, thì sang không gian nhiều chiều tính trừu tượng đã tăng lên rõ rệt. Tuy nhiên, cái đẹp của Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của Toán học nằm trong sự cụ thể. Để hiểu rõ hai mặt ấy của Toán học đồng thời nhằm rèn luyện phương pháp suy luận toán học cho sinh viên, trong giáo trình này hai cách tiếp cận thường được sử dụng đan xen nhau: đó là cách đi từ cụ thể tới trừu tượng và ngược lại, từ trừu tượng tới cụ thể tuỳ theo từng khái niệm, từng định lý. Mỗi khi các kết quả được phát biểu và chứng minh trong không gian tổng quát n chiều, thì người đọc có thể hạn chế trong trường hợp n=2 hoặc n=3 để hiểu dễ dàng và thấu đáo hơn. Trong tài liệu này, chúng tôi cố gắng đưa vào các chứng minh đầy đủ của những định lý lớn và “hóc búa” thường bị né tránh trong các giáo trình hiện hành. Những chứng minh này là khó nhưng chứa đựng các phương pháp suy luận điển hình rất cần cho việc rèn luyện tư duy (nhất là đối với học sinh cao học và những ai muốn đi sâu hơn vào lĩnh vực Giải tích Toán học). Người đọc i không cần nhớ chi tiết, mà chỉ cần hiểu được các chứng minh này đã được xem là đạt yêu cầu. Việc minh hoạ và tính toán trong không gian nhiều chiều vốn là một vấn đề khó vì không mấy khi có thể thực hiện được bằng thủ công, nhất là về các chủ đề: Vẽ đồ thị trong không gian, tính tích phân bội, tính vi phân hàm ẩn vectơ nhiều biến, tính toán các biến đổi tích phân Fourier, giải phương trình đạo hàm riêng,... Cái khó ở đây bắt đầu ngay từ việc tìm sao cho ra một ví dụ có thể xử lý được. Chính vì vậy, lĩnh vực này luôn luôn là mơ hồ đối với hầu hết mọi học viên (từ đại học đến cao học). Nhằm xoá bỏ tình trạng này, chúng tôi mạnh dạn đưa vào giáo trình phần hướng dẫn tính toán thực hành trên máy, ngay sau mỗi chương lý thuyết. Qua đây người đọc sẽ thấy rằng ngày nay, với máy tính và phần mềm toán học thông dụng (có sẵn trên thị trường và trên Internet), chỉ bằng những dòng lệnh đơn giản tương tự như ngôn ngữ toán học thông thường, người ta có thể "sờ thấy được" những gì mà trước đây không thể nào hình dung ra nổi. Nếu chưa có sẵn các chương trình tính toán trên máy cá nhân, người đọc có thể truy cập tới một số trung tâm cung cấp dịch vụ tính toán qua mạng (thường là miễn phí) để có thể thực hành tính toán được ngay (bạn đọc có nhu cầu xin liên hệ với các tác giả để biết thêm thông tin chi tiết). Đối với người học chưa có điều kiện tiếp xúc với máy tính, việc đọc phần này vẫn rất có tác dụng, vì sẽ biết được cơ chế giao tiếp giữa người với máy và biết được những gì máy tính có thể thay thế con người trong quá trình tính toán. Quan trọng hơn, qua các ví dụ minh hoạ về tính toán trên máy trình bày trong sách, người học sẽ nắm được kiến thức toán học một cách sâu sắc hơn, do tiếp cận được tới những điều mà trước đây tưởng như là không thể. Khi không còn bị mặc cảm bởi những bài toán hóc búa, người ta sẽ thấy toán học không còn là huyền bí và tự tin trong việc đón nhận những bài toán khó nảy sinh từ thực tiễn sản xuất. Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ là một cẩm nang tốt cho những ai muốn hiểu sâu sắc về Giải tích toán học nói chung, và về giải tích các hàm số nhiều biến nói riêng. Do đó, nó sẽ là hữu ích đối với các học sinh cao học, cũng như thầy và trò các trường Tổng hợp, Sư phạm, Kỹ thuật,... Tập thể tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư Nguyễn Duy Tiến (ĐHQG Hà Nội) và giáo sư Đoàn Quỳnh (ĐHSP Hà Nội) đã đọc rất kỹ bản thảo và đã cho những nhận xét quý báu. Việc trình bầy một chủ đề phức tạp sẽ không thể tránh khỏi những sai sót, cho nên chúng tôi mong tiếp tục nhận được sự phê bình, góp ý của các đồng nghiệp và học viên gửi về theo địa chỉ: Viện Toán học, Trung tâm Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Quốc gia, 18-Đường Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. CÁC TÁC GIẢ ii Chương 1 Không gian Rn & Không gian metric 1.1. Không gian Rn ........................................................................................................ 1 1.1.1. Điểm trong không gian n-chiều......................................................................................... 2 1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiều........................................................................................ 3 1.1.3. Tích vô hướng ................................................................................................................... 4 1.1.4. Chuẩn của vectơ................................................................................................................ 5 1.1.5. Ánh xạ tuyến tính.............................................................................................................. 7 1.2. Không gian metric............................................................................................... 10 1.2.1. Định nghĩa và các ví dụ................................................................................................... 10 1.2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric ................................................................. 12 1.2.3. Hội tụ trong không gian metric ....................................................................................... 15 1.2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric.............................................................................. 17 1.2.5. Tính compact trong không gian metric ........................................................................... 19 1.2.6. Ánh xạ trong không gian metric...................................................................................... 24 1.2.7. Không gian siêu metric ................................................................................................... 27 1.1. Không gian Rn Trong giáo trình này chúng ta sẽ làm việc trên không gian Rn - một ví dụ rất đặc biệt của không gian n-chiều. Để giáo trình có được tính độc lập nhất định, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn việc xây dựng không gian Rn. Độc giả nào quan tâm đến lý thuyết không gian n-chiều nói chung xin xem trong các giáo trình Đại số tuyến tính. Độc giả nào đã học qua giáo trình Đại số tuyến tính có thể bỏ qua phần này. 2 Giải tích các hàm nhiều biến 1.1.1. Điểm trong không gian n-chiều Ta đã quen thuộc với cách dùng một số để biểu diễn một điểm trên đường thẳng (khi trên đường thẳng đó cho sẵn đơn vị dài). Ta cũng đã biết việc dùng một cặp 2 số (x,y) để biểu diễn một điểm trong mặt phẳng có hệ tọa độ Descartes. Tương tự như vậy, người ta sử dụng một bộ 3 số (x,y,z) để biểu diễn một điểm trong không gian. Đường thẳng còn được gọi là không gian 1-chiều, mặt phẳng còn được gọi là không gian 2-chiều, và không gian vật lý xung quanh ta còn được gọi là không gian 3-chiều. Như vậy, một số biểu diễn một điểm trong không gian 1-chiều, một cặp 2 số biểu diễn điểm trong không gian 2-chiều, và một bộ 3 số biểu diễn một điểm trong không gian 3-chiều. Tuy rằng, ta không thể cho được minh họa hình học của cách biểu diễn điểm trong không gian có số chiều lớn hơn 3, nhưng bằng cách khái quát hóa, người ta có thể dùng một bộ n số để biểu diễn một điểm trong không gian n-chiều. Không gian n-chiều với n 4 ≥ không phải chỉ là sự tưởng tượng và khái quát hóa của các nhà toán học, mà chúng thật sự tồn tại trong vật lý, kinh tế, xã hội... Thí dụ để biểu diễn nhiệt độ tại một điểm trong không gian xung quanh ta thì ngoài 3-chiều thông thường ta phải thêm một chiều thời gian. Hoặc để biểu diễn tình trạng sức khỏe của một người nào đó ta phải dùng bộ nhiều số: chiều cao, trọng lượng, vòng ngực, huyết áp, độ thính, tầm nhìn... Chính xác hơn, với số tự nhiên n cho trước, ta có: Định nghĩa. Một điểm trong không gian n-chiều là một bộ n số có thứ tự 1 2 ( , ,..., ) n x x x . Người ta thường ký hiệu một điểm trong không gian n-chiều bằng một chữ đậm, thí dụ như x, và viết x = 1 2 ( , ,..., ) n x x x . Số i x trong bộ số này được gọi là tọa độ thứ i của điểm x. Giả sử có 2 điểm trong cùng một không gian n-chiều là a = 1 2 ( , ,..., ) n aa a và b = 1 2 ( , ,..., ) n bb b , ta định nghĩa tổng của chúng (a+b) là một điểm trong không gian n-chiều với các tọa độ là 1 12 2 ( , ,..., ) a ba b a b ++ +n n , và ta định nghĩa tích của điểm a với một số λ là một điểm với các tọa độ là 1 2 ( , ,..., ) λλ λ aa an . Thí dụ. Trong không gian 3-chiều, với a = (1,3,5), b = (2,0,1), λ = 7, ta có a+b = (3,3,6) và λa = (7,21,35). Người ta ký hiệu 0 là điểm (trong không gian n-chiều) có tất cả các tọa độ bằng 0 (tức là 0 = (0,0,...,0)) và gọi nó là điểm gốc, còn -a là điểm (-1)a (tức là điểm có các tọa độ ngược dấu với các tọa độ điểm a). Khi ấy dễ dàng kiểm tra rằng các phép tính trên thỏa mãn các luật sau: Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 3 (1) (a + b) + c = a + (b + c) ; (2) a + b = b + a ; (3) λ(a + b) = λa + λb ; (4) (λ + ∝)a = λa + ∝a và (λ∝)a = λ(∝a) , với mọi số λ, ∝; (5) 0 + a = a + 0 = a với mọi a ; (6) 1.a = a và a + (-a) = 0 . Từ đây người ta cũng quy ước viết a - b thay cho a +(- b) . Chứng minh các đẳng thức trên là dễ dàng, người đọc có thể tự làm như các bài tập. Để làm thí dụ, chúng ta chứng minh đẳng thức (3). Theo định nghĩa 1 1 ( ,..., ) a b += + + ab a b n n , nên 11 1 1 ( ) ( ( ),..., ( )) ( ,..., ) λ λ λ λ λ λ λ λλ ab a b += + + = + + = + ab a b a b a b nn n n . 1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiều Người ta gọi mỗi cặp điểm a, b trong không gian n-chiều là một vectơ buộc (hay vectơ định vị) trong không gian n-chiều. Vectơ xác định bởi cặp điểm a, b được ký hiệu là ab . Người ta gọi a là điểm đầu, b là điểm cuối, và còn gọi ab là vectơ định vị tại a. Hai vectơ ab và cd được gọi là tương đẳng nếu chúng thỏa mãn điều kiện ba dc − = − . Theo định nghĩa đó, vectơ ab là tương b b-a 0 Hình 1.1 a đẳng với vectơ định vị tại gốc 0 và có điểm cuối là b-a. Rõ ràng, chỉ có duy nhất một vectơ định vị tại gốc tương đẳng với một vectơ cho trước (vì dễ thấy rằng nếu 2 vectơ tương đẳng mà cùng định vị tại gốc thì điểm cuối của chúng cũng trùng nhau). Điều này được minh họa trong trường hợp 2-chiều như hình vẽ bên. Vectơ định vị tại gốc được xác định hoàn toàn bởi điểm cuối của nó, cho nên trong không gian n-chiều ta có mối tương quan 1-1 giữa điểm và vectơ định vị tại gốc. Như vậy một bộ n số có thể được xem là tọa độ của một điểm a hay của một vectơ định vị tại gốc 0a , và để cho thuận tiện người ta viết vectơ này một cách đơn giản là a hay thậm chí là a, trong trường hợp không sợ xảy ra nhầm lẫn. Hai vectơ ab và cd được gọi là song song nếu tồn tại số λ ≠ 0 sao cho ba dc − = λ( ) − . Khi số λ là dương thì ta nói rằng chúng cùng hướng (hay cùng chiều), và trong trường hợp ngược lại ta nói rằng chúng ngược hướng (hay ngược chiều) nhau. 4 Giải tích các hàm nhiều biến Như vậy, hai vectơ là song song với nhau khi và chỉ khi các vectơ định vị tại gốc tương đẳng với chúng sai khác nhau một hệ số (khác 0). Nghĩa là, khái niệm song song ở đây hoàn toàn phù hợp với những gì biết trong trường hợp không gian 2-chiều hoặc 3-chiều (trong giáo trình Hình học giải tích). 1.1.3. Tích vô hướng Định nghĩa. Tích vô hướng của 2 vectơ a = 1 2 ( , ,..., ) aa an và b = 1 2 ( , ,..., ) bb bn là một số (ký hiệu là a.b ) xác định như sau: a.b := 11 2 2 ... ab a b a b + ++ n n . (Trong một số giáo trình, để phân biệt tích vô hướng của 2 vectơ với tích thông thường của 2 số, người ta còn ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ a và b là (a,b) hay a b, . Tuy nhiên, trong giáo trình này, khi cần phân định rõ sự khác biệt giữa các vectơ với các số thông thường, chúng ta sẽ dùng phông chữ đậm để biểu diễn vectơ, cho nên sẽ không xảy ra sự lẫn lộn giữa 2 khái niệm đã nói. Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng cách ký hiệu đơn giản như đã trình bày trên, như rất nhiều tài liệu nước ngoài hiện nay, và sẽ chỉ sử dụng ký hiệu <.,.> khi nào thấy cần thiết). Tính chất. Từ định nghĩa trên ta thấy tích vô hướng của 2 vectơ có những tính chất sau: 1) ab ba . . = ; 2) a b c ab ac b c a .( ) . . ( ). += + =+ ; 3) ( . ). .( . ) α α a b ab = , với mọi số α ; 4) a a. 0 ≥ , và a a. 0 = khi và chỉ khi a = 0. Chứng minh. Việc kiểm tra các Tính chất 1 và 3 là dễ dàng và dành lại cho người đọc. Ta kiểm tra các tính chất còn lại. Đẳng thức đầu trong Tính chất 2 suy ra từ nhận xét sau .( ) ( ) ( ) ... ( ) ab c + = + + + ++ + = ab c a b c a b c 11 1 2 2 2 nn n ( ... ) ( ... ) = + ++ + + ++ = + ab a b a b ac a c a c . . 11 2 2 11 2 2 nn nn và đẳng thức sau suy ra từ Tính chất 1. ab ac Phần xuôi của Tính chất 4 có ngay từ định nghĩa, còn phần ngược lại thì rút ra từ nhận xét rằng nếu trong bộ số 1 2 ( , ,..., ) aa an có một phần tử nào đó khác 0, thí dụ là ai , thì 22 22 1 2 a a. ... 0 = + ++ aa aa n i ≥ > . Các tính chất đã được kiểm tra xong. Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 5 Để cho thuận tiện người ta hay viết 2 a thay cho a a. . Lưu ý rằng đây chỉ là quy ước mang tính hình thức và không có liên quan gì đến phép lũy thừa (hoàn toàn vô nghĩa khi viết 3 a ). Tuy nhiên người đọc có thể dễ dàng kiểm tra các “hằng đẳng thức” tương tự sau đây: 22 2 ( ) 2. a b a ab b + =+ + , 22 2 ( ) 2. a b a ab b − = − + . Hai vectơ a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu a b. 0 = . Trong trường hợp không gian 2-chiều và 3-chiều khái niệm vuông góc ở đây hoàn toàn trùng hợp với khái niệm vuông góc thông thường. 1.1.4. Chuẩn của vectơ Bổ đề sau đây có tên là bất đẳng thức Schwarz và sẽ đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vectơ. Bổ đề (Schwarz). Với 2 vectơ a, b ta luôn có 2 ( . ) ( . ).( . ) ab aa bb ≤ . Chứng minh. Với a 0 = thì bất đẳng thức trên là hiển nhiên. Khi a 0 ≠ từ Tính chất 4 ta có ( , ) 0 t t a ba b + + ≥ , với mọi số t. Suy ra 22 2 a ab b t t + + 2 0 ≥ , với mọi t . Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 (biến t) ta có: 2 22 () 0 ab a b − ≤ . Đây chính là điều cần chứng minh. Định nghĩa. Chuẩn (hay độ dài) của vectơ a, ký hiệu là ||a||, là một số xác định như sau: ||a|| = a a. . Dưới dạng tọa độ thì công thức trên có nghĩa là ||a|| = 22 2 1 2 ... aa a + ++ n , và trong trường hợp không gian 2-chiều hoặc 3-chiều thì nó hoàn toàn trùng hợp với công thức tính độ dài theo định lý Pythagoras. Rõ ràng vectơ có chuẩn bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các tọa độ của nó bằng 0. Từ bổ đề Schwarz, sau khi lấy căn 2 vế, ta thu được công thức rất hay được sử dụng sau này là |(a.b)| ≤ ||a||.||b|| . 6 Giải tích các hàm nhiều biến Ngoài ra độ dài còn có những tính chất quan trọng sau: Định lý Với số α và các vectơ a, b ta có ||α.a|| = |α|.||a|| ; ||a+b|| ≤ ||a|| + ||b|| . Chứng minh. Theo định nghĩa ta có 2 2 22 || || ( ).( ) ( . ) || || α αα α α a a a aa a = == . Lấy căn 2 vế ta được đẳng thức cần chứng minh. Tiếp theo, từ bổ đề Schwarz ta có 2a.b ≤ 2.||a||.||b|| . Theo định nghĩa của chuẩn dễ dàng suy ra bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 aa ab bb a a b b . 2 . . || || 2 || ||.|| || || || + + ≤ + + . Điều này có nghĩa là ( ).( ) (|| || || ||) + + ≤ + 2 a ba b a b . Sau khi khai căn 2 vế ta thu được điều cần chứng minh. Bất đẳng thức trong định lý trên thường được gọi là bất đẳng thức tam giác, vì về mặt hình học nó khẳng định một điều rất quen thuộc là: độ dài của một cạnh trong tam giác không thể vượt quá tổng độ dài của 2 cạnh còn lại. Hệ quả (Định lý Pythagoras) Nếu 2 vectơ a và b vuông góc với nhau thì 22 2 || || || || || || ab a b += + . Chứng minh. Ta có 2 22 2 2 2 || || ( ) || || || || a b a b a 2a.b b a b + =+ = + += + , do 0 a.b = . Ta định nghĩa khoảng cách giữa 2 vectơ a và b là chuẩn của hiệu 2 vectơ đó, nghĩa là bằng || || ( ).( ) a b a ba b − = − − . Các vectơ nói đến ở đây đều là vectơ định vị tại gốc nên hoàn toàn được xác định bởi điểm cuối. Khoảng cách giữa 2 vectơ cũng có thể được xem như khoảng cách giữa 2 điểm cuối của chúng, và do đó ta cũng có khái niệm khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian n-chiều. Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 7 Với a = 1 2 ( , ,..., ) aa an , b = 1 2 ( , ,..., ) bb bn ta có thể viết lại công thức định nghĩa khoảng cách dưới dạng: 22 2 11 2 2 || || ( ) ( ) ... ( ) a b − = ab a b a b − + − + + n n − . Rõ ràng, khoảng cách giữa a và b là bằng khoảng cách giữa b và a, và hoàn toàn trùng hợp với khái niệm khoảng cách mà ta đã biết khi không gian là 2-chiều hoặc 3-chiều. Từ các tính chất của chuẩn, ta dễ dàng suy ra khoảng cách giữa 2 vectơ (2 điểm) có những tính chất đặc trưng sau đây: (1) || || 0 a b − ≥ ; (2) || || 0 a b − = khi và chỉ khi a = b ; (3) || || || || ab ba − = − ; (4) || || || || || || ab ac cb −≤− + − . Chứng minh. Các Tính chất (1),(2),(3) là hiển nhiên. Tính chất cuối cùng có ngay từ bất đẳng thức tam giác, bởi vì a - b = (a - c) + (c - b). Nhận xét. Như vậy ta đã xây dựng được không gian các vectơ (các điểm) trên cơ sở các bộ n số và trang bị trên đó các phép tính cộng, nhân với số, tích vô hướng và khái niệm khoảng cách. Không gian này có tên gọi là không gian Euclid n-chiều và được ký hiệu là Rn. Đây là một không gian có nhiều tính chất thú vị và sẽ đóng vai trò nền tảng trong suốt giáo trình Giải tích các hàm nhiều biến. Sau này, khi đã làm việc quen với không gian Rn và không còn sự nhầm lẫn giữa số và bộ n số, chúng ta có thể dùng chữ thường để biểu thị bộ số hay điểm trong không gian nhiều chiều (mà không nhất thiết phải dùng chữ đậm như trong mục này). 1.1.5. Ánh xạ tuyến tính Phép ứng A từ không gian Rn vào không gian Rm được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó có các tính chất sau đây: (i) A( ) ( ) ( ), x y x y xy += + A A ∀ ∈ , Rn ; (ii) ( ) () A λ λ x x = A , ∀λ∈ R , ∀x∈Rn . Ta gọi các vectơ 1e = (1,0,...,0) , 2 e = (0,1,...,0) ,..., (0,0,...,1) en = trong Rn là các vectơ trục đơn vị . Dễ dàng thấy rằng một vectơ bất kỳ 1 2 ( , ,..., ) n x = x x x được biểu diễn qua các vectơ trục đơn vị bằng công thức sau x ee e = + ++ = + ++ x1 2 11 2 2 (1,0,...,0 0,1,...,0 ... 0,0,...,1 ... ) x x xx x ( ) n nn ( ) 8 Giải tích các hàm nhiều biến và do các tính chất (i)-(ii) ta suy ra ảnh của x qua phép ánh xạ tuyến tính A sẽ được biểu diễn qua ảnh của các vectơ trục đơn vị theo công thức sau 11 2 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n AA A A x = + ++ xx x ee e . (*) Mỗi ( )i A e là một phần tử trong Rm , cho nên nó sẽ là một bộ m số, ký hiệu là 1 2 ( , ,..., ) aa a i i im . Ta thiết lập một ma trận chữ nhật A gồm m hàng và n cột, với các cột là các bộ số ( )i A e , tức là [ ] 1 2 : ( ) ( ) ... ( ) A = n AA A ee e , hay       =             aa a ... 11 21 1 n ... : ... ... ... ... aa a 12 22 2 n A . aa a 1 2 ... m m nm Ma trận này được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính A . Nếu ta coi mỗi vectơ như là một ma trận cột thì ta có thể viết       =             x 1 x 2 x và, do công thức (*), # x  + +     + +  =          + +    ax ax ... 11 1 1 n n ... ( ) ax a x 12 1 2 n n A x . """"""" ax ax n 1 1 ... m nm n Theo phép nhân các ma trận thì công thức (*) có thể được viết lại dưới dạng đơn giản là A( ) x Ax = . (**) Ngược lại, nếu có một ma trận A (cỡ m⋅n) thì ta thiết lập được một phép ứng từ không gian Rn vào không gian Rm theo công thức (**). Với các tính chất của phép nhân và cộng các ma trận (đã biết trong giáo trình Đại số tuyến tính), ta dễ thấy rằng phép ứng này thỏa mãn các điều kiện (i)-(ii), cho nên nó là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy, ta có một phép tương ứng giữa tập các ánh xạ tuyến tính (từ không gian Rn vào không gian Rm ) và tập các ma trận chữ nhật (cỡ m⋅n). Trong trường hợp riêng, khi n = m thì A là một ma trận vuông (cấp n) và ánh xạ tương ứng với nó là một ánh xạ từ không gian Rn vào chính nó (hay còn gọi là một phép biến đổi trong Rn ). Ta nói ánh xạ tuyến tính là không suy biến nếu như ma trận tương ứng với nó là không suy biến, tức là có định thức khác 0. Từ giáo trình Đại số tuyến tính ta biết rằng một ma trận vuông không suy biến có ma trận nghịch đảo, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ tuyến tính tương ứng với ma trận nghịch đảo này là ánh xạ ngược của ánh xạ ban đầu. Cho nên, mỗi phép biến đổi không suy biến là một song ánh. Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 9 Người ta định nghĩa chuẩn của ánh xạ tuyến tính A , kí hiệu || || A , là số xác định như sau: || ||: sup || ( ) ||: (0,1) A A = { } x x ∈ B , trong đó ta kí hiệu B(0,1) là quả cầu đơn vị trong Rn , tức là tập hợp các vectơ có độ dài (chuẩn) không vượt quá 1. Để ý rằng với 1 ( ,..., ) (0,1) n x = xxB ∈ thì | | || || 1 i x ≤ ≤ x với mọi i = 1,...,n, cho nên từ công thức (*) ta suy ra được || || A là một số hữu hạn (không vượt quá tổng của chuẩn các ảnh của n vectơ trục đơn vị). Với mọi vectơ x ≠ 0, ta có ( / || || x x ) là vectơ nằm trong quả cầu đơn vị, và do tính tuyến tính của A ta có: 1 ( ) || ( ) || || || || || || ||  = =   ≤     || || A A A A , x x x hay là x xx || ( ) || || ||.|| || A x x ≤ A . Rõ ràng với x = 0 bất đẳng thức này vẫn đúng, cho nên nó đúng với mọi x. Đây là một công thức quan trọng, vì nó phản ánh tính liên tục của ánh xạ tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều (như sẽ thấy sau này). Các ánh xạ tuyến tính là đối tượng được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại số tuyến tính, cho nên trong giáo trình này ta sẽ không đi sâu. Tuy nhiên, do vai trò quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực, chúng sẽ được đề cập đến nhiều hơn về khía cạnh thực hành tính toán. Nhận xét. Không gian Rn là sự mở rộng của các không gian 2-chiều, 3-chiều và được thừa hưởng nhiều thuộc tính mà ta đã quen biết từ những năm phổ thông. Tuy nhiên, đối tượng nghiên cứu của Toán học là vô cùng rộng rãi và rất nhiều không gian mà nó đề cập (với các phần tử không nhất thiết là các bộ số) thường không có được tất cả các tính chất giống như của Rn . Những không gian chỉ được trang bị các phép tính cộng, nhân với số (với các tính chất giống như trong Rn) được gọi là các không gian có cấu trúc tuyến tính và được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại số tuyến tính. Những không gian không có được cấu trúc tuyến tính, nhưng lại được trang bị khái niệm khoảng cách (với các tính chất giống như trong Rn) được gọi là không gian metric. Không gian này và các dạng tổng quát của nó được nghiên cứu kỹ trong lý thuyết Tôpô và là một phần rất quan trọng của giáo trình Giải tích hàm. Tuy nhiên, không gian metric cũng là một công cụ tiện lợi trong 10 Giải tích các hàm nhiều biến nghiên cứu hàm nhiều biến, cho nên chúng ta cần biết một số khái niệm cơ bản về nó. 1.2. Không gian metric 1.2.1. Định nghĩa và các ví dụ Định nghĩa. Không gian metric là một tập hợp E≠∅ được trang bị một phép ứng mỗi cặp điểm p,q∈E với một số thực d(p,q) sao cho (1) d pq pq E ( , ) 0, , ≥ ∀∈ ; (2) d pq p q (,) 0 = ⇔ = ; (3) d pq dqp pq E ( , ) ( , ), , = ∀ ∈ ; (4) d pq d pr drq pqr E ( , ) ( , ) ( , ), , , ≤ + ∀ ∈ (bất đẳng thức tam giác). Như vậy không gian metric là một cặp (E,d), trong đó E là một tập hợp và d là một hàm số d : E⋅E→R thỏa mãn các Tính chất (1)-(4). Thông thường, khi nói về một không gian metric nào đó với hàm d mà mọi người đều hiểu là gì rồi thì người ta chỉ dùng tập E để biểu thị thay cho cả cặp (E,d). Điều này tuy không đúng về mặt logic, nhưng lại thuận tiện cho nên được mọi người chấp nhận. Số d(p,q) được gọi là khoảng cách giữa 2 điểm p, q, và hàm d được gọi là hàm khoảng cách hay là metric. Thí dụ 1. Với E = Rn và hàm d được định nghĩa như sau 2 2 1 1 ( ) || || ( ) ... ( ) d ba b a a,b a b = − = − + + n n − thì từ các tính chất của khoảng cách trong Rn ta suy ra cặp (Rn,d) là một không gian metric. Nó sẽ là một không gian metric điển hình trong giáo trình này, và metric xác định như trên sẽ được coi là metric thông thường trên Rn . Trong trường hợp đặc biệt, khi n = 1, ta có trục số thực R cũng là một không gian metric với định nghĩa khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu của chúng. Thí dụ 2. Với E = Rn và hàm d được định nghĩa như sau 1 1 ( , ) | | ... | | n n d ba b a a b = − + + − Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 11 thì cặp (Rn,d) cũng là một không gian metric (người đọc tự kiểm tra như một bài tập). Thí dụ 3. Với E = Rn ta định nghĩa hàm d như sau d ba i n ( , ) max | | , 1,2,..., a b = { } i i − = thì cũng dễ dàng thấy rằng cặp (Rn,d) là một không gian metric (người đọc tự kiểm tra như một bài tập). Thí dụ 4. Khi (E,d) là một không gian metric thì mỗi tập con E E 1 ⊂ cùng với thu hẹp của d trên E1⋅ E1 cũng tạo thành một không gian metric, được gọi là không gian metric con của E và thường được ký hiệu là ( E1 ,d). Thí dụ 5. Với E là một tập bất kỳ, ta định nghĩa  = = ≠ 0 khi , (,) 1 khi . p q d pqp q Rõ ràng d thỏa mãn mọi điều kiện của một hàm khoảng cách và cặp (E,d) là một không gian metric. Tuy nhiên không gian này có cấu trúc đơn giản tới mức chẳng cung cấp cho ta một thông tin đáng kể nào. Cho nên phương pháp xác định hàm khoảng cách sẽ là yếu tố thực sự đem lại cấu trúc cho một không gian metric. Mệnh đề. Với các điểm 1 2 , ,..., p p p trong không gian me n tric E ta luôn có 1 12 23 1 ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) dp p dp p dp p dp p n nn ≤ + ++ − . Chứng minh. Suy từ việc áp dụng bất đẳng thức tam giác lặp lại n-1 lần 1 12 2 12 23 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ... dp p dp p dp p dp p dp p dp p nn n ≤ + ≤ + + ≤ Mệnh đề. Với các điểm 123 p , , p p trong không gian metric E ta luôn có 13 23 12 | ( , ) ( , )| ( , ) dp p dp p dp p − ≤ . (Nghĩa là: Hiệu của 2 cạnh trong tam giác luôn nhỏ hơn cạnh còn lại). Chứng minh. Từ bất đẳng thức tam giác ta có 13 12 23 dp p dp p dp p (, ) (, ) ( , ) ≤ + và 23 21 13 dp p dp p dp p ( , ) ( ,) (, ) ≤ + . Các bất đẳng thức này có thể viết lại thành 13 23 12 dp p dp p dp p (, ) ( , ) (, ) − ≤ và 23 13 12 dp p dp p dp p ( , ) (, ) (, ) − ≤ , chính là điều cần chứng minh. 12 Giải tích các hàm nhiều biến 1.2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric Ta đã biết khái niệm về tập đóng và tập mở trong R. Một cách tương tự, ta có thể định nghĩa khái niệm này trong không gian metric (nói chung) và trong Rn (nói riêng). Trước hết ta đưa ra định nghĩa quả cầu trong không gian metric. Quả cầu mở trong không gian metric (E,d) với tâm tại p ∈ E và bán kính r > 0 là tập hợp B pr q E d pq r ( , ): { : ( , ) } = ∈ < . Quả cầu đóng trong không gian metric (E,d) với tâm tại p ∈ E và bán kính r > 0 là tập hợp B pr q E d pq r ( , ): { : ( , ) } = ∈ ≤ . Khi ta không chỉ rõ tâm và bán kính thì ta chỉ cần nói quả cầu thay cho việc nói quả cầu với tâm là một điểm nào đó và với bán kính là một số dương nào đó. Thí dụ. Với E = R3 và với metric thông thường thì khái niệm quả cầu như trên hoàn toàn trùng hợp với quả cầu theo ngôn ngữ đời thường, còn với metric như trong Thí dụ 3 thì quả cầu sẽ là một hình lập phương (theo ngôn ngữ đời thường). Quả cầu thông thường không kể phần mặt cầu thì là quả cầu mở, và nếu kể cả mặt cầu thì là quả cầu đóng. Với E = R2 và với metric thông thường thì quả cầu là một hình tròn, còn với metric như trong Thí dụ 3 thì quả cầu là một hình vuông (theo ngôn ngữ thông thường). Hình tròn không kể vòng tròn bao quanh thì là hình tròn mở, và nếu kể cả vòng tròn bao quanh thì là hình tròn đóng. Với E = R thì quả cầu mở chính là một khoảng và quả cầu đóng chính là một đoạn. Ngược lại, một khoảng (a,b) bất kỳ luôn có thể được xem là một quả cầu mở a b b a p + = và bán kính 2 với tâm tại điểm 2 r − = , vì ab ab ba ab ba axb x x − + − + − < < ⇔ < − < ⇔ − < . | | 2 22 2 2 Tương tự như vậy đối với đoạn. Định nghĩa. Tập con S trong không gian metric E được gọi là mở nếu, với mỗi p ∈ S , tập này chứa cả một quả cầu tâm p (với bán kính nào đó). Rõ ràng, khi E = R, khái niệm tập mở ở đây hoàn toàn trùng hợp với khái niệm tập mở mà ta đã đưa ra trước đây (trong giáo trình Giải tích một biến). Khái Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 13 niệm tập mở (hay không mở) chỉ có nghĩa khi nó là một tập con trong không gian metric. Mệnh đề. Trong không gian metric E bất kỳ ta luôn có (1) Tập rỗng ∅ là mở ; (2) Cả không gian E là mở ; (3) Hợp của một họ (bất kỳ) tập mở là một tập mở ; (4) Giao của một họ hữu hạn tập mở là một tập mở . Chứng minh. Phần (1) là hiển nhiên, vì tập rỗng không chứa điểm nào nên nó chẳng phải chứa quả cầu nào. Phần (2) cũng là rõ ràng vì mọi quả cầu đều nằm trong E, nghĩa là E chứa mọi quả cầu với tâm ở bất kỳ điểm nào. Phần (3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa, vì một tập nào đó trong họ mà đã chứa một quả cầu thì hợp của cả họ ắt phải chứa quả cầu đó. Ta chỉ còn phải chứng minh phần còn lại. Trường hợp giao của họ các tập mở Si (i=1,2,...,N) là một tập rỗng thì Phần (1) cho ta điều cần chứng minh. Trường hợp giao của họ các tập mở i S (i=1,2,...,N) là một tập S khác rỗng thì N p S S ∩ ta sẽ chỉ ra rằng tìm được quả cầu tâm p nằm gọn ∈ = với mỗi điểm 1 : = i i trong S. Thật vậy, do mỗi tập Si là mở và p ∈ Si , ta tìm được quả cầu tâm p bán kính ir nằm gọn trong i S . Lấy min{ , ,..., } 1 2 N r rr r = , ta dễ dàng thấy rằng quả cầu tâm p với bán kính r nằm trong quả cầu tâm p bán kính ir (và do đó nằm gọn trong Si ), với mọi 1,2,..., i N = . Điều này chứng tỏ quả cầu tâm p bán kính r nằm trong giao của tất cả các tập Si , nghĩa là nó nằm trong S và mệnh đề đã được chứng minh xong. Nhận xét. Trong giáo trình Giải tích một biến chúng ta đã biết tôpô trên trục số thực là một họ các tập con thỏa mãn các điều kiện tương tự như họ tập mở nêu trong mệnh đề trên. Dễ dàng thấy rằng khái niệm tôpô này có thể mở rộng ra cho tập bất kỳ, và một tập hợp có tôpô được gọi là một không gian tôpô. Như vậy, mệnh đề trên nói rằng không gian metric là một không gian tôpô (với tôpô là họ các tập mở). Để giải tỏa mối băn khoăn về sự “xung khắc có thể xảy ra” giữa 2 khái niệm mở (quả cầu mở và tập mở), ta có mệnh đề sau Mệnh đề. Quả cầu mở trong không gian metric là một tập mở. Chứng minh. Cho quả cầu mở bất kỳ B(p,r). Lấy điểm q bất kỳ trong B(p,r), ta chỉ ra rằng tồn tại quả cầu có tâm tại q (với bán kính nào đó) nằm gọn trong B(p,r). Thật vậy, do q nằm trong B(p,r) nên d(p,q) < r. Lấy số dương ( , ) s < r d pq − ta có Bqs B pr (,) (,) ⊂ , vì rằng 14 Giải tích các hàm nhiều biến dqx s d px d pq dqx d pq s r (,) (,) (,) (,) (,) < ⇒ ≤ + < +< . Mệnh đề đã được chứng minh xong. Như vậy đối với quả cầu thì 2 khái niệm mở thực chất chỉ là một. Nhận xét. Từ 2 mệnh đề trên ta thấy rằng tập mở chính là hợp của các quả cầu mở. Thật vậy, hợp của các quả cầu mở cho ta một tập mở. Ngược lại, một tập mở có thể xem là hợp của tất cả các quả cầu nằm trong nó (mỗi điểm của tập mở đều nằm trong một quả cầu như vậy, nên hợp của tất cả các quả cầu này đương nhiên chứa tất cả các điểm của tập). Lưu ý. Giao của một họ vô hạn các tập mở không nhất thiết là một tập mở. Thí dụ, trong không gian Rn, giao của họ các quả cầu mở 1 B p(,) n với n=1,2,3,.., chỉ là một điểm p đơn độc và không phải là tập mở. Định nghĩa. Một tập con S trong không gian metric E được gọi là đóng nếu như phần bù của nó là một tập mở. Nhắc lại rằng phần bù của một tập con S trong không gian E là C(S)=E \ S . Để tránh nỗi băn khoăn về sự “xung khắc có thể xảy” ra giữa 2 khái niệm đóng đối với quả cầu (quả cầu đóng và tập đóng) ta có mệnh đề sau đây khẳng định rằng về thực chất chúng chỉ là một. Mệnh đề. Quả cầu đóng trong không gian metric là một tập đóng. Chứng minh. Lấy quả cầu đóng bất kỳ B pr (,), ta chứng minh rằng phần bù của nó là một tập mở. Rõ ràng phần bù của nó là CB pr x E d px r [ ( , )] { : ( , ) } = ∈ > . Nếu nó rỗng thì đương nhiên nó là mở. Khi nó khác rỗng, ta lấy một điểm q bất kỳ trong CB pr [ ( , )] và chỉ ra rằng có quả cầu tâm tại q nằm hoàn toàn trongCB pr [ ( , )]. Thật vậy, do q CB pr ∈ [ ( , )] nên ( , ) d pq r > và ta tìm được số dương ( , ) s < d pq r − . Dễ dàng kiểm tra rằng Bqs CB pr ( , ) [ ( , )] ⊂ , bởi vì x ∈ ⇒ Bqs dqx d pq r d px d pq dqx r (,) (,) ( ,) ( ,) (,) (,) < −⇒ ≥ − > . Mệnh đề được chứng minh xong. Tương tự như đối với các tập mở, ta có Mệnh đề. Trong không gian metric E bất kỳ ta luôn có (1) Cả không gian E là một tập đóng ; (2) Tập rỗng ∅ là một tập đóng ; (3) Giao của một họ (bất kỳ) tập đóng là một tập đóng ; (4) Hợp của một họ hữu hạn tập đóng là một tập đóng . Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 15 Chứng minh. Các phần (1)-(2) suy ngay từ mệnh đề tương tự đối với tập mở. Các phần (3)-(4) cũng suy từ mệnh đề ấy kết hợp với một kết quả đã biết trong lý thuyết tập hợp là: Phần bù của hợp các tập là giao của các phần bù của các tập này; và phần bù của giao các tập là hợp của các phần bù của các tập này. Nhận xét. Dễ dàng thấy rằng phần bù của một điểm là một tập mở, cho nên mỗi điểm là một tập đóng; và từ mệnh đề trên suy ra tập hợp gồm hữu hạn điểm là một tập đóng. Mặt cầu ( , ) : { : ( , ) } S pr x E d px r = ∈ = có thể xem là giao của quả cầu đóng với phần bù của quả cầu mở (là một tập đóng) cho nên nó cũng là một tập đóng. Một tập con trong không gian metric được gọi là giới nội nếu nó nằm trong một quả cầu nào đó. Thí dụ.Trong R với metric thông thường, một tập là giới nội nếu tồn tại số r > 0 để đoạn [-r,r] chứa trọn tập ấy. Dĩ nhiên toàn bộ không gian R không phải là giới nội. Thế nhưng nếu xét E = R với metric như trong Thí dụ 5 ở mục trước thì R lại là tập giới nội. 1.2.3. Hội tụ trong không gian metric Sự hội tụ trong không gian metric nói chung cũng tương tự như sự hội tụ trên trục số thực mà ta đã quen biết, nếu ta coi mỗi khoảng là một quả cầu và khoảng cách giữa 2 số là trị tuyệt đối của hiệu của chúng. Chính xác hơn ta có định nghĩa sau: Định nghĩa. Dãy các điểm 123 p p p trong không gian metric E , , ,... được gọi là hội tụ đến điểm p E ∈ nếu, với mỗi số ε> 0 , tìm được số tự nhiên N sao cho (, ) n dpp <ε khi n N > . Khi ấy ta cũng nói rằng p là giới hạn của dãy { } p , n hay dãy { } pn có giới hạn là p. Và viết lim n np p →∞= . Một dãy được gọi là hội tụ nếu nó hội tụ đến một điểm nào đó. Nếu ta gọi quả cầu tâm p bán kính ε là một ε-lân cận của điểm p thì định nghĩa trên có thể phát biểu như sau: Dãy các điểm 123 pp p , , ,...trong không gian metric E được gọi là hội tụ đến điểm p ∈ E nếu, với mỗi số ε> 0 , tìm được số tự nhiên N để mọi n p với n N > đều nằm trong ε-lân cận của p. 16 Giải tích các hàm nhiều biến Lưu ý. Trong định nghĩa trên số tự nhiên N được tìm sau khi đã cho ε, nên nói chung nó phụ thuộc vào ε và sẽ chính xác hơn nếu viết N(ε) thay vì N. Tuy nhiên, để cho thuận tiện, và cũng để tránh gây sự hiểu lầm là có sự tương ứng nào đó giữa ε và N, chúng ta sẽ không viết như vậy khi thấy không cần nhấn mạnh điều này. Trong thực tế, khi đã tìm được một số N như trong định nghĩa thì cũng có nghĩa là tồn tại vô số các số như vậy (thí dụ: tất cả các số tự nhiên lớn hơn nó). Nhận xét. Sự hội tụ của một dãy phải luôn được hiểu trong quan hệ với một không gian metric xác định nào đó. Cùng một dãy có thể là hội tụ trong không gian metric này, và không là hội tụ trong không gian metric khác. Thí dụ: dãy số { }1n là hội tụ tới 0 trên trục số thực với metric thông thường (khoảng cách 2 điểm bằng trị tuyệt đối của hiệu của chúng) và không hội tụ trên trục số thực với metric tầm thưòng (khoảng cách giữa hai điểm khác nhau là bằng 1, và chỉ bằng 0 khi trùng nhau). Sự hội tụ của một dãy tới một điểm giới hạn nào đó có nghĩa là các điểm của dãy càng về sau thì càng gần đến điểm giới hạn, nhưng không có nghĩa là tất cả các điểm “phía sau” phải gần hơn tất cả các điểm “phía trước”. Thí dụ dãy số 2 ( 1) / an n n = − có điểm đầu tiên a1 = 0 là gần giới hạn của dãy hơn bất cứ phần tử nào đứng sau nó (vì chính nó là điểm giới hạn của dãy). Mệnh đề. Một dãy trong không gian metric chỉ có nhiều nhất là một điểm giới hạn. Chứng minh. Bằng phản chứng, giả sử ngược lại rằng có 2 điểm phân biệt p và q cùng là giới hạn của một dãy{ }n p . Do d pq (,) 0 > ta tìm được số dương ε < d pq ( , )/2 . Do dãy { } pn hội tụ đến p nên với số ε này ta tìm được số tự nhiên N1 sao cho 1 (, ) , dpp n N n <ε ∀ > . Mặt khác do { }n p hội tụ đến q ta tìm được số tự nhiên N2 sao cho 2 (, ) , dqp n N n <ε ∀ > . Như vậy khi 1 2 n N NN > =: max{ , } ta sẽ có ( , ) dppn <ε và ( , ) dqpn <ε . Tổng hợp lại và kết hợp với bất đẳng thức tam giác ta suy ra (,) (, ) ( ,) 2 (,) d pq d p p d p q d pq n n ≤ + <+= < εε ε . Đây là điều mâu thuẫn, cho nên mệnh đề được chứng minh xong. Với 123 pp p , , ,...là một dãy điểm và 123 nn n , , ,... là một dãy số tự nhiên tăng chặt (tức là 123 nn n <<<...) thì dãy 123 , , ,... ppp nn n được gọi là dãy con của dãy 123 pp p , , ,...(Đôi khi, để tránh phải viết các chỉ số quá nhỏ, ta sẽ viết các dãy con là (1) (2) (3) , , ,... pp p nn n ). Trong trường hợp riêng, một dãy cũng là dãy con của chính nó. Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 17 Mệnh đề. Mỗi dãy con của một dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ và cùng có chung giới hạn với dãy ban đầu. Chứng minh. Mệnh đề này đã quen thuộc với chúng ta trong trường hợp dãy số. Trong trường hợp không gian metric nói chung việc chứng minh không có gì khác và xin dành lại cho người đọc như một bài tập. Một dãy 123 pp p , , ,... trong không gian metric được gọi là giới nội nếu tập điểm { 123 pp p , , ,... } là giới nội. Nhận xét. Mọi dãy hội tụ là giới nội. Thật vậy, gọi p là điểm giới hạn của nó thì với một số dương ε nào đó ta tìm được số tự nhiên N để mọi điểm của dãy, kể từ phần tử thứ N trở đi nằm cách điểm p một khoảng không quá ε, và như vậy toàn bộ dãy sẽ nằm hoàn toàn trong quả cầu tâm p với bán kính là 1 2 : max{ , ( , ), ( , ),..., ( , )} R dpp dpp dppN = ε . Định lý Một tập S (trong không gian metric E) là đóng khi và chỉ khi mọi dãy hội tụ của S có giới hạn nằm trong S. Chứng minh. (⇒) Ta chỉ ra rằng nếu S là một tập đóng và dãy { } pn ⊂ S là hội tụ đến một điểm p (trong E) thì phải có p ∈ S . Thật vậy, nếu không như thế thì p nằm trong phần bù của S và đây là một tập mở nên tồn tại một quả cầu tâm p bán kính ε nào đó nằm hoàn toàn trong phần bù của S. Do tính chất của dãy hội tụ nên tồn tại số tự nhiên N sao cho mọi pn với n N > đều nằm trong ε-lân cận của p, tức là nằm trong phần bù của S. Đây là điều mâu thuẫn vì không thể có các điểm vừa nằm trong S vừa nằm trong phần bù của S. (⇐) Ta chỉ ra rằng nếu mọi dãy hội tụ { } pn ⊂ S có giới hạn nằm trong S thì S là một tập đóng. Bằng phản chứng, giả sử ngược lại S không đóng. Khi ấy phần bù của nó C(S) không phải là tập mở, tức là tồn tại điểm p ∈C S( ) mà không có quả cầu tâm p nào nằm gọn trong C(S). Suy ra, với mỗi số tự nhiên n, trong quả cầu 1 (,) n B p có một điểm qn nào đó không nằm trong C(S), cũng tức là q S n ∈ . Dễ dàng kiểm tra rằng lim n nq p →∞= và theo giả thiết ta suy ra p ∈ S . Như vậy p vừa nằm trong S vừa nằm trong C(S). Mâu thuẫn này cho thấy định lý được chứng minh. 1.2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric Định nghĩa. Dãy các điểm 123 p p p trong không gian metric , , ,... được gọi là dãy Cauchy nếu, với mỗi số ε > 0, tìm được số tự nhiên N sao cho khi mn N , > thì (, ) n m dp p <ε . Lưu ý rằng số tự nhiên N được tìm sau khi đã cho số ε cho nên nói chung nó phụ thuộc vào ε. Vì số ε có thể cho bé bao nhiêu tuỳ ý, cho nên dãy Cauchy có một đặc trưng hình học rất cơ bản là các điểm càng về cuối thì càng gần nhau. 18 Giải tích các hàm nhiều biến Mệnh đề. Dãy hội tụ là dãy Cauchy. Chứng minh. Nếu dãy 123 pp p , , ,... hội tụ đến điểm p thì, với mỗi số ε > 0, tìm được số tự nhiên N sao cho khi n N > ta có ( , ) / 2 dppn <ε . Suy ra, với mọi km N , > , ( , ) ( ,) (, ) 2 2 dp p dp p dpp km k mε ε < + <+= ε , có nghĩa 123 pp p , , ,... là dãy Cauchy. Nhận xét. Điều ngược lại nói chung là không đúng. Thí dụ: Trục số thực mà bỏ đi điểm gốc 0 thì vẫn là không gian metric (với hàm khoảng cách thông thường), nhưng dãy số { }1n không phải là dãy hội tụ trong không gian này, mặc dù nó là dãy Cauchy (dễ dàng kiểm tra điều này theo định nghĩa). Lý do khiến dãy này không hội tụ là không gian “bị thủng một lỗ” ở gốc tọa độ. Các không gian như vậy được coi là không đầy đủ. Trước khi bàn đến việc “làm đầy” nó, ta lưu ý thêm một số tính chất của dãy Cauchy. Mệnh đề. Dãy con của một dãy Cauchy cũng là dãy Cauchy. Chứng minh. Suy ngay từ định nghĩa. Mệnh đề. Dãy Cauchy là giới nội. Chứng minh. Với dãy Cauchy ta tìm được số tự nhiên N để mọi điểm kể từ N trở đi cách nhau không quá 1. Lấy một điểm pm với m N > . Khoảng cách giữa pm và mỗi điểm bất kỳ trong số (hữu hạn) N điểm đầu của dãy là bị chặn bởi một số dương R nào đó. Dễ dàng thấy rằng toàn bộ dãy phải nằm trong quả cầu tâm pm với bán kính là số lớn hơn trong 2 số R và 1. Mệnh đề. Nếu dãy Cauchy có một dãy con hội tụ thì nó cũng hội tụ (tới giới hạn của dãy con đó). Chứng minh. Cho 123 pp p , , ,... là dãy Cauchy và (1) (2) (3) , , ,... pp p nn n là dãy con hội tụ của nó. Gọi p là điểm giới hạn của dãy con. Với số dương ε cho trước, do tính chất của dãy Cauchy ta tìm được số tự nhiên N sao cho khi , mn N > thì dp p ( , ) /2 n m <ε . Do tính chất của dãy hội tụ ta tìm được phần tử trong dãy con là pn k( ) với nk N ( )> sao cho ( ) dpp ( , ) /2 n k <ε . Khi ấy ta có () () (, ) (, ) ( , ) 2 2 n nk nk n dpp dpp dp p ε ε ≤ + <+= ε . Theo định nghĩa của giới hạn ta có điều cần chứng minh. Định nghĩa. Không gian metric E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong E có giới hạn (trong E). Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 19 Thí dụ.Trục số thực R với metric thông thường là một không gian metric đầy đủ. Trục số thực R với metric như trong Thí dụ 5 ở Mục 1.2.1 cũng là một không gian metric đầy đủ vì các phần tử của dãy Cauchy trùng nhau khi các chỉ số đủ lớn và đó chính là giới hạn của dãy. Tuy nhiên khi E là khoảng mở (0,1) trong R thì với metric thông thường nó không phải là không gian metric đầy đủ vì dãy Cauchy { }1n không có giới hạn trong E. Mệnh đề. Mỗi tập đóng trong một không gian metric đầy đủ là một không gian metric đầy đủ. Chứng minh. Suy ra ngay từ định nghĩa. Định lý. Không gian Rn là đầy đủ. Chứng minh. Trong giáo trình Giải tích một biến ta đã biết rằng rằng mọi dãy số giới nội đều có một dãy con hội tụ. Ta lại biết rằng mọi dãy Cauchy đều giới nội, cho nên nó có dãy con hội tụ, và theo mệnh đề trên thì bản thân nó cũng phải hội tụ (đến giới hạn của dãy con này). Tổng hợp lại ta suy ra rằng trục số thực (với metric thông thường) là một không gian đầy đủ. Tính đầy đủ không gian Rn là hoàn toàn dựa trên sự kiện này với nhận xét rằng, với 1 2 = ( , ,..., ) p aa an ∈Rn và 1 2 = ( , ,..., ) q bb bn ∈Rn, ta luôn có 11 2 2 | | ( , ) | | | | ... | | ab d ab a b a b ii nn −≤ ≤− p q + − + + − , với mọi i = 1,2,...,n. Thật vậy, bất đẳng thức trên cho thấy rằng một dãy trong Rn là dãy Cauchy khi và chỉ khi các dãy tọa độ của nó là dãy Cauchy, và một dãy trong Rn là hội tụ tới một điểm p trong Rn khi và chỉ khi các dãy tọa độ của nó hội tụ (tương ứng) đến các tọa độ của điểm p. Cho nên với dãy Cauchy bất kỳ trong Rn ta có các dãy tọa độ của chúng cũng là các dãy Cauchy, và do tính đầy đủ của trục số thực ta suy ra chúng đều có giới hạn. Các giới hạn này là tọa độ của một điểm trong Rn . Dễ dàng chứng minh rằng điểm này chính là giới hạn của dãy điểm ban đầu. Định lý đã được chứng minh xong. 1.2.5. Tính compact trong không gian metric Chúng ta đã làm quen với khái niệm compact trên trục số thực. Khái niệm này hoàn toàn có thể mở rộng cho không gian metric, tương tự như ta đã làm với tập mở, tập đóng,... Để tiện tra cứu, chúng ta nhắc lại: 20 Giải tích các hàm nhiều biến Một họ các tập mở (trong một không gian metric) được gọi là phủ mở của một tập S nếu như hợp của chúng chứa toàn bộ S. Nếu có một họ con (trong họ các tập mở này) là phủ mở của S thì ta gọi nó là phủ con. Trong giáo trình này ta chỉ xét phủ lập thành từ họ các tập mở, nên đôi khi ta nói gọn phủ thay cho phủ mở. Nếu họ gồm một số hữu hạn tập mở thì phủ được gọi là phủ hữu hạn. Một tập S (trong không gian metric E) được gọi là compact nếu trong mỗi phủ của nó ta tìm được một phủ con hữu hạn. Bản thân không gian E cũng được xem như một tập, nên khái niệm compact cũng có thể được áp dụng cho nó. Khi ấy, không gian metric E là compact nếu như từ mọi họ tập mở hợp thành nó ta tìm được một số hữu hạn các tập mở hợp thành nó. Nhận xét. Trong thực tế việc kiểm tra tính compact bằng phủ mở như nêu trong định nghĩa là một công việc hết sức khó khăn. Thay vào đó người ta thường khai thác những đặc điểm cơ bản của tính compact và xem đó như các tiêu chuẩn để nhận biết nó. 1. Nguyên lý giao hữu hạn Trong giáo trình Giải tích một biến chúng ta đã có nguyên lý giao của tập compact trong R. Bây giờ chúng ta sẽ mở rộng nguyên lý này trong không gian metric. Cho { } A : I α α ∈ là họ bất kỳ những tập khác rỗng trong không gian metric E. Ta nói họ này có tính chất giao hữu hạn nếu với mọi bộ hữu hạn chỉ số 1,..., k α α ∈ I ta có k ∩Aα . i =1 ≠ ∅ i Bổ đề. Mỗi tập đóng trong một không gian metric compact là một tập compact. Chứng minh. Lấy tập đóng S trong không gian compact E. Giả sử có một phủ của S là họ các tập mở{ } , V K α α ∈ , nghĩa là ⊆ ∪ . Do C(S) (phần bù của S ) là S Vα α∈ K một tập mở và rõ ràng họ { } , V K α α ∈ kết hợp với tập C(S) sẽ lập thành một phủ của cả không gian E. Do tính compact của E nên ta tìm được một phủ con hữu hạn E V CS ∪ ∪ . từ phủ này, nghĩa là tìm được một tập hữu hạn I ⊂ K sao cho ( ) = i ∈ i I S V ∪ , có nghĩa { } , Vi I i ∈ là một phủ (hữu hạn) của S. Mệnh Từ đây ta suy ra ⊂ i ∈ i I đề đã được chứng minh xong. Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 21 Định lý. Giả sử E là không gian metric compact và { } A : I α α ∈ là họ những tập con đóng khác rỗng trong E có tính chất giao hữu hạn. Khi ấy họ này có điểm chung, tức là ∩ . Aα α ∈ ≠ ∅ I Chứng minh. Đặt \ U EA α α = . Vì Aα đóng nên Uα mở. Giả thiết phản chứng là ∩ . Khi ấy { } U I : α α ∈ tạo thành phủ của E. Vì E là compact nên tồn tại Aα α ∈ =∅ I phủ con hữu hạn 1,..., k U U α α , tức là k E U ∪ α , hay = i k ∩Aα . =∅ i i =1 i =1 Đây là điều vô lý vì họ { } A : I α α ∈ có tính chất giao hữu hạn. Định lý được chứng minh đầy đủ. Hệ quả. Cho trước họ các tập compact khác rỗng lồng nhau 1 2 S S ⊇ ⊇... . Khi ấy ∞ ∩S . i = 1 i ≠ ∅ Chứng minh. Hiển nhiên họ { } : 1,2,... S i i = là một họ những tập đóng khác rỗng có tính chất giao hữu hạn trong không gian compact S1. Vì thế, theo định lý trên, giao của chúng khác rỗng. Đây chính là điều cần chứng minh. 2. Các tính chất cơ bản Để khảo sát các tập compact ta cần một số khái niệm sau đây: Điểm p trong không gian metric E được gọi là điểm tụ của tập S E ⊂ nếu mọi quả cầu có tâm tại p đều chứa vô hạn các phần tử của S. Với ε > 0 và A là một tập con trong E, ta nói A là ε-lưới của E nếu với mọi x trong E tồn tại a∈A để d(a,x) < ε. Tương tự như vậy ta định nghĩa được ε-lưới của một tập bất kỳ B E ⊆ . Tập B ⊆ E được gọi là hoàn toàn giới nội nếu B có ε-lưới hữu hạn với mỗi số dương ε. Thí dụ. Trong R2 quả cầu tâm 0, bán kính 1 là tập hoàn toàn giới nội. Thật vậy, với ε > 0 bất kỳ, chọn số nguyên 2 Nε > . Dễ thấy tập hữu hạn i j x y x y x y ij N N N = =+ ≤ = { } ( ) 2 2 , : , , 1, , 0,..., ij i j i j 22 Giải tích các hàm nhiều biến tạo thành ε-lưới của quả cầu nói trên. Chú ý. Nếu như tập B ⊆ E là hoàn toàn giới nội thì nó cũng là giới nội. Thật vậy, giả sử { } 1,..., n x x B ⊆ là một ε-lưới (với ε > 0) của B. Lấy 0x ∈ B và đặt 0 0 max ( , ) : 1,..., { } i r dx x i n = = . Vì B là hoàn toàn giới nội, với mọi x ∈ B tìm được chỉ số i để ( ,) dx x i <ε . Do đó 00 0 ( ,) ( , ) ( ,) dx x dx x dx x r i i ≤ + ≤ +ε . Như vậy B nằm trong quả cầu tâm 0x bán kính 0r +ε , tức là B giới nội. Thí dụ sau cho ta biết điều ngược lại của điều trong chú ý trên là không đúng. ∞ Thí dụ. Xét không gian E các dãy số { }n x với tính chất 2 ∑ <∞ . Khoảng cách x n = n 1 giữa hai dãy là ∞ ( ) { }{ } ( )2 = ∑ − . dx y x y , n n nn n = 1 Dễ kiểm tra rằng không gian E với khoảng cách trên là một không gian metric. Chúng ta khẳng định rằng quả cầu đơn vị B trong không gian này không phải là hoàn toàn giới nội. Thật vậy, nhận xét rằng B chứa các điểm k a có các thành phần bằng 0 trừ thành phần thứ k bằng 1, k=1,2,... và da a (,) 2 k l = nếu k ≠ l. Vì thế, nếu lấy ε = 2 4 thì mọi ε-lưới của B phải là vô hạn (một điểm bất kỳ đã cách ak một khoảng nhỏ hơn ε thì không thể cách , al với l k ≠ một khoảng nhỏ hơn ε được). Chứng tỏ B không có ε-lưới hữu hạn và do đó nó không phải là tập hoàn toàn giới nội. Định lý. Cho E là một không gian metric. Những khẳng định sau là tương đương: (i) E là compact ; (ii) Mọi tập con vô hạn trong E có điểm tụ trong E; (iii) Mọi dãy con trong E có dãy con hội tụ trong E; (iv) E là đầy đủ và hoàn toàn giới nội. Chứng minh. (i)⇒(ii) Cho S là tập con vô hạn của E. Nếu S không có điểm tụ thì với mọi p ∈ E tồn tại quả cầu tâm p chỉ chứa hữu hạn điểm của S. Những quả cầu này phủ E và theo tính compact, ta có thể trích một phủ con hữu hạn. Phủ con này chỉ chứa hữu hạn phần tử của S và do đó S chỉ có hữu hạn phần tử, điều này vô lý. (ii)⇒ (iii) Giả sử { } pn là dãy trong E. Nếu tập { } : 1,2,... p n n = chỉ có hữu hạn phần tử thì có ít nhất một điểm được lặp lại vô số lần. Chính những “phần tử lặp” Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 23 này tạo thành dãy con hội tụ (tới chính điểm ấy). Nếu tập trên vô hạn, theo ii), có điểm tụ p ∈ E thì, theo định nghĩa điểm tụ, với mỗi k bất kỳ tìm được n(k) để ( )1 (, ) n k p Bp k ∈ . Cho k=1,2,... ta thu được dãy con { } pn k( ) với tính chất 1 (, ) n k dpp k ≤ . Vậy { pn k( )} hội tụ tới p và (iii) đúng. ( ) (iii)⇒(iv) Trước hết ta chỉ ra rằng E là đầy đủ. Thật vậy cho trước dãy Cauchy bất kỳ. Theo (iii) tồn tại dãy con hội tụ. Theo tính chất dãy Cauchy bản thân dãy ban đầu hội tụ. Chứng tỏ E là đầy đủ. Hơn nữa, E là hoàn toàn giới nội, vì nếu ngược lại thì tồn tại ε> 0 để không tìm được một ε−lưới hữu hạn trong E , tức là tồn tại vô hạn điểm 1 2 x , ,... x E ∈ sao cho ( , ) dx x i j ≥ ε với mọi . i j ≠ Dãy { }n x không thể có dãy con hội tụ, trái với tính chất iii). (iv)⇒ (i) Bằng phản chứng, giả sử tồn tại phủ VV I { } : = α α ∈ mà không có phủ con hữu hạn. Khi ấy với mỗi số 1 k ≥ ta tìm được (1 k)-lưới hữu hạn trong 1 () : ,..., k k Ex xn k . Với 1 k = , tồn tại số n1 để quả cầu đóng B1 tâm 11nx bán kính 1 không thể phủ bởi hữu hạn phần tử của phủ V. Vì B1 là compact ta tìm được quả cầu đóng B B 2 1 ⊆ tâm 22nx bán kính 1/2 mà không thể phủ bởi hữu hạn phần tử của V. Tiếp tục quá trình này ta có họ quả cầu compact Bk lồng nhau, bán kính dần tới 0. Theo nguyên lý giao hữu hạn, chúng có giao khác rỗng. Do bán kính dần tới 0 nên giao này chỉ gồm một điểm, thí dụ p E ∈ . Khi ấy tìm được chỉ số 0 α ∈ I để 0 p V∈ α . Với k đủ lớn, rõ ràng 0 B V k ⊆ α . Điều này mâu thuẫn với tính chất của Bk là không thể phủ bởi hữu hạn phần tử của V. Định lý được chứng minh xong. Áp dụng định lý trên ta có một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính compact trong không gian Rn. Hệ quả. Một tập trong Rn là compact khi và chỉ khi tập đó là đóng và giới nội. Chứng minh. Nếu E ⊆Rn là compact thì theo định lý trên nó hoàn toàn giới nội, do đó E là giới nội. Ngoài ra, giả sử { } p E k ⊆ hội tụ tới p ∈Rn thì theo phần iii) của định lý, { } pk có giới hạn p E ∈ . Sử dụng định lý về tính đóng ta kết luận E là tập đóng. Ngược lại, giả thiết E ⊆Rn là tập đóng, giới nội và { } pk là một dãy bất kỳ trong E. Gọi 1 ,..., k kn x x là các tọa độ của k p . Khi ấy ki k x ≤ p với mọi k, mọi i=1,...,n. Chứng tỏ {} {} 1 ,..., k kn x x là những dãy số giới nội, vì { } k p giới nội do E giới nội. Theo kết quả đã biết trong trường hợp không gian 1 chiều, ta trích dãy con 24 Giải tích các hàm nhiều biến hội tụ { } (1) k x của dãy { }1k x , hội tụ tới 01x chẳng hạn. Tiếp theo, ta trích dãy con 1 { } (2) x của dãy con { } { } (1) k k k x ⊆ x , hội tụ tới 02x chẳng hạn. Tiếp tục quá trình 2 2 1 này cho tới n chúng ta thu được dãy con { }{} ki k ( ) i i x ⊆ x hội tụ tới 0i x , i=1,2,...,n. Khi ấy ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ,..., k n k n pxx kn n = tạo thành dãy con của { } pk hội tụ tới( ) 0 0 1 ,..., n x x . Vì E đóng nên giới hạn này nằm trong E. Chứng tỏ { } pk có dãy con hội tụ trong E. Theo định lý, E là tập compact. Thí dụ. Từ hệ quả trên ta nhận thấy ngay rằng quả cầu đóng và mặt cầu trong Rn là những tập compact. Nếu Rn được trang bị metric tầm thường (khoảng cách giữa hai điểm khác nhau bất kỳ đều bằng 1) thì một tập là compact khi và chỉ khi nó hoặc là rỗng, hoặc gồm hữu hạn điểm. 1.2.6. Ánh xạ trong không gian metric Trong giáo trình Giải tích một biến chúng ta đã định nghĩa hàm số như một phép ứng từ trục số thực vào trục số thực. Định nghĩa này có thể mở rộng trực tiếp cho các không gian metric bất kỳ và các khái niệm về giới hạn, liên tục vẫn giữ nguyên ý nghĩa nếu ta coi khoảng cách giữa 2 số như là trị tuyệt đối của hiệu của chúng và coi các khoảng như là các quả cầu mở (với tâm tại điểm giữa của khoảng). Một ánh xạ (hay phép ứng) từ không gian metric (E,d) vào không gian metric (E’,d’) thường được viết dưới dạng f : ' E E → và giá trị của mỗi điểm p ∈ E cũng thường được viết là f () ' p E ∈ . Định nghĩa1. Ánh xạ f : ' E E → được gọi là liên tục tại điểm p0 ∈ E nếu, với mỗi ε> 0 cho trước, tồn tại số δ> 0 sao cho nếu p ∈ E và 0 dp p ( ,) <δ thì 0 d fp fp '( ( ), ( )) <ε . Việc cho trước một số ε> 0 cũng có nghĩa là cho trước một quả cầu mở (với bán kính ε và tâm tại 0 f ( ) p ) và việc tồn tại số δ> 0 cũng có thể được xem như sự tồn tại của một quả cầu mở (bán kính δ và tâm tại p0 ). Cho nên, định nghĩa trên có thể viết lại dưới dạng sau đây: Định nghĩa 2. Ánh xạ f : ' E E → được gọi là liên tục tại điểm p0 ∈ E nếu, với mỗi quả cầu mở tâm tại 0 f ( ), p ta tìm được quả cầu mở tâm tại 0 p , sao cho ảnh của nó qua f nằm hoàn toàn trong quả cầu trước. Có một quả cầu mở với tâm tại một điểm nào đó cũng tức là ta có một tập mở chứa điểm đó. Ngược lại, có một tập mở chứa một điểm nào đó thì ta cũng có một Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 25 quả cầu mở nhận nó làm tâm. Từ nhận xét này ta dễ dàng suy ra định nghĩa trên là tương đương với định nghĩa sau đây: Định nghĩa 3. Ánh xạ f : ' E E → được gọi là liên tục tại điểm p0 ∈ E nếu, với mỗi tập mở chứa điểm 0 f ( ) p ta tìm được tập mở chứa 0 p sao cho ảnh của nó qua f nằm hoàn toàn trong tập mở trước. Khi : ' f E E → liên tục tại mọi điểm trong E thì ta nói nó liên tục trên E. Định nghĩa 4. Nếu f liên tục trên E và có ánh xạ ngược từ tập ảnh Y fE : () = vào E cũng liên tục, thì ta nói f là một phép đồng phôi lên ảnh. Khi ấy ta cũng nói hai tập E và Y là đồng phôi với nhau. Mệnh đề. Ánh xạ f : ' E E → là liên tục trên E khi và chỉ khi, với mỗi tập mở U E ⊂ ' , tập nghịch ảnh của nó { } 1 f ( ): : ( ) U p Efp U − = ∈ ∈ là một tập mở trong E. Chứng minh. (⇒) Với f liên tục, ta chỉ ra rằng với tập mở ' U E ⊂ ta có 1 f ( ) U − là mở trong E. Lấy điểm p bất kỳ trong 1 f ( ) U − , ta có ( ) f p U∈ và, do U là mở, từ Định nghĩa 3 ta tìm được tập mở V chứa p sao cho ( ) f V U⊂ . Điều này có nghĩa là 1 VfU( ) − ⊂ và như vậy nghĩa là có cả một lân cận của p nằm trong trong 1 f ( ) U − . (⇐) Ngược lại ta có, với mỗi tập mở ' U E ⊂ , tập 1 f ( ) U − là mở trong E . Ta chỉ ra rằng f là liên tục tại mỗi điểm p ∈ E bất kỳ. Thật vậy, giả thiết cho thấy rằng nghịch ảnh của mỗi quả cầu mở tâm tại ( ) f p (với bán kính ε > 0 cho trước) sẽ là một tập mở V (trong đó có điểm p ), cho nên tồn tại một quả cầu tâm tại p (với bán kính δ nào đó) nằm hoàn toàn trong V. Như vậy, với mỗi ε > 0 cho trước tồn tại δ > 0 sao cho fBp Bf p ( ( , )) ( ( ), ) δ ε ⊂ , và điều này có nghĩa là f liên tục tại p. Mệnh đề đã được chứng minh xong. Nhận xét. 1) Vì 1 f ( \ ) \() E U E fU − ′ = cho nên mệnh đề trên đúng nếu thay “mở” bằng “đóng”, tức là f liên tục trên E khi và chỉ khi ảnh ngược của tập đóng là tập đóng. 2) Nếu f liên tục trên E thì ảnh của tập đóng (mở) không nhất thiết là đóng (mở). Thí dụ cho { } ( ) 1 Ux x ,: 0 = > là tập đóng trong R2. Phép chiếu ( ) 1 x6 là x ánh xạ liên tục từ R2 vào R và ảnh của U là tập không đóng. x, x Ta có thể đưa vào khái niệm giới hạn của ánh xạ trong không gian metric tương tự như đã làm trong trường hợp hàm số. Cụ thể là 26 Giải tích các hàm nhiều biến Điểm q E ∈ ' được gọi là giới hạn của ánh xạ f tại điểm tụ p0 ∈ E nếu, với mỗi ε> 0 cho trước, tồn tại số δ> 0 sao cho nếu 0 p ∈ E p\ và 0 dp p ( ,) <δ thì d qf p '( , ( )) <ε . Tính duy nhất của giới hạn (nếu tồn tại) được chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp hàm số trước đây, và người ta cũng ký hiệu giới hạn của f tại p0 p pf p →. (Lưu ý rằng khi lấy giới hạn của f tại p0 ta không đòi hỏi hàm f là lim ( ) 0 phải xác định tại điểm này, mà chỉ cần p0 là một điểm tụ của miền xác định). Khi f là liên tục tại điểm tụ p0 thì nó phải xác định tại p0 và = . 0 lim ( ) ( ) p p → f p fp 0 Hầu hết các tính chất cơ bản về giới hạn và hàm liên tục (mối quan hệ giữa giới hạn của hàm và giới hạn của dãy, tính liên tục của hàm hợp, tính bị chặn và tính liên tục đều của hàm liên tục trên tập compact,v.v...) được chứng minh trước đây cho trường hợp hàm số (xác định trên trục số) vẫn còn đúng cho các ánh xạ trên không gian metric. Với ánh xạ (xác định trên không gian metric) nhận giá trị trên trục số thì tính chất của các phép toán trên giới hạn và trên các hàm liên tục vẫn giữ nguyên hiệu lực, cũng như tính đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục trên tập compact. (Phương pháp chứng minh trước đây đã được lựa chọn để hoàn toàn có thể áp dụng được cho trường hợp tổng quát, cho nên người đọc có thể tự mình chứng minh lại các định lý này như các bài tập). Để đơn cử chúng ta chứng minh kết quả quan trọng sau đây: Định lý. Giả thiết f là ánh xạ liên tục từ không gian metric (E,d) vào không gian metric (E’,d’) và A là tập compact trong E. Khi ấy f(A) là tập compact. Hơn nữa, nếu E’ = R thì f đạt các giá trị cực đại và cực tiểu trên tập A.. Chứng minh. Lấy ( ) n y fA ∈ bất kỳ. Ta phải chỉ ra rằng {yn } có dãy con hội tụ trong f(A). Thật vậy, chọn nx ∈ A sao cho ( ) n n f x y = . Vì A là compact nên dãy { }n x có dãy con { } n k( ) x hội tụ tới 0x thuộc A. Do f là liên tục nên { } ( ) n k( ) f x hội tụ tới 0 f ( ) x . Vậy { } n k( ) y hội tụ tới 0 f ( ) ( ). x fA ∈ Chứng tỏ f(A) là compact. Trong trường hợp E’ là không gian 1-chiều thì tập compact f(A) có phần tử lớn nhất và nhỏ nhất, và ảnh ngược của chúng chính là các điểm cực đại và cực tiểu của ánh xạ f trên A. Một ví dụ điển hình về ánh xạ liên tục trong không gian nhiều chiều được cho bởi mệnh đề sau: Mệnh đề. Mọi ánh xạ tuyến tính A : Rn → Rm là liên tục. Chứng minh. Đối với ánh xạ tuyến tính A ta có Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 27 00 0 || ( ) ( ) || || ( ) || || ||.|| || Ax Ax Ax x A x x − = −≤ − . Cho nên khi → 0 x x thì từ định lý kẹp ta suy ra ngay x x − Ax Ax − = và 0 lim || ( ) ( ) || 0 0 điều này có nghĩa là x x →Ax Ax = . Mệnh đề đã được chứng minh. 0 lim ( ) ( ) 0 1.2.7. Không gian siêu metric Trong nhận dạng ta thường có một số hình mẫu nhất định. Muốn xem một hình cho trước thuộc mẫu nào ta chỉ cần đặt nó lên các mẫu và xem sự sai lệch nào ít nhất thì có thể cho kết luận được. Tuy nhiên cần chính xác hóa sự sai lệch giữa các hình. Thí dụ trong không gian metric (E,d) hai điểm trùng nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa chúng bằng 0. Nếu như cho hai tập A,B E ⊆ thì liệu khi sử dụng khoảng cách có thể kết luận chúng trùng nhau hay không ? Rõ ràng cách hiểu khoảng cách thông thường không cho được kết luận đúng. Thí dụ ta biết khoảng cách giữa Việt Nam và Trung Quốc bằng 0 vì hai nước có chung biên giới, nhưng hai nước này không trùng nhau. Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra một khái niệm khoảng cách giữa hai tập trong không gian metric nhằm đánh giá sự khác nhau giữa chúng và nhận biết khi nào chúng bằng nhau. Khoảng cách mới này được gọi là khoảng cách Hausdorff, hay siêu metric. Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian metric (E,d). Khoảng cách từ điểm p∈E tới A là đại lượng d pA d px ∈ = . ( , ) inf ( , ) x A Nhận xét rằng d(p,.) là một hàm số xác định (không âm) trên A nên d pA (,) là một số hữu hạn (do A là tập khác rỗng). Thí dụ. 1) E = R2 với metric thông thường, A là hình tròn đơn vị tâm 0. Khi ấy p d pAp p = ≤  − >  0 khi 1 (,) 1 khi 1 2) [0,1] E C = (tập các hàm số liên tục trên đoạn [0,1]), với metric d xy xt yt t ( , ) : max ( ) ( ) : 0 1 = { } − ≤≤ . Cho họ hàm tuyến tính A t ={ } α α .: 1 1 −≤ ≤ và hàm p(t)=2t. Khi ấy ( ) { } 1 1 −≤ ≤ = − ≤≤ = . d pA t t t ( , ) inf max 2 : 0 1 1 α α Bổ đề1. Điểm p ∈ E là một điểm thuộc A hay điểm tụ của A khi và chỉ khi d(p,A) = 0. Nếu A đóng thì p ∈ A khi và chỉ khi d(p,A) = 0. 28 Giải tích các hàm nhiều biến Chứng minh. Nếu p∈A thì hiển nhiên d(p,A) ≤ d(p,p) = 0. Nếu p là điểm tụ của A thì tồn tại dãy { } pn ⊆ A hội tụ tới p. Khi ấy ( , ) dppn dần tới 0 và do đó(,) 0 d pA = . Trái lại, giả sử d pA (,) 0 = . Theo định nghĩa, tồn tại dãy { } pn ⊆ A để (, ) dppn dần tới 0. Khi ấy, mỗi quả cầu tâm p bán kính ε > 0 chứa mọi điểm pn với n đủ lớn. Nếu p = pn , với n nào đó, thì p là điểm thuộc A; nếu p ≠ pn với mọi n thì p là điểm tụ của A. Phần hai của bổ đề suy trực tiếp từ phần đầu. Bây giờ cho A và B là hai tập compact khác rỗng trong E. Độ lệch của A đối với B là đại lượng = . eAB d xB ( , ) sup ( , ) x A ∈ Tương tự, độ lệch của B đối với A là đại lượng = . eBA d yA ( , ) sup ( , ) y B ∈ Lưu ý rằng độ lệch của A đối với B khác độ lệch của B đối với A. Thí dụ A⊆ B và A≠ B thì e(A,B) = 0 trong khi đó e(B,A) ≠ 0 (vì tồn tại y∈B để y∉A. Do A đóng nên theo bổ đề d(y,A) > 0, suy ra e(B,A) ≠ 0). Bổ đề 2. Độ lệch e(A,B) là hữu hạn và tồn tại điểm a∈A sao cho e(A,B) = d(a,B). Chứng minh. Vì A là compact nên giới nội. Do đó với y0∈B cố định, tìm được α > 0 để 0 dxy (, ) ≤α với mọi x ∈ A. Khi ấy ( , ) dxB ≤α với mọi x ∈ A, cho nên e(A,B) là hữu hạn. Theo định nghĩa của e(A,B) tồn tại n x ∈ A để = . Do A compact nên { n x } có dãy con hội tụ tới a∈A (và ( , ) lim ( , ) n n eAB d x B →∞ không làm mất tổng quát ta có thể xem dãy con này chính là { n x }). Khi ấy daB eAB d x a daB daB ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) ( , ) ≤ ≤ ( n + =) cho nên e(A,B) = d(a,B), điều cần chứng minh. Khoảng cách Hausdorff (hay còn gọi siêu metric) giữa A và B là đại lượng hAB eAB eBA ( , ) max ( , ), ( , ) = { }. Ký hiệu E là tập hợp mà các phần tử của nó là các tập con compact, khác rỗng trong E. Hiển nhiên E chứa mọi điểm của E vì điểm trong E cũng là tập compact. Dưới đây ta sẽ chỉ ra rằng h là một metric trên E và do đó không gian (E,h) được gọi là không gian siêu metric. Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 29 Định lý. Siêu metric h có những tính chất sau đây (v) h(A,B) là số không âm với mọi A,B∈E; (vi) h(A,B) = 0 khi và chỉ khi A=B; (vii) h(A,B) = h(B,A) với mọi A,B∈E ; (viii) h(A,B) ≤ h(A,C) + h(C,B) với mọi A,B,C∈E ; (ix) h({x},{y}) = d(x,y) nếu x,y∈E . Chứng minh. Các tính chất (i), (ii), (iii) và (v) suy ngay từ định nghĩa. Ta chỉ còn chứng minh (iv). Từ Bổ đề 2 suy ra với mọi x∈A, tồn tại c∈C để d xB d xc dcB d xC dcB (, ) (,) (, ) (, ) (, ) ≤ + ≤ + với d(x,C) = d(x,c). Suy ra e AB e AC eC B (,) (, ) (,) ≤ + . Tương tự eBA eBC eC A (,) (, ) (,) ≤ + . Tiếp theo, do (iii), ta có { }{ } h AB e AB eB A e AC eC B eBC eC A ( , ) max ( , ), ( , ) max ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) = ≤ + + h AC hC B hBC hC A h AC hC B { } ≤ + + ≤ + max ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). Định lý được chứng minh xong. Từ định lý trên chúng ta có thể khảo sát (E,h) như một không gian metric bình thường. Không gian siêu metric được dùng để nghiên cứu tính hội tụ của các tập, của các ánh xạ và tính ổn định trong nhiều lĩnh vực quan trọng của Toán học ứng dụng. 30 Giải tích các hàm nhiều biến Chương 1............................................................................................................................... 1 Kh“ng gian Rn &......................................................................................................... 1 Kh“ng gian metric ..................................................................................................... 1 1.1. Không gian Rn ........................................................................................................ 1 1.1.1. Điểm trong không gian n-chiều......................................................................................... 2 1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiều........................................................................................ 3 1.1.3. Tích vô hướng ................................................................................................................... 4 1.1.4. Chuẩn của vectơ................................................................................................................ 5 1.1.5. Ánh xạ tuyến tính.............................................................................................................. 7 1.2. Không gian metric............................................................................................... 10 1.2.1. Định nghĩa và các ví dụ................................................................................................... 10 1.2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric ................................................................. 12 1.2.3. Hội tụ trong không gian metric ....................................................................................... 15 1.2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric.............................................................................. 17 1.2.5. Tính compact trong không gian metric ........................................................................... 19 1.2.6. Ánh xạ trong không gian metric...................................................................................... 24 1.2.7. Không gian siêu metric ................................................................................................... 27 Trang cuối cùng là 29 Bài tập và tính toán thực hành Chương 1 1. Không gian Rn ....................................................................................................................30 1.1. Điểm và vectơ trong không gian n-chiều ........................................................................... 30 1.2. Ánh xạ tuyến tính............................................................................................................... 31 2. Không gian metric .............................................................................................................32 2.1. Các thí dụ về không gian metric......................................................................................... 32 2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric .................................................................... 33 2.3. Hội tụ trong không gian metric .......................................................................................... 34 2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric................................................................................. 34 2.5. Tính compact trong không gian metric .............................................................................. 35 2.6. Ánh xạ liên tục trong không gian metric............................................................................ 35 3. Thực hành tính toán...........................................................................................................36 3.1. Khai báo vectơ và ma trận.................................................................................................. 37 3.2. Tính chuẩn của vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm............................................................ 38 3.3. Các phép toán trên vectơ.................................................................................................... 39 3.4. Các phép toán trên ma trận................................................................................................. 40 1. Không gian Rn 1.1. Điểm và vectơ trong không gian n-chiều Bài 1. Cho ba điểm abc === (2,4,2,4,2); (6,4,4,4,6), (5,7,5,7,2) trong R5. Hãy tìm các vectơ b a, c b, a c −−− , và kiểm tra các tính chất tổng của hai điểm và tích của một điểm với một số theo định nghĩa. Bài 2. Góc giữa hai vectơ khác không x và y là góc α (trong đoạn từ 0 đến π mà cosα xác định bởi: cos . α = x.y x y . Hãy tìm độ dài các cạnh và góc trong của tam giác có đỉnh là các điểm được xác định bởi các tọa độ: abc === (2,4,2,4,2); (6,4,4,4,6), (5,7,5,7,2) . Bài tập và tính toán thực hành Chương1 31 Bài 3. Cho bốn điểm a, b, c, d trong không gian Rn. Ta nói abcd là một hình bình hành nếu các cặp vectơ ab, cd và bc, da song song (xem định nghĩa trong 1.1.2.) từng đôi một. Dùng định nghĩa góc giữa hai vectơ, hãy chứng minh định lý: Tổng bình phương đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương các cạnh của nó. Bài 4. Chứng minh định lý hàm số cos trong không gian Rn: Bình phương độ dài một cạnh của tam giác bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh ấy nhân với côsin của góc xen giữa. Bài 5. Hai vectơ gọi là vuông góc với nhau khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Tập hợp các vectơ vuông góc với tất cả các vectơ trong tập A gọi là phần bù trực giao của nó và thường được ký hiệu là A⊥ . Hãy chứng minh rằng A⊥ lập thành một không gian con, tức là có những tính chất sau: (i) A , A A ⊥⊥ ⊥ a b ab ∈∈⇒ + ∈ ; (ii) α∈R, A α A ⊥ ⊥ a a ∈⇒∈ . 1.2. Ánh xạ tuyến tính Bài 1. Cho ánh xạ A từ không gian R3 vào chính nó sao cho A( , , ) (( 1) , ( 1) , ( 1) ) xyz a x y z x a y z x y a z = + ++ + + + ++ + , trong đó a là một số thực nào đó. 1. Chứng tỏ A là một ánh xạ tuyến tính. 2. Với giá trị nào của a thì A là không suy biến và với giá trị nào của a thì A suy biến? Bài 2. Cho ánh xạ A từ không gian R4 vào R3 : 12 3142 34 A( ) ( , 2 ,2 ) x = xx x xxx xx − +++ − , với mọi 1234 x = (, , , ) x xxx . Chứng tỏ A là một ánh xạ tuyến tính. Tìm A . Bài 3. Chứng tỏ rằng phép chiếu vuông góc A từ không gian R3 xuống R2 : 1 2 A() ( , ) x = x x , với mọi 123 x = (, , ) x x x là một ánh xạ tuyến tính. Tìm A . Bài 4. Ta đưa vào khái niệm tích vô hướng tổng quát hơn trong lý thuyết như sau: 32 Giải tích các hàm nhiều biến Ánh xạ ϕ từ Rn⋅Rn vào R được gọi là dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương trên Rn nếu nó thỏa mãn các tính chất: 1. ϕ ϕ () () x, y y, x = với mọi x, y ∈ Rn ; 2. ϕ ϕϕ ( ) ( ) () x, y += + z x, y x,z với mọi x, y,z ∈ Rn; 3. ϕ α αϕ ( . ) .( ) x, y x, y = với mọi x, y ∈ Rn và α ∈ R. 4. ϕ( )0 x, x ≥ với mọi x ∈Rn; ( ) 0 ϕ x, x = khi và chỉ khi x = 0 . Số thực ( ) ϕ x, y được gọi là tích vô hướng của x và y và được ký hiệu là x.y . Hãy chứng minh rằng: nếu 1 ( ,..., ) n x = x x , 1 ( ,..., ) n y = y y là hai n vectơ trong Rn thì x.y =∑ là dạng song tuyến tính đối xứng xác định x y i = 1 i i dương, tức là tích vô hướng theo định nghĩa trên. 2. Không gian metric 2.1. Các thí dụ về không gian metric Bài 1. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng với khoảng cách giữa hai điểm 111 M (, ) xy và 222 M (, ) x y được tính theo công thức 21 21 rM M x x y y ( ) 1 2 , = − + − có phải là không gian metric không? Bài 2. Tập hợp các số thực, với khoảng cách giữa hai số x và y được tính theo công thức rxy= x y (, ) − có phải là không gian metric không? Bài 3. Tập hợp các số thực, với khoảng cách giữa hai số x và y được tính theo công thức rxy x y ( , ) arctan( ) = − có phải là không gian metric không? Bài 4. Tập hợp các số thực, với khoảng cách giữa hai số x và y được tính theo công thức 2 rxy x y ( , ) sin ( ) = − có phải là không gian metric không? Bài 5. Chứng minh rằng tập tất cả các dãy số thực vô hạn bị chặn lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai dãy 1 2 ( , ,..., ,...) n x = xx x và 1 2 ( , ,..., ,...) n y = yy y được tính theo công thức:1,..., r xy ( ) sup i i x, y = − . i = ∞ Bài 6. Chứng minh rằng tập tất cả các dãy số thực vô hạn 1 2 ( , ,..., ,...) n x = xx x có ∞ ∑ hội tụ lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa chuỗi 1 i i x = Bài tập và tính toán thực hành Chương1 33 hai dãy 1 2 ( , ,..., ,...) n x = xx x và 1 2 ( , ,..., ,...) n y = yy y được tính theo công thức ∞ x, y =∑ − . ( ) i i r xy i = 1 Bài 7. Tập tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [ , ] a b với khoảng cách giữa hai hàm số bất kì ( ) x t và ( ) y t được tính theo công thức b 2 ( ) ( ( ) ( )) r x t y t dt x, y = ∫ − a có phải là không gian metric không? Bài 8. Chứng minh rằng tập tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [ , ] a b lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai hàm số bất kì ( ) x t và b r x t y t dt x, y = ∫ − . y t( ) được tính theo công thức ( ) () () a Bài 9. Chứng minh rằng tập [ , ] Cab tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [ , ] a b lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai hàm số bất kì = − . x( )t và y t( ) được tính theo công thức[ ] , rxy xt yt ( , ) max ( ) ( ) t ab ∈ Bài 10. Chứng minh rằng tập tất cả các hàm số bị chặn trên đoạn [ , ] a b lập thành một không gian metric, nếu khoảng cách giữa hai hàm số bất kì ( ) x = x t và y = y t( ) được tính theo công thức r xt yt ( ) sup ( ) ( ) x, y = − . t ab ∈ [ ] , 2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric E A EA ∪ ∩ ) rằng, Bài 1. Chứng minh trực tiếp (không dùng luật đối ngẫu\ \ i i = iI iI ∈ ∈ hợp của một số hữu hạn các tập đóng trong không gian metric là tập đóng. E A EA ∩ ∪ ) rằng, Bài 2. Chứng minh trực tiếp (không dùng luật đối ngẫu\ \ i i = iI iI ∈ ∈ giao của một tập tuỳ ý các tập đóng trong không gian metric là tập đóng. Bài 3. Cho một dãy các đường tròn đồng tâm trong mặt phẳng có các bán kính 1 2 ... ... n rr r <<< < Hợp của chúng có phải là một tập đóng không? Bài 4. Cho một dãy các hình tròn đồng tâm trên mặt phẳng có các bán kính 1 2 ... ... n rr r >>>> Hợp của chúng có phải là một tập đóng không? 34 Giải tích các hàm nhiều biến Bài 5. Cho một dãy các hình tròn đồng tâm trên mặt phẳmg có các bán kính 1 2 ... ... n rr r <<< < Hợp của chúng có phải là một tập đóng không? Có phải là một tập mở không? 2.3. Hội tụ trong không gian metric Bài 1. Cho M là một tập nào đó trên mặt phẳng. Biết rằng cận dưới đúng của mọi khoảng cách giữa các điểm khác nhau thuộc tập hợp này là một số dương. Chứng minh rằng tập hợp M không có điểm tụ. Bài 2. Cho M là một tập nào đó trong không gian metric E . Tập tất cả những điểm tụ của M được gọi là tập dẫn xuất của M và ký hiệu là ' M . Tập tất cả những điểm giới hạn của ' M được gọi là tập dẫn xuất thứ hai của M và ký hiệu là '' M . Hãy xây dựng một tập M mà tập dẫn suất ' M của nó khác trống nhưng tập dẫn xuất thứ hai '' M là tập trống. Bài 3. Cho M là một tập nào đó trong không gian metric E . Điểm x0 ∈ E được gọi là điểm biên của M nếu trong lân cận bất kỳ của điểm này có chứa những điểm thuộc M và những điểm không thuộc M . 1. Hãy tìm các ví dụ về tập hợp trên mặt phẳng không có điểm biên. 2. Hãy tìm một ví dụ về tập hợp trên mặt phẳng có điểm biên nhưng mọi điểm biên không thuộc tập hợp này. 3. Tìm một ví dụ về tập hợp trên mặt phẳng chứa một phần các điểm biên của nó. 4. Hãy tìm một ví dụ về tập hợp không đếm được trên mặt phẳng gồm toàn điểm biên. 2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric Bài 1. Cho E là không gian metric (đủ hoặc không đủ) và X là một tập con không đóng của nó. Chứng minh rằng X không phải là không gian metric đủ. Bài 2. Chứng minh rằng không gian 1 C ab [,] các hàm số liên tục trên đoạn [ , ] a b b r x y x t y t dt = ∫ − là một không gian metric không với khoảng cách ( , ) () () a đầy đủ. Bài 3. Chứng minh rằng [ , ] Cab là một không gian metric đầy đủ. Bài tập và tính toán thực hành Chương1 35 2.5. Tính compact trong không gian metric Bài 1. Cho một tập đếm được { } 11 1 1, , ,..., ,... 2 4 2n M = . Phủ lên M một hệ thống các ε ε εε ε ε − + − + − + , với 1 0 2 < <ε . Từ phủ khoảng:11 11 (1 ,1 ),( , ),...,( , ) 2 2 2 2 n n này có thể trích ra một phủ con hữu hạn hay không? Bài 2. Cho một tập đếm được N n = { } 1,2,3,..., ,... . Phủ lên N một hệ thống các khoảng: (1 ,1 ),(2 ,2 ),...,( , ),... −εε ε ε ε ε + − + n n − + với 1 0 2 < <ε . Từ phủ này có thể trích ra một phủ con hữu hạn hay không? Bài 3. Cho một tập đóng đếm được { } 11 1 0,1, , ,..., ,... 2 4 2n M = . Phủ lên tập này một hệ thống các khoảng: 11 11 (1 ,1 ),( , ),...,( , ) 2 2 2 2 n n ε ε εε ε ε − + − + − + và ( , ) −ε ε , ở đây 1 0 2 < <ε . Hãy trích từ phủ này một phủ con hữu hạn. Bài 4. Chứng minh rằng mọi tập compact là đóng và bị chặn. Hãy xây dựng một tập đóng bị chặn trong không gian [ , ] Cab không phải là tập compact. Bài 5. Xét một hình tròn mở C bán kính đơn vị và tâm ở điểm 0. Vẽ một đường tròn đồng tâm bán kính 13 . Lấy mỗi điểm của C làm tâm, dựng một họ tất cả các hình tròn mở bán kính 23 . Các hình tròn mở bán kính 13 và 23 này lập thành một phủ củaC . Chứng minh rằng từ phủ này không thể lấy ra được một phủ con hữu hạn. Hãy lấy ra một phủ đếm được. 2.6. Ánh xạ liên tục trong không gian metric Bài 1. Chứng minh rằng phép chiếu hình học từ mặt phẳng (không gian R2) lên một đường thẳng (nằm trong mặt phẳng ấy) theo một phương (đường thẳng) ∆ (trong mặt phẳng ấy, không song song với đường thẳng đã cho) là một ánh xạ liên tục. Bài 2. Hình chiếu của một tập phẳng mở lên một đường thẳng (nằm trong mặt phẳng ấy) có là tập mở trên đường thẳng ấy không? Bài 3. Hình chiếu liên tục của tập phẳng đóng lên một đường thẳng (nằm trong mặt phẳng ấy) có phải bao giờ cũng là tập đóng không? Bài 4. Tạo ảnh của một tập đóng bị chặn trong ánh xạ liên tục có thể là một tập không bị chặn hay không? 36 Giải tích các hàm nhiều biến Bài 5. Hãy chỉ ra ví dụ ánh xạ ngược của một ánh xạ liên tục 1-1 từ một tập E đóng không bị chặn lên tập E1 không phải là liên tục. Bài 6. Cho f là ánh xạ liên tục 1-1 từ một tập E đóng bị chặn trong Rn lên tập E1⊂Rn. Chứng minh rằng ánh xạ ngược từ tập E1 lên tập E là liên tục. Bài 7. Chứng minh rằng nếu các tạo ảnh của mọi hình tròn mở trong ánh xạ f từ không gian Rn lên mặt phẳng R2 là các tập mở, thì ánh xạ là liên tục. Bài 8. Cho hàm f : R2→R2 , 12 12 f (, ) (, ) xx yy = được xác định theo công thức:  ≠ x khi x 21 arctan , 0  π x 1 = => − = < y khi x x , 0; 0 2 1 12 π khi x x , 0; 0 2 1 2  2 2 2 12 y xx = + . Tìm tạo ảnh của hình chữ nhật 1 2 , 2 2 y ay b π π −≤ ≤ ≤ ≤ . Bài 9. Hàm ( ) f x xác định trên tập A của không gian metric ( , ) E d vào tập số thực R được gọi là liên tục đều trên A nếu với mỗi 0 ε> bất kì, tồn tại một số δ> 0 sao cho với bất kì 1 2 x , x thuộc A ta có bất đẳng thức: 1 2 fx fx () ( ) − <ε . Chứng minh định lý: Nếu hàm số liên tục trên tập compact A thì nó liên tục đều trên tập ấy. Bài 10. Chứng minh rằng không tồn tại song ánh liên tục từ đoạn [0,1] lên hình vuông đóng [0,1] ⋅ [0,1]. 3. Thực hành tính toán Phần thực hành tính toán trên máy trong giáo trình này nhằm mục đích trước hết là để người đọc thấy rằng mọi thứ ta đã học được thì ta đều có thể làm được. Bạn đọc không cần có kiến thức về máy tính hoặc lập trình cũng có thể dễ dàng nắm được phần này, bởi vì các lệnh tính toán trên máy rất gần với ngôn ngữ toán học thông thường. Chương trình tính toán giới thiệu ở đây là Maple, hiện đang được sử dụng phổ biến ở các các trường đại học trên thế giới. Muốn tìm hiểu rộng hơn về lĩnh vực này, người đọc có thể tham khảo tài liệu Tính toán, Lập trình và Giảng dạy Toán học trên Maple, do chúng tôi biên soạn và đã được Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật ấn hành tháng 4 năm 2002. Ngay cả với bạn đọc chưa có điều kiện tiếp xúc với máy tính, phần này vẫn rất hữu ích vì sẽ biết được máy tính làm việc Bài tập và tính toán thực hành Chương1 37 như thế nào và đặc biệt các kết quả tính toán trên máy trình bầy ở đây sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn các chủ đề lý thuyết đã học. Chủ đề thực hành tính toán trong Chương 1 là tính toán trên các vectơ, cho nên ta sẽ phải sử dụng thư viện (gói) công cụ đại số tuyến tính (linalg). Sau khi khởi động chương trình Maple, ta gọi thư viện này ra bằng lệnh: [> with(linalg): (nếu không có lệnh này, một số lệnh tiếp theo có thể không được thực hiện). Các lệnh đưa vào máy sẽ được in chữ đậm (như dòng lệnh trên), còn kết quả của nó sẽ được hiển thị ngay dòng dưới. 3.1. Khai báo vectơ và ma trận Muốn khai báo vectơ, thí dụ, 3 u = (1, ,3, ) x a ta có thể dùng một trong các lệnh sau: 1. Định nghĩa vectơ: [> u:=[1,x,3,a^3]; 3 u xa : [1, ,3, ] = [> u:= vector[1,x,3,a^3]; 3 u xa : [1, ,3, ] = 2. Tạo mảng (4 phần tử): [> array(1..4,[1,x,3,a^3]); 3 [1, ,3, ] x a 3. Coi vectơ như một ma trận và tạo nó như một ma trận cấp 1×n (vectơ hàng), trong đó hai chỉ số đầu là số dòng và số cột của ma trận: [> matrix(1,4,[1,x,3,a^3]); 3 [1, ,3, ] x a Muốn tạo một vectơ cột ta khai báo nó như là ma trận 1 n× chiều: [> matrix(4,1,[1,x,3,a^3]);                   1 x 3 a 3 Muốn chuyển vectơ hàng thành vectơ cột ta dùng lệnh chuyển vị (transpose): [> u:=[1,x,3,a^3]: transpose(u); 38 Giải tích các hàm nhiều biến                   1 x 3 a 3 3.2. Tính chuẩn của vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm 1. Tính chuẩn (độ dài) của vectơ. Muốn tính chuẩn (độ dài) của một vectơ ta dùng lệnh norm(u,c), trong đó u là vectơ, c là loại chuẩn. Có mấy loại chuẩn quy ước sau đây: (i) Chuẩn vô cùng (infinity) của vectơ u là số lớn nhất trong các trị tuyệt đối của các tọa độ của u , tức là nếu 1 ( ,..., ) uu u = n thì max , 1,..., { } i u ui n = = . n k k i = ∑ . (ii) Chuẩn bậc k của vectơ u được định nghĩa bằng công thức u u i = 1 Thí dụ: [> norm([1,-2,2],infinity); 2 [> norm([1,-1,2],3); 3 10 Khi 2 k = thì chuẩn thường gọi là chuẩn Euclid (hay là chuẩn Frobenius). Thí dụ: [> norm([1,-1,2],2); 6 [> norm([1,-1,2],frobenius); 6 2. Tính khoảng cách giữa hai điểm Để tính khoảng cách giữa hai điểm A và B ta cần gọi gói công cụ student: [> with(student): Sau khi khai báo tọa độ của A và B theo cú pháp [> A:=[1,a,5,0,x]; B:=[2,b,6,y,x]; ta tính khoảng cách của chúng bằng lệnh distance. [> distance(A,B); Bài tập và tính toán thực hành Chương1 39 2 2 () 2 ba y − + + Có thể khai báo vectơ và tính khoảng cách của chúng trong cùng một lệnh, như: [> distance([a,b,c,d],[2,3,4,5]); 222 2 ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) abcd − + − + − + − 3.3. Các phép toán trên vectơ 1. Nhân một số với một vectơ Muốn nhân một số với một vectơ, ta khai báo vectơ ấy và thực hiện phép nhân bằng lệnh *. Thí dụ, muốn nhân số 3 với vectơ [ ,2,3, ] v = m d ta làm như sau: Khai báo v: [> v:=[m,2,3,d]; vm d : [ ,2,3, ] = Thực hiện phép nhân số 3 với v: [> 3*v; [3 ,6,9,3 ] m d Cũng có thể chỉ cần thực hiện một lệnh trực tiếp: [> 3*[m,2,3,d]; [3 ,6,9,3 ] m d 2. Cộng trừ hai vectơ Muốn cộng trừ hai hay nhiều vectơ, trước tiên ta khai báo chúng, sau đó dùng lệnh + hoặc − thông thường. Thí dụ: [> u:=[3,-2,1,x]: v:=[2,-4,-3,a]: w:=[-1,2,2,5]: [> u+v+w; [4, 4,0,5 ] − + +a x [> 2*u-3*v-5*w; [5, 2,1, 25 3 2 ] − −− a x + Tính độ dài của "vectơ trên", với lưu ý rằng Maple ký hiệu "biểu thức trên" là (%): [> norm((%),2); 2 30 25 3 2 + − a x + 40 Giải tích các hàm nhiều biến 3. Tính tích vô hướng của hai vectơ Tính tích vô hướng của hai vectơ bằng lệnh innerprod hoặc lệnh dotprod.. Thí dụ, muốn tính tích vô hướng của u = [2, 2, -1] và v = [6, -3, 2], trước tiên ta khai báo 2 vectơ này: [> u:=[2,2,-1]; v:=[6,-3,2]; Sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ u và v bằng lệnh innerprod: [> innerprod(u,v); 4 hoặc lệnh dotprod: [> dotprod(u,v); 4 4. Tính tích vectơ của hai vectơ Tích vectơ của hai vectơ 123 u = (, , ) uu u và 123 v = (, , ) vv v trong không gian R3 là một vectơ có tọa độ được tính theo công thức: 23 32 31 13 12 21 ( ,,) u v uv uv uv uv u v −−− Muốn tính tích vectơ của hai vectơ ta dùng lệnh crossprod(u,v). Thí dụ: [> u:=vector([2,2,-1]); v:=vector([6,-3,2]); [> crossprod(u,v); [1, 10, 18] − − 3.4. Các phép toán trên ma trận 1. Tìm hạng của ma trận (bằng lệnh rank ) Thí dụ: [>A:=matrix(3,3,[x,1,0,0,0,1,x*y,y,1]): [>rank(A); 2 2. Tính định thức và ma trận ngược của ma trận Thí dụ: Sau khi định nghĩa ma trận bằng lệnh [>A:=matrix(3,3,[1/2,-1/3,2,-5,14/3,9,0,11,5/6]): Ta tính định thức của ma trận bằng lệnh Bài tập và tính toán thực hành Chương1 41 [>det(A); -2881/18 và tính ma trận ngược bằng lệnh inverse: [>inverse(A);  1852 391 222 -  2881 2881 2881   75 15 261   2881 5762 2881  990 99 12  -  2881 2881 2881   Chương 2 Hàm nhiều biến 2.1. Hàm số và phép tính vi phân......................................................................................... 41 2.1.1. Hàm trong không gian Rn ............................................................................................... 41 2.1.2. Đạo hàm riêng................................................................................................................. 44 2.1.3. Tính khả vi và gradient ................................................................................................... 46 2.1.4. Quy tắc dây xích.............................................................................................................. 49 2.1.5. Đạo hàm theo hướng ....................................................................................................... 50 2.2. Công thức Taylor............................................................................................................. 51 2.2.1. Đạo hàm riêng lặp ........................................................................................................... 51 2.2.2. Công thức Taylor ............................................................................................................ 53 2.2.3. Toán tử vi phân ............................................................................................................... 54 2.3. Ứng dụng của đạo hàm ................................................................................................57 2.3.1. Điều kiện của cực trị ....................................................................................................... 57 2.3.2. Hàm lồi và cực trị của nó ................................................................................................ 58 2.3.3. Bài toán cực trị có điều kiện và nguyên lý Lagrange...................................................... 59 2.3.4. Vi phân toàn phần ........................................................................................................... 61 2.1. Hàm số và phép tính vi phân 2.1.1. Hàm trong không gian Rn 1. Khái niệm Việc nghiên cứu các không gian metric tổng quát và các hàm trên đó cho ta một cách nhìn bao quát, cho nên dễ nắm bắt các phương pháp cơ bản của Giải tích toán học. Tuy nhiên cấu trúc đơn giản của không gian (không có các phép toán) làm cho lớp các hàm trên đó cũng trở nên nghèo nàn và việc nghiên cứu chúng không thể đi được xa (vì thiếu công cụ). Đó chính là lý do khiến người ta quan tâm nghiên cứu các không gian có cấu trúc đặc biệt như Rn và thiết lập các công cụ sắc bén cho việc nghiên cứu các hàm số trên đó. Một điều đáng lưu ý rằng chính việc 42 Giải tích các hàm nhiều biến nghiên cứu trên các không gian cụ thể (và các lớp hàm cụ thể) đã làm nảy sinh những ý tưởng mới, cho phép người ta mở rộng tầm nghiên cứu trên các không gian trừu tượng (tổng quát). Chính vì vậy, trong giáo trình này, chúng ta đặt trọng tâm là nghiên cứu các hàm trên Rn . Nếu nắm được các phương pháp làm việc cơ bản trên không gian Rn thì người đọc sẽ không gặp khó khăn trong việc mở rộng nó cho những trường hợp tổng quát hơn. Như vậy, với S là một tập trong Rn, hàm số (xác định trên S) là một phép ứng từ S vào trục số thực R. Lưu ý rằng biến số ở đây là các phần tử của Rn nên nó có n thành phần (tọa độ) và mỗi thành phần có thể được xem như một biến độc lập (cho nên người ta hay gọi hàm xác định trên Rn là hàm nhiều biến). Thí dụ. Trong R2 ta có thể xác định một hàm số 2 biến bằng phép ứng mỗi điểm (x,y)∈R2 với một số bằng 2 2 x + y . Một cách ngắn gọn hơn, ta nói hàm được cho bằng công thức 2 2 f (, ) xy x y = + . Thông thường, khi không chỉ định rõ tập S và hàm được cho bằng một công thức nào đó thì người ta luôn hiểu ngầm rằng S là tập tất cả những điểm tại đó biểu thức có nghĩa. 2 2 − = + chúng ta hiểu rằng hàm Thí dụ . Khi cho hàm bằng công thức không xác định tại điểm 0 = (0,0). 2 2 (, ) x y f xyx y Việc tìm miền xác định của một hàm số thường được quy về việc giải hệ bất phương trình (nhiều ẩn) và sẽ được đề cập nhiều hơn trong phần tính toán thực hành. 2. Đồ thị của hàm nhiều biến Người ta định nghĩa đồ thị của hàm số n biến là một tập điểm trong không gian (n+1)-chiều xác định như sau { } 12 12 12 : ( , ,..., , ( , ,..., )) ( , ,..., ) G xx x fxx x xx x S f nn n = # ∈ , trong đó S là miền xác định của hàm số. Khi n = 1 đồ thị của f có thể được biểu diễn một cách tường minh trên mặt phẳng (không gian 2- chiều) và ta đã làm điều này một cách kỹ lưỡng trong Giải tích một biến. Chương 2. Hàm nhiều biến 43 Khi n = 2 thì vấn đề khó khăn hơn vì trên mặt phẳng (tờ giấy, màn hình,...) không dễ gì biểu diễn vật thể 3 chiều. Nếu không có năng khiếu nhất định về đồ họa thì người ta chỉ còn cách dựa vào sự trợ giúp của các công cụ kỹ thuật, trước hết là máy tính. Bằng một lệnh đơn giản (sẽ được giới thiệu và thực hành kỹ trong phần thực hành tính toán ở cuối chương), máy sẽ vẽ cho ta đồ thị của hàm 2 biến trong không gian 3 chiều một cách không mấy khó khăn. Thí dụ. Đồ thị của hàm 22 22 f xy x y ( , ) ( 1) ( 1) =− − + − . được máy mô tả như trong Hình 2.1. Tuy nhiên, ngoài phương pháp biểu diễn trực tiếp như trên, người ta còn có một phương pháp khác để hình dung về đồ thị của hàm, mặc dù không đầy đủ, nhưng cũng khá trực quan. Với mỗi số c, phương trình f (, ) xy c = cho Hình 2.1 tập hợp nghiệm là một đường cong trong mặt phẳng. Đường cong này được gọi là đường mức c và dễ biểu diễn hơn hẳn các điểm trong không gian 3 chiều (có thể vẽ trên máy tính bằng lệnh vẽ đồ thị hàm ẩn mà ta đã biết trong giáo trình Giải tích một biến. Nếu vẽ được nhiều đường mức khác nhau, ta sẽ có được một hình dung tổng thể về đồ thị của hàm. Thí dụ, bức tranh các đường mức của hàm ( , ) f x y nói trên là như hình vẽ bên (phần tính toán thực hành trên máy sẽ giúp người đọc tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này). Khi n ≥ 3 ta không có phương tiện biểu diễn đồ thị một cách trực tiếp, mà chỉ có thể Hình 2.2 hình dung về nó qua các thông tin về mặt mức (trong không gian 3 chiều). 3. Tính liên tục của hàm nhiều biến Vì Rn là không gian metric (với metric thông thường) cho nên khái niệm liên tục của hàm nhiều biến đã được định nghĩa trong chương trước (Mục 1.2.5.). Để tiện lợi chúng ta nhắc lại rằng hàm f là liên tục tại điểm a nếu với mọi ε> 0 , tìm được δ> 0 sao cho x a − <δ kéo theo fx fa () () − <ε . (*) Nhiều tính chất của hàm liên tục một biến đã khảo sát ở Chương 5 vẫn còn đúng cho hàm liên tục nhiều biến. Dưới đây là một số tính chất đặc trưng mà bạn đọc có thể kiểm tra dễ dàng: 1) Cho f và g là hai hàm liên tục tại a. Khi ấy các hàm , . , / f + g fg f g (nếu () 0 g a ≠ ) là những hàm liên tục tại a . 44 Giải tích các hàm nhiều biến 2) Cho f là hàm liên tục tại a và ϕ là hàm một biến liên tục tại () f a . Khi ấy hàm hợp ϕD f liên tục tại a . 3) Cho f là hàm liên tục tại a và 1,..., ϕ ϕn là những hàm một biến liên tục tại α ∈R. Khi ấy hàm một biến 1 ( ( ),..., ( )) n f ϕ ϕ t t liên tục tại α. Lưu ý rằng trong định nghĩa tính liên tục, công thức (*), đại lượng δ phụ thuộc vào ε và a. Nếu như δ không phụ thuộc vào điểm a S ∈ , thì ta có khái niệm hàm liên tục đều trên S. Chính xác hơn, f được gọi là liên tục đều trên S nếu như với mọi ε> 0 , tìm được δ> 0 sao cho x, y S ∈ và x a − <δ kéo theo fx fy () () − <ε . Hiển nhiên là một hàm liên tục đều trên S thì liên tục trên đó. Điều ngược lại không đúng, như ta đã từng biết ngay cả khi f là hàm một biến. Tuy vậy định lý Cantor vẫn còn đúng đối với hàm nhiều biến. Cụ thể là một hàm liên tục trên tập compact thì liên tục đều trên tập đó (cách chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp hàm một biến). Một kết quả quan trọng nữa đã trình bày ở chương trước là một hàm liên tục trên tập compact bao giờ cũng có cực đại và cực tiểu trên tập đó. Ngoài ra, do đặc thù của không gian Rn người ta đưa thêm vào khái niệm liên tục theo từng biến. Cụ thể là: ta nói hàm 1 2 ( , ,..., ) n f xx x là liên tục theo biến i x tại điểm 1 2 ( , ,..., ,..., ) i n a = aa a a nếu hàm 1 biến 11 1 ( ) ( ,... , , ,..., ) hx f a a x a a i i ii n = − + là liên tục tại điểm ai . Dễ thấy rằng hàm liên tục thì liên tục theo từng biến. Điều ngược lại nói chung là không đúng. Thí dụ. Hàm 2 biến 2 2 /( ) ( , ) (0,0) (, ) 0 ( , ) (0,0)  + ≠ = = xy x y khi x y f xy khi x y là hàm liên tục theo từng biến nhưng không liên tục tại điểm (x,y) = (0,0) . Thật vậy, dễ kiểm tra rằng với ( ) 1 1 (, ) , n n x y n n = ta có 1 lim ( , ) (0,0) 2 n n nfx y f →∞= ≠ . 2.1.2. Đạo hàm riêng 1. Khái niệm Cho f là một hàm số nhiều biến xác định trên tập mở U ⊂ Rn và x = 1 2 ( , ,..., ) n x x x là một điểm trong U. Khi ấy với mọi số h đủ nhỏ, điểm 1 2 ( , ,..., ) n x + hx x cũng nằm trong U và ta có thể thiết lập đại lượng Chương 2. Hàm nhiều biến 45 1 2 12 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n f x hx x f x x x + − h Nếu đại lượng trên có giới hạn khi h tiến đến 0 thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm riêng của f theo biến thứ nhất (tại điểm x), và ký hiệu là ∂ f ( ) x hay 1 12 ( , ,..., ) D n fxx x hay 1 D f ( ) x . ∂ x 1 Tương tự như trên ta định nghĩa đạo hàm riêng theo biến thứ i . Như vậy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thu được bằng cách lấy đạo hàm của hàm một biến khi coi các biến còn lại là cố định. Thí dụ. Với 2 3 f (, ) . xy x y = thì ta có ∂ = ∂ và (, ) 2 2 3 f xy x y y (, ) 3 2. f xy xy x ∂ = ∂ . Khi đạo hàm riêng theo một biến i nào đó là tồn tại ở mọi điểm thì nó cũng là một hàm số, và hàm số này thường được ký hiệu là Di f . Như vậy 1 D f ( ) x chính là 1 ( )( ) D f x và không nên viết nhầm là 1 D f ( ( )) x , vốn không có ý nghĩa gì. Khi đạo hàm riêng theo mọi biến đều tồn tại thì ta thiết lập vectơ   ∂∂ ∂      ∂∂ ∂    ff f () () () , ,..., xx x , hay 1 2 ( ( ), ( ),..., ( )) Df D f D f xx x n , x x x 1 2 n và gọi nó là gradient của f tại x . Để cho gọn hơn người ta hay ký hiệu nó là grad ( ) f x . Muốn chính xác hơn thì phải viết là (grad )( ) f x , nhưng người ta thường bỏ qua dấu ngoặc bao quanh grad f. Trong thí dụ trên ta có 3 22 grad ( , ) (2 ,3 ) f x y xy x y = . Như vậy gradient là một phép ứng mỗi điểm với một vectơ. Mệnh đề. Cho c là một số và f, g là hai hàm số xác định và có đạo hàm riêng tại mọi điểm trên tập mở U⊂ Rn. Khi ấy: (i) grad( ) grad grad f += + g fg ; (ii) grad( . ) .grad cf c f = ; (iii) grad( . ) .grad .grad f gg ff g = + . Chứng minh. Suy ra ngay từ các công thức tính đạo hàm của tổng 2 hàm số và của tích một hàm với một số (đã biết trong giáo trình Giải tích một biến). 46 Giải tích các hàm nhiều biến 2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng Giả sử f (, ) x y với đạo hàm riêng là f (, ) x y ∂ ∂ và f (, ) x y ∂ x ∂ . Đồ thị của f là y một mặt trong không gian R3. Nếu cố định y b = thì đồ thị của f cắt mặt phẳng y b = theo một giao tuyến mà nếu chiếu thẳng góc vào mặt phẳng Oxz thì sẽ là đồ thị của hàm (1 biến) ( ) ( , ) z = = g x f xb trên mặt phẳng này, và như vậy ∂ = ′ ∂ chính là hệ số của góc tạo bởi tiếp tuyến với đồ thị hàm g và (,) ( ) f xb g x x trục Ox. Rõ ràng, đây cũng là hệ số của góc tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng Oxy với mặt phẳng y b = và tiếp tuyến với đường giao giữa đồ thị hàm số f và mặt phẳng này. Tương tự ta cũng có f (, ) a y ∂ ∂ chính là hệ số góc của góc tạo bởi giao tuyến y của mặt phẳng Oyz với mặt phẳng x = a và tiếp tuyến của đường giao giữa đồ thị hàm f với mặt phẳng này. Trong phần cuối của Mục 2.1.4, sau khi thiết lập quy tắc dây xích, chúng ta sẽ chỉ ra ý nghĩa hình học của gradient là vectơ vuông góc với đường mức. 2.1.3. Tính khả vi và gradient Ta nhớ rằng một hàm f : R → R  là khả vi tại điểm x trong R khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x và đại lượng ( ) : ( ) ( ) '( ) g h f x h f x f xh = + − − là một vô cùng ( ) lim 0 g h bé bậc cao hơn khi 0 h → , tức là h chiều ta có định nghĩa sau: → h = . Mở rộng ra trong không gian n 0 Hàm f xác định trên tập mở U⊂ Rn được gọi là khả vi tại điểm x∈U nếu như nó có đạo hàm riêng tại điểm này và đại lượng ff f ( ) ( ) grad ( ). x h x xh + − − là một vô cùng bé bậc cao hơn h khi ||h|| → 0 , nghĩa là ff f || || 0( ) ( ) grad ( ). lim 0 || || + − − = hx h x xh h , (*) → trong đó ta sử dụng ký hiệu 1 2 ( , ,..., ) n h= hh h và ∂∂ ∂ = + ++ ∂∂ ∂ () () () grad ( ). ... n n ff f f hh h xx x x h . 1 2 xx x 1 2 Lưu ý. Trong trường hợp hàm số một biến ta biết rằng nếu hàm số có đạo hàm thì nó là khả vi (nghĩa là khi ấy đẳng thức (*) tự động thỏa mãn). Điều này không còn Chương 2. Hàm nhiều biến 47 đúng với hàm nhiều biến, nghĩa là việc hàm số có đạo hàm riêng (theo mọi biến) không đảm bảo cho đẳng thức (*) nghiệm đúng, cho nên đẳng thức này tham gia vào định nghĩa khái niệm khả vi như một điều kiện độc lập. Sau đây ta sẽ thấy một hàm có đạo hàm riêng khắp nơi mà không phải là khả vi (tại điểm gốc tọa độ). 2 2 /( ) khi ( , ) (0,0), (, ) 0 khi ( , ) (0,0).  + ≠ = = Thí dụ. Xét hàm số 2 biến xy x y x y f xyx y Dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu cố định một biến thì hàm là khả vi theo biến còn lại (tại mọi điểm, kể cả tại gốc). Như vậy hàm có đạo hàm riêng tại mọi điểm. Tuy nhiên, nó không phải là khả vi tại gốc, bởi vì giới hạn (0 ,0 ) (0,0) grad (0,0).( , ) lim f h k f f hk + + − − h k || ( , ) || → h k (,) 0 không tồn tại. Thậm chí, ta có thể chỉ ra rằng với 2 số a,b bất kỳ, giới hạn sau không tồn tại (0 ,0 ) (0,0) ( . . ) lim f h k f ah bk + + − − + . h k || ( , ) || → h k (,) 0 Thật vậy, . . . (, ) (. .) h k ah bk − − − + + = 2 2 f h k ah bk h k , || ( , ) || h k h k 2 2 + cho nên nó không thể có giới hạn, vì có dãy con 1 n n h kn = = làm cho nó tiến ra vô cùng (người đọc dễ dàng kiểm tra trực tiếp). Nhận xét. Người ta có thể định nghĩa tính khả vi mà không sử dụng tới gradient. Cụ thể là: hàm f là khả vi tại điểm x nếu như tồn tại vectơ 1 2 ( , ,..., ) a = aa an sao cho || || 0( ) () . lim 0 || || + − − = hx h x ah f f h . (**) → Khi ấy, có thể chỉ ra rằng hàm f có đạo hàm riêng (theo mọi biến) tại x và grad ( ) f x a = . Thật vậy, với vectơ h có dạng đặc biệt là 1 h h = ( ,0,...,0) thì từ đẳng thức trên ta suy ra đạo hàm riêng của f theo biến 1x là tồn tại và bằng a1 . Tương tự đối với các biến còn lại. Cho nên, đôi khi người ta định nghĩa tính khả vi một cách trực tiếp không cần qua khái niệm đạo hàm riêng: Người ta nói hàm f khả vi tại điểm x nếu như tồn tại vectơ a sao cho đẳng thức (**) nghiệm đúng, và khi ấy người ta cũng gọi vectơ a là gradient của f tại x còn đại lượng a.h là vi phân của hàm f tại điểm x. 48 Giải tích các hàm nhiều biến Hàm số được gọi là khả vi trên tập U nếu nó khả vi tại mọi điểm trên tập đó. Định lý. Hàm f xác định trên tập mở U⊂ Rn là khả vi nếu như nó có các đạo hàm riêng tại mọi điểm và các đạo hàm này là liên tục trên U. Chứng minh. Để cho dễ hình dung ta chứng minh cho trường hợp hàm 2 biến (hàm nhiều biến hơn được chứng minh tương tự). Như vậy, ta có hàm 2 biến f(x,y) với các đạo hàm riêng 1 2 D f xy Df xy ( , ), ( , ) là các hàm liên tục trên U. Ta xét hiệu f ( , ) (, ) x hy k f xy + + − và có thể viết lại nó dưới dạng f ( , ) (, ) (, ) (, ) x hy k f xy k f xy k f xy + + − ++ + − . Theo định lý giá trị trung bình (đối với biến thứ nhất) ta tìm được điểm s (giữa x và x+h) sao cho 1 f ( , ) ( , ) ( , ). x hy k f xy k Df sy k h + + − += + , và tương tự đối biến thứ hai ta tìm được điểm t (giữa y và y+k) sao cho 2 f ( , ) ( , ) ( , ). xy k f xy D f xt k + − = . Cho nên đại lượng 1 2 g( , ; , ) : ( , ) ( , ) [ ( , ). ( , ). ] xyhk f x hy h f xy Df xy h D f xy k = ++ − − + có thể viết lại dưới dạng 1 1 22 g( , ; , ) : [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )]. . . ; x y h k D f s y k D f x y h D f x t D f x y k Ah Bk = + − + − = + trong đó 1 1 A= + Df sy k Df xy (, ) (, ) − và 2 2 B D f xt D f xy = (,) (, ) − là các đại lượng tiến tới 0 khi h,k cùng tiến tới 0 (do tính liên tục của các hàm 1 D f (.,.) và 2 D f (.,.) và do s → x, t→ y khi h,k cùng tiến đến 0). Nhớ rằng 2 2 || ( , ) || hk h k = + cho nên / || ( , ) || h hk và / || ( , ) || k hk là các đại lượng bị chặn (bởi 1), và vì vậy từ đẳng thức trên ta suy ra   (, ;,) lim lim . . 0 g xyhk h k A B = +=         . hk hk || ( , ) || || ( , ) || || ( , ) || → → hk hk hk ||( , )|| 0 ||( , )|| 0 Đây chính là điều cần chứng minh. Nhận xét. Thí dụ ở phần trên cho thấy rằng các điều kiện của định lý là cốt yếu. Mệnh đề. Giả thiết rằng f khả vi tại điểm x. Khi ấy (i) f liên tục tại x ; (ii) gradient của f tại x là duy nhất . Chương 2. Hàm nhiều biến 49 Chứng minh. Suy trực tiếp từ định nghĩa. Chú ý. Hàm có đạo hàm riêng không nhất thiết là liên tục (xem thí dụ trên và nhận xét về tính liên tục của hàm nhiều biến ở cuối mục trước). 2.1.4. Quy tắc dây xích Cho hàm số f xác định trên tập mở n U ⊂ \ và 1,..., ϕ ϕn là các hàm số một biến xác định trên khoảng I ⊆R sao cho vectơ 1 ( ) : ( ( ),..., ( )) n x t t tU = ϕ ϕ ∈ với mọi t I ∈ . Phép ứng t t → x( ) còn gọi là hàm vectơ mà sau này chúng ta sẽ khảo sát kỹ hơn. Công thức sau cho ta cách tính đạo hàm của hàm một biến f ( ( )) x t thông qua gradient của f và đạo hàm của các hàm 1,..., ϕ ϕn . Định lý. (Quy tắc dây xích) Giả thiết hàm số f xác định và khả vi trên tập mở n U ⊂ \ , các hàm một biến 1,..., ϕ ϕn xác định và khả vi trên khoảng I ⊆ R sao cho vectơ 1 ( ) : ( ( ),..., ( )) n x t t tU = ϕ ϕ ∈ với mọi t I ∈ . Khi ấy hàm một biến f ( ( )) x t là khả vi trên I và đạo hàm của nó được tính theo công thức: ( ( )) [grad ( ( ))]. ( ) df t f t t dt = ′ xx x , trong đó 1 ( ) : ( ( ),..., ( )) n x′ ′′ ttt = ϕ ϕ . Chứng minh. Đặt : ( , ) : ( ) ( ) kk x x = =+ th t h t − . Ta có + − + − = x x xk x f ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) th f t f t f t h h Do tính khả vi của hàm f ta biết rằng ff f g ( ) ( ) grad ( ). || || ( ) x k x x k k x,k + − = + , trong đó x,k = . Thay k vào biểu thức này và chia 2 vế cho h ta có lim ( ) 0 || || 0 g k → ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) grad ( ( )). ( ) f tk f t th t th t ft g h hh + − + − + − = ± x x x xx x x x,k . Khi h tiến dần đến 0 thì ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − + − + − = → ′ ′ x x ( ) () ( ) () ( ) () ( ,..., ) ( ( ),..., ( )) n n n th t th t th tt t hh h 1 11 và k tiến tới 0, cho nên số hạng thứ 2 của vế phải sẽ tiến đến 0. Khi ấy ta có ( ( )) [grad ( ( ))]. '( ) df t f t t dt = xx x . Đây chính là điều cần chứng minh. 50 Giải tích các hàm nhiều biến Thí dụ. Lấy 1 ( ,..., ) n a = aaU∈ và 1 ( ,..., ) n h= h h ∈ R sao cho a h +t U∈ với mọi t ∈ −( 1,1) và định nghĩa các hàm ϕ theo công thức: ( ) , 1,..., i ii ϕ t a th i n =+ = Khi ấy ( ) x ah t t = + và ( ) : ( ( )) ( ) F t ft f t = =+ x ah có '( ) grad ( ). Ft f t = +a hh , bởi vì ( ) , 1,..., i i ϕ′ t hi n = = . Lưu ý. Công thức nhận được còn có tên gọi là quy tắc đổi biến (trong phép lấy đạo hàm). Công thức này có thể viết lại dưới dạng cụ thể hơn là df t f f f d d d ∂∂ ∂ ϕ ϕ ϕ = + ++ ∂∂ ∂ ( ( )) ( ) ( ) ( ) . . ... . n xx x x . 1 2 dt x dt x dt x dt 1 2 n Trong chương tới chúng ta sẽ có quy tắc dây xích tổng quát hơn khi 1,..., ϕ ϕn cũng là những hàm nhiều biến. Nhận xét. Khi f là một hàm khả vi, còn c là một số thực, thì tập tất cả những điểm (vectơ) x thỏa mãn f ( ) x = c được gọi là mặt mức ứng với giá trị c (trong trường hợp x nằm trong không gian 2 chiều thì người ta quen gọi là đường mức). Nếu ( ) x t là một đường cong khả vi nằm trên mặt mức (nghĩa là mọi điểm của nó nằm trên mặt này), thì ta có ( ( )) f x t c = , với mọi t, và bằng cách lấy đạo hàm cả 2 vế và áp dụng quy tắc dây xích ta có grad ( ( )). ( ) 0 ft t x x′ = . Với P là một điểm nằm trên mặt mức mà đường cong đi qua đó thì có số 0t sao cho 0 x( ) t P = . Và như vậy grad ( ). ( ) 0 0 fP t x′ = . Lưu ý rằng x′( )t là vectơ tiếp xúc của đường cong x( )t , cho nên công thức trên có nghĩa là vectơ vuông góc với tất cả các vectơ grad ( ) f P tiếp xúc của các đường cong (nằm trên mặt mức) đi qua điểm P. Trong trường hợp 2 chiều thì mặt mức cũng chính là đường mức và khi ấy ta có thêm một hình ảnh hình học về gradient: nó là vectơ vuông góc với đường mức. 2.1.5. Đạo hàm theo hướng Cho hàm f xác định và khả vi trên tập mở U và a là một điểm nằm trong tập này. Với vectơ đơn vị e (tức là ||e|| = 1), ta có đường thẳng đi qua a theo phương e, với phương trình là ( ) x ae t t = + . Như trong thí dụ ở mục trước chúng ta đã tính đạo hàm là: Chương 2. Hàm nhiều biến 51 ( ) grad ( ) df t f t dt+ = + a ea ee . Khi t = 0 thì đạo hàm này trở thành grad ( ) f a e và được gọi là đạo hàm theo hướng e tại điểm a của hàm f . Nhận xét. Rõ ràng đạo hàm theo hướng (tại một điểm đã cho) là lớn nhất khi hướng trùng với gradient của hàm, và là nhỏ nhất khi hướng ngược với gradient của hàm. Vì đạo hàm theo hướng phản ánh tốc độ biến thiên của hàm theo hướng đó, nên hàm tăng nhanh nhất theo hướng gradient và giảm nhanh nhất theo hướng ngược với gradient. Khi f là hàm phân bố nhiệt trong không gian thì một chất điểm lạnh muốn trở thành ấm hơn (một cách nhanh nhất) sẽ phải chuyển động theo hướng gradf , còn chất điểm nóng muốn trở nên mát hơn sẽ phải chuyển động theo hướng -gradf. 2.2. Công thức Taylor 2.2.1. Đạo hàm riêng lặp Để dễ nắm được bản chất vấn đề, trước hết ta xét trường hợp hàm 2 biến. Cho hàm f xác định và khả vi trong miền mở U trong không gian 2 chiều. Khi ấy, D1 f (hay còn được viết là f (, ) x y ∂ ∂ ) cũng là hàm xác định trên U. Như vậy ta x có thể xét đến đạo hàm riêng của nó D1 1 D f , D2 1 D f (nếu tồn tại). Tương tự như vậy đối với D2 f , ta cũng có thể thiết lập các đạo hàm riêng D1 2 D f và D2 2 D f (nếu tồn tại). Các đạo hàm riêng như vậy được gọi là các đạo hàm riêng lặp của hàm f. Thí dụ. Nếu ( , ) sin( ) f x y xy = thì ta có các đạo hàm riêng ∂ = = ∂ và 2(, ) ( , ) cos( ) f xy D f x y x xy y (, ) ( , ) cos( ) f xy D f x y y xy x 1 ∂ = = ∂ . Chúng là các hàm khả vi nên ta thiết lập được các “đạo hàm riêng lặp”, và dễ thấy rằng 2 1 D D f x y xy xy xy ( , ) sin( ) cos( ) =− + , 1 2 D D f x y xy xy xy ( , ) sin( ) cos( ) =− + . Như vậy chúng bằng nhau! Điều này không phải lúc nào cũng xảy ra, nhưng định lý sau đây cho ta thấy rằng trong thực tế các đạo hàm lặp của một hàm số thường hay bằng nhau. 52 Giải tích các hàm nhiều biến Định lý. Cho hàm 2 biến f xác định trên tập mở U (trong không gian 2 chiều), và giả sử rằng nó có các đạo hàm riêng 1 2 D f D f, , 12 21 D D f D D f liên t , ục. Khi ấy D12 21 D f DDf = . Chứng minh. Cho ( , ) x y U∈ . Với h, k khác 0 và đủ bé ta xét hàm g() (, ) (, ) x f xy k f xy = + − và áp dụng định lý giá trị trung bình ta tìm được điểm 1s nằm giữa x và x+h sao cho 1 g( ) ( ) '( ) x h gx g s h + − = , nghĩa là 11 11 f ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] . x hy k f x hy f xy k f xy Df s y k Df s y h + + − + − ++ = + − Sử dụng định lý giá trị trung bình cho thành phần trong ngoặc vuông ở vế phải (theo biến thứ 2) ta tìm được điểm 2s nằm giữa y và y+k sao cho 21 1 2 f ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). . x h y k f x h y f x y k f x y D D f s s kh + + − + − ++ = . Tương tự như vậy ta xét hàm ( ) ( , ) ( , ) qy f x hy f xy = + − và tìm được các số t1 giữa x và x+h, t2 giữa y và y+k sao cho 12 12 q y k q y DD f t t hk ( ) ( ) ( , ). . + − = . Chú ý rằng ( ) () ( , ) ( , ) (, ) (, ) qy k qy f x hy k f x hy f xy k f xy + − = ++ − + − + + , cho nên ta có 21 1 2 12 12 D D f s s kh DD f t t hk ( , ) . ( , ). . = , và do h,k khác 0 ta suy ra 21 1 2 12 12 D D f s s DD f t t ( , ) (, ) = . Cho h,k cùng tiến tới 0 ta có 1 2 ( , ) (, ) s s xy → và 1 2 (, ) (, ) t t xy → , từ tính liên tục của các hàm D1 2 D f và D2 1 D f ta suy ra điều cần chứng minh. Nhận xét. Định lý trên cho thấy rằng khi các đạo hàm riêng lặp là liên tục thì chúng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Điều này dễ dàng mở rộng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 (nếu chúng tồn tại và liên tục), vì đạo hàm cấp cao thu được từ việc lấy liên tiếp các đạo hàm của các đạo hàm cấp thấp hơn liền kề. Một điều cũng dễ nhận thấy là điều này cũng đúng với các hàm có số biến nhiều hơn 2 (vì khi ta xét đạo hàm riêng lặp theo cặp 2 biến nào đó thì các các biến còn lại coi như cố định và không gây ảnh hưởng đến việc lấy đạo hàm, và khi đã đổi Chương 2. Hàm nhiều biến 53 được vị trí cho 2 phép lấy đạo hàm kề nhau thì sẽ đổi được vị trí cho 2 phép lấy đạo hàm bất kỳ, không kề nhau). Do việc lấy đạo hàm riêng lặp không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm (khi nó liên tục), cho nên người ta có thể dồn các đạo hàm riêng theo mỗi biến vào một nhóm (đi liền nhau). Thí dụ D123212 D DD DD f có thể được viết thành D112 2 2 3 DD D D D f , và để cho gọn hơn người ta viết 2 3 D1 23 DD f . 2.2.2. Công thức Taylor Cho hàm f xác định trên tập mở U, a là một điểm trong U và h là một vectơ trong Rn sao cho a h +t U∈ với mọi [0,1] t ∈ . Ký hiệu ( ): ( ) F tf t = +a h . Đây là hàm một biến, xác định trên đoạn [0,1]. Công thức sau cho phép tính giá trị f ( ) a h + dựa vào f ( ) a và các đạo hàm của F. Định lý (Công thức Taylor). Cho f là hàm số xác định trên miền mở U và có các đạo hàm riêng liên tục tới cấp m. Nếu a là điểm trong U và h là một vectơ sao cho với mọi t ∈[0,1] ta có t U a h + ∈ , thì tồn tại số τ∈(0,1) thỏa mãn m m FF F F f f m mτ − ′′ + = + + ++ + − ah a . ( 1) ( ) '(0) (0) (0) ( ) ( ) ( ) ... 1! 2! ( 1)! ! Chứng minh. Nhận xét rằng ( ) F t là hàm một biến khả vi liên tục tới cấp m trên đoạn [0,1] cho nên ta có thể áp dụng công thức Taylor trên khoảng (0,1) và thu được m m FF F F F Fm mτ − ( 1) ( ) '(0) "(0) (0) ( ) (1) (0) ... 1! 2! ( 1)! ! = + + ++ + − , trong đó τ là một số trên khoảng (0,1). Thay (1) ( ) F f = +a h và (0) ( ) F = f a vào đẳng thức trên ta thu được điều cần chứng minh. Hệ quả. (Định lý giá trị trung bình) Cho f là hàm số xác định và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền mở U, a và b là các điểm trong U sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm này cũng nằm hoàn toàn trong U. Khi ấy tồn tại điểm c nằm trong đoạn ấy (không trùng với 2 đầu mút) sao cho ff f ( ) ( ) grad ( ).( ) b a cba − = − . Chứng minh. Dùng quy tắc dây xích ta tính được Ft f t '( ) grad ( ( )).( ) = +a ba ba − − . Đặt c a ba = + τ( ) − và thay đạo hàm F '( )t vào công thức Taylor sẽ có ngay điều cần chứng minh. 54 Giải tích các hàm nhiều biến Nhận xét. Trong công thức Taylor các đạo hàm của hàm F có thể viết tường minh thông qua các đạo hàm riêng lặp của f nhờ vào quy tắc dây xích như trong hệ quả vừa nêu. Thí dụ với n = 2 và h= (,) u v thì ta có: ∂ ∂ (, ) (, ) '(0) faa faa F u v 12 12 = + ∂ ∂ , x x 1 2 2 22 ∂ ∂∂ ′′ =+ + (, ) (, ) (, ) (0) 2 . faa faa faa F u uv v 12 12 12 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x 1 2 1 2 Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng kiểm tra công thức sau: k faa F C uv (, ) (0) ( )( ) ∂ = ∂ ∂ ∑ . ( ) 1 2 − k qkq q k q kq − ≤ ≤ x x 0 1 2 q k Thí dụ. Khai triển Taylor đến bậc 4 của hàm 2 biến sin(x+y) tại điểm (0,0) là 11 1 1 3 22 3 62 2 6 x + y x yx y x y −− − − . 2.2.3. Toán tử vi phân Như đã thấy trong mục trên, công thức Taylor sẽ trở nên rất cồng kềnh khi chúng ta biểu diễn tường minh đạo hàm cấp m của F thông qua các đạo hàm riêng lặp của f. Để đơn giản hoá các công thức liên quan đến đạo hàm riêng lặp, người ta thường dùng đến khái niệm toán tử vi phân. Khi hàm số n biến f có các đạo hàm riêng lặp đến cấp k nào đó và chúng đều liên tục trong một miền mở U thì khi nói tới đạo hàm riêng lặp người ta chỉ quan tâm đến 2 khía cạnh: đạo hàm theo biến nào và cấp mấy (mà không cần cần quan tâm đến thứ tự thực hiện phép lấy đạo hàm riêng). Ta đã biết rằng phép lấy đạo hàm của f theo biến i cấp mi được ký hiệu là mi Di f . Với 1 2 ... mm m k + ++ n ≤ , phép lấy đạo hàm lặp m m mn 1 2 ... m m mn D D Dn , hay 1 2 1 2    ∂∂ ∂             ∂∂ ∂       , ... n xx x 1 2 được gọi là toán tử vi phân đơn cấp 1 2 ... mm m m = + ++ n , và được ký hiệu là m ∂ = ∂∂ ∂ . m m m Dx x x : ... n 1 2 2 1 n Đây là toán tử cho ứng mỗi hàm f (thỏa mãn điều kiện trên) với hàm g = Df . Lưu ý. Cần phân biệt sự khác nhau giữa 2 biểu thức sau đây Chương 2. Hàm nhiều biến 55 ∂ ∂ = ∂ ∂ và 2 fx ( )2 22f f x x   ∂    ∂    . Chúng, nói chung, là khác nhau. Thí dụ, khi 2 f (, ) xy xy = thì 22 2 f y ∂ = ∂ còn x 2   ∂  = = ∂    . 2 22 (2 ) 4 f xy xy x Các toán tử vi phân đơn có thể cộng với nhau và nhân với số theo các định nghĩa thông thường. Cụ thể, nếu D và D’ là các toán tử vi phân đơn thì ta định nghĩa tổng của chúng là toán tử (ký hiệu là D+D’) cho ứng mỗi hàm f (có các tính chất đã nêu) với một hàm xác định như sau: . Tương tự như vậy ta định nghĩa tích của một toán tử vi phân đơn D với một số thực c là một toán tử (ký hiệu là cD) cho ứng mỗi hàm f với một hàm xác định như sau ( ) : .( ) cD f c Df = . Rõ ràng tổng của các toán tử vi phân đơn và tích của toán tử vi phân đơn với một số không còn là một toán tử vi phân đơn, và người ta gọi chúng là toán tử vi phân. Vì toán tử vi phân đơn là tuyến tính, cho nên toán tử vi phân cũng là tuyến tính. Nghĩa là, nếu D là một toán tử vi phân, c là một số, còn f và g là những hàm số (có các tính chất đã nêu), thì D( ) f g Df Dg += + , D(. ) . c f c Df = . Nếu D và D’ là các toán tử vi phân, thì người ta định nghĩa tích của 2 toán tử này như phép lấy hợp của 2 toán tử. Nghĩa là tích của chúng, ký hiệu là D.D’, là một toán tử xác định như sau: ( . ') : ( ' ) D D f DD f = . Rõ ràng nó cũng là một toán tử vi phân (tức là bằng tổng của các thành phần là toán tử vi phân đơn hoặc tích của toán tử vi phân đơn với một số). Từ định lý ở mục trên ta suy ra phép nhân 2 toán tử vi phân có tính giao hoán, nghĩa là D. ' '. D DD = . Dễ dàng thấy rằng phép nhân các toán tử vi phân cũng có tính kết hợp. Nghĩa là, với các toán tử vi phân D, ', " D D ta luôn có 56 Giải tích các hàm nhiều biến D( ' ") . ' . " D D DD DD += + . Từ đây, ta thấy rằng phép nhân các toán tử vi phân cũng hoàn toàn tương tự như nhân các đa thức. Và như vậy, các toán tử vi phân cũng đa dạng như các đa thức. Người ta nói toán tử vi phân được viết dưới dạng chuẩn tắc nếu như nó là tổng của các số hạng có dạng toán tử vi phân đơn nhân với một hệ số. Thí dụ. Toán tử vi phân ( )2 2 ∂ ∂∂ ∂  + +     ∂ ∂∂ ∂    3 14 8 x xy y là có dạng chuẩn tắc. Còn toán tử vi phân      ∂ ∂∂ ∂ + +      ∂ ∂∂ ∂ 32 4 x yx y là chưa ở trong dạng chuẩn tắc. 1 2 . ... m m mn n cD D D là 1 2 ... mm m m = + ++ n . Người ta coi cấp của thành phần 1 2 Khi toán tử vi phần là tổng của các thành phần có cùng cấp m thì được gọi là thuần nhất cấp m. Cho 1 2 ( , ,..., ) h= hh hn là một vectơ cố định trong Rn. Xét toán tử vi phân sau đây ∂∂ ∂ = + ++ ∂∂ ∂ . Dh h h : ... n n 1 2 x x x 1 2 Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm F trong công thức Taylor có thể viết dưới dạng F′() ( ) t Df t = +a h . Lấy đạo hàm lần nữa ta sẽ có 2 F′′( ) ( )( ) ( ). t D Df t D F t = += + ah ah Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh công thức tổng quát là ( ) () ( ) k k F t Df t = +a h . Lưu ý rằng biểu thức chi tiết của vế phải là k    ∂ ∂     ∂ ∂    kn n D ft h h ft x x ah ah . + = ++ + ( ) ... ( ) 11 Với ký hiệu toán tử D ở trên, công thức Taylor có thể viết dưới dạng m m Df D f D f D f f f m mτ − + + = + + ++ + − 2 1 () () () ( ) ( ) ( ) ... 1! 2! ( 1)! ! a a a ah ah a . Chương 2. Hàm nhiều biến 57 Dĩ nhiên đây cũng chỉ là công thức mang tính hình thức, và khi muốn tính toán cụ thể thì lại phải dùng đến biểu thức chi tiết của k D f . 2.3. Ứng dụng của đạo hàm 2.3.1. Điều kiện của cực trị Giả sử f là hàm số xác định trên tập mở U ⊆ Rn. Ta nói rằng f đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) địa phương tại x0 ∈ U nếu tồn tại ε > 0 sao cho 0 f ( ) () x fx ≥ (hoặc 0 f(x ) f x ≤ ( )) với mọi x ∈ U mà 0 x x − < ε . Định lý. (Điều kiện cần) Giả thiết f là hàm xác định trên tập mở U ⊆ Rn và khả vi tại x0 ∈ U. Nếu x0 là điểm cực trị địa phương của f thì 0 grad ( ) f x = 0 . Chứng minh. Giả thiết x0 là điểm cực tiểu địa phương của f (trường hợp cực đại địa phương được chứng minh tương tự). Giả sử grad ( ) 0 f x khác 0 và bằng vectơ 1 ( ) n a ,...,a với toạ độ nào đó khác 0, thí dụ là 0 i a < chẳng hạn. Lấy i e là vectơ có các tọa độ bằng 0 ngoại trừ tọa độ thứ i bằng 1. Theo định nghĩa tính khả vi:  + −   −     . + − − = = 0 0 f x te f x f x te ( ) ( ) grad ( ).( ) 0 lim i i 0 00 ( ) () lim ii tf x te f x a → t → t t 0 0 Nếu ai <0 , thì khi t đủ nhỏ ta thu được 0 0 ( ) () 0 i f x te f x + − < , t và suy ra 0 0 ( ) () i f x te f x + < với t > 0 đủ nhỏ. Nếu ai > 0 thì ta cũng có bất đẳng thức này với t < 0 và đủ gần 0. Điều này trái với tính cực tiểu địa phương của x0. Vậy grad ( ) 0 f x = 0 và định lý được chứng minh. Những điểm x0 ∈ U thỏa mãn grad ( ) 0 f x = 0 được gọi là điểm tới hạn (hay điểm dừng) của f. Chú ý. Theo định lý trên, mọi điểm cực trị là tới hạn nhưng cũng như trong trường hợp hàm 1 biến, điều ngược lại không đúng. Thí dụ. Cho f ( ) sin x, y x y = là hàm 2 biến khả vi tại mọi điểm của R2. Để tìm điểm tới hạn của f ta viết phương trình grad ( ) (sin cos ) (0 0) f x,y y,x y , . = = Suy ra các điểm (0 ) ,k , với k = 1,2,..., là những điểm tới hạn. Trong số điểm tới hạn này không có điểm nào là cực trị địa phương. Thật vậy, với k = 1,2,... bất kỳ, 58 Giải tích các hàm nhiều biến ta có (0 ) 0 f ,k = và, với y đủ gần kπ sao cho sin 0 y > , ta luôn chọn được x đủ gần 0 sao cho f x,y ( )0 < hoặc f x,y ( )0 > . Đối với một số hàm có cấu trúc đặc biệt thì mọi điểm tới hạn cũng là điểm cực trị. Lớp hàm đặc trưng nhất có tính chất này là lớp hàm được xét dưới đây. 2.3.2. Hàm lồi và cực trị của nó Hàm f xác định trên Rn được gọi là lồi nếu với mọi x,y ∈ Rn và 0 ≤ t ≤ 1 ta có f ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) tx - t y tf x - t f y . + ≤ + Thí dụ. Hàm 2 2 12 1 2 f ( ) x ,x x x = + là hàm lồi trên R2. Thật vậy, với mọi 12 12 x = = ()() x ,x , y y , y và 0 ≤ t ≤ 1, ta có 2 2 f tx t y tx t y tx t y + − = + − + + − ( (1 ) ) ( (1 ) ) ( (1 ) ) 1 12 2 2 22 2 tx t y tx t y ≤ + − + + − (1 ) (1 ) 1 12 2 tf x t f y ≤ + − ( ) (1 ) ( ). Do đó f là hàm lồi. Mệnh đề . Giả thiết f là hàm lồi trên Rn, khả vi tại x0 ∈ Rn. Khi ấy x0 là điểm cực tiểu của f khi và chỉ khi 0 grad ( ) 0 f x = . Chúng minh. Theo định lý, chúng ta chỉ cần chứng minh vế “khi”. Giả sử grad ( ) 0 0 f x = và 0x không phải là cực tiểu của f, tức là tồn tại x ∈ Rn để 0 f () ( ) x fx < . Do f lồi, với 0 < t < 1 ta có 00 0 f ( ( )) ( ) (1 ) ( ). x t x x tf x t f x + − < + − Suy ra ( ( )) ( ) () ( ) f x tx x f x f x fx t + − − < − , 0 000 và như vậy f x tx x f x fx x x → t + − − − = < . ( ( )) ( ) grad ( )( ) lim 0 0 0 0 t 0 00 Điều này mâu thuẫn với 0 grad ( ) f x = 0 . Vậy x0 phải là cực tiểu của f. Thí dụ. Điểm (0,0) là cực tiểu của hàm 2 2 12 1 2 f ( ) x ,x x x = + . Thật vậy, ta có grad (0,0) (0,0) f = và như ta đã biết f là hàm lồi. Áp dụng mệnh đề ta có ngay điều cần chứng minh. Chương 2. Hàm nhiều biến 59 Nhận xét. Mệnh đề trên cho thấy một tính chất rất quan trọng của hàm lồi, đó là các điểm cực tiểu địa phương (của hàm lồi) thì cũng là những điểm cực tiểu toàn cục. Thật vậy, những điểm cực tiểu địa phương phải thoả mãn điều kiện grad ( ) 0 0 f x = (theo định lý về điều kiện cần cực trị), và do mệnh đề trên chúng phải là cực tiểu toàn cục. Cũng như trong trường hợp 1 chiều, đạo hàm của hàm lồi có những nét đặc trưng rất thú vị. Tuy nhiên, như ta thấy, đạo hàm của hàm lồi nhiều biến là một hàm vectơ và vì vậy việc nghiên cứu nó sẽ được dành lại cho chương sau. 2.3.3. Bài toán cực trị có điều kiện và nguyên lý Lagrange Bài toán cực trị hay gặp trong thực tiễn thường là những bài toán cực trị có điều kiện, ở đó người ta tìm cực trị của một hàm trên một tập điểm thoả mãn một số điều kiện nào đó. Đây là một trong những chủ đề cơ bản trong lý thuyết tối ưu. Một trường hợp đặc biệt, khi tập điểm là một mặt cong, thì ta có bài toán tìm cực trị của hàm số f trên tập tất cả các điểm 1 2 ( , ,..., ) n x = x x x thoả mãn phương trình biểu diễn mặt cong đó. Bài toán tìm cực tiểu của hàm f trên mặt cong với phương trình biểu diễn 1 2 gx x x ( , ,..., ) 0 n = thường được mô tả như sau  = . fxx x min ( , ,..., ) (P) 1 2 n gx x x ( , ,..., ) 0 1 2 n Cho 1 2 ( , ,..., ) n x = x x x là một lời giải của bài toán và giả sử rằng grad ( ) 0 g x ≠ . (CQ) Khi ấy, với mọi đường cong khả vi ( ) p t nằm trọn trên mặt cong g (nghĩa là thoả mãn g t ( ( )) 0 p = với mọi t) và đi qua điểm x (tức là có p(0) = x ), hàm số f ( ( )) p t sẽ đạt cực tiểu tại điểmt = 0 . Điều này có nghĩa nó có đạo hàm bằng 0 tại điểm t=0, và theo quy tắc dây xích, ta có grad ( (0)). '(0) grad ( ). '(0) 0 f f p p xp = = . Như vậy, grad ( ) f x vuông góc với vectơ tiếp tuyến của đường cong ( ) p t tại điểm x và, do điều này xảy ra với mọi đường cong khả vi nằm trên mặt cong và đi qua điểm x , cho nên grad ( ) f x vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong g tại điểm x . Suy ra, theo nhận xét ở cuối Mục 2.1.4, grad ( ) f x phải song song với vectơ grad ( ) g x , nghĩa là tồn tại một số thực λ sao cho grad ( ) grad ( ) f g x x = λ . (*) Ký hiệu ( , ) : ( ) ( ) L x f x gx λ λ = − và gọi nó là hàm Lagrange của bài toán (P), từ đẳng thức trên, ta suy ra kết quả sau đây. Định lý. (Nguyên lý nhân tử Lagrange) Nếu x là một lời giải của bài toán (P) và thoả mãn điều kiện (CQ) thì tồn tại số thực λ sao cho 60 Giải tích các hàm nhiều biến grad ( , ) 0 x L x λ = , (**) (trong đó gradx có nghĩa là gradient theo biến x). Số λ có tên gọi là nhân tử Lagrange đối với điểm cực trị x . Chứng minh. Định lý được suy ra ngay từ đẳng thức (*), vì rằng grad ( , ) grad ( ) grad ( ) x L x f x gx λ λ = − . Nhận xét. Định lý trên cho thấy rằng sự tồn tại của nhân tử Lagrange chính là điều kiện cần cho tính cực trị của điểm x . Như vậy, muốn tìm được điểm cực trị của bài toán (P), trước hết ta cần tìm ra những điểm của mặt cong g thoả mãn điều kiện (**) với một nhân tử λ nào đó. Điều này cũng tương tự như việc muốn tìm cực trị (không điều kiện) của một hàm số thì trước hết phải tìm ra những điểm thoả mãn điều kiện cần (có gradient bằng 0), như đã xét trong Mục 2.3.1. Thí dụ. Tìm cực trị của hàm số 2 22 f (, ,) xyz x y z =++ trên mặt cong xác định bởi phương trình 2 22 x yz + 2 10 − − = . Từ định lý về nhân tử Lagrange kết hợp với điều kiện ràng buộc (điểm cực trị nằm trên mặt cong) ta suy ra điểm cực trị phải thoả mãn các điều kiện sau: (a) 2 .2 x = λ x , (b) 2 .4 y y = λ , (c) 2 .( 2 ) z = λ − z , (d) 2 22 x yz + 2 10 − − = . Giả sử rằng 0 00 (, ,) x y z là một nghiệm. Nếu 0z ≠ 0 thì từ (c) ta có λ =−1 và từ (a)-(b) rút ra và điều này mâu thuẫn với (d). Cho nên, z0 = 0 . Từ đây ta dễ dàng tìm ra 4 điểm “khả nghi” là (1,0,0) và ( 1,0,0) − , ứng với nhân tử 1 λ = ; (0,1/ 2,0) và (0, 1/ 2,0) − , ứng với nhân tử λ =1/2 . Nếu cần tìm điểm cực tiểu thì ta thấy rằng chỉ có 2 điểm sau là đáng quan tâm (vì tại đó giá trị của hàm mục tiêu nhỏ hơn). Tính toán trực tiếp cho thấy rằng chúng thực sự là những điểm cực tiểu. Nhận xét. Trường hợp tổng quát hơn, khi tập ràng buộc không chỉ là một mặt cong mà là giao của một số (hữu hạn) mặt cong, bài toán được mô tả như sau  = = . fxx x min ( , ,..., ) 1 2 n g xx x i k ( , ,..., ) 0, 1,..., i n 1 2 Khi đó phương pháp nghiên cứu và kết quả thu được cũng hoàn toàn tương tự như trên, nhưng để làm được điều này ta cần tính được không gian tiếp tuyến đối với Chương 2. Hàm nhiều biến 61 tập giao của các mặt cong, mô tả bởi hệ phương trình 1 2 gxx x i n ( , ,..., ) 0 = , i k =1,..., . Đây là chủ đề sẽ được xét trong các chương sau. Với một điều kiện nhất định (không quá chặt, tương tự như điều kiện (CQ)) người ta chỉ ra được rằng không gian tiếp tuyến của tập giao các mặt cong cũng chính là giao của của các không gian tiếp tuyến đối với các mặt, và từ tính vuông góc của vectơ grad ( ) f x đối với không gian tiếp tuyến này người ta rút ra nguyên lý nhân tử Lagrange cho bài toán tổng quát dưới dạng tương tự như đã phát biểu ở trên, trong đó hàm Lagrange được định nghĩa bằng công thức ( , ) ( ) , ( ) Lf g xx x µ µ = −< > , trong đó g( ) x là hàm vectơ xác định bởi 1 ( ) : ( ( ),..., ( )) ggg xxx = k , 1 ( ,..., ) µ= ∝ ∝k là một vectơ k chiều, còn <.,.> là ký hiệu tích vô hướng. Dĩ nhiên, khi ấy nhân tử Lagrange cũng không còn là một số, mà là một bộ số (vectơ k chiều). Bạn đọc có nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này xin tham khảo các giáo trình về quy hoạch toán học, hay rộng hơn nữa là lý thuyết các bài toán cực trị. 2.3.4. Vi phân toàn phần Cũng như trong trường hợp hàm một biến, nếu ký hiệu 1 : ( ,..., ) n ∆∆∆ x = x x là số gia của biến x, và nếu f khả vi tại x, thì số gia của hàm số ∆f ( ): ( ) ( ) x fx x fx = + ∆ − là ∆ ∆ ε∆ f ( ) grad ( ). x fx x x = + , trong đó ε là một đại lượng vô cùng bé của ∆x . Biểu thức grad ( ). f x x ∆ được gọi vi phân (toàn phần) của f tại x ứng với số gia ∆x , và được ký hiệu là ( ) df x . Người ta cũng ký hiệu i i ∆x = dx . Khi ấy fx fx df x dx dx x x ∂ ∂ = ++ ∂ ∂ . () () ( ) ... n n 1 1 Như vậy, nếu 1,..., dx dxn đủ nhỏ, thì ( ) df x là xấp xỉ của số gia ( ) ∆f x . Nhận thấy rằng các tính chất của vi phân hoàn toàn được xác định bởi đạo hàm, cho nên trong những phần tới, chúng ta chỉ cần tập trung vào khảo sát tính chất của đạo hàm. Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 1. Các bài tập về hàm nhiều biến.........................................................................................62 1.1. Tập xác định của hàm nhiều biến....................................................................................... 62 1.2. Đường mức của hàm nhiều biến ........................................................................................ 63 1.3. Vẽ đồ thị hàm hai biến ....................................................................................................... 63 1.4. Giới hạn của hàm nhiều biến.............................................................................................. 64 1.5. Vi phân của hàm nhiều biến............................................................................................... 65 1.6. Cực trị của hàm nhiều biến ................................................................................................ 66 2. Thực hành tính toán...........................................................................................................67 2.1. Vẽ đồ thị hàm số ................................................................................................................ 67 2.2. Giới hạn của hàm nhiều biến.............................................................................................. 72 2.3. Vi phân của hàm nhiều biến............................................................................................... 77 2.4. Tính gradient của hàm nhiều biến...................................................................................... 81 2.5. Cực trị của hàm nhiều biến ................................................................................................ 81 2.6. Công thức Taylor cho hàm nhiều biến ............................................................................... 82 1. Các bài tập về hàm nhiều biến 1.1. Tập xác định của hàm nhiều biến Hãy tìm tập xác định của các hàm nhiều biến sau: z = 1 ; b) 22 22 z = + ( 4)(25 ) xy xy − −− . Bài 1. a) 2 2 − − 9 x y Bài 2. a) 2 2 2 2 1 x y z a b = − − ; b) 1 1 z x y xy + − . = + Bài 3. a) z = ln xy ; b) z = + ln( ) y x . Bài 4. 1 arctan y z x− = . Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 63 1.2. Đường mức của hàm nhiều biến Vẽ đường mức hoặc mặt mức của các hàm nhiều biến sau: Bài 1. a) z = +x y ; b) 2 2 z = x y − . Bài 2. a) 2y z x = ; b) 2 2 2x z x y = + . Bài 3. a) 2 2 z = + x y ; b) z = +x y . Bài 4. a) y z xe− = ; b) uxyz =++ . Bài 5. a) 2 22 ux y z = + − ; b) 2 2 22 ux y z t =+++ . Bài 6. Hãy vẽ trên mặt phẳng tập tất cả những điểm ( , ) x y mà 1 1 1 + > . x y 1.3. Vẽ đồ thị hàm hai biến Chọn các giá trị cụ thể của tham số abc , , rồi vẽ đồ thị các hàm hai biến sau đây: Bài 1. Vẽ mặt ellipsoid 2 2 2 222 1 x z y ++= . abc Bài 2. Vẽ mặt paraboloid elliptic 2 2 x y z a b + = . 2 2 Bài 3. Vẽ mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) 2 2 x y z a b = − . 2 2 Bài 4. Vẽ mặt hyperboloid một tầng 2 2 2 222 1 x z y + − = . abc Bài 5. Vẽ mặt hyperboloid hai tầng 2 2 2 222 1 x z y + − =− . abc Bài 6. Vẽ mặt trụ elliptic 2 2 2 2 1 x y + = . a b Bài 7. Vẽ mặt trụ hyperbolic 2 2 2 2 1 x y a b − = . Bài 8. Vẽ mặt trụ parabolic 2 y ax = 2 . Bài 9. Vẽ mặt nón bậc hai 2 2 2 222 0 x z y + − = . abc 64 Giải tích các hàm nhiều biến 1.4. Giới hạn của hàm nhiều biến Cho hàm số (, ) z = f xy . Cố định một biến, thí dụ biến y , khi ấy ta được một hàm một biến của x . Giả sử, với y cố định, giới hạn của hàm số (, ) f x y khi 0 x → x tồn tại. Như vậy, ta được một hàm của một biến y . Cho 0 y y → , ta được giới hạn lặp: lim lim ( , ) . Tương tự, ta có giới hạn lặp: y yx x → → 0 0 f x y lim lim ( , ) x xy y → → 0 0 f x y Ta nói ( , ) z = f xy có giới hạn bằng L khi ( , ) x y tiến tới 0 0 (, ) x y và viết lim ( , ) f xy L → x x 0 = y y → 0 nếu với mỗi số ε> 0 tồn tại số δ> 0 sao cho f xy L (, )− <ε với mọi ( , ) x y mà 0 0 (, ) ( , ) xy x y − <δ . Khi 0x hoặc 0y (hay cả hai) bằng vô cùng thì định nghĩa cũng tương tụ. Bài 1. Tìm giới hạn của hàm số 1 z xy = + khi x tiến tới 0 và y tiến tới vô cùng. Bài 2. Chứng minh rằng hàm số x y z x y − = + có tính chất: x y − =− + và 0 0 x y − = + , lim lim 1 → → x y x y 0 0 x y − lim lim 1 → → x y y x do đó không tồn tại 0 lim + . x → x y y → 0 2 2 Bài 3. Cho hàm số: x y f xyx y xy + = + + − . Hãy chỉ ra rằng 22 2 (, ) ( ) f xy f xy lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0 = = ; xy yx →→ →→ 00 00 . tuy nhiên không tồn tại 0 lim ( , ) x f x y → y → 0 Bài 4. Tính các giới hạn lặp và giới hạn của các hàm số sau đây: 2 2 x y a) − + khi x và y tiến tới 0 . 2 2 x y x y + − + khi x và y tiến tới 0 . b) 2 2 x xy y Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 65 c) 1 1 x y sin sin + khi x và y tiến tới 0 . y x 2 2 x y + d) + khi x và y tiến tới vô cùng. 4 4 x y e) 2 2() ( ) x y x ye− + + khi x và y tiến tới vô cùng. xy f) 2 2 2 ( )x x y + 3 3 x y khi x và y tiến tới vô cùng. g) + + khi x và y tiến tới 0. 2 2 x y h) tan( ) xy x khi x và y tiến tới 0. i) 2 2 2 2 ( )x y x y + + khi x và y tiến tới 0. 2 1 (1 )xx y + + khi x tiến tới vô cùng và y tiến tới 0. j) x ln( ) y x e + k) 2 2 x y + l) sin( ) xy khi x tiến tới 1 và y tiến tới 0. x khi x tiến tới 2 và y tiến tới 0. 1.5. Vi phân của hàm nhiều biến 1. Tính đạo hàm riêng Bài 1. (Thi vào giai đoạn 2, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội) Cho y u x = . Tính 2 , , uu u ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ . x y xy Bài 2. (Thi vào giai đoạn 2, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội) Cho 2 z = yx y x y − − +6 . Tính 2 ∂∂ ∂ , , uu u ∂ ∂ ∂∂ . x y xy Bài 3. (Thi vào giai đoạn 2, hệ tại chức, ĐHBK Hà Nội) 2 ∂∂ ∂ Cho 2 z x xy y x = 3 2 88 − + − + . Tính Bài 4. Cho hàm số , , uu u ∂ ∂ ∂∂ . x y xy 66 Giải tích các hàm nhiều biến  −  + ≠ = +  = =. 2 22 2 x y xy khi x y f xy x y (, ) 2 2 0 0 0 khi x y Đẳng thức sau đây có đúng không 2 2 f (, ) (, ) xy f xy ∂ ∂ = ∂∂ ∂∂ . x y yx Bài 5. Tìm một hàm hai biến x và y hai lần khả vi liên tục theo từng biến trong miền { } 2 2 U xy x y = +< ( , ): 1 ∂ và không có đạo hàm hỗn hợp 2 f (, ) x y ∂ ∂ và x y ∂ 2 f (, ) x y ∂ ∂ tại điểm (0,0). y x 2. Tính gradient của hàm nhiều biến Bài 1. Tìm gradient của hàm số 2 3 2 x + yz . Bài 2. Tìm gradient của hàm số 2 xy z − tại điểm M ( 9,12,10) − . Bài 3. (Thi môn Giải tích, học kỳ 2, 1999-2000, ĐHBK Hà Nội) Cho 22 2 (, ) 2 = − + y P x y xy x x , 2 3 Qxy y x xy y (, ) 2 1 = − + + . Chứng minh rằng tồn tại hàm uxy (, ) có du P x y dx Q x y dy = (, ) (, ) + . Tìm hàm uxy (, ) thỏa mãn: du P x y dx Q x y dy = (, ) (, ) + . 3. Đạo hàm theo hướng Bài 1. (Thi môn Giải tích, học kỳ 2, 1999-2000, ĐHBK Hà Nội) Tính đạo hàm của hàm số 2 3 JJJG với N(0,4,-3). bởi MN u xy z = , tại điểm M(1,2,-1) theo hướng xác định Bài 2. (Thi môn Giải tích, học kỳ 2, 1999-2000, ĐHBK Hà Nội) Cho hàm số 44 5 65 ux y z = + − . Tính ue ∂ G JJJJJJG với 1 M (2,0,3) . ∂G tại 0 M (1,2,1) theo hướng 0 1 e MM = 1.6. Cực trị của hàm nhiều biến Bài 1. Tìm cực trị địa phương của các hàm sau đây: Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 67 2 2 x y − +; b) 4 42 2 a) 2 2 x y x + y x xy y −− − 2 ; c) 4 42 2 2 2 x + yx y − − ; d) 2 3 x y xy (6 ) − − . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm z = xy xy − + 1− − với 0 1; 0 1 ≤≤ ≤≤ x y . Bài 3. (Thi vào giai đoạn 2, hệ chính qui, ĐHBK Hà Nội, 1992) Tìm cực trị của hàm 2 2 z = xy x y − . Bài 4. (Thi vào giai đoạn 2, hệ chính qui, ĐHBK Hà Nội, 1993) Tìm cực trị của hàm 1 1 z xy x y = + − . 2. Thực hành tính toán Bằng thủ công, chúng ta hầu như không thực hiện được các tính toán và vẽ đồ thị của các hàm nhiều biến (ngay cả trong trường hợp hai hoặc ba biến). Vì vậy, cũng dễ hiểu tại sao trong các giáo trình từ trước tới nay, vấn đề tính toán và biểu diễn đối với hàm nhiều biến thường ít được quan tâm và luôn tồn tại như một "lĩnh vực mơ hồ" đối với hầu hết mọi học sinh. Nhờ máy, chúng ta có thể dễ dàng đi sâu vào vấn đề này và sẽ thấy được đây là một lĩnh vực có nhiều điều thú vị. Ta có thể thực hiện các tính toán cực kỳ phức tạp hoặc vẽ được đồ thị của những hàm rất "hiểm hóc" nhờ một vài lệnh đơn giản. 2.1. Vẽ đồ thị hàm số Trước hết chúng ta cần nạp các gói chuyên dụng cho vẽ đồ thị, bằng lệnh: [> with(plots): [> with(plottools): 1. Vẽ đồ thị hàm một biến a. Vẽ đồ thị hàm thông thường Muốn vẽ đồ thị hàm thông thường ( ) y fx = ta dùng lệnh: [> plot(f(x),x=a..b); trong đó, f(x)là hàm cần vẽ đồ thị, [,] a b là khoảng thay đổi của biến số. Thí dụ. Vẽ đồ thị hàm số xsin x trong khoảng −3π đến 3π . [> plot(x*sin(x),x=-3*Pi..3*Pi); 68 Giải tích các hàm nhiều biến Hình 2.3 b. Vẽ đồ thị một số dạng hàm không thông thường Nhiều hàm số không biểu diễn được thông qua các hàm cơ bản, thí dụ như nguyên hàm của một số hàm thường gặp nhưsin x x . Việc vẽ đồ thị của chúng thường rất khó khăn. Với lệnh plot của Maple, ta có thể vẽ đồ thị của những hàm này một cách dễ dàng. Thí dụ. Định lý Newton-Leibnitz cho biết nguyên hàm của sin x x có thể biểu diễn sin Sixt dưới dạng tích phân xác định với cận biến hàm này trong khoảng [ 10,10] − . [> plot(Si(x),x=-10..10); t = ∫ . Ta cho máy vẽ đồ thị x dt 0 Hình 2.4 c. Vẽ đồ thị hàm cho dưới dạng ẩn. Muốn vẽ đồ thị hàm ẩn ( , ) 0 f xy = ta dùng lệnh implicitplot: Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 69 Thí dụ. Vẽ lá Descartes 3 3 x y xy + −3 0 = . [> implicitplot(x^3+y^3-3*x*y=0,x=-3..3,y=-3..3); Hình 2.5 2. Vẽ đồ thị hàm hai biến (i) Muốn vẽ đồ thị hàm hai biến ( , ) z = f xy khi x và y thay đổi trong khoảng x ∈[,] a b , [ , ] y cd ∈ ta dùng lệnh [> plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d); Thí dụ. Vẽ mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) 2 2 z = x y − khi x và y thay đổi trong khoảng [ 1,1] x ∈ − , [ 1,1] y ∈ − : [> plot3d(x^2-y^2,x=-1..1,y=-1..1); Hình 2.6 (ii) Vẽ đồ thị hàm ẩn (ba biến) ta dùng lệnh [> implicitplot3d(f(x,y,z)=0,x=a..b,y=c..d,z=m..n); Chú ý: Khi dùng lệnh implicitplot3d cần khai báo miền thay đổi của cả ba biến x=a..b,y=c..d,z=m..n, nếu thiếu miền thay đổi z=m..n của biến z thì máy sẽ báo lỗi. Thí dụ . Vẽ mặt hyperboloid một tầng 2 2 2 222 1 x z y + − = . abc 70 Giải tích các hàm nhiều biến [> implicitplot3d(x^2+y^2-z^2/4=1,x=-2..2,y=-2..2,z=- 2..2); Hình 2.7 3. Vẽ đường mức Một trong những phương pháp khảo sát các hàm số nhiều biến là xét các đường mức của đồ thị, tức là những đường cong f (, ) xy c = . Với mỗi c ta được một đường mức, khi cho c thay đổi ta được một họ các đường mức (trong mặt phẳng 2 chiều). Muốn vẽ các đường mức, ta dùng lệnh contourplot. Thí dụ 1. Vẽ đường mức của sin( ) xy khi x và y thay đổi trong miền [ 3,3] − ⋅ [ 3,3] − . [> contourplot(sin(x*y),x=-3..3,y=-3..3); Hình 2.8 Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 71 − 5 x Thí dụ 2. Vẽ đường mức của 2 2 + + khi x và y thay đổi trong miền 1 x y [-3,3] [-3,3] × . [> contourplot(-5*x/(x^2 + y^2 + 1),x=-3..3,y=-3..3); Hình 2.9 Có thể vẽ đồng thời đường mức của nhiều đồ thị trên cùng một hệ trục. Thí dụ 3. Vẽ đường mức của c1 := [cos(x) - 2 cos(0.4 y), sin(x) - 2 sin(0.4 y), y] c2 := [cos(x) + 2 cos(0.4 y), sin(x) + 2 sin(0.4 y), y] [> c1:=[cos(x)-2*cos(0.4*y),sin(x)-2*sin(0.4*y),y]: [> c2:=[cos(x)+2*cos(0.4*y),sin(x)+2*sin(0.4*y),y]: [> contourplot({c1,c2},x=0..2*Pi,y=0..10); 72 Giải tích các hàm nhiều biến Hình 2.10 2.2. Giới hạn của hàm nhiều biến 1. Giới hạn của hàm một biến Muốn tính giới hạn của hàm một biến f ( ) x khi x tiến tới a , ta dùng lệnh: [> limit(f(x),x=a); Thí dụ 1. (Thi vô địch sinh viên Liên xô, 1977) Tính giới hạn của hàm số tan(tan ) sin(sin ) − x x − khi x tiến tới 0. tan sin x x [> limit((tan(tan(x))-sin(sin(x)))/(tan(x)-sin(x)),x=0); 2 Muốn tính giới hạn của hàm một biến f ( ) x tại điểm x = ∞ , ta thay x=a trong lệnh limit(f(x),x=a) bằng x=infinity. Muốn tính giới hạn một phía của hàm một biến f ( ) x khi x tiến tới a từ bên phải, ta thay x=a trong lệnh limit(f(x),x=a) bằng x=+a: − − −− khi x tiến tới +0 . x e x Thí dụ 2. Tính giới hạn của hàm số 1 1 cos sin x [> limit((sqrt(1-exp(-x))-sqrt(1-cos(x)))/sqrt(sin(x)), x=+0); 1 Bài tập và tính toán thực hành Chương 2 73 2. Giới hạn của hàm nhiều biến Muốn tìm giới hạn của hàm hai biến f (, ) x y khi đồng thời x tiến tới a , y tiến tới b ta dùng lệnh: [> limit(f(x,y),{x=a,y=b}); Thí dụ 1. Tìm giới hạn của hàm số 1 + khi x tiến tới 0 và y tiến tới vô cùng. xy [> limit(x+1/y, {x=0,y=infinity}); 0 2 Thí dụ 2. Tìm giới hạn của hàm số x y x + y khi x tiến tới 1 và y tiến tới 2. 4 2 [> limit((x^2*y)/(x^4+y^2),{x=1,y=2}); 2 5 Muốn tìm giới hạn lặp của hàm hai biến ( , ) f x y khi x tiến tới a , sau đó y tiến tới b ta dùng lệnh: [> limit(limit(f(x,y),x=a),y=b); − Thí dụ 3. Tìm giới hạn của hàm số x y + khi x tiến tới 0 và sau đó y tiến tới 0. x y [> limit(limit((x-y)/(x+y),x=0),y=0); −1 Tìm giới hạn của hàm số trên khi y tiến tới 0 và sau đó x tiến tới 0. [> limit(limit((x-y)/(x+y),y=0),x=0); 1 Hai giới hạn trên không bằng nhau, suy ra giới hạn của hàm số trên khi cả x và y đồng thời tiến tới 0 không tồn tại, máy trả lời “undefined” (không xác định): [> limit((x-y)/(x+y),{y=0,x=0}); undefined 2 2 Thí dụ 4. Cho hàm số: x y f xyx y xy = + − . Chứng minh rằng 22 2 (, ) ( ) f xy f xy →→ →→ = = . Tuy nhiên, 0 lim ( , ) lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0 xy yx 00 00 không tồn tại. x f x y → y → 0