🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Đột Phá Tư Duy Giải Nhanh Trắc Nghiệm Hình Học Không Gian Ebooks Nhóm Zalo LỤ C T R Í T U YÊ N ĐỘT P H Á TƯ D U Y GIẢI N H A N H T R ẮC NGH IỆ M H Ì N H HỌC K HÔNG GIA N N H À X UẤT BẢ N DÂ N T R Í Bản quyền © 2018 Thầy Lục Trí Tuyên xuất bản bởi nhà xuất bản abc giải chi tiết bài tập có tại https://estudy.edu.vn/discussion Điều khoản bản quyền theo luật sở hữu trí tuệ số 50/2005/QH11; bạn không được phép sao chép tài liệu này ngoại trừ sự cho phép của tác giả. Bạn có thể tìm hiểu thêm về luật bản quyền tại http://www.cov. gov.vn. Ngoại trừ sự cho phép của tác giả, mọi hành vi in sao, mua bán, kinh doanh thứ cấp đều vi phạm bản quyền theo luật bản quyền. Xuất bản lần đầu, Tháng 10 năm 2018 Mục lục 1 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 9 1.1 Đại cương về khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Cơ bản về phép biến hình trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Khối đa diện lồi, đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Làm chủ hình vẽ khối chóp và lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Tính thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.4 Thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2.5 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.2.6 Phương pháp tỉ số thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2.7 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.2.8 Bài toán cực trị và bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.2.9 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.3 Khoảng cách và góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.3.1 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.3.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.3.3 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.3.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2 Khối tròn xoay 90 2.1 Khối nón và khối trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.1.1 Định nghĩa và một số thiết diện cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.1.2 Thể tích và diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.2 Mặt cầu và khối cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.2.1 Định nghĩa và các vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.2.2 Thể tích khối cầu và diện tích mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2.3 Xác định tâm và bán kính khối cầu ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.2.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.3 Thể tích lớn nhất nhỏ nhất và toán thực tế đối với khối tròn xoay . . . . . . . . . . 111 2.3.1 Phương pháp chung cho bào toán cực trị hình học . . . . . . . . . . . . . . 111 2.3.2 Một số ví dụ về trải hình và tính toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.3.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Tra cứu theo vần 119 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Chương 1 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Đại cương về khối đa diện 1.1.1 Khối đa diện Mục này giới thiệu các kiến thức đại cương về khối đa diện nên các khái niệm được tổng hợp lại trong Sách giáo khoa Cơ bản Hình học 12 [3] nhằm thống nhất các khái niệm trong chương trình. Định nghĩa 1.1.1: Hình đa diện Hình đa diện (H ) (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: • Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. • Với hai mặt S, S′ bất kỳ luôn tồn tại một dãy các mặt S0, S1, ..., Sn sao cho S0 ≡ S, Sn ≡ S′ và bất kỳ hai mặt liên tiếp nào trong dãy này đều có một cạnh chung. Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H ). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H ). Đỉnh Định nghĩa 1.1.2: Khối đa diện Cạnh Mặt Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. 9 Lục Trí Tuyên Mỗi đa diện (H ) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của (H ). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy. Các điểm thuộc miền trong được gọi là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài được gọi là các điểm ngoài của (H ). Khối đa diện (H ) (lấy cùng tên với hình đa diện) là hợp của hình đa diện (H ) và miền trong của nó. Miền ngoài Điểm ngoài Ví dụ 1.1.1 d M Điểm trong N Các hình dưới đây là các khối đa diện: Ví dụ 1.1.2 Các hình dưới đây không phải là các khối đa diện: a) b) c) d) 10 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Hình a) không là khối đa diện do có một cạnh (trên cùng) không là cạnh chung của hai mặt. Điều này vi phạm điều kiện thứ hai trong Định nghĩa 1.1.1. Hình b) không là khối đa diện do có một mặt phẳng chứa một đỉnh của các mặt khác. Khi đó, mặt phẳng này giao với mặt phẳng khác nhưng lại không có đỉnh chung cũng không có cạnh chung. Điều này vi phạm điều kiện một trong Định nghĩa 1.1.1. Hình c) không là khối đa diện do có một cạnh là cạnh chung của bốn mặt. Điều này vi phạm điều kiện hai trong Định nghĩa 1.1.1. Hình d) không là khối đa diện do vi phạm điều kiện thứ ba trong Định nghĩa 1.1.1. 1.1.2 Cơ bản về phép biến hình trong không gian Định nghĩa 1.1.3: Phép biến hình Phép biến hình trong không gian là một quy tắc F mà với mỗi điểm M trong không gian, thực hiện theo quy tắc F, dựng được một và chỉ một điểm M′. Điểm M′ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F, ký hiệu là M′ = F(M). Ví dụ 1.1.3: Phép tịnh tiến theo vectơ −→v Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành điểm M′ sao cho−−−→ MM′ =−→v ”. Ký hiệu, T−→v: M → M′ ⇔−−−→ MM′ =−→v . Ví dụ 1.1.4: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành chính nó nếu M ∈ (P) và biến thành M′ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM′ nếu M không thuộc (P)”. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình H thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của H . Ví dụ 1.1.5: Phép đối xứng tâm O (P) −→v M M H M′ M′ Là quy tắc: ”Biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M ̸= O thành M′sao cho O là trung điểm của MM′”. Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của H . M O M′ 11 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.1.6: Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ Là quy tắc: ”Biến mỗi điểm thuộc ∆ thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành M′sao cho ∆ là trung trực của MM′”. Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình H thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của hình H . ∆ M HM′ Định nghĩa 1.1.4: Phép dời hình và hai hình bằng nhau • Phép biến hình F được gọi là một phép dời hình nếu với hai điểm M, N bất kỳ, gọi M′, N′lần lượt là ảnh của M, N qua phép biến hình F, ta có M′N′ = MN. Ví dụ: Các phép tịnh tiến, đối xứng qua mặt phẳng, đối xứng tâm, đối xứng qua đường thẳng là các phép dời hình. Chú ý: Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. Hơn nữa, phép dời hình biến hình H thành hình H ′thì biến mọi đỉnh, cạnh, mặt của H tương ứng thành đỉnh, cạnh, mặt của H ′. • Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia. Ví dụ 1.1.7 Phép tính tiến vectơ −→v biến đa diện (H ) thành đa diện H ′, phép đối xứng tâm O biến đa diện (H ′) thành đa diện (H ′′). Khi đó, phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tính tiến vectơ −→v và phép đối xứng tâm O biến đa diện (H ) thành đa diện (H ′′). Do đó, các đa diện (H ), (H ′) và (H ′′) bằng nhau. −→v O 12 (H ′′) (H ′) (H ) Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Định nghĩa 1.1.5: Phép vị tự và phép đồng dạng • Phép vị tự tâm O tỉ số k ̸= 0 là quy tắc biến mỗi điểm M thành điểm M′sao cho −−−→ OM′ = k−−→OM N′ N O M M′ • Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k > 0 nếu F biến hai điểm M, N bất kỳ thành hai điểm M′, N′sao cho M′N′ = k.MN. Ví dụ: Phép vị tự tâm O tỷ số k ̸= 0 là phép đồng dạng tỷ số |k|. Chú ý: Phép đồng dạng tỷ số k > 0 biến khối đa diện (H ) thành khối đa diện (H ′) thì tỉ số thể tích của (H ′) và (H ) bằng k3(lập phương tỉ số đồng dạng). Chú ý này rất hữu ích cho các bài toán về tỉ lệ thể tích ở các phần sau. Ví dụ 1.1.8 Cho tứ diện ABCD. Gọi A′là trọng tâm của tam giác BCD. Các đường thẳng qua A′ lần lượt song song với AB, AC, AD lần lượt cắt các mặt phẳng (ACD),(ABD),(ABC) tại B′, C′, D′. Chứng minh rằng tứ diện ABCD và A′B′C′D′ đồng dạng. Hướng dẫn A Gọi M là trung điểm của CD. Do A′là trọng tâm tam giác BCD nên BA′ Do A′B′ ∥ AB nên BA′ BM=23. ⇒AB′ BM=AB′ AM (Ta-let) AM =23. Vậy B′cũng là trọng tâm của tam giác ACD. Tương tự, C′, D′cũng là trọng tâm của B tam giác ABD và tam giác ABC. Trong tam giác ABM, gọi G = AA′ ∩ BB′ ⇒AG GA′=BG GB′=AB A′B′(Ta-let). Mặt khác, AB A′B′=AM B′M= 3. Vậy AG C′ D′ B′ G A′ C D M GA′=BG GB′= 3. Tương tự CG GC′=BG GB′= 3. 13 Lục Trí Tuyên Do các cặp vectơ (−→GA,−−→ GA′), (−−→GB,−−→ GB′), (−−→GC,−−→ GC′) ngược hướng nên ta có −→GA = −3−−→ GA′,−−→GB = −3−−→ GB′,−−→GC = −3−−→ GC′. Vậy phép vị tự tâm G tỉ số k = −3 biến tứ diện A′B′C′D′thành tứ diện ABCD. Do đó hai tứ diện ABCD đồng dạng với tứ diện A′B′C′D′theo tỉ số 3. 1.1.3 Khối đa diện lồi, đa diện đều Trong chương trình THPT, đối tượng chủ yếu của hình không gian là các khối đa diện lồi và đi tính các yếu tố liên quan của nó như thể tích, góc hay khoảng cách. Nhưng trước khi đi vào các khối hình cụ thể, ta cần phân biệt được khối đa diện lồi với các khối không lồi và nắm được cơ bản các đặc điểm của các khối đa diện đều. Định nghĩa 1.1.6: Khối đa diện lồi Khối đa diện (H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H ) luôn thuộc (H ). Khi đó hình đa diện tương ứng được gọi là đa diện lồi. Ví dụ: Các khối chóp tam giác (tứ diện), khối chóp đa giác lồi, khối hộp là những khối đa diện lồi. Chú ý: Khối da diện là lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một nửa không gian chia bởi một mặt bất kỳ của nó. Định nghĩa 1.1.7: Khối đa diện đều loại {p; q} Khối đa diện đều loại {p; q} là khối đa diện lồi thỏa mãn đồng thời hai tính chất: • Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh (cũng là p đỉnh). • Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của q mặt (cũng là q cạnh). Người ta chứng minh được chỉ có năm khối đa diện đều gồm các loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3} và {3; 5}. Cụ thể được tóm tắt ở bảng sau. 14 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Tên (n =số mặt) Loại Số đỉnh Số cạnh Số mặt phẳng đối xứng Tứ diện đều (n = 4) {3; 3} 4 6 6 Khối lập phương (n = 6) {4; 3} 8 12 9 Bát diện đều (n = 8) {3; 4} 6 12 9 Thập nhị diện đều (n = 12) {5; 3} 20 30 15 Nhị thập diện đều (n = 20) {3; 5} 12 30 15 15 Lục Trí Tuyên Lưu ý, ta có thể tính số đỉnh và số cạnh của khối đa diện đều n mặt loại {p; q} như sau Số cạnh =n × p 2; Số đỉnh =n × p q Ngoài ra, một số đặc điểm khác của khối đa diện đều cũng được quan tâm như số trục đối xứng, góc nhị diện giữa hai mặt kề, góc ở tâm mặt cầu ngoại tiếp chắn bởi một cạnh, thể tích, bán kính khối cầu ngoại tiếp. Chẳng hạn, khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng là các đường đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện; khối lập phương có 9 trục đối xứng bao gồm: 3 đường đi qua tâm hai mặt đối diện, 6 đường đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện; khối bát diện đều cũng có 9 trục đối xứng bao gồm: 3 đường đi qua hai đỉnh đối diện, 6 đường đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện. Việc đếm số trục đối xứng của khối mười hai (thập nhị) mặt đều và hai mươi (nhị thập) mặt đều phức tạp và khó hình dung hơn nhiều nên cuốn sách này không đề cập ở đây. Định nghĩa 1.1.8: Nhị diện và góc nhị diện Nhị diện là hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng có chung bờ là gia tuyến của chúng. Cho nhị diện (P) và (Q) có giao tuyến d. Từ I ∈ (P) và J ∈ (Q) với I, J ∈/ d hạ IH⊥d; JK⊥d thì góc (−→HI,−−→KJ) gọi là góc nhị diện [(P), d,(Q)]. Như vậy, số đo góc nhị diện có thể tù và bằng hoặc bù với số đo góc giữa (P) và (Q). Gọi α là góc phẳng nhị diện tạo bởi một cạnh bất kỳ của khối đa diện đều và hai mặt bên kề với cạnh đó, β là góc ở tâm khối cầu ngoại tiếp của đa diện (có bán kính R) chắn bởi một cạnh bất kỳ (xem Hình 1.1). Nếu nắm được số đo các góc này thì ta có thể dễ O β R R dàng tính toán được các yếu tố khác của khối đa diện. B α Bảng dưới đây chỉ ra một số đặc điểm cơ bản khác của các khối đa diện đều bao gồm số đo các góc α và β. Chi tiết xem thêm tại [4].A Hình 1.1: Góc nhị diện và góc ở tâm của đa diện đều Khối đa diện đều cạnh 1 Diện tích một mặt √ Thể tích √ Góc nhị diện một cạnh: α Góc ở tâm cầu chắn 1 cạnh: β Tứ diện đều 3 4 2 12 cos α =13 cos β = −13 Lập phương 1 √ 1 √ α =π2 cos β = −13 Bát diện đều 3 4 2 3 cos α = −13√ β =π2√ Mười hai mặt đều √25 + 10√5 1 4 √ (15 + 7√5) 1 4 cos α = −55√ cos β =53√ Hai mươi mặt đều 3 4 (3 + √5) 5 12 cos α = −53 cos β =55 16 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 1.1.4 Bài tập áp dụng 17 Lục Trí Tuyên 1.2 Thể tích khối đa diện Mục này cuốn sách giới thiệu với độc giả phương pháp tiếp cận mới trong việc tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ mà đối với những học sinh hạn chế về tưởng tượng hình không gian vẫn có thể dễ dàng vận dụng được. Để làm được điều này, học sinh trước hết phải ”biết vẽ hình” (làm chủ hình vẽ) và xác định được các yếu tố cơ bản của hình. Ở đây ta ký hiệu Rđ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của các khối chóp Đặc biệt, đối với hình thức thi và làm bài trắc nghiệm thì ngoài yếu tố nắm rõ phương pháp giải toán học sinh cần phải tính toán nhanh ra đáp số. Chính vì vậy, những yếu tố có tính chất quen thuộc, lặp lại nhiều lần trong quá trình giải bài nên được học thuộc một cách hệ thống. 1.2.1 Làm chủ hình vẽ khối chóp và lăng trụ làm chủ đáy Đáy là tam giác đặc biệt: Tóm tắt đặc điểm cơ bản hoặc lăng trụ, S(ABC) là diện tích tam giác ABC và các quy ước về độ dài cạnh, đường cao đường trung tuyến, nửa chu vi lần lượt là a, b, c, ha, ma, p như thông lệ. Tam giác đều cạnh bằng a Tam giác vuông cân cạnh bên bằng a Đường cao: √3 2a. Cạnh huyền: √2a. Diện tích: 12a2. Diện tích: √3 4a2. Bán kính đường a a√2 Bán kính đường tròn ngoại tiếp: a√3 2a tròn ngoại tiếp: √2 Rđ = √3 Rđ = 2a.a 3a. Tâm ngoại tiếp cũng là trọng tâm. Tam giác vuông có góc bằng 60◦ Tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền (chung cho mọi tam giác vuông). Tam giác cân góc 120◦ ở đỉnh ◦ 1 120◦ a a a 2 √3a Rđ = a; đường cao =a2; diện tích:√34a2. 18 60 2 a2a √3 2a a √3a Diện tích =12√3a2; Rđ = a. Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Đáy là tứ giác đặc biệt: Tóm tắt đặc điểm cơ bản Đáy là hình vuông a 45◦ √2 Diện tích = a2; Rđ = 2a. Đáy là hình thoi có góc 60◦ a 60◦ Đường chéo ngắn = a. Đường chéo dài =√3a. Diện tích =12tích hai đường chéo =√32a2. Không có đường tròn ngoại tiếp. Hệ thức lượng trong tam giác Tam giác vuông A Đáy là hình chữ nhật b a Diện tích = ab; Rđ =12√a2 + b2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là tâm đáy. Đáy là hình thang vuông có đáy lớn gấp 2 đáy nhỏ và đường cao a Diện tích =32a2. Hình ghép bởi hình vuông và tam giác vuông cân. Không có đường tròn ngoại tiếp. Tam giác thường A c ma b B H C BC =BA2 B a C M cos A =b2 + c2 − a2 2bc ; m2a =b2 + c2 BH.BC = BA2 ⇒BH AH2=1 BC2. 2−a24. 1 AB2+1 AC2. a sin A=b sin B=c sin C= 2Rđ. AH.BC = AB.AC = 2S(ABC). tan B =AC AB =AH BH. cos B =AB BC , v.v... S(ABC) = 12bc sin A =12a.ha =√p(p − a)(p − b)(p − c) = pr. 19 Lục Trí Tuyên Ngoài ra, trong một số ít trường hợp ta gặp phải đáy là hình bình hành hoặc nửa lục giác đều. Khi đó, một số đặc điểm quan trọng của các hình này cũng cần được ghi nhớ. Đáy là hình bình hành hoặc nửa lục giác đều Hình bình hành biết góc-cạnh-góc a α b Diện tích = ab sin α, ở đây α ̸= 90◦. Không có đường tròn ngoại tiếp. Đường chéo ngắn =√a2 + b2 − 2ab cos α. Đường chéo dài =√a2 + b2 + 2bc cos α. làm chủ đường cao Nửa lục giác đều hay hình thang cân 60◦ a Diện tích =3√3 4a2; Rđ = a. Hình được ghép bởi 3 tam giác đều và đường tròn ngoại tiếp nhận đáy lớn là đường kính. Khối chóp và lăng trụ bản chất như nhau trong quá trình vẽ hình cũng như tính toán. Chẳng hạn, cho lăng trụ ABC.A′B′C′có hình chiếu của A′lên mặt phẳng (ABC) là H (tại vị trí nào đó trên đáy mà bài toán cho biết trước). Khi đó, ta chỉ cần làm việc với hình chóp A′.ABC là đủ để tính toán mọi thông số của hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Do đó, học sinh chỉ cần nắm chắc các trường hợp xác định đường cao đối với hình chóp (xem Hình 1.2). A′ A C C′ A C A′ B′ H B H B Hình 1.2: Quy hình lăng trụ về hình chóp Một số ít trường hợp, bài toán không cho chính xác vị trí chân đường cao H ngay từ đầu, ta chỉ cần gọi H là một vị trí nào đó dưới đáy để từ đó khai thác các thông tin về H dựa vào các giả thiết. Những bài toán dạng này được xếp vào bài toán mức độ vận dụng trở lên. 20 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Đa số trường hợp bài toán cho thông tin về đường cao của khối chóp (lăng trụ) mà đều có thể rơi vào một trong bốn trường hợp dưới đây. Bốn trường hợp cơ bản xác định Cạnh bên vuông góc với đáy Chẳng hạn: S.ABCD có SA⊥(ABCD) S Hai mặt cùng vuông góc với đáy Chẳng hạn: S.ABC có (SIA),(SIB)⊥(ABC) với I là điểm xác định trước S A B D C A B C I Đường cao chính là cạnh bên. Đặc biệt: Khối lăng trụ đều là lăng trụ đứng và đáy là đa giác đều. Một mặt vuông với đáy Chẳng hạn: S.ABCD có (SAB)⊥(ABCD) S Đường cao là giao tuyến SI của hai mặt này. Cạnh bên bằng nhau Chẳng hạn: S.ABC có SA = SB = SC. S A H D A C O B C Đường cao chóp chính là đường cao từ S đến AB của tam giác SAB. Đặc biệt: Nếu ∆SAB cân tại S thì H là trung điểm AB. B Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp O của đáy. Đặc biệt: Nếu thêm điều kiện đáy là đa giác đều ta có khối chóp đều. 21 Lục Trí Tuyên xác định góc cơ bản và khoảng cách cơ bản Góc và khoảng cách trong không gian sẽ được trình bày sâu hơn trong mục 1.3. Tuy nhiên, để hỗ trợ các tính toán liên quan trong các bài toán tính thể tích khối đa diện, mục này sẽ trình bày những khái niệm cơ bản và cách xác định góc cũng như khoảng cách trong trường hợp đơn giản nhất. Định nghĩa 1.2.1: Định nghĩa góc giữa đường với mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ký hiệu là φ = (d,(P)) là góc (d, d′) (góc M d giữa hai đường d và d′) với d′là hình chiếu của d lên (P). sin φ =d(M,(P)) MI φ ′ Cách tính phổ biến: , (P) I H d với M là điểm bất kỳ trên (P) và d(M,(P)) ký hiệu cho khoảng cách từ M đến (P). I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Góc giữa hai mặt phẳng (Q) M φ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ký hiệu là φ = ((P),(Q)), là góc giữa d và d′ với d, d′ lần lượt là hai đường thẳng vuông góc với (P) và (Q). Tuy nhiên, thường dựng góc giữa hai mặt phẳng như hình bên thay cho định nghĩa. Cách tính phổ biến: Lấy điểm M bất kỳ trên (P) H I (Q). Chiếu vuông góc MI lên giao tuyến của hai mặt phẳng. Chiếu vuông góc MH φ =d(M,(P)) MI lên (P). Khi đó sin . Đề giúp học sinh dễ thực hiện hơn trong các bài toán tính thể tích, trước hết học sinh cần nắm vững hai loại góc cơ bản: góc giữa cạnh bên và đáy và góc giữa mặt bên và đáy. Ở mục trên, học sinh đã làm chủ được bốn trường hợp cơ bản xảy ra của đường cao trong một hình chóp (tương tự đối với hình lăng trụ). Điều đó có nghĩa rằng chúng ta đã làm chủ được vị trí chân đường cao H nằm trên mặt phẳng đáy. Vì vậy, áp dụng Định nghĩa 1.2.1 ta dễ dàng xác định được hai loại góc cơ bản này. Đôi khi ta cũng gặp phải một số bài toán liên quan đến khoảng cách ở mức độ cơ bản. Khi đó, để chủ động trong tính toán học sinh cần nắm được cách xác định khoảng cách cơ bản nhất. 22 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Hai loại góc cơ bản Góc giữa cạnh bên (cạnh xiên) và đáy S Góc giữa mặt bên (mặt xiên) và đáy S A H φ A H I φ Từ chân đường cao H nối với giao của cạnh bên (cạnh xiên) với đáy. Chẳng hạn, góc (SA,(đáy)) = SAH [. Xác định khoảng cách cơ bản Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt xiên S mặt xiên K A H I B Từ H kẻ HI vuông góc với giao tuyến. Từ H kẻ HK vuông góc với SI. Khi đó, d(H,(SAB)) = HK. Cách tính: 1 HK2=1 HI2+1 B Từ chân đường cao H kẻ HI vuông góc với giao tuyến của mặt bên (mặt xiên) với đáy. Chẳng hạn, góc ((SAB),(đáy)) = SIH[. Dịch chuyển khoảng cách Muốn chuyển khoảng cách dM = d(M,(α)) sang dN = d(N,(α)) → nối MN: Nếu MN ∥ (α) ⇒ dM = dN (1.1). M N dM dN (α) Nếu MN ∩ (α) = I ⇒dM dN=IM IN(1.2). N M dMdN HS2. I 23 (α) Lục Trí Tuyên Sau khi làm chủ đáy và đường cao của một khối chóp hay lăng trụ thì việc tính thể tích của khối chóp hay lăng trụ đó trở nên hết sức đơn giản. Đối với bài toán cho biết góc giữa cạnh bên và đáy hoặc mặt bên và đáy lần lượt là φ = SAH [ hoặc φ = SIH[ thì chiều cao h của khối chóp (hoặc lăng trụ) thường được tính theo các giá trị lượng giác của φ. Chẳng hạn h = HA. tan φ hoặc h = HI. tan φ Dưới đây, cuốn sách sẽ minh họa chi tiết cho các dạng toán thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia. 1.2.2 Tính thể tích khối chóp Thể tích của một khối đa diện là đại lượng dùng để đo phần không gian bên trong khối đa diện đó, thường ký hiệu là V . Ở chương trình THCS học sinh đã được làm quen với thể tích một số khối da diện đặc biệt như: • Vkhối lập phương cạnh a = a3. • Vkhối hộp chữ nhật kích thước a, b, c = abc. Trong chương trình THPT, chúng ta tiếp tục được học về thể tích của các khối chóp, khối lăng trụ và một số khối đa diện khác. Thể tích khối chóp S Thể tích khối chóp được tính bằng 13tích của diện tích đáy và chiều cao khối chóp đó. Ta ký hiệu Sđáy là diện tích đáy của khối chóp, h h là độ dài đường cao của khối chóp. Ta có: V =13Sđáy.h (1.3) H 24 Sđáy Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.2.1: Cạnh bên vuông đáy biết góc của cạnh bên với đáy Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA⊥(ABCD). Biết góc giữa SC và đáy là 60◦, tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Hướng dẫn Coi a là đơn vị độ dài, do đó ta chỉ tính toán với các hệ số của độ dài các đoạn thẳng. Ta có A là chân đường cao của hình chóp nên góc giữa SC và đáy bằng SCA [ = 60◦. Vậy h = SA = AC tan 60◦ = AC.√3 = √15 (do AC =√12 + 22 =√5). Có Sđáy = AB.BC = 2. Do đó V =13.Sđáy.h =2√15 3a3. D 1 S A B C 2 Ví dụ 1.2.2: Cạnh bên vuông đáy biết góc của mặt bên với đáy Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh a và SA⊥(ABC). Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy là 60◦, tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. Hướng dẫn Do A là chân đường cao của hình chóp nên S kẻ AI⊥BC thì SIAd là góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC). Vậy SIAd = 60◦. Tam giác ABC đều cạnh a nên I là trung điểm của BC, do đó AI = √3 2a. Tam giác SAI vuông tại A nên √3 2a.√3 =32a Vậy SA = AI. tan 60◦ = A 60◦ C VSABC =13.Sđáy.SA =13.√34.32a3 =√38a3. I B 25 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.3: Hai mặt bên cùng vuông với đáy Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B với AB = a, BAC \= 60◦. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa (SBC) và đáy bằng 45◦, tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC. Hướng dẫn Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA⊥(ABCD). Từ A kẻ vuông góc với BC rơi vào B nên SBA [ là góc giữa (SBC) và đáy. Vậy SBA [ = 45◦. Tính được SA = BA tan 45◦ = a. √3 S 60◦ C Đáy ABC có Sđáy = 2a2. A Vậy V =13.√32.1a3 =√36a3. 45 1 ◦√3 B Ví dụ 1.2.4: Hai mặt chéo cùng vuông với đáy Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC \= 60◦. Gọi H là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với (ABCD). Biết khoảng cách từ A đến (SBC) bằng 34a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Hướng dẫn Đáy là hình thoi 60◦ nên Sđáy = √3 2a2. Vậy VS.ABCD =13.√32.34a3 =√38a3. Theo quy tắc chuyển khoảng cách: d(A,(SBC)) = 2d(H,(SBC)) (do H là trung điểm AB). Vậy d(H,(SBC)) = 38a. H là chân đường cao nên d(H,(SBC)) = HK =38a. Mặt khác HI =12AM =√34. Áp dụng 1 HK2=1 HI2+1 S K H A D a B C I M 26 ⇒ HS =3a4. HS2 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.2.5: Mặt bên vuông với đáy Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2AB = 2BC = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Hướng dẫn Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy nên chân đường cao H của hình chóp là trung điểm AB. Vậy SH = √3 2a. S Theo mục 1.2.1 ta có Sđáy =32a2. Vậy VS.ABCD =13.32.√32a3 √3 2 A 1 1 D √3 H 1 4a3.1 = B C Ví dụ 1.2.6: Mặt chéo vuông với đáy Cho hình chóp S.ABCD và đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SA và đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Hướng dẫn Mặt phẳng (SAC) vuông với đáy nên chân S đường cao H của hình chóp thuộc AC. Theo mục 1.2.1, góc giữa SA và đáy là góc SAH [ = 60◦. Cũng theo mục 1.2.1, tam giác vuông SAC có AH =14AC =√24a. Vậy SH = AH tan 60◦ = ⇒ V =13Sđáy.SH =√6 √6 4a A 60◦ H D 12a3. B C 27 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.7: Cạnh bên bằng nhau Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a. Tam giác ABC cân tại A có BAC \= 120◦ và AB = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Hướng dẫn Do cạnh bên bằng nhau nên chân đường S cao H của hình chóp là tâm ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC cân có góc ở đỉnh bằng 120◦ √3 2 nên Rđ = a và Sđáy = Theo Pi-ta-go ta có 4a2. √ SH = Vậy SA2 − R2đ =√3a. V =13.√34.√3a3 =14a3. B H 1 Rđ C A Ví dụ 1.2.8: Khối chóp đều Tính theo a thể tích khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Hướng dẫn Hình chóp đều có SO là đường cao, trong đó O là tâm đáy. Do tất cả các cạnh đều bằng a nên tam giác SAC vuông cận tại S do có AC =√2a và SA = SC = a. Vậy SO =12AC =√22a. 1 Hiển nhiên Sđáy = 1a2. Do đó V =13.1.√22a3 =√26a3. S A O 1 D B C 1 28 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.2.9: Biết vị trí chân đường cao cho trước Cho hình chóp S.ABCD có AB ∥ CD và AB = 2CD = 2AD = 2a, BAD \= 60◦. Gọi O là trung điểm của AB, hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm của DO. Biết góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng 30◦. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Hướng dẫn Vậy V =13.3√3 Từ giả thiết thấy đáy ABCD là hình thang cân nửa lục giác đều như trong mục 1.2.1. Do đó Sđáy =3√3 4a2, AC =√3a và AC⊥BC. Gọi H là trung điểm của DO thì H cũng là trung điểm của AC. Theo giả thiết SH⊥(ABCD). Có BC⊥AC mà BC⊥SH (do SH⊥(ABCD)) nên BC⊥(SAC). Vậy C là hình chiếu của B lên (SAC), do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) là BSC [. Suy ra BSC [ = 30◦. Có SC = BC. cot BSC [ = 1.√3a =√3a. Có SH =√SC2 − HC2 =32a. 4.32a3 =3√3 8a3. S O A B H D C Ví dụ 1.2.10: Chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy Cho hình chóp S.ABC có AB = 3, AC = 5, BC = 6. Các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy một góc 60◦. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm ở miền trong của tam giác ABC. Hướng dẫn ⇒ V =13.2√14.2√3√14 Gọi H là chân đường cao của hình chóp trên đáy và I, K, L lần lượt là hình chiếu của H lên AB, BC, CA. Khi đó, theo mục 1.2.1 có SIH[ = SKH \= SLH [ = 60◦. Dễ thấy các tam giác vuông SIH, SIK, SIL 7=8√3 3. S bằng nhau nên HI = HK = HL = r, với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A ABC. Đặt p = (3 + 5 + 6)/2 60◦ L r 5 C ⇒ Sđáy =√p(p − 3)(p − 5)(p − 6) = 2√14. Có r =Sp=2√14 7⇒ SH = 2√3.√14/7 H IK 3 6 B 29 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.11: Tính độ dài đường cao bằng lập phương trình Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3a, cạnh bên SA⊥(ABC). Biết SB và SC tạo với đáy các góc có số đo lần lượt là 45◦ và 30◦. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Hướng dẫn Do SA⊥(ABC) nên SBA [, SCA [ lần lượt là S góc giữa SB và SC với đáy. Đặt SA = h, suy ra AB = h. cot 45◦ = h; AC = h. cot 30◦ = h√3. h Do tam giác ABC vuông tại B nên có AB2 + BC2 = AC2 ⇔ h2 + 9a2 = 3h2 30◦ ⇔ h =3√2 A 2a. Vậy VS.ABC =16SA.AB.BC =94a2. C ◦ 45 3a B Ví dụ 1.2.12: Tính kích thước đáy bằng lập phương trình Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy lớn hơn cạnh bên. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng 2√6 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Hướng dẫn ⇔ x =4√3 Gọi x và h là độ dài cạnh đáy và đường cao của hình chóp, coi a là đơn vị của phép đo. Theo tỉ lệ khoảng cách trong mục 1.2.1, d(A,(SCD)) = 2d(O,(SDC)) 3; h =2√3 3(do x > 2). Vậy VS.ABCD =13.x2.h =32√3 27a3. ⇒ d(O,(SCD)) = Có 1 √6 3hay OH = √6 3. S OH2=1OI2+1 OS2 ⇒32=4x2+1h2. Trong tam giác SOD có OS2 + OD2 = 4 2a ⇒ h2 +x22= 4. Vậy ta có hệ phương trình   x2+1h2=32 4 x2 2+ h2 = 4 A x h H √6 3a O D I B C 30 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Định lý 1.2.1: Một số công thức khác tính thể tích tứ diện 1. Tính thể tích biết độ dài, góc, khoảng cách giữa hai cạnh đối A M 2. Tính thể tích biết diện tích hai mặt bên, góc nhị diện và độ dài giao tuyến của chúng A B C D N B C D V =16AB.CD.MN. sin (AB, CD) (1.4) 3. Tính góc nhị diện từ góc tam diện V =23SABC.SABD. sin ((ABC),(ABD)) AB (1.5) Ta có: Góc tam diện \ A.BCD có BAC \ = α; cos φ =cos γ − cos α. cos β sin α. sin β(1.6) BAD = β; CAD \= γ. Gọi φ là góc nhị diện cạnh AB của hai mặt phẳng (ABC) và ABD. A Tính thể tích biết số đo góc tam diện và độ dài ba cạnh β Cho tứ diện \ ABCD có BAC \= α; a b B α φ γ c D BAD = β; CAD \= γ. Gọi φ là góc nhị diện cạnh AB của hai mặt phẳng (ABC) và ABD thì φ được tính bởi công thức (1.6). Áp dụng công thức (1.5) ta được công thức thể tích của khối tứ diện: V =16abc. sin α. sin β. sin φ (1.7) C hoặc V =abc6√1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ (1.8) V =16abc. Đặc biệt, nếu góc tam diện vuông (tức α = β = γ = 90◦) thì (1.9) 31 Lục Trí Tuyên chứng minh công thức (1.4): Dựng E sao cho BCDE là hình bình hành, ta có VABCD = VABDE và d(AB, CD) = d(D,(ABE)). Có VABDE =13SABE.d(D,(ABE)) theo (1.3). Mặt khác, SABE =12AB.BE. sin ABE \ =12AB.CD. sin(AB, CD). Vậy VABCD =16AB.CD.d(AB, CD). sin(AB, CD) A B E φ D chứng minh công thức (1.5): Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC) và I là hình chiếu của H lên AB thì DIH [ = ((ABC),(ABD)) = α. Ta có VABCD =13SABC.DH =13SABC.DI. sin α. Mà DI =2SABD AB . Vậy V =2SABC.SABD. sin α 3AB . A B C Iα H D chứng minh công thức (1.6): Xét góc tam diện Axyz với các số đo α, β, γ khác 90◦ như hình vẽ. Trên tia Ax lấy điểm I sao cho AI = 1. Từ I kẻ IK, IL cùng vuông góc với Ax tại I (xem hình bên). Khi đó φ = LIK[ là góc nhị diện cạnh Ax của góc tam diện. Ta có IK = tan α; IL = tan β; AK =1 cos α; AL =1 cos β. Theo định lý hàm số Cosin cho tam giác AKL ta có: KL2 = AK2 + AL2 − 2AK.AL. cos γ. =1 cos2 α+1 cos2 β−2 cos γ A 1 I x y β α C γ φ K L z cos α cos β= 1 + tan2 α + 1 + tan2 β −2 cos γ cos α cos β(1). Theo định lý hàm số Cosin cho tam giác IKL ta có: KL2 = IK2 + IL2 − 2IK.IL. cos φ = tan2 α + tan2 β − 2 tan α. tan β. cos φ (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 −cos γ cos α cos β= −sin α sin β cos φ Do đó cos φ =cos γ − cos α cos β cos α cos β. sin α sin β. Công thức vẫn đúng khi α hoặc β bằng 90◦. Công thức (1.8) được suy ra từ công thức (1.6) và (1.7) bằng cách thay sin x bởi √1 − cos2 x. 32 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.2.13: Tứ diện có độ dài hai cạnh đối, khoảng cách và góc giữa chúng Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, CD = 5a. Biết góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60◦ và khoảng cách giữa chúng bằng 3a. Tính thể tích tứ diện ABCD theo a. Hướng dẫn Áp dụng công thức (1.4) ta có V =16.2.5.3. sin 60◦a3 =5√3 2a3. Ví dụ 1.2.14 Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và ABD đều cạnh a và hợp với nhau một góc 45◦. Tính theo a thể tích tứ diện trên. Hướng dẫn Áp dụng công thức (1.5) ta có V =2.SABC.SABD. sin 45◦ 3.AB =2. √3 4. √3 4. √2 √2 16a3. Ví dụ 1.2.15 3.1a3 = 2 Cho tứ diện ABCD có BAC \ = 90◦, BAD \ = 45◦, CAD \ = 60◦ và AB = a, AC = 2a, AD = 3a. Tính thể tích tứ diện trên theo a. Hướng dẫn Cách 1: Áp dụng công thức (1.8), V =161.2.3.√1 − cos2 90◦ − cos2 45◦ − cos2 60◦ + 2 cos 90◦ cos 45◦ cos 60◦a3 =12a3. Cách 2: Gọi φ là góc nhị diện cạnh AD của tứ diện ABCD, theo (1.6) có cos φ =cos 90◦ − cos 45◦cos 60◦ sin 45◦ sin 60◦= − √3 3⇒ sin φ = √6 3. Áp dụng công thức (1.7) có V =161.2.3. sin 45◦sin 60◦sin φa3 =12a3. 33 Lục Trí Tuyên A Cách 3: Gọi H là hình chiếu của D lên (ABC), K, L lần lượt là hình K chiếu của H lên AC, AB. Ta có DH2 = DK2 − HK2(1); DH2 = DL2 − HL2(2); DH2 = DA2 − HA2(3). Cộng (1) với (2) và trừ (3) được DH2 = DK2 + DL2 − DA2 (chú ý HA2 = HK2 + HL2). B Mà DK = DA sin 60◦ =3√3 45◦60 a ◦2a L 3a H C DL = DA sin 45◦ =3√2 2a. (27 2a; D ⇒ DH2 = 4+184− 9)a2 =9a2 4⇒ DH =32a. Vậy V =13.SABC.DH =12a3. Thể tích của tứ diện gần đều Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau được gọi là tứ diện gần đều. Cho tứ diện gần đều ABCD với AB = CD = c; AC = BD = b; AD = BC = a thì luôn dựng được một hình hộp chữ nhật sao ngoại tiếp tứ diện ABCD như hình sau. B c c a a A bb D A B y z D C C x Gọi x, y, z lần lượt là các kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có  VABCD =13Vhộp =13xyz . . Vậy (1.10)  34 x2 + y2 = a2 y2 + z2 = b2 z2 + x2 = c2 ⇔   x2 =a2 + c2 − b2 2 y2 =a2 + b2 − c2 2 z2 =b2 + c2 − a2 2 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.2.16 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 4, AC = BD = 5, AD = BC = 6. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCB). Hướng dẫn Gọi x, y, z là kích thước hình hộp chữ nhật ngoại tiếp tứ diện gần đều ABCD, ta có:   x2 + y2 = 16 y2 + z2 = 25 z2 + x2 = 36 ⇔ x =3√6 2; y = √10 2; z =3√10 2⇒ VABCD =15√6 4. 2, suy ra SBCD =15√7 Lại có SBCD =√p(p − 4)(p − 5)(p − 6) với p =4 + 5 + 6 SBCD=3√42 4. Vậy d(A,(BCD)) = 3VABCD 7. Một tứ diện đặc biệt khác ta thường gặp trong các bài toán liên quan đến thể tích của khối chóp, đó là tứ diện vuông hay góc tam diện vuông. Việc nắm được các tính chất của nó sẽ giúp ta tìm ra lời giải nhanh hơn rất nhiều so với việc dựng lại các tính chất từ đầu. Các tính chất của nó được chỉ ra dưới đây. Góc tam diện vuông và tính chất Hình chóp OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc thì OABC được gọi là góc tam diện vuông. Đặt OA = a; OB = b; OC = c, ta lưu ý các tính chất sau của khối tứ diện này. • VOABC =16abc. C • S2ABC = S2OAB + S2OBC + S2OCA. •1h2=1a2+1b2+1c2với h = d(O,(ABC)). c H h • H là hình chiếu của O lên mp(ABC) khi và chỉ khi H là trực tâm tam giác ABC. O A b a B 35 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD), AB = a, AD = 2a. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng Hướng dẫn √2 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Gọi h = SA, d = d(A,(SBD)). Coi a là đơn vị đo của hình. Áp dụng công thức tính chất của góc tam diện vuông A.SBD ta có d2=1h2+1 1 AB2+1 AD2=1h2+ 1 +14⇒1h2= 2 −54=34 Vậy h =2√3 3. Do đó VS.ABCD =13.2.2√3 3=4√3 9a3. Thể tích khối chóp cụt cũng được trình bày dưới đây. Thể tích khối chóp cụt Cho khối chóp cụt A1A2...An.A′1A′2...A′n S (xem định nghĩa trong [2]). Gọi h là đường cao của khối chóp cụt (khoảng cách hai đáy). A′1 S1, S2 lần lượt là diện tích hai đáy. Ta có S2 A′2 V =13h(S1 +√S1S2 + S2)(1.11). h Chú ý: Gọi S là đỉnh hình chóp sinh bởi chóp cụt. Khi đó A1A2...An là ảnh của A′1A′2...A′n qua phép vị tự tâm S tỉ số k =SAi SA′i, ∀i = 1, 2, ..., n. Vậy VS.A′1A′2...A′n=1k3VS.A1A2...An Do đó V = VS.A1A2...An − VS.A′1A′2...A′n, hay A1 A2 S1 1 −1k3)VS.A1A2...An(1.12) 36 ( V = (k3 − 1)VS.A′1A′2...A′n = Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.2.18 Cho hình chóp S.ABCDE có thể tích bằng 12. Gọi A′là điểm thuộc SA sao cho SA′ = 1 3SA. Mặt phẳng qua A′ và song song với mặt phẳng (ABCDE) cắt SB, SC, SD, SE lần lượt tại B′, C′, D′, E′. Tính thể tích khối chóp cụt A′B′C′D′E′.ABCDE. Hướng dẫn Do A′B′C′D′E′là ảnh của ABCDE qua S phép vị tự tâm S tỉ số k =13nên áp dụng công thức (1.12) ta có: ( V = 1 −1k3)VS.ABCDE =2627.12 =1049. A A′ B′ C′ B E′ D′ E C D Ví dụ 1.2.19 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A′B′ và BC. Mặt phẳng (AMN) cắt B′C′tại P. Tính thể tích khối đa diện ABNMB′P theo a. Hướng dẫn Ta thấy AN, BB′, NP đồng quy theo định lý về 3 giao tuyến của 3 mặt phẳng (hoặc đồng quy, hoặc song song). Do đó ABN.MB′P là một hình chóp cụt. Có SABN =12SABC =√38a2. AB =12⇒ SMB′P =14SABN =√3 A′C′ MP B′ a a Có MB′ Theo công thức (1.11) ta có: 32a2. ) A C V =13.1. (√3 8+ √3 32+ √√3 8. √3 32 a3 =7√3 96a3. a B N a 37 Lục Trí Tuyên 1.2.3 Bài tập áp dụng 38 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 1.2.4 Thể tích khối lăng trụ Trong mục 1.2.1 trong Hình 1.2 đã chỉ ra rằng làm việc với khối lăng trụ tương đương với giải bài toán hình chóp, trong đó đáy chóp là một đáy ABCD... của lăng trụ còn đỉnh chóp là một trong các đỉnh A′, B′ hoặc C′ v.v... . Việc chọn đỉnh này phụ thuộc vào thông tin về đường cao của khối lăng trụ. Chẳng hạn, nếu bài cho hình chiếu của A′thì ta làm việc với khối chóp A′.ABCD.... Một khi xác định được đáy và đường cao của khối lăng A trụ, thể tích của nó được tính bởi công thức V = Sđáy.h (1.13) Trong đó Sđáy là diện tích một đáy của khối lăng trụ, h là độ dài đường cao của lăng trụ. Ví dụ 1.2.20 A′ B′ h H B D′ C′ D C Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa mặt phẳng (A′BC) và đáy bằng 60◦. Tính thể tích của lăng trụ. Hướng dẫn Đề bài cho góc giữa (A′BC) và đáy nên ta chỉ cần tính toán trên hình chóp A′.ABC. A′C′ B′ Kẻ AM⊥BC (M là trung điểm BC) thì \ ′MA là góc giữa (A′BC) và đáy, suy ra A \ A′MA = 60◦. Có AA′ = AM tan 60◦ = vậy h =32a. √3 2.√3a =32a, A 60◦ C Áp dụng công thức (1.13) thể tích có √3 4.32a3 =3√3 a aM V = SACB.h = Ví dụ 1.2.21 8a3. B Cho khối lăng trụ ABCD.A′B′C′D′có đáy là hình thoi cạnh a và BAD \ = 60◦. Hình chiếu vuông góc của A′lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Biết góc giữa AA′ và đáy bằng 45◦. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. 39 Lục Trí Tuyên Hướng dẫn Đề bài cho hình chiếu của A′ nên ta chỉ cần A′ xét hình chóp A′.ABCD. Có ABCD là hình thoi đặc biệt, theo mục √3 1.2.1 có Sđáy = 2a2. √3 Tam giác ABD đều cạnh a nên AG = Góc giữa AA′ với đáy bằng A\′AG, 3a. A 45◦ D do đó ⇒ A\′AG = 45◦. Vậy A′G = AG tan 45◦ = √3 3a ⇒ h = √3 3a. 60◦ a G Áp dụng công thức (1.13) ta có V = √3 2a2. √3 3a =12a3. B C Ví dụ 1.2.22 Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′có đáy là hình chữ nhật với AB = 2, BC = 5. Biết AA′ = 3 và góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B), AA′D′D với đáy lần lượt là 45◦ và 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A′B′C′D′. Hướng dẫn Gọi H là hình chiếu của A′lên (ABCD). Từ H kẻ HI, HK lần lượt vuông góc với AB A′ và AD. Thì góc góc giữa hai mặt phẳng AA′B′B), AA′D′D với đáy lần lượt là ( A′IH và A\′KH. Do đó A\′IH = 45◦ \ \ A′KH = 60◦. và Đặt A′H = h, ta có: HI = h cot 45◦ = h; HK = h cot 60◦ =h√3. Do AKHI là hình chữ nhật nên AH2 = HK2 + HI2 =43h2. A Lại có AA′2 = A′H2 +HA2 ⇒ 9 =43h2 +h2 ⇒ h2 =277. Vậy h =3√21 7. 3 I2 60 K ◦ 45◦ D H 5 Vậy, thể tích khối lăng trụ bằng V = 2.5.3√21 7=30√21 7. 40 B C Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Đặc biệt: Tính thể tích lăng trụ xiên theo thiết diện vuông Cho khối lăng trụ A1A2...An.A′1A′2...A′ncó độ dài cạnh bên bằng l. Một mặt phẳng (P) vuông góc với các cạnh bên của lăng trụ cắt khối lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng S. Khi đó, thể tích của khối lăng trụ được tính theo công thức V = S.l (1.14) chứng minh: Giả sử mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên của hình lăng trụ tại B1, B2, ..., Bn. Xét phép tính tiến theo vectơ −−−→ A1A′1 biến khối đa diện A1A2...An.B1B2...Bn thành khối đa diện A′1A′2...A′n.B′1B′2...B′n và hơn nữa các điểm B′1, B′2, ..., B′n nằm ngoài các cạnh A′1 A′2 l A1 A2 B′1 B′2 A′1 A′2 S (P) A1A′1, A2A′2, ..., AnA′n. Theo tính chất phép dời hình, thể tích khối đa diện A1A2...An.B1B2...Bn bằng thể tích khối đa diện A′1A′2...A′n.B′1B′2...B′n. Do đó, thể tích khối đa diện A1A2...An.A′1A′2...A′n bằng thể tích khối đa diện B1B2...Bn.B′1B′2...B′n. Mà khối đa diện B1B2...Bn.B′1B′2...B′nlà lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng S và đường cao bằng l, do đó thể tích được tính bởi V = S.l. Ví dụ 1.2.23: Đề thi THPTQG 2018 l B1 B2 A1 A2 S (P) Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng BB′ bằng √5, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′, CC′lần lượt là 1 và 2. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A′B′C′) là trung điểm M của B′C′ và A′M = tích khối lăng trụ. 41 √15 3. Tính thể Lục Trí Tuyên Hướng dẫn Kẻ AB1, AC1 lần lượt vuông góc với BB′, CC′thì có ngay AA′, BB′, CC′⊥(AB1C1), và do đó MM′⊥(AB1C1) tại H, trong đó M′, H là trung điểm của BC và B1C1. Ta thấy tam giác AB1C1 vuông tại A theo Pi-ta-go nên AH =12B1C1 =√52. Theo hệ thức lượng trong tam giác A B 1 B1 √15 √5 C′ M′ 2 H C C1 vuông MAM′có AM2=1 A′ 3 M 1 AH2−1 ⇒ AM =√5. AM′2=45−35=15 B′ Do đó AA′ =√A′M2 + AM2 =√53+ 5 =2√15 3. Áp dụng công thức (1.14) ta có Vl.tru = SAB1C1.AA′ = 1.2√15 3=2√15 3. Ví dụ 1.2.24 Cho lăng trụ ABC.A′B′C′có AA′ = 4. Hai mặt bên AA′B′B và AA′C′C tạo với nhau một góc 60◦có diện tích lần lượt là 4 và 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Hướng dẫn C Kẻ AB1, AC1 lần lượt vuông góc với BB′, CC′thì mặt phẳng (AB1C1)⊥AA′. Khi đó góc (AB1, AC1) = 60◦. Diện tích SAA′B′B = 4 ⇒ AB1 = 1. Diện tích SAA′C′C = 8 ⇒ AB1 = 2. Vậy SAB1C1 =12AB1.AC1 sin 60◦ =√32. Áp dụng công thức (1.14): √3 A 4 A′ 12 B B1 C′ C1 V = 42 2.4 = 2√3. B′ Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 1.2.5 Bài tập áp dụng 43 Lục Trí Tuyên 1.2.6 Phương pháp tỉ số thể tích Khi tính thể tích của một khối đa diện mà nó chỉ là một phần của khối đa diện ban đầu, rõ ràng ta không thể áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích của chúng do rất khó khăn trong việc xác định đáy và đường cao của nó. Tuy nhiên, khối đa diện ban đầu thì lại rất dễ dàng thực hiện được điều đó. Chính vì vậy, chúng ta cần tìm mối quan hệ (tìm tỉ lệ) của thể tích cần tính (không tính trực tiếp được) với thể tích của khối đa diện ban đầu (dễ tính được ngay). Muốn vậy, học sinh cần ghi nhớ ba dạng chuyển đổi thể tích sẽ được trình bày dưới đây. Dạng 1: Công thức Simson và mở rộng cho chóp tứ giác Công thức Simson S Cho hình chóp tam giác S.ABC. Ba điểm A′, B′, C′ khác A bất kỳ lần lượt thuộc các đường SA, SB, SC. Khi đó ta có A′ C′ VS.ABC=SA′ VS.A′B′C′ SA SB′ SB SC′ SC (1.15) A B′ B C Mở rộng cho chóp có đáy là hình bình hành Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi A′, B′, C′lần lượt là các điểm bất kỳ thuộc các tia SA, SB, SC. Mặt phẳng (A′B′C′) cắt SD tại D′. A′ Đặt a =SA SA′; b =SB SB′; c =SC SC′; d =SD S D′ I C′ Khi đó ta có SD′. A D O B C B′ Hình 1.3: Tỉ số thể tích chóp tứ giác 44 • a + c = b + d •VS.A′B′C′D′ VS.ABCD=a + b + c + d 4abcd (1.16) Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 chứng minh công thức (1.15): Có VSA′B′C′D′ =13SSA′B′.d(C′,(SA′B′)) = 13.12.SA′.SB′. sin A\′SB′.d(C′,(SA′B′)). Mà sin A\′SB′ = sin ASB [, d(C′,(SA′B′)) = d(C′,(SAB)) do A′, B′cùng nằm trong tam giác SAB. Theo tiểu mục tỉ số khoảng cách trong mục 1.2.1, d(C,(SAB)) =SC′ d(C′,(SAB)) SC . Mặt khác VS.ABC =13SSAB.d(C,(SAB)) = 16SA.SB. sin ASB.d [ (C,(SAB)). VSABC=SA′.SB′ d(C,(SAB)) =SA′.SB′.SC′ Vậy VSA′B′C′ SA.SB .d(C′,(SAB)) SA.SB.SC . chứng minh công thức (1.16): Với cách đặt a, b, c, d như bài toán ta có −→SA = a−−→ SA′;−→SB = a−−→ −→SC = a−−→ SC′;−→SD = a−−→ SD′. Hơn nữa, đặt −→SO = k−→SI. Do O là trung điểm AC nên −→SA +−→SC = 2−→SO ⇒ a−−→ SA′ + c−−→ SC′ = 2−→SO = 2k−→SI (xem Hình 1.3). Vậy −→SI =a2k−−→ SA′ +c2k−−→ SC′. Vì A′, I, C′thẳng hàng nên a2k+c2k= 1 ⇒ a + c = 2k. Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được b + d = 2k. Vậy a + c = b + d. Áp dụng công thức (1.15) cho khối chóp S.ABC ta có VS.ABC=SA′ SA .SB′ SB .SC′ SB′; VS.A′B′C′ SC =1abc (1.17). Tương tự cho khối chóp S.ADC ta có VS.A′D′C′ VS.ADC=1adc (1.18). Mà VS.ABC = VS.ADC =12VS.ABCD (1.19). Từ (1.17), (1.18) và (1.19) ta có VS.A′B′C′D′ = ⇒ VS.A′B′C′D′ =b + d 2abcdVS.ABCD. Lại có b + d = a + c nên VS.A′B′C′D′ abc +1adc)VS.ABCD (1 2 VS.ABCD=a + b + c + d 4abcd . Theo cách chứng minh trên, ta hoàn toàn có thể tổng quát bài toán này trong trường hợp đáy là tứ giác thường thay vì hình bình hành với điều kiện biết được tỉ số OA OC và OB Cụ thể, nếu cho a′−→OA + c′−−→OC =−→0 và b′−−→OB + d′−−→OD =−→0 thì aa′ + cc′ OD . a′ + c′=bb′ + dd′ VS.ABCD=aa′ + bb′ + cc′ + dd′ b′ + d′và VS.A′B′C′D′ (a′ + b′ + c′ + d′)abcd. (Chứng minh dành cho bạn đọc.) 45 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.25 Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Hướng dẫn Tam giác ABC đều cạnh a nên OA = suy ra SO =√SA2 − AO2 =√33 √3 3a, S Đặt V = VS.ABCD ⇒ V =13.√34.√33 3a. √11 2a 3a3 = Áp dụng (1.15) có VS.AMN V=AM AB .AN 12a3. M N AC =13. ( Do đó VA.BCNM = 1 −13)V =23V . A O C Vậy VA.BCNM =23.√11 12a3 = Ví dụ 1.2.26 √11 18a3. 1a B Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AI song song với BD cắt SB, SD tại K, L. Tính VS.AKIL VS.ABCD. Hướng dẫn Giả sử mặt phẳng qua AI song song với S BD cắt SB, SD lần lượt tại K, L thì theo quan hệ song song trong không gian có KL ∥ DB. Do đó SB SK =SD SL . Như vậy ta không phải dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng. Đặt a =SA SA; c =SC SI ; b =SB SK ; d =SD I L a = 1; c = 2; b = d. Do a + c = b + d nên b = d =32. SL thì K A D Áp dụng công thức (1.16) ta có VS.ABCD=1 + 2 + 32 +32 B C VS.AKIL 46 4.1.2.32.32=13. Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 2: Dịch chuyển đỉnh hoặc đáy của hình chóp Chuyển thể tích khối chóp S.A1A2...An sang khối chóp S′.A1A2...An mà có SS′ ∥ (A1A2...An) (hình bên) thì ta có V = V′, (1.20) với V = VS.A1A2...An và V′ = VS′.A1A2...An. chứng minh: Vì SS′ ∥ Đáy nên d(S,(Đáy)) = d(S′,(Đáy)). Hai khối chóp chung đáy và chiều cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. Chuyển thể tích khối chóp S.A1A2...An S sang khối chóp S′.A1A2...An mà có SS′ ∩ (A1A2...An) = I (hình bên) thì ta có V′=SI S S′ Đáy S′ V S′I, (1.21) với V = VS.A1A2...An và V′ = VS′.A1A2...An. chứng minh: Vì SS′ ∩ Đáy = I nên d(S,(Đáy)) d(S′,(Đáy)) =SI S′I. Hai khối chóp chung đáy nên tỉ số thể tích bằng tỉ số đường cao. Di chuyển đáy trên cùng một mặt phẳng thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích. Chẳng hạn, khối chóp đỉnh S có đáy thuộc mặt phẳng (P) có diện tích S1. Trên (P) có một đa giác khác có diện tích S2. Khi đó V′=S1 Đáy I Vậy tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy. S V chứng minh: S2(1.22) S1 S2 Do hai đáy cùng nằm trong một mặt phẳng nên chiều cao của hai hình chó bằng nhau. 47 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.27 Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AC, AD, BD, BC. Tính thể tích khối chóp AMNP Q. Hướng dẫn Dễ thấy MNP Q là hình bình hành nên VA.MNP Q = 2VA.MNP = 2VP.AMN . Trong (ACD) có SANM =14SACD nên theo (1.22) ta có VP.AMN =14VP.ACD. Có P B ∩ (ACD) = D nên theo (1.21) có VP.ACD =P D BDVB.ACD =12VB.ACD. Vậy VA.MNP Q = 2.14.12VB.ACD =14V . Ví dụ 1.2.28 S B Q C M N P D Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′có thể tích bằng 6. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CC′. Tính thể tích khối tứ diện B′MCN. Hướng dẫn Trong hình bình hành BCC′B′ có SB′NC =12SB′BC nên theo (1.22) ta có VM.B′NC =12VM.B′BC =12VB′.MBC. Trong tam giác ABC có SMBC =12SABC nên theo (1.22) ta có VB′.MBC =12VB′.ABC. Mà VB′.ABC =13.Sđáy.h =13V . A′ B′ C′ N Vậy VB′MNC =12.1213V =112V =12.A C M B 48 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 3: Tỉ số thể tích cho lăng trụ Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi A1, B1, C1 là ba điểm bất kỳ trên các cạnh AA′, BB′, CC′. Đặt a =A′A1 A′A; b =B′B1 B′B; c =C′C1 A1 A′ B′ C′ Khi đó ta có VA′B′C′.A1B1C1 C′C. C1 VABC.A′B′C′=a + b + c A 3(1.23) Cho khối hộp ABCD.A′B′C′D′. Mặt phẳng (α) bất kỳ cắt các cạnh AA′, BB′, CC′, DD′lần lượt tại A1, B1, C1, D1. Đặt a =A′A1 AA′; b =B′B1 A1 B1 B A′ C D′ D1 B′C′ c =C′C1 CC′; d =D′D1 DD′. Khi đó ta có VABCD.A′B′C′D′=a + c BB′; D VA1B1C1D1.A′B′C′D′ (1.24) 2=b + d 2 A B1 B C C1 chứng minh công thức 1.23: Gọi V là thể tích lăng trụ. Có VA1B1C1.A′B′C′ = VA1.A′B′C′ + VA1.B′C′C1 +VA1.B1B′C1. (1.25). Theo (1.21), VA1.A′B′C′ =A1A′ AA′VA.A′B′C′ =a3V. (1.26). Có A′A1 ∥ (B′C′C1) nên theo (1.20), VA1.B′C′C1 = VA′.B′C′C1 = VC1.A′B′C′. C′ A A1 A′ B′ B1 C1 C B Theo (1.21), VC1.A′B′C′ =C1C′ CC′VC.A′B′C′ =c3V. (1.27). Có A′A1 ∥ (B′B1C1) nên theo (1.20), VA1.B′B1C1 = VA′.B′B1C1 = VC1.A′B′B1. Có C′C1 ∥ (A′B′C1) nên theo (1.20), VC1.A′B′B1 = VC′.A′B′B1 = VB1.A′B′C′. 49 Lục Trí Tuyên Theo (1.21), VB1.A′B′C′ =B1B′ BB′VB.A′B′C′ =b3V. (1.28). Từ (1.25), (1.26), (1.27) và (1.28) ta có VA1B1C1.A′B′C′ =a + b + c 3V . chứng minh công thức 1.24: A′ D′ Gọi V là thể tích lăng trụ, O, O′lần lượt là tâm các O′ đáy ABCD và A′B′C′D′. D1 Theo tính chất về quan hệ song song trong không A1 gian, A1B1C1D1 là hình bình hành và gọi I là tâm của nó. Hiển nhiên I ∈ OO′. Theo tính chất đường trung bình của hình thang B′C′ I D ta có A′A1 + C′C1 = 2O′I; B′B1 + D′D1 = 2O′I. C1 A Vậy A′A1+C′C1 = B′B1+D′D1, do đó a+c = b+d. B1 O Có VA1B1C1D1.A′B′C′D′ = VA1B1C1.A′B′C′ + VA1D1C1.A′D′C′. B C Áp dụng công thức (1.23) cho lăng trụ ABC.A′B′C′ta có VA1B1C1.A′B′C′ VABC.A′B′C′=a + b + c Áp dụng công thức (1.23) cho lăng trụ ADC.A′D′C′ta có VA1D1C1.A′D′C′ 3. VADC.A′D′C′=a + d + c Mà VABC.A′B′C′ = VADC.A′D′C′ =12V và a + c = b + d. Vậy ta có 6V +a + d + c 6V =2(a + c) + (b + d) 6V =a + c 3. VA1B1C1D1.A′B′C′D′ =a + b + c Ví dụ 1.2.29 2V =b + d 2V . Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có cạnh bằng a. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA′, BB′, CC′, DD′lần lượt tại M, N, P, Q biết AM =13a, CP =25a. Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNP Q. Hướng dẫn Đặt a =AM AA′; c =CP CC′, ta có a =13và c =25. D C A B Áp dụng công thức (1.24), ta có VABCD.MNP Q VABCD.A′B′C′D′=a + c 2=1130. Q M D ′ N P C′ Vậy VABCD.MNP Q =1130a3. 50 A′B′ Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 1.2.7 Bài tập áp dụng 51 Lục Trí Tuyên 1.2.8 Bài toán cực trị và bài toán thực tế Bài tập nâng cao về thể tích của khối chóp hay khối lăng trụ thường tập trung vào các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của nó hoặc các bài toán tìm phương án tối ưu trong thực tế. Để học sinh hình dung rõ hơn các bài toán dạng này, cuốn sách đưa ra ba dạng toán thường gặp dưới đây. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của diện tích hay thể tích mà quy về hàm một ẩn Quy tắc chung: • Tính đại lượng cần đánh giá (thể tích hoặc diện tích) theo các biến trong công thức của nó (có thể 2 hoặc 3 ẩn). • Tìm miền xác định và mối ràng buộc giữa các ẩn trong công thức đó. • Tính các ẩn theo một ẩn thành một hàm số một ẩn. • Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số một ẩn trên miền xác định. Ví dụ 1.2.30 Ông Kiệm muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dai gấp 2 chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 500.000 đồng/m2. Hãy giúp ông Kiệm xây bể với chi phí thấp nhất và chi phí đó bằng bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi x; 2x là các kích thước đáy và h là chiều cao của hình hộp. Ta có Sxây = Sđáy + Sxq = 2x2 + 6xh. Do thể tích bằng 288 nên 2x2.h = 288 ⇒ h =144 Vậy Sxây = 2x2 +6.144 x= f(x), x > 0. x2. Khảo sát hàm f(x) trên (0; +∞) hoặc dùng máy tính cầm tay chức năng TABLE hoặc đánh giá bất đẳng thức Cô-Si ta tìm được giá trị nhỏ nhất của f(x). Chẳng hạn, áp dụng BĐT Cô-Si cho 3 số dương, ta có: 2x2 +6.144 x= 2x2 +3.144 √ 2x2.3.144 x= 3√32.32.1442. x+3.144 x≥ 33 x.3.144 Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là: 3√32.32.1442 × 0, 5 = 108 triệu đồng. 52 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.2.31 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng 4. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích V của khối chóp. Hướng dẫn Gọi x là cạnh đáy và h là chiều cao, ta có V =13x2h. Theo (1.2) có d(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) ⇒ d(O,(SCD)) = 2. Áp dụng tính chất khoảng cách trong góc tam diện vuông O.SCD, ta có 4=1 Khảo sát hàm số f(h) trên (0; +∞) ta được Vmax = f(2√3) = 16√3. S 1 OC2+1 OD2+1 OS2 h A ⇒14=2x2+2x2+1h2, (OC = OD =x√2) ⇒ x2 =16h2 h2 − 4. Vậy V = f(h) = 163h3 h2 − 4với h > 2. Ví dụ 1.2.32 D O x B C Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là V . Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi x là độ dài cạnh đáy của lăng trụ và h là chiều cao thì V = √3 4x2h ⇒ h =4V √3x2. A′ C′ Diện tích toàn phần của lăng trụ S = √3 2x2 + 3xh = √3 2x2 +2√3V √3 2x2 +4√3V x B′ = x+2√3V x. h V Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số dương ta có √3 2x2 +2√3V x+2√3V x> 3√36√3V 2. A C √3 2x2 =2√3V Dấu ”=” ⇔ x⇔ x =√34V . x B Vậy diện tích toàn phần của lăng trụ nhỏ nhất khi cạnh đáy x =√34V . 53 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.33: Tứ diện có 5 cạnh bằng nhau và một cạnh thay đổi Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = BC = a và AC có độ dài thay đổi. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp. Hướng dẫn Cách 1: Hình chóp S.ABC có cạnh bên bằng nhau nên chân đường cao trùng với tâm ngoại tiếp O của đáy. Đặt BCA \ = α,(0 < α <π2) thì theo định lý hàm số sin có Rd =a S β a h h = √ SA2 − R2d = √ 2 sin α. Vậy 1 −1 4 sin2 α.a. A C Oα Có ABC \= 180◦ − 2α ⇒ SABC =12a2sin 2α. Rd Vậy V =16√1 −1 4 sin2 αsin 2α.a3 B =16√4 sin2 α − 1 cos α.a3 =16√3 − 4 cos2 α. cos α.a3. Đặt cos α = t, (0 < t < 1) ⇒ V =16√3t2 − 4t4.a3. Xét f(t) = 3t2 − 4t4. Có f′(t) = 6t − 16t3 = 0 ⇔ t = √3 (0;1)f(t) = 916. 8∈ (0; 1). Khi đó max Vậy GTLN của V bằng 16.34.a3 =18a3. Cách 2: Đặt ASC [ = β, 0 < β < π. Áp dụng công thức tính thể tích (1.8) ta có V =16.a.a.a.√1 − cos2 60◦ − cos2 60◦ − cos2 β + 2 cos 60◦. cos 60◦. cos β =16√12− cos2 β +12cos β.a3 Đặt t = cos β, (−1 < t < 1) thì dễ thấy GTLN của f(t) = −t2 +12t +12bằng 916đạt được tại t =14. Khi đó GTLN của V là V =16.34.a3 =a38. Cách 3: Đánh giá Áp dụng công thức (1.5) ta có V =2.SSAB.SSBC. sin ((SAB),(SBC)) 3SB Mà sin ((SAB),(SBC)) ≤ 1, đẳng thức đạt được khi (SAB)⊥(SBC). Vậy GTLN của V bằng 23.√34.√34.a3 =a38. 54 Cách 4: Đánh giá Gọi M là trung điểm của SB. Do các tam giác SAB, SBC đều nên AM, CM⊥SB hay SB⊥(AMC). Vậy VSABC =13SAMC.SB. a √3 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 S Mà AM = CM = 2a ⇒ SAMC =38a2. sin AMC. \ M Do đó VSABC =18a3. sin AMC \ ≤18a3. Đẳng thức đạt tại AMC \ = 90◦ nên GTLN của V là V =a38. Khi đó AC =√62a. Cách 5: Đánh giá Ta có V =13.SSAB.d(C,(SAB)) =√3 A B C 12.a2.d(C,(SAB)) với d(C,(SAB)) là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Vậy V lớn nhất khi d(C,(SAB)) lớn nhất. Mà d(C,(SAB)) ≤ d(C, SB), đẳng thức xảy ra khi (SBC)⊥(SAB), khi đó d(C,(SAB)) = √3 2a (do tam giác SBC đều). √3 √3 Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là V = Ví dụ 1.2.34 12. 2.a3 =a38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, các cạnh bên SA = SB = SC = a và cạnh SD thay đổi. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD. Hướng dẫn Xét tứ diện SABC có 5 cạnh bằng nhau và chỉ có AC thay đổi. Áp dụng kết quả của Ví dụ 1.2.33 ta có GTLN của VSABC là a38. Vậy GTLN của VS.ABCD là 2VSABC =a34.a A S B D C 55 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.35 Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 người ta cắt bỏ 4 tam giác cân bằng nhau (như hình vẽ) rồi gấp lại để được một hình chóp tứ giác đều. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp đó. D F A Hướng dẫn E G C H B E A ≡ B ≡ C ≡ D H G F Gọi N là trung điểm của CD, đặt x = EN, (0 < x < 1) ⇒ CE =√x2 + 1 và EG = 2−2x. Hình vuông EF GH có EG = 2 − 2x ⇒ SEF GH =12EG2 = 2(1 − x)2. Hình chóp có S ≡ A ≡ B ≡ C ≡ D là đỉnh nên chiều cao CO =√CE2 − EO2 =√x2 + 1 − (1 − x)2 =√2x. Vậy VS.EF GH =13.2(1 − x)2.√2x =2√2 3.(1 − x)2.√x. D 2 F N x E O G C H A ≡ B ≡ C ≡ D H G A B E O F Xét hàm f(x) = (1 − x)2.√x, (0 < x < 1). Đặt t =√x, (0 < t < 1) thì f(x) = g(t) = (1 − t2)2.t = t5 − 2t3 + t. Ta có g′(t) = 5t4 − 6t2 + 1 = 0 ⇔ t =1√5∈ (0; 1). Dễ dàng kiểm tra được max (0;1)g(t) = g (1√5)=16√5 125. Khi đó, GTLN của VS.ABCD bằng 32√10 375. 56 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 2: Áp dụng bất đẳng thức nhiều biến để tìm GTLN hay GTNN Quy tắc chung: • Tính đại lượng cần đánh giá theo các biến trong công thức của nó. • Áp dụng các bất đẳng thức thường gặp như a + b ≥ 2√ab, ∀a, b > 0; a + b + c ≥ 3√3abc, ∀a, b, c > 0; (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2), ∀a, b ∈ R Đẳng thức đặt tại a = b = c. √x2 + a2 +√y2 + b2 ≥√(x + y)2 + (a + b)2, ∀a, b, x, y ∈ R (1.29) Đẳng thức đặt tại (x; a) = k(y; b), k > 0. x2 a+y2b+z2c≥(x + y + z)2 a + b + c, ∀x, y, z ∈ R, a, b > 0. (1.30) Đẳng thức đặt tại xa=yb=zc. • Sau khi áp dụng bất đẳng thức có thể đưa về hàm một biến như Dạng 1. Ví dụ 1.2.36 Cho hình chóp S.ABC có SA = x, BC = y, AB = AC = SB = SC = 1. Khi thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất thì tổng x + y bằng bao nhiêu? Hướng dẫn Dễ chứng minh được SA⊥(MBC) và ∆MBC cân tại M. S Ta có MN2 = MB2 −BC2 4 = AB2 −SA2 4−BC2 4= 1 −x2 + y2 4. Do đó V = VS.ABC =16xy√1 −x2 + y2 M Vì x2 + y2 > 2xy nên V 616xy√1 −xy2=√2 12 √ 4. (xy)2.(2 − xy). A C Dấu bằng xảy ra khi x = y.. Đặt t = xy và xét f(t) = t2(2 − t), f(t) đạt GTLN trên (0; 2) khi t =43, B suy ra x = y =2√3⇒ x + y =4√3. N 57 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.37 Cho hai đường thẳng Au, Bv chéo nhau và vuông góc với nhau có AB = a là đoạn vuông góc chung. Hai điểm M, N lần lượt chuyển động trên Au, Bv sao cho MN = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABMN theo a. Hướng dẫn Đặt AM = x, BN = y (x, y > 0), áp dụng (1.4) có u M x VABCD =16AM.BN.AB. sin 90◦ =16axy. A Lại có 4a2 = MN2 =(−−→MA +−−→AB +−−→BN)2 a 2a = x2 + y2 + a2 + 2−−→MA−−→AB + 2−−→AB−−→BN + 2−−→BN−−→MA, B y v Do MA, AB, BN đôi một vuông góc nên N 4a2 = x2 + y2 + a2 ⇒ x2 + y2 = 3a2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có xy ≤x2 + y2 √3 2, do đó VABCD ≤14a3. Đẳng thức đặt tại x = y = Ví dụ 1.2.38 2a. Vậy GTLN của thể tích tứ diện là 14a3. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′có AB = 6, AC = 8, BC = 10, thể tích khối chóp C′.ABB′A bằng 80. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác A′BC′. Tìm vị trí của điểm M sao cho tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp M.ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn Tam giác ABC vuông tại A nên SABC = 24. Có VC′.ABB′A = 2VC′.ABB′ = 2VC.ABB′ =23Vlăng trụ ⇒ Vlăng trụ = 120. Vậy chiều cao của lăng trụ MH = 5. Đặt x = HD, y = HE, z = HF với D, E, F là hình chiếu của H lên BC, CA, AB. A′C′ M B′ 5 E =12(MD.BC + ME.CA + MF.AB)ABC Xét T = SMAB + SMBC + SMCA z F H x y D = 5√25 + x2 + 4√25 + y2 + 3√25 + z2 =√625 + 25x2 +√400 + 16y2 +√225 + 9z2. Lại có SABC = SHBC + SHCA + SHAB ⇒ 5x + 4y + 3z = 24. √ Áp dụng (1.29) cho bộ 3 số, ta có T ≥ (15 + 20 + 25)2 + (5x + 4y + 3z)2 = 12√41. Dấu ”=” khi 5x25=4y20=3z15⇔ x = y = z, hay M là tâm đường tròn nội tiếp ∆A′B′C′. 58 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 3: Kỹ thuật trải hình tìm phương án tối ưu Bài toán: Tìm quãng đường đi ngắn nhất trong không gian. Quy tắc chung: • Trải các mặt phẳng chứa các đoạn đường ra trên cùng một mặt phẳng. • Quãng đường đi trong không gian sau đó là một đường gấp khúc mà mỗi đoạn là các đoạn tương ứng trong các mặt phẳng khác nhau trong không gian. • Tìm đường đi ngắn nhất của đường gấp khúc này trong mặt phẳng (thường là đoạn thẳng khi các đường gấp khúc thẳng hàng). Ví dụ 1.2.39 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = a và SAB [ =11π 24. Gọi Q là trung điểm cạnh SA. Trên các cạnh SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm M, N, P không trùng với các đỉnh hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng AM + MN + NP + P Q theo a. Hướng dẫn Ta trải các mặt bên của hình chóp ra mặt phẳng: Suy ra AM + MN + NP + P Q ngắn nhất khi A; M; N; Q thẳng hàng. Xét ∆ASQ có   SA = 1 SQ =a2 . ASQ [ =π12· 4 = π3 √ Suy ra AQ = AS2 + SQ2 − 2SA · SQ cos ASQ [ =a√3 2. S A′ S Q Q A D O B C B D C A 59 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.2.40 Thị xã Từ Sơn xây dựng một ngọn tháp đèn lộng lẫy hình chóp tứ giác đều A.ABCD có cạnh bên SA = 12 m và ASB [ = 30◦. Người ta cần mắc một đường dây điện từ điểm A đến trung điểm K của SA gồm 4 đoạn thẳng AE, EF, F H, HK như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí người ta cần thiết kế được chiều dài con đường từ A đến K là ngắn nhất. Tính K F D S H A tỉ số k =HF + HK EA + EF. Hướng dẫn Giả sử trải hình chóp trên một đường tròn tâm S, bán kính SA như hình vẽ bên. Để nối từ A đến K là ngắn nhất thì AK là một đường thẳng. Xét tam giác cân ∆SAA′, thấy rằng F là trọng tâm tam giác. Nên AF FK=12⇒HF + HK EA + EF=12. Ví dụ 1.2.41 A′ D E C B S K H F E B C A Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′cạnh a. Một con kiến bò từ trung điểm M của cạnh AB đến một điểm N bất kỳ trên cạnh BC, sau đó đi tiếp đến một điểm P trên cạnh CC′rồi về D′. Tính quãng đường ngắn nhất của con kiến. Hướng dẫn Trải hình như hình bên. Ta thấy ngay quãng đường ngắn nhất của con kiến là MD′ =√(1, 5a)2 + (2a)2 ′ C D ′ A′B′ D P D D′ C P N D C′ A B M 60 =52a.A BC N B′ M Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 1.2.9 Bài tập áp dụng 61 Lục Trí Tuyên 1.3 Khoảng cách và góc 1.3.1 Khoảng cách Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Giả sử cần tính khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆, lưu ý các cách sau • Lấy B, C ∈ ∆ và giải tam giác ABC. • Chuyển điểm A → A1 với AA1 ∥ ∆: d(A, ∆) = d(A1, ∆) • Chuyển điểm A → A2 với AA2 ∩ ∆ = I: d(A, ∆) = IA IA2d(A2, ∆) Ví dụ 1.3.1 A A2 B I A1 d(A, ∆) H ∆ C Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA = a và vuông góc với đáy. Gọi I, M lần lượt là trung điểm của SC và AB. Tính khoảng cách từ I đến CM. Hướng dẫn Coi a là đơn vị đo độ dài. Có d(I, MC) = IC SC d(S, MC) = 12d(S, MC). Có MC =√BC2 + BM2 =√52, SM =√SA2 + AM2 =√52. SC =√SA2 + AC2 =√3. Có SSMC = S vuutp(p −√52)2(p −√3) =√64, với p =SM + MC + SC √5 + √3 a 2= Vậy d(S, MC) = 2SSMC MC = √30 5 2. A I D ⇒ d(I, MC) = √30 10. √30 M Vậy d(I, MC) = 62 10a. B C a Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong Mục 1.2.1, cuốn sách đã giới thiệu phương pháp xác định khoảng cách cơ bản từ một điểm đến một mặt phẳng: • Từ chân đường cao đến mặt xiên. • Dịch chuyển khoảng cách đến một điểm khác thuận lợi hơn. Ngoài ra, ta cần lưu ý thêm một số phương pháp sau: Khoảng cách d(A,(P)) mà A ∈ (Q) với (Q)⊥(P): - Xác định giao tuyến ∆ = (P) ∩ (Q). - Kẻ AH⊥∆ ⇒ d(A,(P)) = AH. (P) ∆ (Q) Dùng thể tích của tứ diện: - Chuyển d(A,(P)) = d(A,(MNP)), với M, N, P ∈ (P) không thẳng hàng. - Khi đó d(A,(P)) = 3VAMNP SMNP(1.31) A P H Ví dụ 1.3.2 A M N (P) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a√3 và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng (SAC). Hướng dẫn Áp dụng công thức (1.2) có S d(M,(SAC)) =GS d(G,(SAC)) MS =23. ⇒ d(G,(SAC)) = 23d(M,(SAC)). Do M ∈ (ABCD) và (ABCD)⊥(SAC) nên A d(M,(SAC)) = d(M, AC) = HM. Mà HM =12DO =√24a. Vậy d(G,(SAC)) = 23MH =√26a. G M H O D B C 63 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.3: Đề thi THPTQG 2018 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Hướng dẫn Có A là chân đường cao, (SBC) ∩ (ABC) = BC và AB⊥BC. Kẻ AH⊥SB thì d(A,(SBC)) = AH. Có AH2=1 S 2a H 1 AB2+1 AS2 =1a2+14a2=54a2 A C √5=2√5 a ⇒ AH =2a 5a. Vậy d(A,(SBC)) = 2√5 5a. Ví dụ 1.3.4 B Cho hình chóp SABC có các mặt phẳng(ABC) và (SBC) là những tam giác đều cạnh a và góc giữa chúng bằng 60◦. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). Hướng dẫn S Gọi M là trung điểm của BC và H là chân đường cao hạ từ S thì H ∈ AM và HMS \ = 60◦. √3 Có SM = HM = 2a và HMS \ = 60◦ nên H là a trung điểm của AM ⇒ HM = HA = √3 4a. SH = HM tan 60◦ =34a ⇒ VSABC =√3 SA =√SH2 + HA2 =√32a 2=4 + √3 16a3. A H60◦ a C M ⇒ p =SA + AC + CS 4a. B vuutp(p − a)2(p −a√3 ) √39 SSAC=3√13 13a. 64 SSAC = 2 16a2. Vậy d(B,(SAC)) = 3VSABC = Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.3.5 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC và đáy bằng 45◦. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Hướng dẫn Có (SC,(ABCD)) = 45◦ ⇒ SCA [ = 45◦ ⇒ SA = AC. tan 45◦ =√5a. S Có A.SBD là góc tam diện vuông tại A nên ta có d2(A,(SBD)) =1 1 AB2+1 AD2+1 (1 AS2 2a = 1+14+15)1a2 A a D =29 20a2 Vậy d(A,(SBD)) = 2√145 29a. Ví dụ 1.3.6 45◦ B C Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Hướng dẫn ABCD là hình vuông cạnh 1 nên OB = OC = √2 2. S ∆SAC cân tại S có cạnh bên bằng 1 và AC =√2 nên ∆SAC vuông tại S và OS =12AC =√22. O.SBC là góc tam diện vuông tại O nên d2(O,(SBC)) =1 1 A B 1 OB2+1 OC2+1 OS2 = 2 + 2 + 2 = 6 O D 1 C Vậy d(O,(SBC)) = 1√6=√66. 65 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.7 Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ với AB = a, BC = 2a, ABC \= 60◦. Hình chiếu vuông góc của A′lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Góc giữa AA′ và (ABC) bằng 60◦. Tính khoảng cách từ G đến (A′BC). Hướng dẫn ∆ABC có AB = a, BC = 2a và ABC \= 60◦ nên vuông tại A. Góc (AA′,(ABC)) = A\′AG ⇒ A\′AG = 60◦. Có AG =23AM =2312BC =23a ⇒ A′G = AG tan 60◦ =2√3 3a. Kẻ AH⊥BC ⇒ AH = 1.2.1). √3 2a (theo mục A′ Kẻ GI⊥BC ⇒ GI =13AH =√36a. Có 1 d2(G,(A′BC)) =1 GA′2+1GI2 60◦ A =34a2+12a2=51 4a2. √51=2√51 a ◦ Vậy d(G,(A′BC)) = 2a C G M HI 51a. Ví dụ 1.3.8 60 2a B Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′có đáy là tam giác cân tại A, AB = AC = 2a, CAB \= 120◦. Góc giữa (A′BC) và (ABC) bằng 45◦. Tính d(B′,(A′BC)). Hướng dẫn Gọi M là trung điểm của BC thì AM =12AB = a và A\′MA = 45◦ ⇒ AA′ = AM tan 45◦ = a. Có B′A ∩ (A′BC) = I và IB′ = IA ⇒ d(B′,(A′BC)) = d(A,(A′BC)). Mà 1 d2(A,(A′BC)) =1 AM2+1 B′ A′ A2a I C′ AA′2=2a2 ⇒ d(A,(A′BC)) = √2 2a. 2a45 120 ◦ ◦ C Vậy d(B′,(A′BC)) = 66 √2 2a.B M Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 3: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a, b, ký hiệu là d(a, b) được thực hiện theo trình tự sau: Kiểm tra trường hợp đặc biệt: a⊥(P) mà (P) ⊃ b a B A b (P) Phương pháp tổng quát: a b a′ (P) M d(a, b) • Gọi A = a ∩ (P). • Kẻ AB⊥b (B ∈ b) ⇒ d(a, b) = AB. Ví dụ 1.3.9 • Dựng mp(P) ⊃ b và (P) ∥ a (bằng cách từ 1 điểm thuộc b kẻ song song với a). • d(a, b) = d(M,(P)) với M ∈ a bất kỳ. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng với giao điểm H của CM, BN và SH = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC, BN. Hướng dẫn Có CM⊥BN theo mục 1.2.1, mà BN⊥SH do SH⊥(ABCD), vậy BN⊥(HCS) với (SHC) ⊃ SC. Kẻ HK⊥SC ⇒ d(BN, SC) = HK (trường hợp đặc biệt xảy ra). ∆MBC có CH.CM = CB2trong đó CM =√CB2 + BM2 =√52a, do đó CH =2√5a. Có 1 HK2=1 HC2+1 HS2=94a2, M S a K A H a N D ⇒ HK =23a, hay d(SC, BN) = 23a. B C 67 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.10 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a, SB hợp với đáy góc 30◦. Tính khoảng cách giữa AB, SC. Hướng dẫn Có góc (SB,(ABC)) = SBA [ ⇒ SBA [ = 30◦ ⇒ SA = AB tan 30◦ = Kẻ CE ∥ BA và CE = AB thì (SCE) ⊃ SC và (SCE) ∥ AB ⇒ d(AB, SC) = d(A,(SCE)). √3 3a. S E Có AE⊥CE (do ABCE là hình chữ nhật) ⇒1 d2(A,(SCE)) =1 AE2+1 ⇒ d(A,(SCE)) = a2. Vậy d(AB, SC) = a2. AS2=4a2. A 30◦ a a B C Ví dụ 1.3.11: Đề thi THPTQG 2018 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. Hướng dẫn Kẻ BE ∥ AC cắt đường AD tại E thì (SBE) ⊃ SB và song song với AC. Vậy d(SB, AC) = d(A,(SBE)). Vì A.SBE là góc tam diện vuông nên 1 d2(A,(SBE)) =1 E S 2a a A D AE2+1 AB2+ 1 AS2=94a2. a (lưu ý AE = BC = 2a vì ACBE là hình bình hành). Vậy d(A,(SBE)) = 23a, hay d(SB, AC) = 23a. 68 2a B C Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.3.12: Đề thi THPTQG 2018 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD. Hướng dẫn Gọi O = AC ∩ BD và kẻ OM ∥ SC (M là trung điểm SA) thì (MBD) ⊃ BD và song song với SC. Vậy d(SC, BD) = d(C,(MBD)). Mà O là trung điểm AC, O ∈ (MSB) nên d(C,(MBD)) = d(A,(MBD)). Có A.MBD là góc tam diện vuông và AM =a2nên ta có d2(A,(MBD)) =1 Vậy d(SC, DB) = 2√21 21a. S M a A D 1 AB2+1 AD2+1 =21 4a2 ⇒ d(A,(MBD)) = 2√21 AM2 a 2a O 21a. Ví dụ 1.3.13: Đề thi THPTQG 2018 B C Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, AO = OB = a và OC = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC. Hướng dẫn Từ C kẻ đường song song với OM cắt đường OB tại E thì d(AC, OM) = d(O,(ACE)) do (ACE) ∥ OM và (ACE) ⊃ AC. Có MB = MC ⇒ OE = OB ⇒ OE = a. Có O.ACE là góc tam diện vuông nên 1 d2(O,(ACE)) =1 OC2+1 OE2+1 OA2=94a2 ⇒ d(O,(ACE)) = 23a. Vậy d(AC, OM) = 23a. a E 2a C A a O M a B 69 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.14 Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và B′D. Hướng dẫn Từ B′ kẻ đường song song với A′B cắt đường AB tại E thì BE = a (do A′B′EB là hình bình hành). Gọi M = DE ∩ BC thì M là trung điểm của BC (do B là trung điểm AE), vậy BM =a2. Vì (B′DE) ∥ A′B và (B′DE) ⊃ B′D nên d(A′B, B′D) = d(B,(B′DE)) = d(B,(B′ME)). Có B.B′ME là tứ diện vuông nên A′ B′ C′ D′ a a A B a E 2 M D C d2(B,(B′ME)) =1 BM2+1 BB′2=6a2 ⇒ d(B,(B′ME)) =√66a = d(A′B, B′D). 1 Ví dụ 1.3.15 BE2+1 Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′có đáy là tam giác vuông tại A và AB = AC = a√2. Góc giữa A′B và mặt phẳng (A′B′C′) bằng 60◦, M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AM và B′C. Hướng dẫn Có AM⊥BC (∆ cân), mà AM⊥BB′ nên AM⊥(BB′C′C). Kẻ MN⊥B′C, vì (BB′C′C) ⊃ B′C nên d(AM, B′C) = MN =12BH với BH⊥B′C. Góc (A′B,(A′B′C′)) = 60◦ ⇒ A\′BA = 60◦ ⇒ BB′ = AA′ = AB tan 60◦ = a√6. ∆B′BC có 1 BH2=1 BC2+1 BB′2=5 A′C′ B′ 6HN a√ ⇒ BH =2√15 5a ⇒ MN = √15 √15 5a. 12a2 A a 60◦ C M 2a 70 Vậy d(AM, B′C) = 5a. B Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 1.3.2 Bài tập áp dụng 71 Lục Trí Tuyên 1.3.3 Góc Trong mục 1.2.1 cuốn sách đã giới định nghĩa và cách tính cơ bản về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng như góc giữa hai mặt phẳng. Mục này sẽ trình bày sâu hơn và các phương pháp đa dạng hơn để tích các góc trong không gian. Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng Theo định nghĩa trong SGK Hình học 11 [2], góc giữa hai đường phân biệt a và b, ký hiệu là (a, b) là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a′ và b′lần lượt cùng phương với a và b. Nghĩa là: a (a, b) = (a, b′) = (a′, b) = (a′, b′) = φ. Có hai cách tính: ⃗a.⃗b a′ • cos φ = cos(⃗a,⃗b) = |⃗a| . ⃗b với ⃗a,⃗b là các φ b′ vectơ chỉ phương của a, b. b • Khi hai đường cắt nhau, gắn φ trong tam giác để giải tam giác. Ví dụ 1.3.16 Cho tứ diện ABCD có AB = 4, CD = 6, M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD và MN = 4. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Hướng dẫn Cách 1: Dùng định nghĩa. Gọi P là trung điểm của AD thì NP ∥ AB, PM ∥ CD. Vậy d(AB, CD) = d(P N, PM). Có P N =12AB = 2, PM =12CD = 3 (tính chất đường trung bình trong tam giác). D 2 P N Áp dụng định lý hàm số cos trong ∆MNP, 4 3 ta có cos MP N \ =P N2 + PM2 − MN2 2P N.PM= −14. Vậy cos(AB, CD) = 14. Cách 2: Dùng vectơ. A B M C Ta có M là trung điểm AC nên −→OA +−−→OC = 2−−→OM, ∀O. 72 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Lại có N là trung điểm BD nên −−→OB +−−→OD = 2−−→ON, ∀O. Trừ vế-vế của hai đẳng thức trên ta được 2−−→MN =−−→AB +−−→CD ⇒ 4MN2 = AB2 + CD2 + 2−−→AB−−→CD ⇒ 64 = 16 + 36 + 2.4.6. cos(−−→AB, −−→CD) ⇒ cos(−−→AB, −−→CD) = 14. Vậy cos(AB, CD) = 14. Ví dụ 1.3.17 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có AB = a và AA′ =√2a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′. Hướng dẫn Cách 1: Dùng định nghĩa. Gọi I = AB′ ∩ A′B ⇒ IB = IA′; IA = IB′. Gọi M là trung điểm A′C′ ⇒ IM ∥ BC′. Vậy (AB′, BC′) = (IB′, IM). Có AB′ =√AA′2 + A′B′2 =√3a và BC′ =√BB′2 + B′C′2 =√3a AC 2B I M a√ do đó IM = IB′ = √3 √3 2a. C′ Mà B′M = 2a (do ∆A′B′C′ đều có cạnh A′ bằng a) nên ∆IMB′ đều cạnh √3 2a. a Vậy MIB \′ = 60◦, hay (AB′, BC′) = 60◦. Cách 2: Dùng vectơ. Coi a là đơn vị đo của hình vẽ, ta chỉ làm việc với hệ số độ dài. Có−−→ B′A =−−→ B′A′ +−−→ B′B,−−→ BC′ =−−→ B′C′ −−−→ B′B. Nhân vế-vế của hai đẳng thức trên với lưu ý B′A′.−−→ B′ AC B √2 −−→ B′B =−−→ B′C′.−−→ B′B = 0,−−→ B′A′.−−→ ta được−−→ B′A.−−→ BC′ =12− 2 = −32. Mà AB′ = BC′ =√3 nên B′A.−−→ B′C′ =12 A′ C′ cos (−−→ −−→ BC′ B′A,−−→ BC′) = AB′.BC′= −12. 1 1 Vậy cos(AB′, BC′) = 12 ⇒ (AB′, BC′) = 60◦. B′ 73 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.18 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD. Hướng dẫn Cách 1: Dùng vectơ. Gọi I là trung điểm của SA và O là tâm đáy, ta có OI là đường trung bình tam giác DBE ⇒−−→EB = 2−→IO. Có M, N là trung điểm AE, CB nên tương tự Ví dụ 1.3.16 ta có 2−−→MN =−−→EB +−→AC = 2−→IO +−→AC. Vậy −−→BD.2−−→MN =−−→BD.2−→IO +−−→BD.−→AC. Mặt khác, theo tính chất chóp tứ giác đều có BD⊥(SAC) ⇒−−→BD.−→AC =−−→BD.−→IO = 0. E I A M S O D Vậy −−→BD.−−→MN = 0 ⇒ (MN, BD) = 90◦. Cách 2: Dùng định nghĩa. Gọi I là trung điểm của SA thì I cũng là E trung điểm của DE nên ADSE là hình bình hành, suy ra BCSE cũng là hình bình hành. BC N S Có MI là đường trung bình của tam giác ASE ⇒ MI ∥ SE và MI =12SE. Có NC ⊂ BC và NC =12BC. Do đó, MNCI là hình bình hành, suy ra MN ∥ IC. Vậy (MN, BD) = (IC, BD). Mặt khác, BD⊥(SAC) và IC ⊂ (SAC) M I A O D nên BD⊥IC. Vậy (MN, BD) = 90◦. BC N Ta thấy rằng, cách tính góc giữa hai đường thẳng sử dụng định nghĩa luôn đi tìm những đường thẳng song song với ít nhất một trong hai đường thẳng đã cho dựa vào nguồn gốc sinh ra của nó để đưa về hai đường cắt nhau hoặc ở vị trí ”thuận tiện hơn” để tính toán. Còn đối với phương pháp dùng vectơ, ưu điểm là không cần vẽ thêm đường phụ và tính toán ngắn gọn. Tuy nhiên, cách này đòi hỏi học sinh nắm chắc các biến đổi vectơ. 74 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Theo định nghĩa, góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α), ký hiệu là (a,(α)) là góc φ = (a, a′) với a′là hình chiếu của a lên (α). lưu ý 4 cách tính sau: Cách1: Dựng góc theo định nghĩa • Dựng hình chiếu a′của a lên (α). • Tính góc giữa a và a′. a Cách 2: Chuyển thành khoảng cách • Xác định giao điểm I = a ∩ (α). • Chọn điểm M ∈ a bất kỳ. • Khi đó sin φ =d(M,(α)) MI. φ M a a′ (α) I φ (α) d(M,(α)) Cách 3: Tính theo phương pháp tuyến • Xác định đường thẳng b⊥(α). • Khi đó sin φ = cos(a, b). Cách 4: Dịch chuyển song song • Xác định (α′ ∥ (α)). • Hoặc xác định a′ ∥ a. • Khi đó (a,(α)) = (a′,(α)) = (a,(α′)) = b a (α) (a′,(α′)). a (α′)a′ (α) Trong 4 cách trên, cách 1 sử dụng trong những trường hợp đơn giản, dễ dàng dựng được hình chiếu a′của a lên (α). Nếu dễ dàng xác định được một đường thẳng vuông góc với mp(α) thì cách 3 nên được sử dụng. Các trường hợp khó xác định hình chiếu hoặc phương vuông góc của (α), ta nên kết hợp cách 4 và cách 2 để giảm thiểu việc phải kẻ thêm các đường phụ, đồng thời dịch chuyển chúng đến các vị trí dễ tính toán hơn. 75 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.19 Cho tứ diện đều ABCD. Gọi φ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD). Tính cos φ. Hướng dẫn A Coi cạnh tứ diện đều bằng 1. Gọi O là hình chiếu của A lên (BCD) thì O là trọng tâm của ∆BCD. Vậy φ = ABO \. Có cos φ =BO AB . Mà theo Mục 1.2.1 có BO = √3 3trong khi B D AB = 1 . Vậy cos φ = Ví dụ 1.3.20 √3 O 3. C Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC \ = 120◦. Cạnh bên SD = a√3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC). Hướng dẫn Có BD2 = AB2 + AD2 − 2AB.AD. cos 60◦ = a√3 ⇒ SB = a√6. Kẻ DH⊥AC, có AC2 = AB2 + AD2 + 2AB.AD. cos 60◦ = a√7. Mà 2SACD = SABCD = AB.AD. sin 60◦ =√3a2. Do đó Vậy sin φ =d(D,(SAC)) SB =14. S DH =2SADC AC = √3 √7a. a√3 Gọi φ là góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) ta có sin φ =d(B,(SAC)) SB . Do O là trung điểm BD nên d(B,(SAC)) = d(D,(SAC)). Mặt khác, 1 d2(D,(SAC)) =1 DS2+1 a 60◦ D C O H 2a DH2 ⇒ d(D,(SAC)) = 76 A B √3 2√2. Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.3.21 Cho hình chóp S.ABCS có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, AD =√3a. Cạnh bên SA =√2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Hướng dẫn Gọi φ = (SB,(SAC)), theo Cách 2 dạng 2 có sin φ =d(B,(SAC)) SB . Kẻ BI⊥AC ⇒ BI⊥(SAC) (vì S √2a (SAC)⊥(ABCD)), vậy d(B,(SAC)) = BI =BA.BC AC = √3 2a. A D I a Dễ thấy SB =√SA2 + AB2 =√3a. Vậy sin φ =BI SB =12, hay φ = 30◦. Ví dụ 1.3.22 √3a B C Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A′B′, A′D′, C′D′. Tính góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng (DMN). Hướng dẫn Có MP ∥ B′C′ và MP = B′C′ nên MP ∥ BC và MP = BC. Do đó BCPM là hình bình hành ⇒ CP ∥ BM. D′ M A′ N P Mà MN ∥ BD nên BM ⊂ (MND). Vậy CP ∥ (MND) ⇒ (CP,(MND)) = 0◦. Chú ý: Bài này ta đã chuyển CP về đường thẳng song song với nó mà ban đầu có một điểm chung với mặt phẳng (MND). B′ C′ A B C D 77 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) biết √3 thể tích khối chóp S.ABCD bằng Hướng dẫn Cách 1: 4a3. −−→CD.−−→MN CD.MN =3√10 Từ giả thiết có ABCD là nửa lục giác đều cạnh a. Vì vậy DC⊥AC do đó DC⊥(SAC). Vậy cos(CD, MN) = ⇒ sin φ =3√10 √310 20 Gọi φ = (MN,(SAC)) ⇒ sin φ = cos(MN, CD). Gọi P là trung điểm AB, theo Ví dụ 1.3.16 có −−→MN =12(−−→BC +−→SD)= 20. S 20. Do đó cos φ = (−−→BC +−→SA +−−→AD)=12(−→SA + 2−−→P N). 1 2 Do −−→CD.−→SA = 0 nên −−→CD.−−→MN =−−→CD.−−→P N M = a.32a. cos 60◦ =34a2. 2a D A √3 Vì VSABCD = 4a3 ⇒ SA =3V SABCD= a. a a Có MN =√MP2 + P N2 =√10 P 2a. N a B C Cách 2: Tương tự cách 1 tính được MN = √10 2a. S Gọi Q là trung điểm của BC thì (MP Q) ∥ (SAC) do đó (MN,(SAC)) = (MN,(MP Q)) = φ. Vậy sin φ =d(N,(MP Q)) MN. A Gọi I = P Q ∩ CD ta có d(N,(MP Q)) = NI = NP cos 60◦ =34a. M a 2a D Do đó sin φ =3√10 20. Vậy cos φ = √310 20. a P60◦ N B C Q a I 78 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.3.24 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60◦. Tính cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD). Hướng dẫn Vậy sin φ =d(N,(MHF)) Cách 1: Hạ MH⊥(ABCD) thì H là trung điểm của AO. Khi đó MNH \ = 60◦là góc giữa MN và (ABCD). Gọi F là trung điểm của AD ⇒ (MHF) ∥ (SBD) nên (MN,(SBD)) = (MN,(MHF)) = φ. Do đó sin φ =d(N,(MHF)) MN. Trong ∆CNH có: HN2 = CN2 + CH2 − 2CN.CH. cos 45◦ =1016a ⇒ HN =√10 MN=1√5. Suy ra cos φ =2√5 5. S M 4a ⇒ MN = HN/ cos 60◦ = √10 2a. E A B F60◦ Có d(N,(MHF)) = 2d(O,(MHF)) = √2 H N O 2OH = Cách 2: 2a. D C Vậy cos(AC, MN) = 2√5 Gọi H là hình chiếu của M lên (ABCD) thì H là trung điểm của AO. Tương tự cách 1, 5. S tính được MN = √10 2a. Có AC⊥(SBD) nên sin φ = cos(MN, AC). Có M, N là trung điểm SA, BC nên tương tự Ví dụ 1.3.16 ta có −−→MN =12(−→AC +−→SB). Vậy −→AC.−−→MN =12AC2 +12−→AC.−→SB = a2(do −→AC.−→SB = 0 vì AC⊥SB). −→AC.−−→MN M A B 60◦ H N O Do đó cos(AC, MN) = AC.MN D C =a2 2a= √5 a√2.√10 5. 79 Lục Trí Tuyên Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ký hiệu là φ = ((α),(β)). Cách 1: Theo định nghĩa Nếu có a⊥(α) và b⊥(β) thì φ = (a, b). Cách 2: Quy về khoảng cách • Goi ∆ = (α) ∩ (β). • Lấy M ∈ (β) bất kỳ. • Khi đó sin φ =d(M,(α)) d(M, ∆) . M (β) φ ∆(α) Cách 3: Diện tích hình chiếu. • Lấy một đa giác trên (β) có diện tích S. • Chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α) được đa giác có diện tích S′. • Khi đó cos φ =S′S. (β) (β) ab (α) I H S S′ (α) Cách 4: Dịch chuyển song song • Xác định mặt phẳng (α′) ∥ (α). • Khi đó ((α),(β)) = ((α′),(β)). Cách 5: Sử dụng mặt phẳng thứ 3 • Nếu có mặt phẳng (P) qua giao tuyển ∆ của (α) và (β). Xét mp(P′) qua ∆ và vuông góc với (P) chia không gian thành 4 phần. (β) (α′) (α) Gọi φ1 = ((α),(P)), φ2 = ((β),(P)). Khi đó: (P′) ∆ (β) (α) (P) cos φ = {cos(φ1 − φ2) nếu (α),(β) nằm cùng góc phần tư không gian tạo bởi (P).(P′). |cos(φ1 + φ2)| nếu (α),(β) nằm khác góc phần tư không gian tạo bởi (P).(P′). • Nếu (P),(α),(β) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến đồng quy tại S, ta có thể sử dụng công thức góc nhị diện trong (1.6). 80 Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.3.25 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng (BA′C) và (DAC). Hướng dẫn Cách 1:Theo định nghĩa. Ta thấy AB′⊥(BA′C) (do AB′⊥A′B và AB′⊥BC). Lưu ý, CB⊥(AA′B′B). Tương tự AD′⊥(DA′C). Do đó ((BA′C),(DA′C)) = (AB′, AD′). Mà ∆AB′D′ đều (do 3 cạnh bằng √2a) nên (AB′, AD′) = 60◦. A′ B′ C′ D′ Vậy ((BA′C),(DA′C)) = 60◦.A D BC Cách 2: Dùng góc nhị diện. Tham khảo hình vẽ có cos φ1 = cos φ2 =1√3; sin φ1 = sin φ2 =√2 √3. Xét góc tam diện C.BDA′có φ1, φ2 và có thêm BCD \= 90◦. Áp dụng công thức (1.6) có góc nhị diện A′ B′ C′ √3a √2a D′ cos[B, A′C, D] = cos 90◦ − cos φ1. cos φ2 A sin φ1. sin φ2 = −12⇒ [B, A′C, D] = 120◦. a φ1φ2 D Vậy ((BA′C),(DA′C)) = 60◦. B C Cách 3 (Dùng khoảng cách): Gọi φ = ((BA′C),(DA′C)) ⇒ sin φ =d(B,(A′DC)) d(B, A′C). √2 Tam giác A′BC vuông tại B nên d(B, A′C) = BC.BA′ √3. A′C= Do AB ∥ (A′CD) nên d(B,(A′CD)) = d(A,(A′CD)). Có A là chân đường cao hạ từ A′của chóp A′.ACD lên đáy (ACD) và AD⊥CD nên 1 d2A,(A′CD)=1 AD2+1 √3 AA′2=2a2 ⇒ d(A,(A′CD)) = a√2. Vậy sin φ =d(A,(A′DC)) d(B, A′C)= 2⇒ φ = 60◦. 81 Lục Trí Tuyên Ví dụ 1.3.26 Cho lăng trụ tam giác đều có đáy ABC cạnh a. Trên các cạnh bên lấy các điểm A1, B1, C1 lần lượt cách đáy một khoảng bằng a2, a,3a2. Tính cos ((A1B1C1),(ABC)). Hướng dẫn Xét hình thang vuông AA1B1B kẻ đường cao A1H ta có A1B1 =√A1H2 + HB21 Mà ∆ABC là hình chiếu vuông góc của ∆A1B1C1 lên mp(ABC). √ = AB2 + (BB1 − AA1)2 = √5 2a. Vậy cos ((A1B1C1),(ABC)) = S′S=√22. Tương tự √ BC2 + (BB1 − CC1)2 = √5 B1C1 = A1C1 = √ 2a. AC2 + (AA1 − CC1)2 =√2a. C1 B1 Đặt p =A1B1 + B1C1 + C1A1 1 a SA1B1C1 = S 2, ta có A H a vuutp(p − a√2) (p −√52a)2=√64a2. = 0, 5a A B Mặt khác, SABC = S′ = Ví dụ 1.3.27 √3 4a2. C Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AB = SB = a, SO =a√6 3. Tính góc ((SAB),(SAD)). Hướng dẫn Có OA2 = AB2 − OB2 = a2 − BO2. SO2 = SB2 − BO2 = a2 − BO2. Vậy OA = OS =a√6 3 và OB =√SB2 − SO2 =1√3a. √2=1√3a Kẻ OM⊥SA ⇒ OM =SO (do ∆SOA vuông cân tại O). a Do đó MO = OB = OD ⇒ BMD \ = 90◦. a a O M A S a√6 3 a D Mà SA⊥(BMD) nên ((SAB),(SAD)) = BMD \ = 90◦. 82 B C Lục Trí Tuyên ĐT: 0972177717 Ví dụ 1.3.28 Cho tứ diện ABCD có CD = 3 . Hai tam giác ACD, BCD có diện tích lần lượt là 15 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 20. Tính cotan của góc giữa hai mặt phẳng(ACD) và (BCD). Hướng dẫn Gọi φ = ((ACD),(BCD)). Áp dụng công thức (1.5) ta có sin φ =3VABCD.CD 2SACD.SBCD=35. Vậy cot2 φ =1 sin2 φ− 1 =169⇒ cot φ =43. Ví dụ 1.3.29: Đề thi THPTQG 2018 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có tâm O. B C Gọi I là tâm của hình vuông A′B′C′D′ và M là A điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC′D′) và (MAB) bằng 85. B. 7√85 85. C. 17√13 O M D A. 6√85 Hướng dẫn 65. D. 6√13 65. A′ B′C′ I D′ Cách 1: Dùng mặt phẳng thứ 3 Lấy N đối xứng với M qua O thì (MAB) ∥ (NC′D′) theo phép đối xứng tâm O. Vậy B C A ((MAB),(MC′D′)) = ((NC′D′),(MC′D′)) = φ. Gọi φ1, φ2 lần lượt là góc giữa (NC′D′) và (MC′D′) với (A′B′C′D′) thì φ = φ1 − φ2. Gọi K là trung điểm của C′D′ta có tan φ1 =IN IK=53; tan φ2 =IM N O M ′ I D Vậy tan φ =tan φ1 − tan φ2 IK=13. BC′ 1 + tan φ1. tan φ2=67. 1 + tan2 φ=7√85 K Do đó cos φ = √ 1 85. A′ D′ 83