" Toán Học - Từ Văn Mạc & Trần Thị Ái full mobi pdf epub azw3 [Tự Nhiên] 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Toán Học - Từ Văn Mạc & Trần Thị Ái full mobi pdf epub azw3 [Tự Nhiên] Ebooks Nhóm Zalo BỘ SÁCH BỔ TRỢ KIẾN THỨC Chìa khóa vàng TOÁN HỌC Biên dịch: Từ Văn Mạc - Trần Thị Ái Biên mục trên xuất bản phẩm của Thư viện Quốc gia Việt Nam Toán học / Biên dịch: Từ Văn Mạc, Trần Thị Ái. - Tái bản. - H.: Lao động, 2015.- 188tr. ; 23cm. - (Bộ sách Bổ trợ kiến thức. Chìa khoá vàng) 1. Toán 2. Sách thường thức 510-dc23LDH0063p-CIP NHÀ XUẤT BẢN LAO ĐỘNG HÀ NỘI - 2015 Vậy thế nào là đối ứng một - một trong mật mã? Hãy lấy ví dụ hai cách ký hiệu là bảng cửu cung và chữ thập là các ký hiệu. hay được dùng. Ӣ châu Âu các thợ đá khi đục bia mộ, bàn đá, bệ tế, bảng chỉ đường thường xuyên phải nghe tiếng đục đá nên không nghe được, thấy được rõ, họ phải dùng các ô cửu cung và chữ thập để đại biểu cho các chữ cái của tiếng Anh. Mời các bạn xem hình bên: Trong các hình này mỗi chữ cái được gán vào một ô có vị trí xác định trong các ô của bảng. Ví dụ chữ A ở ô góc phía trên của bảng cửu cung, trên hình vẽ ký hiệu bằng ˩┘ ; còn chữ N. ở góc bên trái phía trên của bảng cửu cung thứ hai trên hình có dạng và để phân biệt với chữ A ta thêm một chấm •˩ . Từ cách đó, suy ra vị trí 26 chữ cái của tiếng Anh ở trên hình. Dùng một hình vẽ để gán cho một chữ cái ta gọi đó là mật mã đối ứng một - một. Có ngày kia các thợ đá ở Paris nhận được một đoạn mật mã sau đây; Người ngoài nhìn vào thoạt giống như một loạt hình vẽ kỳ lạ vô nghĩa. Nhưng với những người thợ đá dựa vào các nét đặc thù của các hình vẽ và theo quy ước đối ứng một - một họ đọc được câu nói sau đây: The King is dead (vua đà chết). Nguyên do là vào lúc đó vua Anh đã chết, trong cung đinh có âm mưu làm cuộc chính biến, nên giữ bí mật không phát tang. Các đồng đảng của họ biết được liền thông qua mật mã để truyền tin cho nhau. Đây là cách viết mật mã được sử dụng cho các loại văn tự tượng hình. Ta biết các loại chữ tượng hình như chữ Hán thường do các bộ thư, các bộ phận nhỏ khác của chữ ghép nhau lại mà thành. Ví dụ chữ lý gồm hai bộ phận là chữ mộc 木 và chữ tử 子 tạo thành. Theo truyện dã sử “Thanh triều diễn nghĩa” có kể câu chuyện về một tú tài đã dùng phép phân tích chữ (chiết tự) đặt ra các quy ước đánh số, săp xếp các bộ thư, các bộ phận của chữ rồi làm thành một càu vè để thông báo bí mật về cái chết của vua Thuận Trị. Thuận Trị là hoàng đế đâu tiên của nhà Thanh vào đất Trung Nguyên thời bấy giờ, thường có nhiều tin tức huyên truyền về các sự việc xảy ra trong hoàng cung, Ví dụ tin về Hoàng thái hậu đi lại với nhiếp chính vương hoàng đế bị điên, các viêc đó chỉ có thể dùng các phương pháp bí mật để ghi lại Vị tú tài đã dùng cách chiết tự, phân tích các chữ thành các bộ thư, các bộ phận nhỏ, sau đó sắp xếp thành cột , quy ước cách đánh số, sau đó đọc thành 1 câu mật ngữ. Nếu sử dụng một quy tắc đã được quy ước có thể sắp xếp các bộ thư, các bộ phận chữ sẽ thành 1 câu có nội dung sau đây : “ Lăng Thuận Trị không có hài cốt, vua đã bỏ đi làm Hoà thượng.” Nguyên do là vào thời đó trong dân gian có lưu truyền 1 câu chuyện Vua Thuận Trị khám pháp được nguyên nhân cái chết bí mật của vị ái phi của mình nên đã xuất gia đến làm hòa thượng ở Ngũ Đài Sơn, trong cung đình phải đưa ra tin Vua Thuận Trị chết để che giấu sự thật. ( Đoạn này có liên quan đến phép chiết tự và cách giải mã để được nội dung thông tin trên đây, không thể dịch sát, chỉ có thể mô tả để chuyển đổi nội dung N.D) Theo lời của mật mã đã dịch chứng tỏ vị tú tài đã tin vào các thông tin lưu truyền trong dân gian. Còn sự thực lịch sử sự việc kể trên đúng hay sai phải chờ vào nhà sử gia thẩm định và đi đến kết luận. Việc dẫn ra câu chuyện ở đây chỉ muốn nêu lên một điều là vị tú tài quả là một chuyên gia về mật mã và câu mật mã gồm mười sáu chữ là một kiệt tác. (mười sáu chữ theo nguyên văn chữ Hán). Điều đó cũng nói lên một điều là phương pháp biên soạn mật mã quả có nhiều, mã mỗi quốc gia đều có nhiều sáng tạo theo trí tuệ của từng dân tộc. GIẢI TOÁN LOGIC NHƯ THẾ NÀO Trước hết ta hãy làm một bài toán logic khá lý thú, sau đó sẽ tổng kết phương pháp giải bài toán logic. Điền Lộ, Vương Uyên, Lâm Mao, Chu Dung, Giả Minh và Tưởng Tân là sáu bạn học láng giềng. Họ chia nhau học ở trường trung học số 15, trường trung học Quang Minh và trung học Tân Giang và ta chưa biết ai học ở trường nào chỉ có một số tình huống sau đây: 1 – Trường trung học Tân Giang và trung học Quang Minh tổ chức thi đấu cờ tướng, Chu Dung được ghi tên thi đấu ở một trường. 2 – Trường trung học Quang Minh tổ chức dạ hội “Ngũ Tử” , Vương Uyên, Tưởng Tân và Lâm Mao được mời biểu diễn tiết mục tam tấu. < 112 > < 113> > Trước hết lập bảng. Tiến hành phân tích các điều kiện cho trong đầu bài. Ghi các kết luận chính xác vào bảng. Từ bảng ghi sẽ phát hiện các mối liên quan giữa các kết luận cuối cùng. Có phải “đôi chân nhanh như gió” lại không đuổi kịp chú rùa? Nhà triết học cỏ Hy lạp Zenon (490 – 430 trước công nguyên) đã đưa ra bài toán “Asin đuổi theo rùa” khá lý thú như sau: Asin là một vị thần trong thần thoại Hy Lạp, thần chạy rất nhanh và được mệnh danh là người có đôi chân chạy nhanh như gió. So với rùa thì tốc độ Asin nhanh gấp 100 lần tốc độ rùa. Nếu để rùa chạy được 100km rồi Asin mới chạy đuổi theo thì vĩnh viễn Asin sẽ không đuổi kịp được rùa. Nhà Triết học Zenon nêu lý do sau đây: Với điều kiện đã nêu ở đầu bài thì khi Asin chạy được 100 km thì rùa chạy thêm được 1km, khi Asin chạy tiếp được ଵଵ଴଴ km thì rùa lại chạy tiếp được ଵ ଵ଴଴ x ଵ଴଴ km nữa. … Và cứ như thế, khi Asin chạy tiếp được một đoạn đường nữa thì rùa lại chạy tiếp được 1/100 đoạn đường đó; như vậy có thể nói: Giữa Asin và rùa luôn luôn có một khoảng cách. Cứ như vậy thì Asin vĩnh viễn Ta hãy phân tích theo quan điểm thời gian: Giả sử trong 1 giờ Asin chạy được 100km , nên chạy trong đoạn đường đầu Asin chỉ cần chạy đúng 1 giờ. Để chạy đoạn đường thứ hai (1km), Asin chỉ cần thời gian là ଵଵ଴଴ giờ, Để chạy đoạn thứ 3: (ଵଵ଴଴) km Asin chỉ cần có ቀଵଵ଴଴ ቁଶgiờ Để chạy đoạn đường thứ n: ( ଵ ଵ଴଴�−2 ) km Asin chỉ cần có ቀଵ ଵ଴଴ �−2ቁ giờ Như vậy Asin muốn đuổi kịp rùa thì phải cần thời gian tổng cộng là : không đuổi kịp được rùa. 1 + ቀଵଵ଴଴ ቁ + ቀଵ ଵ଴଴ �−2ቁ + … = 1 ቀଵ99 ቁ giờ Đó hiển nhiên là một kiểu “ngụy biện” (kết luận trái với sự thực). Thế thì sai lầm ở đâu? Sai lầm là ở chỗ: Nhà triết học này đã đem đoạn đường mà Asin chạy được chia nhỏ từng đoạn đến vô hạn và cứ thế cắt nhỏ mãi đến vô số hạn các đoạn đường và cứ thế lý luận nêu có đoạn đường vô hạn thì thời gian cũng sẽ dài vô hạn. Sự thực thì số đoạn đường tuy gọi là vô hạn nhưng thực tế là hữu hạn, và đó cái gọi là thòi gian vô hạn cũng sẽ là hữu hạn. < 116 > ଵ଴଴ 2ቁ + … + ቀଵ (Ӭng dụng công thức tính tổng hữu hạn của cấp số nhân vô hạn). Như vậy chỉ cần 1 giờ và 1/100 giờ là Asin sẽ đuổi kịp rùa. Tức là chỉ 1 giờ + với gần 36 giây) Qua đó chúng ta có thể đến kết luận dù hơi cường điệu một chút. ! -- Tổng của vô hạn các số không nhất thiết phải là số lớn. ! Bởi vì ta không biết được có bao nhiêu crtl f9 eq \ (1,100) (1/100) < 117 > ʕ bệnh viện nọ cứ mỗi phút bình quân có hai bệnh nhân vào viện, mà trong bệnh viện, để khám bệnh cho mỗi bệnh nhân cần 4 phút. Mỗi bệnh nhân đến bệnh viện phải tốn 40 phút (kể cả thời gian xếp hàng chờ được khám). Giả sử nếu các bác sỹ nâng cao năng suất, mỗi lần khám giảm được một phút, như vậy mỗi bệnh nhân mỗi lần khám bệnh chỉ cần trên dưới 15 phút. Như vậy xem ra việc nâng cao năng suất với việc giảm thời gian xếp hàng có liên quan chặt chẽ với nhau. Theo các bài toán xếp hàng trên đây, trong sinh hoạt hằng ngày ta có thể căn cứ theo kinh nghiệm mà có thể phân biệt tốt xấu, chỉ có điều chưa biết biến thành bài toán xếp hàng thôi. Thực ra trong việc xếp hàng còn có nhiều vấn đề toán học lý thú và có nhiều ý nghĩa thực tế. Thế nào là nghịch luận? Có một số ý tưởng nói, mới nghe tưởng như phải lẽ, nhưng suy luận dần dần dẫn đến tự mâu thuẫn, làm người ta cảm thấy là xằng bậy. Bạn cho rằng điều đó là sai, nhưng lại không chỉ ra được nó sai ở đâu. Còn bảo là đúng thì trái với lẽ thường, lẽ tự nhiên. Các nói đó được gọi là ngụy biện. Ví như nói "có mấy hạt cát thêm vào sẽ thành một đống cát". Câu này mới nghe qua thì có vẻ không hợp lý. Nhưng nếu thêm từng hạt cát, nhiều hạt cát sẽ đến lúc thành một đống cát. Kết quả có phải là đến lúc thêm một hạt cát đó sẽ gây ra sự đột biến chăng? Điều đó thực sự khó trả lời. Bởi vì ta không biết được có bao nhiêu hạt cát sẽ gọi là một đống cát, vì tiêu chuẩn, quy ước mỗi khác. Có khá nhiều loại ví dụ tương tự. VD: "Một người mà thiếu một sợi tóc sẽ thành người trọc đầu", "Thêm một chiếc lông gà thì có thể đè bẹp được một lực sĩ to lớn " ; "Một giây trước đó anh ta vẫn còn là một thiếu niên, một giây sau đó anh ta đã trở thành một thanh niên rồi". Sở dĩ phát sinh ra loại suy luận này là do ta dựa vào một số khái niệm không rõ ràng. : ("Một đống cát" , "Thiếu niên" , "thanh niên", "trọc đầu", ..v...v. Loại ngụy biện này là ngụy biện ngữ nghĩa, theo ngữ cảnh khác nhau. < 120 > Một ngụy biện khác được gọi là ngụy biện Logic. Kiểu ngụy biện nổi tiếng được gọi là ngụy biện Lý Phát Sư. ʕ một thôn nọ có anh chàng tên là Lý Phát Sư, anh ta rêu rao, anh ta chỉ cho phép những ai trong thôn không cạo râu mới được làm việc cạo râu. Thế anh ta có được phép mình tự cạo râu của mình được hay không? Nếu anh ta tự mình cạo lấy râu của mình thì đã trở thành người đã cạo râu, và như vậy sẽ không được tự cạo râu cho chính mình. Nếu anh ta không cho phép tự cạo râu mình thì lại trở thành người được tự cạo lấy râu mặt của mình! Như bạn thấy đấy, ở đây không hề có từ ngữ nào không rõ ràng, mà đã dẫn đến tự mâu thuẫn logic , đó gọi là "nghịch luận logic" . Lại có một câu chuyện khác về nghịch luận được lưu truyền rộng rãi gọi là "Tôi đang nói dối". Có một người phát biểu : "Tôi nói dối". Anh ta nói không đúng chăng? Nếu là đúng thì rõ ràng việc anh ta tự nhận mình "nói dối" là câu nói thật, - thế thì đúng ở chỗ nào? Nếu là không đúng thì lời anh ta nhận mình "nói dối" là không đúng, hợp sự thật, - như vậy chẳng phải là quá đúng sao ? Như vậy câu trả lời đúng cũng không được mà sai cũng không được! Do đối tượng được nói đến nêu trên là không rõ ràng, cụ thể. Lại có câu chuyện khác khá lý thú: "nhà tiên tri ngụy biện". Một người viết trên giấy một câu mới 2 nhà tiên tri để đoán đúng - không đúng. Hai nhà tiên tri liền viết lấy lời dự đoán của riêng mình. ʕ một người trên tai anh ta có viết chữ "đúng", còn người kia có viết chữ "không đúng" - thế liệu hai người có ai đoán đúng không? Kết quả là không thể!. Trên tờ giấy có viết câu: Trên tay ông viết không đúng. Người viết trên tay chữ: "không đúng" đã không đoán trúng bởi câu nói này vào thới điểm đó là đúng, còn người viết trên tay chữ: "đúng" cũng không (trúng) đúng nốt, bởi vì nội dung câu nói không viết như vậy. Một câu truyện ngụy biện khác có tên gọi "Ngày nào thì". Thầy giáo thông báo cho học sinh tuần sau thi, nhưng thi vào ngày nào thì chưa biết. Vậy, ngày nào sẽ thi nhỉ? Các học sinh thi nhau đoán, không phải là thứ bẩy đâu, bởi vì tại sao lại không thi vào năm ngày trước mà lại chờ đến ngày thứ bảy, thế là loại bỏ ngày thứ 7. Thế thì thứ 6 chăng? Các bạn học lại phán đoán không có khả năng. Bởi vì, nếu không phải là thứ 2, thứ 3, thứ 4, thứ 5, thứ 7 thì tại sao lại nghĩ sẽ thi vào ngày thứ sáu. < 121 > Cậu ta nói với người cùng cha cùng đi: "Điều đó không khó. Con đã tìm ra rồi. Con sẽ đến hỏi đôi anh em song sinh này, hỏi người nào cũng được. Con chỉ hỏi một câu thôi: "Này bạn, tớ muốn lên núi, bạn hãy bảo tớ biết con đường mà người anh em của bạn chỉ cho tớ lên núi đi ! " Khi nghe câu trả lời của anh ta, theo con đường anh ta không chỉ ta đi theo, nhất định sẽ đúng đường. Người cha nói: "Nếu hỏi đúng người nói thật trong đôi anh em song sinh, cậu ta sẽ nghĩ: ta sẽ chỉ con đường mà người anh em nói dối với ta sẽ chỉ cho họ, đó chính là con đường cụt. Nếu như con không đi theo thì tốt. Nhưng liệu, có biết" đó là lời nói dối với ta sẽ chỉ cho họ, đó chính là con đường cụt. Nếu con không đi theo thì tốt. Nhưng liệu có biết đó là là lời nói của người nói thật sao ? Không biết cũng không sao. Vì nếu con hỏi đúng người nói dối, anh ta lại nghĩ : "Người anh em của ta sẽ chỉ họ con đường phải đi, không được, ta phải nói dối thôi, chỉ cho anh ta con đường cụt." Bởi vì bất luận người trả lời là nói thật hay nói dối đều chỉ có thể chỉ con đường cụt. Ta sẽ không đi theo con đường họ mách vì con đường khác, (ngược lại) mới là con đường phải đi . Thôi chúng ta đi thôi!. Người cha nói: " Con nói đúng, người cha vỗ tay tán thưởng, và hai cha con tiếp tục cuộc hành trình. Bắt thăm TRƯỚC có lợi hay bắt thăm SAU có lợi ? Có một vé xem phim mà cả 3 bạn nhỏ đều muốn đi xem phim, không ai chịu nhường cho ai, nên cách tốt nhất là bốc thăm : ai bắt trúng, người ấy được đi. Các bạn nhỏ liền mời một người làm chứng, người làm chứng bí mật viết thăm, trong ba lá, chỉ có 1 lá thăm trúng còn hai lá thăm kia đương nhiên là không trúng. Nhìn bề ngoài các lá thăm hoàn toàn giống nhau. Đến đây lại nẩy ra cái khó khác : bốc thăm tất nhiên có người sẽ bốc trước, người bốc sau, thế thì chọn ai bốc trước, ai sẽ bốc sau? Bé Triệu thì tin là "nhanh tay sẽ được" vì vậy cậu ta muốn "ra tay trước để chiếm ưu thế", bốc trước sẽ có lợi và chắc dễ được hơn. < 124 > Bé Tuấn thì tin ngược lại. Mấy năm trước, cậu đã từng theo cha sang Nhật. Từ xưa người Nhật tin rằng: "Lá thăm cuối cùng sẽ mang lại tốt lành." cậu bé nghĩ chẳng phải khi đi xem kinh kịch, "màn cuối" là điểm quan trọng nhất sao! Nghĩ như vậy cậu bé Tuấn tự nguyện xin bốc thăm cuối cùng. Thực tế cậu bé chẳng cần phải bốc thăm, người khác đã bốc các lá thăm trước, thì lá cuối cùng còn lại là của cậu bé rồi!. Bé Trang thì chủ trương như "Khương Thái Công đi câu, buông câu chờ thời", nên không tranh cãi gì. Do vậy, dỗi với 3 bé thì bốc thăm trước hay sau không thành vấn đề, vì mỗi người đều được thỏa nguyện. Bây giờ ta hãy cùng phân tích để xem ai sẽ chiếm ưu thế, ai sẽ ở thế kém hơn.? Rõ ràng với người bốc thăm đầu tiên, cơ hội trúng thăm là 1/3, người ta nói xác suất để bốc trúng là 1/3; ta sẽ xem xét tình huống của người bốc thăm thứ hai. Giả sử bốc thăm đầu: -- Bốc được lá thăm số 1, sẽ còn lại lá thăm 2 và 3. -- Bốc được lá thăm số 2, sẽ còn lại lá thăm 1 và 3. -- Bốc được lá thăm số 3, sẽ còn lại lá thăm 1 và 2. Cả sáu tình huống đã nêu trên là có khả năng như nhau. Trong đa số trường hợp, thuận lợi để người thứ hai bắt thăm trúng là 2/6 = 1/3 (tương đương). Cùng với cách phân tích như vừa rồi, ta thử làm với người bốc thăm thứ ba. ʕ đây các tình huống xảy ra cũng không nhiều lắm, ta có thể liệt kê các tình huống như sau: -- Người thứ nhất bốc được lá thăm số 1, người thứ hai với lá thăm 2, vậy còn lại là thăm 3. -- Người thứ nhất bốc được lá thăm số 2, người thứ hai với lá thăm 1, vậy còn lại là thăm 3. -- Người thứ nhất bốc được lá thăm số 1, người thứ hai với lá thăm 3, vậy còn lại là thăm 2. < 125 > ra 2đ thì được chọn 6 quả cầu. Nếu 6 quả cầu bạn chọn được hoặc toàn màu trắng hoặc toàn màu đen, bạn sẽ được 50đ. Bỏ 2đ mà được 50đ quả là hấp dẫn được người chơi. Còn nếu chọn được 5 quả trắng, 1 quả đen hoặc 5 quả cầu đen và một quả cầu trắng thì bạn chỉ được thưởng 2đ; còn nếu được 2 đen và 4 trắng hoặc 2 trắng và 4 đen bạn chỉ được thưởng hai hào, còn nếu được 3 trắng và 3 đen thì chẳng được thưởng xu nào mà lại mất toi cả 2đ. Thế thì xác xuất để chọn đươc toàn quả cầu trắng hoặc toàn quả cầu đen sẽ là bao nhiêu? Nếu chọn được toàn quả cầu đen thì toàn bộ số quả cầu đen đã được chọn hết nên không còn khả năng nào chọn được tiếp quả cầu đen nữa, nên khả năng lấy quả cầu đen chỉ một lần, khả năng lấy quả cầu trắng đúng chỉ có một lần. Nếu lấy năm (5) đen một trắng thì không giống như vậy. Vì khả năng lấy 1 quả cầu trắng từ 6 quả cầu trắng thì mỗi quả cầu đều có khả năng được chọn một lần, nên việc chọn được 1 quả cầu trắng có khả năng được chọn 6 lần, mà từ 6 quả cầu đen việc chọn được 5 quả cầu đen cũng có 6 cách tổ hợp khác nhau. Vì vậy việc chọn được 5 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng sẽ là 6 x 6 = 36 lần (loại). Cũng với lý do tương tự việc chọn được 5 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen cũng có 36 cách tổ hợp khác nhau và như vậy cũng có 36 khả năng thực hiện. Việc kết họp số quả cầu theo phưong thức 4 đen 2 trắng hoặc 4 trắng 2 đen thì số các phương thức tổ hợp sẽ càng nhiều, cả thẩy có 225 loại. Còn việc chọn được 3 trắng và 3 đen thì đến 400 loại. Tổng số các trường hợp chọn 6 quả cầu theo các phương thức sẽ là: 2 x (1 + 36 + 255) + 400 = 924 lần. Như vậy: Việc chọn được 6 quả cầu hoặc toàn máu trắng hoặc toàn màu đen sẽ có xác suất: 2 / 924 = 0,002 . Chọn được 1 đen , 5 trắng hoặc 1 trắng, 5 đen sẽ có xác suất: 72/924 = 0,078 Chọn được 2 đen , 4 trắng hoặc 1 trắng, 5 đen sẽ có xác suất: 450/924 = 0,487 Chọn được 3 đen , 3 trắng sẽ có xác suất: 400 / 924 = 0,433 Như vậy bằng tính toán đã rõ là cứ 1000 lần chọn mà để nhận được số tiền thắng cuộc 50đ thì chỉ có 2 lần được cuộc; để nhận được tiền thắng cuộc 2đ thì chỉ có 78 lần; còn cơ hội nhận được 2 hào thì nhiều hơn đến 487 lần; còn không nhận được tiền thưởng và mất trắng 2đ là 433 lần. Như vậy nếu bạn bỏ ra 2000đ thì cuối cùng thu lại được khoảng: 50 x 2 + 2 x 78 + 0,2 x 487 = 353,4 đ. Như vậy bạn thu lại được khoảng 353,4đ tiền thưởng đổi lại bạn đã mất ít nhất 1650đ. Việc chọn quả cầu đã như vậy, việc đoán thẻ, choi số quay cũng chỉ như vậy thôi. Nói tóm lại, trong bất kỳ trường họp nào bạn chớ có nhẹ dạ chớ có "choi thử thôi" mà bị lừa đấy. Xác suất có ích lợi gì? Trên thế giới có nhiều sự việc chúng ta có thể dự đoán chính xác. Ví dụ người ta có thể đoán chính xác lúc nào thì có nhật thực, nguyệt thực, lúc nào có thể xuất hiện sao chổi... Các sự kiện đó đều có thể tính toán và công bố trưóc. Tuy nhiên có nhiều sự kiện khác bị chi phối bỏi tính ngẫu nhiên mà ngưòi ta khó dự liệu được. Trong một thành phố, hàng năm có số trẻ con sinh ra và người già chết đi. Nhưng chúng ta thật khó mà xác định trong một tuần lễ nào đó chính xác có bao nhiêu em bé được sinh ra, có bao nhiêu người chết đi. Những sự việc khó biết được chính xác như vậy kể ra thì rất nhiều. Nhân viên các cửa hàng không thể dự đoán ngày hôm nay có bao nhiêu khách hàng, đài khí tượng khó dự báo được trong năm sẽ có bao nhiêu ngày mưa. Người xạ thủ dẫu giỏi đến mấy cũng không nói chắc được phát súng của mình có đúng điểm đen không, cụ già trồng dưa giàu kinh nghiệm cũng không dám chắc ruộng dưa của mình năm nay thu được bao nhiêu kilô dưa... < 128 > < 129 > """