Toán Học Một Thiên Tiểu Thuyết - Lịch Sử Toán Học Kể Từ Thời Tiền Sử Đến Nay - Mickaël Launay & Nhã Phong (dịch) full mobi pdf epub azw3 [Best Seller]

"Toán Học Một Thiên Tiểu Thuyết - Lịch Sử Toán Học Kể Từ Thời Tiền Sử Đến Nay - Mickaël Launay & Nhã Phong (dịch) full mobi pdf epub azw3 [Best Seller] 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Toán Học Một Thiên Tiểu Thuyết - Lịch Sử Toán Học Kể Từ Thời Tiền Sử Đến Nay - Mickaël Launay & Nhã Phong (dịch) full mobi pdf epub azw3 [Best Seller] Ebooks Nhóm Zalo — Ồ, tôi ấy à, tôi chẳng biết tí gì về toán hết! Tôi hơi nản. Đây hẳn phải là lần thứ mười tôi nghe thấy câu này trong ngày hôm nay. Vậy mà, mới mười lăm phút trước, người phụ nữ này đã dừng lại trước gian hàng của tôi, giữa một nhóm khách khác, và chăm chú lắng nghe tôi trình bày đủ thứ hay ho về hình học. Rồi, câu nói kia buột ra. — Thế anh làm nghề gì? bà ấy hỏi tôi. — Tôi là nhà toán học. — Ồ, tôi ấy à, tôi chẳng biết tí gì về toán hết! — Thế sao? Nhưng bà có vẻ khá hứng thú với những gì tôi vừa kể mà. — Phải… nhưng, cái đó đâu thật sự là toán nhỉ… nghe dễ hiểu vậy mà. Vâng, họ chưa lần nào thôi thắc mắc như vậy. Chẳng nhẽ toán học cứ nhất thiết phải là một môn học mà không ai có thể hiểu nổi sao? Lúc này đang là đầu tháng Tám, trên phố Félix Faure ở La Flotte-en-Ré. Trong phiên chợ mùa hè bé nhỏ này, bên phải tôi là một gian hàng vẽ xăm henna và tết tóc kiểu châu Phi, bên trái tôi là một cậu bán phụ kiện điện thoại di động, và trước mặt tôi là một quầy bán trang sức và phụ kiện đủ loại. Ở giữa đám ấy, tôi dựng quầy toán học của mình. Trong không khí mát mẻ của buổi tối, những người đi nghỉ nhẩn nha dạo bước. Tôi đặc biệt thích làm toán ở những nơi khác thường. Ở nơi mà chẳng ai mong chờ được đến. Ở nơi mà chẳng ai ngờ được… — Cháu! Cháu nói với bố mẹ là đã làm toán trong kỳ nghỉ hè ư! một nhóc học sinh trung học thốt lên với tôi khi ghé ngang qua trên đường từ bãi biển vào. Đúng là tôi có lừa gạt cậu bé chút ít. Nhưng đâu còn cách nào khác. Đây là một trong những khoảnh khắc mà tôi yêu thích. Quan sát vẻ mặt của những người tự cho rằng mình căm ghét toán đến mức không thể cứu vãn khi tôi nói với họ rằng họ vừa làm toán được mười lăm phút. Vậy mà gian hàng của tôi vẫn đầy người! Ở đây, tôi trình diễn origami, ảo thuật, những trò chơi, câu đố… cho mọi gu và mọi lứa tuổi. Dù có gắng vui vẻ cũng vô ích, bởi sâu trong lòng, tôi thấy buồn bực. Sao ta phải giấu người khác rằng họ đang làm toán để họ thấy thích thú? Tại sao chữ lại khiến họ sợ hãi đến vậy? Có một điều chắc chắn, rằng nếu tôi đặt trên bàn tấm biển ghi chữ ọ thật rõ ràng như những chữ ứ ề, ệ ạ hay ở các gian hàng xung quanh, tôi sẽ chẳng được người ta chú ý bằng một phần tư hiện tại. Người ta sẽ chẳng dừng lại. Có khi họ sẽ vừa bước tránh sang một bên vừa ngó ra chỗ khác cũng nên. Thế nhưng, điều kỳ thú là đây. Tôi để ý thấy nó diễn ra hằng ngày. Toán học khiến người ta sợ hãi, nhưng nó còn cuốn hút họ nhiều hơn. Người ta không thích nó, nhưng họ muốn yêu thích nó. Hoặc chí ít, là có thể tò mò ghé mắt nhìn vào lãnh địa tối tăm kỳ bí của nó. Người ta tưởng rằng toán là không thể thấu hiểu được. Điều đó không đúng. Ta có thể yêu thích âm nhạc mà không cần phải là một nhạc sĩ, hay thưởng thức một món ngon mà không cần là một đầu bếp tài ba. Vậy tại sao ta phải là một nhà toán học hay có một trí thông minh xuất chúng để có thể nói về toán và thích được kích thích trí tuệ bằng môn đại số hoặc hình học? Ta đâu nhất thiết phải đi sâu vào chi tiết chuyên môn để hiểu được những ý tưởng vĩ đại và thán phục những điều ấy? Từ thuở hồng hoang, đã có rất nhiều nghệ sĩ, nhà sáng chế, nhà phát minh, nghệ nhân, hoặc đơn giản là những kẻ mộng mơ và tò mò, dùng đến toán học mà không hề hay biết. Những nhà toán học bất đắc dĩ. Họ là những người đầu tiên đặt câu hỏi, những người đầu tiên đi tìm câu trả lời, những người đầu tiên động não với toán. Nếu muốn hiểu cách vận hành của môn toán, ta cần phải lần theo dấu vết của những người đó, vì mọi thứ đều bắt đầu cùng với họ. Vậy, bây giờ là lúc để bắt đầu cuộc hành trình. Nếu bạn đồng ý, hãy cho phép tôi, trong những trang tới đây, dẫn bạn vào những bước đường lắt léo của một trong những bộ môn cuốn hút và đáng kinh ngạc nhất của loài người. Hãy cùng đi gặp những người đã làm nên lịch sử thông qua những khám phá bất ngờ và những ý tưởng phi thường. Hãy cùng nhau mở ra cuốn đại tiểu thuyết về toán học. Chương 1 Những nhà toán học bất đắc dĩ Quay lại Paris, tôi chọn bảo tàng Louvre, nằm giữa lòng thủ đô, để mở cuộc điều tra của chúng ta. Làm toán ở bảo tàng Louvre ư? Nghe có vẻ bất lịch sự. Tòa phủ đệ xưa cũ được chuyển đổi thành bảo tàng ngày nay dường như là lãnh địa của các họa sĩ, nhà điêu khắc, nhà khảo cổ học hay nhà sử học, chứ còn lâu mới có chỗ cho các nhà toán học. Thế nhưng đây chính là nơi chúng ta sắp tìm lại những dấu ấn đầu tiên của họ. Ngay khi vừa đặt chân đến đây, chỉ riêng sự xuất hiện của tòa kim tự tháp bằng kính to lớn chễm chệ giữa sân triều của Napoléon đã là một lời mời gọi của hình học rồi. Nhưng hôm nay, tôi lại có hẹn với một thời đại cổ xưa hơn. Tôi tiến vào bảo tàng như bắt đầu chuyến du hành trong một cỗ máy thời gian. Tôi băng qua trước mặt các vị hoàng đế Pháp, vượt qua thời kỳ Phục Hưng và Trung Cổ để đến với thời kỳ cổ đại. Những căn phòng nối tiếp nhau, tôi bắt gặp vài bức tượng La Mã, những chiếc bình Hy Lạp và những cỗ quan tài Ai Cập. Tôi đi xa thêm chút nữa. Rồi tôi bước vào thời kỳ tiền sử và, khi ngược dòng thời gian qua các thế kỉ, tôi cần quên dần đi mọi thứ. Quên đi những con số. Quên đi hình học. Quên cả chữ viết. Vào buổi đầu của lịch sử, chẳng ai biết bất kỳ điều gì. Thậm chí họ còn chẳng có gì để mà biết. Điểm dừng đầu tiên là vùng Lưỡng Hà. Chúng ta đã quay trở lại mười nghìn năm trước. Nghĩ lại thì đáng lẽ tôi đã có thể đi xa hơn. Vượt thêm một triệu rưỡi năm nữa để về giữa Thời đồ đá cũ. Vào thời kỳ này, lửa vẫn chưa được sử dụng và loài Homo sapiens (người thông minh) vẫn còn là một viễn cảnh xa vời. Đó là thời ngự trị của loài Homo erectus (người đứng thẳng) ở châu Á, Homo ergaster (người biết lao động) ở châu Phi và có lẽ là một vài loài họ hàng khác còn chưa được phát hiện. Đó là thời kỳ của những công cụ bằng đá. Mà thịnh hành nhất là công cụ đá hai mặtP. Trong một góc trại, những người thợ đẽo đá đang làm việc. Một người bê một khối đá lửa còn thô mà anh ta vừa nhặt về vài giờ trước. Anh ta ngồi trên mặt đất, chắc là ngồi theo kiểu xếp bằng, một tay giữ khối đá và, tay còn lại cầm một hòn đá lớn ghè lên rìa khối đá. Mảnh vỡ đầu tiên rơi ra. Anh ta xem xét thành quả, lật khối đá lửa và ghè tiếp lên cạnh bên kia. Hai mảnh vỡ rơi ra nằm đối diện nhau, tạo ra một vạt cắt trên mép khối đá lửa. Cứ thế, anh ta lặp đi lặp lại công đoạn đó lên toàn bộ viền khối đá. Một số chỗ trên khối đá lửa quá dày hoặc quá rộng, và cần phải đẽo đi một miếng lớn hơn mới ra được đồ vật có hình dáng như mong muốn. Hình dạng của công cụ đá hai mặt không được định ra một cách tình cờ hay ngẫu hứng. Nó được cân nhắc, tạo tác, chuyển giao từ thế hệ này sang thế hệ khác. Người ta tìm thấy những mẫu vật có kiểu dáng khác nhau, tùy theo thời đại và địa điểm sản xuất. Một số mang hình giọt nước với một điểm nhô lên, một số lại tròn hơn, hình quả trứng, trong khi đó, một số khác nhìn tương tự như một hình tam giác cân với các cạnh hơi gồ lên. Công cụ đá hai mặt vào sơ kỳ Thời đồ đá cũ Thế nhưng tất cả đều có một điểm chung: trục đối xứng. Dạng hình học này có mang khía cạnh thực tiễn nào không, hay các tổ tiên của chúng ta chỉ tạo ra nó với mục đích thẩm mỹ? Khó mà biết được. Điều chắc chắn là sự đối xứng này không phải một thành quả ngẫu nhiên. Người thợ đẽo phải suy tính về từng nhát ghè của mình. Cân nhắc về hình dáng trước khi thực hiện. Tự xây dựng lên một hình ảnh trừu tượng trong đầu, về đồ vật sắp tạo nên. Nói cách khác, họ làm toán. Khi đã hoàn thành hết một lượt, người thợ đẽo quan sát công cụ mới của mình, hướng ra ánh sáng để xem xét kỹ hơn hình dáng của nó, chỉnh sửa lại vài đường nét bằng cách ghè thêm vài cú nhẹ nhàng nữa rồi mới thấy hài lòng. Anh ta cảm thấy thế nào vào thời điểm ấy? Liệu anh ta có cảm nhận được một sự hứng khởi tột bậc về sáng tạo khoa học: rằng anh ta đã biết lĩnh hội và định hình thế giới bên ngoài bằng một ý tưởng trừu tượng? Nhưng dù sao, thời hoàng kim của tư duy trừu tượng vẫn chưa đến. Ở thời đó người ta thực dụng hơn nhiều. Những công cụ đá hai mặt ấy sẽ được dùng để khắc gỗ, cắt thịt, lột da và đào đất. Nhưng không, chúng ta sẽ không đi xa đến thế. Hãy để những thời đại xa xưa và những lời suy đoán có thể là còn quá mạo hiểm này ngủ yên, và trở về với mốc khởi đầu thực sự cho chuyến đi này của chúng ta: vùng Lưỡng Hà vào thiên niên kỉ thứ 8 . Dọc theo vùng Trăng lưỡi liềm Màu mỡP, trên một miền đất rộng lớn mà sau này sẽ trở thành Iraq, cuộc cách mạng đồ đá mới đang diễn ra. Người ta đã di cư đến đây được một thời gian. Ở các cao nguyên phía Bắc, quá trình định cư đã diễn ra thành công. Vùng đất này giống như một thí điểm cho tất cả các công cuộc cải tiến mới nhất. Những ngôi nhà bằng gạch bùn cấu thành những ngôi làng đầu tiên và những thợ xây dũng cảm nhất, thậm chí còn xây thêm được một tầng nhà nữa. Nông nghiệp là một nghề trọng điểm. Khí hậu tốt giúp cho việc trồng trọt được thuận lợi mà không cần sự tưới tiêu nhân tạo. Các loài động vật và cây cối dần dần được thuần dưỡng. Nghề gốm sắp sửa xuất hiện. Kìa, chúng ta vừa mới nhắc đến nó xong, chính nó, nghề gốm! Dù rất nhiều vật chứng từ những thời kỳ ấy đã biến mất, thất lạc trong mê cung của thời gian, các nhà khảo cổ học vẫn thu thập được cả nghìn hiện vật: chậu, bình, lọ, đĩa, bát… Những hiện vật đó nằm đầy trong những tủ trưng bày xung quanh tôi. Những dấu mốc đầu tiên là từ chín nghìn năm trước, và, từ phòng này sang phòng khác, giống như những hòn đá cuội của Ngón Tay Cái Bé NhỏP, chúng dẫn dắt ta đi qua các thế kỉ. Những hiện vật ở đây mang đủ mọi kích cỡ, kiểu dáng và được trang trí, đục đẽo, vẽ hoa văn hay chạm trổ rất phong phú. Một số thì có chân, số khác thì có quai. Có những cái còn nguyên vẹn, có những cái đã rạn nứt, bị vỡ hoặc đã được khôi phục. Cũng có cái chẳng còn lại gì ngoài vài mảnh vỡ. Nghề gốm là môn nghệ thuật đầu tiên bắt nguồn từ lửa, ra đời rất lâu trước các nghề về đồng, sắt và thủy tinh. Từ đất sét, thứ đất nhào dễ uốn nắn vốn không thiếu trong những vùng có khí hậu ẩm, thợ gốm có thể tạo hình đồ vật theo ý thích. Khi đã tạo được hình dáng như ý, họ chỉ cần phơi khô nó vài ngày, sau đó nung trong ngọn lửa lớn để làm rắn lại. Kỹ thuật này đã được biết đến từ rất lâu. Từ hai mươi nghìn năm trước, người ta đã làm ra được những bức tượng nhỏ bằng gốm. Tuy nhiên, phải đến thời gian gần đây, cùng với sự định cư, ý tưởng tạo nên những vật dụng thường ngày bằng gốm mới xuất hiện. Lối sống mới đòi hỏi các phương tiện để chứa đựng, vậy nên người ta sản xuất ra hàng loạt loại chậu bình! Những bình đựng bằng đất nung nhanh chóng trở thành một loại vật dụng không thể thiếu trong cuộc sống hằng ngày, và còn rất cần thiết đối vối việc tổ chức các hoạt động tập thể của thôn làng. Do vậy, làm ra bát đĩa bền thôi chưa đủ, chúng còn phải thật đẹp. Chẳng mấy chốc, người ta bắt đầu trang trí đồ gốm. Khi đó, rất nhiều trường phái mọc lên. Một số người in những hoa văn lên mặt đất sét tươi bằng một mảnh vỏ sò hay đơn giản là một nhành cây trước khi đem đi nung. Một số khác thì nung gốm trước rồi mới dùng các công cụ đá chạm họa tiết lên. Một số khác nữa lại thích dùng những chất màu tự nhiên để vẽ lên mặt gốm. Dạo qua những gian phòng trong khu vực trưng bày về thời cổ đại phương Đông, tôi bị ấn tượng bởi sự phong phú của những hoa văn hình học do người Lưỡng Hà nghĩ ra. Giống như công cụ đá hai mặt của những người thợ đẽo đá cổ đại, một số đồ vật có sự đối xứng hết sức tài tình mặc dù chưa được suy tính kỹ lưỡng. Những đường diềm trang trí chạy quanh miệng những chiếc bình này khiến tôi phải đặc biệt chú ý. Những đường diềm này là những dải trang trí trình bày theo cùng một khuôn mẫu được in lặp lại trên toàn bộ chu vi của bình. Trong số đó, những mẫu phổ biến nhất bao gồm họa tiết hình tam giác răng cưa rất đáng chú ý. Ta cũng gặp những đường diềm có hình hai sợi dây quấn quanh nhau. Tiếp đó là những đường viền hình bông lúa, hình lỗ châu mai vuông, hình chấm con thoi, hình tam giác được thể hiện bằng những nét chải, hình những đường tròn lồng vào nhau… Từ khu vực này sang khu vực khác, từ thời kỳ này đến thời kỳ khác, các kiểu dáng lần lượt xuất hiện. Có một số mẫu khá phổ biến. Chúng được sửa lại, thay đổi, cải thiện thành vô số biến thể. Một vài thế kỉ sau, chúng dường như bị bỏ rơi, trở nên cổ lỗ, bị thay thế bởi những hoa văn khác hợp thời hơn. Tôi nhìn chúng diễu qua trước mặt và con mắt của tôi, con mắt của nhà toán học, đã bừng sáng. Tôi nhìn thấy ở chúng những phép đối xứng, phép quay, phép tịnh tiến. Tôi bắt đầu phân loại, sắp xếp trong đầu. Tôi nhớ lại một số định lý từ thời đi học. Hệ thống phân loại các phép biến đổi hình học, đó là thứ tôi đang cần. Tôi lấy một quyển sổ tay và một cây bút chì ra rồi bắt đầu tốc ký. Đầu tiên, chúng ta có các phép quay. Ngay trước mắt tôi lúc này là một đường diềm được tạo nên từ các họa tiết theo hình chữ “S” móc nối nhau. Tôi xoay đầu nhìn lại cho chắc. Đúng vậy, nó bất biến khi được quay nửa vòng: nếu tôi nhấc cái lọ lên và lộn ngược lại, đường diềm vẫn sẽ giữ nguyên hình dạng ban đầu. Tiếp theo, chúng ta có phép đối xứng. Nó tồn tại ở nhiều dạng khác nhau. Dần dần, tôi hoàn thành danh sách của mình và một cuộc săn tìm kho báu bắt đầu. Với mỗi phép biến hình tôi lại tìm một đường diềm tương ứng. Tôi di chuyển từ phòng này sang phòng khác, rồi đi ngược trở lại. Một số mẫu vật đã bị hư hại, tôi phải nheo mắt để cố gắng tái dựng lại các khuôn mẫu từng hiện hữu trên nắm đất sét có tuổi thọ hàng nghìn năm này. Mỗi lần tìm thấy một cái mới, tôi đều đánh dấu lại. Tôi nhìn ngày tháng để tìm cách khôi phục lại niên đại của chúng. Tôi sẽ phải tìm bao nhiêu cái cả thảy đây? Ngẫm nghĩ một chút, cuối cùng tôi cũng chạm được tay vào định lý nổi tiếng này. Ta tìm thấy ở đây tất cả bảy loại đường diềm. Bảy nhóm phép biến hình có khả năng trở nên bất biến. Không hơn không kém. Tất nhiên, người Lưỡng Hà không biết điều này. Bởi phải đến thời kỳ Phục Hưng người ta mới chính thức phát biểu lý thuyết này! Tuy nhiên, dù không ý thức được và cũng không có tham vọng nào khác ngoài việc trang trí lên đồ gốm bằng những mẫu hoa văn hài hòa và độc đáo, những người thợ gốm thời tiền sử đã thực hiện được những bước suy luận đầu tiên của một bộ môn tuyệt diệu mà hàng nghìn năm sau sẽ khuấy động cả một cộng đồng toán học. Tôi nhìn những ghi chú của mình, tôi sắp hoàn thành rồi. Sắp thôi ấy à? Tôi vẫn thiếu một trong số bảy loại đường diềm. Tôi khá trông đợi vào nó, loại đường diềm này rõ ràng là loại phức tạp nhất trong danh sách. Tôi đang tìm kiếm một loại đường diềm mà khi được xoay ngang nó vẫn hiện hữu ở nguyên hình dạng ban đầu, nhưng xê xích đi một đoạn dài bằng nửa chiều dài họa tiết tạo nên nó. Ngày nay, ta gọi dạng này là phép đối xứng trượt. Một thử thách thực sự với những người Lưỡng Hà! Tuy nhiên, còn lâu tôi mới có thể đi hết tất cả các phòng, vậy nên tôi chưa hết hy vọng. Cuộc săn tìm vẫn tiếp tục. Tôi quan sát từng chi tiết, từng đầu mối nhỏ nhất. Sáu loại hình mà tôi đã xem xét tích lại thành đống. Trong cuốn sổ tay của tôi, ngày tháng, lược đồ và các dòng chữ nguệch ngoạc chen lấn nhau rối mù. Mặc dù vậy, vẫn chẳng thấy chút hình bóng nào của loại đường diềm thứ bảy bí ẩn. Bỗng nhiên, một liều adrenalineP chạy dọc cơ thể tôi. Đằng sau cái tủ trưng bày kia, tôi vừa nhìn thấy một mảnh vỡ khá thảm hại. Tuy nhiên, từ trên xuống dưới, bốn đường diềm tuy chỉ còn lại một đoạn nhưng vẫn rất rõ ràng chồng chéo lên nhau, và một trong số đó khiến tôi phải chú ý. Cái thứ ba từ trên xuống. Nó bao gồm những mẩu nhỏ hình chữ nhật nằm nghiêng đan chéo vào nhau như hình bông lúa. Tôi chớp mắt. Tôi quan sát nó thật kỹ càng, ký họa nguệch ngoạc họa tiết lên cuốn sổ tay như sợ nó sẽ biến mất khỏi tầm mắt. Đúng là dạng hình học tôi cần. Chính là phép đối xứng trượt. Loại đường diềm thứ bảy đã lộ diện. Bên cạnh mảnh vỡ là một bảng chú thích ghi: Mảnh cốc được trang trí họa tiết những dải băng nằm ngang có chấm thoi – Giữa thiên niên kỉ thứ 5 . Tôi nhẩm tính niên đại của nó. Giữa thiên niên kỉ 5 . Chúng ta vẫn đang dừng chân tại thời tiền sử. Hơn một nghìn năm trước khi chữ viết ra đời, những người thợ gốm vùng Lưỡng Hà đã liệt kê, dù không nhận thức được, tất cả các trường hợp của một định lý mà phải đến sáu nghìn năm sau mới được phát biểu và chứng minh. Ở một vài căn phòng xa hơn, tôi gặp một cái lọ ba quai cũng có đường diềm trang trí thuộc loại thứ bảy này: ngay cả khi họa tiết đã chuyển sang dạng xoắn ốc, cấu trúc hình học vẫn được giữ nguyên. Đi xa thêm một chút, lại bắt gặp thêm một cái khác. Tôi muốn đi tiếp, nhưng khung cảnh đột ngột thay đổi, tôi đã đến phần cuối của bộ sưu tập phương Đông. Nếu đi tiếp, tôi sẽ đến với Hy Lạp. Tôi đọc lại lần cuối những ghi chú của mình, những đường diềm có dạng đối xứng trượt chỉ đếm được trên đầu ngón tay của một bàn tay. Tôi cảm thấy hơi nóng người. ể ậ ế ượ 7 ạ ườ ề ? Loại đầu tiên là những đường diềm… chẳng có chút đặc tính hình học cụ thể nào. Nó chỉ đơn giản là một họa tiết được lặp lại, không đối xứng và không có tâm quay. Nó đặc biệt xuất hiện ở những đường diềm không xuất phát từ hình học, mà từ tranh hình tượng (dessins figuratifs) chẳng hạn như vẽ hình động vật. Loại thứ hai bao gồm những hình có trục đối xứng nằm ngang và chia cắt đường diềm ra làm hai. Loại thứ ba là nhóm các đường diềm có một trục đối xứng thẳng đứng. Vì đường diềm là một họa tiết được lặp lại theo chiều ngang, các trục đối xứng thẳng đứng cũng lặp lại như vậy. Loại thứ tư là những đường diềm bất biến đổi khi quay nửa vòng. Tức là dù bạn có nhìn xuôi nhìn ngược thế nào, nó vẫn y nguyên một hình dạng. Loại thứ năm là những đường diềm dựng theo phép đối xứng trượt. Chính là loại đường diềm nổi tiếng mà tôi khám phá ra cuối cùng trong khu vực Lưỡng Hà. Nếu bạn xoay một trong những đường diềm này theo một phép đối xứng trục ngang (như cái ở loại thứ hai) thì hình vẽ thu được vẫn khá giống so với ban đầu, trừ việc xê dịch đi độ dài của một nửa mẫu. Loại thứ sáu và thứ bảy không tương ứng với một phép biến hình mới nào, nhưng lại kết hợp nhiều tính chất đã được tìm thấy ở các loại trước đó. Như vậy, các đường diềm thuộc loại thứ sáu vừa đối xứng qua trục hoành, vừa đối xứng qua trục tung và có một tâm của phép quay nửa vòng. Loại thứ bảy bao gồm những đường diềm đối xứng qua trục tung, có một tâm quay và phép đối xứng trượt. Cần lưu ý rằng các loại hình này chỉ liên quan đến cấu trúc hình học của các đường diềm chứ không cản trở việc có một vài biến dị trong hình dạng của các họa tiết. Do đó, các đường diềm sau, dù có họa tiết khác nhau, vẫn được xếp chung vào loại thứ bảy. Tất cả những đường diềm mà người ta có thể tưởng tượng ra đều thuộc một trong bảy loại này. Tất cả sự phối hợp khác đều không thể xảy ra trong hình học. Lý thú ở chỗ, hai loại cuối cùng là phổ biến nhất. Hiển nhiên là vẽ những hình sử dụng nhiều phép đối xứng sẽ dễ hơn so với những hình chỉ có một. Phổng mũi với những thành quả của mình về vùng Lưỡng Hà, ngày hôm sau tôi đã sẵn sàng tiến công sang Hy Lạp cổ đại. Vừa đặt chân đến nơi, tôi đã bận rộn chẳng đi đâu được nữa. Ở đây, cuộc săn tìm những đường diềm trang trí chẳng khác gì một trò chơi trẻ con. Tôi chỉ cần bước vài bước, đi qua vài cái tủ trưng bày, liếc qua vài chiếc vò hai quai kiểu Hy Lạp (amphora) màu đen với họa tiết đỏ, là đã có thể tìm thấy đủ bảy loại đường diềm trong danh sách. Đối diện với sự phong phú này, tôi nhanh chóng bỏ qua việc thống kê như tôi đã làm đối với khu trưng bày Lưỡng Hà. Sức sáng tạo của các nghệ sĩ khiến tôi kinh ngạc. Những hoa văn mới, phức tạp và tinh xảo hơn, dần hiện ra. Không ít lần, tôi đã phải dừng lại và tập trung cao độ để tháo gỡ những cảnh sắc rối rắm xoắn quyện vào nhau đang bủa vây lấy tôi. Rẽ vào một gian phòng, những chiếc bình rước nướcP mang họa tiết đỏ khiến tôi nín lặng. Bình rước nước là một chiếc bình dài có hai quai, cao gần một mét, có chức năng đựng nước tắm. Có rất nhiều đường diềm trang trí bình và tôi bắt đầu phân loại chúng. Một. Hai. Ba. Bốn. Năm. Sau vài giây, tôi xác định được năm trên tổng số bảy loại cấu trúc hình học. Chiếc bình được đặt sát vào tường, nhưng khi hơi nghiêng một chút, tôi có thể thấy được loại thứ sáu ở mặt bị che khuất. Chỉ còn thiếu một cái. Nếu có đủ thì nó sẽ đẹp biết bao. Điều đáng ngạc nhiên là, cái vắng mặt đó lại không giống với cái cuối cùng mà tôi tìm kiếm hôm qua. Thời đại thay đổi, phong cách cũng vậy, tôi không chỉ thiếu mỗi phép đối xứng trượt, mà còn thiếu cả sự kết hợp phép đối xứng dọc, phép quay và phép đối xứng trượt. Tôi điên cuồng tìm kiếm loại hoa văn ấy, đảo mắt truy lùng đến từng góc nhỏ nhất của đối tượng. Không thấy nó đâu. Có chút thất vọng, tôi đang định bỏ cuộc thì ánh mắt dừng lại ở một chi tiết. Ở trung tâm chiếc bình có vẽ một cảnh với hai hình người. Thoạt nhìn, chỗ đó chẳng có vẻ gì là có đường diềm trang trí. Tuy nhiên, ở góc bên phải của khung cảnh, có một vật thu hút sự chú ý của tôi: cái bình mà nhân vật trung tâm đang tựa vào. Một cái bình làm họa tiết cho một cái bình! Phép phản ảnh lồng chiếuP cũng đủ để làm tôi mỉm cười. Tôi nhíu mày, hình vẽ đã hơi mòn vẹt, nhưng không còn gì nghi ngờ nữa: họa tiết hình cái bình đó có mang một đường diềm trang trí. Và, kỳ diệu thay, đó chính là cái mà tôi đang thiếu! Mặc dù đã nỗ lực tìm đi tìm lại, tôi vẫn không kiếm ra nổi bất kỳ hiện vật nào khác có đặc tính tương tự. Cái bình rước nước này dường như là độc nhất trong bộ sưu tập của bảo tàng Louvre: cái duy nhất có đủ cả bảy loại diềm trang trí. Xa hơn một chút, có một bất ngờ khác đang chờ đợi tôi. Những diềm trang trí ba chiều! Tôi vẫn tưởng rằng luật phối cảnh là một phát minh của thời kỳ Phục Hưng. Những vùng sáng tối được người nghệ sĩ khéo léo sắp đặt tạo thành một trò chơi giữa bóng tối và ánh sáng để tạo nên một hiệu ứng hình khối dưới dạng hình học bao quanh chu vi của chiếc bình khổng lồ này. Càng tiến sâu, càng có nhiều câu hỏi nảy ra trong đầu tôi. Một vài mảnh vỡ không được trang trí bằng các đường diềm mà bằng các khối lát mặt (pavages). Nói cách khác, những họa tiết hình học không chỉ giới hạn trong một dải hình bao quanh đồ vật nữa mà phủ lên toàn bộ bề mặt nó, nhân bội những khả năng kết hợp hình học. Sau Hy Lạp là đến nền văn minh Ai Cập, EtruscaP và La Mã. Tôi phát hiện ra những ảo thị hình đăng ten được khắc lên cả đá. Những sợi dây xoắn lấy nhau tạo thành một hình mắt lưới hoàn toàn cân đối. Rồi, dường như chiêm ngưỡng các tác phẩm thôi là chưa đủ, tôi sớm nhận ra mình đang ngắm nhìn chính bảo tàng Louvre. Trần nhà, gạch lát sàn, những khung cửa. Trên đường về nhà, tôi có cảm giác mình không thể ngừng lại được nữa. Suốt dọc đường, tôi nhìn lên ban công của các tòa nhà, hoa văn trên quần áo của dòng người qua lại, những bức tường trong hành lang ở trạm tàu điện ngầm… Chỉ cần thay đổi thế giới quan của mình là sẽ nhìn thấy sự hiện diện của toán học. Hành trình chinh phục nó đầy hấp dẫn và kéo dài vô tận. Và cuộc phiêu lưu chỉ mới bắt đầu. Chương 2 Và các con số Vào thời gian ấy, ở vùng Lưỡng Hà, mọi thứ diễn ra rất nhanh. Vào cuối thiên niên kỉ thứ 4 , những ngôi làng nhỏ mà chúng ta từng đề cập giờ đã hóa thành những thành phố phồn thịnh. Một số nơi có dân số lên đến hàng chục nghìn người. Công nghệ chưa từng phát triển vượt trội đến thế. Dù là kiến trúc sư, thợ kim hoàn, thợ làm gốm, thợ dệt, thợ mộc hay thợ điêu khắc cũng đều phải thể hiện tay nghề thật khéo léo và không ngừng đổi mới để có thể đáp ứng được những thách thức kỹ nghệ đang đặt ra cho họ. Nghề luyện kim vẫn chưa được chú trọng phát triển, nhưng cũng đã vào guồng. Dần dần, một mạng lưới giao thông được giăng mắc khắp vùng. Giao lưu văn hóa và thương mại ngày một được nhân rộng. Các hệ thống thứ bậc ngày càng phức tạp hơn đã được thiết lập và Homo sapiens đã khám phá ra niềm vui của việc quản lý hành chính. Tất cả những điều này đòi hỏi cả một sự tổ chức! Để thiết lập nên trật tự xã hội, đây chính là thời đại mà loài người sáng tạo nên chữ viết và lịch sử. Trong cuộc cách mạng sắp được lên nòng này, toán học sẽ đóng vai trò tiên phong. Theo dòng chảy của sông Euphrates, chúng ta rời khỏi cao nguyên phía Bắc nơi đã chứng kiến sự ra đời của những ngôi làng định cư đầu tiên và hướng về nền văn minh SumerP trải khắp các vùng đồng bằng Hạ Lưỡng Hà. Chính tại đây, trong các thảo nguyên phía Nam, hình thành nên các trung tâm dân cư chính. Dọc theo bờ sông, ta gặp các thành phố Kish, Nippur và Shuruppak. Những thành phố này vẫn còn trẻ, nhưng những thế kỉ mở ra trước chúng thì mang đầy những hứa hẹn về sự vĩ đại và thịnh vượng. Và rồi bỗng chốc, thành phố Uruk cắt ngang chân trời. Thành phố Uruk giống như một tổ kiến của loài người, nơi đã khiến toàn bộ vùng Cận ĐôngP tỏa ánh hào quang bằng uy thế và sức mạnh của nó. Được xây dựng chủ yếu bằng gạch nung, thành phố khoe sắc cam của mình trên hơn trăm hecta và người lữ khách nếu lỡ lạc đường có thể sẽ phải lang thang hàng giờ liền trong những con phố hẹp chằng chịt của nó. Ở trung tâm thành phố, những ngôi đền nguy nga mọc lên như nấm. Tại đây người ta ca tụng An, đấng sinh thành của chư thần, nhưng nhiều nhất vẫn là thờ Inanna, Nữ thần bầu trời. Vì bà mà người ta đã dựng nên điện thờ Eanna, công trình đồ sộ nhất thành phố với chiều dài tám mươi mét, chiều rộng ba mươi mét. Đủ để khiến biết bao lữ khách khi đi ngang qua phải choáng ngợp. Mùa hè đang đến gần, và như mọi năm, vào thời điểm này, bầu không khí náo nhiệt đặc biệt bao trùm thành phố. Sớm thôi, những đàn cừu sẽ di chuyển đến các khu vực chăn thả phía Bắc và chỉ trở về vào cuối mùa nóng bức này. Trong nhiều tháng, những người chăn cừu sẽ phải chịu trách nhiệm trông nom gia súc, bảo đảm lương thực và an toàn cho chúng, rồi dẫn chúng về trao cho chủ. Đền Eanna sở hữu rất nhiều đàn gia súc trong đó những đàn lớn nhất có đến hàng chục nghìn con. Chúng đông đến nỗi phải có lính tráng đi theo để bảo vệ cả đàn khỏi những nguy hiểm trong cuộc hành trình. Tuy nhiên, những chủ sở hữu không để đàn cừu của họ ra đi mà không đảm bảo chúng được canh chừng cẩn thận. Với những người chăn cừu, hợp đồng rất rõ ràng: anh ta phải trả về đúng số cừu so với lúc rời đi. Không có chuyện để lạc mất hay lén lút đổi chác một vài con. Một câu hỏi được đặt ra: làm sao để so sánh được số lượng cừu trong đàn khi đi với số lượng khi trở về? Để trả lời cho câu hỏi này, từ mấy thế kỉ trước, một hệ thống gồm những thẻ tính bằng đất sét đã được phát triển. Có rất nhiều loại thẻ tính, mỗi thẻ tương ứng với một hay nhiều đồ vật hoặc con vật tùy theo hình dạng và hoa văn được vẽ trên thẻ. Một con cừu được tính bằng một miếng dẹt tròn đơn giản đánh dấu chữ thập. Khi khởi hành, một số lượng thẻ tính tương đương với lượng cừu sẽ được đặt trong một cái thùng. Khi trở về, chỉ cần so sánh đàn cừu với số thẻ trong thùng để đảm bảo rằng không thiếu con nào. Mãi về sau, loại thẻ tính này mới được đặt cho một tên gọi Latin là calculi, có nghĩa là “những hòn cuội nhỏ”, gốc của từ calcul (phép tính) sau này. Phương pháp này tuy có ích, nhưng vẫn còn bất cập. Ai là người giữ các thẻ tính? Bởi cả hai bên đều nghi ngờ nhau, và những người chăn cừu có thể lo sợ rằng một vài thẻ tính sẽ bị đám chủ thất đức thêm vào khi họ vắng mặt. Những kẻ đó hoàn toàn có thể lợi dụng điều này để đòi bồi thường cho những con cừu vốn chẳng hề tồn tại! Thế là họ tìm kiếm, họ vắt óc, và cuối cùng cũng nghĩ ra được một giải pháp. Những thẻ tính sẽ được cất trong một quả cầu rỗng bằng đất sét được niêm phong kín. Lúc niêm phong, mỗi người đặt ấn ký của mình lên mặt quả cầu để bảo đảm tính xác thực của nó. Giờ thì không thể thay đổi số lượng thẻ tính mà không đập vỡ quả cầu. Những người chăn cừu có thể yên lòng mà ra đi. Nhưng đến lượt các chủ sở hữu thấy phương pháp này bất cập. Để phục vụ cho việc kinh doanh, lúc nào họ cũng cần biết số lượng cừu có trong đàn. Vậy phải làm thế nào? Ghi nhớ nằm lòng số lượng cừu chăng? Không khả thi, vì ngôn ngữ Sumer chưa có từ nào để chỉ định những con số lớn như vậy. Làm đúp một số lượng thẻ tính bằng với số thẻ có trong quả cầu nhưng không niêm phong? Khá là bất tiện. Giải pháp cuối cùng cũng được đưa ra. Dùng một ống sậy vót nhọn, người ta vẽ lại số thẻ tính lên mặt mỗi quả cầu. Nhờ vậy, họ có thể kiểm tra số lượng thẻ trong quả cầu mà không cần phải đập vỡ nó. Phương pháp này có vẻ thuận lòng tất cả mọi người. Nó được sử dụng rộng rãi, không chỉ để đếm cừu mà còn để chốt tất cả các loại hợp đồng khác. Ngũ cốc, như lúa mạch hoặc lúa mì, len và sợi dệt, kim loại, đồ trang sức, đá quý, dầu hoặc đồ gốm cũng được tính bằng thẻ tính. Thậm chí các loại thuế cũng được quản lý bằng thẻ tính. Tóm lại, vào cuối thiên niên kỉ thứ 4, ở Uruk, mọi hợp đồng đúng quy cách đều phải được niêm phong bởi một quả cầu bằng đất sét đựng thẻ tính. Mọi chuyện diễn ra suôn sẻ cho đến một ngày, một ý tưởng xuất sắc nảy sinh. Ý tưởng này vừa tài tình vừa đơn giản đến nỗi người ta phải tự hỏi tại sao họ không nghĩ ra nó từ trước. Đã khắc số lượng con vật lên bề mặt quả cầu thì còn bỏ thẻ tính vào trong làm gì? Và cần gì phải dùng đến quả cầu nữa? Ta hoàn toàn có thể chỉ đơn giản là vẽ bức hình biểu thị số thẻ lên một miếng đất sét bất kỳ, lên một tấm gỗ phẳng chẳng hạn. Và người ta gọi đó là chữ viết. Tôi quay trở lại bảo tàng Louvre. Bộ sưu tập cổ vật phương Đông minh chứng cho câu chuyện này. Thứ đầu tiên đập vào mắt tôi khi nhìn những túi đựng hình cầu là kích thước của chúng. Những quả cầu đất sét nho nhỏ mà người Sumer nặn bằng cách vo quanh ngón cái không lớn hơn một quả bóng bàn là mấy. Còn những thẻ tính thì cũng không quá một centimet. Xa hơn một chút, là những bản khắc văn tự đầu tiên từng xuất hiện, chúng ngày một nhiều và chứa đầy trong các tủ trưng bày. Dần dần, các văn tự ngày càng rõ ràng dưới dạng chữ hình nêm được cấu thành từ những khấc nhỏ hình cái đinh. Sau khi nền văn minh đầu tiên của vùng Lưỡng Hà biến mất vào buổi đầu kỷ nguyên của chúng ta, đa số những mẫu văn tự này đã ngủ yên trong suốt hàng thế kỉ dưới tàn tích của những thành phố bỏ hoang, trước khi được khai quật bởi các nhà khảo cổ học phương Tây vào thế kỉ 17. Chúng sẽ dần dà được giải mã vào thế kỉ 19. Các bản văn tự này không quá lớn. Một vài cái chỉ to bằng những tấm danh thiếp, nhưng được phủ kín bởi hàng trăm ký hiệu nhỏ chồng chéo lên nhau. Không có chuyện những người thợ khắc chữ Lưỡng Hà lại để lãng phí mẩu đất sét nhỏ nhất! Những tấm ghi chú của bảo tàng được đặt bên cạnh từng bản khắc giúp tôi giải nghĩa những ký tự bí ẩn. Chúng nói về gia súc, trang sức hoặc ngũ cốc. Bên cạnh tôi, một vài du khách chụp hình với… máy tính bảngP của họ. Kỳ thú thay khi vòng quay của lịch sử đã đưa chữ viết lên biết bao phương tiện khác nhau, từ đất sét đến giấy, sau khi đã đi qua đá cẩm thạch, sáp ong, giấy cói và giấy da, và cuối cùng, như một câu đùa, trả lại cho những tấm bảng điện tử này hình dạng của chính tổ tiên bằng đất của chúng. Thời gian trôi qua và hiện giờ chúng ta đang ở vào khoảng đầu thiên niên kỉ thứ 3 . Thêm một bước tiến mới: các con số đã được giải phóng khỏi những vật dụng đo đếm! Trước đây, với những túi đựng hình cầu và với những bản khắc văn tự đầu tiên, các ký hiệu đo đếm phụ thuộc vào đối tượng được đo. Một con cừu không phải là một con bò, vậy nên ký hiệu dùng để đếm cừu và đếm bò không giống nhau. Và mọi đối tượng đếm được đều sở hữu ký hiệu cho riêng mình, cũng giống như chúng từng có thẻ tính riêng. Nhưng giờ chuyện đó đã là dĩ vãng. Những con số đã có ký hiệu riêng của chúng. Nói cách khác, để đếm tám con cừu, người ta sẽ không dùng tám biểu tượng chỉ con cừu nữa, mà sẽ dùng số tám bên cạnh biểu tượng loài cừu. Còn để đếm tám con bò, chỉ cần thay biểu tượng con cừu bằng biểu tượng con bò. Con số sẽ được giữ nguyên. Đây tất nhiên là bước ngoặt mang tính nền tảng trong lịch sử phát triển tư duy của loài người. Nếu phải đánh dấu cột mốc ra đời của toán học, tôi nhất định sẽ chọn ngay khoảnh khắc này. Khoảnh khắc mà con số bắt đầu tồn tại bởi nó và cho chính nó, khoảnh khắc mà nó tách khỏi thực tại để bước lên một tầm cao hơn. Tất cả những thứ trước đó đều mới chỉ là thai nghén. Công cụ đá hai mặt, diềm trang trí, thẻ tính, chỉ như khúc dạo đầu cho sự ra đời vốn đã được định sẵn của con số. Từ đó trở đi, con số bước vào địa hạt trừu tượng và đó chính là điều làm nên bản sắc của toán học: một môn khoa học trừu tượng tuyệt đối. Các đối tượng nghiên cứu của toán học không tồn tại dưới dạng vật lý. Nó không phải vật chất, không được tạo nên bởi các nguyên tử. Nó chỉ là những ý tưởng. Dù vậy, những ý tưởng này lại cực kỳ hiệu quả trong việc tìm hiểu thế giới! Có lẽ không phải ngẫu nhiên mà sự cần thiết của việc biểu diễn những con số lại đóng vai trò then chốt trong sự xuất hiện của chữ viết. Vì nếu có thể dễ dàng truyền đạt những ý tưởng khác bằng lời nói, thì có vẻ như rất khó để thiết lập được một hệ thống con số mà không ghi lại bằng chữ viết. Thậm chí ngày nay, đã có ai trong chúng ta phân tách các con số và ký hiệu của chúng? Nếu tôi đề nghị bạn nghĩ về một con cừu, bạn sẽ mường tượng ra nó như thế nào? Có lẽ bạn sẽ liên tưởng đến một con vật có bốn chân kêu be be, với cả rổ len trên lưng. Thứ hiện lên trong tâm trí bạn sẽ không phải hình ảnh ba ký tự trong chữ “Cừu”. Tuy nhiên, nếu giờ tôi nói với bạn về con số 128, bạn sẽ mường tượng gì trong đầu? Có phải những chữ số 1, 2 và 8 đang hình thành trong não bạn và nối tiếp nhau như được viết bằng một loại mực vô hình lên mạch suy nghĩ của bạn không? Hình ảnh ta mường tượng trong đầu về những con số lớn dường như nhất thiết phải gắn liền với cách viết chúng. Đây là một ví dụ chưa từng có tiền lệ. Đối với những thứ khác, văn tự chỉ là một phương tiện để ghi lại những gì từng tồn tại trong ngôn ngữ nói. Còn với những con số, chính văn tự mới là thứ gợi mở cho văn thoại. Hãy nghĩ đến lúc bạn nói “một trăm hai mươi tám”, bạn chỉ đang đọc: 100 + 20 + 8. Quá một ngưỡng nào đó, việc nói về những con số sẽ trở nên bất khả thi nếu không có sự hỗ trợ của văn tự. Trước khi được viết nên, những con số lớn vốn không hề có từ [biểu thị] riêng. Trong thời đại của chúng ta, một số dân tộc bản địa vẫn chỉ có rất ít từ để chỉ các con số. Cư dân thuộc bộ lạc Pirahã sống ven bờ sông Río Maici ở Amazon chỉ đếm được đến hai. Họ dùng một từ mang nghĩa “nhiều” để chỉ số lượng lớn hơn thế. Cũng ở Amazon, người Munduruku chỉ có từ để đếm đến năm, nghĩa là một bàn tay. Trong các xã hội hiện đại, những con số tràn ngập trong cuộc sống hằng ngày của chúng ta. Chúng đã trở nên quá phổ biến và cần thiết đến mức ta thường xuyên quên rằng ý tưởng này xuất sắc đến nhường nào và tổ tiên ta đã phải mất hằng bao nhiêu thế kỉ mới tạo nên được những ký hiệu số rõ ràng cho ta dùng như ngày nay. Qua từng thời kỳ, rất nhiều cách thức đã được phát minh để viết những con số. Cách đơn giản nhất trong số đó là muốn có bao nhiêu số thì vẽ chừng ấy ký hiệu. Những vạch nhỏ liền kề nhau là một ví dụ. Đó là cách mà ta vẫn còn dùng khá thường xuyên, ví dụ như để đếm số điểm trong một trò chơi. Bức vẽ cổ xưa nhất từng được biết đến có sử dụng cách thức này ra đời khá lâu trước khi người Sumer phát minh ra chữ viết. Những cây IshangoP bằng xương được tìm thấy vào thập niên 1950 tại bờ hồ Edward thuộc Cộng hòa Dân chủ Congo và có niên đại chừng hai mươi nghìn năm! Chúng dài từ 10 đến 14 centimet và có nét đặc thù là mang vô số các vết khứa gần như cách đều nhau. Những vết khứa ấy có vai trò gì? Có thể là hệ thống đếm đầu tiên. Một số người cho rằng đó là một cuốn lịch, trong khi số khác suy đoán đó là những kiến thức số học vốn đã khá tiên tiến. Hai khúc xương hiện đang được trưng bày tại Bảo tàng Khoa học Tự nhiên Bỉ (Museum of Natural Sciences of Belgium) ở Brussels. Phương pháp đếm sử dụng mỗi vết khắc cho một đơn vị này nhanh chóng đụng phải giới hạn khi cần xử lý những số liệu tương đối lớn. Để đi nhanh hơn, người ta bắt đầu công việc đóng gói! Những thẻ tính của người Lưỡng Hà khi đó đã có thể đại diện cho nhiều đơn vị một lúc. Ví dụ, có một loại thẻ dành riêng cho việc biểu thị mười con cừu. Khi chuyển sang hệ thống chữ viết, nguyên tắc này vẫn được sử dụng. Do đó, người ta tìm ra những biểu tượng cho các gói 10, 60, 600, 3600 và 36000. Có thể nhận thấy tính logic trong cấu trúc của các biểu tượng. Số 60 hay 3600 khi được nhân lên với 10 sẽ được khoanh thêm một vòng tròn bên trong. Cùng với sự xuất hiện của chữ hình nêm, những biểu tượng ban đầu cũng dần dà được thay đổi. Do sự thân cận với Lưỡng Hà, Ai Cập cũng tiếp nhận nền văn hóa chữ viết từ rất sớm. Từ đầu thiên niên kỉ thứ 3, họ đã phát triển hệ thống con số của riêng mình. Từ đó trở đi, hệ thống này vẫn hoàn toàn là hệ thập phân: mỗi biểu tượng có giá trị gấp mười lần so với cái trước đó. Các hệ thống có tính chất cộng thêm này, trong đó người ta biểu diễn những con số có giá trị cao hơn bằng việc sáng tạo thêm các ký hiệu, đạt được thành công to lớn trên thế giới và vô số những biến thể đã xuất hiện trong suốt thời cổ đại và một phần thời Trung cổ. Đặc biệt, chúng được sử dụng bởi người Hy Lạp và La Mã, các dân tộc vốn đã hài lòng với việc lấy các con chữ trong bảng chữ cái của mình để biểu thị chữ số. Bên cạnh những hệ thống cộng thêm này, một phương thức ký hiệu chữ số mới dần lộ diện: cách viết số theo vị trí. Trong hệ thống này, giá trị của mỗi biểu tượng phụ thuộc vào vị trí của nó trong con số. Một lần nữa, những người Lưỡng Hà lại đi tiên phong. Vào thiên niên kỉ thứ 2 , thành Babylon tỏa sáng trên vùng Cận Đông. Văn tự hình nêm vẫn luôn là xu thế, nhưng giờ đây người ta chỉ dùng hai biểu tượng: ký hiệu chiếc đinh ứng với số 1 và ký hiệu chữ V nằm ngang ứng với số 10. Hai ký hiệu này cho phép ta ghi lại tất cả các con số lên đến 59 bằng phương pháp bổ sung. Ví dụ, số 32 sẽ được viết với ba dấu V ngang, theo sau là hai ký hiệu hình đinh. Từ số 60 trở đi, người ta bắt đầu gộp nhóm, và chính những biểu tượng đó sẽ được sử dụng để ghi lại các bội số của 60. Nếu như ngày nay ta đọc các con số từ phải sang trái, lần lượt từ hàng đơn vị, tiếp đó là hàng chục, rồi hàng trăm, thì trong hệ đếm của người Babylon, người ta đọc hàng đơn vị trước, rồi đến hàng sáu chục, tiếp là hàng ba nghìn sáu trăm (cũng có nghĩa là sáu mươi lần hàng sáu chục), và mỗi hàng kế tiếp theo sẽ có giá trị gấp sáu mươi lần hàng trước đó. Ví dụ, số 145 được cấu thành bởi số hai ở hàng sáu chục có tổng là một trăm hai mươi và phải thêm hai mươi lăm đơn vị. Người Babylon sẽ viết con số đó như sau: Nhờ hệ thống này, các nhà bác học Babylon đã tiếp cận những kiến thức phi thường. Họ không chỉ biết cách thực hiện bốn phép tính cơ bản là cộng, trừ, nhân, chia, mà còn tính được cả căn bậc hai, lũy thừa hay phép nghịch đảo. Họ đã tạo ra được những bảng số học rất hoàn chỉnh và đặt ra những phương trình với các cách giải rất hợp lý. Tuy nhiên, tất cả những kiến thức này sẽ sớm bị lãng quên. Nền văn minh Babylon đang trên đà sụp đổ và một phần lớn ngành toán học tân tiến của nó trôi vào dĩ vãng. Không còn hệ đếm số theo vị trí nữa. Các phương trình đó cũng chấm hết. Phải đến mấy thế kỉ sau những câu hỏi này mới lại được đưa ra ánh sáng, và phải đến thế kỉ 19 thì các bản khắc văn tự chữ hình nêm mới được giải mã, nhắc ta rằng người Lưỡng Hà đã trả lời được những câu hỏi này trước nhất. Tiếp nối người Babylon, người Maya cũng đã mường tượng ra một hệ số đếm riêng, nhưng với cơ số 20. Rồi đến lượt người Ấn Độ phát minh ra hệ đếm cơ số 10. Hệ đếm này đã được các nhà bác học Ả Rập tái sử dụng trước khi được du nhập sang châu Âu vào cuối thời Trung cổ. Ở nơi đây, những biểu tượng này được gọi là những con số Ả Rập và nhanh chóng chinh phục toàn thế giới. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nhờ có những con số, loài người dần hiểu ra rằng họ sẽ phát minh ra một công cụ trên cả mong đợi để mô tả, phân tích và lĩnh hội thế giới xung quanh. Họ phấn khích với điều đó đến mức họ đi hơi xa. Sự ra đời của những con số cũng là sự khai sinh của bộ môn thần số học. Họ gán những đặc tính huyền diệu cho các con số, họ diễn giải nó vượt quá giới hạn của lý tính, họ cố gắng đọc thông điệp của các vị thần và vận mệnh của thế giới qua chúng. Vào thế kỉ 6 , Pythagoras đã đặt ra khái niệm nền tảng cho chủ thuyết triết học của ông. “Tất thảy đều là những con số”, nhà bác học người Hy Lạp tuyên bố. Theo ông, chính những con số đã tạo tác các thể dạng hình học, từ đó sinh ra bốn yếu tố vật chất là lửa, nước, đất và không khí, các yếu tố cấu tạo nên vạn vật. Pythagoras tạo nên cả một hệ thống dựa trên số học. Các số lẻ tương ứng với giống đực, các số chẵn biểu thị giống cái. Số 10, được biểu diễn như một hình tam giác, được gọi là tetractysP và trở thành biểu tượng của sự hài hòa và hoàn hảo trong vũ trụ. Những người của trường phái Pythagoras cũng là những người mở đầu môn số học huyền bí cho rằng có thể nhìn thấu nhân cách con người bằng cách liên kết các giá trị số học với những chữ cái có trong tên người đó. Cùng lúc đó, các cuộc tranh luận về bản chất các con số bắt đầu nổ ra. Một số tác giả ủng hộ giả thuyết rằng đơn vị không phải là một con số, bởi con số biểu thị những thứ tồn tại ở số nhiều và bởi vậy chỉ được xét từ số 2. Họ thậm chí còn quả quyết rằng để có thể tạo ra tất cả những con số khác, số 1 phải vừa là số lẻ vừa là số chẵn. Sau này, chính số 0, số âm hay số ảo sẽ gây nên ngày càng nhiều những tranh luận sôi nổi. Mỗi lần như thế, những ý tưởng mới về các con số lại thúc đẩy các cuộc thảo luận và buộc các nhà toán học phải mở rộng khái niệm của họ. Tóm lại, con số không ngừng đặt ra những câu hỏi và nhân loại sẽ còn phải mất thêm nhiều thời gian nữa mới học được cách kiểm soát những sinh vật kỳ lạ phát xuất từ bộ não của mình. Chương 3 Không phải nhà hình học thì đừng có bước vào đây Khi các con số đã được phát minh, toán học sớm phân thành nhiều nhánh như số học, logic học hay đại số học. Các nhánh rẽ này dần phát triển đến độ chín muồi và trở thành những bộ môn độc lập. Trong đó, một bộ môn nhanh chóng rút khỏi cuộc chơi và thu hút các nhà bác học thời cổ đại: môn hình học. Chính bộ môn này sẽ tạo nên danh tiếng cho những ngôi sao toán học đầu tiên như Thales, Pythagoras và Archimedes, những cái tên cho đến ngày nay vẫn còn gây ám ảnh trong các trang sách giáo khoa của chúng ta. Nhưng trước khi trở thành mối bận tâm của các nhà tư tưởng vĩ đại, thực địa mới là nơi hình học được vinh danh. Từ nguyên của nó cho thấy nó vốn là môn khoa học về đo đạc đất đai, và những nhà trắc địa đầu tiên chính là những nhà toán học địa phương. Những vấn đề liên quan đến việc phân chia lãnh thổ trở thành một phạm trù kinh điển của ngành này. Làm sao để chia một cánh đồng này thành những phần bằng nhau? Làm sao để định giá mảnh đất dựa trên diện tích của nó? Trong hai miếng đất kia miếng nào gần sông hơn? Xây con kênh sắp tới theo tuyến nào thì mất ít thời gian nhất? Tất cả những câu hỏi này đều hết sức quan trọng trong các xã hội cổ đại, khi mà toàn bộ nền kinh tế chủ yếu xoay quanh nông nghiệp và bởi vậy, gắn liền với việc phân bổ đất đai. Để trả lời những câu hỏi đó, những kiến thức về hình học dần được hình thành, được trau dồi và truyền từ đời này sang đời khác. Ai sở hữu những kiến thức này, đương nhiên sẽ nắm giữ vai trò trung tâm và thiết yếu trong xã hội. Đối với các chuyên gia đo lường, dây thừng thường là công cụ hình học đầu tiên. Tại Ai Cập, việc căng dây thừng đã là một nghề hẳn hoi. Khi những con lũ từ sông Nile ập đến và gây nên các đợt ngập úng thường kỳ, họ sẽ được gọi đến để tái xác định ranh giới các mảnh đất ven sông. Dựa vào các thông tin thu thập từ thực địa, họ đóng cọc, chăng sợi dây thừng dài qua những thửa ruộng, rồi thực hiện các phép tính giúp tìm lại viền đất đã bị dòng nước xóa sổ. Khi xây một tòa nhà, họ cũng chính là những người đầu tiên phải xắn tay để đo nền và đánh dấu chính xác vị trí công trình dựa theo sơ đồ của kiến trúc sư. Và khi xây dựng một ngôi đền hay một công trình tưởng niệm quan trọng, đôi lúc các pharaoh sẽ là người làm nghi thức căng sợi dây đầu tiên. Cần phải nói rằng dây thừng là một công cụ hình học đa năng. Các nhà trắc địa sử dụng nó như một cây thước, cũng là com-pa và kiêm luôn chức năng làm ê-ke. Để làm thước thì rất đơn giản: căng sợi dây nối hai điểm xác định, bạn sẽ có một đường thẳng. Và nếu muốn có một cây thước chia đơn vị, bạn chỉ cần thắt các nút cách đều nhau trên sợi dây. Để làm com-pa, cũng chẳng phải trò ảo thuật gì. Chỉ đơn giản là giữ một trong hai đầu đứng yên và quay đầu còn lại là ta đã có một đường tròn. Nếu sợi dây của bạn đã được chia đơn vị, bạn hoàn toàn còn có thể điều chỉnh độ dài bán kính đường tròn. Ngược lại, để dùng dây thừng làm ê-ke thì khá phức tạp. Hãy dừng lại một chút ở vấn đề này: Bạn làm thế nào để vẽ được một góc vuông? Chỉ cần nghiên cứu chút ít là có thể hình dùng ra nhiều phương pháp khác nhau. Ví dụ, nếu bạn vẽ hai đường tròn giao nhau, thì đường thẳng nối hai tâm hai của hai đường tròn ấy sẽ vuông góc với đường thẳng nối hai giao điểm của hai đường tròn. Vậy là bạn có góc vuông. Về mặt lý thuyết, cách dựng này rất hoàn hảo, nhưng trên thực tế vấn đề lại phức tạp hơn nhiều. Hãy tưởng tượng rằng trên mỗi cánh đồng, các nhà trắc địa phải vẽ chính xác hai đường tròn lớn mỗi khi họ cần một góc vuông, hoặc đơn giản hơn là chỉ để kiểm tra xem một góc đã được dựng sẵn có thật sự vuông hay không. Phương pháp này chẳng tiện lợi chút nào, cũng chẳng có mấy hiệu quả. Một cách khác khéo léo và thực tế hơn, đã được các nhà trắc địa thông qua: dùng luôn sợi dây thừng để tạo nên một hình tam giác có một góc vuông. Loại tam giác này được gọi là tam giác vuông. Và nổi tiếng nhất trong các loại tam giác vuông, chính là loại 3– 4– 5! Nếu bạn lấy một sợi dây thừng chia thành mười hai đoạn bằng nhau với mười ba nút, bạn sẽ dựng được một hình tam giác có các cạnh lần lượt dài ba, bốn và năm đoạn. Và kỳ diệu thay, góc tạo thành bởi các cạnh 3 và 4 chính xác là một góc vuông. Bốn nghìn năm trước, người Babylon đã có những bảng số cho phép dựng nên các tam giác vuông. Bảng Plimpton 322 hiện đang nằm trong bộ sưu tập của trường đại học Columbia ở New York, có niên đại vào năm 1800 , thể hiện mười lăm bộ ba những số như vậy. Ngoài bộ 3– 4– 5, người ta còn tìm ra mười bốn bộ tam giác khác trong bảng, một vài trong số đó phức tạp hơn nhiều, như 65– 72– 97 hay 1679– 2400– 2929. Ngoài một vài lỗi sai nho nhỏ – do sơ suất khi tính toán hoặc sao chép – các tam giác trong bảng Plimpton đều hoàn toàn chính xác: tất cả đều có một góc vuông! Rất khó để biết được cụ thể từ thời đại nào các nhà trắc địa học Babylon bắt đầu sử dụng kiến thức về tam giác vuông để đo đất, chỉ biết rằng việc đó vẫn tiếp tục sau khi nền văn minh của họ biến mất. Vào thời kỳ Trung Cổ, sợi dây mười hai nút thắt, hay còn được gọi là sợi dây tu sĩ, là một công cụ không thể thiếu đối với những thợ xây nhà thờ. Khi dạo một vòng qua lịch sử toán học, không khó để ta thấy một số khái niệm tương tự đã xuất hiện độc lập ở những nơi cách nhau hàng nghìn kilomet và trong những bối cảnh văn hóa khác biệt sâu sắc. Một trong số những trùng hợp kỳ lạ ấy chính là việc nền văn minh Trung Hoa đã khai triển thành thạo toán học trong suốt thiên niên kỉ thứ 1 , tương ứng một cách lạ lùng với những phát minh của các nền văn minh Babylon, Ai Cập hay Hy Lạp cùng thời đại. Những kiến thức này đã được tích lũy qua nhiều thế kỉ trước khi được tổng hợp lại cách đây khoảng hai nghìn hai trăm năm, vào thời nhà Hán, thành một trong những công trình toán học đồ sộ đầu tiên trên thế giới: Cửu chương toán thuật. Toàn bộ chương đầu tiên trong Cửu chương được dành cho việc nghiên cứu các phương thức đo đất với nhiều hình dạng khác nhau. Hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hình tròn, hình quạt tròn hoặc hình vành khăn là các dạng hình học mà phương pháp tính diện tích được trình bày rất tỉ mỉ. Ở phần sau của cuốn sách đó, người ta phát hiện ra rằng chương thứ chín và chương cuối hầu hết là nghiên cứu về hình tam giác vuông. Và đoán xem loại hình nào được nhắc đến ở ngay dòng đầu tiên của chương… 3– 4– 5! Những ý tưởng tuyệt vời đều như vậy. Chúng vượt lên trên những khác biệt văn hóa và nảy nở một cách tự nhiên ở bất cứ nơi nào trí tuệ con người sẵn sàng đón nhận chúng. ộ ấ ề ủ ờ ạ Từ những bài toán về ruộng đất, kiến trúc, hay khái quát hơn, về quy hoạch không gian, các nhà bác học thời kỳ cổ đại đã đặt ra những vấn đề hình học rất đa dạng. Đề bàisau, trích từ bản khắc văn tự BM 85200 của người Babylon, cho thấy người Babylon không hề dừng lại ở hình học mặt phẳng mà còn vươn đến cả hình học không gian. Một tầng hầm. Chiều dài bằng chiều sâu. 1 [đơn vị], tôi đào dưới đất. Nền nhà của tôi và khoảng đất tôi đắp lên, 1’10. Chiều dài và mặt tiền, ’50. Chiều dài, mặt tiền, bao nhiêu?P Bạn sẽ thấy các nhà toán học Babylon dùng ngôn ngữ điện báo. Cụ thể, nội dung của đề bài trên có thể hiểu như sau: Chiều sâu của một tầng hầm gấp mười hai lần chiều dài của nóP. Nếu tôi đào căn hầm sâu thêm một đơn vị, thể tích của nó sẽ bằng7/6. Nếu tôi cộng chiều dài và chiều rộng, tôisẽ thu được5/6P. Các kích thước của căn hầm là bao nhiêu? Bài toán này được viết kèm với một lời giải cụ thể dẫn tới câu trả lời là chiều dài bằng1/2, chiều rộng bằng1/3 và chiều sâu bằng 6. Bây giờ hãy cùng dạo qua phía sông Nile một chút. Lẽ tất nhiên, ở vùng đất của người Ai Cập, ta sẽ gặp những bài toán về kim tự tháp. Đề bài tiếp theo đây được trích từ một quyển sách giấy cói nổi tiếng được viết bởi viên thư lại AhmesP, có niên đại vào nửa đầu thế kỉ 16 . Một kim tự tháp có cạnh đáy bằng 140 cẳng tay và độ dốcP bằng 5 gang tay và 1 ngón tay, có độ cao là bao nhiêu? Cẳng tay, gang tay và ngón tay là các đơn vị đo lường lần lượt tương ứng với 52,5 centimet, 7,5 centimet và 1,88 centimet. Ahrnes đã đưa ra lời giải: 93 cẳng tay1/3. Trong sách giấy cói này, ông cũng thử sức với hình tròn. Ví dụ về phép tính một khoảnh ruộng tròn có đường kính bằng 9 khet. Diện tích của nó bằng bao nhiêu? Khet cũng là một đơn vị đo lường tương đương khoảng 52,2 mét. Để giải bài toán này, Ahmes khẳng định rằng diện tích khoảnh ruộng hình tròn này bằng với diện tích một khoảnh ruộng hình vuông có cạnh bằng 8 khet. Cách so sánh này là hữu ích nhất vì tính diện tích hình vuông dễ hơn nhiều so với tính diện tích hình tròn. Ông ta tính ra 8 × 8 = 64. Tuy nhiên, các nhà toán học kế tục công việc của Ahmes phát hiện ra rằng kết quả đó không chính xác. Diện tích hình tròn và hình vuông không hoàn toàn trùng khớp. Nhiều ngườisau đó đã thử trả lời câu hỏi: làm thế nào để dựng một hình vuông có diện tích bằng với diện tích của một hình tròn? Nhiều người đã kiệt sức vì nó một cách vô ích, và điều đó là có nguyên do. Ahmes, một cách vô tình, đã trở thành người đầu tiên giải quyết vấn đề mà sau này trở thành câu đố toán học vĩ đại nhất mọi thời đại: phép cầu phương hình tròn! Ở Trung Quốc, người ta cũng tìm cách tính diện tích bề mặt của thửa ruộng tròn. Bài toán dưới đây được trích từ chương đầu tiên trong Cửu chương toán thuật. Giả sử ta có một thửa ruộng tròn có chu vi bằng 30 bộ và đường kính bằng 10 bộ. Hỏi khoảnh ruộng rộng bao nhiêu?P Ở đây, một bộ tương đương khoảng 1,4 mét. Và như ở Ai Cập, các nhà toán học Trung Quốc cũng lạc lối trong một mớ bòng bong với dạng hình này. Giờ thì ta biết rằng đề bài này sai vì một hình tròn có đường kính bằng 10 sẽ sở hữu chu vi lớn hơn 30 một chút. Tuy nhiên, điều này không ngăn cản các học giả Trung Quốc đưa ra một giá trị xấp xỉ diện tích thực (75 bộ), và phức tạp hóa vấn đề bằng cách đâm đầu vào những câu hỏi liên quan đến hình vành khăn! Giả sử ta có một khoảnh ruộng hình vành khăn có chu vi bên trong bằng 92 bộ, chu vi vòng ngoài bằng 122 bộ, và đường kính bằng 5 bộ. Hỏi quy mô thửa ruộng là bao nhiêu? Ta có thể nghi ngờ rằng ở Trung Quốc cổ đại chưa bao giờ có thửa ruộng nào hình vành khăn, và đoán rằng các học giả Trung Hoa chỉ đặt ra những bài toán này như một thách thức hoàn toàn mang tính lý thuyết. Việc tìm kiếm những dạng hình học ngày càng kỳ dị và thiếu thực tế chỉ để nghiên cứu và lĩnh hội đến nay vẫn là một trò tiêu khiển yêu thích của các nhà toán học đương đại. Trong số các ngành nghề liên quan đến hình học, cũng phải tính cả nghề trắc địa bộ hành (bématistes). Nếu các nhà trắc địa bình thường hay các thợ căng dây có nghĩa vụ đo đạc các thửa ruộng và công trình thì các nhà trắc địa bộ hành phải chịu trách nhiệm cho những thứ lớn hơn rất nhiều! Ở Hy Lạp, những người này có nhiệm vụ tính các khoảng cách lớn dựa theo số bước chân của mình. Đôi khi, có những nhiệm vụ buộc họ phải đi rất xa. Vào thế kỉ 4 , Alexandros Đại Đế đã mang theo vài viên trắc địa bộ hành trong chiến dịch châu Á, một chiến dịch đã dẫn ông đến tận biên giới của Ấn Độ ngày nay. Những cuộc viễn chinh dài cả nghìn kilomet này đã được đo đạc bởi chính những nhà hình học bộ hành ấy. Cùng lên cao hơn và dành vài phút hình dung cảnh tượng kỳ lạ trong đó những con người với những bước chân nhịp nhàng đi qua những vùng đất rộng lớn ở Trung Đông. Nhìn họ đi khắp các cao nguyên vùng Thượng Lưỡng Hà, đi dọc khung cảnh cằn cỗi và vàng vọt men theo bán đảo Peninsula để đến với những nhánh sông phì nhiêu của thung lũng sông Nile, rồi quay trở lại thách thức vùng núi non trùng điệp của Đế chế Ba Tư và những vùng sa mạc của Afghanistan ngày nay. Bạn có nhìn thấy họ không, điềm tĩnh bước đi không ngừng nghỉ theo một nhịp điệu nhanh và đều, qua những ngọn núi khổng lồ của rặng Hindu Kush để quay lại bên bờ Ấn Độ Dương? Cứ thế, họ miệt mài đếm bước chân mình. Hình ảnh này dễ khiến người ta cảm động và sự thái quá trong công việc của họ có vẻ phi lý. Ấy vậy mà họ đã đem lại những kết quả có tính chính xác đáng khâm phục: khoảng cách họ đo được chênh lệch chưa đến 5% so với khoảng cách thực mà chúng ta được biết ngày nay! Các chuyên gia trắc địa bộ hành của Alexandros đã mô tả địa lý của vương quốc mình khi trước đó chưa từng có ai làm được với một vùng đất rộng đến thế. Hai thế kỉ sau, ở Ai Cập, một nhà bác học gốc Hy Lạp mang tên Eratosthenes đã nghĩ ra một dự án tầm cỡ còn lớn hơn. Ông ta muốn đo chu vi của… cả Trái đất! Chỉ vậy thôi! Tất nhiên, không ai lại cử những nhà trắc địa bộ hành đi vòng quanh Trái đất. Tuy nhiên, dựa trên những quan sát tinh tế về sự khác biệt giữa độ nghiêng của tia nắng Mặt trời ở thành phố Syene, tức là Aswan bây giờ, và ở thành phố Alexandria, Eratosthenes đã tính toán được rằng dự tính khoảng cách giữa hai thành phố này bằng một phần năm mươi tổng chu vi Trái đất. Đương nhiên là sau đó ông ta lại nhờ cậy đến các nhà trắc địa bộ hành tới để làm công việc đo đạc. Không giống như những người đồng nghiệp Hy Lạp, các nhà trắc địa Ai Cập không trực tiếp đếm bước chân của mình, mà đếm bước chân của con lạc đà họ cưỡi. Loài động vật này nổi danh với bước chân đều đặn. Sau hành trình dài dọc theo bờ sông Nile, phán quyết được đưa ra: Hai thành phố cách nhau 5000 stadium và chu vi Trái đất thì vào khoảng 250.000 stadium, tức 39.375 kilomet. Một lần nữa, kết quả gần đúng đến kinh ngạc khi mà hiện nay chúng ta biết rằng con số chính xác của chu vi Trái đất là 40.008 kilomet. Chênh lệch còn chưa đến 2%! Có lẽ hơn bất kỳ dân tộc cổ đại nào, người Hy Lạp đã đưa hình học lên một vị trí nổi bật trong văn hóa của họ. Nó được công nhận về tính chặt chẽ và khả năng rèn luyện trí óc. Đối với Platon, đây là con đường bắt buộc phải trải nghiệm đối với những người muốn trở thành triết gia. Tương truyền ở mặt chính diện học viện của ông có khắc châm ngôn: “Không phải nhà hình học thì đừng bước vào đây.” Hình học trở nên phổ biến đến nỗi cuối cùng nó đã vượt qua ranh giới của mình để xâm lấn sang các lĩnh vực khác. Các tính chất số học sẽ được giải thích bằng ngôn ngữ hình học. Hãy xem ví dụ về định nghĩa của Euclid trích từ cuốn thứ bảy trong bộ sách Elements (Cơ sở)P ông soạn vào thế kỉ 3 : Khi nhân haisố tạo thành một số mới, số được tạo thành được gọi là mặt phẳng và các cạnh của nó chính là các thừa số của tích. Nếu tôi tính tích của 5 × 3, thì số 5 và 3 sẽ được gọi là, theo Euclid, các “cạnh” của phép nhân. Tại sao? Đơn giản là vì một phép nhân có thể được biểu diễn dưới dạng diện tích của một hình chữ nhật. Nếu nó có chiều rộng bằng 3 và chiều dài bằng 5, diện tích của nó sẽ bằng 5 × 3. Các con số 3 và 5 chính là các cạnh của hình chữ nhật. Kết quả của phép nhân, 15, được gọi là “mặt phẳng”, vì nó tương ứng về mặt hình học với diện tích một bề mặt. Tương tự, các dạng hình hình học khác cũng có cách dựng riêng. Do đó, có một loại số được gọi là số tam giác bởi vì nó được biểu diễn dưới dạng… tam giác. Những con số tam giác đầu tiên là 1, 3, 6 và 10. Tam giác cuối cùng có mười điểm chính là biểu tượng tetractys nổi tiếng mà Pythagoras và các đệ tử của ông đã từng lấy làm biểu tượng cho sự hài hòa của vũ trụ. Trên cùng một nguyên tắc, người ta cũng tìm ra các số chính phương với những đại diện đầu tiên là 1, 4, 9 và 16. Hẳn là họ có thể tiếp tục như vậy với tất cả các loại hình. Sự biểu diễn các con số bằng hình học cho phép giải thích các tính chất toán học một cách trực quan và dễ hiểu. Để lấy một ví dụ, bạn đã bao giờ thử cộng lần lượt các số lẻ kiểu: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … chưa? Chưa à? Thế nhưng nó lại là một việc khá hay ho đấy. Xem này: 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Bạn có nhận thấy điểm đặc biệt của những con số xuất hiện không? Theo thứ tự: 1, 4, 9, 16… Đó là những số chính phương đấy! Và bạn có thể tiếp tục chừng nào bạn muốn, quy tắc này sẽ không bao giờ bị phủ định. Nếu bạn đủ kiên nhẫn cộng mười số lẻ đầu tiên, từ 1 đến 19, và bạn sẽ phát hiện ra 100 là số chính phương thứ mười: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10 × 10 = 100 Thật tuyệt vời, phải không? Nhưng tại sao lại như thế? Điều kỳ diệu gì đã khiến tính chất này luôn đúng? Tất nhiên là có thể chứng minh bằng số học, nhưng còn có cách đơn giản hơn. Nhờ biểu diễn hình học, chỉ cần cắt lát những con số chính phương là lời giải đáp sẽ hiện ngay ra trước mắt. Mỗi lát cắt cộng thêm một số lẻ viên bi, đồng thời cạnh của hình vuông tăng thêm một đơn vị. Chứng minh đã xong, đơn giản và rõ ràng. Tóm lại, trong vương quốc toán học, hình học là nữ hoàng và không một khẳng định nào có thể được xác nhận mà không trải qua sự sàng lọc của nó. Sự bá chủ của nó kéo dài qua cả thời kỳ cổ đại và nền văn minh Hy Lạp. Gần hai nghìn năm sau, các nhà bác học thời kỳ Phục Hưng mới truất ngôi hình học để trao vương vị cho một ngôn ngữ hoàn toàn mới: ngôn ngữ của đại số. Chương 4 Thời đại của những định lý Chúng ta đang ở thời điểm đầu tháng Năm. Hiện giờ là buổi trưa và Mặt trời đang tỏa sáng chói chang trên bầu trời công viên La Villette ở phía bắc Paris. Đối diện tôi là Trung tâm khoa học và công nghiệpP, với Géode ở mặt tiền. Phòng chiếu bóng kỳ lạ này [Géode], được xây dựng vào giữa thập niên 1980, trông giống một quả cầu gương khổng lồ có đường kính ba mươi sáu mét. Địa điểm này rất đông người qua lại. Có những người khách du lịch, tay cầm máy ảnh, đến ngắm tòa nhà kỳ lạ này của Paris. Có những gia đình đến tản bộ. Một vài cặp tình nhân ngồi trên bãi cỏ hoặc tay trong tay dạo bước. Đây đó, một người đang chạy bộ theo đường zigzag giữa dòng người qua lại dửng dưng trong khu phố, gần như không thèm để mắt tới sự xuất hiện lạ lùng của quả cầu gương trong cuộc sống thường nhật của họ. Xung quanh, đám trẻ con lại rất thích thú quan sát bóng hình biến dị của thế giới phản chiếu trên mặt cầu. Về phần tôi, tôi ở đây ngày hôm nay là bởi công trình hình học này đặc biệt gây hứng thú cho tôi. Tôi lại gần và chăm chú quan sát nó. Bề mặt của nó được tạo bởi hàng nghìn mảnh gương hình tam giác ráp vào nhau. Thoạt nhìn, sự lắp ráp này trông có vẻ rất đều đặn, tuy nhiên, sau vài phút xem xét kỹ càng công trình, tôi phát hiện ra vài sự bất thường. Ở một số điểm cụ thể, các hình tam giác biến dạng như bị kéo giãn ra bởi một dị tật trong cấu trúc. Trong khi trên hầu hết bề mặt khối cầu, các mảnh gương hợp với nhau thành những nhóm sáu mang hình lục giác và tạo nên một mạng lưới hoàn toàn đều đặn, vẫn có mười hai điểm đặc biệt mà ở đó các mảnh gương tam giác lại hợp thành nhóm năm. Hình biểu diễn Géode với hàng nghìn mặt kính tam giác. Những điểm mà ở đó các tam giác hợp thành nhóm năm đã được tô xám Những điểm bất thường này gần như không thể nhận ra được nếu chỉ nhìn thoáng qua. Đa số khách tham quan cũng không để ý đến chúng. Tuy nhiên, trong con mắt của một nhà toán học như tôi, chúng cũng chẳng có gì đáng ngạc nhiên cả. Thậm chí có thể nói rằng tôi đã dự tính là tìm ra chúng! Kiến trúc sư đã không mắc sai lầm, trên thế giới có rất nhiều công trình với cấu trúc hình học tương tự và tất cả đều có mười hai điểm mà ở đó các mảnh ghép hợp thành nhóm năm thay vì nhóm sáu. Những điểm này là kết quả của những ràng buộc hình học tất yếu được phát hiện bởi những nhà toán học Hy Lạp hơn hai nghìn năm trước. Theaetetus xứ Athens là một nhà toán học sống vào thế kỉ 4 . Ông được coi là người đã mô tả hoàn chỉnh về khối đa diện đều. Một khối đa diện đơn giản là một hình khối được giới hạn bởi nhiều mặt phẳng. Hình lập phương và hình chóp là một phần của đại gia đình hình khối đa diện, trái ngược với hình cầu hay hình trụ là những khối có mặt tròn xoay. Géode, với những mặt kính tam giác, cũng có thể được coi là một khối đa diện khổng lồ, dù số lượng lớn những mặt kính khiến nó nhìn xa giống một quả cầu hơn. Theaetetus đặc biệt quan tâm đến những khối đa diện đối xứng hoàn chỉnh, nghĩa là tất cả các mặt và góc của nó đều bằng nhau. Phát hiện của ông đã gây ra ít nhiều bối rối: ông chỉ tìm ra năm hình và chứng minh rằng không còn hình nào khác. Năm khối và chỉ có vậy! Không hơn. Từ trái sang phải: hình tứ diện, hình lập phương, hình bát diện, hình thập nhị diện và hình nhị thập diện Ngày nay, khối đa diện được gọi tên dựa theo số mặt của nó, bằng tiếng Hy Lạp cổ, với hậu tố diệnP. Hình lập phương có sáu mặt trong toán học còn được gọi là khối lục diện. Hình tứ diện, hình bát diện, hình thập nhị diện và hình nhị thập diện theo thứ tự cũng có bốn, tám, mười hai và hai mươi mặt. Năm khối đa diện này còn được gọi là các khối Platon. Platon ư? Sao lại không phải là Theaetetus? Lịch sử đôi lúc khá là bất công và các nhà phát kiến không phải lúc nào cũng được thế hệ sau vinh danh xứng đáng. Vị triết gia thành Athens không phải người phát hiện ra năm hình khối, nhưng lại là người khiến chúng nổi tiếng bởi một lý thuyết gắn chúng với các nguyên tố vũ trụ: lửa gắn với khối tứ diện, đất gắn với khối lập phương, không khí gắn với khối bát diện và nước là khối nhị thập diện, về khối thập nhị diện với các mặt hình ngũ giác, Platon cho rằng nó biểu diễn hình dạng của Vũ trụ. Học thuyết này đã bị khoa học bác bỏ từ lâu, nhưng người ta vẫn quen gắn kết năm khối đa diện đều này với Platon. Thật lòng mà nói, Theaetetus cũng không phải người đầu tiên phát hiện ra năm hình khối này. Người ta đã tìm thấy những mẫu khắc và những bản văn tự mô tả chúng từ thời cổ xưa hơn. Một bộ sưu tập những hòn đá nhỏ được khắc thành những khối Platon đã được tìm thấy ở Scotland và có niên đại trước cả nghìn năm so với thời đại của các nhà toán học Hy Lạp! Những hiện vật này đang được trung bày trong bảo tàng Ashmolean ở Oxford. Vậy là Theaetetus không hề giỏi hơn Platon ư? Có phải cả hai đều mạo nhận mà thôi? Không hẳn, vì tuy năm hình khối này đều được biết đến trước Theaetetus, ông là người đầu tiên chứng minh một cách rõ ràng rằng bản danh sách này đã đầy đủ. Có tìm thêm cũng vô ích, Theaetetus nói. Tuyên bố này phần nào khiến ta yên tâm. Nó giúp ta thoát khỏi một mối hoài nghi to lớn. Phù! Tất cả chỉ có thế. Giai đoạn này tiêu biểu cho hướng tiếp cận toán học của các nhà toán học Hy Lạp. Đối với họ, vấn đề không chỉ là tìm ra lời giải đúng. Họ muốn xem xét mọi khía cạnh của một bài toán. Họ muốn chắc chắn rằng không gì có thể qua khỏi mắt họ. Và bởi vậy, họ sẽ đưa nghệ thuật khai phá toán học lên tới đỉnh cao của nó. Giờ hãy quay trở lại với Géode. Chứng minh của Theaetetus rất rõ ràng: một khối đa diện với hàng trăm mặt không thể có tất cả các mặt đều nhau. Vậy bạn sẽ làm thế nào nếu bạn là một kiến trúc sư và đang muốn xây một tòa nhà nhìn giống một quả cầu có bề mặt càng đều càng tốt? Về mặt kỹ thuật, quá khó để có thể thiết kế một tòa nhà chỉ với một khối nguyên. Không, ta phải ráp một số lượng lớn các mặt nhỏ lại với nhau. Nhưng làm thế nào để tạo nên cấu trúc như vậy? Ta có thể tưởng tượng ra nhiều cách khác nhau. Một giải pháp là lấy một trong các hình khối Platon để sửa đổi. Để lấy ví dụ hãy nhìn vào khối nhị thập diện. Với hai mươi mặt tam giác, nó có vẻ tròn trịa nhất trong số năm hình. Để khiến nó thêm phần mềm mại, có thể cắt mỗi mặt thành nhiều mặt nhỏ hơn. Khối đa diện thu được nhờ đó đã thay đổi hình dạng, như thể được thổi phồng lên từ bên trong, gần giống một hình cầu hơn. Ví dụ, đây là những gì sẽ xảy ra khi ta chia mỗi mặt của khối nhị thập diện thành bốn hình tam giác nhỏ hơn. Khối nhị thập diện Khối nhị thập diện với các mặt được cắt làm bốn Khối nhị thập diện với các mặt đã được cắt và thổi phồng lên Một hình đa diện như vậy trong hình học được gọi là… một géode. Từ nguyên của nó chỉ một hình mang hình thù của Trái đất, tức là gần giống với hình cầu. về nguyên tắc thì chẳng có gì phức tạp cả. Đó chính xác là cấu trúc được sử dụng để xây nên rạp chiếu bóng Géode trong công viên La Villette. Chỉ có điều, các mặt ở đây được chia nhỏ hơn rất nhiều: các tam giác cơ bản của khối nhị thập diện này được cắt thành 400 hình tam giác nhỏ hơn, tổng cộng là tám nghìn mặt tam giác! Trên thực tế, Géode có không đến 8000 mặt, chính xác là 6433 mặt thôi, bởi nó không hoàn chỉnh. Phần đáy tiếp giáp với nền đất của nó đã được cắt bớt và thiếu đi một số mặt tam giác. Tuy nhiên, cấu trúc này vẫn cho phép giải thích sự xuất hiện của mười hai điểm bất thường. Những điểm này đơn giản là ứng với mười hai đỉnh của khối nhị thập diện gốc. Nói cách khác, những điểm này là vị trí mà các mặt tam giác lớn ban đầu hợp lại thành nhóm năm để tạo nên các đỉnh nhọn của hình nhị thập diện. Những đỉnh này, ban đầu là đỉnh nhọn, bị dẹt đi khi số lượng mặt tam giác được nhân lên, đến mức gần như không còn lộ rõ. Tuy vậy, chúng vẫn hiện hữu ở ngay đó, trong bố cục của những hình tam giác và mười hai điểm bất thường kia gợi nhắc lại điều đó với những ai chú ý. Theaetetus hẳn không ngờ một ngày nghiên cứu của mình lại làm tiền đề cho một công trình có cấu trúc như Géode. Đây chính là sức mạnh vĩ đại của toán học mà các học giả Hy Lạp cổ đại từng khai triển: nó có một khả năng tuyệt vời để kiến tạo nên những ý tưởng mới. Người Hy Lạp dần dà tách nghi vấn của mình khỏi những vấn đề cụ thể để tạo nên những mô hình độc đáo và truyền cảm hứng. Mặc dù có vẻ như những mô hình ấy thường không có áp dụng thực tiễn vào thời điểm chúng được nghĩ ra, nhưng chúng lại trở nên hữu dụng một cách đáng ngạc nhiên rất lâu sau khi những người sáng tạo nên chúng không còn trên cõi đời. Ngày nay, người ta tìm thấy năm loại hình khối Platon trong những bối cảnh khác nhau. Ví dụ, chúng rất hợp để sử dụng như những quân xúc xắc trên bàn cờ. Sự cân đối của chúng giúp các quân xúc xắc giữ được sự cân bằng bền vững, có nghĩa là tất cả các mặt đều có khả năng xuất hiện như nhau. Cả thế giới đều biết quân xúc xắc lập phương có sáu mặt, nhưng những tay chơi lão luyện nhất lại biết rằng nhiều trò chơi còn sử dụng đến bốn loại hình khối còn lại để tăng thêm niềm hứng thú và các khả năng (xác suất) xảy ra. Rời Géode, cách đó không xa, tôi gặp một đám trẻ đang chơi đá bóng trên bãi cỏ của công viên La Villette. Hẳn là chúng không ngờ rằng, vào thời điểm này, chúng cũng đang nợ Theaetetus một món nợ ân tình. Chúng có nhận ra quả bóng kia cũng mang những khuôn mẫu hình học không? Phần lớn những quả bóng đá đều được tạo theo cùng một mẫu: hai mươi ô vải đệm lục giác (sáu cạnh) và mười hai ô vải đệm ngũ giác (năm cạnh). Trên các quả bóng truyền thống, những ô lục giác có màu trắng còn những ô ngũ giác thì có màu đen. Kể cả khi trên bề mặt quả bóng được in những hình ảnh phong phú và đa dạng, chỉ cần quan sát kỹ lưỡng các đường may phân chia các ô là chắc chắn sẽ nhìn ra được hai mươi hình lục giác và mười hai hình ngũ giác. Một hình nhị thập diện cụt! Đó là tên gọi các nhà hình học đặt cho quả bóng đá. Cấu trúc của nó cũng mang những ràng buộc giống như Géode: nó phải càng đều và càng tròn càng tốt. Chỉ có điều, để đạt được kết quả đó, những người sáng tạo ra mô hình này lại sử dụng một phương pháp khác. Thay vì chia nhỏ các mặt để bo tròn các góc, họ đơn giản là… cắt cụt các góc đi. Hãy tưởng tượng bạn có một khối nhị thập diện bằng đất nặn, rồi bạn dùng dao cắt bỏ các đỉnh. Hai mươi hình tam giác sau khi mất đỉnh sẽ biến thành các hình lục giác, còn mười hai đỉnh bị cắt sẽ thành mười hai hình ngũ giác. Mười hai hình ngũ giác trên quả bóng đá cũng có cùng nguồn gốc với mười hai điểm bất thường trên bề mặt Géode: ban đầu, chúng đều là mười hai đỉnh của hình nhị thập diện. Thế còn cô gái tay cầm khăn mùi soa mà tôi gặp trong lúc rời khỏi công viên La Villette? Trông cô có vẻ không khỏe lắm. Có khi nào cô ấy chính là nạn nhân của sự sinh sôi tồi tệ của các nhị thập diện siêu nhỏ không? Một số vi sinh vật như virus vốn có hình nhị thập diện và thập nhị diện. Đó là trường hợp của rhinovirus, loại virus gây ra bệnh cảm cúm. Những sinh vật tí hon ấy tiếp nhận những hình dạng này cũng với cùng một lý do như khi ta thiết kế nên các công trình kiến trúc hay quả bóng đá. Vì tính đối xứng và lợi ích kinh tế. Nhờ những khối thập nhị diện, quả bóng đá chỉ cần dùng đến hai loại vải khác nhau. Cũng như vậy, màng tế bào của các virus cũng chỉ bao gồm một vài loại phân tử lồng khớp vào nhau (bốn loại đối với các rhinovirus) theo cùng một mô hình lặp đi lặp lại. Mã di truyền cần thiết để tạo nên một vỏ bọc như vậy cũng ngắn gọn và tiết kiệm hơn so với việc phải mô tả một cấu trúc không đối xứng. Lại một lần nữa, Theaetetus hẳn sẽ ngạc nhiên lắm nếu biết những khối đa diện ẩn giấu điều gì. Cùng tạm biệt công viên La Villette và tiếp tục với tiến trình theo niên đại của lịch sử. Bằng cách nào mà các nhà toán học cổ đại như Theaetetus lại có thể đặt ra những câu hỏi ngày càng có tính bao quát và ngày càng mang tính lý thuyết như vậy? Để hiểu được điều đó, chúng ta sẽ phải quay lại mấy nghìn năm trước ở bờ đông Địa Trung Hải. Trong khi các nền văn hóa Babylon và Ai Cập dần suy tàn, Hy Lạp cổ đại lại đang trải qua những thế kỉ rực rỡ nhất. Kể từ thế kỉ 6 , Hy Lạp đã bước vào giai đoạn bùng nổ văn hóa và khoa học. Triết học, thi ca, điêu khắc, kiến trúc, kịch nghệ, y học hoặc sử học đều là những lĩnh vực sẽ phải kinh qua một cuộc cách mạng thật sự. Đến tận ngày nay, sức sống hiếm có của thời kỳ này vẫn giữ được sự quyến rũ và bí ẩn của nó. Trong phong trào tri thức rộng lớn này, toán học giữ vai trò quan trọng hàng đầu. Khi ta nghĩ đến Hy Lạp cổ đại, hình ảnh đầu tiên hiện lên thường là về Athens được án ngự bởi khu thành cổ Acropolis. Tâm trí ta dạo chơi đến đó, nơi có những ngôi đền bằng cẩm thạch trên núi Pentelicus cùng những cây olive, những công dân trong tấm áo choàng trắng vừa mới phát minh ra nền dân chủ đầu tiên trong lịch sử. Tuy vậy, cảnh tượng này chưa thể đại diện cho sự đa dạng của thế giới Hy Lạp cổ đại. Vào thế kỉ 8 và thế kỉ 7 , một số lượng lớn các thuộc địa của Hy Lạp đã lan rộng khắp Địa Trung Hải. Những dân cư thuộc địa đôi lúc sống hòa lẫn với người dân địa phương, tiếp nhận trang phục và lối sống của họ. Dân Hy Lạp không cùng chung một lối sống mà ngược lại, thức ăn, thú giải trí, tín ngưỡng và hệ thống chính trị của họ có sự khác biệt rất lớn tùy theo vùng miền. Sự xuất hiện của nền toán học Hy Lạp bởi vậy không bó hẹp trong một khu vực nơi tất cả các nhà bác học đều quen biết và gặp gỡ nhau hằng ngày, mà trên một vùng rộng lớn cả về mặt địa lý lẫn văn hóa. Sự tiếp xúc giữa các nền văn minh lâu đời hơn mà nền văn minh Hy Lạp thừa kế và chế biến nên sự đa dạng của riêng mình là một trong những động lực thúc đẩy cuộc cách mạng toán học. Rất nhiều học giả hành hương đến Ai Cập và Trung Đông như một chuyến đi bắt buộc trong sự nghiệp học tập của mình. Một khối lượng đáng kể kiến thức toán học Babylon và Ai Cập nhờ vậy được tiếp thu và phát triển bởi các nhà bác học Hy Lạp. Thành Miletus ở vùng duyên hải phía Tây Nam Thổ Nhĩ Kỳ ngày nay, vào cuối thế kỉ 7 chính là nơi sinh ra nhà toán học vĩ đại đầu tiên của Hy Lạp: Thales. Mặc dù tên ông được nhắc đến ở rất nhiều nơi, hiện nay vẫn thật khó để khai thác được những thông tin đáng tin cậy về cuộc đời và sự nghiệp của ông. Giống như nhiều nhà bác học khác ở thời đại này, nhiều truyền thuyết khác nhau đã được mạo dựng sau khi ông qua đời bởi một số đệ tử quá hăng hái, đến mức khó mà phân biệt thật giả. Các nhà khoa học thời ấy không mấy bận tâm đến vấn đề luân lý và việc bóp méo sự thật khi chúng không hợp ý họ cũng chẳng phải là hiếm. Giữa một rừng những câu chuyện xoay quanh ông, họ nói rằng Thales là một kẻ đặc biệt lơ đãng. Nhà bác học thành Miletus này là hình mẫu đầu tiên cho truyền thống đãng trí dai dẳng của các nhà bác học. Một giai thoại kể rằng vào một đêm nọ, người ta đã nhìn thấy ông ngã xuống giếng khi đang đi dạo mà lại hếch mũi lên ngắm sao. Một câu chuyện khác lại kể rằng ông qua đời năm gần tám mươi tuổi, khi đang dự khán một cuộc thi đấu thể thao: ông đã mải mê xem đến mức quên luôn cả việc ăn uống. Các thành tựu khoa học của ông cũng là chủ đề cho những câu chuyện kỳ quặc. Thales là người đầu tiên dự đoán chính xác nhật thực. Lần nhật thực ấy xảy ra ngay trận chiến giữa người Medea và Lydia, bên bờ sông Halys ở miền tây Thổ Nhĩ Kỳ ngày nay. Đối mặt với bóng tối bao trùm giữa ban ngày, các chiến binh, vì tin rằng đó là điềm báo của các vị thần, đã ngay lập tức quyết định giảng hòa. Ngày nay, dự đoán nhật thực hoặc tái dựng các lần nhật thực từng diễn ra trong quá khứ đã trở thành trò trẻ con đối với các nhà thiên văn học. Nhờ có họ, chúng ta biết được rằng lần nhật thực kể trên xảy ra vào ngày 24 tháng Năm năm 584 , khiến cuộc chiến bên bờ sông Halys trở thành sự kiện lịch sử lâu đời nhất mà ta biết chính xác thời điểm xảy ra! Thành tựu lớn nhất mà Thales đạt được là trong chuyến đi đến Ai Cập của ông. Người ta kể rằng đích thân pharaoh Amasis đã thách thức ông đo được chiều cao của kim tự tháp vĩ đại. Cho đến thời ấy, các nhà bác học Ai Cập từng được hỏi đến đều thất bại trước câu đố này. Thales không chỉ chấp nhận thử thách mà còn giải quyết nó một cách gọn gàng bằng một phương pháp đặc biệt tài tình. Nhà bác học thành Miletus dựng một cây gậy thẳng đứng trên mặt đất và đợi đến đúng thời điểm trong ngày khi độ dài cái bóng của cây gậy bằng với chiều dài thực của nó. Vào đúng thời khắc ấy, ông đo cái bóng của kim tự tháp cần đo, bằng đúng chiều cao của kim tự tháp. Trò thách đố kết thúc. Câu chuyện hẳn là rất hay, nhưng một lần nữa, sự thật lịch sử trong đó thì không chắc chắn. Như đã nói, giai thoại này khá coi thường các học giả Ai Cập vào thời ấy, trong khi các sách giấy cói như sách của Ahmes đã cho thấy họ biết cách tính chiều cao kim tự tháp một cách hoàn hảo từ một nghìn năm trước khi Thales đến! Vậy sự thật là gì? Thales có thực sự đã tính ra chiều cao kim tự tháp hay không? Ông có thật sự là người đầu tiên sử dụng phương pháp đo bóng? Có khi nào ông chỉ đơn giản là đo chiều cao cây olive trước nhà trong thành Miletus, còn các môn đệ thì chịu trách nhiệm tô điểm cho câu chuyện sau khi ông qua đời? Phải chấp nhận một điều hiển nhiên rằng chúng ta sẽ chẳng bao giờ biết được sự thật. Dù sao, hình học của Thales là có thật và việc ông dùng phương pháp đo bóng để tính chiều cao kim tự tháp vĩ đại hay cây olive cũng đều là tài tình chẳng hơn kém gì nhau. Phương pháp này là một trường hợp đặc biệt của một tính chất mang tên ông: định lý Thales. Rất nhiều thành quả toán học khác đã được quy cho Thales: một đường tròn được chia làm hai bởi mọi đường kính của nó (hình 1); các góc đáy của một tam giác cân bằng nhau (hình 2); các góc đối đỉnh tạo bởi hai đường thẳng giao nhau thì bằng nhau (hình 3); nếu một tam giác có ba đỉnh là ba điểm nằm trên một đường tròn và có một cạnh đi qua tâm đường tròn thì tam giác đó là tam giác vuông (hình 4). Phát biểu cuối cùng (phát biểu thứ tư) đôi khi cũng được gọi là định lý Thales. Giờ hãy đến với thuật ngữ lạ lùng vừa hấp dẫn lại vừa đáng sợ này: thế nào là một định lý? Theo từ nguyên học, thuật ngữ này phát xuất từ hai gốc từ Hy Lạp là théa (sự suy ngẫm) và horáô (xem xét, quan sát). Do đó, định lý là một dạng quan sát về thế giới toán học, một thực tế được ghi nhận, phân tích và ghi lại bởi các nhà toán học. Các định lý có thể được lưu truyền bằng hình thức truyền miệng hoặc bằng văn bản giống như công thức nấu ăn của các bà các mẹ hoặc những câu ngạn ngữ về khí tượng được chiêm nghiệm qua nhiều thế hệ và ta tin tưởng vào tính xác thực của nó. Chim én không làm nên mùa xuân, cây nguyệt quế làm dịu đi bệnh thấp khớp và tam giác 3– 4– 5 có một góc vuông. Đó là những điều người ta tin là thật và sau đó tìm cách ghi nhớ để tái sử dụng khi cần thiết. Theo định nghĩa này, người Lưỡng Hà, người Ai Cập và người Trung Quốc cũng đã phát biểu nên các định lý. Tuy nhiên, kể từ Thales, người Hy Lạp đã nâng những định lý lên một tầm vóc mới. Đối với họ, một định lý không nhất thiết chỉ để phát biểu về một chân lý toán học, mà còn phải được trình bày một cách khái quát nhất có thể và phải được hợp thức hóa bởi một chứng minh. Hãy cùng trở lại với một trong những tính chất mang tên Thales: đường kính của một hình tròn chia hình tròn đó thành hai phần bằng nhau. Một câu khẳng định như vậy có vẻ khá là đáng thất vọng đối với một học giả tầm cỡ như Thales! Điều này có vẻ hiển nhiên. Sao mà phải đợi đến thế kỉ 6 , một khẳng định tầm thường như vậy mới được phát biểu? Chẳng nghi ngờ gì khi các nhà bác học Ai Cập và Babylon đã biết được điều này từ lâu. Tuy nhiên, đừng vội nhầm lẫn, điều khiến cho tính chất của học giả xứ Miletus trở nên táo bạo không nằm trong nội dung mà trong cách trình bày của nó. Thales dám nói đến một hình tròn mà không chỉ định chính xác là hình tròn nào cả! Để phát biểu cùng quy tắc đó, người Babylon, Ai Cập và Trung Quốc đã phải dùng đến ví dụ. Vẽ một hình tròn có bán kính bằng 3 và một trong đường kính của nó, rồi họ mới nói rằng, hình tròn này được chia thành hai phần bằng nhau bởi đường kính này. Và nếu một ví dụ không đủ để giúp người ta hiểu được quy tắc đó, họ sẽ đưa ra ví dụ thứ hai, thứ ba, thứ tư nếu cần thiết. Bao nhiêu ví dụ cũng được để độc giả hiểu rằng quy tắc có thể lặp lại với cùng một cách hoạt động trên mỗi hình tròn họ gặp. Nhưng không một phát biểu tổng quát nào được đưa ra. Thales đã vượt qua một giới hạn. Cứ lấy một hình, bất cứ cái nào mà bạn muốn, tôi không cần biết. Nó có thể to, có thể nhỏ. Vẽ ngang, vẽ dọc hay trên một mặt phẳng nghiêng, với tôi đều như nhau. Tôi hoàn toàn không quan tâm đến hình tròn của bạn và cả cách bạn vẽ nó. Nhưng tôi khẳng định rằng đường kính của nó chia nó thành hai phần bằng nhau! Với thao tác này, Thales đã đưa các dạng hình học lên cương vị của những đối tượng toán học trừu tượng. Giai đoạn tư duy này tương tự như giai đoạn từng dẫn dắt người Lưỡng Hà, vào hai nghìn năm trước, đến việc nhìn nhận những con số độc lập với sự vật được đếm. Một hình tròn không còn là một hình vẽ trên mặt đất, trên bản khắc hay trên giấy cói nữa. Hình tròn trở thành một thứ tưởng tượng, một ý tưởng, một ý nghĩ trừu tượng mà những thù hình ngoài đời thực của nó chỉ là những đại diện không hoàn chỉnh. Từ nay trở đi, các chân lý toán học có thể được phát biểu một cách súc tích và khái quát, không phụ thuộc vào các trường hợp cụ thể khác nhau mà chúng hiện hữu. Người Hy Lạp đã đặt tên cho các phát biểu này là định lý. Thales có rất nhiều học trò ở Miletus. Hai người nổi tiếng nhất trong số đó là Anaximenes và Anaximandros. Đến lượt Anaximandros, ông cũng có học trò, và trong số họ có Pythagoras, chính người đã lấy tên mình đặt cho định lý nổi tiếng nhất mọi thời đại. Pythagoras sinh vào đầu thế kỉ 6 trên đảo Samos, hiện thuộc Thổ Nhĩ Kỳ, chỉ cách Miletus vài cây số. Sau một thời tuổi trẻ chu du khắp thế giới cổ đại để học tập, Pythagoras đã định cư tại thành Crotone, ở Đông Nam Italy ngày nay. Ở đây, ông đã mở ngôi trường của riêng mình vào năm 532 . Pythagoras và môn đệ của ông không chỉ là các nhà toán học và khoa học, họ còn là triết gia, thầy tu và chính khách. Cần phải nói rằng, nếu ta chuyển họ tới thời hiện đại, cộng đồng được khởi xướng bởi Pythagoras hẳn sẽ được coi như một trong những giáo phái mờ ám và nguy hiểm nhất. Sự tồn tại của những người theo trường phái Pythagoras được quản lý bởi một bộ điều lệ xác định. Bất cứ ai có ý định ghi danh vào trường của Pythagoras sẽ phải trải qua năm năm sống trong im lặng. Các môn đệ Pythagoras không được sở hữu bất kỳ vật dụng cá nhân nào: tất cả tài sản của họ đều được gộp chung lại cho cộng đồng. Để nhận ra nhau, họ sử dụng những biểu tượng như hình tetractys hoặc hình ngôi sao năm cánh. Ngoài ra, các môn đệ của Pythagoras tự coi mình là người được khai sáng và coi chuyện quyền lực chính trị về tay họ là chuyện bình thường. Họ sẽ cực lực phản đối những cuộc nổi dậy ở những thành phố phủ nhận uy quyền của họ. Pythagoras qua đời ở tuổi 85 giữa một trong những cuộc bạo loạn như vậy. Số lượng truyền thuyết đủ loại được thêu dệt quanh Pythagoras cũng rất ấn tượng. Các môn đệ của ông không thiếu trí tưởng tượng. Theo họ, Pythagoras là con trai của thần Apollo. Cái tên Pythagoras theo nghĩa đen là “được loan báo bởi Pythia”: Pythia xứ Delphi là nhà tiên tri ở đền thờ Apollo và chính nàng đã thông báo cho cha mẹ của Pythagoras sự chào đời của con trai họ. Theo lời sấm truyền, Pythagoras phải trở thành trang nam nhi khôi ngô nhất và thông thái nhất. Với sự hạ sinh như vậy, nhà bác học Hy Lạp được an bài cho toàn những điều vĩ đại. Pythagoras nhớ được tất cả các tiền kiếp của mình. Theo đó, ông từng là một trong những vị anh hùng hiển hách của cuộc chiến thành Troy dưới tên gọi Euphorbus. Thời trẻ, Pythagoras từng tham dự Olympic và chiến thắng tất cả những cuộc đấu quyền Hy Lạp (tổ tiên môn đấm bốc của chúng ta). Pythagoras là người phát minh ra những âm giai (gammes de musique) đầu tiên. Pythagoras có khả năng bước đi trên không. Pythagoras chết đi rồi được tái sinh. Pythagoras có tài xem bói và chữa bệnh. Pythagoras có thể điều khiển động vật. Pythagoras có một bên bắp đùi bằng vàng. Nếu đa số những truyền thuyết đó quá lố đến mức khó tin, thì một số chuyện khác lại thật khó để nói. Có thật Pythagoras là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ “toán học” không? Sự thể đó mạo hiểm đến mức một vài sử gia thậm chí còn kết luận rằng Pythagoras hoàn toàn chỉ là một nhân vật hư cấu, được những người theo trường phái Pythagoras bịa ra để làm một nhân vật bảo hộ. Vì không thể biết thêm về con người này, ta hãy cùng quay trở lại thứ đã khiến ông vẫn xứng đáng được tất cả học sinh trên toàn thế giới biết đến suốt hơn hai nghìn năm trăm năm sau khi ông qua đời: định lý Pythagoras! Định lý nổi tiếng này cho ta biết điều gì? Phát biểu của nó có vẻ rất đáng ngạc nhiên, vì nó thiết lập mối liên kết giữa hai khái niệm toán học chẳng có vẻ gì là liên quan tới nhau: tam giác vuông và số chính phương. Lấy tam giác vuông 3– 4– 5. Từ độ dài ba cạnh của nó, có thể tạo được ba số chính phương: 9, 16 và 25. Ta có thể nhận ra một sự trùng hợp kỳ quái: 9 + 16 = 25. Tổng bình phương của các cạnh 3 và 4 bằng bình phương của cạnh 5. Nó có vẻ ngẫu nhiên, nhưng nếu bạn thử lặp lại phép tính này với một tam giác vuông khác, nó vẫn đúng. Lấy ví dụ tam giác 65– 72– 97 mà người ta phát hiện được trên bản khắc Plimpton của người Babylon. Ba số chính phương tương ứng là 4225, 5184 và 9409. Và nó cũng không sai: 4225 + 5184 = 9409. Với những con số lớn, thật khó mà tin được đó chỉ là ngẫu nhiên. Bạn có thể thử với bất kỳ tam giác vuông mà bạn muốn, to nhỏ, hẹp rộng thế nào nó cũng sẽ đúng! Trong tam giác vuông, tổng bình phương hai cạnh góc vuông luôn bằng bình phương cạnh còn lại (được gọi là cạnh huyền). Và điều này đúng với chiều ngược lại: nếu trong một tam giác tổng bình phương của hai cạnh nhỏ hơn bằng bình phương cạnh lớn nhất thì đó là tam giác vuông. Đây chính là định lý Pythagoras! Tất nhiên, chẳng ai thật sự biết có đúng là Pythagoras hoặc các môn đồ của ông có thực sự góp phần vào định lý này không. Mặc dù người Babylon chưa bao giờ trình bày định lý này dưới dạng tổng quát như ta vừa thấy, rất có khả năng họ đã biết về nó từ hơn một nghìn năm trước. Không có nó, làm sao họ có thể tìm ra tất cả các tam giác vuông trên bản khắc Plimpton một cách chính xác đến thế? Có khả năng người Ai Cập và Trung Hoa cũng biết định lý này. Nó sẽ được phát biểu rõ trong các bình luận được bổ sung vào Cửu chương toán thuật trong những thế kỉ sau khi bộ sách được biên soạn. Một số tường thuật cho rằng Pythagoras là người đầu tiên đưa ra cách chứng minh cho định lý này. Tuy nhiên, không có một nguồn tin cậy nào xác nhận điều đó, và bài chứng minh lâu đời nhất được lưu truyền đến ngày nay được tìm thấy trong bộ Cơ sở do Euclid viết vào ba thế kỉ sau. Chương 5 Một chút về phương pháp Vấn đề chứng minh là một trong những công trình chính của toán học Hy Lạp. Mọi định lý không thể có hiệu lực nếu không được xác nhận bằng một chứng minh, nghĩa là một lập luận cụ thể có tính logic thiết lập tính chân thực của nó. Phải nói rằng nếu không được đảm bảo bằng việc chứng minh, những kết quả toán học có thể đem đến những bất ngờ tệ hại. Một vài phương pháp, dù rất phổ biến và được sử dụng rộng rãi, không phải lúc nào cũng đúng. Nào! Hãy nhớ lại một phương pháp trong tờ giấy cói Rhind về cách vẽ một hình vuông và một hình tròn có cùng diện tích. Vâng, nó không đúng. Không sai lệch quá nhiều, hẳn rồi, nhưng dù sao vẫn sai. Khi đo thật chính xác diện tích bề mặt, chúng chênh nhau khoảng 0,5%! Đối với những nhà trắc địa và nhà khảo sát thực địa, độ chính xác như vậy là quá đủ, nhưng đối với các nhà toán học lý thuyết thì điều đó là không thể chấp nhận được! Chính Pythagoras cũng từng mắc bẫy bởi những giả thiết sai. Sai lầm nổi tiếng nhất của ông liên quan đến tính thông ước về độ dài. Ông cho rằng trong toán học, hai độ dài luôn luôn thông ước, nghĩa là luôn có thể tìm ra một đơn vị đủ nhỏ để đồng thời đo được cả hai độ dài đó. Hãy tưởng tượng ta có một đoạn thẳng dài 9 centimet và một đoạn khác dài 13,7 centimet. Người Hy Lạp chưa biết đến sự tồn tại của các con số có dấu phẩy, họ chỉ đo độ dài với các số nguyên. Như vậy, đối với họ, đoạn thẳng thứ hai không đo được bằng centimet. Không vấn đề gì, trong trường hợp này chỉ cần lấy một đơn vị nhỏ hơn mười lần là có thể tính được hai đoạn thẳng lần lượt dài 90 và 137 milimet. Pythagoras tin chắc rằng hai đoạn thẳng bất kỳ, bất kể độ dài của chúng là bao nhiêu, cũng sẽ luôn thông ước nếu tìm ra đơn vị đo lường thích hợp. Tuy nhiên niềm tin này đã bị lật đổ bởi một môn đồ của Pythagoras tên là Hippasus xứ Metapontum. Ông này đã khám phá ra rằng trong hình vuông, cạnh và đường chéo không có tính thông ước! Dù chọn đơn vị đo lường nào cũng không thể cùng lúc đo cạnh của hình vuông và đường chéo của nó bằng các số nguyên. Hippasus đã đưa ra một phép chứng minh rất thuyết phục về vấn đề này, khiến Pythagoras và các môn đệ của ông tức giận đến mức tống cổ ông ra khỏi trường. Người ta còn kể rằng phát hiện này đã khiến ông ta bị chính những bạn học của mình ném xuống biển! Đối với các nhà toán học, câu chuyện này thật rùng rợn. Chẳng lẽ ta sẽ không bao giờ chắc chắn được về bất cứ điều gì sao? Ta sẽ phải sống trong nỗi sợ hãi thường trực rằng mỗi phát minh về toán học đều có thể bị đạp đổ một ngày nào đó? Vậy còn tam giác 3– 4– 5? Có chắc nó là tam giác vuông không? Nhỡ một ngày nào đó ta phát hiện ra rằng góc mà ta vẫn tưởng là vuông cũng chỉ gần vuông thôi? Ngay cả thời nay, các nhà toán học vẫn thường bị đánh lừa bởi trực giác. Đó là lý do vì sao, học theo tính chặt chẽ của những người đồng nghiệp Hy Lạp, giới toán học của chúng ta hiện nay phân biệt rất cẩn thận những phát biểu đã được chứng minh mà họ gọi là “định lý”, với những gì được coi là đúng nhưng chưa có bất kỳ chứng minh nào, mà họ gọi là “phỏng đoán”. Một trong những phỏng đoán nổi tiếng nhất trong thời đại hiện nay có tên là giả thuyết Riemann. Nhiều nhà toán học có đủ niềm tin vào tính chân thực của giả thuyết chưa được chứng minh này để tích hợp nó vào nền tảng cho những nghiên cứu của mình. Nếu một ngày phỏng đoán này trở thành định lý, tất cả công trình nghiên cứu của họ sẽ được ghi nhận. Nhưng nếu vào ngày nào đó giả thuyết này bị bác bỏ, thì mọi công trình nghiên cứu liên quan đến nó cũng sẽ sụp đổ theo. Các nhà khoa học của thế kỉ 21 chắc chắn là có lý hơn các ông tổ người Hy Lạp của họ, tuy nhiên ta có thể hiểu rằng, dưới điều kiện này, nhà toán học nào công bố tính sai lầm của giả thuyết Riemann có thể cũng sẽ là người khiến một vài đồng nghiệp trầm mình tự vẫn. Để thoát khỏi nỗi âu lo thường trực về sự phủ định này, các nhà toán học cần đến phép chứng minh. Không, chúng ta sẽ chẳng bao giờ phát hiện ra rằng 3– 4– 5 không phải là tam giác vuông. Nó vuông mà, chắc chắn luôn. Và sự chắc chắn này đến từ thực tế rằng định lý Pythagoras đã được chứng minh là đúng. Bất kỳ một tam giác nào có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại đều là tam giác vuông. Phát biểu này chắc chắn chỉ là một phỏng đoán đối với người Lưỡng Hà. Nó đã trở thành một định lý với những người Hy Lạp. Phù. Nhưng một phép chứng minh trông như thế nào? Định lý Pythagoras không chỉ là một định lý nổi tiếng nhất, mà nó còn là một trong những định lý sở hữu nhiều cách chứng minh nhất. Người ta đếm được mấy chục cách chứng minh. Một vài cách trong số đó được phát hiện một cách độc lập ở các nền văn minh chưa từng nghe đến đại danh của Euclid hay Pythagoras. Ví dụ như những cách chứng minh được tìm thấy trong phần bình luận của bộ sách Cửu chương toán thuật của Trung Hoa. Những cách khác là công trình của các nhà toán học dù biết rằng định lý đó đã được chứng minh, nhưng do bị thách thức hoặc vì muốn để lại dấu ấn cá nhân, đã tìm ra cách chứng minh mới. Trong số họ, ta có thể kể ra vài cái tên đình đám như nhà phát minh người Ý Leonardo da Vinci hay vị tổng thống thứ hai mươi của Hoa Kỳ, James Abram Garfield. Một nguyên lý thường gặp trong những cách chứng minh này là một nguyên lý ghép hình: nếu hai hình có thể được ghép thành từ những mảnh ghép giống hệt nhau thì chúng sẽ có cùng diện tích. Hãy nhìn vào hình cắt được hình dung bởi nhà toán học Trung Quốc sống vào thế kỉ 3, Lưu Huy. Hai hình vuông được dựng dựa trên hai cạnh góc vuông của tam giác vuông nằm ở vị trí trung tâm lần lượt bao gồm hai và năm mảnh ghép. Bảy mảnh ghép này cũng giống với số mảnh có trong hình vuông được dựng theo cạnh huyền. Diện tích của hình vuông dựa theo cạnh huyền bằng với tổng diện tích hai hình vuông nhỏ hơn. Và vì diện tích của một hình vuông bằng bình phương độ dài cạnh của nó, điều đó chứng minh rằng định lý Pythagoras là đúng. Chúng ta sẽ không đi vào chi tiết cụ thể ở đây, nhưng tất nhiên, để phép chứng minh được hoàn thiện thì cần phải chỉ ra được rằng tất cả các mảnh ghép đều tuyệt đối giống nhau và cách cắt hình như áp dụng được cho mọi tam giác vuông. Hãy cùng tóm gọn lại chuỗi suy luận của chúng ta. Tại sao 3– 4– 5 lại là tam giác vuông? Bởi vì nó đã được xác nhận qua định lý Pythagoras. Và tại sao định lý Pythagoras đúng? Vì hình cắt của Lưu Huy cho thấy hình vuông ở cạnh huyền được tạo bởi các mảnh ghép giống hệt với hình vuông ở hai cạnh góc vuông. Nghe giống trò chơi “tại sao” mà bọn trẻ thích chơi quá nhỉ. Vấn đề là trò chơi nho nhỏ ấy có khiếm khuyết đáng tiếc là sẽ không bao giờ kết thúc. Dù câu trả lời là gì, ta vẫn có thể tiếp tục đặt câu hỏi tại sao về nó. Tại sao? Vâng, tại sao? Quay trở lại với trò ghép hình: ta đã khẳng định rằng nếu các hình được tạo thành từ những mảnh ghép giống nhau, chúng sẽ có cùng diện tích. Nhưng ta đã chứng minh được nguyên tắc này luôn đúng chưa? Liệu có khi nào ta tìm được những hình ghép có diện tích thay đổi theo cách chúng ta lắp ghép không? Ý kiến đó nghe có vẻ vớ vẩn, phải không? Quá vô lý đến nỗi việc thử chứng minh có vẻ ngu ngốc… Tuy nhiên, chúng ta lại vừa mới nhất trí rằng việc chứng minh mọi thứ trong toán học là điều rất quan trọng. Liệu ta có sẵn sàng từ bỏ nguyên lý của mình ngay sau khi vừa công nhận chúng không? Tình huống này rất nghiêm trọng. Đặc biệt là ngay cả khi ta thành công trong việc giải thích vì sao nguyên lý ghép hình này lại đúng, ta vẫn sẽ phải biện minh cho những lập luận mà ta dùng cho mục đích này! Các nhà toán học Hy Lạp đã nhận thức rõ vấn đề này. Để chứng minh, ta phải bắt đầu từ đâu đó. Thế nhưng câu đầu tiên trong tất cả các cuốn sách toán học lại không hề được chứng minh, chính vì đó là câu mở đầu. Mọi lập luận toán học đều phải bắt đầu bằng việc thừa nhận một vài tiền đề hiển nhiên. Những tiền đề đó sẽ là nền tảng cho tất cả những lý luận về sau và do đó cần được lựa chọn một cách cực kỳ cẩn thận. Những tiền đề đó được các nhà toán học gọi là “tiên đề”. Tiên đề là những phát biểu toán học, cũng gần giống với định lý và phỏng đoán, nhưng khác ở chỗ chúng không có và cũng không cần bất kỳ sự chứng minh nào. Chúng được thừa nhận là luôn đúng. Bộ sách Cơ sở được soạn vào thế kỉ 3 bởi Euclid được gộp thành bởi mười ba quyển với nội dung chủ yếu là về hình học và số học. Người ta không biết nhiều về Euclid và những nguồn liên quan đến ông cũng hiếm hơn so với Thales và Pythagoras. Có thể ông từng sống ở thành Alexandria. Một số người khác đưa ra giả thuyết, cũng giống như những gì ta từng đề cập về Pythagoras, rằng ông không phải một nhân vật có thật mà chỉ là tên của một nhóm học giả. Không có gì chắc chắn cả. Mặc dù thông tin về Euclid rất hạn chế, nhưng ông đã để lại cho đời sau Cơ sở, một tác phẩm đồ sộ. Bộ sách này được công nhận là một trong những trước tác vĩ đại nhất trong lịch sử toán học và cũng là công trình đầu tiên có sự xuất hiện của tiên đề. Kết cấu của Cơ sở hiện đại một cách đáng ngạc nhiên và rất gần với cấu trúc được các nhà toán học hiện nay sử dụng. Vào cuối thế kỉ 15, Cơ sở là một trong những bộ sách đầu tiên được in bằng máy in Gutenberg đời mới. Công trình của Euclid hiện là văn bản được xuất bản nhiều thứ hai, chỉ sau Kinh Thánh. Trong quyển đầu tiên của Cơ sở, viết về hình học phẳng, Euclid đã nêu ra năm tiên đề dưới đây: 1. Qua hai điểm bất kỳ luôn vẽ được một đoạn thẳng; 2. Một đoạn thẳng có thể kéo dài vô tận về cả hai phía; 3. Cho một đoạn thẳng, có thể vẽ một đường tròn có bán kính là đoạn thẳng ấy với tâm là một trong đầu mút của đoạn thẳng ấy. 4. Mọi góc vuông đều có thể đặt chồng khít lên nhau. 5. Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn tổng hai góc vuông, thì chúng sẽ cắt nhau về phía đóP. Sau đó là một loạt các định lý được chứng minh hoàn hảo không chê vào đâu được. Với mỗi định lý, Euclid không sử dụng gì khác ngoài năm tiên đề hay kết quả đã được thiết lập trước đó. Định lý cuối cùng ở quyển đầu tiên là một kiến thức cũ bởi đó chính là định lý Pythagoras. Sau Euclid, rất nhiều nhà toán học đã tập trung vào vấn đề lựa chọn các tiên đề. Nhiều người đặc biệt bị lôi cuốn và rối trí bởi tiên đề thứ năm. Tiên đề cuối cùng này không cơ bản bằng bốn tiên đề còn lại. Đôi lúc nó được thay thế bởi một phát biểu đơn giản hơn, nhưng vẫn dẫn đến các kết luận giống nhau: qua một điểm, chỉ kẻ được một và duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Những tranh luận về việc lựa chọn tiên đề thứ năm kéo dài đến tận thế kỉ 19 khi chúng cuối cùng dẫn đến việc tạo ra những mô hình hình học mới trong đó tiên đề này là sai! Sự phát biểu trong các tiên đề này đặt ra một vấn đề khác: các định nghĩa trong đó. Tất cả các từ được sử dụng: điểm, đoạn thẳng, góc hay đường tròn, chúng có nghĩa là gì? Giống như với việc chứng minh, câu hỏi về các định nghĩa cũng là vô tận. Định nghĩa đầu tiên nêu ra sẽ được diễn đạt bằng những từ ngữ chưa bao giờ được định nghĩa trước đó. Trong Cơ sở, các định nghĩa được đặt trước các tiên đề. Câu đầu tiên trong quyển thứ nhất là định nghĩa về điểm. Điểm là thứ không thể phân chia. Cố mà hiểu nó đi! Trong định nghĩa này, Euclid muốn nói rằng điểm là hình thái hình học nhỏ nhất khả dĩ. Không thể áp dụng phương pháp ghép hình với một điểm, bởi nó không thể bị phân chia thành các phần nhỏ hơn. Vào năm 1632, ở một trong những ấn bản đầu tiên bằng tiếng Pháp của bộ Cơ sở, nhà toán học Denis Henrion đã bổ sung thêm một chút định nghĩa trong phần bình luận của ông, rằng điểm không có chiều dài, không có chiều rộng, không có bề dày. Những định nghĩa mang tính phủ định này gây ra sự hoài nghi. Việc nêu ra thứ gì không phải là điểm không có nghĩa là đã nêu ra được nó là gì! Song nào có ai đề xuất được định nghĩa chuẩn hơn. Trong một vài quyển sách giáo khoa vào đầu thế kỉ 20, đôi khi sẽ bắt gặp một định nghĩa như sau: một điểm là một dấu vết được lưu lại bởi một cây bút chì vót nhọn chấm trên một mặt giấy. Vót nhọn! Lần này, chúng ta đã có được một định nghĩa cụ thể. Định nghĩa này hẳn sẽ gây sốc cho Euclid, Pythagoras và Thales, những người đã gây ra quá nhiều rắc rối trong việc nghiên cứu những hình thái hình học như những chủ thể trừu tượng được lý tưởng hóa. Không một cây bút chì nào, dù có được vót nhọn hay không, lại có thể để lại một dấu vết thật sự không có chiều dài, chiều rộng hay bề dày. Tóm lại, không ai thật sự biết thế nào là một điểm, nhưng mọi người đều khá chắc chắn rằng ý tưởng này phải đủ đơn giản và rõ ràng để không gây ra sự mơ hồ. Chúng ta đều khá chắc chắn rằng mình đang nói về cùng một thứ khi sử dụng từ điểm. Dựa trên niềm tin vào những định nghĩa đầu tiên và các tiên đề rồi từ đó mới xây dựng nên toàn bộ hình học. Và vì không có cách nào tốt hơn thế, nên toàn bộ nền toán học hiện đại cũng được xây dựng trên một mô hình giống như vậy. Định nghĩa – Tiên đề – Định lý – Chứng minh: con đường được vạch nên bởi Euclid đã định ra lề lối cho những nhà toán học tiếp bước ông. Vậy nhưng, khi mà lý thuyết đã được cơ cấu và khuếch trương, những hạt sạn mới lại chui vào giày các nhà toán học, và chúng mang tên: nghịch lý. Nghịch lý là một điều đáng lẽ sẽ xảy ra, nhưng lại không xảy ra. Đây hẳn là một mâu thuẫn không giải quyết được. Một lập luận dường như cực kỳ đúng lại dẫn đến một kết quả hoàn toàn ngớ ngẩn. Hãy tưởng tượng bạn đã lập ra một danh sách các tiên đề mà có vẻ như bạn không thể phủ nhận, nhưng rồi lại suy dẫn đến những định lý sai rành rành. Một cơn ác mộng! Một trong những định lý nổi tiếng nhất đã được nêu bởi Eubulides xứ Miletus, liên quan đến lời khẳng định của thi sĩ Epimenides. Thi sĩ này một ngày nọ đã tuyên bố rằng “dân trên đảo Crete thảy đều là phường dối trá”. Vấn đề nằm ở chỗ, chính Epimenides cũng là một người đảo Crete. Bởi vậy, nếu những gì ông ta nói là đúng thì chính ông ta cũng là một kẻ nói dối… Vậy nên những gì ông ta nói là sai. Và nếu đổi ngược lại, phát biểu đó là sai, thì khi ông ta nói dối, câu nói sẽ trở thành đúng! Về sau người ta nghĩ ra rất nhiều dị bản về nghịch lý này, trong đó đơn giản nhất là về một nhân vật phát biểu rằng: “Tôi nói dối.” Nghịch lý kẻ nói dối thử thách một ý niệm thành kiến rằng tất cả phát biểu đều hoặc là đúng, hoặc sai. Không có khả năng thứ ba. Trong toán học, đây được gọi là luật bài trung. Thoạt nhìn, nguyên lý này có vẻ giống một tiên đề. Tuy nhiên, nghịch lý kẻ nói dối cảnh báo chúng ta rằng: tình huống phức tạp hơn là vậy. Nếu một phát biểu xác quyết tính sai lầm của chính nó, vậy thì theo logic nó không thể mang giá trị đúng hoặc sai. Thắc mắc này cho đến nay vẫn không hề ngăn cản các nhà khoa học coi luật bài trung là đúng. Sau tất cả, nghịch lý kẻ nói dối không thật sự được tính là một phát biểu toán học và được nhìn nhận là một sự thiếu mạch lạc về ngôn ngữ nhiều hơn là một mâu thuẫn về mặt logic. Tuy vậy, hơn hai nghìn năm sau thời đại của Eubulides, các nhà logic học phát hiện ra rằng những nghịch lý dạng này cũng có thể xuất hiện trong những học thuyết chặt chẽ nhất, gây ra một biến động toán học sâu sắc. Nhà toán học Hy Lạp Zeno xứ Elea, sống vào thế kỉ 5 , cũng là một bậc thầy trong nghệ thuật tạo ra những nghịch lý. Người ta tính được có khoảng mười nghịch lý do ông đặt ra. Một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất của ông mang tên Achilles và con rùa. Hãy hình dung một cuộc chạy đua giữa Achilles, một vận động viên xuất sắc, và một con rùa. Để cân bằng các cơ hội, người ta cho con rùa một điểm xuất phát gần đích hơn, ví dụ như cách Achilles một trăm mét. Bất chấp lợi thế này, có vẻ như rõ ràng là Achilles chạy nhanh hơn nhiều so với con rùa nên sớm muộn gì cũng sẽ bắt kịp nó. Tuy nhiên, Zeno lại khẳng định điều ngược lại. Ông nói rằng, cần xem xét cuộc chạy đua theo nhiều giai đoạn. Để bắt kịp con rùa, Achilles ít nhất phải chạy hết đoạn đường một trăm mét mà anh ta đứng cách con rùa. Trong khoảng thời gian anh ta chạy hết một trăm mét đó, con rùa cũng tiến về phía trước và bởi vậy lại tạo ra thêm một khoảng cách ngắn nữa để Achilles bắt kịp nó. Nhưng khi anh ta rút ngắn khoảng cách này, con rùa lại tiếp tục kéo dài nó thêm một chút. Do đó, anh ta vẫn phải chạy tiếp từ vạch xuất phát của đoạn đường mới mà con rùa vừa đi thêm. Tóm lại, mỗi khi Achilles đến một vị trí mà con rùa vừa đi qua, thì con rùa lại cách đó một đoạn và anh ta vẫn không bắt kịp nó. Và điều này sẽ luôn đúng bất kể bạn có xem xét bao nhiêu giai đoạn đi chăng nữa! Bởi vậy, dường như Achilles phải liên tục đuổi theo con rùa mà không bao giờ có thể vượt mặt nó. Thật vô lý, phải không? Chỉ cần làm thí nghiệm là có thể thấy rằng vận động viên nọ sẽ vượt qua con rùa và về đích trước. Tuy nhiên, có vẻ như rất khó để phát hiện ra lỗ hổng logic của lý luận này. Phải mất một thời gian dài các nhà toán học mới có thể hiểu được nghịch lý tinh quái về sự vô hạn này. Nếu các vận động viên chạy theo đường thẳng, quỹ đạo của họ có thể xem như thứ mà Euclid gọi là đoạn thẳng. Một đoạn thẳng có chiều dài xác định kể cả khi nó bao gồm vô số điểm mà tất cả đều có độ dài bằng không. Vậy nên, ta có một cái vô hạn trong cái hữu hạn. Nghịch lý Zeno chia thời gian mà Achilles cần để bắt kịp con rùa ra thành vô hạn những khoảng thời gian càng lúc càng ngắn. Sự vô hạn các giai đoạn ấy vẫn hợp thành một khoảng thời gian hữu hạn và nó không thể ngăn cản việc Achilles bắt kịp con rùa một khi khoảng thời gian ấy kết thúc. Khái niệm vô hạn trong toán học, không nghi ngờ gì nữa, sẽ trở thành ngọn nguồn lớn nhất của những nghịch lý, và cũng là cái nôi của những lý thuyết đầy thú vị. Suốt chiều dài lịch sử, các nhà toán học luôn duy trì một mối quan hệ nhập nhằng với những nghịch lý. Một mặt, chúng đại diện cho mối nguy hiểm lớn nhất đối với họ. Nếu một ngày một lý thuyết cho ra đời một nghịch lý, thì tất cả nền tảng của nó và những định lý mà người ta tin rằng đã xây dựng dựa trên các tiên đề đều sẽ bị lật đổ. Nhưng mặt khác: thật là một thách thức thú vị! Nghịch lý là một nguồn nghi vấn rất dồi dào. Nếu một nghịch lý nảy sinh, tức là ta đã bỏ sót điều gì đó. Là do ta đã hiểu sai khái niệm, đặt sai câu hỏi, chọn sai tiên đề. Các nghịch lý là một lời mời gọi đến với những chuyến phiêu lưu. Nó kêu gọi ta suy nghĩ lại về những điều hiển nhiên quen thuộc nhất. Ta đã có thể bỏ lỡ bao nhiêu những ý tưởng mới và những lý thuyết độc đáo, nếu nghịch lý đã không thôi thúc ta tiếp cận chúng? Các nghịch lý của Zeno đã gợi cảm hứng cho những quan niệm mới về sự vô hạn và sự đo lường. Nghịch lý kẻ nói dối dẫn các nhà logic học vào cuộc săn tìm ngày càng nhiều thử thách với những khái niệm về chân lý và khả năng chứng minh. Cho đến nay, nhiều nhà nghiên cứu vẫn đang mổ xẻ những vấn đề toán học được ấp ủ trong những nghịch lý của các nhà bác học Hy Lạp. Năm 1924, hai nhà toán học Stefan Banach và Alfred Tarski đã tìm ra một nghịch lý hiện mang tên họ và đặt ra một thách thức với nguyên lý xếp hình. Tuy có vẻ hiển nhiên, nguyên lý này lại có thể ẩn chứa sai sót. Banach và Tarski đã mô tả một hình ghép trong không gian ba chiều mà thể tích của nó lại không bằng tổng thể tích của các phần ghép hợp thành! Chúng ta sẽ quay trở lại vấn đề này. Tuy vậy, những phần ghép mà họ nghĩ ra lại khá lạ lùng và kỳ dị, và không hề tương thích với những dạng hình học mà các nhà toán học Hy Lạp đã sử dụng. Yên tâm, quy tắc ghép hình vẫn sẽ còn hiệu lực miễn là các mảnh ghép có dạng hình tam giác, hình vuông hay các loại hình truyền thống khác. Cách chứng minh định lý Pythagoras của Lưu Huy vẫn đúng. Nhưng hãy ghi nhớ nó như một bài học! Đừng tin vào những điều hiển nhiên và hãy để mình phải trầm trồ và kinh ngạc trước sự kỳ bí của thế giới toán học mà các học giả Hy Lạp đã mở ra cho chúng ta. """