Ngôn Ngữ Của Đối Xứng - Mario Livio PDF EPUB

" Ngôn Ngữ Của Đối Xứng - Mario Livio PDF EPUB 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Ngôn Ngữ Của Đối Xứng - Mario Livio PDF EPUB Ebooks Nhóm Zalo The equation that couldn’t be solved Copyright © 2005 by Mario Livio Copyright © 2005 by Simon & Schuster Xuất bản theo thỏa thuận với Simon & Schuster Bản tiếng Việt © Nhà xuất bản Trẻ, 2013 BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI THƯ VIỆN KHTH TP.HCM General Sciences Library Cataloging-in-Publication Data Livio, Mario, 1945- Ngôn ngữ của đối xứng / Mario Livio ; Phạm Văn Thiều dịch. - T.P. Hồ Chí Minh : Trẻ, 2013. 422 tr. ; 20cm. Nguyên bản : The equation that couldn’t be solved. 1. Lý thuyết nhóm. 2. Lý thuyết Galois. 3. Hàm đối xứng -- Lịch sử. 4. Đối xứng (Toán học) -- Lịch sử. 5. Phân tích Diophantus -- Lịch sử. I. Phạm Văn Thiều. II. Ts: The equation that couldn’t be solved. 512.209 -- dc 22 L788 Lời nói đầu Ngay từ hồi còn học trung học tôi đã say mê Évariste Galois. Một chàng trai 20 tuổi có thể phát minh ra cả một lĩnh vực toán học mới mẻ, đầy hấp dẫn quả là một nguồn cảm hứng thực sự. Tuy nhiên, vào những năm cuối đại học, chàng trai lãng mạn người Pháp này lại là nguồn gốc khiến tôi thật sự thất vọng. Bạn cảm thấy như thế nào khi bạn nhận ra mình đã ở tuổi 23 mà chẳng làm được điều gì có tầm cỡ tương tự? Khái niệm nhóm mà Galois đưa ra, ngày nay đã được thừa nhận là ngôn ngữ “chính thức” của đối xứng. Và, vì đối xứng đã xuyên suốt nhiều lĩnh vực, từ nghệ thuật thị giác và âm nhạc tới tâm lý học và các lĩnh vực khoa học tự nhiên, nên sẽ không có gì là quá đáng, nếu nói rằng ngôn ngữ này là rất quan trọng. Danh sách những người có đóng góp trực tiếp hoặc gián tiếp cho quyển sách này có lẽ phải chép chật kín vài trang giấy. Ở đây tôi sẽ chỉ nhắc tới những người mà không có sự giúp đỡ của họ tôi khó có thể hoàn thành bản thảo đúng thời hạn được. Tôi xin cám ơn Freeman Dyson, Ronen Plesser, Nathan Seiberg, Steven Weinberg, và Ed Witten vì những cuộc trò chuyện về vai trò của đối xứng trong vật lý. Tôi cũng xin cám ơn Ngài Michael Atiyah, Peter Neumann, Joseph Rotman, Ron Salomon và đặc biệt là Hillel Gauchman đã có những nhận xét sâu sắc và quan trọng về toán học nói chung và về lý thuyết của Galois nói riêng. Tôi xin cám ơn John O’Connor và | 5 Edmund Robertson đã giúp tôi về lịch sử toán học; Simon Conway Morris và David Perrett đã chỉ cho tôi hướng đi đúng trong những chủ đề có liên quan đến tiến hóa và tâm lý học tiến hóa. Tôi đã có những cuộc thảo luận rất hiệu quả với Ellen Winner về chủ đề tính sáng tạo. Philippe Chaplain, Jean-Paul Auffray và Norbert Verdier đã cung cấp cho tôi những tư liệu và thông tin rất có giá trị về Galois. Victor Liviot đã giúp tôi hiểu được biên bản khám nghiệm tử thi Galois. Stefano Corazza, Carla Cacciari và Letizia Stanghellini đã cung cấp cho tôi những thông tin hữu ích về các nhà toán học ở Bologna. Ermanno Bianconi cũng đã có nhiều giúp đỡ liên quan tới các nhà toán học ở San Sepolcro. Laura Garbolino, Livia Giacardi và Franco Pastrone đã cung cấp cho tôi nhiều tư liệu quý giá về lịch sử toán học. Patrizia Moscatelli và Biancastella Antonio đã cung cấp cho tôi nhiều tài liệu quan trọng từ thư viện của Đại học Bologna. Arild Stubhaug cũng như Yngvar Reichelt đã giúp tôi hiểu được một số khía cạnh trong cuộc đời của Niels Abel và cung cấp cho tôi nhiều tài liệu. Tôi vô cùng biết ơn Patrick Gordon cùng Victor và Bernadette Laviot đã dịch giúp những tài liệu từ tiếng Pháp cũng như Tommy Wiklind và Theresa Wiegert đã dịch giúp các tài liệu từ tiếng Na Uy, Stefano Casertano, Nino Panagia và Massimo Stavelli đã giúp dịch các tài liệu từ tiếng Ý và tiếng Latinh. Elisabeth Fraser và Sarah Stevens Rayburn đã có sự giúp đỡ vô giá về tư liệu và ngôn ngữ. Bản thảo này sẽ không thể đưa in nếu không có sự chuẩn bị rất chuyên nghiệp của Sharon Toolan và những hình vẽ của Krista Wildt. Sự tìm tòi và viết lách gắn với một quyển sách tầm cỡ như thế này không khỏi đặt một gánh nặng lên gia đình chúng tôi. Không có sự hỗ trợ liên tục và sự kiên nhẫn vô hạn của vợ tôi, Sofie, và các 6 | MARIO LIVIO con tôi, Sharon, Oren và Maya, thì tôi thậm chí không dám mơ tới việc hoàn thành cuốn sách này. Tôi hy vọng rằng mẹ tôi, Dorothy Livio, người dành trọn cuộc đời đã và vẫn còn đang gắn bó với âm nhạc, sẽ thích thú đọc quyển sách về đối xứng này. Cuối cùng, tôi chân thành biết ơn người đại diện của tôi, Susan Rabiner, vì sự làm việc miệt mài và động viên tuyệt vời, cũng như biên tập viên Bob Bender của tôi ở NXB Simon & Schuster về sự chuyên nghiệp và ủng hộ không mệt mỏi của ông và tôi cũng xin cám ơn Johanna Li, Loretta Denner, Victoria Meyer và toàn bộ ekip làm việc ở NXB Simon & Schuster về sự giúp đỡ sản xuất và quảng bá quyển sách này. | 7 I Đối xứng M ột vết mực trên một mẩu giấy chẳng có gì đặc biệt bắt mắt cả, nhưng nếu bạn gấp đôi tờ giấy lại khi vết mực chưa kịp khô thì bạn sẽ nhận được một cái gì đó nhìn giống như hình 1 và rõ ràng là hấp dẫn hơn nhiều. Thực tế, việc giải thích những vết mực tương tự đã tạo cơ sở cho phép thử Rorschach do nhà tâm thần học người Thụy Sĩ, Hermann Rorschach, phát triển trong những năm 1920. Mục đích phép thử này được tuyên bố là để bằng cách nào đó làm sáng tỏ những nỗi sợ hãi ẩn giấu, những tưởng tượng điên dại và những tư tưởng sâu xa hơn của những người nhìn lý giải những hình dáng mơ hồ. Giá trị thực sự của phép thử này với tư cách là “tia X quang đối với trí óc” đã được tranh cãi gay gắt trong giới tâm lý học. Như nhà tâm lý học Scott Lilienfeld thuộc Đại học Emory đã từng nói: “Trí óc của ai, Hình 1 8 | của bệnh nhân hay của người kiểm tra?”. Tuy nhiên, không ai phủ nhận thực tế là những hình ảnh như trên hình 1 đã chuyển tải một loại ấn tượng hấp dẫn và thu hút nào đó. Tại sao? Phải chăng đó là do cơ thể con người, đa số động vật và rất nhiều tạo tác của con người đều có đối xứng hai phía như thế? Nhưng tại sao tất cả những đặc điểm động vật học đó và tất cả những sáng tạo của trí tưởng tượng con người trước hết lại bộc lộ một đối xứng như vậy? Đa số chúng ta cảm nhận những bố cục hài hòa như bức tranh Sự ra đời của thần Vệ nữ của Botticelli (hình 2) như là một cái gì đó đối xứng. Nhà lịch sử nghệ thuật Ernst H. Gombrich thậm chí còn nhận xét rằng “cách hành xử khoáng đạt của Botticelli đối với tự nhiên nhằm đạt được những đường nét duyên dáng đã làm tăng thêm vẻ đẹp và sự hài hòa của bức tranh”. Nhưng các nhà toán học sẽ nói với bạn rằng những bố trí màu sắc và hình dạng trong bức tranh đó là không đối xứng một chút nào theo nghĩa toán học. Trái lại, những người xem không phải là nhà toán học lại không cảm nhận hình 3 như là một cái gì đó đối xứng, thậm chí mặc dù nó thực sự là đối xứng theo định nghĩa hình thức của toán học. Vậy đối xứng thực sự là cái gì? Nó đóng vai trò gì (nếu có) trong sự cảm nhận của con người? Nó có liên quan như thế nào với cảm giác thẩm mỹ của chúng ta? Trong thế giới khoa học, tại sao đối xứng lại trở thành một khái niệm then chốt trong những ý tưởng của chúng ta về vũ trụ xung quanh và trong những lý thuyết cơ bản mưu toan giải thích vũ trụ đó? Vì đối xứng trải rộng trong nhiều lĩnh vực, vậy chúng ta sẽ phải dùng “ngôn ngữ” gì và “ngữ pháp” nào để mô tả và đặc trưng cho các đối xứng cùng các thuộc tính của chúng và cái ngôn ngữ phổ quát ấy đã được phát minh ra như thế nào? Ngôn ngữ của đối xứng | 9 Nói một cách nhẹ nhàng hơn thì đối xứng làm thế nào có thể mang lại cho ta câu trả lời đối với câu hỏi hết sức quan trọng được đặt ra trong nhan đề của một trong những bài hát của ngôi sao nhạc rock Rod Stewart – “Anh có nghĩ em là gợi cảm không?” Hình 2 Tôi sẽ cố gắng cung cấp ít nhất là một phần những câu trả lời cho tất cả những câu hỏi đó và còn nhiều hơn thế nữa. Đồng thời, tôi hy vọng rằng toàn bộ câu chuyện này sẽ khắc họa cả khía cạnh nhân văn của toán học, và thậm chí còn quan trọng hơn, là khía cạnh con người của các nhà toán học. Như chúng ta sẽ thấy, đối xứng là một công cụ chủ yếu để bắc cầu qua cái hố ngăn cách giữa khoa học và nghệ thuật, giữa tâm lý học và toán học. Đối xứng xuyên suốt các vật và các khái niệm từ những tấm thảm Ba Tư tới những phân tử của sự sống, từ nhà thờ Sistine tới “Lý thuyết của vạn vật” (Theory of Everything – TOE) đang được săn tìm. Nhưng lý thuyết nhóm, ngôn ngữ toán học mô tả bản chất của các đối xứng và khám phá những tính chất của chúng, lại hoàn toàn không xuất hiện từ những nghiên cứu về đối xứng. Thay vì thế, ý tưởng thống 10 | MARIO LIVIO nhất đáng kinh ngạc này của tư tưởng hiện đại lại thăng hoa từ một nguồn bất ngờ nhất, đó là một phương trình không thể giải được. Lịch sử đầy bi kịch và quanh co của phương trình này là phần căn bản của câu chuyện truyền kỳ trí tuệ được đề cập đến trong cuốn sách bạn đang cầm trong tay. Đồng thời, câu chuyện này sẽ soi sáng nỗi cô đơn của một thiên tài và sự ngoan cường của trí tuệ con người khi đối mặt với những thách thức tưởng chừng như không thể vượt qua. Tôi đã hết Hình 3 sức nỗ lực để thử giải đáp một bí ẩn kéo dài hai thế kỷ về cái chết của nhân vật chính trong câu chuyện này, đó là nhà toán học xuất sắc Évariste Galois. Tôi tin rằng tôi đã tiến gần tới sự thật hơn bất kỳ ai có thể trước đó. Nhà viết kịch sắc sảo George Bernard Shaw đã từng nói: “Một con người biết điều là người bắt mình phải thích nghi với thế giới, còn người không biết điều là người cứ khăng khăng bắt thế giới phải phù hợp với mình. Do đó, mọi tiến bộ của nhân loại lại phụ thuộc vào con người không biết điều ấy”. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ gặp nhiều con người không biết điều như thế. Quá trình sáng tạo, do chính bản chất của nó, luôn tìm kiếm những mảnh đất trí tuệ và cảm xúc còn chưa được khai phá. Sự đột nhập chớp nhoáng vào sự trừu xuất toán học sẽ cho ta ghé nhìn trộm vào chính bản chất của sự sáng tạo. Trước hết, chúng ta hãy khám phá sơ qua thế giới kỳ diệu của đối xứng. Ngôn ngữ của đối xứng | 11 “MIỄN TRỪ” THAY ĐỔI Từ đối xứng (symmetry) có nguồn gốc từ xa xưa, xuất phát từ các từ sym và metria trong tiếng Hy Lạp, có nghĩa là “có cùng độ đo”. Khi người Hy Lạp gắn cho một tác phẩm nghệ thuật hay một thiết kế kiến trúc cái nhãn đối xứng là khi họ muốn nói rằng người ta có thể nhận dạng được một mẩu nhỏ nào đó của tác phẩm nghệ thuật ấy, sao cho kích thước của tất cả các phần khác đều chứa mẩu đó với một số lần rất chính xác (các phần này được gọi là “thông ước” với nhau). Định nghĩa từ rất sớm này có lẽ tương ứng với khái niệm hiện đại của chúng ta về sự tỷ lệ hay cân đối hơn là với đối xứng. Tuy nhiên, hai triết gia vĩ đại Plato (428/427 – 348/347 trước CN) và Aristotle (384 – 322 trước CN) đã nhanh chóng gắn đối xứng với cái đẹp. Theo lời của Aristotle, “Các dạng chủ yếu của cái đẹp là sự bố cục có trật tự (tiếng Hy Lạp là taxis), cân đối (symmetria) và xác định (horismenon), những thứ này được phát lộ đặc biệt bởi toán học”. Theo bước chân những người Hy lạp, sự đồng nhất đối xứng với “sự cân đối thỏa đáng” sau này đã được kiến trúc sư La Mã có ảnh hưởng là Vitruvius (khoảng 70 – 25 trước CN) truyền bá và nó còn duy trì qua suốt cả thời kỳ Phục Hưng. Trong cuốn De Architectura Libri Decem (Mười quyển sách về kiến trúc) của ông, được coi là kinh thánh của kiến trúc ở châu Âu trong nhiều thế kỷ, Vitruvius đã viết: Bản thiết kế của một ngôi đền phụ thuộc vào đối xứng, mà người kiến trúc sư phải tuân theo một cách cẩn trọng những nguyên tắc chủ yếu của nó. Mà chúng chính là do sự cân đối. Cân đối là sự tương xứng giữa các số đo của các thành phần thuộc toàn bộ công trình và của tổng thể công trình đối với một bộ phận nào đó được chọn làm chuẩn. Các nguyên lý của đối xứng từ đó mà ra”. 12 | MARIO LIVIO Ý nghĩa hiện đại của đối xứng (lần đầu tiên được đưa ra vào cuối thế kỷ 18) theo nghĩa toán học chính xác thực sự là “sự miễn trừ đối với một thay đổi khả dĩ nào đó”. Hay như nhà toán học Hermann Weyl (1885-1955) từng nói: “Một vật là đối xứng nếu có một phép gì đó mà bạn có thể làm với nó sao cho sau khi kết thúc, vật nhìn vẫn giống hệt như trước”. Để làm ví dụ, hãy xét mấy câu thơ sau: Is it odd how asymmetrical Is “symmetry”? “Symmetry” is asymmetrical How odd it is. Khổ thơ này không đổi nếu bạn đọc từng từ một từ cuối lên đầu, tức nó là đối xứng đối với phép đọc giật lùi. Nếu bạn xét các từ được sắp xếp giống như các hạt xếp lồng qua một sợi dây, bạn có thể xem sự đọc ngược này như là một loại phản xạ qua gương (không thật chính xác với từng chữ cái) của khổ thơ trên. Khổ thơ này là không thay đổi khi được phản xạ qua gương theo nghĩa trên, tức nó là đối xứng đối với phép phản xạ qua gương như vậy. Một cách khác, nếu bạn thích nghĩ thông qua sự đọc to khổ thơ ấy lên hơn, thì cách đọc ngược sẽ tương ứng với sự nghịch đảo thời gian, nó đại khái tương tự như cho cuộn băng video quay ngược lại (lại một lần nữa, điều này không thật chính xác tới từng âm vì những âm riêng rẽ không thể đảo ngược được). Các câu có tính chất đó được gọi là thuận nghịch độc. Sự phát minh ra các câu thuận nghịch độc được cho là thuộc Sotades xứ Maronea, người sống vào thế kỷ 3 trước CN ở Ai Cập do người Hy Lạp thống trị. Các câu thuận nghịch độc đã cực kỳ phổ biến với những kiểu chơi chữ kỳ tài như người Anh J.A. Lindon và Ngôn ngữ của đối xứng | 13 với những trò giải trí toán học tuyệt vời của tác giả Martin Gardner. Một trong những câu thuận nghịch đọc vui của Lindon với đơn vị là từ (chứ không phải chữ cái!) là: “Girl, bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl”. Một câu thuận nghịch đọc khác đối xứng với phép đọc trước-sau từng chữ cái một (chứ không phải là từ nữa!) là: “Able was I ere I saw Elba” (được đồn vui là của Napoleon) hoặc cái tên của chương trình NOVA nổi tiếng: “A man, a Plan, a Canal, Panama.” Điều lạ là, các câu thuận nghịch độc xuất hiện không chỉ trong các trò chơi chữ lắt léo mà cả trong cấu trúc của nhiễm sắc thể Y quyết định giới tính nam. Việc xác định chuỗi đầy đủ các gen trong nhiễm sắc thể Y chỉ mới hoàn tất vào năm 2003. Đó là thành tựu đỉnh cao của một nỗ lực phi thường, và nó cho thấy rằng sức mạnh bảo tồn nhiễm sắc thể giới tính này đã bị đánh giá quá thấp. Những cặp nhiễm sắc thể khác của con người đã chiến đấu chống lại những đột biến phá hoại bằng cách tráo đổi các gen. Vì nhiễm sắc thể Y thiếu bạn kết cặp, nên các nhà sinh học về gen trước kia đã ước tính rằng hành trang di truyền của nó đã teo dần lại có lẽ ít ra cũng trong 5 triệu năm. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu thuộc nhóm xác định trình tự gen đã vô cùng ngạc nhiên phát hiện ra rằng nhiễm sắc thể này (Y) đã chống lại sự thoái hóa đó bằng chiêu thuận nghịch độc. Khoảng 6 triệu trong số 50 triệu các chữ cái AND của nó đã tạo nên các chuỗi thuận nghịch độc, tức là các chuỗi mà đọc lui đọc tới đều như nhau trên hai nhánh của chuỗi xoắn kép. Những sao chép này không những cung cấp một sự hỗ trợ trong trường hợp có những đột biến xấu, mà còn cho phép nhiễm sắc thể này, trong một phạm vi nhất định, tự giao phối với mình, trong đó các đoạn hoán đổi vị trí và các gen tráo đổi cho nhau. Như David 14 | MARIO LIVIO Page – lãnh đạo nhóm nghiên cứu – đã nói: “Cứ như nhiễm sắc thể Y là một nhà gương vậy”. Tất nhiên, ví dụ quen thuộc nhất của đối xứng phản xạ qua gương là đối xứng hai bên đặc trưng cho vương quốc các động vật. Từ các con bướm đến những con cá voi, từ chim cho tới con người, nếu như bạn cho nửa bên trái phản xạ qua gương bạn sẽ nhận được cái gần như đồng nhất với nửa bên phải. Tạm thời ta hãy bỏ qua những khác biệt nhỏ bên ngoài – dù sao cũng vẫn có – và sự thật là cả các cơ quan nội tạng lẫn những chức năng của não bộ đều không có tính đối xứng hai bên. Đối với nhiều người, từ đối xứng được mặc nhiên công nhận có ý nghĩa là đối xứng hai bên. Ngay cả trong cuốn Từ điển Quốc tế Webster – Webster’s Third New International Dictionary, một trong những định nghĩa của từ này là: “Sự tương ứng về kích thước, hình dạng và vị trí tương đối của các bộ phận nằm ở hai phía đối diện của đường phân cách hoặc của mặt phẳng trung trực”. Sự mô tả toán học chính xác của đối xứng phản xạ gương cũng dùng chính những quan niệm đó. Hãy lấy hình vẽ một con bướm và vạch một đường thẳng ở chính giữa hình. Nếu gấp hình vẽ lại dọc theo đường thẳng đó thì hai nửa hình vẽ sẽ chồng khít lên nhau. Con bướm vẫn còn không thay đổi – tức bất biến – qua phép phản xạ qua đường thẳng trung tâm. Đối xứng hai bên thể hiện nổi bật trong thế giới động vật và khó có thể cho đó chỉ là ngẫu nhiên được. Thực tế, nếu bạn coi động vật là những tập hợp cực lớn của hàng ngàn tỷ ngàn tỷ phân tử thì số các cách để xây dựng các cấu hình bất đối xứng sẽ cực kỳ nhiều hơn các cấu hình đối xứng. Các mảnh của cái bình vỡ có thể xếp theo nhiều cách khác nhau nhưng sẽ chỉ có một cách xếp duy Ngôn ngữ của đối xứng | 15 nhất để cho các mảnh ăn khớp với nhau và tạo lại chiếc bình như nguyên vẹn (và thường có đối xứng hai bên). Những tư liệu hóa thạch ở Ediacara, Australia lại cho thấy rằng các sinh vật thân mềm (Spriggina) gốc từ kỷ Vendian (650 tới 543 triệu năm trước) cũng đã có đối xứng hai bên. Vì các dạng sự sống trên Trái Đất được hình thành bởi hàng thiên niên kỷ tiến hóa và chọn lọc tự nhiên, những quá trình này chắc bằng cách nào đó lại ưng đối xứng hai bên hay đối xứng gương hơn. Trong số tất cả những cái vỏ bên ngoài khác nhau mà động vật có thể chấp nhận, thì cái vỏ đối xứng gương có ưu thế hơn. Không thể không kết luận rằng đối xứng này là kết cục thích hợp của sự tăng trưởng sinh học. Nhưng liệu chúng ta có thể hiểu được nguyên nhân của sự thiên vị đặc biệt đó không? Chí ít chúng ta có thể tìm được một số cội nguồn có tính chất kỹ thuật trong các định luật của cơ học. Một điểm then chốt ở đây là thực tế rằng tất cả các hướng trên bề mặt Trái Đất được tạo ra không phải bình đẳng với nhau. Lực hấp dẫn của Trái Đất đã tạo ra một sự khác biệt rõ ràng giữa trên và dưới (hay nói theo ngôn ngữ sinh học là giữa lưng và bụng của các động vật). Trong phần lớn các trường hợp thì cái gì đi lên sẽ phải rơi xuống, nhưng không có chuyện ngược lại. Một sự phân biệt nữa, giữa trước và sau, là kết quả của sự di chuyển của động vật. Bất cứ động vật nào di chuyển tương đối nhanh, dù là ở trong biển, trên đất liền hay trong không khí, cũng sẽ có ưu thế rõ ràng nếu nó có phần phía trước khác với phần phía sau. Khi đã có tất cả các giác quan, thì các cơ quan thu và phát hiện ánh sáng, âm thanh, mùi và vị ở phía trước rõ ràng sẽ giúp cho động vật quyết định sẽ đi đâu và làm cách nào đi tới đó tốt nhất. Một “radar” ở phía trước cũng sẽ cung cấp những cảnh báo sớm về những hiểm họa tiềm 16 | MARIO LIVIO tàng. Việc có miệng ở phía trước có thể làm nên sự khác biệt giữa việc có đoạt được thức ăn trước hay là không. Đồng thời, cơ học thực sự của chuyển động (đặc biệt là ở trên đất liền và trên không) dưới ảnh hưởng của lực hấp dẫn đã phát sinh ra sự khác biệt rõ ràng giữa đáy và đỉnh. Một khi sự sống xuất hiện từ biển lên đất liền, thì một loại dụng cụ cơ học – các chi – cần phải được phát triển để mang cơ thể động vật di chuyển. Những dụng cụ đó không cần thiết phải có ở trên đỉnh, nên sự khác biệt giữa đỉnh và đáy trở nên nổi bật hơn. Khí động học của sự bay (cũng vẫn dưới tác dụng của lực hấp dẫn) gắn kết với những đòi hỏi phải có một “bộ phụ tùng” để hạ cánh cộng với một số phương tiện để di chuyển trên mặt đất kết hợp lại đã dẫn đến những khác biệt đáy-đỉnh trong các loài chim. Tuy nhiên, đến đây đã xuất hiện một nhận thức quan trọng: Không có một cái gì đó nổi bật trong biển, trên mặt đất hay trên không để phân biệt giữa trái và phải cả. Con chim ưng bay trên cao nhìn sang bên phải cũng thấy một môi trường y hệt như khi nhìn sang trái. Nhưng điều đó không đúng đối với trên và dưới – trên là nơi con chim ưng có thể còn bay được cao hơn nữa trong khi dưới là nơi nó hạ cánh và làm tổ. Tạm gạt bỏ trò chơi chữ chính trị (tả khuynh và hữu khuynh) sang một bên, còn thì thực sự không có sự khác biệt lớn nào giữa trái và phải ngay cả trên mặt đất, vì ở đây không có một lực mạnh theo phương ngang nào. Thực ra, sự quay của Trái Đất xung quanh trục của nó và từ trường của Trái Đất (thực tế là Trái Đất tác động lên môi trường xung quanh nó như một thanh nam châm) cũng đã dẫn đến một sự bất đối xứng nhất định. Tuy nhiên, ở mức vĩ mô, những hiệu ứng này hầu như không quan trọng như là các hiệu ứng của lực hấp dẫn và sự chuyển động nhanh của động vật. Ngôn ngữ của đối xứng | 17 Sự mô tả cho tới đây nhằm giải thích tại sao sự đối xứng hai bên của các cơ thể sống lại có ý nghĩa về mặt cơ học. Đối xứng hai bên cũng là tiết kiệm: bạn có được hai cơ quan với giá chỉ của một thôi. Nhưng đối xứng đó hoặc sự không có nó đã xuất hiện như thế nào từ sinh học tiến hóa (các gen) hoặc thậm chí cơ bản hơn từ các định luật vật lý là một câu hỏi khó khăn hơn và tôi sẽ quay trở lại phần nào trong các Chương 7 và 8. Ở đây cho phép tôi chỉ xin nêu nhận xét rằng bào thai ở giai đoạn sớm của nhiều động vật đa bào hoàn toàn không có đối xứng hai bên. Động lực nằm sau sự biến đổi của “bản thiết kế gốc” này khi bào thai lớn lên có thể thực sự là tính di động. Không phải toàn bộ thế giới sinh học đều sống trong cơ động. Các dạng của sự sống cố định ở một chỗ và không có khả năng tự ý di chuyển, như cây cỏ và các động vật không di chuyển, đều có phần đỉnh và phần đáy rất khác nhau, nhưng không thể phân biệt trước và sau hoặc phải và trái. Chúng có đối xứng tương tự đối xứng của hình nón – tức là những phản xạ đối xứng qua một gương bất kỳ đi qua trục thẳng đứng trung tâm của nó. Một số động vật chuyển động rất chậm như con sứa cũng có đối xứng tương tự. Rõ ràng một khi đối xứng hai bên đã phát triển trong các cơ thể sống thì phải có đủ lý do để nó được giữ gìn nguyên vẹn. Bất cứ sự mất đi một tai hay một mắt đều có thể làm cho động vật trở nên dễ bị tổn thương đối với thú săn mồi, chúng có thể lẻn đến gần mà không hay biết. Người ta có thể băn khoăn tự hỏi không hiểu cấu hình chuẩn cụ thể mà tự nhiên ban cho con người liệu có phải là cấu hình tối ưu hay chưa. Ví dụ, thần Janus của người La Mã là vị thần gác cổng và vị thần của mọi sự bắt đầu, kể cả tháng đầu tiên (January) của năm. 18 | MARIO LIVIO Vì thế trong nghệ thuật, Janus thường được vẽ có hai mặt, một ở phía trước nhìn về tương lai (tượng trưng cho sự hướng tới năm sau) và một ở phía sau đầu (hướng về năm đã qua). Sự sắp đặt như thế ở con người, trong khi có lợi cho một số mục đích nào đó, lại không dành chỗ cho những bộ phận của não vốn chịu trách nhiệm cho các hệ thống không cảm giác. Trong cuốn sách tuyệt vời The New Ambidextrous Universe (Vũ trụ mới thuận cả hai tay), Martin Gardner có kể câu chuyện về một người diễn trò ở Chicago, người thường hay bàn luận về những ưu thế của việc có các giác quan nằm ở những chỗ không bình thường trên cơ thể. Chẳng hạn, tai ở dưới nách sẽ được giữ ấm hơn trong những mùa đông lạnh giá ở Chicago. Nhưng rõ ràng sẽ có những bất cập khác gắn liền với một cấu hình như vậy. Tai ở trong nách thì thính giác sẽ suy giảm nghiêm trọng nếu như bạn không giơ tay lên suốt ngày. Các bộ phim khoa học viễn tưởng cũng thường dựng lên những người ngoài hành tinh có đối xứng hai bên. Nếu thực sự tồn tại những sinh vật có trí tuệ ngoài hành tinh đã trải qua quá trình tiến hóa sinh học thì liệu họ có thể có đối xứng phản xạ gương hay không? Hoàn toàn có thể. Do tính phổ quát của các định luật vật lý, đặc biệt là các định luật về hấp dẫn và chuyển động, các dạng sự sống trên các hành tinh ở ngoài hệ mặt trời sẽ phải đối mặt với những thách thức của môi trường giống hệt như trên Trái Đất. Lực hấp dẫn vẫn giữ mọi vật trên bề mặt của hành tinh và tạo ra sự khác biệt quan trọng giữa trên và dưới. Sự chuyển động cũng tương tự sẽ tách phần trước khỏi phần sau. Người ngoài hành tinh khi đó phần lớn là (hoặc đã là) thuận cả hai tay. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là một đoàn đại biểu của những người ngoài hành tinh tới thăm sẽ nhìn giống hệt như chúng ta. Bất cứ một nền văn minh Ngôn ngữ của đối xứng | 19 nào đủ phát triển để dấn thân vào công cuộc du hành giữa các vì sao đều đã phải trải qua giai đoạn dài của sự xuất hiện loài có trí tuệ với những sinh vật dựa trên công nghệ - máy tính siêu đẳng. Và cái trí tuệ siêu việt dựa trên máy tính này rất nhiều khả năng sẽ là vi mô về kích thước. Một số chữ cái trong bảng chữ cái viết in hoa thuộc số rất nhiều thứ do con người tạo ra là đối xứng đối với phép phản xạ gương. Nếu chúng ta giữ một tờ giấy có viết các chữ cái A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y đặt cạnh gương, thì ảnh trong gương của chúng cũng giống hệt như vậy. Các từ (hoặc thậm chí cả những cụm từ) được cấu tạo từ những chữ cái đó và in thẳng đứng như mệnh lệnh tầm phào này: Y O U M A Y W A X I T 20 | MARIO LIVIO T I M O T H Y cũng đều không thay đổi khi được phản xạ gương. Nhóm nhạc pop Thụy Điển A BA, mà âm nhạc của họ đã tạo ra cảm hứng cho bản nhạc thành công Mamma Mia, đã khôn khéo đặt tên cho bài hát sao cho khi đánh vần nghe cũng có tính đối xứng gương (MAMMA MIA – nếu viết thẳng đứng cũng có tính đối xứng gương). Một số ít chữ cái, như B, C, D, E, H, I, K, O, X là đối xứng đối với phép phản xạ qua mặt gương nằm ngang cắt đôi các chữ cái đó. Các từ tạo bởi các chữ cái này, như COOKBOOK, BOX, CODEX, hay những ký hiệu quen thuộc biểu thị cho ôm hôn như XOXO cũng sẽ không thay đổi khi được giữ lộn ngược trước gương. Không thể nói hết tầm quan trọng của đối xứng phản xạ gương đối với sự cảm nhận cũng như sự đánh giá thẩm mỹ của chúng ta đối với các lý thuyết toán học về đối xứng, đối với các định luật vật lý và đối với khoa học nói chung, và tôi sẽ còn quay trở lại vấn đề này vài lần nữa. Tuy nhiên, cũng còn tồn tại cả những đối xứng khác và chúng cũng quan yếu không kém. Ngôn ngữ của đối xứng | 21 cấu TRÚC ĐỎNG ĐẢNH CỦA TUYẾT Nhan đề của mục này được lấy từ cuốn Bão tuyết (The Snowstorm) của nhà thơ Mỹ Ralph Waldo Emerson (1803-1882). Nó diễn tả được sự ngạc nhiên bối rối mà người ta cảm thấy khi nhận ra những hình dáng ngoạn mục của các bông tuyết (hình 4). Trong khi câu cửa miệng “không có hai bông tuyết nào giống nhau” là thực sự không đúng ở mức mắt trần, thì những bông tuyết hình thành trong các môi trường khác nhau đúng là có khác nhau thật. Nhà thiên văn nổi tiếng Johannes Kepler (1571-1630), người đã phát minh ra các định luật về chuyển động của các hành tinh, cũng đã ấn tượng với sự tuyệt vời của các bông tuyết đến nỗi ông đã viết cả một tiểu luận nhan đề Bông tuyết sáu góc (The Six-Cornered Snowflake), với ý định giải thích đối xứng của các bông Hình 4 tuyết. Ngoài đối xứng phản xạ gương ra, các bông tuyết còn có đối xứng quay: bạn có thể quay chúng theo những góc nhất định xung quanh một trục vuông góc với mặt phẳng của chúng (và đi qua tâm) thì chúng nhìn vẫn như cũ. Do những tính chất và hình dạng của các phân tử nước, các bông tuyết thường có 6 góc (hầu như) giống hệt nhau. Do đó, góc quay nhỏ nhất (trừ trường hợp không quay gì cả) làm cho hình dạng của bông tuyết không thay đổi là góc quay trong đó mỗi đỉnh dịch chuyển được một “bước”: 360: 6 = 60 độ. Những góc quay khác cũng làm cho hình cuối cùng không phân biệt được so với hình gốc đơn giản là bội số của góc quay nhỏ nhất trên, đó là 22 | MARIO LIVIO các góc 120, 180, 240, 300 và 360 độ (góc quay cuối cùng đưa bông tuyết trở lại vị trí ban đầu, tức nó tương đương với không quay gì cả). Vậy bông tuyết có đối xứng quay bậc 6. Để so sánh, ta thấy con sao biển có đối xứng quay bậc 5; chúng có thể được quay với các góc 72, 144, 216, 288 và 360 độ mà không cho thấy sự khác biệt nào. Nhiều bông hoa, như hoa cúc vàng, hoa cúc trắng của Anh và hoa hạt rệp đều có đối xứng quay gần đúng. Về căn bản, chúng nhìn là như nhau khi quay một góc nào đó (hình 5). Đối xứng, khi kết hợp với sự phong phú về màu sắc và mùi hương quyến rũ, là một tính chất ẩn tàng làm cho các bông hoa có được sự hấp dẫn phổ quát về mặt thẩm mỹ. Có lẽ không ai có thể diễn đạt tốt hơn họa sĩ James McNeill Whistler (1834-1903) về mối quan hệ gắn bó giữa các bông hoa và các tác phẩm nghệ thuật: Một tuyệt phẩm giống như bông hoa đối với người họa sĩ – chúm chím cũng xinh mà nở bung cũng tuyệt – không cần giải thích, cũng chẳng cần vẽ lại – là niềm vui đối với người nghệ sĩ – là ảo tưởng đối với người có lòng bác ái – là câu đố đối với nhà thực vật học – là sự đụng chạm tình cờ giữa tâm hồn và vần thơ đối với văn nhân. Vậy thì cái gì trong một hình mẫu đối xứng đã gây ra phản ứng xúc cảm đó? Và liệu có phải những tác phẩm nghệ thuật thực sự gây ra cùng một cảm xúc như vậy không? Chú ý rằng ngay cả khi câu trả lời cho câu hỏi thứ hai ở trên là một tiếng “có” phân minh, thì điều đó cũng không nhất thiết đưa chúng Hình 5 Ngôn ngữ của đối xứng | 23 ta tới gần hơn câu trả lời cho câu hỏi thứ nhất. Câu trả lời cho câu hỏi: Cái gì trong các tác phẩm nghệ thuật đã gây ra những đáp ứng cảm xúc? còn xa mới trở nên rõ ràng. Thực tế, các tuyệt phẩm khác nhau như Thiếu nữ đeo hoa tai ngọc trai của Jan Vermeer, Guernica của Pablo Picasso, và Marilyn Diptych của Andy Warhol có phẩm chất chung gì? Clive Bell (1881-1964), một nhà phê bình nghệ thuật và thành viên của nhóm Bloomsbury (nhân tiện nói thêm nhóm này gồm có cả nhà văn Virginia Woolf) đã cho rằng phẩm chất chung của tất cả các tác phẩm nghệ thuật chân chính là cái mà ông gọi là “hình thái có ý nghĩa”. Với thuật ngữ đó, ông muốn nói về sự kết hợp cụ thể của các đường nét, màu sắc, các hình và mối quan hệ giữa các hình đã khuấy lên xúc cảm nào đó. Điều đó không nói lên rằng tất cả các tác phẩm nghệ thuật đều gây ra cùng một cảm xúc. Mà hoàn toàn ngược lại: mỗi tác phẩm nghệ thuật có thể gây ra một cảm xúc hoàn toàn khác nhau. Cái chung nằm ở thực tế là: tất cả các tác phẩm nghệ thuật đều gây ra một cảm xúc nào đó. Nếu chúng ta chấp nhận giả thuyết thẩm mỹ ấy thì đối xứng có thể đơn giản là biểu diễn một trong những thành phần của cái hình thái có ý nghĩa (được định nghĩa khá mơ hồ) đó. Trong trường hợp này, phản ứng của chúng ta đối với các hình mẫu đối xứng có thể là không quá khác biệt (thậm chí còn yếu hơn) với độ nhạy cảm thẩm mỹ rộng lớn hơn của chúng ta. Không phải mọi người đều nhất trí với khẳng định đó. Nhà lý thuyết mỹ học Harold Osborne đã nói về đáp ứng của con người đối với đối xứng của các yếu tố hoặc của các vật riêng rẽ, như các bông tuyết, như sau: “Chúng có thể làm trỗi dậy sự quan tâm, óc tò mò và sự tán thưởng. Nhưng mối quan tâm thị giác đến chúng không kéo dài và khá hời hợt: Trái với sự tác động của các tuyệt phẩm hội họa, sự chú ý của tri giác sẽ nhanh chóng tản mạn, không bao giờ đi vào sâu cả. Không có sự nâng cao cảm 24 | MARIO LIVIO nhận”. Thực sự ra, như trong chương sau và chương 8, đối xứng có liên quan rất nhiều đến sự cảm nhận. Tuy nhiên, tạm thời chúng ta hãy tập trung vào “giá trị” thẩm mỹ thuần túy của đối xứng đã. Các nhà tâm lý học Peter G. Szilagyi và John C. Baird của trường Dartmouth College đã tiến hành một thí nghiệm rất hấp dẫn vào năm 1977 nhằm khảo sát mối quan hệ định lượng giữa lượng đối xứng trong một hình vẽ và mức độ ưa thích về mặt thẩm mỹ. Hai mươi sinh viên (những đối tượng phổ biến nhất của tâm lý học thực nghiệm) đã được đề nghị thực hiện ba nhiệm vụ đơn giản. Thứ nhất, họ được mời sắp xếp 8 hình vuông có một chấm đen ở tâm vào một hàng gồm 18 ô, mỗi một ô có kích thước bằng hình vuông (hình 6a). Người ta yêu cầu các sinh viên này hãy sắp xếp các hình vuông sao cho “vừa mắt” nhất. Mỗi hình vuông đều phải phủ kín một ô và phải dùng đủ 8 hình vuông. Nhiệm vụ thứ hai và thứ ba, về bản chất, là tương tự nhau. Trong nhiệm vụ thứ hai, 11 hình vuông được xếp vào một lưới các ô 5×5 (hình 6b). Và nhiệm vụ thứ ba là xếp 12 khối lập phương vào các lỗ của một cấu trúc ba chiều trong suốt gồm ba mặt phẳng nằm ngang, mỗi mặt phẳng (a) (b) (c) Hình 6 Ngôn ngữ của đối xứng | 25 chứa 9 lỗ hình vuông (hình 6c). Kết quả cho thấy rất rõ ràng mức độ yêu thích nhất về mặt thẩm mỹ là những cách sắp xếp có tính đối xứng. Ví dụ, 65% sinh viên được trắc nghiệm tạo ra những hình mẫu có tính đối xứng phản xạ gương hoàn hảo trong nhiệm vụ thứ nhất. Thực tế, đối xứng là thành phần hàng đầu trong cách sắp xếp của đa số các sinh viên (trong một, hai và ba chiều), với đối xứng hoàn hảo là điều kiện được ưa thích nhất. Sự liên kết giữa đối xứng và gu nghệ thuật không chỉ xuất hiện trong các thí nghiệm, mà cả trong các lý thuyết có tính tư biện hơn về thẩm mỹ được phát triển bởi nhà toán học tài danh George David Birkhoff (1884-1944) của Đại học Harvard. Birkhoff nổi tiếng vì đã chứng minh được vào năm 1913 một giả thuyết hình học nổi tiếng được phát biểu bởi nhà toán học Pháp Henri Poincaré và định lý ergodic của ông (được công bố 1931-1932) – một đóng góp có ý nghĩa to lớn đối với lý thuyết các chất khí và lý thuyết xác suất. Khi còn là sinh viên, Birkhoff đã bắt đầu bị hấp dẫn bởi cấu trúc của âm nhạc, và vào năm 1924 ông đã mở rộng sự quan tâm của mình đến mỹ học nói chung. Năm 1928 ông đã dành hẳn một nửa năm để đi chu du khắp châu Âu và Viễn Đông với ý định tiếp thu được càng nhiều về nghệ thuật, âm nhạc và thơ ca càng tốt. Những nỗ lực của ông nhằm phát triển một lý thuyết toán học về các giá trị thẩm mỹ được đúc kết trong cuốn sách Độ đo thẩm mỹ (Aesthetic measure) được công bố năm 1933. Birkhoff đặc biệt bàn luận về cảm giác trực giác về giá trị được khơi gợi từ các tác phẩm nghệ thuật, cảm giác này là “tách biệt hẳn với cảm giác do giác quan, tình cảm, đạo đức hay trí tuệ”. Ông đã tách trải nghiệm thẩm mỹ thành ba giai đoạn: (1) nỗ lực tập trung chú ý cần thiết cho cảm nhận; (2) nhận thức rằng đối tượng là khác biệt bởi một trật tự nhất định; (3) đánh giá 26 | MARIO LIVIO giá trị ban thưởng cho nỗ lực tinh thần. Sau nữa, Birkhoff gán những số đo định lượng cho ba giai đoạn đó. Nỗ lực sơ bộ (giai đoạn 1), ông gợi ý, sẽ tăng tỷ lệ với độ phức tạp của tác phẩm (được ký hiệu là C). Các đối xứng đóng vai trò then chốt trong trật tự (được ký hiệu là O) đặc trưng cho tác phẩm. Và cuối cùng, cảm giác về giá trị mà Birkhoff gọi là “độ đo thẩm mỹ” (được ký hiệu là M) của tác phẩm nghệ thuật. Nội dung căn bản của lý thuyết Birkhoff có thể được tóm tắt như sau. Trong mỗi lớp các đối tượng thẩm mỹ, như đồ trang trí, các bình, các đoạn nhạc, hoặc thơ ca, người ta có thể xác định được một trật tự O và độ phức tạp C. Khi đó, độ đo thẩm mỹ của một đối tượng bất kỳ trong lớp có thể được tính một cách đơn giản bằng cách chia O cho C. Nói cách khác, Birkhoff đã đưa ra công thức tính cảm giác về giá trị thẩm mỹ: M = O / C. Ý nghĩa của công thức này là: đối với một mức độ phức tạp C đã cho, độ đo thẩm mỹ của một đối tượng sẽ càng cao nếu như đối tượng có càng nhiều trật tự. Hay với một lượng trật tự đã được cố định, độ đo thẩm mỹ càng cao nếu đối tượng càng ít phức tạp. Vì đối với phần lớn các mục đích thực tiễn, trật tự được xác định trước hết bởi các đối xứng của đối tượng, nên lý thuyết của Birkhoff đã tôn vinh đối xứng như là một yếu tố thẩm mỹ cực kỳ quan trọng. Birkhoff là người đầu tiên thừa nhận rằng định nghĩa chính xác các yếu tố O, C, M là rất khó khăn. Tuy nhiên, ông đã có một ý định táo bạo đưa ra các hướng dẫn chi tiết để tính các số đo đó cho rất nhiều dạng nghệ thuật. Đặc biệt, ông đã bắt đầu với những hình đơn giản như trong hình vẽ 7, rồi tiếp theo với các đồ trang trí và các bình Trung Hoa, sau đó tiến tới sự hòa âm trong âm giai hai giọng và kết thúc ở thi ca của Tennyson, Shakespeare và Amy Lowell. Ngôn ngữ của đối xứng | 27 Hình 7 Không ai, kể cả Birkhoff, dám tuyên bố rằng những phức tạp của khoái cảm thẩm mỹ hoàn toàn có thể quy về một công thức đơn giản. Tuy nhiên, theo Birkhoff “Khi đồng thời phân tích quá trình sáng tạo, lý thuyết độ đo thẩm mỹ có thể thực hiện được một nhiệm vụ kép: nó cho ta một cách giải thích thống nhất và đơn giản trải nghiệm thẩm mỹ, đồng thời nó lại cung cấp cho chúng ta những phương tiện để phân tích một cách hệ thống các lĩnh vực thẩm mỹ điển hình”. Bây giờ sau khi đã rẽ qua một chốc lát vào lãnh địa của mỹ học, chúng ta hãy quay trở lại trường hợp cụ thể của đối xứng quay. Lưu ý rằng một trong những hình đối xứng quay đơn giản nhất trong mặt phẳng là vòng tròn (hình 8a). Nếu chúng ta quay nó quanh tâm một góc, ví dụ là 37 độ, thì vòng tròn vẫn không thay đổi. Thực tế, bạn có thể quay vòng tròn xung quanh trục vuông góc đi qua tâm của nó một góc bất kỳ thì bạn cũng chẳng thấy một sự khác biệt nào. Do đó, vòng tròn có bậc đối xứng quay là vô hạn. Nhưng đây chưa phải là những đối xứng duy nhất của vòng tròn. Những phép phản xạ qua tất cả các trục cắt dọc theo đường kính (hình 8b) cũng làm cho vòng tròn không thay đổi. Như vậy, cùng một hệ có thể có nhiều đối xứng hay nói cách khác là đối xứng đối với nhiều phép biến đổi đối xứng khác nhau. Quay 28 | MARIO LIVIO một hình cầu hoàn hảo xung quanh tâm của nó với trục nằm theo một hướng bất kỳ cũng làm cho hình cầu nhìn chính xác như cũ. Hoặc ví dụ, ta xét một tam giác đều Hình 8 (có ba cạnh bằng nhau) trên hình 9a. Ta được phép không làm thay đổi hình dạng và kích thước của tam giác này cũng như không làm cho nó chuyển động. Vậy có thể tác động phép biến đổi nào để tam giác này không thay đổi? Chúng ta có thể quay nó một góc 120, 240 và 360 độ xung quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, và đi qua điểm O (hình 9b). Các phép biến đổi này làm cho các đỉnh tam giác đổi chỗ cho nhau, nhưng nếu bạn quay lưng lại, trong khi một người khác thực hiện các phép quay đó thì bạn sẽ không nhận thấy một sự khác biệt nào hết. Lưu ý rằng phép quay 360 độ là tương đương với không quay gì cả, hay nói cách khác là quay một góc 0 độ. Phép quay này được gọi là phép biến đổi đồng nhất. Nhưng tại sao ta lại phải bận tâm định nghĩa phép biến đổi này làm gì? Như chúng ta sẽ thấy sau này trong cuốn sách, phép biến đổi đồng nhất đóng vai trò như số 0 trong phép cộng và số 1 trong phép nhân: Hình 9 Ngôn ngữ của đối xứng | 29 khi bạn cộng số 0 vào một số hay nhân một số với số 1 thì số ấy vẫn không thay đổi. Chúng ta cũng có thể phản xạ gương tam giác qua ba đường đứt nét trên hình 8c. Do đó, ta có chính xác 6 phép biến đổi đối xứng - ba phép quay và ba phép phản xạ gương – gắn với một tam giác đều. Thế còn tổ hợp của một số phép biến đổi này, chẳng hạn như phép phản xạ được tiếp theo bởi một phép quay thì sao? Liệu chúng có làm tăng số đối xứng của tam giác đang xét không? Tôi sẽ còn quay trở lại câu hỏi này khi nói về ngôn ngữ của đối xứng. Tuy nhiên, tạm thời chúng ta sẽ trình bày về một đối xứng quan trọng khác. MORRIS, MOZART VÀ các cộng sự Một trong những hình mẫu đối xứng quen thuộc nhất là motif đệ quy lặp đi lặp lại. Từ những hoa văn trên các đền đài cổ và các hàng cột của các cung điện tới những tấm thảm và thậm chí cả tiếng chim hót, đối xứng của các hình mẫu lặp đi lặp lại luôn tạo ra một sự thân quen rất dễ chịu và một tác dụng an ủi tâm hồn. Một ví dụ sơ cấp của loại đối xứng này là hình 3. Phép biến đổi đối xứng trong trường hợp này được gọi là phép tịnh tiến, nghĩa là dịch chuyển một khoảng cách nào đó theo một đường nào đó. Hình mẫu này được gọi là đối xứng nếu nó có thể dịch chuyển theo các hướng khác nhau mà nhìn vẫn không thấy có sự khác biệt nào. Nói cách khác, những hình vẽ đều đặn mà trong đó một chủ đề được lặp đi lặp lại ở những khoảng cố định được coi là có đối xứng tịnh tiến. Những hình trang trí có đối xứng tịnh tiến đã có từ 17.000 trước CN (thời đại Đồ đá cũ). Một chiếc vòng đeo 30 | MARIO LIVIO tay làm bằng ngà voi mamút được tìm thấy ở Ucraina có chạm một hình mẫu những đường gấp khúc lặp đi lặp lại. Những hình mẫu đối xứng tịnh tiến khác cũng được tìm thấy ở rất nhiều dạng nghệ thuật, từ gạch lát Hồi giáo thời Trung đại trong cung điện Alhambra ở Granada, Tây Ban Nha (hình 10a) qua thuật in ấn thời Phục Hưng tới những bức tranh của họa sĩ đồ họa lập dị người Hà Lan M. C. Escher (1898-1972; hình 10b). Tự nhiên cũng đã cung cấp những ví dụ về các sinh vật có đối xứng tịnh tiến như con rết, trong đó các đoạn giống hệt nhau lặp đi lặp lại tới 170 lần. Họa sĩ, nhà thơ thời Victoria William Morris (1834-1896) là người đã sáng tác rất nhiều tác phẩm nghệ thuật trang trí. Nhiều tác phẩm của ông là sự thể hiện chính xác đối xứng tịnh tiến. Giai đoạn đầu đời, Morris đam mê kiến trúc Trung đại, và ở tuổi 27 ông đã lập một công ty trang trí mà sau này nổi tiếng dưới cái tên Morris và các b Hình 10 a Ngôn ngữ của đối xứng | 31 a Hình 11 b cộng sự. Trong một phản ứng mạnh đối với trào lưu công nghiệp hóa đang rầm rộ ở nước Anh thế kỷ 19, Morris đã tìm cách để làm hồi phục nghề thủ công mỹ nghệ và làm sống lại sự huy hoàng của các nghệ thuật trang trí thời Trung đại. Morris và các cộng sự và sau này là Kelmscott Press được Morris thành lập vào năm 1890, đã thiết kế ra nhiều thứ gạch lát, khăn trải bàn, hàng dệt, và những bản thảo được minh họa rất ngoạn mục theo thiết kế Trung đại. Nhưng với thiết kế giấy dán tường, Morris lần đầu tiên đã đạt tới trình độ bậc thầy khó mà tưởng tượng được đối với các hình mẫu lặp đi lặp lại đối xứng tịnh tiến. Một vài chủ đề hoành tráng của ông được minh họa trên hình 11. Trong khi những đồ hình của Morris không có gì đổi mới hơn so với các tác phẩm của nhưng người đương thời với ông như Christopher Dresser hay A.W.N. Pugin, nhưng ảnh hưởng và di sản của ông là rất to lớn. Bản thân Morris quan tâm đến việc khuyến khích nghệ thuật và nghề thủ công chứ không phải toán học 32 | MARIO LIVIO của đối xứng. Trong cuốn Vẻ đẹp của cuộc sống (The Beauty of Life) ông đã tổng kết triết lý thẩm mĩ – xã hội của ông như sau: Bạn có thể treo trên tường nhà bạn tấm thảm thay vì quét sơn trắng hay giấy dán tường; hoặc bạn có thể lát trên đó một bức tranh ghép hay một bức bích họa của một họa sĩ lớn: tất cả đều không phải là xa xỉ, nếu nó được làm chỉ vì cái đẹp chứ không phải để phô trương; nó không hề phá vỡ quy tắc vàng của chúng ta: Không có gì trong nhà bạn mà bạn lại không biết nó là hữu ích hay tin là nó đẹp. Một vấn đề lý thú là đối xứng đối với phép tịnh tiến, và thực tế cả phép phản xạ gương hay phép quay nữa có phải chỉ giới hạn trong các nghệ thuật thị giác hay là còn được mở rộng ra cả các dạng nghệ thuật khác nữa, như một tác phẩm âm nhạc, chẳng hạn. Rõ ràng, nếu bạn xét tới âm thanh chứ không phải bản ghi nhạc, bạn sẽ cần phải định nghĩa các phép đối xứng không phải thông qua hình học thuần túy, như trong trường hợp các câu thuận nghịch độc. Tuy nhiên, một khi chúng ta làm điều đó, thì câu trả lời cho câu hỏi: Liệu chúng ta có tìm được thể loại âm nhạc có đối xứng tịnh tiến hay không? sẽ là “có”. Như nhà tinh thể học người Nga G. V. Wulff đã viết năm 1908: “Linh hồn của âm nhạc là nhịp điệu. Nó bao gồm cả sự lặp đi lặp lại đều đặn và tuần hoàn các phần của một tác phẩm âm nhạc... sự lặp đi lặp lại đều đặn các phần giống hệt nhau trong tổng thể tạo nên cái cốt yếu của đối xứng”. Thực vậy, những chủ đề lặp đi lặp lại như vậy, vốn rất thường gặp trong sáng tác âm nhạc, chính là sự tương đương về thời gian với các đồ hình của Morris và đối xứng đối với phép tịnh tiến. Thậm chí tổng quát hơn nữa, các tác phẩm thường dựa trên một chủ đề cơ bản được đưa vào ngay từ đầu và sau đó sẽ có những biến hóa khác nhau. Ngôn ngữ của đối xứng | 33 Một ví dụ đơn giản về đối xứng tịnh tiến trong âm nhạc bao gồm những nhịp mở màn trong bản Giao hưởng nổi tiếng số 40 cung Sol thứ của Mozart (hình 12) cũng như toàn bộ cấu trúc của một số hình thức âm nhạc phổ biến. Trong ví dụ thứ nhất, bạn có thể nhận thấy đối xứng tịnh tiến không chỉ trong mỗi dòng của bản nhạc (trong đó các động tác hạ thấp dần đã được đánh dấu) mà cả ở giữa dòng thứ nhất và dòng thứ hai (được ký là a và b). Về tổng thể, nếu bạn dùng các ký hiệu A, B và C để mô tả các đoạn của một phần, thì hình mẫu của một bản rondo với tư cách là một chỉnh thể có thể được diễn tả là ABACA hay ABACABA, trong đó đối xứng tịnh tiến thể hiện khá rõ ràng. Sự liên hệ của Mozart với các đối tượng của toán học thực ra chẳng có gì đáng ngạc nhiên cả. Chị gái ông, bà Nannerl, nhớ lại rằng có lần ông đã viết đầy các con số trên tường ở cầu thang và tất cả các phòng nhà họ, và khi không còn chỗ nữa, ông viết cả lên tường nhà hàng xóm. Thậm chí bên lề bản thảo các tác phẩm Khúc Phóng túng (Fantasia) và Tấu pháp (Fugue) cung Đô trưởng ông còn viết cả một số những tính toán về xác suất để trúng xổ số. Do đó, không có gì đáng ngạc nhiên khi nhà soạn nhạc kiêm Hình 12 34 | MARIO LIVIO âm nhạc học người Anh Donald Tovey đã nhận ra “những tỷ lệ đẹp và đối xứng” trong các tác phẩm của Mozart là một trong những lý do làm cho chúng được phổ biến rộng rãi. Một nhà soạn nhạc vĩ đại khác nổi tiếng là bị ám ảnh bởi các con số, những trò chơi trí óc và sử dụng chúng trong các hình thức âm nhạc phức tạp là Johann Sebastian Bach (1685-1750). Cả đối xứng phản xạ gương và tịnh tiến thường xuyên có mặt trong âm nhạc của Bach ở những mức độ khác nhau. Một ví dụ về sự phản xạ qua một “gương” nằm ngang là khúc dạo đầu của bản Invention Hai phần số 6, cung Mi trưởng của Bach (xem hình 13). Hãy hình dung một tấm gương đặt trong không gian giữa hai dòng nhạc. Xu hướng đi lên, ký hiệu là đường a, được phản xạ bởi xu hướng đi xuống b và toàn bộ động tác đó được phản xạ và lặp lại ngay sau đó (bắt đầu ở đường d). Một ví dụ khác là toàn bộ cấu trúc rộng lớn của một trong những tác phẩm đáng chú ý nhất của Bach, đó là bản nhạc nổi tiếng Khúc Dâng tặng (Musical Offering). Bản nhạc này gồm các dạng thức âm nhạc sau: Hình 13 Ngôn ngữ của đối xứng | 35 Ricercar 5 Canon Bộ ba Sonat 5 Canon Ricercar Rõ ràng nó bộc lộ đối xứng gương (tất nhiên không phải từng âm một). Ricercar (từ tiếng Latinh ricercare có nghĩa là “nghiên cứu hoặc tìm kiếm”) là một thuật ngữ cổ được dùng khá phóng túng để chỉ bất kỳ khúc dạo đầu nào, thường theo cách tấu pháp. Nhà nhân văn, bác sĩ, triết gia lớn Albert Schweitzer là một người hâm mộ Bach vĩ đại. Trong cuốn sách của ông nhan đề J.S. Bach, ông nhận xét: “Từ này (tức ricerra) có nghĩa là một đoạn nhạc trong đó chúng ta cần phải tìm kiếm một cái gì đó mà cụ thể là một chủ đề.” Tác phẩm Musical Offering còn chứa 10 canon mà về mặt kết cấu có liên quan đến phép tịnh tiến. Trong bất kỳ một canon nào (từ này có nghĩa là “quy tắc, giáo lý”), một chuỗi giai điệu quyết định quy tắc (thông qua dòng giai điệu hay nhịp điệu) đối với canon thứ hai hoặc nhiều bè hơn. Bè thứ hai được nối tiếp ở một khoảng thời gian nhất định nào đó – một sự tịnh tiến theo thời gian. Một ví dụ đơn giản và quen thuộc Row row row your boat Gently down the stream Merrily merrily merrily merrily Life is but a dream (Tạm dịch nghĩa: Chèo đi chèo đi thuyền của bạn Nhẹ nhàng trôi xuôi theo dòng Vui đi vui đi vui đi vui mãi Đời chẳng qua chỉ là một giấc mơ) trong đó bè hai bắt đầu từ từ “gently”. 36 | MARIO LIVIO Câu chuyện xung quanh bản nhạc Musical Offering bản thân nó cũng đã rất hấp dẫn. Ba năm trước khi mất, Bach trở về Berlin để thăm người con dâu tên là Johann Maria Dannemann (vợ của nhà soạn nhạc Carl Philipp Emanuel Bach) lúc đó đang chờ ở cữ. Kiệt sức vì chuyến đi dài ngày, nhà soạn nhạc già quyết định tạm nghỉ lại Potsdam, khi đó là kinh đô của Frederick Đại đế, nước Phổ. Chính vị vua này cũng đang trọng dụng Carl Philipp Emanuel. Tin Bach tới cung đình đã hối thúc đức vua hủy đêm hòa nhạc đã có kế hoạch từ trước mà chính đức vua sẽ biểu diễn sáo để nhường cho Bach biểu diễn trên 7 cây dương cầm mà đức vua mới sắm. Người làm ra các cây đàn này là Gottfried Silbermann, một nghệ nhân bậc thầy về chế tạo đàn ở nước Đức hồi đó. Sau khi trình diễn một cách tuyệt vời trong 7 căn phòng khác nhau của cung điện, Bach đã dâng tặng cho cử tọa đang còn hân hoan vui sướng bằng cách ứng tác một tấu pháp (fugue) theo chủ đề mà Đức Vua gợi ý. Trên đường trở về nhà, Bach đã phát triển Musical Offering từ tấu pháp ứng tác đó. Ông đã thêm vào đó một tập hợp các canon phức tạp tuyệt vời cùng với bộ ba sonat và kỳ công soạn thảo các đoạn đối âm khác. Các bản sonat là dành cho sáo (nhạc cụ của Đức Vua Frederick), violon, và dương cầm cùng với cello. Về cái tít cho bản Offering, Bach – một người giỏi chơi chữ - đã chọn Regis iussu cantio et reliqua canonica arte resoluta (Theo yêu cầu của Đức Vua, chủ đề và những gì thêm vào được viết theo phong cách canon) và từ đây mà có chữ viết tắt RICERCAR. Trong Musical Offering thậm chí còn có nhiều đối xứng hơn nữa. Trong Canon I (Canon Con cua), mỗi cây violon chơi phần của canon khác theo cách giật lùi, tạo ra đối xứng phản xạ (trên bản ghi nhạc) qua một gương đặt thẳng đứng. Cuối cùng, các canon nói Ngôn ngữ của đối xứng | 37 chung vào thời đó được xem là một loại các câu đố về đối xứng. Nhà soạn nhạc cung cấp chủ đề còn các nhạc công có nhiệm vụ phải hình dung ra loại đối xứng nào mà nhà soạn nhạc hình dung cho chủ đề cần thể hiện. Trong trường hợp Musical Offering, Bach viết kèm theo hai canon cuối cùng trước bộ ba sonat với dòng chữ “Quaedendo inventis” có nghĩa là “Hãy tìm đi, sẽ thấy”. Như chúng ta sẽ thấy trong Chương 7, điều đó cũng không khác mấy về mặt khái niệm với câu đố mà vũ trụ đặt ra cho chúng ta – nó nằm trong toàn bộ vẻ đẹp rực rỡ của vũ trụ mở ra cho con người khám phá – đối với chúng ta là phải tìm ra những hình mẫu và các đối xứng nằm bên dưới nó. Ngay cả những bất định và mơ hồ có liên quan với những nỗ lực để tìm ra “lý thuyết của vạn vật” (TOE) cũng có thể có sự tương tự với thách thức trí tuệ của Bach. Bạn thấy đấy, một trong những canon trong bản Musical Offering có tới ba lời giải khả dĩ. Tịnh tiến và phản xạ có thể tổ hợp thành một phép đối xứng có tên là phản xạ trượt. Các dấu chân sinh ra bởi các bước đi trái-phải trái-phải là một ví dụ về đối xứng phản xạ trượt (hình 14). Phép đối xứng này đơn giản gồm phép tịnh tiến (trượt) và tiếp sau là phép phản xạ qua đường song song với phương dịch chuyển (đường đứt nét trên hình). Một cách tương đương, bạn có thể nhìn phép phản xạ trượt như một phép phản xạ gương tiếp theo là phép tịnh tiến song song với gương. Đối xứng phản xạ trượt là đối xứng rất thường gặp trong các hoa văn cổ, cũng như trong các đồ gốm của những người Mỹ bản địa ở New Mexico. Trong khi các hình mẫu đối xứng tịnh tiến có xu hướng chuyển tải một ấn tượng về sự chuyển động theo một hướng thì những hình vẽ đối xứng phản xạ trượt tạo ra cảm giác nhìn uốn lượn giống như con rắn vậy. Những con rắn thực đạt được hình mẫu uốn lượn như thế bằng cách luân phiên co và 38 | MARIO LIVIO thả lỏng những nhóm bắp thịt ở cả hai phía thân thể nó – khi chúng co một nhóm ở bên phải thì nhóm tương ứng ở bên trái được thả lỏng, và ngược lại. Hình 14 Như vậy là đến đây chúng ta đã gặp tất cả các phép biến đổi cứng tạo ra các đối xứng trong hai chiều. Từ cứng ở đây đơn giản có nghĩa là sau phép biến đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là không đổi, tức là giống như trước khi thực hiện phép biến đổi đó. Điều này cũng có nghĩa là chúng ta không thể làm co nhỏ hình lại hay làm cho nó giãn to ra hay làm cho hình biến dạng. Trong không gian ba chiều, ngoài các đối xứng đối với các phép tịnh tiến, phép quay, phản xạ và phản xạ trượt ra, chúng ta còn có thể còn tìm được một đối xứng khác được gọi là đối xứng đinh ốc. Đây là đối xứng của cái vặn đinh ốc, trong đó sự quay quanh một trục được kết hợp với chuyển động tịnh tiến dọc theo trục đó. Một số thân cây trên đó những chiếc lá mọc ở những khoảng đều đặn sau khi quay trọn được cùng một phần của vòng tròn, có đối xứng đó. Liệu đây có phải đã là tất cả mọi đối xứng chưa? Chắc chắn là chưa. Ngôn ngữ của đối xứng | 39 TẤT CẢ ĐỀU BẰNG NHAU, NHƯNG... Nghệ thuật và khoa học đều đầy rẫy những ví dụ hấp dẫn về đối xứng đối với các phép quay, tịnh tiến, phản xạ, phản xạ trượt và chúng ta sẽ còn trở lại với các đối xứng này trong các chương sau. Một phép biến đổi không có tính chất hình học có liên quan tới các phép hoán vị - một cách sắp xếp khác của các vật, các con số, hay các khái niệm. Ví dụ, để thử độ mòn của lốp thuộc bốn hãng khác nhau, bạn có thể muốn lập một sơ đồ cho chiến lược đảm bảo được rằng mỗi một tháng bạn đổi chỗ các lốp một lần và sau 4 tháng bạn đổi chỗ được vị trí của tất cả các lốp. Nếu bạn ký liệu lốp của các hãng là A, B, C, D và các vị trí FL (trước, trái), FR (trước, phải), RL (sau, trái) và RR (sau, phải), thì kế hoạch 4 tháng của bạn nhìn sẽ như sau: THÁNG FL FR RF RR D C B A Thứ nhất C D A B Thứ hai B A D C Thứ ba A B C D Thứ tư Mỗi dòng hoặc cột trong bảng biểu diễn một hoán vị của các chữ cái A,B,C,D. Chú ý rằng để thực hiện được phép thử mong muốn không một hàng hay cột nào được chứa hai chữ cái giống nhau. Hình vuông loại 4×4 giới thiệu ở đây được biết là các hình vuông Latinh và chúng đã được nhà toán học Thụy Sĩ nổi tiếng Leonhard Euler (1707-83) nghiên cứu một cách sâu rộng. Nhân tiện, bạn có thể giải câu đố sau về các lá bài – một câu đố nổi tiếng thế kỷ 18: Hãy sắp xếp tất cả quân J, Q, K và A trong một bộ bài vào một hình vuông sao cho không có hoa nào (tức rô, cơ, bích, nhép) xuất hiện 40 | MARIO LIVIO hai lần trong cùng một hàng, một cột và trên hai đường chéo chính. Trong trường hợp bạn đã nghĩ nát óc mà không ra thì hãy xem lời giải trong Phụ lục 1. Các phép hoán vị thực hiện trong các điều kiện khác nhau như vậy cũng giống như sự thay đổi các hình mẫu trong các điệu nhảy dân gian Scotland hay các bộ bài được xáo trộn. Mối quan tâm chính của phép hoán vị không phải là đối tượng nào nằm ở đâu mà là đối tượng nào thế chỗ của đối tượng nào. Ví dụ, trong hoán vị 1 2 3 4 → 4 1 3 2, số 1 được thay bởi số 4, 2 thay bởi 1, 3 giữ nguyên và 4 thay bởi 2. Điều này thường được ký hiệu như sau trong đó mỗi số ở hàng trên được thay bằng số ở ngay bên dưới. Cũng hoán vị đó có thể được viết như sau vì sự thay đổi các số qua hoán vị chính xác y hệt như trước, còn trật tự theo đó các số được viết là không quan trọng. Đến đây bạn có thể thắc mắc là tại sao một hệ lại có thể là đối xứng (tức là không thay đổi) đối với phép hoán vị được? Rõ ràng, nếu bạn có 10 quyển sách trên giá và tất cả chúng đều khác nhau, thì bất kỳ một hoán vị nào – trừ hoán vị đồng nhất (tức không sờ vào quyển sách nào) – đều sẽ làm thay đổi trật tự. Tuy nhiên, nếu bạn có 3 quyển sách trong đó giống hệt nhau, chẳng hạn, thì rõ ràng một số hoán vị sẽ làm cho trật tự đó không thay đổi. Nhà phê bình và viết tiểu luận người Anh Charles Lamb (1775-1834) nổi tiếng về những chiêm nghiệm tự phát lộ về cuộc sống, đã có quan điểm khá mạnh về một Ngôn ngữ của đối xứng | 41 số “cách sắp xếp lại” các cuốn sách như vậy. Ông viết: “Loài người, theo lý thuyết tốt nhất mà tôi có thể tạo nên về nó, gồm hai chủng tộc phân biệt: những người mượn và những người cho mượn... Những người mượn sách của bạn – đó là những kẻ phá hủy những bộ sách, làm hỏng đối xứng của giá sách và tạo ra các tập sách lẻ bộ”. Đối xứng đối với phép hoán vị có thể xuất hiện trong những hoàn cảnh trừu tượng hơn. Ta hãy xét nội dung của câu: “Rachel is David’s cousin” (Rachel là anh/chị em họ của David). Ý nghĩa của câu này vẫn còn không thay đổi nếu ta đổi chỗ David và Rachel cho nhau. Nhưng điều này sẽ là không đúng đối với câu: “Rachel is David’s daughter” (Rachel là con gái David). Tương tự, sự bằng nhau của hai đại lượng, a=b, là đối xứng đối với phép chuyển vị a và b, vì b=a cũng chính là hệ thức trên. Trong khi điều vừa nói trên có vẻ dường như là tầm thường, thì quan hệ lớn hơn (thường ký hiệu bằng dấu >) lại không có tính chất đó. Hệ thức a>b có nghĩa là “a lớn hơn b”. Hoán vị hai chữ cái, ta được b>a, tức “b lớn hơn a”, và hai hệ thức trên là loại trừ nhau. Nhiều biểu thức và công thức toán học cũng là đối xứng đối với phép hoán vị. Giá trị của biểu thức ab+bc+ca (trong đó ab có nghĩa là tích của a và b, v.v...) vẫn còn không đổi đối với bất kỳ hoán vị nào của các chữ cái a, b, c. Như chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn dưới đây, chính xác có 6 hoán vị khả dĩ của ba chữ cái, kể cả hoán vị đồng nhất (hoán vị đầu tiên bên dưới) ánh xạ mỗi chữ cái thành chính nó: Bạn dễ dàng kiểm tra thấy rằng biểu thức trên là không thay đổi đối với các hoán vị đó. Ví dụ, hoán vị thứ ba thay a thành b, b 42 | MARIO LIVIO thành c, và c thành a. Khi đó, toàn bộ biểu thức trên chuyển thành bc+ca+ab. Tuy nhiên, dù ta có thực hiện phép nhân hoặc phép cộng theo bất cứ trật tự nào thì cũng sẽ nhận cùng một kết quả mà thôi, nghĩa là biểu thức mới cũng bằng biểu thức gốc. Nhưng người chơi trò roulette trong một casino cũng cho ta một ví dụ lý thú về đối xứng đối với phép hoán vị. Roulette gồm một bánh xe quay trong đó có 18 rãnh màu đỏ được đánh số, 18 rãnh màu đen, và hai rãnh thường có nhãn 0 và 00 đã được đánh dấu. Một viên bi màu trắng được thả vào trong lúc bánh xe đang quay và sau khi lăn nhanh quanh vành được ít vòng, nó nẩy lung tung và cuối cùng tới nằm yên tại một trong các rãnh. Khi bánh xe hoàn hảo về mặt cơ học, thì trò chơi roulette là tuyệt đối đối xứng đối với sự hoán vị các người chơi. Tất cả mọi người đều có chính xác cơ hội thắng hoặc thua như nhau bất kể họ có là người chơi kỳ cựu hay là tay mới trong casino, là các chuyên gia về lý thuyết xác suất hay là một gã ngốc quê mùa. Kỳ vọng để thắng (hay đúng hơn là để mất, khoảng 5,3 xu cho mỗi lần đặt 1 đôla, tính trung bình) không phụ thuộc vào lượng tiền mạo hiểm được đặt vào hay chiến lược của người chơi. Dù cho bánh xe không thực sự hoàn hảo về mặt cơ học, nhưng hàng thế kỷ thu lợi của các casino đã chứng tỏ rằng, dù những sai lệch nhỏ như thế nào có thể tồn tại đi nữa, thì chúng cũng không dẫn tới sự vi phạm nghiêm trọng đối xứng đối với các phép hoán vị. Không phải tất cả các trò đỏ đen đều là đối xứng đối với phép hoán vị các người chơi. Xì phé (blackjack) là trò chơi bài trong đó mỗi người chơi ở bàn chơi ăn thua với nhà cái. Mỗi lá bài đánh số có giá trị in ở mặt của nó, còn tất cả các lá bài in hoa có giá trị bằng 10, riêng quân át (ace) cho hai khả năng lựa chọn được tính Ngôn ngữ của đối xứng | 43 bằng 1 hoặc 11. Mục tiêu trong trò này là thu được tổng giá trị các quân bài chơi gần với số 21 hơn tay bài của nhà cái, nhưng không được lớn hơn 21. Cái làm cho blackjack là bất đối xứng đối với phép hoán vị các người chơi chính là thực tế rằng chiến lược chơi đóng một vai trò quan trọng. Trong những năm 1960, các sòng bạc đã phát hiện ra vấn đề chiến lược chơi có tầm quan trọng tới mức nào đối với sự thua được trong trò xì phé. Nhà toán học Edward O. Thorp đã phát hiện ra sự sai sót trong cách tính xác suất của các casino khi bộ bài nọc bị vơi đi. Ông đã dùng thông tin này để phát triển một phương pháp chơi cực kỳ có lợi. Nếu bạn lấy làm lạ là làm gì có chuyện như thế thì bạn phải biết rằng sau đó các casino đã điều chỉnh lại. Tuy nhiên, chuyện chiến lược chơi vẫn làm nên sự khác biệt trong trò blackjack thì vẫn còn đúng. Và thực tế, 6 sinh viên trường MIT, bằng cách thông báo với nhau số điểm nhờ các từ mã hóa, họ đã kiếm được hàng triệu đôla ở Las Vegas vào những năm 1990. Đối xứng hoán vị và một số đối xứng họ hàng gần gũi với nó trong khoa học đã có những hệ quả đạt tới tầm rất xa trong vật lý và thế giới nội nguyên tử, và chúng ta sẽ còn quay trở lại một số đối xứng đó trong Chương 7. Ở đây tôi chỉ xin đưa ra một ví dụ đơn giản nhằm giải thích một thực tế gây bối rối của các nguyên tử thuộc các nguyên tố khác nhau – cụ thể là chúng có kích thước không khác nhau là bao. Các nguyên tử có cấu trúc hao hao một hệ mặt trời thu nhỏ. Các electron trong nguyên tử quay quanh hạt nhân ở trung tâm giống như các hành tinh quay quanh mặt trời vậy. Tuy nhiên, lực giữ các electron ở trên quỹ đạo của chúng là lực điện từ chứ không phải lực hấp dẫn. Còn hạt nhân thì chứa proton mang điện tích dương và 44 | MARIO LIVIO neutron trung hòa về điện, trong khi các electron (bằng số proton) quay quanh hạt nhân lại mang điện tích âm. Mà như ta biết, các điện tích trái dấu thì hút nhau. Không giống như hệ các hành tinh có thể có quỹ đạo với kích thước bất kỳ, các nguyên tử phải tuân theo các quy tắc của thế giới nội nguyên tử, tức là cơ học lượng tử. Xác suất cao nhất để tìm electron là dọc theo một số quỹ đạo đặc biệt, được “lượng tử hóa”, giới hạn trong một dãy cụ thể các kích thước gián đoạn. Các quỹ đạo cho phép được đặc trưng chủ yếu bởi năng lượng của chúng. Nói một cách nôm na thì năng lượng gắn với quỹ đạo càng lớn thì kích thước của quỹ đạo càng lớn. Tình hình ở đây cũng từa tựa như dãy các bậc thang với hạt nhân biểu diễn chân cầu thang còn các mức năng lượng cao hơn ứng với các bậc thang mỗi lúc một cao hơn. Nhưng ở đây xuất hiện một chuyện khó hiểu. Vật lý học và thực tế cả đời sống hằng ngày, dạy chúng ta rằng các hệ là bền vững, nhất là ở những trạng thái năng lượng thấp nhất có thể (ví dụ, viên bi lăn xuống theo cầu thang sẽ đạt được sự bền vững nhất ở chân cầu thang). Điều này phải chăng có nghĩa là trong các nguyên tử hydrogen có 1 electron, oxygen có 8 electron hay uranium có 92 electron tất cả các electron đều cụm lại ở quỹ đạo nhỏ nhất có thể. Vì các nguyên tử giàu proton có nhiều electron hơn, lực hút giữa hạt nhân và các electron sẽ mạnh hơn, nên chúng ta chờ đợi rằng nguyên tử oxygen sẽ nhỏ hơn nguyên tử hydrogen, và nguyên tử uranium còn nhỏ hơn nữa (như được vẽ phác trên hình 15). Tuy nhiên, thực nghiệm lại chứng tỏ Hình 15 Ngôn ngữ của đối xứng | 45 rằng điều đó hoàn toàn không đúng. Sự thực thì bất kể số electron là như thế nào, kích thước các nguyên tử được phát hiện ra là gần như nhau. Tại sao lại như vậy? Nhà vật lý nổi tiếng Wolfgang Pauli (1900-1958) là người đã đưa ra lời giải của câu đố này. Năm 1925, ông đã phát biểu một định luật rất mạnh của tự nhiên (mà nhờ đó năm 1945 ông được trao giải thưởng Nobel) có tên là nguyên lý loại trừ. Định luật này liên quan tới một số hạt cơ bản cùng loại như các electron, chẳng hạn. Về các tính chất nội tại thì tất cả các electron trong vũ trụ đều giống hệt nhau hay đồng nhất với nhau, tức là không có cách nào phân biệt hạt này với hạt khác. Ngoài điện tích và khối lượng ra, các electron còn có một tính chất cơ bản khác gọi là spin. Để dễ hiểu, trong một số trường hợp có thể coi spin như là sự tự quay của electron giống như một viên bi nhỏ quanh trục của nó. Cơ học lượng tử - lý thuyết mô tả các nguyên tử, ánh sáng và các hạt nội nguyên tử - nói với chúng ta rằng spin của electron chỉ có hai trạng thái (nói đại khái thì điều này tương tự như viên bi quay với một tốc độ xác định theo một hướng và theo hướng ngược lại). Nguyên lý loại trừ Pauli khẳng định rằng không thể có 2 electron ở trong cùng một trạng thái, tức là có cùng một quỹ đạo và cùng một hướng spin. Nhưng điều này thì có liên quan gì đến đối xứng? Để phát biểu nguyên lý loại trừ một cách chính xác hơn, cần ý thức được rằng cơ học lượng tử nói bằng ngôn ngữ xác suất. Chúng ta không bao giờ có thể xác định được một cách chính xác vị trí của electron trong nguyên tử. Đúng hơn, chúng ta chỉ có thể xác định được xác suất tìm thấy nó ở những vị trí khác nhau mà thôi. Tập hợp của tất cả các xác suất này được gọi là hàm xác suất. Hàm xác suất đóng vai trò như một tấm bản đồ cho chúng ta biết đâu là chỗ có khả năng nhất tìm thấy electron. Theo đó, Pauli cũng 46 | MARIO LIVIO phát biểu nguyên lý loại trừ của ông qua một tính chất của hàm xác suất mô tả chuyển động của các electron trong nguyên tử. Ông phát biểu rằng hàm xác suất là phản đối xứng đối với sự hoán đổi vị trí của một cặp electron bất kỳ. Nói một cách cụ thể, một hàm được gọi là phản đối xứng, nếu chuyển vị hai electron chuyển động dọc theo cùng một quỹ đạo và có cùng hướng spin thì chỉ làm đổi dấu của hàm đó (ví dụ, từ cộng chuyển sang trừ), chứ giá trị của hàm không thay đổi. Ví dụ, ký hiệu a là một tính chất nào đó của electron thứ nhất, và b là giá trị của chính tính chất đó của electron thứ hai. Một hàm có giá trị a+b là đối xứng đối với phép đổi chỗ hai electron vì a+b=b+a. Trái lại, hàm a–b là phản đối xứng vì sự thay đổi a thành b và b thành a làm cho a–b trở thành b–a, mà b–a thì đúng bằng – (a-b) (ví dụ, 5–3 =2; 3–5 =-2). Phát biểu của Pauli do đó là cực kỳ quan trọng. Một mặt chúng ta biết rằng nếu chúng ta hoán đổi hai electron đồng nhất thì điều đó không tạo ra bất cứ sự khác biệt nào, và do đó hàm xác suất vẫn không có gì thay đổi. Mặt khác, nguyên lý loại trừ lại nói với chúng ta rằng hàm xác suất khi đó phải đổi dấu (ví dụ, từ dương chuyển thành âm, chẳng hạn). Nhưng số nào lại có thể bằng với số đối của nó? Chỉ có một số như vậy – đó là số 0. Thay đổi dấu ở đằng trước số 0 không làm cho giá trị của nó thay đổi một mảy may nào. Nói một cách khác, xác suất tìm hai electron với cùng spin và chuyển động dọc theo cùng một quỹ đạo là bằng 0, nghĩa là không tồn tại một trạng thái như vậy. Nguyên lý loại trừ Pauli nói với chúng ta rằng các electron với cùng các tính chất không muốn cụm lại ở cùng một chỗ. Do đó, không thể có hơn hai electron (mỗi hạt với một hướng spin) được phép ở trên một quỹ đạo đã cho. Như vậy, thay vì tất cả các electron Ngôn ngữ của đối xứng | 47 tụ tập ở quỹ đạo nhỏ nhất (năng lượng thấp nhất), các electron buộc phải tuần tự xếp vào các quỹ đạo có kích thước lớn hơn và năng lượng cao hơn. Kết quả cuối cùng là thậm chí mặc dù kích thước của tất cả các quỹ đạo lượng tử hóa càng nhỏ trong các nguyên tử càng nặng (giàu proton hơn), các electron không có lựa chọn nào khác là phải chiếm số các quỹ đạo tăng dần. Điều kỳ lạ là, dáng điệu của hàm xác suất trong phép hoán vị các electron lại cho phép ta giải thích được tại sao, không giống như hình 15, các nguyên tử lại có kích thước gần như bằng nhau. Bây giờ khi ta quay trở lại phép hoán vị nói chung, ta thấy phép biến đổi màu cũng được xem gần như tương tự. Đối với một hình mẫu bất kỳ có hơn một màu, ví như bàn cờ, chẳng hạn, các màu có thể đổi chỗ cho nhau. Nói một cách chặt chẽ, các hình mẫu thực thường không là đối xứng đối với phép biến đổi màu, tức là chúng sẽ thay đổi, chứ không bất biến. Người ta có thể coi một số ít bản vẽ tưởng tượng của M.C. Escher gần như là đối xứng về màu (hình 16). Chú ý rằng hình ảnh sẽ không còn thực sự như cũ nữa khi màu đen và trắng đổi chỗ cho nhau, và ngay cả bàn cờ cũng vậy. Tuy nhiên, ấn tượng thị giác nói chung là vẫn còn như cũ. Bản thân Escher cũng không bao giờ biết chắc điều gì đã dẫn dắt ông tới sự ám ảnh bởi các hình mẫu đối xứng tịnh tiến và đối xứng màu đến như vậy. Theo lời của chính ông: Hình 16 48 | MARIO LIVIO Tôi vẫn thường băn khoăn không biết ma lực nào đã khiến tôi tạo ra các bức vẽ tuần hoàn. Một lần tôi đã hỏi một người bạn, một nhà tâm lý học, về lý do khiến tôi đam mê những thứ đó, nhưng câu trả lời của ông là: tôi đã bị thôi thúc bởi một bản năng nguyên thủy, không giải thích bằng cách nào khác được. Nhưng cái gì là lý do để chỉ có một mình tôi cô đơn trong lĩnh vực đó? Tại sao lại không có những họa sĩ bạn bè nào của tôi cũng đam mê những thứ đó? Nhưng quy tắc của chúng là thuần túy khách quan mà mỗi nghệ sĩ có thể áp dụng theo cách riêng của mình! Sự suy tư có tính hoài niệm như thế của Escher đụng chạm tới hai chủ đề quan trọng: vai trò của đối xứng trong quá trình cảm nhận “nguyên thủy” và những quy tắc nằm bên dưới đối xứng. Chủ đề thứ hai sẽ được đề cập tới trong một vài chương sau. Tuy nhiên, vì tất cả các thông tin nhận được về thế giới đều thông qua cảm giác của chúng ta, nên vấn đề đối xứng như một nhân tố tiềm tàng trong sự cảm nhận đã trở thành vấn đề quan yếu trực tiếp. Ngôn ngữ của đối xứng | 49 T II Đối xứng dưới con mắt của trí não rong số tất cả các giác quan của con người thì cho đến nay thị giác là phương tiện quan trọng nhất đối với quá trình nhận thức. Tuy nhiên, mắt cũng chỉ là một dụng cụ quang học; cảm nhận đòi hỏi phải có sự tham gia của bộ não. Cảm nhận thị giác là những quá trình phức tạp diễn ra trong não, nó tổ hợp những cảm giác từ thế giới bên ngoài để tạo nên một hình ảnh giàu thông tin. Môi trường xung quanh chúng ta tạo ra nhiều tín hiệu hơn so với những tín hiệu mà chúng ta có thể phân tích. Do đó, sự cảm nhận liên quan đến quá trình sàng lọc cả kho dữ liệu để chọn lấy những đặc điểm có lợi nhất. Khi những người chơi cờ xem xét nước đi tiếp theo, họ không xét trong óc mọi nước đi khả dĩ trên bàn cờ. Họ chỉ tập trung vào một số ít nước đi có vẻ là có lợi nhất khi nhìn nhận dựa trên các thông tin đã tích lũy được, tức cái chúng ta gọi là trí nhớ. Trong bộ phim The Curse of the Jade Scorpion của đạo diễn Woody Allen, Dan Aykroyd đóng vai sếp của một công ty bảo hiểm. Trong một cảnh anh ta nói với C.W Briggs (do chính Woody 50 | Allen đóng), một trong số những người điều tra mình rằng “Anh biết đấy, có một từ để chỉ những người luôn nghĩ rằng mọi người đều âm mưu chống lại họ”. Và Woody Allen đáp lại ngay “Đúng, đó là từ cảm nhận sắc bén (perceptive). Tất nhiên, trên thực tế, hoang tưởng thể hiện sự méo mó của nhận thức. Ở bề mặt của nó, nhận thức thị giác phải thực hiện một nhiệm vụ bất khả thi. Nó cần phải biến đổi tác động vật lý của các đơn vị năng lượng ánh sáng (tức các photon) vào các tế bào thụ cảm ở đáy mắt thành những hình ảnh trong trí óc của các vật. Như chúng ta sẽ thấy ngay sau đây, đối xứng hỗ trợ rất nhiều để hướng tới mục tiêu đó. Trước hết, chúng ta cần đánh giá xem chúng ta cần phải vượt qua những loại khó khăn nào. Thiên văn học giúp chúng ta minh họa một trong những trở ngại liên quan đến quá trình này – cụ thể là cảm nhận về khoảng cách. Hình 17 là bức ảnh do kính thiên văn không gian Hubble chụp qua quầng hình cầu của các ngôi sao bao quanh thiên hà Andromeda (mà các nhà thiên văn gọi là M31). Một thiên hà là một khoảng rộng lớn chứa tới hàng trăm tỷ ngôi sao tương tự như Mặt Trời. M31 ở cách chúng ta 2,5 triệu năm ánh sáng và là một trong những thiên hà láng giềng gần dải Ngân Hà (cũng là một thiên hà) của chúng ta nhất. (Một năm ánh sáng bằng một ngàn tỷ kilometre). Bức ảnh trên hình 17 chứa khoảng 10 ngàn ngôi sao thuộc M31 Hình 17 Ngôn ngữ của đối xứng | 51 và trên nền của nó có thể nhìn thấy khoảng một trăm thiên hà khác (một số là những đối tượng có quảng tính và mờ nhòe). Tuy nhiên, ở đây nảy ra một vấn đề. Nếu chỉ đơn giản nhìn bức ảnh, chúng ta không có cách nào nói được rằng, dù là nói một cách tương đối, những ngôi sao này ở trong cùng cái xó xỉnh với chúng ta (tức ở khoảng cách 2,5 triệu năm ánh sáng), trong khi một số thiên hà ở xa hơn 10 tỷ năm ánh sáng! Tương tự thế, khi nhìn chăm chú thế giới xung quanh chúng ta, thì mắt chỉ nhận ra hướng truyền của tia sáng mà photon chuyển động. Vì hình ảnh được chiếu lên bề mặt hai chiều (võng mạc), nên nếu không có thông tin phụ trợ thì não không có manh mối nào để biết được photon đã bắt nguồn từ bao xa. Trong trường hợp ngôi sao ở tương đối gần, các nhà thiên văn giải quyết bài toán xác định khoảng cách bằng cách dùng phương pháp thị sai lượng giác. Họ quan sát ngôi sao từ hai điểm khác nhau trên quỹ đạo quanh Mặt Trời của Trái Đất (hình 18). Trong thời gian một năm, ngôi sao ở gần dường như xê dịch tới lui đối với những ngôi sao (cố định) ở rất xa trên nền trời. Bằng cách đo góc gắn với độ dịch biểu kiến đó, biết đường kính quỹ đạo quay quanh Mặt Trời của Trái Đất, người ta có thể tính được khoảng cách tới ngôi sao mà chỉ cần dùng môn lượng giác sơ cấp được dạy ở trường phổ thông. Con người dùng hai mắt cũng theo đúng cách như thế để tạo ra cảm nhận về không gian. Bạn có thể phát hiện ra cơ chế này, gọi là nhìn lập thể, bằng cách thực hiện một thí nghiệm đơn giản sau. Duỗi thẳng cánh tay ra phía trước, giữ cho một ngón tay thẳng đứng, rồi nhìn lên ngón tay đó trên một nền nào đó. Nếu bạn luân phiên nhắm mắt phải và mắt trái bạn sẽ thấy ngón tay bạn dường như xê dịch tới lui đối với các vật nền. Bằng cách đưa ngón tay lại gần mắt, 52 | MARIO LIVIO các ngôi sao xa Cứ mỗi tháng 1 sẽ Cứ mỗi tháng 7 sẽ nhìn thấy thế này nhìn thấy thế này ngôi sao gần tháng 7 tháng 1 Hình 18 bạn sẽ thấy rằng sự nhảy giữa hai vị trí tăng lên. Sở dĩ có sự xê dịch biểu kiến (thị sai) đó là bởi vì hai mắt bạn nhìn ngón tay từ hai vị trí khác nhau. Vì thị sai phụ thuộc vào khoảng cách của vật, nên bằng cách đo góc giữa hai vị trí biểu kiến và biết khoảng cách giữa hai mắt, não sẽ dùng “lượng giác” tính ra khoảng cách tới vật. Nếu như bạn quen với sự mất mát tương đối về cảm nhận độ sâu liên quan đến sự nhắm một mắt, thì bạn có thể nghĩ rằng vai trò của hai mắt trong nhìn lập thể đã từng được biết tới từ thời cổ đại. Nhưng thật ngạc nhiên là ngay cả những nhà nghiên cứu vĩ đại nhất về phối Ngôn ngữ của đối xứng | 53 cảnh cũng hoàn toàn không biết tới khái niệm nhìn lập thể. Các nhà toán học như Euclid ở Hy Lạp cổ đại, các kiến trúc sư thời Phục Hưng Brunelleschi và Alberti, các họa sĩ Piero della Francesca, Paolo Ucello, và Albrecht Dürer, và ngay cả Isaac Newton vĩ đại cũng coi hai mắt chỉ đơn giản là sự thể hiện đối xứng hai bên, chứ không hề có chức năng đặc biệt nào khác. Người đầu tiên thấy được hai mắt có thể cung cấp một điều gì đó mà chỉ một mắt thôi không thể có được là Leonardo da Vinci ((1452-1519) – một tinh hoa thời Phục Hưng. Ông nhận xét rằng khi nhìn một vật bằng cả hai mắt, mắt phải sẽ thâu tóm phần không gian sau vật sang bên phải nó, còn mắt trái nhìn quanh vật sang bên trái nó. Do đó, Leonardo rút ra kết luận rằng “vật... được nhìn bằng cả hai mắt trở lên, dường như là, trong suốt... nhưng điều này không xảy ra khi vật... được nhìn chỉ bằng một mắt”. Mặc dù thấy trước được như vậy, nhưng do chỉ giới hạn chú ý tới các hình cầu, nên Leonardo đã bỏ lỡ cơ hội phát minh ra rằng điều đó không chỉ đúng trong nền mà còn đúng trong cả chính bản thân vật nữa, rằng hai mắt sẽ nắm bắt được hai hình ảnh khác nhau. Người đã xác lập được tầm quan trọng của việc nhìn bằng hai mắt đối với cảm nhận khoảng cách là nhà thiên văn học người Đức Johannes Kepler (1571-1630). Trong hai cuốn sách rất hay của ông, Astronomiae Pars Optica (Phần quang học của thiên văn học), xuất bản năm 1604, và Dioptrice (Lưỡng chất, phần quang học nghiên cứu sự khúc xạ), xuất bản năm 1611, Kepler đã mô tả chi tiết quang học của mắt, giải thích hoạt động của kính đeo mắt và phát triển một lý thuyết về nhìn lập thể. Tuy nhiên, không hiểu sao các tác phẩm của Kepler lại ít được chú ý tới, và thậm chí ngay cả Charles Wheatstone, người đã phát hiện ra cơ chế cảm nhận chiều sâu vào năm 1838, dường như cũng không biết về hai quyển sách đó. 54 | MARIO LIVIO Charles Wheatstone (1802-75) sinh ra trong một gia đình âm nhạc, và những nghiên cứu đầu tiên của ông liên quan tới âm thanh, tới dao động của các dụng cụ khác nhau như dây đàn và các ống, và các nhạc cụ. Năm 1822, ông đã thiết đặt một thí nghiệm chứng minh trong cửa hiệu của cha ông ở Pall Mall, London, thí nghiệm này cung cấp âm nhạc không chỉ cho tai mà còn cả cho mắt nữa. Chiếc đàn thất huyền (đàn lia) “thần diệu” được treo bằng một sợi dây mảnh đi qua trần tới phòng bên trên và được kết nối với hộp cộng hưởng của một đàn piano, một đàn thụ cầm và một cây dã cầm (dulcimer). Khi Wheatstone chơi các nhạc cụ ở phòng trên thì cây đàn thất huyền quyến rũ cứ như tự chơi vậy. Vốn là một nhà thực nghiệm rất giàu óc tưởng tượng, Wheatstone đã phát minh ra đàn concertine (một nhạc cụ tương tự như cây đàn phong cầm nhỏ) và ông cũng đã được cấp bằng phát minh ra điện tín ở Anh. Wheatstone bắt đầu những thí nghiệm của ông về nhìn lập thể vào năm 1832 và đã giới thiệu lý thuyết của ông trong một bài báo công bố vào ngày 21 tháng 6 năm 1838. Nhan đề của bài báo này là “Một số đóng góp vào sinh lý học của thị giác. Phần I: Về một hiện tượng đáng lưu ý nhưng cho đến nay chưa được quan sát của việc nhìn bằng hai mắt”. Đoạn đầu tiên của bài báo mô tả cốt lõi của phát minh – đó là sự không hòa hợp với nhau của hình ảnh trên hai võng mạc và việc xử lý sau đó trong não đã tạo ra sự cảm nhận không gian. Theo lời của Wheatstone: Khi một vật được nhìn từ khoảng cách lớn sao cho quang trục của hai mắt nhìn vật gần như song song với nhau thì những hình chiếu phối cảnh của nó được nhìn bởi một mắt riêng lẽ là tương tự nhau và hình ảnh của nó đối với cả hai mắt chính xác là giống hệt như là khi chỉ nhìn bằng một Ngôn ngữ của đối xứng | 55 mắt... Nhưng sự tương tự đó không còn tồn tại nữa khi vật đặt gần mắt sao cho để nhìn nó quang trục của hai mắt phải gặp nhau (chứ không còn song song với nhau nữa); trong những điều kiện đó, hình chiếu phối cảnh của vật được nhìn bởi mỗi mắt là khác nhau... Thực tế này có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách đặt một hình ba chiều bất kỳ, như một khối lập phương, chẳng hạn, ở một khoảng cách vừa phải trước mắt, đồng thời đầu vẫn giữ cố định và lần lượt nhìn vật bằng một mắt, trong khi mắt kia thì nhắm lại. Tôi đã mô tả khá dài dòng phát minh ra những quá trình liên quan tới sự cảm nhận một điều khá sơ cấp là chiều sâu không gian, bởi vì câu chuyện này giúp ta hình dung được những trở ngại to lớn gắn liền với sự phát triển một hiểu biết thấu đáo về nhận thức. Những lý thuyết về sự nhận thức của con người có thể choán đầy, và thực tế đã choán đầy, những bộ sách lớn. Ở đây chúng tôi chỉ tập trung vào chức năng của đối xứng trong quá trình đó. Vai trò của đối xứng trong nhận thức đã được đưa vào tâm điểm chú ý nhờ một trường phái tư tưởng có tên là tâm lý học cấu trúc (Gestalt psychology). Các nhà tâm lý học Max Wertheimer, Kurt Koffka và Ivo Kohler, những người đã khởi xướng học thuyết này, đã thiết lập một phòng thí nghiệm có tầm ảnh hưởng lớn để nghiên cứu tâm lý học ở Đại học Frankfurt vào năm 1912. Một trong số những vấn đề mà các nhà tâm lý học cấu trúc đặt ra để nghiên cứu là vấn đề tổ chức nhận thức, cụ thể là những mẩu nhỏ thông tin nhận được bởi các giác quan đã được tổ chức như thế nào thành những cấu trúc nhận thức lớn hơn. Làm thế nào chúng ta biết được những bộ phận nào từ gốc hợp lại để tạo nên một vật? Làm thế nào chúng ta tách được các vật ra khỏi nhau và làm thế nào phân biệt được vật với nền? “Định luật” trung tâm của tổ chức nhận thức trong 56 | MARIO LIVIO tâm lý học cấu trúc được biết là nguyên lý Prägnanz, thường được gọi là định luật “hình tốt” (từ Prägnanz trong tiếng Đức có nghĩa là cô đọng, súc tích). Định luật này phát biểu: “Trong một số tổ chức khả dĩ về mặt hình học, tổ chức được nhìn thấy là tổ chức có hình dạng đẹp, đơn giản và ổn định nhất”. Do đó, đối với các nhà tâm lý học cấu trúc, đối xứng là một trong những yếu tố then chốt đóng góp đáng kể vào “độ tốt” của hình. Một bố trí gồm 4 chấm đen trên hình 19 sẽ được cảm nhận như một hình vuông, vì “độ tốt” của hình vuông như một hình đối xứng, khép kín và ổn định cao hơn “độ tốt”, chẳng hạn, của bố cục gồm một tam giác và một chấm đen dư ra. Trong khi các nhà tâm lý học cấu trúc chưa bao giờ cố gắng phát biểu một lý thuyết chính xác về cảm nhận hình dạng, thì các nhà lý thuyết sau đó, như nhà tâm lý học người Hà Lan Emanuel Leeuwenberg và hai người Mỹ là Wendell Garner và Stephen Palmer, đã mở rộng các nguyên lý cơ bản của họ. Đặc biệt là Garner và Palmer đã nhận ra vai trò của các loại đối xứng khác nhau (như đối xứng đối với các phép quay và phản xạ) đối với “độ tốt” của hình. Hình 19 Leeuwenberg và các cộng sự của ông đã phát triển một lý thuyết về biểu diễn hình dạng được biết tới rộng rãi là lý thuyết thông tin cấu trúc. Hai khái niệm của lý thuyết này là mã (codes) và tải thông tin (information loads). Mã là những mô tả cảm nhận đơn giản mà dựa vào đó có thể tạo ra hình được quan sát. Ví dụ, để mô tả một hình chữ nhật, chúng ta có thể xuất phát từ góc trên bên trái và cho chiều dài của đoạn cần vẽ (hình 20), sau đó điều chỉnh góc để vẽ tiếp. Sau đó chúng ta phải cho chiều dài tiếp theo, rồi lại hiệu Ngôn ngữ của đối xứng | 57 chỉnh góc. Mã cuối cùng để vẽ hình chữ nhật có dạng: a 90 b 90 a 90 b 90. Tuy nhiên, bạn cần lưu ý rằng vì chính những chỉ dẫn đó đã được lặp lại hai lần, nên ta có thể đơn giản mã này bằng cách viết như sau 2*(a 90 b 90). Tải thông tin đo độ phức tạp của mã đơn giản nhất mà vẫn còn hoàn thành được công việc. Nói chung, chúng ta có thể tính tải thông tin bằng cách đơn giản là đếm số các tham số trong mã (như a, b, 90 trong ví Hình 20 dụ ở trên). Ý tưởng trung tâm của lý thuyết thông tin cấu trúc là ở chỗ “độ tốt” của hình càng cao thì tải thông tin càng thấp. Các hình đối xứng chứa tải thông tin thấp và do đó có “độ tốt” cao. Ví dụ, đối với mã hình chữ nhật ở trên tải thông tin là 4: số lần lặp (2); hai chiều dài (a, b); và góc (90). Trái lại, đối với một hình tứ giác tùy ý tải thông tin là 8 (4 chiều dài và 4 góc). Hình 21 Hai yếu tố quan trọng trong các nguyên lý cấu trúc của tố chức là tính gần gũi và tính tương tự. “Luật” gần gũi diễn đạt một thực tế là, 58 | MARIO LIVIO nói chung, các hình gần gũi nhau sẽ được nhóm lại với nhau trong óc. Trong hình 21a chúng ta cảm nhận các cột, vì khoảng cách giữa các chấm đen theo phương thẳng đứng là nhỏ hơn so với phương nằm ngang. Điều ngược lại là đúng với hình 21b, tạo ra cảm nhận dòng. Khi khoảng cách theo hai phương là như nhau (như trên hình 21c) thì chúng ta có một ấn tượng mơ hồ, không rõ ràng. Các hình dạng tương tự nhau cũng có xu hướng nhóm lại trong liên tưởng, và tính tương tự đôi khi còn là yếu tố tổ chức mạnh hơn tính gần gũi. Trong hình 22, chúng ta có xu hướng cảm nhận cột vì tính tương tự của các vòng tròn, thậm chí mặc dù, do tính gần gũi không thôi, nếu tất cả vòng tròn là đen thì chúng ta sẽ chỉ nhìn thấy hàng. Đối xứng đóng vai trò quan trọng trong việc nhận ra sự tương tự vì nó biểu diễn một bất biến thực sự, tức là sự “miễn trừ” thay đổi. Do đó, đối xứng là một đặc điểm cực kỳ hữu ích đối với hệ thống cảm nhận dùng để xác định các hình mẫu quan sát có thực sự là tương tự hay khác nhau. Một nguyên lý cấu trúc khác là sự tiếp nối tốt – chúng ta cảm nhận ký hiệu x như hai đường thẳng bắt chéo nhau, chứ không phải là hai ký hiệu v, một thẳng đứng và một lộn Hình 22 ngược nối với nhau ở đỉnh. Số phận chung cũng là cơ sở cho sự nhóm lại trong óc. Chúng ta cũng thường nhóm các vật chuyển động với cùng vận tốc hay cùng hướng lại với nhau. Nhà tiên tri Amos trong kinh thánh đã ý thức rất đầy đủ về nguyên lý này, khi ông hỏi: “Hai người có đồng hành được chăng, nếu không hẹn với nhau từ trước?” Ngôn ngữ của đối xứng | 59 Nhà tâm lý học Stephen Palmer thuộc Đại học California ở Berkeley và các cộng sự còn bổ sung thêm các nguyên lý tổ chức vùng chung, kết nối và đồng bộ. Hình 23 minh họa cho các nguyên lý này. Vùng chung liên quan đến sự thật là các yếu tố sẽ được nhóm lại với nhau khi chúng được quây lại bên trong một vùng không gian (hình 23a). Tính kết nối có nghĩa là chúng ta cảm nhận các yếu tố đơn vị dường như kết nối với nhau về mặt vật lý (hình 23b). Cuối cùng, sự đồng bộ phản ánh thực tế là các sự kiện thị giác đồng thời được cảm nhận như có liên kết với nhau (hình 23c). Đối xứng và đặc a) b) c) Hình 23 biệt là đối xứng hai bên, cũng là một trong những yếu tố then chốt trong việc tách hình khỏi nền, tức khả năng nhìn thấy các vật như các hình đứng tách riêng ra khỏi nền. Hãy liếc nhanh hình 24, cả bên trái lẫn bên phải, và quyết định xem màu nào là hình và màu nào là nền. Các vùng có đối xứng hai bên có xu hướng được cảm nhận là các hình nổi trên nền bất đối xứng. Do đó, ở bên trái hình 24, chúng ta thiên về cảm nhận vùng đen là hình, trong khi ở bên phải vùng trắng lại được cảm nhận là hình. Các định hướng thẳng đứng và nằm ngang cũng thường được xem là hình hơn so với các định hướng khác. Cuối cùng, các vùng nhỏ hơn được bao quanh bởi các vùng lớn hơn cũng có xu hướng được nhận dạng là hình, cũng như các hình dáng có nghĩa hoặc quen thuộc. 60 | MARIO LIVIO Chắc là bạn cũng đã nhận ra rằng các “định luật” cấu trúc không hơn gì khoa học khám phá (heuristics), chẳng qua đây là các nguyên lý phỏng đoán tốt nhất có thể vận hành được trong đa số thời gian nhưng không nhất thiết phải trong mọi thời gian. Chúng Hình 24 dùng các khái niệm được định nghĩa khá mơ hồ, như “độ tốt” hay “độ tương tự”. Nhưng người ta có thể thắc mắc là tại sao các nguyên lý này vẫn vận hành được. Câu trả lời ở đây là, có lẽ, chúng biểu lộ sự tổ hợp của học hỏi và tiến hóa. Như Oscar Wilde đã từng nói: “Kinh nghiệm là cái tên mà mọi người đặt cho những sai lầm của mình”. Con người đã “thực hành” sự cảm nhận trong nhiều thế hệ và thông qua vô số những đụng độ về cảm nhận họ đã học được những cái cần đoán trước. Mặc dù có những cái bất cập, nhưng các nguyên lý cấu trúc gốc vẫn rất hữu ích và chúng cung cấp cho ta câu trả lời nhanh. Khi bạn muốn tìm chìa khóa, trước hết bạn phải đi tới hai nơi bạn thường hay để nó và chỉ sau khi đã không tìm thấy, bạn mới phải tiến hành tìm kiếm một cách có hệ thống trong nhà. Nói chung, các lý thuyết tâm lý học hiện nay và các kết quả thực nghiệm đều khẳng định vai trò của đối xứng trong nhận thức. Nhiều thí nghiệm đã chứng tỏ rằng đối xứng hai bên đối với một trục thẳng đứng là dễ nhận dạng nhất (tức là nhận dạng nhanh nhất) và nó được khai thác như một tính chất chẩn đoán cho phán xét kiểu giống nhau-khác nhau. Về cơ bản, đối xứng là một tính chất bắt mắt trong những giai đoạn sớm của quá trình thị giác. Đối xứng cũng rất hữu ích để phân biệt các cơ thể sống (kể cả các thú săn mồi tiềm tàng) Ngôn ngữ của đối xứng | 61 với các vật vô tri và trong sự lựa chọn bạn tình mong muốn (tôi sẽ còn quay trở lại các chủ đề này ở Chương 8). Những thực nghiệm khác đã chứng minh rằng các hình đối xứng dễ tái tạo hơn các hình bất đối xứng. Trong một nghiên cứu rất thú vị, hai nhà tâm lý học Jennifer Freyd và Barbara Tversky thuộc Đại học Stanford đã phát hiện ra rằng trong bước đầu tiên, những người tham gia thí nghiệm đã xác định rất nhanh có đối xứng tổng thể hay không. Sau đó, nếu hình được cảm nhận là có đối xứng tổng thể thì một số người trong số đó đã làm biến dạng hình ảnh trong óc họ và cho rằng (đôi khi là không đúng) nó có cả đối xứng về chi tiết nữa. Một giả thiết rất hấp dẫn là sự thiên vị một số loại đối xứng có thể là một đặc tính do học hỏi nảy sinh từ những thí nghiệm của nhà tâm lý học Ioannis Paraskevopoulos thuộc Đại học Illinois. Đối tượng thí nghiệm của ông là 76 học sinh tiểu học. Ông đã phát hiện ra rằng đối xứng kép (phản xạ thẳng đứng và nằm ngang) được yêu thích hơn đối với lứa tuổi 6, đối xứng hai bên (chỉ phản xạ thẳng đứng thôi) đối với lứa tuổi 7 và đối xứng ngang (phản xạ ngang) đối với lứa tuổi 11. Một số nghiên cứu thú vị nhất hiện nay là những nghiên cứu với ý định sử dụng sự tạo ảnh bằng cộng hưởng từ (MRI) để lập bản đồ các vùng trong não đáp ứng với đối xứng. Nhà tâm lý học Christopher W. Tyler thuộc Viện nghiên cứu mắt Smith-Kettlewell ở San Francisco đã giới thiệu cho những người tham gia thí nghiệm rất nhiều các hình mẫu đối xứng tịnh tiến và đối xứng phản xạ. Ông đã phát hiện ra rằng những kích thích này đã tạo ra sự kích hoạt một vùng của thùy chẩm, mà chức năng của nó hiện còn chưa rõ. Điều đáng ngạc nhiên là, người ta còn thấy một số vùng khác có những chức năng thị giác hẳn hoi lại rất ít hoặc không bị kích hoạt. Tyler 62 | MARIO LIVIO kết luận rằng vùng chuyên môn hóa đó có nhiều khả năng đã mã hóa sự hiện diện của đối xứng trong lĩnh vực thị giác. Mối liên hệ qua lại giữa đối xứng và định hướng cũng rất hấp dẫn. Các hình đối xứng không thay đổi khi quay, phản xạ hoặc tịnh tiến theo những cách nhất định. Tuy nhiên, nhiều hình không đối xứng đối với bất cứ phép biến đổi nào (trừ phép đồng nhất, không đụng chạm gì tới hình cả), và chúng ta cảm nhận chúng ra sao cũng bị ảnh hưởng nhất định, ví dụ, bởi sự định hướng của nó. Ví dụ, bạn hãy thử liếc nhanh hình 25 xem. Bạn có nhận ra đó là bản đồ châu Phi không? Hay không được quay quyển sách lộn ngược lại bạn có nhận ra ai trên hình 26 không? Hình 25 Ngay cả sự cảm nhận đối xứng Hình 26 cũng có thể phải khá khôn khéo. Một hình dạng có thể là đối xứng phản xạ đối với một trục nào đó, như trên hình 27a, chẳng hạn, nhưng nếu bạn không quay nó như trên hình 27b để trục đối xứng có phương thẳng đứng thì có thể sẽ không cảm nhận được đối xứng đó. Nhà khoa học về nhận dạng Ivrin Rock thuộc Đại học Rutgers cùng các cộng sự đã tiến hành một loạt thí nghiệm được thiết kế để kiểm tra sự phụ thuộc của cảm nhận hình vào định hướng. Đặc biệt, Ngôn ngữ của đối xứng | 63 a b Hình 27 họ muốn kiểm tra sự cảm nhận đối xứng hai bên có phụ thuộc vào chuyện trục đối xứng có thực sự phải là thẳng đứng trong hình ảnh trên võng mạc hay là nó chỉ được cảm nhận như là thẳng đứng. Các nhà nghiên cứu đã sử dụng một hình dạng được thể hiện trên hình 28a, coi nó như dạng chuẩn. Hình này là đối xứng đối với cả phép phản xạ thẳng đứng và nằm ngang. Những người tham gia trắc nghiệm được yêu cầu hãy chỉ ra hình nào trong hai hình 28b và 28c là giống với hình 28a hơn. Lưu ý rằng hình 28b hơi bị thay đổi sao cho nó không còn là đối xứng đối với trục thẳng đứng nữa, nhưng vẫn còn giữ được đối xứng đối với trục nằm ngang. Điều ngược lại đã được làm với hình 28c. Khi những người tham gia trắc nghiệm quan sát các hình với đầu được giữ thật thẳng, thì phần lớn trong số họ đều chọn hình 28c. Đó cũng là điều mà các nhà nghiên cứu chờ đợi. Nhà vật lý và triết gia người Áo Ernst Mach (1838-1916) đã nhận xét từ năm 1914 rằng các hình được cảm nhận là đối xứng trước hết như là kết quả của đối xứng phản xạ đối với trục thẳng đứng. Tuy nhiên, ở đây xuất hiện một điều bất ngờ. Khi những người quan sát nghiêng a b c Hình 28 64 | MARIO LIVIO người một góc 45 độ, họ vẫn còn chọn hình 28c là hình giống với hình 28a hơn, mặc dù thực tế là trong định hướng đó thì cả hai hình 28b và 28c đều không còn là đối xứng thẳng đứng trong hình ảnh ở võng mạc nữa. Từ thí nghiệm này và những thí nghiệm khác, Rock đã rút ra kết luận rằng “đối với một hình mới thì ít có sự thay đổi về diện mạo khi chỉ có sự định hướng của hình ảnh trên võng mạc của nó là thay đổi”. Rock đã phát hiện ra rằng cái thực sự quan trọng thậm chí phần nhiều không phải là sự định hướng hiện thời trong môi trường của nó, mà là thực tế chúng ta thường gán cho hình các hướng đỉnh, đáy, trái và phải. Những gán ghép đó lại thường phụ thuộc vào các manh mối thị giác khác, như hướng của trọng lực hay hệ quy chiếu môi trường xung quanh. Những hình không được định hướng đối với các hướng đó sẽ không dễ dàng được nhận ra. Thật thú vị là Rock đã phát hiện ra rằng tác động đến hình được cảm nhận là cực tiểu, khi sự thay đổi duy nhất được thực hiện là đảo ngược trái phải. Những kết quả này tiếp tục khẳng định tầm quan trọng hàng đầu của đối xứng hai bên trong nhận thức. Tuy nhiên, Rock đã thú nhận rằng một số hình dạng, như các chữ viết thảo hay các chân dung, sẽ trở nên khó nhận dạng hơn thậm chí khi chỉ có sự định hướng của hình ảnh trên võng mạc là thay đổi. Trong khi đối xứng có tác dụng làm cho sự cảm nhận trong đa số trường hợp trở nên dễ dàng, thì có một loại đối xứng thực sự dụ dỗ mắt vào sự diễn giải sai lầm cái mà nó nhìn thấy. Nhà vật lý Scotland David Brewster (1781-1868), người cũng đã phát minh ra kính vạn hoa năm 1816, đã nhận thấy một điều gì đó hơi lạ khi nhìn chăm chú lên giấy dán tường có những hình mẫu đối xứng tịnh tiến. Sự phong phú và đa dạng các sản phẩm của Morris và các cộng sự và những người đương thời đã khiến cho các mẫu hình giấy dán tường Ngôn ngữ của đối xứng | 65 đó tràn ngập khắp nơi thời Victoria. Rất ngạc nhiên, Brewster phát hiện ra rằng một số các bức vẽ này cứ như là “bật ra từ tường vậy” và trở thành những ảo giác ba chiều, mà ngày nay được gọi là ảo giác giấy dán tường hay ảo giác cầu thang cuốn bởi vì giấy dán tường và cầu thang cuốn đều có các hình mẫu lặp đi lặp lại. Bạn có thể đã quen với hiện tượng này từ nhiều cuốn sách Mắt Thần (magic eye). Sự đam mê các bức ảnh nổi do máy tính tạo ra – những hình mẫu chuyển thành ba chiều khi được nhìn bằng cách lé mắt – đã tạo ra một làn sóng cuồng ảnh nổi vào những năm 1990. Hình 29 minh họa một hiệu ứng khá bất ngờ. Nếu bạn chăm chú nhìn nó trong khoảng một phút dường như bạn đang tập trung nhìn vào một hình ảnh ở phía sau trang giấy, thì những người lướt sóng sẽ được hiện Hình 29 66 | MARIO LIVIO lên một cách kỳ diệu như những thực thể ba chiều vậy. Vì những nguyên nhân còn chưa hoàn toàn rõ ràng, một số người không thể cảm nhận được các ảo giác do các bức ảnh nổi tạo ra. Vậy, nếu như hình 29 không bất ngờ có được chiều sâu đối với bạn thì cũng đừng thất vọng, vì bạn thuộc về một nhóm người đặc biệt mà. Ý tưởng đằng sau ảo ảnh Magic Eye bắt nguồn từ nghiên cứu cảm nhận chiều sâu của nhà tâm lý học người Mỹ gốc Hung Bella Julesz năm 1959. Một cộng sự của Julesz là nhà tâm lý học Christopher Tyler thuộc Viện nghiên cứu mắt Smith-Kettlewell, vào năm 1979 đã phát hiện ra rằng ông có thể dùng kỹ thuật in offset tạo ta được những bức ảnh lập thể một ảnh. Giải thích cơ bản cho sự thần kỳ của các hình mẫu lặp đi lặp lại này là khá đơn giản. Với mỗi một mắt nhìn cố định lên một thành phần khác nhau của một cặp kề nhau trong mẫu hình lặp đi lặp lại, não sẽ cảm nhận sai lầm cho rằng hai vật này như là một vật nhưng ở khoảng cách khác (hình 30). Nguyên nhân của “thất bại” này của não, tất nhiên, là thực tế rằng những motif lặp đi lặp lại tạo ra những hình ảnh đồng nhất trên hai võng mạc, tạo ra ấn tượng rằng một vật duy nhất nằm ở tiêu điểm. Khi hình mẫu lặp đi lặp lại rất sít nhau và gồm những motif có độ tương phản cao, nó có thể tạo ra ảo giác rất mạnh về chuyển động. Họa sĩ Anh Bridget Riley đã làm sửng sốt nhiều người xem với hình mẫu gây hoang tưởng trong bức tranh Thác của bà (hình 31). Ngoại trừ phép hoán vị và nguyên lý loại trừ Pauli ra, còn Hình 30 Ngôn ngữ của đối xứng | 67 Hình 31 thì tất cả các đối xứng được mô tả cho đến đây đều là những đối xứng của các dạng, các hình và các cấu hình. Chúng là những đối xứng của các vật trong không gian, được áp đặt bởi bố cục của các hệ cụ thể và được cảm nhận thông qua các giác quan. Chúng ta có thể thấy một nhà thờ có đối xứng hai bên, một thiết kế giấy dán tường có đối xứng tịnh tiến, và vòng tròn có đối xứng quay. Các đối xứng nằm sau những định luật cơ bản của tự nhiên là rất gần gũi với các đối xứng nói ở trên nhưng không tập trung vào những dạng và hình bên ngoài, mà tập trung vào câu hỏi: Có thể thực hiện những phép biến đổi nào đối với thế giới xung quanh chúng ta mà các định luật mô tả mọi hiện tượng được quan sát vẫn không thay đổi? LUẬT CHƠI Vậy các định luật của tự nhiên là gì? Nhà sinh học Thomas Henry Huxley (1825-1895), người bảo vệ học thuyết tiến hóa và chọn lọc tự nhiên của Darwin một cách nhiệt tình nhất, đã đưa ra lời giải thích sau: 68 | MARIO LIVIO Bàn cờ là một thế giới, các quân cờ là các hiện tượng của vũ trụ, các luật chơi chính là cái mà chúng ta gọi là các định luật của tự nhiên. Người chơi phía bên kia là ẩn giấu đối với chúng ta. Chúng ta biết rằng người đó chơi rất trung thực, đúng mực và kiên nhẫn. Nhưng chúng ta cũng biết, với sự trả giá của chúng ta, rằng người đó không bao giờ để lọt một sai lầm nào, hoặc không bao giờ mảy may chiếu cố cho sự ngu dốt. Định nghĩa này, của người có biệt danh là “kẻ bảo vệ trung thành của Darwin”, là thiếu tham vọng theo các tiêu chuẩn hiện đại. Các nhà vật lý ngày nay muốn các định luật của tự nhiên không chỉ thể hiện luật chơi mà còn giải thích được thậm chỉ cả sự tồn tại của các tính chất của bàn cờ và của chính những quân cờ nữa! Không phải đến tận thế kỷ 17 con người thậm chí mới mơ tới khả năng tồn tại một bộ các định luật có thể giải thích được vạn vật. Galileo Galilei (1564-1642), René Descartes (1596-1650) và đặc biệt là Isaac Newton (1642-1727) lần đầu tiên đã chứng minh rằng một số ít các định luật (như các định luật về chuyển động và hấp dẫn) có thể giải thích được rất nhiều các hiện tượng, từ quả táo rơi và thủy triều trên bãi biển cho tới chuyển động của các hành tinh. Nhiều người khác đã đi theo các bước chân khổng lồ của họ. Năm 1873, nhà vật lý người Scotland James Clerk Maxwell (1831-1879) đã cho xuất bản tác phẩm Khảo luận về điện và từ - một công trình đồ sộ thống nhất tất cả các hiện tượng điện, từ và ánh sáng chỉ bằng bốn phương trình toán học. Xây dựng trên các kết quả thực nghiệm của nhà vật lý người Anh Michael Faraday (1791-1867), Maxwell đã chứng minh được rằng cũng giống như lực giữ các hành tinh trên các quỹ đạo của chúng xung quanh Mặt Trời và lực giữ các vật trên mặt Trái Đất thực chất chỉ là một, điện và từ cũng đơn giản chỉ là Ngôn ngữ của đối xứng | 69 những biểu hiện khác nhau của một thực thể vật lý duy nhất. Thế kỷ 20 đã chứng kiến sự ra đời của không phải một mà là hai cuộc cách mạng khoa học lớn. Thứ nhất, các lý thuyết tương đối hẹp và rộng của Einstein đã làm thay đổi vĩnh viễn ý nghĩa của không gian và thời gian. Hai khái niệm này đã trở thành liên kết khăng khít với nhau trong một thực thể mà ngày nay gọi là không-thời gian. Thuyết tương đối rộng cũng gợi ý rằng lực hấp dẫn, tác dụng trên khoảng cách, không phải là lực thần bí gì mà đó chẳng qua chỉ là một biểu hiện của không-thời gian bị uốn cong do vật chất, giống như một tấm cao su bị trũng xuống dưới tác dụng của sức nặng quả đạn súng thần công. Mọi thứ chuyển động qua không gian cong này – như các hành tinh trong hành trình của chúng – đều không đi theo đường thẳng mà theo các quỹ đạo cong. Thứ hai, trên một trận tuyến khác, mọi hy vọng về một thế giới hoàn toàn xác định đã vỡ tan tành với sự xuất hiện của cơ học lượng tử. Trong cơ học Newton và thậm chí cả trong thuyết tương đối rộng, nếu bằng một cách nào đó, bạn biết được vị trí của mỗi hạt riêng rẽ trong vũ trụ ở một thời điểm đã cho, và biết nó chuyển động nhanh như thế nào và theo hướng nào tại thời điểm đó, thì bạn có thể tiên đoán một cách dứt khoát tương lại của vũ trụ và kể lại được toàn bộ câu chuyện về lịch sử trước đó của nó. Những hạn chế duy nhất ở đây gắn liền với những hoàn cảnh rất hiếm hoi mà ở đó thuyết tương đối rộng không còn đúng nữa, như trong trường hợp các ngôi sao bị co sập lại thành cái được gọi là lỗ đen. Cơ học lượng tử đã làm thay đổi tất cả. Ngay cả vị trí và vận tốc của một hạt riêng rẽ cũng không thể được xác định đồng thời chính xác. Điều duy nhất về vũ trụ là tất định, đó là xác suất của những kết cục khác nhau, chứ không phải bản thân những kết cục đó. Mặc dù vì những nguyên nhân khác, nhưng vũ trụ khá giống với thời tiết – điều tốt nhất ta có thể làm được là tiên 70 | MARIO LIVIO đoán xác suất để ngày mai sẽ mưa, chứ không phải trời có thực sự mưa hay không. Tức là Chúa có chơi trò xúc xắc. Với mỗi một bước tiến tới các cuộc cách mạng của thuyết tương đối và cơ học lượng tử, vai trò của đối xứng trong các định luật của tự nhiên lại được đánh giá cao hơn. Các nhà vật lý không còn hài lòng với việc tìm cách giải thích các hiện tượng riêng rẽ nữa, mà thay vì thế, giờ đây họ ngày càng tin rằng tự nhiên có một bản thiết kế nằm bên dưới nó mà trong đó đối xứng là một yếu tố then chốt. Đối xứng của một định luật có nghĩa là khi chúng ta quan sát các hiện tượng tự nhiên từ các điểm nhìn khác nhau, chúng ta sẽ phát hiện ra rằng các hiện tượng này được chi phối chính xác bởi cùng các định luật của tự nhiên. Ví dụ, dù bạn thực hiện các thí nghiệm ở New York, Tokyo hay ở mép bên kia của Ngân Hà, thì các định luật của tự nhiên giải thích kết quả của các thí nghiệm đó sẽ có cùng một dạng. Lưu ý rằng đối xứng của các định luật không hề ngụ ý rằng bản thân các kết quả của những thí nghiệm đó nhất thiết phải không thay đổi. Cường độ lực hấp dẫn ở Mặt Trăng là khác so với ở Trái Đất, và do đó các nhà du hành vũ trụ lên Mặt Trăng nhảy được cao hơn so với họ nhảy trên mặt đất. Tuy nhiên, sự phụ thuộc của cường độ lực hấp dẫn vào khối lượng và bán kính của Mặt Trăng thì giống hệt như sự phụ thuộc của lực hấp dẫn của Trái Đất vào khối lượng và bán kính của nó. Đối xứng này của các định luật – sự không thay đổi khi dịch chuyển từ nơi này đến nơi khác – chính là đối xứng tịnh tiến. Không có tính đối xứng qua phép tịnh tiến này thì chúng ta thực sự không thể hiểu được vũ trụ. Nguyên nhân chính để chúng ta có thể giải thích được tương đối dễ dàng những quan sát về các thiên hà ở cách xa hàng tỷ năm ánh sáng là chúng ta tìm thấy các nguyên tử hydrogen ở đấy cũng tuân theo đúng các định luật của cơ học lượng tử như ở trên Trái Đất. Ngôn ngữ của đối xứng | 71 Các định luật của tự nhiên cũng đối xứng đối với phép quay. Vật lý không thiên về đâu trong không gian – chúng ta phát hiện ra cùng các định luật bất kể chúng ta thực hiện thí nghiệm đứng thẳng hay nghiêng theo bất cứ cách nào hoặc chúng ta đo các hướng bất kể đối với hướng lên trên, xuống dưới, hướng Bắc hay hướng Tây-Nam. Điều này ít mang tính trực giác hơn ta tưởng. Hãy nhớ rằng đối với các sinh vật tiến hóa trên bề mặt Trái Đất, có một sự phân biệt rõ ràng giữa trên và dưới. Aristotle và những môn đệ của ông đã từng nghĩ rằng sở dĩ các vật rơi xuống dưới là vì đó là chỗ tự nhiên của các vật nặng. Tất nhiên, Newton đã hiểu rõ rằng trên và dưới dường như khác nhau đối với chúng ta không phải bởi vì các định luật vật lý phụ thuộc vào các hướng đó mà là bởi vì chúng ta cảm thấy lực hút hấp dẫn của cái khối lượng khổng lồ là Trái Đất nằm dưới chân chúng ta. Đó là sự thay đổi của môi trường chứ không phải trong định luật. Và chúng ta quả thật là may mắn, vì các đối xứng đối với phép tịnh tiến và phép quay đã đảm bảo rằng bất kể chúng ta ở đâu trong không gian, hoặc chúng ta định hướng như thế nào, chúng ta đều phát minh ra cùng các định luật như nhau. Một ví dụ đơn giản có thể giúp ta làm sáng rõ hơn nữa sự khác nhau giữa đối xứng của các hình dạng và đối xứng của các định luật. Những người cổ Hy Lạp nghĩ rằng quỹ đạo của các Hình 32 72 | MARIO LIVIO hành tinh phải là tròn, vì hình đó đối xứng đối với phép quay một góc bất kỳ. Thay vì thế, đối xứng của định luật vạn vật hấp dẫn của Newton đối với phép quay lại có nghĩa rằng các quỹ đạo này có thể có định hướng bất kỳ trong không gian (hình 32). Những quỹ đạo này không cần phải tròn, nó có thể là, và thực tế đã là, các elip. Cũng tồn tại những đối xứng khác, xa lạ hơn, làm cho các định luật của tự nhiên bất biến, và chúng ta sẽ quay trở lại với một số đối xứng này và những hệ quả quan trọng của chúng ở Chương 7. Tuy nhiên, điểm then chốt cần ghi nhớ là: đối xứng là một trong những công cụ quan trọng nhất để giải mã bản thiết kế của tự nhiên. Cho đến đây, sự xem xét nhanh các đối xứng, bất kể là đối xứng của các vật hay của các định luật tự nhiên, mới chỉ là thoáng qua như các du khách ở nước ngoài vậy. Chúng ta có thể được ngắm nghía các danh lam thắng cảnh nhưng để có một hiểu biết sâu sắc hơn về văn hóa, chúng ta cần phải học ngôn ngữ ở đó đã. Và giờ chính là lúc để chúng ta theo học một lớp cấp tốc. MẸ ĐẺ CỦA MỌI ĐỐI XỨNG Ngay cả khi nhìn thoáng qua thế giới các đối xứng chúng ta có thể thấy rõ như ban ngày rằng đối xứng nằm ngay chính ở chỗ giao nhau của khoa học, nghệ thuật và tâm lý học nhận thức. Đối xứng biểu hiện những cái lõi ương bướng của các hình, các định luật và các đối tượng toán học bất biến đối với các phép biến đổi. Ngôn ngữ mô tả đối xứng cần phải nhận dạng ra những cái lõi bất biến này, ngay cả khi chúng được ngụy trang dưới những cái mặt nạ rất kín đáo. Ngôn ngữ của đối xứng | 73 Ví dụ, ngôn ngữ của thế giới tài chính là ngôn ngữ của các phép tính số học. Nếu bạn muốn, bằng cái nhìn thoáng qua, so sánh sức mạnh kinh tế của hai công ty, bạn không cần phải đọc các tập tài liệu dày cộp, mà chỉ cần so sánh một số con số then chốt thôi là đủ. Khi Newton phát biểu các định luật nổi tiếng của ông về chuyển động, ông cũng tự phát triển ngay ngôn ngữ toán giải tích để diễn đạt và vận dụng những định luật đó. Người ta còn cho rằng một trong những thành tựu của nghệ thuật trừu tượng và phi đối tượng là sự biến đổi màu sắc thành ngôn ngữ của ý nghĩa và xúc cảm. Một số họa sĩ đã vứt bỏ việc sử dụng hình và các yếu tố thị giác khác để chỉ dành hoàn toàn cho sự truyền đạt bằng màu sắc thôi. Để khám phá cái mê cung của đối xứng, các nhà toán học, khoa học và các nghệ sĩ đã soi rọi con đường của họ bằng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm. Giống như các câu lạc bộ đặc thù, một nhóm toán học được đặc trưng bởi các thành viên (phần tử) phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Một tập hợp (thường gọi tắt là tập) toán học là bộ bất kỳ các thực thể, bất kể đó là các cấu phần của chiếc máy bay được tháo tung ra hay các chữ cái trong bản chữ cái Hebrew hay một mớ kỳ quặc gồm cái tai của van Gogh, con thỏ của Easter, toàn bộ các tờ báo của Albania, và thời tiết trên Hỏa tinh. Trái lại, một nhóm là một tập hợp cần tuân theo một số quy tắc nhất định đối với một phép toán nào đó. Ví dụ, một trong số những nhóm quen thuộc nhất gồm tất cả các số nguyên (dương, âm và số 0; cụ thể là:..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...) kết hợp với phép cộng đơn giản của số học. Các tính chất định nghĩa nên một nhóm là: 1. Tính đóng. Kết quả của hai phần tử tổ hợp với nhau qua phép toán cũng phải là một phần tử của nhóm. Trong nhóm các số 74 | MARIO LIVIO nguyên, tổng của hai số nguyên cũng là một số nguyên (ví dụ, 3+5=8). 2. Tính kết hợp. Phép toán cần có tính kết hợp, tức là khi tổ hợp (bằng phép toán) ba phần tử theo trật tự, bạn có thể tổ hợp hai phần tử nào là trước cũng được, kết quả thu được vẫn như thế, chứ không bị ảnh hưởng của cách đặt dấu ngoặc. Ví dụ, phép cộng là kết hợp: (5+7)+13=25 và 5+(7+13)=25, ở đây các dấu ngoặc trong toán học cho biết bạn phải cộng cặp nào trước. 3. Phần tử đồng nhất (hay phần tử đơn điệu). Nhóm có chứa một phần tử đồng nhất sao cho khi tổ hợp nó (qua phép tính) với một phần tử bất kỳ thì phần tử đó không thay đổi, tức là kết quả lại là chính phần tử đó. Trong nhóm các số nguyên, phần tử đồng nhất là số 0. Ví dụ: 0+3=3+0=3. 4. Phần tử nghịch đảo. Đối với mỗi phần tử trong nhóm đều tồn tại một phần tử nghịch đảo. Khi một phần tử bất kỳ tổ hợp với phần tử nghịch đảo của nó (qua phép tính) sẽ cho kết quả là phần tử đồng nhất. Đối với số nguyên phần tử nghịch đảo là số đối của nó: ví dụ, nghịch đảo của 4 là -4 và nghịch đảo của -4 là 4, vì 4+(-4)=0 và (-4)+4=0. Việc định nghĩa đơn giản này dẫn tới một lý thuyết có thể bao quát và thống nhất mọi đối xứng của thế giới chúng ta vẫn tiếp tục còn làm kinh ngạc ngay cả các nhà toán học. Như nhà hình học lớn người Anh Henry Frederick Baker (1866-1956) đã từng nói: “Cả một kho báu quý giá, cả một tầm cỡ tư tưởng lại nảy sinh từ những sự bắt đầu nhẹ nhàng đến thế”. Lý thuyết nhóm đã được một học giả nổi tiếng về toán học James R. Newman gọi là “nghệ thuật tột Ngôn ngữ của đối xứng | 75 bậc của trừu tượng toán học”. Sức mạnh không thể tưởng tượng nổi của lý thuyết nhóm chính là do sự linh hoạt mà định nghĩa của nó mang lại. Như chúng ta sẽ thấy ở sau, trong cuốn sách này, các phần tử của nhóm có thể là bất cứ thứ gì từ những đối xứng của các hạt sơ cấp trong vũ trụ hay những lần xáo khác nhau của bộ bài tới đối xứng của các tam giác đều. Phép toán giữa các phần tử có thể là cái gì đó tầm thường như là phép cộng của số học (như trong ví dụ trên) hay phức tạp hơn, như phép “tiếp sau bởi” đối với phép toán của hai phép biến đổi đối xứng (ví như phép quay một góc được tiếp sau bởi phép quay một góc khác). Lý thuyết nhóm giải thích điều gì sẽ xảy ra khi các phép biến đổi khác nhau, như phép quay và phép phản xạ, chẳng hạn, được áp dụng liên tiếp lên một đối tượng cụ thể, hay khi một phép toán cụ thể (như phép cộng) làm xáo trộn các đối tượng khác nhau (như các số nguyên) với nhau. Loại phân tích này sẽ phơi bày những cấu trúc cơ bản nhất của toán học. Do đó, khi các nhà phân tích thị trường chứng khoán hay các nhà vật lý hạt cơ bản đụng phải những cái dường như khó khăn không thể vượt qua trong việc nhận dạng các hình mẫu, họ thường dùng hình thức luận lý thuyết nhóm để bắc cầu vào những lĩnh vực khác nhằm vay mượn các công cụ đã được phát triển ở đó để giải các bài toán tương tự. Để có được một hình dung đại khái về mối quan hệ giữa lý thuyết nhóm và các đối xứng, ta hãy bắt đầu từ một trường hợp đơn giản về đối xứng của thân thể con người. Con người hầu như không thay đổi đối với chỉ hai phép biến đổi đối xứng. Một là phép đồng nhất để cho vật y nguyên như nó vốn là và do đó là một đối xứng chính xác. Thứ hai là phép phản xạ qua mặt phẳng thẳng đứng – đây là đối xứng hai bên (nhưng chỉ là gần đúng thôi). Ta sẽ dùng I để ký 76 | MARIO LIVIO hiệu phép biến đổi đồng nhất và r để ký hiệu phép phản xạ. Vậy tập hợp tất cả các phép biến đổi đối xứng của hình thể con người do đó chỉ gồm hai phần tử: I và r. Vậy điều gì sẽ xảy ra khi ta áp dụng liên tiếp hai phép biến đổi này? Phép phản xạ được tiếp sau bởi phép đồng nhất không khác gì với việc áp dụng chỉ một phép phản xạ. Để ký hiệu, ta có thể biểu diễn điều đó như sau: Ior=r, trong đó dấu o ký hiệu cho cụm từ “tiếp sau bởi”. Lưu ý rằng trật tự luôn được viết sao cho ký hiệu đầu tiên ở bên phải là phép biến đổi được áp dụng đầu tiên, và cứ thế lần lượt tiếp theo. Do đó aoboc có nghĩa là c sẽ áp dụng đầu tiên, sau đó đến b rồi đến a. Áp dụng hai phép phản xạ liên tiếp sẽ đưa hình thể người về dạng ban đầu, vì phép phản xạ đầu tiên tráo đổi trái và phải và phép thứ hai lại tráo đổi chúng trở lại. Do đó, áp dụng r tiếp theo r sẽ cho kết quả y hệt như áp dụng phép đồng nhất I vậy: ror=I. Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một bảng giống như bảng nhân đối với hai phép đối xứng, trong đó ô nằm ở hàng I và cột r là Ior và v.v... Từ nhân ở đây được dùng hơi phóng khoáng để biểu diễn phép toán giữa hai phép biến đổi (trong trường hợp này là “tiếp sau bởi”: º I r I I r r r I Bảng nhân này phát lộ một sự thật quan trọng: Tập hợp tất cả các phép biến đổi đối xứng của hình thể con người tạo nên một nhóm! Ta hãy kiểm tra để thấy rằng tất cả những tính chất định nghĩa của nhóm đều thực sự được thỏa mãn: 1. Tính đóng. Bảng nhân chứng tỏ rằng tổ hợp của hai phép biến đổi đối xứng bất kỳ bởi phép toán “tiếp sau bởi” cũng là một Ngôn ngữ của đối xứng | 77 phép biến đổi đối xứng. Suy nghĩ một chút bạn sẽ thấy điều này chẳng có gì đáng ngạc nhiên cả, bởi vì mỗi một trong hai phép biến đổi này đều làm cho hình không thay đổi, vậy áp dụng tổ hợp cả hai cũng sẽ làm như vậy. 2. Tính kết hợp. Điều này rõ ràng là được thỏa mãn, bởi vì nó đúng với ba phép biến đổi bất kỳ thuộc loại này được tổ hợp bởi phép toán “tiếp sau bởi”. Thực vậy, khi ta áp dụng, chẳng hạn như Ioror, ta thấy sẽ hoàn toàn không có sự khác biệt nào nếu ta đặt các dấu ngoặc vào. 3. Phần tử đồng nhất. Phần tử đồng nhất ở đây là phép biến đổi đồng nhất I. 4. Phép nghịch đảo. Bảng nhân cho thấy rằng mỗi phép biến đổi đồng nhất và phép biến đổi phản xạ là phần tử nghịch đảo của chính mình, bởi vì khi áp dụng phép biến đổi đó hai lần ta sẽ nhận được phép biến đổi đồng nhất. Nhóm các đối xứng của cơ thể con người chỉ chứa hai phần tử, nhưng sự gắn kết giữa đối xứng và lý thuyết nhóm là sự gắn kết rất mạnh. Để chọn một ví dụ hơi phức tạp hơn một chút, ta hãy xét hình ba cẳng chân đang chạy trên hình 33. Đó chính là biểu tượng của Đảo Người (Isle of Man) thuộc Anh trên biển Ireland. Hình 33 78 | MARIO LIVIO """