Học Toán Và Dạy Toán Như Thế Nào? PDF EPUB

"Học Toán Và Dạy Toán Như Thế Nào? PDF EPUB 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Học Toán Và Dạy Toán Như Thế Nào? PDF EPUB Ebooks Nhóm Zalo TỦ SÁCH SPUTNIK Sách điện tử SE002 Nguyễn Tiến Dũng HỌC TOÁN VÀ DẠY TOÁN NHƯ THẾ NÀO? Người bạn đường vui học! c Prof. Dr. Nguyen Tien Zung c Sputnik Education Đây là phiên bản điện tử miễn phí dành cho các bạn đọc của Sputnik Education Phiên bản này: Ngày 21 tháng 5 năm 2015 2 Mục lục Lời giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Học toán như thế nào? . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Niềm vui học toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Học toán được cái gì? . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Xóa bỏ các rào cản tâm lý . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Toán có nghĩa và toán vô nghĩa . . . . . . . . . . 17 1.5 Học chuyên và học trước chương trình? . . . . . 21 1.6 Tự học là tốt, nhưng có thầy tốt hơn . . . . . . . 23 1.7 Thấy cây mà chẳng thấy rừng . . . . . . . . . . . 30 1.8 Toán học và thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Một số điều nên và không nên khi dạy toán . . . . . 41 2.1 Hiểu và nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Cơ bản và nhiều công dụng . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Giải thích sao cho dễ hiểu . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Câu hỏi “Để làm gì?” . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 Không để việc thi lấn át việc học . . . . . . . . . 54 2.6 Ứng xử với học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 2.7 Chất lượng, số lượng và hình thức . . . . . . . . 61 2.8 Bản chất của kiến thức cần dạy . . . . . . . . . . 65 2.9 Gây tò mò và sung sướng cho người học . . . . . 73 2.10 Rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu sắc . . . . . . . 78 2.11 Đổi mới liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.12 Hài hòa giữa các thái cực . . . . . . . . . . . . . 86 3 Thảo luận với các giảng viên trẻ . . . . . . . . . . . 94 3.1 Dạy học là một nghề cao quí . . . . . . . . . . . 95 3.2 Giá trị của người thầy . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.3 Chất lượng ngày càng quan trọng . . . . . . . . . 98 3.4 Trước hết là thương yêu trò . . . . . . . . . . . . 99 3.5 Chất lượng dạy học không tự dưng mà có . . . . 102 3.6 Sự tôn trọng học sinh . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.7 Uy tín của người thầy . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.8 Làm sao để học sinh dễ theo dõi . . . . . . . . . 109 3.9 Dạy học qua các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.10 Các ví dụ về nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.11 Tìm hiểu lịch sử các khái niệm khoa học . . . . . 122 3.12 Một giờ giảng bài là nhiều giờ lao động . . . . . 123 3.13 Trình bày thử trước khi trình bầy thật . . . . . . 125 3.14 Những bài giảng chán . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.15 Tìm ra sai lầm để mà tránh . . . . . . . . . . . . 128 3.16 Dạy giải bài tập như thế nào? . . . . . . . . . . . 129 4 Sputnik Education Lời giới thiệu Quyển sách nhỏ này bàn về nhiều khía cạnh khác nhau của việc học toán, dạy toán, và chương trình môn toán, ở cả bậc phổ thông và bậc đại học. Nó được hình thành từ các bài viết của tác giả về vấn đề này trong quãng thời gian từ 2009 đến 2015, dựa trên các kinh nghiệm bản thân và các nghiên cứu tìm tòi của tác giả, để từ đó rút ra các kết luận về việc nên học toán như thế nào, dạy toán ra sao cho hiệu quả. Quyển sách cũng phân tích một số học thuyết sai lầm về giáo dục để mọi người cảnh giác, và một số điểm bất cập trong chương trình toán phổ thông hiện tại. Đối tượng chính của quyển sách là các bậc phụ huynh học sinh muốn hướng cho con em mình giỏi toán, các sinh viên và giáo viên, giảng viên muốn học toán và dạy toán được tốt hơn, và các nhà quản lý và cải cách giáo dục. Quyển sách được chia làm 3 chương. Chương một là “Học toán như thế nào?”. Các bậc phụ huynh học sinh sẽ thấy trong đó nhiều lời khuyên cụ thể về việc nên hướng con em mình học như thế nào cho vui và hiệu quả. Các bạn học sinh sinh viên cũng có thể trực tiếp Sputnik Education 5 đọc và rút ra những lời khuyên từ chương này. Chương hai và chương ba chủ yếu bàn về việc dạy toán. Chương hai dựa trên những bài viết ngắn của tác giả từ năm 2009 về những điều nên và không nên làm khi dạy toán. Chương ba là những ghi chép lại từ hai buổi thảo luận của tác giả với một nhóm giảng viên toán trẻ vào tháng 9/2012, có lặp lại một số ý của chương hai, nhưng viết ở dạng khác đi. Tác giả hy vọng rằng quyển sách này sẽ giúp cho bạn đọc hiểu rõ hơn về bản chất của toán học, và góp phần làm cho việc học toán và dạy toán trở nên hiệu quả hơn. Quyển sách này đến được tay bạn đọc là nhờ có Tủ sách Sputnik, một dự án do các nhà khoa học và giáo dục hàng đầu của Việt Nam lập ra nhằm góp phần cải cách hệ thống giáo dục theo chiều hướng tốt lên. Hy vọng rằng bạn đọc sẽ ủng hộ Tủ sách Sputnik, qua những việc như là mua các quyển sách rất hay của tủ sách này, quảng bá cho nó, v.v. Tác giả chân thành cảm ơn nhiều bạn bè và đồng nghiệp đã góp ý cho cuốn sách này và cho các bài viết tạo nên cuốn sách này. Tác giả mong nhận được các phản hồi từ phía bạn đọc để chỉnh sửa sách cho được tốt hơn. Toulouse, 06/2015 Nguyễn Tiến Dũng 6 Sputnik Education Chương 1 Học toán như thế nào? 7 Chương 1. Học toán như thế nào? 1.1 Niềm vui học toán I have no special talent. I am only passionately curious – Albert Ein stein Trẻ em và người lớn yêu thích cái gì, tò mò muốn biết cái gì, thì sẽ học cái đó rất nhanh. Muốn cho một bé học giỏi toán, thì điểm quan trọng đầu tiên là phải làm cho bé yêu toán. Chúng ta không thể bắt ép ai đó (hay chính bản thân) yêu toán, mà chỉ có thể gợi mở và khuyến khích. Gần đây, ở Việt Nam xuất hiện phong trào giáo dục STEM (Sci ence - Technology - Engineeering - Math, tức là sự kết hợp của khoa học, công nghệ, kỹ thuật và toán học với nhau) nhập khẩu từ Mỹ, và Ngày hội STEM lần đầu đã được tổ chức vào tháng 5/2015 cho các học sinh nhỏ tuổi. Những ngày hội như thế là những dịp rất tốt để tạo ra sự gợi mở và khuyến khích đó. Cho đến nay (năm 2015), phần lớn trẻ em ở Việt Nam mới chỉ được học toán qua sách giáo khoa lý thuyết và bài tập, chứ không biết đến các thể loại sách khác về toán rất cần thiết cho việc bổ sung kiến thức và gợi mở tình yêu toán học. Cần tăng cường cho trẻ em tiếp xúc với các sách hay thuộc các thể loại khác, ví dụ như: - Sách truyện có nội dung toán học (đọc về toán mà ly kỳ hấp dẫn như truyện cổ tích), - Sách về toán học trong cuộc sống và trong tự nhiên (để trẻ em thấy các khái niệm toán học sinh động và hữu ích ra sao), 8 Sputnik Education 1.1. Niềm vui học toán Vui chơi toán học cùng Sputnik tại Ngày hội STEM 17/05/2015. - Sách về các trò chơi toán học (còn gì hay hơn là chơi vui mà lại là học hiệu quả), - Sách về lịch sử toán học (biết về lịch sử giúp chúng ta hiểu rõ hơn mọi thứ), - Đố vui giải trí toán học (đố vui cũng là một cách luyện não hiệu quả), v.v. Các thể loại sách trên ở Việt Nam cũng có nhưng còn hiếm. Những nhà xuất bản truyền thống như “Kim Đồng” thỉnh thoảng có cho ra một quyển. Hiện tại có hai công ty giáo dục ở Việt Nam quan tâm Sputnik Education 9 Chương 1. Học toán như thế nào? đặc biệt tới các sách tham khảo hay (về toán nói riêng và khoa học nói chung) cho học sinh, là công ty Long Minh và Sputnik Education. Long Minh do một kỹ sư giỏi tâm huyết với giáo dục lập nên, và đã dịch một số sách toán thú vị cho trẻ em sang tiếng Việt, ví dụ như cuốn “Mathmagicians” (“Các phép màu toán học”) của Johnny Ball. Sputnik Education được lập ra từ năm 2013 bởi một nhóm các nhà khoa học và giáo dục có trình độ quốc tế, trong đó có GS Hà Huy Khoái (nguyên viện trưởng Viện toán học Hà Nội), GS Đỗ Đức Thái (trưởng khoa toán Đại học Sư phạm Hà Nội), TS Trần Nam Dũng (ĐHQG TP HCM, một trong những trụ cột của việc đào tạo học sinh giỏi toán Việt Nam), có tôi và một số bạn bè và đồng nghiệp khác. Đến năm 2015 Sputnik đã có mấy chục cộng tác viên là những người có trình độ cao và tâm huyết với giáo dục. Khẩu hiệu của Sputnik là “Người bạn đường vui học”. Việc học hiệu quả trước hết phải VUI, phải làm cho người ta thích thú, sung sướng khi học. Có thể kể làm ví dụ một số sách toán trong Tủ sách Sputnik thú vị và dễ đọc như đọc truyện, có công dụng gợi mở tình yêu đối với toán học trong trẻ em và cả người lớn: 10 Sputnik Education 1.1. Niềm vui học toán - Malha Taban, Những cuộc phiêu lưu của người thích đếm. Cuốn truyện về toán hấp dẫn như “Nghìn lẻ một đêm” này nổi tiếng toàn thế giới, đã được dịch ra hàng chục thứ tiếng, in hàng triệu bản. - L¨evshin, Ba ngày ở nước Tí Hon (bản dịch mới). - L¨evshin, Người Mặt Nạ Đen từ nước Al Jabr (bản dịch mới). Các sách của L¨evshin, viết từ thập kỷ 1960, cũng đã được dịch ra nhiều thứ tiếng, trở thành sách “gối đầu giường” của bao thế hệ học sinh. Bản thân tôi hồi nhỏ nhờ được đọc sách “Người Mặt Nạ Đen ...” (bản dịch cũ) mà say mê học về các phương trình. - Lichtman, Bí mật, dối trá và đại số. Quyển sách này xuất bản lần đầu ở Mỹ năm 2006 và đã đoạt nhiều giải thưởng sách thiếu nhi. Cũng có những sách do chính những người sáng lập Sputnik viết, ví dụ như “169 bài toán hay cho trẻ em và người lớn” của Trần Nam Dũng, “Các bài giảng về toán cho Mirella” của Nguyễn Tiến Dũng, và “Romeo đi tìm công chúa – 100 câu đố vui hóc búa” của Lê Bích Phượng và Nguyễn Tiến Dũng. Ngoài các sách tham khảo về toán, trên thế giới còn có các tạp chí toán học cho học sinh, ví dụ như tạp chí Kvant của Nga và Tangente của Pháp, và các tạp chí này có nhiều bài báo rất hay viết Sputnik Education 11 Chương 1. Học toán như thế nào? về toán học trong tự nhiên, trong công nghệ, trong cuộc sống, v.v., có tính gợi mở. Các tạp chí ở Việt Nam như Toán học và Tuổi trẻ và Toán học và Tuổi thơ cũng đã có một số bài báo như vậy, nhưng ở mức độ hạn chế hơn. Những sách và tạp chí hay mà rơi vào tay tay trẻ em thì chẳng cần thúc ép trẻ em cũng sẽ say sưa đọc, và đó chính là một cách học rất hiệu quả để mà yêu toán, giỏi toán. Ngoài ra, các hoạt động thực hành, thí nghiệm, các cuộc thi vui, và các chò trơi có yếu tố toán học cũng là những cách rất hiệu quả để đem lại niềm vui học toán. 1.2 Học toán được cái gì? Tại sao môn toán lại có vị trí quan trọng bậc nhất ở trong chương trình giáo dục phổ thông? Học toán thì được cái gì (mà nếu thay bằng học các thứ khác thì không được bằng)? 12 Sputnik Education 1.2. Học toán được cái gì? Một lý do rất chính đáng là, toán học là công cụ cho tất cả các môn khác. Vật lý, hóa học, lịch sử, v.v. cho đến môn tiếng Việt (ngữ pháp: phân tích cấu trúc lô gích của câu và cách hành văn) đều dùng đến các khái niệm toán học. Nhà vật lý nổi tiếng Paul Dirac có nói: "Nếu Chúa tồn tại, thì Ngài là một nhà toán học vĩ đại". Bởi mọi thứ trong thế giới này đều có cấu trúc toán học. Toán học chính là công cụ không thể thiếu nếu chúng ta muốn hiểu thế giới. Chương trình giáo dục hợp lý cần được thiết kế sao cho có sự phối hợp nhịp nhàng giữa các kiến thức toán cần cho các môn đó và các thứ được học trong bản thân môn toán. Một ví dụ về việc kém phối hợp là khi sách hóa học lớp 11 dùng đến cả tích phân hai chiều (!) trong khi chương trình toán phổ thông không hề nhắc đến tích phân đó. Ngoài việc làm công cụ cho các môn khác, toán học còn là môn học đặc biệt thích hợp để rèn luyện khả năng suy nghĩ và trí tuệ nói chung. Một người, bất kể là làm ngành gì, nếu ham học toán thì cũng sẽ có lợi thế về các kỹ năng và đức tính sau: - Khả năng lập luận lô gích và chính xác, suy nghĩ mạch lạc. - Nhận biết được những lập luận sai trái, thiếu lô gích. - Khả năng miêu tả thế giới, mô hình hóa các vấn đề bằng ngôn ngữ toán học. - Khả năng hiểu các vấn đề phức tạp. - Khả năng phân tích chiến lược, sâu sắc, độc lập. - Linh hoạt và tiếp cận cùng một vấn đề từ nhiều hướng khác nhau Sputnik Education 13 Chương 1. Học toán như thế nào? - Tự tin, kiên trì, cẩn thận, v.v. Kể cả khi không dùng trực tiếp công thức toán phức tạp nào trong cuộc sống và công việc, thì các kỹ năng và đức tính rèn được trong quá trình học toán cũng đã đủ làm cho môn toán trở nên hữu ích. Đối với xã hội hiện đại và nền kinh tế thế giới dựa trên hiểu biết (knowledge-based economy) ngày nay, thì toán học là thứ không thể thiếu. Bất cứ nơi đâu cũng cần đến các ứng dụng của toán học, kể cả toán học hiện đại mới được xây dựng trong thế kỷ 20. Ví dụ, lý thuyết về phân bố chung của các biến ngẫu nhiên (gọi là lý thuyết copula) mới phát triển từ cuối thể kỷ 20 nhưng đã lập tức được dùng trong các tính toán tài chính và bảo hiểm hiện đại. Hay các lý thuyết mật mã hiện đại sử dụng hình học đại số mới phát triển từ nửa sau thể kỷ 20 đã ngay lập tức trở thành công cụ không thể thiếu để bảo mật cho thương mại điện tử và cho các hoạt động trên internet nói chung. Hay nói theo GS Rui Fernandes, một nhà toán học khá nổi tiếng mà tôi quen, thì các trò tranh đấu chính trị chẳng qua cũng là các ứng dụng toán học ở mức sơ cấp. Không phải ai giỏi toán cũng nên đi theo nghề làm toán, mà thực ra nghề nào trong xã hội cũng cần có những người giỏi toán. Nhưng nếu ai thích chọn trở thành nhà toán học, thì đó cũng là một lựa chọn tốt. Trong bảng xếp hạng 200 ngành nghề khác nhau ở Mỹ năm 2014(1), nghề làm toán đươc đánh giá là nghề tốt nhất, đứng vị trí số 1: vừa có mức thu nhập khá cao, vừa được làm những cái mình thích, vừa có độ tự do cao, tương đối dễ kiếm việc, làm việc trong (1)Xem chẳng hạn: http://www.careercast.com/jobs-rated/jobs-rated-2014- ranking-200-jobs-best-worst 14 Sputnik Education 1.3. Xóa bỏ các rào cản tâm lý môi trường lành mạnh, v.v. 1.3 Xóa bỏ các rào cản tâm lý Rào cản tâm lý là trở ngại lớn nhất đối với trẻ em và cả người lớn trong việc học toán cũng như học các thứ khác. Nếu đứa trẻ chán nản hoặc sợ hãi với môn toán, thấy khổ sở khi học toán, thì tất nhiên học sẽ khó vào. Khi trẻ mắc phải những tâm lý tiêu cực đó, thì không phải là do “nó dốt, nó hư”, mà là do hoàn cảnh tạo ra như vậy, và một phần lớn lỗi trong chuyện này thuộc về người lớn (thầy cô giáo hoặc cha mẹ). Một số lý do phổ biến khiến cho trẻ em trở nên sợ toán, chán toán là: - Bị chế diễu, sỉ nhục (“sao mày ngu thế, sao điểm mày thấp thế”), hay thậm chí đánh đập khi không làm được bài. - Bị ép học quá nhiều đến mức mụ mẫm hoặc trầm cảm, thiếu Sputnik Education 15 Chương 1. Học toán như thế nào? ngủ và thiếu các hoạt động giải trí để có thể phát triển cân bằng. - Giáo viên dạy chán và sách cũng chán, quá giáo điều, hình thức, khô khan, giải thích các thứ không rõ ràng, và cũng không nối kết được toán học với các thứ khác, khiến cho toán học trở nên khó hiểu và vô nghĩa, chẳng biết học để làm gì. Học sinh cần được giải tỏa về tâm lý, xóa bỏ được nỗi sợ toán, nỗi ghét toán, nỗi sợ bị điểm kém, chuyển được giờ học toán từ “địa ngục” sang thành “sự sung sướng” thì học sẽ nhanh vào. Chẳng hạn, không nên sỉ nhục một học sinh bị điểm kém, mà ngược lại nên tỏ ra độ lượng, làm cho học sinh hiểu rằng ai cũng có thể có lúc bị điểm kém, điều đó không phải là bi kịch. Như người ta nói, một phụ nữ hay được khen xinh thì sẽ xinh lên, hay bị chê xấu thì sẽ xấu đi. Trong việc học cũng vậy. Học sinh được động viên, có sự tự tin vào khả năng của mình thì học mới chóng tiến bộ. Còn nếu hay bị chê bai là ngu dốt, bị ức chế, có “tư tưởng bại trận” thì học sẽ càng khó vào. Sự thực là mỗi người chúng ta nói chung mới chỉ sử dụng được một phần nhỏ tiềm năng trí tuệ của mình. Nếu được động viên, và được tiếp cận các vấn đề một cách đúng đắn, thì chắc chắn chúng ta sẽ thông minh lên nhiều. Những người kém toán “kinh niên” thì tất nhiên khó giỏi ngay lên được, nhưng nếu có tinh thần tốt thì hoàn toàn có thể tiến bộ dần lên, phát triển khả năng toán học và lấp các lỗ hổng trong kiến thức theo nhịp độ của mình. Trong một số trường hợp, việc học thêm là cần thiết. Ví dụ như khi học sinh không hiểu bài trên lớp do bị hổng nhiều kiến thức, phải học thêm để tìm ra và bù đắp các lỗ hổng đó. Hoặc khi giáo viên 16 Sputnik Education 1.4. Toán có nghĩa và toán vô nghĩa giảng khó hiểu, cũng cần được người khác giảng lại cho dễ hiểu hơn. Tuy nhiên, ép trẻ em học thêm quá nhiều hoặc giao quá nhiều bài tập bắt buộc về nhà, và đặc biệt không nên làm gì ảnh hưởng đến giấc ngủ của trẻ em. Giấc ngủ đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc hình thành trí nhớ dài hạn, kết nối các kiến thức đã có lại với nhau, làm cho con người thông minh lên. Ngoài thời gian ngủ, trẻ con cần có thời gian chơi, thời gian tự học và tự đọc sách, học một cách “thòm thèm” chứ không học kiểu nhồi nhét. 1.4 Toán có nghĩa và toán vô nghĩa Vì sao có những người, khi ở trường học toán toàn bị điểm kém, nhưng khi đi chợ hay bán hàng lại tính nhẩm nhanh như gió, xác định rất giỏi các thứ làm ăn sẽ lỗ lãi ra sao, v.v.? Đó là bởi vì, cái thứ toán mà họ phải dùng là “toán có nghĩa”, và một khi nó có nghĩa với họ, thì họ trở nên quen thuộc với nó. Còn thứ toán ở trường học đối Sputnik Education 17 Chương 1. Học toán như thế nào? với họ nhiều khi là toán “vô nghĩa”, “thừa”, “không dùng vào đâu cả”, và do đó học không vào. Một ví dụ là phép tính tích phân (có trong chương trình toán PTTH). Trong cuộc thăm dò ý kiến trên trang facebook của Sputnik Education (https://www.facebook.com/sputnikedu/) vào đầu năm 2014, hầu hết những người trả lời nói rằng họ chẳng cần dùng đến tích phân khi nào cả. Câu hỏi đặt ra là: dạy tích phân, số phức, v.v. trong chương trình phổ thông làm gì, nếu như chẳng mấy ai sau này dùng đến chúng? Trong thảo luận về cải cách giáo dục, đã có nhiều người nêu ra ý kiến nên bỏ những thứ này đi. Không chỉ ở Việt Nam, mà trên thế giới có nhiều người, kể cả những bộ trưởng giáo dục, cho rằng chương trình toán phổ thông ở nước họ hiện nay quá nặng, quá thừa. Họ muốn cắt giảm bớt chương trình và số giờ học toán phổ thông đi, thậm chí đến một nửa, và thay vào đó là những môn học khác, ví dụ như môn chăn ngựa. Trong số các lý do họ đưa ra, ngoài chuyện nhiều thứ toán dạy ở phổ thông là không cần thiết, còn có thêm một lý do nữa là thời đại máy tính, các tính toán đã có máy tính là cho rồi, cần học toán nhiều làm gì nữa. Cả hai lý do trên (đã có máy tính làm toán thay, và chương trình toán chứa nhiều thứ “vô dụng”), tuy thoạt nhìn có vẻ có lý, nhưng thực ra đều không hợp lý. Học toán không chỉ đơn thuần là học mấy phép tính, mà còn là học nhiều kiến thức và kỹ năng quan trọng khác, như là khả năng suy luận lô-gích, chiến lược, phân biệt đúng sai, mô hình hóa các vấn đề, v.v. như đã bàn phía trên. Máy tính có thể giúp chúng ta tính toán, tra cứu, v.v., nhưng không thể hiểu thay chúng ta. Chúng ta vẫn cần 18 Sputnik Education 1.4. Toán có nghĩa và toán vô nghĩa phải hiểu toán, để giao được đúng đầu bài cho máy tính thực hiện, và hiểu được đúng ý nghĩa của kết quả mà máy tính đưa ra. Và nếu lúc nào cũng phải ỷ lại vào máy tính thì con người sẽ ngày càng ngu đần đi, trở thành một thứ nô lệ mới. Các khái niệm toán học trong chương trình phổ thông hiện tại nói chung thực ra đều là những khái niệm kinh điển, cơ bản và vạn năng, chứ không hề “vô nghĩa” tẹo nào. Việc chúng trở nên “vô nghĩa” không phải do lỗi của bản thân các khái niệm đó, mà là do cách dạy và cách học quá hình thức hoặc thiên về mẹo mức tính toán, mà không chú ý đến bản chất và và ứng dụng của các khái niệm. Thậm chí, theo tôi biết, có cả những người học toán đến bậc tiến sĩ rồi vẫn chưa hiểu bản chất của khái niệm tích phân. Việc dạy và học toán theo lối “toán vô nghĩa” (không thấy công dụng đâu) có tác hại là làm cho nhiều người trở nên chán ghét môn toán, còn những người mà “thích nghi” được với lối học đó thì lại dễ bị tự kỷ hoặc hình thức chủ nghĩa. Bởi vậy, cần tăng cường tìm hiểu về bản chất và ý nghĩa của các khái niệm khi học toán, về sự hình thành của chúng và các ứng dụng của chúng, lý do vì sao chúng tồn tại. Câu hỏi “nó dùng để làm gì” quan trọng hơn là câu hỏi “nó được định nghĩa thế nào”. Có như vậy thì các kiến thức toán học mới trở nên có nghĩa và hữu dụng. Quay lại ví dụ về khái niệm tích phân. Einstein có nói: “Chúa không quan tâm đến các khó khăn toán học của con người, bởi vì Chúa tính tích phân một cách thực nghiệm”. Trong cuộc sống hàng ngày, nhiều khi chúng ta cũng “tính tích phân theo cách của Chúa”, không phải là dùng công thức toán học được viết ra một cách chi li Sputnik Education 19 Chương 1. Học toán như thế nào? hình thức, mà là bằng quan sát, ước lượng trực giác, v.v. Ví dụ như, khi chúng ta ước lượng diện tích của một cái nhà, thể tích của một thùng rượu, thời gian để làm việc gì đó, v.v., là chúng ta cũng “tính tích phân”. Tích phân chẳng qua là tổng của nhiều thành phần lại với nhau, với số thành phần có thể là vô hạn (chia nhỏ ra thành tổng của các thành phần “nhỏ li ti”), và là công cụ để tính toán hay ước lượng độ lớn của vạn vật: thể tích, diện tích, độ dài, vận tốc, trọng lượng, thời gian, tiền bạc, tăng trưởng dân số, bệnh dịch, v.v. Bản thân cái ký hiệu của phép lấy tích phân chính là chữ S kéo dài ra, mà S ở đây có nghĩa là summa (tổng). Khi học tích phân, quan trọng nhất là hiểu được ý tưởng tích phân chẳng qua là tổng và là Sách “Hiểu thế giới bằng toán học” của V.I. Arnold cho thấy ý nghĩa của toán học. công cụ để tính toán ước lượng các thứ qua các phép biến đổi. Đấy là một ý tưởng rất trong sáng, chẳng có gì khó khăn để hiểu nó. Nắm được ý tưởng đó, và biết được vài nguyên tắc cơ bản để biến đổi tích phân, là có thể coi là hiểu tích phân, chứ không cần phải học hàng trăm công thức tính các tích phân rắm rối loằng ngoằng (như 20 Sputnik Education 1.5. Học chuyên và học trước chương trình? có trong một số sách cho học sinh phổ thông ở Việt Nam). Những công thức quá phức tạp đó rất hiếm khi dùng, và lúc nào cần dùng có thể tra cứu, nếu cứ phải học chúng thì đúng là sẽ dễ có cảm giác học phải cái vô dụng. Khi mà không nắm được ý nghĩa của việc lấy tích phân, thì việc tính tính phân các phân thức như là cái máy, nhớ một đống các công thức tính tích phân sẽ hoàn toàn là phí thời gian vô ích. Đấy chính là một điều không may mà nhiều người gặp phải: học về các khái niệm toán học như là một thứ “thánh bảo vậy thì nó phải vậy”, giáo điều mà không dùng được vào đâu. Các mô hình tài chính hiện đại dùng toán hiện đại, không những chỉ là tính tích phân theo nghĩa thông thường nhiều người biết, mà là còn tính các tích phân ngẫu nhiên, là thứ toán học phát triển từ giữa thế kỷ 20. Chính vì vậy mà nhiều người gốc toán trở thành các “át chủ bài” của thị trường tài chính, và chương trình cao học tài chính ở các nơi có toán khá nặng. Có những sinh viên Việt Nam sau khi tốt nghiệp xuất sắc ở các trường kinh tế hay tài chính, được học bổng sang Pháp học cao học, bị “gẫy cầu” không theo được, một phần chính vì không thể nhai nổi phép tính tích phân ngẫu nhiên này, do không được chuẩn bị tốt kiến thức về toán. 1.5 Học chuyên và học trước chương trình? Con người sinh ra bình đẳng với nhau, nhưng không giống nhau về năng khiếu bẩm sinh và môi trường phát triển. Khả năng về toán học của các trẻ em khác nhau vì vậy cũng khác nhau. Do đó không Sputnik Education 21 Chương 1. Học toán như thế nào? thể có một chương trình chung nào thích hợp với toàn bộ trẻ em cùng lứa tuổi. Một chương trình chung có thể thích hợp với đa số các trẻ em, nhưng bên cạnh đó cần các chương trình đặc biệt dành cho các trẻ em có năng khiếu đặc biệt hoặc ngược lại có những khó khăn đặc biệt khi tiếp cận môn toán (hay những môn học khác). Nếu một học sinh có năng khiếu đặc biệt về toán mà cứ phải học theo cùng tốc độ với các trẻ em có học lực trung bình thì ắt sẽ dẫn đến sự buồn chán và nguy cơ thui chột năng khiếu bẩm sinh. Một giải pháp khả dĩ là có thể học theo lớp chuyên toán (chương trình nâng cao), hoặc tự học (dưới sự hướng dẫn của ai đó) một chương trình nâng cao riêng về toán. Chương trình chuyên / nâng cao như thế nào là thích hợp nhất? Nếu chương trình đó hướng học sinh giỏi toán lao vào các bài mẹo mực, dành quá nhiều thời gian vào các mẹo mực để thi học sinh giỏi cho “trúng tủ”, thì không hay. Dù là chương trình thường hay chương trình chuyên, thì vẫn cần học những thứ cơ bản nhất, nhiều ứng dụng nhất, chứ không phải là các mẹo mực. Một chương trình nâng cao khả dĩ chính là chương trình bình thường nhưng của năm trên. Ví dụ, học sinh lớp 6 có thể học chương trình toán của lớp 7, rồi lớp 8, v.v., thậm chí lớp 12 hoặc đại học, nếu đã năm được vững chương trình của các lớp trước. Học như vậy đảm bảo về tính cơ bản, vì chương trình phổ thông thường về nguyên tắc được thiết kế sao cho bao gồm những kiến thức cơ bản nhất. Ngoài ra, nên bổ sung thêm (qua sách báo tham khảo, câu lạc bộ toán học, v.v.) những kiến thức thú vị mà học sinh có thể hiểu được nhưng không được đưa vào chương trình phổ thông chính thức. 22 Sputnik Education 1.6. Tự học là tốt, nhưng có thầy tốt hơn 1.6 Tự học là tốt, nhưng có thầy tốt hơn Ở Việt Nam có tình trạng học sinh phải đi học quá nhiều, từ sáng đến đêm, hết học chính thức trên lớp lại đi học thêm. Việc đến lớp quá nhiều như vậy phản tác dụng: nó có nguy cơ làm cho trẻ trở nên mụ mẫm, thụ động, không có thời gian để tự suy nghĩ và tiêu hóa kiến thức, và cũng không có thời gian cho các hoạt động khác như ngủ, vui chơi, thể thao, âm nhạc, học làm việc nhà, v.v. cũng quan trọng cho sự phát triển. Một phần chính vì để tránh vấn nạn học thêm này mà nhiều người muốn cho con vào trường quốc tế hay đi “tị nạn giáo dục”. Ở một thái cực khác, thay vì xu hướng “nghe giảng quá nhiều, tự học quá ít” là xu hướng “để học sinh tự học là chính” mà một số người muốn đưa ra cho cải cách giáo dục. Theo xu hướng này thì giáo viên cũng không còn vai trò giảng bài nữa, mà chỉ còn vai trò “hướng dẫn học sinh tự sáng tạo khám phá tìm ra các kiến thức”. Xu hướng này tuy tương đối mới ở Việt Nam nhưng đã xâm nhập vào các chương trình cải cách giáo dục ở các nước tiên tiến trên thế giới như Anh, Pháp từ nửa thế kỷ nay, dựa trên chủ thuyết “constructivisme” (“tự xây dựng kiến thức”) của Jean Piaget, một người từng “làm mưa làm gió” trong giáo dục. Theo chủ thuyết “constructivisme” của Piaget, thì học trò “tự xây dựng” các kiến thức của mình, thầy nói chung không giảng kiến thức mà chỉ gợi ý cách tìm. Chủ thuyết này, cùng với những câu nghe bùi tai như “lấy học trò làm trung tâm”, và khoác chiếc áo “khoa học, đổi mới”, đã nhanh chóng làm “mủi lòng” các quan chức giáo dục và các Sputnik Education 23 Chương 1. Học toán như thế nào? chuyên gia giáo dục của nhiều nước. Tuy nhiên, kết quả nó đem lại hoàn toàn trái ngược với mong đợi: đầu tư cho giáo dục nhiều lên nhưng trình độ của học sinh giảm đi. Ví dụ, ở Pháp, theo một báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học năm 2004(2), trong 30 năm kể từ thời điểm bắt đầu cải cách giáo dục ở Pháp theo hướng “constructivisme” vào những năm 1970, chương trình môn toán đã bị thụt đi 1,5 năm, tức là tính trung bình thì học sinh học đến lớp 12 ngày nay chỉ còn trình độ về môn toán bằng học sinh học lớp 10 thời những năm 1970! Trong khi đó thì sự phát triển của khoa học và công nghệ ngày càng đòi hỏi nhiều hiểu biết về toán. Nhà toán học nổi tiếng Lau rent Lafforgue cùng các tác giả khác có viết cả một quyển sách về bi kịch của nền giáo dục Pháp vào năm 2007: Laurent Lafforgue, Liliane Lurc¸at et Col lectif, La débâcle de l’école: une tragédie incomprise, 09/2007. (Sự “đổ vỡ” của trường học: một bi kịch không được thấu hiểu). Một trong các nguyên nhân chủ chốt mà Lafforgue đưa ra để giải thích tình trạng suy sút của nền giáo dục Pháp chính là: chủ thuyết “constructivisme” (2)Xem: http://www.ihes.fr/ lafforgue/textes/SavoirsFondamentaux.pdf 24 Sputnik Education 1.6. Tự học là tốt, nhưng có thầy tốt hơn của Jean Piaget khi được các nhà chức trách ép sử dụng đã phá hoại hệ thống giáo dục. Những người theo “constructivisme” quá chú trọng khía cạnh “tìm tòi sáng tạo” mà coi nhẹ khía cạnh “truyền đạt, luyện tập, tiếp thu bằng cách bắt chước làm theo”, dẫn đến hậu quả là học sinh bị hổng kiến thức, thiếu nền tảng, và những kiến thức đơn giản nay bỗng biến thành phức tạp. Không chỉ môn toán, mà các môn học khác ở Pháp cũng hứng chịu hậu quả nghiêm trong của chủ thuyết Piaget. Ví dụ, trong môn tiếng Pháp, thay vì dạy chia động từ như ngày xưa, với chủ thuyết “constructivisme” người ta bắt học sinh “quan sát những sự thay đổi trong dạng động từ”. Hệ quả: một tỷ lệ khá lớn học sinh Pháp đến khi vào đại học cũng không biết chia động từ cho đúng. Trong môn lịch sử, kiến thức lịch sử trang bị cho học sinh thì hạn chế, nhưng lại đòi hỏi học sinh bình luận về các tài liệu cứ y như trẻ em là các nhà sử học. Kết quả là các “bình luận tự do” đó thực ra là các câu giáo điều đã được viết trước (bởi học sinh có biết gì đâu để mà bình luận). Môn lịch sử được dạy hời hợt đến mức học sinh lẫn lộn về thứ tự thời gian (chronology) của các sự kiện, kể cả các học sinh “khá” PTTH cũng không biết các hoàng đế Napoleon và Louis XIV ai sinh trước ai sinh sau. Ở các nước khác chịu ảnh hưởng của Piaget, tình hình cũng tồi tương tự. Một nghiên cứu thống kê ở Canada (xem: http://www.ccl cca.ca/pdfs/JARL/Jarl-Vol3Article1.pdf) cho thấy trong các phương pháp giảng dạy khác nhau thì phương pháp theo “constructivisme” là phương pháp luôn cho kết quả tồi tệ nhất. Ở Thuỵ Sĩ, quê hương của Piaget, người ta phải kêu trời rằng, nền giáo dục phổ thông của Sputnik Education 25 Chương 1. Học toán như thế nào? Thuỵ Sĩ trước những năm 1970 được coi là mẫu mực thế, mà từ khi bị nhiễm “constructivisme” đã trở nên suy sút nặng. Ở Việt Nam, có một số người muốn cải cách giáo dục theo hướng “constructivisme” của Piaget, coi nó như là “kinh thánh”, tô điểm thêm cho nó thành những lý thuyết với những cái tên rất kêu như là “công nghệ giáo dục”, nhưng về cơ bản thì tương tự như là những cái mà ở các nước khác người ta đã trải qua và đã và đang phải hứng chịu hậu quả. Các bậc phụ huynh và những người làm trong ngành giáo dục nên hết sức đề phòng chuyện này, không phải cái gì khoác áo “khoa học, công nghệ” cũng là khoa học, công nghệ, kể cả trong giáo dục. Vì sao học theo kiểu “tự xây dựng kiến thức” lại chậm hơn nhiều so với có được nghe thầy giảng? Thực ra đây là một điều cơ bản mà từ xưa người ta đã biết, có điều một số học thuyết “lang băm” đã làm nhiều người quên đi mất điều cơ bản này. Người Việt Nam có câu “Không thầy đố mày làm nên”. Người Trung Quốc có câu “Nghe thầy một giờ hơn tự mầy mò cả tháng”. Theo ước tính, trung bình học có thầy giảng giải nhanh gấp 3 lần so với tự học. Đặc biệt là đối với các học sinh có học lực trung bình, việc được nghe giải thích kiến thức một cách rõ ràng là rất cần thiết, trong khi chỉ có một tỷ lệ nhỏ các học sinh thông minh đặc biệt là có thể dễ dàng tự tìm ra các qui luật. Có những người lầm tưởng rằng, kiến thức đã có sẵn trong sách vở hết rồi, thì cần gì thầy giảng cho nữa, cứ đọc là xong. Kiến thức ở trong sách không có nghĩa là nó có thể nhảy vào não một cách dễ dàng. Nếu không có người hướng dẫn, thì hoàn toàn có thể đọc mà 26 Sputnik Education 1.6. Tự học là tốt, nhưng có thầy tốt hơn không hiểu, hoặc là tưởng mình đã hiểu tuy thực sự chưa hiểu gì, dẫn đến tẩu hoả nhập ma. Tệ hơn nữa, thì có thể đọc phải những sách nhảm nhí, sách viết sai, v.v. Quá trình tự đi tìm ra kiến thức, tìm ra chân lý bao giờ cũng khó khăn lâu dài hơn là quá trình tiếp thu lại từ những người đã nắm được nó. Những kiến thức mà học sinh được học bây giờ là những thứ mà các nhà bác học của những thế kỷ trước phải mất cả đời người để tìm ra. Không thể bắt học sinh đi lại con đường khám phá đó, vì như thế sẽ mất quá nhiều thời gian. Và tất nhiên khi lãng phí quá nhiều thời gian tâm trí vào việc “phát minh lại cái bánh xe”, học sinh sẽ không còn đủ thời gian để tiếp cận các kiến thức cần thiết khác. Điều trên không có nghĩa là học sinh không nên nghiên cứu và sáng tạo. Nghiên cứu và sáng tạo cũng là cần thiết, nhưng phải dựa trên một nền tảng cơ sở đã có chứ không thể rỗng ruột mà nghiên cứu sáng tạo được cái hay ho. Để học nghiên cứu sáng tạo, thì những người thầy tốt nhất cho việc đó chính là những người đã nghiên cứu và sáng tạo: các nhà khoa học, nhà sáng chế, nghệ sĩ, v.v. (chứ không phải là những người dạy nghiên cứu mà bản thân chưa có công trình nghiên cứu quan trọng nào). Cũng chính bởi vậy mà để học văn và học tiếng, thì học sinh nên đọc các bài thơ, mẩu truyện hay của các nhà văn để nhờ đó mà thích học đọc, thấy được cái hay cái đẹp sự sáng tạo của ngôn ngữ chứ không phải ngay từ lớp một đã học các khái niệm ngôn ngữ phức tạp nhưng trên các ví dụ nhạt nhẽo vô nghĩa. “Constructivisme” là kiểu “tự học là chính tuy có thầy đứng bên cạnh”. Còn một kiểu tự học “oách hơn”, là tự học không cần thầy. Ở Sputnik Education 27 Chương 1. Học toán như thế nào? đây tôi không nói đến việc ôn bài hay làm bài tập về nhà, vì đó là những lúc tự học nhưng vẫn theo một chương trình có thầy hướng dẫn. Tôi muốn nói đến việc tự học mà không có thầy hướng dẫn, thì kết quả sẽ ra sao? Có một vị giáo sư ở Việt Nam rất tự hào về việc mình “tự học thành tài”, viết sách dày cả ngàn trang về việc tự học, với ví dụ chính là bản thân vị ấy. Tôi không nghi ngờ gì về sự thông minh của vị giáo sư này, và ngoài ra vị giáo sư này còn từng là một nhà quản lý khá thành công. Chỉ có điều đáng tiếc rằng, vị này hoàn toàn ảo tưởng về mình trong khoa học: vị tự coi mình là thiên tài khoa học, một trong mấy trăm bộ óc vĩ đại nhất của thế giới, sánh ngang tầm với các nhân vật lừng danh toàn cầu, trong khi công trình của vị chẳng được ai trên thế giới quan tâm trích dẫn. Đấy chính là một ví dụ về sự rủi ro của việc tự học mà không có người hướng dẫn: dễ bị “đâm vào ngõ cụt”, dễ bị hoang tưởng về mình. Bản thân tôi cũng từng tự học nhiều thứ, với các mức độ thành công hay thất bại khác nhau: từ học bơi, cho đến học thiên văn, tiếng Tàu, tiếng Anh, v.v. đều chủ yếu là tự học, không có thầy. Khi mới sang Pháp làm việc, tôi chẳng hề nói được một câu tiếng Pháp nào, và từ đó đến nay cũng chẳng đi học một giờ tiếng Pháp nào có người dạy, toàn tự học. Cả luận án tiến sĩ của tôi cũng là tự làm, không có người hướng dẫn. Nói thế không phải để khoe, mà để làm ví dụ cho thấy khả năng tự học của con người cũng không nhỏ. Càng nhiều tuổi hay càng học lên cao chúng ta càng cần đến khả năng tự học, vì điều kiện để học có thầy có lớp càng ít đi, trong khi nhu cầu và niềm vui học tập ở tuổi nào cũng có. Nói thế không có 28 Sputnik Education 1.6. Tự học là tốt, nhưng có thầy tốt hơn nghĩa là tự học thì tốt hơn là học có thầy hướng dẫn. Tôi đến lúc đi dạy học cho sinh viên vẫn thỉnh thoảng nói sai tiếng Pháp. Nếu có điều kiện về thời gian và tiền bạc để học tử tế thì chắc là tiếng Pháp của tôi đã tốt hơn nhiều chứ không “ngọng” như hiện tại. Vậy, nếu không có được thầy, thì ta có thể làm thế nào để tự học cho hiệu quả? Sau đây là một số biên pháp tốt mà tôi biết: Tìm thầy ở xa, ở trên mạng. Ngày nay, trong thời đại internet, ngày càng có nhiều bài giảng hay của đủ các môn, của những người thầy giỏi nhất, có thể tìm đến mà xem. Đừng ngại tiếp cận trao đổi qua thư từ với những thầy ở xa có thể chỉ bảo cho mình. Các thầy giỏi thường là rất bận, nhưng nếu mình tỏ ra thành tâm thì cũng có những lúc sẽ dành được chút thời gian cho mình. Đối với một số môn học, có thể tìm thầy dạy trực tiếp qua mạng với giá cả phải chăng. Ví dụ, có thể học tiếng Tây Ban Nha một thầy (có tiếng mẹ đẻ là Tây Ban Nha) một trò qua skype với giá 10$/tiếng. Tìm bạn thay thầy. Tiếng Việt có câu “học thầy không tầy học bạn”. Bạn bè, đồng nghiệp tương trợ được cho nhau rất nhiều trong chuyện học. Có những khi bạn giải thích lại dễ hiểu hơn thầy giải thích. Có thể kết bạn trên internet cho việc cùng học một cái gì đó cũng được. Việc đó càng ngày càng trở nên dễ dàng. Trong việc học tiếng, thì kết bạn, nói chuyện với những người bản xứ là một phương pháp rất hiệu quả. Nhúng mình trong môi trường thuận lợi. Học cái gì, mà xung quanh mình có nhiều thứ liên quan về cái đó, Sputnik Education 29 Chương 1. Học toán như thế nào? thì sẽ vào hơn: sách vở, phim ảnh, đồ thí nghiệm, v.v. đều tốt Không sợ sai. “Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác. Tất nhiên, cần phải quan sát kiểm tra để biết mình sai ở đâu mà còn sửa. Làm từ từ, vừa làm vừa quan sát cảm nhận và suy nghĩ. Khi học một cái gì mới, không nên vội vàng đòi kết quả nhanh. Nên làm từ từ (không có nghĩa là lười ít làm, mà là làm với tốc độ chậm), vừa làm vừa quan sát nghĩ ngợi để cảm nhận xem mình làm như thế có đúng không, sai ở đâu, v.v. Ví dụ như khi tự học bơi: có thể quan sát những người xung quanh bơi thế nào, rồi khi mình bơi thì làm các động tác thật từ từ, thử nhiều kiểu khác nhau, để cảm nhận và suy nghĩ xem động tác nào làm như thế nào thì bơi được, các cử động phải ăn khớp với nhau như thế nào, v.v. Sau khi đã làm chậm nhưng mà đúng rồi thì mới làm nhanh dần lên. 1.7 Thấy cây mà chẳng thấy rừng Khi mới tốt nghiệp phổ thông vào năm 1985, tôi vớ được một cuốn sách nhan đề “Giải tích thực” của Natanzon. Cuốn sách đó chủ yếu viết về tính chất của các tập đo được (measurable) và các hàm đo được trên R và tích phân Lebesgue. Tôi khoái cuốn sách đó lắm, say sưa đọc nó từ đầu đến cuối, thuộc từng định lý. Khi hỏi một số thầy, được biết sách đó tương đương với “giải tích 3”, dành cho những sinh viên toán năm trên của đại học, thì tôi lại càng khoái, cứ tưởng minh 30 Sputnik Education 1.7. Thấy cây mà chẳng thấy rừng sắp thành nhà toán học đến nơi, đi đâu nhìn thầy gì cũng nghĩ có thể “tích phân Lebesgue” nó được. Đến khi vào học đại học thật sự rồi, tôi vẫn bị ám ảnh bởi ảo tưởng đó, mà lơ là các môn học khác. Cho đến một lần, tình cờ tôi đọc một bài bình luận về cuốn sách của Natanzon, trong đó có một câu phê bình “thấy cây mà chẳng thấy rừng”, và nhận ra rằng lâu nay mình vẫn bị mắc “bệnh” đó. “Bệnh thấy cây mà chẳng thấy rừng” có lẽ là một trong những “bệnh” dễ mắc, hay như người ta nói, “có cái búa nhìn đâu cũng tưởng là đinh”, hay tệ hơn thì thành “ếch ngồi đáy giếng”, “dốt mà không biết mình dốt”, biết được một cái gì đó đã lầm tưởng rằng cái đó là “tất cả” rồi, không biết được những cái khác nữa. Những “nhà toán học nghiệp dư” ngày nay thường là những người yêu toán nhưng bị mắc phải “bệnh” tương tự như thấy cây mà chẳng thấy rừng: họ chỉ biết các kiến thức toán tương đối sơ cấp và cứ cố gắng loay hoay giải các bài toán với các kiến thức hạn hẹp đó, mà không tìm hiểu toán học hiện đại ra sao, các công cụ mới của toán học mạnh mẽ như thế nào. Tất nhiên, xã hội ngày nay đòi hỏi sự chuyên môn hóa, mỗi người cần thật giỏi trong một lĩnh vực chuyên sâu của mình. Nhưng giỏi trong một lĩnh vực không có nghĩa là chỉ biết mỗi một thứ trong lĩnh vực đó thôi. Toán học là một thể thống nhất, nhưng nó rất rộng, rất đa dạng, gồm nhiều mảng khác nhau, bổ sung hỗ trợ cho nhau. Chính sự đa dạng của toán học cho phép chúng ta có cái nhìn đa chiều đối với thế giới, tiếp cận một vấn đề từ nhiều hướng khác nhau, nhiều góc độ khác nhau, qua đó hiểu hơn vấn đề và tìm được lời giải tốt hơn. Sputnik Education 31 Chương 1. Học toán như thế nào? Bởi vậy học toán, kể cả ở bậc phổ thông cũng như ở bậc đại học và nghiên cứu, nên học rộng chứ không chỉ bó hẹp vào mỗi một thứ nào đó, vì nếu như thế sẽ có cái nhìn phiến diện hạn hẹp về toán. Để có thể học rộng, thì không nên mất quá nhiều thời giờ vào những thứ có tính tiểu tiết, mẹo mực, tuy có thể là thú vị nhưng sẽ rất ít khi dùng đến, mà nên dành thời gian cho những kiến thức cơ bản khác với công dụng lớn hơn. Tất nhiên, với một người mày mò tự học, như là đi lạc trong rừng, thì khó biết được đâu là những thứ cơ bản nhất quan trọng nhất và đâu là những tiểu tiết, và cũng chính vì thế mà việc có thầy tốt hướng dẫn là quan trọng. 1.8 Toán học và thuật toán Nói một cách lý tưởng, việc học toán đem lại là khả năng suy nghĩ một cách chiến lược, thuật toán, khi gặp phải mọi tình huống mới trong cuộc sống và trong công việc, và đây chính là một trong các lý do quan trọng nhất vì sao nên học toán. Vấn đề thuật toán cũng chính là vấn đề trọng tâm của tin học (khoa học máy tính), và tin học cũng chính là “con đẻ” của toán học. Tuy nhiên, hiện tại, ở Việt Nam cũng như trên thế giới, lối tiếp cận toán học theo kiểu chiến lược, thuật toán còn chưa được chú trọng đúng mức trong chương trình giáo dục phổ thông. Học sinh chỉ được học một số thuật toán (phương pháp giải bài) có sẵn rồi cứ thế dập khuôn giải các bài toán, mà không được học về cách phân tích thuật toán, tìm thuật toán, chiến lược giải quyết các vấn đề mới, và do đó mỗi khi gặp một vấn đề “lạ” là tắc tịt không biết phải làm thế nào, 32 Sputnik Education 1.8. Toán học và thuật toán dù cho vấn đề “lạ” đó thực ra không có gì phức tạp lắm. Một ví dụ tiêu biểu cho khẳng định trên là hai bài cuối cùng (số 5 và số 6) của kỳ thi toán olympic quốc tế (IMO) năm 2014. Đây là hai bài hơi “lạ”, và thế là hầu hết các thí sinh (tạm coi là những học sinh phổ thông giỏi toán nhất của toàn thế giới) “gẫy cầu” không giải được. Đoàn Việt Nam chỉ có hai bạn giải được bài số 5, và không bạn nào giải được bài số 6. Kết quả của hầu hết các đoàn khác cũng không khá hơn. Mặt khác, hai bài toán này chỉ dùng đến kiến thức toán lớp 6 chứ chẳng cần đến kiến thức PTTH, và lời giải của chúng cũng không có gì rắm rối, có thể viết trọn vẹn trong một trang giấy mỗi bài. Đây thật là một “nghich lý”, và nó cho thấy việc dạy toán và học toán ở phổ thông hiện tại (kể cả ở các lớp chuyên toán) có lỗ hổng lớn. Đề bài số 5 của IMO2014 như sau: Có một đống đồng xu có tổng mệnh giá nhỏ hơn hoặc bằng 99,5, sao cho mệnh giá của đồng xu nào cũng có dạng 1/n với n là số tự nhiên. (Các đồng xu khác nhau có thể có mệnh giá khác nhau). Chứng minh rằng chia được đống đồng xu thành không quá 100 túi sao cho tổng mệnh giá của mỗi túi không vượt quá 1. Làm sao để tiếp cận một bài toán “lạ hoắc” như trên, với giả sử là bạn không “trúng tủ”, chưa từng làm một bài rất tương tự như thế? Một phương pháp tiếp cận chung gồm 4 bước sau (lặp di lặp lại nếu cần thiết), gọi tắt là QSTK : quan sát, suy luận, tính toán, kiểm tra. Bốn bước này chẳng phải do tôi nghĩ ra, mà là đã được đúc kết từ lâu, và được trình bày rất hay trong quyển sách “Ba ngày ở nước Tí Sputnik Education 33 Chương 1. Học toán như thế nào? Hon”(3) nổi tiếng của L¨evshin. Trong các bước quan sát và lý luận có việc quan sát các tương quan trong bài toán, làm thử các trường hợp riêng, dựa vào các trường hợp riêng để đưa ra các giả thuyết liên quan rồi xét các giả thuyết đó, biến đổi để đơn giản hóa bài toán, đưa về các dạng bài toán quen thuộc hơn hay dễ giải hơn. Nhiều khi, tổng quát hóa cũng chính là một cách để đơn giản hóa. Nếu là vấn đề lớn, phức tạp, thì phải chia để trị, tức là làm sao chia nó ra thành các bước nhỏ hơn, giải quyết từng bước đó dễ dàng hơn là giải quyết toàn bộ vấn đề. Có một người bạn của tôi, là chuyên gia máy tính, có nói với tôi một câu rất hay từ đầu những năm 1990: khi được giao một nhiệm vụ lập trình, lập trình viên nào mà ngồi vào hì hụi viết chương trình ngay thì là lập trình viên tồi. Lập trình viên tốt trước khi viết chương trình thì phải quan sát, suy nghĩ đã. Trong toán hay trong nhiều lĩnh vực khác cũng vậy, trước khi “bổ củi” cần quan sát và suy luận để (3)Bản dịch của Phan Tất Đắc có từ năm 1976. Bản dịch mới và chính xác hơn của Nguyễn Tiến Dũng do Sputnik Eduation phát hành từ năm 2015. Trong quyển “Nước Tí Hon” thì chữ K là “kết luận”, khi nói về các khám phá mới. 34 Sputnik Education 1.8. Toán học và thuật toán hình dung vấn đề. Trong trường hợp bài toán số 5 trên, thì có thể quan sát ngay là số 99,5 gần với số 100. Từ đó ta có giả thuyết là nếu thay 99,5 và 100 bởi N − 1/2 và N trong đó N là số tự nhiên bất kỳ thì vẫn đúng. Nếu như bài toán chỉ đúng khi N = 100 chứ không đúng với N khác, khi đó thì bài toán chắc là khá phức tạp, nhưng đây là đề thi để học sinh có thể làm trong vòng một vài tiếng, không quá phức tạp được, nên giả thuyết là bài toán đúng với N bất kỳ là giả thuyết tương đối khả dĩ. Việc thay 100 bằng N tùy ý này cho phép chúng ta giả sử là không có đồng xu nào có mệnh giá 1. Thật vậy, nếu có m đồng có mệnh giá 1 thì cho các đồng đó vào m túi, còn lại N = 100 − m túi và số tiền ≤ 99,5 − m = N − 1/2. Một bước lý luận thông dụng quan trọng là: ta cứ thử giải quyết vấn đề một cách “ngây thơ” nhất, để xem nó tắc ở chỗ nào, khó ở chỗ nào. Ở đây có nghĩa là, ta cứ thử bỏ dần tiền vào 100 túi, cho đến bao giờ bỏ được hết hoặc bị tắc không bỏ được nữa thì thôi. Nhưng khi nào thì có thể bị tắc? Đó là khi còn một đồng tiền mà cứ bỏ vào túi nào cũng khiến cho mệnh giá của túi đó vượt quá 1. Vì có N túi mà tổng tiền ≤ N − 1/2, nên có túi có lượng tiền ≤ (N − 1/2)/N = 1 − 1/2N. Điều đó có nghĩa là, nếu có đồng tiền còn lại không bỏ được vào túi nào, thì mệnh giá của nó phải lớn hơn 1/2N. Cách giải quyết “ngây thơ” này cho ta quan sát sau, làm đơn giản hóa vấn đề: ta có thể giả sử tất cả các đồng tiền có mệnh giá > 1/2N, chứ không cần quan tâm đến các đồng tiền có mệnh giá ≤ 1/2N nữa. (Các đồng có mệnh giá ≤ 1/2N luôn có thể bỏ vào, sau khi đã giải quyết các đồng có mệnh giá > 1/2N). Sputnik Education 35 Chương 1. Học toán như thế nào? Một bước lý luận thông dụng quan trọng khác là: làm sao đơn giản hóa bài toán, đưa về những trường hợp đơn giản nhất có thể (gọi là phương pháp reduction trong toán). Ở đây, có thể hiểu là có ít xu thì đơn giản, càng có nhiều xu thì phức tạp hơn. Như vậy, ta có thể tìm cách làm giảm số đồng xu. Có một cách hiển nhiên là: nếu có thể đổi hai hay nhiều đồng xu trong đống lấy một đồng xu khác (có mệnh giá bằng tổng mệnh giá của các đồng kia), thì ta đơn giản hóa được đống đồng xu: nếu giải được sau khi đã đổi, thì sau khi giải xong ta có thể đổi lại để có lời giải cho đống đồng xu ban đầu. (Thay vì đổi xu, có thể hình dung là buộc các đồng xu nhỏ vào nhau để tạo một đồng xu to hơn với mệnh giá vẫn có dạng 1/n cũng được). Cứ đổi xu để đơn giản hóa như vậy, ta đưa được bài toán về trường hợp mà không còn đổi xu được nữa. Đến đây, bài toán đã đơn giản hóa đi đáng kể, vì ta chỉ còn cần xét trường hợp sau: tổng mệnh giá ≤ N − 1/2, có N túi, không có đồng xu nào có mệnh giá bằng 1, không có một nhóm các đồng xu nào có thể đổi thành một đồng xu khác, và không có đồng xu nào có mệnh giá nhỏ hơn 1/2N. Tất cả các trường hợp còn lại đều suy giản về được trường hợp này. Bây giờ lại quan sát tiếp xem trường hợp cuối cùng này ra sao. Ta sẽ quan sát thấy là với mọi số tự nhiên k thì không có quá 1 đồng xu có mệnh giá 1/2k và không có quá (2k − 2) đồng xu có mệnh giá 1/(2k−1) (vì sao thế?). Từ đó có cách xếp xu vào túi như sau: túi thứ k chứa các đồng xu mệnh giá 1/(2k − 1) và 1/2k, với k = 1, . . . , N. (Bạn đọc hãy tự kiểm tra rằng cách này OK). Tôi viết lời giải cho bài số 5 phía trên khá dài dòng để giải thích 36 Sputnik Education 1.8. Toán học và thuật toán quá trình suy nghĩ dẫn đến lời giải, còn tất nhiên khi viết thành lời giải “tròn trịa” thì có thể viết ngắn hơn nhiều. Nhìn từ quan điểm thuật toán, bài số 5 này thật ra khá đơn giản, vì chỉ sau vài bước lược giản hóa dễ thấy là đã đưa về được trường hợp chia được ngay thành các túi. Bạn nào học về lập trình máy tính chắc sẽ nghĩ ngay được cách viết chương trình chia xu dựa trên các bước phía trên. Bài số 6 của IMO 2014 còn “lạ” hơn bài số 5 nữa. Đề bài như sau: Giả sử có n đường thẳng trên mặt phẳng, sao cho không có 2 đường nào song song và không có 3 đường nào đồng qui. CMR có thể tô ít nhất √n đường bằng màu xanh, sao cho không có miền bị chặn nào trên mặt phẳng có biên toàn là màu xanh. Con số √n trong đề bài có lẽ là con số gây hoang mang, bởi thoạt nhìn chẳng biết nó từ đâu ra. Số các điểm cắt nhau của các đường là n(n − 1)/2, còn số các miền bị chặn thì là (n − 1)(n − 2)/2, tức là đều so được với n2, chứ chẳng có cái gì trên mặt phẳng có số lượng dạng √n. Những hoang mang như vậy có thể ảnh hưởng xấu đến tâm lý, khiến việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn. Bỏ qua các hoang mang, ta cứ thử làm một thuật toán “ngây thơ” để giải quyết vấn đề tô màu, xem nó sẽ gặp khó khăn bế tắc ở đâu. Thuật toán ngây thơ đó là: đầu tiên ta tô một đường bất kỳ màu xanh. Sau đó cứ còn tô được thêm đường màu xanh (sao cho không có miền bị chặn nào trên mặt phẳng có biên toàn là màu xanh) thì tô tiếp, còn đến lúc không tô được thêm nữa thì dừng lại. Gọi số đường tô được lúc dừng lại là k. Nếu thuật toán đơn giản này mà OK, thì tức là ta có k2 ≥ n. Như vậy, nếu ta chứng minh dược k2 ≥ n thì OK. Một phương pháp chứng minh thông dụng là dùng phản chứng. Sputnik Education 37 Chương 1. Học toán như thế nào? Tức là ta sẽ chứng minh rằng, nếu đã tô được k đường, và n > k2, thì còn tô thêm được đường nữa. Để chứng minh điều đó, chỉ cần chứng minh rằng số đường cấm không vượt quá k2 − k = k(k − 1). Đường cấm tức là đường mà nếu tô nó thì sẽ có miền bị chặn với biên toàn màu xanh. Bây giờ lại vận dụng nhận xét sau: số điểm nút xanh (= giao điểm của các đường xanh) là k(k − 1)/2, nên nếu ta làm sao thiết lập quan hệ được giữa các đường cấm và các nút xanh, kiểu “đương cấm nào cũng cho bởi nút xanh, và mỗi nút xanh không cho quá 2 đường xanh” thì là OK. Ý tưởng là như vậy. Đi vào cụ thể hơn, thì quan hệ sẽ là: mỗi đường cấm ứng với ít nhất 2 đoạn cấm (1 đoạn cấm là một đoạn màu xanh đi từ 1 nút xanh đến đường cấm), còn từ mỗi nút xanh chỉ đi ra được nhiều nhất là 4 đoạn cấm thôi. Và lời giải đến đây gần như là kết thúc (bạn đọc có thể tự viết lại lời giải hoàn chỉnh, sẽ không quá 1 trang giấy). Đấy là chuyện thi toán quốc tế. Quay lại chuyện dạy toán và học toán “bình thường”. Mọi thứ trong toán học, khi ta nhìn từ quan điểm thuật toán, sẽ sáng sủa lên nhiều, và cách nhìn đó cũng cho phép chúng ta đánh giá cái gì là cơ bản hơn, là cần thiết hơn. GS Phùng Hồ Hải gần đây có chỉ ra rằng thuật toán Euclid, một trong những thứ kinh điển và cơ bản nhất của toán học, không được chú trọng đúng mức trong chương trình toán PTCS, dẫn đến sự “vòng vo” trong chứng minh một số định lý. Cách lấy ước số chung lớn nhất của hai số một cách tự nhiên và hiệu quả nhất là cách dùng thuật toán Euclid, nhưng thay vì dùng cách đó, học sinh được học là cần phân tích ra thừa số nguyên tố để lấy ước chung lớn nhất (là cách 38 Sputnik Education 1.8. Toán học và thuật toán phức tạp hơn từ quan điểm thuật toán). Trong năm học 2013-2014, tôi có dạy toán cho một lớp đại học năm thứ nhất chuyên ngành tin học, thay cho một đồng nghiệp nghỉ đẻ. Một số bạn sinh viên phàn nàn với tôi là chương trình toán chán quá, chẳng thấy liên quan gì đến tin học. Mà đúng thế thật, tôi đọc chương trình cũng thấy chán. Nhưng tôi chỉ là “lính đánh thuê” chứ không soạn chương trình nên không thay đổi được nó. Cái mà tôi cố gắng làm để “bù trừ” lại là giải thích thêm cho các sinh viên những khái Một quyển sách Sputnik có bàn nhiều về thuật toán niệm mà họ học chính là các thuật toán có ý nghĩa ra sao. Ví dụ như, công thức nội suy Lagrange chính là thuật toán để vẽ đường cong “đơn giản nhất, đẹp mắt nhất” đi qua một số điểm cho trước, và khi người ta thiết kế ô tô, tàu bay thì thay vì vẽ toàn bộ các điểm người ta chỉ cần vẽ ít điểm thôi rồi nội suy ra các điểm còn lại theo kiểu công thức đó. Hay như chuỗi Taylor để làm gì? Nó cũng chính là thuật toán cho phép chúng ta tính xấp xỉ một cách rất chính xác các giá trị của các hàm phức tạp, v.v. Chẳng hạn, ta có thể tính nhẩm bằng tay các số như e, sin(1), v.v. với độ chính xác rất cao mà Sputnik Education 39 Chương 1. Học toán như thế nào? không cần máy tính. (Máy tính cũng dùng các thuật toán như ta tính nhẩm thôi). Khi học sinh sinh viên (đặc biệt là sinh viên tin học) được giải thích ý nghĩa thuật toán của các khái niệm toán học, thì họ cũng phấn khởi lên. Đối với sinh viên sinh vật, hóa học, v.v. thì có thể cần dạy hơi khác đi, với nhiều minh họa ứng dụng toán học trong ngành của họ hơn, ví dụ như tại sao lại dùng hàm lũy thừa khi khảo sát dân số, v.v. Cuối cùng thì toán học vẫn là một tổng hợp các công cụ để mô hình hóa và các thuật toán đề giải quyết các vấn đề nảy sinh trong mọi lĩnh vực, chứ không phải là một mớ khái niệm “từ trên trời rơi xuống”. 40 Sputnik Education Chương 2 Một số điều nên và không nên khi dạy toán 2.1 Hiểu và nhớ Nên:Dạy và kiểm tra kiến thức học sinh theo lối “học để hiểu”. Không nên: Tạo cho học sinh thói quen học vẹt, chỉ nhớ mà không hiểu. Các nhà giáo dục học và thần kinh học trên thế giới đã làm nhiều phân tích và thí nghiệm cho thấy, khi bộ óc con người “hiểu” một cái gì đó (tức là có thể “make sense” cái đó, liên tưởng được với những kiến thức và thông tin khác đã có sẵn trong não) thì dễ nhớ nó (do thiết lập được nhiều “dây nối” liên quan đến kiến thức đó trong mạng thần kinh của não — một neuron thần kinh có thể có hàng chục nghìn dây nối đến các neuron khác), còn khi chỉ cố nhồi nhét các thông tin 41 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán riêng lẻ vào não (kiểu học vẹt) mà không liên hệ được với các kiến thức khác đã có trong não, thì thông tin đó rất khó nhớ, dễ bị não đào thải. Thực ra thì môn học nào cũng cần “hiểu” và “nhớ”, tuy rằng tỷ lệ giữa “hiểu” và “nhớ” giữa các môn khác nhau có khác nhau. Ví dụ như ngoại ngữ thì không có gì phức tạp khó hiểu lắm nhưng cần nhớ nhiều (tất nhiên để nhớ được các câu chữ ngoại ngữ thì cũng phải liên tưởng được các câu chữ đó với hình ảnh hay ỹ nghĩa của chúng và với những thứ khác có trong não), còn toán học thì ngược lại: không cần nhớ nhiều lắm, nhưng phải hiểu được các kiến thức, và quá trình hiểu đó đòi hỏi nhiều công sức thời gian. Có những công thức và định nghĩa toán mà nếu chúng ta quên đi chúng ta vẫn có thể tự tìm lại được và dùng được nếu đã hiểu bản chất của công thức và định nghĩa đó, còn nếu chúng ta chỉ nhớ công thức và định nghĩa đó như con vẹt mà không hiểu nó, thì cũng không dùng được nó, và như vậy thì cũng không hơn gì người chưa từng biết nó. Ví dụ như công thức tính Christoffel symbol cho liên thông Riemann của một metric Riemann (trong hình học cao cấp) là một công thức hơi dài, và tôi chẳng bao giờ nhớ được chính xác nó lâu tuy “mang tiếng” là người làm hình học vi phân: cứ mỗi lần đụng đến thì xem lại, nhớ được một lúc, rồi lại quên. Nhưng điều đó không làm tôi băn khoăn, vì tôi hiểu bản chất của Christoffel symbol và các tính chất cơ bản của liên thông Riemann, từ đó có thể tự nghĩ ra lại được công thức nếu cần thiết (tốn một vài phút) hoặc tra trên internet ra ngay. Học sinh và sinh viên ngày nay (là những chuyên gia của ngày 42 Sputnik Education 2.1. Hiểu và nhớ mai) có thể tra cứu rất nhanh mọi định nghĩa, công thức, v.v., nhưng để hiểu chúng thì vẫn phải tự hiểu, không có máy móc nào hiểu hộ được. Khi mới làm giáo sư, theo thông lệ của những người dạy trước tôi, tôi thường không cho phép sinh viên mang tài liệu vào phòng thi trong các kỳ thi cuối học kỳ, và đề bài thi hay có 1 câu hỏi lý thuyết (tức là phát biểu đúng một định nghĩa hay định lý gì đó thì được điểm). Nhưng trong thời đại mới, việc nhớ y nguyên các định nghĩa và định lý có ít giá trị, mà cái chính là phải hiểu để mà sử dụng được chúng. Bởi vậy những năm gần đây, trong các kỳ thi tôi dần dần cho phép học sinh mang bất cứ tài liệu nào vào phòng thi, và đề thi không còn các câu hỏi “phát biểu định lý” nữa. Thay vào đó là những bài tập (tương đối đơn giản, và thường gần giống các bài có trong các tài liệu nhưng đã thay tham số) để kiểm tra xem học sinh có hiểu và sử dụng được các kiến thức cơ bản không. Về mặt hình thức, chương trình học ở Việt Nam (kể cả bậc phổ thông lẫn bậc đại học) khá nặng, nhưng là nặng về “nhớ” mà nhẹ về “hiểu”, và trình độ trung bình của học sinh Việt Nam thì yếu so với thế giới. (Tất nhiên vẫn có học sinh rất giỏi, nhưng tỷ lệ học sinh giỏi thực sự rất ít, và cũng khó so được với giỏi của phương Tây). Vấn đề không phải là do người Việt Nam sinh ra kém thông minh, mà là do điều kiện và phương pháp giáo dục, chứ trẻ em gốc Việt Nam lớn lên ở nước ngoài thường là thành công trong đường học hành. Hiện tượng rất phổ biến ở Việt Nam là học sinh học thuộc lòng các “kiến thức” trước mỗi kỳ kiểm tra, rồi sau khi kiểm tra xong thì “chữ thầy trả thầy”. Việt Nam rất cần cải cách chương trình giáo dục theo hướng tăng sự “hiểu” lên, và giảm sự “học gạo”, “nhớ như con vẹt”. Sputnik Education 43 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán Tôi có phỏng vấn nhiều sinh viên tốt nghiệp loại giỏi ngành toán ở Việt Nam, nhưng khi hỏi một số kiến thức khá cơ bản thì nhiều em lại không biết. Lỗi không phải tại các em mà có lẽ tại hệ thống giáo dục. Nhiều thầy cô giáo chỉ khuyến khích học sinh làm bài kiểm tra giống hệt lời giải mẫu của mình, chứ làm kiểu khác đi, tuy có thể thú vị hơn cách của thầy thì có khi lại bị trừ điểm. Tôi đã chứng kiến trường hợp sinh viên chỉ đạt điểm thi 7-8 lại giỏi hơn sinh viên đạt điểm thi 9-10 vì kiểu chấm thi như vậy. Kiểu chấm điểm như thế chỉ khuyến khích học vẹt chứ không khuyến khích sự sáng tạo hiểu biết. 2.2 Cơ bản và nhiều công dụng Nên: Dạy những cái cơ bản nhất, nhiều công dụng nhất. Không nên: Mất nhiều thời giờ vào những thứ ít dùng đến. Trên đời có rất nhiều cái để học, trong khi thời gian và sức lực của chúng ta có hạn, và bởi vậy chúng ta luôn phải lựa chọn xem nên học (hay dạy học) cái gì. Nếu chúng ta phung phí quá nhiều thời gian vào những cái ít công dụng (hoặc thậm chí phản tác dụng, ví dụ như những lý thuyết về chính trị hay kinh tế trái ngược với thực tế), thì sẽ không còn đủ thời gian để học (hay dạy học) những cái quan trọng hơn, hữu ích hơn. Tất nhiên, mức độ “quan trọng, hữu ích” của từng kiến thức đối với mỗi người khác nhau thì khác nhau, và phụ thuộc vào nhiều yếu tố như thời gian, hoàn cảnh, sở trường, v.v. Ví dụ như học nói và viết tiếng Việt cho đàng hoàng là không thể thiếu với người Việt, nhưng không cần thiết với người Nga. Những người muốn làm nghề toán thì 44 Sputnik Education 2.2. Cơ bản và nhiều công dụng phải học nhiều về toán, còn sinh viên đại học các ngành khác nói chỉ cần học một số kiến thức toán cao cấp cơ bản nhất mà sẽ cần trong công việc của họ. Những người muốn làm toán ứng dụng, thì ngoài các môn toán, cần phải học các môn mà họ định mang toán ứng dụng vào đó. Ngay trong các môn toán, không phải các kiến thức nào cũng quan trọng như nhau. Và “độ quan trọng” và “độ phức tạp” là hai khái niệm khác nhau: không phải cái gì quan trọng cũng phức tạp khó hiểu, và không phải cái gì rắm rối khó hiểu cũng quan trọng. Giáo viên cần tránh dẫn dắt học sinh lao đầu vào những cái rắm rối phức tạp nhưng ít công dụng. Thay vào đó, cần dành nhiều thời gian cho những cái cơ bản, nhiều công dụng nhất. Nếu là cái vừa cơ bản và vừa khó, thì lại càng cần dành đủ thời gian cho nó, vì khí nắm bắt được nó tức là nắm bắt được một công cụ mạnh. Một ví dụ là đạo hàm và tích phân. Đây là những khái niệm cơ bản vô cùng quan trọng trong toán học. Học sinh cần hiểu định nghĩa, bản chất và công dụng của chúng, và nắm được một số nguyên tắc cơ bản và công thức đơn giản, ví dụ như nguyên tắc Leibniz cho đạo hàm của một tích, hay công thức “đạo hàm của sin x bằng cos x”. Tuy nhiên nếu bắt học sinh học thuộc hàng trăm công thức tính đạo hàm và tích phân khách nhau, thì sẽ tốn thời gian vô ích vì phần lớn các công thức thức đó sẽ không dùng đến sau này, hoặc nếu dùng đến thì có thể tra cứu được dễ dàng. Một lần tôi thấy có một sách tiếng Việt về tính tích phân cho học sinh, dày hơn 150 trang, với rất nhiều công thức phức tạp dài dòng (ví dụ như công thức tính tính phân của một hàm số có dạng thương Sputnik Education 45 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán của hai biểu thức lượng giác), mà ngay những người làm toán chuyên nghiệp cũng rất hiếm khi cần đến. Thay vì tốn nhiều thời gian vào những công thức phức tạp mà không cần dùng đó, học những thứ cơ bản khác sẽ có ích hơn. Một lần nhà xuất bản Springer có lần nhờ tôi làm phản biện cho một quyển sách về hình học vi phân và ứng dụng. Tôi đã khuyên Springer không in sách đó, và một trong các lý do là quyển sách chứa quá nhiều khái niệm mà ngay sách đó cũng không dùng đến. Ví dụ như khái niệm “không gian Lindeloff” được đưa vào ở chương đầu, phát biểu thành một định nghĩa có đánh số hẳn hoi (chứ không phải là chỉ nhắc qua nó trong một ghi chú), nhưng không dùng đến nó chỗ nào trong sách, tôi không hiểu người viết sách đưa định nghĩa đó vào trong sách để làm gì. Một ví dụ khác: các bất đẳng thức. Có những bất đẳng thức “có tên tuổi”, không phải vì nó “khó”, mà là vì nó có ý nghĩa (nó xuất hiện trong các vấn đề hình học, số học, phương trình vi phân, v.v.). Chứ nếu học một đống hàng ngàn bất đẳng thức mà không biết chúng dùng để làm gì, thì khá là phí thời gian. Phần lớn các bất đẳng thức (không kể các bất đẳng thức có tính tổ hợp) có thể được chứng minh khá dễ dàng bằng một phương pháp cơ bản, là phương pháp dùng đạo hàm hoặc sai phân. Thay vì học phương pháp đa năng này, học sinh lại mất quá nhiều thời gian với các kiểu mẹo mực để chứng minh bất đẳng thức. Các mẹo mực có ít công dụng, chỉ dùng được cho bài toán này nhưng không dùng được cho bài toán khác (bởi vậy mới là “mẹo mực” chứ không phải “phương pháp”). “Mẹo mực” có thể làm cho 46 Sputnik Education 2.2. Cơ bản và nhiều công dụng cuộc sống thêm phong phú, nhưng nếu mất quá nhiều thời gian vào “mẹo mực” thì không còn thời gian cho những cái cơ bản hơn, giúp tiến xa hơn. Như là trong công nghệ, có cải tiến cái đèn dầu đến mấy thì nó cũng không thể trở thành đèn điện. Hồi còn nhỏ, có lần tôi đi thi học sinh giỏi (lớp 6?), có bài toán tìm cực đại. Tôi và một số bạn cùng lớp dùng đạo hàm tính ngay ra điểm cực đại. Cách làm đó là do chúng tôi tự đọc sách mà ra chứ không được dạy. Nhưng khi viết lời giải thì lại phải giả vờ “đoán mò” điểm cực đại, rồi viết hàm số dưới dạng một số (giá trị tại điểm đó) cộng với một biểu thức hiển nhiên là không âm (ví dụ như vì có dạng bình phương) thì mới được điểm, chứ nếu viết đạo hàm thì mất hết điểm. Nếu như thầy giáo trừ điểm học sinh, vì học sinh giải bài thi bằng một phương pháp “cơ bản” nhưng “không có trong sách thầy”, thì điều đó sẽ góp phần làm cho học sinh học mẹo mực, thiếu cơ bản. Qua phỏng vấn một số sinh viên đại học và cao học ngành toán của Việt Nam, tôi thấy họ được học nhiều môn “cao cấp”, nhưng vẫn thiếu kiến thức cơ bản. Ví dụ như họ học giải tích hàm, với những định lý trừu tượng khá là khó. Nhưng họ lại không biết công thức Parceval cho chuỗi Fourier là gì, trong khi chuỗi Fourier là một trong những khái niệm giải tích cơ bản và nhiều ứng dụng nhất của toán. Tôi không có ý nói giải tích hàm là “không cơ bản”. Nó là thứ cần thiết. Nhưng nếu những khái niệm và định lý của giải tích hàm chỉ được học một cách hình thức, không có liên hệ với chuỗi Fourier hay với các ví dụ cụ thể khác, thì đó là học “trên mây trên gió”. Sputnik Education 47 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán 2.3 Giải thích sao cho dễ hiểu Nên: Giải thích bản chất và công dụng của các khái niệm mới một cách trực giác, đơn giản nhất có thể, dựa trên sự liên tưởng tới những cái mà học sinh đã từng biết. Không nên: Đưa ra các khái niệm mới bằng các định nghĩa hình thức, phức tạp, tối nghĩa. Albert Einstein có nói đại ý: “Điều gì mà bạn không thể giải thích cho một đứa trẻ hiểu được, thì tức là bản thân bạn chưa hiểu rõ điều đó”. Các khái niệm toán học quan trọng đều có mục đích và ý nghĩa khi chúng được tạo ra. Và không có một khái niệm toán học quan trọng nào mà bản thân nó quá khó đến mức không thể hiểu được. Nó chỉ trở nên quá khó trong hai trường hợp: 48 Sputnik Education 2.3. Giải thích sao cho dễ hiểu 1) Người học chưa có đủ kiến thức chuẩn bị trước khi học khái niệm đó; 2) Nó được giải thích một cách quá hình thức, rắm rối khó hiểu. Trong trường hợp thứ nhất, người học phải được hướng tới học những kiến thức chuẩn bị (ví dụ như trước khi học về các quá trình ngẫu nhiên phải có kiến thức cơ sở về xác suất và giải tích). Trong trường hợp thứ hai, lỗi thuộc về người dạy học và người viết sách dùng để học. Các nghiên cứu về thần kinh học (neuroscience) cho thấy bộ nhớ “ngắn hạn” của não rất nhỏ (mỗi lúc chỉ chứa được khoảng 7 đơn vị thông tin), còn bộ nhớ dài hạn hơn thì chạy chậm. Thế nào là một đơn vị thông tin? Tôi không có định nghĩa chính xác ở đây, nhưng ví dụ như dòng chữ “TON CHEVAL EST BANAL” đối với một người Pháp thì nó là một câu tiếng Pháp chỉ chứa không quá 4 đơn vị thông tin, rất dễ nhớ, trong khi đối với một người Việt không biết tiếng Pháp thì dòng chữ đó chứa đến hàng chục đơn vị thông tin – mỗi chữ cái là một đơn vị thông tin – rất khó nhớ. Một định nghĩa toán học, nếu quá dài và chứa quá nhiều đơn vị thông tin mới trong đó, thì học sinh sẽ rất khó khăn để hình dung toàn bộ định nghĩa đó, và như thế thì cũng rất khó hiểu định nghĩa. Muốn cho học sinh hiểu được một khái niệm mới, thì cần phát biểu nó một cách sao cho nó dùng đến một lượng đơn vị thông tin mới ít nhất có thể (không quá 7?). Để giảm thiểu lượng đơn vị thông tin mới, cần vận dụng, liên tưởng tới những cái mà học sinh đã biết, dễ hình dung. Đấy cũng là cách mà các “cha đạo” giảng đạo cho “con chiên”: dùng ngôn ngữ giản dị, mà con chiên có thể hiểu được, để Sputnik Education 49 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán giảng giải những “tư tưởng lớn”. Khi có một khái niệm mới rất phức tạp, thì phải “chặt” nó thành các khái niệm nhỏ đơn giản hơn, dạy học các khái niệm đơn giản hơn trước, rồi xây dựng khái niệm phức tạp trên cơ sở các khái niệm đơn giản hơn đó (sau khi đã biến mỗi khái niệm đơn giản hơn thành “một đơn vị thông tin”). Nói theo nhà toán học nổi tiếng V.I. Arnold, thì một định nghĩa tốt là 5 ví dụ tốt. Định nghĩa nào mà không có ví dụ minh họa thì “đáng ngờ”. Đi kèm với những khái niệm mới, định nghĩa mới, luôn cần những ví dụ minh họa (hay bài tập) cụ thể để thể hiện bản chất, ý nghĩa của khái niệm, định nghĩa đó. Chẳng hạn như khái niệm đa tạp. Ví dụ minh họa tiêu biểu nhất (và vì sao có từ “atlas” (tệp bản độ) trong định nghĩa đa tạp) chính là bề mặt trái đất (hình dung như mặt cầu) cùng với một tệp bản đồ phủ toàn bộ trái đất. Một ví dụ tự nhiên khác của đa tạp, là tập tất cả các trạng thái vị trí của một vật thể (ví dụ như một cái máy bay: nó nằm ở đâu, độ cao bao nhiêu, quay hướng nào, nghiêng bao nhiêu, v.v.). Nếu định nghĩa một cấu trúc đa tạp là “một lớp tương đương của các atlas” thì đúng về mặt hình thức toán học, nhưng rắm rối khó hiểu, trong thực tế chỉ cần một atlas là đủ. Có những khái niệm toán học “rất khó hiểu”, không phải vì bản thân nó “quá khó hiểu”, mà là bởi vì nó được trình bầy một cách rắm rối tối nghĩa. Một ví dụ tiêu biểu là dãy phổ (spectral sequence) trong đại số đồng điều và topo đại số, mà ngay trong số những người làm toán chuyên nghiệp cũng có rất nhiều người không hiểu nó. Phần lớn các sách khi viết về dãy phổ thì “bỏ bom” cho người đọc một dãy ma trận Enpq và một “phép phù thủy” để chuyển từ Ensang En+1, mà 50 Sputnik Education 2.3. Giải thích sao cho dễ hiểu không giải thích được rõ ràng tại sao. Trong khi đó, các ý tưởng xuất phát điểm của dãy phổ thực ra rất là trong sáng, và nếu đi theo các ý tưởng đó một cách tự nhiên để tìm ra dãy phổ thì sẽ thấy dãy phổ không có gì khó hiểu. (Khi có một lọc (filtration) thì đối đồng điều có thể được chặt ra nhiều khúc nhỏ bằng lọc đó, và có thể tính từng khúc nhỏ qua phương pháp “gần đúng”, khi lấy giới hạn thì được phép tính chính xác – “phép phù thủy” nhắc đến lúc trước chẳng qua là một phép chiếu tự nhiên lên các không gian gần đúng khác nhau). Bản thân tôi khi đọc các tài liệu toán cũng rất vất vả chật vật để hiểu các khái niệm trong đó, và tất nhiên có nhiều khái niệm đến bây giờ tôi vẫn không hiểu và có thể sẽ không bao giờ hiểu. Có những khi hiểu ra rồi thì lại thấy “nó đơn giản mà tại sao người ta viết nó rắm rối thế”. Một đồng nghiệp của tôi kể: đọc các sách về cơ học cổ điển, không hiểu gì hết, cho đến khi đọc quyển sách của ông Arnold thì mới hiểu, vì ông ta viết cũng từng đấy thứ như trong các sách khác, nhưng sáng sủa hơn hẳn. Nhiều sách trong các môn toán khác cũng ở tình trạng tương tự. Trên thế giới, có nhiều người mà dường như “nghề” của họ là biến cái dễ hiểu thành cái khó hiểu, biến cái đơn giản thành cái rối ren. Những người làm quảng cáo, thì khiến cho người tiêu dùng không phân biệt nổi hàng nào là tốt thật nữa. Những người làm thuế, thì đẻ ra một bộ thuế rắm rối người thường không hiểu nổi, với một tỷ lỗ hổng trong đó, v.v. Ngay trong khoa học, có những người có quan niệm rằng cứ phải “phức tạp hóa” thì mới “quan trọng”. Thay vì nói “Vô va rửa tay” thì họ nói “có một phần tử người, mà ảnh qua ánh xạ tên gọi là Vô va, tại một thời điểm T, làm một động tác biến đổi trạng Sputnik Education 51 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán thái của tay từ phạm trù A sang phạm trù B ...”. Nhưng mà một người thầy thực sự thì phải làm cho những cái khó hiểu trở nên dễ hiểu đối với học trò. 2.4 Câu hỏi “Để làm gì?” Nên: Luôn luôn quan tâm đến câu hỏi “để làm gì?”. Không nên: Không cho học sinh biết họ học những thứ giảng viên dạy để làm gì, hay tệ hơn là bản thân giảng viên cũng không biết để làm gì. Quá trình học (tiếp thu thông tin, kiến thức và kỹ năng mới) là một quá trình tự nhiên và liên tục của con người trong suốt cuộc đời, xảy ra ở mọi nơi mọi lúc (ngay cả giấc ngủ cũng góp phần trong việc học) chứ không phải chỉ ở trường hay khi làm bài tập về nhà. Những cái mà bộ não chúng ta tiếp thu nhanh nhất là những cái mà chúng ta thấy thích, và/hoặc thấy dễ hiểu, và/hoặc thấy quan trọng. Ngược lại, những cái mà chúng ta thấy nhàm chán, vô nghĩa, không quan trọng, sẽ bị bộ não đào thải không giữ lại, dù có cố nhồi vào. Bởi vậy, muốn cho học sinh tiếp thu tốt một kiến thức nào đó, cần làm cho học sinh có được ít nhất một trong mấy điều sau: 1) thích thú tò mò tìm hiều kiến thức đó; 2) thấy cái đó là có nghĩa (liên hệ được nhiều với những hiểu biết và thông tin khác mà học sinh đã có trong đầu); 3) thấy cái đó là quan trọng (cần thiết, có nhiều ứng dụng). Tất nhiên 3 điểm này liên quan tới nhau. Ở đây tôi chủ yếu nói đến điểm thứ 3, tức là làm sao để học sinh thấy rằng những cái họ được học là quan trọng, cần thiết. 52 Sputnik Education 2.4. Câu hỏi “Để làm gì?” Một kiến thức đáng học là một kiến thức có ích gì đó, “để làm gì đó”. Nếu như học sinh học một kiến thứ với lý do duy nhất là “để thi đỗ” chứ không còn lý do nào khác, thì khi thi đỗ xong rồi kiến thức sẽ dễ bị đào thải khỏi não. Những môn thực sự đáng học, là những môn, mà kể cả nếu không phải thi, học sinh vẫn muốn được học, vì nó đem lại sự hiểu biết mà học sinh muốn có được và những kỹ năng cần cho cuộc sống và công việc của học sinh sau này. Còn những môn mà học “chỉ để thi đỗ” có lẽ là những môn không đáng học. Cũng may là phần lớn giảng viên không rơi vào tình trạng “dạy môn không đáng học”, mà là dạy môn học đáng học, với một chương trình gồm các kiến thức đáng học. Tuy nhiên, giảng viên có thể biết là “học chúng để làm gì”, “vì sao đáng học”, trong khi mà học sinh chưa chắc đã biết. Chính bởi vậy luôn cần đặt câu hỏi “để làm gì”, khuyến khích học sinh đặt câu hỏi đó, và tìm những trả lời cho câu hỏi đó. Một trả lời giáo điều chung chung kiểu “nó quan trọng, phải học nó” ít có giá trị, mà cần có những trả lời cụ thể hơn, “nó quan trọng ở chỗ nào, dùng được vào trong những tình huống nào, đem lại các kỹ năng gì, v.v.” Tiếc rằng việc giải thích ý nghĩa và công dụng của các kiến thức cho học sinh còn bị coi nhẹ, không chỉ ở Việt Nam. Có lần tôi hỏi một lớp đại học ngành toán đang học đại số tuyến tính ở Việt Nam là “đại số tuyến tính dùng làm gì?”. Họ trả lời là không biết. Có lần tôi hỏi một nhóm sinh viên ngành sinh vật ở Pháp mới học xong môn phương trình vi phân tuyến tính, rằng họ có biết vị dụ phương trình nào xuất phát từ các vấn đề thực tế không. Họ cũng trả lời là không hề biết. Nếu như giảng viên giới thiệu cho học sinh biết các công Sputnik Education 53 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán dụng của những kiến thức họ được học qua các ví dụ (ví dụ như những phương trình vi phân tuyến tính xuất hiện thế nào trong các mô hình về tăng trưởng), thì có thể họ sẽ thấy những cái họ học có nghĩa hơn, đáng để học hơn, dễ nhớ hơn. Trong công việc sau này của học sinh khi đã ra trường, thì câu hỏi “để làm gì” lại càng đặc biệt quan trọng. Mọi hoạt động của một tổ chức hay doanh nghiệp tất nhiên đều phải có mục đích. Ngay trong công việc nghiên cứu khoa học, có nhiều người không làm được kết quả nghiên cứu quan trọng nào (tạm định nghĩa quan trọng = được nhiều người khác sử dụng) không phải là vì “dốt” mà là vì “không biết lựa chọn vấn đề để nghiên cứu”, mất thời giờ nghiên cứu vào những cái ít ý nghĩa, ít ai quan tâm đến. Bởi vậy học sinh cần làm quen với việc sử dụng câu hỏi “để làm gì” từ khi đi học, như một vũ khí lợi hại trong việc chọn lựa các quyết định của mình. 2.5 Không để việc thi lấn át việc học Nên: Tổ chức thi cử sao cho nhẹ nhàng nhất, phản ánh đúng trình độ học sinh, và khiến cho học sinh học tốt nhất. Không nên: Chạy theo thành tích, hay tệ hơn là gian trá và khuyến khích gian trá trong thi cử. Việc kiểm tra đánh giá trình độ và kết quả học tập của học sinh (cũng như trình độ và kết quả làm việc của người lớn) là việc cần thiết. Nó cần thiết bởi có rất nhiều quyết định phải dựa trên những sự kiểm tra và đánh giá đó, ví dụ như học sinh có đủ trình độ để có thể hiểu những môn học tiếp theo không, có đáng tin tưởng để giao 54 Sputnik Education 2.5. Không để việc thi lấn át việc học một việc nào đó cho không, có xứng đáng được nhận học bổng hay giải thưởng nào đó không, v.v. Bởi vậy giảng viên không thể tránh khỏi việc tổ chức kiểm tra, thi cử cho học sinh. Cái chúng ta có thể tránh, đó là làm sao để đừng biến các cuộc kiểm tra thi cử đó thành “sự tra tấn” học sinh, và có khi cả giảng viên. Một “định luật” trong giáo dục là THI SAO HỌC VẬY. Tuy mục đích cao cả dài hạn của việc học là để mở mang hiểu biết và rèn luyện kỹ năng, nhưng phần lớn học sinh học theo mục đích ngắn hạn, tức là để thi cho đỗ hay cho được giải. Trách nhiệm của người thầy và của hệ thống giáo dục là làm sao cho hai mục đích đó trùng với nhau, tức là cần tổ chức thi cử sao cho học sinh nào mở mang hiểu biết và rèn luyện các k ỹ năng được nhiều nhất cũng là học sinh đạt kết quả tốt nhất trong thi cử. Nếu “thi lệch” thì học sinh sẽ học lệch. Ví dụ như thi tốt nghiệp phổ thông, nếu chỉ thi có 3-4 môn thì học sinh cũng sẽ chỉ học 3-4 môn mà bỏ bê các môn khác. Trong một môn thi, nếu chỉ hạn chế đề thi vào một phần kiến thức nào đó, thì học sinh sẽ chỉ tập trung học phần đó thôi, bỏ quên những phần khác. Nếu đề thi toàn bài mẹo mực, thì học sinh cũng học mẹo mực mà thiếu cơ bản. Nếu thi cử có thể gian lận, thì học hành cũng không thực chất. Nếu thi cử quá nhiều lần, thì học sinh sẽ rất mệt mỏi, suốt ngày phải ôn thi, không còn thì giờ cho những kiến thức mới và những thứ khác. Nếu thi theo kiểu bắt nhớ nhiều mà suy nghĩ ít, thì học sinh sẽ học thành những con vẹt, học thuộc lòng các thứ, mà không hiểu, không suy nghĩ. Những đề thi trắc nghiệm ở Việt Nam vào quãng những năm 2000-2010 có xu hướng nguy hiểm như vậy: đề thi dài, với nhiều Sputnik Education 55 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán câu hỏi tủn mủn, đòi hỏi học sinh phải nhớ mà điền câu trả lời, chứ không đòi hỏi phải đào sâu suy nghĩ gì hết. Thậm chí thi học sinh giỏi toán toàn quốc cũng có lần được thi theo kiểu bài tủn mủn như vậy, và kết quả là việc chọn lọc đội tuyển thi toán quốc tế năm đó bị sai lệch nhiều. Bản thân chuyện thi trắc nghiệm không phải là một chuyện tồi, thi trắc nghiệm có những công dụng của nó, ý tôi muốn nói ở đây là cách dùng nó trong thi cử ở Việt Nam chưa được tốt. Thi cử có thể chia làm 2 loại chính: loại kiểm tra (ví dụ như kiểm tra xem có đủ trình độ để đáng được lên lớp hay được cấp bằng không), và loại thi đấu (tuyển chọn, khi mà số suất hay số giải thưởng có hạn). Loại thi đấu thì cần thang điểm chi tiết (ví dụ như khi hai người có điểm xấp xỉ nhau mà chỉ có 1 suất thì vẫn phải loại 1 người, và khi đó thì chênh nhau 1/4 điểm cũng quan trọng), nhưng đối với loại kiểm tra, không cần chấm điểm quá chi li: những thang điểm quá nhiều bậc điểm (ví dụ như thang điểm 20, tính từng 1/2 điểm một, tổng cộng thành 41 bậc điểm) là không cần thiết, mà chỉ cần như các nước Nga, Đức hay Mỹ (chỉ có 4-5 bậc điểm) làm là đủ. Kinh nghiệm chấm thi sinh viên của tôi cho thấy chấm chi li từng điểm nhỏ một chỉ mất thời giờ mà không thay đổi bản chất của điểm kiểm tra: sinh viên nào kém, sinh viên nào giỏi chỉ cần nhìn qua tổng thể bài kiểm tra là biết ngay. Kiểm tra nói là một hình thức kiểm tra khá tốt: trong vòng 10-15 phút hỏi thi cộng với một vài bài tập làm tại chỗ là giảng viên có thể “ước lượng” được trình độ của sinh viên khá chính xác. Tuy nhiên, kiểu thi nói còn rất hiếm ở Việt Nam, và ngay ở Pháp cũng ít phổ biến. Có nhiều người lo ngại rằng thi nói sẽ khó khách quan. Điều 56 Sputnik Education 2.5. Không để việc thi lấn át việc học này có lẽ đúng trong điều kiện Việt Nam hiện nay, khi có nhiều giảng viên thiếu nghiêm túc trong thi cử. Điểm kiểm tra để “tính sổ” ở Việt Nam trong điều kiện như vậy thì cần qua thi viết cho khách quan, đỡ bị gian lận. Nhưng không phải bài kiểm tra nào cũng cần “tính vào sổ”. Số lượng các kiểm tra “chính thức”, “tính sổ” nên ít thôi, ngoài ra thay bằng những kiểm tra “không chính thức”, không phải để tính điểm học sinh, mà để giúp học sinh hay phụ huynh học sinh biết xem trình độ đang ra sao, có những điểm yếu điểm mạnh gì. Hệ thống giáo dục phổ thông cấp 1 ở Pháp tính “điểm” như vậy: Điểm không phải là điểm “7” hay “10” mà là điểm “phần này đã nắm tốt”, “phần kia còn phải học thêm”. Việc giao nhiều bài tập bắt buộc về nhà, rồi kiểm tra tính điểm các bài đó, nếu không cẩn thận có thể biến thành “nhục hình” với học sinh. Nếu học sinh ngày nào cũng phải thức quá nửa đêm làm bài tập, không đủ thời gian để ngủ, thì điều đó sẽ làm ảnh hưởng xấu đến sự phát triển bình thường của học sinh. Chúng ta nên chú ý rằng giấc ngủ cũng là một phần quan trọng trong quá trình học: chính trong giấc ngủ, não được “làm vệ sinh”, thải bớt “rác” ra khỏi não để có chỗ cho hôm sau đón nhận thông tin mới, và sắp xếp lại các thông tin thu nhận trong ngày lại, liên kết với các thông tin khác đã có trong não, để nó trở thành “thông tin dài hạn”, “kiến thức”. Giai đoạn con người học nhanh nhất là khi còn ít tuổi, cũng là giai đoạn có nhu cầu ngủ nhiều nhất, còn càng lớn tuổi học cái mới càng ít đi và nhu cầu ngủ cũng ít đi. Trình độ học sinh, ít ra là trong môn toán, không thể hiện qua việc “đã làm bao nhiêu bài tập dạng đó” mà là “nếu gặp bài tập như vậy có làm được không”. Tất nhiên Sputnik Education 57 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán muốn hiểu biết thì phải luyện tập. Nhưng cứ làm thật nhiều bài tập giống nhau như một cái máy mà không suy nghĩ, thì phí thời gian. Thay vào đó chỉ cần làm ít bài hơn, nhưng làm bài nào hiểu bài đó. Theo tôi nói chung không nên tính điểm bắt buộc cho các bài tập về nhà, mà thay vào đó tính điểm thưởng thì tốt hơn. Một điều khá phổ biến và đáng lo ngại ở Việt Nam là học sinh được chính thầy cô giáo dạy cho sự làm ăn gian dối. Có khi giáo viên làm thể để “lấy thành tích” cho mình. Ví dụ như khi có đoàn kiểm tra đến dự lớp, thì dặn trước là cả lớp phải giơ tay xin phát biểu, cô sẽ chỉ gọi mấy bạn đã nhắm trước thôi. Hay là giao bài tập rất khó về nhà cho học sinh, mà biết chắc là học sinh không làm được nhưng bố mẹ học sinh sẽ làm hộ cho, để lấy thành tích dạy giỏi. Hoặc là mua bán điểm với học sinh: cứ nộp thầy 1 triệu thì lên 1 điểm chẳng hạn. Nhưng cũng có nhiều trường hợp mà giáo viên có ý định tốt, vô tư lợi, nhưng vì quan điểm là “làm như thế là để giúp học sinh” nên tìm cách cho học sinh “ăn gian” để được thêm điểm. Trong hầu hết các trường hợp, thì khuyến khích học sinh gian dối là làm hại học sinh. Như Mark Twain có nói: ” It is better to deserve honors and not have them than to have them and not deserve them.” Có gắn bao nhiêu thành tích rởm vào người, thì cũng không làm cho người trở nên giá trị hơn. Học sinh mà được dạy thói làm ăn gian dối từ bé, thì có nguy cơ trở thành những con người giả dối, mất giá trị. Tất nhiên, trong một xã hội mà cơ chế và luật lệ “ấm ớ”, và gian dối trở thành phong trào, ai mà không gian dối, không làm sai luật thì thiệt thòi không sống được, thì buộc người ta phải gian dối. Tôi không phê phán những hành động gian dối do “hành cảnh bắt buộc”. 58 Sputnik Education 2.6. Ứng xử với học sinh Nhưng chúng ta đừng lạm dụng “vũ khí” này, và hãy hướng cho chọ sinh của chúng ta đến một xã hội mới lành mạnh hơn, mà ở đó ít cần đến sự gian dối. Để đạt được vậy, các “luật chơi” phải được thay đổi sao cho hợp lý và minh bạch hơn. Tất nhiên, không chỉ ở Việt Nam, mà trên thế giới cũng có nhiều người hám “danh hão” và làm ăn giả dối, tuy tỷ lệ chắc là ít hơn nhiều. Tôi biết cả những giáo sư nước ngoài có trình độ cao, nhưng vì “quá hám danh” nên dẫn đến làm ăn giả dối. Sinh viên Pháp mà tôi dạy cũng có quay cóp. Bản thân tôi khi đi học cũng từng quay cóp. Tất nhiên tôi chẳng có gì để tự hào vê chuyện đó, nhưng cũng không đến nỗi “quá xấu hổ” khi mà những người xung quanh tôi cũng quay cóp. Chúng ta là con người thì không hoàn thiện, nhưng hãy hướng tới hoàn thiện, giúp cho các thế hệ sau hoàn thiện hơn. 2.6 Ứng xử với học sinh Nên: Dạy học nghiêm túc, tôn trọng học sinh. Không nên: Dạy qua quít, coi thường học sinh. Điều trên gần như là hiển nhiên. Nhưng ngay trường tôi ở Pháp có những giáo sư dạy học qua quít, nói lảm nhảm học sinh không hiểu, bị học sinh than phiền rất nhiều, ai mà dạy học cùng ê-kíp với họ thì khổ cực lây. Người nào mà không thích hoặc không hợp với dạy học, thì nên chuyển việc. Nhưng đã nhận việc có cả phần dạy học (như là công việc giáo sư bên Pháp, gồm cả nghiên cứu và giảng dạy) thì phải làm việc đó cho nghiêm túc. Dù có “tài giỏi” đến đâu, cũng không nên tự đề cao mình quá mà coi thường học sinh. Công Sputnik Education 59 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán việc đào tạo cũng quan trọng đối với xã hội không kém gì công việc nghiên cứu. Có một số bạn trẻ, bản thân chưa có đóng góp gì quan trọng, nhưng đã vội chê bai những người thầy của mình, là những người có thể có những hạn chế về trình độ và kết quả nghiên cứu (do điều kiện, hoàn cảnh) nhưng đã có nhiều cống hiến trong đào tạo, như thế không nên. Nên: Đối thoại với học sinh, khuyến khích học sinh đặt câu hỏi. Không nên: Tạo cho học sinh thói quen học thụ động kiểu thầy đọc trò chép. Qua thảo luận, hỏi đáp mới biết học sinh cần những gì, vướng mắc những gì, bài giảng như thế đã ổn chưa, v.v. Khi học sinh đặt câu hỏi tức là có suy nghĩ và não đang ở trạng thái muốn “hút” thông tin. Học sinh nhiều khi muốn hỏi nhưng ngại, nếu được khuyến khích thì sẽ hỏi. Nên: Cho học sinh thấy rằng họ có thể thành công nếu có quyết tâm. Không nên: Nhạo báng học sinh kém. Tôi từng chứng kiến giáo sư sỉ nhục học sinh, ví dụ như viết lên bài thi của học sinh những câu kiểu “thứ mày đi học làm gì cho tốn tiền”. Như người ta thường nói “người phụ nữ được khen đẹp thì sẽ đẹp lên, bị chê xấu thì sẽ xấu đi”. Học sinh bị đối xử tồi tệ, coi như “đồ bỏ đi”, thì sẽ bị “đơ”: khi việc học trở thành “địa ngục” thì sẽ bị ức chế không học được nữa. Nhưng nếu được đối xử tử tế, cảm thấy được tôn trọng cảm thông, thì họ sẽ cố gắng, dễ thành công hơn. Nếu họ có “rớt”, thì họ vẫn còn nhiều cơ hội khác để thành công, miễn 60 Sputnik Education 2.7. Chất lượng, số lượng và hình thức sao giữ được niềm tin và ý chí. Học sinh học kém, nhiều khi không phải là do không muốn học hoặc không đủ thông minh để học, mà là do có những khó khăn nào đó, nếu được giải tỏa thì sẽ học được. Trẻ em sinh ra thiếu hiểu biết chứ không ngu ngốc. Nếu khi lớn lên trở thành người ngu ngốc, không biết suy nghĩ, thì là do hoàn cảnh môi trường và lỗi của hệ thống giáo dục. Người thầy thực sự phải giúp học sinh tìm lại được sự thông minh của mình, chứ không làm cho họ “đần độn” đi. Nên: Cho học sinh những lời khuyên chân thành nhất, hướng cho họ làm những cái mà giảng viên thấy sẽ có lợi nhất cho họ, đồng thời cho họ tự do lựa chọn những gì họ thích. Không nên: Biến học sinh thành “tài sản” của mình, bắt họ phải làm theo cái mình thích. Các bậc cha mẹ cũng không nên bắt con cái phải đi theo những sở thích của cha mẹ, mà hãy để cho chúng lựa chọn cái chúng thích. 2.7 Chất lượng, số lượng và hình thức Nên: Hướng tới chất lượng. Không nên: Chạy theo số lượng và hình thức. Từ khi tôi là sinh viên, có được các anh chị học trên “truyền” cho điều này: Ai mà viết đến 10 bài báo khoa học, mà vẫn không được mấy người khác trích dẫn, thì coi như là thất bại trong khoa học. Điều “đáng sợ” không phải là không viết được bài báo khoa học để đăng, mà là viết nhiều bài “rởm rít”, tốn giấy mực. Sputnik Education 61 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán Tất nhiên, sinh viên khi mới tập nghiên cứu khoa học, thì khó có kết quả có giá trị lớn ngay, mà thường phải bắt đầu bằng một vài vấn đề nhỏ hơn, để làm quen. Nhưng nếu lúc nào cũng chỉ làm thứ dễ dàng và ít giá trị, không dám làm cái khó hơn, có giá trị lớn hơn, thì khó có thể thành công trong khoa học. Giá trị của các công trình khoa học (đăng trên các tạp chí quốc tế có uy tín, chứ chưa nói đến tạp chí “vườn”) có thể chênh nhau hàng trăm lần. Có viết hàng chục hay hàng trăm bài báo khoa học “làng nhàng” có khi vẫn không bằng làm được một công trình “để đời”. Không chỉ trong khoa học, mà trong hầu hết mọi lĩnh vực khác, chất lượng là cái đặc biệt quan trọng. Ví dụ như trong kinh tế, sự phát triển bền vững (sustainable development) chính là sự phát triển về chất. Chúng ta không thể tăng khối lượng của các sản phẩm hay dịch vụ lên “mỗi năm 5-7%” mãi được, vì tài nguyên thiên nhiên là hữu hạn, nhưng cái chúng ta có thể tăng lên, đó là chất lượng. Nếu chúng ta cứ phá rừng phá núi, hủy hoại môi trường để đạt con số % phát triển GDP, thì có nguy cơ biến đất nước thành bãi rác. Cái máy tính bỏ túi ngày nay “khỏe hơn” cả một “khối thép” máy tính nặng hàng chục tấn của thế kỷ trước, đó là phát triển về chất. Cùng là đồ ăn với lượng calor như nhau, nhưng chất lượng khác nhau thì giá trị có thể chênh nhau hàng chục lần. Ở VN, đồ ăn không đảm bảo vệ sinh và chứa nhiều chất độc nên giá trị thấp, tuy giá có thể rẻ nhưng tính tỷ lệ chất lượng chia cho giá có khi vẫn thấp. Trong văn học, thì một quyển truyện như “Hoàng Tử Nhỏ” (Le Petit Prince) đủ làm cho ông Saint-Exupery trở thành nhà văn của thế kỷ 20 được hàng trăm triệu người trên thế giới tìm đọc. Ở Việt Nam cũng có những tác 62 Sputnik Education 2.7. Chất lượng, số lượng và hình thức phẩm văn học mà những thế kỷ sau người ta vẫn còn nhớ đến, trong khi có hàng nghìn, hàng vạn tác phẩm văn học khác nhanh chóng rơi vào lãng quên. Trong giáo dục, chất lượng cũng là cái cực kỳ quan trọng. Ảnh hưởng của một người thầy là rất lớn: trực tiếp đến hàng trăm, hàng nghìn học trò, và gián tiếp có thể đến hàng triệu người. Giá trị của giáo dục khó qui đổi thành tiền (một người vô văn hóa, thì có đắp thêm 1 triệu USD vào thì vẫn vô văn hóa). Chất lượng người thầy tốt lên thì làm cho chất lượng xã hội tốt lên, và cái sự thay đổi chất lượng đó không đo được bằng tiền. Nhưng có thể hình dung một cách thô thiển là, một người thầy tốt đem lại lợi ích cho học trò thêm hàng nghìn hay thậm chí hàng chục nghìn USD (thể hiện qua việc học trò có được việc tốt hơn, làm ra nhiều tiền của hơn, v.v.) so với một người thầy không tốt bằng. Với hàng trăm hay hàng nghìn học trò “qua tay” trong cuộc đời, thì một người thầy tốt có thể đem lại lợi ích đến hàng hàng triệu USD nhiều hơn cho xã hội so với một người thầy kém hơn. Muốn có chất lượng tốt, thì chất lượng phải được (xã hội) coi trọng đúng mức, và (người thầy) phải chú tâm tìm cách nâng cao chất lượng. Các giảng viên đại học ở các nước tiên tiến thường không phải dạy quá nhiều giờ (trung bình khoảng 6 tiếng một tuần), và cũng không phải lo “kiếm cơm thêm” ngoài công việc chính. Họ có thời giờ để tiếp cận thông tin khoa học mới, chuẩn bị bài giảng cho tử tế, suy nghĩ cải tiến cách dạy cho hay,v.v. (đấy là đối với những người có ý thức trong việc dạy học). Ở Việt Nam, các giáo viên phổ thông và giảng viên đại học nói chung dạy quá nhiều giờ, ngoài giờ chính thức đã nhiều còn dạy thêm tràn lan, có người “bán cháo phổi” liên Sputnik Education 63 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán tục một ngày đến mười mấy tiết. Họ bù lại việc thù lao cho từng giờ dạy thấp bằng việc dạy rất nhiều giờ. Nhưng trong điều kiện như vậy, thì họ sẽ dạy “như cái máy”, ít suy nghĩ, ít nhiệt tình với học sinh, ít thời gian chuẩn bị, không có thời giờ cập nhật kiến thức, khó mà có chất lượng cao được. Xu hướng của thời đại internet, là các giảng viên có chất lượng dạy học cao sẽ ngày càng trở nên có giá trị, trong khi những ai dạy dở sẽ ngày càng mất giá trị. Trong điều kiện “không có lựa chọn”, thì thày dạy hay dạy dở thế nào học sinh “vẫn phải học thầy”, nhưng khi có lựa chọn, học sinh sẽ chọn học thầy hay, không đến học thầy dở. Việc điểm danh để bắt học sinh đi học, theo tôi là một hình thức giữ kỷ luật thô thiển kém hiệu quả. Thay vào điểm danh, nếu dạy hay, dạy cái có ý nghĩa, thì không bắt học sinh cũng tự động “tranh nhau” đi học. Tôi đã từng chứng kiến trường hợp có 2 giáo sư dạy cùng 1 môn ở 2 giảng đường khác nhau – ví số học sinh quá đông nên chia thành 2 giảng đường – nhưng một người dạy rất dở, và kết quả là học sinh ở giảng đường của người đó sau một thời gian chạy hết sang giảng đường bên kia. Internet sẽ tạo điều kiện cho học sinh tìm đến thầy hay dễ dàng hơn, qua các bài giảng video, các bài giảng online, v.v. Các giảng viên sẽ phải giảng ít giờ hơn trước, nhưng chuẩn bị cho mỗi bài giảng nhiều hơn, và mỗi bài giảng hay sẽ đến được với nhiều học sinh hơn qua internet. 64 Sputnik Education 2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy 2.8 Bản chất của kiến thức cần dạy Nên: Giáo viên cần làm sao cho học sinh hiểu được bản chất các kiến thức. Không nên: Lạm dụng ngôn ngữ hình thức, và dạy một cách giáo điều. Nên: Cho các bài tập nhằm giúp học sinh nắm được bản chất của các lý thuyết đang học hoặc/và luyện được các kỹ năng liên quan trực tiếp. Không nên: Cho nhiều bài “lạc đề”, ít liên quan trực tiếp đến lý thuyết đang học, đòi hỏi mẹo mực hoặc những lý thuyết chưa được học đến. Tôi sẽ lấy chương trình toán đại số lớp 7, và quyển sách “Các bài toán hay và khó / Đại số lớp 7” của hai tác giả Phan Văn Đức và Nguyễn Hoàng Khanh, xuất bản năm 2003, sau đây gọi tắt là sách BTĐS7, để làm ví dụ minh họa cho mục này. Tôi xin lỗi hai tác giả trên là đã mạn phép đem quyển sách BTĐS7 ra đây “mổ xẻ”. Tôi không có ý chê bai hay công kích gì ai. Theo tôi hiểu thì quyển sách này cũng không kém gì các sách toán phổ thông khác đang được dùng ở Việt Nam. Lý do đơn giản là quyển sách này “có số” rơi vào tay tôi trong lúc tôi đang muốn bàn về phương pháp giảng dạy toán. Thế nào là giáo điều? Là dạy một cách áp đặt, đưa ra các thứ như là “chân lý duy nhất”, mà không giải thích vì sao nó như vậy, nó dựa trên cái gì, và không hề nói đến các khả năng khác, các “chân lý” Sputnik Education 65 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán khác. Sự nguy hiểm của lối dạy và học theo kiểu giáo điều, là biến học sinh thành những con người thụ động, mất khả năng suy nghĩ một cách độc lập, trở thành “cuồng tín” chấp nhận các thứ như là chân lý mà không đặt câu hỏi “tại sao”, và khi sai thì không biết đâu mà sửa vì “mất gốc”. Một ví dụ đặc trưng của “văn hóa giáo điều” là môn “Tử vi đẩu số” ở Việt Nam. Các sách viết về tử vi mà tôi được nhìn thấy đều rất giáo điều, cái gì cũng do “Thánh bảo”, không có giải thích tại sao, và tất nhiên nếu xem bị sai thì chỉ còn cách “kêu trời”, không thể biết vì sao sai, sai ở đâu. Mà chắc chắn là dễ sai. Ví dụ, “giờ Tý” thực ra không bắt đầu lúc 11h đêm, mà cách đó khoảng 20 phút (tùy từng ngày), nhưng điều này chỉ có một nhóm nhỏ “thầy tử vi” biết còn có đọc sách cũng không học được. Nếu tìm hiểu kỹ hơn, ta sẽ thấy việc xác định “giờ” đó thực ra ứng với khái niệm ascendant trong thiên văn học, và có thể tính chính xác “giờ Tý” đến từng giây một bằng các chương trình máy tính cho thiên văn (nhưng đố bạn tìm được sách Tử vi đẩu số nào bán ở cửa hàng viết về điều này). Hầu hết các “sao” trong tử vi đẩu số là “sao giả" (virtual stars) chứ không phải “sao thật” (tức là không có sao nào như thế trên trời). Các "sao giả" này là một phép biến đổi toán học kiểu như “phân tích phổ” (spectral decomposition), và được tính ra từ vị trí của một số lượng rất nhỏ các “sao thật” (như mặt trăng, mặt trời, ascendant) trên vòng hoàng đạo. Cái “phân tích phổ” này trong tử vi đẩu số có thể là một phát minh lớn, nhưng rất tiếc là không có sách nào giải thích vì sao lại làm như vậy, và qui tắc xếp sao được đưa ra một cách hoàn toàn thần bí, giáo điều. 66 Sputnik Education 2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy Ở phương Tây cũng có “tử vi”, gọi là “chiêm tinh học” (astrology). Tử vi đẩu số và astrology có cùng gốc thiên văn học, và có rất nhiều cái chung. Nhưng khác nhau ở chỗ astrology không giáo điều, mọi thứ có giải thích vì sao. Tuy rằng các giải thích đó chưa “đạt mức khoa học”, nhưng cho phép người ta suy nghĩ, kiểm nghiệm, phát triển, sửa sai! Trở lại toán đại số lớp 7. Tôi đọc quyển BTĐS7 thấy có một số điểm hình thức, giáo điều. Hai ví dụ: 1) §11 Chương 1 (Số vô tỉ – Khái niệm về căn bậc hai, trang 22). Tóm tắt lý thuyết của phần này được viết như sau: Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp các sô vô tỉ được ký hiệu là I. Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a. Số dương a có đúng 2 căn bậc hai: một số dương ký hiệu là √a, một số âm ký hiệu là −√a. Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0 viết là √0 = 0. Đâu là những thứ hình thức, giáo điều trong các câu trên? Tôi làm toán mấy chục năm nay, chưa bao giờ phải dùng đến ký hiệu “tập hợp các số vô tỉ”, và đến khi đọc sách này tôi mới biết “tập hợp các sô vô tỉ được ký hiệu là I”! Đấy là một “kiến thức” hình thức không dùng để làm gì cả, và cũng chẳng phải là kiến thức, vì thế giới cũng chẳng dùng ký hiệu đó. Câu “số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn” tuy đúng về mặt hình thức toán học, nhưng rất rắm rối Sputnik Education 67 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán khó hiểu. Bản chất của “vô tỉ” là “không hữu tỉ”, tức là các số thực không viết được dưới dạng phân số. Để hình dung các số vô tỉ, cần làm bài tập ví dụ như “số √7 là số vô tỉ”. Hai khái niệm “số vô tỉ” và “căn bậc hai” là hai khái niệm quan trọng và độc lập với nhau. Cần có thời gian để hiểu từng khái niệm, không hiểu sao lại được dồn vào chung một mục, cứ như là căn bậc hai của một số thì là số vô tỉ! Có ai nói “căn bậc hai của 4 là -2 không”? Không ai nói thế cả, mà người ta chỉ nói “căn bậc hai của 4 là 2”. Tức là căn bậc hai của một số thực dương a, luôn được hiểu là số thực dương có bình phương bằng số kia, và ký hiệu là √a. Bản thân cái ký hiệu √a được đọc là “căn bậc hai của a” (“square root of a” tiếng Anh). Việc dạy cho học trò là “a có 2 căn bậc 2” tuy có thể đúng về hình thức, nhưng rắm rối, và thực ra chỉ “đúng nửa vời”. Nếu một số có 2 căn bậc hai, thì cũng phải có 3 căn bậc ba, nhưng giải thích với học sinh lớp 7 chuyện một số có 3 căn bậc 3 sao đây? Nói là phương trình x2 = a có hai nghiệm thực √a và −√a khi a là số dương thì đúng bản chất hơn. Để hiểu được căn bậc hai, một cách tốt nhất là làm ví dụ, như là tính √3 chính xác đến 3-4 chữ số sau dấu phẩy (mà không dùng máy tính). Tôi có thí nghiệm dạy cho con tôi (lúc quãng 9-10 tuổi) tính √2, rồi sau đó nó tự tính √5, mất khá nhiều thời gian và viết mất mấy trang giấy, nhưng nó tính được, và qua đó không những hiểu được thế nào là căn bậc hai, mà còn hiểu được phương pháp tính gần đúng nó như thế nào, qua ví dụ cụ thể. Trong sách BTĐS7 có những bài tập có thể coi là rất khó (vượt xa mức chương trình?) trong đó có căn bậc hai, (ví dụ bài 95b: chứng 68 Sputnik Education 2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy minh rằng 1/√1+ 1/√2+. . .+ 1/√100 > 10), mà lại thiếu những bài “đơn giản” nhưng giúp hiểu bản chất của căn bậc hai, như bài “tính √3 chính xác đến 3 chữ số sau dấu phẩy” như tôi viết phía trên. 2) §3 Chương 3 (phần Biểu Đồ, chương Thống Kê, trang 114 của sách BTĐS) có viết : Ngoài bảng số liệu thống kê ban đầu, bảng “tần số”, người ta còn dùng biểu đồ để cho một hình ảnh cụ thể về giá trị của dấu hiệu và tần số. Có các loại biểu đồ như sau: biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt. Vì sao những câu trên là giáo điều? Vì nó áp đặt (chỉ có 3 loại biểu đồ, và nói là biểu đồ “cho một hình ảnh cụ thể”). Ý nghĩa của biểu đồ được giải thích không chính xác (thế nào là “hình ảnh cụ thể”?). Thực ra biểu đồ hoàn toàn có thể “kém cụ thể, kém chính xác” hơn là các số, nhưng nó cho một bức tranh trực giác, giúp cho người đọc nắm được thông tin quan trọng một cách nhanh chóng bằng hình ảnh. Ý nghĩa của biểu đồ nằm ở chỗ nó cho phép người đọc dùng bộ phận “xử lý hình ảnh” của não để nạp và xử lý thông tin – bộ phận đó của não người “chạy” nhanh hơn nhiều so với bộ phận “xử lý số”, và như vậy các thông tin ở dạng biểu đổ có thể được đọc nhanh hơn nhiều lần so với ở dạng số (tuy rằng với độ chính xác có thể thấp hơn). Và tại sao lại chỉ có 3 dạng biểu đồ? Điều này hoàn toàn sai thực tế! Các dạng biểu đồ là do con người nghĩ ra, và người ta có thể nghĩ ra một tỷ dạng khác nhau. Tuy rằng 3 dạng trên có thể là 3 dạng hay Sputnik Education 69 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán gặp nhất (một phần lý do là do nó đơn giản, dễ vẽ), nhưng không phải là không có các dạng khác, cũng khá phổ biến trong những tình huống nào đó. Ví dụ như biểu đồ dùng màu sắc. Hay biểu đồ dùng bản đồ thế giới (ở trên mỗi nước có một khoanh tròn hay khoanh vuông nào đó, to nhỏ phụ thuộc vào số lượng một cái gì đó ở nước đó to hay nhỏ) là những biểu độ địa lý rất hữu ích, v.v. Những biểu đồ như vậy là những biểu đồ thống kê gặp trong thực tế, chứ không phải chỉ có 3 loại biểu đồ như trong “sách bảo”. Một ví dụ biểu đồ dùng màu sắc (bản đồ nhiệt độ ở châu Âu). Nhân tiện nói thêm: tôi thấy chương trình thống kê cho học sinh lớp 7 (vào năm 2009) quá sơ sài, và không rõ mục đích để làm gì, khi chưa đủ cơ sở toán học để học nhập môn thống kê theo đúng nghĩa, chứ không dừng lại ở chỗ “đếm xem giá trị x xuất hiện mấy lần trong 70 Sputnik Education 2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy một bảng” (là thứ tầm thường không cần dạy, bất cứ ai khi gặp câu hỏi như vậy và hiểu câu hỏi trong tình huống cụ thể đều đếm được dễ dàng). Ngay một khái niệm rất dễ hiểu và rất cơ bản của thống kê là “median value” (giá trị giữa? – ví dụ như khi nói đến mức lương tiêu biểu của một nghề nào đó người ta thường dùng mức median chứ dùng mức mean – giá trị trùng bình) cũng không thấy có trong sách lớp 7. Dạy “tủn mủn” có một tẹo về thống kê, không hiểu ý nghĩa và công dụng, thì khó “đọng” được. Nói thêm về bài tập. Thế nào là một bài tập hay? Theo tôi một bài tập hay là một bài tập “đặt đúng chỗ, đúng mục đích”, giúp học sinh nắm được phần lý thuyết đang cần nắm hoặc là rèn được kỹ năng đang cần rèn, hoặc là (trong trường hợp kiểm tra thi cử) kiểm tra được đúng những kiến thức và kỹ năng cần kiểm tra. Cùng là một bài tập, nhưng có thể hay trong tình huống này, lại trở thành không hay trong tình huống khác, nếu bị “đặt nhầm chỗ”. Trong quyển sách BTĐS7, gọi là “Những bài toán khó và hay”, tôi thấy có những bài tuy khó khó thật nhưng “hay” thì tôi “không thấy hay”, bởi vì dường như chúng bị “đặt nhầm chỗ”. Chúng giống như những bài toán đánh đố, mẹo mực, hơn là những bài toán liên quan trực tiếp đến phần kiến thức ký thuyết trong chương trình mà học sinh cần nắm vững. Ví dụ: Chương 1, về “số hữu tỷ và số vô tỷ”. Theo tôi hiểu, mục đích của chương này là cho học sinh biết làm các phép tính với các số hữu tỷ (tức là các phân số), và hiểu được rằng có những số vô tỷ, đồng thời biết được khái niệm thế nào là căn bậc hai của một số. Chương này không nhằm dạy về vấn đề vấn đề chia hết trong số học, hay về tính toán các biểu thức đại số phức tạp. Thế nhưng trong Chương 1 Sputnik Education 71 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán có bài tập sau: Chứng minh rằng A = 75.(41999 + 41998 + . . . + 4 + 1) + 25 chia hết cho 100. Để làm được bài này, học sinh cần biết cách cộng 41999 + 41998 + . . . + 4 + 1 (là một bài toán có thể coi là khó đối với học sinh lớp 7?, tuy nhiên nó không phải là mục đích kiến thức của chương), rồi sau đó kiểm tra sự chia hết cho 100, cũng không phải là cái nằm trong kiến thức mà Chương 1 này muốn học sinh nắm được. Một bài toán như vậy, dù dễ hay khó, cũng không hay, vì “nhầm chỗ”. Ví dụ khác: trong Chương 1 có những bài tập về bất đẳng thức (như bài 95) hay cực trị (như bài 125) là những bài khó. Nó khó vì học sinh không được học tý gì về lý thuyết (phương pháp đánh giá các đại lượng hay tìm cực trị) mà phải làm bài tập. Nếu làm bài tập, mà không có phương pháp làm, tức là “đoán mò”, có nghĩa là sẽ làm một cách mẹo mực. Nó có thể coi là bài hay, nếu xếp vào dạng “toán đố nhằm rèn luyện tư duy, khả năng suy luận sâu cho học sinh giỏi” (tức là cho một tỷ lệ nhỏ học sinh có óc tò mò đặc biệt về toán), nhưng nó không “hay” nếu đấy là bài tập để học về “số hữu tỉ và vô tỉ”. Một học sinh “bình thường”, nếu gặp những bài như vậy khó có thể làm được (họ nghĩ một lúc không ra sẽ thấy chán và tự hỏi “tại sao phải làm bài như vậy”), dù đã tính toán thành thạo với các phân số và biết tính căn bậc hai. Nhưng nếu được học về các phương pháp tìm cực trị hay đánh giá các đại lượng rồi, thì mấy bài toán đó không còn gì “khó”, có điều mấy phương pháp đó lại không có trong chương trình chính thức! 72 Sputnik Education 2.9. Gây tò mò và sung sướng cho người học Tôi e rằng kiểu “đánh đố” như vậy sẽ làm cho nhiều học sinh lầm tưởng rằng họ dốt, không học được toán, trong khi thực ra họ có thể học, hiểu và dùng được các công cụ toán rất hiệu quả, nếu được dạy bài bản hơn. Không hiểu kiểu “toán đố” này có phải một trong những nguyên nhân khiến học sinh phải đi học thêm tràn lan đến tối mịt không? (Nếu không học thêm thì làm sao mà giải được bài tập!). 2.9 Gây tò mò và sung sướng cho người học Nên: Tìm cách kích thích sự tò mò của học sinh, và làm cho học sinh cảm thấy học là “được học, là sướng”. Không nên: Dạy theo kiểu “nhồi vịt”, làm cho học sinh cảm thấy học là “phải học, là khổ”. Albert Einstein từng nói: “I have no special talent. I am only pas sionately curious”. (“Tôi không có tài gì đặc biệt. Tôi chỉ tò mò một cách đam mê”). Bí quyết thành công của Einstein chính là sự “tò mò một cách đam mê”. Và Einstein cũng có nói một cách mỉa mai: “It is a miracle that curiosity survives formal education” (“thật kỳ diệu là giáo dục hình thức chưa bóp chết sự tò mò”), và kể về sự khổ sở của ông ta khi đi học như sau: “One had to cram all this stuff into one’s mind for the examinations, whether one liked it or not. This coercion had such a deterring effect on me that, after I had passed the final examina tion, I found the consideration of any scientific problems distasteful to me for an entire year.” (Tạm lược dịch: “Tôi bị nhồi học như nhồi vịt đủ thứ để trả thi dù có thích chúng hay không; sự ép buộc này khiến tôi ngán khoa học đến tận cổ trong suốt một năm sau kỳ thi Sputnik Education 73 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán đó”). Sự tò mò thúc đẩy con người ta tìm tòi hiểu biết, làm cho não tiếp thu kiến thức và khám phá thế giới nhanh hơn. Khi tò mò tức là trong đầu đặt ra các câu hỏi, và não “thèm khát” thông tin trả lời các câu hỏi đó, khi “vớ được” câu trả lời sẽ nhập vào đầu rất nhanh vì trong đầu đã “dọn chỗ” sẵn để đón nhận nó. Trẻ con sinh ra có bản năng tò Sudoku vui cho trẻ em. mò, và học rất nhanh. Vấn đề là làm sao giữ được tính tò mò đó mà không đánh mất nó đi khi lớn lên. Theo một số nghiên cứu về giáo dục học – thần kinh học (xem cuốn sách “Insult to Intelligence” của Frank Smith), thì trẻ em trung bình mỗi ngày học được một cách tự nhiên, nhẹ nhàng mấy chục từ mới trong lúc làm các việc khác, tuy rằng lúc học ở trường thì có khi vất vả một ngày không học nổi vài từ mới. Một trong các lý do mà các nhà giáo dục học đưa ra để giải thích sự học kém hiệu quả ở trường, chính là cách giáo dục hình thức ở trường làm giảm đi sự tò mò của trẻ em. Khi chán học, không có sự tò mò, thì học rất khó vào. Con người ta khi học, không những chỉ nhớ “kiến thức” được học, mà còn nhớ cả trạng thái tâm lý, cảm giác (feelings) khi học “kiến thức” đó. Nếu như nhớ rằng học cái gì đó là “nhàm chán” hay “đau khổ”, thì sẽ không muốn học nữa, vì phản xạ tự nhiên của con người 74 Sputnik Education 2.9. Gây tò mò và sung sướng cho người học là không muốn có cảm giác nhàm chán hay đau khổ. Ngược lại, nếu nhớ rằng học cái gì đó là “vui” là “sướng”, thì muốn được lặp lại cái cảm giác đó, tức là muốn được học tiếp. Khi trẻ em chơi một cái gì đó mà nó thích, thì nó tập trung cao độ. Nếu làm sao để “trò học” cũng hấp dẫn như “trò trơi”, thì học sẽ rất hiệu quả. Tôi có đọc đâu đó một lần, là có một lớp học sinh ở Nga, khi được hỏi thích học môn gì nhất, thì nói rất thích môn sử, vì học môn đó được đi thăm quan bảo tàng, khám phá nhiều thứ thú vị. Đi học mà sướng như đi chơi, có khi còn sướng hơn đi chơi. Leonardo da Vinci có từng nói: “Giống như việc bị bắt ép ăn khi không muốn ăn có thể làm hại sức khỏe, việc bị bắt ép học cái không muốn học cũng có thể làm tổn thương trí nhớ, và không tiếp thu được gì”. Một trong những cách nhanh nhất để “tiêu diệt” sự tò mò, làm cho học sinh chán học, là dạy hoc kiểu “nhồi vịt” (nhồi nhét một đống thông tin vào đầu học sinh, không kịp tiêu hóa, không biết để làm gì, đến mức học sinh bị “bội thực”, sợ học). Ở Việt Nam, từ rất nhiều năm nay, tôi thấy hầu như ai cũng kêu là trẻ con bị học quá tải, nhưng hiểu biết thì không hơn gì trẻ em ở các nơi khác học “vui vẻ nhẹ nhàng” hơn. Đây có lẽ là một lỗi lớn của hệ thống giáo dục. Các bậc phụ huynh không nên bắt con mình học đi thêm liên miên đến mức nó phát ngán, phát sợ học. Còn nếu nó thích học cái gì (đặc biệt là những cái không được dạy ở trường, ví dụ như học nặn tượng, học đánh đàn piano, học chế tạo robot, v.v.), thì cứ cho nó đi học thêm nếu nhà có điều kiện. Làm sao để kích thích sự tò mò của học sinh (và của người lớn)? Đây có lẽ là cả một môn khoa học và nghệ thuật lớn. Không chỉ giáo Sputnik Education 75 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán dục cần đến kích thích tò mò, mà nhiều lĩnh vực khác cũng cần, và có khi cần một cách hiển nhiên hơn, ví dụ như nghề quảng cáo. Những ai làm quảng cáo ắt hản phải rất quan tâm đến chuyện kích thích tò mò, vì nếu không kích thích được sự tò mò của người xem thì sẽ bị ảnh hưởng xấu ngay đến cái túi tiền. Những người làm về giáo dục có lẽ có thể học và chia sẻ phương pháp kích thích tò mò với những ngành khác. Tôi không phải là “chuyên gia” trong lĩnh vực gây tò mò, nên chỉ có thể thể kể ở đây một vài kinh nghiệm cá nhân nhỏ. Có lần tôi đố con tôi (tôi có hai con đang học phổ thông) chứng minh rằng tổng của chuỗi P1/n2 bằng π2/6. Tất nhiên bài toán này là quá khó đối với tụi nó. Tuy tụi nó có thể hiểu (một cách trực giác) rằng chuỗi P1/n2 là chuỗi hội tụ, và cậu lớn tính được giá trị gần đúng của chuỗi đó và thấy nó giống giá trị gần đúng của π2/6, nhưng để chứng minh đẳng thức chính xác, thì chưa thể làm nổi. Cái đẳng thức này tất nhiên chỉ là một trong số vô vàn những “sự trùng hợp của tự nhiên”, và chẳng có công dụng gì trong đời sống hàng ngày, thế nhưng trông nó “thú vị, kỳ bí”. Tụi trẻ tò mò, muốn hiểu được đẳng thức này, bắt tôi giải thích. Tôi nói “muốn chứng minh được, phải biết giải tích”, thì tụi nó bắt tôi giải thích các khái niệm đạo hàm, tích phân, v.v. Qua đó tụi nó học một số kiến thức toán hiện đại, “chỉ vì” tò mò. Cái bài toán đố đó nó như là một thứ “củ cà rốt treo trước mặt con lừa, khiến cho con lừa chịu khó đi với hi vọng ăn được cà rốt”. Định lý lớn Fermat cũng vậy. Nó không hề có một “công dụng thực tế” gì hết, nhưng nó gây tò mò cho các nhà toán học (và cho cả những người không phải nhà toán học chuyên nghiệp). Việc đi tìm 76 Sputnik Education 2.9. Gây tò mò và sung sướng cho người học lời giải cho nó đã làm nảy sinh ra những lý thuyết toán hiện đại có công dụng thực tế rất lớn (ví dụ trong mật mã, an toàn thông tin). Bài toán tôi viết phía trên, gây tò mò lớn cho mấy đứa con tôi, những hoàn toàn có thể không gây tò mò cho con hàng xóm. Cùng một thứ, có thể gây tò mò cho người này, mà không gây tò mò cho người khác. Bởi vậy đối với những trẻ khác nhau, cần tìm các cách khác nhau (thích hợp với tính cách, tâm lý, hiểu biết của chúng) để gây tò mò cho chúng. Nếu thấy thứ này không gây tò mò, thì thử thứ khác. Thầy cô giáo phải dạy cả một lớp đông, có thể phải dùng những phương pháp chung, có hiệu quả (gây tò mò) với đa số học sinh, nhưng lại không có hiệu quả với một thiểu số khá lớn. Nhưng mỗi bậc phụ huynh thì chỉ có ít con, có thể tìm hiểu và thử nghiệm các phương pháp cá nhân hóa hơn để gây tò mò cho con của mình, trong trường hợp nó đi học ở trường không thấy tò mò thích thú. Hồi bé, tôi có được đọc cuốn sách “Người Mặt Nạ Đen từ nước Al Jabr” của L¨evshin, đọc rất say mê, và qua đó thấy thích giải phương trình. Sách viết về đại số, nhưng hấp dẫn như là truyện trinh thám. Có không ít những quyển sách kiểu như vậy, giúp cho học sinh tò mò thích học toán. Thử liệt kê ra dây một vài phương pháp chung để gây tò mò: - “Nửa kín nửa hở”. Nửa kín nửa hở nhiều khi kích thích trí tưởng tượng và sự tò mò hơn là “hở cả”. - Tạo hy vọng (đoạt giải, kiếm lời, ..., ví dụ như kiểu “cà rốt treo trước mũi con lừa”). - Hiệu ứng “của lạ”. Những thứ (số liệu, khẳng định, hình ảnh, Sputnik Education 77 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán v.v.) “lạ”, gây ngạc nhiên. Ngạc nhiên dẫn đến tò mò. - Những điều (tưởng chừng như là) phi lý, mâu thuẫn, khiến cho não “ray rứt”. - Tạo “challenges” (thách thức). Sướng không có nghĩa là dễ, khó không có nghĩa là khổ. Làm những cái khó (mà có thể làm được) có thể đem lại khoái cảm hơn nhiều là làm cái dễ. - Nguyên tắc bắc cầu: cái gì liên quan được đến những cái gây tò mò, thì bản thân nó cũng sẽ gây tò mò. 2.10 Rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu sắc Nên: Giúp trẻ em rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu sắc (deep think ing). Thế nào là suy nghĩ sâu sắc ? Một số đặc trưng của suy nghĩ sâu sắc là: - Suy luận bắc cầu nhiều bước, chứ không dừng lại ở 1-2 bước đầu tiên (như trong chơi cờ: người suy nghĩ sâu là người tính trước mấy nước đi). - Nhìn một vấn đề từ nhiều chiều nhiều hướng khác nhau, chứ không chỉ nghĩ “một chiều”. - Tìm cách “nhận dạng” vấn đề và sự liên quan đến các vấn đề khác. - Không thỏa mãn với những câu trả lời “đơn giản hóa”, “giáo điều”, mà đi tìm những “lời giải thích” sâu sắc hơn. - Lật đi lật lại vấn đề, kiểm tra các suy luận và thông tin. 78 Sputnik Education 2.10. Rèn luyện khả năng suy nghĩ sâu sắc - Suy nghĩ lâu về một vấn đề. Trong đời sống của con người, hầu hết các hoạt động được làm theo phản xạ mà không cần suy nghĩ hoặc chỉ cần suy nghĩ đơn giản 1-2 bước. Nhưng có những việc quan trọng, đòi hỏi khả năng suy nghĩ sâu, ví dụ như phân tích tình hình, vạch chiến lược, hay là nghiên cứu một vấn đề xã hội hay một vấn đề khoa học. Những người “bình dân” có thể ít khi suy nghĩ sâu sắc, nhưng những người muốn tự nhận mình là “trí thức”, không thể không biết suy nghĩ một cách độc lập và sâu sắc. Khả năng suy nghĩ sâu sắc không phải tự nhiên sinh ra mà có (trẻ em suy nghĩ rất giản đơn), mà là một kỹ năng có thể được tăng dần lên qua quá trình luyện tập thành thói quen. Theo các nhà thần kinh học thì không chỉ các kiến thức, mà cả các kỹ năng của con người cũng được ghi trong bộ nhớ của não. Tương tự như là máy tính, kiến thức thì được nhớ ở dạng dữ liệu (data) còn kỹ năng được nhớ ở dạng chương trình (programs). Trong đó có các “bản năng”, là các kỹ năng từ lúc sinh ra đã có sẵn trong bộ não, ví dụ như bản năng nghe nhìn, ăn uống, tự vệ, v.v. (những thứ không ai dạy cũng biết làm ở mức độ nào đó), và các kỹ năng còn lại là do học được trong quá trình sống. Tất nhiên các kỹ năng có thể tốt lên (nếu được sử dụng và luyện tập thường xuyên) hoặc tồi đi cùng với thời gian. Để có kỹ năng suy nghĩ sâu sắc, thì không có cách gì khác, là phải thường xuyên được luyện tập suy nghĩ sâu sắc. Một anh bạn tôi gốc do Thái (nhưng không theo đạo Do Thái) có kể cho tôi một câu chuyện thú vị sau: đạo Do Thái rất là phức tạp, rất nhiều luật lệ, và những người theo đạo, từ đứa trẻ con, phải nghiêm chỉnh tuân thủ Sputnik Education 79 Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán các luật đó. Có điều các luật đó lại mâu thuẫn với nhau, nhưng có một luật là: nếu 2 luật mâu thuẫn nhau, thì áp dụng luật nào quan trọng hơn (higher priority) trong hai luật đó. Ví dụ, ngày thứ bảy không được lái xe ô tô và nói chung không được làm việc gì cả. Nhưng đúng hôm đó vợ đẻ mà không có cấp cứu thì sao? Nếu không chở xe đưa vợ đến bệnh viện, mà để ở nhà, thì vợ có thể chết, nhưng sự sống là quan trọng nhất. Bởi vậy trong trường hợp đó phải lái xe chở vợ đến bệnh viện. Đưa vợ vào đến viện rồi thì phải đi bộ (không còn lý do để đi xe nữa). Thế nhưng không được để xe trước cửa bệnh viện (cản đường người khác, có thể làm người khác bị chết) nên phải lái xe đi ra khỏi bệnh viện để vào chỗ nào đó đã. Thế nhưng đi cách khỏi cổng bệnh viện bao nhiêu mét, đến chỗ nào thì phải dừng lại và đến chỗ nào thì chưa được dùng lại, là câu hỏi khó tha hồ mà suy nghĩ! Luật lệ về ăn uống của người Do Thái cũng khá phức tạp, có nhiều cái cấm ăn. Thế nhưng lại có luật là “nếu ở chỗ đông người, thì không được làm ảnh hưởng xấu đến không khí ở chỗ đó”, nên nếu vì không ăn cái gì đó mà làm những người xung quanh mếch lòng, thì có khi họ vẫn ăn. Từ khi nhỏ tuổi người Do Thái đã luôn gặp các tình huống phải suy nghĩ như vậy, khiến họ luôn luôn suy nghĩ, và “tự nhiên” trở thành các “thinkers”. Điều này một phần giải thích tại sao có nhiều người Do Thái thông minh. Người Việt Nam cũng có tiếng là “thông minh” (hay “khôn vặt” có khi chính xác hơn), vì luôn luôn “nghĩ mẹo”. Trong hầu hết các môn học đều có những câu hỏi, những vấn đề đòi hỏi phải suy nghĩ sâu. Có điều học sinh có được luyện suy nghĩ hay không, còn phụ thuộc vào cách dạy và cách thi cử. Nếu học chỉ 80 Sputnik Education """