Giả Thuyết Poincare - Cuộc Tìm Kiếm Hình Dạng Vũ Trụ PDF EPUB

" Giả Thuyết Poincare - Cuộc Tìm Kiếm Hình Dạng Vũ Trụ PDF EPUB 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Giả Thuyết Poincare - Cuộc Tìm Kiếm Hình Dạng Vũ Trụ PDF EPUB Ebooks Nhóm Zalo TỦ SÁCH KHOA HỌC DONAL O'SHEA GIẢ THUYẾT POINCARE Cuộc tìm kiếm hình dạng vũ trụ Nguyễn Lương Quang, Vũ Khuê Tâm và Phạm Cao Tùng dịch NHÀ XUẤT BẢN TRI THỨC ebook©tudonald78 | 25-04-2021 Ebook này được thực hiện theo dự án “SỐ HÓA SÁCH CŨ” của diễn đàn TVE-4U.ORG TÁC GIẢ －－－－－－－－ DONAL O’SHEA (1952-) Donal O’Shea là Trưởng khoa và Hiệu phó học vụ tại trường Mount Holyoke College, đồng thời là giáo sư giảng dạy môn Toán tại đây. Là một nhà hình học đại số, ông đã viết nhiều sách và tài liệu chuyên môn, các bài báo nghiên cứu của ông có mặt ở nhiều tạp chí và kỉ yếu. O’Shea là thành viên của Hội Toán học Mĩ, Liên hiệp hội Toán học Mĩ và các hội Toán học ở Canada, London và Pháp. Ông cũng là thành viên của Ủy ban trao giải thưởng Thiên niên kỉ đầu tiên cho Grigory Perelman về công trình tìm ra đáp án cho phỏng đoán Poincaré. Cuốn sách được dịch và xuất bản với sự giúp đỡ của Cet ouvrage, publié dans le carde du programme d’aide à la publication, bénéficie du soutien du The translation and publication of this work was supported by a grant from the ANNALES DE L’INSTITUT HENRI POINCARE INSTITUT HENRI POINCARE (IHP) 11 rue Pierre et Marie Curie — 75231 Paris Cedex 05 - France Website: http://www.ihp.jussieu.fr/en/annals QUYỂN SÁCH NÀY DÀNH TẶNG CHO MARY VÀ CHA MẸ TÔI HENRI POINCARÉ －－－－－－－－ MỘT CUỘC ĐỜI PHỤNG SỰ KHOA HỌC Năm 1954, cộng đồng khoa học thế giới kỉ niệm 100 năm ngày sinh của Jules Henri Poincaré. Ở thời điểm đó, tên tuổi của Poincaré chưa thực sự đạt đến đỉnh cao trong giới toán học, và lúc này, tinh thần của Hilbert đang thống trị hầu khắp tâm trí các nhà toán học. Cả trong lĩnh vực vật lí học, tên tuổi của Poincaré vẫn chưa có gì nổi trội. Năm 2012, chúng ta kỉ niệm 100 năm ngày mất của Poincaré, danh tiếng của ông đã đạt được những đỉnh cao mới trong giới khoa học và trong công chúng. Là một nhà toán học, một nhà vật lí lí thuyết, một triết gia, ông có tầm hiểu biết cũng như tầm ảnh hưởng sâu rộng lên nhiều tính vực khoa học. Trong lời giới thiệu ngắn gọn này, chúng tôi muốn gửi đến quý độc giả chân dung của ông - một con người suốt đời cống hiến cho khoa học. 1. Cuộc đời và sự nghiệp Henri Poincaré sinh ngày 29 tháng 4 năm 1854 tại Nancy trong một gia đình danh tiếng vùng Lorraine. Ông nội Jacques-Nicolas là một dược sĩ; bố Léon, một nhà tâm thần học, là Giáo sư Y khoa, Đại học Nancy; chú Antoni (bố của Raymond Poincaré - Tổng thống Pháp giai đoạn 1913- 1930), tốt nghiệp Đại học Bách khoa (École Polytechnique), là Tổng thanh tra cầu đường. Còn cô em gái Aline thì kết hôn với triết gia nổi tiếng Emile Boutroux. Từ nhỏ, Poincaré được các thầy dạy tại nhà. Năm 1862, ông học tại Lycée ở Nancy (bây giờ được đổi tên thành Lycée Henri Poincaré để tưởng niệm ông, thuộc trường Đại học Nancy) và nhanh chóng trở thành học sinh giỏi nhất, một “quái vật toán học”. Sau khi tốt nghiệp tú tài về văn chương và khoa học (1871), ông học thi hai năm và thi đỗ trong kì thi quốc gia vào “Trường Lớn”. Là một trong năm sinh viên đỗ đầu vào cao nhất của École Normale Supérieure, và là thủ khoa của École Polytechnique, ông đã lựa chọn ngôi trường thứ hai. Tại đây, ông học toán dưới sự hướng dẫn của Charles Hermite, tiếp tục phát triển tài năng toán học của mình và viết bài báo đầu tiên (Demonstration nouvelle des propriétés de l’indicatrice d’une surface) vào năm 1874. Sau đó, ông vào Trường Mỏ, nơi đã truyền cảm hứng về tinh thể học và lí thuyết nhóm cho toán học của ông sau nay. Poincaré nhận bằng dip-lôm về toán học tại Khoa Khoa học vào tháng 8 năm 1876. Trong hai năm cuối tại Trường Mỏ, Poincaré đã viết luận án Tiến sĩ về toán học dưới sự hướng dẫn của Charles Hermite. Luận án của ông về lĩnh vực phương trình vi phân, dưới tiêu đề Sur les propriétés des fonctions definies par les equations differences (Về các tính chất của các hàm số xác định bằng phương trình vi phân). Poincaré đã đưa ra một hướng mới trong việc nghiên cứu tính chất của các phương trình này. Ông không chỉ đối mặt với vấn đề xác định tính khả tích của các phương trình vi phân, mà còn là người đầu tiên nghiên cứu các tính chất hình học tổng quát của chúng. Ông nhận ra chúng có thể được sử dụng để mô hình hóa tương tác giữa các vật thể chuyển động trong Hệ Mặt Trời. Luận án đã mở rộng một số kết quả cổ điển của Briot và Bouquet về các phương trình vi phân thường đơn lẻ thành các phương trình vi phân riêng phần. Và ông bảo vệ thành công vào ngày 1 tháng 8 năm 1879, tại Khoa Khoa học trước một hội đồng gồm Bonnet, Bouquet và Darboux. Sau một thời gian ngắn làm việc trong ngành Mỏ, năm 1979, Poincaré được nhận vào Đại học Caen, Khoa Khoa học với vị trí là trợ giảng toán học, dạy môn giải tích. Nhưng ông cũng không từ bỏ hoàn toàn nghề mỏ. Ông làm kĩ sư tại Bộ Dịch vụ công cộng với nhiệm vụ là phát triển tuyến đường sắt miền Bắc từ năm 1881 đến 1885. Sau đó ông trở thành Kĩ sư trưởng tại Corps de Mines vào năm 1893 và Tổng thanh tra năm 1910. Đầu năm 1881 cho đến cuối sự nghiệp của mình, ông dạy tại Đại học Paris Sorbonne. Ông liên tiếp được bổ nhiệm làm giảng viên vật lí cơ học và vật lí thực nghiệm vào năm 1885, Giáo sư Toán học vật lí và xác suất vào năm 1886, và Giáo sư Thiên văn học toán học và cơ học thiên thể vào năm 1896. Ông cũng dạy thiên văn học tại Ecole Polytechnique và điện lí thuyết tại Trường Bưu chính. Ông là thành viên Nha Kinh độ (từ năm 1989). Vào năm 1887, ở tuổi 32, Poincaré được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp (Académie des sciences) và trở thành Chủ tịch năm 1906. Ông được bầu vào Viện Hàn lâm Pháp (Académie trancaise) vào năm 1909. Henri Poincaré là hình ảnh tiêu biểu về sự thành đạt trí tuê và xã hội của thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20. Ông cũng là nhà bác học “xuyên ngành” cuối cùng: như một triết gia về phương pháp luận, ông là tác giả của những công trình kinh điển về nền tảng phương pháp khoa học, về cơ cấu não trạng của quá trình khám phá; ở vai trò nhà vật lí, ngày nay, ông được coi là đồng tác giả của thuyết tương đối hẹp; với tư cách nhà toán học, bên cạnh David Hilbert, ông được coi là nhà toán học vĩ đại nhất, đồng thời là “bậc thầy phổ quát cuối cùng”, bao trùm đại số học lẫn hình học, lí thuyết số và hình học. Chính ông, trong một công trình năm 1895, đã sáng lập ra một ngành mới của hình học mà ông đặt tên là “analysis situs”, ngày nay gọi là topo học. Poincaré có hai nghiên cứu sinh tiêu biểu tại Đại học Paris là Louis Bachelier (1870-1946, lí thuyết ức đoán, đóng góp cho toán tài chính) và Dimitrie Pompeiu (1873-1954, tác giả của bài toán Pompeiu). Ngày 17 tháng 7 năm 1912, ông mất sau một cuộc phẫu thuật không thành công tại Paris, thọ 58 tuổi. Ông được chôn cất tại hầm mộ của gia đình ở nghĩa trang Montparnasse, Paris. Vào năm 2004, Claude Allègre - cựu Bộ trưởng Bộ Giáo dục Pháp - đã đề nghị Poincaré được chôn cất tại Điện Panthéon ở Paris, nơi an nghỉ của những người có cống hiến lớn cho nước Pháp. 2. Giả thuyết Poincaré Giả thuyết Poincaré là một trong những giả thuyết toán học nổi tiếng và quan trọng bậc nhất, là một trong những thách thức lớn nhất của toán học thế kỉ 20 do Jules Henri Poincaré đưa ra năm 1904. Giả thuyết Poincaré từng làm nhiều bộ óc toán học thế giới của thế kỉ 20 phát sốt và biết bao chứng minh sai (cũng như những “chứng minh” không được chú ý đến) đã từng được đưa ra. Học viện Toán học Clay đã xếp nó vào một trong bảy bài toán khó của thiên niên kỷ chưa giải được để thách đố thế kỉ 21 với giải thưởng lên đến 1 triệu USD. Bài toán này được Grigori Perelman chứng minh vào năm 2002, 2003. Trong 100 năm tồn tại, nó trực tiếp và gián tiếp đem về bốn Huy chương Fields cho Smale (1966), Thurston (1982), Freedman (1986) và Perelman (2006). Nhân dịp kỉ niệm 100 năm ngày mất của Henri Poincaré, Nhà xuất bản Tri thức trân trọng giới thiệu với bạn đọc cuốn sách Giả thuyết Poincaré - Cuộc tìm kiếm hình dạng vũ trụ, tác giả Donal O’Shea, do Nguyễn Lương Quang, Vũ Khuê Tâm và Phạm Cao Tùng dịch. Cuốn sách được xuất bản với sự hỗ trợ của Viện Poincaré (Pháp). Giả thuyết Poincaré - Cuộc tìm kiếm hình dạng vũ trụ nói về một bài toán duy nhất như đúng tựa đề; cuộc hành trình 100 năm của nó bắt đầu từ năm 2003, khi được Perelman chứng minh rồi trở về với nguồn cội toán học, triết học của nó khi con người bắt đầu tò mò về vũ trụ và từ đó theo thời gian tuyến tính qua những băn khoăn của chính Poincaré đến những bộ óc vĩ đại khác. Là một cuộc dạo chơi qua các trí tuệ lớn và của các trí tuệ lớn, Giả thuyết Poincaré - Cuộc tìm kiếm hình dạng vũ trụ có thể giúp độc giả chuyên ngành toán học hay độc giả phổ thông tìm thấy nhiều điều thú vị. Xin trân trọng giới thiệu! Tháng 7/2012 NHÀ XUẤT BẢN TRI THỨC －－－－－－－－ LỜI TỰA Cuốn sách này chỉ bàn về một bài toán duy nhất. Nó được đưa ra bởi nhà toán học kì tài người Pháp Henri Poincaré hơn một trăm năm trước, và kể từ đó đã cuốn hút cũng như làm phật lòng nhiều nhà toán học. Nó chỉ vừa mới được giải quyết. Đối tượng mà giả thuyết Poincaré hướng đến là trung tâm của tri kiến về chính bản thân chúng ta và về vũ trụ mà chúng ta đang sống. Tôi viết cuốn sách này cho những ai hiếu kì nhưng chỉ còn nhớ rất ít hình học phổ thông, mặc dù tôi cũng hi vọng những người có nền tảng toán học đáng kể sẽ thích nó. Đối với những ai có nhu cầu tìm hiểu thêm thì đã có các phụ chú cuối sách. Tới bất kì buổi họp mặt nào, ngồi cạnh bất cứ ai trên máy bay, lắng nghe những gì họ nói về toán học: Một vài người yêu thích. Nhưng phần lớn là không, và họ không dành những lời tốt đẹp cho toán. Một số tin rằng mình sinh ra đã không thể làm chủ toán học. Số khác không thích. Nhiều người ghét cay ghét đắng nó, với tình cảm thường chỉ dành cho một cuộc tình đã tan vỡ. Làm thế nào mà một chủ đề tràn đầy cái đẹp lại làm dấy lên một loạt các phản ứng tiêu cực đến vậy? Sự chán ghét của một vài người dường như bắt nguồn từ nỗi sợ hãi. Tôi không ảo tưởng rằng một cuốn sách sẽ thay đổi điều này. Nhưng nếu bạn là một người đọc với những cảm xúc chưa rõ ràng về toán học, tôi hi vọng cuốn sách này sẽ truyền cảm hứng để thúc giục bạn đọc thêm những cuốn sách về toán học khác, hoặc, nếu bạn là một sinh viên hay một người đang có ý định học thêm, xem xét việc học thêm một vài ngành toán. Tôi hi vọng rằng bạn sẽ thích thú khi đọc cuốn sách này cũng như tôi đã thích thú khi viết nó. I －－－－－－－－ CAMBRIDGE, THÁNG 4 NĂM 2003 Những cuộc cách mạng trong toán học thường khá tĩnh lặng. Không xung đột vũ trang. Không tiếng súng. Tin ngắn về chúng nằm xa trang nhất. Chẳng ấn tượng chút gì. Tương tự như buổi chiều thứ hai ẩm ướt ngày 7 tháng 4 năm 2003, tại Cambridge, Massachusetts. Cử tọa già trẻ tụ họp tại giảng đường của Viện Công nghệ Massachusetts (MIT). Họ ngồi đầy trong phòng họp, giữa các lối đi, và đứng cả ở phía sau. Diễn giả, nhà toán học người Nga, Grigory Perelman, mặc một bộ com lê sẫm màu nhăn nheo, đi đôi giày thể thao đế mềm, bước vào khi được giới thiệu. Rậm râu, đầu hói, lông mày đậm và đôi mắt đen nồng nhiệt, anh thử lại micro rồi bắt đầu một cách do dự: “Vì không giỏi nói chuyện thẳng thắn nên tôi sẽ bỏ qua sự rõ ràng để cho cuộc nói chuyện sinh động hơn”. Tiếng cười vui râm ran trong cử tọa và buổi diễn thuyết bắt đầu. Anh nhặt một viên phấn trắng cực lớn để viết một phương trình ngắn có hai mươi năm tuổi đời.1 Phương trình đó được gọi là phương trình dòng chảy Ricci, mô tả độ cong không gian như một loại nhiệt kì lạ, tương tự dòng dung nham nóng chảy, chảy từ vùng có độ cong lớn và tìm cách lan ra các vùng có độ cong nhỏ hơn. Perelman mời cự tọa tưởng tượng vũ trụ của chúng ta như một thành phần trong một tập hợp toán học trừu tượng khổng lồ của tất cả các vũ trụ khả dĩ. Anh xem phương trình Ricci như một cách mô tả chuyển động của những vũ trụ khả dĩ này như thể chúng là những giọt nước được đổ xuống từ vùng đồi núi khổng lồ trong một cảnh quan hùng vĩ. Khi một thành phần di chuyển, độ cong thay đổi trong giới hạn vũ trụ mà nó đại diện, và ở một số vùng, độ cong này tiến gần đến một giá trị không đổi. Trong hầu hết các trường hợp, những vũ trụ này phát triển các dạng hình học đẹp đẽ, một số giống với hình học Euclide mẫu mực mà chúng ta đã học ở phổ thông, một số lại rất khác biệt. Nhưng một vài dòng chảy dẫn dắt sự rơi xuống của các giọt nước lại tạo ra vấn đề - các yếu tố di chuyển dọc theo nó tạo ra các vùng xấu về mặt toán học mang tính chia rẽ hoặc tệ hơn. Không vấn đề gì, diễn giả khẳng định, ta có thể di dời những dòng chảy đó; và ông phác thảo phương pháp. Cử tọa bị thu hút tới buổi nói chuyện qua một bài viết mà Perelman đã đưa lên mạng tháng 11 năm trước. Trong phần cuối cùng của bài viết đó, anh nêu ra một luận điểm mà nếu đúng, sẽ chứng minh được một trong những giả thuyết nổi tiếng nhất, khó nắm bắt nhất, và đẹp nhất của toán học. Được đề ra vào năm 1904 bởi Henri Poincaré, nhà toán học hàng đầu thời đó và cũng là thiên tài của mọi thời đại, giả thuyết Poincaré là một phỏng đoán táo bạo về hình dạng khả dĩ của vũ trụ chúng ta. Nhưng nó chỉ là giả thuyết không hơn. Thách thức của việc chứng minh hay bác bỏ nó đã tạo ra một tiếng kèn lôi kéo các nhà-toán học và làm cho nó trở thành bài toán nổi tiếng nhất không chỉ trong hình học và topo học nói riêng mà trong tất cả các ngành toán học. Tháng 5 năm 2000, Học viện Toán học Clay,2 một học viện dành riêng cho việc phát triển và phổ biến kiến thức toán học, đã liệt bài toán này vào danh sách bảy bài toán thiên niên kỉ và đề ra giải thưởng một triệu đô la cho bất kì ai tìm ra đáp án của nó.3 Hơn một nửa cử tọa trong phòng có lẽ đã từng thử lần tìm đường tới đáp án cho giả thuyết Poincaré. Tất cả mọi người trong khán phòng - từ anh chàng tuổi trạc ba mươi có dáng vẻ sinh viên với mái đầu đinh ghi chép bằng tiếng Trung Quốc, cô gái tóc vàng với áo bó và váy ngắn, cho tới người vừa mới chạy bộ mặc quần short rộng thùng thình với áo phông còn đẫm mồ hôi, cụ già khoảng tám mươi với đôi mắt ươn ướt diện áo lạnh xương cá nhuốm màu phấn trắng của mấy chục năm trên giảng đường - biết rằng họ có thể đang được chứng kiến một sự kiện vĩ đại trong lịch sử ba ngàn năm của toán học. Toán học là một quá trình lao động cần cù từ thời đại này đến thời đại khác, đã trải qua những giai đoạn phát triển rực rỡ cũng như những khoảng thời gian khốn cùng, từ những người Babylon vô danh tìm ra cách tính diện tích hình tròn, cho đến những khám phá mộc mạc nhưng hoàn hảo của Euclid, và hai thế kỉ gần dây là sự trổ hoa của hình học và topo học. Sau đó hai tuần và nhiều bài giảng khác, tại một cơ sở hàng đầu mang tên Stony Brook của Đại học bang New York, một buổi nói chuyện tương tự lại diễn ra. Giảng đường thậm chí còn đông hơn. Lần này, nhiều phóng viên cũng có mặt trong phòng. Họ được biết rằng Perelman đã thực hiện một khám phá gây choáng váng liên quan đến hình dạng của vũ trụ, và rằng nhờ đó có thể anh sẽ đoạt được giải thưởng một triệu đô la. Họ cũng được biết về sự nghiệp bí ẩn của anh - anh đột nhiên biến mất trong thập kỉ trước, và về tài năng xuất chúng được thừa nhận của anh, về triển vọng chưa được khai thác của anh. Ánh đèn flash lóe sáng. “Đừng”, Perelman gắt lên, tỏ rõ sự khó chịu. Nhà toán học kiên nhẫn trả lời tất cả các câu hỏi từ cử tọa sau bài diễn thuyết của mình. Những câu hỏi khá dữ dội. ’’Nhưng kết quả sẽ nổ tung trong thời gian hữu hạn”, một tiếng nói từ giữa phòng. “Không sao”, Perelman trả lời, “ta cố thể cắt nó ra và khởi động lại dòng chảy.” Sự im lặng, sau đó là một vài cái gật đầu đồng tình. Cử tọa rất thận trọng, cân nhắc những gì họ nghe. Họ sẽ phải suy ngẫm lời của anh trong nhiều tháng tới, nhưng điều này có vẻ đầy hứa hẹn. Những ngành toán học mà Perelman viện dẫn chắc là chưa được nghĩ tới ba thập kỉ trước. Các tính toán chuyên môn mà anh sử dụng là mũi nhọn nhất hiện nay và phụ thuộc một cách quyết định vào thành quả nghiên cứu của một số người trong nhóm cử tọa. Bầu không khí căng thẳng. Mọi người đều biết các lập luận của diễn giả rất cao siêu, tinh tế, nhưng cũng rất dễ sai lầm. Ai cũng muốn chúng là đúng đắn. Một trang web4 được quản lí bởi hai giáo sư, Bruce Kleiner và John Lott, tại khoa Toán học xuất sắc của Đại học Michigan. Trang web có liên kết đến các bài viết của Perelman. Các nhà toán học trên khắp thế giới đã thêm những nhận xét, làm rõ các luận điểm chưa rõ ràng và khai triển thêm những đoạn có vẻ như quá ngắn ngủi. Hầu hết các nhà toán học, cho dù có nghiên cứu hình học hay không, đều biết đến một ai đó trong buổi diễn thuyết và chờ đợi thông tin từ họ. Phần lớn các cử tọa ghi chú lại bài giảng cho riêng họ và cho bạn bè. Hai trong đó, Christina Sormani, một giáo sư trẻ tuổi tại Lehmann College, và Yair Minsky, một giáo sư mới nổi tại Yale, đã đăng bản ghi chép của họ trên trang web, do đó ai cũng có thể truy cập. Cũng như tại MIT, tất cả mọi người trong phòng, ngoại trừ các phóng viên, trẻ cũng như già nhận ra rằng những gì họ đang lắng nghe là đỉnh điểm của hơn một thế kỉ đơm hoa kết trái tư tưởng toán học trong lịch sử loài người. Bài giảng yêu cầu sự tập trung cao độ, để lại rất ít khoảng trống cho những suy nghĩ vu vơ. Mặc dù vậy, hẳn là nhiều người cũng đang bận tâm tới một sự kiện hoặc bài báo được ấp ủ, rất đặc biệt, gần đây hay lâu rồi, có liên quan đến công trình của Poincaré hoặc của một ai khác đã khuất bóng từ lâu, nhưng chắc chắn tất cả đều rất muốn nghe buổi nói chuyện này. Tất cả đều vui mừng về sự phong phú của những ý tưởng hay, và những hướng đi đầy hứa hẹn còn phải khai phá. Cánh phóng viên, mặt khác, muốn biết về một triệu đô la. Cảm nhận của Perelman về khả năng đoạt giải? Có thông tin lộ ra là anh không quan tâm đến giải thưởng, vì vậy cánh phóng viên thay đổi cách tiếp cận và viết những câu chuyện về một người Nga sống ẩn dật thực hiện một khám phá toán học vĩ đại, và đoán rằng anh sẽ từ chối giải thưởng. Vài ngày sau đó, Perelman bổ sung thêm một số chi tiết trong các buổi thảo luận được tổ chức vội vàng. Nhưng anh từ chối tất cả các cuộc phỏng vấn với giới báo chí, trở về Saint Petersburg vài tuần sau đó mà không phúc đáp lời mời cộng tác của các trường đại học hàng đầu nước Mĩ. Giả thuyết Poincaré và chứng minh của Perelman là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của thời đại chúng ta. Nó cho chúng ta biết nhiều điều về bản chất và hình dạng khả dĩ của vũ trụ. Phương trình dòng chảy Ricci mà Perelman đã viết, một loại phương trình nhiệt, có họ hàng xa với phương trình Black-Scholes mà những người giao dịch chứng khoán trên khắp thế giới sử dụng để định giá cổ phiếu và các tùy chọn trái phiếu. Nhưng độ cong phức tạp hơn nhiều so với nhiệt độ hay tiền bạc. Các chương tiếp theo sẽ giải thích độ cong là một đối tượng hình học đòi hỏi nhiều hơn một con số để mô tả nó, và phương trình dòng chảy Ricci mà Perelman sử dụng là sự rút gọn của sáu phương trình có liên quan khác, là một chiến thắng của sự thanh tao, sự đơn giản, nhưng lại chứa đựng một sự phong phú đáng kinh ngạc. Phương trình tương tự gần với nó nhất là phương trình thuyết tương đối rộng thể hiện độ cong không-thời gian của Einstein. Cuốn sách Giả thuyết Poincaré này kể về câu chuyện toán học nằm sau giả thuyết và sự chứng minh nó. Nói chuyện toán học sao cho dễ cảm nhận là phải không chỉ đề cập đến các kết quả, mà cả về những con người mang đến những kết quả đó. Trong tâm thức nhân loại, các thành tựu toán học thường phản ánh một truyền thuyết lãng mạn của một thiên tài đơn độc đã dũng cảm giành giật sự hiểu biết từ một vũ trụ vô cảm. Đúng là có những người mà sự thông tuệ dường như đến từ hư không, đã một mình làm thay đổi môn khoa học này ít nhất là trong vài thập kỉ sau đó. Tuy nhiên, cũng đầy màu sắc và đầy huyền bí giống như các thiên tài, tiến bộ toán học mặt khác lại cũng phụ thuộc vào hàng ngàn cá nhân, và xã hội nơi họ làm việc và sinh sống. Đã đến lúc kể về câu chuyện dài này. Bắt đầu từ Babylon năm ngàn năm trước, đến Saint Petersburg, rồi miền Bắc bang New York, và Madrid. Cuốn sách trên tay các bạn truy tìm lại lịch sử hình học, sự khám phá ra hình học Phi-Euclid, cũng như sự khai sinh của topo học và hình học vi phân trải qua năm thiên niên kỉ, dưới bàn tay của hàng chục tổ chức xã hội và hàng trăm con người khác nhau. Cuốn sách cũng đề cập đến những khám phá, chiến tranh, các tổ chức khoa học, sự xuất hiện của các trường đại học nghiên cứu ở Đức và gần đây nhất là ở Mĩ. Phần trình bày toán học được đan xen với các tư liệu về tiểu sử, văn hóa và lịch sử. Với một số người, nội dung toán học có thể là quá nhiều, đối với một số khác thì lại là quá ít. Nhưng chỉ với kiến thức phổ thông trung học, hầu như ai cũng có thể nắm bắt được các khái niệm cơ bản của cuốn sách này, những điểm khó hơn chỉ là một chút thử thách nho nhỏ. Bạn có thể hiểu, thích thú với toán học và giả thuyết nổi tiếng này mà không cần phải tự mình “làm toán học”. Để thuận tiện cho người đọc, một bảng chú giải các thuật ngữ toán học, một danh sách các nhân vật, và một danh mục các sự kiện lớn được nêu ra trong câu chuyện được đặt ở phần ghi chú cuối sách. Một số ngành toán học có nguồn gốc sâu xa trong quá khứ, từ thiên niên kỉ trước. Nghiên cứu toán học là một trong những hoạt động lâu đời nhất của con người, như các nghề mộc, nấu ăn, và luyện kim. Nhưng thực ra, từ sau năm 1900, nhiều ngành toán học khác đã được khám phá, nhiều hơn toàn bộ quãng thời gian trước đó của lịch sử loài người. Do vậy, tốc độ ngày một tăng và sự phụ thuộc vào các ghi chú để biết thêm chi tiết và tư liệu tham khảo cũng sẽ lớn hơn khi câu chuyên tiến gần đến thời gian hiện tại. Hay nhẹ nhàng lướt qua các phần và ghi chú mang tính toán học nhiều hơn. Sẽ không có bài kiểm tra nào cả. Bạn có thể trở lại bất cứ chỗ nào bạn muốn để tìm câu trả lời cho những gì có vẻ chưa rõ ràng. Dù sao chăng nữa giả thuyết Poincaré đã làm đau đầu các nhà toán học uyên bác nhất trong một trăm năm qua chứ không riêng gì bạn. II －－－－－－－－ HÌNH DẠNG TRÁI ĐẤT Giả thuyết Poincaré cung cấp các công cụ mang tính khái niệm và công cụ toán học để tư duy về hình dạng khả dĩ của vũ trụ. Nhưng hãy bắt đầu với câu hỏi đơn giản hơn về hình dạng Trái Đất. Bất kì học sinh nào cũng sẽ nói rằng Trái Đất tròn, có dạng hình cầu. Điều này dường như là hiển nhiên trong thời đại ngày nay khi những chiếc máy bay và vệ tinh nhân tạo có thể chụp hành tinh của chúng ta từ trên cao xuống. Tuy nhiên, trong quá khứ, thật khó để khẳng định một cách chắc chắn về hình dạng của Trái Đất. “Liệu có ai lại điên rồ đến mức tin rằng, ở phía bên kia trái đất, có những người mà chân của họ đối diện với chân của chúng ta: những người đó bước đi với những gót chân ở trên cao còn đầu thì bị treo ở phía dưới?”.5 Theo Washington Irving, một trí thức nổi tiếng của nước Mĩ thế kỉ 19, câu hỏi tu từ này của một cha đạo thời xa xưa đã được ban cố vấn của vua Ferdinand và hoàng hậu Isabella trích dẫn để đánh giá đề xuất căng buồm theo hướng Tây qua Đông Ấn của Christopher Columbus. Irving nín thở khi kể lại chi tiết sự hoài nghi, thậm chí sự thù địch của các thành viên ban cố vấn, mù quáng trong niềm tin về một Trái Đất bằng phẳng, đã liên tục thách thức Columbus như thế nào.6 Một mình đứng trước ủy ban có học vấn uyên thâm, trong lãnh địa của Toà án dị giáo, Columbus đã bảo vệ vững chắc quan điểm của mình. Bức chân dung Columbus đó của Irving, đã tồn tại và được thuật lại không một chút hoài nghi từ đời này sang đời khác, thực ra là vô nghĩa - “hoàn toàn vớ vẩn” như sử gia uyên bác người Mĩ Samuel Eliot Morison đã viết.7 Vào năm 1490, hầu như tất cả những người có học ở phương Tây đều tin rằng Trái Đất là hình cầu. Đương nhiên, còn tồn tại những cuộc tranh luận về có hay không những người sống ở phía bên kia thế giới mà không biết đến Đức Chúa hay đấng Đại Tiên tri. Sự thiếu kiến thức là mảnh đất màu mỡ của các câu chuyện hoang đường. Nhiều người tin vào truyền thuyết về những vùng đất rộng lớn không thể đến được do những cơn bão kinh hoàng. Những câu chuyện ghê rợn về sự tồn tại nhan nhản các loài quái vật ở khắp nơi. Nhưng cũng có một vài người lập luận rằng bên kia bán cầu là một đại dương lớn tuyệt nhiên không có đất liền, không có sự tồn tại của con người. Columbus không đồng ý với các cố vấn của nhà vua và hoàng hậu, nhưng sự bất đồng của họ xoay quanh kích thước Trái Đất chứ không phải về hình dạng. Tất cả đều tin rằng Trái Đất hình cầu. Mặc dù lúc này đã có một số bản đồ chi tiết rất chất lượng của một vài vùng trên Trái Đất (đặc biệt là vùng biển Địa Trung Hải), được tập hợp thành các atlas, nhưng chẳng ai thực sự có ý tưởng gì về chu vi Trái Đất. Những ước đoán có căn cứ xác thực nhất là của người Hi Lạp cổ đại. Vào thế kỉ thứ hai, Ptolemy ước tính chu vi Trái Đất là 18.000 dặm. Các cố vấn hoàng cung của vua Tây Ban Nha ủng hộ ước tính của Erastosthenes, một nhà hình học Hi Lạp của thế kỉ thứ ba TCN: Ông đã đưa ra con số 24.200 dặm cho chu vi của Trái Đất, rất gần với kết quả của hiện nay là 24.902 dặm. Columbus lập luận rằng Trái Đất thậm chí còn nhỏ hơn so với tính toán của Ptolemy: Các cố vấn đã có lí chứ không phải Columbus. Nếu quan điểm của các cố vấn chiếm ưu thế, Columbus sẽ không nhận được hỗ trợ tài chính, vì chi phí cho một cuộc viễn dương dài ngày hơn và ẩn chứa một độ rủi ro cao hơn sẽ không được cho phép. Danh tiếng của Columbus thăng trầm theo dòng thời gian. Ban đầu ông được ca ngợi cho sự khôn ngoan, can đảm, tầm nhìn và ngay cả ngoại hình. Trong dịp kỉ niệm 500 năm chuyến du hành của ông, một số đánh giá khác, đen tối hơn, được đưa ra: Columbus là một tên đế quốc tham lam, cứng đầu, được hưởng lợi từ may mắn trời cho. Nhà thám hiểm thực sự đã gặp may khi mà châu Mĩ nằm đúng ở vị trí của nó. Tuy nhiên, ông cũng biết khai thác lượng thông tin sẵn có thời đó một cách chính xác. Ông nghe đồn về các chuyến thám hiểm của người Bắc Âu và của nhà hàng hải Alien, Brendan. Nếu họ đã đặt chân đến châu Á, giả thuyết có vẻ hợp lí, thì Erastosthenes và Ptolemy cả hai đã sai lầm. Vào thời đó, điều này đương nhiên là hợp lí hơn so với giá thuyết là có một lục địa chưa được khám phá nằm giữa châu Âu và châu Á. Hơn thế nữa, vô số dữ liệu mà Ptolemy sử dụng chứa đựng nhiều sai sót. Cho đến khi chết, Columbus vẫn tin rằng ông đã đặt chân lên quần đảo Spice ở phía Đông của Ấn Độ. Ông biết rằng để đến được đó bằng cách đi vòng quanh châu Phi sẽ mất thời gian hơn rất nhiều và ông đã phải đấu tranh để dung hòa giả thuyết này với các quan sát của riêng mình. Ông viết: “Tôi. thấy rằng Trái Đất không tròn như nó vốn được miêu tả, mà có hình dạng một quả lê, tròn ở khắp nơi ngoại trừ phần gần cuống bên ngoài, hay nó có thể có hình dạng quả bóng tròn với một cái gì đó giống với núm vú phụ nữ ở một nơi, phần nhô ra này là điểm cao nhất và gần thiên đàng nhất.” Đoạn viết này thường bị chế nhạo, nhưng nó đem lại khá nhiều cảm hứng cho tôi.8 Ở đây ta thấy một ông già, người đã tin và dành cả cuộc đời để chứng minh Trái Đất là một hình cầu hoàn hảo, song vẫn sẵn sàng đón nhận các giả thuyết khác phù hợp với dữ liệu hơn. Có lẽ, ông đã lập luận rằng Bắc Bán cầu thu hẹp lại giống như phần gần cuống của quả lê còn Nam Bán cầu phình ra như phần dưới của quả lê. Nên ta có thể đi tới quần đảo Spice tương đối nhanh bằng cách dong buồm quanh chiếc cổ hẹp của Bắc Bán cầu, trong khi đó, việc đi vòng quanh châu Phi qua vùng Nam Bán cầu to hơn sẽ làm khoảng cách tăng lên rất nhiều. Việc tự nguyện xem xét lại những niềm tin theo đuổi suốt đời vì thấy chúng không phù hợp với dữ liệu đòi hỏi rất nhiều dũng khí, và tương phản mạnh mẽ với nhiều thuyết trình trước công chúng gần đây của các nhà lãnh đạo chính trị, văn hóa, tôn giáo trong đó các dữ liệu được điều chỉnh cho phù hợp với những lí thuyết mang tính định kiến. Bỏ qua các tranh luận về chu vi của Trái Đất, thực tế là vào năm 1490 không một ai thực sự biết chắc liệu Trái đất có phải là hữu hạn, ít nhiều như một hình cầu hay không. Điều duy nhất được biết đến là Trái Đất hình cong và người ta đã vẽ bản đồ của một khu vực khá rộng. Như vậy thì từ đâu nảy sinh niềm tin Trái Đất là một hình cầu, và làm thế nào lí thuyết này được chấp nhận rộng rãi như vậy? IONIA VÀ NGƯỜI HI LẠP Câu chuyện về lần đầu tiên Trái Đất được hiểu là có dạng hình cầu bắt đầu khoảng hai ngàn năm trước chuyến thám hiểm của Columbus, trên đảo Samos thuộc Hi Lạp. Vào thời Columbus, Samos gần như bị bỏ hoang. Nằm cách khoảng một dặm ngoài khơi bờ biển Phía Tây của Thổ Nhĩ Kì, vị trí này khiến Samos trở thành mục tiêu xâm lược của người Byzantines, người Arập, người Venice, quân Thập tự chinh, người Thổ Nhĩ Kì. Cho đến ngày nay, những thị trấn yên tĩnh, những bãi biển cát trắng, những cây ô liu và vườn nho nằm dọc con đường lượn quanh sườn núi Karvounis hoặc Kerkis, chỉ gợi lên sự lười biếng ấm ấp và sự uể oải đời đời. Lái xe hoặc đạp xe đạp khoảng tám dặm về phía nam của thị trấn Samos ngày nay sẽ dẫn ta đến một thị trấn có tên gọi Pythagoreion. Thị trấn mang tên của Pythagoras, công dân nổi tiếng nhất của Samos, nằm trên một phần của thành cổ Samos đã bị chôn vùi. Rẽ sang trái tại một ngã ba trên đường và tiếp tục đi dọc bờ biển, trên gò cao là một thung lũng với những tàn tích của Heraion, đền thờ thần Hera, một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Trong 155 cột trụ đã từng được dựng lên nơi đây, giờ chỉ còn sót lại một cột duy nhất cao bằng nửa chiều cao ban đầu đứng trên một nền đá lớn. Gần đó là đường hầm dẫn nước Evpalinos, bây giờ được mắc đèn sáng trưng và mở cửa cho công chúng. Quá khứ hùng vĩ áp đảo hiện tại mờ nhạt. Tiếp tục 20 dặm từ tàn tích của ngôi đền dọc con đường chính dẫn đến thị trấn Marathokampos trên đỉnh đồi ở phía tây. Một bảng hiệu nhỏ đánh dấu con đường mòn đi bộ lên núi Kerkis và một hang động nơi Pythagoras đã từng dạy học. Ngược lên dốc là một hang động râm mát và một hang ngầm rộng rãi. Đi bộ xuống dưới một chút, dốc đá của dãy Kerkis và màu xanh thẳm của biển Aegean dường như trải dài đến vô tận. Sự hoang vu, vẻ đẹp, và sự tịch mịch gợi nhớ đến hình ảnh của dãy núi Skellig ở Alien hoặc sườn dốc phía đông của ngọn núi lửa thiêng liêng Haleakala trên đảo Maui thuộc quần đảo Hawaii. Tại những nơi như vậy, hiện tại mong manh và quá khứ dường như xích lại gần nhau. Tiếng người xưa như vọng lại thì thầm bên tai. Chính nơi đây Pythagoras lần đầu tiên giảng giải rằng Trái Đất là một hình cầu. Người địa phương nói linh hồn ông vẫn còn vương vấn đâu đây. Trong các đêm tối khi gió thổi vào dãy núi Kerkis đến rát cả mặt, họ kể về quầng ánh sáng mờ nhạt phát ra từ các phiến đá dẫn đường cho những người đi biển từ đằng xa. Ánh sáng đó rực cháy 2.500 năm trước trong thời hoàng kim của Samos, lúc đó là một thành phố quan trọng của thành quốc Ionia. Khu vực nhỏ bé này bao gồm bờ biển nằm ở cực Tây của Thổ Nhĩ Kì, hay còn gọi là Tiểu Á, kéo dài từ Phocaea, khoảng một trăm dặm về phía nam cho đến Miletus, cùng với các đảo Aegean cách không xa đất liền. Dân gian truyền rằng người Hi Lạp đã chiếm đóng khu vực này vào đầu thiên niên kỉ thứ nhất TCN. Chính tại nơi đây, nền kinh tế, văn hóa Hi Lạp nhanh chóng hồi phục sau Kỉ nguyên Đen tối, quãng thời gian gần 500 năm suy giảm dân số, kinh tế khó khăn, chữ viết bị lãng quên sau cuộc hủy diệt tàn bạo vẫn còn nằm trong vòng bí ẩn của nền văn minh Mycenaen vào thế kỉ 12 TCN. Các tác phẩm của những công dân Ionia như Homer và Hesiod đánh dấu sự trỗi dậy của thời đại Phục hưng. Chữ viết, dựa vào bảng chữ cái có nguồn gốc từ Phoenicia (Lebanon ngày nay) đã bắt đầu được sử dụng cuối thế kỉ thứ chín TCN, và được Homer kịp thời sử dụng để viết sử thi. Giữa thế kỉ thứ bảy và thứ năm TCN, Samos trở thành một thế lực hải quân lớn mạnh, và trên đất liền của Ionia là những thành quốc quan trọng, những trung tâm thương mại sầm uất. Triết học và khoa học Hi Lạp trỗi dậy ở Ionia vào cùng thời điểm này. Hình 1. Ionia. Nhờ vị trí của Ionia trên rìa Tiểu Á, mà các nhà tư tưởng của Ionia có cơ hội tiếp xúc với các nền văn minh lớn khác của miền Đông Địa Trung Hải, đặc biệt là Ai Cập. Xa xa về phía đông là Babylon huyền thoại, hay xa hơn nữa là Ba Tư. Hai nhà triết học vĩ đại sinh trưởng tại Miletus của Ionia là Thales (624-547 TCN) và Anaximander (611-545 TCN) đã dạy rằng vũ trụ và chuyển động của các vì sao tuân theo các quy luật tự nhiên, chứ không bị chi phối bởi ma thuật hay sự can thiệp độc đoán của các vị thần. Vũ trụ có trật tự của nó, và ta có thể hiểu được nó thông qua lí luận và suy luận logic. Đây là một ý tưởng rất mới, đòi hỏi khá nhiều thời gian để nắm bắt, và có ảnh hưởng thăng giáng tùy theo những địa điểm, những thời điểm khác nhau. Thales và Anaximander cũng suy đoán về hình dạng của Trái Đất. Thales chấp nhận niềm tin của người Ai Cập cho rằng Trái Đất nhô lên như một ngọn núi từ một đại dương phẳng lặng và vô tận. Anaximander nghĩ về vấn đề sâu hơn một chút, tin rằng Trái Đất là một ống xi lanh treo lơ lửng trong không gian. Pythagoras (569-475 TCN) khao khát hiểu biết về tôn giáo và sự huyền bí nhiều hơn các triết gia khác của Ionia. Cha của ông, Mnesarchus, một thương nhân đến từ thành quốc giàu có Tyre, chuyển từ Phoenicia đến Ionia, nơi ông đã gặp và kết hôn với Pythais của xứ Samos. Tương truyền rằng Mnesarchus đã được cấp quyền công dân trên Samos sau khi quyên góp lương thực cho đảo trong một nạn đói. Pythagoras du lịch khắp nơi cùng cha, gặp mặt các học giả người Syria và Chaldea trong một chuyến đi trở lại Tyre, đến cả Ý và Hi Lạp. Ông là một thần đồng, sớm bộc lộ mối quan tâm đặc biệt đến triết học, môn học mà ông được bồi dưỡng bởi người thầy của mình - Pherekydes (600-550 TCN), và bởi Thales và Anaximander. Khi gặp Pythagoras, Thales đã là một ông già thông thái, nổi tiếng và được kính trọng trên khắp lãnh thổ Ionia. Thales từng sống ở Ai Cập thời trẻ, và chính ông, như một định mệnh, đã khuyến khích Pythagoras cũng nên đến đó.9 Hình 2. Ionia, Ai Cập và Phía Đông. Tại Ai Cập, bằng cách nào đó Pythagoras đã được tham gia vào những nghi lễ thần thánh của người bản xứ. Đến nay người ta vẫn không hiểu làm sao mà một người nước ngoài như Pythagoras lại được phép học các nghi lễ rất bí ẩn này. Tuy nhiên, tất cả các sử liệu đều cho rằng có lẽ nhờ chân ông có một cái bớt vàng bẩm sinh mà các giáo sĩ Ai Cập tin rằng ông được che chở bởi thần Osiris của họ, và do đó cho phép ông tham gia vào các hoạt động cúng tế. Chắc chắn là sau đó cuộc đời của Pythagoras đã được gắn với nhiều lời đồn đại, rằng một nửa trong ông là thần linh và đã được thần Osiris chạm vào, những lời đồn mà ông có vẻ như chẳng làm gì nhiều để phản bác. Chi tiết về những năm tháng của ông ở Ai Cập thậm chí còn lộn xộn hơn so với cả phần còn lại của cuộc đời ông. Dường như ông đã bị bắt, có lẽ trong cuộc xâm lược Ai Cập của người Ba Tư năm 525 TCN và bị dẫn giải như một tù binh từ Ai Cập đến Babylon xa xôi, cách Baghdad ngày nay 55 dặm - thành phố giàu nhất thế giới lúc đó. Ở đó ông đã học được những điều huyền bí của thuyết nhị nguyên Ba Tư, tiếp thu giáo lí của Zarathustra (được người Hi Lạp biết đến như Zoroaster). Pythagoras có lẽ cũng đã học được rất nhiều về toán học tại Babylon. Toán học Babylon phát triển cao hơn nhiều so với Ai Cập (cũng có nguồn gốc từ Babylon), và mặc dù có khá nhiều tranh luận về trình độ toán học của Thales, nhưng Pythagoras hiểu biết hơn và đã đạt đến một trình độ cao hơn trong lĩnh vực này.10 Sử liệu về việc phóng thích Pythagoras ở Babylon đã bị thất lạc, nhưng câu chuyện thuật lại chuyến hồi hương trở lại Samos thì không. Với vẻ bề ngoài ấn tượng trong quần thụng và y phục phương Đông để che giấu cái bớt vàng ở chân, với tài năng hùng biện hết sức lôi cuốn, ông đã tạo nên những cảm xúc mạnh cho người dân. Lời dạy của ông đan xen một cách hoàn hảo những tư duy lí trí và phi lí trí, khoa học và thần bí, tương phản rõ rệt với sự điềm đạm của trường phái triết học Ionia. Sự lôi cuốn này dường như vẫn còn tồn tại đâu đó trong khu vực hoang tàn quanh hang động của ông trên đảo Samos. Khoảng năm 530 TCN, Pythagoras và một số đồ đệ chuyển đến Croton, một thuộc địa yên tĩnh của Hi Lạp ở phía Nam nước Ý, thành phố được thành lập gần hai thế kỉ trước, và lúc đó có thể là trung tâm của sự phục hồi về tôn giáo đang lan rộng ra cả vùng. Tại đó, Pythagoras thành lập trường học của riêng mình. Trên thực tế, nó giống một nơi tụ họp anh tài hơn là một trường học, với cái tên dễ gây ra sự nhầm lẫn, vì đây là hội của những người có cùng chí hướng tìm kiếm chân lí, thu nhận cả phụ nữ. Với tên gọi là hội “bán nguyệt”, được phân thành 2 nhóm: nhóm nội đồ bao gồm một số đàn ông và phụ nữ được gọi là mathematikoi, thực hành ăn chay nghiêm ngặt, sống chung, hoàn toàn không có sở hữu cá nhân và được giảng dạy bởi chính người thầy vĩ đại. Nhóm ngoại đồ được gọi là akousmatics, sống tại gia và giữ ít quy tắc nghiêm ngặt hơn. Các thành viên phải trải qua các nghi thức nhập hội và tuyên thệ giữ bí mật. Những người theo trường phái Pythagoras tin rằng ở cấp sâu nhất của tự nhiên, thực ra chính là toán học, mọi thực thể tương quan với nhau, triết học có thể được sử dụng như một phương tiện để làm trong sạch tâm hồn, và linh hồn có thể thoát lên hoà nhập với giới thần tiên. Sức hấp dẫn của ý niệm của trường phái này về sự tương quan của vạn vật, sự pha trộn kì lạ của tính huyền bí Đông phương và tư tưởng Hi Lạp làm mê hoặc những người đương thời. Pythagoras và trường phái của mình thành công rực rỡ và trở nên nổi tiếng khắp Hi Lạp. Thời gian đã làm lắng xuống các cuộc tranh luận dữ dội về tính cách của Pythagoras cũng như các truyền thuyết xung quanh ông. Cách nói chuyện của ông có sức hút đặc biệt và dân chúng thường đồn đại rằng ông nhớ hết chi tiết từ tiền kiếp của mình. Đối với người hâm mộ, ông là một thiên tài với kiến thức, trí thông minh sâu sắc phi thường, sự lịch duyệt và lòng trắc ẩn vô biên. Đối với những người chống đối, ông là một tên khoác lác với bản tính tự đề cao mình. Dù sự thật thế nào đi nữa, Pythagoras là người có ảnh hưởng vô cùng lớn, uy tín trường phái của ông thực sự tăng lên rất nhiều sau khi ông chết. Điều quan trọng nhất là Pythagoras đã dạy cho chúng ta biết Trái Đất có dạng hình cầu. Ông đã bắt đầu thu thập bằng chứng củng cố cho ý tưởng của ông, và cũng là người đầu tiên quan niệm Trái Đất tồn tại cùng với các ngôi sao trong một vũ trụ duy nhất. Những học trò sau này, mà đáng chú ý nhất là Philolaus (470-385 TCN) thậm chí từ bỏ khái niệm về một vũ trụ địa tâm, rao giảng rằng Trái Đất, Mặt Trời, và các ngôi sao quay quanh một ngọn lửa vô hình trung tâm. Từ PYTHAGORAS ĐẾN COLUMBUS Giờ đây chúng ta đã biết quan điểm cho rằng bề mặt Trái Đất là một hình cầu có nguồn gốc từ đâu và khi nào. Nếu những người theo trường phái Pythagoras đã tuyên thệ giữ bí mật, thì tại sao những kiến thức này bị rò rỉ ra ngoài? Và một khi đã bị rò rỉ, tại sao nó lại được đánh giá một cách hết sức nghiêm túc, và làm sao mà thông tin này lại được truyền đến tận thời nay? Điều đầu tiên cần biết là bản tính con người không thay đổi quá nhiều trong ba thiên niên kỉ qua. Chúng ta đều bị thu hút bởi các sự kiện huyền bí, và rất ít người có khả năng cưỡng lại vẻ quyến rũ của một kiến thức lớn được giữ bí mật. Hãy xem thành công của cuốn tiểu thuyết và bộ phim “Mật mã Da Vinci” gần đây. Tầm nhìn xa của trường phái Pythagoras đảm bảo một thị trường cho các cuốn sách với mục đích tìm hiểu những khái niệm và niềm tin của họ. Rất nhiều trong số chúng đã được xuất bản. Philolaus bị nghi ngờ đã viết cuốn sách Về thiên nhiên chỉ vì tiền. Nhà triết học vĩ đại Plato (427-347 TCN) ảnh hưởng từ trường phái Pythagoras khá nhiều. Ông mua cuốn sách của Philolaus cho Viện Hàn lâm, trường học do ông thành lập tại Athens. Ông cũng là bạn rất thân của nhà toán học hàng đầu theo trường phái Pythagoras, Archytas (khoảng 428-350 TCN). Kết quả là, nhiều ý tưởng của Pythagoras đã đi vào hệ thống tư tưởng của Plato và hệ tư tưởng Hi Lạp thời đó. Môn đệ xuất sắc nhất của Viện Hàn lâm là Aristotle (384-322 TCN), mặc dù ít say mê các lí thuyết của phái Pythagoras (ông nổi tiếng vì đã coi họ là những người “ăn chay bẩn thỉu”), ông cũng đưa khá nhiều ý tưởng của họ vào chính công trình vĩ đại của mình. Tầm ảnh hưởng của tư tưởng Aristotle lớn đến mức mà người ta khó có thể phóng đại thêm nữa. Ông soạn lại các quy tắc của logic hình thức, hệ thống hóa triết học, và đóng góp vào tất cả các ngành của khoa học tự nhiên. Ông giảng giải rằng Trái Đất là một hình cầu mà Mặt Trời và Mặt Trăng quay xung quanh. Các tác phẩm của ông về đạo đức, mĩ học, và chính trị vẫn còn được đọc cho đến ngày nay. Tư tưởng thời Trung cổ, cả Thiên Chúa giáo lẫn Hồi giáo đều bắt nguồn từ các nguyên lí của Aristotle. Quan điểm Trái Đất là hình cầu đã đứng vững được nhờ sự ủng hộ bởi uy quyền của Plato và Aristotle, và bởi những khám phá mà tôi sẽ mô tả sơ qua. Vai trò của Aristotle là thầy giáo riêng của Alexander Đại đế,11 người có quyền lực nhất trên thế giới lúc bấy giờ, cũng đã góp phần truyền bá ý tưởng của Pythagoras mạnh mẽ hơn, mặc dù ít trực tiếp hơn các bài giảng của ông. Với nền tảng là cuộc chinh phục Hi Lạp của cha năm 338 TCN, Alexander đã tiến lên chinh phục toàn bộ thế giới được biết đến thời đó. Cho đến khi Alexander mất vào năm 323 TCN, đế chế của ông kéo dài từ khu vực xung quanh Địa Trung Hải cho đến Ấn Độ. Dù rằng các dữ kiện kể về sự phức tạp trong mối quan hệ giữa ông giáo Aristotle và cậu học trò tài năng Alexander đã thất lạc hoàn toàn, không nghi ngờ gì về việc Aristotle đã thỉnh cầu Alexander sử dụng các chiến dịch hành quân cho các quan sát khoa học. Không biết đề nghị đó có được chú ý đến hay không nhưng Alexander đã đem theo các họa sĩ vẽ bản đồ trong các chiến dịch của mình. Tất cả bản đồ đó đã thất lạc nhưng các văn bản viết tay của một số tướng lĩnh thì vẫn còn, những miêu tả và đánh giá của họ trở thành nguồn dữ liệu cơ bản để vẽ lại bản đồ vài trăm năm sau. Sau cái chết của Alexander Đại đế, đế chế của ông tan rã. Phần lãnh thổ lớn nhất rơi vào tay tướng của ông, Ptolemy Soter Đệ nhất, người đã đóng đô tại Alexandria nơi cửa sông Nile. Chính tại nơi đây, tại thành phố đầu tiên và lớn nhất trong những thành phố do Alexander Đại đế xây dựng và mang tên ông, Ptolemy bắt tay vào xây dựng thư viện huyền thoại để đảm bảo vị trí thủ đô trí tuệ và văn hóa của thế giới cho Alexandria. Các học giả đổ xô vào đại thư viện này, với mong muốn nghiên cứu các bộ sưu tập gồm hàng trăm ngàn cuốn sách và văn bản ghi trên những cuộn giấy, da. Chức vụ Tổng giám thư viện có lẽ là vị trí hàn lâm cao nhất mà một người có thể đạt được trong thế giới cổ đại, tương tự như chức Viện trưởng Viện Hàn lâm Athens của Plato hay chức Hiệu trưởng Đại học Harvard hoặc chức Giám hiệu Trinity College (của Đại học Cambridge) ngày nay. Eratosthenes (275-195 TCN) xứ Cyrene (ngày nay là Shahhat nước Libya) đã trở thành Tổng giám thư viện đời thứ ba vào năm 235 TCN trong triều đại Ptolemy Đệ nhị. Eratosthenes đã từng học địa lí tại Athens nhưng đồng thời ông cũng làm thơ, viết phê bình văn học, và theo đuổi những công trình toán học, thiên văn học, triết học. Ông tuyệt nhiên không nghi ngờ gì về giả thuyết Trái Đất là một hình cầu - ông đã viết rằng nếu căng buồm từ Tây Ban Nha về phía Tây ta sẽ gặp Ấn Độ. Ông thậm chí còn vẽ bản đồ của hành trình này. Nhưng ông nổi tiếng nhất với nhận xét rằng hai người ở cách xa nhau nhiều dặm, một người ở phía chính Bắc của người kia, sẽ nhìn thấy Mặt Trời dưới những góc độ khác nhau trong cùng một thời điểm trong ngày; đông thời ông cũng chỉ ra rằng, giả sử Trái Đất là một hình cầu, ta có thể sử dụng sự chênh lệch của các góc này để ước lượng chu vi của thế giới. Eratosthenes đã đo được độ chênh lệch về số đo góc giữa Alexandria và một địa điểm tương ứng với Aswan ngày nay, 486 dặm về phía Nam sông Nil, vào lúc giữa trưa, và qua đó đã tính toán được chu vi của Trái Đất với độ chính xác tuyệt vời mà một vài người chống lại Columbus đã sử dụng kết quả đó tại hoàng cung Tây Ban Nha sau này.12 Vài thế hệ sau, Hipparchus (190-120 TCN) đề xuất ý tưởng Trái Đất quay vòng quanh Mặt Trời, và thiết lập hệ thống đo lường dựa vào vĩ độ và kinh độ, chia Trái Đất thành 360 độ. Alexandria tiếp tục là (thánh địa) ngôi nhà lớn của các nhà địa lí, toán học, và thiên văn học ngay cả sau khi thư viện vĩ đại này bị tiêu hủy.13 Người xuất chúng nhất trong số đó là Claudius Ptolemy (85-165). Cuốn sách Địa lí (Geography) của ông là là cả một hệ thống khổng lồ: một cuốn sách bao gồm tất cả tri thức của người xưa, có thẩm quyền trên mọi địa hạt và đã trở thành tiêu chuẩn tuyệt đối. Ptolemy thảo luận các vấn đề trong việc lập bản đồ của Trái Đất cong lên một mảnh giấy phẳng và các phương án khả dĩ để chiếu một mặt cầu xuống một mặt phẳng. Ông chỉ ra rằng một khi ta liên hệ được các tọa độ (trong trường hợp này là kinh độ và vĩ độ) với các vị trí cần vẽ bản đồ, ta có thể vẽ lại bất cứ bản đồ nào tùy thích. Dựa vào các văn bản sót lại của các tướng sĩ của Alexander và dữ liệu thu thập được bởi các nhà du hành khác, Ptolemy tính toán kinh độ, vĩ độ cho tất cả những nơi đã từng được biết đến. Các bản đồ trong bản gốc của cuốn sách Địa lí đã thất truyền. Tuy nhiên, điều đó không quan trọng lắm. Văn bản này của ông vô cùng thông tuệ và độc giả ngày nay vẫn học được nhiều điều trong đó.14 Nhìn chung, Ptolemy tưởng tượng rằng, sự sống trên Trái Đất tồn tại trên khoảng một nửa hành tinh, từ bờ biển Tây Âu đến Ấn Độ và xa hơn nữa. Ông ước tính chu vi Trái Đất khoảng 18.000 dặm, ít hơn nhiều so với kết quả của Eratosthenes, nhưng lớn hơn của Columbus. Hầu hết mọi người đã lãng quên cuốn Địa lí của Ptolemy trong nhiều năm, ngoại trừ một số nhà khoa học Hồi giáo. Tại Palermo, trong triều đình đa văn hóa của vua Norman Roger Đệ nhị, al-Idrisi (khoảng 1100-1165) sử dụng một bản dịch tiếng Arập tác phẩm vĩ đại này và hoàn thiện các tính toán của Ptolemy. Còn nguyên bản bằng tiếng Hi Lạp thì bị thất lạc cho đến khi một thầy tu của vương quốc Byzantine, Maximos Planudes (khoảng 1260-1330), tìm thấy một bản sao chép bằng tay không có bản đồ. Planudes tự tay vẽ lại một số bản đồ và ủy thác người khác vẽ lại các bản đồ còn lại. Năm 1406, văn bản này được dịch sang tiếng Latin, một thầy tu dòng Benedictine, Nicolas Germanus, đã vẽ lại tất cả bản đồ dựa vào phép chiếu hình thang, một trong ba phương pháp do Ptolemy đề xuất.15 Loạt bản đồ này là cơ sở cho bản in đầu tiên của tập bản đồ của Ptolemy, được xuất bản năm 1477 tại Bologna với 500 ấn bản. Columbus sở hữu một bản và nghiên cứu nó một cách cẩn thận. Quan điểm của Pythagoras đã được truyền đi một cách thành công qua Plato, Aristotle, các nhà địa lí uyên bác của Alexandria, Sicily, cho đến thời kì đầu Trung cổ. Vào thời Columbus, hầu như tất cả mọi người tin rằng Trái Đất là hình cầu. Có quá nhiều bằng chứng ủng hộ cho niềm tin này. Nếu ta đứng tại các địa điểm khác nhau trên đường Bắc Nam, ta sẽ nhìn Mặt Trời dưới những góc khác nhau. Khi một con tàu từ rất xa tiến dần vào trong tầm nhìn của ta, cột buồm là vật đầu tiên mà ta nhận ra, tiếp theo là phần còn lại của con tàu. Thủy triều, đêm và ngày, các tuần trăng khác nhau, và nhiều hiện tượng tự nhiên khác sẽ được giải Thích hợp lí hơn nhờ luận điểm Trái Đất là một hình cầu. HÌNH DẠNG TRÁI ĐẤT Niềm tin là một chuyện, nhưng thực sự chúng ta biết chắc chắn thế giới có dạng hình cầu từ khi nào? Ta đã thấy rằng Columbus bắt đầu nghi ngờ lí thuyết hình cầu, cho rằng hình dạng Trái Đất giống như một quả lê. Và ngày nay ta biết rằng hành tinh của chúng ta không phải là một hình cầu có độ cong tròn hoàn hảo, mà hơi phẳng hơn một chút ở hai cực. Nhưng, như chúng ta sẽ thấy, có nhiều khả năng khác căn bản hơn nhiều: hình dạng Trái Đất là câu hỏi rất phức tạp chứ không đơn thuần chỉ là vấn đề về các vùng lồi cong ra hay dẹp phẳng vào. Phải chờ cho đến khi tất cả các vùng trên Trái Đất được khảo sát và lập bản đồ một cách cẩn thận thì kiến thức của nhân loại về hình dạng Trái Đất mới trở nên chắc chắn. Hai thế kỉ sau thời đại Columbus đã chứng kiến sự ra đời của các tập bản đồ (atlas) Trái Đất bao quát hơn bao giờ hết. Chúng góp mặt trong số những cuốn sách quý giá nhất và được tìm kiếm nhiều nhất qua mọi thời đại. Tập bản đồ Ptolemy mà Columbus sử dụng được tái bản tại Rome vào năm 1508 bởi Berandus Ventus de Vitalibus. Đây là ấn bản đầu tiên bao gồm chi tiết các chuyến du hành của người châu Âu tới thế giới mới và xung quanh mũi Hảo Vọng16. Tập bản đồ thế giới này cũng bao gồm luôn một châu Mĩ nhỏ. Jacobus Pentus de Leucho, xứ Venice, tái bản công trình của Ptolemy dưới tên gọi Liber Geographicae (Địa lí tự do) năm 1511, với 28 bản đồ và được hiệu đính kĩ lưỡng bởi Bernardus Sykvanus, xứ Eboli. Abraham Ortelius, nhà địa lí của vua Tây Ban Nha Philip Đệ nhị, xuất bản cuốn Theatrum Orbis Terrarum (Sân khấu của thế giới) năm 1570. Cuốn sách này được tái bản nhiều lần, nhưng có nhiều vùng rộng lớn vẫn để trống và tỉ lệ hầu hết không chính xác. Một người bạn của Ortelius, Gerhard Mercator xứ Rupelmonde, người Bỉ và là nhà địa lí giỏi nhất kể từ sau Ptolemy, làm một cuộc cách mạng trong ngành vẽ bản đồ bằng cách giới thiệu một phép chiếu bản đồ (ngày nay được gọi là phép chiếu Mercator) cho phép các nhà hàng hải vẽ sơ đồ cho các chuyến ra khơi không thay đổi góc giữa kinh tuyến và hành trình (xem ghi chú trong Chương 8). Các tập atlas dựa trên công trình của ông và các cuộc du hành tiếp sau đó của các nhà thám hiểm châu Âu bắt đầu xuất hiện tại Amsterdam vào cuối thế kỉ 16. Từ atlas được dùng để chỉ các tập bản đồ được bắt nguồn từ thói quen của Mercator mở đầu các tập bản đồ bằng hình ảnh vị thần Hi Lạp Atlas cõng trái đất trên vai. Bộ sách in đắt nhất, nổi tiếng nhất của thế kỉ 17 là bộ sách nhiều tập Atlat Major (Đại Bản Đồ) của Joan Blaue được xuất bản bằng bốn ngôn ngữ trong năm 1662-1663. Mặc dù trình bày tuyệt đẹp, quyển sách có quá nhiều sai sót (một số không thể tha thứ được ngay cả trong thời kì đó) và khoảng trống. Mặc dù không ai tin rằng Trái Đất vô tận, hoặc tệ hơn, Trái Đất chỉ giới hạn trong chừng đó lãnh thổ đã được xác định, phải đợi đến khi đoàn thám hiểm Magellan trở về năm 1522 sau chuyến đi vòng quanh thế giới, người ta mới biết chắc rằng cả hai giả thuyết đều sai.17 Và ngay cả sau sự kiện Magellan, việc Trái Đất hình cầu cũng vẫn chưa hoàn toàn rõ ràng. Còn có những khả năng khác nữa. Hình 3. Bản đồ của Agnese. Điều này có vẻ như một trò đùa. Nhưng có thực là như vậy không? Năm 1546, tấm bản đồ thế giới đặc biệt được vẽ bởi Battista Agnese mô tả chuyến đi của Magellan. Agnese rõ ràng đã nghĩ về một Trái Đất hình cầu. Ngày nay, khi nhìn vào bản đồ này, chúng ta mặc nhiên nghĩ rằng tất cả các điểm ở lề trên tụ vào một điểm duy nhất (Bắc Cực), và tất cả các điểm ở lề dưới đều được quy về một điểm duy nhất khác (Nam Cực). Hơn nữa, mỗi điểm trên lề phải tương ứng với một điểm bên lề trái có cùng vĩ độ. Người quan sát thời nay biết rằng đây là phương pháp “đúng” để giải thích tấm bản đồ này, còn những người khác thì thích nó, bởi vì thời nay con người đã khám phá thế giới và biết được khu vực nào là một dải đất liền, khu vực nào là đại dương. Nhưng vào thời Agnese, với các vùng lãnh thổ rất rộng lớn chưa được vẽ bản đồ, người thời đó đã có thể nhận thức được rằng ta có thể đi lên phía bắc (nghĩa là, lề trên cùng) của bản đồ và trở về từ phía nam (nghĩa là, lề dưới cùng) của bản đồ. Hoặc là ta có thể đi mãi mãi lên phía bắc (hoặc xuống nam) mà không bao giờ quay trở lại. Hình 4. Atlas của một thế giới tưởng tượng. Hãy xem ví dụ ở Hình 4, tập atlas của một thế giới ảo thoạt nhìn không có gì quá khác biệt so với thế giới của chúng ta. Nhưng những tấm bản đồ này khi ghép lại với nhau thì không ăn khớp vào một hình cầu. Để hiểu thế giới được vẽ bởi những tấm bản đồ này, ta hãy liên kết các bản đồ bằng cách chập lề ngoài cùng bên phải phía đông của từng bản đồ với lề ngoài cùng bên trái phía tây của từng bản đồ liền trái. Tương tự, ta chập lề trên phía bắc của từng bản đồ với lề dưới phía nam của bản đồ ngay trên nó. Cuối cùng ta có được bản đồ thế giới như trong Hình 5. Hình 5. Bản đồ thế giới thu được bằng cách dán các bản đồ khu vực lại với nhau. Để có được một miêu tả về thế giới này trong không gian, mà ai cũng nghĩ là một hình cầu, hãy chập lề phải vào lề trái và lề trên với lề dưới. Kết quả là gì? Bây giờ, như sơ đồ mà Hình 6 cho thấy, khi dán các cạnh trên của hình chữ nhật vào các cạnh dưới ta có một hình trụ. Dán các cạnh bên phải vào cạnh trái, tức là gắn vòng tròn bên phải vào vòng tròn bên trái của hình trụ, nó cho ra bề mặt của một cái bánh rán Mĩ. Một bề mặt như vậy được gọi là vòng xuyến (để phân biệt với vật thể mà chúng ta vẫn thường ăn). Hình 6. Nối cạnh trên và dưới của một hình chữ nhật lại với nhau cho ta một hình trụ ở hình trên bên phải. Nối tiếp cạnh phải và trái với nhau sẽ cho ta một vòng xuyến. Hãy thử tưởng tượng nếu ta xếp bản đồ ở Hình 5 để có được một vòng xuyến thì sẽ ra sao? Ai đó có thể phản đối rằng thế giới của chúng ta không thể trông giống như một vòng xuyến. Nếu ta sống trên bề mặt của vòng tròn phía trong (đối mặt với lỗ hổng bên trong cái bánh rán), thì chẳng phải là ở phía xa ta sẽ thấy phần bề mặt đối diện mình đột ngột hiện ra trong không gian? Có thể. Nhưng nếu như thế giới rất rộng lớn thì sẽ ra sao? Hoặc, điều gì sẽ xảy ra, nếu như phần nằm dọc theo vòng tròn phía trong tương ứng với các vùng cực trong bản đồ thế giới ở Hình 5? Làm sao ta có thể bác bỏ được giả thuyết này trong thời đại của Columbus? Không thể. Magellan rất có khả năng đã dong buồm dọc theo vòng tròn bên trong của mội vòng xuyến, hoặc, đúng vậy, cũng có thể là vòng ngoài. Và nếu Trái Đất thực sự rất lớn, có thể ông mới chỉ đi từ vòng tròn bên ngoài vào vòng tròn bên trong, theo một con đường mà ta có thể gọi là một quỹ đạo nhỏ trên vòng xuyến. Trở lại với bản đồ trong Hình 3, giả sử rằng thế giới của chúng ta là một thế giới mà ở đó ta có thể tiếp tục mãi mãi đi lên phía bắc, và tương tự, xuống phía nam. Trong trường hợp này, thì thế giới của chúng ta sẽ có dạng của một hình trụ dài vô tận. Chúng ta rút ra kết luận rằng không thể biết với một độ chắc chắn đến tuyệt đối hình dạng của Trái Đất, cho đến khi nó được vẽ trên bản đồ với độ chính xác hoàn hảo tất cẫ các khu vực kể cả các vùng cực. Song phải đợi đến tận thế kỉ 19, các vùng cực và những chi tiết bên trong một số lục địa mới được vẽ thành bản đồ. III －－－－－－－－ CÁC THẾ GIỚI CÓ THỂ Các báo cáo phổ biến trong toán học thường nhấn mạnh nỗi ám ảnh của ngành học này trước độ chính xác, trước sự chứng minh. Các nhà toán học thường nói đùa về sự cố chấp của họ trước sự chính xác. Tuy nhiên, cuộc tìm kiếm sự chính xác lại phức tạp hơn nhiều chính kết quả của nó. Sự chính xác cho phép ta lí luận một cách hợp lí về các đối tượng nằm ngoài phạm vi của kinh nghiệm thông thường. Nó là một công cụ để khám phá tính khả dĩ: những gì có thể đúng và những gì là đúng. Cuộc thảo luận trong chương trước đưa ra khả năng thế giới có thể là một hình xuyến. Ta không thấy phần còn lại của một chiếc bánh rán Mĩ khi nhìn lên bầu trời, do đó giả thuyết này vẫn là một khả năng mở. Ngày nay, ta có thể bay ra ngoài Trái Đất để chụp ảnh từ các vệ tinh và tàu vũ trụ. Nhưng trước kỉ nguyên của các chuyến bay thám hiểm không gian, người ta phải vận dụng trí tưởng tượng để nhìn nhận Mặt Trăng và Mặt Trời là các quả cầu thay vì những chiếc đĩa phẳng nằm đối diện chúng ta. Các hành tinh và ngôi sao khác giống như các điểm phát sáng. Thay vì tranh luận về những gì chúng ta nhìn thấy trên bầu trời, hãy giả sử rằng ta không thể nhìn thấy được gì bên ngoài Trái Đất. Hãy tưởng tượng chúng ta đang sống trên một hành tinh như sao Kim luôn bị một đám mây bao phủ xung quanh. ”Trái Đất của chúng ta có thể có hình dạng gì? Liệu nó có thể là cái gì đó khác hình cầu hoặc vòng xuyến không?”. Mặc dù những câu hỏi này được đóng khung bằng cách yêu cầu bạn tưởng tượng về các thế giới mà ta biết là hình dạng của chúng có thể ”sai” theo nghĩa đen, nhưng đặc trưng của toán học từ xưa tới nay là, các thao tác sử dụng trí tưởng tượng đã dẫn tới những hiểu biết, cấu trúc mới mà sau này được chứng minh là chính xác và là những gì cần thiết cho một đột phá khoa học lớn. Đi xa hơn nữa, chúng ta cần có các thuật ngữ rõ ràng. Khái niệm quan trọng nhất đối với chúng ta là đa tạp hai chiều hoặc bề mặt. Chúng ta đạt đến khái niệm này bằng cách suy nghĩ về các hình dạng có thể của thế giới, và cũng chẳng có hại chút nào nếu tưởng tượng rằng các đa tạp hai chiều là các thế giới hình mẫu mà chúng ta có thể sinh sống trên đó. Cụ thể hơn nữa, ta hãy đồng ý rằng một đa tạp hai chiều hay bề mặt là một đối tượng toán học mà mọi khu vực trên đó có thể được biểu diễn bằng một bản đồ nào đó trên một tờ giấy. Khái niệm “hai chiều” có nghĩa là tại một điểm bất kì trên một đối tượng như thế, các điểm bên cạnh nó có thể được biễu diễn chỉ bằng hai hướng độc lập với nhau. Điểm này quan trọng bởi vì vẽ bản đồ đòi hỏi chúng ta phải xác định được mối liên hệ giữa các điểm. Ta phải có khả năng xác định từng điểm. Các bản đồ là những tờ giấy, mà trên đó tất cả các điểm trên thế giới đều được biểu diễn, có hai chiều. Một tập hợp các bản đồ bao phủ một bề mặt, nghĩa là mỗi điểm trên bề mặt đó xuất hiện ít nhất trên một bản đồ, được gọi là một atlas. Nếu mua một atlas của thế giới, bạn sẽ nhận được một quyển sách bản đồ và bạn sẽ dễ dàng chỉ ra rằng tất cả vị trí trên thế giới xuất hiện ít nhất trên một trong số các bản đồ đó. Một đa tạp hai chiều hay bề mặt là một đối tượng được biểu diễn bởi một atlas. Các nhận xét sau đây được xếp theo thứ tự. Thứ nhất, các đa tạp hai chiều là những đối tượng toán học đã được lí tưởng hóa từ thực tế vật lí. Khi nói Trái Đất là một hình cầu, ta đang nói rằng đối tượng toán học mặt cầu là một mô hình đúng cho bề mặt của Trái Đất. Mặt cầu ở đây có nghĩa là lớp vỏ bên ngoài hay bề mặt, ví dụ như của một quả bóng. Vì vậy, khi nói Trái Đất là một mặt cầu, ta không kể đến tầng đất đá hoặc magma nằm dưới bề mặt. Tương tự, vòng xuyến là một đa tạp hai chiều bất kì mô phỏng bề mặt hoặc lớp vỏ của một chiếc bánh rán chứ không gộp cả phần bên trong. Sự chính xác đặc biệt mà ta có được bằng cách đưa ra các định nghĩa kĩ lưỡng, cho phép sự tồn tại của một vài đối tượng kì dị, và chúng ta phải cẩn thận để tránh nhầm lẫn giữa các đối tượng nghiên cứu mang tính vật lí hay mang tính toán học. Đối với chúng ta, đa tạp hai chiều là một tập hợp mà tất cả các điểm nằm gần một điểm bất kì có thể biểu diễn được trên bản đồ. Vậy thôi. Các nhà toán học sử dụng từ bề mặt như một từ đồng nghĩa với đa tạp hai chiều, mặc dù không phải mọi đa tạp hai chiều đều là bề mặt của một vật rắn18. Cũng như không phải lúc nào cũng định nghĩa được thế nào là phải và trái trên một đa tạp19. Tuy nhiên, bất cứ đa tạp hai chiều nào mà trên đó ta luôn định nghĩa được thế nào là trái và phải, cũng có thể được dùng để biểu diễn bề mặt của một vật rắn nào đó, và ngược lại. Một đa tạp như vậy được gọi là đa tạp có thể định hướng (orientable manifold).20 Một điều quan trọng cần lưu ý nữa là việc sử dụng từ chiều (dimension). Trong cách dùng tùy tiện của ngôn ngữ hằng ngày, ta thường nghe thấy những khẳng định như trái đất (hay một mặt cầu) hoặc một vòng xuyến là có ba chiều bởi vì ta cần một không gian ba chiều để có thể hoàn toàn đặt chúng vào bên trong. Chúng ta sẽ không bao giờ sử dụng từ chiều theo nghĩa này. Đối với chúng ta, chiều đề cập đến số hướng độc lập cần thiết để biểu diễn tất cả các điểm nằm gần một điểm cho trước trên một đối tượng. Nếu chúng ta cố gắng kết nối tất cả bản đồ trong một atlas lại để tạo thành một hình cầu biểu diễn cho bề mặt một cách tổng thể hơn, thì chắc chắn ta sẽ cần một chiều thứ ba (hoặc hơn nửa), nhưng ta vẫn xem đa tạp hay bề mặt này là hai chiều. Chiều đề cập đến số lượng các hướng độc lập mà một người sống trên đa tạp cảm nhận nhờ kinh nghiệm chứ không phải là số chiều mà chúng ta cần để đặt vật thể vào bên trong21. Vì vậy, bề mặt trái đất là hai chiều bởi vì để biểu diễn một khu vực của nó, ta sử dụng một bản đồ trên một mảnh giấy (hoặc ta có thể sử dụng hai con số, chẳng hạn như kinh độ và vĩ độ, để biểu diễn bất cứ điểm nào gần một điểm cố định). Một mặt phẳng có hai chiều, nhưng một đường dù có cong hay không (đặc biệt là đường tròn) chỉ có một chiều. Không gian trong đó thế giới của chúng ta tồn tại (không gian đó là vũ trụ) có ba chiều, khu vực bên dưới bề mặt trái đất (tầng đất đá và magma) cũng vậy. Sau này ta sẽ trở lại với khái niệm chiều, định nghĩa nó thậm chí theo một cách còn kĩ càng hơn và đơn giản hóa nó thành các con số. Ta sẽ thấy rằng đa tạp có bao nhiêu chiều cũng có thể tồn tại. Nhưng bây giờ, chúng ta đề cập đến hai thuật ngữ khác được sử dụng trong ngôn ngữ hằng ngày, nhưng theo cách không đủ chính xác cho các mục đích của chúng ta. Đầu tiên là biên (boundary). Một số đa tạp hai chiều có biên, số khác thì không. Biên của một đa tạp hai chiều là lề của nó, hoặc tập hợp các lề, nhìn từ mắt của một người đứng trên đa tạp đó. Một mặt phẳng kéo dài đến vô tận về mọi hướng thì không có biên nhưng một đĩa trên mặt phẳng đó lại có biên, đó là vòng tròn bao xung quanh. Bề mặt bên ngoài của một ống tuýp bằng đồng dài một thước tây có biên, cụ thể là hai vòng tròn nằm trên mỗi đầu ống. Một mặt cầu không có biên (mặc dù chính nó là biên của quả bóng đặc bên trong nó). Nếu bạn sống trên Trái Đất, bạn sẽ không tìm ra được một phần lề nào mà tại đó Trái Đất kết thúc. Tương tự, hình xuyến không có biên (mặc dù nó là biên của phần bánh rán đặc ở bên trong). Nếu một đa tạp hai chiều có biên thì biên đó là một chiều. Khái niệm biên cũng áp dụng với các đối tượng có số chiều khác. Một vòng tròn không có biên (mặc dù nó là biên của cái đĩa nằm bên trong). Một đường thẳng kéo dài đến vô tận theo cả hai hướng cũng không có biên. Nhưng một đoạn thẳng dài một thước tây có biên, đó là hai điểm nằm ở hai đầu. Lõi rắn bên trong của Trái Đất có một biên, đó là một đa tạp hai chiều có dạng mặt cầu. Nếu như một đa tạp có biên thì biên đó sẽ có ít hơn một chiều so với số chiều của đa tạp đó. Thuật ngữ thứ hai là hữu hạn (finite). Chúng ta nói rằng một đa tạp hai chiều là hữu hạn (hoặc compac) nếu chỉ cần một số lượng hữu hạn bản đồ để bao phủ nó. Mặt phẳng Euclid (hay còn gọi là không gian hai chiều Euclid hoặc đơn giản là không gian hai chiều) mà chúng ta học ở trường trung học kéo dài đến vô tận theo hai hướng độc lập với nhau là một đa tạp hai chiều nhưng không hữu hạn. Còn mặt cầu và vòng xuyến là những đa tạp hai chiều hữu hạn - trên những đa tạp này ta không thể đi mãi mãi về một hướng mà không có khả năng quay trở về điểm gần nơi xuất phát. Cho rằng một vật thể hữu hạn phải có biên là một quan niệm sai lầm phổ biến. Những tranh luận đầu tiên về việc Trái Đất là hữu hạn hay không thường đã bị quan niệm hóa thành các tranh luận khác như là liệu Trái Đất có kéo dài mãi mãi hay không, hay là nó có một lề mà tại đó ta có thể bị rớt ra ngoài. Lúc đầu, con người không biết rằng hành tinh chúng ta có dạng một mặt cầu (hoặc một hình xuyến) và vì vậy chưa biết rằng nó vừa hữu hạn vừa không có biên. Tất nhiên, để nghĩ rằng Trái Đất là một mặt cầu đòi hỏi ta phải chấp nhận ý tưởng có vẻ vô lí là có người bên kia bán cầu đang đi bộ với bàn chân hướng về phía chúng ta. Mặc dù không ai gặp khó khăn để chấp nhận điều này vào thời đại ngày nay, vẫn còn có nhiều người mắc các lỗi tương tự khi nói về vũ trụ. Họ cho rằng nếu vũ trụ là hữu hạn thì nó phải có biên (bây giờ ta đã biết rằng nếu một biên như vậy tồn tại thì nó phải là một vật thể hai chiều) mà chúng ta không thể vượt qua được. Không phải như vậy. HÌNH HỌC VÀ TOPO HỌC Chúng ta còn chút ít việc phải làm nữa để cho việc đọc cuốn sách này được trôi chảy. Khi nói hai đa tạp giống nhau, chúng ta phải chỉ ra chính xác điều đó có nghĩa gì. Cũng giống mọi vấn đề khác, điều này phụ thuộc vào quan điểm của mỗi người. Hai vật thể có thể giống nhau, hoặc tương đương nhau, trong một khía cạnh này nhưng lại khác nhau ở khía cạnh khác. Khi nói về hình dạng, ta thường không quan tâm tới các tính chất như kích thước hoặc khoảng cách-những tính chất thuộc về hình học (geometry), mà chỉ quan tâm đến các tính chất vẫn được bảo toàn ngay cả khi vật thể bị kéo dài hay biến dạng vừa phải. Những tính chất này thuộc về lĩnh vực topo học (topology). Cho phép chúng tôi nối rằng hai bề mặt giống nhau về mặt topo học nếu như tất cả các điểm trên một bề mặt có thể tham gia vào một phép tương ứng một-một với tất cả các điểm trên bề mặt kia, sao cho các điểm nằm gần một điểm trên bề mặt này cũng tương ứng với các điểm nằm gần một điểm của bề mặt kia (các phép tương ứng như vậy được gọi là có tính liên tục (continuous)).22 Hai đa tạp giống nhau về mặt topo học còn được gọi là đồng phôi (homeomorphic), và phép tương ứng một-một thiết lập sự giống nhau đó giữa hai đa tạp gọi là phép đồng phôi (homeomorphism). Topo học nghiên cứu các tính chất của bề mặt (và các đối tượng khác) cho phép xác định hai bề mặt (hoặc các đối tượng khác) đồng phôi hay không. Các tính chất như vậy gọi là tính chất topo học. Các tính chất topo học có thể rất khác các tính chất hình học như độ dài và góc. Hai bề mặt bất kì có thể biến đổi để trở nên giống nhau bằng cách kéo dài hoặc nới rộng ra (không xé rách bởi vì làm vậy có thể phá vỡ tính liên tục) là đồng phôi. Hai mặt cầu có bán kính khác nhau là đồng phôi. Tất cả bề mặt trong hình dưới đây đều đồng phôi, và một nhà topo học sẽ xem tất cả chúng giống như một hình cầu. Đặc biệt, một nhà topo học sẽ thắc mắc rằng Columbus đã lo lắng điều gì vậy?! Hình quả lê mà ông muốn gán cho Trái Đất thực ra cũng là một mặt cầu, giống như bề mặt một quả táo. Để tránh nhầm lẫn, đôi khi chúng ta gọi các mặt cầu đối xứng nằm ở bên trái trong Hình 7 là một mặt cầu tròn. Columbus, trong tưởng tượng của ông về hình quả lê, đã dự đoán Trái Đất không phải là mặt cầu tròn, nhưng dù sao nó cũng là một mặt cầu. Hình 7. Những bề mặt này đều đồng phôi với mặt cầu hai chiều. Rõ ràng, tính đồng phôi là một khái niệm còn chưa chuẩn về sự giống nhau. Các hình xuyến “thắt nút” trong Hình 8 là đồng phôi với một hình xuyến thông thường, mặc dù chẳng thể làm biến dạng hình xuyến này thành hình xuyến kia mà vẫn tuân thủ tính liên tục (ít nhất là nếu bạn khăng khăng không cho các điểm trên hình xuyến chạy ngang qua bản thân nó).23 Thực ra, nếu chúng ta chập các lề trên và dưới của bản đồ ở Hình 5 lại để có được một hình trụ và sau đó thắt nút hình trụ trước khi cho các lề trái và phải chập vào nhau thì ta sẽ có được một hình xuyến thắt nút. Những cư dân sống trong một thế giới luôn bị mây bao phủ mà trong đó không một hình dạng nào có thể được nhìn thấy từ xa sẽ không thể xác định được thế giới của họ có bị thắt nút hay không nếu chỉ dựa vào một atlas. Nếu sống trên một thế giới có hình dạng giống một hình xuyến thắt nút, ta có thể cắt bề mặt của nó thành các tấm bản đồ và lắp ráp chúng lại thành một hình xuyến thông thường. Hình 8. Hình xuyến thắt nút. PHÂN LOẠI BỀ MẶT Với các thuật ngữ đã có, ta có thể đặt ra một số câu hỏi mang nhiều ý nghĩa về những gì là khả dĩ. Giả sử chúng ta sống trên một thế giới mà tất cả các khu vực của nó đều đã được vẽ bản đồ một cách cẩn thận. Hay nói cách khác, chúng ta có một cuốn sách bao gồm các bản đồ mà khi ghép chúng lại ta sẽ được toàn bộ thế giới. Vì số lượng bản đồ có hạn, nên ta biết rằng thế giới không kéo dài đến vô tận. Nếu chúng ta cố gắng vẽ lại bản đồ với tỉ lệ gần giống, cắt giảm các vùng trùng lặp, và cố gắng lắp ráp chúng với nhau, ta có thể thu được những hình dạng khác nhau nào? Hay nói cách khác, có tất cả bao nhiêu khả năng cho các đa tạp hai chiều? Đầu tiên chúng tôi lưu ý rằng mặt cầu và hình xuyến không phải là các khả năng duy nhất. Hãy xem xét hình xuyến hai lỗ phác thảo trong Hình 9. Nếu chúng ta sống trong một thế giới như vậy, và nếu chúng ta bắt đầu một cuộc hành trình từ bất kì điểm nào trên đó và tiếp tục đi mãi, ta sẽ không bao giờ thoát khỏi nó. Không có bất kì một lề nào cả. Ta có thể vẽ bản đồ bất cứ khu vực nào trên đó. Sau đó, ta có thể tập hợp các bản đồ lại thành một cuốn sách và dựng thành một atlas của thế giới này. Liệu một nhà địa lí có thể chỉ nhờ việc nghiên cứu atlas này mà xác định được loại đa tạp ta đang sống trên đó hay không? Mọi nhà thám hiểm sẽ chẳng gặp phải bất kì cái lỗ nào bởi vì mọi điểm trên bề mặt đều liên thông với nhau. Hình 9. Hình xuyến hai lỗ. Để hình dung một atlas của thế giới này trông ra sao, ta có thể cắt nó ra thành các khu vực nhỏ mà bản đồ của chúng có thể dễ dàng được vẽ. Trong thực tế, ta cũng có thể tạo một bản đồ duy nhất của thế giới bằng cách nối các bản đồ khu vực lại. Hãy tưởng tượng thế giới đó bị cắt dọc theo bốn đường cong bắt đầu từ cùng một điểm như trong Hình 10. Để tiện theo dõi việc cắt lớp và ghép sẽ diễn ra như thế nào, ta hãy đánh dấu với các ký tự A, B, C, D như trong hình và cắt theo hướng mũi tên. Bắt đầu với các đường cắt A và C, ta có thể tưởng tượng rằng, nếu mở bề mặt cong ra và trải lên một mảnh giấy phẳng, ta sẽ có hình dạng của một con số 8. Cắt dọc theo hai đường cong còn lại (bây giờ là đoạn thẳng) sẽ cho ra một hình mà ta có thể biến đổi nó thành một bát giác hay thậm chí là một hình chữ nhật. Điều này sẽ đem lại một bản đồ thế giới với những phần lề mà chúng phải thích hợp với sự cắt ghép vừa nói đến ở trên. Hình 10. Cắt một hình xuyến hai lỗ. Liệu chúng ta có thể liệt kê hết tất cả các đa tạp hai chiều khả dĩ hay không? Sau khi đoàn thám hiểm của Magellan trở về, nhưng trước khi có một ai đó khám phá ra các vùng cực, liệu chúng ta đã có thể có sẵn một danh sách các hình dạng có thể của thế giới không? Câu trả lời, cùng với chứng minh của nó, là một trong những thành tựu vĩ đại của thế kỉ 19. Câu trả lời này, hay danh sách các hình dạng có thể, thực ra rất đơn giản. Chúng ta có thể đang sống trên một hình xuyến hai lỗ. Tương tự, chúng ta cũng có thể đặt ra các khả năng về một hình xuyến ba lỗ (xem Hình 11), bốn lỗ, hay các hình xuyến với số lỗ bất kì nào. Tất cả chúng đều khác nhau và đều thõa mãn các điều kiện mà mọi đa tạp hai chiều có thể định hướng phải thỏa mãn. Tất cả chúng đều là những hình dạng có thể của một thế giới, - nếu hình dạng của thế giới chúng ta là một trong số chúng, và nếu ta đứng ở bất cứ điểm nào trên thế giới đó, thì ta đều có thể vẽ được bản đồ của khu vực xung quanh ta. Hình 11. Hình xuyến ba lỗ. Một phương thức thú vị khác để tìm hiểu về những đa tạp khác nhau này, đó là diễn giải chúng dưới góc độ của khái niệm tổng liên thông của hai đa tạp. Giả sử ta có hai đa tạp hai chiều và ta cắt một chiếc đĩa ra khỏi mỗi đa tạp. Hình 12. Cắt một chiếc đĩa ra khỏi một mặt cầu (trái) và một hình xuyến (phải). Biên của chiếc đĩa là một vòng tròn. Ta có thể tạo nên một đa tạp hai chiều mới không biên bằng cách dán hai đa tạp có biên mà ta vừa mới tạo ra với nhau, dọc theo biên của từng đa tạp - chính là hai vòng tròn. Đa tạp này được gọi là tổng liên thông của hai đa tạp ban đầu. Hình 13 minh họa hình xuyến hai lỗ là một tổng liên thông của hai hình xuyến thông thường. Một hình xuyến ba lỗ là một tổng liên thông của một hình xuyến hai lỗ và một hình xuyến thông thường, và do đó là tổng liên thông của ba hình xuyến thông thường. Một hình xuyến bốn lỗ là tổng liên thông của bốn hình xuyến thông thường và cứ tiếp tục như vậy.24 Do vậy, một danh sách đầy đủ các đa tạp hai chiều hữu hạn không có biên, có thể định hướng (do đó có thể là bề mặt của một vật thể nào đó) được xác định bởi tất cả các tổng liên thông có thể được tạo ra từ các hình xuyến và các mặt cầu.25 Chúng ta đào sâu suy nghĩ về kết quả này bao nhiêu, thì chúng ta hiểu biết thêm về toán học bấy nhiêu và đồng thời toán học lại càng thêm vẻ kì thú. Bề mặt xuất hiện ở khắp mọi nơi trong toán học và rất đa dạng. Vladimir Arnold, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất còn sống ngày nay, so sánh tầm quan trọng của việc tìm ra định lí phân loại các bề mặt với việc khám phá ra châu Mĩ.26 Bây giờ chúng ta đã biết hết các trường hợp có thể của đa tạp hữu hạn hai chiều, hãy giả sử ta là một trong những nhà địa lí đối mặt với một atlas hoàn chỉnh của một thế giới mới nào đó. Nghĩa là, giả sử ta có một tập hợp chi tiết và có đầy đủ bản đồ của các vùng, nhưng ta lại không biết hình dạng thế giới đó. Liệu ta có thể chỉ ra được một đa tạp hai chiều tương ứng với nó chăng? Ta có thể thử lắp ráp tất cả các bản đồ lại, nhưng việc này chẳng dễ chút nào: hãy hình dung trường hợp thế giới mà ta đang cố gắng lắp ráp các bản đồ của nó là một hình xuyến hai lỗ, hoặc phức tạp hơn nữa! Hình 13. Tổng liên thông. Câu hỏi này làm phát sinh một số lĩnh vực đáng yêu trong toán học. Ý tưởng trung tâm là xem xét các đường khép kín (closed path) hoặc các vòng lặp (loop) trên bề mặt. Đây là những quỹ đạo được bắt đầu và kết thúc tại cùng một điểm. Giả sử ta đang sống trên một bề mặt, ta có thể xem vòng lặp là một chuyến đi khứ hồi: Đó là quỹ đạo được vẽ ra khi ta bắt đầu một cuộc hành trình và quay trở lại điểm xuất phát. Hãy tưởng tượng nó như một đường cong tạo ra bởi sợi dây mà ta cầm theo với mục đích thử nghiệm trong suốt hành trình. Các nhà toán học thường đưa ra các mối quan hệ giữa các vòng lặp, gọi là đồng điều (homologies), cho phép ta phân loại các vòng lặp khác nhau và vận dụng chúng như những con số. Đa tạp khác nhau về mặt topo học được phân biệt bởi biểu hiện của các vòng lặp của chúng. Mặc dù việc lí giải vấn đề này sẽ đưa chúng ta đi quá xa, những chúng ta vẫn phải đề cập đến một trường hợp cực kì quan trọng với mình. Để giải thích cho nó, lưu ý rằng người ta thường nói một cách lạm dụng là hình xuyến có lỗ, do đó khác với hình cầu. Tuy nhiên, nếu chúng ta đang sống trên một thế giới rất lớn (một lần nữa, hãy giả sử rằng nó bị mây che phủ khiến tầm nhìn của ta không thể vượt ra khỏi), và ta không thể thấy được nó có dạng hình xuyến nếu không có tàu vũ trụ. Trong thực tế, nếu hình xuyến này bị thắt nút như trong Hình 8, chúng ta thậm chí khó thể giải thích cái lỗ mà ta đề cập đến có nghĩa là gì. Mặc dù vậy, có một cách để phân biệt giữa việc sống trên một hình xuyến với việc sống trên một mặt cầu. Trên một hình xuyến (hay bất kì tổng liên thông nào của các hình xuyến) tồn tại các vòng lặp khác biệt một cách cơ bản so với bất kì vòng lặp nào trên một mặt cầu. Để hiểu điều này, hãy tưởng tượng ta đang sống trên một đa tạp và thực hiện một chuyến đi khứ hồi với một điểm xuất phát nào đó. Hãy tưởng tượng ta kéo theo một sợi dây, chẳng hạn một sợi dây câu cá rất mỏng, và không quên cột chặt một đầu dây vào một cái neo ở điểm xuất phát. Nếu ta dừng chân ở một điểm nào đó trên đường đi và kéo sợi dây về phía mình, do đầu kia bị cột chặt vào neo nên sợi dây sẽ căng ra. Sợi dây sẽ vẽ nên một quỹ đạo trực tiếp từ điểm ta dừng đến điểm xuất phát (việc đo độ dài của sợi dây sẽ cho ta khoảng cách chính xác giữa điểm bắt đầu và điểm dừng). Sau đó, ta tiếp tục đi tiếp để hoàn thành chuyến khứ hồi này. Bây giờ ta đã trở về điểm xuất phát sau khi đã để lại trên bề mặt một vòng dây khổng lồ. Kéo nó về phía ta. Liệu ta có thể kéo toàn bộ cuộn dây về phía mình không (hãy nhớ điểm xuất phát là cố định)? Dù là trên một mặt phẳng hay trên một mặt cầu, câu trả lời là có. Ngay cả một vòng lặp chạy quanh xích đạo của Trái Đât cũng có thể bị co rút lại về điểm xuất phát của nó. Nếu chúng ta kéo nó về phía mình, sợi dây sẽ trượt về phía Bắc chẳng hạn, trên bề mặt của hình cầu - hình ảnh tạo nên bởi sợi dây - lúc này không phải là đoạn đường mà ta đã đi vòng quanh xích đạo. Vòng dây sẽ nhỏ dần nhỏ dần, cùng lúc với việc nó trượt lên Bắc Băng Dương, tới Canada và Bắc Cực, sau đó trở về theo phía Nam và tiếp tục cho đến khi nó quay trở về với chúng ta. Nếu như mặt cầu đó không tròn một cách tuyệt đối, mà có hình dạng như quả lê của Columbus, chúng ta phải thả ra một lượng dây đủ dài để quỹ đạo của dây có thể vượt qua phần lồi của quả lê, nhưng sau đó ta vẫn có thể kéo cuộn dây căng lại và làm cho quỹ đạo co rút lại thành một điểm. Khi kéo sợi dây lại phía mình, ta sẽ có một sê-ri các vòng càng lúc càng nhỏ dần theo thời gian trên bề mặt27 (Ta không được phép để cái vòng đó nhảy lên khỏi bề mặt cũng như chui xuống đất). Tuy nhiên, trên một hình xuyến, có một số vòng lặp không thể co rút lại thành một điểm. Đặc biệt, nếu như ta đi vòng quanh một cái “lỗ”, ta không thể co rút cái vòng lặp lại nhỏ hơn đường kính cái lỗ đó. Tương tự với một tổng liên thông của các hình xuyến. Hình 14 chỉ ra một vòng lặp trên hình xuyến không thể co rút lại thành một điểm, và một số vòng lặp khác có thể co rút lại được thành một điểm. Nếu tất cả vòng lặp trên một đa tạp có thể co rút lại thành một điểm, đa tạp đó được gọi là đơn liên (simply connected). Nhờ định lí phân loại các đa tạp hai chiều, ta có thể thấy rằng mặt cầu là đa tạp hai chiều đơn liên duy nhất. Mặc dù khó, nhưng một nhà địa lí bằng cách làm việc với một atlas có thể xác định xem đa tạp mà nó miêu tả có đơn liên hay không và qua đó biết được thế giới có phải là một mặt cầu hay không. Hình 14. Vòng lặp ở cực trái của hình xuyến không thể co rút lại thành một điểm trên bề mặt đó, trong khỉ đó vòng lặp còn lại có thể co rút được thành môt điểm. Tất cả vòng lặp trên mặt cầu có thể co rút lại thành một điểm. Chúng ta vẫn chưa định nghĩa thế nào là một đa tạp ba chiều. Nếu như các đa tạp hai chiều mô phỏng các thế giới, các đa tạp ba chiều là những đối tượng toán học mô phỏng các vũ trụ. Có một đa tạp ba chiều đặc biệt đẹp, đó là khối cầu ba chiều, hữu hạn, không biên, và có đặc tính là tất cả các vòng lặp của nó có thể bị co rút lại thành một điểm. Giả thuyết Poincaré khẳng định rằng đây là đa tạp ba chiều hữu hạn đơn liên duy nhất. Điều này có nghĩa là gì, và thế nào là một khối cầu ba chiều? IV －－－－－－－－ HÌNH DẠNG VŨ TRỤ Cũng như trong trường hợp của Trái Đất, một atlas của vũ trụ là một tập hợp của các bản đồ. Nhưng một tấm bản đồ của một vùng trong vũ trụ không thể là một mảnh giấy hình chữ nhật. Thay vào đó, nó giống như một chiếc hộp cứng bằng thủy tinh (hãy nghĩ về một bể cá hoặc một hộp giày trong suốt) chứa đầy tinh thể lỏng không màu, trong đó có các đốm sáng hiện lên tương ứng với vị trí của các hành tinh và ngôi sao. Trong chiếc hộp bản đồ chứa Hệ Mặt Trời của chúng ta, nếu nhìn vào một điểm có khoảng cách tương ứng với 431 năm ánh sáng thẳng từ Trái Đất, bạn sẽ thấy một đốm sáng tương ứng với Polaris, sao Bắc Cực. Nhìn theo chiều ngược với Mặt Trời về các hướng khác nhau trên mặt phẳng chứa quỹ đạo Trái Đất, ta sẽ thấy các hành tinh khác, về phía Nam của mặt phẳng xích đạo nhìn theo một hướng, với một khoảng cách tương ứng với hơn 4 năm ánh sáng một chút là các hàng xóm gần nhất của chúng ta, Proxima Centauri và ngôi sao đôi Alpha Centauri. Tùy thuộc vào kích thước của hộp-bản đồ này, nhìn ra bên ngoài theo một hướng khác, cùng ở phía Nam của xích đạo, có trung tâm của thiên hà, cùng với hố đen khổng lồ của nó, ở một khoảng cách gần 25.000 năm ánh sáng. Xa hơn nữa ở một hướng khác sẽ là Andromeda, thiên hà xoắn ốc gần chúng ta nhất, cách chúng ta khoảng 2,9 triệu năm ánh sánh. Một atlas của vũ trụ sẽ là một tập hợp các hộp giày trong suốt như vậy mà mọi khu vực của nó đều được dựng lại bản đồ trong ít nhất một hộp. Nếu như vũ trụ không kéo dài đến vô tận, như nó có vẻ, số lượng các hộp cần thiết để dựng thành một atlas hoàn chỉnh là hữu hạn. Mặc dù vậy, chúng ta vẫn không thể “nhìn thấy” toàn bộ vũ trụ được. Nếu như ta có một atlas hoàn chỉnh của vũ trụ, sao cho mỗi phần của nó đều được dựng thành bản đồ, ta có thể thử lắp ráp các hộp-bản đồ trong suốt của chúng ta lại với nhau. Tương tự như việc không đủ chỗ trên mặt phẳng để đặt tất cả các tấm bản đồ của thế giới chúng ta thành một hình cầu, sẽ không có đủ chỗ trong một không gian thông thường để đặt vào trong đó tất cả các hộp giày-bản đồ một cách ổn thỏa. Ta gặp phải khó khăn trong việc hình dung ra hình dạng của vũ trụ một cách tổng thể. Hình 15. Bản đồ khu vực chứa một thiên hà xoắn ốc nhỏ ở phía dưới đằng trước góc trái. Thêm vào đó, ta không thể thoát ra ngoài vũ trụ. Đây là một khác biệt quan trọng giữa Trái Đất và vũ trụ. Tên lửa có thể ra khỏi bề mặt Trái Đất, giúp chúng ta nhìn thấy Trái Đất từ bên ngoài. Vì chúng ta có hình dung trong không gian ba chiều và bề mặt Trái Đất là hai chiều, ta có thể thấy được hành tinh của chúng ta uốn cong lên theo một chiều thứ ba và dễ dàng nhìn thấy hình dạng hoàn chỉnh của nó. Ngay cả khi ta có khả năng thoát ra ngoài vũ trụ với nỗ lực nhìn xem nó có hình dạng như thế nào, bởi vì vũ trụ là ba chiều, chúng ta cần phải có khả năng hình dung trong một không gian có ít nhất bốn chiều để có thể mường tượng được vũ trụ một cách tổng thể. Như ta sẽ thấy, điều đó không có nghĩa là vũ trụ không có hình dạng. Cũng không có nghĩa là vũ trụ không thể uốn cong. Nó có thể có rất nhiều hình dạng khác nhau, và một cách gần như chắc chắn, cũng giống với trường hợp của bề mặt Trái Đất, vũ trụ cũng uốn cong một cách khác nhau ở các vị trí khác nhau. Mặc dù vũ trụ lớn hơn rất nhiều so với Trái Đất, công việc nghiên cứu vũ trụ có một số lợi thế rõ ràng mà những đồ đệ của Pythagoras không có khi họ nghiên cứu bề mặt của hành tinh chúng ta. Không giống như với Trái Đất - nơi mà tầm nhìn của chúng ta bị cắt đứt bởi một đường chân trời rất hẹp làm ta phải di chuyển để vẽ bản đồ của một vùng có độ rộng vừa phải, với vũ trụ nhờ việc sử dụng kính thiên văn ta có thể nhìn vào bên trong nó với một khoảng cách rất lớn. Chúng ta cũng có kết quả đo đạc khá chính xác các khoảng cách đến những vật thể khác nhau mà ta nhìn thấy trên bầu trời. Vì vậy, ta có thể dựng lại bản đồ cho một khu vực khá rộng của vũ trụ mà không cần phải du hành bên ngoài Trái Đất. Toán học cũng phát triển hơn nhiều so với thời đại của Columbus, và có nhiều công cụ toán học mạnh mẽ có thể được sử dụng để tác động đến câu hỏi về hình dạng của vũ trụ. VŨ TRỤ HỮU HẠN Tuy người Hi Lạp tin rằng Trái Đất có hình mặt cầu, nhiều người trong số họ cảm thấy vũ trụ kéo dài đến vô tận. Ví dụ, luận bàn của Archytas, nhà toán học rất tài năng của trường phái Pythagoras và là bạn của Plato về đề tài này. Nếu tôi ra được bên ngoài, lên trên bầu trời với các ngôi sao cố định, tôi có thể dang tay hoặc vung cây gậy của tôi ra bên ngoài được không? Giả sử được thì tức là bên ngoài đó phải là một vật thể hoặc không gian khác (không có sự khác biệt giữa vật thể và không gian như chúng ta sẽ thấy sau đây). Sau đó ta lại đi ra ngoài không gian mới đó thêm lần nữa theo cùng một cách, và cứ tiếp tục như vậy, ở mỗi giới hạn mới ta lại hỏi cùng một câu hỏi. Nếu luôn tồn tại một địa điểm mới mà cây gậy của tôi có thể vung ra được, vậy rõ ràng là nó mở rộng không có giới hạn. Nếu như đối tượng mở rộng liên tục đó là một vặt thể thì mệnh đề đã được chứng minh. Còn đối với không gian, vì không gian chứa vật thể hoặc là chính vật thể, nhất là khi vật thể vô hạn, thì cho dù bản chất của nó là gì đi nữa thì nó cũng mở rộng giống như những vật thể và không gian chứa trong nó.28 Archytas lập luận rằng vũ trụ là vô biên - ông cho rằng đứng bất cứ nơi nào trong vũ trụ, khi ta nhìn lên bầu trời, ngoài những vật thể mà nó chứa đựng, vũ trụ nơi nào cũng có vẻ giống nhau. Ta sẽ không nhìn thấy bất cứ một vạch lề nào cả, - ở bất cứ đâu, ta cũng có thể dang tay hoặc vung một cây gậy ra. Vì không có ranh giới, ông kết luận một cách sai lầm là vũ trụ vô tận. Để xem tại sao suy luận của ông là không chắc chắn, hãy chú ý rằng chúng ta có thể lặp lại cùng một suy luận như vậy trên bề mặt của Trái Đất. Khi ta đứng ở ngoài trời, ở bất cứ nơi nào trên hành tinh này, chúng ta có thể dang tay hoặc vung gậy theo chiều ngang và không có bất cứ rào chắn nào ngăn cản chúng ta nối dài cơ thể của mình theo cách này. Không có biên, không có lề. Nếu kết luận của Archytas đúng, Trái Đất sẽ kéo dài một cách vô tận ra tất cả các hướng. Nhưng không. Trái Đất là một mặt cầu (Hoặc thậm chí nó có thể là một hình xuyến). Nói rằng vũ trụ không có biên không đồng nghĩa với việc nói rằng nó kéo dài một cách vô tận, cũng như vậy, nói rằng Trái Đất không có lề không có nghĩa ta đang nói rằng nó kéo dài mãi mãi. Vũ trụ có thể kéo dài mãi mãi, nhưng điều này có vẻ rất không chắc chắn. Không gian và vật chất có liên hệ mật thiết, và sự khẳng định rằng có một lượng vật chất vô hạn trong vũ trụ gây ra vấn đề nghiêm trọng vê mặt lí thuyết. Vũ trụ cũng có thể có một loại biên nào đó, nhưng lập luận theo cách này cũng giống như việc giả sử rằng Trái Đất là một hình đĩa có một cạnh rìa mà tại đó ta có thể bị rơi ra ngoài. Một số ít các nhà khoa học mặc dù có kiến thức toán học vẫn tin tưởng giả thuyết này một cách nghiêm túc. Cũng như vô số hình dạng mà Trái Đất có thể có (mặt cầu, hình xuyến, tổng liên thông của hai hìhh xuyến, v.v.), vũ trụ cũng có thể có nhiều hình dạng khác nhau. Nhiều vô kể. Không giống như trường hợp của các bề mặt, chúng ta thậm chí thực sự không nắm được một sự phân loại của tất cả các hình dạng khả dĩ của vũ trụ. Khi bàn về kích thước và hình dạng của vũ trụ, chúng ta ở đúng vào hoàn cảnh của Columbus năm 1492. Thời của Columbus không có bản đồ hoàn chỉnh của Trái Đất, cũng như vậy, ngày nay ta cũng không có bản đồ hoàn chỉnh của vũ trụ. Nếu chúng ta rời khỏi Trái Đất trên một tàu vũ trụ có tốc độ rất cao, tiến theo một hướng cố định (và hãy cẩn thận để không va vào các hành tinh hay ngôi sao khác), sau một thời gian rất dài, hầu hết các nhà vũ trụ học và toán học đều tin rằng, chúng ta sẽ trở lại gần với nơi mà chúng ta bắt đầu. Tất nhiên, con đường phải đi là rất dài và tốc độ ánh sáng dường như đặt một giới hạn lớn hơn tốc độ mà chúng ta có thể di chuyển về mặt vật lí, nhưng phát biểu cho rằng đi ra ngoài Trái Đất theo một hướng không đổi sẽ làm ta quay trở lại điểm xuất phát cũng không quá vô nghĩa hoặc nghịch lí hơn so với tuyên bố của Erastosthenes, hay của John Mandeville 1700 năm sau, cho rằng việc đi bằng thuyền buồm về phía tây từ Tây Ban Nha sẽ đem chúng ta quay lại nơi bắt đầu. Và, cũng như thời của Columbus, hiện nay đang có nhiều ước khác nhau về khoảng cách mà chúng ta phải đi trước khi quay trở về. ĐA TẠP BẬC BA Vì không thể nhìn thấy không gian nào có số chiều nhiều hơn ba và không thể đi ra ngoài vũ trụ, chúng ta gặp rắc rối khi hình dung hình dạng của toàn bộ vũ trụ. Ở đây, vấn đề thậm chí còn phức tạp hơn nhiều so với trường hợp của các bề mặt, chúng ta cần phải lập luận chính xác về những gì mà chúng ta đang nói. Điều sẽ được ghi nhớ từ chương trước nói rằng, đa tạp hai chiều là một đối tượng toán học chia sẻ các tính chất chủ đạo với bề mặt của Trái Đất. Cụ thể là tất cả các khu vực đều có thể được chiếu lên một mảnh giấy. Vì vậy, nếu ta tưởng tượng mình là một vật thể rất nhỏ nằm tại một điểm bất kì của đa tạp hai chiều, khu vực xung quanh ta sẽ có vẻ như kéo dài đến vô tận, làm ta tưởng như đang sống trên một mặt phẳng. Một mặt cầu và một hình xuyến là những ví dụ đặc biệt của đa tạp hai chiều, và chúng ta bàn về các hình dạng có thể của Trái Đất trong giới hạn của các đa tạp hai chiều khác nhau. Các đa tạp hai chiều là những đối tượng toán học mô phỏng các thế giới khả dĩ. Đối tượng toán học tương ứng mô phỏng vũ trụ của chúng ta là một đa tạp ba chiều, hoặc một đa tạp bậc ba. Đó là một tập hợp mà trong đó mỗi điểm của nó thuộc về một khu vực có thể được chiếu lên những điểm nằm trong một bể cá hoặc một hộp giày trong suôt. Nói cách khác, các khu vực xung quanh một điểm bất kì trông giống như không gian chứ không phải là một mặt phẳng. Cũng như trước đây, chúng ta nói rằng một atlas là một tập hợp có tính hoàn chỉnh các bản đồ, theo nghĩa, mỗi điểm bất kì trong một khu vực phải được bao phủ bởi một trong số các bản đồ đó. Một đa tạp bậc ba là một đối tượng được bao phủ bởi tất cả các bản đồ trong một atlas. Trong số các đa tạp bậc ba, phần nào dễ hình dung hơn cả là các đa tạp bậc ba hữu biên. Ví dụ như một quả bóng đặc: hãy nghĩ đến Trái Đất, bây giờ không chỉ chứa mỗi bề mặt của nó, mà còn tất cả mọi thứ bên trong nó. Nếu một người ở bên trong Trái Đất, anh ta sẽ có thể vẽ bản đồ của tất cả các điểm xung quanh anh ta bằng cách cho tương ứng chúng với các điểm bên trong một bể cá. Biên chính là bề mặt, cụ thể là một mặt cầu hai chiều. Tương tự, một hình xuyến đặc cũng là một đa tạp bậc ba hữu biên. Hãy nghĩ đến một chiếc bánh rán hoặc một chiếc nhẫn hình xuyến: biên một lần nữa lại là một đa tạp hai chiều, nhưng lần này là một hình xuyến. Nếu ai đó ở trong hình xuyên đạc, không phải trên bề mặt, anh ta có thể vẽ bản đồ các điểm xung quanh anh ta bằng cách cho tương ứng chúng với các điểm bên trong một bể cá. Nếu bạn có hai đa tạp bậc ba hữu biên và biên của chúng (là các đa tạp hai chiều) đồng phôi với nhau (ví dụ, nếu mỗi biên là một mặt cầu), thì ta có thể dính chúng với nhau dọc theo hai biên bằng cách đánh giá rằng các điểm tương ứng với nhau theo một phép đồng phôi cụ thể giữa hai biên là giống nhau (các điểm không nằm trên cả hai biên giữ nguyên tình trạng khác nhau). Đối tượng toán học mới được tạo thành là một đa tạp bậc ba hữu biến, bởi vì các điểm trên biên cũ không còn là điểm trên biên nữa. Tại một điểm trước đó nằm trên biên, vùng bên này thuộc về một đa tạp, vùng bên kia thuộc về đa tạp còn lại, và vì vậy ta có thể đi từ bên này qua bên kia. Nói cách khác, tại một điểm trên biên cũ, khu vực xung quanh ta bây giờ đã được lấp đầy bởi các điểm của một trong hai đa tạp, và ta có thể vẽ bản đồ cho nó bằng cách sử dụng một chiếc hộp giày đặc. Cũng như trường hợp của các bề mặt, hai đa tạp bậc ba giống nhau về mặt topo học nếu như tất các điểm của một đa tạp có thể được đặt trong một phép tương ứng một- một mang tính liên tục với tất cả các điểm của một đa tạp khác (Xin nhớ rằng, liên tục là một thuật ngữ chuyên ngành mô tả khái niệm các điểm gần nhau này tương ứng với các điểm gần nhau khác.29) Hai đa tạp bậc ba giống nhau về mặt topo học còn được gọi là đồng phôi, và phép cho tương ứng một-một, thiết lập sự giống nhau giữa chúng còn được gọi là phép đồng phôi. Một đa tạp ba chiều được goi là compass hoặc hữu hạn nếu nó có một atlas có số lượng hữu hạn các bản đồ. Một không gian ba chiều tương tự như không gian Euclid30 kéo dài đến vô tận là một đa tạp ba chiều vô hạn. Đa tạp bậc ba hữu hạn đơn giản nhất là khối cầu ba chiều, hoặc khối cầu bậc ba. KHỐI CẦU BẬC BA Hãy xem xét hai quả cầu đặc (Hình 16). Mỗi quả cầu có biên là một mặt cầu hai chiều và bao gồm khu vực bên trong. Bây giờ, tưởng tượng rằng hai quả cầu được dán với nhau dọc theo biên của chúng. Nghĩa là, chúng ta tuyên bố rằng hai điểm tương ứng với nhau trên các mặt cầu biên thực ra hoàn toàn giống nhau. Chúng ta không thể một cách vật lí dán các mặt cầu biên với nhau trong không gian ba chiều, nhưng điều này không nghiêm trọng. Chúng ta vẫn có thể tưởng tượng một cách chính xác cuộc sống trong một vũ trụ như vậy sẽ có vẻ gì. Khi chúng ta đi hay nhìn xuyên qua mặt cầu vốn trước đó là biên của một quả cầu, rồi chúng ta tiếp tục đi sang bên phải đến quả cầu kia. Chúng ta sẽ không thấy một sự ngắt quãng nào cả. Điều này cũng giống như khi chúng ta đi ngang qua đường xích đạo trên Trái Đất hai chiều của chúng ta, chúng ta có thể nhìn xuyên qua một cách dễ dàng mà không có một đường thực sự nào ở đấy cả. Hình 16. Nối các điểm tương ứng trên biên của từng qụả cầu đặc cho ra một khối cầu bậc ba. Hãy nhớ rằng, ở tại điểm bất kì nào trong vũ trụ, ta cũng có thể dựng bản đồ cho khu vực xung quanh ta bằng cách sử dụng phần bên trong của các chiếc hộp như đã nói ở trên. Ta có thể tư duy về cấu trúc này của vũ trụ theo một cách khác, đó là xem các quả cầu đặc như là các bản đồ - điều mà ta đã làm ban đầu với những chiếc hộp- bản đồ, nhưng giờ đây những chiếc hộp giày trong suốt được thay thế bằng những quả cầu trong suốt. Hãy hình dung rằng mỗi quả cầu là bản đồ của một nửa vũ trụ. Nghĩa là, các thiên hà cũng như các nebulae được chiếu vào trong mỗi quả bóng, nhưng mỗi nửa vũ trụ hoàn toàn khác nhau ngoại trừ các đối tượng nằm trên biên của quả cầu tương ứng với nó. Chú ý rằng một phép dựng tương tự đã được áp dụng đối với hai đĩa tròn (chúng bao gồm hai vòng tròn, trong không gian hai chiều, và vùng bên trong vòng tròn đó) cho ta một mặt cầu hai chiều. Những chiếc đĩa này, theo cách đó, tạo thành hai nửa bán cầu trên mặt cầu hai chiều (xem Hình 17). Mặt cầu hai chiều này được tạo ra bằng cách dán các biên của hai chiếc đĩa này với nhau. Ở đây, chúng ta có một lợi thế: ta có thể tách những chiếc đĩa này ra khỏi mặt phẳng để tưởng tượng chúng trong không gian ba chiều nơi mà ta không gặp khó khăn gì trong việc hình dung sự hàn gắn này. Hình 17. Gắn kết các vòng tròn biên của hai đĩa (hai chiều) cho ra một mặt cầu hai chiều. Ở trường hợp này cũng vậy, việc xem các hình đĩa này là các bản đồ cũng có lợi ích của nó. Thật vậy, người ta thường biểu diễn Trái Đất của chúng ta bằng cách dùng các hình đĩa có biên là các vòng tròn, chứ không dùng hai bản đồ hình chữ nhật. Hình 18 nêu ví dụ của một cách biểu diễn như vậy trong đó một đĩa đại diện cho bán cầu có chứa châu Mĩ, và một đĩa khác biễu diễn bán cầu đối diện bao gồm châu Âu, châu Á, châu Phi, và châu Úc. Chúng ta gặp khó khăn hơn khi hình dung một cách toàn bộ khối cầu bậc ba bởi vì chúng ta thiếu mất một chiều nữa để theo chiều đó thoát ra bên ngoài khối cầu này. Trong trường hợp này của khối cầu bậc ba, các bán cầu không còn là những đĩa hai chiều có biên, mà là hai quả cầu đặc, có biên chung, và biên chung đó không còn là một vòng tròn nữa, mà là một mặt cầu hai chiều. Hình 18. Bản đồ gồm hai bán cầu. Một số học giả đã lập luận một cách thuyết phục rằng vũ trụ tưởng tượng trong Thần khúc của nhà thơ, nhà văn vĩ đại người Ý Dante Alighieri (1261-1321) là một khối cầu bậc ba (tất nhiên là ông không gọi nó theo cách đó).31 Trong khúc “Thiên đường” (Paradiso), ông trèo lên từ địa ngục ở tâm của Trái Đất, tới bề mặt của Trái Đất, xuyên qua các lớp vỏ hình cầu đồng tâm nơi chứa các hành tinh khác, vượt xa vỏ cầu trên cùng có chứa các ngôi sao cố định để tiến đến tầng thiên đường thứ chín hay còn gọi là Primum Mobile. Trên đỉnh của Primum Mobile, cùng với tình yêu của mình - Beatrice, ông nhìn xuống nửa vũ trụ mà ông đã vượt qua, và nhìn lên nửa vũ trụ của Thiên Đường - gồm các lớp vỏ hình cầu đồng tâm mà trên đó các thiên sứ, các tổng thiên sứ và các bậc thiên thần cao hơn nữa sinh sống. Mặt cầu hai chiều trên rìa của lớp vỏ hình cầu Primurn Mobile là mặt cầu xích đạo mà từ đó ông và Beatrice quan sát toàn bộ vũ trụ. Trái Đất (và địa ngục ở trung tâm của Trái Đất) nằm ở một cực. Cực kia là lãnh địa của các Seraphim (các thiên thần có phẩm hàm cao nhất, hoặc thân gần nhất với Đức Chúa). Hình 19. Dante và Beatrice (giữa) nhìn chăm chú vào hai nửa của vũ trụ. Ở bên trái là một lát cắt hiển thị các vỏ hình cầu đồng tâm của Bán-vũ trụ nhìn thấy được: Hình cầu ngpài cùng là Primum Mobile (tại đó Dante và nàng thơ của mình đang đứng), sau đó là vỏ cầu của các ngôi sao cố định, tiếp theo là vỏ cầu của sao Thổ, sao Mộc, sao Hỏa. Mặt Trời, sao Kim, sao Thụy, Mặt Trăng, và cuối cùng Trái Đất ở trung tâm. Bên phải là Thiên Giới, tức vũ trụ của thiên thần bao phủ bởi các vỏ cầu của thiên sứ, tổng thiên sứ, vương hầu, thế lực đức hạnh, quyền thống trị, vương quyền, tiểu cherabin, và hình cầu của các Seraphim tại trung tâm. Trong Hình 19, mỗi bên biểu diễn cho một quả cầu đặc mà chúng tôi đã cắt ra một hình nón để chúng ta có thể nhìn vào bên trong. Trái Đất thuộc về trung tâm của quả cầu bên trái và lãnh địa của các Seraphim ở trung tâm của quả cầu bên phải. Gustav Doré đã vẽ một bức tranh đáng yêu mô tả Dante và Beatrice (Hình 20) đang nhìn lên phần vũ trụ thuộc về Thiên đường, với lãnh địa của các Seraphim nằm xa xa phía trung tâm. Thật không may, bức tranh đã không biểu diễn điều này một cách chính xác - thay vì các vỏ cầu đồng tâm, Doré đã vẽ những vòng tròn các thiên thần. Sẽ đúng hơn nếu thay vào đó, chúng ta tưởng tượng Dante và Beatrice đang nhìn xuống một góc mở hình nón hướng đến Thiên đường rực sáng, tức là trung tâm của hình cầu đặc mà họ đang nhìn vào, nếu chúng ta hiểu những vòng tròn các thiên thần là các cạnh tròn mà nhát cắt tạo ra khi xuyên qua các vỏ cầu. Các vỏ cầu này tạo thành các lớp vỏ bọc bắt đầu từ phía người chiêm ngưỡng kéo dài ra xa phía sau của trung tâm đang rực sáng. Khối cầu bậc ba là hữu hạn. Ta có thể dùng một số hữu hạn các bản đồ hình hộp để bao phủ tất cả các khu vưc trong hai quả cầu đặc mà chúng ta đã dán biên với nhau (Tất nhiên, một số bản đồ sẽ phải bao gồm một phần nào đó thuộc về cả hai quả cầu.). Hơn thế nữa, ta có thể có các khối cầu bậc ba với đủ các kích cỡ khác nhau. Chúng ta có thể tùy ý thích định ra kích cỡ lớn hay nhỏ cho các quả cầu mà chúng ta đã gắn biên với nhau. Hình 20. Bức họa Dante và Beatrice đang ngắm nhìn bán cầu thiên đường. Cuối cùng – điều này đòi hỏi phải tinh tế hơn một chút để nhận ra: tất cả các vòng lặp của một khối cầu bậc ba có thể bị co rút thành một điểm. Để hiểu điều này, hãy tưởng tượng chúng ta đang sống trong một khối cầu bậc ba mà Hình 16 biểu diễn và thực hiện một chuyến khứ hồi, đồng thời kéo theo sợi dây câu trong suốt hành trình. Chẳng hạn, ta có thể bắt đầu từ một điểm bất kì nằm xa phía trong quả cầu bên trái, đi ra ngoài cho đến khi ta đến biên, sau đó đi vào quả cầu bên phải, tiếp tục đi cho đến khi ta gặp biên bên kia của quả cầu này - điểm mà ta có thể từ đó bước sang quả cầu bên trái để trở về điểm khởi hành bên quả cầu bên trái, và cuối cùng kéo sợi dây lại phía mình. Mặc dù ta đã cố định một đầu dây vào điểm khởi hành, không gì có thể ngăn ta túm sợi dây lại, đồng thời tạo ra các vòng lặp mỗi lúc một nhỏ dần, và có cùng điểm đầu và điểm cuối - điểm mà ta xuất phát, cuối cùng, các vòng lặp này hoàn toàn nằm trong quả cầu bên trái và chúng ta có thể cứ tiếp tục kéo sợi dây về phía mình như thế cho đến khi nó co rút vào điểm khởi hành. Vì vậy, khối cầu bậc ba, cũng đơn liên giống như mặt cầu hai chiều: tất cả các vòng lặp của nó có thể co rút thành một điểm. CÁC ĐA TẠP BẬC BA COMPAC KHÁC Còn có rất nhiều đa tạp bậc ba compac khác ngoài khối cầu bậc ba. Ví dụ, hãy xem xét một lớp vỏ cầu đặc được tạo nên bởi khu vực nằm giữa hai quả cầu đồng tâm. Với tâm hồn ăn uống, hãy nghĩ đến “thịt” của quả bơ: phần có thể ăn được nằm giữa hột bơ ở bên trong và lớp vỏ bơ ở bên ngoài. Đây là một đa tạp bậc ba hữu biên, với biên bao gồm hai mặt cầu hai chiều. Nếu chúng ta thử hình dung ra việc dán mặt cầu bên trong với mặt cầu bên ngoài bằng cách kết hợp mọi điểm trên mặt cầu bên trong với điểm gần nó nhất nằm trên mặt cầu bên ngoài (nói cách khác, kết hợp mọi điểm trên mặt cầu - biên bên ngoài với điểm nằm trên đường thẳng nối nó với tâm, trên mặt cầu biên trong), ta sẽ thu được một đa tạp bậc ba không có biên. Để hình dung cuộc sống trong một vũ trụ có hình dạng này, hãy tưởng tượng ta là những con người rất nhỏ bé trôi nổi bền trong các vỏ cầu cực lớn và là chủ thể của dự đoán sau đây: nếu ta đi từ trong ra ngoài, xuyên qua mặt cầu bậc hai bên ngoài, thì chúng ta sẽ không rời khỏi vỏ cầu, mà ngay lập tức quay trở lại thông qua mặt cầu bậc hai bên trong. Tất nhiên, chúng ta sẽ không thể nhìn thấy được gì bên ngoài vũ trụ đó bởi vì mặt cầu - biên bên trong giờ đây cũng là mặt cầu - biên bên ngoài (xem Hình 21). Chúng ta cũng không thể nhìn thấy những “biên” mặt cầu này: nhìn ra phía ngoài mặt cầu bên ngoài đồng nghĩa với việc nhìn vào phía trong mặt cầu bên trong. Thực ra, các “biên” mặt cầu này là các đối tượng giả tưởng trong cấu trúc: dưới góc nhìn của một người sống trong đa tạp thì chúng không tồn tại. Ở bất kì điểm nào, nếu nhìn ra xung quanh, chúng ta sẽ cảm thấy như mình đang trôi nổi trong một khu vực của không gian ba chiều Euclid, và thực ra một bản đồ có thể biểu diễn khu vực xung quanh chúng ta. Mặc dù tập hợp này, rất lớn nhưng bởi vì nó không vô hạn, cho nên chúng ta có thể xây dựng được một atlas gồm một số lượng lớn và hữu hạn các bản đồ có dạng hình hộp biểu diễn mọi khu vực. Hình 21. Kết nối từng điểm trên biên - mặt cầu bên trong với điểm tương ứng nằm trên cùng một đường thẳng nối tâm và nằm trên biên - mặt cầu bên ngoài sẽ cho ta một đa tạp-bậc ba-không biên. Sự khác biệt giữa việc sống trong đa tạp này với việc sống trong khối cầu bậc ba chỉ xuất hiện khi ta nhìn nhận sự việc một cách tổng thể. Nếu chúng ta, dọc theo một đường thẳng xuyên tâm, đi ra ngoài, ta sẽ trở về nơi xuất phát. Như vậy, ta vừa thực hiện một vòng khép kín. Hãy tưởng tượng chúng ta để lại một sợi dây trong suốt quãng đường đã đi, thì chúng ta sẽ không có cách nào để nhồi nhét nó vào một điểm cả. Vòng dây này không thể co lại ngắn hơn khoảng cách giữa hai mặt cầu hai chiều bên trong và bên ngoài ban đầu - trước khi chúng được đồng nhất hóa để tạo nên đa tạp này. Vì vậy, đa tạp này chắc chắn phải khác với khối cầu bậc ba. Ở một số khía cạnh khác, đa tạp này cũng chia sẻ những điểm chung với một khối cầu bậc ba. Nó không chứa bức tường chắn nào cả, nhưng là hữu hạn. Đi theo bất kì hướng nào, ta cũng trở lại gần nơi xuất phát. Đó là một vũ trụ khả dĩ. Ta có thể bác bỏ rằng đa tạp này không thực sự tồn tại, bởi vì chúng ta không thể kết nối một cách vật lí hai biên - mặt cầu bên trong và bên ngoài. Nhưng luận cứ này đã bỏ qua một điểm quan trọng: việc dùng trí tưởng tượng để kết nối hai biên - mặt cầu bên trong và bên ngoài chỉ là cách giúp chúng ta hình dung được đa tạp này. Đa tạp này là một đối tượng cơ bản, và chẳng ai thắc mắc về sự tồn tại của đối tượng toán học này. Chúng ta không biết liệu đó có phải là hình dạng của vũ trụ chúng ta hay không. Cũng giống như khối cầu bậc ba, đa tạp này là một hình dạng khả dĩ của vũ trụ mà chúng ta đang sinh sống trong đó. Một ví dụ khác trong số các đa tạp bậc ba là một khối hình hộp chữ nhật đặc (hay bể cá). Biên của nó gồm sáu mặt, bao gồm ba cặp hình chữ nhật song song. Giả sử chúng ta kết nối hai mặt đối diện bằng cách xem hai điểm đối diện ở mỗi mặt là một điểm duy nhất. Nghĩa là, nếu chúng ta đi ra từ phía bên phải, chúng ta sẽ trở lại từ phía bên trái; ra ngoài qua nóc hộp sẽ quay lại từ phía đáy hộp; và ra ngoài qua mặt sau, sẽ trở về qua mặt trước. Một lần nữa, chúng tôi phải nhấn mạnh rằng đa tạp mới tạo ra không có biên - nếu chúng ta bay vòng quanh đa tạp này, chúng ta sẽ không bao giờ chạm phải một bức tường chắn nào cả và cũng chẳng bao giờ thoát ra khỏi nó. Điều này nghe có vẻ thái quá. Nhưng không. Trong chương trước, chúng ta đã thấy rằng, thật dễ dàng để tượng ra một thế giới mà bản đồ của nó có đặc điểm là: các địa điểm xuất hiện trên lề trái đồng nhất với các điểm nằm trên lề phải và những điểm nằm trên lề trên cùng đồng nhất với những điểm ở trên lề dưới cùng. Một thế giới như vậy có hình dạng của một hình xuyến hai chiều. Đối tượng ba chiều tương đương được hình thành bằng cách kết nối các mặt đối diện của một khối hộp chữ nhật rắn được gọi là khối hình xuyến ba chiều, hoặc ngắn gọn hơn là khối xuyến bậc ba. Cách biểu diễn hình xuyến hai chiều như là một hình chữ nhật với các mặt đối diện dính vào nhau đem lại cho chúng ta một phương thức để tư duy về hình xuyến bậc ba. Hãy xem như là khối hình hộp chữ nhật đặc ban đầu được tạo nên từ vô số các tờ giấy hình chữ nhật đứng sát nhau từ trước ra sau. Nếu ta dán mặt trên của khối hình hộp đặc với mặt dưới, mặt phải với mặt trái, thì một cách tự động, lề trên của mỗi tờ giấy dính với lề dưới của nó, lề bên phải dính với lề bên trái. Nói cách khác, chúng ta tạo nên một vật rắn mới, bao gồm các “thớ” hình xuyến hai chiều chụm vào nhau. Chúng ta có được một vỏ hình xuyến: một vùng đặc nằm giữa hai hình xuyến hai chiều, hình này nằm trong hình kia, giống như ta thổi phồng hình xuyến bên trong bằng cách tăng dần bán kính vòng tròn. Biên bao gồm hai hình xuyến hai chiều (tương ứng với tờ giấy ở mặt trước và tờ giấy ở phía sau của chồng giấy). Hãy xem Hình 22. Để có được một khối xuyến bậc ba, chúng ta kết nối hai hình xuyến hai chiều - biên của chiếc vỏ hình xuyến. Nếu chúng ta sống trong đa tạp như vậy, ta có thể tưởng tượng bản thân mình đang sống trong một vỏ hình xuyến, mà ở đó hình xuyến bên ngoài cũng chính là hình xuyến bên trong, vì vậy chúng ta không thể nhìn thấy chúng, và việc đi xuyên qua hình xuyến này sẽ đem ta trở lại bên trong thông qua hình xuyến kia. Hình 22. Khối xuyến bậc ba được tạo ra bằng cách kết nối các điểm tương ứng trên hình xuyến bên ngoài và bên trong của một vỏ hình xuyến. Đa tạp này cũng vậy, nó có các quỹ đạo khép kín không thể co rút thành một điểm. Thực vậy, nếu chúng ta bắt đầu từ một điểm ở giữa vỏ hình xuyến và đi thẳng ra hình xuyến bên ngoài, và do đó, quay trở lại vào trong thông qua hình xuyến bên trong, trở lại nơi mà chúng ta xuất phát. Hãy xem Hình 22. Chúng ta không thể co quỹ đạo này lại thành một điểm. Vì vậy, đa tạp này không thể đồng phôi với khối cầu bậc ba nơi mà bất kì vòng lặp nào cũng có thể co rút thành một điểm. Nó cũng không đồng phôi với đa tạp mà chúng ta đã xây dựng bằng cách kết nối các biên bên trong và bên ngoài của một vỏ cầu.32 Một cách tiện lợi, ý tưởng cơ bản cho việc thực hiện một bản đồ thế giới cũng được áp dụng với vũ trụ. Hãy tưởng tượng ta đã lập bản đồ của toàn bộ vũ trụ sao cho ta có hàng trăm chiếc hộp thủy tinh biểu diễn các ngôi sao và các thiên hà trong các khu vực khác nhau của không gian. Chúng ta hoàn toàn có thể thay đổi tỉ lệ của chúng để sao cho chúng có cùng tỉ lệ và cố gắng kết hợp càng nhiều càng tốt các hộp này với nhau để tạo ra một khối bản đồ lớn của vũ trụ. Nhưng cũng giống với trường hợp của thế giới, chúng ta gặp hạn chế ở việc không thể kết nối các bề mặt nằm ở lề bên này của một số những khối hộp này, với các bề mặt nằm ở lề bên kia của một số khối hộp. Nghĩa là, tương tự với việc chúng ta không thể kết nối những điểm nằm trên các lề của bản đồ thế giới nếu chúng ta vẫn ở trong mặt phẳng hai chiều, chúng ta không thể nào kết nối những bề mặt thuộc về biên bên ngoài của bản đồ vũ trụ nếu chúng ta vẫn ở bên trong không gian của chúng ta. Điều này khó có thể làm chúng ta mất tinh thần. Bởi vì mặt phẳng hai chiều và không gian ba chiều - kéo dài đến vô tận - của hình học sơ cấp cũng là các đối tượng toán học không kém phần trừu tượng so với đa tạp mà chúng ta đang đề cập tới. GIẢ THUYẾT POINCARÉ Chúng ta đã thấy một vài ví dụ về đa tạp bậc ba compac: khối hình xuyến bậc ba, khối cầu bậc ba, và đa tạp mà ta có được bằng cách kết nối các biên bên trong và bên ngoài của một vỏ cầu. Còn rất nhiều loại đa tạp bậc ba khác nữa, thậm chí là vô hạn. Số lượng các đa tạp hai chiều cũng là vô hạn, nhưng chúng đều đã được phân loại. Còn các đa tạp bậc ba thì không. Các đa tạp bậc ba đa dạng hơn rất nhiều và cũng chưa có ai tiến tới gần được việc phân loại toàn bộ chúng. Trí thông minh của con người dường như là vô biên, và một phần lớn đã được dùng để xây dựng các đa tạp bậc ba khác nhau. Chúng ta có thể xây dựng các đa tạp bậc ba bằng cách kết nối các mặt đối diện của các vật rắn thông thường theo những cách khác nhau. Với một đa tạp bậc ba cho trước, ta có thể cắt một khối hình xuyến ra khỏi nó, và dán chúng trở lại với nhau theo một cách khác để tạo ra một đa tạp bậc ba mới, thường là khác với đa tập bậc ba ban đầu. Với hai đa tạp bậc ba cho trước, chúng ta có thể cắt một hình cầu đặc trên mỗi đa tạp, rồi kết nối hai đa tạp hữu biên mới được tạo ra này lại bằng cách đồng nhất các điểm trên hai mặt cầu hai chiều bao quanh hai hình cầu đăc mà chúng ta vừa loại bỏ. Bất kì đa tạp bậc ba nào trong số này đều có thể là hình dạng khả dĩ của vũ trụ. Chúng ta bối rối bởi sự đa dạng của chúng. Có cách nào để chỉ ra ý nghĩa của tất cả chúng không? Hơn một thế kỉ qua, nhiều cá nhân đã cống hiến cả đời cho công việc thúc đẩy hơn nữa sự hiểu biết của chúng ta về các đa tạp bậc ba. Nhưng, trớ trêu thay, chỉ riêng một câu hỏi đơn giản nhất trong lĩnh vực này lại đã nằm ngoài tầm với của mọi cố gắng tìm ra lời giải đáp, đó là: Trong số tất cả những đa tạp bậc ba đó, liệu có đa tạp nào khác với khối cầu bậc ba nhưng cũng có chung một tính chất là, tất cả mọi quỹ đạo khép kín trong nó đều có thể co rút thành một điểm? Nếu không có một đa tạp nào như vậy, ta có thể trả lời một cách chắc chắn cho câu hỏi liệu vũ trụ của chúng ta có dạng hình cầu bậc ba hay không, bằng cách sử dụng một atlas hoàn chỉnh để kiểm tra xem mỗi vòng lặp khép kín có thể co rút thành một điểm hay không. Giả thuyết Poincaré khẳng định rằng không có đa tạp nào như vậy. Nói theo một cách khác lí thuyết hơn và cũng chính xác hơn, giả thuyết Poincaré khẳng định rằng, nếu có một đa tạp bậc ba compac mà ở đó, tất cả các quỹ đạo khép kín đều có thể co rút thành một điểm, thì đa tạp đó đồng nhất về mặt topo học (nghĩa là đồng phôi) với khối cầu bậc ba. Đây chính là câu hỏi đơn giản nhất mà chúng ta có thể đặt ra cho hình dạng khả dĩ của vũ trụ. Tuy nhiên, đó cũng là một câu hỏi đau đớn, và đối với một số người, nó thậm chí là một nỗi ám ảnh và cũng là nguyên nhân """