Danh Nhân Toán Học - Nguyên Trường full mobi pdf epub azw3 [Tiểu Sử]

"Danh Nhân Toán Học - Nguyên Trường full mobi pdf epub azw3 [Tiểu Sử] 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Danh Nhân Toán Học - Nguyên Trường full mobi pdf epub azw3 [Tiểu Sử] Ebooks Nhóm Zalo DANH NHÂN TOÁN HỌC Tác giả: Nguyễn Trường Thể loại: Nhân vật - Sự kiện Nhà xuất bản: Hồng Đức Phát hành: Triducbooks Ebook:nguyenthanh-cuibap “Con quỷ toán học” P oincaré sinh ngày 29 tháng 4 năm 1854 tại Cité Ducale gần Nancy, Meurthe-et-Moselle. Cha ông là Leon Poincaré (1828-1892) giáo sư y học tại Đại học Nancy. Vào năm 1862 Henri học tại trường Lycée ở Nancy. Ông học mười một năm tại Lycée và trong suốt thời gian này ông luôn đứng đầu trường trong các môn học. Ông rất giỏi viết văn. Giáo viên toán coi ông như là “quái vật của Toán học” và ông đã giành giải nhất trong cuộc thi học sinh giỏi của nước Pháp. Ngay từ nhỏ, Poincaré đã nổi tiếng về tài năng phi thường trong toán học. Một thầy giáo dạy toán tên là Carta de Elliot tại trường trung học Nancy nay là trường Lycée đã từng gọi Poincare là “con quỷ toán học”. Năm 1872, trong một thư gửi cho một người bạn, thầy Elliot viết: “Trong lớp của tôi ở Nancy, có một con quỷ toán học, đó là Henri Poincaré”. Đúng như lời thầy nói, sau này Poincaré không những đã làm biến đổi nền toán học mà còn cùng với những người khổng lồ khác như Max Planck, Albert Einstein,… đã làm thay đổi cả vật lý trong giai đoạn cuối của thế kỷ XX. Tuy nhiên, khi học ở trường, môn học kém nhất của ông lại là âm nhạc và vật lý - ông được đánh giá là trung bình khá. Ông tốt nghiệp trường Lycée năm 1871 với tấm bằng cử nhân văn chương và khoa học. Poincaré thi đỗ vào trường Đại học Bách khoa năm 1873. Tại đây ông học toán dưới sự hướng dẫn của Charles Hermite, tiếp tục phát triển tài năng toán học của mình và viết bài báo đầu tiên (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface) vào năm 1874. Ông tốt nghiệp năm 1875 hoặc năm 1876. Ông nghiên cứu và học tiếp toán học tại trường Mỏ (École des Mines) và tốt nghiệp kỹ sư mỏ vào tháng 3 năm 1879. Khi học tại trường Mỏ (École des Mines) ông tham gia vào Ủy ban về mỏ với vị trí là thanh tra tại vùng Vesoul miền Đông bắc nước Pháp. Vào tháng 8 năm 1879 đã xảy ra một vụ tai nạn tại mỏ Magny làm 18 công nhân mỏ bị chết. Ông đã khảo sát chi tiết các nguyên nhân khách quan và chủ quan. Thời gian này, Poincaré chuẩn bị làm luận án Tiến sĩ toán học dưới sự hướng dẫn của Charles Hermite. Luận án của ông trong lĩnh vực phương trình vi phân, dưới tiêu đề “Về các tính chất của các hàm số xác định bằng phương trình vi phân”. Poincaré đã đưa ra một hướng mới trong việc nghiên cứu tính chất của các phương trình này. Ông không chỉ đối mặt với vấn đề xác định tính khả tích của các phương trình vi phân, mà còn là người đầu tiên nghiên cứu các tính chất hình học tổng quát của chúng. Ông nhận ra chúng có thể được sử dụng để mô hình hóa tương tác giữa các vật thể chuyển động trong hệ Mặt trời. Poincaré tốt nghiệp Đại học Paris năm 1879. Sau đó, ông được nhận vào Đại học Caen với vị trí là trợ giảng toán học. Nhưng ông cũng không từ bỏ hoàn toàn nghề mỏ. Ông làm kỹ sư tại bộ dịch vụ công cộng với nhiệm vụ là phát triển tuyến đường sắt miền Bắc từ năm 1881 đến năm 1885. Sau đó, ông trở thành kỹ sư trưởng tại Corps de Mines vào năm 1893 và tổng thanh tra năm 1910. Đầu năm 1881 cho đến cuối đời, ông dạy tại Đại học Paris. Ban đầu ông được bổ nhiệm làm trợ lý giáo sư về giải tích. Sau đó, ông giữ chức trưởng phòng các phòng vật lý và cơ học thực nghiệm, toán lý và lý thuyết xác suất, thiên văn và cơ học thiên thể. Năm 1881, Poincaré kết hôn với Poulain d'Andecy. Họ có bốn người con: Jeanne (sinh năm 1887), Yvonne (sinh năm 1889), Henriette (sinh năm 1891), và Léon (sinh năm 1893). Năm 1887, ở tuổi 32, Poincaré được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp và trở thành chủ tịch năm 1906. Năm 1887 ông đoạt giải Oscar II, một cuộc thi do vua Thụy Điển tổ chức nhằm tìm lời giải cho bài toán ba vật thể liên quan đến các vật thể chuyển động tự do trên quỹ đạo. Poincaré là một người đa tài và được coi là người có tầm hiểu biết sâu rộng các lĩnh vực khoa học đặc biệt trong toán học. Là một nhà toán học và vật lý, ông đã có rất nhiều đóng góp căn bản cho toán học thuần túy, toán học ứng dụng, vật lý toán, và cơ học thiên thể. Ông cũng là người đặt ra bài toán nổi tiếng giả thuyết Poincaré trong toán học. Khi nghiên cứu về bài toán ba vật thể, ông là người đầu tiên khám phá ra hệ có tính tất định hỗn độn, sau này là cơ sở cho lý thuyết hỗn độn hiện đại. Ông được coi là một trong những cha đẻ của topo học. Poincaré đã đưa ra nguyên lý tương đối hiện đại, và lần đầu tiên ông đã biểu diễn các phép biến đổi Lorentz theo dạng đối xứng hiện đại của chúng. Poincaré đã phát hiện ra các phép biến đổi vận tốc vẫn còn đúng trong phạm vi tương đối tính, và đã gửi điều này trong một lá thư tới Hendrik Lorentz vào năm 1905. Dựa vào điều này, ông đã rút ra được tính bất biến của các phương trình Maxwell trong lý thuyết tương đối đặc biệt - một bước quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết này. Vấn đề tìm lời giải tổng quát cho n (n>2) vật thể chuyển động trên quỹ đạo trong hệ Mặt trời đã được đặt ra từ thời đại của Isaac Newton. Ban đầu là bài toán đối với ba vật thể, sau đó được tổng quát lên cho n. Lời giải bài toán n - vật thể được xem là rất quan trọng và là thử thách đối với các nhà toán học cuối thế kỷ XIX. Vào năm 1887, để kỷ niệm lần sinh nhật thứ 60 của mình, nhà vua Thụy Điển Oscar II cùng với sự trợ giúp của Gösta Mittag-Leffler, đã lập một giải thưởng cho người nào giải được bài toán. Trong trường hợp không giải được, bất kỳ một đóng góp quan trọng cho cơ học cổ điển thì đều được trao giải. Giải thưởng cuối cùng đã trao cho Poincaré, mặc dù ông không hề giải bài toán gốc. Một thành viên xét duyệt, giáo sư Karl Weierstrass nói rằng: “Mặc dù lời giải đưa ra không cung cấp một lời giải đầy đủ cho bài toán, nhưng cho dù thế nào đi chăng nữa sự xuất hiện của nó sẽ mở đầu cho một kỷ nguyên mới của lịch sử cơ học thiên thể”. Công việc của Poincaré tại Bureau des Longitudes về việc xác định các vùng thời gian quốc tế đã dẫn ông đến xem xét việc bằng cách nào mà các đồng hồ được đặt trên mặt đất và đồng hồ trong không gian tuyệt đối di chuyển với các vận tốc tương đối khác nhau được đồng bộ hóa với nhau. Cũng trong thời gian này, nhà vật lý lý thuyết Hendrik Lorentz đang phát triển lý thuyết của Maxwell vào chuyển động của các hạt tích điện (electron hoặc ion), và tương tác của chúng cùng với sự phát xạ. Năm 1895 Lorentz đã đưa ra một đại lượng phụ (mà không có sự giải thích vật lý một cách rõ ràng) gọi là “thời gian địa phương” (hoặc còn gọi là thời gian cục bộ) Poincaré là một người diễn giải kiên định (thỉnh thoảng là người bạn phê bình) đối với lý thuyết của Lorentz. Với vai trò là nhà triết học, ông cũng thích thú khi tìm “hiểu ý nghĩa sâu xa” của lý thuyết này. Ông đã đi đến các bản chất của lý thuyết Lorentz và bây giờ được coi như là một phần của thuyết Tương đối đặc biệt. Trong bài viết “Đo thời gian” (năm 1898): “Một chút suy nghĩ cũng đủ để hiểu rằng tất cả những khẳng định này tự chúng không có ý nghĩa. Chúng chỉ có ý nghĩa khi là kết quả của sự quy ước.” Ông cũng cho rằng, các nhà khoa học phải đặt vận tốc ánh sáng là một hằng số như là một tiên đề để các lý thuyết vật lý có dạng đơn giản nhất. Dựa trên những điều giả sử này, ông đã thảo luận (năm 1900) về phát minh của Lorentz về thời gian cục bộ và chú ý đến nó xuất hiện trong trường hợp đồng hồ chuyển động được đồng bộ hóa bằng cách trao đổi tín hiệu ánh sáng giả sử được truyền đi với cùng vận tốc theo cùng các hướng trong một khung di động. Ông cũng đề cập đến “Nguyên lý của chuyển động tương đối” vào năm 1900 và đặt tên nó là “Nguyên lý tương đối” vào năm 1904, theo đó không có một thí nghiệm vật lý nào có thể phân biệt được giữa trạng thái của chuyển động đều và trạng thái nghỉ. Năm 1905 Poincaré gửi một lá thư cho Lorentz. Trong lá thư này, ông đã chỉ ra một lỗi của Lorentz khi áp dụng các phép biến đổi cho các phương trình Maxwell đối với các hạt tích điện, ngoài ra cũng đề cập tới hệ số giãn thời gian của Lorentz. Trong một lá thư thứ hai, Poincaré đưa ra lý do vì sao hệ số giãn thời gian quả thực là đúng: Sự cần thiết để dạng các phép biến đổi tạo thành một nhóm và đặt cho nó cái tên như bây giờ được biết đến là định luật cộng vận tốc tương đối tính. Poincaré đã đọc một báo cáo tại cuộc họp của Viện Hàn lâm Khoa học tại Paris vào ngày 5 tháng 6 năm 1905 trong đó ông đề cập đến những vấn đề trên. Poincaré đã khám phá ra mối quan hệ giữa khối lượng và năng lượng điện từ. Trong khi nghiên cứu mâu thuẫn giữa các định luật Newton và lý thuyết của Lorentz, ông đã cố xác định liệu khi trường điện từ được kể đến thì khối tâm có di chuyển với vận tốc đều hay không? Ông nhận thấy định luật tác dụng/phản tác dụng không chỉ đúng đối với vật chất, mà trường điện từ cũng có động lượng của nó. Poincaré kết luận rằng năng lượng trường điện từ của sóng điện từ giống như một chất lỏng lý tưởng với mật độ E/c2. Vì năng lượng điện từ có thể biến đổi thành các dạng khác, do vậy Poincaré đã giả sử rằng tồn tại một chất lỏng không chứa năng lượng điện tại mỗi điểm của không gian, và tại đó năng lượng điện từ có thể biến đổi và mang một khối lượng tỷ lệ với năng lượng đó. Theo cách này chuyển động của khối tâm vẫn là đều. Poincaré thực hiện một phép biến đổi Lorentz đối với hệ tọa độ di chuyển so với gốc. Ông nhận thấy định luật bảo toàn năng lượng thỏa mãn trong cả hai hệ, nhưng định luật bảo toàn động lượng bị vi phạm. Điều này dẫn đến chuyển động vĩnh cửu, cái không thể xảy ra. Các định luật của tự nhiên là khác nhau trong các hệ quy chiếu, và nguyên lý tương đối không còn đúng nữa. Poincaré rất thích theo lối suy nghĩ của riêng ông; và đưa ra những nhận định trong một buổi nói chuyện năm 1908 tại Viện tâm lý học trung ương ở Paris. Trong đó ông liên hệ giữa cách ông suy nghĩ với những khám phá do ông tìm ra. Nhà toán học Darboux nhận xét Poincaré là tuýp người thuộc về “trực giác”, bởi vì người ta thường thấy ông làm việc với sự hình dung những đối tượng trong nghiên cứu của ông. Ông không quan tâm đến sự phức tạp và sự phi logic. Ông tin rằng không phải là con đường để phát minh nhưng là một cách để tạo nên những ý tưởng và logic hạn chế ý tưởng. Poincaré cũng hay đãng trí. Một lần ông mời một người bạn đến ăn trưa cùng mình, khi ông này đến thì thấy Poincaré đang đi lại trong phòng làm việc và chìm đắm trong suy nghĩ của mình. Biết bạn hay đãng trí nên ông không gọi mà ngồi ngoài hành lang chờ. Một lúc sau bỗng nhiên Poincaré từ trong phòng nói to ra: “Thưa ngài, ngài đang làm phiền tôi đấy!”. Poincaré đã 51 lần được đề cử nhận giải Nobel vật lý, trong 12 năm, ông được đề cử 51 lần, trung bình mỗi năm có hơn 4 đề cử nhưng ông chưa một lần đoạt giải Nobel vì trong số những đóng góp của Poincaré cho vật lý, có những tư tưởng vượt quá xa thời đại, đến nỗi Uỷ ban Nobel cũng chưa thể đánh giá hết được ý nghĩa của nó, hoặc vì họ thận trọng không muốn mắc sai lầm. Thí dụ điển hình là Thuyết tương đối hẹp và Lý thuyết hỗn độn. Phải đợi tới những năm 1960 - 1970, lý thuyết này mới được xem như một lý thuyết khoa học hoàn toàn mới, nhưng nguyên lý cơ bản của nó thì đã được Poincaré khám phá ngay từ tháng 11 năm 1890, khi ông công bố lời giải của “Bài toán ba vật thể” trên tạp chí Acta Mathematica. Hơn nữa, nếu không có Lý thuyết topo (Topology) của ông thì không biết toán học và vật lý học ngày nay sẽ ra sao. Trong lĩnh vực này, giả thuyết Poincaré đã sừng sững trong suốt một thế kỷ qua như một trong những thách thức lớn nhất đối với các nhà toán học, để mãi đến năm 2006 mới được giải quyết trọn vẹn bởi nhà toán học Grigori Perelman, và sự kiện này đã trở thành bước đột phá của khoa học năm 2006. Không kể rất nhiều công trình nghiên cứu sâu sắc khác trong toán học và vật lý, chỉ riêng đóng góp của Poincaré đối với ba lý thuyết khổng lồ nói trên cũng đã quá đủ để nói lên tầm vóc khổng lồ của ông. Nhưng sẽ là một thiếu sót lớn nếu nghĩ rằng “con quỷ toán học” chỉ nghiên cứu khoa học thuần túy: Poincaré đồng thời còn là một nhà triết học thâm thúy, một nhà tư tưởng có tầm nhìn xa trông rộng. Một sinh viên của Poincaré viết về thầy của mình: “Poincaré luôn kết thúc buổi giảng bằng những công thức đơn giản, được diễn giải bằng một thứ ngôn ngữ đầy hình ảnh đến nỗi buộc chúng tôi phải hiểu”. Nhận xét ngắn ngủi này phản ánh chính xác tư tưởng và tính cách của Poincaré: Đối với ông, toán học phải sinh động, giàu hình ảnh, đầy cảm nhận trực giác, mặc dù bề ngoài của nó là những ký hiệu và các phương trình. Ký hiệu hay phương trình chỉ là công cụ để thể hiện một tư tưởng, không được phép biến thành một thứ ngôn ngữ chết, một chuỗi suy diễn logic máy móc, vô hồn vô cảm. Điều này giải thích vì sao Poincaré quyết liệt chống đối chủ nghĩa toán học hình thức ngay từ buổi trứng nước của nó. Đầu thế kỷ XX, bất chấp đa số các nhà toán học lao theo con đường do David Hilbert vạch ra, dồn mọi nỗ lực vào việc tìm kiếm “chiếc chén Thánh toán học” hòng biến toán học thành một hệ thống logic hình thức thuần tuý, hoàn toàn tách rời khỏi hiện thực, không đếm xỉa tới trực giác, Poincaré vẫn ung dung đi trên con đường riêng của mình và không ngừng cảnh báo chủ nghĩa hình thức về sai lầm của họ: “Nhà toán học xa rời thực tiễn giống như một hoạ sĩ bị tước đi vật mẫu”. Lời cảnh báo bất hủ ấy đã nhanh chóng được kiểm chứng: Năm 1902, Bertrand Russell, một nhà tiên phong trong cuộc hành trình tìm kiếm “chiếc chén Thánh”, trớ trêu thay, lại khám phá ra một nghịch lý của chính logic hình thức. Nghịch lý Russell cho thấy chủ nghĩa logic hình thức giống như con rắn tự nuốt đuôi của mình. Không giấu được vẻ giễu cợt, Poincaré nói: “Cuối cùng thì chủ nghĩa logic cũng đã chứng minh được rằng nó không hoàn toàn vô ích. Rốt cuộc nó cũng sinh đẻ được, nhưng lại đẻ ra một nghịch lý”. Bất chấp sự khác biệt về lý tưởng toán học, Russell vẫn khẳng khái nhận định: “Poincaré là người có tài trí khoa học vĩ đại nhất thời đại”. Năm 1931, định lý Godel ra đời, xác nhận chủ nghĩa hình thức là một ảo tưởng, do đó Poincaré quả thật là người nhìn xa trông rộng! Tuy nhiên, không phải mọi điều đã được hiểu đúng ngay từ những năm 1930. Bằng chứng là chủ nghĩa hình thức vẫn còn giương cao ngọn cờ “toán học mới” để tấn công ồ ạt vào hệ thống giáo dục phổ thông ở Tây phương những năm 1960. Phải đợi tới những thập kỷ cuối thế kỷ XX, mọi điều mới tỏ rõ, quả thật Poincaré sâu sắc. Ông đã viết một loạt tác phẩm: Khoa học và giả thuyết (năm 1902), Giá trị của khoa học (năm 1905), Khoa học và phương pháp (năm 1908) và Nhà bác học và nhà văn (năm 1910). Đó là những tác phẩm triết luận sâu sắc, hùng hồn, hấp dẫn, đến nỗi Poincaré được đánh giá như một nhà triết luận tài ba, và đã trở thành nhà khoa học đầu tiên được bầu vào Viện Hàn lâm Văn chương Pháp. Có thể nói, Poincaré luôn luôn có mặt trên tuyến đầu của tất cả các cuộc cách mạng lớn nhất về nhận thức trong thế kỷ XX, từ “cuộc cách mạng về tương đối tính” đến cuộc cách mạng về bất định, ngẫu nhiên và hỗn độn: Lời giải Bài toán ba vật thể của Poincaré là ánh chớp đầu tiên báo hiệu cuộc cách mạng tư tưởng sâu sắc nhất sắp xảy ra trong thế kỷ XX - chủ nghĩa này cho rằng vũ trụ vận hành theo những quy luật xác định và tất yếu như một chiếc đồng hồ. Từ thế kỷ XVII trở về sau, chiếc đồng hồ ấy được mệnh danh là “chiếc đồng hồ Newton”, bởi vì với cơ học Newton, người ta có thể xác định được tương lai hoặc quá khứ của vũ trụ nếu biết rõ trạng thái của nó tại một thời điểm cho trước. Nhà toán học Pierre Simon Laplace giải thích: “Chúng ta có thể coi trạng thái hiện tại của vũ trụ như hậu quả của quá khứ và là nguyên nhân của tương lai... và trước con mắt của một người trí thức, chẳng có gì là bất định cả, tương lai cũng như quá khứ sẽ chỉ là hiện tại mà thôi”. Đó là “Tất định luận Laplace” (Laplace’s determinism). Tất định luận này ăn sâu vào tâm trí các nhà khoa học đến nỗi Louis Lagrange, nhà toán học lỗi lạc cuối thế kỷ XVIII đầu thế kỷ XIX phải buồn rầu than thở: “Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì cho chúng ta làm nữa”. Dù cho vật lý thế kỷ XIX được bổ sung bởi lý thuyết điện từ của James Clerk Maxwell, nhưng lý thuyết này hoàn toàn nhất quán với cơ học Newton để tạo nên một hệ thống lý thuyết hoàn toàn xác định và chắc chắn, làm nền tảng cho mọi hiểu biết về vũ trụ, đến nỗi nhiều người nghĩ rằng khoa học đã tiệm cận tới những trang cuối cùng. Tuy nhiên, cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, những tư tưởng hoàn toàn mới đã nảy mầm trên mọi lĩnh vực của nhận thức: Tư tưởng về cái bất định, bất toàn, ngẫu nhiên, hỗn độn - những cái không chắc chắn và không thể dự đoán trước. Nguyên lý bất định của Heisenberg trong cơ học lượng tử, ra đời năm 1921. Định lý bất toàn của Kurt Godel ra đời năm 1931, trừ một vài người thấy giật mình đến mức phải thay đổi định hướng nghiên cứu toán học, điển hình là John von Newman, còn đa số vẫn tiếp tục tôn thờ chủ nghĩa hình thức. Nhưng càng ngày người ta càng nhận thấy ý nghĩa vĩ đại của định lý này: Trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được - những mệnh đề không thể chứng minh và không thể bác bỏ. Hóa ra toán học cũng không tuyệt đối chắc chắn như người ta tưởng. Greg Chaitin sau này còn đi xa hơn khi chứng minh rằng yếu tố ngẫu nhiên và bất định nằm ngay trong nền tảng của số học. So với nguyên lý bất định của Heisenberg và định lý bất toàn của Godel, tư tưởng về cái hỗn độn ra đời sớm hơn rất nhiều - ngay từ năm 1890 khi Poincaré công bố lời giải Bài toán ba vật thể, trong đó ông mô tả: “Khi tôi cố gắng mô tả hình ảnh được tạo ra bởi hai đường cong này và vô số giao điểm của chúng,... những giao điểm này tạo nên một mạng lưới, một mớ lằng nhằng hoặc một cạm bẫy vô cùng rắc rối. Tôi hết sức kinh hoàng vì tính phức tạp của hình ảnh này đến nỗi tôi không cố sức để vẽ nó ra nữa”. “Một nguyên nhân rất nhỏ mà chúng ta không nhận thấy có thể dẫn tới một hậu quả lớn đến mức không thể đoán trước, và vì thế chúng ta bảo rằng hậu quả này xảy ra do ngẫu nhiên... Có thể xảy ra trường hợp những khác biệt vô cùng nhỏ trong dữ kiện ban đầu dẫn tới những hậu quả vô cùng lớn trong hiện tượng sau cùng. Một sai lệch nhỏ ban đầu có thể gây ra một sai lệch khổng lồ trong kết quả. Dự đoán trở nên bất khả, và chúng ta có một hiện tượng ngẫu nhiên”. Đó chính là tuyên ngôn mở đầu về những hiện tượng không thể dự đoán trước. Lần đầu tiên trong khoa học, bản chất ngẫu nhiên đã được đề cập. Lần đầu tiên tư tưởng tất định từng ngự trị trong hàng trăm năm trước, ít nhất kể từ thời Newton, đã bị nghi vấn. Đó là cuộc cách mạng đầu tiên về cái ngẫu nhiên, bất định, và hỗn độn trong thế kỷ XX. Melvyn Bragg viết: Poincaré là “người tình cờ khám phá ra tính hỗn độn”, nhưng đó là sự tình cờ vĩ đại chỉ xảy ra ở những bộ óc vĩ đại! Năm 2000, Viện toán học Clay ở Mỹ nêu lên danh sách 7 bài toán khó nhất của thiên niên kỷ thứ hai (từ năm 1001-2000) và treo giải thưởng 1 triệu USD cho mỗi bài toán. Giả thuyết Poincaré (GP) do Poincaré nêu lên từ năm 1904 là một trong số 7 bài toán đó. Năm 1912 Poincaré phải phẫu thuật tuyến tiền liệt và hậu quả là ông đã chết do tắc mạch máu vào ngày 17 tháng 7 năm 1912 tại Paris, lúc ông 58 tuổi. Ông được chôn cất tại hầm mộ của gia đình ở nghĩa trang Montparnasse, Paris. Năm 2004, Claude Allègre - cựu Bộ trưởng Giáo dục Pháp - đã đề nghị Poincaré được chôn cất tại điện Panthéon ở Paris, nơi an táng của những người có cống hiến lớn cho nước Pháp. Nhà toán học lập dị G rigori Yakovlevich Perelman sinh ngày 13 tháng 6 năm 1966, trong một gia đình Do thái tại Leningrad (nay là Sankt-Peterburg, Nga). Thời kỳ đầu, ông học tại trường Trung học Leningrad 239, một trường chuyên với chương trình khoa học và toán học cấp cao. Từ năm 16 tuổi ông đã đoạt giải nhất kỳ thi Olympic toán học quốc tế tại Budapest năm 1982. Cô giáo dạy toán của Perelman tại trường 239, một trường toán nổi tiếng, là Tamara Yefimova nhớ lại: “Đó là một cậu học trò xuất sắc trong mọi môn học, ngoại trừ thể thao. Toán học quan trọng nhất với cậu ấy. Nhưng tôi không nói rằng cậu ấy sống khép kín hoặc có thái độ chống xã hội. Cậu ấy cũng có bạn bè và chơi vĩ cầm”. Năm 1982, là một thành viên của đội Liên Xô trong Olympic Toán quốc tế, ông đoạt huy chương vàng với số điểm tuyệt đối. Cuối thập niên 1980, Perelman nhận bằng phó tiến sĩ tại Khoa toán - cơ Đại học Quốc gia Leningrad, một trong những đại học hàng đầu tại Liên Xô cũ. Luận án của ông có tên gọi “Các bề mặt yên ngựa trong các không gian Euclide”. Sau khi tốt nghiệp, Perelman bắt đầu hoạt động tại chi nhánh Leningrad nổi tiếng của Viện Toán học Steklov thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, dưới sự hướng dẫn của Aleksandr Danilovich Aleksandrov và Yuri Dmitrievich Burago. Trong cuối thập niên 1980 và đầu thập niên 1990, Perelman giữ chức vụ tại một số đại học ở Mỹ. Năm 1992, ông được mời đến Viện Courant tại Đại học New York và Đại học tiểu bang New York ở Stony Brook một khóa. Từ đó, ông nhận học bổng nghiên cứu Miller hai năm tại Đại học California ở Berkeley năm 1993. Ông được mời làm việc tại một số trường hàng đầu ở Mỹ, trong đó có Princeton, Stanford, nhưng ông đã từ chối tất cả và trở về Viện Steklov vào mùa hè năm 1995. Là một nhà toán học người Nga có nhiều đóng góp cho hình học Riemann và topo hình học, ông đã chứng minh giả thuyết hình học hóa của Thurston. Việc này đã giúp giải giả thuyết Poincaré, được đưa ra năm 1904 và được xem là một trong những bài toán hóc búa nhất. Giả thuyết Poincaré, do nhà toán học người Pháp Henri Poincaré đề xuất là vấn đề bỏ ngỏ nổi tiếng nhất trong topo. Bất kỳ đường vòng trên một mặt cầu trong ba chiều có thể co lại thành một điểm; giả thuyết Poincaré phỏng đoán rằng một đa tạp ba chiều đóng bất kỳ nơi đường vòng nào có thể co lại thành một điểm, thực sự chỉ là một mặt cầu ba chiều. Kết quả tương tự đã được biết là đúng trong các chiều bậc cao, nhưng trường hợp của đa tạp - ba hóa ra là khó nhằn hơn tất cả. Nói vắn tắt, điều này là do trong thao tác topo của đa tạp - ba, có quá ít chiều để tránh các “khu vực có vấn đề” mà không can thiệp với một cái gì đó khác. Năm 1999, Viện Toán học Clay đã thông báo các vấn đề giải Thiên niên kỷ - giải thưởng trị giá 1 triệu đô la Mỹ cho lời chứng minh cho vài giả thuyết, bao gồm cả giả thuyết Poincaré. Có sự đồng thuận chung rằng lời chứng minh thành công sẽ tạo nên một sự kiện bước ngoặt trong lịch sử toán học. Perelman đã đưa lên mạng bài báo 39 trang với nhan đề “Công thức entropy đối với dòng Ricci và những áp dụng của nó trong hình học” trên địa chỉ arxiv.org, một trang web chuyên dùng của các nhà toán học để giới thiệu các bài báo trước khi được công bố trên các tạp chí chuyên ngành. Perelman đã biến đổi chương trình của Richard Hamilton để có chứng minh cho giả thuyết, trong đó ý tưởng trung tâm là khái niệm luồng Ricci. Ý tưởng cơ bản của Hamilton là phát biểu thành công thức một “quá trình động học” trong đó một đa tạp - ba đã cho bị biến dạng về mặt hình học, chẳng hạn quá trình biến dạng này bị chi phối bởi một phương trình vi phân tương tự như phương trình nhiệt. Phương trình nhiệt miêu tả trạng thái của các đại lượng vô hướng như nhiệt độ; nó đảm bảo rằng các tập trung của nhiệt độ nâng cao sẽ lan tỏa cho tới khi một nhiệt độ đồng nhất đạt được trong khắp vật thể. Tương tự, luồng Ricci miêu tả trạng thái của một đại lượng tensor là tensor độ cong Ricci. Hy vọng của Hamilton là dưới luồng Ricci, các tập trung của độ cong lớn sẽ lan tỏa cho đến khi một độ cong đồng nhất đạt được trên toàn bộ đa tạp - ba. Nếu như vậy, nếu người ta bắt đầu với đa tạp - ba bất kỳ và cho phép luồng Ricci xảy ra, cuối cùng người ta về nguyên tắc có thể thu được một loại “hình dạng thông thường”. Theo William Thurston, hình dạng thông thường này phải chiếm một trong một lượng nhỏ các khả năng, mỗi khả năng có một loại hình học khác biệt, gọi là hình học mô hình Thurston. Ý tưởng của Hamilton đã thu hút một lượng lớn sự quan tâm, nhưng không ai có thể chứng minh rằng quá trình sẽ không bị cản trở bởi sự phát triển của các “điểm kỳ dị”, cho tới khi ấn bản điện tử của Perelman phác họa một chương trình để vượt qua các rào cản này. Theo Perelman, một sửa đổi của luồng Ricci chuẩn, gọi là luồng Ricci với phẫu thuật, có thể cắt xén có hệ thống các khu vực kỳ dị khi chúng phát triển, theo một cách có kiểm soát. Các điểm kỳ dị (bao gồm các điểm mà khái quát là xảy ra sau khi luồng đã tiếp tục trong một lượng thời gian hữu hạn) phải xảy ra trong nhiều trường hợp. Tuy nhiên, bất kỳ điểm kỳ dị nào phát triển trong một lượng thời gian hữu hạn về bản chất là một “sự bó chặt” dọc theo các mặt cầu nào đó tương ứng với phân hủy bậc nhất của đa tạp - ba. Ngoài ra, các điểm kỳ dị “thời gian hữu hạn” bất kỳ tạo ra từ các mảnh sụp đổ nào đó của phân hủy JSJ. Công trình của Perelman chứng minh tuyên bố này và vì vậy chứng minh giả thuyết hình học hóa. Sau đó, Perelman gửi bản tóm tắt của bài báo đó theo email cho hơn 10 nhà toán học ở Mỹ. Trong bản tóm tắt đó ông đã giải thích rằng ông đã viết một bản phác thảo về “chứng minh có tính chiết trung” của giả thuyết hình học hóa. Perelman không nhắc gì đến chứng minh mà cũng không đưa nó cho ai xem. “Tôi không có những người bạn để bàn luận về chứng minh đó”, ông nói ở St. Peterburg. “Tôi không muốn thảo luận công trình của tôi với người mà tôi không tin cậy”. Dư luận cho rằng việc Perelman đưa một giả thuyết nổi tiếng nhất trong toán học lên mạng là sự coi thường những quy ước trong học thuật, nhưng ông cũng đã phải chịu một sự mạo hiểm đáng kể. Nếu chứng minh là sai, ông sẽ bị sỉ nhục một cách công khai và không có cách nào để ngăn cản một nhà toán học khác tìm ra những sai sót và công bố chiến công của mình. Nhưng Perelman nói rằng ông hoàn toàn không quan tâm. “Lý luận của tôi là thế này: nếu tôi phạm sai lầm và có ai đó dùng công trình của tôi để xây dựng được một chứng minh đúng thì tôi cũng rất hài lòng”, ông nói. “Tôi không bao giờ phô trương là người duy nhất giải được bài toán Poincaré cả”. Gang Tian (một nhà toán học người Hoa nhận được email của Perelman khi ông đang ở phòng làm việc của mình ở MIT (Học viện Công nghệ Massachusetts - Mỹ). Ông và Perelman đã rất thân thiện vào năm 1992, khi cả hai ở Đại học New York “Tôi ngay lập tức nhận thấy tầm quan trọng của nó”, Tian nói về bài báo của Perelman. Thực tế cái mà Perelman đưa lên mạng chỉ là đợt đầu tiên, nhưng nó đủ để các nhà toán học thấy rằng ông đã hình dung ra phải giải bài toán Poincaré như thế nào. Perelman đã chứng minh rằng các “điếu xì gà” từng gây khó khăn cho Hamilton, có thể không thực sự xảy ra và ông cũng chứng tỏ được rằng bài toán “các cổ chai” cũng sẽ giải quyết được. Tian đã viết thư cho Perelman đề nghị ông tới MIT giảng về bài báo của mình. Các đồng nghiệp ở Princeton và Stony Brook cũng đưa ra những lời mời tương tự. Perelman chấp nhận và đi một tháng thỉnh giảng bắt đầu từ tháng 4 năm 2003. Chuyến thỉnh giảng tháng 4 của Perelman được các nhà toán học và báo giới coi như một sự kiện lớn. Rất nhiều người ngồi nghe vô cùng ngạc nhiên khi không thấy Perelman nói gì về giả thuyết Poincaré cả. Frank Quinn, một nhà toán học thuộc Virginia Tech, nói. “Ông bắt đầu từ một số điểm then chốt và những tính chất đặc biệt, rồi sau đó trả lời các câu hỏi. Ông đã xác lập được sự tin cậy”. Giữa tháng 7 năm 2003, Perelman đã đưa lên mạng hai phần cuối cùng của chứng minh của mình và các nhà toán học bắt đầu kiểm tra các bước chứng minh của ông một cách hết sức thận trọng. Ở Mỹ ít nhất có tới hai nhóm chuyên gia nhận làm chuyện này: Gang Tian và John Morgan; và một cặp các nhà nghiên cứu ở Đại học Michigan. Cả hai dự án này đều nhận được sự hỗ trợ của Viện Clay. Viện này còn có ý định sẽ công bố công trình của Tian và Morgan dưới dạng một cuốn sách. Cuốn sách, ngoài việc hướng dẫn các nhà toán học khác theo dõi được logic của Perelman, nó còn là một căn cứ để xét xem có trao cho Perelman giải thưởng một triệu đô la của viện này vì đã giải được bài toán Poincaré hay không. Tháng 8 năm 2006, Hội liên hiệp Toán học quốc tế tuyên bố trao Huy chương Fields cho ông nhưng Perelman đã từ chối giải và không có mặt tại hội nghị. Ngày 22 tháng 12 năm 2007, tạp chí Science đã công nhận chứng minh của ông cho giả thuyết Poincaré là “khám phá của năm”, sự công nhận đầu tiên cho lĩnh vực toán học. Ngày 18 tháng 3, Viện Toán học Clay tuyên bố ông hội đủ điều kiện để nhận giải Thiên niên kỷ đầu tiên trị giá 1 triệu USD chứng minh cho giả thuyết Poincaré. John Ball, chủ tịch IMU, đã gặp Perelman tại Sankt Peterburg vào tháng 6 năm 2006 để thuyết phục ông nhận giải. Sau 10 giờ thuyết phục trong 2 ngày, ông đã chịu thua. Hai tuần sau, Perelman đã khái quát về cuộc đàm đạo là: “Ông ấy đã đề xuất với tôi ba phương án: chấp nhận và tới; chấp nhận và không tới, và sau đó chúng tôi sẽ gửi cho ông huân chương; thứ ba, tôi không chấp nhận giải. Ngay từ đầu, tôi đã nói với ông ấy rằng tôi đã chọn phương án ba... giải thưởng là hoàn toàn không thích hợp đối với tôi. Mọi người hiểu rằng nếu chứng minh là chính xác thì không sự công nhận nào khác là cần thiết.” Ngày 22 tháng 8 năm 2006, người ta đã chính thức đề nghị trao tặng Perelman Huy chương Fields tại Hội nghị quốc tế các nhà toán học ở Madrid, “vì các đóng góp của ông cho hình học và các hiểu biết sâu sắc mang tính cách mạng của ông trong cấu trúc phân tích và hình học của luồng Ricci”. Ông đã không có mặt tại buổi lễ và từ chối nhận huân chương, trở thành người đầu tiên từ chối giải thưởng danh giá này. Trước đó ông cũng đã bác bỏ một giải thưởng danh giá từ Hiệp hội Toán học châu Âu (EMS), và người ta cho rằng ông đã nói rằng ông cảm thấy ủy ban xét giải không đủ năng lực để đánh giá công trình của ông. Ngày 18 tháng 3 năm 2010, Perelman đã được trao giải Thiên niên kỷ. Trước đó ông đã tuyên bố rằng “Tôi vẫn chưa quyết định có nhận giải hay không cho đến khi nó được đề xuất”. Ngày 8 tháng 6 năm 2010, ông không có mặt tại buổi lễ vinh danh ông tại Viện Hải dương học Paris để nhận phần thưởng trị giá 1 triệu đô la Mỹ. Theo hãng thông tấn Nga Interfax, Perelman đã từ chối nhận giải thưởng thiên niên kỷ vào đầu tháng 7 năm 2010. Ông coi quyết định của Viện Clay là không công bằng vì đã không chia sẻ giải thưởng với Richard Hamilton và tuyên bố rằng “lý do chính là sự bất đồng của tôi với cộng đồng toán học có tổ chức. Tôi không thích các quyết định của họ, tôi cho là họ không công bằng”. Người đưa ra cách giải phương trình sóng J ean le Rond d'Alembert sinh ngày 16 tháng 11 năm 1717 tại Paris, là con ngoài giá thú của nhà văn Claudine Guérin de Tencin và kị sỹ Louis Camus Destouches, một sĩ quan pháo binh. Destouches đã ở nước ngoài khi d'Alembert được sinh ra và hai ngày sau đó mẹ của ông đã để ông trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint-Jean-le-Rond de Paris. Theo tục lệ, ông được đặt tên theo tên của người bảo trợ của nhà thờ. D'Alembert được giao cho một nhà trẻ mồ côi trông nom nhưng được vợ một người thợ lắp kính nhận nuôi. Thực ra, cha ông - Destouches đã bí mật trả tiền cho Jean le Rond, nhưng không muốn công khai công nhận là cha. D'Alembert lúc đầu học ở trường tư. Sau này, Destouches đã để lại cho d'Alembert một khoản tiền trợ cấp trị giá 1200 livre trước khi chết năm 1726. Chịu ảnh hưởng của gia đình Destouches, D'Alembert đã đến học tại trường Collège des Quatre-Nations. Tại đây ông nghiên cứu triết học, luật và nghệ thuật và tốt nghiệp vào năm 1735. Một thời gian sau, D'Alembert đã bác bỏ nguyên lý của René Descartes, nguyên lý mà ông được học tại trường: “physical premotion, innate ideas and the vortices”. D'Alembert là nhà toán học, nhà vật lý, nhà cơ học và triết gia. Ông là người đồng chủ biên và xuất bản cùng với Denis Diderot cuốn từ điển Encyclopédie. Phương pháp giải phương trình sóng của d'Alembert được đặt theo tên ông. Thần đồng toán học T erence Tao (Đào Triết Hiên) sinh ngày 17 tháng 7 năm 1975 tại Adelaide, Úc. Cha mẹ Terence đều là người Trung Quốc và thuộc thế hệ những người đầu tiên nhập cư từ Hồng Kông vào Úc. Cha Terence, Đào Tượng Quốc là bác sĩ nhi khoa còn mẹ Terence tốt nghiệp cử nhân trường Đại học Hồng Kông và là giáo viên Toán bậc trung học tại Hồng Kông. Theo lời kể của người cha, trong một cuộc gặp mặt gia đình, Terence Tao lúc đó mới 2 tuổi đã dạy Toán và tiếng Anh cho một cậu bé 5 tuổi. Khi được hỏi tại sao Terence Tao biết số và chữ, người cha cho biết Terence Tao học được từ chương trình truyền hình Sesame Street. Terence Tao thể hiện khả năng toán cực kỳ đặc biệt ngay từ khi còn nhỏ. Terence học đại học khi mới 9 tuổi, là một trong hai đứa trẻ duy nhất trong lịch sử của chương trình nghiên cứu tài năng đặc biệt của Johns Hopkins đạt trên 700 điểm trong kì thi Toán SAT khi mới 8 tuổi (Terence được 760 điểm). Liên tiếp trong ba năm 1986, 1987 và 1988, Terence Tao là thí sinh trẻ tuổi nhất tại thời điểm đó tham dự kì thi Olympic Toán quốc tế và giành lần lượt huy chương đồng, bạc và vàng. Terence giành huy chương vàng khi vừa mới bước qua tuổi 13 và là người nhỏ tuổi nhất từng đoạt huy chương vàng trong lịch sử các kì thi. Terence Tao tham gia viện Khoa học nghiên cứu vào năm 14 tuổi, nhận bằng cử nhân và thạc sĩ của trường Flinders khi mới 17 tuổi. Năm 1992 Terence giành học bổng Fulbright để nghiên cứu tiến sĩ tại Mỹ. Từ năm 1992 đến năm 1996, Terence là nghiên cứu sinh tại trường Đại học Princeton dưới sự hướng dẫn của Elias Stein, và nhận bằng tiến sĩ khi mới 20 tuổi. Cùng năm đó Terence gia nhập đội ngũ giảng dạy của trường UCLA, là nhà toán học chuyên về giải tích điều hòa, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết tổ hợp, lý thuyết số giải tích và lý thuyết biểu diễn. Terence Tao là giáo sư toán tại trường Đại học California, Los Angeles, giữ chức này từ năm 24 tuổi. Terence đã giành giải thưởng Salem vào năm 2000, giải thưởng Bocher năm 2002 và giải Clay năm 2003 cho những đóng góp về giải tích liên quan đến giả thuyết Kakeya và ánh xạ sóng. Năm 2005 cùng với Allen Knutson, Terence giành giải thưởng Levi L. Conant của Hội Toán học Mỹ, và năm 2006 được trao giải SASTRA Ramanujan. Terence và Ben Green đã cho công bố một tiền ấn phẩm chứng minh sự tồn tại của cấp số cộng có độ dài bất kỳ của các số nguyên tố. Năm 2006, tại Đại hội Toán học quốc tế lần thứ 25 ở Madrid, Terence là một trong những người trẻ nhất, người Úc đầu tiên và là giáo sư đầu tiên của UCLA giành Huy chương Fields. Một bài báo của tạp chí NewScientist viết: Terence Tao nổi tiếng đến mức mà những nhà toán học tranh nhau lôi cuốn Terence về bài toán của mình, và Terence trở thành một trong những Thợ giải-toán cho những người nghiên cứu nản chí. “Nếu bạn bị bế tắc trong một bài toán, một trong những cách giải quyết là tìm cách lôi cuốn Terence Tao,” Fefferman nói. Terrance đã lọt vào vòng chung khảo của người Úc xuất sắc nhất năm 2007, là thành viên không thường trực của Học viện khoa học Úc và năm 2007, được bầu làm thành viên Hội hoàng gia. Tháng 4 năm 2008, Terrance nhận giải Alan T. Waterman Award ghi nhận các nhà khoa học mới bắt đầu sự nghiệp đã có những đóng góp trong lĩnh vực của mình. Ngoài huy chương, người được giải Waterman còn được nhận 500.000 đô la Mỹ để đầu tư vào nghiên cứu. Cũng trong năm này, Terence được công nhận là giảng viên Lars Onsager cho những đóng góp “có chiều sâu, chiều rộng và khối lượng chưa từng có trong toán học đương đại”. Terrance được tặng huân chương Onsager và giảng bài Lars Onsager có tiêu đề “Cấu trúc và ngẫu nhiên của số nguyên tố” tại Na Uy. Năm 2010, Terrance được nhận giải King Faisal International Prize cùng với Enrico Bombieri. Cũng trong năm này, Terence được nhận giải Nemmers toán học. Theo thông báo của Hội Toán học Mỹ số tháng 5/2010, Terence Tao cùng Enrico Bombieri (người Italia) cùng được trao giải thưởng năm 2010 của Quỹ vua Faisal với số tiền thưởng chung xấp xỉ 200.000 USD. Giải thưởng khoa học này luân phiên dành cho các lĩnh vực toán học, hóa học, vật lý và sinh học. Terence nghiên cứu nhiều lĩnh vực của toán học như giải tích điều hòa, phương trình vi phân đạo hàm riêng, tổ hợp, lý thuyết số, xử lý tín hiệu. Năm 2004, Ben Green và Terence Tao công bố một tiền ấn phẩm chứng minh sự tồn tại của cấp số cộng có độ dài bất kỳ của các số nguyên tố và nhờ đó anh được trao huy chương của Hội Toán học Australia. Năm 2006, khi mới 31 tuổi, tại đại hội toán học quốc tế lần thứ 25 ở Madrid, Terence là một trong những người trẻ nhất, người Australia đầu tiên và là giáo sư đầu tiên của Đại học Los Angeles giành được giải thưởng Fields vì những đóng góp to lớn cho lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, tổ hợp, giải tích điều hòa và lý thuyết số cộng tích. Terence Tao hiện là viện sĩ của Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Anh, Viện Hàn lâm Khoa học Australia, Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Mỹ... Vì Terence Tao đã bộc lộ năng lực toán học đặc biệt từ khi còn nhỏ nên người ta gọi anh là thần đồng toán học, còn giáo sư John Garnett của Đại học Los Angeles, California (Mỹ) thì gọi anh là “Mozart của toán học”. Nhà đại bác học Pháp R ené Descartes chào đời tại La Haye thuộc tỉnh Touraine nước Pháp, ngày 31 tháng 3 năm 1596 trong một gia đình quý tộc. Réné là con thứ ba của ông Joachim Descartes, cố vấn nghị viện Rennes và bà Jeanne Brochard. Descartes trải qua thời thơ ấu mà không có đủ tình thương của mẹ vì vào năm Descartes lên một tuổi, mẹ cậu qua đời. Ông Joachim giao cậu cho người vú nuôi dưỡng. Mẹ Descartes chết vì bệnh phổi nên René cũng hay ho khan và làn da xanh nhợt của cậu khiến cho các y sĩ đoán rằng cậu cũng chẳng sống lâu. Năm 1600, ông Joachim kết hôn với cô Morin và có thêm với bà vợ này 4 người con, nhưng trong số 7 đứa trẻ, ông nhận thấy chỉ có Descartes là thông minh nhất. Tuy nhiên tính tình của cậu lại không hợp với ông và ông thường phàn nàn về bản tính ương gàn của cậu. Ông bông đùa gọi René là “triết gia” và không ngờ sau này, tư tưởng của Descartes sẽ khởi đầu một ngành triết học mới. Vì không thường sống chung trong gia đình nên René bị mọi người quên lãng, cha cậu gần như không thừa nhận đứa con thiệt thòi này còn các anh em khác lại hay dèm pha và tỏ ra không có cảm tình với cậu. Thời niên thiếu đã gặp phải nhiều cay đắng nên về sau, Descartes thường lẩn trốn, không thích giao tiếp với người thân. Hoàn cảnh này khiến Descartes trở thành một người sống cô đơn và đau khổ. Năm lên 8 tuổi, Descartes theo học trường La Flèche do các cha dòng tên đảm nhiệm. Trường học này được vua Henri IV lập ra, mục đích để dạy dỗ con cháu các gia đình quý tộc. Từ khi ngồi vào ghế nhà trường, Descartes đã tỏ ra là một học sinh gương mẫu. Các môn học văn học, vật lý, luận lý, siêu hình... với cậu đều khó hiểu vì chứa đựng nhiều học thuyết tối nghĩa và nhiều tư tưởng cao siêu. Muốn hiểu thấu tất cả, người học sinh phải có một trí thông minh đáng kể. Hơn nữa, phương pháp giáo dục lại cổ hủ vì chỉ gồm các cuộc tranh luận về những bài trích giảng từ các tác phẩm của Aristoteles. Các học sinh tranh luận với nhau bất kể nơi nào, lúc nào: ở trong lớp, khi đi dạo, vào giờ ra chơi... Vì cách giảng dạy này, Descartes đã yêu thích môn toán hơn các môn học khác. Tại trường dòng tên, có vài vị tu sĩ là môn đệ toán học của Clavius và Stifel - các nhà toán học danh tiếng thời đó. Nhưng toán học thời kỳ này hãy còn sơ khai và chỉ được áp dụng vào vài kỹ thuật đơn giản. Triết học là môn học chính của nhà trường nên chỉ có một số ít học sinh theo đuổi môn toán. Descartes học hành rất tiến bộ về cả hai môn toán và triết học khiến cho các cha dòng tên hết sức khen ngợi. Khi còn niên thiếu, Descartes đã tỏ ra là người hiếu học, ưa suy tưởng. Thể chất của cậu yếu đuối, cậu không làm việc được nhiều mà phải nằm nghỉ, nhưng nhờ ưu điểm là học hành xuất sắc, các cha dòng tên đã miễn cho cậu không phải làm các công việc phụ. Cậu được phép tỉnh dậy muộn vào buổi sáng trong khi các bạn khác phải thức dậy đúng giờ và làm việc cực nhọc hơn. Việc dậy muộn có thể giúp cho Descartes cảm thấy khỏe mạnh hơn nhưng điều có lợi nhất với cậu là cậu có đủ thời giờ xây dựng một phương pháp suy tưởng. Khi cậu bừng tỉnh, mặt trời đã lên cao, phòng ngủ trong tu viện yên lặng như tờ vì các bạn khác đã đi từ sớm. Chính tại nơi cô tịch, Réné đã suy nghĩ lan man đến mọi sự vật, cậu đã đặt câu hỏi, suy luận rồi tự trả lời, tất cả các điều thắc mắc về sự vật đã diễn ra trong khối óc của cậu bé mảnh mai này. Năm 1614, Descartes rời trường La Flèche lên sống tại Paris. Khi đó chàng thanh niên 18 tuổi này đã thông thạo tiếng La tinh và toán học. Sau đó, Descartes ghi tên vào đại học Luật tại Poitiers và tốt nghiệp với văn bằng cử nhân. Năm 1616, Descartes gia nhập quân đội của hoàng tử Maurice de Nassau để chống nhau với quân đội Cơ đốc của Tây Ban Nha. Chiến tranh kết thúc, Descartes tới Breda Hà Lan, ghi tên vào Viện Hàn lâm Quân sự. Tại đây, Descartes có cơ hội hiểu thêm về toán học. Một hôm, Descartes thấy một số người xúm lại xem một tờ yết thị viết bằng tiếng Flamand. Không biết ngôn ngữ này, Descartes nhờ một người đứng gần đó phiên dịch. Đó là một đề bài hình học của một người ẩn danh, nhờ các nhà toán học trong vùng giải đáp. Người mà Descartes nhờ dịch đề bài là ông Isaac Beeckman, hiệu trưởng trường Dort và cũng là một nhà toán học danh tiếng. Ông thấy bài toán trên khá khó và lấy làm ngạc nhiên khi nghe Descartes hứa sẽ giải được. Sáng hôm sau, Descartes đã tới tận nhà ông và trao cho ông bài giải. Từ đó hai người trở thành đôi bạn thân thiết và sau này, dù có ở nơi xa xôi, Descartes vẫn viết thư thăm hỏi và tranh luận cùng Beeckman. Tháng 4 năm 1619, Descartes rời Breda đi Đan Mạch rồi tới nước Đức và xin vào quân đội của hầu tước Maximilien de Bavière, khi đó đang đánh nhau với vua xứ Bohême. Descartes đã tham dự nhiều trận đánh nhưng không bao giờ ngừng học hỏi về siêu hình học và toán học. Mùa đông năm 1620, Descartes đóng quân gần thành Ulm và chính vào đêm 10 tháng 11 năm đó, khi ngồi bên lò sưởi, Descarter cảm thấy tinh thần minh mẫn lạ thường, Descartes đã tìm thấy được nền tảng của “một khoa học đáng khâm phục”, đó là một phương pháp mang tính cách rất tổng quát. Năm 1621, Descartes từ giã cuộc sống quân ngũ. Sau khi đi lang thang khắp các miền phương Bắc nước Đức, Descartes xuống thuyền sang Hà Lan sau đó trở về nước Pháp năm 1622 rồi sang Thụy Sĩ và Ý. Trở về Pháp, Descartes dự tính sống tại quê nhà bởi Paris không phải là nơi ông có thể làm việc hữu hiệu, nơi này quá náo nhiệt ồn ã cho nên sau một thời gian ngắn, ông quyết định tìm một nơi yên tĩnh để suy tưởng và nghiên cứu các vấn đề triết học. Vốn bản tính ưa thích cảnh cô đơn và cuộc sống ẩn dật, xa lánh các đô thị náo nhiệt, ông cho rằng chỉ có Hà Lan là thích hợp với ông. Vì vậy, Descartes bán một phần gia sản và sang ở đó năm 1629. Năm 1633, Descartes viết xong cuốn “Khảo sát về hệ thống thế giới” nhưng ông đã không cho xuất bản khi được tin Galile bị kết án vì phổ biến các tư tưởng mới lạ về vũ trụ. Năm 1637, Descartes cho xuất bản cuốn “Phương pháp luận” có phụ thêm phần khảo sát về hình học và quang học. Nhờ cuốn sách này, mọi người có được một ý niệm về phương pháp kiểm chứng các điều suy luận. Tuy nhiên theo Descartes, cuốn sách này dùng để thăm dò dư luận. Ngoài ra, ông lại tìm cách thay thế các ký hiệu toán học phiền phức cũ bằng các ký hiệu mới giản dị hơn, nghiên cứu về sự khúc xạ ánh sáng và những khám phá mới về môn hình học. Năm 1641, cuốn “Suy tưởng về các vấn đề siêu hình” được xuất bản bằng tiếng Latinh và năm sau, được hầu tước De Luynes dịch sang tiếng Pháp. Lý thuyết mới về triết học này của Descartes đã làm cho phái theo học thuyết Aristoteles phản kháng. Các cha dòng tên, những người thầy cũ của Descartes, đã viết báo để bài bác thứ tư tưởng quá mới lạ này. Năm 1644, Descartes tiếp tục cho xuất bản cuốn “Nguyên lý triết học” viết bằng tiếng Latinh. Cuốn sách chia làm 4 phần: phần thứ nhất đề cập tới các vấn đề siêu hình, trình bày các nguyên tắc về sự hiểu biết của con người. Sang phần sau, Descartes đã dùng không gian, thời gian, trạng thái động và tĩnh để cắt nghĩa về thành phần cấu tạo của sự vật. Phần thứ ba và thứ tư dành cho lý thuyết về vũ trụ. Theo ông, trong vũ trụ có các cơn lốc do các vật chất rất tế nhị cấu tạo nên. Mặt trời và các vì sao là trung tâm của các cơn lốc này. Tại Pháp, tác phẩm này của Descartes bị phản kháng, còn ở Hà Lan, một cuộc tranh luận dữ dội đã diễn ra xoay quanh cuốn sách này tại viện Hàn lâm Utretch giữa nhà thần học Gilbert Voetius và môn đệ của Descartes là Regius. Khi cuộc tranh chấp trở nên quá gay go, Thượng nghị viện Utretch phải can thiệp vào và cấm Regius không được giảng dạy lý thuyết mới đó. Tiếp đó, Đại học Leyde tố cáo Descartes đã nhạo báng thánh thần. Vì thế, Descartes đành phải trở về Pháp dù Paris vẫn không hợp với ông. Tác phẩm cuối cùng được xuất bản lúc sinh thời của Descartes là cuốn “Xúc cảm linh hồn”. Đầu năm 1649, nữ hoàng Marie Christine Thụy Điển gửi thư mời Descartes sang Stockholm. Descartes đã nhận lời và vào tháng 10 năm đó, ông tới Thụy Điển, được đón tiếp rất trọng thể. Sống tại triều đình Thụy Điển và được quý trọng nhưng Descartes vẫn cảm thấy nếp sống vương giả không thích hợp với ông. Tuy mời ông giảng dạy về triết học song thực ra nữ hoàng chỉ muốn có nhiều danh nhân sống ở triều đình của mình, điều này làm cho Descartes chán nản. Hơn nữa khí hậu tại nơi đây quá lạnh lẽo, tuyết phủ quanh năm, cảnh vật chỉ toàn một màu trắng. Ngoài ra, Descartes thể tạng ốm yếu, bản tính hay dậy muộn của ông lại càng làm cho ông bị mất tự do khi mỗi buổi sáng, ông phải tới thư viện của nhà vua vào lúc 5 giờ. Ý muốn quay về nơi cô tịch của ông ngày càng tăng. Hòa ước Westphalie kết thúc cuộc chiến tranh 30 năm. Nhân dịp này, nữ hoàng Thụy Điển tổ chức một dạ tiệc có khiêu vũ và trong cuộc vui, nài nỉ Descartes đặt lời thơ cho màn dạ vũ, ông đành nhận lời. Vào một buổi sáng ngày cuối tháng Giêng năm 1650, Descartes tới cung điện của nữ hoàng và bị cảm lạnh. Vài ngày sau, chứng sưng phổi đã hành hạ ông và Descartes từ trần ngày 11 tháng 2 năm đó, thọ 54 tuổi. Nữ hoàng Christine muốn chôn ông trong nghĩa trang của các gia đình quý tộc bậc nhất nước Thụy Điển nhưng Bélin, một cận thần, vì lòng cuồng tín đã dèm pha và đề nghị chôn Descartes tại nghĩa địa dành cho người ngoại quốc. Năm 1667, nhờ sự can thiệp của đại sứ Pháp, di hài của Descartes được mang về chôn cất trọng thể tại nhà thờ Sainte Genèvière du Mont. Năm 1799, theo lệnh của chính phủ Pháp, di hài Descartes được đặt tại viện bảo tàng các danh nhân Pháp, nơi dành riêng cho các nhân vật đã mang lại vinh quang cho nước Pháp. Cuối cùng vào năm 1819, thánh đường Saint Germain des Prés mới là nơi an nghỉ vĩnh viễn của ông. Trong cuộc đời nghiên cứu khoa học của mình, Descartes đã áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học. Trước đó, triết học bị chi phối bởi phương pháp của phái Kinh viện, vốn hoàn toàn dựa theo sự so sánh và đối chiếu với quan điểm của nhà cầm quyền. Bác bỏ phương pháp này, Descartes cho rằng: “Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học”. Qua đó ông chỉ ra rằng: “Không điều gì được xem là đúng cho đến khi nền tảng để tin rằng nó đúng được thiết lập”. Sự chắc chắn duy nhất làm điểm xuất phát cho các nghiên cứu của ông được ông bày tỏ bằng câu nói nổi tiếng: “Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại”. Từ tiên đề cho rằng ý thức rõ ràng về tư duy của ông chứng minh rằng ông tồn tại, Descartes kết luận là Chúa tồn tại. Chúa, theo triết học Descartes, đã tạo ra hai loại chất để tạo nên toàn bộ vạn vật. Loại thứ nhất là chất suy nghĩ, tức tinh thần; loại thứ hai là các chất mở rộng, tức thân thể. Triết học Descartes có nhiều giải thích sai lầm về các hiện tượng vật lý. Tuy nhiên, các giải thích đó cũng có một giá trị nhất định, vì ông đã dùng những giải thích cơ học thay cho những quan điểm tinh thần mơ hồ của các tác giả đi trước. Ban đầu Descartes đã công nhận thuyết Copernic về hệ thống vũ trụ trong đó các hành tinh xoay quanh Mặt trời, nhưng ông đã từ bỏ nó chỉ vì giáo hội Thiên chúa La Mã phán rằng thuyết đó tà đạo. Thay vào đó ông đưa ra lý thuyết dòng xoáy - cho rằng vũ trụ được lấp đầy vật chất, ở các trạng thái khác nhau, xoay quanh Mặt trời. Trong lĩnh vực sinh lý học, Descartes giữ quan điểm rằng máu là một chất lỏng tinh tế mà ông gọi là hồn của động vật. Ông tin rằng hồn động vật tiếp xúc với chất suy nghĩ ở trong não và chảy dọc theo các dây thần kinh để điều khiển cơ bắp và các phần khác của cơ thể. Về quang học, Descartes đã khám phá ra định luật cơ bản của sự phản xạ: góc tới bằng góc phản xạ. Tiểu luận của ông là văn bản đầu tiên trình bày đề cập đến định luật này. Việc Descartes xem ánh sáng như một thứ áp lực trên môi trường chất rắn đã dẫn đường cho lý thuyết sóng của ánh sáng. Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng. Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về các đẳng thức. Descartes cũng là người đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái để chỉ các giá trị đã biết. Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x²). Mặt khác, chính ông đã thiết lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào. René Descartes là người không màng danh lợi nhưng tên tuổi ông được nhắc đến trong nhiều thế kỷ. Cách áp dụng môn đại số vào hình học của ông trong tác phẩm “Hình học” (1637) đã mở đầu cho môn hình học giải tích và các cách suy luận về phương pháp và về triết học trong tác phẩm “Phương pháp luận” là những tư tưởng mới lạ, rõ ràng, ảnh hưởng đến nhiều triết gia sau này. Có thể nói, toán học thời kỳ đầu thế kỷ XVII, đánh dấu bởi các cuộc cách mạng trong suy nghĩ và các phương pháp nghiên cứu, không thể không nhắc đến phương pháp hình học giải tích gắn liền với tên tuổi nhà toán học triết học vĩ đại René Descartes. Descartes là nhà toán học đầu tiên của nhân loại đưa ra phương pháp xác định tọa độ 1 điểm bằng hệ trục vuông góc mà mọi học sinh phổ thông đều đã quen biết với tên gọi “Hệ tọa độ Descartes”. Descartes đã chứng minh được khi một điểm chuyển động vạch nên 1 đường thì mối quan hệ giữa các tọa độ x,y của nó thể hiện bằng f(x,y)=0. Ý tưởng vĩ đại này đã sản sinh ra môn hình học giải tích. Triết học gọi đây là mối quan hệ biện chứng trong toán học. Từ khi có hình học giải tích, việc nghiên cứu hình học đã qua được một chặng đường dài phát triển. Vinh quang mà người đời dành cho Descartes là ở phương pháp luận nghiên cứu khoa học của ông mà thể hiện tiêu biểu chính là hình học giải tích. Định lý Pytago P ytago là nhà toán học và triết học người Hy Lạp, sinh năm 582 trước Công nguyên. Ông nổi tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên mình. Ông cũng được biết đến là “cha đẻ của số”. Ông đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ VI trước Công nguyên. Cuộc đời và sự nghiệp của Pytago có quá nhiều các huyền thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử không dễ dàng gì. Pytago sinh tại đảo Samos (bờ biển phía Tây Hy Lạp), ngoài khơi Tiểu Á. Mẹ ông, người gốc Samos và Mnesarchus - cha ông là một thương gia. Thời thanh niên, ông rời thành phố quê hương tới Crotone phía nam Ý, để trốn tránh chính phủ chuyên chế Polycrates. Theo Iamblichus, Thales, rất ấn tượng trước khả năng của ông, đã khuyên Pytago tới Memphis ở Ai Cập để học tập với các thầy tế lễ nổi tiếng tài giỏi. Có lẽ Pytago đã học một số nguyên lý hình học, sau này là cảm hứng để ông phát minh ra định lý mang tên mình tại đó. Ngay sau khi di cư từ Samos tới Crotone, Pytago đã lập ra một tổ chức tôn giáo kín và tiến hành một cuộc cải cách đời sống văn hóa ở Crotone, thúc giục các công dân ở đây noi theo đạo đức và hình thành nên một giới tinh hoa xung quanh ông. Trung tâm văn hóa này có các quy định rất chặt chẽ. Ông mở riêng các lớp cho nam và nữ sinh. Những người tham gia tổ chức của Pytago tự gọi mình là Mathematikoi. Họ sống trong trường, không có sở hữu cá nhân và phải ăn chay. Các sinh viên khác gọi là Akousmatics sống tại các vùng gần đó cũng được phép tham gia vào lớp học của Pytago và họ được ăn thịt và có đồ sở hữu riêng. Theo Iamblichus, các môn đồ của Pytago sống một cuộc sống theo quy định sẵn với các môn học tôn giáo, các bữa ăn tập thể, tập thể dục, đọc và học triết học. Âm nhạc được coi là nhân tố chủ chốt của cuộc sống này: các môn đồ cùng nhau hát các bài ca tụng Apollo; họ dùng đàn lyre để chữa bệnh cho tâm hồn và thể xác, ngâm thơ trước và sau khi ngủ dậy để tăng cường trí nhớ. Trong tiếng Anh, môn đồ của Pytago thường được gọi là “Pythagorean”. Đa số họ được chúng ta nhớ đến với tư cách là các nhà triết học toán và họ đã có ảnh hưởng đối với sự hình thành các tiên đề hình học, sau hai trăm năm được Euclid viết ra trong cuốn “Elements”. Các môn đồ Pytago đã tuân thủ một quy định về sự im lặng được gọi là echemythia, hành động vi phạm vào quy định này sẽ dẫn tới án tử hình. Trong cuốn tiểu sử Pytago, Porphyry đã bình luận rằng sự im lặng này “không phải hình thức thông thường.” Các môn đồ Pytago được chia vào nhóm trong được gọi là mathematikoi (nhà toán học), nhóm ngoài là akousmatikoi (người nghe). Porphyry đã viết “các mathematikoi học chi tiết và tỉ mỉ hơn về sự hiểu biết, akousmatikoi là những người chỉ được nghe giảng về các tiêu đề rút gọn trong các tác phẩm của Pytago, và không được giảng giải rõ thêm”. Theo Iamblichus, akousmatikoi là các môn đồ thông thường được nghe các bài giảng do Pytago đọc từ sau một bức màn. Họ không được phép nhìn thấy Pytago và không được dậy những bí mật bên trong của sự thờ phụng. Thay vào đó, họ được truyền dạy các quy luật đối xử và đạo đức dưới hình thức khó hiểu, những câu nói ngắn gọn ẩn dấu ý nghĩa bên trong. Akousmatikoi coi mathematikoi là các môn đồ Pytago thật sự, nhưng mathematikoi lại không coi akousmatikoi như vậy. Sau khi lính của Cylon, một môn đồ bực tức, giết Pytago và một số mathematikoi, hai nhóm này hoàn toàn chia rẽ với nhau, với vợ Pytago là Theano cùng hai cô con gái lãnh đạo nhóm mathematikoi. Tổ chức của Pytago gắn liền với những điều ngăn cấm kỳ lạ và mê tín, như không được bước qua một thanh giằng, không ăn các loại đậu (vì bên trong đậu “có chứa” phôi thai người). Các quy định đó có lẽ tương tự với những điều mê tín thời sơ khai. Akousmata có nghĩa là “các quy định”, vì thế những điều cấm kỵ ban đầu được áp dụng cho những akousmatikoi, và nhiều quy định có lẽ đã được tạo ra sau khi Pytago đã chết cũng không liên quan gì đến các mathematikoi (được cho là những người duy nhất gìn giữ truyền thống của Pytago). Mathematikoi chú trọng nhiều hơn tới sự hiểu tường tận vấn đề hơn akousmatikoi, thậm chí tới mức không cần thiết như ở một số quy định và các nghi lễ tâm linh. Đối với mathematikoi, trở thành môn đồ của Pytago là vấn đề về bản chất thiên phú và sự thấu hiểu bên trong. Các môn đồ Pytago cũng nổi tiếng vì lý thuyết luân hồi của tâm hồn, và chính họ cũng cho rằng các con số tạo nên trạng thái thực của mọi vật. Họ tiến hành các nghi lễ nhằm tự làm trong sạch và tuân theo nhiều quy định sống ngày càng khắt khe mà họ cho rằng sẽ khiến tâm hồn họ tiến lên mức cao hơn gần với thượng đế. Đa số những quy định thần bí liên quan tới tâm hồn đó dường như liên quan chặt chẽ tới truyền thống Orpheus. Những tín đồ Orpheus ủng hộ việc thực hiện các lễ nghi gột rửa tội lỗi và lễ nghi để đi xuống địa ngục. Pytago có liên hệ chặt chẽ với Pherecydes xứ Syros, nhà bình luận thời cổ được cho là người Hy Lạp đầu tiên truyền dạy thuyết luân hồi tâm hồn. Các nhà bình luận thời cổ đồng ý rằng Pherecydes là vị thầy có ảnh hưởng lớn nhất tới Pytago. Pherecydes đã trình bày tư tưởng của mình về tâm hồn thông qua các thuật ngữ về một pentemychos (“năm góc” hay “năm hốc ẩn giấu”) - nguồn gốc có lẽ thích hợp nhất giải thích việc các môn đồ Pytago sử dụng ngôi sao năm cánh làm biểu tượng để nhận ra nhau giữa họ và biểu tượng của sức mạnh bên trong. Không văn bản nào của Pytago còn tồn tại tới ngày nay, dù các tác phẩm giả mạo tên ông - hiện vẫn còn vài cuốn - đã thực sự được lưu hành từ thời xưa. Những nhà phê bình thời cổ như Aristotles và Aristoxenus đã tỏ ý nghi ngờ các tác phẩm đó. Những môn đồ Pytago thường trích dẫn các học thuyết của thầy với câu dẫn autos ephe (chính thầy nói) - nhấn mạnh đa số bài dạy của ông đều ở dạng truyền khẩu. Trong toán học, người ta thường nhắc đến định lý Pytago. Lịch sử của định lý Pytago mang tên ông rất phức tạp. Có quan niệm cho rằng, có thực Pytago chứng minh định lý này hay không vẫn còn chưa chắc chắn, vì trong thế giới cổ đại khám phá của học trò thường được gắn với tên của thầy. Văn bản đầu tiên đề cập tới định lý này kèm tên ông xuất hiện năm thế kỷ sau khi Pytago qua đời, trong các văn bản của Cicero và Plutarch. Nhiều người cho rằng nhà toán học Ấn Độ Baudhayana đã tìm ra định lý Pytago khoảng năm 800 TCN, 300 năm trước Pytago. Có hàng nghìn cách chứng minh định lý Pytago. Cách chứng minh được thể hiện trong hình này thuộc về Leonardo da Vinci. Trong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp hay định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý này được đặt tên theo nhà triết học và nhà toán học Hy Lạp Pytago mặc dù định lý toán học này đã được biết đến bởi các nhà toán học Ấn Độ (trong quyển Sulbasutra của Baudhayana và Katyayana), Hy Lạp, Trung Quốc và Babylon từ nhiều thế kỷ trước. Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pytago được cho là nằm trong quyển “Chu bễ toán kinh”, khoảng năm 500 đến 200 trước Công nguyên và “Các nguyên tố” của Euclid khoảng 300 năm trước Công nguyên. Tuy nhiên, theo quan niệm phổ biến, Pytago được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại đã chứng minh được tổng ba góc của một tam giác bằng 180° và nổi tiếng nhờ định lý toán học mang tên mình. Phương trình Laplace P ierre-Simon Laplace sinh ngày 23 tháng 3 năm 1749 ở Beaumont en-Auge, Normandy, trong một gia đình nông dân. Laplace được đi học nhờ tài trợ của một số hàng xóm giàu có khi họ nhận ra khả năng học vượt trội của ông. Nhờ một lá thư giới thiệu cho d'Alembert, ông đến Paris để thử vận may. Laplace đã viết một bài báo về các định luật cơ học khiến d'Alembert chú ý, và d’Alembert đã giới thiệu ông tới học ở trường quân sự. Laplace dốc sức vào nghiên cứu khoa học và trong 17 năm, từ 1771 - 1787, ông đã có nhiều nghiên cứu về thiên văn học. Các công trình này bắt đầu bằng một luận án, đọc trước Viện Hàn lâm Khoa học Pháp năm 1773, trong đó ông đã chỉ ra chuyển động của các thiên thể là ổn định, tính ra lập phương của độ lệch tâm và góc nghiêng. Tiếp đó ông công bố một số bài báo khác về vi tích phân, sai số hữu hạn, phương trình vi phân, và thiên văn học. Laplace có kiến thức sâu rộng trong nhiều lĩnh vực khoa học và có ảnh hưởng lớn trong các cuộc thảo luận của viện hàn lâm. Hầu như suốt đời Laplace làm việc trong ngành thiên văn học, ông đã chứng minh về sự cân bằng động của Thái dương hệ với giả thuyết đấy là một nhóm các vật rắn di chuyển trong chân không. Ông thiết lập nên giả thuyết nebular và là một trong những nhà khoa học đầu tiên đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của lỗ đen và khái niệm sụp đổ trọng lực. Ông được đánh giá là một nhà khoa học lỗi lạc có tài năng toán học mà không một ai cùng thời với ông sánh được. Cùng với J. L. Lagrange, ông đã xác nhận lý thuyết hấp dẫn của Newton. Các kết quả nghiên cứu của ông được công bố trong cuốn sách nổi tiếng “Traité de mécanique céleste”. Công trình nổi tiếng hơn, “Exposition du système du monde” (1796), còn có một phát biểu về giả thuyết tinh vân của nguồn gốc của hệ Mặt trời. Pierre-Simon Laplace được đánh giá là nhà toán học và nhà thiên văn học đã có công xây dựng nền tảng của ngành thiên văn học bằng cách tóm tắt và mở rộng các công trình nghiên cứu của những người đi trước trong cuốn sách 5 tập với tựa đề “Cơ học thiên thể”. Cuốn sách này đã chuyển đổi các nghiên cứu về cơ học cổ điển mang tính hình học bởi Isaac Newton thành một nghiên cứu dựa trên vi tích phân, được biết đến như là cơ học (vật lý). Ông cũng là người đầu tiên đưa ra phương trình Laplace. Biến đổi Laplace xuất hiện trong tất cả các ngành toán lý - một ngành mà ông là một trong những người sáng lập. Toán tử Laplace, được sử dụng nhiều trong toán học ứng dụng, được đặt theo tên ông. Đường đi Hamilton W illiam Rowan Hamilton sinh ngày 4 tháng 8 năm 1805. Từ nhỏ, ông đã nổi tiếng là thần đồng. Năm 13 tuổi, ông thành thạo 13 thứ tiếng và khi còn là sinh viên chưa tốt nghiệp, ông trở thành giáo sư thiên văn học tại trường Đại học Dublin. Hamilton là một trong những nhà toán học độc đáo và sáng tạo nhất của thời đại ông. Trong cuốn “Lý thuyết về hệ thống các tia sáng” (năm 1828), ông đã tiên đoán sự tồn tại của sự khúc xạ hình nón và thống nhất lĩnh vực quang học dưới nguyên tắc tác dụng biến đổi, cái sau này ông mở rộng cho động lực học và trở nên có tầm quan trọng cơ sở trong vật lý hiện đại, nhất là thuyết lượng tử. Tuy nhiên, cũng quan trọng không kém là khám phá của ông rằng đại số quaternion không tuân theo luật giao hoán, mở đường cho sự phát triển và khám phá vô số loại đại số trừu tượng sau này. Trong toán học, ngành lý thuyết đồ thị, đường đi Hamilton là đường đi trong đồ thị vô hướng đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần. Một chu trình Hamilton là một đường đi Hamilton sau khi đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị thì trở về đỉnh xuất phát. Một đồ thị có chu trình Hamilton được gọi là đồ thị Hamilton, đồ thị có đường đi Hamilton được gọi là đồ thị nửa Hamilton. Bài toán tìm đường đi và chu trình như vậy được gọi là bài toán Hamilton. Tên gọi đường đi và chu trình Hamilton là gọi theo tên của ông. Không chỉ nghiên cứu về toán học, Hamilton còn nghiên cứu về vật lý và thiên văn học. Ông đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển quang học, động lực học, hình học và đại số. Khám phá của ông về các quaternion là công trình nổi tiếng nhất. Công trình của ông rất quan trọng trong sự phát triển của cơ học lượng tử. Nhà toán học nổi tiếng thế kỷ XVIII L eonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707, là con của một mục sư tại Basel, Thụy Sĩ. Lúc nhỏ, ông đã tỏ ra có tài năng trong môn toán, nhưng cha ông muốn ông học giáo lý và trở thành một mục sư. Năm 1720 Euler bắt đầu học tại Đại học Basel. Tại đây ông được quen với Daniel và Nikolaus Berloulli, cả hai nhà toán học này đã nhận thấy tài năng toán học của ông. Cha của ông, Paul Euler, được mời tham dự một vài bài thuyết giảng toán học của Jakob Bernoulli và tỏ ra rất kính trọng Bernoulli. Vì thế, khi Daniel và Bernoulli xin cho Euler học môn toán, ông đã bằng lòng và từ đó Euler bắt đầu học toán. Năm 1727 Euler được nữ hoàng Nga Ekaterina I mời đến Sankt Peterburg, trở thành giáo sư vật lý học năm 1730, và cũng dạy toán năm 1733. Euler là người đầu tiên xuất bản cuốn sách dạy cơ học năm 1736. Ông là người đầu tiên sử dụng từ “hàm số” (được Gottfried Leibniz định nghĩa trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số, như y = F(x). Ông cũng được xem là người đầu tiên dùng vi tích phân trong môn vật lý. Năm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, con gái của giám đốc viện Hàn lâm Nghệ thuật. Họ có 13 con, nhưng chỉ có ba người con trai và hai người con gái sống sót. Con cháu của họ giữ những vị trí quan trọng tại Nga trong thế kỷ XIX. Năm 1741 Euler trở thành giám đốc viện toán tại viện Hàn lâm vương quốc Phổ ở Berlin. Ông viết rất nhiều trong thời gian ở Berlin, nhưng nhà vua không xem trọng ông. Vì thế, ông trở về Sankt Peterburg năm 1766, lúc đó là triều Ekaterina II, và sống ở đó cho đến khi mất. Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết được vì ông có trí nhớ phi thường và có thể dùng óc để tính toán. Có chuyện kể, có khi ông và người phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số. Do đáp số của ông và của người phụ tá khác nhau nên phải tính lại, kết quả ông đã tính đúng! Sức làm việc của ông thật phi thường. Theo ước tính, một người phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 năm mới có thể ghi chép hết tất cả các công trình của ông. Mãi đến năm 1910, mới có một bộ sưu tập, gồm tất cả các công trình của ông trong 70 tập sách. Theo lời kể của Adrien-Marie Legendre, Euler thường hoàn thành một bài chứng minh trong khoảng thời gian chờ bữa cơm tối của mình. Ngoài toán học, Euler cùng với Daniel Bernoulli đã hoàn thành định luật về lực xoắn trên một sợi dây chun mỏng tỷ lệ với độ đàn hồi của vật liệu và mô men quán tính của mặt cắt. Ông đồng thời cũng đưa ra phương trình Euler, một tập hợp các định luật chuyển động trong thủy động lực học, quan hệ trực tiếp với định luật chuyển động của Newton. Những phương trình này có dạng tương đương với các phương trình Navier-Stokes với độ nhớt bằng 0. Đó là một điều thú vị bởi chúng là nguyên nhân dẫn đến sự tồn tại của các sóng sốc. Ông còn có đóng góp to lớn cho thuyết phương trình vi phân. Cụ thể, ông được biết đến nhiều với việc sáng tạo ra một chuỗi các phương pháp tính xấp xỉ, được sử dụng nhiều trong tính toán. Và phương pháp nổi tiếng nhất trong đó chính là phương pháp Euler. Trong lý thuyết số ông đã sáng tạo ra hàm totient. Totient φ(n) của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Ví dụ φ(8) là 4 số 1, 3, 5, 7 đều là số nguyên tố nhỏ hơn 8. Trong ngành giải tích, Euler đã tổng hợp hóa tích phân Leibniz với phương pháp tính Newton thành một dạng, gọi là vi phân. Ông hoàn thành nền móng vào năm 1735 bằng việc giải quyết bài toán Basel, vấn đề đã tồn tại trong một thời gian dài. Ông còn đưa ra một biểu thức nổi tiếng trong toán học, là sợi dây liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler: eiπ + 1 = 0 hay eiθ = cosθ + isinθ. Năm 1735, ông tìm ra hằng số Euler-Mascheroni, được sử dụng rất nhiều trong các phương trình vi phân. Ông cũng là người cùng khám phá ra công thức Euler- Maclaurin, là một công cụ rất quan trọng trong việc tính toán các tích phân phức tạp, các tổng và chuỗi khó. Trong hình học và topo đại số có một sợi dây liên kết chính là công thức Euler, ở đó liên hệ giữa các cạnh, đỉnh và mặt của một đa diện. Công thức tổng quát đó là: F - E + V = 2, ở đó F là số mặt, E là số cạnh và V là số đỉnh. Định lý này được áp dụng cho mọi đa diện lồi. Với các đồ thị không phẳng, có một biểu thức tổng quát. Nếu đồ thị có thể được nhúng vào trong một đa tạp M, thì F - E + V = X(M), ở đó X là đặc trưng Euler của đa tạp, một hằng số ở đó là bất biến với mọi biến dạng liên tục. Đặc trưng Euler của một đa tạp liên thông đơn giản là một hình cầu và một mặt phẳng là 2. Công thức tổng quát với một đồ thị phẳng là: F - E + V - C = 1, ở đó C số thành phần liên thông của đồ thị. Năm 1736, Euler giải được bài toán nổi tiếng 7 chiếc cầu Königsberg, chính xác hơn, ông đã chứng minh được bài toán không có đáp số. Kết quả được công bố trên bài báo nhan đề Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, và đó chính là ứng dụng sớm nhất của lý thuyết đồ thị hay của topo học. Suốt cuộc đời nghiên cứu khoa học của mình, Euler đã viết một khối lượng sách đồ sộ. Những tác phẩm nổi tiếng nhất của ông là: - Nhập môn đại số. Cuốn sách về đại số căn bản này bắt đầu bằng một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách giải phương trình đa thức. - Nhập môn giải tích. - Hai cuốn sách có ảnh hưởng về vi tích phân, phép tính tích phân (1768 - 1770). - Nguyên lý chuyển động của chất lưu; trình bày phương trình liên tục và phương trình Euler. Ông là người đầu tiên sử dụng từ “hàm số” (được Gottfried Leibniz định nghĩa trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số, như y = F(x). Ông cũng được xem là người đầu tiên dùng vi tích phân trong môn vật lý. Ông là nhà toán học nổi tiếng trong thế kỷ XVIII và đã suy ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới được thành lập. Có thể nói, các thành tựu về khoa học và toán học của Euler thật đáng ngạc nhiên. Ông viết 32 bộ sách dày, và hàng trăm tác phẩm từ hàng trăm bài báo về lĩnh vực toán học hay khoa học. Tuyển tập các tác phẩm viết về khoa học của ông gồm hơn 70 cuốn. Tài năng của Euler gần như chiếm lĩnh mọi khía cạnh của toán học ứng dụng và toán học thuần tuý, đóng góp của ông cho ngành vật lý toán học cũng có những ứng dụng vô cùng to lớn. Euler đặc biệt giỏi trong việc chứng minh những định luật chung của cơ khí đã được Newton hình thành trong thế kỷ trước, có thể ứng dụng vào một số tình huống vật lý thường gặp. Chẳng hạn như, bằng cách ứng dụng những định luật của Newton đối với chuyển động của chất lỏng, Euler có thể nghĩ ra phương trình thuỷ động lực học. Tương tự, bằng việc phân tích một cách kỹ lưỡng những chuyển động có thể có của một vật thể rắn, và bằng cách ứng dụng những nguyên tắc của Newton, Euler có thể phát triển các phương trình hoàn toàn xác định được chuyển động của một vật thể rắn. Tất nhiên, trên thực tế, không phải mọi vật thể đều hoàn toàn là chất rắn. Tuy nhiên, Euler còn có những đóng góp quan trọng đối với định luật đàn hồi, mô tả những vật rắn bị làm biến dạng như thế nào dưới tác dụng của những lực bên ngoài. Euler cũng ứng dụng tài năng của mình trong phân tích toán học về các vấn đề thuộc lĩnh vực thiên văn học, đặc biệt là vấn đề bộ ba thiên thể đề cập tới Mặt trời, Trái đất và Mặt trăng chuyển động dưới những lực hấp dẫn lẫn nhau như thế nào. Vấn đề đó - một vấn đề dành cho thế kỷ XXI, vẫn chưa được giải quyết. Một cách ngẫu nhiên, Euler là nhà khoa học xuất chúng duy nhất của thế kỷ XVIII đã ủng hộ thuyết sóng ánh sáng. Khả năng phát kiến của Euler thường tạo cơ sở cho những phát minh toán học khiến những người khác trở nên nổi tiếng. Chẳng hạn như Joseph Louis Lagrange, nhà vật lý toán học người Pháp đã phát triển một chuỗi các phương trình (được gọi là phương trình Lagrance) có tầm quan trọng lớn về mặt lý thuyết và có thể được ứng dụng để giải quyết hàng loạt các vấn đề lớn trong cơ khí học. Tuy nhiên, phương trình cơ bản lại được Euler nghĩ ra đầu tiên và thường được biết tới như phương trình Euler - Lagrange. Nhà toán học người Pháp, Jean Baptiste Fourier, được cho là đã nghĩ ra thuật toán quan trọng được biết tới như là phép phân tích Fourier. Và các phương trình cơ bản đều do Leonhard Euler phát minh ra đầu tiên, được biết tới như là công thức Euler - Fourier. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong các phân môn khác nhau của khoa vật lý học, bao gồm âm học và lý thuyết điện từ. Trong nghiên cứu toán học, Euler đặc biệt quan tâm tới các lĩnh vực tính toán, các phương trình vi phân và các chuỗi vô hạn. Những đóng góp của ông đối với phép toán của những biến phân và lý thuyết số tổ hợp là nền tảng cơ bản đối với sự phát triển sau này trong những lĩnh vực kể trên. Những phát kiến của Euler đối với hai lĩnh vực trên đã được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu khoa học, ngoài tầm quan trọng của chúng đối với lĩnh vực toán học tuần tuý. Phương trình của Euler, e(i0) = cos 0 + i sin 0, chỉ ra mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác và các số ảo, được ứng dụng để tìm logarithm của các số âm. Đó là một trong những công thức được sử dụng rộng rãi nhất trong mọi lĩnh vực của toán học. Euler cũng viết một cuốn sách hình học phân tích, và có những đóng góp quan trọng cho hình học vi phân và hình học sơ cấp. Không những dễ dàng phát huy sở trường trong các phát minh toán học, Euler gần như cũng tinh thông trong lĩnh vực toán học thuần túy. Nhưng những đóng góp của ông về lĩnh vực lý thuyết số quá trừu tượng. Euler còn là người đi đầu trong lĩnh vực hình học topo, một phân môn toán học đã trở nên rất quan trọng trong thế kỷ XX. Công lao cuối cùng của Euler là đã có những đóng góp quan trọng cho hệ thống kí hiệu toán học của chúng ta hiện nay. Ông là người đã góp phần phổ biến rộng rãi việc sử dụng chữ cái Hy Lạp Pi để biểu thị tỷ lệ giữa chu vi của hình tròn và đường kính của nó. Ông cũng đưa ra nhiều kí hiệu tiện lợi khác mà giờ đây được sử dụng phổ biến trong các nghiên cứu toán học. Tất cả những phát kiến của Euler cuối cùng cũng được hoàn thiện, thậm chí khi ông không còn trên cõi đời này. Chỉ cần điểm qua danh sách những cuốn sách toán học và vật lý học của Euler cũng đủ minh họa cho những đóng góp lớn của ông: Các góc Euler (chuyển động của các vật thể rắn); Hằng số Euler (chuỗi số vô hạn); Phương trình Euler (thủy động lực học); Phương trình chuyển động Euler (động lực học của vật thể rắn); Công thức Euler (biến số tổ hợp); Các con số Euler (chuỗi số vô hạn); Các đường cong đa giác Euler (các phương trình vi phân); Phép biến đổi Euler (chuỗi số vô hạn); Định luật Euler - Bernoulli (thuyết đàn hồi); Công thức Euler - Fourrier (chuỗi số lượng giác học); Phương trình Euler - Lagrace (phép tính các biến phân, cơ khí học); và Công thức Euler - Maclaurin (các phương pháp số) - đó là chỉ tính đến những công trình nghiên cứu điển hình nhất của ông. Nhìn chung, các công trình của Euler đã đề cập đến hầu hết những lĩnh vực của toán học thời bấy giờ và đến nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác. Những phát kiến của ông được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực vật lý và trong nhiều lĩnh vực khác thuộc bộ môn cơ khí học. Cuộc đời Euler là một tấm gương sáng về tinh thần trách nhiệm và khả năng sáng tạo không ngừng, đối với ông, làm toán cũng tự nhiên và cần thiết cho đời sống như là hít thở khí trời vậy. Sau khi ông mất, tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt trăng và cho tiểu hành tinh 2002 Euler. Người tính được chu vi trái đất E ratosthenes sinh năm 276 trước Công nguyên tại Cyrene (nay thuộc Libya), ông làm việc và mất tại Alexandria (Ai Cập) thời kỳ Ptolemy. Ông nổi tiếng vì đã nghĩ ra hệ thống kinh độ và vĩ độ cũng như tính toán ra kích thước của Trái đất. Ông là một nhà toán học, địa lý và thiên văn. Những người cùng thời với ông gọi ông là “Beta” do ông là người nổi tiếng trên thế giới vào thời đó trong nhiều lĩnh vực. Eratosthenes nghiên cứu tại Alexandria và một số năm tại Athena (Hy Lạp). Năm 236 trước Công nguyên, ông được Ptolemy III Euergetes I giao nhiệm vụ làm thủ thư tại thư viện Alexandria. Ông đã có một số cống hiến cho toán học và khoa học là một người bạn thân của Archimedes. Khoảng năm 255 trước Công nguyên, ông phát minh ra hỗn thiên nghi, thiết bị được sử dụng rộng rãi cho đến khi phát minh mô hình vũ trụ ra đời vào thế kỷ XVIII. Trong tác phẩm “Các chuyển động tròn của thiên thể”, Cleomedes đã viết, Eratosthenes đã tính toán được chu vi của Trái đất vào khoảng năm 240 trước Công nguyên bằng cách sử dụng các phương pháp lượng giác và kiến thức về góc lên của Mặt trời lúc giữa trưa tại Alexandria và Syene. Eratosthenes đã biết, tại thời điểm hạ chí vào giữa trưa tại khu vực ở trên đường bắc chí tuyến, Mặt trời sẽ xuất hiện ở thiên đỉnh, ngay phía trên đầu người quan sát mặc dù Syene trên thực tế nằm ở phía bắc và rất sát với đường chí tuyến này. Từ đo đạc ông cũng biết tại thành phố quê hương của ông là Alexandria thì góc lên của Mặt trời là khoảng 7° về phía nam của thiên đỉnh vào cùng một thời điểm. Và ông rút ra kết luận khoảng cách từ Alexandria tới Syene phải khoảng 7/360 của chu vi Trái đất. Khoảng cách giữa hai thành phố này sau đã được xác định từ các chuyến đi của các đoàn lữ hành. Eratosthenes cũng được coi là người đã nghĩ ra và sử dụng từ địa lý, là khoa học mô tả Trái đất. Eratosthenes còn tìm ra một số vấn đề như: • Sàng Eratosthenes là cách thức tìm các số nguyên tố. • Đo đạc khoảng cách Mặt trời - Trái đất, ngày nay gọi là đơn vị thiên văn (1 AU≈804.000.000 stadion). • Đo đạc khoảng cách tới Mặt trăng (780.000 stadion). • Đo đạc độ nghiêng của mặt phẳng hoàng đạo với sai số góc 7'. • Biên soạn một danh mục sao gồm 675 ngôi sao, danh mục này nay không còn. • Bản đồ đường chảy của sông Nil xa đến tận Khartoum. • Bản đồ toàn bộ phần đã biết của thế giới vào thời đó, từ quần đảo Anh tới Ceylon và từ biển Caspi tới Ethiopia. Sau khi ông mất, người ta đã gọi cách thức tìm ra các số nguyên tố là sàng Eratosthenes. Miệng núi lửa trên Mặt trăng được gọi theo tên ông và kỷ trong niên đại địa chất của Mặt trăng được gọi là kỷ Eratosthenes. Không gian Hilbert D avid Hilbert sinh ngày 23 tháng 1, 1862 ở Wehlau, Đông Phổ, Göttingen, Đức, nay là Znamensk, gần Kaliningrad, Nga. Ông tốt nghiệp phổ thông trung học ở thành phố quê hương và đăng kí vào Đại học Königsberg. Ông nhận bằng tiến sĩ năm 1885, với một luận văn, viết dưới sự hướng dẫn của Ferdinand von Lindemann, với tựa đề “Về các tính chất bất biến của các dạng nhị phân đặc biệt, đặc biệt là các hàm vòng”. Hilbert giữ cương vị giáo sư Đại học Königsberg từ 1886 đến năm 1895, là trưởng khoa Toán tại Đại học Göttingen, vào thời gian đó là trung tâm nghiên cứu toán học tốt nhất thế giới và ông làm việc ở đó cho đến cuối đời. Công trình đầu tiên của Hilbert về các hàm bất biến năm 1888 là định lý hữu hạn nổi tiếng của ông. Hai mươi năm trước đó, Paul Gordan đã chứng minh định lý về sự hữu hạn của các phần tử phát sinh cho các dạng nhị phân sử dụng một tiếp cận tính toán phức tạp. Những cố gắng tổng quát hóa phương pháp của ông cho hàm số có trên hai biến thất bại vì những khó khăn trong các tính toán. Hilbert nhận ra cần phải đi theo một hướng hoàn toàn khác. Kết quả, ông đã đưa ra định lý Hilbert: chứng minh sự tồn tại của một tập hợp hữu hạn các phần tử phát sinh, với số lượng biến bất kỳ, nhưng dưới dạng trừu tượng. Nghĩa là, trong khi chứng minh sự tồn tại của một tập hợp như vậy, ông không sử dụng thuật toán mà chỉ đưa ra một định lý về sự tồn tại. Hilbert gửi kết quả của mình cho tạp chí Mathematische Annalen. Gordan, chuyên gia lý thuyết bất biến của tạp chí Mathematische Annalen, đã không đánh giá cao bản chất có tính cách mạng của định lý Hilbert và từ chối không in bài báo, phê phán cách trình bày là không đủ chi tiết với lời nhận xét: “Đây là Thần học, không phải Toán học!” Tuy nhiên nhà toán học Klein lại nhận ra tầm quan trọng của kết quả này, và bảo đảm bài báo sẽ được xuất bản mà không bị thay đổi gì. Được sự khuyến khích của Klein Hilbert, bài báo thứ hai đã mở rộng phương pháp của ông, đưa ra những đánh giá về bậc cao nhất của tập nhỏ nhất của các phần tử phát sinh, và ông một lần nữa lại gửi cho tạp chí Annalen. Sau khi đọc xong bản thảo, Klein viết thư trả lời: Không nghi ngờ gì đây là một trong những công trình quan trọng nhất về đại số nói chung mà tạp chí Annalen đã từng xuất bản. Sau này, khi sự hữu dụng về phương pháp của Hilbert được công nhận rộng rãi, chính Gordan đã phải thừa nhận: Tôi phải thừa nhận là ngay cả thần học cũng có giá trị của nó. Cuốn sách “Nền tảng của hình học” của ông xuất bản năm 1899 đưa ra một tập hợp chuẩn, bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền thống. Chúng tránh được những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, lúc đó vẫn được xem như sách giáo khoa. Cách tiếp cận của Hilbert đánh dấu sự chuyển đổi sang hệ thống phương pháp tiên đề hiện đại. Các tiên đề không được xem như là sự thật hiển nhiên. Hình học có thể xử lý các đối tượng, về những thứ mà chúng ta có trực giác mạnh, nhưng không cần phải gán cho một nghĩa rõ ràng về những khái niệm chưa được định nghĩa. Hilbert là người đầu tiên liệt kê các khái niệm chưa định nghĩa: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ giữa các điểm và các mặt phẳng, sự nằm giữa, sự đồng dạng giữa các cặp điểm, và sự đồng dạng giữa các góc. Những tiên đề này thống nhất cả hình học phẳng và hình học không gian của Euclid trong một hệ thống duy nhất. Hilbert đã đưa ra một danh sách gồm 23 bài toán chưa giải được tại Đại hội Toán học thế giới ở Paris năm 1900. Danh sách này được nhìn nhận là một trong những tổng kết thành công và sâu sắc nhất của các bài toán chưa có lời giải tạo ra bởi chỉ cá nhân một nhà toán học. Sau khi tái thiết lập các nền tảng của hình học cổ điển, Hilbert có thể làm tương tự cho phần còn lại của toán học. Tuy nhiên cách tiếp cận của ông khác với nhà “nền tảng học” Russell-Whitehead hay nhà “từ điển học” Nicolas Bourbaki sau này, và khác với nhà toán học đương thời Giuseppe Peano. Những bài toán này được đưa ra tại hội thảo "Những bài toán trong Toán học" trình bày trong Hội nghị toán học Quốc tế lần thứ 2 tổ chức tại Paris. Có thể nói, danh sách các bài toán của Hilbert cũng là một dạng tuyên ngôn, mở ra con đường cho sự phát triển của trường phái hình thức hóa, một trong ba trường phái lớn của toán học trong thế kỷ XX. Theo những người thuộc trường phái hình thức hóa, toán học là một trò chơi với các kí hiệu bị làm mất đi ý nghĩa riêng theo những quy luật mang tính hình thức được quy ước trước. Do vậy, nó là một hoạt động độc lập của suy nghĩ. Năm 1920, ông đề nghị một dự án nghiên cứu mà sau đó được biết đến như là chương trình Hilbert. Ông muốn toán học phải được hệ thống hóa trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ. Ông tin rằng về nguyên tắc điều này có thể làm được bằng cách chứng minh rằng: - Tất cả toán học có thể suy ra từ một hệ thống hữu hạn các tiên đề được chọn ra một cách đúng đắn. - Một hệ thống tiên đề như vậy là có thể chứng minh được tính nhất quán của nó. Chương trình này được công nhận là nổi tiếng nhất về triết học của toán học, nơi nó thường được gọi là hình thức hóa. Vào khoảng 1909, Hilbert dành thời gian nghiên cứu phương trình vi phân và phương trình tích phân; các công trình của ông có những ảnh hưởng trực tiếp đến giải tích hàm hiện đại. Để tiến hành các nghiên cứu này, Hilbert đưa ra khái niệm không gian Euclid vô hạn chiều, sau này gọi là không gian Hilbert. Các công trình của ông trong phần này đã cung cấp những đóng góp quan trọng cho toán dùng trong vật lý cho hai mươi năm sau đó, dù theo một hướng không dự đoán trước. Sau này, Stefan Banach mở rộng khái niệm này, định nghĩa không gian Banach. Không gian Hilbert là một ý tưởng quan trọng trong lĩnh vực giải tích hàm phát triển xung quanh đó trong suốt thế kỷ XX. Hilbert là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng rộng lớn nhất cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX. Ông nổi tiếng do phát minh hay phát triển một loạt các ý tưởng khác nhau, chẳng hạn như lý thuyết bất biến, tiên đề hóa hình học, và khái niệm không gian Hilbert, một trong những nền tảng của giải tích hàm. Hilbert và các học sinh của ông đã xây dựng đủ hạ tầng cơ sở toán học cần thiết cho cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng. Ông là một trong những sáng lập viên của lý thuyết chứng minh, logic toán học và phân biệt giữa toán học và meta-toán học. Người đầu tiên chứng minh định lý Fermat A ndrew John Wiles là nhà toán học người Anh, được biết đến như người đầu tiên chứng minh được định lý lớn Fermat. Wiles từ nhỏ đã nổi tiếng về tài năng toán học. Ông đã biết về Định lý Fermat ngay khi mới 10 tuổi. Những năm sau đó ông thử tìm cách chứng minh định lý theo các phương pháp truyền thống trong sách giáo khoa nhưng không thành công. Sau khi tốt nghiệp đại học, trong thời kỳ làm nghiên cứu sinh, ông chuyển sang nghiên cứu các hàm elip, dưới sự hướng dẫn của giáo sư John Coates. Thời gian làm nghiên cứu sinh tại trường Clare tại Cambridge, Wiles còn kiêm nhiệm trợ lý giáo sư tại Đại học Harvard. Năm 1980, ông nhận bằng tiến sĩ và sang làm việc một thời gian ở Bonn trước khi đến Mỹ. Năm 1981, ông là giáo sư tại Đại học Princeton. Suốt cả thời gian dài, ông luôn bận tâm tới bài toán Fermat. Ông nhận thấy, điều then chốt trong việc chứng minh định lý Fermat trực tiếp phụ thuộc vào mệnh đề Shimura-Taniyama (mối liên hệ này được G. Frey đề xuất và K. Ribet chứng minh). Từ đó, Wiles tập trung vào việc chứng minh mệnh đề Shimura-Taniyama. Tháng 6 năm 1993, tại hội nghị khoa học ở Anh, ông đã làm chấn động dư luận. Wiles đã giải quyết được một trong những vấn đề toán học cực kỳ huyền bí, điều mà hàng ngàn nhà toán học đã bó tay trong suốt hơn 350 năm qua: ông đã chứng minh được định lý cuối cùng của Fermat trong một bài báo dài 200 trang. Việc chứng minh định lý đã ngốn mất của ông bảy năm trời và sau đó phải thêm một năm nữa để ông hoàn thiện chứng minh của mình. Định lý cuối cùng của Fermat là một câu chuyện về con người, về lịch sử và về các nền văn hóa nằm ẩn ở đằng sau thành tựu khoa học vang dội. Được viết bởi một học giả Pháp thế kỷ thứ XVII, định lý phát biểu lên nghe có vẻ đơn giản: “Bình phương của một số nguyên có thể phân tích thành tổng hai bình phương của hai số nguyên khác - chẳng hạn, năm bình phương (25) bằng bốn bình phương (16) cộng ba bình phương (9) - nhưng điều tương tự không xảy ra đối với lũy thừa bậc ba hay các lũy thừa bậc cao hơn”. Sau khi Fermat qua đời, rất nhiều nhà toán học đã dành cả cuộc đời để cố chứng minh định lý này. Định lý có nguồn gốc từ thời xa xưa. Khoảng 2000 năm trước Công nguyên, người Babylon đã tìm cách phân tích một số chính phương thành tổng của hai số chính phương. Vào thế kỷ VI trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Pytago đã khái quát điều này thành một định lý nổi tiếng của ông và định lý này đã mở đường cho Fermat. Mấy thế kỷ sau khi Fermat qua đời, hai nhà toán học Nhật Bản đã đưa ra một phỏng đoán tuyệt vời về khả năng có mối liên hệ giữa hai ngành toán học khác hẳn nhau. Bốn mươi năm sau đó chính công trình của họ đã giúp cho Andrew Wiles, nhà toán học của thành phố Princeton, chứng minh được định lý cuối cùng của Fermat. Wiles cho rằng công việc chứng minh sắp được hoàn tất, nhưng sau đó phát hiện ra một trục trặc không nhỏ. Sau nhiều tháng thất bại, Wiles sắp chịu thua. Trong tuyệt vọng, ông yêu cầu giúp đỡ. Richard Taylor, một sinh viên cũ của ông, tới Princeton và cùng nghiên cứu với ông. Tháng 5 năm 1995, ông đã cho đăng lời giải trên Annals of Mathematics (Đại học Princeton). Tháng 8 năm 1995, tại hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học đã công nhận chứng minh là đúng. Helen G. Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau: “Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh định lý lớn Fermat đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng định lý lớn Fermat.” “Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lĩnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ khi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy.” Định lý Thales T hales sinh năm 625 tại vùng Ionia thuộc Hy Lạp cổ đại trong một gia đình quý tộc chủ nô. Ông là nhà toán học, nhà triết học chịu ảnh hưởng sâu sắc của nền văn hóa Trung Cận Đông. Trong bảy nhà hiền triết Hy Lạp thế kỷ XII trước Công nguyên, Thales được xếp là người đứng đầu. Có một chuyện kể rằng: “Một hôm, người dân Hy Lạp quyết định tặng dây trói chân ngựa bằng vàng cho người sáng suốt nhất. Theo mệnh lệnh của nhà tiên tri, quà tặng được mang lại cho Thales, nhưng vì khiêm tốn, ông đã nhường nó cho một người xứng đáng khác, người đó nhường cho người thứ ba, và chiếc dây được chuyển như vậy qua một vòng bảy người, rốt cuộc lại quay về với Thales”. Không mấy ai quan tâm tới việc câu chuyện trên có thật hay không, nhưng ý nghĩa của nó chứng tỏ nhân cách và tài năng của Thales đã được những người đương thời công nhận. Thales là nhà toán học nổi tiếng người Hy Lạp, người chuyên nghiên cứu về hình học. Ông là người đứng đầu trong bảy nhà hiền triết của Hy Lạp. Ông cũng được xem là một triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại. Tên của ông được dùng để đặt cho một định lý toán học mà ông phát hiện ra. Ông cũng là người đầu tiên chứng minh rằng đường kính chia đôi đường tròn, người đầu tiên phát hiện ra trong mọi tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Thales còn là người đầu tiên nghiên cứu thiên văn học, hiểu được rằng nhật thực diễn ra là do mặt trăng che khuất mặt trời và khẳng định có thể tiên đoán được nhật thực xảy ra vào lúc nào. Ông đã tiên đoán được nhật thực ngày 28 tháng 5 năm 585 trước Công nguyên. Thales là một học giả đi tiên phong và đặt nền móng cho nhiều lĩnh vực khoa học. Trong lịch sử toán học, ông được xem là người đã đưa ra định lý Thales trong hình học. Định lý của ông phát biểu như sau: Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao nhau những đoạn thẳng tỷ lệ.Từ đó dẫn tới một loạt các tính chất như: - Góc chắn nửa đường tròn thì bằng một góc vuông. - Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần bằng nhau. - Hai góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau. - Hai tam giác nếu có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau. - Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Với tư duy của một nhà toán học, Thales đã nghĩ ra cách đo được chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứ vào bóng của chúng. Nhờ khả năng hiểu biết về thiên văn, ông có thể quan sát các dấu hiệu trên bầu trời, từ đó phỏng đoán mùa ôliu ở Mile sắp tới mất mùa hay bội thu. Khi biết chắc được mùa, Thales quyết định đầu tư kinh doanh. Ông vay tiền mua trước một số cánh đồng ôliu ở Mile và sau khi thu hoạch, nhờ đó ông đã kiếm được một khoản lợi nhuận rất lớn. Trong lĩnh vực triết học, Thales là đại diện tiêu biểu nhất của trường phái triết học Mile. Ông đã lí giải vấn đề bản chất và khởi nguyên của thế giới dựa trên một số các tri thức khoa học sơ khai có được thời đó. Ông quan niệm toàn bộ thế giới là một chỉnh thể thống nhất mà nguồn gốc của nó là nước. Nước là bản chất chung của tất cả mọi vật, mọi hiện tượng trong thế giới. Mọi cái trên thế gian đều khởi nguồn từ nước và khi bị phân huỷ lại biến thành nước. Nước tồn tại vĩnh viễn, còn mọi vật do nó tạo nên thì biến đổi không ngừng. Trước Thales, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên của thế giới, vạn vật qua các câu chuyện thần thoại gắn với các vị thần. Tới thời Thales, ông quan niệm nước là bản chất chung của tất cả mọi vật, mọi hiện tượng trong thế giới.Với quan niệm như vậy, ông đã đưa yếu tố duy vật vào trong quan niệm triết học giải thích về thế giới. Thế giới được hình thành từ một dạng vật chất cụ thể là nước chứ không phải do các vị thần tạo nên. Có rất nhiều giai thoại thú vị về Thales. Câu chuyện liên quan đến con la của ông, chuyện kể rằng: Khi đi qua dòng sông với những túi muối trên lưng, con la bỗng nhiên bị vấp ngã nên các túi muối bị thấm đầy nước. Nhận thấy rằng nhờ muối bị hòa tan, trọng tải của nó trở nên nhẹ hơn đáng kể nên mỗi khi gặp bất kỳ con suối nào, con la cũng lập tức đắm mình xuống cùng với đồ mang trên lưng. Nó tiếp tục làm như vậy cho tới khi Thales phát hiện ra điều này, sau đó ông liền chất đầy bông lên lưng con la này. Bị thất bại, con la không còn sử dụng mẹo vặt đó nữa. Nhiều thế kỷ đã trôi qua, khoa học đã có nhiều bước tiến vượt bậc trên mọi phương diện nhưng những phát kiến của Thales vẫn còn mãi giá trị với thời gian khiến bao người phải cúi đầu ngưỡng mộ. Nhà toán học và thiên văn học vĩ đại J ohannes Kepler sinh ngày 27 tháng 12 năm 1571 tại Thành phố tự do của Đế quốc Weil der Stadt (nay là một phần của vùng Stuttgart thuộc Đức, cách trung tâm Stuttgart 30 km về phía Tây). Ông nội Kepler từng là thị trưởng thị trấn, nhưng lúc Kepler ra đời, tài sản của gia đình đã gần cạn kiệt. Cha ông sống bấp bênh với nghề lính đánh thuê, đã bỏ gia đình khi Johannes mới năm tuổi. Có tư liệu viết cha Kepler đã chết trong chiến tranh Hà Lan. Mẹ Kepler là con gái một chủ quán trọ, một người biết chữa bệnh bằng các loại cỏ cây. Thuở nhỏ Kepler là một đứa trẻ ốm yếu. Dù sức khỏe kém nhưng Kepler rất thông minh. Ông thường làm những khách hàng tới quán trọ của gia đình ông ngoại ngạc nhiên vì khả năng toán học kỳ lạ của mình. Kepler làm quen với thiên văn học từ rất sớm và gắn bó với nó suốt cuộc đời. Một tài liệu viết, năm 1577, khi mới 5 tuổi, ông đã quan sát sao chổi. Ông viết rằng ông “được mẹ đưa lên một chỗ cao để nhìn nó”. Năm 1580, ông quan sát một hiện tượng thiên văn khác - nguyệt thực. Ông nhớ là đã “được gọi ra ngoài” để nhìn nó và rằng mặt trăng “có vẻ khá đỏ”. Tuy nhiên, bệnh đậu mùa thời trẻ đã làm giảm thị lực của ông, khiến ông phải chú tâm tới toán học nhiều hơn là quan sát thiên văn học. Khi đi học ông học rất xuất sắc song thường bị các bạn bắt nạt. Ngay từ thuở nhỏ, ông bị ám ảnh rằng mình có thân thể ghê tởm, hoàn toàn đáng ghét, so với những học sinh khác và đáng bị hắt hủi. Năm 1587, sau khi học văn phạm, tiếng La tinh ở trường dòng theo hệ giáo dục Lutheran, Kepler bắt đầu theo học tại trường đại học Tübingen với tư cách là sinh viên thần học, nơi ông đã chứng tỏ khả năng siêu việt về toán học và nổi tiếng là một nhà chiêm tinh tài giỏi. Dưới sự dạy dỗ của Michael Maestlin, ông học cả hệ thống Ptolemy và hệ Nhật tâm của Copernicus. Ông trở thành một người ủng hộ Copernicus từ lúc đó, bảo vệ thuyết nhật tâm về cả lý thuyết và cả mặt thần học trong những cuộc tranh luận của sinh viên. Sau đó, Kepler được tiến cử vào vị trí giáo viên toán và thiên văn học tại trường Tin lành ở Graz, Áo. Ông đảm nhận vị trí đó vào tháng 4 năm 1594, ở tuổi 23. Tại Graz, Kepler bắt đầu phát triển lý thuyết đầu tiên về vũ trụ học dựa trên hệ Copernicus, lý thuyết này được công bố năm 1596 với tên “Bí ẩn thần thánh của vũ trụ”. Tháng 12 năm 1599, Tycho Brahe viết thư cho Kepler, mời Kepler tới giúp ông ở Benátky nad Jizerou bên ngoài Prague. Bị áp lực phải rời Graz vì những chính sách phản đối cải đạo ngày càng chặt chẽ, ngăn cản quyền thực thi tín ngưỡng và chính trị của những người Tin lành, Kepler đến với Tycho năm 1600. Sau khi Tycho chết năm 1601, Kepler được chỉ định làm nhà toán học hoàng gia, một vị trí được ông đảm nhận qua ba triều Hoàng đế ở Habsburg (từ 1601 đến 1630). Với tư cách là nhà toán học của triều đình, Kepler được thừa hưởng trách nhiệm của Tycho về việc lập các lá số tử vi cũng như nhiệm vụ thành lập các bảng Rudolphine. Làm việc với những dữ liệu thông tin quan sát bao quát và chính xác của Tycho, Kepler cũng bắt đầu chỉnh lại các lý thuyết trước đây của mình nhưng sau đó ông bắt buộc phải từ bỏ chúng. Thay vào đó, ông bắt đầu phát triển hệ thống thiên văn học đầu tiên sử dụng các quỹ đạo không tròn; được hoàn tất năm 1606 và xuất bản năm 1609 dưới tên “Astronomia Nova” - (Thiên văn học mới). Astronomia Nova bao hàm những điều sau này sẽ trở thành những định luật về chuyển động thiên thể thứ nhất và thứ hai. Tháng 10 năm 1604, Kepler quan sát supernova sau này được gọi là “Ngôi sau của Kepler” (một thuật ngữ cũng dùng để chỉ hình sao bát giác). Năm 1611, Kepler xuất bản (dưới hình thức một bức thư gửi cho bạn) một chuyên khảo về nguồn gốc của bông tuyết, tác phẩm đầu tiên từng được biết về chủ đề này. Ông phát triển lý thuyết chính xác rằng hình sáu cạnh tự nhiên của nó có nguyên nhân từ cái lạnh, nhưng không xác định chắc chắn nguyên nhân vật lý của điều đó. Tháng 1 năm 1612, Hoàng đế qua đời. Để tránh tình trạng căng thẳng tôn giáo đang gia tăng ở Prague, Kepler trở về làm việc ở Linz. Năm 1617, mẹ của Kepler là Katharina bị cáo buộc là phù thủy. Bắt đầu từ tháng 8 năm 1620 bà bị bỏ ngục trong mười bốn tháng. Nhờ những nỗ lực bảo vệ pháp lý của Kepler, và được thả ra vào tháng 10 năm 1621 sau khi những nỗ lực kết án bà thất bại. Năm 1621, Kepler đã hoàn thành bảy tập cuối cùng của cuốn sách giáo khoa “Bản tóm tắt thiên văn học Copernicus” năm 1621, phát triển thêm những nghiên cứu trước kia của ông và đóng góp phần ảnh hưởng quan trọng trong việc chấp nhận hệ thống Copernicus vào thế kỷ sau đó. Năm 1627 ông hoàn thành các bảng Rudolphine, cung cấp bảng tính chính xác các vị trí hành tinh trong tương lai và cho phép dự đoán các hiện tượng thiên văn học hiếm gặp. Kepler sống trong một thời đại khi mà không có sự phân biệt rõ ràng giữa thiên văn học và chiêm tinh học, trong khi lại có sự phân biệt rõ ràng giữa thiên văn học (một nhánh của toán học bên trong các nghệ thuật tự do) và vật lý (một nhánh của môn học có nhiều ảnh hưởng hơn của triết học). Ông cũng kết hợp những tranh luận tôn giáo và các lý lẽ vào trong tác phẩm của mình, nhờ vậy nền tảng của những cống hiến có tầm quan trọng nhất của ông đặc biệt mang tính thần học. Kepler là một người theo trường phái bí ẩn của Pytago. Ông coi các mối quan hệ toán học là cơ sở của mọi tự nhiên, mọi thành tố đều tích hợp với nhau trong một tổng thể. Đây là điều đối lập với quan niệm của Plato và Aristoteles cho rằng trái đất khác biệt về căn bản với mọi thứ còn lại của vũ trụ, được tạo thành từ những vật chất khác biệt và những định luật tự nhiên áp dụng cho nó cũng khác biệt. Trong nỗ lực khám phá vũ trụ của mình, Kepler đã áp dụng vật lý trái đất cho các thiên thể; nổi tiếng nhất là nỗ lực của ông nhằm đưa ra ba “Định luật về chuyển động thiên thể”. Kepler cũng tin rằng các thiên thể ảnh hưởng tới các sự kiện trên mặt đất. Ông đã ước tính thêm về vai trò của mặt trăng trong việc tạo ra thủy triều. Kepler được thừa kế từ Tycho Brahe một gia sản những dữ liệu thô chính xác nhất Tycho thu thập được về vị trí của các hành tinh. Các chuyển động quỹ đạo của các hành tinh khác được quan sát từ điểm lợi thế của trái đất, chính nó cũng đang quay quanh mặt trời, điều này có thể gây nên việc di chuyển của các hành tinh theo những đường kỳ lạ. Kepler tập trung vào việc tìm hiểu quỹ đạo của sao Hỏa, cố xác định quỹ đạo của trái đất. Để làm được điều này, ông đã vạch ra một vạch ranh giới quan sát. Với một linh cảm thiên tài, ông đã sử dụng sao Hỏa và Mặt trời làm đường ranh giới, vì không biết quỹ đạo thực của sao Hỏa, ông biết rằng nó sẽ ở cùng một chỗ trong quỹ đạo của nó ở những khoảng cách riêng biệt theo những giai đoạn riêng. Các vị trí quỹ đạo của Trái đất có thể được tính toán, và từ đó suy ra quỹ đạo sao Hỏa. Ông đã có thể suy luận ra các định luật thiên thể của mình mà không cần biết khoảng cách chính xác của các hành tinh từ Mặt trời, bởi vì phân tích hình học của ông chỉ cần có các tỷ lệ khoảng cách tới mặt trời của chúng. Không như Brahe, Kepler giả thiết hệ thống nhật tâm với mặt trời ở trung tâm. Từ cái khung đó, Kepler đã mất hai mươi năm làm việc chăm chỉ để thử và sửa chữa các nỗ lực nhằm tạo ra dữ liệu đúng. Cuối cùng, ông đã kết luận bằng “Ba định luật về chuyển động thiên thể”: - Định luật quỹ đạo elíp của các hành tinh: Các hành tinh chuyển động quanh mặt trời theo các quỹ đạo hình elíp với mặt trời nằm ở một tiêu điểm. - Định luật đồng đều về vận tốc diện tích: Đường nối một hành tinh với mặt trời quét qua những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. - Định luật về các chu kỳ chuyển động: Bình phương chu kỳ chuyển động của một hành tinh thì tỷ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip của hành tinh đó. Sử dụng các định luật này, ông là nhà thiên văn học đầu tiên thành công trong việc dự đoán vận động của sao Kim (trong năm 1631). Các định luật của Kepler là minh chứng đầu tiên rõ ràng cho kiểu nhật tâm của hệ mặt trời, bởi vì chúng trở nên rất đơn giản khi đưa mặt trời vào tâm. Tuy nhiên, Kepler không bao giờ khám phá ra những lý lẽ sâu sắc hơn của định luật, dù nhiều năm trong cuộc đời ông đã dành cho việc nghiên cứu những bí ẩn ấy. Lần đầu tiên Kepler khám phá ra định luật thứ ba của ông về chuyển động thiên thể vào ngày 8 tháng 3 năm 1618 nhưng ông đã từ bỏ ý tưởng này cho tới 15 tháng 5 năm 1618 sau khi ông kiểm tra lại kết quả của mình. Kết quả này đã được công bố trong cuốn “Harmonices Mundi” (1619) của ông. Ngày 17 tháng 10 năm 1604, Kepler quan sát thấy một ngôi sao đặc biệt sáng bất chợt xuất hiện trong chòm sao Ophiuchus. Sự xuất hiện của ngôi sao, mà Kepler miêu tả trong cuốn sách “De Stella nova in pede Serpentarii” (Về Ngôi sao mới ở chân Ophiuchus), đã cung cấp bằng chứng rằng vũ trụ không phải là bất biến. Từ đó nó được xác định là một siêu tân tinh. Đây là lần thứ hai một sao như vậy đã được quan sát. Sau này nó được gọi là sao Kepler hay siêu tân tinh 1604. Không có siêu tân tinh nào khác được quan sát thấy trong dải Ngân Hà, mặc dù có nhiều siêu tân tinh khác ngoài Ngân Hà đã được phát hiện. Kepler cũng thực hiện những nghiên cứu có tính nền tảng về tổ hợp, về hình học. Ông được xem là một trong những nhà nghiên cứu quang học hiện đại bởi ông là người đầu tiên xác nhận về khối mười hai mặt hình sao, sau được gọi là những hình ba chiều Kepler để vinh danh ông. Kepler đã khám phá ra định luật chuyển động của các thiên thể nhằm tìm ra sự hòa điệu của chúng. Trong khái niệm vũ trụ của ông, không phải tự nhiên mà số lượng các khối đa diện hoàn hảo lại ít hơn số lượng các hành tinh đã được biết. Vì nắm được hệ thống của Copernicus, ông bắt đầu chứng minh rằng khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời được tạo ra bởi các mặt cầu bên trong các khối đa diện hoàn hảo, tất cả chúng bị đặt vào bên trong của nhau. Quỹ đạo nhỏ nhất, là của sao Thủy, là mặt cầu ở trong cùng. Bằng cách ấy ông xác định năm khoảng không Platonic với năm khoảng cách giữa sáu hành tinh đã được phát hiện (sao Thủy, sao Kim, Trái đất, sao Hỏa, sao Mộc, sao Hải vương) và năm nguyên tố cổ điển. Trong cuốn sách viết năm 1619 của ông, “Harmonice Mundi” hay “Sự hòa điệu của các thế giới”, ông đã kết hợp giữa các khoảng không Platonic với nhận thức từ trước về các yếu tố: khối tứ diện là hình thức của lửa, khối tám mặt là hình thức của không khí, lập phương là trái đất, khối hai mươi mặt là nước, và khối mười hai mặt là vũ trụ. Nhưng thành tựu đáng chú ý nhất của ông được thừa nhận là các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo hình elíp, chứ không phải hình tròn. Kepler cũng có tiến bộ vĩ đại trong việc thử miêu tả chuyển động của các hành tinh bằng việc đưa vào một lực giống với lực từ tính, mà ông tin rằng tỏa ra từ mặt trời. Mặc dù ông không khám phá ra lực hấp dẫn, ông dường như đã cố gắng áp dụng kinh nghiệm về một định luật vũ trụ để giải thích cách chuyển động của cả trái đất và các vật thể trên trời. Kepler nổi tiếng vì đã tìm ra ba quy luật về quỹ đạo của các hành tinh. Nhưng điều mà các nhà toán học nhớ đến ông lại rất quan trọng vì ông đã nghiên cứu về hình nón từ một điểm ở vô tận. Ông cũng để lại cho đời sau những kết quả nghiên cứu về đa diện hình sao đều. Ông khám phá ra được 2 hình này, tính được diện tích và thể tích: ông có sáng kiến chia ra những phần vô cùng nhỏ mà diện tích tính được, rồi lấy tổng của những diện tích vô cùng nhỏ ấy. Tuy phương pháp ông tính chưa thật hệ thống lắm nhưng đó chính là những ý tưởng báo hiệu cho “Lý thuyết cái vô cùng nhỏ, không thể chia nhỏ hơn” của Cavalieri. Chính nhờ phương pháp này mà ông suy ra định luật về diện tích của các quỹ đạo của các hành tinh (trong chứng minh của ông có hai cái sai, nhưng may mắn thay chúng triệt tiêu lẫn nhau!). Người ta kể lại, để giúp cho những người bán rượu vang tính được thể tích các thùng chứa rượu, ông cho xuất bản quyển “Hình học mới về các thùng chứa rượu vang” trong đó ông thử tính 93 thể tích thùng chứa rượu (đều là những hình tròn xoay). Ông được đánh giá là một gương mặt quan trọng trong cuộc cách mạng khoa học, là nhà toán học, nhà chiêm tinh học, nhà thiên văn học, và là một nhà văn viết chuyện khoa học viễn tưởng thời kỳ đầu ở Đức. Định luật nổi tiếng nhất của ông là định luật về chuyển động thiên thể, dựa trên những công trình “Astronomia nova”, “Harmonice Mundi” và cuốn sách giáo khoa “Tóm tắt thiên văn học Copernicus”. Ngày 15 tháng 11 năm 1630, Kepler qua đời vì bệnh sốt ở Regensburg. Năm 1632, chỉ hai năm sau khi ông chết, mộ của ông bị quân đội Thụy Điển phá hủy trong “Cuộc chiến mười ba năm”. Nhà toán học lớn của mọi thời đại C arl Gustav Jacob Jacobi sinh ngày 10 tháng 12 năm 1804 trong một gia đình Do Thái ở Potsdam. Ông học tại Đại học Berlin, nhận bằng tốt nghiệp năm 1825 với đầu đề luận văn về giải tích các phân số. Năm 1827 ông trở thành giáo sư toán tại Đại học Königsberg, vị trí ông đảm nhận cho đến năm 1842. Jacobi bị ngã quỵ vì làm việc quá căng thẳng vào năm 1843. Sau đó ông ghé thăm Ý một vài tháng để lấy lại sức khỏe. Khi trở lại Berlin, ông sống bằng tiền lương hưu của hoàng gia đến khi qua đời. Jacobi được chôn cất ở một nghĩa trang trong khu Kreuzberg của thành phố Berlin, tên gọi Friedhof II der Jerusalems-und Neuen Kirchengemeinde (61 Baruther Street). Mộ của ông gần mộ của Johann Encke, một nhà thiên văn học. Năm 1829, Jacobi viết một cuốn sách kinh điển về hàm số elliptic, với nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý. Phương trình chuyển động dưới dạng quay trong 3 trường hợp con lắc, phần đỉnh đối xứng của một trường trọng lực, và một vật xoay tự do, tất cả các nghiệm đều được viết dưới dạng hàm số elliptic. Trong toán học, ông đã đưa ra khái niệm giải tích véctơ hay ma trận Jacobi, ma trận chứa các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm giữa hai không gian véctơ. Ma trận này được đặt tên theo tên ông. Ma trận này được ứng dụng trong giải tích vì nó là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất cho một hàm khả vi tại một điểm trong không gian véctơ biến của hàm này. Ngoài ra, trong lịch sử toán học, người ta còn nhắc đến định thức Jacobi. Định thức này cho biết tính chất của hàm tại điểm đang xét. Ví dụ, hàm khả vi liên tục F là khả nghịch gần p nếu định thức Jacobi tại điểm đó khác không. Đây là định lý hàm nghịch đảo. Hơn nữa, nếu định thức Jacobi tại p là dương, thì F bảo toàn chiều quay tại gần p; và ngược lại, nếu nó âm, F đảo chiều quay. Giá trị tuyệt đối của định thức Jacobi tại p cho biết mức độ F nở rộng hay thu nhỏ thể tích gần p. Ý nghĩa này khiến định thức Jacobi xuất hiện trong phép đổi biến. Jacobi là nhà toán học đầu tiên áp dụng hàm số elliptic vào số học, ví dụ chứng minh định lý về tổng 2 bình phương của Fermat hay là định lý về tổng 4 bình phương của Lagrange. Ông cũng chứng minh các kết quả tương tự cho 6 hay 8 bình phương. Hàm số Theta của Jacobi, thường được dùng trong chuỗi hypergeometric được đặt theo tên ông. Người đưa ra khái niệm giải tích hàm S tefan Banach sinh ngày 30 tháng 3 năm 1892 ở Kraków thuộc đế chế Áo-Hung, nay là Ba Lan. Ông là nhà toán học nổi tiếng, một trong những người dẫn đầu Trường phái toán học Lwów ở Ba Lan trước chiến tranh. Ông tự học toán, tài năng toán của ông được khám phá một cách tình cờ bởi Juliusz Mien và sau này là Hugo Steinhaus. Khi chiến tranh thế giới thứ hai nổ ra, Banach là Chủ tịch Hội toán học Ba Lan và là giáo sư tại Đại học Lwów. Là một thành viên của Viện Hàn lâm khoa học Cộng hòa Xô viết Ukraina, ông và có quan hệ tốt với các nhà toán học Liên Xô. Ông đảm nhận vị trí đó từ năm 1939. Banach sống sót sau các trận chiến tàn bạo của quân Đức từ tháng 7 năm 1941 đến tháng 2 năm 1944. Ông đã hiến máu cho viện nghiên cứu Typhus của giáo sư Rudolf Weigl. Sức khỏe của ông suy giảm trong thời bị Đức chiếm đóng, và ông bị nhiễm ung thư phổi. Sau chiến tranh Lwów được sát nhập vào Liên Xô, Banach qua đời và được đưa về an nghỉ ở Kraków, Ba Lan. Ông được chôn cất tại Nghĩa trang Lyczakowski. Tác phẩm nổi tiếng của ông là “Lý thuyết về các toán tử” năm 1932, được xem là công trình có ảnh hưởng lớn nhất của Banach. Trong công trình này, ông hình thức hóa khái niệm bây giờ được biết đến như là không gian Banach, và chứng minh nhiều định lý cơ sở của giải tích hàm. Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vector được trang bị thêm một cấu trúc topo phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng. Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số topo, một đối tượng khác của giải tích hàm. Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn... Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ XX, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm... giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học. Có thể nói, cuốn “Lý thuyết toán tử”, nội dung bao gồm những kết quả được biết vào thời đó về lý thuyết các không gian định chuẩn, đặc biệt là các định lý của Banach đã công bố trong các bài báo từ năm 1922 đến năm 1929... Cuốn sách này làm cho Giải tích hàm có một tác động như cuốn sách của Van der Waerden về đại số, được xuất bản hai năm trước đó. Các nhà giải tích trên thế giới bắt đầu nhận thức được sức mạnh của phương pháp mới và áp dụng chúng vào các lĩnh vực khác nhau; các ký hiệu và thuật ngữ của Banach được chấp nhận rộng rãi, không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach rồi chẳng bao lâu, lý thuyết này trở thành một phần bắt buộc trong chương trình đại học... Ngoài việc là một trong những người sáng lập ra giải tích hàm, Banach cũng có các đóng góp quan trọng vào lý thuyết độ đo, lý thuyết tập hợp, và các ngành khác trong toán học. Nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ XVIII J oseph-Louis Lagrange sinh ngày 25 tháng 1 năm 1736 ở Turin, thuộc dòng dõi Pháp và Italia, xuất thân trong một gia đình người Pháp giàu có, và có quan hệ với giới quý tộc Italia. Ông là nhà toán học và nhà thiên văn đã có những đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán học, lý thuyết số, cơ học cổ điển và cơ học thiên thể. Có thể nói ông là nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỷ XVIII. Trước khi tròn 20 tuổi ông đã là giáo sư hình học tại trường Pháo binh hoàng gia ở Torino. Năm 25 tuổi ông được công nhận là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất vì những bài báo của ông về sự lan truyền sóng và các điểm cực trị của các đường cong. Năm 1772, Joseph Louis Lagrange nghiên cứu về vấn đề ba vật thể nổi tiếng khi ông khám phá ra một sự ngẫu nhiên trong các kết quả. Ban đầu, ông đã tìm ra một cách để dễ dàng tính toán sự tác động lẫn nhau về sức hút trọng lực giữa một số lượng các vật thể tùy ý trong hệ, bởi vì cơ học Newton kết luận rằng một hệ như vậy sẽ khiến cho các vật thể quay một cách hỗn loạn cho tới khi xảy ra một sự va chạm, hay một vật thể sẽ bị tống ra khỏi hệ vì thế sự thăng bằng sẽ diễn ra. Logic phía sau kết luận này là hệ với một vật thể là thông thường, vì nó chỉ có liên quan tương đối so với chính nó; một hệ với hai vật thể cũng dễ dàng giải quyết được, vì các vật thể bay trên quỹ đạo của chúng quanh một tâm trọng lực. Tuy nhiên, một khi có nhiều hơn hai vật thể trong hệ, những tính toán toán học trở nên rất phức tạp. Một tình huống xảy ra khi bạn không thể tính toán mọi sự tác động lẫn nhau giữa mọi vật thể nào ở mọi điểm dọc theo quỹ đạo của nó. Tuy nhiên, Lagrange, muốn làm điều này trở nên đơn giản hơn. Ông đã làm việc đó với một kết luận đơn giản: “Quỹ đạo của một vật thể được quyết định bằng cách tìm ra một con đường làm giảm tối thiểu hoạt động theo thời gian.” Điều này được tìm ra khi trừ năng lượng tiềm tàng khỏi năng lượng động lực. Theo cách suy nghĩ như vậy, Lagrande tái lập cơ học của Newton để tạo ra Cơ học Lagrange. Với hệ thống tính toán mới của mình, công trình của Lagrange đưa ông tới lý thuyết tại sao một vật thể thứ ba với một khối lượng không đáng kể sẽ bay quanh hai vật thể chính vốn đã quay quanh lẫn nhau, những điểm đặc biệt trên quỹ đạo của nó sẽ là đứng yên so với các vật thể chính, các (hành tinh). Các điểm đó được gọi là “các điểm Lagrange” để vinh danh ông. Trong một trường hợp thông thường hơn của các quỹ đạo hình elíp, không có các “điểm” đứng yên nếu xét theo cùng một nghĩa: nó trở thành một “vùng” Lagrange. Các điểm Lagrange tạo nên tại mỗi điểm trong thời gian cũng như trong trường hợp tròn đứng yên của các quỹ đạo elíp giống với quỹ đạo của các vật thể có khối lượng. Điều này tuân theo Định luật số hai của Newton ( ). Khi p = mv (p là động lượng, m là khối lượng, và v là tốc độ) là bất biến nếu lực và vị trí tỷ lệ với nhau theo cùng nhân tố. Một vật thể ở điểm Lagrange quay với cùng khoảng thời gian so với hai vật thể có khối lượng lớn trong trường hợp tròn, ngụ ý rằng nó có cùng tỷ lệ về lực hấp dẫn so với khoảng cách. Sự thực này là độc lập với dáng tròn của các quỹ đạo, và nó cho ta thấy rằng các quỹ đạo elíp được tính ra từ các điểm Lagrange cũng là những đáp án của sự cân bằng chuyển động của vật thể thứ ba. Ba điểm Lagrange đầu tiên về mặt kỹ thuật chỉ ổn định trên mặt phẳng vuông góc với đường nối hai vật thể. Điều này có thể dễ dàng quan sát thấy khi xem xét điểm L1. Một khối lượng thử nghiệm được đặt vuông góc với đường trung tâm sẽ bị một lực tác dụng đẩy nó ngược về hướng điểm thăng bằng. Điều này bởi vì các lực hấp dẫn của hai vật thể lớn tác dụng từ hai bên sẽ làm tăng cường độ lực này, trong khi hợp lực dọc theo trục giữa chúng sẽ làm cân bằng. Tuy nhiên, nếu một vật thể nằm tại điểm L1 gần một vật thể hơn, lực hấp dẫn từ vật thể đó sẽ mạnh hơn, và nó sẽ bị kéo lại gần hơn. (Mô hình này rất giống với mô hình các lực thủy triều.) Dù các điểm L1, L2, và L3 trên danh nghĩa không ổn định, nhưng vẫn có thể tồn tại các quỹ đạo chu kỳ ổn định xung quanh các điểm đó, ít nhất trong giới hạn ba vật thể. Những quỹ đạo chu kỳ hoàn hảo này, được gọi là các quỹ đạo “halo”, không tồn tại trong một hệ thống vận động n-vật thể như hệ mặt trời. Tuy nhiên, các quỹ đạo Lissajous gần như chu kỳ (ví dụ có giới hạn nhưng không lặp lại chính xác hoàn toàn) thực sự có tồn tại trong hệ thống n-vật thể. Những quỹ đạo gần như chu kỳ đó là toàn bộ những điểm đu đưa mà các chương trình vũ trụ của con người sử dụng từ trước tới nay. Dù chúng không ổn định một cách hoàn hảo, nhưng một lực khá nhỏ đã là đủ để giữ ổn định tàu vũ trụ trên một quỹ đạo Lissajous trong một khoảng thời gian dài. Một điều hiển nhiên khác, ít nhất đối với các chương trình vũ trụ sử dụng điểm L1 của hệ mặt trời - trái đất, đặt tàu trên quỹ đạo Lissajous độ cao lớn (100.000 - 200.000 km) thay vì tại điểm đu đưa sẽ có lợi thế hơn bởi vì việc này giúp tàu tránh khỏi đường thẳng trực tiếp mặt trời - trái đất và do đó giảm hiệu ứng nhiễu mặt trời đối với kênh thông tin liên lạc giữa tàu và trái đất. Một lợi thế khác của các điểm đu đưa cộng tuyến và các quỹ đạo Lissajous kết hợp với các điểm này là chúng như những “cửa ngõ” kiểm soát các quỹ đạo hỗn loạn của mạng lưới giao thông liên hành tinh. Trái với các điểm đu đưa cộng tuyến, các điểm tam giác (L4 và L5) có độ cân bằng ổn định (cf. attractor), khi tỷ lệ các khối lượng M1/M2 là > 24.96. Đây là trường hợp của hệ thống mặt trời/trái đất và trái đất/mặt trăng, dù ở trường hợp trái đất/mặt trăng tỷ lệ có nhỏ hơn. Khi một vật thể tại các điểm đó bất ổn định, nó sẽ dời chỗ, nhưng hiệu ứng Coriolis sẽ hoạt động, và đẩy đường đi vật thể vào một quỹ đạo ổn định, hình hạt đậu xung quanh điểm đó. Trong hệ mặt trời - sao Mộc có hàng ngàn tiểu hành tinh, thường được gọi là các tiểu hành tinh Trojan, nằm trên các quỹ đạo xung quanh các điểm L4 và L5 của hệ. Ta cũng có thể thấy các vật thể khác trong hệ mặt trời - sao Thổ, mặt trời - sao Hỏa, sao Mộc - vệ tinh Jovian, và sao Thổ-hệ thống vệ tinh Sao Thổ. Chúng ta chưa phát hiện thấy các vật thể lớn tại các điểm Trojan của hệ mặt trời - trái đất, nhưng các đám mây bụi bao quanh các điểm L4 và L5 đã được phát hiện trong thập kỷ 1950. Các đám mây bụi, được gọi là các đám mây Kordylewski, thậm chí còn mờ nhạt hơn cả Gegenschein, chúng cũng hiện diện tại các điểm L4 và L5 của hệ trái đất - mặt trăng. Mặt trăng Tethys của sao Thổ có hai mặt trăng nhỏ tại các điểm L4 và L5 của nó, là Telesto và Calypso. Mặt trăng Dione của sao Thổ cũng có hai mặt trăng cùng quỹ đạo là Helene tại điểm L4 và Polydeuces tại điểm L5. Các mặt trăng lang thang theo góc phương vị quanh các điểm Lagrange, và Polydeuces có độ lệch hướng lớn nhất, lên tới 32 độ từ điểm L5 của hệ sao Thổ - Dione. Tethys và Dione có khối lượng gấp hàng trăm lần so với những vật thể “hộ tống” của nó (xem các bài viết về mặt trăng để có con số kích thước chính xác; trong nhiều trường hợp không có các con số khối lượng), và sao Thổ còn có khối lượng lớn hơn nữa, giúp toàn hệ thống được ổn định. Vật thể cùng đôi với trái đất, 3753 Cruithne, nằm trên một quỹ đạo Trojan quanh trái đất, nhưng không thực sự như một Trojan. Trái lại, nó chiếm một trong hai quỹ đạo đều quanh mặt trời, theo chu kỳ thay đổi từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác khi đụng độ gần với trái đất. Khi tiểu hành tinh áp sát trái đất, nó nhận được năng lượng quỹ đạo từ trái đất và di chuyển sang một quỹ đạo cao, lớn hơn và có năng lượng nhiều hơn. Một thời gian sau, trái đất đuổi kịp tiểu hành tinh (đang có quỹ đạo lớn và chậm hơn), khi ấy trái đất lấy lại năng lượng và vì thế tiểu hành tinh lại rơi vào một quỹ đạo nhỏ và nhanh hơn và cuối cùng lại đuổi kịp trái đất để bắt đầu một chu kỳ mới. Điều này không gây ảnh hưởng có thể nhận thấy trên chiều dài năm của trái đất, bởi vì khối lượng Trái đất lớn gấp hơn 20 tỷ lần khối lượng 3753 Cruithne. Epimetheus và Janus là các vệ tinh của sao Thổ và cũng có mối quan hệ tương tự như vậy, dù chúng có khối lượng khác nhau và thay đổi quỹ đạo cho nhau theo chu kỳ. (Janus có khối lượng lớn gấp 4 lần, nhưng vẫn đủ nhẹ để bị ảnh hưởng làm thay đổi quỹ đạo.) Một ví dụ tương tự khác là cộng hưởng quỹ đạo, theo đó các vật thể quỹ đạo thường có xu hướng có các chu kỳ tỷ lệ nguyên, vì sự tương tác giữa chúng. Về mặt toán học, Lagrange đã đưa ra hai định lý: Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm) và Định lý Lagrange (lý thuyết số). Trong lý thuyết nhóm, định lý Lagrange phát biểu rằng: nếu H là nhóm con của nhóm hữu hạn G, thì cấp (số phần tử) của G chia hết cho cấp của H. Định lý này được sử dụng để chứng minh định lý Fermat nhỏ trong lý thuyết số và định lý tổng quát của nó định lý Euler. Ngoài ra định lý còn được dùng để kiểm tra sự tồn tại một nhóm con của một nhóm hữu hạn. Lagrange không chứng minh định lý trên. Ông chỉ chứng minh mệnh đề sau: số các đa thức n biến khác nhau, nhận được bằng cách hoán đổi vị trí các biến từ một đa thức cho trước, luôn là ước số của n!. (n! = 1.2.3...n là số các hoán vị n phần tử). Sau này mệnh đề của Lagrange về số các đa thức được tổng quát trên nhóm và được phát biểu thành định lý mà ngày nay mang tên ông. Lagrange nổi tiếng là nhà toán học vĩ đại nhất châu Âu. Vì thế, năm 1766, theo sự tiến cử của Euler và D’Alembert, vua Frederick đệ nhất đã mời ông đến triều đình.Với sự đảm bảo của Leonhard Euler và Jean le Rond d'Alembert, Lagrange trở thành Viện trưởng Viện hàn lâm Khoa học Phổ, Berlin. Năm 1786, khi Frederick qua đời, ông rời khởi Prussia vì được vua Louis XVI mời đến Paris. Dưới Đế chế Pháp đệ nhất, ông được phong nghị sỹ và bá tước. Khi mất, ông được chôn cất trong điện Panthéon tại Paris. Người sáng lập môn hình học phi Euclid L obachevsky sinh năm 1792 tại Nizhli, Novogorot trong một gia đình công chức nhỏ. Ông là một nhà toán học đã có công rất lớn trong việc xây dựng hình học phi Euclide, một bước phát triển mới thoát ra khỏi hình học cổ điển, tạo cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối rộng sau này. Cha Lobachevsky - Ivan Maksimovich Lobachevsky là thư ký của một văn phòng luật, mẹ là Praskovia Alexandrovna Lobachevskaya. Người cha mất năm 1800, sau đó, người mẹ cùng Lobachevsky đến Kazan. Tại đó, ông theo học trường Kazan Gymnasium, tốt nghiệp năm 1807 và sau đó là trường Đại học Kazan. Tại đây, ông được tiếp xúc với Martin Bartels (1769-1833), bạn của Carl Friedrich Gauss. Năm 1811, ông nhận được chứng chỉ vật lý và toán học của trường Đại học tổng hợp Kazan. Năm 1814, ông bắt đầu công việc giảng dạy và năm 1822, chính thức trở thành giảng viên trường đại học tổng hợp Kazan. Năm 1818, ông được mời làm Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Kazan. Ông đã từng giữ nhiều chức trách khác nhau của trường cho đến năm 1846. Lobachevsky thường làm việc hết mình không nề hà bất cứ công việc gì. Ông được nhà toán học Gauss mời làm Viện sĩ nước ngoài Viện Hàn lâm Khoa học Gottingen. Mặc dù ông được giới bác học nước ngoài tôn trọng nhưng lại bị chính quyền địa phương ghét bỏ, vì vậy ông sớm bị cách chức, sức khỏe bị giảm sút do làm việc quá sức. Cuối cùng ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép quyển Pangeometrrie nổi tiếng trong lịch sử hình học thế giới. Ông là nhà toán học vĩ đại của Nga, sáng lập ra hình học trái với hình học Euclid, truyền bá những quan điểm duy vật chủ nghĩa về toán học và những nguyên lý của toán học. Năm 1811, sau khi tốt nghiệp đại học, ông được tặng danh hiệu thạc sĩ toán học. Năm 23 tuổi ông trở thành giáo sư. Lobachevsky đã cống hiến tất cả đời mình cho trường Đại học Kazan mà ông là giám đốc suốt 19 năm. Truyền bá tư tưởng tiến bộ trong việc giáo dục thanh niên, ông là một nhân vật ưu tú nhất trong ngành giáo dục đại học. Những thành tích của ông trong ngành giáo dục ở Nga rất lớn, nhưng chính sự phát hiện ra hình học trái với hình học Euclid đã khiến ông nổi tiếng. Khi chứng minh rằng có thể có một hình học khác với hình học Euclid, ông là người đầu tiên sáng tạo ra một hệ thống logic hoàn thiện của hình học mới ấy. Suốt hơn 2.000 năm, các tư tưởng hình học đều xuất phát từ lý luận do Euclid xây dựng trong tác phẩm “Nguyên lý hình học”. Hình học Euclid dựa trên một số nguyên lý. Nhưng ngay từ thời thượng cổ, các nhà toán học đã nhận thấy nguyên lý về đường thẳng song song (gọi là nguyên lý thứ 11 hay là định lý thứ năm của Euclid) cũng không rõ ràng như các nguyên lý khác. Nguyên lý đó quy định rằng từ một điểm ở ngoài một đường thẳng, người ta chỉ có thể kẻ trên cùng một mặt phẳng một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Nhiều nhà hình học đã cố gắng suy diễn từ nguyên lý đó ra những nguyên lý khác, nhưng đều vô ích. Lobachevsky đưa ra một ý kiến táo bạo, cho rằng không thể từ nguyên lý ấy mà suy diễn ra những nguyên lý khác được, rằng nguyên lý ấy là một nguyên lý độc lập. Ông xuất phát từ ý muốn liên hệ các nguyên lý cơ sở của hình học với các đặc tính của các vật thể vật chất. Khi thừa nhận là có thể từ một điểm, trong cùng một mặt phẳng, kẻ ít nhất là hai đường thẳng song song với một đường thẳng nhất định, ông đã tìm ra được một hệ thống hình học độc đáo, nhưng nghiêm chỉnh và không có mâu thuẫn nội tại. Hệ thống đó được gọi là hình học Lobachevsky. Trong hình học này, tổng số các góc của một tam giác không phải bằng 1800 như trong hình học Euclid mà bao giờ cũng ít hơn, và từ một điểm ở ngoài một đường thẳng người ta có thể kẻ nhiều đường thẳng song song với đường thẳng ấy. Dù sự mới mẻ và tính độc đáo của sự phát hiện đó đã đập tan những truyền thống khoa học cổ truyền nhưng không làm cho Lobachevsky sợ hãi. Năm 1826, ông trình bày miệng những ý kiến của mình, năm 1829 và những năm sau, ông xuất bản thành sách, do đó đã giành được quyền ưu tiên không ai chối cãi được trong việc phát hiện ra hình học trái với hình học Euclid. Những tư tưởng sâu sắc của ông không được người đương thời hiểu rõ. Phải đợi 50 năm sau, những tư tưởng đó mới thâm nhập và trở thành một bộ phận cấu thành của toán học, làm cho toán học thời kỳ sau có một bước ngoặt. Lúc đầu, định luật bất hủ của ông chỉ được một vị giáo sư cùng trường Kazan công nhận. Khoảng 10 năm sau, khi nhà bác học đó mất, người ta đã chứng minh những nguyên lý về trắc diện học của ông là đúng trên một số mặt cong (gọi là mặt giả cầu). Giả thuyết của ông cho rằng hình học Euclid không phải là hình học duy nhất trong không gian, đã hoàn toàn được chứng thực. Hình học Lobachevsky cũng vậy, không phải là hình học duy nhất trái với hình học Euclid nếu người ta không tự hạn chế chỉ nghiên cứu một vật rắn trong không gian vô hạn. Như thế là sự phát hiện của Lobachevsky đã chứng minh rằng hình học Euclid chỉ là một trong những hình học có thể có được và nó chỉ đúng chừng nào chúng ta nghiên cứu trong phạm vi những quảng tính thông thường. Hình học phi Euclid đã được áp dụng nhiều trong các ngành toán học khác. Nó đóng một vai trò quan trọng trong vật lý học hiện đại; nếu không có hình học phi Euclid, thì chủ nghĩa tương đối sẽ không thể có được. Lobachevsky có một thế giới quan duy vật chủ nghĩa. Trong các tác phẩm toán học và trong việc giảng dạy môn khoa học đó, ông luôn luôn chú ý nói rõ bản chất thật của các khái niệm làm cơ sở cho khoa học. Cảm giác luận của ông có tính chất duy vật chủ nghĩa rõ rệt. Đối với ông, thế giới bên ngoài là thế giới khách quan, những khái niệm của chúng ta về thế giới ấy là kết quả của sự tác động của thế giới hiện thực vào ý thức con người thông qua giác quan và cảm giác. Chính vì thế nên “phải lấy hết thảy mọi khái niệm bất cứ là khái niệm nào do tự nhiên đem lại, làm cơ sở cho toán học...”. Ý kiến của ông về quan hệ giữa lý luận và thực tiễn có một khuynh hướng duy vật chủ nghĩa rõ rệt. Đối với ông, thực nghiệm và thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý. Ông cho rằng một hình học không có mâu thuẫn về mặt logic, như thế cũng chưa đủ để được thừa nhận là hình học chính xác. Ông đòi hỏi nó phải được thực tiễn chứng minh là nhất trí với những liên hệ thực tồn tại trong không gian vật lý. Trong khi làm lung lay cơ sở, “không thể lay chuyển” của hình học Euclid ông đã đánh một đòn nặng vào triết học Căng là triết học coi các chân lý hình học không phải là kết quả của kinh nghiệm của con người, mà là những hình thức bẩm sinh (tiên thiên) của ý thức. Ông không ngừng nhấn mạnh rằng những mưu toan nhằm chỉ dùng lý tính mà suy luận ra toán học, đều vô ích. Ông cũng đấu tranh nhiệt tình như vậy khi chống chủ nghĩa hình thức trong toán học, tức chủ nghĩa làm cho toán học và các khái niệm của nó mất hết nội dung thật và coi các dấu hiệu và các phép toán trong toán học chỉ là một trò chơi đơn giản bằng dấu hiệu mà thôi. Ngày nay, cuộc đấu tranh mà ông đã tiến hành, vẫn còn nguyên ý nghĩa hiện thực của nó, vì chủ nghĩa hình thức đang nảy nở mạnh trong khoa học tư sản. Ý nghĩa tiến bộ của những tư tưởng vĩ đại của ông là ở chỗ sự phát hiện của ông đã mở rộng giới hạn của hình học và giúp cho hình học đi vào con đường phát triển rộng rãi. Tính chất duy vật chủ nghĩa của các nguyên lý cơ sở của ông, ý của ông muốn làm sáng tỏ nội dung duy vật chủ nghĩa của các khái niệm toán học, muốn vạch rõ sự liên hệ giữa hình học và đặc tính của thế giới hiện thực đã làm cho ông trở thành một trong những nhà tư tưởng ưu tú nhất của thế kỷ XIX. Dù phát minh ra hình học mới xây dựng dựa trên cơ sở phủ định tiên đề 5 của Euclid của ông không được các nhà toán học đương thời hiểu và chấp nhận nhưng ông vẫn đeo đuổi chân lý tới cùng! Cho đến năm 1840, Gauss mới công nhận sự thành công của phát minh của Lobachevsky và từ đó các nhà toán học trên thế giới gọi hình học của ông là hình học ảo. Ngày nay hình học Lobachevsky rất thực vì trong những chuyến du hành vũ trụ dài ngày cũng như trong tương lai, việc tính toán phải dựa trên cơ sở không gian Lobatchevsky. Có thể nói, hình học của ông dùng trong không gian rộng lớn còn hình học của Euclid dùng trong không gian nhỏ hẹp. Tuy vậy hai dạng hình học này không mâu thuẫn mà là bổ sung cho nhau. Toàn bộ sáng tạo của ông được đúc kết trong một số tác phẩm: - Cơ sở hình học (1830) - Hình học ảo (1837). - Cơ sở mới của hình học (1838). - Khảo cứu mới về lý thuyết đường song song (1840). - Panego'me'trie. Nhà nữ toán học tài ba S ophia Vasilevna Kovalevskaia sinh năm 1850 tại khu phố Xrêten cổ kính của kinh đô Matxcơva, nước Nga. Bà sinh ra và lớn lên trong một gia đình quyền quý. Người cha của bà là một quan chức lớn. Mẹ bà là một phụ nữ có học vấn. Ngay từ khi còn bé, Kovalevskaia đã bị sức hấp dẫn của toán học lôi cuốn. Người chú của bà, Pyotr Vasilievich Krukovsky, một người rất quan tâm đến toán học, đã nói cho Kovalevskaia về những vấn đề của môn toán. Năm 11 tuổi, các bức tường trong căn phòng của Kovalevskaia dán đầy những bài giảng về phép tính vi phân và tích phân. Việc nghiên cứu các tờ giấy dán tường là bước đầu tiên mà Kovalevskaia đến với các phép toán. Tuy vậy, ở Nga thời bấy giờ, do Chính phủ Nga hoàng không cho phép bất kỳ phụ nữ nào vào học ở các trường đại học nên Sophia (tên bà hay sử dụng) cũng khó lòng tiếp tục con đường học vấn mà bà mong muốn. Nhưng dưới sự dẫn dắt của gia sư, thầy giáo Malevich, Kovalevskaia đã chính thức đến với nghiên cứu toán học, bà nói: “Tôi cảm thấy sức lôi cuốn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác”. Cha của Kovalevskaia quyết định chấm dứt các bài học về toán của bà, nhưng bà đã mượn được một bản sao cuốn đại số và đọc vào ban đêm, khi cả nhà đã ngủ. Sau đó, giáo sư Tyrtov đã tặng gia đình bà một cuốn sách giáo khoa vật lý do ông viết và Kovalevskaia đã thử đọc nó. Cô không hiểu những công thức lượng giác và cố gắng tự mình giải thích chúng. Tyrtov đã khuyên cha của Kovalevskaia nên khuyến khích bà tiếp tục học toán, nhưng phải mất vài năm sau, ông mới cho phép Kovalevskaia theo học các khóa học riêng. Để theo đuổi con đường nghiên cứu, ngày 15 tháng 9 năm 1868, Sophia phải kết hôn giả với Vladimia Kovalevski tại làng Palibino, một nhà cổ sinh vật học trẻ tuổi, từ đó, bà mang họ chồng Sophia Vasilevna Kovalevskaia. Chồng của Kovalevskaia là một người làm nghiên cứu, song không mấy thành công. Nhưng nhờ chồng, Kovalevskaia đã có điều kiện để học tập tiếp. Năm 1869, Kovalevskaia cùng chồng sang Đức, đến Heidelberg học toán học và các môn khoa học tự nhiên, nhưng ở đây, các trường đại học cũng không nhận các nữ sinh. Cuối cùng, bà cũng đã thuyết phục được cho nghe các bài giảng một cách không chính thức. Kovalevskaia đã học rất tốt ở đó ba học kỳ. Với khả năng toán học, bà đã nhanh chóng gây sự chú ý của các thầy giáo. Năm 1870, hai vợ chồng Kovalevskaia chuyển đến Berlin, nhưng trường Đại học Tổng hợp Berlin cũng không cho phụ nữ vào học. Bà phải mời giáo sư Vaiectơrat - một nhà toán học vĩ đại người Đức đến giảng dạy tại nhà. Sự thông minh của Kovalevskaia đã khiến người thầy này rất kinh ngạc. Tuy vậy, trong giới khoa học lúc bấy giờ, bà vẫn chỉ là một người không tên tuổi. Năm 1873, Kovalevskaia đưa ra công trình nghiên cứu đầu tiên của mình về lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm, bổ sung cho công trình của Cauchy trước đây. Từ đó, Kovalevskaia được giới khoa học bắt đầu để ý. Từ đây, “Bài toán Cauchy” - một trong những bài toán cơ bản nhất của lý thuyết phương trình vi phân được gọi tên là “Định lý Cauchy - Kovalevskaia”. Định lý này được đưa vào tất cả các giáo trình cơ bản của môn giải tích toán học. Đây là sự công nhận xứng đáng của giới khoa học đối với Kovalevskaia. Thành công bước đầu càng thôi thúc Kovalevskaia nghiên cứu khoa học. Năm 1874, bà đã có ba công trình lớn, trong đó có một công trình về thiên văn học: Bổ sung và nhận xét về nghiên cứu hình dáng vành sao Xatuếnơ (Sao Thổ, hành tinh thứ sáu của hệ mặt trời). Công trình này cũng dựa trên cơ sở công trình do Laplace - một nhà thiên văn học người Pháp đã viết trước đó. Kovalevskaia đã nhận được sự giúp đỡ rất lớn của giáo sư Vaiectơrat. Được sự giới thiệu của Vaiectơrat, trường Đại học tổng hợp Gớttingơn đã đồng ý để Kovalevskaia bảo vệ luận án. Bà đã trở thành tiến sĩ triết học của ngành toán tại đây. Lúc này, tên tuổi của Kovalevskaia đã có chỗ đứng trong giới khoa học châu Âu. Tháng 9 năm 1874, Kovalevskaia cùng chồng trở về Petersburg. Tại đây, họ đã gặp gỡ và làm quen với nhà hóa học nổi tiếng Mendeleev. Những mối quan hệ với các nhà khoa học khác giúp Kovalevskaia tiến bộ nhanh hơn trong con đường nghiên cứu khoa học của mình. Năm 1878, Kovalevskaia sinh con, nhưng từ năm 1880, bà bắt đầu quay lại với các nghiên cứu toán học của mình. Đối với nước Nga lúc bấy giờ, việc một người phụ nữ làm khoa học là bất bình thường. Với tính cách của Kovalevskaia, các quan chức của Nga hoàng lại càng khó chấp nhận bà. Chính vì điều này mà sự nghiệp của bà không được rộng mở ở Nga. Trong thời gian từ 1875 - 1880, vợ chồng Kovalevskaia phải tạm gác công việc nghiên cứu sang một bên và đi làm biên tập cho tờ báo Thời mới. Kovalevskaia là một người phụ nữ đa tài. Ngoài việc nghiên cứu khoa học, bà còn làm thơ, viết kịch. Mỗi bước thăng trầm của Kovalevskaia đều được lưu lại trong một bài thơ hoặc một vở kịch của bà. Ngày lấy chồng, bà viết bài thơ “Nàng chẳng hề nuối tiếc”. Khi mối quan hệ vợ chồng không được êm đẹp, bà viết bài thơ “Lời than vãn của đức ông chồng”. Bà cũng có mối quan hệ mật thiết với nhà văn Anna Saclôt Lepphle và có cộng tác viết văn với người này. Năm 1884, bà viết tiểu thuyết “Người theo chủ nghĩa hư vô”. Năm 1887, bà cùng Anna Saclôt viết vở kịch “Cuộc đấu tranh vì hạnh phúc”. Ngay cả lúc cận kề với cái chết, năm 1890, Kovalevskaia vẫn gắng viết cuốn “Hồi ức về tuổi thơ”. Tất cả những tác phẩm văn chương ấy như là một bầu tâm sự lớn của Kovalevskaia. Khi trải qua những nỗi đau trong cuộc sống, bà tìm đến văn chương như tìm đến một người bạn tinh thần. Cuộc sống gia đình của Kovalevskaia chỉ được êm đẹp lúc đầu bởi bà và người chồng của mình đã sớm có những tư tưởng khác nhau. Trong khi """