🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Công Thức Toán Học Sơ Cấp
Ebooks
Nhóm Zalo
2008
Công Thức
Toán Học Sơ Cấp
Handbook of Primary Mathematics
Tóm tắt các định lý, tính chất và công thức toán cơ bản nhất, dễ hiểu nhất.
Deltaduong
TND® Corp.
12/10/2008
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Mục lục
I. SỐ HỌC................................................................................ 8 1. Các dấu hiệu chia hết..................................................... 8 2. Các giá trị trung bình..................................................... 8
II. GIẢI TÍCH KẾT HỢP.......................................................... 9 A. CÁC LOẠI KẾT HỢP...................................................... 9 1. Hoán vị (không lặp)....................................................... 9 2. Hoán vị lặp.................................................................... 9 3. Chỉnh hợp (không lặp)................................................. 10 4. Chỉnh hợp lặp.............................................................. 10 5. Tổ hợp (không lặp)...................................................... 11 6. Tổ hợp lặp................................................................... 11 B. NHỊ THỨC NEWTON................................................... 12 III. ĐẠI SỐ............................................................................. 14 1. Các phép toán trên các biểu thức đại số ....................... 14 2. Tỷ lệ thức .................................................................... 17 3. Số phức ....................................................................... 18 4. Phương trình ............................................................... 19 5. Bất đẳng thức và bất phương trình............................... 24 6. Cấp số; một số tổng hữu hạn........................................ 29 7. Logarith ...................................................................... 30 IV. HÌNH HỌC....................................................................... 31 A. CÁC HÌNH PHẲNG...................................................... 31
ii
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
1. Tam giác ..................................................................... 31 2. Đa giác........................................................................ 35 3. Hình tròn..................................................................... 37 4. Phương tích................................................................. 39
B. THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH................ 41 1. Hình lăng trụ ............................................................... 41 2. Hình chóp đều............................................................. 41 3. Hình chóp cụt đều ....................................................... 41 4. Hình trụ....................................................................... 42 5. Hình nón ..................................................................... 42 6. Hình nón cụt................................................................ 42 7. Hình cầu...................................................................... 43
V. LƯỢNG GIÁC................................................................... 44 1. Hàm số lượng giác và dấu của nó ................................ 44 2. Hàm số lượng giác của một số góc đặc biệt ................. 45 3. Một số công thức đổi góc ............................................ 46 4. Các công thức cơ bản .................................................. 46 5. Hàm số lượng giác của góc bội.................................... 47 6. Công thức hạ bậc......................................................... 48 7. Hàm số lượng giác của tổng và hiệu các góc................ 48 8. Biến đổi tổng và hiệu của hai hàm số lượng giác ......... 49 9. Biến đổi tích của hai hàm số lượng giác....................... 50 10. Công thức góc chia đôi.............................................. 51
iii
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
11. Một số công thức đối với các góc trong một tam giác (α, β, γ là các góc trong một tam giác)............................. 52 12. Một số công thức khác............................................... 52 13. Công thức liên hệ giữa các hàm số lượng giác ........... 55
VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG................. 56 1. Điểm ........................................................................... 56 2. Phép đổi trục tọa độ (Hình 20)..................................... 56 3. Tọa độ cực (Hình 21) .................................................. 57 4. Phép quay các trục tọa độ ............................................ 57 5. Phương trình đường thẳng ........................................... 58 6. Hai đường thẳng.......................................................... 58 7. Đường thẳng và điểm .................................................. 59 8. Diện tích tam giác ....................................................... 60 9. Phương trình đường tròn ............................................. 61 10. Ellipse (Hình 23)....................................................... 61 11. Hyperbola (Hình 24).................................................. 63 12. Parabola(Hình 25) ..................................................... 65
VII. ĐẠI SỐ VECTOR........................................................... 67 1. Các phép toán tuyến tính trên các vector...................... 67 2. Phép chiếu vector lên trục hoặc vector () ..................... 68 3. Các thành phần và tọa độ của vector (Hình 34)............ 69
4. Các phép toán tuyến tính trên các vector được cho nhờ các tọa độ........................................................................ 69
5. Tích vô hướng của hai vector ...................................... 69 iv
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
6. Tích vector của hai vector............................................ 71 7. Tích hỗn hợp của ba vector.......................................... 72 VIII. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ............................................. 73 1. Giới hạn ...................................................................... 73 2. Đạo hàm và vi phân..................................................... 74 3. Ứng dụng hình học của đạo hàm.................................. 77 4. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số........................ 77 IX. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ................................................ 84 A. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH................................ 84 1. Định nghĩa .................................................................. 84 2. Các tính chất đơn giản nhất ......................................... 84 3. Tích phân các hàm hữu tỷ............................................ 85 4. Tích phân các hàm vô tỷ.............................................. 87 5. Tích phân của hàm lượng giác ..................................... 90 B. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH............................................... 92 1. Định nghĩa .................................................................. 92 2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định...................... 92 3. Một số ứng dụng của tích phân xác định...................... 92
v
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC
= Bằng a=b ≡Đồng nhất bằng a≡b ≠Không bằng (khác) a≠b ≈Xấp xỉ bẳng a≈b < Nhỏ hơn a Lớn hơn a>b ≤Nhỏ hơn hoặc bằng a≤b ≥Lớn hơn hoăc bằng a≥b ⇔Tương đương Mệnh đề A⇔
mệnh đề B
|…| Giá trị tuyệt đối của một số |a| + Cộng a+b - Trừ a-b . (hoặc×) Nhân a.b hoặc a×b : (hoặc __) Chiaa:b hoặc ab aa lũy thừa m2
2 4 =
m
Căn bậc hai4 2 =
nCăn bậc n332 2 = i Đơn vị ảo2i =−1 loga bLogarith cơ số a của b3
log 9 2 =
lga Logarith thập phân của a log10=1 lna Logarith tự nhiên (cơ số e) của a
n! n giai thừa 4!=1.2.3.4=24 Δ Tam giác ΔABC ∠Góc phẳng∠ABC Cung
AB
AB AB ,Đoạn thẳng AB
Vector AB
AB
⊥Vuông góc
Song song
6
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
# Song song và bằng
Đồng dạng
↑↑ ↓↓ ( )Song song và cùng chiềuAB DC ↑↑ ↑↓ ↓↑ ( )Song song và ngược chiềuAB CD ↑↓ ⎫⎪⎬⎪⎭
ñoä
phuùt goùc phaúng hoaëc cung
'
giaây
''
7
1310'35''
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
I. SỐ HỌC
1. Các dấu hiệu chia hết
Cho 2: Số (và chỉ số đó) có chữ số tận cùng chẵn hoặc bằng không.
Cho 4: Số (và chỉ số đó) có hai chữ số tận cùng bằng không hoặc làm thành một số chia hết cho 4 (quy ước 4=04; 8=08).
Cho 8: Số (và chỉ số đó) có ba chữ số tận cùng bằng không hoặc làm thành một số chia hết cho 8 (quy ước 8=008; 16=016).
Cho 3: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số chia hết cho 3. Cho 9: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số chia hết cho 9. Cho 6: Số (và chỉ số đó) đồng thời chia hết cho 2 và 3. Cho 5: Số (và chỉ số đó) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Cho 25: Số (và chỉ số đó) có hai chữ số tận cùng là 0 hoặc làm thành một số chia hết cho 25.
Cho 11: Số (và chỉ số đó) có tổng các chữ số ở vị trí chẵn và tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng nhau hoặc hiệu của chúng là một số chia hết cho 11.
2. Các giá trị trung bình
... 1n
a a a M a
+ + +
= = ∑
Trung bình cộng: 1 2
1
1
n
i
n n = i
Trung bình nhân: 0 1 2 . ...
n M a a a =n
8
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
M
n
− =+ + +
Trung bình điều hòa: 1
1 1 1 ...
a a a
1 2
n
2 2 2
a a a Mn + + +
=
Trung bình bình phương: 2
1 2
...n
II. GIẢI TÍCH KẾT HỢP
A. CÁC LOẠI KẾT HỢP
1. Hoán vị (không lặp)
Một hoán vị của n phần tử là một dãy có thứ tự của n phần tử đó, mỗi phần tử có mặt trong dãy đúng một lần.
Số hoán vị khác nhau được tạo thành của n phần tử ký hiệu là Pn. Số này bằng tích tất cả các số nguyên liên tiếp từ 1 cho đến n, nghĩa là bằng n!
Pn=1.2.3…n=n! (n giai thừa)
Quy ước 1!=1 và 0!=1.
2. Hoán vị lặp
Cho n phần tử, trong đó có n1 phần tử giống nhau thuộc loại 1, n2 phần tử giống nhau thuộc loại 2,… nk phần tử giống nhau thuộc loại k, (n1+n2+…+nk=n).
Sắp xếp n phần tử đã cho thành mọi dãy (cùng độ dài) có thể có. Mỗi dãy thu được như vậy gọi là một hoán vị lặp của n phần tử đã cho.
9
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Số lượng P n n n n k ( 1 2 , ,..., )hoán vị lặp bằng:
n
P n n nn n n
, ,...,! !... !
( ) n k 1 2
=
1 2
k
n n n n
+ + + = k laø soá loaïi ... ,
( )
1 2
k
3. Chỉnh hợp (không lặp)
Cho n phần tử khác nhau, k n ≤ .
Ta gọi một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một dãy có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, mỗi phần tử có mặt trong dãy không quá một lần.
Số chỉnh hợp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng: k A n n n n k n
= − − − −
1 2 ... 1
( )( ) ( ( ))
= − − − +
n n n n k
1 2 ... 1
( )( ) ( )
Hay ( )!!
k
n
An k
n
=−
k A n P n n
Đặc biệt khi k=n, ta có !
= =
4. Chỉnh hợp lặp
Cho n phần tử khác nhau, có k là một số tự nhiên bất kỳ (k n ≥).
Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu ở mục 3 nếu ta cho phép mỗi phần tử có thể có mặt trên một lần thì ta có định nghĩa của chỉnh hợp lặp chập k.
Số lượng chỉnh hợp lặp chập k có thể tạo thành tử n phần tử:
10
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
k k A n n=
5. Tổ hợp (không lặp)
Từ n phần tử khác nhau ta tạo nên những nhóm gồm k phần tử khác nhau không để ý đến thứ tự của các phần tử trong nhóm tạo thành. Mỗi nhóm thu được theo cách đó gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (k n ≤).
Số lượng tổ hợp chập k có thể thành lập từ n phần tử bằng:
k
( 1 ... 1 ) ( )
A n n n k
k n
= =
− − +
Ck k
n
Hay:
! !
n
!
=−(quy ước 01 Cn=) k
Ck n k
n
( ) ! !
Các tính chất của :k Cn
k n k; C C n n−
=(0.1) k k k C C C n n n
−
1
+ = +(0.2) 1;
( ; .)
k C P k n k n n
= −
6. Tổ hợp lặp
Nếu trong định nghĩa của tổ hợp ở mục 5 ta cho phép mỗi phần tử được có mặt nhiều lần thì mỗi nhóm thu được gọi là tổ hợp lặp chập k của n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp lặp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng:
11
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
( )
C Ck n + −+ −
k k
n k
1 !
= =−
n n k Hay:
1
( ) ! 1 !
1 ( ; 1)
k C P k n n n k
= −
+ −
B. NHỊ THỨC NEWTON
Nhị thức Newton1là công thức biểu diễn biểu thức (a+b)n, với n nguyên dương, dưới dạng đa thức theo các ẩn số a và b:
n n
−
( )( )
n n n n
a b a na b a b + = + + +
− −
1 2 2 1...
2!
n n n ka b b
− − +
1 ... 1...
( ) ( )
+ + +
n k k n
−
k
!
Hay là:
... ...n
n n n n k n k k n k n k k ( )1 1 2 2 2
a b a C a b C a b C a b b C a b − − − − + = + + + + + + =∑ n n n n
k
=
0
Các hệ số:
n n n n n k
− − − +≤ ≤
1 1 ... 1
( ) ( ) ( )( )
1, , ,..., ,... 0
n k n 2! !
k
Gọi là các hệ số của nhị thức.
1Sir Isaac Newton, FRS (4 January 1643 – 31 March 1727) was an English physicist, mathematician, astronomer, natural philosopher, alchemist, theologian and one of the most influential men[5] in human history. More…
12
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Tính chất của các hệ số:
Các hệ số ở các số hạng cách đều hai mút bằng nhau; Biết các hệ sốk 1 Cn−và k Cncủa khai triển ( )n
a b +ta tìm được
k Cn+của khai triển ( )n 1
các hệ số1 5.
a b +
+theo công thức (1.2) mục
Dựa vào các tính chất này,người ta lập ra tam giác số cho các hệ số của khai triển, gọi là tam giác Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
. . . . . . . .
Dòng thứ n(n=0,1,2,…) trong bảng trên liệt kê các hệ số của khai triển (a+b)n.
Công thức nhị thức Newton có thể tổng quát cho trường hợp lũy thừa bậc n nguyên dương của tổng k số hạng:
n
!
n n n n
a a a a a a + + + =
... ...
! !... !k
( )1 2 1 2 1 2 k k
n n n
1 2
k
2 Blaise Pascal (June 19, 1623 – August 19, 1662) was a French mathematician, physicist, and religious philosopher. More…
13
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Trong đó lấy tổng (Σ) được lấy theo mọi số hạng có thể có dạng:
na a a
!...
k n n nk
1 2
n n n ! !... !
1 2
1 2
k
Với 0 i ≤ ≤ n nvà 1 2 ... . k
n n n n + + + =
III. ĐẠI SỐ
1. Các phép toán trên các biểu thức đại số Giá trị tuyệt đối của một số
|a|=a nếu a≥0, |a|=-a nếu a<0
Quy tắc về dấu khi nhân và chia:
+ . + = + + . − = − − . + = − − . − = +
Các phép toán trên các đa thức a b c x ax bx cx
+ + = + +
;
( )
+ : + = + + : − = − − : + = − − : − = +
a b c m n a m n b m n c m n + + + = + + + + +
( )( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + +
am an bm bn cm cn
;
a b c a b c
+ += + +
x x x x
Các phép toán trên các phân thức
14
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com a c ad cd
± =
±
;
b d bd
a c ac
. ;
=
b d bd
a c ad
: .
=
Một số đồng nhất thức:
b d bc
a b a ab b
± ≡ ± +
2 ;
2 2 2
( )
a b a a b ab b
± ≡ ± + + ±
3 3 ;
3 3 2 2 3
( )( )( )
a b a b a b
− ≡ − +
2 2
;
a b a b a ab b + ≡ + − + 3 3 2 2 ;
( )( )
a b a b a ab b − ≡ − + +
3 3 2 2 ;
( )( )
a b a b a a b ab b − ≡ − − + + + ... ;
m m m m m m − − − −
1 2 2 1
( )( ) a b a b a b
+ ≡ + −
2
4 4 2 2 2 2
( )
2
= + + − +
a ab b a ab b
2 2 ;
2 2 2 2
( )( )
a b c a b c ab ac bc + + ≡ + + + + +
2 2 2 2
( )
a b c a b
2 2 2 ;
+ − ≡ + +
c ab ac bc + − −
2 2 2
2
( )
2 2 2 ;
a b c a b c ab ac bc − − ≡ + + − − +
2 2 2 2
( )
2 2 2 ;
a b c a b c abc + + ≡ + + + +
3 3 3 3
6
( )( ) + + + + + +
3 ;
a b ab b c bc c a ca
2 2 2 2 2 2
a a a a a a a a a a a a + + + ≡ + + + + + + + ... ... 2 ... ; 2 2 2 2
( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 3 1 a b a b a a b a b b−
n n n n
+ ≡ + − + − +
... .
m m m m m m
− − − −
1 2 3 2 1
( )( )
15
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
(nếu m là số tự nhiên lẻ)
Các phép toán với lũy thừa
m
. ...
a a a a = m laàn
mm n
aa
−
a
n
=
;
a a a
. ; m n m n
=
+
m m m
a b a b . ;
( )
=
n m m n
a a .
( )
=
;
m m
a a b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ≠ ⎝ ⎠
0 ;
b b a a
m
( )
0
= ≠
1, 0 ; ( )
a a = ≠
−
m
1, 0 ;
a
m
( )
a a
mn n m .
=
Các phép toán với căn số (nếu căn có nghĩa)
16
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com a a
n m m p n p
=
..
;
a b a b . . ;
n n n =
a a b
n
= ≠
n
n
b b
, 0 ; ( )
a a
m
n m n =
;
a a
m n m n
=
m
.
;
a a n n m
( )
=
;
x x aa
n n
−
1
= ≠ , 0 ;
n
a a
( )
x a b xa b
±
( )( )
= ≠
a b a b
± −
2. Tỷ lệ thức
Định nghĩa: a c
=
b d
Tính chất cơ bản: ad=bc
, .
bc ad a b
Tìm các số hạng của tỷ lệ thức: ;
= =
d c
Các dẫn xuất:
17
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
a b d c d b a b c d
± ±
= = = =
; ; ; ;
c d b a c a b d
a b c d a b c d
+ + ± ±
= =
; ;
a b c d a c
− −
a c b d
= =
; .
a b c d a b c d
± ± ± ±
3. Số phức
Các phép toán trên số phức
i = −1
i i i i i i i i i i i
= − = = − = = − = =
1, . , . . 1,..., 1,
2 3 2 4 3 4
n
i i i i i
= = − = −
, 1, ;
4 1 4 2 4 3
n n n
+ + +
a bi a b i a a b b i + ± + = ± + ± ' ' ' ' ;
( ) ( ) ( ) ( )
a bi a b i aa bb ab ba i + + = − + + ' ' ' ' ' ' ;
( )( ) ( ) ( ) a bi a bi a b
+ − = +
( )( )
2 2
;
a bi aa bb ba ab + + +
' ' ' '.
= +
a b i a b a b ' ' ' ' ' ' + + +
2 2 2 2
Biểu diễn hình học số phức
Hình 1
18
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Điểm M(a,b) biểu diễn số phức a+bi (Hình 1)
2 2 r OM a bi a b = = + = +là module của số phức. ϕ = ∠xOMlà argument của số phức,
tan ;cos ;sin b a b
ϕ ϕ ϕ = = =
2 2 2 2
a a b a b
+ +
Dạng lượng giác của số phức:
a bi r i + = + (cos sin ϕ ϕ)
Công thức Moivre3:
nn
(cos sin cos sin ) ( )
⎡ ⎤ r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ + = + ⎣ ⎦
4. Phương trình
a) Phương trình tương đương
Nếu biểu thức C(x) có nghĩa trong miền xác định của phương trình A(x)=B(x), thì:
A x B x A x C x B x C x ( ) = ⇔ + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 Abraham de Moivre (1667-1754) was a French mathematician famous for de Moivre's formula, which links complex numbers and trigonometry, and for his work on the normal distribution and probability theory. He was elected a
Fellow of the Royal Society in 1697, and was a friend of Isaac Newton, Edmund Halley, and James Stirling. Among his fellow Huguenot exiles in England, he was a colleague of the editor and translator Pierre des Maizeaux. More…
19
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Nếu biểu thức C(x) có nghĩa và khác không trong miền xác định của phương trình A(x)=B(x), thì:
A x B x A x C x B x C x ( ) = ⇔ = ( ) ( ). . ( ) ( ) ( )
Nếu n là số tự nhiên (n=1,2,3,…) thì:
2 1 2 1 n n
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
A x B x A x B x
= ⇔ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b) Một số phương trình đại số
(α) Phương trình bậc nhất
ax+b=0, a≠0; nghiệm b
xa
= −
(β) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
⎧ + = ⎨⎩ + =
a x b y c
1 1 1
a x b y c
2 2 2
a b
≠hệ có nghiệm duy nhất:
Nếu 1 1
a b
2 2
c b
1 1
⎧⎪− ⎪ = = ⎪ −
c b c b c b
2 2 1 2 2 1
xa b a b a b
1 1 1 2 2 1
a b
⎪⎪⎨⎪⎪ −
2 2
a c
1 1
a c a c a c
⎪ = =
2 2 1 2 2 1
ya b a b a b
⎪ −
1 1 1 2 2 1
⎪⎩
a b 2 2
20
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
a b c
= =thì hệ vô định:
Nếu 111
a b c
222
x
tuøy yù
⎡⎧⎢⎪⎨ −
c b x y b
⎢ = ≠ ⎪⎢⎩⎢⎢⎧⎪⎢⎨ −
1 1
b
1
y
0
( ) 1
tuøy yù
c b y
⎢ = ≠ ⎪⎢⎣⎩
x a
1 1
0
a
1
( ) 1
a b c
Nếu 1 1 1
= ≠hệ vô nghiệm.
a b c
2 2 2
(χ) Phương trình bậc hai
2
ax bx c a + + = ≠ 0, 0
24
− ± −
b b ac
xa
Nghiệm
=
2
Nếu b2-4ac>0: Hai nghiệm thực và khác nhau; Nếu b2-4ac=0: Hai nghiệm thực và bằng nhau (nghiệm kép); Nếu b2-4ac<0: Hai nghiệm là cặp số phức liên hợp. Tính chất của nghiệm (công thức viết)
b
x xa
+ = −
;
1 2
c
x xa
. .
1 2
=
21
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
(δ) Phương trình bậc ba
Dạng tổng quát: ( ) 3 2 ax bx cx d a + + + = ≠ 0, 0
Dạng chính tắc với 3b
x ya
= −
3
y py q + + = 0
2 3
b c b bc d
p q
2
Trong đó
= − + = − +
;
2 3
3 27 3
a a a a a 2
Công thức Cardano4
2 3 2 3
q q p q q p y = − + + + − − +
3 3
2 4 27 2 4 27 Tính chất các nghiệm
b
x x xa
+ + = −
1 2 3
c
x x x x x xa
+ + =
1 2 2 3 3 1
;
;
d
x x xa . . .
1 2 3
= −
4 Gerolamo Cardano or Girolamo Cardano (French Jerome Cardan, Latin Hieronymus Cardanus; September 24, 1501 — September 21, 1576) was an Italian Renaissance mathematician, physician, astrologer and gambler. More…
22
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
c) Phương trình mũ và phương trình logarith cơ bản
(α) Phương trình mũ
, 0 ( )
x
a c a = >
Với c>0, a≠1 có duy nhất nghiệm log ;
x c =
a
c=1, a=1 vô số nghiệm;
c≠1, a=1 vô nghiệm;
c≤0 vô nghiệm
(β) Phương trình logarith
log , 0, 1 ax c a a = > ≠ ( )
Với mọi c phương trình có nghiệm duy nhất x=ac.
d) Phương trình lượng giác cơ bản
cos x m=
m ≤1có vô số nghiệm x k m =± + = ≤ ≤ α π α α π 2 , arccos ,0 ; ( ) |m|>1 vô nghiệm
sin x m=
m ≤1có vô số nghiệm
23
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
⎡ = +
x k
α π
2
1 1
⎢= − + ⎣
x k
π α π
( )
2
2 2
π π
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ≤ ≤ ⎝ ⎠
α α
arcsin ,2 2
m
|m|>1 vô nghiệm
tan x m=
Với mọi m thực có vô số nghiệm:
x k
= +
α π
π π
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ≤ ≤ ⎝ ⎠
α α
arctan ,2 2
m
cot tan x m=
Với mọi m thực có vô số nghiệm
α π
x k
= +
( cot tan ,0 )
α α π
= < <
arc m
5. Bất đẳng thức và bất phương trình
a) Bất đẳng thức
Định nghĩa: a b a b a b > < ⇔ − > < ( ) 0 0 ( )
Các tính chất cơ bản:
Nếu a>b thì ba.
Nếu a>b và b>c thì a>c. Cũng như vậy, nếu ab thì a+c>b+c
Nếu a>b bà c>d thì a+c>b+d
Nếu a>b bà cb-d
Nếu a>b và m>0 thì .a b am bmm m
> >
Nếu a>b và m<0 thì amb>0 và c>d>0 thì ac>bd
b) Bất phương trình
(α) Bất phương trình tương đương
A B B A > ⇔ <
A B C A B C ≥ ⇔ + ≥ +(với C có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình A B ≥).
Nếu C có nghĩa và >0 trong miền xác định của bất phương trình A>B, thì:
A B AC BC > ⇔ > . .
Nếu C có nghĩa và <0 trong miền xác định của bất phương trình A>B, thì:
A B AC BC > ⇔ < . .
Nếu B ≠ 0trong miền xác định thì:
0 . 0 AA B
B> ⇔ >
25
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com (β) Bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối
Giả sử
α > 0, khi đó:
F F < ⇔ − < <
α α α
;
> ⇔ ⎢⎣ < −
⎡ >
α
F
α
α
FFB x A x B x ⎧⎪− < <
A x B xB x
< ⇔ ⎨⎪ > ⎩
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
B x
⎡⎢⎢ <
0 0
( )( ) ( )
A x B x
⎢⎢⎧⎪ >
A x B xB x
> ⇔ ⎢⎨⎪ ≥
( ) ( )
( )
0
⎢⎩⎢⎧⎪ < − ⎢⎨⎢⎪ ≥
A x B x ( ) ( )
⎣⎩
B x ( )
0
A x B x A x B x
> ⇔ > ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
(χ) Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax b a ≥ ≠ , 0 ( )
>nếu a<0 thì b
Nếu a>0 thì ;b xa
xa <
26
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
ax bx c
(δ) Bất phương trình bậc hai một ẩn
2
+ + >
0
⎧⎪− < ⎪⎪
b ac x
4 0
2
nghieäm ñuùng vôùi moïi ;
a b ac xa > − = ≠ − ⎨⎪⎪ ⎡ < 0, 4 02
2
nghieäm ñuùng vôùi moïi
x x
b
⎪ − > ⎢⎣ > ⎩ b acx x 4 0
2 1
b ac − ≤
nghieäm ñuùng vôùi moïi 2
4 0
2
vo ânghieäm
ab ac x x x <− > < < 0,4 0
⎧⎪⎨⎪⎩
2
nghieäm ñuùng vôùi ;
1 2
Ở đây x1, x2 là hai nghiệm thực của tam thức bậc hai 2
ax bx c + + .
(ε) Bất phương trình mũ và logarith cơ bản
Bất phương trình mũA x B x ( ) ( )
a a >với a>1 sẽ tương đương với
bất phương trình A(x)>B(x); với 0 ( )
Với a>1 sẽ tương đương với hệ:
( )
⎧⎪ >
B x 0
⎨⎪ > ⎩
( ) ( )
A x B x
Với 0
A x 0
⎨⎪ < ⎩
( ) ( )
A x B x
cos
x m ≥< −
(φ) Bất phương trình lượng giác cơ bản
m x 1 ;
Vôùi nghieäm ñuùng vôùi moïi Vôùi vo ânghieäm;
m
>
1
m k x k ≤ − + ≤ ≤ + 1 2 2 ,
Vôùi nghieäm ñuùng vôùi
α π α π
α α π = ≤ ≤
trong ño ù x m
arccos ,0 m
sin
≥< −
m x 1 ;
Vôùi nghieäm ñuùng vôùi moïi Vôùi vo ânghieäm;
m
>
1
m k x k ≤ + ≤ ≤ − + 1 2 2 , α π π α π
Vôùi nghieäm ñuùng vôùi π π
α α
= − ≤ ≤
arcsin ,2 2
( )
trong ño ù
m
tan
x m ≥
α π
π
vôùi moïi m nghieäm ñuùng vôùi
+ ≤ ≤ + k x k
2 1 ,
2
π π
α α
= − < <
arctan , .
( )
trong ño ù
m
2 2
cot tan
x m ≥
k x k π α π
vôùi moïi m nghieäm ñuùng vôùi
≤ ≤ +
,
α α π = < < arccottan ,0 .
trong ño ù
m
28
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
6. Cấp số; một số tổng hữu hạn
(α) Cấp số cộng
a a a a
, ,..., , ,...
÷ −
1 2 1
n n
a a d a a d a a n d
= + = + = + −
, 2 ,..., 1
2 1 3 1 1 n
( )
Trong đó an là số hạng thứ n của cấp số cộng, d là công sai. S+ ⎡ ⎤ + − ⎣ ⎦
( ) 1 ( ) 12 1
a a n a n d n
n
= =
n
2 2
Trong đó Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số (tổng riêng thứ n).
(β) Cấp số nhân
a a a a a
, , ,..., , ,...
1 2 3 1
n n
−
2 1
n
−
a a q a a q a a q = = =
, ,...,
2 1 3 1 1 n
Trong đó an là số hạng thứ n của cấp số nhân, q là công bội. Tổng riêng thứ n:
q
n
−
1
S a a a a q = + + + = ≠ ... . , 1
1 2 1 ( )
n n
1, 1 ( )
S na q n= =
q
−
1
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( q <1)
29
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
a
Sq
=−
1
1
(χ) Một số tổng hữu hạn
n n
1 2 3 ... 12 + + + + − + =
n n
+
1
( )( ) q p q p
p p q q + + + + − + =
+ − +
1 ... 12 1
( ) ( )( )( ) 1 3 5 ... 2 3 2 1
+ + + + − + − =
n n n 2
( ) ( )
2 4 6 ... 2 2 2 1 + + + + − + = +
n n n n
( ) ( )
n n n
+ +
1 2 1
1 2 3 ... 16 + + + + − + =
n n
( )( )( )
2 2 2 2 22 2 n n
1 2 3 ... 14 + + + + − + =
n n
+
1
( )( )
3 3 3 3 32 2 n n
1 3 5 ... 2 3 2 14 + + + + − + − =
n n
+
1
( ) ( )( )
2 2 2 2 23 3 3 3
1 3 5 ... 2 3 2
+ + + + − + ( ) ( ) n n n
− = −
1 2 1
n
( )
3 2 2
n n n n n + + + −
1 2 1 3 3 1
2
1 2 3 ... 130 + + + + − + =
n n
( )( )( )( )
4 4 4 4 4
7. Logarith
Định nghĩa: Cho N>0, 0
( ) ( )
b b b
1 2 1 2 1 2
log log log , 0 ;
NN N N N
= − > 1
b b b
( )
N
1 2 1 2
2
log log , 0 ; N N N
α
= >
α
b b
( )
log log , 0 ; N N N
= >
α
1
( )
b b
α
log log .log , 0, 1, 0 ; N a N a a N = > ≠ >
b b a
( )
log , 0, 1 a a a
= > ≠
b
1
( )
log
a
b
Logarith thập phân:
lg 10 10 ( ) x N x N b = ⇔ = = cô soá
Logarith tự nhiên
x
N x e N
ln
= ⇔ =
n
⎛ ⎞
1
= = + ≈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ trong ño ù
b e→∞ n
lim 1 2,718281828...
n
IV. HÌNH HỌC
A. CÁC HÌNH PHẲNG
1. Tam giác
a) Tam giác đều
a là cạnh, h là đường cao, S là diện tích.
31
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
a h h
= ≈
23 1,566 ;
3
h a a
= ≈
30,866 ;
2
a
2
2
S a = ≈
h
2
4
30, 433 ; 2
S h = ≈
3
30,578 .
b) Tam giác vuông
Hình 2
b và c là cạnh góc vuông; a là cạnh huyền; α và β là các góc nhọn; S là diện tích; h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền; b’, c’ là hình chiếu của b và c lên cạnh huyền.
32
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com α β
+ =
90 ;
a b c = +
2 2 2 ;
b a a c c = = = = sin cos cot tan tan ;
S bc
α β β α
=
1; 2
c c a
2
=
' ';
b b a
2
=
' ;
h c b
2
=
' ';
1 1 1.
= +
h b c
2 2 2
c) Tam giác thường
a, b, c là các cạnh; α, β, γ là các góc đối
tương ứng với các cạnh; r, R là bán kính
vòng tròn nội tiếp, ngoại tiếp; p là nửa
chu vi; S là diện tích.
Hình 3
33
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com a b c R
= = =
sin sin sin
α β γ a b c bc
2 ;
= + − 2 2 2
2 cos ; α
b a c ac
= + − 2 2 2
2 cos ; β
c a b ab
= + − 2 2 2
2 cos ; γ
a b
α β γ tan cot tan +
2 2 ;
+= =
− − −
a b
a b
+=
c
a b
−=
α β α β tan tan
2 2
α β
+
cos2;
γ
sin2
α β
−
sin2 ;
γ
cos2
cabc S p p a p b p c prR = − − − = = =
( )( )( )
4
1 1 1 sin sin sin ; = = =
ab ac bc
γ β α
2 2 2
r p
a p b p c α β γ
= − ( )tan tan tan ; ( ) ( ) = − = −
2 2 2
Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A:
1 2 2 2 2 2 ;
m b c a a= + −
2
Độ dài đường cao hạ từ đỉnh A:
34
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
p p a p b p c
− − −
2 ( )( )( );
ha
a
=
Độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A: 2;
( )
g bcp p a
= − a
b c
+
Tính chất của đưởng phân giác (AI là phân giác trong của góc A):
BI IC
=
AB AC
;
Trong một tam giác, giao điểm ba đường phân giác là tâm vòng tròn nội tiếp, giao điểm ba đường trung trực là tâm vòng tròn ngoại tiếp.
2. Đa giác
a) Hình vuông
a là cạnh; d là đường chéo; S là diện tích.
20,707 ;
a d d
= ≈
2
d a a
= ≈
2 1,414 ;
1.
2 2
S d a
= =
a
b) Hình chữ nhật và hình bình hành
a là cạnh đáy; h là đường cao; S là diện tích
S=ah.
35
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
c) Hình thoi
a là cạnh đáy; d là đường chéo lớn; d’ là đường chéo nhỏ; S là diện tích:
1';
S dd =
2
Nếu góc nhọn hình thoi bằng 60thì a=d’ và:
1 2 2 3 0,866 ;
S a a = ≈
2
d) Hình thang
a và b là cạnh đáy; b là đường cao; S là diện tích 1.
( )
S a b h = +
2
e) Tứ giác lồi bất kỳ
d1, d2 là độ dài hai đường chéo; α là góc giữa chúng; S là diện tích.
1sin .
S d d = α
1 2
2
f) Đa giác đều n cạnh
n là số cạnh; a là cạnh; α là góc trong của đa giác; β là góc ở tâm; r và R là bán kính vòng tròn nội tiếp, ngoại tiếp; S là diện tích.
36
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Hình 4
1 180 1 2cot tan ;
S na arn
= =
4 2
n
a
cot tan ;
=
180
rn
2
= =
cossec ;
a
α
180
180 2
Rn
2sin
n
β β
a r R
= =
2 tan 2 sin ; 2 2
α
=
n
− n
2.180 ;
β
=
360.
n
3. Hình tròn
a) Hình tròn
r là bán kính; C là độ dài vòng tròn; S là diện tích
37
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
C r r
= ≈
2 6,283 ;
π
C S S
= ≈
2 3,545 ;
π
2 2
S r r
= = π
3,142 ;
Cr S
.
=
2
b) Hình quạt tròn
r là bán kính vòng tròn; l là độ dài cung; nlà số đo góc ở tâm; S là diện tích
Hình 5
π
rn l rn 20,1745 ;
= ≈
360 2
r n S r n
π
= ≈
2
0,00872 .
360
c) Hình viên phân
r là bán kính vòng tròn; l là độ dài cung; a là độ dài dây cung; nlà số đo góc ở tâm; h là độ cao của viên phân; S là diện tích
38
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Hình 6
a r
n
=
2 sin ;
2
⎛ ⎞
n a n h r
= − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 cos tan ;
n
2 2 4
l r rn
= =
0,01795 ;
π
180
⎛ ⎞
r n S n
2
π
= − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ sin .
2 180
4. Phương tích
a) Phương tích
Phương tích của điểm I đối với vòng tròn tâm O, bán kính r là đại lượng 2 2 d r − , trong đó d là khoảng cách OI. Nếu I nằm ngoài hình tròn thì phương tích dương, I nằm trong đường tròn thì phương tích âm, I nằm trên đường tròn thì phương tích bằng 0.
39
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Hình 7
Ký hiệu giá trị tuyệt đối của phương tích là p2, thì
2 2 2
p d r
= −
;
2 2
p IA IB IT
= =
. .
b) Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương
Trục đẳng phương của hai vòng tròn O1 và O2 (O O 1 2 ≠) là quỹ tích các điểm M có phương tích bằng nhau đối với hai vòng tròn đã cho.
Trục đẳng phương vuông góc với đường nối hai tâm tại điểm N, mà:
2 2
d r r O Nd−
= +
1 2
12 2
Hoặc
2 2
d r r NOd−
= +
2 1
22 2
Trong đó d là độ dài đường nối tâm; r1 và r2 là các bán kính của hai vòng tròn.
40
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Đặc biệt nếu hai vòng tròn cắt nhau tại hai điểm thì trục đẳng phương đi qua hai điểm ấy; nếu hai vòng tròn tiếp xúc nhau thì trục đẳng phương là tiếp tuyến chung tại tiếp điểm.
Tâm đẳng phương của ba vòng tròn là giao điểm của ba trục đẳng phương của từng cặp các vòng tròn đó.
B. THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH Ký hiệu chung: h là đường cao; p là chu vi đáy; S là diện tích đáy; Sxq là diện tích xung quanh; V là thể tích.
1. Hình lăng trụ
V Sh
=
;
S ph
xq
=
.
2. Hình chóp đều
(Nhớ rằng chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy, đáy là đa giác đều).
a là trung đoạn của hình chóp đều: 1;
V Sh
Hình 8: Hình lăng trụ
=
3
1.
S pa
xq
=
2
3. Hình chóp cụt đều
Hình 9: Hình chóp đều
a là trung đoạn của hình chóp cụt đều; S1 và S2 là các diện tích đáy; p1 và p2 là các chu vi đáy.
41
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
1;
V h S S S S
= + +
( )
3
1 2 1 2 1.
S p p a = +
xq
2
( ) 1 2
4. Hình trụ
r là bán kính vòng tròn đáy. 2;
V Sh r h
= =
S rh π
Hình 10: Hình chóp cụt đều
xq
=
2 .
5. Hình nón
r là bán kính vòng tròn đáy; l là đường sinh.
1 1 2;
V Sh r h
= =
3 3
S rl π
Hình 11: Hình trụ
xq
=
.
6. Hình nón cụt
R và r là các bán kính vòng tròn đáy dưới và đáy trên; h là đường cao nón cụt; H là đường cao hình nón; l là đường sinh nón cụt.
1 2 2 ;
V h R r Rr
= + +
Hình 12: Hình nón
3
π
( )
S R r l = +
xp
π
( )
;
hr H hR r
= +−
.
42
Hình 13: Hình nón cụt
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
7. Hình cầu
a) Hình cầu
R là bán kính; V là thể tích; S là diện tích
mặt cầu.
4;
π
V R
3
=
3
π
2
Hình 14: Hình cầu
S R
=
4 .
b) Hình chỏm cầu
R là bán kính cầu; r là bán kính vòng tròn đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V là thể tích; S là diện tích mặt chỏm cầu.
1 1 3 ;
⎛ ⎞
2 2 2
V h R h h h r
= − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
3 6
π
( )
2 2
S Rh r h = = +
2 .
π π
( )
Hình 15: Chỏm cầu
c) Hình đới cầu
R là bán kính hình cầu; r1 và r2 là các bán kính vòng tròn đáy đới cầu; h là đường cao đới cầu; V là thể tích; S là diện tích xung quanh đới cầu.
1 1;
3 2 2
( )
V h r r h
= + +
Hình 16: Hình đới cầu
π π
6 2
S Rh
2 .
1 2
=
d) Hình quạt cầu
π
43
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
R là bán kính cầu; r là bán kính vòng tròn
đáy chỏm cầu; h là đường cao chỏm cầu; V
là thể tích; S là diện tích mặt quạt cầu.
2 2;
π
V R h
=
3
π
( )
S R r h
= +
2 .
Hình 17: Hình quạt cầu
V. LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số lượng giác và dấu của nó
a) Hàm số lượng giác của các góc nhọn
c
b
cos ;
α
sin ;
α
=
=
a c
a
b
cot tan ;
α
tan ;
α
=
=
b a
c
a
cossec .
α
sec ;
α
=
=
Hình 18
c
b
Hình 19
b) Dấu của hàm số lượng giác của một góc bất kỳ
Góc phần tư
sinα
cosα
tanα
cottanα
secα
cossecα
I
+
+
+
+
+
+
44
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
II
+
−
−
−
−
+
III
−
−
+
+
−
−
IV
−
+
−
−
+
−
2. Hàm số lượng giác của một số góc đặc biệt
α
0
30
45
60
90
120
180
270
360
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
0
-1
0
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
1
−
2
-1
0
1
tanα
0
1
3
1
3
∞
− 3
0
∞
0
cottanα
∞
3
1
1
3
0
1
−
3
∞
0
∞
secα
1
2
3
2
2
∞
-2
-1
∞
1
cossecα
∞
2
2
2
3
1
2
3
∞
-1
∞
45
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
3. Một số công thức đổi góc
sin sin
− = −
α α
tan 360 tan ± = ±
( )
α α
cos cos − =
α α
( )
cot tan 360 cot tan ± = ±
( )
α α
tan tan − = −
α α
( )
sin 90 cos ± =
( )
α α
cot tan cot tan − = −
α α
( )
( )
cos 90 sin ± = ±
α α
sin 180 sin ± = ±
( )
α α
( )
tan 90 cot tan ± = ±
α α
cos 180 cos ± = −
( )
α α
( )
cot tan 90 tan ± = ±
α α
tan 180 tan ± = ±
( )
α α
( )
sin 270 cos ± = −
α α
cot tan 180 cot tan ± = ±
( )
α α
( )
cos 270 sin ± = ±
α α
sin 360 sin ± = ±
( )
α α
( )
tan 270 cot tan ± = ±
α α
cos 360 cos ± =
( )
α α
( )
4. Các công thức cơ bản sin cos 1;
α α
+ =
2 2
tan .cot tan 1;
cot tan 270 tan ± = ±
α α
( )
α α
=
sin 1
α
tan ;
α
= =
cos cot tan
α α
cos 1
α
cot tan ;
α
= =
sin tan
α α
1
1 tan sec ; + = =
α α
2 2
cos
2
α
1
1 cot tan cossec . + = =
α α
2 2
sin
2
α
46
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com 5. Hàm số lượng giác của góc bội
sin 2 2sin cos ;
α α α
=
cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin ; α α α α α
= − = − = −
2 2 2 2
2 tan tan 2 ;
α
1 tan
α
=−
2
α
cot tan 1 cot tan tan cot tan 2 ; α α α
− − 2
α
= =
2cot tan 2 α
sin 3 3sin 4sin ; α α α
= −
3
cos3 4cos 3cos ; α α α = −
3
3tan tan tan 3 ; α α
α
−
1 3tan
=−
3
2
α
cot tan 3cot t cot tan 3
3
α
−
α
α
3cot tan 1
2
α
−
an;
sin 2sin 1 cos sin 2 ; n n n
α α α α
= − − −
=( ) ( )
cos 2cos 1 cos cos 2 . na n n
= − − −
α α α
( ) ( )
47
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
6. Công thức hạ bậc
sin 1 cos 2 ;
α α
= −
2
1 2
( )
cos 1 cos 2 ; α α
= +
2
1 2
( )
sin 3sin sin 3 ; α α α = −
3
1 4
( )
cos 3cos cos3 ; α α α = −
3
1 4
( )
1 6 sin cos 4 4cos 2 ; ⎛ ⎞
α α α
= − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
4
8 2
1 6 cos cos 4 4cos 2 ; ⎛ ⎞
α α α
= + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
4
8 2
sin sin 5 5sin 3 10sin ; α α α α = − +
5
1
16
( )
cos cos5 5cos3 10cos . α α α α = − +
5
1
16
( )
7. Hàm số lượng giác của tổng và hiệu các góc sin sin cos cos sin ;
α β α β α β
± = ±
( )
cos cos cos sin sin ;
α β α β α β
± = ±
( )
tan tan α β
±
tan ; α β
± =±
( )
1 tan tan
α β
cot tan cot tan 1
α β
±
cot tan . α β
± =±
( )
cot tan cot tan β α
48
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com 8. Biến đổi tổng và hiệu của hai hàm số lượng giác α β α β α β
+ −
sin sin 2sin cos ;
+ =
2 2
α β α β α β + −
sin sin 2cos sin ;
− =
2 2
α β α β α β + −
cos cos 2cos cos ;
+ =
2 2
α β α β α β + −
cos cos 2sin sin ;
− = −
2 2
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
sin cos 2 sin 2 cos ; α α α α + = + = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 4
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
sin cos 2 sin 2 cos ; α α α α − = − = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
tan tan
α β
+ =( )
4 4
sin
α
+
β
cos cos
α β
;
α β
tan tan ; α β
− =
sin
−
( )( )
cos cos
α β
α β
cot tan cot tan ; α β
+ =
sin
−
sin sin
α β
β α
cot tan cot tan ; α β
− =
sin
−
( )
sin sin
α β
tan cot tan 2cossec 2 ;
α α α
+ =
tan cot tan 2cot tan 2 .
α α α
− = −
49
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
9. Biến đổi tích của hai hàm số lượng giác
sin sin cos cos ;
α β α β α β
= − − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
1 2
( ) ( )
cos cos cos cos ; α β α β α β = − + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
1 2
( ) ( )
sin cos sin sin ; α β α β α β = − + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
1 2
( ) ( )
α β α β α β tan tan tan tan
+ −
tan tan ; = = −
cot tan cot tan cot tan cot tan
α β α β
+ −
α β α α β
cot tan cot tan cot tan cot t
+ −
cot tan cot tantan tan
= = −
β
α β
tan tan α β
α β α β−
+
α β α β α β cot tan tan cot tan tan
+ −
cot tan tan . = = −
tan cot tan tan cot tan
+ −
50
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
an;
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com 10. Công thức góc chia đôi
1 cos sin ;
α α
= ±
−
2 2
α α 1 cos
cos ;
= ±
+
2 2
α α α α sin 1 cos 1 cos
− −
tan ; = = = ±
2 1 cos sin 1 cos + +
α α α
α α α α sin 1 cos 1 cos
+ +
cot tan ; = = = ±
2 1 cos sin 1 cos − −
α α α
2 tan2 sin ;
α
=
α
1 tan2
+
2
α
1 tan2 cos ;
α
=
−
2
α
1 tan2
+
2
α
2 tan2
α
tan ;
α
=
1 tan2
−
2
α
cot tan 1
α
2
α 2
−
= ;
cos2cot t
α
an2
cos sin 1 sin 2 . α α α ± = +
51
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
giác (α, β, γ là các góc trong một tam giác)
α β γ α β γ
11. Một số công thức đối với các góc trong một tam sin sin sin 4cos cos cos ;
+ + =
2 2 2
α β γ α β γ cos cos cos 4sin sin sin 1; + + = + 2 2 2
α β γ α β γ sin sin sin 4sin sin cos ;
+ − =
2 2 2
α β γ α β γ cos cos cos 4cos cos sin 1; + − = − 2 2 2
sin sin sin 2cos cos cos 2; α β γ α β γ + + = +
2 2 2
sin sin sin 2sin sin cos ; α β γ α β γ + − =
2 2 2
n 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin ; α β γ α β γ
si
+ + =
sin 2 sin 2 sin 2 4cos cos sin ;
α β γ α β γ
+ − =
tan tan tan tan tan tan ;
α β γ α β γ
+ + =
α β γ α β γ cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan ; + + =
2 2 2 2 2 2 cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan 1. α β α γ β γ
+ + =
12. Một số công thức khác
52
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com 1 cos 2cos ;2
+ = α
2
α
1 cos 2sin ;2
− =
2
α
α
α α π α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2
1 sin sin cos 2cos ; + = + = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
α
2 2 4 2 α α π α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2
1 sin sin cos 2sin ; − = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
α
2 2 4 2 π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ± ± ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ± = = sin 2 sin
α α
4 4 1 tan ;
α
cos cos
π α
α
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ±
42 sin4
π
⎝ ⎠ ± = α
cos
1 cot tan ;
α
sin
α
cos cos
2 1
α α
n
+
sin s
( )
2 2 in 2 sin 3 ... sin ; α α α
α
+
+ + + = n
−
α
2sin2
2 1
sin sin
n
α α
( )
2 2 cos cos 2 cos3 ... cos ; α α α α
+ + + + = n
+− α
2sin2
a x b x a b x a b x sin cos sin cos + = + + = + + ϕ α
2 2 2 2
( ) ( )
53
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com trong ñoù
a
2 2 a b
+
b
2 2 a b
+
a
2 2 a b
+
b
2 2 a b +
= = = =
cos , ϕ
sin ; ϕ
sin , α
cos . α
54
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
13. Công thức liên hệ giữa các hàm số lượng giác
Hàm
sinα
cosα
tanα
cottanα
secα
cossecα
sinα=
2
± −1 cos α
α
tan
±+
α
2
1 tan
1
±+
1 cot tan α
2
α
2
sec 1
−
±
α
sec
1
cossecα
cosα=
2
± −1 sin α
1
±+
1 tan α
2
α
cot tan
±+
α
2
1 cot tan
1
secα
α
2
cossec 1
−
±
α
cossec
tanα=
α
sin
±−
α
2
1 sin
2
α
1 cos
−
±
α
cos
1
cot tanα
2
± − sec 1 α
1
±−cossec 1 α
2
cottan=
α
2
α
1 sin
−
±
α
sin
α
cos
±−
α
2
1 cos
1
tanα
1
±−sec 1 α
2
2
± − cossec 1 α
secα=
1
±−
1 sin α
2
1
cosα
2
± +1 tan α
α
2
1 cot tan
+
±
α
cot tan
α
cossec
±−α
2
cossec 1
cossecα
=
1
sinα
1
±−
1 cos α
2
2
α
1 tan
+
±
α
tan
2
± +1 cot tan α
α
sec
±−α
2
sec 1
55
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG
1. Điểm
Khoảng cách giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2):
2 2
( ) ( )
2 1 2 1 d x x y y = − + −
Khoảng cách từ một điểm (x, y) đến gốc tọa độ: 2 2 d x y = +
Dạng tổng quát của khoảng cách giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2) trong hệ tọa độ xiên góc ϕ:
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 d x x y y x x y y = − + − + − − 2 cosϕ ( ) ( ) ( )( )
Tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỷ lệ m/n nx mx
+
1 2
xm n
=+
;
ny my
+
1 2
ym n =+
.
2. Phép đổi trục tọa độ (Hình 20)
⎧ ⎧ = + = − ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ = + = −
x a x x x a
1 1
hoaëc
y b y y y b
1 1
56
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Hình 20
3. Tọa độ cực (Hình 21)
Ox: Trục cực;
O: Cực;
r: Bán kính vector;
ϕ: Góc cực.
x r
=
y r =
ϕ
cos ; ϕ
sin ; 2 2
Hình 21
r x y = +
.
y
4. Phép quay các trục tọa độ
x,y: Tọa độ cũ của điểm M;
x1, y1: Tọa độ mới của điểm M.
M
α
α
α: Góc quay.
α α
⎧ = −
x x y
cos sin ;
1 1
⎨⎩ = −
α α
y x y
sin cos .
1 1
57
x 0 Hình 22
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
5. Phương trình đường thẳng
Phương trình tổng quát Ax+By+C=0.
Phương trình chính tắc y=kx+b
Phương trình theo các đoạn chắn trên các trục tọa độ x y
+ =
a b
1
Phương trình pháp dạng x y p cos sin 0 α α + − = 1 MA B
Hệ số pháp dạng2 2
= ±+(dấu được chọn sao cho
ngược dấu với dầu của C).
6. Hai đường thẳng
Các phương trình ở dạng tổng quát
A x B y C C
+ + =
1 1 1
A x B y C
2 2 2 0
+ + =
Góc giữa hai đường thẳng đã cho (với hệ số góc k1, k2) tan1k k A B A B
θ− −
2 1 1 2 2 1
= =
+ +
k k A A B B
1 2 1 2 1 2
Điều kiện để hai đường thẳng song song
A B
1 2 k k =hoặc 1 1
=
A B
2 2
Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
58
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
1 2 k k = −1hoặc 1 2 1 2 A A B B + = 0
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
C B C B
⎧ −
1 2 2 1
= ⎪⎪ −
xB A B A
1 2 2 1
⎨− ⎪ =
C B C A
2 1 1 2
yB A B A
⎪⎩ −
1 2 2 1
Đường thẳng thứ ba 3 3 3 A x B y C + + = 0đi qua giao điểm của hai đường thẳng trên nếu:
A B C
1 1 1
A B C 2 2 2 A B C 3 3 3
=
0
7. Đường thẳng và điểm
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước M x y ( 0 0 , ) theo một hướng đã cho:
0 0 ( )
y y k x x − = −
k = tanα(α là góc lập bởi đường thẳng với chiều dương trục hoành)
Khoảng cách từ điểm ( x y 1 1 , )tới một đường thẳng 1 1 d x y p = + − cos sin α α(a là góc lập bởi đường thẳng với Ax By C dA B
+ +
chiều dương trục hoành) hoặc 1 1
= ±+(dấu được
2 2
chọn ngược dấu với C).
59
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho A x y B x y ( 0 0 2 2 , , , ) ( ):
y y x x
− −
=
1 1
y y x x
− −
2 1 2 1
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y 0 0 0 ( , )và song song với đường thẳng y=ax+b
0 0 ( )
y y a x x − = −
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y ( 1 1 , )và vuông góc với đường thẳng y=ax+b
1
1 1 ( )
y y x x
− = − −
a
8. Diện tích tam giác
Tam giác có một đỉnh ở gốc tọa độ
x y
1 1
1 1
S x y y x
= ± = ± −
( )
x y
2 2 2 2
1 2 1 2
Tam giác có vị trí bất kỳA x y B x y C x y ( 1 1 2 2 3 3 , , , , , ) ( ) ( )
60
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com x x y y
1
− −
= ± =
2 1 2 1
Sx x y y
2 1
− −
3 1 3 1
= ± − − − − − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
x x y y x x y y
( )( ) ( )( )
2 1 3 1 3 1 2 1
2
1
= ± − + − + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
x y y x y y x y y ( ) ( ) ( )
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2
9. Phương trình đường tròn
Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính r
2 2 2
x y r + =
Đường tròn với tâm có tọa độ (a,b) bán kính r
2 2 2
( ) ( )
x a y b r − + − =
Phương trình tham số của đường tròn
⎧ =
x r tt
cos0 2
( )
⎨ ≤ ≤ ⎩ =
y r t
sin
π
10. Ellipse (Hình 23)
O: Tâm;
AA1=2a: Trục lớn;
BB1=2b: Trục nhỏ;
F, F1: Các tiêu điểm;
FM, F1M: Các bán kính vector; FF1=2c: Tiêu cự;
61
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com y
BF=BF1=AO=a;
FM+F1M=AA1=2a;
a2-c2=b2.
Phương trình chính tắc của Ellipse:
2 2
x y
2 2 1
+ =
a b
Tâm sai của Ellipse:
2 2
ε−
c a b
M B
yrr1
A F F1 A1
0 x
B1
c c
2a
Hình 23: Hình Ellipse
= = < a a
1
Bán kính vector của điểm M(x, y) của Ellipse r a x = ±ε
Diện tích của Ellipse
S=πab
Phương trình tiếp tuyến với Ellipse tại điểm M x y 1 1 1 ( , )
x x y y
2 2 1
+ =
1 1
a b
Phương trình pháp tuyến với Ellipse tại điểm M x y 0 0 0 ( , )
2
a y
− = −
0
( )
y y x x
0 0 2
b x
0
62
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com Tham số tiêu của Ellipse
b
2
pa
=
Phương trình các đường chuẩn của Ellipse
2
= ±hoặc a
a
xc
x
ε
= ±
Phương trình đường kính của Ellipse
b
2
y x
=
2
a k
Trong đó k là hệ số góc của đường kính liên hợp. Phương trình tham số của Ellipse:
⎧ =
x a t
⎨⎩ =
cos
y b t
sin
11. Hyperbola (Hình 24) O: Tâm;
F, F1: Các tiêu điểm;
y
r1
M
FM, F1M: Các bán kính vector;
A A1
r
FM-F1M=AA1-2a;
63
F F1
0 x
2a
2c
Hình 24: Hyperbola
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
FF1=2c;
c2-a2=b2.
Phương trình chính tắc của Hyperbola
2 2
x y
2 2 1
− =
a b
Tâm sai của Hyperbola
2 2
ε+
c a b
= = > a a
1
Bán kính vector của điểm thuộc Hyperbola
c
r x a x a
= − = −
a c
ε
r x a x a = + = +
1
a
ε
Phương trình các đường tiệm cận của Hyperbola
b
y x
= ±
a
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y 1 1 1 ( , )
x x y y
2 2 1
− =
1 1
a b
Phương trình pháp tuyến tại điểm M x y 0 0 0 ( , )
64
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com 2
a y 0
( )
y y x x
− = − − 0 0 2 b x
0
Hoặc
2 2
a x b yc
2
+ =
x y
0 0
2
b
Tham số tiêu của Hyperbola
pa =
Phương trình đường kính của Hyperbola
b
2
y x
=
2
a k
Trong đó k là hệ số góc của đường kính liên hợp. Phương trình của Hyperbola cân
xy =hoặc k
a
2
yx
=
2
12. Parabola(Hình 25)
y
AN: Đường chuẩn
M NK r
l
O: Đỉnh
F: Tiêu điểm
AF=p: Tham số của Parabola 65
x A 0 F F1 c
p
Hình 25: Parabola
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
S: Diện tích
Phương trình chính tắc của parabola
y2=2px
Diện tích của parabola
2
S lc =
3
FM
ε = =
Tâm sai của parabola 1
MK
Bán kính vector của parabola
r x = +
p 2
Phương trình đường chuẩn của parabola
x = −
p 2
Phương trình tiếp tuyến của parabola yy p x x 1 1 = + ( )
Hoặc
y
( )
y y x x
− = − −
1
1 1
y
0
Phương trình pháp tuyến của parabola
66
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
y
( )
y y x x
− = − −
1
1 1
p
Hoặc
y x x p y y 1 1 1 + − + − = ( ) ( ) 0
VII. ĐẠI SỐ VECTOR
1. Các phép toán tuyến tính trên các vector
Vector Alà một đoạn thẳng có độ dài xác định và hướng xác định.
A A =là độ dài hoặc module của vector A.
Các vector bằng nhau (Hình 26)
⎧⎪ =
A B
A BA B
= ⇔ ⎨⎪⎩ ↓↓
Cộng các vector (các hình 27, 28, 29)
A B C;
+ =
A B C D E
+ + + =
BA C
A
B
Hình 26
B C
A
C
A
B
D
E
Hình 27 Hình 28 Hình 29 Vector đối (Hình 30)
67
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
A A
⎧ = ⎪
A A 1
= − ⇔ ⎨⎪⎩ ↑↓
1
A A
1
Trừ các vector (Hình 32, 31)
A B A B C − = + =1
A
A A 1= −
A C
B1 B
A
B
C
Hình 30
Hình 31
Hình 32
Trong đó B B 1= −
Nhân vector với một số
k A B =
Vector Bluôn thỏa mãn các điều kiện:
B k A
=
B A
↓↓
B A
↑↓
neáu k > 0
,
neáu k < 0
,
, thì B = 0
Nếu k=0 hoặc A = 0
2. Phép chiếu vector lên trục hoặc vector (Hình 33)
Bcos cos , ϕ ( )
hc A hc A MN A A A B x= = = =
68
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
A
M1 N1
ϕ
O M N x
B
Hình 33
3. Các thành phần và tọa độ của vector (Hình 34)
A OM OM OM = + + 1 2 3
Hoặc A Xi Y j Zk = + +
OM X i
z
M 3
1
=
Trong đó
γ
là các thành
OM Y j
A
2
=
k
OM Z k
α β
y
3
=
phần của vector;
X A Y A Z A = = = cos , cos , cos α β γ là các tọa độ của vector (chiếu
j
x
M 1
i
O
M2
vector này lên các trục tọa độ).
Hình 34
4. Các phép toán tuyến tính trên các vector được cho nhờ các tọa độ
thì 1 2 1 2 1 2 X X X Y Y Y Z Z Z = ± = ± = ± , , .
Nếu A A A = ±1 2
thì 2 1 2 1 2 1 X X Y Y Z Z = = = λ λ λ , , .
= λ
Nếu A A 2 1
5. Tích vô hướng của hai vector
Định nghĩa
69
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
( , cos , ) ( ) A B A B AB AB A B Ach B Bhc A = = = =
Các tính chất của tích vô hướng
AB BA
=
(tính giao hoaùn)
mA B m AB
=
( ) ( ) A B C AC BC
+ = + ( )
(tính phaân phoái)
Tích vô hướng của các vector dưới dạng tọa độ
1 2 1 2 1 2 AB X X YY Z Z = + + .
Bình phương vô hướng của vector
22 A AA AA A = = = cos0
Bình phương module của vector
2
2 2 2 2 A A X Y Z = = + +
Module (độ dài) của vector
2 2 2 2 A A X Y Z = = + +
Điều kiện để hai vector trực giao ( A B ⊥ )
1 2 1 2 1 2 AB X X YY Z Z = + + = 0
và B X Y Z { 2 2 2 , , }
Góc giữa hai vectorA X Y Z { 1 1 1 , , }
70
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
cosAB X X YY Z Z
ϕ+ +
1 2 1 2 1 2
= =+ + + +
2 2 2 2 2 2
A B X Y Z X Y Z 1 1 1 2 2 2
Các cosin chỉ phương của vectorA X Y Z { , , }
cos cos cos
α β γ
X
=+ +
2 2 2
X Y Z
Y
=+ +
2 2 2
X Y Z
Z
=+ +
2 2 2
X Y Z
6. Tích vector của hai vector
Định nghĩa
Tích vector của hai vectorAB, (ký hiệu A B×
) là
vector Cthỏa mãn các điều kiện sau: C AB A B C A C B = ⊥ ⊥ sin , , , ( )
hoặc ⎡ ⎤ A B, ⎣ ⎦
lập thành bộ ba vector thuận (nghịch) nếu
Và các vector A B C , ,
hệ tọa độ là thuận (nghịch).
Các tính chất của tích vector
71
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
A B B A
× = − ×
mA B m A B
× = ×
( ) ( )
A nB n A B
× = ×
( ) ( )
A B C A C B C
+ × = × + ×
( )
C A B C A C B
× + = × + ×
( )
Tích vector dưới dạng tọa độ
i j k
A B X Y Z
× = = 1 1 1
X Y Z
2 2 2
= − + − + −
Y Z Y Z i Z X Z X j X Y X Y k 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 .
( ) ( ) ( ) Góc giữa vector
sin ,A B
×
A BA BY Z Y Z Z X Z X X Y X Y
= =
( )
− + − + −
2 2 2
( ) ( ) ( )
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
=+ + + +
X Y Z X Y Z
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
7. Tích hỗn hợp của ba vector
Định nghĩa
ABC A B C = × ( )
Các tính chất của tích hỗn hợp
72
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
ABC BC A C AB BAC ACB CBA
= = = − = − = −
( ) ( ) ( )
A B CD ACD BCD
+ = +
( )
mA BC m ABC
=
( ) ( )
Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp
bằng thể tích của hình hộp có ba cạnh là ba vector ấy.
ABC
Điều kiện đồng phẳng của ba vector ABC = 0 Tích hỗn hợp dưới dạng tọa độ
X Y Z
1 1 1
ABC X Y Z
= =
2 2 2
X Y Z
3 3 3
= − + − + − X Y Z Z Y Y Z X Z X Z X Y X Y 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 . ( ) ( ) ( )
VIII. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1. Giới hạn
lim(x+y-z)=limx+limy-limz (nếu các giới hạn ở vế phải tồn tại) lim(xyz)=limx limy limz (nếu giới hạn ở vế phải tồn tại) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ≠
x xx y
lim lim lim lim 0
⎝ ⎠ neáu toàn taïi vaø
y y
lim
73
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com sin lim 1;
x
→
0
x
x
= 1
a
lim 1 , 2.718281828... ; + = =
a e e
a
→∞
( ) ( ) n
lim 0;
a
→∞
a n
=
!tan lim 1;
x
→
0
x
x
=
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠
lim 1 ;
n
→∞
xn e n
x
lim 1;
x
→
0
a
x
=
lim 2 .
n
!
π
n e n
n n n
→∞ −
=
2. Đạo hàm và vi phân
Các đạo hàm đơn giản
74
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com Cu Cu
' ';
( )
=
u v w u v w + − = + −
( )
' ' ' ';
uvw u vw v uw w uv ' ' ' ' ;
( )
= + +
u u v v u
' ';
'
⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ =
v v
⎝ ⎠
'
2
⎡ ⎤ =
f u x f u u x
⎣ ⎦
' ' ;
C
( ( )) ( ) ( ) ' 0;
( )
=
x
( )
' 1; =
x nx
' ;
n n
−
1
( )
=
1 1;
,
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠
x x
2
' ;
( )
1
xx
=
2
75
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com ln ' ;
( )
=
1
xx
lg ' lg ; x e
( )
=
1
e e
x
' ;
x x
( )
=
a a a ' ln ;
x x
( )
=
sin ' cos ; x x
( )
cos ' sin ; x x
( )
== −
tan ' ;
( )
1
2
xx
cos
== −
cot tan ' ;
( )
1
2
xx
sin
arcsin ' ;
( )
1
2
xx
=−
1
arccos ' ; = −−
( )
1
2
xx
1
arctan ' ;
( )
1
2
xx
1
=+= −+
arccottan ' ;
( )
1
2
xx
1
u vu u u u v ' ' ln '. = +
v v v
−
1
( ) ( ) ( )
Vi phân của hàm và các tính chất đơn giản; dy=y’dx
76
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com d Cu Cdu
( )
=
;
d u v w du dv dw + − = + −
;
( )
d uvw vw du uw dv uv dw = + +
;
( ) ( ) ( ) ( ) u vdu udv dv v
⎛ ⎞ −
⎜ ⎟ = ⎝ ⎠
2
.
3. Ứng dụng hình học của đạo hàm
Phương trình tiếp tuyến với đường cong y=y(x) tại điểm (x0, y0) '( )( )
y y y x x x − = −
0 0 0
Phương trình tiếp tuyến với đường cong và đi qua một điểm cho trước bất kỳM x y 1 1 1 ( , )
'( )( )
y y y x x x − = −
1 0 1
Trong đó x0 là nghiệm kép của phương trình
1
0 0 ( )
y y x x
− = −
( )
y x
'
0
4. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số y=f(x) được gọi là chẵn nếu
f(x)=f(-x)
được gọi là lẻ nếu
f(x)=-f(x)
77
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Hàm số tuần hoàn
Hàm số y=f(x) được gọi là tuần hoàn nếu có số dương l sao cho f x f x l f x l f x kl ( ) = ± = ± = = ± ( ) ( 2 ... ) ( )
Số dương p nhỏ nhất có tính chất trên được gọi là chu kỳ của hàm số.
Hàm số đơn điệu
Hàm số y=f(x) được gọi là đơn điệu tăng thật sự (đồng biến) nếu từ x1f(x2);
Nếu ở trên tất cả các dấu < (>) được thay bởi dấu ≤ ≥( )thì hàm được gọi là đơn điệu tăng (giảm) theo nghĩa rộng;
Điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu tăng (giảm) trong khoảng xác định là f x f x ' 0 ' 0 ( ) ≥ ≤ ( ( ) )trong khoảng xác định.
Hàm liên tục
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x=a nếu lim ( ) ( ) x af x f a
→=
Cực đại, cực tiểu của một hàm số
Hàm số y=f(x) có cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 nếu có một số a dương sao cho f x f x f x f x ( ) ≤ ≥ ( 0 0 )( ( ) ( ))với 0 0 x a x x a − ≤ ≤ +
78
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:
( )
⎧⎪ =
f x
' 0
0
⎨⎪ < ⎩
( )
f x
'' 0
0
Thì x0 là hoành độ điểm cực đại;
Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:
( )
⎧⎪ =
f x
' 0
0
⎨⎪ > ⎩
( )
f x
'' 0
0
Thì x0 là hoành độ điểm cực tiểu;
Hàm lồi
Hàm số y=f(x) gọi là lồi nếu với
α α ,0 1 ≤ ≤thì
f ax x af x f x ( 1 2 1 2 + − ≤ + − (1 1 ; α α ) ) ( ) ( ) ( )
Hàm số y=f(x) lồi khi và chỉ khi đạo hàm f’(x) tăng theo nghĩa rộng (hoặc tương đương đạo hàm bậc hai
f’’(x)≥0)
Điểm uốn
Điểm x0 là điểm uốn của đồ thị hàm số
y=f(x) nếu f’’(x0)=0 và f’’(x) đổi dấu khi đi
qua x0.
Các đường tiệm cận Hình 35: Tiệm cận ngang
79
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com
Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
Tiệm cận ngang (Hình 35): Đường cong y=f(x) có tiệm cận ngang y=b nếu lim ( )
xf x b
→∞=
Tiệm cận xiên (Hình 36): Đường cong
y=f(x) có tiệm cận xiên y=ax+b nếu
lim 0 ( )
xf x ax b
→∞⎡ ⎤ − − = ⎣ ⎦
Cách tìm tiện cận xiên y=ax+b:
( )
f x
lim ;
ax
=
x
→∞
( )
Hình 36: Tiệm cận xiên
b f x ax = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ lim
x
→∞
Tiệm cận đứng (Hình 37): Đường cong y=f(x) có tiệm cận đứng x=x0 nếu ( )
x xf x
lim
→= ∞
0
Trục và tâm đối xứng: Đồ thị hàm số
y=f(x) nhận đường thẳng x=α làm trục đối
xứng khi và chỉ khi f x f x (2α − =) ( )
Đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I (α β, )
làm tâm đối xứng khi và chỉ khi
f x f x (2 2 α β − = − ) ( )
Hình 37: Tiệm cận đứng
Khảo sát hàm số( )
3 2 y ax bx cx d a = + + + ≠ 0
2
y ax bx c
' 3 2 ;
= + +
y ax b
'' 6 2 .
= +
80
Tron Bo SGK: htts://bookiaokhoa.com