🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán 4 – 5 (Có Đáp Án) Ebooks Nhóm Zalo PHÇN I: c¸C BµI TO¸N VÒ Sè Vµ CH÷ Sè phÇn i: sè Vµ CH÷ Sè I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí Tạ Văn Khôi 1. Dïng 10 ch÷ sè ®Ó viÕt sè lµ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. 2. Cã 10 sè cã 1 ch÷ sè: (Tõ sè 0 ®Õn sè 9) Cã 90 sè cã 2 ch÷ sè: (tõ sè 10 ®Õn sè 99) Cã 900 sè cã 3 ch÷ sè: (tõ sè 100 ®Õn 999) … 3. Sè tù nhiªn nhá nhÊt lµ sè 0. Kh«ng cã sè tù nhiªn lín nhÊt. 4. Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 1 ®¬n vÞ. 5. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 gäi lµ sè ch½n. Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ. 6. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1, 3, 5, 7, 9 gäi lµ sè lÎ. Hai sè lÎ liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ. II. Bµi tËp Bµi 1: Cho 4 ch÷ sè 2, 3, 4, 6. a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? §ã lµ nh÷ng sè nµo? b) Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè ®ã?Bµi gi¶i LËp b¶ng sau ta ®-îc: Hµng tr¨m Hµng chôc Hµng ®¬n vÞ ViÕt ®-îc sè 2 3 4 234 2 3 6 236 2 4 3 243 2 4 6 246 2 6 3 263 2 6 4 264 NhËn xÐt: Mçi ch÷ sè tõ 4 ch÷ sè trªn ë vÞ trÝ hµng tr¨m ta lËp ®-îc 6 sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau. Vëy cã tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau lµ: 6 x 4 = 24 (sè). T-¬ng tù phÇn (a) ta lËp ®-îc: 4 x 6 = 24 ( sè) C¸c sè ®ã lµ: 2346; 2364; 2436; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624; 3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423. Bµi 2: Cho 4 ch÷ sè 0, 3, 6, 9. a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? b) T×m sè lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn?Bµi gi¶i a, Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã ba c¸ch: ( kh«ng chän sè 0) Chän ch÷ sè hµng chôc cã ba c¸ch : Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã hai c¸ch: Sè c¸c sè cã ba ch÷ sè lµ:3×3×2 =18(sè) b, Sè lín nhÊt lµ: 9630; sè bÐ nhÊt lµ: 3069 Bµi 3: a) H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 3?Bµi gi¶i V× 3 = 3+0+0 ta cã c¸c sè :300;120;102;210;201;111 = 1+2+0 =2+1+0 =1+1+1 1 Bµi 4: Cho sè 1960. Sè nµy sÏ thay ®æi nh- thÕ nµo? H·y gi¶i thÝch? a) Xo¸ bá ch÷ sè 0. b) ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo sau sè ®ã. c) §æi chç hai ch÷ sè 9 vµ 6 cho nhau. Bµi gi¶i a, Xãa bá ch÷ sè 0 sè ®ã gi¶m 10 lÇn; b, ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn ph¶i sè ®ã sè ®ã gÊp lªn 10 lÇn vµ 1 ®¬n vÞ; c,Khi ®æi ch÷ sè 9 vµ sè 6 cho nhau ta cã : 1960 - 1690 = 270 (®¬n vÞ) Bµi 5: Hái cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè mµ mçi sè cã: a) 1 ch÷ sè 5 b) 1 ch÷ sè 6. Bµi gi¶i a, Chän ch÷ sè 5 ë hµng tr¨m: Cã 1 c¸ch chän : chän 5 ( L-u ý v× bµi to¸n kh«ng yªu cÇu c¸c ch÷ sè kh¸c nhau) -Chän ch÷ s« hµng chôc cã 9 c¸ch:( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9) - Chän Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã 9 cÊch : ( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9) Ta cã : 1×9×9 = 81(sè) b, Chän ch÷ sè 5 ë hµng chôc 1 c¸ch : ( chän 5) - Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã 8 c¸ch: - Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ 9 c¸ch: Ta cã : 1×8×9 = 72(sè) c, Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 5 cã 1 c¸ch.T-¬ng tù ta cã : 1×8×9 = 72(sè) Tæng c¸c sè lËp ®-îc lµ: 81+72+72= 225 (sè) §¸p sè: 225 sè. Bµi 6: Cho ba ch÷ sè: a, b, c kh¸c ch÷ sè 0 vµ a > b; b > c. a) Víi ba ch÷ sè ®ã, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè? (trong c¸c sè, kh«ng cã ch÷ sè nµo lÆp l¹i hai lÇn) b) TÝnh nhanh tæng cña c¸c sè võa viÕt ®-îc, nÕu tæng cña ba ch÷ sè a, b, c lµ 18. c) NÕu tæng cña c¸c sè cã ba ch÷ sè võa lËp ®-îc ë trªn lµ 3330, hiÖu cña sè lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ 594 th× ba ch÷ sè a, b, c lµ bao nhiªu?Bµi gi¶i a) 6 sè b) 222×(a + b + c)=222×18=3996 c) Theo kÕt qu¶ ý b) ta cã: 222×(a + b + c)=3330 Hay a+b+c =3330:222=15 MÆt kh¸c :abc>cbanªn abc - cba=595 . §Æt cét däc ta cã : - abcV× cb>c. NÕu a=7 th× c=1 khi ®ã b=15-7-1=7 lo¹i PhÇn hai Bèn phÐp tÝnh víi sè tù nhiªn, ph©n sè vµ sè thËp ph©n A. PhÐp céng I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí 1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c) 3. 0 + a = a + 0 = a 4. (a - n) + (b + n) = a + b 5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2 6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2 2 7. NÕu mét sè h¹ng ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷ nguyªn th× tæng ®ã ®-îc t¨ng lªn mét sè ®óng b»ng (n - 1) lÇn sè h¹ng ®-îc gÊp lªn ®ã. 8. NÕu mét sè h¹ng bÞ gi¶m ®i n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷ nguyªn th× tæng ®ã bÞ gi¶m ®i mét sè ®óng b»ng (1 -n1) sè h¹ng bÞ gi¶m ®i ®ã. 9. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ lÎ th× tæng ®ã lµ mét sè lÎ. 10. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ ch½n th× tæng ®ã lµ mét sè ch½n. 11. Tæng cña c¸c sè ch½n lµ mét sè ch½n. 12. Tæng cña mét sè lÎ vµ mét sè ch½n lµ mét sè lÎ. 13. Tæng cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè lÎ. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440) b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000 c) 576 + 789 + 467 + 111Bµi gi¶i: (4823 + 5177) + ( 1560 + 8440) = 10.000 + 10.000 = 20.0000 (10556 + 94444) + ( 8074 + 926) + 1000 = 19500 + 9000 + 1000 = 29500 576 + 467 + 789 +111 = 1043 + 900 = 1943 Bµi 2: TÝnh nhanh: 1+ + + a)59 20 300 4000 5+ + + + +d) 10000 7 7 13 19 13 6 5 9 7 10 100 1000 b) 1110 1+ + + + + + + + + 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 11 c) 2120 1+ + + + + + + + + 21 2 21 3 21 4 21 5 21 ... 17 21 18 21 19 21 5 7 19 6 9 9 Bµi gi¶i: a + + + + + ) 7 5 13 9 13 7 5 19 7 6 5 9 = + + + + + 7 14 7 26 13 15 13 5 5 = + + 2 2 3 75 7 13 = + + = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b + + + + + + + + + ) (1 10) (2 9) (3 8) (4 7) (5 6)11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 + + + + + + + + + = 11 11 11 11 1111 + + + + = 11x5 11 55 = = = 5 11 11 3 1 2 3 4 5 17 18 19 20 c + + + + + + + + + ) ... (1 20) (2 19) ... (10 11)21 21 21 21 21 21 21 21 21 + + + + + + = 21x10 210 21 = = = 10 21 21 Bµi 3: T×m hai sè cã tæng b»ng 1149, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn sè lín vµ gÊp sè bÐ lªn 3 lÇn th× ta ®-îc tæng míi b»ng 2061. Bµi gi¶i Khi gÊp sè bÐ lªn ba lÇn th× tæng sÏ t¨ng:3-1 = 2 ( lÇn sè bÐ) Hai lÇn sè bÐ øng víi: 2061- 1149 =912 Sè bÐ lµ : 912 : 2 = 456 Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693 §¸p sè : 693; 456 Bµi 4: Khi céng mét sè thËp ph©n víi mét sè tù nhiªn, mét b¹n ®· quªn mÊt dÊu phÈy ë sè thËp ph©n vµ ®Æt tÝnh nh- céng hai sè tù nhiªn víi nhau nªn ®· ®-îc tæng lµ 807. Em h·y t×m sè tù nhiªn vµ sè thËp ®ã? BiÕt tæng ®óng cña chóng lµ 241,71. Bµi gi¶i Nh×n vµo tæng ®óng sè thËp ph©n cã hai ch÷ sè phÇn thËp ph©n, khi viÕt nhÇm nh vËy sè thËp ph©n ®· t¨ng lªn 100 lÇn. VËy tæng t¨ng lªn 100 -1 = 99 (lÇn sè thËp ph©n) 99 lÇn sè thËp ph©n øng víi : 807 – 241,71 = 565,29 Sè thø hai lµ : 565,29 : 99 = 5,71 Sè lín lµ : 241,71 – 5,71 = 236 §¸p sè :236; 5,71 Bµi 5 : Cho sè cã hai ch÷ sè. NÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng-îc l¹i ta ®-îc sè míi bÐ h¬n sè ph¶i t×m. BiÕt tæng cña sè ®ã víi sè míi lµ 143. Bµi gi¶i V× a+b =13 Mµ b 1). 4. NÕu sè bÞ trõ gi÷ nguyªn, sè trõ ®-îc gÊp lªn n lÇn th× hiÖu bÞ gi¶m ®i (n - 1) lÇn sè trõ. (n > 1) 5. NÕu sè bÞ trõ ®-îc t¨ng thªm n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu t¨ng lªn n ®¬n vÞ.6. NÕu sè bÞ trõ gi¶m ®i n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu gi¶m ®i n ®¬n vÞ. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: 4 a) 32 - 13 - 17 c) 45 - 12 - 5 – 23 b) 1732 - 513 - 732 d) 2834 - 150 – 834 Bµi gi¶i a, 32 – 13 -17 = 32 – (13+17 ) = 2 b, 1732 – 513 -732 = 1732 -732 - 513 = 1000 -513 = 487 c, 45 -12 -5 -23= 45 – 5-( 12+23 ) = 40 - 30 = 10 Bµi 2: TÝnh nhanh: a) 313 34− − =289 19 19 1− = c) 34 7+ − =1 +516 31 28 28 3 11 5 11= 5 b) 135 18+ − =1 +46 55 55= 101 ⎜⎝⎛−95 27=0 4 2 d) ⎟⎠⎞ ⎞ ⎜⎝⎛ 13 46 46 25 9 ⎟ − − 25 ⎠ Bµi 3: TÝnh nhanhBµi gi¶i a,46,55 - (20,33+25,67 )=0,55 b, 20- (0,5+5,5) –( 1,5+4,5) - (2,5+3,5) = 20 – 6 - 6 – 6 = 2 Bµi 4: HiÖu hai sè lµ 3,8. NÕu gÊp sè trõ lªn hai lÇn th× ®-îc sè míi h¬n sè bÞ trõ lµ 4,9. T×m hai sè ®· cho. (VÏ s¬ ®å ®Ó gi¶i) Bµi gi¶i C¸ch gi¶i kh«ng vÏ s¬ ®å Gäi sè trõ lµ ¢, th× s« bÞ trõ lµ A+3,8. Theo bµi ra ta cã : A×2 − (A+ 3,8) = 4,9 Hay : A – 3,8 = 4,9 A = 4,9 +3,8 = 8,7 Sè bÞ trõ lµ : 8,7+3,8 =12,5§¸p sè : 12,5; 8,7 Bµi 5: Mét m¶nh v-ên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi h¬n chiÒu réng 6,8m. NÕu ta bít mçi chiÒu ®i 0,2m th× chu vi míi gÊp 6 lÇn chiÒu réng míi. TÝnh diÖn tÝch m¶nh v-ên ban ®Çu. Bµi gi¶i Khi bít mçi chiÒu ®i 0,2 m th× nöa chu vi gÊp chiÒu réng sè lÇn lµ: 6: 2 = 3 (lÇn chiÒu réng) Coi nöa chu vi lµ ba phÇn th× chiÒu réng lµ 1 phÇn nh- thÕ .V©y chiÒu dµi sÏ øng víi: 3 – 1 = 2 (phÇn) MÆt kh¸c khi cïng bít ®i ë chiÒu dµi vµ chiÒu réng cïng 1 sè th× hiÖu gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi kh«ng ®æi.Nªn 1 phÇn lóc sau (hay chiÒu réng lóc sau ) øng víi : 6,8 ×1 = 6,8(m) ChiÒu dµi lóc ®Çu lµ : 6,8 ×2 + 0,2 =13,8(m) ChiÒu réng lóc ®Çu lµ: 6,8 +0,2 =7 ( m) DiÖn tÝch m¶nh v-ên lµ : 13,8 × 7= 96,6 (m2) §¸p sè : 96,6 (m2) Bµi 6: Thay c¸c ch÷ a, b, c b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp trong mçi phÐp tÝnh sau: (mçi ch÷ kh¸c nhau ®-îc thay bëi mçi ch÷ sè kh¸c nhau) BiÕt a + b = 11. 5 Bµi gi¶i a,XÐt ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ab – c = 0 nªn suy ra hµng phÇn m-êi b – c = a cã nhí vµ nhí nhiÒu nhÊt lµ 1. ab – (c+1) = 0 Suy ra c = 9 . tõ ®ã suy ra ab= 10=> a= 1; b= 0 b, V× a+b =11 nªn b,a +a,b =12,1 MÆt kh¸c b,a – a,b =2,7 (ý b) Suy ra b,a > a,b §-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã b,a lµ: (12,1+2,7 ) : 2 = 7,4 a,b lµ : 7,4 -2,7 =4,7 Tõ ®Êy suy ra a= 4 ; b= 7 §¸p sè a, a= 1; b=0; c=9 B, a= 4; b= 7 C.PhÐp nh©n I. KiÕn thøc cÇn nhí 1. a x b = b x a 2. a x (b x c) = (a x b) x c 3. a x 0 = 0 x a = 0 4. a x 1 = 1 x a = a 5. a x (b + c) = a x b + a x c 6. a x (b - c) = a x b - a x c 7. Trong mét tÝch nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn ®ång thêi cã mét thõa sè kh¸c bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch kh«ng thay ®æi. 8. Trong mét tÝch cã mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch ®-îc gÊp lªn n lÇn vµ ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch cã mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch còng bÞ gi¶m ®i n lÇn. (n > 0) 9. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi mét thõa sè ®-îc gÊp lªn m lÇn th× tÝch ®-îc gÊp lªn (m x n) lÇn. Ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch mét thõa sè bÞ gi¶m ®i m lÇn, mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch bÞ gi¶m ®i (m x n) lÇn. (m vµ n kh¸c 0) 10. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc t¨ng thªm a ®¬n vÞ, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch ®-îc t¨ng thªm a lÇn tÝch c¸c thõa sè cßn l¹i. 11. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch ®ã ch½n. 12. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chôc hoÆc Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch cã tËn cïng lµ 0. 13. Trong mét tÝch c¸c thõa sè ®Òu lÎ vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 th× tÝch cã tËn cïng lµ 5. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a. 8 x 4 x 125 x 25 d. 500 x 3,26 x 0,02 b. 2 x 178 x 5 e. 0,5 x 0,25 x 0,2 x 4 c. 2,5 x 16,27 x 4 g. 2,7 x 2,5 x 400 Bµi gi¶i a,8 (×125)×(4×25) =1000×100 =100000 d, 500×0,02×3,26 = 32,6 b,2×5×178 =1780 e,0,5 ×0,2×0,25×4 = c,2,5 ×4×16,27 =16,27 Bµi 2: TÝnh nhanh: b) 123 5x + x a) 65 4x + x 1 4 7 5 6 3 7 9 4 9 2006x − x c) 53 7x − x 3 3 1 8 7 d) 2005 9 5 9 Bµi gi¶i 2005 4 4 a,65 5× + =, b, 41 4( )73 1× + = 6 7 4 5( 9 )94 6 c,97 7× − = d, 1 9 8( 5 )53 Bµi 3: TÝnh b»ng c¸ch thuËn tiÖn nhÊt: 1x x x xb) 29 1x x x x x x x x a) 65 2 3 4 5 6 7 8 2 2 3 3 4 4 5 10 Bµi gi¶i 9 8 7 6 5 4 3 a,61 b,101 Bµi 4: TÝnh nhanh: a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32) b) (13,75 - 0.48 x 5) x (42,75 : 3 + 2,9) x (1,8 x 5 - 0,9 x 10) c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (109 - 900 x 0,1 - 9) Bµi gi¶i 1 a,81,26 32) ×(27,3 −17,3)×(32×11− 32×100× − = 81,26 ×10×(32×(11−10 −1) = 0 10 Bµi 5: T×m 2 sè cã tÝch b»ng 5292, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn thõa sè thø nhÊt vµ t¨ng thõa sè thø hai thªm 6 ®¬n vÞ th× ®-îc tÝch míi b»ng 6048. Bµi gi¶i S¸u lÇn thõa sè thø nhÊt lµ:6048 -5292=756 Thõa sè thø nhÊt lµ: 756 : 6 =126 Thõa sè thø hai lµ:5292 :126 =42 Bµi 6: Mét h×nh ch÷ nhËt nÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 25% chiÒu dµi th× chiÒu réng ph¶i thay ®æi nh- thÕ nµo ®Ó diÖn tÝch cña h×nh kh«ng thay ®æi? Bµi gi¶i Ta ®æi 25% = 41.NÕu chiÒu dµi bít ®i 41tøc lµ chiÒu dµi chia cho 4 .®Ó diÖn tÝch kh«ng ®æi th× chiÒu réng ph¶i gÊp lªn 4 lÇn. Th©t vËy ta cã: 1.Bµi to¸n chøng minh xong. S = a×b<=> S =a× ×b× 4 = a ×b 4 Bµi 7: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng 61tÝch cña chóng.(50 ®Ò NguyÔn ¸ng) Bµi gi¶i BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 5 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã: Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(5+1): 2 = 3 ( phÇn) Do vËy, Sè bÐ øng víi:3 - 1 = 2 ( phÇn) Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 3 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ. Nªn sè lín b»ng : 6: 2 = 3. Sè bÐ lµ : 6: 3= 2 . Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+ 2= 5 HiÖu: 3-2= 1 TÝch :3 × 2 = 6 Râ rµng tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (1 ×5 = 5;6 :1 = 6) Bµi 8: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 3 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch cña chóng.(50 ®Ò ,®Ò sè 3 )Bµi gi¶i BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 3 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã: Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(3+1): 2 = 2 ( phÇn) Do vËy, Sè bÐ øng víi:3-2 = 1 ( phÇn) 7 Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 6 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ. Nªn sè lín b»ng 6. Sè bÐ lµ : 6:2 =3 . Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+6 = 9 HiÖu:6-3= 3 TÝch :3 ×6 =18 Râ rµng tæng gÊp ba lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (3×3 = 9;18 :2 = 9) D. PhÐp chia I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí (®äc kÜ tr-íc khi lµm bµi tËp ) 1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0) 2. 0 : a = 0 (a > 0) 3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) 4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0) 5. Trong phÐp chia, nÕu sè bÞ chia t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè chia gi÷ nguyªn th× th-¬ng còng t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn. 6. Trong mét phÐp chia, nÕu t¨ng sè chia lªn n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè bÞ chia gi÷ nguyªn th× th-¬ng gi¶m ®i n lÇn vµ ng-îc l¹i. 7. Trong mét phÐp chia, nÕu c¶ sè bÞ chia vµ sè chia ®Òu cïng gÊp (gi¶m) n lÇn (n > 0) th× th-¬ng kh«ng thay ®æi. 8. Trong mét phÐp chia cã d-, nÕu sè bÞ chia vµ sè chia cïng ®-îc gÊp (gi¶m) n lÇn (n > 0) th× sè d- còng ®-îc gÊp (gi¶m ) n lÇn. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a) 1875 : 2 + 125 : 2 b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2 c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4 d) 43,3 : 2,5 - 19,3 : 2,5 Bµi gi¶i a, (1875+125):2= 1000 b,(20,48 +11,52 ):2 = 16 c,(62,73 +21,27 ) : 2 =42 d,(43,3 +19,3 ):2,5=31.3 Bµi 2: Nam lµm mét phÐp chia cã d- lµ sè d- lín nhÊt cã thÓ cã. Sau ®ã Nam gÊp c¶ sè bÞ chia vµ sè chia lªn 3 lÇn. ë phÐp chia míi nµy, sè th-¬ng lµ 12 vµ sè d- lµ 24. T×m phÐp chia Nam thùc hiÖn ban ®Çu. Bµi gi¶i Trong mét phÐp chia ,nÕu gÊp c¶ sè bÞ chia;sè chia lªn ba lÇn th× th-¬ng kh«ng thay ®æi nh-ng sè d- còng t¨ng lªn ba lÇn. Do ®ã th-¬ng trong phÐp chia cña Nam lµ 12 vµ sè d- ban ®Çu lµ: 24 : 3 = 8 Sè chia lµ ban ®Çu lµ : 8 + 1 = 9 Sè bÞ chia lµ : 9×12+8= 116 §¸p sè : 116; 9 Bµi 3: Sè A chia cho 12 d- 8. NÕu gi÷ nguyªn sè chia th× sè A ph¶i thay ®æi nh- thÕ nµo ®Ó th-¬ng t¨ng thªm 2 ®¬n vÞ vµ phÐp chia kh«ng cã d-? Bµi gi¶i NÕu phÐp chia t¨ng 1 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 – 8 = 4 §Ó th-¬ng t¨ng 2 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 +4 = 16 §¸p sè : 16 Bµi 4: Mét sè chia cho 18 d- 8. §Ó phÐp chia kh«ng cßn d- vµ th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn th× ph¶i thay ®æi sè bÞ chia nh- thÕ nµo?Bµi gi¶i §Ó phÐp chia kh«ng cã d- vµ th-¬ng kh«ng ®æi th× sè bÞ chia cÇn bít 8 ®¬n vÞ. §Ó th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn th× sè bÞ chia gi¶m ®i 2 lÇn. VËy sè bÞ chia ph¶i gi¶m ®i 2 lÇn vµ 8 ®¬n vÞ. Bµi 5: NÕu chia sè bÞ chia cho 2 lÇn sè chia th× ta ®-îc 6. NÕu ta chia sè bÞ chia cho 3 lÇn sè th-¬ng th× còng ®-îc 6. T×m sè bÞ chia vµ sè chia trong phÐp chia ®Çu tiªn. Bµi gi¶i 8 NÕu chia mét lÇn sè chia ta cã th-¬ng lµ: 6 × 2= 12 Chia mét lÇn cho 12 ta cã sè chia lµ: 6 : 3 = 2 VËy sè bÞ chia lµ: 12× 2=24 §¸p sè : 24 Bµi 6: Mét phÐp chia cã th-¬ng lµ 6, sè d- lµ 3. Tæng sè bÞ chia, sè chia vµ sè d b»ng 195T×m sè bÞ chia vµ sè chia?Bµi gi¶i V× sè d- lµ 3 vµ th-¬ng b»ng 6 nªn sè bÞ chia gÊp 6 lÇn sè chia vµ 3 ®¬n vÞ.Bít ®i 3+3 =6 ta ®-a vÒ bµi to¸n tæng tØ ta cã: tæng lµ 195 -6 = 189 Tæng sè phÇn b»ng nhau lµ: 6 +1 =7 ( phÇn ) Sè bÞ chia lµ : 189 : 7 × 6+3 = 165 Sè chia lµ ( 165 -3) : 6 = 27 §¸p sè : 165 ;27 Bµi 7: Cho 2 sè, lÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 7 vµ sè d- lín nhÊt cã thÓ cã®-îc lµ 48. T×m 2 sè ®ã.Bµi gi¶i V× sè d- lµ sè lín nhÊt cã thÓ cã nªn sè chia lµ: 48 +1 = 49 V©y sè lín lµ 49 × 7= 343 §¸p sè : sè lín :343 ; sè bÐ : 49 Bµi 8: HiÖu 2 sè lµ 33. LÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 3 vµ sè d- lµ 3. T×m 2 sè ®ã.Bµi gi¶i Coi sè bÐ lµ 1 phÇn th× sè lín lµ 3 phÇn vµ 3 ®¬n vÞ . V¹y hiÖu sè phÇn gi÷a sè lín vµ sè bÐ (hay 33 øng víi )lµ: 3 phÇn + 3 – 1 phÇn = 2 phÇn + 3 ®¬n vÞ VËy 2 phÇn øng víi : 33 -3 = 30 VËy 1 phÇn lµ : 30 :2 = 15 Sè lín lµ : 15 ×3 +3 = 48 Sè bÐ lµ 48 – 33 = 15 §¸p sè : 48 ; 15 PHẦN III. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí 1. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n chØ cã phÐp céng vµ phÐp trõ (hoÆc chØ cã phÐp nh©n vµ phÐp chia) th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh theo thø tù tõ tr¸i sang ph¶i. VÝ dô: 542 + 123 - 79 482 x 2 : 4 = 665 - 79 = 964 : 4 = 586 = 241 2. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n, cã c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh nh©n, chia tr-íc råi thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh céng trõ sau. VÝ dô: 27 : 3 - 4 x 2 = 9 - 8 = 1 3. BiÓu thøc cã dÊu ngoÆc ®¬n th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh trong ngoÆc ®¬n tr-íc, c¸c phÐp tÝnh ngoµi dÊu ngoÆc ®¬n sau VÝ dô: 25 x (63 : 3 + 24 x 5) = 25 x (21 + 120) =25 x 141 =3525 II. Bµi tËp Bµi 1: ViÕt d·y sè cã kÕt qu¶ b»ng 100: a) Víi 5 ch÷ sè 1 . b) Víi 5 ch÷ sè 5. Bµi gi¶i a, 111 -11 =100 b,( 5+5+5+5)×5 =20×5 = 100 Bµi 4: Cho d·y tÝnh: 128 : 8 x 16 x 4 + 52 : 4. H·y thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo d·y tÝnh ®ã sao cho: 9 a) KÕt qu¶ lµ nhá nhÊt cã thÓ? b) KÕt qu¶ lµ lín nhÊt cã thÓ ? Bµi gi¶i a,128 : (8 ×16 ) ×(4 + 52 ) : 4 = 1×14 = 14 HoÆc 128 : (8 ×16 ×4 + 52 ) : 4 =128 : 564 :4 =1418 32= b,128:8 ×16×(4 +52:4) = 3328 141 : 4 Bµi 5: H·y ®iÒn thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo biÓu thøc sau: A = 100 - 4 x 20 - 15 + 25 : 5 a) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt lµ bao nhiªu? b) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã lµ bao nhiªu? Bµi gi¶i a,(100- 4)×20 – (15 + 25) : 5 =1920- 8=1912 b,100- (4 ×20) – (15 +25 : 5 )= 20 -20 = 0 Bµi 6: T×m gi¸ trÞ sè tù nhiªn cñ a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã lµ bao nhiªu? A = (a - 30) x (a - 29) x …x (a - 1)Bµi gi¶i a= 30 th× A =0 thËt vËy A =( 30 – 30 )×(30 − 29)×...×(30 −1) = 0×1×2×...×29 = 0 Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cña sè tù nhiªn a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã lµ bao nhiªu? A = 2006 + 720 : (a - 6)Bµi gi¶i §Ó A lín nhÊt th× 720 : ( a- 6) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi ®ã a -6 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín h¬n 0. Hay a- 6 = 1 => 720 : (a – 6 ) = 720 => 2006 +720 : ( a – 6 ) = 2006 + 720 = 2726 Bµi 8: TÝnh: a) 1 − b) 1 1 1 + Quy ®ång tõ d-íi vµ gi¶i ng-îc 1 1 1 + 1 + 1 1 1 + 1 + 2 2 tõ d-íi 1 1 c) +d) 1 2 + 2 + 1 3 1 + 1 1 4 + +Ph©n sè tØ sè cã nhiÒu bµi tËp kiÓu nµy. NÕu trong ®Ò thi e) 1 1 1 + cã kÕt qu¶ th× nªn gi¶i ng-îc tõ cuèi. 2 VÝ dô d-íi ®©y sÏ chøng tá ®iÒu ®ã: 2 3 + Bµi 8b,T×m c¸c sè tù nhiªn a,b,c sao cho: A=952=5+ 1 a11 + b + c 525+97(®æi ra hçn sè) A== 9 =5+ 1=5+ 9 7 1 1 + 2 7 =5+ 1 1 + 1 7 =5+ 1 1 1 + =5+ 1 1 a11 + =.> a=1;b=3;c=2 2 3 + 2 b + c 10 Bµi tËp t-¬ng tù S=761=8+ 1 a11 + B=752=7+ 1 a11 + b + b + c c Bµi 9: 3=7 2+ −21 4 − y 3=7 -2 =5( t×m sè −21 4 − y h¹ng) 1=3:5=53(t×m sè 4 -2 − y chia) 1=4 -53=517(t×m sè 2 − y trõ) 2 – y =1 : 517=175(t×m sè chia) y= 2 -175(t×m sè trõ) y= 1729 1 157 b, 2+ =68 1 3 + 1 4 + y 1 157-2 =6821(t×m sè =68 1 3 + 1 4 + y h¹ng) 11: 6821=2168(t×m sè 3+ = +y1 4 chia) 1 68-3=215 = +y1 21 4 1 21= 21 20 4 − 1 y(PSTS) = − = 5 5 5 Bµi 10 a,TÝnh tæng S = 1+ 4+ 9+...+1 00 = 1×1+ 2×2 + 3×3+...+10×10= 10 ×(10+1)×(2 ×10 +1 ) : 6=385 b,§iÒn dÊu ngoÆc vµo chç thÝch hîp ®Ó A= 1004, biÕt A= 11×91+ 24 : 5+ 3 Ta cã A= 11×91+ 24 :(5 + 3)=1004 Bµi 11: a, T×m sè tù nhiªn n sao cho: 121× < n n =23 Bµi 12: T×m x lµ sè tù nhiªn biÕt: 6= + x xV× 207:17=12nªn ta cã b)117 60 a)204 17= 6= 33 + x=3321 7 3= ×=175=>x =5117 x=17 12 ×=>6+x=21 17= 60 204 5 12 × 33 11 3 × 12= + x d) 73 c) 32 11 1 < < xe) 2 11 1 < < 43 − x 5< x g2 x 1 1 2a b b a => b-a =2 nªn ax=1934 =2×(= ( 1) 2 1933=>= x + × 1935 x + 1935 1= 1 1 1 2011 1 Bµi tËp t-¬ng tù : 1+2013 + + + +x x 3 6 10 ... + + ( 1) : 2 1= 1 1 1 933 1 1+935 + + + +x x c,186 3 6 10 ... + + ( 1) : 2 x( §Ò thi ks HSG VÜnh T-êng 2011) 2 27− = 9 92 x=2715=> x= 15 6 27= + 18 Bµi 19: T×m y: 1:43 2 ⎜⎝⎛ 3 ⎜⎝⎛+ × 11 ⎞ 7 4 :511 ⎟⎠⎞ 3 4 2 5 4 ⎟ − × − ⎠ 11 3 2 ⎞ 5 2 =64 ⎜⎝⎛+ 2 4 ⎟× y ⎠ B=x+x×2 + x×3+...+ x×5 = x×6 +18090(kh¶o s¸t huyÖn S«ng L«) Cïng bít c¶ hai vÕ x×6 ta cã x×9 = 18090 x = 18090 : 9 = 2010 Bµi 20 Tim x,biÕt a, x -4344 32==>x =4376 b, x -1072 3==> x =2175 43 100 0,5 2− = − x + × 7 11 x + d, 0,5 0 125+ = c,100 125 5 2 12 Bµi 21 a, TÝnh A= 1,1 +2,2+ 3,3 + ...+8,8 +9,9 =(1,1 +9,9) ×9 : 2 =49,5 B= 171 1× × × × (®æi ra PS ) 2 11 3 11 4 ... 1 b, Ta cã : 1+2=3 (1) 4+5+6= 7+ 8 (2) 9 +10+11 +12 =13 +14 +15 (3) a,Em h·y viÕt tiÕp hµng thø t-. b,Trong « thø 100 cã bao nhiªu sè,sè cuèi cïng b»ng bao nhiªu ? (§Ò thi HSG n¨m 2009) Gi¶i a,16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4) b, XÐt nhãm (1) bªn ph¶i cã 1 sè h¹ng ,bªn tr¸i cã(1+1 =)2 sè h¹ng XÐt nhãm (2) bªn ph¶i cã 2 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(2+1 =) 3 sè h¹ng XÐt nhãm (3) bªn ph¶i cã 3 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(3+1 =) 4 sè h¹ng Suy ra nhãm thø 100 bªn ph¶i cã 100 sè h¹ng , bªn tr¸i cã 100+1 = 101 (sè h¹ng ) VËy nhãm thø 100 cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng lµ : 100+101 =201 (sè h¹ng ) Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (1)cã d¹ng :1×1 = 1 Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (2)cã d¹ng :2×2 = 4 Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (3)cã d¹ng :3×3 = 9 VËy Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (100)cã d¹ng :100×100 =10000 Sè h¹ng cuèi cïng trong nhãm thø 100 lµ : 1000 +1 ×(201 -1) =10200 §¸p sè :a, 16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4 b, 201 :10200 Bµi tËp t-¬ng tù (§Ò thi KSCL HSG VÜnh Phóc) Ng-êi ta cã 10 bao g¹o nh- sau : 1kg ; 3kg ; 6kg ; 10kg ; ... a,Em h·y ghi tiÕp khèi l-îng cña c¸c bao cßn l¹i. b. NÕu ng-êi ta muèn lÊy 1 t¹ tõ c¸c bao nguyªn th× cã thÓ chän nh÷ng bao nµo ? Gi¶i a,Ta cãbao sè 1 lµ 1=1 Ta cãbao sè 2 lµ 3=1+2 Ta cãbao sè 3 lµ 6=1+2+3 Ta cãbao sè 4 lµ 10=1+2+3+4 nªn ta cã c¸c bao tiÕp theo lµ : Ta cãbao sè 5 lµ 15=1+2+3+4+5 Ta cãbao sè 6 lµ 21=1+2+3+4+5+6 Ta cãbao sè 7 lµ 28=1+2+3+4+5+6+7 Ta cãbao sè8 lµ 36=1+2+3+4+5+6+7+8 Ta cãbao sè 9 lµ 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9 Ta cãbao sè 10 lµ 55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 b, 1 t¹ = 100kg mµ 100= 45+55=45+36+15+3+1=.... Bµi 22 §iÒn dÊu ngoÆc vµo phÐp tÝnh ®Ó ®-îc kÕt qu¶ lµ 2009 a, 34×59 + 24 : 6 + 2 Gi¶i a, 34×59 + 24 :(6 + 2)=2009 b, §iÒn dÊu ngoÆc ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt B=34×59 + 6 : 2 §Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× B = 34 ×(59+ 6 : 2) =34 ×62 = 2108 ;53;21 ViÕt sè h¹ng thø 5 trong d·y 8 21 c,XÐt d·y sè sau : ;... 13 ; 34 13 Gi¶i Quy luËt cña d·y sè lµ : 1+2=3 2+3=5 5+8=13 8+13 =21 VËy tö cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 13+21=34 VËy mÉu cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 21+34 =55 6765lµ mét sè h¹ng trong d·y , viÕt sè h¹ng ®øng tr-íc nã(§Ò thi HSG - BiÕt 10964 2008) Gi¶i MÉu sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 10964 -6765=4199 Tö sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 6765 –4199=2566 VËy ph©n sè cÇn t×m 2566 lµ :4199 Bµi 23 §Ò thi HSG n¨m 2010 -2011 A, TÝnh A = 12,3 ×3,5+12,3×2,4 +12,3×4,1= 12,3 ×(3,5 +2,4 +4,1 )=12,3 ×10=123 b, ViÕt tÊt c¶ ph©n sè cã tæng tö sè vµ mÉu sè b»ng 10 vµ nhá h¬n 1. gi¶i v× 10=0+10 ;1+9 ; 2+8 ;3+7 ;4+6 =>ta cã64;73;82;91; 0. 10 Bµi tËp t-¬ng tù :ViÕt tÊt c¶ c¸c PS cã tæng tö vµ mÉu b»ng 11 vµ lín h¬n 1 Bµi 24 Cho nhãm sè (1) ; (2,3) ; (4,5,6) ; ...a, ViÕt nhãm thø 4 b, Nhãm thø 100 cã bao nhiªu sè h¹ng. c, Sè h¹ng thø 2 trong nhãm thø 100 lµ sè nµo ? Bµi gi¶i + Nhãm 4 cã d¹ng :(7,8,9,10) +Nhãm 1 cã 1 sè h¹ng ; nhãm 2 cã 2 sè h¹ng ; nhãm 3 cã 3 sè h¹ng ;... ; nhãm 100 cã 100 sè h¹ng. +Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 1 lµ :1 - Sè cuèi cïng cña nhãm 2 lµ :1+2=3 - Sè cuèi cïng cña nhãm 3 lµ :1+2+3 =6 ...- Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99)×99 :2=4950 VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 =4952. 1+ + + + 1 1 1. Bµi tËp t-¬ng tù : Cho d·y sè: ..... 1 5 a, ViÕt tiÕp 3 ph©n sè tiÕp theo. 15 34 b,Ph©n sè thø 100 mÉu cã bao nhiªu sè h¹ng. c, Sè h¹ng thø 2 trong mÉu sè cña PS thø 100 lµ sè nµo? (§Ò to¸n Kh«i s¸ng t¸c) Gi¶i a,XÐt tö cña tÊt c¶ c¸c ph©n sè ®Òu b»ng 1. XÐt mÉu cña tõng ph©n sè ta cã: MÉu sè cña ph©n sè thø nhÊt lµ:1=1 MÉu sè cña ph©n sè thø hai lµ: 5=2+3 MÉu sè cña ph©n sè thø ba lµ:15=4+5+6 vËy MÉu sè cña ph©n sè thø t- lµ: 7+8+9+10=34 MÉu sè cña ph©n sè thø n¨m lµ: 11+12+13+14+15=65 MÉu sè cña ph©n sè thø s¸u lµ: 16+17+18+19+20+21=91 VËy ta cã 3 ph©n sè tiÕp theo lµ:911; 1 34 ; 1 65 b,XÐt mÉu cña phÊn thø nhÊt cã 1 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) XÐt mÉu cña phÊn thø haicã 2 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) XÐt mÉu cña phÊn thø ba cã 3 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) ....XÐt mÉu cña phÊn thø 100 cã 100 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) c/+Sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1 lµ :1 - Sè cuèi cïng cña PS 2 lµ :1+2=3 - Sè cuèi cïng cña PS 3 lµ :1+2+3 =6 14 ...- Sè h¹ng cuèi cïng cña PS 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99)×99 :2=4950 VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 = 4952 Bµi 23 b/ Dù kiÕn ®Ò thi häc sinh giái 2011-2012.(§Ò kh«i s¸ng t¸c) Cho d·y sè :6534 ;11... 5 15 ; a, H·y viÕt tiÕp ph©n sè tiÕp theo. b,NÕu viÕt ph©n sè thø 50 c¶ tö vµ mÉu d-íi d¹ng 1 tæng th× c¶ tö vµ mÉu gåm bao nhiªu sè h¹ng. c, Sè h¹ng thø nhÊt ë mÉu lµ sè nµo?Bµi gi¶i Ph©n sè thø nhÊt cã d¹ng :1=1 Tö ph©n sè thø hai cã d¹ng:5=2+3 MÉu ph©n sè thø hai cã d¹ng: 15=4+5+6 Tö ph©n sè thø ba cã d¹ng : 34=7+8+9+10 MÉu ph©n sè thø ba cã d¹ng: 65=11+12+13+14+15 ...VËy tö cña ph©n sè thø t- lµ : 16+17+18+19+20+21=111 111 MÉu cña ph©n sè thø t- lµ: 22+23+24+25+26+27+28=155 ta cã ph©n sè: 155 b, Gäi mÉu cña ph©n sè thø nhÊt lµ nhãm 1 th× sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1 lµ :1 - Gäi tö sè cña PS thø hai lµ nhãm 2 th× sè h¹ng cuèi cïng cña tö PS thø 2 lµ :1+2=3 - Sè cuèi cïng cña mÉu PS thø 2 lµ :1+2+3 =6 ..... Ta l¹i cã mÉu PS thø 50 thuéc nhãm : 50×2-1 =99,vËy tö PS thó 50 thuéc nhãm 99-1= 98 Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm thø 98 hay tö PS thø 50 lµ :1++2+3+4+...98=4751 VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 99 lµ hay sè h¹ng thó nhÊt ë mÉu ph©n sè thø 50 lµ :4751+1=4752. ;31a, TÝnh tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu. 11 31 Bµi 24. Cho d·y sè :;... 3 ;7; 3 b, Trong 100 sè h¹ng ®Çu cã bao nhiªu sè tù nhiªn. c, TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè h¹ng ®Çu. Bµi gi¶i a,Kho¶ng c¸ch cña c¸c sè h¹ng lµ :310 Sè h¹ng thø 100 lµ : 31+310 ×(100-1)=3991 Tæng 100 sè h¹ng 49600 ®Çu lµ : (31+3991)×100 :2=3 b,C¸c sè tù nhiªn trong d·y lµ c¸c ph©n sè mµ tö chia hÕt cho 3 theo nguyªn t¾c sè thø nhÊt chia 3 d- 1 ; sè thø 2 chia 3 d- 2, sè thø ba chia 3 d- 0. XÐt ph©n sè 3991 chia 3 d- 1 nªn ph©n sè tr-íc nã lµ sè tù nhiªn.Sè tù nhªn ®ã lµ : 3991-310=327 c, Ta cãd·y 7 ;17 ;27 ;... ;327 Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè tù nhiªn lµ : 17 -7 =27 -17 =...=10 Sè sè h¹ng lµ : (327 -7) : 10 +1 =33(sè h¹ng) Tæng c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè h¹ng ®Çu lµ : (7 +327)×33 :2 =5511 1a, T×m sè h¹ng thø 100 trong d·y. 2 1 Bµi tËp t-¬ng tù :Cho d·y sè ;... 3 ;3 3 ;7;10 3 15 b,§Õm trong 100 SH ®Çu cã bao nhiªu sè tù nhiªn ; c,TÝnh tæng cña 100 SH ®Çu vµ tæng cña c¸c sè tù nhiªn võa t×m ®-îc ë ý b. Bµi 1 G, C¸c bµi to¸n chän läc 2009 2009 20082008 2008 2008 20092009 × × − × × a,TÝnh : S =2008 20072007 × 2009 2009 2008 10001 2008 2008 2009 10001 × × × − × × × Ta cã S =2008 2007 10001 × × 2009 2008 1001 (2009 2008) × × × −(Rót gän) S =2008 2007 10001 2009 S =2007 × × 11 11 1010 10 10 1111 × × − × × Bµi tËp t-¬ng tù 1a/ 10 2020 × 2011 2011 20102010 2010 2010 20112011 × × − × × 1b/ 2010 20092009 × Bµi 3 TÝnh S = 1 -2 + 3- 4 +5 – 6 ... -100 +101 1+ − + − + 1 1 P = 5 – 5100 2 6 6 2 ... 99 2 A = 9,8 + 8,7 + 7,6 +....+ 2,1 - 2,1 - 1,2-...- 8,9 Gîi ý (9,8 -8,9) Bµi 4 T×m x biÕt : (x+1) + (x+4) +...+ (x +28) = 155 Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè h¹ng lµ : (x + 4) - (x+1) = (x +7) – (x + 4) =...= 3 Sè c¸c sè h¹ng lµ : (x+28) - (x +1) :3 +1 = 10( sè h¹ng) Tæng cña nhãm lµ : (x+28+x+1)×10 : 2 =x ×5+145=155 => x=1 Bµi 5 TÝnh tæng S =10,11+11,12+12,13 +... + 98,99 +99,100 S =10,10 +11,11 +12,12+...+98,98 + 99,99 Kho¶ng c¸chcña d·y sè lµ :11,11-10,10 = 12,12-11,11=...= 99,99 - 98,98 =1,01 Sè sè h¹ng lµ:(99,99 - 10,10) :1,01+1 = 90(sè h¹ng) Tæng cña d·y lµ:(10,10 + 99,99)×90 : 2 = 4954,05 39,48 17 83 39,48 × + × Bµi 6 Cho A = 1990 72 :( 6) a T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó A cã gi¸ trÞ lín nhÊt Gi¶i : − − §Ó A cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× 1990- 72 : (a- 6) lín nhÊt vµ lín h¬n 0 ( kh«ng thÓ chia cho 0) khi ®ã72 :( a-6) ph¶i lín nhÊt vµ nhá h¬n 1990) 1+ + + + + + + + ( T×m kho¶ng c¸ch) 11 31 1 1 3 3 B= (1 + 1) : 23 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 ... 4 4 Bµi 7 TÝnh gi¸ tÞ biÓu thøc (®Ò thi kh¶o s¸t HSG huyÖn S«ng L« n¨m 2011) a, T =3031 3+ + + + 2 7 6 13 12 21 20 T=1+301 1+ + + + + + + + 2 1 1 1 6 1 1 1 1 12 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1 1 T=1) ×=5×625 5= ×5 + ( + + + +=5×() 2 6 12 20 30 1 2 + 2 3 × + 3 4 × + 4 5 × + 5 6 × 6 b,T×m x , biÕt : (x -35 )× 6 = 300 : 25 = 12 (x -35) = 12 : 6 213; 2716vµ 2915c,so s¸nh 5221vµ 523 16 31= − (1) 310 1 Gi¶i a,5221=1-520 213=1-523 52 310 310 11- 523 310(2) Tõ (1) vµ (2) => > 310nªn − < 310=> 5221<523 213 523 16 520 523 520 b, 2915<< 29 16nªn2915<2716 27 Bµi 8 ®Ò thi KSCL HSG VÜnh T-êng n¨m 2011 2003 14 1988 2001 2002 × + + × a, TÝnh nhanh 2002 2002 503 504 2002 b, So s¸nh + × + × 1999vµ 1210 c, 186 x 2 2001 Gi¶i 2 c, 186 27− = 9 1999=1-2001 x=1810=2715=> x=15 2 b, 2001 2;1210=1-122v× 122>2001 2< 1-122 hay1210<2001 27= + 9 nªn1-2001 1999 2046 (47 48 47 47 24 24 23) − × − × − − − Bµi 9 a,TÝnh nhanh : 2 4 8 ... 512 1024 1− + = + + + + + 1 a ba Tèi gi¶n 1 b, T= (*) 5 4 b 20 c,T×m y biÕt 343 1 1 1 1 1 × y × ( × × × × = (§Ò thi c¸c huyÖn thÞ) Gi¶i : 2 6 12 20 30 2046 (47 48 47 47 (24 23) − × − × − += = 2046 (47 (48 47 1) a,2 4 8 ... 512 1024 + + + + + − × − − 2 4 8 ... 512 1024 + + + + + 2046 2 4 8 ... 512 1024 §Æt S = 2+4+8+...+512+1024 ta cã S× 2=4+18+...+1024+2048 + + + + + S× 2 -S =(4+18+...+1024+2048)- (2+4+8+...+512+1024)=2048- 2=2046 2046 2046 vËy ta cã 1 S = = 2046 b,201 1( + − = a=>= 1 1+ − =101 ) 5 b 4 a b 20 1 4 1 5 Bµi 10TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau ; a, 0,1 +0,2 +0,3 +... + 1,9 =(0,1+1,9)×19 : 2 = 19 b, (2010 ×2011+ 2012×2013)311 1 1 × (1 −43 2 :1 2 ×) = 0 c, 1,3 -3,2 +5,1 -7 +8,9 -10,8 +... +35,5 -37,4 +... + 41,2 – 43,1 Gi¶i : Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè lµ :1,9 Sè c¸c sè h¹ng lµ : (43,1 -1,3) :1,9 +1=23 (sè sè h¹ng) (3,2-1,3)+(7-5,1)+(10,8-8,9)+...+(43,1-41,2) =1,9 ×23 =43,7 Bµi 11 a, Chøng tá r»ng 278 1+ + + + >( V× ) 20 1 21 1 22 ... 1 27 1> 20 1 27 1+ + + + > × =278nªn278 1 1 1 1 1+ + + + > 1 1 1 Gi¶i 8 20 21 22 ... 27 27 20 21 22 ... 27 1+ y + y = 1 Bµi 12 : a, t×m y, biÕt y+y :15 2 : 0,25 : 8 17 2×vµ 0,75101 b, Kh«ng tÝnh h·y so s¸nh : 20,09 × 20( §Ò thi KSHSG LËp Th¹ch 2010) 3 1+ y + y =; Hay y+y15 1 2 1: 8 Gi¶i : y+y :15 2 : 0,25 : 8 × + y + y × = 2 4 8 1 4 1 y+y15 × + y × + y × = 1 1 1 y×(1+ 2 + 4 +8) =15 y×15 =15 => y = 1 b, 43 2< = MÆt kh¸c 20,09 <20,1 1 2×< 0,75101 3 0,75 20 =nªn20,09 × 20 10 3 133(§Ò thi hÕt häc phÇn §¹i häc SP Hµ Néi) Bµi 13 a, So s¸nh 4925vµ7135 b,1513vµ 153 c, TÝnh tæng S = 1×3+ 2×4 + 3×5+...+8×10 §Ò xuÊt lêi gi¶i vµ cho mét bµi to¸n t-¬ng tù (§Ò thi §¹i häc SPHN 2) 25> =7135 1= >4925=>4925>7135 Gi¶i a, 5025 49 2 35 70 20(1) b, 1513=1-152= 1-150 133=1-153 20 (2) V× 150 20nªn 1-150 153 20> 153 20< 1-153 20 nªn 153 133> 1513 HD T¸ch 3 =2+1 ; 4=3+1 ; 5= 4+1...Do vËy ta cã : S=1×(2 +1) + 2×(3+1) + 3×(4 +1) +...+8×(9 +1) =(1×2 + 2×3+ 3×4 +...+8×9)+(1×1+ 2×1+ 3×1+...+8×1) =8 ×(8+1)×(8+2) :3 +(1+8) ×8 : 2=276 Bµi to¸n t-¬ng tù cã thÓ lµ S= (1×2 + 2×3+ 3×4 +...+8×9)HoÆc 1×1+ 2×2 +...+8×8 Bµi 14 a, t×m x,biÕt : x : 6 ×7,2 +1,3× x + x : 2 +15 =19,95 2001 2011 ×víi 1 (§Ò thi KSCL HSG VÜnh Phóc 2011) b, So s¸nh :2005 2005 Gi¶i : × 1x x19,95 72 13 1 2001 (2005 6) a,x × × + × + × +15 = × + 6 10 10 2 b,(2001 4) 2005 x×()21 12+ + =19,95 -15=4,95 13 + × 2001 2005 2001 6 10 10 × + ×>1 x×9 =4,95=> x =5 =2001 2005 2005 4 × + × 4 4 4 µi 15 a, T×m y,biÕt : 74 3:52× y + = + b,23 27 4 1 ×(VÜnh 5 7 3 Phóc) a, 74 3:52× y + = + Gi¶i 4 3 7 4 + 7 11 × 4 + + ... × 4 1 b,23 27 5 7 3 3 7 × + + + ... 7 11 × × =241 1− + − + + − =247 4+ − = 1 1 1 1 2 1 4 1 1− = 1 = × y = 3 7 3 7 3 3 4 4 5 ... 23 3 24 => y =21 2:31= 3 Bµi 16 So s¸nh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt 18 nvµ1009 + 1 n(VÜnh Phóc) 27 b,1008 − 1 a,6013vµ 100 n + n + Gi¶i 26< < 27 27 a, V× 6013=100 120 120 27 nªn 6013<100 n − 1 n> 1008 + 1 n>1009 − 1 b,1008 n + n + n + n − 1 n>1009 + 1 nªn 1008 n + n + Bµi 1 C¸C b¸i to¸n hay trÝch dÉn tõ to¸n tuæi th¬ Cho sè A biÕt: A = 4×4×4×...×4×25×25×25×...×25( 100 thõa sè 4, 100 thõa sè 25) .Hái A cã bao nhiªu ch÷ sè. Gi¶i Ta cø ghÐp ( 4× 25) thµnh 1 nhãm ta cã 100 nh- vËy. Ta l¹i cã 4× 25=100mçi nhãm cho ta hai ch÷ sè 0.VËy 100 nhãm cho ta: 100×2 = 200( ch÷ sè 0) b/T×m M, biÕt M =9997 1+ + + +(TTT sè 121 lêi gi¶i 123) Gi¶i 3 13 15 33 35 61 63 2+ − + − + − + − =1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M = (1- ) 3 ) (1 15 ) (1 35 ) (1 63 ) (1 99 ×5 − ( + + + + 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1− = 5 -1145 1 = 5 - () 10= ×= 5-() 1 3 + 3 5 × + 5 7 × 1 + 1 7 9 × 1 + 9 11 × 1 11 11 Bµi 2 T×m x , biÕt S = = + + + +( 1) : 2 2009(TTT sè 113) 3 6 10 ... x x 2011 × + Gi¶i V× t¸ch 3 =1+2; 6 = 1+2+3 ; nªn ta cã: S = 1 1 1 2 2 2 2009 + × x x= = (1 2) 2 + (1 3) 3 + × + + ... × + ( 1) 2 3 + + + ... x x 2011 × ( 1) 3 4 2 1 1 2 1 2 1 × 1 × + x)= 2011 − 1 S =2×(= x x2×(= 2009 ×) x2×(2 ( 1) 2 3 x-1 =2009 + 3 4 × + + ... × + ( 1) 2 − ) ( 1) + × + x x+1 2011=> x=2010 1,32,23,14;31,22,13;21,12;11 Bµi 3 XÐt d·y ph©n sè: ;.... 4 a, H·y nªu quy luËt cña d·y vµ viÕt tiÕp n¨m PS tiÕp theo cña d·y. b,Ph©n sè 3150lµ PS thuéc nhãm thø bao nhiªu vµ lµ PS thø bao nhiªu trong d·y ®ã. Gi¶i a,C¸c PS ®-îcviÕt thµnh tõng nhãm( ph©n c¸ch bëi dÊu chÊm ph¶y);cã tæng cña tö vµ mÉu lÇn l-ît lµ2;3;4;5.... Trong mçi nhãm th× mÉu ®-îc viÕt theo thø tù t¨ng dÇn1;2;3... Dodos 5 PS tiÕp theo lµ: .51,42,33,24,15 b, Theo c¸ch chia nhãm nh- trªn, tæng cña ntö vµ mÉu cña nhãm thø nhÊt lµ 2, cña nhãm thø hai lµ 3; cña nhãm thø ba lµ 4,... do ®ã PS 3150thuéc nhãm thø (50+31 -1 =)80 vµ lµ ph©n sè thø 31 cña nhãm Êy . Sè l-îng c¸c ph©n sè tr-íc nhãm thø 80 lµ :1+2+3+...+79 =3160 PS 3150lµ ph©n sè thø :3160+31=3191. Bµi tËp t-¬ng tù : 1,32,23,14;31,22,13;21,12;11 XÐt d·y ph©n sè: ;.... 4 a, H·y nªu quy luËt cña d·y vµ viÕt tiÕp n¨m PS tiÕp theo cña d·y. 19 b,Ph©n sè 2556lµ PS thù«c nhãm thø bao nhiªu vµ lµ PS thø bao nhiªu trong d·y ®ã.(HoÆc1368) c, Ph©n sè 3170lµ PS thuéc nhãm thø bao nhiªu vµ lµ PS thø bao nhiªu trong d·y ®ã. Bµi 4 T×m x: 1= 1 1 1 98 a,1545 5 8 + + + + ... × x x 8 11 × 11 14 × × + ( 3) 1= b, T×m c¸c sè a,b, c ®Ó abc + +(T×m ®äc ph©n sè,tØ sè tr ang 14) Gi¶i a b c0, 1= 1 1 1 98 a,S=15450 5 8 + + + + ... × x x 8 11 × 11 14 × × + ( 3) 3= 3 3 3 294 S×3 =1545 5 8 + + + + ... × x x 8 11 1 1 × 1 1 11 14 × 1 1 × + ( 3) 1 1 1 1 x= − 2 =3 x x=3 − + − + − + + − −x=5 ( 3) 5 8 8 11 11 14 ... + 5 + × + x x=> x =100 x:3=1545 − 2= 98 − 2 294:3=1545 S =5 ( 3) × + x 1 abc b,Tãm t¾t 1000 15 ( 3) × + x abc abc + +Quy ®ång tö sè ta cã = a b c= abc × (a + b + c) 1000 abc ×(a+b+c)=1000 v× 1000=200×5=250×4 =125×8LËp b¶ng ta cã ; a=1; b=2 ;c= 5 §¸p sè abc = 125 1 1 1 Bµi 5 T×m c¸c sè a,b,c lµ nh÷ng sè thÝch hîp vµ kh¸c nhau sao cho1 a b c(TTT) + + = 1 1 1 Gi¶i :Ta quy -íc a < b < c th× a b c 1× > 1+ + = 1 1 ta cã :1 > >hay 3 1 a=> 1 = = => = 2 3 b 2 4 c LËp b¶ng ta cã: a b c a×b×c = 648 KÕt luËn 2 3 4 2×3×4 = 24 lo¹i 4 6 8 4×6×8 =192 lo¹i 6 9 12 6×9×12=648 Chän a = 6 th× b = 9; c = 12 VËy a + b + c = 6 + 9 + 12 = 27 a b c Bµi tËp bæ sung a/BiÕt: 2 3 4 = =vµ a×b×c =192TÝnh a + b + c =? a b c b/ BiÕt: 2 3 4 = =vµ a×b×c=1536 TÝnh a + b + c =? 20 Bµi 10TÝnh A=994 4× + × + + × 3 4 7 4 7 4 11 .... 4 95 4− + − + − = − = Gi¶i 74 4 4 4 4 4 4 4 128 4× = − Nªn ta cã.A=99 3 4 7 4 3 3 7 7 ... 11 95 99 3 99 b, t×my,biÕt: 343 1 1 1 1 × y × ( + + + + =(§Ò thi c¸c huyÖn thÞ n¨m 2010) 2 6 12 ... 30 ) a b a bgi¶i + Bµi 11 a,T×m c¸c sè tù nhiªn a,bsao cho: 2 3 2 + 3 + = a b a b a b a a V¬Ý a kh¸c b kh¸c 0 th× 2 5 b b + >t-¬ng tù ta cã3 5 >nªn =>= + > + = 2 3 5 5 2 3 + a + b VËy chØ s¶y ra dÊu b»ng nÕu a=b =0 5 b,T×m a,b,c kh¸c nhau sao cho :a,bc: (a+b+c)=0,25 (nh©n 100 c¶ 2 vÕ) Gi¶i : a,bc: (a+b+c) = 0,25 (nh©n 100 víi SBC vµ SC ta cã) abc: ( a+b+c)×100)=0,25=>abc=(0,25×100) ×(a+b+c); 99 < abc< 1000 nªn a + b + c > 3 ta cã b¶ng sau: a+b+c abc =(0,25×100) ×(a+b+c); Thö l¹i KÕt luËn 4 100 1+0+0=1<4 lo¹i 5 125 1+2+5=8>5 lo¹i 6 150 1+5+0=6 =6 Chän 7 175 1+7+5=13>7 lo¹i 8 200 2+0+2=2< 8 lo¹i 9 225 2+2+5=9=9 lo¹i v× a=b 10 250 2+5+0=7<10 lo¹i 11 275 2+5+7=17>11 lo¹i 12 300 3+0+0=3<12 lo¹i 2011 4022 :( 2009) − x − T×m x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.Gi¸ Bµi 12: Cho M=2009 2010 2011 × × trÞ nhá nhÊt ®ã b»ng bao nhiªu? Gi¶i §Ó M nhá nhÊt th× tö sè nhá nhÊt hay 2011- 4022:(x-2009) =0 Khi ®ã 4022:(x-2009)=2011 Hay (x-2009)=2=> x=2009+2=2011 Bµi 13 TÝnh: 1× + + + 1111 ( 1111 1111 a)) 11 1212 2020 .... 7272 0,18 5 0,9 2 0,2 0,6 3 2 × + × × + × × b)1 4 7 ... 52 512 + + + + − PHÇN IV: D·y sè I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí 1. §èi víi sè tù nhiªn liªn tiÕp : a) D·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu lµ sè ch½n kÕt thóc lµ sè lÎ hoÆc b¾t ®Çu lµ sè lÎ vµ kÕt thóc b»ng sè ch½n th× sè l-îng sè ch½n b»ng sè l-îng sè lÎ. b) D·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu b»ng sè ch½n vµ kÕt thóc b»ng sè ch½n th× sè l-îng sè ch½n nhiÒu h¬n sè l-îng sè lÎ lµ 1. c) D·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu b»ng sè lÎ vµ kÕt thóc b»ng sè lÎ th× sè l-îng sè lÎ nhiÒu h¬n sè l-îng sè ch½n lµ 1. 2. Mét sè quy luËt cña d·y sè th-êng gÆp: 21 a) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng ®øng liÒn tr-íc nã céng hoÆc trõ mét sè tù nhiªn d. b) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng ®øng liÒn tr-íc nã nh©n hoÆc chia mét sè tù nhiªn q (q > 1). c) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 3) b»ng tæng hai sè h¹ng ®øng liÒn tr-íc nã. d) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 4) b»ng tæng c¸c sè h¹ng ®øng liÒn tr-íc nã céng víi sè tù nhiªn d råi céng víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy. e) Mçi sè h¹ng ®øng sau b»ng sè h¹ng ®øng liÒn tr-íc nã nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy. f) Mçi sè h¹ng b»ng sè thø tù cña nã nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng ®øng liÒn sau nã. ........ 3. D·y sè c¸ch ®Òu: a) TÝnh sè l-îng sè h¹ng cña d·y sè c¸ch ®Òu: Sè sè h¹ng = (Sè h¹ng cuèi - Sè h¹ng ®Çu) : d + 1 (d lµ kho¶ng c¸ch gi÷a 2 sè h¹ng liªn tiÕp) VÝ dô: TÝnh sè l-îng sè h¹ng cña d·y sè sau: Ta thÊy: 4 - 1 = 3 7 - 4 = 3 10 - 7 = 3 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100. ... 97 - 94 = 3 100 - 97 = 3 VËy d·y sè ®· cho lµ d·y sè c¸ch ®Òu, cã kho¶ng c¸ch gi÷a 2 sè h¹ng liªn tiÕp lµ 3 ®¬n vÞ. Nªn sè l-îng sè h¹ng cña d·y sè ®· cho lµ: (100 - 1) : 3 + 1 = 34 (sè h¹ng) b) TÝnh tæng cña d·y sè c¸ch ®Òu: (®äc kÜ tr-íc khi lµm bµi tËp ) Sè sè h¹ng = (sè cuèi - sè ®Çu ) : kho¶ng c¸ch + 1 Sè h¹ng cuèi = Sè ®Çu + kho¶ng c¸ch x (sè sè h¹ng – 1) VÝ dô : Tæng cña d·y sè 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 lµ: (1+100) x 34= 1717 II. Bµi tËp 2 Bµi 1: ViÕt tiÕp 3 sè h¹ng vµo d·y sè sau: a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, … b) 0, 3, 7, 12, … e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, … c) 1, 2, 6, 24, …. g) 1, 1, 3, 5, 17, … Bµi 2: ViÕt tiÕp 2 sè h¹ng vµo d·y sè sau: a) 10, 13, 18, 26, … k) 1, 3, 3, 9, 27, … b) 0, 1, 2, 4, 7, 12, … l) 1, 2, 3, 6, 12, 24,… c) 0, 1, 4, 9, 18, … m) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … d) 5, 6, 8, 10, … o) 2, 12, 30, 56, 90, … e) 1, 6, 54, 648, … p) 1, 3, 9, 27, … g) 1, 5, 14, 33, 72, … q) 2, 6, 12, 20, 30, … h) 2, 20, 56, 110, 182,…. t) 6, 24, 60, 120, 210,.. Bµi 3: T×m sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sau. BiÕt mçi d·y cã 10 sè h¹ng: a) ..., 17, 19, 21, ... b) ..., 64, 81, 100, .... Bµi 4: T×m 2 sè h¹ng ®Çu cña c¸c d·y sè, trong mçi d·y ®ã cã 15.: a) ..., 39, 42, 45. b) ..., 4, 2, 0. c) ..., 23, 25, 27, 29.Gi¶i : 1a,KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tæng hai sè h¹ng tr-íc céng víi nhau. Nªn ta cã : 22 Sè h¹ng thø b¶y lµ :11+18=29 Sè h¹ng thø t¸m lµ :18+29=47 Sè h¹ng thø chÝn lµ : 29+47 =76.VËy ta cã d·y a) 1, 3, 4, 7, 11, 18,29,47,76. b, KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tæng cña sè h¹ng ®øng tr-íc nã céng víi sè thø tù trong nhãm råi céng 1. Nªn ta cã : Sè h¹ng thø n¨m lµ :12+5+1=18 ; Sè h¹ng thø s¸u lµ :18+6+1=25 Sè h¹ng thø b¶y lµ : 25+7+1 =33.VËy ta cã d·y b) 0, 3, 7, 12,18, 25,33. c,KÓ tõ sè h¹ng thø hai b»ng sè h¹ng ®øng tr-íc nã nh©n víi sè thø tù chØ sè h¹ng. Nªn ta cã: Sè h¹ng hø n¨m lµ: 24×5 =120; Sè h¹ng thø sau lµ:120×6 = 720 Sè h¹ng thø b¶y lµ :720×7 = 5040.VËy ta cã d·y: c) 1, 2, 6, 24,120,720,5040. e, KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tæng cña ba sè h¹ng tr-íc nã. Nªn ta cã : Sè h¹ng thø b¶y lµ :6+12+22=40 g,KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tÝch hai sè h¹ng ®øng tr-íc nã céng víi 2. Nªn ta cã: Sè h¹ng thø n¨m lµ :5×17 + 2 = 87 Sè h¹ng thø s¸u lµ: 17 ×87 + 2 =1481Bµi gi¶i 2a,KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tæng hai sè h¹ng ®óng tr-íc nã trõ ®i 5 .Nªn ta cã: Sè h¹ng thø 5 lµ :18+26-5=39. b,KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tæng hai sè h¹ng ®øng tr-íc nã céng víi 1. Nªn ta cã : Sè h¹ng thø b¶y lµ :7+12+1= 20. c,KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tæng hai sè h¹ng n®øng tr-íc nãcongj víi sè chØ sè thø tù trong nhãm.Nªn ta cã : Sè h¹ng thø s¸u lµ :9+18+6 =33. d, KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tæng cña hai sè h¹ng ®øng tr-íc nã trõ ®i sè chØ sè thø tù trong nhãm .Nªn ta cã : Sè h¹ng thø n¨m lµ:8+10-5 = 13. d, KÓ tõ sè h¹ng thø hai ta cã :6 = 1× 2×3 54 = 6×3×3 648 = 54×3× 4 VËy sè thø n¨m lµ : = 648×3×5 g,Sè th- hai cã d¹ng :(1+1)×2+1 = 5 Sè thø ba cã d¹ng :(5+1)×2 + 2 =14 Sè thø thø t- cí d¹ng :(14+1)× 2+3 = 33 VËy sè thø sÊu cã d¹ng :(72+1)×2+5 = 151 Sè thø b¶y cã d¹ng : (151+1)×2+6 =310 .VËy ta cã d·y sè : g) 1, 5, 14, 33, 72,151,310. h, ta cã quy luËt cña d·y sè : 2=1× 2; 20=4×5 56 =7×8 . o, Ta cã quy luËt cña d·y sè : 1×2 = 2 3×4=12 5×6 = 30 Sè h¹ng thø s¸u lµ : 11×12 =132 Sè h¹ng thø b¶y lµ : 13×14 =182 Ta cã d·y : o) 2, 12, 30, 56, 90, 132,182 . t, Ta cã quy luËt: 6=1× 2×3 24=2×3× 4 60=3× 4×5 ... VËy sè h¹ng thø s¸u lµ: 6×7×8 = 336 Sè h¹ng thø b¶y lµ : 7×8×9 = 567. Ta cã d·y sè: 6, 24, 60, 120, 210,336,567. Néi dung bµi 3,4 qu¸ dÔ. Bµi 5: Cho d·y sè : 1, 4, 7, 10, ..., 31, 34, ... 23 a) T×m sè h¹ng thø 100 trong d·y. b) Sè 2002 cã thuéc d·y nµy kh«ng? Gi¶i :a)Kho¶ng c¸ch cña d·y sè lµ :3 Nªn sè h¹ng thø 100 lµ :1+3×(100 −1) =318 b) NÕu 2002 lµ sè h¹ng cña d·y th× : (2002 -1)3 . ThËt vËy (2002-1) :3= 667 Bµi 6: Cho d·y sè : 3, 18, 48, 93, 153, ... a) T×m sè h¹ng thø 100 cña d·y. b) Sè 11703 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu cña d·y? Gi¶i :KÓ tõ sè h¹ng thø nhÊt ta cã : 3=15× 0+3 18=15×1+ 3 48=15×(1+ 2) + 3 93=15×(1+ 2 + 3) + 3 VËy sè h¹ng thø 100 lµ : 15×(1+ 2 + 3+...+ 99) + 3=74253 b) Muèn x¸c ®Þnh 11703 cã thuéc d·y kh«ng .Ta xÐt 11703-3 cã chia hÕt cho 15 kh«ng? thËt vËy :11703-3 = 11700 11700:15 = 780.Theo quy luËt ë ý ( a)nªn ta cã : 780 = 1+2+3+...+n = ( n+1) × n : 2.Hay ( n+1)×n =780×2 = 1560; ( n+1)×n lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0. MÆt kh¸c n <100 theo kÕt qu¶ ý( a).Nªn n cã 2 ch÷ sè trong ®ã n+1 lµ mét sè trßn chôc.1560 chia hÕt cho 4 vµ 10. Ta dÔ dµng t×m thõa sè cßn l¹i. 1560 :(4×10)=39 .VËy n=39 ®Ó n+1 =40 Bµi tËp t-¬ng tù: Cho d·y sè : 3, 16, 42, 81,... a) T×m sè h¹ng thø 100 cña d·y. b) Sè 10142 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu cña d·y? Bµi 7: Cho d·y sè : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0 . a) D·y sè nµy cã bao nhiªu sè h¹ng? b) Sè h¹ng thø 50 cña d·y lµ sè nµo? Gi¶i: a) DÔ dµng t×m ®-îc kho¶ng c¸ch vµ quy luËt. b) Gi¶i theo c«ng thøc S§+ KC×(50-1) Bµi 8: H·y cho biÕt : a) C¸c sè 50 vµ 133 cã thuéc d·y 90, 95, 100, …hay kh«ng? b) Sè 1996 thuéc d·y 2, 5, 8, 11,…hay kh«ng? c) Sè nµo trong c¸c sè 666, 1000, 9999 thuéc d·y 3, 6, 12, 24, …? H·y gi¶i thÝch t¹i sao? Gi¶i a) Sè h¹ng cña d·y lµ 90 nªn 50 kh«ng thuéc d·y; D·y sè chia hÕt cho 5 mµ133 kh«ng chia hÕt cho 5nªn kh«ng thuéc d·y. b) D·y chia 3 d- 2 cßn 1996 chia 3 d-1 nªn kh«ng thuéc d·y. KÓ tõ sè h¹ng thø hai trong d·y ®Òu lµ sè ch½n. Døng tr-íc 666 lµ 333 (lÎ) nªn 666 kh«ng thuéc d·y. c) T-¬ng tù 1000;9999 ®Òu kh«ng thuéc d·y. Bµi 9: Cho d·y sè 1, 7, 13, 19, 25, …H·y cho biÕt c¸c sè: 351, 400, 570, 686, 1975 cã thuéc d·y sè ®· cho hay kh«ng? Gi¶i Quy luËt cña d·y chia 6 d- 1 mµ 351:6=58 d- 3 nªn kh«ng thuéc d·y. T-¬ng tù xÐt c¸c tr-êng hîp cßn l¹i. Bµi 10: a)Cho d·y sè 1, 5, 9, 13, ..., 2005. Hái: D·y sè cã bao nhiªu sè h¹ng? b)Cho d·y sè :1, 5,15,34,... H·y biÕn ®æi mçi sè h¹ng trong nhãm thµnh 1 tæng vµ viÕt ®Õn sè h¹ng thø 20. Gi¶i b,1=1 5=2+3 15=4+5+6 34=7+8+9+10.... PhÇn V: DÊu hiÖu chia hÕt I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí (®äc kÜ tr-íc khi lµm bµi tËp ) 24 1. Nh÷ng sè cã tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 th× chia hÕt cho 2. 2. Nh÷ng sè cã t©n cïng lµ 0 hoÆc 5 th× chia hÕt cho 5. 3. C¸c sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3 th× chia hÕt cho 3. 4. C¸c sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 th× chia hÕt cho 9. 5. C¸c sè cã hai ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh sè chia hÕt cho 4 th× chia hÕt cho 4. 6. C¸c sè cã hai ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh sè chia hÕt cho 25 th× chia hÕt cho 25. 7. C¸c sè cã 3 ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh sè chia hÕt cho 8 th× chia hÕt cho 8. 8. C¸c sè cã 3 ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh sè chia hÕt cho 125 th× chia hÕt cho 125. 9. a chia hÕt cho m, b còng chia hÕt cho m (m > 0) th× tæng a + b vµ hiÖu a- b (a > b) còng chia hÕt cho m. 10. Cho mét tæng cã mét sè h¹ng chia cho m d- r (m > 0), c¸c sè h¹ng cßn l¹i chia hÕt cho m th× tæng chia cho m còng d- r. 11. a chia cho m d- r, b chia cho m d- r th× (a - b) chia hÕt cho m ( m > 0). 12. Trong mét tÝch cã mét thõa sè chia hÕt cho m th× tÝch ®ã chia hÕt cho m (m >0). 13. NÕu a chia hÕt cho m ®ång thêi a còng chia hÕt cho n (m, n > 0). §ång thêi m vµ n chØ cïng chia hÕt cho 1 th× a chia hÕt cho tÝch m x n. VÝ dô: 18 chia hÕt cho 2 vµ 18 chia hÕt cho 9 (2 vµ 9 chØ cïng chia hÕt cho 1) nªn 18 chia hÕt cho tÝch 2 x 9. 14. NÕu a chia cho m d- m - 1 (m > 1) th× a + 1 chia hÕt cho m. 15. NÕu a chia cho m d- 1 th× a - 1 chia hÕt cho m (m > 1). Mét sè a chia hết cho một số x (x ≠ 0) th× tÝch cña sè a víi mét sè (hoặc với một tæng , hiệu, tÝch, th-¬ng ) nà o đã còng chia hết cho số x. Tæng hay hiÖu 2 số chia hết cho một số thứ ba và mét trong hai sè cũng chia hết cho số thứ ba ®ã th× còng l¹i cïng chia hết sè thø ba. Hai số cïng chia hết cho một số thứ 3 th× tæng hay hiệu cña chóng cïng chia hÕt cho sè ®ã. Trong hai số, có một số chia hết và mét sè kh«ng chia hết cho số thø ba ®ã th× tæng hay hiệu cña chóng cïng chia hết cho sè thø ba ®ã. Hai số cïng chia cho mét sè thứ ba và đều cho cïng mét sè d- th× hiệu của chóng chia hết cho sè thø ba ®ã ax ⇒(A×a)x (a ±b)x;ax ⇒bx ax;bx ⇒(a ±b)x a x; b x ⇒(a ± b) x a:x dư r; b:x dư r (a-b) chia hÕt cho x a:x dư r1; b:x dư r2 NÕu (r1+r2) : x ⇒ (a +b)x 25 Trong tr-êng hîp tæng 2 số chia hết cho x th× tæng hai sè d- ph¶i chia hết cho x II. Bµi tËp Bµi 1: T×m x ®Ó 37+2x5chia hÕt cho 3. Gi¶i (37+2x5)3khi 2x5chia 3 d- 2 hay (2+5+x )chia 3 d- 2.=>x=1,4,7. Bµi 2: T×m a vµ b ®Ó sè a391bchia hÕt cho 9 vµ chia cho 5 d- 1. Gi¶i .a391bchia 5 d- 1 th× b=1;6.Víi b=1 Ta cã :a39113. Hay (a+14)9 =>a=5 Víi b=6 Ta cã : a39163 Hay( a+19)9=>a=8 Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau abc, biÕt: 32 ac. 7= b Gi¶i : 32 ac=2718=> ac=18;bc=27 b 7= Bµi 4: T×m sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã chia cho 5 d- 3, chia cho 2 d- 1, chia cho 3 th× võa hÕt vµ ch÷ sè hµng tr¨m cña nã lµ 8. Gi¶i.: Sè chia 5 d- 3 chia 2 d- 1 nªn sè ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ 3. VËy sè ®ã cã d¹ng8a33hay 11+a chia hÕt cho 3=> a=1;4;7. Ta cã c¸c sè : 813;843;873. Bµi 5: T×m mét sè lín h¬n 80, nhá h¬n 100, biÕt r»ng lÊy sè ®ã céng víi 8 råi chia cho 3 th× d- 2. NÕu lÊy sè ®ã céng víi 17 råi chia cho 5 th× còng d- 2. Gi¶i : Sè ®ã céng 8 chia 3 d- 2 nªn suy ra sè ®ã cäng 6 chia hÕt cho 3. Suy ra sè ®ãm chia hÕt cho 3. LËp luËn t-¬ng tù sè ®ã chi hÕt cho 5. => sè ®ã võa chia hÕt cho 3vµ 5 sè ®ã lµ sè 90. Bµi 6: T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt sao cho khi chia sè ®ã cho 3, 4, 5 ®Òu d- 1 vµ chia cho 7 th× kh«ng d-. Gi¶i . NÕu sè ®ã bít 1 th× chia hÕt cho 3,4,5 vµ chia 7 d- 6. VËy sè ®ã bít 1 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0. Suy ra sè ban ®Çu cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 chia hÕt cho 7 vµ chia 3 d- 1. Sè nhá nhÊt cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 chia hÕt cho 7 lµ 21;91;161;231;301,ChØ cã 301 tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n. Bµi 7: H·y viÕt thªm 2 ch÷ sè vµo bªn ph¶i vµ mét ch÷ sè vµo bªn tr¸i sè 45 ®Ó ®-îc sè lín nhÊt cã 5 ch÷ sè tho¶ m·n tÝnh chÊt chia sè ®ã cho 4 d- 3, chia cho 5 d- 4, chia cho 9 d- 8. Gi¶i .NÕu thªm 1 ®¬n vÞ th× sè ®ã sÏ chia hÕt cho 4;5;9. VËy khi thªm 1 ®¬n vÞ th× sè ®ã th× sè ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ 9 hoÆc 4. VËy sè cuèi cïng sÏ lµ 3 hoÆc 8 . Suy ra hai ch÷ sè tËn cïng sÏ lµ 23;43;63;83 ®Ó chia 4 d- 3. (kh«ng chän ®-îc sè cã 2ch÷ sè tËn cïng lµ 8 chia 4 d- 3). ®Ó sè lín nhÊt th× ch÷ sè hµng chôc ngh×n ph¶i lín nhÊt vµ chia 9 d- 8. Ta cã x+4+5+2+3 chia 9 d- 5 nªn x=3 x+4+5+4+3 chia 9 d- 7 nªn x=2 x+4+5+6+3 chia 9 d- 0 nªn x=8 x+4+5+8+3 chia 9 d- 2 nªn x=7 VËy ta cã sè lín nhÊt lµ : 84563 Bµi 8: T×m sè abc(víi c kh¸c 0), biÕt sè abcchia hÕt cho 45 vµ abc− cba =396 . Gi¶i .abc− cba =396nªn abc>cbahay a>c;abc 45hay abcmµ c kh¸c 0 nªn c=5 §Æt cét däc ta cã : - abcXÐt hµng ®¬n vÞ ,V× c 15-6 =9 vËy a=9 .Ta cã 9+b+5 chia hÕt cho 9 => b=4 Bµi 9: a,Cho A lµ sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè. ViÕt c¸c ch÷ sè cña A theo thø tù ng-îc l¹i ta ®-îc sè tù nhiªn B. Hái hiÖu cña 2 sè ®ã cã chia hÕt cho 3 hay kh«ng? V× sao? b, Cho mét sè tù nhªn A, ViÕt c¸c ch÷ sè cña A theo thø tù ng-îc l¹i ta ®-îc sè tù nhªn B. BiÕt B gÊp 3 lÇn A . Hái B cã chia hÕt cho 9 kh«ng? Gi¶i a)Gäi sè ®ã lµabckhi viÕt ng-îc l¹i ta cã cba. HiÖu cña chóng chia hÕt cho 3 . ThËt vËy theo bµi ra ta cã : abc - cba=a×99 − c×99 = 99×(a − c)3. 26 b)B=A×3=> B3=> tæng c¸c ch÷ sè cña B chia hÕt cho 3.MÆt kh¸c tæng c¸c ch÷ sè cña B b»ng tæng c¸c ch÷ sè cña A nªn A chia hÕt cho 3. Gäi k lµ th-¬ng cöa A cho 3 ta cã : A=3× khay B=3×k ×3 = k ×9=B9 Bµi 10: T×m mét sè tù nhiªn nhá nhÊt kh¸c 1, sao cho khi chia sè ®ã cho 2, 3, 4, 5 vµ 7 ®Òu d- 1. Gi¶i .Sè mhá nhÊt chia hÕt cho 2;3;4;5;7 lµ 420 . §Ó t×m sè nhá nhÊt chia cho 2;3;;;;;;4;5;7 d- 1 ta céng sè ®ã thªm 1. Sè ®ã lµ: 420+1 =421 Bµi 11: T×m c¸c ch÷ sè a, b, c sao cho a7b8c9chia hÕt cho 1001. Gi¶i a7b8c9: 1001 th-¬ng ph¶i nlµ sè cã 3 ch÷ sè v× nÕu th-¬ng lµ sè cã 2 ch÷ sè lín nhÊt tÝch sÏ lµ:99×1001 = 99099 a7b8c9. Gäi mnplµ th-¬ng ta cã : a7b8c9= mnp ×1001 §Æt cét däc ta cã : ta tÝnh ®-îc c¸c gi¸ trÞ mét c¸ch dÔ dµng. Bµi 12: Mét sè chia cho 11 d- 6, chia cho 12 d- 5. Hái sè ®ã chia cho 132 th× d bao nhiªu? Gi¶i Gäi sè ®ã lµ A ta cã : A=11× q + 6(1) A= 12× p + 5(2) nh©n 12 víi (1) nh©n 11 víi (2) ta cã A×12 =(11× q + 6)×12=132× q+72 (3) A×11 =(12× p + 5)×11=132× p + 55 (4) Tr- (3) cho (4) ta cã : A×1=132 ×(q − p)+17 VËy A chia cho 132 ®-îc th-¬ng lµ q-p vµ d- 17 Bµi 13: Sè chia cho 6 d- 5, chia cho 5 d- 4 . Hái sè a chia cho 30 th× d- bao nhiªu? §¸p ¸n d- 29 Bµi 14: H·y chøng tá hiÖu gi÷a sè cã d¹ng 1ab1vµ sè ®-îc viÕt bëi c¸c ch÷ sè ®ã nh-ng theo thø tù ng-îc l¹i lµ mét sè chia hÕt cho 90. Gi¶i ViÕt ng-îc l¹i ta cã :1ba1Ta ®i chøng tá 1ab1-1ba1 90(nÕu a1ab1-1ba1 9 cßn 1ab1-1ba1 90khi b-a =0 Bµi 15: Víi c¸c ch÷ sè a, b, c vµ a > b. H·y chøng tá r»ng abab−babachia hÕt cho 9 vµ 101. Gi¶i abab−baba = ab ×101− ba ×101=101× ( ab -ba) 101 LËp luËn t-¬ng tù ta cã ab -ba) 9 Bµi 16: BiÕt sè A ®-îc viÕt bëi 54 ch÷ sè 9. H·y t×m sè tù nhiªn nhá nhÊt mµ céng sè nµy víi A ta ®-îc sè chia hÕt cho 45. Gi¶i Tæng c¸c ch÷ sè cña A chia hÕt cho 9. §Õ t×m 1 sè céng víi A chia hÕt cho 45 th× tæng ®ã chia hÕt 5 vµ 9 hay ch÷ sè tËn cïng b»ng 0 hoÆc 5. Nh- vËy sè céng thªm tháa m·n chi hÕt cho 9 vµ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0 hoÆc 5. Thö chän sè nhá nhÊt lµ 36. Bµi 17: Cho 3 tê giÊy. XÐ mçi tê giÊy thµnh 4 m¶nh. LÊy mét sè m¶nh vµ xÐ mçi m¶nh thµnh 4 m¶nh nhá sau ®ã l¹i lÊy mét sè m¶nh nhá, xÐ mçi m¶nh thµnh 4 m¶nh nhá … Khi ngõng xÐ, theo quy luËt trªn ng-êi ta ®Õm ®-îc 1999 m¶nh lín nhá c¶ th¶y. Hái ng-êi Êy ®Õm ®óng hay sai? V× sao? Bµi 18: Hai b¹n Minh vµ Nhung ®i mua 9 gãi b¸nh vµ 6 gãi kÑo. Nhung ®-a cho c« b¸n hµng hai tê giÊy b¹c lo¹i 50000 ®ång vµ c« tr¶ l¹i 36000 ®ång. Minh nãi ngay: “C« tÝnh sai råi!”. B¹n h·y cho biÕt Minh nãi ®óng hay sai? Gi¶i thÝch t¹i sao? (BiÕt r»ng gi¸ tiÒn mçi gãi b¸nh vµ mçi gãi kÑo lµ mét sè nguyªn ®ång). Dùa vµo dÊu hiÖu chia hÕt cho 3( nªn cã bµi tËp bæ sung) Bµi tËp bæ sung : An mua 1 c¸i bót ch× gi¸ 400 ®ång , mua mét c¸i bót m¸y gi¸ 800 ®ång, muan 1 c¸o th-íc gi¸ 900 ®ång , mua 2 quyÓn sæ gi¸ mçi quyÓn 1200 ®ång , mua 12 tËp giÊy gi¸ iÒn lµ mét sè ch¨n tr¨m ®ång. C« b¸n nhÈm tÝnh hÕt 57000 ®ång . Hái c« tÝnh ®óng hay sai. 27 Bµi 19: Cho mét tam gi¸c ABC. Nèi ®iÓm chÝnh gi÷a c¸c c¹ch cña tam gi¸c víi nhau vµ cø tiÕp tôc nh- vËy (nh- h×nh vÏ). Sau mét sè lÇn vÏ, b¹n Minh ®Õm ®-îc 2003 tam gi¸c, b¹n Th«ng ®Õm ®-îc 2004 tam gi¸c. Theo em b¹n nµo ®Õm ®óng, b¹n nµo ®Õm sai? LËp b¶ng xÐt quy luËt cña d·y … Sè lÇn vÏ Sè h×nh tam tam gi¸c t¹o ®-îc 1 1+ 4×0 2 1+4× 2 3 ...... Bµi 20 Ng-êi ta viÕt liªn tiÕp c¸c ch÷ sè tõ 19 ®Õn 80 ®Ó d-îc s« A=192021222324...7980.Hái A cã chia hÕt cho 1980 kh«ng? Gi¶i Sè chia hÕt 1980 th× chia hÕt cho 10 vµ 9.A cã ch÷ sè 0 tËn cïng nªn A chia hÕt cho10. Ta ®i chøng minh A chia hÕt cho 9. V× 1+2+3+...+9 = 45 vµ tõ 20 ®Õn 79 mçi ch÷ sè hµng chôc xuÊt hiÖn 10 lÇn . Do vËy ta cã tæng c¸c ch÷ sè lµ: (1+9+8+0) +2×10+45+3×10 + 45+ 4×10 + 45+ 5×10 + 45+ 6×10 + 45+ 7×10 + 45 =18+6×45+10×(2 + 3+ 4 + 5+ 6 + 7) =(18+6×45+270)9=> A9 Nh÷ng bµi cßn l¹i ®Òu hÕt søc ®iÓn h×nh nªn kh«ng thÓ bá qua. PhÇn VI: C¸c bµi To¸n dïng ch÷ thay sè I. KiÕn thøc cÇn nhí 1. Sö dông cÊu t¹o thËp ph©n cña sè 1.1. Ph©n tÝch lµm râ ch÷ sè ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c C¸c b-íc gi¶i mét bµi to¸n cÊu t¹o sè B-íc 1 (tãm t¾t bµi to¸n) Dùa vµo cÊu t¹o sè thËp ph©n B-íc 2: Ph©n tÝch sè, lµm xuÊt hiÖn nh÷ng thµnh phÇn gièng nhau ë bªn tr¸i vµ bªn ph¶i dÊu b»ng, råi ®¬n gi¶n nh÷ng thµnh phÇn gièng nhau ®ã ®Ó cã biÓu thøc ®¬n gi¶n nhÊt. Dùa vµo mèi quan hÖ gi÷a c¸c ch÷ sè B-íc 3: T×m gi¸ trÞ (BiÖn luËn) : Dùa vµo -TÝnh chÊt ch¨n lÎ ; -DÊu hiÖu chia hÕt hoÆc dÊu hiÖu chia cã d- ; -TÝnh chÊt LíN nhÊt – bÕ nhÊt -LËp bµi to¸n däc... -T×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c ch÷ sè... B-íc 4 : (Thö l¹i, kÕt luËn, ®¸p sè) (Cã thÓ ®äc thªm tµi liÖu HÖ thèng c¸c PP gi¶ To¸n TiÓu häc) VÝ dô: Cho sè cã 2 ch÷ sè, nÕu lÊy tæng c¸c ch÷ sè céng víi tÝch c¸c ch÷ sè cña sè ®· cho th× b»ng chÝnh sè ®ã. T×m ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè ®· cho. B-íc 1 (tãm t¾t bµi to¸n) Bµi gi¶i Gäi sè cã 2 ch÷ sè ph¶i t×m lµ ab(a > 0, a, b < 10) Theo bµi ra ta cã ab= a + b + a x b B-íc 2: Ph©n tÝch sè, lµm xuÊt hiÖn nh÷ng thµnh phÇn gièng nhau ë bªn tr¸i vµ bªn ph¶i dÊu b»ng, råi ®¬n gi¶n nh÷ng thµnh phÇn gièng nhau ®ã ®Ó cã biÓu thøc ®¬n gi¶n nhÊt. a x 10 + b = a + b + a x b a x 10 = a + a x b (cïng bít b) a x 10 = a x (1 + b) (Mét sè nh©n víi mét tæng) 28 10 = 1 + b (cïng chia cho a) B-íc 3: T×m gi¸ trÞ : b = 10 - 1 b = 9 B-íc 4 : (Thö l¹i, kÕt luËn, ®¸p sè) VËy ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè ®ã lµ: 9. 1.2. Ph©n tÝch lµm râ sè ab= a0+ b abc= a00+ b0+ c §¸p sè: 9 abcd= a00+ b00+ c0+ d = ab00+ cd ...VÝ dô : T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm sè 21 vµo bªn tr¸i sè ®ã th× ta ®-îc mét sè lín gÊp 31 lÇn sè cÇn t×m. Bµi gi¶i B-íc 1: Gäi sè ph¶i t×m lµ ab(a > 0, a, b < 0) Khi viÕt thªm sè 21 vµo bªn tr¸i sè abta ®-îc sè míi lµ 21ab . Theo bµi ra ta cã: 21ab= 31 x ab B-íc 2: 2100 +ab= 31 x ab (ph©n tÝch sè 21ab= 2100 + ab) 2100 + ab= (30 + 1) x ab 2100 + ab= 30 x ab+ ab(mét sè nh©n mét tæng) 2100 = abx 30 (cïng bít ab) B-íc 3:ab= 2100 : 30 ab= 70. B-íc 4: Thö l¹i 2170 : 70 = 31 (®óng) VËy sè ph¶i t×m lµ: 70 §¸p sè: 70. 2. Sö dông tÝnh chÊt ch½n lÎ vµ ch÷ sè tËn cïng cña sè tù nhiªn 2.1. KiÕn thøc cÇn ghi nhí - Sè cã tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 lµ sè ch½n. - Sè cã tËn cïng lµ: 1, 3, 5, 7, 9 lµ c¸c sè lÎ. - Tæng (hiÖu) cña 2 sè ch½n lµ mét sè ch½n. - Tæng (hiÖu ) cña 2 sè lÎ lµ mét sè ch½n. - Tæng (hiÖu) cña mét sè lÎ vµ mét sè ch½n lµ mét sè lÎ. - Tæng cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè lÎ. - TÝch cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n lµ mét sè ch½n. - TÝch cña a x a kh«ng thÓ cã tËn cïng lµ 2, 3, 7 hoÆc 8. 2.2.VÝ dô: T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 6 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã.Bµi gi¶i C¸ch 1: B-íc 1: Gäi sè ph¶i t×m lµ ab(0 < a < 10, b < 10). Theo ®Ò bµi ta cã: ab= 6 x b B-íc 2: Sö dông tÝnh chÊt ch½n lÎ hoÆc ch÷ sè tËn cïng. V× 6 x b lµ mét sè ch½n nªn ablµ mét sè ch½n. b > 0 nªn b = 2, 4, 6 hoÆc 8. B-íc 3: T×m gi¸ trÞ b»ng ph-¬ng ph¸p thö chän NÕu b = 2 th× ab= 6 x 2 = 12. (chän) NÕu b = 4 th× ab= 6 x 4 = 24. (chän) NÕu b = 6 th× ab= 6 x 6 = 36. (chän) NÕu b = 8 th× ab= 6 x 8 = 48. (chän) B-íc 4: VËy ta ®-îc 4 sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 12, 24, 36, 48. §¸p sè: 12, 24, 36, 48. 29 C¸ch 2: B-íc 1: Gäi sè ph¶i t×m lµ ab(0 < a < 10, b < 10) Theo ®Ò bµi ta cã: ab= 6 x b B-íc 2: XÐt ch÷ sè tËn cïng V× 6 x b cã tËn cïng lµ b nªn b chØ cã thÓ lµ: 2, 4, 6 hoÆc 8. B-íc 3: T×m gi¸ trÞ b»ng ph-¬ng ph¸p thö chän NÕu b = 2 th× ab= 6 x 2 = 12 (chän) NÕu b = 4 th× ab= 6 x 4 = 24 (chän) NÕu b = 6 th× ab= 6 x 6 = 36 (chän) NÕu b = 8 th× ab= 6 x 8 = 48 (chän) B-íc 4: VËy ta ®-îc 4 sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 12, 24, 36, 48. §¸p sè: 12, 24, 36, 48. 3. Sö dông kü thuËt tÝnh khi thùc hiÖn phÐp tÝnh 3.1. Mét sè kiÕn thøc cÇn ghi nhí Trong phÐp céng, nÕu céng hai ch÷ sè trong cïng mét hµng th× cã nhí nhiÒu nhÊt lµ 1, nÕu céng 3 ch÷ sè trong cïng mét hµng th× cã nhí nhiÒu nhÊt lµ 2, … 3.2. VÝ dô VÝ dô 1: T×m abc= ab+ bc+ ca Bµi gi¶i abc= ab+ bc+ ca abc= (ab+ca) + bc(tÝnh chÊt kÕt hîp vµ giao ho¸n cña phÐp céng) abc - bc= ab+ca(t×m mét sè h¹ng cña tæng) a00= aa+ ca Ta ®Æt tÝnh nh- sau: aa + cb a00 Nh×n vµo c¸ch ®Æt tÝnh ta thÊy phÐp céng cã nhí sang hµng tr¨m. Mµ ®©y lµ phÐp céng hai sè h¹ng nªn hµng tr¨m cña tæng chØ cã thÓ b»ng 1. VËy a = 1. Víi a = 1 th× ta cã: 100 = 11 + cb cb= 100 - 11 cb= 89 VËy c = 8 ; b = 9. Ta cã sè abc= 198. Thö l¹i: 19 + 98 + 81 = 198 (®óng) VËy abc= 198§¸p sè: 198. VÝ dô 2: T×m sè cã 4 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ®i ch÷ sè ë hµng ®¬n vÞ vµ hµng chôc th× sè ®ã sÏ gi¶m ®i 1188 ®¬n vÞ. 1188 B-íc 1: (Tãm t¾t) Bµi gi¶i + Gäi sè ph¶i t×m lµ abcd(a > 0; a, b, c, d < 10) Khi xo¸ ®i cdta ®-îc sè míi lµ ab Theo ®Ò bµi ra ta cã: abcd= 1188 + ab B-íc 2 : (Sö dông kÜ thuËt tÝnh) Ta ®Æt tÝnh nh- sau: ab abcd Trong phÐp céng, khi céng 2 ch÷ sè trong cïng mét hµng th× cã nhí nhiÒu nhÊt lµ 1 nªn abchØ cã thÓ lµ 11 hoÆc 12. - NÕu ab= 11 th× abcd= 1188 + 11 = 1199. - NÕu ab= 12 th× abcd= 1188 + 12 = 1200. B-íc 3: (kÕt luËn vµ ®¸p sè) VËy ta t×m ®-îc 2 sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 1199 vµ 1200. 30 §¸p sè: 1199 vµ 1200. 4. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét sè hoÆc mét biÓu thøc: 4.1. Mét sè kiÕn thøc cµn ghi nhí - Mét sè cã 2; 3; 4; …ch÷ sè th× tæng c¸c ch÷ sè cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 vµ gi¸ trÞ lín nhÊt lÇn l-ît lµ: 9 x 2 = 18; 9 x 3 = 27; 9 x 4 = 36; … - Trong tæng (a + b) nÕu thªm vµo a bao nhiªu ®¬n vÞ vµ bít ®i ë b bÊy nhiªu ®¬n vÞ (hoÆc ng-îc l¹i) th× tæng vÉn kh«ng thay ®æi. Do ®ã nÕu (a + b) kh«ng ®æi mµ khi a ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt cã thÓ th× b sÏ ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt cã thÓ vµ ng-îc l¹i. Gi¸ trÞ lín nhÊt cña a vµ b ph¶i lu«n nhá h¬n hoÆc b»ng tæng (a + b).- Trong mét phÐp chia cã d- th× sè chia lu«n lín h¬n sè d-. 4.2. VÝ dô: T×m sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu sè ®ã chia cho ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã th× ®-îc th-¬ng lµ 6 vµ d- 5. B-íc 1: (tãm t¾t) Bµi gi¶i Gäi sè ph¶i t×m lµ ab(0 < a < 10, b < 10) Theo ®Ò bµi ra ta cã: ab: b = 6 (d- 5) hay ab= b x 6 + 5. B-íc 2: (X¸c ®Þnh gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt). Sè chia lu«n lín h¬n sè d- nªn b > 5 vËy 5 < b < 10. NÕu b ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 6 th× ab®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 6 x 6 + 5 = 41. Suy ra a nhá h¬n hoÆc b»ng 5. VËy a = 4 hoÆc 5. +) NÕu a = 4 th× 4b= b x 6 + 5. +) NÕu a = 5 th× 5b= b x 6 + 5. B-íc 3: KÕt hîp cÊu t¹o thËp ph©n cña sè +) XÐt 4b= b x 6 + 5 40 + b = b x 6 + 5 35 + 5 + b = b x 5 + b + 5 35 = b x 5 b = 35 : 5 = 7 Ta ®-îc sè: 47. +) xÐt 5b= b x 6 + 5 50 + b = b x 6 + 5 45 + 5 + b = b x 5 + b + 5 45 = b x 5 b = 45 : 5 = 9 Ta ®-îc sè: 59. B-íc 4: (Thö l¹i, kÕt luËn, ®¸p sè) Thö l¹i: 7 x 6 + 5 = 47 (chän) 9 x 6 + 5 = 59 (chän) VËy ta t×m ®-îc 2 sè tho¶ m·n yªu cÇu cña ®Ò bµi lµ: 47 vµ 59 §¸p sè: 47 vµ 59 5. T×m sè khi biÕt mèi quan hÖ gi÷a c¸c ch÷ sè: VÝ dô: T×m sè cã 3 ch÷ sè, biÐt ch÷ sè hµng tr¨m gÊp ®«i ch÷ sè hµng chôc, ch÷ sè hµng chôc gÊp 3 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ. Bµi gi¶i Gäi sè ph¶i t×m lµ abc(0 < a < 10; b, c < 10). V× a = 2 x b vµ b = 3 x c nªn a = 2 x 3 x c = 6 x c, mµ 0 < a < 10 nªn 0 < 6 x c < 10. Suy ra 0 < c < 2. VËy c = 1. NÕu c = 1 th× b = 1 x 3 = 3 a = 3 x 2 = 6 VËy sè ph¶i t×m lµ: 631.§¸p sè: 631 31 6. Phèi hîp nhiÒu c¸ch gi¶i: VÝ dô: T×m sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu sè ®ã céng víi tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× b»ng 555.Bµi gi¶i Gäi sè ph¶i t×m lµ abc(a > 0; a, b, c < 10). Theo ®Çu bµi ta cã: abc+ a + b + c = 555. Nh×n vµo biÓu thøc trªn, ta thÊy ®©y lµ phÐp céng kh«ng cã nhí sang hµng tr¨m. VËy a = 5. Khi ®ã ta cã: 5bc+ 5 + b + c = 555 500 + bc+ 5 + b + c = 555 505 + bb+ c + c = 555 bb+ c x 2 = 555 - 505 bb+ c x 2 = 50 NÕu c ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 9 th× bb®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ : 50 - 9 x 2 = 32, do ®ã b > 2. V× bb+ c x 2 = 50 nªn bb< 50 nªn b < 5. V× 2 < b < 5 nªn b = 3 hoÆc 4 V× c x 2 vµ 50 ®Òu lµ sè ch½n nªn b ph¶i lµ sè ch½n. Do ®ã b = 4. Khi ®ã ta cã: 44 + c x 2 = 50 c x 2 = 50 - 44 c x 2 = 6 c = 6 : 2 = 3 VËy abc= 543 Thö l¹i 543 + 5 + 4 + 3 = 555 (®óng) VËy sè ph¶i t×m lµ: 543.§¸p sè: 543. II. Bµi tËp Bµi 1: T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 4 vµo bªn tr¸i sè ®ã, ta ®-îc mét sè gÊp 9 lÇn sè ph¶i t×m. Bµi gi¶i :(lêi gi¶i tãm t¾t) Gäi sè ph¶i t×m lµ :abnªn sè míi lµ :4ab Theo bµi ra ta cã : 4ab= ab ×9 Ph©n tÝch cÊu t¹o sè 400+ab = ab ×9 400 =ab ×8 =>ab = 400 :8 = 50 Bµi 2: T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, khi viÕt thªm ch÷ sè 9 vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®-îc mét sè gÊp 13 lÇn sè ph¶i t×m. Gi¶i 9ab =ab ×13 900 = 12× ab=>ab=900 :12 = 75 Bµi 3: T×m mét sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i sè ®ã ta ®-îc mét sè h¬n sè ph¶i t×m 1112 ®¬n vÞ. Gi¶i :abc5=abc+1112 abc ×10+5=abc+1112 abc ×9 =1112-5=1107=>abc=1107 : 9 =123 Bµi 4: T×m abcbiÕt: abcd - bcdx 2 = ac T×m abcbiÕt: a + ab+ abc= bcb T×m abcdbiÕt: dcba+ dcb+ dc+ d = 4321 T×m abcdbiÕt: abcd - abc - ab - a = 2086 T×m a,b,c biÕt :aa × ab =abb Gi¶i (tãm t¾t) a) a ×1000- b ×100+c ×10+d)=a ×10+c a ×990 =b ×100+c ×10+d+c a ×990=b ×100+c×11+d 32 LËp luËn ta cã a=1 ;b=9 ; c=8 ; d=2 ( d=2 thõa ) Bµi 5: T×m abcdbiÕt: (abx c + d) x d = 1977. Gi¶i 1977d1977 lµ sè lÎ nªn kh«ng chia hÕt cho 2 ;4 ;6 ;8 1977 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7 nªn kh«ng chia hÕt cho 5 ; 1977kh«ng chia hÕt cho 9 vµ 7 1977 chia hÕt cho 3 nªn d=3 =>(abx c + d)=1977 :3=659 hay=>abx c+3=659 abx c=659- 3=656 656 kh«ng chia hÕt cho 3 ; 5;7;9 656 chia hÕt cho 2 vµ 4 nªn 656 chia hÕt cho 8 vËy c=2 ;4 ;8 thö c¸c tr-êng hîp ta cã :c=8 Bµi 6: Cho mét sè cã 5 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè Êy b»ng 5. Ch÷ sè hµng v¹n b»ng sè ch÷ sè 0 cã mÆt trong sè Êy. Ch÷ sè hµng ngh×n b»ng sè ch÷ sè 1, ch÷ sè hµng tr¨m b»ng sè ch÷ sè 2, ch÷ sè hµng chôc b»ng sè ch÷ sè 3, ch÷ sè hµng ®¬n vÞ b»ng sè ch÷ sè 4 cã mÆt trong sè Êy. T×m sè ®· cho.(§Ò thi HSG Hµ Néi 1995) HD : 5 = 5+0+0+0+0 (1) = 4+1+0+0+0 (2) = 3+1+1+0+0 (3) = 2+1+2+0+0 (4) = 1+1+1+1+1 (5) Tr-êng hîp (1) lo¹i v× ch÷ sè hµng v¹n lµ 5 mµ ch÷ sè 0 lµ 4 Tr-êng hîp (2) lo¹i v× sè ch÷ sè 0 lµ 3 mµ ch÷ sè hµng v¹n lµ 4 hoÆc lµ 1 ; Tr-êng hîp (3)lo¹i v× sè ch÷ sè 0 lµ 2 mµ trong d·y sè kh«ng cã sè 2 ; Tr-êng hîp (4) chän v× trong d·y sè ch÷ sè 3 b»ng 0 vµ ch÷ sè hµng ®în vÞ b»ng 0 vµ ch÷ sè hµng v¹n lµ 2 b»ng sè ch÷ sè 0 trong d·y, ch÷ sè hµng ngh×n b»ng ch÷ sè 1.Tr-êng hîp (5) lo¹i v× ch÷ sè h¹ng v¹n lµ 1 mµ trong d·y kh«ng cã ch÷ sè 0 nµo . phÇn VII : Ph©n sè - tØ sè phÇn tr¨m I. TÝnh c¬ b¶n cña ph©n sè 1. Khi ta cïng nh©n hoÆc cïng chia c¶ tö vµ mÉu sè cña mét ph©n sè víi cïng mét sè tù nhiªn lín h¬n 1, ta ®-¬c mét ph©n sè míi b»ng ph©n sè ban ®Çu. 2. VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè: 2.1. Rót gän ph©n sè a= dc a m= :(m > 1; a vµ b ph¶i cïng chia hÕt cho m). b m b : c®-îc gäi lµ ph©n sè tèi gi¶n khi c vµ d chØ cïng chia hÕt cho 1 (hay c vµ d d kh«ng cïng chia hÕt cho mét sè tù nhiªn nµo kh¸c 1) - Khi rót gän ph©n sè cÇn rót gän ®Õn ph©n sè tèi gi¶n. VÝ dô: Rót gän ph©n sè 7254. C¸ch lµm: 43 54= = . 54 :18 72 72 :18 - Rót gän 1 ph©n sè cã thÓ ®-îc mét ph©n sè hay mét sè tù nhiªn: VÝ dô: Rót gän ph©n sè 1272 72= = = . 72 :12 6 C¸ch lµm: 6 12 12 :12 1 - §èi víi ph©n sè lín h¬n 1 cã thÓ viÕt d-íi d¹ng hçn sè VÝ dô:43 41= . 14 2 2.2. Quy ®ång mÉu sè - Quy ®ång tö sè: 33 * Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè: bavµ bc(b, d ≠ 0) a=dxb axd Ta cã: bxd b c= d cxb VÝ dô: Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè 72vµ83. Ta cã: 5621 2= = = = 2 8 7 x 7 8 x 16 56 3; 8 3 7 x 8 7 x Tr-êng hîp mÉu sè lín h¬n chia hÕt cho mÉu sè bÐ h¬n th× mÉu sè chung chÝnh lµ mÉu sè lín h¬n. VÝ dô: Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè 31vµ 65 1 2 x. C¸ch lµm: V× 6 : 3 = 2 nªn 62 1= = 3 3 2 x Chó ý: Tr-íc khi quy ®ång mÉu sè cÇn rót gän c¸c ph©n sè thµnh ph©n sè tèi gi¶n (nÕu cã thÓ) * Quy ®ång tö sè 2 ph©n sè: bavµ dc(a, b, c, d ≠ 0) a x c c c x b a= = Ta cã: ; . b b x c d d x b VÝ dô: Quy ®ång tö sè 2 ph©n sè 32vµ 75. 5 2 x. 2 = 2 5= x 10 5= = 10 3 3 5 x 15 7 7 2 x 14 II. Bèn phÐp tÝnh víi ph©n sè 1. PhÐp céng ph©n sè 1.1. C¸ch céng * Hai ph©n sè cïng mÉu: a c a c + + = b b b b ( ≠ 0) * Hai ph©n sè kh¸c mÉu sè: - Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè råi ®-a vÒ tr-êng hîp céng 2 ph©n sè cã cïng mÉu sè. * Céng mét sè tù nhiªn víi mét ph©n sè. - ViÕt sè tù nhiªn thµnh ph©n sè cã mÉu sè b»ng mÉu sè cña ph©n sè ®· cho. - Céng hai tö sè vµ gi÷ nguyªn mÉu sè. VÝ dô: 2 + 411 3= + = 4 8 4 3 4 1.2. TÝnh chÊt c¬ b¶n cña phÐp céng - TÝnh chÊt giao ho¸n: a+ = + . b c d c d a b - TÝnh chÊt kÕt hîp: ⎜⎝⎛+nm a c ⎞ m a ⎜⎝⎛ c ⎟⎠⎞ b d ⎟ + = + + ⎠ n b d - Tæng cña mét ph©n sè vµ sè 0: a+ 0 = 0 + = b a b a b 2. PhÐp trõ ph©n sè 2.1. C¸ch trõ * Hai ph©n sè cïng mÉu: 34 a − b c + = b a c b * Hai ph©n sè kh¸c mÉu sè: - Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè råi ®-a vÒ tr-êng hîp trõ 2 ph©n sè cïng mÉu sè b) Quy t¾c c¬ b¶n: - Mét tæng 2 ph©n sè trõ ®i mét ph©n sè: ⎜⎝⎛+nm a (Víi nm c ⎞ m a ⎜⎝⎛ c ⎟⎠⎞ c≥) b d ⎟ − = + − ⎠ n b d d c(Víi nm + −nm a = ⎟⎠⎞ a≥) d ⎜⎝⎛ b b - Mét ph©n sè trõ ®i mét tæng 2 ph©n sè: a⎟ − c m a c m − + = dc a⎟ − ⎜⎝⎛ ⎞ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎜⎝⎛− m ⎞ b d n ⎟ = − ⎠ b d ⎠ n b n ⎠ - Mét ph©n sè trõ ®i sè 0: a− 0 = b a b 3. PhÐp nh©n ph©n sè a= c axc 3.1. C¸ch nh©n:bxd b x d 3.2. TÝnh chÊt c¬ b¹n cña phÐp nh©n: - TÝnh chÊt giao ho¸n: a= x b c d c d x a b - TÝnh chÊt kÕt hîp: a⎟× c m a × ×nm c ⎜⎝⎛× = ⎟⎠⎞ b d ⎞ ⎠ n b ⎜⎝⎛ d - Mét tæng 2 ph©n sè nh©n víi mét ph©n sè: a⎟ × = × + × ⎜⎝⎛+ b c d ⎞ ⎠ m n a b m n c d m n - Mét hiÖu 2 ph©n sè nh©n víi mét ph©n sè: a⎟× = × − × ⎜⎝⎛− b c d ⎞ ⎠ m n a b m n c d m n - Mét ph©n sè nh©n víi sè 0: a x x a b 3.3. Chó ý: 0 = 0 = 0 b - Thùc hiÖn phÐp trõ 2 ph©n sè: 1 1 2 1 1 1 − = − = = Do ®ã: 1 21 1 1 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 x 1 1 1 1 − = 2 x − = − = =Do ®ã: 2 31 2 1 3 1 6 4 6 3 6 1 2 3 x 1 1 2 1 − = 3 x − = − = =Do ®ã: 3 41 3 4 12 12 12 3 4 1 1 − = 1 1 n + 1 x n 1 3 4 x 1 1 1 n nDo ®ã: ( 1) −n n n n + 1 = n n × + − = − = ( 1) ( 1) × + × + ( 1) n n n n + 1 × + - Muèn t×m gi¸ trÞ ph©n sè cña mét sè ta lÊy ph©n sè nh©n víi sè ®ã. 1× = VÝ dô: T×m 21cña 6 ta lÊy: 6 3 2 35 T×m 21cña 31ta lÊy: 61 1× = 1 4. PhÐp chia ph©n sè a: = c 2 axd 3 4.1. C¸ch lµm:bxc b d 4.2. Quy t¾c c¬ b¶n: - TÝch cña 2 ph©n sè chia cho mét ph©n sè. ⎜⎝⎛nm a: : x c ⎞ m a ⎜⎝⎛ c ⎟⎠⎞ b d ⎟ = x ⎠ n b d - Mét ph©n sè chia cho mét tÝch 2 ph©n sè: a⎟⎠⎞ : : : .nm b ⎜⎝⎛ c d x m n ⎞ ⎟ = ⎠ ⎜⎝⎛ a b c d - Tæng 2 ph©n sè chia cho mét ph©n sè: a⎟: = : + : ⎜⎝⎛+ b c d ⎞ ⎠ m n a b m n a b m n - HiÖu 2 ph©n sè chia cho mét ph©n sè: a⎟: = : − : ⎜⎝⎛− b c d ⎞ ⎠ m n a b m n c d m n a - Sè 0 chia cho mét ph©n sè: 0 : = 0. b - Muèn t×m 1 sè khi biÕt gi¸ trÞ 1 ph©n sè cña nã ta lÊy gi¸ trÞ ®ã chia cho ph©n sè t-¬ng øng. VÝ dô: T×m sè häc sinh líp 5A biÕt 52sè häc sinh cña líp 5A lµ 10 em. Sè häc sinh cña líp 5A lµ: 2=(em) 10 : 25 5 Bµi gi¶i * Khi biÕt ph©n sè bacña x b»ng dccña y (a, b, c, d ≠ 0) - Muèn t×m tØ sè gi÷a x vµ y ta lÊy ba c: d - Muèn t×m tØ sè gi÷a y vµ x ta lÊy dc a: b VÝ dô: BiÕt 52sè nam b»ng 43sè n÷. T×m tØ sè gi÷a nam vµ n÷. Bµi gi¶i TØ sè gi÷a nam vµ n÷ lµ : 52:43= 815. III. TØ sè phÇn tr¨m C¸ch gi¶i to¸n TØ sè phÇn tr¨m D¹ng1:T×m tØ sè phÇn tr¨m cña hai sè. Ghi nhí:-T×m th-¬ng cña hai sè ( viÕt d-íi d¹ng sè thËp ph©n). - Nh©n th-¬ng ®ã víi 100 vµ viÕt kÝ hiÖu% vµo bªn ph¶i kÕt qu¶ t×m ®-îc. D¹ng 2: T×m gi¸ trÞ phÇn tr¨m cña 1 sè. Ghi nhí: - Muèn t×m n% cña cña mét sè, ta lÊy sè ®ã chia cho 100 råi nh©n víi n hoÆc nhnh©n sè ®è víi n råi chia cho 100. D¹ng 3: T×m mét sè khi biÕt gi¸ trÞ phÇn tr¨m cña sè ®ã. 36 Ghi nhí: -Muèn t×m a, biÕt n% cña a lµ k ta lÊy k chia cho nråi nh©n víi 100 hoÆc lÊy k nh©n víi 100 råi chia cho n. - TØ sè phÇn tr¨m gi÷a A vµ B b»ng 80% ®-îc hiÓu: B ®-îc chia thµnh 100 phÇn b»ng nhau th× A lµ 80 phÇn nh- thÕ. - C¸ch t×m tØ sè % gi÷a A vµ B * C¸ch 1: T×m th-¬ng cña hai sè råi nh©n th-¬ng võa t×m ®-îc víi 100, viÕt thªm kÝ hiÖu phÇn tr¨m vµo bªn ph¶i tÝch võa t×m ®-îc. VÝ dô: T×m tØ sè phÇn tr¨m cña 2 vµ 4. TØ sè phÇn tr¨m cña 2 vµ 4 lµ: 2 : 4 = 0,5 = 50% * C¸ch 2: A : B x 100%. VÝ dô: T×m tØ sè % gi÷a 2 vµ 4; gi÷a 4 vµ 2. - TØ sè % gi÷a 2 vµ 4 lµ: 2 : 4 x 100% = 50% - TØ sè % gi÷a 4 vµ 2 lµ: 4 : 2 x 100% = 200% IV. c¸c d¹ng bµi to¸n tÝnh nhanh ph©n sè D¹ng 1: Tænh nhiÒu ph©n sè cã tö sè b»ng nhau vµ mÉu sè cña ph©n sè liÒn sau gÊp mÉu sè cña ph©n sè liÒn tr-íc 2 lÇn. VÝ dô:641 1+ + + + + . 2 C¸ch 1: 1 4 1 8 1 16 1 32 C¸ch gi¶i: B-íc 1: §Æt A = 641 1+ + + + + 2 1 4 1 8 1 16 1 32 B-íc 2: Ta thÊy: 21 1= − 2 1 41 1= − 1 4 2 81 1= − 1 8 4 ⎜⎝⎛−641 1 1 1 1 1 1 B-íc 3: VËy A = ⎟⎠⎞ 1 ⎞ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎜⎝⎛ ⎟ + − ⎟ + − ⎟ + + − 2 ⎠ 2 4 ⎠ 4 8 ⎠ ... 32 A = 641 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + + − 2 A = 1 - 641 2 4 4 8 ... 32 A = 6463 64− = 1 64 64 §¸p sè: 6463. C¸ch 2: B-íc 1: §Æt A = 641 1+ + + + + B-íc 2: Ta thÊy: 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1= − 1 2 1 2 37 1+ = = − 2 1 4 3 4 1 1 4 1+ + = = − 2 1 4 1 8 7 8 1 1 8 ……………. B-íc 3: VËy A = 641 1+ + + + + 2 1 4 1 8 1 16 1 32 = 1 -641= 6463 64− = 1 64 64 D¹ng 2: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè b»ng nhau vµ mÉu sè cña ph©n sè liÒn sau gÊp mÉu sè cña ph©n sè liÒn tr-íc n lÇn. (n > 1) VÝ dô: A = 641 1+ + + + + 2 1 4 1 8 1 16 1 32 B-íc 1: TÝnh A x n (n = 2) C¸ch gi¶i: ⎜⎝⎛+ + + + +641 1 1 1 1 1 Ta cã: A x 2 = 2 x ⎟⎠⎞ 2 4 8 16 32 = 642 2+ + + + + 2 2 4 2 8 2 16 2 32 = 321 1 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 B-íc 2: TÝnh A x n - A = A x (n - 1) 16 ⎜⎝⎛+ + + + +641 1 1 1 1 1 ⎜⎝⎛+ + + + +321 1 1 1 1 1 ⎟⎠⎞ ⎞ A x 2 - A = ⎟ − 2 4 8 16 32 2 4 8 16 ⎠ 1 + + + + + -641 1− − − − − 1 1 1 1 A x (2 - 1) = 321 1 2 1 4 1 8 1 16 2 4 8 16 32 A = 1 - 641 A = 6463 64− = 1 64 64 VÝ dô 2: B = 4865 5+ + + + + 5 2 6 B-íc 1: TÝnh B x n (n x 3) 5 18 5 54 5 162 ⎜⎝⎛+ + + + +4865 5 5 5 5 5 B x 3 = 3 x ⎟⎠⎞ 2 6 18 54 162 = 1625 15+ + + + + 2 5 2 5 6 5 18 5 54 B-íc 2: TÝnh B x n - B ⎜⎝⎛+ + + + +4865 5 5 5 5 5 ⎜⎝⎛+ + + + +1625 15- ⎟⎠⎞ 5 5 5 5 Bx3 - B = ⎟⎠⎞ 2 6 18 54 162 2 2 6 18 54 B x (3 - 1) = 1625 15+ + + + + -4865 5 5 5 5 5− − − − − 2 B x 2 = 4865 15− 2 3645 − 5 B x 2 = 486 3640 B x 2 486 = 3640 B = : 2 486 2 6 18 54 2 5 6 5 18 5 54 5 162 38 1820 B 486 910 =243 = Bµi 1: TÝnh nhanh Bµi tËp a) 2561 1+ + + + + + + 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 b) 1922 2+ + + + + +( Gîi ý nhãm 2 ra ngoµi råi tÝnh) 3 2 6 2 12 2 24 2 48 2 96 1+ + + + + 1 1 1 1 1 c) . 3 9 27 81 243 729 d) 5123 3+ + + +(Quan s¸t kÜ quy luËt ë mÉu råi quyÕt ®Þnh nh©n 2 mÊy) 3 8 3 32 3 128 e) 3 + 6253 3+ + +( Nhãm 3 ra ngoµi) 5 3 25 3 125 1+ + + + + 1 1 1 1 g) 1280 5 10 20 40 .... 1+ + + + + 1 1 1 1 h) 59049 3 9 27 81 ... D¹ng 3: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè lµ n (n > 0); mÉu sè lµ tÝch cña 2 thõa sè cã hiÖu b»ng n vµ thõa sè thø 2 cña mÉu ph©n sè liÒn tr-íc lµ thõa sè thø nhÊt cña mÉu ph©n sè liÒn sau: VÝ dô: A = 5 61 1 1 1 2 3 + + + x x x x 3 2 − 3 4 4 3 − 4 5 5 4 − 6 5 − A = 5 6 2 3 + + + x x x x 3 3 4 2 4 5 4 3 5 4 6 5 = 5 6 2 3 − + − + − + − x x x x x x x x 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 5 6 = 61 1− + − + − + − 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 = 31 1− = − = = VÝ dô: 3 2 3 1 6 3 6 3 1 6 2 6 3 B = 11 14 2 5 + + + x x x x 5 2 − 5 8 8 5 − 8 11 11 8 − 14 11 − B = . 2 5 + + + x x x x 5 5 8 2 8 11 8 11 14 5 11 8 14 11 B = 11 14 2 5 − + − + − + − x x x x x x x x 2 5 5 8 5 8 8 11 8 11 11 14 = 141 1− + − + − + − 2 1 5 1 5 1 8 1 8 1 11 1 11 = 73 1− = − = = 2 Bµi tËp 1 14 7 14 1 14 6 14 Bµi 1: TÝnh nhanh: 4 4 4 4 4 4 a. 23 27 3 7 + + + + + x x x x x x 2 7 11 2 11 15 2 15 19 2 19 23 b,9 11 1 3 × + 3 5 × + + + ... 5 7 × × 39 3 3 3 3 c,9 10 × (L-u ý tö) 1 2 + 2 3 × + + + ... 3 4 4 4 × 4 4 × 7 7 7 7 7 d. 12 15 + + + ®. 17 21 1 5 + + + + x x x x x 3 6 x x x x 5 9 9 13 13 17 6 9 9 12 e. 1101 1+ + + + + + + g. 3401 1 1 1 1 1 1+ + + + + 2 6 12 20 30 ... 42 10 1 40 1 88 1 154 1 138 ý e, ý g ph¶i t¸ch mÉu thµnh tÝch vÝ dô 110= 10×11 Bµi 2: 4+ = 4 4 664 Cho tæng:1995 S =(Muèn lµm ýb ®-a vÒ d¹ng to¸n t×m SSH) 3 7 × + 7 11 × + ... 11 15 × a) T×m sè h¹ng cuèi cïng cña d·y S. b) Tæng S cã bao nhiªu sè h¹ng? Bµi 3: TÝnh nhanh: a) 9089 5+ + + + + + + (Bï råi t¸ch) 6 11 12 19 20 29 30 41 42 55 56 71 72 b) TÝnh tæng cña 10 ph©n sè trong phÐp céng sau: 1+ + + + + + + + + (Bï råi t¸ch) 2 5 6 11 12 19 20 29 30 41 42 55 56 71 72 89 90 109 110 ,61,21(XÐt quy luËt mÉu) 1 1 1 1 Bµi 4: Cho d·y sè: ........ 12 , 20 , 30 , 42 H·y tÝnh tæng cña 10 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè trªn. 1cã ph¶i lµ mét sè h¹ng cña d·y sè trªn kh«ng? V× sao? b) Sè 10200 Bµi 5: TÝnh nhanh: 1 1 1 1 +Ta 1 2 + 1 2 3 + + + + + ... 1 2 3 4 + + + (1+ 50)×50 1 2 3 4 ... 50 + + + + + cã:1+2+3+..+50=2 Bµi 6: So s¸nh S víi 2, biÕt r»ng: 1 1 1 1 (1+ 45)× 45 S =1+ + + + + Ta cã 1+2+3+..+45=2 3 6 10 ... 45 Bµi 7: Chøng minh r»ng: 1+ + + + + + + + <( L-u ý 901 1 1 1 1 1 1 1 1 1< ,< hoÆc = vµo « trèng: 1+ + + + 1 Ta viÕt 1 21 1 1 1 ... 1 1 =T-¬ng tù 4 9 16 100 4 2 2 × < × D¹ng 4: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè lµ n, cã mÉu sè lµ tÝch cña 3 thõa sè trong ®ã thõa sè thø 3 h¬n thõa sè thø nhÊt n ®¬n vÞ vµ hai thõa sè cuèi cña mÉu ph©n sè liÒn tr-íc lµ 2 thõa sè ®Çu cña mÉu ph©n sè liÒn sau. VÝ dô: TÝnh: 4 4 4 4 4 A = 9 11 13 1 3 5 + + + + x x x x x x x x x x − 5 1 3 5 7 7 3 − 5 7 9 9 5 − 7 9 11 11 7 − 13 9 − =9 11 13 1 3 5 + + + + x x x x x x x x x x 5 3 5 7 1 5 7 9 7 7 9 11 3 9 5 11 7 = − + − + − + −1 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x x 13 1 3 5 3 5 7 3 5 7 5 7 9 5 7 9 7 9 11 7 9 11 + − 9 11 13 9 x x x x 9 11 13 40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =11 13 1 3 − + − + − + − + − x x x x x x x x x x 1 3 5 1 3 5 5 7 5 7 7 9 7 9 9 11 9 11 =11 13 1 3 − x x 11 13 3= x − 143 3 − 140 =429 3 11 13 x x = 429 PHẦN IX. So s¸nh ph©n sè 1. KiÕn thøc cÇn ghi nhí 1.1: So s¸nh ph©n sè b»ng c¸ch quy ®ång mÉu sè, quy ®ång tö sè a) Quy ®ång mÉu sè B-íc 1: Quy®ång mÉu sè B-íc 2: So s¸nh ph©n sè võa quy ®ång VÝ dô: So s¸nh 21vµ 31 =62 1= 1 2 +) Ta cã: 63 1= 1 3 × × = 2 +) V× 62 2 3 × 3 3 × 3>nªn 31 6 1> 2 b) Quy ®ång tö sè B-íc 1: Quy ®ång tö sè B-íc 2: So s¸nh ph©n sè ®· quy ®ång tö sè VÝ dô: So s¸nh hai ph©n sè 52vµ43b»ng c¸ch quy ®ång tö sè +) Ta cã : 2= 2 3 × 6 =86 3= 3 2 5 5 3 × 15 4 = × 4 2 × +) V× 86 6nªn 2002 1 V× 2002 2001 2001 * Chó ý: §Æt A = MÉu 1 - tö 1 B = mÉu 2 - tö 2 C¸ch so s¸nh phÇn bï ®-îc dïng khi A = B. NÕu trong tr-êng hîp A ≠B ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè ®Ó biÕn ®æi ®-a vÒ 2 ph©n sè míi cã hiÖu gi÷a mÉu sè vµ tö sè cña hai ph©n sè b»ng nhau: 2001. 2000vµ 2003 VÝ dô:2001 41 2000 2 × 2000= 4000 +) Ta cã: 4002 2001 = 2001 2 × 2001= 2 4000= 1-2003 2 1 -4002 4002 2 2003 2001 2 +)V× 2003 4000>hay 2003 2001 4002 4002 2001 3. So s¸nh ph©n sè b»ng c¸ch so s¸nh phÇn h¬n víi ®¬n vÞ cña ph©n sè: - PhÇn h¬n víi ®¬n vÞ cña ph©n sè lµ hiÖu cña ph©n sè vµ 1. - Trong hai ph©n sè, ph©n sè nµo cã phÇn h¬n lín h¬n th× ph©n sè ®ã lín h¬n. 2001vµ 2001 VÝ dô: So s¸nh: 2000 B-íc 1: T×m phÇn h¬n 2002 2002− = 1 2001− = 2001 1 Ta cã:2000 1 2000 1 2001 B-¬c 2: So s¸nh phÇn h¬n cña ®¬n vÞ, kÕt luËn hai ph©n sè cÇn so s¸nh. 1>nªn 2001 1 V× 2001 2000 2001> 2000 2002 * Chó ý: §Æt C = tö 1 - mÉu 1 D = tö 2 - mÉu 2 C¸ch so s¸nh phÇn h¬n ®-îc dïng khi C = D. NÕu trong tr-êng hîp C ≠D ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè ®Ó biÕn ®æi ®-a vÒ hai ph©n sè míi cã hiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña hai ph©n sè b»ng nhau. 2001vµ 2001 VÝ dô: So s¸nh hai ph©n sè sau: 2000 2001 2 × 2003 2001= 4002 B-íc1: Ta cã: 4000 2000 = 2000 2 × 4002− = − = 2 2003 2 2001 4000 1 4000 2001 1 2 = < = 3 1 4 4 5 6 2 9 8 B-íc 2: V× 94 3> >nªn 94 5 1 2 3> 5 VÝ dô 2: So s¸nh 6019vµ 9031 B-íc 1: Ta cã: 31 19< = > = 60 20 60 1 3 31 90 30 90 B-íc 2: V× 9031 19< >nªn 101 100 1 V× 101 100 101> 100 100 VÝ dô 4: So s¸nh hai ph©n sè b»ng c¸ch nhanh nhÊt. 5740vµ 5541 Bµi gi¶i 42 +) Ta chän ph©n sè trung gian lµ : 5540 +) Ta cã: 5541 40< < 40 57 +) VËy5541 40< 57 55 * C¸ch chän ph©n sè trung gian : - Trong mét sè tr-êng hîp ®¬n gi¶n, cã thÓ chän ph©n sè trung gian lµ nh÷ng ph©n 1,21b»ng c¸ch t×m th-¬ng cña mÉu sè vµ tö sè ( Tøc lµ sè dÔ t×m ®-îc nh-: 1, ,... 3 mÉu chia cho tö NÕu b:a = 2 ph©n sè b»ng 21 nÕu b : a= 2,... th× ph©n sè nhá h¬n 1nh-nng lín h¬n 1/3)cña tõng ph©n sè råi chän sè tù nhiªn n»m gi÷a hai th-¬ng 2 võa t×m ®-îc. Sè tù nhiªn ®ã chÝnh lµ mÉu sè cña ph©n sè trung gian cßn tö sè cña ph©n sè trung gian chÝnh b»ng 1. - Trong tr-êng hîp tæng qu¸t: So s¸nh hai ph©n sè bavµ dc(a, b, c, d kh¸c 0) - NÕu a > c cßn b < d (hoÆc a < c cßn b > d) th× ta cã thÓ chän ph©n sè trung gian lµ a(hoÆc bc) d - Trong tr-êng hîp hiÖu cña tö sè cña ph©n sè thø nhÊt víi tö sè cña ph©n sè thø haivµ hiÖu cña mÉu sè ph©n sè thø nhÊt víi mÉu sè cña ph©n sè thø hai cã mèi quan ,21) th× ta nh©n c¶ tö ,32 4 hÖ víi nhau vÒ tØ sè (vÝ dô: gÊp 2 hoÆc 3lÇn,…hay b»ng ,... 5 sè vµ mÉu sè cña c¶ hai ph©n sè lªn mét sè lÇn sao cho hiÖu gi÷a hai tö sè vµ hiÖu gi÷a hai mÉu sè cña hai ph©n sè lµ nhá nhÊt. Sau ®ã ta tiÕn hµnh chän ph©n sè trung gian nh- trªn. 70 VÝ dô: So s¸nh hai ph©n sè 2315vµ 117 15 5 × 15= 75 B-íc 1: Ta cã: 115 23 = 23 5 × 70víi 115 Ta so s¸nh 117 75 70 B-íc 2: Chän ph©n sè trung gian lµ: 115 70< nªn 212 2 3 >hay 2165 V× 212 15 15 3 47> 15 - Khi thùc hiªn phÐp chia tö sè cho mÉu sè, ta ®-îc hai th-¬ng kh¸c nhau, ta còng ®-a hai ph©n sè vÒ hçn sè ®Ó so s¸nh. VÝ dô: So s¸nh 1141vµ 1023 Ta cã: 43 103 41= = 3 11 8 11 23 10 2 V× 3 > 2 nªn 103 8 3 >hay 1141> 1023 11 2 * Chó ý: Khi mÉu sè cña hai ph©n sè cïng chia hÕt cho mét sè tù nhiªn ta cã thÓ nh©n c¶ hai ph©n sè ®ã víi sè tù nhiªn ®ã råi ®-a kÕt qu¶ võa t×m ®-îc vÒ hçn sè råi so s¸nh hai hçn sè ®ã víi nhau VÝ dô: So s¸nh 1547vµ 2165. +) Ta cã: 1547x 3 = 72 47= × = = 9 5 2>nªn 72 2 5 65 21 65 3 7 9 +) V× 72 2 9 >hay 1547> 2165 5 5 9 6. Thùc hiÖn phÐp chia hai ph©n sè ®Ó so s¸nh - Khi chia ph©n sè thø nhÊt cho ph©n sè thø hai, nÕu th-¬ng t×m ®-îc b»ng 1 th× hai ph©n sè ®ã b»ng nhau; nÕu th-¬ng t×m ®-îc lín h¬n 1 th× ph©n sè thø nhÊt lín h¬n ph©n sè thø hai; nÕu th-¬ng t×m ®-îc nhá h¬n 1 th× ph©n sè thø nhÊt nhá h¬n ph©n sè thø hai. VÝ dô: So s¸nh 95vµ 107 50