🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Chứng minh không dùng lời (Tư duy, hình tượng) Ebooks Nhóm Zalo ĐỖ MINH TRIẾT Tư duy hình tượng CHỨNG MINH KHÔNG DÙNG LỜI facebook.com/mathtasyvn instagram.com/mathtasythkt bit.ly/mathtasy tủ sách -MATHTASY CHỨNG MINH KHÔNG DÙNG LỜI Tư duy hình tượng CHỨNG MINH KHÔNG DÙNG LỜI Đỗ Minh Triết Bản quyển © 2021 Đỗ Minh Triết Xuất bản 2021 bởi Mathtasy Copyright © 2021 Triet Minh Do. All rights reserved. Pulished 2021 by Mathtasy fb page: facebook.com/mathtasyvn || blog: toanhockithu.wordpress.com [email protected] || [email protected] ĐỖ MINH TRIẾT CHỨNG MINH KHÔNG DÙNG LỜI TƯ DUY HÌNH TƯỢNG tủ sách - Mathtasy - Quyển sách này dành tặng bạn - thành viên yêu dấu của Mathtasy. ''Tôi không có tài năng gì. Tôi chỉ đam mê hiểu biết.'' - ALBERT EINSTEIN lời cám ơn. . . Khi bạn đang đọc những dòng chữ tức là bạn đã sở hữu, đã đọc và đã đánh giá một trong ba tựa sách của tủ sách Mathtasy trên Goodreads, đó là “Tỉ lệ vàng (hay là dãy số Fibonacci)”, “Chữ số và Thế giới: Nguồn gốc bị lãng quên”, “Bạn biết bao nhiêu về toán?”. Điều đó cho thấy bạn đã quan tâm đến Mathtasy hoặc tác giả bởi vì thông tin nhận được ebook chỉ được phổ biến qua hai nguồn này. Hơn nữa, có lẽ bạn cũng muốn biết thêm hơn nữa về thế giới toán học kỳ thú mà trong đó, chứng minh không dùng lời là một khía cạnh không thể bỏ qua. Mathtasy cũng như tác giả cảm ơn bạn! Vì không phải lợi nhuận, tiếng tăm mà mà sự quan tâm của độc giả mới là động lực cho tác giả thực hiện. Mục lục Các tổng tự nhiên 28 Tổng n số tự nhiên đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ian Richard Tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nicomachus of Gerasa (khoảng năm 100 TCN) Tổng n số tự nhiên đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Người Hy Lạp cổ đại Tổng n số tự nhiên đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 S. J. Farlow Tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . 33 #! Tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . 34 #! Tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Timothée Duval Tổng và bình phương (tổng n số lẻ đầu tiên) . . . . . . . . . . 36 Người Hy Lạp cổ đại Tổng và bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Hee Sik Kim Tổng các bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Martin Gardner và Dan Kalman (độc lập nhau) Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Parames Laosinchai Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Antonella Cupillari và Warren Lushbaugh (độc lập nhau) Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 J. Barry Love Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 #! Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 #! Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Solomon Golomb Tổng n số tự nhiên đầu tiên, tổng các lập phương và tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Georg Schrage Đỗ Minh Triết Tính tổng nhờ những quân domino . . . . . . . . . . . . . . 46 Shirley Wakin Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Alan Fry Tổng liên tiếp các tích hai số liền nhau . . . . . . . . . . . . . 48 Sidney Kung Các chuỗi số (tổng vô hạn) 50 Chuỗi (Tổng vô hạn): Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/2 . . 51 Warren Page Chuỗi: Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/2 . . . . . . . . . 52 Warren Page Chuỗi: Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/3 . . . . . . . . . 53 Rick Mabry Chuỗi: Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/4 . . . . . . . . . 54 Sunday Ajose Chuỗi: Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/4 . . . . . . . . . 55 Rick Mabry Chuỗi: Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/5 . . . . . . . . . 56 Rick Mabry Chuỗi: Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/9 . . . . . . . . . 57 James Tanton Chuỗi: Tổng các luỹ thừa giảm vô hạn của 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 . . . 58 Roger Nelsen Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 James Chilaka Chuỗi đan dấu 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Roger Nelsen Chuỗi đan dấu 1/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Hasan Unal Chuỗi: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 62 J. H. Webb Chuỗi: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 63 The Viewpoints 2000 Group Chuỗi: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 64 Benjamin Klein và Irl Bivens Chuỗi: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 65 Craig Johnson & Carlos Spaht (độc lập nhau) Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Roger Nelsen Các công thức lượng giác 68 Luật cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Sidney Kung Công thức lượng giác sin tổng, cos tổng . . . . . . . . . . . . 70 Roger Nelsen Công thức lượng giác sin hiệu, cos hiệu . . . . . . . . . . . . 71 Roger Nelsen Công thức lượng giác sin tổng, cos tổng . . . . . . . . . . . . 72 Leonard Smiley Công thức lượng giác sin hiệu, cos hiệu . . . . . . . . . . . . 73 Leonard Smiley Công thức lượng giác sin hiệu, cos hiệu . . . . . . . . . . . . 74 Sidney Kung Công thức lượng giác sin tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Sidney Kung Công thức lượng giác sin tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Christopher Brueningsen Công thức lượng giác cos tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Sidney Kung Công thức lượng giác tan tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Roger Nelsen Công thức lượng giác tan hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Roger Nelsen Công thức lượng giác tan hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Guanshen Ren Công thức lượng giác tan hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Fukuzo Suzuki Công thức lượng giác sin, cos góc nhân đôi . . . . . . . . . . . 82 Hasan Unal Công thức lượng giác sin, cos góc nhân đôi . . . . . . . . . . . 83 Sidney Kung Công thức lượng giác sin, cos góc nhân đôi . . . . . . . . . . . 84 Roger Nelsen Công thức lượng giác sin, cos góc nhân đôi . . . . . . . . . . . 85 Yihnan David Gau Công thức lượng giác cộng sin, cộng cos . . . . . . . . . . . . 86 Yukio Kobayashi Công thức lượng giác trừ sin, trừ cos . . . . . . . . . . . . . 87 Yukio Kobayashi Luật cosin (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Timothy Sipka Công thức lượng giác tổng sin cos . . . . . . . . . . . . . . . 89 Rick Mabry & Paul Deiermann Công thức lượng giác cộng sin, cộng cos . . . . . . . . . . . . 90 Sidney Kung Công thức lượng giác trừ sin, trừ cos . . . . . . . . . . . . . 91 Sidney Kung Công thức lượng giác tan góc chia đôi . . . . . . . . . . . . . 92 R. J. Walker Công thức lượng giác sin, cos góc nhân ba . . . . . . . . . . . 93 Claudi Alsina & Roger Nelsen Một số công thức lượng giác khác . . . . . . . . . . . . . . . 94 William Romaine Một số công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Roger Nelsen Đại số hoá hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Sidney Kung Đại số hoá hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Roger Nelsen Đại số hoá hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Paul Deiermann Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . 99 R. L. Eisenman Các bất đẳng thức 100 Bất đẳng thức Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Feng Yuefeng Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Charles Gallant Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Doris Schattschneider Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Ayoub Ayoub Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Roland Eddy Bất đẳng thức AM-GM-HM . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Pappus xứ Alexandria (khoảng 320) Bất đẳng thức HM-GM-AM-RM . . . . . . . . . . . . . . 107 Sidney Kung Bất đẳng thức HM-GM-AM-RM . . . . . . . . . . . . . . 108 Roger Nelsen Bất đẳng thức X + 1/X ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Roger Nelsen Các định lý hình học 110 Định lý Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 James Garfield Định lý Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Michael Hardy Định lí Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Enzo Gentile Các tính chất đại số 114 Tỉ lệ Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Alfinio Flores Tỉ lệ Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Alfinio Flores và Hugh Sanders Các công thức giải tích 118 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . 119 Richard Courant TƯ DUY HÌNH ẢNHHình 1. 20 | chứng minh không dùng lời CHỨNG MINH KHÔNG DÙNG LỜI Chứng minh không dùng lời, thuật ngữ gốc “proofs without words”, là cách thức sử dụng hình học hay biểu đồ nhằm nêu bật được bản chất vấn đề. Lấy một ví dụ minh hoạ cho định lý Pythagoras a b a c c b 2 . 12 ab +12 c2 = 12 (a + b)2 +a2 + b2 = c2 Tất cả chỉ là các ký hiệu, các phép biến đổi toán học được sử dụng để đi đến kết quả. Không hề có ngôn từ giải thích nhưng vẫn đảm bảo được sự truyền đạt, người đọc hoàn toàn có thể tự hiểu mấu chốt vấn đề là ở diện tích hình tam giác. Chứng minh không dùng lời lần đầu tiên được biết đến và dần phổ biến vào những năm 70, 80 khi mà Hiệp hội toán học Hoa Kỳ bắt đầu công bố chúng Đỗ Minh Triết | 21 qua các tạp chí toán học Mathematics Magazine, The College Mathematics Journal. Martin Gardner, trong bài báo nổi tiếng của ông, “Mathematical Games” vào tháng 10 năm 1973 trên tạp chí Scientific American, giải thích rằng chứng minh không dùng lời như một “biểu đồ nhìn – hiểu”, người đọc có thể thấy được cốt lõi vấn đề chỉ trong chớp nhoáng. Tính từ khi thuật ngữ này ra đời thì thì chứng minh không dùng lời đầu tiên được áp dụng cho định lý Pythagoras đăng tải trên tạp chí Mathematics Magazine vào tháng Chín năm 1975 bởi tác giả Rufus Isaacs, Đại học Johns Hopkins, Mỹ. Hình 2. Chứng minh không dùng lời cho định lý Pythagoras đăng trên tạp chí Mathematics Magazine năm 1975. 22 | chứng minh không dùng lời Có thể diễn giải chứng minh của Issacs như sau: di chuyển bốn tam giác về bốn góc thì rõ ràng tổng diện tích hai hình vuông lúc đầu bằng diện tích hình vuông lúc sau, định lý Pythagoras được chứng minh. a b c c2 a b c c b a b2 b a b a c a2 b a Hình 3. Diễn giải chứng minh của Issacs. Kể từ đó, tạp chí Mathematics Magazine mỗi năm đăng tải một đến hai chứng minh không dùng lời. Đến năm 1987, con số tăng lên thành sáu. Không cần phải nói ra, các nhà toán học đã bắt đầu chú ý đến những viên ngọc quý giá của toán học này. Giáo sư Roger Nelsen của Đại học Lewis và Clark ở Portland, Oregon, cũng không ngoại lệ, ông công bố một chứng minh không dùng lời vô cùng độc đáo cho bất đẳng thức AM-GM-HM. Không lâu sau đó, ông được đề nghị phụ trách mảng này cho tạp chí. Trong nhiều năm liền làm việc, ông đã sáng tạo rất nhiều chứng minh không dùng lời, số lượng đủ để làm nên một tựa sách riêng. Năm 1993, ông xuất bản quyển “Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking” và phần tiếp theo của nó, “Proofs Without Words II: More Exercises in Visual Thinking” vào năm 2000. Trong những khoảng thời gian này, chứng minh không dùng lời luôn bị hoài nghi liệu nó có phải là một chứng minh thực sự không? Câu trả lời đương nhiên là không. Chính Nelsen trong bài đầu tiên của mình cũng nhận định như vậy. Tuy không phải là một chứng minh thuần tuý nhưng chứng minh không dùng lời thực sự có giá trị toán học, nó như một bản phác thảo kiến trúc mà không đi quá sâu vào chi tiết, giúp người xem hiểu được vì sao mệnh đề đang xét là đúng, đồng thời có thể suy ra được cách chứng minh thực sự. Vì những đặc tính đó, chứng minh không dùng lời được xem là cách thức mô phỏng, phác thảo chứng minh thực sự bằng hình ảnh, là sự áp dụng kết quả Đỗ Minh Triết | 23 vào hình học và là phương pháp tư duy hình tượng ở mức độ cao. Nếu đòi hỏi một lý lẽ thuyết phục chứng tỏ chứng minh không dùng lời không thể là một chứng minh thực sự thì sau đây là một ví dụ. Một chứng minh không dùng lời 64 = 65, từ một hình vuông ban đầu cạnh 8 có diện tích 8 × 8 = 64 được chia làm bốn hình: 2 tam giác vuông bằng nhau, 2 hình thang vuông bằng nhau, rồi ghép lại để được một hình chữ nhật mới có diện tích 5 × 13 = 65. Vì cả hai hình vuông ban đầu và hình chữ nhật mới được tạo thành từ 4 mảnh ghép như nhau nên chúng phải có diện tích bằng nhau, tức là 64 = 65. 8 8 5 13 Hình 4. 64 = 65. Nếu để ý kĩ, bạn sẽ thấy ở hình chữ nhật mới được tạo thành, trung tâm của nó là một hình bình hành siêu mảnh rất khó nhận thấy, nói một cách khác, các đường màu xanh, đỏ không hề trùng khớp lên nhau. Diện tích hình bình hành siêu mảnh này đúng bằng 1 và diện tích hình mới được tạo thành là 65 - 1 = 64, bác bỏ lập luận sai lầm ban đầu. Đó là một trong những điểm yếu của chứng minh không dùng lời, thể hiện trong những trường hợp hình vẽ không đủ tính tổng quát hoặc dễ gây ra 24 | chứng minh không dùng lời sự hiểu lầm. Hình 4 vẫn còn là trường hợp đơn giản dễ nhận ra, còn như ví dụ sau thì gần như là không thể Hình 5. 1156 = 1155. Tuy nhiên, đôi khi chứng minh không dùng lời lại tỏ ra ưu thế hơn so với chứng minh truyền thống. Phương pháp tư duy hình tượng không phải là mới. Ngay từ thời xa xưa, xuyên suốt lịch sử trí tuệ, con người đã thể hiện ý tưởng toán học bằng hình ảnh. Một trong những văn tự toán học cổ xưa nhất Trung Hoa là “Chu Bễ Toán Kinh”[] thời nhà Chu[] được xác định là có niên đại vào khoảng năm 200 TCN. Nội dung văn tự viết về quan sát và tính toán thiên văn, bao gồm 246 Đỗ Minh Triết | 25 vấn đề, trong số đó có một mô phỏng bằng hình ảnh về định lý Pythagoras. Về sau, “Chu Bễ Toán Kinh” được bổ sung và hoàn thiện bởi nhiều nhà toán học Trung Hoa khác qua hàng chục thế kỷ: Lưu Huy (263), Tổ Xung Chi (đầu thế kỷ thứ VI), Lý Thuần Phong (602–670) và Dương Huy (1270)[]. Hình 6. Trang sách của “Chu Bễ Toán Kinh” mô tả định lý Pythagoras. 26 | chứng minh không dùng lời c b a b a (a - b) = + (a - b) c2 = (a - b)2 + 4 ab2 = a2 + b2 Hình 7. Diễn giải. Một khi bạn đã nắm được khái niệm chứng minh không dùng lời và mục đích của nó thì sau đây là một số ví dụ minh họa, tất cả đều được sưu tầm từ các tạp chí toán học nổi tiếng của Mỹ thập niên 70-80 kèm theo tên tác giả. Để giữ đúng tinh thần của chứng minh không dùng lời, trừ hai ví dụ đầu thì mọi ví dụ sau đều không có sự giải thích hay phân tích diễn giải, trong trường hợp bạn cần đến điều đó, hãy tham khảo gợi ý ở PHỤ LỤC. Đỗ Minh Triết | 27 CÁC TỔNG TỰ NHIÊN 28 | chứng minh không dùng lời TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN ĐẦU TIÊN Ian Richard 1 + 2 + 3 + ... + n = n2 2 +n2 Hình 8. Đỗ Minh Triết | 29 TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN ĐẦU TIÊN Người Hy Lạp cổ đại 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 Hình 9. 30 | chứng minh không dùng lời TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN ĐẦU TIÊN S. J. Farlow + + 2(1 + 3 + 5 + ... + n) = n2 + n 1 2 3 n n n 2 f 1 2 + + + + = ] g + Hình 10. Đỗ Minh Triết | 31 TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN LẺ ĐẦU TIÊN Nicomachus of Gerasa (khoảng năm 100 TCN) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 Hình 11. 32 | chứng minh không dùng lời TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN LẺ ĐẦU TIÊN #! 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 14 (2n)2 = n2 Hình 12. Đỗ Minh Triết | 33 TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN LẺ ĐẦU TIÊN #! 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 Hình 13. 34 | chứng minh không dùng lời TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN LẺ ĐẦU TIÊN Timothée Duval 1 3 5 7 ... 2n - 1 2[1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)] = 2n2 +1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 Hình 14. Đỗ Minh Triết | 35 TỔNG VÀ BÌNH PHƯƠNG (TỔNG N SỐ LẺ ĐẦU TIÊN) Người Hy Lạp cổ đại 1 + 2 + 1 = 22 &1 + 3 = 22 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 32&1 + 3 + 5 = 32 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 42&1 + 3 + 5 + 7 = 42 h 1 + 2 + ... + (n - 1) + n + (n - 1) + ... + 2 + 1 = n2 +1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 Hình 15. 36 | chứng minh không dùng lời TỔNG VÀ BÌNH PHƯƠNG Hee Sik Kim = + 1 + 3 + 1 = 12 + 22 = + 1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 22 + 32 = + 1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1 = 32 + 42 1 + 3 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) + (2n - 1) + ... + 3 + 1 = n2 + (n + 1)2 Hình 16. Đỗ Minh Triết | 37 TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG Martin Gardner và Dan Kalman (độc lập nhau) n + + 5 + ... 4 + 3 1 + 2 + 2n + 1 3(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... + n2) = (2n + 1)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) +12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... + n2 = (2n + 1)n(n + 1) 6 Hình 17. 38 | chứng minh không dùng lời TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG Parames Laosinchai = n2 = 1 = n 1 . 12 2 . 22 3 . 32 n . n2 1 + 2 + 3 + ... + n 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 Hình 18. Đỗ Minh Triết | 39 TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG Antonella Cupillari và Warren Lushbaugh (độc lập nhau) n2 n 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 14 [n(n + 1)]2 Hình 19. 40 | chứng minh không dùng lời TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG J. Barry Love 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n)2 Hình 20. Đỗ Minh Triết | 41 TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG #! 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ... + n3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n)2 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n)2 Hình 21. 42 | chứng minh không dùng lời TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG #! j 3 2 1 1 23 ... 4.12 + 8.22 + 12.32 + 16.42 + ... + 4n.n2 = [n(n + 1)]2 + 4.13 + 4.23 + 4.33 + 4.43 + ... + 4.n3 = [n(n + 1)]2 +123 n n n 41 1 333 f 3 2 +++ + = 6 @ ] g + Hình 22. Đỗ Minh Triết | 43 TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG Solomon Golomb 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n)2 (Chú ý: Phần màu trắng là phần bị khuyết.) Hình 23. 44 | chứng minh không dùng lời TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN ĐẦU TIÊN, TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG VÀ TỔNG N SỐ TỰ NHIÊN LẺ ĐẦU TIÊN Georg Schrage Đỗ Minh Triết 1 3 5 7 9 ....... n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 1×12 2×22 3×32 ....... n n×n2 2 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 = n(n + 1) 2 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 2 Hình 24. Đỗ Minh Triết | 45 TÍNH TỔNG NHỜ NHỮNG QUÂN DOMINO Shirley Wakin 1 2. . 4 2 8 2.... 12 2 16 2 20 2 24 132 + + ++++ = n / ] g f 2 + = +++ + + = + 1 2 4 1 k n 241 . . 242 . . 2 4. .3 2.4 2 1 n k = 1 (Chú ý: Mỗi hình chữ nhật được xem là một quân domino, nó gồm hai hình vuông, hình vuông ở vị trí trung tâm đại diện cho số 1) Hình 25. 46 | chứng minh không dùng lời TỔNG CÁC LẬP PHƯƠNG Alan Fry 1 1 1 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n)2 Hình 26. Đỗ Minh Triết | 47 TỔNG LIÊN TIẾP CÁC TÍCH HAI SỐ LIỀN NHAU Sidney Kung 1 2 3 4 + n 3 2 3 + + ...... + 3 3 n + 1 3 = n n + 2 n + 1 3 [1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + n(n + 1)] = n(n + 1)(n + 2) Hình 27. 48 | chứng minh không dùng lời Đỗ Minh Triết | 49 CÁC CHUỖI SỐ (TỔNG VÔ HẠN) 50 | chứng minh không dùng lời CHUỖI (TỔNG VÔ HẠN): TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/2 Warren Page 1 1 32 1 ... 1 64 1 12 1 81 16 1 4 2 +14 +18 +116 + ... = 1 Hình 28. Đỗ Minh Triết | 51 CHUỖI: TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/2 Warren Page 1 1 1 4 1 1 8 1 2 1 16 1 32 1 ... 64 2 +14 +18 +116 + ... = 1 Hình 29. 52 | chứng minh không dùng lời CHUỖI: TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/3 Rick Mabry 3 +132 +133 +134 + ... =12 1 Hình 30. Đỗ Minh Triết | 53 CHUỖI: TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/4 Sunday Ajose 1 8 1 4 1 8 1 4 1 2 1 2 4 +142 +143 +144 + ... =13 1 Hình 31. 54 | chứng minh không dùng lời CHUỖI: TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/4 Rick Mabry h 4 +142 +143 +144 + ... =13 1 Hình 32. Đỗ Minh Triết | 55 CHUỖI: TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/5 Rick Mabry 1 5 1 5 1 2 1 1 2 5 +152 +153 +154 + ... =14 Hình 33. 56 | chứng minh không dùng lời CHUỖI: TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/9 James Tanton 1 1 3 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 Kết quả tổng quát: 9 +192 +193 +194 + ... =18 1 n+1n2 +1n3 +1n4 + ... =1 1 n - 1 có thể được chứng minh một cách tương tự với (n - 1)-giác đều (đa giác n - 1 cạnh bằng nhau), thậm chí là đường tròn. Hình 34. Đỗ Minh Triết | 57 CHUỖI: TỔNG CÁC LUỸ THỪA GIẢM VÔ HẠN CỦA 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 Roger Nelsen r/4 1/2 1/2 21212121 + +2 3 + +4 f = 1 r/3r/6 1/3 1/31/3 3131313121 + +2 3 + +4 f = 1/4 1/4 1/4 1/4 4141414131 + +2 3 + +4 f = 1/5 5 1 Hình 35. 1/5 1/5 1/5 1/5 2 5151515141 + +2 3 + +4 f = 58 | chứng minh không dùng lời CHUỖI ĐAN DẤU James Chilaka 21418116132164131 - + - + - + f = A1 A3 A2 21 21 2141 - 1 1 - 8 16 1 - 1 16 32 4181 - 2141 - 4181 - 1 1 - 8 16 1 - 1 16 32 214181 A 214181161321641 1 = - + - + - + f A A 1 2 = = A3 A A 1 2 + + A3 = 1 A 31 1 = Hình 36. Đỗ Minh Triết | 59 CHUỖI ĐAN DẤU 1/2 Roger Nelsen 1 - 12 1 - 12 + 14 1 1 - 12 + 14 - 18 + 116 1 - - ... 12 + 14 - 18 + 116 1 - 12 + 14 - 18 Hình 37. 1 - 12 + 14 - 18 + 116 - ... = 23 60 | chứng minh không dùng lời CHUỖI ĐAN DẤU 1/3 Hasan Unal 1 - 13 1 - 13 + 19 1 1 - 13 + 19 - 127 + 181 1 - - ... 13 + 19 - 127 + 181 1 - 13 + 19 - 127 1 - 13 + 19 - 127 + 181 - ... = 34 Hình 38. Đỗ Minh Triết | 61 CHUỖI: TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN J. H. Webb 1 r 1 ... a + ar + ar 2 + ar 3 + ... a > 0, 0 < r < 1 a + ar + ar2 + ar3 + ... 1 r = a 1 r - 1 + a + ar + ar2 + ar3 + ... = a 1 - r Hình 39. 62 | chứng minh không dùng lời CHUỖI: TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Benjamin Klein và Irl Bivens 1 P 1 S ... 1 Q 1 - r R r r2 r2 r T 0 < r < 1 3PQR T +3 SP 1- 1 + r + r2 + r3 + ... = 1 r Hình 40. Đỗ Minh Triết | 63 CHUỖI: TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN The Viewpoints 2000 Group y y = x ar a a ar ar a 1 1 - - b l , r ar2 ar2 y = rx + a x O a > 0, 0 < r < 1 a 1 + + 2 3 + + f = - a ar ar arr Hình 41. 64 | chứng minh không dùng lời CHUỖI: TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Craig Johnson & Carlos Spaht (độc lập nhau) y a 1 - r ... ar ar 2 a r r 2 r3 ... 1 O a > 0, 0 < r < 1 a + ar + ar2 + ar3 + ... = a 1 - r x Hình 42. Đỗ Minh Triết | 65 CHUỖI LUỸ THỪA Roger Nelsen 1 1 - x 2 h x3 x2 x3 i x x2 x3 1 x x2 x3 ... h x3 x2 x 1 1 x x2 x3 ... xd[0, 1) 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... 1 1 - x 2 2 = (1 + x + x2 + x3 + ...)2 = 1 1 - x (Sử dụng kết quả từ "Hình 40." trang 63) Hình 43. 66 | chứng minh không dùng lời Đỗ Minh Triết | 67 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 68 | chứng minh không dùng lời LUẬT COSIN Sidney Kung 2a cos i - b c a a a a - c b i (2acos i - b) b = (a - c)(a + c) +c2 = a2 + b2 - 2ab cos i Hình 44. Đỗ Minh Triết | 69 b Hình 45. b sin x i b cos x a LUẬT COSIN Timothy Sipka c c2 (b sin x)2 (a - b cos x)2 c2 = (b sin x)2 + (a - b cos x)2 = a2 + b2 - 2ab cos x 70 | chứng minh không dùng lời CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN TỔNG, COS TỔNG Roger Nelsen sin x sin y cos  1 y x sin y cos y cos x cos y x x sin  y sin  x cos  y sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y Hình 46. Đỗ Minh Triết | 71 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN HIỆU, COS HIỆU Roger Nelsen cos x sin y 1 x y x sin y cos y sin x cos y x sin  x sin  y cos  x cos  y sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y Hình 47. 72 | chứng minh không dùng lời CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN TỔNG, COS TỔNG Leonard Smiley y y) + sin (x 1 cos y sin y sin cos y x sin x sin x = sin ^ h + x y x + y x + sin cos y x cos sin y x sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y y y cos  1 sin y x + y + y) cos (x cos ^ h x y + x sin cos sin x cos y = xxy x + ^ h + cos x y sin sin cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y Hình 48. Đỗ Minh Triết | 73 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN HIỆU, COS HIỆU Leonard Smiley x y x - y1 d h d sin y sin x - d sin y cosyx d = cos h = d sin (x - y) h = (sin x - d sin y) cos x sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y h cosyx d = sin h = d cos (x - y) x x - y y d cos y d cos x sin x 1 h = (sin x + d cos y) cos x sin (x - y) = cos x cos y + sin x sin y Hình 49. 74 | chứng minh không dùng lời CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN HIỆU, COS HIỆU Sidney Kung a x - y = - a asin x b b b b sin y x y y b cos y acos x sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y y y ( ) 2 x y π − − = + a b x a b cos y x asin x b acos x cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y b sin y Hình 50. Đỗ Minh Triết | 75 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN TỔNG Sidney Kung sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y với x + y < r z b x r z c2 a y c c = a cos y + b cos x r = 21 & sin z =c212 = c, sin x = a, sin y = b sin (x + y) = sin [r - (x + y)] = sin z = sin x cos y + cos x sin y Hình 51. 76 | chứng minh không dùng lời CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN TỔNG Christopher Brueningsen x y a b h x, y d 0, 2r b l&h = a cos x = b cos y x y a h = h + b 21 ab sin (x + y) = 21 ah sin x + 21 bh sin y = 21a(b cos y)sin x + 21 b(acos x)sin y sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y Hình 52. Đỗ Minh Triết | 77 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC COS TỔNG Sidney Kung y y 2r - (x + y) x b a b cos x = asin y 21 ab sin [ 2r - (x + y)] x b sin  acos  = 21 b cos x acos y - 21asin y b sin x cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y Hình 53. 78 | chứng minh không dùng lời CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TAN TỔNG Roger Nelsen tan x tan y cos  1 x tan  y y x 1 1 cos x x tany tan  x tan(x + y) = tanx + tany 1 - tanx tany Hình 54. Đỗ Minh Triết | 79 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TAN HIỆU Roger Nelsen tan y tan  x cos  1 x tan x y 1 cos x tan x x tany y x 1 tan(x - y) = tanx - tany 1 + tanx tany Hình 55. 80 | chứng minh không dùng lời