🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Các Chuyên Đề Bám Sát Đề Thi THPT Quốc Gia Toạ Độ Không Gian Ebooks Nhóm Zalo NGƯT. ThS. LÊ HOÀNH PHÒ r i ■■ ■ ĩ i ■ ■■ ■ ì ■ ■ ■ ■ C ác c h u y ê n đ ề V BÁin lfÍT Đế THÌ T H P T Q U Ố C GIA Th.s NHÀ GIÁO ƯU TỦ LÊ HOẢNH PHÒ CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT Q u ố c GIA TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập - C hế bản: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập; (04) 39715011 Fax: (04) 39729436 C hịu trá ch nh iệm x u ấ t bản: Giám dốc - T ống hiên tập: TS. PHẠM TH Ị T R Â M Biên tập: C h ế ban: VŨ TH Ị THƯÝ N G U Y ỄN KHỞI M IN H T rìn h bày bìa: N H À SÁCH H ồ N G ÂN Dối tác liên kết xuất bản: NHÀ SÁCH HỔNG ÂN 20C N guyễn Thị M inh Khai - Q1 - Tlh Hồ C hí M inh SACH MEN KET CÁC CHUYÊN ĐỄ BÁM SÁT ĐỂ THI THPT QUỐC GIA TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN_ _ _ _ _ _ _ _ _ Mã số: 1L-338ĐH2015 In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổ phần Văn hóa Văn Lang. Địa chỉ: Số 6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q, Binh Thạnh - TP. Hổ Chí Minh Sô xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/2-217-189/ĐHŨGHN, ngày 3/6/2015. Quyết định xuất bản số: 356LK-TN/QĐ-NXBĐHQGHN, ngày 13/6/2015 In xong và nộp lưu chiểu quý III năm 2015. LỜI NÓI ĐẦU Các lOm học sinh thân mến! Nhằm mục đích ^'iúp các hạn học sinh lớp 12 chuan bị thật tòl cho KY THI TRUNG HOC! PHÔ THÔNG QUỒC GIA dạt diem khá, diêm cao d(1 trúng tuyổn vào các trường Cao dang. Dại học mà mình dã xác dịnh nghề nghiệp cho tương lai, thoo dịnh hướng mới. Bộ sách này gồm cS cuón cho 8 chuvòn dồ, dô các om tiộn dùng trong ôn luyện th(í0 chương trình học và trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỔ - HÀM SỐ VẢ IMIƯƠNG TRÌNH MŨ LÒGARIT - NGUYÊN HÀM VẢ TÍCH PHÂN - SỔ PHỨC VẢ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - TỌA DỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHẲn G - PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT DANG THỨC Cuôn TOA DÔ KHÔNG GIAN gôm có 12 phân nhỏ dc liộn luyện tcập theo chù d'ô. l ù các kiôn thúc và phưcmg pháp giai Toán căn bàn Vcà nâng cao dần tlần, kôt họp ôn tập toán lóp 10 và 11, bô sung Vià mò rộng kiến thức và phưong plỉáp giai khác nhau, luyộn tập Ihôm loàn khó, 1'oán lông hạp, các btỢn ròn luyện kỹ năng Icàm bái v<à lừng buóc giai dùng, giái gọn các bài Itập, các bài tOián trong kiê’m tra, thi cú'. Dù dã cô gắng kiêm tra trong (Ịuá trình hiôn l.ập song cũng không tránh khỏi những sai sót mà tác giá chiia thấy hốt. mong dón nhận các gÓỊ) ý của (Ịuý hạn doc, học sinh de lần iiì sau hoàn thiện h(ín. l'á c giá i i : HOẢ.NH PHÒ TOẠ ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ Toạ độ không gian Ba vectơ đơn vị i, j , k trên 3 trục Ox, Ov, Oz: 'i=(l;0;0), ']=(0;1;0), k= (0;0;l) M(x,y,z) hay M=(x,y,z): OM = x .i + y. j + z. k a (x,y,z) hay a =(x,y,z): a = X. ỉ + y. j z.k Phép toán vectơ Hai vecíơ: It = (x,y,z) và V = (x',y'zỹ thì: u ± V = (x ± x y ± y z ±z'); ku = (kx; ky, kz) u .V = x x ' ^ y y ' ^ zz'] Ịu I = -ịx~ + y^ +z^ ,— , x.x’+y.y'+z.z' COS(u,v) = ■ .............. — . = = r ■yjx' +y^ + z\-^z / M chia AB theo tỉ k ĩT: J: M X, — kx^ y^ — ky2 Zị - kz^ \\ - k \ - k \ - k - Toạ độ trung điêm M của đoạn AB, trọng lâm G của lam giác ABC, trọng tâm E của tứ diện ABCD với tọa độ A(xi, yi, Zi), B(x2, y 2, Zĩ), C(X3, ys, Zỉ) , D(X4 ,y4 ,24): X| + X , X, + X 2 + X 3 2 3 X = X, + + X3 + x^ M ■ y =3^1 +:^^2 2 G- y =3^1 + 3^2 + 3^3 3 E y + >^2 + + y4 z =z , + z ^ Z| + z , + Z j 2 <3 z - Zị + Z2 + Zị + Z4 Tích có Ituớng Tích có hướng của a = (x,y,z) và b = (x',y',z') là vecíơ: n =[a, b ] ^ T 2 z X X y ^ \ y z ' x'9x' y \ Kết quà: Veclơ [ tíf, /) ] vuông góc vói a , b Vectơ a vuông góc với h a. h 0 Hai vectơ a, b cùng phương o h ^ k a Hai vectơ a , h cùng phương <=> \ a , h ] = 0 Ba 3 veclơ a, h , c đông phăng <=í> [ a , b I . c = 0 Bổn điếm A, B, c, D đồngphẳng Cí> I ÁB , AC ] . AD = 0 Ba 3 veclơ a, b , c không đồng phang <=> [ a , ố ]. C' 0 Bôn điêm A, B, c, D không đông phăng <:í> [ AB , AC ^ . AD ^ 0. Chú ỷ: ứng dụng tọa độ không gian dê giải các hài toán hình không gian cô điên, quạn hệ song song, vuông góc, dộ dài, góc , khoảng cách, vị trí lương đổi,... Bài toán 1.1: Cho ba vectơ a = (2; -5; 3), b = (0; 2; -1), c = (1; 7; 2) a) Tìm toạ độ của vectơ c = a - 4 b - 2 c . b) Tìm toạ độ của vectơ ĩ '= 4 a - —b + 3 c . 3 Giải a) c = ã - 4b - 2c = (2 - 0 - 2; - 5 - 8 - 14; 3 I 4 - 4) (0; -27; 3) b) f = 4 a - - b t-3c = (8 4 0 + 3 ;-2 0 - - +21; 12 + - 3 3 3 Bài toán 1.2: Tìm toạ độ cùa vectơ m cho biôt: a) a + m = 4 a và a = (0; -2; 1) b) a + 2m = b và a = (5; 4; -1), b = (2; -5; 3) Giải a) a + m = 4 a => m = 3 a = (0; 6; 3) ^ 3 9 ' b )a + 2 m = b = > m = - —a 4 — b = 2 2 V 2 Bài toán 1.3: Cho hai bộ ba điểm; A(1; 3; 1). B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) và A'(l; 1; 1;), B'(-4; 3; 1), C'(-9; 5; l).HỎi bộ ba điểm nào thẳng hàng? Giải Ta có CẨ = (1 ;3 ;0 ), CB = (0; 1; 1) Vì các toạ độ không tưcmg xứng tỉ lệ nên không có sô k nào đê CA = k c i i , suy ra A, B, c không thẳng hàng. Ta có C A ' - (10; -4; 0), CB' = (5; -2; 0) => C A ' = 2 c ^ ' Do đó A', B', c thẳng hàng. Bài toán 1.4: Tính tích vô hướng của hai vectơ trong mỗi trường hợp: a) a - (3; 0; -8), b = (2; -7; 0) b) a = (1; -5; 2), b = (4; 3; -5) Giải a) a .b = 3.2 + 0.(-7) + (-8).0 = 6 b) a .b = 1.4 + (-5).3 +2(-5) = -21. Bài toán 1.5: Cho ba vectơ: a = (1; -1 ;1), b = (4; 0; -1), c = (3; 2; -1). Tính: a) (a ,b )c . a .(b .c) b) a^.b + b ^ c .ã + c ^ a ,4 a .c + b ^ -5 c ^ . Giải a ) Tacó: a .b = 1.4 + (-l).0+ l.(-l) = 3 D o đ ó ;( a .b ) c = 3 c = (9; 6;-3). Ta có b .c =4.3 ( 0.2 i (-1)(-1) = 13 Do đó a ( b .c ) = 13a =(13;-13; 13) b) Ta có a ^ = 3, b^ = 17, c ■ = 14 nên a l b + b l c + c l a = 3 b + 17c + 14a = (77; 20;-6) và a .c = 0 = > 4 a .c + b ^ -5 c ^ = -53. Bài toán 1.6: Cho 1 u 1 = 2, I V I = 5 , góc giữa hai vcctơ ĩi và V bằng — . Tìm k để vectơ p = k u + 17 V vuông góc với vectơ q = 3 u - V. Giải Ta có I u I = 2, I V 1 = 5, cos( ĩi, V) = cos — = - — Do đó p T q <=> p .q = 0'ti>(ku + 17v)(3u - v) = 0 « 3 u ^ - 17v^ + (51 - k ) u .’v = 0 « 3 k . 4 - 17.25 +(5 Ị - k)2.5 Vậy giá trị cần tìm là k = 40. V 2 y= 0<=> 17k- 680 = 0 « k = 40. Bài toán 1.7: Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; Vs ; 5) và C(sin5t; cos3t; sin3t). Tìm t để AB vuông góc với o c . Giải Ta có AB = (2; V3 ; 1), o c = (sinSt; cos3t; sin3t) Hai đường thẳng AB và o c vuông góc với nhau khi và chỉ khi: A B . o c = 0 <=> 2sin5t + V3 cos3t + sin3t = 0. /T Ị <=> sinSt + cos3t + — sin3t = 0 sinSt + sin(3t + — ) = 0 2 2 3 <=> sinSt = sin(-3t - ^ ) 3 V âyt = - — + k — ,t = — + krt. k e z. n 2n - , t = — 24 4 3 Bài toán 1.8: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a) a ={-3; l;- 2 ) , b = (1; 1; 1), c = (-2; 2; 1) b ) a = (4 ;3 ;4 ), b = ( 2 ;- l;2 ) , c - ( l ; 2 ; l ) Giải a) Ta có [a , b] =- 3 -2^= (3; l;-4). 1 1 1 Do đó [ a , b ]. c = -6 + 2 - 4 = -8 0. Vậy 3 vectơ không đồng phẳng b )T acó [ a , b] = (10; 0;-10) [a , b l.c = 0. Vậy 3 vectơ đồng phang. Bài toán 1.9: Cho 4 vectơ: a = (1; -1; 1), b = (0; 1; 2), c = (4; 2; 3) và d = (2; 7; 7). a) Chứng minh các vcctơ a , b , c không đồng phẳng b) Hãy biêu thị vectơ d theo các vectơ a , b , c . Giải a) Ta có [a , b I = (-3; -2; l)=5>[a, b ]c = -135*0 Vậy 5 vecto không dông phăng. b) Giả s ừ d = m a + nb -t pc <=> Vậy d = -2a + 3 b + c . m + 4p = 2 - m + n-t-2p = 7 <=> m + 2n + 3p = 7 m = -2 n = 3 . P = 1 Bài toán 1.10: Trong không gian cho bốn điổm; A(0; 0; 3), B (l; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0) a ) T ính(Ã B .B C )C A + C D ^ Ã B b) Chứng minh bốn điểm A, B, c, D đồng phang. Giải a) ÃB = (1; 1;2), BC (-4 ;-l;-5 ), CA = (3; 0; 3), CD = (3 ;-3 ;0 ) D ođó ÃB . BC =-15 , C D ^= 18 nên(Ã B . ã C )C A + CD^ ÃB =-15C A + 18ÃB =(-27; 18;-9) b) ÃB = (1; 1;2), Ã c = (-3; 0;-3) => [ÃB , ÃC] = (-3;-3; 3) Và ÃD = (0; -3; -3) [ÃB, ÃCIÃD = 0: đpcm. Bài toán 1.11: Chứng minh các lính chất sau đây của lích có hướng a) [a , b ] = - [ b , a I b) fka , b] = k[a , b] = [a , kb]. Giải Gọi a = (x i;y i;Z ]), b = (X2; y2; Z2). Ta có a) [a , b] = Y2 Yi "2 ^2 ^2 Y2 = (yiZ2 - y2Zi; Z1X2 - Z2X1; Xiy2 - X2yi) = -(y2Z| - yiZ2; Z2Xi - Z1X2; X2yi - Xiy2) ^Y2 -2 Z-) ^2 X2 Y2 ' X, y , , Kết quả [ a , a J = -| a , a ] ^ [ a , a ] = 0 . = -[b , a] b )k [ a , b] kYi 7-1 7l X: ,k X, y , ' VY2 7.2 72 ^ 2 ^ 2 Yl, 'ky, kz, kZ| kX| kx, k y ,' , Y2 72972 X29^2 Y2 ,[k a , bl. Tưong tự: k[a , b ] = [a , kh ]. Bài toán 1.12: Chímg minh các lính chất sau đây của tích vô hướng a) a .[b , c] = [a , b ].c b) I [a .b ] p = I a p . I b p - (a .b)^. Giải a) Gọi a = (Xi; yi;Z i), b = (X2; y2; Z2) , c = (X3; ys; Z3). Ta có a .[b .c] = X, y?.+yi^2 X-+ z,X3 y? y, z, X, yi +y3 + G y2 5^2 ^2 ^2 ^2 yi a . b ] c b) V P= I ã p . I b l“ - ( a .b ) ^ a 1^ I b b “ .cos“a 2 = |a 1". lb|~(l - cos^a) = I a "b I W a - I [a .b ] p = VT. Bài toán 1.13: Trong không gian cho ba vectơ a , b , c từng đôi không cùng phuơng. Chửng minh rằng điều kiện cần và đủ đổ vcclơ long; a (- b + c = 0 l à [ a , b | = [b, c] = [c, a |. Giải T ừ a + b + C = Õ =>a = - ( b + c ) = ^ Ị a , - b - c ] = Õ Do đó [ ã , - b - c] = [ a , - b ] - [ a , c] = 0 =>[c, a j = [ a , b] Tưcmg tự ta cũng có [ b , c ] = [ a , b ]. Vậy: [ a , b] -- [b , c] - | c, k ị Ngược lại, từ [ a , b] = |b , c ] = > [ b , á + c] = 0 Mặt khác, [ b , b ] == õ =í> [ b , a t b "t c J õ => b cùng phương với veclơ a' + b + c . Chứng minh tương tự ta cũng có vectơ a cùng phương với vectơ a + b + c . NhuTig a và b không cùng phương, vậy a + b + c = 0 . Bài toán 1.14: Cho điểm M(a; b; c) a) rim toạ độ hình chiếu của M trên các mặt phang toạ độ và trên các trục toạ độ b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phang toạ độ, đến các trục toạ độ. Giải a) Gọi Mi(x; y; 0) là hình chiểu của điểm M(a; b; c) trên mp(Oxy) thì: MM| = (x - a; y - b; -c) Vì MM,' . ĩ = 0 và MM| . ] = 0 nên x - a = 0, y - b = 0. Vậy Mi(a; b; 0) Tương tự. hình chiếu của M trên mp(Oyz) là M2(0; b; c) hình chiếu của M trên mp(Oxz) là M3(a; 0; c) Giả sử Mx(x; 0; 0) là hình chiểu của M(a; b; c) trên trục Ox thi MM,. = (x - a; -b; -c). Vì MM^ .1 = 0 nên X = a, do đó Mx(a; 0; 0) 10 '1'ương tự, hình chiếu cùa M(a; b; c) trên trục Oy là My(0; b; 0), hình chiếu của M(a; b; c) trên trục Oz là Mz(0; 0; c). b) d(M; (Oxy)) = MMi = -y/(a-a)’ + (b -b )" + { c -0 )’ =|c| Tương tự d(M; (Oyz)) == I a I , d(M; (Ozx)) = I b I Ta có d(M; Ox) = MMx --/(a-a)-"+(b-0)'+(c-0)" = /b -+ c ' Tương tự d(M; Oy) = + c^' , d(M; Oz) = yja^ + b^' . Bài toán 1,15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (l;2 ;4 ),B (2 ;-l;0 ),C (-2 ;3 ;-l). a) Gọi (x; y; z) là các toạ độ của diểm M nằm trên mặt phang (ABC). Tìm sự liên hệ giữa X, y, z. b) Tim toạ độ của điểm D biết rằng hình ABCD là hình bình hành. Giải a) ÃB = (1; -3; -4), AC (-3; 1; -5), ẤM = (x - 1; y - 2; z - 4) Ta có M nằm trên mặt phẳng (ABC) f A B , AC ]. AM =■ 0 » 19(x - 1) + 17(y - 2) - 8(z - 4) = 0 » 19x t 17y - 8z - 21 0. b) Vì ABCD là hình binh hành nên AB ^ D C : l= -2 -x „ - 3 = 3 - y p <=><Ịy„=6 . Vậy D(-3; 6; 3). - 4 = - l Zj5 — 3 Bài toán 1.16: Cho A (2 ;-l;3 ), B(4; 0; ỉ), C(-10; 5; 3) a) Chứng minh rằng: A, B, c là ba dỉnh của một lam giác b) Tìm chân đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC. Giải a) ĨĨA = (-2; -1; 2), ĩĩc = (-14; 5; 2) Ta có BA và BC không cùng phương nôn A, B, c là ba đỉnh của một tam giác. b) Gọi BE là đường phân giác ngoài của g(k B, khi dó: Ị M _ E A EA 3 1 BC ~ EC E C ~ 1 5 ~ 5 ' Vì 2 veclơ EA, EC cùng hướng nên E chia đoạn AC theo tỉ k = E (5 ;-^ ;3 ). Bài toán 1.17: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(xi; yi; Zi), C(X3; y3; Z3), E'(x'2; y'2; 7!2), k)'(x'4; y'4; z'4). Tìm loạ độ của các đỉnh còn lại. 11 Giải Gọi Q = AC n BD, Q' = A'C' n B'D' Ihì Q, Q' là trung điểm của AC, B'D' nên: D' X, +X3+ x';-x', _ y, +Y3+y’;-y ', .z, +z, +zy - \ - z7'' ^4 B ' 0.7' A X|+X3 ~X',+X'4 _ ^ + y., -y'2+y'4 . Zl + 2 3 -z'2+2 ' D 2 2 2 , Bài toán 1.18: a) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A (l;2 ;3 )v à B (-3 ;-3 ;2 ) b) Trên mặt phẳng (Oxz) thì điểm M cách đều ba điểm A (l; 1; 1), B(-l; 1; 0), C(3; Giải a) M thuộc Ox nên M(x; 0; 0). Ta có MA = MB <=> MA^ = MB^ <=> (1 - x)^ + 2^ + 3^ = (-3 - x)^ + (-3)^ + 2^ o X = -1. Vậy M (-1;0; 0) b) M thuộc (Oxz) trôn M(x; 0; z). Ta có: MA = MB = MC ÍAM^ =BM- í ( x - l ) '+ l + (z-l)-=(x + l ) V l + z^ <=> ịAM- = CM- (x -1)^ +1 + (z -1)- = (X - 3)- +1 + (z +1)^ 5 2z = l X = —rì __ _f5 ^ 7^ <=>- . Vây M 4z = 8 7 u 6 ) z = —- 6 Bài toán 1.19: Cho tam giác ABC có A(-2; 1; 0), B(0; 3; -1), C (-l; 0; 2). a) Chứng minh tam giác ABC có góc B nhọn. b) Tìm toạ độ điểm II là hình chiếu của A trên cạnh BC. 12 Giải a) Ta có BA = (-2; -2; 1), BC = (-1; -3; 3) Nên cos B = BẤ.BC _ n BA BC 3VĨ9> 0 => góc B nhọn. b) H(x; y; z) thuộc BC nên BH = tBC Do đó X = -t, y - 3 = -3t, z + 1 = 3t => X = -t, y = 3 - 3l, z = -1 + 3t Ta có AH 1 BC nên ÃH . BC = 0. (-t + 2)(-l) + (-3t + 2)(-3) + (z i 1)3 = 0 => t = — . Vậy hình chiếu H n _2 8 9 ’ 3 ’ 3 Bài toán 1.20: Cho bốn điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Hỏi hai đường thẳng AB và CD có cắt nhau hay không? Neu chúng cắt nhau, hãy tìm toạ độ giao điểm. Giải Ta có: ÃB = (3; -5; -8), Ã c = (5; -6; -11) ÃD = (7; -8; -15), CD = (2; -2; -4). Do đó [A B, ÀC] = (7; -7; 7) => [ AB . AC] . AD = 0 nên AB, CD đồng phẳng, hơn nữa A B , CD không cùng phương, do đó 2 đường thăng AB và CD căt nhau. Gọi M ( x m ; y\i, z m ) là giao điểm của AB và CD. Đặt =kMB, Ã ^’ = Ấ:'Ãffi.Tacó: X c - k 'X p •3 2 - 4 k ’ “■M 1 - k 1-k' 1-k ^ yc-k'yp 1 - k ’ - l + 3k' Y m = <=> i-k i-k' i-k i-k' "M ^ yc-k'Zp 1 5 - 7 k ^ 4 1 - k 1-k' 1-k 1-k' 7 Giải ra được k' = — nên M 11 2 2 . Bài toán 1.21: a) Cho hai điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4). Tìm điểm C(x; y; 6) để A, B, c thẳng hàng, b) Cho hai điểm A (-l; 6; 6), B(3; -6; -2). Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 13 Giải a) A, B, c thẳng hàng <=> Ảc = k AB<=> Vậy điểm C(5; 11; 6). X - 2 = k y - 5 = 2k « 3 = k X = 5 y = l l . k = 3 . b) Vì za = 6, Zn = -2 za . zb < 0 => A, B ở hai phía của mp(Oxy). Vậy MA + MB nhỏ nhất khi A, B, M thẳng hàng A M , AB cùng phương [ A M , A B 1 = 0 Gọi M(x; y; 0) e mp(Oxy) ẢM = (x + 1; y - 6; -6), AB = (4; -12; -8) Ta có: [Ã M , ÃB] = (-8y-24; 8x - 16;-12x - 4y + 1 2 )- õ - 8 y - 2 4 = 0 8 x - l 6 = 0X = z - 1 2 x - 4 y + 12 = 0 y = -3 Vậy MA + MB ngắn nhất khi M(2; -3; 0) Bài toán 1.22: Cho tứ diện ABCD có: A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết V a b c d = 5. Tìm toạ độ đỉnh D. Giải Gọi D(0; y; 0) thuộc trục Oy. Ta có: ÃB = (1 ;-1 ;2 ), ÃD =(-2;y- 1; 1), AC - (0;-2; 4) =>[Xb , Ã C ]= --(0;-4;-2)= ^[X b , Xc ]ÃD = -4(y - l)-2--4y + 2. Theo giả thiết Vabcd = 5 <=> — lị À B , AC ] AD I - 5 6 <=> I - 4y -í 2 I = 30 <=í> y = -7; y = 8 Vậy có 2 điểm D trên trục Oy: D(0; -7; 0) và D(0; 8; 0). Bài toán 1.23: Gọi G là trọng tcim của tứ diện ABCD Chứng minh ràng dường thăng đi qua G và một dinh của tứ diện cũng di qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó. Gọi A' là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh răng = 3. GA' Giải Ta giải bằng phương pháp toạ độ. Trong không gian toạ độ Oxyz, giả sử A(xi; yi; Z |), B(X2; V2; / 2), C(X3; y3, Za), D(x4; y4; Z4) thì trọng tâm A' của tam giác BCD, trọng lâm tứ diện G: A' ^ X, + X, + y^ + y, -f y4 . z, + z, + z / 14 G^ X, + + X , + X,, ^ y , + y , + y , + Y4 . z , + Z;,_ + 7.3 + z , ^ V 4 4 4 Do đó: ã \ - í ~y2 "^3 -y4 ■ 3?^- 'Í Ị - íy -3x, +X3 +X3 +X4 ^-3y| +y^ +Y3 +Y4 .-3Z| +2, +/-3 +z, 12 12 12 , GA Suy ra: GA = -3 G A ' => G, A, A' thẳng hàng vàGA'= 3. Tưong lự thì có đpcm. Bài toán 1.24; Cho tứ diện nội tiếp trong mặt cầu tâm o và có AB = AC = AD. Gọi G là trọng tâm AACD, E, F là trung điếm BG, AỈC Chứng minh: OF _L BG <=5> OD _L AC. AB = AC = AD và OB - oc - OD Giải => OA _L (BCD) tại chân dường cao II với HB = HC = HD. lí Chọn H làm gốc toạ độ. với hệ trục Hx, Ily, Hz sao cho I lA là trục Mz, HB là trục Hy. A (0;0; a), B(0; b; 0); C (c; C2; 0), D(di; d2; 0) và 0(0; 0; z) I C| + d | C, +dT a „ suy ra G ^ ^ , E V 3 3 i ) C| + d, b Ct + dj 7a 12 12 ’ 12 c, + d| b c, + d, 7a và ÒF = BG = 12 ’4”^ '12 '’ n - z C| + d| Cj + d a —^ - b , 3 2 ) AC = (Ci; C2; -a), OD = (di; dỵ, -z) Theo giả thiết OA = OB = oc = OD <=> OA" = OB‘ = oc^ = OD^ (a - z)" = b^ + z^ = c^ + cị + z^' = df + dị + z^ » a - 2az = b^ = c? + cl = d,“ + dỉ ( 1) Ta có: OF.BG = 0 « (C i + d i)^ + (C2 + d2)^ - 9b^ + 7a' - 12az = 0 (2) 15 Khai triển (2) và thay thế (1) ta được: (2) <=> 32 + Cidi + C2d2 = 0 OD . AC = 0: đpcm. BÀI TẬ P Bài tập 1.1: Tính tích vô hướng của hai vectơ sau: a = (0; V 2; ^/3), b = (4; V3;-V2). HD-DS a.b =0.4+ V 2 . V ĩ + V 3 ( - V 2 ) = 0. Bài tập 1.2: Chứng minh các tính chất sau đây của tích vô hướng a) [ a , a ] = Ổ b) [c , a + b] = [c , a ] + [c, b] ÌID-ĐS Gọi a = (Xi; y i ; Z i ) , b = (X2; y2; Z2> , c = (X3; y3; 23). / a) [ a , a ] = yi z, X,9Xi yi' Vyi Zi Xl X, yi . = (0;0; 0)=Õ, a + h] =y , 239Z2 X39X3 y+ 7i+yi z, +z^ Z,+Z^ X 1 + X 2 X, + x . yi+y.. y3 Z3 7.3 X,+z.3 X3 X3 y.3 +X3 y3 z.3 í 9 y2 Z2 z, X, Xi y. X2 y2 y Zl ^y3 ^3 yy. Zl ^3 X3 z, x,[ X, y.3 X, y, +y3 ^3 y2 ^2 X, z, X2 X3 y3 ^2 y2 [c, ã ] + [c, b]. Bài tập 1.3: Cho hai điểm A(xi; yi; Z|) và B(X2; yi\ 7.2). Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ sổ k + 1. IID-DS Gọi M(x; y; z) ta có: MA = (Xi - x; yi - y; Zi - z), MB = (X2 - x; y2 - y; Z2 - z) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 3Ế 1 khi và chỉ khi X, - k x , X = — ------— - MẨ = kMB<=> < X| - X = k ( X j - x ) y i - y = k(y 2 -y) « 1 - k 1 - k ^z, - z = k(Z2 - z) 16 Bài tập 1.4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các điểm A (l; 0; 1), B(2; 1; 2), D (l; -1; 1) và C'(4; 5; -5). Tìm các điểm còn lại. HD-ĐS ABCD là hình bình hành nên: X f - 2 = 0 X(. = 2 BC = AD ^ < y^. - 0 .Do đó: C(2; 0; 2) ;.,.-l= -l « - 2 = 0 Và ÃA' = BB' = DD' = CC' = (2; 5; -7) nên A'(3; 5; -6), B'(4; 6; 5), D'(3; 4; -6). Bài tập 1.5: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ 1) a = ( l ; - 2 ; 2 ) , b =(1;0; 0), c = (2;-1; 1) 2 ) a = ( - 5 ; l ; 4 ) , b = ( - 3 ; 2 ; 3), c = ( l ; 2 ; 0 ) IID-ĐS l)đồngphẳng. 2) không đồng phẳng. Bài tập 1.6: Cho 4 điểm A(5; 1; 3), B (l; 6; 2), C(5; 0; 4) và D(4; 0; 5).Chứng minh A, B, c, D là 4 đỉnh tứ diện. Tìm trọng tâm G của tứ diện. HD-ĐS Trọng tâm G ^15 7 15^ 4 ’ 4 ’ 4 , Bài tập 1.7: Cho ã =(2, 3, 1), b =(5, 7, 0), c -(3, -2, 4) a , b , c có đông phăng không và tính I a + b - 3 c I HD-ĐS Không đồng phẳng, 1 Bài tập 1.8: a) Tìm hình chiếu M(2;-4;7) lên Ox, Oy, Oz., (xOy), (yOz), (zOx). b) Tìm điểm đối xứng M (-l;9;3) qua o, Ox, Oy, (xOy), (zOy). lĩD-ĐS a) (2;0;0) ,(0;-4;0) ,(0;0;7) ,(2;-4;0) ,(0;-4;7) ,(2;0;7) b) (l;-9;-3) ,(-l;-9;-3) ,(l;9;-3) ,(-l;9;-3), (1;9;3). Bài tập 1.9: Cho A: - — - = — = và điểm A(0; 1; 3). Tìm điểm M trên A sao - 2 3 1 cho đoạn AM ngắn lứiất. ĨID-ĐS AM ngắn nhất khi AM vuông góc với đường thẳng A, M 17 0 9 17^ 7 7 7 , 2 J P góc, k h o ả n g c á c h, d iệ n t íc h, thể tíc h Tích có hướng của a = (x,y,z) và h --= (x'.y',z') là veclơ: n = [ a , h ] =z X X '' ?z' z' >X' - Độ dài của vectơ: u = (x,y,z): I M I = + y~ . - Khoáng cách giữa hai diêm A(xi, Vi, Zi) và B(X2, V2, 22): AB = 7(^2 - x ^ Ý + (y^ - )- + (Z2 - z,) ^ - Góc giữa hai vecíơ: u = (x,y,z) và V' = (x',y',zỹ: ,— ^ x.x’+y.y'+z.z' cos(w,v) = — ------. + y + z^ .^Jx'^+y'^+z' - Góc của tam giác ABC: cos A = cos(AB, A C ). - Diện tích lam giác ABC: s = — \ [AB , AC Ị \ - Thế lích tứ diện ABCD: V = ~ \ [ÃB , J c ị Ã Ĩ ) \ 6 - Thể tích hình hộp ABCD.A B'C/D': V = \[Ã B .1Ã ' \ - Thể tích hình lăng trụ ABCA 'B'C': V = - \ [A B , Ã õ ]. Z ĩ ' I . Chủ ý: Ị) Góc giữa 2 vectcĩ từ 0“ đến I8Ơ’ và các góc cồn lại giữa đường thẳng, mặt phang đều từ (f đến 9Ơ^. 2) Dùng diện tích tam giác đê tỉnh chiểu cao tam giác và thế tích tứ diện đê tính chiều cao tứ diện. 3) ứng dụng tọa độ không gian đế giải các hài toán hình không gian cô điển, CỊuạn hệ song song, vuông góc, độ dài, góc , khoảng cách, vị tri tương đổi, ... Bài toán 2.1: Tính côsin của góc giữa hai vectơ u và V trong mỗi trường họp sau: a) Ũ =(1; 1; 1); V = (2; 1;-1) b) u = 3 Ĩ t 4 j* ; V = -lỴ + 3 k Giải ^ ^ xx'+y.y'+z.z' v 2 a) cos(u,v) = p ■ ^ •ựx^ + y" + z .•ựx'Vy'^+z'^ 3 18 b) Ta có ũ = (3; 4; 0), V = (0; -2; 3) => cos(ii, v) =-8VĨ3 65 Bài toán 2.2: Cho các vccíơ: u = i - 2 j ; v = 3 Ĩ + 5(j - k ) ; w = 2 Ì - k + 3 j . a) Tìm côsin của các góc ( V, i ), ( V, j ) và ( V, k ). b) Tính các tích vô hướng u.v, u.w, v.w. Giải a) u = ( l ; - 2 ; 0 ) , V = (3; 5;-5), w =(2;3;-l) Và các vectơ đơn vị i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), ĩc = (0; 0; 1) nên cos(v,i) V.I -• -* V 1 cos(v,k) = v.k yÍ59 - 5 ; co s(v J) = V.JS 9 yÍ59 b) Ta có u . V = x.x' + y.y' + z.z' = -7. Tương tự thì được u . w = -4, V. w =26. Bài toán 2.3: Cho hình bình hành ABCD với A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2 ). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ AC và B D . Giải Ta có BẤ = (-6; 1; -1), BC = (2; 3; 1). Vi toạ độ của hai vectơ đó không tỉ lệ nên ba điểm A, B, c, không thẳng hàng. Gọi D(x; y; z). Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AD = BC <í^ < x + 3 = 2 y + 2 = 3 <=í> z =1 x = - l y = l . V ậyD (-l; 1; 1) z = 1 Ta có AC = (8; 2; 2), BD = (-4; 4; 0), do đó: cos(AC, BD) = ■32 + 8 V T2.V ^ ‘ 2 Vậy (Ãc, BD) = 120". Bài toán 2.4: Ba vcctơ đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lài, j , k Cho vectơ u tuỳ ý khác 0 . 19 Chứng minh rằng: cos^( u , i ) + cos^( u , j ) + cos^( u , ỉc) = 1. Giải Ba vectơ đơn vỊ trên 3 trục Ox, Oy, Oz: i={ 1 ;0;0), 7 =(0; 1 ;0 ), Ic =(0;0; 1) . Giả sử u = (x; y; z) ta có; cos(u,r) = • ^ — — u 1 V x“ + y = + z ’ ' Do đó cos^ (u, i ) = —— ^ ^ . X + y + z 2 2 y 7. Tương tự: cos^(uJ) = --^-..y, - ; co^(ĩi,k) = X +y +z X +y'+z Từ đó suy ra cos^( u , i ) f cos^( u , j ) + cos^( u , k ) = 1. Bài toán 2.5: Cho tam giác ABC vuông ở A biết A(4; 2; -1), B(3; 0; 2), C(x; -2; 1) a) Tìm tâm và bán kính đưòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A. Giải a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB^ + AC^ = BC^ Mà AB^ = 1 + 4 + 9 = 14, AC^ = (x - 4)^ + 16 + 4 = (x - AỶ + 20 BC^ = (x - 3)^ + 4 + 1 = (X - 3 f + 5 X = 18 ^ C(18; -2; 1) Tâm đưòng tròn ngoại tiếp I là trung điểm của BC. Nên l í — ;-l; - ì và bán kính R = — = V 2 2; 2 2 b) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AI I nôn AH.HC = A B . A C ^ A H = i ^ = ^ . BC 115 Bài toán 2.6: Cho ba điểm A(l; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1) a) Chứng minh A, B, c không thẳng hàng. Tính chu vi, diện tích và độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A. b) Tính các góc của tam giác ABC. Giải a) Ta có BA = (1; 0; -1), BC - (2; 1; 0), toạ độ hai vectơ đó không tỉ lệ nên chúng không cùng phương. Vậy ba điểm A, B, c không thẳng hàng. Ta có AB = ^IÝ + 0 ^ + {-IÝ = V2 , BC = V2 ' + 1' +0^ = Vs AC = = V3 . Vậy chu vi tam giác ABC bằng ^Í2 + 20 Vì BC^ = AB^ + AC^ nên tam giác ABC vuông tại A do đỏ diện tích: s = - A B .A C - — . 2 2 Ta có Saiỉc= -^BC.Iia 2 BC V3Õ u^ t ^ •' A nr' ' ♦ • A ^ n = r' - b) Vì tam giác ABC vuông tại A nên: cosB = ^ , c o s C = — = BC vS BC v5 , r, . , . „_BC.BẨ 2.1+ 0 + 0 ^Ỉ2 Cách khác: Tính cosB theo công thức: cosB = — —— = — r- r- = • BC.BA V5 .V2 Vs Bài toán 2.7: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A (l; 2; -1), B (2 ;-l;3 ),C (-4 ;7 ;5 ). a) Tính độ dài đường cao hA của tam giác vẽ từ đỉnh A. b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác vẽ từ đỉnh B. Giải a) Ta có ÃB = (1; -3; 4 ), Ã c - (-5; 5; 6), BC = (-6; 8; 2) ^ [ Ã B , AC] = (-38;-26;-10) VậySABC=- AB,AC = - V 3 F ^ r 2 6 ^ ^ f ^ = 2 ^ ^ 2 u = -^AUC 2S^oc 2 V ^ _ y ỊĨĨĨ BC ~ VĨÕ4 ~ 4 Ũ b) Gọi D(x; y; z) là chân đưòng phân giác vẽ từ B: . DA BA 426 _ 1 , p, i •- A r- - Ta có —— = —^ ;------ = ^ . Vì D năm giữa A, c nên: DC BC ^/ĨÕ4 2 2 DA = - - DC « CD = 2DA o < 2 V â y D U ; i i BD =24ĨẦ 2 (l- x ) = x + 4 2 (2 -y ) = y - 7 « 2 ( - l - z ) = z - 5 X = —3 11 ' 3 z = 1 Bài toán 2.8: Cho hình bình hành ABCD có 3 dinh A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4). a) Tính góc B của tam giác ABC b) Tính diện tích hình bình hành ABCD. 21 Giải a) Ta có BA = (2; -2; 1), BC = (8; 4; 1) Ta có cosB = cos( BA , B C ) = —. b) Hình binh hành ABCD có diện tích: s = 2Sabc = 2. — I [ BA , BC ] I Ta có [BA, BC] = (-6; 6; 24) ^ s = 18 V2 . Bài toán 2.9: Cho bốn điểm có tọa độ: A(2; 5;.-4), B(l; 6; 3), C(-4; -’l; 12), D(-2; -3; -2) a) Chứng minh ABCD là một hình thang. b) Tính diện tích hình thang ABCD. Giải a) AB = (-1; 1; 7), AC = (-6; -6; 16), hai vectơ này không cùng phưong vì toạ độ không tỉ lệ suy ra A, B, c không thẳng hàng và có; DC =(-2;2; 14) = 2ÃB => A B / / CD. Vậy ABCD là hình thang b) Sabcd - Sabc + Sadc = - |[AB, AC]| + - |[AD, ÃC]| = 3V l046 . Bài toán 2.10: Cho hai điểm A(2; 0; -1), B(0; -2; 3) a) Tìm toạ độ điểm c e Oy để tam giác ABC có diện tích bằng V ĩĩ và thoả mãn o c > 1. b) Tìm toạ độ điểm D e (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB. Giải a) Gọi C(0; y; 0) ^ ÃB = (-2; -2; 4), Ã c (-2; y; 1). Ta có: Sabc = Vu « - I [ AB , AC ] I = V ĩ 1 ^ --Ị{ 2 + 4 y f +36+(2y+4)^ =VĨ 1 1 7 3 20y^ + 32y + 12 = 0<=>y = -l hoặc y = - — (loại) Vậy điểm C(0; -1; 0) b) Gọi D(x; 0; z) e (Oxz) => DC = (-x; -1; -z) ABCD là hình thang khi và chi khi A B , DC cùng hướng • > 0 <=> X = 1, z = -2. 22 - x _ -1 _ - z Vậy điểm D (l;0 ;-2 ). Bài toán 2.11: Cho bốn điểm A( ]; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; ]) và D(-2; 1; -2) a) Chứng minh rằng A, B, c, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. b) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ đỉnh A. Giải a)Tacó: ÃB =(-l; 1;0), Ã c =(-l;0; 1), ÃD =(-3; l;-2) nên f AB . AC ]' 1 0 0 -1 -1 1 . 0 1 1 -1 -1 0/ Do đó [AB, AC]. AD = -3 + 1 - 2 = -4 qẾ 0, suy ra ba vectơ AB, AC, AD không đồng phẳng. Vậy A, B, c, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. Ta có CĨ5 =(-2; l;-3 ), = (0;-1; 1), ĨĨĨD -(-2 ; 0;-2). Gọi a , p, Y lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng; AB và CD, AC và BD, AD và BC thì ta có: cosa = cos(AB,CD) cosị3= cos(AB,CD) cosy= cos(AB,CD) |2 + 1 + 0| _ 3VĨ7 ~ V2.VĨ4 ~ 14 2 + 0 - 2= 0 V2.V8 |-1-2| 3VĨ7 ^ . ^ / Ĩ 4 ~ 14 2 6 ^.AD b) Thể tích tứ diện ABCD là V = - A B , AB Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A là: hA = 3V -■bcd Bài toán 2.12: Cho tử diện ABCD có: A (-l; 2; 0), B(0; 1; 1), C(0; 3; 0), D(2; 1; 0) ' 3 3V 2V3 1b c , b d a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. b) Tim hình chiếu của D lên mặt phang (ABC). Giải a )Ta có ẢB =(1;-1; 1), Ã c =(1; 1;0), ÃD =(3;-l;0) 1 nên [AB, AC] = (-1; 1; 2) Sabc^ - |[AB, AC]| = — 2 2 Và[AB, ÃCl.AD = - 4 ^ Vabcd= - |fÃB. AC].AD I = - . 6 3 23 b) Gọi H(x; y; z) là hình chiếu D trên mặt phẳng (ABC) thì: ÃH =( x+ l ; y - 2 ; z ) , Ĩ5h = ( x - 2 ; y - l;z). Ta có: DH.ÃB = 0 DH.ÃC = 0 ã b , ã c Ị ã h - 0 V ạ y H Í l l ; l l ; l ỉ ì . u 1 11 11J x - 2 y + z - 0 X + y = 3 O i x - y - 3 z = -3 X = y = z = 18 11 15 11 12 11 Bài toán 2.13: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(l; 0; 3), B(-3; 1; 3), C(l; 5; 1) và M(x; y; 0). Tìm giá trị nhỏ nhất T = 2 MA + ÃĨB+ÃÍC Giải Gọi I là trung điểm của BC; =>I(-1;3;2)=> ^ + ^ = 2MỈ =>T = 2(MA + MI) Za - 3 > 0 và Zi = 2 > 0 => A và I nằm về cùng 1 phía đối với mp(Oxy) và M(x; y; 0) thuộc mp(Oxy) nên lấy đối xứng I(-l; 3; 2) qua mp(Oxy) thành J(-l; 3; -2) ^ MI = MJ ^ T = 2(MA + MJ) > 2AJ = 2 Dấu = xảy ra khi M là giao điểm của đoạn MJ với mp(Oxy) là M 1 9 V 5 5 Vậy minT = 2 -\/^ . Bài toán 2.14: Cho hình lập phưcmg ABCD.A'B’C'D' có cạnh bàng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của A'D' và B'B. a) Chứng minh rằng u ± AC. Tính độ dài đoạn thẳng u. b) Chứng minh rằng D'B -L mp(A'C'D), mp(ACB') và tính góc giữa hai đưòng thẳng u và A'D. Giải a) Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), D(a; 0; 0), B(0; a; 0), A-(0; 0; a). Ta có C' (a; a; a), B'(0; a; a), D'(a; 0; a) nên: I(|;0; a); J(0; a; | ) 24 Ta có; ĩj = (0 - - ; a - 0; - - a) = ; a; - - ) 2 2 2 2 A C ' = (a - 0; a - 0; a - 0) = (a; a; a) nên u. A C ' = - — .a + a.a - — .a = -a^ + a^ = 0. 2 2 Vậy u 1 AC. Đoạn u^ a^ 22 r a^ + a +. 2,iVó b) Để chứng minh D'B ± mp(A'C'D), ta chứng minh Ỡ B 1 Ã ^c, 1 DT3.Ả^' = 0, D ^ .Ã ^ = 0 Ta có D'B = (-a; a; -a), A’C = (a; a; 0); A'D = (a; 0; -a) Do đó D'BA'C' = 0, D’B.A'D = 0 . Tưcmg tự, ta cũng chứng minh được D'B 1 mp(ACB') Ta có A'D = (a; 0; -a). Gọi (p là góc giữa hai đưÒTig thẳng u và A'D thì: coscp cos(ĩJ,A'D) Vậy góc cp = 90°. IÌ.A'D IJ.A'D - —.a + a.O- —(-a) 2 2 aVó ,aV2= 0 . Bài toán 2.15: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Trên các cạnh BB', CD, A ’D' lần lượt lấy các điểm M, N, p sao cho B'M = CN = D ’P = ka (0 M(a; 0;a-ka) n//ị y / n CN = kCD N(a - ka; a; 0) Xc D'P = kD’A ' =>P( 0; a -ka ; a) 25 => MN = (-ka; a; -a + ka), MP = (-a; a - ka; ka) nên: [ , ^ ] = (k^a- - ka- + a^ k V - ka^ + a^; k^a^ - ka^ t- a^) S m n p = - l[MN, MP]I = -^ ^ (k ^ -k + l)vớik e (0; 1) b) Ta có: k- - k + 1 = (k - - ) H - > - 2 4 4 Dấu = khi k = — e (0; 1) nên S mnp bé nhất khi M là Irung điểm BB'. Bài toán 2.16: Cho hình lập phưcmg ABCD.AiBiCiDi cạnh a, trên BCi lấy điểm M sao cho D|M, DÃ|, AB| đồng phang. Tính diện tích s của AMAB). Giải Chọn hệ Oxyz sao cho B = 0, B|(a; 0; 0), Ci(a; a; 0), C(0; a; 0), A(0; 0; a), Ai(a; 0, a), D|(a; a; a), D(0; a; a). Vì M e BCi nên gọi IVI(x; x; 0) Ta có D|M = (x - a; X - a; -a) DA, = (-a; a; 0) AB, = (a; 0; -a) Vì D|M ,DA|,AB, đồng phẳng nên D,M ,DA,] AB, = 0 ^ X = — Do đó M(3a 3a J ..> ^ 3a 3a ^ — ,— ,0 nôn MA = - — ,a u a J 2 J Vậy: s = 1MA,MB MB, = rV Ĩ9 V 2 ’ 2 ’" y Bài toán 2.17: Lăng trụ tứ giác đều ABCD.AiBịCiDi có chiều cao bằng nửa cạnh đáy . Điểm M thay đổi trên cạnh AB. Tim giá trị lớn nhất của góc A,MC, Giải Chọn hệ trục như hình vẽ (Aixyz). Đặt AM = X. 0 < X < 2. Ta có: M(x; 0; 1); Ai(0; 0; 0); Ci(2; 2; 2) nên MẢ' = (-x; 0; -1); ĩvĩc\ = (2-x; 2; -1) 26 Đặt a = A|MC| thì: cosa = cos( ĩvĩẤi, MC| ) ____ x^--2x + l ~ ^ '+ \ Ặ 2 - x ý T 5 J ~ x ^ + ] . ^ - x f + 5 Do đó góc a < 90". >0 Vậy góc a == A,MC| lớn nhất 90® khi X = 1 tức M trung điểm AB. Bài toán 2.18: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại c , AC = b, BC = a. Gọi M là trung điêm của AC và N là điêm sao cho SN = -S ĨÌ . a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB. Giải Ta chọn hộ trục toạ dộ Oxyz có gốc o trùng với A, tia Ox trùng với tia AC, tia Oz trùng với tia AS sao cho điổm B nằm trong góc xOy. Khi đó: A(0; 0; 0), C(b; 0; 0), B(b; a; 0), S(0; 0; h), M (--; 0; 0) s ^ = (b; a; -h) Gọi N(x; y; z) thì SN = (x; y; z - h) 1 Từ điều kiện SN = — SB nên 3 h a , , - h X = —, y = — và z - h = —- => z : — =»N 3 b a 2h V3 3 3 J a) Ta có MN = 'b b a 2 h ' v3 2 3 3 . V Nên MN P Ỉ £Ỉ b a 2h^ 6 ’ 3 ’ 3 3 6 ^ 9 ^ 9-V b' +4a' +16h' 6 b) MN vuông góc với SB khi và chỉ khi MN.SB = 0 - b ' ^ -2 1 r • 4 ■—h ■ 6 3 3= 0<=>4h^ = 2a^-bl 27 Bài toán 2.19: Cho tứ diện SABC có sc = CA AB = aV2 , sc 1 (ABC), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M e SA. N G BC sao cho: AM = CN = t (0 < t < 2a). a) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t đế MN ngắn nhất. b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Giải a) Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc toạ độ o = A. Trục Ox chứa AC, trục Oy chứa AB và trục Oz ± (ABC). Khi đó cạnh sc song song với trục Oz và ta có: A(0; 0; 0 ), B(0; aV2 ; 0), C(a^Í2 ; 0; 0), S(a V2 ; 0; a ^/2 ) b) Khi MN ngắn nhất thì: M ^a-s/2 „ a-v/2^ -;0;- và ( 2aV2 aV2 1--- * aV2 a 4 ĩ aV2 ^ N , ;0 3 3 V ^ J^ MN =3 ’ 3 - T j Ta có ÍMN.SA = 0 ị Ĩ ^ . B C = 0 => MN là đưòng vuông góc chung của SA và BC. Bài toán 2.20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc a. Tìm tana để SA vuông góc sc. Giải Chọn hệ trục Oxyz có o là tâm đáy ABCD, lia Ox chứa A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa s. 28 Ta có: A ; 0;0 V, BíoC^;oì 22 y ^ J ^ a^/2 A / ;0 và s■;=> B D nên ; 0;0 ^ __ í SA = sc = ^aV2 a —;0 ; - —tan a 2 2 ^ a-v/ 2 „ a ,SB = 0 ; ^ ; - - t a n a V 2 ’ 2 , —r aVz a 1V2 V Ta có SA 1 sc 0 ;--^ lan a 22 ,SD= 0 ;-^ 2 L ± ;_ ^ ta n a 2 2 2 2 2 2 4 2tan’ a ■ « SASC = 0 -— + -~ ta n -a = 0 — <=> tan^ a = 2 <=> tan a = V2 Vậy nếu tana “ V2 thì hai cạnh bôn đổi diện của hình chóp vuông góc với nliau. BÀI TẬ P Bài tập 2.1; Cho B (4, 0, 1), c (-10, 5, 3). Tìm M G Oy cách đều hai điểm B và c. ĨÍD-ĐS 117 Bài tập 2.2: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có trọng tâm G(l; 1; 2) với A e Ox, B e Oy và c e Oz. 1) Tìm toạ độ các đicm A, B, c. 2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và o c . Tìm toạ độ điểm E trên đường thẳng OM để NE J_ OG. ỈID-DS 1) A(3; 0; 0), B(0; 3; 0) và C(0; 0; 6) 2) E(3; 3; 0) Bài tập 2.3: Cho 4 điổm A(6,-2,3), B (2,0,-l), C (0 ,l,6 ), D(4,l,0) Chứng minh A, B, c, D là 4 đinh tứ diện, 'kính khoảng cách từ trọng tâm G dến điểm c. ỈỈD-DS G(3;0;2) suy ra đoạn GC. 29 Bài tập 2.4: Cho A (4, 2, 6), B (4, -4, 0), c (10, -2, 4). Tìm chân đường cao AH vuông góc BC. IID-ĐS 11 1 1 Bài tập 2.5: Cho A (4, -2, 6), B (4, 1, 0), c (1, 5, 4). Tìm điểm M thuộc Oxy để I ỈẩÀ+ MB 4- 5MC I bé nhất. ỈID-DS Gọi I là điêm sao cho /y4 + /.ổ + 5/C = 0 rôi chèn I. Bài tập 2.6: Cho tam giác ABC có: A(l; 1; 3), B(-l; 3; 2), C(-l; 2; 3). 'iì'nh diện tích tam giác ABC và thê tích tứ diện OABC. IID-DS _ 3 _ 3 SaBC - — , VoABC ~ — • 2 2 Bài tập 2.7: Cho 4 điểm A(2; -4; 2), B(0; 2; -2). C(4; 8; 0), D(6; 2; 4) Chứng minh ABCD là hình thoi, tính diện tích và bán kính r dường tròn nội tiếp hình thoi. lĩD-ĐS Sabcd ~ a/2736 , r -V 14 Bài tập 2.8: Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(0; 1; 0), C( 1; -1; -4). 1) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình cliữ nhật và điếm s € mp(Oyz) sao cho SA 1 (ABCD). 2) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. lĩD-ĐS 1) D(3; -2; -3), S(0; -3; 2) 2) Vs.ABCD = 14 Bài tập 2.9: Tính thể tích: 1) Tứ diện A (6,-2,3), B(2,0,-1), C(0,1,6), D(4,1,0). 2) Lăng trụ ABC.A’B’C’ biết A (l,3,0), A’(-2,0.1), B (2,-l,6), C(2,3,0). IID-DS 1) v = 12 2) thể tích lăng trụ tam giác bằng nửa thổ tích hình hộp 30 MẶT CẦU Phương trình mặt cầu - Mặt cầu (S) tâm ỉ(a, h, c) bán kính R: (x - a f + (y - b f + (z - c f = . - Phương trình + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, với điều kiện t - D > 0 là mặt cầu có lâm I(-A, -B, -C) và bán kính R = ^A ^ +B^+C-- - D . Chú ỷ: 1) Tâm đường tròn Ị(x;y;z) ngoại tiếp tam giác ABC trong không gian: ị ỈA = JB = IC | / e (ABC) 2) Tâm I(x;v;z) cùa mặt cầu ngoại liếp tứ diện ABCD là điểm cách đểu 4 đinh: IA=ỈB=IC=1D <=> IA = 1B lA = IC o { lA = ỈD ' A ứ = BỬ AI^ =CI^ A í- =DỈ" Bài toán 3.1: Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây: a) - 8x + 2y -I- 1 = 0. b) 3x^ + 3y^ + 3z^ + 6x - 3y + 15z - 2 = 0. c) x^ + y^ + z^ - X + y - 2z + 100 = 0. Giải a) Ta có: a = -4. b = 1, c = 0, d = 1. nên a“ + b^ + c^ - d 16 ^ ] - 1 = 16 > 0 Mặt cầu (S) có tâm I(-a; -b; -c) nên 1(4; -1; 0) và bán kính R = -v/a^ + b^ + c^ - d = ^Ị\6 — 4. b) 3x^ + 3y^ 4- 3z? 4-6x - 3y + 15z - 2 = 0 <=> X^ -I' y^ + z^ -t- 2x - y + 5z - - = 0 Do đó, mặt cầu có tâm 1 2 2 và có bán kính R tVó c) Ta có; a 1 ,b = —,c = - l , d = 100 31 nên - d = - + - + 1 - 100 < 0 4 4 Vậy đó không là phương trình mặt cầu. Bài toán 3.2; Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: a) Có tâm 1(5; -3; 7) và có bán kính R = 2. b) Có tâm 1(4; -4; 2) và đi qua gốc toạ độ Giải a) Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: (x - aỷ + (y - b)- -( (z - c)^ = R^ nên phương trình mặt cầu cần tim là: (x - 5)^ + (y 4- 3)^ 4 (z - 7)^ = 4. b) Mặt cầu tâm I đi qua gốc toạ độ nên có bán kính R = 10 = -\/l64-16 + 4 = 6. Vậy phương trình mặt cầu: (x - 4)^ 4^ (y 4 4)^ 4- (z - 2Ý = 36. Bài toán 3.3: Lập phương trình mặt cầu: a) Nhận đoạn AB làm đường kính với A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7). b) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz). Giải a) Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên tâm I là trung điểm của AB, do đó 1(1; 1; 1) và có bán kính R = = — VlOO 4- 4 4-144 = Phương trình mặt cầu: (x - 1 4 (y - 1)^ 4- (z - 1)^ = 62. hay: x^ 4- y^ 4- - 2x - 2y - 2z - 59 = 0 b) Tâm 1 của mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên 1(0; b; c). Ta có lA = IB = IC nên: ÍIA' =IB' |(8-b)'+ c' = 4'+ (6-b)'+ (2-c)' Ị iA^ =IC' |( 8 - b ) - 4-c- =(12-b)^ 4-(4-c)' Giải ra được b = 7 và c = 5. Do đó 1(0; 7; 5), R = lA = V04-I + 25 Vậy mặt cầu có phương trình: x^ 4- (y - l ý 4-(z - 5)^ = 26. Bài toán 3.4: Cho A(0; -2; 1), B(-l; 0; 1), C(0; 0; -1). Lập phương trình mặt cầu có đưòng tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải Gọi I(x; y; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: ÃB =(-l;2; 0), Ã c = (0; 2;-2), Zr=-(x; y4-2; z - 1) r^[ÃB,ÃC] = (-4;2;-2) nênl e(ABC) <=> Ị Ã B ,Ã C ]]Ĩ7=0 » 2x - y 4 z - 3 = 0 32 AI^ =B I Ta có ■ AI^ =CI^ o ị I e (ABC) í - 2 x + 4y = -3 y - z - - l <=> i - 2 x + y - z = 3 X = 1 z = nên tâm I A ^ A 4 4 và bán kính R = AI Vậy PT mặt cầu là (x ,,2 , 1.2 / 3 T 33 I) + (y + - ) '+ ( z 4 4 8 Bài toán 3.5: Lập phương trình mặt cầu: a) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. b) Có tâm 1(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz). Giải a) Vì tâm I của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp xúc với mp(Oyz) nên điểm tiếp xúc phải là o, do đó bán kính mặt cầu là R = 10 = 2 và 1(2; 0; 0). Mặt cầu có phương trình: (x - 2Ý + y^ + z^ = 4. b) Vì mặt cầu có tâm 1(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz) nên bán kính R của mặt cầu bằng khoảng cách từ I tới mp(Oyz), vậy R = 1 Xi I = 1. Mặt cầu có phương trinh: (x - 1 )^ + (y - 2Ý + (z - 3)^ = 1. Bài toán 3.6: Cho A (l; 2; -4), B (l; -3; 1), C(2; 2; 3), D (l; 0; 4). Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giải Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ÌA = IB A I' = BI' - y + z = - 1 < IA = IC AI' = C I' - x + 7y = -2 <=>< IA = ID A I' = DI' - 2 x + 8y = - 2 Do đó l(-2; 1;0) v àR = IA = V 26. Vậy (S): (x + 2Ý + (y - 1)^ + 26. X = -2 y = l z = 0 Bài toán 3.7: Cho tứ diện OABC có A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). a) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. b) Tính thể tích hình chóp O.ABC. Giải a) Phương trình của mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x^ + y^ + z“ -t 2 ax t- 2by + 2 cz + d = 0 Ta có (S) qua gốc 0(0; 0; 0) nên d = 0. 33 Vì (S) qua các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4) nên ta có: 4 + 4a = 0 a = -1 16 + 8b = 0 » ] b - - 2 16 + 8c = 0 [c = - 2 Vậy phương trình của mặt cầu là: - 2x - 4y - 4z = 0. Cách khác: Ta có OA, OB, oc đôi một vuông góc nên gọi M là trung điêm AB thi MI = — oc Từ đó suy ra tâm I( 1; 2; 2) b)V=ỶSoAn.OC 1.OA.OB.OC 1 6 3 ■ Bài toán 3.8: Lập phương trình các mặt cầu đối xúng của mặt cầu (S): X- 4 y‘ + z^ + 4x + 8y - 2z - 4 = 0. a) Qua mp(xOy) b) Qua mp(yOz). Giải Mặt cầu (S) đã cho có tâm I(~2; -4; 1), R = 5. a) Gọi ("S') là mặt cầu đối xứng của (S) qua mp(xOy) thì có tâm I'(-2; -4; -1) và R' = R = 5 nên có phương trình: (S'); (x + 2 ỷ + (y + 4 ỷ + (z + \ỷ= 25. b) Gọi (S") là mặt cầu đối xứng của (S) qua mp(yOz) thì (S") có tâm I"(2; -4; 1) và R" = R = 5 nên có phương trình: (S"); (x - 2 ý + (y + 4Ý + (z-ỉỷ = 25. Bài toán 3.9: Cho điểm A(3; 0; 0), B(0; 4; 0). Lập phương trình mặt cầu có tâm là hình chiểu H của gốc o lên đường thẳng AB và bán kính R = ^J\915 . Giải Ta có A thuộc triic Ox, B thuộc trục Oy. Trong tam giác AOB: AO^ = AILAB AHOA^ AH OA^ _9_ AB AB AB^ 25 V /■ — 9 -rrr r 27 36 D o đ ó A H = — A B= - — ; — ;0 25 ^ 25 25 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm: 48^' ^ X25 y V 25 J+ z/ =1975. 34 25 25 Bài toán 3.10: Cho phưonng trình; x^+ Ý + + 2xcosa - 2ysina - 4z - (4 + sin^a) = 0. Tìm a để phương trình trên là phương trình một mặt cầu và tìm a để bán kính mặt câu là nhỏ nhât. Giải Ta có: a = -cosa, b = sina, c = 2, d = -(4 + sin^a) => a^ + b^ + c“ - d = cos^a + sin^a + 4 + 4 + sin^a = 9 + sin^a > 0, Va Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi a Ta có R = V9 + sin^ a > 3 => min R = 3 khi a = kn, (k e Z). Bài toán 3.11: Cho bốn điểm A (l; 2; 2), B(-l; 2; -1), C (l; 6; -1), D(-l; 6; 2) a) Chứng minh ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bàng nhau.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. b) Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giải a) Ta có AB = (-2; 0; -3), CD = (-2; 0; 3), BD = (0; 4; 3) [Ã B , CD].BD ^O nênA B C D là tử diện. Ta có: AB = V4 + 0 + 9 = CD, AC = VO + 16 + 9 = BD, A D = V4 + 16 + 0 =B C . Vậy tứ diện ABCD có cặp cạnh đối bằng nhau. Trung điểm cúa AB là E(0; 2; —), của CD là F(0; 6; --) Ta có EF = (0; 4; 0) nên ẼF . ÃB = -2.0 +0.4 - 3.0 = 0, ẼF . CD = 0. Do đó EF là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Vậy d(AB, CD) = EF = Vo + 16 + 0 = 4 b) Trung điểm của EF là 1(0; 4; — ). Ta có lA = IB = IC = ID - V29 2 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD. 1 29 Vậy phương trình x'^ + (y - 4Y + (z - --) = — . \2 Bài toán 3.12: Trong không gian Oxyz cho bốn điếm A (l; -1; 2), B (l; 3|2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2). a) Chứng minh A, B, c, D là bốn điểm đồng phẳng. 35 b) Gọi A' là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phưoTig trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A', B, c, D. Giải a) Ta có ÃB = (0; 4;0), Ã c = (3; 4; 0), ÃD = (3; 0; 0) nên[Ã B , ÃC] = (0; 0;-12)=>[Ã B , AC].ÃD = 0. Vậy A, B, c, D đồng phang. b) Hình chiếu của A lên mp(Oxy) là A '(l; -1; 0) _ - - , ' _ o ^ 'í _ Gọi phương trình mặt câu (S): x^ + y^ ^ 7 } + 2ax -t- 2by (S) qua A', B, c, D nên; 2 cz + d= 0 1 + 1 + 0 + 2a - 2Ố + Oc + í/ = 0 a = 2 l + 9 + 4 + 2ữ + 6 ố + 4c + c/ = 0 16 + 9 + 4 + 8ứ + 6/)+ 4c + tìf:::^0 16 + 1 + 4 + 8 a - 2 è + 4c + tìf = 0 ố = - l <=> < c = - 1 d = \ 0. Vậy mặt cầu (S); x^ + y^ + - 5x - 2y - 2z + 1 0. Bài toán 3.13: Cho mặt cầu x^ + y^ + z^ - 2x + 6y + 2z - 14 a) Xét các điểm M (l; -2; 1) và N(-3; -1; 3) điểm nào nam trong và điểm nào nằm ngoài mặt cầu? b) Lập phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu đã cho qua mặt phang (xOz). Hai mặt cầu đó có cắt nhau không? Giải a) Ta có thể viết phương trình mặt cầu dã cho dưới dạng: (x- l)^ + (y + 3)^ + (z+ 1)^ = 25. Mặt cầu này có tâm 1(1; -3; -1), R = 5. Ta có IM = -71^”+ ^ = Vs < R nên điểm M ở trong mặt cầu và IN = VI6 + 4+ I 6 - 6 > R nên điểm N nằm ngoài mặt cầu. b) Gọi I' là điểm đối xứng của I qua mặt phẳng (xOz) thì điểm r có toạ độ là (1; 3; -1). Do đó mặt cầu đối xứng với mặt cầu cho trước qua mặt phẳng (xOy) có phương trình là: (x - 1 )^ + (y - 3)^ + (z + 1 )^ = 25. Hai mặt cầu này có khoảng cách d giữa hai tâm là 6 và d < 2R = 10 nên hai mặt cầu đó cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Bài toán 3.14: Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu: (Si): X" + y" + z^ - 4x -( 6y + 2z + 5 0 Và (S2): 2x^ -+ 2y^ + 2/+ - 2x + 8y - 6z - 1= 0. Giải Mặt cầu (S|) có tâm 1(2; -3; -1), bán kính R -- 3. 36 V à (S2) <=> - X + 4y - 3z - — = 0. 1 3 nên có tâm J ( ^ ; -2; ^ r = v7 . 2 2 _ T,_ Í9 , 2 5 ^ í ^ Ta có khoang cách 2 tâm u = , — + 1 H-----= -------, ® V4 4 2 R + r = 3 + Vv , |R - r | = 3 - V? . Vì R + r < IJ < I R - r I nên 2 mặt cầu cắt nhau. Bài toán 3.15: Cho mặt cầu (S): x^ + y^ + z^ - 4x -t 4y - 2z = 0 và hai điểm A(4; 2; 0), B(2; 1; 2). ChÚTig minh rằng đường thẳng AB và mặt cầu (S) không có điểm chung. Giải Mặt cầu có tâm 1(2; -2; 1) và bán kính R = 3. Ta có Siab Do đó III - I [lẤ , IB ] I = - I H .A B - AB = 3. 2 2 2 2SlAB _ VĨĨ9> 3 = R AB 3 Vậy đường thẳng AB và mặt cầu (S) không có điểm chung. Bài toán 3.16: Cho phương trình với a là tham sổ tuỳ ý: + Ý + 7 } - 2(sina - 1 )x - 2(sina + 1 )y - 2cosa.z + 1 = 0 ( 1) a) Chứng minh (1) là phương trình của một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. b) Tìm bán kính lớn nhất, nhỏ nhất của mặt cầu đó, xác định tâm của các mặt cầu trong các trường hợp đó. Giải a) Ta có a = sina -1, b = sina + 1, c = cosơ và d = 1 => a^ + b^ + c^ - d = sin“a + 2 > 0, Va Vậy phương trình (1) xác định một mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = V a' +b^ +c^' - d = V2 + sin‘ a b) Ta có 0 < sin a < 1 nên: max R = V3 khi sina = +-1 <» a = -^ 2kn min R = V2 khi sina = 0 Cĩ> a = kn. Khi max R = V3 ta có tâm mặt cầu là: li(0; 2;0) hoặc l2(-2; 0; 0) Khi min R = V2 ta có tâm mặt cầu là: l3(-l; 1; 1) hoặc l4(-l; 1; -!)• 37 Bài toán 3.17: Cho điem A (l; -1; 2) và B(2; 0; 1) rim quỹ tích các đicm M sao cho MA^ + MB^ = 3. Giải Gọi M(x; y; z). Ta có: MA^ + MB^ = 3. « (1 - x)^ + (-1 - y)^ + (2 - z f + (2 - x)^ + y^ + (1 - z)^ = 3. <=> x^ + y^ + z? - 3x + y - 3z + 4 = 0. < = > (x --)' + ( y + - ) ' + (z 2 2 2 4 Vậy quỹ tích các điểm M là mặt cầu có 3 1 3 tâm I( ^ - 4-; 4 ) và bán kính R = — 2 2 2 2 Bài toán 3.18: Cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tỉm tập họp các điểm M trong không gian sao cho Giải Gọi M(x; y; z), suy ra: MA = (-X+2; -y; -z), MB = (-x; -y+ 4; -z), MA + MB+MC + MD = 4. MC = (-x; -y; -z+6), MD = (-X + 2 ; -y+4; -z+6). Ta có: + MĨ3 + MC + MD = (-4x+4; -4y+8; -4z+12) Nên |m A + Ĩ ^ + ^ + M lỊ = 4 o 16.[(x- 1)^ + (y-2)^ + (z- 3)^]= 16 Vậy tập họp của M là mặt cầu (x - 1 )^ + (y - 2Ý + (z - 3)^ = 1 . BÀI TẬP Bài tập 3.1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điổm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C (0 ;3 ;3 ),D (3 ;3 ;3 ). , ^ , 1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, c, D. 2) Tìm toạ độ tâm dường tròn ngoại tiếp lam giác ABC. IID-DS 1) x^ + y^ + z^ - 3x - 3y - 3z = 0 2) H(2; 2; 2) Bài tập 3.2; Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu: (S): x^ + y^ + z^ - 8x + 4y + 2z -4 = 0, (S’): x^ + y- + z^ -6z - 7 - 0 IID-ĐS Căt nhau. Bài tập 3.3: Cho tứ diện MNPQ có M( 1,1,1), N( 1,2,1), P (l,l,2), Q(2,2,l). Tính V và lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp. 38 ỈỈD-DS V = —, +y^ +z^ - 3x - 3y - 3z + 6 =0 . 6 Bài tập 3.4: Lập phương trình mặt cầu tâm E (3,5,2) và tiếp xúc Ox. lỉD-DS Tìm hình chiếu của E lên Ox là M(3;0;0) suy ra R = HE. Bài tập 3.5: Cho tam giác ABC có A(l;-2;-3), Ị3(0;2;l), C(3;2;0). Lập phương trình mặt cầu qua A, B, C.có đường kinh bé nhất. IID-DS la m mặt cầu là tâm đường tròn qua A, B, c. Bài tập 3.6: Cho hình lập phương ABCD.AiBiCiDi. Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm hình vuông CCiDiD. rim bán kính mật cầu đi qua các điểm B, C,, M, N. ỈID-DS Chọn hệ trục Axyz qua 3 cạnh chung đỉnh A, R = 4 Bài tập 3.7: Cho bốn điểm A(3; 2; 0), B(-l; 3; 2), C(l; 0; 1), D(0; -1; 3). Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn diều kiện: MA + MB + MC + MD MA + M B -2M C ỈĨD-ĐS Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, I là trung điểm AB thì: G ( - ; 1; - ) , 1(1; 1). Ta có MG = - = - : không đổi. i X . , X - 3 3 Vậy lập hợp những diêm M cân tim là mặt câu tâm G( — ; 1; —) và bán kính R = — có phương trình + ( y - l) - + x -2516 Bài tập 3.8: Cho bốn điểm A(3; 2; 0), B(-l; 3; 2), C(l; 0; 1), D(0; -1; 3). Tìm tập họp những điểm M trong không gian thoả mãn từng điều kiện: MA^ + MB^ = 23. ỈID-ĐS x^ + y^ + z ' - 2x - 5v - 2z + 2 = 0. Tập hợp những điểm M cần tìm là mặt cầu tâm 1(1; Ậ ; 1), bán kính R = Ậ . 2 2 Bài tập 3.9: Cho sáu điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A'(a'; 0; 0), B'(0; b'; 0), C'(0; 0; c') với aa’ = bb' = cc’ 0; a xí a', b ^ b', c ^ c'. a) Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điếm nói trên. 39 b) Chứnu minh dưừim ihăng di qua gốc loạ dộ 0 và trọng tâm tam giác ABC'\'uông góc với mặt phăng (A'1V(''). lỉD-DS aì Ta xác dịnh lâm I và hán kính R cua mặt cầu qua 4 dicm A. A'. IT C' rối cliửnu minh ITI C” ! R.. h) (ìọi Ci là trọng tâm AAICC' ' t> (Xi = " ; ; Ị V á 4 à ) ncn Õ G .X ^’ - - (- + 0 - 0 ; (Xci.Ã'c'^' = V r 0 ~ 0 Do dỏ ()(i .1 A'B'. A'C'' -> (XII mp(A'B'('’). LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG ỉ ectơ pháp luyến 1'cclơ ỊìháỊì luyýn cua ìììãí phăiiỊỉ là vcclo khác 0 rà có g/íí ruôiip góc' vói mặí phàiiiỉ. Môi mặl Ịìhủup có rô ,vc5 vcclo pháp tuyên cùinỉ phianuỉ, với nhau ncn la có tlìé chọn lọa dã lì /ộ. PhuoniỊ Irìnli tôniỊ (Ịiiát cua niặi phùníỊ Mã! pììăny di qua dicm MịìiXti.Vn) rà có rcdo' pháp luyên /7 (AdK ') có phưonq Irìnlì in A(X- X u ) ■ B(y - Vuì ■ Clz-Zii) II rà hiên dôi ihanh danq Ị V!..7 Ax ■ lịv ■ Cr • ỉ) 0. ,1- l f ('•' /( / l^ltuơnp trình mặt phìiniỊ theo doạn chăn í ■ i ~ =1 khi cắl Mrucdr. ()]■. ()z h c lai 3 diêm khác góc () ìà AurOdh. Bdhhd)). ('(Odl.c). Chú ý: IiPhưonq Irình các lìiăl loa dô: (Oxrl: z 0. í()\zj: X I). (Ozx/: r II 2ì Măt J)hăny di (Ịua 3 diêm A. lỉ. (' khõny ihãini hànq có rcdơ pháp luyén li |AB.AC'l 3) Mặì phăny di qua qồc () có dạny Ax ■ By ■ Cz fl. A ■ l f ■ c~ /■ (ì. 40 4) Mặt phắng song song hoặc chứa trục Ox có dạng Bv + Cz +D= 0, ỉỷ -( ờ ^0. 5) Mặt phăng song song hoặc chứa trục Oy có dạng Ax !- Cz +D= 0, + ơ ^0. 6) Mặt phăng song song hoặc chứa trục Oz cỏ dạng Ax -\ By -fD= 0, B~ + ờ ^0. 7) Mặt phăng song song với mặt phảng Ax + By + Cz +D= 0, A~ + B^ + ớ 0 có dạngAx i- By + Cz +D - 0, A^ ^ B^ + ớ D' ^ D . Bài toán 4.1: Lập phương trình mặt phăng a) Đi qua ba điểm M(2; 0; -1), N (l; -2; 3), P(0; 1; 2) b) Đi qua ba điểm A (-l; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5;6). Giải a) Pliương trình (MNP) có dạng Ax f By + Cz + D ^ 0 , A^ + 0. Toạ độ của các diêm M, N, p là nghiộm của phương trinh đó nên: 2A - c + D = 0 A - 2B + 3C + D B + 2C + D = 0 0 « 2A - c + D = 0 A + 2 B -4 C = 0 A -3 B + C = 0 2 A - C + D = 0 A + 2 B - 4 C = 0 o B = c A = 2C <=> < 5 B - 5 C = 0 D = -3C Ta được phương trình: 2Cx + Cy + Cz - 3C = 0. Hiển nhiên c 0 (vì nếu c = 0 thi A = B = c == 0: loại) nên chia hai vế của phương trình cho c, ta được phương trình mặt phẳng (MNP): 2x + V + z - 3 = 0. b) Ta cỏ ÃB - (3; -6; 0), Ã c = (5; 3; 3) Chọn vectơ pháp tuyến ĩĩ = [A B , AC] = (-18;-9; 39) hay (6; 3;-13). Vậy phương trinh cúa mp(ABC): 6(x+ 1) + 3(y - 2) - 13(z - 3) = 0 o 6x + 3y - 13z -t 39 - 0. Bài toán 4.2: Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ABC và tính diện tích tam giác ABC. Giải Phương trinh theo đoạn chấn; (ABC): - + ^ + - = 1 a b c <=> bcx 4 cay + abz - abc Ta có: ÃB = (-a; b; 0), 0. 41 À c = (-a; 0; c) nôn: Sabc = - l[A B , A C j| = - Va“b^ + b^c' + c^a’ . Bài toán 4.3: Lập phương Irình mặl phang a) Đi qua các hình chiếu của A(2; -3; 4) lên các trục toạ dộ b) Trung trực của Mi M2 với Mi(2; 3; -4), M2 (4; -1; 0). Giải a) Gọi Ai, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của điểm A trôn các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó: Ai(2; 0; 0), A2(0; -3; 0), A3(0; 0; 4) ’ ' X y 7 Vậy phương trình của mặt phăng (Ai A2A3) theo đoạn chăn là; — - — + — = 1, b) Gọi I là trung điểm của M1M2 thì 1(3; 1; -2) Mặt phăng trung trẹrc của đoạn M 1M2 qua I và có vectơ pháp luyến n = M,M, = (2; -4; 4) hay (1; -2; 2) Vậy (P): 1 (x - 3) - 2(y - 1) t 2(z + 2) = 0 <=í> X - 2y + 2z + 3 = 0. Bài toán 4.4: Lập phương trình mặt phang a) Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A. B, c sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. b) Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, c sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Giải a) Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c). Vì G (l; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên: a + 0 + 0 O + b + 0 j j Suy ra a = 3, b = 6. c = 9. = 20 + 0 + c = 3 Vậy phương trình theo doạn chắn của mặt phang cần tìm là: X y z , 3 6 9 b) Neu mặt phang đi qua 11(2; 1; 1) và cắt các trục toạ độ tại A, B, c thì tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, o c đôi một vuông góc, do đó LI là trực tâm của tam giác ABC thì OM 1 mp(ABC). Vậy mp(ABC) đi qua H và có vectơ pháp tuyên OH = (2; 1; 1) nên có phương trinh: 2 (x - 2 ) + (y - l) + (z- 1 ) = 0 hay 2x + y + z - 6 = 0. Bài toán 4.5: Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ và các mặt phang đi qua điểm 1(2; 6; -3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. 42 Giải Mặt phăng toạ độ Oxy đi qua o và có VTPT k = (0; 0; 1) nên có phương trình: 0(x - 0) + 0(y - 0) ) 1(3 - 0) = 0 Vậy mp(Oxy): z = 0. Tương tự mp(Oyz) di qua o và có VTPT i = (1; 0; 0) nên mp(Oyz): X = 0, mp(Ozx) đi qua o và có VTPT J = (0; 1; 0) nên mp(Ozx): y == 0. Phương trình cúa mặt phẳng đi qua điềm 1(2; 6; -3) và: - song song với mặt phang Oxy là z + 3 = 0. - song song với mặt phăng Oyz là X - 2 = 0. - song song với mặt phăng Ozx là y - 6 - 0. Bài toán 4.6: Lập phương trình mặt phẳng; a) Đi qua hai điểm A (l; 1; -1), B(5; 2; 1) và song song với trục Oz b) Đi qua điềm M(3; 2; -1) và song song với mặt phảng (Q) có phương trình X - 5y + z = 0. Giải a) Giả sử mặt phang (P) di qua A, B và song song với Oz, có vectơ pháp luyến n thi n phải vuông góc với AB = (4; 1; 2) và vuông góc với vectơ đơn vị của Oz là k = (0; 0; 1), chọn: _^ ^ * 1 2 2 4 4 r n = AB,'k = V0 1 1 0 0 0= ( l; - 4 ; 0) Vì (P) đi qua điếm A nên phương trình của (P) là: 1 .(x - 1) - 4(y - 1) I 0 = 0 hay X - 4y -I- 3 - 0. Cách khác; Mặt phăng (P) song song với Oz nên có phương trình: A'x t B'y t D' = 0 với D' ^ 0, A’^ + B'^ ^ 0 Mặt phăng đó đi qua A và B nên toạ độ của A và B thoả mãn phương trìnli đó; ÍA' +B ' + D '= 0 [5A' + 2B'+ D '=0 4A' + B' = 0. Chọn A' = 1, B' = -4 và do đó D' = 3 và được phương trình của (P) là; X - 4y + 3 = 0 b) Mặt phang (P) cần tìm phải song song với mặt phang (Q); X - 5y + z = 0 nên hai mặt phằng có cùng vectơ pháp tuyến là (1; -5; 1), mp(P) đi qua điểm M(3; 2; -1) nên có phương trình là: (x - 3) - 5(y - 2) i- (z t- 1) = 0 hay X - 5y + z + 8 = 0. Bài toán 4.7: Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(l; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Viết phương trình mặt phang đi qua A và song song mp(BCD). b) Viết phương trình mặt phang đi qua A, B và song song với CD. 43 Giải a) Ta có; BC = (4; -6; 2), CD == (-1; 0; 2) mp(BCD) có VTPT n' = [ĩĩc , CỸ5 1 = (-12; -10; -6) hay (6; 5; -3). Mặt phang qua A và song song với mp(BCD) có phương trình 6(x - 5) + 5(y - 1)1- 3(z - 3) = 0 hay 6x t sy -I- 3z - 44 = 0., Vì A không thuộc mp(BCD) nên đó là mặt phẳng cấn tim. b) ÃB = (-4; 5; -1), CD - (-1; 0; 2). Mặt phang đi qua A. B song song với CD có vectơ pháp tuyến là n = [Ã B . CD ] = (10;9; 5). Vậy phương trình của nó là l()(x - 5) 9(y - 1) -t- 5(/. - 3) - 0 hay lOx 4 9y + 5z -74 = 0. Vì c không thuộc mp nên đó là mặt phang cần tim. Bài toán 4.8: Lập phương trình mặt phang (P); a) Chứa trục Ox và đi qua diổm H(2; -1; 2) b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phang X - y -t z - 4 = 0, 3x - y ) z - 1 “ 0 và đi qua F(2; 1; -1). Giải a) OE (2; -1; 2), 1 ^ (1; 0; 0) là vcclơ chi phương của Ox. Mặt phăng (P) có vectư pháp tuyên I OE ; i 1 = (0, 2; 1). Vậy (P); 2y -t- z ■-= 0. b) Các đièm thuộc giao tuyến của 2 mặt phăng có toạ độ [ x - y - f z - 4 = 0 (x; y; z) thoả mãn hệ[ 3 x - y - f z - l = 0 __3 Cho y = 0 thì 2 z = M V 2 “ ^2 Cho z - 0 thì X = - -2 u 2 >Nf 3 1 2 ' _ u 2' Do đó mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm M 0 ; — 2 2 . n Í11;0 vàF(2 ;l;- l), ta lập được phương trình: 15x - 7y 7z - 16 = 0. 44 Bài toán 4.9: Viết phương trình mặt phẩng sau: a) Đi aua điếm M (l; 3; -2) và vuông góc với trục Oy. b) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thăng M1M2, vói M|(0; 2; -3), M 2(1;-4;1). Giải a) Mặt phắng qua điểm M (l; 3; -2) vuông góc vói trục Oy nên nó song song với mặt phăng Oxz. Vậy phương trình của nó là y = 3 hav y - 3 = 0. Cách khác; Mặt phẳng cần tìm qua M và có vectơ pháp tuyến n = J = (0; 1; 0) nên phương trình của nó là: 0(x - 1) + l(y - 3) + 0(z t 2) y - 3 = 0. b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là; n = m Im ^ = (1; -6; 4). Vậy phương trình của nó là: 1 (x - 1) - 6(y - 3) + 4(z + 2) = 0 <=> X - 6y t 4z -t 25 = 0. Bài toán 4.10: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua hai đicm A(0; 1; 1), B (-l; 0; 2) và vuông góc với mặt phắng X - y + z + 1 = 0. b) Đi qua hai điểm M (l; 2; -2) và N(2; 0; -2) và lần lượt vuông góc với các mặt phang toạ độ. Giải a) Mặt phang (P) cần tìm phái vuông góc với mặt phang x - y + z + l = 0 nên vectơ pháp tuyên n của (P) vuông góc với n ' = (1; -1; 1) và mp(P) đi qua hai điểm A, B nên n vuông góc với AB = (-1; -1; 1). Chọn n = l n ', ÃB] = (0;2;2). Phương trình của (P) là: 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0 hav y ^ z - 2 = 0. b) Mặt phang (a) qua M, N vuông góc với mặt phang toạ độ Oxy nên song song hoặc chứa Oz => (a) có dạng Ax t By 4 D = 0, A^ 1 B^ 0 . Mp(a) đi qua M(1; 2; -2) và N(2; 0; -2) ta có hệ: ÍA + 2B + D = 0 ÍA = 2B Ị2A + D = 0 ^ ^ ^ |d = -4B Lấy B 1, thì (a) có phương trinh 2x -i y - 4 = 0. - Tương tự, mặt phăng (a) qua M, N vuông góc với mặt phắng toạ độ Oyz có phương trình z -t- 2 - 0. Mặt phẳng (y) qua M, N vuông góc với mặt phang toạ độ Ozx có phương trình; z + 2 = 0. Bài toán 4.11: Cho tam giác ABC với A(-3; 5; 7), B(0; -1; 1), C(3; 1; -2). Viết phương trình các mặt phẳng đi qua một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện của đỉnh đó. 45 Giải Mặt phang đi qua A(-3; 5; 7) vuông góc với BC nên có VTPT n = BC = (3; 2; -3) có phương trình: 3(x + 3) + 2(y - 5) - 3(z - 7) = 0 hay 3x -t 2y - 3z + 20 - 0. 'l ương tự, mặt phang đi qua B vuông góc với AC; 6x - 4y - 9z I 5 = 0 và mặt phăng đi qua c vuông góc với AB; X - 2y - 2z - 5 = 0. Bài toán 4.12: Lập phương trình mặt phang a) Đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 1 == 0. b) Đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phang 3x - 2y + 2z -(■ 7 “ 0 và 5x - 4y + 3z + 1 = 0. Giải a) Trục Oy có vcctơ đơn vị j = (0; 1; 0) Mặt phẳng 2x - y +- 3z + 1 - 0 có V rPT n' = (2; -1; 3) Mặt phăng cân tim có V rPT n ' vuông góc với ị , n nỗn chọn n =1 0 0 0 0 1 j ;r> — * V-1 3 3 2 2 - 1 7(3; 0; -2) l ư đó có phương trình: 3x - 2z - 2 = 0. b) Mặt phẳng 3x - 2y + 2z + 7 = 0 có VTPT n 1 = (3; -2; 2) Mặt phẳng 5x - 4y -I 3z + 1 = 0 có VTPT n 2 - (5; -4; 3) Mặt phẳng cần tìm có V'ITT n vuông góc với n 1, rĩ 2 nên chọn n = [n 1, n*2j = (2 ; 1 ; - 2 ). Phương trình mặt phang; 2x f y - 2z + D = 0, mặt phẳng qua M(3; D = -15. Vậy phương trình mặt phang cần tìm: 2x < y - 2z - 15 = 0. Bài toán 4,13: 'Lrong không gian Oxyz, cho phương trình hai mặt phẳng: (a); x + y + z - 3 = 0, (P); 2x - y - 2z í- 6 = 0. -5) nên Viết phương trình mặt phang (P) (Ịua giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (P) và thoả mãn thêm một ti’ong các điều kiện sau: a) Qua K (l;2 ; 3) b) Vuông góc với mặt phang 2x - zT- 7 = 0. Giải Các điểm chung của 2 mặt phẳng (a), (P) có toạ độ thoả mãn hệ phưoTig trình ị x + y + z - 3 = 0 [2x - y - 2 z + 6 = 0 46 Cho X = 0 thì Cho z = 0 thì >' + z = 3 JT = 0 - - 2z = -6 ] z = 3 X 4- y = 3 íx = - l <=> 2x - y = -6 [y = 4 Do đỏ hai điểm M (-l; 4; 0), N(0; 0; 3) thuộc mặt phảng (P). a) 'MN = (1; -4; 3), MK = (2; -2; 3), chọn VTPT n = [Ĩ^ N , ĨVIK] = (-6 ;3 ;6 )h ay (-2 ; 1 ; 2 ). Suy ra (P): -2x t- y + 2z - 6 = 0. b) MN = (1; -4; 3), vectơ pháp tuyến của mặt phăng (a): 2x - z 4- 7 0 là n^ = (2; 0; -1) suy ra [MN , n„ ] = (4; 7; 8) là vectơ pháp tuyến (P) cần tìm . Từ đó suy ra (P): 4x 4- 7y 4- 8z - 24 = 0. Bài toán 4.14: Trong không gian toạ độ Oxy cho hai điểm A (l; -1; 2), B(2; 0; 1). Tìm quỹ tích các điềm M sao cho MA^ - MB^ = 2. Giải Giả sử M(x; y; z). Ta có; MA^ - MB^ = 2. <=> (1 - X)- 4- (-1 - y)' 4- (2 - z)' - (2 - X)' - y ' - (1 - z f = 2. <=> 2 x + 2y - 2 z - 1 = 0. Vậy quỹ tích các điểm M là mặt phang có phương trình trên. Bài toán 4.15: Cho tam giác ABC có A(0; 4; 1), B(l; 0; 1), C(3; 1; -2). Lập phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm toạ độ trực tâm, tâm đưòng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Giải: Ta có yic = (3; -3; -3), BC = (2; 1; -3) nên lập được phương trình mặt phẳng (ABC); 4x + y +3z -7 = 0 Gọi H(x; y; z) là trực tâm tam giác ABC. => A H = (x; y-4; z-l), Bỉi = (x-1; y; z-l), ta có: ^15 AH.BC = 0 BĨLAC = 0 o < /7 G {ABC) 2x 4- _v - 3z - 1 = 0 JC-_g-z = 0 <=>//:' 4x + >’ + 3 z - 7 = 0 13 7 .V = — ■ 13 8 z — —~ 13 47 Gọi I(x; y; z) là đường tròn ngoại tiếp: (21 29 1 ừ đó giái được tâm / ; — - . [26 13 13 j IA = IB ỈA = ỈC / e {ABC) Bài toán 4.16: Viết phương trinh của mặt phang qua điổm M(5; 4; 3) và cắt ba trục toạ độ ở ba điêm cách đều gốc toạ độ o. Giải Mặt phang cần tìm có dạng đoạn chắn: —+ —+ — = 1, |a | == Ịb| = |c | 9^0. a b c 5 4 3 Diêm M(5; 4; 3) thuôc măt phăng nên: — + — + — = \ (1 ) a b c Với b = a, c = a, ( l ) o —+ —+ — = 1 =>a = 12. a a a 5 4 3 Với b = a. c = -a, (!)<::> — + — - — = 1 =>a = 6. a a a V ớib = -a, c = a, ( 1 ) 0 + 1 = > a - 4 . a a a Với b = -a, c = - a ( l ) o —- — = 1 o a = -2. a a a Do đó bốn mặt phẳng cần tìm là: — + - ^ + — - 1 o x + y H z - 1 2 = 0. 12 ,12 12 £ + y = 1 o x + y - z - 6 = 0 6 6 6 — - — + — = 1 o x - y + z - 4 = 0. 4 4 4 - - + ^ + - = 1 o - X + y + z - 2 = 0. - 2 2 2 Bài toán 4.17: Trong không gian Oxyz cho ba điốm Mi(2; 1; 1); M2(3 ; 1; 2), M3(0;-1;-4). a) Tính diện tích tam giác M1M2M3 và thể tích tứ diện OM1M2M3. b) Viết phương trình mặt phang (a) đi qua ba điem Mi; M2; M3. 48 Giải a)T acó M ,M2 = (1; 0; I), M,M^ = ( - 2 ;- 2 ;- 5 ) s = Ta có /0 1 1 1 1 0 ^ 1- 2 -5 - 2 ’-2 (2; 3;-2) Vậy s= - V 4 + 9 + 4 = — 2 2 Thể tích tứ diện OM1M2M3 là: V = -loM pO M ^ịO M ^ Ta có [ õ ^ ,Õ ^ j = ( l ; - l ; - l ) ; [Õ ^,Õ M 2Ịõ M3 =0 + l + 4 = 5. Vậy V = b) Vectơ n == [m ,M2,M ,M 3 = (2; 3; -2) là vectơ pháp Uiyển của mặt phẳng (a). Vậy (a) có phương trình: 2(x - 2) + 3(y - 1) - 2(z - 1) = 0 hay 2x + 3y - 2z - 5 = 0. Bài toán 4.18: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M (l; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) di qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, c sao cho tứ diện OABC có thể tích bé nhất. Giải Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a > 0, b > 0, c > 0. Khi đó (P) có phương trinh — + — + — = 1 a b c 1 2 3 Vì M năm trên (P) nên — + — + — = 1 a b c Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: b c V a b c V abc1 >abc> 27 _ 1 2 3 . , 1 2 3 ., 6 = - + ± + T > 3_3 T ± 1 = 3.1 27 a b c v a b c V aoc abc ' xảy ra khi — = — = — = 1 hay a = 3; b = 6; c = 9. Dấu "=" a b c Thể tích tứ diện OABC là V = - OA.OB.OC = — > 27. 6 6 Vậy thể tích nhỏ nhất là 27. Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là: — + — + — = 1. 49 BÀI TẬ P Bài tập 4.1 : Lập phương Irình: 1) Mặt phẳng qua M (-1,2, 3), N(2, -4, 3), p (4, 5, 6) 2) Mặt phẳng trung trực của đoạn PQ với p (2, 3, -4),Q (4,-1,0) iÌd -ĐS 1) 6x -t- 3y -13z ) 39 -0 2) X - 2y + 2z + 3 =0. Bài tập 4.2: Lập phương trình: 1) Mặt phẳng qua 3 hình chiếu của I (3, 6, 9) lên Ox, Oy,Oz. 2) Mặt phẳng qua M (1, 0, 5) và song song a; 2x - y + z - 27 = 0 HD-DS 1) 6x + 3y + 2z - 18 =0 2) 2x - y + z - 7 = 0. Bài tập 4.3: Lập phương trình: a) Mặt phẳng qua E (4, -1, 2) và chứa Ox. 2) Qua K(3, -1,-5) và vuông góc với 2 mặt phẳng: (P): 3x - 2y + 2z + 7 = 0, Q): 5x - 4y + 3z + 1 = 0 IID-DS 1) Dùng vectơ đơn vị trên Ox 2) 2x +y -2z -15=0 Bài tập 4.4: 'ĩrong không gian Oxyz, cho phương trình hai mặt phẳng: (ơ): X + y + z - 3 = 0, (Ị3): 2x - y - 2z ^ 6 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (P) và song song với Oz. lỉD-ĐS Các điểm chung ciia 2 mặt phẳng (a), (P) là; M (-1; 4; 0), N(0; 0; 3) MN = (1; -4; 3), k = (0; 0; 1) là vectơ đơn vị của Oz. Mặt phẳng (P) có VTPT [ M N , k ] = (-4; -1; 0) nên (P): 4x + y = 0. Bài tập 4.5: Lập phương trình: 1) mặt phang qua G(2;-8;5) và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, c mà G là ữọng tâm A ABC. 2) mặt phẳng qua I (2, -1, 4) và cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, c mà OA = 20B = 30C. lĩD-ĐS 1) Dùng công thức trọng tâm 2) Dùng phương trình đoạn chắn Bài tập 4.6: Lập phương trình: 1) Mặt phang qua AB và song song CD với 4 điểm A (7, 9, 1). B (-2 , -3, 2 ), c (1 , 5, 5) D (-6, 2 , 5). 2) Mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng 19x - 6y - 4z + 2 = 0 , 42x - 8y + 3z + 11 = 0 và qua H (3,4,1) ÌỈD-ĐS 1) 3x - 7y - 57z + 99 = 0 2) 30x - 16y -21z -5 = 0 50 Bài tập 4.7: Lập phvrơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng 2x - z = 0, x+ y- z +5 = 0 và vuông góc với mặt phăng (P): 7 x -y + 4 z-l= 0 IID-ĐS 3x + 5y - 4z + 25 = 0. Bài tập 4.8: Lập phưong trình mặt phang qua A(3;l;2), B(l;0;5) và họp với Ox một góc 60^. lỉD-ĐS Xác định VTPT Bài tập 4.9: Cho tứ diện A (7, 9, 1), B (-2, -3, 2), c (1, 5, 5) D (-6, 2, 5). Gọi trọng tâm l và tâm mặt cầu ngoại tiếp E của tứ diện .Lập phưong trình mặt phang (BIE). lỉD-DS 2 5 x -6 y - 10z + 52 = 0. TƯƠNG GIAO - VỊ TRÍ TƯƠNG Đ ổl CÁC MẶT PHẲNG Phương trình tống quát của mặt phang: Mặl phăng qua Mo(xo, yo) và vectơ pháp tuyên n = (A, B, C) Ax + By + Cz + D = 0, A^ + B- + ơ ^ 0 hay A(x -Xo) t B(y - yo) + C(z -zo) = 0 Vị trí tương đổi cứa 2 mặt phang: (P): Ax-ị By + Cz + D = 0 và (Q): A 'x + B'y + C'z + D' = 0 Cỏ 3 vị trí tương đoi: - Cắt nhau: - Trùng nhau: - Song song: Chú ý: A: B: c ^A ': B'V c A _ B _c _ D A' ~ Ir ~ c ~ D' A _ B c D A' ~ B'— --- ^ C' ơ 1) Cho mặt phẳng (P): Ax I By ^ Cz + D = 0. Hai điếm Mị(xi; yi; Zi) và M2(X2,' y 2.' Z2j nằm về hai phía của mặt phăng (P) khi và chi khi: (Ax ị + Byi + Cz/ + D). (Ax 2 + By2 + Cz2 + D) < 0. 51 Hai điểm Mi(xi; yi; Zi) và M2(X2; y 2 ', nằm cùng phía của mặt phẳng (P) khi và chỉ khi: (Axị + Byi + Czy + D). (Ax2 + By2 + Cz2 + D) > 0. 2) ứng dụng tọa độ không gian để giải các bài toán hình không gian cỗ điển, quạn hệ song song, vuông góc, độ dài, góc, khoảng cách, vị trí tương đối, ... Bài toán 5.1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau; a) X + 2y - z + 5 = 0 và 2x + 3y - 7z - 4 = 0 b) X - 2y + z - 3 = 0 và 2x - 4y + 2z - 6 = 0 c) X + y + z - 1 - 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0. Giải a ) Hai VTPT là n = (1 ;2 ;-1 ), n ' = (2;3;-7) Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nên hai mặt phẳng cắt nhau. b) Các hệ số của 2 phương trình tương ứng tỉ lệ nên hai mặt phẳng trùng nhau. ^ 1 _ 1 _ 1 - 1 ..u i..' c ) lacó — = — = — — nên hai mặt phăng song song. Bài toán 5.2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phang cho bỏd phương ừình sau: a) 3x - 2y + 3z + 5 = 0 và 9x - 6y - 9z - 5 = 0 b) X - y + 2z - 4 = 0 và 1 Ox - 1 Oy + 20z -40 = 0 c) 2x - 4y + 6z - 2 = 0 và 3x - 6y + 9z + 3 = 0. Giải a) Ta có 3: (-2); 3 9: (-6); (-9) nên hai mặt phang cắt nhau. ux 1 2 - 4 1 ^ , b) — = — ^ = — = ----- nên hai mặt phăng trùng nhau. 10 -1 0 20 - 4 0 A 2 _ - 4 _ 6 -2 c) Ta có — = — ^ - — it — 3-69 3nên hai mặt phẳng song song. Bài toán 5.3; Xác định giá ừị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song: a) 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y - 4z + 7 = 0. b) 2x + y -t mz - 2 = 0 và X + ny + 2z + 8 = 0. Giải 2 n 2 3 — = —= ----- ^ — m 2 - 4 7 Vậy n = -1, m = -4. 2 1 m - 2 — :=: — := — ^ ----- 1 n 2 8 Vậy m 4,n^Ỷ, 52 Bài toán 5.4: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y - 3z + 1 - 0, (Q): X + 3y - 2z - 2 = 0. và mặt phẳng (R): mx - (m + 1 )y + (m + 5)z + 2 = 0, với m là một số thay đổi. a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b) Tim m để cho mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P). Giải a) Ta có 2: (-1): (-3) 1: 3: (-2) nên hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b) Điều kiện mặt phẳng (R) song song với mặt phang (P) là: m _ - ( m + l ) _ m + 5 2 T " -1 " - 3 m - ( m + 1) ___ Từ — = ----------- ta suy ra m = -2. 2 -1 Giá trị m = -2 thoả điều kiện nên với m = -2 thì hai mặt phẳng (R) và (P) song song. Bài toán 5.5: Hãy xác định giá trị của m để các cặp mặt phang sau đây vuông góc với nhau; a) 3x - 5y + mz - 3 = 0 và X + 3y + 2z + 5 = 0 b) 5x + y - 3z - 2 = 0 và 2x + my - 3z + 1 = 0. Giải a) Hai VTPT n = (3; -5; m), n ' - (1; 3; 2) Diều kiện 2 mặt phang vuông góc là: n . n ' = 0 « 3. 1 + (-5). 3 + m. 2 = 0 « m = 6. b) Hai VTPT n = (5; 1; -3), n ’ = (2; m; -3) Điều kiện 2 mặt phang vuông góc là: n . n ' = 0. <=> 5. 2 + 1. m + (-3). (-3) = 0 <=> m = -19. Bài toán 5.6: Cho hai mặt phang có phương trình là; 2x - my + 3z - 6 + m = 0 và (m + 3)x - 2y + (5m + l)z - 10 = 0. Với giá trị nào của m thì: a) Hai mặt phang đó song song; trùng nhau; cắt nhau b) Hai mặt phẳng đó vuông góc. Giải Hai mặt phẳng đã cho có các vectơ pháp tuyến lần lượt là: n, (2; -m; 3), n^ = (m + 3; -2; 5m + 1). Ta có: [n, . n2 ] - (-5m^ - m + 6; -7m + 7; m^ + 3m - 4) Hai vectơ đó cùng phương khi và chỉ khi [ n i; n 2] = 0 , tức là: 53 -5m^ - m + 6 = 0 -7m + 7 = 0 <=> + 3 m -4 = 0 m = l,m = - — 5 m = 1 <=> m = 1 m = 1, m = -4 Khi đó hai mặt phang có phương trình là: 2x - y + 3z - 5 = 0 và 4x - 2y + 6z - 10 = 0 nên chúng trùng nhau. Vậy; a) Không có giá trị m nào để hai mặt phang đó song song Khi m = 1, hai mặt phang dó trùng nhau. Khi m 1 , hai mặt phang đó cắt nhau. b) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chi khi n, . n^ = 0. <=> 2(m + 3) + 2m + 3(5m + 1) = 0 <=> 19m + 9 = 0<=>m = - — . 19 Vậy giá trị cần tìm: m19 Bài toán 5.7: Xác định các giá trị p và m để ba mặt phẳng sau đây đi qua một đường thẳng; 5x + py 4z + m = 0; 3x - 7y + z - 3 = 0; X - 9y - 2z + 5 = 0. Giải Các điểm chung trên 2 mặt phang 3x - 7y + z - 3 = 0 và X - 9y - 2z + 5 = 0 có Í3 x -7 y + z - 3 = 0 toạ độ thoả mãn hệ:l x - 9 y - 2 z + 5 = 0 1 18 Cho y = 0 =í> X = z = suy ra A —; 0 18^ 7 7 [ l ' 7 31 9 Cho z = 0 => x = — ,y = — suy ra B 10 10 31 9 — ;0 10 10 Ba mặt phang cùng đi qua một đường thắng khi mặt phẳng: 5x + py + 4z + m = 0 đi qua hai điểm A và B. Thay toạ độ của các điểm A, B vào phưong trinh mặt phang; 5x + py + 4z + m = 0 Ta có hệ phương trình: 5 72 —+ — + m = 0 7 7 155 9d — ■f + m = 10 10 m = - l l Vậy giá trị cần tìm: m = -11 và p = -5. 54 Bài toán 5.8: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt có các phưong trình sau; A x + B y + Cz + Di = 0, Bx + Cy + Az + D2 = 0, Cx + Ay + Bz + D3 = 0. Chứng minh nếu A^ + B^ + c^ > 0 và AB + BC + CA = 0 thì ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một vuông góc với nhau. Giải Các vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt là: np = (A; B; C), n J = (B; C; A), n^ = (C; A; B) Ta có; Ur riọ = nụ 'Ir = np AB + BC + CA = 0. Vậy ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một vuông góc với nhau. Bài toán 5.9: Chứng tỏ rằng các mặt phang (a), (P), (y) (ỗ) sau đây là các mặt phang chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật: (a); 7x + 4y - 4z + 30 = 0, (P); 36x - 51y + 12z + 17 - 0 (y); 7x + 4y - 4z - 6 = 0, (6); 12x - 17y + 4z - 3 = 0. Giải Mặt phẳng (a) song song với mặt phẳng (y) vì: 7 4 - 4 30 Mặt phẳng (P) song song với mặt phang (ỗ) vì: 14 8 - 8 36 -5 1 -12 12 17 --- ^ 12 -1 7 4 - 3 Mặt phẳng (a) vuông góc với mặt phẳng (P) vì; 7. 36 + 4(-51) + (-4). 12 = 252 - 204 - 48 = 0. Vậy bổn mặt phẳng (a), (P), (y), (ô) là các mặt phang chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật trong đó: (a)//(y ),’(p )//(ô ) và (a)l(P). Bài toán 5.10: Cho mặt phang (P) có phưonig trình 2x - 3y -I 5z - 1 = 0. a) Tìm loạ độ giao điểm của mặt phẳng dó với các trục Ox, Oy, Oz. b) Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và 3 mặt phẳng toạ độ. Giai a) Cho y = z = 0 thì giao với trục Ox tại A( —; 0; 0). Cho X = z = 0 thì giao với trục Oy tại B(0; - - ; 0). Cho X = y = 0 thì giao với trục Oz tại C(0; 0; —). b) Tứ diện cần tìm OABC có OA, OB, o c đôi một vuông góc nên V_ 1 1 1 6 ' 2 3 ■ J_ Ĩ 8Õ 55 Bài toán 5.11: Cho mặt phẳng (P) có phưcmg trình 3x - y + 2z - 1 = 0 và điểm a) Hãy tìm toạ độ hình chiếu H của điếm Mo trên (P). b) Hãy tìm toạ độ điểm M' đối xÚTig với điểm Mo qua mặt phang (P). Giải a) Giả sử H(xh; yn; Zii). Vectơ HMo cùng phưong với vectơ pháp tuyến n = (3; -1; 2) của mặt phẳng (P) nên tôn tại t sao cho HMo = t n . ------- • - -2 Do đó HMo. n = t.n « (1 - x„). 3 + (1 - y„)(-l) + (-1 - z„)2 = t(3' + (-1)' + 2^) <=>-(3xii-yH + 2zH)= 14t. Vì H thuộc mặt phang (P) => 3 x h - yu + 2 z h = 1 nên -1 = 14t => t = 14 1 Ta có HMo = — — n nên 14 l-x„ = — - .3 ” 14 - i - z „ = - ± ( 2 ) x„ = Yh = z,, =• 11 14 n 14H l l l A - z i 14’ 14’ 7 b) Giả sử M'(x'; y'; z'). Vì H là trung điểm của MoM' nên: x„ + x y. + y' l + x’_17 2 " 14 1 + y' 13 — ^ = — o { 2 14 X’=• y'= 1_0 7 6 z„ + z Vậy M' "10 6 _5 , 7 7 1, - l + z' 6 7 z'=-^7 Bài toán 5.12: Cho hai điểm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z - 1 = oĩ a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phang (P) b) Tìm toạ độ điểm c nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều. 56 Giải a) Gọi I(x; y; z) => AB = (2; 0; 2), AI = (x; y; z + 3) Vì AI và AB cùng phương nên có một sô k sao cho X = 2k AI = k AB hay: y - 0 y = 0 z + 3 = 2k X - z - 3 = 0 Mặt khác I e (P) ^ 3x - 8y + 7z - 1 = 0. Vậy ta có hệ: 11 y = 0 x - z - 3 = 0 <=> i 3x - 8y + 7 z - l = 0 5 y = 0 z = -- IU ’ ’ 5, b) Ta có AB = 2 V2 , gọi điểm C(x; y; z) CA = 2V2 x^ 4-y^ + (z + 3)^ = 8 Ta có • CB = 2V2 0 ■( x - 2 )^+ y - + ( z + l)^ = 8 «< Ce(P) 3 x - 8 y + 7 z - l = 0 Giải ra có hai điểm: C(2; -2; -3), c 2 2 1 , 3 3 3, Bài toán 5.13: Cho ba mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0 (Q) ; mx - 2y + z + m - 1 = 0 (R) : mx + (m - 1 )y - z + 2m = 0 X“ +y^ +(z + 3)^ = 8 x + z + l = 0 3 x - 8 y + 7 z - l = 0 Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau. Tìm giao điểm chung I của cả ba mặt phang. Giải Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt là; np = ( 1 ; 1 ; 1), np = (m;-2 ; 1), iip = (m; m - 1 ; - 1) Diều kiện ba mặt phang đôi một vuông góc rip.ng = 0 m - 2 + l = 0 np.Dp = 0 <=>• m + m -l-l = 0 <=>■ m = l m = 1 « m = 1 . 2 nọ-nR = 0 m - - 2m + 2 - l = 0 k V.(m -iỵ - 0 Gọi I(x; y; z) là giao điểm chung của cả ba mặt phang. 57 Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: x + y + z - 6 = 0 [x = l x-2y + z = 0 <=> < y = 2 1(1; 2; 3). x -z+ 2 = 0 z=3 Bài toán 5.14: Cho hai điểm Mi(xi; yi; Z\) và MỈ2(X2; yi', Z2) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0. Chứng minh ràng hai điểm Mi, M2 nằm về hai phía của mặt phẳng (P) khi và chỉ khi; (Axi + Byi + Czi + D). (AX2 + By2 + Cz2 + D) < 0. Giải Gọi M (xm; y.Ml zm) là giao điểm của đường thẳng M1M2 với mặt phang (P) và t là tỉ số mà điếm M chia đoạn thẳng XX, -tX2 Yi - t y 2 . M ’ 2 M 1 - t Vi điểm M 6 (P) nên: AXị -tx, 1 - t l 1 - t+ B Yi - t y 2 l. i - t+ c o t =Ax, + By, + CZ| + D A xj + By2 + Czj + D Để ý: Axi By2 + Cz2 + D 0 vì M2 Ể (a) Hai điểm M |, M2 nằm về hai phía của mặt phẳng (P) khi và chỉ khi hai vectơ MM| , MM2 ngược hướng <=> t < 0. o <0 AX| + Byj + CZj + o Ax, + Byj +CZ2 + D o (Axi + Byi + Czị I D). (AX2 + By2 + Cz2 + D) < 0. Bài toán 5.15: Cho các điểm M trong không gian có toạ độ: X = 2 + 3t| - 4t2 ■y = 4 - t 2 với ti: t2 thay đổi. z = 2-3t, Chứng minh các điểm M nằm trên một mặt phẳng. Giải Ta khử lần lượt các tham số: 2 — z y = 4 - 12 =í> t2 = 4 - y, z = 2 - 3ti =:í> ti = ----- ^ Thế vào thì X = 2 + (2 - z) - 4(4 - y) 58 Do đó X - 4y + z + 12 = 0. Vậy các điếm thuộc mặt phẳng (P): X - 4y + z + 12 = 0. Bài toán 5,16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm M,(2; 1; 1); M2(3; 1; 2), M3(0;-1;-4). a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Mi và vuông góc với đường thảng M2M3. b) Viết phương trình mặt phang (y) đi qua hai điểm Mi, M2 và song song với đường thẳng OM. Giải a) Ta có M 2M3 = (-3; -2; -6) là vectơ pháp tuyên của mặt phăng (P). Vậy (P) có phương trình: -3(x - 2) - 2(y - 1) - 6(z - 1) = 0 hay 3x -t 2y + 6z - 14 = 0. b) Ta có = (1; 0; 1) và OM3 = (0; -1; -4) nôn mặt phẳng (y) có vectơ pháp tuyến. n = [M,M2,ỠÃ/jj =(1;4;-1). Vậy (y) có phương trình: 1. (x - 2) + 4(y - l ) - l . ( z - l ) = 0 hay x + 4 y - z - 5 = 0. Bài toán 5.17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'. Gọi M, N, p lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB, D'D và B'C' theo cùng tỉ số k 0, 1. Chứng minh rằng mp(MNP) luôn luôn song song với mp(AB'D'). Giải Đặt A'B' = a, A'D' = b, A'A' = c. Ta dùng phư(mg pháp toạ độ bằng cách chọn hệ trục toạ độ với gốc là: A'(0; 0; 0) sao cho B'(a; 0; 0), D'(0; b; 0) và A(0; 0; c) Khi đó ta có C'(a; b; 0), B(a; 0; c), D(0; b; c) và C(a; b; c). Các điểm M, N, p lần lượt chia các đoạn thẳng AB, D'D', B'C' theo cùng tỷ số k nên: Mka ì n;0 ;c /- kc , N 0 ;b; V 1 - k, pí n ì l 1 - k ^ __.í - 1 . kc ^ , NP = a;— —b — Do đó MN = N = | —— ;b ;---- ì— c u - k 1 - k J y L 1 -k l- k j Ta có; J I (1- k ) ' b c ; k'+k-l-ca;--k^+k- 1 ab (l_k)2 (I_k)2 nên mp(MNP) có vcctơ pháp tuyến là n = (bc; ca; ab) Mặt phẳng (AB'D') có phương trình — + — + — = 1 có vectơ pháp tuyển là o K /•» 1 . 1 . l ì ^a ’ b ’ c 59 ab Vì ^ - abc và M, N, p J 4 + 9 + ( 4 - c ) ' =V4+9+1 o 13 + (4 - c)^ = « 182 + 14(4 - c)^ = (c - 17)^ 14 Từ đó giải ra c = 3. Vậy điểm M(0; 0; 3) b) Điểm M cách đều hai mặt phang đã cho nên l-c + l| |c + 5| ^ -c + 1 c + 5 V ỉ “ v^ o -c + 1 = c + 5 hoặc -c + 1 = -c - 5<=> c = -2. Vậy điểm M(0; 0; -2). Bài toán 6.7: Hãy xác định góc q) tạo thành bởi các cặp mặt phang sau: a ) x - V2y + z - 4 = 0 v à x + V 2 y - z + 5 = 0 b) 3v - z - 9 = 0 và 2y + z = 0. Giải a) Hai mặt phẳng có VTPT ĩĩ = (1; - v v ; 1), n ' = (l; V2;-l) I 1 __ _ 0 ^ VĨT2TĨ.VĨT2T 1 2 b) Hai mặt phẳng có VTPT n = (0; 3; -1), n' = (0; 2; 1) _ị| ị cosọ = I cos( n , n ') I = r — = = - ị r =>cp = 45°. ^ Ị^ l^ íỊ+ ] V2 Bài toán 6.8: Cho mặt mặt phẳng (P): 2x - y + z - 17 = 0 và mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm B(l; -2; 1), C(l; 0; 0), D(0; 1; 0). Tính góc tạo thành bởi hai mặt phăng đó. 64 Giải Mặt phẳng (P) có VTPT í = (2; -1; 1) M ặtphẳng (Q) có VTPT n ’ = [B C , B D ]-(1 ; 1;2) Gọi cp ỉà góc giữa 2 mặt phang thì: I - I 1 _ o coscp= |c o s(n , n ') | = :^(p = 60 . V4+1 + I.V1 + 1+4 2 Bài toán 6.9: Mặt phẳng (P) nhận điểm P(2; -1; -2) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ ờ trên mặt phẳng đó. Hãy tính góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (y) có phương trình X - y - 6 = 0. Giải Mặt phẳng (P) đi qua P(2; -1; -2) và nhận OP = (2; -1; -2) làm VTPT nên phương trình tổng quát của (P) là: 2x - y - 2z - 9 = 0. Gọi ọ là góc giữa (P) và (y), ta có: l ll+ l .i V2 coscp = (p 45°. V4+1+4.VĨ+Ĩ 2 Bài toán 6.10: Tìm tập họp các điểm cách đều hai mặt phẳng a) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 =0. b ) x + 2y + z - 1 = 0 v à x + 2y + z + 5 = 0. Giải a) Điểm M(x; y; z) cách đều hai mặt phang đã cho khi và chỉ khi; |2 x - y + 4z + 5| |3x + 5 y - z - l | V4 + 1 + 16 "" V9 + 25 +1 <=» I 2x - y + 4z + 5 I = V3 I 3x + 5y - z - 1 I <=> Vs (2x - y + 4z + 5) = ±V3 (3x + 5y - z - 1) Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phang: ( 2 V 5 - 3 V 3 ) x - ( V 5 + 5 V 3 ) y + ( 4 V 5 + V 3 ) z + 5 V 5 + V 3 = 0 , (2 V5 +3V3)x-(Vs -5 ^Ỉ3 )y + i4^Í5 - V3 )z+ 5 V5 - V3 =0. b) Điểm M(x; y; z) cách đều hai mặt phẳng: |x + 2y + z-l| Ịx + 2y + z + 5| I I I -— - - = ----—- |x + 2y + z - l | = |x + 2y + z + 5 Vl + 4 +1 Vl + 4 +1 x + 2y + z - l = x + 2y + z + 5 <ĩ=>x + 2y + z - l = -(x + 2y + z + 5) <=> 2x + 4y + 2z + 4 = 0 <=> X + 2y + z + 2 = 0. 65 Vậy tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình; x + 2y + z + 2 = 0. Bài toán 6.11: Trong không gian toạ độ Oxy cho hai điểm A (l; -1; 2), B(2; 0; 1). Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy). Giải Mặt phẳng (OAB) đi qua o, có vectơ pháp tuyến n = [OẤ, OB] = (-1; 3; 2) nên có phương trình: -X + 3y + 2z = 0. Điểm M(x; y; z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi: 1- X + 3y + 2z| I I / — -— , -- = z <=>-X + 3y + 2z = ± Vl4z Vi + 9 + 4 o -X + 3y + (2 ± VĨ4 )z = 0. Vậy quỳ tích là hai mặt phẳng có phương trinh trên. Bài toán 6.12: Lập phương trình tổng quát của mặt phang (P) đi qua các điểm - 71 M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo với mặt phăng Oxy một góc —. Giải Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1; a; b). Ta có MN - (3; 0; -1) Vì ĩ ĩ . MN = 3. l+ 0 -b = 0 nên b = 3. Do đó n = (1; a; 3). Mặt phang Oxy có vectơ pháp tuyến k = (0; 0; 1). n.k o — = , ■■■— o a = ±y[26 n Ta có: cos— = 3 2 Va^ +10 PT mặt phẳng (P) là: 1. (x - 0) ±yÍ26 (y - 0) + 3. (z - 1) = 0 <=> X ± ^Ị26 . y + 3z - 3 = 0. Bài toán 6.13: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mp(a) có phương trinh: 2x + y - y[5 z = 0 một góc 60”. Giải Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng; Ax + By = 0 => n p = (A; B; 0), n„ = (2; 1; - Vs ). Theo giả thiết của bài toán cos(np,na) =2A + B „ 1 , = COSỔO" = - VA^ +B^^/4 + l + 5 2 « 2 I 2A + B I = VĨÕ.Va - + B ' o 6A^ + 16AB - 6B^ = 0. 66 Lấy B = 1, ta có: 6A^ + 16A - 6 = 0 A, = A^ = -3 1 Vậy có hai mặt phang (P) phải tìm; — X + y = 0; -3x + y = 0. Bài toán 6.14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (l; 2; 1), B(-2; 1; 3). C(2; -1; 1) và D(0; 3;_ 1). Viết phưorng trình mặt phang (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ c đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Giải Mặt phang (P) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1; (P) qua A, B và song song với CD. Vectơ pháp tuyên của (P): n = [ A B , CD ]. Ta có: ÃB = (-3; -1; 2), CD = (-2; 4; 0) n = (-8; -4; -14). Phương trình (P): 4x + 2y + 7z - 15 = 0. Trường hợp 2; (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I cúa CD. 1(1; 1; 1) ^ AI = (0; -1; 0), vectơ pháp tuyến của (P): n =[ÃB, Ã ỉ] = (2;0; 3). Phương trình (P): 2x + 3z - 5 = 0. Vậy (P): 4x + 2y 1- 7z - 15 = 0 hoặc (P): 2x + 3z - 5 = 0. Bài toán 6.15: Trong hệ toạ dộ Oxyz cho ba điểm Mi(l; 0; 1), M2(2 ; -1; 0) và M3(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M3 mà khoảng cách từ Mi 4 Ĩ và M2 đến (P) đều bằng . 2 Giải Mặt phang (P) đi qua M(0; 0; 1) nên có phương trinh A(x - 0) + B(y - 0) + C(z - 1) = 0 hay Ax + By + Cz - c = 0 (A^ + B^ + > 0). ■SỈ2 Khoảng cách từ Mi, M2 đến (P) bằng nên 2 A + C - C |2A- B -C Va ^ + B ^+C - Va ^+B^+C^ 2 Do đó I A I = I 2A - B - c 1 hay ±A = 2A - B - c Suy ra c = A - B hoặc c = 3A - B. 67 Với c = A - B thì từ ■ ----- 1-4- 1^1 . ... = ta suy ra Va ' + B ' +C^ 2 2A^ = A^ + B ' + (A - B)' « 2B(B - A) = 0. Nếu B = 0 thì c = A, ta lấy A = 1 thì (P) có phương trình: X + z - 1 - 0 Nếu A = B thì c = 0. Ta lấy A = 1 thì (P) có phương trình: X + y = 0. Ia I V2 Với c = 3A thì từVa ' + b ' + c ' 2ta suy ra 2A' = A ' + B ' + (3A - B)' o 8A' - 6AB + 2B' = 0. » 4A ' - 3AB + B ' = 0 « (2A - - B)' 4- ^ = 0 4 16 Do đó 2A - — B = 0 và B = 0 nên A = B = c = 0: loại 4 Bài toán 6.16: Cho tứ diện ABCD với Ạ(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3). Viết phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh cùa tứ diện đó. Giải Một mặt phẳng cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách đều bốn đỉnh A, B, c, D của hình tứ diện thì: - Hoặc mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện. Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với một mặt. ^ - Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phang như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đối chung mút. Từ đó tìm được bảy mặt phang thoả mãn yêu cầu đẩu bài là: x - z - 6 = 0;x + y - 10“ 0;x + 2 y - z - 8 = 0;2x + y - z - 14 = 0, X - y - z - 2 = 0; 2x + y + z - 16 = 0; 5x + y - 2z - 28 = 0. Bài toán 6.17: Cho A (l; 0; 0), B(0; 1; 2). Tìm c e Oz để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (a): 2x - 2y - z + 5 = 0 một góc bằng 60°. Giải Gọi C(0; 0; m) G Oz. 68 Ta có: AIỈ - (-1; 1; 2), AC = (-1; 0; m) => u = AB,AC = (m; m-2; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phang (ABC). Mặt phang (a) có vectơ pháp tuyến n = (2; -2; -1). Mp(ABC) và (a) họp nhau góc 60° nên: cos60" =- - |2m + 4 - 2 m - l | 1 2± V2 cos(u, n) = .....- - = ^ C:> m = -------- 3Vm'+l4 x + y + z - 9 = 0. |4 + 6 - 9 | 1 Do đó: d(D; (ABC)) - ' = - ị - . V3 V3 Bài toán 6.19: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có A trùng với gốc o, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b), (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh c c . a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M. b) Xác đinh tỷ số — để măt phẳng (A'BD) T (MBD) b Giải a) Từ giả thiết ta có: C(a; a; 0), C'(a; a; b) => M(a; a; —) Nên BD = (-a; a; 0), BM - (0; a; - ) , BA' = (-a; 0; b) 69 b d , b m f ab ab 3 VA' D’ BD,BM .BA'a^b B' 7 y Do đó: VnDA'M 4 i11>------ b) Mặt phang (BDM) có vectơ pháp tuyến là: __ r • • “1 ^ ab ab 2^ = A 'D,BD —l 2 2 j mặt phẳng (A'BD) có vectơ pháp tuyến: n^ = BD,BMỈj = (ab; ab; a^) ___ _ „21 2 „2-2 Do đó (BDM) 1 (A'BD) « n,.n^ = 0 — a' = 0 « a = b « - = l. 2 2 b Bài toán 6.20: Cho hình chóp tứ giác đều s. ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi I là tmng điểm cạnh bên sc. Tính khoảng cách tìr s đến mặt phẳng (ABI). Giải Ta có giao điểm M của so và AI là trọng tâm tam giác SAC nên M 0;0;- Mặt phẳng đi qua A, B, MI cũng chính là mặt phang (ABM) nên có phưong 1 1 . X y z , trình là: — H— ^-Ị=r + — = 1. aV2 W 2 h 2 2 2 Do đó, khoảng cách từ khoảng cách từ s tới mặt phẳng (ABM) là: tới mặt phăi 2 2ah u . 2 9 “ V4h-+9a V a' a^'" h^' 70 Bài toán 6.21: Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh o. Gọi a , p, y lần lượt là góc giữa mặt phang (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn. b) cos^a + cos^p + cos^Y = 1. Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với các tia Ox, Oy, Oz lần lượt là các tia OA, OB, oc. Khi đó ta có A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a > 0, b > 0, c > 0. a) Ta có ÃB = (-a; b; 0), AC = (-a; 0; c) ^ A B . AC = a^ > 0. Vậy góc A của tam giác ABC là góc nhọn. Chứng minh tương tự, ta có các góc B và c của tam giác đó cũng nhọn. b) Mặt phắng (ABC) có phương trình X y X a b c nên có vectơ pháp tuyên là n = — ; — ; — ^a b c Mặt phang (OBC) có vectơ pháp tuyến ỉ" =(1;0;0). / —- n 1 1 2„2 b c Ta có: cos a = n i V / 1_ J_ a“b^+b^c^+c^a^ a b^ c^ Tương tự: cos^ p = cos Y c^a^ a 'b ' +b'c' +c^a' a-b' đpcm. a'b'+b'c'+c^a' Bài toán 6.22: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bàng 1. Trên các tia AA', AB, AD, lần lượt lấy các điểm M, N, p khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p. a) Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh C' của hình lập phương. b) Trong trường họp mp(MNP) luôn đi qua c , hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Giải Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho o trùng A, các tia Ox, Oy và Oz lần lượt chứa các điểm B, D và A'. Khi đó ta có A(0; 0; 0), B(l; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1), C (l; 1; 1), M(0; 0; m), N(n; 0; 0), P(0; p; 0). 71 a) Mặt phẳng (MNP) y + ^ = l p m t ^ Ị t\ / • \ / t \ ^ — + — + — = 1 n p m b) Thể tích tứ diện AMNP là: V = - AM. AN. AP = - mnp. 6 6 và chỉ khi: / A ' \ r ■»' T - 71 JL, * ' p A '' ; D' ' ly- 1 A '"B c \V N Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba sổ dương, ta có; n p m Y mnp \ mnp—ỉ— < 4- mnp > 27 mnp 3^ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi — = — = — = — , tức là m = n = p = 3. n p m 3 27 Vậy giá trị nhỏ nhât cùa thê tích V là — , khi đó A. MNP là hình chóp đêu. 6 Bài toán 6.23: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M thuộc AD' và N thuộc DB sao cho AM = DN = k (0 < k < a V2 ). a) Chứng minh ràng MN luôn song song với mặt phẳng (A'D'BC). b) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất. Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh răng MN là đường vuông góc chung của AD' và DB; MN song song với A'C. Giải Chọn hệ toạ độ Oxyz như hình vẽ. Ta có; AM = k => MA =h ____ f k -aV 2 V0;—V 2 ’ V2 MD'=^M DN = k=>ND = — Í-=NB'=>N „ k-aV2 [yj2 V2 a) Mặt phẳng (A'D'BC) có phương trình: X + z - a = 0 nên có vectơ pháp tuyến n = (1; 0; 1). Ta có; — k , aV 2-2k^ r k V ^ M N n = -^ .l+ - -T -—-.0+ —^ 1 = 0 4 Ĩ 4 Ĩ [4 2 ) 72 và M Ể (A'D'B'C) nên đường thẳng MN song song với mặt phắng (A'D’BC). b) Ta có: MN^ = í nì 2a^Í2-k k - ^ - 0 ín M IV 2 ; +t ^Í2 4 Ĩ )+l ^/2 j F iv 2 2 iv2 a a = 3k^-2aV2k + a^= 3 Vậy đoạn MN bé nhất khi k ã ylĩ \ 4 Ĩ Khi MN ngắn nhất thì k = ------ nên MN = + — > — y 3 3 '^a a a^ 3 ’ 3 ’ I MN.AD= -.0 + - . a - - . a = 0 => MN 1 AD 3 3 3 3 3 V 3 j.0 = 0 =>MN1DB. MN.DB = - .0 + - .( - a ) + Suy ra đường thẳng MN là đường vuông góc chung của AD' và DB. Ta có A'C = (a; a; -a) = 3M N và A' không thuộc đưÒTig thẳng MN suy ra đường thẳng MN song song với đường thẳng A'C. Bài toán 6.24: Cho hình chóp s. ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = aV2 , SA = a, SA vuông góc (ABCD). Gọi M, N là trung điếm AD, sc, gọi I là giao điểm BM và AC. Chứng minh (SAC) J_ (SMB) và tính thể tích khối ANIB. Giải Chọn hệ triic toạ độ như hình vẽ. S(0; 0; a), A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a V2 ; 0) thi; „ r~ av2 a av2 a D (0;a^/2 ;0 ),M (0 ; ^ ; 0), N (^ ; ^ ^ ) lA IM AM 1 _ 1 Vì - ^ = = ^ => IA = - AC IC IB BC 2 3 I ( - ; ^ V2 — • aV2 — — ; 0), B M ( - a ;^ ^ ;0 ) , B S (-a;0;a) 3 3 Mặt phẳng (SBM) có vectơ pháp tuyến: n I = Mặt phang (SBM) có vectơ pháp tuyến: AS,AC =(-a^V2;a^0) 73 BM,BS^^^/25« ) •a^-- Vi n I . = 0 nên 2 mặt phăng (SAC), (SMB) vuông góc. r-_ __.-1 f ^ __ Ta có: AI,AN = — V ; — ;0 , AB = (a; 0; 0) ' V 3V2 6 j Vậy VANIB AI, AN .AB36 BÀI TẬP Bài tập 6.1 : Tìm khoảng cách từ điểm C(4; 2; -2) đến mặt phang (P); 12y-5z + 5 = 0. ỈID-ĐS |24 + 10 + 5| 39 d(C; (P)) = 1-;— - - - i = — ^ 3 ■ V144+25 13 Bài tập 6.2: Tìm tập họp các điểm M cách mặt phẳng (P): 4x + y - 3z - 2 = 0 một đoạn bằng 5. iĨd -ĐS Gọi M(x; y; z) và dùng công thức khoảng cách. Bài tập 6.3: Lập phưong trình mặt phẳng song song và cách đều 2 mặt phẳng song song: 5x + 3y -2z +1=0, 5x + 3y -2z +13 = 0 lỉD -D S 5x + 3y -2z + 7 = 0 Bài tập 6.4: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phưomg ABCD. A'B'C'D'. Biết A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0) và A'(0; 0; 2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình mặt phẳng qua MN và song song với BA'. Tính góc giữa hai đưÒTig thẳng MN và BA'. HD-ĐS (P): x - y + z - 1 = 0 , góc 60*^. Bài tập 6.5; Cho hai điểm A(4; 2; 3), B(0; -2; 1) 1) Tìm trên trục Ox điổm M cách đều điểm A và mặt phang (P) có phương trình; X - y - 3z - 17 = 0. 2) Viết phương trình (Q) // (P) và cách đều hai điểm A và B. ÍID-DS 1) M (-l; 0; 0), M'(7; 0; 0) 2) (Q); X - y - 3z + 4 = 0. Bài tập 6.6: Cho tứ diện A (-2, 0, 1), B (2, 3, -2), c (1, 0, 4) D (3, 5,-1). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều 2 điểm c, D. ỈÍD-DS Xét mp(P) song song với CD và đi qua trung điểm của CD. 74 Bài tập 6.7: Cho ba đicm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là ba số dương thay đổi và luôn ihoả mãn a^ + b^ + = 3. Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm 0(0; 0; 0) đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất. ĨID-ĐS a = b = c = 1. Bài tập 6.8: Cho 3 điểm A (2, 0, 1), B (-2, 7, 2), c (1, 5, -3). Lập phương trình mặt phẳng chứa AB sao cho khoảng cách đến c lớn nhất. ÍID-DS Tìm hình chiếu c lên đường thẳng AB. Bài tập 6.9: Lập phương trình mặt phẳng qua M (2, 5, 4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, c mà thể tích hình chóp o. ABC bé nhất. ÌlD-ĐS Dùng phương trinh đoạn chắn và bất đẳng thức Côsi MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Phương trình tổng quát của mặt phang: Mặt phang qua Mfl(xo, yo) vù vectơ pháp tuyến n = (A, B, C) Ax + By + Cz + D = 0, A^ + B ' + ớ hay A(x -X o ) + B(y-yn) + C(z - zq) = 0 Phương trình mặt cầu: (S) tâm I(a, b, c) bủn kính R: (x -a)~ + (y -h )^ + (z -c)~ = hay: x^ V y^ + f 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0. A^ + B^ + ớ -D>0 có tâm I(-A, -B, -C) và hán kinh R = ylA~ + B^ + - D . Vị tri tương đổi giữa mặt cầu và mặt phang: Cho mặt cầu S(I; R) và mp(P). Gọi IH = d là khoảng cách từ tâm I đến (P) thì: a) Neu d < R: mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm H là hình chiểu của tâm I lên mp(P), hán kính r = - d“ Đặt biệt, khi d = 0 thì mp(P) di qua tâm I của mặt cầu, giao tuyến là điỉờng tròn lớn của mặt cầu có hán kính R. b) Nếu d = R, mp(P) và mặt cầu S(ĩ; R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó mặt phang (P) tiếp xúc với mặt cầu tụi diêm H hoặc mp(P) là liếp diện của mặt cầu lại tiếp điểm H. c) Nếu d> R: mp(P) không có điếm chung với mặt cầu. 75 Chú ý: 1) Phương trình đường tròn giao tuyển ị x ' + + la x + 2by + 2cz + d = 0 Ị/1jc+ By + Cz + D - 0 2) Khoảng cách từ Mo(xo, yo, zo) đên mặt phăng: (Pỳ: Ax + By + Cz + D = 0 ìà d(Mfí, P) = l ^A ^ + B^+ C^ Bài toán 7.1: Lập phương trình mặt cầu: a) Có tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình X + 2y - 2z + 5 = 0. b) Có tâm thuộc trục Oy và tiếp xúc với hai mặt phẳng: X + 2y - 2z - 3 = 0, X + 2y - 2z - 5 = 0. Giải a) Theo giả thiết thì R = d(I, (P)) = 1 nèn phương trình mặt cầu: (x + 2)' + ( y - l ) ' + ( z - 1)^=1. b) Gọi 1(0; y; 0) thuộc Ov. |2 y -3 | |2 y -5 | Ta có d(I, (P)) - d(I, (Q ))« ^ ^ V9 V9 Vậy 1(0; 2; 0). 2 y - 3 = 2 y - 5 2y-3 = - ( 2 y - 5 )<=> y = 2. Bán kính R = d(I; (P)) = — nên phương trình mặt cầu là: x^' + (y - 2)^ + z^ = —. Bài toán 7.2: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 1), B(l; 0; 0), C(l; 1; 1) và mặt phang (P); X + y + z - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, c và có tâm thuộc mặt phẳng (P). Giải I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tim <=> ỉ e (P) và lA = IB = IC Ta có; lA^ = (x - 2Ý + y^ + (z - 1 Ý; IB^ = (x - 1 )^ + y^ + IC^ = (x - 1)^ + (y - l)^ + (z- 1)1 Ta có hệ phương trinh: x + y + z -2 = 0 X + y + z = 2 ■ IB' =IC^ y + z = 1 Do đó I( 1; 0; 1) và bán kính R = IA = 1 X = 1 y = 0 z = 1 Vậy phương trình mặt cầu là (x - 1)^ + y^ + (z- 1)^= 1. 76 Bài toán 7.3: Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) trong các trường họp dưới đây: a) - 6x -1- 2y + 4z + 5 = 0 và X + 2y + z - 1 = 0 b) x^ + y^ + z^ - 6x + 2y - 2z + 10 = 0 và X + 2y 2z = 0. c) x^ + y^ + z^ + 4x + 8y - 2z - 4 = 0 và X + y - z - 10 = 0. Giải a) Mặt cầu có tâm 1(3; -1; -2) và bán kính R = Va" + b ' +c^ - d = 3, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P): d(I,(P)) |3-2-2-l| 2 Vl + 4 + 1 Vó 3 Vậy mặt phang cắt mặt cầu. b) Mặt cầu có tâm 1(3; -1; 1) và R = 1. , , ^ l3-2 + 2| Khoảng cách từ tâm I đên mặt phăng (P); d(I, (P)) Vậy mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. c) Mặt cầu có tâm ỉ(-2; -4; 1), R = VĨT . Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P): d(I, (P)) = Vậy mặt phẳng không cắt mặt cầu. Vl + 4 + 4= 1 = R | - 2 - 4 - l - 1 0 | _ 17 Vl + 1 + 1 "" V3 > R Bài toán 7.4: '1'rong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng và mặt cầu lần lượt có phương trình: (P): y + z - 1 = 0; (S): x^ + y^ + z - 2z = 0. Chứng tỏ rằng mp(P) và mặt cầu (S) cắt nhau. Xác định toạ độ tâm của đưòng tròn giao tuyến (C) và tính bán kính của nó. Giải Tâm I của mặt cầu (S) là 1(0; 0; 1) bán kính là R = 1. |0 + l - l | Ta có: d(I, (P)) = 0 I -26 + D I = 52 <=> -26 + D = ±52 o D = 78 hoặc D = -26 (chọn). Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu là: 4x ± 3y - 12z ± 78 = 0 và 4x ± 3y - 12z - 26 = 0. Bài toán 7.8: Trong không gian có hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, c, D có toạ độ xác định bởi các hệ thức: ÕẤ = -2 j, ÕB = V 3 Ĩ± J , ÕC = -^/3^ + J,ÕD = 2^/2k^ 78 a) Chửng minh ràng: ABCD là tứ diện đều. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Viết phưcmg trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, c, D. Viết phưcmg trình tiếp diện (a) của mặt cầu (S) song song với mặt phang (ABD). Giãi Theo đề bài ta có A(0; -2; 0), B( V3 ; 1; 0), C(- V3 ; 1; 0), D(0; 0; 2 ^/2 ). a) Ta có AB = 2 Vs , AC = 2 V3 , AD = 2 V3 ; BC = 2 V3 . Vậy ABCD là tứ diện đều. Ta có [ A B , AC ] = (0; 0; 6 V3 ) nên thể tích khối tứ diện ABCD: v = - I [ÃB. ÃC]. ÃD] I = 2 Vó . 6 b) Phương trình mặt cầu (S) có dạng: y ĩ + + 7} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, a^ + b^ + c^ - d > 0. Bốn điểm A, B, c, D nằm trên mặt cầu, nên ta có hệ: 4-4b + d = 0 4 + 2V ja + 2b + d = 0 4 -2 V 3 a + 2b + d = 0 8 + 4-v/2c + d = 0 a = 0 b = 0 c = - - d = -4 Phương trình mặt cầu (S) là: + y^ + - V2 z - 4 = 0. Mặt cầu (S) có tâm 0; 0;4 Ĩ và bán kính R ^ 3V2 Phương trình của mặt phắng (ABD) là:3^/2x - V6y + V 3 z - 2 V ó =0. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD) có dạng 3 V2 X - Vổ y + V3 z + D = 0 (D -2 Vb ). Mặt phẳng đó có tiếp diện của mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến mặt phang đó bằng R: J 3 . ^ + D 2 3V2 D = 4-76 hay D = -S-v/ó (chọn). VI8 + 6 + 3 2 Vậy có hai tiếp diện của mặt cầu (S) cần tìm là: 3 -72 X - -Tó y + -73 z + 4 -Tó = 0 và 3 -72 X - -Tó y -t -7j z - 5 -Tó = 0. Bài toán 7.9: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(l; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5;5;-l)vàD(l;2;4). a) Chứng tở rằng bốn điểm A, B, c, D không đồng phang. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm đó. Tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phắng (ABC). 79 b) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S). 'ĩìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng toạ độ. Giải a) Ta có ẢB = (3; -3; -8), Ã c = (4; 0; -4), ÃD = (0; -3; 1) [ÃB, ÃC] = (12;-20; 12) nên[ÃB, ÃC]. ÃD = 72 ^ 0. Suy ra bốn điểm A, B, c , D không đồng phang. Giả sử mặt cầu (S) có phương trình; x^ + y^ + -4- 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Vì mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, c , D nên ta có; l + 25 + 9 + 2a + 10b + 6c + d = 0 16 + 4 + 25 + 8a + 4 b -1 0 c + d = 0 ' 25 + 25 + l + 10a + 10 b-2c + d = 0 1 + 4 + 16 + 2a + 4b + 8c + d = 0 <=> i -3 a + 3b + 8c = 5 - a + c = 2 3 b - c = -7 a = - 1 b = - 2 c = 1 d = -19 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: + y^ + z^ - 2x - 4y + 2z - 19 = 0. Mặt cầu (S) có tâm 1(1; 2; -1) và bán kính R = Vl + 4 + 1 + 19 = 5 Mp(ABC) có vcctơ pháp tuyến n = [AB, AC] = (12; -20; 12) hay (3; -5; 3) và đi qua điểm A(l; 5; 3) nên có phương trình: 3(x - 1) - 5(y - 5) + 3(z - 3) = 0 hay 3x - 5y + 3z + 13 = 0. , , ,13.1-5.2 + 3.4 + 131 18 Khoảng cách từ D đên mặt phăng (ABC); h = ----, = — - = - 7= . V3'+5'+3' V43 b) Mặt phẳng (a) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến CD = (-4; 3; 5) nên có phương trình: -4x - 3y + 5z + d = 0. Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm 1(1; 2; -1) của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (a) bằng 5, tức là; |-4 .1 -3 .2 -5 .1 + dl |-15 + d| r- = 5 ^ ' ! =5^d=15±25V 2. VI6 + 9 + 25 S õ Vậy ta có hai mặt phẳng cần tìm với phương trình: -4x-3y + 5z+ 15 + 25 V2 =0. Tâm mặt cầu (S) là I( 1; 2; -1). Khoảng cách từ I tới (Oxy) là di = I -1 I = 1 nên (S) cắt mp(Oxy) theo đường tròn có bán kính: r, = - d f = V2 5 - I = 2Vó Khoảng cách từ I tới mp(Oyz) là d2 = 1 nên (S) cắt mp(Oyz) theo đưòng tròn có bán kính r2 = -^R^ -d ^ = V25 -1 = 2V6 80