🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Các Chuyên Đề Bám Sát Đề Thi THPT Quốc Gia Hàm Số - Phương Trình - Mũ - Lôgarit Ebooks Nhóm Zalo NGƯT. ThS. LÊ HOÀNH PHÒ C ác ch u y ên đ ề BÁin 5ÁT Đ ễ THI XUẤT BÂN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỤI Th.s NHÀ GIẢO ƯU TỦ LẺ HOÀNH PHÒ CÁC CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LÔGARIT NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q ư ố c GIA HÀ NỘI NHÀ XUÂT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập - Chế bản: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập; (04) 39715011 Fax: (04) 39729436 i\i * C hịu trá ch nh iệm x u ất bản: Giám dốc - Tổng biên tập: TS. PHẠM TH Ị TRÂM Biên tập: C hế bản: N G U Y ÊN CẢNH BA N G U Y ỄN KHỞI M IN H T rình bày bìa: N H À SÁCH H ồ N G ÂN Dối tác liên kết xuất bản: N H À SÁCH H Ồ N G ÂN 20C N guyễn Thị M inh Khai - Q1 - TP. Hồ C hí M inh SÁCH LIÊN KẾT CÁC CHUYÊN ĐỂ BÁM SÁT ĐỂ THI THPT QUỐC GIA _____ HÀM SỐ VÀ PHƯdNG TRÌNH MŨ LÔGARIT Mã số: 1L-269ĐH2015 In 1.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổ phần Văn hóa Văn Lang. Địa chỉ: số 6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q. Bình Thạnh - TP. Hổ Chí Minh Số xuất bản: 1121- 2015/CXBIPH/48-189/ĐHQGHN, ngày 12/5/2015. Quyết định xuất bản số: 287LK-TN/QĐ-NXBOHQGHN, ngày 19/5/2015 In xong và nộp lưu chiểu quý III năm 2015. LỜI NÓI ĐẦU Các Em học sinh thân mến! Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 12 chuẩn hị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA đạt điểm khá, điểm cao để trúng tuyển vào các trường Cao đẳng, Đại học mà mình đã xác định nghề nghiệp cho tương lai, theo định hướng mới. Bộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuyên đề, đê các em tiện dùng trong ôn luyện theo chương trình học và trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LÔGARIT - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHẢN - SỐ PHỨC VẢ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VÀ TỌA ĐỘ PHANG - PHƯƠNG TRÌNH VÀ HAT đ Ẳn G t h ứ c Cuốn HÀM SỐ VẢ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LÔGARIT gồm có 15 phần nhỏ để tiện luyện tập theo chủ để. Từ các kiên thức và phương pháp giải Toán căn bản và nâng cao dần dần, kết hỢp ôn tập Toán lớp 10 và 11, bổ sung và mở rộng kiến thức và phương pháp giải khác nhau, luyộn tập thêm Toán khó, Toán tổng hỢp, các bạn rèn luyện kỹ năng làm bài và từng bước giải đúng, giải gọn các bài tập, các bài toán trong kiểm tra, thi cử. Dù đã cô" gắng kiểm tra trong quá trình biên tập song cũng không tránh khỏi những sai sót mà tác giả chưa thấy hê"t, mong dón nhận các góp ý của quý bạn đọc, học sinh đê lần in sau hoàn thiện hơn. Tác giả L Ê H Ơ À M I PHÒ MỤC LỤC 1. BlÉN ĐÓI LUỸ TMỪA VẢ MŨ ........................................................................... 5 2. BIẾN ĐỒI LÔGARIT.............................................................................................20 3. HÀM SỐ MŨ, LUỸ TIIỪ’A ................................................................................... 30 4. HÀM SỐ LÔGARIT ................................................................................................45 5. SO SÁNH BIẾU THỨC MŨ VÀ LOGARIT...................................................... 59 6. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢ TRỊ LỚN NHẤT NHỞ NIỈẢT CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT....................................65 7. PPiươNG TRÌNH M Ũ.............................................................................................75 8. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARH'.................................................................................90 9. ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM PHƯƠNG '1'RÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT..................................... 103 10. BẨT PHƯƠNG TRÌNH M Ũ..............................................................................113 11. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT..................................................................119. 12. ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM BẤT P1 lUƠNG TRÌNII MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT........................... 128 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỦ.................................................................................. 138 14. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT .................................................................... 149 15. ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TR ÌN H.......................................167 BIẾN ĐỔI LUỸ THỪA VÀ MŨ Luỹ thừa với các h ạ i số mũ - Luỹ thừa với số mũ nguyên dương: a” = a.a...a, n thừa sổ a (với mọi a và n e N*) - Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm: a^ = 1 và a'" - ^ (với a ỉàO và n £ N ) - Luỹ thừa với sổ mũ hữu tỉ; = a " = >/ã^ a (với a> 0 và r = n e z, n £ N ) n - Luỹ thừa với số mũ thực: a° = lima'" (với a> 0, a £ R, r„ £ Qvà limr„ = a). - Biến đổi luỹ thừa: Với các số a > 0, b > 0, a và p tuỳ ỷ, ta cỏ: j ^ ^ a ^ p . ^ a . ^ ^ ^a-P . ^ ^a P (a.b)“ = a" (a: b)" = ứ“; b" Quan hệ so sánh Nếu a> I thì: a“ > cp <:ỳ a> p Nếu 0 < a < ỉ thì: a“ > a< p Nếu 0 < a < b thì: a‘^ < b“ a > 0; a‘^ > b“ ■Cỳ a < 0. Căn bậc cao - Căn bậc n: Khi n lẻ, b = ^ <^b" = a ( với mọi a) Khi n chẵn, b = ya <^> ị (với a >0). Ịb" = a - Biến đổi căn bậc cao: Với hai số không âm a, b, hai số nguyên dương m, n và hai sổ nguyên p, q tuỳ ỷ, ta có: s/ãb = Vã.Vb ; \ b ĩỊb ^ ' Nếu — = — thì = \/ã ^ . Đặc biệt Vã = mn/gin n m Công thức lãi kép, tăng trưởng mũ Gửi tiền vào ngân hàng theo thế thức lãi kép theo định kỳ: nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi thì tiền lãi được tỉnh vào vốn của kì kế tiếp. Neu một người gửi so tiền A với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì sổ tiền người ẩy thu được cả vốn lẫn lãi là: c = A(1 + r)'^. Giả sử ta chia mỗi kì thành m đợt đế tinh lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi kì là r r ^ r ' ' thì lãi suât môi đợt là — và sô tiên thu được sau N kì (hay sau Nm đợt) là m \ Nm 1 + -m jThể thức tính lãi khi m +oogọi là thể thức lãi kép liên tục. Như vậy với số vốn ban đầu là A, theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất mỗi kì là r thì sau N kì số tiền thu được cá von lẫn lãi sẽ là: s = Ae^'^, được gọi là công thức lãi kép liên tục hay tăng trưởng mũ Chú ỷ: l) ơ’ vô nghĩa. 2) Vx ^ (do điều kiện xác định khác nhau). 3) Với A, B không âm: yfÃB =y[Ã.jB , 4 à . ^ = yĩĂBvà VÃ/JV = v ^ . v ^ , M < 0, yv < 0 . Với A không âm và B dương: \A 4 à 4 à [à . [p B 4 b 4 b \ B V ỡ s F õ,P < 0 ,Q < 0 . — = ^7= , ^7= = và 1— 4) Các hằng đẳng thức (a + b)^ + 2ab + b^ ( a - b ) ^ - a ^ - 2 a b + b^ (a + b)^ ( a - b ) ' (a + b)' (a-b)'* (a + b)' ( a - b ) ' a^ + 3a^b + 3ab^ + b^ a^-3a^b + 3ab^-b^ a'* + 4a^b + 6a^b^ + 4ab^ + b‘* 4a^b + 6a^b^ ■•4ab^ + b^ a^ + 5a'‘b + lO aV + lO aV + 5ab'‘ + b^ 5a^b+ 1 0 a V - 1 0 a V + 5ab^- b ^ .... a - b = (a + b)(a - b) a^ - b^ = (a - b)(a^ + ab + b^) a^ + b^ = (a + b)(a^ - ab + b^) a " - b ’’= (a -b )(a ' " - '+ a " - 'b + ... + a b " " ‘ + b"), ... a" + b"= (a + b)(a""' a "-'b + ab" + b") với n lẻ. 5) Nhị thức Newlon (a + b f = = c ”a" +C |,a"-'b + ... + C;Ị-'ab"-‘ +c|;b". k=0 SỔ hạng tổng quái thứ k + 1 là: Tk+I ~ c* .ố*. Đặc biệt:(l +x)"= = C ^x'’ +C l.x + ... + C„".x". k=0 Bài toán 1.1: Thực hiện phép tính; 1 3 A = 81^’"' +í — T' ,125, ( \ \ ì ? -i‘ — ; B = 0,0013 -(-2)-^643 - 8 +(9“)' v32j Giải 3 ^ / ị Y V 3 r ^ i y V s A = 81'“''^ + ‘ ? - í M U25j l32j (3)-> + ÍO-1 rn - b r ì + / k5. v2.= ± , 5 - 8 = ± - 3 = - ỉ » 27 27 27 - ? -l' , s_i . / \l ! B = 0,001 ^ -(-2)-\64’ -8 ^ +(9“)'= (iQ-') 3 -2-'.(2' )3 - ( 2') 3 +1 = 1 0 - 2 '- 2 “'*+l = 7 - — = — . 16 16 Bài toán 1.2: Thực hiện phép tính: - 1 - A = 27-' + 25"’Y B = ( - 0 , 5 r -625“-"^- 2h— +19(-3) vl6; Giải l 4j - ( 1 A = 27-’ + — y\6) 25®'^ = (33 )ỉ + (2-'' ỵ ỉ - (5^ ỷ = 3^ + 2^ - 5 = 12. l 4j?-T'>^ 19 B = (-0 ,sr -625°-^' - + 19(-3)-^==((-2)"')''-(5^)^- ( . 0 2h— + - ^-27 2^-52 )19 8 19 - ^ = l l - - ^ - ^ = 10. 27 27 27 Bài toán í.3: Tính giá trị các biểu thức sau: E = (0,5' ^ ỵ ' ; F = 2--'’^.8'^. Giải E=(o,5'^ỵ* = 0,5^^ = 0,5'= í - ì = — ^ ’ U ; 16 p _ '2^2-3-s[5 ^-/s _>2^-343 2^''^ _2^-34^+343_2^ _^ • Bài toán 1,4: Tính giá trị các biểu thức sau: p _ -^\+i42 . ọ4ĩ . p _ Giải g _ 2>+2V2 . gự2 _ 2^+242 .t442 _ 2^+242-242 _ ^1 _ 2 p _ L 24I _ ^43- ^ 2-243 _ 24^2 2-2/3 _ 22/3-2 2-2/3 _ 2^/3 _ 1 l / • • 4 - Bài toán 1.5: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỳ thừa của một số với số mũ hữu tỉ: Ịb. [ã ỉ = ịlx^ự x (x > 0); J = 5 -3 1 “ (a > 0, b > 0). a V b Giải í n I = ịỊx^ịlx = x'x^ x ' V Giải Bài toán 1.7: Rút gọn các biểu thức: a)A =V3 + 2V2 + V 18- 8V2 . b)BVŨ^^óVÌ + V3 7 7 Ì + - V2 V2 + V3 +V14- 5V3 Giải a) Tacó 3 + 2>/2=(V2 + iỵ v à 18-8^/2 = ( 4 - V2)^ N ê n A = ^ (V 2 + l)' + V (4 -V 2 )- = V 2 + l + 4 - V 2 - 5 . b) Ta có; v r r ^ ^ = Ậ 3 - 4 2 Ý = 3 - V2 V3 + V5 + V 7 - 3V5 = ^ 1 ^ 6 + 2 7 5 + V l4 -6 V 5 j = ^ Ị ^ V 0 + V 5y-+A /(3-V 5)^)= ^ ( l + V 5 + 3 - V 5 ) = ^ = 2V2 Biểu thức trên từ của B là:3--v/2 +2y[2 - yíĩ =3 Và V2 + V3 + V 14- 5V3 = ^ Ị ^ V 4 + 2V3 +V 28- I 0V3 j = ^ [ V Õ ^ ^ + V ( 5 - V 3 y ) = ^ ( l + V 3 + 5 - V 3 ) = A = 3V^ Vậy B = 3yÍ2~ 2 Bài toán 1.8: Rút gọn các biểu thức: x - 1 4 + 2-v/x + l a) Q =X +1 -3-n/x +1 b) p _ 3/2 + V4^ | V ( 2 + x)^ - V(2 - x)^ 4 + yl4-: Giải a) Điều kiện .X +1 > 0,x + 1 5>í: 3Vx +1 «> x > - 1,X5ế8. x -1 4 + 2>/x + l ^ (Vx + l +1)^ - 4^ X +1 - 3-v/x +1 V:í + 1(-\/x + 1 -3 ) = 1 ^21: - --------^ = — 7= - ( do X ^ 8) ^Jx + ỉ{^fx + \ - 3 ) Vx + 1 Vậy Q = •\/x +1 + 5 V x + 1 với X>-I,x?t8. b) Điều kiện -2 < X < 2. Đặt a = V2 + X ; b = -v/2 - X (a, b > 0) a^ + b^ = 4; a^ - b^ = 2x p _ -\/2 + ab(a^ - b’ ) _ V2 + ab(a - b)(a^ + b^ + ab) 4 + ab 4 + ab = =>p V2 = V Ĩ 7 I à ( a . 4 + ab■b) ^ p V2 = V(a' + b ' + 2ab)(a - b) = (a + b)(a - b) => p ^/2 = a^ -b ^ = 2x. Vậy P = xV2 . Bài toán 1.9: Tính giá trị của các biểu thức V v x + 7y J V^y 2 2 2-\/x' -1 _ ĩ f Ịã^ fb ) _ J n 1 n b) Q = ----- ...........với X = — . — + .1— , trong đó a > 0, b > 0. x - V x ^ - 1 2(^ \ b \ a J Giải a) Điều kiện X > 0; y > 0. ^J^y v^y \r-- l + y[ĩs 7 —V 45 , . I— _ Ỉ4 9 -4 5 Với x = --- y— , y = ------ -— nên x - y = v45 và J x y = J ---------- = 1 2 2 ^ ^ \ 4 Do đó p = V45 = 3V5 . u\'T ' 2 [ã” fb^ b) Ta có X - 1 = — + J — -1 = 2----- 4 V b V a J 4ab 2|a - b| =>ọ = 2ựãb ^ 2|a - b | a + b a - b a + b - |a - b | 2^/ãb 2-\/ãb Nêu a > b Q = , 3 < ĩz í) = . a + b - (a - b) 2b b XT- - 2( a - b ) - 2( a - b ) b - a Nêu a < b => Q = — — L- =— — í =------ a + b + a - b 2a a 10 Bài toán 1.10: Cho hàm số f(x) = (x^ + 12x - 31) Tính f(a) tại a = ịỊlé -S y ls + ịỊ\6 + Sj5 . Giải Ta có; a = ự ló -S V s + ^|Ĩ6 + S^Ỉ5 2021 ^ a^ = 32 + 3 ự(16-8V5)(16+8V5).(ựl6-8V5 +Ự1 6 + 8 V5 ) a^ = 32 +3(-4)a = a^+ 12a-32 = 0 32- 12a a' + 12a-31 = 1 202t_|2021 _ ^ Vậy f(a) = (a^ + 12a-31) 1 Bài toán 1.11: Cho A và B =2x - 2 . Tìm tất cả các giá v4x^ +4x + 1 ' 2x + l trị nguyên của X sao cho c 2A + B là một sổ nguyên. Giải Điều kiện xác định: X ^ 1 (do X nguyên) 1 . . _ 2( x - l ) 1 x -1 Ta có A ^|2x + 1| ;B = , . Suy ra: c = — -Nếu X > 1. Khi đó: C = T ‘ l| 3 Ị2x + i| |x -1| 3 2x +1+ 13(2x + l) 3(2x + l) 3(2x + l) Suy ra 0 < c < 1: c không thể là số nguyên. , 1 - Nêu --- < X < 1 thì X = 0 (vì X nguyên) và c = 0. Vậy X = 0 là một giá trị cần tìm - Nếu X < - — thì X < -1 (do X nguyên). Ta có: C = T 3 V 2x + l 4(x +1) < 0 và c + 14(x + l)+ 12x - l 3(2x + l) 3(2x + l) 3(2x + l) >0 Suy ra -1 < c < 0 hay c = 0 và X = -1 Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: X = 0, X = -1. Bài toán 1.12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x V x -3 2 (V x -3 ) V x+ 3 X - 2-v/x - 3 Vx +1 3 - Vx 11 Giải Điều kiện xác định X > 0, X 9 x y jx -3 2(Vx - 3)(Vx - 3) (Vx + 3)(Vx +1) (V x + l)(V x -3 ) (Vx + l)(Vx - 3) (^/x - 3)(Vx +1) _ x V x - 3 - 2 x + 1 2 -\/^-1 8 - X -4-\/x - 3 (V ^ + l)( V í-3 ) _ x V x -3 x + s V x - 2 4 _ (yíx -3){x + S) _ x + 8 (4x + \)(yfx - 3) (Vx + l)(Vx - 3) V x+1 x - l+ 9 _ x - l 9 Vx+1 Vx+1 Vx+l ■ ■\fx-\-\—= — —-slx+l-ị— ỊZ=-------2 ^ 2 (■\/x+l). VX+1 vx+1 V Vx +1- 2 = 6 - 2 = 4. ' ' Ị— 9 Dâu băng xảy ra <=> v x +1 = —ị = — + 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4. (Vx +1)^ = 9 <=> Vx + 1 = 3<=> X = 4 Bài toán 1.13: Đcm giản biểu thức trong điều kiện xác định: Vã - Vb Vã + Vãb _ a - b a + b V ã-V b Vã + Vb ’ V ă-V b Vã + ‘Vb Giải M = N = V ã-V b Vã + Vãb V ã-V b Vã + Vb V V -V ồ VV+Vè ^ — ^ —"7= = Vã^ + Vãb + v ^ - ( - Vãb + v ^ ) = 2 Vãb . VV-Ựb VV + Vb Bài toán 1.14: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định: ỉ ' M = ^ ------ r . — F=--— .a^ + 1 ; N =a ’ -a " a -1 Vã + Vã Ị a ^ - a - , Vã +1 1 a'* +a^ a -1 Vã + Vã Ị -.a^ +1 3 I a'' +a^ Vã + 1 12 a ’ -a^ a^ +a Giải \ã (ịfã +V) {-sỊã+V) 1 7 1 5 I l i -1 N =a^ - a ’ a ■’ a^ _ a ^ ( l- a ') a ''( l - a ') (1 + a) - (1 - a) = 2a. I 1 1 i i ^ -1 1 a ^ -a ^ a-^+ a^ a ^ (l-a ) a ^(a + 1) Bài toán 1.15: Rút gọn các biểu thức: a)R^ b)S ịlax^ - ị l a \ 1 + V ãxì 17^ a '• — 1=— + r—.. J l + 2 J — +— vởia>0,x>0,a^x. ^Ja-^Jx vax J V Mx X a +Va^ - b ^ ịa -^ Ịa ^ -b .. 2 ^ u I------ --------± , —------------ , với a, b > 0, a > b. Giải . „ , Vax^ - ịja^x lW ã x _ -V ã x (V ã -V x ) 1 + Vãx 2í) T r co »== I f — /— Ị— ^ ^ , V ã -V x vãx V a -V x T^_ r. _ Vax’ - ịla^x 1+ Vãx^ [ [ã a~ Do đó R = V 1 + 2 J - + - ( J V Vx X ___r ị~ \ = ^ /a x l + J — = ^ /ã(V x + V ã). l v x j 1N _ a + Vã^^^ a - V V - b „ b) Đặt u = J --------- , V = J --------- (u > V > 0) thì = a; = — nên b = 4u^v^ nên 4 I I 7 2 _ Ịa + y/ã — b a — '\Ja — b Va + v b = v u + v + 2u v = u + v = J ----- —------ + -y------ --------- Tưomg tự: V a - Vb = Vu^ + -2 u v = u - V 13 _ ịa +Va^ ~ V 2 V 2 ■ Vậy s = ± = 7 ^ Bài toán 1.16: Chứng minh i toán 1.16: Chứng minh . A I T /7 .//ĩ T /T _ T u^ 3/n , /on . a) V4 + 2V3 - V 4 - 2 > ^ = 2 b) Ự Ĩ T ^ + Ựọ-= 3. Giải a ) Vì V4+ 2V3 -V 4 - 2V3 >0 nên V4 + 2V3 - ^ 4 - 2 7 3 = 2 <=> Ị^V4 + 2V 3-V 4-2V 3j = 4 » 4 + 2V3 + 4 - 2V3 - 2VI6 - I 2 = 4 : đúng. Cách khác: Ta có 4 ±2-73 = 2 Vs ± 1 = (-\^ ± 1)^ b) Đặt X = ỰỘTTÌo ± ^ 9 ^ 8 0 . Ta có; = 9 ± V ^ ± 9 - V 8 Õ 4 - 3 ^ 9 + 7 8 0 . ^ 9 - 7 8 0 ( ^ 9 + 7 8 0 + ^ 9 - 7 8 0 ) = 18 + 3 7 8 1 -8 0 x = 18 + 3x . Do đó có phưong trình; x^ - 3x - 18 = 0 <±> (x - 3)(x^ + 3x + 6) <=> X = 3: đpcm. Cách khác: 3±7 s 7213275= 9 1 4 7 5 = 9 ± T ^ nẻn V9 + 78O + VÕ W 80 : 3 + 75 3 - 7 5 ^ 2 ^ 2 Chú ý: Có thể dùng s = 3, p = 1 để tìm nghiệm của - 3X + 1 = 0. Bài toán 1.17: Không dùng máy, tính giá trị đúng: a) VlS + óT ó+ -7i 5 - 6 7 6 b) Ự7 + 5 7 2 - Ự 7 -5 7 2 . Giải a) Ta có (3 72 1 273 )^ = 18 + 12 1 1276 = 30 1 1276 nên a/i 5 + 676 +V i 5 - 6 7 6 = ^ 6 72 72 Cách khác: Đặt -7l5 + 6-76 + -\/l5 -6-76 = X, X > 0. Ta có x^ = 30 + 2 7 2 2 5 -2 1 6 = 36 nên chọn X = 6. b ) T acó:7 + 5 7 2 = l + 3 7 2 + 6 + 2 7 2 - ( l + 72)^ Tưong tự 7 - 5 -72 = (1 - 72 14 Do đó VtW 2 - V t^^^^ = 1 + V 2-(1-V 2) = 2V2 Cách khác: Đặt X = ựy + 5V2 - \ ị l - s 4 ĩ . Ta có: = 7+5 Vã - (7-5 V2 )-3( )X ) = 10V2+3(ự7 + sV 2-V7-5V2) = loV2+3x. Ta có phương trình: x^-3x- 10 V2 = 0 c^(x -2V 2)(xH 2 V 2 x + 5) = 0 cỉ>x = 2V2 . Bài toán 1.18: Cho X > 0, y > 0, hãy biểu thị X qua y biết rằng: 2 __Ị^ _3 y=x-\y=2x \ y = x ^-1. Giải - . - -- Ta có X > 0, y > 0 nên: y = x ^ ^ x = y ^ ; y = 2 x ' ’ =í>x= — \2 J -- -- _3 y = x ^- 1 => X 2 = y + l = > x = ( y + l)3 Bài toán 1.19: Trục căn thức ở mẫu: A= r- ; B = , . ^ + '^ 5 -^ 1 3 ^ 4 8 Giải 1 ^ ự3-V 2 ^ (ự3-V2)(3ự3+2ự9 + 4) V2 +V3 V9 - 2 1 Vì 5 - VĨ3 + V48 = 5 -Ự (t V 3 4 ^ = 4 -2 V 3 = (V 3 -1 )^ , 1 _ 1 ự(V3-lV _(V3+l).ự4-2V3 nênB ='■;......- - . = — =-^^— r=------ = ---------- ----------- . \/5 -V Ĩ^ V 4 8 ^ V 3 -l ^/3 -l 2 Bài toán 1.20: Cho X > 0, y > 0, z > 0. Chứng minh: + y^ = o (x^ + y^ - z^Ý + 27x^y^z^ = 0. Giải 222 f 2 2 \ Ta CÓ X > 0, y > 0, z > 0 nên; x^ + y^ = z^ <=> x ’ + y 4 2 2 4 <=> +3x^>^^ +3x^ 15 2 2 /- 2 2 \ 2 2 2 Cí> - 7? = -3x^y’ = -3x^y^z^ A ,2 .,2 . .2 _2x3 .2. 2 2 . <=> (x^ + y^ - z Ỵ = -27xVz^ <=í> (x^ + - z‘")'' + 27x^y^z^ = 0: đpcm. Bài toán 1.21: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: Nêu - + - + - = — — 1 1 1 t h ì---- 1------ 1---- — — 1 a b c a + b + c a" b" c" a"+b"+c'’ Giải .u;á. 1 .... 1 1 1 1 I ừ giả thiêt - + — + - = ----------suy ra —+—=------^------ -- a b c a + b + c a b a +b + c c ^ (a + b).(a + b + c)c == abc - ab(a + b + c) => (a + bXb + c)(c + a) = u cố 2 sở đổi nhau (a + b)(b + c)(c + a) = 0 có 2 số đối nhau Vi n lẻ nên — + — + — = -------ỉ-------: đpcm. --------: đpcm. a" b" c" a"+b"+c" a"+b"+c" Bài toán 1.22: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: i toán 1.22: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: 1 1 1 Nếu ax" = by" = cz", — + — + — - 1 thì: iJax"“' + by"-' +( X y z Giải Ta có -Jax-' ^ b y - ' + cc”-' = ,1 ^ 1 + + V X y z y = ^ax" = x"4ã (v ì — + — + — = 1, n lẻ) X y z Tương tự; ^ax"~' +ỗ>’”“' +cz"“' = y"4b = VT^1 1 1^ ^x y z^= ^ + Vb + Vc =i> đpcm. / ' _2 ( \ 1 0 I x y z ) vI3 Bài toán 1.23: Trong khai triền nhị thức: P(x) = X ^ + x^|x , x > 0. a) Tìm hệ số của x'^ b) Tìm số hạng không chứa X. Giải Số hạng tổng quát của P(x) = Ị^x ^ + xVx là; l3k-52 16 í _2\ X ^ V J c [x^fxJ =CỊ‘j.x a) Hê sổ của x ’^ ứng với ^ = 13 <=> k = 10 là: Tii. = CỊ“ = 286. 6 b) Số hạng không chứa X ứng với 13k - 52 = 0 <=> k = 4 là Ts - CỊ'3 = 715. ( I— r r Y ' Bài toán 1.24: Trong khai triển nhị thức chứa a và b có số mũ bằng nhau. Giải k=0 SỐ mũ của a và b bằng nhau <» 42 - 3k = 4k - 21 <=> 7k = 63 <=> k = 9. Vậy hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển là: 21! ư = ^21 91121293 930. 1 Bài toán 1.25: Tìm số hạng không chứa X trong khai triển -v/x + , p V 2 ịlx j biết rằng tổng các hệ số của khai triển (a + b)" bằng 4096, n G N . Giải Ta có; (a + b)"= ị ^ c y - ‘'b'‘ k=0 Do vậy tổng các hệ số khai triển của (a + b)" là c ”+ c f+ c ^ + ...+ q = (i+ ir= 2‘' Theo giả thiết, ta có: 2" = 4096 <=> n = 12. Với n = 12 ta có: X > 0 yfx 12 r I 2ị[x y V 24-3 k • V + 2 \x - ị c ỉ , k=ữ V 7 2“'.jf^ V 7 ẳ c í .2 k=0 -^X ^ SỐ hạng tổng quát của khai triển là: 24-3k CJ‘22-'‘x ^ (k € N v à k < 12) 17 Suy ra số hạng không chứa X lương ứng với số hạng có k thỏa mãn; 2 4 -3 k r o ..u ;. ---- T.: = 0 <=> k = 8 (Ihỏa mãn) Vậy số hạng không chứa X là: C*J.2 **. Bài toán 1.26: Một người gửi 15 triộu đồng vào ngân hàng theo thổ thức lãi kép ki hạn 1 năm với lãi suất 7.56% một năm. Giả sử lãi suất không thay dổi, hỏi số tiền người đó thu dược (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu dồng? Giăi Áp dụng công thức tính lãi kép: c A(1 ) r)^ nôn sau 5 năm người gửi thu được một sổ tiền cả vốn lẫn lãi là: c 15(1 ♦ 0.0756)^ » 21,59 (triệu dồng). BÀI TẬP Bài tập 1.1: Tính gọn: 2 :4 =+(3-=)'.(‘) a)S b)T 3 V 6 -V 2 _ ^ 5 ■\25- +(0,7)'’.( ') 2 ^ 2 - S IID-DS a) s - 11/3. b) T 4. Bài tập 1,2: Tính gọn: a) T = ('Jx - ‘ịjx + 1)( J x + ịfx + \)(x - V.V' + 1), X > 0 b) s 22/ 4 - ^ 5 + 721 + Vso V10- V 2 lỉD-DS a) Dùng hằng dẳng thức 'I' x^ t X (1 . b) V2I + Vso = Vl + 4^5 + aS)-' = 1 +2V5 , s - 1. Bài tập 1.3: 1'ính gọn; a) A = Ự20 + 14V2 + \/20 -1 4 V2 b) B=(Ự25 + 4a/6-Ựi+ 276)Ựi-2V6\ IID-DS a) A = 4 b) Dùng hàng đẳng thức, B 0. Bài tập 1.4: Chứng minh; 1 ^ 1 _ 1 ă’ ' c’ ” a + 6' + c ’ 18 Nêu ■■■ + — + --■ = - thì + a b c a+b+c a 1 1 1 1 Từ giả thiêt - + — + -==- HD-ĐS suy ra —+ —=1 1 1 1 a b c a + b+c a b a + b + c c Bài tập 1.5: Chứng minh: . HD-ĐS Bình phương tương đương. Bài tập 1.6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: c số của X* trong khai triển: P(x) -+Vx' vx, với X > 0. HD-ĐS c:n-c:,3=7(n+3)<=> n = 12. n+1 n+4 = 7(n + 3).TÌm hệ / ^ n 12 ^ 5(^k) J 2 60-1 ư P(x)= 4 + ^ ^ ^ / k=0 *=0 Hệ số củax* là c;^ 2' =7920. Bài tập 1.7: Tính hệ số của x^ trong khai triển (2 - l/3jcy biết rằng số tự nhiên n thỏa mãn hệ thức: o l , /^ 3 , /~|5 , , /-,2n+l _ y in n /: c l >+c ỉ „,,+ c l .,+ -+ c ỉ ::;=4096. HD-ĐS x2n + l 2 2 n ., ^ (Ị 1)2„., ^ ^ + C^„,,+ C L ,.+ ...+ c ỉ::; + ...-C 2n + l o‘“' =(1 -1)’"*'=c;.„ - C L ,+CL, - cỉ„ ,+. 2n + I Suy ra 2="*' = 2 (c i.„ + c ỉ .„ + ...+C Ỉ::l) nên n = 6. Do đó (2 - \ Ỉ 2x ý ^ ^ ^ C * 2‘'“* (-ự 3)*x* . k=0 Hệ số của x^ ứng với k = 9 là Cị2 2'^”^ (-V j - -47520 . I2 -Ự 5 Bài tâp 1.8: Cho X = . - — ^ . Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu \3 + ^/5 thức B = x^ - 6x^ + 12x^ - 4x^ - 13x + 2023. HD-ĐS 3 -V s _________ Ợ > - S f__ 3 -V s '3 + V5 " ị(3 -h j5 ){ 3 -^ ) 2B = 2018. 19 X _ -X X J_ Bài tâp 1.9: Cho sh(x) = ---------- ; ch(x) = ----------- với a > 0, a 1. Chứng minh: a) ch^(x) - sh^(x) = 1 2 b) ch^(x) - sh^(x) l 2 J 1 2 j HD-ĐS Dừig giả thiết và hằng đẳng thức. s BIẾN Đ Ổ I LÔGARIT Định nghĩa và tính chất - Lôgarit cơ số a: a = ỉogJb <=> = b (0 < a 1 và b > 0) - Lôgarit cơ sổ 10: ỉogiob = Igb hay logb - Lôgarit cơ sổ e: ỉogeb - Inb (e »2,7183) - Tính chất: logal = Ovà logaU^ = b với a > 0, a ỉ. aios-” =bvớia> 0,b> 0,a^l. Biển đổi lôgarií Trong điều kiện xác định thì: loga(b.c) = logab + log^ b loga- = logab - logaC, loga - = -/o g „ C c \ c ) logab" = alogab (với mọi à), lo^ *\/b = —logj h (n e N*) n Các loại cơ sổ Lôgarỉt cơ số 10: logìob = Igb hay logb Lôgarỉt cơ số e: logeh = Inb (e ^2,7183) Đỗi cơ số Trong điều kiện xác định: logbX = ^ hay ỉogab. logbX = logaX log3 b logba = — hay logab.logba = ỉ; log „ b = —logab logg b “ a 20 Quan hệ so sánh Với a > 0, a 9^ I, b > 0, c > 0: Nếu a > 1 thì: logab > logaC <=>h> c. Nếu 0 < a < I thì: logab > logaC <=>b < c. Nếu a > 1 thì: logab > 0 <=>b > 1. Nếu 0 < a < 1 thì: logab > 0 <:>b < I. logab = logaC c^b=c. Bài toán 2.1: Tính; A=log^l25; B=log 05ị ; 5 ^ C=log Giải ^64 D = log I 36 . A = log, 125 = log 5 .5.= -3; 1 B = logo,5 Ỷ = logo 5 0,5 = 1 64 <4>= 3; D = log, 36 = log| r n-2 C=log, - ^ = log ẽvoy Bài toán 2,2: Tính: ^ ^ 3 l o g , 1 8 . 351og,2 = - 2 . / ' I '^'ogo.s^ A = = ; Q = 35iogj2 _ 3iog,2’ _ 2^ _ 32 \log2 5 c = Giải <8^ D v32y / , \ ‘Og23 ^ , 125 / 1 \log„ 5 2 f Y°®i^ Ị D = — = - = 2 ' = 3 2 . [32) J .32j lV2y Bài toán 2.3: Tính; a) M =loggl2- Iog8l5+log820 b) N = —log736 - log7l4 - 3 1 o g 7 l/^ . Giải a) M =log8l2 - loggl5 + log820 = l o g / 1^.20 = logg4^ == log , 2'’ = V15 ; 3 1 __ _ í 6 b) N = —log736 - log7l4 - 31og7v21 = log? — =log7"^=-2. 2 U42Ụ 21 Bài toán 2.4: Tính: log5 3 6 -lo g 5 l2 a)M l o g s 9 Giải j^^_log5 3 6 -lo g 5 l2 _ log; 3 _ 1 logịP 21og5 3 2 b)N= 36'“®''" +10'''°^^-8Iog2 3 = +io'»8io5 _2>og2 3’ = 52 + 5 _ 33 3 Bài toán 2,5: Tính gọn: a) M=log^ b) N = logslogs , n dấu căn. Giải ĩ ĩ I 5 1 4 1 4 1 1 7 3 í 2 ĩ r ~ 5 / 4 A 1 ,a\Ma.Ma "V s i M T>> 4' A/r_i a .Va.Vữ 173 a) Ta có - a ^ ^ ^ = a . Do đó: M = log„ ------ ^ ----- = —— t ^ J ^ b) Vì có n dấu căn nên 1 Ì ĩỊ j B =5^’^ . Do đó: N = log, log, = -n . Bài toán 2.6: Tính gọn: a) M =log72 - 2 ỉ o g - ^ + log VĨÕ8 b) N = log - - log 0,375 + 2 log -70,5625 256 8 Giải a) M =log72-2 l o g - ^ + logVĨÕS = log(2^3^) - log-,-+ logV ỹ^ 256 , 0 2 2 '.3 l^ .2 .3 2 = logf 5 \ 1 6 3 ^ = log 36 2^".32 V = 201og2 - —log3 b) N = log- - log0,375+2logV0,5625 = log2‘^ - log(0,5^3) + 2ĩog7o,5\3' 0 = log2'^ - log2"^ - log3 + 21og2'^ + 21og3 = log2’'^ + log3 = log — . 16 Bài toán 2.7: Rút gọn các biểu thức: A = logsó. logg9. log62; B = log32. log43. logóS. log76. logg7. Giải 1 Ị 2 A = log36.1og62.logg9 = log32. - lo g 29 = - lo g 39 = - B = log32.1og43. log54. logóS. logvó. logg7 22 log2 log3 log4 log5 logổ log7 ^ l o g 2 1. 1 log3 log4 log5 log6 log7 logS log8 3 3 Bài toán 2.8: Rút gọn các biểu thức: A = logab^ + log , b'*; Q _ _ Ị^i/loBba Giải Ta có: A = logab^ + log 2 b'* = logab^ + - logab'^ = logab^ + logab“ == 21ogab^. " 2 Đặt X = ^logg b =í> logab = => b = a’"’ Mặt khác logba = - ^ => Jlogị, a = —. X X X 2 1 Do đ ó : B = a ^ - b ^ = a " - a ’‘ = 0 . Bài toán 2.9: Tính logaX, b iết logab = 3, logaC = -2 với: „43) a'ựb a)x=a^b^Vc b)x^c Giải a) logaX = loga( a^b^ Vc ) = 3 + 21ogab + — logaC = 3 + 2.3 + — (-2) = 8 b ) logaX = loga^^ựb^ V y = 4 + - logab - 31ogaC = 4 + - .3 - 3(-2) =11. Bài toán 2.10: Tìm cơ sổ X biết rằng: a) logx ^ b) logxVs =-4. Giải Điều kiện cơ số X > 0 và X 1. a) logx- = -1 o x‘‘ = - = 7 ‘ <=> X = 7. 1 I 8 b) logx^f5 = -4 o x'^ = ^f5 <=> X = Ụ sỴ ‘' = 5 Bài W 1 ■ • ' I 'ĩ V t o á n 2.11: Tìm X biêt: a) logsx = 21og5a - 31og5b a) Điều kiện X > 0. 2 1 b) log^x = ^log_^a + ^log_^b. 3 - 5 2 2 2 Giái 23 2 2 logsx = logsa^ - logsb^ = logị -^ => X b b b) Điều kiện X > 0. 2 j_ log^ X = log^ + log^ b^ = log 2 2 7 Bài toán 2.12; i' 2 ì ^ a-\b5 V 2 1 X = a ^ b ^ . a) Tính log2sl5 theo a = logisS. b) Tính Iog4l250 theo b = log25. Giải a) log25l5= — ỉ— = — ỉ— = —------ ỉ----------- = — 10^5 25 21o g 5 5 2(log5l5-log5 3) 2(1-a ) b) Iog4l250 = - log2(5^2) = 21og25 + - = 2b + - . Bài toán 2.Ỉ3: a) Tính lo g ^ 50 theo logais = a, logalO = b. b) Tính ln6,25 theo c = ln2, d = ln5. Giải a) lo g ^ 50 = log , 50 = 21og350 = 21og3l0 + 2Iog35 32 = 21og3l 0 + 21og3^ = 21og3l 0 + 2(log3l5 - 1) 3 = 2b + 2(a- l) = 2a + 2b-2. b) ln6,25 = ln(5l0,5^) - 21n5 + 21n0,5 = 21n5 - 21n2 = 2d - 2c. Bài toán 2.14: a) Cho logôis = X, logi2l 8 = y, tính log2524 theo X, y. b) Cho a = iog23, b = log35, c = log72, tính Iogi4o63 theo a, b, c. Giải , log2 3.5 log2 3 + log2 5 . log2 2.3^ l + 21og2 3 a) Ta có X = ■ -■ = ——— ^ v à y = —;— = ------ log2 2.3 l + log2 3 log2 2^3 2 + log2 3 o 1 I _ 2 y - 1 , x + l - 2 y + xy Suy ra log23 = -----; log25 = 2 - y 2 - y 5 -y Do đó log2524 = —— --------. ^ log2 2l3 log2 5^ 2(x + l- 2 y + xy) b) Iogi4o63 = log,40(3\7) = 2 log,40 3 + log,40 7 24 2 1 2 1 log, 140 ^ log, 140 ” Iog3(2l5.7) ^ log,(2'.5.7) 2 1 — ------------------------------------------------- -ị-------------------------------- -------- 2 log, 2 + log3 5 + log, 7 2 log, 2 + log, 5 +1 Ta có log32 = ^ = - , logyS = log72.1og23.1og35 = cab; log2 3 a log7 3 log72.1og2 3 ca 2 1 2ac + l £ ^ ^ 2c + cab +1 abc + 2c +1 a ca Bài toán 2.15: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh; a) = b'”®'” b) = 1 + log b . logab X Giải a ) a'°®‘*^ _ ^■0Bba‘°®''’ _ Ị^loBcb.log„a _ ^log,a b) = log^ ab = log, a + log^ b = 1 + log^ b logab X log^ ab Bài toán 2.16: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: 1 1 1 1 n(n + l) - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - h . . . H - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - - - - - - - - . logab log^^b log^, b log^„ b 21og3b Giải T, . 1 1 1 1 loga b log^, b log^, b log^„ b _ 1 2 3 n - - - - - - - - - - - - - - - ỉ- - - - - - - - - - - - - - - - - ỉ- - - - - - - - - - - - - - - - - h . . . H - - - - - - - - - - - - - - - loga b loga b log, b log^ b =(i+2+3+.. + n ) . ^ = : : < : it ll, log3b 21og3b Bài toán 2.17: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a^ + b^ = 7ab thì log, ^ ^ ^ = — (log7a + log7b) b) Nếu logi2l 8 = a, log2454 = b, thì ab + 5(a - b) = 1. 25 a) = 7ab => (a + b)^ = 9ab Giải a + b : Văb => đpcm. UN _1 ,o_log 22-3^' l + 21og2 3 _ , , 2a-l b)a = logi2l 8 = Z ^ = ^ r \ = Iog2 2.3 2 + log2 3 2 - a 2 - a b = I0fc,54 - 1 2 8 1 ^ = l l Ị l ĩ i l l ^ log, 3 = log2 24 3 + log2 3 3 b -l 3 - b Do đó — — - = — - => 6a- 2ab - 3 + b = 6b - 3ab - 2 + a => ab + 5(a - b) = 1. '2-a 3 - b Bài toán 2.18: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a^ + c^ = b^ thì logb+ca + logb-ca = 21ogb+ca.logb-ca. b) Nếu a, b, c lâp cấp số nhân thì ^°gad-logt,d ^ l o ^ loghd-log^d log^d Giải a) Theo giả thiết: a^ + c^ = b^ nên a“ = (b - c)(b + c). Xét a = 1; đúng. Xét a 1 thì loga(b-c) + loga(b+c) = 2 => — ?---- 1---- ỉ— - 2 loa^a log,^a nên logb+ca + logb-ea = 21ogb+ca.logb-ca 1 1 h b) Ta có logad - logbd = — -----------— = ----------—- logd a logd b (logd a)(logj b) 1 (ĩ.) 1 1 ^^^4 Tưorng tự: logbd - logcd = — ------------— = ------------------- logd b logd c (logj b)(logj c) b a \b J dogdí-ì c b , Vì a, b, c lâp thành cấp số nhân nên - = — => logj Do đó ^»gad-logbd ^ logdC ^ ^ogạd logbd-log^d log^a log,^d' r m Bài toán 2.19: Trong khai triển nhị thức bằng 200. Tìm X? 26 , biết số hạng thứ tư Giải ĐK; X > 0, X — . Ta có: 10 í 1— r ^ 1 1 \ =2(lgxH) — X +x*2 VJlí=0 6-k Jí^ k.^,2(lgx + l) 12 ;x .X' số hạng thứ 4 ứng với k = 3, theo giả thiết bằng 200 nên: 3 \_ 7+lgx . (.3 2(igx+i)"ĩ = 200 = 10 <» — tlU L ig x = 1 41gx + 4 <»lg^x + 31gx-4 = 0 '» 'lgx = l<=>x-10 _lg X = -4 Vậy giá trị cần tìm là X = 10, X = 10“^. x = 10^ (Chọn). Bài toán 2.20: Tìm các giá trị X sao cho số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức Niu-tom c _Ị/, , -^logx Vbằng 28. Giải Điều kiện X > 0. Số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức Niu-ton trên là: c ỉỊ s '- ’ -')I' J-h ' V Theo giả thiết ta có; 23 38iog^x2-^(‘‘>8’‘’+') ^28 23 321og^x^-2(log.v’ fl) _ 23 ^ 321og^t--2(log.v’+l) _ Ị Cí> 21og\^ - 2(logx^ + 1) = 0 <=> 41og^x - 31ogx -1=0 <=> logx = 1 logx = - ỹ 4 x = 10 1 X =Vĩõ Vậy X cần tìm là X = 10 hoặc X ^Vĩõ ' Bài toán 2.21: Cho khai triển Niu-torn 2'”®- '^ ^ ^ -t-2 ^ . Hãy tìm các V / giá trị của X, biết rằng số hạng thứ 6 từ trái sang phải trong khai triển này là 224. 27 Giải Ta có: (a + b)** . k=0 Với a = = (9"-‘ + ? ) ỉ; h = = (3^-' + i)'ĩ Theo thứ tự trong khai triển trên, số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của khai triên là: Tó = ị^(9"“' + v)ỉ j . Ị^(3"-‘ + l)' ỉ j = 50(9"-' + 7)(3"-' + 1)“' Theo giả thiết ta có: 56(9"-‘ + 7)(3’‘-‘ +\Ỵ =224 ^ = 4 9’"' + 7 = 4(3’‘‘‘ + 1) 3’‘“‘ +1 3’'-' =1 « (3’'" 7 -4 (3 " ')+ 3 = 0 « 3*‘‘ =3<=>X = 1 x = 2 Vậy X = 1 hoặc X = 2 là giá trị cần tìm. Bài toán 2.22: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hói sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng cả vốn lẫn lãi từ số vốn ban đầu? Giải Số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sẽ có sau n quý là: s = 15(1 + 0,0165)" = 15.1,0165" (triệu đồng). nên logS = logl5 + nlogl,0165 => n - ^ logl,0165 Đe có được số tiền 20 triệu đồng thì phải sau một thời gian là: n = « 1 g (quý) = 4 năm 6 tháng. logl,0165 Bài toán 2.23: Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được ước tính theo công thức tăng trưỏng mũ. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người? Giăi Theo bài ra, ta có: s = Ae^^ ^ 100 = 78,6858.e°’‘” ^ , do đó: InlOO = ln(78,6858.e" "‘’'' )=> N = '78.6858 ^ Vậy đến năm 2015 dân số nước ta sẽ ở mức 100 triệu người. 28 Bài toán 2.24: số -1 khi viết trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số? Giải Lấy giá trị gần đúng của log2 là 0,3010 thì được: [2012 log2] + 1 = [2012Ĩo,3010] + 1 = [605,692] + 1 = 606 Vậy số 2^®'^ có 606 chữ số. Và [1398269.1og2] + 1 = [420920, 911] + 1 = 420921 Vậy số - 1 có 420921 chữ số. BÀI TẬP Bài tập 2.1: Tìm cơ sổ X, biết: a) log^ 243 = 5 a) X = 3 Bài tập 2.2: Tính gọn; a) ^ = log3 6.1ogj,9.1og6 2 b) lo g ,']/3 = -0 ,l HD-ĐS b) X = 1/3. b) B = yj\ogị ^ 4 HD-ĐS a) A = 2/3 b) B =2. Bài tập 2.3: Tính gọn; a) M = 36'“®‘' + 10'-'®' b) V = logj 2.1og43.1og5 4.1og6 s.log, ó.logg 7 ỈỈD-DS a) M = 30 Bài tập 2.4: Tính: a) A = lo g „(ữ '\ự ã) b)N= 1/3. b) B = log„ HD-ĐS 2 5 / ^ .í / ^ a Sja .\a .4ã a) A = 16 16 5 15 Bài tập 2.5: Tính log2524 theo a = log6i5 và b = logi2l 8, HD-ĐS , . . _ 5 - ỏ log2s24 = ------ --— -------- l{a + \lab-2b) Bài tập 2.6: Tính loga2 theo X = logaS; y = lo g a 6 0 và z = lo g a l0 8 . 29 lĩD-ĐS loga2 = ị (3y - 3x - z). 4 Bài tập 2.7: Chúng minh nếu log ^ ố,log. c tạo thành một cấp số cộng theo 2 lo 2 X lo 2 z thứ tư đó thì; logj y = -------—-----— (0 < x,y,z,a ,b ,c ^ 1) log^x + log^. z HD-ĐS log^ ứ,log ^^^ c tạo thành một cấp sổ cộng theo thứ tự đó thì: log^a + log^c = 2 log^ ồ. g 3 ______________ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỔ LUỸ THỪA Hàm số luỹ thừa Hàm số y = x“ với a thuộc R. Liên tục trên tập xác định của nó. Đạo hàm (x“) ' = ax"'‘, (u“)' = ccu"'‘u': ( ^ ) — }== (x > 0), {^ỉũ) = — ^ = , với u = u(x) > 0. nVx"-' nVu"“' ỉỉàm sổ y = x^ đồng biến trên (0; +co) khi a > 0; nghịch hiển trên (0; +oc) khi a< 0. Chú ý: Tập xác định: y=x(neN):D=R y = x ' " ( m e Z \ N *): D = R\{0} y = x ‘^ ( a e R \ Z): D = (0; +oo). Hàm số mũ Hàm sổ y = a''với cơ số a > 0, a ^ I. Liên tục trên tập xác định R, nhận mọi giá trị thuộc (0; +oo). f + 00 khi a > 1 í 0 khi a > 1 lim a =-^ ; l i m a ’‘ =< x->+co Ị^o khi 0 < a < 1 [ + 00 khi 0 < a < 1 Đạo hàm: (cT)' = à^ỉna; (e^)' = e^; (cTy = a'^u'ìna; {e“)' = e"u' với u = u(x). Đồng biến trên R nếu a> I, nghịch biến trên R nếu 0 < a < ỉ. Đồ thị luôn cắt trục tung tại điểm (0; 1), nằm ở phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 30 Đồ thị và quan hệ đối xứng Các dạng vô định liml 1 + -x )-■e\ lim-------= 1 ;ic Chú ỷ: quan hệ so sánh Nếu a> I thì: a'^ > a> Ịì Nếu 0 < a < ỉ thì: a“ > <=>a < Nếu 0 < a < b thì: a° < b" 0,; a“ > b" <=> a < 0. Bài toán 3.1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = (x^ - 4x + 3)'^ b) y = (x'-4x + 3 ) ^ , Giải a) Hàm số xác định khi: x^ - 4x + 3 0 <=> X 9^1 và X ÍẾ 3. Vậy D = R \ {1; 3}. b) Hàm số xác định khi: x^-4x + 3>0<=>x 3. Vậy D = (-00; 1) u (3;+00) Bài toán 3.2: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = (x^ - 3x^ + 2x) ^ b) y = ^x^ -3x^ +2x . Giải a) Hàm số xác định khi: x^ - 3x^ + 2x > 0 <=> x(x“ -3 x + 2)>0<=i>0 2. Vậy D = (0; 1) u (2 ;+oo) b) Hàm số căn bậc 3 xác định với mọi X nên D = R. Bài toán 3.3: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)y = 5-3^-1b ) y = V4" +2" -1 2 31 a) ĐK: 5-3^^ 3* -1 Giải > 0 » (5 - 3’‘)(3’‘ - 1) > 0, 3" - 1 0 < = > 1 < 3 ’^ < 5 » 0 < X < logsS. VậyD = (0; logsS] b) ĐK: 4’‘ + 2" - 12 > 0 « 2" < -4 hoặc 2^ > 3. <=> 2’^ > 3 <=> X = log23. Vậy D = [log23; +oo) Bài toán 3.4: Chứng minh các giới hạn: a) ----ỉ- = lna x-^o X b) lim 1 + - V x ;= e“ Giải lllí/ '’ _ỵ a) lim ^---- ^==lim^---- .t->0 ỵ ỵ b) lim 1 + - e''"" -1 = lim----------.Ina = Ina xlna V x ;limX V a J Bài toán 3.5: Tìm các giới hạn sau: „ 2 „ 3 x +2 e - e = . x->0 X b) lim^----- ^ a) lim x->0 X Giải ^ 3 x \ 3x x->0 X“ >0 = -3e^lim - 3x = -3e" - e '" b) lim----------- = lim x->0 X x->0 ^ e '’‘ - l e' ’‘ - 0 V X X ^ 2 - 5 = -3 Bài toán 3.6: Tìm các giới hạn sau: , 2 * + 5 ’‘ - 2 a) lim------ :------ xAo 3* + 5 ’‘ _ 2 2^-\ s * - ! , ^ sin4x b) lim , _ “ - T 0 e 3 .v _ 7 X Giải , 2’‘ + 5’‘ - 2 x ' ^ “ x " In2 + ln5 InlO ' x“Ì ,3'‘ + 5’‘ _ 2 x-^3’‘ - l 5’‘ - l In3 + ln5 lnl5 ...- - + “------ X X 32 ^ sin4x b) lim4 ^ - l i m ^ — ’ 7-Vo _ yAr 0e - ĩ 7"" - l ln 7 ' ( 1 ^Xrx + 3 Ỵ lim 1 + b) lim X—>+-00l x - 3 ; X->+ooU + I J Giải: X í 1 Y l í 1 a) lim 1+—— = lim 1+ ——- x->h4^ x -3 y X - 3J x-3 = =e x+l 2x^ ÍX+3Ỵ í 2 Ỵ ,. b) lim — - = lim 1+ —— = lim ’‘- ^ l ^ X + ly x-h«Ị^ X + Ự ii toán 3.8: Tìm các giới hạn sau: x+1 1h--- —Ỵ x +1 V , Vl + 2x - V Ĩ + x ,..„ V Ĩ + õ x - l a) lim---------^------------ b) lim------ -------. >^^0 tan X X Giải: . . . U\ + 2x-ị J\ + x Vl + 2x - l V ĨT x -l^ sinx _ 2 1. 1 _ 5 a) lim-------- =-----------= lim -------- ^----------- —— : ——— = (--------): 1 = — • >‘->0 tanx X ^ J xcosx 3 4 12 , ^ V ĩ+ ã x -l 1+ax+l a b) lim-------^-----= lim-----, ■ ■— - . — = —. x_^ X ’‘^x (y (l+ ax )"-‘ +V(l+ax)"“^+...+l) n , , , yĩ+ax-l a X n ; giới hạn sau: Tìm các - x + 1 - e Xự3x + 8-2.É b) lini---------------- 3x 5x Giải - X +1 — c ,. y x + X +1 —1" 1 + 1- e " ------:------ = Ịĩm-------------------- x-> 0 3x -x + 1-1 x^+ x + 1-1 ^ lim------. — ’‘^ 3 x (V x '+ x + l +•1) Ị_ x(x + l) x + 1 1 , = Um------. :-----= lim , — - = — và Um — ’ 3 3x(Vx^ + X+1 +1) ’‘-‘“ 3 (V x -+ x + l+ l) 6 -->0 3x + X + 1 - l + 1- e ' _ 1 1 _ 1 Vậy lim3x 6 ~ 3 ~ ~ 6 ■ ịlĩx + S-2.e^ ự3x + 8 - 2 + 2 - 2 .e ' h 8 - 2 .e " _ ,, V3x + 8 - 2 + 2 - 2 .e ' b) lim-------------------= lim---------------------------- 5x 5x X—>0 5 x ^ 8 - 2 _______ 3X + 8 -8 ________ „ , V3X + 8 - 2 Ta có: - 5x ~ 5x[(Vx + 8)^ + 2.V jrr8 + 4 3 (ựx + 8V +2V >r+8+4 nên lim ự3x + 8 - 2 xTo 5x = 3 _ 1 5(4 + 4 + 4) “ 20 ■ , , , , , _ 2 - 2.e^_ 2 ,,_ ^ e ^ - l_ 2 m----3::— = - —lim------— = - —. 3Õ 5x 5 X 5 Và lini---------- = - —lim-------- •'^^0 5x , V3x + 8 -2 .e " _ 1 2 - 7 Vậy lim“3,0 5x 20 5 20 ^3>o 5x 20 5 20 Bài toán 3.10: Tìm các giới hạn sau: , l + ự 2x - l -3"' ‘ - ự x UN 1-™ ■ a) lim----------------------------- b) lim---------r------- \ l X — 2 + x^ — X + ể b) lim ---------^------------------- X - 4x + 3 33>' Vx -1 X - 4x Giải 1 + ự 2 x - l - 3"-‘ - V 2x-1 - ự ĩ +1 - 3"-' lim------------;=-------------- = lini------------ ----------------- a) lim----------- ;=— “->1 yỊx -1 7->i -v/x-1 V x -1 , V2x -1 - ự x ( x - l) ( V x + 1) ^ ^ ^ 2x - l - ự x Ta có lim------J=^-------- = bm V x -1 ( x - 1) ^ ( 2x - 1)' + ^ 2x -1 .V ĩ = lim X->1Vx +1 _ 2 ịl{2x-\f +V2X - 1. V x+ V )? ~ 3 ■Ị _-\r-l Và limX->1 —Ị= — = - li m lim^------- -----—.(Vx +1) = - 2.1n3 V x -1 x -1 X.. . ,,.„ l + V 2 x - l- 3 ^ - '- - V ^ _ 2 Vậy lim------------ ^ -------------- = --2 .1 n 3 . ^ ' V ^ -1 3 34 ,. yJx — 2 + X^ - x + e"' ‘ ị l x - 2 + x^ - x + l + e’' ‘ -1 b) lim --------------------------- = lim- X^l x " - 4 x + 3 x-»l x ^ -4 x + 3 „ , , ^x-2 + x^ - X + 1 ịjx-2 + 1 + x^ - X Ta có; f(x) = --------— :----------- = ------;— ---------- x ^ -4 x + 3 x '- 4 x + 3 ị f x ^ + \ x ' - x -----?------------ --------------- X - 4 x + 3 X - 4 x + 3 x -1 ( x - l) ( x - 3 ) ị l { x - 2 f - ự x ^ + l x ( x - l) ( x - l) ( x - 3 ) _____________Ị_____________ ( x - 3 ) ị l { x - 2 ỹ - ự ^ + ì + -x - 3 ,x - l . Ị - lim- ^ ^ 1 1 2 , e 1 Do đó lim f (x) = ^ —h — - — và lim — -6 -2 3 >^^'x"-4x + 3 ( x - l) ( x - 3 ) 2 V ^ ^ + x ^ - x + e’‘- '_ -2 l _ - 7 Vậy lim-------- ;------------------= ---------= — . x“i x ^ -4 x + 3 3 2 6 Bài toán 3.11: Tìm các giới hạn sau: Vl + tan X - -\/l + sin X a) lim x ->0ln(8x + l) , ^ - ^ 2 x + \ -l-sinx b) lim---- ------ ------------ 7-»õ 7 3 x - i- 4 - 2 - x Giải , Vl + tanx -V l-t-sinx , -v/l + tanx -V l + sinx ln(8x + l) a) lim-------------- --------------Tn(8x-l-l) = lim- ;c'* ^ ^ 7-TÔ X Tacó lim i5 2 i ± l) = 8 ^-^0 X Vl + tanx -V l + sinx _ Và lim---------------;------------- = limtan x -sin x x->0 ’‘->®x^(VĨTtãnx -t V ĩ+sm x) lim (l-cosx)sinx x^(Vl + tanx -i--v/l + sinx)cosx = lim - X -To 2 sin —2 X V 2 J ^sinx^ V X j __________ _ í ____________ ^ J_ (V ĩ+ ta n x -t Vl + sinx)cosx 4 35 Vậy li + 1 x->0 ,. 5"' - y Ị l x + l + sinx ,. 5"" -1 +1 - V2x +1 + sinX b) lim----. —:-------- = lim---------r - ..................... 7-io ^j3x + A - 2 - x ^J3x + 4 - 2 - x 5" -1 Ta có lim _ , I _ 5 '- 1 ^J3x + 4 - 2 - x = lim------- • ^ ® V3jT+4 - 2 - X x -\ x -1 Iini— ■— : --7 ------------— = ln5.—- = —-ln 5 . = lim x - 1 V3X + 4 + 2 + X 4 4 Và, 1- V 2x + 1 +sinx yl3x + 4 - 2 - x _ í -2 sinx y 1 + '\l2x +1 X 1-V2X + 1 , sinx ------- ^ ^ - 1- x V3x + 4 +2 + X V3x + 4 - 2 - x ^ . 1 - V2x + Ĩ + sinX Do đó lini—7- — ^------- V3x + 4 - 2 - x ^ -2+ 1-1= 0 . S’' - V2x + ĩ + sinx 1 , ^ « 1 , ^ Vậy lim — . ------------= - - .InS + 0 = - - .InS. V3X + 4 - 2 - X 4 4 Bài toán 3.12: Tìm đạo hàm của hàm số sau: 2x a)y = (x - l).e a) Tập xác định D = R. b )y = x 'V e '" + l. Giải y' = + (x - = (2x - l)e^’‘ b) Tập xác định D = R. y '= 2x V ? ^ . 4 ặ l = ỉ t o £ ± 2]. Ve'’‘+1 Ve^^^+l Bài toán 3.13: Tìm đạo hàm của hàm số sau: 2’‘ - 2-’‘ a)y2" +2~^h)y = x^-5^ + x^. Giải a) Tập xác định D = R. , ^ (2^^ ln2+ 2'^ ln2j(2^ + 2~^)-(2'‘ - 2-^)(2^ ^ 2- 2-^^ ln2) ^ (2’‘+ 2 ') ' 36 (2^^ + 2-’^)^ b) Tập xác định D = (0;+oo). Ta có y = - S’^ + x’‘ = x^ ìn^2- 41n'2 (2* + 2“’“)' 5’‘ + e’“'”‘ nên y’ = Sx'' - S^^lnS + e"'""(lnx + 1) = 5x'’ - 5"ln5 + x"(lnx + 1). Bài toán 3.14: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x^ b) y = cosx.e^“"”‘ Giải a) Tập xác định D = (0;+oo). Ta có y = x’‘ = nên y' = e’‘'"^(lnx +1). Cách khác: lấy In 2 vế Iny = x.lnx rồi mới tính đạo hàm. b) y' = - sinx.e^“"’‘ + -.e2 tan X .2 tan X cosx- sinx \^cosx y Bài toán 3.15: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (2x + 1)" - tane’^ b) y = Giải a) y' = 2tĩ(2x + l)"'' - (1 + tan^e’‘)e’‘ 5x . b )y '= jx^-5x)' _ 3x^-5 sự (x’ - 5 x ) ‘ ~ 5^(x’ - 5 x ) ‘ ' Bài toán 3.16: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a)y = V/1 + x^ 1- x ' b)y = Giải ííỴ vx; với a > 0, b > 0 a) Đặt u l ± i L l- x ^ thì y' 3 ự 7 và u' = - -6x '3x2 (1- x O nên y b ) y' = 3u X 2x ' . 1 + x ' 1- x ' V l - x ' '^aV+X v b j vby b U vx>+vb.a a[ X vxy V X ; X Ĩ J ' ' ' a - b a vxy X 37 Bài toán 3.17: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số: a)y = 3^ b) y = 5*^". Giải a) Ta chứng minh quy nạp: y^"^ = (ln3)'’.3’^ Khi n = 1 thì y’ = (in3).3 . Giả sử công thức đúng khi n = k: y*'^^ = (ln3)'‘.3'‘ Ta chứng minh công thức đúng khi n = k +1: ^ Thật vậy: = (ln 3 f = (ln3)‘'^'.3": đpcm. Vậy = (ln3)".3". b) y’ = (kln5).5'‘^ y" = (kln5)^.5'“ Ta chứng minh quy nạp; y^"* = (klnS)". 5^^ Bài toán 3.18: Chứng minh: a) Nếu y = + 2ẽ^ thì: y"' - 13y' - 12y = 0. b) Nếu y = thì y^^^ + 4y = 0. e’‘ Giải a) Tập xác định D = R. (In3f^'.3’‘ y' = - 2e■^ y" = lóe'*’^ + 2e■^ y'" = 64e^’‘ - 2e'’‘ nên: y'" - 13y' - 12y = (64e'^’‘ - 2e”‘) - 13(4e^’‘ - 2e'") - 12(e''’‘ + 26”^) = 0. b) Ta có y = cosx e’’‘.cosx => y' = e’’‘(-sinx - cosx) y" = e'’‘.(2sinx), y'" = 2e'’‘(cosx - sinx), y*'*- = -4e'’‘.cosx Do đó y^"^^ = -4y => y^*^^ + 4y = 0. Bài toán 3,19: Cho hàm số f(x) =4’' +2. Tính tổng: v n ;+ ... + Ĩ• n s = f + f Để ý nếu a + b = 1 thì: V n ; Giải f(a) + f(b) =4^+ 2 4'^+2 4‘‘(4^ + 2) + 4'^(4‘’ +2) (4^+2)(4'’ +2) 1 a + b ^ 2,4« + + 2.4” 2,4“ + 2.4” +8 1 a + b + 2.4” +2.4'’ + 4= 1 2.4^ +2.4'’ +8 Ta có: s = f + f + ... + f ^ n - 0 v n ; V n 7 38 hay s = f ^ n - 0 V n ;+ f n - 2 V n ; í-ì + ... + f Áp dụng thì 2S = n - 1 => s = n -1 Bài toán 3.20: Tìm khoảng đon điệu và cực trị hàm số: e" a)y a) Tập xác định D = R \ {0}, y' = — —- , y = 0 <=> X = 1. b) y = x^.e"’'. Giải BBT X -00 0 1 +00 y’ - 0 + y -00 e Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-QO; 0) và (0; 1) đồng biến trên khoảng (1; +Q0 ) , đạt CT(1; e) b) Tập xác định D = R, y' = (2x - x^)e’’‘, y' = 0 <»■ X = 0 hoặc X = 2. BBT X -00 0 2 y' 0 + 0 - y+00._ 0 -00 Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (0; 2), nghịch biến trong các khoảng (-oo; 0) và (2; +03), đạt CĐ(2; 4q- \ CT(0; 0). Bài toán 3.21: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: a)y V b)y = Giải V2 +V3 a) Vì cơ số — > 1 nên hàm số đồng biến ưên D = R. 3 ^ 3 b) Vì cơ số —F=——ĩ= <-----—- < 1 nên hàm số nghịch biến ừên tập xác định D = R. V 2 + V3 Ị4 + l,7 39 Bài toán 3.22: Cho hàm số: y = f(x) = 2^. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho f ( x ) . Giải a) y = f(x) = 2 , tập xác định D = R. ŨO) y ' = R. BBT X -00 +00 y' + y 0 — ■ ^ 2g \ ề 1 L y \ 1/2 1 -1 o 1 Cho X = 0 => y = 1 X = 1 => y = 2 X = -1 => y = 1 1 b) Suy ra đồ thị các hàm số: y = 2^^ - 1 = f(x) - 1: Tịnh tiến xuống dưới 1 đoư vị. y = 4.2’^ = 2’‘^^ = f(x + 2): Tịnh tiến sang trái 2 đom vị. y = -2’^ = -f(x): Lấy đối xứng qua Ox. y = ( —)’' = 2'^ = f(-x): Lấy đối xứng qua Oy. y = 2^’‘^ = f ( |x |) hàm số chẵn, khi X > 0 thì y = f(x) nên lấy phần này và lấy đối xứng của nó qua Oy. Bài toán 3,23: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = X Giải Tập xác định D = R \ {0}, hàm số lẻ. -3x^ < 0, Vx 9Í: 0 nên hàm số luôn nghịch biến ưên các khoảng (-00; 0) và (0; +oo). Ta có lim y = lim y = 0 , lim y = +00, lim y = -00 nên tiệm cận ngang là trục x->-oo x-»+oo X->0^ x->0“ hoành, tiệm cận đứng là trục tung. 40 BBT X -00 0 +°0 y' - - y0 -00 +00 " ^ 0 -1o --1 Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là gốc toạ độ. Bài toán 3.24: Khảo sát sir biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a)y b)y = X Giải a) Tập xác định D = (0; +oo), 1 -- ’ ’ y' = - —. X < 0, Vx > 0 nên hàm sô nghịch biên trên (0; +oo). Ta có lim y = +00, lim y == 0 nên tiệm cận đứng là trục tung, tiệm cận ngang là X— >0^ x->+« trục hoành. BBT: X 0 +00 y' - y+00 Cho X = 1 => y = 1. b) Tập xác định D = (0; +oo), y' = — > 0, Vx > 0 nên hàm số đồng biến trên (0; +oo). 3Vx' Ta có lim y = 0 , lim y = +oo: không có tiệm cận x->0* x->+co BBT: X 0 +00 y' + y 0 Cho X = 1 => y = 1, X = 8 => y = 2. 41 Bài toán 3.25: Chứng minh hai đồ thị (Gi), (G2 ) của hai hàm số: y = a^ và y ^ Vay đối xứng với nhau, qua trục tung. Giải Gọi M(Xo; yo) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua lần lượt: Trục tung là M'(-Xo; yo). Ta có: M e (Gi) yo = a ’‘° <=> yo =Va;M' e (G2) Điều đó chứng tở (Gi) và (G2) đối xứng với nhau qua trục tung. Bài toán 3.26: Cho hàm số y = x^ - 3x^. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Tim m để phương trình: x^ - 3x^ + 3'^ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Giải a) •Tập xác định: R • Sự biến thiên: lim y = - 00; lim y = +00 y' = 3x^ - 6x, y' = 0 <=í> X = 0 hoặc X = 2. Bảng biến thiên: -00 +00 + .+00 -00 -4' Hàm số đồng biến trên (- 00 ;0), (2, + 00), nghịch biến trên (0,2) và có điểm CĐ(0; 0), CT(2; -4) •Đồ thị:y" = 6x - 6,y" = 0 e > x = 1. Điểm uốn 1(1; -2) là tâm đối xứng. b) Phương trình: x^ - 3x^ + 3"" = 0 o x^ - 3x^ = - 3"’. Phương trình: x^ - 3x^ + 3"’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng y = - 3'" cắt đồ thị y = x^ - 3x^ tại 3 điểm phân biệt. Dựa vào đồ thị đã vẽ. ta có: - 4 < - 3 " ’ < 0 <=> 3'" < 4 <í:í> m < log34. Vậy giá trị cần tìm là m < log34. 42 BÀI TẬ P Bài tập 3.1: Tính: _ gbx a) lim V Ĩ+ '3 ^ -c o s 2 x b) lim--------- ------------- x - » 0 X a) a - b Bài tập 3.2: Tính; a) lim.^x + 1-1 a) 21n3 Bài tập 3.3: Tính: a) lim (l + sin2x)x a) Bài tập 3.4; Tìm các giới hạn sau IID-ĐS b) 7/2 b) lim ^ x + 4 ' X +1 y ĨID-ĐS b) e3 b) lim (l + 8x)x jr->0'*‘ IID-ĐS b) lấy In trước. y j\ + 4x .\[ \ + X — 6^ . + X + ^J3 + X — 4.2. a) lim------------—----------- b) lim — — jr^0 ỵ x—>\ -1 IID-ĐS -v/l + 4x .ịỊì + -X - e ’' Vl + 4x .ịl\ + x -1 + l-e' a) lim---- —------—------ — = lim --------------------------------- x->0 Ỵ x-->0 X ■sl\ + 4 x . ị l \ - x -1 _ -\/l + 4 x ự l + x - Vl + X +ịj\ + x -1 Vl + 4 x - l V Ỉ + ^ - 1 z , 4 = VI+ x .---------------1------—---- nên có —- l = — X- X 3 3 b) - + 41n2. 9 Bài tập 3.5: Tính đạo hàm cấp n của hàm số: a)y==x. e’‘. b ) y = e 'sin x HD-ĐS n a) y^"^ = ( x+ n) e’‘. b) (e''sinx)^”’ = 2^ sin(x + n —). 43 Bài tập 3.6: Xét tính đơn điệu của hàm số: 3" -5 -" à) y = h) y = 2'^^. HD-ĐS a) Đồng biến trên D = R. b) Đồng biến trong các khoảng ( - — + k7r; — + kn) với k e z . Bài tập 3.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số: a) y = ^ . b) y = X - e HD-ĐS a) Đồng biến trên (0; 2) và nghịch biến trên (-QO; 0), (2; +Q0). b) Nghịch biến trên khoảng (0; +oo), đồng biến trên (-oo; 0). Bài tập 3.8: Chứng minh hàm số: y = (1 + — đồng biến trên khoảng (0,+ oo). X HD-ĐS Lấy In trước khi tính đạo hàm. Bài tập 3.9: Cho hàm số: y = f (x) = 3 \ a) Vẽ đồ thị của hàm số cho. b) Suy rạ các đồ thị của các hàm số sau: y = ; y = -3^; y = 3^"'^. IID-ĐS , 1. b) T = Ợ = f(-x);T = -3 ^ = - f(x); y = 3'-^' = f(|x|). Bài tập 3.10: Cho hàm số y = x'* - x^. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Tìm m để phương trình: x"* - x^ + 2"’ = 0 có 4 nghiệm phân biệt. HD-ĐS a) BBT:X -C30 - V 2/2 0 V2/2 +00 y' - 0 + 0 - 0 + y+00 0 - 1 / 4 ' ^ ______ - \ Ì 4 ' ^ b) phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi m > -2. 44 HÀM SỐ LÔGARIT Hàm số lôgarit Hàm số V = logaX với cơ sổ a> 0 và a ^ 1. Liên tục trên lập xác định (0; +°o), nhận mọi giá trị thuộc R. Giới hạn í+ookhia>l limlog,x = -i X-^+^ lim lo^ x = Đạo hàm Ị-ookhiOl [+ookhiO1, nghịch biến trên (0; +oo) nếu 0 < a< 1. Đồ thị luôn cắt trục hoành tại điểm (1; 0), nằm ở bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Đồ thị và quan hệ đối xứng 45 Các dạng vô định X->+001 +1) = e; lim------- = 1; lim ln(l + x)=1 lim x - > 0 X x - > 0 X Chú ỷ: quan hệ so sánh Với a > 0, a I, b > 0, c > 0: Nếu a> 1 thì: logab > logaC c ^b > c. Nếu 0 < a< 1 thì: logab > logaC <=>b < c. Nếu a> I thì: logab > 0 <=>b > l. Nếu 0 < a < 1 thì: logab > 0 <=>b < 1. Bài toán 4,1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = lg(x^ - 4) b) y = lg(x + 2) + lg(x - 2). Giải a) ĐK: x ^ -4 > 0 < = > x < -2 hoặc X > 2. Vậy tập xác định D = (-oo; -2) u (2; +oo). íx + 2 > 0 íx > - 2 b ) Đ K :^ o x > 2 . [x - 2 > 0 [x > 2 Vậy tập xác định D = (2; +Q0). Bài toán 4.2: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = lo g i ( 4 x - l ) - l 4 x - l > 0 b )y = ^ lo g ^ (x ^ -^ /5 .x + 2) Giải 4 x - l > 0 a)ĐK: 1 lo g |( 4 x - l) > l 1 (hàm nghịch biến) 4 x - l < - < = > — < X < —. Vậy tập xác định D - 4 3 4 3 46 b) ĐK:-V 5 x + 2 >0 log^j(x^-V 5x + 2 )> 0Cí> X - Vsx + 2 > 1 (hàm nghịch biến) < = > x ^-V 5 x + l> 0 < :í> x < — ■ - hoặc X > ^ . 2 2 Vậy tập xác định D = -oo;-V s - luV 5 + 1 . , J —V -;+°o Bài toán 4.3: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a ) y = ^logx + log(x + 2) b) y =-y/41og2 x -lo g 2 x - 3 +-\lx^ -7 x + 6 . = -y/4 iOg2 X - l 0 g 2 X - 3 +-V/X - / X + Ố. Giải Giải a) ĐK: logx + log(x + 2) > 0 'K: logx + log(x + 2) > 0 |log[x(x + 2)]> logl |x ^ + 2x - l > 0 [log[x(x + 2)]> logl [x ^ + 2x - l > 0 | x > 0 " ^ | x >0 [x < -1 - V2 hay X > -1 + V2 , pr ị ^ <=>X>-1 + V2 [ x > 0 Vậy tập xác định D = [-1 + V2 ; +00) tập xác định D = [-1 + V2 ; +00) x > 0 í x >0 b)ĐK: <Ịx"-7x + 6 > 0 o 0 o - x < l h a y x >6 41og2 X -lo g ỉ X- 3 > 0 l< lo g 2X<3 41og2X -log2X -3> 0 í 0 < X < 1 hay X > 6 | 2 < x <8 Vậy tập xác định D = [6; 8]. <=>6 < x < 8. Bài toán 4.4: Chứng minh giới hạn: lim — ^ X Ina Giải Ta có lim ^ ^ ^ i^ ^ ^ = lim log,e x->0 X Bài toán 4.5: Tìm các giới hạn sau; a) x-»0 V ln(l + x )_ 1 X Ina b) lim- '‘->0 l - c o s 2x 47 Giải ln(l + 3x) ln(l + 3x) a) lim— ---- ^ = 3.lim— ---- ~ = 3 K->0 X >‘-‘0 3x , , ln(l + 3x') ,, ln(l + 3x') 1 b) lim — - / _ — i = —lim l_ cos2x 2 sin X 2 ^^0 Bài toán 4.6: Tìm các giới hạn sau: 31n(l + 3x^) ( sinx''^ 3x' V X ; 3 2 4x a) lim >‘^0 logj(l + 5x) b) lim 6’' -3* ln(l + 6x) - ln(l + 3x) Giải 5x a) lim------ —------= ---- ^— .lim------ 4x 4 = - ln 3 >‘-^0 log,(l + 5x) SlogỊC >‘-^0 ln(l + 5x) 5 6" - 3 ' b) limr = lin xTo in(Ị+6x) - InỌ+ 3x) 16" -1 3^-0 < 1 X X J V \ = (ln6-ln3): (6 - 3 ) = - l n 2 . Bài toán 4.7: Tìm các giới hạn sau: ,-2 x ' , \J\ + 2x - ị l l + X a) lim--------------------- -“ o ln(l + 3x) b) lim - \ Í Ĩ V ? ln(l + x ) Giải: , Vl + 2x - V Ũ x Vl + 2x - l VĨ + x -1 a) lim— ^ ^ -----= lim -------- ^---------------— xTõ ln(l + 3x) V 3 4 3 36 b) lim -V ĩ + x/ 3x 1 lnỢ+3x) 3 -2x' >‘^0 ln(l + x )= lim X — >0 Vl + x ' -1 „ 2 „ 2 ln(l + x^) lim- 2x^ ị l i \ + x y - + ị f ũ ^ + \ Bài toán 4.8: Tìm các giới hạn sau: ln(l + x ') 7 3 , , V x - 2 + x ^ - x + l-i-lgx b) lim---------- r-------------------- X - 4x + 3 48 , V 2x-1 + x^ -3 x + l + lnx a) lim--------------- ;------------------ x ' - l 617 £ £ + ^ p - , ^ ĩ z x ã Ị - l + X - ^ x + z - x f ị ìuỊ] ẤẻẠ • a ã r - - l<-r £ + X ỳ — X [<-x £ - ^ l - x l<-r e + ^ l 7 - ^ - I ĩ ( ( l - X ) + Ị)UỊ-a§Ị^-^ xãỊ -^ íl ?A e - x■+ ^ 9 - , , ir>‘ ■-^- = ^ + ^ = W jủ iĩi ọp o a I + S - x /^ - ẬZ-^)Ịì Ì£-^) ( £ - x ) ( ị - x )- + - ỉ+ z-^ fị-Ặz-^)Ịì( e - x ) ( i- x ) ( i - x ) x Ị - x e+xi 7 -jX e+xt 7- - x ^ + X ỳ - ^ x £ + x t 7 - ^ x x - , x ^ I + Z - X / V ^ X - ^ X + Ị + ^ - X / V ~ Ị + X - _ X + ^ - X / ỹ :ỌO BỊ ‘£ ^ X ‘ị ÍẾ X ỊỌA (-------- g + -------------- ----------------)ừlỊỊ = xS] \ + x - ^ x + z - x f ị '£ + XỊ7-,X £ + X ỳ - X ^ + X ị , - X ,<-;r x S ị + Ị + X - + Z ~ ^ Ị\ , z _ z l - ^ x I “ I XU] + l + X £ - ^ X + \ - X Z Ị ^ z I + X I-X 1^.- Ị-^, Ọ3 (q ÌUH ẤBA " 1<-Í I ~ r ((1-X )+ I)u j‘^-^ = XUỊ ŨIỊỊ ?A ________ I - ^ x z ~ I + X £ - , x + Ị-x^/v lUỊỊ ọ p OQ I + x ( 1 + I - x ^ / vXĩ + x ) 2 - x z ^ (ĩ + x ) ( l - x ) i \ + \ - x z f ^ ) i\ - ,x ) l-^ x l-^ x ( z - x ) ( l - x ) ' ^ ( l - x ) z ~ Z + X £ - ^ X ' ^ 1 - 1 - X Z Ị ^ ' \A Z + x e - ^ x + i - Ị - x g / v i + x ẹ - ^ x + Ị - x ^ / v (----— +---------------------— )ùilịĩ = x u \ \ + X £ - ^ x + l - x z / ^ I - X ----------------------- =-------------------- UIIỊ 0 0 BỊ (B XU\ + l + X£ - ^x + \ - XZf^ m o Bài toán 4.9: Tìm các giới hạn sau: ^ 1-cosx.cos2xcos3x , ^ a) lim---------^------------------ .ln(jc + e) 1-c o s x , ^ sin(a + x)sin(a + 2x )-sin ^ a b) lim ..................---------------------— . “^0 ln(l + 3x) Giải 1-cosx.cos2xcos3x , , ^ 1-cosx.cos2xcos3x a )T a c ó lim ---------^------------------ .ln(x + e) = lim --------- ^------------------ ^-»0 1-c o s x '^-^0 1-c o s x Vì 1 - cosx.cos2x.cos3x = 1 - cosx + cosx - cosxcos2xcos3x = 1 - cosx + cosx(l - cos2x.cos3x) = 1 - cosx + cosx [1 - cos2x + cos2x(l - cos3x)] = 1 - cosx + cosx(l - cos2x) + cosxcos2x (1 - cos3x) v2 - . 2 kx í • kx^2í X ^ Và 1 -co sk x 1-c o s x 2 sin — sm — — 2 ... 2 2 kx . X 2 sin - — sin — 2 ^ 2 ; l 2 j .k^ nên lim x - - > 0 1 - cosx.cos2xcos3x 1 -c o s x V 1 - cos X+ cosx.cos2x. 1 -co s3 x x-> 01 + cosx. lim 1 - c o s 2x 1 -c o s x y= 1 + 1.4+ 1.9= 14. 1-cosx.cos2xcos3x , ^ Vây lim--------——------------ ,ln(x + e) = 14. 1 - cos X , ^ sin(ứ + x)sin(a + 2x )-sin ^ ữ b) lim-------------------------------------- xTo In(l + 3x) sin(í7 + x)sin(ứ + 2x) - sin^ tìt ln(l + 3x) = lim--------------------------------------:------------- X X sin(a + x)sin(ứ + 2x )-sin " a Ta có lim-------------------------------------- X 2 _ 1 * 1 sin(a + x)sin(a f 2x) - sin a = - — [cos(2a + 3x) - cosx] - — (1 - cos2a) 2 2 1 1 3 3 = - — [cos(2a + 3x) + cos2a] - — [1 - cosx] = -sin(2a + — x) sin — - sin^ —. ^ sin(a + x)sin(a + 2x )-sin ^ a Do đó lim----------------^--------------------- X->0 X 50 3 í 3 ^ = lim—sin 2a + —X r . 3x ^ sin - 1 . X -lim —sin—. x^ sin— 2 2 = —sin2a X -^0 2V / 3x X 2 . x-^0 2 2 X y 2' > 2 Và l i m M l l ^ = 3 . Vậy I i^ in ( a + x)sin(g + 2 x ) - s in ^ a ^ ■' ln(l + 3x) 2 ,í->0 ỵ ■ ' x->0 Bài toán 4.10: Tìm các giới hạn sau: , l + ln(l + x ') - V 2x ' +1 a) lim x-tO 1 - cos 2xb) limln ,v->0 Giải ^ ì — yỊlx + ĩ + sin X ^ e + V V3x + 4 - 2 - x a) limi^o l + ln(l + x ^ ) - V 2x ' +1 1- V 2x- +1 ln(l + x ') --------------- í---------------= lijn-------- ------- + lim ----- ^ ^^0 l - c o s 2x ''^0 1 - cos 2x '^->01 - cos 2x , 1 - V2x^ +1 - 2x" _ í ^ Y ^ Ta c ó ------- -------= ---------- ' ^ = —— .-----; - ■ l- c o s 2x 2sin^x(l + V2x^+ l) 'vSinx; 1 + V2x^+1 Do đó = - l. 1 = - i . i-Tõ l - c o s 2x 2 2 ln(l + x ^ )_ ln(l + x^) 2 sin^x 1 Và lim - - - -----l i m— . •'^^0 l - c o s 2x X X 2 Vậy | i ^ l + ln(l + x ’ ) - V 2 x ^ + l , 0 x-> 0 1 - c o s 2x b) l - V 2x + l+ sin x ^ V3X + 4-2-: 1-V2X + 1 sinx \ V3X + 4-2-X X - 2 s in x y - 1 - x 1 + v2x +1 X y vJX + 4 + 2 + X 1 - V2x + 1 + sinx Do đó lim— ;— —-------- v3x + 4 - 2 - x 2 y Vậy limln ^ 1 - V2x + 1 + sin X e + V v j a V3x + 4 - 2 - X -t ’^ - z, - a y Bài toán 4.11: Tính giới hạn: ln(e +0) = 1. L = lim x->0 ln(2c^ - cos2x) - ịír i + 8x o _ - 2 .. 8sin X 51 Ta có L = lim x-»0 Giải ln(2e'^ -e^ cos 2x)-V27 + 8x^ 8sin^ X V 2 lim x->0 = lim .t-+0 lim x-»0 lneV2-cos2x)--^27 + 8x^ ì (ln(2-cos2x) + 3--ỷ/27 + 8x ------^------------ 1---------------- = lim —i --------------- 8 sin X 8 sin X / V ln(l +1 -c o s 2 x )+ 3 -V 2 7 + 8x o _ ! _ 2 .. 8sin^ X ln(l + 2sin^ xj + 3 -V 27 + 8x ^ • 7 V8 sin" X 1,, fln(l + 2sin'x)'l 3-V27 + 8x' x' —lim —^------ r------- +lim ------------------.— 5— 2 sin X j 8x sin X ^}_ y ( _____________l8xỊ_____________' 4 8x'Ị9+ 3^(27 + 8x') +ự(27 + 8x-)' j —+ lim 1 ( -1 "l --------, . _____ ___ , =rr 4 |9 + 3^m27 + 8x^ì + ^/f27 + 8x^)^ 1 vl ^ "V _ 1 1 _ 1 1 _ 23 ' 4 ' 9 + 1 3 + 9 ” 4 2 7 '1 0 8 ' Bài toán 4.12: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (3x - 2)ln^x b) y =vx^+l logj x' Giải a) Tập xác định D = (0;+oo). ^ , 2 - . -,,2 2 (3 x -2 )ln x Ta có y = (3x - 2)lmx nên y = 31mx + ---------------- X b) Tập xác định D = (0;+oo). rx. . / 2 . ,, 2 - I__ :>clog, X" 2^|x~ +\ Tacóy =vx + llo g 3X nêny = , ■■ + — ^ Vx'+1 ^-ln3 Bài toán 4.13: Tìm đạo hàm của các hàm số sau; b ) y = M í ! ± l ) . a) y = ln(x + ) 52 a) Tập xác định D = R. Giải 1 + — J 2 = Ta có y = ln(x + ^|x^ +a^ ) nên y' = — 1 x + ^Jx^ +a' b) Tập xác định D = R \ {0}. _ ln(x + 1) , , Ta có y = ---- --------nên yln (x '+ l) ”> 1 ' X X +1 X Bài toán 4.14: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: Vx ^+a^ a) y = lo g ^ ( -x ^ + 5 x + 6) b) y = \l\n^ 5x . Giải a) Tập xác định D = (-1 ;6). b) Ta có y = lo g ^ (-x ^ +5x + 6) ^ , - 2 x + 5 - 4 x + 10 nên y = -----;----- ----------- pr = ----------------------- (-x ^ + 5 x + 6)lnv3 ( - X +5x + 6)ln3 Tập xác định D = (0;+oo). Ta có y = ựln^ 5x nên y = — 2----= ^ • 5ịj{ìn^ 5x)'* 5Vln‘^5x 5Ầ/ln^5x Bài toán 4.15: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số; a)y = ln (x -5 ) b) y = ln(6x^ - X - 1). Giải a) Với X > 5: Ta có y = ln(x - 5) nên y' ' y"-- X - 5 (x-sỵ (x -sr Ta chứng minh quy nạp; y‘"’ = ----------^ (x — 5) b) Với X < - — hoặc X > — : X > ■£-: 3 2 Ta có y = ln(6x^ - X - 1) = ln((2x - l)(3x + i)) = In I 2x - 1 1 + In I 3x+l I m 1 r ' ^ _ ( - ir m ! a 2 3 _ r 1 Y"'^ (-l)"’m N ê n y ' = ——— + — Ta chứng minh quy nạp ------- m+1 ^ 2x-\ 3x + l M ax + b j (ax + b) 53 Suy ra y ( 2 x - l ) " (3x + l)" Bài toán 4.16: Chứng minh: Nếu y = In — — thì xy' + 1 = e-. 1 + x Giải Tập xác định D = (-1; + 00) 1 X Ta có y' = — ^— . Suy ra xy' + 1 = ■ = e-' x + 1 x + 1 + 1 = -x + 1 Cách khác: biến đổi: y = In—ỉ— = - ln(x+l). 1 + x Bài toán 4.17: Tìm khoảng đon điệu và cực trị hàm sổ: a) y = ln(x^ - 1) b) y = X - ln(l + x) Giải 2x a)D = (-cx);.l)u (!;+«)), y '=X--1 Khi X < -1 thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên (-oo; -1) Khi X > 1 thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên (1; +oo) Hàm số không có cực trị. b)D = (-!;+«)), y’= l - - ^ = : ^ , y ' = 0 o x = 0. 1+ x 1+x y' > 0, Vx G (0; +oo) nên hàm số đồng biến trên (0; +oo) y' < 0, Vx G (-1; 0) nên hàm số nghịch biến trên (-1; 0). Tacóy"= ^ (l + x)‘- > 0 nên đạt cực tiểu tại X = 0, ycT = 0. Bài toán 4.18: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: a)y= log^x b) y = l o g a X với a Giải ' 2 a) Vì cơ sô — < 1 nên hàm sô nghịch biên trên D = (0; +oo) b) Vì cơ số V 3 + V 2 > 1 nên hàm số đồng biến trên D = (0; +00). 3(V 3-V 2) 3 Bài toán 4.19: Cho hàm số y = f(x) = log2X. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Suy ra các đồ thị hàm số: y = log22x, y = lg2(x - 3), y = log2(-x), 54 y = log, X, y - log21X I. Giải a) y = f(x) = log2X, D = (0; +oo) lim y = +00, lim y = -00 TCĐ; X = 0 (khi X —> 0^) Y-*-t-on X-^0^ 1 x ln 2> 0, Vx > 0 nên hàm số đồng biến trên (0; +oo). y A BBT X 0 +c» y' + y -co "" ' ^ Cho X = y --l X = 1 =>y = 0, x = 2 = > y = l b) Suy ra các đồ thị hàm số: y = log22x = f(x) + 1: Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị. y = log2(x - 3) = f(x - 3): Tịnh tiến sang phải 3 đơn vị. y = log2(-x) = f(-x): Lấy đối xứng qua Oy. y = log I X = -f(x): Lấy đối xứng qua Ox. 2 y = Iơg2 1XI = f(| XI) là hàm số chẵn, khi X > 0 thì y = f(x) nên lấy phần này và lấy đối xứng của nó qua Oy. Bài toán 4.20: Chứng minh hai đồ thị (Gi), (G2) của hai hàm số: a) y = logaX và y = log I X đối xứng nhau qua trục hoành. a b) y = a’^ và y = logaX đổi xứng với nhau qua phân giác 1. Giải Gọi M (X o ; yo) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đổi xứng với M qua lần lượt: a) Trục hoành là M " (x o ; -yo)- Ta có: M e (Gi) » yo = logaXo » -yo = log|^ x„ <=> M" e (G2) a b) Phân giác 1 là M"'(yo; Xo). Ta có: M e (Gi) <=> yo = a ’‘“ <=> Xo = logayo <=> M'" e (G2). Bài toán 4.21: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = Inx và d là một tiếp tuyến bất kì của (C). Chứng minh ràng trên khoảng (0; +00), đồ thị (C) nằm ở phía dưới của đưòng thăng d. 55 Giải Gọi Xo là hoành độ của điểm M tuỳ ý thuộc (C). Tiếp tuyến d của (C) tại M có phưcmg trình y = — (x - Xo) + Inxo. Xo Khẳng định cần chứng minh tưomg đưomg với bất đẳng thức sau: Vx e (0; +Q0 ) . 1 . x.x. ^ ( x - x j + lnx„ X-lnx> 0 o — -I n — >1 Xét g(t) = t - Int với t > 0, g'(t)=l-ỉ = - ^ , g - ( t ) = 0 « t = l . t t BBT t -00 Ị +00 g' 0 + g 1 Ta có g(t) > 1, Vt > 0 => đpcm. Bài toán 4.22: Cho hàm số y = — x"* -3x^ + —. 2 2 a) Kháo sát và vẽ đồ thị (C). b) Tìm m để phưorng trình; x'^ - 6x^ + Igm = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Giải a) • Tập xác định: D = R. Hàm số chẵn . Sự biến thiên: lim y = +c»; lim y = +c» JC->-00 x->+00 y' = 2x^ - 6x = 2x(x^ - 3), y' = 0 <=> X = 0, X = ± V3 Bảng biến thiên X -00 - ^ 0 ^ +00 y' - 0 + 0 _ 0 + y +00 5/2 Hàm số đồng biến trên (- ^f3 ; 0), (^|3 ;+oo) nghịch biến (-oo;- V3),(0;V3) và có CĐ (0 ;|);C T (± V 3 ;-2 ) 56 • Đồ thị đối xứng nhau qua trục tung; y" = 6x^ - 6, y" = 0 <=> X = ±1. Điểm uốn I(± l; 0) b) Phưcmg trình: x'' - 6x^ + Igm = 0 o x"^ - 6x^ + 5 = 5 - Igm <=> —x"*-3x^+ — = —(5 - Igm), m >0 0 5 - Igm > 5 hay 5 -Igm = -4 <=> Igm < 0 hay Igm = 9 <=> 0 < m < 1 hay m = 10^. Vậy giá trị cần tìm là 0 < m < 1 hay m = 10^. BÀI TẬP Bài tập 4.1 : Tìm miền xác định hàm số: a) y = lg(4 -3x) b) y = log, |x - 2j. HD-ĐS 4 a) X < — b) X 2. 3 Bài tập 4.2: Tìm miền xác định hàm số: a) T = Vĩog2 ^ a) X > 1 Bài tập 4,3: l'ính các giới hạn sau: b) T = HD-ĐS b)x> 1. x -1 x + 5 . . . ln(6x + 1) - ln(2x + 1) a) lim---------------------------- x->0 X a)4 b) lim 2 j ỉ + x - Ự Í ^ . x.ln(7x + e) HD-DS b) 13/12 57 Bài tập 4.4:Tìm các giới hạn sau: \Ịl + X + y l3 + x - 4 + ln(8 - 7x) a) lim x~*\b) limjt-> 0ln(l -f - cos X cos 2x cos 3x 1-c o s x IID-ĐS a) Thêm bớt 1 đại lưong căn, b) 28. Bài tập 4.5: Tính đạo hàm cấp n của hàm số: a) y = ln(x^ - 4) b) y = x^.lnx HD-ĐS (-D^-irn-l)! ( - n ‘’“‘( n - l) ! _ i t y , ,, ,,, ^ {x -iy (x + 2)" Bài tập 4.6: Tìm khoảng đon điệu của hàm số: a)y ^ h)y = ln(x - I - yj4 + x ^ ). Inx IID-DS à) Đồng biến trên (e; +oo) và nghịch biến trên (0; 1), (1; e). b) y' = ..--- > 0, Vx, hàm sổ đồng biến trên tập xác định R. V4 + x^ Bài tập 4.7: Vẽ đồ thị: a) y = log2 (x + 1) -h log2(x - 1) b) >; = log2(x^ - 1) HD-ĐS a) D = (1;-I-oo) b) D = (-oo;-1) u (1;1 oo). Bài tập 4.8: Cho hàm số: > ' = /( x ) = log, X . a) Vẽ đồ thị của hàm số cho. b) Suy ra các đồ thị của các hàm số sau: y = log I X ; V = Ịlog , x| và = log,|x| ỈID-DS b) = log, x= -f(x); y = Ịlog, x| = |f(x)|; - log3|x |- f(|x|). 3 Bài tập 4.9: Cho hàm số y = -x^ + 3x - 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Biện luận theo m số nghiệm của phưong trình -x^ -t- 3x - 2 = logam. ĨỈỮ-ĐS b) Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu 0 < m < — , m > 1 thì phương trình có một nghiệm. 81 ^ 58 N ếu m = — , m = 1 thì phương trình có hai nghiệm . 81 N ếu 1 > m > — thì phương trình có ba nghiệm . SO SÁ N H BIỂU THỨC M Ũ VÀ LOGARIT So sánh cùng cơ số của mũ: a> 0, a Nếu a > I íhì: M > N. Nếu 0 c f C>M< N So sảnh cùng lũy thừa của mũ: 0 < a < b ữ‘ < o x > 0; > b^ <í:>x < 0. So sánh cùng cơ sổ của ỉogarit: a> 0, a 1 Nếu a > 1 thì: logaE > ỉogaP <=>E> F> 0 Nếu 0 < a < 1 thì: logaE > logaE <=>0 < E < F. Chú ỷ: So sánh cùng chỉ số bậc căn, so sánh bình phương, so sánh tỉnh gọn, so sánh trục căn thức, so sánh tương đương sau khi đánh giá, đặt ẩn phụ, so trung gian sổ khác, tách phần nguyên, dùng bất đẳng thức C ôsi, ... Bài toán 5.1: So sánh các số: a) -Ịĩ và V3 b) V Ũ và v ^ . Giải a) Ta có(yÍ2ý-2^ = S; (ựs} =3^ = 9. D o 9 > 8 nên ỉacó (yỊĩý < , suy ra V2 < ự3 b) VĨ3 = V Ĩ 3 ^ = 'V371293 ;v ^ = = ' V279841 Ta có 371293 > 279841 nên VĨ3 > Ự23 Bài toán 5.2: So sánh các số: a ) V 3 + V ^ v à V ^ b) Ự7 + V Ĩ 5 và VĨÕ + V ^ . Giải a) Ta có V3 + V ^ > 1 + V 27 = 4 = Vó4 > v « hy^í^+^JĨ5 < 2 + 4 = 3 + 3 < V Ĩ Õ + -V28. Bài toán 5.3: So sánh các số: a) (43]'^ và \13b) 3^«%à5^«0. 59 Giải a) (73^6 = 3"12 và ị 3 34 3 4 =3 Vì cơ số 3 > 1 nên ^ <ỉí3"'íl^ \200 b) Ta có: 3600 ^3 j ^ 27^*^° • 5"*°°= ( 5 ^ r 2 5 2 0 0 Vậy3‘“ > 5 “ “. Bài toán 5.4: So sánh các số; 7 1 y ? - a) — và v 2 .2 ‘'’. v2 ;b) Giải f I vV3 )và 3-3V2 a)( \ \ v2y - 2 ^ 1. i i - i T i ^ = v \ síĩ.V^ = 22.2 '^ = 2-"'^ = 2 ^ 5 Vậy - =V 2.2‘V ' =V2 .2^ . v27 b)Tacó MT ■ í > ■ v O ^ . í l V ’^ = - và 3 = - \^j3 J v^y Ta có 3V2 < 2V5 o (3^2)- < (lyỉỉỴ o 18 < 20: đúng 1 r 1 r Vì cơ số 0 < — < 1 nên Vì cơ số 0 < — < 1 nên - < — => -)= < 3 ^ ^. 3 3 l 3 j [yÍ3J Bài toán 5.5: So sánh p và q biết: a) >/3V-^b) j8T ” r 3 Y r 2 Y .3.>^2 Ỵ 3, >v8y Giải: , |pv3y Bài toán 5.6: So sánh p và q biết: , ^ > 1=>-P>-Ợ=>P<Ợ. a) 0,25P < b)ívY Í2Y 1-2 q V /y 60 í 1 V ‘' 2j> a) 0,25P < í ^ /T\p-2q Giải: K1< 1 => p > q í'i\^ í'2Ỵ'^'^ ( i Ỵ TyV*'”’’ 7 b) 7 > <7v2y ,^ > l:^ p < 2 q -p = > p < q . Bài toán 5.7: Hãy so sánh: a) log34 và log4 — b) 3'"^*''’' và 7'“8'’“-'” , Giải a) Ta có log34 > 1 và log4- < 0, suy ra log34 > log4 — b) Ta có log6l,l > 0 nên ‘ > 3° = 1 (vì 3 > 1) và log60,99 < 0 nên < 7” = 1 (vì 7 > 1) Suy ra > 7“’®-“’’^ Bài toán 5.8: Hãy so sánh: a) logg27 và log925 b) log49 và log925. Giải a) Ta có logg27 > logg25 vì 8 > 1 và logg25 > logg25 vì 8 < 9 nên logg27 > log925. b) Ta có log49 = log23 = logg27 > log925. Bài toán 5.9: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh: a) log2 + log3 với log5 b) logl2 - log5 với log7. Giải a) log2 + log3 = logó > log5. b) logl2 - Ỉ0g5 = log— = log2,4 < log7 Bài toán 5.10: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh: a) 31og2 + log3 với 21n5 2 ^ b) log31 và log3 ^ 5 2 ^ Giải a) 31og2 + log3 = log(2^. 3) = log24 < log25 = 21og5 < 21n5. b) Vì — < 1 và — < 1 nên log3 — > log3 1 = 0 5 3 5 ^ 4 3 3 3 2 3 Vì — > 1 và — < 1 nên log, — < log3 1 = 0. Từ đó suy ra log3 — > log3 - . 2 5 2 ^ 2 5 ^ 2 ^ 61 Bài toán 5.11: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh: a) log23 và logôS b) log 5 + yíĩ , logS + logVv va Giải a) Đặt a = log23 và b = log65 thì; 3 =2® nên a > 1 và 5 = 6^’ nên b <1. Vậy log23 > logúS. b) Ta có + ^ 1 iog(5 V?) = log . Đặta= l o g V ^ thì ^|ĨJ^ = 10". b = log . thì - ■■ ■ = 10^ 2 2 T a c ó ( ^ ^ ^ ) ^ - ( V ^ / = 8 + ^ V 7 -5 V ỹ > 0 Nên 5 + Vỹ > ^|ĨJ^ do đó 10"< 10^ _ , , , _ s + v ? logS + logVv Vậy a < b hay log — 2L_ > ^ ^ . Bài toán 5.12: Chứng minh: X 1 1 a) — -— H---- =— > 2 log2 n logị nb) log23 > log34. Giải 1 1 7 a) Ta có: = log;i5 + log,t2 = log,tl0 > log^tTi^ = 2 log2 7Ĩ logị 71 1 b) log23 > log34 <=í> > log34 <=> ỉog32.1og34 < 1: Đúng log3 2 Vi theo bất đẳng thức Côsi: 2.1og3 4 < ^ (log32 + log34) = ^ log3(2.4) < ị log39 = 1 Bài toán 5.13: Chứng minh; logn(n + 1) > logn+i(n + 2) với mọi số nguyên n > 1. Giải Ta tách phần nguyên: A = logn(n + 1) = lognn(l + - ) = ! + logn(l + - ) n n 62 B = logn+l(n + 2) = logn+l(n + 1) (1 + — = 1 + logn+1 (1 + n + 1 Ta có 1 + — >1 + — logn(l + —)>logn( l + - ^ ) n n +1 n n +1 và logn( 1 + > logn+l ( 1 + 7 ^ ) n + 1 n + 1 =í> logn(l + - ) > logn+1 ( 1 + —^ ) - n n + 1 Vậy A > B. Bài toán 5.14: Cho m > 1, a + b = c với a > 0, b > 0. Chứng minh: a"’ + b"" < c"‘. Giải íh Y Ta có a"’ + b"" < c"* «vcy+ <1 v c ; a b Mà a + b = c, a > 0 , b > 0 nên 0 < — < 1 , 0 < — <1 c c Suy ra với m > 1 thì ^ a V TaV T b r rbV ^ ^ _ n + 1 Từ đó ta có: í-ì + \cj ru\ \cj a b < vcy U y Vc; < - + - = 1. c c BÀI TẬP Bài tập 5.1: So sánh các số sau đây: a) ự4 và V5 b) 2 và + HD-ĐS a) ự ĩ > ự5 b ) 2 < ' ^ + -’- ^ Bài tập 5.2: So sánh các số sau đây: a)V Ũ + VĨ4; VĨ2 + VĨ3 b)-\J59-^f58 ’ ^Í5^-^Í5^ HD-ĐS a) So sánh binh phưong b) Trục căn thức Bài tập 5.3: So sánh các số sau đây: A = + và B = Ự3 8 + I 7 V 5 . 63 HD-ĐS Tính gọn trước rồi so sánh tương đương. Bài tập 5.4: Các lôgarit sau dương hay âm? a) log, 5 b) logị 2 c) logo 2 0,8 HD-ĐS a) Dương b) Dương c) Dương Bài tập 5.5: So sánh các số sau đây: d) log^ v ? , 5 d) Âm 1 a) log3 4 ; log4 ^ a) log3 4 > log4ị Bài tập 5.6: So sánh các số sau đây; a) log4 5; log^ ^ 15 b) logo , Ụ ĩ ; log02 0,34. HD-ĐS b) logo, ự ĩ < logo 2 0,34. b) logj7; loggV. HD-ĐS a) log4 5 = \og^ ^ b) log; 7 > logg 7 . Bài tập 5.7: So sánh các số sau đây; a) logg 27; logạ 25 b) logi35 675; log45 75 HD-ĐS a) Lần lượt đưa về so sánh cùng cơ số, cùng mũ, logg 27 > logạ 25 b) Đặt logj35 675 = x; log45 75 = y thì 1 log43 75. Bài tập 5.8: So sánh các số sau đây: a) 205-*^^ và 204^'’^ b) ị +lg3 V àlgl9-lg2. HD-ĐS 1 b) Ỷ + Ig 3 < lg l9 -lg 2 . 64 a) Lấy In hai vế, 205^'’^ < 204205 BẤT Đ Ẳ N G THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN N H ẤT N H Ỏ N H ẤT CỦA HÀM SỐ M Ũ VÀ LOGARIT Dạo hàm trong điều kiện xác định (é^)' = e^, (e“)' = e“.u', (cf)' = cflna, (a")' = a“.lna.u' ( '/ ĩ ) = - T 7 ^ T . (Ví) u = flnx)'= -;(ln |x |) = - ;(log3 x)' = —^ ; (ln|u|) = — . X X xlna u Các giới hạn lim í f = +00 (v ớ i a > 1); lim logaX = +00 (vớ i a > 1) X->+co X->+co lim 0^ = 0 (v ớ i a > 1); lim logaK = -00 (vớ i a > 1) x->-oo x->0'*‘ lim ( f = + o o (v ở ì 0 < a < 1); lim logaX = -00 (vớ i 0 < a < 1) X->-00 X->+oo lim = 0 (vớ i 0 < a < I); lim logaX = + o o (v ớ i 0 < a < ỉ) X->-+-co X^O'*^ lim X->-KO 1 x + — V x ; = e; limx->0e’' - ! = 1 ; lim X ln(l + x) - 1 . Tính đơn điệu Khi a> 1: hàm số y = à‘, y = logaX đồng biển trên D. Khi 0 < a < 1: Hàm số y = cf, y = logaX nghịch biến trẽn D. Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLNNN Có thế dùng một bất đẳng thức hay phải phoi hợp nhiều cách khác nhau đế giải quyết bài toán. - Phương pháp biến đổi tương đương: về một bất đẳng thức đúng, dạng tông các bình phương, tổng các đại lượng không âm, tích các đại lượng có dấu xác định,.... - Phương pháp so sánh; Dùng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đế biến đổi so sảnh hai vế của một bất đẳng thức, các bất đẳng thức trung gian, so sánh tử mẫu, so sánh theo cơ số hơn I, thua ỉ, so sánh sai phân,... - Phương pháp dùng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Côsi) cho 2 sổ không âm; 3 so không âm: ^ ^ > Vãb . Dấu đẳng thức xảy ra <=>a = b. 2 a + b + c 65 > ịỊabc . Dấu đẳng thiíc xảy ra <0>a = b = c. - Phương pháp dùng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đổi: \a + b\ <\a\ + | ồ | với mọi a, b. Dấu đẳng thức xảy ra <=>ab > 0. l a —è| < | a | + | ố | với mọi a, b. Dấu đẳng thức xảy ra <=>ab < 0. - Phương pháp đạo hàm: Nếuy =f(x) cóy'> 0 thìf(x) đồng biến: x> a =^f(x) >f(a); x < b =>f(x) 0 thìy'đồng biến từ đó ta có đánh giả f '(x) rồi f(x),... Lập bảng biến thiên từ đó có kết luận về GTLN, GTNN. Nếu cần thì đặt ẩn phụ t = g(x) với điều kiện đầy đủ của í. Nếuy = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta chi cần tìm các nghiệm Xị của đạo hàm f ’(0)= 0 rồi so sánh kết luận: mỉnf(x) = min (f(a); f(xi); f(x2) ; ...; f(b) J max f(x) = max { f(a); f(xi); f(x2); ...; f(b) }. Chú ỷ: Mũ hóa và logarit hóa. Bài toán 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: n""^' > (n + 1)", với mọi n e N, n > 3. Giải VớinGN,n>3,bất đẳng thức tương đương . ^ ix n + 1 n (n + l)lnn > nln(n +!)<=> — —-----> ln(n + l) Inn Xét f(x) = trên (3; +oo) thì f'(x) = —- > 0. Inx In X Do đó f đồng biến trên (3; +oo) nên: n + l> n > 3 :^ f(n + l)> f(n) => ■ - —-— > : đpcm. ln(n + 1) In n Bài toán 6.2: Cho 4 số X , y, z, t G ( - ; 1). Chứng minh bất đẳng thức: 4 logx Ta có: y - a - - + log, z - - + log,1.+ log, X -------- > 8 . Giải V 1 > 0 => a - — < a với mọi a. 4 Và vì — < X , y, z, t < 1 nên hàm nghịch biến, do đó; 4 VT > logxy^ + logyZ^ + l o g / + logtx^ = 2(logxy + logyZ + logzt + logtx) 66 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 sổ dưong: 2(logxy + logyZ + logzt + logtx) > 2(2.^1og^ ydog^ z. + 2^1og.t.log, x) >8.Ựlog^ y-log^ z.log, t.log, X = sVĨ = 8 Vậy: log, Ị^y - ^ j + logyỊ^z - ^ j + lo g ,|t - ^ j + log, Ị^x - ^ j > 8 . Bài toán 6.3: Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi X > 0: a) e’‘ > X + 1 b ) e’‘ > 1 + X + — . 2 Giải a) Xét hàm sổ f(x) = - X - 1 , X > 0 thì f '(x) = e’' - 1 > 0, Vx > 0 nên f đồng biến trên (0; +oo) vì f liên tục trên [0; +oo) nên f đồng biến trên [0; +oo): X > 0 =í> f(x) > f(0) = 0: đpcm. x^ b ) Xét f(x) = e’‘ - —— X - l,x>0thìf '(x) = e’‘ - X - 1 . Theo câu a) thì f'(x) > 0 nên f đồng biến trên [0; +oo). X > 0 => f(x) > f(0) = 0: đpcm. Bài toán 6,4: Chứng minh bất đẳng thức: 4""^+2'“"^ > V 2^ ,v ớ im ọ ix e (0; - ) . Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4"”^ + 2‘“ " > Ta cần chứng minh: 2^*’'’ ^ ^ > 2^’^'^^ <=> 2sinx + tanx > 3x Xét f(x) = 2sinx + tanx - 3x, 0 < X < —2 f '(x) = 2cosx +13 > 2cos X + 2. 1-3>2V 2-3>0 cos X cos X nên f đông biến ,rên [0; í ): X > 0 => f(x) > f(0) = 0: đpcm Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức: e’' >x^ - 2x + 2với mọi X. Giải Nếu X < 0 thì BĐT đúng. Nếu X > 0, vì x^ - 2x + 2 > 0, Vx nên BĐT <=> x^ - 2x + 2 > — . e’' 67 Xét f(x) = - 2x + 2, X > 0,f '(x) = 2x - 2, f'(x) = 0 » X = 1. Lập BBT thì minf(x) = f(l) = 1 e’‘ - x e ’‘ 1- x Xét g(x)= ^ ,x > 0 , g'(x) = ,2x g '(x) = 0 X = 1. Lập BBT thì maxg(x) = g(x) = - .e Vì minf(x) > maxg(x) đpcm - ^ x^ Bài toán 6.6: Chứng minh bât đăng thức: + cosx > 2 + X - — , với mọi X. • 2 Giải x^ _ „ Xét hàm số f(x) = e’' + cosx - 2 - X+ — ,D = R. f'(x) = - sinx - 1 + x; f'(x) = 0 <» X = 0. f "(x) = e’‘ + 1 - cosx > 0, Vx nên f'(x) đồng biến trên R, ta có: f'(x) < f '(0) = 0, Vx < 0; f ’(x) > f '(0) = 0, Vx > 0. BBT:X -00 0 f'(x) 0 + f(x) 0 Vậy f(x) = + cosx - 2 - X+ — > 0, Vx. . ^ x^ Bài toán 6.7: Chứng minh bât đăng thức: ln(l + x) > X - — với mọi X > 0. Giải BĐT: ln(l + x) - X + — > 0, Vx > 0 Xét f(x) = ln(l + x) - X + — , X > 0, f'(x) = ^ > 0 2 1 + x và f liên tục trên [0; +Q0) nên f đồng biến trên [0; +oo) x^ Do đó: X > 0 ^ f(x) > f(0) rí> ln(l + x) - X + — >0: đpcm. Bài toán 6.8: Chứng minh bất đẳng thức; e’‘ - > 21n(x + Vl + X" ), với mọi X > 0. Giải Xét hàm số f(x) = - e - 21n [x + - \/ĩ+ ^ j, D = [0; +oo) 68 f'(x) = e" + e’^Vĩ; f'(x) = 0 « x = 0. + x vì e’' + e"’‘ > 2 và 2 Vl + x^ - < 2 nên f '(x) > 0, Vx > 0. Do đó f(x) đồng biến trên [0;+oo) nên f(x) > f(0) = 0 => đpcm. Bài toán 6.9: Cho 0 < x < l;0 < y < l v à x jtỴ , Chứng minh rằng: 1- y 1- x>4 y - xI n - ^ - l n - ^ Giải Do X y, không giảm tổng quát, giả sử y > X . Xét hàm số f(t) = In-V— 4t, với 0 < t < 1 1- t f'(t) = > 0 nên f(t) là hàm đồng biến trên (0; 1) Vì y > X nên ta có f(y) > f(x) hay In ■4y > In^^^---- 4x 1- y và do y - X > 0 nên suy ray - xI n ^ - l n - ^ 1- y 1- x Bài toán 6.10: Cho a > b > 0. 1- x >4 => đpcm. Chứng minh bất đẳng thức: 2“ +• Giải V + V - Với a > b > 0, bất đẳng thức tưorng đưoTig: '4“+l' 2“<2 \ ^ J<(4“+ ir <(4"+i)“ b.ln(4" + 1) < a.ln(4^ + 1) » ) < In X étf(x)= \ x>0 f'(x)=4Mn4 1 + 4*,x -ln (l + 4*) 1 x'(l + 4*)(4M n4*-(l+4*).lna + 4*))<0 nên f nghịch biến; a > b > 0 => f(a) < f(b): đpcm 69 Bài toán 6.11: Cho các số nguyên n (n > 2) và hai số thực không âm X, y. Chứng ,n+l minh bất đẳng thức: + y" > + y" Giải Với X = 0 hoặc y = 0, bất đẳng thức đúng. Với xy > 0, bất đẳng thức cần chứng minh tưcmg đưorng với 1íx)n ĩ ^ + > n+1 1 + V n+1 ì l y j 1 l y j n/i , ^11 Xét hàm số f(t) = —p - - — với t e (0; +Q0). Ta c ó f ’(t) t"~ '(l-t) ; f '(t) = 0 o t = 1. BBT t 0 +00 f'(t) 0 + 0 f(t) 1 1 Suy ra f(t) > 1 với mọi t e (0; +oo) => đpcm. Bài toán 6.12: Cho a, b>0vàa + b = l. Chứng minh bất đẳng thức: < a.e’^ + b.e^, với mọi X, với mọi y. Giải Ta có a, b > 0 và a + b = 1 nên b= l-adođóO < a< l BĐT: + -a)e^ « eT - 1) - a.e’'-’' + a - 1 < 0. Xét f(t) = e“’ - a.e‘ + a -1 , t e R. f'(t) = a(e"‘ - e ‘), f'(t) = 0 o t = 0. BBTt -00 0 f' + 0 f Suy ra f(t) < 0, Vt => đpcm. 70 Bài toán 6.13: Cho p > 1, q > 1 thoả p + q = pq và a, b > 0 „ ' ’ a** b‘' Chứng minh bất đẳng thức: ab < — + — . p q Giải a'’ b'’ Xét hàm số f(a) = — + — - ab với a > 0. p q p-1 f'(a) = aP-' - b, f'(a) = 0 « aP-' = b o a = b ” Mà p + q = pq => (p-l)(q-l) = 1 nên a = b‘'“' Lập BBT thì min f = f(b‘’’') = 0 => đpcm. Bài toán 6.14: Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức: a) a^.b^.c'^ > a*’.b‘^.c“ b) (abc) 3 Giải a) Giả sử a = max{a, b, c}. Xét a > b > c: BĐT « a®'*’ b*”'^ > c®-" Vì a > b > c > 0 nên a^-*’ b'-‘= > c‘‘-'. b'’-'^ = c^“^ Xét a > c > b: BĐT a’^'^’ > b‘=■^ c‘*“^ V ì a > c > b > 0 nên c“’‘^ < a‘^''’.a®'‘^ = a®'*’ b) BĐT «> log(abc) 3 < log(aLb''.c‘') Cĩ> (a + b + c)log(abc) < 3(loga® + logb'’ + logc*^) < a ^ b ^ c ' o (a + b + c)(loga + logb + logc) < 3(aloga + blogb + clogc) <í=> (a-b)(loga-logb) + (b-c)(logb-logc) + (c-a)(logc-loga) > 0. BĐT này đúng vì cơ số 10 > 1 nên X > y > 0 logx > logy hoặc 0 < X < y => logx < logy nên (x - y) (logx - logy) > 0, Vx > 0, Vy > 0. Bài toán 6.15: Cho a, b, c > 0. Chứng minh a) a‘’+ b“ > 1 b) (a + b)^ + (b + c)" + (c + a)’’ > 2. Giải a) Nếu a > 1 hoặc b >1 thì a*’ + b®> 1 Nếu 0 < a, b < 1. Xét f(x) = (l+x)“ - 1 - ax, X > 0, 0 < a < 1. f'(x) = a (l + x)“'' - a = a 1 ,(l + x) I-a ■1 < 0 . nên X > 0 => f(x) < f(0) = 0 (1 + x)“ < 1 + ax (*) — ,x >0=> a > — — = ----- -------. Áp dụng a = —-— ,x >0 1 + x \ + xb a + b -a b 71 Tương tư: b” > — -— = ----- ------ => a* + ố" > 1. \-^ ya a + b -a b b) Trong 3 số a + b, b + c, c + a nếu có một số, chẳng hạn a + b > 1 thì (a+b)*^ > 1 và (b+c)“ + (c+a)*’ > b* + a*’ > 1 suy ra đpcm. Còn nếu cả 3 số đó bé hơn 1 thì dùng bất đẳng thức (*). Bài toán 6.16: Chứng minh bất đẳng thức: V J / +4 ,+^ 20^ V J 2 > 3’‘ + 4* + 5" với mọi X. Dấu bằng khi nào ? Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương: Ĩ2 ri5V > 2, ^ 12^ 15^ 2.3^ V J 2 V 2 V J 2 V 2 ^15Y 2 ^15Y ("20^’' 2.5’' V ^ 2 V J 2 V ^ 2 V J 2 r 20Y ( \2 \ + > 2, ( 20 ^12^ 2.4’' V 3 y V J 2 V -5 2 V ^ 2 Cộng lại 3 bất đẳng thức vế theo vế thì có X r i5 ^ X ^ 2 0 ^ b i l 4 j b J> 2(3’' + 4 ’' +5Y + 2 + 2 Rút gọn cho 2 thì có => đpcm. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Y 2 ^’' V J 2 15V V 2 r 20Y<:> X = 0 . V J 2 Bài toán 6.17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a) f(x) = X - e^’' nên đoạn [-1; 0] b) f(x) = 3 trên đoạn [-1; 1]. Giải a) Ta có: f'(x) = 1 - 2e^’', f'(x) = 0 <=> X = \n^Ỉ2 e (-1; 0). f(-l) = - 1-eY f(-ln72 ) = , f(0) = -1. So sánh thì maxf(x) = f ( - ln 7 2 ) = - ln 7 2 - - , rn m f(x )= f(-l)= -l-e “^ X€(-1;0] 2 x6Ị-1;0] b) f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-1; 1]. Xét 0 < x < 1 thì f(x) = 3’' => f'(x) = 3’'. In3 > 0 nên f đồng biến trên [0; 1]. 72 Vây min f(x) = f(0) = l ; raax f(x) = f(± l) = 3. xe[-l,l] xe[-l,l] Bài toán 6.18: Tìm giá trị lÓTi nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a) f(x) = X - Inx + 3 trên khoảng (0; +oo) b) f(x) = ln(x^ + X - 2) trên đoạn [3; 6]. Giải a ) f'(x)= 1 - - = — ,f'(x) = 0 o x = 1. X X Lập BBT thì min f (x) = f (1) = 4, không có giá trị lớn nhất. X€(0;+co) _ 2x4-1 b ) Tacó f'(x) = -^ —----- nên X + X - 2 f'(x) > 0, Vx 6 [3; 6] do đó trên đoạn [3; 6] hàm số f(x) đồng biến. Vậy niirif(x) = f(3) = InlO ; m axf(6) = ln40 . xe[3,6] Bài toán 6.19: Tìm GTLN, GTNN của y = 4*”' ’' + 4 “ *'’‘ . Giải Đ ặ t t = 1 < t < 4 t h ì y = f(t)= t + - , f ’(t)= 1 - 4 - = - ^ ^ f ’(t) = 0 « t = ± 2. Chọnt = 2. Ta có f(l) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5 Vậy max y = 5 khi sin^x = 0 hoặc sin^x = 1, ■ min y = 4 khi sin^x = —. Bài toán 6,20: Tìm GTLN, GTNN của y = 2 Giải + 2 ' Đặt t = 1 sinx 1,0 < t < 1, thì y = f(t) = 2‘ + 2 ' ^ , 0 < t < 1. f'(t)= 2'.ln2 + 2 2" - t -,ln2 = t.ln2^ 2' 2 ^ ^ t V ĩ ^ u In 2 -1 Xét g(u) = — , 0 < u < 1 thì g '(u) = 2“. u u" Vì 0 < u < 1, 0 < ln2 < 1 nên g '(u) < 0, Vu e (0; 1) ;i-t^ 2' 2 Do đó g(u) nghich biến trên (0; 1). Nên: f'(t) = 0 -» — = , t = t Vn h VI VI Ta có f(0) = 3, f v 2 y = 2.2 ^ , f(l) = 3. Vậy max y = 2.2 ^ , min y = 3. 73 BÀI TẬP Bài tập 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: a)log67>log7 6 b)2 0 HD-ĐS Dùng bất đẳng thức Côsi Bài tập 6.3: Cho X, y, z là ba số thoả mãn X + y + z = 0. Chứng minh: 'v/3 + 4’‘ + V3 + 4’' + V3 + 4^ > 6 . HD-ĐS Dùng bất đẳng thức Côsi Bài tập 6.4: Chứng minh: log2(x^ + 1) - log2X > 3x^ - 2x^, Vx > 0 HD-ĐS Dùng đạo hàm Bài tập 6.5: Chứng minh 3 In X X +1,Vx > 0,x 1 x^ -1 x^ + X HD-ĐS Đưa về hàm phân thức riêng biệt, hàm lôgarit một bên. Bài tập 6.6: Chứng minh bất đẳng thức 3^^ > X +1, Vx>0. HD-ĐS Dùng đạo hàm và lập BBT Bài tập 6.7: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dưong t".^Ị\-X < / , Vx e(0,l) V2ne HD-ĐS Lấy lôgarit Nêpe 2 vế. Bài tập 6.8: Tìm GTNN, GTLN của hàm số: a) y = b) y = HD-ĐS a) 1/3 và 27 b) 2 v ? và 6 74 Bài tập 6.9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a) y = \n x - ^fx b)>^ = lg^x + 1 ỉg^ X+ 2 IID-ĐS a) Tính đạo hàm và lập BBT b) X > 0, đặt t = Igx, t e R. Bài tập 6.10: Cho tam giác ABC, tìm GTNN của HD-ĐS ỉị Xét hàm f(x) = (tanx)^'^ ; min = 3(-— 3 PH Ư Ơ N G TRÌN H M Ũ Phương pháp chung - Đưa về cùng mội cơ sổ - Dặt ẩn phụ - Lôgarit hoả, mũ hoá - Sử dụng tỉnh chất của hàm số Giải phương trình mũ - Phương trình mũ cơ bản: (p = b (a> 0, a l) Neu b <0, phương trình vô nghiệm Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất X = logab. Phương trình (a> 0) <=> Chúý: a = 1 a ^ \ , f(x) = g(x) 1) Ngoài 4 phương pháp chỉnh đế giải phương trĩnh mũ, ta có thế dùng định nghĩa, biến đổi thành phương trình tích sổ, dùng đồ thị, bất đẳng thức,... 2) Biến đỗi luỹ thừa và mũ: Với các sổ a > 0, h > 0, avà p tuỳ ý, ta có: a" a“: a<^-P; (a'^f = a'ữP (a.b)" = (a: = a“: b“ 3) Đạo hàm trong điểu kiện xác định: (e^)' = e^, (e“)' = e".u', (à^)' = cPlna, (a“) ' = a^.lna.u' 75 (ỉnx)'^ - ;( H ^ |) = ~ ’0^ễa x ) = —^ ; (ln|u|) = — . X X xlna u Bài toán 7.1: Giải các phương trình sau: a) = 4 b) (2 + V3 =2 + yÍ3 ' Giải a) PT; =2^<=í>x^-3x + 2 = 2<=>x^-3x = 0 o x = 0 hoặc X = 3. Vậy phương trình có nghiệm là: X = 0 hoặc X = 3. b) PT: (2 + V3 = (2 + V3 )■' <» 2x = -1 ^ X - - - . Vây phương trình có nghiệm là: X = - —. Bài toán 7.2: Giải các phương trình sau: a ) 2’‘^'. 5’‘ = 200 b) 0,125.4^’“^ Giải a) PT: 2. lO’^ = 200 <=> lO’^ = 100 « X = 2. Vậy phương trình có nghiệm là: X = 2. 5x 5x (4 ^ 2 )" b) PT: T \ 2^^“® 2T ^ = 2^ Cí> 4x - 95x<=> 8x - 18 = 5x <=> X = 6. Vậy phương trình có nghiệm là: X = 6. Bài toán 7.3: Giải các phương trình sau: x + l a)(l,5)'^-' = ' ì ' .3 , b) 7’‘-‘ = 2^ N -X -l Giải a)PT: <=>5x-7 = - x - l< = > x = l. 3 v2 y Vậy phương trình có nghiệm là: X = 1. í b) PT: y’' - 2^ 7 o - = 7«x= log7 7. v2 j 2 Vậy phương trình có nghiệm là; X = logy 7. 76 Bài toán 7,4: Giải các phương trình sau: 1 3 _ - *í I a) 9 ' - 2 2=2 2 _ 32x-i b ) 7 ' ° ® ’ ' - = 3 5 > o g x - ' . Ị 3 y i o g x - i 1 x+- 2 - X _ 2 ' 2 Giải 41 a) PT: 9’‘ + -.9 3 + 2.2^^^ =3.2 3 x+—2 <=>9 v2 / <=> X -1 = logạ ■» X = 1- —logạ 2 . 1 Vậy phương trình có nghiêm là: X = 1 - — logg 2 . ^ 2 7 5 ^ 7 ;=5'■logc 5+-5. b) PT: 7““*“ +137'”*^.ị=5‘“'^.5+3.5'“*^.- o 7 '”‘^í 1 + y <=> ylog.rí_ ^log.ví <=>' 7 ' u J TO 7 í 7 — = - « logx = 2 « X = 100. 5 20 U i Vậy phương trình có nghiệm là: X = 100. Bài toán 7.5: Giải các phương trình sau; a) 42^ - 2’= - 6 = 0 b) 3’'"' + 18.3'’' = 29 Giải a) Đặt t = 2^ t > 0 thì PT: t^ - 1 - 6 = 0 Chọn nghiệm t = 3<=>2'‘ = 3<=>x = log23. Vậy phương trình có nghiệm là: X = log23. b) Đạt t = 3 , t > 0 thì PT: 3t + — = 29 o 3t^ - 29t + 18 = 0 <» t = 9 hoặc t = - t 3 Giải ra nghiệm X = 2 hoặc X = log32 - 1. Bài toán 7.6: Giải các phương trình sau: a) e^" - 3e" - 4 + 12e‘" = 0 a) Đặt t = e", t > 0 thì PT: b) 27"+ 12’‘ = 2.8^. Giải . 3t - 4 + — = 0 o t^ - 3t^ - 4t + 12 = 0 (t - 2)(t + 2)(t - 3) = 0. Chọn nghiệm t == 2 hoặc t = 3 nên X = ln2 hoặc X = ln3. Vậy phương trình có nghiệm là: X = ln2 hoặc X = ln3. b) Chia 2 vế cho 8" > 0 thì PT: ^27V r i 2V V o y 8 v8; 77 <=>(3Ỵ + -u .- 2 = 0. Đặt t =[2], t > 0. PT: + 1 - 2 = 0 <=> (t - l)(t^ + 1 + 2) = 0 » t = 1 o X = 0. Vậy phương trình có nghiệm là: X = 0. Bài toán 7.7: Giải các phương trình: a) 2.25’' + 5.4’‘ = 7.10’' _1 1 _i b ) 4 ’‘ + 6 ’‘ = 9 ’‘ . Giải a) PT: 5 ^ 2 ^ V 2x - 7 í - ì 'í n \ + 2 = 0. Đặt t =l5, t > 0. PT: 5 r - 7t + 2 = 0 <=> t = 1 hoặc t = — (thoả mãn) Suy nghiệm X = 0 hoặc X = 1. b) Điều kiện X + 0, đặt y = - — và chia hai vế cho 4^', ta có: ■\ = o ^ ( 3Ỵ 1 + V? _ , l + Vs u ; - - , _ I+Vs ^ 1 , r I +Vs log3 ^ ^ < = > - = log , ^ 2 X 2V Vậy phương trình có nghiệm là: X = log ^ J —. Bài toán 7.8: Giải các phương trình: a) I ) +fV2+ĩ/3 l = 4 b) 4*"’^ - 5 . 2 ’' = 6 . Giải a) Ta có -\/2-V 3 .V2 +V j = 1, đặt t = Ị^V2 + V 3 j , t > 0. PT: í + - = 4 o t^ - 4t + 1 = 0 t <=> t = 2 + V3 hoặc t = 2 - -v/3 <=>x = 2 hoặc X = -2. Vậy phương trình có nghiệm là: X = 2 hoặc X = -2. b) Đặt t = 2’'^’^ , t > 0 thì PT: t^ - - t = 6 « 2t^ - 5t - 12 = 0. Chọn nghiệm t = 4. 78 nên X + Vx^ - 2 = 2 <=> -\/x" - 2 = 2 - x < t í > 2 - x > 0 v à x ^ - 2 = 4 - 4 x + x^ 2 2 <=>x<2 vàx = — <»x = —, 3 3 Vậy phương trình c ó nghiệm là: X ^ Bài toán 7.9: Giải các phương trình: a) x^+ (x- 2)^ = 0 b) Ặ ’‘]lr(0 ,ỉ2 5 y =4ịÍ2. Giải a) ĐK: x > 0 , x - 2 > 0 < = > x > 2 . Với X > 2 thì VT > 0 nên PT vô nghiệm. X b) ĐK: X ^ 0, PT: 2' 1 6 2 X = 2^ o 222 x — l ) = 2 ' X X 1 7 < o 2^ 2^ ^ = 2 ^ <=>- + - — - = L^ 2 3 2x 3 7 1 <» 5x - 14x - 3 = 0<=>x = - — hoặc X = 3. 5 Vậy phương trình có nghiệm là: X = - — hoặc X = 3. Bài toán 7.10: Giải các phương trình: a) V16- x +VĨ 7 Ĩ = 3 b) V Í 7 T - V ^ - V xM . Giải a) ĐK: -I < X < 16. Đặt u = V l 6 - X , V = ựx + 1 thì u, V > 0. _ íu + v = 3 Ta có hệ:u V v =17 2.,2_ , .2, .2 Đặt s = u + V , p = uv thì u'* + = (u^ + - 2u^v^ = ((u + v)" - 2uv)" - 2 u \ 17 = (9 - 2P)^ - 2P^ = 2P^ - 36P + 81. Do đó p = 2 hoặc p = 16. Vì - 4P > 0 nên chọn p = 2 suy ra s = 3 nên nghiệm X = 0 hoặc X = 15. b) ĐK: X < -1 hoặc X > 1. Vì X = ±1 không là nghiệm nên điều kiện: X < -1 hoặc X > 1. Ta có X là nghiệm thì - X cũng là nghiệm PT, do đó xét X > 1. PT: ^V(x + 1)^ -ự(x-l)^ = 1 79