🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Các Bài Toán Theo Chủ Đề Trong Các Đề Thi Toán Vào 10 Chuyên Năm 2019 (Có Đáp Án Và Giải Chi Tiết) Ebooks Nhóm Zalo 1 CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2019 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website sachhoc.com giới thiệu đến thầy cô và các em các bài toán theo chủ đề trong đề lớp 10 chuyên năm 2019. Chúng tôi đã kham khảo qua đề thi để làm chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới thường được ra trong các kì thi lớp 10 gần đây. Chuyên đề gồm 9 chủ đề: • Rút gọn biểu thức chứa căn và tài toán liên quan • Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị • Phương trình • Hệ Phương trình • Hàm số • Các bài toán lập phương trình, hệ phương trình, toán thực tế • Chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức • Các bài toán số học • Các bài toán tổ hợp và logic • Các bài toán hình học Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề các bài toán phân theo chủ đề này có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 Mục Lục Trang Lời nói đầu 1 Phần 1. Các bài toán vào 10 chuyên năm 2019 theo chủ đề 3 1. Rút gọn biểu thức và toán liên quan 3 2. Bất đẳng thức Min-Max 5 3. Phương trình 16 4. Hệ phương trình 26 5. Hàm số 32 6. Các bài toán lập phương trình, hệ phương trình, toán thực tế 37 7. Biểu thức 40 8. Các bài toán số học 42 9. Tổ hợp và Logic 47 10. Các bài toán hình học 50 Phần 2. Hướng dẫn giải 61 1. Rút gọn biểu thức và toán liên quan 61 2. Bất đẳng thức Min-Max 83 3. Phương trình 104 4. Hệ phương trình 143 5. Hàm số 169 6. Các bài toán lập phương trình, hệ phương trình, toán thực tế 184 7. Biểu thức 190 8. Các bài toán số học 197 9. Tổ hợp và Logic 218 10. Các bài toán hình học 227 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 Chuyên đề 1 Căn bậc hai và bài toán liên quan Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Cho biểu thức: 1 5 9 x x x Px x xvới x ≥ 0, x ≠ 25. + − = − − + − − 5 5 25 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các giá trị của x để P < 1. Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:         2 3 5 2 3 5 . A 2 2 3 5 2 2 3 5     Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: B = (13− 4 3)(+7 4 3−) 8 20+ 2 43+ 24 3 . Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x, y là các số thực dương và 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 P = +x +x x+y +y y+ y+x +x +y 1. Chứng minh rằng 3 3 2 3 x + y +1 = P . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) 4 3 2 Tính giá trị của biểu thức:      x x x x A 2 3 38 5 2 x x   4 5 Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) − + − + − = 1 5 1 5 khi x =2 +3 . Tính giá trị của biểu thức: A 1 5 1 5 . 5 Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020)     =  −   −  − + − − +    với x ≥ 0, x ≠ 1. Cho biểu thức 1 2 2 x x Px x x x x x : 1 1 1 1 a) Rút gọn biểu thức P. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 b) Tìm tất các giá trị của x để P ≥1. Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức ( ) ( ) − − + + −   =  −  − −  − trong đó x >1, x ≠ 2 . x x x x 4 1 4 1 1 . 1 Ax x x 4 1 1 ( ) 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức A là số nguyên. Câu 9. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức:  +   +  =  +   −   −     − − +    a a Pa a a a a a2 1 3 5 ( 1) . 1 1 1 4 . Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: 3 16 7 1 3 x x x x Px x x x + − + − = − − + − + −(x ≥ 0,x ≠ 1). 2 3 3 1 Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) − − + = + − , với a ≥ 0,a ≠ 4 . a a a Pa a Rút gọn biểu thức 4 4 4 :2 2 4 Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: 2 4 2 3 6 2 55 3 A = + + − ++ . Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020)   − − =  − +    + + − − + +   Cho biểu thức: 3 3 1 ( 1)( ) x x x x y Mx xy y x x y y x y x xy y :2 2 2 a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm các số nguyên x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên. Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020)                        x x x x A Cho biểu thức:: 24 3 2 2 , : x x x x x x 2 2 3 5 6 (với x  0, x  4,x  9 ). 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 Rút gọn các biểu thức sau: 1. A  4 3 2 27  12 .          2.1 2 1 a a B :        , (với a  0,a  1). a a a a 1 1 Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) 1) Tìm điều kiện xác định: 1 2 Ax x = − − − 1 2 2) Rút gọn: B = 5 12 27− 3) Rút gọn: 1 1 a Ca− = − − 1 Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho biểu thức: 3 9 3 2 1 1 a a a Aa a a a + − − = − + − + − − + 2 1 2 1)Rút gọn biểu thức A. 2)Tìm giá trị của a để A = 2 . Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn: A = ( 5 3)( − 5 3)+ 6+ Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) 2  +    +  −  + = ⎟ − a 1 3 3 a) Cho a là số thực khác 1 và −1. Rút gọn biểu thức a a a Pa a a 1 1 2 . 2 3  −  − − 1 1 1   +  +  3 a 1 b) Cho các số thực x, y, a thoản mãn 2 3 4 2 2 3 4 2 x + x y + y + y x = a . Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2 x + y = a . Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020)  + − − +  − + =  −   − −  − với 1 0, 1, 4 Cho 2 1 2 1 . 1 1 2 1 x x x x x x x x Px x x x a) Rút gọn P. x ≥ x ≠ x ≠ . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 b)Tìm các giá trị của x sao cho 45 P = . Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020)         Cho biểu thức: 3 1 3 x x x Px x x x x x x(với x  0). :           1 1 1 1 Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để 1.5 P  Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A  2x  15  8 2x 1. a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. b) Tìm x để A  3. Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho    3 3 x 1 2 4. Tính giá trị đúng của biểu thức       5 4 3 2 A x 4x x x 2x 2019. Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) a) Tìm điều kiện của x để biểu thức 13 x x   có nghĩa.         a a a aa             a  0,a  1. b) Chứng minh đẳng thức 1 1 1 a a 1 1 Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) 3 5 .3 5   P 1) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức   10 2     tại x  20202 2019 2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 2 3 2 x x Qx 2 Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Tính giá trị các biểu thức sau: a) 4 + 3 2 b) 5 + (6 − 5) Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) 2 x x Hx x x(với x ≥ 0; x ≠ 1) + = + − − + − Cho biểu thức: 2 2 1 1 2 1 1 1 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 a) Rút gọn biểu thức H . b)Tìm tất cả các giá trị của x để x − H < 0 Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức: T = (2 3+ 1) (3 2− 1) 13− 4 3 19+ 6 2 . Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2019 3 . 3 9 Px x = − − − Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) 2 1 1 4 :  + −   +  =  − +         − +   + với a > 0, a ≠ 1. Cho biểu thức a a a a a P a a a a 1 1 1 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên. Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho x = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 . Tính giá trị của biểu thức P = x(2 x) .− Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: 2019 3 . 3 9 Px x = − − − Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020)  + −  =  − +     − + với a > 0, a ≠ 1. Cho biểu thức: 1 1 1 4 . 1 1 a a P a a a a a 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của P khi a = 9 4 +2. Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Với x > 0, xét hai biểu thức: 2 x Ax + = và x 3 2 x 9 Bx x 3 x − + = + + . Tìm tất cả các giá trị của x để A 5. B 3 > Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8 − + − = − . Rút gọn biểu thức : 5 6 7 33 128 1 C3 2 Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020)  + + +   −  =  + +  −    − − − +   − − . Cho biểu thức: 3 2 2 2 x x x x Ax x x x x x : 1 2 3 5 6 2 a)Rút gọn biểu thức A. b)Tìm x để 1 P 2Ax = −đạt giá trị lớn nhất. Câu 37. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) 2 2 Tìm a , biết: ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a + − − + + + + − + − = − + 1 1 2 1 1 2 1 11 a a a a . ( ) ( ) 4 1 1 Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) 2 2 2 8 1  + +  − + − =  −  ⋅ Cho biểu thức x x x x x x Ax x x x xvới x ≥ 0 .  − + +  + 1 1 3 Rút gọn biểu thức A và tìm x để A = 6 . Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) 2 2 3 1với x > 0, x ≠ 1. Cho biểu thức: x x x x x Px x x x x x + − + = + − − + Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) − − + − − = + − + + + +(với x ≥ 0 ). Cho biểu thức : 4 9 3 1 2 1 x x x x Ax x x x 3 2 1 2 a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tìm giá trị lớn nhất của A . Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) a) Rút gọn biểu thức:    −   + :3 2 2 x A = 11 x  + + +   − +   − − − + (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 ) x x x x x x x 2 3 5 6 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9 b) Cho 3 ( 3 1) 10 6 3 x − + = 21 4 5 3 + + hãy tính 2 2019 B = (x +4x −2) Câu 42. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Cho biểu thức:  2 1 1  ( + ) − =  + + ⋅   +  xy x y xy Pxy x y x x y y(với x > 0; y > 0). 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Biết xy =16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 43. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho: 3 3 x = 70 + 4901 + 70 − 4901. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng minh x là số nguyên tố. Câu 44. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . Câu 45. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho 3 3 x = 2 + 2 3 + 2 − 2 3 −1. Tính giá trị biểu thức ( )3 3 2 P = x x 3x+ 9+ Câu 46. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) 1 1 1 1 ... 3 1 5 3 7 5 2019 2019 2 = + + + + Tính tổng: 2 2 + + + + − S Câu 47. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: ( 2 2 2 )( 1) a a − − Ta a = − − với a > 0,a ≠ 4 . 2 Câu 48. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) x Px x x x .   + = +    − −  − 1 1 1 : a) Cho biểu thức: ( )2 1 1 Tìm điều kiện xác định của P và giá trị của x để 12 P = . b) Rút gọn biểu thức 3 A = 46 5 61 − 69+ 28 −5. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Câu 49. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020) 2 2 A +   −  =  −  − −   +   −  Rút gọn: 1 3 2 1 3 2 . 2 1 3 2 1 3 Câu 50. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A = (3 5 − 27 − 20 ) 5 +3 15 . Câu 51. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức: 3 2( 3) 3 x x x x Ax x x x − − + = − + − − + − 2 3 1 3 a) Rút gọn biểu thức ��. b) Tính giá trị của biểu thức �� khi x = 4 2− 3 Câu 52. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) − − +  − +  = +  − −  − + +  + − với x ≥ 0, x ≠ 1. Cho biểu thức ( ) 2 3 8 1 1 1 x x x x x x P x x x x x 1 2 1 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả số nguyên tố x để P ≤1. Câu 53. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) 2 2 2 2 1  + − −  =  + −  ⋅ x x x x x Px x x x x x Cho biểu thức với x > 0.  − + +  − + 1 1 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Chứng minh: P ≤ 3. Câu 54. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Cho biểu thức: ( ) 2 2 1 2 2 x x x x x Ax x x x − + − = + − + − + − với x ≥ 0, x ≠ 1. 1 1 1 Tìm tất cả các giá trị của x để A ≤ 0. Câu 55. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: 3x 9x 3 x 1 x 2 P . x x 2 x 2 x 1 + − + − = − − + − + − Tìm x để P = 3. Câu 56. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11    −  =  +   −       − + + . Cho biểu thức: 1 1 1 . 1 1 x A xx x x x 1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 57. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các số thực x, y, a thoản mãn 2 3 4 2 2 3 4 2 x + x y + y + y x = a . Chứng minh rằng 3 2 3 2 3 2 x + y = a . Chuyên đề 2 Bất đẳng thức-Min-Max Câu 1: (TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 4x + 4y + 17xy + 5x + 5y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P = 17x + 17y + 16xy Câu 2: (TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020) Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( )( ) 2 2 P = xy x 2− y 6+ 13x+ 4y+ 26x− 24y+ 46+ Câu 3: (TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020) Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 4 1) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + = + + + a 2 b 2 c 2 1 1 1 P . = + + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b 4 2 b c 4 2 c a 4 + + + + + + Câu 4: (TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020) Cho K = ab+ 4ac− 4bc với a,b,c ≥ 0 và a + b + 2c = 1. 1) Chứng minh rằng: 1 K2 ≥ 2) Tìm giá trị lớn nhất của K. Câu 5: (TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020)  < <  + + = . Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1 0 a,b,c 2 2a 3b 4c 3 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 2 9 8 Pa 3b 4c 2 b 4a 8c 3 c 2a 3b 1 = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) + − + − + − Câu 6: (TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab. Chứng minh rằng: a b 1 + ≥ 2 2 4b 1 4a 1 2 + + Câu 7: (TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 x + y + z ≤ 3y 1 4 8 P Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = + + x 1 y 2 z 3 + + + Câu 8: (TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 1. + + ≤ a 1 b 1 c 1 + + + 3 3 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c Pa ab b b bc c c ca a = + + 2 2 2 2 2 2 + + + + + + Câu 9: (TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020) Cho các số dương a, b, c dương thỏa mãn abc = a +b +c +2 . 1 1 1 P Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 = + + a b b c c a + + + Câu 10: (TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 5 x + y + z − 9x y + z −18yz = 0. − − = + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2x y z Q . y z Câu 11: (TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020) Cho x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTLN. GTNN của biểu thức M 2 2 2 = x −6x +25 + y −6y +25 + z −6z +25 Câu 12: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020] Cho x, y,z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng: 3   1 1 1 2 x y z + + ≥  + +  + + +  + + +    (1) 2 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z 3 1 x 1 y 1 z Câu 13: (TS10 Chuyên TP. Hồ Chí Minh, 2019-2020) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn 0; 2   thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3. a) Chứng minh rằng: 2 2 2 x + y + z < 6 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 P = x +y +z −3xyz Câu 14: (TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xy + yz + 4zx = 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 P = x+ 16y+ 16z Câu 15: (TS10 Chuyên Quốc Học Huế, 2019-2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh rằng: x 2y 4z 1 + + ≤ 2 2 2 2 2 2 2x y 5 6y z 6 3z 4x 16 2 + + + + + + Câu 16: (TS10 Chuyên Tin Hòa Bình, 2019-2020) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x + y ≤ 1.   = +  + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 2 2 P 1 x y x y   Câu 17: (TS10 Chuyên Tiền Giang, 2019-2020) Cho hai số dương x, y thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 x + y + 6xy x + y − 2 = x +y xy +4   =  + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 x y T 1 2 y x   Câu 18: (TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu, 2019-2020) Cho các số thực dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 x y xy P 2 y x x y = + + ++ 2 2 Câu 19: (TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020) Với x, y là các số thực thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 và xy + 2 ≥ 2y . 2 + = + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 4 My 1 2 Câu 20: (TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020) Với x, y là cá số thực thỏa mãn ( )( ) 9 2 x y 1 .4 + − = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 3 2 4 3 2 A = x 4x+ 6x+ 4x+ 2+ +y 8y− 24y+ 32y− 17. + Câu 21: (TS10 Chuyên Bình Thuận, 2019-2020) Cho các số dương x, y, z thỏa 1 xyz .2 = Chứng minh rằng: yz zx xy xy yz zx. + + ≥ + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z y z x z x y + + + Dấu “=” xảy ra khi nào: Câu 22: (TS10 Chuyên Hải Phòng, 2019-2020) Cho x; y; z là ba số thực dương thỏa mãn x(x − z) + y(y − z) = 0. 3 3 2 2 x y x y 4 Px z y z x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + + = + + 2 2 2 2 + + + Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Câu 23: (TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 a b 5 1 b c 5 1 c a 5 + + + + + + + + + = + + Pab a 4 bc b 4 ca c 4 + + + + + + Câu 24: (TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( ) ab bc ca 1a b c + + ≤ + + a b 2c b c 2a c a 2b 4 + + + + + + Câu 25: (TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ 1. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ b ac c ab a bc 2 + + + Câu 26: (TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a a b b c c Pa 3 b b 3 c c 3 a = + + + + + . Câu 27: (TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020) a b c a b c 4 + + Cho các số dương a, b, c. Chứng minh: 2 2 2 . + + + ≥ b c a 3. a b c + + Câu 28: (TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b + 1 + b c + 1 + c a + 1 ≥ 2 Dấu “=” xảy ra khi nào? Câu 29: (TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 3. a b c R1 b 1 c 1 a = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 + + + Câu 30: (TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020) Cho x, y, z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện 3 + + = . x y z2 Chứng minh rằng: x + 2xy + 4xyz ≤ 2 Câu 31: (TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 31 1 1 1 Pabc a 2b b 2c c 2a = + + + + + + Câu 32: (TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu, 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 3 + + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P = + + 2 2 2 2 2 2 a ab 3b 1 b bc 3c 1 c ca 3a 1 − + + − + + − + + Câu 33: (TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020) Chứng minh ( ) ( )( ) 3 a + b + c + 9abc ≥ 4 a + b + c ab + bc + ca với x, y, z là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 34: (TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020) Cho 3 số dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yz zx P2x z 2y z 2y x 2z x 2z y 2x y = + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + + + + + Câu 35: (TS10 Chuyên Bình Phước, 2019-2020) 1) Cho x, y là các số dương thỏa mãn xy ≤ 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 + ≤ + + + 1 x 1 y 1 xy 2) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: ( )3 x + y + 4xy ≤ 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 P 2018xy 1 x 1 y = + + + + Câu 36: (TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2 a + b + c = 3. 3 3 3 3 3 3 a b b c c a 2 + + + Chứng minh rằng: + + ≥ a 2b b 2c c 2a + + + Câu 37: (TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 3; y ≥ 3.     =  + + +       Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 T 21 x 3 y . y x Câu 38: (TS10 Chuyên tin Lam Sơn – Thanh Hóa, 2019-2020) a,b,c a + b + c = 3 Với các số thực không âm thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( )( ) 2 2 2 S = a+ 2 b+ 2 c+ 2 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Phương trình Chuyên đề 3 Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình: ( )( ( ) ) 2 2 3 3 x +x +1 3x − 2 + 3x − 2 +1 = 9 Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) 4 8 Giải phương trình 22 x + − 4x + = 9 x x . Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Giải phương trình: ( ) 2 3 2 x + 2 = 5 x 1+. Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 2 4 2 x − 5x +1+ x + 7x +1 = 0. Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) xx Giải phương trình: 1 1. x = + − + 10 Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 2 2 2x + 3x + 2 + 4x + 6x + 21 =11 Câu 7. (Trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 4 2 2 x − m −1 x + m − m −1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt. Câu 8. (Trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 x + 2 7 − x = 2 x 1 − +x − 8x+ 7 − 1.+ Câu 9. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình ( ) ( )( ) 2 x − 2 x −1 x − 3 =12 . Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình x−1 + 5 − x − 2 = 2 (x 1)(5− x)−. Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Giải phương trình 2 x − 1 = x 1. + Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 x −1 + x − 3 + 8 x −1 x − 3 − 2m = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có nhiều hơn hai nghiệm phân biệt. Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 8x −12x −1 = 8x 5+. Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 4 3 2 2 x  2x  2x  x  2( x  x  1 1). Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 2 2x 3x 10 x 2x 4 3 − + − + = + + x 2 x 2 Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình ( )3 3 x + x +1 = 9x+ 8. Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình ( ) 2 2 x − x − 4x = 4 x +3 . Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình x + x − x − = x + 2 2 2 2 19 4 74 Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: x +1 + 4 − x − ( x +1)(4 − x) =1. Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 2 x − 3x + 5 + x = 3x +7 Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: x + 2 − 2 x −1 = 3x −3 ⋅(x +2)(x 1)− Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 3 3 x + 2 = 3 3x 2.− Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Giải phương trình: ( ) 2 2 x 10 − x x + 10 − x =12. Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Giải phương trình 2 2x −1 + 5 − x = x −2 +2 −2x +11x −5 ; Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 4 2 x + x − 20 = 0 Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 2221 4 + 2 + = 9 x xx x . 4 + 2 +1 Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Giải phương trình 222 4 3 0 x xx x + − = + + . 1 Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 2 x + 4 − x = 2+ 3x 4− x Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 23 2 x x + = − − + − . x x x x 2 2 Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình   2 x  x4  2 x1 1 x . Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020)             . 2 2 5 3 6 7 4 0 Giải hệ phương trình x y y x y y x x ( 2) 3 3 Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình ( )3 6 3 5 2 x + x − 3 = 3x −9x −1. Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình       2 2 x 2x 2 x 2x 2 1 0 Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020) 1 3 10 Giải phương trình         2 2 2 2x x 1 2x x 3 2x x 7 Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Giải hệ phương trình 2 21  − + =  + = x y xy x y 2 Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho các đa thức ( ) 2 P 1 1 1 x = m x +n x +k , ( ) 2 Q 2 2 2 x = m x +n x +k , ( ) 2 R 3 3 3 x = m x +n x +k với , , mi i i n k là các số thực và 0, 1,2,3 mi > i = . Giả sử phương trình P( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 a , a ; phương trình Q( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 b , b ; phương trình R( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 c , c thỏa mãn P(c1 ) + Q(c1 ) = P(c2 ) +Q(c2 ), P(b1 ) + R(b1 ) = P(b2 ) +R(b2 ), Q(a1 ) + R(a1 ) = Q(a2 ) +R(a2 ) . Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 a + a = b + b = c + c . Câu 37. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 x − 2mx + m − m +1 = 0 có hai nghiệm 1 2 x , x thỏa 2 2 2 1 1 x − 2x + 6mx =19 Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) 2 2018x − m − 2019 x − 2020 = 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 x , x thỏa mãn: 2 2 1 1 1 2 x + 2019 − x = x + 2019+ x . Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) ( ) 2 2 x − 2 m −1 x + m − 2m − 3 = 0 1 , với m là tham số. a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm 1 x và 2 x sao cho biểu thức 2 2 1 2 1 2 x + x + 5x x đạt giá trị nhỏ nhất thì tham số m là một phân số tối giản pq( p, q là các số nguyên, q ≠ 0 ). Hãy tính p q Tp q + = + . 2 2 Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình 2 x − (m + 2)x + m = 0(với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x thỏa mãn điều kiện ( ) 21 2 1 2 x + m + 2 x − 5x x = 6 . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Cho các đa thức ( ) 2 P x = x + ax + b , ( ) 2 Q x = x +cx +d với a, b, c, d là các số thực.. a) Tìm tất cả các giá trị của a, b để 1 và a là nghiệm của phương trình P( x) = 0 . b) Giả sử phương trình P( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x và phương trình Q( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 3 4 x , x sao cho P( x3 ) + P( x4 ) = Q( x1 )+ Q( x2 ) . Chứng minh rằng 1 2 3 4 x − x = x − x . Câu 42. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Tìm m để phương trình ( ) 2 x − 2 m +1 x + 4m = 0 ( x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm 1 2 x , x thỏa mãn 3 2 3 2 1 1 2 2 x − x = x − x . Câu 43. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Cho phương trình bậc hai 2 x − mx + m − 1 = 0 , với m là tham số. a) Giải phương trình đã cho khi m = 4. b) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 x ,x thỏa mãn hệ thức + = x x 1 1 + 1 2 x x . 1 2 2019 Câu 44. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Giải phương trình 2 2x  3x 5  0. Câu 45. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Giải phương trình: x − 5 x −1 − 7 = 0 Câu 46. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Cho phương trình 2 2x − 6x + 2m − 5 = 0 1) Giải phương trình với m = 2 . 1 1 6 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn: + = . x x 1 2 Câu 47. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Cho các đa thức ( ) 2 P x = x + ax + b , ( ) 2 Q x = x +cx +d với a, b, c, d là các số thực.. a) Tìm tất cả các giá trị của a, b để 1 và a là nghiệm của phương trình P( x) = 0 . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 b) Giả sử phương trình P( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x và phương trình Q( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 3 4 x , x sao cho P( x3 ) + P( x4 ) = Q( x1 )+ Q( x2 ) . Chứng minh rằng 1 2 3 4 x − x = x − x . Câu 48. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình 2 x  4xm  0 (1) (m là tham số). Tìm các giá trị của để m     1 1x x 4(m 2). phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ; x thỏa mãn   2 2         x x 1 2 Câu 49. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) 1 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình     2 x 2mx m 2 0 có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x thỏa mãn x1  x2  2 10. Câu 50. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Cho phương trình 2 x 2mx4m4  0 (1), m là tham số a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2 1 2 x 2mx 8m5  0 Câu 51. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) a) Giải phương trình 2 x − 3x + 2 = 0 b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 x − 2(m −1)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ; x thỏa mãn: 2 1 2 1 2 (x − x ) + 6m = x− 2x . Câu 52. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình 2 x + 2(a + b)x + 4ab = 0 (x là ẩn số; a, b là các tham số). Tìm điều kiện củaa và b để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một nghiệm dương. Câu 53. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Cho phương trình 2 2 x + 2(m − 2)x − m − 5 = 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình với m = 0. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x (giả sử 1 2 x < x ) thỏa mãn 1 2 | x | − | x +1|= 5. Câu 54. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Cho phương trình 2 x − 2(m −1)x + 2m − 6 = 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình với m = 3. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x thỏa mãn 2 2 1 2 x + x = 32. Câu 55. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Cho phương trình (ẩn x , tham số m ): 2 x − (2m +1) x −12 = 0 . (1) a)Với các giá trị nào của số thực m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x sao cho 1 2 1 2 x + x − 2x x = 25 ? b)Tìm tất cả các giá trị của số thực m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x thỏa mãn ( ) 2 2 1 2 x − x − 7 2m +1 = 0 . Câu 56. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020) Cho phương trình 2 ax + bx + c = 0 (1) thỏa mãn các điều kiện: a > 0 và 2 ac < b < a + c . a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x , x và (1− x1 )(1− x2 ) > 0 và (1+ x1 )(1+ x2 ) > 0 . b) Biết rằng a > c . Chứng minh rằng 1 2 −1< x , x <1. Câu 57. (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình: 2 x − mx + m −1 = 0. (1) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. x x Ax x x x + = + + + 4 6 b) Giả sử 1 2 x , x là hai nghiệm của phương trình (1), đặt 1 2 2 2 2(1 ) 1 2 1 2 Với giá trị nào của m thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 58. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Cho phương trình: ( ) 2 x − 2x + 4m = 0 1 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 4 . Câu 59. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) ( ) 2 2 x − 2 m − 3 x + m −1 = 0 1 , với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x , x thỏa mãn 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 x + x = x x x+x . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Câu 60. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình 2 x + 5x + 4 − 9m = 0 (1), với m là tham số. Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 x x −1 − x 8x +1 = 5 Câu 61. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Cho phương trình 2 x − 2mx + m − 4 (1) (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm 1 x ; 2 x thỏa mãn: 2 2 x x 1 2 x + x = + 1 2 x x 2 1 Câu 62. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai phương trình 2 x + 6ax + 2b = 0 và 2 x + 4bx + 3a = 0 với a,b là các số thực. Chứng minh nếu 3a + 2b ≥ 2 thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm. Câu 63. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) 2 2 x − 3m − 2 x + 2m − 5m − 3 = 0, x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương. Câu 64. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Phương trình ( ) 2 x − 3 + 2 x + 6 = 0 có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình 4 2 x +bx + c = 0 (*) . Tìm b;c và giải phương trình (*) ứng với b;c vừa tìm được. Câu 65. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Giải phương trình 2 x − 6x + 5 = 0 . Câu 66. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) ( ) 2 x − m + 2 x + 3m − 3 = 0 1 với �� là tham số. Tìm các giá trị của �� để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ��1, ��2 sao cho ��1, ��2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 5. Câu 67. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Cho phương trình ( ) ( ) 2 m −1 x − 2 m − 3 x + m − 4 = 0. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm 1 2 x , x bé hơn 2. Câu 68. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) Cho phương trình: 2 x − x + m − 2 = 0 ( m là tham số). a) Tìm tất cả tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 1 1 5 b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x , tìm tất cả tham số m để 2 2 + = . x x 4 1 2 Câu 69. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho abc là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình 2 ax + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỉ. Câu 70. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x − 2(m +1)x − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x , x sao cho 1 2 x < x và 1 2 | x | − | x−|= 4. Câu 71. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Cho phương trình (ẩn x) 2 x + (m −1) x + m − 6 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2 x , x sao cho biểu thức 2 2 A 1 2 = (x− 4)(x− 4) có giá trị lớn nhất. Câu 72. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) x + 2mx − 2m − 6 = 0 có hai nghiệm 1 2 x , x thỏa mãn 2 2 Tìm m để phương trình 2 1 2 x + x =11. Câu 73. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Tìm x biết: 4x + 2 = 0 Câu 74. (Trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình : 2 2 2x + x +1 + x − x +1 = 3x Câu 75. (Trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 1 1 1. + = + − x 1 x 1 Câu 76. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình x + 3+ 3 2x − 3 + x −1+ 2x − 3 = 2 2. Câu 77. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình sau: 2 2 3 8x 3 8x  6 2x 2x 11. Câu 78. (Trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Giải phương trình: 5 x −1 − x + 7 = 3x −4. Câu 79. (Trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 Giải phương trình ( )( ) 2 x + 5 − x 1 + x + 5x = 5. Câu 80. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020)  + − − − + =  − + + + = + + 2 2 x y y y Giải hệ phương trình: 2 14 2 2 1 0 2 2 2 2 ( )( 12) 6( ) 16 x y x xy y x y Câu 81. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình   2 2 2x 3x2  2x1 2x  x3 . Câu 82. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Giải phương trình ( x + 4 − 2) ( 4 − x + 2) =− 2x. Câu 83. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Giải phương trình 2x x −1 = 5( x 1)−. Câu 84. (Trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 3 2 x − x +12x x −1 + 20 = 0 . Câu 85. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Giải phương trình 2 2 x + 7x +14 = 3 (2x 5)(x+ 3x+ 4)+. Câu 86. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 2 x + 6x + 8 = 3 x 2.+ Câu 87. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020) Giải phương trình: ( x + 2 − x) ( 2x − 5 −1) = 0 . Câu 88. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình: 2 x + 6x + 5 = x +7 Câu 89. (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng 2 năm 2019-2020) Giải phương trình 2 8x + 3x + 7 = 6x x 8 .+ Câu 90. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai số thực phân biệt a và b thỏa mãn điều kiện ( ) 3 3 2 2 a + b = a b ab 3 . − Tính giá trị của biểu thức T = a +b −ab . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 Hệ phương trình Chuyên đề 4 Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2019-2020)  + + + =  − + + =. 2 2 2 2 Giải hệ phương trình ( ) x xy y x y 2 2 2 2 ( ) x xy y x y 185 65 Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020)       . Giải hệ phương trình 3 5 x y 5 2 1 x y Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận chuyên toán năm 2019-2020)  + + + =  − + + = x xy y x y 2 2 2 2 Giải hệ phương trình ( ) 185 . 2 2 2 2 ( ) 65 x xy y x y Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)  + + + =  + + − = . Giải hệ phương trình: 7 2 5 x y x y 2 2 x y x y Câu 5. (Trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ ( x; y) thỏa mãn hệ phương trình Câu 6. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) 2  + + =  + − = . xy y x 3 3  − + + =  − + = . 4 4 0 x y x y 2 2 10 7 2 9 x xy y Giải hệ phương trình 3 3 2 2 x xy y 2 0 Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) 2 2  + = + x x y yx y  ∈ + =  . Giải hệ phương trình 2 2 ( , ) 5 x y Câu 8. (Trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Giải hệ phương trình: ( )  + − =  + − =− . 2 4 x y xy ( ) xy x y 4 2 Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 Giải hệ phương trình: 1 3 8  − =  − +  + =  − + x y 2 1 1 5 16 x y 2 1 Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020)  + − − =  + −  +  + =  + − x 3 5 3 2 x y Giải hệ phương trình: 1 4 y 4 1 24 x y 1 4 Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) 2 2 10  + =  + + = Giải hệ phương trình: x y x y xy 7 Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020)      4 2 5 Giải hệ phương trình  x y x y . 5 1 2 2       x y x y  3 6 Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020)        2 2 x y 6 0 2 ( ) 2 1 3 0 I Giải hệ phương trình   2                   x yx y Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020)  + + =  + + = ( 1)( 1) 6. ( 1) 7 x xy Giải hệ phương trình 2 2 x y y Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) 2 2  + =  + + + + x y 8 2 2 Giải hệ phương trình y 2y 1 x 2x 1 9 .  − − = 5xy 4x 4y 4 Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) ( )( ) 2 2  + + + = + +       +   = x y x y x y 2 2 2 2 Giải hệ phương trình 2 2 x y  +   +  y x 2 2 . 1 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng 2 năm 2019-2020) 2  − − = +  = −  + x xy y x 2 6 6 2 Giải hệ phương trình 2 . 3 4 y xx 1 Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) 1 1 2  − − =  +  − =  + Giải hệ phương trình x y 2 1 3 4 x y 2 Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020) 1 1 9  + + + =   Giải hệ phương trình : x yx y 2  + + + =  x y xyxy y x 1 5 Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) 3 2 2  − + =  + − = Giải hệ phương trình x (x y) x y 1. x (xy 3) 3xy 3 2 Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải hệ phương trình 2 4  + =  − −= . x y 3 2 1 x y Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) a) Giải hệ phương trình 5  + =  − = x y 2 1 x y  − =  − = − x y a b) Tìm tham số a để hệ phương trình 7 2 5 1 x y a có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn y = 2x . Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Giải hệ phương trình 3 5  − =  + = . x y x y 2 18 Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) 2  + − =  − + − + = Giải hệ phương trình x y x 3 6 0 2 2 4 9 6 3 9 0 x xy y y Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 29 Giải hệ phương trình 2 2  − + + + =  ⋅ x y xy x y 2 2 4 0 2  + + − = − +  5 1 3 1 6 x y x y Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020)      2 y xy x y 2 4 2 5 Giải hệ phương trình      . 2 4 x y x  5 7 18 4  Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) 2 2  − = −  − = + Giải hệ phương trình: x y y x 2 3 x x y Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) 2 2  + + =  + − = − Giải hệ phương trình x y xy 1 2 2 x y xy y x 2 Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) 2 2  + + + = +  + + + + + = +. ( )( 2) 4( 2) Giải hệ phương trình x y x y y 2 2 x y y x y y ( 2)( 2) 4( 2) Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020)      2 2 4 8 ( 2) Giải hệ phương trình xy y x x      . x y y 3 3 2 1 Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) 2 2  − + + − =  + + =  2 3 0. 1 Giải hệ phương trình x xy y x y 2 2 x x y Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Hà nội chuyên toán năm 2019-2020) 2 2  + = + x y y Giải hệ phương trình 7 4 4 . 3 2 0  + + + + =  2 2 x xy y x y Câu 33. (Trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) 2 2  + =  + + − + + =  x y 5 Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 3 2 2 x 2y x 5 y 5 55. Câu 34. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30        . 3 Giải hệ phương trình x y y 2 9 x y x y 2 4 Câu 35. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) ( ) ( )( ) 2  − + = − + + −  − − +  = x y y x x y 4 3 5 2 1 1 Giải hệ phương trình 3 5 6 11 5. xy y x 3  + x 1 Câu 36. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) 1 1 3  + = +  + + = . 2 2 Giải hệ phương trình 2 2 x y 1 1 3 3 3 x y x y 3 3 x y Câu 37. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) 2  − + − + =  − − + + − =  y y xy x Giải hệ phương trình 4 3 0 2 y y x y 2 5 3 13 0. Câu 38. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) 2 2  + + + =  + − + = 4 2 3 Giải hệ phương trình x y x y 2 2 7 4 6 13. x y xy y Câu 39. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) 3 3 2 2  − + − − + =  + + = + + x y x y y x Giải hệ phương trình: 2 ( 1) ( 1) 0 x y x y 4 4 2 7 Câu 40. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020)  + ⋅ + = +  − + + − − + =  2 2 4 3 Giải hệ phương trình: y x y x ( 3) 4 ( 4) 1 2 0 x y y x Câu 41. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020)  − − + + − = −  + = Giải hệ phương trình: ( ) 3 1 1 3 1 3 x y y x y x y 2 2 x y 5 Câu 42. (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 31 Giải hệ phương trình sau:  + + − = + −  + = x y x y x y 2 2 2 2 4 . x y 2 Câu 43. (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) 2 2  − + − =  + + = . x xy x y Giải hệ phương trình 5 5 42 2 7 6 42 xy y x Câu 44. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước chuyên toán năm 2019-2020)  + − = − −  − + = 3 2 2 Giải hệ phương trình ( ) 2 2 1 x x y xy y x y 3 2 ( ) 2 4 2 x xy x Câu 45. (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vòng 2 năm 2019-2020)       Giải hệ phương trình    2 2 2 3 2 3 2 1 x y y x      y xy x y  4 1 2  Câu 46. (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng 2 năm 2019-2020)         2 2 Giải hệ phương trình sau: x xy y 4 2 2 4 x x y y 13 . 91 Câu 47. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020)  + =  + = + − . x y 4 Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 x y x y 4 4 12 Câu 48. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) năm 2019-2020)  + + = + +  + − + + = x y x y 3 2 3 1 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) x y x y . 1 4 54 0 Câu 49. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) 2 Giải hệ phương trình: ( )( )  = − + x y y 2 2  = + − . 3 ( )( ) 2 4 x x y xy Câu 50. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng 2 năm 2019-2020) Giải hệ phương trình ( )( ) 26 13 . 2 2 3 2  + =  = + − −  x y x x y x Câu 51. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 32 Giải hệ phương trình 3 3  − = −  + = + x y y x 8 2 . 2 2 2 x y x y Chuyên đề 5 Hàm số Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho parabol ( ) ( ) 2 P : y = 2ax a 0 và đường thẳng > 2 d : y = 4x 2a− . Tìm a để d cắt (P)tại hai điểm phân biệt M , N có hoành độ , M N x x sao cho 8 1 +đạt giá trị Kx x x x = + 2 M N M N nhỏ nhất. Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho parabol ( ) 2 P : y = 2x và đường thẳng d : y = 2x +m −1, với m là tham số. a) Khi m = 2, hãy vẽ parabol (P) và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng tọa độ; đồng thời tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị trên. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x , x thỏa mãn 1 212 x − x = ⋅ Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng 2 năm 2019-2020) Cho hai hàm số 2 y  x và y  m 1x 1 (với m là tham số) có đồ thị lần lượt là P và d . Tìm m để P cắt d tại hai điểm phân biệt Ax1;y1 , B x2;y2  sao cho   3 3 3 3 1 2 1 2 y y  18 x x . Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Cho (P) là đồ thị của hàm số 2 y = x và (d ) là đồ thị của hàm số y =− x+ 2. Tìm a và b để đồ thị (∆) của hàm số y = ax b +song song với (d ) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng −1. Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng 2 năm 2019-2020) Cho parabol 2 (P) : y = x và đường thẳng d : y =2x +m −2 , với m là tham số. Xác định giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y  4mx  3m 2m  3 và parabol (P) có phương trình 2 2 y  x . Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x ,x sao cho Px x    có giá trị nguyên. 4 . 2 x x m 1 2 1 2 2 Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) có phương trình 2 y  x và đường thẳng (d) có phương trình y  mx  3 (với m là tham số). 1. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B . 2. Gọi 1 2 x ,x lần lượt là hoành độ của A và B . Tính tích các giá trị của m để 1 2 2x  x  1 Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): 2 y = 2x và đường thẳng (d): y = 3x+ 2m− 1 .Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của đường thẳng Oy. Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng 2 năm 2019-2020) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) 2 y = x và đường thẳng (d) y = 2mx +2m +3 a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b) Gọi 1 2 y , y lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị m để 1 2 y + y ≤ 5 . Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng 2 năm 2019-2020) Cho parapol   2 P : y  x và đường thẳng   2 d : y  2xm 1, m là tham số. Tìm m để đường thẳng d cắt parapol P tại hai điểm AxA ; yA ,BxB ; yB  sao cho y y    . A B x x B A 38 5 Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) Cho đường thẳng (d): y = x 1−và Parabol (P): 2 y = 3x a) Tìm tọa độ điểm A thuộc Parabol (P), biết điểm A có hoành độ x = −1. b) Tìm b để đường thẳng (d) và đường thẳng (d'): 12 y = x b cắt nhau tại một điểm trên + trục hoành. Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34 Cho hàm số 2 y = 2x có đồ thị là (P) và hàm số y = 6x +m +4 có đồ thị là (d). Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc với nhau. Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng 2 năm 2019-2020) Cho parabol 2 (P) : y = −x và đường thẳng (d) : y = x+ m− 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ 1 2 x , x thỏa mãn 2 2 1 2 x + x < 3 . Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 2 1 (d ): y = (m +1)x −2m và 2 (d ): y = (m +3)x −m −2 (m là tham số). 1. Tìm m để 1 (d ) song song với 2 (d ). 2. Chứng minh: với mọi m đường thẳng 2 (d ) luôn đi qua một điểm cố định. 3. Tìm m để 1 2 (d ),(d ) cắt nhau tại ( ; ) M M M x y thỏa mãn = 2020 ( + 2) A M M x y đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên toán năm 2019-2020) Cho hàm số = =− ( + − ) 2 2 y f (x) m 4m 5 x . Hãy so sánh f (2019) và f (2020). Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( ) 1 2 :2 P y = x và đường thẳng 1 d : y = 2x . a)Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (P) ( ) A B x > x sao cho tam giác OAB vuông cân tại O . b)Viết phương trình của đường thẳng 2 d , biết 2 d song song với 1 d và 2 d có duy nhất một điểm chung với (P). Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho parabol (P): 2 y = 2x , các đường thẳng (d1): 14 y = − x . Viết phương trình đường thẳng (d2), biết d2 vuông góc với d1 và d2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5AB = 17OI , với I là trung điểm của đoạn AB. Câu 18. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho hàm số ( ) 2 y = ax a 0 có đồ thị ≠ (P). Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 a) Xác định hệ số a biết đồ thị (P) đi qua điểm A( 5; 50 ). Vẽ đồ thị hàm số ứng với a vừa tìm được. b) Với giá trị a vừa tìm ở trên, cho biết điểm M (m;n) thuộc đồ thị (P). Hỏi điểm N (n;m) có thuộc đồ thị (P) được hay không? Tìm điểm đó nếu có ( m,n là hai số khác 0). Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Cho hàm số 1 2 2 y = − x có đồ thị (P) và đường thẳng (d ): y = (m −1) x −m −3 (với m là tham số). a)Vẽ (P) b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (P) và (d ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng , A B x x sao cho biểu thức 2 2 Q A B = x x +đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Quảng Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho parabol ( ) 2 P : y = x và đường thẳng d đi qua điểm M (0;1) có hệ số góc k . a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm A,B phân biệt với mọi giá trị k . b) Chứng minh ∆OAB là tam giác vuông với mọi giá trị k (O là gốc tọa độ). Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng 2 năm 2019-2020) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol 1 2 (P): y x 2 = và đường thẳng 1 (d): y x 3. 2 = +Gọi A(xA A B B ; y ), B(x ; y ) (với A B x < x ) là các giao điểm của (P) và (d), C(xC C ; y ) là điểm thuộc (P) sao cho A C B x < x < x . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC. Câu 22. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Tìm các giá trị của tham số m sao cho ( ) 2 y = m 5 −2 −x 3 là m+ ột hàm số nghịch biến. Câu 23. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng ( ) 2 4 1 d : y = m x −m +2 và 2 m d y x +( m là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số m để (d1 ) và ( ) 2 2 : 2 m= + 1 (d2 ) cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích hình thang ABHK bằng 152. Biết B(−1;2) và hai điểm H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và A lên trục hoành. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Câu 24. (Trường chuyên tỉnh DAK LAK vòng 2 năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ): y = (m− 2) x+ 2 với m là tham số và m ≠ 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d ) bằng 23. Câu 25. (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Cho đường thẳng (d) : y = 2x 1. Xác định giá trị của − a và b để đường thẳng (∆) : y = ax+ b đi qua điểm A(1;−2) và song song với đường thẳng (d) . Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Xác định hàm số y = ax b +biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1) và có hệ số góc là -6. Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Tìm m để đường thẳng (d): y = 3x 2 m+ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −2 . Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Cho đường thẳng (d) : y = 2x 2 − a) Vẽ đường thẳng (d) trong hệ trục tọa độ Oxy . b) Tìm m để đường thẳng (d′): y = (m−1)x+ 2m song song với đường thẳng (d). Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Xác định hệ số a và b của hàm số y  axb biết đồ thị của nó là đường thẳng (d) song song với đường thẳng y  3x2019 và đi qua điểm M2;1. Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) 2 y = m −1 x +7 và đường thẳng y = 3x +m +5 (với m ≠ ±1) là hai đường thẳng song song. Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) 2 y = m −1 x +7 và đường thẳng y = 8x +m +4 (với m ≠ ±1) là hai đường thẳng song song. Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng (d ): y = (m +2) x −m +1 và (d '): x + (m + 2) y = m+ 2 trong đó m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 Chuyên đề 6 Giải bài toán bằng cách lập pt,hệ pt, toán thực tế Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị của một số có ba chữ số là 14. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396. Tìm số đó biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị. Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 18số trứng còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 18số trứng còn lại. Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 18số trứng còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đó bán được là bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ? Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Một nhà toán học trẻ chưa đến 40 tuổi, khi được hỏi: bao nhiêu tuổi, đã trả lời như sau: “Tổng, hiệu, tích, thương của tuổi tôi và tuổi con trai tôi cộng lại bằng 216”. Hỏi nhà toán học trẻ bao nhiêu tuổi? Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) Trên quãng đường dài 20 km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B đến A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ lại 15 phút (vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quáng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu? Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Anh Bình vừa tốt nghiệp đại học loại xuất sắc nên được nhiều công ty mời về làm việc, trong đó có công ty A và công ty B. Để thu hút người tài, cả hai công ty đưa ra hình thức trả lương trong thời gian thử việc như sau: Công ty A: Anh Bình được nhận 1400 USD ngay sau kí hợp đồng thử việc và mỗi tháng được trả lương 1700 USD. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 Công ty B: Anh Bình được nhận 2400 USD ngay sau kí hợp đồng thử việc và mỗi tháng được trả lương 1500 USD. Em hãy tư vấn giúp Anh Bình lựa chọn công ty thử việc sao cho tổng số tiền nhận được là nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 tháng đến 8 tháng. Câu 6. (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng 2 năm 2019-2020) Quãng đường từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột dài 120 km. Một người dự định đi xe máy từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột với vận tốc không đổi. Sau khi đi được 45 phút, người ấy dừng lại nghỉ 15 phút. Để đến thành phố Buôn Ma Thuột đúng thời gian đã dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc của người đi xe máy theo dự định ban đầu. Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Năm nay tổng số tuổi của Nam và mẹ là 36 tuổi, hai năm sau tuổi của mẹ gấp 3 lần tuổi của Nam. Hỏi năm nay Nam bao nhiêu tuổi ? Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng, mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu? Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Cho một hình chữ nhật, nếu tăng mỗi cạnh của nó lên 2cm thì diện tích của nó tăng lên 44cm2, nếu giảm chiều dài đi 2cm và giảm chiều rộng đi 1cm thì diện tích của nó giảm đi 26cm2. Tính diện tích của hình chữ nhật đã cho. Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 84 tấn hàng. Hôm làm việc do có 7 xe được bổ sung thêm vào đoàn xe nên mỗi xe được chở bớt đi 1 tấn hàng so với dự định ban đầu. Biết khối lượng hàng mỗi xe chuyên chở như nhau, hỏi đoàn xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình dành cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hàng, mỗi hàng có số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác Bình đã trồng thêm 2 hàng, mỗi hàng thêm 3 cây so với dự kiến ban đầu nên đã trồng được tất cả 391 cây. Tính số cây trên một hàng mà bác Bình dự kiến trồng ban đầu. Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Trên quãng đường dài 20 km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B đến A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 cùng nghỉ lại 15 phút (vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quáng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu? Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất cả các thí sinh năm 2019-2020) Ông Khôi sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 100m . Ông ta định bán mảnh đất đó với giá thị trường là 15 triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất đó biết rằng chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Câu 14. (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 1 ) Năm 2019-2020) Từ ngày 1/1/ 2019 đến ngày 20 / 5 / 2019 , giá bán lẻ xăng RON 95 có đúng bốn lần tăng và một lần giảm. Các thời điểm thay đổi giá xăng RON 95 trong năm 2019 (tính đến ngày 20 / 5 / 2019) được cho bởi bảng sau (giá xăng được tính theo đơn vị đồng, giá được niêm yết cho 1 lít xăng): Ngày 1/1 2/3 2/4 17/4 2/5 17/5 Giá 17600 18540 20030 21230 ... 21590 Từ 16 giờ chiều 2 / 5 / 2019 , giá bán lẻ 1 lít xăng RON 95 tăng thêm khoảng 0 25 0 so với giá 1 lít xăng RON 95 ngày 1/1/ 2019 . Nếu ông A mua 100 lít xăng RON 95 ngày 2 /1/ 2019 thì cũng với số tiền đó ông A sẽ mua được bao nhiêu lít xăng RON 95 vào ngày 3 / 5 / 2019 ? Cũng trong hai ngày đó ( 2 /1 và 3/5), ông B đã mua tổng cộng 200 lít xăng RON 95 với tổng số tiền là 3850000 đồng, hỏi ông B đã mua bao nhiêu lít xăng RON 95 vào ngày 3 / 5 / 2019 ? Câu 15. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) Hai lớp 9A và 9B của một trường quyên góp sách ủng hộ. Trung bình mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 5 quyển, mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 6 quyển nên cả hai lớp ủng hộ 493 quyển. Tính số học sinh mỗi lớp biết tổng số học sinh của hai lớp là 90. Câu 16. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Một thửa ruộng hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 40m , chiều dài hơn chiều rộng 8m. Tính diện tích thửa ruộng đó. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 Biểu thức Chuyên đề 7 Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bình Dương chuyên toán năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức: ( )2018 5 4 3 P = 4x 4+x 5−x 5+x 2− 2019 + tại 1 2 1 x − = + . 2 2 1 Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa . a b c d b c d a = = =Tính giá trị của biểu thức a b c d a Ba b c d . + + + − = + + + 2 6 2019 2020 43 . 2 3 4 5 Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng 2 năm 2019-2020) Cho a, b, c là các số thỏa mãn điều kiện 3 3 3 a + b + c = 3abc và a + b + c =1. Tính giá trị của biểu thức Q = 5a +6b + 2019c . Câu 4. (Trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1. Tính giá trị biểu thức: ( )( ) 3 3 3 A = a +b +c −3 ab +c c −1 . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng 2 năm 2019-2020) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện: a + b + c = 0 và 1 1 1 3 + + = . Tính giá trị của biểu thức a b c 2 2 2 1 1 1 M 1 1 1 . a b c       =  +  +  +  +  +        Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) 2 2 2 2 a b a b Ma b a b Cho các số thực a, b thỏa mãn : 2 2 a ≠ b . Đặt 8 8 8 8 a b a b Na b a b + − = + − + . 2 2 2 2 Tính + − = + − +theo M. 8 8 8 8 Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b và c thỏa mãn ab ac bc  1. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 b c c a a b T a b c          (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ). 1 1 1 2 2 2    a b c Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 2019. Chứng minh 2 2 2 a bc b ca c ab − − − + + = + + + . 2 2 2 0 a b c 2019 2019 2019 Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng 2 năm 2019-2020) Tồn tại hay không ba số thực a,b,c thỏa mãn 2 2 21 ? a b c b ac c ab a bc = = = − − − 2019 Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho hai số thực a,b thỏa mãn a ab b 2 + − =2 4 7 0 ( a ≠ b và a ≠ −b ). Tính giá trị của biểu thức a b a b Qa b a b − − = + − + 2 3 2 Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số thực a,b khác 0 thỏa mãn 1 1 1 + = a b 1. Tính giá tri của biểu thức ( )2 2 2 a b 4 Aa b ab − = + 4 4 2. Chứng minh rằng: 3 3 3 (a + b − 2) − (a −1) − (b −1) − 3(a + b) + 6 = 0 Câu 12. (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng 2 năm 2019-2020) Cho x; y là hai số thỏa mãn x + y =1. Hãy tính 4 4 3 2 2 2 3 2 A = x + y − 2x − 2x y + x − 2y + y . Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng 2 năm 2019-2020) Cho số thực x thỏa mãn 1 + = Tính giá trị biểu thức 331 P x . x = + x 3. x Câu 14. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Cho các số a, b, c, x, y, z đều khác 0 và thỏa mãn các điều kiện + + =1 x y z a b cvà 2 2 2 + + = 0 a b c x y z. Chứng minh rằng : 2 2 2 + + =1 x y z a b c . Câu 17. (Trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Cho đa thức 2 P(x) = ax +bx +c (a ∈ Ν *) thỏa mãn P(9) − P(6) = 2019. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 Chứng minh P(10) − P(7) là một số lẻ. Câu 18. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số nguyên, n ≥ 2. Biết P(1).P(2) = 2019, chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 không có nghiệm nguyên. Câu 19. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng 2 năm 2019-2020) Tính số đo góc nhọn α biết 2 2 10sin α + 6cos α = 8 . Câu 20. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 2 D = x + x −10x + 8 Câu 21. (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng 1 năm 2019-2020) 2  +    +  −  + = ⎟ − a 1 3 3 Cho a là số thực khác 1 và −1. Rút gọn biểu thức a a a Pa a a 1 1 2 . 2 3  −  − − 1 1 1   +  +  3 a 1 Chuyên đề 8 Số học Câu 1. (Đề vào 10 Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019 - 2020) 2 P(x) = ax +bx +c (a ∈ Ν *) P(9) − P(6) = 2019. a) Cho đa thức thỏa mãn P(10) − P(7) Chứng minh là một số lẻ. ( x; y) 2 x y + x + y b) Tìm các cặp số nguyên dương sao cho chia hết cho 2 xy + y +1 . Câu 2. (Đề vào 10 Chuyên Nam Định 2019 - 2020) 5 n 29n + a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì cũng là số nguyên. 30 ( x; y) ( ) 2 2 2 x + y − 3x + 2y − 1 b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên sao cho và ( ) 2 2 5 x + y + 4x + 2y + 3 đều là số chính phương. Câu 3. (Đề vào 10 Thanh Hóa 2019 - 2020) (x ; y) 2 4 3 2 y + y = x +x +x +x 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên thõa mãn . 2/ Cho hai số nguyên dương x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện 2x2 – 1 = y15. Chứng minh rằng x chia hết cho 15. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 Câu 4. (Đề vào 10 Chuyên Tin Lam Sơn Thanh Hóa 2019 - 2020) 2 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x − xy − 5x + 5y + 2 = 0 ( ) ( ) 2020 2020 2020 2016 2016 2016 A = a +b +c −a +b +c 2. Cho biểu thức: với a,b,c là các số nguyên A dương. Chứng minh rằng chia hết cho 30. Câu 5. (Đề vào 10 Chuyên Điện Biên 2019 - 2020) x, y, zx y 2019 + Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỷ và y z 2019 + là số nguyên tố. Câu 6. (Đề vào 10 Chuyên Tuyên Quang 2019 - 2020) 4 2 x x x 2 Ax 3x 7x 3x 6 + + + = + + + + 2 2 2 x + y + z Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để nhận giá trị là một 4 3 2 số nguyên. Câu 7. (Đề vào 10 Chuyên Hưng Yên 2019 - 2020) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 2 2 xy − (y − 45) + 2xy + x − 220y + 2024 = 0 . Câu 8. (Đề vào 10 Chuyên Bình Thuận 2019 - 2020) ( )4 M 4 = n + 1 + n + 1 a) Chứng minh rằng số chia hết cho một số chính phương khác 1 với n mọi số nguyên dương. n 2 2 x − n x + n + 1 = 0 x b) Tìm tất cả các số tự nhiên để phương trình (ẩn số ) có các nghiệm là số nguyên. Câu 9. (Đề vào 10 Chuyên Phú Yên 2019 - 2020) a b c 1 a) Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn b ca c ab a bc 2019 = = = − − − 2 2 2 2 2 x y 85 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn + = + x y 13 Câu 10. (Đề vào 10 Chuyên Hải Phòng 2019 - 2020) a) Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: p q + p2 2 i) chia hết cho p + q pq + q2 2 ii) chia hết cho q − p 1 1 1 1 1; ; ;...; ; 2 3 2018 2019 b) Viết lên bảng 2019 số: . Từ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y rồi xy viết lên bảng số ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác x + y + 1 trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu? Câu 11. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Ninh 2019 - 2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 2  = +  + = + n a b Tìm các số nguyên không âm thỏa mãn: . a, b, n Câu 12. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Nam 2019 - 2020) 3 2 2 2 n a b M 4n 4n = 9.3 − 8.2 + 2019 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số chia hết cho 20. Câu 13. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Bình 2019 - 2020) abc 2 ax + bx + c = 0 Cho là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm hữu tỉ. Câu 14. (Đề vào 10 Chuyên Phú Thọ 2019 - 2020) x, x   x. 1) Với mỗi số thực kí hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá Ví dụ     = − −=       3 2 1; 2 2 x − 1 < x ≤ x < x + 1 = x +1       x∈. a) Chứng minh rằng với mọi n ≤ 840  n    n? b) Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn là ước của n2019 n 1 < 2) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương sao cho n Câu 15. (Đề vào 10 Chuyên Cần Thơ 2019 - 2020) Tìm tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 2020 2 2 2020(x + y ) − 2019(2xy + 1) = 5 Câu 16. (Đề vào 10 Chuyên Thừa Thiên Huế 2019 - 2020) 2020 2 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho là số nguyên ? 3x + 1 Câu 17. (Đề vào 10 Chuyên Đăk Nông 2019 - 2020) 2 2 2x y −1 = x +3y Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình . Câu 18. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Ngãi 2019 - 2020) a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + 3 +1 = x +y b) Số tự nhiên n = 1116 có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích của tất cả các ước số đó. Câu 19. (Đề vào 10 Chuyên Tây Ninh 2019 - 2020) abcd ( ) 2 * abcd = k k  ∈ Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng sao cho và ab − cd = 1 a,b,c,d (các chữ số tự nhiên có thể giống nhau). Câu 20. (Đề vào 10 Chuyên Nam Định 2019 - 2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2xy + x + y + 1 = x +2y +xy Câu 21. (Đề vào 10 Chuyên Bình Phước 2019 - 2020) a. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2 4y = 2+ 199− x − 2x p,q 2 2 p − 2q = 41 b. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố sao cho Câu 22. (Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh 2019 - 2020) x;y a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn ( )( ) 2 2 xy + x + y x + y + 1 = 30 . n2 12n 1 b) Cho là số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên. Chứng minh 2 2 12n 1  2 rằng là số chính phương. Câu 22. (Đề vào 10 Chuyên Bình Dương 2019 - 2020) x 231 x − Tìm tất cả các số nguyên cho là một số nguyên. x + Câu 23. (Đề vào 10 Chuyên Tiền Giang 2019 - 2020) ( x; y) ( )( ) 1 2 2 5 1 2 65 x x y y x x − + + + + + = Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn Câu 24. (Đề vào 10 Chuyên Khánh Hòa 2019 - 2020) 0 1 2 2019 A = 2 +2 +2 +... +2 2020 B = 2 A,B Cho và . Chứng minh rằng: là hai số tự nhiên liên tiếp. Câu 25. (Đề vào 10 Chuyên TP Hồ Chí Minh 2019 - 2020) m, n ( )2 Cho là hai số nguyên. Chứng minh rằng: nếu chia hết cho 7 m + n + 2mn 225 mn 225 thì cũng chia hết cho . Câu 26. (Đề vào 10 Chuyên Bạc Lưu 2019 - 2020) 6 4 3 2 A = n − n + 2n + 2n Chứng minh rằng số có dạng không phải là số chính n ∈ N,n > 1 phương, trong đó . Câu 27. (Đề vào 10 Chuyên Gia Lai 2019 - 2020) 2 2 x − 3y + 2xy − 2x −10y + 4 = 0 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: . Câu 28. (Đề vào 10 Chuyên Bạc Lưu 2019 - 2020) 111...1 5555...5 Biết rằng là tích của hai số lẻ liên tiếp. Tính tổng hai số lẻ đó  2018ch÷ s«12018ch÷ s« 5 Câu 29. (Đề vào 10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 2019 - 2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m;n) thỏa mãn phương trình 2m.m2 = 9n2 -12n +19. Câu 30. (Đề vào 10 Chuyên Kon Tum 2019 - 2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Cho tập hợp A gồm 41 phần tử là các số nghuên khác nhau thỏa mãn tổng của 21 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 20 phần tử còn lại. Biết các số 401 và 402 thuộc tập A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A. Câu 31. (Đề vào 10 Chuyên Hà Nội 2019 - 2020) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 2 2 (x − x +1)( y + xy) = 3x −1 Câu 32. (Đề vào 10 Chuyên Hà Nội vòng 2 năm 2019 - 2020) n Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có 7 7 7 7 7 7  27n + 5 +10 +  10n + 27 + 5 +  5n +10 + 27       ( ) ( ) ( ) 42 chia hết cho . Câu 32. (Đề vào 10 Chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2019 - 2020) ( ) 2 P x = x + ax + b ( ) 2 Q x = x +cx +d a, b, c, d Cho các đa thức , với là các số thực.. a, b 1 a P( x) = 0 a) Tìm tất cả các giá trị của để và là nghiệm của phương trình . P( x) = 0 1 2 x , x Q( x) = 0 b) Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và phương trình có hai 3 4 x , x P( x3 ) + P( x4 ) = Q( x1 )+ Q( x2 ) 1 2 3 4 x − x = x − x nghiệm phân biệt sao cho . Chứng minh rằng . Câu 33. (Đề vào 10 Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2019 - 2020) n 2 1 n + 9 a) Tìm tất cả những số tự nhiên sao cho chia hết cho . n n > 3 2 1 n + 2 1 m − b) Cho là số tự nhiên . Chứng minh rằng không chia hết cho với mọi số tự nhiên sao cho . m 2 < m ≤ n Câu 34. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Trị năm 2019 - 2020) abc abc 1) Cho số tự nhiên có 3 chữ số chứng minh rằng chia hết cho 21 khi và chỉ khi a − 2b + 4c chia hết cho 21. 2) Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn 1 y x = z − Câu 35. (Đề vào 10 Chuyên Hà Nội năm 2019 - 2020) ( x; y) 2 2 2 3 2 2 x y − 4x y + y + 4x − 3y +1= 0 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn . a, b, c 3 3 3 a + b + c 14 b) Cho ba số nguyên dương thỏa mãn chia hết cho . Chứng minh rằng cũng chia hết cho . abc 14 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Chuyên đề 9 TỔ HỢP VÀ LOGIC Câu 1. (Đề vào 10 Chuyên Phan Bội Châu năm 2019 - 2020) Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019. Câu 2. (Đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2019 - 2020) Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25. Câu 3. (Đề vào 10 Chuyên Thanh Hóa năm 2019 - 2020) Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là tan giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674. Câu 4. (Đề vào 10 Chuyên Đà Nẵng năm 2019 - 2020) Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C. B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết. C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn. B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi. Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ? Câu 5. (Đề vào 10 Chuyên Bình Thuận năm 2019 - 2020) Trong một buổi tổ chức lễ tuyên dương các học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An , hai ngươi bất kì đều bắt bắt tay nhau .An chỉ bắt tay với những người mình quen .Biết rằng một cặp ( hai người ) chỉ bắt tay không quá 1 lần và có tổng cộng 420 bắt tay.Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi lễ tuyên dương đó ? Câu 6. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Ninh năm 2019 - 2020) Cho trước p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ , lấy hai điểm Oxy ( ) 8 A p ;0 ( ) 9 B p ;0 Ox ABCD và thuộc trục . Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp sao cho các điểm thuộc trục và đều có tung độ là các số nguyên dương. C, D Oy Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Câu 7. (Đề vào 10 Chuyên Cần Thơ năm 2019 - 2020) Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên được nhiều công ty mời về làm việc, trong đó có hai công ty A và B. Để thu hút người tài, cả hai công ty đưa ra hình thức trả lương trong thời gian thử việc như sau: Công ty A: Anh Bình được nhận 1400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi tháng sẽ được trả lương 1700USD. Công ty B: Anh Bình được nhận 2400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi tháng sẽ được trả lương 1500USD. Em hãy tư vấn giúp anh Bình lựa chọn công ty để thử việc sao cho tổng số tiền nhận được là nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 tháng đến 8 tháng. Câu 8. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Ngãi năm 2019 - 2020) Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau: i i i = 1,2,...,2019. Bước 1: Các ô ở dòng thứ đều được đổi dấu lần, j 3 j +1 j = 1,2,...,2019. Bước 2: Các ô ở cột thứ đều được đổi dấu lần, Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên. Câu 9. (Đề vào 10 Chuyên Bình Định năm 2019 - 2020) 8073 Trong mặt phẳng cho điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Câu 10. (Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh năm 2019 - 2020) 2020 1010 Cho cái kẹo vào chiếc hộp sao cho không có hộp nào chứa nhiều hơn 1010 1 cái kẹo và mỗi hộp chứa ít nhất cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số 1010 hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó bằng cái. Câu 11. (Đề vào 10 Chuyên Khánh Hòa năm 2019 - 2020) Huyện KS có 33 công ty, huyện KV có 100 công ty. Biết rằng, mỗi công ty của huyện KS hợp tác với ít nhất 97 công ty huyện KV. Chứng minh rằng có ít nhất một công ty của huyện KV hợp tác với tất cả các công ty của huyện KS. Câu 12. (Đề vào 10 Chuyên Bạc Lưu năm 2019 - 2020) Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày 1 1 thứ nhất bán được 8 trứng và số trứng còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và số 8 8 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 1 trứng còn lại. Ngày thứ ba bán được 24 trứng và số trứng còn lại. Cứ như vậy cho đến 8 ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đó bán được là bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ? Câu 13. (Đề vào 10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2019 - 2020) Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Giữa hai điểm bất kì trong ba điểm đã cho ta nối một đoạn thẳng và trên đoạn thẳng đó ghi một số nguyên dươn (các số ghi trên các đoạn thẳng là các số nguyên dương khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có cạnh là các đoạn thẳng đã nối mà tổng các số ghi trên ba cạnh của tam giác đó chia hết cho 3. Câu 14. (Đề vào 10 Chuyên Hà Nội năm 2019 - 2020) M 4039 −2019 2019 Cho là tập tất cả số nguyên liên tiếp từ đến . Chứng minh rằng 2021 0 trong số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bằng . Câu 15. (Đề vào 10 Chuyên PTNK PT Hồ Chí Minh năm 2019 - 2020) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ quốc gia, người ta nhận n thấy rằng cứ học sinh bất kỳ thì có ít nhất học sinh đến từ cùng một quốc gia. 10 3 a) Gọi là số các quốc gia có đúng học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng k 1 n+ < k 10 2 . b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là . Chứng minh rằng có thể tìm được 60 ít nhất là học sinh đến từ cùng một quốc gia. 15 Câu 16. (Đề vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2019 - 2020) Cho tập hợp thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại tập con của X 2019 1 2 2019 A , A ,..., A X sao cho mỗi tập con có đúng ba phần tử và hai tập đều có đúng một 1 2 2019 A , A ,..., A , Ai Aj phần tử chung với mọi . Chứng minh rằng 1≤ i < j ≤ 2019 a) Tồn tại tập hợp trong các tập hợp sao cho giao của tập hợp này có 4 1 2 2019 A , A ,..., A 4 đúng một phần tử. b) Số phần tử của phải lớn hơn hoặc bằng . X 4039 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 HÌNH HỌC Chuyên đề 10 Câu 1. (Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh 2019 - 2020) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC . Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . Gọi O là đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC , trên cung nhỏ EC của đường tròn O lấy điểm I (khác điểm E ) sao cho IC  IE . Đường thẳng DI cắt đường thẳng CE tại điểm N , đường thẳng EF cắt đường thẳng CI tại điểm M . a) Chứng minh rằng NI.ND  NE.NC . b) Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng CH . c) Đường thẳng HM cắt đường tròn O tại điểm K (khác điểm H ), đường thẳng KN cắt đường tròn O tại điểm G (khác điểm K ), đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm T . Chứng minh rằng ba điểm H,T,G thẳng hàng. Câu 2. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Bình 2019 - 2020) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD 4 ( a =a 0). Đường thẳng vuông góc > với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp. b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF . Tính độ dài đoạn thẳng ID theo a. c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi 1 S là diện tích của tam giác CME và 2 S là diện tích của tam S 3.2 giác AMN. Xác định vị trí của M sao cho 1 S = 2 Câu 3. (Đề vào 10 Tây Ninh 2019 - 2020) 1) Cho hình thang cân ABCD( AB / /CD) có CD = 2AD 2AB= 8 . Tính diện tích của = hình thang cân đó. 2) Cho tam giác nhọn ABC có BAC = 60 và AB < AC . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E . Kéo dài BI,CI lần lượt cắt DE tại F và G , gọi M là trung điểm BC . Chứng minh tam giác MFG đều. 3) Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) có tâm O . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 51 a)(1,0 điểm) Trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) lấy điểm D (khác A,B ). Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm A bán kính AC với đường thẳng BD . Chứng minh AD là đường trung trực của CK . b)(1,0 điểm) Lấy P là điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác O,C ). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB và AC. Gọi Q là điểm đối xứng của P qua đường thẳng EF . Chứng minh Q thuộc đường tròn (O). Câu 4. (Đề vào 10 Chuyên Phú Yên 2019 - 2020) 1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD. Đường thẳng qua B và song song với AD cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác NAEB là hình chữ nhật. b) Chứng minh góc ACE = DCN. 2) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N. Kẻ dây MA của đường tròn (O) tiếp xúc với (O’) và dây MB của đường tròn (O’) tiếp xúc với (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN tại P (P khác M). CMR: PN = MN. Câu 5. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Nam 2019 - 2020) 1) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên các đường thẳng AB, AD. a) Chứng minh 2 AB.AH + AD.AK = AC . b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lần lượt lấy hai điểm M, N (M khác B, M khác C) sao cho hai tam giác ABM và ACN có diện tích bằng nhau; BD cắt AM và AN lần lượt tại E và F. Chứng minh BM DN 1 + = và BE + DF > EF. BC DC 2) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Ba điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, P là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là K. a) Chứng minh PB.PC = PE.PF và KE song song với BC. b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn. Câu 6. (Đề vào 10 Chuyên Khánh Hòa 2019 – 2020) Cho hai đường tròn (O) và (O′) không cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Các tiếp tuyến tại A của (O) và (O′) cắt (O′) và (O) lần lượt tại C và D . Trên đường thẳng AB lấy M sao cho B là trung điểm đoạn AM . a/ chứng minh hai tam giác ABD và CBA đồng dạng b/ Chứng minh 2 MB = BD.BC c/ Chứng minh ADMC là tứ giác nội tiếp Câu 7. (Đề vào 10 Chuyên Bình Định 2019 - 2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD ( M không trùng với A ). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng PD. a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I . Chứng minh ba điểm H, N,I thẳng hàng. 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi M là giao điểm của AO và BC . Chứng minh rằng HB MB AB 2 + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi HC MC AC nào? Câu 8. (Đề vào 10 Chuyên TP Hồ Chí Minh 2019 - 2020) 1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại M , N , P . Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên NP . Chứng minh: KM là tia phân giác BKC . 2) Cho tam giác đều ABC . Gọi M , N là hai điểm nằm trên cạnh BC sao cho MAN = 30 (°M nằm giữa B và N ). Gọi K là giao điểm của hai đường tròn ( ABN ) và ( ACM ). Chứng minh rằng: a) Hai điểm K và C đối xứng với nhau qua AN . b) Đường thẳng AK đi qua tâm đường tròn ( AMN ). Câu 9. (Đề vào 10 Chuyên Bình Thuận 2019 - 2020) Cho tam giác ABC cân tại A ( A < 90°) nội tiếp đường tròn (O) .Gọi D là một điểm trên cung AB không chứa C ( D khác A;B ).Hai dây cung ADvà BC kéo dài tại E .Đường thẳng qua E song song với CD cắt AB tại F .Vẽ tiếp tuyến FG với đường tròn (O)( G là tiếp điểm ) a)Chứng minh : FG = FE b)Từ trung điểm I của BC vẽ IJ ⊥ AC(J ∈ AC) .Gọi H là trung điểm của IJ.Chứng minh : AH ⊥ BJ Câu 10. (Đề vào 10 Chuyên Gia Lai 2019 - 2020) Cho đường tròn (O;R), DC là một dây cố định không đi qua O . Gọi S là điểm di động trên tia đối của DC ( S không trùng D ). Qua S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O;R), ( A, B làhai tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của DC . a) Chứng minh 5 điểm S, A, B,I,O cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi H là giao điểm của SO và AB . Chứng minh DHC = DOC . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53 c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi S di động. Câu 11. (Đề vào 10 Chuyên Lâm Đồng 2019 - 2020) 1) Cho đường tròn (O;R) .Hai dây AB và CD song song với nhau sao cho tâm O nằm trong dải song song tạo với AB và CD. Biết khoảng cách giữa hai dây đó bằng 11cmvà AB =10 3cm;CD =16cm . Tính R 2) Cho tam giác ABC cân tại A  0 (A < 90 ), đường vuông góc với ABtại A cắt đường thẳng BC tại D.Dựng DE vuông góc với AC(E∈AC). Gọi H là trung điểm BC .Chứng minh rằng AH = HE 3) Cho đường tròn (O) đường kính BC . Điểm A thuộc đường tròn (O). Kẻ AH ⊥ BC(H∈BC). Gọi I,K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác AHB,AHC. Đường thẳng IK cắt AB,AC lần lượt tại M, N a. Chứng minh tam giác AMN vuông cân 1 S S ≤ b. Chứng minh AMN ABC 2 Câu 12. (Đề vào 10 Chuyên Phú Thọ 2019 - 2020) Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH (H ∈ AC). Gọi (ω) là đường tròn tâm C bán kính CB. Gọi F là một điểm bất kì trên đoạn thẳng BH ( F khác B và H ). AF cắt (ω) tại hai điểm D,E ( D nằm giữa A và E ). Gọi K là trung điểm DE. a) Chứng minh rằng FKCH là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng AD.AE = AH.AC AF.AK=; c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK tiếp xúc với (ω) tại B. Câu 13. (Đề vào 10 Chuyên vòng 1 Hà Nội 2019 – 2020) Cho hình vuông ABCD, đường tròn (O) nội tiếp hình vuông tiếp xúc với các cạnh AB, AD tại hai điểm E,F. Gọi G là giao điểm các đường thẳng CE và BF. A, Chứng minh rằng năm điểm A,F,O,G,E cùng nằm trên một đường tròn b, Gọi giao điểm của đường thẳng FB và đường tròn là M(M≠F). CMR M là trung điểm của đoạn thẳng BG. C, CMR trực tâm của tam giác GAF nằm trên đường tròn (O) Câu 14. (Đề vào 10 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 2019 - 2020) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC với AB< AC. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại J khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBJ cắt đường thẳng AB tại M khác B và đường tròn ngoại tiếp tam giác ICJ cắt đường thẳng AC tại N khác C. a. Chứng minh rằng BJM CJN  và ba điểm M,I,N thẳng hàng. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 b. Chứng minh JA là tia phân giác của góc BJN  và OA vuông góc với MN. c. Tia phân giác của góc BAC  cắt MN tại E. Tia phân giác của các góc BME  và CNE  lần lượt cắt BE,CE tại P,Q. Chứng minh PB.QE=PE.QC. Câu 15. (Đề vào 10 Chuyên Kun Tum 2019 - 2020) 1) Cho đường tròn O;R có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi sao cho CD không vuông góc cũng không trùng với AB. Gọi d là tiếp tuyến tại A của O;R. Các đường thẳng BC và BD cắt d tương ứng tại E và F 1. Chứng minh rằng CDFE là tứ giác nội tiếp. 2. Gọi M là trung điểm của EF và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF. Chứng minh rằng tứ giác KMBO là hình bình hành. 3. Gọi H là trực tâm tam giác DEF, chứng minh H luôn chạy trên một đường tròn cố định. 2) Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2a,BC  a 2 . Lấy đoạn AB làm đường kính, dựng về phía ngoài hình chữ nhật nửa đường tròn. Điểm M thuộc nữa đường tròn đó. Các đường 2 2 2 1 AL BN thẳng MD, MC cắt AB lần lượt tại N, L. Chứng minh Câu 16. (Đề vào 10 Chuyên Đăk Nông 2019 - 2020)   . AB Cho đường tròn (O;R) đường kính AB . Kẻ hai đường thẳng d và d′ lần lượt là hai tiếp tuyến tại các tiếp điểm A và B của đường tròn (O) . Điểm M thuộc đường tròn (O) ( M khác A và B ), tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt d, d′ lần lượt tại C và D . Đường thẳng BM cắt d tại E . a) So sánh độ dài các đoạn thẳng CM , CA, CE . b) Đường thẳng EO cắt hai đường thẳng d′, AD lần lượt tại I và J . Chứng minh các điểm A, B, I, J cùng thuộc một đường tròn. c) Giả sử AE = BD, tính độ dài đoạn thẳng AM theo R .. Câu 17. (Đề vào 10 Chuyên KHTN Hà Nội 2019 - 2020) Cho tam giác ABC cân tại A , có đường tròn nội tiếp (I ) . Các điểm E,F theo thứ tự thuộc các cạnh CA, AB ( E khác C và A ; F khác B và A ) sao cho EF tiếp xúc với đường tròn (I ) tại điểm P . Gọi K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E,F trên BC . Giả sử FK cắt EL tại điểm J . Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên BC . a. Chứng minh rằng HJ là phân giác của góc EHF . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55 b. Kí hiệu 1 2 S , S lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJL và CEJK . Chứng minh rằng S BF 1 2 S CE = . 2 2 c. Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng ba điểm P, J ,D thẳng hàng. Câu 18. (Đề vào 10 Chuyên Bình Phước 2019 - 2020) Cho đường tròn O;R và đường tròn O ';R ' cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Trên tia đối của tiaAB lấy điểm C . Kẻ tiếp tuyến CD,CE với đường tròn O;R, trong đó D,E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn O ';R '. Đường thẳng AD,AE cắt đường tròn O ';R ' lần lượt tại M và N (M ,N khác A ). Tia DE cắt MN tại I . Chứng minh rằng: a. Tứ giácBEIN nội tiếp b. MIB AEB c. O 'I  MN Câu 19. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Ninh 2019 - 2020) Cho đường tròn (O; ) R , đường kính AB , điểm M nằm trên đoạn OB ( M khác O và B ). Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại hai điểm C và E . Gọi F là hình chiếu của C trên AE và I là hình chiếu của M trên CF . Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm thứ hai H . a) Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp; b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại D . Gọi (O1 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CHD (điểm O1 là tâm đường tròn). Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến của (O1 ); c) Gọi O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMD . Biết 2 R OM = , tính diện 2 tích tam giác OO1O2 theo R . Câu 20. (Đề vào 10 Chuyên Tiền Giang 2019 - 2020) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng mặt phẳng bờ AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O). Trên (O), lấy điểm C (CA < CB) và trên đoạn thẳng OA lấy điểm D (D khác O, A). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lượt tại E, F. AC cắt DE tại G, BC cắt DF tại H, OC cắt GH tại I. 1. Chứng minh hai tam giác AGE, FHC đồng dạng và I là trung điểm của GH. 2. Gọi J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 3. Gọi M là giao điểm của JO và DK. Chứng minh tam giác JOK vuông và ba đường thẳng DE, IM, KO đồng quy. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 56 Câu 21. (Đề vào 10 Chuyên Điện Biên 2019 - 2020) 1. Cho tam giác nhọn ABC AB  AC  nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AI . T là giao điểm của BE và đường tròn tâm I. a) Chứng minh rằng tam giác ABT cân tại A. Từ đó suy ra AC là đường phân giác của góc BCT . b) Gọi M là trung điểm của BC và D là giao điểm của ME và AC . Chứng minh rằng BD  AC. 2. Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD lấy điểm I cố định ( I khác A và D ). Đường thẳng d đi qua I cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại M,N . Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 22. (Đề vào 10 Chuyên Hưng Yên 2019 - 2020) Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Lấy M là điểm bất kì trên cạnh AB (M ≠ A, M ≠ B), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CM tại H, DH cắt AC tại K. 1. Chứng minh rằng MK song song với BD. 2. Gọi N là trung điểm của BC, trên tia đối của tia NO lấy điểm E sao cho 22 ON OE = , DE cắt OC tại F. Tính FO FC . 3. Gọi P là giao điểm của MC và BD, Q là giao điểm của MD và AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác CPQD khi M thay đổi trên cạnh AB. Câu 23. (Đề vào 10 Chuyên Quảng Ngãi 2019 - 2020) Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn thẳng OB ( M khác O và P ). Tia CM cắt đường tròn (O) tại N ; DB cắt CN tại P ; AN cắt CD tại Q a) Chứng minh PQ∥AB b) Chứng minh ∆CAQ đồng dạng với ∆AMC , từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB   =    2 c) Chứng minh hệ thức CQ CN AM AN d) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng OB để NQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ . Tính OM theo R trong trường hợp đó Câu 24. (Đề vào 10 Chuyên Bình Dương 2019 - 2020) Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 57 M (O) AB (M ≠ A, M ≠ B, MA < MB) Cho điểm thuộc nữa đường tròn đường kính . Tia AMB AB C C AB phân giác của góc cắt tại . Qua vẽ đường thẳng vuông góc với cắt các đường thẳng theo thứ tự tại . AM , BM D, H CA = CH a) Chứng minh rằng: . E H A (O), F b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên tiếp tuyến tại của là D B E, M , F hình chiếu vuông góc của trên tiếp tại của. Chứng minh rằng: thẳng hàng. 1 2 S , S ACHE BCDF c) Gọi theo thứ tự là diện tích của các từ giác và . Chứng 2 CM 1 2 < S ⋅ S minh rằng: . Câu 25. (Đề vào 10 Chuyên Sơn La 2019 - 2020) Từ một điểm I nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến IA và IB đến đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Tia Ix nằm giữa hai tia IA và IB, Ix không đi qua O và cắt đường tròn (O) tại C và E (E nằm giữa C và I), đoạn IO cắt AB tại M. Chứng minh: a) Tứ giác OMEC nội tiếp b) c) AMC = AME 2 MB IE     =   MC IC Câu 26. (Đề vào 10 Chuyên Tiền Giang 2019 - 2020) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC). Kẻ đường cao AH ( H ∈ BC) của tam giác ABC và kẻ đường kính AD của đường tròn (O). a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. b. Gọi S, T là các giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn tâm A bán kính AH; F là giao điểm của ST và BC. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với DH tại E. Chứng minh 2 FB.FC = FH và 3 điểm F, E, A thẳng hàng. c. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH. Câu 27. (Đề vào 10 Chuyên Cần Thơ 2019 - 2020) Cho tam giác nhọn ABC không cân có AB < AC, trực tâm H và đường trung tuyến AM. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AM, D là điểm đối xứng của A qua M và L là điểm đối xứng của K qua BC. a) Chứng minh các tứ giác BCKH và ABLC nội tiếp. b) Chứng minh LAB  = MAC . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 58 c) Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AL, X là giao điểm của AL và BC. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IXM và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tiếp xúc với nhau. Câu 28. (Đề vào 10 Chuyên Đà Nẵng 2019 - 2020) 1) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2r lấy điểm C khác A sao cho CA < CB. Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở M. Tia AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCB tại điểm thứ hai là D. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD và nửa đường tròn (O) , P là giao điểm của AK và BC. Biết rằng diện tích hai tam giác CPK và APB lần 2 3 rvà 2 3 lượt là 12 r , tính diện tích tứ giác ABKC. 3 2) Cho tam giác ABC nhọn ( BA < BC) nội tiếp trong đường tròn (O) . Vẽ đường tròn (Q) đi qua A và C sao cho (Q) cắt các tia đối của tia AB và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là D và E. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh QM vuông góc BM. Câu 29. (Đề vào 10 Chuyên Bạc Lưu 2019 - 2020) ∆ABC ∆ABC (I ) 1) Cho không cân, biết ngoại tiếp đường tròn . Gọi D, E, F lần (I ) lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn . Gọi M là giao điểm của đường (I ) (N ≠ D) thẳng EF và đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn tại điểm N , gọi K là giao điểm của AI và EF. a) Chứng minh rằng AK.AI = AN.AD và các điểm I, D, N, K cùng thuộc một đường tròn. (I ) b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn . (O;R)  0 BOC =120 2) Cho đường tròn và hai điểm B, C cố định sao cho góc . ∆ABC Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, (K ≠ A) cắt nhau tại K . Gọi H là giao điểm của BE và CF. BKC  a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp. ∆ACF b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác BHCK theo R. Câu 30. (Đề vào 10 Chuyên Nghệ An 2019 - 2020) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) . Gọi E là điểm nằm chính giữa của cung nhỏ BC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho EM = EC , đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại N ( N khác B ). Các đường thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 59 a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED . b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN . c) Gọi I là trung điểm của AN , tia IM cắt đường tròn (O) tại K . Chứng minh đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK . Câu 31. (Đề vào 10 Chuyên Tuyên Quang 2019 - 2020) Cho đường tròn (O) cố định và điểm A cố định ở ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Một tia Ax thay đổi, nằm trong miền OAB , cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (C ở giữa A và D). Từ B kẻ BH vuông góc với AO tại H. Chứng minh rằng: a) Tích AC.AD không đổi; b) CHOD là tứ giác nội tiếp; c) Phân giác của CHD  cố định. Câu 32. (Đề vào 10 Chuyên Thanh Hóa 2019 - 2020) Cho tam giâc ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt (O) tại D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B. 1/ Chứng minh hai tam giác BDF, CDE đồng dạng. 2/ Chứng minh rằng ba điểm E, M, F thẳng hàng và OA ⊥ EF. 3/ Đường phân giác của góc BAC cắt EF tại điểm N. Đường phân giác của góc CEN cắt CN tại P, đường phân giác của góc BFN cắt BN tại Q. Chứng minh rằng PQ // BC. Câu 33. (Đề vào 10 Chuyên Thừa Thiên Huế 2019 - 2020) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và trực tâm là T. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC; I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC; E và F lần lượt là trung điểm của AC và IH. a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp và hai tam giác ACD và IHD đồng dạng. b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng và DEF là tam giác vuông. c) Chứng minh BC AB AC . DH DI DK = + Câu 34. (Đề vào 10 Chuyên Tin Thanh Hóa 2019 - 2020) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có tâm là O . Các đường cao BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đường phân giác ngoài của BHC  cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác của BAC  tại điểm I khác A,IM cắt BE tại điểm P và IN cắt CF tại điểm Q . 1. Chứng minh tam giác AMN cân tại A . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 60 2. Chứng minh HPIQ là hình bình hành. 3. Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng HI và AO thuộc đường tròn (O) . Câu 35. (Đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2019 - 2020) Cho tam giác nhọn ABC ( Với AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác và đường phân giác ngoài của BAC  cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E ( cùng khác A ). Gọi G là hình chiếu vuông góc của E lên cạnh AC, gọi M và N tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng BC và BA. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng GM, H là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng MG, F là giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng AE. a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AD và GM song song. b) Chứng minh FH = MC. c) Chứng minh KE + KN ≤ 2.EN . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 HƯỚNG DẪN GIẢI Chuyên đề 1 Căn bậc hai và bài toán liên quan Câu 1. a) ( ) ( )( ) ( ) 5 1 5 5 9 1 5 9 x x x x x x x x Px x x x x − − + + + − + − = − − = + − − + − 5 5 25 5 5 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − + + + − − + − − = = = + − + − + − 5 6 5 5 9 2 5 2 10 x x x x x x x x x 5 = −x 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x 5 5 5 5 5 5 b) 2 2 2 ( 5) 5 1 1 1 0 0 0 x x x x x Px x x x − − + < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ < − − − − 5 5 5 5 ⇔ x − 5 < 0 ⇔ x < 5 ⇔ 0 ≤ x < 25 Vậy 0 ≤ x < 25 Câu 2. 2 2  3 5 2 2  3 5   82 62 5 2 62 5  95     2 2  82 5 1 2 5 1 2  62 5 22 5 2 10. 2 3 52 2  3 5   43 53 5 62 5  43 53 5 5 1 124 5 2 5 2 102 5. 2 3 52 2  3 5   43 53 5 62 5  43 53 5 5 1 124 5 2 5 2 102 5. Do đó:                     2 3 5 2 2 3 5 2 3 5 2 2 3 5 10 2 5 10 2 5 20 2. A 10 10 2 2 3 5 2 2 3 5        Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 62 Vậy A  2. Cách khác: Ta có:   2 3 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 4 2           2 2 2 3 5 4 6 2 5 5 5 5 5 4 5 1                    2 3 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 4 2  2         2 2 3 5 4 6 2 5 5 5 5 5 4 5 1 A               Do đó: 4 4 20 4 5 20 4 5 40 4 4 4 2.      5 5 5 5 25 5 20 Vậy A  2. Câu 3. B = (13− 4 3)(+7 4 3−) 8 20+ 2 43+ 24 3 = ( )2 91+ 52 3 − 28 3 − 48 − 8 13 − 4 3 + 7 + 4 3 = ( ) 43 + 24 3 − 8 13 − 4 3 + 7 + 4 3 43 24 3 8 2 3 1 2 3   = ( ) ( ) 2 2 + −  − + +    = 43 + 24 3 − 8(2 3 −1+ 2 + 3) = 35 Câu 4. Đặt ( ) 3 3 a = x; b y =a,b 0 , ta có > 3 2 2 3 2 2 1 P a a a b b b ab a b = + + + + + + + + = + + + + . ( ) a b a b 1 1 3 2 3 3 P = a +b +1 = x + y +1.. Câu 5. Ta có ( )2 2 x − 2 = 3 ⇒ x −2 =3 ⇒x −4x +1 =0. 2 2 x − 4x + 5 = x −4x 1+ +4 =2 .. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 63 4 3 2 x − 2x + 3x − 38x + 5 ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 2 2 = x− 4x+ x + 2x− 8x+ 2x+ 10x− 40x+ 10− 5=− 552 A    . . Câu 6. 2 2 ( ) ( ) 1 5 1 5 − − + − + − + − − − − + − + − − − = = = = = − A 1 5 1 5 1 2 5 5 1 2 5 5 ( ) ( ) 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 4 5 1 5 5 5 4 5 Câu 7. a) Biến đổi được 1 2 1 2 x x x x x x x x x x − −= − + − − − − + ( )( ) 1 1 1 1 1 Biến đổi được 1 2 1 2 + − − = − − + − + x x x ( )( ) ( )( ) x x x x x 1 1 1 1 1 2 1 2 11 1 + − − = + + x x x x x 1 Px = − 1 x Px x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − − b) 1 2 1 1 0 1 1  − ≥  ≤  ≤  ⇔  ⇔  ⇔ < ≤ − > >  >   TH1: 2 0 2 41 4 x x xx x x x 1 0 1 1  − ≤  ≥  ≥  ⇔  ⇔  − < <  <  (không xảy ra). TH2: 2 0 2 4 x x x x x x 1 0 1 1 Vậy các giá trị x cần tìm là 1< x ≤ 4 . Câu 8. a) ( ) ( ) − − + + −   =  −  − −  −  x x x x 4 1 4 1 1 . 1 Ax x x 4 1 1 ( ) 2 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 64 x x x x x Ax x x − − + + −  −  =   − +  −  2 1 2 1 2 . 4 4 1 2 − − + + −  −  =   −  −  x x x Ax x 1 1 1 1 2 . 2 1 Nếu 1< x < 2 thì 2 Ax = − 1 Nếu x > 2 thì 21 Ax = − b) - Nếu 1< x < 2 thì không có giá trị nguyên. - Nếu x > 2 thì 21 Ax = − + x −1 =1⇔ x = 2 (l) + x −1 = 2 ⇔x =5 (n) Câu 9. Điều kiện: a > 0,a ≠ 1. ( ) 2 2   − + − + =  +  =  − − −  − −  a a a a Pa a a a a a a ( ) ( ) 1 4 1 1 1 3 5 . . 1 1 1 4 1 1 4 1 a = . Câu 10. ( )( ) ( )( ) x x x x Px x x x + − + − = − − + − + − 3 16 7 1 3 2 3 3 1 ( )( ) ( )( ) + − + − + + − = − + − + − 1 1 3 3 3 4 7 x x x x x x ( )( ) x x x x 2 3 3 1 x x x x + − − + − = − 3 4 7 1 9 ( )( ) ( )( ) x x x x − + + − 1 3 3 1 3 4 7 2 10 + − − = − x x x ( )( ) ( )( ) − + + − 1 3 3 1 x x x x + + = 4 3 x x ( )( ) + − 3 1 x x Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 ( )( ) x x + + 3 1 = ( )( ) x x + − 3 1 + = x 1 x − 1 Câu 11. 2 ( )( ) ( ) a a a a a a a P a a − + − − − + − = = =− =− = + − + − − 2 2 2 4 4 4 2 2 ( ) ( ) ( ) : : 2 : 2 . 2 2 2 4 2 2 2 2 2 a a a a a Câu 12. 2 2 2 ( 3 1) ( 5 1)5 3 A = + + − ++ 2 3 1 5 15 3 = + + − ++ 2( 5 3) 3 52− = + + = 2 5 Câu 13. a).Điều kiện: x≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y; x ≠ 1 ( ) ( ) − − + + + + + = − − − ; 3 3 2 x x y x x xy y x xy y Mx x y y x x y . 1 ( )( ) ( ) 2 2 . 1x xy y x xy y Mx y x xy y x x y − + + + = − + + − − ( ) ( ) 2 ( )( ) Mx = − 1 b) Để M có giá trị nguyên khi x-1 là ước của 2. Các ước nguyên của 2 là ±1;± 2.  − =  = x x 1 1 2   − =− =  ⇔   − =  =    − =−  =− x x Do đó ta có 1 1 0 x x 1 2 3 x x 1 2 1 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Vì x≥ 0; x ≠ 1 nên có x = 0; x = 2; x = 3 thỏa mãn bài ra. Câu 14. 1. Rút gọn biểu thức A.   + − − + − + + +   =   − − − −     ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x Ax x x x 3 3 2 2 2 24:2 2 3 ( ) ( )   ( ) ( ) + − − − + +   =   + − − −     x x x x 24 9 4 2 A : ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 1 2 2 3   +  −  =   + − − −     x x A 24 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 1 2 2 3 x Ax241 + = + 2) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. x x M x x + − + = = = − + = + + − + + + + 24 1 25 25 25 1 1 2 x x x x 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có 25 1 10 xx + + ≥ + 1 Do đó M ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra khi ( )2 x +1 = 25 ⇔ x +1 =5 ⇔x =16 . Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 8, đạt được khi x = 16. Câu 15. 1. A  4 3  2 27  12  4 3  6 3  2 3  0          2. 1 2 1 a a B :        với a  0,a  1 a a a a 1 1                  a aa   1 2 . 1 a a a 1 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1). 1      a a aa ( 1)( 1) a a    3a  1   Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 67 Câu 16. 1..ĐK: 12  >  ≠ x x 2.. B =10 3 −3 3 =7 3 3..ĐK: 01  ≥  ≠; C = a 1+ 1− =a a a Câu 17. 1).Điều kiện a  0 và a 1 a a a Aa a a a + − − = − + − + − − + 3( 1) 2 1 1 ( 2)( 1) 1 2 ( ) + − − − + + − − + − = + − 3( 1) 2 ( 2) 1 ( 2)( 1) a a a a a a a Aa a ( 2)( 1) a Aa + = − 1 1 a Aa+ = − để 1 2 2 2). 11 a Aa+ ⇔= = − 1  = a 3 Học sinh giải phương trình và tìm ra giá trị của Câu 18. A = ( 5 − 3)( 5 + 3)+ 6 = 5− 9+ 6= 2 Câu 19.  =  a 1 9 a) Ta có 2 2 2 ( ) ( ) 1 3 1 1 3 + + −  +    + − + − + − +   = ⎟ − = ⎟ − a a a 2 2 3 ( )( ) a a a a a a a a Pa a a a a a a a a 1 1 2 1 1 1 2 ( ) 2 3 2 2 2 ( )( )  −  − − − + + − + + − 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ( ) ( )   +  +  + 3 2 a a 1 1 ( ) 2 2 2 ( ) ( )( ) − + + − + + = − + + − + − + −1 2 1 1 4 1 1 1 1 2 . . 4 1 1 1 1 1 a a a a a a a ( ) 2 2 2 + − = − −= = − − − . a a a ( ) ( )( ) a a a a a a a a a a ( ) Vậy P = −1 . 1 1 1 b) Đặt 3 2 s = x và 3 2 t = y thì đẳng thức đề bài có thể viết lại thành 3 2 3 2 s + s t + t + t s = a . Do s, t ≥ 0 nên 3 2 3 2 s + s t = s s +t, t +t s =t s +t . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 68 Từ đó ta có (s + t) s + t = a hay ( )3 2 s + t = a . Suy ra 3 2 s + t = a . Đây là kết quả cần chứng minh. Câu 20.  + − − +  − = +  −   − + − + +  − x x x x x x x ( 1)(2 1) (2 1)( 1) ( 1) ) 1 . (1 )(1 ) (1 )( 1) 2 1 a Px x x x x x  +  = + − +   + +  x x P xx x ( 1) 11 (1 )( 1) ( 1) x x x x x Px x − + + + + = + + 1 − + − + + + = = + + + + (1 ) 1 1 x x x x x x x x x x x 1 1 4 1 4 ) 5 1 5 + x b Px x ⇒ = =+ +  = − ⇒ − + = ⇔ = + 7 4 3 x xx(tháa m·n) x 4 1 07 4 3 Vậy để 45 P = thì x = 7 4± 3 Câu 21. x Px x x x      . 1 3 :1 1 1 x 3   .. 1 1 1 2 P x      (tháa m·n)  x  4 .. 5 3 5 x Vậy 0  x  4 thỏa mãn bài toán.. Câu 22. a) Ta có A  2x  15  8 2x 1  2x 1 2.4. 2x 1  16       2 ( 2x 1 4) 2x 1 4 . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 69 Biểu thức Acó nghĩa khi và chỉ khi     1 2 1 0 .2 x x                             x x 2 1 4 3 2 1 7 b A xx x ) 3 2 1 4 32 1 4 3 2 1 1      25. 1 x x Câu 23. Ta có          3 3 3 3 3 3 x 1 2 4 ( 2 1)x ( 2 1)(1 2 4)            3 3 3 2 ( 2 1)x 1 2x x 1 x 3x 3x 1 0. Khi đó        5 4 3 2 A x 4x x x 2x 1 2020         2 3 2 (x x 1)(x 3x 3x 1) 2020 2020. Câu 24. a) Điều kiện của x để biểu thức 13 x   có nghĩa là x3  0 . x  x  3 .         a a a aa             a  0,a  1. . b).Chứng minh đẳng thức 1 1 1 a a 1 1                                                       Ta có  1  1 1 1 1 1 a a a a a a a a . a a a a 1 1 1 1    1 a1 a.  1a . Câu 25. 3 5 .3 5   P 1) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức 3 5 .3 5. 2  5 1      10 2 P  8 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 70       2       6 2 5 . 3 5 5 3 5 5 1 . 2 5 2   8 8  5 1.2. 5 1    8 2.5 1 1    8 2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 2 3 2 x x Qx     tại x  20202 2019 2 Ta có  2 x  20202 2019  20192 2019 1 2019 1  x  2019 1 2 3 2 2 1 2 x x x x Qx x         2 2 Q  2 x 1 Q  2 2019 11 2 2019 1 Câu 26. a). 4 + 3 = 2 +3 = 5 b). 2 5 + (6 − 5) = 5 +6 − 5 = 5 6+ −5 6= Câu 27. 2 x x x x x Hx x x x x x x x x + + = + − = + − = + − − + − − + + − − + − 2 2 1 1 2 ( 1) 1 1 2 1 1 a). 2 1 1 1 (x 1)(1 ) 1 1 1 1 1 + − − + = − 2 1 ( 1) x x x − = − 2 2 x x 1 x 1 − = = x − 2(x 1) 2 1 b).Ta có x − H < 0 ⇔ x − 2 < 0 ⇔ x < 2 ⇔ x < 4 Mà x ≥ 0; x ≠ 1, suy ra: 0 ≤ x < 4; x ≠ 1 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 71 Vậy: Với 0 ≤ x < 4; x ≠ 1 thì x + H < 0 Câu 28. Tính được 13− 4 3 = 2 3− 1 và 19 + 6 2 = 3 2− 1 Đưa được về dạng ( ) ( ) 2 2 2 2 T 2 3 1 3 2 1    = − −       Tính đúng kết quả T = 187 Câu 29.  ≥ x 0  − ≠ Biểu thức xác định khi  ≥ x  ≠  x 3 0 9 . x 0 ⇔  ≠ . x Câu 30. 9. 2 a a aa a 1).Với a > 0, a ≠ 1 ta có + = + . a . 1 2 2 Và ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a aa + − − + − + + − − + = − + − + . 1 1 4 1 1 1 1 4 ( ) ( ) a a a a 1 1 1 1 4 . 1 a a a = − . Do đó 4 1 4 . . 1 1 a a Pa a a a = = − − .  − =− a 1 4  − =−  − =−  − =  − =  − =. a a 2).Với a nguyên thì P nhận giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a a a 1 2 1 1 1 1 1 2 1 4 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 72  = − a 3  = −  = ⇔  =  =  =Đối chiếu với điều kiện ta có a = 2, a 3,a= 5 (thỏa mãn).. = a a a a a Câu 31. 1 0 2 3 5 2 x 3 5 2 3 3 5 2 3 6 2 3 5 2 3 6 2 4 2 3   = + + + − + = + − + = + −     + Có 2 2 ( ) ( )2 ( ) = 6+ 2 3− 1 = 4+ 2 3= 3+ 1 . x > 0 x = 3 1 + + Do nên . ( )2 x −1 = 3 2 x − 2x = 2 P = −2 + Suy ra hay , do đó . Câu 32. Biểu thức xác định khi 3 0  − >  ≠ . x  > x 3 x 9 ⇔  ≠ . x Câu 33. 9. 2 2 1).Với a > 0, a ≠ 1 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a aa + − − + − + + − − + = − + − + . 1 1 4 1 1 1 1 4 ( ) ( ) a a a a 1 1 1 1 2 1 2 1 4 ( 1) + + − + − + − = − . a a a a a a 4 a a a 1 a = − . 1 Do đó 4 1 4 . . 1 1 a a Pa a a a = = − − . 2).Ta có ( )2 a = 9+ 4 2 = 2 2+ 1 = 2 2+ 1. . Do đó P = 2. . Câu 34. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 73 ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 2 x 9 x 9 2 x 9 Bx x 3 x x 3 − + + + − + + = = + + . ( ) ( ) x 2 x x ( x 2) x 2 + + + = = = + + + .. ( ) x x 3 x ( x 3) x 3 + + x > 0A 5 2 x 2 x 5 > ⇔ > : x 3 5 + ⇔ > Với ta có: . B 3 x x 3 3 + x 3 ⇔ 3 x + 9 > 5 x 3 x > 0 ∀x > 081 2 x 9 0 x . 4 (vì ) Câu 35. ⇔ < ⇔ < < 2 5 6 7 33 128 1 5 6 7 (4 2 1) 1 − + − − + − = = − − C3 2 3 2 Ta có: . 2 5 6 6 4 2 1 5 6 (2 2) 1 − − − − = = − − . 3 2 3 2 − = −2 5 (3 2) 5 11 6 2 3 2 − = − 3 2 . − = = − 5(3 2) 5. . 3 2 Câu 36. a) Rút gọn biểu thức A. Điều kiện: x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9⋅ Ta có: + + + + + + x x x x x x 3 2 2 3 2 2 + + = + + − − − + − − − − ( ) ( ) x x x x x x x x 2 3 5 6 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − − + − + + = − − x x x x x 3 3 2 2 2 ( ) ( ) x x 2 3 ( ) ( ) 9 4 2 1 − − − + + = = ⋅ − − − x x x ( ) ( ) x x x 2 3 2 Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 74 ( ) x x x x x x 2 2 2 1 − − − − − − = = = ⋅ − − − − − − + − ( ) ( ) 2 2 2 1 2 x x x x x x x x x x Ax x x x+ = = ⋅ − + − 1 1 :2 1 2 Do đó ( )( ) b) Tìm x để 1 P 2Ax = −đạt giá trị lớn nhất. + = − = + − Ta có 2 2 1 2 1 2 x Px x x x 2 1 1 3 3.   =− − + ≤     x Dấu “=” xảy ra khi 1 1 x 1. x = ⇔ = Vậy maxP = 3⇔ x = 1. Câu 37. Điều kiện: a > 0 và a ≠ 1. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a +1 − a −1 = a 1+ +2 a −a 1+ −2 a =4 a và ( 2a +1 + a +1) ( 2a +1 − a +1) = (2a 1+) (−a 1+) a=. Do đó, phương trình đã cho có thể được viết lại thành 1 1 1 1 1 − = a − a + . Phương trình này tương đương với ( ) ( ) a a + − − = + − 1 11 a ahay 2 1 ( ) ( ) 1 1 Như thế, ta có a −1 = 2 hay a = 3 (thỏa mãn). 1= a − . Vậy có duy nhất một giá trị a thỏa mãn yêu cầu đề bài là a = 3. Câu 38. Với x ≥ 0 , ta có: Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 75 2 2 2 8 1  + +  − + − =  −  ⋅ x x x x x x Ax x x x x  − + +  + 1 1 3 ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 8 1 1 1 1 3 + + − − − + − = ⋅ + − + + x x x x x x x ( )( ) x x x x ( )( ) 1 1 3 2 2 8 1 3 + − + + − − = ⋅ + + x x x x x x x x x 1 3 2 63 − = + − − ⋅ + ( ) x x x xx 1 2 33 − = − + ⋅ + ( )( ) x x xx ( )( ) 2 1 = − − x x 3 2 =− + x x A x x x x = ⇔ − + = ⇔ − − = 6 3 2 6 3 4 0 ( )( ) ⇔ + − − = ⇔ − + = x x x x x 4 4 0 4 1 0 ( ) ⇔ − = + > ∀ ≥ x x x 4 0 vì 1 0 0 ⇔ x =16 (TMĐK) Vậy với x =16 thì A = 6 . Câu 39. ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x Px x x x x x x x x x x − + + + + − + + = + − = + − − + − + 2 1 1 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x + + − + + + + + + + = + − = + − + + 1 1 1 2 3 1 2 3 1 ( ) ( ) x x x x x x x x 1 1 ( ) ( ) ( ) + + − + + + + + + + = + − = + − + + 1 1 1 2 3 1 2 3 1 x x x x x x x x x x x ( ) ( ) x x x x x x x x 1 1 + + + − + + + = + − = = + + 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 x x x x x x xx x x x x x 3 2 2 6 2 2 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có x P + ≥ ⇒ ≥ + x Dấu bằng xảy ra khi x = (tmdk ) 32 Câu 40. Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 76 a). ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x Ax x x x x x − + − + − − + = + − + + + + + + 1 2 2 1 1 4 9 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 5 2 1 5 − + − = = + + + . x x x ( ) ( ) x x x 1 2 1 b). 1 5 6 5 x Ax x − = =− + + + . Với mọi x ≥ 0 ta có: x +1≥1 nên 6 6 x 1≤ + 1 1 Do đó 6 5 1 +. Giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x = 0 . Ax =− + ≤ 1 Câu 41.    + + +  −=    − +   +   − − − + Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9. x x x x Ax x x x x a) 3 2 2 1 : 1 2 3 5 6 ( )( ) ( )( ) + − − + − + + = + − − x x x x x 3 3 2 2 2 1:1 2 3 Ax x x ( )( ) − = + − − 1:1 x x x − − + + + 9 4 2 x 1 3 Ax = + ( )( ) :1 2 3 − − ( )( ) x x 2 3 x Ax x x− = = + − + . 1 1 2 :1 2 1 b) Ta có 3 3 3 10 + 6 3 = +(1 +3)= 1 3 2 21+ 4 5 = (2 5 +1) =2 5 1+ x x x Nên ( 3 1)( 3 1) 2 5 2 x − + = = = − + + 2 5 4 2 5 4 Vậy 2 2019 2019 B = (+x 4−x 2) −= ( −=1) 1 Câu 42. 1. Ta có: Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 77   + − =  + + ⋅   +   ( ) xy x y xy Pxy x y x x y y 2 1 1 ( ) + + + − = ⋅ + + − 2 xy x y xy xy y x xy x y x y xy ( )( ) ( )2 + = ⋅ + x y xy xy x y + = x y xy Vậy + = x y Pxyvới x > 0; y > 0. 2.Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2 2 16 4 x y xy + ≥ = = 4 1 ⇒ ≥ = P 16 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 4 Vậy min P =1 tại x = y 4=. Câu 43. Ta có: 3 3 = + + − 70 4901 70 4901 x ( )( )( ) 3 3 3 3 140 3 70 4901 70 4901 70 4901 70 4901 ⇒ = + + − + + − x 3 ⇔ = − 140 3 x x 3 ⇔ + − = 3 140 0 x x 2 ( )( ) 5 5 28 0 ⇔ − + + = x x x 2     ⇔ =  + + = + + > ∀ ∈       5 87 5 do 5 28 0 2 x x x x x  2 4 Vì vậy x là số nguyên tố.. Câu 44. Ta có ( )( ) 2 A > 0 ⇒ A = 8+ 2 4+ 10+ 2 5 4− 10+ 2 5 . Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 78 ( ) ( )2 2 A =+8 2 16− 10+ 2 5=+ 8 2− 6 2=+5 8 2− 5 1 . ( ) ( )2 2 A = 8+ 2 5− 1 = 6+ 2 5= +5 1 . ⇒ A = 5 +1.. Câu 45. 3 3 x = 2 + 2 3 + 2 − 2 3 −1 3 3 ⇔ x +1= 2 2+ 3 +2 2− 3 ( ) ( ) 3 3 2 ⇒ x +1 =−4 6 +x 1⇒ x+ 3x+ 9−=x 3 ( ) ( ) 3 3 3 2 3 2 P = x x +3x +9 = x +3x +9x P = −27 Câu 46. 1 1 1 1 ... 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 = + + + + Ta có: 2 2 S + + + − + 2 2 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 ... 1 3 3 5 5 7 2019 2 2019 − − − − − ⇒ = + + + + − − − − − S 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 ... 2019 2 2019 − + − + − + + − − ⇒ = − S 2 2 1 2019 1 2019 1009 − − ⇒ = = = − − S 2 2 Vậy S =1009 Câu 47. Rút gọn biểu thức ( 2 2 2 )( 1) a a − − = − − với a > 0,a ≠ 4 . Ta a 2 ( 2a − 2 2 )(a −1) = 2 ( a 2)(a− 1) − = 2 ( a −2) ( a −1) ( a +1) a − a − 2 = ( a 1) (+ a 2−) Vậy T = 2 ( a 1) . − Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 79 Câu 48. a) Điều kiện: x > 0 ; x ≠ 1. ( )2   −   + += +=      − −   − −  + −  x x Px x x x x x x x. 1 1 1 1 1 1 : . 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( )2 − + − = = − + 1 1 1 . x x x x x x x . ( ) 1 1 − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = x P x x x x ( ) 1 1 1 2. 1 2 4 x(thỏa điều kiện). 2 2 Vậy giá trị cần tìm là x = 4 . b) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 3 3 46 5 − 61 = 2 5 3.− 2 5 .1 3.2+ 5.1 1− = 2 5 1 − 2 =5 1. − ( ) ( ) 2 2 69 − 28 5 = −49 2.7.2+ 5 2 =5− 7−= 2 5 7 2 5. 3 A = 46 5 61− 69+ 28− 5 2 =5 1 7 −2 +5 −6. = Câu 49. 2 2 A +   −  =  −  − −   +   −  1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 2 2 2     + − − −     = −      +   −     . ( ) ( ) 1 3 4 1 3 4 ( ) ( ) 2 1 3 2 1 3 2 2     − =   −    +   −      2 3 2 3 ( ) ( ) 2 1 3 2 1 3 3 3 3 3 = − = − + − + − ( ) ( ) 2 2 4 2 3 4 2 3 1 3 1 3 − − − = − =− = − 12 6 3 12 6 3 12 3 3 3 16 12 4 Vậy A = −3 3 . Cách khác: Sưu tầm và tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC