🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Bất Đẳng Thức Và Các Ứng Dụng Ebooks Nhóm Zalo Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) I ) Khái niệm bất đẳng thức cơ bản : 1.1 Số thực dương, số thực âm ∙ Nếu a là số thực dương, ta ký hiệu a> 0 ∙ Nếu a là số thực âm, ta ký hiệu a< 0 ∙ Nếu hiệu a là số thực dương hoặc a≥ 0 a= 0, ta nói a là số thực không âm, ký ∙ Nếu hiệu Chú ý: a là số thực âm hoặc a≤ 0 a= 0, ta nói a là số thực không dương, ký ∙ Với hai số thực ab,chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra: a b >hoặc a b 0" là mệnh đề " a ≤ 0" ∙ Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " a ≥ 0" Tính chất quan trọng i) 2 ∀ ∈ ≥ x R x: 0 (đẳng thức xảy ra khi x = 0) ii) 2≥ ∈ ∈ 0, , k x k N x R (đẳng thức xảy ra khi x = 0) iii) x x x = = = =) 1 2 ... 0 n n i x x x k N x R(đẳng thức xảy ra khi 1 2 + + + ≥ ∈ ∈ ... 0, , k k k 2 2 2 1.2 Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a b− là một số dương, tức là a b− > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: a b a b > ⇔ − > 0 ∙ Nếu a b >hoặc a b =, ta viết a ≥ b. Ta có: a b a b ≥ ⇔ − ≥ 0 1 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1.3 Định nghĩa 2 Giả sử A, B là hai biểu thức (bằng số hoặc chứa biến) Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu " A nhỏ hơn B ", ký hiệu A B> A B< " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B≥ " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B≤ được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : ∙ Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. ∙ Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 1.4 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức ⎧ > 1.4.1 Tính chất 1. a b ⎨ ⇒ > (Bắc cầu) ⎩ > b c a c 1.4.2 Tính chất 2. cùng một số) Hệ quả 1. một số) Hệ quả 2. a b a c b c > ⇔ + > + (Cộng hai vế với a b a c b c > ⇔ − > − (Trừ hai vế với cùng a c b a b c + > ⇔ > − (Chuyển vế) ⎧ > 1.4.3 Tính chất 3. a b ⎨ ⇒ + > + (Cộng hai vế hai bđt cùng chiều) ⎩ > c d a c b d 1.4.4 Tính chất 4. khi c > 0 ⎧ > a b > ⇔ ⎨ ac bc (Nhân hai vế với cùng một số) ⎩ < ac bc khi c < 0 Hệ quả 3. a b a b > ⇔ − < − (Đổi dấu hai vế) ⎧ a b > ⎪⎪ c c a b khi c > 0 Hệ quả 4. > ⇔ ⎨ a b (Chia hai vế với cùng ⎪ < khi c < 0 một số) ⎪⎩ c c 2 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ⎧ > > ⎨ ⇒ > 1.4.5 Tính chất 5. bđt cùng chiều) a b ⎩ > > c d 0 0 ac bd (Nhân hai vế hai 1.4.6 Tính chất 6. 1.4.7 Tính chất 7. 1 1 a b 0 0 > > ⇔ < < (Nghịch đảo hai vế) a b 0, (Nâng lũy thừa * n n bậc n) 1.4.8 Tính chất 8. a > b > n∈ N ⇒ a > b 0, (Khai căn bậc * a > b > n ∈ N ⇒ a > b n n n) Hệ quả 5. Nếu a và b là hai số dương thì : vế) a > b ⇔ a > b (Bình phương hai 2 2 Nếu a và b là hai số không âm thì : a ≥ b ⇔ a ≥ b (Bình phương hai vế) 2 2 2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất. 2 2 x x ≥ = ≤ ≤ 0 , x , x x , -x x Với mọi ∙ ∙ ∙ ∙ a,b ∈ Rta có : a b a b + ≤ + a b a b − ≤ + a b a b a b + = + ⇔ ≥ . 0 a b a b a b − = + ⇔ ≤ . 0 3. Bất đẳng thức trong tam giác Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : ∙ a > 0, b > 0, c > 0 ∙ ∙ ∙ b c a b c − < < + c a b c a − < < + a b c a b − < < + ∙ a b c A B C > > ⇔ > > II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ cơ bản : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi 3 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 a b R , ∈ 2 2 a b ab + ≤ 2 a = b 2 a b R , ∈ 2 a b ab ⎛ ⎞ + ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 a = b 3 a b, 0 ≥ a b ab + ≤ 2 a = b 4 a b R , ∈ 2 ( + ≤ + ) ( ) 2 2 a b a b 2 a b = 5 a b c R , , ∈ 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + ( ) 4 4 4 a b c abc a b c + + ≥ + + a b c = = 6 a b c R , , ∈ 2 ( ) ( ) 2 2 2 3 a b c a b c + + ≥ + + a b c = = 7 a b c R , , ∈ 2 ( ) ( ) a b c ab bc ca + + ≥ + + 3 a b c = = 8 a b R , ∈và ab≥1 1 1 2 + ³ 2 2 1 1 1 a b ab + + + a b =hoặc ab =1 9 a b, 0 > ⎛ ⎞ ( )1 1 a b 4 + + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b 1 1 4 + ≥ a b a b + a b = 10 a b c , , 0 > ⎛ ⎞ 1 1 1 a b c 9 ( ) + + + + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b c 1 1 1 9 + + ≥ a b c a b c + + a b c = = 11 a b, 0 > ⎛ ⎞ 1 1 a b 8 2 ( ) + + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 a b 1 1 8 + ³ 2 2 2 ( ) a b a b + a b = 12 a b c R , , ∈ , x y z R , , ∈ 2 2 2 2 2 2 2 ax by cz a b c x y z + + ≤ + + + + ( ) ( )( ) (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) a b c = = x y z 13 a b c R , , ∈ , x y z R , , ∈ 22 2 2 ( ) x y z x y z + + + + ≥ a b c a b c + + (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) a b c = = x y z 14 a, b, c, x, y, z, m, n, p > 0 ( )( )( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c x y z m n p axm byn czp + + + + + + ≥ + + (Hệ quả bất đẳng thức Holder) Các dãy tương ứng tỉ lệ * Các bất đẳng thức quan trọng và mở rộng : 4 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ∙Bất đẳng thức AM - GM _________________________________________________ a a alà các số thực không âm thì Nếu 1 2 , ,..., n a a a + + + 1 2 ... n n ≥ a a a n 1 2 ... n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a a a = = = . 1 2 ... n ∙Bất đẳng thức AM - GM suy rộng ________________________________________ Cho các số dương 1 2 , ,..., w w wnthoả mãn 1 2 ... 1 w w w + + + = n. a a alà các số thực không âm thì Nếu 1 2 , ,..., n w w wn w a w a w a a a a + + + ≥ 1 1 2 2 1 2 ... ... 1 2 n n n a a a = = = . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n ∙Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz __________________________________________ b b b. Ta có: a a avà 1 2 , ,..., Cho hai dãy số thực 1 2 , ,..., n n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ... ... ... a b a b a b a a a b b b + + + ≤ + + + + + + ( ) ( )( ) n n n n a a a = = = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n b b b 1 2 n ∙Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ______________________________ Cho hai dãy số thực a a avà b b b. Ta có: 2 2 2 1 2 , ,..., n 2 1 2 , ,..., n a a a a a a + + + ( ) 1 2 1 2 ... n n + + + ≥ ... b b b b b b + + + 1 2 1 2 ... n n a a a = = = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n b b b 1 2 n ∙Bất đẳng thức Holder ____________________________________________________ (a a a a a a a a a 1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, ,1 ,2 , , ,... , , ,..., ... , ,..., Với m dãy số dương m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m m n n ⎜ ⎟ ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∏ ∏ ∑ ∑ a a m i j i j , , i i j j = = = = 1 1 1 1 n n m m m n ) ( ) ( )ta có: Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ. +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m = 2. ∙Bất đẳng thức Minkowski ________________________________________________ b b b. Ta có: a a avà 1 2 , ,..., Cho hai dãy số thực 1 2 , ,..., n n 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a a a b b b + + + + + + ≥ + + + + + + + 1 1 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ( ) ( ) n n n n ∙Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng ____________________________________ b b b. Ta có: a a avà 1 2 , ,..., Cho hai dãy số thực 1 2 , ,..., n n 5 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a a a bb b a b a b a b + ≤ + + + 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... ( )( ) ( ) n n n n n n n Dấu ‘‘=’’ của bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz. ∙Bất đẳng thức Vonicur Schur _____________________________________________ Cho các số thực không âm a, b, c. Nếu r ≥0, thì r r r a a b a c b b c b a c c a c b − − + − − + − − ≥ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a = 0, b = c và các hoán vị. Với bất đẳng thức này ta có các hệ quả sau: ∙Trong trường hợp r = 1, ta có các dạng tương đương sau: a. b. c. 3 3 3 a b c abc ab a b bc b c ca c a + + + ≥ + + + + + 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 4( ) 15 ( ) a b c abc a b c + + + ≥ + + 2( ) abc a b c ab bc ca 2 2 2 9 + + + ≥ + + a b c + + a b c abc d. 42 + + + ≥ b c c a a b a b b c c a + + + + + + ( )( )( ) ∙Trong trường hợp r = 2, ta có các dạng tương đương: a. b. 4 2 2 ∑ ∑ a abc a b c ab a b + + + ≥ + ( ) ( ) 2 2 6 ( ) (2 )( ) abc a b c ab a a ab + + ≥ − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∙ Bất đẳng thức Bernolli _________________________________________________ Với mọi số nguyên r r (1 1 ) + ≥ + x rx ≥0 và x > -1 III ) Một số kỹ thuật cơ bản trong bất đẳng thức : 1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: Ví Dụ 1:Cho x ≥ 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x = + 1 x Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng a b ab + ≥ 2ta có: 1 1 A x x 2 . 2 = + ≥ = x x Ta thấy lời giải trên sai vì trong đánh giá trên , dấu bằng xảy ra khi 1 xx =, vì vậy x=1, tuy nhiên x=1 lại không nằm trong khoảng giá trị x ≥ 3mà bài toán đã quy định. Vì vậy với lời giải trên thì ta đã tìm sai điểm rơi cho bài toán. Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ra thì ta có lời giải như sau: 6 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ⎛ ⎞ x x x A 8 1 8.3 1 24 2 10 2 . = + + ≥ + = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9 9 9 9 9 3 3 x x Ra thêm: Ví Dụ 2:Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x = + 3 1 2 x Ví Dụ 3:Cho x>2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C x = + + 4 3 x 1 − 4 Ví Dụ 4:Cho a,b >0 và a+2b = 3 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D ab = 2 Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: a b b c c a + + + + + ≤ 6 2) Kỹ thuật đổi biến : Ví Dụ 1: Cho x,y,z > 0 , xyz=1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 + + ≥ 1 1 1 2 x y z + + + y z x (Lê Việt Hưng) a b c x y c = = = ; ; Lời giải : Từ xyz=1 ta có thể đặt : b c a 1 1 1 3 b c a + + = + + ≥ a c b a c b a c a b b c + + + 2 + + +(Bất đẳng thức Nesbit) b b c c a a ⇨ Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 Ví Dụ 2:Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 + + + + ⎛ ⎞ a b c a b c bc ca ab ≤ ≤ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (NguyenDungTN) Lời giải :Từ đây ta đặt: 3 3 3 bc ca ab = = = x y z ; ; a b c xy yz zx x y z + + + + ≤ a b c Từ đó ta cần chứng minh: 3 3 7 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng <=> 2 ( ) ( ) 3 xy yz zx x y z + + ≤ + +( Đây là 1 dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z > 0 , abc=1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 + + ≥ ( ) ( ) ( ) a b b c c a 1 1 1 2 + + + (Sưu tầm) x y z a b c = = = ; ; Lời giải : Từ abc=1 ta có thể đặt y z x , khi đó : 1 1 1 3 yz zx xy = + + = + + ≥ x y y z z x xy zx yz xy zx yz VT ( 1) ( 1) ( 1) + + + y z z x x y + + + 2 (Nesbit) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Chứng minh rằng: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + − + − + ≤ 1 1 1 a b c 1 1 1 1 b c a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (IMO 2000) x y z a b c = = = ; ; Lời giải :Từ abc=1 ta có thể đặt y z x Ta có: ⇨ x y z y z x z x y V T ( )( )( ) 1 − + − + − + = ≤ xyz ( )( )( ) x y z y z x z x y xyz − + − + − + ≤(Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5: Cho a,c>0 và b ≥ 0.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 a c a b T = + + + 2 2 2 2 2 a c b c a + + (Nguyễn Phúc Tăng) 2 2 + ⎛ ⎞ Lời giải : a c a b b T 1 1 1 1 = + + = + + + ⎜ ⎟ 2 2 2 2 2 2 a c b c c b a a 2 2 + + ⎝ ⎠ + + 1 1 2 2 a c 8 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Đặt : ;c b x y = = a c 1 1 1 xy T Ta được: = + + 2 2 + 1 1 2 + + x y Từ đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức phụ: 1 1 2 + ≥ 2 2 1 1 x y 1 xy + + + xy xy T 1 1 1 2 1 2 + + = + + ≥ + ≥ ⇨ 2 2 1 1 2 1 2 + + + x y xy Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 tại x=y=1 Ví Dụ 6:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Chưng minh rằng: ∑ 1 1 a b + + 2 ≤ 1 Lời giải: Đặt: 3 3 3 a x b y c z = = = ; ;, ta được: ∑ 1 3 6 1 x y + + ≤ 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 1 4 4 z x z x + + + + + + 4 2 2 2 2 2 ∑ ∑ ∑ x x yz z x y y ∑ 1 = ≤ = ( ) + + ⎛ ⎞ 3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 4 x y x y z x y z x y z x + + + + + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 y Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 ∑ ∑ 2 2 2 4 2 2 x y z x y z xyz x y z + + ≥ + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ⇔ + + ≥ + + x y y z z x xyz x y z ( ) 1 1 1 2 2 2 ⇔ − + − + − ≥ xy yz yz zx zx xy 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≥ 2 2 2 a a b b c c 1 1 1 + + + + + + (Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) xy yz zx a b z = = = Lời giải: Vì a,b,c nên ta có thể đặt: Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: ; ; 2 2 2 z x y 9 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 4 4 4 x y z + + ≥ 1 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 y z x yz x z x xy z y x y xyz z + + + + + + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2 2 2 4 4 4 x y z x y z + + + + ≥ ( ) + + + + + + ∑ ∑+ + + + 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2 y z x yz x z x xy z y x y xyz z x y z xyz x y z ( ) Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 ∑ ∑ 2 2 2 4 2 2 x y z x y z xyz x y z + + ≥ + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ⇔ + + ≥ + + x y y z z x xyz x y z ( ) 1 1 1 2 2 2 ⇔ − + − + − ≥ xy yz yz zx zx xy 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≥ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 c bc a ca b ab + + + + + + (Lê Việt Hưng) x y z a b c = = = Lời giải: Vì abc=1 nên ta có thể đặt: Bất đẳng thức được viết lại thành: 2 2 2 x y z + + ≥ 2 2 2 2 2 2 x z yz y x zx z y xy + + + + + + ; ; y z x 1 4 4 4 x y z ⇔ + + ≥ 1 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 x x z x yz y x y xy z z y z xyz + + + + + + Chứng minh bất đẳng thức trên tương tự như ví dụ 7. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 3. + + ≥ ∑ a b c a b2 + (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 + + ≥ + + ≥ + + ≥ Lời giải : ; ; + + +(Cauchy-Swcharz) a b b a b b c c b c c a a c a 2 2 2 ⇨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ≥ + + 1 1 1 1 1 1 3 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + a b c a b b c c a 2 2 2 10 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ⇨ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 1 3 + + ≥ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + a b c a b b c c a 2 2 2 Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c Ví Dụ 2: Cho a,b,c > 0 thõa mãn a b c ab bc ca + + ≥ + + 1 1 1 1 + + + + + +.Chứng minh rằng : + + ≤ b c c a a b 1 1 1 ( Romania IBMO Team Selection Test 2007 ) Lời giải : Ta có: 11 = − b c + ⇨ 2 ≥ ∑ b c b c + + + + 1 1 b c + b c + + 1 Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: V P 2 ⎡ ⎤ + + + + + ⎣ ⎦ ≥ a b b c c a ( ) ( ) ( ) ∑ + + + b c b c ( )( ) 1 2 ( ) a b c ⇨ 1 ≥ + + ∑ ∑ ∑ + + 2 a ab a Từ đây ta suy ra được: a b c ab bc ca + + ≥ + + Ví Dụ 3: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≤ 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2 2 2 4 + + + + + + (Iranian IMO Team Selection Test 2009) Lời giải:Ta có: 1 1 = − 2 2 a b + 2 2 2 2 a b a b + + + + 2 2 2 2 ( ) 2 2 a b Viết lại thành: ∑ + ≥ 3 2 2 a b + + 2 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a + + + + + + + + + + V T ( ) ≥ = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 a b b c c a a b c + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) Ta lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c a b b c + + + + + = + + + + + 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ∑ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ + + + + = + + + + + = + + + 2 2 3 3 9 a b c a bc a b c a b c a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ 11 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 2 2 3 9 3 a b c + + + ( ) ⇒ ≥ = V T 2 2 2 2 6 2 a b c + + + ( ) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 2 2 2 a b c + + = 3.Chứng minh rằng: 9 1 1 1 ≥ + + 2 2 2 2 a b c 2 2 2 a b c + + + + + ( ) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 1 1 1 + + + + b c b c = ≤ 2 2 2 2 2 a a b c a b c + + + + + + + 2 1 1 1 ( )( ) ( ) 2 2 2 3 2 9 + + + a b c : ( ) = = 2 2 a b c a b c + + + + ( ) ( ) Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5:Cho abc , ,> 0 thõa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ 1 2 2 2 a + b + c b c a c a b Lời giải : + + + + Sử dụng BĐT Bunhia-copsxki cho 3 cặp số ta được : 2 2 2 22 3 1 1 1 2.3 3 1 + + + + + + + + a b c b c b c ∑ ∑ ∑ ( ) ≤ ≤ = = = a b c a b c b c a b c a b c + + + + + + + + + + 1 9 ( )( ) ( ) Bất đẳng thức đã được đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1 ( ) Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b c a b b c + + + + ≥ + + 1 b c a b c a b + + (Belarusian MO 1998) Lời giải: Có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + − + − ≥ + a a b b c c b 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + + b b c c b c a a b a b 2 ca b bc a b + 2 ⇔ + + ≥ b b c c b c a a b a b + + + + ( ) ( ) ( ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 12 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 b c a b c ca b a c b a ⎛ ⎞ + + 2 2 2 ( ) ( ) + = + ≥ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + + ⎝ ⎠ . b b c c b c c b c c b c c a b b a b a ( ) ( ) ( ) ( ) Bất đẳng thức trên tương đương với: a b c bc a b + + ( ) ( ) + ≥ 2 c a b a a b a b + + + ( ) ( ) a b c bc a b + ( ) ⇔ + ≥ + 2 c a b c a − 2 ( ) ⇔ ≥ ca 0 Từ đây , bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c + + ≤ a b c a c a + + + (Chinese Western MO 2004) Lời giải:Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ + + + + ⎜ ⎟ ≤ + = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ + ⎢ ⎥ + + + + + ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 8 2 2 a b c ab bc ca a a ∑ ∑ ∑ a c ( ) ( )( ) b c a b a c a b b c c a Ta cần chứng minh: ( )( ) ( )( )( ) 8 9 (a b c ab bc ca a b b c c a + + + + ≤ + + + )( ) ( )( )( ) Đây là 1 dạng bất đẳng thức quen thuộc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn 2 2 2 a b c + + = 2. Chứng minh rằng: ∑ a 2 2 + ≥ 1 6 b ca + (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải: Ta có: 2 2 2 1 = + + ≥ + + a b c ab bc ca Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + + + + + 1 1 1 3 2 1 1 1 ∑ a a b c a b c a b 2 ∑ ( ) ( )( ) ≥ = 2 2 2 2 2 2 2 b ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + + + + + + + 2 2 ∑ ∑ a b ab + + ≥ + 1 1 1 Ta lại có: ( )( ) ( ) 13 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 2 2 2 a a b c ab bc ca + + + + + + + + 1 3 2 2 2 6 ⇒ ≥ 2 2 2 2 b ca a b c ab bc ca ∑ + + + + + + 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + + + + + + + + 5 2 2 2 4 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) = ≥ = 6 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + + + + + + 1 a b c = = = 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 4 ) Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho x,y > 0 và x + y = 2 . Chứng minh rằng : ( ) 3 3 3 3 x y x y + ≤ 2 (Sưu tầm) 3 3 2 2 2 2 ( )( ) ( ) Lời giải : Ta được : x y x y x xy y x xy y + = + − + = − + 2 ( ) 3 3 2 2 Quy về bài toán chứng minh: x y x xy y − + ≤ 1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có: 4 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + + + − + + 2 4 x y xy xy xy x xy y 2 2 ⎢ ⎥ − + = − + ≤ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) 3 3 2 2 2 2 1 x y x xy y xy xy xy x xy y ( ) ( )( )( )( ) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi: x=y=1 Ví Dụ 2: Cho a,b,c >0 .Chứng minh rằng: 4 4 ∑ a ≤ 3 (Nguyễn Phúc Tăng) 2 2 a b + + 2 4 Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ∑ ∑ ∑ 2 a a a ≤ = 1 1 . 2 2 2 2 2 2 a b a b a b + + + + + + 2 1 1 2 2 1 1 ⎛ ⎞ + 2 1 1 3 a = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ∑ 2 4 1 ( )( ) a 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho a,b,c>0 thoả mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng: a b c ab bc ca + + ≥ + + (Russian MO 2002) Lời giải : Sử dụng bất đẳng thức Holder: 14 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 3 2 2 2 a b c a b c a b c + + + + ≥ + + = 27 ( ) ( ) ( ) Theo AM-GM, Ta có: 3 2 2 2 2 ⎡ ⎤ + + + + + a b c ab bc ca a b c ab bc ca 2 2 2 2 2 2 27 + + + + ≤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( )( ) 3 ⇒ + + ≥ + + a b c ab bc ca Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 a b ab b c bc c a ca a b c + + + + + + + + ≤ + + 3 3 3 5 ( ) ( Trần Hữu Thiên ) Lời giải: Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 5 a b ab a b + + ≤ +(*) 3 ( ) 2 Ta có: 2 2 2 (*) 4( 3 ) 5( ) <=> + + ≤ + a b ab a b 2 <=> − ≥ ( ) 0 a b 2 2 2 2 5 5 3 ( ); 3 ( ) Tương tự ta có: b c bc b c c a ca c a + + ≤ + + + ≤ + 2 2 Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta sẽ được đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 5:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≤ 2 2 2 2 1 1 1 x y z + + + (Korea MO 1998) Lời giải: x y x z x y z + + + + ( )( ) 2 2 1 1 . + = + = Ta thấy rằng: x x xyz yz Vì vậy ta cần chứng minh: ∑ yz ( )( ) x y x z + + ≤ 3 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: ⎡ ⎤ + + + + 2 1 2 ≤ + + ≤ ⎢ ⎥ xy yz zx x y z ( )( ) V T xy yz zx ( ) ∑ ⎢ ⎥ + + + + + ⎣ ⎦ x y x z x y y z z x ( )( ) ( )( )( ) Từ đây ta có thể sử dụng 1 dạng bất đẳng thức quen thuộc: 15 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 8 9 (x y z xy yz zx x y y z z x + + + + ≤ + + + )( ) ( )( )( ) Từ đây , bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x y z = = = 3 Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 4 ( ) a ab abc a b c + + ≤ + + 3 Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 3 3 1 1 .4 .4 .16 a ab abc a a b a b c + + ≤ + + 2 4 a b a b c a a b c 1 4 1 4 16 4 + + + ≤ + + = + + . 2 2 4 3 3 ( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a=4b=16c Ví Dụ 7: Cho x,y,z >0 và 2 2 2 x y z xyz + + =. Chứng minh rằng: ∑ x x yz≤ 1 cyc 2 2 + (Diễn đàn toán học VMF) Lời giải:Ta thấy: 2 2 2 1 1 1 1 x y z xyz x y z + + = ⇒ = + + ≥ + + yz zx xy x y z Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ 2 x = ≤ ≤ + + ≤ ⎜ ⎟ x yz yz x y z y z x 2 2 2 + ⎝ ⎠ + x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=3 Ví Dụ 8:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: a b c 1 + + ≥ 2 2 2 a b c ab a bc c ca c + + + + + + + + 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (Diễn đàn toán học VMF) Lời giải: Ta thấy rằng: a b c + + 2 2 2 ab a bc c ca c + + + + + + 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ac a bc c ac a bc c ac ac c + + + + = + + = = 2 2 2 2 2 ca c ca c ca c ca c ca c + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sử dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có: 16 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 2 ac ac c a b c ca c + + + + ≥ + + 1 ( )( ) ( ) 2 ac ac c + + 1 ⇒ ≥ a b c ca c + + + + 1 2 ( ) a b c 1 ⇒ + + ≥ a b c ab a bc c ca c + + + + + + + + 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 5) Kỹ thuật thêm bớt : Ví Dụ 1: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 a b c a b c + + ≥ + + 2 2 2 b c a b c a (Junior Banlkan 2000) Lời giải: 3 3 3 2 a a b a ab a b ( ) b a + + + = ≥ = + 2 2 2 b b b b 3 2 ∑ ∑ a a a b c a b c => + + + ≥ + + + 2 b b 3 2 ∑ ∑ a a => ≥ 2 b b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 2: Cho a,b,c,d là 4 cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng: a b c d + + + ≥ 2 b c d a a b c d a b c d a b c d + + − − + + + − + + + − (Lê Việt Hưng) Lời giải: ∑ ∑ a a 1 ≥ + − ( ) 2 b c d a b c d a + + − + + − 2 ∑ ∑ a b c d a b c d + + + + + + 1 = − = − 2 2 2( ) 2 b c d a b c d a + + − + + − a b c d + + + 16 . 2 2 ≥ − = 2 2( ) a b c d + + + Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d Ví Dụ 3:Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: a b c a b c + + ≥ + + b c c a a b a b b c c a + + + + + + Lời giải:Đầu tiên, ta có thể chuyển vế trái qua vế phải và viết lại thành: 17 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a b b c c a − − − + + ≥ 0 b c c a a b + + + Để triệt tiêu dấu trừ ta có thể làm như sau: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + ≥ 1 1 1 3 a b b c c a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + b c c a a b a b c a b c + + + Đưa về bài toán chứng minh : + + ≥ 3 c a b c a b + + + Ta có: a b c a b c a b c a b c + + + + + + + + ≥ = 3 . . 3 3 c a b c a b c a b c a b + + + + + + Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 4:Cho a,b,c,d>0.Chứng minh rằng: a d d b b c c a − − − − + + + ≥ 0 b d c b c a d a + + + + (Vasile Cirtoaje) Lời giải: Để triệt tiêu dấu trừ, ta có thể làm theo cách của ví dụ 3 như sau: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + + + ≥ 1 1 1 1 4 a d d b b c c a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + + b d c b c a d a Từ đây , ta đưa về dạng toán chứng minh: a b c d a b c d + + + + + + + ≥ 4 b d c b c a d a + + + + Ta có: + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a b c d a b c d a b c d 1 1 1 1 + + + = + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) ( ) b d c b c a d a b d c a c b d a + + + + + + + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 4 4 V T a b c d a b c d ≥ + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) a b c d a b c d a b c d + + + + + + + + + Từ đây bất đẳn thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d Ví Dụ 5: Cho a,b,c là độ dài của một tam giác. Chứng minh rằng : a b c ab bc ca + + 5 + + + ≤ 2 2 2 b c c a a b a b c + + + + + 2 (Phạm Kim Hùng) Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 18 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ab bc ca a b c 1 + ≤ − + − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 1 a b c b c c a a b + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c + − + − + − + + <=> + + ≥ ( ) b c c a a b a b c + + + + + 2 2 2 2 ( ) Ta thấy a,b,c là các cạnh của 1 tam giác, vì vậy: b+c – a > 0 ; a+b – c > 0 ; c+a – b > 0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2 + − ⎡ ⎤ + − + + ⎣ ⎦ ≥ = a b c a b c a b c ∑ ∑ ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b a b c a b c + + + − + + ∑ ( )( ) ( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực thực dương sao cho a+b+c=1. Chứng minh rằng: ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + + ≥ + + a b c a b c 1 1 1 2 ⎝ ⎠ − − − b c a a b c 1 1 1 (Japanese MO 2004) 1 2 1 Lời giải:Ta thấy : 1 + a a = + − + a b c Vì vậy , bất đẳng thức đã cho tương đương với : b c a a b c 3 + + ≥ + + + a b c b c c a a b + + + 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b b c c a a 3 <=> − + − + − ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + a c a b a b c b c 2 ab bc ca 3 <=> + + ≥ c b c a c a b a b + + + 2 ( ) ( ) ( ) Sử dụng bất đẳng thức cauchy – Schwarz ta có: 2 2 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab + + + + + + ( ) ( ) ( ) 3 ≥ = ≥ = ∑ 2 c b c abc b c abc a b c ab bc ca + + + + + + ( ) ( ) 2 2 ∑ ( ) 2 ( ) 3 Từ đây , bất đẳng thức đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a b c + + ≥ (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 + + + + + + b c c a a b (IMO Shortlist 1998) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 19 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a b c a + + + + ≥ 1 1 3 3 (1 )(1 ) 8 8 4 + + b c b c a b + + + + ≥ 1 1 3 3 (1 )(1 ) 8 8 4 + + c a c a b c 1 1 3 + + 3 ++≥ (1 )(1 ) 8 8 4 + + a b Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: 3 3 3 3 1 3 ( ) a b c abc + + + ≥ + + ≥ (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 2 2 + + + + + + b c c a a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: ( 2 )0 a a b c ∑ − +≥ ab + 1 Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ⎡ ⎤ − + + a a b c a ( 2 ) 1 ∑ ∑ ⎢ ⎥ + ≥ ⇔ ≥ ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ 3 9 3 ab ab 1 1 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a a b c + + + + ∑ 1 1 1 1 3 . . ≥ 3 ab ab bc ca + + + + 1 1 1 1 Ta chỉ cần chứng minh: a b c ab bc ca + + + ≥ + + + 1 1 1 1 1 1 ( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 ⇔ + + + + + + + ≥ + + + + + + + abc ab bc ca a b c a b c abc a b c ab bc ca 1 1 ⇔ − + + + ≥ 1 0 abc abc a b c ( )( ) Theo AM – GM ta lại có: 3 ( ) 3 3 1 = + + ≥ ⇒ ≥ a b c abc abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 6) Kỹ Thuật AM-GM ngược dấu: Ví Dụ 1: Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ 2 2 2 1 1 1 2 + + + b c a 2 2 a ab ab ab = − ≥ − = − Lời giải: Ta thấy : a 2 2 1 1 1 1 2 2 b b b + + a b c ab bc ca 3 3 3 3 + + + + ≥ − = − = ⇨ 2 2 2 1 1 1 2 2 2 + + + b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 2: Cho a b c d , , ,>0 thỏa mãn a b c d + + + = 4. Chứng minh rằng 20 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 + 1 + 1 + 1 ≥ 2 2 2 2 2 a + b c d 1 + 1 + 1 + 1 (Vasile Cirtoaje) 12 a 2 a a Giải : Ta nhận thấy rằng: 2 = − 1 a≥ − = − + 1 Tương tự ta có : ≥ − 2 b 1 a 2 + 1 1 2 a 1 b 2 + 1 1 2 1 ≥ − 1 c c 2 + 1 2 1 ≥ − 1 d d 2 + 1 2 1 1 1 1 4 4 4 2 a b c d + + + + + + ≥ − = − = ⇨ 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 a b c d + + + + Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d=1 Ví Dụ 3:Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: a b c + + + 1 1 1 3 + + ≥ 2 2 2 b c a + + + 1 1 1 Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 2 b a b a a b ab + + + + 1 1 1 ( ) ( ) = + − ≥ + − = + − a a a 1 1 1 2 2 1 1 2 2 b b b + + Vì vậy ta có: a b c a b c ab bc ca + + + + + + + 1 1 1 3 3 + + ≥ − + = 2 2 2 1 1 1 2 2 b c a + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4:Cho a,b,c >0 và abc=1 . Chứng minh rằng: a b c a b c 1 1 1 + + + + + ≥ + + 1 1 1 + + + b c a (Phạm Kim Hùng) 1 (1 ) + + b a a Lời giải:Ta thấy: ( ) = + − 1 a 1 1 + + b b Vì vậy ,bất đẳng thức đã cho tương đương với: (1 1 1 ) ( ) ( ) b a c b a c + + + + + ≥ 3 1 1 1 + + + b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Dễ dàng chứng minh được bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số: b a c b a c b a c b a c 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + + ≥ = 3 . . 3 1 1 1 1 1 1 + + + + + + b c a b c a Ví Dụ 5:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 21 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 3 3 3 a b c a b c + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a + + + Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3 2 2 a ab ab b = − ≥ − = − a a a 2 2 2 2 2 2 a b a b ab + + Vì vậy, ta có: 3 3 3 a b c a b c a b c a b c + + + + + + ≥ + + − ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 6: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng: 4 4 4 x y y z z x 3 + + ≥ 2 2 2 1 1 1 2 x y z + + + (Trần Quốc Anh) 4 2 2 x y x y x y xy 2 2 2 = − ≥ − = − x y x y x y 2 2 1 1 2 2 x x x Lời giải: Ta thấy rằng: Tương tự: 4 4 + + y z yz z x zx 2 2 ≥ − ≥ − y z z x ; 2 2 1 1 2 2 y z + + Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: 2 2 2 3 x y y z z x + + ≥ + xy yz zx + + 2 2 2 2 2 3 3 x y y z z x xyz + + ≥ = Theo AM – GM ta dễ thấy: Ta chỉ cần chứng minh: 2 2 2 x y y z z x xy yz zx + + ≥ + + 2 2 2 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM kết hợp với điều kiện xyz=1 ta có: 2 2 2 2 2 2 3 x y x y z x x y x y y z xy + + ≥ = 3 . . 3 Chứng minh tương tự: 2 2 2 y z y z z x yz + + ≥ 2 2 2 3 z x z x x y zx + + ≥ 3 Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên , ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 7)Kỹ thuật ghép đối xứng: Ví Dụ 1:Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 22 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ab bc ca a b c + + ≥ + + c a b (Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hồ Chí Minh 2008-2009) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 . 2 ab bc ab bc b + ≥ = c a c a Tương tự: bc ca + ≥; 2 c ab ca + ≥ 2 a b c b a Cộng 3 vế lại ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 2: Cho x,y,z >0 thỏa mãn 2 2 2 a b c + + = 3. Chứng minh rằng: xy yz zx + + ≥ 3 z x y (Prance MO 2005) Lời giải:Bình phương 2 vế bất đẳng thức cần chứng minh ta được: 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 2 2 2 + + + + + ≥ 2 9 x y z 2 2 2 z x y 2 2 2 2 2 2 x y y z z x ( ) ⇔ + + ≥ 3 2 2 2 z x y Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 x y y z x y y z 2 + ≥ = y 2 2 2 2 z x z x 2 2 2 2 x y z x 2 2 2 2 2 y z z x + ≥ 2 2 + ≥; 2 z Tương tự ta có: 2 2 z y x 2 2 x y Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 Ví Dụ 3:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c + + = 3 . ∑ a 3 ≥ 3 b 2 + 2 3 Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 3 3 2 3 3 2 a a b a a b + + 3 3 3 3 . . 2 + + ≥ = 3 a 8 8 2 3 3 3 3 2 2 2 2 b b b b + + + + 3 3 2 b b c b + 3 3 2 Tương tự ta có: + + ≥ 8 2 3 3 2 2 c c + + 23 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 3 3 2 c c a + 3 3 2 + + ≥ c 8 2 3 3 2 2 a a + + Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được: 2 2 2 3 a b c a 3 9 3 + + + ( ) 2 2 2 ∑ + ≥ + + a b c b 2 8 2 3 + ( ) a 3 3 ⇔ ≥ ∑ b 2 + 2 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 + + + a b c + + ≥ b c c a a b + + + Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 . . a b c a b c + + + + + + + + ≥ 3 b c c a a b b c c a a b + + + + + + 2 2 1 1 + + ≥ + a b a b 2 Ta cần chứng minh: ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ + + + ≥ + + + 1 1 1 a b c a b b c c a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ⇔ + + + ≥ + + + 1 1 1 a b c a b b c c a ( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 . . 3 + + + + + + a b c a b c ⇒ + + ≥ ≥ 3 b c c a a b b c c a a b + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b c b c + + + ∑ ≥ 4 ( ) cyc a a b b c c a + + + ( )( )( ) Lời giải: Đưa bất đẳng thức đã cho về dạng: b c a b c a a b c + ∑ + + ≥ + + cyc ( )( ) 4 ( ) a Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxki ta có: 2 a b a c a bc a b a c a bc + + ≥ + ⇔ + + ≥ + ( )( ) ( ) ( )( ) Tương tự ta có: (b a b c b ca + + ≥ + )( ) (c a c b c ab + + ≥ + )( ) b c b c b c a b c a a bc bc a b c + + + ⇒ + + ≥ + = + + + ∑ ∑ ∑( )( ) ( ) 2 ( ) a a a cyc cyc cyc 24 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng b c bc a b c + ∑ ≥ + + Ta cần chứng minh: 2 ( ) a cyc Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b c bc bc ca ab bc ab ca bc a b c ≥ ≥ + + + + + ≥ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 2 2( ) a a a b c a c b cyc cyc Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 6:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 b c c a a b + + + + + ≥ 3 2 2 2 a bc b ca c ab + + + (Nguyễn Việt Hùng) Lời giải:Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 . . b c c a a b b c c a a b + + + + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a bc b ca c ab a bc b ca c ab + + + + + + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 2 b c a c ab c + + ≥ + ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c b ac b + + ≥ + ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 c a b a bc a + + ≥ + ( )( ) ( ) Nhân 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c c a a b a bc b ca c ab + + + ≥ + + + ( )( )( ) ( )( )( ) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 ( ) 3 a b c a b c + + ≥ + + 3 b c a abc Lời giải: Ta chuẩn hóa abc=1 Ta cần chứng minh: a b c a b c 2 2 2 3 ( ) + + ≥ + + b c a Bình phương 2 vế ta được: 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ≥ + + a b c a b c b c a ⎝ ⎠ 2 2 2 3 2 2 2 ( ) a b c b a c a b c 2 2 2 ⇔ + + + + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 3 ( ) b c a a c b Bằng kỹ thuật ghép đối xứng kết hợp với bất đẳng thức AM – GM ta được: 25 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 4 2 3 3 3 a a a a a 2 + + ≥ = = 3 a 2 2 2 3 2 2 2 b b c c c a b c 2 2 Tương tự, ta có: 3 ; 3 b b b c c c b c 2 2 + + ≥ + + ≥ 2 2 c a a a b b Cộng 3 vế bất đẳng thức trên theo vế ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 8:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ( ) + + + ∑ ≥ 6 a b c a b 3 c abc Lời giải: Đầu tiên, ta chuẩn hóa abc=1. Ta cần chứng minh: a b a b c + ∑ ≥ + + c 6 ( ) Sử dụng bất đẳng thức Minkowxki ta có: 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + a b a b c b c a ∑ ∑ ≥ + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c b c a a b c Áp dụng bất đẳng thức ở ví dụ 7 ta có: 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ≥ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 a b c a b c a b c 3 ( ) 3 ( ) b c a a b c 3 . . 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ≥ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 a b c b c a a b c 3 ( ) 3 ( ) a b c a b c 3 . . 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a b c b c a a b c ⇒ + + + + + ≥ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ 6 b c a a b c ( ) Từ đây, bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi:a=b=c 8)Kỹ thuật biến đổi tương đương: Ví Dụ 1:Cho a,b,c là các số thực dương. Chưng minh rằng: 2 2 a ab b ∑ Lời giải: − + 2 2 a ab b + + ≥ 1 26 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ∑ 2 2 a ab b − + 2 2 a ab b + + ≥ 1 2 2 ⎛ ⎞ − + a ab b 1 ⇔ − ≥ ⎜ ⎟ 0 ∑ 2 2 a ab b ⎝ ⎠ + + 3 2 a b 2 − ( ) ⇔ ≥ 0 ∑ 2 2 a ab b + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ( )( )( ) ( )2 2 2 2 a b c a b c + + + ≥ + + 2 2 2 3 (APMO 2004) Lời giải: Ta có đẳng thức sau: 2 2 2 2 a b c a b c + + + − + + 2 2 2 3 ( )( )( ) ( ) 1 3 2 2 1 2 0 ⎡ ⎤ = + − + − + + − ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 c a b ab ac bc ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ⇒ + + + ≥ + + a b c a b c 2 2 2 3 ( )( )( ) ( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3∏ x xy y x y z xy yz zx + + ≥ + + + + ( ) ( ) ( ) Lời giải: Ta có đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 x xy y x y x y x xy y x y + + = + + − ⇒ + + ≥ + ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 y yz z y z z zx x z x + + ≥ + + + ≥ + ( ) ( ) Tương tự ta có: ; 4 4 Nhân 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được: 2 2 2 2 2 2 27 64 ∏ x xy y x y y z z x + + ≥ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 2 2 2 2 64 x y y z z x x y z xy yz zx + + + ≥ + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 81 8 ⇔ + + + ≥ + + + + x y y z z x x y z xy yz zx ( )( )( ) ( )( ) 9 222 ⇔ − + − + − ≥ x y z y z x z x y 0 ( ) ( ) ( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z Ví Dụ 4:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: x y z ≥ ≥ 27 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 2 2 2 2 2 x x y y z x z y z + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + ≥ + + x y y z z x + + + Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 0 xy y x yz y z − − + − − ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + + ( ) ( ) x y z x y z z x xy x y y z yz y z x y − − − − x y z ( )( ) ( )( ) ⇔ + ≥ 0 x y z x y z z x + + + + ( )( ) ( )( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z Ví Dụ 5:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 a b c ( ) 2 2 2 ∑ + (Lê Việt Hưng) a b c ab bc ca + + ≥ ≥ + + b c + 2 2 ( ) a b c Lời giải: Đầu tiên ta đi chứng minh: ∑ ∑ 2 2 2 a b c + + ≥ ∑ + − + − − − ⎡ ⎤ ab a b ac a c ab a b ac a c ( ) ( ) ( ) ( ) b c + ≥ ⇔ + ≥ ⎢ ⎥ 0 0 b c b c b c + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − − ab a b ba b a ( ) ( ) ⇔ + ≥ ⎢ ⎥ 0 ∑ ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ b c c a ab a b − 2 ( ) ⇔ ≥ 0 b c c a ∑ + + ( )( ) ∑ 2 2 a b c ( ) + ≥ + + Ta cần chứng minh tiếp: b c + ab bc ca Ví Dụ 6: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c abc + + + ≥ 6 9 (Diễn đàn toán học VMF) Lời giải:Áp dụng hệ quả bất đẳng thức schur bậc 1 ta có: 3 3 3 3 a b c abc ab a b bc b c ca c a + + + ≥ + + + + + ( ) ( ) ( ) ⇔ − − + − − + − − ≥ a a b a c b b c b a c c a c b 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Không mất tính tổng quát ta giả sử: a b c ≥ ≥ ⇒ − − ≥ c c a c b ( )( ) 0 Ta có: 28 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng − − + − − = − − − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ a a b a c b b c b a a b a a c b b c ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 = − − + − = − + − ≥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 2 2 0 a b a b c b a a b a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ − − + − − + − − ≥ a a b a c b b c b a c c a c b ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 3 3 3 a b c abc a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca + + + ≥ + + + + ≥ + + + + = 6 3 . 9 ( )( ) ( ) ( ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 6 a b c a b c ⎛ ⎞ + + + ≥ + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) bc ca ab a b c (Lê Việt Hưng) Lời giải:Quy đồng vế trái ta được : 3 3 3 a b c abc 6 V T = + + + abc Quy đồng vế phải ta được ⎛ ⎞ + + + + + + ( )( ) ( ) 3 1 1 1 a b c ab bc ca ab a b abc ∑ VP a b c = + + + + = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) a b c abc abc Vậy ta chỉ cần chứng minh: 3 3 3 6 3 a b c abc ab a b abc + + + ≥ + + ∑ ( ) ⇔ − − + − − + − − ≥ a a b a c b b c b a c c a c b 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Không mất tính tổng quát ta giả sử: a b c ≥ ≥ ⇒ − − ≥ c c a c b ( )( ) 0 Ta có: − − + − − = − − − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ a a b a c b b c b a a b a a c b b c ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 = − − + − = − + − ≥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 2 2 0 a b a b c b a a b a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ − − + − − + − − ≥ a a b a c b b c b a c c a c b ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c IV) Bài tập ứng dụng: Bài 1: Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng : 29 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 1 1 3 21 + + + + + ≥ ab bc ca ( ) 3 3 3 32 32 1 1 1 + + + a b c ( ) ( ) ( ) ( Thái Nguyên TST 2016 ) Bài 2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 a b 2 2 2 a b c + + = 3. Chứng minh rằng: ∑ +≥ a b + 3 Bài 3:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 1 a bc b ca c ab + + + 2 2 2 Bài 4:Cho x,y,z>1 thỏa mãn: 1 1 1 2 + + =.Chứng minh rằng: x y z x y z x y z + + ≥ − + − + − 1 1 1 (Iranian MO 1998) Bài 5:Cho x,y,z>2 và 1 1 1 1 + + =.Chứng minh rằng: x y z ( 2)( 2)( 2) 1 x y z − − − ≤ (ĐTTS lớp 10 chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa 2005-2006) Bài 6:Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau : 3 3 3 9( ) 12 a b c ab bc ca + + + + + ≥ 2 2 2 abc a b c + + Bài 7:Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta luôn có bất đẳng thức sau : 2 2 2 82 a b c abc + ++ ≥ ab bc ca a b b c c a + + + + + ( )( )( ) Bài 8:Cho a, b, c rằng : ≥0 trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh a b c ( ) 2 ∑ (Darij Grinberg) + 2 2 b bc c + + ≥ Bài 9: Cho x y z ≥ ≥ > 0Chứng minh rằng : 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≥ + + x y 2 2 2 (Việt Nam MO 1991) ⎝ ⎠ ∑ z x y z Bài 10:Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 ( ) 3( ) b c a a b c ∑ (Võ Quốc Bá Cẩn) + − + + ≥ 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c a b c + + + + 30 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 11:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 1 1 1 abc 2 2 2 + + ≥ + + 2 2 2 abc (Romania TST 2006) Bài 12:Cho a,b,c >0 thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≥ 2 2 2 2 2 2 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) a a b b c c + − + − + − (Lê Hữu Điền Khuê THPT Quốc Học, Thành phố Huế) Bài 13:Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab + + ≥ ∑ 2 ab bc ca a ab bc + + + + (Trần Quốc Anh) Bài 14:Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab + + ≥ ∑ 2 2 (Trần Quốc Anh) ab bc ca a bc b + + + + Bài 15 :Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab + + ≥ ∑ 2 2 (Trần Quốc Anh) ab bc ca b bc c + + + + Bài 16:Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a b c a + + ≥ ∑ 2 ab bc ca a ab bc + + + + (Trần Quốc Anh) Bài 17: Cho abc , ,là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 2( ) 5 + + + + + ≥ abc 2 2 2 abc 3 (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng) Bài 18: Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca = 1. Chứng minh rằng: 3 ∑ a a a b c + ≥ + + 2 (Iranian TST 2008) Bài 19:Cho a,b > 0 thõa mãn ( ) 2 2 a b ab a ab b + = − +.Chứng minh rằng: 1 1 16 + ≤ 3 3 a b (Đề thi HSG Thành Phố Đông Hà 2016) Bài 20:Cho a,b,c >0 .Chứng minh rằng: 31 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ∑ a ≤ 3 2 2 a b + + Bài 21:Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng: 2 4 3 3 3 x y z + + 3 ≥ 2 4 ( ) x y z + (Nguyễn Việt Hùng) Bài 22: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: ∑ (Romania 2005) a b c + ≥ 3 2 Bài 23: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 2 ( 2 ) 8 b c a + + ≤ ∑ + + 2 2 2 ( ) a b c (USA MO 2003) Bài 24: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn (x - y)(x - z) = 1; y minh rằng: ≠z. Chứng ∑ 1 ≥ 4 cyc ( ) x y − 2 (ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017) Bài 25: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: ⎡ ⎤ 1 9 ( )4 ∑ xy yz xzx y + + ≥ ⎢ ⎥ ( )2 ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ (Iranian Mathematical Olumpiad 1996) Bài 26 : Cho a, b, c > 0 thoả mãn 2 2 2 abc + + = 3. Chứng minh rằng: ∑ 2 a 2 ≥ + + cyc a b + 2 abc (Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017) Bài 27: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d > 0 ta luôn có : 1 1 1 1 a b c d + + + ≥ 3 3 3 3 + + + (Đề thi Austrian MO 2005) a b c d abcd Bài 28 :Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 32 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 5 5 5 5 a b c d a b c d + + + + + + ≤ abcd (Collection) Bài 29:Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 8 2 8 a b c b c a c a b a b b c c a + + + + + ≤ + + + + 3 (Lê Việt Hưng) ( ) ( )( )( ) Bài 30:Cho a,b,c > 0 thỏa mãn x+y+z = 1 . Chứng minh rằng: 1 1 ≥ ∑ (Lê Việt Hưng) 4xyz x yz cyc + Bài 31:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng: 1 1 ≥ ∑ 3 (Lê Việt Hưng) xyz cyc x y 1 + + Bài 32: Cho a, b, c là các số thực không âm trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng : a b c ( ) 2 ∑ (Darij Grinberg) + 2 2 b bc c + + ≥ Bài 33: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a ∑ ∑ ≥ 2 , , 4 1 a b c 2 ( ) a a b + cyc (Đề thi Greece MO 2002) Bài 34:Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: ∑ 1 3 ≥ (Đề thi Zhaukovty 2008) cyc a a c ( ) 2 + Bài 35: Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ≤ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ 3 2 1 x y z 2 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 42, Tháng 7/2012) Bài 36: Cho x, y, z là các số thực dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng: 33 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ∑ x 3 ≥ 3 ( IMO Shortlist 1998) Bài 37:Cho x,y,z >0 thỏa mãn (1 )(1 ) 4 + + y z (x y y z z x − − − ≠ )( )( ) 0. Chứng minh rằng: ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ + + ≥ ⎢ ⎥ ∑ xy yz zx 4 ( ) x y 2 ( ) − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (Trần Nam Dũng, VMO 2008) Bài 38:Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng: 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ≥ + + + + a b c 1 1 1 a b c ( ) b c a a b c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (British MO 2005) Bài 39:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: b c c a a b 1 1 1 + + + + + ≤ + + 2 2 2 a bc b ca c ab a b c + + + (Sưu tầm) Bài 40:Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≤ a b b c c a + + + 2 (Phạm Hữu Đức) Bài 41:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = xyz. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≤ 2 2 2 2 1 1 1 x y z + + + (Korean MO 1998) Bài 42:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: bc ca ab 1 + + ≤ 2 a bc b ca c ab + + + (Sưu tầm) Bài 43:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 8 9 (a b c ab bc ca a b b c c a + + + + ≤ + + + )( ) ( )( )( ) (Sưu tầm) Bài 44:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 34 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 2 2 a b b c c a + + ≤ 1 2 2 2 a b b c c a + + + (Sưu tầm) Bài 45:Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn abcd=1. Chứng minh rằng: a b ∑ (Nguyễn Việt Hùng) + a ab + ≥ 4 Bài 46:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c abc 9 + + + ≥ 4 b c a a b c ab bc ca + + + + ( )( ) (Lê Việt Hưng) 1 1 1 a b c Bài 47: Cho a,b,c >0 thỏa mãn (Peru TST 2007) + + ≥ + +. Chứng minh rằng: a b c 3 2 a b ca b c abc + + ≥ + + + Bài 48:Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b a b c a b c b c a c a b + ≥ + + + − + − + − ( ) ( )( )( )( ) (British National MO 2007) Bài 49:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 6 1 + ≥ ab bc ca a b c + + + + (Macedonia TST 2007) Bài 50:Cho a,b,c,d là các số thực dương và a+b+c+d=1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 2 2 2 1 ( ) a b c d a b c d + + + ≥ + + + + 6 8 (France TST 2007) Bài 51:Cho x,y,z là các số thực dương và a+b+c=1. Chứng minh rằng: ∑ (China TST 2006) xy xy yz + ≤ 1 2 Bài 52:Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1. Chứng minh rằng: 35 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ∑ (Nguyễn Phúc Tăng) 3 a 1a b c +≥ + + b c + Bài 53:Cho a,b,c là các số thực không âm và ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 5 + + ≥ a b b c c a 2 + + + (MOSP 2000) Bài 54:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 6 4 2 + + ∑ ≥ + + a b c ab bc ca cyc 3 bc (Trần Hữu Thiên) Bài 55: Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: a b c a b c a b + + + + + ≥ + ∑ (Trần Quốc Anh) 1 1 1 12 Bài 56:Cho x, y, z > 0 thoả mãn Chứng minh rằng: + + = + + +. x y y z z x ∑ (Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017) 1 2 3 3 x y z + + ≤ 3 Bài 57: Cho x, y, z > 0 và 2 2 2 x y z + + = 3. Chứng minh rằng: ∑ 1 3 ≥ cyc 1 2 xy + (ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 ) Bài 58: Cho a, b, c > 0 và a + b +c =3. Chứng minh rằng : ∑ a 2 ≥ 3 cyc 1 2 + b (Bulgarian TST 2003) Bài 59: Cho x, y, z >0. Chứng minh rằng: x ∑ ≤ 1 x x y x z + + + ( )( ) (Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math) Bài 60: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng : 36 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 2 2 xyz x y z x y z + + + + + + ( ) 3 3 2 2 2 ≤ ( )( ) 9 x y z xy yz zx + + + + (Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015) Bài 61: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 4 + + +≥ x y z xy yz zx + + 3 (Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012) Bài 62: Cho a, b, c >0 .Chứng minh rằng : ∑ 1 1 3 3 ≤ (Đề thi USA MO 1997) a b abc abc + + Bài 63: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng : ∑ ab 5 5 1 a b ab + + ≤ (ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Bài 64:Cho a,b,c là các số thực dương và ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng: a b c abc + + + ≥ 4 b c a (Lê Việt Hưng) Bài 65:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: xyz x y z ≥ + + 3 ( ) (India 2001) Bài 66:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: xyz xy yz xz ≥ + + a b a c b c a b c + + + + + ≤ + + a c b c a b b c a + + + (Mathlinks Contests) Bài 67:Cho a,b,c,d >0 và (Trần Quốc Anh) 2 2 2 2 a b c d + + + = 4. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a bc b cd c da d ab + + + ≤ 4 Bài 68:Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng: 1 a ∑ ∑ ≥ 2 1 a a + (Trần Hữu Thiên) 37 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 69: Cho x,y,z>0 và a,b ∈ Ρ. Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z 3 + + ≥ 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ay bz az by ax bz az bx ax by ay bx a b + + + + + + + (Olympiad 30-4) Bài 70:Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: b c a b c + + + ∑ ≥ 4( ) (Darij Grinberg) Bài 71:Cho a,b,c a a b b c c a ( )( )( ) + + + ≥0 và a+b+c=2. Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ 1 2 2 2 1 1 1 + + + c a b (Phạm Kim Hùng) Bài 72: Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ≥ a b c 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − − a b b c c a (IMO 2008) Bài 73:Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng : ∑ a 2 ≥ 9 (Darij Grinberg) ( ) 4( ) b c a b c + + + Bài 74: Cho a,b,c > 0 thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: ( )( )( ) 2 2 2 a bc b ca c ab a b c − − − ≤ 8 (Nguyễn Việt Hùng) Bài 75:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ( )( )( ) ( )2 2 2 2 a b c a b c + + + ≥ + + 2 2 2 3 (APMO 2004) Bài 76: Cho a,b,c là có số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: a b c 1 + + ≥ 3 3 3 16 16 16 6 b c a + + + (Trần Quốc Anh) Bài 77: Cho a,b,c là các số thực dương và 3 3 3 2 2 2 a b c + + = 3. Chứng minh rằng: a b c abc + + + ≥ 4 b c a (Nguyễn Phúc Tăng) 38 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 78:Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ≥ a b c 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − − b c c a a b Bài 79: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: a a b c ∑ a b c + + + ≥ 2 Bài 80: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c không âm ta luôn có: ∑ a ≥ + + cyc 2 a b + abc Bài 81: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c không âm ta luôn có: ∑ a ≥ 3 Bài 82: Cho a, b, c 3 2 2 2 b c + ≥0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng: ∑ 3 1 a + + ≥ Bài 83: Cho a, b, c b bc ≥0. Chứng minh rằng: ∑ 1 9 ≥ + + + + ( ) 2 2a ab bc 2 abc Bài 84: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ∑ a ≤ 3 6 2 3 3 3 3 abc + + Bài 85: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: ∑ 1 7 a 3 3 ≥ + + b c Bài 86:Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: ∑ 1 4 ≥ 4a bc abc + + + 2 Bài 87:Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ∑ a b c a + − ≥ + + abc 1 1 1 1 Bài 88:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 + + =. Chứng minh rằng: a b c a b c a b c + + + ≥ + + 6 bc ca ab (Lê Việt Hưng) 39 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 89:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≥ ∑ a ⎝ ⎠ + b c 3 (Việt Nam MO 2005) cyc 8 Bài 90:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng: ∑ x 3 1 2 ( ) ≥ + + + xy yz zx 3 cyc 8 9 27 y + (Iranian National Olympiad 3rd Round 2008) Bài 91:Cho x,y,z >0 thỏa mãn xyz=1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ∑ 1 (Lạng Sơn TST) Px y =+ + 2 2 cyc 2 3 Bài 92:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c + + + + + + ≥ ( )( ) b c a ab bc ca + + (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 93:Cho a,b là 2 số thực dương. Chứng minh rằng: + + + ⎛ ⎞ a b a b ab ab 1 1 2 3 + + + ≥ ⎜ ⎟ a ab a b a b ab + + + ⎝ ⎠ + + 1 1 1 1 ( )( ) (Báo toán học và tuổi trẻ) Bài 94:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≤ 3 3 3 a b b c c a 2 + + + (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Bình) Bài 95:Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=8.Chứng minh rằng: ∑ a 2 ≥ 4 (APMO 2005) 3 cyc 1 1 3 3 ( )( ) a b + + Bài 96:Cho a,b,c là các số thực khác 0.Chứng minh rằng: 1 ∑ + ≥ 2 x 3 2 2 y (Azerbaijan Junior MO) Bài 97:Cho x,y, là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz + + = 3 .2 2 2 40 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z + + ≥ 1 y z x + + + 2 2 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 98:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca a b c + + ≥ + + c c a a a b b b c c a a b b c + + + + + + ( ) ( ) ( ) Bài 99:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 27 + + ≥ 2 b a b c b c a c a a b c + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Bài 100:Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x y z x y z 1 1 + + + + ≥ + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 2 2 2 x y z x y z Bài 101:Cho a,b,c >0 và a+b+c=1 . Chứng minh rằng: 2 2 2 a b b c c a + + + + + ≥ 2 b c c a a b + + + Bài 102:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 a a ∑ ∑ 2 2 ≥ (Vasile Cirtoaje) b c b c + + Bài 103:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ 3 3 3 a b c b c a c a b 2 + + + ( ) ( ) ( ) (IMO 1995) Bài 104:Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 + + ≤ 1 1 1 4 + + + c a b Bài 105:Cho a,b,c là các số thực dương. Chưng minh rằng: ∑ a 3 3 3 ≥ 1 ( ) a b c + + Bài 106:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c a b c + + ≥ + + bc ca ab 41 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng (Canada TST 2002) Bài 107:Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện 2 2 2 a b c + + = 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ 1 1 1 2 ab bc ca + + + (Belarus TST 1999) Bài 108: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 4 x y y z z x + + ≤ 27 (Canada TST 1999) Bài 109:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a b c a b c a ( )( ) ∑ ≥ + + + + b ab bc ca + + Bài 110:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng: ∑ (Lê Việt Hưng) a a bc + ≤ 3 2 Bài 111:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 ∑ a ab b b bc c a b c + + + + ≥ + + ( )( ) ( ) Bài 112:Cho a,b,c >0 thỏa mãn 2 2 2 a b c + + = 2 . Chứng minh rằng: ∑ a 2 2 + ≥ 1 6 b ca + (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 113: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≤ 2 2 2 x y z + + + Bài 114:Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b=1. Chứng minh rằng: 2 2 1 a b + ≥ a b + + 1 1 3 (Hungary 1996) Bài 115:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ∑ a 2 ≥ 1 a bc + 8 (IMO 2001) 42 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 116: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x y z xyz + + =. Chứng minh rằng: xy yz zx x y z + + ≥ + + 9 ( ) (Belarus 1996) Bài 117:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c abc ab bc ca + + + + ≥ + + 2 1 2 ( ) Bài 118:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c a b c 2 2 2 3 ( ) + + ≥ + + b c a (Junior Balkan TST 2006) Bài 119:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + ≥ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 2 1 a b c a b c 3 b c a abc (APMO 1998) Bài 120:Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 b c a c a b a b c + − + − + − ( ) ( ) ( ) 3 + + ≥ 2 2 2 222 5 b c a c a b a b c + + + + + + (Japan 1997) ( ) ( ) ( ) * Các kí hiệu viết tắt thường dùng : n ∑ = + + + . ∙ 1 2 a a a a ... k n k = 1 ∑a b a b b c c a = + +(Sigma cyclic: Tổng hoá vị). ∙ 2 2 2 2 cyc ∑a b a b b c c a ab bc ca = + + + + +(Sigma Symmetric: Tổng đối xứng ). 2 2 2 2 2 2 2 ∙ sym n ∏ = . ∙ 1 2 a a a a ... k n k = 1 ∙R -Tập số thực. R ∙ -Tập số thực dương. + ∙N* - Tập số tự nhiên bỏ qua phần tử 0. ∙Q - Tập số hữu tỉ. ∙[a, b] - Đoạn (khoảng đóng) của hai đầu mút a, b. ∙(a, b) - Đoạn mở của hai đầu mút a, b. Chú thích: 43 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ∙MO - National Mathematical Olympiad. ∙IMO - International Mathematical Olympiad. ∙TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad. ∙VMEO - Viet Nam Mathematical EOlympiad. ∙VMO - Viet Nam Mathematical Olympiad. ∙S.O.S - Sum of Square. ∙MV - Mixing Variables hay dồn biến. ∙SMV - Stronger Mixing Variables hay dồn biến mạnh. ∙THTT - Mathematical and Youth Magazine hay tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ. ∙APMO - Asian Pacific Mathematical Olympiad. ∙R.M.M - Rumanian Mathematical Magazine. V)Các tài liệu tham khảo: [1] Inequality III Group/ Facebook [2] Solving Inequality*****/ Facebook [3] Mathematical Inequality Group/ Facebook [4] Imad Zak Group/ Facebook [5] Diendantoanhoc.net [6] http://www.ssmrmh.ro/ [7] mathlinks.ro [8] http://math.stackexchange.com/ [9] Crux Mathematicorum [10] Mathematical and Youth Magazine [11] Romanian Magazine [12] Kalva.demon.co.uk [13] Mathnfriend.net. [14] k2pi.com. [15] Mathlinks Inequality Forum [16] Vaslie Cirtoaje. [17] Daniel Sitaru. [18] Leonard Giugiuc [19] Mathematical Reflections. [20] Hojoo Lee - Topics in Inequalities. [21] Kavant Magazine. [22] IMO Shortlist. [23] Ha Noi Mathematical Open Compertion. [24] Blog Solving Inequality***** 44 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 45 Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 46