🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Bài tập và lời giải vật lý chất rắn & thuyết tương đối Ebooks Nhóm Zalo ^ YYl a C ) < \ î n j « c , ^ _ a - r n ơc ' Bài tập và lời giái cúa các Trường Đại học nối tiếng Hoa Kỳ Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions BÀI TAP VÀ LỜI GĨẢI VẬT LÝ CHÁT RẨN, THUYẾT TƯƠNG ĐOI VÀ CÁC VẤN ĐÈ LIÊN QUAN PROBLEMS A N D SOLUTIONS o SOLID STATE PHYSICS, RELATIVITY AND MISCELLANEOUS TOPICS Biên soạn: Trường Đại học Khoa học và Công nghệ Trung Hoa Chủ biên: Yung-Kuo Lim m NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC BÀI TẬP & LỜI GIẢI VẬT LÝ CHẤT RẮN THUỸỂT TựơNG ĐỐI VÀ CÁC VẤN ĐÈ LIÊN QUAN N gười dịch: NGUYÊN PHÚC DUƠNG DẠI HỌC THÁI NGUYÊN t ị ịu n g t â m h ọ c l ỉẽ ư NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC Problems and Solutions on Solid state physics, relativity and miscellaneous topics Compiled by The Physics Coaching Class University o f Science and Technology o f China Edited by Lim Yung-kuo N ational University o f Singapore © W orld Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. New Jersey.London.Singapore.H ong K.ong First published 1995 Reprinted 2001,2005 A ll rights reserved. This book, or parts ¡hereof, m ay not be reproduced in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or any inform ation storage and retrieval system now know n or to be invented, without written perm ission fro m the Publisher. Vietnamese translation arranged with World Scientific Publishing Co. Pte Ltd., Singapore. C uốn sách được xuất bàn theo hợp đồng chuyển nhượng bản quyền giữa N hà xuất bản G iáo dục và N hà xuất bản W orld Scientific. Mọi hình thức sao chép một phần hay toàn bộ cuốn sách dưới dạng in ấn hoặc bán điện tư mà không có sự cho phép bằng văn bản của Công ty Cô phần Sách dịch và Từ điên - Nhủ xuất ban G iáo dục dều là vi phạm pháp luật. Ban quyền tiếng Việt © Công ty c ố phần Sách dịch và Từ diên Giáo dục 234-2008/C X B /109-492/GD Mã số: 8Z078K8 L Ờ I N H À X U Ấ T B Ả N Bộ sách Bài tập vù lời giái vật lý gom bay cuốn: 1. Quang học 2. Vật lý chất rắn, Thuvết tương đói & Các vấn để liên quan 3. Diện từ học 4. Cơ học 5. Vật lý Nguyên tu, Hạt nhân và Các hạt cơ bán 6. Cơ học Lượng tử 7. Nhiệt động lực học & Vật lý ¡hống kê Đây là tuyển tập gồm 2550 bài tập được lựa chọn k ĩ lưỡng từ 3100 đế thi vào đại học và thi tuyển nghiên cím sinh chuyên ngành vật lý của 7 tncàmg đại học nôi liêng ờ M ỹ (Dại học California ớ Berkeley, Đại học Columbia, Đại học Chicago, Viện Công nghệ Massachusetts (MIT), Đại học Bang New York ơ Buffalo, Đại học Princeton, Đại học Wiscosin). Trong số này còn có các đê thi trong chương trình CUSPEA và các để thi do nhà vật lý đoạt giái Nobel người Mỹ gôc Trung Quôc c. c Ting (CCT) soạn đê tuyên chọn sinh viên Trung Quốc đi du học ơ Hoa Kỳ. Những để thi này được xuất bản kèm theo lời giải của hơn 70 nhà vật lý có uy tín của Trung Quòc và 20 nhà vật lý nôi tiếng kiêm tra, hiệu đính. Tát cà các cuôn sách trên đã được tái bủn, riêng cuốn Điện từ học đã được tái bán 6 lán. Điểm đáng lưu ỷ về bộ sách này là nó bao quát được mọi vấn đề cùa vật lý học, từ cô điẽn đên hiện đại. Bên cạnh những bài lập đơn gián nhằm khắc sâu những khái niệm cơ bàn cùa Vật lý học, không cần những công cụ toán học phức tạp cũng giải được, bộ sách còn có những bài tập khó và hay đòi hỏi phái có kiến thức và tư duy vật lý sâu sắc với các phương pháp và kĩ thuật toán học phức tạp hơn mới giới được. Có thê nói đây là mộI tài liệu bố sung vô giá cho sách giáo khoa và giáo trình đại học ngành vật lý, phục vụ môt phạm vi đối lượng rất rộng, từ các giáo viên vật lý pho thông, giàng viên các trường đại học cho đên học sinh các lớp chuyên lý, sinh viên khoa vật lý và sinh viên các lớp tài năng cùa các trường đại học khoa học tự nhiên đăc biêt là cho những ai muôn du học ờ Mỹ. Nhà xuất bùn Giáo dục trân trọng giới thiệu bộ sách lới độc giả Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2008 NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC L Ờ I N Ó I Đ Â U Làm bài tập là một việc tất yếu và quan trọng trong quá trình học Vật lý nham cung co lý thuyết đã học và trau dồi kĩ năng thực hành. Trong cuốn Vật lý chất rán, Thuyết lương đối & Các vấn để liên quan có 165 bài tập và lời giải: vật lý chạt rắn (81 bài), thuyết tương đối (28 bài) và các van đề liên quan (56 bài). Hâu hết các bài chọn đưa vào cuôn sách này đêu phù hợp với chương trình vật lý bậc đại học và sau đại học cùa chuyên ngành vật lý chất ran và lý thuyết lưcmg đối. Các bài lập ớ phần ba (các vân đê liên quan) nhăm đê kiêm tra trình độ cùa sinh viên về các nguyên lý cơ ban, khá năng đánh giá các sai sô thực nghiệm cũng như các kĩ năng toán học đông thời giúp họ làm quen với các đại lượng và thang đo trong vật lý cũng như các kiên thức vê lịch sù môn học này. Một so bài tập Hèn quan đến sự phát triên gân đây nhất cua vật lý học, sự lĩnh hội chắc chắn các kiến thức để kiểm tra mức độ học của sinh viên. Ngoài ra cuốn sách có chọn một số bài lập liên quan đến các nghiên cứu đang được tiến hành tại một sổ trường, những bài này không được giải mà chi đưa ra để học viên tham khào. V M ỤC LỤC Lời Nhà xuất bản iii Lời nói đầu V Mục lục vii Phan I: Vật lý chat ran 1 1.1. Các cấu trúc tinh thế và các tính chất (1001-1027) 3 1.2. Thuyết điện tứ, các vùng năng lượng và các chất bán dẫn ( 1028-1051 ) 45 1.3. Các tính chất điện từ, các tính chất quang và tinh siêu dẫn (1052-1076) 102 1.4. Các chu đề khác (1077-1081) 149 Phần II: Thuyết tương đối 159 2.1. Thuyết tương đối hẹp (2001-2007) 161 2 .1. Thuyết tương đối rộng (2008-2023) ] 77 2.3. Vũ trụ tương đối tính (2024-2028) 218 Phần III: Các vấn đề liên quan 231 3.1. Lịch sứ Vật lý và các câu hỏi đại cương (3001-3025) 233 3.2. Các phép đo, các phép gần đúng và sai số (3026-3048) 273 3.3. Các kỹ thuật toán học (3049-3056) 316 vii PHẦN I VẬT LÝ CHẤT r ắ n Vật lý chất rắn 3 1.1. CÁC CẨU TRÚC TINH THỂ VÀ CÁC TÍNH CHAT (1001 1027) 1001 Hình 1.1 mô tả một mạng tinh thể giả thuyết hai chiều cấu thành từ các nguyên tử sắp xếp trên một lưới hình vuông. (a) Hãy chỉ ra một ví dụ về ô đơn vị cơ sở. (b) Định nghĩa “m ạng đảo” và giải thích mối liên hệ của nó vỏi phản xạ Bragg. (c) Chỉ ra mạng đảo và vùng Brillouin thứ nhất, vùng Brillouin này liên hệ vối phản xạ Bragg như thế nào? (d) Phát biểu và giải thích định lý Bloch nói rằng một electron chuyển động trong trường thế của mạng tinh thể này có các hàm sóng đối xứng tịnh tiến. Các điều kiện biên nào cần dược dùng với định lý này? cSUNY, Buffalo) Hình 1.1 Lời giải: (a) Một ô đơn vị cơ sỏ là m ột ô đơn vị chứa các nút m ạng chỉ tạo ỏ đỉnh góc của nó như chỉ ra trên hình 1.2. Các vectơ cơ sỏ của ô dơn vị này là ai = a(i - j) , a 2 = a(i + j) , vối a là cạnh của hình vuông. 4 Bài tập & lời giải Vật lý chác răn ... (b) Nấu a, (i = 1,2) là các vectơ cơ sỏ của m ạng thuận thì các vecto bj (j = 1, 2) thoả mãn hệ thức í 27T, i = j , a, ' b 7 — 27ro,, — \ J y \o, J là các vectơ cơ sỏ của m ạng đảo. Trong không gian đảo điều kiện phản xạ Bragg là hiệu vectơ sóng phản xạ k và vectơ sóng tới ko là m ột bội số nguyên Tì của vectơ m ạng đ ả o k* k — ko = nk* . (c) Từ các vectơ cơ sỏ của mạng thuận a i = a(i - j) , (1.1) a 2 = a ( i + j ) (1.2) ta nhận dược các vectơ cơ sỏ của m ạng đảo là b i = - ( i - j ) , (1.3) a b 2 = - ( i + j ) . (1.4) a Mạng đảo và vùng Brillouin thứ nhất được mô tả trên hình 1.3. Phản xạ Bragg xảy ra tại các biên vùng Brillouin. (d) Sóng biểu diễn electron chuyển động trong m ột trường thế tuần hoàn V (r + R ) = V (r) của mạng tinh thể với R là vectơ m ạng, có dạng hàm Bloch t ’k(r) = e*k'ruk (r) , ỏ đây hàm Uk(r) có cùng đối xứng tịnh tiến như m ạng tinh thể Uk(r) = u k (r + R ) . Vật lý chất rắn 5 Hàm ỉpkịr) là một sóng phẳng bị biến điệu bởi trường thế tuần hoàn. Đây là nội dung của định lý Bloch. Phần hàm e mũ của sóng Bloch là một sóng phang mô tả dặc tính chung của các êlectron trong một mạng tinh thê trong khi dó hàm tuần hoàn mô tả sự chuyên dộng cục bộ của các êlectron này quanh các hạt nhân. Do vậy, các sóng Bloch dặc trưng cho chuyển động của các diện tử trong một tinh thể. Điều kiện biên tuần hoàn Born-von Kármán cần phải được sử dụng cùng với định lý Bloch. 1002 Một chùm êlectron vối động năng 1 keV bị nhiễu xạ khi nó đi qua một tấm kim loại mỏng đa tinh thể. Kim loại này có cấu trúc tinh thể lập phương vỏi khoảng cách giữa các ô mạng là 1 Ă. Cho trước m, q, h, c, (a) Tính bước sóng của các êlectron, (b) Tính góc Bragg dối với cực dại nhiễu xạ bậc 1. (W isconsin) Lời giải: (a) Bước sóng của êlectron là p vói p dược tính từ 6Bài cập & lời giải Vật lý chát răn ... V là hiệu diện thế gia tốc của các électron. Do đó h 12,25 _ 12,25 = 0,39 Ả . 1003 Khi ngồi trưỏc một chiếc tivi m àu với điện thế đèn hình là 25 kv bạn chắc chắn sẽ bị chiếu xạ bỏi các tia X phát ra. (a) Quá trình nào đóng vai trò chủ yếu gây ra luồng tia X dó? (b) Giả thiết phân bố chùm tia X là liên tục, hãy tính bước sóng tia X ngắn nhất (năng lượng dại), (h = 6 ,6 X 10~34 Js, c = 3 X IQ8 m /s, 1 eV = 1. 6 X 10 19 J) (c) Đặt một tinh thê muối quặng (NaCl) ỏ trước m àn hình, hãy tính góc Bragg đối với cực dại phản xạ bậc một tại A = 0, 5 Ẳ. (pNaCl = 2.165 g/cm *) (yvừconsin) Lời giải: (a) Khi m ột điện thế cao dặt vào dèn hình, các électron phát ra từ âm cực sẽ được gia tốc bởi điện trường rồi đập vào m àn hình. Neu năng lượng của các électron vượt quá m ột giá trị nhất định, chúng có thê bứt các électron ỏ lớp bên trong của các nguyên tử trên m àn hình và tạo ra các lỗ trống tại các lớp vỏ électron bên trong đó. Sau đó các électron thuộc các lớp ngoài sẽ chuyên đến chiếm các lỗ trống ỏ các lớp bên trong, dồng thòi phát ra tia X. (b) Năng lượng cực đại của các photon tia X phát ra, hu max, đúng bằng năng lượng eV của các électron tỏi. Như vậy bước sóng tia X ngắn nhất sẽ là hc 12000 12000 = 0,48 Ả. Amin eV V 25 X 103 vật lý chất rắn 7 (c) Định luật Bragg 2rfsinớ = n \ cho biết giá trị góc 8 đối vói cực dại phản xạ bậc một (n = 1) : sin 8 = — . 2 d ỏ dây d là khoảng cách giữa hai ion cạnh nhau trong tinh thê NaCl. Do tinh thể NaCl có cấu trúc lập phương dơn giản với các ion Na+ và Cl~ sắp xếp xen kẽ nhau nên có N 0 ion Na+ và No ion cl trong m ột mol NaCl, ở dây No là số Avogadro. với khối lượng mol và khối lượng riêng của NaCl là M = 58,45 g/m ol và p = 2,165 g/cm :i, tinh thể đó có í — ) 1/3 / 5 8 ,4 5 \ 1/3 p 2 , 1 6 5 X 1 0 6 d = Từ đó dẫn đến 2 No 2 X 6 , 0 2 X 1023 \ / V /= 2 ,8 2 Ả . sin ớ =0 ,5 Và do vậy 2 X 2 , 8 2 e = 5° 1004 = 0 .0 8 8 Đánh giá vỏi độ chính xác 10% bước sóng ứng vối năng lượng lớn nhất trong phổ dặc trưng của tia X phát ra từ đồng (Z = 29). (Columbia) Lời giải: Trạng thái cơ bản của cấu hình êlectron của đồng (Z =29) là ls 22s22p63s23p63 d 104 s1. Bưóc sóng ứng với năng lượng lốn nhất trong phổ dặc trưng của tia X tương ứng với chuyên dời của một êlectron từ lớp N (n = 4) tới một lỗ trống trong lớp K (n = 1). Trong khoảng sai số 10%, bước sóng này có thê dược xác định theo công thức 8 Bài táp & lời gidi Vật lý chất rắn ỏ đây R = 1.09678 X 107 m 1 là hằng số Rydberg. Từ đây suy ra A = 1 , 2 4 X Ì O “ 10 m = 1 . 2 4 Ả . 1005 NaCl kết tinh theo mạng lập phương tâm m ặt vỏi cơ sỏ là m ột cặp ion Na và C1 cách nhau một khoảng bằng nửa đưòng chéo của khối lập phương. Nguyên tử số của Na và C1 tương ứng là 11 và 17. (a) Xác định những tia X phản xạ nào sẽ dược quan sát thấy (được đánh chỉ số theo ô đơn vị lập phương thông thưòng). (b) Nhóm tia phản xạ nào cho cường độ m ạnh, nhóm nào cho cưòng đô yếu? (W ừconsin) Lời giải: (a) 0 đơn vị của NaCl gồm tám nguyên tử chiếm các vị trí sau đây: Na+ tại (0 0 0 ), (5 5 0 ), (Ậ 0 ị) , (0 5 ị) , như được chỉ ra bởi các chấm tròn đặc trên hình 1.4; c r tại "(ì 0 0), (0 Ị 0), (0 0 i) , ( i ì i) , như được chỉ ra bời các chấm tròn rỗng trên hình vẽ. Hình 1.4 Vật lý chất rắn Các cường dộ nhiễu xạ được tính bởi Ihki « \Fhkl\2 = Fhkl ■ F/¡, hkl fj COS 2n(huj + kVj + lw j) fj sin 2n(huj + kvj + lwj) ở đây h, k, l là các số nguyên. Thay thế các tọa độ ion vào biểu thức trên ta có h k l = / ¿ 3+ {[1 + cos + k ) + cos n (k + l) + COS ir(l + /ỉ)] + oỊcos 7ĩh + c0S7rfc + COS 7rỉ + cosn(h + k + /)j}2 + /^ a+ {[sin 7r(/i + k) + sin7r(fc + /) + sin7r(/ + h)} + a[sin7r/i + sin7rfc + sin7r/ + sin7r(ft + k + l)]}2 , ở đây a = / c , - / / Na 4 = 17/11. Chú ý rằng các cường dộ I hkỊ Ỷ 0 chỉ khác không khi h ,k và l là toàn chẵn hoặc toàn lẻ. Như vậy ta có thê quan sát được hai nhóm các tia phản xạ khác nhau. (b) Khi h ,k và / đều là những số lẻ, / a 16(1 - a )2 , cho thấy sự phản xạ là yếu. Khi h ,k và i đều là những số chẵn, I tx 16(1 + q ) 2 , cho phản xạ mạnh. 1006 Ước tính gần đúng năng lượng tỏi đê một tinh thể có thể làm một cách tử nhiễu xạ tốt đối vói (a) photon, (b) nơtron. (m nc2 = 939 MeV). (Wisconsin ) Lời giải: Tính tuần hoàn của một tinh thê cho phép nó hoạt động như một cách tử nhiễu xạ đối với các sóng, vì hằng số mạng thông thưòng trong một tinh thể 10 Bài tâp & lời giải Vật lý chất rắn vào khoảng 10 10 m (1 Ả), nên hiện tượng nhiễu xạ có thê xảy ra trên một tinh thể khi bước sóng của các hạt tỏi ngắn hơn 10“ 10 m. (a) Nếu muốn các photon tới có thê bị nhiễu xạ bỏi m ột tinh thê thi bước sóng của chúng phải gần bằng 10~ 10 m. Do đó năng lượng của photon tỏi là h c 6 ,6 2 4 X l ( r 34 X 3 X 1 0 8 E = hư = A ----------- Ĩ F ^ = 1 , 9 8 X 1 0 15 J = 1 2 4 2 0 e V . (b) Nấu muốn các nơtron tối có thể bị nhiễu xạ, bước sóng của chúng phải gần bằng 10-10 m, và động năng tương ứng là - 5 1 = ( i l ! h 2c2 1 2 m„ 2m n = 2Ã2" ■m nc2 /4 ,1 3 5 X 10“ 15 X 3 X 108 \ 2 1 10 -10 ) 2 X 939 X 106 = 8 .2 X 10“ 2 eV 1007 Các nghiên cứu về nhiễu xạ liên quan tối các tia X, êlectron hoặc nơtron cho biết thông tin về các tính chất cấu trúc của các chất rắn. Hãy so sánh ba kỹ thuật này về mặt năng lượng hạt và các loại thông tin có thể thu được. Kỹ thuật nào phù hợp nhất đê nghiên cứu tinh th ể học bề mặt? Kỹ thuật nào phù hợp nhât đê xác dịnh các cấu trúc từ? ('yvừconsin) Lời giải: Năng lượng đặc trưng của các tia X là khoảng vài ngàn ey tương ứng với bước sóng khoảng 10~10 m, cùng bậc dộ lốn với khoảng cách giữa các m ặt tinh thê. Do vậy tia X thích hợp đê xác định các cấu trúc mạng tinh thể. Đối vói các nghiên cứu nhiêu xạ năng lượng thấp, ngưòi ta thường sử dụng các năng lượng 20-50 eV Bởi vì các nguyên tử trong tinh thể có tiết diện lớn dối với quá trình tán xạ của các êlectron năng lượng thấp nên các êlectron tỏi khóng thê xuyên sâu vào tinh thể dược. Như vậy nhiễu xạ êlectron năng lượng thấp là một kỹ thuật quan trọng để nghiên cứu các cấu trúc bề m ặt của các chắt rắn. Một nơtron có thể thấy cả hai khía cạnh của một tinh thể: phân bố của các hạt nhân và phân bố của độ từ hoá êlectron. Do dó nhiễu xạ nơtron bời một tinh Vật lý chất rắn 11 thể có từ tính cho phép xác định dược phân bố, định hướng và trật tự của các mômen từ. Tóm lại, nhiễu xạ êlectron năng lượng thấp là phù hợp nhất đê nghiên cứu tinh thê học bề mặt, và nhiễu xạ nơtron là phù hợp nhất dể xác dịnh các câu trúc từ của các tinh thể. 1008 Các tia X dược phản xạ từ một tinh thể theo phản xạ Bragg. Neu mật độ của một tinh thể có cấu trúc đã dược biết một cách chính xác, được do với sai số căn quân phương là 3 phần vạn, và nếu góc của các tia tới và tia phản xạ tạo với mặt phẳng tinh thể bằng 6° dược đo vối sai số căn quân phương là 3,4 phút góc thì sai số căn quân phương khi xác định bước sóng của tia X dó là bao nhiêu? (Wisconsin) Lời giải: Đê dơn giản ta xét một tinh thê mà ô cơ sỏ của nó có cấu trúc lập phương đơn giản vối chiều dài cạnh là d (dược nhân với một thừa số cỡ đơn vị dối vói các ô cơ sỏ của các cấu trúc tinh thể khác). Đối với nhiễu xạ bậc 1, n = 1 dinh luật Bragg được viết như sau 2dsinớ = A . Vi phân biểu thức trên ta được Thể tích của ô cơ sỏ là AA A d ~Ã~ d d3 = + cot 0\A9\ M pN0 ' ỏ đây M là phân tử lượng và p là khối lượng riêng của tinh thể, và N 0 là số Avogadro. Vi phân biểu thức thê tích ô cơ sỏ ta được A d 1 Ap ~d ~ 3 p Như vậy AA 1 A p T ~ 3 p+ cot 0 • |AỚ| 12 Bài tập & lời gidi Vật lý chát răn ... Và biểu diễn qua các sai số căn quân phương, 1 2 — = y i o - s + (9.4 X 10- :!)2 = 9.4 X 1 0 ' 3 1009 Đánh giá áp suất cần thiết để nén một vật rắn tối m ật dộ lón hơn vài lán mật độ của nó ỏ điều kiện thường. (Columbia) Lời giải: Đê nén đẳng nhiệt một vật rắn dàn hồi có thê tích V một lượng dv, thi độ tăng áp suất dp cần thiết được biêu diễn dưới dạng sau trong đó K là một hằng số, gọi là hệ số nén của vật liệu làm vật rắn đó. Như vậy V p = - Đê nén vật rắn đến Q lần mật độ thông thường, tức là, ụo _ p_ _ V Po ' áp suất cần thiết là p = À' In Q. Đôi với các chât răn, K ~ 10 Pa = 10s mb. Đối với a ví dụ bằng 10, ta cần p = 108 ln 10 = 2,3 X 108 mb = 2, 3 X 105 at. 1010 Xét một dãy 2-Y ion có điện tích ±q xen kẽ nhau vối một thế năng dẩy A /R n giữa các ion lân cận gần nhất ngoài thế năng Culông thông thưòng. vật lý chất rắn 13 (a) Tìm khoảng cách cân bằng Ro giữa hai ion lân cận trong hệ đó và đánh giá năng lượng cân bằng U(Ro). (b) Nén tinh thể sao cho Ro —> i?o(l - <5). Tính công thực hiện dể nén một dộ dài don vị của tinh thể tối bậc <52. (Princeton) Lời giải: (a) Bỏ qua các hiệu ứng bề mặt, năng lượng mạng của hệ là ỏ dây a là hằng số Madelung. u (R ) có một cực tiểu ỏ trạng thái cân bằng, vậy khoảng cách cân bằng Ro được tính bởi i è- ' ) Vd* /* = « b Từ đó suy ra khoảng cách cân bằng là Ro =nA aq2 và năng lượng cân bằng là = 0 , N ư ( R ữ) = - —tio aq N a y ’ Ro với (1 = 2 lu 2 dối với một dãy một chiều. (b) Khi tinh thể này bị nén đê /?0 trở thành R, thì năng lượng mạng sẽ tăng lên một lượng U (R ) - Ư (R0) = .V aq N aq2 ~ ĩ ử 1 1 R ~ R o+ A 1 í 11 /? n V R" R I RS và bằng công i r do lực tác dụng thực hiện. 14 Bài tâp & lời giải Vật lý chát răn ... Vói R = Ro(l - S), giữ lại các số hạng tới ỏ2 ta có Ẽs. - 1 = (1 - ở')-1 - 1 « (5 + ỗ2 , - l = ( l - ỉ ) ' ” - U n í + Và như vậy Tổng chiều dài của tinh thể xấp xỉ bằng 2NRo- Như vậy công thực hiện dê nén một độ dài dơn vị của tinh thê là 1011 (a) Năng lượng cố kết của các ion nằm cách nhau trong tinh thê NaCl bằng bao nhiêu? Cho một giá trị gần đúng và nêu cách tính mà chỉ sử dụng một mô hình rất dơn giản. Hằng số mạng a = 5,6 Ă. (b) Cần phải thêm bớt các đại lượng thực nghiệm nào vào giá trị năng lượng trên để tính được năng lượng cố kết của kim loại natri và khí d o tách rời nhau? Bỏ qua các hiệu ứng nhỏ (< 10%). (VVừconsin) Lòi giải: (a) Đồi với một tinh thê gồm có N ion, mỗi một ion mang điện tích ±e, thi năng lượng cố kết sẽ bằng ỏ đây b là hằng số M adelung và dấu phẩy để chỉ các số hạng có j = l bị loai khỏi phép tính tổng, với r/j = QjR biểu thức trên trở thành vật lý chất rắn 15 ỏ đây ] 1 Tại trạng thái cân bằng Ư(R) là cực tiểu năng lượng và R = Rữ dược tính bởi từ dó suy ra và như vậy Hai số hạng của U (R) là thế Culông và thế đẩy. Bằng cách so sánh thế Culông tính toán được và năng lượng liên kết toàn phần quan sát được ta có thê ưóc lượng được n bằng khoảng 10 . vậy vói dộ chính xác 10% ta có Áp dụng phương pháp Ewald cho cấu trúc NaCl, ta có thể tính được Q và nhận dược Q = 1, 7476. Vậy với Ro = I = 2,8 Ẳ, ta rút ra U(Ro) = 178 kcal/m ol . vì đối với tinh thê NaCl, 71 = 8. (b) Đối với kim loại Na và hơi C1 tách ròi nhau, để tính năng lượng cố kết ta phải thêm vào biêu thức trên các năng lượng hóa hơi của natri kim loại, năng lượng phân tách phân tư C1 thành các nguyên tử riêng rẽ và năng lượng ion hóa của các nguyên tử Na và Cl. 1012 Một tinh thể hai chiều lý tưởng gồm chỉ một loại nguyên tử (khối lương 7Tỉ), và mỗi một nguyên tử có vị trí cân bằng tại nút mạng vuông R = (ra sa) ỏ dây r.s = 1.2.........V. Độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng được ký hiệu là [Xrs.yrs), nghĩa là R rp = (ra + x rs, sa + yrs) , \ 16 Bài tập & lời giải Vật lý chất rắn và trong gần dúng dao động diều hòa thế năng được cho bỏi ^ M V s ■ ỉ / r s ) — ^ ^ 1 {(■* tr - f 1 Ks — J rs) {yr{ố + \ ì ~ y r ' r.s + M ( Tr(s»li - JVs )2(i/(r+ l)s - y rs ĩ2}} Đối với trưòng hợp k> = 0 . u -1, (a) xác định hệ thức tán sắc tổng quát của phonon xuyên suốt vùng Brillouin, (b) vẽ phác sự phụ thuộc của u!qx vào q dối vối q = (ị. 0). 0 <í<^.a {Princeton) Lời giải: (a) Sự dao động của một nguyên tử tại R ri = (ra. sa) dược xác định bỏi định luật thứ hai của Nevvton m ấ r s = — V rsV' . ỏ đây V rs = e i 7T ;-------1“ e y J ----- • d x rs y dyrs Xét một nghiệm mô tả sóng truyền trong tinh thể R, s = A el,q R . ỏ dây A là một vectơ không dôi. vì R.rs = —oj2R rs và x rs chỉ xuất hiện trong biểu thức tổng của \ ' ỏ các số hạng frl[( * ( r+ l) s - i ' r s ) 2 + ( j r s - ■ T ( r - l ) J 2 ] • ^"2[(■^'r(s-f 1) ~ J r.s) + (-Trs ~ - ^ ( s - l ) ) ^ ] ' nên thế R r , vào phương trình chuyển động ta được ~ m u i 2i-rs = 2A'i(x(r+1)j. + x (r_ ])5 - 2 x rs) + 2k-2(.rr ự r ị l + - 2 x .. và tương tự, -m u j2yr^ = 2k\+ yr(a_i) — 2yrs) + 2Ả'2 ỉ líi + ỉ/ịr-1IS - -y-. Vât lÿ chât ran 17 Vôi q = (qx , qy), R = (ra, sa), ta CÔ t — a ,A(t\ yrs — flyt Tiêp tue thay thê cho ta -m w 2i r» = 2*1(e"*'a + e~'qxa ~ 2)xrs + 2À'2(e"'“a + e- " '“a - 2)xrs , hoâc ^ 2 _ _ COs(gxa)] + — [1 - cos(qya)\ . 2 (q xa sin 1 + 1^1 sin c) dây u>o = Thüc tê qT, qy trong nghiêm x TS,y TS cô thé trâo doi dupe cho nhau. Vây cô hai hê thùc tân sac cüa phonon dôi vâi k-2 = 0,1 k\ (b) Vi qx = i, qy = 0, = 0 . 316ljo Vi £ nhân tât câ câc giâ tri giùa 0 và j[, nên ujq bien dôi theo ( nhu chî ra trong hinh 1.5. 1013 Xét mot mang vuông hai chiêu cüa câc nguyên tù vôi hâng so mang a. Céc nguyên tir tudng tâc vôi nhau sao cho khi nguyên tù tai vi tri (x0,y0) bi dich chuyén dén (x0 + A.r. y0), nô chiu mot lue hôi phuc - c \ A x do hai nguyên tù lân cân gân nhât tai (j 0 ± «• i/o) và mot lue hôi phuc - c 2A x do hai nguyên tù lân cân gân nhât tai (x0. y0 ± a) gây ra. Giâ thiêt r-, < r t __________ DAIHQC T H /u W G U \iF | \ TRI1 KG TÂM liOf: î hm: i Bài [áp & lời giải Vật lý chái răn Hình 1.5 (a) Tìm hệ thức tán sắc cho các sóng âm lan truyền theo phương X và vẽ giản dồ tán sắc. (b) Vận tốc âm thanh trong tinh thê mạng hai chiều này là bao nhiêu? Neu có một vài nguyên tử đi ra khỏi các vị trí mạng đê lại các nút khuyết, thì lực hồi phục trung bình dối với một sóng âm phang sẽ bị giảm đi một lượng tỷ lệ thuận với nồng dộ nút khuyết. Hơn nữa, môi một nút khuyết sẽ làm tán xạ bất kỳ sóng âm nào tới dó, và biên độ của sóng tán xạ bằng A A với À » í , ỏ đây A là bưóc sóng và .4 là một hằng số. (c) Vối một nồng dộ nút khuyết cho trước, hãy tìm độ dài tắt dẩn (suy giảm) của âm thanh như một hàm của bước sóng (sai khác một thừa số A). Giả thiết các nút khuyết tán xạ một cách độc lập. (d) Giả thiết rằng để bứt một nguyên tử ra khỏi tinh thể và tạo nên một nút khuyết cần có một năng lượng bằng e. Hãy xác định sự phụ thuộc của chiều dài tắt dần của âm thanh vào nhiệt độ. (e) Với cùng một già thiết như ỏ câu (d), sự phụ thuộc nhiệt dộ của vận tốc âm thanh sẽ như thế nào? (Princeton ) Lời giải: Ca) Lấy điểm gốc tại (iQ.yo), vậy thì (xn.y m) = (na. ma). Đãt đỏ dich chuyên của nguyên tử tại vị trí (x„. ym ) là u„ Độ dịch chuyển tương đối X của nguyên tử so với các nguyên tử lân cận gần nhất theo phương X sẽ la i^n-tl.nỉ Un.m) (Uri.m Uri—l.rn) = ỊJỊ íín + l.r7Ỉ ^n -l rn • và độ dịch chuyên tương dối y của nguyên tử so với các nguyên tử lân cán gẩn nhất theo phương sẽ là Un.TTì— 1 Vật lý chất rắn 19 Như vậy phương trình chuyển dộng của nguyên tử tại (in .ym ) là d'2u„ dt2 C 2 (2 u m ,n u n ,m + l U n ,m —l ) Tìm nghiệm của phương trinh trên dưối dạng II — 4 „»(«in<»+í2m a-u;í) un,m — Thay vào phương trình trên ta được muJ2 = c ,(2 - eiq' 0 - e~iq'a) + c2(2 - e'920 - e~llỉ2a) = 2ci[l — cos(ọia)] + 2C2[1 - cos(<72<ỉ)] và do vậy 1/2 Đối với các sóng âm truyền theo phương X, q-2 = 0 và hệ thức tán sắc dược vẽ như trên hình 1.6 , với ¡Jjm = \ h ^ x . 91 (b) Vận tốc âm thanh trong tinh thể là v„ và có biên dộ ã j ’ - 7)— e ' + 1 — e y ớq\ ơq-2 u . — Ci sin(ợia)ex + c2sin ọ2a ) e J , mu) * i’ = — Ị(j shì2(qia) + C2SÍn2(ạ2a)j1/'2 20 Bài tập & lời giải Vật lý chát răn ... (c) Xét các sóng âm có cường dộ I và di qua diện tích thiết diện s khi lan truyền trong mạng. Trong một khoảng cách ngăn dx nó sẽ gặp n S d x nút khuyết ỏ đây n là nồng dộ nút khuyết. Mỗi một quá trinh tán xạ bời một nút khuyết sẽ gây ra một tổn hao năng lượng tỷ lệ với ( ị ) 2, và do môi một nút khuyết sẽ làm tán xạ bất kỳ một sóng âm nào di tới, nên tổng năng lượng bị tiêu tán do tán xạ cũng sẽ tỷ lệ vói I . Như vậy ■) ở dây c là một hằng số tỷ lệ. Do dó Khoảng cách tắt dần /, được định nghĩa là khoảng cách qua dó cưòng dộ sóng giảm di bởi một thừa số f -1, sẽ bằng (d) Mật độ nút khuyết liên hệ với nhiệt dộ tuyệt dối T như sau n X e~£/k*T ỏ đây ku là hằng số Boltzmann. Do vậy / 3c — X e tBr n (e) Vì sự giảm của lực phục hồi tỷ lệ với nồng độ nút khuyết, nén các hằng sô lực sẽ bị giảm đi so với giá trị ban đầu của chúng C ị, c° còn C] = c 1 (1 — B n) , c-2 = C§(1 - B n ) . ỏ dây B là một hăng sô tỷ lệ. Vận tốc âm thanh như vậy sẽ bằng 1/2 1014 Xét một mạng dao động d chiều tại nhiệt dộ không tuyệt đối. Mật đó số hạt là ¡1 và các nguyên tử có khối lượng m . sử dụng gần đúng Debye và già thiêt tât cả các kiêu (mode) của sóng âm có cùng một vận tốc ỵật lý chất rắn 21 (a) Đánh giá dộ dịch chuyển binh phương trung bình (R?) đối với d = 3. (b) Đánh giá (R 2) đối với d = 1, và phân tích tính sát thực so vối kết quả thí nghiệm. (c) Đánh giá độ biến dạng bình phương trung bình / ( § ^ )2^} dối với d. = 1. (Princetorĩ) Lời giải: Xét một nguyên tử dao động với tần số góc và biên độ yoj. Độ dịch chuyên của nó khỏi vị trí cân bằng là Vj = Vũj cos(qjX - uijt) và dộng năng của nó bằng 1 „-.2 _ 1 .2 .2 ị m y ị = - m ^ ị y ị . Động năng trung bình của nó theo thời gian sẽ là ( ỉ 771^ ) = = \ " ư jy ỉj ■ Nguyên tử dao dộng tưong ứng với một dao dộng tử điều hoà lượng tử có cùng tần số vói năng lượng toàn phần bằng (n + Do động năng trung bình của một dao dộng tử bằng nửa năng lượng toàn phần của nó, nên ta có2 (2n + l)h yắ, ~ ■ • J miơJ Tại nhiệt độ không tuyệt đối, tất cả các dao động tử ở trạng thái cơ bản tương ứng với trạng thái lượng từ n = ũ. Độ dịch chuyển trung bình vì vậy sẽ là / 2 \ _ 1 2 _ Ị* (Vj) - 2 VỎJ - 2li)ajj ■ Nếu lấy trung bình cho tất cả các nguyên tử trong mạng, thì dộ dịch chuyển bỉnh phương trung binh tại nhiệt độ không sẽ bằng <«*> = - T , y ỉ ) = — Y * : ' = — -V ¿—ẫ 1 2 N m 1 2pV ^—ă 1 J 1 Bài tập & lời giải Vật lý chất rắn ỏ đây p . V tương ứng là khối lượng riêng và thể tích, và .Y là tông sỏ nguyên tử có trong mạng. (a) d = 3. Trong gần đúng Debye số các kiểu dao dộng với các số sóng nhò hon q dược cho bởi thê tích của hình cầu bán kinh q với tâm tại gôc của không gian - q được đo theo đơn vị ( t 1) , với L là chiều dài của mạng, giả thiết là mạng lập phương, vì có thể có ba kiểu phân cực, số các kiêu dao dộng vói các số sóng nhỏ hơn q là Giả thiêt tât cả các kiểu dao dộng có cùng một vận tốc V, ta có ạ = - và mật dộ trạng thái là dM _ 3£ V (U_ _ 3V J 2 d«j 2n2 (Lj 2 ttV ì ■ Hơn nữa, với A ' = 3.Y, tần số góc cắt Debye là Do vậy iR‘‘ - ề0 s ~ 2m iiv3 (b) d = 1. Gần đúng Debye cho và do đó D M = —L vá -.V e - :>ĩ 1. ~"r ■ Vật lý chất rắn 23 ỏ đây 77 là số nguyên tử trên một đơn vị độ dài của mạng một chiều. Do dó hln uj = 00 . 2TĨT1ĨTÌV 0 (R 2) phân kỳ dối vối trường hợp một chiều. Ta thấy rằng sự phân kỳ xuất hiện là do cận dưới của tích phân bằng không. \ỉề m ặt vật lý, UJ S3 0 tương ứng vói các nguyên tử trong mạng di chuyển dồng thời như một thê thống nhất, khi đó (y2) bằng không chứ không phải bằng ~ u)~1. Như vậy xác định bằng thực nghiệm (R 2) sẽ không phải là một đại lượng vô hạn mà vẫn có giá trị hữu hạn. (c) Đối với nguyên tử thứ j, 2 mà khi lấy trung bình theo thòi gian sẽ trỏ thành Như vậy dối vối một mạng tinh thê một chiều, h Ì.Xmv20 iirmiiv3 ỏ dây do 7- = 'í 1015 Xét một mạng vuông hai chiều với một nguyên tử có khối lượng m trên một nút mạng chỉ tương tác vói các nguyên tử lân cận gần nhất với hằng số lực l\. [Sử dụng đường cong tán sắc phonon ujq = sin(ọa/2).] 24 Bài tập & lời giải Vật lý chát răn ... (a) Trong giới hạn sóng dài, tính mật dộ các trạng thái phonon D[jj) = d.\/d*j, tức là số các kiểu dao dộng trên khoảng tần số cU. (b) Tại nhiệt độ cao (ktìT » /w ), tìm dộ dịch chuyển bình phưong trung bình của một nguyên tử so với vị trí cân bằng của nó, và biện luận vê độ bền của các tinh thể hai chiều. (VVLsconsin) l.ời giải: (a) Trong giới hạn sóng dài, q — 0 và Vận tốc âm sẽ là không phụ thuộc vào q. Trong mô hình Debye, số các dao động với các số sóng nhỏ hơn q được cho bới diện tích của hình tròn bán kính q vối tâm ỏ gốc của không gian q được do bằng dơn vị ( ỹ ) , vói £ là chiều dài của mạng vuông, vì tồn tại hai kiểu phân cực, nên số các dao dộng chuẩn vói các số sóng nhỏ hơn q sẽ là ỏ dây 5 là diện tích của mạng. Do đó m ật độ các trạng thái phonon là (b) Năng lượng toàn phần của mạng là I) Tại nhiệt độ cao, « k%T và kt,T Vật lý chất rắn 25 Do dó u ~ J k%TD( % as oc và T „ OC„ ĩ 7 0 0(ex - l) 2-rdx J (e1 - Ì Ỵ 2 J là một hằng số. Như vậy, theo lý thuyết Debye Cy oc T 2 tại các nhiệt độ thấp đối với một tinh thể 3 chiều cấu trúc lớp với tương tác yếu giữa các lóp, điều này phù hợp với các quan sát thực nghiệm. 1019 Các tính chât âm của chât rắn diện môi chiếm ưu thế hơn so với các tinh chất nhiệt dộng và các tính chất khác của chúng ví dụ như điện trỏ dẫn quang. Kim cương là một chất rắn điện môi đơn nguyên tử cacbon có 1021 nguyên tứ trong một centim et khối. vật lý chất rắn 31 0 Hình 1.7 (a) Hãy vẽ phác đồ thị của nhiệt dung riêng (tính cho một nguyên tử) của kim cương như một hàm của nhiệt dộ tuyệt dối. (b) ĨDebye liên hệ vói tan so Debye UJO như thế nào? (c) Neu vận tốc âm tại các tần số thấp là 5 X 105 cm /s, hãy tính gần đúng giá trị của U )D ? (Wisconsin) Lời giải: (a) Đưòng cong nhiệt dung riêng (Bài tập 1016) dã dược vẽ phác trên hình 1.8. (b) Nhiệt độ Debye To được định nghĩa theo tần số Debye U>D theo hệ thức Do 0 nê n1/3 = v = (67T2n ) 1 /3 U . Vối n = 1027 m -3 , V = 5 X 103 m /s, ta được U.D = 1.95 X 1013 s“ 1 . 32 Bài tập & lời giải Vật lý chất răn_^j_ Hình 1.8 1020 Sự dẫn nhiệt của một chất rắn tinh thể phi kim đòi hỏi m ột cơ chế qua đó phân bố phonon có thể dược đưa về trạng thái cân bằng nhiệt. (a) Hãy chứng tỏ rằng quá trình va chạm ba phonon loại qi + q 2 = q 3 sẽ không dẫn đến trạng thái cân bằng. (b) Mô tả dạng của quá trình dẫn đến trạng thái cân bằng. (Wừconsin) Lời giải: Giả thiết rằng hai phonon có các vectơ sóng q! và q 2 va chạm nhau và tạo ra phonon thứ 3 có vectơ sóngq.3- Sự bảo toàn giả xung lượng cho phép hai quá trình sau xảy ra: /q> • qi + q-> = <1^3 + k , k là một vectơ mạng đáo thích hợp. Hai loại quá trình va chạm ba phonon này dược biểu diễn trên hm h 1.9 (a) và (b). Quá trình thứ nhất là quá trình thông thường. Quá trình thứ hai dược gọi là quá trình umklapp có thể xảy ra trong một mạng ròi rạc. Trong trường hợp này, q i ,q 2 tạo nên q,Ị nằm ngoài giới hạn ± q m xác định bièn cua vùng Brillouin thứ nhất. Phonon này phải được quay trỏ lại vùng Brillouin thử nhất bằng cách cộng thêm một vectơ mạng đảo k, bỏi vì tất cả các vectơ sóng chì có ý nghĩa vật lý trong vùng Brillouin thứ nhất theo quy ước thông thương. ^ vật lý chất rắn 33 Vùng Brillouin thứ nhát Vùng Brillouin thứ nhất (a) quá trinh thõng thường (b) quá trình umklapp Hình 1.9 (a) Trong quá trình qi + q> = q ;j, xung lượng toàn phần của hệ phonon không đổi trước và sau khi va chạm tức là mật độ dòng nhiệt không bị ảnh hưởng do va chạm. Do đó không thể thiết lập được trạng thái cân bằng và sẽ không có nhiệt trỏ hay nói cách khác độ dẫn nhiệt là vô hạn. (b) Trong quá trình umklapp qi + q 2 = q 3 + k, xung lượng toàn phần của hệ phonon sẽ thay đổi do có sự tham gia của k. Phonon hiệu dụng q 1 = q :j + k được sinh ra do sự va chạm chuyên dộng theo một hướng hầu như đối ngược vối một trong hai phonon ban dầu q i . qv. Khi đó, trong một khoảng thòi gian hồi phục nhất định hệ sẽ đạt đến một trạng thái cân bằng nhiệt. Đó là quá trình dẫn đến nhiệt trỏ có giá trị hữu hạn. 1021 Mô tả ngắn gọn cơ chế dẫn nhiệt của các vật rắn tinh thê điện môi. Độ dẫn nhiệt của một chất diện môi rắn (cũng như các khí v.v.) có thê được viết dưới dạng k = \cvl, ỏ đây c là nhiệt dung trên một dơn vị thê tích, V là vận tốc, và / là quãng đường tự do trung bình. Hãy cho những đánh giá về các tham số này với những luận chứng vật lý đối vối một tinh thè điển hình tại nhiệt độ phòng. (Wisconsin) Lòi giải: Nếu như có một gradient nhiệt dộ trong một tinh thè rắn cách diện thì các dao dộng mạng bị kích thích ỏ đầu nóng sẽ có số kiểu dao động nhiều hơn \ 34 B à i t ậ p & l ờ i g i ả i V ậ t l ý c h ấ t răn ... và biên độ lớn hơn hay nói cách khác số phonon sẽ nhiều hơn. Khi các song mạng này truyền về phía đầu lạnh thì các dao động mạng ỏ phía này đựợc tăng cường và sẽ đạt dần tới số kiểu dao dộng và cũng có bién độ lốn lên dân. Điều này có nghĩa là các phonon lan truyền trong mạng dược di chuyên tư dâu nóng về phía đầu lạnh, xét đến tính phi tuyến của các dao động mạng, ta thây có sự rương tác giữa các phonon trong quá trình lan truyên. Chúng va chạm với nhau và va chạm với các sai hỏng mạng trong tinh thê. Các quá trình va chạm phonon có thê là các quá trình thường hoặc là quá trình umklapp. Ọuá trinh umklapp chiếm vai trò chủ đạo trong sự dân nhiệt và làm cho phân bô phonon tiến tới cân bằng. Do vậy quãng đường tự do trung bình trong biếu thức của độ dẫn nhiệt sẽ phải là biểu thức ứng vói quá trình umklapp. Lấy ví dụ tinh thể NaCl tại nhiệt độ phòng. Các giá trị điển hình là nhiệt dung riêng tính cho một mol cv 25 J/m o lK , vận tốc âm I' = tì X 10J m/s, quãng dưòng tự do trung bình phonon / = 2,3 X 10“ 9 m, thê tích mol V = 27 X 10~6 m3. Các số liệu này cho độ dẫn nhiệt sẽ là k = ỉ vl = 43 Wm“ ' K 1 . 1022 (a) Viết các định nghĩa và các công thức mô tả độ dẫn nhiệt của một chất rắn. (b) Chỉ ra các kích thích mang dòng nhiệt. (c) Vẽ phác dô thị của độ dẫn nhiệt của một kim loại như là một hàm cùa nhiệt độ. (d) Chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ dặc trưng tại các vùng nhiệt độ cao và thâp và mô tả các hiệu ứng vật lý chủ dạo trong hai vùng này. (W isconsin) Lời giải: (a) Độ dẫn nhiệt của một chất rắn dược định nghĩa là mật đó dong nhiệt Q trên một gradien nhiệt dộ, tức là hệ số không dổi k trong phưong trình Q = - k § j - Đối với một chất rắn phi kim, nhiệt được dân bời các phonon và dộ dẫn nhiệt được tính theo công thức k=ịc,vl. Vật lý chất rắn 35 ỏ dây c„ là nhiệt dung đẳng rích tính cho một đơn vị thể tích của chất rắn, V và l lẩn lượt là tốc độ trung bình và quăng dưòng tự do trung bình của các phonon. (b) Đôi với các chất rắn phi kim các kích thích mang dòng nhiệt là các phonon. (c) Độ dẫn nhiệt của một kim loại gồm hai phần, độ dẫn nhiệt của mạng tinh thể kữ đóng góp bởi các phonon và độ dẫn nhiệt điện tử ke đóng góp bời các électron tự do: — Ắù(j Zip với k(¡ = r . C a Vala , k'e = ứfVele , ỏ đây c là nhiệt dung đẳng tích tính cho một đơn vị thê tích, ữ và I lần lượt là tốc dộ trung bình và quãng dường tự do trung bình của các hạt (các phonon hoặc là các électron trong từng trường hợp), vi đối vói các kim loại tinh khiết thông thường k(i _ Cabala A'e ữ evele nên độ dẫn nhiệt của một kim loại điển hình chủ yếu là do các électron tự do. Như vậy, í 1 — ^ n - I — . k ke — Cevele — • 3 imve ỏ đây chúng ta dã sử dụng kết quả từ thống kê Fermi-Dirac _ n2N k ỈT c = L e — _2 m vị N là số các électron tự do trong một đơn vị thể tích, vì le chủ yếu gây ra do tán xạ êlectron-phonon nên le X^ph ỏ dây ỉiph là số phonon trung bình trong một đơn vị thê tích tại nhiệt độ T. (1) Tại các nhiệt độ cao, ^ph ^ 1 • hay le oc T \ suy ra k = constant, 36 Bài tập & lời gidi Vật lý c h ấ t răn ... không phụ thuộc vào nhiệt độ. (2) Tại các nhiệt độ thấp, n ph cx T 3 . hay /e oc T ~ 3, suy ra k = T 2 . (3) Tại các nhiệt độ rất thấp, số các phonon rất nhỏ và tán xạ của các êlectron tự do chủ yếu gây ra bỏi các tạp chất. Như vậy le oc -ỳ-, -\/ là m ật độ số hạt của các nguyên tử tạp chất không phụ thuộc vào T . Như vậy to cỉ. Những diều nói trên dược tổng họp trên đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn nhiệt của chất rắn kim loại trên hình 1.1 0 . Hình 1.10 1023 Một vật liệu có m ật độ p và có mạng lập phương tâm m ặt với chiều dài cạnh lập phương là a0 và nhiệt độ Einstein Đối với giới hạn nhiệt độ cao, nghĩa là T > ỚE, hãy biểu diên độ dịch chuyển nguyên tử bình phương trung bình theo phương I, M ị, theo p, ao và ỚE cùng với các hằng số vật lý cần thiết khác. (WLsconsin) Lời giải: Đối với một mạng lập phương tâm mặt, thể tích của một ô co sò tinh cho một nguyên tử là aị/A sao cho 4 rn P=1 vật lý chất rắn 37 ỏ đây m là khối lượng của một nguyên tử. Trong mô hình Einstein một mạng gồm N nguyên tử dược coi như là một tập họp 3/V các dao dộng tử một chiều dộc lập, mỗi một dao động tử có một tân số góc dộc lập tơE liên hệ vói nhiệt độ Einstein ỚE bời hệ thức huỉỊi = k^Qf. Đối vối một dao động tử điều hoà thế năng trung bình ^ fiị và động năng trung bình y i 2 = '-jujịfjị là bằng nhau, mỗi số hạng này bằng một nửa năng lượng toàn phần (n + ị)hu>E dược suy ra từ cơ học lượng tử. Do đó độ dịch chuyên trung bình là ạ ị = ị n + 0 hwE/k = ( n + 0 h/muỉE . Tại nhiệt độ T, các dao dộng tử được phân bố trên các trạng thái riêng theo định luật phân bố Boltzmann exp Ị - (n + ị) . Do dó, ' y (,I + i ) + ' V '2 / ?riu^E v ì = h Í7ĨU,’ E e-(n+ị)lujt /ker n=0 ^ Yi n e -" h^/'k»r oo Ọ —--------------- + - c -nhjj/k^T \ / \ 7 1 = 0 số hạng đầu tiên trong ngoặc có thê dược viết thành d E Ề ' nz T ' enỉ Y e'lJ 1 = (/ ln ( dx Vl 1 = _ è r - Do vậy = T ~1,1 e"x d i ^ e1 1 1 - ex - 1 í'ĩ h í 1 1 E \ ehJi/kir _ 1 2 38 Bài tập & lời giải Vật lý c h ấ t răn Với m = ^ WE = đối vói giới hạn nhiệt dộ cao, ta có kẼỡĩ.aịp 4 h2 T ks Oỉ.aịp ÔE Ah 2T kBe ịa ịp 1024 Xét một chất rắn dao động. (a) Đánh giá năng lượng tự do Helmholtz F của một kiểu phonon có tần số Lí) tại nhiệt độ T. (b) Giả thiết rằng chất rắn là đàn hồi vối suất dàn hồi là B và A là tỷ phần thay đổi thể tích. Bỏ qua tán sắc của các kiểu phonon, nghĩa là đặt uJk = hãy viết biểu thức năng lượng tự do của tinh thể. (c) Neu sự phụ thuộc thể tích của \ 40 Bài tập & lời gidi Vật lý chất răn Ta có hayỖV E V'o = 1 B V tại nhiệt độ T. (d) Vi phân hai vế của phương trình trên theo T , với ta có 1 dỗV _ 7 dẼ _ 7 Vq ỡ t - BV' a r ~ B V v ' Do đó, từ định nghĩa về hệ số giãn nỏ thê tích ta rút ra hệ thức Gruneisen Ta thấy rằng nếu dao động của một tinh thê tuyệt dôi tuyên tính, 7 = 0 và do dó a = 0, nghĩa là sẽ không có giãn nỏ nhiệt. Do sự giãn nỏ nhiệt có xảy ra, nên hệ số giãn nỏ nhiệt cho ta thước đo về tính phi tuyến của dao dộng mạng tinh thể. 1025 Nhiễu xạ nơtron có thể sử dụng để đo u,' theo k đối với môt kích thích trong một tinh thê rắn. Đê mô tả điều này, giả chiết rằng ta đả biết đối xứng của tinh thể, hãy viết các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng cho quá trình nhiễu xạ, và sau đó chỉ ra những tham số cần phải đo để thu dược sự phụ thuộc của vào k. (Wisconsin) Lời giải: Đặt .\I là khối lượng của một nơtron, p và p ' là các xung lưong và k và k' là các vectơ sóng của các nơtron tới và nơtron tán xạ. Do đó p '■ k. p = fik' và các năng lượng tương ứng là . Theo định luật bảo toan năng lương vật lý chất rắn 41 và theo định luật bảo toàn xung lượng /ik = hk' ± /iq — /¡G . ỏ dây G là một vectơ mạng dào thích họp, và q là vectơ sóng của phonon dược sinh ra ( + ) hoặc bị hấp thụ ( - ) trong quá trình dó. Đê thu được sự phụ thuộc của UI vào k từ phương trình trên ta cẩn do hiệu năng lượng giữa các nơtron tói và nơtron tán xạ như một hàm của phương tán xạ k - k'. 1026 Xét sự có m ặt của các sai hỏng điểm dưối dạng các nút khuyết ỏ trạng thái cân bằng nhiệt trong một tinh thể lập phương dơn giản dơn nguyên tử có -V nút mạng. (a) Viết hoặc dánh giá số n các sai hỏng đó trong một tinh thê được giữ ỏ nhiệt dộ T nếu nó tiêu tốn một năng lượng E đê tạo ra được một nút khuyêt. (Giả thiết rằng n A\) Bây giò ta xét ảnh hường của các dao động mạng (tức là các phonon) dên kết quả này. Ghi nhố lý thuyết Einstein đơn giản về các kiểu dao dộng chuẩn của tinh thể với các nút khuyết, nghĩa là coi mỗi một ion như là một dao động tử độc lập, chọn hai tần số khác nhau gọi là LO và J , phụ thuộc vào việc một ion cho trước có một trong sáu vị trí nút mạng lân cận gần nhất là nút khuyết hay không. (b) Trong hai tần số, tần số nào có giá trị lón hơn? (c) Số n sẽ thay dổi thế nào nếu có mặt các phonon? (Prìnceton) Lời giải: (a) Bò qua ảnh hường của các phonon, số các nút khuyết ỏ trạng thái cân bằng nhiệt ỏ nhiệt độ 7’ là n = .\e ~ E/kaT , ỏ dây E là năng lượng cần thiết để tạo ra một nút khuyết. (b) Khi có các nút khuyết quanh một nguyên tử, thì lực hồi phục tác dụng lên nguyên tử dó khi nó dịch chuyển ra khỏi vị trí cân bằng sẽ trỏ nên nhỏ hơn. Do dó J nhò hơn (c) Bây giờ ta xét ảnh hưỏng của các phonon. Do n 0) dối với các cặp A-A hoặc B-B, và bằng + J dôi với cặp A-B. Vật lý chất rắn 43 (a) Hãy tính entropy hỗn hợp của hợp kim. Giả thiết rằng iV = /VA + Ab » 1. (b) Hãy tính năng lượng tuơng tác toàn phần với giả thiết rằng các nguyên tử được phân bố một cách ngẫu nhiên ỏ các vị trí nút mạng. (c) Hãy tính năng lượng tự do F của hệ, như là một hàm của X, ỏ đây Na = N (l + x )/2 và N B = N (\ - x)/2 . Khai triển F (i) tới bậc 4 của X. chỉ ra rằng có một nhiệt độ tới hạn Tc, trên và dưói nhiệt độ dó đường cong F (x) có dạng khác nhau, xác định Tq và vẽ F nhu một hàm của X với T > TC, T = Tc và T < Tc. (d) Đối với T < Tc, hệ vói một hợp phần |x| < Xp(T) trỏ nên không bền và tách thành hai pha có hai hợp phần khác nhau, sử dụng kết quả từ (c) đê tìm Xp(T) và các hợp phần của hai pha riêng rẽ. (M/T) Lời giải: (a) Entropy hỗn hợp bằng 5 = /cb ln n , ỏ dây iV! JVaW b! Sử dụng công thức Stirling ìnN\a N\nN , ta có l n í l* .V Al n ( l + ^ ) + yVBl n ( l + ^ ) , và do đó 5 = A'b-Va ln ^1 + ln ^1 + Xks ln 2 — — * u [(l + x ) l n ( l + ®) + (l - i ) l n ( l - * ) ] . (b) Bởi vì về trung bình mỗi một nguyên tử sẽ có các lân eận gần nhất là nguyên tử A và nguyên tử B và tỷ phần của các nguyên tử A, B ơong mạng tinh thể là ^4 và ^ nên năng lượng tương tác trung bình u của một 44 Bài tập & lời giải Vật lý chất răn ... nguyên tử với các lân cận gần nhất sẽ bằng u = 6 = 6 = _ 6¿ , v y 2 ' A .V2 - -VB) .V 2.V..V A B V -’ •V B V Do dó năng lượng tương tác toàn phần E sẽ là E = — 1 = - ^ r(-vA - -Vb ) 2 = - 3 \ J i 2 . (c) Năng lượng tự do F của hệ là F = E - T S XkaTx 1 + X X k ÿ T = -i.XJx - .Xkgĩ' ln 2 + “ ln f — + — - ệ - 2 1 — I 2 = —X k ÿ T ln 2 + Q . V ^ r - 3 .x J J I 2 + ^.V Ẳ Br * 4 ỏ dây ta đã sử dụng các khai triển ln ( l + 1 ) = I - ^ x 2 + i x 3 - ^ x 4 + ■ • • , 2 o 4 1 + I . ~ ~ ln = 2 x + = - + ^ - + -- - 1 — I V 3 5 Inf 1 - X 2 ) Đê’ ùm nhiệt độ tói hạn rc tại đó F thay đổi hình dạng, ta xét àậ và J-Ç tại điểm X = ũ. Điều này cho thấy rc dược xác định qua — k%Tc — 3.\ J .= 0 . tức là Thưc tể i d-F V ờ I 2 6 J Tc= k = 0. T = TC > 0. T > Tc < 0. T < Tc. 1 min • Fmax Vật lý chất rắn 45 cho thấy Tc là nhiệt dộ chuyển pha tới hạn. F(x) được vẽ cho T > Tc và T < Tc trên hình 1.11. (d) Như dã chỉ ra trên hình 1.11 khi T < Tc nâng lượng tự do có một cực tiểu tại X = X p (T ). Năng lượng tự do lón hơn giá trị cực tiểu khi |x| < X p (T ), hệ sẽ trỏ nên không bền. Đê tìm dược X p (T ), đặt = 0, tức là N k v T - GNJ + ịN k a T x 2 = 0 . và thu được , /3 (Tc - T) Jp(r) = ± ự — y — . T>Tc T < T c 1 0V - 1 . ' ) +1 Xẽ 0 I \ ___ / F(x) Hình 1.11 Các hợp phần của hai pha riêng rẽ do vậy sẽ bằng /3(Tc - T) _ /3 (Tc - T) ri = V T ' X2 = _ v V 1.2. THUYẾT Él e c t r o n , cá c v ù n g n ă n g l ư ợ n g VÀ CÁC CHẤT BÁN DẪN (1028 1051) 1028 Mô hình électron tự do cho một kim loại giả thiết rằng các électron dẫn có thể xét gần đung như một khí các électron tự do ở đó các tham số quan trọng dối vói chất khí đó chỉ là II, mật độ électron và T , là thòi gian giữa các 46 Bài cập & lời giải Vật lý chát răn ... va chạm. Hãy chứng tỏ rằng trong mô hình này, dộ dẫn diện cùa kim loại có thể được biểu diễn bỏi công thức ne T m Đánh giá thời gian va chạm T cho một électron trong kim loại dồng. Biết điện trỏ suất của dồng là 1,7 X 10~6 ôm cm và mật dộ nguyên tử của đông là 8,5 X 1022 nguyên tử /cm 3. (Wisconsin) Lòi giải: Đối với một électron, xung lượng p và vectơ sóng k được liên hệ qua biêu thức p = ftk . Phương trình chuyển động của nó trong trưòng lực tác dụng F được cho bỏi dịnh luật thứ hai của Newton như sau F = — = h — . dt dt Trong khi các vectơ sóng của tất cả các électron tăng lên song song vối lực tác dụng F, thì một trạng thái cân bằng sẽ đạt được với các électron quay trỏ lại các trạng thái ban dầu của chúng do va chạm vói các ion mạng trong khoảng “thòi gian hồi phục” r đối với va chạm được tính bằng ổk = I f , n ỏ đây ổk là sự thay đổi của vectơ sóng k từ giá trị cân bằng. Sự thay đổi tương ứng về vận tốc là ổv = ^ = A ổk = i ĩ . m m m Neu điện trường tác dụng là £, lực tác dụng lên mỗi électron là F = - e € . Do đó, m ật độ dòng điện ne2r 1 = —neòv = ----- C = ơc , m ỏ đây Vật lý chất rắn ____________ 47 theo dịnh luật ohm , là độ dẫn diện của kim loại theo dịnh luật Ohm. Neu rriôi một nguyên tử dồng đóng góp một électron, thì n = 8 . 5 X 1028 rrr 3 và mơ T - n e ' ne*f>°*r. 9. 11 X 10“ 31 8,5 X 1028 X (1,6 X 1 0 -19)2 X 1,7 X 10~8= 2.5 X 10 14 s . 1029 Natri kim loại kết tinh dưới dạng lập phương tâm khối, chiều dài cạnh lập phương là 4 , 2 5 X 10~8 cm. Tìm nồng dộ các électron dẫn. Giả thiết có một électron dẫn trên một nguyên tử. Áp dụng mô hình khí Fermi cho các électron dẫn, hãy suy ra một biểu thức cho năng lượng Fermi (tại 0 K) và chứng tỏ rằng nó chỉ phụ thuộc vào nồng độ điện tử mà không phụ thuộc vào khối lưọng của tinh thể. ( Wừconsin ) Lời giải: Một mạng bcc chứa -4 nguyên tử trong một dơn vị thê tích, vi thế nồng dộ của các électron dân bằng (4,25 X 1 0 - 8 ) 3 = 2 ,6 X 1022 cm“ 3 . Theo mô hình khí Fermi của các électron tự do, số các électron trong một thể tích V với các giá trị năng lượng nằm trong khoảng E tói E + dE là d N = C E l/2f ( E) d E với c = 4nV (2m )3/'2/h 3, m là khối lượng của électron. Tại T = 0 K, hàm phân bố f(E) là ( 1 với E < Ep . /(£■) = <„ “ Ịo vối £’ > £ > . Do dó tổng số électron trong V là -V = J C E ' /2dE = ịC E ệo £Vo 0 48 Bài câp & lời giải Vặt lý chất ran ỏ đây £>0 là năng lượng Fermi tại T = 0 K. Do n = £ , năng lưong Fermi tại 0 K bằng Efo = £ I -= ^ - ( 3 n 2n ỷ . V 8 tt; 2 m y ’ Đối với natri kim loai ta có E m = x ( g ĩ ! x,26 = 3.1« eV 2 X 9 , 1 X 1 0 - 28 1,6 X 10 vi Biểu thức của E f0 chứng tỏ rằng nó chì phụ thuộc vào nồng độ điện tử mà không phụ thuộc vào khối lượng của tinh thế. 1030 Hình 1.12 là một dồ thị thô của điện trỏ suất của một chất rắn (ErRhB4, có lẫn một số tạp chất). (a) Từ đồ thị hãy cho biết vật liệu này là kim loại hay điện môi? P ( x l O - 6Ũcm) Hình 1.12 (b) Mô tả các quá trình vật lý cơ bàn gây ra điện trỏ, và giải thích sự phụ thuộc của điện trỏ suất vào nhiệt độ trong ba khoảng nhiệt độ sau: (1) T rất gần 0 K, (2) T gần 25 K, (3) T gần 300 K. (c) Đánh giá quãng dường tự do trung bình và thòi gian tự do trung binh tại T = 0 K va T = 300 K. Vật liệu này có phải là một kim loại tốt khóng? I 1 (Các con số cần thiết liên quan: n = 102,i cm :ỉ, e = 5x lO ~ 10 esu, m = 1e r 27 g, Vp = 11)8 cm /s, 1 (íicm) 1 = 9 X 1011 esu.) (Princeton ) Lời giải: (a) Như ta thấy từ hinh 1.12 diện trỏ suất của vật liệu này nhìn chung tăng khi nhiệt độ tăng và vẫn là nhỏ tại T = 300 K, (p ~ 1er 1 Hem). Do vậy vật liệu này là một kim loại. (b) Neu mạng tinh thê của một kim loại là hoàn hảo và không có dao động mạng thì các sóng électron sẽ đi qua mạng mà không bị tán xạ và không có diện trỏ. Trong một kim loại thực, các électron bị tán xạ do các sai lệch của trường thế tuần hoàn gây bởi các dao động nhiệt của các nguyên tử trong mạng và do những sự bất thường về cấu trúc ví dụ như các tạp chất và sai hỏng trong tinh thể dẫn đến xuất hiện một điện trở suất. Như vậy điện trỏ suất của một kim loại có thể được coi như là tổng của hai đóng góp p = P p hon on + P tạp chất ■ (1) Tại T rất gần 0 K, diện trỏ suất của một kim loại bị chiếm ưu thế bởi diện trỏ suất dư f> chàt, không phụ thuộc vào nhiệt độ. Như vậy p p ch>t = hằng số. Đường cong trên Hình 1.12 cho thấy p s: 27 X 10 ~6 íỉcm. về cơ bản là một hằng số gần 0 K. (2) Tại T gần 25 K, diện trở được sinh ra chủ yếu do tán xạ của các điện tử gây bởi các phonon mạng mặc dù sự tán xạ của các tạp chất vẫn dồng thòi xảy ra. Tại các nhiệt dộ thấp như vậy chỉ có các phonon âm sóng dài có thê bị kích thích khi mà xung lượng của chúng hq rất nhỏ. Sự thay dổi của xung lượng của các électron theo phương của điện trường gây ra do tán xạ bỏi phonon cũng rất nhỏ dẫn tói các góc tán xạ nhỏ. ắk — k f ( \ — cos 0) Hinh 1.13 Xét một tán xạ như vậy. Sự thay đổi của xung lượng électron hkĩ theo phương của điện trường là (hình 1.13) tức là, xung lượng giảm theo tỷ phần Ç sau mỗi một lần tán xạ. Đẻ hkf bị triệt tiêu cần phải có một số r các va chạm được xác định từ hệ thức 02 hkf 1 - — « hkr ^ 0 . ~2 hay 2_ 2k ị o2 q1 do 6 % (xem hình 1.13). r va chạm dó được coi như là va chạm hiệu dụng làm lệch hướng của électron khỏi dưòng di ban dầu. Năng lượng của phonon bằng hu = hvsq as kữT, ỏ đây v¡ là vận tốc âm. Như vậy q X T và r X T~ 2. Số va chạm với các phonon tỷ lệ với m ật độ số hạt Tis của các phonon. Theo lý thuyết Debye 0 0 ỏ đây X = 0 D là nhiệt độ Debye. Đối với các nhiệt độ thấp ( T ~ 25 K) T <ỈC 0D, X —> oc và 1 n s tx —r (X T . I a Do đó xác suất để có tán xạ hiệu dụng đối với một électron là 1 m ật dộ phonon T r Dần đến điện trỏ suất là p a ị oc r 5 . r (3) Đối với T gần 300 K, r» © D và theo lý thuyết Debye X 0 Hơn nữa, khi xung lượng của phonon là lớn, mỗi một quá trình tan xa đều hiệu quả đê làm lệch đưòng đi của điện tử. Do vậy vật lý chất rắn 51 (c) Thòi gian giữa các va chạm hay còn gọi là thòi gian tự do trung bình liên hệ vói độ dẫn ơ (Bài tập 1028) qua biểu thức Do đó ne^p ỏ đây n là m ật độ êlectron và p = - là điện trỏ suất của kim loại. Quãng dường tự do trung binh tương ứng l = V f T . (1) ỏ T = 0 K, hình 1.12 cho p RS 27 X 1(T6 n cm. Do đó m IU X 9 X Ì i r ' 1CT27 X 9 X 1011 ne2p ~ 1023 X (5 X 10' 10)2 X 27 X 10“ 6 LU” D i n 8 s, 1 Q w 1 0 - 1 5 _ 1 o „ i n - 7 r m l = 1 0 8 X 1 ,3 X 1 0 “ 15 = 1 , 3 X lo-7 cm = 1 .3 X 1 0 “ (2) ỏ T = 300 K, hình 1.12 cho p 5» 120 X 10' 6 n cm. Do đó r = — X 1.3 X 10"15 = 3 X 10" 16 s , 120 / = 108 X 3 X 10" 16 = 3 X 1CT8 cm = 3 Â. Tại nhiệt dộ phòng T = 300 K, quãng đường tự do trung bình của một kim loại tốt là « 300-400 Ả. Quãng dường tự do trung bình của vật liệu này nhỏ hơn nhiều, vì a /, nên vật liệu này không phải là một kim loại tốt. 1031 Các đồ thi trên hình 1.14 biểu diễn sự phụ thuộc của điện trỏ suất của Cu, Ge, và NaCl vào nhiệt độ. Chúng mô tả các mẫu "thực" tinh khiết cao: độ tinh khiết > 99,9%, chứ không phải là 100%. Mô tả ngắn gọn cho từng trưòng hợp cơ chế cơ bản của quá trình dẫn và giải thích sự phụ thuộc theo nhiệt độ như được biểu thị trên hình. (Chú ý rằng các trục của ba đồ thị có khác nhau.) (Columbia) Lời giải: (1) Cu là một kim loại. Đồ thị điện trỏ suất theo nhiệt độ của nó cho thấy: tại T « 0 K, điện trỏ suất nhỏ và có thể coi là một hằng số; đối với 52 Bài tập & lời gidi Vát lý chát răn p(íì.cm) p(Q.cm) pịíì.cm) Hình 1.14 0 < r « 0 D , p r 5; đối vối T > © D , p (X T. Dáng điệu như thế đặc trưng cho một kim loại và xuất phát từ hệ thức giữa điện trở suất p và xác suất tán xạ p của electrón đi qua ỏ đầy m là khối lượng electrón và p = Pphonon + ^ ta p c h â t ( B à i l?p 1 0 3 0 (a) r % 0 K Tại nhiệt độ này, Pphonon — 0 và p được đóng góp chủ yếu bỏi Ftapch‘, không phụ thuộc vào nhiệt độ. Như vậy p ỏ cực tiểu của nó và về cơ bản là một hằng số. (b) 0 < T <§: &D, nhiệt dộ Debye của Cu. Tại những nhiệt độ thấp như vậy, p chủ yếu được quyết định bời Pphonon. tỷ lệ với (Bài tập 1030) Mật độ phonon T 3 - — ---------------------- — ------ — —------------------ ---------------- X — — = T Sô va chạm gây nên một tán xạ hiệu dụng T Do vậy /) X r 5. (c) T > 0 D - vật lý chất rắn 53 p hầu như hoàn toàn dược đóng góp từ P p hon on> mà ở những nhiệt độ cao như vậy nó tỷ lệ vói mật độ phonon mà mật độ phonon 3C T. Do dó p ŨC T. Chú ý rằng tại những nhiệt độ dó, các phonon có xung lượng lớn và mỗi một va chạm đều gây ra sự lệch hướng của các électron đi qua theo các mức dộ khác nhau. (2) Ge là một chất bán dẫn. Đồ thị biểu thị điện trỏ suất theo nhiệt độ của nó cho thấy tại những nhiệt độ thấp, p giảm đi khi nhiệt dộ tăng; ỏ các nhiệt độ trung gian, p tăng theo nhiệt dộ; tại các nhiệt độ cao, p giảm rất nhanh khi nhiệt độ tăng. Hiện tượng này được giải thích như sau. (a) Tại những nhiệt độ thấp, kích thích tạp chất chiếm ưu thế. số các hạt tải diện bị kích thích từ các tạp tăng lên theo nhiệt độ, do vậy p giảm khi tăng nhiệt dộ. (b) Trong khoảng nhiệt độ trung gian, tất cả các nguyên tử tạp chất dêu đã bị ion hóa do đó số các hạt tải điện không thay đổi theo nhiệt độ. Tuy nhiên, tán xạ của các électron di qua bởi các phonơn trở nên thường xuyên hơn khi nhiệt độ tăng, dẫn đến độ linh dộng giảm và p tăng. (c) Tại các nhiệt độ cao, kích thích thuộc bản chất vật liệu bắt đầu xảy ra và nồng độ hạt tải tăng lên nhanh chóng khi nhiệt độ tăng, dẫn đến p giảm mạnh. (3) NaCl là một tinh thê ion. Đưòng cong bán loga p-T gồm hai đoạn thẳng vối các độ dốc khác nhau ỏ các nhiệt độ cao và thấp. Lý do của hiện tượng này là như sau. Trong một tinh thê ion sự dân điện do lô trống là quá trình chiếm ưu thế, số các lỗ trống tỷ lệ thuận vói e- uo/kaĩ ; ¿ dây Uo là năng lượng kích hoạt. Tại các nhiệt độ thấp, sự dẫn bời các lỗ trống của tạp chất là cơ chế chủ dạo; trong khi tại các nhiệt độ cao, sự dẫn chủ yếu gây bỏi các lỗ trống là kết quả của chuyển động nhiệt của các ion. vì các năng lượng kích hoạt của chúng là khác nhau, nên dồ thị bán loga cho thấy hai đưòng vói hai dộ dốc khác nhau. 1032 Một mẩu kim loại vối /í = 1 được dặt trong một từ trường tĩnh và dều B = Buz. Các électron dẫn có thể dược xem như là một khí électron tư do vói thòi gian tán xạ T và mật dộ số hạt là II. (a) Rút ra một biểu thức cho tenxơ điện trỏ suất của vật liệu đó. (b) Sử dụng kết quà (a) để suy ra hệ thức tán sắc trong vùng tần số thấp 54 Bài tâp & lời giải Vật lý chát răn cho các sóng truyền theo phương 2. Bỏ qua - và U-' so VỚI tản só cyclotron wc. (Suy ra phương trình sóng cho mật độ dòng j) (Princeton) Lời giải: (a) Trong tán xạ của một êlectron dẫn có xung lượng (71V, sư thay đổi xung lượng trung bình là 5 (0 + 2 m v ) = m v . Nấu tính trung bình ẻlectron này chịu tán xạ trong một dơn vị thòi gian, thi nó sẽ chịu một lực càn là - ™ . Do dó phương trình chuyên dộng của một êlectron là d v V m — = — ( - E - e v X B - m — d t T Vi j = — nev . phương trình trên trỏ thành m d i j X B mj -------- p = —eE -ị--------— + — — ne ai n TTie Xét một nghiệm có dạng j = j o e ~ ' ~ ' f . Thay vào phương trình trên, ta được E =m / 1- — iui 1 j + j X B và dặc biệt E , =m / 1 £klqJ[Bq trong đó Ski = -klq nếu k = l . nếu k Ỷ I . nêu k Ỷ í Ỷ q và k.l.q là các giao hoán chẵn của 123, 1 nếu k Ỷ l # p Viết các phương trình (1) và (2) dưới dạng các phương trình ma trận E = RJ. E = A P = D J , ở đây E.P.J, là các ma trận cột, R.A.B là các ma trận vuông. Khi đó, từ phương trình (3) suy ra D = - .4 . Vì J { •• B)J 0 . để J khác không, ta cần có định thức n B ■■■■0 . tức là — + - L V - Ì ne'2 eo-'. 1ne* ũ J í 0 \ ^ . U /r ° - Thừa số đầu tiên của vế trái chỉ bao gồm các tham số n. T của khi électron và tần số góc của sóng truyền, thường là khác không. Do vậy r m ( 1 fu \- vật lý chất rắn 57 Định nghĩa tần số plasma €0m và tẩn số cyclotron ta có thể viết đẳng thức trên thành eBọ m luị -----lu> I --------- T ) \UJ Do - và u) có thê dược bỏ qua so vối CJC dân đến ỵui= ±iwc Bởi vậy các hệ thức tán sức tần số thấp là 2 / c2k2 \ ~^p = = ihuA^c I 2~ — J ' hay 10 IjJlOq 1033 Công thức Drude-Lorentz cho hằng số điện môi của một chất rắn là = 1 +(u^Q IíaJT ỏ đây ^’p là tần số plasma, ~'u là khe năng lượng cho các chuyển mức giữa các vùng và T là thòi gian tán xạ của electron. (a) Tại nhiệt dộ phòng, một giá trị hợp lý dối với Cu là T = 1CT11 giây. Hãy đánh giá bậc dô lớn của uJp và u>0 của kim loại này. Bạn có thể muốn sử dụng dặc tính ‘m àu’ của kim loại đê xác định u;0. 'Vé dồ thị các phần thực và ảo của £■(^1 như một hàm của aj (theo eV). (b) Tại nhiệt độ phòng, tính ( u j) , độ dẫn phức của Cu phụ thuộc tần số. 58 Bài tập & lời giải Vậc lý chát răn ... (c) ơ(uj) của Cu tuyệt đối tinh khiết và không có sai hòng vê mạng tinh thê tại không dộ tuyệt đối là bao nhiêu? (Chicago) Lời giải: (a) Giả thiết mỗi một nguyên tử đồng dóng góp một électron. Nông dộ của các électron dẫn là 6.02 X 1023 X 8.9 „ „ ,„22 „_3o „ in'28m 3 n = ----------------------- = 8 . 4 X 10 cm J = 8, 4 X 10 m 63,5 Đối với électron, = 3 X 103 m2s-2 , và tần số plasma (Bài tập 1032) là uip = = 1.6 X 1016 S-' . V tom Bỏi vậy hujp = 6.6 X 10“ 14 X 1.6 X 1016 = 10,5 eV ss 10 eV Đồng kim loại có màu đỏ tương ứng với bưỏc sóng Ao ss 6 X 10“ 7 m, hoặc Uo ~ 3 X 1015 s_1. Do đó fru>0 ss 2 eV Tại nhiệt độ phòng, T = 10~ 14 s, hay ftr_1 = 6,6 X 1CT2 eV ss 1 0' 1 eỵ và phần thực và phần ảo của e(ui) là R e f H = 1 + - / p ( j - " 2) W Ị + - lỗ ! ; i 4 - " 2; ( ùJ q — UI2 ) 2 + u j 2 t ~ 2 ( 4 - u >2 ) 2 + uJ 2 ■ \ 0 ~ 2 I ( ) _ 20 { J ị - UI2 ) 2 + Lj 2 t ~ 2 (4 - u 2)2 + UJ2 ■ 10-2 Các phần này dược biểu diễn bằng đồ thị trên hình 1.15. (b) Áp đụng định luật Ohm J = ơE và biểu thức mật độ dòng phân cực J = P = —iújp , chúng ta tìm được cảm diện p lơ (qE Í0UJ Do dó D = tE = fyE + p suy ra hằng số điện môi phức của Cu iơ(aj) = 1 + V = 1 + ---------- . e0ui vật lý chất rắn 59 Đối chiếu với công thức Drude-Lorentz, ta được , . , 2 e0oj {u}% - u 2)2 - hay e0LOujị[cjt 1 - i(wg - LJ2)] I 2 _ ,2\2 I ,ỉt - 2 (c) Tại nhiệt độ không, T —> oc và độ dẫn phức là ie ơ(lj) = - , 2 • 1034 Tại thòi điểm t = 0 phân bố diện tích p(r) tồn tại trong một vật dẫn điện đồng nhất lý tưỏng có độ điện thẩm (cũng được gọi là hằng số điện - ND) và độ dẫn là các hằng số. Hãy tính p(r, t) cho các thòi điểm tiếp theo. (W i s c o n s i n ) Lời giải: Sử dụng phương trình Maxwell V • D = eV • E = p và đinh luật Ohm j = ơE trong phương trình liên tục diễn tả sự bảo toàn điện tích, 60 Bài tập & lời giải Vật lý chát răn dẫn tới Với diều kiện ban đầu p{r . 0 ) = p(r), sau khi tích phân ta được p(r. í) = p(r)e~ơt/l 1035 Xét một mạng vuông hai chiều. (a) Động năng của một électron tự do tại một đỉnh của vùng Brillouin thứ nhất lớn hơn dộng năng của một điện tử tại trung diêm của một cạnh biên vùng này một thừa số 6. Hãy tính b. (b) Thế tinh thể của vật liệu này là ỏ đây Vo là một hằng số và a là hằng số mạng. Tính gần đúng khe năng lượng tại trung điểm của cạnh biên vùng. (c) Giả thiết rằng kết quả ỏ câu (b) của bạn là đúng và vật liệu có hóa trị hai, hãy viết một điều kiện để hệ có tính kim loại. (Princeton ) Lời giải: (a) Động năng của một êlectron tự do là 2 m 2m vùng Brillouin của một mạng vuông hai chiều có hằng số mạng a là một hình vuông trong không gian k cạnh ìf , như được chỉ ra trong hình 1.16. Vi T Y í = V 2 ĨX . (b) Ta có thể viết V (x . y ) = - \ 0(e'2TI'a a + e'27,y'a + e - ' 2^ ° Vật lý chất rắn 61 k ỵ M r X kx n a a Hình 1.16 Đặt các vectơ co sở của mạng là b i, b 2- Trung điểm của cạnh biên vùng trong mạng dảo có vectơ k = —bi- Hệ số Fourier tương ứng trong V(x,y) là -Vo, do đó khe năng lượng bằng A , = 2\vx\ = 2\v0\ . (c) Đối với vật liệu hóa trị hai, diều kiện đê nó là một kim loại là các vùng năng lượng xen phủ nhau, sử dụng kết quả trên, diều này có nghĩa là E x + A* < Em , tức là suy ra 1036 Xét một êlectron có điện tích e trong mạng một chiều vói các mức năng lượng s(k) = —2T cos(ka) , dây a là hằng số mạng. Một điện trường dều E được dặt song song với mang. Mô tả định tính chuyển động của êlectron trong không gian k và trong không gian thực khi có và không có sự tán xạ. Thế nào là E nhỏ và điều gì có thể xảy ra trong một tinh thể thực (đa vùng) khi E không còn là nhỏ nữa? ('Chicago) 62 Bài cập & lời giải Vật lý chát răn Lời giải: Khi không có tán xạ, phương trình chuyển động của một êlectron biéu diên bỏi hàm Bloch trong một diện trường E là r/p (I k (lt = 1dt-cE . Lấy phép tích phân ta thu dược kiO)(■E t T Điều này chứng tỏ rằng k biến đổi tuyến tính với t. Trong không gian k tât cả các êlectron di chuyên vói cùng vận tốc ngược với phương của diện trường, như chỉ ra trong hình 1.17 (a). Khi một êlectron tiến tỏi biên vùng Brillouin thứ nhất, gọi là điểm A, nó bị phản xạ lại và tái hiện tại A' ỏ phía bên kia của gốc tọa độ. Các trạng thái A và A' là hoàn toàn tương dương nhau. Theo cách này êlectron dịch chuyển một cách tuần hoàn trong không gian k. Dưới tác dụng của diện trường E, trạng thái êlectron thay đổi liên tục và do vậy vận tốc của nó cũng thay đổi (tương đương với vận tốc nhóm) u = = f^ỹịp-, ĩ là năng lượng của êlectron, như dược chỉ ra hinh 1.17 (b). Vận tốc êlectron như vậy thay dổi giữa các giá trị âm và dương. Sự chuyển dộng của êlectron trong không gian thực củng mang tính tuần hoàn. r[k) v[k) Hình 1.17 (b) Khi xảy ra tán xạ, ta sẽ không quan sát được sự dao động như dã nói ỏ trên. Điêu này là bởi vì trong một tinh thể có nhiều cơ chế tán xạ khác nhau và phương trình chuyển dộng nói trên chỉ áp dụng được trong khoảng thòi gian giữa các tán xạ. vì thòi gian tán xạ rất ngắn, vectơ sóng của êlectron chi dịch chuyên dọc theo một phần ngắn của vectơ mạng dảo trước khi êlectron đó bị tán xạ, nên sự dao động tuần hoàn không thê xảy ra. E nhỏ có nghĩa là nó không cho phép một êlectron dạt tới mỏt nâng luơng đủ đê nhảy lẽn một vùng năng lượng cao hơn. Một tinh thê thực có vỏ số các Vật lý chất rắn 63 vùng năng lượng và nếu điện trường dù lốn thì các chuyển mức giữa các vùng sẽ xảy ra. Điều kiện để các chuyển mức dó không xảy ra là eEa « [cgap(fc)]2/sF ■ 1037 Xét một kim loại một chiều với các nguyên tử sắp xếp đều dặn cách nhau một khoảng b trong gần đúng liên kết chặt, với một diện tử trên một êlectron. Các hàm sóng nguyên tử có dạng xị)(r - R,) ở đây R, là vị trí của hạt nhân của nguyên tử thứ i. (Ri = ib, các hạt nhân được coi như là cố dịnh trong không gian.) Giả thiết tiếp J i/>*(r - R,)H\ị}(r - Ri)d3r = - E 0 , J Ip'(r - R,)Hìị>(r - R , +ị)d3r = - V , Ị rp*(r — R ị ) H ý { r — R l+j)d3r = 0 với j > 2 . ỏ đây H là Hamiltonian. Hãy tính (a) Cấu trúc vùng êlectron (£> theo k). (b) Mật dộ trạng thái êlectron. (c) Đóng góp của êlectron vào năng lượng liên kết (dối với - £ 0). (d) Đóng góp của êlectron vào nhiệt dung tại nhiệt độ T. (Giả thiết k$T <ÍC V). (Princeton) Lời giải: (a) Theo dịnh lý Bloch, chuyên dộng của một êlectron trong một mạng được mô tả bằng một sóng chạy e 'k r vối một biên độ dao dộng tuần hoàn từ ô dơn vị này đến ô dơn vị khác. Theo phương pháp liên kết chặt, hàm biến điệu là orbital nguyên tử ư(r - R/) có giá trị lớn ỏ gần nguyên tử tại vị trí R; nhưng suy giảm nhanh khi đi ra xa khỏi vị trí ấy. Như vậy, dối với mạng một chiều hàm sóng của êlectron là o k(T) = 4 = x y * % ( r - /?,) 64 Bài tập & lời giải Vật lý chất rắn ỏ dây .V là số các nguyên tử trong mạng. Khi dó năng lượng của ẻlectron là E(k) = (0k\H\ỏk) = Ị _ R,)\Hịụ(r - Rr ) . trong dó tổng dược lấy theo tất cả các nguyên tử trong mạng. Chú ý rằng đối với mỗi một sự lựa chọn cụ thể của I tổng theo I' cũng sẽ cho cùng một giá trị. Vì chỉ có các tương tác lân cận gần nhất là quan trọng, ta có E(k) = (v»(r - Ri)\H\t(r - Ri)) + e - ' kb(ỷ(r - R , ) \ H \ t ( r - R l+l)) + e'kb{ii>(r - Ri)\H\xl’(r — /í/-i)) = - E o - V { e ~ ' kb + e,kb) = - E o - 2V cosịkb) . (b) Số các trạng thái với các vectơ sóng có độ lớn nhỏ hơn hoặc bằng k đối với một mạng chiều dài L (Bài tập 1014) là suy ra mật độ trạng thái trên một đơn vị độ dài mạng là Đôi vối các trạng thái êlectron do có hai hướng của spin nên mật độ trạng thái trên một đơn vị dộ dài bằng p(k)2 7T Do p(E)dE = p(k)dk , ta có P(E) = p(k) = [nbVsm(kb)]-' Vật lý chất rắn 65 (c) Vì mỗi một nguyên tử đóng góp một electron, nên sẽ có N electron trong mạng và L = Nb, L là chiều dài mạng. Do vậy E, ò ỏ đây f(E) là hàm phân bố Fermi-Dirac vói 3 = (kẼT ) 1 và E f là năng lượng Fermi áp dụng cho các hạt có spin bằng ị. Tại T = 0 K, f(E) = 1 dối vói E Ef . Đối vói kẼT 1. Đặt 3 ỉ = X, tích phán thư hai trỏ thành vật lý chất rắn 67 Như vậy và ei(T) = - ^ ỹ ( - 4 V 2)ỉ ^ ị 4V 7T (kẹTỹ V Suy ra nhiệt dung riêng tính cho một êlectron là r = Ẽ i ~ - M i 0 dT i V 1038 Phương pháp các sóng phẳng trực giao (OPW, liên quan chặt chẽ với phương pháp giả thế) rất hay dược sử dụng đê tính toán cấu trúc vùng cho các trạng thái của êlectron trong các kim loại. Nó giúp giải thích thành công câu hòi tại sao gần đúng điên từ gần tự do lại có thể sử dụng dược mặc dù thế năng mạng thực tế tác dụng lên các êlectron hoàn không phải là yếu. Hãy thảo luận các ý tường vật lý chủ đạo và các bước toán học trong phương pháp này, bằng cách đưa ra, ngoài những thứ khác, các mô tả về (a) cách xây dựng hàm Bloch của các trạng thái ỏ ngoài lõi và các tính chất của chúng, (b) cách xây dựng các trạng thái sóng phang trực giao và các tính chất của chúng, (c) cách xây dựng giả thế và tính không duy nhất của nó, (d) Giải thích về mặt vật lý tại sao giả thế dó có thể dược coi là nhỏ. (SUNY, Buffalo) Lời giải: Trong kim loại các êlectron hóa trị gần như tự do, nhưng trong lõi hàm sóng dao động rất nhanh. Ớ các vùng bên ngoài lõi, hàm sóng chủ yếu là một sóng phẳng k) = I k r V.YSỈ k + ki) 1 p i ( k + k , ) r 68 Bài tập & lời giải Vật l ý chát răn ... ỏ dây .V là số các ô dơn vị trong tinh thể, 0 là thể tích của một ó dơn vị, k, là một vectơ mạng dào. (a) Trong vùng lõi các électron bị liên kết chặt. Gần đúng liên kết chặt cho hàm sóng có dạng như sau Ị*j k ( r ) ) ^ ^ Z eÈkRê^ r - R ' ì - dây ¿ j( r - R, ) là orbital trạng thái thứ J của nguyên tử nằm tại R ( và tổng dược lấy theo tất cả các nguyên tử trong mạng. (b) Lấy một sóng phẳng với vectơ sóng k làm cơ sở, đê xảy dựng một hàm \,(k . r) trực giao với tất cả các hàm sóng électron với vectơ sóng k trong vủng lõi x,(k.r) = |k + k,) - jl'I’jk) . J=| ỏ đây hệ số ụ,j dược xác định bời diều kiện trực giao j <í>jk \,(k . r)rf3r = 0 . Hàm sóng \,(k . r), được gọi là hàm sóng phang trực giao, nó trực giao vói hàm sóng của électron trong vùng lõi. Nó biểu diễn như một sóng phẳng tại các khoảng cách xa nguyên tử, nhưng dao dộng nhanh ỏ vị trí gằn lõi. Tính chât này khiên cho các hàm như thế là thích hợp để xây dựng hàm sóng cùa électron hóa trị trong tinh thể, dưới dạng tổ hợp tuyến tính của một vài các sóng phang trực giao <-'k = ỵ^C ,\, . I (c) Vì X, = k + k, - J j< í> jk )($ j k |k + k,) . ký hiệu P = Y 1 J ta có L 'k = ( 1 - p ) l k + k <) • Đưa vào hàm già sóng „-= ] T c , |k + k,> vật lý chất rắn 69 và thế nó vào phương trình Schrödinger, ta có ~ V \ + W ^ = E ^ > , 2m ỏ dây w = V (r) - £ - V 2 + V(r) P + E ỷ 2 m = V(r) + ỵ 2 ('E ~ Ej)\®jk)($jk\ 1 dược gọi là một giả thế. (d) Giả thế này không phải là duy nhất. Bỏi vi nếu ta thế W" = V (r) + ^ / ( £ , £ j ) |*jk)<*jkl ■ j ỏ đây Ị(E,Ej) là một hàm bất kỳ vào phương trình Schrödinger h2 _ I Í _ V V + w'tp = E'ip , 2 m và lấy tích vô hướng của hai vế vói ta có thể chứng tỏ rằng E' = E. Như vậy w ' cũng là một giả thế. (e) Bây giò viết i r = V'(r) + ^2(E - E jJlijk X ^ jk l = V'(r) 4- . J ỏ đây ^ (r), là thế thực của tinh thể và là một thế hút, và Vg = V ( E - E j ) |$ jk)<$jkỊ . ] Trong một tinh thể năng lượng E của một êlectron hóa trị lớn hơn nâng lượng của một êlectron lớp trong, Ej, do vậy Vu mang tính chất của các êlectron dẩy và là một thế dẩy. Nghĩa là VH có xu hướng triệt tiêu V (r). Sự triệt tiêu này của thế tinh thể bời các hàm nguyên tử thường là đáng kê dẫn đến một giả thế IV rất yếu và khá trơn. 1039 Xét một chất rắn một chiều có chiều dài L = Na tạo nên từ N phân tử lưỡng nguyên tử, khoảng cách giữa các nguyên tử trong một phân tử là b 70 Bài tập & lời giải Vật lý chât răn . (b < §). Các tâm của các phân tử kề nhau cách nhau một khoảng a. Ta biêu diễn thế năng như là tổng của các hàm delta tại tâm của từng nguyên tử .Y- 1 r , s ị x — n a + - ) + S ị x - n a V' = - - 4 E M * „ —n L ' với A là một đại lượng dương và n — 0 ,1 ,2 ,..., N — 1. Thế năng này dược minh hoa trên hình 1.18. r = 0X = (.V - 1)0 ~ v K / N Ã /V v V Hình 1.18 (a) Xét các electron tự do trong chất rắn này (tức là tạm thòi bỏ qua V) và các điều kiện biên tuần hoàn, xác định các giá trị cho phép của vectơ sóng electron k, và chuẩn hóa hàm sóng. (b) Biểu diễn thế năng dưới dạng chuỗi Fourier V = E v , x . hãy tim các giá trị cho phép của q và các hệ số vq. (c) Giả thiết A là nhỏ, chứng tỏ rằng tồn tại các khe năng lượng tưong ứng với các giá trị k nhất định. Dần ra một công thức chung cho các khe năng lượng và đặc biệt, chứng tỏ rằng khe năng lượng ỏ đỉnh vùng thứ nhất tỷ lệ thuân vói cos( —). V a ' (d) Dân ra biểu thức cho số các trạng thái có ở vùng thứ nhất. Nấu mỗi một nguyên tử có một electron thi chất dó là kim loại hay điện môi? (e) Giả thiết b = a/2. Hãy cho biết điều gì sẽ xảy ra với các kết quả trong các câu trên và đưa ra lời giải thích ngắn gọn. (Princeton) Lời giải: (a) Đối vói một chất rắn một chiều Hamiltonian của một electron tư do có khối lượng m, bằng h2 d2 2rn dx2