🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook 62 Dạng Toán Về Hàm Ẩn Liên Quan Đến Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Ebooks Nhóm Zalo CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (chuyên đề gồm 106 trang) ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm cực trị của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm tiệm cận của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số. - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số y = f ( x) Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10) Câu 1: Cho parabol (P): ( ) 2 y f x ax bx c = = ++ , a ≠ 0 biết:(P) đi qua M (4;3) , (P) cắt Ox tại N(3;0) và Q sao cho ∆INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 . Khi đó hàm số f x (2 1− ) đồng biến trên khoảng nào sau đây A. 1;2     +∞  . B. (0;2). C. (5;7) . D. (−∞;2) . Lời giải Chọn C Vì (P) đi qua M (4;3) nên 3 16 4 = ++ a bc (1) Mặt khác (P) cắt Ox tại N(3;0) suy ra 09 3 = ++ a bc (2), (P) cắt Ox tại Q nên Qt t ( ;0 , 3 ) <  + =−  =  b Theo định lý Viét ta có ta 3 c 3 ta b Ia a   ∆   − −  lên trục hoành Ta có 1 . 2 INQ S IH NQ ∆ = với H là hình chiếu của ; 2 4 IHa∆ = − , NQ t = −3 nên ( ) 1 1 .3 1 Do 4 ∆ 2 4 INQ S t =⇔ − − = ∆ a 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )   + b c t 2 28 3 3 ⇔− −= ⇔− −= ⇔− =     (3) 3 3 33 t tt t 2 4 a aa a a Từ (1) và (2) ta có 7 3 37 ab b a +=⇔ =− suy ra 37 1 4 33 − − + =− ⇔ = a t ta a Thay vào (3) ta có ( )3 ( ) 3 2 8 4 t ttt t − − = ⇔ − + − =⇔= t 3 3 27 73 49 0 1 3 Suy ra ab c = ⇒ =− ⇒ = 1 43 . Vậy (P) cần tìm là ( ) 2 y fx x x = =−+ 4 3. Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 fx x x x x 2 1 2 1 4 2 1 3 4 12 8 − = − − − += − + Hàm số đồng biến trên khoảng 3;2     +∞  . Câu 2: Cho hai hàm số bậc hai y f x y gx = = ( ), ( )thỏa mãn 2 fx f x x x ( ) 3 (2 ) 4 10 10 + −= − + ; gg g (0) 9; (1) 10; ( 1) 4 = = −= . Biết rằng hai đồ thi hàm số y f x y gx = = ( ), ( ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt là A B, . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d ? A. M (−2;1) B. N (−1;9) C. P(1;4) D. Q(3;5) Lời giải Chọn B Gọi hàm số 2 f x ax bx c ( ) = ++ ta có 2 fx f x x x ( ) 3 (2 ) 4 10 10 + −= − + 2 22 ⇔ + ++ − + − + = − + ax bx c a x b x c x x 3 (2 ) (2 ) 4 10 10       = =   ⇔ − − =− ⇔ =− ⇒ = − +   a a 1 1 2 2 12 10 1 ( ) 1 b a b fx x x .     ++= = 12 6 4 10 1 abc c Gọi hàm số 2 g x mx nx p ( ) = ++ ta có gg g (0) 9; (1) 10; ( 1) 4 = = −= ra hệ giải được 2 m n p gx x x =− = = ⇒ =− + + 2; 3; 9 ( ) 2 3 9 . Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình 2 2     = −+ = − +   ⇔ ⇒ =+ yx x y x xy x 1 2 2 223 11 2 2     =− + + =− + + y xx y xx 2 39 2 39 Do đó đường thẳng AB: 1 11 : 3 3 3 y x dy x k = + ⇒ =− + . Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại (0; ; ;0 ) 3k E kF      . Diện tích tam giác OEF là 1 6 6 k k k = ⇔ =± 2 3 Vậy phương trình đường thẳng d là: dy x y x : 3 6, -3 - 6 =− + = . Chọn đáp án B Câu 3: Biết đồ thị hàm số bậc hai 2 y ax bx c a = ++ ≠ ( 0) có điểm chung duy nhất với y 2,5 = − và cắt đường thẳng y = 2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là −1và 5 . Tính P abc =++ . A. 1. B. 0 . C. −1. D. −2 . Lời giải Chọn D Gọi (P): ( ) 2 y ax bx c a = ++ ≠ , 0 . Ta có: +) (P) đi qua hai điểm (−1;2 ; 5;2 ) ( )nên ta có 2 4   − + = =−   ⇔ abc b a   + += =− 25 5 2 2 5 a bc c a +) (P) có một điểm chung với đường thẳng y = −2,5nên 2 4 1 2 2 2,5 2,5 16 4 2 5 10 36 18 0 . 4 4 2 −∆ − =− ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = b acaa a a a a a a a Do đó: 1 2; . 2 b c =− =− ( ) Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y fx = ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 4: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục trên  thỏa mãn f (1 0 ) < và ( ) ( ) 642   fx xfx x x x x − = + + ∀∈ 3 2, .    Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = + 2 đồng biến trên khoảng      . C. 1 ;1 A. (1;3). B. 1 0; 3 Chọn C      . D. (1;+∞). 3 Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ( )) ( ) 2 64 2 642   f x x f x x x x f x xf x x x x − =+ + ⇔ − −− − = 3 2 . 32 0   Đặt t fx = ( ) ta được phương trình 2 642 t xt x x x −−− − = . 32 0 Ta có ( ) ( )2 2 642 6 42 3 ∆= − − − − = + + = + x xxx x xx xx 4 3 2 4 12 9 2 3 3  + + = = +  − − = =− − . Suy ra ( ) xx x 2 3 2 3 Vậy t x x 2 3  = +  =− −  fx x x2 3 2 3 ( ) 3 xx x 3 fx x x t x x 2 Do f (1 0 ) < nên ( ) 3 fx x x =− − . Ta có ( ) ( ) 3 2 2 1 2 ' 3 4 1 0 1. 3 gx x x x g x x x =− + − ⇒ =− + − > ⇔ < 0 Dựa vào đồ thị hàm số thì có dạng với . Đồ thị đi qua A(1;4) a = 3 ( ) 2 fx x ′ = + 3 1 điểm nên vậy . 4 4 2 H f f fxx x x = − = = += 4 2 d 3 1 d 58 ′ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy . 2 2 Câu 10: Cho hàm số ( ) 432 f x ax bx cx dx m = + + ++ , (với abcdm ,,, , ∈ ). Hàm số y fx = ′( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Tập nghiệm của phương trình f x ax m ( ) = + 48 có số phần tử là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có ( ) 3 2 f x ax bx cx d ′ = + ++ 432 (1) . Dựa vào đồ thị ta có f x ax x x ′( ) =− + + ( 14 5 3 )( )( ) 3 2 = + −− 4 13 2 15 ax ax ax a (2) và a ≠ 0 . Từ (1) và (2) suy ra 133 b a = , c a = − và d a = −15 . Khi đó: f x ax m ( ) = + 48 ⇔ 432 ax bx cx dx ax + + += 48 ⇔ 4 32 13 63 0     + −− =   ax x x x 3 4 32 ⇔+ −− = 3 13 3 189 0 x xx x03  = ⇔  = . x x Vậy tập nghiệm của phương trình f x ax m ( ) = + 48 là S = {0;3} . Câu 11: Cho hàm số ( ) 432 f x x bx cx dx m =+ + ++ , (với abcdm ,,, , ∈ ). Hàm số y fx = ′( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Biết rằng phương trình f x nx m ( ) = + có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên của n . A. 15. B. 14. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có ( ) 3 2 f x x bx cx d ′ =+ ++ 43 2 (1) . Dựa vào đồ thị ta có fx x x x ′( ) =− + + ( 14 5 3 )( )( ) 3 2 = + −− 4 13 2 15 x xx Từ (1) và (2) suy ra 133 b = , c = −1 và d = −15. Khi đó: f x nx m ( ) = + ⇔ 432 x bx cx dx nx + + += x  = 0 13 15 13 3 15 (*) 3  + −− =⇔  + −− =  ⇔ 4 323 2 x x x x nxx xx n Phương trình f x nx m ( ) = + có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 Xét hàm số 3 2 13 ( ) 15 3 gx x x x = + −−  = − x 3 26 () 3 1 0 1 39  = + −= ⇔  =  ' 2 gx x xx Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi và chỉ khi n∈− − − { 1; 2;...; 14} Câu 12: Cho hàm số y fx = ( ), hàm số ( ) ( ) 3 2 f x x ax bx c a b c ′ =+ ++ ∈ , ,  có đồ thị như hình vẽ Hàm số gx f f x ( ) = ( ′( )) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?     − A. (1;+∞). B. (−∞ −; 2). C. (−1;0) . D. 3 3 . ; 3 3   Lời giải Chọn B Vì các điểm (−1;0 , 0;0 , 1;0 ) ( ) ( ) thuộc đồ thị hàm số y fx = ′( ) nên ta có hệ:   −+ − + = =     = ⇔ =− ⇒ = − ⇒ = − ′ abc a 1 00 ( ) ( ) 3 2 c b fx x x f x x 0 1 '' 3 1     +++= = 1 00 abc c Ta có: gx f f x g x f f x f x ( ) = ⇒= ( ′ ′ ′′ ( )) ( ) ( ( )). ''( ) 3  − =  − = ′ =⇔ = ′ ′ ′′ =⇔ − − =⇔ ′  − =−  − = 3 2 Xét ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )( ) x x 3 x x 0 1 gx gx f f x f x f x x xx x 0 ' . 0 3 101 3 x 2  = ±  = x 1 3 10 x 0 ⇔ =  = −  = ±  x x x 1,325 1,325 3 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ⇒ g x( ) nghịch biến trên (−∞ −; 2) Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f x( ), xét sự biến thiên của hàm y f x y f fx y f f f x = (ϕ ( )); = ( ( )),... ... = ( ( ( ))) trong bài toán không chứa tham số Câu 13: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm f x ′( ) như hình vẽ dưới đây. Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = − đồng biến trên khoảng nào? A. 1 ;1      . B. (1;2). C. 1 1; 2     − 2 Chọn C  . D. (−∞ −; 1). Lời giải ( ) ( ) 2 gx f x x = − ( ) ( ) ( ) 2 ⇒ =− − gx x f x x ′ ′ 2 1 . 1  =   =   = − =     ′ = ⇔  ⇔ −=⇔ =  ′  − =   − =  = −    = . x 1 2 xx 2 0 2 10 x ( ) ( )2 0 0 1 g x x x x 2 02 1 fx xx x x 2 x 2 fx x x xx > ′ − >⇔ −>⇔  < − , x Từ đồ thị f x ′( ) ta có ( ) 2 2 2 0 21 Xét dấu g x ′( ) : Từ bảng xét dấu ta có hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng 1 1; 2     −  . Câu 14: Cho hàm số y fx = ( ). Hàm số y fx = ′( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số ( ) 2 yf x = +1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 3;+∞) . B. (− − 3; 1). C. (1; 3). D. (0;1) . Lời giải Chọn C  =  =   ⇒ = ⇔ + = ⇔ =± ′   x x 0 0 Ta có ( ) ( ) 2 2 y f x xf x 1 2. 1 ′ ′ ′ =+ = +     2 . y xx 01 2 1    + =  = ± 2 x x 1 4 3 Mặt khác ta có − < <− ′ + < ⇔ <+ < ⇔  < < . ( ) 2 2 3 1 x fx xx 1 0 21 41 3 Ta có bảng xét dấu: Vậy hàm số ( ) 2 yf x = +1 nghịch biến trên khoảng (1; 3). Câu 15: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) ( )( )2 2 fx xx x ′ =− − 2028 2023 . Khi đó hàm số ( ) 2 y gx f x = = + ( ) 2019 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. (−2;2) . B. (0;3). C. (−3;0). D. (2;+∞) . Lời giải Chọn C Ta có ( ) 2 y gx f x = = + ( ) 2019 ( ) ( ) ( ) 22 2 y g x x f x xf x ( ) 2019 2019 2 . 2019 ′ ′ ⇒= = + + = + ′ ′′ . Mặt khác ( ) ( )( )2 2 fx xx x ′ =− − 2028 2023 . Nên suy ra: 2 2 2 22 2 ′ ′ ′ = = + = + +− +− ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 . 2019 2 . 2019 2019 2038 2019 2023 y g x xf x x x x x . 22 2 2 2 2 22 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 . 2019 9 4 2 . 2019 3 3 2 2 xx x x xx x x x x = + − −= + − + − +  = x nghiem don 0 ( )  =  ′ = + − + − + = ⇔ =−  =  = − x nghiem don 3 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 2 2 y x x x x x x x nghiem don 2 . 2019 3 3 2 2 0 3 ( ) x nghiem boi 2 ( 2) x nghiem boi 2 ( 2) Ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số ( ) 2 y gx f x = = + ( ) 2019 đồng biến trên khoảng (−3;0) và (3;+∞) . Câu 16: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục trên  . Biết rằng hàm số y fx = ′( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số ( ) 2 y fx = − 5 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (−∞ −; 3) . B. (− − 5; 2). C. 1 3;2 2      . D. (2;+∞) . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) 2 y fx = − 5 Ta có ( ) 2 y xf x ′ ′ = − 2. 5   = =  =   − =− =    ′ = ⇔ ⇔ ⇔ =±    − =− =     = ±  −=  =  . x x x nghiem boi 0 0 0 ( 3) 2 2 x x 55 0 y x 0 3 2 2 x xx 52 32 2 2 2 x x 53 8 Ta lại có: khi x fx >⇒ > 3 0 ′( ) suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 x x f x xf x −>⇒ > ⇒ − >⇒ − > 5 3 2 2 5 0 2. 5 0 ′ ′ Từ đó ta có bảng biến thiên: Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên các khoảng (− − 2 2; 3 ; 0; 3 ; 2 2; ) ( ) ( +∞) . Mà ( ) 1 3; 0; 3     ⊂   . 2 2 Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f x( ), xét sự biến thiên của hàm y f fx y f f f x = ( ( )),... ... = ( ( ( ))) trong bài toán chứa tham số. Câu 17: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm trên  . Biết đồ thị hàm số y fx = '( ) như hình vẽ. Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m∈ −( 2019;2019) sao cho hàm số gx f x m ( ) = − ( ) đồng biến trên khoảng (−2;0) . Số phần tử của tập S là A. 2017 . B. 2019 . C. 2015 . D. 2021. Lời giải Chọn C Ta có gx f xm ' ' ( ) = − ( ).   − =− = − =⇔ ⇔     −= =+ . xm xm Suy ra ( ) 1 1 g xxm xm ' 02 2 Do đó từ đồ thị hàm số y fx = '( ) suy ra gx f xm xm x m '0' 0 2 2 ( ) >⇔ − >⇔− >⇔> + ( ) . Hàm số gx f x m ( ) = − ( ) đồng biến trên khoảng (−2;0) khi và chỉ khi gx x ' 0, 2;0 ( ) ≥ ∀∈−( ) ⇔ + ≤− ⇔ ≤− m m 22 4 . Mà tham số m∈ −( 2019;2019) và là gía trị nguyên thoả mãn m ≤ −4 nên m∈− − − − { 2018; 2017;...; 5; 4}. Vậy tập S có 2015 phần tử. Câu 18: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) ( )( ) 2 2 f x x x x mx ′ = + ++ 2 5 với ∀ ∈x  . Số giá trị nguyên âm của m để hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = +− 2 đồng biến trên (1;+∞) là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) 2 gx x f x x ′ ′ = + +− 21 2 . Hàm số đồng biến trên (1;+∞) khi ( ) ( ) 2 21 20 x fx x + +− ≥ ′ , ∀ ∈ +∞ x (1; ) ( ) 2 ⇔ +− ≥ fx x ′ 2 0 , ∀ ∈ +∞ x (1; ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 x x x x x x mx x 2 2 25 0 ⇔ +− + +− + +− + ≥       , ∀ ∈ +∞ x (1; ) (1) . Đặt 2 tx x = +− 2 với t > 0 , do x∈ +∞ (1; ). ( ) ( )( ) 2 2 1 2 50 ⇒ + + +≥ t t t mt , ∀ >t 0 2 ⇔ + +≥ t mt 5 0 , ∀ >t 0 5   ⇔ ≥− +    , ∀ >t 0 m tt ⇔ ≥− ≈− m 2 5 4, 47 . Do m nguyên âm nên m∈− − − − { 4; 3; 2; 1}. Câu 19: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên  là fx x x ′( ) =− + ( 1 3 )( ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;20] để hàm số ( ) 2 y fx xm = +− 3 đồng biến trên khoảng (0;2). A. 18. B. 17 . C. 16. D. 20 . Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 y fx xm x fx xm ′ ′ = +− = + +− 3 23 3 ′ . Theo đề bài ta có: fx x x ′( ) =− + ( 1 3 )( ) f xx < − ′ > ⇔  >và fx x ′( ) < ⇔− < < 03 1. x suy ra ( ) 3 01 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi y x ′ ≥ ∀∈ 0, 0;2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ⇔ + + − ≥ ∀∈ 2 3 3 0, 0;2 x fx xm x ′ . Do x∈(0;2) nên 2 3 0, 0;2 x x + > ∀∈( ) . Do đó, ta có: 2 2   + − ≤− ≥ + + ′ ′ ≥ ∀∈ ⇔ + − ≥ ⇔   ⇔ x xm m x x 2 ( ) ( ) 3 3 33 y x fx xmx xm m x x 0, 0;2 3 03 1 31 2 2   + −≥ ≤ + − 2  ≥ ++  ≥ [ ] ( ) m xxm max 3 3 13 ⇔ ⇔    ≤ +−  ≤ − . 0;2 m xx m min 3 1 1 2 [ ] ( ) 0;2 Do m∈ −[ 10;20] , m∈ nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài. Dạng toán 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f x( ), xét sự biến thiên của hàm ( ( )) ( ) ln , ,sin , os f ... ( ) ( ) f x y fx y e fxc x = = trong bài toán không chứa tham số Câu 20: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số 32 1 2 ( ) ( ) 3 fx fx y e −+ − = + đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+ ∞) . B. (−1;3). C. (−∞ −; 2) . D. (−2;1) . Lời giải Chọn D Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 1 2 32 1 2 3 2 . 2 .3 .ln 3 2 . 3 3 .ln 3 f x f x fx fx y f xe f x f x e − + − −+ − ′ ′ =− − − − =− − + ′ ′ . y fx fx ′′ ′ > ⇔− − > ⇔ − < 0 20 20 ( ) ( ) 21 3   − <− > x x ⇔ ⇔     < − < −< < . 12 4 2 1 x x Câu 21: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 f x( ) f x( ) y gx e π − + − = = + nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (2016; 2018 .) B. (2017; 2019 .) C. (2018; 2020 .) D. (2021; 2023 .) Lời giải Chọn C +) Xét hàm số ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 f x( ) f x( ) y gx e π − + − = = + xác định và liên tục trên  . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2017 2020 2018 2019 2020 ( ) ' 2017 ' 2020 2019ln ' 2020 f x f x gx f x e π π f x − + − =− + − ( ) ( ) 2017 2020 2018 ( ) 2019 2020 ( ) ' ' 2020 2017 2019 ln , . f x f x gx f x e π π x − + − = −   + ∀ ∈    +) Do 2017 2020 2018 ( ) 2019 2020 ( ) 2017 2019 ln 0, f x f x e x π π − + − + > ∀∈ nên gx f x ' 0 ' 2020 0. ( ) <⇔ − < ( ) Hơn nữa từ đồ thị của hàm số y fx = ( ), ta thấy hàm số y fx = ( ) nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 2) và (4; , + ∞) suy ra fx x ' 0, 0; 2 4; . ( ) < ∀ ∈ ∪ +∞ ( ) ( ) Khi đó bất phương trình ( ) 0 2018 2 2018 2020   <− < << x x ' 2020 0 . 2018 4 2022 f xx x − <⇔   ⇔   −> > +) Vậy gx x ' 0, 2018; 2020 2022; . ( ) < ∀ ∈( ) ∪ +∞ ( ) Khi đó hàm số y gx = ( ) nghịch biến trên mỗi khoảng (2018; 2020) và (2022; . + ∞) Câu 22: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm trên  và hàm f x ′( ) có đồ thị như hình vẽ. y -1 O 1 2 x Hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2019 2 2 2018 fx f x f x g x −+ − = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (−2;0) . B. (0;1) . C. (1;2). D. (2;3). Lời giải Chọn D Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2019 2 2 . 3 4 2 .2018 .ln 2018 fx f x f x gx f x f x fx −+ − ′ ′ =− − +     x  = − 1  = ′ ′ =⇔ =⇔  =  =, trong đó x =1 là nghiệm kép. 0 x Có ( ) ( ) 0 01 gx f xx x 2 Bảng xét dấu của g x ′( ) : Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên (2;3), do (2;3 2; ) ⊂ +∞ ( ). Câu 23: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị y fx = '( ) như hình vẽ sau Hỏi đồ thị hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 fx fx gx fe + = + nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞ −; 5.) B. 7 3; . 4   −   −   C. (− +∞ 1; .) D. (− − 3; 1 .) Lời giải Chọn A Ta có: 3 1 3 1 fx fx fx fx + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) g x f xe f x f e ' 3 ' . 2 . ' .ln 2 . ' 2 =+ + fx fx fx fx + + 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+ + fx e f e ' . 3. 2 .ln 2 . ' 2 ycbt g x ⇔ < ' 0. ( ) Mà ta thấy rằng: + + fx fx fx fx 3 1 3 1 ( ) ( )  + >  + >     ⇒ e e 3. 2 .ln 2 0 3. 2 .ln 2 0 ( ) ( ) + + fx fx fx fx 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  + >  + >   e f e 2 0 ' 20  < − x 5  <⇔ <⇔  −    < <− ∈ −          Suy ra ( ) ( ) gx f xxx x '0'0 7 1 3; 4 0 0 Vậy hàm số g x( ) nghịch biến trên (−∞ −; 5). Câu 24: Cho hàm số y fx = − ′( 1) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 2 ()4 fx x y π − = đồng biến trên khoảng A. (−∞;0). B. (−2;0) . C. (0;+∞). D. (−2;1) . Lời giải Chọn C Tịnh tiến đồ thị hàm số y fx = − ′( 1) sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y fx = ′( ) như sau Xét hàm số 2 ()4 fx x y π − = . Tập xác định D =  . 2 ()4 (2 ( ) 4) ln fx x y π π f x − ′ ′ = ⋅ −⋅  = − x 2  ′ ′ =⇔ =⇔ =  =. y fx x 0 () 2 0 x 1 Ta có bảng biến thiên như sau Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) +∞ . Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f x( ), xét sự biến thiên của hàm ( ( )) ( ) ln , ,sin , os f ... ( ) ( ) f x y fx y e fxc x = = trong bài toán chứa tham số Câu 25: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 f x x x x mx ′ = − −+ 1 9 với mọi x∈. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số ( ) f x( ) gx e = đồngbiến trên khoảng (0;+∞) ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) '( ). f x g x f xe ′ = . Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng (0;+∞) khi và chỉ khi gx x ′( ) ≥ ∀ ∈ +∞ 0, 0; ( ) ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ fx x ′( ) 0, 0; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ⇔ − − + ≥ ∀ ∈ +∞ x x x mx x 1 9 0, 0; 2 9 , 0; x + ⇔ ≤ ∀ ∈ +∞ m x x ( ) m hx min+∞ ⇔ ≤ với ( ) 9 hx x x , (0; ) ( ) ( ) 0; = + ∀ ∈ +∞ . x Ta có: ( ) 9 9 hx x x x 2 . 6, (0; ) = + ≥ = ∀ ∈ +∞ nên 6 {1;2;3;4;5;6 . } m m m + ∈ ≤ → ∈  x x Câu 26: Cho hàm số y fx = ( ) có bảng biến thiên như sau Hàm số ( ) 2 fx m 2 y e − + = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+∞) B. (−1;4) . C. (1;2). D. 1;2     −∞  . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) ( ) 2 fx m 2 y gx e − + = = . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 . fx m g x f xe − + ′ ′ = , ( ) 2 2 0 fx m e x − + > ∀∈ .  = − x 1  ′ ′ =⇔ =⇔ =  =. ( ) ( ) gx f x x 0 00 x 4 Bảng biến thiên: Vậy hàm số ( ) ( ) 2 fx m 2 y gx e − + = = nghịch biến trên khoảng (−∞ − ∪ ; 1 0;4 ) ( ). Câu 27: Cho hàm số y fx = ( ) có bảng biến thiên Và hàm số y gx = ( ) có bảng biến thiên Hàm số ( ) 1 ( ). 2 3 2 y fxgx xx = + +−+chắc chắn đồng biến trên khoảng nào? A. (−2;1) . B. (−1;1) . C. 3 ;1     −  . D. (1;4). 2 Lời giải Chọn B Xét ( ) 1 ( ). 2 3 . 2 y fxgx xx = + +−+ Tập xác định: 3 ;1 D   = −   . Từ tập xác định loại được phương án A, D 2 2 1 ' '( ). ( ). ' 0, 1;1 . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = + + + > ∀∈− y f xgx fxg x x + + x x 2 3 2 Với phương án C, có g x ' 0 ( ) < trên 3 ; 1     − −   nên chưa kết luận được về dấu của hàm 2 số cần xét. Câu 28: Cho hàm số f x( ) có đồ thị như hình vẽ Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình + −+   3 2 2 75 1 e ln f x f x fx fx m f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + +=     có nghiệm là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn B Quan sát đồ thị ta thấy 1 5, ≤ ≤ ∀∈ fx x ( )  , đặt t fx = ( ) giả thiết trở thành 3 2 2 75 1 e ln ttt t m + −+   + +=     . t Xét hàm: ( ) [ ] 3 2 gt t t t =+ −+ ∈ 2 7 5, t 1;5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g t t t t g gt g gt ′ = + − ≥ ∀≥⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 3 4 7 0 1 1 5 1 145 . 1 1 26 , 1 0 1;5 2 5 Mặt khác ( ) ( ) [ ] ( ) 2 = + = − ≥ ∀∈ ⇒ ≤ ≤ ′ . ht t h t t h t t t Do đó hàm ( ) 3 2 2 75 1 e ln ttt u t tt + −+   = ++     đồng biến trên đoạn [1;5]. Suy ra: Phương trình đã cho có nghiệm 145 26 e ln 2 e ln5 ⇔+ ≤ ≤ + m . Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4 . Câu 29: Cho hàm số y fx = ( ) có bảng biến thiên như sau Hàm số ( ) 2 fx m 2 y e − + = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (4;+∞) B. (−1;4) . C. (1;2). D. 1;2     −∞  . Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) ( ) 2 fx m 2 y gx e − + = = . ( ) ( ) ( ) 2 2 . fx m g x f xe − + ′ ′ = , ( ) 2 2 0 fx m e x − + > ∀∈ .  = − x 1  ′ ′ =⇔ =⇔ =  = ( ) ( ) gx f x x 0 00 x 4 Bảng biến thiên: Vậy hàm số ( ) ( ) 2 fx m 2 y gx e − + = = nghịch biến trên khoảng (−∞ − ∪ ; 1 0;4 ) ( ). Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra… PHẦN 2: Biết biểu thức của hàm số y fx = '( ) Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x hx = = + ( ) ( ) ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 30: Cho hàm số y fx    có 2 fx x x x x x '( ) ( 3)( 4)( 2) ( 1), .        Hàm số 4 3 5 2 () () 4 4 x x y gx f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?      4 3     A. ;1 B. 1;2 . C. 3;5 . D. 3 0; . 2       Lời giải Chọn A Ta có 3 2 2 2 2 gx f x x x x f x x x x x x x '( ) '( ) 5 8 4 '( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 7 13).                    x Khi đó 1 g xx '( ) 0 . 2 Bảng xét dấu của hàm số g x'( ) như sau Vậy hàm số y gx  ( ) nghịch biến trên ( ;1).  Câu 31: Cho hàm số y fx = ( ) có ( ) ( ) ( ) 2 2 fx xx x ' 13 =− − . Hàm số ( ) ( ) 1 3 5 3 gx f x x = +− đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?   +   A. (0; 2) . B. 3 5 2; 2   Chọn C Ta có: ( ) ( ) 2 gx f x x ′ ′ = + , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 gx x x x x ′ = ⇔ − − =− 0 13   −   . C. 3 5 ; 2 2   Lời giải   −   . D. 3 5 0; 2 .    =  =  =  0 0 02 x x xx ⇔  ⇔  ⇔ =  ( ) ( ) 2 3 2 1 31 5 7 203 5 x x xxx  − − =−  − + −=  ±  =  x 2 Ta có bảng xét dấu của g x '( ):   −   Dựa vào bảng xét dấu g x '( ) ta thấy trên khoảng 3 5 ; 2 2   biến. thì hàm số y gx = ( ) đồng y fx = ( ) ( )( )2 fx x x '( ) 1 2 =− + ,  x  Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số 2 y gx f x x x = = −+ () () 2 4 đồng biến trên khoảng nào? (−4;0) (−∞;0) (−4;1) (0;+∞)A. B. . C. . D. . Lời giải Chọn A ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 gx f x x x x x x x x '( ) '( ) 4 4 1 2 4 1 1 4 = − += − + − − = − + ,  x  x 1  =  − =  =⇔ ⇔ =    + =  = − x 1 0 '( ) 0 0 g x x 2 4 0 4 x xx Bảng xét dấu y gx = ( ) (−4;0) Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng Câu 33: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục trên  và ( ) 2 f x xx x ′ = −− ( 1)(4 ) Hàm số y gx f x f x = = +− () () 1( ) đồng biến trên khoảng     − −  . B. (0;1) . C. 1 3;2 2 A. 1 2; 2 Chọn D      . D. (1;2). Lời giải Ta có 2 2 gx f x f x x x x x xx '( ) '( ) '(1 ) ( 1)(4 ) (1 ) ( )( 3) = − − = − − −− − + g x x x x x x x xx x '( ) 1 (4 ) ( 1)( 3) ( 1)(6 3) = − −+− + = − − ( )[ ] x  =  0 1 '( ) 0 2 =⇔ =  = . gx x x 1 Ta có bảng biến thiên : Dạng toán 10. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x hx = = + ( ) ( ) ( ) trong bài toán chứa tham số. Câu 34: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục trên  và có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 f x x x x mx ′ = − ++ 1 16 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈ −[ 2019;2019] để hàm số ( ) ( ) 121 432 2019 432 gx f x x x x = +−++ đồng biến trên khoảng (5;+∞) ? A. 2019 . B. 2021. C. 2028 . D. 4038 . Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) 3 2 gx f x x x x '' 2 = +− + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = − +++ − x x x mx x x 1 16 1 ( ) ( ) 2 2 = − ++ x x x mx 1 17 . Để hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng (5;+∞) thì gx x ' 0 5; ( ) ≥ ∀ ∈ +∞ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ⇔ − + + ≥∀> ⇔ + + ≥∀> x x x mx x x mx x 1 17 0 5 17 0 5 2 17 5 x − − ⇔ ≥ ∀> . m x x 2 x 17 17 h x x Xét hàm số ( ) − − = =− − trên khoảng (5;+∞) x x 17 h x ' 1 0 17 x ( ) 2 =− + = ⇒ =± . x Từ bảng biến thiên suy ra 425 m ≥ − . Vậy có 2028 giá trị của m thỏa mãn bài ra. Câu 35: Cho hàm số f x  có đạo hàm       2 2 fx x x x    1 2 với mọi x  . Có bao nhiêu số nguyên m 100 để hàm số     2 2 gx f x x m m    8 1. đồng biến trên khoảng 4; ? A. 18. B. 82 . C. 83 . D. 84 . Lời giải Chọn B fx x x xx         Ta có       2 2 0 x 1 20 .2 Xét       2 gx x f x x m      2 8. 8 . Để hàm số g x  đồng biến trên khoảng 4; khi và chỉ khi gx x    0, 4 2            2 8 . 8 0, 4 x fx xm x 2         fx xm x 8 0, 4 2          x xm xm 8 0, 4; 18.     2          x xm x 8 2, 4; Vậy 18 100.   m . Câu 36: (VD) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình ( ) 2 m xx xx 1 2 2 (2 ) 0 + − ++ −≤ có nghiệm thuộc đoạn   0;1 3 +  . A. 13 m ≤ . B. 23 m ≤ . C. 43 m ≤ . D. 53 m ≤ . Lời giải Chọn B Ta có: ( ) 2 2 1 2 2 (2 ) 01 22 − + − + + − ≤⇔ ≥ 2 x x m xx xx m 2 x x + −+ Đặt 2 txx x = −+ ∈ + 2 2 , 0;1 3    . Khi đó: − ′ ′ = =⇔= x 1 ,0 1 t tx 2 x x − + 2 2 Bảng biến thiên: x 0 1 1 3 + t′ − 0 + t 2 2 1 Từ bảng biến thiên ta suy ra t ∈[1;2] . Khi đó bất phương trình trở thành: 2 2 + có nghiệm [ ] [ ]2 tm t − ≥ 1   − ∈⇔ ≥     + 2 1;2 max 1 t t m t 1;2 2 2 ( ) , 1;2 1 t ft t − = ∈ Đặt [ ] t 2 +. Khi đó: t t f t t + + ′ = > ∀∈ 2 2 ( ) 0, 1;2 ( ) [ ] t + 1 2 Bảng biến thiên: t 1 2 f t ′( ) + f t( ) 2 3 1 − 2 Từ bảng biến thiên ta suy ra [1;2]2 max ( ) 3 f t = . Vậy 23≥ m hay 23 m ≤ . Câu 37: (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10] để bất phương trình ( 2) 1 m xm x + − ≥+ có nghiệm thuộc đoạn [−2;2]. A. 14. B. 20 . C. 16. D. 18. Lời giải Chọn C Ta có: 2 ( ) ( 2) 1 ( 2) 1 m xm x m xm x + − ≥ +⇔ + − ≥ + 2 ⇔ +≤ − x mx 1 ( 1) 2  +  ≤ ∈ − ⇔  +≥ ∈−  −nÕu xm m 1 1;2 1 x 2 xm m ( ] 1 2;1 1 x nÕu [ ) Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [−2;2] 2    +    ≤ 1 min1* xm   − ⇔    +    ≥    −  1;2 ( ] x 2 1 ( ) xm − x max1 2;1 [ ) 2 1 ( ) , 2;2 1 + x fx x Đặt [ ] = ∈− − . Khi đó: x 2 x x f xx− − ′ = − , 2 fx x x x ′() 0 2 1 0 1 2 = ⇔ − −= ⇔ =± 2 1 ( )1 ( ) 2 lim ( ) , lim ( ) fx fx → → − + = −∞ = +∞ x x 1 1 Bảng biến thiên: t −∞ −2 1 2 − 1 2 1 2 + +∞ f t ′( ) + + 0 − − − 0 + f t( ) 2 22 − 5 − 3 −∞ +∞ 5 Từ bảng biến thiên ta có: ( ) { } 5 5   ≤ ≥ m mm * 10; 9; 8;...; 1;5;6;7;8;9;10 ⇔   ⇔ ⇒ ∈− − − −   − ≥ ≤− . 2 22 2 22 m m Vậy Có 16 giá trị m thỏa đề. Câu 38: Biết rằng bất phương trình ( ) 2 24 2 2 mx x x x x x + − +≤ − + + − + 1 12 1 2 có nghiệm khi và chỉ khi m ab ∈ −∞ + ( ; 2  , với a b, ∈ . Tính giá trị của T ab = + . A. T = 3. B. T = 2 . C. T = 0 . D. T =1. Lời giải Chọn D Điều kiện −≤ ≤ 1 1 x . Xét hàm số ( ) 2 2 gx x x = +−1 trên đoạn [−1;1].   ′ = −     −, g x ′( ) = 0 2 2 ⇔ =− x x 1 12 1 1 Ta có : ( ) 2 2 gx xx x 1 g x ′( ) không xác định khi x x = = ± 0, 1. Bảng biến thiên : ⇔ =± x . x −1 12 − 0 121 g x ′( ) || + 0 − || + 0 − || g x( ) 2 2 1 1 1 Suy ra 1 2 ≤ ≤ g x( ) . Đặt 2 2 tx x = +−1 , 1 2 ≤ ≤t . Bất phương trình trở thành : ( ) 2 mt t t + ≤ ++ 1 1 11 ⇔ ≤++(Do 1 2 ≤ ≤t nên t + >1 0 ). m tt Xét hàm số ( ) 11 ft tt = ++trên đoạn   1; 2   . 1 1 0, 1; 2 t ′ = − > ∀∈     +. Bảng biến thiên : Có ( ) ( )2 f t x 1 x 1 2 g x ′( ) + g x( ) 22 1− 3 2 Do đó, ( ) ( ) 1; 2    = = − . max 2 2 2 1 ft f Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi ( ) ≤ hay m ≤ − 22 1. m ft max     1; 2 Do đó, a = 2 , b = −1.Vậy T =1. Câu 39: Cho hàm số y fx    có đạo hàm   2 fx x x x R ' 3 6 1,     . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 50;50 của tham số m để hàm số gx fx m x         1 2  nghịch biến trên khoảng 0;2? A. 26 . B. 25 . C. 51 . D. 50 . Lời giải Chọn A Ta có gx fx m x g x f x m             12' ' 1        Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) khi gx x ' 0, 0;2 ( ) ≤ ∀∈( ) ( dấu '' '' = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng (0; 2)). ⇔ − + ≤ ∀∈ fx m x ' 1 0, 0;2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ⇔ + ≤ ∀∈ 3 6 , 0;2 * x xm x Xét hàm số ( ) 2 hx x x = + 3 6, x∈(0;2) . Ta có hx x x ' 6 6 0, 0;2 ( ) = + > ∀∈( ). Bảng biến thiên: Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để (*) xảy ra là: m ≥ 24 . Do m Z ∈ , thuộc khoảng 50;50 nên m 24;50 ∈[ ) và m Z ∈ hay m 24, 25,..., 49 ∈{ }. Vậy có 26 số nguyên m thỏa mãn. Dạng toán 11. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx fux = = ( ) ( ( )) trong bài toán không chứa tham số. Câu 40: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) ( )( ) 2 2 fx x x x ′ = − −− 1 2 . Hỏi hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (−1;1) . B. (0;2). C. (−∞ −; 1). D. (2;+∞) . Lời giải Chọn C  − =  −−= ⇔112  = − f x ′( ) = 0 ⇔ ( )( ) 2 2 x xx − −− = 1 20 ⇔ 221 02 0 x x x Bảng xét dấu f x ′( ) x  =  =. x x Ta có ( ) ( ) ( ) 2 g x xf x x ′ ′ =− − 1 2 . 1  =  x 2  − = ⇔  ′ − = 22 x 12 0 ( ) ( ) ( ) 2 g x xf x x ′ ′ =⇔ − − = 0 12 0 ( ) 2 fxx 0 x x ⇔  − =−  − =  − = 1 x x 1 2 2 x x 1  =  + x 2 1 5 ⇔ =  − = . x 2 1 5 x 2 Bảng xét dấu g x ′( ) Từ bảng xét dấu suy ra hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = − đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1). Câu 41: Cho hàm số y fx = ( ). Đồ thị hàm số y f' x = ( ) như hình vẽ. Hàm số y gx f x = = − ( ) (3 2 ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (−∞ −; 1). B. (− +∞ 1; ). C. (0;2). D. (1;3). Lời giải Chọn A • Từ đồ thị (C :y f' x ) = ( ) ; ( ) 2 2 f' xx−< < 05x > ⇔  > (1) • Mà g' x .f ' x ( ) =− − 2 32 ( ) (2) 1 5 232 2 x x g' x f ' xxx −< − < < <  <⇔ − >⇔  ⇔ • (1) , (2) ; ( ) ( ) 0 32 0 2 2 − >    < −. 32 5 1 • Vậy hàm số g x( ) nghịch biến trên các khoảng 1 5       và (−∞ −; 1). 2 2; Câu 42: Cho hàm số y fx = ( ). Hàm số y f' x = ( ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) 2 y gx f x = = nghịch biến trên khoảng A. (−∞ −; 1). B. (−1;0) . C. (0;1) . D. (1;3). Lời giải Chọn B • ( ) ( ) 2 g' x x.f ' x = 2 . • Nhận xét: + ( ) 1 1 04t −< < > ⇔  < . f' t t + ( ) 1  < − t < ⇔  < < . f' t t 01 4 x 0  <  >  ⇔ <⇔  >  <  2 • Hàm số g nghịch biến ( ) ( ) 0 f' x 00 g' xx 2 ( ) 0 f' x  < xx 02   < − −< <∨ < 2 2 1 141 0 x xx ⇔  ⇔−< <     >   < <  <− ∨ < < . 0 1 2 xx 2 2 11 4 x x • Vậy hàm số ( ) ( ) 2 y gx f x = = nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 2) , (−1 0; ) và (1 2; ) . Dạng toán 12. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx fux = = ( ) ( ( )) trong bài toán chứa tham số. Câu 43: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) ( )( ) 2 2 f x x x x mx ′ = + ++ 2 5 với ∀ ∈x  . Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = +− 2 đồng biến trên khoảng (1;+∞) là A. 7 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 2 gx f x x ′ ′ = + +− 2x 1 2 . Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = +− 2 đồng biến trên khoảng (1;+∞) ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ gx x ′( ) 0, 1; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ⇔ + + − ≥ ∀ ∈ +∞ 2x 1 fx x x ′ 2 0, 1; ( ) ( ) 2 ⇔ + − ≥ ∀ ∈ +∞ fx x x ′ 2 0, 1; ( vì 2x 1 0, 1; + > ∀ ∈ +∞ x ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 x x x x x x mx x x 2 2 2 5 0, 1; ⇔ + − + + − + + − + ≥ ∀ ∈ +∞       ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x mx x x 2 2 5 0, 1;   + − + + − + ≥ ∀ ∈ +∞     (*)( vì ). xx xx + − + ≥ +∞ 2 0, 1; Đặt 2 tx x = +− 2 . Khi đó x t >⇒> 1 0 . t mt t + + ≥ ∀> 5 0, 0 5 (*) trở thành 2 ⇔ ≥− − ∀ > . mt t , 0 t + ≥ 5 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có 5 t 2 5 t 5  = ⇔  >⇔ =t 5 . t 2 5 ⇔− − ≤− . t Dấu " " = xảy ra tt 5 t 0   ⇒ − − =−     ⇒ ≥− m 2 5 . max t 2 5 t +∞ (0; ) Mà m nguyên âm nên m∈− − − − { 4; 3; 2; 1}. Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn bài toán. Câu 44: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm fx x x x x ′( ) = + − − ∀∈ ( 1 1 4; )( )( )  .Có bao nhiêu số nguyên m < 2019 để hàm số ( ) 21x gx f m   − = −     +đồng biến trên (2; + ∞). x A. 2018. B. 2019 . C. 2020 . D. 2021 Lời giải Chọn A   − ′ ′ = − −   x gx f m 3 2 Ta có: ( ) ( )2 +   + . x x 1 1 Hàm số g x( ) đồng biến trên (2; + ∞) ⇔ gx x ′( ) ≥ ∀ ∈ +∞ 0; 2; ( )   − ⇔ − ′  − ≥ ∀ ∈ +∞ x f mx 3 2 0; 2; ( ) ( ) 2 +   + x x 1 1 ⇔ ( ) 2 0; 2; 1x f mx   − ′  − ≤ ∀ ∈ +∞   + x Ta có: f x ′( ) ≤ 0 ⇔ ( xxx + − −≤ 1 1 40 )( )( ) ⇔1  ≤ − x  ≤ ≤ 1 4 x 2 1; 2; 1  − − ≤− ∀ ∈ +∞  +  − ≤ − ≤ ∀ ∈ +∞  + xm x   − ′  − ≤ ∀ ∈ +∞   +⇔( ) ( ) Do đó: ( ) 2 0; 2; 1x f mx 1 x 2 1 4; 2; 2 1 x Hàm số ( ) 21x hx m xm x x ( ) ( ) − = − +; x∈ +∞ (2; ) có bảng biến thiên: x Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện (2) không có nghiệm m thỏa mãn. Điều kiện (1) ⇔ − ≤− m 1 ⇔ m ≥1,kết hợp điều kiện m < 2019 suy ra có 2018 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm fx x x x x ′( ) = + − − ∀∈ ( 1 1 4; )( )( )  .Có bao nhiêu số nguyên m < 2019 để hàm số ( ) ( ) 21x gx f hm   − = +     +đồng biến trên (2; + ∞). x Câu 45: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 2 fx x x x ′ =− − 1 2 với mọi x∈ . Có bao nhiêu số nguyên m ≤ 20 để hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x m = −+ 8 đồng biến trên (4;+∞) . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 gx x f x xm ′ ′ = − −+ 28 8 Hàm số g x( ) đồng biến trên (4;+∞) ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ gx x ′( ) 0, 4; ( ) ( ) ( ) 2 ⇔ − + ≥ ∀ ∈ +∞ fx xm x ′ 8 0, 4; (vì 2 8 0, 4; x x − > ∀ ∈ +∞ ( )). Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f x x x x x xxx ≥ ′ ≥⇔ − − ≥⇔ − − ≥⇔  ≤ . x 0 1 2 0 1 200 2 Do đó ( ) ( ) ( )  − + ≥ ∀ ∈ +∞ ′ − + ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔  − + ≤ ∀ ∈ +∞ . 8 2, 4; (1) 8 0, 4;8 0, 4; (2) x xm x 2 fx xm xx xm x 2 ( ) Xét ( ) 2 hx x x m =−+ 8 Ta có hx x ′( ) = − 2 8 . Lập bảng biến thiên của ( ) 2 hx x x m =−+ 8 , ta được Dựa vào bảng biến thiên: + (2) vô nghiệm vì ( ) 2 x xmm x − + ≥ − ∀ ∈ +∞ 8 16, 4; . + (1 16 2 18 ) ⇔ − ≥⇔ ≥ m m . Theo giả thiết thì m ≤ 20 và m là số nguyên nên m∈{18;19;20}. Chọn B Câu 46: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm 2 2 f x x x x mx ′( ) ( 1) ( 9) = − ++ với mọi ∀ ∈x R . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số gx f x ( ) (3 ) = − đồng biến trên khoảng (3; ) +∞ ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy ra 2 2 f x x x xmx ′(3 ) (3 )(2 ) [(3 ) (3 ) 9]. −=− − − + −+ Ta có gx f x ′ ′ ( ) (3 ). =− − Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng (3; ) +∞ khi và chỉ khi gx x ′( ) 0, (3; ). ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ − − ≤ ∀ ∈ +∞ fx x ′(3 ) 0, (3; ). 2 2 ⇔ − − − + − + ≤ ∀ ∈ +∞ (3 )(2 ) [(3 ) (3 ) 9] 0, (3; ). x x xmx x ∀ ∈ +∞ x (3; ) thì 2 (3 ) 0,(2 ) 0, −≤ − ≥ x x suy ra 2 (3 ) (3 ) 9 0, (3; ). − + − + ≥ ∀ ∈ +∞ xmx x 2 (3 ) 9 , (3; ) ( 3) − + x ⇔ ≤ ∀ ∈ +∞ − m x x 2 x m Min+∞ x− + (3 ) 9 . ( 3) ⇔ ≤ − (3; ) Ta có 2 (3 ) 9 9 9 ( 3) 2 ( 3). 6. ( 3) 3 3 − += −+ ≥ − = − −− xx x x xx Suy ra m ≤ 6. Vì m nguyên dương suy ra m∈{1;2;3;4;5;6 . } Chọn B Câu 47: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên  là fx x x ′( ) =− + ( 1 3 )( ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;20] để hàm số ( ) 2 y fx x m = +− 3 đồng biến trên khoảng (0;2) ? A. 18 B. 17. C. 16. D. 20 . Lời giải Chọn A Xét dấu f x ′( ) ta được Ta có: ( ) ( ) 2 y x fx xm ′ ′ = + +− 23 3 . Vì 2 3 0, 0;2 x x + > ∀∈( ) . Do đó, để hàm số ( ) 2 y fx xm = +− 3 đồng biến trên khoảng (0;2) thì ( ) ( ) 2 fx xm x ′ + − ≥ ∀∈ 3 0, 0;2 (*). Đặt 2 t x xm =+− 3 . Vì x tm m ∈ ⇒ ∈− − (0;2 ;10 ) ( ) . (*) trở thành: ft t m m ′( ) ≥ ∀∈− − 0, ;10 ( ).  ≤≤    − ≤− ≥ 13 20 m 10 3 1310 1 m mm Dựa vào bảng xét dấu của f x ′( ) ta có: ⇒ ∈− − − m { 10; 9;..; 1;3;4;..;20}. ⇔ ⇒ − ≤ ≤−     ≤ − ≤ −  ∈ 1 1 m mm Z Dạng toán 13. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux hx = = + ( ) ( ( )) ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 48: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục trên  và có đạo hàm f x ′( ) thỏa mãn: ( ) ( )( ) 2 fx x x ′ =− − 1 5 Hàm số ( ) 3 y fx x x = +−+ 3 3 12 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (1;5) . B. (2;+ ∞). C. (−1;0). D. (−∞ −; 1). Lời giải Chọn B Ta có: ( ) ( )( ) 2 fx x x ′ =− − 1 5 suy ra ( ) ( ) ( ) 2 fx x x ′ + = − + +− 3 1 3 35     =− + + − ( xxx 422 )( )( ). Mặt khác: ( ) 2 y fx x ′ ′ = +− + 3. 3 3 12 ( )( )( ) ( ) 2 =− + + − + − 3422 4   xxx x   =− − + + 32 2 5 ( xxx )( )( ). − < <− x Xét y′ < 0 ⇔− − + + < 3 2 2 50 ( xxx )( )( ) 5 2 ⇔  > . x 2 Vậy hàm số ( ) 3 y fx x x = +−+ 3 3 12 nghịch biến trên các khoảng (− − 5; 2) và (2;+ ∞). Câu 49: Cho hàm số y fx = ( ) xác định trên  và có đạo hàm f x ′( ) thỏa mãn f x x x gx ′( ) =− + + (1 21 )( ) ( ) trong đó gx x ( ) < ∀∈ 0,  . Hàm số yf xx = − ++ (1 2 ) nghịch biến trên các khoảng nào? A. (1;+∞). B. (0;3). C. (−∞;3) . D. (3;+∞) . Lời giải Chọn D Ta có: f x x x gx ′( ) =− + + (1 21 )( ) ( ) ⇒ −= − −+ f x x xg x ′(1 3 11 ) ( ) ( ) Mặt khác: y f x f x x xg x ( (1 1 1 1 .3 . 1 1 1 )) ( ) ( ) ( ) ′ ′ ′ = − + =− − + =− − − + +     =− − − x xg x .3 . 1 ( ) ( ) Ta có: y x xg x ′ < ⇔− − − < 0 .3 . 1 0 * ( ) ( ) ( ) Do gx x g x x ( ) < ∀∈ ⇒ − < ∀∈ 0,   (1 0, ) ( ) ( ) 3 x xx > x ⇒ ⇔ − <⇔  < . * .3 00 Vậy hàm số yf xx = − ++ (1 2 ) nghịch biến trên các khoảng (−∞;0) và (3;+∞) . Câu 50: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  và ( ) ( ) ( ) 2 fx xx x ′ = −⋅ + + 21 32 . Hàm số yf x x = −+ + (3 2 2019 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (3;5) . B. 5 2; 2       . C. 5 ;3      . D. (−∞;3) . 2 Lời giải Chọn C Ta có yf x ′ ′ =− − + (3 2 ) . y′ > 0 ⇔− − + > ⇔ − < fx fx ′ ′ (3 20 3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ⇔ − − − − + +< 3 23 1 3 3 2 2        xx x ( )( ) ( )2 ⇔− − − +< 3 52 3 3 0     xxx Vì ( )2 3 3 0,   − + > ∀∈   x x  . Suy ra y′ > 0 khi và chỉ khi (3 52 0 − −< x x )( ) 5 3 ⇔ < ∀∈− ′ fx xy x ( ) ( ) 22 0, 1;10, 1;1  − > ∀∈− . 1 0, 1;1 x x Vậy ta chọn đáp án C. Cách 2: Xét ( ) 3 y fx x x = +−+ 32 3 . ( ) ( ) 2 y fx x ′ ′ = + +− 3. 2 1     Ta có 3 75 3. 0 2 24 y f     ′ ′   = −<      nên loại đáp án A, D. y f ′ ′ (−= − < 2 3. 0 3 0 )   ( )   nên loại đáp án B. Vậy ta chọn đáp án C. Dạng toán 14. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux hx = = + ( ) ( ( )) ( ) trong bài toán chứa tham số. Câu 53: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) 2 fx x x x ' 2 3, . = + − ∀∈ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;20] để hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x x m m = +− + + 3 1 đồng biến trên (0;2 ?) A. 16. B. 17. C. 18. D. 19. Lời giải Chọn C ft t t t ≤ − Ta có ( ) ( ) 2 3 t = + −≥⇔  ≥ ' 2 3 0 *. 1 Có ( ) ( ) ( ) 2 gx x f x xm ' 23' 3 = + +− Vì 2 3 0, 0;2 x x + > ∀∈( ) nên g x( ) đồng biến trên (0;2 ' 0, 0;2 ) ⇔ ≥ ∀∈ gx x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ⇔ + − ≥ ∀∈ f x xm x ' 3 0, 0;2 2 2 ( )   + − ≤− ∀ ∈ + ≤ − ∀ ∈ x xm x x xm x ( ) 3 3, 0;2 3 3, 0;2   + − ≥ ∀∈ + ≥ + ∀∈ (**) ⇔ ⇔   2 2 ( ) x xm x x xm x ( ) 3 1, 0;2 3 1, 0;2 Có ( ) 2 hx x x = + 3 luôn đồng biến trên (0;2) nên từ (**) ⇒3 10 13   −≥ ≥ m m   ⇔   + ≤ ≤− m m 10 1 Vì m [ 10;20]  ∈ −  ⇒  ∈ Có 18 giá trị của tham số m. m Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm. Câu 54: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ' 1 ( ) ( ) x fx x e = + , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [−2019;2019] để hàm số ( ) ( ) 2 y g x f x mx mx = = − +− ln 2 nghịch biến trên ( ) 2 1;e . A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021. Lời giải Chọn B Trên ( ) 2 1;e ta có ( ) ( ) ( ) 1 g x f x mx m x x m ' . ' ln 2 ln 1 2 1 = − + = +− − x Để hàm số y gx = ( ) nghịch biến trên ( ) 2 1;e thì ( ) ( ) ( ) 2 gx x x m x e ' ln 1 2 1 0, 1; = + − − ≤ ∀∈ 2 ( ) ( ) ⇔ + − − ≤ ∀∈ x xm x e ln 1 2 1 0, 1; + ⇔ ≤ ∀∈ − xmx e ln 1 , 1; 2 1 2 x Xét hàm số ( ) ln 1 ( ) 1 2ln x − − x h xx+ = − trên( ) 2 1;e , ta có ( ) ( ) ( ) 2 x h x x e = < ∀∈ − , từ đây ' 0, 1; 2 1 2 1 x 2 suy ra m ≥ 1. Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa bài toán. Câu 55: Cho hàm số y fx = ( )liên tục trên R và có ′( ) =+ − − ( ) ( ) ( ) 34 5 f x xx x x . 1. 1. 4 . 1 11 y gx f xx mx mchắc chắn luôn Giá trị của tham số m để hàm số = = −+ ( ) ( ) +++ 2 2 đồng biến trên (−3; 0 .) A. m ∈− − ( 2; 1). B. m ∈ −∞ − ( ; 2). C. m ∈ −[ 1;0]. D. m ∈ +∞ [0; ) Lời giải Chọn D Điều kiện: + + +≠ 2 2 x mx m 1 0 (luôn đúng vì   2 2 + ′ ′ =− − − x m gx f x 2 1 ( ) ( ) ( ) +++2 2 2 2 2 3 1 1 0 m m x mx m x ) + + += + + +>     2 4 x mx m 1 Đặt t xx t = − ∈− ⇒ ∈ 1 ; 3; 0 1; 4 ( ) ( ) ⇒− − ∈ − f xx ′(1 , 3; 0 ) ( ) chính là − ∈ ftt ′( ), 1; 4 ( ). Do đó − > ∀ ∈ ⇔− − > ∀ ∈ − ft t f x x ′ ′ ( ) 0, 1; 4 1 0, 3;0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 2 0, 3; 0 2 0, 3; 0 Ycbt x mx xm x ⇔ − ≥ ∀∈− ⇔ + ≤ ∀∈− +++2 2 2 x mx m 1 ( ) ( )   −  m xx m x m 2 , 3; 0 min 2 0 . Vậy ∈ +∞  )  m 0; ⇔ ≤− ∀ ∈ − ⇔ ≤ − ⇔ ≤ 3;0 Câu 56: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) 221 x f xx+ ′ = + , ∀ ∈x  . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (−20;20) để hàm số g x f x mx ( ) = +− + ( 1 1 ) đồng biến trên  ? A. 20 . B. 19. C. 17 . D. 18. Lời giải Chọn C Ta có gx f x m ′ ′ ( ) = − ( ) . Hàm số g x f x mx ( ) = +− + ( 1 1 ) đồng biến trên  ⇔ ≥∀ gx x ′( ) 0 . ⇔ +≥ fx m ′( 1) ∀x 232 2 xm +   + + +∀x 23 min2 2 xm ⇔ ≥ x x Đặt ( ) 232 2 x h xx x + = + + . x h xxx xx 1 2 − − ′ = ++ ++. Ta có ( ) ( ) 2 2 22 22 Cho ( ) 1 02 hx x ′ = ⇔ =−1 5 h  ⇒− =     . 2 Bảng biến thiên ⇔ ≥     + + (*). x x Từ bảng biến thiên ta thấy (* 1 ) ⇔ ≤− m . Vì m m ∈ ∈− , 20;20 ( ) nên m∈− − − { 19; 18; 1} . Câu 57: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm fx x x ' 12 ( ) =+ − ( )( ). Tìm m để hàm số y gx f x m = = +− ( ) ( 2 x ) đồng biến trên khoảng (−1;2) . −≤ ≤ m . C. 94 A. 94 m − ≤ . B. 9 10 4 Chọn A m − ≥ . D. m ≥10 . Lời giải Ta có y gx f x m = = +− ( ) ( 2 x ) . Suy ra gx f x m ' '2 ( ) = +− ( ) . Để hàm số y gx = ( ) đồng biến ∀∈− x ( 1;2) thì gx x ' 0 1;2 ( ) ≥ ∀∈−( ). Hay fx m ' 2 ( + ≥) ∀∈− ⇔ x ( 1;2) m fx ≤ + ' 2 ( ) ∀∈− ⇔ x ( 1;2) m xx x ≤ + ∀∈− ( 3 1;2 ) ( ). ≤ + . Đặt ( ) 2 hx x = + 3x , ( ) ( ) 3 ' 2x 3, ' 0 2 ( )( ) 2 hx hx x − = + =⇔= . m Min x 3x x ∈ − 1;2 Ta có bảng biến thiên như sau. x −∞ −1 32 − 2 +∞ h x '( ) - 0 + h x( ) −2 10 9 − 4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 94 m ≤ − . Đáp án A. Câu 58: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm ( ) 2 fx x ' 1 = − . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số ( ) ( ) 2 1 y gx f x x m 2 2 ln xx   = = ++ −     nghịch biến trên khoảng (1;+∞). A. 8 . B. 7 . C. 9 . D. 1. Lời giải Chọn A   = = ++ −    . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 22 gx f x xx+ ' 2x 2 ' 2m x Ta có ( ) ( ) 2 1 y gx f x x m 2 2 ln xx . =+ ++ 2 1 Để hàm số y gx = ( ) nghịch biến ∀ ∈ +∞ x (1; ) thì gx x ' 0 1; ( ) ≤ ∀ ∈ +∞ ( ) . 2 2 2x 2 ' 2 0 1; ' 2 0 1; m m fx x x fx x x   + + + ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ + + ≤ ∀ ∈ +∞     . (vì Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x 2x 2 0 1; + > ∀ ∈ +∞ x ( ) ). 2 1 2x 0 1; 2x 1; m Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2   − + + ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ + − ∀ ∈ +∞     x x m xx x x x Đặt ( ) ( )2 2 2 2 hx x x x = +− 2x , ( ) ( ) ( ) 5 432 hx x ' 2x 3 4x 6x 8x 1 , ' 0 0 = + + + − =⇔= hx x Phương trình 5 432 3 4x 6x 8x 1 0 x + + + −= không có nghiệm x >1. Ta có bảng biến thiên x −∞ 0 1 +∞ h x '( ) 0 + h x( ) 8 0 Từ bảng biến thiên ta thấy m ≤ 8 . Mà m∈+ . Suy ra m có 8 giá trị. NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Dạng toán 15. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux f vx hx == + + ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) trong bài toán không chứa tham số. NHÓM TOÁN VD Dạng toán 16. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux f vx hx == + + ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 17. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ( )) k y gx fux = =     trong bài toán không chứa tham số. – VDC Câu 1: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục và có đạo hàm ( )( )( ) 2 4 fx x x x ′( ) 2 9 16 =+ − − trên  . Hàm số 2019 2 y gx f x x = = − ( ) (2 )     đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (1 3;1 3 − + ). B. (3;+∞) . C. (1;+∞). D. (−1;3). Lời giải Chọn B Ta có ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 2 2 4 2 fx x x x x x x x x ′( ) 2 9 16 3 2 3 2 4 =+ − − =− − + + + . ( ) ( ) 2018 2018 22 2 2 gx f x x f x x f x x xf x x ( ) 2019. (2 ) (2 ) 2019. (2 ) 2 2 2 ′ ′ ′ = − −= − − −           ( )( )( )( )( ) ( ) 2018 2 2 2 2222 2 2019 (2 ) 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 4 f xx x xx xx xx xx xx   = − − −− −− −+ −+ − +         ( )( ) 2 =− − + 12 3 x xx A Trong đó: NHÓM TOÁN VD ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2018 2 2 2 22 2 2 A f xx xx x x x x x x x 2.2019 2 2 2 2 3 2 2 2 4 0,   = − − + − + − + − + ≥ ∀∈          – VDC Khi đó ( )( ) [ ] [ ) 2 gx x x x x ′( ) 0 1 2 3 0 1;1 3; ≥ ⇒ − − + ≥ ⇔ ∈ − ∪ +∞ ⇒ Hàm số 2019 2 y gx f x x = = − ( ) (2 )     đồng biến trên mỗi khoảng (−1;1) và (3;+∞) . Câu 2: Cho hàm số y fx = ( ) xác định và liên tục trên  có fx x x x ′( ) =− + + ( 251 )( )( ) và f f (−= = 5 21 ) ( ) . Hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x =     đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (−∞ ∪ +∞ ;0 2; ) ( ). B. (− 2; 2 ). C. (0;+∞). D. (− ∪ +∞ 2;0 2; ) ( ) . Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn D  = x 2  ′ ′ = − + + ⇒ = ⇔ =−  = − Từ giả thiết ta có ( ) ( )( )( ) ( ) fx x x x fx x 251 0 5 NHÓM TOÁN VD x 1 Bảng biến thiên của y fx = ( ) x -1 -5 2 ∞ ∞ + f'(x) + 0 0 + 0 +∞ + ∞ f(-1) – VDC f(x) 1 1 Từ BBT suy ra fx x ( ) > ∀∈ 0  . Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x =     ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 g x f x xf x f x x x x x f x 4 . 4 2 5 1 ′   ′′ ′ = = = −++     Do ( ) ( ) 2 fx x fx x > ∀∈ ⇒ > ∀∈ 0 0   Xét ( ) 0 g xx = ′ = ⇔  = ± x 02 BBT của ( ) ( ) 2 2 gx f x =     x - 2 0 2 NHÓM TOÁN VD ∞ ∞ + g'(x) + 0 0 + 0 g(x) +∞ + ∞ – VDC Từ BBT trên ta chọn đáp án D. Dạng toán 18. Biết biểu thức hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ( )) k y gx fux = =     trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 19. Biết biểu thức hàm số y f ux = ′( ( )) xét tính đơn điệu của hàm số y fx = ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 3: Cho hàm số y fx = ( ) có 7 2 2 3 12 9 2 fx xx   ′  −+ = − +   . Hàm số y fx = ( ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số A. 1 9;4 4      . B. 9;4     +∞  . C. 5 3;2 2  . D. 5     − Chọn C     −∞ − ; 2  . Lời giải NHÓM TOÁN VD Ta cần giải bất phương trình f x ′() 0 < . – VDC Từ 7 2 2 3 12 9 2 fx xx   ′  −+ = − +  7 2 01 3 2 fx x   ⇒ − + <⇔< < ′    . Đặt 7 22 t f t t − ′ < ⇔ < < ⇔− < < . x − ⇒ = . Khi đó ta có ( ) 72 5 3 01 3 t x =− +7 24t Vậy hàm số y fx = ( ) nghịch biến trên khoảng5 3;2 2     −  . 4 22 Câu 4: Cho hàm số y fx = ( ) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f x ′( ) thỏa mãn f x ′( ) =− + + (1 2 2018 x x )( ) g x( ) với gx x R ( ) < ∀∈ 0, . Khi đó hàm số yf x x = −+ + (1 2018 2019 ) nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;+ ∞). B. (0;3). C. ( ;3) −∞ . D. (4;+ ∞) . NHÓM TOÁN VD Lời giải Chọn D Xét hàm số y hx f x x = = −+ + ( ) (1 ) 2018 2019 Ta có h x f x x xg x '( ) '(1 ) 2018 (3 ) (1 ) =− − + =− − − – VDC Vì gx x R ( ) 0, < ∀∈ nên 0 h xx = = ⇔  = x '( ) 0 3 Bảng biến thiên Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (4;+ ∞) . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Câu 5: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số yf x = + ′(3 5) như hình vẽ. Hàm số y fx = ( ) nghịch trên khoảng nào? NHÓM TOÁN VD – VDC     − +∞   . C. 4;3    +∞  . D. (−∞;10). A. (−∞;8) . B. 7;3 Lời giải Chọn A Đặt x t = + 3 5. Khi đó gt f t ( ) = + (3 5) ⇒= + gt f t ′ ′ ( ) 3 35 ( ). Ta có gt f t t ′ ′ ( ) <⇔ + <⇔< 0 35 0 1 ( ) . Khi đó ( ) 5 0 18 x f x x − ′ <⇔ <⇔ < . 3 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;8). NHÓM TOÁN VD Câu 6: Cho hàm số f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số f x (3 2 − ) nghịch biến trên khoảng (α β; ) . Khi đó giá trị lớn nhất của β α− là: y O 1 4 f x( ) x – VDC A. 9 . B. 3 . C. 6 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta có: yfx y f x = −⇒= − (3 2 3. 3 2 ) ′ ′( ). Hàm số yfx = − (3 2) nghịch biến ⇔ ≤⇔ − ≤⇔ − ≤ y fx fx ′′ ′ 0 3. 3 2 0 3 2 0 ( ) ( ) . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số ⇔≤ −≤ ⇔≤ ≤ 13 24 1 2 x x . Vậy khoảng (α β; ) lớn nhất là (1;2) . NHÓM TOÁN VD Câu 7: Cho hàm số y fx = ( ) có đồ thị hàm số yf x = − ′(2 ) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y fx = ( ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? – VDC A. (−2;4) . B. (−1;3). C. (−2;0) . D. (0;1) . Lời giải Chọn C Đặt x t = −2 ta có yf t = − (2 ) ⇒ =− − yf t ′ ′(2 ). y ft ′ ′ >⇔ − < 0 20 ( ) ⇔ << 2 4 t hay Khi đó f x ′( ) > 0 ⇔ < − < ⇔− < < 22 4 2 0 x x . NHÓM TOÁN VD Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (−2;0) . Dạng toán 20. Biết biểu thức hàm số y f ux = ′( ( )) xét tính đơn điệu của hàm số y fx = ( ) trong bài toán chứa tham số. Câu 8: Cho hàm số gx f x ( ) = − (5 ) có đạo hàm ( ) ( )( ) ( ) 2 2 gx x x x m x m ' 5 2 =− − − + + +   10 5 41   – VDC với mọi . Có bao nhiêu số nguyên dương để hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng x∈ m (−∞ −; 1). 7 8 9 10 A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có gx f x f x gx ' '5 '5 ' ( ) =− − ⇒ − =− ( ) ( ) ( ). Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 f x gx x x x m x m ' 5 ' 5 2 − =− = − − − + + +   10 5 41   ( ) ( )(( ) ) ( ) ( ) 2 2 ⇔ −=− −− − + −+ f xx x xm x ' 5 5 5 3 5 5 16     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1) khi và chỉ khi fx x ' 0, ; 1 ( ) ≥ ∀ ∈ −∞ − ( ) = (Dấu “ ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm ) NHÓM TOÁN VD ( ) ( ) ( ) 2 2 ⇔ − − + + ≥ ∀ ∈ −∞ − x x x mx x 3 16 0, ; 1 ( ) 2 ⇔ + + ≥ ∀ ∈ −∞ − x mx x 16 0, ; 1 (vì x < 0 và ( ) ( ) 2 x x − > ∀ ∈ −∞ − 3 0, ; 1 ) 2 16 , ;1 x − − ⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ −( ) ( ) ; 1 m x x ( ) ⇔ ≤ m hx min −∞ − – VDC 2 16 16 16 2. . 8 x h x x x − −   − = =− − ≥ − =     , dấu “=” xảy ra khi x = −4. Với ( ) ( ) xx x ( ) ( ) 6;min 8 h x +∞ ⇒ = ⇒ ≤ m 8 m , kết hợp với điều kiện nguyên dương ta suy ra m∈{1;2;3;4;5;6;7;8} . 8 m Vậy có giá trị của thỏa mãn. Dạng toán 21. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 22. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán chứa tham số. NHÓM TOÁN VD Dạng toán 23. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 24. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán chứa tham số. – VDC Dạng toán 25. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) g x y f x = hoặc ( ) ( ) f x yg x = trong bài toán không chứa tham số. ( ) Dạng toán 26. Biết biểu thức của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) g x y f x = hoặc ( ) ( ) f x yg x = trong bài toán chứa tham số. ( ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓM TOÁN VD PHẦN 3: Biết đồ thị của hàm số y fx = '( ) – VDC Dạng toán 27. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x hx = = + ( ) ( ) ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 9: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y fx = ′( ) như hình bên dưới. NHÓM TOÁN VD Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = − 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (−∞ −; 2). B. (−2;2) . C. (2;4). D. (2;+∞) . Lời giải Chọn B – VDC Ta có gx f x x gx f x x ′′ ′ ′ ( ) = − ⇒ =⇔ = 22 0 . ( ) ( ) ( ) Số nghiệm của phương trình g x ′( ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y fx = ′( ) và đường thẳng dy x : = (như hình vẽ bên dưới). https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số x  = −  ′ =⇔ =  = 2 NHÓM TOÁN VD – VDC Dựa vào đồ thị, suy ra ( ) 0 2. gx x 4 x Lập bảng biến thiên ⇒ hàm số g x( ) đồng biến trên (−2;2) và (4;+∞) . So sánh 4 đáp án Chọn B Câu 10: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số y fx = ′( ) như hình vẽ bên dưới. NHÓM TOÁN VD – VDC 32 2 x gx f x x x = − + −+ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? Hàm số ( ) ( ) 3 A. (−1;0) . B. (0;2). C. (1;2). D. (0;1) . Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 2 gx f x x x ′ ′ = −+− 2 1, ( ) ( ) ( )2 gx f x x ′ ′ =⇔ = − 0 1 . Suy ra số nghiệm của phương trình g x ′( ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm số f x ′( ) và parabol ( ) ( )2 Py x : 1 = − . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số x  = 0 NHÓM TOÁN VD  ′ =⇔ =  =. Dựa vào đồ thị ta suy ra ( ) 0 1 gx x – VDC 2 x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta Chọn D Lưu ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng (−∞;0) ta thấy đồ thị hàm f x ′( ) nằm phía trên đường ( )2 y x = −1 nên g x ′( ) mang dấu −. NHÓM TOÁN VD Nhận thấy các nghiệm x xx = = = 0, 1, 2 là các nghiệm đơn nên qua g x ′( ) đổi dấu. Câu 11: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm số y fx = ′( ) như hình vẽ. y 3 2 – VDC 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Hỏi hàm số ( ) ( ) ( )2 gx f x x = ++ 2 1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (3;+ ∞). B. (1;3) . C. (−3;1). D. (−∞;3). Lời giải Chọn B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Tập xác định của g x( ) là  . Ta có gx f x x ′ ′ ( ) = ++ 2 1   ( )  . Hàm số đồng biến khi và chỉ khi fx x ′( ) ≥− −1, (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). NHÓM TOÁN VD Vẽ chung đồ thị y fx = ′( ) và y x =− −1 trên cùng một hệ trục như sau: y 3 2 1 x – VDC -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Từ đồ thị ta có fx x ′( ) ≥− −13  ≤ − x ⇔  ≤ ≤ . Chọn B 1 3 x Câu 12: Cho hàm số y fx = ( ) xác định và liên tục trên [−1;5] có đồ thị của hàm y fx = ′( ) được cho như hình bên dưới. Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x x =− + − + 2 44 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? NHÓM TOÁN VD – VDC A. (−1;0 .) B. (0;2 .) C. (2;3 .) D. (− − 2; 1 .) Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Xét hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x x =− + − + 2 44 trên [−1;5]ta có: x x  = ∈ 1 NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) 0; 2  ′ ′ =⇔ =−⇔ =  = ∈ . gx f x x ′ ′ ( ) =− + − 2 24 ( ) ; ( ) ( ) 0 23 gx f x x x ( ) x x 2 Bảng xét dấu g x ′( ) : 4; 5 NHÓM TOÁN VD Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2;3). Câu 13: Cho hàm số y fx = ( ) . Đồ thị hàm số y fx = '( ) như hình vẽ dưới đây. Xét hàm số ( ) ( ) 133 3 2 2018 342 gx f x x x x = − − ++ . Hàm số y gx = ( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? – VDC A. (−∞ −; 2) B. (− − 3; 1). C. (−1;1) . D. (1;+ ∞) . Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 ' ' ' 2 2 2 2   = − − += − + −     gx f x x x f x x x ( ) ( ) 2 3 3 '0'2 2 ⇒ =⇔ = + − gx f x x x NHÓM TOÁN VD Ta vẽ đồ thị hàm số 2 3 3 2 2 yx x =+ − – VDC x  = − 3 ⇒ = ⇔ =−  = Dựa nào đồ thị ( ) gx x '0 1 x 1 Bảng biến thiên NHÓM TOÁN VD Dạng toán 28. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x hx = = + ( ) ( ) ( ) trong bài toán chứa tham số. – VDC Câu 14: Cho hàm số y fx = ( ) có đồ thị của hàm số y fx = ′( ) như hình vẽ bên. Các giá trị của m để hàm số y fx m x = +− ( ) ( 1) đồng biến trên khoảng (0;3) là A. m > 4 . B. m ≤ 4 . C. m ≥ 4 . D. 0 4 > > m . Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn C Ta có y fx m x = +− ( ) ( 1) ⇒ = +− y fx m ′ ′( ) 1. NHÓM TOÁN VD Hàm số y fx m x = +− ( ) ( 1) đồng biến trên khoảng (0;3) ⇔ y x fx m x ′ ′ ≥ ∀∈ ⇔ + − ≥ ∀∈ 0, (0;3) ( ) 1 0, (0;3) ⇔ − + ≤ ∀∈ m fx x 1 ′( ), (0;3) ( ) ( ) 0;3 ⇔− + ≤ ′ ⇔− + ≤− ⇔ ≥ m m 13 4 . – VDC m fx ∈ 1 min x Câu 15: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị của hàm số y fx = '( ) như hình vẽ. NHÓM TOÁN VD Đặt ( ) ( ) ( ) 1 2 2 gx f x m x m = − − −− + với m là tham số thực. Gọi S là 1 2019 tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số y gx = ( ) đồng biến trên khoản (5;6). Tổng các phần tử của S bằng: – VDC A. 4 . B. 11. C. 14. D. 20. Lời giải Chọn C Ta có gx f xm xm '' 1 ( ) = − − −− ( ) ( ) Đặt hx f x x ( ) = −− ' 1 ( ) ( ). Từ đồ thị y fx = '( ) và đồ thị y x = −1 trên hình vẽ ta suy ra h xx−≤ ≤ ( ) 1 1 03x ≥ ⇔  ≥ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓM TOÁN VD – VDC   −≤ − ≤ −≤ ≤ + xm m xm Ta có ( ) ( ) 1 11 1 = − ≥⇔   ⇔ g x hx mxm xm ' 03 3   −≥ ≥+ Do đó hàm số y gx = ( ) đồng biến trên các khoảng (m m − + 1; 1) và (m + +∞ 3; )  −≤   ≤ ≤ mm Do vậy, hàm số y gx = ( ) đồng biến trên khoảng (5;6) 1 55 6 ⇔ ⇔  + ≥   ≤  + ≤ mm m Do m nguyên dương nên m∈{1;2;5;6}, tức S = {1;2;5;6} Tổng các phần tử của S bằng 14. 1 62 3 5 NHÓM TOÁN VD Câu 16: Cho hàm số y fx    có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y fx    như hình bên dưới – VDC Đặt hàm số         2 12x g x f m x x mx , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 2020; 0 để hàm số y gx   nghịch biến trên khoảng 2;0 ? A. 2016. B. 2017. C. 2019. D. 2020. Lời giải. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Ta có gx f m x x m           1 1.  Ta có gx f m x x m         0 1 1.   NHÓM TOÁN VD Đặt tm x  1 , bất phương trình trở thành ft t    . Từ đồ thị của hàm số y fx    và đồ thị hàm số y x   (hình vẽ bên dưới) ta thấy đường thẳng y x   cắt đồ thị hàm số f x '  lần lượt tại ba điểm x xx    3; 1; 3. – VDC Quan sát đồ thị ta thấy                  3 13 4 t mx x m ft tt m x mxm          1 31 1 3 2 Suy ra hàm số y gx    nghịch biến trên các khoảng 4 ;   m  và  2 ;. m m Để hàm số y gx    nghịch biến trên khoảng 2;0thì             4 26 mm 2 20 mm      NHÓM TOÁN VD m 0 Vậy trên đoạn 2020; 0có tất cả 2016 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Câu 17: Cho hàm số y fx = ( ) liên tục trên  có đồ thị hàm số y fx = ′( ) như hình vẽ. – VDC Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 gx f x x m x m = − +−+ . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng ? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số A. Với mọi giá trị của tham số m thì g x( ) nghịch biến trên các khoảng (−2;0) và (2;+∞) , đồng biến trên (−∞ −; 2) và (0;2). B. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để g x( ) nghịch biến trên các khoảng (−2;0) và NHÓM TOÁN VD (2;+∞) , đồng biến trên (−∞ −; 2) và (0;2). C. Với mọi giá trị của tham số m thì g x( ) đồng biến trên các khoảng (−2;0) và (2;+∞) , nghịch biến trên (−∞ −; 2) và (0;2). D. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để g x( ) đồng biến trên các khoảng (−2;0) và (2;+∞) , nghịch biến trên (−∞ −; 2) và (0;2). – VDC Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD Với mọi giá trị của tham số mta luôn có: gx f x x ′ ′ ( ) = −− ( ) 3 .  = − x 2  ′ ′ =⇔ =+⇔ =  =. ( ) ( ) gx f x x x 0 30 x 2 Bảng biến thiên: – VDC ⇒ g x( ) đồng biến trên các khoảng (−2;0) và (2;+∞) , nghịch biến trên (−∞ −; 2) và (0;2) . Dạng toán 29. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx fux = = ( ) ( ( )) trong bài toán không chứa tham số. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Câu 18: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm trên  . Biết hàm số y fx = ′( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số ( ) 2 yf x = +1 . NHÓM TOÁN VD A. (−∞ −; 3 , 0; 3 ) ( ) . B. (−∞ − +∞ ; 3 , 3; ) ( ) . C. (− +∞ 3;0 , 3; ) ( ) . D. (−∞ − +∞ ; 3 , 0; ) ( ) . – VDC Lời giải Chọn C x y fx Xét hàm số ( ) 2 yf x = +1 ( ) 2 ⇒ =′ ′ + + .  = x 0 x 21 1 NHÓM TOÁN VD  + =−  = x 2 1 1  = x 0 x  = 0  = x 0 x 0  2    ⇔ +=  + = ′ = ⇔  ′ + =  ⇔ +=  + =22 ⇔ += + =  + =22 x y f x 01 0 ( ) 2 2 x 2 x Bảng biến thiên 1 0 1 1 1 2 x x 1 1 1 2 x x 1 1 1 4 ⇔ =−  = x x 3 3 – VDC Vậy hàm số ( ) 2 yf x = +1 đồng biến trên các khoảng (− +∞ 3;0 , 3; ) ( ) . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Câu 19: Cho hàm số y fx = ( ) .Hàm số y fx = ′( ) có đồ thị như hình bên. Hàm số yf x = − (2 )đồng biến trên khoảng: NHÓM TOÁN VD A. (1;3). B. (2;+∞) . C. (−2;1). D. (−∞;2) . – VDC Lờigiải Chọn C Ta có: ( f x xf x f x (2 2 .2 2 )) ( ) ( ) ( ) ′ ′ − = − − =− − ′ ′ Hàm số đồng biến khi( ( )) ( ) 21 3   − <− > ′ − >⇔ − <⇔ ⇔ ′     < − < −< < . x x 2 0 2012 4 2 1 fx f xx x Câu 20: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  và hàm số y fx = ′( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số ( ) 2 y fx = đồng biến trên khoảng nào sau đây? NHÓM TOÁN VD A. (1;2). B. (− +∞ 2; ) . C. (− − 2; 1). D. (−1;1) . – VDC Lời giải Chọn C Đặt ( ) ( ) 2 gx f x = . ( ) ( ) 2 g x xf x ′ ′ = 2 . . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Cách 1:Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x = đồng biến khi và chỉ khi g x ′( ) ≥ 0 (dấu bằng xảy ra tại hữu  ≥  ′ ≥  ⇔ ≥⇔ ′  ≤  ′ ≤ . x 01 hạn điểm) ( ) ( ) ( ) 2 2 f x 0 NHÓM TOÁN VD xf xx . 002 ( ) ( ) f x 2 0  ≥  ≥     ≥  −≤ ≤  ≤ ≤ 0 0 x x x x x 0 1 1 0 1 ( ) ( )2 ⇔⇔ ⇔⇔   −≤ ≤   ′ ≥  ≤ −  ≥     ≥   ≥ . 1 1 1 2 x – VDC f x x x 0 2 2 2 xx 4 2  ≤  ≤    ≤   ≤ − x 0 0 x x x 0 1 ( ) ( ) (( )) 2 ⇔ ⇔ ≤− ⇔ ⇔− ≤ ≤−     ′ ≤   ≥     ≤ ≤  −≤ ≤. x x lo¹i 2 1 2 1 2 f x x 0 1 xx 1 4 2 2 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (− − 2; 1 , 0;1 , 2; ) ( ) ( + ∞). Cách 2: x  = − 1  ′ =⇔ =  =. Dựa vào đồ thị có ( ) 0 1 fx x 4 x NHÓM TOÁN VD Chọn fx x x x ′( ) =+ − − ( 114 )( )( ).  = x 0  ⇒ = + − − = ⇔ =± ′  = ±. ( ) ( )( )( ) 222 g x xx x x x 2 1 1 40 1 x 2 – VDC Bảng xét dấu g x ′( ) Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (− − 2; 1 , 0;1 , 2; ) ( ) ( + ∞). Câu 21: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm f x ′( ) trên R và đồ thị của hàm số f x ′( ) như hình vẽ. Hàm số ( ) 2 gx fx x = −− ( 2 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓM TOÁN VD A. (−∞;1) . B. (1;+ ∞). C. (0;2). D. (−1;0). Lời giải Chọn D – VDC Ta có: ( ) 2 gx x fx x ' (2 2). '( 2 1) = − −− .  = x  1  = x 0 Lại có ( ) 2 = ⇔ − − =−  − −= gx x x ⇔ =±  = = ' 0 21 1 1 x 2 x x 2 12 Ta có bảng biến thiên x x 2; 3 NHÓM TOÁN VD Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−1;0). Câu 22: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số y fx = '( ) như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = −− nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? y O2 4 −4 x – VDC   −  . C. 1; 2 A. (−∞ −; 1). B. 1 1; 2   + ∞  . D. (−1;0). Lời giải Chọn B   −   − https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Từ đồ thị của hàm số y fx = '( ) ta có: fx x ' 00 4 ( ) <⇔<< và ( ) 0 f xx < x ' 04 > ⇔  > NHÓM TOÁN VD Xét hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x = −− có ( ) ( ) ( ) 2 g x xf x x ' 12 ' =−− − − 12 0 x −− <  −− >  < ⇒−− − − < ⇔ −− >  −− <  2 Để hàm số g x( ) nghịch biến thì ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 2 f xx ' 0 12 ' 012 0 g x xf x xx 2 ( ) ' 0 f xx – VDC 1 1  −   −   > >       −− <   <− >           − − > ∈∅   >  x x 2 2 2 0 1, 0 x x x x 2 4 0 xx x x ⇔⇔ ⇔     − −  −  < <  −< < 1 1 1 1 x x x       −− >  ∈    −− < −< <      2 2 2 2 x x x 0 4 1 0 x x x 2 Suy ra hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng 1 1; 2   −   −   và (0;+ ∞) . NHÓM TOÁN VD Vậy B là đáp án đúng. Dạng toán 30. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx fux = = ( ) ( ( )) trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 31. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux hx = = + ( ) ( ( )) ( ) trong bài toán không chứa tham số. – VDC Dạng toán 32. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux hx = = + ( ) ( ( )) ( ) trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 33. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux f vx hx == + + ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 23: Cho hàm số y fx = ( ) có đồ thị f x ′( ) như hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓM TOÁN VD – VDC Hỏi hàm số ( ) ( ) ( ) 2 gx f x f x x x = ++ − − + − 1 2 63đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây A. (−∞;0) B. (0;3) C. (1;2) D. (3;+∞) Lời giải Chọn C Ta có gx f x f x x x K ′′ ′ ( ) = + − −− + − ≥ ∀∈ ( 1 2 62 0 ) ( ) ta chỉ cần chọn x sao cho NHÓM TOÁN VD  +≥  + ≤−  ⇔−≤ − ≤  ≤ ⇔≤ ≤ 1 3 x đối chiếu đáp án ta tìm được đáp án C x ( )  ′ + ≥ 1 1 f x 1 0 x 1 2  ′ − ≤ ( ) f x 2 0  − ≥  x 62 0 x x 22 1 3 – VDC Dạng toán 34. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f ux f vx hx == + + ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 35. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ( )) k y gx fux = =     trong bài toán không chứa tham số. Câu 24: Cho hàm số y fx = ( ). Đồ thị y fx = ′( ) như hình bên dưới. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số ( ) ( ) 3 gx f x = −   2 1   nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. (−1;0) B. (0;1) C. 1 0; 2       D. 1 ;1       2 Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 2 gx f x f x ′ ′ =− − 6 2 1. 2 1 Do ( ) 2 6 210 f x − ≥ với ∀ ∈x  nên để hàm số nghịch biến thì f x ′(210 − ≤) Dựa vào đồ thị hàm số y fx = ′( ) ta có  ≥  − ≥  ′ − ≤⇒  ⇔ x 1 2 11 NHÓM TOÁN VD Để ( ) x f xx x 210 1 12 10 02 −≤ −≤  ≤ ≤  Câu 25: Cho hàm số y fx = ( ). Đồ thị y fx = ′( ) như hình bên dưới. – VDC Hàm số ( ) ( ) 2019 gx f x = −   1   nghịch biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. (−1;5). B. (−2;1) . C. (1;3). D. (3;5) . Lời giải Chọn D https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Ta có ( ) ( ) ( ) 2018 gx f xf x ′ ′ =− − − 2019 1 . 1 Do ( ) 2018 − −≤ 2019 1 0 f x với ∀ ∈x  nên để hàm số nghịch biến thì f x ′(1 0 − ≥) NHÓM TOÁN VD Dựa vào đồ thị hàm số y fx = ′( ) ta có Để fx x x ′(1 01 2 3 − ≥ ⇒ − ≤− ⇔ ≥ ) . Câu 26: Cho hàm số y fx = ( ). Đồ thị y fx = ′( ) như hình bên dưới và f f (−= = 1 20 ) ( ) – VDC Hàm số ( ) ( ) 2 2 gx f x = −   3   đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau A. (1;2) B. (0;1) C. (−1;0) D. (− − 2; 1) Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 g x xf x f x ′ ′ =− − 4 3. 3 Ta có bảng biến thiên của hàm số y fx = ( ) – VDC Do f f (−= = 1 20 ) ( ) nên ( ) 2 f x − ≤ 3 0 với ∀ ∈x  để hàm số đồng biến thì ( ) 2 xf x . 30 ′ − ≤ − ≤ ≤−  −≤ − ≤ ≤ ≤  ′ − ≤⇒  ⇔   − ≥  ≥ x 3 2 2 1 30 2 3 3 TH1: x ≥ 0 thì ( ) x x f xx x 3 03 2 5 2  ≤ − x 5 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số  ≤ ≤  ≥ x Vì x ≥ 0 nên 2 3 x 5 2 − ≤ ≤− x 5 3 NHÓM TOÁN VD  ≤ −≤  ′ − ≥⇒  ⇔ ≤≤  x 3 TH2: x ≤ 0 thì ( ) 0 32 f x x 3 0 3 5 2  − ≤− − ≤≤  xx 3 12 2 − ≤ ≤− − ≤≤ x Vì x ≤ 0 nên 5 3 x 2 0 – VDC Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (− − 5; 3) , (− 2;0), ( 2; 3) , ( 5;+∞). Câu 27: Cho hàm số y fx = ( ) xác định và có đạo hàm trên  . Đồ thị của hàm số y fx = '( ) có dạng như hình vẽ. Hàm số ( ) ( ) 3 y gx f x = = −   2   nghịch biến trên khoảng nào sau đây NHÓM TOÁN VD A. (1;2) B. (3;4) C. (−∞ −; 1) D. (4;+∞) Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) 2 g' 3 2 ' 2 x fx f x =− −     , hàm số ( ) ( ) 3 y gx f x = = −   2   nghịch biến khi và chỉ – VDC khi g x ' 0 ( ) ≤ ⇔ − ≤⇔≤ −≤ f x ' 2 0 1 22 ( ) x ⇔≤≤ 3 4 x Dạng toán 36. Biết đồ thị hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số ( ) ( ( )) k y gx fux = =     trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 37. Biết đồ thị hàm số y f ux = ′( ( )) xét tính đơn điệu của hàm số y fx = ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 28: Cho hàm số y fx = ( ) có đồ thị hàm số 3 22 yf x   = + ′    như hình vẽ bên. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số y fx = ( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  . C. 3;4 A. 1 7;2 2  . B. 5 1;4 4     + ∞  . D. 1     −∞ −     − Chọn A     − ; 2  . Lời giải Ta cần giải bất phương trình y fx ′ ′ = > ( ) 0 . Dựa vào đồ thị 3 22 yf x   = + ′   . Ta có 3 1 1   −< < ′  + >⇔     > (*) x f xx 2 0 2 3 t x = + ( ) 1 2 3 Đặt 3 22 ⇔= − x x . 4 23 1 7 1 1   − −< < − < <   tt NHÓM TOÁN VD 4 22 * 02 3 15 3 Khi đó ( ) ( ) ⇔ >⇔ ′   ⇔ −   > >    . f t tt 4 2 Do đó hàm số y fx = ( ) đồng biến trên các khoảng 1 7;2 2   và 15; 2     −     + ∞  . – VDC Câu 29: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm là hàm số f x ′( ) trên  . Biết rằng hàm số yf x = − ′(3 1) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−∞ −; 6). B. (1;5) . C. (2;6). D. (−∞ −; 7) . Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số yf x = − ′(3 1) ta có: f x ′(310 − >) 2  < − x ⇔  < < 1 2 x NHÓM TOÁN VD Đặt t x = − 3 113t x+ ⇔ =  +< −  t 1 2  < − t ⇔  <+<7  + <− Suy ra: f t ′( ) > 0 t 3 ⇔  + t 1 1 2 1 6 t ⇔  < < t 2 5 < <  3 3 16 – VDC Do đó: Hàm số f x( ) đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 7) và (2;5) Câu 30: Cho hàm số y fx = ( ) có đồ thị hàm số 7 ' 2x 2 2 y f   = −+ +     như hình bên NHÓM TOÁN VD Hàm số y fx = ( ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 1 9;4 4  . D. 5     +∞  . C. 5 3;2 2      . B. 9;4 Chọn C     − Lời giải     −∞ − ; 2  . – VDC Quan sát đồ thị hàm số 7 ' 2x 2 2 y f   = −+ +     ta có 7 7 2 0 2 2 2 1 3(*) 2 2 fx fx x ′ ′     − + <⇔ − + + < ⇔< <   (đồ thị hàm số nằm dưới đường thẳng y = 2 khi và chỉ khi x∈(1;3 )) tx x − =− + ⇔ = khi đó (*) 72 5 3 () 0 1 3 4 22 Đặt 7 72 22 4t t f t t ′ − ⇔ < ⇔ < < ⇔− < < điều đó chứng tỏ hàm số y fx = ( ) nghịch biến trên khoảng 5 3;2 2     −   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Câu 31: Cho đồ thị hàm số ( ) 3 y fx = + ′ 1 như hình vẽ. Hàm số f x( ) nghịch biến trong khoảng nào trong các khoảng sau? NHÓM TOÁN VD – VDC A. (−2;2). B. (2;5). C. (5;10) . D. (10;+ ∞) . Lời giải Chọn B −< < ′ + <⇔  < < . Từ đồ thị suy ra ( ) 3 2 0 x f xx 1 01 2 Đặt 3 3 tx x t = +⇔ = − 1 1 . 3 −< −< −<−< −<<   ′ < ⇔  ⇔ ⇔   2 10 8 10 7 1 Suy ra ( ) ttt < −<   <−< << . f t t t t 01 12 1 18 2 9 3 Vậy hàm số f x( ) nghịch biến trong các khoảng (−7;1) và (2;9). NHÓM TOÁN VD Dạng toán 38. Biết đồ thị hàm số y f ux = ′( ( )) xét tính đơn điệu của hàm số y fx = ( ) trong bài toán chứa tham số. Câu 32: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  , hàm số y fx = − ′( 2) có đồ thị như hình dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x m = −+ 8 nghịch – VDC biến trên khoảng 9 4; 2      . A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4 . Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Ta có: đồ thị hàm số y fx = − ′( 2) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y fx = ′( ) sang phải hai đơn vị. Khi đó hàm số y fx = ( ) có bảng biến thiên: x −∞ −3 −2 −1 +∞ f x ′( ) + 0 − 0 + 0 + NHÓM TOÁN VD Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 gx f x x m g x x f x x m = −+ ⇒ = − −+ 8 ′ ′ (2 8) 8 ( ) ( ) 2 9 (2 8) 8 0 (4; ) 2 gx x f x xm x ′ ′ = − − + < ∀∈ – VDC 9 8 3 ; (4; ) 2 13 − + − ≤ ∀∈   ≥ 2 x x mxm 2  ≤ − + − ≥ ∀∈ . 3 8 2 13 x xm m − ≤ − + ≤− ⇔   ⇒ ⇔ = 9 13,75 8 2 ; (4; ) 2 2 x x mx m Do đó có 1 giá nguyên của m để ( ) ( ) 2 gx f x x m = −+ 8 nghịch biến trên khoảng 9 4; 2      . Dạng toán 39. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 40. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán chứa tham số. NHÓM TOÁN VD Dạng toán 41. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 33: Cho hàm số y fx y f x = = ( ), '( ) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng (0;2), hàm số . ( ) x y e fx − = có bao – VDC nhiêu khoảng đồng biến? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C . '' ( ) ( ( ) ( )) x x y e fx y e f x fx − − = →= − https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số 1 ,0 2 '0 '3 ,1 2  = <<  xa a Dựa vào đồ thị ta có: ( ) ( ) =↔ = ↔  = <<  y f x fx xb b NHÓM TOÁN VD Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (0; , ;2 a b ) ( ). Câu 34: Cho hàm số y fx = ( ) , y fx = '( ) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng (−4;3), hàm số 10 ( ) x y e fx − + = có bao nhiêu khoảng nghịch biến? – VDC A. 1 NHÓM TOÁN VD B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Chọn B – VDC Ta có: [ ] 10 10 10 ' ( ) '( ). ( ) '( ) x x x y e fx f xe e fx f x − + −+ −+ =− + = − +  = − < <− xa a ,4 3  3 ' 0 '( ) ( ) , 0 2 =⇔ = ⇔ = −<<  = <<  Dựa vào đồ thị, ta có: Bảng biến thiên y f x fx x b b xc c ,0 3 x -4 a -332− b 0 c 3 y ' + 0 - - - 0 + + 0 - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số y NHÓM TOÁN VD Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số 10 ( ) x y e fx − + = có hai khoảng nghịch biến ( , );( ;3) ab c Dạng toán 42. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x = ( ). ( ) trong bài toán chứa tham số. – VDC Dạng toán 43. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) g x y f x = hoặc ( ) ( ) f x yg x = trong bài toán không chứa tham số. ( ) Dạng toán 44. Biết đồ thị của hàm số y fx = ′( ) , xét tính đơn điệu của hàm số ( ) g x y f x = hoặc ( ) ( ) f x yg x = trong bài toán chứa tham số. ( ) NHÓM TOÁN VD PHẦN 4: Biết BBT của hàm số y fx = '( ) Dạng toán 45. Biết BBT hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x hx = = + ( ) ( ) ( ) trong bài toán không chứa tham số. – VDC Câu 35: Cho hàm số y fx    có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x −∞ −2 0 1 +∞ f x ′( ) − 0 + 0 − 0 + Đặt     1 1 3 2 3 2 y gx f x x x    . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. Hàm số y gx    đồng biến trên khoảng (−∞;1) . B. Hàm số y gx    đồng biến trên khoảng (1;2). C. Hàm số y gx    đồng biến trên khoảng (0;1). D. Hàm số y gx    nghịch biến trên khoảng (−2;1) . Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số Chọn B Tập xác định của hàm số y gx    là  NHÓM TOÁN VD Ta có:         1 1 3 2 2 3 2 y gx f x x x y g x f x x x              x 2 x xx     x    ; 2 0   fx x 0 0 01 – VDC x 1 Bảng xét dấu của y gx      như sau: x −∞ −2 0 1 +∞ f x ′( ) − 0 + 0 − 0 + 2x x  + + 0 − 0 + y gx      Chưa + 0 − 0 + xác định dấu Từ bảng xét dấu của y gx      suy ra: NHÓM TOÁN VD Hàm số y gx    nghịch biến trên khoảng (0;1). Hàm số y gx   đồng biến trên các khoảng (−2;0) và (1;+∞) mà (1;2 1; ) ⊂ +∞ ( ) nên đáp án B đúng. – VDC Câu 36: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu của y fx = '( ) như sau: Hỏi hàm số ( ) ( ) 2 gx f x x x ( ) ln 1 = − ++ nghịch biến trên khoảng nào? A. (−∞;0). B. (0;1) . C. (− +∞ 1; ). D. (−1;0) . Lời giải Chọn B Tập xác định của hàm g x( ) là D R = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số x gx f xx x+ = − + + Ta có ( ) ( ) 22 1 '' .1 2 − −+ Đặt ( ) 22 11 x x h x 2 21 ' . x h xx x+ = + + ( ) ( ) NHÓM TOÁN VD ⇒ = 2 2 + + x x 1  −  = x 3 1 2 ' 03 1 Ta có ( ) h x = ⇔  − −  =  x 2 – VDC Bảng biến thiên của hàm số y hx = ( ) như sau: Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1; 0 1 1; 0. 2 h hh h  − =− = = − =     NHÓM TOÁN VD Từ bảng biến thiên có hx x f x x ( ) > ∀ ∈ < ∀ ∈ −∞ − ∪ 1, 0;1 ; ' 0, ; 1 0;1 . ( ) ( ) ( ) ( ) Nên suy ra f x hx x g x x '( ) − < ∀∈ ⇔ < ∀∈ ( ) 0, 0;1 ' 0, 0;1 . ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số g x( ) nghịch biến trên (0;1) . Từ bảng biến thiên có ( ) ( ) 1 ( ) 1;0 ; ' 0, 1; 2 hx f x x   − ∈− > ∀∈−   . – VDC 1 '( ) ( ) 0, 1; . 2 f x hx x   − ⇒ − > ∀∈−    Do đó hàm số y gx = ( ) đồng biến trên 1 1; 2   −   −  . Lại có trong các miền (−∞ − +∞ − ;0 ; 1; ; 1;0 ) ( ) ( ) đều chứa miền 1 1; 2     − −   nên loại A,C,D. Câu 37: Cho hàm số y fx    có đạo hàm liên tục trên  và bảng biến thiên của   ' y fx  như sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số x – -1 1 + 3 f’(x 3 + ∞ NHÓM TOÁN VD – -3 Hàm số gx f x x      3 đồng biến trên khoảng nào? A. 2;2019 B.   2019; 2 C. 1;2 D. 1;1 – VDC Lời giải: Chọn A Tập xác định của hàm số là  Ta có:     ' gx fx ' 3   Hàm số y gx    đồng biến  g x ' 0       ' '      fx fx x 3 0 3 2. Dạng toán 46. Biết BBT hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx f x hx = = + ( ) ( ) ( ) trong bài toán chứa tham số. NHÓM TOÁN VD Câu 38: Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên  và bảng biến thiên y = f’(x) được cho như sau: – VDC Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số g(x) = f(x) - ( ) 2 ln 1 x + - mx đồng biến trên [−1;1]. A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 Lời giải Chọn C Ta có: g(x) = f(x) - ( ) 2 ln 1 x + - mx có txđ D =  g’(x) = f’ (x) - 221 x x + - m Hàm số g(x) đồng biến trên [− ⇔ 1;1] g’(x) ≥ ∀∈− 0 1;1 x [ ] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số 2 0 1;1 1 x fx m x ' ( ) [ ] ⇔ − − ≥ ∀∈− x 2 + 2 1;1 1 1 x m fx x ' ( ) [ ]( ) ⇔ ≤ − ∀∈− x 2 + NHÓM TOÁN VD 2 : 5( ) 1;1 ; 1 1;1 1 x do f x bbt x x ' ( ) [ ] [ ] ≥ ∀∈− ≤∀∈− 2 x + x fx x ( ) [ ] '22 4 1;1 1 ⇒ − ≥ ∀∈− +dấu “=” xảy ra khi “x=1” x Vậy (1) ⇔ ≤ m 4 . – VDC Dạng toán 47. Biết BBT hàm số y fx = ′( ) xét tính đơn điệu của hàm số y gx fux = = ( ) ( ( )) trong bài toán không chứa tham số. Câu 39: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau Hỏi hàm số ( ) ( ) 2 y gx f x x = = + 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. (−∞;0). B. (−2;1) . C. (−∞ −; 2). D. (2;+ ∞) . Lời giải NHÓM TOÁN VD Chọn C Tập xác định D =  . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 y gx fx x x x f x x 2 2. 2 ′ ′ ′ ′ = = + =+ +   ′   ( ) ( ) 2 =+ + 2 2. 2 x fx x ′ . – VDC Ta có ( )2 2 x xx + = + − ≥− 2 111 với ∀ ∈x  dựa vào bảng xét dấu trên ta có ( ) 2 fx x ′ + ≤ 2 0 với ∀ ∈x  dấu " " = chỉ xảy ra tại x = −1. Từ đó y′ ≥ 0 ( ) ( ) 2 ⇔+ +≥ 2 2. 2 0 x fx x ′ ⇔ + ≤ ⇔ ≤− 2 20 1 x x nên hàm số đồng biến trên (−∞ −; 1). Mặt khác (−∞ − ⊂ −∞ − ;2 ;1 ) ( ) nên phương án C thỏa mãn bài toán. y fx = ( )  Câu 40: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau: . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHÓM TOÁN VD – VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số (2 ) x yf e = − Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? (−∞;1) (1;4) (0;ln 3) (2;+∞) A. . B. . C. . D. . NHÓM TOÁN VD Lời giải Chọn D Đặt ( ) (2 ) x gx f e = − , hàm số xác định trên  . Ta có: ' 2 ( ) ( ) x x g x ef e =− − ′ . – VDC x  − =−  e 2 1  =  ⇔ =  = − voâ nghieäm g x ' 0 ( ) = x ⇔−=  − =  e 2 1 x x ln 3 0 e x 2( ) x 2 4 e Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y gx = ( ) như sau: Suy ra hàm số y gx = ( ) đồng biến trên các khoảng ; . (−∞;0) (ln 3;+∞) Vậy chọn phương án D. NHÓM TOÁN VD Câu 41: Cho hàm số y fx = ( ) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: – VDC Hàm số gx f x ( ) = − ( 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây:. A. (3;+∞) . B. (2;3). C. (−1;2) . D. (−∞ −; 1). Lời giải Chọn C - Do hx f x ( ) = ( ) là hàm chẵn, đồ thị hàm số y hx = ( ) nhận trục tung làm trục đối xứng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36