🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook 500 bài bất đẳng thức chọn lọc Ebooks Nhóm Zalo 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦ 1. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 12 a b b c c a + − + + − + + − ≥ . Komal 2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a b c , , 0,1 ∈( ). Chứng minh rằng abc a b c + − − − < (1 1 1 1 )( )( ) . Junior TST 2002, Romania 3. [ Mircea Lascu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng b c c a a b a b c + + + + + ≥ + + + . 3 a b c Gazeta Matematică 4. Nếu phương trình 4 3 2 x ax x bx + + + + = 2 1 0 có ít nhất một nghiệm thực, thì 2 2 a b + ≥8. Tournament of the Towns, 1993 5. Cho các số thực x y z , , thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 x y z + + =1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 x y z xyz + + −3 . 6. Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c + + + + + + + ≤ + + 2 ( )( ) . Ukraine, 2001 7. [ Darij Grinberg] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c 9 + + + + +. + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 b c c a a b a b c 4 8. [ Hojoo Lee ] Cho a b c , , 0 ≥ . Chứng minh rằng 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab + + + + + + + + ≥ + + + + + 2 2 2 . Gazeta Matematică 9. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 2 . Chứng minh rằng 3 3 3 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + . JBMO 2002 Shortlist 10. [ Ioan Tomescu ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng xyz 1 + + + +. x x y y z z≤ ( )( )( )( )4 1 3 8 9 6 7 2 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 5 6 1 a b c a b c + + ≤ + + + . ( ) ( ) x x x ∈ ℝ , n a ≥ > 2, 0 sao cho 12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2 , ,...,n 2 2 2 a 2 Chứng minh rằng + + + = + + + ≤−. x x x a x x xn 1 2 1 2 ... , ...1 n n   0, , 1, 2,..., ia 2 ∈ =      . x i n n 13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a b c , , 0,1 ∈( ). Chứng minh rằng b a c b a c − − −. + + ≥ 1 4 4 4 b c c a c a a b a b b c 14. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤1. Chứng minh rằng a b c a b c + + ≥ + + . b c a 15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a x b y c z a b c x y z + ≥ + ≥ + + + = + + , . Chứng minh rằng ay bx ac xz + ≥ + . 16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 3 6 1a b c ab bc ca + + + +. + ≥ Junior TST 2003, Romania 17. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 a b c a b c + + ≥ + + . 2 2 2 b c a b c a JBMO 2002 Shortlist x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n 18. Cho 1 2 , ,..., 0, 3 n x x x = . Chứng minh rằng 1 1 1 ... 1 + + + + +. + + + > 1 1 1 n n x x x x x x x x 1 1 2 2 3 1 Russia, 2004 19. [ Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 x y z xyz + + + = 2 1. Chứng minh rằng a) 1,8 xyz ≤ b) 3,2 x y z + + ≤ 3 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang c) 3 2 2 2, xy yz zx x y z + + ≤ ≤ + + 4 d) 12 xy yz zx xyz + + ≤ + . 2 20. [ Marius Olteanu ] Cho 1 2 5 x x x , ,..., ∈ ℝ sao cho 1 2 5 x x x + + + = ... 0. Chứng minh rằng 1 2 5 cos cos ... cos 1 x x x + + + ≥ . Gazeta Matematică 21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 xy yz zx x y z + + ≥ + + + + + + 3 1 1 1 . 22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x y z , , 1 >− . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 2 + + + + + ≥ x y z + + + + + +. 2 2 2 1 1 1 y z z x x y JBMO, 2003 23. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b b c c a + + + + + ≥ + + +. 2 b c c a a b 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a + + ≤ + + 2 . Chứng minh 24. Cho a b c , , 0 ≥ thỏa mãn ñiều kiện ( ) rằng 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≤ + + 2 . ( ) Kvant, 1988 25. Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + + +. + + + = ... x x x 1998 1998 1998 1998 n 1 2 Chứng minh rằng x x x 1 2...1998 nn n≥ −. 1 Vietnam, 1998 26. [Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 x y z xyz + + = . Chứng minh rằng a) xyz ≥ 27, b) xy yz zx + + ≥ 27 , c) x y z + + ≥9 , d) xy yz zx x y z + + ≥ + + + 2 9 ( ) . 27. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + = 3 . Chứng minh rằng x y z xy yz zx + + ≥ + + . 4 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Russia 2002 28. [ D. Olteanu ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b a b c b c a c + + + + + ≥ 3 + + + + + + + + +. . . . 2 2 2 4 b c a b c c a b c a a b c a b Gazeta Matematică 29. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c c a a b b c + + + + + ≥ + + + + +. b c a c b a c b a India, 2002 30. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 ( ) a b c 3 ab bc ca + + − + − + − + + +. + + ≥ 2 2 2 2 2 2 b bc c c ac a a ab b a b c Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31. [ Adrian Zahariuc ] Cho 1 2 , ,...,n x x x là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng minh rằng 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1 ... ... 2 3 n n x x x x x x x x x n + + + ≥ + + + − . x x x n ≥ > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1 n 32. [ Murray Klamkin ] Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1 ... n n n x x x x x x x x + + + + −. Crux Mathematicorum 33. Cho 1 2 , ,..., 0 n x x x + + + = . x x x > thỏa mãn ñiều kiện 1 1 2 ... k k x x x x + ≥ + + + với mọi k. Hãy tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho 1 2 1 2 ... ... x x x c x x x + + + ≤ + + + . n n IMO Shortlist, 1986 34. Cho các số thực dương a b c x y z , , , , , thỏa mãn ñiều kiện a x b y c z + = + = + =1. Chứng minh rằng   ( ) 1 1 1 abc xyz 3 + + + ≥      . ay bz cx Russia, 2002 35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca a b c ( ) 1 + + + + + +. + + ≤ + + a b c b c a c a b 2 2 2 4 Gazeta Matematică 36. Cho a b c d , , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 a b c d + + + =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 a b c d b c d a c d a b d a b c + + + + + + + + + + + . ( ) ( ) ( ) ( ) 37. [ Walther Janous ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 5 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x y z ( )( ) ( )( ) ( )( )1 + + ≤ + + + + + + + + +. x x y x z y y z y x z z x z y Crux Mathematicorum a a a n ≥ là n số thực sao cho 1 2 ... n 38. Cho 1 2 , ,..., , 2 n a a a < < < . Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 a a a a a a a a a a a a + + + ≥ + + + . 1 2 2 3 1 2 1 3 2 1 ... ... n n 39. [ Mircea Lascu ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng + + +   b c c a a b a b c + + ≥ + +       + + +. 4   a b c b c c a a b 40. Cho 1 2 , ,...,n a a a là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số a a a n n aa 2 1 11, a a a − nhỏ hơn hoặc bằng 33 . 3 1 ,..., , n Adapted after a well – known problem 41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy yz zx xyz + + + = 2 1. Chứng minh rằng a) 18 xyz ≤ , b) 32 x y z + + ≥ , c) ( ) 1 1 1 4 x y z + + ≥ + + , x y z 2 d) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 z − ( ){ } 4 , max , , x y z z x y z + + − + + ≥ = x y z z z +. 2 1 42. [ Manlio Marangelli ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 ( )( ) ( ) 3 x y y z z x xy yz zx xyz x y z + + + + ≥ + + . 43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện max , , min , , 1 {a b c a b c }− ≤ { } Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 1 6 3 3 3 + + + + ≥ + + a b c abc a b b c c a . 44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 27 2 2 2 6 a b c a b c       + + + + ≥ + + + +         ( )      .     bc ca ab a b c 45. Cho 1, a a 2 k = = + . Chứng minh rằng a an 0 k+1 2 k 1 1 1 n − < < . n a TST Singapore 46. [ Călin Popa ] Cho a b c , , 0,1 ∈( ) thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng 6 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 2 2    − − −  + + ≥ + +   a b c a b c 3 1 1 1   − − −    . 2 2 2 a b c a b c 1 1 1 4 47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x y z , , 1 ≤ thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≤ + + +. 2 2 2 1 1 1 10 x y z 48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho x y z + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 15 1 1 1 2 − − − ≥ + + + x y z xyz x y y z z x . ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 49. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz x y z = + + +2. Chứng minh rằng a) xy yz zx x y z + + ≥ + + 2( ), b) 32 x y z xyz + + ≤ . 50. Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 x y z + + = 2 . Chứng minh rằng x y z xyz + + ≤ +2 . IMO Shortlist, 1987 51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho ( ) 1 2 , ,..., 0,1 n x x x ∈ và σ là một hoán vị của {1,2,...,n} . Chứng minh rằng n     ∑             ≥ +    x n n i 1 1 1 . ∑ ∑ . i = 1    − −     1 1 . x n x xσ       = = i i i i i 1 1     ( ) n 11 x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện i i = x= ∑ +. Chứng minh rằng 52. Cho 1 2 , ,..., n 1 1 n n 1 ∑ ∑ ≥ − . ( ) x n i 1 = = x 1 1 i i i Vojtech Jarnik 53. [ Titu Vàreescu ] Cho n > 3 và 1 2 , ,..., n a a a là các số thực thỏa mãn ñiều kiện n ∑ ≥ a n i = 1 i n ∑ ≥ . Chứng minh rằng và 2 2 a n i = 1 i max , ,..., 2 {a a a 1 2 n }≥ . USAMO, 1999 54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b b c c d d a − − − − + + + ≥ + + + +. 0 b c c d d a a b 55. Cho x y, là các số thực dương. Chứng minh rằng y x x y + > . 1 7 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang France, 1996 56. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng (a b b c c a a b c + + + ≥ + + − )( )( ) 4 1 ( ). MOSP, 2001 57. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c a b c b c a c a b abc ab bc ca + + + − + − + − ≤ + + . ( )( )( )( ) ( ) 58. [ D.P.Mavlo ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 ( 1 1 1 )( )( ) + + + a b c a b c + + + + + + + + + ≥+. 3 31 a b ca b c b c a abc Kvant, 1988 59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2 , ,...,n x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x x x = . Chứng minh rằng 1 2... 1 n n     + ≥ +   n n n 1 ( ) ∏ ∑ ∑ . n n n x x . 1   i i     = = = x i i i i 1 1 1 60. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng a b c abcd    3 3 3 1 1 min ,4 9 27d + + + ≥ +      . Kvant, 1993 61. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ 1 1 1 1 1 + + − − ≥ + + + − − − a b a c b c a b c a b b c c a . AMM 62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz =1 và α ≥1. Chứng minh rằng α α α x y z 3 + + +. + + ≥ 2 y z z x x y x x x y y y ∈ℝ thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 2 2 63. Cho 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n Chứng minh rằng n 1 2 1 2 ... ... 1 n n x x x y y y + + + = + + + = .     − ≤ −  ( )2     ∑ . x y x y x y 1 2 2 1 1 2 1 i i i = Korea, 2001 64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho 1 2 , ,...,n a a a là các số nguyên dương khác nhau từng ñôi một. Chứng minh rằng 2 1 n + ( ) 2 2 2 a a a a a a + + + ≥ + + + . ... ... 1 2 1 2 n n 3 TST Romania 65. [ Călin Popa ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 8 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang b c c a a b 3 3 + + +. + + ≥ 3 3 3 4 ( ) ( ) ( ) a c ab b a bc c b ca 66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a b c d , , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1 1 1 1 16 + + + + = a b c d . Chứng minh rằng ( )( )( )( ) − ≤ + + + + + − ≤ 3 ab bc cd da ac bd abcd 5 . 67. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c ab bc ca + + + ≥ + + 2 2 2 9 . ( )( )( ) ( ) APMO, 2004 68. [ Vasile Cirtoale ] Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện 0 , < ≤ ≤ x y z 2 x y z xyz + + = + . Chứng minh rằng a) (1 1 1 0 − − − ≥ xy yz zx )( )( ) , b) 2 3 2 32 1,27 x y x y ≤ ≤ . 69. [ Titu Vàreescu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc + + ≥ . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất ñẳng thức sau ñây là ñúng 2 3 6 2 3 6 2 3 6 6, 6, 6 + + ≥ + + ≥ + + ≥ . a b c b c a c a b TST 2001, USA 70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz + + = . Chứng minh rằng (x y z − − − ≤ − 1 1 1 6 3 10 )( )( ) . 71. [ Marian Tetiva ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b b c c a − − − − + − + − + + +. + + ≤ 4 a b b c c a Moldova TST, 2004 72. [ Titu Vàreescu ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 5 2 5 2 5 2 3 ( )( )( ) ( ) a a b b c c a b c − + − + − + ≥ + + 3 3 3 . USAMO, 2004 x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n       n n 11 Chứng minh rằng ∑ ∑ . 2   = +      x n k = = x k k k 1 1       n n 1 2 41   ∑ ∑    −. 2 2   > + +   x n k   2 ( ) = = x n n k k k 1 1 74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 9 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 2 2 a b c abc a b c + + + + ≥ + + + 2 3 1 1 1 . ( )( )( ) 75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 28 a b c b a c c b c + + + + + + + + + + + +. + + ≤ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b a c c a b USAMO, 2003 76. Cho x y, là các số thực dương và m n, là các số nguyên dương. Chứng minh rằng + + + − + − − − + + + − + ≥ + . 1 1 1 1 1 m n m n m n n m m n m n ( )( )( ) ( )( ) ( ) n m x y m n x y x y mn x y y x Austrian – Polish Competition, 1995 77. Cho a b c d e , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcde =1. Chứng minh rằng + + + + + + + + + ≥ a abc b bcd c cde d dea e eab 10 + + + + + + + + + +. ab abcd bc bcde cd cdea de deab ea eabc 1 1 1 1 1 3 Crux Mathematicorum a b c  π ∈  78. [ Titu Vàreescu ] Cho , , 0,2    . Chứng minh rằng   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin .sin .sin sin .sin .sin sin .sin .sin0 − − − − − − a a b a c b b c b a c c a c b + + +. ( ) + + ≥ ( ) sin sin sin ( ) b c c a a b TST 2003, USA 79. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca + + + + + ≥ + + + + + . KMO Summer Program Test, 2001 80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n a a a n > > thỏa mãn ñiều kiện a a a = . Hãy tìm hằng số n 1 2... 1 n k nhỏ nhất sao cho a a a a a a k 1 2 2 3 1 + + + + + +. + + + ≤ ...nn 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a a a a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n n 81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 23 ax by cz a b c x y z a b c x y z + + + + + + + ≥ + + + + . Kvant, 1989 82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c , , là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng       + + − ≥ + +   3 1 2 a b c b c a    . b c a a b c 83. [ Walther Janous ] Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1 n x x x + + + = . Chứng minh rằng         − n n 1 n x + ≥ ∏ ∏     −. i 11 = = x x i i i i 1 1 Crux Mathematicorum 10 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều 84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho 1 2 , ,..., n x x x = . Chứng minh rằng kiện 1 2... 1 n 1 1 1 ... 1 − + − + − +. + + + ≤ n x n x n x 1 1 1 n 1 2 TST 1999, Romania 85. [ Titu Vàreescu ] Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa ñiều kiện 2 2 2 a b c abc + + + =4. Chứng minh rằng 0 2 ≤ + + − ≤ ab bc ca abc . USAMO, 2001 86. [ Titu Vàreescu ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c abc a b b c c a + + − ≤ − − − . 2 2 2 3 max , , {( ) ( ) ( ) } 3 TST 2000, USA 87. [ Kiran Kedlaya ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 a ab abc a b a b c + + + + + ≤ . 3 . . a 3 2 3 88. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với bất kì số nguyên dương n không chính phương, ta có (1 sin + > n n k ) (π ) . Vietnamese IMO Training Camp, 1995 89. [ Trần Nam Dũng ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa ñiều kiện ( )3 x y z xyz + + = 32 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 4 + + x y z + +. 4 ( ) x y z Vietnam, 2004 90. [ George Tsintifas ] Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c d d a a b c d a b c d + + + + ≥ + + + 16 . Crux Mathematicorum 91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1 và n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức n n n ab bc ca ( ) ( ) ( ) − − −. + + 1 1 1 ab bc ca 92. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + + +. + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 a b b c c a 1 1 1 abc abc 1 93. [Trần Nam Dũng ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 a b c + + = 9 . Chứng minh rằng 11 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 10 (a b c abc + + − ≤ ) . Vietnam, 2002 94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng                + − + − + + − + − + + − + − ≥       1 1 1 1 1 1 a b b c c a 1 1 1 1 1 1 3         . b c c a a b 95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là số nguyên lớn hơn 2. Tìm số thực lớn nhất mn và số thực nhỏ nhất Mn sao cho với các số thực dương bất kì 1 2 , ,...,n x x x (xem 0 1 1 , x x x x = = +), n n ta có n x ≤ ≤ ∑ + − +. i m M n n 1 ( ) 1 1 2 1 = x n x x − + i i i i 96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + + + + + + + +. + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x x y z ( ) Gazeta Matematică 97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c d abcd a b c d + + + + ≥ + + + + + . ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) Gazeta Matematică 98. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b c + + + + + ≥ + + . 7 Vietnam TST, 1996 99. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + +. + + ≤ + + 1 1 1 2 2 2 a b b c c a a b c Bulgaria, 1997 100. [Trần Nam Dũng ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa 21 2 8 12 ab bc ca + + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 + + . a b c Vietnam, 2001 101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy yz zx + + = 3. Chứng minh rằng a b c ( ) ( ) ( ) 3 + + +. + + + + + ≥ y z z x x y b c c a a b 102. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b c a c a b a b c + − + − + − 3 + + + + + +. + + ≥ 2 2 2 2 2 2 5 ( ) ( ) ( ) b c a c a b a b c Japan, 1997 12 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho a a a a a a a 1 2 1 2 , ,..., 0, min , ,..., n n n ≥ = { }. Chứng minh rằng ... ... ... 11n   + + +  a a a n n n n − + + + − ≥ − − ( ) 1 2 1 a a a na a a n a     −. 1 2 1 2   n n n n 104. [ Turkervici ] Cho x y z t , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z t xyzt x y y z z t x z y t + + + + ≥ + + + + 2 . Kvant a a a là các số thực dương. Chứng minh rằng 105. Cho 1 2 , ,..., n 2 n n     ij   ∑ ∑  + −. a a a  ≤ i i j = = i j 1 , 1 1 i i j 106. Cho a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., 1001,2002 n n ∈( ) sao cho 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b + + + = + + + . Chứng minh rằng 3 3 3 a a aa a a 17 ( ) 1 2 2 2 2 n ... ... + + + ≤ + + + . b b b 10 1 2 n 1 2 n TST Singapore 107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a + + + ≥ + + 8 . 108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd =1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 + + + +. + + + ≥ 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a b c d Gazeta Matematică 109. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c a b c + + + + + +. + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 b c c a a b b c c a a b Gazeta Matematică 110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n số thực 1 2 , ,...,n a a a . Chứng minh rằng 2     ∑ ∑ 2 ( )  ≤ + +      a a a ... i i j . * 1 ∈ ≤ ≤ ≤ i j n i ℕ TST 2004, Romania x x x ∈ − thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 111. [Trần Nam Dũng ] Cho [ ] 1 2 , ,..., 1,1 n Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x x x + + + . 1 2 ... n x x x + + + = . 1 2 ... 0 n 112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n số thực 1 2 , ,..., , 2 n a a a n ≥ thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n a a a = . Chứng minh rằng 13 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 n ( ) 2 2 2 n −. a a a n n a a a n + + + − ≥ − + + + − ... 1 ... n n 1 2 1 2 n 1 113. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 3 a b c + + +. + + ≤ a b b c c a Gazeta Matematică 114. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng     + + + + ≥ 1 1 1 9 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 xy yz zxx y y z z x + + +  . 4 Iran, 1996 115. [ Cao Minh Quang ] Cho 1 2 , ,...,n x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện nn ∏ + ≤ . ( ) 3 1 2 x i i = 1 Chứng minh rằng n 1 n = x≥ ∑ +. 6 1 3 i i 1 116. [ Suranyi ] Cho 1 2 , ,...,n a a a là các số thực dương. Chứng minh rằng − − − − + + + + ≥ + + + + + + . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... ... ... ... n n n n n n 1 1 1 ( )( ) ( )( ) n a a a na a a a a a a a a n n n n Miklos Schweitzer Competition 117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2 , ,..., 0 n x x x > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n x x x = . Chứng minh rằng n ( )22 ∑ ∑ − ≥ − . x x x n i j i 1 1 i j n i ≤ ≤ ≤ = A generazation of Tukervici’s Inequality 118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho 1 21 a a a n + + + = > . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức <− và 1 2 ... 1, 2 n a a an , ,...,1 n n a a a ∑= − −n a. 1 2 ... n 1 ( ) 1 1 i i 119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho a a a 1 2 , ,..., 0,1 n ∈[ ) thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 + + + = ≥ . a a a 1 2 ... 3 n an 3 Chứng minh rằng a a a na 1 2 n − − − −. + + + ≥ ... 2 2 2 2 a a a a 1 1 1 1 1 2 n 120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 14 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 2 2 2 2 2 a b c x y z a b c x y z + + + + = + + + + = 4. ( )( ) ( )( ) Chứng minh rằng 1 abcxyz < . 36 121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n x x x = . Tìm hằng số n k nhỏ nhất sao cho 1 1 1 ... 1 + + +. 1 1 1 n n n nn + + + ≤ − k x k x k x 1 2 Mathlinks Contest x x x n > > thỏa mãn ñiều kiện 122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n 2 2 2 x x x + + + = . Tìm hằng số n 1 2 ... 1 n k lớn nhất sao cho ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 ... 1 ... n n n − − − ≥ x x x k x x x . 123. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ + + +. 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b 2 IMO, 1995 124. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng ab bc ca + + + + + +. + + ≤ 5 5 5 5 5 5 1 a b ab b c bc c a ca IMO Shortlist, 1996 125. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 18 ab bc ca + + + + + ≥+ +. 3 3 3 3 3 3 c a b a b c Hong Kong, 2000 126. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + + + + + + +. + + ≤ 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 1 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 127. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng        − + − + − + ≤    1 1 1 a b c 1 1 1 1    . b c a IMO, 2000 128. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 a b c + + + + + +. + + ≥ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 4 b c a c a b IMO Shortlist, 1998 129. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 15 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ab bc ca 1 + + +. + + ≤ c a b 1 1 1 4 130. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c abc + + + ≤ 2 3 1. Poland, 1999 131. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 a b c + + =1. Chứng minh rằng 1 + + + ≥ . a b c 4 3 abc Macedonia, 1999 132. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng ab c bc a ca b ab bc ca + + + + + ≥ + + + 1 . 133. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng (1 1 1 8 1 1 1 + + + ≥ − − − a b c a b c )( )( ) ( )( )( ). Russia, 1991 134. Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b + =1. Chứng minh rằng 2 2 1 a b + +. + ≥ a b 1 1 3 Hungary, 1996 135. Cho các số thực x y, . Chứng minh rằng ( )2 3 1 1 3 x y xy + + + ≥ . Columbia, 2001 136. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng   1 1 2a b a ba b b a + + ≥ +   ( ) 3 3 3    .   Czech and Slovakia, 2000 137. Cho a b c , , 1 ≥ . Chứng minh rằng a b c c ab − + − + − ≤ + 1 1 1 1 ( ). Hong Kong, 1998 138. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz + + = . Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + +. + + ≤ 2 2 2 1 1 1 x y z 2 Korea, 1998 139. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c 2 2 21 + + ≥ + + +. a bc b ca c ab 8 8 8 IMO, 2001 16 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 140. Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d 2 + + + + + + + +. + + + ≥ 2 3 2 3 3 2 3 3 b c d c d a d a b a b c IMO Shortlist, 1993 141. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc cd da + + + =1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 1 a b c d + + + + + + + +. + + + ≥ b c d c d a d a b a b c 3 IMO Shortlist, 1990 142. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c bc ca ab 2 2 2 2 2 2 1 + + + + + +. + + ≥ ≥ + + a bc b ca c ab a bc b ca c ab 2 2 2 2 2 2 Romania, 1997 143. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 a b c a b c + + ≥ + + . bc ca ab Canada, 2002 144. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + + + +. + + ≤ 3 3 3 3 3 3 a b abc b c abc c a abc abc USA, 1997 145. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 a b c + + =3. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + +. + + ≥ 1 1 1 2 ab bc ca Belarus, 1999 146. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a b b c + + + + ≥ + + + +. 1 b c a b c a b Belarus, 1998 147. Cho 3 a b c a b c ≥− + + = . Chứng minh rằng , , , 1 4 a b c 9 + + +. + + ≤ 2 2 2 a b c 1 1 1 10 Poland, 1996 148. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz =1. Chứng minh rằng 9 9 9 9 9 9 x y y z z x + + + + + ≥ + + + + + +. 6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 2 x x y y y y z z z z z x Roamania, 1997 149. Cho x y z ≥ ≥ > 0 . Chứng minh rằng 17 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 2 2 x y y z z x 2 2 2 + + ≥ + + . z x y x y z Vietnam, 1991 150. Cho a b c ≥ ≥ > 0 . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 4 a b c b a c a b c − − − + + ≥ − + . c a b Ukraine, 1992 151. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) xyz x y z x y z + + + + + + 3 3 + + + +. 2 2 2 ( )( ) x y z xy yz zx Hong Kong, 1997 ≤ 9 152. Cho 1 2 , , ..., 0 n a a a + + + < . Chứng minh rằng a a a > và 1 2 ... 1 n ( ) a a a a a a ... 1 ... 1 − − − −≤ 1 2 1 2 n n + + + − − −. a a a a a a n+ 1 n ( )( )( ) ( ) ... 1 1 ... 1 n n 1 2 1 2 IMO Shortlist, 1998 153. Cho hai số thực a b, , a ≠ 0 . Chứng minh rằng 13 2 2 b + + + ≥ . a ba a 2 Austria, 2000 154. Cho 1 2 , , ..., 0 n a a a > . Chứng minh rằng 2 2 2 2 a a a aa a a 1 2 1 n n + + + + ≥ + + + −. ... ... a a a a 2 3 1 n China, 1984 1 2 n 155. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz =1. Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) x y z x y z xy yz zx + + + + + ≥ + + 2 . Russia, 2000 156. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz xy yz zx ≥ + + . Chứng minh rằng xyz x y z ≥ + + 3( ). India, 2001 157. Cho x y z , , 1 > và 1 1 1 2 + + = . Chứng minh rằng x y z x y z x y z + + ≥ − + − + − 1 1 1 . IMO, 1992 158. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 6 6 6 b c a + + + + + ≤ . 3 3 3 a b c abc 18 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang IMO Shortlist, 2004 159. Cho x y z ≥ ≥ ≥ 2, 2, 2 . Chứng minh rằng 3 3 3 ( )( )( ) x y y z z x xyz + + + ≥125 . Saint Petersburg, 1997 160. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( )3 2 2 2 2 c d a b + = + . Chứng minh rằng 3 3 1. a b + ≥ c d Singapore, 2000 161. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + +. + + ≥ 1 b c c a a b 2 2 2 Czech – Slovak Match, 1999 162. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca a b c + + ≥ + + + + + + + +. ( ) ( ) ( ) c c a a a b b b c c a b a c b Moldova, 1999 163. Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a c b d c a d b + + + + + + + ≥ + + + +. 4 a b b c c d d a Baltic way, 1995 164. Cho x y u v , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng + + + ≥ + xy xu uy uv xy uv + + + + +. x y u v x y u v Poland, 1993 165. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng        + + + ≥ +      + +  1 1 1 2 1 a b c a b c        .   3 b c a abc APMO, 1998 166. Cho x y z , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 4 x y y z z x + + ≤ . 27 Canada, 1999 167. Cho a b c d e f , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 a b c d e f ace bdf + + + + + = + ≥ . 1,108 Chứng minh rằng 19 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 abc bcd cde def efa fab + + + + + ≤ . 36 Poland, 1998 168. Cho a b c , , 0,1 ∈[ ]. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a + + ≤ + + +1. Italy, 1993 169. Cho a b c a b c abc , , 0, ≥ + + ≥ . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c abc + + ≥ . Ireland, 1997 170. Cho a b c a b c abc , , 0, ≥ + + ≥ . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c abc + + ≥ 3 . BMO, 2001 171. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz + + = . Chứng minh rằng xy yz zx x y z + + ≥ + + 9( ). Belarus, 1996 172. Cho 1 2 3 4 x x x x , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2 3 4 x x x x =1. Chứng minh rằng     3 3 3 3 1 1 1 1 x x x x x x x x max ,x x x x + + + ≥ + + + + + +     . 1 2 3 4 1 2 3 4   1 2 3 4 Iran, 1997 173. Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 ( ) a b c a b c + + + + ≥+ +. ( ) x y z x y z 3 Belarus TST, 2000 174. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 1 + + + +. + + + = 4 4 4 4 1 1 1 1 a b c d Chứng minh rằng abcd ≥3 . Latvia, 2002 175. Cho x y z , , 1 > . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 xy yz zx x yz y zx z xy + + + + + ≥ . ( ) x y z xyz Proposed for 1999 USAMO 176. Cho c b a ≥ ≥ ≥ 0 . Chứng minh rằng (a b b c c a abc + + + ≥ 3 4 2 60 )( )( ) . Turkey, 1999 20 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 177. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) x y z xy yz + + ≥ + 2 . Macedonia, 2000 178. Cho các số thực a b c , , thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 3 a b c + + +. + + ≥ bc ca ab 1 2 1 2 1 2 5 Bosnia and Hercegovina, 2002 179. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + + + +. + + ≤ 4 4 4 4 4 4 a b c a b c a b c Korea, 1999 180. Cho a b c x y z > > > > > > 0, 0 . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 a x b y c z + + + + + +. + + ≥ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 by cz bz cy cz ax cx az ax by ay bx Korea, 2000 181. Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 3 . Chứng minh rằng a b c 3 + + +. + + ≥ 2 2 2 1 1 1 2 b c a Mediterranean, 2003 182. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + +. + + ≤ 1 2 2 2 a b b c c a Moldova, 2002 183. Cho 1 2 1 2 , , , ,..., 0, ... 1 n n α β x x x x x x > + + + = . Chứng minh rằng 3 3 3 x x x 1 1 2 ...n + + + +. + + + ≥ ( ) α β α β α β α β x x x x x x n 1 2 2 3 1 n Moldova TST, 2002 184. Cho a là một số thực dương, 1 2 1 2 , ,..., 0, ... 1 n n x x x x x x > + + + = . Chứng minh rằng x x x x x x n − − − 1 2 2 3 1 2 a a a n + + +. + + + ≥ ...2 x x x x x x 1 2 2 3 1 n Serbia, 1998 185. Cho x y, 0,1 ∈[ ]. Chứng minh rằng 1 1 2 + + +. + ≤ 2 2 1 1 x y 1 xy Russia, 2000 21 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 186. Cho 1 1 1 * x y z xyz x y z k N , , 0, 1, , > = + + > + + ∈ . Chứng minh rằng x y z 1 1 1 k k k + + > + + . k k k x y z x y z Russia, 1999 187. Cho 1 2 1 ... 0, 3 n n n x x x x n ≥ ≥ ≥ ≥ > ≥ − −. Chứng minh rằng x x x x x xx x x n n n 1 1 1 2 + + + ≥ + + + −. ... ... n x x x 2 3 1 1 2 Saint Petersburg, 2000 188. Cho [ ] 1 6 x x ,..., 0,1 ∈ . Chứng minh rằng 3 3 3 x x x 3 1 2 6 + + + + + + + + + + + +. + + + ≤ ... 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ... 5 ... 5 ... 5 5 x x x x x x x x x 2 3 6 3 4 1 1 2 5 Ukraine, 1999 189. Cho 1 2 , ,..., 0 n a a a > . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) a a a a a a a a a + + + ≥ + + + . 1 2 1 2 2 3 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 n n Czech – Slovak – Polish Match 2001 190. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 3 3 3 a b c b c a c a b . 1 . 1 . 1 1 + − + + − + + − ≤ . Japan, 2005 191. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2       + + ≥ + + + +   a b c 1 1 1 a b c ( )    . b c a a b c Iran, 2005 192. Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a b c d + + + + + + ≥ . 3 3 3 3 a b c d abcd Austria, 2005 193. Cho a b c , , 0,1 ∈[ ]. Chứng minh rằng a b c + + +. + + ≤ 2 bc ca ab 1 1 1 Poland, 2005 194. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 1 a b b c c a + + ≤ . 3 Bosnia and Hercegovina, 2005 195. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 22 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang   + + +  + + ≥ + +  1 1 1 21 1 1 b c a a b c     − − −. a b c a b c Germany, 2005 196. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )2 2 2 2 a b c 4 a b − + + ≥ + + ++ +. a b c b c a a b c Balkan, 2005 197. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =8. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c 4 . + + ≥ 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b b c c a + + + + + + APMO, 2005 198. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng a b c 2 2 2 1 + + +. + + ≤ a b c 2 2 2 Baltic way, 2005 199. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz ≥1. Chứng minh rằng 5 2 5 2 5 2 x x y y z z − − − + + ≥ + + + + + +. 5 2 2 5 2 2 5 2 3 0 x y z y z x z x y IMO, 2005 200. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng           + + + + ≥ + +     2 2 3 3 1 1 2 2 a b b a a b       4 4 2 2 Belarusian, 2005 201. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 + + = . Chứng minh rằng a b c (a b c − − − ≥ 1 1 1 8 )( )( ) Croatia, 2005 202. Cho x là số thực dương. Chứng minh rằng n ( ) n 2 x + + ≥ − 1 11 +. xx n 1 ( ) Russia, 2005 203. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + + + +. + + ≤ 1 1 1 a b b c c a Romania, 2005 204. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 23 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a a a 3 + + ≥ + + + + + +. ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b b c c a 1 1 1 1 1 1 4 Czech and Slovak, 2005 205. Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 13 ab bc ca + + = . Chứng minh rằng 1 1 1 3 − + − + − +. + + ≤ 2 2 2 a bc b ca c ab 1 1 1 China, 2005 206. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 ab c bc a ca b − + − + − ≤ . 1 1 13 Republic of Srpska, 2005 207. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a b c ( ) 32 + + +. + + ≥ + + b c c a a b Serbia and Montenegro, 2005 208. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 4 4 4 a b c + + = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 1 − − −. + + ≤ 4 4 4 ab bc ca Moldova, 2005 209. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng ( )3 31 3 3. 6 a b c + + + ≤ . abc abc Slovenia TST, 2005 210. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c , , 1 ≥ . Chứng minh rằng   ( ) 1 1 1 2 9 abca b c + + + ≥      .   211. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy xy yz yz zx zx + + =1. Chứng minh rằng 6 6 6 x y z 1 + + +. + + ≥ 3 3 3 3 3 3 2 x y y z z x 212. [ ðặng Thanh Hải ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 3 3 sin sin 2 sin 32 x x x + + < . 213. [ Ngô Văn Thái ] Cho 1 2 , ,..., 0, 2 n x x x n > > . Chứng minh rằng 24 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x xn + + + + ...n n n − 1 2 3 2 3 4 1 1 1 2 + + + +. + + + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x n n n 1 2 3 2 3 4 1 1 1 2 − 214. [ Nguyễn Duy Liên ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c , , 1,2 ∈[ ]. Chứng minh rằng   ( ) 1 1 1 a b c 10 + + + + ≤      .   a b c 215. [ Lê Thanh Hải ] Cho a b c , , d là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 a b c d a b c d + + + + + + ≥ . 2 2 2 2 4 b c d a abcd 216. Cho x ∈[0,2]. Chứng minh rằng 3 3 4 4 3 3 x x x x − + + ≤ . 217. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 2 sin 15 10 2 cos 6 x x + − ≤ . 218. [ Trần Văn Hạnh ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 x y z + + =1, n ≥1. Chứng minh rằng ( )2 n x y z n n 2 1 2 1 + + − − −. + + ≥ 2 2 2 n n n x y z n 1 1 1 2 219. [ Kiều Phương Chi ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + + + +. + + ≤ 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2 3 2 3 2 3 2 220. [ Vũ ðức Cảnh ] Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 x y + =1. Chứng minh rằng     ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 4 3 2 x y + + + + + ≥ +        .        y x 221. [ Ngô Văn Thái ] Cho a b c , , 0,1 ∈( ]. Chứng minh rằng ( )( )( ) 1 1 1 1 1 a b c≥ + − − − + +. 3a b c 222. [ Nguyễn Văn Thông ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 4 2 2 x y z + + +. + + = x y z 1 1 1 Chứng minh rằng 3 4 2 1 x y z ≤ . 8 9 223. [ Nguyễn Bá Nam ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng       + + + + + + + ≥ + +   b c c a a b a b ca b c a b c 1 1 1 3 ( ) 3 3 33 3 3    . 2 25 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng ( )4 4 16cos 3 768 2048cos x x + + ≥ . 225. [ Lê Quốc Hán ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 8 4 ( ) 1 1 1617 + + x x ≤ ≤ . 8 1 2 4 ( ) + x 226. [ Nguyễn Lê Dũng ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c + + + + + + + ≤ + + + + +. 3 a b b c c a a b c 227. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a b c , , là các số thực dương, n ≥ 2 . Chứng minh rằng a b c nn n + + + −. + + > − 1 n n n 1 b c c a a b n 228. [ Trịnh Bằng Giang ] Cho x y z , , là các số thực không âm thỏa ñiều kiện x y z + + =1, n ≥ 2. Chứng minh rằng n n n n n +. + + ≤ + x y y z z xn ( )1 1 n 229. [ Nguyễn Văn Ngọc ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 16 3 xyz x y z x y y z z x + + ≤ + + + . x y z  π π ∈      . Chứng minh rằng 230. [ Nguyễn Bá ðang ] Cho , , ,6 2 2 − − −   sin sin sin sin sin sin 1 1 x y y z z x + + ≤ −   .     sin sin sin 2 z x y 231. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz =1. Chứng minh rằng 2 2 2 x y z + + + + + +. 3 3 3 3 + + ≥ x y y z y z z x z x x y 232. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz =1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 x y y z z x + + ≤ 2 2 7 7 2 2 7 7 2 2 7 7 1 + + + + + +. x y x y y z y z z x z x 233. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng a b abc 3 3 14 + + ≤ + + + +. a bc b ca c ab 234. [ Nguyễn Minh Phương ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + = 2007 . Chứng minh rằng 20 20 20 11 11 11 3.669 x y z 9 + + ≥ . y z x 26 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 235. [ Phạm Thị Thanh Quỳnh ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 5 5 5 b a c b a c a b c − − − + + ≤ + + + + +. 2 2 2 ab b bc c ca a 3 3 3 236. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x y z , , 1 ≥− và 3 3 3 2 2 2 x y z x y z + + ≥ + + . Chứng minh rằng 5 5 5 2 2 2 x y z x y z + + ≥ + + . 237. [ Nguyễn ðễ ] Cho α β γ α β γ , , , sin sin sin 2 ∈ + + ≥ ℝ . Chứng minh rằng cos cos cos 5 α β γ + + ≤ . 238. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 6 . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 3 17 + + +. a b c + + + + + ≥ 2 b c c a a b 239. [ ðỗ Thanh Hải ] Cho x y z t , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyzt =1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 4 + + + + + + + +. + + + ≥ 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx 3 240. [ ðỗ Bá Chủ ] Cho 1 2 1 2 , , ..., 0, ... ; , 1 k k a a a a a a k k n > + + + ≥ ≥ . Chứng minh rằng n n n a a a + + +≤ 1 2 ... 1 k + + +. 1 1 1 n n n + + + ... a a a 1 2 k 241. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc a c b + + = . Chứng minh rằng 2 2 3 10 − + ≤ + + +. 2 2 2 a b c 1 1 1 3 Vietnam, 1999 242. [ ðặng Thanh Hải ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng + + +     + + ≥ + +   a b b c c a c a b  . 2    + + +  c a b a b b c a c 243. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng 10 3 a b c abc + + + ≥ . 9 244. [ Phan Hoàng Vinh ] Cho [ ] 1 2 , , ..., 0,1 , 2 n a a a n ∈ ≥ . Chứng minh rằng a a an n 1 2 + + +. + + + ≤ − ... 1 a a a a a a a a a − ... 1 ... 1 ... 1 n n n 2 3 1 3 1 2 1 245. [ ðào Mạnh Thắng ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c + + ≥ . Chứng minh rằng 27 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 3 + + ≥ + + +. 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) c a b a b c b c a 246. [ ðỗ Ngọc Ánh ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 6 . Chứng minh rằng        + + + ≥    1 1 1 729 1 1 1    . 3 3 3 a b c 512 247. [ Trương Hoàng Hiếu ] Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c + + + + + ≤ 1 1 1 7 + + +. 2 2 2 b c a 1 1 1 2 248. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a b c , , là các số thực dương và 23 k ≥ . Chứng minh rằng k k k             + + ≥ a b c 3       + + +. k b c c a a b 2 249. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y + =1. Chứng minh rằng 1 1 4 2 3 +. 3 3 + ≥ + x y xy 250. [ Hồ Quang Vinh ] Cho a b c d , , , là các số thực thỏa ñiều kiện 2 2 a b c d + = + = 4 . Chứng minh rằng ac bd cd + + ≤ +4 4 2 . 251. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho x y z , , với x x y z = max , , { }. Chứng minh rằng x y z 3 + + + + ≥ + + . 1 1 1 2 2 3 y x x 252. Cho a là số thực dương và x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xy yz zx + + =1. Chứng minh rằng a x y z− + + + + ≥ . ( ) 2 2 2 1 1 8 a 2 253. [ Triệu Văn Hưng ] Cho a b c , , 1 > . Chứng minh rằng c a b b c a a b c abc + + ≥ . log log log 3 3 254. [ Phạm Văn Thuận ] Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 2 2 x y + =1. Chứng minh rằng { } 3 3 xy x y + ≤ . max ,4 255. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 6 3 6 a b c 1 + + +. + + ≥ 3 3 3 3 3 3 b c c a a b 18 256. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng 28 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang xy yz zx 3 + + +. + + ≤ 2 z xy x yz y zx 257. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 2 9. x+ ≤ + + 1x x 258. Cho a b, là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a b > ≥0. Chứng minh rằng 32 2 5 − +. + ≥ aa b b ( )( )2 2 3 259. Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b + = 4. Chứng minh rằng 6 10 2 3 18 a ba b + + + ≥ . 260. Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =3. Chứng minh rằng 5 5 5 5 2 2 2 3 3 a b b c c a + + + + + ≤ . 261. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )6 2 3 x y z xy z + + ≥ 432 . 262. Cho a ∈[0,1]. Chứng minh rằng 2 4 2 4 13. 9. 16 a a a a − + + ≤ . 263. Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng          + + + + ≥     3 3 3 3 28561 2 2 2 2 a b c d     . 5 5 5 5 625 b c d a 264. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c d + + + ≤1. Chứng minh rằng          + + + + + + + + ≥     1 1 1 1 1 1 1 1 4     . 1 1 1 1 9 a b b c c d d a 265. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcd ≥16 . Chứng minh rằng          + + + + + + + + ≥     2 1 2 1 2 1 2 1 2401     . a b c d b c c d d a a b 16 266. Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b + ≤1. Chứng minh rằng 1 1 1 20 +. + + ≥ 3 3 2 2 a b a b ab 267. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + ≤1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 81 + + +. + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a b b c c a ab bc ca 2 268. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 3 . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( )5 5 5 5 2 2 2 3 6 a b a c a b c b a b c a c b c + + + + + + + + ≤ . 29 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 2 2 269. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( )( ) ( ) a a b c c + + + + = 2 1 3 64 . Chứng minh rằng 3 4 5 a b c ≤1. 270. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 32 a b c + + ≤ . Chứng minh rằng        + + + + + + ≥    1 1 1 1 1 1 3 3 3 343    . a b b c c a 271. Cho a b c m n p , , , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 a b c m n p + + ≤ + + ≤ . 1,2 Chứng minh rằng     2 1 2 1 2 1 3   + + + + + + ≥         . 1 1 1 9   a m b n c p 272. [ Phùng Văn Sự ] Cho x y z , , là các số thực. Chứng minh rằng 2 2 2 2 ( )( )( ) ( ) 27 3 3 3 4 3 3 3 x y z xy yz zx + + + ≥ + + . 273. [ Trần Anh ðức ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a + + + + + + + + ≥ 9 + + +. 2 2 2 2 2 abc c ab a bc b ac 274. [ Lê Thanh Hải ] Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab =1. Chứng minh rằng 3 3 a b + +. + ≥ 1 1 b a 1 275. [ Dương Châu Dinh ] Cho x y z , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện x y z + + = 2 . Chứng minh rằng 3 3 3 4 4 4 2 2 x y z x y z + + ≤ + + + . ( ) ( ) 276. [ Nguyễn Tất Thu ] Cho a b c , , , α là các số thực dương. Chứng minh rằng α α α          + + + + + ≥    2 2 2 1 1 1 a b c 3.2 α      . ab bc ca 277. [ Trần Xuân ðáng ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng (a b b c c a a b c + + + ≥ + + + )( )( ) 2 1( ). 278. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng   ( ) 1 1 1 1 6 x z y + + + + + + ≥ + + +      . xyz x y z x y z z y x 279. [ ðàm Văn Nhỉ ] Cho a b c d , , , 0,1 ∈[ ]. Chứng minh rằng a b c d + + + +. + + + ≤ 3 bcd cda dab abc 1 1 1 1 30 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 280. [ Cao Xuân Nam ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng 8 8 8 a b c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b b c c a + + + 1 12 . 281. [ Trần Hồng Sơn ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + ≤3. Chứng minh rằng 3 3 3   1 1 1 27 84 a b c + + + + + ≥      . 2 2 2   b c a ab bc ca 282. [ Dương Châu Dinh ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện    + + ≤ + + +  1 1 1 1 1 1 6 1    .   2 2 2 a b c a b c Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + + + +. + + ≤ 10 10 10 12 a b c a b c a b c 283. [ Lê Văn Quang ] Cho a b c d e f , , , , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện ab bc cd de ef + + + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 + + + + + ≥ . a b c d e fπ 2cos7 284. [ Cao Minh Quang ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng a b c 27 + + + + + +. + + ≤ 3 2 3 2 3 2 1 1 1 31 a a b b c c 285. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng + + + + ≥+ + + + + + + +. x y z xy yz zx 2 2 2 2 2 2 3 3 x xy y y yz z z zx x 286. [ Walther Janous ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ab ab a b a b + + + + ≥ + + . 3 1 3 1 3 3. . 4 4 3 4 4 287. [ Trần Thị Thuận ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥ + + + +. ( ) ( ) ( ) a b b c c a abc 1 1 1 1 288. Cho x y z , , là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 3 3 3 2 2 2 8 9 x y z x yz y zx z xy + + ≥ + + + . ( ) ( )( )( ) 289. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 x z y x z y − − − + + ≥ + + +. 0 y z z x x y 31 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 290. Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y + =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x y ( ) x y + . 291. [ Nguyễn Hữu Bằng ] Cho a b c , , là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 3( )( )( )9   − − − a b b c c a + + + + + ≥      . a b ca b c abc   292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 số thực không âm , 1, 2,...,5 ( ) i i a b i = thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1 1, 2,...,5 i i a b i + = = và 2 2 2 ( ) 1 2 5 a a a + + + = ... 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b b b b b + + + + 1 2 3 4 5 + + + +. a a a a a 1 2 3 4 5 293. Cho x y z , , là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2   x y y z z x xyz x y z y z x z x y + + + ≥ + + + + + + 2 2 2   ( )( )( ) ( )( )( ) 294. [ Vedula N. Murty ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + + + + a b c a b b c c a 1 3 ≤ . 3 4 abc 295. [ Cao Minh Quang ] Cho 1 2 1 2 , ,..., 0, ... 2 , 3 n n x x x x x x n n > + + + = ≥ . Chứng minh rằng x n n ( ) 2 1 n nj − ∑∑ . = = x 3 + ≥ 1 3 j i i 1 1 i j ≠ xdt f f xt t ℝ ∫. Chứng minh rằng với các số 296. Cho hàm số [ ) ( ) 2002 : 1, ,2002 +∞ → =+ 1 thực 1 2 , ,..., 1 n x x x ≥ , ta có ( 1 2 ) ( ) ( ) 1 2 ... ... ln n n f x f x f x x x x + + + + + + ≤ . n n 297. Cho các số thực a b c , , thỏa mãn ñiều kiện 0 3 ≤ ≤ ≤ ≤ a b c . Chứng minh rằng 2 2 2 a b a a c b b c c − − + − − + − − ≤ 9 9 9 36 . ( )( ) ( )( ) ( )( ) a a a . Chứng minh rằng 298. Cho các số thực 1 2 , ,..., n 3 3 3 3 2 2 2 a a a a a a + + + ≤ + + + . 1 2 1 2 ... ... n n Nordic, 1990 299. Cho các số thực ( ) 1 2 , ,..., 2 n x x x n ≥ thỏa mãn các ñiều kiện 1 2 ... 0 n x x x + + + ≥ và 2 2 2 x x x + + + = . ðặt M x x x = max , ,..., { 1 2 n }. Chứng minh rằng 1 2 ... 1 n 1 Mn n ≥−. ( ) 1 Nordic, 1995 300. Cho ( ) 1 2 , ,..., 1 n a a a n ≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng            + + + ≥ + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n      + + +. ... ... ... 1 1 1 n n n a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 ðẳng thức xảy ra khi nào? Nordic, 1999 32 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 301. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với các số thực 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n x x x y y y , ta luôn có bất ñẳng thức 2 2 2 2 2 2 x x x y y y x y x y x y + ≤ + + + + + + . 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n Poland, 2002 302. Cho ( ) 1 2 , ,..., 3 n x x x n ≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất ñẳng thức sau là ñúng n n x x n n ≥ ≥ ∑ ∑ + +. i i ,2 2 = = x x x x + + − − i i i i i i 1 1 1 2 1 2 (ở ñây ta xem 1 1 2 2 0 1 1 , , , x x x x x x x x + + − − = = = = ) n n n n Poland, 2002 303. Cho a b c , , là các số thực. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b b c c a a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + . Poland, 2004 304. Cho a b, là các số thực dương và các số thực x y i n n i i , 0,1 , 1,2,..., 1 ∈ = ≥ [ ] ( ) thỏa mãn các ñiều kiện 1 2 1 2 ... , ... n n x x x a y y y b + + + ≤ + + + ≤ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 2 2 ... n n x y x y x y + + + . Poland, 2005 305. Cho các số thực dương 1 2 , ,..., n x x x và số thực c > −2 . Chứng minh rằng nếu 2 2 2 2 2 2 ( ) x cx x x x cx x x x cx x x c x x x + + + + + + + + + = + + + + 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 2 ... 2 ... n n n thì c = 2 hoặc 1 2 ... n x x x = = = . Poland, 2005. 306. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca abc + + = . Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 a b b c c a + + + + + ≥ + + +. 3 3 3 3 3 31 ( ) ( ) ( ) ab a b bc b c ca c a Poalnd, 2006 307. Cho 1, , 1 2≤ ≤ a b c . Chứng minh rằng + + + ≤ + + ≤ a b b c c a 2 3 + + +. 1 1 1 c a b a b  π ∈  308. Cho , 0,4     và n ∈ ℕ . Chứng minh rằng   n n n n + + ≥ sin sin sin 2 sin 2 a b a b + +. n n ( ) ( ) sin sin sin 2 sin 2 a b a b 309. Cho a b c , , là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng (− + + − + + − + + − + + − − + + ≤ + + a b c a b c a b c a b c a b c a b c abc a b c )( ) ( )( ) ( )( ) ( ). Romania TST, 2002 a a a n ≥ là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 310. Cho ( ) 1 2 , ,..., 3 n Chứng minh rằng a a a + + + = . 1 2 ... 1 n a a aa a a a a a 1 2 n 4 ( )2 + + +. ... ... + + + ≥ + + + 2 2 2 1 1 2 2 a a a 1 1 1 5 2 3 1 Romania TST, 2002 n n 33 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 311. Cho các số thực x y, thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1 2 ≤ − + ≤ x xy y . Chứng minh rằng a) 2 4 4 8 9≤ + ≤ x y , b) 2 2 2, 3 n n x y n + ≥ ≥ . 3 n 312. Cho x x x n 1 2 1 , ,..., 3 n− ( ≥ ) là các số tự nhiên thỏa mãn ñiều kiện 1 2 1 ... 2 n x x x + + + = − và ( ) 1 2 1 2 ... 1 2 2 n x x n x n + + + − = − −. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức n − 1 = − ∑ . ( ) ( ) F x x x k n k x , ,..., 2 1 2 n k 1 k = x  π ∈  313. [ V. Senderov ] Cho 0,2 rằng     và m n, là các số tự nhiên sao cho n m > . Chứng minh   2 sin cos 3 sin cos n n m m x x x x − ≤ − . 314. [ S. Berlov ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 1 1 1 2 2 2 − − − + + +. + + ≥ + + 1 1 1 1 1 1 a b c a b c x  π ∈  315. Cho 0,2    . Chứng minh rằng   sin sin x x ≤ . 316. [ D. Tereshin ] Cho a b c , , là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 ( ) ( ) a b c a bc b ca c ab + + ≥ + + 3 . 317. Cho ( ) 1 2 , ,..., 4 n x x x n ≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng x x x x 1 2 1 ... 2 n n − + + + +. + + + + ≥ x x x x x x x x n n n n 2 1 3 2 1 1 − − Xác ñịnh ñiều kiện xảy ra ñẳng thức khi n = 4 . 318. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 4 8 (a b c d abc bcd cda dab + + + + + + + = ) ( ) . Chứng minh rằng ab ac bc ad bd cd + + + + + ≤ 2 . 319. Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 x y z y z x z x y ≤ + ≤ + ≤ + , , . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Serbia and Montenegro, 2002 320. Cho a b c , , là các số thực dương và n k, là các số tự nhiên. Chứng minh rằng n k n k n k + + + a b c a b c k k k + + ≥ + + . n n n b c a 321. [ R. Sanojevic ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 1 1 1 2 . + + ≥ 1 1 1 1 1 1 b c a + + + + + + a b c 2 2 2 Serbia and Montenegro, 2004 322. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 ( ) xy yz zx x y y z z x xyz + + ≥ + + + 4 5 . Serbia and Montenegro, 2006 34 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 323. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng x y z 9 + + +. + + ≥ 2 2 2 4 y z z x x y Serbia and Montenegro, 2006 324. Chứng minh rằng 44 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) < < + + + . tan1 tan 2 ...t an44 t an22 30' tan1 tan 2 ... t an44 44 325. Cho a b c d e f , , , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ab cd ef (a c e b d f )( ) + + + + + + + + + + + +. + + ≤ a b c d e f a b c d e f Yugolavia, 1985 326. Cho a b ≥ ≥ 1, 1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2    − +  a b ab a b   + ≥ 38 8   +.   a b Yugolavia, 1991 327. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 ( ) 2 2 ( ) a b a b a b ab − − + +. ( ) ≤ − ≤ 2 2 4 a b ab Yugolavia, 1993 328. Cho các số thực 1 2 3 4 5 x x x x x , , , , . Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực a ñể 2 2 2 2 2 ( ) 1 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 x x x x x a x x x x x x x x + + + + ≥ + + + . Yugolavia, 1996 329. [ ð. Dugosija ] Cho a b c , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng ít nhất hai trong ba số1 1 1 2 ,2 ,2 a b c − − − ñều lớn hơn 1. b c a Serbia and Montenegro TST, 2004 330. Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d + + + +. + + + ≥ 2 b c c d d a a b Yugolavia TST, 1985 331. Cho a b > > 0. Chứng minh rằng x x x x  332. Cho 1 2 3 41 2 2 ( ) ( ) a b a b a b ab − − + < − < . 8 2 8 a b Sweden, 1985 ∈   . Chứng minh rằng , , , 0,2 4 4 4 4 x x x x x x x x + + + 1 2 3 4 1 2 3 4 − − − − − + − + − + −. ≤ 4 4 4 4 ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 Taiwan, 2002 x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 333. Cho 1 2 , ,..., n giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 n x x x + + + = . Hãy tìm 1 2 ... 1 n x ∑= x x x x + + + −. i 1 1 2 ... i n i Turkey TST, 1997 334. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 35 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 − − + − − + − − ≥ . a b b c c a   π ∈ ∈      ℕ . Chứng minh rằng 335. Cho 0, , x n   2 n ( ) sin2x sin3x cos sin n+1 x x + + + < . ... 2 2 sinx sin2x sinnx sin x Ukraina TST, 1999 336. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 2 . Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≥ + + +. 1 1 1 13 ab bc ca Swiss TST, 2003 337. Cho 1 2 , ,...,n a a a là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n a a a = . Chứng minh rằng a a a a a a + + + ≤ + + + . 1 2 1 2 ... ... n n 338. Cho a b c , , là ñộ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 1 a b c abc + + + ≤ . 42 Italy, 1990 339. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng   9 1 1 1 1 1 1 2 ≤ + + ≤ + +     + + + + +  .   a b c a b b c c a a b c Irish, 1998 340. Cho a b c , , là các số thực không âm. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3a b b c c a a b c a b c a b b c c a     − + − + − ≤ + + − ≤ − + − + −   . Irish, 2005 341. Cho 0 , , 1 < < a b c . Chứng minh rằng 3 a b c abc 3 − − − −. + + ≥ 3 a c c abc 1 1 1 1 Irish, 2002 342. Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện xyz = −1. Chứng minh rằng ( )2 2 2 2 2 2 4 4 4 3x x y y z z + + + + + ≥ + + + + + . x y z x y zy z x z x y Iran, 2004 x x x là các số thực dương. Chứng minh rằng 343. Cho 1 2 , ,..., n 3 3 3 x x x x x x + + + ... 1 2 1 2 n n + + + + + +. ...3 + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 n n Hungary – Israel Competition, 2003 344. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c d + + + =1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 2 2 2 2 1 ( ) ( ) a b c d a b c d + + + ≥ + + + + . 68 Hong Kong, 2006 345. Cho ( ) 1 2 1 , ,..., 2 n a a a n + ≥ là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 1 3 2 1 ... n n a a a a a a − = − = = −+. 36 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Chứng minh rằng n a a a a − + 1 1 1 1 1 2 1 n n + + + + ≤ . ... . 2 2 2 2 a a a a a a a 2 3 1 2 1 + n n n Hong Kong, 2004 346. Cho x y z k a x ky kz b kx y kz c kx ky z , , 0, 2, , , > > = + + = + + = + + . Chứng minh rằng x y z 3 + + ≥+. 2 1 a b c k Greek TST, 1998 347. Cho x y z , , là các số thực. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 x y y z z x − − − + + ≤ 2 2 2 0 + + +. 2 1 2 1 2 1 x y z Greek TST, 2005 348. Cho x y, là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 x xy y + + =1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 K x y xy = + . Greek , 2006 2 0, 0 γ − 1 349. Cho α β γ , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện ≠ ≥ . Chứng minh rằng βγβγ 2 2 2 3 10 2 5 α β γ βγ αβ αγ + + − ≥ + . ( ) Greek , 2002 350. Cho α β, , , x y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện α β + =1. Chứng minh rằng α β α β  + + ≥   ( ) x y 1    . x y ðẳng thức xảy ra khi nào? Greek , 2001 351. Cho x y, là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số k lớn nhất ñể xy 1 . k x y x y≤ 2 2 2 2 ( )( ) + + 3 Greek , 2000 352. Cho a b c , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a b c a b c ab bc ca < < + + = + + = , 6, 9 . Chứng minh rằng 0 1 3 4 < < < < < < a b c . Britain, 1995 353. Cho 0 , , 1 ≤ ≤ x y z . Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 S x y y x P x y y z z x x z y x z y = − = + + − − − , . Britain, 1995 354. Cho a b c d e , , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 a b c d e b c d e a                     + + + + ≥ + + + +          . b c d e a a b c d e Britain, 1984 355. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 x y z + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 1 x yz xy z xyz + + ≤ . 3 Britain, 2004 356. Cho a b c p q , , , , , 0,1 α ∈( ). 37 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang α α + + − 1 1 1, 0,1 a) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) x x ( )( ) −. f x x = + ∀ ∈ α α c c 1 α α α + + + + 1 1 1 a b a b b) Chứng minh rằng ( ) + ≥+. α α α p q p q ( ) Bulgarian, 1984 357. Cho 1 2 3 4 5 x x x x x , , , , là các số thực dương. Hãy xác ñịnh số C bé nhất ñể ( ) ( )16 2005 2005 2005 125 125 125 1 2 5 1 2 3 4 5 1 2 5 C x x x x x x x x x x x + + + ≥ + + + ... ... . Brasil, 2005 358. Cho a x y z , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a z a x a y a y a z a x + + + + + + + + ≤ + + ≤ + + x y z x y z x y z + + + + + +. a x a y a z a z a x a y 359. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng 3 4 2 3 4... 2 nn < . Austria, 1990 360. Cho a b c d , , , là các số thực. Chứng minh rằng 6 6 6 6 a b c d abcd + + + + ≥2 6 . Austria, 2004 361. Cho a b c , , là các số thực. Chứng minh rằng {( ) ( ) ( ) }2 2 2 a b c a b b c c a + + − − − ≤ . 2 2 2 min , ,2 Italy, 1992 362. Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn các ñiều kiện 2 2 2 2 2 2 a b c b c a ≤ + ≤ + , , 2 2 2 c a b ≤ + . Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 6 6 6 a b c a b c a b c a b c + + + + + + ≥ + + 4 . ( )( )( ) ( ) Japan, 2001 363. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng n − 1 n 1 < ∑ − −. . 4 n k k k = 2 1 1 Japan, 1992 364. Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 a b c + + =1. Chứng minh rằng a b c a a b b c c 3 2 2 2 ( ) + + +. + + ≥ + + b c a 1 1 1 4 Mediteranean, 2002 365. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca abc + + + = 2 1. Chứng minh rằng 2 1 32 (a b c abc + + + ≥ ) . Mediteranean, 2004 366. Cho a b c , , là các số khác 0; x y z , , là các số thực dương thỏa ñiều kiện x y z + + = 3 . Chứng minh rằng 3 1 1 1 x y z + + ≥ + + + + +. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c Mediteranean, 1999 a a a là các số thực dương. Chứng minh rằng 367. Cho 1 2 , ,..., n 38 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 − ≥ . 1 1 1 1 1 1 n ... ... + + + + + + 1 1 1 n n + + + a a a a a a 1 2 1 2 368. Cho n ≥ 2 . Chứng minh rằng log 3 log 4 ... log 1 ln 0,9 2 3 + + + + < + − n (n n n ) . x y  369. Cho 3 ∈      . Chứng minh rằng , 1,2 2 2 y x x y x y 3 2 3 2 − + − ≤ + . Moldova, 2001 370. Cho a b c , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c ab bc ca + + + ≥ + + 1 4 . ( ) Moldova, 2002 371. Cho n là một số tự nhiên và x là một số thực. Chứng minh rằng n n cos cos 2 cos 4 ... cos 22 2 x x x x + + + + ≥ . α β γ  372. [ V. Yasinsky ] Cho , , 0,2π ∈     . Chứng minh rằng   sin sin sin β γ α α β γ α β γ + + ≥ + + . sin sin sin α β γ α β γ  373. [ V. Yasinsky ] Cho , , 0,2π ∈     . Chứng minh rằng   + + + + + ≥ + + . sin sin sin sin sin sin β γ γ α α β α β γ α β γ 2sin 2sin 2sin α β γ 374. [ M. Kurylo ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 6 6 6 ( ) a b c abc a b c + + + + +. + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 b c c a a b 375. [ M. Kurylo ] Cho a b c x y z , , , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) 3 3 3 3 a b yz b c zx c a xy a b c x y z + + + + + ≤ + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 376. [ V. Brayman ] Cho 1 ≤ < a b c . Chứng minh rằng 0 , ,3 a b b c c a a b c abc + + + + + − + + ≤ − − − − − −. 2 1 1 1 1 ab bc ca ab bc ca 377. [ O. Kukush, R. Ushakov ] Cho n ≥1. Chứng minh rằng 1 3 5 ... 2 1 2 + + + + − < n . 378. [ V. Gavran ] Cho a b c , , là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 3 3 3 a b c a c b a b c c a b b c a ( ) ( ) ( ) + + ≥ + − + + − + + − . 2 2 2 b c a c b a 379. [ R. Ushakov ] Cho n p ≥ ≥ 2, 3 . Chứng minh rằng n    − > 1 p   ∏  + 11   p = k p k 2 380. [ Prymak ] Cho 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n x x x y y y là các số thực dương. Chứng minh rằng 39 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 3 3 3 ( ) x x x x x x + + + ... n n 1 2 1 2 + + + ≥+ + +. ...... 2 2 2 2 y y y y y y ( ) n n 1 2 1 2 x y  π ∈      . Chứng minh rằng 381. [ D. Mitin ] Cho , 0,2 − +   cos cos 4 1 1 cos x y x y ≤ +      + − + −   . cos cos 4 2 cos cos 4 x y x y x x x x x x ≠ , 1 2 ... 0 n 382. [ D. Mitin ] Cho 1 2 , ,..., 0 n + + + = . Chứng minh rằng x x x 2 3 1 1 2 2 3 1 ( )( 1 2 ) + + + ≤ − + + + . x x x x x x x x x x x ... max min ... n k k n k n k n ≤ ≤ ≤ ≤ 1 1 383. [ V. Yasinskyy ] Cho a b c , , là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện a b c + + = 2 và ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng { } { } 4 max , , min , ,3 a b c a b c − ≤ . 384. [ V. Brayman ] Cho 1 , , , 2 ≤ ≤ a b c d . Chứng minh rằng a b c d 42 + + + +. ≤ + + + ≤ 3 b cd c da d ab a bc 385. [ O. Makarchuk ] Cho a b c , , 1 > thỏa mãn ñiều kiện a b c abc + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c − − − ≤ 1 1 1 8 . ( )( )( ) 386. [ V. Yasinskyy ] Cho x y z , , là các số thực thỏa ñiều kiện x y z x y z + + ≤ − + ≤ 1, 1, 4 2 8, 4 2 8 x y z x y z + + ≤ − + ≤ . Chứng minh rằng x y z + + ≤ 3 7 . 387. [ O. Rybak ] Cho a b c , , là các số thực không âm. Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 b c c a a b a b c a b c b c a c a b + + + + + + + + ≥ + + + + + . 4 4 4 4 3 4 3 4 3 2 2 2 2 2 2 388. [ Cezar Lupu ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c a bc b ca c ab + + + + + ≥ + + + + + + + + + + +. ( )( ) ( )( ) ( )( ) b c c a a b a b a c b a b c c a c b 389. [ Daniel Campos Salas ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc + + + =1 4 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 3 + + ≥ ≥ + + . a b c ab bc ca 390. [ Bogdan Enescu ] Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện cos cos cos 0,cos3 cos3 cos3 0 x y z x y z + + = + + = . Chứng minh rằng cos 2 .cos 2 .cos 2 0 x y z ≤ . 391. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 6. b c c a a b a b c + + + + + + + ≥ . 3 a b c abc 392. [ Vasile Cartoaje ] Cho a b c d , , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 a b c d + + + = 4 . Chứng minh rằng 40 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 4 2 1 4 ( − − − − ≥ + − − − − ab bc cd da a b c d ) ( )( ). 393. [ Hồ Phú Thái ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a b c + + + + ≤ + + + + +. 2 2 2 2 2 2 a bc b ca c ab ab bc ca 394. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2 5 a a a , ,..., là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 1 2 2 3 5 1 a a a a a a a a a a a = + + + + + + + 1 1 ... 1 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 1 1 + + + + . a a a a a 1 2 3 4 5 395. Cho 1 2 3 4 x x x x , , , là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x + + + = + + + = 0, 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 3 1 2 3 4 x x x x + + + . 396. [ Cezar Lupu ] Cho a b c , , là các số thực không âm. Chứng minh rằng 3 3 3 a abc b abc c abc 2 2 2 a b c + + + + + ≥ + + + + +. b c c a a b 397. [ Titu Andresscu ] Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng 3 3 3 1 A B C A B C + + + ≥ . cos cos cos cos cos cos2 398. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a b c , , là các số thực không âm nhưng không có hai số nào trong ba số ñồng thời bằng 0. Chứng minh rằng 2 2 2 3 a bc b ca c ab abc 9 + + + + + ≥ + + + + +. 3 3 3 2 2 2 2 2 2 b c c a a b a b c 399. [ Titu Andresscu ] Cho a b c , , là các số thực. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 a ab b b bc c c ca a a b b c c a − + − + − + ≥ + + . ( )( )( ) 400. [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng A A B B C C A B C   3 + + ≥ + +      . cos cot cos cot cos cot cot cot cot   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 401. [ Marian Tetiva ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 3 . Chứng minh rằng a) Nếu a b c ≤ ≤ ≤1 thì 1 1 1 1 1 1 + + + + + +. + + ≥ + + a b b c c a a b c 1 1 1 b) Nếu a b c ≤ ≤ ≤ 1 thì 1 1 1 1 1 1 + + + + + +. + + ≤ + + a b b c c a a b c 1 1 1 402. [ Vasile Cartoaje ] Cho x y z , , là các số thực không âm. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 5 x y z y z x z x y x y z + + + + + ≤ + + . 12 403. [ Zdravko F. Starc ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b b b c c c a a − + − + − ≥0 . ( ) ( ) ( ) 404. [ Ivan Borsenco ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 2 2 2 2 2 2 ab bc ca a b b c c a ab bc ca + + ≤ + + + + 3 . ( ) ( )( ) 405. [ Nikolai Nikolov ] Cho 0 1,0 1 < < < < < y x z . Chứng minh rằng 41 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang z z z z x y ( )(1 )1 − x y x yxy − − >−. 406. [ Bogdan Enescu ] Cho a b, là hai số thực phân biệt thỏa mãn ñiều kiện a b a b a b − + + = + = − + + 1 1 1 1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b + . 407. [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho 1 21 x x x ≥ . Chứng minh rằng , ,...,2 n xi n n      + ≥ + + + +    2 4 xx x x x x x x x −     ∏   . i ( )( ) ( )( ) 41 2 2 3 1 1 n n n i = 1 1 ...     3 3 408. [ Iurie Boreico, Ivan Borsenco ] Cho a b c , , là các số thực dương phân biệt. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 + + + + + ≥ a b a c b a b c c a c b abc 16 + + − − − + +. 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c ( ) 409. [ Titu Andreescu ] Cho a b c , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 3 2 1 (a b ab + ≥ + ) . Chứng minh rằng 3 3 3 3 9 1 a b a b + ≥ + . ( ) 410. [ Titu Andreescu ] Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 a ab b c cd d a c abcd b d − + − + ≥ − + . ( )( ) ( ) 411. [ Ivan Borsenco ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a) ( ) ( )( ) 2 3 3 3 4 4 4 a b c a b c ab bc ca + + ≥ + + + + . b) ( ) ( )( ) 4 4 4 5 5 5 2 3 9 a b c a b c a b c + + ≥ + + + + . 412. [Titu Andreescu ] Cho a b, là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 9 8 7 6 a ab b + + ≤ . Chứng minh rằng 7 5 12 9 a b ab + + ≤ . 413. [ Phạm Hữu ðức ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng    + + ≥ +  1 1 1 1 1 1   + + + + + + +   + +.   2 2 2 ( ) a b c a b b c c a ab bc ca 2 a b c 414. [ Cezar Lupu ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 4 ab bc caab bc ca + + + + + + + +. + + + ≥ + + 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a b c b c a c a b a b b c c a 415. [ Bin Zhao ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c + + + + + +. 2 2 2 2 2 2 1 + + ≤ 4 4 4 4 4 4 a ab b b bc c c ca a 416. Cho a b c , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện a a b c ≥ + + = 1, 0 . Chứng minh rằng 4 4 4 a b c abc + + −3 . 417. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤8 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 − + − + − +. + + ≥ 2 2 2 a a b b c c 1 1 1 n n 1 x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 418. Cho 1 2 , ,..., n minh rằng = = ∑ ∑ . Chứng S x i = = x 1 1 i i i 42 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang n n 1 1 ≥ ∑ ∑ − + + −. i i i i = = n x S x 1 1 1 1   419. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( ) 1 1 1 + − + − =      . Hãy x y z 4 x y z tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   1 1 1 E x y z x y z , ,x y z = + + + +    ( ) ( ) 4 4 44 4 4    . 420. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 + + + + + ≥ 1 1 1 5 a b b c c a + + +. 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b b c c a 421. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng a b b c c a + + + + + ≥ + + +. 3 b c a 1 1 1 422. Cho a b c , , là ñộ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Hãy tìm giá trị lớn nhất của số thực k ñể 3 3 3 3 ( ) a b c k a b c + + ≥ + + . Iran, 2006 n 423. Cho 1 2 , ,...,n ∑ = . Chứng minh rằng x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x 1 i i = 1         2 n n 1 n ∑ ∑ .   ≤    x i   + +    = = x n 1 1 1 1 i i i China TST, 2006 424. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng xy yz zx 2 + + +. + + ≤ 2 xy yz yz zx zx xy China TST, 2006 425. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 3 . Chứng minh rằng 1 1 1 a b c 2 2 2 + + ≥ + + . 2 2 2 a b c Romania TST, 2006 426. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 23       + + +   + + ≥ + + a b c a b b c c a    . b c a c a b 2 Junior Balkan TST, 2006 427. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c a b c ( ) 2 2 2 3 + + ≥ + + . b c a Junior Balkan TST, 2006 428. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy yz zx + + =1. Chứng minh rằng 27 26 3 ( )( )( ) ( ) 4x y y z z x x y y z z x + + + ≥ + + + + + ≥ . Turkey TST, 2006 429. Cho a a a n 1 2 , ,..., 3 n ( ≥ ) là các số thực. Giả sử rằng ta có 43 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 ( ) ( ) a a a a a a a a a + + + ≥ + + + . 1 2 1 2 2 3 1 ... 4 ... n n a a a là các số thực a) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi 1 2 , ,...,n dương. b) Tìm tất cả các giá trị của n ñể bất ñẳng thức trên ñúng khi 1 2 , ,...,n a a a là các số thực bất kì. Italy, 2006 430. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 3          + + +    + + ≥ a b b c c a       + + +. a c b a c b 2 2 2 MOP, 2004 431. Cho k+ ∈ℤ , 1 2 , ,...,n a a a là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1 n a a a + + + = . Chứng minh rằng n kn − ∏ ≥ − . 11 an ( ) = a k i k i i 1 432. Cho 1 2 , ,...,n a a a là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1 n a a a + + + = . Chứng minh rằng 1 a a a a a a + + + ≤ −. ...4 1 2 2 3 1 n n 433. Cho a a a n 1 2 , ,..., 1 n ( > ) là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1 n a a a = . Chứng minh rằng 1 1 1 ... a a a n + + + + 1 2 n + + +. ... + + + ≤ a a a 1 1 1 4 1 2 n 434. [ Aaron Pixton ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 5 1 1 1 ( )( )( ) a b c a b c + + + ≥ + + + . b c a 435. [ Mildorf ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 a b c a b b c c aa b b c c a + + +. + + + + + ≤ + + 1 1 1 1 436. [ Po – Ru Loh ] Cho a b c , , 1 > thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 − − −. Chứng + + = a b c 1 1 1 minh rằng 1 1 1 1 + + +. + + ≤ a b c 1 1 1 437. [ Weighao Wu ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng sin cos sin cos x x ( ) ( ) x x < . 438. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 2 12 a b c < + + ≤ + + +. 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho ( ) 1 2 , ,..., 1 n a a a n> là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a a a = . Chứng minh rằng 1 2... 1 n 2 2 2 a a aa a a + + + 1 1 1 1 2 n + + + ≤ + + + . ... ... 2 2 2 1 2 n 440. [ Vascile Cartoaje ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + = 3 . Chứng minh rằng 44 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c 3 + + +. + + ≥ ab bc ca 1 1 1 2 ∑ − = . Hãy 441. Cho 1 2 3 4 5 x x x x x , , , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1 i j x x < i j tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 ∑ . x i = 1 i 442. Cho [ ] 1 2 3 4 x x x x , , , 1,1 ∈ − . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 = − + + + + + + + + + − ∑ ∏ . ( ) ( ) F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i i 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 i i = = 1 1 443. Cho a b c , , 0,1 ∈[ ]. Chứng minh rằng a b c b c a c a b abc (1 1 1 1 1 1 1 − − + − − + − − ≤ + )( ) ( )( ) ( )( ) . 444. [ Cao Minh Quang ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) a b c 2 2 2 3 a b c + + + + ≥+ +. b c a a b c 445. [ Cao Minh Quang ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =3. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 12 ( ) ( ) ( ) a b b c c a + + + + + + + + +. + + ≥ a b ab b c ca c a ca 446. [ Cao Minh Quang ] Cho ( ) 1 2 , ,..., 2 n x x x n ≥ là n số thực dương thỏa ñiều kiện n x = x≤ ∑ +. Chứng minh rằng i i i 1 n 1 2 ( ) 1 1 n n − ≥ ∑ + +. 1 1 = x n i i 1 447. [ Cao Minh Quang ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng ab bc ca 1 + + + + + +. + + ≤ 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 12 a b b c c a 448. Cho 1 2 2 , ,...,n x x x là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 11, 1,2,..., 2 1 i i x x i n + − ≤ = − . Chứng minh rằng ( ) 1 2 2 1 2 2 ... ... 1 n n x x x x x x n n + + + + + + + ≤ + . Romania TST, 2000 449. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 ( ) ( ) 3 4 a ab abc a b c + + ≤ + + . 450. [ Rumen Kozarev ] Cho x ∈ ℝ . Chứng minh rằng 2   + +  4 2 2.3 0 x x x  − ≥ xx x  + +   .   2 1 451. Cho 0 1, 1,2,..., 2 ≤ ≤ = ≥ x i n n i ( ). Chứng minh rằng x x x x x x x x x x x −  n ( ) ( ) 1 2 1 2 2 3 1 1 ... ...2 + + + − + + + + ≤      . n n n n Bulgaria, 1995 452. Cho a b c d , , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 45 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 4 4 4 4 4 4 4 4 a c a d b c b d ad bc + + + + + + + ≥ + 2 2 . ( ) Turkey, 2006 453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 , 2 ≤ ≤ a b . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 a b + Pa b =+ 3 3 454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 4(xy yz zx x y y z z x x y y z z x + + ≤ + + + + + + + + ) ( )( )( )( ). 455. Cho a b c , , 1 > . Chứng minh rằng a b c + + ≥ − − −. b c a 1 1 1 12 456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 a b c a ac b ba c cb + + ≥ + + . b c a 457. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 x y z + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 x y z − − −. 2 2 22 + + ≥ 1 1 1 x y z 458. Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca = + + 2 3 . 459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 1 xyz xy yz zx + + + ≤ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức xyz . n x x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ∑ = . 460. [ Minh Trân ] Cho 1 2 , ,..., n Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x x x x x x + + + −. 1 2 2 3 1 ...n n 461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho a b c , , 1 ≥ . Chứng minh rằng   1 1 1 2 9 + + + + + + + + ≥   ( ) ( ) ( ) 2 2 2     + + +. a b c b c a c a ba b c   1 1 1 i i x = 1 1 462. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho x y z , , là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 3 3 3 x y z + + = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz zx xyz = + + − 3( ) . 463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho 1 2 , ,...,n a a a là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện k k ∑ ∑≤ + = . ( ) a i i k n Chứng minh rằng i i i = = 1 1 1 , 1, 2,..., n 1 n ≥ ∑ +. = a n i i 1 1 464. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho a b c , , là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 a b c + + = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 ab bc ca Mab bc ca + + =+ +. 2 ( ) 46 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 465. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực k ñể ta luôn có bất ñẳng thức 1 1 1 3 1 k k a b c ( )( ) 2 2 2 + + + ≥ + + + . a b c Vietnam, 2006 466. Cho x y z , , 1, 2 ∈[ ]. Chứng minh rằng     ( ) 1 1 1 6x y z + + + + ≥ + +          + + +. x y zx y z y z z x x y   Vietnam TST, 2006 467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥1. Chứng minh rằng . 468. Cho 1, , 1 a b c 3 + + ≥ 2 + + + b ac c ab a bc 2≤ ≤ x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức x y y z z x Pz x y + + + + + +. = + + 1 1 1 469. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x y z , , là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện x y z + + = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z = + + + + + 2 1 3 1 4 1 . 470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho a b c , , là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a b c + + =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 P a b c b c a c a b = − + − + − . ( ) ( ) ( ) 471. [ Tạ ðức Hải ] Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng     + + + + + + + + ≥ 1 1 1 4 9 a c b c a b abca b c b c a c a b b a c + + +  . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 472. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc + + = . Chứng minh rằng 3 3 + + ≤ + + ≤ bc ca ab a b c + + +. ( ) ( ) ( ) a bc b ca c ab 4 1 1 1 4 x y  473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 2 ∈        . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , 0,2 x y Py x + +. = + 2 2 1 1 474. Cho [ ] 1 2 2007 x x x , ,..., 1,1 ∈ − thỏa mãn ñiều kiện 20073 ∑ = . Chứng minh rằng 0 i x i = 1 ðẳng thức xảy ra khi nào? 2007 x x x + + + ≤ . ...3 1 2 2007 475. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 2 2 x y y z z x + + + + + = 2006 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 x y z Hy z z x x y + + +. = + + 476. [ Cao Xuân Nam ] Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 47 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 4 4 4 x y z 8 8 8 0 − − − + + ≥ + + +. 4 4 4 16 16 16 x y z Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz . 477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 a b c + + =1. Chứng minh rằng 2 2 2 a b c + − + − + −. + + ≥ 1 1 1 1 b a c b a c 478. [ Phan Tiến Thành ] Cho x y z , , 0,1 ∈( ) thỏa mãn ñiều kiện xyz x y z = − − − (1 1 1 )( )( ). Chứng minh rằng 2 2 2 3 x y z + + ≥ . 4 479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 3 a b c a b c , , 1, 4 1 ≥− + + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 P a b c = + + . 480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho a b c , , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )3 + + + + ab bc ca a b c + +. Pa b c abc = + 2 2 2 481. [ Trần Việt Anh ] Cho n ∈ ℕ . Kí hiệu (2 1 !! n+ ) là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 ñến 2n +1. Chứng minh rằng 2 1 2 1 !! n n + 1 ( ) ( ) n n π + ≤ + . 482. [ Ngô Trung Kiên ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca abc + + ≤3 . Chứng minh rằng 4 4 4 a b b c c a + + +. + + ≥ 1 2 2 2 a b b c c a 483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho a b c d , , , là các số thực phân biệt thỏa mãn các ñiều kiện 4, a b c d ac bd + + + = = . b c d a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c d abcd + + + −+. ( )2 c d a b ad cd 484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥1. Chứng minh rằng a b c a b cb c a + + + + + ≥ + + 1 1 1 + + +. 1 1 1 485. [ Trần Nam Dũng ] Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 ( ) ( ) xyz x y z x y z + + + + ≥ + + 2 8 5 . ðẳng thức xảy ra khi nào? 486. [ Trần Nam Dũng ] Cho k ∈ −( 1,2) và a b c , , là ba số thực ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng     −       + + + + + + + ≥     − − −  . ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 2 1 1 1 9 2 k a b c k ab bc caa b b c c a 4 ðẳng thức xảy ra khi nào? 48 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x x x > − thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 487. Cho 1 2 , ,..., 1 n x x x + + + = . Chứng minh rằng 1 2 ... 0 n n x x x + + + ≤ . 1 2 ...3 n 488. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c + + =1. Chứng minh rằng 1 1 1 2( ) ab bc ca a b c + + + + + ≥ + + . c a b 489. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng        + + +   ≥ bc a ca b ab c abc     + + +. 1 1 1 a b c 490. Cho x y z , , là các số thực dương. Chứng minh rằng yz zx xy + + ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + x x y z y x y z z x y z 1 1 1 2 2 2 x y z ≥ + + . ( ) ( ) ( ) x x y z y x y z z x y z + + + + + + + + + 1 1 1 491. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc =1. Chứng minh rằng 3 3 3 a b b c c a a b c + + ≥ + + . 492. Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z + + =1. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + + ≥ + + +. 1 1 1 10 xy yz zx 493. Cho − ≤ ≤ 1 , 1 x y . Chứng minh rằng 2 x y − + − ≤ −  +  x y 2 2 1 1 2 12    .   494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng n n n n n n n n n n + + − ≤ . 495. Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab bc ca + + =1. Chứng minh rằng a b c 3 + + ≤ . 2 2 2 1 1 1 2 + + + a b c 496. Cho a b x y , , , là các số thực dương, a b < . Chứng minh rằng b a a a b b ( ) ( ) x y x y + ≥ + . 497. Cho 1 < ≤ a b c . Chứng minh rằng 0 , ,2 3           − − − ≥ −     1 1 1 3 1 1 1 1       + +. a b c a b c 498. Cho a b c d , , , là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 a b c d + + + =1. Chứng minh rằng (1 1 1 1 − − − − ≥ a b c d abcd )( )( )( ) . 499. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c . 2 2 2 2 2 21 + + ≥ ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b + + + + + + 500. Cho a b c , , là các số thực dương. Chứng minh rằng a ab b bc c ca a b c+ + a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ≥ + + . … sẽ tiếp tục cập nhật 49