🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook 46 Đề Thi Toán Vào 10 Hệ Chuyên (Có Đáp Án)
Ebooks
Nhóm Zalo
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
46 ĐỀ THI 10 HỆ CHUYÊN (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Mục Lục
Đề số 1. Chuyên Bắc Ninh. Năm học 2014-2015 ................................................................................................................................ 3 Đề số 2. Chuyên Bến Tre. Năm học: 2014-2015 ................................................................................................................................. 8 Đề số 3. Chuyên Toán Sư Phạm Hà Nội. Năm học: 2014-2015 ........................................................................................................ 14 Đề số 4. Chuyên SP Hà Nội. Năm học: 2014-2015 ........................................................................................................................... 19 Đề số 5. Chuyên Hà Tĩnh. Năm học: 2014-2015 .............................................................................................................................. 23 Đề số 6. Chuyên Khánh Hòa. Năm học: 2014-2015 .......................................................................................................................... 27 Đề số 7. Chuyên Nam Định. Năm học: 2014-2015 ............................................................................................................................ 30 Đề số 8. Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định. Năm học: 2014-2015 ....................................................................................................... 34 Đề số 9. Chuyên Ninh Bình. Năm học: 2014-2015 ............................................................................................................................ 38 Đề số 10. Chuyên Năng Khiếu HCM. Năm học: 2014-2015 ............................................................................................................. 44 Đề số 11. Chuyên Ngoại Ngữ DHQG Hà Nội. Năm học: 2014-2015 ................................................................................................ 50 Đề số 12. Chuyên Nguyễn Trải – Hải Dương. Năm học: 2014-2015 ................................................................................................ 55 Đề số 13. Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An. Năm học: 2014-2015 ................................................................................................ 59 Đề số 14. Chuyên Thái Bình. Năm học: 2014-2015 .......................................................................................................................... 64 Đề số 15. Chuyên Thái Bình. Năm học: 2014-2015 .......................................................................................................................... 70 Đề số 16. Chuyên HCM. Năm học: 2014-2015 ................................................................................................................................. 75 Đề số 17. Chuyên Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa. Năm học: 2014-2015 ......................................................................................... 81 Đề số 18. Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa. Năm học: 2014-2015 ...................................................................................................... 86 Đề Số 19. Chuyên Năng Khiếu - HCM. Năm học: 2014-2015 .......................................................................................................... 91 Đề số 20. Chuyên Hà Nội Amsterdam. Năm học: 2014-2015 ........................................................................................................... 97 Đề số 21. Chuyên Bắc Giang. Năm học: 2015-2016........................................................................................................................ 105 Đề số 22. Chuyên Bạc Liêu. Năm học: 2015-2016 .......................................................................................................................... 112 Đề số 23. Chuyên Bạc Liêu. Năm học: 2015-2016 .......................................................................................................................... 116 Đề số 24. Chuyên Đại học Vinh. Năm học: 2015-2016 ................................................................................................................... 120 Đề số 25. Chuyên Hà Giang. Năm học: 2015-2016 ......................................................................................................................... 126 Đề số 26. Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình. Năm học: 2015-2016 ............................................................................................ 130 Đề số 27. Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ. Năm học: 2015-2016 .................................................................................................. 135 Đề số 28. Chuyên Khánh Hòa. Năm học: 2015-2016 ...................................................................................................................... 141 Đề số 29. Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa. Năm học: 2015-2016 .................................................................................................... 145 Đề số 30. Chuyên Nam Định . Năm học: 2015-2016 ....................................................................................................................... 151 Đề số 31. Chuyên Nam Định. Năm học: 2015-2016 ........................................................................................................................ 159 Đề số 32. Chuyên HCM. Năm học: 2015-2016 ............................................................................................................................... 164 Đề số 33. Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên. Năm học: 2015-2016 ......................................................................................... 168 Đề số 34. Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình. Năm học: 2015-2016 .......................................................................................... 172
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -1-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 35. Chuyên Nguyễn Du - Đaklak. Năm học: 2015-2016 ....................................................................................................... 178 Đề số 36. Chuyên Hải Dương. Năm học: 2015-2016 ....................................................................................................................... 184 Đề số 37. Chuyên Quảng Bình. Năm học: 2015-2016 ..................................................................................................................... 191 Đề số 38. Chuyên Quảng Nam. Năm học: 2015-2016 ..................................................................................................................... 197 Đề số 39. Chuyên Quảng Nam. Năm học: 2015-2016 ..................................................................................................................... 204 Đề số 40. Chuyên Quang Trung – Bình Phước. Năm học: 2015-2016 ............................................................................................ 209 Đề số 41. Chuyên Quốc Học Huế - Thừa Thiên Huế. Năm học: 2015-2016 ................................................................................... 215 Đề số 42. Chuyên SPHN. Năm học: 2015-2016 .............................................................................................................................. 221 Đề số 43. Chuyên Thái Bình. Năm học: 2015-2016 ........................................................................................................................ 226 Đề số 44. Chuyên Vũng Tàu. Năm học: 2016-2017 ........................................................................................................................ 230 Đề số 45. Chuyên Sơn La. Năm học: 2016-2017 ............................................................................................................................. 235 Đề số 46. Chuyên SPHN. Năm học: 2016-2017 ............................................................................................................................. 240
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -2-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 1. Chuyên Bắc Ninh. Năm học 2014-2015
Câu I. ( 1, 5 điểm )
x mx m 2 2 6 0 (1) , với ẩn x , tham số m .
Cho phương trình 2
1) Giải phương trình (1) khi m = 1
1 2 x x nhỏ nhất.
2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho 2 2 Câu II. ( 1,5 điểm )
Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2 1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị . 2) Tìm a và b để đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 Câu III .( 2,0 điểm )
1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24km . Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B .
2 ) Giải phương trình x x x x 1 (1 ) 1
Câu IV . ( 3,0 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M .
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD và góc BAM = góc OAC .
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu V .( 2, 0 điểm )
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 .
2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau . Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -3-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN .................Hết...............
Hướng dẫn sơ lược đề thi môn toán dành cho tất cả thí sinh năm học 2014-2015 Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh
Câu I. ( 1, 5 điểm )
Giải:
1) GPT khi m =1
+ Thay m =1 v ào (1) ta được x2 + 2x - 8 = 0 ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 x = { - 4 ; 2 } KL : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 4 hoặc x = 2
x mx m 2 2 6 0 (1) , với ẩn x , tham số m .
2) xét PT (1) : 2
(1) m m m 2 6 ( 1) 5 0 (luôn đúng ) với mọi m => PT (1) luôn có hai nghiệm
+ Xét PT (1) có ' 2 2
phân biệt x1 ; x2 với mọi m
x x mI
+ Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có : 1 2
2( )
x x m
1 2
(2 6)
1 2 x x = ( x1 + x2 )2 – 2 x1x2 = ( - 2m )2 + 2 ( 2m + 6 ) = 4m2 + 4m + 12
+ Lại theo đề và (I) có :A = 2 2
= ( 2m + 1)2 + 11 ≥ 11 với mọi m => Giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi m = 12
KL : m = 12
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu II. ( 1,5 điểm )
Giải : 1) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số:
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -4-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Dựa vào đồ thị ta có giao điểm của d và (P) là 2 điểm M ( 1 ; 1); N ( -2 ; 4 ) 2) Do đồ thị ∆ của hàm số y = ax + b song song với (d) y = -x + 2
Nên ta có: a = -1.
∆ cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1 nên ta thay x = -1 vào pt (P) ta được: y = 1 Thay x = -1; y = 1 vào pt ∆ ta được a = -1 ; b = 0
=>Phương trình của ∆ là y = - x
Câu III .( 2,0 điểm )
Giải:
1) Đổi 30 phút = ½ giờ
Gọi x ( km /h ) là vận tốc người đi xe đạp t ừ A -> B ( x > 0 ) . Vận tốc người đó đi từ B-> A là: x + 4 (km/h)
Thời gian người đó đi từ A -> B là: 24x
Thời gian người đố đi từ B về A là: 24
x 4
Theo bài ra ta có:
24 24 1 48( 4) 48 ( 4) 2 4 192 0 x x x xx x
x x x x x x x x
4 2 2 ( 4) 2 ( 4) 2 ( 4)
=> x = 12 ( t/m ) . KL : Vậy vận tốc của người đi xe đáp từ A đến B là 12 km/h. 2 1
a
2) ĐKXĐ 0 ≤ x ≤ 1 Đặt 0 < a =
x x x x
1 (1 ) 2
+ PT mới là : a +
2 1 2 1 2 3 0 ( 1)( 3) 0 aa a a a
2
a = { -3 ; 1 } => a = 1 > 0
x x 1 1
+ Nếu a = 1 = > x x x x x x 1 2 (1 ) 1 (1 ) 0 x = { 0 ; 1 } ( t/m)
KL : Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là x = 0; x = 1
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -5-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Câu IV . ( 3,0 điểm )
Giải
1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp
Do BHCD là hình bình hành nên:
Ta có: BD//CC’ => BD AB => ABD = 90o
Có:AA’ BC nên: MD AA’ => AMD = 90o
=> ABD + AMD = 180o
=> tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AD.
Chứng minh tương tự ta có tứ giác AMDC nội tiếp đường tròn đường kính AD.
=> A, B ,C,D , M nằm trên cùng một đường tròn
2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD + Theo phần 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC
3)Chứng minh OK là đường trung bình của tam giác AHD => OK//AH và OK = 12 AH hay 12
OK
AH (*)
OK GK AG GK
+ Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => 12
, từ đó suy ra
AH AG
2
G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu V .( 2, 0 điểm )
Giải:
1) Giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi a =b = 1
4P = a2 - 2 ab + b2 + 3(a2 + b2 + 4 + 2ab – 4a – 4b ) + 4. 2014 – 12
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -6-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
= (a-b)2 + 3 (a + b – 2)2 +8044 ≥ 8044 P≥ 2011
a ba b
Dâu “=” xảy ra 1
a b
2 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi và chỉ khi a = b = 1.
2) Gọi 6 thành phố đã cho là A,B,C,D,E,F
+ Xét thành phố A .theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành phố còn lại thì có ít nhất 3 thành phố liên lạc được với A hoặc có ít nhất 3 thành phố không liên lạc được với A ( vì nếu số thành phố liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 và số thành phố không liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 thì ngoài A , số thành phố còn lại cũng không vượt quá 4 ) . Do đó chỉ xảy ra các khả năng sau :
Khả năng 1 :
số thành phố liên lạc được với A không ít hơn 3 , giả sử B,C,D liên lạc được với A . Theo đề bài trong 3 thành phố B,C,D có 2 thành phố liên lạc được với nhau . Khi đó 2 thành phố này cùng với A tạo thành 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .
Khả năng 2 :
số thành phố không liên lạc được với A , không ít hơn ,giả sử 3 thành phố không liên lạc được với A là D,E,F . Khi đó trong bộ 3 thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc được với nhau ( v ì D,E không liên lạc được với A )
Tương tự trong bộ 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc được với nhau , F và D liên lạc được với nhau và như vậy D,E,F l à 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .
Vậy ta có ĐPCM
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -7-
b) Cho biểu thức: 2 2
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 2. Chuyên Bến Tre. Năm học: 2014-2015
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức sau: 3 3 4 3 4
A
2 3 1 5 2 3
x x B x x
với x x 0, 1
x x x
2 1 1
i) Rút gọn biểu thức B
ii) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình2 1
với m là tham số.
mx y
3 ( 1) 1
x m y
a) Giải hệ với m = 3.
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm là số nguyên.
Câu 3: (2 điểm)
x mx m 1 0 (1), với m là tham số.
Cho phương trình bậc hai: 2
i) Giải phương trình (1) khi m = 4
ii) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa mãn hệ thức
Câu 4: (3 điểm)
1 1
x x
1 2
x x
1 2 2014
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB(M không trùng với các điểm A và B).
a) Chứng minh MD là đường phân giác của góc BMC
b) Cho AD=2R.Tính diện tích của tứ giác ABDC theo R
c) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AMB và dây AB theo R. d) Gọi K là giao điểm của AB và MD,H là giao điểm của AD và MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -8-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN ĐÁP ÁN
Câu 1: a) Ta có:
A
3 3 4 3 4
b) 2 2
2 3 1 5 2 3
3 3 4 2 3 1 3 4 5 2 3
2 2 2
2 3 1 5 2 3
22 11 3 26 13 3
11 13
2 3 2 3
4 2 3 4 2 3
2 2
13 1 3 1
2 2
2
13 1 3 1
2
1.( 2) 2
2
x x B x x
x x x
2 1 1
x x B x x
2 2.
2
x x x
1 1 1
x x x xx x
2 1 2 1.
2
x x
1 1
x x x xx x
2 ( 2).
i) Với x > 0, x ≠ 1 ta có:
x
1
2
2 2 . 1
x x
x x
( 1) ( 1) 1 x x x
2
ii) Ta có: 2 2( 1) 2 2 2 x x Bx x x
1 1 1
Do x nguyên nên:
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -9-
x 1guyên ⇔ x – 1 là ước của 2 ⇔ 1 12;0;3; 1
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
B nguyên ⇔2
xx
x
1 2
Vậy các giá trị của x cần tìm là x 2;0;3; 1
Câu 2:
a)2 1
(1)
mx y
3 ( 1) 1
x m y
Với m = 3, hệ phương trình (I) trở thành:
3 2 1 2 2 1 1
x y y y y
3 4 1 3 4 1 3 4.( 1) 1 1 x y x y x x
Khi m = 3 hệ có nghiệm (1;–1)
b) Ta có:
11
mx
y mx
mx y y
2 1 22
3 ( 1) 1 1 3 ( 1). 1 6 ( ) 1 2
x m y mx
x m x m m x m
2
1
2
mx
yII
2 ( )
( 6) 3(*)
m m x m
2
Khi m = 2: (*) ⇔ 0x = 5 (vô nghiệm) ⇒ Hệ vô nghiệm
Khi m = –3: (*) ⇔ 0x = 0. Hệ phương trình có vô số nghiệm x ∈ ℝ, y =1 32 x m m m mm
Khi 2 3
m
, ta có:
6 0 ( 3)( 2) 02
m
3 1
xm m m
2
6 2
( )12 1
II m
m ym
2 2
Hệ (I) có nghiệm duy nhất 1 1
;
m m 2 2
Kết luận: + m = 2: (I) vô nghiệm
+ m = –3: (I) có vô số nghiệm x ∈ ℝ, y =1 32 x
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -10-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
+ m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghiệm duy nhất 1 1
;
m m 2 2
c) Theo câu b, (I) có nghiệm ⇔ m ≠ 2.
Khi m = –3, (I) có nghiệm nguyên chẳng hạn x = 1, y = 2
Khi m ≠ 2 và m ≠ –3: (I) có nghiệm nguyên ⇔1
m 2∈ ℤ ⇔ m – 2 là ước của 1
⇔ m – 2 = 1 hoặc m – 2 = –1
⇔ m = 3 hoặc m = 1
Vậy các giá trị m cần tìm là m ∈ {–3;1;3}
Câu 3:
x mx m 1 0 (1)
a) 2
i) Với m = 4, phương trình (1) trở thành
2 x x x x x 4 3 0 ( 1)( 3) 1 hoặc x 3
Vậy tập nghiệm của (1) là {1;3}
ii) Phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x x,
m m
2
4( 1) 0
m m
2
4 4 0
( 2) 0
m
2
(luôn đúng ∀ m)
x x m
Khi đó, theo định lý Vi–ét: 1 2 x x m
1 2 1
Ta có:
1 1
x x x x x x
1 2 1 2 1 2
x x x x
2014 2014
1 2 1 2
2014( ) ( ) 0
x x x x x x
1 2 1 2 1 2
x x
2014
1 2
( )(2014 ) 0
x x x x
1 2 1 2
x x
2014
1 2
x x m m
1 2
0 0 0
x x m m
1 2
2014 1 2014 2015
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -11-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Vậy m ∈ {0;2015} là giá trị cần tìm.
Câu 4:
a) Vì B và C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD = ACD = 90o
Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có chung cạnh huyền AD, hai cạnh góc vuông AB và AC bằng nhau (do ∆ ABC đều)
⇒ ∆ ABD = ∆ ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ BAD = CAD (1)
Vì AMBD là tứ giác nội tiếp nên:
BMD = BAD (2)
Vì AMDC là tứ giác nội tiếp nên:
CMD = CAD (3)
Từ (1), (2) và (3) => BMD = CMD
⇒ MD là phân giác của góc BMC.
b) Ta có: 130
o BAD CAD BAC
2
Xét ∆ ABD vuông tại B có: .cos 2 .cos30 3 o BA AD BAD R R
Vì ABC là tam giác đều nên BC BA R 3
Vì AB = AC, DB = DC nên AD là trung trực của BC
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -12-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
⇒ AD ⊥ BC.
Tứ giác ABDC có AD ⊥ BC nên
1 1 2
2 2 ABCD S AD BC R R R
. .2 . 3 3
c) Vẽ OI ⊥ AB tại I. Xét tam giác vuông OIA ta có:
o R OI OA OAI R
.sin .sin 302
R R S AB OI R (đvdt)
⇒ Diện tích tam giác AOB là
2 1 1 3 . 3. 2 2 2 4 OAB
Ta có: 2 120o AOB AOC (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AB) R R
2 2 .120
Diện tích hình quạt AOB là
(đvdt)
360 3
R R R
2 2 2 3 (4 3 3)
Suy ra diện tích hình viên phân cần tìm là d) Gọi J là giao điểm của AM và BD.
(đvdt) 3 4 12
Vì M , B thuộc đường tròn đường kính AD nên DM ⊥ AJ, AB ⊥ DJ ⇒ K là trực tâm của tam giác AJD
⇒ JK ⊥ AD
⇒ JK // BC (cùng ⊥ AD) (4)
Tứ giác AMKH có KMH = KAH (=BMD) nên là tứ giác nội tiếp ⇒ KHA = 180o – KMA = 180o – 90o = 90o
⇒ KH ⊥ AD
⇒ KH // BC (cùng ⊥ AD) (5)
Từ (4) và (5), theo tiên đề Ơ–clít về đường thẳng song song, ta có J, K, H thẳng hàng. Vậy AM, BD và KH đồng quy tại J.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -13-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 3. Chuyên Toán Sư Phạm Hà Nội. Năm học: 2014-2015 a b c
x y z
và 1
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn 0 x y z
x y z
2 2 2
Chứng a b c
minh rằng
2 2 2 1 a b c
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
2 2 3 x y y z z x 1 2 3 3
Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
2.6.10....(4 2) 1( 5)( 6)...(2 ) nn
là một số chính phương
an n n
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng
1 1 1 3
ab a bc b ca c 2 2 2 4
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng
1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2
2 phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì :
yA
x y
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh………………..
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -14-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Hướng dẫn giải đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng 2 -2014 Ngày thi 6/6/2014
a b c
x y z
và 1
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn 0 x y z
x y z
2 2 2
Chứng a b c
minh rằng
2 2 2 1 a b c
Hướng dẫn
2 2 2 2
x y z x y z x y z xy yz xz
1 1 2 1 a b c a b c a b c ab bc ac
2 2 2
x y z cxy ayz bxz
2 2 2
2 1(*)
a b c abc
2 2 2
Từ 0 0 0 a b c ayz bxz cxy ayz bxz cxy
thay vào (*) ta có x y z xyz
x y z
2 2 2
2 2 2 1
a b c
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
2 2 3 x y y z z x 1 2 3 3
Hướng dẫn
ĐKXĐ : | | 3;| | 1;| | 2 x y z
A B AB
2 2
Áp dụng Bất đẳng thức
ta có đúng với mọi A,B 2
x y y z z x 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3
x y y z z x
2 2 2 2 2 3
2 2 2
Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -15-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
x y x y
2 2 2
1 1
y z y z
2 2 2
2 2
z x z x
2 2 2
3 3
x y y z z x x y y z z x 1 2 3 3 1 2 3 3
2 2 2 2 2 2
2
xx
11
2
yy
00
2
zz
22
x y y z z x
1 2 3 3
2 2 2
Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số: 2.6.10....(4 2) 1( 5)( 6)...(2 ) nn
là một số chính phương
an n n
Hướng dẫn
2 .(1.3.5......(2 1).( 4)! 2 .( 4)! 2 ..1.2.3... ( 1)( 2)( 3)( 4)! 1 1 1
n n n n n n n n
n n n
an n n (2 )! 2.4.6...2 2 .1.2.3.4...
n n
1 ( 1)( 2)( 3)( 4)
n n n n
a n n
( 5 5)
n
2 2
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng 1 1 1 3
ab a bc b ca c 2 2 2 4
Hướng dẫn
x y z a b c
Đặt , ;
y z x
yz zx xy Pab a bc b ca c xy xz yz xy yz xz xz yz xy
1 1 1
2 2 2 2 2 2
Thì
yz zx xy Pxy xz yz xy yz xz xz yz xy
3 1 1 1
2 2 2
1 1 1 3 ( )2 2 2
P xy yz xzxy xz yz xy yz xz xz yz xy Áp dụng Bất đẳng thức 1 1 1 9
A B C A B C
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -16-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
1 1 1 1 A B C ABC 3 ; 3
( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương: 33 A B C ABC
Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:
1 1 1 1 1 1 9 ( ) 9 A B CA B C A B C A B C
Khi đó Ta có 9 9 9 3 3 ( ) 3
P xy yz xz P
4 4 4 4 4 4
xy yz xz
Dấu “=” xảy ra khi 2 2 21
xy yz xz xy yz xz xy yz xzx y z
xyz
1
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng
1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
1. Đăt AB = a ta có AC = a 2 Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM (g.g) suy ra BM BN a BN DP
2
mà OB.OD = 22a
DP AD
.2
tam giác DOP đồng dạng BNO (c.g.c). từ đó tính được 45o NOP 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC. Theo a ta có OB ON OD
góc PON = góc ODP=450
DP OP DP
tam giác DOP đồng dạng ONP (c.g.c). suy ra góc DOP= góc ONP nên DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -17-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Đặt giao điểm cua MN và BC là Qvà AP là K áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APD ; (1) QM BM KP DP QM KP QM QN
ta có. Giả sử MP cắt AN tại I . K I cắt MN tại H Áp QN BN KA AD QN KA KP KA
dụng định lí ta lét (2) HM HN
PK KA
Từ (1) và (2) Suy ra HM QM
Q trùng H, vậy BD, PM, AN đồng quy
HN QN
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2
2 phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì : Hướng dẫn
yA
x y
Với mỗi tập A là tập con của S = {1;2;3;...;2014} thỏa mãn đề bài, gọi a và b lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của A (a, b ∈ S, a < b)
Ta chứng minh b ≤ 2a, thật vậy, giả sử b > 2a
2
a
c A
2 2 a aa
Theo giả thiết
.
Mà b > 2a => b – a > a > 0 => c =
b a
nhỏ nhất của A.
Vậy b ≤ 2a
, mâu thuẫn với a là phần tử b a a
Gọi d là phần tử lớn nhất của tập B = A\{b}. Ta chứng minh b ≥ 2d. Thật vậy giả sử b < 2d, theo giả thiết thì
2
d
d b e A
2 dd
,
d
mà b < 2d => 0 < b – d < d => e >
b d
2
2 2 2 2 2 2 5 4 4 (2 ) db d b bd d b bd d b d
Suy ra e ∈ A nhưng e ∉ B ⇒ e = b ⇒
b d
(mâu thuẫn vì VP là số chính phương, VT không là số chính phương)
Vậy b ≥ 2d ⇒ 2d ≤ b ≤ 2a ⇒ d ≤ a. Mà a ≤ d (a và d lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của B) nên a = d ⇒ b = 2a
Vậy A = {a;2a}. Kiểm tra lại ta thấy A thỏa mãn đề bài. Vì a ∈ S và 2a ∈ S nên 2 ≤ 2a ≤ 2014 ⇒ 1 ≤ a ≤ 1007
Vậy số tập con A thỏa mãn đề bài là 1007 tập.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -18-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 4. Chuyên SP Hà Nội. Năm học: 2014-2015 Câu 1(2 điểm)
Cho các số thực dương a, b ; a b.Chứng minh rằng ( ) 2
a b b b a a
3
( ) 3 3 0
a b a ab
3
Câu 2(2 điểm)
a a b b b a
Cho Quãng đường AB dài 120 km. Lúc 7 giờ sáng một xe máy đi từ A đến B. Đi được 34 xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên 34 quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên 14 quãng đường còn lại cũng không đổi .Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ ?
Câu 3 (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : 2 1 ( 1)
y m x (m là tham số )
3 3
1.Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt . 2. Gọi x1 ; x2 là là hoành độ các giao điểm (d) và (P),đặt 3 2 f x x m x x ( ) ( 1)
f x f x x x
1
( ) ( ) ( )
CMR: 3
1 2 1 2
2
Câu 4 (3 điểm):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC = 2R .Gọi gọi K,M theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ A và C xuống BD, E là giao điểm của AC và BD, biết K thuộc đoạn BE ( K B ; K E) .Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt AC tại P.
1.Chứng minh tứ giác AKPD nội tiếp đường tròn.
2.Chứng minh KP PM.
3. Biết ABD 60o và AK=x .Tính BD theo R và x.
Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình
x x x
( 56) 21 22 4
2
4 7 2
x x
3
----------------------------------Hết----------------------------------- Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -19-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN SP HÀ NỘI VÒNG 1 Ngày 5/6/2014
Câu 1
( ) 2
a b b b a a
3
a b a ab Qa a b b b a
( ) 3 3
3
( ) .( ) 2
a b a b b b a a
3 3
( ) 3 ( )
a b a a b
3
( )( ) ( )( )
a b a ab b a b a b
a a a b b a b b a a a
3 3 2 3
( )( )
a b a ab b a b
3 3 3 3 3 3
a a a b b a a a a b b a
( )( )
a b a ab b
0( ) DPCM
Câu 2
Gọi vận tốc trên 34 quãng đường ban đầu là x (km/h) x>10 Thì vận tốc trên 14 quãng đường sau là x-10 (km/h) Thời gian đi trên 34 quãng đường ban đầu là 90 ( ) h
x
Thời gian đi trên 14 quãng đường sau là 30 ( ) h
x
Vì thời gian đi cả 2 quãng đường là 11h40 phút – 7h- 10 phút = 9( )
2h
Nên ta có PT:
90 30 9
x x
10 2
180( 10) 60 9 ( 10)
x x x x
2 ( 10) 2 ( 10) 2 ( 10)
x x x x x x
240 1800 9 90
x x x
2
9 330 1800 0
x x
2
Giải ra x=30 thỏa mãn điều kiện. Thời gian đi trên 34 quãng đường ban đầu 90 3( )
30 h
Vậy xe hỏng lúc 10 h
y xy x
22
Câu 3 a) xét hệ phương trình
2( 1) 1 2 3 2( 1) 1 0(1)
m
y x x m x 3 3
PT(1) có hệ số a và c trái dấu nên luôn có 2 nghiệm phân biệt mọi m nên (P) và (d ) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -20-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
b) Theo Vi ét Ta có
2(m 1) 3( )
x x x x 1 2 1 2 3 12
m
13 1
x x x x
1 2 1 2
3
f x f x x x m x x x x ( ) ( ) ( 1)( )
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2[ ( ) ( )] 2 2 3( )(x ) 2 2 f x f x x x x x x x x
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2[ ( ) ( )] 3 ( ) 2( ) f x f x x x x x x x x x
3 3
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
2[ ( ) ( )] ( ) 2( ) f x f x x x x x x x
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
2[ ( ) ( )
f x f x 1 2
] ( 3 ( ))
x x x x x x
1 2 1 2 1 2
2[ ( ) ( )] [( )( 2 )] f x f x x x x x x x
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2[ ( ) ( )] ( )
f x f x x x
3
1 2 1 2
1
f x f x x x ( ) ( ) ( )
Nên 3
1 2 1 2
2
Câu 4
1. Ta có PAD PKD
( cùng bằng CBD đồng vị ) nên tứ giác AKPD nội tiếp ( quỹ tích cung chứa góc) 2.Theo phần 1 thì DP vuông góc AC nên MDCP nội tiếp suy ra: MPD MCD mà MCD ACB ( cùng phụ 2 MDC ACB ) mà APK ACB ( đồng vị ) nên MPD APK Ta có MPD MPE 90 0 APK MPE 90o suy ra KP PM.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -21-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
3.ta có AD R 3 Pitago tam giác vuông AKD vuông tại K tính được 2 2 KD R x 3 tam giác BAK vuông tại K có góc ABK=600.cot3x
BK AK ABK
x
BD BK KD R x (dv độ dài)
3
Câu 5 ( 1 điểm) ĐKXĐ: 4 3
x x
2 2 3
7
; 2
Đặt : 4 7x b; x3 2 a; (a; b 0) Thì
x x x x a b 3 3 56 2 8(4 7 ) 34 8 34
21 24 3(4 7 ) 34 32 3
x x b
Ta có phương trình
a b b
8 34 34 3 4
b a
a ab a b b ab
8 34 34 3 4
2 2
( )( 3 34) 0
a b a b
a b
0
a b
3 34
V ới a+b=0 ta có
x x
3 7 6 0
(x 1)(x 2)(x 3) 0 x TM
2( )
x TM
3( )
x TM
1( )
Với a+3b=34 ta có
x x
3 21 20 0
(x 1)(x 4)(x 5) 0
x TM
1( )
x TM
4( )
x TM
5( )
PT có 6 nghiệm S 4; 3; 1;1;2;5
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -22-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 5. Chuyên Hà Tĩnh. Năm học: 2014-2015
Bài 1: Cho biểu thức 2 1 : 3
x x P x
với x > 0; x 9
x x x x x
( 9) 3 3 3
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để 14
P
Bài 2: Cho phương trình 2 2 x m x m m 2( 2) 2 2 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = -1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 2 1 2 | 2( ) | 3 x x x x Bài 3: a) Giải phương trình 2 3 2 1 1 x x
xy y x x
c) Giải hệ phương trình
2 2 2 2 2 3
x y y
3 1
Bài 4: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có BAC= 45o , BC = a. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC và từ C xuống AB. Gọi I là điểm đối xứng của O qua EF. a) Chứng minh rằng các tứ giác BFOC và AEIF nội tiếp được đường tròn
b) Tính EF theo a
Bài 5: Biết phương trình x4+ax3+bx2+ax+1=0 có nghiệm. Chứng minh rằng 2 2 45 a b
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -23-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
BÀI GIẢI
Bài 1:
a)
x x x x x x x x Px x x
2 ( 3) ( 3) ( 3)( 3)
:
( 9) 3
9 9
x
:
x x x x
( 3)( 3) 3 9 ( 3) 1
x x
9 ( 3)( 3) 3
x x x x
b)
1 1 1
Px
4 4 3
x
3 4
x TM
1( )
Bài 2: a) Khi m = -1 ta có phương trình x x
2 6 5 0
( 1)(x 5) 0
x
x
1
x
5
Tập nghiệm của phương trình S = {-1; -5} b)Ta có: 2 2 ' ( 2) ( 2 2) 2 2 m m m m
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ' 0 m 1
x x m
2 4
Áp dung hệ thức Vi-et ta có: 1 22
x x m m
1 2
Do đó:
| 2( ) | 3
x x x x
1 2 1 2
| 2 6 | 3
m m
2
| ( 1) 7 | 3
2 2
m
2
( 1) 7 3
m
2
( 1) 7 3
m
2
Với 2 1 10( )
m L
( 1) 7 3 1 101 10( ) m mm TM
Với 2 1( )
m L
( 1) 7 3 1 23( ) m mm TM
Bài 3: a) ĐKXĐ: x -1. Phương trình tương đương
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -24-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN 2 3 1 2 1 2 3 2 2 3 1 4 4
x x x x x
2 3
x x
x
0
x xx x 0 01 3
x x x xx
2 3 0 ( 3)( 1) 03 2
Vậy nghiệm của phương trình x = 3 b)ĐKXĐ: y 1
Từ phương trình (1) của hệ ta có
y x x x
( 2) ( 1)( 2) 2
( 2)( 1) 0 x y x
2
x
2
y x 2
1 0
Xét x = -2 thay vào (2) được 2 13 117 2 3 1 13 13 02
y y y y y
(với y 2)
y y y 1 3 1
Xét x=y2-1 thay vào (2) được 2
Đặt y a 1 0 =>y=a2+1
y y y
2
1 3 1
( 1) 3
a a a
2 2 2
a a a
3 3 1 0
4 2
1 1 3( ) 0( )
a a VN
4 2
2 4
Đối chiếu ĐKXĐ ta có Bài 4:
x
x
2
13 117 2
là nghiệm của hệ phương trình đã cho
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -25-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
a) Ta có BOC= 2.BAC= 2.45o =90o (Góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung BC) Do đó BFC=BOC=BEC= 90o suy ra đỉnh F, O, E cùng nhìn BC dưới góc 90o nên B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC (Bài toán cung chứa góc)
Hay tứ giác BFOC nội tiếp
Ta có FOB= FCB (Cùng chắn cung BF)
EOC= EBC (Cùng chắn cung EC)
Mà FCB + EBC= 90o –ABC+ 90o -ACB
180o - ( ABC+ ACB)= BAC= 45o => FOB+ EOC =45o
Hay EOF= 135o . Mặt khác vì I đối xứng với O qua EF nên EIF= EOF= 135o=> EIF+ BAC= 180o Do đó tứ giác AEIF nội tiếp đường tròn (Tổng hai góc đối bằng 1800)
b)Theo câu a tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE =ACB (Cùng bù với EFB) AFE ACB (g – g) =>1 2
EF AE AE a a EF
(Vì AEB vuông cân tại E)
BC AB AE
2 2 2 2
Bài 5: Dễ dàng nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
Giả sử 0 x 0 là nghiệm của phương trình đã cho. Chia 2 vế của phương trình cho 20 x 0 được 1 1 ( ) ( ) b 0 x a x
2
x x
0 0 2 0 0
1
1
2 2
| | 2; 2 o
t xx
t x t
Đặt 0
x
2
0
0
Do đó ta có phương trình: t at b 2
2
Áp dụng BĐT Bunhia được
( )( 1) ( ) ( 2)
a b t at b t
2 2 2 2 2 2
t t t t t t t t a bt t t t
4 4 4 4 4 4 5 24 16 4 (5 4)( 4) 4 4
4 2 3 2 4 2 2 2
2 2
1 1 5 5 5( 1) 5 5( 1) 5 5 2 2 2 2
2
Vậy 2 2 45
| | 2 | | 1 5
t b x
a b . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0 a b a bt
4
t t a
5
Bài giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -26-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 6. Chuyên Khánh Hòa. Năm học: 2014-2015
Bài 1: (2,00 điểm)
1) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: 1 8 10
A
2 1 2 5
a a a Ba a a a a
2) Rút gọn biểu thức 1
( ) :
với a>0; a 4
2 2 4 4
Bài 2: (2,00 điểm)
1) Cho hệ phương trình: ax y b
x by a
Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (2;3).
2) Giải phương trình: 2(2 1) 3 5 6 3 8 x x x
Bài 3: (2,00 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): 1 2
y x
2
a)Vẽ đồ thị (P).
b)Trên (P) lấy điểm A có hoành độ xA = -2 . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho |MA –MB| đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1;1).
Bài 4: (4,00 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D. a)Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.
b)Chứng minh rằng: NO ⊥ AD
c)Chứng minh rằng: CA.CN = CO .CD.
d)Xác định vị trí điểm M để ( AM AN) đạt giá trị nhỏ nhất.
---HẾT---
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -27-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2,00 điểm)
1)
A
1 8 10 2 1 2(2 5) 2 1 2 1
2 1 2 5 2 5 1
2)
a a a Ba a a a a
1
( ) :
với a>0; a 4
2 2 4 4
a a a
( 2)
2
.
a a a a 2 2 1
a a a a a aa a
( 2) (1 ) ( 2) . . ( 2)
2 2
a a a a
2 1 2 1
Bài 2: (2,00 điểm)
1)Vì hệ phương trình: ax y b
có nghiệm (x;y) = (2; 3) nên ta có hpt:
x by a
2 3 2 3 6 3 9 7 7 1
a b a b a b a a
2 3 3 2 3 2 2 3 1
b a a b a b a b b Vậy a = 1, b = 1
2)Giải phương trình: 2(2 1) 3 5 6 3 8 x x x
4(2 1) 6 5 6 2 3 8
x x x
[(5 6) 6 5 6 9] [(3 8) 2 3 8 1] 0
x x x x
( 5 6 3) ( 3 8 1) 0
x x
2 2
5 6 3 03
xx
3 8 1 0
x
Vậy pt có nghiệm x = 3.
Bài 3: (2,00 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): 1 2
y x
2
a)Lập bảng giá trị (HS tự làm)
Đồ thị:
b)Vì A ∈ (P) có hoành độ xA=-2 nên yA=2 . Vậy A(-2; 2)
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -28-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Lấy M(xM; 0) bất kì thuộc Ox,
Ta có: |MA-MB| AB (Do M thay đổi trên O và BĐT tam giác)
Dấu “ =” xảy ra khi điểm A, B, M thẳng hàng khi đó M là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox. - Lập pt đường thẳng AB:
Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax +b
Do A, B thuộc đường thẳng AB nên ta có:
a
1
2 2 3
a b
a b b 1 4
3
Vậy phương trình đường thẳng AB là: 1 4
y x
3 3
- Tìm giao điểm của đường thẳng AB và O (y = 0)=> x = 4 => M(4;0) Bài 4 (4,00 điểm)
a)Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp
Ta có OC ⊥ AM => OCN=90o
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B nên OBN=90o Vậy Tứ giác OBNC nội tiếp có OCN+OBN=180o
b)Chứng minh rằng: NO ⊥ AD
Trong ∆AND có hai đường cao là AB và GC cắt nhau tại O. Suy ra NO là đường cao thứ ba hay: NO ⊥ AD.
c) Chứng minh rằng CA . CN = CO. CD
Ta có Trong tam giác vuông AOC có CAO+AOC=90o Trong tam giác vuông BOD có BOD+BDO=90o
Mà CAO=BOD(2 góc đối đỉnh)
=>CAO=BDO
=>tam giác CAO đồng dạng với tam giác CDN (g.g) CA CO CACN CO CD
CD CN
. .
d)Xác định vị trí điểm M để ( AM AN) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: 2 2 . ( ) AM AN AM AN cauchy cosi Ta chứng minh: 2 2 AM AN AB R . 4 (1)
2 2 2 2.4 4 2 AM AN R R
AN
Đẳng thức xảy ra khi: 2AM = AN =>AM= (2) 2
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -29-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Từ (1 ) và (2) suy ra: AM R 2
=>∆AOM vuông tại O=> M là điểm chính giữa cung AB.
Đề số 7. Chuyên Nam Định. Năm học: 2014-2015
Bài 1: (2,0 điểm):
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 1 1 1 1
và a + b + c = 1.
a b c
Chứng minh rằng (a-1)(b-1)(c-1)=0
2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh (3 5) (3 5) n n là số nguyên dương. Bài 2: (2,5 điểm):
( 6 2)(1 4 12) 8. x x x x
1) Giải phương trình 2
x xy y y
3 2 6 4
2) Giải hệ phương trình
1
2 1 3 4 y x
4 3 2
x
1
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1; BB1; CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) tại K khác A.
1) Chứng minh A1 là trung điểm của HK.
HA HB HC
2) Hãy tính
AA BB CC 1 1 1
3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Đường thẳng BB1 cắt (O) tại giao điểm thứ hai là E, ( ) AN AB
kéo dài MB1 cắt AE tại N. Chứng minh rằng 1 2
NE EB
1
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn 3 3 x y xy 3 1
Bài 5: (1,5 điểm):
1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở lên. Người ta thiết lập số mới bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số đã cho, sau đó cộng vào số còn lại 7 lần số vừa bị xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu được 1006 hay không ? Tại sao ?
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2 x y z xyz 3 . Chứng minh rằng: x y z
2 2 2
x yz y xz z xy
4 4 4
3 2
__________Hết__________
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -30-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN Hướng dẫn giải:
Bài 1: (2,0 điểm):
1)Từ GT ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0
a b c a b c a b c a b c
a b a b
ab c a b c
( )
0
( ) ( ( ) 0
a b c a b c ab
( )(b c)(a c) 0
a b
a b
b c
c a
0 0 0
Nếu a + b = 0 => c = 1 => c – 1 = 0 => (a-1)(b-1)(c-1)=0
Nếu c + b = 0 => a = 1 => a – 1 = 0 =>(a-1)(b-1)(c-1)=0
Nếu a + c = 0 => b = 1 => b – 1 = 0 => (a-1)(b-1)(c-1)=0
Vậy ta có đpcm.
2)Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh (3 5) (3 5) n n là số nguyên dương. Bài 2: (2,5 điểm):
( 6 2)(1 4 12) 8. x x x x
1) Giải phương trình 2
ĐKXĐ x 2 , đặt
x a x b a b
6 0; 2 0 8
2 2
PTTT a b ab a b
: ( )(1 )
2 2
( )(1 ) 0
a b ab a b
a b x x VN
6 2( )
a x VN
1 6 1( )
1 0 ( 1)( 1) 01 2 1 3( )
ab a b a bb x x TM
PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
x xy y y
2) Giải hệ phương trình
3 2 6 4 1
(1)
2 1 3 4 (2) y x
4 3
2
x
1
(1) ( ) xy 0
x y y
3 6 2 4
( )( ) 0
x y x xy y y
2 2 2 4 2
x y
2
1 3 0
x
x xy y y x y y y TM 0 ( ) 0 ( (2))
2 2 4 2 2 2 4 2
2 4 0
y
Với x=y2
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -31-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
a) góc A1 = góc C2 = góc C1
=> ∆CHK cân C, CA1 là đ/cao + đ trung trực => đpcm
b) Có:
HA HB HC HA HB HC HA HB HC
(1 ) (1 ) (1 ) 3 ( )
1 1 1 1 1 1
AA BB CC AA BB CC AA BB CC
1 1 1 1 1 1 1 1 1
S S S
3 ( ) 3 1 2 HBC HAC HBA
S S S
ABC ABC ABC
c) Từ GT => M trung điểm BC => ....=> ∆B1MC cân tại M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => B N AE 1
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ta có:
2
AB AN AE AN
1
.
(đpcm) EB EN EA EN
1
.
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn 3 3 x y xy 3 1 x y xy
3 3
3 1
( ) 3 ( ) 3 1
x y xy x y xy
3
Đặt x + y = a và xy = b (a, b nguyên) ta có: a ab b
3
3 3 1
(a 1)(a 1) 3b(a 1) 2
2
a
(a 1)(a 1 3 ) 2
2
a b
Vì a, b nguyên nên có các TH sau :
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -32-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
a
1 1
0
aL 1) ( ) 1
a a b b
1 3 23 2
1 2 1 1
a a x y
2) ( ) ( ; ) {(0;1);(1;0)}
TM x y
a a b b xy
1 3 1 0 0 2
1 1 2 2
a a x y
3) ( ) ( ; )
TM x y
a a b b xy
1 3 2 3 3 2
1 2
3 3
a
a x y
( ) ( ; )
4)1 3 1 a a b
2
Vậy ( ; ) {(0;1);(1;0)} x y Bài 5: (1,5 điểm):
TM x y b xy
4 4
2)Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2 x y z xyz 3 . Chứng minh rằng: x y z
2 2 2
3
x yz y xz z xy
4 4 4
2
Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
1 1 1 )2 (1)
2
x
x yz x yzx yz yz x yz x yz
2 4
2 2 2 4 4
2 1 1 1 1 1 1 ) ( )(2)
yz yz y z y z
2 4
Từ (1) và (2) => :
2
x
1 1 1 ( )
x yz y z
4
4
Tương tự:
2
y
1 1 1 ( )
y xz x z
4
2
4
1 1 1 ( )
z
z xy x y
4
4
xy yz zx Ay z x z x y y z x xyz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) . (3)
4 2 2 Mà lại có : 2 2 2 xy yz zx x y z (4) x y z xyz Axyz xyz
2 2 2 1 1 3 3
Từ (3) và (4) có :
đpcm
. .
2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -33-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 8. Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định. Năm học: 2014-2015 a a a a Aa a a
2 21
Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức
a. Rút gọn A.
b. Tìm giá trị của a để A = 2. c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2: (2,0 điểm)
, với a > 0. 1
Gọi đồ thị hàm số y=x2 là parabol (P), đồ thị hàm số y=(m+4)x-2m-5 là đường thẳng (d). a. Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là x1;x2 Tìm các giá trị của m sao 1 2 x x 0
cho 3 3
Bài 3: (1,5 điểm )
Tìm x, y nguyên sao cho x y 18
Bài 4: ( 3,5 điểm )
Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O) (A ,B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và đường tròn (O).
a.Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp.
b.Chứng minh AC CH.
c.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm của AQ.
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 1
yx x
với 00) 1
a a a a a a a a a a Aa a a a a a [( ) 1] 2 ( 1)( 1) (2 1) 1 1
3
1 1
a a a
( 1) 2 1 1
a a
b)Tìm giá trị của a để A = 2
Ta có: A a a
Để A=2=> a a a a 2 2 0
Đặt a t 0 có pt:
t t
2 2 0
t L
1( )
t TM
2( )
Với t = 2 a a TM 2 4( )
Vậy: a 4 là giá trị cần tìm.
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 . ( ) ( ) ( ) 0 A a a a a a a
2 2 2 2 4 4
Dấu “=” khi 1 1 0 ( a>0)
a a TMDK
2 4
Vậy 1 1 khi a=
AMin
4 4
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Ta có: (d): y m x m ( 4) 2 5; (P): y=x2
Pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
x m x m
2
( 4) 2 5
x m x m
( 4) 2 5 0(1) 2
[ ( 4)] 4(2 5) ( 4) 4(2 5) 4 ( 2)( 2) m m m m m m m 2 2 2
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi Pt (1) có hai nghiệm phân biệt khi 0
m
2 0
2 0 2 0 2
m m m
( 2)( 2) 02 0 2 0 2 m mm m m
m
2 0
Vậy: với m > 2 hoặc m < -2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 1 2 x x 0
b) Tìm các giá trị của m sao cho 3 3
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -35-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Với m > 2 hoặc m < -2. Thì Pt: 2 x m x m ( 4) 2 5 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
x x m
Theo Viet ta có: 1 2 x x m
4
Ta có
1 2
2 5
x x x x x x x x m
( )[( ) 3 ] (m 4)[( 4) 3(2 m 5)]
3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( 4)( 1)
m m
2
1 2 x x 0
Để: 3 3
( 4)( 1) 0
m m
2
m TM
4( )
m L
1( )
Vậy : m 4 là giá trị cần tìm.
Bài 3: (1,5 điểm )
Ta có : x y 18(x 0; y 0)
Pt viết: x y x y 3 2(1)(0 3 2;0 3 2) Pt viết:
x y x y y y x 3 2 0 ( ) (3 2 ) 6 2 18
2 2
y x y Q
18 26
( 2y va a 0) 2 2a 2
a N Vi Z y a Q y a Q
2
2
a m m N
2 ( )
2 (2 ) 2 2. 2 y m y m y m TT x n 2 2
Pt (1) viết: n m m n m n N 2 2 3 2 3( ; )
n x
0 0
m y
3 18
n x
1 2
m y
2 8
n x
2 8
m y
1 2
n x
3 18
m y
0 0
Vậy Pt đã cho có 4 nghiệm 018
;28
x
;82
x
;180
Bài 4: ( 3,5 điểm )
y
y
x y
x
y
a) Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp Xét ABP có: PA = PB
và APO= OPB (tính giất hai tiếp tuyến cắt nhau) => ABP cân tại P có PO là phân giác
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -36-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
=> PO cũng là đường cao, trung tuyến ABP .
Xét tứ giác BHCP ta có BHP 900 (Vì PO AB)
BCP 90o
(Vì kề bù BCD 900 (nội tiếp nửa đường tròn (O))
BHP= BCP
=> Tứ giác BHCP nội tiếp (Qũi tích cung chứa góc) b) Chứng minh ACCH .
Xét ACH ta có
HAC= B1 (chắn cung BKC của đường tròn (O))
Mà B1 =H1 ( do BHCP nội tiếp)
=>HAC =H1
Mà H1+ AHC 90o ( Vì: PO AB)
=> HAC+ AHC 900
=> AHC vuông tại C
Hay AC CH .
c)Chứng minh M là trung điểm của AQ.
Xét tứ giác ACHM ta có M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ACH ) => tứ giác ACHM nội tiếp
=> CMH =HAC (chắn cung HC )
Mà HAC= BIC (chắn cung BC của đường tròn (O)) =>CMH= BIC
=> MH//BI (vì cặp góc đồng vị bằng nhau)
Xét ABQ có AH = BH ( do PH là trung tuyến APB (C/m trên)) Và: MH//BI
=> MH là trung bình ABQ
=> M là trung điểm của AQ
Bài 5: (1,0 điểm)
Ta có:
2 1 2 1 2 1 2 1 3 3
x x
yx x x x x x
1 1
2 1 0 1 =1
> 0 x x Vì xx
1
0;
x
Ta có: 2 1 2 1 2 . 2 2
x x x x
(Bất đẳng thức Cô si)
1 1
x x x x
Dấu “=” xảy ra khi: 2 2 2 2 1 1 2( )
x x x TM
2 2 1 2 1 0
x x x x x
x x x L
1 1 2( )
y 2 2 3
Dấu “=” xảy ra khi x 1 2
Vậy min y 2 2 3 khi x= -1+ 2
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -37-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 9. Chuyên Ninh Bình. Năm học: 2014-2015
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức 3 2 3 9 1 : ( 0; 4; 9)
a a a a a A a a a
a a a a a
9 3 2 6
a) Rút gọn A.
b) Tìm a để A+ |A| 0
Câu 2 (2,0 điểm).
1. Giải phương trình: 2 29 3 26 177 x x x x
x y xy x y
2. Giải hệ phương trình: Câu 3 (2,0 điểm).
2 2 2
x y y x x y 2 1 2 1
1. Cho hai phương trình: 2 2 2 x bx c x b x bc 0(1); 0(2) (trong đó x là ẩn, b và c là các tham số).
Biết phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2, phương trình (2) có hai nghiệm x3 và x4 thỏa mãn điều kiện 3 1 4 2 x x x x 1. Xác định b và c.
2. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p + 1)(p – 1) chia hết cho 24. Câu 4 (3,0 điểm).
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O’ lần lượt tại M và N (M và N khác A). Đường thẳng DE cắt MN tại I.
Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, D, M, I cùng thuộc một đường tròn.
b) MI.BE = BI.AE
c) Khi điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (1,0 điểm).
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: b a c b a c Pab b bc c ca a
5 5 5
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -38-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
ĐÁP ÁN
Câu 1
a) Với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9, ta có:
a a a a a Aa a a a a
3 2 3 9 1 :
9 3 2 6
a a a a a a a 9 3 ( 2) ( 3)( 3) 9
2
:
a a a
9 ( 3)( 2)
9 3 ( 2) ( 9) (9 )
a a a a
2
:
( 3)( 3) ( 3)( 2)
a a a a
3( 3) ( 2)
a a
2
:
( 3)( 3) ( 3)( 2)
a a a a 3 2
a
:3 3
a a
3 3
a
.3 2
a a
3
2
a
b) Ta có:
A A
| | 0
| |
A A
A
0
30
a
2
a
2 0
0 4
x
Kết hợp với điều kiện, ta có 0 ≤ a < 4 là giá trị cần tìm. Câu 2
1) 2 29 3 26 177 x x x x (1)
ĐK: –3 ≤ x ≤ 29.
Với mọi a, b ≥ 0, ta có:
( ) 0
a b
2
a b ab
2 2
2
2( ) (a b)
a b
2 2 2
a b a b
2( )
2 2
Thay a x b x 29 ; 3 ta có: 29 3 2(29 3) 8
x x x x
x x x
26 177 ( 13) 8 8
2 2
29 3 26 177 x x x x
2
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -39-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Dấu “=” xảy ra khi 29 3 13
x xx
x
13 0
Do đó (1) ⇔ x = 13 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {13}.
x y xy x yI
2)
2 2 2 (1)( )
x y y x x y
2 1 2 1(2)
ĐK: x ≥ 1, y ≥ 0
Ta có
(1) 2
x xy y x y
2 2
( )( 2 )
x y x y x y
( )( 2 1) 0
x y x y
1 0 1 0
x y
2 1 0
Do đó:
x y
2 1
( )(2 1) 2 2 2(2 1) 1 Iy y y y y y
x y x y
2 1 2 1
( 1) 2 2 3 ( 1)( 2 3) 0 y y y y y
9
x y y
2 12
2 3(Do y+1>0) 10
yx
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 9
10;2
Câu 3
1. Vì 3 1 4 2 3 1 4 2 x x x x x x x x 1 1; 1
Áp dụng định lý Vi–ét cho phương trình (1) và phương trình (2) có:
x x b
1 2
x x c
1 2
x x b x b
( 1) (x 1) 2 2
3 4 1 2
x x bc x x x x x x b c
( 1)( 1) ( ) 1 1
3 4 1 2 1 2 1 2
b
1
b b b bb
2 0 ( 1)( 2) 02 2
1 0 (c 1)(b 1) 01
bc b cc Nếu b = 1 thì (1) có nghiệm 1
c c
1 4 04
Thử lại:
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -40-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
1 1 4 (1) 02
x x c x
2
c
1 1 4 (2) 02
x x c x
2
(thỏa mãn)
Nếu b = –2, c = –1 thì
c
(1) 2 1 0 1 2
x x x
2
(2) 4 2 0 2 2
x x x
2
(thỏa mãn)
Vậy b = 1, 14
c hoặc b = –2, c = –1.
2. Đặt A = (p + 1)(p – 1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 2 và 3.
p lẻ ⇒ p = 2k + 1 ( k ∈ ℕ*)
⇒ A = (2k + 2).2k = 4k(k + 1)
k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 ⇒ k(k + 1) ⋮ 2 ⇒ A ⋮ 8 (1)
Vì p không chia hết cho 3 nên p = 3m + 1 hoặc p = 3m – 1 (m ∈ ℕ*) Nếu p = 3m + 1 ⇒ p – 1 ⋮ 3 ⇒ A ⋮ 3
Nếu p = 3m – 1 ⇒ p + 1 ⋮ 3 ⇒ A ⋮ 3
Vậy A ⋮ 3 (2)
Từ (1) và (2), với chú ý (3;8) = 1 ⇒ A ⋮ 24.
Câu 4
a) Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên DAB= DEB
Vì ABNM là tứ giác nội tiếp nên DAB= BNI
Do đó DEB= BNI=> BEI+ BNI 180
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -41-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
⇒ BEIN là tứ giác nội tiếp
⇒ BEN= BIN
Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên BEN =ADB
Do đó BIN= ADB =>BIM+ MDB 180
⇒ BDMI là tứ giác nội tiếp
⇒ B, D, I, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Vì ABNM là tứ giác nội tiếp nên BAE =BMI (1)
Vì DAEB và DMIB là các tứ giác nội tiếp nên
ABE =ADE và MBI= ADE =>ABE =MBI (2)
BE AE MI BE BI AE
Từ (1) và (2) ⇒tam giác BAE đồng dạng với tam giác BMI (g.g) . .
BI MI
c) Ta chứng minh AD. BE =AE. BD
Vì CD là tiếp tuyến của (O) nên
CDA =CBD
=>tam giác CDA đồng dạng với tam giác CBD (g.g)
DA CD
BD CB
Chứng minh tương tự ta có EA CE
EB CB
DA EA AD BE AE BD
Mà theo tính chất tiếp tuyến ta có CD = CE nên . .
BD EB
Ta chứng minh DE đi qua điểm K là giao hai tiếp tuyến tại A và B của (O) Gọi K1, K2 lần lượt là giao điểm của DE với tiếp tuyến của (O) tại A và B. Khi đó
AE K E K A K AE K DA K AE K DA g gAD K A K D
~ ( . )
1 1 1 1
2
AE K E K A K E
1 1 1
.
AD K A K D K D
1 1 1
Chứng minh tương tự ta có:
2
BE K E
1 1 1 1
2
BD K D
2
AE BE K E K E
Mà AD.BE=AE.BD 1 2
AD BD K D K D
1 2
Do K1 và K2 đều nằm ngoài đoạn DE nên K1 và K2 chia ngoài đoạn DE theo các tỷ số bằng nhau ⇒ K1 ≡ K2 ≡ K.
Vậy DE luôn đi qua điểm K cố định.
Câu 5.
Xét
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -42-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
5 5 ( 3 )(2 ) (2 ) b a b a ab b b a b a
3 3 3 3 2
ab b ab b
3 3
2 2
5 (2 6 3 )
b a ab a b b b a b a a b b a
3 3 2 2 3 2 5 3 2 2
ab b ab b
3 3
2 2
( )( ) 0
a b a b ab b
2
3
2
b a b a
3 3
52
ab b
3
2
Ta có 2 BĐT tương tự: c b c b
3 3
52
bc c
3
2
a ca c
3 3
52
ca a
3
2
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được
P a b c a b c a b c 2( ) ( ) 3
a b ca b c
Dấu bằng xảy ra 1
a b c
3
Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 ⇔ a = b = c = 1.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -43-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 10. Chuyên Năng Khiếu HCM. Năm học: 2014-2015
Câu I. Cho phương trình 2 2 ( 5) 2 6 0(1) m x mx m với m là tham số.
a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên.
b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn điều kiện
1 2 1 2 ( ) 16 x x x x
4
2(1 ) 9
x y y x
2
Câu II. 1) Giải hệ phương trình
2(1 ) 9
y x x y
2
2) Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN. Chứng minh bất đẳng thức ( )( ) 3 2 2
MC MA NB NA
MA NA
.
Câu III. Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho 1 1 1
a b c
a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng nếu c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố Câu IV. Cho điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R ( C ≠ A, C ≠ B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB; I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH. Các đường thẳng CI, CJ cắt AB lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng AN = AC, BM = BC.
b) Chứng minh 4 điểm M, N, J, I cùng nằm trên một đường tròn và các đường thẳng MJ, NI, CH đồng quy.
c) Tìm giá trị lớn nhất của MN và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN theo R. Câu V. Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại.
a) Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5.
b) Tìm tất cả các bộ gồm 5 số thỏa mãn đề bài mà tổng của chúng nhỏ hơn 40.
........................Hết......................
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -44-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
ĐÁP ÁN
Câu I.
a m 5 0 nên là phương trình bậc hai ẩn x. Do đó
a) Phương trình (1) có hệ số 2
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x;
' ( 5).6 0
m m m
2 2
m m m
6 30 0
2 3
m m m
(6 30) 0
2
1 119 5 ( ) 0
m m m
2 2
2 4
m
0
0
m
Khi đó theo định lý Vi–ét ta có: 1 2 225
x xm
m
m m 5 2 0
Xét 2 2 m m m 5 2 ( 1) 4 0 . Mà m>0 => 2 2
mx x
0 1 0 1
2 1 2
m
5
Vậy tổng hai nghiệm của (1) không thể là số nguyên. b) Phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x x; 2 2 1 119 ' 0 m 5 ( ) 0
m
2 4
0
m m
2
m
Khi đó, theo định lý Vi–ét:
x xm
1 2 2
6
5
x xm 1 2 2
m
5
Ta có:
( ) 16
x x x x
1 2 1 2
4
x x x x 1 2 1 2
2
x x x x
1 2 1 2
TH x x x x
2
1: 2
1 2 1 2
6 2 2(2)
m m
m m
5 5
2 2
Đặt 22; 0
m
phương trình (2) trở thành 2 3 2 0 t t
t t
m
5
Xét 2 1 4( 3)( 2) 23 0 ⇒ (2) vô nghiệm. m m TH x x x xm m
6 2 2 : 2 2(3)
5 5
1 2 1 2 2 2
Đặt 22; 0
m
phương trình (3) trở thành 2 3 2 0 t t
t t
m
5
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -45-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
( 1)(3 2) 0
t t
t L
1( )
m TM
2( )
2 2 4 (T ) 4 18 20 0 ( 2)(4 10) 0 2
m
t M m m m m
2
3 5 9 ( ) m m TM 2
5
m
Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là 2
2;5
Câu II.
2(1 ) 9
x y y x
2
(I)
2(1 ) 9
y x x y
2
ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm 3 3 3 3
Đặt a x y b y x ; , điều kiện a ≥ 0, b ≥ 0. Hệ (I) trở thành
2(1 ) 9 (1)
a b
2
2(1 ) 9 (2)
b a
2
Lấy (1) trừ (2) ta được:
2(1 ) 2(1 b) 9(b a)
a
2 2
2(a b)(a b 2) 9(a b) 0
( )(2 2 13) 0
a b a b
0 , 0
a b
a b
Thay a = b vào (1) ta có
x y
2
a b TM x y 2 2( ) 4
3
y x
2
2(1 ) 9 1
a ax y
2
1 1 1 2
a b TM x y
( )
3
2 2 4 1 y x
2
1 1 4; 4 ; ;4 4
2)
Vì BM, CN lần lượt là phân giác góc ABC, ACB nên theo tính chất đường phân giác, ta có:
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -46-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
MC BC MC MA BC
1
MA AB MA AB
NB BC BN NA BC
1
NA AC NA AC
( )( ) (1 )(1 ) 1
MC MA NB NA BC BC BC BC BC
2
MA NA AB AC AB AC AB AC
. .
Áp dụng định lý Pi–ta–go cho tam giác vuông ABC và BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có: 2
BC BC AB AC AB ACAB BC
2 2 2 2 . 2
.
BC BC BC BC
2 . 2 2
AB AC AB AC
( )( ) 1 2 2 2 3 2 2
MA MC NB NA
MA NA
.
Câu III.
a) Ta có: 1 1 1 1 ( ) (*) a b c a b ab
a b c ab c
Giả sử a + b là số nguyên tố, khi đó từ (*) ⇒ ab ⋮ (a + b) ⇒ a ⋮ (a + b) hoặc b ⋮ (a + b) Điều này mâu thuẫn do 0 < a < a + b, 0 < b < a + b.
Vậy a + b không thể là số nguyên tố.
b) Giả sử a + c và b + c đồng thời là số nguyên tố.
Từ c(a+b)=ab=>ca+cb=ab=>ca+ab=2ab-ab=>a(b+c)=b(2a-c)
⇒ a( b + c) ⋮ b (**)
Mà b + c là số nguyên tố, b là số nguyên dương nhỏ hơn b + c nên (b + c, b) = 1 Do đó từ (**) suy ra a ⋮ b.
Chứng minh tương tự ta có b(a + c) = a(2b – c) ⇒ b ⋮ a
Vậy a = b. Từ (*) ⇒ a = b = 2c
Do đó a + c = b + c = 3c, không là số nguyên tố với c > 1 (mâu thuẫn với giả sử) Vậy a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố.
Câu IV.
a) Ta có: HCA =ABC (cùng phụ với HCB )
Vì CN là phân giác của góc HCB nên HCN =BCN
Do đó CAN= HCA +HCN= ABC +BCN
Mặt khác, xét ∆ BCN với góc ngoài ANC ta có: ANC= ABC+ BCN
Suy ra CAN= ANC ⇒ ∆ ACN cân tại A ⇒ AC = AN.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -47-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Chứng minh tương tự ta có BC = BM.
b) Vì CM, CN lần lượt alà phân giác của góc ACH và BCH nên
1 1 1 45
2 2 2o MCN MCH NCH ACH BCH ACB
Tam giác ACN cân tại A có AI là phân giác kẻ từ đỉnh A, nên cũng là trung trực của đáy CN. ⇒ IC = IN.
⇒ ∆ ICN cân tại I.
Tam giác ICN cân tại I có ICN=45o nên là tam giác vuông cân tại I
⇒ CI ⊥ IN
Chứng minh tương tự ta có CJ ⊥ MJ.
Tứ giác MIJN có MIN=MJN=90o nên là tứ giác nội tiếp
⇒ Bốn điểm M, I, J, N cùng thuộc một đường tròn.
Vì CH ⊥ MN, MJ ⊥ CN, NI ⊥ CM nên CH, MJ, NI đồng quy tại trực tâm của ∆ CMN. c) Đặt 2 2 2 2 AC b BC a a b BC R Pi ta go ; 4 ( )
Theo câu a, ta có AN=AC= b; BM=BC=b
Do đó a+b=AN+BM=BC+MN=>MN=a+b-BC=a+b-2R
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 2 ( ) 2( ) 8
a b ab a b a b a b R
a b R MN a b R R
2 2 2 2 ( 2 1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b ⇔ CA = CB ⇔ C là điểm chính giữa nửa đường tròn. Vì C thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên CH ≤ R.
Do đó 1 1 2
2 2 CMN S CH MN R R
. .2. ( 2 1) R ( 2 1)
Dấu bằng xảy ra ⇔ C là điểm chính giữa nửa đường tròn.
Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 2 ( 2 1) R và giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CMN là 2 R ( 2 1) đều xảy ra khi và chỉ khi C là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB. Câu V.
a) Gọi 5 số tự nhiên đã cho là a, b, c, d, e.
Do chúng đôi một phân biệt nên có thể giả sử a < b < c < d < e.
Theo giả thiết ta có a + b + c > d + e ⇒ a + b + c ≥ d + e + 1
Suy ra a ≥ d + e + 1 – b – c.
Vì b, c, d, e là số tự nhiên nên từ
d > c ⇒ d ≥ c + 1; c > b ⇒ c ≥ b + 1
Suy ra d ≥ b + 2 ⇒ d – b ≥ 2
e > d ⇒ e ≥ d + 1 ⇒ e ≥ c + 2 ⇒ e – c ≥ 2
Do đó a ≥ (d – b) + (e – c) + 1 ≥ 5. Suy ra b, c, d, e > 5
Vậy tất cả các số đều không nhỏ hơn 5.
b) Nếu a ≥ 6 ⇒ b ≥ a + 1 ≥ 7. Tương tự c ≥ 8, d ≥ 9, e ≥ 10 ⇒ a + b + c + d + e ≥ 40 (mâu thuẫn) Suy ra a < 6. Mà theo câu a ta có a ≥ 5 ⇒ a = 5.
Ta có 5 + b + c ≥ d + e + 1 ⇒ b + c ≥ d + e – 4.
Mà d – 2 ≥ b, e – 2 ≥ c ⇒ d + e – 4 ≥ b + c.
Do đó
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -48-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
=>a+b+c+d+e=5+2b+2c+4<40
b d c e
2
2
31 31 ( 1) b c 7
b c b b b
2 2
Suy ra b = 6 hoặc b = 7
Nếu b = 6 thì d = b + 2 = 8. Vì b < c < d nên c = 7 ⇒ e = c + 2 = 9. Nếu b = 7 thì d = b + 2 = 9. Vì b < c < d nên c = 8 ⇒ e = c + 2 = 10. có hai bộ thỏa mãn đề bài là (5;6;7;8;9) và (5;7;8;9;10).
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -49-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 11. Chuyên Ngoại Ngữ DHQG Hà Nội. Năm học: 2014-2015
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức 2 4 2 1 1 2 ( ) : (3 ) x x x x Ax x x x x
8 2 1 1
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị của x để A > 1.
Câu 2. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình: 2 2 x x x x 2 7 3 ( 1)( 3)
x y xy
2. Giải hệ phương trình: Câu 3. (1,5 điểm)
2 2 x y
4 4
3 2
Cho phương trình (ẩn x): 2 2 x m 3(m 1) x 2 m 5 2 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn |x1+x2|=2|x1-x2|
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC.
1. Chứng minh rằng BCQP là tứ giác nội tiếp.
2. Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng MH2= MB.MC
3. Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng.
Câu 5. (1,0 điểm)
2 3 4 2014 2015 1 .... 4
Chứng minh rằng: 2 3 2013 2014
2 2 2 2 2
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -50-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
ĐÁP ÁN
Câu 1.
1. Ta có:
x x x x Ax x x x x
2 4 2 1 1 2 ( ) : (3 )
8 2 1 1
x x x x x x x
2 2 4 ( 1) 3( 2)( 1) ( 1) 2( 2)
:
( 2)( 2 4) ( 1)( 1) ( 2)( 1)
x x x x x x x
1 1 3( 2) 3 3
x x x x
:
x x x x
2 1 ( 2)( 1)
x x x x
1 ( 1)( 2) 3 9
:
( 2)( 1) ( 2)( 1)
x x x x
x x x
3 ( 2)( 1)
.
( 2)( 1) 3( 3)
x x x
x
1
1)
3(
x
2. ĐKXĐ: x0;x 1;x 3;x 4
x x Ax x
1 1 1 1 1 0
3( 1) 3( 1)
x x
1 3( 1) 0
3( 1)
x
4 2 0
x
3( 1)
x
20
x
3( 1)
x
1 2
x
1 4
x
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có 1 4
là điều kiện cần tìm.
x
Câu 2.
x
3
2 2 1. 2 7 3 ( 1)( 3)(1) x x x x
ĐK: x ≥ –3
Nhận xét: 2 2 x x x 2 7 ( 1) 2(x 3)
Đặt 2 a x a b x b 1( 0), 3( 0), phương trình (1) trở thành a b ab a b a b
2 2 2 3 ( )( 2 ) 0
a b
a b
2
Với
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -51-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
a b x x x x x x
2 2 1 3 1 3 ( 2)( 1) 0 x TM
2( )
x TM
1( )
Với
a b x x x x x x
2 2 2 2 1 2 3 1 4( 3) 4 11 0
x TM
2 15( )
x TM
2 15( )
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 2; 1;2 15;2 15 (I)
x y xy
2.
2 2 x y
4 4
3 2
x y xy x y xy
3 3
2 2 2 2
( )( ) 2 2 (3 xy) 2 2
Ix y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 3 ( ) 3 x y xy xy x y xy
2 2
9 6 2 2 6 7 0 xy x y x y x y xy
2 2 2 2 2 2
( ) 4
x y
2
( ) 31 x y xyxy
2
xyx y
1( ) 4 7 ( ) 2
xy
xy
7
L
x y x
2 1
xy y
1 1
x y x
2 1
xy y
1 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1) và (–1;–1)
Câu 3.
2 2 x m 3(m 1) x 2 m 5 2 0.(1)
Ta có:
2 2 2 2 9( 1) 4(2 5 2) 2 1 ( 1) m m m m m m
1 2 x x m m ; 0 ( 1) 0 1
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2
Khi đó, theo định lí Vi–ét, ta có:
x x m
1 2
3( 1)
x x m m 2 5 2
1 2
Do đó:
2
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -52-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
| | 2 | |
x x x x
1 2 1 2
( ) 4( )
x x x x
2 2
1 2 1 2
3( ) 16 0
x x x x
2
1 2 1 2
27( 1) 16(2 5 2) 0 m m m
2 2
5 26 5 0
m m
2
( 5)(5 1) 0
m m
m
5
m
1
5
Đối chiếu với điều kiện m ≠ 1, ta có m = –5 và 15
m
là các giá trị cần tìm.
Câu 4.
1. Tứ giác APHQ có APH +AQH 90 90 180 nên là tứ giác nội tiếp ⇒ APQ= AHQ
Ta có: AHQ =BCQ (cùng phụ với CHQ )
Do đó APQ =BCQ
Suy ra BPQC là tứ giác nội tiếp.
2. Vì BPQC là tứ giác nội tiếp nên
MBP= MQC
~ ( . ) . . (1) MB MP MBP MQC g g MB MC MP MQ MQ MC
Vì APHQ là tứ giác nội tiếp nên: MQH =BAH
Mà BAH= MHP (cùng phụ với PBH )
nên MQH= MHP
2 ~ ( . ) . (2) MQ MH MQH MHP g g MH MP MQ MH MP
Từ (1) và (2) ⇒ MH2 =MB .MC
3. Vì AKBC là tứ giác nội tiếp nên
MK MB MKB MCA MKB MCAMC MA
~
MK MA MB MC
. .
Kết hợp với kết quả ý 2, ta có 2 MH MK .MA
⇒ HK là đường cao của tam giác vuông AHM.
⇒ AK ⊥ KH
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -53-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Do đó KH cắt (O) tại D (D khác K) thì AD là đường kính của (O).
Gọi J là trung điểm HD, N là trung điểm QC.
Khi đó OJ là đường trung bình của ∆ AHD ⇒ OJ // AH ⇒ OJ ⊥ BC. Mà OB = OC nên OJ là trung trực BC (3)
Vì HQ // DC (cùng vuông góc AC) nên HQCD là hình thang.
⇒ JN là đường trung bình của hình thang HQCD
⇒ JN // HQ ⇒ JN ⊥ QC
⇒ JN là trung trực của QC (4)
Từ (3) và (4) ⇒ J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPQC (do BPQC là tứ giác nội tiếp) ⇒ J ≡ I
Mà K, H, J thẳng hàng nên I, K, H thẳng hàng.
Câu 5.
3 4 2014 2015
....
Đặt S= 2 3 2013 2014
2 2 2 2
Ta có:
3 4 2014 2015 2 ....
S
2 2 2 2
2 2012 2013
3 4 3 5 4 2015 2014 2015 2 ....
S S
2 2 2 2 2 2 3 2013 2014
1 1 1 1 2015 (1 .... )
S
2 2 2 2 2 2 3 2013 2014 1
2014
Ta có:
1 ( ) 1 1 1 1 1 2 1 .... 2
2 2 2 2 2 1
2 3 2013 2013 12
Do đó:
1 2015 2 3 4 2014 2015 2 2 1 .... 4
S 2 2 2 2 2 2 2
2013 2014 2 3 2013 2014
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -54-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 12. Chuyên Nguyễn Trải – Hải Dương. Năm học: 2014-2015
Câu I ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 43 1 x x
2) Rút gọn biểu thức: 10 2 3 1(x 0; x 1)
x x x Ax x x x
3 4 4 1
Câu II ( 2,0 điểm)
Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d):y=(m-1)x+m+4 (tham số m)
1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Câu III ( 2,0 điểm)
1) Cho hệ phương trình: 3 2
( tham số m)
x y m
3 2 11
x y m
Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – y2 đạt giá trị lớn nhất.
2) Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12 km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ô tô.
Câu IV ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng hình bình hành BHCD.
1) Chứng minh: Các tứ giác APHN, ABDC là các tứ giác nội tiếp.
2) Gọi E là giao điểm của AD và BN. Chứng minh: AB.AH = AE.AC
3) Giả sử các điểm B và C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và B ·AC không đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi
Câu V ( 1,0 điểm)
Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( ) x y x y Sx y xy
2 2
2 2
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -55-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN ĐÁP ÁN
Câu NỘI DUNG Điểm
Câu 1
1) Giải phương trình: 43 1 x x 0,25
x
1 0(1)
43 143 ( 1) (2)
x xx x 2
(1) 1 x 0,25 0,25
x xx
2 7
x
(2) 42 06
Kết hợp nghiệm ta có: x= 7 ( thỏa mãn), x = - 6 (loại) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {7}.
2)Rút gọn biểu thức: 10 2 3 1(x 0; x 1) x x x Ax x x x
3 4 4 1
x x x Ax x x x
10 2 3 1(x 0; x 1)
3 4 4 1
10 2 3 1
x x x
( 4)( 1) 4 1
x x x x
10 (2 3)( 1) ( 1)( 4)
x x x x x
0,25 1,00
0,25
0,25 ( 4)( 1)
x x
10 (2 5 3) (x 5 4) 3 10 7
x x x x x x
( 4)( 1) ( 4)( 1) x x x x
( 1)(7 3 ) 7 3
x x x
( 4)( 1) 4
x x x
0,25 0,25
Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d):y=(m-1)x+m+4 (tham số m) 0,25
Câu
2
Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
m = 2 ta có phương trình đường thẳng (d) là : y = x + 6
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x2=x+6
x xx
0,25
0,25
2 2
x
6 03
+) x = -2 => y = 4
+) x = 3 => y = 9
Vậy m= 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A(-2;4) và B(3;9)
0,25
2. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung. 1,00 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
2
x
(m 1) x m 4
x ( 1) 4 0(*)
0,25
2
m x m
(d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*)có 2
0,25
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -56-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
nghiệm trái dấu
1. (- m – 4) < 0 0,25 m > - 4 0,25 3 1) Cho hệ phương trình: 3 2
( tham số m) 1,00
Câu
x y m
3 2 11
x y m
x y m x y m x m x m
3 2 2 2 6 4 5 5 15 3
3 2 11 3 2 11 3 2 2 1
x y m x y m x y m y m x y m m m m
( 3) (2 1) 3 10 8
2 2 2 2 2
49 5 3(m )
0,25 0,25
3 3 Do 5 2
2
m 0,25
với mọi m; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 53
(m ) 0
3
x y ,dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 53
0,25
2 2 49 3
m
Hay x2-y2 lớn nhất bằng 493 ,dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 53
m
2. Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x > 6) Khi đó thời gian ô tô dự định đi hết quãng đường AB là 80x(h) Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường đầu là 40
x 6(h)
Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường còn lại là 40
x 12(h)
Theo bài ra ta có phương trình:
40 40 80
x x x 60 12
40 ( 12) 40 ( 6) 80( 6)( 12) x x x x x x
x x x x x x x x x
( 6)( 12) ( 6)( 12) ( 6)( 12)
40 480 40 240 80 480 5760
x x x x x x
2 2 2
240 5760
x
0,25 0,25
0,5
x
24
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 24 (km/h) 0,25 Câu
4
0,25
Từ giả thiết ta có: APH=90o; ANH 90o
=>Tứ giác APHN nội tiếp đường tròn đường kính AH
Ta có: BD//CH (BDCH là hình bình hành) và CH AB
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -57-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
BD AB => ABD=90o
Tương tự ta có: ACD=90o
0,25
Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn ( đường kính AD) 0,25
2. Xét 2 tam giác ABE và ACH có:
ABE=ACH (cùng phụ với góc BAC) (1)
Góc BAE phụ với góc BDA; BDA=BCA (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Góc CAH phụ với góc BCA =>BAE=CAH(2)
0,25 0,25
Từ (1) và (2) suy ra 2 tam giác ABE, ACH đồng dạng 0,25 AB AC AB AH AC AE
0,25
AE AH
. .
3. Gọi I là trung điểm của BC => I cố định ( do B, C cố định) 0,25
Gọi O là trung điểm AD => O cố định (do góc BAC không đổi, B, C cố định, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Độ dài OI không đổi
0,25
Tứ giác ABDC là hình bình hành => I là trung điểm của HD 0,25
Câu 5
1
OI AH (OI là đường trung bình của tam giác ADH)
2
Độ dài AH không đổi
Vì AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH không đổi => độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN không đổi => đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi.
Ta có:
x y Sx y xy
( ) (x y)
2 2
2 2
xy x y
0,25 0,25 0,25
2
2 2
1 2
x y xy
2 2
xy x y x y
2
2 2 2 2
0,25
3 ( )
x y xy xy
2 2
2 2
Do x, y là các số dương nên ta có:
2 2 2 . 2
xy x y xy x y
2 2 2 2
x y xy x y xy
2 2
2 2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
xy x yx y x y x y
2 2
2( ) 4 ( ) 0
0,25
x y xy 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x y
2
2 2
x y x y
( ; 0)
x y
2 2
x y xy x y
2 2
2 1 2
xy
Cộng các bất đẳng thức ta được S 6 0,25
S = 6 x = y. Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -58-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 13. Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An. Năm học: 2014-2015
Câu 1 (7,0 điểm).
x x x x x x 1 2 3 2 4 3
a) Giải phương trình 2
x y
2 2
1
b) Giải hệ phương trình Câu 2 (3,0 điểm).
( 1) ( 1) 2 y x
2 2
3 1
xy x y
a) Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình 2 9 2 x y y
b) Tìm các chữ số a, b sao cho 2 3 ( ) ( ) ab a b
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho các số a, b, c không âm. Chứng minh rằng
2 2 2 2 3 a b c abc ab bc ca 3 ( ) 2( )
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng:
a) OB vuông góc với EF và 2. BH EF
BO AC
b) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC có 60 ;BC 2 3 o BAC cm . Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm. ----- HẾT -----
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -59-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
NGHỆ AN
______________
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015
_________________________
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
________________________
Câu Nội dung Điểm 1. 7,0 a) 3,5
Điều kiện: x 1
x x x x x x 1 2 3 2 4 3 Ta có: 2
0,5
2 3 2 1 ( 1)( 3) 0 x x x x x x 0,25 2 ( 3 1) 1( 3 1) 0 x x x x 0,5 ( 3 1)( 1 2 ) 0 x x x 0,5
0,5
x
3 1(1)
x x
1 2 (2)
Ta có (1) x 2 (loại) 0,5
x
0
x x
0 0
0,5
(2) 1 17 1 4 4 1 08
x x x x x
2 2
1 17 ( )
x TM
8
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 17
0,25
x
8
b) 3,5
Điều kiện: x 1;y 1
x y
2 2
1
0,5
( 1) ( 1) 2 y x
2 2
Hệ phương trình đã cho tương đương với
x y
1
.1 1 4
y x
2 2 1
0,5
x y
u v
Đặt ;1 1
, hệ đã cho trở thành
u v
2
y x
uv
1 4
u v uv u v
2 1 ( ) 1
2 2 2
u v uv u v
2 0 ( ) 0
2 2 2
0,5
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -60-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
u v
1 2
0,5
u v
1
2
Nếu 1 1 21(TM)
y x
0,75
u v x y
2 1 2
x y
Nếu 1 1 1 2(TM)
y x
u v x y
2 3 1 2
x y
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: x y 1, 13
x y
0,75
2. 3,0
a) 2,0 Phương trình đã cho tương đương với 9 ( 1)( 2)(1) x y y 0,5
Nếu y 1 3 thì y y 2 ( 1) 3 3 (y 1)(y 2) 9 Mà 9x 9 x Z nên ta có mâu thuẫn.
0,5
Suy ra y 1 3, do đó: y 1 = 3k( k Z )=>y=3k+1( k Z ) 0,5 Thay vào (1) ta có: 9 3 (3 3) ( 1) x k k x k k 0,25 Vậy phương trình có nghiệm: ( 1)( )
x k kk Z
y k
3 1
0,25
b) 1,0
Từ giả thiết suy ra ab a b a b ( ) (1) Vì ab và a+b * N nên a + b là số chính phương.
0,25
Mặt khác 1 18 1;4;9;16 a b a b 0,25
Nếu a+ b1, a +b 4, a+ b 16 thì thay vào (1) không thỏa mãn Nếu a +b 9 thay vào (1) ta được ab 27
Vậy a=2;b=7
0,5
3. 2,0
Đặt
a x b y c z
; ; .
3 3 3 2 2 2
a x y z a x y z x y z ;b ;c , ;b ;c ; , , 0 2 3 2 3 2 3 3 3 3
Bất đẳng thức đã cho trở thành:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 x y z xyz x y y z z x 3 2( )(1)
Vì vai trò của x; y ;z bình đẳng nên có thể giả sử x y z 0 Khi đó
x x y z y x z x y y y z
( ) ( ) ( )(x )( ) 0
2 2
x 3 (z y) yz(y z) zx(z x)(2) y z xyz xy
3 3 3
0,5 0,5
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có 3 3 xy x y xy x y ( ) 2 xy 2 (3)
Tương tự ta có:
0,5
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -61-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN yz z y z
(y ) 2 (4)
3 3
zx x z x (z ) 2 (5)
3 3
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (3), (4), (5) ta được 3 3 3 3 3 3 xy y yz z zx x x y y z z x (x ) (y ) (z ) 2( )(6) Từ (2) và (6) ta có
3 3 2 3 3 3 3 3 3 x y z xyz x y y z z x 3 2( ) Đẳng thức xảy ra khi x=y=z hay a= b =c.
0,5
4. 6,0 a) 4,0
Vì AEC= AFC =90o nên tứ giác ACEF nội tiếp. 0,5 Suy ra BFE =ACB (cùng bù với góc AFE ) (1) 0,5
Kẻ tia tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) tại B. Ta có ACB= ABx (cùng chắn cung AB ) (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra BFE =ABx 0,5 Do đó Bx// EF 0,5 Mà OBBx nên OB EF 0,5
0,5
Xét BEF và BAC có ABC chung và BFE= ACB ( theo (1))
nên BEF và BAC đồng dạng.
0,5
Mặt khác BEF và BAC lần lượt nội tiếp đường tròn bán kính 2BH và đường tròn bán kính EF BH
OB nên 2.
AC OB
Từ đó ta có 2. BH EF
BO AC
b) 2,0
Gọi M1 và N1 lần lượt là các điểm đối xứng với P qua AB và AC. Ta có: AM1B=APB (do tính chất đối xứng) (3)
0,25
APB=ACB (cùng chắn cung AB) (4)
0,25
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -62-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Tứ giác BEHF nội tiếp nên BFE= BHE (5) Mặt khác theo câu a) BFE =ACB (6)
0,25
Từ (3), (4), (5), (6) suy ra AM1B= BHE AM1B+ AHB = 1800, 0,25 do đó tứ giác AHBM1 nội tiếp 0,25 AHM1= ABM1 mà ABM1= ABP nên AHM1 =ABP. 0,25 Chứng minh tương tự ta có AHN1= ACP 0,25
AHM1+ AHN1= ABP+ ACP=180O M1, N1, H thẳng hàng
Mặt khác MN là đường trung bình của tam giác PM1N1 , do đó MN đi qua trung điểm của PH.
0,25
5. 2,0
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BC, CA,
0,5
AB.
Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC
MC BAC MOC OA OB OC
Vì 60 60 2
O O
sin 60 o
Vì O nằm trong tam giác ABC và OM BC, ON AC ,OP AB
Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp các đường tròn có đường kính 2 (đường kính lần lượt là OA, OB, OC).
Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 3 tứ giác này chứa ít nhất 5 điểm trong 13 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác ANOP.
Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của NA, AP, PO, ON và I là trung điểm OA, suy ra IA=IP=IO=IN=1
Khi đó tứ giác ANOP được chia thành 4 tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp các đường tròn có đường kính 1.
Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 4 tứ giác này chứa ít nhất 2 điểm trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác AEIF chứa 2 điểm X, Y trong số 13 điểm đã cho.
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách giữa X, Y không vượt quá 1.
0,25
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -63-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 14. Chuyên Thái Bình. Năm học: 2014-2015
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức 2 3 5 7 2 3 x x Ax x x x x x
:
(x > 0, x ≠ 4)
2 2 1 2 3 2 5 10
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 2. (2, 5 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + 2 ( m là tham số, m ∈ ℝ). 1, Với m = –5 tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).
2, Chứng minh rằng: với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.
3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m
Bài 3. (1,5 điểm)
2 3 2 5(2 ) 0
x xy y x y
2 2
Giải hệ phương trình: Bài 4. (3,5 điểm)
x xy y
2 3 15 0 2 2
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A.
1, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT.
2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC
3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm. 4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC.
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1) ≤ 18.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1
Bx y y z z x
1 1 1
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -64-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN ĐÁP ÁN
Bài 1.
1. Với x > 0, x ≠ 4 ta có:
x x Ax x x x x x
2 3 5 7 2 3
:
2 2 1 2 3 2 5 10 2 2 1 3 2 5 7 5 10
x x x x x
.
2 2 1 2 3
x x x
5 2 2 3.
x x x
2 2 1 2 3
x x x
5
x
2 1
x
2. Vì x x x A 0 5 0;2 1 0 0
Mặt khác, xét5 3 2 1 3
x x x
3 0
x A 0 3
Ax x
2 1 2 1
Vậy 0 < A < 3
Do đó A nguyên ⇔ A = 1 hoặc A = 2.
5 1 1 1 1 5 2 1 3 1
x
A x x x x x (thỏa mãn) 2 1 3 9
x
5
x
A x x x x x 2 2 5 2(2 1) 2 2 4 (loại) 2 1
x
Vậy 19
A x
Bài 2.
1. Khi m = –5 ⇒ (d) : y = –4x + 12
Khi đó , phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2 2 x x x x x x 4 12 4 12 0 ( 6)( 2) 0
⇔ x = –6 hoặc x = 2
Khi x = –6 ⇒ y = 36
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -65-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Khi x = 2 ⇒ y = 4
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (–6;36) và (2;4)
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
2 2 x m x m x m x m 2( 3) 2 2 2( 3) 2 2 0 (1)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt
' ( 3) (2 2) 0
m m
2
( 6 9) (2 2) 0
m m m
2
m m
2
4 7 0
( 2) 3 0
m
2
(luôn đúng ∀ m)
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là 1 2 x x, với 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình (1)
Hai giao điểm có hoành độ dương ⇔ (1) có hai nghiệm dương
x x m mm
2( 3) 0 31
1 2
x x m m
1 2
2 2 0 1
Vậy m > 1.
3. Gọi x y 0 0 ; là điểm cố định mà (d) luôn đi qua ∀ m
Khi đó:
y m x m m
2( 3) 2 2( )
0 0
m x x y m
(2 2) (6 2 ) 0( )
0 0 0
2 2 0 1 1
x x x 0 0 0
6 2 0 6.1 2 0 8
x y y y 0 0 0 0
Vậy (d) luôn đi qua điểm (1;8) ∀m.
Bài 3.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -66-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
2 3 2 5(2 ) 0(1)( )
x xy y x yI
2 2
x xy y
2 3 15 0(2)
2 2
Ta có:
(1) (2 )( 2 ) 5(2 ) 0
x y x y x y
(2 )( 2 5) 0
x y x y
y x
2
x y
5 2
y x
x yIII 5 2( )
hoặc 2 2
2
( ) ( )
I II
Do đó: 2 2
x x x x
2 .2 3(2 ) 15 0
y x x y
2 1; 2
( )15 15 0 1; 2 IIx x y 2
x y y x
5 2 2; 1
( )5 30 40 0 4; 3 IIIy y y x 2
(5 2 ) 2(5 2 ) 3 15 0 y y y y
Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm (1;2) , (-1;-2) , (-3;4)
Bài 4.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -67-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
1. Vì TB là tiếp tuyến của (O) nên
BAD = DBT (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cùng BD) Xét ∆ ABT và ∆ BDT có:
ATB chungABT BDT g g
( )~ ( . )
DBT BAT cmt
( )
2
AB AT BT AB AT BT AT ABT BDTBD BT DT BD BT DT DT
2. Vì
~ .
Chứng minh tương tự ta có:
2 AC AT
CD DT
2 2
AB AC AB AC AB CD BD AC
Do đó
BD CD BD CD
. .
3. Gọi I1, I2 lần lượt là giao điểm của BC với tia phân giác góc BAC và góc BDC. Xét ∆ ABC có tia phân giác AI1, theo tính chất đường phân giác ta có: I B AB
1
I C AC 1
I B DB
Chứng minh tương tự ta có: 2
I C DC
2
. .AB DB I B I B AB CD BD ACAC DC I C I C
Theo câu 2) ta có 1 2
1 2
Mà I1, I2 cùng thuộc đoạn BC nên chúng chia trong đoạn BC theo các tỉ số bằng nhau. ⇒ I1 ≡ I2
⇒ Đường phân giác góc BAC, đường phân giác góc BDC và đường thẳng BC đồng quy.
4. Gọi M’ là điểm thuộc đoạn BC sao cho CAM’ = BAD . Ta chứng minh M’ ≡ M. Vì CAM’ = BAD => BAM’ = CAD
Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên ADB = ACM’ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -68-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
BD AD BD AC AD CM
Mà CAM’ = BAD => ∆ADB ~ ∆ACM’ (g.g) . . '
(1)
CM AC
'
Chứng minh tương tự ta có: AB.CD = AD.BM’ (2) Từ (1) và (2) với chú ý BD.AC = AB.CD => AD.CM’ = AD.BM’ => CM’ = BM’ ⇒ M’ ≡ M
=> BAD = MAC
Bài 5. Với mọi a, b, c > 0, ta có:
( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 0 a b b c c a a b c ab bc ca
2 2 2 2 2 2
2( ) 2 2 2
a b c ab bc ca
2 2 2
3( ) 2 2 2
a b c a b c ab bc ca
2 2 2 2 2 2
3( ) ( ) (*)
a b c a b c
2 2 2 2
Với mọi a, b, c > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho ba số dương, ta có:
a b c abc
3 01 1 1 ( ) 9 1 1 1 1 3 0
3
3
a b c abc
1 1 1 9 (**) a b c a b c
a b ca b c
Áp dụng BĐT (*) với a = x, b = y, c = z và từ điều kiện của x, y, z ta có: ( ) 183
x y z
2
x y z x y z x y z 2 2 2
( ) 3( ) 54 0
x y z x y z
2
( 9)( 6) 0
x y z x y z
x y z 6 (do x + y + z + 9 > 0) (***)
Áp dụng BĐT (**) với a = x + y + 1, b = y + z + 1, c = z + x + 1, ta có: 1 1 1 9 9 Bx y y z z x x y y z z x x y z
1 1 1 1 1 1 2( ) 3 Áp dụng (***) ta có: 9 3
B
2.6 3 5
x y z
Dấu bằng xảy ra 1 1 1 2 x y y z z x x y z
x y z
6
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -69-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 35 , xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2.
Đề số 15. Chuyên Thái Bình. Năm học: 2014-2015
Bài 1. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình: 2 5 6 10 3 2 2 x x x x
x xy y
8 96
3 2
2) Giải hệ phương trình: Bài 2. (2,0 điểm)
x y
32 48
2 2
1 2 S x x
1) Cho phương trình x2 – 2x – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Tính 7 7
2) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 + ab + b2 = c2 + cd + d2. Chứng minh a + b + c + d là hợp số.
Bài 3. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1.
a bc b ca c ab
Chứng minh: 32
a bc b ca c ab
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD với A, C cố địnhvà B, D di động. Đường phân giác của góc BCD cắt AB và AD theo thứ tự tại I và J (J nằm giữa A và D). Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ.
1) Chứng minh AO là phân giác góc IAJ.
2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đường tròn.
3) Tìm đường tròn cố định luôn đi qua M khi B, D di động.
Bài 5. (1,0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số có tổng các chữ số chi hết cho 11
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -70-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
ĐÁP ÁN
Bài 1.
6 10 ) 5 6 10 3 2 2 ( ) a x x x x x
2
5 5
5 6 2 10 3 2 2 6
x x x x
2
5( 2) 3( 2) ( 2)(2 3) 0 x xx x
5 6 2 10 3 2
x x
5 3 (x 2)( 2 3) 0
x
5 6 2 10 3 2
x x
x TM
2( )
5 3 2 3 0(*)
x
5 6 2 10 3 2
x x
Vì
6 10 5 5 5 5 6 2 2 3 0 x xx x
5 5 2 5 6 2 5 6 2
6 10 3 2 0
x x
5 5 10 3 2
x
5 3 2 3 0 (*)
5 6 2 10 3 2 x x
x VN
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {2} (I)
x xy y
8 96
3 2
2)
x y
32 48
2 2
x xy y x xy y x y 8 48.2 8 2 ( 32 )(*)
3 2 3 2 2 2
(I)32 48 32 48 x y x y
2 2 2 2
(*) 2 8 64 0
x x y xy y
3 2 2 3
x y xy x y
(4 ) 2 ( 4 ) 0
3 3
( 4 )( 2 16 ) 0
x y x xy y
2 2
x y x y
4 4
x xy y x y y 2 16 0 ( ) 15 0
2 2 2 2 x y
4
y 0
x
Vì x = y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình nên x = 4y
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -71-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
x y x y
4 4
( )32 48 16 32 48
Ix y y y
2 2 2 2
x
x y y
4
4 1
2
y x
1 4
y
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (4;1), (–4;–1)
Bài 2.
x x
2
1) Phương trình x2 – 2x – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Theo định lý Vi–ét ta có: 1 2 x x
4
1 2
Ta có:
( ) 3 ( )
x x x x x x x x
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x
( ) 3 ( ) 2 3.( 4).2 32
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
Và
x x x x x x
( ) 2 2 2.( 4) 12
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x
( ) 2 12 2.( 4) 112
4 4 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
Khi đó:
( )( )
x x x x x x x x x x
3 3 4 4 7 7 3 4 4 3
1 2 1 1 1 2 1 2 1 2
S x x x x x x x x x x
( )( ) ( ) ( )
7 7 3 3 4 4 3
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2
32.112 ( 4) .2 3712
3
Vậy S = 3172.
2) Ta có
a ab b c cd d a ab b c xd d ab cd
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
ab cd a b c d a b c d a b c d
( ) ( ) ( )( )(*)
2 2
Nếu ab-cd=0: Do a+b+c+d>0=>a+b-c-d=0=>a+b+c+d=2(c+d) là hợp số do c + d ∈ ℕ* và c + d > 1 Nếu ab -cd 0:Từ (*) ⇒ ab – cd ⋮ (a + b + c + d).
a ab b c cd d ab cd a ab b c cd d
3( ) ( 2 ) 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
ab cd c d a b c d a b c d a b
2 2
⇒ (c – d + a – b)(c – d – a + b) ⋮ (a + b + c + d)
Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố thì ta có
c – d + a – b ⋮ a + b + c + d hoặc c – d – a + b ⋮ a + b + c + d
Điều này mâu thuẫn do –(a + b + c + d) < c – d + a – b < a + b + c + d ;
–(a + b + c + d) < c – d – a + b < a + b + c + d và (c – d + a – b)(c – d – a + b) ≠ 0 Vậy a + b + c + d là hợp số.
Bài 3.
Thay 1 = a + b + c ta có:
A+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)
Do đó:
a bc a bc bc bc bc
2 2 2 1 1( )( )
a bc a bc a bc a b a c
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -72-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Ta có 2 đẳng thức tương tự b ca ca
2
1( )( )
b ca b c b a
c ab ab
2
c ab
1(c a)(c b)
Cộng từng vế của 3 đẳng thức trên ta có:
a bc b ca c ab bc ca ab
3 2(a )(a ) ( )( ) (c a)(c b)
a bc b ca c ab b c b c b a
Do đó:
a bc b ca c ab bc ca ab
3 3
a bc b ca c ab b c b c b a
2 (a )(a ) ( )( ) (c a)(c b) 4
bc b c ca c a ab a b
( ) ( ) ( ) 3
( )( )( ) 4
a b b c c a
4( ) 3( 2 ) b c bc c a ca a b ab a b ab b c bc c a ca abc
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b ab abc 6 (*)
b c bc c a c
2 2 2
Áp dụng BĐT Cô–si cho ba số dương ta có:
b c c a a b abc
2 2 2
3(*)
đúng bc ca ab abc
2 2 2
3
Vậy BĐT đã cho được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi 13
a b c
Bài 4.
1) Vì AI // DC (do ABCD là hình bình hành) nên AIJ= DCJ (so le trong)
Vì AJ // BC nên AJI= BCJ (đồng vị)
Mà CJ là phân giác góc BCD nên DCJ= BCJ=> AIJ= AJI ∆ AIJ cân ở A Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AIJ cân nên AO là trung trực IJ đồng thời là phân giác góc IAJ.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -73-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
2) Vì JD // BC nên DJC= JCB= JCD ∆ JDC cân tại D
Suy ra JD = DC = AB (do ABCD là hình bình hành)
Ta có OA = OJ ( bằng bán kính (O))
Xét ∆ OAJ với góc ngoài OJD có:
OJD= AOJ +OAJ =2AIJ+ OAJ= 2DCJ +OAJ= DCB +OAJ=DAB+OAJ=OAB Xét ∆ OAB và ∆ OJD có:
OA OJ cmt
( )
OAB OJD cmt OAB OJD c g c
( ) ( . . )
AB JD cmt
( )
OBA ODJ
⇒ AODB là tứ giác nội tiếp
⇒ A, O, D, B cùng thuộc một đường tròn.
3) Vì ∆ OAB = ∆ OJD nên OB = OD. Mà O’B = O’D (bằng bán kính (O’)) nên OO’ là trung trực của BD.
Gọi K là giao BD và AC ⇒ K là trung điểm BD và AC.
⇒ K ∈ OO’
Vì OA = OM, O’A = O’M nên OO’ là trung trực của AM
Mà K ∈ OO’ ⇒ KA = KM = KC
⇒ M thuộc đường tròn tâm K bán kính KA, hay đường tròn đường kính AC.
Vậy khi B, D thay đổi, M luôn nằm trên đường tròn đường kính AC.
Bài 5.
Xét 20 số đầu tiên. Trong 20 số này có 2 số chia hết cho 10, chúng có chữ số hàng đơn vị là 0. Mặt khác, trong 2 số đó có một số có chữ số hàng chục khác 9.
Gọi số đó là N. Xét dãy 11 số thuộc 39 số đã cho:
N, N + 1, ... , N + 9, N + 19
Tổng các chữ số của các số này tương ứng là.
s, s + 1, s + 2, ..., s + 9, s + 10
Thật vậy, nếu N có tổng chữ số là s thì mỗi số N + i với 1 ≤ i ≤ 9 có tất cả các chữ số (trừ hang đơn vị) giống số N và chữ số hàng đơn vị của N + i là i, do đó tổng chữ số của N + i là s + i.
Số N + 19 có chữ số hàng đơn vị là 9, chữ số hàng chục hơn chữ số hàng chục của số N là 1, còn lại tất cả các chữ số ở hàng khác của hai số bằng nhau, do đó tổng chữ số của N + 19 là s + 10. Trong 11 số liên tiếp s, s + 1, s + 2, ..., s + 9, s + 10 có một số chia hết cho 11.
Bài toán được chứng minh.
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -74-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Đề số 16. Chuyên HCM. Năm học: 2014-2015
Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phương trình: x x x 2 3 3 4
b) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0. x y z Py z x z x y x y z
2 2 2
Tính giá trị biểu thức Câu 2: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình: Câu 3: (1,5 điểm)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 9
x yy x
4 4
y
x yx x
2
Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE của chu vi nhỏ nhất
Câu 4: (2 điểm).
x y x y
2 2
a) Cho x, y là 2 số thực khác 0. Chứng minh rằng:
y x y x
2 2
a ab b Pab a b
b) Cho a, b là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 5: (2 điểm)
2 2 3
( )
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB vơi OM, I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A). a) Chứng minh HK vuông góc AI.
b) Tính số đo góc MKB
Câu 6: (1 điểm)
Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 2 2 2015( ) 2014(2 1) 25 x y xy
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -75-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
ĐÁP ÁN
Câu 1
a x x x ) 2 3 3 4 (ĐKXĐ: x ≥ 3/2)
x x x
(2 3) (3 4)
2 2
2 3 9 24 16
x x x x
3 2 2
2 12 24 16 0
x x x
3 2
2( 2) 0
x
3
x TM
2( )
Vậy S = {2} b)Ta có
x y z
0
( ) ( )
y z x
2 2
y z x yz
2 2 2
Tương tự:
z x y zx
2
2 2 2
2
x y z yx
2 2 2
2
x y z x y z Pyz zx yx xyz
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2
Mà
x y z x y x y xy z ( ) 3 3
3 3 3 3 2 2 3
( ) 3 ( ) 3
z xy x y z xy
3 3
3 3
xyz Pxyz
2 2
Câu 2
ĐKXĐ: x, y ≠ 0
1 9 (1)
x yy x
4 4 (2)
y
x yx x
2
Lấy (1) trừ (2) ta được: 1 4 9 4
y
y x x x
2
4 5 1 0
y
x x y
2
x xy y
5 4 0
2 2
( 4 )( ) 0
x y x y
x y
x y
4
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -76-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
Với x = y, thế vào (1) có 8
2 0 2 x x y
x
Với x = 4y, thế vào (1) có 5 1 5 0 2 y y x
4 2
y
Vậy 1 1 (2;2);( 2; 2);(2; );( 2; )
S
2 2
Câu 3:
C MD ME DE BM CM DE
( )sin 60
o
MDE
BC DE
.sin 60
o
Mà BC.sin600 không đổi nên chi vi tam giác MDE nhỏ nhất ⇔ DE nhỏ nhất
Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM ADM =AEM 90 nên tam giác ADE cũng nội tiếp đường tròn đường kính AM, tâm I là trung điểm AM.
DIE EIK BAC
Gọi K là trung điểm DE, suy ra IK ⊥ DE và ( )
2
Gọi R là bán kính đường tròn tâm I đường kính AM thì
KE DE DE DE KIEIE R R AM
0,5 sin2
DE AM BAC AM
.sin .sin 60o
Vì sin60o không đổi nên DE nhỏ nhất ⇔ AM nhỏ nhất ⇔ M ≡ H (H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, mà tam giác ABC đều nên H là trung điểm BC).
Vậy khi M là trung điểm BC thì chu vi tam giác MDE nhỏ nhất.
Câu 4
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -77-
Tổng hợp (Thầy Nguyễn Bảo Vương) TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN
x y x y
2 2
a x y ) ( 0; 0)
y x y x
2 2
x y x y
2 2
y x y x
2 2
x y x y xy
0
4 4 3 3
x y
2 2
( )( ) 0
x y x y
3 3
x y
2 2
0
( ) ( ) 0
x y x xy y
2 2 2
x y
2 2
2
1 3 ( )2 40
x y x y
2 2
x y
2 2
(luôn đúng ∀ x,y ≠ 0)
c) Tìm minP (a, b > 0)
a ab b Pab a b
2 2
3
( )
( )
a b ab
2
(a b)
ab
1 3 ( ) ( )
a b ab a b
2 2
4 4
ab a b
( )
1 3 3 1
( ) ( ) 2 ( ) .
a b ab a b ab a b ab
2 2
4 3 5 4 4 4 1
( ) ( ) 2 2
ab a b ab ab a b ab
1 2
4a b ab a b
( )
Dấu bằng xảy ra Vậy 52
a b
MinP a b
*Cách khác
a ab b a b ab a b ab a b a b ab Pab a b ab a b ab ab ab a b a b
2 2 2 3 ( ) 3 1 3 1 5 . ( . ) .2 2 ( ) ( ) 4 4 4 4 2
Câu 5
Số điện thoại : 0946798489 Facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang -78-