" 18 Chuyên Đề Số Học Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 6 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook 18 Chuyên Đề Số Học Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Lớp 6 Ebooks Nhóm Zalo 18 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6 1 TUYỂN TẬP 18 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em 18 chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm 18 chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 . Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng tuyển tập chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng 18 chuyên đề số học lớp 6 này có thể giúp ích nhiều cho học sinh lớp 6 phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian để sưu tầm và tổng hợp song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 Mục Lục Trang Lời nói đầu 1 Chủ đề 1. Tập hợp và ôn tập về số tự nhiên 3 Chủ đề 2. Các bài toán về số tự nhiên 10 Chủ đề 3. Các bài toán về lũy thừa số tự nhiên 21 Chủ đề 4. Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết 40 Chủ đề 5. Chuyên đề về ước chung và bội chung 52 Chủ đề 6. Tìm số tận cùng 66 Chủ đề 7. Số nguyên tố - hợp số 74 Chủ đề 8. Số chính phương 95 Chủ đề 9. Điền chữ số 105 Chủ đề 10. Tính tổng theo quy luật 102 Chủ đề 11. So sánh phân số 135 Chủ đề 12. Bất đẳng thức và tìm GTLN -GTNN 146 Chủ đề 13. Thực hiện phép tính 155 Chủ đề 14. Tìm ẩn chưa biết 160 Chủ đề 15. Nguyên lý Drichlet trong giải toán 169 Chủ đề 16. Một số bài toán về đồng dư thức 176 Chủ đề 17. Chuyên đề các bài toán về chuyển động 188 Chủ đề 18. Một số phương pháp giải toán số học “toán có lời văn” 198 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 CHỦ ĐỀ 1: TẬP HỢP VÀ ÔN TẬP VỀ SỐ TỰ NHIÊN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào. 2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø. 3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A⊂ B hay B ⊃ A. Nếu A⊂ B và B ⊃ A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B. B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ TẬP HỢP Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh” a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A. b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông a) b A ; b) c A A;. c) h A Hướng dẫn a/ A = {a, c, h, i, m, n, ô, p, t} b/ bA c A hA ∉ ∈ ∈ Lưu ý HS: Bài toán trên không phân biệt chữ in hoa và chữ in thường trong cụm từ đã cho. Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O} a/ Tìm cụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X. b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của X. Hướng dẫn a/ Chẳng hạn cụm từ “CA CAO” hoặc “CÓ CÁ” b/ X = {x: x-chữ cái trong cụm chữ “CA CAO”} Bài 3: Cho các tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8;10} ; B = {1; 3; 5; 7; 9;11} a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B. b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A. c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Hướng dẫn: a/ C = {2; 4; 6} ;b/ D = {5; 9} ; c/ E = {1; 3; 5} d/ F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11} Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2;3;x; a; b} a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử. b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử. c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không? Hướng dẫn Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 a/ {1} { 2} { a } { b} …. b/ {1; 2} {1; a} {1; b} {2; a} {2; b} { a; b} …… c/ Tập hợp B không phải là tập hợp con của tập hợp A bởi vì c ∈ B nhưng c ∉ A Bài 5: Cho tập hợp B = {a, b, c}. Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con? Hướng dẫn - Tập hợp con của B không có phần từ nào là ∅. - Các tập hợp con của B có hai phần tử là ……. - Tập hợp con của B có 3 phần tử chính là B = {a, b, c} Vậy tập hợp A có tất cả 8 tập hợp con. Ghi chú. Một tập hợp A bất kỳ luôn có hai tập hợp con đặc biệt. Đó là tập hợp rỗng ∅ và chính tập hợp A. Ta quy ước ∅ là tập hợp con của mỗi tập hợp. Bài 6: Cho A = {1; 3; a; b} ; B = {3; b} Điền các kí hiệu ∈ ∉, ,⊂ thích hợp vào dấu (….) 1 ......A ; 3 ... A ; 3. ..... B ; B ...... A Bài 7: Cho các tập hợp A = {x ∈N / 9 b > c > d > 0 . Số lớn nhất : abcd , số nhỏ nhất : dcba . Xét tổng: + a b c d d c b a 1 1 3 3 0 Lần lượt chứng tỏ: d + a =10 , c + b =12 . Suy ra: a + b + c + d = 22 . Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Bài 14. a) A = {abc,acb ,bac,bca,cab,cba}. b) + a b c a c b 4 8 8 Xét phép cộng ở cột hàng đơn vị và cột hàng chục, ta thấy c + b không có nhớ. Do đó : c + b = 8 ; a + a = 4 . Suy ra: a = 2. Từ 2 < b < c và b + c = 8 , ta được: b = 3; c = 5 . Vậy a = 2; b = 3; c = 5 . Bài 15. Gọi các chữ số phải tìm là a , b , c trong đó a > b > c > 0 . Hai số lớn nhất lập bởi cả ba chữ số trên là abc và acb , ta có abc + acb =1444. So sánh các cột đơn vị và cột hàng chục, ta thấy phép cộng c + b không có nhớ. Vậy c + b = 4, mà b > c > 0 nên b = 3, c =1. Xét cột hàng trăm: a + a =14 nên a = 7 . Ba chữ số phải tìm là 7 , 3, 1. CHỦ ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN 1/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ VÀ CHỮ SỐ Nội dung và phương pháp: +) Tập hợp số tự nhiên: N +) Tập hợp số tự nhiên khác O : ( nguyên dương ) : N* +) Chữ số: 0, 1, 2, 3, ….. +) Phân tích một số tự nhiên theo các chữ số: abcd =1000a 100+ b 10+c d+ Ví dụ minh họa: Bài 1. Cho ba chữ số a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Tổng của tất cả các số có hai chữ số được lập từ ba chữ số a, b, c bằng 627. Tính tổng a + b + c? Lời giải Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 ab + ac + ba + bc + cb + ca + aa + bb + cc = 627 ⇔33(a b+ c+) 627 = a ⇔b c+ 19. + = Bài 2. Cho ba chữ số a, b, c khác nhau và khác 0. Tổng của tất cả các số có hai chữ số khác nhau được lập từ ba chữ số đã cho là 418. Tính tổng a + b + c ? Lời giải Các số có hai chữ số là: ab, ac,ba,bc,cb,ca Có : ab + ac + ba + bc + cb + ca = 418 ⇔22(a b+ c+) 418 = a ⇔b c+ 19. + = Bài 3. Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc , thỏa mãn: 3 abc = (a +b +c) Lời giải 3 abc = (a +b +c) ( 0 < a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c ≤ 9 ) Nhận thấy: 3 3 3 3 3 100 ≤ abc ≤ 999 ⇒100 ≤ (a + b + c) ≤ 999 ⇔ 5 ≤ (a + b + c) ≤ 9 (hoac <10 ) 3 ⇔ 5 ≤ a + b + c ≤ 9 ⇒ a + b + c = 5,6,7,8,9 (a b⇒c) + 125, 216,343,512,729 + = Thử lại ta thấy abc = 512. Bài 4. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được số mới lớn gấp 26 lần số phải tìm. Lời giải Gọi số cần tìm là : ab ( a ≠ 0 ; a , b < 10 ) Viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được : 12ab Theo bài ra ta có : 12 .26 1200 .26(12 1200 ) .26 1200 ab ab ab ab ab ab ab ab = ⇔ + = = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ab ab ab .(26 1) 1200 .25 1200 48 Thử lại : 1248 : 48 = 26. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm một STN có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó Bài 2. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm được 3154, số nhỏ trong hai số đó thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27. Bài 3. Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9, hiệu giữa số đó với số viết theo thứ tự ngược lại = 297. Bài 4. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó thì được thương là 18 và dư 4. Tìm số đã cho? Bài 5. Tìm abcd , biết : (ab.c + d).d =1977 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Bài 6. Tìm các chữ số a, b , c thỏa mãn: a. ab + bc + ca = abc b. abcd + abc + ab + a = 4321 Bài 7. Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng sau số đó thì được số lớn gấp ba lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số đó. Bài 8. Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 3 , biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị. Bài 9. Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0 , biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập thành các số tự nhiên có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444. Bài 10. Hiệu của hai số là 4 . Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60 . Tìm hai số đó. Bài 11. Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng, tích của chúng gấp 24 lần hiệu của chúng. Bài 12. Tích của hai số là 6210 . Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265 . Tìm các thừa số của tích. Bài 13. Một học sinh nhân một số với 463. Vì bạn đó viết các chữ số tận cùng của các tích riêng ở cùng một cột nên tích bằng 30524 . Tìm số bị nhân? Bài 14. Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi? Bài 15. Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta được thương là 2 và còn dư. Nếu xóa một chữ số ở số bị chia và xóa một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu. Bài 16. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta được một số mới mà khi chia cho số cũ thì được thương là 2 dư 21. Tìm số đó Bài 17. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trước số đó thì được một số lớn gấp 4 lần so với số có được bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó Bài 18. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải và một chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần Bài 19. Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai số được viết theo thứ tự ngược lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đã cho Bài 20. Một số tự nhiên có hai chữ số tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy Bài 21. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 , hiệu giữa số đó với số viết theo thứ tự ngược lại bằng 297. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Gọi số phải tìm là : abc(0 < a ≤ 9;0 ≤ b,c ≤ 9)  = = ⇒ ≠  ⇒ 0( ) 5. . . , , 05 5 25 (1) c loai abc a b c a b cc ab ab  =⇒ = Số có ba chữ số chia hết cho 25 khi 2 bb = ⇔  =  b 5 257 Ta có: VT (1) là lẻ nên VP lẻ suy ra b = 2 ( loại ) ⇒ b = 7 ⇒ a75 = 25.a.7 = 175a ⇒ a = 1 Bài 2. Gọi số phải tìm là : ab(a ≠ 0;a,b ≤ 9;a,b∈ N) ⇒ số sau là : ba , giả sử ab > ba , ta có : ba − (b + a) = 27 ⇔10b +a −b =27 ⇔b 3= , mà : a3.3a =3154 Suy ra 3,a có tận cùng là 4 suy ra a = 8. Thử lại : 83 . 38 = 3154 và 38 – ( 3 + 8 ) = 27. Bài 3. Gọi số cần tìm là : abc , số viết theo thứ tự ngược laị là : cba(a ≠ 0;a,b,c <10;a,b,c∈ N) Theo đầu bài ta có : abc − cba = 297 ⇒a c> Mà : abc − cba = 297 ⇒ a − c = 3⇒ a = c + 3 Vì : abc5 ⇒ c = 0;c 5= +) c = 0 nên a = 3, mà abc9 ⇒ 3b09 ⇒ b = 6 , thử lại : 360 – 63 = 297. +) c = 5 nên a = 8, 8b59 ⇒ b = 5 , thử lại: 855 – 558 = 297 Vậy có hai số cần tìm: 360 và 855. Bài 4. Gọi số phải tìm là: ab(a ≠ 0;a,b∈ N;a,b <10) Theo bài ra ta có : ab = (a −b).18 +4 ⇔10a +b =18a 18− b 4+ ⇒19b 8=a 4+ Vì 8a + 4 là số chẵn nên b chẵn suy ra b = 0, 2, 4, 6, 8 +) b = 0 nên 8a + 4 = 0 ( vô lý ) Tương tự : b = 4 , a = 9 thỏa mãn. Vậy số cần tìm là: 94 Bài 5. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Có : (ab.c + d) =1977 : d . Vì ab.c + d là STN nên 1977 STN chia hết cho d suy ra d là STN lẻ Do đó d = 1,3,5,7,9 , vì thế d = 1 hoặc d = 3 +) d = 1 suy ra ab.c =1976 ab⇒là số có 3 chữ số ( Loại ) +) d = 3suy ra ab.c + 3 =1977 ⇒ab.c 656 = ab⇒656=: c Vì ab có hai chữ số nên c > 6 suy ra c = 7,8,9 Nhưng do 656 không chia hết cho 7 ; 656 không chia hết cho 9 suy ra c = 8 Thử lại: ab = 656 :8 82 và ( 82.8 + 3 ). 3 = 1977 Suy ra = abcd = 8283 Bài 6. a. abc =11(a b+ c+) ⇔100a 10+ b c+ 11= a 11b+ 11c+ b⇔10c+ 89a= 99 ≤ ⇒ a =1⇒ b= 9;c= 8(do : b+ 10c≤ 99) b. 111a +111b +111c + d = 4321 4321 ⇒ 1111 > a a⇒ 4< 1111a ≥ 3214(b,c, d = 9) ⇒a =3 Ta có: 111b + 11c + d = 988 nên b = 8 11c + d = 100 nên c = 9 ; d = 1. Bài 7. Gọi số cần tìm là: abcde ( a khác 0 ) Theo bài ra ta có: abcde2  3.2abcde 10.abcde2  3.2000003.abcde  7.abcde  599998  abcde  85714 Thử lại: 857142  3.285714 Vậy số cần tìm là 857142 . Bài 8. Vì rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có 4 chữ số. Gọi số tự nhiên cần tìm là abc3,(a  0) Theo bài ra ta có: abc31992  abc 10.abc31992  abc  9.abc 1989  abc  221 Vậy số cần tìm là 2213. Bài 9. Gọi ba chữ số cần tìm là a,b,c (a  b  c  0). Theo bài ra ta có: abcacb 1444 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 100a 10bc100a 10cb 1444 200a 11b11c 1444 200a 11(bc) 140011.4 a  7;b  3;c 1. Vậy 3 số cần tìm là: 1;3;7 . Bài 10. Gọi 2 số đó là a,b (a  b) Theo bài ra ta có: ab  4  b  a4 (1) Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60  3ab  60 (2) Thay (1) vào (2) ta có: 3a(a4)  60  3aa 4  60  2a  56  a  28  b  24  Vậy số cần tìm là 28,24 . Bài 11. Theo đầu bài. Nếu biểu thị hiệu là 1 phần thì tổng là 5 phần và tích là 24 phần. Số lớn là: (51): 2  3 (phần). Số bé là: 53 2 (phần) Vậy tích sẽ bằng 12 lần số bé. Ta có: Tích = Số lớn x Số bé Tích = 12 x Số bé Số lớn là 12. Số bé là: 12 : 3x 2  8 Bài 12. Gọi thừa số được giảm là a , thừa số còn lại là b . Theo đề bài ta có: a b.  6210 ;(a7).b  5265  a b. 7.b  5265  62107.b  5265  7.b  62105265  7.b  945  b  945 : 7 135  a  6210 :135  46 Vậy hai thừa số cần tìm là 46,135 . Bài 13. Do đặt sai vị trí các tích riêng nên bạn học sinh đó chỉ nhân số bị nhân với 463 . Vậy số bị nhân bằng: 30524 :13 2348. Bài 14. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là a,b,c,d . Ta có: a : b  c (dư d ) a  c b. d ; (a 15):(b5)  c (dư d ) a 15  c.(b5)d  a 15  c b. c.5d Mà a  c b. d nên: a 15  c b. c.5d  c b. d 15  c b. c.5d 15  c.5  c  3. Bài 15. Gọi số bị chia lúc đầu là aaa , số chia lúc đầu là bbb số dư lúc đầu là r . Ta có: aaa  2.bbbr (1) aa  2.bbr 100 (2) Từ (1) và (2)  aaaaa  2.(bbbbb)100  a00  2.b00100  a  2b1 Ta có: b 1 2 3 4 a 3 5 7 9 Thử từng trường hợp ta được 3 đáp số: 555 và 222 ; 777 và 333; 999 và 444 . Bài 16. Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số 7 là hàng đơn vị. 7ab số tự nhiên có chữ số 7 là số hàng trăm. Theo đề bài ta có: 7ab : ab7  2 dư 21 Hay: 7ab  2.ab721 Ta có: ab 10a b;abc 100a 10bc => 700ab  2(10ab7)21 => 700ab  20ab1421 => 7001421 20abab => 665 19ab => ab  35. Vậy số tự nhiên có ba chữ số đó là: 357 . Cách 2: Gọi số phải tìm là ab7 , theo đề bài ta có: 7ab  2.ab721 => 2.ab721 7ab => 2(100a 10b7)  70010a b => 200a 20b28  70010ab => 190a 19b  665 => 10a b  35 Bài 17. Gọi số tiền có năm chữ số là: abcde Theo đề bài: 7abcde  4.abcde7 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Ta có: 7abcde  700000abcde;4.abcde7  4.(10.abcde7)  7abcde  4.abcde7  700000abcde  4.(10.abcde7)  700000abcde  40.abcde28  70000028  40.abcdeabcde  6999972  39.abcde Bài 18. Gọi số phải tìm là ab . Viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và bên phải ta được: 2ab2 , số đo tăng lên gấp 36 lần. => 2ab2  36.ab => 2000 + 10 ab + 2 = 36 ab => 26 ab = 2002 => ab = 77 Bài 19. Gọi số cần tìm là abcd và xy Ta có: abcd  xy  2750 (1) dcba  yx  888 (2) Cả 2 phép cộng đều không nhớ sang hàng nghìn nên từ (1) ta có a  2 , (2) d  8 . Cùng từ (1) ta có d  y có tận cùng  0 , mà d  8 nên y  2 Từ (2) ta có a  x có tận cùng  8 mà a  2 nên x  6 Từ (1) ta có xc1 có tận cùng là 5 mà x  6 nên c  8 Từ (2) ta có b y có tận cùng  8 mà y  2 nên b  6 . Vậy số đó là 2688 và 62 . Bài 20. Số cần tìm là ab , viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta có số a0b Ta có: a0b = 9 ab => 100a + b = 9(10a + b) => 10a = 8b ⋮ 8 => a = 4 hoặc a = 8 Vì 0 < b ≤ 9 => a = 4 và b = 5 => Số cần tìm là 45 Bài 21. Số cần tìm là abc . Số viết theo thứ tự ngược lại là cba Ta có: abc ⋮ {5, 9} => c = {0, 5} Vì viết theo thứ tự ngược lại để được số cba => c = 5 Ta có: ab5 và 5ba Ta có ab5 - 5ba = 297 => 100a + 10b + 5 - (500 + 10b + a) = 297 => 99a = 792 => a = 8 => Có số 8b5 mà số này ⋮ 9 => 800 + 10b + 5 = 805 + 10b ⋮ 9 => b = 5 Vậy số cần tìm là 855 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 2/ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ Nội dung và phương pháp: - Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ta dùng phương pháp đếm đối với các bài toán ít phần tử. - Dựa vào quy luật hình thành các phần tử để đếm ( Chia hết cho 2 , 3 , … hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó ) Ví dụ minh họa: Bài 1. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa đúng một số 4? b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số có chứa đúng 2 chữ số 4? ( các chữ số không nhất thiết phải khác nhau ) Lời giải a. Số có 3 chữ số và chứa đúng một số 4 có dạng: ab4, a4b, 4ab(0 ≤ a ≤ 9;a,b ≠ 4) Số có 3 chữ số thỏa mãn là: Dạng : ab4 : có 8.9 = 72 số . Dạng a4b có : 8.9.= 72 số . Dạng 4ab có 9.9 = 81 số b. Gợi ý: a44(0 < a ≤ 9);4a4;44a(0 ≤ a ≤ 9),a ≠ 4 có 8 + 9 + 9 = 26 số thỏa mãn. Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 4 gồm bốn chữ số, chữ số tận cùng bằng 2 ? Lời giải Các số phải đếm có dạng abc2 Chữ số a có 9 cách chọn Với mỗi cách chọn a , chữ số b có 10 cách chọn. Với mỗi cách chọn a,b chữ số c có 5 cách chọn (1,3,5,7,9) để tạo với chữ số 2 tận cùng làm thành số chia hết cho 4 . Tất cả có: 9.10.5  450 số. Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? Lời giải Chia ra 3 loại số: - Số đếm có dạng: 5ab : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn các số thuộc loại này có: 9.9  81 số. - Số điểm có dạng a5b : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn, các số thuộc loại này có: 8.9  72 số. - Số đếm có dạng ab5 : các số thuộc loại này có: 8.9  72 số. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Vậy số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là 817272  225 số. Bài 4. Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1 và phải dùng tất cả 1998 chữ số. a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? b) Chữ số thứ 1010 là chữ số nào? Lời giải a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 phải dùng 9 chữ số (viết tắt c/s). Từ trang 10 đến trang 99 phải dùng (9910)1 90 số có 2c/s 180c/s. Vì còn các trang gồm các số có 3 c/s.  Còn lại: 1998(1809) 1809 c/s là đánh dấu các trang có 3 c/s.  Có: 1809 : 3 603 số có 3 c/s.  Cuốn sách đó có: 60399  702 (vì trang 1 99 có 99 trang). Cuốn sách có 702 trang. b) Chữ số thứ 1010 là chữ số nào? Chữ số thứ 1010 là chữ số 7 của 374 . Bài 5. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số: a) Chứa đúng một chữ số 4 ? b) Chứa đúng hai chữ số 4 ? c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Lời giải a) Chứa đúng một chữ số 4 ? Các số phải đếm có 3 dạng: 4bc có 9.9  81 số a4c có 8.9  72 số ab4 có 8.9  72 số Tất cả có: 817272  225 số. b) Chứa đúng hai chữ số 4 ? Các số phải đếm gồm 3 dạng: 44c,a44, 4b4 , có 26 số. c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số, trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng abc , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 1 cách chọn (là 0 ) gồm 8.9  72 số. Vậy có 18072 108 số phải đếm. d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Số phải tìm có dạng abc , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 3 cách chọn (nếu a b  3k thì c  0;3;6;9, nếu a b  3k 1 thì c  2;5;8. Nếu a b  3k 2 thì c 1;4;7 , có 8.9.3 216 số. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5? Bài 2. Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A . a) Số A có bao nhiêu chữ số? b) Tính tổng các chữ số của số A ? c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần? Bài 3. Từ các chữ số 1,2,3,4 , lập tất cả các số tự nhiên mà mỗi chữ số trên đều có mặt đúng một lần. tính tổng các số ấy. Bài 4. Có bao nhiêu số abcd mà ab < cd ? HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 9975 Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 1005 Ta có dãy số: 1005 ; 1035; 1065; ....; 9975 Khoảng cách của dãy là 30 => Số số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là: (9975 – 1005) : 30 + 1 = 300 số Bài 2. a) Số A có bao nhiêu chữ số? Từ 1 đến 9 có 9 số gồm: 1.9  9 chữ số Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2 180 chữ số Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: 900.3 2700 chữ số Số A có: 91802700  2889 chữ số. b) Tính tổng các chữ số của số A ? Giả sử ta viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thế thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A B. có: 3.1000  3000 chữ số, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt: 3000 :100  300 (lần) Tổng các chữ số của B (cũng là của A ): (012...9).300  45.300 13500 c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? Cần đếm số chữ số 1 trong 1 dãy: 1, 2,3,...,999 (1) Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Ta xét dãy: 000,001,002,...,999 (2) Số chữ số 1 trong hai dãy như nhau. Ở đây dãy (2) có 1000 số, mỗi số gồm 3 chữ số, số lượng mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều như nhau. Mỗi chữ số (từ 0 đến 9 ) đều có mặt 3.1000 :10  300 (lần). Vậy ở đây (1) chữ số 1 cũng được viết 300 lần. d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần? Ở dãy (2) chữ số 0 có mặt 300 lần. So với dãy (1) thì ở dãy (2) ta viết thêm các chữ số 0 : - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099 ); - Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số từ 000 đến 009 ); - Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000 ). Vậy chữ số 0 ở dãy (1) được viết là: 300111189 (lần). Bài 3. Ta lập được 4.3.2.1 24 số tự nhiên bao gồm cả bốn chữ số 1,2,3,4 . Mỗi chữ số có mặt 6 lần ở mỗi hàng. Tổng của 24 số nói trên bằng: 60600600060000  66660 . Bài 4. Xét các trường hợp: Nếu ab =10 thì cd có thể bằng: 11,12,...,99 có 89 số. Nếu ab =11 thì cd có thể bằng: 12,13,...,99 có 88 số. ……………………. Nếu ab = 97 thì cd có thể bằng: 98,99 có 2 số. Nếu ab = 98 thì cd bằng: 99 có 1 số. Vậy có tất cả: 1+ 2 + 3+...+ 89 = 4005 (số). CHỦ ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA SỐ TỰ NHIÊN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ * Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: = n a a..a.a.a.a....a ( n thừa số a với a∈). Qui ước: = ≠ 0 a 1 (a 0) và =1 a a . * Các phép tính luỹ thừa: Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 - Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: + = m n m n a .a a . - Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : − = ≠ ≥ m n m n a : a a (a 0; m n). - Luỹ thừa của một tích: = n n n (a.b) a .b . - Luỹ thừa của một thương: = ≠ n n n (a : b) a : b (b 0). - Luỹ thừa của luỹ thừa: = m n m.n (a ) a . - Luỹ thừa tầng: = n n m (m ) a a 32 8 3 3 . Ví dụ: = - Luỹ thừa với số mũ âm: − = ≠ nn1 a (a 0) a 1 1010 . Ví dụ: − =33 B/ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA I/ Phương pháp 1: Cơ sở phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ . - Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. m n a > a (a >1) ⬄ m > n - Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . n n a > b (n > 0) ⬄ a > b Ví dụ minh họa: ★Thí dụ 1. So sánh các lũy thừa sau: a) 1287 và 424 b) 818 và 2711 Phân tích: Nhận thấy, ở câu a) thì 128 và 4 là các cơ số liên quan tới lũy thừa cơ số 2 , ở câu b) thì 81 và 27 liên quan tới lũy thừa cơ số 3. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với nhau. Hướng dẫn giải 7 7 7 49 = = ⇒ > = = 128 (2 ) 2128 4 a) Có : 7 24 24 2 24 48 4 (2 ) 2 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 b) Có 8 32 =  ⇒ < =  81 381 27 8 11 11 33 27 3 ★Thí dụ 2. So sánh các lũy thừa sau: a) 536 và 1124 b) 3260 và 8150 c) 3500 và 7300 Phân tích: Nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có thể đưa về cùng số mũ 12 , ở câu b) và c) các lũy thừa có thể đưa về cùng số mũ 100. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau. Hướng dẫn giải 36 12 =  ⇒ > =  5 1255 11 a) Có b) Có c) Có 36 24 24 12 11 121 60 300 100 = = ⇒ < = = 32 2 832 81 60 50 50 200 100 81 3 9 500 100 =  ⇒ < =  3 2433 7 500 300 300 100 7 343 ★Thí dụ 3. So sánh các lũy thừa: a) 2n 3 và 3n 2 ( ∈ * n N ). b) 100 2 và 200 3 . c) 100 5 và 500 3 . Hướng dẫn giải a) = ( ) = ( ) = = n n 2n 2 n 3n 3 n 3 3 9 ; 2 2 8 Vì > ⇒ > >= > 2 3 2 n 3 n 9 8 3 2 (3 ) (2 ) b) = = 100 3 100 100 2 (2 ) 8 và = = 200 2 100 100 3 (3 ) 9 Vì 100 < ⇒ < 100 300 200 8 9 2 3 . c) = ( ) = 100 300 3 100 5 5 125 và = ( ) = 100 500 3 100 3 3 243 Vì < ⇒ < 100 100 300 500 125 243 5 3 . Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 🖎 Lời bình: Qua ba ví dụ trên ta thấy rằng, trước khi so sánh hai lũy thừa với nhau trước hết ta cần làm hai việc sau: + Kiểm tra cơ số xem các cơ số có biến đổi được về cùng cơ số không. + Kiểm tra số mũ của các lũy thừa xem có ước chung lớn nhất không. Việc làm này sẽ giúp chúng ta lựa chọn đúng phương pháp so sánh. II/ Phương pháp 2: Cơ sở phương pháp: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân A > B và B > C thì A > C A.C < B.C (với C > 0) ⬄ A < B C/ Các dạng toán thường gặp. Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa. ★Thí dụ 1. Hãy so sánh: a) 50 107 và 75 73 . b) 91 2 và 35 5 . Phân tích: Trong câu a) mặc dù số mũ của hai lũy thừa có ước chung là 25, tuy nhiên khi đó cơ số sẽ là 3 73 và 2 107 , các cơ số này khi tính ra sẽ rất lớn, do đó việc đưa về so sánh hai lũy thừa cùng số mũ sẽ không khả quan. Còn trong câu b) cả số mũ và cơ số đều không có ước chung nên cũng không thể áp dụng các phương pháp trong các ví dụ trên. Như vậy chúng ta chỉ còn cách lựa chọn dùng tính chất bắc cầu (so sánh qua lũy thừa trung gian). Hướng dẫn giải a) Ta có: < = ( ) = 50 50 50 100 150 107 108 4. 27 2 . 3 > = ( ) = 75 75 75 225 150 73 72 8. 9 2 . 3 Vì < ⇒ < 100 225 100 150 225 150 2 2 2 .3 2 .3 ⇒ < 50 75 107 73 . b) Ta có: > = ( ) = 18 91 90 5 18 2 2 2 32 < = ( ) = 18 35 36 2 18 5 5 5 25 Vì > 18 18 32 25 ⇒ > 91 35 2 5 . ★Thí dụ 2. Hãy so sánh: a) 50 107 và 75 73 b) 91 2 và 35 5 c) 4 54 và 12 21 d) 8 9 và 9 8 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 25 Hướng dẫn giải a) Ta có : 50 50 100 150 107 < 108 = 2 .3 và 75 75 225 150 73 > 72 = 2 .3 nên 50 107 < 75 73 b) Ta có : ( )7 91 13 7 2 = 2 8192= và ( )7 35 5 7 5 = 5 3125= nên 91 2 > 35 5 c) Ta có : ( )4 4 4 12 54 = 2.27 2 .3 =và 12 12 12 21 = 3 .7 nên 4 54 12 < 21 d) Ta có : 8 8 4 3 9 < 10 = 100 =100.100 Và 9 3 3 3 3 3 8 = 512 > 500 = 5 .100 = 125.100 nên 8 9 < 9 8 🖎 Lời bình: Việc phân tích lũy thừa thành tích các lũy thừa sẽ giúp ta nhìn ra thừa số chung của các lũy thừa, từ đó việc so sánh hai lũy thừa chỉ còn dựa vào việc so sánh các thừa số riêng. Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) * Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật ...... * Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B. * Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng. Với a, n, m, K∈ N* . Ta có: a a a a - Nếu m > n thì K - > K - và K + < K + m a n a m a n a - Nếu m < n thì K - < K - và K + > K + m n m n (còn gọi là phương pháp so sánh phần bù) 1 * Với biểu thức là tổng các số (với a ∈ N*) ta có vận dụng so sánh sau: 2 a a a 1 − + 21a1 1 1 1 < < a 1 a − − ★Thí dụ 1. Cho = + + + + + 2 3 9 S 1 2 2 2 ... 2 . So sánh S với 8 5.2 . Phân tích: Trước khi so sánh biểu thức S với 8 5.2 ta cần dùng phương pháp tính tổng theo quy luật để tính S. Để làm việc này ta cần nhân 2 vào hai vế của biểu thức S, sau đó tính hiệu 2S − S thì sẽ triệt tiêu được các số hạng giống nhau và tính được S. Hướng dẫn giải Ta có: = + + + + + 2 3 9 S 1 2 2 2 ... 2 = + + + + + + 2 3 4 9 10 2.S 2 2 2 2 . .. 2 2 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 26 ⇒ − = = − 10 2.S S S 2 1 Mà − < = = 10 10 8 2 8 2 1 2 2 .2 4.2 ⇒ < 8 S 5.2 . 🖎 Lời bình: Để tính tổng S ta cần dùng phương pháp tính tổng của biểu thức tổng quát sau: = + + + + + ∈ 2 3 n * S 1 a a a ... a (a N ). ★Thí dụ 2. So sánh 2 biểu thức A và B trong từng trường hợp: 15 a) + = + 16 10 1 A10 1và + = + 16 2008 10 1 B10 1. 17 2007 2 3 C2 1và − = − b) − = − 2007 Phân tích: 2 3 D2 1. 2006 - Ở câu a, biểu thức A và B có chứa luỹ thừa cơ số 10 , nên ta so sánh 10A và 10B. - Ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh 1 C 2và 1 D 2 . Hướng dẫn giải a) Ta có: 15 10 1 A10 1 + = + 16 15 16 16 10 1 10A 10.10 1= ++ 10 10 10 1= + + = +  +  ⇒ =    +  16 16 10 1 B10 1 + = + 17 16 16 17 10 1 9 9 1 10 1 10 1. 16 16 + + 17 10 1 10B 10.10 1= ++ 10 10 10 1= + + = +  +  ⇒ =    +  17 17 9 9 10 1 9 9 1 10 1 10 1. 17 17 + + Vì + < + 16 17 10 1 10 1 nên + + 10 1 10 1 > 16 17 9 9 1 1 ⇒ + > + 16 + + 17 10 1 10 1 ⇒ 10A > 10B hay A > B. b) Ta có: Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 2008 2 3 C2 1 − = − 2007 2008 2008 2008  −  − − − ⇒ =   = = 2 2 2 1 2 2 2 2= − − 20081 12 2. 1 1 2 3 2 3 2 2 1 C 2007 2008 2008  −  − − 2007 2 3 D2 1 − = − 2006 2007 2007 2007  −  − − − ⇒ =   = = 2 2 2 1 2 2 2 2= − − 20071 12 2. 1 1 2 3 2 3 2 2 1 D 2006 2007 2007  −  − − 1 1 Vì > 2008 2007 2 – 2 2 – 2 nên < 2008 − − 2007 2 2 2 2 ⇒ − − 20081 12 2> − − 20071 12 2 ⇒1 1 C > D 2 2 hay C > D. Lời bình: Đôi khi để so sánh hai biểu thức với nhau, ta cần biến đổi hai biểu thức về dạng tổng hai số hạng, trong đó có một số hạng chung và khi đó ta chỉ cần so sánh số hạng riêng. Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết. * Với các số tự nhiên m, x, p và số dương a . + Nếu a > 1 thì: m x < < p a a a ⇒ m < x < p. + Nếu a < 1 thì: m x < < p a a a ⇒ m > x > p . * Với các số dương a,b và số tự nhiên m , ta có: m < ⇒ < m a b a b . ★Thí dụ 1. Tìm các số nguyên n thoã mãn: < < 64 48 72 n 5 . Hướng dẫn giải Ta giải từng bất đẳng thức < 64 48 n và < 48 72 n 5 . 16 16 16 48 64 3 4 81 Ta có: > ⇒ ( ) >( ) ⇒ ( ) > ⇒ > ⇒ n > 4 (với n∈) (1). Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 24 24 24 48 72 2 3 2 24 2 n 5 n n 125 Mặt khác < ⇒( ) < ( ) ⇒ ( ) < ⇒ < ⇒ −11 ≤ n ≤ 11 (với n∈) (2). Từ (1) và (2) ⇒ 4 < n ≤ 11 . Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11. Lời bình: Từ bài toán trên có thể thay đổi câu hỏi để được các bài toán sau: Bài số 1: Tìm tổng các số nguyên n thoã mãn: < < 64 48 72 n 5 . Giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 56 . Bài số 2: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho: 64 < < 48 72 n 5 . Giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là: 5; 6; 7; 8; 9. Bài số 3: Tìm tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho < < 64 48 72 n 5 Giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là: 10; 11. ★Thí dụ 2. Tìm x thuộc N. Biết: a) = = > 9 3 3 3 3 3 3 (3 ) 27 21 Vậy số lớn nhất viết được là số 3 21 . ★Thí dụ 2. a) Số 8 5 có bao nhiêu chữ số ? b) Hai số 2003 2 và 2003 5 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? Phân tích: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó. Hướng dẫn giải a) Ta có: 8 4 2 2 2 = = > = 5 (5 ) 625 600 360000 8 10 100000000 100000000 5 400000 8 == < = 8 2 256 250 ⇒ < <8 360000 5 400000. Do đó 8 5 có 6 chữ số. b) Giả sử 2003 2 có a chữ số và 2003 5 có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a + b) chữ số. Vì − < < a 1 2003 a 10 2 10 và − < < b 1 2003 b 10 5 10 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 30 ⇒ − − < < a 1 b 1 2003 2003 a b 10 .10 2 .5 10 .10 ⇒ + − + < < a b 2 2003 a b 10 10 10 . Do đó: . Vậy số đó có 2004 chữ số. ★Thí dụ 2. Tìm số 5các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau: a) = 3 5 n 8 . 15 . b) = 16 25 4 . 5 . Phân tích: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó. Hướng dẫn giải a) Ta có: 3 5 3 5 3 9 5 5 ( ) ( ) 8 . 15 2 . 3.5 2 . 3 . 5 = = = 4 5 5 5 ( ) = = = 2 . 3 . 2.5 16.243 .10 3888. 10 . Số 5 3888.10 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. Vậy số n có 9 chữ số. b) Ta có: 16 16 25 2 25 ( ) 4 . 5 2 . 5 = = 32 25 7 25 25 25 ( ) = = = 2 .5 2 . 2 .5 128.10 . Số 25 128.10 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Vậy số m có 28 chữ số. C/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1. So sánh: a) 5 243 và 5 3.27 . c) 5 625 và 7 125 . Bài 2: So sánh: e) 20 99 và 10 9999 . b) 500 3 và 300 7 . d) 303 202 và 202 303 . e) 1979 11 và 1320 37 . Bài 3: So sánh: c) 5 8 và 7 3.4 . f) 10 10 và 5 48.50 . Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 31 i) 30 + + 30 30 2 3 4 và 10 3.24 . g) + 10 9 1990 1990 và 10 1991 . Bài 4: So sánh các số sau: 20 199 và 15 2003 . Bài 5: So sánh: a) 12 11 78 − 78 và 11 10 78 − 78 . b) = − 45 44 A 72 72 và = − 44 43 B 72 72 . Bài 6: So sánh các số sau: 39 3 và 21 11 . Bài 7. Chứng tỏ rằng: 27 < < 63 28 5 2 5 . Bài 8: Chứng minh rằng: < 1995 863 2 5 . Bài 9: Chứng minh rằng: < 1999 714 2 7 . Bài 10. So sánh: 200 3 và 300 2 . Bài 11: So sánh: 50 71 và 75 37 . Bài 12: So sánh các số: a) 20 50 và 10 2550 . b) 10 999 và 5 999999 . Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 100 75 2 ; 3 và 50 5 . Bài 14: So sánh 2 số: 56789 1234 và 1234 56789 . Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m với 8 10.9 . Bài 16: Cho += + + + +… + + 2 3 4 71 72 A 1 2012 2012 2012 2012 2012 2012 và = − 73 B 2012 1. So sánh A và B. Bài 17: So sánh hai biểu thức: + =10 10 3 .11 3 .5 B3 .2và + =10 10 9 4 7 3 N8 8 . 3 7 M8 8 và = + 3 4 Bài 18: So sánh: = + 3 4 30 Bài 19: So sánh M và N biết: + = + 2 .13 2 .65 C2 .104 . 8 31 19 5 M19 5và + = + 19 5 N19 5. 32 31 1 1 1 1 1 1 Bài 20: So sánh + + + + 2 2 2 2 2 101 102 103 104 105và 2 2 2 .3.5 .7 . Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 32 Bài 21: So sánh         = − − − −                 2 2 2 2 1 1 1 1A 1 . 1 . 1 . 1 2 3 4 100 Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) < ≤ n 3 3 234 . b) ≥ ≥ n 8.16 2 4 . và − 12. Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: < < 15 15 n n 16 16 4 . 9 2 . 3 18 . 2 . Bài 24: Cho = + + + … + 2 3 100 A 3 3 3 . 3 . Tìm số tự nhiên n , biết + = n 2A 3 3 . Bài 25: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: m − = n 2 2 256 . Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết: a) < < n 64 2 256 . b) > ≥ n 243 3 9 . Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: < 200 300 n 6 . Bài 28: Tìm n ∈ N biết: a) < < n 32 2 512 . b*) < ≤ 18 12 8 3 n 20 . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Định hướng tư duy: Nhận thấy, ở câu a) thì 243 và 27 là các cơ số liên quan tới lũy thừ cơ số 3 , ở câu b) thì 625 và 125 liên quan tới lũy thừa cơ số 5. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với nhau. Lời giải: a) Ta có: ( )5 5 5 25 243 = 3 3 ; = ( )5 5 3 15 16 3.27 = 3. 3 3.3 = 3 = Vì 16 25 5 5 3 < 3 ⇒ 3.27 < 243 . b) = = = = 5 4 5 20 3 7 21 625 (5 ) 5 ;125 (5 ) 5 Vì > ⇒ > 21 20 7 5 5 5 125 625 . Bài 2: Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 33 Phân tích: Nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có chung số mũ 10 , ở câu b) thì các lũy thừa có chung số mũ 100 , ở câu c) thì các lũy thừa có chung số mũ 101, ở câu d) các lũy thừa có chung số mũ 660. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau. Lời giải: a) Ta thấy: = ( ) = ( ) = ( ) 10 10 20 10 2 10 99 99 99.101 10 10 20 10 99.99 99.101 99 9999 . Vì ( ) < ( ) ⇒ < b) Ta có : = ( ) = 100 500 5 100 3 3 243 , = ( ) = 100 300 3 100 7 7 343 . Vì < 100 100 243 343 nên < 500 300 3 7 . c) Ta có: = ( ) ( ) = = ( ) = ( ) 3.101 101 101 101 303 3 3 2 202 2.101 2 .101 8.101.101 808.101 = ( ) ( ) = = ( ) 2.101 101 101 202 2 2 2 303 3.101 3 .101 9.101 Vì >2 2 808.101 9.101 nên > 303 202 202 303 . d) Ta có: < = ( ) = 660 1979 1980 3 660 11 11 11 1331 (1) = ( ) = 660 1320 2 660 37 37 1369 (2) Từ (1) và (2) suy ra: < 1979 1320 11 37 . Bài 3: a) Ta có: = = = 5 15 14 7 14 8 2 2.2 , 3.4 3.2 Vì < ⇒ < ⇒ < 14 14 5 7 2 3 2.2 3.2 8 3.4 . b) Ta có : = = 10 10 10 9 10 10 2 . 5 2. 2 . 5 , = ( ) ( ) = 5 4 5 10 9 10 48. 50 3. 2 . 2 . 5 3. 2 . 5 Vì < ⇒ < 9 10 9 10 2 3 2. 2 . 5 3. 2 . 5 ⇒ < 10 5 10 48. 50 . c) Ta có: = = = = = 30 2 30 30 30 30 3 10 2 15 10 15 4 (2 ) (2.2) 2 .2 (2 ) .(2 ) 8 .4 , = = = 10 10 10 10 10 11 24 .3 (8.3) .3 8 .3 .3 8 .3 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34 Vì 11 < ⇒ < 15 10 11 10 15 3 4 8 .3 8 .4 ⇒ > 30 10 4 3.24 ⇒ + + > 30 30 30 10 2 3 4 3.24 . d) Ta có : + = ( ) + = 10 9 9 9 1990 1990 1990 . 1990 1 1991. 1990 = 10 9 1991 1991. 1991 Vì <9 9 1990 1991 nên + < 10 9 10 1990 1990 1991 . Bài 4: Biến đổi n a về dạng: .dk c , biến đổi m b về dạng: . k e d rồi so sánh hai số c và e . Từ đó so sánh được hai số n a và m b . 20 < = = = = 20 20 3 2 3 2 20 60 40 199 200 (8.25) (2 .5 )20 (2 .5 ) 2 .5 15 > = = = = 15 15 4 3 15 4 3 15 60 45 2003 2000 (16.125) (2 .5 ) (2 .5 ) 2 .5 Vì > ⇒ > 45 40 60 45 60 40 5 5 2 .5 2 .5 ⇒ > 15 20 2003 199 . Bài 5: Biến đổi n a về dạng: .dk c , biến đổi m b về dạng: . k e d rồi so sánh hai số c và e . Từ đó so sánh được hai số n a và m b . a) Ta có: ( ) 12 11 11 11 78 − 78 = 78 . 78 1 78− .77= ( ) 11 10 10 10 78 − 78 = 78 . 78 1 78− .77= Vì 11 10 11 10 12 11 11 10 78 > 78 ⇒ 78 .77 > 78 .77 ⇒ 78 − 78 > 78 − 78 . b) Ta có = − = 44 44 A 72 (72 1) 72 .71 và = − = 43 43 B 72 (72 1) 72 .71 44 43 44 43 72 > 72 ⇒ 72 .71 > 72 .71 ⇒ A > B. Bài 6: Dùng tính chất bắc cầu: So sánh hai số với số lũy thừa 10. Ta có: 39 < = = 40 4 10 10 3 3 (3 ) 81 = = < 20 2 10 10 21 11 (11 ) 121 11 Vì < ⇒ < 10 10 39 21 81 121 3 11 . Bài 7. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý học sinh so sánh: > 63 27 và < 63 28 2 5 . Ta có : = ( ) = 9 63 7 9 2 2 128 , = ( ) = 9 27 3 9 5 5 125 ⇒ > 63 27 2 5 (1) Lại có: = ( ) = 7 63 9 7 2 2 512 , = ( ) = 7 28 4 7 5 5 625 ⇒ < 63 28 2 5 (2) Từ (1) và (2) ⇒ < < 27 63 2 5 2 5 . Bài 8: Xét: n a biến đổi được về dạng: .d q k c m b biến đổi được về dạng: .g p h e Nếu q p c < e và k h d < g thì .d .g q k p h c < e . Ta có: 19 = 95 1990 5 2 2 .2 ; 86 =3 860 3 5 5 .5 Nhận xét: 5 3 2 = 32 <5 =125 nên cần so sánh 1990 2 và 860 5 . Có: = = 10 5 ⇒ < ⇒ < 10 5 1720 172 860 5 . Có: = 1990 1720 270 2 2 .2 , cần so sánh 1720 270 2 .2 với số 1720 172 2 .3 như sau: 7 = = ⇒ > 11 7 11 3 2187; 2 2048 3 2 . = ( ) (> ) (> ) = 24 172 7 4 11 4 11 6 270 3 3 . 3 2 2 2 . 2 2 . Do đó: < < 1720 270 1720 172 860 2 .2 2 . 3 5 ⇒ < 1990 860 5 Mà <5 3 2 5 ⇒ < 1995 863 2 5 . Bài 9: Ta có: = = 10 3 2 1025 ; 7 343 ⇒ < ⇒ ( ) < ( ) 238 238 10 3 10 238 3 2 3.7 2 3 . 7 ⇒ < 2380 238 714 2 3 .7 (1) Xét: = = ( ) < ( ) < = 47 47 238 3 235 3 5 3 8 5 376 381 3 3 .3 3 . 3 3 2 2 .2 2 (vì 5 8 3 < 2 ) ⇒ < 238 381 3 2 (2) Từ (1) và (2), ta có: < 2380 381 714 2 2 .7 ⇒ < 1999 714 2 7 Bài 10. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Đưa về so sánh hai lũy thừa cùng số mũ. Ta có: = ( ) = ( ) = = 100 100 200 2 100 300 3 100 3 3 9 ; 2 2 8 mà < 100 100 8 9 ⇒ < 300 200 3 . Bài 11: Biến đổi n a về dạng: .dk c , biến đổi m b về dạng: . k e d rồi so sánh hai số c và e . Từ đó so sánh được hai số n a và m b . Ta có: < = ( ) = 50 50 50 150 100 71 72 8.9 2 .3 (1) > = ( ) = 75 75 75 150 150 37 36 4.9 2 . 3 (2) Mà 2150. 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: > 75 37 71 . Bài 12: a) Ta có: ( )   = = < ⇒ <  10 2 20 10 10 20 10 50 50 2500 2550 5 2550 . b) Ta có: = ( )  < < ⇒ <  5 2 10 5 5 10 5 999 999 998001 999999 999 999999 . Bài 13: 100 = = < 2 50 50 50 2 (2 ) 4 5 (1). = = = > 75 3 25 75 50 3 (3 ) 27 3 5 (2). 50 = = 5 25 25 5 (5 ) 25 (3). Từ(1),(2) và (3) ⇒ < < 100 50 75 2 5 3 . Bài 14: Ta có: ( )50000 56789 50000 3 150000 A = 1234 >1000 = 10 =10 ( )2000 1234 2000 5 10000 B = 56789 < 100000 = 10 = 10 Vì 10000 150000 1234 56789 10 < 10 ⇒ 56789 < 1234 . Bài 15: Số có 9 chữ số là 1 2 8 9 aa a a trong đó các chữ số 0 ( 1; 9) i a ≠ i = và có thể giống nhau. Từ tập hợp số {1;2;3;4;5;6;7;8;9} mỗi chữ số i a có 9 cách chọn . Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là 9 m = 9 số. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 Từ đó: 9 8 8 m = 9 9.9= 10.9 <. Bài 16: Ta có: += + + + +… + + 2 3 4 71 72 A 1 2012 2012 2012 2012 2012 2012 = + + + +… + + 2 3 4 71 73 2012.A 2012 2012 2012 2012 2012 2012 ⇒ = = 73 2012.A – A 2011A 2012 – 1 ⇒ = ( ) < − 73 73 A 2012 – 1 : 2011 2012 1. Vậy A < B . Bài 17: 10 10 10 + + = = = 3 .11 3 .5 3 (11 5) B 3. 9 4 9 3 .2 3 .16 10 10 10 2 2 .13 2 .65 2 (13 65) 2 .78 C 3 + + = = = = 2 .104 2 .104 104 . 8 8 Vậy B = C. Bài 18: 8 8 8=   3 7 Ta có: +3 4 3 3 4 3 3 4 + +     3 4 4 8 8= + + 3 4 4 8 8 8 . 8 8 8=   7 3 +3 4 3 4 3 3 3 4 + +     3 4 3 8 8= + + 3 3 4   8 8 8 .   4 4 Vì < 4 3 8 8 3 3 4 ⇒ + + <     3 4 4 8 8 8 3 3 4 + +     3 4 3 8 8 8 ⇒ M < N . Bài 19: 30 19 5 + 30 19.(19 5) + 31 19 95 + 90 M = nên 19M = = = 1 + . 31 19 5 + 31 19 5 + 31 19 5 + 31 19.(19 5) + 31 19 5 + 32 19 95 + 31 + 19 5 90 N = nên 19N = = = 1 + . 32 32 + 32 32 + 19 5 + 90 Vì > 19 5 90 19 5 + 19 5 31 + 19 5 19 5 90 32 + 90 1 + > 1 + hay 19M > 19N⇒ M > N . 31 + 19 5 Bài 20: 19 5 32 + Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: 1 1 n (n 1) n n 1 1 1 − − − + − = = = > − − − − 2 n 1 n (n 1).n (n 1).n (n 1)n n 2 − 1 1 1 ⇒ < − n n 1 n . Áp dụng vào bài toán ta được: 1 1 1 2 100 101 101 < − 2 1 1 1 101 102 102 < − ........................... 2 1 1 1 < 1 1 1 1 1 ... 101 102 105 100 105 − 104 103 2 2 2 105 − = = = 2 2 2 2 105 100 5 1 ⇒ + + + < − 1 1 1 ...... 102 105 2 .5 .3.7 . Vậy + + < 2 2 2 2 Bài 21: A là tích của 99 số âm. Do đó: 100.105 2 .5 .5.3.7 2 .5 .3.7 .         − = − − − −                2 1 1 1 1 A 1 1 1 . ........................................ 1 4 9 16 100 3 8 15 9999 . . . . 2 3 4 100 = 2 2 2 2 1.3 2.4 3.5 99.101 . . ........ 2 3 4 100 . = 2 2 2 2 Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau: 1.2.3.4.5.6. ..................................................................98.99 3.4.5. ...............................................................100.101 1 101 101 1 A . . 2.3.4.5. ................................................................99.100 2.3.4. − = = = > ......................................................99.100 100 2 200 2 Vậy < −1 A .2 Bài 22: Đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số . Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 a) < ≤ ⇒ < ≤ ⇒ < ≤ n 1 n 5 3 3 234 3 3 3 1 n 5 ⇒ n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5 . b) ≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ n 3 4 n 2 7 n 2 8.16 2 4 2 .2 2 2 2 2 2 7 n 2 ⇒ n nhận các giá trị là: 2,3,4,5,6,7 . Bài 23: < < ⇒ ( ) < ( ) < ( ) 15 15 15 n n 1 n 16 6 16 4 . 9 2 . 3 18 . 2 4.9 2.3 18.2 ⇒ < < 15 n 16 36 6 36 ⇒ ( ) ( ) 15< <16 2 n 2 6 6 6 ⇒ < < 30 n 32 6 6 6 ⇒ 30 < n < 32 ⇒ n = 31. Bài 24: Có = + + + … + 2 3 100 A 3 3 3 . 3 ⇒ = + + +…+ 2 3 4 101 3A 3 3 3 3 ⇒ == 101 3A – A 2A 3 – 3 ⇒ + = 101 2A 3 3 Mà theo đề bài ta có + = n 2A 3 3 ⇒ = ⇒ = 101 n 3 3 n 101. Bài 25: Ta có: − − = =>= − = m n 8 n m n 8 2 2 256 2 2 (2 1) 2 (1). Dễ thấy m ≠ n , ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m − n = 1 thì từ (1) ta có: n − = ⇒ = ⇒ = 8 n 8 2 .(2 1) 2 2 2 n 8 và m = 9 . Trường hợp 2: Nếu m − n ≥ 2 ⇒ − − m n 2 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau. Vậy n = 8 và m = 9 là đáp số duy nhất. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 Bài 26: a) Ta có: < < ⇒ < < ⇒ < < n 6 n 8 2 2 2 6 n 8 , mà n nguyên dương, nên n = 7. b) Ta có: > ≥ ⇒ > ≥ ⇒ > ≥ n 5 n 2 3 3 5 n 2 , mà n nguyên dương nên n nhận các giá trị là: 4; 3; 2. Bài 27: Ta có: = ( ) = ( ) = 100 100 200 2 300 3 100 216 100 200 300 2 100 2 (*) < ⇒( ) < ⇒ < ⇒ Số nguyên lớn nhất thoã mãn (*) là n = 14 . Bài 28: a) Với n ∈ N, ta xét: < ⇔ < ⇒ < n 5 n 32 2 2 2 5 n < ⇔ < ⇒ < n n 9 2 512 2 2 n 9 Do đó: 5 < n < 9 ⇒ n∈{6;7;8} . b) Với n ∈ N, ta xét: 6 6 18 12 3 2 3 2 2 3 n 3 n 3 n 27 n < ⇔ ( ) < ( ) ⇔ < ⇔ < Nhận thấy: 2 2 5 < 27 < 6 , nên 2 2 6 ≤ n ⇒ 6 ≤ n . 4 4 12 8 3 2 3 2 3 n 20 n 20 n 20 n 400 ≤ ⇔ ( ) < ( ) ⇔ < ⇔ < Nhận thấy: 3 < < 3 7 400 8 , nên 3 ≤ ⇒ ≤ 3 n 7 n 7 Do đó: 6 ≤ n ≤ 7 ⇒ n∈{6;7} . CHỦ ĐỀ 4: CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Định nghĩa Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b = x Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 2.Các dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9) Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại c) Dấu hiệu chia hết cho 5 Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 hoặc 125. f) Dấu hiệu chi hết cho 11 Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. 3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết + 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0 + a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0 + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c + Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n) + Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên. + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a±b) không chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên + Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 1. phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). a = b.k ( k N) hoặc a =m.k ( ∈ m chia hết cho b) ★Thí dụ 1. Chứng tỏ rằng số có dạng bao giờ cũng chia hết cho 7 aaaaaa Hướng dẫn giải aaaaaa = a.111111 = a. 7.15873 chia hết cho 7 ★Thí dụ 2. Chứng tỏ rằng số có dạng bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho abcabc 7 và chia hết cho 13. Hướng dẫn giải abcabc abc000 + abc abc abc abc abcabc Ta có : = = .(1000+1) = .1001 = .11.7.13 nên chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13. ★Thí dụ 3. Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại, ta luôn đợc một số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải Gọi 2 số đó là và . Ta có : ab ba + = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11 ab ba 2. Phơng pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết. 2.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu ≠ * Để chứng minh a chia hết cho b ( b 0) ta có thể làm nh sau: - Viết a = m + n mà m  b và n b - Viết a = m - n mà m  b và n b Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 * Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dới dạng tổng của các số mà chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều chia hết cho b. ★Thí dụ 1. Chứng tỏ rằng : a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. Hướng dẫn giải a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2. Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1)  3 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3. Tổng của 4 số đó là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2 không chia hết cho 4 Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Chú ý: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n. 2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích. Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau: + Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 ⇒ a chia hết cho b + Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n + Biểu diễn a= a1 . a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2 ★Thí dụ 1. chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với ∀ a, b là số tự nhiên. Hướng dẫn giải Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với ∀ a. Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với ∀ b Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3. Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với ∀ a, b mà (3,5) = 1. ⇒ (1980 a + 1995b) chia hết cho 15 ★Thí dụ 2. Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Hướng dẫn giải Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n N) ∈ Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2 Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2) ⇒ 4.n.(n+1) chia hết cho 8 ⇒ 2n.(2n + 2) chia hết cho 8 Nhận xét : Nh vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích đợc thành tích các thừa số, ta thờng sử dụng các tính chất của phép chia hết. 3. Phơng pháp 3: Dùng định lí về chia có d Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p: Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, ..., p-1; k N. Rồi xét tất cả các trờng hợp của r. ∈ ★Thí dụ 1. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2. Hướng dẫn giải Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k - Với n= 2k +1 ta có: (n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2. - Với n= 2k ta có : ( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hết cho 2. Vậy với mọi n N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2. ∈ ★Thí dụ 2. Chứng minh rằng: a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4. Hướng dẫn giải a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2) Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0;1;2 - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ⇒ n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3 - Nết r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên) ⇒ n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hết cho 3 ⇒n. (n+1).(n+2) chia hết cho 3 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 - Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên) ⇒ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3 ⇒n.(n+1) . (n+2) chia hết cho 3 Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b) Chứng minh tơng tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát. Nhận xét: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp. 4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng. ★Thí dụ 1. Chứng minh rằng (9999931999 – 5555571997) chia hết cho 10. Hướng dẫn giải Ta có : 9999931999 = [ (9999934)499. 9999933] = . = ...1 ...7 ...7 ...1 ...7 ...7 5555571997= (5555574)499.555557 = . = ...0 ⇨ 9999931999 – 5555571997 = chia hết cho 10 ( đpcm) ★Thí dụ 2. Chứng minh rằng : 1028 + 8 chia hết cho 72 Hướng dẫn giải Ta có 1028 + 8 = ( 100...0 + 8) = 100. . .08 có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9. 28 chữ số 0 27 chữ số 0 1028 + 8 = = 100. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8. 27 chữ số 0 Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8  (8.9) hay 1028+ 8  72. * Nhận xét: Phơng pháp này thờng sử dụng để chứng minh các bài toán mà số chia là các số tròn chục ( 10, 100, ...) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân tích thành tích các số có dạng nh trên. 5. Phơng pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet. Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 ★Thí dụ 1. Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm đợc 2 số có hiệu chia hết cho 5. Hướng dẫn giải Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số d là : 0; 1; 2; 3; 4. Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số d ( nguyên tắc Đirichlet). ⇨ Hiệu của 2 số chia hết cho 5. BÀI TẬP VẬN DỤNG 34x5y Bài 1. a) Tìm tất cả các số x,y để số chia hết cho 36. 21xy b) Tìm các chữ số x, y để chia hết cho 3, 4 ,5 . Bài 2. Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211 Bài 3. a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +260. Chứng minh rằng : A3; A7; A 15 b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 31991. Chứng minh rằng : B chia hết cho 13 và B chia hết cho 41. Bài 4. Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6. a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b. Bài 5. Chứng minh rằng: (92n + 199493) chia hết cho 5 Bài 6. Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2) n + 15 Bài 7. Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên. n + 3 Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1 Bài 9. Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm đợc 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Bài 10. Chứng minh rằng nếu  37 thì  37 và  37 abc cab bca Bài 11. Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Bài 12: Một số khi chia cho 6 d 4, khi chia cho 7 d 6, chia cho 11 d 3. Tìm d cho phép chia số đó cho 642. Bài 13: a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho các số 5, 7 ,9 ? b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9? Bài 14: Một bạn viết các số từ 1 đến . Bạn đó phải viết tất cả m chữ số. Biết rằng m abc chia hết cho , tìm . abc abc Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 ... 1 chia hết cho 3. n chữ số HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. 34x5y 34x5y 34x5y Vì (4;9) = 1 nên chia hết cho 36 ⇔ chia hết cho 9 và chia hết cho 4. 34x5y Ta có: chia hết cho 4 ⇔ 5y chia hết cho 4 ⇔ y∈{ 2;6}. 34x5y chia hết cho 9 ⇔ ( 3+4+x+5+y) chia hết cho 9 ⇔ (12+x+y) chia hết cho 9 Vì x,y là các chữ số nên x+y ∈ { 6;15}. Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 >9 (loại) Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9 Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056;34956 21xy ∈ b) Ta có :  5 ⬄ y {0;5}. 21xy Nếu y = 5 thì không chia hết cho 4 21xy x0 ∈ Nếu y = 0 thì chia hết cho 4 ⬄  4 ⇒ x {0; 2; 4 ; 6 ; 8}. (1)  3 ⬄ (2 + 1 + x + 0)  3 ⬄ (3+ x) 3 ⇒ x {0; 3; 6; 9}. ( 2) 21x0 ∈ Kết hợp (1) và ( 2) ⇒ x {0; 6}. ∈ Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160 Bài 2. Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: a0b;ab0;ba0;b0a Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Tổng của các số đó là: = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = a0b + ab0 + ba0 + b0a 211a +211b = 211(a+b) chia hết cho 211. Bài 3. *A = 2 +22 +23 + ... +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + ...+ (259 + 260) = = 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + ... + 259 (1+2) = 2.3+ 23. 3 +.... +259. 3 = = 3.(2+ 23 + ... + 259) chia hết cho 3 *A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + ... + (258 + 259 + 260) = 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) +... + 258( 1+ 2+4) = 2.7 +24.7+ ... + 258.7 = 7( 2+24 +... + 258) chia hết cho 7 *A= (2+ 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260) = 2(1+2+4+8) +... + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + ... + 257) chia hết cho 15. Vậy A chia hết cho 3, A chia hết cho 7 và A chia hết cho 15. b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991 = ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + ... + ( 31987+ 31989 + 31991) = 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + ... + 31987(1+ 32+34) = 3. 91 + 37.91 + ... + 31987.91 = 91( 3 + 37 + ... + 31987)  13 ( vì 91  13) B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 31985 + 31987 + 31989+ 31991) = 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 + 32 + 34 + 36) = 3. 820 + 39 .820 + ... + 31985.820 = 820( 3 + 39 + ... + 31985)  41 ( vì 820  41) Bài 4. a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b  6 ( vì (a - b)  6 và 6b  6) b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  6 [ vì (a- b)  6 và 18b6] c) a - 13b = ( a - b) - 12b  6 [ vì ( a - b )  6 và 12b  6] Bài 5. Ta có: 92n = (92)n = 81n = ...1 ...6 ...6 ...4 199493 = (19942)46. 1994 = 46. 1994 = .1994 = Do đó: 92n + 199493 = + = chia hết cho 5 ...1 ...4 ...5 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 Bài 6. Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2) Do đó (3n+10) chia hết cho (n+2) <=> 4 chia hết cho (n+2) ⇔ (n+2) là ớc của 4. ⇔ (n+2) { 1; 2;4} ∈ ⇒ n { 0;2} ∈ Vậy với n {0;2 } thì (3n+10) chia hết cho (n+2) ∈ Cách 2: (3n+10) chia hết cho (n+2) Mà (n+2) chia hết cho (n+2) => 3(n+2) chia hết cho (n+2) => [ (3n +10) - (3n +6)] chia hết cho (n+2) => 4 chia hết cho (n+2) đến đây giải tiếp nh ở cách 1. Bài 7. n + 15 Để là số tự nhiên thì (n+15) chia hết cho n+3 n + 3 => [( n+15) - (n+3)] chia hết cho (n+3) ⬄ 12 chia hết cho (n+3) ⬄ (n+3) là U(12) = {1;2;3;4;6;12} ⬄ n {0;1;3;9} ∈ ∈315 n + Vậy với n {0;1;3;9} thì là số tự nhiên n + Bài 8. Gọi d là ƯC( 3n+ 1 , 4n + 1) 4.( )  +  +  ⇒   +  +  3 1 3 1 n d n d   ( ) 4 1 3. 4 1 n d n d   ⇒ ( 12n + 4 - 12n - 3 )  d ⇒ 1  d ⇒ d = 1 ⇒ ( 3n + 1, 4n + 1) = 1 Bài 9. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 Có 45 -2 = 43 học sinh đợc phân chia và 8 loại điểm ( từ 2 đến 9). Giả sử mỗi điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá 8.5 = 40 học sinh ( ít hơn 43 học sinh) Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Bài 10. Vì  37 nên ( 100a + 10b + c)  37 abc ⇒ 10.( 100a + 10b + c)  37 ⇒ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a]  37 ( vì 99937) ⇒ ( 100b + 10c + a )  37 ⇒  37 bca Mặt khác : + + = 100a + 10b+ c + 100c + 10a + b + 100b + 10c + a = 37.3. ( a + b + c) abc cab bca  37 Mà +  37 abc bca ⇒  37 bca Bài 11. Vì ( 6x + 11y)  31 nên ( 6x + 11y + 31y )  31 ⇒ ( 6x + 42 y)  31 ⇒ 6 ( x + 7y )  31 mà ( 6, 31 ) = 1 ⇒ ( x + 7y )  31 ( đpcm). Bài 12: Gọi số đó là a. Theo bài ra, ta có a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p là các thơng và là các số tự nhiên). Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2)  6 a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2)  7 a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1)  11 suy ra ( a + 8) là BC (6,7,11), mà BCNN(6,7,11) = 462 ⇒ ( a + 8)  462 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 51 ⇒ ( a + 8 ) = 462.m ( m N) ∈ ⇒ a = 462.m - 8 = 462.(m - 1) + 454 ⇒ a = 462.n + 454 ( n N) ∈ Vậy a chia cho 462 d 454. Bài 13: a) Giả sử số viết thêm là . Ta có chia hết cho 5, 7 ,9 suy ra chia hết cho abc 579abc 579abc 5. 7. 9 = 315. ( vì 3, 5, 7 đôi một nguyên tố cùng nhau) Mặt khác = 579000 + = ( 315.1838 + 30 + )  315 579abc abc abc Mà 315.1838 315 suy ra ( 30 + )  315 abc Do 30 30 + 30 + 999 = 1029 ≤ abc ≤ nên ( 30 + ) { 315; 630; 945} abc ∈ suy ra { 285; 600; 915} abc ∈ Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915. b) Gọi số phải viết thêm là . Ta có : abc chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên chia hết cho BCNN(6,7,8,9) = 504. 523abc 523abc Mặt khác = 523000 + = 504.1037 + 352 + . 523abc abc abc Vì 504. 1037  504 nên ( 352 + )  504 ⬄ = k.504 - 352 với k N ⇒ k { 1; 2 } abc abc ∈ ∈ ⬄ { 152 ; 656} abc ∈ Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656. Bài 14: abc Từ 1 đến , bạn đó phải viết số chữ số là : M = 1.9 + 2.90 + 3. ( - 99) = 3. - 108 abc abc abc abc abc abc Theo bài ra m  ⬄ ( 3. -108)  ⬄ 108 abc ⬄ = 108 Vậy bạn đó đã viết các số tự nhiên từ 1 đến 108. Bài 15: * Cách 1: Ta có : 2n + 11 ... 1 = 3n + ( 11 ... 1 - n) n chữ số n chữ số Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52 Vì một số chia cho 3 d bao nhiêu thì tổng các chữ số của số ấy chia cho 3 cũng d bấy nhiêu nên 11... 1 và n có cùng số d khi chia cho 3 n chữ số ⇒ 11...1 - n chia hết cho 3 n chữ số Vậy 3n + (11 ... 1 - n )  3 hay 2n + 11 ... 1  3 n chữ số n chữ số * Cách 2: với mọi n N ta có hoặc n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k +2 ( k N) ∈ ∈ - Nếu n = 3k ⇒ 2n + 11...1 = 2.3k + 11...1  3 n chữ số 3k chữ số - Nếu n = 3k + 1 ⇒ 2n + 11 ... 1 = 2( 3k+1) + 11 ...1 = 6k + 11...13 chia hết cho 3. 3k+1 chữ 3k chữ số 1 n chữ số số - Nếu n = 3k+ 2 ⇒ 2n + 11 ...1 = 2( 3k+2) + 11 ... 1 n chữ số 3k+2 chữ số = 6k + 3 + 11...12 chia hết cho 3 3k +1 chữ số ( vì số 11...12 có tổng các chữ số bằng 3k + 3 chia hết cho 3) 3k +1 chữ số CHỦ ĐỀ 5: LIÊN HỆ PHÉP CHIA CÓ DƯ VỚI PHÉP CHIA HẾT. BÀI TOÁN ƯỚC VÀ BỘI. ƯỚC CHUNG (ƯCLN) VÀ BỘI CHUNG (BCNN). A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Ước và Bội của một số nguyên a,b∈ b ≠ 0. Với Z và Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a. 2. Nhận xét - Nếu a = b.q thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q. - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53 - Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên. 3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết. Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số (a – k) ⋮ b 4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c). 5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC(a, b, c). 6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất * Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. * Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó. B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. Dạng 1: Tìm số tự nhiên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (số đã cho là số tự nhiên, số nguyên) Bài 1. Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2). Lời giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4. Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2). Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ 4 chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) là ước của 4. ⇔ (n +2) ∈{1; 2 ; 4} ⇒ n ∈{0 ; 2}. Vậy với n ∈{0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n +2). n + 15 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên. n + 3 Lời giải Để315 n là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3). + n + ⇒ [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3). ⇔ 12 chia hết cho (n +3) . ⇔ (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. ⇔ n ∈ {0; 1; 3; 9}. Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9}thì 315 n là số tự nhiên. + n + Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1. Lời giải Để 3n4n11.(3n4)3.(n1) 1  n  7n1 hay n – 1  Ư(7) Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54              ⇔1 1 2 n n n n 1 7 8 Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì 3n + 4  n – 1 Bài 4: Tìm số tự nhiên sao cho 4n - 5 chia hết cho 2n - 1 Lời giải Ta có 4n - 5 = 2( 2n-1) - 3 Để 4n - 5 chia hết cho 2n-1 thì 3 chia hết cho2n-1 Với 2n - 1=1 => n=1 Với 2n - 1=3 => n=2 vậy n = 1;2 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + 6 n + 3.  Lời giải n2 + 3n + 6  n + 3 n (n + 3) + 6  n + 3 ⇔ 6  n + 3 => n + 3 ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 3. ∈ N Bài 6: Tìm a để a + 1 là bội của a – 1 Lời giải alà số nguyên 1 2 1 a Để a +1 là bội của a -1 nên thì 11+− a + = + − − a a 1 1 => a – 1 ∈ Ư(2) = {-1,1,2} => a ={0,2,3} (thỏa mãn a ∈ N) 2 5 + n − 2n n − 2 Bài 7: Tìm số nguyên n để: chia hết cho Lời giải Ta có 2 5 + n − 2n = 5 + n(n – 2) => 2 5 + n − 2n ⋮ (n – 2) khi 5 ⋮ (n – 2) => n – 2 ∈ Ư(5) = {-5, -1, 1, 5} => n ∈ {- 3, 1, 3, 7} n + 1 Bài 8: Tím tất cả các số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên. n − 2 n Lời giải + 1 − là số nguyên khi (n +1)n − 2 n 2 Ta có : n +1 = [(n 2)− 3+] Vậy (n +1)n − 2 khi 3n − 2 → n − 2∈U(3) = {± 1;± 3}→ n∈ {− 1;1;3;5} Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55 n − 1 Bài 9. Cho A = . Tìm n nguyên để A là một số nguyên. + 4 n Lời giải A = 41 n= 4 − n + − 4 5 5 1 n + + = − + 4 n n Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên ⬄ 5 n + 4 hay n + 4 ∈Ư(5) Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1 4n 5 + Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên 2n 1 − Lời giải Ta có: 4n 5 + − = 4n 2 7 n(2n 1) 7 7 − + − + = = + − − − 2n 1 n 2n 1 2n 1 2n 1 Vì n nguyên nên để 4n 5 + − nguyên thì 7 2n 1 => 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n −1 nguyên ⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} + Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì 4n 5 − có giá trị là một số nguyên 2n 1 Bài 11: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: B = Lời giải B = 2 2 5 17 3 2 2 5 17 3 4 19 n n n n n n n + + + + + − + + − = = + + + + + n n n n n 2 2 2 2 2 B = 4 19 4( 2) 11 11 4 n n + + + = = + + + + n n n 2 2 2 Để B là số tự nhiên thì 11 n + 2là số tự nhiên ⇒ 11  (n+2) ⇒ n + 2 ∈ Ư(11) = {±1;±11} Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11 ⇒n = 9 Vậy n = 9 thì B ∈ N 2 2 5 17 3 n n n + + + − + + + n n n 2 2 2 DẠNG 2. TÌM SỐ NGUYÊN DƯƠNG KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ TRONG ĐÓ CÓ CÁC DỮ KIỆN VỀ ƯCLN VÀ BCNN. * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K thì a = K.m và b = K.n với ƯCLN(m; n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm) , từ đó tìm được a và b. * Nếu biết BCNN (a, b) = K thì ta gọi ƯCLN(a; b) = d thì a = m.d và b = n.d với ƯCLN(m; n) = 1 (là diều kiện của số m, n cần tìm) , từ đó tìm được a và b. Bài 1. Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 và ƯCLN(a, b) = 18 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 56 Lời giải Giả sử a ≤ b Ta có: a + b =162; (a,b) 18 = Đặt 18 ( , ) 1  =  =  →   =  ≤ a m m n b n m n 18 Từ a + b =162 ⇒18(m n+) 162 = m⇔n +9 = Lập bảng: m 1 2 3 4 n 8 7 6 5 a 18 36 loai 72 b 144 126 90 Do ( m, n ) = 1 Kết luận: Các số cần tìm là: (18,144);(36,126);(72,90) Bài 2. Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15 Lời giải Gọi hai số cần tìm là a, b ( a,b∈ N;a,b < 200) Ta có: a − b = 90;(a,b) 15 = Đặt 15 ( , ) 1 ( , ) 1 a m m n m n =   =  =  ⇒  ⇒  =   − =  − = b n m n m n 15. 15( ) 90 6 Lại có: 15 200 13 , 20015 200 13  <  ≤ m m a bn n < ⇒  ⇒   <  ≤ m n a b 13 7 195 105 11 5 65 75 7 1 85 15 Vậy: (a,b) = (195,105);(65,75);(85,15) Bài 3. Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6 Lời giải Ta có: ab = 432; (a,b) 6 (a= b) < Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 57  =  = =⇒ = mn a m b n m n 12 Đặt 6 ; 6 ( , ) 1  <  m n m n a b 1 12 6 72 3 4 18 24 Vậy (a,b) = (6,72);(18,24) Bài 4. Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 300;UCLN(a,b) =15 Lời giải Ta có: ab = 300.15 4500(1)= Giả sử a ≤ b;UCLN(a,b) =15 Đặt 15 ( , ) 1 20 a m m n mn =   =  =  →  → = →  =   ≤  ≤ ;(1) 15 .15 4500 m n b n m n m n 15 Ta có bảng: m n a b 1 20 15 300 4 5 60 75 Bài 5. Tìm hai số a, b biết 7a=11b và UCLN(a; b)= 45 Lời giải Từ giả thiết => a > b  =  = ≥ a aa b a b 45; 1, 45 Từ UCLN(a; b) = 45=> 1( 1 1 ) ( 1 1 )  = b b 1  = >== >==  = vì (a1;b1 ) =1=> 45.11 495  = =  = = a a a a 11 11 11 Mà: 1 1 b b b b 7 7 7 1 1 Vậy hai số a,b cần tìm là a = 495 và b = 315 45.7 315 Bài 6. Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho tổng của UCLN và BCNN là 15 Lời giải Giả sử a < b  =  < = a d aa b a b . , ; 1 . Gọi d=UCLN( a; b) => 1( 1 1 ) ( 1 1 )  = , và d<15 b d b 1 Nên BCNN(a; b) = 1 1 a .b .d Theo bài ra ta có: d + a1.b1d =>15= +d (1 a=1.>b=1 ) ∈15 d= U (15) {1;3;5;15} , Mà d < 15, Nên Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 58  >== = > > = ==  =>= = hoặc 112 2  ==> =  ==> = 1 1 a a TH1 : 1 1 . 1414 14 d a bb b 1 1 1 1 3 a a  >== = >> ====  ==> = TH2 : 1 3 . 44 12 d a bb b 1 1 1 1 5 a a  >== = >> ====  ==> = TH3 : 1 5 . 22 10 d a bb b 1 1 1 a a b b 7 7 Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại DẠNG 3: LIÊN HỆ PHÉP CHIA CÓ DƯ VỚI PHÉP CHIA HẾT, BCNN, ƯCLN. * Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k => a – k ⋮ b * Nếu a ⋮ b và a ⋮ c mà ƯCLN(a, b) = 1 => a chia hết cho tích b.c (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b và a ⋮ c mà a là số nhỏ nhất => a = BCNN(a, b) (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b và m ⋮ b mà b lớn nhất => b = Ư CLN(a, m) (a, b, m ∈ N) Bài 1: Bạn Nam nghĩ 1 số có 3 chữa số, nếu bớt số đó đi 8 thì được 1 số  7, nếu bớt số đó đi 9 thì được 1 số  8, nếu bớt số đó đi 10 thì được 1 số  9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Lời giải Gọi x là số bạn Nam đã nghĩ, ĐK: 99= − >= − >= − ∈ x x 8 7 1 7   x x x x BC 9 8 1 8 1 7;8;9 1 (7;8;9) Theo bài ra ta có:       −  − x x 10 9 1 9   x −1∈{0;504;1008;.....} >= ∈x {1;505;1009;....} , Mà 99 < x < 1000 nên x = 505 Vậy số có ba chữ số mà bạn Nam nghĩ là 505 Bài 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3, cho 5, cho 7 được các số dư theo thứ tự là 2, 3, 4 Lời giải Theo bài ra ta có:  +=  += −      = + ∈ >= = + >= − >= − ∈ a m a m a 3 2 2 6 4 2 1 3  ( ) a n m n p N a n a a BC 5 3 , , 2 10 6 2 1 5 2 1 (3;5;7)      +=  =+ − a p a p a 7 4 2 14 8 2 1 7  Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 =BCNN( 3; 5; 7) = 105 => 2a = 106 => a = 53 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 53 Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5, 7, 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5 Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 59 Theo bài ra ta có:  += +=  −      = + ∈ >= = + >= − >= − ∈ a m a m a 5 3 2 10 6 2 1 5  ( ) a n m n p N a n a a BC 7 4 , , 2 14 8 2 1 7 2 1 (9;5;7)     + = +=  −  a p a p a 9 5 2 18 10 2 1 9  Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 = BCNN( 9; 5; 7) = 315 => 2a = 316 => a = 158 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 158 Bài 4: Linh và Mai cùng mua một số hộp bút chì màu, số bút đựng trong mỗi hộp bằng nhau và lớn hơn 1. Kết quả Linh có 15 bút chì màu và Mai có 18 bút chì màu hỏi mỗi hộp có bao nhiêu chiếc bút? Lời giải Gọi số bút trong mỗi hộp là a ĐK : a∈ N, a <15 và a>1 Theo bài ra ta có : 15 a và 18 a, Nên a là 1 ước chung của 15 và 18 Và a phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn 15 => kết quả được a=3 Bài 5: Hai lớp 6A và 6B tham gia phong trào tết trồng cây, mỗi em tròng 1 số cây như nhau, kết quả lớp 6A trồng được 132 cây vag 6B được 135 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Lời giải Gọi số cây mỗi em trồng được là a, ĐK : a∈ N, a <132, a >1 và a>1 Theo bài ra ta có: 132 a và 135 a khi đó ta thấy a∈UC(132;135) = {1;3} Vậy a = 3, Khi đó lớp 6A có 132 : 3 = 44 học sinh và lớp 6B có 135 : 3 = 45 học sinh Bài 6: Trong cuộc thi HSG cấp tỉnh có ba môn Toán Văn Anh ,số học sinh tham gia như sau:Văn có 96 học sinh, Toán có 120 học sinh và Anh có 72 học sinh.Trong buổi tổng kết các bạn được tham gia phân công đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng có số bạn thi mỗi môn bằng nhau.Hỏi có thể phân học sinh đứng thành ít nhất bao nhiêu hàng? Lời giải Gọi số hs đứng ở mỗi hàng là a, ĐK : a∈ N, a < 72 và a>1 Vì mỗi hàng có số học sinh mỗi môn bằng nhau nên ta có: 96 a ;120 a và 72 a , Để có ít nhất bao nhiêu hàng thì số học sinh phải là lớn nhất hay a lớn nhất Hay a = UCLN ( 96 ; 120 ; 72) = 24, Vậy số hàng cần tìm là : (96 + 120 + 72) : 24 = 12 hàng BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Hai dội công nhân, Trồng 1 số cây như nhau, mỗi công nhân đội I phải trồng 8 cây, đội II phải trồng 9 cây, Tính số cây mỗi đội phải trồng biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 - 200 Bài 2: Một bộ phận của máy có hai bánh xe răng cưa khớp với nhau, bánh xe 1 có 18 răng cưa, bánh xe 2 có 12 răng cưa, Hỏi mỗi bánh xe phải quay bao nhiêu vòng để 2 răng cưa đã khớp với nhau lần đầu sẽ khớp với nhau lần 2 Bài 3: Số học sinh của 1 trường THCS là 1 số có ba chữ số và lớn hơn 800, mỗi lần xếp hàng 5, 6, 7, 8 đều vừa đủ, hỏi trường đó có bao nhiêu hs? Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 60 Bài 4: Ba đội công nhân cùng trồng 1 số cây như nhau, tính ra mỗi công nhân đội 1 trồng 7 cây, đội 2 trồng 8 cây, đội 3 trồng 6 cây, Tính số công nhân mỗi đội, biết số cây mỗi đội trong khoảng từ 100-200 Bài 5: Một công ty vận tải hàng hóa dùng ba ca nô để chở hàng, ca nô thứ nhất 7 ngày cập bến 1 lần, ca nô thứ hai 6 ngày cập bến 1 lần, ca nô thứ ba 8 ngày cập bến 1 lần. Hỏi nếu ba ca nô cùng đang cập bến, thì ít nhất sau bao nhiêu ngày sau : a, Ca nô thứ nhất và ca nô thứ hai cùng cập bến ? b, Ca nô thứ nhất và ca nô thứ ba lại cùng cập bến ? c, Ca nô thứ hai và ca nô thứ ba lại cùng cập bến ? d, Cả ba ca nô cùng cập bến ? Bài 6: Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh tham quan, Tính số học sinh biết nếu xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 31 dư 15 và chi cho 35 dư 1 Bài 8: Tìm dạng chung cả các số tự nhiên a chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 thì dư 4, chi 6 thì dư 5 và chia hết cho 3 Bài 9: Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia 8 dư 7, chia cho 31 dư 28 Bài 10: Một số tự nhiên a khi chia cho 7 dư 4, chia cho 9 dư 6, tìm số dư khi chia a cho 63 Bài 11: Chia số tự nhiên a cho 7 dư 5, chia số b cho 7 dư 3, chia số c cho 7 dư 2. Tìm số dư khi a, Chia a+b cho 7 b, Chia a+b+c cho 7 Bài 12: Trong một buổi liên hoan ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo và 36 cái bánh và được chia đều ra các đĩa gồm cả kẹo và bánh, có thể chia được nhiều nhất bào nhiêu đĩa, mỗi đĩa có bao nhiêu bánh bao nhiêu kẹo? Bài 13: Lớp 6A có 54 học sinh, 6B có 42 và 6C có 48 học sinh, trong ngày khai giảng ba lớp cùng xếp thành 1 số hàng dọc như nhau, mà không có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể sếp được? Bài 14: Có 48 bút chì, 64 quyển vở, cô giáo muốn chia số bút và số vở thành 1 số phần thưởng như nhau,có thể chia được nhiều nhất bào nhiêu phần thưởng,số bút số vở ở mỗi phần thưởng? Bài 15: Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43 Bài 16: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 111 cho a thì dư 15 còn khi chia 180 cho a thì dư 20 Bài 17: Nếu ta chia 2 số 3972 và 170 cho cùng 1 số thì sẽ được số dư tương ứng là 4 và 42. Hỏi số chia là bao nhiêu? Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b =72 và UCLN (a;b)=6 Bài 19: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b =3750 và UCLN (a;b)=25 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (25 ;650) ,(50 ; 75), ( 75 ; 50), (150 ;25) Bài 20: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng a.b bằng 24300 và UCLN (a;b)=45 Bài 21: Cho UCLN(a;b)=1 Chứng minh rằng UCLN(a; a+b)=1 Bài 22: Cho 2 số 3n+1 và 5n+4 là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm UCLN (3n+1;5n+4) Bài 23: Tìm UCLN của 2n-1 và 9n +4 với n ∈N Bài 24: Tìm a,b biết a+ b= 42 bà BCNN(a; b)= 72 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 Bài 25: Tìm a,b biết a - b =7 và BCNN(a; b)= 140 Bài 26: Tìm hai số nguyên dương biết a+ 2b= 48 và UCLN(a; b) +3.BCNN(a; b)= 114 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Gọi x là số cây mỗi đội phải trồng => 100 < x < 200 và x là số tự nhiên Theo bài ra ta có: x  8 => x∈ B(8) x  9 => x∈ B(9) => x∈ BC( 8; 9 ) = { 0; 72; 144; 216; ...) Vì 100 < x < 200 nên x = 144 Vậy số cây phải trồng của mỗi đội là 144 cây Bài 2: Để hai răng của hai bánh xe đã khớp với nhau lần đầu lại khớp với nhau lần 2 thì số răng cưa ở mỗi bánh xe đã quay được là x : Khi đó x = BCNN(12;18)=36 Bánh xe 1 quay là 36:18=2 vòng. Bánh xe 2 quay 36:12 = 3 vòng Bài 3: Gọi x ( học sinh) là số học sinh của 1 trường => 800 < x < 1000 Theo bài ra ta có : x  5 => x∈ B(5) x  6 => x∈ B(6) x  7 => x ∈B(7) x  8 => x∈ B(8) => x∈ BC( 5; 6 ;7; 8 ) = { 0; 840; 1680; ...... ) Vì 800 < x < 1000 nên x = 840 Vậy số học sinh của trường là 840 học sinh Bài 4: Gọi x là số cây mỗi đội phải trồng => 100 < x < 200 và x là số tự nhiên Theo bài ra ta có: x  7 => x∈ B(7) x  8 => x∈ B(8) x  6 => x∈ B(6) => x∈ BC( 7 ; 8; 6 ) = { 0 ; 168 ; 336 ; ...) Vì 100 < x < 200 nên x = 168 Vậy số cây phải trồng của mỗi đội là 168 cây Bài 5: a, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ nhất và ca nô thứ hai lại cùng cập bến Khi đó ta có : x  7 => x∈ B(7) x  6 => x∈ B(6) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN( 6; 7) = 42 => Vậy sau 42 ngày thì ca nô 1 và ca nô 2 giặp nhau tại bến b, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ nhất và ca nô thứ ba lại cùng cập bến Khi đó ta có : Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 62 x  7 => x∈B(7) x  8 => x∈B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 7) = 56 => Vậy sau 56 ngày thì ca nô 1 và ca nô 3 giặp nhau tại bến c, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ hai và ca nô thứ ba lại cùng cập bến Khi đó ta có : x  6 => x∈B(7) x  8 => x∈B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 6) = 24 . Vậy sau 24 ngày thì ca nô 2 và ca nô 3 giặp nhau tại bến d, Gọi x là số ngày ít nhất ca nô thứ hai và ca nô thứ ba lại cùng cập bến Khi đó ta có : x  6 => x∈B(6) x  7 => x∈B(7) x  8 => x∈B(8) và x là nhỏ nhất nên => x = BCNN(8 ; 6 ; 7) = 168. Vậy sau 168 ngày thì cả ba ca nô giặp nhau tại bến Bài 6: Gọi số học sinh của trường đi tham quan là x=> 800< x< 900 và x là số tự nhiên theo bài ra ta có : x  35 => x∈ B(35) x  40 => x∈ B(40) => x∈ BC(35 ; 40) = {0 ; 280 ; 560 ; 840 ; 1120 ; ...} Mà 800 < x < 900 nên x = 840 Vậy số học sinh đi tham quan của trường là 840 học sinh Bài 7: Gọi số tự nhiên cần tìm là x: Theo bài ra ta có: x = 31a + 15 và x = 35b + 18 => 31a + 15 = 35b + 18 => 31a - 31b = 4b + 3 => 31(a-b) = 4b + 3 Vì VT  31 nên VP  31 => 4b + 3  31, Mà x nhỏ nhất nên a, b cũng nhỏ nhất khi đó b = 7 Thay b =7 vào ta được x =35.7 + 18 = 263 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm là 263 Bài 8:  −  − +  +     − >= − + >= + >= + ∈ >= + a a a 3 4 3 4 4 1 4    Theo bài ra ta có: ( ) a a a a BC a 4 5 4 5 5 1 5 1 6;5;4 1 60         −  − +  + a a a 5 6 5 6 6 1 6    Và a + 1 - 300  60 và a 13=> a - 13.23 13 => a - 299 13 => a - 299  BCNN (60; 13) =780 => a = 780k +299 Vậy dạng chung của số tự nhiên trên là a = 780k + 299 Bài 9: Theo bài ra ta có: ( ) 7 8 7 72 8 65 865 8;31 28 31 28 93 31 65 31  −  − +  +  >=  >=  >= + ∈ n n nn BC        −  − +  + n n n n + 65∈ B(248) = {0;248;496;744;992;....}>= ∈n {183;431;679;927;...} Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 63 Vì n là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên n = 927 Vậy số cần tìm là 927 Bài 10: Theo bài ra ta có: 4 7 3 7 7 3 73 63  −  − +  +  >=  >=  >= + a a aa        Vì UCLN( 7;9) =1 a a a 6 9 6 9 9 3 9  −  − +  + Vậy a chia cho 63 dư 60 Bài 11: Theo bài ra ta có: a = 7k + 5, b = 7h + 3 và c = 7m + 2, với k, h, m là các số tự nhiên Khi đó a + b = (7k + 5) + (7h + 3) =7(h + k) + 8 chia 7 dư 1 Vậy a + b chia 7 dư 1 b, Ta có: a + b + c = (7k + 5) + (7h + 3) + (7m + 2) = 7(k + h + m) + 10 chia cho 7 dư 3 Vậy a + b + c chia 7 dư 3 Bài 12: Gọi a ( chiếc ) là số đĩa có thể chia được ĐK : a∈ N, a < 36 Theo bài ra ta có: 96 a và 36 a và a là số lớn nhất Nên a = UCLN(96 ; 36) Sau khi tìm được a, ta lấy 96 :a là ra số kẹo trong mỗi đĩa, và 36 : a là ra số bánh trong mỗi đĩa Bài 13: Gọi a là số hàng dọc có thể xếp được ĐK : a∈ N, a < 42 Theo bài ra ta có : 54 a và 42 a và 48 a đồng thời a là số lớn nhất Khi đó a = UCLN(54 ; 42 ; 48) Bài 14: Gọi a là số phần thưởng có thể chia theo yêu cầu đầu bài ĐK : a∈ N, a < 48 Theo bài ra ta có : 48 a và 64 a đồng thời a là số lớn nhất Khi đó a = UCLN(48 ; 64) Sau khi tìm được a ta lấy 48 chia a là ra số bút chì trong mỗi phần thưởng Và lấy 64 chia cho a là ra số quyển vở trong mỗi phần thưởng Bài 15: Vì 264 chia a dư 24 nên 264 - 24 =240 chia hết cho a hay a∈U(240) và a > 24 Tương tự thì a∈U(320) và a > 43, do đó a ∈UC( 240; 320 ) và a > 43 Bài 16: Vì 111 chia a dư 15 nên 111 - 15 = 96 chia hết cho a hay a∈U(96) và a > 15 Tương tự thì a∈U(160 ) và a > 20, do đó a ∈UC( 96; 160 ) và a > 20 Bài 17: Gọi số chia cần tìm là a, Ta có số chia là ước của (3972 - 4) và (170 - 42) aa = < < >=  = Hay a ∈UC(3968;128), đồng thời 64 a 42 170128 Bài 18: Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 64  =  = và ( a1:b1) = 1, Mà: a a 6 Vì UCLN( a; b) = 6 nên 1 b b 6 1 1 1 1 1 >a b. ==>72== =6a .6b 72 a .b 2 Mà ( a1:b1) = 1 và a> b nên 1 1 a > b Do đó ta có bẳng sau: 1 a 1 2 a 6 12 1 b 2 1 b 12 6 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (6 ; 12), (12 ; 6) Bài 19:  =  = và ( a1:b1) = 1, Mà: a a 25 Vì UCLN( a; b) = 6 nên 1 b b 25 1 1 1 1 1 a b.> = 3750 = > =25=a=.25b 3750 a .b 6 Mà ( a1:b1) = 1 Do đó ta có bẳng sau: 1 a 1 2 3 6 a 25 50 75 150 1 b 6 3 2 1 b 650 75 50 25 Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (25 ;650) ,(50 ; 75), ( 75 ; 50), (150 ;25) Bài 20:  =  = và ( a1:b1) = 1, Mà: a a 45 Vì UCLN( a; b) = 6 nên 1 b b 45 1 1 1 1 1 a b. >= 24300 = >=45a= .45= b 24300 a .b 12 Mà ( a1:b1) = 1 Do đó ta có bẳng sau: 1 a 1 3 4 12 a 45 135 180 540 1 b 12 4 3 1 b 540 180 135 45 Bài 21: Ta có đặt d=UCLN (a+b; a) =>d ∈N*  +  → + − → a b da b a d b d     mà ad nên d ∈UC(a;b) hay d ∈U(1)=>d=1  Bài 22: a d Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 65 Gọi UCLN (3n+1;5n+4) = d =>7 d => d=7 hoặc d=1 Mà d ≠ 1 nên d=7 Bài 23: Gọi d=UCLN( 2n-1 ; 9n+4),=> d ∈N* Khi đó ta có : ( )  −  −  −  >=  >=  >= + − − >=         ( ) ( ) ( ) 2 1 9 2 1 18 918 8 18 9 17 n d n d n dn n d d  +  +  +  9 4 2 9 4 18 8 n d n d n d >= ∈d U (17=±) {± 1; 17} Do đó UCLN là các số dương nên ta có : d=1 hoặc d=17 Vậy UCLN( 2n-1 ; 9n+4) =1 hoặc 17 Bài 24: . ; ; 1 .  = = =>  = a d a Gọi ( ) ( ) 11 1 UCLN a b d a b  = b d b 1 Giả sử: a ≤ b>= a≤1 >b=1 + a= >b= 42+ d=(a>1= b∈1 ) 42 d U (42) (1) Ta lại có: BCNN(a; b). UCLN(a; b) = a.b => 72.d = a b=. a1.>d=.b d1 =a1>.=b1.d∈ 72 d U (72) (2) Từ (1) và (2) => d ∈UC(42;72) = {1;2;3;6}  + =  = (loại) TH2 : 1 1 a b 42  + = = =>  = (loại) TH1 : d = 1=> 1 1 a b da b 21 a b . 72 1 1 2 . 36 1 1 a b 14  + = = =>  = (loại) TH3: 1 1 3 . 24 da b 1 1  + = ==> = > > = = =    = ==> = a b a a 7 3 18 1 1 1 da b b b 6 . 12 4 24 1 1 1 Vậy a = 18, b = 24 hoặc a=24 và b=18 Bài 25: . ; ; 1 .  = = =>  = a d a Gọi ( ) ( ) 11 1 UCLN a b d a b  = b d b 1 >= −a ==b> 7 −d (a==1> b1∈) 7 d U (7) (1) Ta lại có: BCNN(a; b). UCLN(a; b) = a.b =>140.d = a b=. a1.>d=.b d1 =a1.>b=1.d∈ 140 d U (140) (2) Từ (1) và (2) => d ∈UC(7;140) = {1;7}  − =  = (loại) TH2 : a b 7 TH1 : d = 1=> 1 1 a b . 140 1 1  − = ==> = = = =    = ==> = a b a a 1 5 35 1 1 1 da b b b 7 . 20 4 28 1 1 1 Vậy a = 35, b = 28 Bài 26: Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 . ; ; 1 . a d a  = = =>  = Gọi ( ) ( ) 11 1 UCLN a b d a b b d b  = 1 Mà : a + 2b =>48= +da1 2=db>=1 48+ d (=a>1= 2∈b1 ) 48 d U (48) (1) Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + UCLN(a; b) = 114 => d + 3.a1.b1.d =114 >= +d (1 3a=1.b1>)= ∈114 d U (114) (2) Từ (1) và (2) => d ∈UC(48;114) = {1;2;3;6} Mà : d (1+ 3a1.b1 )>==114 >= = 3.38 d3 d = 3 hoặc d = 6  + =  + =  =>   + =  = (loại) a b a b 2 16 2 16 TH1 : d = 3=> 1 1 1 1 1 3 . 38 3 . 37 a b a b 1 1 1 1 2 8 2 8 2 12 a b a b a a  + = + = > ==  = = >  =>  =>   + =  = ==> = TH2 : 1 1 1 1 1 61 3 . 19 . 6 3 18 da b a b b b 1 1 1 1 1 Vậy a = 12 và b = 18 CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG. VẬN DỤNG CHỨNG MINH CHIA HẾT CHO MỘT SỐ. A/ TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG. I/ PHƯƠNG PHÁP. * Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. - Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6. - Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9: Phân tích: am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, 3 Từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar. - Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên Từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar. * Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 67 Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. * Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. ∈ N * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số A = nk với n, k . ab ⇒ - Nếu A = 10a + b = b là chữ số cuối cùng của A. Ta viết: A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r N; 0 r 9 ∈ ≤ ≤ Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk - Nếu A = 100a + = thì là hai chữ số cuối cùng của A. bc abc bc - Nếu A = 1000a + = thì là ba chữ số cuối cùng của A. bcd abcd bcd 1... 0 a a m− 1 0 a ...a a m 1... 0 a a m− - Nếu A=10m.am + = thì là m chữ số cuối cùng của A. TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Tính chất 1 : a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : a) 799 b) 141414 c) 4567 Lời giải a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4 => 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7 Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7. b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6. c) Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N) => 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4. Tính chất sau được => từ tính chất 1. Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 68 Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009. Lời giải Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004}). Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : (2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3. Tính chất 3 : a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Bài 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011. Lời giải Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}). Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. * Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. Bài 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Lời giải 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5. Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau : Bài 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương : a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 69 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán : Bài 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5. * Các bạn hãy giải các bài tập sau : Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia : a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5 b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5 Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y : X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau : U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. * Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau : Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am ∶ 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 25. Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq ∶ 4 ta có : x = am = aq(apn - 1) + aq. Vì an - 1 ∶ 25 => apn - 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) ∶ 100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 100. Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : x = am = av(aun - 1) + av. Vì an - 1 ∶ 100 => aun - 1 ∶ 100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av. Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av. Bài 7 : Tìm hai chữ số tận cùng của các số : a) a2003 b) 799 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 70 Lời giải a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 ∶ 25. Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ∶ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 => 23(220 - 1) ∶ 100. Mặt khác : 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 ∶ 100. Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100. Mặt khác : 99 - 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N) Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07. Bài 8 : Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25. Lời giải Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ∶ 100. Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100. Mặt khác : 516 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20 => 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng. Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4. Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). Tính chất 4 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1 ∶ 25. Bài 9 : Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng : a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 Lời giải a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25. Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100. Do đó S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042. Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 + 22 + 32 + ... + 20042. áp dụng công thức : 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + ... + 20043. áp dụng công thức : Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 71 13 + 23 +….+ n3 = (1 + 2 +….+ n)2 = ( ) 2  +      n n 2 1 => 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng. Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). Tính chất 5 : Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu : + A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ; + A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ; + A có hai chữ số tận cùng là lẻ. Bài 10 : Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương. Lời giải Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 74 - 1 = 2400 ∶ 100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4. TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x). Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau : Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho 125. Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có : x = am = aq(apn - 1) + aq. Vì an - 1 chia hết cho 125 => apn - 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho 1000. Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : x = am = av(aun - 1) + av. Vì an - 1 chia hết cho 1000 => aun - 1 chia hết cho 1000. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 72 Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của av. Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. Tính chất 6 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125. Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 => a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125. Bài 11 : Tìm ba chữ số tận cùng của 123101. Lời giải Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123100 - 1 chia hết cho 125 (1). Mặt khác : 123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 123100 - 1 chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N). Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123. Bài 12 : Tìm ba chữ số tận cùng của 3399...98. Lời giải Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi hết cho 125 (1). Tương tự bài 11, ta có 9100 - 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9100 - 1 chia hết cho 1000 => 3399...98 = 9199...9 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N). Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999. Lại vì 9100 - 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100 : 9 => ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựa vào phép nhân ??9⋅9 = ...001 để xác định ??9 = 889 ). Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 là 889. Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng. Bài 13 : Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200. Lời giải do (2004, 5) = 1 (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư 1 => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1 => 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004200 chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376. Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên. Sau đây là một số bài tập vận dụng : Bài 1 : Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 4. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 73 Bài 2 : Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của : a) 3999 b) 111213 Bài 4 : Tìm hai chữ số tận cùng của : S = 23 + 223 + ... + 240023 Bài 5 : Tìm ba chữ số tận cùng của : S = 12004 + 22004 + ... + 20032004 Bài 6 : Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a. Bài 7 : Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng của A200. Bài 8 : Tìm ba chữ số tận cùng của số : 199319941995 ...2000 Bài 9 : Tìm sáu chữ số tận cùng của 521. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Chứng minh rằng: 102 102 8 − 2 chia hết cho 10. Bài 2. Tìm hai số tận cùng của 100 2 Bài 3. Tìm hai chữ số tận cùng của 1991 7 . Bài 4. Tìm bốn chữ số tận cùng của 1992 5 . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Ta thấy một số có tận cùng bằng 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6 (vì nhân hai số có tận cùng bằng 6 với nhau, ta được số có tận cùng bằng 6). Do đó ta biến đổi như sau: 25 25 102 4 2 ( ) ( ) 8 8 .8 ...6 .64 (...6).64 ...4; = = = = 25 102 4 2 25 ( ) 2 2 .2 16 .4 (...6).4 ...4. = = = = Vậy 102 102 8 − 2 có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10. Nhận xét: Để tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa ta làm như sau: - Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 - Các số có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6 - Các số có tận cùng bằng 3, 5, 7 nâng lên lũy thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1 Bài 2. Chú ý rằng: 10 2 =1024, bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó: Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 74 ( ) ( ) ( ) 10 5 5 100 10 10 2 2 = 2 1024 = 1024 ...76 = ...76 = = Vậy hai chữ số tận cùng của 100 2 là 76. Bài 3. Ta thấy: 4 7 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó: ( ) ( ) ( ) 497 497 1991 1988 3 4 7 = 7 .7 7 =.343 ...01 .343 == ...01 .343 ...43. = Vậy 1991 7 có hai chữ số tận cung là 43. Nhận xét: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, cần chú ý đến những số đặc biệt: - Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01, 25, 76; - Các số 20 3 (hoặc 5 4 2 2 81 );7 ;51 ;99 có tận cùng bằng 01; - Các số 20 5 4 2 4 2 2 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74 có tận cùng bằng 76; - Số 26 ( 1) n n > có tận cùng bằng 76. Bài 4. ( ) ( ) 498 498 1992 4 5 = 5 0625= ...0625. = CHỦ ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Số nguyên tố + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 có 2 ước dương là 1 và chính nó. + Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, đó là số nguyên tố chẵn duy nhất.Tất cả số nguyên tố còn lại đều là số lẻ. 2. Hợp số + Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn 2 ước dương. + Ước nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số a là một số không vượt quá . a 3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố + Là viết số đó dưới dạng tích của nhiều thừa số, mỗi thừa số là một số nguyên tố hoặc là lũy thừa của một số nguyên tố. + Dù phân tích một thừa số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được một kết quả duy nhất. 4. Số nguyên tố cùng nhau. + Hai hay nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi UCLN của chúng bằng 1. + Hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. 5. Hệ quả. a + Số a > 1 không có ước nguyên tố nào từ 2 đến thì a là một số nguyên tố. Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 75 + Tập hợp số nguyên tố là vô hạn. B.CÁC DẠNG TOÁN. DẠNG 1. SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN. * Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n. 4n ±1 * Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng . 6n ±1 * Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng . Chứng minh: *) Gọi m là số nguyên tố lớn hơn 2 Mỗi số tự nhiên khi chia cho 4 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3 do đó mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng 4n – 1; 4n ; 4n + 1; 4n + 2 . Do m là số nguyên tố lớn hơn 2 nên không thể chia hết 2 do đó m không có dạng 4n và 4n + 2. Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đề có dạng: 4n ±1 4n ±1 Không phải mọi số có dạng đều là số nguyên tố. Chẳng hạn 4. 4 - 1 = 15 không là số nguyên tố . *) Gọi m là số nguyên tố lớn hơn 3 Mỗi số tự nhiên khi chia cho 6 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5 do đó mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng 6n – 1; 6n ; 6n + 1; 6n + 2 ; 6n + 3 Do m là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không thể chia hết 2 và 3 do đó m không có dạng 4n và 6n; 6n + 2; 6n + 3. 6n ±1 Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đề có dạng: . 6n ±1(n∈ N) Không phải mọi số có dạng đều là số nguyên tố. Chẳng hạn 6. 4 + 1 = 25 không là số nguyên tố. Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho p là số nguyên tố và một trong 2 số 8p+1 và 8p-1 là 2 số nguyên tố, hỏi số thứ 3 (ngoài 2 số nguyên tố, số còn lại) là số nguyên tố hay hợp số? Lời giải Với p =3 ta có 8p + 1 = 25 là hợp số, còn 8p-1 là số nguyên tố. p ≠ 3 Với ta có 8p-1,8p,8p+1 là 3 số nguyên tố liên tiếp nên có một số chia hết cho 3.Do p là nguyên tố khác 3 nên 8p không chia hết cho 3,do đó 8p-1 hoặc 8p+1 có một số chia hết cho 3. Vậy số thứ 3 là hợp số. 2 1 n − 2 1 n + Bài 2. Hai số và (n>2) có thể đồng thời là số nguyên tố được không? Tại sao? Lời giải 2 1,2 , 2 1 n n n − + 2n Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, nhưng không 2 1 n − 2 1 n + chia hết cho 3, do đó hoặc có một số chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Vậy 2 1,2 1 n n − + không đồng thời là số nguyên tố. Bài 3. Chứng minh rằng nếu p và p + 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12. Lời giải Ta có: p + (p + 2) = 2(p+1). . p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số nguyên tố lẻ suy ra: (*) p +12 ⇒ 2( p +1)4 Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 76 . p, p + 1, p + 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, mà p và p+2 không chia hết cho 3 nên: (**) p +13⇒ 2( p +1)3 Từ (*) và (**) suy ra: . (đpcm) 2( p +1)12 Bài 4. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 14 là các số nguyên tố. Lời giải Với p = 3 thì p+3 = 13 và p + 14 = 17 là các số nguyên tố. p = 3k 1 ± Với p >3 thì . p = 3k 1 + p +14 = 3k +153 Nếu thì ; p = 3k 1 − p +10 = 3k +93 Nếu thì ; p = 3 p +10 p +14 Vậy với thì và là số nguyên tố. Bài 5. a) Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố. b) Tìm số nguyên tố p sao cho p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố. Lời giải a) Trong 3 số lẻ liên tiếp có một số chia hết cho 3. Vậy trong 3 số nguyên tố đã cho phải có một số chia hết cho 3 và 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp là 3, 5, 7. 1 2 3 4 p = p + p = p + p 1 2 3 4 p , p , p , p b) giả sử = 1+ 2 = 3− 4 p p p p p với là các số nguyên tố. Vì 1 2 p , p p > 2 1 2 p , p là số nguyên tố nên , suy ra p lẻ. Trong hai số phải có một số chẵn, trong 3 4 p , p 2 4 p = p 2 = hai số cũng phải có một số chẵn. Chẳng hạn . Khi đó: 1 1 1 p , p + 2, p + 4 1 3 3 1 p = p +2 =p 2− ⇒p =p 4+. Ta có là các số nguyên tố lẻ liên tiếp nên 1 p = 3 p = 5 5 = 3+ 2 = 7− 2 theo câu a) từ đó . Thử lại: . Bài 6. Tìm các số tự nhiên k để dãy: chứa nhiều số nguyên tố nhất. k +1, k + 2, k + 3,..., k +10 Lời giải Với k = 0 ta có dãy chứa 4 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7. 1, 2,3,...,10 Với k =1 ta có dãy 2, 3, 4, ..., 11 chứa 5 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11. Với k = 2 ta có dãy 3, 4, 5, ..., 12 chứa 4 số nguyên tố là 3, 5, 7, 11. k ≥ 3 k +1, k + 2, k + 3,..., k +10 Với dãy chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này lớn hơn 3 nên chia có một số chia hết cho 3, mà 5 số chẵn trong dãy hiển nhiên không là số nguyên tố. Vậy trong dãy ít hơn 5 số nguyên tố. k +1, k + 2,..., k +10 Tóm lại k = 1 thì dãy chứa nhiều số nguyên tố nhất. Bài 7. Ta gọi p, q là hai số tự nhiên liên tiếp, nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào 2 2 2 p + q + r khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho cũng là số nguyên tố. Lời giải Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 77 3k ±1 2 2 2 p ,q ,r Nếu 3 số nguyên tố p, q, r đều khác 3 thì p, q, r đều có dạng suy ra chia p + q + r 3 2 2 2 1 2 2 2 p + q + r > 3 2 2 2 cho 3 đều dư . Khi đó và nên là hợp số. p + q + r 2 2 2 2 2 2 p + q + r = 3 +5 + 7 = 83 Vậy p = 3, q = 5, r = 7, khi đó là số nguyên tố. q p p + q = r Bài 8. Tìm 3 số nguyên tố sao cho . Lời giải q p p + q = r r > 3 Giả sử có 3 số nguyên tố p, q, r sao cho . Khi đó nên r là số lẻ, suy ra p, q 2 2q + q = r không cùng tính chẵn lẻ. Giả sử p = 2 và q là số lẻ. Khi đó ta có . Nếu q không 2 q ≡1 2 1 q ≡ − chia hết cho 3 thì (mod 3). Mặt khác vì q lẻ nên (mod 3), từ đó suy ra 2 2 3 3 q + q  ⇒ r 3 2 r = 2 + 3 =17 , vô lí. Vậy q = 3, lúc đó là số nguyên tố. p = 2, q 3,r= 17 = p = 3, q 2,r= 17 = Vậy hoặc . Bài 9. a) Chứng minh rằng số dư trong phép chia của một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 30 thì kết quả ra sao? b) Chứng minh rằng nếu tổng của n lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì (n,30) = 1. Lời giải a) Giả sử p là số nguyên tố và với . Nếu r là hợp số thì r có ước p = 30k r + 0 < r < 30 q ≤ 30 ⇒ q = 2;3;5 nguyên tố . Nhưng với q =2; 3; 5 thì q lần lượt chia hết cho 2; 3; 5, vô lí.Vậy r = 1 hoặc r là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa, chẳng hạn p= 109= 60.1+ 49, 49 là hợp số. b) Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 2 Với r=1, 11, 19, 29 thì (mod 30). p ≡1 2 p ≡19 Với r =7, 13, 17, 23 thì (mod 30). 4 p ≡1 Suy ra (mod 30). 1, 2 ,... n p p p Giả sử là các số nguyên tố lớn hơn 5. 4 4 4 1 2 ... (mod 30) 30 n q = p +p + +p ≡n ⇒q = k n+ Khi đó là số nguyên tố nên (n,30)=1. abc < ab + bc + ca Bài 10. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho . Lời giải a ≤ b ≤ c Vì a, b, c có vai trò như nhau nên giả sử . ab + bc + ca ≤ 3bc ⇒ abc < 3bc ⇒ a < 3⇒ a = 2 Khi đó (vì a là số nguyên tố). Với a =2 ta có 2bc < 2b + 2c + bc ⇒ bc < 2(b + c) ≤ 4c ⇒ b < 4 ⇒ b = 2 4c < 2 + 4c hoặc b=3. Nếu b = 2 thì thõa với c là số nguyên tố bất kì. 6c < 6 + 5c ⇒ c < 6 ⇒ c = 3 c = 5 Nếu b = 3 thì hoặc . Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 78 Vậy các cặp số (a, b, c) cần tìm là (2, 2, p), (2, 3, 3), (2, 3, 5) và các hoán vị của chúng, với p là số nguyên tố. 1 2 , ,...., n a a a 1 a = 2 n a Bài 11. Cho dãy số nguyên dương được xác định như sau: , là ước 1 2 3 1 ... 1 n a a a a − + n ≥ 2 5 k a ≠ nguyên tố lớn nhất của với . Chứng minh rằng với mọi k. Lời giải 1 2 a = 2, a 3 = n ≥ 3 Ta có , giả sử với nào đó mà có số 5 là ước nguyên tố lớn nhất của số 3 1 2.3. .... 1 A n a a = − + 5m A = thì A không thể chia hết cho 2, cho 3. Vậy chỉ có thể xảy ra với m ≥ 2 1 5 1 4 m A− = − , suy ra . 3 1 1 2.3. .... A n a a − = − 3,... n 1 a a − Mà không chia hết cho 4 do là các số lẻ, vô lí. Vậy A không có 5 k a ≠ * ∀k ∈ N ước nguyên tố của 5, tức là , . 2 2p + p Bài 12. Tìm tất cả các số nguyên tố p để cũng là số nguyên tố. Lời giải 2 2 2 2 2 2 4 p + p = + = Với p = 2 ta có không là số nguyên tố. 2 3 2 2 2 3 17 p + p = + = Với p = 3 ta có là số nguyên tố. 2 2 2 ( 1) (2 1). p p p + = p − + + Với p > 3 ta có Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên p −13 2 1 3 p +  2 2p + p 2 và , do đó là hợp số. 2 2p + p Vậy, với p = 3 thì là số nguyên tố. DẠNG 2. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ FERMAT. 1 1 p a − ≡ p là số nguyên tố và (a,p) = 1 thì (mod p). 2 2 1 n + Bài 1. Nhà toán học Pháp Fermat đã đưa ra công thức để tìm các số nguyên tố với mọi n tự nhiên. 1. Hãy tính giá trị của công thức này khi n = 4. 2. Với giá trị này hãy chứng tỏ ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu và cuối bằng tổng các chữ số còn lại. b) Tổng bình phương các chữ số là số chính phương. c) Hiệu giữa tổng các bình phương của hai chữ số đầu và cuối với tổng các bình phương của các chữ số còn lại bằng tổng các chữ số của số đó. Lời giải 1. Ta thay n= 4 vào công thức Fermat và được: 4 2 2 +1 = 65537 là số nguyên tố. 2.Số nguyên tố 65537 có ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu và cuối 6+7=13 đúng bằng tỏng ba chữ số còn lại 5+5+3=13. 2 2 2 2 2 6 + 5 + 5 + 3 + 7 = 36 +25 +25 +9 +49 =144 b) Tổng bình phương các chữ số là số chính 2 144 =12 phương vì . Sưu tầm và tổng hợp 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC """