" 17 Phương Trình Thay Đổi Thế Giới PDF EPUB 🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook 17 Phương Trình Thay Đổi Thế Giới PDF EPUB Ebooks Nhóm Zalo Tủ sách hợp tác giữa nhà toán học Ngô Bảo Châu, nhà văn Phan Việt với Nhà xuất bản Trẻ Tủ sách CÁNH CỬA MỞ RỘNG được thực hiện nhằm mục đích giới thiệu những đầu sách có giá trị của thế giới và trong nước đến bạn đọc Việt Nam, đặc biệt là bạn đọc trẻ, góp phần thúc đẩy việc đọc sách, tinh thần hiếu học, coi trọng tri thức và những giá trị sống. Các tựa sách trong tủ do nhà toán học Ngô Bảo Châu và nhà văn Phan Việt tuyển chọn và giới thiệu. Tủ sách được phân thành ba mảng: văn học, khoa học xã hội - kinh tế, và khoa học tự nhiên; trước mắt cấu tạo tủ sách gồm 80% các sách có khả năng tiếp cận đông đảo bạn đọc và 20% cho các sách chuyên ngành. Seventeen equations that changed the world Copyright © Joat Enterprises, 2012, 2013 Bản tiếng Việt © Nhà xuất bản Trẻ, 2015 BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN DO THƯ VIỆN KHTH TP.HCM THỰC HIỆN General Sciences Library Cataloging-in-Publication Data Stewart, Ian, 1945- 17 phương trình thay đổi thế giới / Ian Stewart ; Phạm Văn Thiều, Nguyễn Duy Khánh dịch. - T.P. Hồ Chí Minh : Trẻ, 2015. 521 tr. ; 20 cm. - (Cánh cửa mở rộng). Nguyên bản : 17 equations that changed the world. 1. Phương trình -- Lịch sử. 2. Toán học -- Lịch sử. 3. Vật lý -- Lịch sử. I. Phạm Văn Thiều. II. Nguyễn Duy Khánh. III. Ts. IV. Ts: Mười bảy phương trình thay đổi thế giới. V. Ts: 17 equations that changed the world. VI. Ts: Seventeen equations that changed the world. 512.94 -- ddc 23 S849 Phạm Văn Thiều - Nguyễn Duy Khánh dịch Mục lục Tại sao lại là các phương trình? .......................................... 10 1 Người đàn bà trên tấm da hà mã .................................. 15 2 Rút ngắn các thủ tục tính toán...................................... 43 3 Bóng ma của các đại lượng biến mất............................ 63 4 Hệ thống thế giới............................................................ 91 5 Điềm báo của thế giới các ý niệm............................... 123 6 Quá nhiều sự ầm ĩ về các nút ...................................... 145 7 Hình mẫu của may rủi................................................. 173 8 Những dao động tốt..................................................... 211 9 Gợn sóng và đốm sáng................................................. 237 10 Sự bay lên của nhân loại............................................ 261 11 Sóng trong ether......................................................... 283 12 Quy luật và hỗn loạn.................................................. 307 13 Chỉ có một thứ là tuyệt đối........................................ 341 14 Lượng tử kỳ bí............................................................. 385 15 Mật mã, truyền thông, và máy tính .......................... 417 16 Sự mất cân bằng của tự nhiên................................... 445 17 Công thức Midas........................................................ 461 Tiếp theo sẽ là gì?............................................................... 495 Chú thích............................................................................ 503 LỜI GIỚI THIỆU của Nhà toán học NGÔ BẢO CHÂU Quãng đường càng xa thì đi càng lâu. Nhận xét này thật hiển nhiên, nhưng nếu cả ba đại lượng quãng đường, thời gian và vận tốc dở chứng, cùng biến thiên một lúc, thì đầu chúng ta sẽ rối tung lên. Chúng sẽ trở nên ngoan ngoãn, ngăn nắp trở lại chỉ khi ta viết ra phương trình chuyển động đều của một vật điểm. Có nhiều người đã hỏi tôi vẻ đẹp toán học là gì, nó nằm ở đâu. Để trả lời đầy đủ có lẽ phải viết cả một pho sách. Nếu buộc phải trả lời vắn tắt thì tôi sẽ nói vẻ đẹp của toán học nằm ở các phương trình. Thay vì nói “đường càng xa, đi càng lâu”, chúng ta viết ra một công thức toán học đơn giản, chính xác và mạch lạc. Một phần công việc của các nhà khoa học chính là diễn đạt những nhận xét mang tính trực quan “đường càng xa, đi càng lâu” thành những công thức toán học. Chính vì vậy mà những người làm nên vẻ đẹp toán học thường lại không phải là những nhà toán học mà là các nhà khoa học. Công việc của các nhà toán học thường khiêm tốn hơn, họ chuẩn bị ngôn ngữ toán học để các nhà khoa học có thể viết ra phương trình của mình. Và họ chuẩn bị công cụ toán học để giải những phương trình đó, hoặc như trong phần lớn các trường hợp, khi phương trình không giải được, thì vẫn rút ra được một số thông tin từ phương trình. Thường thì những thông tin rút ra được từ phương trình nhờ vào các công cụ toán học không phải những gì ta có thể cảm nhận được một cách trực quan, tuy thế chúng vẫn là chân lý, chân lý không hơn, không kém phương trình ban đầu. Và thường thì những thông tin chắc chắn, nhưng không hiển nhiên, là những thông tin quý giá nhất. Xin giới thiệu với bạn đọc của tủ sách Cánh cửa mở rộng quyển 17 phương trình thay đổi thế giới của Ian Stewart. Tác giả là một trong những người viết tài hoa nhất trong thể loại sách toán dành cho những người không chuyên về toán. Ông đã có tiền án làm cho không ít người ghét toán trở thành người yêu toán. Qua 17 phương trình tiêu biểu: từ định lý Pythagor, qua số ảo căn bậc hai của âm một, qua phương trình truyền sóng, đến phương trình Shannon về độ phức tạp của thông tin và cuối cùng phương trình Black-Scholes định giá những công cụ tài chính phái sinh, ông dẫn chúng ta đi qua những địa hạt mà dù nằm trong hay ngoài toán học, ở đó vẻ đẹp toán học luôn được thể hiện một cách thuần khiết nhất. Bằng việc giới thiệu cuốn sách này, tôi muốn chia sẻ với bạn đọc niềm tin: vẻ đẹp toán học nằm ở mọi nơi, toán học là cần thiết để thấu hiểu thế giới. Để tránh sự lặp lại một cách nhàm chán của cụm từ “bằng nhau”, tôi sẽ đặt, như tôi vẫn thường làm, một cặp đường song song, hay hai đường sinh đôi có chiều dài bằng nhau: =, bởi lẽ không có hai thứ gì bằng nhau hơn thế. Robert Recorde, The Whetstone of Witte, 1557 Tại sao lại là các phương trình? Các phương trình là máu huyết của toán học, khoa học và công nghệ. Không có chúng, thế giới của chúng ta sẽ không tồn tại dưới dạng hiện nay. Tuy nhiên, các phương trình thường làm cho người ta sợ hãi: các nhà xuất bản của Stephen Hawking đã nói với ông rằng mỗi một phương trình sẽ làm số lượng bán của cuốn Lược sử thời gian giảm đi một nửa, nhưng sau đó họ đã lờ đi ý kiến của chính họ và cho phép đưa vào phương trình E = mc2 mà nếu cắt bỏ nó đi người ta cho rằng có thể sẽ bán được thêm 10 triệu bản nữa. Tôi đứng về phía Hawking. Các phương trình quá quan trọng nên không thể giấu biến chúng đi. Nhưng các nhà xuất bản cũng có quan điểm của họ: các phương trình chỉ là hình thức, chúng khô khan, trông rất phức tạp, và thậm chí nhiều người trong số chúng tôi, những người yêu các phương trình, đôi lúc cũng phải lảng tránh khi bị chúng tra tấn tới tấp. Trong cuốn sách này, tôi xin có đôi lời giãi bày. Vì nó nói về các phương trình nên tôi không thể tránh đưa chúng vào, cũng như tôi không thể viết một cuốn sách về leo núi mà lại không được dùng từ “núi” vậy. Tôi muốn khẳng định với các bạn rằng các phương trình đã đóng vai trò sống còn trong thế giới sáng tạo ngày hôm nay, từ lập bản đồ tới hệ thống dẫn đường bằng vệ tinh (sat nav), từ âm nhạc tới truyền hình, từ phát hiện ra châu Mỹ tới khám phá các mặt trăng của Mộc tinh. Thật may mắn, bạn không cần phải là một nhà khoa học thiên tài để đánh giá hết chất thơ và vẻ đẹp của một phương trình quan trọng. Trong toán học có hai loại phương trình mà nhìn bề ngoài chúng tương tự nhau. Một loại biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng toán học khác nhau và nhiệm vụ của các nhà toán học là chứng minh phương trình đó đúng. Loại còn lại cung cấp thông tin về một đại lượng chưa biết và nhiệm vụ là giải nó, tức là tìm ra đại lượng chưa biết đó. Sự phân biệt hai loại phương trình này không hoàn toàn rạch ròi vì đôi khi chính một phương trình lại được dùng theo cả hai cách, nhưng đó lại là một sự chỉ hướng rất hữu ích. Bạn có thể tìm thấy cả hai loại phương trình ấy trong cuốn sách này. Các phương trình trong toán học thuần túy nói chung thuộc loại thứ nhất: chúng phát lộ những hình mẫu sâu xa và đẹp cùng với những quy luật rõ ràng. Chúng hợp thức bởi vì với các giả thiết cơ sở đã cho về cấu trúc logic của toán học, không có một khả năng thay thế nào khác. Định lý Pythagor, cũng là một phương trình được diễn đạt theo ngôn ngữ hình học, là một ví dụ. Nếu ta chấp nhận những giả thiết cơ sở về hình học của Euclid, thì định lý này là đúng. Các phương trình trong toán học ứng dụng và vật lý toán thường thuộc loại thứ hai. Chúng mã hóa thông tin về thế giới thực; chúng biểu diễn các tính chất vũ trụ, mà về nguyên tắc có thể rất khác nhau. Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton là một ví dụ tốt. Nó cho chúng ta biết rằng lực hút giữa hai vật phụ thuộc vào khối lượng của chúng như thế nào và vào khoảng cách giữa chúng ra sao. Việc giải các phương trình có được sẽ cho chúng ta biết các hành tinh quay quanh Mặt Trời như thế nào, hoặc phải thiết kế quỹ đạo của các con tàu thăm dò không gian ra sao. Nhưng định luật của Newton không phải là một định lý toán học; nó đúng là vì các lý do vật lý, cụ thể là nó phù hợp với quan sát. Định luật hấp dẫn có thể khác đi. Thật vậy, thuyết tương đối rộng của Einstein đã hoàn thiện định luật của Newton vì nó phù hợp hơn với một số quan sát, trong khi lại không làm xáo trộn những quan sát mà chúng ta biết định luật của Newton phù hợp với chúng. Diễn tiến của lịch sử loài người đã được định hướng lại, mỗi một lần bởi một phương trình. Các phương trình đều có những sức mạnh ẩn giấu. Chúng phát lộ những bí mật sâu kín nhất của tự nhiên. Sử dụng các phương trình không phải là cách truyền thống của các nhà sử học để thiết lập nên những thăng trầm của các nền văn minh. Các vị vua và hoàng hậu cũng như các cuộc chiến tranh và những tai họa đầy rẫy trong những cuốn sách lịch sử, nhưng các phương trình thì rất ít được đề cập tới. Thật chẳng công bằng chút nào. Ở thời Victoria, có lần Michael Faraday đã chứng minh mối liên hệ giữa điện và từ cho cử tọa ở Viện Hoàng gia London. Tương truyền, vị thủ tướng William Gladstone đã hỏi rằng từ mối quan hệ đó liệu có hệ quả nào áp dụng được cho thực tiễn không. Người ta kể rằng Faraday đáp: “Có đấy, thưa ngài. Một ngày nào đó, ngài sẽ phải đóng thuế cho nó”. Nếu quả là ông đã nói như vậy, thì ông đã đúng. James Clerk Maxwell đã chuyển đổi những quan sát thực nghiệm và các định luật thực nghiệm trước đó về điện và từ thành một hệ các phương trình của điện từ trường. Trong số rất nhiều các hệ quả của nó có radio, radar và truyền hình. Một phương trình có được sức mạnh của nó từ một khởi nguồn đơn giản. Nó nói với chúng ta rằng hai phép tính, bề ngoài tưởng như khác nhau, nhưng lại cho cùng một đáp số. Ký hiệu then chốt là dấu bằng (=). Nguồn gốc của đa số các ký hiệu toán học hoặc là đã thất lạc trong những đám sương mù dày đặc của thời cổ đại hoặc là mới đến nỗi không ai thắc mắc rằng nó tới từ đâu. Dấu bằng là một trường hợp khác thường bởi vì niên đại của nó vào khoảng hơn 450 năm trước, hơn nữa chúng ta không chỉ biết ai đã đặt ra nó mà thậm chí còn biết tại sao. Người đã đặt ra ký hiệu này là Robert Recorde, vào năm 1557, trong cuốn The Whetstone of Witte. Ông đã dùng hai đường song song (ông đã dùng một từ cổ là gemowe có nghĩa là song sinh) để tránh sự lặp lại một cách nhàm chán của cụm từ “bằng nhau”. Ông đã chọn ký hiệu đó vì “không có hai thứ gì bằng nhau hơn”. Quả là sự lựa chọn tuyệt vời. Ký hiệu của ông đã được dùng mãi trong suốt 450 năm qua. Sức mạnh của các phương trình nằm trong sự tương ứng đầy khó khăn về mặt triết học giữa toán học, một sáng tạo của trí tuệ con người, và thực tại vật lý bên ngoài. Các phương trình mô hình hóa các hình mẫu nằm sâu trong thế giới bên ngoài. Bằng cách học đánh giá các phương trình, và đọc các câu chuyện mà chúng kể, chúng ta có thể khám phá ra những đặc điểm của thế giới xung quanh ta. Về nguyên tắc, có thể có những cách khác để đạt tới cùng một kết quả. Nhiều người thích dùng từ ngữ hơn là các ký hiệu, vì ngôn ngữ cũng cho chúng ta sức mạnh chế ngự thế giới xung quanh. Nhưng lời phán quyết của khoa học và công nghệ là: các từ ngữ quá không chính xác và cũng quá hạn chế để cung cấp cho chúng ta một con đường hiệu quả đi tới những phương diện sâu xa của thực tại. Đã vậy, chúng lại còn được tô vẽ bởi những giả thuyết ở thang bậc con người. Chỉ từ ngữ thôi thì không thể cung cấp cho chúng ta những hiểu biết sâu sắc được. Nhưng các phương trình thì có thể. Chúng đã là động lực chính trong nền văn minh nhân loại hàng ngàn năm nay. Trong suốt chiều dài lịch sử, các phương trình đã âm thầm chi phối xã hội. Giấu mình ở phía sau sân khấu, chắc chắn là thế – nhưng ảnh hưởng của chúng thì vẫn hiện diện ở đó, bất kể chúng có được chú ý hay không. Đây là câu chuyện về sự thăng tiến của loài người, được kể thông qua 17 phương trình. 1 Người đàn bà trên tấm da hà mã Định lý Pythagor bình phương cộng bằng a2+b2 = c2 góc vuông Phương trình này cho ta biết điều gì? Nó biểu diễn mối liên hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông. Tại sao nó lại quan trọng? Nó cung cấp một mối liên kết quan trọng giữa hình học và đại số, cho phép chúng ta tính toán khoảng cách theo các tọa độ. Nó cũng khơi nguồn cảm hứng cho lượng giác. Nó đã dẫn tới những gì? Nó giúp chúng ta khảo sát, định vị, và đặc biệt gần đây là thuyết tương đối hẹp và rộng – lý thuyết tuyệt vời nhất hiện nay về không gian, thời gian, và hấp dẫn. Khi yêu cầu bất kỳ một học sinh phổ thông nào nêu tên một nhà toán học lừng danh, câu trả lời thông thường sẽ là Pythagor. Nếu không, sẽ là Archimedes. Ngay cả Isaac Newton danh tiếng cũng phải chịu xếp sau hai siêu sao của thế giới cổ đại này. Archimedes là một người khổng lồ về trí tuệ, và có lẽ Pythagor không được như thế, nhưng ông xứng đáng được hưởng nhiều hơn so với những gì mà ông thường nhận được. Không phải vì những thành công của ông, mà là vì những thứ mà ông đã khởi phát. Pythagor sinh ở đảo Samos, Hy Lạp, phía đông Aegean, vào khoảng năm 570 trước Công nguyên (TCN). Ông là một triết gia và là một nhà hình học. Những điều ít ỏi mà chúng ta biết được về cuộc đời của ông là từ các học giả rất lâu sau đó và tính chuẩn xác lịch sử của chúng vẫn còn rất đáng ngờ, tuy nhiên những sự kiện chính thì có lẽ là chính xác. Khoảng năm 530 TCN, ông tới Croton, một thuộc địa của Hy Lạp, bây giờ là nước Ý. Tại đây ông tổ chức một nhóm triết học-tôn giáo, những người theo trường phái Pythagor, những người tin rằng vũ trụ dựa trên nền tảng các con số. Sự nổi tiếng của người sáng lập trường phái này ngày nay dựa trên một định lý mang tên ông. Nó đã được dạy hơn 2000 năm nay, và đã đi vào văn hóa đại chúng. Bộ phim Merry Andrew năm 1958, với ngôi sao Danny Kaye, có một bài hát mở đầu như sau: Bình phương độ dài cạnh huyền, của một tam giác vuông thì bằng với tổng bình phương của hai cạnh kề còn lại. Bài hát tiếp tục với các câu ẩn ngữ, về việc không để các phân từ của bạn đong đưa, liên kết Einstein, Newton, và anh em nhà Wright với định lý nổi tiếng đó. Hai người đầu tiên hét lên “Eureka!”; không, đó là Archimedes. Bạn sẽ suy ra rằng lời nhạc không chính xác về mặt lịch sử, nhưng đó là Hollywood mà. Tuy nhiên, trong chương 13, ta sẽ thấy rằng người viết lời (Johny Mercer) đã rất chính xác với Einstein, có lẽ hơn cả những gì ông đã biết. Định lý Pythagor xuất hiện trong một chuyện đùa nổi tiếng, với sự chơi chữ tồi tệ về người đàn bà trên da con hà mã. Chuyện vui này có thể tìm thấy khắp nơi trên Internet nhưng rất khó có thể tìm thấy nguồn gốc của nó1. Cũng có cả phim hoạt hình, áo phông và con tem về định lý Pythagor, như hình 1. Hình 1 Con tem Hy Lạp mô tả định lý Pythagor Mặc dù ồn ào như thế, nhưng chúng ta không biết chắc Pythagor có thực sự đã chứng minh định lý mang tên ông hay không. Thực tế, chúng ta cũng không biết đó có phải là định lý của ông hay không. Rất có thể nó được chứng minh bởi một đệ tử của Pythagor, hay một viên thư lại người Babylon hay Sumer cũng nên. Nhưng Pythagor được nổi tiếng, và tên ông được gắn với định lý đó. Cho dù nguồn gốc là thế nào đi nữa thì định lý này và hệ quả của nó đã có ảnh hưởng vô cùng to lớn đến lịch sử loài người. Nó đã thực sự mở ra thế giới của chúng ta. Người Hy Lạp không diễn tả định lý Pythagor như một phương trình với các ký hiệu hiện đại. Điều đó đến sau theo sự phát triển của đại số. Vào thời cổ đại, định lý này được diễn tả bằng lời và bằng hình học. Nó đã đạt tới dạng hoàn chỉnh nhất, và phép chứng minh đầu tiên được ghi lại là trong bản thảo của Euclid xứ Alexandria. Vào khoảng năm 250 TCN, Euclid trở thành nhà toán học hiện đại đầu tiên khi ông viết tác phẩm nổi tiếng Cơ sở (Elements), bộ sách giáo khoa toán học có ảnh hưởng lớn nhất từ trước tới nay. Euclid đã chuyển hình học thành logic bằng cách đưa ra những giả định cơ bản hiển nhiên và viện đến chúng để đưa ra những chứng minh hệ thống cho tất cả các định lý của ông. Ông đã xây dựng một tòa tháp các khái niệm, với nền tảng là các điểm, đường thẳng và đường tròn, mà đỉnh cao của nó là sự tồn tại của năm khối đa diện đều. Một trong những viên ngọc trên vương miện của Euclid chính là thứ mà ngày nay chúng ta gọi là định lý Pythagor: Mệnh đề 47 của quyển 1 trong bộ Cơ sở. Trong bản dịch nổi tiếng của Sir Thomas Heath mệnh đề này phát biểu: “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh chắn góc vuông thì bằng với bình phương của các cạnh góc vuông”. Khi đó, không có con hà mã, cũng chẳng có cạnh huyền. Thậm chí không có cả “cộng” hay “thêm vào”. Chỉ có mỗi từ “chắn” ngồ ngộ, về cơ bản có nghĩa là “đối diện với”. Tuy nhiên, định lý Pythagor rõ ràng đã diễn tả một phương trình, vì nó có chứa một từ cốt tử, đó là từ bằng. Vì các mục đích của toán học cao cấp hơn, người Hy Lạp làm việc với các đường thẳng và diện tích thay vì các con số. Vì thế Pythagor và những người kế tục ông đã giải mã định lý này như là một đẳng thức của các diện tích: “Diện tích của một hình vuông dựng trên cạnh dài nhất của tam giác vuông bằng tổng diện tích của các hình vuông dựng trên hai cạnh còn lại”. Cạnh dài nhất chính là cạnh huyền nổi tiếng, có nghĩa là “căng ra bên dưới”, điều sẽ xảy ra nếu bạn vẽ hình theo định hướng phù hợp, như hình 2 (bên trái). Trong vòng 2000 năm, định lý Pythagor được viết lại dưới dạng phương trình đại số: a2 + b2 = c2 với c là độ dài của cạnh huyền, a và b là độ dài của hai cạnh còn lại, và số mũ 2 có nghĩa là bình phương. Theo ngôn ngữ đại số, bình phương của một số là lấy số đó nhân với chính nó, và chúng ta đều biết diện tích của hình vuông bất kỳ thì bằng bình phương độ dài cạnh của nó. Do đó phương trình Pythagor, như tôi đặt lại tên cho nó, nói lên chính xác điều mà Euclid đã nói – ngoại trừ một số vấn đề tâm lý có liên quan với việc người cổ đại đã tư duy như thế nào về các khái niệm toán học căn bản như số và diện tích, những điều mà tôi sẽ không đề cập tới. Phương trình Pythagor có nhiều ứng dụng và hệ quả. Nó giúp bạn tính độ dài cạnh huyền một cách trực tiếp nhất, nếu biết trước hai cạnh còn lại. Chẳng hạn, giả sử rằng a = 3, b = 4. Khi đó c2 = a2 + b2 = 32 +42 = 9 + 16 = 25. Do đó, c = 5. Đó là tam giác 3–4–5 nổi tiếng, rất phổ biến trong toán học phổ thông, và là ví dụ đơn giản nhất về bộ ba số Pythagor: một danh sách bộ ba số nguyên thỏa mãn phương trình Pythagor. Ví dụ đơn giản tiếp theo, không phải ở dạng bội số như 6–8–10, là tam giác 5–12–13. Có vô hạn các bộ ba số như vậy, và người Hy Lạp biết cách xây dựng tất cả các bộ số như thế. Chúng vẫn còn giữ được sự quan tâm nhất định trong lý thuyết số, và ngay cả trong thập niên gần đây người ta vẫn còn phát hiện được các đặc điểm mới. Thay vì sử dụng a và b để tìm c, bạn có thể tiến hành một cách gián tiếp, và giải phương trình để thu được a nếu biết b và c. Bạn cũng có thể trả lời các câu hỏi tinh tế hơn, như bạn sẽ nhanh chóng thấy dưới đây. Hình 2 Trái: Dựng thêm các đường trong phép chứng minh định lý Pythagor của Euclid. Giữa và phải: Một cách chứng minh khác của định lý này. Các hình vuông bên ngoài của hai hình có diện tích bằng nhau và tất cả các hình tam giác sẫm màu cũng có diện tích bằng nhau. Do đó, hình vuông trắng nghiêng (hình giữa) có cùng diện tích với hai hình vuông trắng khác (hình phải) hợp lại. Tại sao định lý này lại đúng? Chứng minh của Euclid khá phức tạp, phải vẽ thêm tới 5 đường phụ như trên hình 2 (bên trái), và sử dụng vài định lý đã được chứng minh từ trước. Các học sinh nam thời Victoria (ngày đó có rất ít nữ sinh được học hình học) gọi định lý này một cách bất kính là cái quần lót của Pythagor. Một chứng minh đơn giản và trực quan, mặc dù không phải là hoàn hảo nhất, sử dụng bốn bản sao của một tam giác để liên hệ hai lời giải của cùng một trò chơi ghép hình toán học như hình 2 (bên phải). Bức vẽ hoàn toàn thuyết phục, nhưng để điền các chi tiết logic vào đòi hỏi ta phải suy nghĩ. Chẳng hạn, làm sao chúng ta biết hình nghiêng trắng ở giữa hình vẽ là hình vuông? Có bằng chứng như trêu ngươi rằng định lý Pythagor đã được biết đến rất lâu trước Pythagor. Một bảng đất sét2 của người Babylon hiện ở bảo tàng Anh quốc có ghi một bài toán và câu trả lời, dưới dạng chữ viết hình nêm mà ta có thể viết lại như sau: 4 là chiều dài và 5 là đường chéo. Chiều rộng là bao nhiêu? 4 nhân 4 là 16. 5 nhân 5 là 25. Lấy đi 16 từ 25 ta được 9. Phải lấy mấy nhân với mấy để thu được 9? 3 nhân 3 là 9. Vậy chiều rộng là 3. Như vậy rõ ràng là người Babylon đã biết về tam giác 3–4–5 một ngàn năm trước Pythagor. Một bảng khác, mang ký hiệu YBC 7289, thuộc bộ sưu tập Babylon của Đại học Yale, được trình bày trên hình 3 (bên trái). Trên đó có vẽ một hình vuông với cạnh 30, và các đường chéo được đánh dấu bằng hai dãy số: 1, 24, 51, 10 và 42, 25, 35. Người Babylon sử dụng hệ đếm cơ số 60, do đó dãy số đầu tiên thực sự có nghĩa là 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 và bằng 1,4142129 trong hệ cơ số 10. Lưu ý rằng căn bậc hai của 2 là 1,4142135. Dãy số thứ hai bằng 30 lần của số đó. Như vậy, người Babylon đã biết rằng đường chéo của hình vuông bằng cạnh của nó (30) nhân với căn bậc hai của 2. Vì 12 + 12 = 2, đây cũng là một ví dụ về định lý Pythagor. Hình 3 Trái: YBC 7289. Phải: Plimpton 322. Còn đáng chú ý hơn nữa, mặc dù cũng bí ẩn hơn, là bảng Plimpton 322 thuộc bộ sưu tập của George Arthur Plimpton ở Đại học Columbia, hình 3 (bên phải). Đó là bảng các số, với 4 cột và 15 hàng. Cột cuối cùng liệt kê số thứ tự các hàng từ 1 đến 15. Vào năm 1945, hai sử gia về khoa học, Otto Neugebauer và Abraham Sachs3 đã nhận thấy rằng trong mỗi hàng, bình phương của số (gọi là c) trong cột ba trừ đi bình phương của số (gọi là b) trong cột hai thì cũng cho ra bình phương của một số (gọi là a). Suy ra, a2 + b2 = c2, cho nên đây là bảng số ghi lại các bộ ba số Pythagor. Chí ít điều này là đúng nếu như bốn lỗi rành rành trong đó được sửa lại. Tuy nhiên, không có gì chắc chắn rằng Plimpton 322 có liên quan với các bộ ba số Pythagor, và nếu ngay cả khi có, thì nó có thể cũng chỉ là một danh sách tiện lợi các tam giác có diện tích dễ dàng tính được. Chúng có thể được tập hợp lại để đưa ra những xấp xỉ tốt cho các tam giác khác và các dạng hình học khác, có lẽ để phục vụ cho việc đo đạc đất đai. Một biểu tượng văn minh cổ đại khác là Ai Cập. Có một số bằng chứng cho thấy, khi còn trẻ, Pythagor đã từng tới thăm Ai Cập và một số người đã đưa ra giả thuyết rằng đó là nơi mà ông đã học được định lý của mình. Những ghi chép còn sót lại của nền toán học Ai Cập đã cung cấp những bằng chứng không đủ để hỗ trợ giả thuyết này, chúng quá ít và khá chuyên biệt. Thông tin được đề cập chủ yếu trong ngữ cảnh về các kim tự tháp, rằng người Ai Cập cổ đại đã dựng các góc vuông bằng cách sử dụng tam giác 3–4–5 tạo thành từ sợi dây với các nút thắt ở 12 khoảng bằng nhau, và các nhà khảo cổ đã tìm ra các dây loại đó. Tuy nhiên, không khẳng định nào mang nhiều ý nghĩa. Các kỹ thuật như thế không đáng tin cậy cho lắm, bởi vì các sợi dây có thể bị kéo dãn và các nút phải được đặt ở những vị trí cực kỳ chính xác. Sự chính xác trong việc xây dựng kim tự tháp ở Giza cao hơn tất cả những gì mà ta có thể thu được với một sợi dây như vậy. Các công cụ có tính thực tiễn hơn nhiều, chẳng hạn như chiếc thước eke của thợ mộc, cũng đã được tìm thấy. Các nhà Ai Cập học chuyên về toán học Ai Cập cổ đại không phát hiện thấy có ghi chép nào nói về việc sử dụng sợi dây 12 nút để tạo thành một tam giác 3–4–5 và không có ví dụ nào về việc sợi dây như thế tồn tại. Vì thế câu chuyện này, mặc dù có vẻ khá quyến rũ, gần như chắc chắn chỉ là một huyền thoại. Nếu có thể đưa Pythagor tới sống ở thế giới ngày nay thì hẳn ông sẽ thấy rất nhiều khác biệt. Vào thời ông, các kiến thức y học còn rất sơ đẳng, ánh sáng thu được từ nến và đuốc, và dạng truyền thông nhanh nhất là người đưa tin cưỡi ngựa hay đèn hiệu trên đỉnh đồi. Thế giới được biết đến bao gồm hầu hết châu Âu, châu Á, và châu Phi, chứ chưa có châu Mỹ, châu Úc, Bắc Cực và Nam Cực. Nhiều nền văn minh khác nhau cho rằng thế giới là dạng phẳng: một đĩa tròn hay một hình vuông được gióng theo bốn hướng chính. Bất chấp những phát minh của các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại, niềm tin này vẫn tồn tại cho đến tận thời kỳ trung cổ, dưới dạng các bản đồ orbis terrae, hình 4. Hình 4 Bản đồ thế giới được nhà lập bản đồ người Maroc al-Idrisi vẽ năm 1100 cho Vua Roger ở Sicily. Vậy ai là người đầu tiên đã nhận ra thế giới có dạng tròn? Theo Diogenes Laertius, một nhà chuyên viết tiểu sử người Hy Lạp ở thế kỷ thứ 3, thì đó là Pythagor. Trong cuốn sách Cuộc sống và quan điểm của các triết gia lỗi lạc (Lives and Opinions of Eminent Philosophers) của ông, một tuyển tập các châm ngôn và tiểu sử, và là nguồn lịch sử chính của chúng ta về đời sống riêng tư của các triết gia Hy Lạp cổ đại, ông viết: “Pythagor là người đầu tiên gọi Trái Đất là tròn, mặc dù Theophratus gán điều này cho Parmenides và Zeno gán cho Hesiod”. Người Hy Lạp cổ thường tuyên bố rằng các khám phá trọng đại thường do các bậc tổ tiên nổi tiếng của họ tìm ra, bất chấp thực tế lịch sử, vì thế chúng ta không thể vội vàng tin ngay vào tuyên bố đó của họ, nhưng có một điều không còn tranh cãi gì nữa, đó là từ thế kỷ thứ 5 TCN, các nhà triết học và toán học Hy Lạp danh tiếng đều xem Trái Đất có dạng tròn. Ý tưởng này có vẻ như được khởi nguồn vào thời Pythagor, và rất có thể nó xuất phát từ một trong số những môn đồ của ông. Hoặc cũng có thể đó là điều phổ biến, ai cũng biết, dựa trên những bằng chứng như cái bóng tròn của Trái Đất trên Mặt Trăng trong thời gian xảy ra nguyệt thực, hay sự tương tự với điều hiển nhiên là Mặt Trăng tròn. Mặc dù vậy, ngay cả với người Hy Lạp, Trái Đất vẫn là trung tâm của vũ trụ và mọi thứ khác đều quay xung quanh nó. Sự đạo hàng (dẫn đường trong hàng hải) được thực hiện bằng cách quan sát các vì sao và dựa theo đường bờ biển. Phương trình Pythagor đã làm thay đổi tất cả những điều này. Nó đưa loài người bước lên con đường đến với những hiểu biết hiện nay về địa lý trên hành tinh của chúng ta và vị trí của nó trong hệ Mặt Trời. Đó là bước quan trọng đầu tiên để hướng tới các kỹ thuật hình học cần thiết cho việc vẽ bản đồ, đạo hàng và đo đạc địa hình. Nó cũng cho ta chìa khóa để mở ra mối quan hệ cực kỳ quan trọng giữa hình học và đại số. Con đường phát triển này đi thẳng từ thời kỳ cổ đại tới thuyết tương đối rộng và vũ trụ học hiện đại (xem chương 13). Phương trình Pythagor mở ra những hướng khám phá hoàn toàn mới cho con người, cả về mặt nghĩa bóng lẫn nghĩa đen. Nó hé lộ hình dạng thế giới của chúng ta và vị trí của nó trong vũ trụ. Rất nhiều các tam giác mà ta gặp trong đời sống hằng ngày không phải là tam giác vuông, bởi vậy các ứng dụng trực tiếp của phương trình này có vẻ khá hạn chế. Tuy nhiên, bất kỳ tam giác nào cũng có thể cắt được thành hai tam giác vuông như hình 6 (trang 28), và bất kỳ hình đa giác nào cũng có thể cắt được thành các tam giác. Vì thế các tam giác vuông là then chốt: nó chứng tỏ rằng có mối liên hệ hữu ích giữa hình dạng của một tam giác và độ dài các cạnh của nó. Môn học được phát triển từ cái nhìn sâu sắc đó là lượng giác học: phép “tam giác đạc”. Tam giác vuông là cơ sở của lượng giác và đặc biệt nó xác định các hàm lượng giác cơ bản như sin, cos, tan. Những tên gọi này có nguồn gốc Ả Rập, và các hàm này và những hàm tiền thân của chúng đã trải qua quá trình phát triển phức tạp mới đưa đến phiên bản ngày nay. Tôi sẽ rút gọn lại và chỉ diễn giải kết cục thôi. Một tam giác vuông có, dĩ nhiên, một góc vuông, nhưng hai góc còn lại là tùy ý, dù vậy tổng của chúng bằng 90o. Liên quan tới một góc bất kỳ có ba hàm số, đó là những quy tắc để tính toán một con số liên quan. Với góc được ký hiệu là A trong hình 5, sử dụng các ký hiệu truyền thống a, b, c cho ba cạnh, ta định nghĩa sine (sin), cosine (cos), và tang (tan) như sau: , , Các đại lượng này chỉ phụ thuộc vào góc A, bởi vì tất cả các tam giác vuông với một góc A cho trước là đồng dạng, chỉ khác nhau về kích cỡ. c A a b Hình 5 Lượng giác học dựa trên một tam giác vuông. Hệ quả là, có thể lập bảng các giá trị của sin, cos, và tan cho một khoảng các góc, và sau đó sử dụng chúng để tính toán các đặc trưng của các tam giác vuông. Một ứng dụng tiêu biểu, đã có từ thời cổ đại, là tính toán độ cao của một cây cột chỉ sử dụng các phép đo được thực hiện tại mặt đất. Giả sử rằng, ở khoảng cách 100m, góc nhìn đỉnh cao nhất của cột là 22o. Lấy A = 22o trong hình 5, như vậy a là chiều cao của cột. Khi đó, theo định nghĩa của hàm tan, ta có: tan 22o = do đó a = 100tan22o Vì tan22o = 0,404, chính xác tới 3 chữ số sau dấu phẩy, ta suy ra a = 40,4m. C a c b Hình 6 Chia một tam giác thành hai tam giác vuông Một khi đã có các hàm lượng giác, ta có thể mở rộng định lý Pythagor cho trường hợp tam giác không có góc vuông. Hình 6 trình bày một tam giác với góc C và các cạnh a, b, c. Chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông như trên hình. Khi đó áp dụng định lý Pythagor hai lần (cho hai tam giác vuông) và sau một vài tính toán đại số4 ta được: a2 + b2 – 2abcosC = c2 một phương trình tương tự với công thức Pythagor, ngoại trừ số hạng –2abcosC. Định lý hàm số cos này có cùng vai trò như định lý Pythagor, đó là liên hệ c với a và b, nhưng bây giờ chúng ta phải thêm vào các thông tin về góc C. Định lý hàm số cos là một trong những rường cột của lượng giác học. Nếu ta biết hai cạnh của tam giác và góc xen giữa chúng, ta có thể sử dụng chúng để tính cạnh còn lại. Các phương trình khác cho phép ta tính được các góc còn lại. Tất cả các phương trình này đều có thể truy nguyên tận cùng về tam giác vuông. Được trang bị các phương trình lượng giác và dụng cụ đo lường thích hợp, chúng ta có thể tiến hành trắc lượng và lập nên các bản đồ chính xác. Đây không phải là ý tưởng gì mới lạ, nó đã xuất hiện trong Rhind Papyrus, một tập hợp các kỹ thuật toán học của người Ai Cập có niên đại từ năm 1650 TCN. Nhà triết học Hy Lạp Thales đã sử dụng hình học trong tam giác để đánh giá chiều cao các kim tự tháp ở Giza vào khoảng năm 650 TCN. Hero xứ Alexandria đã mô tả chính kỹ thuật đó vào năm 50 SCN. Vào khoảng năm 240 TCN, nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes đã tính toán kích thước Trái Đất dựa vào quan sát góc của Mặt Trời với mặt đất vào giữa trưa ở hai nơi khác nhau: Alexandria và Syene (bây giờ là Aswan), Ai Cập. Một hậu bối của các học giả Ả Rập đã bảo tồn và phát triển các phương pháp này và ứng dụng chúng đặc biệt cho các đo đạc thiên văn như đo kích thước của Trái Đất. Công việc trắc lượng được bắt đầu vào năm 1533 khi người vẽ bản đồ người Hà Lan Gemma Frisius giải thích cách sử dụng lượng giác để lập ra một bản đồ chính xác trong tác phẩm Cuốn sách liên quan đến vấn đề mô tả vị trí (Libellus de Locorum Describendorum Ratione). Tin đồn về phương pháp này lan truyền khắp châu Âu và đến tai nhà quý tộc, nhà thiên văn học người Đan Mạch Tycho Brahe. Năm 1579, Tycho đã sử dụng nó để vẽ một bản đồ chính xác của hòn đảo Hven, nơi đặt đài thiên văn của ông. Năm 1615, nhà toán học người Hà Lan Willebrord Snellius (Snel van Royen) đã phát triển phương pháp này, về cơ bản, thành dạng hiện đại của nó: tam giác đạc. Khu vực cần vẽ bản đồ được phủ bởi một mạng các tam giác. Bằng cách đo một chiều dài ban đầu một cách thật cẩn thận, và đo các góc, ta có thể tính được vị trí các góc của tam giác, và từ đó có thể tính được các đặc trưng thú vị khác bên trong chúng. Snellius đã tính được khoảng cách giữa hai thị trấn của Hà Lan, Alkmaar và Bergen op Zoom, khi sử dụng mạng 33 tam giác. Sở dĩ ông chọn hai thị trấn này là vì chúng nằm cùng trên một kinh tuyến, và cách nhau chính xác một độ cung. Biết được khoảng cách giữa chúng, ông tính được kích thước của Trái Đất, kết quả này được ông công bố trong cuốn Eratosthenes của Hà Lan (Eratosthenes Batavus) vào năm 1617. Nó đạt độ chính xác khoảng 4%. Ông cũng thay đổi các phương trình của lượng giác để phản ánh bản chất cầu của bề mặt Trái Đất, một bước quan trọng trong việc hướng tới sự đạo hàng hiệu quả hơn. Tam giác đạc là một phương pháp gián tiếp để tính toán khoảng cách nhờ sử dụng góc. Khi khảo sát một vùng đất phẳng, một khu công trình hay một quốc gia, vấn đề thực tiễn chính cần quan tâm là, đo góc thì dễ dàng hơn đo khoảng cách. Phép tam giác đạc cho phép ta đo rất ít khoảng cách nhưng đo rất nhiều góc, sau đó mọi thứ còn lại được suy ra từ các phép tính lượng giác. Phương pháp này bắt đầu từ việc kẻ một đường thẳng giữa hai điểm, gọi là đường cơ sở, và đo độ dài của nó một cách trực tiếp với độ chính xác rất cao. Sau đó chúng ta chọn một điểm nhô lên trong vùng đất mà có thể nhìn thấy từ cả hai đầu của đường cơ sở và đo các góc từ cả hai đầu của đường cơ sở này tới điểm đó. Bây giờ chúng ta có một tam giác và chúng ta biết một cạnh của nó và hai góc, những điều này cố định hình dạng và kích cỡ của tam giác. Sau đó, chúng ta có thể sử dụng lượng giác để tính toán hai cạnh còn lại. Thực tế, bây giờ chúng ta có thêm hai đường cơ sở nữa: các cạnh mới tính được của tam giác. Từ các cạnh đó, chúng ta có thể đo được các góc tới các điểm khác, ở xa hơn. Tiếp tục quá trình này để tạo nên một mạng các tam giác phủ kín cả vùng đất cần vẽ bản đồ. Bên trong mỗi tam giác, quan sát các góc tới tất cả các điểm đáng chú ý – tháp nhà thờ, ngã tư, vân vân. Cùng một mẹo lượng giác như trên, ta có thể xác định vị trí chính xác của chúng. Ở bước cuối cùng, sự chính xác của toàn bộ quá trình đo đạc có thể được kiểm tra bằng cách đo trực tiếp một trong những cạnh cuối cùng. Vào cuối thế kỷ 18, phép tam giác đạc được sử dụng thường xuyên trong công việc đo vẽ bản đồ. Bắt đầu từ 1783, Cục bản đồ Anh quốc phải mất 70 năm mới hoàn thành nhiệm vụ này. Bản đồ lượng giác lớn của Ấn Độ, trong đó bao gồm việc lập bản đồ của cả dãy Himalaya và xác định chiều cao của đỉnh Everest, được bắt đầu từ 1801. Đến thế kỷ 21, hầu hết các bản đồ cỡ lớn được thực hiện nhờ sử dụng các ảnh vệ tinh và GPS (hệ thống định vị toàn cầu). Phép tam giác đạc cụ thể không còn được sử dụng nữa. Nhưng nó vẫn còn đó, ẩn đằng sau các phương pháp được sử dụng để tính toán vị trí từ dữ liệu vệ tinh. Định lý Pythagor cũng đóng vai trò sống còn đối với việc phát minh ra hình học giải tích. Đây là một cách để biểu diễn các hình hình học bằng các con số, nhờ sử dụng hệ thống các đường, được gọi là các trục tọa độ, trên đó đánh dấu bởi các con số. Hệ thống được biết đến nhiều nhất có lẽ là hệ tọa độ Descartes trong mặt phẳng, tên gọi này là nhằm vinh danh nhà toán học, triết học người Pháp René Descartes, một trong những người tiên phong vĩ đại trong lĩnh vực này – mặc dầu ông không phải là người đầu tiên. Hãy vẽ hai đường thẳng: một đường nằm ngang, được đánh dấu là x, và một đường thẳng đứng, được đánh dấu là y. Các đường này gọi là các trục tọa độ, và giao điểm của chúng gọi là gốc tọa độ. Đánh dấu các điểm dọc trên hai trục dựa theo khoảng cách của chúng đến gốc tọa độ, giống như những vạch trên chiếc thước kẻ vậy: các số dương nằm ở bên phải (trên trục x) và phía trên (trên trục y), số âm nằm ở bên trái (trên trục x) và phía dưới (trên trục y). Bây giờ chúng ta có thể xác định bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng theo hai số x và y, gọi là các tọa độ của nó, bằng cách nối điểm đó với các trục như trên hình 7. Cặp số (x, y) hoàn toàn xác định vị trí của điểm đó. dương y x (x,y) âm dương Hình 7 Hai trục và tọa độ của một điểm. Các nhà toán học vĩ đại của châu Âu thế kỷ 17 đã nhận ra rằng, trong phạm vi này, một đường thẳng hay đường cong trong mặt phẳng sẽ tương ứng với tập các nghiệm (x, y) của một phương trình nào đó với biến x và y. Chẳng hạn, phương trình y = x xác định một đường chéo từ bên trái phía dưới tới bên phải phía trên, bởi vì (x, y) nằm trên đường thẳng đó nếu và chỉ nếu y = x. Tổng quát, một phương trình tuyến tính – có dạng ax + by = c với a, b, c là các hằng số – tương ứng với một đường thẳng, và ngược lại. Vậy phương trình nào tương ứng với một đường tròn? Đó chính là nơi phương trình Pythagor xuất hiện. Nó ngụ ý rằng khoảng cách r từ gốc tọa độ tới điểm (x, y) thỏa mãn phương trình: r2 = x2 + y2 và chúng ta có thể giải phương trình này theo r để thu được: Vì tập tất cả các điểm nằm cách gốc tọa độ một khoảng r không đổi chính là đường tròn bán kính r với tâm nằm ở gốc tọa độ, do đó chính phương trình này xác định một đường tròn. Tổng quát hơn, đường tròn bán kính r với tâm ở (a, b) tương ứng với phương trình (x – a)2 + (y – b)2 = r2 và cũng chính phương trình đó xác định khoảng cách r giữa 2 điểm (x, y) và (a, b). Do đó định lý Pythagor cho ta biết hai điều quan trọng: các phương trình nào xác định đường tròn, và làm thế nào tính được khoảng cách khi biết các tọa độ. Bản thân định lý Pythagor đã là rất quan trọng, nhưng nó thậm chí còn phát huy tầm ảnh hưởng mạnh hơn thông qua những tổng quát hóa của mình. Ở đây tôi sẽ chỉ tiếp tục theo đuổi một nhánh của các phát triển sau này, để dẫn tới kết nối với thuyết tương đối mà chúng ta sẽ trở lại ở chương 13. Phép chứng minh định lý Pythagor trong bộ Cơ sở của Euclid đã đặt nó vào trong địa hạt của hình học Euclid một cách vững chắc. Đã có thời gian cụm từ đó có thể thay thế chỉ bằng từ “hình học”, bởi vì khi đó người ta coi hình học Euclid là hình học đích thực của không gian vật lý. Đó là hiển nhiên, giống như hầu hết các điều được coi là hiển nhiên, nhưng rồi hóa ra lại là sai lầm. Euclid rút ra tất cả các định lý của ông từ một số lượng nhỏ các giả thiết cơ bản, mà ông phân loại chúng như là các định nghĩa, tiên đề và các khái niệm chung. Công trình của ông hết sức hài hòa, trực quan và cô đọng, chỉ với một ngoại lệ, đó là tiên đề thứ năm của ông: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo thành các góc trong cùng phía nhỏ hơn hai lần góc vuông, thì hai đường thẳng đó, nếu được kéo ra vô hạn, sẽ cắt nhau ở phía mà tổng các góc là nhỏ hơn hai vuông”. Hơi dài dòng một chút, hình 8 có thể sẽ có ích đối với bạn. nếu tổng hai góc này nhỏ hơn 1800 thì hai đường này sẽ cắt nhau ở đây Hình 8 Tiên đề đường thẳng song song của Euclid. Trong hơn một ngàn năm, các nhà toán học đã tìm cách sửa chữa cái mà họ coi là một khuyết điểm. Họ không chỉ tìm kiếm điều gì đó đơn giản hơn và trực quan hơn mà vẫn đạt được cùng kết quả, mặc dù một vài trong số họ đã tìm thấy những thứ như thế. Mà họ muốn tìm cách từ bỏ hoàn toàn tiên đề vụng về này bằng cách chứng minh nó. Sau một vài thế kỷ, cuối cùng các nhà toán học đã nhận ra rằng có những hình học khác, “phi Euclid”, nghĩa là chứng minh đó không tồn tại. Các loại hình học mới này cũng nhất quán về mặt logic như hình học Euclid, và chúng cũng tuân theo tất cả các tiên đề của Euclid ngoại trừ tiên đề đường thẳng song song. Chúng có thể được diễn giải như hình học của các đường trắc địa – đường ngắn nhất – trên các mặt cong, hình 9. Điều này đã thu hút sự chú ý đến ý nghĩa của độ cong. Mặt phẳng của Euclid là phẳng, có độ cong bằng 0. Một mặt cầu có độ cong như nhau ở mọi điểm và dương: ở lân cận bất kỳ điểm nào trông cũng giống như một mái vòm. (Một điểm kỹ thuật tinh tế: các đường tròn lớn gặp nhau ở hai điểm, chứ không phải một điểm như các tiên đề của Euclid đòi hỏi, như vậy hình học cầu được sửa đổi bằng cách đồng nhất các điểm đối cực trên mặt cầu – coi chúng như một. Mặt cong bây giờ trở thành cái gọi là mặt phẳng xạ ảnh và hình học trên đó được gọi là hình học elliptic.) Cũng tồn tại các mặt có độ cong âm không đổi: ở lân cận bất cứ điểm nào trông cũng giống như chiếc yên ngựa. Mặt như thế được gọi là mặt hyperbolic, và nó có thể biểu diễn nôm na bằng nhiều cách. Có lẽ cách đơn giản nhất là xem nó như phần trong của một đĩa tròn, và định nghĩa “đường thẳng” là một cung tròn cắt biên của đĩa dưới một góc vuông (Hình 10). Hình 9 Độ cong của một mặt. Trái: độ cong 0; Giữa: độ cong dương; Phải: độ cong âm. P L Hình 10 Mô hình đĩa của mặt hyperbolic. Cả ba đường thẳng đi qua P đều không cắt đường L. Dường như trong khi hình học phẳng có thể là “phi Euclid”, thì điều đó lại là bất khả đối với hình học của không gian. Bạn có thể bẻ cong một mặt bằng cách đẩy nó vào chiều thứ ba, nhưng bạn không thể bẻ cong không gian bởi vì không còn chiều dư nào để đẩy vào nữa. Tuy nhiên, đây là một quan điểm ngây thơ. Chẳng hạn, chúng ta có thể mô hình hóa không gian hyperbolic ba chiều bằng cách sử dụng phần trong của mặt cầu. Các đường thẳng được mô hình hóa bởi các cung tròn cắt biên dưới một góc vuông, còn mặt phẳng là các phần của những mặt cầu tạo với biên một góc vuông. Hình học này là ba chiều, thỏa mãn tất cả các tiên đề của Euclid ngoại trừ tiên đề thứ năm, và theo nghĩa nào đó có thể khẳng định nó xác định một không gian cong ba chiều. Nhưng nó không cong xung quanh bất kỳ thứ gì, hay cong theo một hướng mới nào. Nó chỉ cong mà thôi. Với tất cả các hình học mới sẵn có này, một quan điểm mới bắt đầu chiếm vị trí trung tâm – nhưng là trong vật lý chứ không phải toán học. Vì không gian không nhất thiết phải là Euclid, vậy nó có hình dạng như thế nào? Các nhà khoa học nhận ra rằng thực tế họ không hề biết. Năm 1813, Gauss, khi biết rằng trong một không gian cong tổng các góc trong của một tam giác không bằng 180o, đã đo các góc của một tam giác tạo thành từ ba đỉnh núi Brocken, Hohehagen và Inselberg. Ông thu được một tổng lớn hơn 180o là 15 giây cung. Nếu kết quả này chính xác, nó ngụ ý rằng không gian (chí ít là trong vùng đó) có độ cong dương. Nhưng bạn sẽ cần một tam giác lớn hơn rất nhiều và các công cụ đo chính xác hơn nữa để loại bỏ các sai số do quan sát. Vì vậy những quan sát của Gauss chưa đủ thuyết phục. Không gian vẫn có thể là Euclid, và cũng có thể không. Nhận xét của tôi rằng không gian hyperbolic ba chiều “chỉ cong thôi” phụ thuộc vào quan điểm mới về độ cong, cũng khởi nguồn từ Gauss. Mặt cầu có độ cong dương không đổi, còn mặt phẳng hyperbolic có độ cong âm không đổi. Nhưng độ cong của một mặt không nhất thiết phải là hằng số. Nó có thể cong rất mạnh ở chỗ này, nhưng cong ít hơn ở những chỗ khác. Thực tế, nó có thể có độ cong dương ở một số vùng, nhưng lại âm ở những vùng khác. Độ cong có thể biến thiên liên tục từ vị trí này tới vị trí khác. Nếu một mặt trông giống như khúc xương chó thì hai bầu tròn ở hai đầu có độ cong dương nhưng phần nối chúng lại có độ cong âm. Gauss đã tìm kiếm một công thức để đặc trưng cho độ cong của một mặt ở một điểm bất kỳ. Khi ông tìm ra và công bố nó trong cuốn Nghiên cứu tổng quan về các mặt cong (Disquisitiones Generales Circa Superficies Curva) vào năm 1828, ông đã đặt tên nó là “định lý đáng chú ý”. Vậy điều gì là đáng chú ý ở đây? Gauss đã xuất phát từ quan điểm ngây thơ về độ cong: nhúng mặt đó vào không gian ba chiều và tính toán xem nó bị cong như thế nào. Nhưng kết quả tính toán chỉ cho ông thấy rằng không gian xung quanh không có ảnh hưởng gì cả. Nó không có mặt trong công thức. Ông viết: “Công thức... tự bản thân nó dẫn tới định lý đáng chú ý: Nếu một mặt cong được phát triển trên bất kỳ mặt cong nào khác, thì độ cong tại mỗi điểm đều không thay đổi.” Chữ “được phát triển” ở đây theo ý ông có nghĩa là “được cuốn quanh”. Hãy lấy một tờ giấy phẳng, độ cong bằng 0. Bây giờ cuốn nó quanh một cái chai. Nếu cái chai là hình trụ thì tờ giấy sẽ cuốn hoàn hảo quanh đó mà không bị nhăn, kéo căng hay bị xé rách. Nhìn bên ngoài thì nó bị uốn cong, nhưng đây là sự uốn cong tầm thường, bởi vì nó không làm thay đổi dạng hình học của tờ giấy theo bất kỳ cách nào. Nó chỉ làm thay đổi cách liên hệ của tờ giấy với không gian xung quanh. Vẽ một tam giác vuông trên tờ giấy phẳng, đo các cạnh của nó, kiểm tra định lý Pythagor. Bây giờ cuốn hình vẽ quanh cái chai. Độ dài các cạnh được đo dọc theo tờ giấy không thay đổi. Định lý Pythagor vẫn còn đúng. Tuy nhiên, mặt cầu có độ cong khác 0. Vì vậy không thể cuốn khít một tờ giấy quanh nó mà không phải gấp, phải kéo dãn ra, hay làm rách giấy. Hình học trên mặt cầu khác biệt một cách căn bản với hình học phẳng. Ví dụ, điểm giao giữa xích đạo của Trái Đất với các kinh tuyến 00 và 900 nối tới điểm cực bắc của nó xác định một tam giác có ba góc vuông và ba cạnh bằng nhau (giả sử rằng Trái Đất là hình cầu). Như vậy định lý Pythagor không còn đúng nữa. Ngày nay chúng ta gọi độ cong theo nghĩa nội tại của nó là “độ cong Gauss”. Sử dụng một sự tương tự sống động, Gauss đã giải thích vì sao nó lại quan trọng, và lời giải thích này vẫn được dùng đến ngày nay. Hãy tưởng tượng một con kiến bị giới hạn trên mặt đang xét. Làm cách nào con kiến có thể phát hiện ra bề mặt đó có bị cong hay không? Nó không thể bước ra bên ngoài bề mặt để xem mặt đó có cong hay không. Nhưng nó có thể sử dụng công thức của Gauss để thực hiện các đo đạc phù hợp chỉ thuần túy trên bề mặt đó. Chúng ta có cùng vị thế như con kiến khi cố gắng tìm ra dạng hình học thực sự cho không gian của mình. Chúng ta không thể bước ra bên ngoài không gian đó. Tuy nhiên, trước khi có thể tranh đua đo đạc với con kiến, chúng ta cần có một công thức tính độ cong của một không gian ba chiều. Gauss không có nó. Nhưng một trong các học trò của ông, đầy táo bạo, tuyên bố rằng anh đã có trong tay công thức đó. Người học trò đó là Georg Bernhard Riemann, và anh ta đang cố gắng giành được học vị mà các đại học ở Đức gọi là Habilitation, bước tiếp sau của học vị tiến sĩ. Vào thời của Riemann, có được học vị đó có nghĩa là bạn có thể thu phí của sinh viên cho bài giảng của bạn. Từ đó cho tới bây giờ, để nhận được Habilitation đòi hỏi phải trình bày nghiên cứu của bạn trong một bài giảng đại chúng đồng thời cũng là một bài thi. Ứng viên sẽ đưa ra vài chủ đề và người chấm thi, trong trường hợp của Riemann là Gauss, sẽ chọn một trong số đó. Riemann, một tài năng toán học lỗi lạc, đã liệt kê ra vài chủ đề chính thống mà ông biết là đã lạc hậu, nhưng như một tia sáng vụt lóe trong tâm trí, ông cũng đề xuất Về những giả thuyết trong cơ sở của hình học (On the hypotheses which lies at the foundation of geometry). Gauss đã quan tâm tới chủ đề này từ lâu và lẽ tự nhiên, ông đã chọn nó cho bài thi của Riemann. Trong một thoáng, Riemann hối hận vì đã đưa ra một chủ đề đầy thử thách như vậy. Ông vốn rất không thích nói ở chỗ đông người, vả lại ông cũng chưa suy nghĩ sâu sắc, chi tiết về mặt toán học cho đề tài này. Ông mới chỉ có vài ý tưởng mơ hồ, mặc dù hấp dẫn, về không gian bị uốn cong, bất kể với số chiều thế nào. Những gì Gauss đã làm cho trường hợp hai chiều, với định lý đáng chú ý của ông, thì Riemann cũng muốn làm như thế cho số chiều bất kỳ. Và bây giờ ông phải trình bày, và phải làm nhanh. Bài giảng hiện ra lờ mờ. Áp lực gần như làm cho ông suy nhược về tinh thần, và công việc hằng ngày của ông là trợ tá cho Wilhelm Weber, một đồng nghiệp của Gauss, với các thí nghiệm về điện xem ra chẳng giúp được gì cho ông lúc này. Nhưng khoan, có thể là có đấy, vì trong khi Riemann nghĩ về mối liên hệ giữa lực điện và lực từ trong công việc hằng ngày, ông nhận ra rằng lực có thể liên quan tới độ cong. Lần ngược trở lại, ông có thể sử dụng toán học của các lực để định nghĩa độ cong, như bài thi của ông đòi hỏi. Năm 1854, Riemann trình bày bài giảng của ông và không hề ngạc nhiên, nó đã được chào đón một cách nồng nhiệt. Ông bắt đầu với việc định nghĩa một “đa tạp” (manifold). Một cách hình thức, một “đa tạp” được xác định bởi một hệ rất nhiều các tọa độ, cùng với một công thức để xác định khoảng cách giữa các điểm lân cận, bây giờ được gọi là metric Riemann. Nói một cách đơn giản, một đa tạp là một không gian đa chiều với tất cả những tính chất đẹp đẽ của nó. Đỉnh cao trong bài giảng của Riemann là một công thức tổng quát cho định lý đáng chú ý của Gauss: nó định nghĩa độ cong của đa tạp chỉ theo metric của đa tạp đó. Và tại đây câu chuyện trở thành một vòng tròn khép kín giống như con rắn Orobouros nuốt chính cái đuôi của nó, bởi vì metric này chứa đựng những vết tích rõ ràng của định lý Pythagor. Ví dụ, giả sử ta có một đa tạp ba chiều. Tọa độ của một điểm trên đó là (x, y, z) và (x + dx, y + dy, z + dz) là tọa độ một điểm lân cận, với d có nghĩa là “phần rất nhỏ” (chẳng hạn, dx là “phần rất nhỏ của x”). Nếu không gian là Euclid, với độ cong bằng 0, thì khoảng cách ds giữa hai điểm thỏa mãn phương trình: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 và đây chẳng qua chỉ là định lý Pythagor giới hạn cho các điểm gần nhau. Nếu không gian bị uốn cong, với độ cong biến thiên từ điểm này tới điểm khác, công thức tương tự, tức metric, sẽ có dạng sau: ds2 = Xdx2 + Ydy2 + Zdz2 + 2Udxdy + 2Vdxdz + 2Wdydz Ở đây X, Y, Z, U, V, W có thể phụ thuộc vào x, y và z. Công thức này trông có vẻ hơi dài dòng, nhưng giống như định lý Pythagor, nó bao gồm tổng các bình phương (và các tích đại loại như dxdy) cộng với vài đại lượng nhỏ lẻ nữa. Các số 2 xuất hiện bởi vì công thức trên có thể gói gọn về dạng bảng 3×3 hay ma trận: với X, Y, Z xuất hiện một lần nhưng U, V, W xuất hiện hai lần. Bảng này đối xứng theo đường chéo; theo ngôn ngữ của hình học vi phân thì nó là một tensor đối xứng. Sự tổng quát hóa của Riemann cho định lý đáng chú ý của Gauss là một công thức cho độ cong của đa tạp, tại bất kỳ điểm nào cho trước, biểu diễn theo tensor này. Trong trường hợp đặc biệt khi định lý Pythagor áp dụng được, độ cong trở thành 0. Do đó, sự hữu hiệu của phương trình Pythagor chính là một phép thử để kiểm tra sự vắng mặt của độ cong. Giống như công thức của Gauss, biểu thức độ cong của Riemann chỉ phụ thuộc vào metric của đa tạp. Một con kiến bị cầm tù trên đa tạp có thể biết được metric bằng cách đo đạc các tam giác rất nhỏ và tính toán độ cong. Độ cong là một tính chất nội tại của một đa tạp, độc lập với không gian xung quanh. Thật vậy, metric đã xác định hình học rồi, vì thế không cần tới không gian xung quanh nữa. Đặc biệt, người-kiến chúng ta có thể đặt câu hỏi về hình dạng của vũ trụ bao la và đầy bí ẩn này, và hy vọng tìm ra câu trả lời bằng cách thực hiện các quan sát mà không cần phải bước ra ngoài vũ trụ. Quả là tin tức tốt lành, vì chúng ta không thể làm được điều đó. Riemann khám phá ra công thức của mình bằng cách sử dụng lực để định nghĩa hình học. Năm mươi năm sau, Einstein đã đảo ngược ý tưởng của Riemann, ông sử dụng hình học để định nghĩa lực hấp dẫn trong thuyết tương đối rộng, và khơi nguồn các ý tưởng mới về hình dạng của vũ trụ (xem chương 13). Đây là một sự tiến triển đáng ngạc nhiên của các sự kiện. Phương trình Pythagor xuất hiện lần đầu tiên cách đây khoảng 3500 năm để đo đạc đất đai. Nó được mở rộng cho trường hợp tam giác không có góc vuông và tam giác trên mặt cầu, cho phép chúng ta vẽ bản đồ các lục địa và đo đạc Trái Đất. Và một sự tổng quát hóa đáng chú ý cho phép chúng ta tìm hiểu hình dạng của vũ trụ. Các ý tưởng lớn thường có những khởi đầu nhỏ bé như thế đó. 2 Rút ngắn các thủ tục tính toán Logarit nhân cộng log xy = log x + log y logarit Phương trình này cho ta biết điều gì? Cách nhân hai số bằng cách cộng hai số khác có liên quan. Tại sao nó lại quan trọng? Vì phép cộng đơn giản hơn phép nhân nhiều. Nó đã dẫn tới những gì? Các phương pháp hiệu quả hơn trong việc tính toán các hiện tượng thiên văn như thiên thực và quỹ đạo các hành tinh. Các phương pháp tính nhanh trong tính toán khoa học. Thước logarit: người bạn trung thành của các kỹ sư. Phương pháp tính độ phân rã phóng xạ và psychophysics (tâm vật lý) của tri giác con người. Những con số bắt nguồn từ các vấn đề thực tiễn: ghi chép tài sản, như số lượng động vật hay đất đai, và các giao dịch tài chính như thu thuế và kế toán. Bên cạnh các thẻ gỗ khắc các vạch đơn giản như ||||, các ký hiệu số cổ xưa nhất được biết đến hiện nay đã được tìm thấy bên ngoài các vỏ bao bằng đất sét. Năm 8000 TCN, các nhân viên kế toán ở Mesopotamia* đã sử dụng các thẻ nhỏ bằng đất sét với nhiều hình dạng khác nhau để lưu giữ thông tin. Nhà khảo cổ Denise Schmandt-Besserat nhận ra rằng mỗi hình dạng biểu diễn một mặt hàng cơ bản: hình cầu cho thóc lúa, hình trứng cho lọ dầu, v.v. Để bảo mật, các thẻ được niêm phong bằng bao đất sét. Nhưng sẽ thật phiền toái nếu phải phá vỡ bao bì đất sét để xem có bao nhiêu thẻ ở bên trong, vì thế các nhân viên kế toán thời cổ đại vạch các ký hiệu bên ngoài để chỉ số lượng bên trong. Cuối cùng họ nhận ra rằng một khi đã có các ký hiệu này, họ có thể loại bỏ các thẻ. Kết quả là xuất hiện một chuỗi ký hiệu các con số – nguồn gốc của tất cả các ký hiệu số sau này, và có thể của cả chữ viết nữa. Xuất hiện cùng với các con số là số học: các phương pháp cộng, trừ, nhân và chia các số. Những dụng cụ như bàn tính đã được sử dụng để tính tổng, sau đó kết quả được ghi lại * Lưỡng Hà, thuộc lưu vực sông Tigris và Euphrates, ngày nay là Iraq, một phần đông bắc của Syria, đông nam Thổ Nhĩ Kỳ và tây bắc của Iran – ND dưới dạng ký hiệu. Theo thời gian, con người đã tìm ra những phương thức sử dụng các ký hiệu để tiến hành tính toán mà không cần sự trợ giúp cơ học, mặc dù bàn tính vẫn được sử dụng rộng rãi ở nhiều nơi trên thế giới, trong khi máy tính tay điện tử đã thay thế cho những tính toán bằng bút và giấy ở hầu hết các nước khác. Số học cũng đã chứng minh tầm quan trọng của mình theo nhiều cách khác, đặc biệt là trong thiên văn và trắc địa. Khi những đường nét cơ bản của khoa học vật lý bắt đầu hình thành, các nhà khoa học trẻ cần thực hiện những tính toán, bằng tay, phức tạp hơn rất nhiều. Thông thường, công việc đó lấy đi của họ rất nhiều thời gian, có khi là nhiều tháng hoặc nhiều năm, cản trở những hoạt động sáng tạo hơn của họ. Rốt cục, việc đẩy nhanh tốc độ của quá trình tính toán đã trở nên cần thiết. Rất nhiều các máy tính cơ học đã được phát minh, tuy nhiên bước đột phá quan trọng nhất vẫn là về nhận thức: suy nghĩ trước, tính toán sau. Sử dụng toán học một cách thông minh, bạn có thể biến các tính toán phức tạp trở nên dễ dàng hơn nhiều. Những ngành toán học mới nhanh chóng phát triển một cách tự thân, và cuối cùng đã có được những hệ quả sâu sắc cả về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn. Ngày nay, những ý tưởng đầu tiên đó đã trở thành công cụ không thể thay thế xuyên suốt khoa học, thậm chí cả trong tâm lý học và các khoa học nhân văn. Chúng được sử dụng rộng rãi cho tới tận những năm 1980, khi các máy vi tính biến chúng thành lỗi thời đối với các mục đích thực hành, dù vậy, tầm quan trọng của chúng trong toán học và khoa học vẫn tiếp tục phát triển. Ý tưởng trung tâm là một kỹ thuật toán học gọi là logarit. Người sáng tạo ra nó là một điền chủ người Scotland, nhưng phải cần tới một giáo sư hình học rất quan tâm tới hàng hải và thiên văn học, thì mới thay thế ý tưởng xuất sắc nhưng còn nhiều sai sót của vị điền chủ kia bằng một ý tưởng tốt hơn nhiều. Vào tháng 3 năm 1615, Henry Briggs đã viết một lá thư cho James Ussher, ghi lại một thời khắc quan trọng của lịch sử khoa học: Napper, huân tước Markinston, đã đặt vào đầu và tay tôi một công trình với ý tưởng mới và đáng ngưỡng mộ của ông về logarit. Tôi hy vọng có thể gặp ông ấy vào hè này, cầu Chúa phù hộ, vì tôi chưa từng gặp quyển sách nào làm tôi hài lòng hay ngạc nhiên hơn. Briggs là giáo sư hình học đầu tiên ở đại học Gresham, London, và “Napper, huân tước Markinston” là John Napier, vị huân tước đời thứ 8 của Merchiston, nay là một phần của thành phố Edinburgh ở Scotland. Napier có vẻ hơi bí ẩn; ông quan tâm nhiều tới thần học, chủ yếu tập trung vào sách Khải Huyền. Đối với ông, công trình quan trọng nhất của mình là Một khám phá minh bạch về toàn bộ sách Khải Huyền của thánh John (A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St John) – cuốn sách đã đưa ông tới dự đoán rằng ngày tàn của thế giới là vào năm 1688 hay 1700. Ông được cho là có dính líu tới cả thuật giả kim lẫn thuật gọi hồn, và những mối quan tâm của ông đối với thế giới huyền bí đã khiến ông được biết đến như một phù thủy. Theo lời đồn, ông luôn mang một con nhện đen trong một cái hộp nhỏ tới mọi nơi mà ông đến, và ông cũng có một “người thân”, hay người bạn ma thuật: một con gà trống tơ đen. Theo Mark Napier, một hậu duệ của ông, ông đã dùng nó để bắt những người giúp việc hay trộm cắp. Ông giam những kẻ tình nghi vào một căn phòng cùng với con gà tơ đen, lệnh cho họ vuốt ve nó và nói với họ rằng con chim ma thuật của ông sẽ phát hiện chính xác kẻ trộm. Nhưng hoạt động thần bí của Napier có cốt lõi duy lý, mà trong ví dụ cụ thể này, thể hiện ở chỗ ông rắc trên con gà một lớp bồ hóng mỏng. Một người giúp việc vô tội sẽ đủ tự tin để vuốt ve con gà như được chỉ dẫn và sẽ có dấu bồ hóng trên tay. Trong khi đó, một kẻ phạm tội, do sợ hãi bị phát hiện, sẽ tránh đụng vào con gà. Và vậy là, trớ trêu thay, bàn tay sạch sẽ lại chứng minh mình phạm tội. Napier đã dành nhiều thời gian cho toán học, đặc biệt là những phương pháp đẩy nhanh tốc độ các phép tính số học phức tạp. Một phát minh của ông là bảng tính Napier, một tập hợp gồm 10 que gỗ có đánh dấu các số, dùng để đơn giản hóa quá trình thực hiện các phép nhân dài. Một khám phá thậm chí còn tuyệt vời hơn đã mang lại cho ông danh tiếng và tạo ra một cuộc cách mạng trong khoa học: không phải cuốn sách của ông về Khải Huyền, như ông đã hy vọng, mà là cuốn Mô tả về sức mạnh kỳ diệu của logarit (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) xuất bản năm 1614. Lời nói đầu của nó cho thấy Napier biết chính xác cái mà ông đã tạo ra và nó hữu ích cho việc gì.1 Thưa các nhà toán học đồng nghiệp, trong việc thực hành nghệ thuật toán học, không có gì tẻ nhạt hơn sự chậm trễ trong buồn tẻ khi thực hiện các phép nhân chia dài lê thê, rồi tìm các tỉ số, khai căn bậc hai và bậc ba, và... rất nhiều lỗi có thể phát sinh. Vì vậy, tôi đã vắt óc suy nghĩ, với một kỹ thuật chắc chắn và nhanh chóng, tôi có thể cải thiện những khó khăn nói trên. Cuối cùng, sau khi suy nghĩ rất nhiều, tôi đã tìm ra một phương pháp đáng ngạc nhiên để rút ngắn các thủ tục tính toán… Và tôi hân hạnh giới thiệu phương pháp này để các nhà toán học cùng sử dụng. Khoảnh khắc mà Briggs nghe về logarit, ông như bị bỏ bùa. Cũng như nhiều nhà toán học cùng thời, ông đã mất rất nhiều thời gian để thực hiện các tính toán thiên văn. Chúng ta biết được điều này nhờ một lá thư khác mà ông gửi cho Ussher, đề năm 1610, có nhắc tới những tính toán thiên thực, và do Briggs trước đó đã xuất bản hai cuốn sách về các bảng số, một liên quan tới Bắc Cực và một tới hàng hải. Tất cả các công trình này đều đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ về số học và lượng giác phức tạp. Phát minh của Napier đã tiết kiệm được rất nhiều thời gian phải mất cho các công việc tẻ nhạt đó. Nhưng càng đọc tác phẩm của Napier, Briggs càng tin chắc rằng mặc dù chiến lược của Napier thật tuyệt vời, nhưng ông lại có chiến thuật sai lầm. Briggs đã đưa ra một cải tiến đơn giản nhưng hiệu quả và ông đã thực hiện một chuyến hành trình dài tới Scotland. Khi gặp nhau, “hai người đã nhìn nhau đầy ngưỡng mộ trong gần mười lăm phút trước khi mở lời”2. Điều gì đã tạo nên sự ngưỡng mộ to lớn đó? Một nhận xét rất quan trọng và hiển nhiên với bất kỳ ai đã từng học số học, đó là phép cộng thì tương đối dễ, nhưng phép nhân thì không. Phép nhân đòi hỏi nhiều thao tác số học hơn phép cộng. Chẳng hạn, việc cộng hai số có mười chữ số bao gồm mười bước đơn giản, nhưng để nhân chúng thì đòi hỏi tới 200 bước. Với các máy tính hiện đại, vấn đề này vẫn còn quan trọng, nhưng giờ đây chúng ẩn mình đằng sau các thuật toán được sử dụng cho phép nhân. Nhưng trong thời kỳ của Napier, tất cả đều phải làm bằng tay. Không phải là rất tuyệt vời hay sao khi có một thủ pháp toán học cho phép chuyển đổi các phép nhân khó chịu thành phép cộng nhanh và dễ dàng hơn? Nghe ra quá hay đến mức không thật, nhưng Napier nhận thấy là có thể thực hiện được. Thủ pháp ở đây là làm việc với lũy thừa của một số cố định. Trong đại số, lũy thừa của một biến x được biểu thị bởi một số nhỏ trên đầu bên phải. Tức là xx = x2, xxx = x3, xxxx = x4,… và cứ tiếp tục như thế. Ở đây như thường lệ trong đại số, đặt hai chữ cái cạnh nhau nghĩa là thực hiện phép nhân giữa chúng. Do đó, chẳng hạn 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000. Bạn không nhất thiết phải mày mò lâu với các biểu thức như thế trước khi khám phá ra một cách đơn giản để tính toán, chẳng hạn 104 × 103. Chỉ cần viết: 10000 × 1000 = (10 × 10 × 10 × 10) × (10 × 10 × 10) = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000.000 Số chữ số 0 trong kết quả là 7, bằng với 4 + 3. Bước đầu tiên trong phép tính này là chỉ ra tại sao nó lại là 4 + 3: chúng ta gắn 4 số 10 và 3 số 10 cạnh nhau. Một cách ngắn gọn: 104 × 103 = 104+3 = 107 Hoàn toàn tương tự, bất kể giá trị của x là bao nhiêu đi nữa, nếu ta nhân lũy thừa a và lũy thừa b của nó với nhau, với a và b là số nguyên, thì ta sẽ thu được lũy thừa a + b: xaxb = xa+b Đây có vẻ như một công thức vô thưởng vô phạt, nhưng vế trái của nó là phép nhân hai đại lượng với nhau, trong khi ở vế phải, bước chính là cộng a và b, rõ ràng là đơn giản hơn. Giả sử bạn muốn nhân 2,67 với 3,51. Bằng một phép nhân dài dòng, bạn sẽ nhận được 9,3717, chính xác tới hai chữ số thập phân là 9,37. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thử dùng công thức ở trên? Mẹo ở đây nằm trong cách chọn x. Nếu ta lấy x = 1,001, khi đó sau một ít tính toán số học ta thấy: (1,001)983 = 2,67 (1,001)1256 = 3,51 chính xác tới hai chữ số thập phân. Công thức trên nói với chúng ta rằng 2,67 × 3,51 bằng (1,001)1256+983 = (1,001)2239 kết quả chính xác tới 2 chữ số thập phân chính là 9,37. Điểm cốt lõi của phép tính này chỉ là một phép cộng đơn giản, 1256 + 983 = 2239. Tuy nhiên, nếu bạn thử kiểm tra các phép tính số học của tôi, bạn sẽ nhanh chóng nhận ra những gì tôi đã làm khiến cho vấn đề trở nên khó hơn, chứ không hề dễ hơn. Để tính ra (1,001)983 bạn phải nhân 1,001 với chính nó 983 lần. Và để khám phá ra 983 là lũy thừa chính xác cần sử dụng, bạn còn phải làm nhiều việc hơn nữa. Do đó, thoạt nhìn thì đây có vẻ như là một ý tưởng khá vô nghĩa. Napier với tầm nhìn vô cùng sâu sắc của mình thì không cho là thế. Nhưng để khắc phục nó, một vài người kiên cường đã phải tính toán rất nhiều lũy thừa của 1,001, bắt đầu từ 1,0012 và lên tới một số nào đó, đại loại như 1,00110000 . Sau đó họ có thể công bố một bảng gồm tất cả các lũy thừa như thế. Đến đây gần như toàn bộ công việc coi như đã hoàn thành. Bạn chỉ cần di chuyển ngón tay xuống lần lượt các lũy thừa cho tới khi bạn thấy 2,67 bên cạnh 983; tương tự bạn cũng xác định được vị trí của 3,51 bên cạnh 1256. Sau đó, bạn cộng hai số này để thu được 2239. Hàng tương ứng của bảng số chỉ cho bạn biết rằng lũy thừa này của 1,001 là 9,37. Thế là xong. Những kết quả thực sự chính xác đòi hỏi lũy thừa của số nào đó thực sự gần với 1, như 1,000001 chẳng hạn. Nó sẽ làm cho bảng trở lên lớn hơn nhiều, với một triệu lũy thừa hoặc hơn thế. Thực hiện các tính toán để lập nên bảng đó là cả một núi công việc. Nhưng chỉ phải làm nó một lần thôi. Nếu một vài thiện nhân tình nguyện hy sinh thì những thế hệ tiếp sau sẽ bớt được một khối lượng tính toán khổng lồ. Trong bối cảnh của ví dụ này, chúng ta có thể nói rằng lũy thừa 983 và 1256 là các logarit của các số 2,67 và 3,51 mà chúng ta muốn nhân. Tương tự, số 2239 là logarit của tích số 9,37 của chúng. Viết tắt logarit là log, những gì chúng ta đã làm được viết lại dưới dạng phương trình: log ab = log a + log b điều này đúng với mọi a và b. Sự lựa chọn 1,001 khá tùy ý được gọi là cơ số. Nếu chúng ta chọn cơ số khác, các logarit mà chúng ta tính toán cũng sẽ khác đi, nhưng với bất kỳ một cơ số cố định nào, mọi thứ đều diễn ra y như thế. Đây là điều mà lẽ ra Napier nên làm. Nhưng bởi nhiều lý do mà chúng ta chỉ có thể phỏng đoán, ông đã thực hiện hơi khác đi. Briggs, tiếp cận kỹ thuật này với cái nhìn tươi mới hơn, đã phát hiện ra hai cách khác nhau để cải thiện ý tưởng của Napier. Vào cuối thế kỷ 16, khi Napier bắt đầu nghĩ về lũy thừa của các số, ý tưởng về việc quy phép nhân về phép cộng thực ra đã được lan truyền giữa các nhà toán học. Một phương pháp hơi phức tạp hơn được biết đến dưới cái tên “prosthapheiresis” dựa trên một công thức có liên quan đến các hàm lượng giác, đã được sử dụng ở Đan Mạch3. Bị hấp dẫn bởi phương pháp đó, nhưng Napier đã đủ sáng suốt để nhận ra rằng các lũy thừa của một số cố định cũng có thể làm được y như vậy một cách đơn giản hơn. Những bảng cần thiết còn chưa tồn tại – nhưng điều đó cũng dễ dàng khắc phục thôi. Một người có tinh thần vì lợi ích chung phải thực hiện công việc này. Và Napier đã tình nguyện nhận nhiệm vụ đó, nhưng ông đã mắc một sai lầm về chiến lược. Thay vì sử dụng một cơ số hơi lớn hơn 1, ông lại dùng một cơ số hơi nhỏ hơn 1. Hệ quả là, dãy các lũy thừa bắt đầu với các số lớn, nhưng nhỏ dần về sau. Điều này khiến cho các tính toán trở nên cồng kềnh hơn. Briggs ý thức được vấn đề này và đã tìm ra cách xử lý nó: sử dụng một cơ số hơi lớn hơn 1. Ông cũng phát hiện ra một vấn đề tinh tế hơn và cũng đã xử lý nó. Nếu phương pháp của Napier được cải tiến để làm việc với các lũy thừa của một số nào đó như 1,0000000001, thì sẽ không có mối liên hệ trực tiếp nào giữa logarit của 12,3456 và 1,23456 chẳng hạn. Do vậy mà hoàn toàn không rõ là khi nào bảng có thể dừng lại. Nguyên nhân của vấn đề này là giá trị của log 10, bởi vì: log 10x = log 10 + log x Thật không may, log10 rất rối rắm: với cơ số 1,0000000001, logarit của 10 là 23.025.850.929. Briggs nghĩ sẽ tốt hơn nhiều nếu cơ số có thể được chọn sao cho log10 = 1. Khi đó log10x = 1 + logx, do đó cho dù log1,23456 bằng bao nhiêu đi nữa, bạn chỉ cần cộng thêm 1 để có log12,3456. Bây giờ bảng các logarit chỉ cần chạy từ 1 đến 10. Nếu gặp phải các số lớn hơn, bạn chỉ cần cộng thêm vào một số nguyên phù hợp. Để đặt log10 = 1, bạn hãy làm như Napier đã làm, sử dụng cơ số 1,0000000001, nhưng sau đó bạn chia mỗi logarit cho con số bất thường 23.025.850.929. Bảng kết quả thu được bao gồm các logarit cơ số 10 mà tôi sẽ ký hiệu là log10x. Chúng thỏa mãn: log10xy = log10x + log10y như trước, nhưng đồng thời thỏa mãn: log1010x = log10x + 1 Hai năm sau, Napier mất, và Briggs đã bắt tay tính toán lập ra bảng các logarit cơ số 10. Năm 1617, ông cho xuất bản cuốn Logarit của thiên niên kỷ đầu tiên (Logarithmorum Chilias Prima), chứa logarit của các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác tới 14 chữ số thập phân. Năm 1624 ông tiếp tục cho ra cuốn Số học của các logarit (Arithmetic Logarithmica), một bảng logarit cơ số 10 của các số từ 1 đến 20.000 và từ 90.000 tới 100.000 với cùng độ chính xác. Những người khác nhanh chóng tiếp bước Briggs, lấp đầy những khoảng trống, và phát triển các bảng phụ trợ như logarit của các hàm lượng giác, chẳng hạn như log sin x. Những ý tưởng tương tự lấy cảm hứng từ logarit cho phép chúng ta định nghĩa hàm lũy thừa xa của một biến dương x với a không phải là các số nguyên dương. Tất cả những điều chúng ta phải làm là nhấn mạnh rằng các định nghĩa của chúng ta phải nhất quán với phương trình xaxb = xa+b. Để tránh các tính toán khó chịu, tốt nhất là giả sử x dương, và định nghĩa xa sao cho nó cũng dương. (Với x âm, cách tốt nhất là đưa ra các số phức, xem chương 5.) Ví dụ, x0 là gì? Hãy nhớ rằng x1 = x, theo công thức trên, x0 phải thỏa mãn x0x = x0+1 = x. Chia cho x ta thấy rằng x0 = 1. Vậy bây giờ x–1 bằng bao nhiêu? Công thức chỉ ra x–1x = x–1+1 = x0 = 1. Chia cho x ta được x–1 = . Tương tự x–2 = , x–3 = v.v. Mọi thứ bắt đầu trở nên thú vị và hữu ích khi chúng ta nghĩ về x1/2 . Nó phải thỏa mãn x1/2x1/2 = x1/2+1/2 = x1 = x. Do vậy x1/2 nhân với chính nó thì bằng x. Số duy nhất có tính chất này là căn bậc hai của x. Do đó x1/2 = . Tương tự, x1/3 = , căn bậc ba của x. Tiếp tục với cách này, chúng ta có thể định nghĩa xp/q cho mọi phân số p/q. Sau đó, sử dụng các phân số để xấp xỉ các số thực, chúng ta có thể định nghĩa xa cho bất kỳ số thực a nào, mà vẫn thỏa mãn phương trình xaxb = xa+b. Đồng thời ta cũng suy ra rằng log  logx , và log  logx do đó chúng ta có thể tính căn bậc hai và bậc ba một cách dễ dàng thông qua việc sử dụng bảng logarit. Ví dụ, muốn tính căn bậc hai của một số ta lấy logarit của nó, chia cho 2 và sau đó tìm số nào cho ta cùng logarit như thế. Với căn bậc ba, chúng ta làm tương tự nhưng chia cho 3. Những phương pháp truyền thống cho các vấn đề này rất tẻ nhạt và phức tạp. Bạn có thể thấy tại sao Napier lại nhắc đến căn bậc hai và căn bậc ba trong lời nói đầu cuốn sách của mình. Ngay sau khi các bảng logarit hoàn chỉnh đã sẵn sàng, chúng đã trở thành công cụ không thể thay thế đối với các nhà khoa học, kỹ sư, những nhân viên trắc địa và các nhà hàng hải. Họ tiết kiệm được thời gian, sức lực, và tăng độ chính xác của các phép toán. Ban đầu, thiên văn học là đối tượng hưởng lợi lớn nhất, bởi vì các nhà thiên văn thường xuyên phải thực hiện các tính toán dài và khó. Nhà toán học, thiên văn học Pháp Pierre Simon de Laplace nói rằng việc phát minh ra logarit đã giúp cho “lao động của nhiều tháng thu lại chỉ còn ít ngày, nhân đôi tuổi thọ của nhà thiên văn, giúp họ tránh được nhiều sai sót và sự chán ghét”. Và cùng với việc sử dụng máy móc trong sản xuất ngày càng tăng, các kỹ sư bắt đầu phải sử dụng toán học ngày càng nhiều – để thiết kế các bánh răng phức tạp, phân tích độ ổn định của các cây cầu và nhà cao tầng, thiết kế xe hơi, xe tải, tàu thuyền và máy bay. Logarit là phần “cứng” trong chương trình giảng dạy toán học ở phổ thông từ một vài thập kỷ trước. Và các kỹ sư luôn mang theo vật mà thực tế tương tự với phương pháp logarit, một thể hiện vật lý của phương trình cơ bản đối với logarit với mục đích sử dụng tại chỗ. Họ gọi nó là thước logarit, và sử dụng nó thường xuyên trong các ứng dụng khác nhau từ kiến trúc tới thiết kế máy bay. Thước logarit (hay thước trượt) đầu tiên được nhà toán học người Anh William Oughtred chế tạo vào năm 1630, dùng thang đo tròn. Sau đó, ông cải tiến mẫu thiết kế này vào năm 1632, bằng cách dùng hai thước thẳng, đó là thước trượt đầu tiên. Ý tưởng rất đơn giản: Khi bạn đặt hai thước tiếp nối với nhau thì chiều dài của chúng sẽ được cộng lại. Nếu hai thước được đánh dấu dùng thang logarit với các số được đặt cách nhau theo logarit của chúng, khi đó các số tương ứng được nhân với nhau. Ví dụ, đặt vạch số 1 ở thước thứ nhất trên vạch số 2 của thước thứ hai. Khi đó ứng với mỗi số x ở thước thứ nhất, chúng ta sẽ tìm thấy 2x ở thước thứ hai. Tương ứng với 3 ta thấy 6, và cứ như thế, (xem hình 11). Nếu các số phức tạp hơn, chẳng hạn 2,67 và 3,51, chúng ta đặt 1 đối diện 2,67 và số tương ứng với 3,51 chính là 9,37 (tích của 2,67 và 3,51). Quả là đơn giản và dễ dàng. log(3) 1 2 4 3 5 7 6 8 9 1 1 2 4 3 5 7 6 8 9 1 log(2) log(6) Hình 11 Nhân 2 và 3 trên thước logarit. Các kỹ sư đã nhanh chóng phát triển những loại thước logarit phức tạp hơn với các hàm lượng giác, căn bậc hai, các thang log-log (logarit của logarit) để tính toán các lũy thừa, v.v. Cuối cùng, mặc dù bây giờ logarit đã phải chịu ngồi chiếu sau máy tính kỹ thuật số, nhưng nó vẫn có vai trò to lớn trong khoa học và công nghệ, bên cạnh người bạn đồng hành không thể tách rời của nó là hàm mũ. Với logarit cơ số 10, đó là hàm 10x; với cơ số tự nhiên, đó là hàm số ex với e xấp xỉ bằng 2,71828. Ở mỗi cặp, hai hàm số là nghịch đảo của nhau. Nếu bạn lấy một số, tính logarit của nó, và sau đó lại lấy lũy thừa của số vừa nhận được, bạn sẽ thu được số ban đầu. Tại sao chúng ta vẫn cần logarit trong khi bây giờ chúng ta đã có máy tính? Vào năm 2011, trận động đất 9 độ ngoài khơi bờ biển phía đông Nhật Bản là nguyên nhân của một cơn sóng thần khổng lồ, đã tàn phá một khu vực dân cư lớn và lấy đi sinh mạng của 25.000 người. Trên bờ biển có một nhà máy điện hạt nhân, Fukushima Dai-ichi (Fukushima số 1, để tránh nhầm lẫn nó với một nhà máy điện hạt nhân khác đặt gần đó). Nhà máy này gồm sáu lò phản ứng hạt nhân: ba trong số đó đang hoạt động khi sóng thần ập đến; ba lò còn lại đang tạm ngưng hoạt động và nhiên liệu của chúng đã được chuyển sang bể chứa nước bên ngoài lò phản ứng nhưng vẫn ở bên trong các tòa nhà chứa lò. Sóng thần đã chôn vùi hệ thống bảo vệ của lò phản ứng và cắt đứt nguồn cung cấp điện. Ba lò phản ứng (số 1, 2, 3) đang hoạt động đã được cho dừng ngay như một biện pháp an toàn, nhưng hệ thống làm lạnh của chúng vẫn còn cần phải hoạt động để chấm dứt sự nóng chảy của nhiên liệu. Tuy nhiên, sóng thần cũng đã làm hỏng các máy phát điện dự phòng dùng để cấp điện cho hệ thống làm lạnh và một số hệ thống an toàn quan trọng khác. Cấp độ dự phòng tiếp theo, các acquy, cũng nhanh chóng hết điện. Do hệ thống làm lạnh ngừng hoạt động, nhiên liệu hạt nhân trong một vài lò phản ứng bắt đầu trở nên quá nóng. Để ứng phó, điều hành viên đã sử dụng xe cứu hỏa để bơm nước biển vào ba lò phản ứng, nhưng nó lại phản ứng với lớp phủ ziriconi ở các thanh nhiên liệu tạo thành hydro. Sự gia tăng của khí hydro gây ra một vụ nổ trong tòa nhà chứa lò phản ứng số 1. Lò số 2 và số 3 cũng sớm chịu chung số phận. Nước ở trong bể của lò số 4 bị thất thoát, khiến cho nhiên liệu của lò bị phơi lộ. Vào thời gian đó, có vẻ như các điều hành viên đã lấy lại được phần nào kiểm soát, nhưng ít nhất một ngăn chứa lò đã bị nứt, và phóng xạ đã rò rỉ ra môi trường địa phương. Nhà chức trách Nhật Bản đã phải sơ tán 200.000 người dân ở khu vực xung quanh bởi vì phóng xạ đã vượt xa ngưỡng an toàn cho phép. Sáu tháng sau, TEPCO, công ty vận hành các lò phản ứng, khẳng định rằng tình hình vẫn còn rất nghiêm trọng, và cần phải làm rất nhiều việc trước khi các lò phản ứng có thể được kiểm soát hoàn toàn, nhưng họ tuyên bố sự rò rỉ phóng xạ đã ngừng lại. Tôi không muốn phân tích ưu thế hay bất cứ điều gì khác về năng lượng hạt nhân ở đây, nhưng tôi muốn chỉ ra bằng cách nào mà logarit trả lời được một câu hỏi cực kỳ quan trọng: nếu bạn biết lượng chất phóng xạ đã bị thoát ra và thuộc loại nào, thì nó sẽ tồn tại bao lâu trong môi trường, nơi nó có thể nguy hại? Các nguyên tố phóng xạ phân rã; tức là, chúng chuyển thành các nguyên tố khác thông qua các quá trình hạt nhân, đồng thời phát ra các hạt hạt nhân. Chính các hạt này tạo thành bức xạ. Mức phóng xạ giảm dần theo thời gian giống như nhiệt độ của một vật nóng chuyển dần sang lạnh: cụ thể là theo hàm mũ. Như vậy, theo đơn vị phù hợp mà tôi sẽ không thảo luận ở đây, độ phóng xạ N(t) ở thời điểm t thỏa mãn phương trình: N(t) = N0e –kt với N0 là độ phóng xạ ban đầu, và k là hằng số phụ thuộc vào nguyên tố phóng xạ. Chính xác hơn, nó phụ thuộc vào đồng vị của nguyên tố mà ta đang xem xét. Một thước đo thuận tiện về thời gian tồn tại của phóng xạ là chu kỳ bán rã, một khái niệm được đề xuất lần đầu năm 1907. Nó là khoảng thời gian cần để độ phóng xạ ban đầu N0 giảm xuống còn một nửa. Để tính chu kỳ bán rã, chúng ta giải phương trình: 1–2 N0 = N0e –kt bằng cách lấy logarit của cả hai vế. Kết quả là: và chúng ta có thể tính cụ thể kết quả vì k là số đã biết trước từ thực nghiệm. Chu kỳ bán rã là một công cụ tiện lợi để đánh giá thời gian phóng xạ tồn tại. Giả sử rằng chu kỳ bán rã là một tuần, chẳng hạn. Khi đó theo tốc độ ban đầu, chất phóng xạ giảm một nửa sau một tuần, giảm xuống còn một phần tư sau hai tuần, một phần tám sau ba tuần, v.v. Phải mất 10 tuần để giảm xuống còn một phần nghìn của mức ban đầu (chính xác là 1/1024), và 20 tuần để giảm xuống còn một phần triệu. Trong những tai nạn với các lò phản ứng hạt nhân thông thường, những sản phẩm phóng xạ quan trọng nhất là iot 131 (một đồng vị phóng xạ của iot) và xesi-137 (một đồng vị phóng xạ của xesi). Chất đầu tiên có thể gây ung thư tuyến giáp, bởi vì tuyến giáp tập trung iot. Chu kỳ bán rã của iot 131 chỉ là tám ngày, do đó nó gây ra ảnh hưởng nhỏ nếu có phương pháp đúng đắn, và sự nguy hiểm của nó giảm khá nhanh, trừ phi nó tiếp tục bị rò rỉ. Cách điều trị tiêu chuẩn là phát cho mọi người các viên iot nhằm làm cho cơ thể giảm hấp thụ đồng vị iot phóng xạ, nhưng biện pháp khắc phục hiệu quả nhất là ngừng uống sữa bị ô nhiễm. Nhưng xesi-137 thì rất khác: nó có chu kỳ bán rã là 30 năm. Sẽ phải mất 200 năm để độ phóng xạ ban đầu giảm xuống còn một phần một trăm, do đó nó sẽ gây hại trong một thời gian rất dài. Vấn đề thực tế chủ yếu trong một tai nạn lò phản ứng là sự ô nhiễm của đất và các tòa nhà. Khử ô nhiễm tới một mức độ nào đó thì khả thi, nhưng rất đắt. Chẳng hạn, đất có thể được loại bỏ, mang đi, và đặt ở nơi nào đó an toàn. Nhưng nó tạo ra một số lượng lớn rác thải phóng xạ ở mức độ thấp. Phân rã phóng xạ chỉ là một lĩnh vực trong số rất nhiều lĩnh vực mà logarit của Napier và Briggs còn tiếp tục phục vụ khoa học và nhân loại. Nếu bạn lật qua vài chương tiếp theo bạn sẽ thấy chúng xuất hiện cả trong nhiệt động lực học và lý thuyết thông tin. Ngay cả những máy tính cực nhanh vốn đã khiến cho logarit trở nên thừa đối với mục đích ban đầu của nó là tính nhanh, thì logarit vẫn còn là trung tâm đối với khoa học vì những lý do nhận thức chứ không phải tính toán. Một ứng dụng khác của logarit đến từ những nghiên cứu về tri giác của con người: chúng ta cảm nhận thế giới xung quanh ta như thế nào. Những người tiên phong về vật lý tâm thần của tri giác đã thực hiện những nghiên cứu rất sâu rộng về thị giác, thính giác và xúc giác, và họ đã phát hiện ra một số quy tắc toán học khá hấp dẫn. Vào những năm 1840, một bác sĩ người Đức tên là Ernst Weber đã thực hiện các thí nghiệm để xác định giác quan của con người nhạy cảm đến mức nào. Ông đưa cho các đối tượng thí nghiệm các vật nặng, bảo họ giữ trong tay rồi hỏi họ có nói được vật nào nặng hơn không. Weber sau đó đã có thể chỉ ra độ chênh lệch nhỏ nhất có thể còn phát hiện được là bao nhiêu. Có lẽ, đáng ngạc nhiên là sự sai khác này (với một đối tượng thí nghiệm cho trước) lại không phải là một lượng cố định. Nó phụ thuộc vào việc vật được đem ra so sánh nặng thế nào. Mọi người không nhận thấy một lượng khác biệt tuyệt đối tối thiểu – ví dụ, là 50 gam. Nhưng họ lại cảm nhận được một sự khác biệt tương đối tối thiểu là 1% của các khối lượng được đem ra so sánh. Tức là, lượng khác biệt nhỏ nhất mà tri giác con người có thể phát hiện ra tỉ lệ với sự kích thích, một đại lượng vật lý thực sự. Vào những năm 1850, Gustav Fechner phát hiện lại chính định luật đó, nhưng viết lại nó dưới dạng toán học. Nó đưa ông đến một phương trình mà ông gọi là định luật Weber, nhưng ngày nay nó thường được gọi là định luật Fechner (hay Weber-Fechner nếu bạn theo chủ nghĩa thuần túy). Nó phát biểu rằng cảm giác lĩnh hội được tỉ lệ với logarit của sự kích thích. Các thí nghiệm gợi ý rằng định luật này không chỉ đúng cho trường hợp cảm giác của chúng ta với khối lượng mà cả với thị giác và thính giác nữa. Nếu ta nhìn một ngọn đèn, lượng ánh sáng mà chúng ta cảm nhận được biến thiên theo logarit của năng lượng thực tế phát ra. Nếu một nguồn sáng gấp mười nguồn kia, thì độ khác biệt mà ta cảm nhận được là hằng số, mặc cho hai nguồn thực sự sáng thế nào. Điều tương tự cũng xảy ra với độ lớn của âm thanh: một vụ nổ với mức năng lượng lớn gấp mười lần nghe cũng to hơn với một lượng cố định. Định luật Weber-Fechner không hoàn toàn chính xác, nhưng nó là một phép gần đúng tốt. Quá trình tiến hóa, trong một mức độ nào đó, đã tạo ra một thứ giống như thang logarit, bởi vì thế giới bên ngoài trình hiện trước các giác quan của chúng ta những kích thích nằm trong một phạm vi rất rộng lớn các kích thước. Một tiếng ồn có thể nhỏ hơn một chút so với tiếng sột soạt của con chuột phá thủng hàng rào cây, hay một tiếng sét nổ; chúng ta cần phải có khả năng nghe được cả hai. Nhưng phạm vi của các mức độ âm thanh quá lớn đến nỗi không giác quan sinh học nào có thể phản ứng lại năng lượng sinh bởi những âm thanh ấy. Nếu một cái tai có thể nghe được tiếng con chuột, thì một tiếng sét nổ sẽ hủy hoại nó. Nếu mức độ âm thanh giảm xuống để tiếng sét nổ phát ra một âm thanh dễ chịu, thì lại không thể nghe được con chuột. Lời giải là nén các mức năng lượng lại thành một khoảng dễ chịu, và chính logarit đã làm việc này. Nhạy cảm theo tỉ lệ chứ không phải theo mức tuyệt đối đã tạo ra cảm giác tuyệt vời và tạo ra các giác quan tuyệt vời. Đơn vị chuẩn của chúng ta cho tiếng ồn là dexiben (dB), nó gói gọn định luật Weber-Fechner trong một định nghĩa. Nó không đo tiếng ồn tuyệt đối, mà là tiếng ồn tương đối. Một con chuột trên bãi cỏ tạo tiếng ồn khoảng 10 dB. Cuộc trò chuyện thông thường giữa hai người cách nhau 1m gây ra tiếng ồn cỡ 40-60 dB. Người sử dụng máy trộn điện phải chịu tiếng ồn khoảng 60 dB. Tiếng ồn trong một chiếc xe hơi, do động cơ và lốp xe gây ra, là 60-80 dB. Một máy bay phản lực cách 100m gây ra âm thanh 110-140 dB, tăng thành 150 nếu cách 30m. Một kèn vuvuzela (một loại kèn nhựa gây khó chịu, giống kèn trumpet, được sử dụng rộng rãi ở World Cup 2010 và được các fan ít hiểu biết mang về nhà như quà lưu niệm) sinh ra âm thanh 120 dB ở khoảng cách 1m, một lựu đạn gây choáng của quân đội gây ra âm thanh tới 180 dB. Những thang âm thanh đó vẫn thường được bắt gặp vì chúng có một khía cạnh an toàn nhất định. Mức độ mà âm thanh có thể gây hại cho thính giác là 120 dB. Hãy làm ơn vứt cái vuvuzela của bạn đi. 3 Bóng ma của các đại lượng biến mất Phép tính vi tích phân sự thay đổi giá trị của đại lượng độ biến thiên của giới hạn giá trị mới đại lượng trừ giá trị cũ f f (t + h) (t) lim dfdt= – —h 0 h phụ thuộc khoảng chia cho khoảng thời gian thời gian thời gian tiến tới zero (trở nên rất nhỏ) Phương trình này cho ta biết điều gì? Nó giúp ta tìm ra tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng phụ thuộc (ví dụ như) thời gian, tính xem giá trị của nó thay đổi thế nào trong một khoảng thời gian ngắn bằng cách chia cho khoảng thời gian đó. Sau đó cho khoảng thời gian đó nhỏ tùy ý. Tại sao nó lại quan trọng? Nó cung cấp một cơ sở chặt chẽ cho giải tích, phương pháp chính mà các nhà khoa học dùng để mô tả thế giới tự nhiên. Nó đã dẫn tới những gì? Tính toán các tiếp tuyến và diện tích. Các công thức tính thể tích của các khối và độ dài các đường cong. Định luật thứ hai của Newton về chuyển động, các phương trình vi phân. Các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng. Hầu hết các địa hạt của vật lý toán. Năm 1665, nước Anh đang trong triều đại vua Charles II và kinh đô London là một đô thị ngổn ngang với hơn nửa triệu dân. Nghệ thuật nở rộ, và khoa học đang ở những bước phát triển đầu tiên với tốc độ ngày càng nhanh. Hội Hoàng gia, có lẽ là hội khoa học cổ nhất còn tồn tại đến nay, được thành lập 5 năm về trước, và Charles đã ban cho nó một quy chế hoàng gia. Những người giàu có sống trong những ngôi nhà nguy nga, và việc buôn bán của họ ngày càng phát đạt, nhưng những người nghèo khổ phải sống chui rúc trong các con phố chật chội khuất bóng dưới những tòa nhà xiêu vẹo, ngày càng nhô ra do chúng được đôn cao lên, hết tầng này đến tầng khác. Điều kiện vệ sinh cũng không đảm bảo, chuột và các loại sâu bọ khác nhan nhản khắp nơi. Cuối năm 1666, một phần năm dân số London đã chết do dịch hạch, lây lan đầu tiên do chuột và sau đó là do con người. Đó là thảm họa tồi tệ nhất trong lịch sử của kinh đô này, và chính bi kịch đó cũng đã xảy ra khắp châu Âu và Bắc Phi. Nhà vua đã vội vã rời kinh đô tới một vùng quê sạch sẽ hơn ở Oxfordshire, đầu năm 1666 mới quay trở lại. Không ai biết nguyên nhân của tai ương này, và các nhà chức trách của thành phố đã tìm mọi phương cách – đốt lửa liên tục để làm sạch không khí, thiêu cháy tất cả những thứ nặng mùi, chôn cất xác chết nhanh chóng trong các hố. Họ giết rất nhiều chó mèo, nhưng trớ trêu thay họ lại loại bỏ chính hai loài động vật kiểm soát số lượng chuột. Trong suốt hai năm đó, một sinh viên bí ẩn và khiêm tốn ở đại học Trinity, Cambridge, đã hoàn thành khóa học của mình. Với hy vọng tránh nạn dịch hạch, anh trở về ngôi nhà mình đã sinh ra, nơi mẹ anh đang quản lý một trang trại. Cha anh mất không lâu sau khi anh sinh ra, và anh đã được bà ngoại nuôi nấng. Có lẽ do được truyền cảm hứng từ sự yên bình và tĩnh lặng của thôn quê, hoặc cũng có thể vì không biết dùng thời gian của mình để làm gì tốt hơn, chàng trai trẻ đã đắm mình trong khoa học và toán học. Sau này anh đã ghi lại: “Trong những ngày ấy, tôi đã ở đỉnh điểm của hoạt động sáng tạo trong đời, đã suy tư về toán học và triết học tự nhiên nhiều hơn bất kỳ thời gian nào khác”. Những nghiên cứu đó đã giúp anh hiểu được tầm quan trọng của định luật nghịch đảo bình phương của lực hấp dẫn, một ý tưởng đã bị xem là vô ích trong ít nhất là 50 năm. Anh đã tạo ra một phương pháp thực hành để giải các bài toán về phép tính vi tích phân, một khái niệm khác cũng đã lơ lửng tồn tại nhưng chưa được phát biểu dưới dạng tổng quát nào. Và anh cũng khám phá ra rằng ánh sáng trắng thực tế gồm nhiều màu sắc khác nhau – toàn bộ các màu của cầu vồng. Khi dịch hạch chấm dứt, anh đã không kể về những khám phá của mình với bất kỳ ai. Trở lại Cambridge, anh nhận bằng thạc sĩ và trở thành nghiên cứu sinh ở Trinity. Rồi được bầu vào ghế giáo sư Lucas về toán, cuối cùng anh đã công bố các ý tưởng của mình và phát triển các ý tưởng mới khác. Người đàn ông trẻ tuổi đó là Isaac Newton. Những khám phá của ông đã tạo ra một cuộc cách mạng trong khoa học, mang lại một thế giới mà Charles II không bao giờ dám tin là có thể tồn tại: những tòa nhà cao hơn 100 tầng, xe không ngựa kéo đạt vận tốc 80 dặm một giờ, trong khi các tài xế vừa lái vừa nghe nhạc từ một chiếc đĩa thần kỳ làm từ một vật liệu tựa như kính, rồi các máy bay nặng-hơn-không khí vượt biển Atlantic trong sáu giờ, các bức hình màu chuyển động, và các hộp mang theo trong túi dùng để nói chuyện với tận đầu bên kia của thế giới… Trước đó, Galileo Galilei, Johannes Kepler và các nhà khoa học khác đã lật một góc của tấm thảm tự nhiên, và nhìn thấy một số điều lạ lùng ẩn giấu bên dưới nó. Bây giờ Newton đã nhấc hẳn tấm thảm sang một bên. Ông không những phát lộ ra rằng vũ trụ có những hình mẫu bí mật, đó là các định luật của tự nhiên; mà còn cung cấp các công cụ toán học để diễn tả các định luật ấy một cách chính xác, và rút ra những hệ quả của chúng. Hệ thống thế giới mang tính toán học; cốt lõi sự sáng tạo của Chúa là một vũ trụ đồng hồ không có linh hồn. Thế giới quan của nhân loại không chuyển đột ngột từ tôn giáo sang thế tục. Nó vẫn chưa và có lẽ sẽ không bao giờ hoàn thiện cả. Nhưng sau khi Newton xuất bản cuốn Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) thì Hệ thống của thế giới – phụ đề của cuốn sách – không còn là địa hạt riêng của tôn giáo nữa. Dù vậy, Newton vẫn không phải là nhà khoa học hiện đại đầu tiên; ở ông cũng có mặt thần bí riêng, ông đã dành nhiều năm tháng cuộc đời mình cho giả kim thuật và những tư biện về tôn giáo. Trong ghi chú1 cho một bài giảng, nhà kinh tế học John Maynard Keynes, cũng là một học giả theo trường phái Newton, đã viết: Newton không phải là người đầu tiên của thời đại lý trí. Ông là vị pháp sư cuối cùng, là người Babylon cuối cùng, là trí tuệ vĩ đại cuối cùng nhìn ra thế giới hữu hình và thế giới tinh thần với cùng con mắt như những người bắt đầu xây dựng di sản tri thức của chúng ta, không ít hơn 10.000 năm trước. Isaac Newton, một đứa trẻ mất cha từ khi mới lọt lòng đúng vào ngày Giáng Sinh năm 1642, là thần đồng cuối cùng mà ba nhà hiền triết đông phương có thể bày tỏ lòng kính trọng chân thành và xứng đáng như họ đã từng kính bái Chúa Hài Đồng. Ngày nay chúng ta hầu như lờ đi khía cạnh thần bí của con người Newton, và chỉ nhớ đến ông vì những thành tựu trong khoa học và toán học. Đỉnh cao nhất trong số những thành tựu đó là sự nhận thức của ông rằng tự nhiên tuân theo các định luật toán học và việc phát minh ra phép tính vi phân và tích phân của ông, mà ngày nay chúng ta dùng như một công cụ chủ yếu để mô tả các định luật đó và rút ra những hệ quả của chúng. Nhà toán học, triết học người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz cũng đã phát triển phép tính vi tích phân, ít nhiều độc lập và gần như đồng thời, nhưng ông đã không đi được xa. Newton đã sử dụng công cụ này để nghiên cứu vũ trụ, mặc dù, trong công trình được công bố của mình, ông đã giấu kín nó dưới một vỏ bọc, bằng cách viết lại dưới ngôn ngữ của hình học cổ điển. Ông là một nhân vật chuyển tiếp, người đã đưa nhân loại bước ra khỏi thế giới quan thần bí, trung cổ để bước vào thế giới quan duy lý, hiện đại. Sau Newton, các nhà khoa học đã nhận thức được rằng vũ trụ có nhiều hình mẫu toán học sâu sắc, và họ đã được trang bị những kỹ thuật mạnh để khai thác nhận thức sâu sắc đó. Phép tính vi tích phân không xuất hiện một cách đột nhiên. Nó xuất hiện từ các câu hỏi cả trong toán học thuần túy lẫn ứng dụng, và các tiền đề của nó có thể đã bắt nguồn ngay từ thời Archimedes. Bản thân Newton đã có nhận xét nổi tiếng rằng: “Nếu tôi có thể nhìn xa hơn một chút thì đó là vì tôi đứng trên vai những người khổng lồ”2. Nổi bật trong số những người khổng lồ ấy là John Wallis, Pierre de Fermat, Galileo, và Kepler. Wallis phát triển một tiền thân của phép tính vi tích phân trong cuốn sách xuất bản năm 1656 của ông nhan đề Số học của vô hạn (Arithmetica Infinitorum). Cuốn sách xuất bản năm 1679 của Fermat Về tiếp tuyến của các đường cong (De Tangentibus Linearum Curvarum) đã giới thiệu một phương pháp tìm tiếp tuyến của các đường cong, một vấn đề liên quan mật thiết đến phép tính vi tích phân. Kepler đã phát biểu ba định luật cơ bản của ông về chuyển động của các hành tinh, điều này đã dẫn Newton tới định luật về hấp dẫn, và đó là chủ đề của chương tiếp theo. Galileo đã đạt được những tiến bộ lớn về thiên văn học, nhưng ông cũng nghiên cứu khía cạnh toán học của tự nhiên một cách khá thấu đáo, khi công bố các khám phá của mình trong cuốn Về chuyển động (De Motu) vào năm 1590. Ông nghiên cứu chuyển động của vật rơi, và phát hiện ra quy luật toán học rất đẹp đẽ. Newton đã phát triển gợi ý này thành ba định luật tổng quát của chuyển động. Để hiểu được hình mẫu của Galileo chúng ta cần biết hai khái niệm thường gặp hằng ngày của cơ học: vận tốc và gia tốc. Vận tốc là đại lượng cho biết độ nhanh chậm trong chuyển động của một vật và hướng của chuyển động đó. Nếu không quan tâm đến hướng, chúng ta sẽ nhận được tốc độ của vật. Gia tốc là sự thay đổi trong vận tốc, thường liên quan đến sự thay đổi về tốc độ (trừ khi tốc độ vẫn giữ nguyên nhưng hướng thì thay đổi). Trong đời sống hằng ngày, chúng ta dùng gia tốc theo nghĩa làm tăng tốc độ, và giảm tốc theo nghĩa làm chậm lại, nhưng trong cơ học, cả hai sự thay đổi đều gọi là gia tốc: trong trường hợp thứ nhất thì nó dương, còn trường hợp thứ hai thì nó âm. Khi chúng ta lái xe dọc đại lộ, tốc độ của xe được hiển thị trên đồng hồ tốc độ – ví dụ, nó có thể bằng 50mph. Hướng thì là hướng đi của xe. Khi chúng ta nhấn ga, xe sẽ tăng tốc; còn khi chúng ta đạp phanh, xe sẽ giảm tốc, tức có gia tốc âm. Nếu xe chuyển động với một tốc độ cố định, sẽ dễ dàng nhận biết tốc độ của xe là bao nhiêu. Từ viết tắt mph (miles per hour) đã nói rõ: số dặm đi được trong 1 giờ. Nếu xe đi 50 dặm trong 1 giờ, chúng ta chia khoảng cách cho thời gian sẽ nhận được tốc độ. Tất nhiên, chúng ta không cần lái xe cả 1 giờ, nếu chiếc xe đi 5 dặm trong sáu phút, tức cả khoảng cách và thời gian đều được chia cho 10, thì tỉ số của chúng vẫn là 50 dặm/giờ. Nói ngắn gọn: tốc độ = khoảng cách đi được chia cho thời gian đã đi. Cũng tương tự, nếu gia tốc là cố định thì ta có: gia tốc = sự biến thiên của tốc độ chia cho khoảng thời gian thay đổi. Tất cả xem ra có vẻ như đơn giản, nhưng những khó khăn về khái niệm sẽ phát sinh khi tốc độ hay gia tốc không còn là cố định nữa. Vả lại cả hai không thể đồng thời là hằng số, bởi vì gia tốc không đổi (và khác 0) kéo theo sự thay đổi của tốc độ. Giả sử bạn lái xe dọc theo đường làng, tăng tốc lúc đường thẳng và chậm lại chỗ đường ngoặt. Trong trường hợp ấy, tốc độ của bạn thay đổi và do đó gia tốc cũng thế. Vậy thì làm sao chúng ta có thể biết được chúng bằng bao nhiêu ở một thời điểm bất kỳ cho trước? Câu trả lời có tính thực dụng là: lấy một khoảng thời gian ngắn, một giây, chẳng hạn. Khi đó tốc độ tức thời ở 11h30 sáng (chẳng hạn) sẽ bằng khoảng cách bạn đi được giữa thời điểm đó và một giây sau, chia cho một giây. Thực hiện tương tự với gia tốc tức thời. Nhưng khoan... đó chưa hẳn là tốc độ tức thời của bạn. Đó thực sự chỉ là tốc độ trung bình trên khoảng thời gian một giây. Có những trường hợp mà một giây là một khoảng thời gian khổng lồ – một dây đàn guitar chơi nốt C trung rung 440 lần mỗi giây; lấy trung bình chuyển động của nó trong cả một giây và bạn sẽ nghĩ rằng nó không hề rung. Câu trả lời ở đây là phải xét một khoảng thời gian ngắn hơn – có lẽ là một phần nghìn của một giây. Nhưng như thế vẫn chưa bắt được tốc độ tức thời. Ánh sáng khả kiến dao động một triệu tỉ (1015) lần trong mỗi giây, do đó khoảng thời gian thích hợp phải nhỏ hơn một phần triệu tỉ giây. Và ngay cả như thế đi nữa... nếu tỉ mỉ hơn thì nó vẫn chưa phải là tức thời. Tiếp tục dòng suy nghĩ này, có vẻ như cần thiết phải sử dụng một khoảng thời gian ngắn hơn bất kỳ khoảng thời gian nào khác. Số duy nhất như thế chỉ có thể là số 0, nhưng thế sẽ chẳng có ích lợi gì, vì khi đó khoảng cách đi được cũng là 0, và 0/0 là vô nghĩa. Những người tiên phong đã lờ những vấn đề đó đi và chấp nhận quan điểm thực tế. Một khi các sai số có thể trong các phép đo của bạn vượt quá độ chính xác đã được tăng, thì về mặt lý thuyết, bạn sẽ vượt qua được trở ngại này bằng cách sử dụng các khoảng thời gian nhỏ hơn, nhưng làm thế cũng chẳng có ý nghĩa gì. Đồng hồ thời Galileo rất kém chính xác, vì thế ông đo thời gian bằng cách tự mình ngâm nga các âm điệu – một nhạc sĩ được đào tạo bài bản có thể chia một nốt thành các quãng rất ngắn. Ngay cả như thế, việc đo thời gian của một vật rơi tự do cũng rất phức tạp, nên Galileo đã có một ý tưởng rất hay để làm chậm chuyển động lại bằng cách cho viên bi lăn xuống theo mặt phẳng nghiêng. Sau đó ông quan sát các vị trí của viên bi ở các khoảng thời gian liên tiếp. Điều ông tìm thấy (tôi đã đơn giản hóa các con số để các hình mẫu nhìn rõ ràng hơn, nhưng vẫn là các hình mẫu như thế) đó là ở các thời điểm 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... các vị trí của viên bi là: 0 1 4 9 16 25 36 Nghĩa là các khoảng cách tỉ lệ với bình phương thời gian. Thế còn tốc độ thì sao? Lấy trung bình trên các khoảng thời gian liên tiếp, thì đó là hiệu: 1 3 5 7 9 11 của các bình phương liên tiếp. Trong mỗi khoảng, trừ khoảng đầu tiên, tốc độ trung bình tăng hai đơn vị. Đó là một hình mẫu hay quy luật bất ngờ hơn tất cả đối với Galileo, khi ông đào bới trong hàng tá các phép đo với các viên bi nặng nhẹ khác nhau đặt trên các mặt phẳng có độ nghiêng khác nhau. Từ các thí nghiệm này và các hình mẫu quan sát được ở trên, Galileo đã suy ra một điều thật tuyệt vời. Quỹ đạo của một vật rơi tự do, khi được ném lên trong không trung, ví dụ như một viên đạn pháo, là một parabol. Đó là một đường cong hình chữ U, đã được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại. (Trong trường hợp này là chữ U ngược. Ở đây tôi đã bỏ qua sức cản của không khí làm thay đổi hình dạng của quỹ đạo: nó không ảnh hưởng nhiều đến viên bi lăn của Galileo). Khi phân tích quỹ đạo chuyển động của các hành tinh, Kepler cũng gặp phải một đường cong có liên quan, đó là đường ellip: điều này chắc cũng rất có ý nghĩa đối với Newton, nhưng câu chuyện này phải chờ đến chương sau. Nếu chỉ tiếp tục các thí nghiệm cụ thể này thì sẽ không thể nhìn thấy các nguyên lý tổng quát ẩn sau các hình mẫu của Galileo. Newton nhận ra rằng nguồn gốc của hình mẫu này là các tốc độ thay đổi hay tốc độ biến thiên. Vận tốc chính là tốc độ thay đổi vị trí theo thời gian, gia tốc là tốc độ thay đổi vận tốc theo thời gian. Trong các quan sát của Galileo, vị trí biến thiên theo bình phương của thời gian, vận tốc thì biến đổi tuyến tính, và gia tốc không thay đổi. Newton nhận ra rằng để có thể hiểu sâu hơn về các hình mẫu của Galileo và những cái mà chúng muốn nói với chúng ta về tự nhiên, thì ông phải nắm bắt bằng được các tốc độ biến thiên tức thời. Và khi ông làm được điều đó, cũng là khi phép tính vi tích phân ra đời. Có lẽ bạn đã mong đợi một ý tưởng quan trọng như phép tính vi tích phân sẽ phải được thông báo rầm rộ, với trống dong cờ mở tưng bừng trên đường phố. Tuy nhiên, cần có thời gian để tầm quan trọng của các ý tưởng mới được thấm nhuần và đánh giá thỏa đáng, và phép tính vi tích phân cũng không phải là ngoại lệ. Newton khởi đầu nghiên cứu về đề tài này vào khoảng năm 1671 hoặc sớm hơn khi ông viết cuốn Phương pháp vi phân và chuỗi vô hạn (The Method of Fluxions and Infinite Series). Chúng ta không biết thời điểm chính xác bởi vì cuốn sách này mãi tới tận năm 1736 mới được xuất bản, tức là gần một thập kỷ sau khi ông mất. Một số bản thảo của Newton cũng có nhắc đến các ý tưởng mà ngày nay chúng ta gọi là phép vi phân và tích phân, hai nhánh chính của lĩnh vực này. Những ghi chép của Leibniz cho thấy ông đã nhận được các kết quả quan trọng đầu tiên về giải tích là vào năm 1675, nhưng ông không công bố gì về chủ đề này cho đến tận năm 1684. Sau khi Newton trở thành một nhà khoa học xuất chúng, khá lâu sau khi hai người đã xây dựng xong nền tảng của giải tích, một vài người bạn của Newton đã dấy lên một cuộc tranh cãi vô nghĩa nhưng rất nóng bỏng về quyền công bố trước, khi buộc tội Leibniz đã đạo văn từ những bản thảo chưa công bố của Newton. Một số ít nhà toán học ở châu Âu lục địa đã đáp lại bằng lời tố cáo ngược về sự đạo văn của Newton. Các nhà toán học Anh và lục địa hầu như không liên lạc với nhau trong một thế kỷ, điều này đã gây ra thiệt hại lớn cho các nhà toán học Anh, nhưng không có bất kỳ ảnh hưởng nào tới các nhà toán học ở lục địa. Họ đã phát triển giải tích thành một công cụ trung tâm của vật lý toán, trong khi các đồng nghiệp của họ ở Anh cứ sôi sục lên vì những lời lăng mạ Newton thay vì khai thác những viễn kiến sâu sắc của ông. Câu chuyện này rối rắm và vẫn còn được tranh cãi trên phương diện học thuật bởi các sử gia khoa học, nhưng nói một cách khoáng đạt, thì Newton và Leibniz đã phát triển những ý tưởng nền tảng của giải tích một cách độc lập – ít ra cũng độc lập trong chừng mực mà nền văn hóa chung về toán học và khoa học của họ cho phép. Các ký hiệu của Leibniz khác với của Newton, nhưng các ý tưởng cơ bản thì khá giống nhau. Dù vậy, trực quan nằm đằng sau chúng thì lại khác nhau. Cách tiếp cận của Leibniz hình thức hơn, và thao tác trên các ký hiệu đại số. Còn Newton thì luôn có trong đầu một mô hình vật lý, ở đó hàm số đang xét là một đại lượng vật lý biến thiên theo thời gian. Đó chính là nguồn gốc của thuật ngữ lạ “fluxion” (dòng chảy và sau này cũng được dùng với nghĩa vi phân) – một cái gì đó flow (chảy/ biến thiên) theo thời gian. Phương pháp của Newton có thể được giải thích bằng ví dụ sau: Một đại lượng y bằng bình phương x2 của một đại lượng x khác. (Đây là hình mẫu mà Galileo đã tìm ra cho một viên bi lăn: vị trí của nó tỉ lệ với bình phương thời gian trôi qua, do đó ở đây có thể coi y là vị trí và x là thời gian. Ký hiệu thông thường của thời gian là t, nhưng hệ tọa độ chuẩn trong mặt phẳng sử dụng x và y). đại lượng o bắt đầu được sử dụng, ký hiệu cho một sự thay đổi nhỏ của x. Độ thay đổi tương ứng của y là hiệu (x + o)2 – x2 hay rút gọn thành 2xo + o2. Tốc độ thay đổi (lấy trung bình trên một khoảng thời gian nhỏ có chiều dài bằng o khi x tăng thành x + o) do đó bằng: Nó phụ thuộc vào o, đúng như trông đợi vì chúng ta lấy trung bình tốc độ thay đổi trên một khoảng khác 0. Tuy nhiên, khi o trở nên ngày càng nhỏ hơn, tiến dần (hay “chảy” dần) tới 0, thì tốc độ thay đổi 2x + o sẽ càng tiến dần tới 2x. Nó không còn phụ thuộc vào o nữa, và nó cho ta tốc độ thay đổi tức thời của x. Về cơ bản, Leibniz cũng đã thực hiện những tính toán giống hệt như vậy, chỉ khác là ông thay ký hiệu o bằng ký hiệu dx (có nghĩa là “sự thay đổi nhỏ của x”), và định nghĩa dy là sự thay đổi nhỏ tương ứng của y. Khi biến y phụ thuộc vào một biến x khác nào đó, tốc độ thay đổi của y đối với x gọi là đạo hàm của y. Newton ký hiệu đạo hàm của y bằng cách thêm dấu chấm ở trên nó: y, còn Leibniz thì dùng ký hiệu . Với các đạo hàm cấp cao hơn, Newton dùng thêm nhiều dấu chấm hơn, trong khi Leibniz dùng các ký hiệu kiểu như d2y dx2. Ngày nay, chúng ta gọi y là một hàm số của x và viết y = f(x), nhưng vào thời điểm đó khái niệm này chỉ tồn tại ở dạng thô sơ. Chúng ta sử dụng cả ký hiệu của Leibniz và cả biến thể ký hiệu của Newton trong đó dấu chấm được thay bằng dấu phẩy, dễ dàng cho in ấn hơn: y’, y’’. Chúng ta cũng viết f ’(x) và f ”(x) để nhấn mạnh rằng, bản thân các đạo hàm cũng là các hàm số. Tính toán các đạo hàm được gọi là phép lấy vi phân. Phép tính tích phân – vốn là phép tính diện tích – hóa ra lại là phép tính ngược của phép tính vi phân – vốn dùng để tính độ dốc của đường cong. Để thấy tại sao, hãy tưởng tượng rằng chúng ta thêm một lát mỏng vào phần bóng mờ ở hình 12. Lát mỏng này thực ra rất gần với một hình chữ nhật mảnh và dài, với chiều rộng là o và chiều cao là y. Do đó diện tích của nó rất gần với oy. Tốc độ mà diện tích này thay đổi, đối với x là tỉ số oy/o, đúng bằng y. Do đó đạo hàm của diện tích chính là hàm ban đầu. Cả Newton và Leibniz đều hiểu rằng cách tính diện tích, một quá trình gọi là phép tính tích phân, là đảo ngược của phép tính vi phân theo nghĩa này. Leibniz ban đầu ký hiệu tích phân bằng ký hiệu omn., viết tắt của omnia, hay từ “tổng” (“sum”) trong tiếng Latin. Sau này ông đổi thành ký hiệu , một chữ s kéo dài theo lối cổ, cũng là để chỉ từ “sum”. Newton không có một ký hiệu hệ thống nào cho tích phân. y xấp xỉ hf(x) x x+h Hình 12 Cộng thêm một lát mỏng vào diện tích bên dưới đường cong y = f(x). Tuy nhiên, Newton đã tạo ra một bước tiến quan trọng. Wallis đã tính được đạo hàm của tất cả các hàm dạng xa: nó bằng ax a –1. Như vậy, đạo hàm của x3, x4, x5 là 3x2, 4x3, 5x4. Ông đã mở rộng kết quả này cho một đa thức bất kỳ, tức một tổ hợp hữu hạn các lũy thừa, ví dụ như 3x7 – 25x4 + x2 – 3. Thủ thuật ở đây là xét từng lũy thừa một cách riêng rẽ, tìm các đạo hàm tương ứng, rồi sau đó kết hợp chúng lại theo cùng một cách. Newton thấy rằng phương pháp này cũng có thể áp dụng cho các chuỗi vô hạn, một dạng biểu diễn bao gồm một số vô hạn các lũy thừa của cùng một biến. Điều đó cho phép ông thực hiện các phép tính vi tích phân trên nhiều biểu thức khác, phức tạp hơn các đa thức. Đưa ra sự đối chiếu sát sao giữa hai phiên bản của phép tính vi tích phân, chỉ khác nhau ở những điểm không quan trọng về ký hiệu, ta có thể dễ dàng hiểu được tại sao lại dấy lên cuộc tranh luận về quyền công bố trước. Tuy nhiên, ý tưởng cơ bản thực ra chỉ là một cách hệ thống hóa khá trực tiếp câu hỏi ẩn sau nó, vì thế dễ thấy tại sao Newton và Leibniz có thể đi đến các phiên bản của mình độc lập với nhau, dù có nhiều nét tương tự. Thực ra, trong mọi trường hợp, với những kết quả của mình, Fermat và Wallis đã vượt trội hơn cả hai người đó. Do đó, cuộc tranh luận này quả là vô nghĩa. Một cuộc tranh cãi mang lại nhiều thành quả hơn, đó là về vấn đề cấu trúc logic của phép tính vi tích phân, hay nói chính xác hơn là cấu trúc phi logic của nó. Người phê phán mạnh nhất là triết gia người Ailen George Berkeley, giám mục xứ Cloyne. Berkeley có một đề tài thảo luận về tôn giáo; ông cảm thấy rằng quan điểm duy vật về thế giới phát triển từ các công trình của Newton biểu thị Chúa như một đấng sáng tạo tách rời, Ngài lùi ra xa, đứng sau các tạo vật của mình ngay khi sự Sáng thế hoàn tất và sau đó Ngài để mặc cho chúng tự vận hành, một Đức Chúa không mấy giống như Chúa được nhân cách hóa và hằng có ở khắp nơi trong đức tin Kitô. Do đó, ông tấn công tính thiếu nhất quán về mặt logic trong chính những nền tảng của giải tích, với hy vọng làm mất uy tín môn khoa học xây dựng từ đó. Sự công kích của ông không có ảnh hưởng đáng kể tới sự phát triển của vật lý toán, bởi một lý do đơn giản: những kết quả thu được nhờ sử dụng giải tích mang lại cho ta sự hiểu biết sâu sắc hơn rất nhiều về thế giới tự nhiên, và rất phù hợp với thực nghiệm, đến nỗi những nền tảng logic dường như không quan trọng. Ngay cả bây giờ, các nhà vật lý vẫn giữ quan điểm này: nếu một lý thuyết vận hành tốt thì ai còn quan tâm đến việc bắt bẻ logic làm gì nữa? Berkeley lập luận rằng sẽ chẳng có ý nghĩa logic gì nếu cứ khăng khăng rằng một đại lượng nhỏ (ký hiệu o của Newton, ký hiệu dx của Leibniz) là khác 0 đối với phần lớn việc tính toán, thế mà sau đó lại cho nó bằng 0, trong khi trước đó bạn đã chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho chính đại lượng rất nhỏ đó. Mà chia cho 0 là một phép toán không tồn tại trong số học, bởi vì nó không có một ý nghĩa rõ ràng nào cả. Chẳng hạn, 0×1 = 0×2, vì cả hai vế đều bằng 0, nhưng nếu ta chia cả hai vế cho 0 ta sẽ được 1 = 2, mà hiển nhiên là điều này không đúng3. Berkeley công bố những chỉ trích của ông trong một cuốn sách nhỏ, xuất bản năm 1734, với tựa đề Nhà giải tích, một thuyết trình gửi tới nhà toán học dị giáo (The Analyst, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician). Thực tế, Newton đã cố gắng tìm giải pháp cho tính logic, bằng cách cầu viện đến sự tương tự trong vật lý. Ông không nhìn o như một đại lượng cố định, mà như một cái gì đó trôi theo dòng, tức là biến thiên theo thời gian, nó ngày càng tiến gần tới 0 nhưng không bao giờ đạt tới đó. Đạo hàm cũng được định nghĩa bằng một đại lượng trôi theo dòng: đó là tỉ số độ thay đổi của y và độ thay đổi của x. Tỉ số này cũng tiến tới một giá trị nào đó, nhưng không bao giờ đạt tới giá trị ấy, giá trị này chính là tốc độ thay đổi tức thời – tức đạo hàm của y đối với x. Berkeley đã gạt bỏ ý tưởng đó như là “bóng ma của một đại lượng đã biến mất”. Leibniz cũng gặp phải những chỉ trích dai dẳng, nhà hình học Bernard Nieuwentijt đã công bố những phê phán của mình vào năm 1694 và 1695. Leibniz đã không biện minh cho phương pháp của mình thông qua các “đại lượng vô cùng bé”, một thuật ngữ dễ gây ra hiểu lầm. Tuy nhiên, ông đã giải thích rằng điều ông muốn nói qua thuật ngữ này là nó không phải là một đại lượng không cố định có thể nhỏ tùy ý (điều này không mang ý nghĩa logic nào cả) mà nó là một đại lượng biến thiên khác 0, có thể trở nên nhỏ tùy ý. Cách biện hộ của Newton và Leibniz về căn bản là như nhau. Đối với các đối thủ của họ, hai cách giải thích này chẳng qua chỉ là sự bịp bợm về ngôn từ mà thôi. """