🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Trắc Nghiệm Nâng Cao Nón – Trụ – Cầu Ebooks Nhóm Zalo ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 0 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT NÓN – KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng Δ . Xét 1 đường thẳng l cắt Δ tại O và không vuông góc với Δ . Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh Δ gọi là mặt nón tròn xoay hay đơn giản là mặt nón - Δ gọi là trục của mặt nón - l gọi là đường sinh của mặt nón - O gọi là đỉnh mặt nón - Nếu gọi  là góc giữa l và Δ thì 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón 0 0 ( ) 0 2 180 < <  1. Hình nón và khối nón Δ O M Cho mặt nón N với trục Δ , đỉnh O và góc ở đỉnh 2 .  Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với Δ tại I khác O. Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo đường tròn (C) có tâm I. Gọi (P') là mặt phẳng vuông góc với Δ tại O. Khi đó: - Phần của mặt nón N giới hạn bởi 2 mặt phẳng (P) và (P') cùng với hình tròn xác định bởi (C) gọi là hình nón. - Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón. 2. Diện tích hình nón và thể tích khối nón S Rl =  với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh. - Diện tích xung quanh của hình nón:xq - Thể tích khối nón: 1 2. V R h =  với R là bán kính đáy, h là chiều cao. 3 Lý thuyết ngắn gọn là thế, tuy nhiên sẽ có rất nhiều bài tập vận dụng cao đòi hỏi khả năng tư duy cao. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Hình nón tròn xoay nội tiếp trong tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng: S a  S a  S a  S a  A. 2 = B. 22 = D. 2 2 xq = C. 23 = xq 4 6 xq 6 xq 3 Câu 2: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:  a 2  a 22  a 23  a 23 A. S xq = B. 3 S xq = C. 3 S xq = D. 3 S xq = 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 3: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. O Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người M N ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài 9dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của là 16 3 hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các A B I P đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh xq S của bình nước là: Q S S dm  A. 9 10 2 = . B. 2 S dm  S dm =  . D. 3 2 S dm =  . C. 2 xq 2 4 10 xq xq 4 xq = . 2 Câu 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h cm = 20 , bán kính đáy r cm = 25 . Một mặt phẳng (P) đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng: A. 2 500 cm B. 2 475 cm C. 2 450 cm D. 2 550 cm Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền 5. Người ta quay tam giác ABC quanh một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón. Hỏi thể tích V khối nón sinh ra lớn nhất là bao nhiêu.  A. 250 3    = B. 25 2 = C. 20 3 V V = D. 250 6 V 27 27 27 V = 27 Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB =1, đáy lớn CD = 3 , cạnh bên AD = 2 quay quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A. V = 3 . B. 43 V =  . C. 73 V =  . D. 53 V =  . Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có  ( ) 0 0 BAD = < < =   0 90 , AD a và  0 ADB = 90 . Quay ABCD quanh AB, ta được vật tròn xoay có thể tích là: A. 3 2 V a =   sin B. 3 2 V a c =    sin . os 2 V a  2 V a   3 sin  3 cos C. = D. = cos  sin  Câu 8: Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là: A. 12. B. 18. C. 14. D. 17. Câu 9: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) mà mặt phẳng vuông góc với SO tại O1 sao cho 113 SO SO = . Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích phần hình nón  nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  RB. 3 3  RC.3  RD.3 A. 7 9 9 26 81  R 52 81 Câu 10: Hình nón tròn xoay có trục SO R = 3 với R là bán kính đáy, thiết diện qua trục của hình nón tạo thành tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SO và E, F ∈SO sao EI FI cho 1.2 = = Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón là điểm: EO FO A. I B. E C. F D. O Câu 11: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R = 5. Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB sao cho tam giác SAB đều, cạnh bằng 8. Khoảng cách từ O đến thiết diện (SAB) là: A. 413 d = C. d = 3 D. 133 d = B. 313 d = 3 4 Câu 12: Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S O r ( ; ) . Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu S O r ( ; ) là R 16 3  R 4 3  R 16 3  R 4 3 A. ( ) . B. +. C. ( ) . D. −. 5 1 − 3 1 2 5 1 5 + 3 2 5 1 Câu 13: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng (P) chia hình nón làm hai phần ( ) N1 và ( ) N2. N1 Cho hình cầu nội tiếp ( ) N2như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của ( ) N2. Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt ( ) N2 theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là N2 A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Câu 14: Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất. A. R = 6 2.. B. R = 4 2. C. R = 2. D. R = 2 2. Câu 15: Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng a , tìm hình nón có thể tích lớn nhất  3 33 Max9a 33 Max27 A. 2 3 Max27a   a V = . B. V = . C. V = . D.  3 2 3 Max9a V = . Câu 16: Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng  . Tính thể tích hình nón lớn nhất? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao . B. 2 . C. 2 . D. 2 A. 2 9 12 2 . 3 Câu 17: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là A. 1 3  R . C. 4 2 3  R . B. 4 3  R . D. 32 3 3 3 9 81  R . Câu 18: Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước có thể tích bằng: A. 1 3  r B. 8 3  r C. 2 3  r D. 4 3 6 3 3 3  r Câu 19: Cho một hình nón (N ) có đáy là hình tròn tâmO . Đường kính 2a và đường cao SO a = . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng (P) vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn (C). Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? aB.3 3 aC.3 aD.3 A. 2. 81 4. 81 7. 81  a 8. 81 Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . A.2h x = . B.3h x = . D.3h x = . C. 23h x = . Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120° . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số. Câu 22: Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước bằng:  RB.2 3 3281 3  RC.3  RD.2 3 6481 A. 64 81 32 81  R Câu 23: Cho nửa đường tròn đường kính AB R = 2 và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt  = CAB  và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm  sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. A.  = ° 60 . B.  = ° 45 . C. 1 arctan2. D.  = ° 30 . Câu 24: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu 1 2 V V, lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. Khi r và h thay đổi, tìm giá trị V bé nhất của tỉ số1 V 2 A. 2 B. 2 2 C. 13D. 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 25: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R cm = 6 . Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng: A. 4 6  cm B. 6 6  cm C. 2 6  cm D. 8 6  cm Câu 26: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1, V2lần lượt là thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số V 1 Vlà 2 A. 54. B. 43. C. 3 . D. 2 . Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất. A.3h d = B.2h d = C.6h d = D.4h d = Câu 28: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Hình nón tròn xoay nội tiếp trong tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng: S a  S a  S a  S a  A. 2 = B. 22 = D. 2 2 xq = C. 23 = xq 4 Hướng dẫn giải: 6 xq 6 xq 3 Gọi S ABC . là tứ diện đều cạnh a. S Gọi H là trung điểm cạnh BC. Kẻ SO ABC ⊥ ( ) thì 32 SH = a là đường sinh của hình nón. Ba điểm A O H , , thẳng hàng. a a HO AH 1 1 3 3 = = = . 3 3 2 6 2 a a a S OH SH  C A H O   3 3 = = = . . . . . B 6 2 4 xq Chọn A. Câu 2: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:  a 2  a 22  a 23  a 23 A. S xq = B. 3 S xq = C. 3 S xq = D. 3 S xq = 6 Hướng dẫn giải: S Kẻ SO ABC SH BC OH BC ⊥ ( ), ⊥ ⇒ ⊥ Ta có: 2 2 3 3 a a OA AH = = = . a 3 3 2 3   a 3 S OA SA a = = xq . . . . 3 A O a S xq =  2 3 3 H C B Chọn C. Câu 3: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. O M N Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài 9dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của là 16 3 A B hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các I P Q đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao S của bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh xq S bình nước là: S dm  A. 9 10 2 = . B. 2 S dm  S dm =  . D. 3 2 S dm =  . C. 2 xq 2 4 10 xq xq 4 xq = . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn B. Xét hình nón: h SO r = = 3 , r OB l SA = = , . Xét hình trụ: 1 h r NQ = = 2 , 1r ON QI = = QI SI r 1 ⇒ = = ⇒ = ⇒ Thể tích khối trụ là: r Δ Δ SQI SBO  1 BO SO 3 3 3 V r h r h   2 16 2 6 2 r = = = ⇒ = ⇒ = 2 2 ⇒ = + = l h r 2 10 9 9 t 1 1 2 4 10 xq ⇒ = = S rl dm   Câu 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h cm = 20 , bán kính đáy r cm = 25 . Một mặt phẳng (P) đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng: A. 2 500 cm B. 2 475 cm C. 2 450 cm D. 2 550 cm Hướng dẫn giải: Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau là SA SB = nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có OI AB ⊥ . Từ tâm O của đáy ta kẻ OH SI ⊥ tại H, ta có OH SAB ⊥ ( ) và do đó theo giả thiết ta có OH cm =12 . Xét tam giác vuông SOI ta có: 1 1 1 1 1 = − = − 2 2 2 2 2 OI OH OS 12 20 ⇒ = OI cm 15( ) Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có: OS OI SI OH . . = OS OI SI cm . 20.15 25 Do đó ( ) = = = OH 12 Gọi St là diện tích của thiết diện SAB. Ta có: 1. S AB SI = , trong đó AB AI = 2 t 2 Vì 2 2 2 2 2 2 AI OA OI = − = − = 25 15 20 nên AI cm = 20 và AB cm = 40 1 2 Vậy thiết diện SAB có diện tích là: ( ) S = = cm . t 2 Chọn A. .40.25 500 Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền 5. Người ta quay tam giác ABC quanh một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón. Hỏi thể tích V khối nón sinh ra lớn nhất là bao nhiêu. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  A. 250 3    = B. 25 2 = C. 20 3 V V = D. 250 6 V 27 Hướng dẫn giải: 27 27 V = 27 1 1 1 2 2 2 25 1 3 Ta có ( ) V r h x y y y y y = = = − = −      . 25 3 3 3 3 3 Xét hàm số25 1 3 V y y = −   với 0 5 < < y . 3 3 Ta có 25 2 5 V y y = − = ⇒ =   . ' 0 3 3  Khi đó thể tích lớn nhất là 250 3 V Chọn A. = . 27 Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB =1, đáy lớn CD = 3 , cạnh bên AD = 2 quay quanh đường thẳng AB . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A. V = 3 . B. 43 V =  . C. 73 V =  . D. 53 V =  . Hướng dẫn giải: Chọn C. Theo hình vẽ: AH HD = = 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích khối trụ có bán kính r AH = =1, chiều cao CD = 3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ). Vậy 2 1 2 2 7 . . 2. . . 3 ⎛ ⎞ V AH CD AH HD     = − = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 3 3 3 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có  ( ) 0 0 BAD = < < =   0 90 , AD a và  0 ADB = 90 . Quay ABCD quanh AB, ta được vật tròn xoay có thể tích là: A. 3 2 V a =   sin B. 3 2 V a c =    sin . os 2 V a  2 V a   3 sin  3 cos = D. = C. cos  sin  Hướng dẫn giải: Kẻ DH AB CN AB ⊥ ⊥ , . Các tam giác vuông HAD và NBC bằng nhau. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao DH CN a = = AH BN a .sin   D C = = .cos ⇒ = = HN AB a cos a  Khi quay quanh AB, các tam giác vuông AHD và NBC tạo thành hai hình nón tròn xoay bằng nhau nên: 2 α A N H B  a 1 2 2 1 2 2 2 2 3sin . . . . . . . . . .sin . ⎛ ⎞        V DH AH DH HN CN BN DH AB a a = + − = = = ⎜ ⎟   3 3 sin cos ⎝ ⎠ Chọn C. Câu 8: Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là: A. 12. B. 18. C. 14. D. 17. Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI . 1 2. ⇒ = V R OI  3 Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại N . Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính 2R r = , có chiều cao là OI 2 2  R OI R OI V 1 . . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Phần dưới 1 3 2 2 24 2 2 2 R OI R OI R OI V V V    . . 7 . là khối nón cụt có thể tích = − = − = . 2 1 3 24 24  V 2 R OI . 1 24 1 Vậy tỉ số thể tích là: = =  2 V R OI 7 . 7 2 24 Câu 9: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) mà mặt phẳng vuông góc với SO tại O1 sao cho 113 SO SO = . Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích phần hình nón  nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón  .  RB.3 3  RC.3  RD.3 A. 7 9 9 26 81  R 52 81 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Gọi thiết diện thu được là AA B B 1 1 SO SO = nên 1 11 1 .2 Vì 113 A B AB R = = 3 3 Mặt khác AB A B 1 1 ⊥ tại I nên 1 1 IO AB IO A B = = , 1 1 1 2 2 R R OO R = + = Vậy 14 3 3 1 2 Dễ thấy 1 1 SO OO = = R 2 3 Từ đó SO R = 2 Gọi thể tích phần hình nón phải tính là V* thì 1 2 V V V * = − , trong đó: V1 là thể tích của hình nón  . V2 là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của  được cắt bởi (P). Ta có thể tích phần hình nón phải tính là 2 3 ⎛ ⎞ R R R R R  1 1 * . . 2 2 V V V OB SO O B SO = − = −   1 2 1 1 1 3 3 1 2 2 52 .2 . = − = ⎜ ⎟ 3 9 3 81 ⎝ ⎠ Câu 10: Hình nón tròn xoay có trục SO R = 3 với R là bán kính đáy, thiết diện qua trục của hình nón tạo thành tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SO và E, F ∈SO sao EI FI cho 1.2 = = Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón là điểm: EO FO A. I B. E C. F D. O Hướng dẫn giải: Gọi O' là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì: r O S O A O B = = = ' ' ' R Ta có: 0 OO OS r R = − = − ' 3cos30 S R R OO R 2 3 3 ' 33 3 = − = R 3 I ' 2 ' 2 3 OO OO ⇒ = = ⇒ = 3 3 3 OI R OI 2 A r R O' O B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Vậy O E ' . ≡ Chọn B. Câu 11: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R = 5. Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB sao cho tam giác SAB đều, cạnh bằng 8. Khoảng cách từ O đến thiết diện ( ) SAB là: A. 413 d = C. d = 3 D. 133 d = B. 313 d = 3 Hướng dẫn giải: 4 SO OAB ⊥ ( ), kẻ SH AB OH AB ⊥ ⇒ ⊥ AB SOH SAB SOH ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ) ( ) Kẻ OI SH ⊥ thì OI SAB ⊥ ( ) nên d OI = 2 2 Δ = − = Δ = − = SOA: OS 64 25 39 ; : 25 16 9 OHA OH 1 1 1 1 1 16 3 3. ⇒ = + = + = ⇔ = 2 2 2 OI OH OS Chọn B. OI 9 39 117 4 Câu 12: Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S O r ( ; ) . Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu S O r ( ; ) là R 16 3 . B.  R 4 3  R 16 3  R 4 3 A. ( ) +. C. ( ) . D. −. 5 1 − 3 1 2 5 1 5 + 3 2 5 1 Hướng dẫn giải: Giả sử hình nón có đỉnh O và đường kính đáy là AB . Ta có 2 2 OA OB R R R = = + = (2 ) 5 . Tam giác OAB có diện tích là 2 S R = 2 , chu vi là 2 2 (1 5) p R = + . Do đó bán kính khối cầu S O r ( ; ) là S R 2 = =+. rp 1 5 3 V r h r  16 2 R 2 3 = = =   Thể tích khối trụ cần tìm là: ( ) . tru 1 5 + 3 Câu 13: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng ( ) P song song với đáy. N1 Mặt phẳng ( ) P chia hình nón làm hai phần ( ) N1 và ( ) N2. Cho hình cầu nội tiếp ( ) N2như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của ( ) N2. Một mặt phẳng đi N2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt ( ) N2theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải: Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ. Gọi  là góc cần tìm. Xét ΔAHD vuông tại H có DH h AH R r = = − , ( ) ( ) 0 ⇒ = = = − h r AH R r 2 .tan tan 1   3 V r  4 3 h Thể tích khối cầu là = =  1 0 3 6 1 2 2 Thể tích của ( ) N2là ( ) V h R r Rr = + +  C D r 2 3 r0 Vh R r Rr 12 1 2 2 2 V= ⇒ = + + ( ) 2 2 h O Ta có BC R r = + (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) α A 2 2 2 h BC R r Rr = − − = 4 3 Mà ( ) ( ) 2 Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 3 ⇒ − = R r Rr 4 2 2 2 2 Từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H K R B 1 , 3 , 4 ⇒ = − = − h R r .tan 4  R r (vì  là góc nhọn) 2 ⇒ = ⇒ = tan 4 tan 2   Chọn A. Câu 14: Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất. A. R = 6 2.. B. R = 4 2. C. R = 2. D. R = 2 2. Hướng dẫn giải: Chọn D. Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất. ΔAKM vuông tại K. Ta thấy IK r = là bán kính đáy của chóp, AI h = là chiều cao của chóp. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 2 2 ( ) IK AI IM r h h = ⇒ = − . 6 . 1 1 2 26 0 6 . ( ) ( ) V r h h h h = = − < <   3 3 16 max V h h ⇔ − 3 2 ⇔ = − + y h h6 max trên(0;6) max 2 3 ( ) Câu 15: Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng a , tìm hình nón có thể tích lớn nhất  3 33 Max9a 33 Max27 A. 2 3 Max27a   a V = . B. V = . C. V = . D.  3 2 3 Max9a V = . Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi h là chiều cao của nón thì bán kính nón là 2 2 r a h = − . Suy ra: 1 1 2 2 2 1 2 3 ( ) ( ) V r h a h h a h h = = − = −    . . . . . 3 3 3 , với 0 < < h a Xét hàm số ( )2 3 f h a h h = − trong (0;a) ta thấy ( )3 a a f h f ⎛ ⎞ 2 Max 3 3 3 = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠hay  3 2 3 Max27a V = . Câu 16: Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng  . Tính thể tích hình nón lớn nhất? . B. 2 . C. 2 . D. 2 A. 2 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. 12 2 . 3 Ta có tp S = 2 ⇔ + =    rl r 2 ⇔ + = rl r 1 suy ra 2 lr− 1 r = và 1 + = . l rr Có 1 2 V r h = 1 2 2 2 = −  r l r 1 2 = −  r r . 3 3 3 1 2 ⎡ ⎤ 2 y f x x x = = −1 2 trên đoạn 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦= tại 12 Xét hàm số ( )2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ta có ( ) f x  Vậy max1 2 2 0;2 max4 2 0;2 x = . V = =  . . 3 4 12 Câu 17: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A. 1 3  R . C. 4 2 3  R . B. 4 3  R . D. 32 3 3 Hướng dẫn giải: 3 9 81  R . Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong một khối cầu thì khối nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớn hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai khối nón đó. O Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn ( ) C bán kính r . Gọi x x với f x ′( ) là khoảng cách giữa tâm khối cầu đến đáy khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu với đáy là hình tròn ( ) C sẽ là h R x = + . Khi đó bán kính đáy nón là 2 2 r R x = − , suy ra thể tích khối nón là R R r ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 12 2 V r h R x R x R x R x R x R x R x R x = = + − = + + − = + + −     3 3 3 6 Áp dụng BĐT Cô-si ta có ( )33 1 2 2 32 + + + + − R x R x R x R  V ≤ = 6 27 81 Chọn D. Câu 18: Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước có thể tích bằng: A. 1 3  r B. 8 3  r C. 2 3  r D. 4 3 6 Hướng dẫn giải: 3 3 3  r Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB ( ) h b .79 Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y x y r ( > > 0, 2 ) thì ( ) 1. AH SA r AB SH + = 2 ( )2 \ 2 2 2 r y ⇔ + + = ⇔ =− x x y r xy xy r 2 Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là 1 1: 2 2 y 2 = =  − V x y ry r 2 3 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 2 2 2 2 2 y y r r r − + 4 4 4 = = + + y r Ta có 2 y r y r y r − − − 2 2 2 4 r 2 4 r 2 −( ) = − + + y r r 2 4 y r 2 ≥ − + = 2 2 . 4 8 y r r r y r − 2 2 4 r 1.8 Từ đó 3 V r ≥  , tức là V2đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi 2 3 đó x r = 2 . y r y r − = ⇔ = 2 4 −từ y r 2 Câu 19: Cho một hình nón (N ) có đáy là hình tròn tâmO . Đường kính 2a và đường cao SO a = . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng (P) vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn (C). Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? aB.3 3 aC.3 aD.3 A. 2. 81 4. 81 7. 81  a 8. 81 Hướng dẫn giải: Gọi ( ) là mặt phẳng qua trục của hình nón (N ) cắt hình nón (N ) theo thiết là tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn (C)theo thiết diện là tam giác SCD, gọi I là giao điểm của SO và CD . Ta có: AB a OA a SO = ⇒ = = 2 .Do đó tam giác SOA vuông cân tại S .Suy ra tam giác SIC vuông cân tại I .Đặt SI AC x x a OI a x = = < < ⇒ = − (0 ) Thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (C)là: 1 2 1 2 1 3 2 . . . . . ( ) ( ) 1 2 V IC OI x a x x ax =  = − = − +   . ( ) ( ) V x x ax = − +  3 3 3 ⎡ = ' . . 3 2 3 ( ) x ⎢ = ⇔ ⎢ = 0 V x a ' 0 . 2 ⎣ x 3 Bảng biến thiên: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chọn B. Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . A. 2h x = . B. 3h x = . D. 3h x = . Hướng dẫn giải: x = . C. 23h Gọi r R, theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . OA là một đường sinh của hình nón, B là điểm chung của OA với khối trụ. Ta có: ( ) r h x R r h x − = ⇒ = − . R h h 2 2( ) R 2 2 = = −   Thể tích khối trụ là: V xR x h x h 2 Xét hàm số ( ) ( ) , 0 R 2 = − < <  . V x x h x x h 2 h 2 Ta có R h = − − = ⇔ = =  V x h x h x x x h '( ) ( )( 3 ) 0 hay . 2 h Bảng biến thiên: 3 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là 3h x = ;. Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120° . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A. 2. B. 3. C. 1. D. vô số. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi r là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh ASA ASO ′ = ° ⇒ = ° 120 60  . Suy ra .cot3r SO OA ASO = = . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi H là trung điểm của AM và đặt x OH = . r 2 Ta có: 2 2 2 SH SO OH x = + = + , 2 2 2 2 AM AH OA OH r x = = − = − 2 2 2 . 3 2 1 2 2 2 2 2 Diện tích tam giác ΔSAM bằng r s SH AM x r x r = = + − ≤ . . . 2 3 3 2 2 2 r r r 2 2 2 2 2 s r = đạt được khi + = − ⇔ = ⇔ = x r x x x . Tức là OH SO = . max 3 3 3 3 Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu. Câu 22: Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước bằng:  RB.2 3 3281 3  RC.3  RD.2 3 6481 A. 64 81 32 81  R Hướng dẫn giải: Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y (0 ,0 2 < ≤ < < x R y R) . Gọi SS ' là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón thì ta có 2 ( ) 1 1 . 2 2 x y R y = − 2 . Gọi V1là thể tích khối nón thì ( ) V x y y y R y = = −   6R y y y  (4 2 . . ) = − 1 3 3  ⎛ R y y y R − + + ⎞  4 2 32 ≤ ⎜ ⎟ = 6 3 81 ⎝ ⎠ 3 3 3  Rkhi và chỉ khi 4 2 R y y − =43R Vậy thể tích V1đạt giá trị lớn nhất bằng 32 81 ⇔ = y , từ 2 R R R x R ⎛ ⎞ 2 4 4 8 2 đó = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ hay 2 2 R Chọn C. 3 3 9 x = . 3 Câu 23: Cho nửa đường tròn đường kính AB R = 2 và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt  = CAB  và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm  sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. A.  = ° 60 . B.  = ° 45 . C. 1 arctan2. D.  = ° 30 . Hướng dẫn giải: Chọn C.   . cos 2 .cos AC AB R = =    CH AC R = = .sin 2 .cos .sin ; 2   AH AC R .cos 2 .cos = = Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 1 2 3 4 2 8 2 V AH CH R =  =   . Đặt ( ) . .cos .sin 3 3 t = < < cos 0 1  t 8 3 2 1 3 8 3 8 2 2 3 t t t R t t t R ⎛ + + − ⎞ ⇒ = − V R t t ( ) 3 ( ) = − ≤ ⎜ ⎟ . . 2 2 6 6 3 ⎝ ⎠ t = khi 1 Vậy V lớn nhất khi 23  = . arctan2 2 Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm ( ) ( ) f t t t = −1 Câu 24: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu 1 2 V V, lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. Khi r và h thay đổi, tìm giá trị V bé nhất của tỉ số1 V 2 A. 2 B. 2 2 C. 13D. 2 Hướng dẫn giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì (P) cắt hình nón. Theo tam giác cân SAB , cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân. Khi đó, bán kính 1r của hình cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công rh thức 12 2 rr h r =+ + 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ++ + ⎝ ⎠ h 2 1 11 1 1 1 3 2 ( ) V r x 1 = = , ở đó 2 V h x 2 hx r= > 20 4 4 2 r 2 3 2 Xét ( )( )( )( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 + + + + − − + x x x x f x f x , ' = =+ 2 4 4.2 1 x x x Vì ( )2 1 10 + +> x +nên khi xét dấu của f x( ) , ta chỉ cần xét dấu của 2 4.2 1 x x g x x x ( ) = − − + 2 2 1 . Ta có ( )1 = −+. Dễ thấy g x ' 0 ( ) > vì khi x > 0 thì 11 g xx ' 11 g x x ( ) = ⇔ = 0 8 Vậy g x( ) là hàm tăng trên miền x > 0 và g (8 0 ) = nên x 1< +, đồng thời File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Với 0 8 < ≤x thì g x( ) ≤ 0; Câu 25: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R cm = 6 . Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng: A. 4 6  cm B. 6 6  cm C. 2 6  cm D. 8 6  cm Hướng dẫn giải: Gọi x x , 0 ( > ) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón. Như vậy, bán kính R của hình nón sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x. Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức r NI M R h  r x r = ⇒ = x 2 . S  2 Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: 2 2 2 h R r R x 2 = − = −  4 2. 2 2 Thể tích của khối nón: x x V r h   R 1 1. ⎛ ⎞ 2 2 = = ⎜ ⎟ − 2   3 3 2 4 ⎝ ⎠ Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 2 2 2 ⎛ ⎞ x x x R 2 ⎜ + + − ⎟ ⎛ ⎞ 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2       x x x R 4 4 8 8 4 4 2 2 = ⎜ ⎟ − ≤ ⎜ ⎟ = . . . V R 2 2 2    9 8 8 4 9 3 9 27 ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 x x R x R   2 2 6 6 6 4 6. 2 Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi: Chọn A.  = − ⇔ = = = 2 2   8 4 3 3 (Lưu ý bài có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài sẽ dài hơn) Câu 26: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1, V2lần lượt là thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số V 1 Vlà 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A. 54. B. 43. C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải: 1 Ta có: Thể tích khối nón là 2 V r h =  . 1 3 Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác của góc SBO , cắt SO tại I. 2 2 IO OB r r h IS IO Ta có: + = = ⇒ = ⋅ IS SB r r h 2 2 + Mặt khác: IO IS h + = Do đó ta có bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp là rh R IOr h r = =+ + 2 2 3 3 r h V R 4 4 3 Thể tích khối cầu là = =   . 2 3 3 3 2 2 ( ) r h r + + 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + 3 1 1 h 2 2 2 2 ( ) Vr r h r + + ⇒ = ⎝ ⎠ = . Đặt 12 2 V rh h 2 2 44 2 r 3 2 = + (t ≥1 ) ( ) ( ) + + V t t 1h 1 1 1 tr ⇒ = = 2 2 ( ) ( ) 4 1 4 1 V t t − − 2 Đặt ( )( )2 2 f tt+ t 1 t t f tt− − ′ =−, f t t ′( ) = ⇔ = 0 3, f (3 8 ) = 2 3 =−, Điều kiện: t ≥1, ( )( ) 1 V 1 2 BBT ⇒ ≥ ∀ ≥ f t t ( ) 8 1 1 ⇒ ≥ 2 V 2 Chọn D. Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất. A.3h d = B.2h d = C.6h d = D.4h d = Đáp án: A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Giải: Gọi r là bán kính của (L). r h d R r h d − Ta có ( ) = ⇒ = − R h h ( ) ( )( )( ) ( )3 2 2 2 2 R R R h d h d d R h V h d d h d h d d   ⎛ − + − + ⎞ 2 4  2 ⇒ = − = − − ≤ ⎜ ⎟ = . .2 2 2 2 h h h 2 2 3 27 ⎝ ⎠ Dấu bằng xảy ra khi 23h h d d d − = ⇔ = . Câu 28: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm Hướng dẫn giải: Đặt a cm = 50 . Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là x y x y , , 0 ( > ). Ta có 2 2 2 2 SA SH AH x y = + = + Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là 2 2 2 tp S x x x y = + +   Theo giả thiết ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  + + = ⇔ + + = ⇔ + = −  x x x y a x x y x a x x y a x 4 a 2 2 2 4 4 2 2 2 ( ) ( ) ⇔ + = + − < ⇔ =+ x x y a x a x DK x a xy a 2 2 2 , :2 Khi đó thể tích khối nón là 4 1 1 a y 4 =  =  V y a . . . 2 2 2 2 3 2 3 2 y a y a + + V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 y a2 +đạt giá trị nhỏ nhất y Ta có 2 2 2 2 . 2 2 y a a a += + ≥ = y y a y y y 2 2a a Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi yy = , tức là 2 25 y a x cm = ⇒ = = 2 Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng biến thiên cũng được nhé File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa mặt trụ - Cho đường thẳng Δ. Xét 1 đường thẳng l song song với Δ, cách Δ một khoảng R. Khi đó: Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế được gọi là mặt trụ tròn xoay hay đơn giản là mặt trụ. - Δ gọi là trục của mặt trụ, l gọi là đường Δ R M1 M R sinh và R gọi là bán kính mặt mặt trụ. l l1 2. Hình trụ và khối trụ Cắt mặt trụ (T ) trục Δ, bán kính R bởi 2 mặt phẳng phân biệt (P) và (P') cùng vuông góc với Δ ta được giao tuyến là hai đường tròn (C C ), ' . ( ) a) Phần mặt trụ (T ) nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') cùng với hai hình tròn xác định bởi (C C ), ' ( ) được gọi là hình trụ. - Hai đường tròn (C C ), ' ( ) được gọi là hai đường tròn đáy, 2 hình tròn xác định bởi chúng được gọi là 2 mặt đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính hình trụ. Khoảng cách giữa 2 mặt đáy gọi là chiều cao của hình trụ. - Nếu gọi O và O’ là tâm hai hình tròn đáy thì đoạn OO’ gọi là trục của hình trụ - Phần mặt trụ nằm giữa 2 đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ. b) Hình trụ cùng với phần bên trong của nó gọi là khối trụ. 3. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ Với R là bán kính đáy, h là chiều cao. S Rh =  - Diện tích xung quanh của hình trụ: 2 xq - Diện tích toàn phần của hình trụ: 2 2 2 2 . tp xq day S S S Rh R = + = +   - Thể tích khối trụ2 V R h =  ( chiều cao nhân diện tích đáy). Trước hết tôi xin nhắc lại, hai bài trong đề Minh họa tháng 10 vừa rồi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hai bài này chỉ ở mức vận dụng thấp. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. A. 3 4R B. 3 3R D. 3 R 2R C. 3 Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa đường chéo mỗi mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đó. A. 1 33 V a =  B. 3 V a =  3 C. 1 33 V a =  D. 2 33 3 2 V a =  3 Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích khối trụ đó.  a h B.2  a h D.2 2  a h C.2  a h A. 3 2 3 5 3 2 3 Câu 4: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB a = 2 . Tính thể tích của khối tứ diện OO' . AB aC. 3 aB. 3 33 aD. 33 A. 12 12 5 3 12 a 2 Câu 5: Cho một hình trụ có bán kính đáy R = 5, chiều cao h = 6. Một đoạn thẳng AB có độ dài bằng 10 và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ? A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. A. d cm = 50 B. d cm = 50 3 C. d cm = 25 D. d cm = 25 3 Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho AB R = 2 . Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R. A. 2RB. 3RC. 5RD. 4R Câu 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Bên trong hình trụ có một hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp. Nếu thể tích hình lăng trụ là V thì thể tích hình trụ bằng bao nhiêu?  V  V  V  V A. 2 = B. 3 = C. 4 V V V = D. 5 Tru Tru Tru V Tru = Câu 9: Cho AA B B ' ' là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O). Cho biết AB = 4, AA'=3 và thể tích của hình trụ bằng V = 24 .  Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (AA ' ' B B) là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A. d =1 B. d = 2 C. d = 3 D. d = 4 Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D . ' ' ' '. Gọi O’, O là tâm của hai hình vuông ABCD và A B C D ' ' ' ' và O O a ' . = Gọi V1là thể tích của hình trụ tròn xoay đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông ABCD A B C D , ' ' ' ' và V2là thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ V và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Tỉ số thể tích 1 Vlà: 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 Câu 11: Cho lăng trụ ABC A B C . ' ' ', đáy ABC là tam giác có AB AC = = 5, 8 và góc ()0 AB AC , 60 . = Gọi V V, ' lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số'? V V A. 949B. 94C. 1949D. 2949 Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn (O) và (O′), chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng ( ) đi qua trung điểm của OO′ và tạo với OO′ một góc 30° , ( ) cắt đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo R . A. 43 3R. B. 2 2 R. C. 23R. D. 23R. 3 Câu 13: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Hai điểm A B, lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 0 30 . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng: A. R. B. R 3. C. 3. RD. 3. R 2 4 Câu 14: Cho hình trụ có chiều cao h = 2, bán kính đáy r = 3.Một mặt phẳng(P) không vuông góc với đáy của hình trụ, làn lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD sao cho ABCD là hình vuông. Tính diện tích S của hình vuông ABCD . A. S =12 .  B. S =12. C. S = 20. D. S = 20 .  Câu 15: Cho một khối trụ có bán kính đáy r a = và chiều cao h a = 2 . Mặt phẳng ( ) P song song với trục OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1là thể tích phần khối trụ chứa trục V OO ', V2là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số1 V, biết rằng ( ) P cách OO ' một 2 khoảng bằng 22 a.  A. 3 22    −. B. 3 22 −. C. 2 32 + −. D. 2 32 −   +   − −. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 16: Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính mối quan hệ giữa bán kính đáy và chiều cao hình trụ sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2h R = B. 3h R = C. 5h R = D. 4h R = Câu 17: Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là A. 32V   = . B. 34 = D. 3V R  = C. R 3V RV R =  Câu 18: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: S S R h A. 1 S S R h = = . B. ; ;   2 2 2 C. 2 2 ; 4 S S R h = = .   4 4 S S R h = = . D. ; 2   3 3 = = .   6 6 Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là R 17 và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón A. 5 3  R . B. 1 3  R . C. 4 3  R . D. 5 3 12 3 3 6  R . Câu 20: Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là R. C. 4 3 A. R 3 . B. 3 R. D. 2 3 3 3 R. 3 (S ) R h r Câu 21: Cho mặt cầu bán kính . Một hình trụ có chiều cao và bán kính đáy thay đổi nội h R tiếp mặt cầu. Tính chiều cao theo bán kính sao cho diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất h R = 2 h R =2R h =2 h = R A. . B. . C. . D. . 2 Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A. 6 R r = B. 23R r = C. 23R r = D. 23R 3 r = Câu 23: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối ( ) H như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích của ( ) H . A. ( ) 192 V H =  . B. ( ) 275 V H =  . C. ( ) 704 V H =  . D. ( ) 176 V H =  . Câu 24: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối ( ) H như hình vẽ. biết rằng thiết diện là một elip có độ dài trục lớn là 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14. Tính thể tích của ( ) H V =  B. ( ) 176 H K N 14 8 A. ( ) 275 H V =  V =  D. ( ) 704 H C. ( ) 192 H V =  A B Câu 25: Cho hình vẽ bên. Tam giác SOA vuông tại O có MN SO € với M N, lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO h = không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R OA = . Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. A. 2h MN = B. 3h MN = C. 4h MN = D. 6h MN = S M A O N File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. A. 3 4R B. 3 3R D. 3 R 2R C. 3 Hướng dẫn giải: D' Giả sử ABCDA B C D ' ' ' ' là khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho. Từ giả thiết, suy ra hình trụ có chiều cao h R = 2 và đáy ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính R. O' A' C' B' D Do đó 2 R AC R AB R = ⇒ = = 2 2 A 2 Diện tích hình vuông ABCD là: ( )22 2 2 ABCD S R R = = O B C Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là: 2 3 . 2 .2 4 . V S h R R R = = = ABCD Chọn A. Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa đường chéo mỗi mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đó. A. 1 33 V a =  B. 3 V a =  3 C. 1 33 V a =  D. 2 33 3 2 Hướng dẫn giải: Xét hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C . ' ' ' có cạnh đáy AB a = , góc của đường chéo A’B với mặt đáy ( ABC) là  0 A BA ' 60 . = Suy ra: 0 h a a = = = AA' .tan 60 3. Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ có cùng V a =  3 C' B'A' đường cao là A’A, đáy là đường tròn ngoại tiếp hai mặt đáy ( ABC A B C ), ' ' ' ( ), có bán kính R cho bởi 33a R a R = ⇒ = Thể tích khối trụ: C B a A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao a 2 2 1 3 ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠(đvdt). V R h a a    3 3 3 3 Chọn A. Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích khối trụ đó.  a h B.2  a h D.2 2  a h C.2  a h A. 3 2 3 5 3 2 3 Hướng dẫn giải: Hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do ABC là tam giác đều cạnh a nên hình trụ có bán kính là: a a R OA AM = = = = 2 2 3 3 . 3 3 2 3 với M AO BC = ∩ Chiều cao của hình trụ bằng chiều cao của lăng trụ là h. Vậy thể tích khối trụ là: A' A C' O'M' C M O B' B  ⎛ ⎞ 22  a a h V R h h 2 3. = = ⎜ ⎟ = 3 3 ⎝ ⎠ Chọn A. Câu 4: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB a = 2 . Tính thể tích của khối tứ diện OO' . AB aC.3 aB. 3 33 aD. 33 A. 12 12 5 3 12 a 2 Hướng dẫn giải: Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xúng của A’ qua O’ và H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng A D’ . BH A DBH AOOA ⎧ ⊥ '' ⎨ ⇒ ⊥ BH AA ( ) ⎩ ⊥ ' Do đó, BH là chiều cao của tứ diện OO' AB 1 Thể tích khối tứ diện ' OO' : . . AB V S BH = ΔAOO 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Tam giác AA B' vuông tại A’ cho: 2 2 2 2 A B AB A A a a a ' = − = − = ' 4 3 Tam giác 2 2 2 2 A B A D A B a a a ' ' ' 4 3 . = − = − = H A' D O' Suy ra BO D' là tam giác đều cạnh a. Từ đó 3. 2a B BH = a 2 Do OA = OO'=a nên tam giác AOO' vuông cân tại O. A a O Diện tích tam giác AOO' là: 1 1 .OO'= 2 2 2 AOO S OA a Δ = ' 3 a a V = a = Vậy Chọn A. 1 3 1 3 2 . . . 3 2 2 12 Câu 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Bên trong hình trụ có một hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp. Nếu thể tích hình lăng trụ là V thì thể tích hình trụ bằng bao nhiêu?  V  V  V  V A. 2 = B. 3 = C. 4 V V V = D. 5 Tru Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy lăng trụ là a. Tru Tru V Tru = Thiết diện qua hình trụ là hình vuông. B B BD R a BB a DD ' ': 2 2 ' 2 = = ⇒ = Thể tích lăng trụ bằng V . 22V 2 3 ⇔ = ⇔ = a a V a Thể tích hình trụ tính theo a : D' C' O' A' B' ⎛ ⎞ 23  a a 2 2 D . 2 V a = ⎜ ⎟ = C tru 2 2 ⎝ ⎠ O V V V a V   Thay 3 2 = = = . : . tru 2 2 2 2 Chọn A. A B Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là R 17 và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón A. 5 3  R . B. 1 3  R . C. 4 3  R . D. 5 3 12 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có 3 3 6  R . 2 2 2 2 17 4 2 ,2R SI SB IB R R R SE R EF = − = − = ⇒ = = . Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI ) là 1 4 .4R 2 3 V R R = =   . 1 3 3 Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE ) là 2 1 1 R ⎛ ⎞ 3 V  R R = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ ⎠ .2 3 2 6 7 Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là 3 V V V V R = − =  . Thể tích khối trụ là là 2 3 4 V R R R = =   .2 2 . 3 1 2 2 5 6 Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là 3 V V V R = − =  . 4 3 6 Câu 23: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối ( H ) như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích của ( H ) . A. ( ) 192 V H =  . B. ( ) 275 V H =  . C. ( ) 704 V H =  . D. ( ) 176 V H =  . Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chọn D. Đường kính đáy của khối trụ là 2 2 10 6 8 − = Bán kính đáy của khối trụ là R = 4 Thể tích của khối trụ H1 là 2 2 1 1 V R h = = =    . . .4 .8 128 . Thể tích của khối trụ H2 là 2 2 2 2 V R h = = =    . . .4 .6 96 . 1 1 V V V = + = + =    . Thể tích của H là 1 2 128 .96 176 2 2 Câu 24: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối ( H ) như hình vẽ. biết rằng thiết diện là một elip có độ dài trục lớn là 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14. Tính thể tích của ( H ) V =  B. ( )176 H K N 14 8 A. ( )275 H V =  V =  D. ( )704 H C. ( )192 H Hướng dẫn giải: V =  A B Dùng một mặt phẳng đi qua N và vuông góc với trục của hình ( H ) cắt hình ( H ) thành 2 phần có thể tích lần lượt là , V V tren duoi Ta có 2 2 2 8 4 . . 128 MN NK KM R V R h = − = ⇒ = ⇒ = = daytru duoi   Phần phía trên có thể tích bằng một nửa của hình trụ có N 1 R h V = = ⇒ = = tren   4, 6 .16.6 48 2 V = + =    Vậy ( )128 48 176 H K M A B Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D . ' ' ' '. Gọi O’, O là tâm của hai hình vuông ABCD và A B C D ' ' ' ' và O O a ' . = Gọi V1là thể tích của hình trụ tròn xoay đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông ABCD A B C D , ' ' ' ' và V2là thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ V và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Tỉ số thể tích 1 Vlà: 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm của AB thì tam File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao giác OAM vuông cân tại M. 2 1 B C R OA R OM = = = = ; 1 2  2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ R2 O R1 . 2 1 3 : 6 1 2 4 V R h 1 1 = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = M VR h ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  2 . 22 3 Chọn D. D B Câu 11: Cho lăng trụ ABC A B C . ' ' ', đáy ABC là tam giác có AB AC = = 5, 8 và góc ( )  0 AB AC , 60 . = Gọi V V, ' lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số'? V V A. 949B. 94C. 1949D. 2949 Hướng dẫn giải: Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác ABC ta c A' O' 2 2 2 0 1 BC AB AC AB AC c = + − = + − = 2 . . os60 25 64 2.5.8. 49. 2 Diện tích tam giác ABC là: 1 0 1 3 . .sin 60 .5.8. 10 3. S AB AC = = = 8 2 2 2 600 A O Mặt khác: 5 AB AC BC SR . ., C' B' C B = với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 4 tam giác ABC. AB AC BC RS . . 5.8.7 7 3. ⇒ == = = 4 ABC 4.10 3 3 110 ABC S pr = trong đó ( ) Ngoài ra: , p AB BC AC = + + = và r là bán kính đường tròn nội 2 tiếp tam giác ABC 10 3 3 ABC S ⇒ = = = rp 10 Hình trụ ngoại tiếp và nội tiếp lăng trụ đã cho có bán kính đáy lần lượt là R r, và có chiều cao bằng chiều cao của hình lăng trụ. Giả sử h là chiều cao hình lăng trụ, ta có: 2 V R h =  và 2 V r h =  Vậy ' 9. V V= Chọn A. 49 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 15: Cho một khối trụ có bán kính đáy r a = và chiều cao h a = 2 . Mặt phẳng ( ) P song song với trục OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1là thể tích phần khối trụ chứa trục V OO ', V2là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số1 V, biết rằng ( ) P cách OO ' một 2 khoảng bằng 22 a.  A. 3 22    −. B. 3 22 −. C. 2 32 + −. D. 2 32 −  Hướng dẫn giải:  +   − −. Thể tích khối trụ2 2 3 V r h a a a = = =    .2 2 . Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABB A' ' . Dựng lăng trụ ABCD A B C D . ’ ’ ’ ’ như hình vẽ. Gọi H là trung điểm AB. Ta có OH AB OH ABB A ⊥ ⇒ ⊥ ( ' ') ⇒22 a OH = ⇒22 a AH BH OH = = = . ⇒ ΔOAB vuông cân tại O ⇒ ABCD là hình vuông. Từ đó suy ra: ( ) ( )3  1 1 ( 2) 2 ( 2) .2 − 3 2 a = − = − = . V V V a a a 2 . ' ' ' ' ABCD A B C D 4 4 2 3 3 V a a V V V a   − + ( 2) (3 2) 22 2 3  3 2 + = − = − = . Suy ra 1 =−. 1 2 Chọn A. V 2  2 Câu 5: Cho một hình trụ có bán kính đáy R = 5, chiều cao h = 6. Một đoạn thẳng AB có độ dài bằng 10 và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ? A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Gọi hai đường tròn đáy là (O O ), ' ( ) và A O B O ∈ ∈ ( ), ' . ( ) Kẻ hai đường sinh AD BC , ta được tứ giác ABCD là một hình chữ nhật và mp ABCD ( ) / /OO'. Do đó, khoảng cách giữa OO’ và AB O' B D C I File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 33 O Facebook: https://www.facebook.com/dongpay A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao bằng khoảng cách từ O đến mp ABCD ( ). Tam giác ACB vuông tại C nên ta có: 2 2 2 2 AC AB BC = − = − = 10 6 8. Gọi I là trung điểm AC, ta có: OI ACOI ABCD ⎧ ⊥ ⎨ ⇒ ⊥ OI AD ⎩ ⊥ ( ) Vậy khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO’ của hình trụ là: 2 2 2 2 OI OA IA = − = − = 5 4 3. Chọn B. Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. A. d cm = 50 B. d cm = 50 3 C. d cm = 25 D. d cm = 25 3 Hướng dẫn giải: A O Kẻ AA1 vuông góc với đáy, A1 thuộc đáy. Suy ra: OO AA OO AA B d OO AB d OO AA B d O AA B 1 1 1 1 / / / / ⇒ ( ) ⇒ ( 1, ) = ( 1 1 ,( )) = ( 1 1 ,( )) Tiếp tục kẻ O H A B 1 1 ⊥ tại H, vì O1H nằm trong đáy nên cũng vuông góc với A1A suy ra: ( ) O H AA B 1 ⊥ 1. Do đó ( 1 ) ( 1 1 ( )) ( 1 1 ( )) 1 d OO AB d OO AA B d O AA B O H , = , = , = Xét tam giác vuông AA B1ta có 2 2 1 1 A B AB AA = − = 50 3 Vậy 2 2 1 1 1 1 O H O A A H cm = − = 25 Chọn C. A1 B I O1 K H Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho AB R = 2 . Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R. A. 2RB. 3RC. 5RD. 4R Hướng dẫn giải: Giả sử A∈ đường tròn O, B O∈ '. Từ A vẽ đường song song OO’ cắt đường tròn (O ') tại A’. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Vẽ O’H vuông góc A B’ . Từ H vẽ đường thẳng song song với OO’, A cắt AB tại K. Vẽ KI O H / / ' . Ta có: O H A B ' ' ⊥ và AA ' nên: O H mp AA B O H HK ' ⊥ ⇒ ⊥ ( ' ' ) và AB Vậy tứ giác KIO H' là hình chữ O I K nhật ⇒ ⊥ KI OO'. Vậy KI là đoạn vuông góc chung của AB và OO '. ' ΔAA B vuông 2 2 2 2 2 2 ⇒ = − = − = A B AB AA R R R ' ' 4 3 . O' A'H B Do H trung điểm A’B nên: 2 2 3 2 2 2 2 3 R R R HA O A H O H O A A H R = Δ ⇒ = − = − = ' . ' ' ' ' ' 2 4 4 Do đó: ( ,OO' ' . )2R d AB KI O H = = = Chọn A. Câu 9: Cho AA B B ' ' là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O). Cho biết AB = 4, AA'=3 và thể tích của hình trụ bằng V = 24 .  Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (AA ' ' B B) là: A. d =1 B. d = 2 C. d = 3 D. d = 4 Hướng dẫn giải: Kẻ OH AB ⊥ thì OH AA B B ⊥ ( ' ' ) Và 12 AH AB = = 2 Ta có 2 2 V OA AA OA = = . . ' 3 Mà 2 V OA = ⇒ = 24 8  2 2 2 2 : 8 4 4 Δ = = − = − = OAH d OH OA AH ( ( )) ⇒ = = d O d , AA'B'B 2 Chọn B. B' A' B H A O' O Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn (O) và (O′), chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng ( ) đi qua trung điểm của OO′ và tạo với OO′ một góc 30° , ( ) cắt đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo R . A. 43 3R. B. 2 2 R. C. 23R. D. 23R. 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn B. Dựng OH AB ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ AB OIH OIH IAB ( ) ( ) ( ) ⇒ IH là hình chiếu của OI lên ( ) IAB Theo bài ta được OIH = ° 30 Xét tam giác vuông OIH vuông tại O R ⇒ = ° = OH OI 3 tan 303 Xét tam giác OHA vuông tại H 2 2 6 2 6 R R ⇒ = − = ⇒ = AH OA OH AB 3 3 Câu 13: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3. Hai điểm A B, lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 0 30 . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng: A. R. B. R 3. C. 3. RD. 3. R 2 4 Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA O B R = = ' . Gọi AA' là đường sinh của hình trụ thì O A R AA R ' ' , ' 3 = = và  0 BAA' 30 = . Vì OO ABA ' '  ( ) nên d OO AB d OO ABA d O ABA ⎡ ⎤ ⎡ ',( ) ( ) ( ) = ', ' ', ' . ⎤ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Gọi H là trung điểm A B' , suy ra O H A BO H ABA ( ) ' '' ' ⊥ ⎫⎬ ⇒ ⊥ ⊥ ⎭nên d O ABA O H ⎡ ⎤ ', ' ' ( ) = ⎣ ⎦ . O H AA ' ' Tam giác ABA' vuông tại A' nên 0 BA AA R ' 'tan 30 . = = Suy ra tam giác A BO ' ' đều có cạnh bằng R nên 3 O H = R Chọn C. ' . 2 (S ) R h r Câu 21: Cho mặt cầu bán kính . Một hình trụ có chiều cao và bán kính đáy thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao theo bán kính sao cho diện tích xung quanh hình trụ lớn h R nhất File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao h R = 2 h R =2R h =2 h = R A. . B. . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 2 ; ,4h OO h IA R AO r r R ′ = = = ⇒ = − Ta có . Diện tích xung quanh của hình trụ 2 2 2 h R h S rh h R h   + − 2 2 4 , = = − ≤ 2 42 2 2 a b ab + (dùng BĐT ). ≤ 2 2 2 2 2 max S R h R h h R = ⇔ = − ⇔ = 2 4 2 Vậy . Câu 14: Cho hình trụ có chiều cao h = 2, bán kính đáy r = 3.Một mặt phẳng(P) không vuông góc với đáy của hình trụ, làn lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD sao cho ABCD là hình vuông. Tính diện tích S của hình vuông ABCD . A. S =12 .  B. S =12. C. S = 20. D. S = 20 .  Hướng dẫn giải: Kẻ đường sinh BB’ của hình trụ. Đặt độ dài cạnh của hình vuông ABCD là x, x > 0. CD BCCD B C B CD ⎧ ⊥ Do ' ' ⎩ ⊥vuông tại C. Khi đó, B’D là đường kín⎨ ⇒ ⊥ ⇒ Δ CD BB ' Tròn (O ') . Xét ΔB CD ' vuông tại C 2 2 2 2 2 2 ⇒ = + ⇒ = + B D CD CB r x CB ' ' 4 (1) Xét tam giác ΔBB'C vuông tại B 2 2 2 2 2 2 ⇒ = + ⇒ = + BC BB CB x h CB ' ' ' (2) 2 2 r h x+ 2 420 Từ (1) và (2) ⇒ = = . 2 Suy ra diện tích hình vuông ABCD là S = 20 . Câu 16: Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính mối quan hệ giữa bán kính đáy và chiều cao hình trụ sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2h R = B. 3h R = C. 5h R = D. 4h R = File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Gọi R và h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ. Ta có: 2 V R h =  (không đổi) 2 2 ( ) day 2 2 2 2 tp xq S S S Rh R Rh R = = = + = +    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, Rh Rh Rh Rh Ta có: 2 2 + + ≥ R R 3 . . 3 2 2 2 2 4 2 2 R h V Rh R 23 32 ⇔ + ≥ = O O' h R 3 3  4 4 ( ) S  V 2 ⇔ ≥ (hằng số) 3 24 tp 32  Rh h Do đó: S toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất2. ⇔ = ⇔ = R R 2 2 Chọn A. Câu 17: Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là A. 32V   = . B. 34 = D. 3V R  Hướng dẫn giải: = C. R 3V RV R =  = ⇒ = = , 2 2 2  .V 2 2 2 2 2 TP Xq dV V R h l hR 2  = + = + = +    S S S Rl R R R Xét hàm số2 2 ( ) 2 V = +  với R>0, 33 − +  f R R V R V 2 4 '( ) , '( ) 02 = = ⇔ = f R f R R Bảng biến thiên R R 2  R 0 32V +∞ , f R( ) + 0 - f R( ) +∞ +∞ Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi 32V R =  Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 18: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: S S R h A. 1 S S R h = = . B. ; ;   2 2 2 C. 2 2 ; 4 S S R h = = .   4 4 S S R h = = . D. ; 2   3 3 Hướng dẫn giải: = = .   6 6 Gọi thể tích khối trụ là V , diện tích toàn phần của hình trụ là S . Ta có: 2 22 2 day xq S S S R Rh = + = +   . Từ đó suy ra: 2 Cauchy S S V V V V R Rh R R 2 2 232 = + ⇔ = + = + + ≥ 3       R R R 2 2 2 2 4 3 2 3 V S S hay ⎛ ⎞ ≤ ⇔ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 274 2 54 2 V    S 3  2 V R h Rh RR R Vậy V 2 = . Dấu “=” xảy ra ⇔ = = = hay h R = 2 . max 54  66S   2 2 2 = ⇒ = và 2 26S Khi đó 2 S R R   Chọn D. h R = = .  Câu 20: Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là R. C. 4 3 A. R 3 . B. 3 R. D. 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: R. 3 Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 ) < < x R (xem hình vẽ) Bán kính của khối trụ là 2 2 r R x = − . Thể tích khối trụ là: 2 2 V R x x = − ( )2 . Xét hàm số 2 2 V x R x x x R ( ) ( )2 , 0 = − < <  Ta có : 2 2 3 R V x R x x = − = ⇔ =  '( ) 2 ( 3 ) 03 Bảng biến thiên: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là 2 3 R; 3  3 V max 4 3 R = . 9 Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ khi nó có thể tích đạt giá trị lớn nhất. A. 6 R r = B. 23R r = C. 23R r = D. 23R 3 Hướng dẫn giải: r = 1Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O, R) thay đổi về2 V r h =  đạt giá trị lớn nhất Ta có: 2 2 2 2 2 2 AC AB BC R r h = + ⇔ = + 4 4 1 10 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 3 2   ( ) V R h h h R h h R = − = − + < < ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 2 ⎛ ⎞ = − + ⇔ = ± ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ R  2 2 V h R h '4 3 4 2 R Vậy 3 V V R h = = ⇔ =  max 3 9 3 2 2 Lúc đó R R R r R = − = ⇒ =r . 2 2 1 4 2 6 .4 3 3 3 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 25: Cho hình vẽ bên. Tam giác SOA vuông tại O có MN SO / / với M N, lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO h = không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R OA = . Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. S D. MN M A. 2h MN = B. 3h MN = C. 4h MN = 6h = Hướng dẫn giải: Ta thấy khi quay quanh trục SO sẽ tạo nên một khối trụ nằm trong khối chóp. Khi đó thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ. Ta có hình sau: Ta có SO h = ; OA R = . Khi đó đặt OI MN x = = . Theo định lí Thales ta có IM SI OA SI . R h x .( ) − = ⇒ = = . IM OA SO SO h A O NS  R 2 2 2 Thể tích khối trụ ( ) = = −  V IM IH x h x . . h 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( )( )3 x h x⎡ + − ⎤ 2 2 2 x h x − ≤ ⎢ ⎥ 23 ⎣ ⎦ Q M I  2 ≤ . Dấu '' '' = xảy ra khi 3h Vậy R h V 4 27 x = . Hay3h MN = . B O A P N Chọn B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT CẦU – KHỐI CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa mặt cầu 1) Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính R. Kí hiệu S O R ( ; .) Như vậy, khối cầu S O R ( ; ) là tập hợp các điểm M sao cho OM R ≤ . 2) Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: - Diện tích mặt cầu: 2 S R = 4 .  4 3. V R =  - Thể tích khối cầu: 3 3) Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . Để tìm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp bất kì ta cần phải tìm được điểm I cách đều tất cả các đỉnh. Bước 1: Dựng trục của đáy: là đường thẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy. Bước 2: Ta thường dựng trung trực của một cạnh bên nào đó cắt trục của đáy tại I, hoặc dựng trục của một mặt bên nào đó cắt trục của đáy tại I. Tâm mặt cầu chính là điểm I, ở bước 2 này phải tùy vào đề bài mà ta có cách xử lý cụ thể. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình chóp S ABC . có SA ABC ⊥ ( ) , AB =1, AC = 2 và BAC = ° 60 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A, B , C , M , N . A. R = 2 . B. 2 33 R = . C. 43 R = . D. R =1. Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và (SAB ABCD ) ⊥ ( ). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. A. 21 R = B. 33 a R = C. 32 a R = D. 63 3 a R = a Câu 3: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC) bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao R 24 3. A. R d G SAB = ⎡ ⎤ , . ( ) ⎣ ⎦ B. 3 13 2 . R SH = C. SΔ= D. 13. Ra= ABC 39 Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C . ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng ( AB C' ') tạo với mặt đáy góc 0 60 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C . ' ' ' bằng: A. 85. aB. 32a. C. 3. aD. 31. a 108 4 36 Câu 5: Cho hình chóp đều S ABC . có đường cao SH a = ; góc SAB bằng 45 độ. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là A. 2aB. a C. 32aD. 2a Câu 6: Cho khối chóp S ABCD . có SA ABCD ⊥ ( ); đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a = = ; AD a = 2 ; SA a = . Gọi E là trung điểm của AD . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD . . A. 72 R = B. R a = 7 C. 11 a a R = D. R a = 11 2 Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S ABC . có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 21 a. Gọi h là 6 chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ sốRh bằng: A. 712B. 7. 24C. 7.6D. 1.2 Câu 8: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD a = 2 , AB BC CD a = = = .Cạnh bên SA a = 2 , và vuông góc với đáy. Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD . . Tỉ sốRa nhận giá trị nào sau đây? A. a 2 B. a C. 1 D. 2 Câu 9: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD a = = 2 , . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 0 45 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S ABCD . và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC . . Biểu thức liên hệ giữa R và h là: R h = D. 5 54 A. 4 5 R h = B. 5 4 R h = C. 4 5 5 R h = Câu 10: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA vuông góc đáy ( ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A. a 2 B. a C. 22 aD.2a Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD . có bán kính bằng: a +B.( 6 2). a −C.( 6 2 ). A.(1 3). a +D.( 3 1). a − 2 4 4 2 Câu 12: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC a = . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy,  0 SA SB a = = = , ASB 120 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là: A.4aB.2aC. a D. 2a Câu 13: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA a = 2 vuông góc với đáy ( ABCD). Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB SD , lần lượt tại E F, . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S A E M F , , , , nhận giá trị nào sau đây? A. a 2 B. a C. 22 aD.2a Câu 14: Cho khối chóp S ABC . có SA ABC ⊥ ( ) ; tam giác ABC cân tại A, AB a = ; BAC  = ° 120 . Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên SB SC , . Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm A B C K H , , , , . A. R a = 3 B. R a = C. R a = 2 D. Không tồn tại mặt cầu như vậy Câu 15: Cho lăng trụ ABC A B C . ′ ′ ′ có AB AC a BC a = = = , 3 . Cạnh bên AA a ′ = 2 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C ′ ′ bằng A. a . B. 2a . C. 5a . D. 3a . Câu 16: Cho lăng trụ đứng ABC A B C . ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B AC a , 3, = góc ACB bằng 0 30 . Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng ( ABC) bằng 0 60 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC ' bằng: A. 34aB. 21 aC. 21 aD. 21 a 4 2 8 Câu 17: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao phẳng ( ABC) bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC R, là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai? R A. R d G SAB = ⎡ ⎤ ,( ) ⎣ ⎦ B. 3 13 2 R SH = C. 24 3 R SΔ= D. 3 ABC 39 a= Câu 18: Cho hình chóp S ABCD . có SA vuông góc với đáy, SA a = 6. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và 1 B AB BC AD a = = = Gọi E là trung điểm AD. Tính bán kính mặt cầu , . 2 ngoại tiếp hình chóp S ECD . . A. 2 R = B. R a = 6 C. 114 a R a = D. 26 2 6 R = a 2 Câu 19: Cho tứ diện S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại Avới AB a = 3 , AC a = 4 . Hình chiếu H của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Biết SA a = 2 , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là A. 118 R a = . B. 118 R a = . C. 118 .4 .2 R a = . D. R a = . 118 . .8 Câu 20: Cho hình chóp S ABC . có SA ABC ⊥ ( ) , AC b = , AB c = , BAC = . Gọi B′, C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCC B . ′ ′ theo b , c , . A. 2 2 R b c bc = + − 2 2 cos .  B.2 2 2 cos. b c bc R  = + −  2 2 2 cos. sin 2 2 2 2 2 cos. b c bc R + −  b c bc R  = D. = C. + − 2sin  sin  Câu 21: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB a = . Cạnh bên SA a = 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC . là: A. 22 aB. 6 aC. 6 aD. 23 a 3 2 Câu 22: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC a = = 3,   0 SAB SCB = = 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC) bằng A 2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . theo a. A. 2 S a = 2 B. 2 S a = 8 C. 2 S a =16 D. 2 S a =12 Câu 23: Cho khối chóp S ABC . có tam giác ABC vuông tại B, biết AB =1; AC = 3 . Gọi M là trung điểm BC , biết SM ABC ⊥ ( ) . Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SMAB vàb SMAC bằng 15 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao B. 20 C. 254 A. 214 D. 4 Câu 24: Cho hình chóp S ABC . có SAvuông góc với mặt phẳng ( ABC SA a AB a ), , = = , AC a = 2 ,  0 BAC = 60 . Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . A. 5 2 20 a . C. 20 2 .3 a . B. 2 3  a . D. 2 5 a . Câu 25: Cho hình chóp S ABC . có đáy là tam giác vuông tại A, cạnh huyền BC cm = 6 ( ) , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60° . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là A. 2 48cm . B. 2 12 cm . C. 2 16 cm . D. 2 24cm . Câu 26: Cho hình chóp đều S.ABC có AB a = , SB a = 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:  3 a 2 2 3 a  12 a 2 2 12 a A. S = B. 11 S = C. S 11 = D. 11 S = 11 Câu 27: Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a. A. 5 2 a B. 11 2 2 a D. 4 2 3  a C. 2 3 3  a Câu 28: Cho hình chóp S ABC . có SA ABC SA a ⊥ = ( ), 2 , tam giác ABC cân tại A BC a , 2 2 = ,  1 ACB = Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . cos .3 2 2  2 2 A. S  97. a = B. 4 S  97. a = C. 2 S 97. a = D. 3 S =  97. a 5 Câu 29: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a = . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC). Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB . là: 3  aB. 3  aD. 3 3 A. 2 3 2 a C. 6  a 2 Câu 30: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 0 60 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD . là:  aB.3  aC.3 aD.3 3 A. 4. 3 2 6. 9 8 6. 9 a 8 6. 27 Câu 31: Cho bát diện đều, tính tỷ số giữa thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện đều đó. A. 12B. 12 2C. 13D. 13 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 32: Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP .  = . B. 64 23  A. 323   = . C. 1083 V = . D. 1256 V V V = . Câu 33: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 2 2 MA MB MC MD a + + + = 2 là A. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 22 a. B. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng 2 a. 4 C. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng 22 a. D. Đường tròn có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng 2 a. 4 Câu 34: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.  A. 5 15   = . B. 5 15 = . C. 4 327  V V V = . D. 53 18 54 V = . Câu 35: Cho mặt cầu (S ) Có tâm I , bán kính R = 5 . Một đường thằng Δ cắt (S ) tại 2 điểm M , N phân biệt nhưng không đi qua I . Đặt MN m = 2 . Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IMN lớn nhất? A. 5 22 m = ± . B. 102 m = . D. 5 22 m = . C. 52 m = . Câu 36: Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A. min 8 3 V = . B. min 4 3 V = . C. min 9 3 V = . D. min 16 3 V = . Câu 37: Khi cắt mặt cầu S O R ( , ) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O R ( , ) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R =1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O R ( , ) để khối trụ có thể tích lớn nhất. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A. 3 6 r h = = . B. 6 3 r h = = . C. 6 3 r h = = . D. 3 6 , 2 2 , 2 2 , 3 3 r h = = , 3 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hình chóp S ABC . có SA ABC ⊥ ( ) , AB =1, AC = 2 và BAC = ° 60 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A, B , C , M , N . A. R = 2 . B. 2 33 R = . C. 43 R = . D. R =1. Hướng dẫn giải: Chọn D. *Gọi K là trung điểm của AC suy ra : AK AB KC = = =1 *Lại có BAC ABK KBC ABC  = ° ⇒ = ° = ° ⇒ = ° 60 60 ; 30 90 1    ( ) *Theo giả thiêt ANC = ° 90 2( ) * Chứng minh AMC = ° 90 3( ) Thật vậy, ta có: ( ) ( ) ( ) BC SA BC AB BC SAB SBC SAB ; ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ( ) AM SB AM SBC AM MC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Từ ( ) ( ) ( ) 1 ; 2 ; 3 suy ra các điểm A, B , C , M , N nội tiếp đường tròn tâm K , bán kính 11 KA KB KC KM KN AC = = = = = = . 2 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và ( ) ( ) SAB ABCD ⊥ . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. A. 21 R = B. 33 a R = C. 32 a R = D. 63 3 a R = a Hướng dẫn giải: Qua O, kẻ ( ) ( ) Δ ⊥ 1 ABCD thì ( ) Δ1là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Do (SAB ABCD ) ⊥ ( ) nên kẻ SH AB ⊥ thì SH ABCD ⊥ ( ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB và kẻ ( ) ( ) 2 Δ ⊥ SAB tại E thì ( ) Δ2là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. ( ) Δ1cắt ( ) Δ2tại I: tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD . . Tứ giác OHEI có 3 góc vuông O, H, E nên là hình chữ nhật 3 3 a SH a a EH = = ⇒ = 2 . 3 2 3 2 Trong a a Δ = = + = + = AIO R AI OA OI a . 2 2 2 3 21 : 29 3 Chọn A. Câu 3: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC) bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai? R 24 3. A. R d G SAB = ⎡ ⎤ , . ( ) ⎣ ⎦ B. 3 13 2 . R SH = C. Hướng dẫn giải: Ta có 60 , 0= = = SA ABC SA HA SAH ( ) , . Tam giác ABC đều cạnh a nên 32 a AH = . Trong tam giác vuông SHA , ta có .tan2a  3 SH AH SAH = = . Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R d G SAB = ⎡ ⎤ , . ( ) ⎣ ⎦ Ta có 1 2 ( ) ( ) ( ) d G SAB d C SAB d H SAB ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , , , . 3 3 Gọi M E, lần lượt là trung điểm AB và MB . SΔ= D. 13. Ra= ABC 39 CM AB ⎧ ⊥ ⎪⎨⎪ = Suy ra 3 HE AB ⎧ ⊥ ⎪⎨⎪ = = ⎩. và 1 3 CM a HE CM a ⎩ 2 2 4 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK SE ⊥ . (1) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao HE ABAB SHE AB HK ⎧ ⊥ ⎩ ⊥(2) Ta có ( ) . ⎨ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ AB SH Từ (1) và (2) , suy ra HK SAB ⊥ ( ) nên d H SAB HK ⎡ ⎤ ,( ) = ⎣ ⎦ . SH HE a HKSH HE . 3 Trong tam giác vuông SHE , ta có 2 2 = = +. 2 13 Vậy 23 13a R HK = = . Chọn D. Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C . ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng ( AB C' ') tạo với mặt đáy góc 0 60 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C . ' ' ' bằng: A. 85. aB. 32a. C. 3. aD. 31. a 108 4 36 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm B C' ', ta có 60 ' ' , ' ' ' , ' ' 0= (AB C A B C AM A M AMA ) ( ) = =  . Trong ΔAA M' , có 3 a A M = ; '2 ' ' .tan '2a  3 AA A M AMA = = . Gọi G' là trọng tâm tam giác đều A B C ' ' ' , suy ra G' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔA B C ' ' '. Vì lặng trụ đứng nên GG A B C ' ' ' ' ⊥ ( ) . Do đó GG ' là trục của tam giác A B C ' ' ' . Trong mặt phẳng (GC G' ') , kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC ' cắt GG ' tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C . ' ' ' , bán kính R GI = . GP GG GPI GG CGI GC Ta có ' Δ Δ ⇒ = ÿ ' '' 2 2 2 GP GC GC GG G C a R GIGG GG GG . ' ' ' ' ' 31 + ⇒ = = = = = . ' 2 ' 2 ' 36 Chọn D. Câu 5: Cho hình chóp đều S ABC . có đường cao SH a = ; góc SAB bằng 45 độ. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là A.2aB. a C. 32aD. 2a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD Khi đó IA IB IC ID IS = = = = hay ⎧ = = = ⎨⎩ = IA IB IC ID (1) IA IS (2) Gọi H là giao điểm của AC và BD. Từ (1) suy ra I SH ∈ (*) Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thẳng Δ là trung trực của SA. Từ (2), suy ra I ∈ Δ (2*) (*) (2*) + → ∩ Δ = { } SH I Gọi M là trung điểm của SA, khi đó: 2 SI SM SM SA SA SA SA R SI . . . = → = = = = .Do SAB cân tại S và có 0 ∠ = SAB 45 nên SA SH SH SH SH 2 2 SAB vuông cân tại S. Đặt SA x = , khi đó 3 6 2;3 3 AB x AB x HA = = = Trong tam giác vuông SHA có: 2 2 x a a SA HA SH x a x a Ra 2 2 2 2 6 2 2 2 3 3 3 − = ↔ − = ↔ = → = = 9 2 2 Chọn C. Câu 6: Cho khối chóp S ABCD . có SA ABCD ⊥ ( ); đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a = = ; AD a = 2 ; SA a = . Gọi E là trung điểm của AD . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD . . A. 72 R = B. R a = 7 C. 11 a Hướng dẫn giải: S E a R = D. R a = 11 2 I S x x N A A E D D M O P O B C B C Gọi O là trung điểm của CD . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Kẻ tia Ox SA  thì Ox ABCD ⊥ ( ) . Ta có: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông CDE và Ox ABCD ⊥ ( ) , nên Ox là trục của đường tròn ( ) CDE . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB SC , . Ta có: 2 2 52 SM SA AM = + = ; 2 2 52 a a MC MB BC = + = nên suy ra SM MC = . Do đó tam giác SMC cân tại M , suy ra MN SC ⊥ . Dễ thấy ( ) / /( ) MNO SAD và CE SAD ⊥ ( ) nên suy ra CE MNO ⊥ ( ) và do đó CE MN ⊥ . Vậy nên MN SEC ⊥ ( ) , do đó MN là trục của đường tròn ( ) SEC . Gọi I là giao điểm của MN và SO thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD . . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD . là 2 2 R IC IO OC = = + . Trong đó 52 a SA a IO NP = = = ( P là giao điểm của MO và AC ). Vậy thì OC = và 3 3 3.2 2 22 a a a R⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 3 11 = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. 2 2 2 Chọn C. Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S ABC . có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 21 a. Gọi h là 6 chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ sốRhbằng: A. 712B. 7. 24C. 7.6D. 1.2 Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm ΔABC , suy ra SO ABC ⊥ ( ) và AO = a 3. 3 Trong SOA , ta có 2 2.2a h SO SA AO = = − = Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra ● I d ∈ nên IS IA = . ● I SO ∈ nên IA IB IC = = . Do đó IA IB IC IS = = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC . . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi M là tung điểm SA, ta có ΔSMI SOA ÿ Δ nên 2 = = = = Vậy 7.6 SM SA SA R SISO SO . 7a. 2 12 Chọn C. R h= Câu 8: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD a = 2 , AB BC CD a = = = .Cạnh bên SA a = 2 , và vuông góc với đáy. Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD . . Tỉ sốRanhận giá trị nào sau đây? A. a 2 B. a C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải: Ta có SA AD ⊥ hay  0 SAD = 90 . Gọi E là trung điểm AD. Ta có EA AB BC = = . Nên ABCE là S I hình thoi. Suy ra 1. CE EA AD = = 2 Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có: DC ACDC SAC DC SC E B A C D ⎧ ⊥ ( ) ⎨ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ DC SA ⎩ ⊥ hay  0 SCD = 90 . Tương tự, ta cũng có SB BD ⊥ hay  0 SAD = 90 . Ta có    0 SAD SCD SBD = = = 90 nên khối chóp S ABCD . nhận trung điểm I của SD làm tâm 2 2 SD SA AD R a + mặt cầu ngoại tiếp, bán kính Suy ra 2. Ra= Chọn D. = = = 2 2 2. Câu 9: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD a = = 2 , . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 0 45 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S ABCD . và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC . . Biểu thức liên hệ giữa R và h là: R h = D. 5 54 A. 4 5 R h = B. 5 4 R h = C. 4 5 5 Hướng dẫn giải: R h = File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có 45 , 0= (SC ABCD SC AC SCA ( )) = = (, . )  Trong ΔSAC, ta có h SA a = = 5 S Ta có BC ABBC SAB BN BC ⎧ ⊥ ( ) . ⎨ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ BC SA ⎩ ⊥ N Lại có NA AC ⊥ . Do đó, hai điểm A B, cùng nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình chóp N ABC . nội tiếp mặt cầu tâm J là J trung điểm NC, bán kính: 2 NC SA a R IN AC ⎛ ⎞ 1 2 5. = = = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 4 B Chọn A. A D O C Câu 10: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA vuông góc đáy ( ABCD). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây? A. a 2 B. a C. 22 aD.2a Hướng dẫn giải: Gọi O AC BD = ∩ . S Vì ABCD là hình vuông nên OB OD OC = = (1) Ta có CB BACB SBA CB AH ⎧ ⊥ ( ) . ⎨ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ CB SA ⎩ ⊥ H Lại có AH SB ⊥ . Suy ra AH SBC AH HC ⊥ ⇒ ⊥ ( ) nên tam giác AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra AD O OH OC = (2) Từ ( ) ( )2 B C a ⇒ = = = = = R OH OB OC OD 1 , 2 . 2 Chọn C. Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD . có bán kính bằng: a +B.( 6 2). a −C.( 6 2 ). A.(1 3). a +D.( 3 1). a − 2 4 4 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Gọi H là tâm của hình vuông ABCD . Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc SMH I SH  ( ) ∈ . Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r IH = . Ta có 2 2 2; = − = SH SA AH a a SM MH a 2 3; . = = 2 2 Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: =. ( 6 2 ). a SH MS MH SH MH a IH IS MS IH MH Chọn B. − + ⇒ = ⇒ = = = IH MH MS MH + + 2 6 4 Câu 12: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC a = . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy,  0 SA SB a = = = , ASB 120 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là: A.4aB.2aC. a D. 2a Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AB, suy ra SM AB ⊥ và SM ABC ⊥ ( ). S Do đó, SM là trục của tam giác ABC. Trong mặt phẳng (SBM ), kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp P S ABC . , bán kính R SI = . Ta có: AB SA SB SA SB c a = + − 2 2 2 . . osASB 3  = . M Trong tam giác vuông SMB ta có . os . os602a  0 SM SB c MSB a c = = = SM SP SB SP R SI a Ta có Δ Δ SPI SMB  . Suy ra .. = ⇒ = = = SB SI SM Chọn C. A B I C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 13: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA a = 2 vuông góc với đáy ( ) ABCD . Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng ( )  đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB SD , lần lượt tại E F, . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S A E M F , , , , nhận giá trị nào sau đây? A. a 2 B. a C. 22 aD. 2a Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( )  song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên EF / / . BD SAC Δ cân tại A, trung tuyến AM nên AM SC ⊥ ( ) 1 BD ACBD SAC BD SC ⎧ ⊥ Ta có ( ) . ⎨ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ BD SA ⎩ ⊥ Do đó EF 2 ⊥ SC ( ) M F E S I Từ ( ) ( ) 1 , 2 suy ra SC SC AE ⊥ ⇒ ⊥ ( )  ( ) * . Lại có: B BC ABBC SAB BC AE A D O C ⎧ ⊥ ( ) ( ) ** ⎨ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ BC SA ⎩ ⊥ Từ ( ) ( ) * , ** suy ra AE SBC AE SB ⊥ ⇒ ⊥ ( ) . Tương tự ta cũng có AF . ⊥ SD Do đó    0 SEA SMA SFA = = = 90 nên 5 điểm S A E M F , , , , SA a R = = cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính 2. 2 2 Câu 14: Cho khối chóp S ABC . có SA ABC ⊥ ( ) ; tam giác ABC cân tại A, AB a = ; BAC  = ° 120 . Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên SB SC , . Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm A B C K H , , , , . A. R a = 3 B. R a = C. R a = 2 D. Không tồn tại mặt cầu như vậy Hướng dẫn giải: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AD là một đường kính của đường tròn ( )I . Tam giác ACD vuông tại C , suy ra: DC AC ⊥ mà DC SA ⊥ nên DC SAC ⊥ ( ). File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao AK KCAK KC ⎧ ⊥ Ta lại có: ( ( ) ⎩ ⊥ ⊥. ⎨ ⇒ ⊥ AK DC do DC KCD Suy ra tam giác AKD vuông tại K , suy ra: IA ID IK = = . Tương tự như trên ta cũng có: IA ID IH = = . Vậy thì IA IB IC IK IH = = = = , do đó 5 điểm A B C K H , , , , cùng nằm trên một mặt cầu(đpcm). Bán kính R của mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Áp dụng định lý cos ta có: 2 2 BC AB AC AB AC a = + − 2 . .cos120 3 ° = . BC BC a R R a Áp dụng định lý sin ta có: 3 = ⇒ = = = . 2 sin 2sin 3 Chọn B. A A 2.2 Câu 15: Cho lăng trụ ABC A B C . ′ ′ ′ có AB AC a BC a = = = , 3 . Cạnh bên AA a ′ = 2 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C ′ ′ bằng A. a . B. 2a . C. 5a . D. 3a . Hướng dẫn giải: Chọn B. Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C ′ ′ cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua O vuông góc với ( ABC) cắt mặt phẳng trung trực của AA′ tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Mặt khác 2 2 2 1 AB AC BC AAB AC + − cos2. . 2 = = BC a R = = = a do đó 2 2 2 2 R IA OI OA a a a = = + = + = 2 . 3 Ta có: 0 2sinA 2sin120 ABC Câu 16: Cho lăng trụ đứng ABC A B C . ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B AC a , 3, = góc ACB bằng 0 30 . Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng ( ABC) bằng 0 60 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC ' bằng: A. 34aB. 21 aC. 21 aD. 21 a 4 2 8 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có 60 ', 0= (AB ABC AB AB B AB ( )) = = (', ' . )  Trong tam giác ABC, ta có  3 AB AC ACB = = a .sin . 2 Trong ΔB BA ' , ta có  3 ' .tan '2a BB AB B AB = = . Gọi N là trung điểm AC, suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Gọi I là trung điểm A C' , suy ra IN A A IN ABC / / ' ⇒ ⊥ ( ). A' I B' C' Do đó IN là trục của ΔABC , suy ra IA IB IC = = (1) Hơn nữa, tam giác A AC ' vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA IB IC ' ' ' 2 = = ( ) A B N C Từ (1 , 2 ) ( ), ta có IA IA IB IC ' = = = hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC '. 2 2 ' AA' 21 ' . A C AC a R IA + với bán kính Chọn B. = = = = 2 2 4 Câu 17: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC) bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC R, là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai? R A. R d G SAB = ⎡ ⎤ ,( ) ⎣ ⎦ B. 3 13 2 R SH = C. 24 3 R SΔ= D. 3 a= Hướng dẫn giải: Ta có 60 , 0= (SA ABC SA HA SAH ( )) = = (, . )  Tam giác ABC đều cạnh a nên 3. ABC 39 a AH = 2 Trong tam giác vuông SHA, ta có  3 SH AH SAH = = a .tan . 2 Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R d G SAB = ⎡ ⎤ ,( ) ⎣ ⎦ File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 1 2 Ta có ( ) ( ) ( ) d G SAB d C SAB d H SAB ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Gọi M, E lần lượt là trung điểm , , , . 3 3 AB MB , . CM AB ⎧ ⊥ ⎪⎨⎪ = Suy ra 3 HE AB ⎧ ⊥ ⎪⎨⎪ = = ⎩ và 1 3 S CM a HE CM a ⎩ 2 2 4 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SE, suy ra HK SE ⊥ (1) K I Ta có G HE ABAB SHE AB HK ⎧ ⊥ ( ) (2) ⎨ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ AB SH ⎩ ⊥ Từ (1 , 2 ) ( ) ⇒ ⊥ HK SAB d H SAB HK ( ), , ⎡ ⎤ ( ) = . ⎣ ⎦ Trong tam giác vuông SHE, ta có SH HE a HKSH HE . 3. = = +Vậy C A H E M B 2 2 2. 2 13 R HK = = a 3 13 Chọn D. Câu 18: Cho hình chóp S ABCD . có SA vuông góc với đáy, SA a = 6. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và 1 B AB BC AD a = = = Gọi E là trung điểm AD. Tính bán kính mặt cầu , . 2 ngoại tiếp hình chóp S ECD . . A. 2 R = B. R a = 6 C. 114 a R a = D. 26 2 6 Hướng dẫn giải: S Gọi H là trung điểm của CD và d là đường thẳng đi qua H và vuông góc với đáy. Gọi I và R là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp K S CDE . . Suy ra I thuộc D. Đặt IH x = . Trong mp (ASIH ) kẻ đường thẳng đi qua I và song song với AH cắt AS tại K. R = Rx I a 2 R a 2 Ta có: 2 2 2 2. ID IH HD x = + = + 2 2 2 2 2 2 IS IK KS AH KS = + = + A a E H D a 22 a 2 2 2 2 2 6 B ( ) = + + = + + − AC CH KS a a x C 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 2 22 2 2 2 6 2 6 . a a a Suy ra: ( ) x a a x x + = + + − ⇔ = 2 2 3 Vậy bán kính mặt cầu bằng 114. a R = 6 Chọn C. Câu 19: Cho tứ diện S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại Avới AB a = 3 , AC a = 4 . Hình chiếu H của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Biết SA a = 2 , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là A. 118 R a = . B. 118 R a = . C. 118 A .4 Hướng dẫn giải: Chọn A. S H .2 C R a = . D. R a = . 118 . .8 S K A C H M B M B H M Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tính được AB AC . + +. r a = = O AB AC BC Tính được AH a = 2 và 52 a MH = . Tam giác SAH vuông tại H suy ra 2 2 SH SA AH a = − = 2. Gọi M là trung điểm của BC và Δ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC . . Suy ra O∈Δ. Ta có: 2 2 2 2 2 2 OC OS OM MC SK OK = ⇔ + = + . 2 2 2 25 5 2 3 2 ( 2) a a ⇔ + = + + ⇔ = OM OM a OM a 4 4 4 Suy ra 118 R OC a = = . 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 20: Cho hình chóp S ABC . có SA ABC ⊥ ( ) , AC b = , AB c = , BAC = . Gọi B′, C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCC B . ′ ′ theo b , c , . A. 2 2 R b c bc = + − 2 2 cos .  B.2 2 2 cos. b c bc R  = + −  2 2 2 cos. sin 2 2 2 2 2 cos. + − b c bc R  + − b c bc R  = D. = C. 2sin Hướng dẫn giải: Chọn C.  sin  Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tam giác ABB′ vuông tại B′ nên M chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABB′ , suy ra trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABB′ chính là đường trung trực Δ của AB (xét trong mp ( ABC)). Tam giác ACC′ vuông tại C′ nên N chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACC′, suy ra trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACC′ chính là đường trung trực Δ1của AC (xét trong mp ( ABC)). I = Δ∩ Δ thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I cách đếu các điểm Gọi 1 A B C , , , B ,C′ ′ nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCB C′ ′ . Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCB C′ ′ thì R chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2 2 2 .cos Ta có . . AB AC BC RSΔ =. . b c bc  + − = c b BC = . 4. ABC 1 bc  2sin  4. .sin 2 Câu 21: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB a = . Cạnh bên SA a = 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC . là: A. 22 aB. 6 aC. 6 aD. 23 a 3 2 Hướng dẫn giải: S Gọi M trung điểm AC, suy ra SM ABC SM AC ⊥ ⇒ ⊥ ( ) Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.G A M C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có 2 2 AC AB BC a = + = 2, suy ra tam giác SAC đều. Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy ra GS GA GC = = (1) Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lại có SM ABC ⊥ ( ) nên SM là trục của tam giác ABC. Mà G thuộc SM nên suy ra GA GB GC = = (2) Từ (1 , 2 ) ( ), suy ra GS GA GB GC = = = hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC . . Bán kính mặt cầu 2 6. R GS SM = = = a Chọn B. 3 3 Câu 22: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC a = = 3,   0 SAB SCB = = 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC) bằng A 2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . theo a. A. 2 S a = 2 B. 2 S a = 8 C. 2 S a =16 D. 2 S a =12 Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) Ta có BC SCHC BC ⎧ ⊥ ⎨ ⇒ ⊥ SH BC ⎩ ⊥ Tương tự, AH AB ⊥ Và ΔABC vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông. Gọi O AC BH O = ∩ , là tâm hình vuông. Dựng một đường thẳng d qua O vuông góc với A ( ABCH ), dựng mặt phẳng trung trực của SA qua trung điểm J cắt d tại I I, là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Ta hoàn toàn có IJ SA AB I ⊥ ⇒ ⇒ IJ / / là trung điểm SB, hay I d SC = ∩ . S K J I H O B C IJ ; IJ2 2 S SBCAB a r AI JA = = + = = 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 2 2 . Do AH SBC d A SBC d H SBC HK / /( ) ⇒ ( ,( )) = ( ,( )) = ( K là hình chiếu của H lên SC và BC SHC ⊥ ( ) ⇒ ⊥ HK SBC ( ) ) ⇒ = HK a 2 tam giác SHC vuông tại H SH a ⇒ = 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Tam giác SHA vuông tại H SA a ⇒ = 3 SA a JA = = ⇒ = = ⇒ = = r AI a S r a   33 4 12 . 2 2 S ABC mc . Chọn D. 2 2 Câu 23: Cho khối chóp S ABC . có tam giác ABC vuông tại B, biết AB =1; AC = 3 . Gọi M là trung điểm BC , biết SM ABC ⊥ ( ) . Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SMAB vàb SMAC bằng 15 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là: B. 20 C. 254 A. 214 Hướng dẫn giải: Dễ kiểm tra được BC a = 2 và tam giác MAB đều cạnh a . Đặt SM h = . Gọi 1 2 R R, và R lần lượt là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp của các hình SMAB , SMAC và S ABC . . Gọi 1 2 r r, và r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác MAB , MAC và A ABC . D. 4 S I N C Ta có: 132 AC M r = và 21 °. r = = 2.sin120 B Vì SA MAB ⊥ ( ) , SA MAC ⊥ ( ) nên dễ kiểm tra được: 2 2 h h R r ⎛ ⎞ 2 2 3 2 2 h h R r ⎛ ⎞ 2 2 = + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ và 1 1 2 4 4 = + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 2 21 2 4 2 2 Theo giả thiết tổng diện tích các mặt cầu thì: ( ) 1 2 4 R R + =15 2 2 h h 3 15 1 Suy ra: + + + = . Từ đây tìm được h = 2 . 4 4 4 4 Dựng trung trực của SC , cắt SM tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của S ABC . . Dễ kiểm tra SI SM SN SC . . = , suy ra . 54 SN SC R SISM = = = . 2  Vậy thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là S Chọn C. 5 25 44 4 ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 24: Cho hình chóp S ABC . có SAvuông góc với mặt phẳng ( ) ABC SA a AB a , , = = , AC a = 2 ,  0 BAC = 60 . Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . A. 5 2 20 a . C. 20 2 .3 a . B. 2 3  a . D. 2 5 a . Hướng dẫn giải: Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , d là đường thẳng đi qua H và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của SA, O là giao điểm của d và ( )  . Khi đó O là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . Theo định lí hàm số cosin ta có : 2 2  BC AB AC AB BAC = + − 2 .AC.cos 2 2 0 ( ) = + − = a a a a a 2 2 .2 .cos 60 3 Diện tích tam giác ABC :  2 1 . 3 .AB.AC.sin a SΔ = BAC = ABC 2 2 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : AB BC AC a a AH a . . .2 .a 3 = = = 2 4. 3 SΔ a ABC 4.2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . : ( )2 a a R OA AH OH a ⎛ ⎞ 2 2 2 5 = = + = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . ⎛ ⎞ 2 2 5 2 a S R   a = = ⎜ ⎟ = 4 4 . 5 2 ⎝ ⎠ Chọn D. Câu 25: Cho hình chóp S ABC . có đáy là tam giác vuông tại A, cạnh huyền BC cm = 6 ( ) , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60° . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là A. 2 48cm . B. 2 12 cm . C. 2 16 cm . D. 2 24cm . Hướng dẫn giải: Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC) . Gọi O là trung điểm của BC . Tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của cạnh huyền BC , suy ra OA OB OC = = (1) . Xét các tam giác Δ Δ Δ SHA SHB SHC , , có: ch ng ⎧ u SH ⎪⎨ = = = °    SHA SHB SHC 90 . ⎪= = = ° ⎩    SAH SBH SCH 60 ⇒ Δ = Δ = Δ ⇒ = = SHA SHB SHC g c g HA HB ( . . ) (2) HC Từ (1) và (2) suy ra H trùng O. Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC . Trong ΔSAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I . Khi đó IA IB IC IS = = = . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . ΔSBC đều cạnh bằng 6 (cm)2 2 3 3 . .3 3 2 3 ⇒ = ⇒ = = = SO SI SO . 3 3 22 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là: ( ) ( ) S = = 4 2 3 48   cm . Câu 26: Cho hình chóp đều S.ABC có AB a = , SB a = 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: A.  3 a 2 2 3 a  12 a 2 2 12 a S = B. 11 S = C. 11 S = D. 11 S = 11 Hướng dẫn giải: 1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Xác định tâm mặt cầu Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , do S ABC . là hình chóp đều nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Trong tam giác SOA dựng đường trung trực Δ của cạnh bên SA, Δ cắt SO tại I và cắt SA tại trung điểm J . Ta có: ⎧ ∈ ⇒ = = ⎨ ⇒ = = = I SO IA IB ICIA IB IC IS ⎩ ∈ Δ ⇒ = I IA IS Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . Tính bán kính mặt cầu File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi M AO BC = ∩ thì M là trung điểm của BC . Ta có: 3 3 AB a AM = =2 3 a 2 2 ⇒ = = AO AM . 3 3 2 Trong tam giác vuông SOA ta có a a SO SA AO a = − = − = 2 2 2 3 33 49 3 Xét hai tam giác vuông đồng dạng SJI và SOA ta có: 2 2 SI SJ SA a a R SI 4 2 33 = ⇒ = = = = SA SO SO a 2 33 11 2.3 2) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu  ⎛ ⎞ 22 Diện tích mặt cầu là: S R  2 2 33 12 4 411 11 a a . = = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Câu 27: Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a. A. 5 2 a B. 11 2 2 a D. 4 2 3 Hướng dẫn giải:  a C. 2 3 3  a Gọi M là Trung điểm của AB Vì Tam giác ADB và tam giác ABC là tam giác đều → ⊥ ⊥ DM AB CM AB ; Do có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau => Góc  0 DMC = 90 Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC G là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD D => H,G đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC và ABD ⎧∈ = ⎪⎪ ⇒ ⎨⎪ ∈ = ⎪⎩ 2 H CM CH CM ;3 2 G DM DG DM ;3 O G Kẻ Đường vuông góc với đáy (ABC) từ H và Đường vuông góc với (ABD) từ G. Do hai đường vuông góc này đều thuộc (DMC) nên chúng cắt nhau tại O. => O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG và . R OC = AC H M B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Tam giác ABC đều ( ) 0 3 3 3 .sin 60 ; → = CM CB = ⇒ = = a CH a HM a 2 3 6 CMTT ta có 36 GM a = Từ đó nhận thấy OGMH là hình vuông 36 → = OH a Tam giác OHC vuông tại H → Áp dụng định lý Pitago ta có: ( ) 3 3 3 .sin 60 ; CM CB = = ⇒ = = a CH a HM a 2 3 6 2 2 5 OC CH OH a R = + = = 2 5 2 ⇒ = = S R a   12 Chọn A. 43 Câu 28: Cho hình chóp S ABC . có SA ABC SA a ⊥ = ( ), 2 , tam giác ABC cân tại A BC a , 2 2 = ,  1 ACB = Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . cos .3 2 2  2 2 A. S  97. a = B. 4 S  97. a = C. 2 S 97. a = D. 3 S =  97. a 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi H là trung điểm của BC BC ⇒ = = HC a . 2 2 Do ΔABC cân tại A ⇒ ⊥ AH BC .  1 ACB AC HC AC a = ⇒ = ⇒ = . cos 3 3 2 3 2 2 2 2 ⇒ = − = − = AH AC HC a a a 18 2 4 . Gọi M là trung điểm AC , trong mp ( ) ABC vẽ đường trung trực AC cắt AH tại O ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC . Ta có  1  1  2 2 ACH CAH CAH = ⇒ = ⇒ = . cos sin cos 3 3 3 2 39 2 a AM a Trong ΔAMO vuông tại M  ⇒ = = = AOCAH cos 2 2 4 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi N là trung điểm SA. Trong mp ( ) SAH vẽ trung trực SA cắt đường thẳng qua O và vuông góc mp ( ) ABC tại I . Chứng minh được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . . Ta có ANIO là hình chữ nhật 2 2 2 2 81 97 97 2 a a ⇒ đường chéo AI AO AN = + = + = = a a . 16 16 4 2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . là 2 97 97 2 a S R = = =    a (đvdt). 4 416 4 Câu 29: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a = . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ) ABC . Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB . là: 3  aB. 3  aD. 3 3 A. 2 3 2 a C. 6  a 2 Hướng dẫn giải: Theo giả thiết, ta có   ( ) 0 0 ABC AKC = = 90 , 90 1 S AH SBAH HC ⎧⎪ ⊥ Do ( ( ))( ) 2 ⎨ ⇒ ⊥ ⎪ ⊥ ⊥ ⎩ BC AH BC SAB K Từ (1 , 2 ) ( ) suy r aba điểm B H K , , cùng nhìn xuống AC H dưới một góc 0 90 nên hình chóp A HKCB . nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC, bán kính I A C AC AB a R = = = 2 2. 2 2 2 V R  4 2 3 a 3 Vậy thể tích khối cầu Chọn A. = =  (đvdt). B 3 3 Câu 30: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 0 60 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD . là:  aB.3  aC.3 aD.3 3 A. 4. 3 2 6. 9 8 6. 9 a 8 6. 27 Hướng dẫn giải: Gọi O AC BD = ∩ , suy ra SO ABCD ⊥ ( ). Ta có 60 = , 0SB ABCD SB OB SBO ( ) = = , . Trong ΔSOB, ta có  6 a SO OB SBO = = . .tan2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có SO là trục của hình vuông ABCD . Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB . Gọi I SO IA IB IC ID ⎧ ⎧ ∈ = = = = ∩ ⇒ ⇒ ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ ∈ =⇒ = = = = = IA IB IC ID IS R . I SO dI d IS IB SB SD ⎧ = ⎪⎨ ⇒ Xét ΔSBD có   60o ⎪⎩ = =ΔSBD đều. SBD SBO Do đó d cũng là đường trung tuyến của ΔSBD. Suy ra I là trọng tâm ΔSBD. Bán kính mặt cầu 2 6 3 V R  a 4 8 6 3. R SI SO = = = . Suy ra = =  a Chọn D. 3 3 3 27 Câu 31: Cho bát diện đều, tính tỷ số giữa thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện đều đó. A. 12B. 12 2C. 13D. 13 3 Hướng dẫn giải: Gọi cạnh bát diện đều là a; bát diện đều có các mặt chéo là hình vuông; khi đó độ dài các đường chéo AC BD SS a = = =' 2. Mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp đều có tâm O, khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là AC a R OA = = = 2 2 2. Bán kính mặt cầu nội tiếp là khoảng cách từ O đến các mặt bên. Hình trên có SO OM a r OHSO OM . 6. = = = 2 2 6 + Có 13 r R= khi đó tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp cho khối cầu ngoại tiếp là: 3 2 1 1. r ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ R Chọn D. 3 3 3 Câu 32: Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP .  = . B. 64 23  A. 323   = . C. 1083 V = . D. 1256 V Hướng dẫn giải: V V = . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chọn A. S Ta có: CB SAD AM SAB AM CB ⊥ ( ) ( ) , ⊂ ⇒ ⊥ ( ) 1 ( )  ⊥ ⊂ ⇒ ⊥ SC AM AM SC , ( )  ( ) 2 Từ( ) ( ) ( ) N P 1 , 2 ⇒ ⊥ AM SBC  . M AD ⇒ ⊥ ⇒ = ° AM MC AMC 90 Chứng minh tương tự ta có APC = ° 90 Có AN SC ANC ⊥ ⇒ = °  90 B C Ta có: AMC APC APC = = = °   90 ⇒ khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP . AC Bán kính cầu này là 2 r = = . 2 V r  Thể tích cầu: 4 32 3 = =  3 3 Câu 33: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 2 2 MA MB MC MD a + + + = 2 là A. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng 22 a. B. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng 2 a. 4 C. Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng 22 a. D. Đường tròn có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng 2 a. 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AB CD , . Gọi K là trung điểm IJ . (Lúc này, K là trọng tâm tứ diện). Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác, ta có: 2 2 ⎧+ = + = + ⎪⎪⎨⎪ + = + = + ⎪⎩ AB a MA MB MI MI 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CD a MC MD MJ MJ 2 2 2 2 2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ + + + = + + MA MB MC MD MI MJ a 22 ⎛ ⎞ 2 22IJ MK a ( ) 2 2 = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 IC ID CD a a a a IJ IC + ⎛ ⎞ 2 2 3 = − = − = − = ⎜ ⎟ 2 4 4 2 4 2 ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 3 42a ⇒ + + + = + MA MB MC MD MK . 2 Do đó: 2 2 2 2 2 2 3 2 2 a a MA MB MC MD a MK a MK + + + = ⇔ + = ⇔ = . 2 4 2 2 4 Vậy tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức đề bài là mặt cầu tâm K , bán kính bằng 2 a. 4 Câu 34: Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.  A. 5 15   = . B. 5 15 = . C. 4 327  V V V = . D. 53 18 Hướng dẫn giải: Chọn B. 54 V = . Gọi O là tâm đường tròn tam giác ABC suy ra O là trọng tâm, H là trung điểm AB , kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC tại N ta được NO ABC ⊥ ( ), gọi M là trung điểm SC , HM cắt NO tại I. Ta có HS HC = nên HM SC IS IC IA IB r ⊥ ⇒ = = = = Ta có CN CO NIM HCS CN SM SN 0 2 2 6 6 6 1 45 , , ∠ = ∠ = = = ⇒ = = ⇒ = = CS CH Suy ra 612 NM SM SN = − = ΔNMI vuông tại M 0 6 NM IM NM tan 4512 = ⇒ = = IM Suy ra 2 2 512 r IC IM MC = = + = 3 3 2 3 4 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao V r  Vậy 4 5 15 3 = =  . 3 54 Cách khác: Gọi P Q, lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABC . Do các tam giác SAB và ABC là các tam giác đều cạnh bằng 1 nên P Q, lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. + Qua P đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) SAB , qua O dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Hai trục này cắt nhau tại I, suy ra IA IB IC IS = = = . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC . và R IC = . 2 2 IQC IG GC⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 1 3 2 3 15 : IC . . + Xét Δ = + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 2 3 2 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V R  Vậy 4 5 15 3 = =  . 3 54 Câu 35: Cho mặt cầu ( ) S Có tâm I , bán kính R = 5 . Một đường thằng Δ cắt ( ) S tại 2 điểm M , N phân biệt nhưng không đi qua I . Đặt MN m = 2 . Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IMN lớn nhất? A. 5 22 m = ± . B. 102 m = . D. 5 22 m = . Hướng dẫn giải: m = . C. 52 Gọi H là trung điểm MN, ta có : 2 IH m = − 25 Diện tích tam giác IMN : 1. 25 2 IMN S IH MN m m = = − 2 2 2 + − = − ≤ m m 25 (25 )2 2 2 m m Suy ra 252 IMN S ≤ . Dấu ‘=’ xãy ra khi 2 2 5 m m m = − ⇔ = 252 Chọn D. Câu 36: Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A. min 8 3 V = . B. min 4 3 V = . C. min 9 3 V = . D. min 16 3 V = . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi cạnh đáy của hình chóp là a Ta có Δ Δ SIJ SMH ~ SI IJ ⇒ = SM MH ( ) 2 2 ⇒ − = − MH SH IH IJ SH HM 2 2 2 2 ( ) ⇒ − = − MH SH SH HM 1 ( ) 2 2 2 ⇒ − − = a SH a SH 12 2 0 2 212 a ( ) 2 ⇒ = ≠ SH a a 2 − 4 12 1 3 2 3 1 a S S SHa = = = 1 12 1 − ≤ ⇒ ≥ S 8 3 . −−.Ta có 2 4 3 6 12 6 1 12 ABC 2 2 4 a a a a 48 Câu 37: Khi cắt mặt cầu S O R ( , ) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O R ( , ) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R =1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O R ( , ) để khối trụ có thể tích lớn nhất. A. 3 6 r h = = . B. 6 3 r h = = . C. 6 3 r h = = . D. 3 6 , 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. , 2 2 , 3 3 r h = = , 3 3 Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: 2 2 2 h r R + = (0 1 < ≤ = h R )2 2 ⇒ = − r h 1 Thể tích khối trụ là: 2 2 V r h = = − =  (1 h )h (h) f 2 3 ⇒ = − = ⇔ = f  '(h) (1 3h ) 0 h3 h 0331 f'(h) + 0 − File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao f(h)  2 3 9 0 0 MaxV  Vậy: (0;1]2 3 = (đvtt) khi 63 r = và 33 9 h = File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF a. B.3 3 a. C.3 a. D. 3 A. 10 9 10 7 5 2  a. 3 Câu 2: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang ABCD quanh trục OO′ , biết OO′ = 80, O D′ = 24, O C′ =12, OA =12, OB = 6. A. V = 43200 .  B. V = 21600 .  C. V = 20160 .  D. V = 45000 .  Câu 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng + aB.2 2 + aC.2 + aD.2 A. (2 2) 2 (3 3) 2 (1 3) 2  a 3 2 2 Câu 4: Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường thẳng d . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao a. B.3 A. 13 3 96 3  a. 11 3 96 a. D.3 C. 3 3 8  a. 11 3 8 Câu 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB R = 2 và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt  = CAB  và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm  sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. A.  = ° 60 . B.  = ° 45 . C. 1 arctan2. D.  = ° 30 . Câu 6: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60. Tính tỉ số thể tích của hình trụ (T) và hình nón (N). A. 26 V= C. 6 2 V= B. 23 V T V T V T V= D. Đáp án khác. N N N 2 Câu 7: Cho tam giác đều và hình vuông cùng có cạnh bằng 4 được xếp chồng lên nhau sao cho một đỉnh của tam giác đều trùng với tâm của hình vuông, trục của tam giác đều trùng với trục của hình vuông (như hình vẽ). Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình đã cho khi quay quanh trục AB là   +B. 48 7 3.   +C. 128 24 3.   +D. 144 24 3. A. 136 24 3. 9 3 9   + 9 Câu 8: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . = . B. 125 5 2 2 ( ) A. 125 1 2 ( ) X V+  6 C. 125 5 4 2 ( ) V+  = . 12 = . D. 125 2 2 ( ) V+  24 V+  = . 4 Y Câu 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O , AD là đường kính của đường tròn tâm O . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD bằng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A O H B C D 3  aC.3 aB. 33.  aD.3 A. 23 3. 126 24 20 3. 217  a 4 3. 27 Câu 10: Cho hình thang vuông ABCD có độ dài hai đáy AB a DC a = = 2 , 4 , đường cao AD a = 2 . Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB thu được khối tròn xoay (H ) . Tính thể tích V của khối (H ) . A. 3 V a = 8 .  B. 3 = C. 3 V a =16 .  D. 3  20. a V 3 V =  40. a 3 Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB a AC a = = 3 , 4 . Khi tam giác ABC quay quanh đường thẳng BC ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay đó. A. 3 V a =  . B. 3 = . C. 3 V a = 3 . D. 3 V  96 a V  48 a 5 = . 5 Câu 12: Cho hình phẳng (H ) được mô tả ở hình vẽ dưới đây. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng (H ) quanh cạnh AB . A 3 cm 3 cm F D 6 cm E 5 cm  A. 772 3. B C 7 cm   V cm = B. 799 3. V cm = C. 3 V cm = 254 .  D. 826 3. 3 3 V cm = 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao B – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF a. B.3 3 a. C.3 a. D. 3 A. 10 9 10 7 5 2  a. 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có 3 a EF AF a = = ° =  .tan .tan 303 Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích  ⎛ ⎞ 23  a a V EF AF a 1 1 3 2 . . . . = = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 3 3 9 Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích 2 2 3 2 V DC BC a a a = = =    . . . . Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là V V V a a  a 33 3 10 = + = + =   1 2 9 9 Câu 2: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang ABCD quanh trục OO′ , biết OO′ = 80, O D′ = 24, O C′ =12, OA =12, OB = 6. A. V = 43200 .  B. V = 21600 .  C. V = 20160 .  D. V = 45000 .  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay