🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Tình Yêu Và Toán Học- Trái Tim Của Thực Tại Ẩn Giấu Ebooks Nhóm Zalo https://thuviensach.vn TÌNH YÊU VÀ TOÁN HỌC Tác giả: Edward Frenkel Người dịch: Phạm Văn Kiều - Nguyễn Duy Khánh Phát hành: Nhã Nam Nhà xuất bản Tri Thức 12/2015 —★— ebook©vctvegroup https://thuviensach.vn Kính tặng cha mẹ tôi https://thuviensach.vn Lời giới thiệu Tôi gặp Edward Frenkel lần đầu vào năm 1999 khi anh đến Paris báo cáo trong hội thảo thường niên của Bourbaki. Tuy chỉ hơn tôi bốn tuổi nhưng vào thời điểm đó, khi tôi còn chập chững bước vào nghề, thì anh đã là giáo sư Đại học Berkeley, một ngôi sao đang lên trong bầu trời toán học. Phiên báo cáo của anh gây ấn tượng khó quên. Anh trình bày về một vấn đề hóc búa, và rất trừu tượng với một vẻ dễ dàng, thảnh thơi. Anh có một phong cách rất lạ so với các nhà toán học khác, một cái gì đó hao hao giống một tài tử điện ảnh. Khoảng mười năm sau đó, tôi có dịp cộng tác khoa học với Edward trong một thời gian khá dài. Làm việc cùng nhau, tôi nhận ra ở anh nhiều thiên bẩm đặc biệt, trong đó có khả năng nắm bắt vấn đề rất nhanh để rồi phát biểu và diễn giải nó một cách vô cùng trong sáng và lịch lãm. Khả năng đó được Edward vận dụng trong quyển sách này để giải thích những khái niệm hóc búa của toán học và vật lý lý thuyết bằng ngôn ngữ mà trên nguyên tắc ai cũng hiểu được. Viết về toán học cho công chúng hàm chứa nhiều rủi ro. Bạn luôn đi giữa hai bờ vực, một bên là ngôn ngữ hàn lâm có tính chất đánh đố đối với độc giả phổ thông, một bên là ngôn ngữ đời thường, đôi khi quá dễ dãi, làm bạn trượt chân rơi vào vực thẳm của sự thiếu chính xác, của sự tối nghĩa. Tác giả dường như đã tìm được sợi dây mỏng tang giữa hai bờ vực mà bước những bước thảnh thơi, y như ta tản bộ hằng sáng. Một số người làm toán chuyên nghiệp, trong đó có tôi, chưa hoàn toàn thỏa mãn khi đọc cuốn sách này. Khi nói về Chương trình Langlands, tác giả dường như giữ im lặng về những gì sâu sắc nhất. Nhưng rất có thể, ta sẽ không công bằng khi mong đợi tác giả diễn đạt https://thuviensach.vn những ý tưởng toán học sâu sắc nhất bằng ngôn ngữ tự nhiên, một việc rất có thể là bất khả. Thực ra Chương trình Langlands và vật lý lý thuyết chỉ là món điểm tâm của quyển sách này. Món chính chính là tên của sách: “Tình yêu và toán học” mà nếu chúng ta bỏ chữ “và” đi thì sẽ còn đúng nghĩa hơn. Tác giả thuật lại câu chuyện tình yêu của mình với toán học, từ một cậu bé lớn lên trong một thành phố nhỏ của Liên bang Xô viết, được tiếp nhận vào môi trường toán học sôi động ở Moscow, rồi sau đó là Harvard, Berkeley. Đối với một người ở “ngoại vi” như tôi, môi trường toán học Xô viết luôn là một bí mật đầy hấp dẫn. Phải chăng sự thiếu thốn vật chất và thông tin, không khí kỳ thị Do Thái (mà tác giả dành nhiều trang sách để đề cập tới), là một chất xúc tác trực tiếp hay gián tiếp làm cho toán học sinh trưởng. Liệu sự thiếu thốn vật chất và thông tin, kỳ thị sắc tộc, có tạo nên một môi trường lý tưởng cho sự phát triển của toán học? Câu chuyện của tác giả, được thuật lại một cách chân thực, cho phép độc giả bước một chân vào phía sau bức màn bí mật này. Cảm ơn các dịch giả Phạm Văn Thiều, Nguyễn Duy Khánh, và Công ty văn hóa và truyền thông Nhã Nam đã mang quyển sách thú vị này tới tay độc giả Việt Nam. NGÔ BẢO CHÂU https://thuviensach.vn LỜI TỰA Có một thế giới bí mật ngoài kia. Một vũ trụ song song đẹp đẽ và thanh nhã còn ẩn giấu, đan bện phức tạp với thế giới của chúng ta. Đó là thế giới toán học. Và nó vô hình với hầu hết mọi người. Cuốn sách này là lời mời gọi các bạn đến khám phá thế giới ấy. Ta hãy thử xét nghịch lý sau: một mặt, toán học đan bện vào chính kết cấu đời sống thường ngày của chúng ta. Mỗi khi chúng ta thực hiện một giao dịch trực tuyến, gửi một tin nhắn, thực hiện thao tác tìm kiếm trên Internet, hay sử dụng một dụng cụ GPS, thì trong đó đều có sự tham gia của các công thức và thuật toán toán học. Nhưng mặt khác, toán học lại làm hầu hết mọi người sợ hãi: Theo lời nhà thơ Hans Magnus Enzensberger thì nó đã trở thành “một điểm mù trong nền văn hóa của chúng ta - một lãnh thổ xa lạ, mà chỉ có giới trí thức tinh hoa, một thiểu số người được khai sáng mới quyết định dấn thân vào”. Rất hiếm khi, ông nói, chúng ta “gặp được một người khẳng định quyết liệt rằng chỉ cần nghĩ tới việc đọc một cuốn tiểu thuyết, hay ngắm một bức tranh hoặc xem một bộ phim là anh ta đã cảm thấy đau khổ vật vã”, nhưng “cả những người có học vấn và hiểu biết” cũng nói một cách “vừa thách thức vừa kiêu hãnh” rằng toán học là “sự tra tấn thực sự”, hay một “cơn ác mộng” khiến họ “mất hứng thú”. Sao lại có chuyện dị thường như vậy được? Tôi thấy có hai lý do chính. Trước tiên, toán học trừu tượng hơn các ngành khoa học khác, do vậy mà không dễ tiếp cận bằng. Tiếp đó, những gì chúng ta học trong trường phổ thông chỉ là một phần rất nhỏ của toán học, mà phần lớn đã được khám phá từ cả thiên niên kỷ trước. Toán học đã tiến bộ vượt bậc kể từ đó, nhưmg những kho báu của toán học hiện đại vẫn bị giấu kín đối với hầu hết chúng ta. https://thuviensach.vn Điều gì sẽ xảy ra nếu ở trường bạn phải học môn “hội họa” mà bạn chỉ được dạy cách sơn hàng rào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn không bao giờ được giới thiệu các bức họa của Leonardo da Vinci và Picasso? Làm thế có giúp cho bạn hiểu rõ được giá trị của hội họa không? Có khiến bạn muốn học thêm về nó không? Tôi e là không. Có lẽ bạn sẽ nói điều gì đó đại loại thế này: “Học vẽ ở trường chỉ phí phạm thời gian. Nếu cần phải sơn hàng rào thì tôi sẽ thuê người làm giúp.” Dĩ nhiên, điều này nghe thật nực cười, nhưng đó là cách mà toán học vẫn được giảng dạy, và do đó trong mắt hầu hết mọi người, việc học toán trở nên thật buồn tẻ. Trong khi những bức tranh của các bậc thầy vĩ đại đều dễ dàng kiếm được, thì toán học của các bậc thầy vĩ đại lại bị giấu biệt đi. Tuy nhiên, toán học quyến rũ không chỉ vì vẻ đẹp thẩm mỹ của nó. Như câu nói nổi tiếng của Galileo: “Các định luật của Tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán học.” Toán học là một phương pháp mô tả thực tại và hình dung ra thế giới vận hành như thế nào, một ngôn ngữ phổ quát đã trở thành tiêu chuẩn vàng của chân lý. Trong thế giới của chúng ta, ngày càng dựa nhiều vào khoa học và công nghệ, hơn bao giờ hết, toán học đã trở thành nguồn gốc của sức mạnh, sự thịnh vượng và tiến bộ. Do đó, những ai sử dụng trôi chảy thứ ngôn ngữ mới này sẽ đứng ở tuyến đầu của sự tiến bộ. Một trong những quan niệm sai lầm thường thấy về toán học, đó là nó chỉ có thể được sử dụng như một “công cụ”: chẳng hạn, một nhà sinh học tiến hành nghiên cứu trên thực địa, thu thập dữ liệu, và sau đó là xây dựng một mô hình toán học phù hợp với những dữ liệu ấy (có lẽ với sự giúp đỡ của một nhà toán học nào đó). Cho dù đây là một thao tác quan trọng, nhưng toán học còn có thể cung cấp cho ta thêm nhiều điều hơn nữa: nó giúp tạo ra những bước nhảy vọt cách tân và đột phá mà chúng ta không thể làm bằng cách nào khác. Chẳng hạn, Einstein đã không cố ghép bất kỳ dữ liệu nào vào các phương trình khi ông hiểu rằng hấp dẫn làm không gian bị uốn cong. Thực tế, chẳng có dữ liệu nào như thế cả. Ở thời điểm đó, không ai có thể tưởng tượng được rằng https://thuviensach.vn vũ trụ bị uốn cong; tất cả mọi người đều “biết” rằng vũ trụ là phẳng! Nhưng Einstein hiểu rằng đó là cách duy nhất để mở rộng lý thuyết tương đối hẹp của ông cho cả những hệ quy chiếu không quán tính, đi đôi với nhận thức sâu sắc của ông rằng hấp dẫn và gia tốc có cùng tác dụng. Đó là một thao tác trí tuệ trình độ cao trong địa hạt toán học, mà ở đó Einstein đã phải dựa trên công trình của một nhà toán học, Bernhard Riemann, được hoàn thiện 50 năm trước đó: Cấu trúc não bộ của con người không cho phép chúng ta hình dung được những không gian cong có nhiều hơn hai chiều; chúng ta chỉ có thể tiếp cận chúng qua toán học. Và hãy thử đoán xem, Einstein nói đúng - vũ trụ của chúng ta đúng là cong, và hơn thế, nó đang giãn nở. Đó chính là sức mạnh của toán học mà tôi đang nói tới đấy! Có thể tìm thấy nhiều ví dụ như thế này, không chỉ riêng trong vật lý, mà trong cả những lĩnh vực khoa học khác nữa (chúng ta sẽ bàn về một số lĩnh vực đó dưới đây). Lịch sử cho thấy rằng khoa học và công nghệ được thay da đổi thịt với tốc độ nhanh chóng nhờ những ý tưởng toán học; thậm chí cả những lý thuyết toán học vốn được coi là trừu tượng và bí truyền sau này cũng trở thành thiết yếu cho những ứng dụng. Charles Darwin, công trình của ông vốn ban đầu không dựa trên toán học, sau này đã viết trong tự truyện rằng: “Tôi cảm thấy hối hận sâu sắc vì đã không đi đủ xa để ít nhất có thể hiểu được chút ít những nguyên lý tiên phong vĩ đại của toán học, những người được phú cho khả năng toán học dường như có thêm một giác quan nữa vậy.” Tôi coi đây như một lời khuyên tiên tri cho những thế hệ sau này rằng hãy biết lợi dụng tiềm năng vô tận của toán học. Khi tôi lớn lên, tôi vẫn chưa ý thức được thế giới ẩn giấu của toán học. Giống như hầu hết mọi người, tôi nghĩ rằng toán học là một môn học cũ rích, nhạt nhẽo. Nhưng tôi đã gặp may: trong năm cuối cùng ở trường phổ thông, tôi đã gặp một chuyên gia toán học - người đã mở cho tôi cánh cửa vào thế giới diệu kỳ ấy. Tôi học được rằng toán học có đủ các khả năng vô hạn cùng vẻ đẹp và sự thanh nhã, cũng giống như thơ ca, hội họa và âm nhạc. Và tôi đã bắt đầu yêu nó. https://thuviensach.vn Các độc giả yêu quý, với cuốn sách này, tôi mong muốn mang tới cho các bạn điều mà những người thầy và cố vấn của tôi đã mang lại cho tôi: lật mở sức mạnh và vẻ đẹp của toán học, giúp các bạn bước vào thế giới kỳ diệu ấy theo cách mà tôi đã bước vào, ngay cả khi các bạn thuộc mẫu người chưa từng dùng hai từ “toán học” và “tình yêu” trong cùng một câu. Toán học sẽ đeo đẳng bạn như nó đã làm với tôi, và thế giới quan của bạn sẽ không bao giờ còn như cũ. °°° Tri thức toán học không giống với bất kỳ loại tri thức nào khác. Trong khi nhận thức của chúng ta về thế giới vật lý luôn có thể bị bóp méo, thì nhận thức về chân lý toán học lại không thế. Đấy là những chân lý khách quan, tất yếu, và bền vững. Một công thức hay định lý toán học luôn được hiểu như nhau đối với bất kỳ ai ở bất cứ đâu - bất kể giới tính, tôn giáo hay màu da; và nó vẫn được hiểu như thế đối với bất kỳ ai ở tương lai một nghìn năm sau nữa. Điều kỳ lạ là chúng ta sở hữu tất cả những kiến thức đó. Không ai có thể lấy bằng độc quyền cho một công thức toán học, nó là của chung để chúng ta chia sẻ. Không có gì trên thế giới này sâu sắc và thanh nhã nhưng lại dành sẵn cho tất cả mọi người như thế. Một kho tàng tri thức như vậy mà lại thực sự tồn tại là điều gần như không thể tin được. Nó quá quý giá đến mức không thể chỉ ban tặng cho “thiểu số người được khai sáng”. Nó thuộc về tất cả chúng ta. Một trong những chức năng chính yếu của toán học là sắp xếp trật tự thông tin. Đó là cái làm nên sự khác biệt giữa những nhát cọ của Van Gogh với một giọt sơn thuần túy. Với sự phát triển của công nghệ in 3D (ba chiều), thực tại quen thuộc của chúng ta đang trải qua một sự biến đổi triệt để: mọi thứ đang di chuyển từ các đối tượng vật lý sang các thông tin và dữ liệu. Rồi chúng ta sẽ có thể nhanh chóng chuyển đổi thông tin thành vật chất theo ý muốn bằng cách sử dụng máy in ba chiều dễ dàng như chuyển một file PDF thành quyển sách hay file MP3 https://thuviensach.vn thành bản nhạc. Trong thế giới công nghệ mới này, toán học thậm chí sẽ đóng vai trò trung tâm hơn nữa: nó vừa là cách tổ chức và sắp xếp trật tự thông tin, vừa là cách thúc đẩy chuyển đổi thông tin thành thực tại vật lý. Trong cuốn sách này, tôi sẽ mô tả một trong những ý tưởng toán học lớn nhất xuất hiện trong vòng 50 năm trở lại đây: Chương trình Langlands, được nhiều người coi là Lý thuyết Thống nhất Lớn của toán học. Đó là một lý thuyết quyến rũ dệt nên một mạng lưới những mối liên kết đầy phấn khích giữa các phân ngành toán học mà mới nhìn qua thì tưởng như cách nhau hàng năm ánh sáng: đại số, hình học, lý thuyết số, giải tích và vật lý lượng tử. Nếu chúng ta coi những ngành này như những lục địa trong thế giới ẩn giấu của toán học, thì Chương trình Langlands chính là dụng cụ viễn tải lý tưởng, có khả năng đưa chúng ta ngay lập tức từ lục địa này sang lục địa khác, và quay trở về. Được đề xuất vào cuối những năm 1960 bởi Robert Langlands, nhà toán học hiện đang giữ văn phòng vốn của Albert Einstein tại viện Nghiên cứu cao cấp thuộc Đại học Princeton, Chương trình Llanglands bắt nguồn từ một lý thuyết toán học có tính đột phá về đối xứng. Lý thuyết này đã được một thần đồng toán học Pháp, ngay trước khi bị giết trong một cuộc đấu súng ở tuổi hai mươi, đặt nền móng hai thế kỷ trước. Sau này nó đã được bổ trợ bởi một khám phá kinh ngạc khác, khám phá không chỉ chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, mà còn cách mạng hóa tư duy của chúng ta về số học và phương trình. Và còn một nhận thức sâu sắc khác là toán học có phiến đá Rosetta riêng của nó, chứa đầy những loại suy và ẩn dụ bí ẩn. Đi theo những loại suy như thế, tựa như những nhánh sông nhỏ trong vùng đất toán học đầy quyến rũ, những ý tưởng của Chương trình Langlands tràn vào các địa hạt hình học và vật lý lượng tử, tạo ra trật tự và hài hòa từ những gì tưởng như hỗn độn. Tôi muốn kể với bạn tất cả những điều trên nhằm giới thiệu các khía cạnh của toán học mà chúng ta hiếm khi nhìn thấy: nguồn cảm https://thuviensach.vn hứng dồi dào, những ý tưởng sâu sắc, và những phát kiến gây sửng sốt. Toán học là một phương cách phá vỡ những rào cản của tập quán, một biểu hiện của trí tưởng tượng vô biên trong công cuộc kiếm tìm chân lý. Georg Cantor, người sáng tạo ra lý thuyết vô hạn, đã viết: “Bản chất của toán học nằm ở sự tự do của nó.” Toán học dạy chúng ta phân tích thực tại một cách rốt ráo, nghiên cứu các dữ kiện, và đi theo chúng cho dù chúng dẫn tới đâu. Nó khai phóng chúng ta khỏi những giáo điều và định kiến, cũng như nuôi dưỡng năng lực đổi mới. Do vậy, toán học cung cấp cho ta những công cụ chứ không chỉ là chính bản thân nó. Những công cụ này có thể được sử dụng cho cả mục đích tốt và xấu, buộc chúng ta phải tính tới những tác động của toán học đối với thế giới thực. Chẳng hạn, cuộc khủng hoảng kinh tế toàn cầu phần lớn là do đã sử dụng rộng rãi những mô hình toán học kém cỏi trong các thị trường tài chính. Hầu hết những người ra quyết định không hoàn toàn hiểu về các mô hình đó do họ thiếu hiểu biết về toán học, nhưng lại kiêu căng sử dụng chúng bằng mọi giá - do bị lòng tham thôi thúc - cho tới khi gần như phá nát toàn bộ hệ thống. Họ lợi dụng một cách bất minh việc tiếp cận thông tin nội bộ, và hy vọng rằng không bị ai lật tẩy vì những người khác chẳng ai tính đến chuyện hỏi xem các mô hình toán học đó vận hành như thế nào. Có lẽ, nếu có nhiều người hiểu được cách vận hành của những mô hình đó, cũng như hoạt động thực sự của hệ thống, thì chúng ta đã không bị lừa bịp lâu đến như vậy. Ta hãy xét một ví dụ khác: năm 1996, một ban do chính phủ Mỹ chỉ định, đã bí mật thành lập và sửa đổi công thức Chỉ số giá tiêu dùng, thước đo lạm phát để xác định khung thuế, an sinh xã hội, chăm sóc y tế dành cho những người trên sáu lắm tuổi hoặc khuyết tật, và những chi trả có tính tới trượt giá khác. Hàng chục triệu người Mỹ đã phải hứng chịu hậu quả, nhưng chỉ có rất ít thảo luận công khai về công thức mới và những hệ lụy của nó. Và gần đây, lại có một cố gắng khác nhằm khai thác công thức bí ẩn này để lẻn vào phá hoại nền kinh tế Mỹ. https://thuviensach.vn Trong một xã hội có hiểu biết về toán học thì những vụ làm ăn dấm dúi như thế sẽ ít hơn rất nhiều. Toán học thì bằng sự chặt chẽ cộng với tính nhất quán của tri thức nhân với độ tin cậy của chân lý. Tất cả chúng ta nên tiếp cận những kiến thức và công cụ toán học cần thiết để bảo vệ mình trước những quyết định tùy tiện do một số ít kẻ có quyền lực thực hiện trong một thế giới ngày càng được dẫn dắt bởi toán học này. Nơi nào không có toán học, nơi ấy không có tự do. °°° Toán học chiếm một phần quan trọng trong di sản văn hóa của chúng ta ngang với hội họa, văn chương, và âm nhạc. Loài người chúng ta luôn thèm khát khám phá những điều mới lạ, vươn tới những ý nghĩa mới, hiểu rõ hơn về vũ trụ và vị trí của chúng ta trong đó. Chao ôi, chúng ta không thể khám phá ra một lục địa mới như Columbus, hay là người đầu tiên đặt chân lên Mặt trăng. Nhưng nếu tôi nói rằng bạn không cần phải giong buồm vượt đại dương hay bay vào không gian mới có thể khám phá những kỳ quan của thế giới, thì sao? Các kỳ quan ấy ở ngay đây, đan bện vào thực tại hiện thời của chúng ta. Toán học chi phối dòng chảy của vũ trụ, ẩn náu đằng sau mọi hình dạng và đường cong, chi phối mọi thứ, từ những nguyên tử nhỏ bé tới những vì sao lớn nhất. Cuốn sách này là một lời mời tới thăm cái thế giới phong phú và đầy ngạc nhiên đó. Tôi viết nó cho những độc giả không hề có bất kỳ nền tảng toán học nào. Nếu bạn nghĩ rằng toán học khó hiểu, rằng không thể lĩnh hội được nó và cảm thấy sợ hãi nó, nhưng đồng thời lại tò mò muốn xem ở đó có điều gì đáng để biết hay không - thì cuốn sách này chính là dành cho bạn. Mọi người thường sai lầm cho rằng phải học toán nhiều năm mới có thể đánh giá đúng về nó. Một vài người thậm chí còn nghĩ rằng hầu hết mọi người bẩm sinh đều không có khả năng học toán. Tôi không đồng ý: phần lớn chúng ta đã từng nghe và chí ít có một hiểu biết sơ https://thuviensach.vn đẳng về những khái niệm như hệ mặt trời, các nguyên tử và hạt cơ bản, chuỗi xoắn kép ADN, và nhiều thứ khác nữa mà không hề theo học các lớp về vật lý hay sinh học. Và không ai ngạc nhiên rằng những ý tưởng phức tạp ấy là một phần trong nền văn hóa của chúng ta, trong ý thức tập thể của chúng ta. Giống như vậy, mọi người đều có thể hiểu được những khái niệm và ý tưởng then chốt của toán học, nếu chúng được diễn giải một cách đúng đắn. Để làm điều đó, chúng ta không cần thiết phải học toán trong nhiều năm ròng; và trong nhiều trường hợp chúng ta có thể đi tắt ngay đến điểm mình cần và nhảy qua những bước trung gian tẻ nhạt. Vấn đề là ở chỗ: trong khi mọi người thường xuyên nhắc tới các hành tinh, các nguyên tử, và ADN, thì không hề có ai nói với bạn về những ý tưởng đầy quyến rũ của toán học hiện đại, như các nhóm đối xứng, những hệ thống số mới lạ mà trong đó 2 cộng 2 không phải lúc nào cũng bằng 4, và những hình dạng hình học đẹp đẽ như các diện Riemann. Điều này cũng chẳng khác gì họ cứ chỉ cho bạn chú mèo con và nói rằng con hổ nhìn cũng giống như thế. Nhưng thực tế thì con hổ là loài khác hẳn. Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy toàn bộ vẻ đẹp lộng lẫy của toán học, và bạn sẽ học được cách thưởng thức “tính đối xứng kinh khiếp” của nó, như lời lẽ đầy hoa mỹ của thi sĩ William Blake. Đừng hiểu sai ý tôi: việc đọc cuốn sách này tự thân nó sẽ không giúp bạn trở thành một nhà toán học. Cũng không phải tôi khuyên mọi người nên trở thành nhà toán học. Mà hãy nghĩ như thế này: học một ít hợp âm sẽ giúp bạn có thể chơi kha khá một số bài hát bằng một cây guitar. Nó sẽ không giúp bạn thành nghệ sĩ guitar cừ khôi nhất thế giới, nhưng nó sẽ làm cuộc sống của bạn phong phú thêm. Trong cuốn sách này, tôi sẽ cho bạn thấy vài hợp âm của toán học hiện đại mà bạn chưa từng biết đến. Và tôi cam đoan nó sẽ làm cuộc sống của bạn phong phú hơn, thật đấy. Một trong những người thầy của tôi, Israel Gelfand vĩ đại, thường nói rằng: “Mọi người nghĩ rằng họ không hiểu gì về toán cả, nhưng đó https://thuviensach.vn hết thảy đều do cách bạn giải thích cho họ. Nếu bạn hỏi một người say rượu con số nào lớn hơn, 2/3 hay 3/5, anh ta sẽ không thể trả lời được. Nhưng nếu bạn đặt lại câu hỏi: cái nào tốt hơn, 2 chai vodka cho 3 người hay 3 chai vodka cho 5 người, anh ta sẽ nói ngay với bạn đáp số đúng: 2 chai cho 3 người, dĩ nhiên rồi.” Mục tiêu của tôi là giải thích những điều như vậy bằng những từ ngữ mà các bạn có thể hiểu được. Tôi cũng sẽ nói về những trải nghiệm của tôi trong quá trình trưởng thành ở Liên Xô cũ, nơi toán học đã trở thành một tiền đồn của tự do trong bối cảnh một chế độ toàn trị. Tôi đã bị từ chối vào học ở Đại học Tổng hợp Quốc gia Moscow bởi những chính sách phân biệt chủng tộc của Liên Xô. Các cánh cửa đã đóng sầm trước mặt tôi. Lúc ấy, tôi là một sinh viên bị ruồng bỏ. Nhưng tôi không đầu hàng. Tôi đã lẻn vào trường để nghe giảng và tham dự seminar. Tôi tự đọc sách toán, đôi khi rất khuya. Và cuối cùng, tôi đã đột phá qua được hệ thống đó. Họ không cho tôi vào qua cửa trước thì tôi bay vào qua cửa sổ. Khi bạn đang yêu, ai có thể ngăn cản được bạn? Hai nhà toán học lỗi lạc đã đỡ đầu và trở thành những người thầy hướng dẫn tôi. Dưới sự dìu dắt của họ, tôi bắt đầu nghiên cứu toán học. Tôi vẫn là một sinh viên đại học, nhưng tôi đã đẩy xa được đường biên của những địa hạt chưa biết. Đó là thời kỳ hưng phấn nhất của đời tôi, và thậm chí tôi vẫn làm như thế mặc dù chắc chắn rằng chính sách phân biệt chủng tộc sẽ không bao giờ cho phép tôi trở thành một nhà toán học trong xã hội Xô viết. Nhưng đã xảy ra một điều bất ngờ: những công trình toán học đầu tiên của tôi được mang lén ra nước ngoài và đã được biết đến, sau đó tôi được mời tới Đại học Harvard làm giáo sư thỉnh giảng ở tuổi hai mươi mốt. Thật kỳ diệu, điều đó lại xảy ra đúng vào thời điểm perestroika (cải cách) ở Liên Xô đã vén bức màn sắt, và công dân được phép ra nước ngoài. Vậy là tôi đã có mặt ở đó, đứng trên bục giảng của Đại học Harvard mà chưa có bằng tiến sĩ, nghĩa là lại phá vỡ hệ thống https://thuviensach.vn một lần nữa. Tôi tiếp tục con đường học thuật của mình, con đường đã dẫn dắt tôi nghiên cứu ở tuyến đầu của Chương trình Langlands và cho phép tôi tham gia vào một số tiến bộ quan trọng trong lĩnh vực này trong suốt 20 năm nay. Trong những chương tiếp theo đây, tôi sẽ mô tả những thành quả chói lọi ấy của các nhà khoa học lỗi lạc cũng như những gì xảy ra đằng sau nó. Đây cũng là một cuốn sách về tình yêu. Trước kia, tôi từng mường tượng ra một nhà toán học tìm kiếm “công thức của tình yêu”, và điều này đã trở thành tiền đề của bộ phim Rites of Love and Math (Những nghi thức của tình yêu và toán học) mà tôi sẽ nhắc tới ở phần cuối cuốn sách. Mỗi khi tôi trình chiếu bộ phim luôn có ai đó hỏi rằng: “Liệu có thực sự tồn tại một công thức cho tình yêu hay không?” Tôi đáp rằng: “Mọi công thức mà chúng ta phát hiện đều là công thức của tình yêu.” Toán học là suối nguồn của những kiến thức sâu sắc phi thời gian, chúng đi vào bản chất của vật chất và thống nhất chúng ta qua các nền văn hóa, các lục địa, và các thế kỷ. Tôi ước mong sao tất cả chúng ta đều có thể nhìn thấy, yêu mến, và kinh ngạc trước vẻ đẹp thần thánh cùng sự hài hòa thanh nhã của những ý tưởng, công thức, và phương trình, bởi chúng sẽ mang lại thêm rất nhiều ý nghĩa cho tình yêu giữa chúng ta với nhau và với thế gian này. https://thuviensach.vn MỘT HƯỚNG DẪN CHO ĐỘC GIẢ Tôi đã rất nỗ lực mô tả các khái niệm toán học trong cuốn sách này theo cách đơn giản và trực quan nhất. Tuy nhiên, tôi nhận ra rằng có một vài phần của cuốn sách hơi nặng nề về mặt toán học (đặc biệt là trong các chương 8, 14, 15 và 17). Sẽ không có vấn đề gì nếu bạn bỏ qua những phần có vẻ rối rắm và tẻ nhạt đó trong lần đọc đầu tiên (đây là cách mà bản thân tôi thường làm). Sau này, khi đã được trang bị những kiến thức mới thu nhận, quay trở lại những phần đó bạn sẽ thấy dễ tiếp thu hơn. Nhưng thường thì cũng không nhất thiết phải làm như vậy thì mới hiểu những phần tiếp theo. Có lẽ sẽ tuyệt vời hơn nếu một vấn đề nào đó vẫn còn mơ hồ. Đó là cách tôi cảm nhận trong suốt 90 phần trăm thời gian làm toán, vậy nên chào mừng đến với thế giới của tôi! Cảm xúc rối bời (thậm chí đôi lúc là thất vọng) là phần không thể thiếu để trở thành một nhà toán học. Nhưng hãy nhìn vào khía cạnh tốt đẹp của vấn đề: cuộc sống mới thật nhàm chán làm sao nếu ta có thể hiểu được mọi thứ mà chẳng mấy khó khăn! Điều khiến việc làm toán thực sự phấn khích chính là khao khát vượt qua sự bối rối này; để thấu hiểu; để vén lên bức màn che phủ những điều chưa biết, và cảm xúc hân hoan trào dâng khi hiểu rõ một vấn đề nào đó thực sự đáng để ta bỏ công ra. Một vài khái niệm toán học trong cuốn sách này (đặc biệt là trong những chương cuối) sẽ không được mô tả một cách thật chi tiết. Trọng tâm mà tôi hướng tới là bức tranh toàn cục và những quan hệ logic giữa những khái niệm khác nhau và giữa những nhánh khác nhau của toán học, chứ không phải là các vấn đề nặng tính chuyên ngành. Những khảo luận sâu hơn thường được để riêng trong phần chú thích ở cuối sách, nơi cũng liệt kê các tài liệu tham khảo và tài liệu gợi ý nên đọc https://thuviensach.vn thêm. Tuy nhiên, mặc dù các chú thích ở cuối sách có thể giúp nâng cao tầm hiểu biết của bạn, nhưng nếu muốn, bạn cũng có thể bỏ qua (chí ít, là trong lần đọc đầu tiên). Tôi đã cố gắng tối giản hóa việc sử dụng các công thức - lựa chọn cách giải thích bằng lời nói mỗi khi có thể. Nhưng vẫn có một số công thức xuất hiện. Tôi nghĩ rằng hầu hết đều không đáng sợ; trong mọi trường hợp, bạn có thể thoải mái bỏ qua nếu thích. Một lời cảnh báo về các thuật ngữ toán học: khi viết cuốn sách này, tôi rất ngạc nhiên khi khám phá ra rằng một số thuật ngữ mà các nhà toán học sử dụng theo một cách riêng lại có nghĩa khác hoàn toàn đối với những người không nghiên cứu về toán, chẳng hạn, đối với các nhà toán học từ “tương ứng” có nghĩa là một mối liên hệ giữa hai loại đối tượng (như trong “tương ứng 1-1”), chứ không phải nghĩa thường thấy nhất của nó. Có những thuật ngữ khác cũng vậy, như các từ “biểu diễn”, “hợp thành”, “vòng”, “đa tạp”, và “lý thuyết”. Mỗi khi phát hiện thấy vấn đề này, tôi sẽ có lời giải thích rõ. Và bất cứ khi nào có thể, tôi sẽ chuyển những thuật ngữ toán học tối nghĩa thành những thuật ngữ có nghĩa rõ ràng hơn (chẳng hạn, tôi sẽ viết “quan hệ Langlands” thay vì “tương ứng Langlands”). Bạn sẽ thấy hữu ích nếu tham khảo mục Thuật ngữ mỗi khi gặp phải từ nào không rõ nghĩa. Xin vui lòng truy cập trang web của tôi (http://edwardfrenkel.com) để cập nhật và tìm những tài liệu hỗ trợ, đồng thời vui lòng gửi email cho tôi để chia sẻ những suy nghĩ của bạn về cuốn sách này (địa chỉ trong website nói trên). Tôi luôn đánh giá cao phản hồi từ các bạn. https://thuviensach.vn Chương 1 MỘT QUÁI VẬT BÍ ẨN Làm thế nào để trở thành một nhà toán học? Điều ấy có thể xảy ra theo nhiều cách. Hãy để tôi kể cho các bạn biết nó đã xảy ra với tôi như thế nào. Có thể bạn sẽ ngạc nhiên, nhưng quả thật, khi còn học ở trường phổ thông tôi rất ghét toán. Vâng, nói “ghét” thì nghe có vẻ hới quá. Chỉ đơn giản là tôi không thích nó. Tôi đã nghĩ rằng nó khá tẻ nhạt. Tôi có thể làm hết các bài tập, chắc chắn là thế, nhưng tôi không hiểu tại sao mình lại làm chúng. Tài liệu mà chúng tôi thảo luận trên lớp có vẻ như lạc lõng, chẳng có liên quan gì tới tôi cả. Thứ làm tôi thấy thực sự phấn khích lại là môn vật lý - đặc biệt là vật lý lượng tử. Tôi đọc ngấu nghiến mọi quyển sách thường thức mà tôi có thể kiếm được về chủ đề đó. Tôi lớn lên ở Nga, nơi những cuốn sách như thế rất dễ kiếm. Tôi từng rất mê đắm thế giới lượng tử. Kể từ thời cổ đại, các nhà khoa học và triết gia đã mơ ước mô tả được bản chất cơ bản của vũ trụ - một số người thậm chí còn đặt giả thuyết rằng toàn bộ vật chất được cấu thành từ các phần tử vô cùng nhỏ gọi là nguyên tử. Đầu thế kỷ 20, nguyên tử đã được chứng minh là tồn tại, nhưng cũng khoảng thời gian đó, các nhà khoa học đã khám phá ra rằng, mỗi nguyên tử lại có thể chia nhỏ hơn nữa. Mỗi nguyên tử, hóa ra bao gồm một hạt nhân nằm ở giữa các electron quay xung quanh. Rồi chính hạt nhân lại được tạo bởi các proton và neutron, như được chỉ ra trong hình dưới đây. https://thuviensach.vn Nguyên tử carbon https://thuviensach.vn Nhưng các neutron và proton thì sao? Những cuốn sách thường thức mà tôi đọc cho biết rằng chúng được tạo thành từ những hạt cơ bản gọi là “quark”. Tôi thích cái tên quark, và tôi đặc biệt thích cách mà người ta đặt tên cho chúng. Nhà vật lý khám phá ra những hạt này, Murray Gell Mann, đã mượn cái tên “quark” từ cuốn sách Finnegans Wake (Thức canh Finnegans) của James Joyce, trong đó có một bài thơ giễu nhại như sau: Ba quark dành cho ngài Mark! Ngài chả được gì hơn tiếng quát ấy thôi. Các cái khác là vô nghĩa hết Dù ngài có trong tay mọi thứ trên đời. Tôi nghĩ một nhà vật lý lại đặt tên cho một hạt dựa theo một cuốn tiểu thuyết thì quả là chịu chơi. Mà nhất lại là một cuốn tiểu thuyết phức tạp và không hề tầm thường như cuốn Finnegans Wake. Tôi lúc đó chắc mới khoảng mười ba tuổi, nhưng ở tuổi ấy tôi đã biết rằng các nhà khoa học thường được cho là những sinh vật sống ẩn dật và lập dị, họ đắm chìm trong những nghiên cứu của mình đến mức bàng quan với mọi khía cạnh khác của cuộc sống như Nghệ thuật và Khoa học nhân văn. Tôi thì không giống như thế. Tôi có rất nhiều bạn, thích đọc sách, và có nhiều sở thích khác ngoài khoa học. Tôi thích chơi bóng đá và dành vô số thì giờ để đuổi theo trái bóng cùng các bạn mình. Cũng vào khoảng thời gian đó, tôi đã khám phá ra những bức tranh của trường phái Ấn tượng (bắt đầu với một tập sách lớn về chủ nghĩa Ấn tượng tôi tìm được trong thư viện của cha mẹ mình). Van Gogh là họa sĩ mà tôi ưa thích. Bị quyến rũ bởi các tác phẩm của ông, tôi thậm chí đã cố gắng tập vẽ. Tất cả những sở thích đó đã thực sự khiến tôi nghi ngờ liệu mình có thực sự sinh ra để trở thành một nhà khoa học hay không. Do vậy, khi tôi đọc được rằng Gell-Mann, một nhà vật lý vĩ đại, người đã được trao giải thưởng Nobel, cũng có những sở thích đa dạng như vậy https://thuviensach.vn (không chỉ văn chương, mà cả ngôn ngữ học, khảo cổ học…) tôi cảm thấy rất hạnh phúc. Theo Gell-Mann, có hai loại quark, “lên” (up) và “xuống” (down), và các cách kết hợp khác nhau của chúng mang lại cho các neutron và proton các đặc tính riêng. Một neutron được tạo thành từ 2 quark down (viết tắt là d) và 1 quark up (viết tắt là u), còn 1 proton được tạo thành từ 2 quark u và 1 quark d, như chỉ ra trên các hình vẽ dưới đây. Như thế là đã đủ rõ ràng rồi. Nhưng điều mù mờ là ở chỗ làm thế nào mà các nhà vật lý lại phỏng đoán được các proton và neutron không phải là các hạt không chia nhỏ được nữa mà lại được tạo thành từ các hạt nhỏ hơn. https://thuviensach.vn Câu chuyện này diễn ra vào cuối thập niên 1950, thời điểm một lượng lớn các hạt có vẻ là cơ bản, gọi là các hadron, được tìm ra. Neutron và proton đều là hadron, và dĩ nhiên chứng đóng vai trò quan trọng trong đời sống hằng ngày như là những viên gạch cấu thành nên vật chất. Các hạt hadron còn lại thì không ai có ý niệm nào về mục đích tồn tại của chúng (hay là “ai đã đặt hàng chúng” như một nhà nghiên cứu đã nói). Có quá nhiều các hạt như thế đến nỗi nhà vật lý tiếng tăm Wolfgang Pauli đã nói đùa rằng vật lý học đang biến thành thực vật học. Các nhà vật lý rất cần phải chế ngự các hạt hadron, để tìm kiếm những nguyên lý ẩn giấu chi phối hành vi của các hạt này và giải thích sự sinh sôi điên rồ của chúng. Gell-Mann và Yuval Ne’eman, đã độc lập đề xuất một sơ đồ phân loại mới lạ. Họ cùng chỉ ra rằng các hadron có thể được phân chia một cách tự nhiên thành các họ nhỏ hơn, mỗi họ bao gồm 8 hay 10 hạt. Họ gọi chúng là các bát tuyến và thập tuyến. Những hạt cùng nằm trong một họ thì có các tính chất tương tự nhau. Trong những cuốn sách thường thức mà tôi đọc vào thời điểm đó, tôi đã thấy các giản đồ bát tuyến như sau: https://thuviensach.vn https://thuviensach.vn Ở đây proton được ký. hiệu là p, neutron được ký hiệu là n, và có sáu hạt khác được ký hiệu bằng những chữ cái Hy Lạp lạ hoắc. Nhưng tại sao lại là 8 và 10 chứ không phải 7 hay 11? Tôi không thể tìm ra được một cách lý giải chặt chẽ nào trong những cuốn sách mà tôi đang đọc. Chúng đều nhắc đến một ý tưởng kỳ bí của Gell Mann gọi là bát đạo (ám chỉ Bát Chính Đạo trong đạo Phật). Nhưng những cuốn sách đó không bao giờ cố gắng giải thích điều này thực ra là gì. Sự thiếu vắng lời giải thích như thế khiến tôi cực kỳ không thỏa mãn. Những phần then chốt của câu chuyện vẫn còn ẩn giấu. Tôi muốn làm sáng tỏ bí ẩn này nhưng không biết phải làm cách nào. Và thật may mắn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ từ một người bạn của gia đình. Tôi lớn lên trong một thành phố công nghiệp nhỏ có tên là Kolomna, với dân số khoảng 150.000 người, cách Moscow khoảng 70 dặm, hoặc chỉ hai giờ tàu chạy. Cha mẹ tôi là kỹ sư làm việc cho một công ty lớn chuyên sản xuất máy móc hạng nặng. Kolomna là một thành phố cổ nằm bên hợp lưu của hai con sông, được thành lập năm 1177 (chỉ 30 năm sau khi Moscow được thành lập), vẫn còn đó vài nhà thờ đẹp và những bức tường thành là chứng tích cho quá khứ vàng son của Kolomna. Nhưng đó không phải là một trung tâm giáo dục hay trí thức. Ở đó chỉ có một trường đại học nhỏ, đào tạo giáo viên phổ thông. Tuy vậy, một trong những giáo sư ở đó, nhà toán học Evgeny Evgenievich Petrov, lại là bạn của cha mẹ tôi. Một ngày, mẹ tôi gặp lại ông trên đường phố sau một thời gian dài xa cách, và họ đã nói chuyện với nhau. Mẹ tôi thích kể về tôi với bạn bè của bà, và do vậy tôi xuất, hiện trong câu chuyện. Khi nghe kể tôi rất thích khoa học, Evgeny Evgenievich đã nói: “Tôi phải gặp cháu. Tôi sẽ cố chuyển mối quan tâm của cháu sang toán học.” “Ồ không,” mẹ tôi nói, “nó không thích toán đâu. Nó nghĩ rằng toán thật tẻ nhạt. Nó muốn nghiên cứu vật lý lượng tử.” https://thuviensach.vn “Đừng lo,” Evgeny Evgenievich trả lời, “tôi nghĩ mình biết cách làm thay đổi suy nghĩ của cháu.” Vậy là một cuộc gặp gỡ đã được thu xếp. Tôi không mấy hứng thú với nó, nhưng dẫu vậy tôi vẫn đến văn phòng của Evgeny Evgenievich để gặp ông. Tôi vừa mới bước sang tuổi mười lăm, và mới học hết lớp chín, lớp áp chót của phổ thông. (Tôi nhỏ hơn các bạn cùng lớp một tuổi bởi vì tôi đã học nhảy lớp sáu.) Ở độ tuổi trạc bốn mươi, Evgeny Evgenievich khi đó rất thân thiện và khiêm nhường. Đeo kính cận, với chòm râu lởm chởm, ông trông giống hệt những gì mà tôi tưởng tượng về một nhà toán học, nhưng vẫn có nét quyến rũ trong ánh nhìn chăm chú đầy dò xét từ đôi mắt to của ông. Chúng phát ra sự tò mò vô hạn về tất cả mọi thứ. Hóa ra Evgeny Evgenievich thật sự đã có một kế hoạch tài tình để chuyển mối quan tâm của tôi sang toán học. Ngay khi tôi bước vào văn phòng, ông liền hỏi, “Này, chú được biết là cháu thích vật lý lượng tử. Cháu đã nghe nói về sơ đồ bát đạo của Murray Gell-Mann và mô hình quark chưa?” “Dạ có, cháu đã đọc về chúng trong một vài cuốn sách thường thức.” “Nhưng cháu có biết nền tảng của mô hình đó là gì không? Làm sao ông ấy lại nảy ra những ý tưởng đó?” “À vâng…” “Cháu đã nghe về nhóm SU(3) bao giờ chưa?” “SU gì cơ ạ?” “Làm sao mà cháu có thể hiểu được mô hình quark nếu cháu không biết nhóm SU(3) là gì?” Ông lấy từ trên giá xuống vài cuốn sách, mở chúng ra, và chỉ cho tôi các trang có chứa các công thức. Tôi nhìn thấy các giản đồ bát tuyến quen thuộc, giống như giản đồ ở trang 24, nhưng những giản đồ này https://thuviensach.vn không chỉ là những bức tranh đẹp; chúng còn là lời giải thích mạch lạc và chi tiết. Mặc dù vẫn không thể hiểu đầu cua tai nheo của các công thức đó, nhưng tôi cảm nhận rõ ràng rằng chúng chứa đựng câu trả lời mà tôi đã tìm kiếm bấy lâu. Đó là thời khắc thức nhận. Tôi đã bị mê hoặc bởi những gì mình nghe và nhìn thấy; chạm đến một cái gì đó mà tôi chưa từng trải qua trước đây; không thể diễn tả bằng lời nhưng nó giống cảm xúc phấn khích và nguồn sinh lực mà người ta cảm thấy khi nghe một bản nhạc hay xem một bức tranh vô cùng ấn tượng. Tất cả những gì tôi nghĩ đến lúc đó là “Quá tuyệt vời!” “Có lẽ cháu nghĩ toán học là những gì cháu được dạy ở nhà trường,” Evgeny Evgenievich nói. Ông lắc đầu, “Không phải, mà đây” - ông chỉ vào những công thức trong sách - “mới là toán học. Và nếu cháu thực sự muốn hiểu cơ học lượng tử, thì đây là điểm mà cháu phải bắt đầu. Gell-Mann đã sử dụng một lý thuyết toán học đẹp đẽ để tiên đoán về các quark. Thực ra, đó là một khám phá toán học.” “Nhưng làm sao mà cháu có thể hiểu được những thứ này chứ?” Chúng trông có vẻ đáng sợ. “Đừng lo. Thứ đầu tiên mà cháu cần phải học là khái niệm nhóm đối xứng. Đó là ý tưởng chính. Đa phần toán học, cũng như vật lý lý thuyết, đều dựa trên đó cả. Đây là một vài cuốn sách mà chú muốn cho cháu. Hãy đọc chúng ngay và đánh dấu những chỗ mà cháu không hiểu hằng tuần chúng ta có thể gặp nhau ở đây và nói về chúng.” Ông đưa tôi một cuốn sách về các nhóm đối xứng và đôi ba cuốn nữa về những chủ đề khác: về các số p-adic (một hệ thống số khác biệt hoàn toàn vói những con số mà chúng ta đã quen thuộc) và về topo (ngành nghiên cứu về những tính chất căn bản nhất của các dạng hình học). Về chuyện này, Evgeny Evgenievich có một năng khiếu toán học hoàn hảo: ông tìm thấy một sự kết hợp hoàn hảo giữa các chủ đề sẽ cho phép tôi thấy được con quái vật Toán học bí ẩn từ các khía cạnh khác nhau và cảm thấy hưng phấn về nó. https://thuviensach.vn Ở trường phổ thông chúng ta học về những thứ như các phương trình bậc hai, một ít giải tích, một ít hình học Euclid, và lượng giác. Tôi từng cho rằng toàn bộ toán học chỉ loanh quanh có thế mà thôi, rằng có thể các bài tập trở nên phức tạp hơn nhưng vẫn nằm trong cùng cái khuôn khổ chung mà tôi vốn rất quen thuộc ấy. Nhưng các cuốn sách mà Evgeny Evgenievich đưa cho tôi chứa đựng những phác thảo đại cương về một thế giới hoàn toàn khác, thậm chí tôi không thể hình dung được sự tồn tại của nó. Và tôi ngay lập tức thay đổi hoàn toàn suy nghĩ của mình. https://thuviensach.vn Chương 2 BẢN CHẤT CỦA ĐỐI XỨNG Trong tâm thức của hầu hết mọi người, toán học chẳng qua chỉ là khoa học về các con số. Họ hình dung các nhà toán học là những người suốt ngày chỉ ngồi nghiền ngẫm về các con số: những số lớn và thậm chí vô cùng lớn, tất cả đều có những cái tên rất lạ. Tôi cũng từng nghĩ như thế - chí ít là cho đến trước khi Evgeny Evgenievich giới thiệu với tôi những khái niệm và ý tưởng của toán học hiện đại. Một trong số chúng hóa ra lại là chìa khóa để khám phá ra các quark: đó là khái niệm đối xứng. Vậy đối xứng là gì? Tất cả chúng ta đều có thể nhận biết nó bằng trực giác - khi nhìn thấy nó chúng ta nhận ra ngay. Khi tôi đề nghị mọi người đưa ra một ví dụ về vật thể đối xúng, họ đều chỉ ra những con bướm, các bông tuyết, và cơ thể con người. Nhưng nếu tôi hỏi một vật đối xứng có ý nghĩa gì, thì họ lại ngắc ngứ. Đây là cách mà Evgeny Evgenievich đã giải thích cho tôi. “Hãy nhìn chiếc bàn tròn và chiếc bàn vuông này,” ông chỉ vào hai chiếc bàn ở trong văn phòng của mình. “Chiếc nào đối xứng hơn?” “Dĩ nhiên là chiếc bàn tròn rồi, lẽ nào không quá rõ ràng hay sao?” https://thuviensach.vn Ảnh của K.G. Libbrecht “Nhưng tại sao? Là một nhà toán học có nghĩa là cháu không thể coi những thứ ‘rõ ràng’ là dĩ nhiên được, mà hãy cố suy luận. Rất thường xuyên, cháu sẽ thấy ngạc nhiên rằng câu trả lời hiển nhiên nhất thực ra lại là sai.” Nhận thấy sự bối rối trên gương mặt của tôi, Evgeny Evgenievich liền đưa ra gợi ý: “Tính chất nào của chiếc bàn tròn khiến nó đối xứng hơn?” Tôi nghĩ ngợi một lát, và sau đó tìm ra: “Cháu đoán là tính đối xứng của một vật liên quan tới việc nó giữ nguyên hình dạng và vị trí ngay cả khi chúng ta tác động làm cho nó thay đổi”. Evgeny Evgenievich gật đầu. “Đúng vậy. Hãy xét tất cả các phép biến đổi có thể có đối với hai chiếc bàn sao cho chúng bảo toàn hình dạng và vị trí của hai chiếc bàn ấy,” ông nói, “trong trường hợp chiếc bàn tròn…” https://thuviensach.vn Tôi ngắt lời: “Tất cả các phép quay quanh tâm đều sẽ không làm thay đổi vị trí của nó. Chúng ta sẽ nhận lại chính xác chiếc bàn được đặt đúng y như cũ. Nhưng nếu áp dụng một phép quay bất kỳ vào chiếc bàn vuông, chúng ta thường sẽ nhận được chiếc bàn đặt theo cách khác. Chỉ có các phép quay 90° và bội của nó thì mới giữ được chiếc bàn không thay đổi thôi.” “Chính xác! Nếu cháu rời văn phòng của chú một lát, và chú quay chiếc bàn tròn một góc bất kỳ, thì khi trở vào cháu sẽ không nhận thấy sự khác biệt. Nhưng nếu chú làm như vậy với chiếc bàn vuông, cháu sẽ nhận ra ngay, trừ phi chú quay nó theo các góc 90°, 180°, và 270°.” Quay một chiếc bàn hình tròn theo bất kỳ góc nào cũng không làm thay đổi vị trí của nó, nhưng nếu quay một chiếc bàn hình vuông theo một góc không phải bội của 90° thì sẽ thay đổi vị trí https://thuviensach.vn của nó (cả hai đều được nhìn từ bên trên) Ông tiếp tục: “Những phép biến đổi như thế được gọi là các đối xứng. Do vậy cháu sẽ thấy chiếc bàn vuông chỉ có bốn đối xứng, trong khi chiếc bàn tròn lại có rất nhiều - mà thực ra là nó có vô hạn các đối xứng. Điều đó giải thích tại sao chúng ta nói rằng chiếc bàn tròn là đối xứng hơn.” Điều này mang rất nhiều ý nghĩa. “Đây là một quan sát khá đơn giản,” Evgeny Evgenievich tiếp tục. “Không cần phải là một nhà toán học cháu cũng có thể nhận thấy, điều đó: Nhưng nếu cháu là một nhà toán học, cháu sẽ đặt câu hỏi kế tiếp: tất cả những đối xứng khả dĩ của một vật cho trước là gì?” Hãy xét chiếc bàn vuông. Những đối xứng của nó[1]là bốn phép quay quanh tâm của chiếc bàn: theo góc 90°, 180°, 270°, và 360°, ngược chiều kim đồng hồ[2]. Một nhà toán học sẽ nói rằng tập hợp các đối xứng của một chiếc bàn vuông bao gồm bốn phần tử, tương ứng với các góc 90°, 180°, 270° và 360°. Mỗi phép quay sẽ đưa một đỉnh cố định (được đánh dấu bởi một hình tròn nhỏ như trên hình dưới đây) tới vị trí của một trong bốn đỉnh còn lại. https://thuviensach.vn Có một phép quay đặc biệt trong số này; ấy là phép quay theo góc 360° cũng hệt như là phép quay theo góc 0°, tức là chẳng quay gì cả. https://thuviensach.vn Đây là một đối xứng đặc biệt bởi vì nó thực sự không làm thay đổi chiếc bàn chút nào cả: mỗi điểm của chiếc bàn sau phép quay vẫn ở nguyên vị trí như ban đầu. Chúng ta gọi đây là đối xứng đồng nhất; hay đơn giản là phép đồng nhất[3]. Chú ý rằng quay theo một góc nào đó lớn hơn 360° thì cũng tương đứơng với việc quay theo một góc giữa 0° và 360°. Chẳng hạn, phép quay theo một góc 450° thì cũng giống như phép quay theo góc 90°, bởi vì 450 = 360+90. Điều đó giải thích tại sao chúng ta chỉ xét các phép quay theo các góc nằm giữa 0° và 360°. Ở đây xuất hiện nhận xét quan trọng: nếu chúng ta thực hiện hai phép quay theo các góc trong danh sách {90°, 180°, 270°, 360°}, phép này tiếp sau phép kia, thì chúng ta lại thu được một phép quay khác trong cùng danh sách đó. Chúng ta gọi đối xứng mới này là hợp thành của hai đối xứng kia. Dĩ nhiên, điều này là hiển nhiên: mỗi một trong hai đối xứng đều giữ nguyên vị trí của chiếc bàn. Do đó hợp thành của hai đối xứng ấy cũng phải bảo toàn vị trí đó. Do vậy, hợp thành này cũng phải là một đối xứng. Chẳng hạn, nếu chúng ta quay chiếc bàn một góc 90°, và sau đó quay tiếp một góc 180°, thì kết quả cuối cùng là phép quay 270°. Hãy cùng xem những gì đã xảy ra với chiếc bàn khi thực hiện các phép đối xứng đó. Dưới phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 90°, góc phải của chiếc bàn (góc được đánh dấu bằng một hình tròn ở hình trước) sẽ đi lên góc trên. Sau đó chúng ta áp dụng phép quay 180°, thì góc trên ấy sẽ lại chuyển xuống góc dưới. Kết quả cuối cùng là góc phải sẽ đi xuống góc dưới. Đó cũng là kết quả của phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 270°. Đây là một ví dụ nữa: 90° + 270° = 0°. Khi quay một góc 90° và sau đó là 270°, chúng ta sẽ nhận được phép quay một góc 360°. Nhưng kết quả của phép quay 360° cũng https://thuviensach.vn giống như phép quay một góc 0°, như chúng ta đã thảo luận trên kia - đây chính là “phép đối xứng đồng nhất”. Nói cách khác, phép quay thứ hai theo một góc 270° đã làm đảo ngược kết quả của phép quay 90° ban đầu. Đây thực tế là một tính chất quan trọng: bất kỳ đối xứng nào cũng có thể bị đảo ngược; tức là với bất kỳ đối xứng S nào cũng tồn tại đối xứng S’ sao cho hợp thành của chúng là đối xứng đồng nhất. Đối xứng S’ này được gọi là đối xứng nghịch đảo của đối xứng S. Do vậy chúng ta thấy rằng phép quay một góc 270° là nghịch đảo của phép quay một góc 90°. Cũng vậy, nghịch đảo của phép quay một góc 180° cũng chính là phép quay một góc 180°. Bây giờ chúng ta thấy rằng một tập hợp đơn giản gồm các đối xứng của một chiếc bàn vuông - tức bốn phép quay {90°, 180°, 270°, 0°} - thực ra lại có nhiều cấu trúc nội tại, hay các quy tắc tương tác giữa các phần tử của tập hợp đó. Trước hết, chúng ta có thể hợp thành hai đối xứng bất kỳ (tức là áp dụng một đối xứng này tiếp sau một đối xứng khác). Thứ hai, có một đối xứng đặc biệt, đối xứng đồng nhất. Trong ví dụ của chúng ta, đó là phép quay một góc 0°. Nếu chúng ta hợp thành nó với bất kỳ đối xứng nào khác, chúng ta sẽ thu được chính đối xứng khác đó. Chẳng hạn: 90° + 0° = 90°,180° + 0° = 180°, v.v. Thứ ba, với bất kỳ một đối xứng S nào, cũng tồn tại một đối xứng nghịch đảo S’, sao cho hợp thành của S và S’ là đối xứng đồng nhất. Và bây giờ chúng ta đi đến điểm chính: tập hợp các phép quay cùng với ba cấu trúc trên là một ví dụ về thứ mà các nhà toán học gọi là một nhóm. Những đối xứng của một vật thể bất kỳ cũng tạo thành một nhóm, mà nói chung thì có nhiều phần tử hơn - thậm chí số phần tử có thể là vô hạn[4]. https://thuviensach.vn Hãy cùng xem xét điều đó vận hành như thế nào trong trường hợp chiếc bàn tròn. Bây giờ ta đã có được thêm chút kinh nghiệm, nên có thể thấy ngay rằng tập hợp các đối xứng của chiếc bàn tròn là tập hợp tất cả các phép quay khả dĩ (chứ không phải chỉ theo các góc là bội của 90°), và chúng ta có thể trực quan hóa nó như tập hợp tất cả các điểm trên đường tròn. Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với một góc nằm trong khoảng 0° đến 360°, biểu diễn phép quay của chiếc bàn tròn theo góc này với chiều quay ngược chiều kim đồng hồ. Hơn nữa, có một điểm đặc biệt tương ứng với phép quay một góc 0°. Nó được đánh dấu như trong hình dưới đây, cùng với một điểm khác tương ứng với phép quay một góc 30°. https://thuviensach.vn https://thuviensach.vn Mặc dù vậy chúng ta không nên nghĩ các điểm trên đường tròn này như những điểm trên chiếc bàn tròn, mà nên nghĩ rằng mỗi điểm của đường tròn này biểu diễn một phép quay cụ thể của chiếc bàn tròn. Chú ý rằng chiếc bàn tròn này không có điểm nào là đặc biệt cả, nhưng đường tròn của chúng ta thì có; đó là điểm tương ứng với phép quay một góc 0°[5]. Bây giờ chúng ta thử xem ba cấu trúc nói ở trên có thể áp dụng được cho tập hợp các điểm trên đường tròn hay không. Trước tiên, hợp thành của hai phép quay, theo các góc φ1 và φ2 độ, là phép quay theo góc φ1 + φ2 độ. Nếu φ1 + φ2lớn hơn 360, chúng ta chỉ cần lấy nó trừ đi 360. Trong toán học, đây gọi là phép cộng theo modun 360. Chẳng hạn nếu φ1 = 195 và φ2 = 250, thì tổng của hai góc là 445, và phép quay một góc 445° thì cũng giống như quay một góc 85°. Do vậy, trong nhóm các phép quay của chiếc bàn tròn chúng ta có: 195°+250° = 85°. Thứ hai, có một điểm đặc biệt trên đường tròn tương ứng với phép quay một góc 0°. Đây là phần tử đồng nhất của nhóm. Thứ ba, nghịch đảo của phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc φ là phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc (360 - φ) độ, hay tương đương với phép quay theo chiều kim đồng hồ theo một góc φ độ (xem hình dưới). https://thuviensach.vn Điểm này là phép quay một góc φ độ ngược chiều kim đồng hồ Điểm này là phép quay một góc 0° (phần tử đồng nhất) Điểm này là phép quay một góc φ độ theo chiều kim đồng hồ… Như vậy, chúng ta đã mô tả được nhóm các phép quay của chiếc bàn tròn. Chúng ta sẽ gọi đó là nhóm đường tròn. Không giống với https://thuviensach.vn nhóm đối xứng của chiếc bàn vuông, có bốn phần tử, nhóm này có vô hạn các phần tử bởi vì có vô hạn các góc nằm giữa 0° và 360°. Bây giờ hiểu biết trực giác của chúng ta đã có được nền tảng lý thuyết vững chắc - thực tế, chúng ta đã biến nó thành một khái niệm toán học. Trước hết, chúng ta thừa nhận rằng đối xứng của một đối tượng cho trước là phép biến đổi bảo toàn vật đó và các tính chất của nó. Sau đó, chúng ta thực hiện một bước quyết định: đó là tập trung vào tập hợp gồm tất cả các đối xứng của một đối tượng cho trước. Trong trường hợp chiếc bàn vuông, tập hợp này gồm bốn phần tử (phép quay các góc là bội của 90°); trong trường hợp chiếc bàn tròn, đó là một tập hợp vô hạn phần tử (gồm tất cả các điểm trên đường tròn). Cuối cùng, chúng ta mô tả các cấu trúc chặt chẽ mà tập hợp các đối xứng này luôn sở hữu: bất kỳ hai đối xứng nào cũng có thể hợp thành để tạo ra một đối xứng khác; tồn tại đối xứng đồng nhất; và đối với mỗi đối xứng, tồn tại đối xứng nghịch đảo của nó. (Hợp thành của các đối xứng cũng thỏa mãn tính chất kết hợp được miêu tả trong chú thích 4 cuối chương.) Do đó, chúng ta đi đến khái niệm “nhóm” trong toán học. Một nhóm các đối xứng là một đối tượng trừu tượng, khá khác biệt với đối tượng cụ thể mà ta đã xét. Chúng ta không thể động chạm hay nắm giữ được tập hợp các đối xứng của chiếc bàn (không giống như bản thân chiếc bàn), nhưng chúng ta có thể hình dung về nó, viết ra các phần tử của nó, nghiên cứu và bàn luận về nó.. Mặc dù vậy, mỗi phần tử của tập hợp trừu tượng này có một ý nghĩa cụ thể: nó biểu diễn một phép biến đổi của một đối tượng cụ thể, tức đối xứng của đối tượng ấy. Toán học chính là ngành nghiên cứu các đối tượng và khái niệm trừu tượng như vậy. Thực nghiệm cho thấy rằng đối xứng là một nguyên lý dẫn dắt căn bản đối với các định luật của tự nhiên. Chẳng hạn, một bông tuyết tạo https://thuviensach.vn thành một dạng lục giác đều bởi vì hóa ra đó là trạng thái năng lượng thấp nhất mà các phân tử nước buộc phải kết tinh thành. Các đối xứng của bông tuyết là những phép quay theo các góc là bội của 60°; đó là 60, 120, 180, 240, 300 và 360 độ (cũng tức là 0°). Hơn nữa, chúng ta có thể “lật” bông tuyết dọc theo mỗi một trong sáu trục tương ứng với các góc đó. Tất cả các phép quay và lật ấy đều bảo toàn hình dạng và vị trí của bông tuyết, do vậy, chúng là các đối xứng của nó(*). Trong trường hợp con bướm, khi bị lật nó sẽ lộn úp. Bởi vì ở một mặt con bướm có các chân, nên chính xác thì, việc lật con bướm không phải là một đối xứng. Khi nói rằng con bướm có tính đối xứng là chúng ta đang nói về một phiên bản lý tưởng của nó, khi lưng và bụng giống hệt nhau (không giống như lưng và bụng của một con bướm thực sự). Do vậy phép lật làm tráo đổi các cánh bên trái và bên phải cho nhau trở thành một đối xứng. (Ngoài ra, chúng ta còn có thể tưởng tượng việc đảo các cánh cho nhau mà không lật ngược con bướm.) Điều này dẫn đến một điểm quan trọng: có nhiều đối tượng trong tự nhiên mà các đối xứng của chúng chỉ mang tính tương đối mà thôi. Một chiếc bàn trong đời thực không thể tròn hay vuông một cách hoàn hảo, một con bướm thật thì có mặt trước và sau không đối xứng với nhau, và một cơ thể người thì cũng không hoàn toàn đối xứng. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp này thì việc xem xét các phiên bản hay mô hình trừu tượng, lý tưởng hóa của chúng - một chiếc bàn tròn hoàn hảo, hay một con bướm tưởng tượng mà chúng ta không phân biệt đằng trước và đằng sau - hóa ra cũng rất hữu ích. Rồi thì, chúng ta phân tích những đối xứng của các đối tượng lý tưởng hóa ấy và điều chỉnh những kết luận mà chúng ta rút ra từ đó để giải thích sự khác biệt giữa đối tượng trong đời thực và mô hình của nó. Nói như vậy không có nghĩa là chúng ta không trân trọng tính bất đối xứng; chúng ta vẫn đánh giá cao và cũng thường tìm thấy vẻ đẹp trong nó. Nhưng điểm chính của lý thuyết đối xứng trong toán học lại không phải là tính thẩm mỹ. Nó nhằm xây dựng khái niệm đối xứng https://thuviensach.vn bằng những thuật ngữ tổng quát nhất, do vậy sẽ không tránh khỏi là trừu tượng nhất, sao cho khái niệm này có thể áp dụng được một cách thống nhất trong các lĩnh vực khác nhau, như hình học, lý thuyết số, vật lý, hóa học, sinh học, v.v. Một khi chúng ta phát triển được một lý thuyết như vậy, chúng ta cũng có thể nói về các cơ chế phá vỡ đối xứng - coi sự bất đối xứng như một sự đột sinh, nếu bạn muốn. Chẳng hạn, các hạt cơ bản có khối lượng là bởi vì đối xứng gauge (chuẩn) mà chúng tuân thủ (sẽ được thảo luận trong chương 16) bị phá vỡ. Điều này được làm dễ dàng nhờ boson Higgs, một hạt khó nắm bắt mới tìm thấy gần đây nhờ Máy va chạm lớn (LHC) ở dưới lòng thành phố Geneva[6]. Việc nghiên cứu các cơ chế phá vỡ đối xứng như vậy mang đến cho ta những hiểu biết sâu sắc vô giá về hành vi của các viên gạch cơ bản của tự nhiên. Tôi muốn chỉ ra một số tính chất cơ bản của lý thuyết đối xứng trừu tượng vì đây là một sự minh họa hợp lý cho lý do tại sao toán học lại quan trọng như vậy. Đầu tiên là tính phổ quát. Nhóm đường tròn không chỉ là nhóm các đối xứng của chiếc bàn tròn, mà còn là của tất cả các vật thể có hình dạng tròn khác, như một chiếc ly, một cái bình, một cái cột, v.v. Thực ra, để nói rằng một vật thể tròn thì cũng giống như nói rằng nhóm đối xứng của nó là nhóm đường tròn. Đây là một phát biểu rất hùng hồn: chúng ta nhận ra có thể mô tả một thuộc tính quan trọng của một vật thể (“có dạng hình tròn”) bằng cách mô tả nhóm đối xứng của nó (“đường tròn”). Tương tự như vậy, “có dạng hình vuông” nghĩa là nhóm đối xứng của nó là nhóm có bốn phần tử đã được mô tả ở trên. Nói cách khác, cùng một đối tượng toán học trừu tượng (như nhóm đường tròn) lại có thể dùng để mô tả nhiều vật thể cụ thể khác nhau, và nó chỉ ra những tính chất phổ quát chung của chúng (như có dạng hình tròn)[7]. https://thuviensach.vn Thứ hai là tính khách quan. Chẳng hạn, khái niệm về một nhóm là độc lập với cách diễn giải của chúng ta. Nó mang cùng một ý nghĩa đối với bất kỳ ai muốn tìm hiểu. Dĩ nhiên, để hiểu được, bạn phải biết ngôn ngữ biểu đạt nó, tức là ngôn ngữ toán học. Nhưng ai cũng có thể học được ngôn ngữ này. Tương tự như vậy, nếu bạn muốn hiểu được ý nghĩa câu nói của René Descartes “Je pense, done je suis” (Tôi tư duy nên tôi tồn tại), bạn cần phải biết tiếng Pháp (chí ít là những từ được sử dụng trong câu nói) - nhưng ai cũng có thể học được ngôn ngữ này. Tuy nhiên, trong trường hợp chúng ta đã hiểu ý nghĩa của câu trên, thì vẫn sẽ có những cách giải nghĩa khả dĩ khác về nó. Ngoài ra, mỗi người khác nhau lại có thể đồng ý hoặc không đồng ý với tính đúng-sai của một cách diễn giải cụ thể của câu nói này. Ngược lại, ý nghĩa của một mệnh đề toán học nhất quán về mặt logic dường như không cần phải diễn giải[8]. Hơn nữa, tính đúng đắn của nó cũng là khách quan. (Nói chung, tính đúng đắn của một mệnh đề cụ thể có thể phụ thuộc vào hệ tiên đề mà từ đó nó được xem xét. Tuy nhiên, ngay cả như thế chăng nữa, sự phụ thuộc này vào hệ tiên đề cũng có tính khách quan.) Chẳng hạn, mệnh đề “nhóm đối xứng của một chiếc bàn tròn là một đường tròn” là đúng với tất cả mọi người, ở bất cứ nơi đâu, ở bất kỳ thời điểm nào. Nói cách khác, các chân lý toán học là những chân lý tất yếu. Chúng ta sẽ nói rõ hơn về điều này trong chương 18. Tính chất thứ ba, liên quan chặt chẽ với hai tính chất trên, đó là tính bền vững. Hiển nhiên, định lý Pythagoras có cùng một ý nghĩa với những người Hy Lạp cổ đại cũng như với chúng ta hiện nay, và cũng có đủ lý do để kỳ vọng rằng nó sẽ vẫn mang cùng ý nghĩa đó đối với bất kỳ ai trong tương lai. Tương tự như thế, tất cả những mệnh đề toán học đúng đắn mà chúng ta nhắc đến trong cuốn sách này sẽ mãi đúng. Thực tế, những kiến thức khách quan và bền vững như thế tồn tại (và hơn nữa, chúng thuộc về tất cả chúng ta) thì quả là một phép màu. Nó hàm ý rằng những khái niệm toán học tồn tại trong một thế giới tách biệt với các thế giới vật chất và tinh thần - mà đôi khi được nhắc đến như là thế giới Platon của toán học (chúng ta sẽ nói đến điều này https://thuviensach.vn nhiều hơn trong phần kết của chương). Chúng ta vẫn còn chưa hoàn toàn hiểu được nó là gì, và điều gì chi phối những khám phá toán học. Nhưng rõ ràng là cái thực tại ẩn giấu ấy sẽ buộc phải (chắc chắn) đóng vai trò ngày càng lớn trong cuộc sống của chúng ta, đặc biệt là với sự phát triển của những công nghệ máy tính mới và in ấn 3D. Tính chất thứ tư là tính tương thích của toán học với thế giới vật lý. Chẳng hạn, có rất nhiều tiến bộ trong vật lý lượng tử khoảng 50 năm trở lại đây được tạo ra là nhờ ứng dụng khái niệm đối xứng cho các hạt cơ bản và những tương tác giữa chứng. Từ quan điểm này, một hạt, như electron hay quark, thì cũng giống như một chiếc bàn tròn hay một bông tuyết, và có hành vi được quyết định rất nhiều bởi những đối xứng của nó. (Trong đó có một số thực sự là đối xứng và một số khác chỉ là gần đúng.) Việc khám phá ra các hạt quark là một ví dụ hoàn hảo về cách thức ứng dụng đó. Đọc những cuốn sách mà Evgeny Evgenievich giao, tôi học được rằng nguồn gốc để phân loại các hadron của Gell-Mann và Ne’eman mà chúng ta nói đến ở chương trước là một nhóm đối xứng. Nhóm này được các nhà toán học nghiên cứu từ trước - nhưng họ không tiên đoán được bất kỳ mối liên hệ nào với các hạt hạ nguyên tử. Tên toán học của nhóm này là SU(3). Ở đây S và U là viết tắt của “special unitary” (unita đặc biệt). Nhóm này có những tính chất rất giống với nhóm đối xứng của hình cầu, mà chúng ta sẽ nói đến chi tiết ở chương 10. Các nhà toán học đã mô tả từ trước các biểu diễn của nhóm SU(3), tức là các cách khác nhau để nhóm SU(3) có thể thực hiện như là một nhóm đối xứng. Gell-Mann và Ne’eman đã để ý đến sự tương tự trong cấu trúc của những biểu diễn đó và mẫu hình của các hadron mà họ đã tìm ra. Và họ đã sử dụng thông tin này để phân loại các hadron. Từ “biểu diễn” được sử dụng trong toán học theo một nghĩa cụ thể, khác với cách sử dụng thông thường hơn của nó. Vậy tôi xin phép https://thuviensach.vn tạm dừng để giải thích ý nghĩa của từ này trong bối cảnh toán học. Có lẽ, sẽ có ích hơn nếu trước tiên tôi đưa ra một ví dụ. Xin nhắc lại về nhóm các phép quay chiếc bàn tròn mà ta đã thảo luận ở trên, tức nhóm đường tròn. Bây giờ giả sử rằng ta mở rộng mặt bàn ra xa vô hạn theo mọi hướng. Theo cách này ta sẽ nhận được một đối tượng toán học trừu tượng: một mặt phẳng. Mỗi phép quay của mặt bàn, quanh tâm của nó, cũng sẽ cho ta một phép quay của mặt phẳng, cũng quanh tâm đó. Như vậy, chúng ta có được một quy tắc cho phép gán một đối xứng của mặt phẳng này (một phép quay) với mỗi phần tử của nhóm đường tròn. Nói cách khác, mỗi phần tử của nhóm đường tròn có thể được biểu diễn bởi một đối xứng của mặt phẳng. Bởi vậy, các nhà toán học coi quá trình này như là một biểu diễn của nhóm đường tròn. Mặt phẳng này có hai chiều, bởi vì nó có hai trục tọa độ và do vậy mỗi điểm có hai tọa độ: https://thuviensach.vn https://thuviensach.vn Do đó, có thể nói rằng chúng ta đã xây dựng được một “biểu diễn hai chiều” của nhóm các phép quay. Điều này đơn giản có nghĩa là mỗi phần tử của nhóm các phép quay có thể được thực hiện nhờ một đối xứng của mặt phẳng[9]. Cũng có các không gian có số chiều lớn hơn hai. Chẳng hạn, không gian bao quanh chúng ta có ba chiều. Nói thế tức là nó có ba trục tọa độ, và do vậy để xác định vị trí của một điểm, chúng ta cần chỉ rõ ba tọa độ (x,y,z) của nó như hình dưới đây: https://thuviensach.vn https://thuviensach.vn Chúng ta không thể hình dung được không gian bốn chiều, nhưng toán học lại cung cấp một ngôn ngữ phổ quát cho phép chúng ta nói về các không gian có số chiều bất kỳ. Cụ thể, chúng ta biểu diễn các điểm của không gian bốn chiều bởi bộ bốn số (x, y, z, t) cũng giống như các điểm của không gian ba chiều được biểu diễn bởi bộ ba số (x, y, z). Theo cùng cách ấy, chúng ta biểu diễn các điểm của một không gian n chiều, với n là số tự nhiên bất kỳ, bởi một bộ n-số. Nếu bạn đã từng sử dụng một chương trình bảng tính (spreadsheet), thì bạn chắc cũng đã từng gặp những bộ n số như vậy: chúng xuất hiện dưới dạng các hàng trong bảng tính, mỗi số trong n số này tương ứng với một thuộc tính cụ thể của dữ liệu được lưu trữ. Do vậy, mỗi hàng trong một bảng tính ứng với một điểm trong không gian n-chiều. (Chúng ta sẽ nói nhiều hơn về các không gian có số chiều khác nhau trong chương 10). Mỗi phần tử trong một nhóm có thể được thực hiện, theo một cách nhất quán[10], như là một đối xứng của không gian n-chiều, từ đó chúng ta nói rằng, nhóm này có một “biểu diễn n-chiều”. Hóa ra một nhóm đã cho lại có thể có các biểu diễn với số chiều khác nhau. Lý do để các hạt cơ bản có thể được tập hợp lại thành các họ 8 và 10 hạt đó là nhóm SU(3) có các biểu diễn 8-chiều và 10-chiều. Tám hạt của mỗi bát tuyến được xây dựng bởi Gell-Mann và Ne’eman (giống như bát tuyến ở trang 24) là tương ứng 1-1 với 8 trục tọa độ của một không gian 8-chiều - một biểu diễn của nhóm SU(3). Điều tương tự cũng xảy ra cho thập tuyến của các hạt. (Nhưng các hạt không thể tập hợp lại thành các họ của, chẳng hạn, 7 hay 11 hạt bởi vì các nhà toán học đã chứng minh được rằng nhóm SU(3) không có các biểu diễn 7 hay 11 chiều.) Ban đầu, đây chỉ là một phương cách tiện lợi để tổ hợp các hạt có các tính chất tương tự nhau. Nhưng sau đó Gell-Mann đã đi xa hơn. Ông cho rằng có một nguyên nhân sâu xa nằm sau sơ đồ phân loại đó. Về cơ bản, ông nói rằng sơ đồ này vận hành tốt như vậy là bởi vì các hadron được tạo bởi các hạt nhỏ hơn - đôi khi là hai và đôi khi là ba - https://thuviensach.vn các quark. Một đề xuất tương tự cũng được nhà vật lý George Zweig độc lập đưa ra (ông gọi các hạt này là “ace”). Đây quả là một đề xuất đáng kinh ngạc. Không phải chỉ vì nó đi ngược lại niềm tin phổ biến ở thời đó rằng proton và neutron cũng như các hạt hadron khác là các hạt cơ bản không thể phân chia được nữa, mà các hạt mới này còn được cho là có điện tích là phân số của điện tích electron. Đây là một tiên đoán gây sửng sốt bởi vì trước đó chưa ai từng nhìn thấy những hạt như vậy cả. Nhưng, các quark đã nhanh chóng được tìm thấy bằng thực nghiệm, và đúng như dự đoán, chúng có điện tích bằng phân số của điện tích electron. Điều gì đã thúc đẩy Gell-Mann và Zweig tiên đoán về sự tồn tại của các quark? Đó chính là lý thuyết toán học về các biểu diễn của nhóm SU(3). Cụ thể là, nhóm SU(3) thực tế có hai biểu diễn 3-chiều khác nhau (đó là lý do tại sao có số “3” trong tên của nhóm). Gell Mann và Zweig đã đề xuất rằng hai biểu diễn này phải mô tả hai họ các hạt cơ bản: 3 quark và 3 phản quark. Hóa ra các biểu diễn 8-chiều và 10-chiều của SU(3) có thể được xây dựng từ các biểu diễn 3-chiều. Và diều này đã mang lại cho chúng ta bản thiết kế chi tiết cho thấy các hadron được xây dựng từ các quark như thế nào - hệt như trong trò chơi xếp hình vậy. Gell-Mann đặt tên 3 quark là “up” (lên - viết tắt là u), “down” (xuống - viết tắt là d), và “strange” (lạ - viết tắt là s)[11]. Một proton được cấu tạo bởi 2 quark u và 1 quark d, trong khi 1 neutron tạo bởi 2 quark d và 1 quark u như chúng ta thấy trên hình ở trang 23. Tất cả các hạt cơ bản này thuộc về cùng một bát tuyến như chúng ta thấy trên giản đồ ở trang 24. Các hạt khác trong bát tuyến này bao gồm cả quark s cũng như các quark u và d. Ngoài ra cũng có các bát tuyến khác bao gồm các hạt cơ bản tạo thành từ 1 quark và 1 phản quark. Việc khám phá ra các quark là một ví dụ điển hình cho vai trò tối cao của toán học trong khoa học mà chúng ta đã thảo luận trong phần lời nói đầu. Các hạt này được tiên đoán không dựa trên các dữ liệu thực https://thuviensach.vn nghiệm, mà dựa trên các hình mẫu đối xứng trong toán học. Đây là một tiên đoán thuần túy lý thuyết, được thực hiện trong khuôn khổ của lý thuyết toán học rất phức tạp về các biểu diễn của nhóm SU(3). Các nhà vật lý phải mất nhiều năm mới làm chủ được lý thuyết này (và thực tế ban đầu họ cũng vấp phải những trở ngại nhất định), nhưng bây giờ nó là nguồn sống của vật lý hạt cơ bản. Nó không chỉ cung cấp một sơ đồ phân loại các hadron, mà còn dẫn tới việc khám phá ra các quark, khám phá đã làm thay đổi vĩnh viễn hiểu biết của chúng ta về thực tại vật lý. Hãy thử tưởng tượng: một lý thuyết toán học có phần kỳ bí trao cho chúng ta sức mạnh để đi vào tận cốt lõi của các viên gạch cơ bản của tự nhiên. Làm sao chúng ta có thể không bị mê hoặc bởi tính hài hòa thần kỳ của những hạt vật chất nhỏ bé đó, làm sao có thể không kinh ngạc trước khả năng toán học có thể phát lộ những huyền cơ trong cơ chế vận hành của vũ trụ? Người ta đồn rằng, khi nghe nói cần phải trang bị cho đài thiên văn trên núi Wilson một kính thiên văn để xác định hình dạng của không-thời gian, Elsa - người vợ thứ hai của Einstein - đã nhận xét: “Ồ, chồng tôi làm được điều này chỉ trên mặt sau của một chiếc phong bì cũ.” Trong khi các nhà vật lý cần các cỗ máy đắt tiền và phức tạp như Máy va chạm lớn (LHC) ở Geneva, thì thật đáng ngạc nhiên, các nhà khoa học như Einstein và Gell-Mann chỉ sử dụng thứ tưởng như là tri thức toán học trừu tượng và thuần túy nhất để lật mở bí mật sâu sắc nhất của thế giới quanh ta. Bất kể chúng ta là ai và chúng ta tín vào điều gì, tất cả chúng ta đều cùng chia sẻ những tri thức này. Nó mang chúng ta đến gần nhau hơn, và mang tới cho tình yêu của chúng ta dành cho vũ trụ một ý nghĩa mới. (*) Chú ý rằng lật bàn không phải là một đối xứng: điều đó sẽ làm cho bàn lộn úp - đừng quên rằng bàn còn có các chân nữa. Nếu chúng https://thuviensach.vn ta xét một hình vuông hoặc một vòng tròn (không lắp chân), thì phép lật cũng là một đối xứng. Vì vậy chúng ta phải đưa chúng vào nhóm đối xứng tương ứng. https://thuviensach.vn Chương 3 BÀI TOÁN SỐ NĂM Kế hoạch của Evgeny Evgenievich đối với tôi thành công mỹ mãn: tôi đã “chuyển mối quan tâm” sang toán học. Tôi học rất nhanh, càng hiểu sâu hơn về toán tôi càng cảm thấy phấn khích và muốn biết thêm nhiều hơn. Mọi chuyện xảy ra như khi bạn đang yêu vậy. Tôi bắt đầu gặp Evgeny Evgenievich thường xuyên hơn. Ông đưa sách cho tôi đọc và tôi gặp ông một tuần một lần ở trường sư phạm - nơi ông giảng dạy - để thảo luận về những gì mà tôi đã đọc được. Evgeny Evgenievich chơi bóng đá, khúc côn cầu trên băng và bóng chuyền thường xuyên, nhưng giống như nhiều người đàn ông Xô viết thời đó, ông cũng là người nghiện thuốc lá nặng. Trong một thời gian dài sau này, mùi thuốc lá đã quyện chặt vào tâm trí tôi khi làm toán. Đôi khi các cuộc thảo luận của chúng tôi kéo dài tới tận đêm khuya. Một hôm, giảng đường chúng tôi ngồi thảo luận bị bảo vệ khóa cửa, ông ấy không nghĩ rằng lại có người ở trong đó khuya tới như vậy. Và chúng tôi phải chú tâm vào cuộc thảo luận lắm nên mới không nghe thấy tiếng vặn của chìa khóa. Thật may, căn phòng này nằm ở tầng trệt và chúng tôi đã quyết định thoát ra qua cửa sổ. Đó là năm 1984, năm cuối của tôi ở trường cấp ba. Tôi phải quyết định chọn một trường đại học để thi vào. Moscow có nhiều trường, nhưng chỉ có một nơi để học toán thuần túy: Đại học Tổng hợp Moscow, được biết đến dưới cái tên tiếng Nga viết tắt, MGU - Moskovskiy Gosudastvenny Universitet. Khoa Toán-Cơ (Mekh-Mat) vốn nổi tiếng là ngọn cờ đầu trong chương trình giảng dạy toán học của toàn Liên bang Xô viết. https://thuviensach.vn Cuộc thi vào đại học ở Nga không giống với kỳ thi SAT mà các học sinh Mỹ phải tham gia. Vào Mekh-Mat, phải thi bốn bài: thi viết môn Toán, thi vấn đáp môn Toán, thi viết môn Văn và thi vấn đáp môn Vật lý. Những học sinh giống như tôi, tốt nghiệp phổ thông với thứ hạng cao nhất (ở Liên bang Xô viết, những học sinh này sẽ được trao một huy chương vàng) sẽ được nhận ngay sau khi đạt điểm 5, điểm cao nhất, ở bài thi đầu tiên. Lúc ấy, tôi đã tiến bộ xa hơn toán phổ thông rất nhiều, và rất có khả năng vượt qua các bài thi ở MGU. Nhưng tôi đã quá lạc quan. Điều cảnh cáo đầu tiên đến từ bức thư mà tôi nhận được từ một trường hàm thụ mà tôi đã theo học. Trường này đã được nhà toán học Xô viết trứ danh Israel Gelfand (mà chúng ta sẽ còn nói rất nhiều về ông sau này) cùng với một số nhà toán học nổi tiếng khác thành lập mấy năm trước nhằm giúp đỡ các học sinh giống như tôi, sống ở ngoại ô các thành phố lớn và không được học ở những trường chuyên toán. Mỗi tháng, các học sinh theo học sẽ nhận được một cuốn sách nhỏ giải thích kỹ lưỡng các kiến thức được học trong trường học và có mở rộng thêm chút ít. Cuốn sách cũng chứa một số bài tập, khó hơn so với những bài được các thầy cô cho ở lớp. Học sinh sẽ phải giải và gửi về trường qua bưu điện. Người chấm bài (thường là sinh viên của Đại học Tổng hợp Moscow) sẽ đọc các lời giải đó rồi gửi trả lại, kèm theo điểm, cho các học sinh. Tôi đã theo học ở trường đó ba năm, và ở một trường khác nữa, có định hướng vật lý nhiều hơn. Đó là những nguồn kiến thức hữu ích cho tôi, mặc dù những kiến thức ấy khá sát với những gì mà tôi đã phải học ở trường (không giống như những gì mà tôi đã học riêng với Evgeny Evgenievich). Lá thư mà tôi nhận được từ trường hàm thụ ấy rất ngắn ngủi: “Nếu em muốn thi vào trường Đại học Tổng hợp Moscow, hãy đến văn phòng của chúng tôi, chúng tôi sẽ rất vui lòng cho em lời khuyên,” trên đó có ghi kèm địa chỉ của MGU và giờ hẹn gặp. Không lâu sau khi nhận được lá thư, tôi bắt một chuyến tàu kéo dài hai giờ tới Moscow. https://thuviensach.vn Văn phòng của trường là một phòng lớn với một nhóm các bàn kê chụm lại và nhiều người đang làm việc, đánh máy, sửa chữa văn bản. Tôi giới thiệu bản thân, trình ra bức thư ngắn mình nhận được, và ngay lập tức được dẫn đến gặp một người phụ nữ trẻ bé nhỏ; chắc chỉ mới hơn ba mươi tuổi. “Tên em là gì?” chị ta niềm nở hỏi. “Eduard Frenkel.” (Tôi sử dụng tên tiếng Nga của Edward vào những ngày đó.) “Và em muốn thi vào MGU?” “Vâng.” “Vào khoa nào?” “Mekh-Mat.” “Chị hiểu rồi.” Mắt hơi cụp xuống, chị ta hỏi tiếp: “Vậy em mang qụốc tịch nào?” Tôi nói; “quốc tịch Nga.” “Thật sao? Vậy còn cha mẹ em mang quốc tịch nào?” “À… Mẹ em là người Nga.” “Thế còn bố em?” “Bố em là người Do Thái.” Chị ta gật đầu. Cuộc đối thoại này nghe có vẻ siêu thực đối với các bạn, và ngay cả đối với tôi khi đang viết những dòng này. Nhưng ở Liên bang Xô viết vào khoảng 1984 - bạn nhớ Orwell(*) chứ? - thì việc hỏi ai đó về “quốc tịch” của họ không bị coi là việc kỳ quái chút nào. Trong hộ.chiếu nội địa mà tất cả các công dân Xô viết phải mang theo bên mình, quả thật có một dòng đặc biệt dành cho “quốc tịch”. Nó đứng sau 1) tên, 2) tên đặt theo cha, 3) họ, và 4) ngày sinh. Vì lý do này, nó được gọi là pyataya grafa, “dòng thứ năm”. Quốc tịch cũng được ghi trên giấy khai sinh, như quốc tịch của cha và mẹ. Nếu quốc tịch của họ khác https://thuviensach.vn nhau, như trong trường hợp của tôi, thì cha và mẹ phải quyết định chọn quốc tịch cho con mình. Thực chất, dòng thứ năm là mật mã để hỏi người đó có phải là người Do Thái không. (Những người mang quốc tịch khác, như Tarta hay Armenia, những người bị kì thị và ngược đãi, dù không tới mức như đối với người Do Thái - cũng sẽ được nhận biết bằng cách này.) Dòng thứ năm viết rằng tôi là người Nga, nhưng phần ghi họ - là họ của cha tôi, rành rành là Do Thái - đã tiết lộ danh tính của tôi. Cần phải đặc biệt chú ý rằng gia đình tôi là vô thần. Cha tôi không được dạy dỗ theo một tôn giáo truyền thống nào, và tôi cũng vậy. Thực tế là tôn giáo trong xã hội Xô viết bấy giờ gần như không tồn tại. Hầu hết những nhà thờ Chính thống giáo đều bị phá hủy hoặc đóng cửa. Bên trong số ít ỏi những nhà thờ còn tồn tại, bạn thường chỉ bắt gặp một vài babushkas (cụ bà), như là bà ngoại tôi. Thỉnh thoảng bà tới dự lễ ở nhà thờ duy nhất còn hoạt động ở quê tôi. Các giáo đường Do Thái giáo thậm chí còn ít hơn. Ở quê tôi thì không có cái nào cả; ở Moscow nơi dân số lên tới gần 10 triệu, thì cũng chỉ có một giáo đường Do Thái giáo chính thức mà thôi[12]. Tới dự lễ ở một nhà thờ hay một giáo đường Do Thái là một hành động rất nguy hiểm: bạn có thể bị các nhân viên an ninh mặc thường phục chú ý, và sau đó sẽ gặp rất nhiều rắc rối. Do vậy, khi ai đó bị coi là người Do Thái, thì nó không mang nghĩa tôn giáo mà là theo nghĩa chủng tộc, nghĩa “huyết thống”. Ngay cả khi tôi không sử dụng họ của cha mình, thì nguồn gốc Do Thái của tôi cũng sẽ bị hội đồng xét tuyển nhận ra, bởi vì trên mẫu đơn thi tuyển có yêu cầu phải viết cụ thể tên họ đầy đủ của cha và mẹ. Những cái tên đầy đủ đó bao gồm cả tên đặt theo cha, tức là tên người ông của thí sinh. Tên ông nội tôi là Joseph, trong Liên bang Xô viết ở thời kỳ ấy thì nghe đã biết chắc là Do Thái rồi, do vậy đây cũng là một cách khác để lần ra nguồn gốc Do Thái của tôi (nếu họ của cha tôi không tiết lộ danh tính của tôi). Hệ thống đã được thiết lập theo cách mà nó có thể chỉ báo những ai chí ít có một phần tư dòng máu Do Thái. https://thuviensach.vn Sau khi đã xác nhận tôi là người Do Thái theo định nghĩa trên, người phụ nữ cất tiếng, “Em có biết rằng người Do Thái thì không được nhận vào Đại học Tổng hợp Moscow không?” “Ý chị là gì ạ?” “Ý chị là em không nên mất công nộp đơn vào đây làm gì. Đừng phí thời gian. Họ sẽ không cho em vào học đâu.” Tôi không biết nói gì cả. “Đó có phải lý do chị gửi thư cho em không ạ?” “Phải. Chị chỉ muốn giúp em.” Tôi nhìn quanh. Rõ ràng là mọi người trong văn phòng đều hiểu cuộc đối thoại này đang nói đến điều gì, ngay cả khi họ không lắng nghe thật kỹ. Chuyện như thế này chắc đã xảy ra hàng tá lần rồi, và mọi người có vẻ như đã quen với nó. Họ đều tránh nhìn tôi, cứ như thể tôi là bệnh nhân giai đoạn cuối vậy. Trái tim tôi se lại. Tôi từng đối mặt với chủ nghĩa bài Do Thái trước đây, nhưng chỉ ở mức cá nhân chứ không phải có tổ chức như vậy. Khi còn học lớp Năm, một vài bạn cùng lớp của tôi thường chế nhạo tôi bằng cụm từ evrey, evrey (Do Thái - theo tiếng Nga). Tôi nghĩ họ chẳng có ý niệm gì về ý nghĩa của từ đó (vì có một sự thật rành rành rằng một số đứa còn nhầm lẫn từ evrey nghĩa là “Do Thái”, với từ evropeyets, nghĩa là “dân châu Âu”) - chắc chúng đã nghe lỏm được những bình luận sặc mùi bài Do Thái từ cha mẹ chúng hay những người lớn khác. (Thật không may, chủ nghĩa bài Do Thái cắm rễ rất sâu trong văn hóa Nga.) Tôi đủ mạnh mẽ và cũng may mắn có một vài người bạn chân thành, những người luôn bênh vực tôi, do vậy tôi chưa bao giờ bị những kẻ hay bắt nạt ấy đánh đập, nhưng đó là một trải nghiệm chẳng hề dễ chịu. Tôi tự ti đến nỗi không kể lại những chuyện đó với giáo viên hay cha mẹ, nhưng một ngày thầy giáo đã nghe được và can thiệp. Kết quả là những kẻ ấy ngay lập tức phải lên gặp hiệu trưởng và sự chế giễu chấm dứt. https://thuviensach.vn Cha mẹ tôi cũng đã nghe nói về sự phân biệt đối xử với người Do Thái trong các kỳ thi vào đại học, nhưng không hiểu sao họ không mấy để ý đến điều ấy. Trước hết là ở thị trấn quê tôi, không có nhiều người Do Thái, và tất cả những trường hợp bị phân biệt đối xử mà cha mẹ tôi dược nghe đều là về các chương trình học có liên quan tới vật lý. Một lý lẽ điển hình lan truyền rằng sở dĩ những người Do Thái không được chấp nhận bởi vì việc học những chương trình như vậy có liên quan tới những nghiên cứu hạt nhân, và do vậy liên quan tới quốc phòng và bí mật quốc gia; chính phủ không muốn những người Do Thái góp mặt trong các lĩnh vực đó bởi vì họ có thể sẽ di cư tới Israel hay nơi nào đó khác. Theo logic thì lẽ ra chẳng có lý do gì phải quan tâm tới những người học toán thuần túy cả. Nhưng rõ ràng là có ai đó quan tâm. Mọi điều trong cuộc nói chuyện của tôi ở MGU thật lạ lùng. Và tôi không chỉ nói về khía cạnh “nguy hiểm” của nó. Có thể kết luận rằng người phụ nữ đã nói chuyện với tôi chỉ đơn giản là muốn giúp tôi và những sinh viên khác bằng cách cảnh báo cho chúng tôi về những gì sẽ diễn ra. Nhưng có thực sự đúng như vậy không? Hãy nhớ rằng chúng ta đang nói về năm 1984, khi Đảng cộng sản và KGB vẫn kiểm soát chặt chẽ mọi khía cạnh đời sống ở Liên Xô. Chính sách của nhà nước khi đó coi tất cả các dân tộc đều bình đẳng, và công khai cho rằng việc có những quan điểm khác sẽ đặt bạn vào vòng nguy hiểm. Nhưng, người phụ nữ ấy đã điềm tĩnh nói về điều đó với tôi, một người lạ mặt mới gặp lần đầu, và chị ta cũng không tỏ vẻ lo lắng rằng sẽ bị các đồng nghiệp nghe lén. Hơn nữa, kỳ thi vào MGU luôn được sắp xếp diễn ra trước một tháng so với các trường khác. Bởi vậy học sinh không đỗ vào MGU vẫn có cơ hội dự thi ở nơi khác. Thế thì tại sao lại có ai đó cố gắng thuyết phục họ bỏ cả thi thử? Dường như có một thế lực lớn nào đó đang cố gắng xua đuổi tôi và các sinh viên Do Thái khác. Nhưng tôi không hề nhụt chí. Sau khi nói đi nói lại chuyện này trong thời gian dài, cả cha mẹ và tôi đều thấy rằng tôi chẳng có gì để https://thuviensach.vn mất cả. Chúng tôi quyết định rằng tôi vẫn cứ nộp đơn thi vào MGU và mong đợi điều tốt đẹp nhất xảy đến. Bài thi đầu tiên, diễn ra vào đầu tháng 7, là một bài thi viết về toán. Bài thi này bao giờ cũng gồm năm bài toán. Bài toán số năm được coi là bài toán tử thần, và không thể giải được. Nó giống như nguyên tố thứ năm của bài thi vậy. Nhưng tôi đã có đủ khả năng để giải tất cả các bài toán, kể cả bài số năm. Ý thức được rằng rất có thể sẽ xảy ra tình huống là người chấm bài có thành kiến và cố gắng tìm kiếm các kẽ hở trong lời giải của mình, tôi đã viết ra mọi thứ một cách chi tiết tới mức khổ sở. Sau đó tôi đã kiểm tra đi, kiểm tra lại tất cả những lập luận và tính toán để đảm bảo rằng mình không mắc một lỗi nào cả. Mọi thứ đều thật hoàn hảo! Trên chuyến tàu trở về nhà, tâm trạng của tôi cứ lâng lâng. Ngày hôm sau, tôi trình bày lại với Evgeny Evgenievich những lời giải của mình, và ông xác nhận rằng mọi thứ đều chuẩn xác. Có vẻ như tôi đã có một khởi đầu tốt. Bài thi tiếp theo của tôi là toán vấn đáp. Lịch thi diễn ra ngày 13 tháng 7, thật trùng hợp là vào đúng thứ Sáu. Tôi nhớ như in từng chi tiết về ngày hôm đó. Buổi thi được sắp xếp vào đầu giờ chiều, và tôi cùng với cha mẹ đã đi xe lửa từ nhà đến đó vào buổi sáng. Tôi bước vào phòng thi ở MGU chỉ vài phút trước khi giờ thi bắt đầu. Đó là một lớp học thông thường, trong phòng có lẽ chỉ có mười lăm đến hai mươi thí sinh với bốn hay năm giám khảo. Khi bắt đầu làm bài, mỗi chúng tôi phải rút một tờ giấy từ một chồng lớn trên bàn giáo viên. Mỗi tờ có in hai câu hỏi, và được đặt úp mặt trắng lên trên. Nó cũng giống như việc được rút thăm một vé xổ số nên chúng tôi gọi đó là bilet, tấm vé số. Có lẽ có hơn một trăm câu hỏi cả thảy, và tất cả đều đã được biết trước. Tôi không mấy quan tâm về việc mình sẽ rút phải tờ nào vì tôi đã nắm vững khối kiến thức ấy. Sau khi rút “vé số”, mỗi thí sinh chọn một chiếc bàn và ngồi xuống chuẩn bị đáp án, họ chỉ được sử dụng các tờ giấy trắng được cung cấp. https://thuviensach.vn Các câu hỏi trên đề thi của tôi là: (1) Một đường tròn nội tiếp một tam giác và công thức tính diện tích của tam giác theo bán kính của đường tròn đó; và (2) đạo hàm của thương (chỉ cần phát biểu công thức). Tôi đã quá sẵn sàng trả lời hai câu hỏi này, và có thể trả lời chúng dễ như bỡn. Tôi ngồi xuống, viết ra vài công thức trên giấy nháp, rồi sắp xếp lại các ý tứ trong đầu. Việc này phải mất đến hai phút. Không còn phải chuẩn bị gì thêm nữa, tôi sẵn sàng trả lời. Tôi giơ tay lên. Có vài giám khảo trong phòng, tất cả họ đều đang chờ đợi các thí sinh giơ tay, nhưng thật kỳ lạ, họ đều lờ tôi đi, giống như tôi không hiện diện ở đây vậy. Họ nhìn xuyên qua tôi. Tôi ngồi đó với cánh tay giơ lên trong một lúc: nhưng không có ai phản ứng gì cả. Rồi mười phút sau, một vài thí sinh khác cũng giơ tay và ngay lập tức, những giám khảo vội chạy tới chỗ họ. Một người ngồi xuống cạnh thí sinh và nghe cậu ta/ cô ta trả lời những câu hỏi của mình. Họ ngồi khá gần với tôi, do vậy tôi có thể nghe thấy họ đối thoại. Những giám khảo đều rất lịch sự và hầu như luôn gật gù tán thưởng, chỉ thi thoảng mới hỏi thêm vài câu nữa. Không có gì bất bình thường cả. Khi thí sinh trả lời xong các câu hỏi ghi trên phiếu (sau khoảng mười phút gì đó), giám khảo cho thí sinh giải thêm một bài toán nữa. Những bài toán ấy cũng có vẻ khá đơn giản, và hầu hết các thí sinh đều ngay lập tức giải được. Chỉ thế là xong! Một cặp thí sinh đầu tiên thi xong vui vẻ đi ra, chắc hẳn là đạt được điểm 5, điểm cao nhất, còn tôi thì vẫn cứ ngồi đó. Cuối cùng, tôi chộp lấy một giám khảo đi ngang qua, một người trẻ mà dường như mới làm xong tiến sĩ, và thẳng thừng hỏi: “Tại sao các thầy không hỏi em?” Anh ta nhìn ra chỗ khác và nói một cách bình thản: “Xin lỗi, chúng tôi không được phép nói chuyện với em.” Khoảng một giờ trôi qua, có hai người đàn ông trung tuổi bước vào phòng. Họ bước nhanh lên phía trên chiếc bàn giáo viên rồi giới thiệu mình với người đàn ông ngồi đó. Anh ta gật đầu và chỉ về phía https://thuviensach.vn tôi. Rõ ràng đây là những người mà tôi đang chờ đợi: những người “thẩm vấn” tôi. Họ bước đến bàn tôi và tự giới thiệu. Một người gầy và nhanh nhẹn, còn người kia thì hơi mập với bộ ria mép rất dày. “Được rồi,” người đàn ông gầy nói - ông ta là người nói nhiều nhất - “Xem chúng ta có gì nào? Câu hỏi đầu tiên là gì?” “Đường tròn nội tiếp một tam giác và…” Ông ta ngắt lời tôi: “Định nghĩa một đường tròn xem?” Ông ta tỏ vẻ khá gay gắt, hoàn toàn tương phản với cách ứng xử với thí sinh của những người trước. Ngoài ra, những giám khảo khác không bao giờ hỏi gì trước khi các thí sinh trình bày xong đáp án cho các câu hỏi ghi trên đề thi. Tôi nói: “Một đường tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có cùng khoảng cách tới một điểm cho trước.” Đó là định nghĩa chuẩn. “Không đúng!” người đàn ông đó khoái chí khẳng định. Làm sao mà định nghĩa như thế lại có thể sai được? Ông ta đợi vài giây rồi nói: “Đó là tập hợp của tất cả các điểm trên mặt phẳng cùng cách đều một điểm cho trước.” Xem ra quá bắt bẻ về từ ngữ - dấu hiệu đầu tiên của những rắc rối sắp xảy ra. “Thôi được,” ông ta nói, “Vậy thế nào là một tam giác?” Sau khi tôi nêu lên định nghĩa, ông ta nghĩ ngợi về nó, không khó để nhận ra ông ta đang cố bới lông tìm vết, rồi tiếp tục: “Và thế nào là một đường tròn nội tiếp một tam giác?” Câu hỏi như thế này dẫn ta tới định nghĩa của một đường tiếp xúc, sau đó thì là “đường thẳng”, rồi những thứ khác nữa, và sớm muộn gì thì ông ta cũng sẽ hỏi tôi tiên đề thứ năm của Euclid về tính duy nhất của các đường thẳng song song, điều mà thậm chí còn không nằm trong chương trình phổ thông! Chúng tôi đang nói về các vấn đề chẳng có https://thuviensach.vn liên quan gì tới câu hỏi trên đề thi và vượt xa hơn những gì mà tôi được coi như có biết đến. Mọi từ tôi nói ra đều bị đặt câu hỏi. Mọi khái niệm nêu ra phải được định nghĩa, và nếu có khái niệm nào khác được nhắc đến trong định nghĩa đó, thì ngay lập tức tôi được yêu cầu định nghĩa nó luôn. Khỏi phải nói, nếu họ của tôi là Ivanov, tôi sẽ không bao giờ bị hỏi bất kỳ câu hỏi nào kiểu như vậy. Giờ nghĩ lại, lẽ ra lúc đó tôi nên có hành động khôn ngoan là phản đối ngay và nói với các giám khảo đó rằng họ đã lạc đề. Nhưng bây giờ nói điều này thì quá dễ. Lúc đó tôi chỉ mới mười sáu tuổi, còn những người đó hơn tôi tới hai nhăm hai sáu tuổi. Họ còn là những cán bộ điều hành một cuộc thi ở trường Đại học Tổng hợp Moscow, và tôi buộc phải trả lời những câu hỏi của họ tốt nhất có thể. Sau gần một giờ đồng hồ tra vấn, chúng tôi chuyển sang câu hỏi thứ hai trên đề thi. Cho tới lúc đó, những thí sinh khác đã thi xong và ra về hết, để lại phòng thi trống hoác. Rõ ràng tôi là thí sinh duy nhất cần phải được “chăm sóc cẩn thận”. Tôi đoán rằng họ đã cố ý sắp chỗ các thí sinh Do Thái để không có hơn một hay hai thí sinh trong cùng một phòng thi. Câu hỏi thứ hai yêu cầu tôi phải viết công thức tính đạo hàm của thương. Tôi được phép không phải trình bày bất kỳ định nghĩa hay chứng minh nào. Câu hỏi viết cụ thể như thế, chỉ cần nêu công thức thôi. Nhưng dĩ nhiên, hai giám khảo kia khăng khăng đời tôi phải giải thích cho họ hẳn một chương trong sách giải tích. “Hãy nêu định nghĩa của đạo hàm?” Định nghĩa chuẩn xác mà tôi nêu có liên quan đến khái niệm giới hạn. “Vậy thế nào là giới hạn?” Rồi sau đó là “Hàm số là gì”, và cứ như thế các câu hỏi nối tiếp nhau được đặt ra. https://thuviensach.vn Vấn đề phân biệt chủng tộc ở kỳ thi tuyển vào trường MGU đã từng là chủ đề của nhiều sách báo. Chẳng hạn, trong bài báo sâu sắc của mình đăng trên tờ Notices of the American Mathematics Society (Thông tin của Hội Toán học Mỹ), nhà toán học và giáo dục học Mark Saul lấy câu chuyện của tôi làm ví dụ. Ông so sánh bài thi vấn đáp của tôi với cuộc truy vấn của Hoàng hậu Đỏ đối với cô bé Alice trong cuốn Alice ở xứ sở diệu kỳ. Tôi biết hết các câu trả lời, nhưng trong cuộc chơi này, nơi mà mọi thứ nói ra đều bị bắt bẻ để chống lại tôi, thì tôi không thể có cơ may thắng được. Ở một bài báo khác cũng với chủ đề này trên tờ Notices, nhà báo George G. Szpiro đã đưa ra lời giải thích như sau: Trong các kỳ thi tuyển sinh, những thí sinh người Do Thái - hay có tên nghe có vẻ Do Thái - đều bị tách riêng ra để “đối xử đặc biệt”… Những rào cản sẽ được dựng lên ở bài thi vấn đáp. Họ sẽ được giao cho những câu hỏi “hóc búa” đòi hỏi những suy luận rất khó và các tính toán rất dài. Một vài câu hỏi là không thể giải được, hay được phát biểu rất tù mù hoặc không thể có đáp án đúng. Chúng không được thiết lập để kiểm tra năng lực của thí sinh mà để loại bỏ những thí sinh “không mong đợi”. Các bài thi vấn đáp có tính vùi dập và rõ ràng là thiếu công bằng thường kéo dài tới năm hay sáu giờ, mặc dù theo quy định thì chỉ giới hạn trong ba giờ rưỡi. Thậm chí nếu các câu trả lời của thí sinh có đúng đi nữa, người ta vẫn tìm ra các lý do để đánh trượt. Một dạo có một thí sinh đã bị đánh trượt vì khi trả lời câu hỏi “định nghĩa đường tròn” đã nói rằng nó là “tập hợp các điểm cách đều một điểm cho trước.” Câu trả lời hoàn toàn đúng, nhưng yêu cầu của giám khảo phải là “tập hợp tất cả các điểm cách đều một điểm cho trước”. Ở một lần khác thì câu trả lời vẫn cho câu hỏi đó lại bị cho là không đúng bởi vì thí sinh đã không đặt điều kiện khoảng cách phải khác không. Khi được hỏi về các nghiệm của một phương trình, câu trả lời “1 và 2” bị tuyên bố là sai, câu trả lời đúng theo ý của giám khảo phải là “1 hoặc 2”. (Ở một dịp khác, cũng giám khảo ấy lại nói với thí sinh khác điều hoàn toàn ngược lại, tức là nói “1 hoặc 2” bị xem như là không đúng.) Nhưng hãy trở lại với bài thi của tôi. Một giờ rưỡi nữa đã trôi qua và rồi một trong hai vị giám khảo nói: https://thuviensach.vn “Thôi được rồi, phần trả lời các câu hỏi coi như đã xong. Đây là bài toán mà chúng tôi muốn cậu giải.” Bài toán mà ông ta đưa cho tôi khá là khó. Lời giải đòi hỏi phải sử dụng đến Nguyên lý Sturm không được học ở trường phổ thông. Tuy nhiên, tôi đã biết về nó từ các khóa học hàm thụ, do vậy tôi có thể giải được bài toán đó. Và trong khi tôi đang thực hiện những tính toán cuối cùng, thì vị giám khảo quay trở lại. “Cậu đã làm xong chưa?” “Gần xong rồi ạ.” Ông ta nhìn vào giấy nháp của tôi và quả thật thấy lời giải của tôi là chính xác, và rằng tôi chỉ còn đang hoàn tất nốt những tính toán cuối cùng. “Thôi,” ông ta nói, “để tôi giao cho cậu một bài toán khác.” Thật lạ lùng, bài thứ hai lại khó gấp đôi bài thứ nhất. Tôi vẫn có thể giải được nó, nhưng một lần nữa vị giám khảo lại đột ngột ngăn tôi giữa chừng. “Vẫn chưa xong hả?” ông ta hỏi, “thử làm bài này nữa xem.” Nếu đây là một trận đấm bốc, với một trong hai võ sĩ bị dồn vào góc vũ đài, mặt mũi dính đầy máu me, đang cố gắng một cách tuyệt vọng để đứng vững trước những cú đấm tới tấp giáng xuống ngựời mình (mà rất nhiều những cú đó đánh dưới thắt lưng, có lẽ tôi nên thêm vào như thế), thì bài toán này sẽ tương đương với đòn chí mạng, đòn kết liễu. Bài toán của tôi thoạt trông thì có vẻ tầm thường: cho một đường tròn và hai điểm trên mặt phẳng nằm ngoài đường tròn, hãy dựng một đường tròn đi qua hai điểm đó và tiếp xúc với đường tròn đã cho. Nhưng lời giải thì thực ra lại khá phức tạp. Ngay cả một chuyên gia toán học cũng chưa chắc đã giải ngay được nó. Bạn phải sử dụng một mẹo gọi là phép nghịch đảo hay làm theo một cách dựng hình khá phức tạp. Chẳng phương pháp nào được dạy ở trường phổ thông cả, và do vậy một bài toán như thế phải không được phép ra ở kỳ thi này. https://thuviensach.vn Tôi đã biết về phép nghịch đảo, và nhận ra rằng mình có thể áp dụng nó ở đây. Tôi bắt đầu làm bài, nhưng chỉ vài phút sau, những người thẩm vấn đã trở lại và ngồi kế bên tôi. Một người nói: “Cậu biết đấy, tôi vừa mới nói chuyện với phó chủ tịch hội đồng thi về trường hợp của cậu. Ông ấy đã hỏi tại sao chúng tôi lại phí phạm thời gian của mình như thế… Hãy xem này,” ông ta kéo ra một biểu mẫu nhìn có vẻ chính thức với một nhận xét ghi nguệch ngoạc trên đó - đây là lần đầu tiên tôi nhìn thấy một biểu mẫu như thế. “Ở câu hỏi đầu tiên của bài thi, cậu không đưa ra được câu trả lời hoàn chỉnh, thậm chí còn không biết định nghĩa của một đường tròn. Do vậy chúng tôi phải cho một điểm trừ. Ở câu hỏi thứ hai, kiến thức của cậu cũng không vững, nhưng tạm chấp nhận được, chúng tôi cho cậu thêm một điểm trừ. Vậy là cậu không giải hoàn thiện bài toán thứ nhất, và không giải được bài toán thứ hai. Còn về bài toán thứ ba? Cậu cũng vẫn chưa giải được. Thấy không, chúng tôi không còn lựa chọn nào khác là đánh trượt cậu.” Tôi nhìn đồng hồ. Đã hơn bốn giờ trôi qua kể từ khi bài thi bắt đầu. Tôi hoàn toàn kiệt sức. “Em có thể xem bài thi viết của mình không?” Người đàn ông còn lại bước trở lên tới chiếc bàn chính và mang lại bài thi của tôi. Ông ta đặt nó trước mặt tôi. Và tôi giở từng trang. Tôi có cảm giác như mình đang ở trong một bộ phim siêu thực. Mọi đáp án đều chính xác, các lời giải cũng vậy. Nhưng có rất nhiều lời nhận xét. Chúng đều được viết bằng bút chì - chắc để họ có thể dễ dàng tẩy xóa đi, tôi đoán thế - nhưng tất thảy đều nực cười, như có ai đó đang giễu cợt tôi vậy. Một trong số những nhận xét đó vẫn còn hằn sâu trong tâm trí tôi: trong quá trình tính toán tôi viết “√8>2”. Và có một lời nhận xét ghi cạnh đó: chưa chứng minh. Thật sao? Những lời nhận xét khác cũng chẳng khá hơn. Và họ đã cho tôi điểm mấy, đối với năm bài toán mà tôi đã giải, với tất cả các đáp án đều đúng? Không phải 5, https://thuviensach.vn không phải 4. Mà là một điểm 3, tương đương với điểm C ở Mỹ. Họ đã cho tôi điểm C với một bài thi như vậy ư? Tôi biết mọi chuyện đã chấm dứt. Sẽ không có cách nào để tôi chiến đấu với hệ thống này cả. Tôi nói: “Được thôi.” Một trong hai người đàn ông hỏi: “Cậu sẽ không xin phúc khảo chứ?” Tôi biết rằng có một ban phúc khảo. Nhưng họ sẽ lại cho bao nhiêu điểm? Có lẽ tôi sẽ nâng được điểm ở bài thi viết từ 3 lên 4, nhưng kết quả phúc khảo ở bài thi vấn đáp sẽ khó khăn hơn nhiều: tôi sẽ nhận được những lời lẽ chống lại tôi. Và ngay cả nếu tôi có thể nâng điểm trên 3, vậy thì sao? vẫn còn hai bài thi nữa để họ có thể tiếp tục đánh trượt tôi. Và đây là những gì George G. Szpiro đã viết trong tờ Notices: Thậm chí nếu một thí sinh, thật khó tin, đã vượt qua cả hai bài thi viết và vấn đáp, thí sinh ấy cũng có thể bị đánh trượt trong bài làm văn về văn học Nga với cụm từ nhận xét quen thuộc “chủ đề chưa được đào sâu đầy đủ”. Với những ngoại lệ rất hiếm hoi, việc phúc khảo để nâng điểm cũng không có chút cơ hội thành công nào. May lắm thì bài thi bị lờ đi, còn tồi tệ nhất là thí sinh sẽ bị trừng phạt vì tỏ ra “xúc phạm các giám khảo”. Một câu hỏi lớn hơn là: tôi có thực sự muốn bước chân vào một trường đại học đã làm mọi thứ có thể trong phạm vi quyền lực của mình để ngăn tôi vào học? Tôi trả lời, “Không. Thực ra, em muốn rút lại đơn xin dự thi.” Mặt họ bừng sáng. Không phúc khảo có nghĩa là sẽ bớt rắc rối cho họ, và bớt nguy cơ chuốc lấy phiền hà. “Đúng đấy,” người đàn ông nhỏ con cất tiếng, “Tôi sẽ đưa lại hồ sơ cho cậu ngay đây.” Chúng tôi bước ra khỏi phòng và đi vào thang máy. Cánh cửa đóng lại. Chỉ có hai chúng tôi trong thang máy. Vị giám khảo rõ ràng https://thuviensach.vn đang có tâm trạng tốt. Ông ta nói, “Cậu đã làm bài rất tốt. Một màn thể hiện rất ấn tượng. Tôi rất băn khoăn muốn hỏi cậu: cậu có học chuyên toán không?” “Em lớn lên trong một khu phố nhỏ; chỗ chúng em không có trường chuyên toán.” “Thật sao? Có lẽ cha mẹ cậu là những nhà toán học chăng?” “Không, họ là kỹ sư.” “Thú vị làm sao… Đây là lần đầu tiên tôi được thấy một học sinh giỏi như vậy mà lại không học chuyên toán.” Tôi không thể tin vào những điều mà ông ta nói. Người đàn ông này mới đánh trượt tôi sau một bài thi hết sức thiếu công bằng, đầy tính kỳ thị, màn tra tấn tàn nhẫn kéo dài tới gần năm giờ đồng hồ. Tất cả những gì tôi biết là ông ta đã giết chết giấc mơ trở thành một nhà toán học của tôi. Một cậu học sinh mười sáu tuổi, mà lỗi lầm duy nhất chỉ do xuất thân từ một gia đình Do Thái… Thế mà giờ đây người đàn ông này lại đang khen ngợi tôi và hy vọng tôi sẽ cởi mở với ông ta sao?! Nhưng tôi có thể làm gì bây giờ? Hét vào tai hay đấm vào mặt ông ta? Tôi chỉ đứng đó, im lặng, choáng váng. Ông ta tiếp tục: “Hãy để tôi cho cậu một lời khuyên. Hãy đến học ở Học viện Dầu khí Moscow. Họ có một chương trình toán ứng dụng, cũng khá tốt. Ở đó họ sẽ nhận những học sinh giống như cậu.” Cửa thang máy mở, và một phút sau ông ta đưa trả tôi một tập hồ sơ đăng ký dự thi dày cộp, với một bó những giải thưởng và huy chương thời phổ thông bị buộc một cách kỳ lạ ở bên ngoài. “Chúc cậu may mắn,” ông ta bảo, nhưng tôi đã quá kiệt sức nên chẳng buồn đáp lại. Ước mong duy nhất của tôi khi ấy là biến ngay khỏi cái nơi quái quỷ đó. Lát sau, tôi ra được bên ngoài, trên bậc thềm khổng lồ của tòa nhà đồ sộ trường MGU. Tôi lại được hít thở khí trời mùa hè mát mẻ và nghe https://thuviensach.vn thấy những âm thanh của thành phố lớn vọng tới từ một chốn xa xôi. Tròi đang tối dần và quanh tôi gần như chẳng có ai. Nhưng tôi ngay lập tức nhận ra cha mẹ mình, trong suốt thời gian họ đã sốt ruột đứng đợi tôi trên bậc thềm này. Chỉ nhìn qua gương mặt tôi và tập hồ sơ tôi đang cầm trên tay, họ đã hiểu ngay những gì đã xảy ra ở trong. (*) Đó là một năm trước khi Gorbachev lên nắm quyển ở Liên Xô, và một vài năm trước khi ông thi hành chính sách perestroika của mình. Chế độ Xô viết toàn trị vào năm 1984, về nhiều phương diện, là một bản sao đầy ám ảnh của cuốn sách đậm chất tiên tri của George Orwell. https://thuviensach.vn Chương 4 KEROSINKA Đêm đó, sau khi kết thúc buổi thi, cha mẹ và tôi trở về nhà khá muộn. Chúng tôi vẫn chưa hết sốc, và không tin vào những gì đã xảy ra. Đây là một trải nghiệm rất đau buồn cho cả cha và mẹ tôi. Tôi luôn gần gũi với họ, và họ luôn trao cho tôi tình yêu thương cùng sự ủng hộ vô điều kiện. Họ không hề ép buộc tôi phải học chăm chỉ hơn hay chọn một nghề nghiệp cụ thể nào, mà chỉ động viên tôi theo đuổi niềm đam mê của mình. Và dĩ nhiên là họ tự hào về những thành tích của tôi. Cả hai người đã bị choáng váng trước những gì diễn ra trong buổi thi của tôi, vì tính bất công của nó và vì họ không thể làm gì để bảo vệ con trai. Ba mươi năm trước, năm 1954, ước mơ của cha tôi là trở thành một nhà vật lý lý thuyết cũng đã bị vỡ tan tành một cách tàn nhẫn như vậy, nhưng bởi một lý do khác. Giống như hàng triệu người dân vô tội, cha của ông, tức ông nội tôi, là nạn nhân của sự khủng bố từ Stalin. Ông bị bắt năm 1948 vì bị vu cáo có âm mưu làm nổ tung một nhà máy ô tô lớn ở Gorky (bây giờ là Nizhny Novgorod), nơi ông làm trưởng phòng cung ứng ở đó. “Bằng chứng” duy nhất trong bản cáo trạng là vào thời điểm bị bắt ông có sở hữu một bao diêm. Ông bị đưa đi lao động khổ sai ở một mỏ than phía bắc nước Nga, một phần của quần đảo Gulag mà Alexander Solzhenitsyn và những nhà văn khác đã mô tả lại hết sức sống động nhiều năm sau này. Ông đã bị coi là “kẻ thù của nhân dân” và cha tôi hẳn nhiên là “con kẻ thù của nhân dân”. https://thuviensach.vn Cha tôi đã bị ép phải viết điều này trong đơn xin dự thi vào khoa Vật lý của Đại học Gorky. Thậm chí tốt nghiệp phổ thông với bằng xuất sắc, và lẽ ra được vào thẳng, nhưng ông vẫn bị trượt ở vòng phỏng vấn, mà mục đích duy nhất của nó là loại bỏ người thân của “các kẻ thù của nhân dân”. Thế là cha tôi buộc phải vào học ở một trường kỹ thuật. (Giống như nhiều tù nhân khác, ông nội tôi được phục hồi quyền công dân và trả tự do theo sắc lệnh năm 1956 của Nikita Khruschev, nhưng khi đó là quá muộn để lấy lại sự công bằng.) Và bây giờ, ba mươi năm sau, con trai của ông lại phải trải qua một trải nghiệm tương tự. Nhưng chúng tôi không có thời gian để ngồi than vãn. Chúng tôi phải nhanh chóng quyết định sẽ làm gì tiếp theo, và câu hỏi đầu tiên là tôi nên nộp đơn thi tiếp vào trường nào. Tất cả các trường đều tổ chức kỳ thi tuyển cùng một lúc, trong tháng 8, tức là hơn hai tuần sau đó, và tôi sẽ chỉ được chọn một trường thôi. Sáng hôm sau, cha tôi dậy sớm và quay trở lại Moscow. Ông nghiêm túc làm theo lời khuyên của vị giám khảo ở MGU. Có vẻ như vị ấy cố gắng giúp tôi, có lẽ vậy, như là cách đền bù phần nào cho sự bất công mà ông ta đã gây ra. Do vậy khi đến Moscow, cha tôi tới thẳng văn phòng tuyển sinh của Học viện Dầu khí(*). Bằng cách nào đó, cha tôi tìm được người sẵn sàng nói chuyện riêng với ông để trình bày về tình thế của tôi. Người đó nói rằng ông ta đã biết về sự kỳ thị người Do Thái ở MGU nhưng chuyện ấy không xảy ra ở Học viện Dầu khí. Ông ta cũng nói rằng trình độ của các thí sinh thi vào chương trình toán ứng dụng của họ khá cao, vì rất nhiều thí sinh như tôi, những người không được nhận vào MGU. Kỳ thi tuyển sẽ không hề dễ dàng. Nhưng ông ấy có nói thêm rằng “nếu con trai ông thực sự thông minh như ông nói, cậu ấy sẽ được nhận. Không có chuyện phân biệt đối xử với người Do Thái trong kỳ thi tuyển vào trường này”. “Mặc dù vậy, tôi vẫn có điều phải cảnh báo ông,” ông ta nói ở cuối cuộc trò chuyện, “Chương trình sau đại học được điều hành bởi những https://thuviensach.vn người khác, và tôi e rằng con trai ông có thể sẽ không được nhận học sau đại học.” Nhưng đó là chuyện của năm năm tới, còn quá xa xôi. Cha tôi đến một số trường khác ở Moscow có chương trình toán ứng dụng nhưng không ở đâu ông nhận được thái độ ứng xử như ở Học viện Dầu khí. Do vậy, tối hôm đó khi trở về nhà và thông báo tin tức mới, chúng tôi ngay lập tức quyết định rằng tôi sẽ thi vào Học viện Dầu khí, và theo chương trình toán học ứng dụng của họ. Học viện này là một trong số hàng tá trường ở Moscow đào tạo kỹ sư cho nhiều ngành công nghiệp khác nhau, như Học viện Luyện kim và Học viện Kỹ thuật đường sắt (ở Liên Xô, rất nhiều trường đại học được gọi là “Học viện”). Kể từ cuối thập niên 1960, việc kỳ thị người Do Thái ở MGU đã “tạo ra một thị trường cung cấp, nơi đào tạo toán học cho các học sinh Do Thái,” Mark Saul viết trong bài báo của mình. Học viện Dầu khí “bắt đầu phục vụ thị trường này, hưởng lợi từ chính sách kỳ thị người Do Thái của các trường đại học khác để chiêu mộ các học sinh có chất lượng cao.” Mark Saul giải thích: Biệt danh Kerosinka của Học viện này đã phản ánh cả niềm tự hào lẫn sự yếm thế [của họ]. Kerosinka là một loại lò sưởi dùng dầu hỏa, tuy công nghệ thấp nhưng lại rất hiệu quả trong điều kiện thiếu thốn. Các sinh viên và học viên sau đại học của Học viện nhanh chóng được biết đến dưới cái tên “kerosineshchik”, và ngôi trường đã trở thành thiên đường cho những sinh viên Do Thái có niềm đam mê toán học. Bằng cách nào mà định mệnh lại chọn Kerosinka làm một kho chứa tài năng lớn như thế? Thật không dễ trả lời câu hỏi này. Chúng ta biết rằng nhiều học viện khác cũng hưởng lợi từ việc loại bỏ các thí sinh Do Thái của MGU. Chúng ta cũng biết rằng việc thiết đặt chính sách gạt bỏ này là một hành động có chủ ý, và có lẽ ban đầu nó cũng gặp phải những cản trở nhất định. Sẽ dễ dàng hơn cho một số học viện nếu họ tiếp tục nhận các sinh viên Do Thái thay vì đưa ra một chính sách mới. Nhưng một khi hiện tượng này phát triển và có cả một lực lượng các sinh viên Do Thái ở Kerosinka, tại sao nó vẫn được dung thứ? Có nhiều lời xì xào kín đáo về một âm mưu của ủy ban an ninh quốc gia (KGB) muốn giám sát các sinh viên Do Thái ở một hay hai https://thuviensach.vn nơi. Nhưng một trong những động lực có lẽ tích cực hơn là: ban điều hành của học viện có thể đã thấy một khoa phát triển tốt và họ làm những gì có thể để duy trì hiện tượng đó. Tôi tin rằng câu cuối cùng thì chính xác hơn. Chủ tịch (hay Hiệu trưởng, như ông thường được gọi) của Học viện Dầu khí, Vladimir Nikolaevich Vinogradov, là một nhà điều hành thông minh được biết đến qua việc tuyển các giáo sư, những người quyết tâm đổi mới công tác giảng dạy và nghiên cứu và qua việc tích cực áp dụng những công nghệ mới trong lớp học. Ông ban hành một chính sách quy định rằng tất cả các kỳ thi (kể cả kỳ thi tuyển sinh) đều phải thực hiện ở dạng thi viết. Dĩ nhiên, vẫn có cơ hội lạm dụng ngay cả trong các bài thi viết (như trường hợp của tôi trong bài thi viết ở MGU), nhưng chính sách này sẽ ngăn chặn kiểu đánh trượt như đã từng xảy ra ở bài thi vấn đáp của tôi. Tôi sẽ không ngạc nhiên nếu đó là quyết định cá nhân của Vinogradov nhằm ngăn chặn sự kỳ thị các thí sinh Do Thái, và nếu quả như vậy, thì nó phải đòi hỏi ở ông sự thiện chí và có lẽ cả lòng can đảm nữa. Đúng như dự đoán, dường như không hề có sự kỳ thị ở các bài thi tuyển. Tôi đã được nhận sau khi bài thi đầu tiên (thi viết môn toán) của tôi đạt điểm 5, tức là điểm A (thí sinh được huy chương vàng sẽ được nhận vào ngay lập tức nếu họ đạt điểm A ở bài thi đầu tiên). Một điều bất ngờ là, điểm A đó đến với tôi thật không dễ dàng bởi vì hình như một lời giải nào đó của tôi đã bị nhập liệu không chính xác vào hệ thống chấm điểm tự động, và hệ quả là điểm số ban đầu tôi chỉ là 4, tức là điểm B. Tôi đã phải trải qua quá trình phúc khảo, tức là phải xếp hàng chờ đợi trong nhiều giờ, với tất cả những suy tư tồi tệ nhất luẩn quẩn trong đầu. Nhưng ngay khi tôi bước vào và nói chuyện với hội đồng phúc khảo, thì sai lầm được tìm thấy và khắc phục nhanh chóng, lời xin lỗi đã được đưa ra và câu chuyện truyền kỳ về kỳ thi tuyển của tôi đã đến hồi khép lại. https://thuviensach.vn Ngày 1 tháng 9 năm 1984, năm học mới bắt đầu và tôi gặp các bạn cùng lớp mới. Chỉ có năm mươi sinh viên được nhận vào chương trình này mỗi năm (đổi lại, ở Mekh-Mat con số này lên tới gần 500). Rất nhiều trong số họ cũng từng có những trải nghiệm giống như tôi. Họ là những người thuộc số các sinh viên toán thông minh nhất, tài năng nhất. Trừ tôi và một sinh viên khác tên là Misha Smolyak đến từ Kishinev, người trở thành bạn cùng phòng ký túc với tôi, còn thì mọi người đều đến từ Moscow. Những người sống ngoài Moscow có thể nộp đơn dự thi vào đây chỉ khi tốt nghiệp phổ thông với một huy chương vàng, thật may mắn là tôi có nó. Rất nhiều bạn cùng khóa với tôi từng học ở những trường phổ thông tốt nhất Moscow có các lớp chuyên .toán: đó là các trường số 57, 179, 91 và 2. Một số trong đó sau này đã trở thành các chuyên gia toán học và hiện đang là giáo sư của những trường đại học tốt nhất trên thế giới. Chỉ ở lớp tôi thôi, đã có vài nhà toán học giỏi nhất ở thế hệ chúng tôi: Pasha Etingof, đang là giáo sư ở MIT; Dima Kleinbock, giáo sư ở Đại học Brandeis; và Misha Finkelberg, giáo sư ở Đại học Kinh tế Moscow. Đó là một môi trường học tập rất năng động. Toán học được dạy ở Kerosinka thuộc trình độ cao cấp, và những môn học cơ bản như giải tích, giải tích hàm, và đại số tuyến tính được dạy ở mức độ chặt chẽ chẳng kém gì ở MGU. Nhưng ở đây không có những môn học ở các lĩnh vực khác của toán học thuần túy như hình học và topo. Kerosinka chỉ cung cấp chương trình toán học ứng dụng, do vậy giáo trình của chúng tôi được soạn hướng tới những ứng dụng cụ thể, mà đặc biệt là việc thăm dò và sản xuất dầu khí. Chúng tôi cũng phải học một vài môn mang tính ứng dụng hơn như: tối ưu, giải tích số, xác suất và thống kê. Cũng có một phần lớn dành cho khoa học máy tính. Tôi rất mừng vì có cơ hội được tiếp xúc với những môn toán ứng dụng này. Chúng dạy tôi rằng thực sự không có sự tách biệt rạch ròi https://thuviensach.vn giữa toán học “thuần túy” và “ứng dụng”; toán học có giá trị ứng dụng cao luôn dựa trên toán học thuần túy cực phức tạp. Nhưng mặc cho kinh nghiệm này có hữu ích thế nào, tôi vẫn không thể quên được tình yêu đích thực của mình. Tôi biết rằng mình phải tìm cách để học các môn toán thuần túy không được dạy ở Kerosinka. Giải pháp đã tự xuất hiện khi tôi trở thành bạn với những sinh viên khác, bao gồm cả những sinh viên đã từng học tại những trường chuyên toán uy tín ở Moscow. Chúng tôi kể cho nhau nghe chuyện của mình. Các sinh viên là người Do Thái (theo chuẩn mà tôi đã kể ở trên) cũng trượt kỳ thi tuyển sinh, trượt một cách tàn nhẫn như tôi, trong khi tất cả những bạn cùng lớp của họ đã được nhận vào MGU mà không gặp khó khăn gì. Thông qua những sinh viên ấy, họ được biết những gì diễn ra ở Mekh-Mat, những môn học nào hay, các bài giảng diễn ra ở đâu và khi nào. Vậy là ngay tuần thứ hai ở Kerosinka, một bạn cùng lớp (tôi nghĩ rằng đó là Dima Kleinbock) đã đến nói với tôi: “Này, chúng tớ đang định đến nghe bài giảng của Kirillov ở MGU. Cậu có muốn đi cùng không?” Kirillov là một nhà toán học nổi tiếng, và dĩ nhiên là tôi muốn nghe các bài giảng của ông. Nhưng tôi không thể tưởng tượng nổi làm sao mà điều đó lại xảy ra được. Tòa nhà lớn của MGU được cảnh sát bảo vệ nghiêm ngặt. Muốn vào thì bạn phải có một thẻ đặc biệt. “Đừng lo,” cậu ấy nói, “chúng ta sẽ leo qua tường rào.” Nghe thật nguy hiểm nhưng đầy kích thích, do vậy tôi đáp, “Chắc chắn rồi.” Tường rào bên ngoài của tòa nhà khá cao, dễ tới tầm sáu mét, nhưng ở một chỗ có thanh kim loại đã bị bẻ cong, và có thể chui vào được. Nhưng sau đó thì sao? Chúng tôi bước vào tòa nhà từ cửa ngách sau khi đi dọc vài hành lang dài dằng dặc dẫn tới nhà bếp. Từ đó, qua nhà bếp, cố gắng tránh sự chú ý của các nhân viên làm việc ở đó, chúng tôi đi https://thuviensach.vn qua căng tin, rồi tới cửa chính. Đi thang máy lên tầng 14, là tới giảng đường. Alexander Alexandrovich Kirillov (hay San Sanych, như ông vẫn thường được gọi một cách trìu mến) là một giảng viên có sức lôi cuốn đặc biệt, và là một nhân cách lớn, như tôi được biết khá rõ nhiều năm sau này. Tôi nghĩ ông đang dạy một giáo trình chuẩn về lý thuyết biểu diễn cho sinh viên đại học dựa theo cuốn sách nổi tiếng của mình. Ông đồng thời còn chủ trì một seminar cho các sinh viên sau đại học, mà chúng tôi cũng tham gia. Chúng tôi vào đó trót lọt là nhờ sự nhân hậu của Kirillov. Con trai ông, Shurik (bây giờ là giáo sư tại Đại học Stony Brook) đã từng theo học ở trường chuyên toán số 179, cùng với Dima Kleinbock và Syoma Hawkin là các bạn cùng lớp của tôi. Khỏi phải nói, San Sanych đã biết quá rõ về tình hình tuyển sinh ở MGU. Nhiều năm sau này, ông nói với tôi rằng ông không thể can thiệp gì vào việc đó được - người ta không cho ông lai vãng tới gần Ban tuyển sinh, còn những người làm việc ở đó hầu hết đều là những cán bộ đảng viên. Do vậy tất cả những gì ông có thể làm là để chúng tôi lén vào lớp học của ông. Kirillov làm tất cả những gì có thể để các sinh viên từ Kerosinka đến nghe bài giảng của ông cảm thấy được chào đón. Một trong những kỷ niệm đáng nhớ nhất của tôi trong năm thứ nhất đời sinh viên là được đến dự những bài giảng và tọa đàm sinh động của ông. Tôi cũng dự một buổi tọa đàm tổ chức bởi Alexander Rudakov, đó cũng là một trải nghiệm rất tuyệt vời. Trong thời gian ở Kerosinka, tôi cũng học tất cả những gì về toán mà tôi có thể học được. Tôi sống trong ký túc nhưng mỗi cuối tuần tôi đều về nhà, và vẫn gặp Evgeny Evgenievich vài tuần một lần. Ông khuyên tôi nên đọc những cuốn sách nào, còn tôi thông báo cho ông tiến bộ của mình. Nhưng tôi nhanh chóng đạt tới trình độ mà để duy trì sự tiến bộ và động lực với toán học, tôi cần phải có một người hướng dẫn, người mà tôi có thể gặp thường xuyên hơn không phải chỉ để học https://thuviensach.vn hỏi mà còn để nhận các đề tài nghiên cứu. Nhưng do tôi không ở Mekh Mat, nên tôi không thể tận dụng lợi thế từ nguồn lực khổng lồ mà nó cung cấp. Vả lại, tôi quá nhút nhát để đến gặp ai đó như A. A. Kirillov và xin ông hướng dẫn riêng, hay giao cho một đề tài để làm. Tôi cảm thấy mình như một kẻ ngoài cuộc. Cho tới mùa xuân năm 1986 (năm thứ hai ở Kerosinka), sự tự mãn và trì trệ bắt đầu xuất hiện. Với tất cả những lợi thế và may mắn đều không thuộc về mình, tôi bắt đầu hoài nghi khả năng hiện thực hóa giấc mơ trở thành một nhà toán học. (*) Ở thời điểm đó nó được biết đến dưới cái tên Học viện Công nghiệp Hóa dầu và Khí Gubkin (theo tên Bộ trưởng kỳ cựu của Bộ Dầu khí Liên Xô, I.M. Gubkin). Sau khi tôi trở thành sinh viên ở đây, nó được đổi tên thành Học viện Dầu khí Gubkin, và sau này là Đại học Dầu khí Gubkin. https://thuviensach.vn Chương 5 NHỮNG MANH MỐI CỦA LỜI GIẢI Tôi bắt đầu cảm thấy tuyệt vọng thì một hôm trong giờ nghỉ giải lao giữa buổi học ở Kerosinka, một trong những giáo sư toán học mà tôi kính trọng nhất là Alexander Nikolaevich Varchenko tới gặp tôi ở hành lang. Varchenko vốn là học trò cũ của Vladimir Arnold, một trong những nhà toán học Xô viết hàng đầu, và bản thân Varchenko cũng là một nhà toán học tầm cỡ thế giới. “Cậu có thích nghiên cứu một đề tài toán học không?” ông hỏi. “Dạ có, dĩ nhiên rồi thưa thầy,” tôi nói, “Nhưng đó là loại đề tài nào ạ?” như thể mình sẽ vui vẻ hoàn thành bất kỳ điều gì. “Có một vấn đề xuất hiện trong nghiên cứu của tôi, mà tôi nghĩ nó sẽ là một bài toán phù hợp để giao cho một sinh viên thông minh như cậu. Chuyên gia trong lĩnh vực này là Dmitry Borisovich Fuchs.” Đó là tên nhà toán học nổi tiếng tôi từng được nghe danh trước đây. “Tôi đã nói chuyện với ông ấy, và ông ấy đồng ý sẽ hướng dẫn một sinh viên nghiên cứu về đề tài này. Đây là số điện thoại của ông ấy. Hãy gọi cho thầy Fuchs, và ông ấy sẽ nói cho cậu biết cần phải làm gì.” Đối với một nhà toán học giàu kinh nghiệm như Varchenko, thì việc gặp phải các vấn đề không giải quyết ngay được trong nghiên cứu của mình là chuyện cơm bữa. Nếu vấn đề Varchenko gặp phải có liên quan gần gũi với chương trình ông đang nghiên cứu, thì ông sẽ cố tự giải quyết nó. Nhưng không một nhà toán học nào lại tự mình làm hết tất cả mọi việc được, do vậy họ thường giao những vấn đề nan giải ấy (thường thì đó là những vấn đề mà họ cho là đơn giản hơn so với đề tài nghiên cứu) cho các sinh viên. Đôi khi vấn đề ấy có thể nằm ngoài mối https://thuviensach.vn quan tâm trực tiếp của các giáo sư, nhưng họ lại thấy tò mò muốn biết về nó, như trường hợp của tôi. Đó là lý do Varchenko nhờ Fuchs, một chuyên gia trong lĩnh vực này, hướng dẫn tôi. Xét cho cùng, thì đây là một “giao dịch” điển hình trong mối quan hệ xã hội của thế giới toán học. Điều bất thường trong chuyện này đó là Fuchs không chính thức liên kết giảng dạy với bất kỳ trường đại học nào. Nhưng trong nhiều năm, Fuchs, cùng nhiều nhà toán học đỉnh cao khác, đã cố gắng làm nhẹ bớt ảnh hưởng của sự phân biệt chủng tộc với các sinh viên Do Thái bằng cách giảng dạy riêng cho những người trẻ tài năng, những người bị từ chối nhận vào MGU. Như một phần trong những nỗ lực ấy, Fuchs tham gia vào hội mà sau này được biết đến dưới cái tên “Đại học Nhân dân Do Thái”, một trường buổi tối không chính thức, nơi ông và các đồng nghiệp giảng dạy cho các sinh viên. Một vài bài giảng trong số đó được tổ chức ở Kerosinka, mặc dù chúng diễn ra trước khi tôi vào trường. Trường ấy được Bella Muchnik Subbotovskaya, một người phụ nữ dũng cảm đứng ra tổ chức, bà chính là trái tim và linh hồn của nó. Thật không may, KGB đã biết được, và cảnh báo rằng có sự tụ tập trái phép của một đám đông Do Thái. Cuối cùng, bà bị gọi tới KGB để thẩm vấn. Chẳng bao lâu sau buổi thẩm vấn đó, bà bị xe tải đâm chết, trong một bối cảnh rất đáng ngờ, khiến cho nhiều người nghi ngờ rằng thực tế đó là một vụ giết người máu lạnh[13]. Không có bà chèo lái, trường buổi tối ấy đã tan vỡ. Tôi đến Kerosinka hai năm sau khi những chuỗi bi kịch ấy xảy ra. Mặc dù ngôi trường buổi tối không còn tồn tại nữa, nhưng vẫn còn một mạng lưới nhỏ những nhà toán học chuyên nghiệp, cá nhân họ, muốn giúp đỡ những sinh viên không may mắn bị ruồng bỏ như tôi. Họ tìm kiếm những sinh viên có tư chất sáng giá rồi trao cho họ lời khuyên, động viên, và đối với một vài trường hợp, chính thức tư vấn và hướng dẫn. Đây là lý do mà Varchenko giao bài toán ấy cho tôi, một sinh viên https://thuviensach.vn ở Kerosinka, chứ không phải ở Mekh-Mat, nơi mà, qua những mối quan hệ của mình, ông có thể dễ dàng tìm được một sinh viên như thế. Điều này cũng giải thích tại sao Fuchs sẵn sàng dành thời gian riêng của mình để hướng dẫn tôi. Và tôi rất mừng vì ông đã nhận lời. Giờ nghĩ lại, tôi nhận ra rằng nếu không có sự tử tế và hào hiệp của Fuchs, tôi không bao giờ có thể trở thành một nhà toán học. Tôi đã học toán ở Kerosinka, và ngồi nghe giảng ở MGU, nhưng chỉ như thế thôi thì vẫn không đủ. Thực tế, hầu như các sinh viên đều không thể làm nghiên cứu nếu không có ai hướng dẫn. Việc có một người hướng dẫn là vô cùng quan trọng. Dẫu vậy, ở thời điểm đó, tất cả những gì tôi biết là mình có trong tay số điện thoại của Fuchs, một nhà toán học nổi tiếng, và tôi sắp bắt đầu một dự án dưới sự hướng dẫn của ông. Thật không thể tin nổi! Tôi không biết rồi mọi chuyện sẽ kết thúc thế nào, nhưng tôi có thể nhận thấy ngay rằng một điều lớn lao đã xảy ra. Tối đó, lấy hết can đảm, tôi gọi cho Fuchs từ một trạm điện thoại công cộng và nói với ông tôi là ai. “Phải, tôi biết,” Fuchs nói, “Tôi phải giao một bài báo cho cậu đọc.” Chúng tôi gặp nhau vào ngày hôm sau. Fuchs có vẻ ngoài của một người khổng lồ, không hề giống với những gì tôi tưởng tượng. Ông có vẻ rất nghiêm túc và thực dụng. “Đây,” ông nói và trao cho tôi một bản của bài báo, “hãy cố đọc bài báo này, và ngay khi thấy từ nào mà cậu không hiểu, hãy gọi cho tôi.” Tôi cảm thấy như ông vừa trao cho mình chiếc Chén Thánh vậy. Đây là một bài báo, dài mười hai trang, mà ông đã viết vài năm trước, về chủ đề “các nhóm bện”. Ngay tối hôm đó, tôi bắt đầu đọc nó. Ba năm trước, quá trình học với Evgeny Evgenievich cùng với việc tự học của tôi đã không vô ích. Tôi không chỉ hiểu từng từ trong bài báo, mà còn hiểu cả nội dung của nó. Vì vậy, tôi quyết định sẽ tự https://thuviensach.vn mình đọc toàn bộ bài báo đó. Đây là vấn đề của lòng kiêu hãnh. Tôi còn tưởng tượng xem Fuchs sẽ có ấn tượng thế nào nếu tôi nói mình đã tự hiểu được mọi thứ. Trước đây tôi từng nghe nói về các “nhóm bện”. Chúng là các ví dụ tuyệt vời về nhóm, một khái niệm mà chúng ta thảo luận trong chương 2. Evgeny Evgenievich đã dùng khái niệm này để nghiên cứu các đối xứng, và do vậy các phần tử của các nhóm mà chúng ta xem xét là những đối xứng của đối tượng nào đó. Chẳng hạn, nhóm đường tròn bao gồm các đối xứng của một chiếc bàn tròn (hay của bất kỳ một đối tượng tròn nào khác), và nhóm bốn phép quay là nhóm các đối xứng của một chiếc bàn vuông (hay của bất kỳ vật hình vuông nào khác). Một khi đã biết khái niệm “nhóm”, chúng ta có thể tìm kiếm các ví dụ khác. Hóa ra lại có nhiều ví dụ về nhóm mà không liên quan gì tới đối xứng cả, và đó là động lực để tôi giới thiệu khái niệm nhóm ngay từ ban đầu. Đây thực sự là một chuyện điển hình. Việc sáng tạo ra một khái niệm toán học có thể được xuất phát từ những vấn đề hay hiện tượng trong một lĩnh vực toán học (hay vật lý, kỹ thuật, v.v.), rồi sau đó nó lại có thể hữu ích và phù hợp với những lĩnh vực khác. Thực tế thì rất nhiều nhóm không bắt nguồn từ những đối xứng. Và các nhóm bện là những nhóm như vậy. Tôi còn chưa biết những ứng dụng thực tế của các nhóm bện trong những lĩnh vực như mật mã, tính toán lượng tử và sinh học, điều ta sẽ nói tới sau này. Nhưng tôi bị mê hoặc bởi vẻ đẹp thiên bẩm cửa những khái niệm toán học trừu tượng ấy. Có một nhóm bện cho mỗi số tự nhiên n = 1,2,… Chúng ta có thể sử dụng những con số này để đặt tên cho mỗi nhóm. Một cách tổng quát, chúng ta gọi chúng là Bn, do vậy với n = 1 ta có nhóm gọi là B1, với n = 2, ta có nhóm gọi là B2, v.v. Để mô tả nhóm Bn, chúng ta trước tiên phải mô tả các phần tử của nó, như đã làm với nhóm các phép quay của chiếc bàn tròn và vuông. Các phần tử của nhóm Bn được gọi là các bện với n sợi, như được vẽ https://thuviensach.vn trong hình dưới đây, với n = 5. Hãy tưởng tượng hai tấm cứng trong suốt, mỗi tấm có năm chiếc đinh, với một sợi dây nối mỗi đinh ở tấm này tới một đinh ở tấm kia. Bởi vì các tấm trong suốt nên chúng ta có thể nhìn thấy toàn thể từng sợi dây một. Mỗi sợi được cho phép quấn quanh sợi khác thế nào cũng được, nhưng không được tự quấn rối chính nó. Mỗi đinh chỉ kết nối với đúng một sợi. Thứ tổng thể này - hai tấm và nhiều sợi - tạo thành một bện đơn, giống như chiếc xe ô tô có bốn bánh, một động cơ, bốn cánh cửa, v.v. Chúng ta không xét từng thành phần đó một cách riêng rẽ, mà tập trung vào cả bện. https://thuviensach.vn