🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Matlab - Bài Tập - Mô Phỏng Hệ Động Lực Ebooks Nhóm Zalo VIỆN CƠ KHÍ – Bộ môn Cơ học ứng dụng TS. Nguyễn Quang Hoàng -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ME4293-Phần mềm phân tích và mô phỏng hệ động lực 1. Matlab: véc tơ – ma trận – vẽ đồ thị - ode - simulink Bài 1. Cho ma trận A và véctơ b, c ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − 18 3 2 1 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A b c = − = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3 20 3 , 2 , 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 3 30 1 4 Hãy viết các dòng lệnh Matlab để thực hiện các việc sau: Nhập ma trận A, vector b và c vào. Nhân ma trận A với vector b, [Ab] Tính và đưa ra ma trận Ai là ma trận nghịch đảo của A Giải phương tr nh Ax c = Tính các trị riêng và các véc tơ riêng tương ứng của ma trận A. Bài 2. a) Hãy tìm véc tơ x có chuẩn (độ lớn) nhỏ nhất thỏa mãn phương tr nh ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ x 1 1 2 3 6 Ax b A x b = = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , , , x 2 2 3 4 9 x 3 b) Hãy tìm véc tơ x để sai lệch giữa hai vế của phương tr nh sau có độ lớn nhỏ nhất ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 2 3 1 x 4 5 9 2 1 Ax b A x b = = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ , , , x 7 11 18 3 x 2 − ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 3 1 4 3 Bài 3. Cho các ma trận ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 12 4 4 1 140 30 M C K , = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ , , 4 15 1 7 30 170 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Elà ma trận đơn vị cỡ 2x2. Hãy đưa ra ma trận A như dưới đây, sau đó 0là ma trận 0 cỡ 2x2, 2 2× và 22× tính trị riêng của nó, ⎡ ⎤ 0 E 2 2 2 2 × × AM K M C. = ⎢ ⎥ − − 1 1 ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ Bài 4. Sử dụng Matlab vẽ đồ thị các hàm số sau: ( ) x − y x e x = −, trong khoảng [-1 . . . 1], với Δx = 0.1; y x x x ( ) sin( ) 1 = −, trong khoảng [1 . . . 3], với Δx = 0.1; 2 y x x x ( ) 2 5 = − −, trong khoảng [-4 . . . 4], với Δx = 0.1; 3 2 y x x x x ( ) 6 3 1 = − + −, trong khoảng [1 . . . 6], với Δx = 0.1; 1 2 0.1 ( ) cos sin x − y x x x e x = +, trong khoảng [0 . . . 10], với Δx = 0.1. Từ đồ thị hãy xác định nghiệm của các phương tr nh y x( ) 0 =trong các khoảng tương ứng. Bài 5. Vẽ đồ thị hàm phân thức sau trong khoảng [0 … 3.5], biết các nghiệm của mẫu số: 2 4(1 ) ( ) , 0.7990, 1.3380 − x f x x x = = = 2 2 1 2 (10 7 )(1 ) 2 − − − x x Bài 6. Cho phương tr nh vi phân cấp 2 sau đây mx bx c x f t x x x x + + = = = = = 0 0 sin( ) ( ); (0) 0, (0) 0.3 m b c f t t = = = = 1, 2, 100, ( ) 2sin(8 ) - Sử dụng Simulink để giải phương tr nh vi phân trên trong khoảng thời gian [0, 10]. - Hạ bậc đưa về hệ phương tr nh vi phân cấp 1, sau đó sau đó sử dụng ode45 để giải. - So sánh hai kết quả nhận được Bài 7. Sử dụng lệnh ode45 giải phương trình vi phân sau y t e t y − 0.2 2 sin(2 ), (0) 0 t = + = Bài 8. Nêu phương án kết hợp Simulink và m-file để mô phỏng hệ động lực mô tả bởi phương tr nh vi phân ở dạng ma trận như sau (chẳng hạn như đối với robot n bậc tự do): ( ) ( , ) ( ) , n M q q C q q q Dq g q = Bu q + + + ∈R 2. Lập trình với Matlab Bài 9. 1. Viết một chương tr nh con để tính t ng S(x,n) ( , ) 1 ... n 2 S x n x x x = + + + + , với n là số nguyên dương và x là số thực cho trước. Đưa ra kết quả với x = 0.5 và n = 10. S(0.5,10) ? = . 2. Sử dụng lệng while giải bài toán t m số tự nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau n 1 1 1 1 ( ) 1 ... 27 = + + + + = < ∑ . S nn i = 2 3 i 1 Thuật giải Newton-Raphson Cho biết thuật giải của phương pháp lặp Newton-Raphson giải hệ phương tr nh đại số phi tuyến ( ) , , n n f x 0 f x = ∈ ∈như sau Bước 1. Khởi gán k = 0, chọn xấp xỉ ban đầu (0) x . f x < εth dừng, nếu không th tiếp tục từ 3. f x . Nếu ( ) || ( )|| k Bước 2. Tính( ) ( ) k x, tức là ( ) ( ) k Bước 3. Tính ma trận Jacobi tại () k J x . Bước 4. Giải ( ) ( ) ( ) ( ) k k J x x f x δ = −để t m ( ) k δ x . Bước 5. Lấy ( 1) ( ) k k δ + x x x = + . Bước 6. Tăng k , k k = + 1. Nếu k > M với M là số bước lặp đã chọn trước, th dừng. Nếu không, tiếp tục từ Bước 2. với ( )k x J xlà ma trận jacobi được xác định tại điểm k ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ f x f x f x / / .. / 1 1 1 2 1 n ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ f x f x f x / / .. / f k k k n 2 1 2 2 2 J x x x ( ) ( ) ( ) = = ⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ .. .. .. .. x ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ f x f x f x / / .. / n n n n 1 2 2 Bài 10. Một cái phao h nh cầu, bán kính R, n i trên mặt nước. T m phần ch m xcủa phao trong nước. Cho biết xcần thỏa mãn phương tr nh sau đây, 0 2 < < x R 2 3 3 1 4 3 3 ρπ ξρ π ξ ( ) 0, 0 1 Rx x R − − = < < Với ξ = 0.25ta có 2 3 3 1 1 3 3 ( ) 0 Rx x R − − = . x Cho R = 1, tìm xtrong khoảng [0, 2R]. Bài 11. Phương tr nh tần số khi xét dao động dọc của thanh thẳng với các điều kiện biên: a) một đầu ngàm đầu kia có lò xo f x x x ( ) tan = + 1 2 T m nghiệm của phương tr nh f x( ) 0 =, trong các khoảng [ ...( 1) ] k k π π +, với k = 0,1,2,3... b) một đầu ngàm đầu kia có khối lượng tập trung f x x x ( ) cot = − ε ε = 1, t m nghiệm của phương tr nh f x( ) 0 =, trong các khoảng [ ...( 1) ] k k π π + , k = 0,1,2,3... Với Bài 12. Phương tr nh tần số khi xét dao động uốn của thanh thẳng với các điều kiện biên: a) một đầu ngàm đầu kia tự do: f x x x ( ) cos( )cosh( ) 1 = + T m 4 nghiệm đầu tiên của phương tr nh f x( ) 0 = . b) hai đầu ngàm chặt (hoặc hai đầu tự do): f x x x ( ) cos( )cosh( ) 1 = − Tìm 4 nghiệm đầu tiên của phương tr nh f x( ) 0 = . Bài 13. Xác định giao điểm của đường tròn 2 2 x y + = 3và hyperbol xy = 1. (Hoặc t m nghiệm của hệ phương tr nh sau 2 2 1 2 f x y x y f x y xy ( , ) 3 0, ( , ) 1 0 = + − = = − =) Bài 14. Viết một chương tr nh con có sử dụng lệnh while để tính căn bậc hai của a > 0 theo phương pháp lặp Newton-Raphson, [theo công thức Heron] 2 x a x a + n n xx x n = = + + 12 2 2 n n Với x(1) = 1, độ chính xác yêu cầu là 7 10−. Bài 15. Phân tích động học cơ cấu bốn khâu bản lề. Cho cơ cấu 4 khâu bản lề ABC như h nh bên. Các kích thước y B của cơ cấu OA = l1, AB = l2, BC = l3, dx và dy,2 2 l d d = + . Cho 4 x y M biết 1 10 q q t = + Ω . Hãy viết các phương tr nh liên kết cho cơ cấu, q t()và 3 từ đó xác định các góc 2 q t()tại các thời điểm ,kt A q2 q3 k = 1,2,3,...ứng với các góc quay của thanh A, 1 10 ( )k k q t q t = + Ω . Triển khai trong Matlab để giải các bài toán sau: - Sử dụng phương pháp Newton-Raphson giải các phương q1 O dx C dy x tr nh liên kết để xác định các góc q2(t), q3(t); - Từ các phương tr nh liên kết tính các vận tốc góc và gia tốc góc các thanh AB và BC tại từng thời điểm t = tk. CC 4 khâu bản lề 3 - Vẽ quĩ đạo trung điểm M của AB; tính vận tốc và gia tốc của nó [vẽ đồ thị vMx(t), vMy(t) và aMx(t), aMy(t)]. Sử dụng các bộ thông số sau Stt q10 [rad] Ω [rad/s] L1 [m] L2(*)[m] L3 [m] dx [m] dy [m] 1 0 10 0.20 0.60 0.40 0.45 0.12 2 0 20 0.15 0.55 0.45 0.40 0.15 3 0 30 0.12 0.65 0.40 0.45 0.12 4 0 10 0.20 0.60 0.45 0.40 0.15 (*) Lưu ý: cần kiểm tra điều kiện quay toàn vòng của khâu dẫn, 1 4 2 3 4 1 2 3 ( )&( ) l l l l l l l l + < + − > −, nếu không thỏa mãn th điều chỉnh chiều dài L2. HD Từ h nh vẽ ta viết được các phương tr nh liên kết f q q q l q l q d l q ( , , ) cos + cos cos 0 = − − = 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 x f q q q l q l q d l q ( , , ) sin sin sin 0 = + − − = 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 y Tính được các ma trận jacobi ⎡ ⎤ − l q l q sin sin 2 2 3 3 J , = ⎢ ⎥ J cos cos q l q l q − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − l q sin 1 1 = ⎢ ⎥ cos q 23 1 2 2 3 3 l q ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 Đạo hàm các phương tr nh liên kết theo thời gian cho ta phương tr nh để giải bài toán vận tốc và gia tốc: 23 1 q qq ⇒ = − − 1 J q J + = q 23 1 23 1 0 q q q J J 23 1 − 1 J q J q J J + + + = ⇒ q q với 23 23 1 1 23 23 1 1 0 q q q q ⎡ ⎤ − q l q q l q cos cos 2 2 2 3 3 3 J , = ⎢ ⎥ J sin sin q q J J q J J = − + + 23 23 1 1 ( ) q q q q q q 23 23 1 1 ⎡ ⎤ − l qq cos 1 1 = ⎢ ⎥ q l q q l q −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ sin q 1 −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 23 1 2 2 2 3 3 3 l q 1 1 Bài 16. Phân tích động học cơ cấu u khâu. Cho cơ cấu sáu khâu như h nh vẽ. Các B thông số của cơ cấu gồm các kích thước y OA = L1, AB = L2, BC = L3, CD = L5, DE = L6, dx và dy và góc α . Viết các phương D tr nh liên kết cho cơ cấu. Sử dụng phương pháp lặp Newton- aphson t m các tọa độ αE A suy rộng 2 3 q t q t ( ), ( ), 4 5 q t q t ( ), ( ), khi biết q2 q3 q4 giá trị góc quay của khâu A, 1 10 ( )k k q t q t = + Ω . Cho biết các thông số của hệ: q1 O dx C dy q5 x stt q10 [rad] Ω [rad/s] L1 [m] L2[m] L3[m] dx[m] dy[m] α (rad) L5 [m] L6 [m] 1 0 1 0.20 0.60 0.36 0.45 0.15 π/6 0.46 0.66 2 3 Bài 17. Bài to n động học ngược robot Trong bài toán động học ngược rôbốt, ta cần xác định các góc khớp – hay tọa độ khớp – khi muốn bàn k p của rôbốt ở một vị trí mong muốn. Trong phần này ta xét một tay máy hai bậc tự do phẳng có sơ đồ như trên h nh bên. Sử dụng phương pháp lặp Newton-Raphson t m các tọa độ suy rộng 1 2 q q,để bàn 4 = = 0.50 m , k p ở một vị trí mong muốn cho trước ,E E x y . Biết chiều dài các khâu là OA L1 = = 0.70 m . AE L2 HD: Mối liên hệ giữa tọa độ điểm với các tọa độ suy rộng được xác định bởi x l q l q q = + − cos cos( ) E 1 1 2 1 2 E y l q l q q = + − q2 sin sin( ) E 1 1 2 1 2 yE A Đây là một hệ hai phương tr nh phi tuyến đối với hai ẩn 1 2 q q, . Phương pháp Newton- aphson được sử dụng để giải hệ này, với ma trận Jacobi như sau q1 ⎡ ⎤ − − − − l q l q q l q q sin sin( ) sin( ) O 1 1 2 1 2 2 1 2 = ⎢ ⎥ J . xE cos cos( ) cos( ) q + − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ l q l q q l q q 1 1 2 1 2 2 1 2 Triển khai trong Matlab với số điểm chia n và tọa độ điểm được cho bởi: n = 20; % so diem chia xE = linspace(1.1, 0.1, n); yE = linspace(0.1, 1.1, n); 3. Mô phỏng hệ động lực Bài 18. Khối sắt nhiễm từ có khối lượng mđược nối với một lo xo độ cứng c, chiều dài L. Khối này ở trạng thái nghỉ tại x L=, khi đóng mạch nam châm điện xuất hiện một lực đẩy 2 F k x = /tác dụng lên khối sắt. Phương tr nh vi phân mô tả chuyển động của khối này là 2 mx k x c x L = − − / ( ) Tay máy 2 dof x m c Sử dụng phương pháp unge-Kutta (ode45) giải phương tr nh vi phân trên với các thông số của hệ m = 1kg, 2 k = ⋅ 5N m , c = 120N/m, L = 0.20m,và điều kiện đầu x L x (0) 1.2 , (0) 0 = = , t = [0,10]. Bài 19. Thanh đồng chất BC được nối bằng bản lề trơn B với thanh A, thanh này quay được quanh trục đứng. Bỏ qua ma sát. Sử dụng phương tr nh Lagrange 2 ta nhận được phương tr nh vi phân chuyển động của hệ: 2 θ ϕ θ θ ϕ θϕ θ = = − sin cos , 2 cot Giải hệ phương tr nh vi phân trên bằng phương pháp unge-Kutta (ode45) với điều kiện đầu θ π θ ϕ ϕ (0) /12 rad, (0) 0, (0) 0, (0) 20 rad/s = = = = đưa ra kết quả dạng đồ thị trong khoảng t = [0...2]s. Bài 20. ϕ B O θ C A Sử dụng định luật Kirchhoff ta nhận được phương tr nh vi phân của mạch điện (h nh vẽ) như sau: di 1 L R i R i i E t + + − = ( ) ( ) dt 1 1 2 1 2 R1 i2 L di q 2 2 L R i i − − + = ( ) 0 2 1 2 dt C dqi E(t) i1 i1 L R2 i2 C 2 dt = 2 Với các số liệu 1 2 R R L C = Ω = Ω = = 4 , 10 , 0.032H, 0.53Fvà 5 ⎧ < < ⎪ 20 V khi 0 0.005 s t E tt ( )0, khi 0.005 s = ⎨⎪ ≥ ⎩ Hãy giải hệ phương tr nh vi phân trên bằng ode45 và vẽ ra đồ thị các dòng điện 1 2 i t i t ( ), ( )theo thời gian t = 0...0.05 s. 4. Mô hình một số hệ cơ Bài 21. Tay máy hai bậc tự do chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Khâu 1 chiều dài A = L1, khối tâm C1, OC1 = a1. Khối lượng m1, mômen quán tính đối với khối tâm J1. Khâu 2 chiều dài A = L2, khối tâm C2, AC2 = a2. khối lượng m2, mômen quán tính đối với khối tâm J2. Động cơ 1 gắn liền với giá cố định tạo ra mômen ngẫu lực u1, động cơ 2 gắn liền với khâu 1 tạo ra mômen ngẫu lực u2. 1. Lập PTVP chuyển động của tay máy, viết các phương tr nh dạng ma trận: M q q C q q q g q Bu ( ) ( , ) ( ) + + = E C1 g u2 A q2 C2 u1 2. Mô phỏng chuyển động của tay máy khi biết q1 mômen động cơ u1 và u2. O u k q q k q = − − − ( ) 1 1 1 10 1 1 P D u k q q k q = − − − ( ) 2 2 2 20 2 2 P D Các thông số: Stt m1 [kg] J1 [kgm2] L1 [m] a1 [m] m2 [kg] J2 [kgm2] L2 [m] a2 [m] kP1 kD1 kP2 kD2 1 10 3 0.50 0.20 10 3 0.50 0.20 40 20 40 20 2 20 4 0.55 0.15 20 4 0.55 0.15 40 20 40 20 3 30 5 0.62 0.25 30 5 0.62 0.25 40 20 40 20 4 10 6 0.70 0.10 10 6 0.70 0.10 40 20 40 20 5 20 7 0.44 0.25 20 7 0.44 0.25 40 20 40 20 6 30 6 0.50 0.30 30 6 0.50 0.30 40 20 40 20 7 10 4 0.66 0.45 10 4 0.66 0.45 40 20 40 20 8 20 3 0.70 0.20 20 3 0.70 0.20 40 20 40 20 Các góc q10, q20 tùy chọn trong khoảng giới hạn, (q10 ∈ [0 .. pi/2] và q20 ∈ [-pi/2 .. pi/2]). Bài 22. Tay máy hai bậc tự do chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Khâu 1 chiều dài A = L1, khối tâm C1, OC1 = a1, khối lượng m1, mômen quán tính đối với khối tâm J1. Khâu 2 chiều dài AE = L2, khối tâm C2, AC2 = a2, khối lượng m2, mômen quán tính đối với khối tâm J2. Động cơ 1 gắn liền với giá cố định tạo ra mômen ngẫu lực M1, động cơ 2 gắn liền với khâu 1 tạo ra mômen ngẫu lực M2. - Lập PTVP chuyển động của tay máy, viết dạng E C2 u1 u2 A C1 q2 M q q C q q q g q Bu ( ) ( , ) ( ) + + = q1 O - Mô phỏng chuyển động của tay máy khi biết mômen động cơ u1 và lực đẩy u2. 1 1 1 10 1 1 2 2 2 20 2 2 ( ) , ( ) P D P D u k q q k q u k q q k q = − − − = − − − Sử dụng các bộ thông số sau: Stt m1 [kg] J1 [kgm2] L1 [m] a1 [m] m2 [kg] J2 [kgm2] L2 [m] a2 [m] kP1 kD1 kP2 kD2 1 10 3 0.50 0.20 10 3 0.50 0.20 40 20 40 20 2 20 4 0.55 0.15 20 4 0.55 0.15 40 20 40 20 3 30 5 0.62 0.25 30 5 0.62 0.25 40 20 40 20 4 10 6 0.70 0.10 10 6 0.70 0.10 40 20 40 20 5 20 7 0.44 0.25 20 7 0.44 0.25 40 20 40 20 6 6 30 6 0.50 0.30 30 6 0.50 0.30 40 20 40 20 7 10 4 0.66 0.45 10 4 0.66 0.45 40 20 40 20 8 20 3 0.70 0.20 20 3 0.70 0.20 40 20 40 20 với các giá trị q10 và q20 tùy chọn trong khoảng giới hạn, (q10 ∈ [0 .. pi/2] và q20 ∈ [L1 .. 2L1]). Bài 23. Vật A trọng lượng P = m1g, trượt không ma sát trên nền ngang. Con s lắc AB trọng lượng Q = m2g, khối tâm C, AC = a, mômen quán tính đối với khối tâm C: J2, được nối vào A bằng một bản lề trụ. Lò xo độ k cứng k, ở trạng thái tự nhiên khi s = 0 (s là khoảng dịch chuyển của A). Cản nhớt hệ số c. Lực F(t) nằm ngang tác dụng lên vật A. Chọn A c tọa độ suy rộng cho hệ là qT= [ s, ϕ ]. - Lập PTVP chuyển động của hệ. P - Mô phỏng chuyển động của hệ biết lực kích động F(t) = F0 sin(Ωt). - Thêm vào bài toán trên trường hợp giữa vật A và nền có ma sát khô với hệ số μ = 0.2 (nâng cao). Sử dụng các thông số sau: F(t) C ϕ QB Stt m1 [kg] m2 [kg] J2 [kgm2] a [m] k [N/m] c [Ns/m] F0 Ω μ 1 10 10 3 0.20 10000 00 100 100 0.1 2 20 20 4 0.15 15000 150 120 50 0 3 30 30 5 0.25 12000 100 150 100 0.1 4 10 10 6 0.10 16000 0 200 150 0.2 5 20 20 7 0.25 20000 120 300 120 0 6 30 30 6 0.30 12000 200 150 120 0.2 7 10 10 4 0.45 13000 0 160 170 0.1 8 20 20 3 0.20 15000 0 200 160 0 5. i t n a động Bài 24. Hệ dao động gồm khối lượng - lò xo - cản nhớt có phương tr nh vi phân mô tả như sau: y 0 my cy ky F t + + = Ω sin k F(t) với m = 2kg, c = 60N.s/m, k = 450N/m , 1 F 4.5N, 20s− = Ω = . 0 Điều kiện đầu y y (0) 0.01 m, (0) 0 = = . cm a) Hạ bậc đưa về hệ phương tr nh vi phân bậc nhất. b) Thực hiện tích phân số (giải các phương tr nh vi phân) trong khoảng t = 0...10s. Đưa ra các kết quả dạng đồ thị y t()và y t(); đồ thị quĩ đạo pha trong mặt phẳng pha ( , ) y y; và đồ thị trong không gian trạng thái 3D (có cả trục thời gian t): ( , , ) t y y . Bài 25. Con l c đơn ét con lắc toán học là một quả cầu nhỏ, khối lượng mtreo vào thanh mảnh cứng dài lkhông khối lượng. Thanh này nối với giá cố định băng bản lền trụ. Phương tr nh vi phân chuyển động của con lắc trong trường hợp không cản: 2 ml mgl ϕ ϕ + = sin 0 ⇒ = − ϕ ϕ ( / )sin g l F dv dl = = ϕ , ta có Nếu kể đến lực cản t lệ với vận tốc hệ số d , lực cản c 2 2 ml mgl dl ϕ ϕ ϕ = − − sin Đặt 1 2 y y = = ϕ ϕ , , ta có y y = l ϕ m 1 2 2 y mgl y dl y g l y d m y = − + = − − 1( sin ) ( / )sin ( / ) 2 1 2 1 2 2 ml Con lắc toán 7 Viết m-file mô tả phương tr nh vi phân trên, sau đó sử dụng ode45 mô phỏng dao động của con lắc. Sử dụng các số liệu sau: con lắc có khối lượng m = 0.25kg, chiều dài dây l = 0.5m, với các góc lệch ban đầu khác nhau từ 10 đến 110 độ cách nhau 10 độ (khi tính toán cần đ i sang rad), hệ số cản d = 0. ét trường hợp dao động nhỏ, ta có thể tuyến tính hóa quanh vị trí cân bằng và nhận được phương tr nh vi phân: 1 2 2 1 2 y y y g l y k m y = = − − , ( / ) ( / ) . Thực hiện lại các mô phỏng trên với mô h nh đã được tuyến tính hóa. Đưa ra các nhận xét. Bài 26. Xét dao động 1 dof (xét 3 trường hợp: bình thường, cộng hưởng, và ph ch) Xét hệ dao động cưỡng bức không cản có phương tr nh vi phân như sau y y t + = Ω 16 sin( )với điều kiện đầu y y (0) 0, (0) 0 = = . Bằng cách đặt 1 2 x y x y = = , , ta nhận được hệ hai phương tr nh vi phân cấp một: x x = 1 2 x x t 2 1 16 sin( ) = − + Ω Hãy viết m-file mô tả phương tr nh vi phân trên. Sau đó sử dụng ode45 hoặc simulink để khảo sát đáp ứng của hệ trong ba trường hợp: (a) Ω= 5rad/s; (b) Ω = 4.2rad/s; (c) Ω = 4.0rad/s. Bài 27. Con l c đơn dâ tr o đàn h i ét con lắc là một quả cầu nhỏ được treo vào lò xo có độ cứng c , chiều dài tự nhiên là l . Hệ hai bậc tự do với các tọa độ suy rộngs,ϕ . Động năng và thế năng của hệ: c 1 1 2 2 2 2 2 2 T m l s s cs mg l s = + + Π = − + [( ) ], ( )cos ϕ ϕ l s + ϕ Sử dụng phương tr nh Lagrange loại 2 ta nhận được phương tr nh vi phân chuyển động của con lắc như sau: 2 m l s m l s s mg l s ( ) 2 ( ) ( )sin 0 + + + + + = ϕ ϕ ϕ 2 m ms m l s mg cs − + − + = ( ) cos 0 ϕ ϕ Sử dụng ode45 mô phỏng chuyển động của hệ với các thông số: m = 0.5 kg; L = 0.5 m; c = 50 N/m; g = 9.81 m/s2; con lắc có dây treo đàn hồi và điều kiện đầu: ϕ π ϕ (0) / 6, (0) 0, (0) 0, (0) 0 = = = = s s . Bài 28. Con l c kép Phương tr nh vi phân chuyển động của con lắc kép nhận được nhờ phương tr nh Lagrange 2 được viết gọn lại ở dạng ma trận như sau: M q q C q q q g q ( ) ( , ) ( ) 0 + + = l1 với M q 2 2 ⎡ ⎤ + − m l m l m l l q q cos( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 q1m1 ( )cos( ) = ⎢ ⎥ 2 m l l q q m l ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ 2 1 2 1 2 2 2 ⎡ ⎤ − 0 sin( ) m l l q q q 2 1 2 1 2 2 C q q ( , ) sin( ) 0 = ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m l l q q q 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) sin sinT = + ⎡ ⎤ m l m l g q m gl q ⎣ ⎦ g q . l2 q2 Con lắc kép m2 Viết m-file thể hiện phương tr nh vi phân hệ, sau đó sử dụng ode45 mô phỏng chuyển động của hệ. Sử dụng các thông số sau: m1 = 0.25; l1 = 0.5; m2 = 0.25; l2 = 0.5; g = 9.81 m/s2; Ban đầu hệ đứng yên với các góc lệch: q1(0) = 10*pi/180, q2(0) = 16*pi/180. Tuyến tính hóa phương tr nh vi phân chuyển động quanh vị trí cân bằng q1=q2=0. Tính tần số dao động riêng của hệ. Bài 29. ao động nhỏ c a con l c lliptic 8 ét con lắc elliptic như h nh vẽ. e A có khối lượng m1 chuyển động trên đường ngang, lò xo có độ cứng c . Dây AB có chiều dài l, khối lượng không đáng kể và luôn căng. Tải trọng được coi như chất điểm có khối lượng m2. Biết khi x = 0lò xo không bị biến dạng. Sử dụng phương tr nh Lagrange loại 2, ta nhận được phương tr nh vi phân chuyển động: 2 ( ) cos sin 0, m m x m l m l cx + + − + = ϕ ϕ ϕ ϕ x 1 2 2 2 2 m1 m l m lx m gl ϕ ϕ ϕ + + = cos sin 0 2 2 2 c A Mô phỏng đáp ứng của hệ với điều kiện đầu: x x (0) 0, (0) / 6, (0) 0, (0) 0 = = = = ϕ π ϕ . l Trường hợp xét xét dao động nhỏ, coi sin ,cos 1 ϕ ϕ ϕ ≈ ≈và bỏ qua số ϕ hạng phi tuyến 2 ϕ , ta nhận được phương tr nh vi phân dao động nhỏ. m2 B 2 1 2 2 2 2 2 ( ) 0, 0 m m x m l cx m l x m l m gl + + + = + + = ϕ ϕ ϕ hay ở dạng ma trận ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = m m m l x c x Con lắc elliptic 1 2 2 0 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. 2 m l m l ϕ ϕ m gl 0 0 2 2 2 Tính các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng của hệ. Sử dụng các thông số sau: m1 = 50; m2 = 40; % kg g = 9.81; % m/s^2 l = 5; % m c = 2000; % N/m Bài 30. Hệ dao động ba bậc tự do Cho hệ dao động ba bậc tự do như trên h nh vẽ. Các lò xo tuyến tính có độ cứng ic , khối lượng các vật nặng là mi, (i = 1,2,3). Gọi i xlà dịch chuyển của các khối lượng kể từ vị trí mà các lò xo không bị biến dạng. p dụng phương pháp tách vật (hoặc phương tr nh Lagrange loại 2) nhận được phương tr nh vi phân chuyển động ở dạng ma trận như sau: Mx Cx p + = , 1 2 3 [ ]T x = x x x với ⎡ ⎤ c1 c2 ⎡ ⎤ m 1 0 0 m g m1 x1 ⎢ ⎥ 0 0 M , = ⎢ ⎥ m p 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ m g 2 g c3 0 0 m 3 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ m g 3 c5 x2 ⎡ ⎤ + + + − − ⎢ ⎥ c c c c c c 1 2 3 5 3 5 m2 c4 = − + − ⎢ ⎥ c c c c C , 3 3 4 4 ⎢ ⎥ − − + ⎣ ⎦ c c c c x3 m3 5 4 4 5 Cho biết các thông số của hệ: 1 2 3 4 5 c c c c c = = = = = 10 N/mm, 5 N/mm , 1 3 2 3 m g m g m g m g = = = 98.1 N, . Hệ dao động 3 dof 1. T m vị trí cân bằng tĩnh của hệ, bằng cách giải hệ phương tr nh đại số tuyến tính để t m biến dạng của các lò xo Cx p = . 2. T m các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêng của hệ từ phương tr nh dao động tự do Mx Cx 0 + = . Bài 31. Mô h nh dao động nhỏ của ô-tô trong mặt phẳng thẳng đứng như h nh vẽ. Cho biết các thông số của hệ: a = 3 m, b = 1 m, c1 = c2 = c3 = c4 = 100 Ns/m, k1 = k2 = 4×105 N/m, k3 = k4 = 30×105 N/m, M = 1200 kg, m = 30 kg, J = 200 kgm2. 1. Lập phương tr nh VPCĐ của hệ (đáp án như sau): 9 Mb J Mab J d y y c y c y k y k y F t + − 2 + + − + − = ( ) a b a b a b 2 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 3 ( ) ( ) + + + Mab J Ma J a b d y y c y c y k y k y F t − + + − 2 + + − + − = ( ) a b a b a b 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 4 ( ) ( ) + + + my c y c c y k y k k y − + + − + + = ( ) ( ) 0 3 1 1 1 2 3 1 1 1 3 3 my c y c c y k y k k − + + − + + 4 4 ) 0 y = ( ) ( 4 1 2 2 4 4 2 2 2 L 2. Viết PTVP CĐ dạng ma trận F(t) d a b My Dy Ky f + + = ( )t y1 3. Xét dao động tự do không cản: My Ky 0 + = A M, J y2 G k2 T m các tần số dao động riêng và các k c1 1 c2 dạng dao động riêng. 4. Cho lực kích động y3 m m y4 2 F t m r t ( ) cos = Ω Ω , k3 0 với m0 = 5 kg, r = 0.2 m, Ω = 200 rad/s Vẽ đường cong biên độ tần số của điểm A cách đuôi xe một đoàn L, yA(Ω). k c4 c3 4 5. Với các thông số trên xác định các đáp ứng của các tọa độ yi(t) (i = 1,2,3,4). Biết rằng xe dao động từ trạng thái đứng yên. Bài 32. Phương tr nh vi phân dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính nbậc tự do được cho dạng ma trận như sau Mq Dq Kq f + + = ( ), tvới điều kiện đầu 0 0 q q q q (0) , (0) = = . với qlà vectơ tọa độ suy rộng, M D K , ,là các ma trận vuông cấp n, tương ứng là ma trận khối lượng, ma trận cản, và ma trận độ cứng. Véctơ lực kích động f()t . Bằng cách hạ bậc ta nhận được q v = − 1( ( ) ) t v M f Dv Kq = − − Hãy viết các m-file thể hiện các phương tr nh vi phân và thực hiện việc giải số t m dao động của hệ, với ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − M D1000 1000 0 5sin10 12 0 0 10 10 0 t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 15 0 , 10 20 10 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 0 0 20 0 10 10 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ K f . = − − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1000 2000 1000 , ( ) 0 t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 0 1000 1000 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 6. Một số hệ cơ điện Bài 33. Mô hình động cơ điện một chiều Phương tr nh vi phân mô tả động học của động cơ điện một chiều như sau: U 2 d d J J c T t K i t R L = θ U K emf e τ = K im J θ θ ( ) ( ) ( ) + + = = Jm m m 2 dt dt di t d L Ri t K V t ( ) ( ) ( ) θ + + = e θc dt dt Hãy hạ bậc đưa hệ trên về hệ phương tr nh vi phân bậc nhất với các biến trạng thái x = θ θ i [ , , ]T Sơ đồ động cơ điện một chiều Sử dụng ode45 mô phỏng đáp ứng của động cơ với điện áp đặt là hằng số, V t( ) 10Volt =. Sử dụng bộ thông số: 10 L H H R = = ⋅ = Ω 275 275 10 , 13,6 μ− 6 = = ⋅ 0,257mV/rmp 0,257 10 V/[rad/s] K e − 3 30 π K c = = ⋅ = 2,46mNm/A 2,46 10 Nm/A, 10[rad/s]/Nm m − 3 J J J = = ⋅ ⋅ = 0,08gcm 0,08 10 10 kgm , 50 2 3 4 2 − − m m Bài 34. Tay máy 1 dof – dẫn động bằng động cơ điện một chiều. ét tay máy một bậc tự do được dẫn động bởi động cơ một chiều như trên h nh vẽ. Các thông số của hệ gồm: - Tay máy là vật rắn quay quanh trục ngang cố định qua , khối lượng m, khối tâm C, C = l . J. Hệ số cản tại trục 2 Mômen quán tính đối với trục quay , O c . - Hộp giảm tốc có t số truyền 1 2 2 1 r r r = = ω ω/ /, mômen quán tính khối của các bánh răng tương ứng là 1 2 J J, . - Động cơ điện một chiều: điện trở Ra, cuộn cảm có hệ số tự cảm L, hằng số phản sức điện động của rô-to, Ke; hằng số mômen Km. đây θlà góc quay của trục động cơ, θlà vận tốc góc trên J. Hệ số cản nhớt tại trục 1 trục động cơ. Mômen quán tính khối của rô-to m trục). c(ma sát nhớt tại U R L = θ U K emf e τ = Jm K im θ Tay máy C Sơ đồ động cơ điện một chiều UHộp giảm tốc Động cơ DC 1. Sử dụng phương pháp tách cấu trúc để thiết lập phương tr nh vi phân mô tả hệ. (chia thành 2 hoặc 3 hệ con). Tay máy: m, l = OC, JO động cơ điện một chiều Hộp giảm tốc r2, J2 JO c2 C g ϕ R L τ = K im O = θr1, J1 U K emf e U Jm θmc1 Mô h nh táy máy một bậc tự do 2. Sử dụng phương tr nh Lagrange để thiết lập phương tr nh vi phân mô tả hệ. 3. Hãy đơn giản hóa phương tr nh vi phân chuyển động cho tay máy, bằng cách bỏ qua sự thay đ i của dòng điện, Ldi t dt ( )/ 0 ≈ . 4. Sử dụng matlab-simulink mô phỏng chuyển động của hệ, với các thông số hệ: % - DC motor: Ra=1, La=0.0001, Ke=1, Km=1, Jm=0.001, b1=0.1; % - Tay may: m=5, lc=0.5, g=9.81, JO=0.2, b2=0.00000002; 11 % - hop giam toc: ti so truyen r = 2.0 Bài 35. Tay máy phẳng hai khâu, hai khớp qua - 2 dof – dẫn động bằng động cơ điện một chiều. Tay máy phẳng hai bậc tự do chuyển động trong mặt thẳng đứng. Tay máy này được dẫn động bằng hai động cơ điện một chiều, động cơ 1 đặt cố định trên giá và động cơ 2 đặt trên khâu 1. Chuyển động của trục động cơ được truyền ra thành góc quay của khâu nhờ hộp giảm tốc bánh răng. Ui Ri Li = θ U K emf e Sơ đồ động cơ DC τ = Jm K Im θ J1,1 y0 C1 g C2 q2 l1 O1 q1 l2 U2 U1 Động cơ 1 J1,2 O0 Động cơ 2 x0 Mô h nh táy máy phẳng hai bậc tự do Các thông số của hệ thống được cho như sau: Các thông số Động cơ 1 Động cơ 2 Điện trở, hằng số mômen, hằng số phản sức điện động, hằng số cuộn cảm, mômen quán tính roto 1 1 1 1 1 , , , , R K K L J a m e a m 2a 2 2e 2a 21 2 , , , , , R K K L b J m m Hộp giảm tốc 1 Hộp giảm tốc 2 T số truyền, mômen quán tính khối hai bánh răng 1 1,1 1,2 i J J , , 2 2,1 2,2 i J J , , Khâu 1 (kể cả động cơ 2 đặt trên nó) Khâu 2 Khối lượng, mômen quán tính đối với trục qua khối tâm, khoảng cách từ khớp quay đến khối tâm 1 1 1 , , m J l C C 2 2 2 , , m J l C C 1. Sử dụng phương tr nh Lagrange để thiết lập phương tr nh vi phân mô tả hệ. 2. Hãy đơn giản hóa phương tr nh vi phân chuyển động cho tay máy, bằng cách bỏ qua sự thay đ i của dòng điện, LdI t dt ( )/ 0 ≈ . 3. Sử dụng Matlab và simulink mô phỏng đáp ứng của hệ, với bộ điều khiển PD và bộ điều khiển PD cộng bù trọng lực. Các thông số của hệ cho bằng 1. Bài 36. Tay máy Scara 3dof RRT – dẫn động bằng động cơ điện một chiều. Hãy xây dựng mô h nh cơ điện cho tay máy Scara 3 dof (RRT) dẫn động bằng 3 động cơ DC. Sau đó: 1. Sử dụng phương tr nh Lagrange để thiết lập phương tr nh vi phân mô tả hệ. 2. Hãy đơn giản hóa phương tr nh vi phân chuyển động cho tay máy, bằng cách bỏ qua sự thay đ i của dòng điện, LdI t dt ( )/ 0 ≈ . 12 Ui Ri Li = θ U K emf e Sơ đồ động cơ DC τ = Jm K im θ y0 C2 U3 l2 l1 C1 q2 O1 U1 Động cơ 1 q1 O0 Động cơ 2 U2x0 Bài 37. Mô hình hóa cầu trục 2 – hệ 3dof dẫn động bằng 2 động cơ C Hãy xây dựng mô h nh hệ cơ điện cho cầu trục chuyển động trong mặt phẳng: động cơ 1 làm xe goòng chuyển động ngang; động cơ 2 đặt trên xe goòng cuốn nhả cáp để nâng hạ vật, trong khi chuyển động vật nâng bị lắc. Hệ 3 dof nhưng dẫn động chỉ bằng 2 động cơ DC. q2 = x(t) Ra,2 La,2 τm m a ,2 ,2 ,2 = K I = θ U2 Jm,2 U K emf e m ,2 ,2 mt θm,2 τ F i r q2 =l(t) = t m / θ m 2 ,2 2 = i q r / ,2 2 2 2 q3 = α mp 1. Sử dụng phương tr nh Lagrange để thiết lập phương tr nh vi phân chuyển động cho hệ. 2. Hãy đơn giản hóa phương tr nh vi phân chuyển động bằng cách bỏ qua sự thay đ i của dòng điện, Ldi t dt ( )/ 0 ≈ . a) Đưa ra phương tr nh vi phân chuyển động trong trường hợp này. Viết phương tr nh ở dạng 13 1 2 ( ) ( , ) ( ) , [ , , ] , [ , ] T T M q q C q q q Dq g q Bu q u + + + = = = x l U U α b) Tuyến tính hóa phương tr nh vi phân chuyển động quanh vị trí cân bằng l l const = = = , 0, αđể nhận được phương tr nh trạng thái dạng: 0 1 2 , [ , , , , , ] , [ , ] T T x Ax Bu x u = + = = x l x l U U α α Sau đó khảo sát n định của vị trí cân bằng khi chưa có điều khiển, khảo sát tính điều khiển được của hệ. c) Thiết kế bộ điều khiển để n định hóa vị trí cân bằng, với 1 1 0 2 3 4 U K x x K K x K = − − + + + ( ( ) ) θ α 2 5 0 6 U K l l K l = − − + ( ( ) ) Cho biết các thông số của hệ: - Động cơ DC: 1, 1, 1, 0.0001, K K R L = = = = m e r = 3, 0.001, m J =(t số truyền, mômen quán tính rô to) - e goòng và tời cuốn cáp: 0.04, 0.02 bx toi r r = =(bán kính bánh xe xe goòng, bán kính tời cuốn dây) 2, 2, 9.81 m m g t p = = = . Bài 38. Con l c ngược dẫn động qua Con lắc ngược có điều khiển là một ví dụ tiêu biểu về hệ Cơ điện tử. Đó là một hệ thống hụt dẫn động (underactuated system), hệ có số động cơ dẫn động nhỏ hơn số bậc tự do của nó. Đặc điểm của hệ này là có vị trí cân bằng không n định khi con lắc ở vị trí hướng lên. ét con lắc gồm tay quay A quay quanh trục đứng (góc quay θ) – được dẫn động bằng động cơ DC – thông qua bộ truyền giảm tốc bánh răng. Tay quay có chiều dài 1l OA =và có mômen quán tính khối đối với trục quay z là tq J. Phần con lắc AB coi như thanh mảnh đồng chất khối lượng mcl, chiều dài 2lđầu B có gắn khối lượng m0coi như chất điểm. Thông số động cơ bao gồm: điện trở, hằng số mômen, hằng số phản sức điện động, hệ số tự cảm tương ứng là , , , R K K L a m e a. T số truyền của hộp giảm tốc là r = > θ θ . / 1 m B l2, mcl m0 ϕ l1, Jtq θ θ = r m θ O Ra La − 1 U = θ U K emf e m τm m a = K I A r m z θm Jm θ ϕ I q =; biến đầu , ,a 1. Thiết lập phương tr nh vi phân chuyển động cho hệ với các tọa độ suy rộng: 1 vào điều khiển là U t(). 2. ét trường hợp bỏ qua sự biến thiên của dòng điện 0 L I ≈ , a a a) Đưa ra phương tr nh vi phân chuyển động trong trường hợp này. ( ) ( , ) ( ) , [ , ] , T M q q C q q q Dq g q B q + + + = = = u u U θ ϕ b) Tuyến tính hóa phương tr nh vi phân chuyển động quanh vị trí cân bằng nhận được phương tr nh trạng thái dạng: , [ , , , ] , T x Ax B x = + = = u u U θ ϕ θ ϕ θ ϕ = = 0, 0,để Sau đó khảo sát n định của vị trí cân bằng khi chưa có điều khiển, khảo sát tính điều khiển được của hệ. 14 c) Thiết kế bộ điều khiển LQ để n định hóa vị trí cân bằng, với 1 2 3 4 U K K K K = − + + + ( ) θ ϕ θ ϕ Bài 39. 7-39. Mô h nh máy đầm rung động cơ điện – rô-to lệch tâm Động cơ điện một chiều kích từ độc lập được sử dụng để tạo dao động cho hệ thống. Rô-to có khối lượng mo, độ lệch tâm e, mômen quán tính 2 O roto C o J J J m e = = +. Vỏ động cơ cùng với bệ máy có khối lượng m, được đặt trên một hệ giảm chấn - lò xo có độ cứng k và cản nhớt hệ số c. Điện áp vào động cơ là V(t). Mômen động cơ t lệ với dòng điện trong mạch, M K im =; phản sức điện động khi rô-to = = ω θ . quay t lệ với tốc độ quay rô-to, V K K emf e e θ m0 m x k c l I(t) V(t) R L V(t) Vemf(t) q Hình bài 7-39 Sơ đồ mạch điện 1. Sử dụng phương tr nh Lagrange để thiết lập phương tr nh vi phân chuyển động cho hệ. 2. Hãy đơn giản hóa phương tr nh vi phân chuyển động bằng cách bỏ qua sự thay đ i của dòng điện, Ldi t dt ( )/ 0 ≈ . Bài 40. Thí dụ 5-6. (Bài tập cơ học ĐLH) 7-30. Sơ đồ máy ghi chấn động sử dụng điện cảm như trên m h nh. L i sắt động có khối lượng m, chuyển động tịnh tiến x theo phương thẳng đứng, hai lò xo có độ cứng như nhau và có t ng độ cứng là k. Hệ số tự cảm của cuộn dây là L(x). Cuộn cảm được nối với nguồn có sức điện động là = const. Điện trở ôm t ng cộng của mạch điện là . Viết phương tr nh vi phân chuyển động và t m vị trí cân bằng của của hệ. Bài 41. 7-31. Sơ đồ nguyên lý của một cảm biến gia tốc góc như trên h nh vẽ. Tụ điện gồm hai tấm bán nguyệt bán kính tương ứng 1 2 r r,, khoảng cách giữa hai tấm là d , hằng k/2 k/2 R L E Hình bài 7-30 k b k b r2 số điện môi của môi trường cách điện giữa chúng là ε . O Điện dung C của tụ được tính gần đúng t lệ diện tích V ϕ xếp chồng F, * C F d = ρ /. Mômen quán tính khối của F r1 J. Các lò xo có độ tấm động đối với trục quay là O q C cứng k và không bị biến dạng khi góc ϕ = 0, và cản E ε, d JO nhớt có hệ số cản b. Cho biết điên trở , điện dung của tụ điện C = const, hệ số tự cảm L, điện áp nguồn một chiều . Lập phương tr nh vi phân mô tả chuyển động L R của hệ theo tọa độ suy rộng động, q - điện tích trên tụ C. ϕ,q( ϕ - góc xoay của tấm Hình bài 7-31 Tính điện áp trên đồng hồ đo V phụ thuộc vào điện tích. 15 Bài 42. 7-32. Một hệ cơ điện gồm hai mạch điện tương tác qua lại nhờ máy biến áp (có hệ số điện cảm ωvà tụ điện hằng số điện dung C1. 1 2 12 L L L , ,). Mạch thứ nhất có nguồn điện xoay chiều ( ) sin U t U t =o Mạch thứ hai gồm điện trở , nguồn điện một chiều điện áp U1và tụ điện dạng tấm chữ nhật có điện dung thay đ i (do khoảng cách giữa hai tấm thay đ i). Một tấm của tụ cố định còn tấm kia được treo vào hệ lò xo giảm chấn (c, b), lò xo không biến dạng khi khoảng cách giữa hai tấm là a. (Điện dung của tụ tính theo công thức C A d = ε / , ε - hằng số điện môi). Lập phương tr nh vi phân mô tả chuyển động của hệ theo tọa độ suy rộng 1 2 x q q , , . 12 e T L I L I I L I = + + 2 2 HD. Động năng điện tính theo công thức:( ) q1 q2 C1 2 R 1 1 12 1 2 2 2 c b g Uosin ωt Bài 43. L1 L2 L12 m ad E ε Hình bài 7-32 x C2(x) A 7-33. Một hệ cơ điện gồm nguồn điện một chiều , điện trở R, cuộn cảm Lmắc song song tụ điện C0. Hai tụ 1 và 2 có điện dung thay đ i do chất điện môi khối lượng m gắn với tấm của tụ 2 di chuyển, (0 1 ε ε, là các hằng số điện môi). Lò xo độ cứng k (không biến dạng khi x=0), giảm chấn độ nhớt d. (điện dung của tụ tính theo công thức C A d = ε /). Lập phương tr nh vi phân mô tả chuyển động của hệ theo tọa độ suy rộng 1 2 x q q , , . HD. Có thể coi tụ 1 như được tạo thành bởi 2 tụ mắc song song. dài a, rộng e k ε0 ε1 h ε0, A m Tụ 1 Tụ 2 s-x nhẵn d d+x R L x q3 q1 E Bài 44. q2 C0 Hình bài 7-33 7-34. Một hệ cơ điện gồm cuộn cảm có hệ số từ cảm L, điện trở , tụ điện điện dung C0 = const, nguồn một chiều điện áp và một tụ có điện dung thay đ i. Tụ điện này có dạng tấm h nh chữ nhật diện tích tấm bằng A. Các tấm nối với nhau bằng lò xo độ cứng c, cản nhớt b, (đều không dẫn điện). Chiều dài khi không biến dạng của lò xo là a. Các hằng số điện môi giữa các tấm là 1 2 ε ε, . Lập phương tr nh vi phân chuyển động của của hệ theo tọa độ suy rộng 1 2 ( , , ) x x q . 1 2 x x,là dịch chuyển của các tấm,qlà lượng điện tích trên tụ (dòng điện trong mạch là i q =). HD. Có thể coi phần trong h nh chữ nhật như được tạo thành bởi 3 tụ mắc nối tiếp. 16 L R A m2 g C0 c,a b ε2 dx2 m1, ε1, A c,a ε2 b q x1 E A Bài 45. Hình bài 7-34 7-35. Một hệ cơ điện gồm nguồn một chiều điện áp , điện trở , tụ điện dạng tấm chữ nhật, diện tích ε. Cuộn cảm có hệ số tự cảm L(x). L i sắt khối lượng m các tấm là A, hằng số điện môi giữa hai tấm là 0 0 E nxn nxn A = ; -1 -1 được gắn với một tấm của tụ điện, và được nối với -M K -M C x x, 0,0á nhờ hệ lò 0 nx1 F t = ; f t xo - giảm chấn (độ cứng k, cản nhớt hệ số c), lò xo không biến dạng khi x = 0. Lập phương tr nh vi phân chuyển động của hệ theo tọa độ suy rộng ( , ) x q , với xlà dịch chuyển của các tấm động, qlà lượng điện tích trên tụ (dòng điện trong mạch là i q =). R ref. Francis C. Moon-Applied Dynamics With E Applications to Multibody and Mechatronic k m d x L(x)q ε0, A d-x Systems-John Wiley & Sons, Inc. (1998), p.404 Hình bài 7-35 Với = const, hãy xác định vị trí cân bằng của hệ. Thực hiện tuyến tính hóa hệ phương tr nh vi phân chuyển động quanh vị trí cân bằng. Đưa hệ về dạng phương tr nh trạng thái sau đó xét tính n định của vị trí cân bằng. Bài 46. 7-36. Trên h nh vẽ cho một sơ đồ máy ghi địa chấn. Gắn trên bệ máy một cuộn tự cảm có n vòng dây với bán kính r và có điện trở Ôm t ng cộng là R và hệ số cản là L. L i sắt từ là một h nh trụ đồng trục với cuộn tự cảm và gây ra trong khoảng không của nó một từ trường phẳng và xuyên tâm với hệ số cảm ứng B. L i sắt có khối lượng m và được đỡ bằng các lò xo có hệ số cứng t ng cộng là k và còn chịu tác dụng của lực cản nhớt βx , trong đó x là độ chuyển dời tác dụng của l i sắt từ tính từ vị trí cân bằng của nó. Nền rung theo quy luật ξ = ξ0sinωt. Đóng kín mạch điện bằng cách nối liền hai cực cuộn tự cảm bằng dây dẫn có điện trở nhỏ không đáng kể. Hãy thiết lập phương tr nh vi phân chuyển động của hệ. Cho biết các lực suy rộng do lực tác dụng tương hỗ giữa sắt m k/2 k/2 b L(x) xo+x từ và cuộn dây tự cảm là: 2 , Q rnBx q= − π 2 Q rnBq x= π Trả lời: 2 mx x kx rnBq m t + + − = β π ξ ω ω 2 sin ; 0 Lq Rq rnBx + + = 2 0 π 0 ξ ξ ω = sin t Hình bài 7-36 17 Bài 47. 5-37. Sơ đồ của một máy micrô dùng làm tụ điện được biểu diễn như h nh vẽ, nó là một mạch nối tiếp gồm nguồn điện với sức điện động , cuộn tự cảm với hệ số L, điện trở ôm và tụ điện có điện dung C (E, L và là những hằng số). Giữa hai tấm của tụ điện ta mắc lò xo có độ cứng k và nhớt d (không dẫn điện), để có thể thay đ i điện dung C của tụ điện, khối lượng tấm động của tụ điện là m; gọi C0 là điện dung của tụ điện lúc hệ cân bằng, khi đó khoảng cách giữa hai tấm tụ điện là a và điện lượng của mỗi tấm đó là q0. Tác dụng lên tấm động của tụ điện lực kích động P(t). Lập phương tr nh vi phân chuyển động của hệ cơ điện ấy. R L Eq C(x) m k d P(t) Chỉ dẫn: 1- Thế năng của tụ điện bằng 1 2 2C Π = q(C là điện dung của tụ điện, q là điện lượng trên các tấm của nó, 0 C x C a a x ( ) /( ) = −), động năng của các điện tử chạy trọng mạch được tính theo công thức 1 2 a - x Hình bài 7-37 x 2 T Li =(L là hệ số tự cảm, i dq dt = /cường độ dòng điện trong mạch). 2- Chọn tọa độ suy rộng là độ tăng giảm điện lượng q và độc lệch x của khối tâm đối với vị trí cân bằng. Khi đó điện lượng toàn phần sẽ là q0 + q, còn độ lệch toàn phấn x0 + x; ở đó q0 là điện lượng của tụ điện, còn x0 là độ lệch của lò xo của vị trí trung hòa đối với vị trí cân bằng. Trả lời: 2 E q E q qx mx cx q P t Lq Rq x + − − = + − + − = ( ), 0 a C a a C aC 2 Bài 48. 0 0 0 7-38. Sơ đồ cơ điện của một hệ được cho như trên h nh. Chiều dài của lò xo lúc không biến dạng bằng l, độ cứng của nó bằng k, khối lượng của tấm động bằng m. Khi lò xo không bị biến dạng khoảng cách giữa tấm động và cố định của tụ bằng a, còn điện dung của nó bằng C1. Thành lập phương tr nh chuyển động của hệ theo các tọa độ suy rộng xvà q . g b k xm aP(t) Trả lời: R q L E(t) Hình bài 7-38 ( ), ( ) ( ). q q q mx bx cx mg P t Lq a x Rq e t + + − = + + − − + = aC C aC 1 0 1 Bài 49. Bài 5-23 (sửa đ i). Thành lập phương tr nh vi phân chuyển động cho hệ cơ điện được biểu diễn như trên h nh vẽ. Chiều dài của lò xo lúc chưa biến dạng là l, độ cứng lò xo là c. Tụ điện có một tấm cố định và một tấm di động, khối lượng tấm di động là m. Khi lò xo chưa biến dạng, khoảng cách giữa hai tấm là a, còn điện dung của nó là L e(t) a+l R c xm C1. Lưu ý: P(t) - Lực từ tác dụng giữa hai tấm của tụ khi có chứa điện tích (bỏ qua lực này) - điện áp rơi trên hai cực của tụ điện 18 Bài 50. Bài (xem page 74, Linear control system analysis and design with malab. by D’Azzo et.al.) Một máy nói micrô (microphone) dùng tụ điện có sơ đồ như trên h nh vẽ. Tấm di động của tụ điện có khối lượng m được giữ nhờ một lò xo có đọ cứng k và cản nhớt hệ số b, còn tấm kia được giữ cố định. p suất âm tác dụng lên tấm được thể hiện bằng lực P(t). Hãy lập phương tr nh vi phân chuyển động cho hệ. Bài 51. (see in Francis C. Moon, page 416) Để làm n định con lắc ngược, người ta dùng động cơ tịnh tiến điều khiển bởi điện áp V1. Động cơ này tạo ra lực điện từ làm cuộn dây 2 cùng với l i sắt chuyển động ngang. Sơ đồ hệ cơ R L Ei C(x) P(t) m k b điện được cho như trên h nh. Các thông số cơ bao gồm: khối lượng xe cùng l i sắt 1 m ,con lắc có khối lượng 2 m ,khối tâm tại C2, l AC =, mômen quán tính khối đối với trục qua khối tâm x0-x x1+x J, độ cứng lò xo kéo nén 1 k. trạng thái cân bằng x = = 0, 0 θcác lò xo không bị kvà lò xo xoắn là 2 C biến dạng. Các thông số điện bao gồm: hệ số tự cảm và điện trở của các cuộn dây 11 1 22 2 L R L R , , , , hệ số tự cảm 12 L x( )thể hiện sự tương tác giữa 2 cuộn dây. 12 ( ) e T L I L x I I L I = + + 2 2 HD. Động năng điện tính theo công thức:( ) I1 2 B θm2, JC 1 1 12 1 2 2 2 R1 R2 C I1 I2 I2 k2 m1 A k1 V1 L11 Vbem1 L12 L22 Vbem2 V2 l0-x x0+x Sơ đồ mạch điện của hai phần của động cơ tịnh tiến 1. Thiết lập phương tr nh vi phân chuyển động cho hệ với các tọa độ suy rộng: 1 1 2 2 x I q I q , , , θ = =; các biến đầu vào là 1 2 V t V t ( ), ( ). 2. ét trường hợp 2 2 2,0 I q I const = = = , 12 0 L x L x ( ) = − λ . a) Đưa ra phương tr nh vi phân chuyển động trong trường hợp này. b) Tuyến tính hóa phương tr nh vi phân chuyển động quanh vị trí cân bằngx = = 0, 0, θ 1 1 I q = = 0,để nhận được phương tr nh trạng thái dạng: 1 1 , [ , , , , ] , T x Ax B x = + = = u x x I u V θ θ Sau đó khảo sát n định của vị trí cân bằng khi chưa có điều khiển, khảo sát tính điều khiển được của hệ. c) Thiết kế bộ điều khiển LQ để n định hóa vị trí cân bằng, với 1 1 2 3 4 5 1 V K x K K x K K I = − + + + + ( ) θ θ 3. ét trường hợp 2 2 2,0 I q I const = = = , 12 0 L x L x ( ) = − λvà bỏ qua sự biến thiên của dòng điện 11 1 L I ≈ 0 , a) Đưa ra phương tr nh vi phân chuyển động trong trường hợp này. b) Tuyến tính hóa phương tr nh vi phân chuyển động quanh vị trí cân bằng x = = 0, 0, θđể nhận được phương tr nh trạng thái dạng: 19 , [ , , , ] , T x Ax B x = + = = u x x u V θ θ 1 Sau đó khảo sát n định của vị trí cân bằng khi chưa có điều khiển, khảo sát tính điều khiển được của hệ. c) Thiết kế bộ điều khiển LQ để n định hóa vị trí cân bằng, với 1 1 2 3 4 V K x K K x K = − + + + ( ) θ θ Bài 52. Cho hệ động lực tuyến tính , [ , ] T T T x Ax Bu x q q = + = Khảo sát sự n định của điểm cân bằng x = 0, khi hệ không có điều khiển. Giả sử hệ được điều khiển phản hồi u = -Kx, ma trận K sẽ được xác định thế nào để hệ đóng kín n định. Bài 53. Cho hệ dao động tuyến tính n bậc tự do với phương tr nh vi phân: ( ), n Mq Cq Kq = f q + + ∈ t R Sử dụng Matlab, giải bài toán tần số dao động riêng và dạng dao động riêng không cản? Hạ bậc đưa về phương tr nh vi phân cấp 1, với [ , ] T T T x q q = . Bài 54. Nêu sự tương đương giữa các phần tử cơ-điện, khi đầu vào hệ cơ là lực và đầu vào hệ điện là điện áp. Nêu các bước khi thiết lập mô h nh toán học cho hệ cơ điện. Bài 55. J b k ϕ ϕ ϕ + + = , , , 0 O Cho hệ động lực sin 0 O J b k >. Đưa ra phương tr nh tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng ϕ π ϕ = = , 0, sau đó viết phương tr nh vi phân chuyển động ở dạng: x Ax =,với [ , ]T x = ϕ ϕ . Dựa vào mô h nh tuyến tính hóa khảo sát sự n định của điểm cân bằng đó. Bài 56. Khái niệm về hàm xác định dương, hàm xác định âm? Nêu cấu trúc của định lý Lyapunov về n định của điểm cân bằng của hệ động lực? Bài 57. Cho hệ động lực mx cx kx + + = 0 , m c k , , 0 >. Hãy chọn hàm Lyapunov và chỉ ra tính n định của điểm cân bằng sau x x = = 0, 0 Bài 58. Hãy hạ bậc ptvp cấp hai sau về hệ ptvp cấp 1. ( ) ( , ) ( ) , n M q q C q q q Dq g q = Bu q + + + ∈R Nêu phương pháp xác định vị trí cân bằng của hệ trên; Thực hiện tuyến tính hoá hệ quanh điểm cân bằng, sau đó đưa hệ về dạng , [ , ] T T T x Ax Bu x q q = + = Bài 59. Nêu khái niệm về hệ động lực ô-tô-nôm và phi ô-tô-nôm? Thế nào là điểm cân bằng của hệ động lực? Minh hoạ khái niệm n định của điểm cân bằng của một hệ động lực theo nghĩa Lyapunov ? Phân biệt n định, n định tiệm cận và n định mũ? 20 Bài 60. (ổn định hóa con l c ngược đơn) Mô h nh thí nghiệm n định hóa con lắc ngược cho trên h nh vẽ. Hệ gồm động cơ DC, hộp giảm tốc, bộ truyền đai, xe chạy và con lắc. Động cơ DC với các thông số: hệ số tự cảm, điện trở, hằng số mômen, hằng số phản sức điện động, và mômen quán tính của rô-to tương ứng là: , , , L R K K , m a a m e J . Hộp giảm tốc một cấp với t số truyền 2 1 r r r = /, mômen quán tính các bánh răng tương ứng là 1 2 J J,. Bộ truyền đai gồm hai bánh đai như nhau (mỗi bánh đai được coi như đĩa đồng chất có khối lượng và bán kính là , m r p p), dây đai có khối lượng t ng cộng là md(coi như không dãn, không trượt đối với bánh đai). e chạy có khối lượng m1, và con lắc có khối lượng m2, khối tâm tại C, 2l AC =, mômen quán tính khối J . Bỏ qua ma sát. đối với trục qua C là C U Ra La = θ U K emf e Sơ đồ động cơ DC τ = Jm K Im θ U x m1 B θm2, JC C A x I q θ =; biến đầu , ,a 1. Thiết lập phương tr nh vi phân chuyển động cho hệ với các tọa độ suy rộng: 1 vào là điện áp đặt lên động cơ U t(). 2. ét trường hợp bỏ qua sự biến thiên của dòng điện 0 L I ≈ , a a a) Đưa ra phương tr nh vi phân chuyển động trong trường hợp này. b) Tuyến tính hóa phương tr nh vi phân chuyển động quanh vị trí cân bằng được phương tr nh trạng thái dạng: , [ , , , ] , T x Ax B x = + = = u x x u U θ θ θ = 0để nhận Sau đó khảo sát n định của vị trí cân bằng khi chưa có điều khiển, khảo sát tính điều khiển được của hệ. c) Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái U = −Kx, để hệ kín nhận các điểm cực cho trước là 1 2 3,4 p p p j = − = − = − ± 1, 2, 1 . Mô phỏng đáp ứng của hệ với bộ điều khiển vừa nhận được. d) Thiết kế bộ điều khiển LQ để n định hóa vị trí cân bằng, (tự chọn các ma trận Q và R) 1 2 3 4 U K x K K x K = − = − + + + Kx ( ) θ θ Mô phỏng đáp ứng của hệ với bộ điều khiển vừa nhận được. Sử dụng bộ số liệu sau: 4 3 2 L R K K J 10 H, 1 , 1Nm/A, 0.2Volt/(rad/s), 10 kgm − − = = Ω = = = a a m e m 2 1 1 2 r r r J J / 10, 10 kgm , 10 10 kgm − − 2 2 2 2 = = = = ⋅ 0.2kg, 0.02m, 0.2kg m r m p p belt = = = 2 2 1 2 2 1kg, 0.2kg, 0.5m, 0.1kgm , 9.81m/s m m l J g C = = = = = 21