🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Khát Vọng Tới Cái Vô Hạn Ebooks Nhóm Zalo Chủ biên PHẠM VĂN THIỀU VŨ CÔNG LẬP NGUYỄN VĂN LIỄN DÉSIR D'INFINI de Trinh Xuan Thuan © Librairie Arthème Fayard, 2013 Bản tiếng Việt © NXB Trẻ, 2014 BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN DO THƯ VIỆN KHTH TP.HCM THỰC HIỆN General Sciences Library Cataloging-in-Publication Data Trịnh Xuân Thuận, 1948- Khát vọng tới cái vô hạn : sách tham khảo / Trịnh Xuân Thuận ; Phạm Văn Thiều, Phạm Nguyễn Việt Hưng dịch ; Phạm Trọng Liêm Châu biên soạn. - T.P. Hồ Chí Minh : Trẻ, 2014. 364tr. : minh họa ; 20,5cm. - (Khoa học khám phá). 1. Vũ trụ học. I. Phạm Văn Thiều. II. Phạm Nguyễn Việt Hưng. III. Phạm Trọng Liêm Châu. 523.1 -- dc 23 T833-T53 Người dịch: PHẠM VĂN THIỀU & PHẠM NGUYỄN VIỆT HƯNG Dành tặng vợ tôi và tất cả những ai tìm kiếm cái vô hạn Không phải trên bầu trời đầy sao, cũng chẳng phải trong sự mỹ lệ của các tràng hoa với toàn bộ sự hoàn hảo của nó sẽ làm hé lộ ra cái vô hạn trong cái hữu hạn - motif của mọi sự sáng tạo - mà chính là ở trong tâm hồn của con người. Rabindrânath Tagore Sâdhanâ Lời tựa Từ lâu tôi đã muốn viết một cuốn sách về cái vô hạn. Không chỉ vì đó là một chủ đề rộng lớn hơn tất cả những gì mà trí tưởng tượng có thể bao quát nổi, mà đó còn là một khái niệm, từ lâu, đã làm mê hoặc con người, bất kể họ là nghệ sĩ, triết gia hay nhà khoa học. Cái vô hạn chạm tới nơi sâu thẳm nhất trong con người của mỗi chúng ta. Ai trong chúng ta mà chẳng có kí ức về cú sốc siêu hình đầu tiên khi chúng ta học đếm và nhận ra rằng không tồn tại một con số nào lớn hơn tất cả mọi số còn lại, và rằng luôn có một số lớn hơn số bất kỳ xuất hiện trong đầu chúng ta? Trong cuộc sống hằng ngày, thường xuyên có những tình huống khiến ta liên tưởng tới ý tưởng về sự vô hạn: bầu trời xanh thăm thẳm hút tầm mắt, sự bao la rộng lớn của bầu trời đầy sao, các hình ảnh phản chiếu qua các tấm gương, một chuỗi những con búp bê Nga, con nọ chứa con kia, hay như trong một hình “fractal” của những chiếc lá cây mà ở đó cùng một motif dường như được lặp đi lặp lại, không dừng ở những thang khác nhau... Chương đầu tiên của cuốn sách này sẽ cho thấy các nghệ sĩ hồi giáo và những người khác, như Maurits Escher, đã cố gắng Lời tựa - 9 thể hiện như thế nào cảm giác đó về sự vô hạn trong nghệ thuật của họ. Nhưng cái vô hạn liệu có thực sự bộc lộ trong thực tại vật lý, hay đó chẳng qua chỉ là một khái niệm ra đời từ trí tưởng tượng của chúng ta? Nói một cách khác, cái vô hạn là hiện thực hay chỉ là tiềm tàng? Chương này sẽ kể lại những cuộc tranh luận của hai phe, qua Thomas d’Aquin, Galilei, Pascal và Descartes rồi đến những triết gia Hi Lạp tới các nhà toán học của thế kỷ 20. Trong chừng mực mà sự vô hạn tạo ra những nghịch lý có vẻ như không thể vượt qua, như những nghịch lý của Zenon, theo đó chuyển động tỏ ra là không thể - một người chạy không bao giờ có thể tới đích, và Achilles không thể đuổi kịp một con rùa -, Aristotle đã kiên định đứng về phe cho rằng cái vô hạn chỉ là tiềm tàng. Nhưng chính trong lĩnh vực toán học - các chuỗi vô hạn, một đa giác đều nội tiếp trong một vòng tròn có số cạnh có thể tăng vô hạn - sự vô hạn mới thể hiện hết tầm vóc của nó. Vào nửa cuối thế kỷ 19, nhà toán học Georg Cantor đã vứt bỏ vào quên lãng cái vô hạn tiềm tàng và làm cho cái vô hạn hiện thực bắt rễ vững chắc trong toán học; ông đã chứng minh một cách xuất sắc sự tồn tại của một hệ thống thứ bậc vô tận của các vô hạn, với các mức độ vô hạn khác nhau, bất chấp sự phản đối quyết liệt từ một số đồng nghiệp đã tìm đủ mọi cách để cản trở con đường sự nghiệp của ông, và điều đó đã khiến ông mắc chứng trầm cảm và phát điên. Chương thứ hai sẽ cho thấy Cantor đã chinh phục cái vô hạn như thế nào và tiết lộ một số tính chất kì lạ của nó. Chương này cũng mô tả con đường tuột dần tới địa ngục của ông khi dám thách thức điều cấm kỵ về cái vô hạn hiện thực. 10 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Nếu như có một thực thể mà ở đó khái niệm vô hạn là khẩn thiết, thì đó chính là vũ trụ. Câu hỏi về kích thước của vũ trụ luôn được đặt ra trong mọi thời đại. Nó vô hạn hay hữu hạn? Và nếu như nó hữu hạn thì liệu nó có giới hạn không? Và nếu nó có giới hạn thì ở phía bên kia giới hạn đó sẽ là cái gì? Nếu ta ném một hòn đá vượt qua giới hạn ấy thì nó sẽ quay trở lại hay mất hút vào một vùng vô định? Chương thứ ba sẽ mô tả về những diễn biến về sự ngập ngừng luân chuyển của vũ trụ giữa vô hạn và hữu hạn. Những người sáng lập trường phái nguyên tử luận, như Leucippe và Democritus, nghĩ rằng vũ trụ được tạo ra từ vô số các nguyên tử tiến hóa trong một không gian vô hạn. Ngược lại, Aristotle lại nghĩ rằng vũ trụ là hữu hạn với một tâm rất xác định; tư tưởng “hữu hạn luận” của ông đã thay thế cho tư tưởng “vô hạn luận” của các nhà nguyên tử luận trong suốt 2000 năm sau đó cho tới khi Thomas Digges và Giordano Bruno làm vỡ tan các giới hạn của vũ trụ. Vào thế kỷ 18, Newton đã trao cho vũ trụ vô tận một vị thế khoa học, ông cho nó một không gian phẳng và tĩnh được mô tả bởi hình học Euclid. Vào đầu thế kỷ 20, với thuyết tương đối rộng, Einstein đã giải phóng cho vũ trụ khỏi sự cứng nhắc: nhờ đó, vũ trụ trở nên động và bị uốn cong bởi vật chất, độ cong này được mô tả bởi hình học phi Euclid. Việc kính thiên văn Hubble phát hiện ra sự giãn nở của vũ trụ vào năm 1929 đã cho ra đời thuyết big bang, theo đó vũ trụ đã từng có một sự khởi đầu và sẽ tiến hóa mãi mãi. Tùy theo độ cong của không gian mà vũ trụ có thể là hữu hạn hay vô hạn. Độ cong này phụ thuộc vào lượng vật chất và lượng năng lượng của vũ trụ. Chương thứ tư sẽ mô tả những nỗ lực kiên Lời tựa - 11 cường của các nhà thiên văn để nhằm dựng nên một bảng kiểm kê các loại vật chất và năng lượng đó. Đây là một nhiệm vụ phức tạp, bởi đa số các thành phần này đều không phát ra bất kỳ một loại ánh sáng nào và vì thế chúng là vô hình. Chúng ta sống trong một vũ trụ-tảng băng trôi mà những công cụ của chúng ta không thể tiếp cận được một cách trực tiếp hầu như toàn bộ các thành phần của nó. Vật chất sáng có trong hàng trăm tỷ thiên hà của vũ trụ quan sát được, mỗi thiên hà chứa hàng trăm tỷ mặt trời, chỉ chiếm 0,5% của toàn bộ vật chất và năng lượng của vũ trụ. Phần còn lại được tạo thành từ vật chất tối và năng lượng tối, mà năng lượng tối chính là nguyên nhân gây ra sự giãn nở có gia tốc của vũ trụ. Sau những nỗ lực phi thường, các nhà nghiên cứu đã xác định được vũ trụ của chúng ta có độ cong bằng không, và thật không may là điều này đã không mang lại đáp án cuối cùng cho câu hỏi về kích thước của vũ trụ. Thực tế, tất cả còn phụ thuộc vào topo của nó, và điều này cho tới nay vẫn còn là một bí ẩn. Giả sử rằng vũ trụ là vô hạn, chúng ta sẽ phải đối mặt với nghịch lý về sự lặp lại vô hạn được Nietzsche, cùng với nhiều người khác, đưa ra: do có một số vô hạn các vùng giống như vùng chúng ta đang sống và do số lượng hữu hạn của các hạt cơ bản trong từng vùng, các hạt này chỉ có thể được sắp xếp theo một số hữu hạn các tổ hợp. Do vậy, các điều kiện và thành phần của các vùng này tất yếu sẽ có sự trùng lặp. Nói một cách khác, mỗi chúng ta đều có vô số những nhân bản trong khắp vũ trụ. Nghịch lý lặp lại vô hạn sẽ được đề cập ở chương năm, và trong chương này ta cũng sẽ biết Borges đã sử dụng nó cùng 12 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN với “định lý chú khỉ bác học đánh máy” để tưởng tượng ra Thư viện Babel của ông như thế nào. Ngay tới gần đây, từ “vũ trụ” còn mang nghĩa là “tập hợp tất cả những gì tồn tại”. Nhưng những tiến bộ đạt được của vật lý trong những thập kỷ gần đây dần dần đã buộc các nhà khoa học nghĩ tới việc thêm vào vũ trụ chúng ta những “vũ trụ song song”. Từ “vô hạn” ở đây sẽ mang một nghĩa mới: nó không chỉ nói tới vũ trụ của chúng ta mà còn tới vô số các vũ trụ khác, tất cả tạo thành một “đa vũ trụ” bao la và kỳ lạ. Chương sáu sẽ mô tả nhiều lý thuyết khoa học đề cập tới khái niệm này. Trước hết, đó là cách giải thích rất đặc biệt của cơ học lượng tử, để tránh phải nhìn thấy chú mèo bị treo lơ lửng giữa sống và chết, cho rằng vũ trụ sẽ bị tách thành hai phiên bản gần như là giống nhau mỗi khi ở thế đôi ngã phải lựa chọn hay hành động. Đó chính là lý thuyết “các vũ trụ phân đôi” - theo cách nói sung sướng của Borges. Tiếp theo, đó là kịch bản của đa vũ trụ lạm phát trong đó sự giãn nở chóng mặt của không gian trong một phần nhỏ của giây, không phải chỉ xảy ra một lần, ở một nơi, trong không gian nguyên thủy mà xảy ra vô số lần ở vô số điểm. Như vậy, vũ trụ của chúng ta chỉ là một “vũ trụ-bong bóng” trong số vô vàn các vũ trụ-bong bóng khác thuộc một siêu-vũ trụ vô cùng rộng lớn. Mặt khác, lý thuyết dây cũng đã xuất hiện và nói rằng các hạt cơ bản không phải là vật điểm mà là kết quả của những dao động của các dây vô cùng bé cỡ 10-33cm. Lý thuyết này đã đưa vào vật lý không chỉ khái niệm về một đa vũ trụ rộng lớn của vô số các “vũ trụ-màng” mà còn cả khái niệm về các vũ trụ song song toàn ảnh nữa. Lời tựa - 13 Chương thứ bảy xem xét tình huống đáng kinh ngạc và kỳ lạ của vũ trụ học hiện đại khi đối mặt với khái niệm “đa vũ trụ”. Thực vậy, nó đã phải chấp nhận một thiếu sót trầm trọng nhất mà ta có thể hình dung được trong khoa học, đó là không thể kiểm chứng một cách trực tiếp bằng thực nghiệm và quan sát. Mà một khái niệm không thể kiểm tra hay bác bỏ liệu có thể được xem là khoa học hay không? Chương này cũng sẽ tìm hiểu những câu hỏi về luân lý, đạo đức và thần học không tránh khỏi được đặt ra trong một vũ trụ vô hạn. Liệu có còn động lực nào trong việc theo đuổi cái thiện trong một vũ trụ vô hạn không? Một vũ trụ như thế liệu có làm xói lở các nền tảng của đạo đức học? Thiện và ác còn có ý nghĩa gì trong một vũ trụ mà ở đó tất cả những gì có thể xảy ra sẽ xảy ra? Và giả như chúng ta có thể sống vô hạn theo thời gian thì thế giới của những người bất tử liệu sẽ ra sao? Xã hội học của sự bất tử là gì? Một cuộc sống bất tử liệu có phải là liều thuốc chữa bách bệnh? Liệu nó có đi ngược lại với một số truyền thống tâm linh nào đó không? Tác phẩm này là dành cho những “chính nhân”, không nhất thiết phải có một hành trang kỹ thuật. Chỉ cần bạn đọc có bằng tú tài, quan tâm tới triết học, khoa học và toán học là hoàn toàn có thể đọc được. Khi viết những trang sách này, tôi đã tự ép mình, trong một chừng mực có thể, tránh viết ra những công thức cũng như các thuật ngữ khoa học chuyên sâu, nhưng vẫn giữ được tính chặt chẽ và chính xác. Tôi đặc biệt chú ý để giữ cho hình thức trong sáng và dễ đọc nhất có thể. Tôi cũng thêm vào những hình ảnh và một tập ảnh minh họa màu, không chỉ 14 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN để làm sáng tỏ thêm những điều tôi trình bày mà còn làm cho bạn đọc mãn nhãn hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn Claude Durand, người đã rất chịu khó đọc cẩn thận bản thảo của cuốn sách này và luôn đưa ra những bình luận xác đáng. TRỊNH XUÂN THUẬN Charlottesville, tháng Giêng 2013 Lời tựa - 15 I Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn Sự ám ảnh của cái vô hạn Vô hạn đã ám ảnh trí tưởng tượng của con người ngay từ khi họ ngước mắt nhìn lên bầu trời và lặng ngắm đêm đen. Trước cảnh tượng đáng kinh ngạc của vòm trời với hàng nghìn điểm sáng lung linh, chúng ta luôn cảm thấy sự nhỏ bé và hữu hạn của mình, và có cảm giác như vũ trụ không thể có giới hạn, mà phải trải ra vô tận(1). “Sự im lặng vĩnh hằng của những không gian vô tận đó làm tôi sợ hãi(2)!” Pascal (1623-1662) đã phải thốt lên như thế. Cái mà triết gia này gọi là “sự lầm lạc” và “sợ hãi” 1. Tại một nơi không có ánh sáng nhân tạo, mắt thường có thể nhìn thấy khoảng 3000 ngôi sao. Nếu tính việc ngắm nhìn bầu trời từ cả ở phía đối diện của Trái Đất (đối xứng với nhau qua tâm) thì có thể nhìn thấy cả thảy khoảng 6000 ngôi sao có thế thấy được bằng mắt thường. 2. Blaise Pascal, Pensées, Nhà xuất bản Gallimard. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 17 của con người xuất phát từ chính sự hữu hạn và vị trí của con người giữa hai cái vô cùng, vô cùng lớn và vô cùng bé: “Con người là gì trong tự nhiên? Một hư vô đối với cái vô hạn, một tất cả đối với hư vô, một trung gian giữa không có gì và tất cả, vô cùng xa vời để hiểu rõ được hai cực hạn đó”. Ý tưởng về vô hạn không đáp ứng cho một sự cần thiết nào của tiến hóa luận cả. Cuộc đấu tranh sinh tồn không đòi hỏi phải quan tâm tới một thực thể vô hạn nào, mà cần tới một quyết định nhanh chóng và hành động tức thời. Thế nhưng khái niệm vô hạn đã xuất hiện ngay từ khi con người biết cách sắp xếp kinh nghiệm về thực tại thành một tập hợp gắn kết chặt chẽ, ngay khi họ nhận ra rằng một số hệ thống có thể được mở rộng bằng tư duy vượt ra ngoài mọi giới hạn. Sự vô hạn hiện diện với nhiều bộ mặt. Với những ai không phải là nhà toán học, thì đó là một “con số” lớn hơn rất nhiều những con số khác. Khi ta đếm 1, 2, 3..., chúng ta nghĩ một cách bản năng rằng sẽ không có giới hạn, sẽ không có một con số cuối cùng, bởi luôn tồn tại một con số lớn hơn đi theo sau. Đối với một số bộ lạc “nguyên thủy”, vô hạn bắt đầu từ số 3, bởi họ đều không thể hình dung được tất cả những gì lớn hơn 3. Với một nhà nhiếp ảnh, vô hạn bắt đầu từ 10m trước ống kính máy ảnh. Đối với một đứa trẻ, ta có thể hình dung rằng vô hạn sẽ là một số rất lớn, như số 1 theo sau bởi 100 chữ số không (tức 10100), chẳng hạn. Cũng chính vì mong muốn khơi gợi trí tò mò của trẻ con đối với toán học mà một ngày nọ nhân chuyến thăm trường cấp một của đứa cháu trai, nhà toán học Mỹ Edward Kasner (1878-1955) đã viết lên bảng chính con số này: ông viết 18 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN 100 số 0 sau chữ số 1! Và ông đã yêu cầu đứa cháu mới 9 tuổi gọi tên con số khổng lồ này. Đứa cháu đã không ngần ngại gọi luôn đó là 1 “googol”! Khi các thành viên sáng lập của công ty Google, công ty đã tạo ra công cụ tìm kiếm nổi tiếng nhất hiện nay cho phép chúng ta truy cập tới đủ mọi loại thông tin trên Web, muốn chọn tên cho doanh nghiệp của mình, họ đã nghĩ tới “googol” để gợi tới lượng thông tin gần như vô tận trên mạng. Nhưng họ lại đọc sai “googol” thành “google” - và thế là từ này đã trở thành tên của công ty. Còn với Kasner, ông không chỉ dừng lại ở đó. Ông còn nghĩ ra “googolplex” một số còn lớn hơn rất nhiều so với một googol, nó bằng 10googol tức là. Để mường tượng ra được độ lớn và độ dài khi viết ra của số này, giả sử bạn viết sau chữ số 1 các chữ số 0 cách nhau nửa centimet, thì độ dài của số googolplex sẽ lớn hơn nhiều bán kính của vũ trụ quan sát được hiện nay (bán kính này có độ dài là 47 tỷ năm ánh sáng)! Sự vô hạn đối với nhà thiên văn học chính là toàn bộ vũ trụ. Còn về ký hiệu vô cùng, giống như số 8 nằm ngang, nó đã được nghĩ ra vào năm 1655 bởi nhà toán học người Anh John Wallis (1616-1703), lấy gợi ý từ số La Mã “rất lớn” là 1000 (xem hình). Ký hiệu vô cùng đã được John Wallis đưa ra trong tác phẩm De Sectionibus Conicis (1655) lấy ý tưởng từ số La Mã 1000 đôi khi được dùng thay cho chữ M. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 19 Với người nghệ sĩ, vô hạn là chỉ một trí tưởng tượng vô biên dùng để thể hiện thực tại: “Tôi vẽ cái vô hạn”, Vincent van Gogh (1853-1890) từng nói. Điều này đã thúc đẩy Antonin Artaud viết(3): “Và Van Gogh đúng là đã có lý. Ta có thể sống vì vô hạn, chỉ thỏa mãn với vô hạn, trên Trái Đất và trong các lĩnh vực đều có đủ vô hạn để làm thỏa thuê hàng nghìn thiên tài vĩ đại, và nếu như Van Gogh đã không thể tự thỏa mãn ham muốn của mình tới mức phải từ bỏ cuộc sống của bản thân, thì có nghĩa là chính xã hội đã ngăn cản ông.” Tình yêu của một người phụ nữ cũng có thể đem lại cảm giác vô hạn, như Van Gogh đã viết trong bức thư gửi cho Théo, em trai của ông: “Mọi người phụ nữ ở mọi lứa tuổi, nếu được yêu và là người tốt, đều đem lại cho người đàn ông không phải sự vô hạn của chốc lát mà là chốc lát của sự vô hạn” Gương và sự vô hạn Ngoài sự vô hạn của không gian, có những vật thể khác trong cuộc sống thường nhật có thể đưa chúng ta tới gần ý tưởng về vô hạn. Như gương chẳng hạn. Từ xa xưa, gương đã mê hoặc trí tưởng tượng của con người. Ngay cả các loài vật cũng bị hấp dẫn bởi ảnh của chúng trong gương. Các nhà linh trưởng học đã nghiên cứu phản ứng của linh trưởng (như tinh tinh chẳng hạn) trước gương để xem chúng có ý thức về bản thân hay không. Từ buổi bình minh của loài người, gương đã giữ vai trò rất 3. Trong Van Gogh, le suicidé de la société, NXB Gallimard. 20 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN quan trọng trong đời sống. Người Ai Cập đặt chúng trong lăng tẩm vua chúa với hi vọng gìn giữ vẻ đẹp vĩnh hằng cho người đã mất. Ngày nay, gương thường xuyên được sử dụng trong các căn hộ, nhà hàng và các cửa hàng khác để tạo ra cảm giác về một không gian vô hạn. Một trong những cảnh đáng nhớ nhất trong bộ phim kinh dị Quý bà Thượng Hải (1947) của Orson Welles, là cặp đôi Welles - Rita Hayworth có vẻ như được nhân lên vô hạn trong một mê cung gương bên trong một lâu đài đầy ảo ảnh ác mộng. Cảm giác vô hạn không phải được sinh ra bởi một tấm gương duy nhất mà bởi nhiều tấm gương tạo ra vô số ảnh phản chiếu. Các nhà làm phim thường xuyên lợi dụng một cách có ý thức hiệu ứng huyền ảo và gây mất phương hướng do các phản chiếu dây chuyền này gây ra. Vào đoạn cuối bộ phim Quý bà Thượng Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 21 Hải (xem hình) của Orson Welles, một cảnh diễn ra trong một hội chợ giải trí nơi có đặt một mê cung gương. Một trận đấu súng diễn ra và ta thấy nhiều lần hình ảnh của các nhân vật bị vỡ vụn theo các mảnh gương. Một số gương trong mê cung còn có bề mặt không phẳng, mà lồi hoặc lõm. Chúng gây ra những hình ảnh biến dạng được nhân lên nhiều lần của các nhân vật chính, làm tăng thêm cảm giác mất phương hướng và tạo ra một bầu không khí nặng nề, gây bởi nỗi sợ hãi và lo lắng. Cảnh tương tự cũng đã xuất hiện để tỏ lòng kính trọng tới Orson Welles trong đoạn cuối bộ phim Vụ giết người bí ẩn ở Manhattan của Woody Allen. Gương cũng được dùng để trang trí trong các cung điện rộng lớn ở châu Âu. Cảm giác về vô hạn do chúng tạo ra và khả năng mê hoặc của chúng đã khuyến khích tính phù hoa của các bậc vua chúa. Căn phòng gương nổi tiếng nhất thế giới chắc chắn là Nhà Gương (Ảnh màu 1), được xây dựng vào thế kỷ 17 bởi kiến trúc sư Jules Mansart ở lâu đài Versailles, sở dĩ được đặt tên như thế là bởi vì ở đó có tới 357 tấm gương trang trí trên 17 vòm cuốn. Hình ảnh của người tham quan sẽ được nhân bản lên vô số ở xung quanh cùng với bồn hoa và khu vườn. Chắc chắn Nhà Gương đã tạo cảm hứng cho các mê cung gương tại các hội chợ giải trí. Nhờ vào những tấm gương, chúng ta có thể tạo ra một chút vô hạn trong ngôi nhà của mình. Chỉ cần hai chiếc gương được đặt theo một góc nào đó rồi đặt một vật vào giữa: sẽ có hai ảnh phản chiếu. Mỗi hình ảnh phản chiếu này lại có hai hình ảnh phản chiếu khác và cứ tiếp tục như thế... Và như vậy các ảnh 22 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN phản chiếu sẽ được nhân lên vô hạn. Nhưng cũng có khi xảy ra hiện tượng hai ảnh thứ cấp trùng với nhau, khi đó quá trình này sẽ bị dừng lập tức. Số ảnh phản chiếu sẽ phụ thuộc vào góc của hai gương. Chẳng hạn như nếu góc này là 60 độ sẽ chỉ có 5 ảnh phản chiếu. Cùng với vật gốc, các ảnh này tạo thành 3 cặp phân biệt là 3 đỉnh của 1 tam giác đều, dạng hình học có một độ đối xứng rất cao: nếu ta phản chiếu hình tam giác đều qua đường cao hay quay nó một góc 120, 240 hay 360 độ, ta sẽ nhận được cùng 1 tam giác. Thực chất việc tạo ra một motif có đối xứng cao từ hình ảnh tạo bởi một vật đặt giữa 2 chiếc gương lập với nhau 1 góc nào đó chính là nguyên lý của món đồ chơi hấp dẫn trong tuổi thơ chúng ta: kính vạn hoa. Khi ghé sát mắt vào một đầu của ống tròn, ta có thể chiêm ngưỡng những ảnh phản chiếu của nhiều mẩu kính màu giữa 2 tấm gương, tạo nên những hình ảnh đối xứng cao (Ảnh màu 2). Trong kính vạn hoa, góc giữa hai chiếc gương thường là 60 độ. Nhưng nếu có thể thay đổi góc này, bạn sẽ thấy độ đối xứng bị giảm xuống và số lượng hình ảnh tăng lên. Và nếu góc này tiến về 0, số lượng ảnh sẽ tăng lên vô hạn. Nhưng sự vô hạn này không phải là hiện thực mà chỉ là tiềm tàng: bởi vì với một góc 0 độ, hai chiếc gương sẽ áp sát vào nhau và khi đó ta không thể đặt được vật thể nào vào giữa chúng và cũng chẳng thể nhìn thấy ảnh phản chiếu nào. Đó là cách mà tự nhiên ngăn cấm chúng ta đạt được cái vô hạn hiện thực! Nhưng điều gì sẽ xảy ra khi hai chiếc gương không tạo với nhau một góc mà đặt song song với nhau? Đó là trường hợp của Nhà Gương ở lâu đài Versailles và trong một khuôn khổ khiêm Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 23 tốn hơn, ở cửa hàng cắt tóc: bạn sẽ thấy rất nhiều ảnh phản chiếu mặt và gáy của bạn xen kẽ nhau ở trong gương đặt trước mặt và gương đặt ở bức tường phía sau lưng bạn. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, tự nhiên cũng ngăn cấm chúng ta có được cái vô hạn hiện thực: chỉ cần một sai lệch nhỏ so với sự song song tuyệt đối sẽ biến những chiếc gương này thành một kính vạn hoa khổng lồ với số lượng ảnh phản chiếu hữu hạn. Ngoài ra, còn tồn tại hai nhân tố khác hạn chế số lượng ảnh phản chiếu khả dĩ: thứ nhất, độ phản xạ của gương không phải là hoàn hảo, điều này sẽ làm cho các ảnh phản chiếu bị nhòe; thứ hai, các tia sáng không truyền trong chân không tuyệt đối mà là trong khí quyển Trái Đất, điều này làm cho quỹ đạo của chúng bị chệch đi. Cuối cùng là ánh sáng không lan truyền tức thời, mà di chuyển với vận tốc hữu hạn 300.000km/s. Như vậy, ngay cả trong điều kiện hoàn hảo, một số vô hạn ảnh sẽ cần tới một thời gian vô hạn, điều mà bạn không thể có! Vô hạn trong nghệ thuật Nhưng không chỉ không gian và gương mới cho ta cảm giác về vô hạn. Nghệ thuật cũng có thể đưa chúng ta tiếp cận với nó, đặc biệt là nhờ vào mẹo lặp lại vô hạn cùng một motif. Sự trống rỗng của không gian thực sự là một thách thức đối với trí tưởng tượng của người nghệ sĩ khi phải lấp đầy nó bằng các motif và hình vẽ có vẻ như không bao giờ được dừng lại. Chẳng hạn, theo dòng lịch sử từ thời Cổ đại cho tới tận bây giờ, và trong tất cả các nền văn hóa, để khỏa lấp “nỗi sợ hãi chân không”, con người đã liên tục kiếm tìm cách trang trí xung quanh mình với các 24 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN motif lặp đi lặp lại theo một hoặc hai chiều không gian như trong cách trang trí tường phòng hay cách lát gạch trên một nền nhà. Nghệ thuật trang trí cho phép khơi gợi sự vô hạn này đã được người A rập đưa tới đỉnh cao nhất. Nghệ thuật hồi giáo thực sự là nổi tiếng với tính đều đặn kỷ hà, sự lặp lại một cách tuần hoàn, tính nhịp điệu theo không gian độc nhất vô nhị. Cùng một motif, chẳng hạn như các bông hoa, đường lượn trang trí hay những hình kỷ hà của các đa giác lồng nhau, được lặp lại vô số lần (Ảnh màu 3). Do tín ngưỡng nghiêm cấm họ diễn tả Thượng đế bằng hình ảnh, các nghệ sĩ A rập đã dùng toàn bộ nghị lực của mình để tạo ra các motif kỷ hà với một vẻ đẹp vô song để khơi gợi tới Thượng đế. Màu sắc lại càng làm tôn thêm vẻ tráng lệ: vàng ca ngợi đức Allah, trong khi màu xanh lơ gắn với sự vô hạn của bầu trời. Có hai loại vô hạn xuất hiện ở đây: vô cùng lớn, được diễn tả bằng sự lặp đi lặp lại đều đặn của cùng một motif, gợi tới một sự liên tục đến vô hạn vượt ra ngoài những giới hạn vật lý; và vô cùng bé được biểu hiện bởi niềm đam mê gần như là ám ảnh với việc lấp đầy không gian dù là nhỏ nhất bằng một họa tiết trang trí. Trong khi người Hi Lạp tìm kiếm mọi cách để lảng tránh sự vô hạn (nỗi sợ hãi sự vô hạn - horror infiniti), thì ngược lại, người A rập lại hứng khởi tột cùng với nó (tình yêu sự vô hạn - amor infiniti) và từ đó tôn lên nghệ thuật của họ. Trong trường hợp gương và kính vạn hoa, chúng ta đã thấy rằng sự đối xứng của các hình ảnh đã tạo ra một ấn tượng tuyệt vời về sự hài hòa và cái đẹp. Chúng ta cũng đã thấy được rằng các ảnh phản chiếu lặp đi lặp lại của một vật nằm giữa hai Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 25 gương tạo với nhau một góc nào đó có thể sinh ra các motif có độ đối xứng tuyệt vời, trong khi bản thân vật đó có thể hoàn toàn không đối xứng chút nào. Cũng chính các nguyên lý đối xứng này tạo ra vẻ đẹp của các bức tranh tường trang trí của nghệ thuật hồi giáo, mặc dù các nghệ sĩ tạo ra chúng chắc chắn là đã không quá sa đà vào toán học. Nhưng họ đã biết sử dụng những nguyên lý đối xứng đó theo bản năng và thông qua thực nghiệm để tôn lên nghệ thuật của mình(4). Họa sĩ nhà toán học bất đắc dĩ Gần với thời đại chúng ta, có một nghệ sĩ không ngừng bị cái vô hạn quyến rũ và đã biểu thị nó bằng rất nhiều cách trong các tác phẩm của mình. Đó là Maurits Escher (1898-1972), một họa sĩ người Hà Lan. Các tác phẩm của ông thường không được trưng bày trong các viện bảo tàng lớn trên thế giới, và tên tuổi của ông cũng chẳng thường được nhắc tới trong các bộ bách khoa toàn thư hay các sách giáo khoa khác về lịch sử nghệ thuật. Thực ra, ngay khi còn sống ông đã bị cộng đồng nghệ thuật gần như không đoái hoài tới. Ngược lại, bạn lại thường xuyên có cơ hội được chiêm ngưỡng các bản sao tác phẩm của 4. Các nhà toán học đã xác định được rằng đối với chỉ một chiều không gian (như là một đường thẳng, chẳng hạn) có tồn tại cả thảy là bảy loại đối xứng. Trong số bảy loại này bao gồm các phép biến đổi cơ bản như phản xạ gương, quay và tịnh tiến. Trong không gian hai chiều (như mặt phẳng, chẳng hạn) số lượng loại đối xứng sẽ tăng lên nhưng vẫn là hữu hạn: 17 loại. Thật kinh ngạc khi thấy rằng người xưa đã phát hiện bằng thực nghiệm tất cả các loại đối xứng này. Trong nghệ thuật trang trí Ai cập, ta có thể tìm thấy những ví dụ của mỗi loại trong 17 loại đối xứng này. 26 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN ông trong sách giáo khoa... toán học hay vật lý! Không được đánh giá đúng trong cả cuộc đời của mình, tài năng của ông chỉ được biết tới sau khi ông mất(5). Escher đã bắt đầu sự nghiệp như một họa sĩ vẽ phong cảnh. Nhưng tác phẩm của ông đã có một bước ngoặt hoàn toàn mới và khác biệt sau chuyến thăm pháo đài Alhambra ở Grenada (Tây Ban Nha) vào mùa hè năm 1936. Bị mê hoặc bởi các motif kỷ hà trang trí lâu đài tuyệt vời do người Moor xây dựng ở Tây Ban Nha vào thế kỷ 14, Escher đã từ bỏ ngay phong cảnh để chuyển sang hình học (Ảnh màu 4). Rất lâu sau đó, ông kể lại chuyến thăm định mệnh tại Alhambra: “Đó là nguồn cảm hứng phong phú nhất mà tôi đã từng có được, và nó vẫn còn tiếp tục nuôi dưỡng các tác phẩm của tôi”. Sau cú sốc mỹ học này, công việc của ông ngày càng giống với hình học và nhiều khái niệm toán học - đặc biệt là khái niệm vô hạn, khái niệm đối xứng và mối quan hệ của một vật ba chiều được thể hiện trên mặt phẳng hai chiều - đã chiếm trọn vẹn tâm trí của người nghệ sĩ này. Nhưng cũng giống như các nghệ sĩ A rập, những hiểu biết về các nguyên lý toán học của ông chủ yếu đến từ trực giác, học vấn của ông về lĩnh vực này không vượt quá bậc trung học. Như chính ông tự thú nhận, ông không biết là mình đã sử dụng các nguyên lý toán học trong những tác phẩm của mình cũng tựa như Ngài Jourdain không biết rằng mình khi nói tức là đang thực hành nghệ thuật văn xuôi: 5. Tham khảo thêm những tranh luận độc đáo về tác phẩm của Escher trong cuốn sách của Douglas Hofstader Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 27 Tôi chưa bao giờ được điểm khá về môn toán. Điều buồn cười là tôi đã sử dụng các định lý toán học mà không biết. Trong khi tôi chỉ là một học sinh tầm tầm ở trên ghế nhà trường, thế mà bạn thử tưởng tượng xem, các nhà toán học lại sử dụng các bản in litô (in khắc đá) của tôi làm minh họa trong những cuốn sách của họ! Hơn nữa, giờ tôi còn kết giao với những người uyên bác đó, những người coi tôi như là người anh em chịu thua thiệt! Tôi chắc là họ cũng không biết là tôi chẳng biết gì về những thứ đó... Khi xem xét kỹ lưỡng những bí ẩn ở xung quanh chúng ta, rồi cân nhắc và phân tích những quan sát mà tôi đã chiêm nghiệm, tôi đã tình cờ lạc vào lãnh địa của toán học. Trong khi hoàn toàn không được đào tạo gì về những ngành khoa học chính xác, tôi lại thường có sự tương hợp với các nhà toán học hơn là các đồng nghiệp nghệ sĩ. Escher khơi gợi cái vô hạn bằng ba cách. Đầu tiên, đó là các chu trình không có điểm dừng: bằng cách chơi với các định luật vật lý và phép phối cảnh, ông đã tạo ra những tình huống làm ta tưởng như có sự chuyển động vĩnh cửu, mặc dù đã bị cấm bởi vật lý: “Tôi không thể không châm chọc những điều chúng ta xác tín rằng chúng là không thể lay chuyển nhất. Tôi rất thích thú khi làm cho những khái niệm hai và ba chiều, mặt phẳng và không gian trở nên mơ hồ, và đùa giỡn với lực hấp dẫn.” (Ảnh màu 4) Tiếp theo, bằng cách chia mặt phẳng thành các motif lặp đi lặp lại không để một khoảng trống nào, một bài học ông học được từ nghệ thuật A rập sau chuyến thăm Alhambra. Nhưng ngược với các motif A rập đã tạo cho ông biết bao cảm hứng, các motif của Escher rất hiếm khi là những thứ trừu tượng; thay 28 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN vì những đường cong uốn lượn hay những hình kỷ hà đan xen nhau, ông luôn sử dụng những motif liên quan tới cuộc sống thường nhật. Con người, cá, chim, ngựa hay thậm chí những vật vô tri đều được ông sử dụng (Ảnh màu 5). Ông nói về sự chán ghét các hình ảnh trừu tượng như sau: “Người Moor đã trở thành bậc thầy trong việc lấp đầy bề mặt bằng các hình thích hợp... Nhưng đáng tiếc thay đạo hồi lại cấm đoán việc biểu hiện bằng các hình ảnh! Vì thế mà họ phải giới hạn trong các hình kỷ hà trừu tượng... Tôi thấy rằng những cấm đoán đó là không thể chấp nhận...” Cuối cùng và nhất là trong giai đoạn cuối đời, tức là từ năm 1955, Escher đã cố gắng thể hiện cái vô hạn bằng cách vứt bỏ cái nguyên tắc chí thánh thống trị trong tác phẩm của các nghệ sĩ A rập, theo đó một hình lặp đi lặp lại phải được giữ nguyên không chỉ hình dạng mà còn cả kích thước nữa. Bằng cách giữ nguyên hình dạng, nhưng giảm dần kích thước của các motif từ trung tâm ra biên (hoặc ngược lại), Escher đã gợi ra cái vô hạn (Ảnh màu 6). Những bức tranh sử dụng kỹ thuật in litô này được ông gọi là “các bức litô giới hạn”, có lẽ để gợi tới các chuỗi số toán học vô hạn có tổng tiến tới một giới hạn hữu hạn (trường hợp các chuỗi hội tụ) hay vô hạn (trường hợp các chuỗi phân kỳ). Các cấu trúc fractal và cái vô hạn Chúng ta đã thấy rằng với nỗi sợ hãi cái vô hạn của người Hi Lạp, người A rập đã thay bằng nỗi sợ hãi khoảng không. Đối Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 29 với họ, mọi không gian trống giống như một sự khiêu khích cần phải được lấp đầy bằng mọi giá. Nghệ thuật hồi giáo đã làm điều đó bằng cách sử dụng các nguyên lý đối xứng để lặp đi lặp lại cùng một motif tới vô hạn. Nhưng có một cách tinh tế hơn để lấp đầy khoảng trống. Như Escher đã nhận thấy, các motif không cần phải giữ nguyên kích thước khi lặp lại. Chúng có thể được giữ nguyên hình dạng, nhưng cũng có thể bé dần mỗi khi lặp lại. Khi đã có được một cơ sở toán học, những cấu trúc này được gọi là “fractal” (từ tiếng La tinh fractus có nghĩa là “không đều đặn, bị gãy”) bởi người nghĩ ra nó, nhà toán học Pháp-Mỹ Benoit Mandelbrot (1924-2010)(6). Một vật fractal luôn có cùng hình dạng bất kể khi ta nhìn gần hay xa. Khi lại gần các chi tiết nhỏ nhất sẽ rõ nét hơn, nhưng vật vẫn có những sự không đều đặn giống như khi nhìn toàn thể từ xa. Nó có cùng hình dạng khi phóng to lên bao nhiêu lần chăng nữa. Một motif lặp lại phía trong của cùng một motif lớn hơn, motif lớn lại ở trong một motif đồng dạng lớn hơn nữa, giống như những con búp bê Nga con nọ lồng trong con kia tới vô hạn. Sự không đều đặn cũng được lặp lại ở mọi thang. Sự lặp lại không giới hạn này của cùng một motif ở các thang bé dần cũng mở cho chúng ta cánh cửa đến cái vô hạn. Tự nhiên dường như có vẻ rất thích các cấu trúc fractal. Chẳng hạn như khi ta chiêm ngưỡng sự phân nhánh của các cành cây, cấu trúc các lá cây (Ảnh màu 7), hình dạng các đám mây trên bầu trời đều bắt gặp các cấu trúc fractal cả. Thực ra, 6. Xem mô tả chi tiết về các hình fractal trong tác phẩm Hỗn độn và hài hòa của cùng tác giả, NXB Trẻ, 2013. 30 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN tự nhiên đều sử dụng fractal mỗi khi nó cần đóng gói một diện tích tối đa trong một thể tích tối thiểu. Bằng cách nhân lên sự phân nhánh, có thể mở rộng diện tích và do đó làm tăng khả năng tự làm nguội, hấp thụ thức ăn, tương tác với các cấu trúc liền kề mà không phải tăng tỉ lệ thể tích hay trọng lượng. Các cấu trúc fractal cũng có trong cơ thể con người. Cấu trúc phân nhánh của hệ thống mạch máu từ động mạch chủ tới mao mạch đều có bản chất fractal. Các động mạch lớn phân nhánh thành các động mạch trung, các động mạch trung phân thành các động mạch con. Đó là giải pháp hiệu quả nhất mà tự nhiên tìm thấy để gói ghém một diện tích khổng lồ của các mạch máu bên trong thể tích giới hạn của cơ thể con người. Việc đóng gói này không thể hiệu quả hơn: mặc dù mạch máu chỉ chiếm 5% thể tích cơ thể, nhưng cấu trúc fractal đã cho phép trong đa số các mô không một tế bào nào nằm quá xa mạch máu. Mạch máu không phải là cấu trúc duy nhất trong cơ thể con người có cấu trúc fractal. Các thành phần khác cũng có, vẫn là để đóng gói một diện tích lớn nhất trong một thể tích nhỏ nhất có thể. Chẳng hạn, diện tích được trải ra của phổi sẽ lớn hơn một sân tennis! Thế nhưng thật kỳ diệu, toàn bộ diện tích đó lại nằm gọn trong lồng ngực. Một lần nữa hệ thống phân nhánh lại giúp cho điều đó: phế quản phân nhánh thành các nhánh phế quản, rồi thành các phế quản con (Ảnh màu 8). Hệ bài tiết, đường dẫn mật trong gan, các sợi truyền xung điện tới cơ tim và nhiều hệ thống khác nữa đều có tổ chức fractal - cấu trúc phân nhánh thành các cấu trúc nhỏ hơn, cấu trúc nhỏ này lại phân nhánh thành các cấu trúc nhỏ hơn nữa, và cùng một Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 31 motif lặp đi lặp lại từ thang này sang thang khác. Từ sự phân nhánh của phổi tới sự phân nhánh thực vật chỉ cần một bước nhỏ để vượt qua: lần tới nếu bạn chiêm ngưỡng sự phân nhánh của cành cây, hình vẽ tinh tế của một chiếc lá hay một motif phức tạp của vỏ cây, hãy tự nhắc nhở mình rằng chính các cấu trúc fractal đó đã mở cánh cửa ra vô hạn cho bạn. Nhưng cũng cần phải biết rằng việc lặp lại vô hạn là không thể có trong tự nhiên, do đó cấu trúc fractal trong tự nhiên chỉ là gần đúng. Các sự kiện kỳ lạ ở khách sạn Vô Hạn Vô hạn rất khó nắm bắt. Nó làm xuất hiện đủ loại nghịch lý ngay khi ta cố nghiên cứu nó một cách chi tiết hơn. Để minh họa cho các nghịch lý thách thức logic học và nhạo báng lẽ phải thông thường, nhà toán học người Đức David Hilbert (1862-1943) (hình) đã tưởng tượng ra câu chuyện về một khách sạn nổi tiếng tên là Vô Hạn. Điểm đặc biệt của khách sạn này là gì? Như tên của nó gợi lên, số phòng của nó không phải là một số hữu hạn như các khách sạn thông thường mà là vô hạn. Bạn đi nghỉ cuối tuần và bạn rất vui mừng khi phát hiện được ra khách sạn mà bạn đã nghe nhắc đến rất nhiều lần này. Nhưng bạn đã quên đặt chỗ trước. Khi tới nơi, nhân viên tiếp tân thông báo cho bạn một tin xấu: khách sạn đã đầy! Thất vọng, bạn chuẩn bị đi tìm một khách sạn khác. Nhưng đúng lúc đó người quản 32 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN lý tới nơi và giữ bạn lại: “Ngài hãy từ từ! Tôi nghĩ là tôi vẫn có thể kiếm cho ngài một phòng ngay cả khi khách sạn của chúng tôi đã đầy chật!” Dưới ánh mắt ngạc nhiên của bạn, ông ta đánh thức tất cả các khách nghỉ dậy và yêu cầu họ đổi phòng: người ở phòng số 1 sẽ sang phòng số 2, người ở phòng số 2 sang phòng số 3, người ở phòng số 3 sang phòng số 4 và cứ tiếp tục như thế. Và thế là bạn hoàn toàn có thể yên tâm vào nghỉ ở phòng số 1 vừa được giải phóng! Nhưng trước khi rơi vào vòng tay của Morpheus (Thần ngủ), bạn vẫn không sao thoát ra khỏi ý nghĩ đầy ám ảnh: nếu như tất cả các phòng đều có khách, thế thì làm thế nào người quản lý lại có thể giải phóng một phòng bằng cách chuyển khách từ phòng này sang phòng kia nhỉ? Thật là vô lý! Nhưng câu chuyện không kết thúc ở đây. Người quản lý còn có thể làm hay hơn thế nữa. Bạn hài lòng với sự đón tiếp tại khách sạn Vô Hạn tới mức bạn quyết định quay trở lại, nhưng lần này với một số vô hạn bạn bè, để tổ chức một buổi họp mặt lớn. Lần này cũng vậy, quầy tiếp tân thông báo cho bạn biết khách sạn đã hết chỗ. Lại một lần nữa người quản lý, rất điềm tĩnh, thông báo với bạn rằng ông ta có thể thu xếp chỗ cho tất cả bạn bè và bạn, ngay cả khi đó là một số vô hạn người. Ông ta yêu cầu người ở phòng 1 chuyển sang phòng 2, người phòng 2 chuyển sang phòng 4, phòng 3 chuyển sang phòng 6 và cứ như thế. Như vậy, vô số phòng đánh số lẻ đã được giải phóng. Mặc dù ban đầu khách sạn đã đầy chật, người quản lý vẫn có thể tìm được phòng cho mỗi người trong nhóm của bạn, ngay cả khi nhóm của bạn cũng có vô số người. Tại sao lại có thể như thế nhỉ? Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 33 Hilbert biết rất rõ sự tồn tại của các nghịch lý vô hạn này, ông đã thể hiện cảm giác của ông qua những từ ngữ thật hùng hồn: “Sự vô hạn! Chẳng có câu hỏi nào ngoài câu hỏi về vô hạn đã hành hạ tâm trí con người; chẳng có ý tưởng nào ngoài vô hạn đã kích thích và làm phong phú trí tuệ con người; nhưng, cũng chẳng có khái niệm nào ngoài khái niệm vô hạn đòi hỏi phải được làm sáng tỏ”. Ông biết rằng phải dùng toán học để giải quyết các nghịch lý về vô hạn này. Nhưng cần phải đợi tới thế kỷ 19 khi nhà toán học thiên tài Georg Cantor (1845-1918) sắp xếp lại thế giới những vô hạn thì các nghịch lý của khách sạn Vô hạn mới được hiểu một cách thấu đáo! Nghịch lý Zenon: vô hạn làm cho chuyển động trở nên không thể Như biết bao lĩnh vực khác của tư tưởng, vô hạn toán học đã đi vào ý thức con người nhờ người Hi Lạp ở thế kỷ 6 trước CN. Tất nhiên, tư tưởng toán học đã ra đời trước đó từ lâu, với các nền văn minh Ấn Độ, Trung Quốc, Babylon và Ai Cập. Nhưng các nền văn minh cổ đại này chủ yếu sử dụng toán học cho mục đích ứng dụng: đếm tiền, đánh giá diện tích hay thể tích (để xây dựng Kim tự tháp, chẳng hạn), cân vật hay đo thời gian. Họ không cần gì tới một khái niệm trừu tượng như sự vô hạn. Phải đợi tới khi toán học chuyển từ bình diện hoàn toàn thực tiễn sang bình diện mang tính khái niệm hơn thì khái niệm vô hạn, với vô số các nghịch lý kèm theo, mới được khai phá và thừa nhận như một khái niệm hoàn toàn riêng rẽ, trung tâm trong lĩnh vực toán học. 34 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Zenon xứ Elea (495-435 tr. CN) là nhà tư tưởng Hi Lạp đầu tiên làm nổi bật các nghịch lý của vô hạn. Ông là thành viên của trường phái triết học do Parmenides (khoảng 515-440 tr. CN) thành lập, chủ trương tư tưởng về sự bất biến và chối bỏ mọi khái niệm tiến hóa. Theo Parmenides, thế giới đã, đang và sẽ luôn như thế: không thể có sự thay đổi nào. Mọi sự biến đổi và chuyển động chỉ là ảo giác. Trung thành với tư tưởng của thầy mình, Zenon đã tự nhận nhiệm vụ xác lập ý tưởng trên bằng hơn bốn mươi chứng minh, trong đó có hai chứng minh đặc biệt khiến trí tưởng tượng của con người phải sững sờ và đã vượt thời gian nhiều thế kỷ. Đa số các trước tác của Zenon xứ Elea đã bị thất lạc, tới mức ta có rất ít thông tin trực tiếp về tư tưởng của ông. Những gì chúng ta biết được là từ những bình luận của Platon (khoảng 427-347 tr. CN) và Aristotle (384-322 tr. CN). Những lập luận của đệ tử của Parmenides - cái mà sau này hậu thế gọi là các “nghịch lý Zenon” - dựa trên các bí ẩn của vô hạn. Chúng chưa bao giờ bị bắt bẻ lúc ông còn sống và vẫn luôn khiến cho trí tưởng tượng hiện đại phải sửng sốt. Trong nghịch lý đầu tiên, Zenon dự định chứng minh rằng chuyển động là không thể. Ông tưởng tượng một người chạy từ điểm A tới điểm B. Ông phân tích chi tiết chuyển động của người chạy như sau: người này đầu tiên phải chạy hết một nửa quãng đường giữa hai điểm, rồi một nửa của quãng đường còn lại, rồi lại một nửa của quãng đường còn lại tiếp theo và cứ tiếp tục như thế tới vô hạn. Do người chạy phải thực hiện vô hạn các chặng, Zenon kết luận rằng người đó không thể nào chạy tới đích được, và như thế chuyển động là không thể. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 35 Hãy lấy một ví dụ đơn giản. Giả sử rằng hai điểm A và B cách nhau 1km. Người chạy sẽ chạy hết 1/2km rồi (1/2+1/4=) 3/4km, rồi (3/4+1/8=) 7/8km... Sau khi chạy N chặng, người đó sẽ chạy được quãng đường bằng 1 - (1/2)N km. Zenon suy luận rằng ngay cả khi N rất lớn, khoảng cách chạy được vẫn sẽ nhỏ hơn 1, và người chạy không thể tới được đích! Nghịch lý Zenon đề cập tới một người chạy không bao giờ tới đích. Để đi từ điểm này tới điểm kia, người này đầu tiên phải chạy hết một nửa quãng đường giữa hai điểm, rồi một nửa của quãng đường còn lại, rồi lại một nửa của quãng đường còn lại tiếp theo và cứ tiếp tục như thế tới vô hạn. Do người chạy phải thực hiện vô hạn các bước chạy, người đó sẽ không bao giờ tới được đích. Bằng cách sử dụng cùng kiểu lý luận như thế, chúng ta có thể kết luận được rằng ta sẽ không bao giờ băng qua được một con phố, hay một viên đạn sẽ không bao giờ tới được mục tiêu. Từ những lý lẽ đơn giản có vẻ không thể bác bỏ được như thế, 36 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Zenon đã đi tới một kết luận vô lý! Ta đều biết rằng người chạy sẽ tới đích sau một thời gian nhất định, ta vượt qua phố bất cứ lúc nào ta muốn, và viên đạn sẽ tới đích một cách bình thường. Bí ẩn của các nghịch lý Zenon sẽ chỉ được giải thích sau khi nghiên cứu các chuỗi vô hạn, điều mà ta sẽ thấy về sau. Lý lẽ trong nghịch lý thứ hai của Zenon đầu tiên nghe cũng có vẻ rất thuyết phục như thế. Aristotle đã viết nó như sau: “Lý lẽ thứ hai của Zenon có tên là “Achilles và chú rùa”. Ông giải thích rằng loài chậm nhất cũng không thể bị người nhanh nhất đuổi kịp, bởi người đuổi theo cần phải tới được nơi chú rùa vừa rời khỏi, tức là chú rùa luôn ở phía trước một khoảng cách nhất định.” Bị ấn tượng bởi các nghịch lý về vô hạn, nhà văn Argentina Jorge Luis Borges (1899-1966) đã miêu tả câu chuyện của Achilles và chú rùa như sau: “Achilles chạy nhanh gấp mười lần chú rùa và cho phép chú rùa chạy trước 10m. Khi Achilles chạy hết 10m, rùa chạy thêm được 1m; Khi Achilles chạy thêm 1m, rùa chạy được 1dm; Achilles chạy được 1dm, rùa chạy được 1cm; Achilles chạy hết 1cm, rùa chạy được 1mm; Achilles nhẹ nhàng chạy 1mm, rùa chạy thêm 1/10mm; và cứ như thế tới vô hạn mà không bao giờ đuổi kịp chú rùa...” Một lần nữa, những lý lẽ có vẻ rất xác đáng lại đưa tới một kết luận vô lý. Hãy xem một ví dụ đơn giản khác. Giả sử Achilles xuất phát từ mốc 0km và chú rùa xuất phát từ mốc 1km với tốc độ chỉ bằng 1/2 tốc độ của Achilles. Khi Achilles tới mốc 1km, rùa sẽ tới mốc [1 + 1/2] km; khi Achilles tới đấy, rùa sẽ chạy tới [1 + 1/2 + 1/4] km; và cứ tiếp tục như thế. Sau N chặng, Achilles sẽ chạy được quãng đường [2 - (1/2)N] km, nhưng rùa luôn ở Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 37 phía trước một chút bởi nó đã chạy được [2 - (1/2)N+1] km. Và chúng ta tới được một kết luận vô lý là: dù N có lớn thế nào đi nữa thì Achilles cũng không bao giờ đuổi kịp chú rùa! Thi sĩ Pháp Paul Valéry (1871-1945) cũng bị mê hoặc bởi những phân tích của Zenon về chuyện Achilles không đuổi kịp chú rùa, hay nói một cách khác là mũi tên không bao giờ tới được đích. Trong bài thơ Le Cimetière Marin (1920) (Nghĩa trang trên biển), ông đã biểu lộ tình cảm của mình đối với người muốn chứng tỏ mọi chuyển động chỉ là sự bất động: Zenon hỡi! Zenon xứ Elea ác đức Dùng mũi tên này xuyên thấu tim ta Mũi tên rung, bay lại chẳng hề bay Âm thanh sinh thành và mũi tên chết chóc Kìa thái dương... Ơ bóng rùa nào đó Cho linh hồn Achilles bất động những bước chân! Aristotle và vô hạn tiềm tàng Các nghịch lý của Zenon đã phơi bày ra những kì lạ của vô hạn. Chúng gieo vào trong trí óc của người Hi Lạp sự e dè và nghi kị, và gây ra cho họ nỗi chán ghét khi phải đối mặt với cái vô hạn. Vô hạn là điều kiêng kỵ, nó làm đảo lộn trí tưởng tượng, do vậy bằng mọi giá phải tránh xa nó. Trong tác phẩm Physique (Vật lý) của mình, 38 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Aristotle (hình) đã diễn đạt một cách súc tích sự ghê tởm của người Hi Lạp khi phải vật lộn với cái vô hạn: “Sự tồn tại của vô hạn là tiềm tàng... Nó không tồn tại trong thực tế.” Theo triết gia này, vô hạn “hiện thực” không có “thực”. Nó không thể biểu hiện trong tự nhiên. Chỉ có một vô hạn “tiềm tàng” là tồn tại, mạnh mẽ trong trí tưởng tượng của con người. Các nhà vật lý và toán học dùng nó để ngoại suy, bằng tư duy, diễn tiến của một số tình huống và giải quyết một số vấn đề toán học. Chẳng hạn, khi đi, chúng ta bước một bước, rồi đến bước thứ hai, và cứ như thế. Bằng tư duy, ta biết rằng về nguyên tắc, chúng ta có thể tiếp tục đi như thế tới vô hạn, chúng ta luôn có thể đi xa hơn bằng cách tiến thêm một bước nữa. Nhưng chúng ta sẽ không bao giờ tới được tận cùng của chặng đường vô hạn đó, chúng ta chỉ có thể làm được điều đó bằng ý nghĩ: và đó chính là bản chất của vô hạn tiềm tàng. Cũng như vậy, trong toán học chúng ta đều quen với các chuỗi số không đầu không cuối. Hãy xét dãy số nguyên 1, 2, 3, 4, 5,... Không tồn tại một số nguyên nào lớn hơn tất cả các số còn lại, bởi chỉ cần đơn giản thêm 1 đơn vị vào bất kì số nào là sẽ tạo ra một số lớn hơn. Như vậy chuỗi này không có kết thúc. Cũng như vậy, chuỗi các số nguyên âm không có bắt đầu: ..., -5, -4, -3, -2, -1. Không có số nguyên nào âm hơn tất cả các số còn lại. Vô hạn “hiện thực” không phải là thực. Nó không bao giờ được thực hiện. Tuy nhiên, các chuỗi số nguyên dương và âm đều vô hạn một cách “tiềm tàng”, bởi chúng có một tiến trình (thêm hoặc trừ 1) có thể lặp lại một cách vô hạn, mặc dù mỗi lần số lượng các phép toán đã được lặp lại luôn là hữu hạn. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 39 Archimedes và phép tính số π Vô hạn “tiềm tàng” còn biểu hiện dưới những dạng khác nữa. Ví dụ, hãy xét một con số kì lạ mà ta biểu diễn bằng ký hiệu π, con số mà từ thủa sơ khai đã kích thích trí tò mò không chỉ các nhà toán học mà cả những kẻ ngoại đạo nữa. Chúng ta đều biết rằng π là tỉ số giữa chu vi của 1 vòng tròn với đường kính của nó. Bằng các đo đạc thực nghiệm chu vi và đường kính của các đường tròn, người xưa đã biết rằng tỉ số này xấp xỉ bằng 3. Nhưng người Hi Lạp là những người đầu tiên đề xuất ra phương pháp toán học chặt chẽ để tính, chứ không phải đơn giản chỉ bằng cách đo đạc, giá trị của π. Khi làm điều này, họ lại một lần nữa đối mặt với vô hạn. Nhà toán học Archimedes (287-212 tr. CN) ở thành phố Syracuse, nổi tiếng với những nghiên cứu về các vật nổi (và chính ông là người đã thét lên Eureka! lúc đang ở trong bồn tắm khi ông phát hiện ra “lực đẩy” ngày nay mang tên ông, lực cho phép những vật có khối lượng riêng nhỏ hơn nước nổi lên) là người đã nghĩ ra phương pháp này. Hãy lấy một vòng tròn, ông giải thích, và tưởng tượng một đa giác đều nội tiếp vòng tròn đó, tức là tất cả các đỉnh của nó đều nằm trên vòng tròn và tất cả các cạnh và các góc của nó đều bằng nhau. Đa giác này có chu vi nhỏ hơn chu vi đường tròn. Nhưng khi ta càng tăng dần số cạnh của đa giác, đa giác này sẽ càng sát với đường tròn, và chu vi của đa giác sẽ tiến tới chu vi của đường tròn. Sau đó chỉ cần đo chu vi của đa giác rồi chia cho đường kính của hình tròn để nhận được giá trị của π hơi nhỏ hơn một chút so với giá trị thực. Lặp lại quá trình trên nhưng lần này đa giác không phải 40 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN là nội tiếp mà là ngoại tiếp với vòng tròn. Vòng tròn lần này nằm trong đa giác và các cạnh của đa giác tiếp xúc với đường tròn. Một lần nữa hãy làm tăng số cạnh của đa giác: và như lần trước đa giác sẽ ngày càng tiến sát tới vòng tròn. Lần này, khi ta chia chu vi của đa giác cho đường kính của vòng tròn, ta sẽ thu được một giá trị hơi lớn hơn giá trị thực của π (hình dưới). Bằng cách sử dụng một đa giác đều 96 cạnh mà ông biết rõ cách tính chu vi, Archimedes thu được giá trị thực của π phải nằm trong khoảng 3,14103 và 3,14271. Một sự gần đúng đáng kinh ngạc bởi vì giá trị thực của π như ta biết là 3,14159... Bằng cách tăng dần số cạnh của đa giác đều nội tiếp (cột bên trái) và ngoại tiếp (cột bên phải) một vòng tròn, Archimedes đã có thể tìm chính xác khoảng giá trị của số vô tỉ π. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 41 Nhưng ta cần phải hiểu rõ cái mới và mang tính cách mạng ở đây không phải là việc Archimedes đã có thể ước lượng được giá trị của π với độ chính xác cao hơn nhiều so với người đi trước mà chính là việc ông đã nghĩ ra phương pháp cho phép tính toán con số này với một độ chính xác lớn tùy ý, đơn giản chỉ bằng cách cố gắng làm khớp hình tròn với hình đa giác có số cạnh có thể tăng lên vô hạn. Theo ngôn ngữ toán học hiện đại, ngôn ngữ của phép tính vi phân được phát minh vào thế kỷ 19, π là giới hạn của dãy các chu vi khi số cạnh của đa giác tiến tới vô hạn. Như vậy Archimedes đã sử dụng khái niệm vô hạn tiềm tàng để giải quyết một vấn đề cơ bản, đó là việc tính số π. Chúa và cái vô hạn Trong hơn 2000 năm tiếp nối kỷ nguyên vàng của tư tưởng Hi Lạp, có rất ít phát hiện mới liên quan tới khái niệm vô hạn. Nhưng vẫn xảy ra những sự kiện lớn. Hi Lạp trở thành thuộc địa của Đế chế La Mã vào cuối thế kỷ thứ 2 tr. CN. Sự chói lọi của tư tưởng Hi Lạp tàn dần trong thời kỳ này. Người La Mã chẳng mấy quan tâm tới những tư biện trừu tượng. Các cuộc xâm chiếm không ngừng của các dân tộc hoang dã, Goths và Huns, từ phía đông vào thế kỷ thứ 5 và 6 đã giáng đòn quyết định vào Đế chế La Mã đang suy yếu vì suy thoái chính trị và hỗn loạn kinh tế. Tri thức Hi Lạp biến mất ở phương Tây. Song song với sự sụp đổ của Đế chế La Mã, đã nổi lên Đế chế A rập trải dài từ Tây Ban Nha tới Ấn Độ. Ngọn đuốc văn minh và khoa học được sang tay các khalip của Bagdad. Ngay từ năm 1000, Tây Ban Nha đã trở thành trung tâm trí tuệ lớn của thế 42 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN giới hồi giáo và qua nó, châu Âu thiên chúa giáo tái phát hiện lại tư tưởng Hi Lạp. Khái niệm về vô hạn lại nổi trở lại vào thời Trung Cổ, nhưng trong một bối cảnh mới: bối cảnh tôn giáo. Cuộc kiếm tìm cái vô hạn thường gắn với một nghiên cứu về sự siêu việt, về những cái vượt ra khỏi kinh nghiệm thông thường, vượt ra ngoài những gì được nhìn thấy hay cảm nhận thấy trong cuộc sống hằng ngày. Sự siêu việt này thường được gắn với Chúa, và Vô hạn chính là một trong những thuộc tính quan trọng của Chúa. Và khi đó, một câu hỏi được đặt ra là: nếu như Chúa là vô hạn, liệu Ngài có thể tạo ra vô hạn hiện thực hay cũng như con người, Ngài vẫn bị giới hạn bởi vô hạn tiềm tàng? Lại xét dãy các số nguyên. Do không có kết thúc trong tiến trình liệt kê và không tồn tại một số nguyên nào lớn hơn tất cả các số còn lại, chúng ta không thể nói tới một tổng của toàn bộ các số nguyên: một lần nữa, vô hạn chỉ là tiềm tàng chứ không phải là hiện thực. Nhưng với Chúa thì sao? Liệu Ngài có thể đạt được tới cái vô hạn hiện thực, hay cũng có giới hạn đối với tri thức của Ngài? Thánh Augustin (354 - 430) đã đưa ra một câu trả lời chắc nịch cho các vấn đề này: “Đúng là có vô hạn các con số. Nhưng liệu có phải vì chúng là vô hạn mà Chúa không thể biết hết?... Không ai có thể điên rồ tới mức đưa ra một điều sai sự thực như thế... Không còn nghi ngờ gì nữa, Ngài đều biết tới từng con số một. Với Chúa, vô hạn trở nên hữu hạn bởi không thể có gì vượt ra khỏi tri thức của Ngài.” Với trí tuệ thần thánh, vô hạn trở nên hữu hạn và với Chúa, vô hạn không còn là tiềm tàng nữa mà là hiện thực. Vào thời Trung Cổ, thánh Thomas d’Aquin (1225-1274) sử Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 43 dụng lập luận xâu chuỗi các nguyên nhân để chứng tỏ sự tồn tại thánh thần: mọi thứ đều có nguyên nhân, nhưng không thể có một chuỗi vô hạn các nguyên nhân được. Điều đó có nghĩa là sớm hay muộn ta phải tới được nguyên nhân đầu tiên, tức nguyên nhân của mọi thành phần trong vũ trụ. Nguyên nhân đầu tiên này chính là Chúa. Theo thánh Thomas d’Aquin, chỉ một đấng vô hạn như Chúa mới có thể nghĩ tới vô hạn hiện thực. Bất cứ ai nhăm nhe lĩnh hội cái vô hạn cũng sẽ mắc tội kiêu ngạo. Còn hồng y người Đức Nicolas de Cues (1401-1464), người đã nghiên cứu toán học cổ đại, đã so sánh tri thức của Chúa với vòng tròn và tri thức của con người giống như đa giác nội tiếp trong vòng tròn đó. Sử dụng lại suy luận của Archimedes, ông đã đưa ra một lập luận, theo đó tri thức của con người ngày càng tăng, số cạnh của đa giác cũng tăng lên và tiến tới vô hạn. Nhưng tri thức của con người sẽ không bao giờ bằng được với Chúa, giống như đa giác nội tiếp không bao giờ có thể trở thành vòng tròn được, ngay cả khi số cạnh của nó tiến đến vô hạn. Trong vũ trụ học, Nicolas de Cues là người bảo vệ ý tưởng về một vũ trụ vô hạn trong chuyên luận De la docte ignorance (1440) của ông, bởi vì Chúa không thể bị giới hạn trong các tác phẩm của Người: “Nguyên lý đủ đầy” ngầm định rằng thế giới mà Ngài tạo ra không có giới hạn. Hai cái vô hạn của Pascal và vụ cá cược Vào thế kỷ 17, nhà toán học và triết gia người Pháp Blaise Pascal (1623-1662) (hình) đã sử dụng khái niệm vô hạn để cá cược về sự tồn tại của Chúa. Ông dựa trên một sự thật là: một 44 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN đại lượng hữu hạn, dù nhỏ thế nào chăng nữa, khi nhân với vô hạn sẽ luôn cho kết quả là vô hạn. Là người tiên phong của lý thuyết xác suất hiện đại, Pascal, người theo giáo lý Giăng-xen nhiệt thành, rất thích sử dụng những lập luận xác suất để thuyết phục những người vô thần cá cược về sự tồn tại của Chúa. Ông suy luận như sau: ta có hai trường hợp khả dĩ hoặc là Chúa tồn tại, hoặc là không; do lý lẽ không thể giúp chúng ta quyết định, chúng ta sẽ phải đặt cược; có hai khả năng có thể: hoặc là ta tin vào sự tồn tại của Chúa, hoặc là ta không tin. Pascal giải thích rằng tốt nhất ta nên đặt cược vào sự tồn tại của Chúa, bởi vì nếu Ngài tồn tại thì lợi ích ta sẽ có được là vô hạn, còn nếu như không tồn tại thì cái mất chỉ là hữu hạn và tối thiểu. Lựa chọn tồi nhất là đặt cược cho vô thần bởi vì nếu Chúa tồn tại thì mất mát sẽ là vô hạn trong khi nếu Ngài không tồn tại thì cái ta được cũng chỉ là hữu hạn mà thôi. Pascal cũng quan tâm tới “hai vô hạn”. Với ông, vô hạn có ở khắp nơi trên thế giới, nhưng với trí tuệ con người thì không thể hình dung được khái niệm đó: “Có sự tồn tại những tính chất chung của vạn vật, giúp ta mở cửa tâm hồn tới những thứ kỳ diệu nhất của Tự nhiên. Tính chất chính bao gồm hai vô hạn, có mặt ở mọi vật, đó là cái vô cùng lớn và cái vô cùng bé(7)”. Ông nghĩ rằng không gian, thời gian và chuyển động có thể tăng tới 7. Blaise Pascal, De l’esprit géométrique (Về trí tuệ hình học). Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 45 vô hạn. (Về điều này thì ông đã nhầm. Không gian không nhất thiết là vô hạn. Cũng có những mô hình về vũ trụ hữu hạn, như chúng ta sẽ thấy sau. Còn về chuyển động, thuyết tương đối của Einstein cấm mọi vật di chuyển nhanh hơn ánh sáng). Với ông, không gian và thời gian cũng có thể chia nhỏ vô hạn. (Một lần nữa các lý thuyết vật lý hiện đại gợi ý rằng điều này là không thể, rằng tồn tại một khoảng thời gian và không gian tối thiểu được gọi là thời gian Planck [10-43 giây] và chiều dài Planck [10-33cm]). Giống như Aristotle, Pascal cho rằng hai vô hạn này không thể lĩnh hội được bằng lý trí con người, và như vậy chúng là tiềm tàng chứ không phải là hiện thực. Triết gia và nhà toán học cùng thời với ông là René Descartes (1596-1650) cũng tán đồng ý kiến này, ông khuyên nhủ loại bỏ mọi tranh luận về vô hạn hiện thực: “Vì chúng ta là hữu hạn, nên sẽ thật phi lý khi ta lại muốn tranh luận về vô hạn... Và như thế, chúng ta không nên cố trả lời những câu hỏi như: một nửa của một đường vô hạn có phải là vô hạn không, hay một số vô hạn là chẵn hay lẻ...? Theo tôi, đừng ai bận tâm đến những vấn đề đó làm gì, trừ khi trí tuệ của người đó là vô hạn(8).” Galilei và các nghịch lý của vô hạn Cũng vào thế kỷ 17, nhà vật lý, thiên văn và toán học Galilei (1564-1642) cũng quan tâm tới câu hỏi về vô hạn. Trong các thành tựu khoa học của ông cần phải đặc biệt nhắc đến những 8. René Descartes, Principes de la Philosophie (Các nguyên lý triết học). 46 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN đóng góp về thiên văn: ông là người đầu tiên hướng kính thiên văn lên bầu trời vào năm 1609. Khi đó ông đã phát hiện ra rất nhiều điều kỳ thú, chẳng hạn như 4 vệ tinh lớn nhất của Mộc tinh ngày nay được biết đến dưới tên “các mặt trăng galilei”. Ông cũng thấy rằng Kim tinh, giống như Mặt Trăng, cũng có những giai đoạn từ non đến già. Tất cả các quan sát này đều phù hợp với vũ trụ nhật tâm do mục sư người Ba Lan Nicolaus Copernicus đưa ra vào năm 1543; Mặt Trời có vị trí trung tâm chứ không phải là Trái Đất. Trái Đất cũng quay xung quanh Mặt Trời như các hành tinh khác chứ không phải ngược lại. Thực vậy, sự tồn tại các vệ tinh của Sao Mộc đã gây khó cho ý tưởng Trái Đất là trung tâm của vũ trụ, và mọi thứ đều phải quay xung quanh nó. Các pha của Kim tinh, kết quả của sự chiếu sáng hành tinh này từ Mặt Trời thay đổi, chỉ có thể giải thích được khi Kim tinh quay xung quanh Mặt Trời chứ không phải Trái Đất. Galilei đã trở thành người bảo vệ cho vũ trụ nhật tâm trong tác phẩm Dialogues sur les grands systèmes du monde (Đối thoại về các hệ thống lớn của thế giới) xuất bản năm 1632, trong đó ông chứng minh rằng những người bảo vệ cho vũ trụ địa tâm, tức là Trái Đất là trung tâm của vũ trụ, chỉ là những kẻ “ngốc nghếch” (ông gọi những người này là Simplicio). Điều này đã trở nên quá quắt đối với Giáo hội, chúng lôi ông ra trước tòa dị giáo, đưa tác phẩm của ông vào danh sách các sách cấm (Index Librorum Prohibitorum) và quản thúc ông tại gia cho tới khi ông mất. Chính trong giai đoạn khó khăn này ông đã viết một tác phẩm mới Deux nouvelles sciences (Hai khoa học mới) trong đó Salviati, nói thay cho Galilei, giải thích cho Simplicio những bí ẩn của vô hạn. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 47 Vào năm 1633 Galilei bị Tòa án dị giáo ép phải chối bỏ một cách công khai sự ủng hộ của ông đối với hệ thống nhật tâm của Copernicus. “Thế nhưng nó vẫn quay”, ông được cho là đã nói câu này vào lúc kết thúc phiên xử ông, về sự quay của Trái Đất xung quanh Mặt Trời. Mãi ba thế kỷ rưỡi sau đó, vào năm 1992, Giáo hội, mà đích thân là Giáo Hoàng Jean-Paul II, mới thừa nhận công khai những sai lầm của họ trong vụ Galilei. Cuộc trao đổi giữa Salviati và Simplicio diễn ra như sau: hãy xét dãy các số nguyên dương 1, 2, 3, 4, 5... Dãy này là vô hạn vì ta luôn có thể thêm 1 vào số cuối cùng và nhận được số lớn hơn. Bây giờ hãy bình phương các số trong dãy trên, ta nhận được 1, 4, 9, 16, 25... Một lần nữa dãy này cũng là vô hạn bởi mỗi số nguyên dương được gắn kết với một số là bình phương của nó (theo ngôn ngữ toán học, ta nói có một tương ứng 1 - 1 giữa hai dãy). Nghĩa là hai dãy này phải có cùng số phần tử. Nhưng - đây chính là lúc nghịch lý xuất hiện - mỗi phần tử trong dãy 48 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN các số bình phương lại cũng thuộc dãy các số nguyên dương. Do đó, dãy các số nguyên dương phải có nhiều phần tử hơn dãy các số bình phương, bởi nó bao gồm cả những số không phải là bình phương của một số nguyên! Như vậy theo lý luận thứ nhất (có sự tương ứng 1 - 1 giữa hai dãy) chúng ta kết luận là hai dãy có cùng số phần tử, trong khi lý luận thứ hai cho thấy dãy vô hạn các số nguyên dương có nhiều phần tử hơn dãy các số bình phương. Vậy là Galilei đã phát hiện ra một tính chất kỳ lạ: với một tập hợp vô hạn, một tập con của nó cũng có thể có nhiều phần tử như toàn bộ tập ban đầu. Làm thế nào giải thích được kết quả kỳ lạ nhạo báng mọi lẽ phải thông thường này? Galilei không dám dấn thân mà chỉ đưa ra nhận xét: “Đối với các đại lượng vô hạn, không thể nói đại lượng này là lớn hơn hay nhỏ hơn đại lượng kia”. Galilei đã sử dụng dãy các số bình phương để làm nổi bật các nghịch lý của vô hạn. Nhưng ông cũng hoàn toàn có thể làm điều đó bằng cách sử dụng các ví dụ khác. Chẳng hạn, ông có thể sử dụng dãy các số chẵn nhận được bằng cách nhân mỗi số nguyên dương với 2. Theo thủ tục này, một tương ứng 1 - 1 sẽ được thiết lập giữa mỗi số nguyên dương và một số chẵn: 1 tương ứng với 2, 2 với 4, 3 với 6, 4 với 8... Như vậy dãy các số chẵn cũng lớn như dãy các số nguyên dương. Nhưng dãy các số nguyên dương lại cũng bao gồm tất cả các số chẵn và các số lẻ. Lẽ phải thông thường nói với ta rằng số các số chẵn chỉ bằng một nửa số các số nguyên dương. Nhưng lập luận theo tương ứng 1 - 1 lại kết luận rằng hai dãy này có cùng số phần tử! Và một lần nữa, chúng ta lại rơi vào tình huống nghịch lý trong đó Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 49 những tập con của một tập vô hạn cũng có thể có nhiều phần tử như chính tập hợp đó! Nghĩa là toàn thể không lớn hơn bộ phận! Lẽ phải thông thường nói với ta rằng không thể nào có chuyện này được. Chúng ta đều biết, như khi xem xét một danh sách các cặp vợ chồng chẳng hạn, số nam và nữ phải bằng nhau và số lượng các cặp này sẽ ít hơn khi ta xét một tập con! Toàn thể nhất thiết phải lớn hơn bộ phận. Điều này chắc chắn là đúng khi ta xét một tập hữu hạn, như trong các trường hợp của cuộc sống thường nhật. Nhưng điều đó sẽ không còn đúng nữa đối với các tập vô hạn: khi đó các tập con cũng “lớn” như tập ban đầu. Thế là Galilei đã phát hiện ra một vấn đề hết sức kì lạ! Các nghịch lý vô hạn thách thức lẽ phải thông thường này khiến ta nhớ câu chuyện về khách sạn Vô Hạn của nhà toán học David Hilbert. Chắc bạn vẫn còn nhớ về khách sạn có vô số phòng này. Tất cả các phòng đều đã chật cứng khi bạn tới. Thế nhưng người quản lý bằng cách thay đổi phòng của tất cả mọi người luôn tìm ra phòng trống mà không phải đuổi bất kỳ một vị khách nào. Và ông ta không chỉ tìm được phòng cho mình bạn mà cho cả vô số bạn của bạn nữa! Hiển nhiên, đây cũng chính là nghịch lý mà Galilei đã phát hiện ra: các tập vô hạn không chỉ có thể chứa các tập con cũng là vô hạn, mà chúng còn có thể chứa vô hạn các phần tử khác. Những tính chất kỳ lạ của các chuỗi vô hạn Bất cứ thời kỳ nào, các dãy số vô hạn cũng đều làm mê hoặc trí tưởng tượng của các nhà toán học. Dãy được định nghĩa bởi 50 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN một quy tắc cho phép từ một phần tử xác định được phần tử tiếp sau nó. Chẳng hạn, mỗi số trong dãy số nguyên dương được xác định bằng cách lấy số trước đó cộng thêm 1. Quy tắc này không có điểm dừng, dãy số là vô hạn. Các nhà toán học khi đó đã đặt ra câu hỏi: nếu ta lấy tổng của tất cả các số trong dãy vô hạn, thì tổng này là hữu hạn hay vô hạn? Theo tiên nghiệm, bạn có thể nghĩ rằng một dãy vô hạn các số chỉ có thể có tổng là vô hạn (theo thuật ngữ toán học, tổng các phần tử của một dãy được gọi là một chuỗi). Nhưng như thế là bạn đã nhầm to. Thực ra tùy theo bản chất của các phần tử của dãy (chẳng hạn đó là số âm hay dương, tăng hay giảm dần), tổng của chúng có thể là vô hạn (khi đó ta nói chuỗi này là phân kỳ) hay hữu hạn (chuỗi là hội tụ). Như vậy trong một số trường hợp, hữu hạn có thể được sinh ra từ vô hạn, và chuỗi giống như một cầu nối giữa chúng vậy. Để hiểu rõ hơn các ý tưởng này, chúng ta hãy xét một số chuỗi. Đầu tiên ta hãy xét chuỗi các số nguyên dương. Tổng của nó chắc chắn là vô hạn, bởi vì số sau luôn lớn hơn số trước (1 đơn vị). Chuỗi này phân kỳ. Bằng trực giác, bạn sẽ nghĩ rằng một chuỗi có nhiều khả năng là hội tụ nếu như các phần tử kế tiếp nhau số sau nhỏ hơn số trước thay vì tăng dần lên như trong chuỗi các số nguyên dương. Và bạn có lý! Chẳng hạn, hãy xét chuỗi gắn với nghịch lý Zenon về người chạy không bao giờ tới được đích. Khi chạy hết nửa quãng đường từ điểm đầu tới điểm đích rồi chạy tiếp nửa quãng đường còn lại, rồi lại nửa quãng đường còn lại và cứ tiếp tục như thế, người đó đã chạy được một quãng đường bằng tổng của chuỗi: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 51 Tổng vô hạn trên có một tính chất rất đặc biệt là không bao giờ đạt tới 1, dù ta có cộng bao nhiêu số hạng của nó đi chăng nữa. Nhưng ta có thể càng ngày càng tới gần giới hạn này bằng cách thêm dần các số hạng vào. Nói một cách khác, tổng trên tiến tới một giới hạn hữu hạn là 1 khi số các số hạng trong chuỗi đó tiến tới vô hạn. Chính sự tương tác giữa hữu hạn và vô hạn này là chìa khóa để giải quyết nghịch lý Zenon. Thực vậy, nếu người chạy giữ vận tốc gần như là đều, các khoảng thời gian cần thiết để chạy hết các chặng liên tiếp đó cũng được mô tả bằng chính chuỗi nói trên. Điều này có nghĩa là người đó sẽ đi hết hành trình của mình và tới được đích trong một khoảng thời gian hữu hạn chứ không phải là vô hạn như người Hi Lạp tưởng. Những nghịch lý vô hạn kiểu Zenon xuất hiện là do người Hi Lạp không nghĩ tới việc tổng của một số vô hạn các số lại có thể có một giá trị hữu hạn. Nếu ta chấp nhận rằng hữu hạn có thể được sinh ra từ vô hạn thì những nghịch lý không còn lý do để tồn tại nữa: chúng ta có thể vượt qua con phố trong một khoảng thời gian hữu hạn và Achilles có thể đuổi kịp và dễ dàng vượt qua chú rùa. Vậy là lẽ phải thông thường vẫn được bảo toàn! Nhưng cũng không nên nghĩ rằng mọi chuỗi của các phân số giảm dần đều hội tụ về một giới hạn hữu hạn. Hữu hạn không phải bao giờ cũng sinh ra từ vô hạn. Ví dụ, hãy xét chuỗi sau, được gọi là chuỗi điều hòa, tạo từ nghịch đảo của các số nguyên dương: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... Nhờ vào một suy luận tài tình, mà giám mục kiêm nhà toán học Nicole Oresme (1325-1382) đã chứng minh được tổng dãy số trên là vô hạn. Ông đã suy luận như sau: bước đầu, ta hãy bỏ 52 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN qua hai số hạng đầu tiên của chuỗi; tổng 2 số tiếp sau đó (1/3 + 1/4) là lớn hơn 1/2, và tổng 4 số hạng tiếp theo (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) cũng như thế, và rồi 8 số hạng tiếp theo, 16 số hạng tiếp theo... cứ như vậy tới vô hạn. Sau mỗi lần số các số hạng trong ngoặc (tổng con) tăng gấp đôi, và luôn cho một tổng lớn hơn 1/2. Như vậy, tổng của chuỗi ban đầu là tổng của một số vô hạn các số lớn hơn 1/2 và như thế tổng này phải là vô hạn. Nghĩa là chuỗi điều hòa là phân kỳ. Các chuỗi phân kỳ có những tính chất rất kỳ lạ. Bởi vì khi liên quan tới vô hạn, mọi thứ đều không giống như vẻ ban đầu. Và như thế, tổng của một chuỗi vô hạn có thể khác nhau tùy theo cách tính! Ta hãy xét ví dụ tổng S của chuỗi vô hạn bao gồm liên tiếp các số 1 và -1 luân phiên(9): S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... Để tìm S ta có thể nhóm các số 1 và -1 với nhau: S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +... Tổng của từng cặp bằng 0, ta sẽ nhận được một chuỗi vô hạn các số 0 và như vậy S = 0. Nhưng ta cũng có thể tính S bằng cách nhóm khác đi, chẳng hạn như nhóm số thứ 2 và thứ 3, thứ 4 và thứ 5...: S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... 9. Xem Une brève histoire de l’infini (Lược sử của vô hạn) của John Barrow, NXB Fayard/ Pluriel, 2012. Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 53 Lần này chúng ta lại có S = 1! Tức là chúng ta nhận được một kết quả phi lý: 0 = 1! Nhưng chưa phải đã hết. Chúng ta cũng có thể nhóm các số hạng của chuỗi S như sau: S = 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...) Nhưng chuỗi trong ngoặc lại chính là S. Như vậy ta có: S = 1 - S Tức là S = 1/2! Thật là điên cái đầu! Ta vừa chứng minh được rằng tùy theo cách chúng ta nhóm các số hạng của chuỗi mà S có thể bằng 0, bằng 1 hay 1/2! Điều này tựa như bằng một cú vẫy đũa thần, ta có thể nhân đôi số tiền ta có trong ngân hàng, đơn giản chỉ bằng cách đếm theo một cách khác! Bí ẩn hơn nữa là ta có thể chứng minh S có thể nhận bất kỳ giá trị nào mà ta muốn. Tất nhiên, tính chất kỳ lạ đó là do chuỗi này là vô hạn. Nếu S là hữu hạn và số các số hạng là lẻ, giá trị duy nhất mà S có thể nhận là 1. Nếu số các số hạng là chẵn, S sẽ bằng 0. Chỉ khi bạn giàu vô hạn thì các nghịch lý vô hạn mới xuất hiện và số tiền bạn có sẽ tùy thuộc theo cách bạn đếm! Vô hạn tiếp tục thách thức lẽ phải thông thường. Không gì ngạc nhiên khi trong nhiều thế kỷ, số các nhà toán học, kể cả những người xuất sắc nhất, cũng không thể chịu đựng nổi khi nghe nói về cái vô hạn. Họ đành xếp nó vào một nơi khỉ ho cò gáy của toán học, với lời cảnh báo nghiêm khắc các đồng nghiệp: nếu không muốn mất trí thì đừng có lần mò vào đó. Đối với họ, khái niệm vô hạn, nếu như để nó tung hoành một cách tự do trong toán học, có nguy cơ sẽ hủy hoại mọi logic và do đó sẽ phá hủy chính những nền tảng của toán học. 54 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Nhà toán học Đức Karl Friedrich Gauss (1777-1855), một trong những nhà toán học sáng tạo nhất của thời kỳ đó, đã quở trách một trong những đồng nghiệp dám đả động đến vô hạn như sau: “Tôi cần phải phản đối việc anh sử dụng vô hạn như đó là một khái niệm đã được thừa nhận. Việc sử dụng như vậy là bị cấm trong toán học. Vô hạn chỉ là một cách nói...” Khi các nhà toán học phải động tới vô hạn, như khi tính toán giới hạn hay các chuỗi vô hạn, họ luôn coi đó chỉ là vô hạn tiềm tàng. Đối với họ một đại lượng có thể tiến tới vô hạn - giống như chu vi của đa giác nội tiếp đường tròn tiến tới chu vi của đường tròn khi số cạnh của đa giác tiến đến vô hạn - nhưng nó sẽ không bao giờ đạt được. Vô hạn hiện thực cần phải tránh xa như bệnh dịch hạch. Vứt bỏ mọi khái niệm về toàn thể và bộ phận Bất chấp những lời cảnh báo nghiêm khắc, một số người có đầu óc phiêu lưu vẫn dũng cảm dấn thân tấn công thành trì của vô hạn. Đó là trường hợp của triết gia và nhà toán học người Séc Bernhard Bolzano (1781-1848) (hình). Vào thế kỷ 18, ông là người đầu tiên đã nỗ lực mang lại cho vô hạn một địa vị giống như hữu hạn trong tác phẩm Les Paradoxes de l’infini (Các nghịch lý của vô hạn) xuất bản năm 1851 sau khi ông mất (ông chỉ bắt đầu quan tâm tới các vấn đề về vô hạn ở tuổi 67!). Có thể nói rằng Bolzano là người đầu tiên đã vạch Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 55 đường cho vô hạn và cho phép siêu hình học của vô hạn bừng nở trên mảnh đất toán học. Ông quyết định lấp đầy chiếc hố ngăn cách vô hạn hiện thực và vô hạn tiềm tàng với mong muốn cháy bỏng coi “các tập vô hạn như là những chỉnh thể trọn vẹn chứ không phải là các dãy liên tiếp của những cái không hữu hạn”. Ông cũng ôm ấp hi vọng có thể định lượng được vô hạn và có thể tính toán với nó giống như với các đại lượng hữu hạn. Nhà toán học Séc này ban đầu quan tâm tới các nghịch lý vô hạn do Galilei phát hiện. Ông hiểu được rằng những nghịch lý này xảy ra chính là do chúng ta cố tình áp đặt cho vô hạn những khái niệm chỉ có giá trị đối với cái hữu hạn. Chúng sẽ không còn chỗ đứng nữa khi ta xem xét lại các khái niệm quen thuộc như “toàn thể” và “bộ phận” có liên quan tới cái vô hạn. Bolzano khẩn khoản chúng ta, trong khung cảnh của vô hạn, đừng nhầm lẫn khái niệm “được chứa trong” với “có kích cỡ nhỏ hơn”. Chẳng hạn, như Galilei đã nhận xét, các số bình phương được chứa trong các số nguyên dương nhưng không có nghĩa là kích thước của tập A các số bình phương là nhỏ hơn tập B của các số nguyên dương. Điều đó sẽ đúng nếu A và B là hữu hạn, nhưng nếu A và B là vô hạn, thì A và B hoàn toàn có thể có cùng kích thước ngay cả khi A nằm trong B. Bolzano đã đi tới kết luận lạ thường này theo suy luận sau: hãy xét một nửa vòng tròn và vẽ ở bên dưới nó một đường thẳng song song với đường kính của nửa vòng tròn và có hai đầu tiến ra vô cùng. Nếu ta nối tâm của nửa vòng tròn với một điểm bất kì trên đường thẳng thì đường này luôn phải cắt nửa vòng tròn tại một điểm nào đó. Như vậy luôn tồn tại một đường thẳng nối mỗi điểm 56 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN của nửa vòng tròn với một điểm duy nhất của đường song song vô hạn (xem hình). Nói một cách khác, nửa vòng tròn cũng phải chứa vô số các điểm như đường thẳng vô hạn. Lập luận này có thể áp dụng cho bất kỳ nửa vòng tròn nào, với bán kính bất kể bằng bao nhiêu. Từ đó, Bolzano đã đi tới kết luận rằng chu vi của mọi hình tròn đều chứa một số vô hạn các điểm, và số vô hạn này là như nhau với tất cả các hình tròn, vì ta luôn có thể lập được một tương ứng 1-1 giữa một điểm bất kì của chu vi với một điểm nào đó trên đường thẳng vô hạn. Và ông đánh giá rằng tất cả các vô hạn này đều bằng nhau, không có vô hạn nào lớn hơn hay bé hơn vô hạn nào. tiến tới tiến tới Với hình này, Bolzano đã chứng minh được rằng tồn tại một tương ứng 1 - 1 giữa các điểm trên nửa vòng tròn và các điểm trên đường thẳng vô hạn đi từ -∞ tới +∞. Bởi vì số các điểm trên đường thẳng là vô hạn, Bolzano đã đưa ra kết luận đúng đắn rằng số điểm trên một vòng tròn với bán kính bất kì cũng là vô hạn. Ông cũng đưa ra định đề rằng tất cả các vô hạn đều bằng nhau, nhưng điều này thì không đúng, như Cantor sẽ chứng minh sau này. Nhưng về điều này thì Bolzano đã nhầm. Và phải chờ tới một nhà toán học khác người Đức Georg Cantor (1845-1918) mới chứng minh được rằng mọi vô hạn không phải là bằng nhau, Sự kì lạ không chịu nổi của vô hạn - 57 mà ngược lại, tồn tại một hệ thứ bậc đáng kinh ngạc của các vô hạn. Làm điều này, Cantor đã phát lộ ra một khung cảnh phong phú và tuyệt đẹp của vô hạn và đã đem tới trật tự và sự sáng tỏ cho những cái mà trước đó chỉ là hỗn loạn và lộn xộn. Cantor đã chiến đấu một cách kiên cường chống lại giới cầm quyền khoa học để áp đặt vô hạn hiện thực và nhờ ông, vô hạn cuối cùng đã trở thành một phần không thể tách rời của toán học hiện đại. Nỗi sợ cái vô hạn một cách vô lý cuối cùng cũng đã tiêu tan. Để đạt được kết quả đó, Cantor đã phải nỗ lực ghê gớm, làm việc trong cô đơn và đi ngược lại xu hướng của các nhà toán học quyền uy và đầy ảnh hưởng, tới mức mất trí. 58 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN II Truy tìm vô hạn toán học Cantor, người thuần hóa cái vô hạn Sinh ra trong một gia đình Do Thái trung lưu (bố ông làm nghề buôn bán) nhập cư vào Đức từ Nga, chàng thanh niên Georg Cantor được học các trường trung học tư ở Frankfurt, và đã thể hiện niềm đam mê và tài năng thần đồng đối với toán học. Với sự động viên của người cha, ông đã đăng ký vào học trường Bách khoa Zurich, rồi chuyển tới Đại học Berlin, một trong những trung tâm nghiên cứu toán học của thế giới vào thời kì đó, giữa thế kỷ 19. Tại đây ông đã gặp được một trong những nhà toán học lớn nhất lúc bấy giờ là Karl Weierstrass (1815-1897), người được coi là cha đẻ của toán học giải tích hiện đại. Ông cũng được thụ giáo Leopold Kronecker (1823-1891), người mà như ta sẽ thấy, đã có một vai trò tai hại trong sự nghiệp và thậm chí cả trong cuộc đời của ông. Sau khi lấy bằng tiến Truy tìm vô hạn toán học - 59 sĩ ở Berlin vào năm 1867, nhà toán học trẻ tuổi đã nhận được một vị trí giảng dạy tại trường Đại học Halle, một thành phố trung cổ nổi tiếng và là nơi đã sinh ra của nhà soạn nhạc thiên tài Georg Friedrich Haendel (1685-1759). Nằm ở giữa Gottingen và Berlin, Đại học Halle không có sự nổi tiếng cũng như tiếng vang hàn lâm như các thành phố lân cận. Cantor coi vị trí này như một cảng đỗ tạm thời, nơi nghỉ ngơi để suy tư về các vấn đề vô hạn và xác lập danh tiếng một nhà toán học, với hi vọng sẽ được mời làm giáo sư ở một trong các trường đại học uy tín hơn sau này. Nhưng lời mời không bao giờ tới, và với sự thất vọng to lớn, vị trí tạm thời đã trở thành thường trực. Toàn bộ sự nghiệp toán học của ông đã diễn ra gần như là trong bóng tối tại khoa toán của trường Đại học Halle. Thế nhưng chính trong bóng tối đó đã ló ra ánh sáng về vô hạn. Giống như Bolzano, bậc tiền bối của ông, Cantor (hình) đã có ý định mãnh liệt nhằm tống cái vô hạn tiềm tàng vào quên lãng và xác lập cái vô hạn hiện thực thành một thực thể hoàn toàn riêng rẽ trong khung cảnh của toán học. Tất cả các công trình của nhà toán học này về vô hạn, xét cho cùng, đều dựa trên hai khái niệm đơn giản tới không ngờ. Một tập hợp không gì khác chỉ là một sưu tập các đối tượng giống như bộ sưu tập tranh, tem hay các số nguyên. Nếu như hai bộ sưu tập đầu tiên là các tập hợp hữu hạn thì tập thứ ba là tập vô hạn. Khái niệm thứ hai là khái niệm tương ứng 1 - 1 mà ta đã gặp. Nếu xét hai 60 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN tập hữu hạn, ta có thể nói một cách chắc chắn tuyệt đối rằng hai tập là bằng nhau, tức là chúng có cùng số lượng các phần tử, ngay khi ta có thể gắn mỗi phần tử của tập thứ nhất với một phần tử duy nhất của tập thứ hai. Chẳng hạn như một tập gồm 4 nam và tập gồm 4 nữ. Ta có thể ghép 1 nữ với 1 nam để tạo thành 4 đôi. Cách ghép đôi cụ thể là hoàn toàn không quan trọng. Do có một tương ứng 1 - 1 giữa tập nam và tập nữ, hai tập này là bằng nhau. Tới đây thì chưa có gì là lạ cả. Nhưng vấn đề sẽ rắc rối hơn đối với các tập vô hạn. Ta hãy xét 2 tập vô hạn do Galilei đưa ra, trong cuộc tranh luận giữa Salviati và Simplicio về những bí ẩn của vô hạn, trong tác phẩm Deux nouvelles sciences (Hai khoa học mới): tập các số nguyên và tập các số nguyên bình phương. Mỗi bình phương có thể gắn với một số nguyên. Chẳng hạn, mỗi số bình phương 1, 4, 9, 16, 25,... có thể cặp đôi lần lượt với các số nguyên dương 1, 2, 3, 4, 5,... Theo tiên nghiệm, hai tập này có vẻ như bằng nhau, mặc dù dường như có nhiều số nguyên hơn là số nguyên bình phương. Thực vậy, tập các số nguyên dương không chỉ chứa các số bình phương mà còn chứa cả những số khác nữa không phải là bình phương. Nhưng trong khi Galilei chỉ dám nhấn mạnh nghịch lý đó, thì Cantor đã lật ngược lý lẽ một cách tài tình. Ông sẽ vẫn sử dụng khái niệm tương ứng 1 - 1 để định nghĩa “kích cỡ” (hay số phần tử) của một tập hợp (các nhà toán học gọi đó là “bản số” của một tập hợp). Ông đã táo bạo nói rằng khi hai tập hợp, bất kể là vô hạn hay hữu hạn, có thể xác lập một tương ứng 1 - 1 thì chúng phải có cùng số lượng các phần tử. Theo quy tắc này, số các số lẻ sẽ bằng số các số chẵn, và số Truy tìm vô hạn toán học - 61 các số bình phương cũng bằng số các số nguyên. Điều này như có vẻ không hợp với lẽ phải thông thường nói rằng “toàn thể phải lớn hơn bộ phận”, nhưng những kinh nghiệm của chúng ta cần phải gói gọn trong thế giới hữu hạn mà thôi. Nó không còn là người chỉ dẫn đúng đắn nữa khi đối mặt với vô hạn. Về mặt tiên nghiệm mà nói, không có lý do gì để các tập vô hạn cũng phải tuân theo các luật của các tập hữu hạn. Chúng ta đã thấy rằng với các chuỗi vô hạn, các quy tắc thông thường của số học không còn áp dụng được nữa. Cantor đã sáng suốt nhận ra điều đó và dũng cảm tuyên bố một cách dõng dạc rằng tính chất cơ bản nhất của một tập vô hạn là nó có thể có sự tương ứng 1 - 1 với chính một bộ phận của nó. Chính tính chất kỳ lạ này đã làm cho bạn luôn có phòng trống khi bạn tới khách sạn Vô hạn, ngay cả khi toàn bộ các phòng của nó đều có khách trước khi bạn đến! Âm nhạc và các số vô tỷ Lập một tương ứng 1 - 1 giữa các phân tử của một tập với tập các số nguyên dương, tức là gắn chúng lần lượt với các số 1, 2, 3, 4, 5,... điều đó không gì khác chính là đếm chúng. Như vậy, Cantor đã hé mở cho chúng ta thấy tập bao gồm các số chẵn, số lẻ hay các số bình phương là có thể đếm được. Lần đầu tiên trong lịch sử tư tưởng toán học, một người dám đưa ra một định nghĩa chặt chẽ và chính xác, chứ không phải một cách mơ hồ và bí ẩn, về vô hạn. Nhưng bạn có thể phản đối một cách hợp lý rằng sở dĩ các tập này là đếm được là do chúng có những “khoảng trống” lớn giữa các phần tử: các khoảng trống 1 đơn 62 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN vị giữa các số nguyên, 2 đơn vị với các số chẵn hay lẻ, khoảng trống không ngừng tăng giữa các số bình phương liên tiếp. Thế nhưng, nói thế là bạn đã đi nhầm đường rồi. Để xem bạn nhầm lẫn nặng nề như thế nào, hãy xét một tập các số “dày đặc” hơn rất nhiều, khoảng trống giữa các phần tử liên tiếp nhỏ hơn: đó là tập các “số hữu tỷ”. Các số này có thể được viết dưới dạng a/b, với a và b là các số nguyên (và b phải khác 0) như 1/2, 4/5 hay 7/8, hay cũng có thể là 2 hay 5, bởi chúng có thể viết dưới dạng 2/1 và 5/1: các số nguyên chính là một tập con của tập các số hữu tỷ. Các phân số được con người biết tới ngay khi họ biết đếm. Thực tế, mỗi phép đo không cho kết quả là một số nguyên đều cần sử dụng tới chúng. Người Hi Lạp, đặc biệt là Pythagoras vào thế kỷ 6 tr. CN, đã nghĩ rằng mọi thứ trong tự nhiên đều có thể biểu thị bằng tỷ số của các số nguyên. Ý tưởng này rất có thể bắt nguồn từ âm nhạc. Pythagoras đã phát hiện ra rằng các nốt nhạc phát ra từ một sợi dây rung động tuân theo các tỷ số về chiều dài. Chẳng hạn, hai nốt cách nhau một quãng tám, thì một nốt tạo bởi toàn bộ sợi dây rung động, còn nốt kia tạo bởi rung động của một nửa sợi dây. Nói một cách khác, một quãng tám tương ứng với tỷ lệ 2:1 về độ dài. Các số hữu tỉ thống trị tư tưởng Hi Lạp cũng giống như lý trí thống trị triết học của họ. Do có vô số các số nguyên nên cũng có vô số các phân số. Nhưng với một sự khác biệt cơ bản: các “khoảng trống” giữa các phân số nhỏ hơn rất nhiều so với các số nguyên. Chẳng hạn, ngay cả khi hai phân số rất gần nhau, ta cũng luôn tìm được một phân số khác nằm giữa chúng. Ví dụ, giữa hai phân Truy tìm vô hạn toán học - 63 số cực kỳ gần nhau là 1/10.001 và 1/10.000, chỉ khác biệt một phần trăm triệu, tuy thế ta vẫn có thể đặt số 2/20.001 vào giữa chúng. Ta có thể lặp lại quy trình này để đặt 4/40.001 vào giữa hai số 2/20.001 và 2/20.000, và cứ tiếp tục như thế. Thực tế là ta có thể đặt vô số các phân số vào giữa hai phân số bất kỳ (xem hình). Các khoảng giữa hai phân số có thể được chia ra vô hạn. Ngược lại với vật chất không thể phân chia ra vô hạn (lý thuyết “chuẩn” của vật chất nói rằng vật chất không thể có các thành phần nhỏ hơn các thực thể có tên là “quark”), trong toán học không tồn tại thành phần cơ bản. Tập các số hữu tỉ, dày đặc hơn rất nhiều và chứa các khoảng trống rất nhỏ liệu có phải là tập hợp không đếm được? Cantor trả lời là không. Vào năm 1874 ông chứng minh bằng một phương pháp tài tình rằng ta luôn có thể sắp xếp và đánh số toàn bộ các số hữu tỉ. Nói một cách khác, có thể lập một tương ứng 1 - 1 giữa tập hợp các số hữu tỷ với tập các số nguyên dương. Mặc dù có một sự khác biệt lớn về “mật độ”, nhưng hai tập này có cùng một kích cỡ. Rõ ràng là trực giác của chúng ta là người hướng dẫn tồi khi liên quan tới vô hạn! Cantor đã sử dụng ký hiệu א0 (Aleph 0, א là chữ cái đầu tiên trong bảng chữ cái Do Thái, và là biểu tượng của vô hạn trong Pháp truyền kinh thánh Do Thái). 64 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Mật độ của các số hữu tỉ (số có thể viết dưới dạng phân số; chẳng hạn như 5 = 5/1, 5,5 = 55/10, 5,55 = 555/100) là rất lớn. Hình vẽ trên chỉ ra rằng giữa hai số hữu tỉ gần nhau bất kỳ, luôn có thể chèn giữa chúng vô số các số hữu tỉ khác. Các số vô tỉ có thể gieo rắc sự hoảng loạn trong dân chúng Tới lúc này bạn có thể nghĩ như Cantor lúc đầu đã nghĩ rằng mọi tập vô hạn đều có thể đếm được. Một lần nữa bạn lại nhầm to! Ta đã thấy rằng các số hữu tỉ tạo thành một tập rất dày đặc. Nhưng liệu điều đó có nghĩa rằng mọi khoảng trống giữa hai số bất kỳ có thể lấp đầy hết bằng các số hữu tỉ hay không? Nói một cách khác, liệu mỗi điểm trên một đường thẳng vô hạn Truy tìm vô hạn toán học - 65 đều tương ứng với một số hữu tỉ? Một lần nữa câu trả lời là hoàn toàn không! Mặc dù có mật độ rất lớn, các số hữu tỉ còn xa mới biểu diễn được từng điểm của một đường thẳng. Luôn có những điểm không gắn được với bất kỳ một số hữu tỉ nào. Những khoảng trống đó chỉ được lấp đầy với sự phát hiện của các nhà toán học về các số phi hữu tỉ, gọi là số “vô tỉ”. Chính việc xem xét hai vấn đề của hình học - tính đường chéo của một hình vuông có cạnh là 1 và tính chu vi của một vòng tròn - đã làm lộ ra sự tồn tại của các số kỳ lạ này và gây ra cuộc khủng hoảng nghiêm trọng đầu tiên trong lịch sử toán học. Khủng hoảng này chỉ có thể giải quyết được với việc đưa ra những thực thể mới trong toán học. Việc phát hiện số vô tỉ đầu tiên, căn bậc hai của 2 (tức ), đã được gán cho Pythagoras. Theo định luật nổi tiếng của ông - có thể là định luật nổi tiếng nhất và được sử dụng nhiều nhất trong toán học - cạnh huyền c của một tam giác vuông cân có cạnh bằng 1 (hay tương đương với đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1) thỏa mãn hệ thức c2 = 12 + 12 = 2; tức là c = (xem hình vẽ). Vô cùng ngạc nhiên, Pythagoras và các môn đệ của ông phát hiện ra rằng không phải là một số nguyên, cũng không phải là tỉ số của hai số nguyên. Hoảng sợ, lúc đầu họ còn không dám chấp nhận là một số! Truyền thuyết kể lại rằng họ choáng váng do phát hiện này đến mức họ đã thề giữ kín bí mật này, vì sợ sẽ gây hoảng loạn trong dân chúng. Tuy nhiên, một trong số họ là Hippasus, đã vi phạm và tiết lộ bí mật. Ông đã phải trả giá bằng mạng sống của mình: trong một chuyến đi biển, ông bị các đồng nghiệp quăng xuống biển. 66 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Căn bậc hai của 2, độ dài của cạnh huyền một tam giác vuông cân có cạnh bằng 1, là một số vô tỉ, không thể biểu diễn bằng tỉ số của hai số nguyên. Hình trên là cách dựng hình của bằng thước và compa. Các môn đệ của Pythagoras rối trí bởi phát hiện của mình tới mức họ coi các số đó là “irrational” (có nghĩa thông thường là phi lý). Nhưng cần ý thức rằng đó chỉ là một cách lạm dụng từ ngữ: không nên nghĩ rằng các số vô tỉ đã tuột khỏi lý trí hay chúng hoàn toàn không có ý nghĩa gì. Thuật ngữ “vô tỉ” chỉ có nghĩa là chúng không biểu diễn được bằng tỉ số của hai số nguyên mà thôi. Nếu bạn dùng máy tính để tính , bạn sẽ nhận được kết quả xấp xỉ bằng 1,41421. Giá trị này chỉ có thể là xấp xỉ, bởi vì một tính chất đặc biệt của số vô tỉ chính là ta không thể viết nó bằng một số thập phân hữu hạn. Chỉ với vô hạn các chữ số sau dấu thập phân mới có thể biểu diễn giá trị “thực” của nó. Ngoài , còn có rất nhiều số vô tỉ khác. Thực tế là căn bậc hai của tất cả các số nguyên tố (số chỉ chia hết cho 1 và chính nó), như , , , , ,... đều là các số vô tỉ. Và căn bậc hai của đa số các số không phải là số nguyên tố như , ,... cũng thế. Truy tìm vô hạn toán học - 67 Hai số vô tỉ nổi tiếng: π và con số vàng Các số vô tỉ cũng xuất hiện trong toán học nhưng ở một bối cảnh khác. Lần này cũng vẫn liên quan tới vô hạn: đó là các chuỗi vô hạn, mà ta đã làm quen lúc trước. Các quy tắc đại số nói với ta rằng khi ta cộng, trừ, nhân hay chia hai phân số thì kết quả vẫn là một phân số. Nhưng điều đó chỉ đúng với tổng hay tích của một số hữu hạn các phân số. Nó sẽ không còn đúng nữa với tổng hay tích của vô số các số hữu tỉ, như trường hợp của các chuỗi vô hạn. Chẳng hạn, hãy xét chuỗi vô hạn của các số nghịch đảo của bình phương các số nguyên: 1/1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... Nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler (1707-1783) đã chứng minh được chuỗi này là hội tụ, tức là tổng của nó là một số hữu hạn. Tổng này không thể biểu diễn được bằng phân số mà qua số vô tỉ π nổi tiếng, tổng này là bằng π2/6. Bài học rút ra ở đây là: khi vô hạn xuất hiện, π cũng sẽ xuất hiện. Số π, như ta đã biết, là tỉ số của chu vi với đường kính của một vòng tròn. Mặc dù được biết tới bởi người Babylon và Ai Cập cách đây hơn 20 thế kỷ, tính vô tỉ của nó chỉ được chứng minh vào năm 1761 bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Joseph Heinrich Lambert (1728-1777). Ta đã biết Archimedes là người đầu tiên tính được giá trị của π bằng cách sáng tạo ra phương pháp các đa giác nội tiếp và ngoại tiếp vòng tròn. Ông đã chứng minh được rằng giá trị của π phải nằm trong khoảng 3+10/71 và 3+1/7. Trong suốt các thế kỷ sau đó, các nhà toán học đã phát hiện ra nhiều chuỗi vô hạn đáng chú ý khác cho phép tính ngày càng chính 68 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN xác giá trị của π(10). Chẳng hạn, nhà toán học Pháp François Viète (1540-1603) đã chứng minh được rằng π có thể được đánh giá bằng cách chỉ sử dụng số 2 trong liên tiếp vô hạn các phép cộng, nhân, chia và căn bậc hai bởi tích vô hạn sau: . . ... + + + 2/π = 2 2 2 Nhà toán học Anh John Wallis (1616-1703) người đã nghĩ ra ký hiệu ∞ để chỉ vô hạn, đã phát hiện vào năm 1650 tích vô hạn sau: π/2 = (2. 2. 4. 4. 6. 6 ...)/(1. 3. 3. 5. 5. 7 ...) Năm 1671, tới lượt nhà toán học người Scotland James Gregory (1638-1675) tìm ra một chuỗi vô hạn khác để tính giá trị của π: π/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... Bằng cách sử dụng các chuỗi và tích vô hạn này và đánh giá giá trị của một số ngày càng tăng các số hạng, về nguyên tắc ta có thể tính được giá trị của π với độ chính xác bất kỳ, với số chữ số thập phân như ta mong muốn. Nhưng cũng giống như trường hợp của , do π là một số vô tỉ, ta sẽ không bao giờ biết được giá trị “chính xác” của nó, bởi ta không thể tính toán một số vô hạn các số hạng. Tất nhiên, các máy tính hiện đại có thể tính toán một số rất lớn với tốc độ ngày càng tăng dần theo thời gian, và các nhà toán học cũng không ngần ngại nhờ đến 10. Eli Maor, To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite (Tới vô hạn và xa hơn: một lịch sử văn hóa của cái vô hạn), NXB Birkhaüser, 1987. Truy tìm vô hạn toán học - 69 chúng. Hiện nay, các máy tính đã có thể tính được hơn mười nghìn tỷ (1013) chữ số thập phân (xem hình vẽ). Đối với đại đa số các ứng dụng khoa học, việc biết tới hơn 40 chữ số thập phân của π rõ ràng là không cần thiết. Động lực chính để tính toán số chữ số thập phân ngày càng tăng chủ yếu là ham muốn luôn tiến xa hơn và phá các kỷ lục trước đó để thỏa mãn cái tôi của con người. Nhưng cũng có những động lực khoa học hơn: tính toán một số lượng lớn các chữ số thập phân của π cho phép biết được sự phân bố thống kê của chúng và xem có tồn tại hay không sự lặp lại hay các chu kỳ của các chữ số đó. Tới tận giờ không có một quy luật nào được phát hiện. Việc tính toán các chữ số thập phân của π cho phép thử nghiệm khả năng tính của các siêu máy tính và kiểm chứng độ chính xác của các thuật toán nhân. Còn với chúng ta, những người ngoại đạo, biết 5 chữ số thập phân của π (3,14159) đã là quá đủ dùng cho mọi tình huống gặp phải hàng ngày. 3,141592653589793238462643 3832795028841971693993751 0582097494459230781640628 6208998628034825342117067 9821480865132823066470938 4460955058223172535940812 8481117450284102701938521 1055596446229489549303819 6442881097566593344612847 Số π, như tất cả các số vô tỉ, có vô hạn các chữ số thập phân. Hình trên chứa 224 chữ số đầu tiên. 70 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Số vàng được coi là có một vai trò quan trọng trong việc xây dựng đền Parthenon ở Hi Lạp. Thực tế là mặt tiền của nó chính là một “hình chữ nhật vàng” (xem hình tiếp theo). Một số vô tỉ khác cũng đã làm mê hoặc trí tưởng tượng của con người, dù họ là nhà toán học hay không, đó là “con số vàng”, được ký hiệu là φ. Được coi là số gắn với cái đẹp và sự hài hòa, và dùng để định nghĩa các kích thước chuẩn của mỹ học, nó cũng có một vai trò quan trọng trong kiến trúc Hi Lạp (xem hình trên). Người Ai Cập cũng sử dụng con số này khi xây dựng một số kim tự tháp như kim tự tháp Kheops (khoảng 2520 tr. CN). Gần đây hơn, kiến trúc sư Le Corbusier (1887-1965) đã dùng nó trong một số tác phẩm của ông. Con số vàng cũng được tìm thấy trong tự nhiên: lá của một số loại cây (như hướng dương) được xếp đặt theo con số vàng. Số này tương ứng với việc chia một đoạn thẳng có độ dài là 1 theo tỉ lệ “chuẩn”, được định nghĩa sao cho tỉ số của phần dài hơn (có độ dài là x) với phần nhỏ hơn (có độ dài là 1 - x) bằng tỉ số của cả đoạn thẳng (có độ dài là 1) với phần dài hơn (có độ dài là x). Nói một cách khác φ = x/(1-x) = 1/x. Tương đương với phương trình x2 + x - 1 = 0, phương trình này có nghiệm dương là x = (−1 + )/2 (xem hình dưới). Từ đó ta tìm được con số vàng là φ = (1 + )/2, có Truy tìm vô hạn toán học - 71 giá trị xấp xỉ là 1,61803... Giống như , nó có vô số chữ số thập phân và trật tự không bao giờ lặp lại. Để dựng hình số vàng φ, đầu tiên hãy vẽ một hình vuông có cạnh bằng 1. Dựng điểm E là trung điểm của đoạn AB. Lấy E làm tâm, vẽ một cung tròn bán kính EC cắt đoạn AB kéo dài tại F. Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật AFGD, gọi là “hình chữ nhật vàng”, chính là số vàng φ = (1 + )/2. Các số vô tỉ như , π hay φ được chia làm hai loại: loại là nghiệm của một phương trình đại số, như trường hợp (phương trình x2 - 2 = 0) và φ (phương trình được cho ở đoạn trước) - và loại không phải là nghiệm, như π. Các số như π được gọi là các số vô tỉ “siêu việt”. Cũng giống như tên gọi vô tỉ không có ngụ ý gì về sự thiếu lý trí, từ “siêu việt” ở đây cũng không ám chỉ điều gì là siêu nhiên cả. Nó chỉ có nghĩa là những số như vậy không thể tính toán từ một phương trình. Theo các suy ngẫm ở trên, ta có thể nói rằng có một cái gì đó vô hạn trong hình tròn (biểu hiện qua π), trong một đoạn thẳng (biểu hiện qua φ) và thực ra là trong tất cả các số vô tỉ. 72 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Không phải tất cả các vô hạn đều bằng nhau Ta đã thấy mặc dù các số hữu tỉ tạo thành một tập hợp lớn rất trù mật, nhưng chúng cũng không thể lấp đầy mọi khoảng trống giữa hai số bất kỳ. Nghĩa là chúng không thể biểu diễn tất cả các điểm của một đường thẳng liên tục. Giờ ta lại đã xác lập được sự tồn tại của các số vô tỉ và chúng không còn làm ta sợ hãi như ở thời Hi Lạp cổ đại nữa, vậy liệu ta có thể dùng chúng để lấp đầy tất cả các khoảng trống không? Câu trả lời là có. Nếu ta tập hợp tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ, ta sẽ nhận được cái mà các nhà toán học gọi là tập các số thực. Nhưng, một lần nữa, ngôn ngữ thường ngày ở đây có thể gây nhầm lẫn: từ “thực” ở đây không có nghĩa là các số này có một sự tồn tại thực tế hơn các số khác! Các số thực cũng không “thực” hơn các số nguyên hay hữu tỉ. Mọi số thực đều có thể biểu diễn bằng dãy các số thập phân, như 0,1, hay 0,124124..., hay 0,2020020002... Các dãy này được phân thành ba loại. Chúng là hữu hạn (0,1), là vô hạn tuần hoàn (0,124124...) hoặc vô hạn không tuần hoàn (trật tự các chữ số không bao giờ lặp lại). Hai loại đầu tiên gắn với các số hữu tỉ (chẳng hạn như 0,1 = 1/10), trong khi loại thứ ba là các số vô tỉ. Như vậy, các số thực lấp đầy tất cả các khoảng trống của một đường thẳng liên tục. Vậy tập số thực có kích cỡ như thế nào? Cantor tự hỏi. Hiển nhiên nó là vô hạn bởi vì nó chứa tập các số nguyên và số hữu tỉ, mà các tập này đều là vô hạn như ta đã biết. Hai tập vô hạn đó đều là đếm được: ta có thể lập một tương ứng 1 - 1 giữa các phần tử của chúng với tập các số nguyên - tức là đếm chúng. Truy tìm vô hạn toán học - 73 Nhưng tập các số thực còn chứa cả tập các số vô tỉ. Liệu nó có đếm được không? Cần nhớ rằng “đếm” ở đây không mang nghĩa thông thường vì làm sao đếm được vô hạn? Một tập là đếm được nếu mỗi phần tử của nó có tương ứng 1 - 1 với một số nguyên. Bạn sẽ không bao giờ đi được đến cuối cùng của tiến trình này, nhưng điều quan trọng ở đây là điều đó là có thể. Cantor đã chứng minh được rằng không thể có tương ứng 1 - 1 giữa các số thực và các số nguyên: vô hạn của các số thực là vô cùng lớn hơn những vô hạn đếm được mà Cantor đặt tên cho là א0. Điều này có nghĩa là mọi vô hạn không phải đều bằng nhau, và một số vô hạn là có thể đếm được còn một số khác thì không! Một mặt phẳng không chứa nhiều điểm hơn một đường thẳng Sau khi chứng minh sự tồn tại của nhiều kiểu vô hạn khác nhau, Cantor chuyển sự quan tâm sang khái niệm chiều. Xét cho cùng thì việc xem xét các tập số với các mức độ vô hạn khác nhau cũng giống như việc xét các vật thể có chiều khác nhau. Khái niệm chiều là một khái niệm cơ bản của khoa học. Nhà toán học Hi Lạp Euclid (khoảng 330-260 tr. CN) nói rằng một điểm không có độ dài, một đường thẳng không có độ dày, và mặt phẳng không có độ sâu. Như vậy chiều của một điểm là 0, của đường thẳng là 1, của mặt phẳng là 2 và của một thể tích là 3. Einstein đã cho ta thấy rằng chúng ta tiến hóa trong một không-thời gian 4 chiều trong đó có 3 chiều không gian và 1 chiều thời gian. Lý thuyết dây (cho rằng các hạt cơ bản của vật chất không phải là điểm mà là kết quả đến từ dao động của 74 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN những sợi dây vô cùng bé) thậm chí còn đề xuất rằng không gian có 10 chiều (trong đó có 7 chiều bị tự cuộn lại và ta không thể nhận thấy chúng). Cantor đã đặt câu hỏi như sau: mức độ vô hạn của một thực thể toán học thay đổi như thế nào với chiều của nó? Chẳng hạn, mức độ vô hạn của một mặt phẳng có cao hơn một đường thẳng hay không? Lẽ phải thông thường nói với ta rằng chắc phải cao hơn bởi một mặt phẳng rộng lớn hơn rất nhiều so với một đường thẳng. Để trả lời câu hỏi này, Cantor đã viện đến nhà toán học, vật lý và triết gia người Pháp René Descartes (1596-1650) (hình). Descartes là người đã nghĩ ra môn mà ngày nay gọi là “hình học giải tích”, được trình bày trong tác phẩm La Géométrie(11) (Hình học) xuất bản năm 1637 dưới dạng một phụ lục của tác phẩm nổi tiếng Discours de la Méthode (Luận về phương thức). Trong tác phẩm này, Descartes đã thành công trong việc tổng hợp một cách tuyệt vời giữa đại số và hình học. Nói một cách khác, ông đã thiết lập được mối quan hệ giữa toán học không gian của hình học với các công thức đại số. Descartes tất nhiên không phải là người đầu tiên quan tâm tới vấn đề này. Người Hi Lạp đã biết là có tồn tại một kết nối giữa các số và các điểm trên một mặt phẳng hay của bất kỳ một hình hình học nào khác, nhưng họ chưa bao giờ thành công trong việc khai thác ý tưởng đó. Sự tài tình 11. René Descartes, Oeuvres complète (Toàn tập). Truy tìm vô hạn toán học - 75 của Descartes là đã làm nốt phần còn lại: ông đề xuất chia một mặt phẳng (2 chiều) thành 4 phần, thiết lập cái được gọi là hệ tọa độ X-Y(12). Tại gốc của hệ tọa độ này, X và Y đều có giá trị là 0. Tiến sang phải sẽ làm tăng giá trị của X, và về phía trái sẽ làm giảm nó. Cũng như vậy, tiến lên trên làm tăng Y và xuống dưới làm giảm nó. Bằng cách sử dụng hệ thống của Descartes, ngày nay được gọi là “hệ tọa độ Descartes”, ta có thể định nghĩa chính xác mỗi điểm của mặt phẳng vô hạn bằng cách đo chiều dài theo các trục X và Y, ta thu được một cặp số biểu diễn tọa độ X và Y của điểm đó (xem hình vẽ). Trong tọa độ Descartes, vị trí của một điểm trên một mặt phẳng được xác định bởi một cặp số. 12. Quy ước do Descartes phát minh ra, theo đó các đại lượng đã biết được biểu diễn bằng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái, và các biến số bởi các chữ cái ở cuối, vẫn còn được dùng tới ngày nay. 76 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN Hệ tọa độ Descartes trở nên có ích và phổ biến trong vô số các ứng dụng thực tế tới mức ta không còn nghĩ tới sự hiện diện khắp nơi của nó trong cuộc sống hằng ngày nữa. Thực vậy, các bản đồ địa lý chính là các phép chiếu của bề mặt Trái Đất lên một mặt phẳng, nhưng thay vì dùng X và Y ta dùng tọa độ Bắc Nam và Đông-Tây. Các điểm ảnh trên màn hình máy tính hay máy ảnh được số hóa theo hệ tọa độ Descartes: các electron được bắn lên màn hình hai chiều tại các vị trí xác định bởi cặp tọa độ X và Y. Các ý tưởng của Descartes liên quan với mặt phẳng hai chiều đã được tổng quát hóa cho các vật thể ba chiều hay nhiều hơn. Chẳng hạn, một kiến trúc sư muốn nhờ máy tính để hiển thị một tòa nhà mà anh ta muốn xây, anh ta sẽ phải sử dụng một phần mềm chuyên dụng dựa trên hệ tọa độ ba chiều với tọa độ X, Y và thêm tọa độ Z nữa để thể hiện độ sâu. Để trả lời câu hỏi: “Liệu trên mặt phẳng có nhiều điểm hơn so với một đường thẳng hay không?”, Cantor đã sử dụng tới hệ tọa độ Descartes. Descartes cho ta biết vị trí của mỗi điểm trên một mặt phẳng có thể xác định bởi một cặp số X và Y chẳng hạn như 0,4325134 và 0,8436321 (không mất tính tổng quát, Cantor đã lựa chọn tập trung vào các số giữa 0 và 1). Một cách tổng quát hơn, hai số này có dạng 0, a1a2a3... và 0,b1b2b3..., với các chữ số an và bn lấy các giá trị từ 0 tới 9. Cantor đã khám phá ra một cách rất tài tình để biến mỗi cặp tọa độ này thành một số duy nhất: số này bao gồm tất cả các chữ số của cả hai số ban đầu, nhưng chữ số của 2 số này sẽ đan xen nhau: 0,a1b1a2b2a3b3... Như vậy, cặp tọa độ trên sẽ gắn với số 0,48342356133241... Và như thế Cantor đã chứng minh được rằng mỗi điểm của một Truy tìm vô hạn toán học - 77 mặt phẳng (xác định bởi một cặp số) tương ứng với một điểm duy nhất của một đoạn thẳng. Nói một cách khác, mặt phẳng hai chiều có số điểm đúng bằng số điểm trên một đường thẳng chỉ có một chiều! Với lý luận tương tự, Cantor chứng minh được số điểm của không gian 3 chiều (chẳng hạn như một khối lập phương) hay của bất cứ không gian đa chiều nào cũng chỉ bằng số điểm trên một đường thẳng. Một kết quả thách thức lẽ phải thông thường: “Tôi nhìn thấy nó nhưng không dám tin vào mắt mình nữa!” ông viết như thế cho một người bạn, nhà toán học Richard Dedekind (1831-1916). Người bạn này đã chúc mừng công trình của ông, nhưng khuyên ông nên thận trọng hơn và không nên tấn công một cách quá thô bạo tới những ý tưởng đã có về các chiều, bởi ông có thể phải chuốc lấy những phiền phức từ phía những quyền uy của khoa học. Bất hạnh thay với Cantor, chuỗi các sự kiện tiếp theo đã chứng tỏ Dedekind quá có lý. Một số nhà toán học nổi tiếng đã chối bỏ kết quả về vô hạn của Cantor, bởi theo họ, chúng đã lật lại quá nhiều vấn đề của hình học tại thời điểm đó. Một sự từ chối gây ra nhiều hậu quả nặng nề đối với cuộc sống và sự nghiệp của Cantor, và đã dẫn ông tới loạn trí. Chính Dedekind cuối cùng đã là người chứng minh được lý thuyết của Cantor về vô hạn hoàn toàn tương thích và nhất quán với phần còn lại của toán học. Chúng ta đã thấy đi thấy lại rằng lẽ phải thông thường không phải là một người dẫn đường tốt khi liên quan tới vô hạn! Khi ta dấn thân vào lĩnh vực này, ta không thể tin tưởng vào trực giác thông thường được nữa. Triết gia người Pháp Emmanuel Levinas đã biểu thị sự không 78 - KHÁT VỌNG TỚI CÁI VÔ HẠN