🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook Chúa Trời Có Phải Là Nhà Toán Học Ebooks Nhóm Zalo một bí ẩn 1 Chủ biên: Vũ Công Lập Phạm Văn Thiều Nguyễn Văn Liễn IS GOD A MATHEMATICIAN? Copyright © 2009 by Mario Livio. All rights reserved. Published by arrangement with the original publisher, Simon & Schuster, Inc. Bản tiếng Việt © NXB Trẻ, 2011 BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI THƯ VIỆN KHTH TP.HCM Livio, Mario, 1945- Chúa trời có phải là nhà toán học? / Mario Livio ; ng.d. Phạm Văn Thiều, Phạm Thu Hằng. - T.P. Hồ Chí Minh : Trẻ, 2011. 370tr. ; 20cm. - (Kiến thức bách khoa) (Khoa học và khám phá). Nguyên bản : Is God a mathematician?. 1. Toán học — Triết học. 2. Nhà toán học — Tâm lý học. 3. Khám phá khoa học. I. Phạm Văn Thiều d. II. Phạm Thu Hằng d. III. Ts: Is God a mathematician?. 510 — dc 22 L788 Tặng Sophie Mục lục Lời tựa 7 Chương 1: Một bí ẩn 11 Chương 2: Những con người thần bí: Nhà số học và triết gia 30 Chương 3: Các nhà ảo thuật: Bậc thầy và kẻ dị giáo 68 Chương 4: Các nhà ảo thuật: Kẻ hoài nghi và người khổng lồ 132 Chương 5: Các nhà thống kê và xác suất: Khoa học của sự bất định 178 Chương 6: Nhà hình học: Cú sốc tương lai 224 Chương 7: Các nhà lôgic: Tư duy về suy luận 255 Chương 8: Tính hiệu quả đến phi lý? 297 Chương 9: Về trí tuệ con người, toán học và vũ trụ 328 lời tựa Khi bạn làm việc trong ngành vũ trụ học - ngành khoa học nghiên cứu về vũ trụ - bạn sẽ thường xuyên nhận được thư, email hay fax hàng tuần được gửi bởi một ai đó muốn mô tả cho bạn lý thuyết về vũ trụ của anh ta (vâng, người gửi luôn là nam giới). Lúc đó sai lầm lớn nhất mà bạn có thể mắc phải đó là trả lời một cách lịch sự rằng bạn muốn có thêm thông tin. Ngay lập tức bạn sẽ bị chìm ngập trong đống thư từ. Vậy làm thế nào để có thể tránh được điều này? Một chiến thuật mà tôi áp dụng rất hiệu quả (ngoại trừ cách hơi bất lịch sự là không trả lời) đó là chỉ ra rằng chừng nào lý thuyết đó không được thể hiện bằng ngôn ngữ chặt chẽ của toán học, thì sẽ không thể nào xác định được tính chính xác của nó. Trả lời như thế hầu như đã chặn đứng hết các nhà vũ trụ học nghiệp dư. Thực tế là nếu như không có toán học, các nhà vũ trụ học hiện đại sẽ không thể tiến thêm một bước nào trên con đường tìm hiểu các định luật của tự nhiên. Toán học cung cấp bộ khung vững chắc để gắn kết bất kỳ một lý thuyết về vũ trụ nào. Điều này có thể không gây ngạc nhiên lắm đối với bạn cho tới khi bạn nhận ra rằng thậm chí bản chất của toán học cũng là chưa hoàn toàn rõ ràng. Như nhà triết học người Anh Sir Michael Dummett đã từng nói: “Hai lĩnh vực trí tuệ trừu tượng nhất, là triết học và toán học, 8 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? đều gây ra cùng một điều bối rối: bản chất của chúng là gì? Sự bối rối này không chỉ là do sự ngu dốt, bởi ngay cả người trong cuộc cũng thấy khó có thể trả lời câu hỏi này.” Trong cuốn sách này tôi sẽ cố gắng trong khả năng có thể của mình để làm sáng tỏ một số phương diện về bản chất của toán học và đặc biệt là bản chất của mối quan hệ giữa toán học và thế giới mà chúng ta quan sát được. Mục đích của cuốn sách này hoàn toàn không phải là để giới thiệu một cách đầy đủ lịch sử của toán học. Mà thực ra là tôi đi theo trình tự thời gian của sự biến đổi của một số khái niệm có ảnh hưởng trực tiếp đến việc làm rõ vai trò của toán học trong những hiểu biết của chúng ta về vũ trụ. Rất nhiều người đã có công đóng góp, một cách trực tiếp hay gián tiếp, trong một khoảng thời gian dài cho ý tưởng của cuốn sách này. Tôi muốn cảm ơn Ngài Michael Atiyah, Gia Dvali, Freeman Dison, Hillel Gauchman, David Gross, Ngài Roger Penrose, Huân tước Martin Rees, Raman Sundrum, Max Tegmark, Steven Weinberg và Stephen Wolfram vì những cuộc trao đổi rất hữu ích. Tôi rất biết ơn Dorothy Morgenstern đã cho phép sử dụng toàn bộ câu chuyện về Kurt Godel với Sở Di trú và Nhập tịch Hoa Kỳ. William Christens-Barry, Keith Knox, Roger Easton, và đặc biệt là Will Noel đã có nhã ý kể lại cho tôi quá trình giải mã tấm da tái chế Archimedes. Tôi xin đặc biệt cảm ơn Laura Garbolino đã cung cấp các tài liệu quan trọng và hồ sơ hiếm về lịch sử của toán học. Tôi cũng vô cùng cảm ơn bộ phận lưu trữ đặc biệt của Đại học Johns Hopkins, Đại học Chicago, và Thư viện Quốc gia Pháp đã cung cấp cho tôi các bản viết tay quý hiếm. Tôi rất biết ơn Stefano Casertano đã giúp dịch các đoạn văn lời tựa 9 khó từ tiếng Latinh và Elizabeth Fraser và Jill Lagerstrom trong việc hỗ trợ về ngôn ngữ và thư mục (với nụ cười luôn thường trực trên môi). Tôi đặc biệt cảm ơn Sharon Toolan vì sự giúp đỡ rất chuyên nghiệp trong việc chuẩn bị bản thảo và Ann Field, Kríta Wildt và Stacey Benn đã giúp tôi vẽ một số hình. Bất cứ tác giả nào cũng sẽ cảm thấy mình may mắn nếu như có được sự ủng hộ và kiên nhẫn giống như của vợ tôi, Sophie, trong suốt quá trình viết cuốn sách này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn đại diện của tôi, Susan Rabiner, nếu không có sự động viên của cô, cuốn sách này đã không thể hoàn thành. Tôi cũng biết ơn biên tập viên Bob Bender đã đọc bản thảo và góp nhiều ý kiến quý báu, Johanna Li đã hỗ trợ việc xuất bản, Loretta Denner và Amy Ryan đã sửa bông, Victoria Meyer và Katie Grinch đã quảng cáo cho cuốn sách, và toàn bộ nhóm xuất bản và quảng cáo thuộc NXB Simon & Schuster đã làm việc hết mình để đưa cuốn sách này đến tay bạn đọc. chương 1 một bí ẩn Cách đây vài năm khi tôi nói chuyện ở trường Đại học Cornell, trên một trong các trang soạn thảo để chiếu lên (slide) của tôi có dòng chữ: “Phải chăng Thượng đế là nhà toán học?” Ngay khi slide này được chiếu lên, tôi nghe thấy một sinh viên ngồi hàng đầu thở hắt ra: “Ôi Chúa ơi, hy vọng là không phải thế!” Câu hỏi hoa mỹ của tôi không phải là một cố gắng triết học để định nghĩa Thượng đế cho người nghe và cũng chẳng phải là một cách thông minh nhằm hăm dọa những người sợ toán. Thực ra tôi đơn giản chỉ muốn giới thiệu một bí ẩn mà nhiều bộ óc độc đáo nhất đã phải vật lộn nhiều thế kỷ nay - đó là sự hiện diện ở mọi nơi và khả năng dường như là vô hạn của toán học. Đây là những đặc điểm mà người ta thường chỉ gán cho thánh thần. Nhà vật lý người Anh James Jeans từng nói: “Vũ trụ có vẻ như đã được thiết kế bởi một nhà toán học thuần túy”. Toán học dường như quá hiệu quả trong việc miêu tả và giải thích không chỉ vũ trụ nói chung, mà cả những hoạt động hỗn độn nhất của con người. Bất kể là các nhà vật lý đang cố gắng tìm ra một lý thuyết của vũ trụ hay các chuyên viên phân tích thị trường chứng khoán gãi đầu gãi tai để dự đoán vụ sụt giá bất thần sắp tới hay các 12 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? nhà sinh học thần kinh đang xây dựng mô hình về chức năng của não, hay các nhà tình báo quân đội tìm cách tối ưu hóa việc phân bổ tài lực, tất thảy họ đều phải sử dụng toán học. Hơn nữa, thậm chí nếu họ có áp dụng các hình thức luận được phát triển trong các nhánh khác nhau của toán học thì họ vẫn cứ phải dựa vào cùng một thứ toán học tổng thể và nhất quán. Cái gì đã đem lại cho toán học các quyền năng lớn lao tới mức khó tin nổi như thế? Thậm chí Einstein cũng đã từng tự hỏi: “Làm thế nào mà toán học, một sản phẩm của tư duy con người, hoàn toàn độc lập với kinh nghiệm [nhấn mạnh của tác giả], lại có thể tương thích một cách tuyệt vời với các đối tượng của thực tại vật lý đến như vây?” Cái cảm giác hoang mang này hoàn toàn không phải là mới. Một số nhà triết học cổ Hy Lạp, mà đặc biệt là Pythagoras và Plato, đã từng kinh sợ trước khả năng rõ ràng của toán học trong việc định hình và dẫn dắt vũ trụ, nhưng dường như lại nằm ngoài khả năng làm thay đổi, dẫn dắt và ảnh hưởng của con người. Nhà triết học chính trị người Anh Thomas Hobbes (1588-1679) cũng không thể che giấu sự ngưỡng mộ của ông. Trong tác phẩm Leviathan, một trình bày đầy ấn tượng những cái mà Hobbes coi là nền móng của xã hội và chính phủ, ông đã nêu bật hình học như là hình mẫu của lập luận duy lý: Khi nhận ra rằng sự thật nằm ở việc sắp xếp đúng các tên gọi trong những khẳng định của chúng ta, người đi tìm sự thật tuyệt đối cần phải nhớ chính xác ý nghĩa của tất cả các tên gọi mà anh ta sử dụng, và sắp xếp chúng một cách đúng đắn; nếu không anh ta sẽ thấy mình bị vướng một bí ẩn 13 mắc vào từ ngữ, như gà mắc tóc, càng giãy dụa lại càng bị mắc. Và do đó trong hình học (khoa học duy nhất mà Chúa đã hài lòng ban cho loài người), con người đã bắt đầu bằng cách xác lập ý nghĩa của các từ; sự xác lập những ý nghĩa, mà họ gọi là các định nghĩa, và đặt chúng làm xuất phát điểm của sự tính toán của họ. Hàng ngàn năm nghiên cứu toán học đầy ấn tượng và tư biện triết học sâu sắc cũng hầu như không làm sáng tỏ thêm được tí nào điều bí ẩn về sức mạnh của toán học. Thậm chí bí ẩn này còn tăng thêm theo một nghĩa nào đó. Chẳng hạn, nhà vật lý toán nổi tiếng của Oxford Roger Penrose không chỉ thấy một mà những ba bí ẩn. Ông nhận thấy không phải chỉ có một mà là có những ba “thế giới”: thế giới những cảm nhận có ý thức của chúng ta, thế giới tự nhiên, và thế giới Plato của các dạng toán học. Thế giới đầu tiên là thế giới của tất cả các hình ảnh trong trí óc của chúng ta - chúng ta cảm nhận khuôn mặt con cái chúng ta như thế nào, chúng ta thưởng thức cảnh Mặt trời lặn đầy hấp dẫn ra sao hay chúng ta phản ứng với những hình ảnh khủng khiếp của chiến tranh như thế nào. Đây cũng là thế giới của tình yêu, ghen tị và định kiến cũng như cảm nhận của chúng ta về âm nhạc, mùi vị thức ăn và nỗi sợ hãi. Thế giới thứ hai là thế giới mà chúng ta vẫn gọi là thực tại vật lý. Nhưng bông hoa, vỉ thuốc aspirin, đám mây trắng và những chiếc máy bay phản lực là thuộc thế giới này, cũng như các thiên hà, hành tinh, nguyên tử, trái tim của khỉ dầu chó và bộ não của con người. Thế giới Plato của các dạng toán học, theo Penrose, cũng có một thực tại thực sự như là thế giới tự nhiên và thế giới tinh thần, là đất mẹ của toán học. Đây là nơi ta tìm thấy 14 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? các số tự nhiên 1, 2, 3, 4,..., tất cả các hình dạng và định lý của hình học Euclid, các định luật về chuyển động của Newton, lý thuyết dây, lý thuyết tai biến và các mô hình toán học mô tả hành trạng của thị trường chứng khoán. Và sau đây là ba bí ẩn theo Penrose. Trước hết, thế giới tự nhiên dường như lại tuân theo các định luật mà thực ra thuộc về thế giới các dạng toán học. Điều này làm cho ngay cả Einstein cũng phải kinh ngạc. Nhà vật lý được giải Nobel Eugene Wigner (1902-95) cũng đã phải thốt lên rằng: Phép lạ về sự thích hợp của ngôn ngữ toán học đối với sự phát biểu các định luật của vật lý là một món quà tuyệt vời mà chúng ta không hiều và cũng không xứng đáng. Chúng ta cần phải biết ơn vì điều đó và hy vọng rằng nó sẽ vẫn đúng đắn với các nghiên cứu trong tương lai và tiếp tục mở rộng ra tất cả các ngành khoa học, bất chấp hậu quả thế nào, vì niềm thích thú của chúng ta, và thậm chí có lẽ cũng khiến ta bối rối nữa. Thứ hai là chính các trí óc nhận thức - nơi lưu giữ các tri giác có ý thức của chúng ta - bằng cách nào đó lại có thể đột sinh từ thế giới tự nhiên. Vậy ý thức được sinh ra từ vật chất bằng cách nào? Liệu chúng ta có thể đưa ra một lý thuyết về hoạt động của ý thức một cách mạch lạc và chặt chẽ như lý thuyết về điện từ không? Và cuối cùng cái vòng tròn đó đã đóng lại một cách bí mật. Những trí óc nhận thức này lại có thể thâm nhập một cách thần kỳ vào thế giới toán học bằng cách phát hiện hay sáng tạo ra và trình bày một kho tàng các dạng và khái niệm toán học trừu tượng. Penrose không đưa ra giải thích cho bất kỳ một bí ẩn nào ở một bí ẩn 15 trên. Thay vào đó ông chỉ kết luận một cách cô đọng: “Không nghi ngờ gì nữa, thực sự ra chỉ có một thế giới chứ không phải ba, và bản chất thực của nó hiện tại chúng ta thậm chí còn chưa nắm bắt được.” Đây là một thú nhận khiếm tốn hơn nhiều so với câu trả lời cho một câu hỏi tương tự của một thầy giáo trong vở kịch Bốn mươi năm sau (của nhà viết kịch người Anh Alan Bennett): Foster: Thưa thầy, em vẫn còn mơ hồ về Chúa ba ngôi. Thầy giáo: Ba là một, một là ba, có gì khó hiểu đâu. Nếu còn nghi ngờ về điều đó thì hãy đến gặp thầy dạy toán của em mà hỏi. Vấn đề thậm chí còn rắc rối hơn là như tôi vừa trình bày. Thực ra là có hai mặt đối với sự thành công của toán học trong việc giải thích thế giới xung quanh chúng ta (sự thành công mà Wigner gọi là “tính hiệu quả đến mức không thể lý giải nổi của toán học”), mà mặt nào cũng gây ngạc nhiên cả. Đầu tiên là mặt mà ta có thể gọi là “chủ động”. Khi các nhà vật lý đi lang thang trong mê cung của tự nhiên, họ dùng toán học để soi sáng lối đi - các công cụ mà họ sử dụng và phát triển, các mô hình mà họ xây dựng và các giải thích mà họ đưa ra, hết thảy đều là toán học về bản chất. Cứ nhìn bề ngoài mà xét thì điều này bản thân nó đã là một sự thần kỳ. Newton đã quan sát một trái táo rơi, và thủy triều trên bãi biển (tôi thậm chí còn không tin ông từng nhìn thấy thủy triều) chứ không phải các phương trình toán học. Thế nhưng bằng cách nào đó ông lại có thể rút ra từ các hiện tượng tự nhiên này các định luật toán học của tự nhiên một cách súc tích, rõ ràng và chính xác đến mức khó tin. Cũng như thế, khi nhà vật lý người 16 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Scotlen James Clerk Maxwell (1831-79) mở rộng khuôn khổ của vật lý cổ điển để thâu tóm được cả mọi hiện tượng điện và từ đã được biết đến vào những năm 1860, ông đã làm điều đó mà chỉ sử dụng có bốn phương trình toán học. Hãy dành chút thời gian để suy ngẫm về điều này. Giải thích một tập hợp các thí nghiệm về điện từ và ánh sáng mà trước đấy phải dùng tới hàng tập sách dày cộp để mô tả, giờ rút lại chỉ còn bốn phương trình ngắn gọn. Thuyết tương đối rộng của Einstein thậm chí còn đáng ngạc nhiên hơn nữa - đây là ví dụ tuyệt vời về một lý thuyết toán học chính xác phi thường và nhất quán của một thứ rất cơ bản là cấu trúc của không gian và thời gian. Nhưng mặt “bị động” của sự bí ẩn về tính hiệu quả đến khó tin của toán học thậm chí còn đáng kinh ngạc hơn mặt “chủ động” rất nhiều. Các khái niệm và quan hệ được nghiên cứu bởi các nhà toán học chỉ dành cho suy luận thuần túy - hoàn toàn không vì bất cứ một ứng dụng thực tế nào - sau hàng chục năm (thậm chí hàng trăm năm) lại trở thành lời giải bất ngờ của các bài toán xuất phát từ thực tại vật lý. Làm sao lại có thể như thế? Để làm ví dụ, hãy xem xét trường hợp thú vị của nhà toán học lập dị người Anh Godfrey Harold Hardy (1877-1947). Ông tự hào về các công trình chỉ là toán học thuần túy của mình đến mức đã tuyên bố một cách hơi khoa trương: “Không một phát minh nào của tôi, dù là trong quá khứ hay tương lai, sẽ có mảy may ảnh hưởng, trực tiếp hay gián tiếp, tốt hay xấu, đến phúc lợi của thế giới.” Nhưng ông đã nhầm! Một trong các công trình của ông được tái sinh với tên gọi định luật Hardy-Weinberg [1862-1937], một nguyên lý cơ bản được các nhà di truyền học sử dụng để nghiên cứu sự tiến hóa của một bí ẩn 17 các quần thể. Nói một cách đơn giản, định luật Hardy-Weinberg phát biểu rằng nếu một quần thể lớn sinh sản một cách hoàn toàn ngẫu nhiên (đồng thời không xảy ra di cư, đột biến và chọn lọc) thì thành phần gen là bất biến từ thế hệ này sang thế hệ tiếp sau. Thậm chí cả công trình có vẻ như rất trừu tượng của Hardy về Lý thuyết số - môn học nghiên cứu các tính chất của các số tự nhiên - cũng đã có ứng dụng thật bất ngờ. Vào năm 1973, nhà toán học người Anh Clifford Cocks đã sử dụng lý thuyết số để tạo ra đột phá trong ngành mật mã - ngành nghiên cứu về mã hóa và giải mã thông tin. Phát minh của Cocks còn làm cho một câu phát biểu khác của Hardy trở nên lỗi thời. Trong cuốn sách nổi tiếng của ông xuất bản năm 1940 với tựa đề Lời biện minh của một nhà toán học, Hardy tuyên bố: “Chưa một ai tìm ra được cách ứng dụng lý thuyết số để phục vụ cho mục đích chiến tranh.” Rõ ràng Hardy một lẫn nữa lại mắc sai lầm. Mật mã là cực kỳ quan trọng trong thông tin liên lạc quân sự. Như vậy thậm chí cả Hardy, một trong những người chỉ trích toán học ứng dụng nhiều nhất, lại bị “lôi” (có khi là vừa giãy vừa kêu gào, nếu như ông còn sống) vào việc tạo ra các lý thuyết toán hữu dụng. Nhưng đây mới chỉ là phần nổi của tảng băng chìm. Kepler và Newton phát hiện ra rằng các hành tinh của hệ Mặt trời chúng ta chuyển động trên các quỹ đạo hình elíp - chính là đường cong đã từng được nhà toán học cổ Hy Lạp Menaechmus (khoảng 350 trước CN) nghiên cứu từ hai nghìn năm trước. Những loại hình học mới được phác họa bởi Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-66) trong một bài giảng đã trở nên kinh điển của ông vào năm 1854 hóa ra lại đúng là công cụ mà Einstein cần có để giải thích cấu trúc 18 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? của vũ trụ. Một “ngôn ngữ” toán học gọi là lý thuyết nhóm, được phát triển bởi thiên tài trẻ tuổi Evariste Galois (1811-32) đơn giản chỉ là xác định tính giải được của các phương trình đại số nhưng ngày nay đã trở thành ngôn ngữ được các nhà vật lý, kỹ sư, ngôn ngữ học và thậm chí cả các nhà nhân chủng học sử dụng để mô tả mọi thứ đối xứng của thế giới. Hơn nữa, khái niệm hình mẫu đối xứng toán học, theo một nghĩa nào đó, đã làm thay đổi toàn bộ tiến trình khoa học. Trong hàng thế kỷ, con đường tìm hiểu sự vận hành của vũ trụ bắt đầu từ việc thu thập các sự kiện thực nghiệm hay quan sát, rồi từ đó qua thử và sai, các nhà khoa học tìm cách phát biểu các định luật chung của tự nhiên. Cách làm là bắt đầu từ các quan sát cục bộ, rồi từ đó dựng nên trò chơi ghép hình, theo từng mảnh một. Nhưng với sự thừa nhận trong thế kỷ 20 rằng nằm bên dưới cấu trúc của thế giới hạ nguyên tử có các thiết kế toán học rất xác định, nên các nhà vật lý hiện đại ngày hôm nay đã bắt đầu làm ngược lại. Trước hết, họ đưa ra các nguyên lý đối xứng toán học trước và khẳng định rằng các định luật của tự nhiên và do đó các thành phần cơ bản của vật chất cần phải tuân theo một số hình mẫu nhất định, và họ suy ra các định luật tổng quát từ các đòi hỏi này. Nhưng làm sao tự nhiên lại có thể biết để tuân theo các đối xứng toán học trừu tượng đó? Vào năm 1975, Mitch Feigenbaum, lúc đó mới chỉ là một nhà vật lý toán trẻ làm việc tại Phòng Thí nghiệm Quốc gia Los Alamos, đã thử xem xét hành vi của một phương trình đơn giản với chiếc máy tính bỏ túi HP-65 của mình. Ông nhận thấy rằng một chuỗi các con số xuất hiện trong tính toán càng ngày càng hội tụ về một giá trị đặc biệt: 4,669... Điều đáng kinh ngạc là khi xem xét các một bí ẩn 19 phương trình khác con số quái lạ này lại xuất hiện. Feingenbaum nhanh chóng rút ra kết luận rằng phát hiện của ông có tính phổ quát, vì một nguyên nhân nào đó, nó đã đánh dấu sự chuyển tiếp từ có trật tự sang hỗn độn, thậm chí mặc dù ông không giải thích được vì sao. Chả có gì đáng ngạc nhiên khi lúc đầu các nhà vật lý tỏ ra rất nghi ngờ điều này. Xét cho cùng thì chả có lý do gì để cùng một con số lại mô tả được hành vi của các hệ thống có vẻ như hoàn toàn khác nhau này. Sau sáu tháng phản biện về chuyên môn, bài báo đầu tiên của Feingenbaum viết về chủ đề này bị từ chối. Nhưng chỉ không lâu sau, các thực nghiệm cho thấy hêli lỏng khi được đốt nóng từ bên dưới đã xử sự đúng như nghiệm phổ quát của Feingenbaum đã tiên đoán. Và đây không phải là hệ thống duy nhất được tìm thấy là đã xử sự như thế. Con số kỳ lạ của Feingenbaum còn xuất hiện khi có sự chuyển tiếp từ một dòng chảy trật tự sang chảy rối, và thậm chí cả trong hành vi của nước nhỏ giọt từ vòi. Danh sách các “dự đoán” như vậy bởi các nhà toán học về nhu cầu của các ngành khác nhau thuộc thế hệ sau này còn có thể kéo dài dài. Một trong những ví dụ đáng kinh ngạc về sự ảnh hưởng lẫn nhau một cách bí ẩn và bất ngờ giữa toán học và thế giới tự nhiên là câu chuyện về lý thuyết nút - ngành toán học nghiên cứu về các nút. Một nút toán học cũng giống như một nút thông thường buộc bằng dây với hai đầu dây được nối với nhau. Tức là, một nút toán học là một đường cong kín không có điểm đầu điểm cuối. Điều kỳ lạ là động lực thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết nút bắt nguồn từ mô hình sai lầm về nguyên tử được phát triển vào thế kỷ 19. Sau khi mô hình này bị vứt bỏ - chỉ sau khi ra đời hai thập kỷ - lý thuyết nút tiếp tục tiến hóa như là một nhánh 20 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? ít người biết đến của toán học thuần túy. Nhưng thật đáng kinh ngạc, sự nỗ lực trừu tượng này đột nhiên lại tìm được những ứng dụng rất sâu rộng trong nhiều lĩnh vực hiện đại từ cấu trúc phân tử của ADN tới lý thuyết dây - lý thuyết tìm cách thống nhất thế giới hạ nguyên tử với hấp dẫn. Tôi sẽ còn trở lại câu chuyện hấp dẫn này ở Chương 8, bởi vì lịch sử vòng quanh của nó có thể là một chứng minh tốt nhất cho việc các nhánh khác nhau của toán học đột sinh như thế nào từ những nỗ lực tìm cách giải thích thế giới tự nhiên, rồi sau đó chúng lang thang như thế nào trong thế giới trừu tượng của toán học, chỉ để rồi sau cùng chúng lại bất ngờ trở về cội nguồn ban đầu của chúng. Khám phá hay phát minh? Chỉ với những mô tả ngắn gọn của tôi cho đến đây cũng đã cung cấp những bằng chứng mạnh mẽ về một vũ trụ bị chi phối bởi toán học hay chí ít là có thể phân tích được bằng toán học. Như cuốn sách này sẽ cho thấy, rất nhiều, và thậm chí có thể nói là tất cả, các hoạt động của con người cũng dường như đột sinh từ một cơ sở toán học, ngay cả ở những chỗ ít chờ đợi nhất. Chúng ta hãy xem xét một ví dụ từ thế giới tài chính - công thức tính giá quyền chọn Black-Scholes (1973). Mô hình Black-Scholes đã mang lại cho các tác giả (Myron Scholes và Robert Carhart Merton; còn Fisher Black đã chết trước khi trao giải) giải Nobel về kinh tế. Phương trình chủ yếu của mô hình cho phép hiểu được cách tính giá của các quyền chọn chứng khoán (quyền chọn là các công cụ tài chính cho phép mua hay bán chứng khoán trong tương lai với một bí ẩn 21 một giá thỏa thuận trước). Và đây mới là điều gây kinh ngạc: nằm ở trung tâm của mô hình này là một hiện tượng đã được các nhà vật lý nghiên cứu từ nhiều thập kỷ trước - đó là chuyển động Brown, trạng thái chuyển động hỗn loạn của các hạt nhỏ như phấn hoa lơ lửng trong nước hay hạt khói trong không khí. Và không chỉ có thế, chính phương trình này cũng áp dụng được cho chuyển động của hàng trăm nghìn ngôi sao trong các đám sao. Nói theo ngôn ngữ của Alice trong xứ sở thần kỳ, thì lẽ nào điều này không phải là “kỳ lạ và càng kỳ lạ” sao? Xét cho cùng thì bất kể vũ trụ có thể làm gì đi nữa, nhưng kinh doanh và tài chính chắc chắn là các thế giới do trí tuệ của con người tạo ra. Hay hãy lấy một vấn đề thường gặp bởi các nhà sản xuất mạch điện tử và thiết kế máy tính: họ sử dụng khoan laser để đục hàng chục nghìn lỗ trên bản mạch. Để giảm thiểu chi phí, người thiết kế không muốn khoan một cách ngẫu nhiên như một người đi du lịch tự do. Thay vào đó cần phải tìm ra cách di chuyển mũi khoan một cách ít nhất giữa các lỗ, tức là mỗi lỗ chỉ đi qua đúng một lần. Hóa ra, các nhà toán học đã nghiên cứu vấn đề này từ những năm 1920 dưới cái tên bài toán người bán hàng rong. Nói một cách nôm na, nếu một người bán hàng hay một nhà chính trị trên đường tranh cử cần phải di chuyển một cách kinh tế nhất giữa một số các thành phố, và nếu chi phí di chuyển giữa hai thành phố là biết trước, thì người đi phải tìm ra cách di chuyển tới tất cả các thành phố một cách tối ưu rồi quay trở về điểm xuất phát. Bài toán này đã được giải với 49 thành phố ở Mỹ vào năm 1954. Đến năm 2004, nó đã được giải với 24.976 thành phố ở Thụy Điển. Nói một cách khác, các công ty sản xuất mạch hay vận tải, và thậm chí các 22 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? nhà sản xuất máy đánh bạc giống như máy pinball ở Nhật Bản (cần phải đóng hàng nghìn cái đinh) đều phải dựa vào toán học để giải quyết các vấn đề tưởng như đơn giản như khoan lỗ, xếp lịch hay thiết kế vật lý các máy tính. Toán học thậm chí còn thâm nhập cả vào những lĩnh vực, mà theo truyền thống, không liên quan gì đến các khoa học chính xác cả. Chẳng hạn như Tạp chí Xã hội học toán học (đến năm 2006 đã xuất bản được 30 kỳ) hướng vào việc tìm hiểu các cấu trúc xã hội phức tạp, các tổ chức và nhóm không chính thống bằng toán học. Các bài báo của tạp chí này đề cập đến các chủ đề từ một mô hình toán học để dự đoán dư luận đến mô hình dự đoán tương tác của các nhóm xã hội. Theo một hướng khác - từ toán học đến các khoa học nhân văn - lĩnh vực ngôn ngữ điện toán, ban đầu chỉ liên quan đến khoa học máy tính giờ đây đã trở thành lĩnh vực nghiên cứu liên ngành tập hợp các nhà ngôn ngữ, nhà tâm lý nhận thức, nhà lôgic học và các chuyên gia trí tuệ nhân tạo để nghiên cứu sự phức tạp của các ngôn ngữ có liên quan một cách tự nhiên. Liệu đây có phải là một trò tinh quái để đùa giỡn chúng ta, sao cho mọi vật lộn của con người nhằm ngày càng thâu tóm và hiểu biết được nhiều hơn, cuối cùng, lại dẫn đến phát lộ ra ngày càng nhiều lĩnh vực tinh vi của toán học mà trên đó cả vũ trụ và chúng ta, những sinh vật phức tạp của nó, tất cả đều được tạo ra? Phải chăng toán học, như các nhà giáo dục hay nói, là quyển sách giáo khoa ẩn giấu - quyển sách mà các giáo sư sử dụng để dạy, nhưng chỉ dạy một phần để mình vẫn còn là thông thái hơn? Hay là, nói như phép ẩn dụ của kinh thánh, phải chăng, theo một nghĩa nào đó, toán học là trái tối hậu của cái cây tri thức? một bí ẩn 23 Như tôi đã nhận xét ngắn gọn ở phần đầu của chương này, tính hiệu quả đến khó tin của toán học đã tạo ra nhiều câu đố rất hấp dẫn: Toán học có tồn tại hoàn toàn độc lập với trí óc của con người không? Nói một cách khác, chúng ta đơn giản chỉ là khám phá ra các chân lý toán học, như các nhà thiên văn khám phá các thiên hà chưa biết hay toán học không gì khác, chỉ là phát minh của con người? Nếu toán học thực sự chỉ tồn tại trong một thế giới trừu tượng thần thoại, thì quan hệ giữa thế giới bí ẩn này với thực tại vật lý là như thế nào? Làm sao bộ não của con người với những hạn chế đã biết của nó lại có thể thâm nhập vào cái thế giới bất biến, nằm ngoài không gian và thời gian đó? Mặt khác, nếu toán học chỉ là do con người tạo ra và chỉ tồn tại trong trí não của chúng ta, thì làm sao ta có thể giải thích được thực tế là sự sáng tạo ra quá nhiều các chân lý toán học này lại có thể dự báo trước một cách thần kỳ các câu hỏi về vũ trụ và cuộc sống con người mà thậm chí hàng thế kỷ sau mới đặt ra? Đây không phải là những câu hỏi dễ trả lời. Như tôi sẽ đề cập thường xuyên trong cuốn sách này, ngay cả các nhà toán học, các nhà khoa học về nhận thức cũng như những triết gia hiện đại cũng không nhất trí với nhau về câu trả lời. Vào năm 1989, nhà toán học Pháp Alain Connes, người đã đoạt hai giải thưởng có uy tín nhất về toán học là Huy chương Field (1982) và Giải thưởng Crafoord (2001), đã phát biểu một cách rất rõ ràng: Hãy lấy những số nguyên tố [là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó], làm ví dụ. Trong chừng mực mà tôi quan tâm thì những con số này là một thực tại còn vững chắc hơn thế giới vật chất xung quanh chúng ta. Nhà toán học còn 24 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? đang hành nghề giống như người đi thám hiểm thế giới. Người ta khám phá ra các sự thật cơ bản từ kinh nghiệm. Chẳng hạn, bằng những tính toán đơn giản người ta có thể nhận thấy rằng chuỗi các số nguyên tố có vẻ như kéo dài vô hạn. Khi đó, nhiệm vụ của nhà toán học là chứng minh rằng có vô số các số nguyên tố. Đây là điều đã được chứng minh bởi Euclid. Một trong những hệ quả lý thú của chứng minh này là ở chỗ nếu một ngày nào đó có người tuyên bố là đã tìm được số nguyên tố lớn nhất thì có thể dễ dàng chỉ ra rằng anh ta đã sai lầm. Điều này cũng đúng với bất kỳ chứng minh nào khác. Như vậy là chúng ta đã bất ngờ đạt đến một thực tại cũng hoàn toàn không thể chối cãi nổi như là thực tại vật lý vậy. Martin Gardner, tác giả nổi tiếng của nhiều cuốn sách toán học giải trí, cũng đứng về phía coi toán học là sự khám phá. Với ông thì không có gì để nghi ngờ rằng các con số và toán học là luôn tồn tại bất kể con người có biết đến chúng hay không. Ông đã từng nói một cách dí dỏm: “Nếu hai con khủng long gia nhập với hai con khủng long khác ở một khu rừng thưa thì sẽ luôn có bốn con khủng long, ngay cả khi không có con người ở đấy để quan sát và mấy con vật thì quá ngu ngốc để có thể đếm được.” Như Connes nhấn mạnh, những người ủng hộ quan niệm toán học là sự khám phá (và như chúng ta sẽ thấy, điều này cũng phù hợp với quan điểm của phái Plato) đã chỉ ra rằng khi một khái niệm toán học cụ thể nào đó được tìm ra, chẳng hạn như các số tự nhiên 1, 2, 3, 4,..., thì chúng ta sẽ gặp các sự thật không thể chối cãi như 32 + 42 = 52 bất kể chúng ta nghĩ gì về các hệ thức này. Điều đó một bí ẩn 25 ít nhất cũng cho ta cảm giác rằng chúng ta đang tiếp xúc với một hiện thực đang tồn tại. Những người khác lại không đồng ý với điều này. Khi nhận xét về một cuốn sách trong đó Connes trình bày về những ý tưởng này, nhà toán học người Anh Sir Michael Atiyah (người đoạt Huy chương Fields năm 1996 và giải thưởng Abel năm 2004) đã nói: Bất kỳ nhà toán học nào cũng phải đồng cảm với Connes. Tất cả chúng ta đều cảm thấy rằng các số nguyên hay các đường tròn là thực sự tồn tại theo một nghĩa trừu tượng nào đó và quan điểm của phái Plato [sẽ được mô tả chi tiết ở chương 2] là rất có sức quyến rũ. Nhưng liệu chúng ta có thực sự bảo vệ được nó không? Nếu như vũ trụ chỉ là một chiều hay thậm chí rời rạc thì khó có thể tượng tượng được hình học làm sao có thể phát triển. Có vẻ như các số tự nhiên có một cơ sở vững chắc hơn, và đếm thực sự là một khái niệm nguyên thủy. Nhưng hãy thử tưởng tượng trí thông minh không nằm ở con người mà ở loài sứa cô đơn và bị cách ly ở dưới đáy sâu của Thái Bình Dương. Nó sẽ không hề có kinh nghiệm gì về các đối tượng cá thể cả, mà chỉ có nước ở xung quanh. Chuyển động, nhiệt độ và áp suất sẽ cung cấp cho nó các dữ liệu cảm giác cơ bản. Trong một môi trường thuần túy liên tục như thế thì sự rời rạc không thể xuất hiện và sẽ chẳng có gì để mà đếm cả. Và như vậy Atiyah tin rằng con người đã “tạo ra [nhấn mạnh của tác giả] toán học bằng cách lý tưởng và trừu tượng hóa các yếu 26 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? tố của thế giới vật lý.” Nhà ngôn ngữ học George Lakoff và nhà tâm lý học Rafael Nú ez cũng đồng ý với quan điểm này. Trong cuốn sách Toán học từ đâu đến, họ đã kết luận: “Toán học là một phần tự nhiên của con người. Nó xuất hiện từ cơ thể, bộ não và các kinh nghiệm hàng ngày về thế giới của chúng ta.” Quan điểm của Atiyah, Lakoff và Nú ez lại làm phát sinh một câu hỏi lý thú khác. Nếu như toán học là phát minh (sáng chế) của loài người thì nó có thực sự là phổ quát không? Hay nói một cách khác, nếu như có tồn tại các nền văn minh ngoài Trái đất, thì họ có sáng tạo ra cùng một thứ toán học như của chúng ta không? Carl Sagan (1934-96) đã thường nghĩ rằng câu trả lời là khẳng định. Trong cuốn sách Vũ trụ của mình, khi bàn về loại tín hiệu mà một nền văn minh ngoài Trái đất có thể sẽ truyền vào không gian, ông viết: “Nhưng sẽ cực kỳ khó có thể xảy ra khả năng một quá trình vật lý tự nhiên nào đó có thể truyền đi một thông điệp radio mà chỉ chứa các số nguyên tố. Nếu chúng ta nhận được một thông điệp như thế chúng ta sẽ suy ra rằng nền văn minh đó ít ra là rất thích các số nguyên tố.” Nhưng điều đó chắc chắn đến đâu? Trong cuốn sách mới đây Một kiểu khoa học mới, nhà vật lý toán Stephen Wolfram đã lý luận rằng cái mà ta gọi là “toán học” có thể chỉ là một khả năng trong rất nhiều “hương vị” của toán học. Chẳng hạn, thay vì sử dụng các quy tắc dựa trên các phương trình toán học để mô tả thế giới tự nhiên, chúng ta có thể sử dụng các loại quy tắc khác được thể hiện trong các chương trình máy tính đơn giản. Hơn nữa, một số nhà vũ trụ học gần đây thậm chí còn đề cập tới khả năng vũ trụ của chúng ta chỉ là một thành viên trong một đa vũ trụ - một tập hợp rất lớn các vũ trụ. Nếu một đa vũ trụ một bí ẩn 27 như thế thực sự tồn tại, thì liệu chúng ta có thể hy vọng rằng các vũ trụ khác đều có cùng một kiểu toán học như chúng ta chăng? Các nhà sinh học phân tử và khoa học nhận thức lại đem tới một cách nhìn khác dựa trên những nghiên cứu về các khả năng của não. Đối với một số nhà nghiên cứu đó, toán học không khác biệt nhiều với ngôn ngữ. Nói một cách khác, trong kịch bản nhận thức này, sau một thời gian dài quan sát hai tay, hai mắt và hai bầu vú, định nghĩa trừu tượng của số 2 đã ra đời, cũng giống như từ “chim” đã ra đời để mô tả bất kỳ động vật hai cánh biết bay nào. Như nhà thần kinh học người Pháp Pierre Changeux đã nói: “Theo tôi phương pháp tiên đề [như được dùng trong hình học Euclid, chẳng hạn] là cách diễn đạt rõ ràng các chức năng của đại não và những khả năng nhận thức dựa trên việc sử dụng ngôn ngữ của con người”. Nhưng nếu toán học chỉ là một kiểu ngôn ngữ thì ta làm sao có thể giải thích được việc trẻ em học ngôn ngữ rất dễ dàng nhưng khá nhiều em lại gặp khó khăn khi học toán? Thần đồng người Scotlen Marjory Fleming (1803-11) đã mô tả một cách rất đáng yêu những khó khăn mà các học sinh thường gặp phải khi học toán. Fleming đã không sống được đến sinh nhật lần thứ 9 của mình nhưng đã để lại một cuốn nhật ký với hơn chín nghìn chữ văn xuôi và năm trăm câu thơ. Trong đó có câu: “Bây giờ mình sẽ nói cho bạn biết căn bệnh khủng khiếp mà bảng cửu chương đã gây ra cho mình; bạn sẽ không thể tưởng tượng nổi đâu. Điều quỷ quái nhất đó là 8 lần 8 và 7 lần 7; cái mà ngay cả tự nhiên cũng không thể chịu đựng được.” Có một số yếu tố trong những câu hỏi rắc rối mà tôi đã đặt ra ở trên có thể viết lại theo một cách khác: Liệu có sự khác biệt về 28 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? cơ bản giữa toán học với các biểu đạt khác của trí não con người như các nghệ thuật thị giác hay âm nhạc không? Nếu như không có thì tại sao toán học lại biểu lộ tính nhất quán và chặt chẽ mà không một sáng tạo nào khác của loài người có được? Như hình học Euclid chẳng hạn, nó vẫn còn là đúng đắn từ năm 300 trước CN cho đến tận bây giờ; nó đại diện cho “những chân lý” áp đặt lên chúng ta. Ngược lại, chúng ta sẽ không muốn nghe cùng một loại âm nhạc với người Hy Lạp cổ đại cũng như không còn tán đồng với mô hình ngây thơ về vũ trụ của Aristotle. Rất ít các vấn đề của khoa học hiện đại còn sử dụng các ý tưởng của cách đây ba nghìn năm. Trái lại, những nghiên cứu mới nhất của toán học có thể sử dụng đến các định lý được công bố năm ngoái hay tuần trước, nhưng cũng có thể sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu được chứng minh bởi Archimedes khoảng 250 năm trước CN. Mô hình nút của nguyên tử ở thế kỷ 19 chỉ sống sót được gần hai thập kỷ vì các phát hiện mới chứng minh rằng cơ sở của lý thuyết này là không đúng đắn. Khoa học luôn phát triển như thế. Newton đã công nhận (hay là không! xin xem Chương 4) sở dĩ ông có thể nhìn được xa là bởi vì ông đã đứng trên vai những người khổng lồ. Ông đáng nhẽ cũng có thể phải xin lỗi những người khổng lồ này vì đã làm cho các công trình của họ trở nên lỗi thời. Đây không phải là hình mẫu trong toán học. Mặc dù hình thức luận cần để chứng minh một số kết quả có thể thay đổi, nhưng bản thân các kết quả toán học thì không thay đổi. Thực tế, đúng như nhà toán học và tác gia Ian Steward đã từng viết: “Chỉ có một từ trong toán học để mô tả các kết quả đã tìm ra mà sau đó lại bị thay đổi - đó đơn giản là từ sai lầm”. Và những sai lầm như vậy một bí ẩn 29 bị coi là sai lầm không phải là do các khám phá mới như trong các ngành khoa học khác mà bởi vì sự đối chiếu một cách cẩn thận và chặt chẽ hơn tới cùng các chân lý toán học cũ. Và phải chăng điều này đã thực sự làm cho toán học trở thành ngôn ngữ của Chúa ? Nếu bạn cho rằng việc hiểu toán học là được khám phá ra hay sáng tạo ra chẳng có gì quan trọng thì hãy thử xét xem sự khác biệt giữa “”khám phá” hay “sáng tạo” sẽ trở nên quan trọng như thế nào trong câu hỏi: Chúa đã được khám phá ra hay được sáng tạo ra? Hay nói một cách khiêu khích hơn: Chúa tạo ra loài người theo hình ảnh của Người hay chúng ta tạo ra Chúa theo hình ảnh của chúng ta? Tôi sẽ cố gắng tìm câu trả lời cho các câu hỏi khó khăn này (và còn thêm một số câu hỏi khác nữa) trong các chương sau. Trong quá trình đó, tôi sẽ tổng quan lại những ý tưởng sâu sắc nhất trong các công trình của các nhà toán học, vật lý, triết gia, các nhà khoa học nhận thức và ngôn ngữ học nổi tiếng nhất thuộc các thế kỷ đã qua và hiện nay. Tôi cũng sẽ tìm kiếm các ý kiến, những dự báo và cả sự e dè của nhiều nhà tư tưởng hiện đại. Và bây giờ chúng ta hãy bắt đầu cuộc hành trình đầy hứng thú này với các tư tưởng đột phá của một số triết gia rất xa xưa. CHƯƠNG 2 NHỮNG CON NGƯỜI THẦN BÍ: NHÀ SỐ HỌC VÀ TRIẾT GIA Con người luôn luôn bị thôi thúc bởi ham muốn tìm hiểu về vũ trụ. Nhưng nỗ lực của họ để hiểu đến ngọn nguồn “Tất cả điều đó có ý nghĩa gì?” đã vượt qua những nỗ lực cần thiết để sinh tồn, để cải thiện tình hình kinh tế hay chất lượng cuộc sống. Điều này không có nghĩa là tất cả mọi người đều chủ động dấn thân vào công cuộc tìm kiếm một trật tự tự nhiên hay siêu hình nào đó. Những cá nhân phải chật vật lo cho cuộc sống khó có điều kiện xa xỉ để suy ngẫm về ý nghĩa của cuộc sống. Trong tập hợp những người săn tìm những hình mẫu nằm sau sự phức tạp không khó nhận thấy của vũ trụ, một số ít người đã nỗi bật hơn hẳn những người khác. Đối với nhiều người, tên tuổi của nhà toán học, khoa học, triết học người Pháp René Descartes (1596-1650) là đồng nghĩa với sự ra đời của triết học của khoa học hiện đại. Descartes là một trong những kiến trúc sư chính của sự chuyển dịch từ việc mô tả thế giới tự nhiên qua các thuộc tính được cảm nhận trực tiếp bởi Những con người thần bí 31 các giác quan của chúng ta sang các giải thích bằng các đại lượng rất xác định về mặt toán học. Thay vì các tình cảm, mùi vị, màu sắc, và cảm giác được đặc trưng một cách mơ hồ, Descartes muốn các giải thích khoa học phải thăm dò đến tận mức cơ bản sâu xa nhất và phải sử dụng ngôn ngữ toán học: Tôi không thừa nhận bất cứ bản chất nào khác trong các vật thể ngoại trừ những thứ mà các nhà hình học gọi là lượng, và sử dụng chúng như các đối tượng trong các chứng minh của họ... Và do mọi hiện tượng tự nhiên đều có thể giải thích theo cách này nên tôi nghĩ rằng không cần thiết phải chấp nhận hay mong muốn bất cứ một nguyên lý nào khác trong vật lý. Điều lý thú là Descartes đã loại bỏ ra khỏi tầm nhìn khoa học rộng lớn của mình thế giới của “tư duy và trí óc”, thế giới mà ông cho rằng nó độc lập với thế giới vật chất có thể giải thích bằng toán học. Trong khi không có gì để nghi ngờ rằng Descartes là một trong những nhà tư tưởng có ảnh hưởng lớn nhất trong vòng bốn thế kỷ trở lại đây (và tôi sẽ còn trở lại với ông ở Chương 4), thì ông lại không phải là người đầu tiên đưa toán học vào vị trí trung tâm. Dù bạn có tin hay không thì tùy, nhưng những ý tưởng bao quát về một vũ trụ thấm đẫm và bị chi phối bởi toán học - những ý tưởng mà theo một nghĩa nào đó thậm chí còn đi xa hơn cả những ý tưởng của Descartes - đã được đưa ra từ hơn hai nghìn năm trước, mặc dù mang đậm hương vị thần bí. Người mà truyền thuyết gán cho là đã cảm nhận được rằng linh hồn con người “thật hân hoan” khi dấn thân vào toán học thuần túy, đó chính là nhà toán học Pythagoras đầy bí ẩn. 32 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Pythagoras Pythagoras (khoảng 572-497 tr. CN) có lẽ là người đầu tiên đồng thời là một triết gia về tự nhiên có ảnh hưởng và một triết gia về tinh thần có uy tín - một nhà khoa học và một nhà tư tưởng tôn giáo. Thực tế, ông là người được cho là đã đưa ra các từ “triết học” (philosophy), với nghĩa là tình yêu sự thông thái, và “toán học” - với nghĩa là các môn học thông thái. Mặc dù không một tác phẩm nào của Pythagoras còn lại đến ngày nay (nếu như chúng đã từng tồn tại, vì chúng chủ yếu được truyền miệng), nhưng chúng ta có tới ba bản tiểu sử chi tiết về Pythagoras, dù chỉ phần nào đáng tin cậy thôi, có từ thế kỷ thứ 3. Bản thứ tư, của một tác giả vô danh được lưu giữ trong các trước tác của giáo trưởng và triết gia người Byzantine tên là Photius (khoảng 820-91 sau CN). Khó khăn chính khi đánh giá các đóng góp cá nhân của Pythagoras là ở chỗ các học trò và môn đồ của ông thường gán tất cả những ý tưởng của họ cho ông. Do đó, ngay cả Aristotle (384-322 tr. CN) cũng thấy khó mà xác định được phần nào trong triết học của Pythagoras là của chính Pythagoras, và vì thế, nói chung, ông thường gọi là “thuộc trường phái Pythagoras” hay “thuộc cái gọi là trường phái Pythagoras”. Tuy nhiên, do sự nổi tiếng của Pythagoras trong truyền thống sau này, nói chung, người ta cho rằng ông là người khởi xướng ít nhất là một số thuyết của trường phái này mà Plato và thậm chí cả Copernicus nữa đều cảm thấy phải mang ơn. Gần như chắc chắn là Pythagoras sinh ra vào đầu thế kỷ thứ sáu trước Công Nguyên ở đảo Samos, ngay cạnh bờ biển của Thổ Nhĩ Kỳ bây giờ. Lúc trẻ ông có thể đã đi rất nhiều nơi, đặc biệt là đã tới Ai Cập và có thể cả Babylon nữa, những nơi mà ít nhất ông đã Những con người thần bí 33 tiếp thu được một phần kiến thức toán học của mình. Cuối cùng, ông chuyển đến một thuộc địa nhỏ của Hy Lạp ở Croton, gần mũi phía Nam của Italia. Tại đây ông đã nhanh chóng tập hợp được một nhóm các học trò và đệ tử đầy nhiệt huyết. Nhà sử học người Hy Lạp Herodotus (khoảng 485-425 tr. CN) đã viết về Pythagoras như là “một triết gia giỏi nhất của người Hy Lạp,” và triết gia tiền Socrat đồng thời là nhà thơ Empedocles (kh. 492-432 tr. CN) còn bổ sung thêm với sự thán phục: “Nhưng trong số họ có một người vô cùng uyên bác, người có thể hiểu biết sâu sắc về mọi thứ và là một bậc thầy của tất cả các môn nghệ thuật; và bất cứ khi nào thực sự muốn, ông có thể tìm ra một cách dễ dàng mọi chân lý trong mười - không phải, mà là trong hai mươi đời người.” Nhưng không phải ai cũng có ấn tượng như thế cả. Trong các nhận xét có vẻ như xuất phát từ sự ganh đua cá nhân, triết gia Heraclitus xứ Ephesus (khoảng 535-475 tr. CN) công nhận hiểu biết rộng của Pythagoras nhưng ông cũng nói thêm một cách miệt thị rằng: “Học nhiều không hẳn đã dạy cho người ta sự thông thái; nếu không nó đã dạy cho Hesiod [một nhà thơ Hi Lạp sống vào khoảng năm 700 trước Công Nguyên] và Pythagoras.” Pythagoras và những người thuộc trường phái Pythagoras thời kỳ đầu không phải là các nhà toán học hay khoa học theo đúng nghĩa. Thay vì đó là một triết học siêu hình về ý nghĩa của các con số ngự trị ở trung tâm các học thuyết của họ. Đối với người thuộc trường phái Pythagoras, các con số vừa là các thực thể sống vừa là các nguyên lý phổ quát thấm đẫm vạn vật từ thiên đường cho đến đạo đức con người. Nói một cách khác, các con số có hai mặt phân biệt và bổ sung lẫn nhau. Một mặt, chúng có sự tồn tại vật lý 34 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? hữu hình, mặt khác, chúng lại là các quy luật trừu tượng mà mọi thứ được xây dựng trên đó. Chẳng hạn, số 1 (monad) vừa là con số sinh ra mọi số khác, là thực thể có thực giống như nước, không khí và lửa là các thành phần cấu tạo nên thế giới vật lý, đồng thời cũng là một ý tưởng - đơn vị siêu hình khởi nguồn của mọi sáng tạo. Nhà lịch sử triết học người Anh Thomas Stanley (1625-78) mô tả một cách tuyệt diệu (dù với tiếng Anh của thế kỷ 17) hai ý nghĩa mà trường phái Pythagoras gán cho các con số: Các con số, về bản chất, có hai mặt là Tinh thần (hay phi vật chất) và Khoa học. Tinh thần là thực thể vĩnh hằng của Số, mà Pythagoras trong bài Luận về các Thần đã khẳng định là nguyên lý may mắn nhất của toàn bộ Trời và Đất, cũng như của tự nhiên... Đây chính là cái được gọi là nguyên lý, suối nguồn và gốc rễ của vạn vật... Còn Số Khoa học là cái mà Pythagoras định nghĩa là sự mở rộng và nối dài vào hành động của các lý trí hạt giống nằm trong Monad, hay một nhóm các Monad. Như vậy các con số không đơn giản chỉ là công cụ để ký hiệu số lượng hay là lượng. Đúng hơn, các con số cần phải được khám phá, và chúng là các tác nhân thành tạo chủ động trong tự nhiên. Mọi thứ trong vũ trụ, từ các đối tượng vật chất như Trái đất đến các khái niệm trừu tượng như công lý, tất tần tật đều hoàn toàn là số. Việc ai đó thấy rằng các con số rất hấp dẫn và quyến rũ, bản thân nó, không có gì là đáng ngạc nhiên cả. Xét cho cùng thì ngay cả các con số bình thường ta gặp hàng ngày đều có các tính chất lý thú. Chẳng hạn như số ngày trong một năm - 365, bạn có thể Những con người thần bí 35 dễ dàng kiểm tra thấy rằng 365 là tổng bình phương của ba số liên tiếp: 365 = 102 + 112 + 122. Nhưng đấy chưa phải là tất cả; nó còn là tổng của bình phương hai số tiếp ngay sau đấy (365 = 132 + 142)! Hay hãy xem xét số ngày trong một tháng theo lịch âm - 28. Số này là tổng của tất cả các ước số của nó: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Các số có tính chất đặc biệt này được gọi là các số hoàn hảo (bốn số hoàn hảo đầu tiên là 6, 28, 496, 8218). 28 đồng thời cũng là tổng các lập phương của hai số lẻ đầu tiên: 28 = 13 + 33. Thậm chí cả số được sử dụng thường xuyên trong hệ thống thập phân như 100 cũng có tính chất đặc biệt: 100 = 13 + 23 + 33 + 43. Thôi được, đúng là các con số có thể rất hấp dẫn. Nhưng người ta vẫn có thể còn băn khoăn về nguồn gốc của học thuyết Pythagoras về các con số. Làm thế nào lại có thể xuất hiện ý tưởng cho rằng không chỉ mọi vật đều chứa các con số mà mọi vật đều là các con số? Do Pythagoras không viết lại gì hoặc do tất cả đều đã bị phá hủy nên khó có thể trả lời được câu hỏi này. Ấn tượng còn sót lại về các suy luận của Pythagoras đều dựa trên một số ít đoạn rời rạc thuộc thời kỳ tiền Plato và rất muộn sau này, là những cuộc thảo luận, ít đáng tin cậy hơn, chủ yếu của các triết gia theo Plato hay Aristotle. Bức tranh xuất hiện từ sự lắp ghép các manh mối khác nhau gợi ý rằng có thể tìm được nguồn gốc nỗi ám ảnh bởi các con số trong sự bận tâm của những người theo học thuyết Pythagoras với hai hoạt động có vẻ như không liên quan gì với nhau: các thử nghiệm trong âm nhạc và việc quan sát bầu trời. Để có thể hiểu được làm thế nào lại có mối liên hệ bí ẩn giữa các con số, bầu trời và âm nhạc, chúng ta hãy bắt đầu từ một quan sát lý thú rằng những người theo học thuyết Pythagoras có một cách 36 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? để hình dung các con số bằng các viên sỏi hay các điểm. Chẳng hạn, họ sắp xếp các số tự nhiên 1, 2, 3, 4... như tập hợp các viên sỏi tạo thành hình tam giác (như hình 1). Đặc biệt, tam giác tạo bởi 4 số nguyên đầu tiên (sắp xếp thành tam giác gồm 10 viên sỏi) được gọi là Tetraktys (nghĩa là bộ tứ), được những người theo học thuyết Pythagoras coi là biểu tượng của sự hoàn hảo và của các yếu tố chứa đựng nó. Điều này được ghi lại trong câu chuyện kể về Pythagoras của nhà văn trào phúng người Hy Lạp Lucian (khoảng 120-80 sau CN). Pythagoras yêu cầu một người đếm. Khi người đó đếm “1, 2, 3, 4,” Pythagoras bèn ngắt lời anh ta, “Anh có thấy không? Cái mà anh coi là 4 thực ra là 10, một tam giác hoàn hảo và là lời thề của chúng ta.” Triết gia thuộc trường phát tân Plato là Iamblichus (khoảng 250-325 sau CN) đã nói cho chúng ta biết lời thề của người theo thuyết Pythagoras là: Tôi thề trên sự khám phá ra Tetraktys, Nguồn gốc của mọi hiểu biết của chúng ta, Cội nguồn bất diệt của nguồn sống của Tự nhiên. Hình 1 Tại sao Tetraktys lại được coi trọng đến như thế? Bởi dưới con mắt của những người theo học thuyết Pythagoras vào thế kỷ 6 trước Công nguyên, có vẻ như nó đã phác họa ra toàn bộ bản chất của vũ trụ. Những con người thần bí 37 Trong hình học - nền tảng mở ra một thời kỳ cách mạng mới về tư tưởng của người Hy Lạp - số 1 được đại diện bởi một điểm , 2 đại diện bởi một đoạn thẳng , 3 - một mặt phẳng và 4 - một khối tứ diện ba chiều . Như vậy, Tetraktys dường như đã bao gồm tất cả các chiều cảm nhận được của không gian. Nhưng đấy mới chỉ là bước đầu. Tetraktys còn xuất hiện đầy bất ngờ trong cách tiếp cận khoa học với âm nhạc. Pythagoras và những người theo ông được coi là đã có công phát hiện rằng nếu chia một dây đàn theo các số nguyên liên tiếp thì sẽ tạo ra các quãng âm du dương - một hiện tượng thường thấy khi biểu diễn bởi một tứ tấu dây. Khi hai dây tương tự nhau được gảy đồng thời thì âm thanh tạo ra sẽ rất dễ nghe nếu như độ dài của các dây theo các tỉ lệ tối giản. Chẳng hạn nếu hai dây có độ dài bằng nhau (tỉ lệ 1:1) sẽ tạo ra cùng một nốt nhạc; tỉ lệ 1:2 tạo ra một quãng tám; 2:3 tạo ra quãng năm hoàn hảo và 3:4 tạo ra quãng bốn. Như vậy, ngoài việc thâu tóm tất cả các thuộc tính về không gian, Tetraktys còn có thể được coi như biểu diễn các tỷ số toán học là nền tảng cho sự hòa hợp của thang âm. Sự kết hợp kỳ diệu của không gian và âm nhạc đã tạo ra cho những người theo học thuyết Pytagoras một biểu tượng mạnh mẽ và cho họ cảm thấy harmonia (“hòa hợp với nhau”) của kosmos (“trật tự đẹp đẽ của vạn vật”). Thế trời nằm ở đâu trong tất cả những thứ đó? Pythagoras và những người đi theo ông đã đóng một vai trò mặc dù không phải là trọng yếu nhưng cũng không thể bỏ qua trong lịch sử của thiên văn học. Họ thuộc những người đầu tiên cho rằng Trái đất là hình cầu (có lẽ chủ yếu là do tính thẩm mỹ toán học cao của hình cầu). Họ cũng có thể là những người đầu tiên tuyên bố rằng các hành tinh, 38 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Mặt trời và Mặt trăng có chuyển động riêng độc lập từ tây sang đông, theo chiều ngược với chuyển động quay (biểu kiến) hàng ngày của mặt cầu các ngôi sao cố định. Các nhà quan sát say mê của bầu trời đêm không thể bỏ qua những thuộc tính rõ rệt nhất của các chòm sao - đó là hình dạng và số lượng. Mỗi chòm sao được nhận ra bởi số các ngôi sao hiện diện trong đó và hình dạng tạo bởi chúng. Nhưng hai đặc tính này lại chính là những yếu tố căn bản trong học thuyết Pythagoras về các con số, giống như là Tetraktys vậy. Những người đi theo Pythagoras vô cùng thích thú với sự phụ thuộc của các dạng hình học, các chòm sao và hòa âm vào các con số đến mức các con số trở những thành viên gạch xây nên vũ trụ và đồng thời cũng là các nguyên lý nằm phía sau sự tồn tại của nó. Do vậy không có gì đáng ngạc nhiên khi câu châm ngôn của Pythagoras nhấn mạnh rằng “Vạn vật hợp với nhau về số.” Chúng ta có thể tìm được bằng chứng cho thấy những người theo học thuyết Pythagoras coi trọng câu châm ngôn này như thế nào từ hai nhận xét của Aristotle. Một là trong tập hợp chuyên luận Siêu hình, ông nói: “Những người được gọi là theo học thuyết Pythagoras đã áp dụng chính họ vào toán học, và là những người đầu tiên phát triển khoa học này; và thông qua nghiên cứu nó, họ đã trở nên tin rằng các nguyên lý của nó là nguyên lý của vạn vật.” Trong một đoạn khác, Aristotle mô tả một cách sinh động sự sùng kính các con số và vai trò đặc biệt của Tetraktys: “Eurytus [một học trò của Philolaus - một người theo học thuyết Pythagoras] đã định ra số nào tương ứng với vật gì (chẳng hạn như số này là của người, số kia là của ngựa) và mô phỏng hình dạng của các sinh vật bằng các viên sỏi theo cách mà người ta biến các con số thành hình Những con người thần bí 39 Hình 2 tam giác hay hình vuông.” Câu “hình tam giác hay hình vuông” ám chỉ đến cả Tetraktys và một cấu trúc khác cũng lý thú không kém của những người theo học thuyết Pythagoras đó là gnomon. Từ “gnomon” (“vật đánh dấu”) có nguồn gốc từ tên một dụng cụ dùng để đo thời gian thiên văn của người Babylon, tương tự như đồng hồ Mặt trời. Dụng cụ này có khả năng là đã được người thầy của Pythagoras - nhà triết học tự nhiên Anaximander (khoảng 611-547 tr. CN) đưa về Hy Lạp. Không nghi ngờ gì nữa, người học trò đã bị ảnh hưởng bởi các ý tưởng của ông thầy về hình học và ứng dụng của chúng vào vũ trụ học - khoa học nghiên cứu tổng thể về vũ trụ. Sau này từ “gnomon” được dùng để gọi một dụng cụ vẽ các góc vuông tương tự như thước vuông của thợ mộc, hoặc 40 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? là để chỉ một hình góc vuông mà khi thêm vào một hình vuông sẽ tạo ra một hình vuông lớn hơn (như hình 2). Chú ý rằng nếu bạn thêm vào một hình vuông, chẳng hạn như hình vuông 3×3, 7 viên sỏi tạo thành một góc vuông (một gnomon), bạn sẽ nhận được hình vuông có 16 (4×4) viên sỏi. Đây là biểu diễn bằng hình tính chất sau: trong chuỗi các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, 9,..., tổng của một số bất kỳ các thành viên liên tiếp của chuỗi đó (bắt đầu từ 1) luôn cho kết quả là một số chính phương. Chẳng hạn, 1 = 12; 1 + 3 = 4 = 22; 1 + 3 + 5 = 9 = 32; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52;.... Những người theo Pythagoras coi mối quan hệ mật thiết giữa gnomon và hình vuông mà nó “ôm” như là một biểu tượng của tri thức nói chung, trong đó điều đang biết “ôm” lấy điều đã biết. Như vậy, các con số không chỉ bị giới hạn trong việc mô tả thế giới tự nhiên mà còn có thể được coi là gốc rễ của các quá trình tinh thần và tình cảm nữa. Các con số chính phương gắn với các gnomon còn có thể được coi như là tiền thân của định lý Pythagoras nổi tiếng. Định lý toán học lừng danh này là đúng với mọi tam giác vuông (hình 3), diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông. Sự phát minh ra định lý này được “ghi lại” một cách hài hước trong cuốn truyện tranh nổi tiếng Frank and Ernest (hình 4). Như mô tả trong hình 2, việc thêm một số gnomon chính phương, 9 = 32, vào một hình vuông 4×4 sẽ tạo ra hình vuông 5×5: 32 + 42 = 52. Như vậy, các số 3, 4, 5 có thể biểu diễn chiều dài các cạnh của một tam giác vuông. Các số tự nhiên có tính chất này (chẳng hạn như 5, 12, 13; vì 52 + 122 = 132) được gọi là các “bộ ba số Pythagoras.” Những con người thần bí 41 Diện tích = c2 c Diện tích b = b2 a c2 = a2 + b2 Diện tích = a2 Hình 3 ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS được gọi th eo tên nhà to án học Hy Lạp Pythagoras. Định lý này phát biểu rằng a2 + b2 = c2 trong một ta m giác vuông a, b là chiều dài hai cạnh góc vuông và c là chiều dài cạnh huyền, tức cạnh đối diện với góc vuông. Ngài có th ể đúng, Pythagoras ạ... nhưng mọi người sẽ cười nếu như ngài gọi đó là “cạnh huyền”! Hình 4 42 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Rất ít các định lý toán học được hưởng “sự thừa nhận tên tuổi” như định lý Pythagoras. Vào năm 1971, khi nước Cộng hòa Nicaragua đã lựa chọn “10 phương trình toán học đã làm thay đổi diện mạo của Trái Đất” như là chủ đề của một bộ tem, định lý Pythagoras đã xuất hiện trên con tem thứ hai (hình 5; còn con tem thứ nhất vẽ “1 + 1 = 2”). Vậy Pythagoras có phải thực sự là người đầu tiên phát biểu định lý nổi tiếng được cho là của ông hay không? Một vài nhà sử học Hy Lạp đầu tiên đã nghĩ chắc chắn là như vậy. Trong một bình luận về cuốn Cơ sở - một chuyên luận đồ sộ về hình học và lý thuyết số được viết bởi Euclid (325-265 trước CN) - nhà triết học Hy Lạp Proclus (411-85 sau CN) đã viết: “Nếu chúng ta lắng nghe những người muốn tường thuật chi tiết về lịch sử cổ đại, chúng ta có thể tìm thấy một số người cho rằng định lý đó là của Hình 5 Những con người thần bí 43 Pythagoras, và rằng ông đã hiến tế một con bò đực để tôn vinh khám phá này”. Tuy nhiên, bộ ba số Pythagoras đã được phát hiện thấy trên tấm khắc hình nêm của người Babylon được gọi là tấm Plimton 322, thuộc triều đại Hammurabi (1900-1600 trước CN). Hơn nữa, các phép dựng hình dựa trên định lý Pythagoras cũng đã được tìm thấy ở Ấn Độ, có liên quan đến việc xây dựng các án thờ. Các phép dựng hình này được biết chắc chắn là thuộc tác giả của Satapatha Brahmana (sách chú giải về bản chép kinh sách của người Ấn cổ), có thể đã được viết ít nhất vào khoảng vài trăm năm trước Pythagoras. Nhưng dù cho Pythagoras có phải là người nghĩ ra định lý này hay không, thì có một điều chắc chắn là các mối liên hệ lặp đi lặp lại được phát hiện thấy giữa các con số, các hình và vũ trụ đã đưa những người theo Pythagoras một bước tới gần hơn một siêu hình học chi tiết về trật tự. Một ý tưởng khác đóng vai trò trung tâm trong thế giới Pythagoras là về các đối nghịch vũ trụ. Vì hình mẫu những đối nghịch là nguyên lý nền tảng của truyền thống khoa học thuở sơ khai của người Ionia (người Hy Lạp ở Attica thế kỷ 10 trước CN - ND), nên thật là tự nhiên khi những người ủng hộ Pythagoras vốn bị ám ảnh bởi trật tự cũng thừa nhận nó. Trên thực tế, Aristotle đã cho ta biết rằng ngay cả một bác sỹ tên là Alcmaeon, sống ở Croton cùng lúc với Pythagoras lập ra trường phái nổi tiếng của mình ở đó, cũng tán đồng với quan điểm cho rằng tất cả mọi thứ đều cân bằng theo cặp. Cặp đối nghịch cơ bản là giới hạn, biểu thị bởi các số lẻ, và không giới hạn, biểu thị bởi các số chẵn. Giới hạn đưa trật tự và hài hòa vào thế giới hoang dã và hỗn loạn của không giới hạn. Cả sự phức hợp của vũ trụ ở quy mô lớn lẫn sự 44 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? phức tạp của cuộc sống con người ở quy mô nhỏ đều được cho là hàm chứa và bị điều khiển bởi một chuỗi những cặp đối nghịch, mà bằng cách này hay cách khác lại tương thích với nhau. Hệ thế giới đen-và-trắng này được tóm tắt thành một “bảng các đối nghịch” trong cuốn Siêu hình học của Aristotle: Giới hạn Không giới hạn Lẻ Chẵn Một Nhiều Phải Trái Đực Cái Dừng Chuyển động Thẳng Cong Ánh sáng Bóng tối Thiện Ác Vuông Chữ nhật Triết học cơ bản biểu thị bởi bảng các đối nghịch không chỉ có ở người Hy Lạp cổ. Thuyết âm dương của người Trung Hoa, trong đó âm biểu thị cho tiêu cực và bóng tối, còn dương là yếu tố tươi sáng, cũng vẽ nên cùng một bức tranh đó. Những quan điểm không quá khác biệt cũng đã được đưa vào đạo Cơ đốc, thông qua khái niệm về thiên đường và địa ngục (và thậm chí vào cả những tuyên bố của Tổng thống Mỹ đại loại như “hoặc là bạn đứng về phía chúng tôi, hoặc là bạn về phe khủng bố”). Khái quát hơn, điều luôn luôn đúng là ý nghĩa của cuộc sống lại được soi rọi bởi cái chết, và ý nghĩa của tri thức lại được thấy rõ khi so sánh với sự ngu dốt. Không phải tất cả các bài học của Pythagoras đều liên quan trực Những con người thần bí 45 tiếp đến các con số. Phong cách sống của cộng đồng Pythagoras gắn bó chặt chẽ cũng dựa vào chủ nghĩa ăn chay, một niềm tin mạnh mẽ vào thuyết luân hồi - sự bất tử và hóa kiếp của linh hồn - và sự cấm đoán có phần bí ẩn về chuyện ăn đậu hạt. Người ta đã đưa ra một vài cách lý giải về chuyện cấm ăn đậu hạt này. Từ chuyện liên hệ đậu hạt với bộ phận sinh dục đến chuyện so sánh việc ăn đậu hạt giống như ăn một linh hồn sống. Cách lý giải sau có liên quan đến việc khi ăn đậu hạt thường trung tiện, như là một bằng chứng của một hơi thở đã bị dập tắt. Cuốn Triết học cho người đần độn đã tóm tắt học thuyết của Pythagoras như sau: “Mọi thứ đều được tạo bởi các con số, nên đừng có ăn các hạt đậu vì chúng sẽ sinh ra trong bạn một con số đấy”. Câu chuyện được lưu truyền lâu đời nhất về Pythagoras có liên quan đến niềm tin vào sự đầu thai của linh hồn vào các sinh linh khác. Câu chuyện khá nên thơ này có nguồn gốc từ nhà thơ Xenophanes xứ Colophon vào thế kỷ thứ 6 trước công nguyên: “Họ kể rằng có lần ông ấy [Pythagoras] đi ngang qua một con chó đang bị đánh và thấy tội nghiệp nó nên nói, “Nào, dừng lại đi, và đừng đánh nó nữa; vì đó là linh hồn của một người bạn đấy. Tôi biết điều đó vì tôi nghe được nó nói mà”. Những dấu ấn không thể nhầm lẫn được của Pythagoras có thể được tìm thấy không chỉ trong những bài giảng của các nhà triết học Hy Lạp, nối nghiệp ngay sau ông, mà còn trong hầu hết các chương trình giảng dạy của các trường đại học thời trung cổ. Bảy môn học được dạy trong các trường đại học này được chia thành tam khoa, gồm có phép biện chứng, ngữ pháp và tu từ, và tứ khoa, gồm các chủ đề ưa thích của trường phái Pythagoras - 46 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? đó là hình học, số học, thiên văn học và âm nhạc. “Sự hài hòa của các thiên cầu” - thứ âm nhạc được cho là biểu diễn bởi các hành tinh trên quỹ đạo của chúng, mà theo các môn đệ của ông, thì chỉ Pythagoras mới có thể nghe thấy - đã gợi cảm hứng cho cho các nhà thơ cũng như các nhà khoa học. Nhà thiên văn học nổi tiếng Johannes Kepler (1571-1630), người đã khám phá ra các quy luật về chuyển động của các hành tinh, đã chọn nhan đề Harmonice Mundi (Sự hài hòa của Thế giới) cho một trong những tác phẩm có tầm ảnh hưởng lớn nhất của ông. Theo tinh thần Pythagoras, ông thậm chí còn phát triển những “giai điệu” nhỏ cho các hành tinh khác nhau (như nhà soạn nhạc Gustav Holst đã làm sau ông ba thế kỷ). Xét từ khía cạnh các phương trình, là tiêu điểm của cuốn sách này, thì một khi chúng ta cởi bỏ lớp áo bí ẩn của triết học Pythagoras ra thì bộ khung còn lại bên trong chỉ là một tuyên bố hùng hồn về toán học, bản chất của nó và mối liên hệ của nó với cả thế giới vật chất lẫn tinh thần của con người. Pythagoras và các môn đệ của ông chính là cha đẻ của những tìm kiếm trật tự của vũ trụ. Họ có thể được xem là những người sáng lập ra toán học thuần túy, trong đó, không giống như các bậc tiền bối của họ - là những người Babylon và Ai Cập - họ tham dự vào toán học như là một lĩnh vực trừu tượng, tách biệt hẳn với mọi mục đích thực tế. Câu hỏi liệu những người theo trường phái Pythagoras có cũng xác lập toán học là công cụ cho khoa học hay không là một câu hỏi tinh tế hơn. Trong khi những người theo trường phái Pythagoras nhất định gắn mọi hiện tượng với các con số, thì bản thân các con số - chứ không phải các hiện tượng hay nguyên nhân gây ra Những con người thần bí 47 chúng - đã trở thành tiêu điểm nghiên cứu. Đây không phải là một hướng đi đặc biệt màu mỡ cho nghiên cứu khoa học. Nhưng, điều cơ bản đối với học thuyết Pythagoras là niềm tin tuyệt đối vào sự tồn tại của các quy luật tự nhiên, tổng quát. Niềm tin này, đã trở thành trụ cột của khoa học hiện đại, có thể đã bắt nguồn từ khái niệm Định mệnh trong tấn bi kịch Hy Lạp. Vào cuối thời kỳ Phục Hưng, niềm tin mạnh mẽ vào tính hiện thực của một nhóm các định luật có thể giải thích được mọi hiện tượng, vẫn tiếp tục tiến bộ khá xa trước khi có một bằng chứng cụ thể nào, và chỉ Galileo, Descartes, và Newton mới biến nó thành một định đề có thể biện minh dựa trên cơ sở quy nạp. Một đóng góp chủ yếu khác của những người theo trường phái Pythagoras, đó là sự phát hiện một cách tỉnh táo rằng “tôn giáo số” của riêng họ, trên thực tế, thật đáng tiếc là không vận hành được. Các số nguyên 1, 2, 3,... là không đủ ngay cả để xây dựng toán học, chứ chưa nói gì đến việc mô tả vũ trụ. Hãy xét hình vuông ở hình 6, trong đó độ dài của một cạnh là 1 đơn vị và độ dài đường chéo biểu thị bằng d. Chúng ta có thể dễ dàng tính được độ dài của đường chéo này bằng cách sử dụng định lý Pythagoras đối với một trong hai tam giác vuông do đường chéo đó chia đôi hình vuông. Theo định lý này thì bình phương đường chéo (cạnh huyền) bằng tổng bình phương hai cạnh: d2 = 12+12 = 2. Một khi bạn đã biết bình phương của một số dương thì bạn có thể tính ra số đó bằng cách lấy căn bậc 2 (ví dụ như nếu x2 = 9 thì x = 9 = 3). Như vậy, d2 = 2 tức là d= 2 đơn vị. Vậy tỷ số giữa độ dài của đường chéo với độ dài của cạnh hình vuông là 2 . Tuy nhiên, ở đây đã xuất hiện một cú sốc thực sự - một phát hiện đã đánh 48 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Hình 6 đổ triết học số rời rạc của trường phái Pythagoras vốn được xây dựng một cách rất tỷ mỉ. Một trong những người theo trường phái Pythagoras (có thể là Hippasus ở Metapontum, sống vào nửa đầu thế kỷ thứ 5 trước CN) đã chứng minh được rằng căn bậc hai của 2 không thể được biểu thị như là một tỷ số của hai số nguyên nào. Hay nói cách khác, ngay cả khi chúng ta có vô hạn các số nguyên để lựa chọn thì việc tìm ra hai số nguyên có tỷ số bằng 2 cũng thất bại ngay từ đầu. Các con số có thể được biểu thị bằng tỷ số của hai số nguyên (như 3/17, 2/5, 1/10, 6/1) đều được gọi là các số hữu tỷ. Nhưng người kế tục Pythagoras đã chứng minh được rằng 2 không phải là một số hữu tỷ. Trên thực tế, thì ngay sau phát hiện đầu tiên này, người ta thấy rằng cả 3 , 17 hay căn bậc hai của một số bất kỳ không phải là các số chính phương (như 16 hay 25) cũng đều như vậy. Kết quả thật là ấn tượng - những người theo trường phái Pythagoras đã chứng tỏ được rằng ngoài vô hạn các số hữu tỷ ra, chúng ta buộc phải bổ sung thêm vô hạn các số mới - mà ngày nay chúng ta gọi là số vô tỷ. Khỏi phải nói về tầm quan trọng của khám phá này đối với sự phát triển tiếp sau của giải tích toán. Ngoài những thứ khác ra, phát hiện này đã dẫn đến Những con người thần bí 49 việc thừa nhận sự tồn tại của vô hạn các số “đếm được” và “không đếm được” vào thế kỷ 19. Tuy nhiên, những người theo trường phái Pythagoras đã bị choáng váng bởi cuộc khủng hoảng về triết học này tới mức triết gia Iamblichus đã tuyên bố rằng người đã khám phá ra số vô tỷ và hé lộ bản chất của chúng với “những kẻ không xứng đáng được chia sẻ lý thuyết này” là “đáng căm ghét tới mức không chỉ bị loại khỏi cộng đồng [của những người theo trường phái Pythagoras] và cuộc sống mà thậm chí còn dựng cho y một tâm bia mộ với lý do người đồng đội trước đây [của họ] đã bị loại khỏi cuộc sống giữa loài người”. Có lẽ thậm chí còn quan trọng hơn cả sự khám phá ra số vô tỷ là sự kiên định của các học trò tiên phong của Pythagoras về chứng minh toán học - một quá trình hoàn toàn dựa trên lập luận lôgic, theo đó xuất phát từ một số định đề, sự hợp thức của bất kỳ mệnh đề toán học nào cũng phải được xác lập một cách rõ ràng. Trước người Hy Lạp thì ngay cả các nhà toán học cũng không chờ đợi có một ai đó ít nhất cũng quan tâm đến những vật lộn trí óc dẫn họ tới một khám phá cụ thể nào đó. Nếu một công thức toán học vận dụng được trong thực tế - chẳng hạn như để phân chia các thửa đất - thì như vậy đã đủ là chứng minh rồi. Trái lại, người Hy Lạp còn muốn lý giải tại sao nó lại có thể làm được như vậy. Trong khi khái niệm chứng minh có lẽ lần đầu tiên được đưa ra bởi nhà triết học Thales ở Miletus (khoảng 625-547 trước CN), thì những môn đồ của Pythagoras lại chính là người đã biến thực tiễn đó trở thành một công cụ hoàn hảo để xác định các chân lý toán học. Tầm quan trọng của bước đột phá về lôgic này là vô cùng to lớn. Những chứng minh xuất phát từ các định đề ngay lập tức đã đặt 50 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? toán học trên một nền tảng vững chắc hơn bất kỳ một lĩnh vực nào khác được các nhà triết học luận bàn thời đó. Một khi, một chứng minh chặt chẽ dựa trên các bước suy luận không có một sơ hở nào được công bố thì giá trị của phát biểu toán học có liên quan, về cơ bản, là không thể chối bỏ được. Ngay cả Arthur Conan Doyle, người đã tạo ra một thám tử lừng danh nhất thế giới, cũng đã nhận ra vị trí đặc biệt của chứng minh toán học. Trong tập truyện Chiếc nhẫn tình cờ, Sherlock Homes đã tuyên bố rằng kết luận của ông là “không thể sai lầm như nhiều mệnh đề của Euclid”. Về câu hỏi liệu toán học được khám phá ra hay phát minh ra, thì Pythagoras và các môn đệ của ông đều không hề hồ nghi - toán học là thực, không thể thay đổi được, nó có mặt ở khắp mọi nơi và siêu phàm hơn bất kỳ điều gì có thể hiểu được đột sinh trong trí tuệ mong manh của con người. Những người thuộc trường phái Pythagoras đúng là đã nhúng cả vũ trụ vào toán học. Trên thực tế, đối với những người thuộc trường phái Pythagoras thì Thượng đế không phải là một nhà toán học mà toán học chính là Thượng đế. Tầm quan trọng của triết học Pythagoras không chỉ nằm ở giá trị nội tại thực sự của nó. Bằng việc dựng nên một sân khấu, và trong một chừng mực nào đó cả chương trình nữa, cho thế hệ các nhà triết học tiếp sau - đặc biệt là Plato - các môn đồ của Pythagoras đã xác lập được một vị trí thống trị trong tư tưởng của phương Tây. Vào hang của Plato Nhà toán học và triết học nổi tiếng người Anh Alfred North Whitehead (1861-1947) đã từng nhận xét rằng “sự khái quát hóa Những con người thần bí 51 an toàn nhất có thể thực hiện về lịch sử triết học phương Tây là toàn bộ những chú giải của Plato”. Thực sự thì Plato (khoảng 428-347 trước CN) là người đầu tiên đã tập hợp các chủ đề rải rác từ toán học, khoa học, và ngôn ngữ đến tôn giáo, đạo đức và nghệ thuật lại và xử lý chúng một cách thống nhất, và điều này, về cơ bản, đã xác định triết học như là một môn học. Đối với Plato, triết học không phải là một môn học trừu tượng nào đó, tách biệt khỏi những hoạt động hàng ngày, mà là người hướng dẫn chủ chốt con người ta biết sống cuộc đời của mình như thế nào, biết nhận ra chân lý và vận hành hệ thống chính trị của mình. Đặc biệt, ông tuyên bố rằng triết học có thể giúp chúng ta tiếp cận lãnh địa của chân lý vốn ở quá xa những gì mà chúng ta có thể cảm nhận được một cách trực tiếp nhờ các giác quan của mình hay thậm chí suy luận theo lẽ phải thông thường đơn giản. Vậy ai sẽ là người tìm kiếm không ngừng nghỉ những tri thức thuần túy, những chân lý vĩnh cửu và cái thiện tuyệt đối? Plato, con trai của Ariston và Perictione, được sinh ra tại Athens hoặc Aegina. Hình 7 là bức tượng đá La Mã của Plato, rất có thể đã được sao lại từ bản gốc trước kia của người Hy Lạp ở thế kỷ thứ 4 trước CN. Gia đình ông có dòng dõi xuất chúng ở cả hai bên nội ngoại, gồm có những nhân vật như Solon, một nhà làm luật danh tiếng, và Codrus, vị vua cuối cùng của Athens. Chú của Plato là Charmides và người em họ của mẹ ông là Critias đều là bạn của triết gia nổi tiếng Socrate (khoảng 470-399 trước CN) - một mối quan hệ, mà trên nhiều phương diện, đã có ảnh hưởng quan trọng và lâu dài đến sự phát triển trí tuệ của Plato. Ban đầu, Plato dự định tham chính, nhưng một loạt những hành vi bạo lực bởi các 52 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Hình 7 phe phái chính trị lôi cuốn ông một thời đã khiến ông nhận thức lại. Sau này, chính những thúc đẩy ban đầu bởi chính trị này có lẽ đã khuyến khích Plato vạch ra những cái mà ông cho là thiết yếu phải giáo dục cho những người bảo vệ tương lai của đất nước. Trong một trường hợp, ông thậm chí còn định (nhưng không thành công) giảng cho Dionysius II, người cai trị Syracuse. Sau khi Socrates bị hành hình vào năm 399 trước CN, Plato đã dấn thân vào một chuyến du hành dài và chỉ kết thúc khi ông sáng lập ra trường học về triết học và khoa học nổi tiếng của mình - mang tên Viện hàn lâm (Academy) - vào khoảng năm 387 trước CN. Plato làm giám đốc (hay hiệu trưởng -scholarch - theo tiếng Hy Lạp) của Viện cho đến khi ông qua đời và người cháu của ông là Speusippus lên thay. Không giống như các Viện hàn lâm ngày nay, Viện hàn lâm này là một tập hợp không chính thức của các trí thức, những người theo đuổi những sở thích rất rộng và phong Những con người thần bí 53 phú, dưới sự lãnh đạo của Plato. Không phải nộp học phí, không có chương trình giảng dạy bắt buộc và thậm chí còn không có cả các giảng viên chính thức. Tuy nhiên, trường lại có “yêu cầu đầu vào” khá khác thường. Theo một bài diễn văn đọc trước công chúng vào thế kỷ thứ 4 sau CN của hoàng đế Julian the Apostate, thì trước cửa Viện của Plato có treo tấm biển khá nặng. Trên tấm biển này có khắc một dòng chữ không được nói rõ trong bài diễn văn, song người ta lại tìm thấy nó trong một bản ghi chép khác ở thế kỷ thứ 4. Đó là dòng chữ: “Những người không biết hình học không được bước chân vào”. Vì khoảng cách thời gian giữa lúc Viện được thành lập và bản ghi chép đầu tiên về câu khắc đó không dưới 8 thế kỷ nên chúng ta hoàn toàn không thể biết chắc chắn có thực sự tồn tại một câu khắc như thế hay không. Tuy nhiên, quan điểm được biểu thị bởi yêu cầu trong câu khắc đó đã phản ánh đúng quan điểm cá nhân của Plato, đó là một điều hoàn toàn không thể nghi ngờ. Ở một trong những tác phẩm đối thoại nổi tiếng của mình, Gorgias, Plato đã viết: “Sự cân bằng về hình học có tầm quan trọng rất to lớn giữa các thần và con người”. “Sinh viên” trong Viện nhìn chung là tự học và một vài người trong số họ - điển hình là Aristotle vĩ đại - đã ở đó đến 20 năm. Plato xem sự tiếp xúc trong một thời gian dài giữa những trí tuệ sáng tạo như là một phương tiện tốt nhất cho việc sản sinh ra những ý tưởng mới, với các chủ đề từ siêu hình học và toán học trừu tượng cho đến đạo đức và chính trị. Những tính cách thuần khiết và gần như thánh thiện của các học trò của Plato đã được khắc họa rất đẹp trong bức tranh có tên là Trường học của Plato của một họa sỹ tượng trưng người Bỉ Jean Delville (1867-1953). Để nhấn mạnh 54 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? phẩm chất tinh thần của các học sinh này, Delville đã vẽ họ trong trạng thái khỏa thân, và họ có vẻ như lưỡng tính, vì điều đó được cho là trạng thái nguyên thủy của con người. Tôi đã thất vọng khi biết rằng các nhà khảo cổ học đã không thể tìm thấy di tích nào của Viện hàn lâm của Plato. Trong một chuyến đi Hy Lạp vào hè năm 2007, tôi đã tìm kiếm thứ tuyệt vời thứ hai. Plato đã từng nhắc tới Cổng vòm của Zeus (một lối đi bộ có mái che được xây dựng vào thế kỷ thứ 5 trước CN) như là một nơi ưa thích để trò chuyện với bạn bè. Tôi đã tìm thấy đống đổ nát của cái cổng vòm này ở góc phía tây bắc của khu chợ cổ ở Athens (đây là trung tâm đô thị vào thời Plato; hình 8). Tôi phải nói rằng mặc dù nhiệt độ hôm đó lên tới 46 độ C, tôi vẫn cảm thấy gai người khi đi bộ trên cùng một con đường mà chắc có lẽ người đàn ông vĩ đại ấy đã từng bước qua hàng trăm, nếu không muốn nói là hàng ngàn lần. Hình 8 Những con người thần bí 55 Dòng chữ huyền thoại treo trên cửa Viện hàn lâm đã biểu thị một cách hùng hồn thái độ của Plato đối với toán học. Trên thực tế, hầu hết những nghiên cứu toán học quan trọng vào thế kỷ 4 trước CN được thực hiện bởi những người bằng cách này hay cách khác đều có liên quan tới Viện của Plato. Nhưng bản thân Plato lại không phải là một nhà toán học tài tình về mặt kỹ thuật. Những đóng góp trực tiếp của ông đối với tri thức toán học có lẽ là rất tối thiểu. Song ông lại là người theo dõi rất nhiệt tình, một nguồn thách thức luôn thôi thúc, một nhà phê bình thông minh và một người lãnh đạo truyền cảm. Nhà triết học và sử học ở thế kỷ thứ nhất Philodemus đã vẽ nên một bức tranh thật rõ ràng: “Vào thời đó, người ta chứng kiến một sự tiến bộ vĩ đại trong toán học, với sự đóng góp của Plato như là một kiến trúc sư tổng thể, đặt ra vấn đề và các nhà toán học miệt mài nghiên cứu chúng”. Nhà triết học và toán học Proclus thuộc trường phái Tân Plato (trường phái triết học phát triển ở Alexandria thế kỷ thứ 3 sau CN) bổ sung: “Plato... đã thúc đẩy mạnh mẽ sự tiến bộ của toán học nói chung và hình học nói riêng bởi nhiệt huyết của ông đối với những nghiên cứu này. Ai cũng biết rằng trong những tác phẩm của ông rải đầy những thuật ngữ toán học và ở đâu ông cũng khơi dậy niềm đam mê đối với toán học trong các học trò triết học”. Nói cách khác, Plato, người mà tri thức toán học luôn được cập nhật một cách bao quát, có thể trò chuyện với các nhà toán học một cách ngang phân, người đặt ra vấn đề, mặc dù những thành tựu về toán học của cá nhân ông lại không đáng kể. Một minh chứng ấn tượng khác về sự đánh giá của Plato đối với toán học đến từ cuốn sách có lẽ là hoàn thiện nhất của ông, 56 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? cuốn Nền cộng hòa, một tập hợp dị thường về mỹ học, đạo đức, siêu hình học, và chính trị. Ở đó, trong cuốn VII, Plato (thông qua nhân vật trung tâm là Socrates) đã vạch ra một kế hoạch giáo dục đầy tham vọng được thiết kế nhằm đào tạo ra những nhà lãnh đạo đất nước không tưởng. Chương trình giảng dạy nghiêm khắc dù là có tính lý tưởng hóa này dự tính là sẽ đào tạo ngay từ khi còn là trẻ thơ được truyền đạt thông qua trò chơi, du lịch và thể thao. Sau khi lựa chọn những người tỏ ra có hứa hẹn, chương trình sẽ tiếp tục trong khoảng thời gian không dưới 10 năm với toán học, 5 năm học phép biện chứng, và 15 năm rèn luyện thực tế, bao gồm cả việc thực hiện mệnh lệnh trong thời gian chiến tranh và các nhiệm vụ khác “phù hợp với tuổi trẻ”. Plato còn giải thích rõ ràng tại sao ông lại nghĩ đó là sự đào tạo cần thiết cho các chính trị gia tương lai: Như vậy, quyền lực chỉ được trao cho những người không đam mê quyền lực, bằng không, các đối thủ của họ sẽ lập tức khiêu chiến ngay... Song, vậy thì chúng ta phải yêu cầu ai đảm nhiệm việc chăm lo cho một thành phố đây, nếu như không phải là những người sành sỏi và biết cách làm thế nào để điều hành nó một cách tốt nhất, những người từng biết đến những vinh quang khác, từng trải nghiệm một cuộc sống khác hơn cuộc sống của một quan chức nhà nước. Thật là mới mẻ, phải không? Trên thực tế, trong khi một chương trình đòi hỏi cao như vậy là phi thực tế ngay cả ở thời Plato, nhưng George Washington lại nhất trí rằng một học vấn về toán học và Những con người thần bí 57 triết học không phải là một ý tưởng tồi đối với các nhà chính trị tương lai: Khoa học về các hình, ở một mức độ nhất định, không chỉ là tuyệt đối cần thiết trong mỗi bước đi của đời sống văn mình mà việc nghiên cứu các chân lý toán học còn tập cho trí não làm quen với phương pháp và sự đúng đắn trong lập luận, và là một việc làm đặc biệt xứng đáng với con người có lý trí. Trong trạng thái tồn tại còn mờ mịt, với rất nhiều thứ dường như không ổn định đối với việc nghiên cứu còn lúng túng, thì đây chính là nền tảng, là chỗ dựa của những khả năng lý trí. Từ nền tảng cao của những chứng minh toán học và triết học, chúng ta đã vô tình được dẫn tới những tư biện cao quý hơn và những suy tư siêu phàm hơn rất nhiều. Đối với câu hỏi về bản chất của toán học, thì việc Plato là nhà triết học của toán học thậm chí còn quan trọng hơn cả việc Plato là nhà toán học hay là người thúc đẩy toán học. Những ý tưởng tiên phong đã đặt ông ở vị thế không chỉ cao hơn tất cả các nhà toán học và triết học ở thế hệ ông, mà còn xác định ông là một nhân vật có ảnh hưởng đến hàng thiên niên kỷ tiếp sau. Quan điểm của Plato về toán học thực sự gợi đến câu chuyện ngụ ngôn về cái hang rất nổi tiếng của ông. Trong đó ông đã nhấn mạnh giá trị đáng ngờ của những thông tin có được từ những giác quan của con người. Những gì chúng ta cảm nhận là thế giới thực, Plato nói, cũng chẳng thực hơn những cái bóng được chiếu lên thành hang. Dưới đây là một đoạn đáng chú ý trong cuốn Nền cộng hòa. 58 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Hãy tưởng tượng những con người sống trong một địa đạo ngầm dưới đất giống như một cái hang, có một lối vào, rất dài, và rộng mở cho ánh sáng tràn vào khắp khoảng rộng của hang. Họ sống ở đó từ lúc nhỏ đến lớn với đôi chân và cổ bị cùm chặt khiến cho họ chỉ có thể nhìn về phía trước, và không thể ngoái đầu qua lại được. Ánh sáng đến với họ từ ngọn lửa đốt ở xa bên trên và ở phía sau họ. Giữa ngọn lửa và các tù nhân có một lối đi và bạn hãy tưởng tượng dọc theo lối đi đó có một bức tường thấp giống như tấm vách chắn ngăn cách người điều khiển các con rối và khán giả, và trên đó người ta trình diễn các con rối... Và bây giờ bạn hãy tưởng tượng người ta giơ cao dọc theo bức tường này các đồ vật, tượng người và các sinh vật khác làm bằng gỗ, đá và các loại vật liệu khác... Liệu bạn có tin rằng những tù nhân này, tự mình hoặc nhờ nhau, có thể nhìn thấy cái gì khác ngoài những cái bóng do ánh lửa ở phía sau họ chiếu lên vách hang đối diện? Theo Plato, chúng ta, con người nói chung, không khác gì những tù nhân ở trong hang đó, những người cứ tưởng những cái bóng là thực. (Hình 9 là một bức tranh khắc của Jan Saenredam vẽ năm 1604 minh họa cho câu chuyện ngụ ngôn trên). Đặc biệt, Plato nhấn mạnh, các chân lý toán học không nhắm vào các đường tròn, tam giác và hình vuông có thể được vẽ trên giấy cói, hoặc vạch bằng một chiếc que trên cát, mà là những đối tượng trừu tượng sống trong một thế giới lý tưởng, là ngôi nhà của các hình dạng thực và hoàn hảo. Thế giới Platonic của các dạng toán học này khác biệt với thế giới vật chất, và chính trong thế giới đầu tiên này, các mệnh Những con người thần bí 59 Hình 9 đề toán học, như định lý Pythagoras, là đúng. Tam giác vuông mà chúng ta vẽ trên giấy cũng chỉ là một bản sao không hoàn hảo - một bản sao gần đúng - của một tam giác thực, trừu tượng. Một vấn đề cơ bản khác mà Plato đã nghiên cứu chi tiết có liên quan đến bản chất của chứng minh toán học như là một quá trình dựa trên các định đề và tiên đề. Các tiên đề là những điều khẳng định cơ bản mà sự đúng đắn của chúng được coi là hiển nhiên, không cần phải chứng minh. Chẳng hạn, tiên đề đầu tiên trong hình học Euclid là “giữa hai điểm bất kỳ có thể vẽ được một đường thẳng”. Trong cuốn Nền cộng hòa, Plato đã kết hợp một cách đẹp đẽ khái niệm các định đề với ý niệm của ông về thế giới của các dạng toán học: 60 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Tôi nghĩ là các bạn biết rằng những người bận tâm với hình học và tính toán cùng những thứ tương tự, thường cho các [số] chẵn và lẻ, các hình, ba loại góc, và những thứ khác tương tự đều là hiển nhiên; khi giả sử những điều này đều đã biết, họ sẽ lấy chúng làm các giả thiết và từ đó họ không cảm thấy cần phải đưa ra bất kỳ giải thích nào liên quan đến chúng, dù là với chính họ hay bất kỳ ai khác; dựa trên chính những giả thiết này, họ ngay lập tức tiếp tục thực hiện phần còn lại của lập luận cho đến khi họ đạt đến, với sự tán thành chung, một kết luận cụ thể mà họ nhắm đến. Hơn nữa, bạn cũng biết rằng họ sử dụng các hình nhìn thấy được và tranh luận về chúng, như khi làm như vậy họ không nghĩ về các hình này mà là về những thứ mà chúng biểu diễn; vì vậy, hình vuông tuyệt đối và đường kính tuyệt đối mới là đối tượng lập luận của họ, chứ không phải là cái đường kính mà họ vẽ... mục đích của người nghiên cứu là nhìn cái đối ứng tuyệt đối của nó mà ta chỉ có thể nhìn thấy được bằng ý nghĩ [tác giả nhấn mạnh]. Các quan điểm của Plato với tư cách là học thuyết Plato đã tạo nên cơ sở cho những điều đã trở nên quen thuộc trong triết học nói chung và trong những thảo luận về bản chất của toán học nói riêng. Học thuyết Plato theo nghĩa rộng nhất của nó là ủng hộ niềm tin vào những thực tại trừu tượng, vĩnh cửu, không thể thay đổi, hoàn toàn độc lập với thế giới nhất thời mà chúng ta cảm nhận được bằng các giác quan của mình. Theo học thuyết Plato, sự tồn tại thực của các đối tượng toán học cũng là một thực tế khách quan như sự tồn tại của chính bản thân vũ trụ vậy. Không chỉ là các số tự nhiên, các đường tròn, hình vuông tồn tại mà cả các số ảo, các Những con người thần bí 61 hàm số, các hình fractal, các hình học phi Euclid, và các tập hợp vô hạn cũng như rất nhiều các định lý khác nhau về những thực thể đó. Nói gọn lại thì mỗi một khái niệm toán học hay một mệnh đề “đúng đắn một cách khách quan” (sẽ được định nghĩa sau) đã được phát biểu hoặc tưởng tượng ra, và cả một số vô hạn các khái niệm và mệnh đề vẫn còn chưa được phát hiện, chúng đều là những thực thể tuyệt đối, hoặc phổ quát, không thể tạo ra hay hủy bỏ được. Chúng tồn tại độc lập với chuyện chúng ta có hiểu biết về chúng hay không. Khỏi cần phải nói rằng các đối tượng này không phải là vật chất - chúng sống trong một thế giới tự lập của những thực thể phi thời gian. Học thuyết Plato xem các nhà toán học như là những nhà thám hiểm của những vùng đất lạ; họ chỉ có thể khám phá ra các chân lý toán học chứ không phát minh ra chúng. Giống như là châu Mỹ vẫn luôn ở đó trước khi Columbus (hay Leif Ericson) khám phá ra nó, các định lý toán học cũng tồn tại trong thế giới Platonic trước khi những người Babylon có những nghiên cứu đầu tiên về toán học. Đối với Plato, chỉ những dạng và những ý tưởng trừu tượng của toán học mới thực sự và trọn vẹn tồn tại, vì, như ông khẳng định, chỉ trong toán học, chúng ta mới có thể có được những tri thức tuyệt đối chính xác và khách quan. Chính vì vậy, trong tâm trí của Plato, toán học trở nên gắn bó gần gũi với thần thánh. Trong tác phẩm đối thoại Timaeus, đấng sáng tạo đã sử dụng toán học để nhào nặn nên thế giới, và trong cuốn Nền cộng hòa, tri thức về toán học được xem như là một bước cốt yếu trên con đường tiến tới sự hiểu biết về những dạng thần thánh. Plato không sử dụng toán học để phát biểu một số định luật của tự nhiên mà ta có thể kiểm chứng được bằng thực nghiệm. Đúng hơn, đối với ông, đặc tính toán học của thế giới đơn giản chỉ là một hệ 62 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? quả của thực tế là “Thượng đế luôn hình học hóa”. Plato mở rộng ý niệm của mình về “các dạng thực” sang cả những lĩnh vực khác, đặc biệt là đối với thiên văn học. Ông luận giải rằng trong thiên văn học thực “chúng ta phải để mặc cho bầu trời” và đừng có cố gắng giải thích sự bố trí cũng như những chuyển động biểu kiến của những ngôi sao nhìn thấy được. Thay vì thế, Plato coi thiên văn học thực như là một môn khoa học nghiên cứu các quy luật chuyển động trong một thế giới toán học lý tưởng nào đó, mà đối với nó bầu trời quan sát được chỉ là một sự minh họa (cũng giống như các hình hình học được vẽ trên giấy cói cũng chỉ là để minh họa cho các hình thực). Những đề nghị của Plato đối với việc nghiên cứu thiên văn học cũng được ngay cả một số người nhiệt thành nhất của học thuyết Plato coi là còn phải bàn cãi. Những người bảo vệ các ý kiến của ông thì cho rằng điều mà Plato thực sự muốn nói không phải là bản thân thiên văn học thực thụ phải có quan tâm tới một bầu trời lý tưởng nào đó, không liên quan gì đến bầu trời quan sát được, mà nó cần phải có quan hệ với những chuyển động thực của các thiên thể đối ngược với những chuyển động biểu kiến như được nhìn thấy từ Trái đất. Tuy nhiên, những người khác chỉ ra rằng, một sự bám theo quá sát câu châm ngôn của Plato sẽ làm cản trở sự phát triển của thiên văn học dựa vào quan sát với tư cách là một môn khoa học. Là sự diễn giải thái độ của Plato đối với thiên văn học như nó có thể, học thuyết Plato đã trở thành một trong những giáo điều hàng đầu khi nó chạm đến những nền tảng của toán học. Nhưng thế giới Platonic của toán học liệu có thực sự tồn tại? Mà nếu có thì chính xác nó ở đâu? Và những phát biểu “đúng đắn Những con người thần bí 63 một cách khách quan” sống trong thế giới này là những gì? Hay phải chăng các nhà toán học gia nhập trường phái Plato đơn giản chỉ là biểu thị cùng một thứ niềm tin lãng mạn mà người đời đã gán cho họa sĩ vĩ đại thời Phục Hưng Michelangelo? Theo truyền thuyết thì Michelangelo tin rằng những bức tượng tuyệt vời của ông thực sự đã tồn tại sẵn bên trong những khối đá hoa cương và nhiệm vụ của ông chỉ là làm cho chúng lộ ra mà thôi. Những người theo học thuyết Plato hiện đại (vâng, họ vẫn thực sự tồn tại và quan điểm của họ sẽ được trình bày chi tiết hơn ở các chương sau) khăng khăng rằng thế giới Platonic của các dạng toán học là thực, và họ đã đưa ra những thứ mà họ coi như những ví dụ cụ thể về những phát biểu toán học đúng đắn một cách khách quan tồn tại trong thế giới đó. Hãy xét mệnh đề dễ hiểu sau đây: mỗi một số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố (là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó). Phát biểu nghe có vẻ đơn giản này được gọi là giả thuyết Goldbach, vì một phỏng đoán tương đương xuất hiện trong một bức thư do nhà toán học nghiệp dư nước Phổ là Christian Goldbach (1690-1764) viết vào ngày 7 tháng 6 năm 1742. Bạn có thể dễ dàng kiểm tra lại tính đúng đắn của phỏng đoán này bằng một vài số chẵn đầu tiên: 4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 3+5; 10 = 3+7; 12 = 5+7; 14 = 3+11 (hay 7+7); 16 = 5+11 (hay 3+13); và cứ tiếp tục như vậy. Phát biểu này đơn giản tới mức nhà toán học người Anh G. H. Hardy đã tuyên bố rằng “bất kỳ thằng ngốc nào cũng có thể phỏng đoán được như vậy”. Thực tế, nhà triết học và toán học người Pháp René Descartes đã biết giả thuyết này còn trước cả Goldbach. Tuy nhiên, chứng minh giả thuyết này 64 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? hóa ra lại là một vấn đề hoàn toàn khác. Năm 1966, nhà toán học người Trung Quốc Trần Cảnh Nhuận đã tiến được một bước lớn trong việc chứng minh nó. Ông đã tìm cách chứng minh rằng mọi số nguyên chẵn đủ lớn là tổng của hai số, trong đó một số là số nguyên tố còn số kia nhiều nhất là tích của hai số nguyên tố. Đến cuối năm 2005, nhà nghiên cứu Bồ Đào Nha Tomás Oliveira e Silva đã chứng minh phỏng đoán này là đúng với các số lên đến 3×1017 (ba trăm ngàn triệu triệu). Tuy nhiên, mặc dù có sự nỗ lực vô cùng to lớn của rất nhiều nhà toán học tài năng, song tại thời điểm viết cuốn sách này, người ta vẫn chưa có được một chứng minh tổng quát. Ngay cả sự cám dỗ của một phần thưởng trị giá 1 triệu đôla được đưa ra vào khoảng thời gian từ 20 tháng 3 năm 2000 đến 20 tháng 3 năm 2002 (nhằm quảng bá cho cuốn tiểu thuyết nhan đề Cậu Petros và giả thuyết Goldbach), cũng không mang lại kết quả mong đợi. Tuy nhiên ở đây, vấn đề nan giải là ý nghĩa của cụm từ “đúng đắn một cách khách quan” trong toán học. Giả sử rằng một chứng minh chặt chẽ sẽ thực sự được công bố vào năm 2016. Liệu chúng ta khi đó có thể nói rằng phát biểu này thực sự đã là đúng khi Descartes lần đầu tiên nghĩ về nó không? Hầu hết mọi người đều cho rằng câu hỏi này là ngu ngốc. Rõ ràng, nếu một mệnh đề được chứng minh là đúng thì nó vẫn luôn luôn đúng, ngay cả trước khi chúng ta biết là nó đúng. Hay, hãy xét một ví dụ có vẻ như ngớ ngẩn khác là Giả thuyết Catalan. Số 8 và số 9 là hai số nguyên liền nhau và cả đều tương đương với một số lũy thừa thuần, tức là 8 = 23 và 9 = 32. Vào năm 1844, nhà toán học người Bỉ Eugène Charles Catalan (1814 - 94) đã phỏng đoán rằng trong số tất cả các lũy thừa khả dĩ của các số nguyên Những con người thần bí 65 thì chỉ có cặp duy nhất là hai số nguyên liền tiếp là 8 và 9 (trừ 0 và 1). Hay nói cách khác, bạn có thể dành cả đời mình để viết ra tất cả các số lũy thừa thuần có tồn tại. Ngoài 8 và 9 ra, bạn sẽ không tìm thấy hai số nào trong số các lũy thừa ấy khác nhau 1 đơn vị. Vào năm 1342, nhà toán học và triết học người Pháp gốc Do Thái là Levi Ben Gerson (1288-1344) đã thực sự chứng minh được một phần nhỏ của giả thuyết này - rằng 8 và 9 là những lũy thừa duy nhất của 2 và 3, hơn kém nhau 1 đơn vị. Một bước quan trọng được thực hiện bởi nhà toán học Robert Tijdeman vào năm 1976. Tuy nhiên, chứng minh tổng quát của giả thuyết Catalan đã làm bối rối những bộ óc toán học xuất chúng nhất trong suốt hơn 150 năm. Cuối cùng, vào ngày 18 tháng 4 năm 2002, nhà toán học người Rumani Preda Mihailescu đã đưa ra một chứng minh hoàn hảo cho giả thuyết này. Chứng minh của ông được công bố vào năm 2004 và giờ thì đã được chấp nhận hoàn toàn. Một lần nữa bạn có thể hỏi: Khi nào thì giả thuyết Catalan trở thành đúng đắn? Năm 1342, 1844, 1976, 2002 hay 2004? Lẽ nào còn chưa rõ ràng rằng phát biểu này là luôn luôn đúng, chỉ có điều là chúng ta không biết là nó đúng thôi? Đó là những loại chân lý mà những người theo Plato gọi là “đúng đắn một cách khách quan”. Một số nhà toán học, triết học, khoa học nhận thức và những “khách hàng” khác của toán học (chẳng hạn, các nhà khoa học về máy tính) đã xem thế giới Platonic như là thứ hư cấu của trí tưởng tượng của những đầu óc quá mơ mộng (tôi sẽ mô tả khía cạnh này và những thứ giáo điều khác một cách chi tiết hơn ở phần sau của cuốn sách). Thực tế thì vào năm 1940, nhà sử học toán học nổi tiếng là Eric Temple Bell (1883-1960) đã đưa ra dự đoán dưới đây: 66 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? Theo các nhà tiên tri, môn đồ cuối cùng của lý tưởng Platonic trong toán học sẽ gia nhập đội ngũ khủng long vào năm 2000 (hàm ý tuyệt chủng -ND). Lột bỏ tấm áo khoác hoang tưởng của chủ nghĩa vĩnh cửu, toán học sẽ trở lại bản chất như nó vốn có, một kiểu ngôn ngữ có cấu trúc nhân văn do con người tạo ra cho những mục đích xác định do chính họ đặt ra. Đền thờ cuối cùng của một chân lý tuyệt đối sẽ biến mất mà không có gì cất giữ ở bên trong nó. Lời tiên tri của Bell đã được chứng minh là sai. Trong khi đã xuất hiện những giáo điều ngược lại hoàn toàn (nhưng đi theo những hướng khác) với học thuyết Plato, nhưng những giáo điều đó còn chưa chiếm được hoàn toàn khối óc (và cả trái tim nữa!) của tất cả các nhà toán học và triết học, những người ngày nay vẫn tiếp tục còn chia rẽ như bất cứ khi nào trước đây. Tuy nhiên, cứ tạm giả sử rằng trường phái Platonic chiến thắng, và tất cả chúng ta đều trở thành những nhà Platonic toàn tâm. Liệu khi đó học thuyết Plato có thực sự giải thích được “tính hiệu quả đến phi lý” của toán học trong việc mô tả thế giới của chúng ta hay không? Không hẳn. Tại sao thực tại vật lý lại hành xử theo các quy luật có trong thế giới Platonic trừu tượng? Xét cho cùng thì đây là một trong những điều bí ẩn mà Penrose nêu ra, và chính bản thân Penrose cũng là một người theo trường phái Platonic nhiệt thành. Vì vậy trong lúc này, chúng ta phải chấp nhận một thực tế rằng ngay cả nếu chúng ta có toàn tâm đi theo các nhà Platonic thì câu đố về sức mạnh của toán học vẫn còn chưa thể giải được. Nói như Wigner, “Thật khó có thể tránh được ấn tượng rằng một điều thần kỳ đã đối diện với chúng ta ở đây, mà về bản chất đầy Những con người thần bí 67 kinh ngạc của nó, có thể so sánh với sự thần kỳ mà trí óc của con người có thể xâu chuỗi hàng ngàn lập luận với nhau mà không mắc một mâu thuẫn nào”. Để đánh giá được đầy đủ tầm cỡ của sự thần kỳ này, chúng ta phải đào sâu vào cuộc sống và di sản của bản thân một số nhân vật thần kỳ - những bộ óc đứng phía sau các khám phá một số định luật toán học chính xác một cách đáng kinh ngạc của tự nhiên. chương 3 CÁC NHÀ ẢO THUẬT: BẬC THẦY VÀ KẺ DỊ GIÁO Không giống như 10 điều răn của Chúa, khoa học không được trao cho con người trên những phiến đá đồ sộ. Lịch sử khoa học là câu chuyện về sự thăng trầm của rất nhiều tư biện, giả thuyết và mô hình. Rất nhiều ý tưởng dường như rất thông minh lại hóa ra có sự khởi đầu sai lầm hoặc dẫn vào ngõ cụt. Một số học thuyết một thời được coi là bền vững như bọc thép nhưng sau đó thì tan rã khi được thử lửa bằng những thí nghiệm và quan sát, và cuối cùng trở thành hoàn toàn bỏ đi. Ngay cả trí lực phi thường của những người khởi xướng ra một số khái niệm cũng không thể làm cho những khái niệm đó thoát khỏi sự phế bỏ. Chẳng hạn như Aristotle vĩ đại đã nghĩ rằng đá, quả táo và những vật nặng khác rơi xuống là bởi vì chúng đi tìm vị trí tự nhiên của chúng, tức là ở tâm Trái đất. Khi chúng tiếp đất, Aristotle luận giải, các vật này sẽ tăng tốc bởi vì chúng sung sướng khi được về đến nhà. Trái lại, không khí (và cả lửa nữa), bốc lên trên là bởi vì vị trí tự nhiên của không khí là các mặt cầu trên trời. Tất cả các vật đều có thể được ấn định một bản chất dựa trên mối quan hệ cảm nhận được giữa chúng với những yếu tố cơ bản nhất là đất, lửa, không khí và nước. Theo lời Aristotle: CÁC NHÀ ẢO THUẬT 69 Một số vật tồn tại là tự nhiên trong khi những vật khác là do những nguyên nhân khác. Những vật tự nhiên là... những vật thể đơn giản như đất, lửa, không khí và nước... tất cả chúng rõ ràng đều khác với những yếu tố phi tự nhiên, bởi vì mỗi thứ ở bên trong nó đều có một nguyên lý chuyển động và ổn định tại chỗ... Tự nhiên chính là một loại nguyên lý và nguyên nhân của chuyển động và ổn định bên trong các vật này... Những vật có liên quan đến tự nhiên bao gồm cả những vật đó và bất kỳ thứ gì thuộc về chúng, chẳng hạn như chuyển động đi lên thuộc về lửa. Aristotle thậm chí còn thử phát biểu một định luật mang tính định lượng của chuyển động. Ông khẳng định rằng những vật nặng hơn thì rơi nhanh hơn, với tốc độ tỷ lệ thuận với khối lượng (tức là một vật nặng hơn vật khác 2 lần thì được cho là rơi xuống với tốc độ lớn gấp đôi).Trong khi kinh nghiệm hàng ngày có thể cho thấy quy luật này dường như là hợp lý - quả thật là một viên gạch được quan sát thấy là chạm đất nhanh hơn một chiếc lông chim rơi từ cùng một độ cao - thì Aristotle không bao giờ tiến hành kiểm nghiệm phát biểu định lượng của mình một cách chính xác hơn. Không hiểu sao mà ông không nghĩ ra hay là ông thấy là không cần thiết phải kiểm tra xem nếu buộc hai viên gạch vào nhau thì nó có rơi nhanh gấp hai lần một viên gạch hay không. Galileo Galilei (1564-1642), người có định hướng toán học và thực nghiệm hơn nhiều và cũng là người tỏ ra ít quan tâm tới viên gạch và quả táo rơi, lại là người đầu tiên chỉ ra rằng Aristotle đã hoàn toàn sai lầm. Dùng một thí nghiệm tưởng tượng thông minh, Galileo có thể chứng minh rằng định luật của Aristotle là không có ý nghĩa vì nó 70 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? không nhất quán về mặt lôgic. Ông lập luận như sau: Giả sử bạn buộc hai vật vào nhau, một vật nặng hơn vật kia. Vậy hai vật sẽ rơi nhanh hơn bao nhiêu so với một trong hai thành phần của nó? Một mặt, theo định luật của Aristotle, bạn có thể kết luận rằng nó sẽ rơi với tốc độ trung gian vì vật nhẹ hơn sẽ rơi chậm hơn vật nặng. Nhưng mặt khác, căn cứ vào chỗ hai vật buộc lại với nhau sẽ nặng hơn hai vật thành phần của nó, và như vậy nó sẽ rơi nhanh hơn cả vật nặng hơn trong hai vật, dẫn đến một mâu thuẫn rất rõ ràng. Lý do duy nhất của việc một cái lông chim rơi xuống đất nhẹ nhàng hơn viên gạch là bởi vì lông chim chịu sức cản của không khí lớn hơn - nếu rơi ở cùng độ cao trong môi trường chân không, thì chiếc lông và viên gạch sẽ rơi xuống đất cùng một lúc. Thực tế này đã được chứng minh trong rất nhiều thí nghiệm, nhưng không có thí nghiệm nào ấn tượng như của David Randolph Scott - nhà du hành vũ trụ trên con tàu Apollo 15. Scott - người thứ bảy bước chân lên Mặt trăng - đã thả rơi đồng thời một cái búa từ tay này và một chiếc lông chim từ tay kia. Vì Mặt trăng rất ít khí quyển nên cái búa và lông chim chạm vào bề mặt của Mặt trăng cùng lúc. Thực tế đáng kinh ngạc về định luật sai của Aristotle đối với chuyển động không phải là ở chỗ nó sai, mà là ở chỗ nó đã được chấp nhận trong suốt gần hai ngàn năm. Làm thế nào mà một ý tưởng sai lầm như vậy mà lại tồn tại lâu đến thế? Đây là một trường hợp kiểu “cơn bão hoàn hảo” - trong đó ba yếu tố khác nhau kết hợp lại để tạo nên một học thuyết không thể bác bỏ. Thứ nhất, có một thực tế đơn giản là trong điều kiện không có những phép đo chính xác, định luật của Aristotle dường như phù hợp với lẽ phải thông thường dựa trên kinh nghiệm - những mảnh giấy cói bay CÁC NHÀ ẢO THUẬT 71 liệng lơ lửng trong khi những cục chì thì không. Phải có thiên tài của Galileo mới chỉ ra được lẽ phải thông thường cũng có thể sai lầm. Thứ hai, chính sức nặng khổng lồ của danh tiếng và uy quyền của một học giả như Aristotle gần như là vô song. Xét cho cùng, đây là người đã đặt nền móng cho nền văn hóa trí thức phương Tây. Dù là nghiên cứu về tất cả các hiện tượng tự nhiên hay nền tảng vững chắc của đạo đức, siêu hình học, chính trị hay nghệ thuật, Aristotle đều viết thành sách. Và không chỉ có thế. Theo một nghĩa nào đó, Aristotle còn dạy cho chúng ta cách tư duy, bằng việc giới thiệu những nghiên cứu hình thức đầu tiên về lôgic. Ngày nay, hầu hết mọi đứa trẻ ở trường đều biết đến hệ thống tiên phong và thực sự hoàn chỉnh về suy luận lôgic của Aristotle, còn được gọi là phép tam đoạn luận: 1. Mỗi người Hy lạp là một con người. 2. Mỗi con người đều phải chết 3. Vì vậy mỗi người Hy Lạp đều phải chết. Lý do thứ ba đối với sự tồn tại dài đến phi lý của lý thuyết sai lầm của Aristotle là ở chỗ nhà thờ Thiên chúa giáo đã chấp nhận lý thuyết này như là một bộ phần chính thống của nó. Điều này có tác dụng như là vật cản trở đối với hầu hết mọi cố gắng định xem xét lại những khẳng định của Aristotle. Mặc dù có những đóng góp rất ấn tượng đối với việc hệ thống hóa lôgic suy diễn, song Aristotle lại không được ghi nhận là đã có cống hiến cho toán học. Có lẽ cũng hơi đáng ngạc nhiên là người đã xác lập về căn bản khoa học như là một hoạt động có tổ chức lại không quan tâm nhiều (và chắc chắn là không nhiều 72 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? bằng Plato) đến toán học và thậm chí còn yếu về vật lý học. Mặc dù thậm chí Aristotle đã thừa nhận tầm quan trọng của các mối quan hệ về số và hình học trong khoa học, song ông vẫn xem toán học như là một môn học trừu tượng, tách biệt với thực tại vật lý. Kết quả là trong khi không ai nghi ngờ rằng ông là một nhà máy sản xuất năng lượng trí tuệ thì ông lại không nằm trong danh sách “các nhà ảo thuật” toán học của tôi. Tôi sử dụng thuật ngữ “nhà ảo thuật” ở đây là để chỉ những người có thể lấy ra những con thỏ từ trong một cái mũ hoàn toàn trống rỗng; những người khám phá ra sự kết nối chưa từng được ai nghĩ tới giữa toán học và tự nhiên; những người có thể quan sát các hiện tượng tự nhiên phức tạp và chưng cất ra từ chúng những định luật toán học trong suốt như pha lê. Trong một số trường hợp, những nhà tư tưởng thượng thặng này thậm chí còn sử dụng những thí nghiệm và quan sát của mình để phát triển toán học của họ. Câu hỏi về tính hiệu quả đến phi lý của toán học trong việc giải thích tự nhiên sẽ không bao giờ được đặt ra nếu như không vì những nhà ảo thuật này. Câu đố này nảy sinh trực tiếp từ sự thấu thị phi thường của những nhà nghiên cứu này. Không có một cuốn sách nào có thể đánh giá được hết tất cả các nhà khoa học và toán học xuất sắc, những người đã có những đóng góp to lớn vào sự hiểu biết của chúng ta về vũ trụ. Trong chương này và chương sau, tôi dự định sẽ chỉ tập trung vào bốn trong số những người khổng lồ đó của các thế kỷ trước, về những người mà vị thế nhà ảo thuật của họ là điều không thể nghi ngờ - đó là những gương mặt tinh hoa tột bậc của thế giới khoa học. Nhà ảo thuật đầu tiên trong danh sách của tôi được ghi nhớ nhất bởi một CÁC NHÀ ẢO THUẬT 73 sự kiện phi thường - ông đã khỏa thân hoàn toàn nhảy bổ ra ngoài đường tại chính thành phố quê hương ông. Hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nâng bổng cả Trái đất Khi nhà lịch sử toán học Eric Temple Bell phải quyết định ai là người đứng trong tốp ba nhà toán học đứng đầu, ông đã kết luận: Bất kỳ danh sách ba nhà toán học “vĩ đại nhất” nào trong toàn bộ lịch sử cũng đều phải có cái tên Archimedes. Hai người còn lại thường được gắn với ông, đó là Newton (1642-1727) và Gauss (1777-1855). Một số người, khi xem xét độ phong phú - hay nghèo nàn - tương đối về toán học và khoa học tự nhiên ở thời đại tương ứng mà các vĩ nhân này sinh sống và đánh giá thành tựu của họ trên cái nền chung của thời đại họ, cũng đều đặt Archimedes là người số một. Archimedes (287-212 trước CN; hình 10 là tượng bán thân được cho là tạc Archimedes, nhưng thực tế rất có thể đó là tượng vua xứ Sparta) thực sự là Newton hay Gauss của thời đại ông; một con người lỗi lạc với trí tưởng tượng phong phú và sự hiểu biết sâu sắc tới mức những người cùng thời và cả những thế hệ sau ông đều thốt lên tên ông trong sự kinh sợ và sùng kính. Mặc dù được biết đến nhiều hơn nhờ những phát minh tài tình về kỹ thuật, song Archimedes, về bản chất, là một nhà toán học và trong toán học 74 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? của ông thì ông đi trước thời đại của mình hàng thế kỷ. Không may là người ta ít biết về thời tuổi trẻ cũng như gia đình của ông. Tiểu sử đầu tiên của ông, được viết bởi một người trong dòng họ Heracleides, không còn lưu giữ được và vài chi tiết mà chúng ta biết về cuộc đời ông và cái chết thảm khốc của ông về cơ bản là từ các tác phẩm của nhà sử học La Mã Plutarch. Thực ra thì Plutarch (khoảng 46 - 120 sau CN) lại quan tâm nhiều hơn đến những chiến tích của viên tướng La mã Marcellus, người đã chiếm được thành Syracuse, thành phố quê hương của Archimedes vào năm 212 trước CN. Thật may mắn cho lịch sử toán học, Archimedes đã khiến cho Marcellus phải đau đầu trong suốt thời gian bao vây thành Syracuse, khiến cho ba nhà sử học quan trọng về thời đó là Plutarch, Polybius và Livy, không thể bỏ qua ông. Archimedes sinh ra tại Syracuse, khi đó là thuộc địa của Hy Lạp ở Sicily. Theo sự xác nhận của chính Archimedes thì ông là con trai của nhà thiên văn học Phidias, ít được biết đến ngoại Hình 10 CÁC NHÀ ẢO THUẬT 75 trừ việc ông đã xác định được tỷ số đường kính của Mặt trời và Mặt trăng. Archimedes hình như cũng có họ hàng gì đó với Vua Hieron II, và bản thân ông vua này là con ngoài giá thú của một người đàn ông quý tộc (với một trong những nữ nô lệ của mình). Bất kể mối quan hệ giữa Archimedes với gia đình hoàng gia là thế nào đi nữa thì cả vua và con trai ông là Gelon đều luôn trọng vọng Archimedes. Khi còn trẻ, Archimedes sống một thời gian ở Alexandria, tại đây ông học toán trước khi trở về cuộc sống nghiên cứu rộng lớn hơn ở Syracuse. Archimede thực sự là một nhà toán học của các nhà toán học. Theo Plutarch, ông coi “mọi thứ nghệ thuật hướng vào việc sử dụng và kiếm lời đều hèn hạ và bẩn thỉu, và ông chỉ cố gắng theo đuổi những điều mà, với vẻ đẹp và sự tuyệt vời của chúng, nằm ngoài mọi sự tiếp xúc với những nhu cầu thông thường của cuộc sống”. Mối bận tâm của Archimedes với toán học trừu tượng và mức độ mà ông đốt cháy mình cho nó rõ ràng là vượt xa hơn rất nhiều nhiệt huyết thường được thể hiện của những người thực hành nó. Cũng theo Plutarch: Bị mê hoặc thường xuyên bởi một Nữ nhân ngư luôn đồng hành cùng với ông, ông quên cả ăn uống và xao lãng cả việc chăm sóc bản thân mình, và khi, mà điều này cũng thường xảy ra, bị buộc phải đi tắm và xức dầu thì ông vẫn tiếp tục vẽ các hình hình học trên đống tro hoặc dùng ngón tay vẽ trên chính cơ thể đang xức dầu của mình, chìm đắm trong trạng thái xuất thần và sự thực là làm nô lệ cho các nàng thơ. Mặc cho sự coi thường của ông đối với toán học ứng dụng và tầm quan trọng nhỏ nhoi mà bản thân ông dành cho các ý tưởng 76 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? kỹ thuật của mình, thì những sáng chế tài tình của Archimedes lại mang đến cho ông sự nổi tiếng còn hơn là thiên tài toán học của ông. Huyền thoại nổi tiếng nhất về Archimedes đã làm nổi bật hơn nữa hình ảnh về một nhà toán học đãng trí điển hình. Câu chuyện vui này lần đầu tiên được kiến trúc sư La Mã Vitruvius kể vào thế kỷ 1 trước CN, và nó như thế này: Vua Hieron muốn cúng tiến một vòng hoa bằng vàng lên các vị thần bất tử. Khi vòng hoa được dâng lên nhà vua, nó nặng đúng bằng số vàng được cung cấp để chế tác ra nó. Tuy nhiên, nhà vua thì nghi ngờ rằng một lượng vàng đã bị thay thế bằng bạc với cân nặng tương đương. Không thể chứng minh được sự nghi ngờ của mình, nhà vua đã xin ý kiến bậc thầy của các nhà toán học là Archimedes. Truyền thuyết kể rằng, một hôm Archimedes bước vào bồn tắm trong khi vẫn còn đang đăm chiêu với vấn đề làm thế nào để vạch trần sự dối trá tiềm tàng với vòng hoa bằng vàng này. Tuy nhiên, khi ông dìm mình vào trong nước, ông nhận thấy cơ thể mình đã thay thế một thể tích nước nhất định - lượng nước đã trào ra bên ngoài thành bồn. Quá phấn khích, Archimedes đã nhảy ra khỏi bồn tắm và vừa trần truồng chạy ra ngoài đường phố vừa hét lên “Eureka, eureka!” (Tìm ra rồi, tìm ra rồi!) Một tuyên bố nổi tiếng nữa của Archimedes, “Hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nâng bổng cả Trái đất”, ngày nay được tìm thấy trên hơn 150.000 trang web (với nhiều phiên bản khác nhau) bằng công cụ Google. Tuyên ngôn táo bạo này, nghe như lời quảng bá hình ảnh của một tập đoàn, đã được trích dẫn bởi Thomas Jefferson, Mark Twain, và John F. Kenedy và nó thậm chí còn CÁC NHÀ ẢO THUẬT 77 được đưa vào thơ của Lord Byron. Câu nói này rõ ràng là đỉnh điểm của những nghiên cứu của Archimedes về vấn đề di chuyển một vật nặng đã cho với một lực đã cho. Plutarch kể tiếp rằng khi Vua Hieron yêu cầu một minh chứng thực tiễn về khả năng của Archimedes nâng một vật nặng lớn bằng một lực nhỏ, Archimedes đã tìm được cách - sử dụng một ròng rọc kép - để hạ thủy một con tàu chất đầy hàng ra biển. Plutarch kể thêm đầy ngưỡng mộ rằng “ông đã kéo con tàu một cách nhẹ nhàng và an toàn như thể nó đang lướt trên mặt biển vậy” Có những dị bản thay đổi chút ít về cùng truyền thuyết này ở các nguồn khác nhau. Trong khi khó mà tin được Archimedes thực sự có thể di chuyển nguyên cả một con tàu bằng những thiết bị máy móc sẵn có ở thời đại ông, thì các truyền thuyết thường khẳng định gần như chắc chắn rằng ông đã chứng minh được một cách đầy ấn tượng về một sáng chế giúp ông có thể di chuyển những vật nặng. Archimedes đã có rất nhiều những sáng chế khác cho thời bình, như máy bơm trục vít để đẩy nước lên cao và một cung thiên văn để minh họa cho chuyển động của các thiên thể, song ông trở nên nổi tiếng nhất ở thời cổ đại là nhờ vai trò của ông trong việc bảo vệ thành Syracuse trước quân La Mã. Các cuộc chiến tranh luôn được các nhà sử học ngưỡng mộ. Chính vì vậy, những sự kiện liên quan đến cuộc vây hãm thành Syracuse của quân La Mã trong suốt những năm từ 214 đến 212 trước CN đã được ghi chép một cách hoang phí bởi rất nhiều nhà sử học. Tướng La Mã Marcus Claudius Marcellus (khoảng 268- 208 trước CN), vào thời đó tiếng tăm nổi như cồn, đã dự đoán sẽ có một chiến thắng thần tốc. Nhưng rõ ràng là ông đã đánh giá 78 CHÚA TRỜI CÓ PHẢI LÀ NHÀ TOÁN HỌC ? sai sự ngoan cường của vua Hieron với sự hỗ trợ của một thiên tài kỹ thuật và toán học. Plutarch đã mô tả hết sức sinh động sức tàn phá mà các máy móc của Archimedes giáng vào quân La Mã: Ông [Archimedes] ngay lập tức bắn thẳng vào quân đổ bộ bằng tất cả các loại vũ khí phóng đạn, và những khối đá lớn rơi xuống với âm thanh khủng khiếp và dữ dội; không quân lính nào có thể trụ vững; họ bị đốn ngã chồng lên nhau, làm rối loạn cả hàng ngũ. Đồng thời, những cây sào lớn thọc ra từ các bức tường vươn tới các con tàu, làm đắm một số tàu bằng những vật nặng được thả xuống từ trên cao; những con tàu khác thì bị nhấc bổng lên không trung bằng một cánh tay sắt hay một cái mỏ giống như mỏ sếu, và tàu bị nhấc dựng đứng lên, mũi ở trên đuôi ở dưới, rồi bị thả cắm xuống đáy biển... Một con tàu thường bị nhấc lên một độ cao lớn (trông thật khủng khiếp), lắc qua lắc lại, và cứ đu đưa như thế cho đến khi toàn bộ thủy thủ đoàn văng hết ra ngoài, rồi toàn bộ chiều dài của con tàu va mạnh vào vách đá hoặc thả rơi xuống. Nỗi sợ hãi những thiết bị của Archimedes trở nên khủng khiếp tới mức “nếu họ [lính La Mã] mà nhìn thấy một mẩu dây hay khúc gỗ thò ra phía trên tường là họ hét toáng lên “lại nữa kìa”, để báo với nhau rằng Archimedes đang thiết đặt một cỗ máy nào đó chuẩn bị tấn công họ, và thế là họ quay lưng bỏ chạy”. Ngay cả Marcellus cũng bị ấn tượng sâu sắc đến mức phải than phiền với đội ngũ kỹ sư quân sự của mình rằng: “Liệu chúng ta không thể chấm dứt trận chiến với những con quỷ Briareus (con quái vật khổng lồ hàng trăm tay trong thần thoại Hy Lạp, là con trai của Uranus - Thần bầu trời và Gaia - Nữ thần đất), đang ngồi thoải CÁC NHÀ ẢO THUẬT 79 mái trên bờ biển và chơi trò đánh đáo sấp ngửa với những con tàu của chúng ta, khiến chúng ta phải bối rối, và bằng vô số những máy phóng đạn dồn dập bắn vào chúng ta còn khủng khiếp hơn cả những con quái vật trăm tay khổng lồ trong thần thoại hay sao?”. Theo một truyền thuyết dân gian nổi tiếng khác xuất hiện lần đầu tiên trong các tác phẩm của nhà vật lý Hy Lạp vĩ đại Galen (khoảng 129-200 sau CN), thì Archimedes đã sử dụng một tập hợp các gương làm hội tụ ánh sáng Mặt trời để đốt cháy tàu của quân La Mã. Kiến trúc sư người Byzantine thế kỷ thứ 6 là Anthemius xứ Tralles và thậm chí một số nhà sử học thế kỷ 20 đều nhắc lại câu chuyện thần kỳ này, mặc dù tính khả thi thực sự của một kỳ công như vậy vẫn còn có chỗ đáng ngờ. Tuy nhiên, tập hợp các câu chuyện gần như thần thoại đã cung cấp cho chúng ta rất nhiều bằng chứng cùng với sự tôn kính rằng “con người thông thái ấy” đã truyền cảm hứng cho rất nhiều thế hệ sau đó. Như tôi đã đề cập ở trên, bản thân Archimedes - được ca ngợi như một “Briareus hình học” - không coi mấy thứ đồ chơi chiến tranh của mình có ý nghĩa đặc biệt gì lắm; ông chủ yếu xem chúng chỉ như một trò tiêu khiển về hình học. Không may là thái độ hờ hững này cuối cùng lại khiến ông phải trả giá bằng chính mạng sống của mình. Khi quân La Mã cuối cùng cũng chiếm được thành Syracuse, Archimedes lúc đó còn đang quá bận rộn với việc vẽ những sơ đồ hình học của mình trên một cái khay đổ đầy cát, đến mức ông không nhận thấy sự nhộn nhạo của cuộc chiến đang diễn ra xung quanh. Theo một số bản ghi ghép thì khi một tên lính La Mã yêu cầu Archimedes phải theo anh ta tới gặp Marcellus, thì nhà hình học già đã giận dữ đáp lại: “Này anh kia, hãy tránh xa