🔙 Quay lại trang tải sách pdf ebook 10 Vạn Câu Hỏi Vì Sao – Toán Học Ebooks Nhóm Zalo Ebook miễn phí tại : www.Sachvui.Com Mười vạn câu hỏi vì sao là bộ sách phổ cập khoa học dành cho lứa tuổi thanh, thiếu niên. Bộ sách này dùng hình thức trả lời hàng loạt câu hỏi "Thế nào?","Tại sao?" để trình bày một cách đơn giản, dễ hiểu một khối lượng lớn các khái niệm, các phạm trù khoa học, các sự vật, hiện tượng, quá trình trong tự nhiên, xã hội và con người. Mục đích của cuốn sách giúp cho người đọc hiểu được các lí lẽ khoa học tiềm ẩn trong các hiện tượng, quá trình quen thuộc trong đời sống thường nhật, tưởng như ai cũng đã biết nhưng không phải người nào cũng giải thích được. Bộ sách được dịch từ nguyên bản tiếng Trung Quốc của Nhà xuất bản Thiếu niên Nhi đồng Trung Quốc. Do tính thiết thực tính gần gũi về nội dung và tính độc đáo về hình thức trình bày mà ngay khi vừa mới xuất bản ở Trung Quốc, bộ sách đã được bạn đọc tiếp nhận nồng nhiệt, nhất là thanh thiếu niên, tuổi trẻ học đường. Do tác dụng to lớn của bộ sách trong việc phổ cập khoa học trong giới trẻ và trong xã hội, năm 1998, Bộ sách Mười vạn câu hỏi vì sao đã được Nhà nước Trung Quốc trao "Giải thưởng Tiến bộ khoa học kĩ thuật Quốc gia", một giải thưởng cao nhất đối với thể loại sách phổ cập khoa học của Trung Quốc và được vinh dự chọn là một trong "50 cuốn sách làm cảm động Nước Cộng hoà" kể từ ngày thành lập nước. Bộ sách Mười vạn câu hỏi vì sao có 12 tập, trong đó 11 tập trình bày các khái niệm và các hiện tượng thuộc 11 lĩnh vực hay bộ môn tương ứng: Toán học, Vật lí, Hoá học, Tin học, Khoa học môi trường, Khoa học công trình, Trái Đất, Cơ thể người, Khoa học vũ trụ, Động vật, Thực vật và một tập Hướng dẫn tra cứu. ở mỗi lĩnh vực, các tác giả vừa chú ý cung cấp các tri thức khoa học cơ bản, vừa chú trọng phản ánh những thành quả và những ứng dụng mới nhất của lĩnh vực khoa học kĩ thuật đó. Các tập sách đều được viết với lời văn dễ hiểu, sinh động, hấp dẫn, hình vẽ minh hoạ chuẩn xác, tinh tế, rất phù hợp với độc giả trẻ tuổi và mục đích phổ cập khoa học của bộ sách. Do chứa đựng một khối lượng kiến thức khoa học đồ sộ, thuộc hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội, lại được trình bày với một văn phong dễ hiểu, sinh động, Mười vạn câu hỏi vì sao có thể coi như là bộ sách tham khảo bổ trợ kiến thức rất bổ ích cho giáo viên, học sinh, các bậc phụ huynh và đông đảo bạn đọc Việt Nam. Trong xã hội ngày nay, con người sống không thể thiếu những tri thức tối thiểu về văn hóa, khoa học. Sự hiểu biết về văn hóa, khoa học của con người càng rộng, càng sâu thì mức sống, mức hưởng thụ văn hóa của con người càng cao và khả năng hợp tác, chung sống, sự bình đẳng giữa con người càng lớn, càng đa dạng, càng có hiệu quả thiết thực. Mặt khác khoa học hiện đại đang phát triển cực nhanh, tri thức khoa học mà con người cần nắm ngày càng nhiều, do đó, việc xuất bản Tủ sách phổ biến khoa học dành cho tuổi trẻ học đường Việt Nam và cho toàn xã hội là điều hết sức cần thiết, cấp bách và có ý nghĩa xã hội, ý nghĩa nhân văn rộng lớn. Nhận thức được điều này, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam cho xuất bản bộ sách Mười vạn câu hỏi vì sao và tin tưởng sâu sắc rằng, bộ sách này sẽ là người thầy tốt, người bạn chân chính của đông đảo thanh, thiếu niên Việt Nam, đặc biệt là học sinh, sinh viên trên con đường học tập, xác lập nhân cách, bản lĩnh để trở thành công dân hiện đại, mang tố chất công dân toàn cầu. NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM 1. Phải chăng số 0 chỉ có nghĩa là không có? Ebook miễn phí tại : www.Sachvui.Com Trong một lớp học, thầy giáo dạy toán đặt ra cho học sinh một bài toán: “ở một cửa hàng bán máy tính vào đầu tuần có 20 máy tính. Trong suốt một tuần cửa hàng chỉ có bán kiểu máy tính này mà không hề nhập một máy nào. Vậy nếu cửa hàng sẽ còn bao nhiêu máy tính kiểu này khi đã bán hết 20 cái. Các học sinh nhanh chóng cho câu trả lời: 20 cái - 20 cái = 0. Ở đây ta có một định nghĩa về số 0: “số 0 có nghĩa là không có gì”. Như vậy thông thường số 0 có nghĩa là không có. Thế nhưng có phải số 0 chỉ hàm ý là không có, liệu ngoài ý nghĩa không có, số không có còn hàm ý gì khác nữa không? Trong cuộc sống hàng ngày, nhiệt độ không khí ngoài trời luôn thay đổi theo thời tiết, theo mùa. Vào mùa đông, nhiệt độ ngoài trời ở các xứ lạnh thường thay đổi trên dưới 0°C. Vậy thì 0°C liệu có còn có nghĩa là không có nhiệt độ? Đương nhiên không phải như vậy. Nếu như 0°C (nhiệt độ theo thang đo Celsius) có nghĩa là không có nhiệt độ thế thì 0°F (nhiệt độ đo theo thang Fahrenheit) sẽ hàm ý điều gì, có phải lại có nghĩa không có nhiệt độ? 0°F chính là nhiệt độ thấp hơn 0°C 177°/9, còn 0°C là nhiệt độ cao hơn 0°F 177°/9 mà không thể nói 0° là không có nhiệt độ. Thế thì ta phải giải quyết mâu thuẫn này như thế nào đây? Bản thân số 0 có đầy rẫy mâu thuẫn. Nếu đứng từ quan điểm tác dụng của số 0 mà xét thì khi làm phép tính cộng nhiều lần số không với nhau thì tổng số thu được vẫn là số 0. Thế có phải số 0 là số quá bé không? Mặt khác chúng ta biết là số 0 có ảnh hưởng rất lớn. Dù cho một tích số có bao nhiêu thừa số đi nữa chỉ cần có một thừa số là số 0 thì tích số thu được sẽ bằng 0. Bạn thấy số 0 ảnh hưởng có lớn không? Những mâu thuẫn loại này trong toán học không phải ít. Để giải quyết mâu thuẫn này, chúng ta cần biết tính tương đối của các khái niệm toán học, các khái niệm toán học không phải là bất biến mà luôn thay đổi. Đối với học sinh tiểu học thì số 0 có nghĩa là không có, còn đối với học sinh bậc trung học thì số 0 có thể hàm ý một sự khởi đầu. Khi tiến hành các phép tính số học, số 0 có vai trò rất lớn. Trong các máy tính điện tử thì vai trò của số 0 lại càng lớn vì trong máy tính điện tử các phép toán được thực hiện theo hệ đếm cơ số 2, bất kì các phép tính nào đều thực hiện dựa vào số 0 và số 1. Từ khoá: Số 0. 2. Có phải số 0 là số chẵn? Chúng ta đã biết trong các phép toán ở bậc tiểu học người ta gọi một số chia hết cho 2 là số chẵn, một số không chia hết cho 2 là số lẻ. Thế thì số 0 là số chẵn hay số lẻ. Khi ta nói đến số chẵn hay số lẻ nói chung là để dành cho các số tự nhiên. Số 0 không phải là số tự nhiên nên tạm thời không bàn đến. Thế nhưng có thể nghiên cứu vấn đề này không? Câu trả lời là không chỉ có thể nghiên cứu mà cần phải nghiên cứu. Không những cần nghiên cứu số 0 không phải là số tự nhiên duy nhất đã học trong thuật toán mà sau khi học đại số ở bậc trung học còn phải mở rộng khái niệm số chẵn - lẻ đến phạm vi các số âm. Tiêu chuẩn xem xét cũng khá đơn giản: Phàm các số chia hết được cho 2 là số chẵn, số không chia hết cho 2 là số lẻ. Cần nhấn mạnh khái niệm chia hết khi thương số là số nguyên mà phép chia không có số dư. Hiển nhiên 0 : 2 = 0, thương số 0 thu được là số nguyên nên số không là số chẵn. Tương tự, các số: -2, -4, -6, -8, -10, -360, -2578,...là các số chẵn, còn các số -1, -3, -5, -7, -249,-1683 v.v...là các số lẻ. Từ khoá: Số 0 là số chẵn hay số lẻ. 3. Vì sao trong cuộc sống hằng ngày người ta lại dùng hệ đếm thập phân? Số tự nhiên được ra đời một cách hết sức “tự nhiên”. Từ thời xa xưa nhân dân lao động cần đếm số súc vật bắt được “1, 2, 3, 4,...” dần dần xuất hiện số tự nhiên. Thế nhưng làm thế nào để gọi tên và ghi lại từng số tự nhiên riêng biệt thì lại là vấn đề không tự nhiên chút nào. Khi người ta nhận biết các số đến “10” và dùng các tên gọi và ghi từng số riêng biệt thì là việc không khó lắm. Thế nhưng khi người ta biết đếm đến số “trăm”, “ngàn”, “vạn” thì nếu cứ theo cách cũ mà gọi tên chúng là “một trăm cái, một ngàn cái, một vạn cái và dùng các kí hiệu riêng biệt để ghi lại thì hầu như trở nên không thể được. Đã không ít người lao tâm khổ tứ tìm cách gọi tên và tìm các kí hiệu để ghi lại, thì ngay bản thân họ cũng không nhớ và ghi được chính xác các kí hiệu đó, chưa nói là dùng chúng trong việc tính toán. Trong tình hình đó việc tìm ra cách ghi và gọi tên theo cách thức “hệ đếm theo cơ số” là một phát minh vĩ đại. Theo ngôn ngữ toán học hiện đại, hệ đếm theo cơ số là nếu chọn trước một số tự nhiên p > 1 và nếu có một số tự nhiên A thoả mãn điều kiện pn ≤ A ≤ pn+1, ta có thể biểu diễn A dưới dạng: A = a0 + a1p + a2p2 + a3pn(an ≠ 0). trong đó 0 ≤ ai ≤ p Vì p quyết định bước tiến của dãy số nên người ta gọi p là cơ số của hệ đếm. Nếu chọn trước p số tự nhiên và ghi theo thứ tự từ 0 đến p-1, trong đó p là cơ số của hệ đếm tự nhiên thì ta có thể dùng phương pháp “ghi số theo vị trí” và số A đã cho ở trên có thể viết thành A = anan-1...a1a0, trong đó ai là một trong p kí hiệu đã chọn. Phương pháp “ghi theo vị trí” được phát minh sớm nhất ở Trung Quốc, là một trong những cống hiến quan trọng của các nhà toán học cổ Trung Quốc. Cách mô tả vừa trình bày trên đây quả thực không dễ hiểu lắm. Thế nhưng các bạn hãy tưởng tượng p được chọn là 10. Bây giờ chúng ta dùng các con số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 là các kí hiệu các chữ số từ 0 đến 10. Dùng các chữ số này ta có thể ghi bất kì số tự nhiên nào theo phương pháp “ghi theo vị trí”. Ví dụ với số 347804, thực tế đây chính là số: 4 + 0 × 10 + 8 × 102 + 7 × 103 + 4 × 104 + 3 × 105 Dễ dàng nhận thấy điều kì diệu của hệ đếm theo cơ số là có thể dùng một số hữu hạn các kí hiệu để biểu diễn vô hạn các số lớn đến bao nhiêu cũng được, cũng như dễ dàng nhận biết các số lớn nhỏ và rất tiện lợi khi thực hiện các phép toán số học. Việc phát minh hệ đếm theo cơ số làm cho nhận thức của loài người với các con số đạt đến một trình độ mới. Các bạn cũng dễ dàng nhận thấy có thể dùng bất kì một số tự nhiên p bất kì để làm cơ số cho một hệ đếm nhưng thông thường trong cuộc sống hằng ngày người ta vẫn hay dùng “hệ đếm cơ số 10” hay “hệ đếm thập phân”. Các bạn cũng dễ dàng nhận thấy là người xưa chắc đã không dùng cách mô tả trừu tượng như đã trình bày ở trên để định nghĩa hệ đếm thập phân. Thế tại sao hệ đếm thập phân lại được toàn thể loài người chấp nhận ngay từ đầu? Thực ra điều này có lí do hết sức đơn giản, đó là do hai tay của chúng ta có 10 ngón. Trong thời đại xa xưa, trình độ sản xuất vốn rất thấp, chỉ cần những số đếm đơn giản, 10 ngón tay tự nhiên trở thành một “máy tính” sớm nhất. Trong sách xưa từng có thành ngữ “đếm trên đầu ngón tay” (co ngón tay để đếm) nên có thể thấy “co ngón tay” đếm số là cách đếm ra đời sớm nhất. Thói quen này vẫn còn vết tích trong đời sống xã hội ngày nay: Các em nhỏ ở các vườn trẻ vẫn thường dùng ngón tay để đếm số; những người lớn khi nói chuyện với nhau vẫn dùng các ngón tay để ra dấu về các con số nào đó. Khi trình độ sản xuất đạt đến trình độ cao, thành tựu lao động đã đạt đến số lớn và vượt qua con số 10. Bấy giờ việc dùng “ngón tay đếm số” đã không còn thích hợp nữa. Thế nhưng con người vẫn chưa từ bỏ thói quen dùng ngón tay để đếm số và thường thuận tay dùng ngón tay để làm “máy tính” với việc có thể dùng thêm công cụ để trợ giúp, ví dụ có thể dùng những viên đá, cành cây thay thế khi các ngón tay đã sử dụng hết để có thể dùng lại các ngón tay để đếm. Sau nhiều lần lặp đi, lặp lại cách tính toán, tổng kết kinh nghiệm, loài người đã phát minh hệ đếm thập phân. Như vậy có thể thấy tổ tiên của con người, do nhu cầu của đời sống, sản xuất, xuất phát từ điều kiện của bản thân mình, không ngừng tích luỹ kinh nghiệm, tổng kết kinh nghiệm mà đã phát minh hệ đếm thập phân. Do hệ đếm thập phân có mối liên hệ tự nhiên với cuộc sống, nên đã được xã hội loài người tiếp thu, truyền bá và trở thành một bộ phận không thể tách rời với cuộc sống của chúng ta. Trong lịch sử xã hội loài người, người ta còn thấy có nhiều hệ đếm khác. Ví dụ khi nói đến việc đo độ, người ta hay dùng “hệ đếm cơ số 60”; một độ có 60 phút, một phút có 60 giây; Trong hệ thống cân đo cũ ở Trung Quốc, người ta dùng đơn vị một cân có 16 lạng - đó là “hệ đếm cơ số 16”; trong bát quái dùng cả hai hệ đếm “nhị phân” và “hệ đếm cơ số 8”. Ở một số nước còn có “hệ đếm cơ số 12”: cứ 12 vật phẩm gọi là một tá, 12 tá gọi là một “rá”. Đương nhiên là các hệ đếm vừa kể chỉ được sử dụng trong một số lĩnh vực hẹp và hạn chế (về không gian, địa điểm), không được hoàn thiện và rộng rãi như hệ đếm thập phân. Ngày nay loài người đã bước vào thời đại của các máy tính điện tử, thời đại của công nghệ thông tin. Điều dễ cảm nhận là máy tính điện tử không có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm thập phân như ở con người với hệ đếm thập phân, máy tính điện tử lại có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm cơ số hai hay hệ đếm nhị phân. Từ khoá: Hệ đếm thập phân. 4. Vì sao máy tính điện tử lại cần hệ đếm nhị phân? Vì trên hai bàn tay có 10 ngón tay mà loài người đã phát minh ra hệ đếm thập phân. Máy tính điện tử rõ ràng không có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm thập phân vì về mặt lí luận cũng như ứng dụng thật khó có mối liên hệ trực tiếp, liên thông với hệ đếm thập phân. Nhưng tại sao máy tính điện tử và hệ đếm thập phân không có mối liên hệ tự nhiên? Mối quan hệ tự nhiên giữa máy tính và cách ghi số là ở chỗ nào? Để giải đáp câu hỏi này ta phải xuất phát từ nguyên lí hoạt động của máy tính. Máy tính điện tử làm việc được nhờ có dòng điện. Xét một tiếp điểm trong mạch điện tử chỉ có hai trạng thái liên quan đến sự cho dòng điện chạy qua mạch: đóng mạch và mở mạch. Máy tính lưu giữ thông tin nhờ băng từ hoặc đĩa từ: với đĩa từ ở mỗi điểm ghi chỉ có hai trạng thái: được từ hoá và không được từ hoá. Trong những năm gần đây phương pháp ghi thông tin trên đĩa quang ngày càng phổ biến. Mỗi điểm ghi trên đĩa quang chỉ có hai trạng thái: hoặc lõm hoặc lồi có tác dụng khác nhau rõ rệt hoặc tụ ánh sáng hoặc gây tán xạ ánh sáng. Do vậy có thể thấy nếu máy tính ghi nhận thông tin thông qua các phương tiện trung gian thì đều thông qua hai trạng thái của các phương tiện trung gian. Người ta chứng minh được rằng nếu dùng máy tinh ghi số theo hệ đếm thập phân sẽ gây khá nhiều lãng phí. (Ví như để ghi một số có một chữ số theo hệ đếm thập phân ít nhất cần đến bốn điểm ghi - có thể đến 16 trạng thái - và có đến sáu trạng thái không được sử dụng). Thế thì máy tính điện tử cần ghi số theo hệ đếm nào? Xuất phát từ hệ quả mỗi phương tiện trung gian đều có các điểm ghi thông tin ứng với hai trạng thái, nên điều dễ thấy là dùng hệ đếm nhị phân sẽ có sự thích hợp tự nhiên. Trong hệ đếm nhị phân, để ghi các con số chỉ cần hai kí hiệu 0 và 1. Có thể dùng số 1 biểu diễn cho qua dòng điện và 0 biểu diễn sự ngắt dòng điện; hoặc 1 là trạng thái bị từ hoá và 0 là trạng thái không bị từ hoá; hoặc 1 chỉ điểm lõm và 0 chỉ điểm lồi. Từ đó cho thấy hệ đếm cơ số 2 thích hợp cho việc ghi nhận thông tin trong các máy tính khi các thông tin được mã hoá bằng các chữ số. Theo ngôn ngữ máy tính, một con số ghi theo hệ đếm nhị phân là một bit, tám bit được gọi là một kí tự (byte). Việc dùng hệ đếm nhị phân trong máy tính quả là rất tự nhiên, nhưng đứng về phương diện giao lưu giữa máy và người thì cũng có nhược điểm quan trọng là các số tự nhiên ghi theo hệ đếm nhị phân viết rất dài. Như con số 1000 trong hệ đếm thập phân nếu viết dưới dạng hệ đếm nhị phân sẽ là 11000011010100000, quả là rất dài. Để giải quyết khó khăn này, trong lí thuyết về máy tính người ta sử dụng hai hệ đếm bổ trợ là các hệ đếm cơ số tám và hệ đếm cơ số 16. Nhờ đó một con số có ba chữ số trong hệ đếm cơ số hai sẽ là một con số có một chữ số trong hệ đếm cơ số tám chỉ bằng 1/3 độ dài của con số viết theo hệ đếm cơ số hai, so với con số viết theo hệ đếm cơ số tám không khác mấy so với con số viết theo cơ số 10. Ví dụ con số 100.000 viết theo hệ đếm cơ số tám sẽ là 303240. Tương tự một con số có một chữ số viết theo hệ đếm cơ số 16 đại diện cho một con số có 4 chữ số trong hệ đếm cơ số hai. Một kí tự tương ứng với một con số có hai chữ số trong hệ đếm cơ số 16. Trong hệ đếm cơ số 16 cần có 16 kí hiệu độc lập. Thực tế người ta dùng chữ số tự nhiên 1,2 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và các chữ cái A, B, C, D, E, F đại diện cho các số 10, 11, 12, 13, 14, 15 (các chữ số trong hệ đếm thập phân). Như vậy con số 100.000 được viết là 186A0. Việc chuyển đổi từ hệ đếm nhị phân sang hệ đếm cơ số tám và cơ số 16 khá đơn giản; và việc phối hợp sử dụng hệ đếm cơ số tám và cơ số 16 sẽ tránh được phiền phức khi viết những con số quá dài trong hệ đếm cơ số hai. Hệ đếm cơ số 8 và cơ số 16 đã trợ giúp đắc lực cho việc giao lưu giữa người và máy tính. Từ khoá: Hệ đếm cơ số 10; Hệ đếm cơ số 2; Hệ đếm cơ số 8; Hệ đếm cơ số 6. 5. Vì sao khi đo góc và đo thời gian lại dùng đơn vị đo theo hệ cơ số 60? Đơn vị đo thời gian là giờ, đơn vị đo góc là độ, nhìn bề ngoài chúng không hề có mối liên quan gì với nhau. Thế tại sao chúng lại được chia thành các đơn vị nhỏ có tên gọi giống nhau là phút và giây? Tại sao chúng lại sử dụng cùng hệ đếm cơ số 60? Nghiên cữu kĩ hơn một chút ta sẽ thấy hai loại đơn vị đo lường này quả có mối liên hệ hết sức mật thiết với nhau. Ngay từ thời cổ đại, do nhu cầu của lao động sản xuất, con người phải nghiên cứu thiên văn và đặt ra lịch pháp và vì vậy có sự đụng chạm tự nhiên với việc đo góc và đo thời gian. Khi nghiên cứu sự thay đổi đêm ngày, người ta phải quan sát sự chuyển động tự quay của Trái Đất. Và rõ ràng góc của chuyển động tự quay và thời gian là có liên quan mật thiết với nhau. Vì trong lịch pháp người ta cần độ chính xác rất cao trong khi đó đơn vị đo “giờ” và đơn vị đo “độ” là rất lớn nên cần phải tìm các đơn vị đo nhỏ hơn. Các đơn vị nhỏ hơn để đo thời gian và góc phải có tính chất chung là: Đơn vị nhỏ này phải có bội số là 1/2,1/3,1/4,1/5,1/6. Nếu lấy1/60làm đơn vị thì hoàn toàn đáp ứng được yêu cầu đó. Ví dụ1/2chính là 30 lần của1/60,1/3là 20 lần của1/60,1/4 là 15 lần của1/60... Trong toán học, người ta chọn đơn vị1/60 gọi là “phút” và kí hiệu “,” (dùng cho đo góc) và ph hoặc min (dùng cho đo thời gian) và dùng đơn vị1/60của phút là “giây”, kí hiệu “,,” (dùng cho đo góc) và s (dùng cho đo thời gian). Thời gian và góc đều lấy phút và giây làm các đơn vị nhỏ là vì thế. Dùng các đơn vị hệ đếm cơ số 60 trong nhiều trường hợp cũng có nhiều thuận lợi. Ví dụ số1/3 nếu dùng hệ đếm thập phân thì phải biểu diễn thành một số lẻ vô hạn, trong khi dùng hệ đếm cơ số 60 thì được biểu diễn bằng một số nguyên. Hệ đếm cơ số 60 đã được các nhà khoa học trên thế giới dùng trong thiên văn và lịch pháp và còn được duy trì cho đến ngày nay. Từ khoá: Đo thời gian; Đo góc; Hệ đếm cơ số 60. 6. Làm thế nào để nhận biết một số tự nhiên chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11? Việc phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác là một yêu cầu thường gặp trong cuộc sống. Đương nhiên nếu trong tay bạn có một máy tính, bạn chỉ cần đặt một phép tính hợp lý là tính toán xong. Khi số chia là số đơn giản (ví dụ số có một chữ số) thì có thể dùng một số quy tắc phán đoán. Khi các bạn nắm được các quy tắc thì không cần có máy tính, bạn cũng có thể giải bài toán về tính chia hết khá nhanh chóng. Quy tắc phán đoán về tính chia hết có hai loại: Một là, xem chữ số cuối hoặc mấy chữ số cuối của các con số như ở các mục 1 và 2, sau đây; hai là tính tổng các chữ số trong con số hoặc xem xét các hệ số thích hợp cho các tổng mà phán đoán như ở các mục từ 3 đến 6. 1. Một số tự nhiên là số lẻ sẽ không chia hết cho 2; một số chẵn chia hết cho 2. Ví dụ các số 0, 2, 4. 6,...sẽ chia hết cho 2, còn các số lẻ như 1,3, 5, 7,...không chia hết cho 2. 2. Một số tự nhiên sẽ chia hết cho 5 nếu chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc 5; một số tự nhiên chia hết cho 25 nếu hai chữ số cuối của số đó là 00, 25, 50 hoặc 75, ví dụ số 120795 có thể chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25. 3. Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Ví như số 147345 thì tổng các chữ số của số đó là 5 + 4 + 3 + 7 + 4+ 1 = 24 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số trên chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Vì sao lại có quy tắc dự đoán khá đơn giản như vậy? Giả sử cho số: A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 + ... trong đó a0, a1, a2, a3...là chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn...của số A; ta có thể viết: A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 + ... = [ (10 - 1) a1 + (102- 1)a2 + (103-1) a3] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...). Dễ dàng nhận thấy 10n-1 là bội số của 3 và 9 vì vậy nếu số hạng thứ hai của biểu thức số A (biểu thức trong ngoặc đơn) viết ở trên là bội số của 3 và 9 thì số A sẽ chia hết cho 3 và 9. Từ đó ta đi đến quy tắc nếu a0 + a1 + a2 + a3 + ... là bội số của 3 hoặc 9 thì số A chia hết cho 3 hoặc 9. 4. Một số chia hết cho 4 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục nhân đôi chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4. Một số tự nhiên chia hết cho 8 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị cộng với chữ số hàng chục nhân đôi và chữ số hàng trăm nhân 4 chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8. Ví dụ số 1390276 chia hết cho 4 vì 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4 nên số 1390276 chia hết cho 4. Số 1390276 không chia hết cho 8 vì theo quy tắc 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không chia hết cho 8. Cách chứng minh quy tắc vừa nêu cũng tương tự như cách chứng minh ở 3. Ta viết ví dụ: A = [ (10 - 2) a1 + (102- 4)a2 + 103a3 + ...] +(a0 + 2a1 + 4a2). Dễ dàng nhận thấy biểu thức trong ngoặc vuông là bội số của 8 và A sẽ chia hết cho 8 nếu hạng số thứ hai của A phía bên phải (biểu thức trong ngoặc đơn) là bội số của 8. 5. Một số chia hết cho 11 nếu hiệu số của tổng các số chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là bội số của 11. Ví dụ với số 268829 tổng các chữ số ở hàng lẻ 9 + 8 + 6 = 23, tổng các chữ số hàng chẵn là 2 + 8 + 2 = 12 hiệu của chúng đúng bằng 11 nên số này sẽ chia hết cho 11. Lại như với số 1257643 thì hiệu của hai tổng các chữ số là (3 + 6 + 5 + 1) - (4 + 7 + 2) = 2. Vì không phải là bội số của 11 nên số này không chia hết cho 11. Để chứng minh quy tắc ta viết: A = [ (10 + 1)a1 + (102- 1)a2 + (103 + 1)a3 + (104- 1)a4 +...] + [(a0 + a2 +...) - (a1 + a3 + ...)]. Số hạng thứ nhất của A là bội số của 11 nên nếu số hạng thứ hai là bội số của 11 (hiệu của tổng các chữ số ở hàng chẵn và các chữ số ở hàng lẻ) đương nhiên là A sẽ chia hết cho 11. 6. Chứng minh quy tắc chia hết cho 7 khá phức tạp mà ý nghĩa thực tiễn lại hạn chế nên ở đây chỉ giới thiệu quy tắc mà không đi sâu vào cách chứng minh. Bạn hãy nhớ kĩ dãy hệ số tuần hoàn sau đây: 1, 2, 3, -1, -2, -3, 1, 3, 2,... Muốn phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên bất kì có chia hết cho 7 hay không các bạn hãy nhân các chữ số với dãy số đã nêu, sau đó tính tổng số của chúng. Ví dụ, bạn hãy nhân các chữ số bắt đầu từ chữ số đơn vị là hệ số 1, chữ số hàng chục là hệ số 3, chữ số hàng trăm với hệ số 2, chữ số hàng ngàn với hệ số -1, v.v. rồi tính tổng đại số của các tích thu được. Nếu tổng số vừa tính được chia hết cho 7 thì số đó sẽ chia hết cho 7. Ví dụ xét số 5125764 chia hết cho 7 vì: 4 + 2 x 6 + 2 x 7 - 5- 3 x 2 -2 x 1 + 5 = 28 chia hết cho 7. Khi xét tính chia hết của một số tự nhiên ta cần chú ý đến tính chất quan trọng sau đây: Nếu một số A đồng thời chia hết cho hai số p và q thì cũng chia hết cho tích số p x q của hai số. Ví dụ số 5125764 đồng thời chia hết cho hai số 7 và 4 nên số này sẽ chia hết cho tích số 7 x 4 = 28 v.v... Từ khoá: Tính chia hết. 7. Vì sao có thể tính nhanh bình phương của một số hai chữ số có chữ số cuối là 5? Bạn có thể không cần dùng bút tính nhanh bình phương của một số hai chữ số có chữ số cuối là 5, ví dụ 35 được không? Chúng ta có thể dùng các kiến thức đại số để tiến hành tính nhanh bình phương của các số loại này. Để tính bình phương một số hai chữ có chữ số cuối là 5 (chữ số hàng đơn vị là 5), ta lấy chữ số hàng chục nhân với chữ số hàng chục cộng 1, viết tiếp theo tích số thu được số 25, ta sẽ có bình phương cần tính. Ví dụ tính bình phương của số 35. Ta tính tích số (3 + 1) x 3 = 12. Viết số 12 bên trái số 25 ta có số cần tìm là 1225. Ta thử xét quy tắc tính này có đúng không? Ta viết con số cần tính dưới dạng A = 10a + 5, a là con số hàng chục. Theo công thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, ta có: (10a + 5)2 = 100a2 + 2 x 5 x 10a + 25 = 100a2 + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 = a(a + 1) x 100 + 25. Như vậy lấy a nhân với a + 1 rồi đặt tích số thu được bên trái số 25 là thu được số bình phương cần tính, đó chính là quy tắc vừa đề ra ở trên. Từ khoá: Về cách tính nhanh. 8. Vì sao có thể tính nhanh một số dạng tích số? Có người có khả năng tính nhẩm rất nhanh nhờ đó họ có thể cho được những đáp án đúng, nhanh các vấn đề, các đề án phức tạp. Để có thể có kĩ năng tính nhanh ngoài việc có nhạy cảm với các con số, có trí nhớ tốt, còn phải biết các quy tắc và trải qua rèn luyện, luyện tập. Sau đây là vài quy tắc tính nhanh một số dạng tích số. Giả sử cần tính tích số của hai số có đặc điểm có chữ số hàng chục giống nhau và tổng các chữ số hàng đơn vị bằng 10. Ví dụ cần tính tích số 74 x 76 = ? Ta tính tích của chữ số hàng chục nhân với chữ số hàng chục + 1, tức là tích 7 x (7 + 1) = 7 x 8 = 56. Sau đó lập tích số của hai chữ số hàng đơn vị tức 6 x 4 = 24. Đặt hai tích số thu được kế tiếp nhau và thu được số 5624. Đó chính là tích số cần tính. Ta có thể dễ dàng chứng minh quy tắc vừa đưa ra. Theo điều kiện đặt ra tích hai số cần tính có thể biểu diễn dưới dạng (10a + b)(10a + c) (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ab + 10ac + bc = 100a2 + 10ab +10a(10 - b) +bc = 100a2 + 10ab + 100a - 10ab + bc = 100a(a + 1) + bc Ta có thể mở rộng quy tắc này cho tích của các số có nhiều chữ số hơn. Ví dụ tính tích số 497 x 493 = ? Dựa vào quy tắc đã nêu, trước hết ta tính 49 x 50 = 2450 và 7 x 3 = 21. Và tích số cần tính sẽ là 245021. Có rất nhiều loại quy tắc tính nhanh, để ứng dụng tốt các quy tắc cần có sự quan sát và cảm nhận nhanh, nhạy các con số. Nếu không thì dù đã biết rõ các quy tắc thì cũng không kịp nhận dạng và sử dụng quy tắc đúng chỗ và sẽ không đáp ứng được yêu cầu tính nhanh, thậm chí có khi sử dụng quy tắc tính nhanh lại không nhanh hơn cách tính toán thông thường nhiều lắm. Lấy thêm ví dụ khác: Ta cần tính tích số 72548 x 37 = ? Nếu bạn chú ý một chút sẽ thấy 3 lần số 37 là số 111, vì vậy khi nhân một số với số 37 có thể lấy số đó nhân với 111 sau đó lấy tích số vừa tính chia 3, kết quả sẽ cho ta tích số cần tính. Việc nhân một số với 111 khá đơn giản. Thực hiện phép nhân với 111 và 72548 x 37 = 2684276. Rõ ràng ở đây trí nhớ có vai trò hết sức quan trọng. Muốn có trí nhớ tốt phải trải qua luyện tập. Có những người có kĩ năng tính nhanh kì tài, họ có thể nhớ chính xác đầy đủ bình phương của 1000 số nguyên đầu tiên. Mọi bài toán đều có thể tính nhanh, việc tính toán có thể theo các quy tắc khác nhau, tốc độ tính toán phụ thuộc nhiều vào việc sử dụng hợp lí các quy tắc và phải thông qua quá trình rèn luyện mới thu được kết quả tốt. Từ khoá: Tính nhanh. 9. Cách tính nhanh các tích số của các con số gần với 10..., 100..., 1000... Có nhiều loại quy tắc tính nhanh, riêng với phép tính nhân có thể kể ra hơn 20 loại. Dưới đây là ba loại quy tắc có nhiều ứng dụng trong thực tế tính toán. Ta chia thành ba trường hợp. 1. Trường hợp hai số nhân hơi lớn hơn 10, 100, 1000. Ta có thể dùng phương pháp đơn giản sau đây: a) Trước hết bỏ số 1 ở một thừa số, sau đó cộng với thừa số kia; b) Thêm vào tổng số thu được các chữ số 0 (nếu các thừa số lớn hơn 100 thì thêm vào hai số; nếu hai thừa số lớn hơn 1000 thêm vào ba số 0 v.v...); c) Sau đó lập tích số là tích hai chữ số hàng đơn vị; d) Tính tổng số của các kết quả thu được từ bước b và bước c; Ví dụ tính tích số 108 x 103 = ? Vậy 108 x 103 = 11124 Ta có thể giải thích quy tắc tính toán như sau đây: Hai số đã cho có thể viết dưới dạng 10a + h và 10a + k, a, h, k là các số nguyên. Tích số sẽ là: (10a + h) (10a + k) = 10a(10a + h + k) + hk Mà 10a + h + k = (10a + h) + (10a + k) - 10a Tích số thu được sẽ có dạng: (10a + h)(10a+ k) = 10a[(10a + h) + (10a + k) - 10a] + hk Và vì vậy ta đã thực hiện phép nhân hai số như đã trình bày ở trên. 2. Tích số có hai thừa số: một thừa số lớn hơn 10..., 100...,1000... còn một thừa số nhỏ hơn 10...,100...,1000... Việc tính tích số được thực hiện theo các bước sau đây: a) Bỏ chữ số 1 ở thừa số lớn hơn 10...,100...,1000...rồi đem kết quả cộng vào thừa số kia. b) Thêm vào kết quả thu được các chữ số 0...(với các thừa số lớn hơn, nhỏ hơn 100 thêm 2 chữ số 0, với thừa số lớn hơn, nhỏ hơn 1000 thêm ba chữ số 0...v.v...). c) Lập tích số là hai chữ số hàng đơn vị của số lớn và bù 10 của số bé. d) Trừ kết quả các bước c vào kết quả của bước b, ta sẽ thu được tích số cần tính. Ví dụ: Tính tích số 1006 x 995 = ? chữ số bù tròn của số bé là 5. d, Vậy 1006 x 995 = 10000970 Tổng quát hơn ta có: (10a + h)(10a- k) = 10a(10a + h - k) - hk Mà 10a+ h - k = (10a+ h) (10a+k) - 10a Nên (10a + h)(10a- k) = 10a[(10a + h) + (10a- k) - 10a] - h__k 3. Cả hai thừa số của tích số đều nhỏ hơn 100, 1000, 10000 v.v... Cách tính thực hiện theo các bước: a, Lấy hai thừa số cộng với nhau, bỏ số 1 ở phía bên trái của tổng số vừa thu được. b, Thêm các chữ số 0 vào kết quả vừa thu được, nếu các thừa số nhỏ hơn 100 thêm một số 0, thêm vào hai chữ số 0 nếu các thừa số nhỏ hơn 1000, thêm vào ba chữ số 0 nếu các thừa số nhỏ hơn 10000 v.v... c, Lập tích là các số bù tròn của hai số. d, Lập tổng số là kết quả của bước b và bước c, đó chính là tích số cần tìm. Ví dụ: Tính tích số 998 x 987 = ? Tổng quát hơn ta có: (10a- h)(10a- k) = 10a(10a- h - k) + h__k mà 10a- h - k = (10a- h) + (10a- k) - 10a. và (10a- h) x (10a- k) = 10a[(10a + h) + (10a- k) - 10a] + h__k Từ khoá: Tính toán nhanh. 10. Thế nào là hiện tượng tuần hoàn trong các dãy số? Hiện tượng tuần hoàn khá phổ biến trong một loạt các dãy số, nếu ta chú ý một chút có thể phát hiện được các chu kì tuần hoàn trong các dãy số. Ví dụ với các luỹ thừa của các số tự nhiên với số mũ lớn hơn 5, người ta thấy có sự lặp đi lặp lại chữ số cuối. Luỹ thừa bậc 5 của 2 là 32, chữ số cuối cùng là 2, luỹ thừa bậc 5 của 3 là 243, chữ số cuối là 3; luỹ thừa bậc 5 của 7, không cần tính ta có thể dự đoán chữ số cuối là 7... Quan sát các chữ số cuối của các bình phương các số từ 1 đến 9 ta thấy xuất hiện dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phương của 10 là 100, chữ số cuối là 0. Các bình phương của các số tiếp theo cũng có các chữ số cuối lập thành dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Tất cả các bình phương của các số tự nhiên có các chữ số cuối lặp đi lặp lại trong vòng tuần hoàn này, hiện tượng lặp đi lặp lại vô số lần. Vòng lặp đi lặp lại này có số 0 làm ranh giới. Người ta còn phát hiện “số gốc” của các bình phương chỉ có thể là 1, 4, 7, 9 mà không thể là các chữ số khác. Người ta gọi “số gốc” của một số là chỉ con số thu được khi cộng dần các chữ số có trong con số, khi tổng số gặp số 9 thì bỏ đi và tính tổng tiếp nếu gặp số 9 lại bỏ đi đến khi còn lại số cuối cùng nhỏ hơn 9 thì giữ lại, chữ số còn lại là “số gốc” của con số đã xét. Như vậy “số gốc” chính là kết quả phép tính cộng dồn các chữ số có trong một con số, lấy số 9 làm điểm dừng. Ví dụ “số gốc” của 135 là 9, số gốc của số 246 là 3... Ứng dụng tính chất vừa nêu ta có thể phán đoán một số có phải là một số chính phương (bình phương của một số nào đó) hay không. Ví dụ xét xem số 98765432123456789 có phải là một chính phương hay không? Ta tìm số gốc của con số vừa đưa ra và thấy số đó có số gốc là 8 mà không phải là một trong các chữ số 1, 4, 7, 9. Vậy con số vừa nêu không phải là số chính phương. Số gốc của một chính phương không chỉ có đặc tính vừa nêu mà còn thành lập dãy số tuần hoàn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. Ở đây chữ số ranh giới là 9 chứ không phải số 0 như ở các chu kì khác. Dưới đây là một dãy làm ví dụ: 100 (bình phương của số 10) có số gốc là 1. 121 (bình phương của số 11) có số gốc là 4. 144 (bình phương của số 12) có số gốc là 9. 169 (bình phương của số 13) có số gốc là 7. 196 (bình phương của số 14) có số gốc là 7. 225 (bình phương của số 15) có số gốc là 9. 256 (bình phương của số 16) có số gốc là 4. 324 (bình phương của số 18) có số gốc là 9 (ranh giới của chu kì). 361 (bình phương của số 19) có số gốc là 1 (chu kì lặp lại). Tính chất này của các bình phương không chỉ rất thú vị mà có giá trị thực tiễn lớn. Vận dụng linh hoạt tính chất này có thể nắm chắc được các mẹo nhỏ trong tính toán nhanh. Từ khoá: Tính tuần hoàn trong các bình phương. Vào buổi tối khi bạn lùi xa ngọn đèn, nếu chú ý, bạn sẽ quan sát một hiện tượng lí thú là độ dài bóng của chính bạn có thay đổi. Khi đứng dưới ánh Mặt Trời, bạn cũng có thể nhận thấy là bóng của bạn tuỳ từng thời gian mà có lúc dài, có lúc ngắn. Bạn có biết tại sao không? Khi người đang đi, thân người ở trạng thái đứng thẳng. Bạn có thể dùng một đoạn thẳng đứng AB biểu diễn thân người, đường ngang X’X biểu diễn mặt đất, S là vị trí nguồn sáng. Ta vẽ từ S các tia sáng chiếu xuống mặt đất. Phần lớn các tia sáng đều đến được mặt đất, chỉ có các tia nằm trong miền tam giác ACB là bị thân người chắn mất và trên mặt đất sẽ có bóng người là BC. AC là tia sáng đầu tiên bị chắn lại, nên có thể xem đó là biên giới của chùm tia bị chắn. Góc của tia giới hạn với mặt đất sẽ tạo nên góc α, được gọi là góc chiếu. Chiều cao AB của người không hề thay đổi, thế nhưng khi người chuyển động hoặc khi nguồn sáng di động, độ dài của bóng BC sẽ thay đổi. Các bóng người ở bên trái trang sách từ vị trí A][sub]_B_[ đến vị trí A2B2sang A3B3rồi đến vị trí A4B4. Còn ở trang trên biểu thị khi nguồn sáng di động từ vị trí S1 đến vị trí S2, S3 rồi đến S4. Dựa vào hai hình vẽ ta thấy khi AB di động về phía bên trái thì bóng BC càng ngày càng dài, còn khi nguồn sáng S di chuyển từ dưới lên trên thì bóng sẽ ngày càng ngắn. Cho dù AB di động hay nguồn sáng S di động đều có điểm chung là góc chiếu α càng lớn thì ảnh BC càng ngắn, góc chiếu α càng bé thì bóng càng dài. Tuy nhiên có điều cần chú ý là góc α và độ dài của BC không có mối quan hệ tỉ lệ, ví dụ α nhỏ đi1/2thì BC không phải tăng gấp đôi. Ta biết rằng trong tam giác vuông ta có hệ thức: AB = BC tangα Đây là hệ thức tương quan hết sức có ích. Khi đo độ dài của bóng của toà lâu đài, đo góc chiếu người ta có thể tính được chiều cao của toà lâu đài. Ở tại một công viên nọ có một bức tượng cao 3,5 m, pho tượng lại đặt trên bệ cao 2,46 m. Bạn có biết đứng tại vị trí nào thì góc nhìn pho tượng là lớn nhất? Chúng ta có thể giải đáp câu hỏi này bằng phương pháp hình học. Bạn hãy vẽ trên mặt giấy một đường nằm ngang 1 biểu diễn mặt đất, ta vẽ trên 1 một đoạn thẳng đứng gốc A. Trên đường thẳng đứng ta chọn ba điểm A’, B, C theo một tỉ lệ chọn trước AA’ có độ dài bằng khoảng cách của mắt người đến mặt đất (giả sử chiều cao này là 1,5 m), AB có độ dài bằng chiều cao của bệ là 2,46 m, BC có độ dài bằng chiều cao của pho tượng là 3,5m. Chọn O’ là điểm giữa đoạn BC, vẽ đường vuông góc với BC qua O’ là O’m. Qua A’ vẽ A’m’ song song với đường nằm ngang. Lấy B hoặc C làm tâm vẽ vòng tròn bán kính O’A’, vòng tròn sẽ cắt đường thẳng m ở điểm O bên phải điểm O’. Lại lấy O làm tâm, vẽ vòng tròn bán kính O’A’, vòng tròn sẽ cắt đường thẳng m ở điểm O bên phải điểm O’. Lại lấy O làm tâm, vẽ vòng tròn bán kính O’A’, đường tròn này phải đi qua hai điểm B và C và tiếp xúc với đường m’ tại M’. Qua M’ vẽ đường thẳng vuông góc với C, chân của đường vuông góc này là M. M chính là điểm mà tại đó người ta sẽ nhìn pho tượng với góc nhìn lớn nhất. Tại sao vậy? Giả sử có một người quan sát đứng ở bên phải điểm A, ví dụ tại điểm N. Qua N ta vẽ đường vuông góc cắt m’ tại điểm N’. Góc BN’C là góc nhìn của người quan sát đứng tại N quan sát bức tượng. Vẽ BN’, BN’ sẽ cắt vòng tròn tại điểm D, nối CD, góc BDC là góc ngoài của tam giác CDN’ rõ ràng là lớn hơn góc trong không liền kề là BN’C. Mặt khác góc BM’C (của người quan sát đứng tại M) là góc cùng chắn cung BC với góc BDC, nên BM'C= BDC, vì vậy BM'C > BN'C nên M là điểm mà người quan sát có góc nhìn pho tượng là lớn nhất. Từ hình vẽ ta cũng có thể tính được độ dài của AM là 2,1m và là 40o. Thế liệu có thể tìm công thức tính toán chính xác được không? Giả sử bức tượng có chiều cao BC = h, bệ tượng có chiều cao AB = p. Người quan sát có tia nhìn từ độ cao MM’= e. Khi e < p thì góc nhìn lớn nhất của người quan sát với pho tượng đứng tại điểm M thì khoảng cách M từ M đến chân pho tượng A sẽ là: Theo công thức này ta tính được AM ≈ 2,07 m. Từ khoá: Góc nhìn. Nếu có người yêu cầu bạn đo chiều cao của một đồ vật không cao lắm như đo chiều cao của bàn học, hoặc đo chiều cao của bảng đen trong lớp học, bạn lập tức lấy thước đo ngay. Thế nhưng nếu cần đo chiều cao của một cái cây cao thì vấn đề quả không dễ và phải tốn nhiều công sức, suy nghĩ. Như ở hình 1, có người định dùng ảnh cây để đo chiều cao AB của cây. Ông ta dùng một gậy tre CD dài 1 m, dựng thẳng đứng trên mặt đất và đo độ dài bóng của cây gậy tre và tìm thấy 0,8 m. Ông ta lại đo chiều dài của bóng cây AE và tìm thấy độ dài của bóng cây là 2,4 m. Qua một phép tính đơn giản ông đi đến kết luận là cây cao 3 m. Vì hai tam giác ABE và CDE đồng dạng với nhau, ta có: Sau đó, ông ta lại muốn đo chiều cao của một cái cây khác ở gần một tường bao. Bấy giờ, bóng cây sẽ không hoàn toàn nằm trên mặt đất mà có một phần chiếu lên trên bức tường như ở hình 2. Ông đo được phần bóng cây nằm trên mặt đất dài 2,8 m, phần nằm trên bức tường dài 1,2 m. Vì bây giờ có một phần bóng cây ở trên tường, nên ông ta không thể dùng phương pháp cũ để đo chiều cao của cây, nhưng nếu xem xét kĩ bóng cây được hình thành như thế nào thì vấn đề được giải quyết. Như ở hình 3 đoạn AB biểu diễn độ cao của cây, AC là phần bóng cây nằm trên mặt đất và CD là phần bóng cây rơi lên bức tường, BD là tia sáng Mặt trời. Qua C ta vẽ CE // BD, đường song song này cắt BD tại E. Vậy chiều cao của cây là: AB = AE + EB. Theo như trên kia ta có: AE/AC =1/0,8;AE/2,8=1/0,8 AE = 2,8 x1/0,8 = 3,5 m Đồng thời EB = CD = 1,2m. Vì vậy chiều cao của cây sẽ là AB = 3,5 + 1,2 = 4,7 m. 44. Làm thế nào để đo được góc chân đê? Người ta thường nói “nước lửa vô tình”. Để ngăn ngừa nạn lụt cho đồng ruộng, thôn quê, thành thị nhiều nơi người ta phải đắp các con đê để chống lụt. Mặt cắt thân đê nói chung là hình thang cân. Như biểu diễn trên hình vẽ PQRS là mặt cắt có dạng hình thang cân, α là góc ở chân đê. Khi đê đắp xong làm thế nào ta có thể đo được góc chân đê? Có người cho rằng điều đó quá dễ, chỉ cần đào một hố sâu ở chân đê, đo PQ, SR và PS rồi dựa vào hệ thức , ta sẽ tính được góc α. Thế nhưng nếu đào hố sâu ở thân đê thì dễ làm hư hại đê và có thể gây sự cố. Vậy phải làm cách nào mà không cần đào hố ở thân đê mà vẫn đo được góc chân đê α. Theo như hình vẽ, giả sử mặt đê và mặt đất cắt nhau theo giao tuyến l, A là điểm tuỳ ý trên l. Qua A ta vẽ AB vuông góc với l (AB ⊥ l). Trên mặt đê ta vẽ AC ⊥ l. Bấy giờ α = 180o - BAC. Chỉ cần đo được góc BAC, ta có thể biết được góc α. Để đo góc BAC, qua hai điểm C, B ta căng một dây, sẽ hình thành tam giác ABC, là góc trong của tam giác ABC. Dùng thước dây đo được độ dài các đoạn BC, AC, AB, từ đó tính được BAC. Giả sử đo được BC = a, AC = b, AB = c, theo hệ thức lượng trong tam giác ta có: từ đó ta nhanh chóng tính được góc BAC. Vì vậy dùng phương pháp đã trình bày trên đây ta có thể đo được góc ở chân đê. Từ khoá: Hình tam giác, hình thang cân. Một trường học đã xây dựng xong một thư viện đẹp đẽ nếu trên các cầu thang lại trải thảm thì sẽ tăng phần thanh khiết, sang trọng. Thế nhưng bạn có biết cách tính nhanh được lượng thảm cần trải đủ các cầu thang? Bạn sẽ trả lời, vấn đề quá dễ: chỉ cần đo chiều rộng chiều cao của mỗi bậc thang sau đó trừ hao một ít là được ngay. Bạn thử nghĩ xem cách giải quyết như vậy có gây lãng phí không? Trên hình 1 biểu diễn mấy bậc thang tạo nên cầu thang. Trong đó AB, BC là tổng bề rộng và chiều cao. Chỉ cần đo được AB và BC sau đó trừ hao độ dài, giá trị thu được sẽ là độ dài của thảm cần mua. Giả sử rằng cầu thang chỉ có hai bậc thang như trình bày ở hình 2, khi đó độ dài của tấm thảm cần thiết sẽ là ABCDE. Nếu kéo dài AB và DE chúng sẽ cắt nhau tại G, ta có: BC = GD, CD = BG nên độ dài của đường gãy khúc ABCDE chính bằng tổng của AG + GE, cũng chính là tổng của AF + FE. Nếu xét cầu thang có ba bậc như biểu diễn ở hình 3, ta kéo dài AB và GF và I là giao điểm của các đường kéo dài. Bạn dễ dàng nhận thấy, độ dài của tấm thảm chính là tổng của AH + HG. Bằng cách làm tương tự thì cho dù cầu thang có bao nhiêu bậc ta cũng có thể nhanh chóng tính được ngay độ dài tấm thảm cần mua. Chúng ta thường thấy các cụ già khi đọc sách, đọc báo thường đeo kính lão hoặc cầm kính lúp (kính phóng đại) để đọc sách báo. Vì kính lão hoặc kính phóng đại đều có thể làm cho chữ viết hoặc hình vẽ được phóng to lên nhiều lần giúp các cụ già đọc, nhìn dễ hơn. Kính lúp, kính lão có thể phóng to hình vẽ, chữ viết, đồ vật lên nhiều lần, thậm chí đến hàng chục lần. Còn muốn phóng to lên gấp hàng trăm, hàng vạn thậm chí đến hàng triệu lần người ta phải dùng kính hiển vi quang học hoặc kính hiển vi điện tử. Thế nhưng có một thứ mà không có bất kì loại kính phóng đại nào có thể phóng to lên được: đó chính là các “góc” trong hình học. Góc có ý nghĩa rất lớn trong thực tiễn. Trong đo đạc, trong thiết kế máy móc người ta đều cần đến góc. Góc là do hai tia thẳng xuất phát từ một điểm tạo thành. Như hình vẽ ở bên phải góc AOB là do hai tia thẳng xuất phát từ điển O là OA và OB tạo ra. Góc to và nhỏ đều do mức độ mở của hai tia mà có. Chúng ta đều biết độ to nhỏ của một góc được biểu diễn bằng độ phút và giây. Ví dụ như ở hình bên phải, ở phía trên là góc 30o. Dưới kính phóng đại độ lớn của góc vẫn là 30o. Chỉ có điều là kính phóng đại làm cho các chi tiết trên hình vẽ sẽ to hơn, các đường nét vẽ sẽ thô hơn, chữ viết, chữ số to hơn còn góc mở của các chi tiết vẫn không thay đổi. Vì sao vậy ? Một là vì qua kính phóng đại, vị trí của hai tia tạo nên góc vẫn giữ nguyên không hề thay đổi: Đường OB vẫn giữ vị trí là đường nằm ngang, còn OA vẫn giữ nguyên độ nghiêng trên OB sau khi phóng đại. Vì vậy độ mở của góc không hề thay đổi. Nên kính phóng đại chỉ có thể phóng đại được kích thước các đồ vật so với trước khi phóng đại, còn hình dáng đồ vật vẫn không thay đổi. Trong toán học người ta gọi hiện tượng “hình tượng đồ vật không thay đổi sau khi phóng đại là hiện tượng đồng dạng”. Với hình đồng dạng, các góc đối xứng của hình không thay đổi. Vì vậy góc nhìn dưới kính phóng đại so với góc thực vẽ trên giấy không hề thay đổi về độ lớn. Một ví dụ rõ nhất là bốn góc của bàn học, bốn góc của một quyển sách cho dù có phóng đại lên bao nhiêu lần thì các góc vẫn là các góc vuông. Như vậy cho dù kính phóng đại có độ phóng đại lớn đến bao nhiêu lần thì các góc cũng không hề thay đổi. Hình vẽ thì được phóng đại nhưng góc không hề thay đổi dưới kính phóng đại. Từ khoá: Góc. Nói chung với một quyển sách thì bề dài và bề rộng có tỉ lệ bằng bao nhiêu? Chắc chắn không ít người vẫn hay nghĩ đến “con số tỉ lệ vàng” 1,618. Sự thực không phải như vậy. Kích thước một quyển sách nói chung do kích thước của trang giấy nguyên (cỡ giấy theo tiêu chuẩn sản xuất giấy: A0, A1...) cắt ra mà có. Ví dụ khổ giấy cỡ 32 là do gấp tờ giấy nguyên thành đôi rồi lại tiếp tục gấp đôi, gấp đôi theo các chiều đến khi đạt được cỡ đã chọn. Bằng cách đó người ta sẽ thu được các quyển sách có các trang giấy đồng dạng và giữ nguyên tỉ lệ về độ rộng, độ dài của trang sách dù các trang sách có to nhỏ khác nhau. Giả sử trang giấy là hình chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b, sau khi cắt đôi theo chiều ngang, ta có hình chữ nhật với chiều dài b và chiều rộng . Căn cứ theo yêu cầu người ta tiếp tục cắt ngang và thu được trang giấy với kích thước đã chọn đồng dạng với trang giấy ban đầu nhưng có kích thước theo tỉ lệ chọn trước. và do vậy a2 = 2b2vàa/b = √2 Từ đó có thể thấy tỉ lệ của bề dài và bề rộng của trang sách là √2, nhờ đó mà sau khi cắt nhỏ từ trang lớn, các trang nhỏ sẽ đồng dạng với trang ban đầu. Từ khoá: Hiện tượng đồng dạng. Khi bạn ngồi lên ghế đẩu hoặc ghế tựa, nếu gặp phải chiếc ghế bị xộc xệch, tự nhiên là bạn sẽ tìm ít thanh gỗ để gia cố lại, thế nhưng ta cần đóng đinh như thế nào thì tốt nhất? Nếu bạn đem các mảnh gỗ đóng dọc theo đầu các chân ghế bị long, thì chỉ qua ít ngày sử dụng, ghế sẽ lại bị xộc xệch, long ra. Nhưng nếu bạn chọn các điểm ở chỗ tiếp giáp của mặt ghế và chân ghế tạo thành một hình tam giác, đặt đầu thanh gỗ gia cố vào các điểm đó rồi đóng ba chiếc đinh để ba chiếc đinh phân bố thành hình tam giác, sau khi sửa chữa như vậy chiếc ghế sẽ trở nên chắc chắn như cũ. Vì sao với cùng các thanh gỗ gia cố mỏng như nhau mà việc đặt thanh gỗ song song và tạo góc xiên với chân ghế lại có hiệu quả khác nhau như vậy? Tại sao chỉ dùng ba chiếc đinh đóng phân bố theo hình tam giác lại đủ bền chắc. Đó là do hình tam giác có tính chất đặc thù: chỉ cần ba cạnh tam giác có độ dài xác định thì hình thái của tam giác, độ lớn nhỏ sẽ không thay đổi. Người ta gọi tính chất này là đỉnh ổn định của hình tam giác. Vì vậy mà ở các cánh cửa người ta thường đóng một thanh gỗ xiên, ở các dầm cầu người ta cũng dùng các thanh đỡ có kết cấu tam giác. Khi đi dã ngoại chắc bạn đã nhìn thấy người ta buộc ba cây cọc thành một chùm rồi xoè ra thành một giá đỡ rất chắc chắn. Ngoài việc sử dụng tính ổn định của hình tam giác người ta còn chú ý đến tính chất là: với ba điểm không thẳng hàng là có thể xác định một mặt phẳng, khiến cho ba điểm mút của giá ba chân làm thành một chân đế vững chắc. Từ khoá: Hình tam giác. Nếu bạn dùng đinh để đóng ghép ba thanh gỗ thành hình tam giác, thì hình dáng của khung gỗ này sẽ không thay đổi. Đó là nguyên lí “tính ổn định của hình tam giác”. Thế nhưng nếu dùng đinh để đóng ghép bốn thanh gỗ thành một cái khung có bốn cạnh là ABCD, hình dáng của khung có bốn cạnh rất dễ bị biến dạng. Vậy hình bốn cạnh không có tính ổn định. Nếu muốn khung bốn cạnh này không bị xộc xệch, ta lại sử dụng nguyên lí tính ổn định của tam giác, dùng một thanh gỗ đóng thanh gỗ đóng cố định các đỉnh đối nhau như ở các điểm A, C để chia thành hai hình tam giác là được. Chúng ta thường thấy khi người ta đóng các cánh cửa chấn song, thường có đóng thêm thanh chéo góc là vì lí do đó. Không chỉ các hình bốn cạnh không có tính ổn định mà ở các hình có số cạnh lớn hơn bốn cũng không có tính ổn định. Nếu bạn muốn dùng các thanh gỗ để ghép thành một khung lồi ABCDEF như ở hình bên liệu bạn có thể dùng ba thanh gỗ để gia cố làm nó không xộc xệch được không? Theo nguyên lí “tính ổn định của hình tam giác” thì vấn đề nêu trên không khó giải quyết lắm. Trên hình vẽ đã nêu lên các cách gia cố để khung gỗ được cố định. Trên thực tế có thể có nhiều cách gia cố khác, bạn thử nghĩ xem các giải pháp khác. Từ khoá: Hình tam giác; Hình nhiều cạnh. Các bạn sống ở thị trấn, thành phố, trên đường đi học, về nhà qua các phố; chắc bạn thấy có cửa hiệu, nhà ở có các tấm cửa xếp bằng thép nặng nề. Nhưng nếu lưu ý bạn sẽ thấy cho dù là các tấm cửa xếp có cấu trúc nặng nề như thế nào nhưng nếu chỉ cần kéo, đẩy nhẹ là có thể đóng mở dễ dàng? Vì sao như vậy? Liệu tấm cửa xếp dễ đóng mở như vậy có bị xộc xệch không bền hay không? Nếu chú ý nghiên cứu một chút bạn sẽ thấy cấu tạo của cửa kéo. Nguyên do là các thanh của khung cửa ghép theo dạng hình thoi hoặc các hình bình hành. Thế nhưng tại sao bốn đầu ghép nối bằng chốt của khung hình thoi hoặc hình bình thành lại có thể kéo mở tự do? Nếu dùng các khung có dạng hình khác có được không? Ta có thể trả lời ngay: không được, vì như thế sẽ không đóng mở được cửa xếp. Nguyên do là khác với hình tam giác, hình có bốn cạnh có độ dài xác định không có hình dáng cố định. Với một khung hình bốn cạnh, người ta có thể dễ dàng bóp méo, người ta nói hình bốn cạnh không có tính ổn định. Một khung gỗ hình vuông hay một hộp diêm rất dễ bị bóp bẹp cũng chính vì lí do đó. Từ đó cho thấy nếu biết vận dụng hợp lí tính không ổn định của hình bốn cạnh vào mục đích sản xuất người ta đã thu được hiệu quả tốt như với việc sản xuất các cửa xếp bằng thép. Từ khoá: Hình thoi; Hình bình hành. 11. “Thế nào là sự nhảy vào “hố đen” của các con số? Chúng ta hãy làm một cuộc du lịch thú vị vào thế giới những con số. Mời các bạn tuỳ ý viết một con số có ba chữ số (phải có các chữ số không hoàn toàn giống nhau) sau đó sắp xếp các chữ số trong con số từ lớn đến bé ta sẽ thu được một số mới. Sau đó lại sắp xếp các chữ số trong số vừa thu được theo thứ tự ngược lại từ bé đến lớn ta lại được một số khác. Tìm hiệu số của hai số vừa mới nhận được. Lặp lại các bước như vừa tiến hành với hiệu số vừa mới nhận được. Xét xem bạn sẽ nhận được kết quả như thế nào: Ví dụ chọn số 323. Sau bước sắp xếp thứ nhất ra có các số 332, sau bước thứ hai sẽ là số 233. Hiệu số của hai số này sẽ là 099. (Số 099 cũng là số có 3 chữ số). Lại tiếp tục thao tác các bước tiếp theo và tiếp tục thu nhận được các số 990 - 099 = 891; 981 - 189 = 792; 792 - 279 = 693; 693 - 396 = 594; 954 - 459 = 495; 954 - 495 = 495... Sau một số bước biến đổi con số đưa ra ban đầu đã chui vào “túi” và dừng lại ở số 495. Thế với các số 4 chữ số thì sẽ ra sao? Kết quả được khẳng định là với các số có 4 chữ số thì các bước biến đổi sẽ dừng lại ở số 6174. Điều này dường như các loại số đã nêu trên đã chui vào các “hố đen” trong toán học và không ra khỏi được nữa. Nhà toán học Liên Xô cũ Kasimov trong sách “Cảm nhận toán học” đã từng viết “Đây là bí mật không có lời giải”. Người ta cho rằng “hố đen” không chỉ có một số mà có thể có nhiều số xuất hiện như các hình trong đèn kéo quân hoặc giống như hình tượng Tôn Ngộ Không lạc vào bàn tay của Phật tổ Như Lai. Ví như các số có năm chữ số người ta phát hiện hai “dãy” đó là: {63954, 61794, 62962, 75933} và {62964, 71973, 83952, 74943}. Nếu các bạn thấy có hứng thú thì hãy thử xem. Từ khoá: Số nhảy và hố đen. 12. Vì sao người ta không nói đến ước số chung nhỏ nhất và bội số chung lớn nhất? Khi học toán, chúng ta đã học ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất. Thế nhưng các bạn có đặt ra câu hỏi tại sao người ta hay nói đến ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất mà không nói đến ước số chung nhỏ nhất và bội số chung lớn nhất không? Liệu có phải không có ước số chung nhỏ nhất và bội số chung lớn nhất nên người ta không bàn đến vấn đề đó? Trước hết chúng ta xem hai tình huống cụ thể sau đây: Xét các số 16 và 24, chúng có các ước số 1, 2, 4, 8 ước số lớn chung nhất là 8 và nhỏ nhất là 1. Còn với các số nguyên 15 và 56 chúng chỉ có một ước số là 1. Ước số chung lớn nhất có vai trò quan trọng trong phép tính với các phân số. Nhờ có ước số chung lớn nhất mà người ta có thể thu gọn các phân số thành các phân số tối giản, còn ước số chung nhỏ nhất thì chả dùng để làm gì, vì vậy người ta ít khi bàn đến ước số chung nhỏ nhất. Thế nhưng có phải hai số nguyên bất kì không có bội số chung lớn nhất? Ví dụ xét hai số 16 và 24, bội số chung nhỏ nhất của hai số này là 48. Tất cả các bội số của 48 đều là bội số chung của hai số 16 và 24, ví như 48 x 2 = 96, 48 x 3 = 144, 48 x 4 = 192, 48 x 1000 = 48000 v.v.. đều là bội số chung của hai số 16 và 24. Vì vậy các số tự nhiên không có bội số chung lớn nhất. Trong thực tế khi tính toán với các phân số, người ta chỉ cần đến bội số chung nhỏ nhất khi tiến hành quy đồng mẫu số. Khi đã không cần đến bội số chung lớn nhất thì cũng chẳng cần bàn đến bội số chung lớn nhất làm gì. Từ khoá: Ước số chung và bội số chung. 13. Vì sao số 1 không phải là số nguyên tố? Người ta chia các số tự nhiên làm ba nhóm số: nhóm số thứ nhất thuộc loại số nguyên tố; loại thứ hai là nhóm các hợp số; số 1 không phải là số nguyên tố cũng không thuộc loại hợp số. Số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho số 1 và chính bản thân số đó, còn hợp số có thể chia hết cho các số khác. Ví dụ số 6 là một hợp số vì ngoài số 1 và bản thân số 6, số 6 còn có thể chia hết cho 2 và 3, vì vậy việc chia số nguyên tố và hợp số thành hai nhóm riêng biệt là hoàn toàn hợp lí. Số “1” chỉ chia hết cho 1 và bản thân nó (cũng là số 1), vậy tại sao lại không ghép nó vào nhóm số nguyên tố chẳng tiện lợi hơn hay sao, vì lúc bấy giờ các số tự nhiên chỉ cần chia thành hai nhóm số là đủ? Để giải đáp câu hỏi này, ta cần bắt đầu bàn về số nguyên tố. Ví dụ ta cần xem xét số 3003 có thể chia hết cho những số nào? Muốn trả lời câu hỏi này ta cần phải xét tính chia của 3003 cho tất cả các số từ 1 cho đến 3003 và việc làm đó cũng tốn khá nhiều công sức. Chúng ta biết rằng mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành tích số của nhiều số nguyên tố. Hiển nhiên là mọi số tự nhiên đều có thể phân tích thành một tích số của nhiều số nguyên tố và hơn thế nữa phải là cách duy nhất. Ta hãy lấy số 3003 làm ví dụ, ta có thể thấy: 3003 = 3 x 7 x 11 x 13. Bây giờ ta xét vì sao không thể xem số 1 là số nguyên tố? Nếu xem “1” là số nguyên tố thì khi phân tích một số phức hợp thành tích của nhiều số nguyên tố, lúc bấy giờ sẽ không có một lời giải duy nhất nữa. Ví như với số 3003 ta có thể viết thành: 3003 = 3 x 7 x 11 x 13 3003 = 1 x 3 x 7 x 11 x 13 3003 = 1 x 1 x 3 x 7 x 11 x 13 nghĩa là ta có thể thêm tích số tuỳ ý số con số 1 và như vậy việc biểu diễn 3003 thành tích của các số nguyên tố đã không phải là duy nhất và trở thành có thể phân tích một số thành tích của các số nguyên tố theo nhiều cách và đó sẽ là một phiền phức lớn, vì vậy không thể xem 1 là một số nguyên tố. Từ khoá: Số nguyên tố và hợp số. 14. Có phải số các số nguyên tố là hữu hạn? Trong các số tự nhiên thì 2, 3, 5, 7...chỉ có thể chia hết cho số 1 và bản thân số đó, đó là các số nguyên tố. Các số 4, 6, 8, 9... thì ngoài số 1, các số này còn có thể chia hết cho nhiều số khác, các số này thuộc loại các hợp số. Số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải thuộc loại hợp số. Thế trong các số tự nhiên, những số nào là số nguyên tố? Hơn 300 năm trước Công nguyên, một học giả cổ Hy lạp Erathos Thenes đã đưa ra một phương pháp. Ông viết dãy các số tự nhiên lên một trang giấy rồi dán lên một cái khung, sau đó lần lượt khoét hết các hợp số trong đó và thu được một vật giống như cái rây, các lỗ rây chính là chỗ các hợp số đã bỏ đi. Người ta gọi trang giấy này là chiếc “sàng Eratosthenes” nổi tiếng. Bằng cách này, Eratosthenes đã thu được các số nguyên tố trong dãy số 50 số nguyên đầu tiên. Ông viết các số từ 1 đến 50, trước hết đục bỏ số 1, giữ lại số 2. Sau đó đục bỏ các số là bội số của 2, để lại số 3. Sau đó đục bỏ số là bội số của 3, để lại số 5. Sau đó loại bỏ các bội số của 5...Nhờ cách này người ta thu nhận được các số nguyên tố trong 50 số nguyên đầu tiên. Đây chính là “phương pháp rây” nổi tiếng. Theo phương pháp này, ta viết các con số từ 1 - 100 rồi sàng ra các số nguyên tố trong các số tự nhiên từ 1 - 100. Nhưng theo cách của Eratosthenes, liệu có tìm được số nguyên tố cuối cùng hay không? Và liệu các số nguyên tố có phải là hữu hạn hay không? Vào năm 275 năm trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp kiệt xuất Ơclit (Euclide) đã dùng một phương pháp kì diệu để chứng minh các số nguyên tố là vô hạn. Ơclit đã dùng phương pháp phản chứng để chứng minh luận đề vừa nêu. Trước hết ông giả thiết số các số nguyên tố là hữu hạn thì toàn bộ các số nguyên tố sẽ là 2, 3, 5, 7...p, trong đó p là số nguyên tố lớn nhất. Sau đó ta lập số A = 2. 3. 5. 7...p + 1. Vậy chỉ có thể hoặc A chia hết cho các số nguyên tố hoặc bản thân nó là một số nguyên tố. Vì theo cách thành lập thì A không chia hết cho bất kì số nguyên tố nào từ 2, 3,...p vì số A chia cho các số bất kì 2, 3, 5 ...p thì đều có số dư là 1 tức là A không chia hết cho bất kì số nào trong các số 2,3, 5...p, điều đó có nghĩa là nó sẽ chia hết cho một số nguyên tố khác lớn hơn p và trái với giả thiết đặt ra. Vậy số các số nguyên tố là vô hạn. Đây là một định lí quan trọng trong lí thuyết số. Lí thuyết số hay còn gọi là số luận là ngành toán học quan trọng, chủ yếu nghiên cứu các tính chất của số, trong đó có nhiều dự đoán, nhiều vấn đề hết sức lí thú, có nhiều vấn đề cho đến nay vẫn còn chưa được giải quyết. Giả thuyết Goldbach là một trong các số đó. Từ khoá: Số nguyên tố; Số luận Ơclit và Eratosthenes. 15. Liệu có thể có công thức tính số nguyên tố? Ta đã biết số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho số 1 và chính số đó. Chúng ta còn biết là có thể nhận biết số nguyên tố qua “sàng Eratosthenes”. Thế liệu có thể biểu diễn số nguyên tố bằng một biểu thức nào đó không hoặc liệu có công thức tuy không biểu diễn được hết các số nguyên tố, nhưng các số tính theo công thức đó đều là số nguyên tố? Nhà toán học Pháp nổi tiếng Fecma đã đưa ra công thức dự đoán cách tính một số nguyên tố. Ông đã tìm thấy số: F(n) =22n + 1 trong đó khi n = 0, 1, 2, 3, 4 thì F(n) tính được là một số nguyên tố. Nhưng về sau, nhà toán học Thuỵ sĩ Ơle đã chỉ ra rằng với n = 5 thì số F(5) =225 + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 là một hợp số vì vậy dự đoán Fecma bị bác bỏ. Từ đó lại có nhiều người tiếp tục đưa ra nhiều công thức qua đó có thể tính ra các số nguyên tố một cách tổng quát. Trong lịch sử toán học, đã từng có nhiều công thức đề nghị tính số nguyên tố như: f(n) = n2 + n + 17 f(n) = n2- n + 41 f(n) = n2- n + 72491 f(n) = n2- 79n + 1601 Nhưng đáng tiếc là các công thức đưa ra dần dần đều bị bác bỏ. Năm 1983 một người Trung Quốc đưa ra một dự đoán khác. Nếu cho p là một số lẻ thì có thể tính số nguyên tố theo p bằng công thức: f(p) =1/3(2p + 1) Nhưng người ta đã tìm thấy với p = 29 thì dự đoán bị bác bỏ. Trong thời gian đó ở các nước khác cũng có người đưa ra công thức tính số nguyên tố phụ thuộc hai tham số m và n: f(m,n) =n-1/2{[m(n+1) - (n! + 1)]2 - [m(n+1)-(n!+1)]2 + 1}+2. Trong đó m, n là các số tự nhiên n! = 1.2.3...n đọc là n giai thừa. Người ta đã kiểm chứng được f(1,2) = 3 f(3,4) = 2 f(5,4) = 5 f(103,6) = 7 là các số nguyên tố. Công thức đã được chứng minh bằng lí thuyết nhờ đó có thể biểu diễn được các số nguyên tố bằng công thức nhưng công thức quá phức tạp và ít có giá trị thực tiễn. Từ khoá: Công thức tính số nguyên tố. 16. Vì sao trong ba số lẻ liên tiếp nhất định có hai số nguyên tố cùng nhau? Với hai số nguyên bất kì nếu chúng không có ước số chung nào khác ngoài số 1, người ta gọi chúng là các số nguyên tố cùng nhau. Nếu trong ba số có hai số bất kì nguyên tố cùng nhau thì người ta gọi chúng là các số nguyên tố cùng nhau song song hay các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Tại sao với 3 số lẻ liên tiếp bất kì nhất định có hai số nguyên tố cùng nhau? Chúng ta đã biết số lẻ là số không chia hết cho 2 vì vậy với số lẻ ta chỉ có ước số là các số lẻ. Ví dụ số 15 chỉ có các ước số 1, 3, 5, 15 là các số lẻ. Nếu hai số cùng là bội số của một số p thì hiệu của chúng cũng là bội số của p. Ví dụ 100 và 15 đều là bội số của 5 thì hiệu số của hai số là 85 cũng là bội số của 5. Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể giải đáp câu hỏi “vì sao” đã đề ra. Giả sử ta có 3 số lẻ liên tiếp, ta chọn một số là a thì số lớn sẽ là b = a + 2 hoặc b = a + 4. Nếu a và b có ước số chung là p thì p phải là ước số của hiệu số b - a, có nghĩa là p phải là ước số của 2 hoặc 4. Vì p = 1 nên a và b chỉ có ước số chung là 1. Từ đó nếu a, b là số lẻ thì ước số chung của chúng chỉ là 1. Vì a và b là các số lẻ nên chúng không có ước số chung là số chẵn. Chúng ta đã chứng minh a và b chỉ có ước số chung là 1 nên a và b phải là các số nguyên tố cùng nhau. Với ba số lẻ liên tiếp bất kì luôn có hai số nguyên tố cùng nhau. Từ khoá: Ước số, ước số chung;Số nguyên tố cùng nhau. 17. Vì sao hai số hơn nhau không quá 2n lần trong 2n + 1 số tự nhiên khác nhau nhất định có hai số nguyên tố cùng nhau? Câu trả lời đơn giản nhất là trong n + 1 số tự nhiên lớn hơn nhau không quá 2n lần nhất định sẽ có hai số cạnh nhau, hai số cạnh nhau tất nhiên phải là các số nguyên tố cùng nhau. Hai số cạnh nhau nếu có ước số chung là p thì p nhất định phải bằng 1. Thế tại sao trong n + 1 số tự nhiên không lớn hơn nhau quá 2n lần nhất định phải có hai số cạnh nhau? Theo điều kiện đặt ra trong tập hợp từ các số tự nhiên số các số nguyên tố phải nhỏ hơn hoặc cùng lắm là bằng 2n. Vả lại trong tập hợp không có các số cạnh nhau thì số các số nguyên tố tối đa chỉ là n. Ví dụ các tập hợp không có các số cạnh nhau là các tập hợp: {1, 3, 5, ...2n - 1} hoặc {2, 4, 6, ...2n}. Nếu ta lại thêm vào các tập hợp trên một số nào đó theo thứ tự các số tự nhiên thì tất nhiên phải là số cạnh nhau của n + 1 số trong mỗi tập hợp và tập hợp mới sẽ là tập hợp có các số cạnh nhau. Người chứng minh luận đề này là nhà toán học Hungari Potard lúc ông mới 12 tuổi. 18. Bài toán “Hàn Tín điểm binh” là thế nào? Bài toán “Hán Tín điểm binh” là một trò chơi dự đoán số thú vị. Giả sử bạn cầm trong tay một số lá cờ (trên dưới 100 lá), trước hết bạn chập thành nhóm 3 lá, sẽ còn số dư khi số còn lại không đủ 3 lá ; sau đó lại chập thành nhóm 5 lá ghi lấy số dư ở nhóm không đủ 5; cuối cùng chập thành các nhóm có 7 lá, ghi lấy số ở nhóm không đủ 7 lá. Dựa vào số lá cờ dư ở các nhóm người ta có thể đoán số lá cờ đã có. Ví dụ: Khi chập 3 dư 1 lá, chập 5 dư 2 lá, chập 7 dư 1 lá, vậy có bao nhiêu lá cờ? Phương pháp giải khá đơn giản và ngay từ thời cổ đại ở Trung Quốc đã có lời giải. Vào thời nhà Tống Chu Mật gọi là “Bài toán Quỉ cốc” hoặc “Toán Cách tường”, Dương Huy gọi là “bài toán chém ống” nhưng tên gọi bài toán “Hàn Tín điểm binh” là tên gọi phổ biến nhất. Cách giải được trình bày trong quyển sách toán cổ “Tôn tử toán kinh”. Về sau, Tần Cữu Thiều thời nhà Tống đã cải tiến và phổ biến rộng rãi với tên “Thuật toán Đại diễn” (giảng giải về cách tính toán). Đó chính là nội dung mà trong lịch sử toán học người ta gọi là định lí “thặng dư Trung Quốc”, một bài toán khá nổi tiếng. Nội dung của phương pháp giải bài toán có thể biểu diễn bằng biểu thức dưới đây: a x 70 + b x 21 + c x 15 - 105 trong đó a, b, c là các số dư tương ứng khi chập 3, chập 5 và chập 7 các lá cờ. Nếu con số tính được lớn hơn 105 thì trừ cho 105 đến khi được một số nhỏ hơn 105 thì dừng lại. Theo cách giải này bài toán đoán số lá cờ ở trên đây sẽ có đáp án 1 x 70 + 2 x 21 + 2 x 15 - 105 = 37 lá. Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” là cần bộ ba số 3, 5 và 7, liệu có thể dùng các bộ ba số khác được không? Để trả lời câu hỏi này ta cần nghiên cứu kĩ cách giải bài toán “Hàn Tín điểm binh”: “70a + 21b+ 15c - 105”. Ta cần xem xét các mối quan hệ của 4 số 70, 21, 15 và 105 với các số 3, 5, 7. 1) 70 = 2 x 5 x 7; 70 = 3 x 23 + 1 nên 70 là bội số chung của 5 và 7 và khi chia cho 3 thì dư 1. 2) 21 là bội số chung của 3 và 7, 21 chia cho 5 thì dư 1. 3) 15 là bội số chung của 3 và 5, 15 chia cho 7 dư 1. 4) 105 là bội số chung nhỏ nhất của ba số 3, 5, 7. Dựa vào mối quan hệ trên đây thì “70a + 21b + 15c - 105” chính là số phải tìm. Bởi vì: 70a + 21b + 15c - 105 = = (3 x 23 +1) x 1 + (3 x 7 x 2) + (3 x 5 x 2) - (3 x 5 x 7) = 3 x 23 x 1 + 1 x 1+ 3 x 7 x 2 + 3 x 5 x 2 - 3 x 5 x 7 = 3 x (23 x 1 + 7 x 2 + 5 x 2 - 5 x 7) + 1 Vì vậy 70a + 21b + 15c - 105 chia cho 3 có số dư là 1. Cũng lí luận tương tự đem số này chia cho 5 và cho 7 đều có số dư là 2. Thế tại sao trong bài toán “Hàn Tín điểm binh” người ta lại dùng bộ ba số 3, 5, 7. Chúng ta biết rằng hai số bất kì trong ba số là các số nguyên tố từng đôi một (số nguyên tố cùng nhau, chỉ có ước số chung là 1). Từ đó nếu tìm được một số có tính chất là bội số chung của hai trong bộ ba số và khi đem chia cho số thứ ba mà có số dư là 1 như các số 70, 21, 15 thì đáp ứng yêu cầu của bài toán “Hàn Tín điểm binh”. Thế với các số không nguyên tố cùng nhau thì có thể tìm được các số 70, 21 và 15 hay không? Ví dụ chọn ba số 4, 6, 7 trong đó hai số 4 và 6 không nguyên tố cùng nhau, có ước số chung lớn nhất là 2. Mà bội số chung của các số 6, 7 đều là các số chẵn nếu đem chia cho số 4 thì đều có số dư là số chẵn mà không thể là số 1, vì vậy chúng ta sẽ không tìm được sự tương hợp với 70, 21, 15. Nên bài toán “Hàn Tín điểm binh” không sử dụng được ba số không nguyên tố cùng nhau. Chúng ta có thể bỏ bộ ba số khác với 3, 5, 7 mà dùng bộ ba số nguyên tố cùng nhau khác. Ví dụ 2, 3, 11 biểu thức của giải pháp là “33a + 22b + 12c - 66”. Trong đó các số 33, 22, 12 và 66 thoả mãn 4 mối quan hệ như đã nêu ở trên và các bạn dễ dàng tìm thấy số phải tìm là 37. Từ khoá: Bài toán “Hàn Tín điểm binh”, định lí thặng dư Trung Quốc, số nguyên tố từng đôi một, bội số chung và bội số chung nhỏ nhất. 19. Vì sao định lý thặng dư Trung Quốc có thể dùng để mã hóa máy tính? Chúng ta đã biết đến định lí thặng dư Trung Quốc, tức vấn đề Hàn Tín điểm binh, đó là một thành tựu quan trọng trong toán học Trung Quốc cổ đại, với nội dung thuộc về giải pháp dãy đồng dư một lần trong lí thuyết số. Hiện nay, người ta đã tìm ra công dụng mới của thứ kiến thức cổ xưa này trong việc mã hóa máy tính. Đáp án cho bài toán Hàn Tín điểm binh có thể là rất nhiều, giữa chúng lại có tương sai là 105 (tức 3 x 5x 7), song đáp án trong vòng 105 thì lại chỉ có một. Bây giờ chúng ta hãy giản hóa chúng: những số nguyên nào có thể chia 3 thì dư 2, chia 5 thì dư 3? Không khó để tìm ra là 8, 23, 38, 53,..., giữa chúng có tương sai 15 (tức 3 x 5). Còn đáp án cho trong vòng 15 chỉ có một: 8. Vậy thì, với đề bài như vậy có thể có bao nhiêu bài toán? Bài toán chia 3, số dư có thể là 0, 1, 2, tổng cộng 3 loại; Bài toán chia 5, số dư có thể là 0, 1, 2, 3, 4, tổng cộng 5 loại, hợp lại tổng cộng 3 x 5, tức 15 loại. Nghĩa là có thể có 15 đề bài như vậy, đáp án không giống nhau, hơn nữa đáp án trong vòng 15 thì lại chỉ có một. Có thể thấy, đáp án cho 15 đề bài này vừa vặn tương ứng với 1, 2, 3,..., 15. Bây giờ, điền 15 số này vào hình vuông 3 hàng 5 cột (3 x 5), sao cho hàng ngang là các số chia cho 3 có dư; hàng dọc là các số chia cho 5 có dư. Ví dụ 8 là số chia cho 3 dư 2, thì điền vào hàng thứ hai, nó lại là số chia 5 dư 3, thì điền vào cột thứ ba. Bất cứ một máy tính nào cũng đều có một độ dài từ (word length) nhất định. Độ dài từ chính là con số (digit) lớn nhất mà máy tính có thể xử lí được. Vậy thì, khi chúng ta cần sử dụng máy tính để xử lí một dữ liệu có các số vượt quá độ dài từ đã định thì làm thế nào? Biện pháp thông thường là biểu thị số lớn ấy bằng hai số nhỏ hơn. Biện pháp đơn giản nhất là chia số lớn thành hai đoạn, như có thể chia 3517 thành hai số nhỏ hơn là 35 và 17. Nhưng làm như vậy thì máy tính khi thao tác sẽ khó hơn, cho nên người ta thường cho là không nên áp dụng. Sử dụng định lí thặng dư của Trung Quốc có thể biểu thị (hoặc mã hóa) một số lớn bằng hai số nhỏ hơn, đồng thời lại khiến cho máy tính thao tác hết sức thuận tiện. Chúng ta hãy nhìn lại hình vuông 3x5 ở trên, 8 được sắp và hàng 2 cột 3, nó có thể biểu thị bằng 2 và 3; tương tự 15 có thể biểu thị bằng 3 và 5... Nếu như máy tính của chúng ta vốn chỉ có thể xử lí được các số trong vòng 15, thì hiện tại có thể xử lí được đến 15. Hơn nữa, sau khi mã hóa như vậy thao tác cũng sẽ rất thuận tiện. Ví dụ, lấy số 2 ở cột hai, lấy số 3 ở cột ba, tích của chúng là 6, nằm ở cột một. Hơn nữa, tích của bất cứ số nào ở cột hai với bất cứ số nào ở cột ba cũng nhất định là nằm ở cột một (khi tích lớn hơn 15, có thể tiếp tục điền 16, 17... vào trong hình vuông 3 x 5 dựa theo phương pháp nói trên). Vì sao lại như vậy? Thì ra, trong lí thuyết đồng dư thức, nếu x1 ≡ x2(mod5), y1 ≡ y2(mod5) (tức x1 và x2 có số dư giống nhau sau khi trừ đi 5; y1 và y2 có số dư giống nhau sau khi trừ đi 5), vậy x1y1 ≡ x2y2(mod5), cũng tức là x1y1và x2y2có số dư giống nhau sau khi trừ đi 5. Sử dụng tính chất này thì sẽ chứng minh được, tích của số (cùng hàng có số dư giống nhau sau khi trừ đi 5) cùng cột với 2 và 3 phải có đồng dư 6, tức ở cùng cột. Hàng đối cũng có kết quả tương tự. Cứ như vậy, máy tính khi thao tác với các số lớn sẽ rất thuận tiện. Chẳng hạn, chúng ta muốn làm phép nhân 26, thì trước tiên phải tiến hành mã hóa cho hai số: 2 - (hàng hai, cột hai) 6 - (hàng ba, cột một) Có thể chứng minh, tích của số ở hàng hai cột ba phải ở hàng ba; tích của số ở hàng hai cột một phải ở hàng hai. Thế là, tích có thể dùng 3 và 2 để biểu thị (hoặc mã hóa). Tra trong bảng sẽ biết được tích của 26 là 12. Cũng có nghĩa là, đầu tiên biểu thị số lớn bằng hai số nhỏ (có kí hiệu thứ tự hàng, cột trong bảng); sau đó căn cứ theo kí hiệu thứ tự của hai hàng để định ra kí hiệu thứ tự hàng của tích hai số lớn, căn cứ theo kí hiệu thứ tự của hai cột để định ra kí hiệu thứ tự cột của tích; cuối cùng căn cứ theo kí hiệu thứ tự hàng và cột trong bảng sẽ tra ra được trị số của tích. Như vậy, máy tính sẽ rất dễ dàng tìm ra được tích số của các số lớn. Vì thế, việc sử dụng định lí thặng dư của Trung Quốc để tiến hành mã hóa cho máy tính là hết sức hữu ích, trí tuệ của tổ tiên chúng ta đã được thể hiện thêm trong khoa học kĩ thuật hiện đại. Từ khóa: Định lý thặng dư, đồng dư, mã hóa. 20. Làm thế nào biểu diễn một số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số? Tất cả các phân số đều là các số lẻ thập phân hữu hạn, hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Các số lẻ có một số hữu hạn các chữ số gọi là số lẻ thập phân hữu hạn, ví như phân số1/4 = 0,25. Còn số33/99 lại là số thập phân vô hạn tuần hoàn, số các chữ số trong số lẻ này là vô hạn, trong đó số 3 được lặp đi lặp lại vô số lần. Người ta gọi nhóm số 3 là nhóm chữ số tuần hoàn. Việc biểu diễn một số lẻ thập phân hữu hạn dưới dạng một phân số được thực hiện khá đơn giản; chỉ cần lấy nhóm chữ số sau dấu phảy làm tử số còn lấy số 10n làm mẫu số (n là số chữ số sau dấu phảy thập phân) Ví dụ số 0,4713 =4713/10000 Thế còn với các số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn thì sẽ ra sao? Thoạt nhìn thì vấn đề trông có vẻ phức tạp nhưng nếu nắm được quy tắc thì việc biểu diễn một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số cũng khá đơn giản. Trước hết ta xét các ví dụ: 0,333... =3/9 =1/3, 0,212121... =21/99 =7/33 0,324324324 ...=324/999 =36/111 Từ đó ta có thể rút ra quy luật: Lấy nhóm số tuần hoàn làm tử số, còn nhóm số gồm các con số 9: 99...9 làm mẫu số, số chữ số 9 trong nhóm phụ thuộc số các con số trong nhóm số tuần hoàn. Các bạn có thể tự mình kiểm tra tính đúng đắn của quy tắc này. Nếu gặp trường hợp một số lẻ thập phân hỗn hợp gồm hai phần số lẻ thập phân hữu hạn và phần vô hạn tuần hoàn, trước hết ta cắt số lẻ thành tổng của hai phần, một phần là một số lẻ thập phân hữu hạn và một phần là số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ: Xét số 3, 14212121... 3, 14212121 = 3,14 +0,212121/102= 3,14 +21/99 x1/102 =314/100 + 7/3300 =10369/3300 Mời các bạn thử biến đổi các số sau đây thành phân số: 1,42272727... =? 0,00313131... = ? 2,043521521521...=? Từ khoá: Số lẻ thập phân hữu hạn; Số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn; Nhóm số tuần hoàn; Phân số. Không ít người cho rằng số 9 (dấu chấm trên chữ số 9 hàm ý là số 9 được lặp đi lặp lại nhiều lần ở sau dấu phảy thập phân). Cho dù con số 9 có lặp đi lặp lại bao nhiêu lần đi nữa thì số chỉ tiến dần đến 1 mà không bao giờ bằng 1. Thế nhưng đẳng thức = 1 có đúng không? Trước hết ta xét một vài ví dụ. Ta xét một chuỗi số gồm số1/2, số đứng sau lại lấy số đứng trước chia đôi, và cứ thế tiếp tục...tức là chuỗi số gồm các hạng số là 1/2n. n có thể lớn tuỳ ý, ví dụ n = 1000000 v.v...Ta lập tổng số các số hạng, tức tính tổng Sn. Rõ ràng là Sn nhỏ hơn 1 một đại lượng . Và vì vậy n lớn đến vô hạn thì Sntiến đến gần 1. Và 1 là cận trên của Sn. Ta viết Rõ ràng đây là tổng các số hạng của một cấp số nhân có công bội là q với |q| < 1. ứng dụng công thức tính tổng số hạng của cấp số nhân (cộng bội q) ta có: Từ đó nhanh chóng tính được: Tương tự, ứng dụng công thức (3) ta có thể tính được: Từ khoá: Cấp số nhân. Ta xét việc thực hiện phép cộng hai số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ: 0,142857 + 0,285714. Đây chính là hai số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn có thể biểu diễn thành hai phân số1/7và2/7, tổng của chúng dĩ nhiên là và3/7tổng này được biểu diễn thành số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn là . Thế nhưng liệu có thể thực hiện phép cộng các số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn trực tiếp mà không thông qua con đường biểu diễn thành phân số được không? Ta sẽ xét một số ví dụ sau đây. 1) Phép cộng các số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn có các nhóm số tuần hoàn giống nhau. Ví dụ đã xét trên kia chính thuộc vào trường hợp này. Thật vậy số là do phép cộng trực tiếp các số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn có nhóm số tuần hoàn có số chữ số bằng nhau Nguyên tắc chung là có thể cộng trực tiếp các vị trí của các chữ số trong nhóm số tuần hoàn theo như bình thường và thu được tổng số. 2) Cộng các số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn có các nhóm chữ số tuần hoàn không giống nhau. Ví dụ xét phép cộng các số . Trước hết ta viết thành và số thành , người ta gọi đó là cách biểu diễn thành dạng “nhóm số tuần hoàn mở rộng”. Thông qua nhóm số tuần hoàn mở rộng, hai số tuần hoàn vô hạn có thể được cộng trực tiếp và Cộng các số lẻ thập phân tuần hoàn 0,43 + 0,123 = 0,434343 + 0,123123 = 0,557466 3) Cộng các số lẻ thập phân tuần hoàn hỗn hợp. Ví dụ với các số . Ở hai số này có các số lẻ sau dấu phảy thập phân bằng nhau từng đôi, hai bộ phận tuần hoàn và không tuần hoàn có các nhóm chữ số tuần hoàn có số các con số giống nhau tương ứng từng đôi nên có thể áp dụng nguyên tắc cộng các số lẻ thập phân hữu hạn để thực hiện phép cộng, kết quả nhận được tổng số . Với các số có các bộ phận không tuần hoàn và tuần hoàn không bằng nhau từng đôi thì sẽ ra sao? Ví dụ với tổng . Trước hết ta biến đổi 0,13 thành , người ta gọi đó là nhóm số tuần hoàn lặp. Thông qua nhóm số tuần hoàn lặp ta có thể thực hiện việc cộng các số tuần hoàn hỗn hợp. Có khi người ta sử dụng cả nhóm số tuần hoàn mở rộng kết hợp nhóm số tuần hoàn lặp để thực hiện phép cộng. Ví dụ: Ở đây trong phép cộng các số lẻ thập phân ta có thể gặp vấn đề thay đổi vị trí của các chữ số, ví dụ vị trí chữ số của các nhóm số tuần hoàn có thay đổi sau phép cộng hay không? Ví dụ khi thực hiện phép cộng , ta có thu nhận được kết quả là 1, 15. Vì Ở đây ta gặp hiện tượng tăng vị trí của chữ số đầu trong nhóm số tuần hoàn, chữ số tuần hoàn ở cuối cũng có hiện tượng tăng vị trí và đều tăng một vị trí. Người ta cũng có thể thực hiện phép trừ các số lẻ thập phân tuần hoàn. Các bạn có thể tự thể nghiệm. Từ khoá: Số lẻ thập phân vô hạn tuần hoàn; Nhóm số tuần hoàn. Câu hỏi này liên quan đến một câu chuyện cổ lí thú. Vào thế kỉ thứ VI trước Công nguyên có nhà toán học cổ Hy Lạp là Pithagore, ông cho rằng trên đời chỉ có loại số nguyên và tỉ số giữa hai số nguyên (phân số). Ví dụ người ta có thể dùng số nguyên hoặc tỉ số giữa hai số nguyên để biểu diễn độ dài của một đoạn thẳng. Khi dùng lực như nhau để gảy lên các dây đàn có tỉ số độ dài bằng tỉ số các số nguyên như 2: 3 hoặc 3: 4 thì sẽ phát ra các hài âm (âm giai: âm thanh êm tai). Tóm lại theo quan điểm của Pithagore, “vạn vật trong vũ trụ đều liên quan với số nguyên”. Thế nhưng thực tế lại không phải như vậy. Một ngày kia, có một học sinh đặt ra cho Pithagore một câu hỏi: Liệu có thể dùng số nguyên hay tỉ số giữa hai số nguyên để biểu diễn đường chéo của hình vuông mà cạnh hình vuông bằng 1? Để trả lời câu hỏi này cần phải chứng minh. Pithagore đã tiến hành phương pháp chứng minh như sau đây: Trên hình vẽ trình bày hình vuông cạnh bằng 1 và đường chéo giả sử được biểu diễn bằng số nguyên hay tỉ số của hai số nguyênp/q. Theo định lí Pithagore ta có: (p/q)2 = 12 + 12 = 2 hay p2 = 2q2 Theo kết quả trên vì 2q2là số chẵn nên p2là số chẵn (p không thể là số lẻ vì một số lẻ bất kì, ví dụ 2n + 1 khi nâng lên bình phương phải là số lẻ: (2n+1)2 = 4n2 + 2n2+1. Vả lại p và q không có ước số chung nên p đã là số chẵn thì q phải là số lẻ. Nếu p là số chẵn, ta có thể đặt p = 2a do vậy p2 = 4a2 = 2q2 hay q2 = 2a2 điều đó chứng minh q2là số chẵn và như vậy q cũng phải là số chẵn; như vậy trái với giả thiết đặt ra từ ban đầu và xuất hiện mâu thuẫn là q vừa là số lẻ vừa là số chẵn. Mâu thuẫn vừa nêu đã đẩy Pithagore vào chỗ bí nhưng cũng làm nhận thức về số của loài người tiến lên một bước. Việc không thể dùng số nguyên hoặc phân số để đo độ dài của đường chéo hình vuông cạnh bằng 1 không có nghĩa là độ dài của đường chéo này không tồn tại. Thực ra ứng dụng định lí Pithagore ta dễ dàng tìm thấy độ dài của đường chéo là căn số bậc hai của số 2, tức số √2 . Như vậy ngoài số nguyên và phân số (tỉ số hai số nguyên) người ta phát hiện một loại số mới mà thời đó còn chưa biết. Do số √2 không biểu diễn được thành tỉ số của hai số nguyên nên người xưa gọi đó là số vô tỉ (không biểu diễn được dưới dạng một tỉ số của hai số nguyên). Từ khoá: Số hữu tỉ; Số vô tỉ. Ta biết rằng trong phạm vi các số thực thì căn bậc hai của một số âm không có nghĩa, bởi vì số +2 nâng lên bình phương là +4 và số -2 nâng lên bình phương cũng là +4, không có số thực nào mà khi nâng lên bình phương là bằng -4. Từ đó người ta đi đến khái niệm số ảo. Thông thường người ta chọn i kí hiệu cho đơn vị ảo. Tại sao lại dùng chữ cái i làm đơn vị ảo? Đó là do thuật ngữ trong tiếng Anh số ảo được viết là imaginary, i là chữ cái đầu của từ này nên người ta chọn i kí hiệu cho đơn vị ảo. Thế giá trị của i là bao nhiêu? i có mối liên quan với số thực theo hệ thức: i2 = -1 Tại sao người ta không chọn kí hiệu √-1 làm đơn vị ảo? √-1 là một số không phải là chữ cái, như vậy có đỡ rắc rối hơn không? Trong toán học, chúng ta có quy ước √4 = 2, √1 = 1 gọi là thuật toán khai căn và thuật khai căn là chỉ khai căn bậc hai của một số dương, còn √-1 lại là căn bậc hai của một số âm, nên không phù hợp với định nghĩa của phép khai căn bậc hai. Cho nên để được chặt chẽ, -1 là bình phương của hai số +i và -i tức √-1 = ± i. Vì √-1 không có quy định là đơn vị trong thuật toán khai căn và vì √-1 có thể được biểu diễn hoặc là +i hoặc là-i nên người ta không dùng kí hiệu √-1. Trong khi giải phương trình bậc hai x2 = -2 người ta biểu diễn kết quả nghiệm ở dạng số phức là x = ± √-2 =± √2i. Có thể được vì ở đây kí hiệu dương và âm đồng thời xuất hiện. Giả sử ta lại giải phương trình x2 + x + 1 = 0, nghiệm của phương trình được biểu diễn ở dạng: ở đây các kí hiệu dương và âm cũng đồng thời xuất hiện nên không gây nhầm lẫn. Thế nhưng nếu viết √-2 = √2 i lại không thích hợp vì thiếu giá trị âm. Từ khoá: Số ảo. Ta hãy quay về lai lịch của số ảo. Vào thế kỉ XVI, các nhà toán học Châu Âu đang có cuộc tranh luận sôi nổi về việc có nên tiến hành các phép toán với các số âm hay không, một cuộc tranh luận khác cũng được cuốn vào dòng xoáy, đó là việc khai căn bậc hai một số âm. Số âm có căn bậc hai hay không, có thể có một số mà bình phương của nó là số âm hay không? Sau này do sự phát triển của toán học, một số nhà toán học đã phát hiện có một số phương trình bậc ba có nghiệm không thể không biểu diễn ở dạng căn bậc hai của các số âm. Nếu chấp nhận có căn bậc hai của số âm thì vấn đề giải các phương trình có dùng căn thức hay không dùng căn thức đã được giải quyết. Không những thế, khi giải “phương trình bậc n có n nghiệm” người ta thu được kết quả đầy đủ nhất. Ngoài ra căn bậc hai của một số âm được chấp nhận vào các phép toán thì cũng cho các kết quả chính xác. Vào năm 1545, nhà toán học Italia Cardan đưa ra cách biểu diễn có tính thoả hiệp là gọi căn bậc hai của một số âm là số có phần ảo, với ý nghĩa là mặc dù thừa nhận chúng là các số nhưng là số không thực, “số ảo”, không giống như số thực là số có thể dùng để đo đếm các đồ vật thực. Đến năm 1632, nhà toán học Pháp Descartes đã chính thức cho căn bậc hai của một số âm được mọi người thừa nhận đó là số ảo. Vào năm 1768, nhà toán học Thuỵ sĩ Euler lại cho giải thích về số ảo: “Do số ảo không nhỏ hơn số 0, không lớn hơn số 0 cũng không bằng số 0 nên nó không tồn tại trong phạm vi các số trong thực tế, nó chỉ tồn tại trong tưởng tượng”. Đó là đại biểu cho thái độ và nhận thức của các nhà toán học thế kỉ XVIII đối với vấn đề căn bậc hai của số âm, đó cũng là phản ảnh ý nghĩa chữ “ảo” trong khái niệm số ảo. Cho dù là trong thuật ngữ số ảo có chữ “ảo” và các nhà toán học không hề bỏ qua mà tiếp tục đào sâu, nghiên cứu. Vào thế kỉ XVIII - XIX các nhà toán học đã phát hiện nhiều tính chất và ứng dụng. Đặc biệt vào năm 1777, Euler đưa ra khái niệm “đơn vị ảo”, ông chọn √-1 làm đơn vị ảo và dùng chữ i để biểu thị đơn vị ảo này, giống như số 1 là đơn vị của các số thực. Và vì vậy bất kì một số ảo nào cũng được biểu diễn là bội số của đơn vị ảo giống như số thực. Ví dụ: Nhờ vậy các nhà toán học không chỉ xem số thực và số ảo là đồng dạng với nhau và còn thống nhất thành tên gọi số phức, và số phức bao gồm cả số thực và số ảo. Nếu dùng kí hiệu a + bi, trong đó a và b là các số thực, i là đơn vị ảo. Khi a = 0 thì a + bi = bi và là số ảo, nếu b = 0 thì a + bi = a thì số đã cho là số thực. Số phức là do số thực và số ảo bổ sung cho nhau mà thành, không thể thiếu một phần. Vào cuối thế kỉ XVIII nhà toán học Na Uy Wilser, nhà toán học Thuỵ Sĩ Aliam và nhà toán học Đức Gauss đã phát minh phương pháp biểu diễn số phức trên bằng các điểm đối ứng một - một trên ô vuông. Trên hệ trục toạ độ, trục hoành là trục thực, trục tung là trục ảo. Trên mỗi trục được chia theo đơn vị độ dài. Chỗ hai trục toạ độ giao nhau chọn là gốc trục O. Tính từ O, trên trục thực ta chia thành các điểm a đơn vị, trên trục tung chia thành b đơn vị. Nhờ đó với mỗi số phức bất kì a + bi đều có thể biểu diễn bằng một điểm đối xứng. Loại trục toạ độ mô tả được gọi là hệ trục số phức, có gốc trục là O. Nhờ có hệ trục toạ độ phức người ta phát hiện được nhiều tính chất của số phức và chấp nhận sự tồn tại của số phức trên thực tế. Từ đó địa vị của số phức được xác lập và tồn tại thuật ngữ số phức. Từ khoá: Số ảo, số thực, số phức, toạ độ số phức. Số phức a + bi có thể được xem là cặp số thực theo thứ tự (a,b), nó đối ứng nhau ở một điểm trên hệ tọa độ vuông góc. Theo gợi ý từ tư tưởng này, nhà toán học Ailen là Hamilton đã có ý đồ cấu tạo nên một loại số mới, loại số này bao hàm 3 phần tử (a,b,c). Trải qua nhiều năm thử nghiệm, Hamilton phát hiện thấy loại số mới mà ông muốn tìm mà chỉ có 3 phần tử là không được, nó buộc phải có 4 phần tử. Đó chính là bộ bốn. Nói một cách đơn giản, bộ bốn là một loại số có dạng a+bi+cj+dk, a, b, c, d ở đây là các số thực, l, i, j, k là các phần tử đơn vị, mà i, j, k là là các hư số thỏa mãn với i2 = j2 = k2 = -1, đồng thời khi i, j, k nhân với nhau thì buộc phải thỏa mãn qui tắc sau: ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j. Cả phép cộng và phép nhân của bộ bốn cũng đều có định nghĩa theo hệ thống. Số phức a + bi, khi b = 0 sẽ là số thực a, cũng tức là, số thực có thể coi là một loại số phức đặc thù; tương tự, bộ bốn a+bi+cj+dk khi c = d = 0 thì sẽ là số phức a + bi, thế là số phức cũng có thể gán vào trong bộ bốn. Từ số thực, số phức đến bộ bốn, hệ số được mở rộng. Vậy thì, tính chất thuật toán của số thực, số phức trong bộ bốn có thay đổi gì không? Thực tế, từ định nghĩa về bộ bốn có thể thấy, các phần tử đơn vị i, j, k nhân với nhau không thỏa mãn luật giao hoán của phép cộng, tức ij ≠ ji, jk ≠ kj, ki ≠ ik, vì thế phép nhân của bộ bốn cũng không thỏa mãn với luật giao hoán. Đây là sự khác biệt cơ bản nhất giữa bộ bốn với các số trước đây. Việc sáng lập ra bộ bốn đã mở rộng khái niệm về số, đã là sâu thêm nhận thức về các phép tắc thuật toán, có ảnh hưởng nhất định đến đại số lượng và phân tích lượng . Nó khiến cho các nhà toán học ý thức được rằng có thể tạo ra những số mới có nghĩa với tư cách là đối tượng nghiên cứu của toán học, loại số mới này không nhất định mang toàn bộ những tính chất đã có ở các số thường. Từ khóa: Bộ bốn. Nếu có người hỏi bạn “năm nay bạn bao nhiêu tuổi”. Bạn trả lời “tôi 15 tuổi”. Câu trả lời này hoàn toàn chính xác, nhưng con số 15 chỉ là con số gần đúng, không phải là số chính xác. Giả sử bạn lại có người bạn cũng ở độ tuổi 15 và nếu muốn biết chính xác ai có độ tuổi lớn hơn thì bạn phải biết bạn mình sinh vào tháng nào, nên để nói tuổi chính xác bạn phải nói là 15 tuổi, mấy tháng mới tương đối chính xác hơn một chút. Còn muốn chính xác hơn phải nói cả ngày sinh, tức bạn phải trả lời 15 tuổi, mấy tháng mấy ngày thì mới biết ai lớn tuổi hơn. Giả sử có hai chị em sinh đôi thì muốn biết tuổi chị em lại phải biết hơn nhau mấy giờ hoặc mấy phút. Thực tế khi nói độ tuổi không mấy ai cần biết đến mấy năm, mấy tháng, mấy ngày, mấy giờ. Mọi người đều biết một giờ chia thành 60 phút, mỗi phút chia thành 60 giây, một giây lại chia thành1/10,1/100,1/1000... giây và có thể tiếp tục chia nhỏ nữa. Đương nhiên để nói độ tuổi thì không nhất thiết phải cần biết chính xác đến như vậy, thường người ta chỉ cần nói gần đúng mấy năm là đủ. Nhưng trong công tác khoa học có nhiều vấn đề cần đến thời gian rất chính xác. Khi nghe thu thanh chúng ta thường nghe thấy tín hiệu báo giờ “tút, tút, tút...tút” từng giây rất chính xác, sai không đến mấy phần nghìn giây. Các nhân viên hàng hải dựa vào tín hiệu báo giờ này để xác định vị trí tàu thuyền. Trong vật lí nguyên tử lại có loại “siêu hạt” thời gian sống chỉ tính bằng 10-20 giây, đương nhiên là khi nói đến độ tuổi của “siêu hạt” phải tính đến từng 10-20 giây. Trong đời sống thường ngày khi nói đến giờ khắc có lúc gần đúng, có lúc chính xác, có lúc ước lượng gần đúng. Khi xét đến độ chính xác đến độ tuổi nào là do yêu cầu thực tế đặt ra. Khi nói đến độ tuổi của người thì không cần chính xác đến từng giây, thế nhưng khi nói đến “siêu hạt” thì người ta phải tính độ tuổi đến 10-20 giây. Vì vậy, với các vấn đề khác nhau, việc chọn độ chính xác về các số đo là khác nhau. Các bạn thử xem khi đo độ dài của vải và độ dài của đường cái quan thì rõ ràng là độ chính xác cũng cần khác nhau rồi. Từ khoá: Giá trị gần đúng. Khi mới học số thập phân đúng, dường như câu hỏi trên là hơi thừa. Vì 0,1 =1/10và 0,10 =10/100. Nếu ước lược số10/100thì đó chính là1/10 nên có thể đi đến kết luận hai cách viết hoàn toàn giống nhau. Nói chung ta thấy cách viết 0,10 không phải là cách viết phân số tối giản nên con số 0 cuối cùng không cần viết. Thế nhưng khi bàn đến số lẻ thập phân gần đúng vấn đề lại có khác. Khi biểu diễn một số lẻ thập phân gần đúng, trên thực tế là bàn về phạm vi giá trị của một số. Khi cần bàn đến độ chính xác của một số lẻ thập phân ta cần giá trị thực sai lệch trong phạm vi nhỏ nhất có thể được. Theo nguyên tắc làm tròn số lẻ thập phân “bỏ bốn lấy năm” thì 0,1 có thể từ số lẻ thập phân 0,05 được làm tròn mà có, cũng có thể từ số 0,14 “bỏ bốn” mà nhận được số 0,1. Vì vậy số lẻ thập phân gần đúng số 0,1 có thể biểu diễn từ 0,05 - 0,15 và nếu x là số lẻ thập phân gần đúng đó, ta có thể viết: 0,05 ≤ x < 0,15. Thế nếu viết 0,10 thì sẽ như thế nào? Số lẻ thập phân gần đúng này sẽ là từ số 0,095 theo quy tắc làm tròn “lấy năm” mà có cũng từ quy tắc “bỏ bốn” từ số 0,104. Nếu ta dùng x để biểu diễn số đó thì 0,095 ≤ x <0,105 Và phạm vi của con số sẽ nhỏ hơn 0,1 nhiều. Nếu quan sát trên trục số thì hiển nhiên phạm vi của 0,10 sẽ nhỏ hơn 0,1 nhiều. Vì vậy khi xử lí các số lẻ thập phần gần đúng thì 0,1 và 0,10 hoàn toàn khác nhau. Khi viết số lẻ thập phân đúng thì nên viết 0,10 là 0,1, con số không ở cuối là thừa và không cần thiết. Trong khi xử lí số lẻ thập phân gần đúng thì con số 0 ở số 0,10 là rất quan trọng. Từ khoá: Số lẻ thập phân chính xác và số lẻ thập phân gần đúng. Các phép toán số học được chia làm ba cấp: phép cộng, phép trừ là cấp một, phép nhân, phép chia thuộc cấp hai, phép luỹ thừa và khai phương thuộc cấp ba. Cấp một là cấp thấp nhất, cấp hai cao hơn cấp một và cấp ba là cấp cao nhất. Thứ tự tiến hành các phép toán có liên quan chặt chẽ với các cấp của các phép toán. Với các phép toán đồng cấp thì ưu tiên theo thứ tự từ trái sang phải. Còn các phép toán không đồng cấp thì thực hiện ưu tiên từ cấp cao đến cấp thấp. Vì sao lại phải chia các phép toán số học thành ba cấp? Trong phép toán số học có 5 quy tắc trong thực hiện các phép toán: Luật kết hợp, luật giao hoán trong phép cộng, luật giao hoán và kết hợp trong khi thực hiện phép nhân, luật phân bố khi thực hiện phép nhân kết hợp phép cộng. Trước hết ta xem xét luật phân bố khi kết hợp phép cộng với phép nhân: (a + b) x c = a x c + b x c phép nhân cũng có luật phân bố khi kết hợp với phép trừ (a - b) x c = a x c - b x c Phép chia cũng có luật phân bố khi kết hợp với phép cộng và phép trừ Từ đó có thể khái quát phép tính cấp hai có tính chất phân bố với các phép tính cấp một. Chúng ta đều biết phép tính trừ chính là phép cộng với một số trái dấu. Ví dụ 3 - 2 = 3 +(-2). Như vậy phép tính trừ có thể quy về phép tính cộng. Còn phép chia chính là phép nhân với một nghịch đảo của một số. Ví dụ: 3: 2 = 3 x1/2 Vậy với phép tính chia ta có thể quy về phép tính nhân. Vì vậy tính chất phân bố của phép tính nhân với phép tính cộng là một quy luật có tính cơ bản trong khi tiến hành tính toán. Rõ ràng là (ab)n = anbn Như (3.2)4 = (3.2).(3.2).(3.2).(3.2) = (3.3.3.3).(2.2.2.2) = 34.24 Vì vậy phép tính luỹ thừa cũng thể hiện luật phân bố với phép tính nhân. Tương tự phép tính luỹ thừa cũng có tính chất phân bố với phép tính chia (a: b)n = an: bn Vì vậy ta thấy các phép tính cấp ba thể hiện luật phân bố với phép tính cấp hai. Ta có thể tiến lên khái quát cao hơn một bước. Các phép toán cao hơn một cấp thể hiện luật phân bố cho các phép toán cấp thấp hơn một cấp. Khi đã nhận thức được các cấp của phép tính số học ta có thể nhanh chóng tiến hành chính xác các phép toán số học. Có điều cần chú ý là các phép tính số học cấp ba không có luật phân bố với các phép toán cấp một. Từ khoá: Thứ tự thực hiện các phép tính số học. Bạn chọn tuỳ ý bốn số tự nhiên liên tiếp, thành lập tích của chúng và cộng thêm 1, không kể kết quả phép tính là bao nhiêu nhưng điều chắc chắn số nhận được sẽ là một chính phương. Bạn có tin không? Hãy xem các kết quả sau đây: 1.2.3.4 + 1 = 25 =52 2.3.4.5 + 1 = 121 = 112 3.4.5.6 + 1 = 361 = 192 4.5.6.7 + 1 = 841 = 292 ......................... Bạn có thể tiếp tục tính toán và kết quả tất yếu sẽ là các số chính phương. Vì sao lại nhận được kết quả như vậy? Giả sử trong số bốn tự nhiên liên tiếp ta chọn số nhỏ nhất là a, ta xét xem tích số sau đây có phải là số chính phương hay không: a(a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 Ta biết a(a + 1)(a + 2) (a + 3) + 1 = (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1 = (a2 + 3a)2 +2(a2 + 3a) +1 = (a2 + 3a + 1)2 Vì a là số tự nhiên nên (a2 + 3a + 1)2 phải là một chính phương. Thông qua phép dẫn giải trên ta không chỉ biết số a(a + 1)(a + 2)(a +3 + 1) là một chính phương mà còn biết số chính phương là bình phương của số nào? Ví dụ 10 x 11 x 12 x 13 = ? Biết a = 10 nên a2 + 3a + 1 = 131 nên 10 x 11 x 12 x 13 + 1 =(131)2 Tương tự bạn cũng có thể tìm thấy 15 x 16 x 17 x 18 + 1 = ? Với cùng lí luận tương tự bạn cũng có thể tìm thấy tích của 4 số chẵn liên tục (4 số lẻ liên tục) cộng với 16 cũng là một số chính phương. Từ khoá: Số chính phương hoàn toàn. 31. Thế nào là bài toán bức màn đẳng thức của các tổng số? Ta hãy xét xem hai tổng mỗi tổng là sáu số tự nhiên: 1 + 6 + 7 + 17 + 18 + 23 = 2 + 3 + 11 + 13 + 21 + 22 Bạn sẽ thốt lên thế thì có gì là lạ 12 + 62 + 72 + 172 + 182 + 232 = 22 + 32 + 112 + 132+ 212 + 222 Bây giờ chắc bạn sẽ cảm thấy có điều khác thường. Quả là bạn sẽ thấy hết sức thú vị khi ta tiếp tục: 13 + 63 + 73 + 173 + 183 + 233 = 23 + 33 + 113 + 133 + 213 + 223 14 + 64 + 74 + 174 + 184 + 234 = 24 + 34 + 114 + 134 + 214 + 224 15 + 65 + 75+ 175 +185 +235 = 25 + 35 + 115+ 135 + 215 + 225 Thế nhưng liệu có điểm dừng hay không? Các đẳng thức bậc 6 bậc 7 v.v... dù có thực hiện khó khăn bạn cũng có thể tìm được và tấm màn đẳng thức chỉ dừng lại ở luỹ thừa bậc 9. Ví dụ ở bậc 1 Số thu được sẽ là 285 2 11.685 3 536.085 4 26.043.813 5 1.309.753.125 6 67.334.006.805 7 3.512.261.547.765 8 185.039.471.773.893 Hai nhóm số này do Fuyi nghĩ ra. Quả là kì diệu. Thế nhưng cơ sở của chúng là gì, dựa vào đâu người ta nghĩ ra. Ngoài hai nhóm số này còn con số nào khác không? Nhà toán học nổi tiếng Liên Xô trước đây- Gelfan đã giải đáp câu hỏi này. Nguyên do các nhóm số này xuất phát từ các hằng đẳng thức sau đây: an + a(a + 4b + c)n + (a + b + 2c)n + (a + 9b + 4c)n + (a + 6b + 5c)n + (a + 10b + 6c)n = = (a + b)n + (a + c)n + (a + 6b + 2c)n + (a + 4b + 4c)n + (a + 10b + 5c)n + (a + 9b + 6c)n Trong đó n = 1,2,3,4,5. Các nhóm số vừa nêu trên tạo thành từ a = 1, b = 1, và c = 2. Nếu chọn a, b, c là các số khác người ta sẽ nhận được các nhóm số khác có tính chất tương tự và không kể hết được. Vấn đề tương tự gọi là “vấn đề bức màn đẳng thức các tổng số luỹ thừa k”, gọi vắn tắt là “vấn đề bức màn đẳng thức các tổng số”. Nhà toán học Trung Quốc quá cố Hoa La Canh đã từng nghiên cứu và đã đạt được nhiều thành quả. Hiện tại người ta đã tính đến các luỹ thừa bậc 9, bậc 10, thế nhưng vấn đề còn chưa được giải quyết đến cùng. Luỹ thừa bậc cao nhất vẫn chưa tìm thấy. Liệu k có giới hạn trên không? Vượt qua giới hạn đó liệu có thể đẳng thức còn đúng không? Từ khoá: Bức màn đẳng thức lũy thừa k. 32. Thêm dấu vào các chữ số của đồng hồ để tổng đại số của các con số bằng 0? Trong một quyển sách toán cấp hai có một bài toán khá lí thú sau đây: Trên mặt đồng hồ có 12 con số, bạn hãy đặt các dấu cộng (+) dấu trừ (-) trước các con số để tổng đại số của các con số bằng không. Bạn có thể thực hiện được yêu cầu đó không? Thực ra bạn chỉ cần suy nghĩ một chút có thể tìm ngay được một đáp án: Trước các con số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 đặt dấu cộng (+) còn trước các con số 6, 10, 11, 12 đặt dấu trừ (-), do đó ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 + (-6, -10, -11, -12) = 39 - 39 = 0. Do đó ta thấy đó là đáp án đúng. Bài toán này có 124 đáp án nên việc tìm hết được các đáp án không phải một việc dễ. Nhưng nếu chú ý bạn có thể tìm được quy luật và có thể tìm được nhiều đáp án. Trước hết ta biết rằng một cặp số cùng giá trị bằng số nhưng trái dấu thì tổng của chúng bằng không. Ta lại biết 1 + 2 + 3 +... + 12 = 78 nên chỉ cần phân 12 số thành hai nhóm, mỗi nhóm có tổng bằng 39, sau đó ta đặt dấu ngược nhau trước mỗi nhóm: trước một nhóm ta đặt dấu dương (+) còn trước nhóm kia ta đặt dấu âm (-) thì sẽ làm tổng đại số của 12 con số sẽ bằng không. Hai là ba số lớn nhất trong 12 con số có tổng số là 10 + 11 + 12 = 33 nhỏ hơn 39; còn tổng của các số nhỏ còn lại là 1 + 2 + 3 +...+ 9 = 45 lớn hơn 39 nên khi chia các số thành nhóm thì ít nhất có thể là bốn số và số con số tối đa trong một nhóm số là tám, như vậy số các con số trong một nhóm chỉ có thể là 4 và 8, 5 và 7, 6 và 6. Ba là giả sử ta chia 12 con số này thành hai nhóm là A và B mỗi nhóm có tổng các số là 39, với nhóm A ta đánh dấu cộng (+) trước mỗi con số và nhóm kia ta đặt dấu trừ (-), như vậy ta sẽ có hai đáp án. Ví như (+1, +2, +3, +4, +6, +11, +12); (-5, -7, - 8, -9, -10) và (-1, -2, -3, -4, -6, -11, -12); (+5, +7, +8, +9, +10) Bạn hãy dựa vào quy luật trên và thử tìm xem. Từ khoá: Tổng đại số. 33. Cậu bé Karl (Gauss) làm thế nào để tính tổng dãy số 1 + 2+ 3 +...+100? Truyện kể rằng nhà toán học Đức Karl-Frederich. Gauss ngay từ lúc còn rất bé đã biểu hiện khả năng tính toán phi thường. Khi là học sinh tiểu học, vào năm 10 tuổi, thầy giáo ra một đề toán 1 + 2 + 3 +...+ 100 bằng bao nhiêu? Để xem ai tính nhanh hơn. Khi thầy vừa đọc xong đề toán, cậu bé Gauss đã trả lời ngay tổng của 100 số đó là 5050. Các bạn học nghe câu trả lời của Karl vừa kinh ngạc vừa tỏ ý nghi ngờ. Chỉ thầy giáo mới biết chắc chắn đó là đáp số đúng. Thế cậu bé Karl đã tính như thế nào? Cậu bé Karle cho biết 100 con số từ 1 đến 100 có đặc tính là tổng con số đầu và con số cuối là 101, số thứ hai và số áp cuối cùng cũng có tổng bằng 101, có tất cả 50 đôi số như vậy từ số 1 đến số 100. Tổng của 50 đôi số này sẽ là 101 x 50 = 5050 Ta sẽ xem cụ thể 50 đôi số như sau: Người ta còn kể nhiều chuyện về tài quan sát tinh tế của Gauss. Ví như có lần khi cậu bé Karl đứng gần cha và xem cha tính sổ thu nhập. Khi cha ông tính xong, ông nhìn cha và nói “Cha tính sai rồi...Kết quả phải là...” Cha cậu lấy làm kinh ngạc và thấy con mình đã nói đúng. Lúc đó cậu bé Carl đã học toán chưa? Chưa, vì lúc đó cậu bé Carl mới ba tuổi chưa đầy 3 tuổi! Do cậu yêu thích “con số” và tính toán ngay từ lúc còn nhỏ nên đã học được cách tính toán khi mà người lớn còn chưa chú ý. Về sau Gauss đã chuyên tâm học toán, đến độ tuổi thanh niên ông đã trở thành nhà toán học nổi tiếng. Ông quan tâm nghiên cứu và hứng thú với nhiều lĩnh vực: ngôn ngữ cổ đại, thiên văn, vật lí ông đều quan tâm nghiên cứu, đã có nhiều phát hiện và phát minh. Ông là nhà thiên văn học, nhà vật lí lỗi lạc. Gauss cũng như nhiều nhà khoa học khác, ngay từ nhỏ đã có óc quan sát tinh tế, chú ý đến mọi hiện tượng xảy ra xung quanh, từ đó đã khai sáng và có các cống hiến vĩ đại. Từ khoá: Gauss. 34. Có phải các phương trình đều có thể giải bằng công thức không? Nhiều người thích dùng công thức khi giải các phương trình vì chỉ cần theo các quá trình và quy phạm không cần phải tốn nhiều suy nghĩ. Ví như giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (trong đó a ≠ 0) ta chỉ cần dùng công thức: ta có thể đưa ra hai nghiệm của phương trình. Vì vậy trong thời gian dài, người ta bỏ công tìm các công thức để giải phương trình các bậc, và trở thành một vấn đề quan tâm trọng điểm của đại số học. Vào năm 1535, nhà toán học Italia lần đầu tiên tìm ra công thức để giải phương trình bậc ba. Họ tìm cách biến đổi phương trình bậc ba thành phương trình bậc hai, sau đó nhờ giải phương trình để tìm các nghiệm. Nhờ ý tưởng của phương pháp này, về sau nhà toán học Italia Ferali đã tìm công thức để giải phương trình bậc 4 và lần nữa chứng minh tính hữu hiệu của ý tưởng này. Như vậy các phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn đều có thể giải qua các công thức. Vậy với các phương trình bậc năm, bậc sáu và bậc cao hơn có thể dùng công thức để giải được không? Xuất phát từ nhận thức này từ thế kỉ XVII trở đi, các nhà toán học đều ra sức tìm các công thức để giải các phương trình bậc năm và bậc cao hơn. Có điều lạ là vào thế kỉ XVI, nhà toán học Ferali 20 tuổi, không tốn nhiều thời gian lắm đã tìm ra công thức giải phương trình bậc bốn, điều mà trong suốt hai thế kỉ XVI, XVII không ít nhà toán học tài ba đã nghiên cứu mong tìm cách giải phương trình cao hơn một bậc là phương trình bậc năm nhưng không tìm thấy công thức. Thế có phải với các phương trình từ bậc 5 trở lên không giải được bằng công thức? Vấn đề này được đặt ra vào năm 1824. Nhà toán học Na uy 22 tuổi là Abel sau bốn năm nỗ lực đã chứng minh: với các phương trình có bậc bằng 5 hoặc lớn hơn không thể biểu diễn các nghiệm của chúng qua các hệ số bằng các phép tính số học cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, luỹ thừa..). Từ đó vấn đề tìm công thức để giải phương trình bậc cao từ bậc 5 trở đi mới kết thúc. Thế nhưng lí luận về giải các phương trình chưa chấm dứt. Những kết quả của Abel không hề nói là không có công thức để biểu diễn các phương trình có bậc lớn hơn hoặc bằng 5. Ví dụ với phương trình x5 = N, với phương trình đơn giản này ta có thể tính trực tiếp nghiệm bằng phép toán khai căn. Do đó vấn đề được đẩy lên một bước mới. Các nhà toán học đưa ra luận đề với phương trình bậc cao phải có dạng như thế nào thì có thể biểu diễn nghiệm qua các hệ số phương trình thông qua các phép toán số học? So với luận đề trước đây, vấn đề đặt ra ở đây đã sâu sắc hơn. Vào năm 1831, nhà toán học Pháp 20 tuổi là Galois đã đưa ra một hình thức trả lời vấn đề đặt ra một cách sắc bén và nhanh chóng. Galois đã xây dựng nên lí thuyết nhóm Galois là cơ sở cho đại số học hiện đại. Dựa vào lí thuyết nhóm Galois, Galois đã đưa ra điều kiện để một phương trình đại số bậc cao có thể giải được bằng căn thức đó là “phán đoán Galois”. Từ “phán đoán Galois” cũng đi đến kết luận là các phương trình tổng quát bậc lớn hơn hoặc bằng 5 (bậc n ≥ 5) không giải được bằng căn thức. Từ đó có thể thấy rằng định lí Abel chỉ là một hệ quả của lí thuyết Galois. Từ khoá: Phán đoán Galois và lí thuyết nhóm.